UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

VICERECTORADO ACADÉMICO

SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVO A DISTANCIA

CABUDARE

INVESTIGACIÓN

Alumno: Angel D. García P.

CI: 20.501.660

Sección: SAIA-B

Profesor: Domingo Méndez

Calculo numéricos es suma importancia usar un análisis con la llegada de los

numéricos ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos. Es la

disciplina ocupada extremadamente complejos, pero de describir, analizar y en última

instancia operan con crear algoritmos números binarios y operaciones numéricos que nos

matemáticas simples. Desde esta permitan resolver perspectiva, el análisis numérico

problemas proporcionará todo el andamiaje matemático, en los que necesario para llevar a

cabo todos estén involucradas los procedimientos matemáticos cantidades existentes en base

a algoritmos numéricas, con una que permitan su simulación o precisión determinada. cálculo

en procesos más sencillos empleando números.

Tipos de Errores

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las

operaciones y cantidades matemáticas. Esto sucede un procedimiento matemático exacto, y

los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para

los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está

dado por:

E = P* - P

Ya mediante una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una

fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de

errores que se utilizan en los cálculos:

- Error absoluto:

Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser

positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva

o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

De toda manera, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto

definido como:

EA = | P* - P |

- Error relativo:

Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por

100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser

positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto.

no tiene unidades.

Y el error relativo como:

ER = | P* - P| / P, si P =/ 0

El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:

ERP = ER x 100

Ejemplo:

Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache,

obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y 10 cm, calcúlese a)

el error y b) el error relativo porcentual de cada caso.

Solución:

a) El error de medición del puente es:

EA = 10 000 - 9 999 = 1cm

y para el remache es de

EA = 10 - 9 = 1cm

b) El error relativo porcentual para el puente es de:

ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01%

y para el remache es de

ERP = 1/10 x 100% = 10%

Por lo tanto, ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo porcentual del

remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la

medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

Error de redondeo:

La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de

una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número

finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un

adecuado redondeo.

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número

finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de

maneras diferentes. Por ejemplo, si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora

puede almacenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes y

generando un error de redondeo.

Ya que la mayor parte de las computadoras tiene entre 7 y 14 cifras significativas, los

errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del

porqué pueden resultar crítico en algunos métodos numéricos:

1. Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una

respuesta. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser

pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos

puede ser significativo.

1. El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones

algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya

que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede

resultar de mucha importancia.

Reglas de Redondeo

Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en el redondeo de números cuando se

realizan cálculos a mano.

1. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El

último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado

es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer digito descartado es

5 o es 5 segundo de ceros. entonces el último dígito retenido se incrementa en

1, sólo si es impar.

2. En la suma y en la resta, el redondeo se lleva acabo de forma tal que el último

dígito en la columna de las milésimas.

3. Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la cantidad de

cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras

significativas que contiene la cantidad en la operación.

4. Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos

generales. Se puede sumar o restar el resultado o de las divisiones.

(Multiplicación o División) +/- (multiplicación o división)

O también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas.

Ejemplos:

Los siguientes ejemplos tiene por objeto ilustrar las reglas de redondeo.

5.6723 -------------------------- 5.67´ 3 Cifras Significativas

10.406 ---------------------------- 7.4 4 Cifras Significativas

10.406 ---------------------------- 7.4 2 Cifras Significativas

88.21650 ------------------- 88.216 5 Cifras Significativas

1.25001 -------------------------- 1.3 2 Cifras Significativas

Errores de truncamientos:

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en

lugar de un procedimiento matemático exacto. Además, para obtener conocimiento de las

características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en

los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial: Serie de Taylor

Por ejemplo:

La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto

en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un

intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:

La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio

de n-ésimoorden.

Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales,

no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de

términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para

propósitos prácticos.

¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?

La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al

tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

Otros Tipos de Errores

Otros tipos de errores son el error humano que pueden ocurrir cuando se toman datos

estadísticos o muestras, si estos datos son mal recopilados los errores al utilizarlos serán

obvios. Cuando se calibran mal los equipos donde de harán lecturas de algunas propiedades

de los compuestos o resultados de un experimento. Cuando se desarrollan modelos

matemáticos y estos son mal formulados y no describen correctamente el fenómeno o equipo

en estudio. Todos los tipos de errores pueden contribuir a un error mayor, sin embargo, el

error numérico total, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo.