Ipaee capitulo6

UUNN II VV EE RR SS II DD AA DD EE FFEE DD EE RR AA LL DD EE SS ÃÃ OO CCAA RR LL OO SS

CC EE NN TT RR OO DD EE CC II ÊÊ NN CC II AA SS EE XX AA TT AA SS EE DD EE TT EE CC NN OO LL OO GG II AA

DD EE PP AA RR TT AA MM EE NN TT OO DD EE EE SS TT AA TT ÍÍ SS TT II CC AA

IINN TT RR OO DD UU ÇÇ ÃÃ OO AA OO PP LL AA NN EE JJ AA MM EE NN TT OO EE AA NN ÁÁ LL II SS EE

EESS TT AA TT ÍÍ SS TT II CC AA DD EE EEXX PP EE RR II MM EE NN TT OO SS

CCAA PP ÍÍ TT UU LL OO ## 66

EEXX PP EE RR II MM EE NN TT OO SS FFAA TT OO RR II AA II SS

PP RR OO FF .. PP EE DD RR OO FFEE RR RR EE II RR AA FF II LL HH OO

PP RR OO FFaa .. EE SS TT EE LL AA MMAA RR II SS PP.. BB EE RR EE TT AA

11 ºº SS EE MM EE SS TT RR EE DD EE 22 00 11 11

Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais

Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 2

66 .. EE XX PP EE RR II MM EE NN TT OO SS FF AA TT OO RR II AA II SS ::

66 .. 11 .. II NN TT RR OO DD UU ÇÇ ÃÃ OO ::

Um experimento é somente um teste ou uma serie de testes. Experimentos são feitos em todas

as disciplinas cientificas e de engenharia e são uma importante parte da maneira de aprendemos

sobre como sistemas e processos funcionam. A validade das conclusões que são retiradas de um

experimento depende, em grande extensão, de como o experimento foi conduzido.

Conseqüentemente, o planejamento do experimento desenvolve o papel principal na solução

futura do problema que inicialmente motivou tal experimento.

Neste capítulo, focamos os experimentos com dois ou mais fatores, os quais o profissional julga

serem importantes. O planejamento fatorial de experimentos será introduzido como uma técnica

poderosa para esse tipo de problema. Geralmente, em um planejamento fatorial de experimentos,

tentativas ou corridas experimentais são feitas em todas as combinações dos níveis dos fatores.

Por exemplo, se um engenheiro químico estiver interessado em investigar os efeitos do tempo de

reação e da temperatura de reação no rendimento de um processo, e se dois níveis do tempo (1h

e 1,5h) e dois níveis da temperatura (125°F e 150°F) forem considerados importantes, então um

planejamento fatorial consistiria em fazer as corridas experimentais em cada uma das quatro

combinações possíveis desses níveis de tempo e da temperatura de reação.

A maioria dos conceitos estatísticos introduzidos no Cap. 5 para experimentos com um único

fator pode ser estendida aos planejamentos fatoriais deste capítulo. A análise de variância, em

particular, continuará a ser usada como uma das ferramentas primárias para a análise estatística

de dados. Introduziremos também, vários métodos gráficos na analise de dados provenientes dos

experimentos planejados.

Um experimento fatorial pode ser conduzido tanto num experimento completamente

aleatorizado, quanto num experimento aleatorizado em blocos, ou ainda, em quadrado latino,

entre outros. A escolha de um destes experimentos deve ser feita em função das condições

experimentais, particularmente, das características das unidades experimentais.

Quando o número de fatores cresce, cresce o número de combinações entre os níveis dos

fatores dificultando, muitas vezes, a instalação do experimento. Um procedimento alternativo para

a resolução destas situações será apresentado no próximo capítulo.



66..22 .. EE XX PP EE RR II MM EE NN TT OO SS FF AA TT OO RR II AA II SS CC OO MM FF AA TT OO RR EE SS CC RR UU ZZ AA DD OO SS ::

Situação:

Os níveis de um fator são combinados com todos os níveis do outro (dos outros) fator(es).

Exemplo:

Fator A : Tempo de Reação A1, A2, A3.

Fator B : Temperatura de Reação B1, B2.

Fatores Cruzados:

Tratamentos:

Combinações dos diferentes níveis dos fatores. 6 tratamentos: 3 x 2 = 6:

A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1 e A3B2.

Efeitos Fatoriais:

Consideremos a seguinte situação:

Fator 1: A1, A2.

Fator 2: B1, B2.

Resultados observados:

F1 F2

Total B1 B2

A1 20 30 50

A2 40 52 92

Total 60 82 142

A1 A2 A3

B1 B2

Fator A

Fator B



Questões:

1. Os fatores F1 e F2 apresentam efeito conjunto ou são “independentes”?

2. O Fator F1 apresenta efeito significativo?

3. O Fator F2 apresenta efeito significativo?

Solução:

Estudo dos efeitos do modelo:

Efeito de Interação.

Efeito Principal de F1 (1º Fator).

Efeito Principal de F2 (2º Fator).

Efeitos Principais:

Efeito específico de cada fator, ou ainda, a alteração que ocorre na variável resposta a

partir da troca de níveis do fator.

No exemplo:

A = [(40+52)/2] – [(30+20)/2] = 21

B = [(30+52)/2] – [(40+20)/2] = 11

Interpretação:

A mudança do nível A1 para o nível A2 do fator 1 produz um acréscimo de 21 unidades na

variável resposta.

A mudança do nível B1 para o nível B2 do fator 2 produz um acréscimo de 11 unidades na

variável resposta.



Efeitos da Interação:

Alteração produzida na variável resposta a partir da mudança de níveis de um fator dentro

dos diferentes níveis do outro fator.

fator cada para próximos são

124052

102030

223052

202040

2

1

2

1

valores

AB

AB

BA

BA

Interpretação:

O comportamento com um fator é praticamente o mesmo nos diferentes níveis do outro

fator, isto é: A(B1)= 20 22 = A(B2), por outro lado: B(A1)= 10 12 = B(A2).

Conclusão:

Neste caso, não existe interação Um fator não influência nos resultados

obtidos pelo outro fator. O efeito principal de A é [(20+22)/2] = 21, desconsiderando

o fator B, e o efeito de B é [(10+12)/2]= 11, independente do efeito de A.

Graficamente:



Uma segunda situação:

F1 F2

Total B1 B2

A1 20 40 60

A2 50 12 62

Total 70 52 122

Efeito Principal:

A = [(50+12)/2] – [(20+40)/2] = 1

B = [(40+12)/2] – [(50+20)/2] = -9

Efeito da Interação:

A (B1) = 50 – 20 = 30

A (B2) = 12 – 40 = -28

B (A1) = 40 – 20 = 20

B (A2) = 12 – 50 = -38

Interpretação:

O comportamento de um fator não é o mesmo para os diferentes níveis do outro fator.



Geometricamente:

Forma Padrão:

Curvas paralelas não existe interação.

Curvas não paralelas existe interação.

Importante:

Os gráficos de interação podem apresentar diferentes comportamentos. Em geral, quando

as retas são paralelas, não existe interação. Quando as retas se cruzam ou não são paralelas,

pode ser que exista interação. Tudo depende da magnitude da interação e do erro experimental.

Nem sempre retas cruzadas indicam interação.

Algumas possíveis situações para o caso de um fatorial 2 x 2:



Outra abordagem para o efeito de interação no caso de fatores quantitativos:

Sem efeito de Interação:



Com efeito de interação:

66 .. 22 .. 11 .. EE XX PP EE RR II MM EE NN TT OO SS FF AA TT OO RR II AA II SS CC OO MM DD OO II SS FF AA TT OO RR EE SS CC RR UU ZZ AA DD OO SS ::

TT WW OO WW AA YY

Exemplo:

Um agrônomo está interessado em investigar o efeito da adubação nitrogenada em dois

níveis (N0 e N1), e da adubação fosfatada, também em dois níveis (P1 e P2), numa determinada

cultura. Os resultados do experimento são apresentados na tabela abaixo:

F o s f a t o

Nitrogênio P0 P1

1.00

1.60

3.20

4.50

N0 1.20 1.30 5.60 5.50

1.30

--

4.40

--

1.50

2.30

3.80

5.00

N1 1.10 1.40 6.00 6.20

1.60

--

4.80

--



Questões:

a) O rendimento da cultura dado um nível de fosfato independe do nível de nitrogênio?

b) Existe efeito de nitrogênio e de fosfato no rendimento da cultura?

Do ponto de vista estatístico:

a) Existe interação entre os fatores?

b) Os efeitos principais são significativos?



CC AA SS OO GGEE RR AA LL :: DD OO II SS FF AA TT OORR EE SS

Consideremos

Fator A a níveis i = 1,..., a

Fator B b níveis i = 1,..., b

nij = número de observações para cada nível i do fator A e j do fator B.

Caso Particular:

nij = n ij experimento balanceado

Dados:

Fator A Fator B

1 2 … b

1 y111, y112,…,y11n y121, y122,…,y12n … y1b1, y1b2,…,y11n

2 Y211, y212,…,y21n Y221, y222,…,y22n … Y2b1, y2b2,…,y2bn

… … … … …

a Ya11, ya12,…,ya1n Ya21, ya22,…,ya2n … Yab1, yab2,…,yabn

Observação:

A estrutura é a mesma de um experimento com um fator aleatorizado em blocos. Porém,

temos objetivos e interpretações diferentes.

Efeitos:

Num experimento com dois fatores, podemos ter que cada um dos mesmos pode ser fixo

ou aleatório, podemos, portanto encontrar as seguintes situações:

Fator Efeito Efeito Efeito

A Fixo Aleatório Fixo Aleatório

B Fixo Aleatório Aleatório Fixo

Modelo Modelo I Modelo II Modelo III

Efeitos Fixos Efeitos Aleatórios Efeitos Mistos

No caso específico de efeitos fixos, o experimento tem por objetivo a análise especifica dos

níveis dos fatores utilizados no experimento, ou seja, identificar dentre os níveis (ou combinações

dos níveis dos fatores), aquele que apresenta a melhor resposta na característica de interesse.



Modelo:

yijk = + i + j + ( )ij + ijk

sendo:

yijk= variável resposta de comparação;

= efeito comum independente dos fatores;

i = efeito principal do i-ésimo nível de A: i = 1,..., a

j = efeito principal do j-ésimo nível de B: j = 1,..., b

()ij = efeito da ij-ésima interação: i = 1,..., a; j = 1,..., b

ijk = erro aleatório: i = 1,..., a; j = 1,..., b; k = 1, 2,..., n

Suposição:

ijk ~ N(0, 2

)

Modelo com blocos:

yijk = + i + j + ( )ij + K + ijk

sendo:

k = efeito do k-ésimo bloco. k: i = 1,..., k

Obs.: considerando-se uma observação por tratamento por bloco.

Hipóteses de Interesse:

Efeito de Interação:

j e i um menos pelop/ 0β :

j i, 0β : )

ij1

ij

H

HI

o

Efeitos Principais:

j um menos pelop/ 0β:

0β:

i um menos pelop/ 0:

0:

)

1

1

i

jo

i

io

H

H

H

H

II



Procedimento para Análise

Analisar inicialmente o efeito de interação do modelo:

Significante: verificar o efeito de um fator dentro dos diferentes níveis do outro

fator. Efeitos principais devem ser desconsiderados.

Não Significante: analisar os efeitos principais.

Análise da Variância: Considerando nij = n para todo i e j (experimentos balanceados).

Notação:

b

1j

n

1k

..i..iijk..i

bn

yyyy

a

1j

n

1k

.j..j.ijk..

an

yyyjy

n

1k

.ij.ijijk.ij

n

yyyy

a

1i

b

1j

n

1k

......ijk...

abn

yyyy

Partição Soma de Quadrados:

SQT = SQM + SQE = SQA + SQB + SQAB + SQE

Expressões:

a

1i

b

1j

n

1k

2...ijk yySQT

2

....j.i2

.....i yyanyybn

+

a

1i

b

1j

n

k.ijijk

a

1i

b

1j....j...iij yy yyyyn

1

22

Graus de Liberdade:



Componente GL

Total abn - 1

A a - 1

B b - 1

AB (a - 1)(b - 1)

Erro ab(n - 1)

Esperanças de Quadrados Médios:

a

ii

2

a

bnσQMAE

1

2

1

a

ji

2β

b

anσQMBE

1

2

1

a

i

b

iij

2β

ba

nσQMABE

1 1

2

11

2σQMEE

Portanto, considerando-se o conjunto de hipóteses fixadas anteriormente, temos que, em

todos os casos, sob Ho, o quadrado médio do efeito é um estimador não viciado de 2 tal como o

quadrado médio do erro. Logo, todas as estatísticas de teste terão conseqüentemente no

denominador o QME, dado ~ N (0, 2).

