Investigação Experimental de Estruturas

8/18/2019 Investigação Experimental de Estruturas

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2. A INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL DE ESTRUTURAS

2.1 Aplicação da Análise Experimental de Estruturas

A qualidade de um sistema estrutural é caracterizada por um determinado

conjunto de seus atributos chamados de variáveis de estado do sistema. A

fixação de quais variáveis são de interesse na caracterização do estado do

sistema depende dos requisitos necessários a uma operação satisfatória desse

mesmo sistema. De maneira geral, pode-se dizer que toda investigação

experimental tem como objetivo obter ou uma variável de estado do sistema

estrutural ou a ratificação de uma hipótese formulada a respeito desse mesmo

sistema. FUSCO (1996).

Na Engenharia, a análise experimental de estruturas pode ser utilizada como

ferramenta no estudo da qualidade dos sistemas estruturais ao longo das

quatro fases em que se desdobram todas as atividades de engenharia:

planejamento, projeto, construção e operação, figura 2.1.

No planejamento da obra, as maquetes, construídas como modelos de

visualização do produto, contribuem para a concepção estrutural, podendo

inclusive esperar-se a realização de ensaios físicos utilizando estes modelos.

Na fase de projeto, a análise pode ser realizada por meios numéricos ou

físicos, dependendo das necessidades apontadas pelo projetista. Durante a

construção, é feito o controle do sistema material pelas amostras coletadas ao

longo de cada fase do processo. Após o término da construção, em alguns

casos, são executadas provas de carga de aceitação do produto, ou melhor,da estrutura como um todo, procedimento este comum em alguns países

europeus. Na fase de operação, ou seja, durante a utilização normal da

estrutura, podem ser realizados ensaios de monitoração para avaliar o

comportamento da estrutura quando submetida às cargas de utilização ou,

ainda, podem ser realizadas provas de carga para determinar parâmetros

estruturais. Desta forma, a análise experimental de estruturas, tanto numérica


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quanto física, gera informações necessárias ao processo de tomada de

decisões em relação ao produto “estrutura”.

Figura 2.1 Aplicação da análise experimental de estruturas, ALMEIDA (1996)


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2.2 Conceitos Básicos

Pela natureza dos fenômenos abordados neste trabalho, torna-se necessário o

entendimento dos conceitos da Dinâmica das Estruturas.

Para tal, deve-se apresentar a classificação de ações que podem atuar nesses

sistemas estruturais:

Ações determinísticas são aquelas em que os valores da ação podem ser

determinados a cada instante. Em ações aleatórias, os valores da ação em

cada instante não podem ser previstos exatamente, mas somente utilizando

funções estatísticas.

Os tipos de ações determinísticas estão mostrados na figura 2.2.

Figura 2.2 Ações determinísticas, BACHMANN; AMMANN (1987)


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Uma ação que representa um processo aleatório estacionário possui mesma

distribuição de probabilidades independente da escala de tempo adotada. Caso

contrário, esta será chamada de não estacionária.

As equações de movimento de qualquer sistema dinâmico representam

expressões da 2a lei de Newton para pontos materiais. CLOUGH; PENZIEN

(1993). Considerando que na maioria dos problemas da dinâmica das

estruturas pode-se assumir que a massa não varia, então matematicamente

tem-se:

( ) ( )tvmtf &&r

r

= (2.1)

onde ( )tf r

é o vetor resultante das forças aplicadas na partícula;

( )tvr

é o vetor de posição da partícula de massa m .

O segundo termo da equação, ( )tvm &&r

, é definido como força de inércia.

Aplicando o conceito que uma massa desenvolve uma força inercial

proporcional a sua aceleração, de sentido contrário, conhecido como Princípiode D’Alembert, permite que a equação de movimento seja expressada como

uma equação de equilíbrio dinâmico:

( ) ( ) ( ) ( )tf tf tf t p SDIrrrr

++= (2.2)

Logo, para o sistema dinâmico mostrado na figura 2.3, tem-se:

Figura 2.3 Sistema dinâmico com um grau de liberdade, CLOUGH; PENZIEN

(1993)


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• ( )t pr

é o carregamento atuante;

• ( ) ( )tvmtf I &&rr

= é a força inercial;

• ( ) ( )tvctf D &rr

= é a força de amortecimento, considerando um amortecimentoviscoso;

• ( ) ( )tvk tf Srr

= é a força elástica.

Desta forma, determinar a resposta dinâmica de um sistema com um grau de

liberdade consiste, em última análise, em integrar uma equação diferencial do

tipo:

( ) ( ) ( ) ( )t ptkvtvctvm =++ &&& (2.3)

Analogamente, determinar a resposta dinâmica de um sistema com n graus de

liberdade consiste, em última análise, em integrar n equações diferenciais do

tipo da equação 2.3. Desta forma, pode-se representar as forças

matricialmente:

( ) ( ) ( ) ( )tttt PKvvCvM =++ &&& (2.4)

A desconsideração do caráter vetorial nas equações 2.3 e 2.4 pode ser feita

dentro da formulação da Mecânica Analítica, baseada em conceitos de energia,

ou seja, grandezas escalares. LANCZOS (1966) apud MAZZILLI (1996).

• Vibrações Livres

Neste caso, ( ) 0t p = . A solução é obtida integrando-se a seguinte equação:

( ) ( ) ( ) 0tkvtvctvm =++ &&& (2.5)

CLOUGH; PENZIEN (1993) mostram que a solução é:


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a) para sistemas não amortecidos ( )0c = :

( ) ( )

( )tsenωω

0v

tcosω0vtv nn

n

&

+= (2.6)

onde ( )0v e ( )0v& são condições de contorno do problema;

nω é a freqüência natural do sistema.

b) para sistemas amortecidos, considerando amortecimento sub-crítico, usual

em estruturas civis ( 0020ξ〈 ):

( ) ( ) ( ) ( ) tξω

d

d

n

dn

etsenωω

ξω0v0v

tcosω0vtv −

+

+=

&

(2.7)

onde ( )0v e ( )0v& são condições de contorno do problema;

2

nd ξ1ωω −= é a freqüência de vibrações livres do sistema amortecido;

cc

cξ = é a taxa de amortecimento;

nc 2mωc = é o amortecimento crítico.

Da equação 2.7, percebe-se que a curva formada pelos picos da resposta é

exponencial. Desta forma, obtem-se:

δξ1

2ππ

v

vln

21n

n =−

=+

(2.8)

onde δ é o decremento logarítmico de amortecimento

Figura 2.4 Vibrações livres em um sistema com amortecimento sub-crítico, CLOUGH;

PENZIEN (1993)


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• Vibrações Forçadas

Neste caso podem ser utilizadas as notações de Euler:

isenθcosθe

isenθcosθe

iθ

iθ

+=

−=− (2.9)

Quando a excitação é harmônica, ou seja ( ) tωioe pt p = , tem-se:

( ) ( ) ( ) tωi0e ptkvtvctvm =++ &&& (2.10)

Neste caso, é natural esperar que uma solução particular da equação seja a

harmônica com a mesma freqüência do carregamento:

( ) tωi0evtv = (2.11)

onde ( ) 0n

2

00 pωH

icωωmk

pv =

+−= (2.12)

A defasagem entre o carregamento e a resposta é dada por:

22 β1

β2

ωmk

ωcarctanφ

−=

−

= ξ

(2.13)

ondenω

ωβ =

Segundo CLOUGH; PENZIEN (1993), o fator de amplificação dinâmica D é

dado por:

( ) ( )[ ] 21

222

0

0 β2β1/k p

vD

−

+−== ξ (2.14)

Utilizando-se a equação 2.14, pode-se obter o gráfico da figura 2.5.

A função ( )ωH é chamada função resposta em freqüências e representa a

relação entre a amplitude da resposta dinâmica e a amplitude da excitação.


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Desta forma, as respostas de um sistema dinâmico elástico linear podem ser

determinadas tanto no domínio do tempo como no domínio da freqüência. A

figura 2.6 mostra as relações entre esses dois domínios e as ligações por meiode transformadas de Fourier. As transformadas de Fourier são processos

matemáticos utilizados para transformar uma função no domínio do tempo para

o domínio da freqüência e vice-versa.

Figura 2.5 Fator de amplificação dinâmica em função do amortecimento e da freqüência,

CLOUGH; PENZIEN (1993).

PFT: transformada de Fourier de função periódicaTFT: transformada de Fourier de função transientePIFT: transformada inversa de Fourier de função periódicaTIFT: transformada inversa de Fourier de função transiente

Figura 2.6 Relações entrada-saída dos sistemas dinâmicos elásticos lineares mostrando as

transformadas de Fourier como ponte entre processos de convolução e função

resposta em freqüências, McCONNELL (1995).


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A função ( )τth − é chamada função resposta ao impulso ( )dττ p aplicado no

instante τ . Este impulso matematicamente corresponde a uma função delta de

Dirac. A função delta de Dirac tem valor zero para todos os valores de t, exceto

em τt = . É, portanto, o limite conforme ∆t tende a zero de uma área retangular

unitária como mostrado na figura 2.7.