)n(ab),b)(a(AB F~QME

QMABF 111

)n(ab,a(A F~QME

QMAF 11

)n(ab,bA F~QME

QMBF 11

Observação:

Expressões Simplificadas:

a

1i

ni

1j

2

...2

ijkySQTabn

y

a

1i

2

...2

..

1SQA

abn

yy

bni

b

1j

2

...2

...

1SQB

abn

yy

anj

SQBSQAabn

yy

nij

b

j

a

1i

2

...2

.

1

1SQAB SQABSQBSQASQTSQE



Nota: n

y2

..

é usualmente chamado de fator de correção (FC).

Tabela ANOVA

Fonte de

Variação

Graus de

Liberdade

Soma de

Quadrados

Quadrados

Médios E(QM)* F

Modelo ab - 1 SQM SQM/ab - 1

A a - 1 SQA 1-a

SQA

a

ii

2

a

bnσ

1

2

1

QME

QMA

B b - 1 SQB 1-a

SQB

a

ji

2β

b

anσ

1

2

1

QME

QMB

AB (a - 1)(b - 1) SQAB 1b1-a

SQAB

a

i

b

iij

2β

ba

nσ

1 1

2

11

QME

QMAB

Erro N - a SQE 1-nab

SQE 2σ -

Total N - 1 SQT - - -

Estimação dos Parâmetros:

...yμ ; ...i.. yyˆ ; ....j.j yyβ

....j...i.ijij yyyyˆ

.ijijk yy (valor predito para ijk-ésima das observações é a média das n observações nas

combinações i e j).

.ij....j...i.ij...ij.....i...ijjiijk yyyyyyyyyyβˆβˆμy



Adequabilidade do Modelo:

Problema: 2ijk σ ,0N~ε

Procedimentos já vistos:

Gráfico Normal Probabilístico (aleatoriedade);

Gráfico de Resíduos x Predito (verificar a homocedasticidade);

Gráfico de Resíduos x Fatores.

Comparações múltiplas:

Problema:

Quando rejeitado Ho, como identificar diferenças?

Interação não significativa não se rejeita Ho ji 0 β ij

Analisar cada um dos efeitos principais, considerando os procedimentos de um

experimento de 1 fator.

Interação significativa rejeita-se Ho 0 β ij

alternativas:

comparar as médias de um fator dentro dos níveis do outro fator;

aplicar comparações múltiplas para as combinações dos tratamentos.

Retornando ao Exemplo:

Dependent Variable: Y Y

Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F

Model 3 61.10550000 20.36850000 37.98 < .0001

Error 16 8.58000000 0.53625000 - -

Corrected Total 19 69.68550000 - - -



R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean

0.876875 23.13715 0.732291 3.165000

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

Nitrogênio 1 0.84050000 0.84050000 1.57 0.2286

Fosfato 1 60.20450000 60.20450000 112.27 < .0001

Nitro*Fosfato 1 0.06050000 0.06050000 0.11 0.7413

Level of Nitrogênio N

Y

Mean Std Dev

1 10 2.96000000 1.89220624

2 10 3.37000000 2.01717624

Level of Fosfato N

Y

Mean Std Dev

1 10 1.43000000 0.36530049

2 10 4.90000000 0.95916630

Level of Nitrogênio Level of Fosfato N

Y

Mean Std Dev

1 1 5 1.28000000 0.21679483

1 2 5 4.64000000 0.97621719



Level of Nitrogênio Level of Fosfato N

Y

Mean Std Dev

2 1 5 1.58000000 0.44384682

2 2 5 5.16000000 0.97365292

66 .. 22 .. 22 .. EE XX PP EE RR II MM EE NN TT OO SS FF AA TT OO RR II AA II SS :: CC AA SS OO GG EE RR AA LL ::

Situação:

O número de fatores a serem investigados no experimento é maior que 2. Todos estes

fatores são cruzados, isto é, os níveis de um fator “combinam” com os níveis de todos os demais

fatores. As diferentes combinações obtidas definem os “tratamentos” a serem aleatorizados às

unidades experimentais. O número de tratamentos é dado pelo produto do número de níveis de

cada fator.