Figura 2.7 Conceitos de convolução. (a) função delta de Dirac. (b) função resposta ao impulso,

McCONNELL (1995)

A resposta no domínio do tempo é:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−−= dττthτ ptv (2.15)

A equação 2.15 é chamada de integral de convolução ou de Duhamel.

Conforme mostra a figura 2.6, as funções ( )τth − e ( )ωH formam um par de

transformadas de Fourier:

( ) ( )

( ) ( )∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

=

=

dtethωH

dωeωH2π

1th

i

ti

t ω

ω

(2.16)

Quando a excitação é periódica, tanto a resposta como a excitação podem ser

representadas como uma soma de harmônicos, ou seja, em séries de Fourier:

( ) ∑

∞

=

++= 1k

k k 0T

kt2

sen bT

kt2

cosaatx

π π

(2.17)


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onde 0a , k a e k b são chamados coeficientes de Fourier:

( )∫−

=T/2

T/2

0 dttxT1a

( )∫−≥

=T/2

T/21k k dt

T

kt2costx

T

2a

π (2.18)

( )∫−≥

=T/2

T/21k k dt

T

kt2sentx

T

2 b

π

Supondo que o valor médio de ( )tx seja igual a zero e, portanto, 0a também

nulo, os valores dos coeficientes k a e k b podem ser mostrados graficamente

de forma que a freqüênciaT

k 2ωk

π = corresponda ao eixo horizontal e seus

respectivos coeficientes k a e k b ao eixo vertical, figura 2.8. A distância entre

harmônicos adjacentes é

T

2π∆ω = . O gráfico mostrado na figura 2.8, onde são

apresentados os valores discretos dos coeficientes em cada harmônico, é

chamado de espectro discreto de freqüências. Ações periódicas podem ser

representadas por este tipo de espectro.

Figura 2.8 Representação gráfica dos coeficientes de Fourier, NEWLAND (1989)


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Percebendo-se que conforme ∞→T , 0∆ω → (os valores discretos do gráfico

da figura 2.8 aproximem-se muito), no limite, sob certas condições, as séries de

Fourier tornam-se integrais de Fourier e os coeficientes de Fourier tornam-sefunções contínuas da freqüência.

Substituindo as equações 2.18 na equação 2.17, e considerando 0a0 = , no

limite ∞→T , quando dω∆ω → , FOURIER (1822) apud NEWLAND (1989)

prova que:

( ) ( ) ( )∫ ∫∞ ∞

+=0 0

tdωsenωωB2tdωcosωA2tx ω (2.19)

onde os termos ( )ωA e ( )ωB são chamados de componentes da Transformada

de Fourier de ( )tx :

( ) ( )

( ) ( )∫

∫∞

∞−

∞

∞−

=

=

tdtsentx2π

1ωB

tdtcostx2π

1ωA

ω

ω

(2.20)

A equação 2.19 é a representação de ( )tx por uma integral de Fourier ou

transformada inversa de Fourier. A equação só é válida na seguinte condição:

( )∫∞

∞−

〈∞dttx

Ações transientes podem ser descritas por integrais de Fourier chamadas de

densidade espectral contínua.

Definindo ( )ωX como: ( ) ( ) ( )ωiBωAωX −= (2.21)

FOURIER (1822) apud NEWLAND (1989) mostra que:

( ) ( )

( ) ( )∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

=

=

ti

ti

etx2π

1

ωX

dωeωXtx

ω

ω

(2.22)


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onde ( )ωX é a transformada complexa de Fourier de ( )tx ;

( )tx é a transformada complexa inversa de Fourier de ( )ωX .

Conforme foi visto, as transformadas de Fourier são fundamentais no estudo de

sistemas dinâmicos. Percebe-se entretanto que as integrais são difíceis de

serem calculadas analiticamente. Existem processos numéricos para

determinação dos espectros de freqüências que são chamados de

transformadas discretas de Fourier e serão abordados no item 2.3.2.

2.3 Experimentação Física

2.3.1 Investigações de Campo

A investigação de campo geralmente pode ser caracterizada por 2 tipos de

ensaios: ensaios de monitoração e provas de carga.

Os ensaios de monitoração são caracterizados pela medida da resposta da

estrutura quando submetida a carregamentos onde não se tem controle de suanatureza no espaço e no tempo.

As provas de carga são caracterizadas pela medida da resposta da estrutura

submetida a carregamentos onde são conhecidos tanto sua natureza quanto a

sua ocorrência no espaço e no tempo.

As provas de cargas podem ser divididas em estáticas ou dinâmicas. Em

provas de carga estáticas, a estrutura é submetida a carregamentosconsiderados estáticos ou quase-estáticos, desprezando-se então os efeitos

dinâmicos na estrutura. Quando, no entanto, um carregamento tiver

intensidade variável no tempo, de forma que transfira para a estrutura, além de

energia de deformação, energia cinética, este carregamento é considerado

dinâmico e tem-se portanto uma prova de carga dinâmica.