No caso de experimentos completamente aleatorizados, cada unidade experimental

receberá aleatoriamente um dos “tratamentos” acima, enquanto que nos casos de experimentos

aleatorizados em blocos, a distribuição aleatória ocorre dentro de cada bloco.

Consideremos uma situação onde três fatores (A, B e C) estão presentes, com:

A : 2 níveis = a1, a2;

B : 3 níveis = b1, b2, b3; Fatorial 2 x 3 x 2

C : 2 níveis = c1, c2.

Fatores Cruzados Tratamentos = 2 x 3 x 2 = 12

a1b1c1, a1b1c2, a1b2c1, a1b2c2, a1b3c1, a1b3c2, a2b1c1, a2,b1c2, a2b2c1, a2b2c2,

a2b3c1 e a2b3c2.

Neste caso, os efeitos a serem estudados são:

Efeitos Principais A, B, C;

Efeitos de interação de 2 fatores AB, AC, BC;

Efeito de interação de 3 fatores ABC.



Numa situação geral, onde k fatores são investigados, teremos que:

j

k efeitos com a presença de j fatores.

No caso acima:

1

3 três efeitos principais (somente j=1 fator presente) A, B, C;

2

3 três efeitos com iteração de dois fatores (j=2) AB, AC, BC;

3

3 um efeito com interação de todos fatores (j=k=3) ABC.

Problema:

À medida que cresce o número de fatores e o número de níveis por fator, podemos ter

dificuldade com relação ao número de unidades experimentais para se realizar o experimento.

O número de fatores estudados em um único experimento deve ser o menor possível. É

desaconselhável, por exemplo, estudar cinco fatores ao mesmo tempo. Torna-se difícil

interpretar uma interação quíntupla (ABCDE) significante. Usualmente, como será visto mais à

frente, quando é necessária a utilização de experimentos com muitos fatores, as interações de

maior ordem são desconsideradas.

Alternativas:

Fatoriais 2k e 3k;

Fatoriais Fracionários;

EVOP;

Superfície de Resposta (Fatores Quantitativos).

Procedimento para análise

Iniciar o teste dos efeitos sempre por eles, com a presença de um maior número de fatores

(interação de maior ordem):



rejeição de Ho: não devem ser observados os efeitos com menor número de fatores;

não-rejeição de Ho: testar efeitos com menor número de fatores.

ANOVA:

A análise de variância é feita de forma usual, com a devida partição da variabilidade total e

com as estatísticas F, tendo como denominador o QME.

Adequabilidade do Modelo, Comparações Múltiplas e Estimação dos Parâmetros:

Também seguem os procedimentos vistos para o caso de dois fatores (twoway).

Caso de Três Fatores: A, B e C

A = i i = 1,..., a (a níveis)

B = j j = 1,…, b (b níveis)

C = k k = 1,…, c (c níveis)

Modelo:

yijkl = + i + j + ()ij + k + ()ik + ()jk + ()ijk + ijkl

onde:

yijk= variável resposta de comparação

= efeito comum independente dos fatores

i = efeito principal do i-ésimo nível de A: i = 1,..., a

j = efeito principal do j-ésimo nível de B: j = 1,..., b

()ij = efeito da ij-ésima interação de AB: i = 1,..., a; j = 1,..., b

k = efeito principal do k-ésimo nível de C: k= 1,..., c

()ik = efeito da ik-ésima interação de AC: i = 1,...,a; k = 1,...,c

()jk = efeito da jk-ésima interação de BC: j = 1,...,b; k = 1,...,c

()ijk = efeito da ijk-ésima interação de ABC: i = 1,...,a; j = 1,...,b; k= 1,...,c

ijk = erro aleatório: i = 1,..., a; j = 1,..., b; k = 1,...,c; l = 1,...,n

Suposição:

ijk ~ N(0, 2

)



Modelo com blocos:

yijkl = + l + i + j + ( )ij + k + ()ik + ()jk + ()ijk + ijkl

onde:

l = efeito do l-ésimo bloco k: i = 1,..., l

Obs: Considerando uma observação por tratamento por bloco.

Partição da Soma de Quadrados e Respectivas Expressões: Ver Montgomery (Cap. 13,

página 300-302).

Hipóteses de Interesse:

Efeito de Interação de Três Fatores:

k e j i, um menos pelop/ 0β :

k j, i, 0β : )

ijk1

ijk

H

HI

o

Efeito de Interação de Dois Fatores:

j i, um menos pelop/ 0β :

j i, 0β : )1.

ij1

ij

H

HII

o

k e j um menos pelop/ 0β:

k j, 0β: )3.

jk1

jk

H

HII

o

Efeitos Principais:

k um menos pelop/ 0:

0:

j um menos pelop/ 0β:

0β:

i um menos pelop/ 0:

0:

)1

1

ko

ko

i

jo

i

io

H

H

H

H

H

H

III

k i, um menos pelop/ 0 :

k i, 0 : )2.

ik1

ik

H

HII

o



Tabela ANOVA

Fonte de Variação

Graus de Liberdade

Soma de Quadrados

Quadrados Médios

E(QM)* F

Modelo abc - 1 SQM SQM/ab - 1

A a - 1 SQA 1-a

SQA

a

ii

2

a

bcnσ

1

2

1

QME

QMA

B b - 1 SQB 1-a

SQB

a

ji

2β

b

acnσ

1

2

1

QME

QMB

AB (a-1)(b-1) SQAB 1b1-a

SQAB

a

i

b

iij

2β

ba

cnσ

1 1

2

11

QME

QMAB

C c - 1 SQC 1-a

SQC

c

kk

2

c

abnσ

1

2

1

QME

QMC

AC (a-1)(c-1) SQAC 1c1-a

SQAC

a

i

c

kik

2

ca

bnσ

1 1

2

11

QME

QMAC

BC (b-1)(c-1) SQBC 1c1-b

SQBC

b

j

c

kjk

2

cb

anσ

1 1

2

11

QME

QMBC

ABC (a-1)(b-1)(c-1)

SQABC )c(b1-a

SQABC

11

a

i

b

j

c

kijk

2

cba

nσ

1 1 1

2

111

QME

QMABC

Erro abc(n-1) SQE 1-nabc

SQE 2σ -

Total abcn - 1 SQT abcn - 1 - -

Exemplo:

Certa indústria química está estudando uma dada reação. Três fatores são considerados

importantes na composição desta reação: Temperatura, Concentração e Catalisador. Um

experimento fatorial, completamente aleatorizado com fatores cruzados, foi realizado para se

verificar o efeito destes fatores na qualidade final da reação. Em função de estudos anteriores, os

seguintes níveis dos fatores foram fixados: Temperatura 160ºC e 180ºC; Concentração 20% e

40%; Catalisador C1 e C2. O tempo de reação para duas reações de cada uma das combinações

dos níveis dos fatores foi observado e os resultados, obtidos. São apresentados na tabela abaixo.

Quanto menor o tempo de reação, melhor é a qualidade da reação.

Temperatura (ºC) Concentração (%) Catalisador Y

160 20

C1 59 61

C2 50 64

40 C1 50 58



C2 46 44

180

20 C1 74 70

C2 81 85

40 C1 69 67

C2 79 81

Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F

Model 7 2635.000000 376.428571 47.05 <.0001

Error 8 64.000000 8.000000 - -

Corrected Total 15 2699.000000 - - -

R-Square Coeff Var Root MSE y Mean

0.976288 4.402221 2.828427 64.25000

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

temp 1 2116.000000 2116.000000 264.50 <.0001

conc 1 100.000000 100.000000 12.50 0.0077

temp*conc 1 9.000000 9.000000 1.13 0.3198

cata 1 9.000000 9.000000 1.13 0.3198

temp*cata 1 400.000000 400.000000 50.00 0.0001

conc*cata 1 0.000000 0.000000 0.00 1.0000

temp*conc*cata 1 1.000000 1.000000 0.13 0.7328



INTERAÇÃO TEMP*CONC*CATA



temp Cata y LSMEAN LSMEAN Number

160 C1 57.0000000 1

160 C2 48.5000000 2

180 C1 70.0000000 3

180 C2 81.5000000 4

Level of conc N

y

Mean Std Dev

20 8 66.7500000 12.7363372

40 8 61.7500000 14.4593025

Ipaee capitulo6

Education

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