As principais provas de carga dinâmicas são os ensaios de vibrações livres e

os ensaios de vibrações forçadas.


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Em ensaios de vibrações livres, a estrutura deve ser deslocada de sua

configuração estática de equilíbrio e liberada de forma que possa vibrar

livremente, ou seja, sem ação de nenhuma força externa (Equação 2.5).

Em ensaios de vibrações forçadas, a estrutura é excitada por carregamentos

dinâmicos controlados, geralmente senoidais (Equação 2.10). Os excitadores

das estruturas podem ser de translação ou de rotação.

O excitador de translação normalmente tem seu mecanismo baseado em

atuadores hidráulicos controlados por servosistemas. Os servosistemas

possuem mecanismos de controle para compensação entre a carga aplicada ea carga desejada, figura 2.9.

Figura 2.9 Esquema do servosistema, REESE; KAWAHARA (1993)

O excitador de rotação consiste em dois discos girando em um mesmo plano

com a mesma velocidade angular e em sentidos opostos, onde são fixadas

duas massas excêntricas, as quais podem ter suas posições ajustadas, figura

2.10

Da decomposição vetorial das forças centrífugas, obtém-se a intensidade da

força produzida pelo excitador de rotação:

( ) ( )2

k 2cosR F ω

α=ω (2.23)


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Figura 2.10 Excitador de rotação de massa excêntrica, McCONNELL (1995)

onde R : constante característica do excitador utilizado;

α : angulo relativo entre as duas massas excêntricas;

ω : velocidade angular.

2.3.2 Aquisição de Dados

Os métodos de investigação experimental de estruturas podem ser divididos

nas seguintes fases:

Fenômeno ⇒ transdutores ⇒ condicionadores ⇒ cabos ⇒ conversores ⇒ gravadoresde sinais analógico-

digitais

Figura 2.11 Configuração básica de um sistema de aquisição de dados

Fenômeno

É o processo que se deseja estudar. A análise do fenômeno é baseada no

estudo de grandezas físicas que são medidas por meio de transdutores.


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Figura 2.12 Utilização de transdutores de referência fixa ou variável

Como exemplo, pode-se apresentar a medição das grandezas que descrevem

movimentos na extremidade de uma arquibancada de estádio de futebol (ponto

A), figura 2.12. Na direção vertical Z, pode-se utilizar transdutores fixados

diretamente ao solo ou transdutores sísmicos. Na direção horizontal Y, só

podem ser utilizados transdutores sísmicos devido a inexistência de

referenciais fixos nesta direção.

A configuração básica de um transdutor sísmico é mostrada na figura 2.13.

Figura 2.13 Transdutor sísmico, HARRIS (1996)


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Aplicando-se o equilíbrio de forças dinâmicas (equação 2.3) na massa m

localizada no interior do transdutor, tem-se:

( )0k δ

dt

dδc

dt

vδdm

2

2

=−−+

− (2.24)

Admitindo-se tanto δ quanto v funções senoidais defasadas entre si:

( )θωtcosδδ

tcosvv

0

0

−=

= ω (2.25)

Mostra-se que:

−=

+

−

=

2

22

2

2

0

0

ωm

k m

cω

arctanθ

m

cωω

m

k

ω

v

δ

(2.26)

+

−

−=

k

mω4ξ

k

mω1

1

k

m

v

δ

22

20

0 (2.27)

Dessa forma, conhecendo-se as características dinâmicas do transdutor, pode-

se determinar deslocamentos v e acelerações v&& no ponto onde o mesmo está

fixado.

O desempenho de um transdutor sísmico pode ser avaliado com o auxílio do

gráfico da figura 2.5. Verifica-se neste que, considerando um transdutor com

0,7ξ = , a indesejável amplificação dinâmica só acontece para valores de

0,6β ≥ . Neste caso, para avaliar comportamentos de estruturas submetidas a

carregamentos, cuja faixa de interesse dos harmônicos é 21 ωω − , deve-se ter

um acelerômetro com freqüência natural superior a pelo menos 22 ω1,7ω0,6

1

= .


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Os principais tipos de transdutores sísmicos são: a) acelerômetros

piezoresistivos, b) acelerômetros piezoelétricos e os c) servo-acelerômetros.

a) acelerômetros piezoresistivos

Acelerômetros piezoresistivos utilizam extensômetros elétricos nas duas

superfícies opostas, no plano de maior flexão de barras em balanço, figuras

2.14 e 2.15. A deformação específica da seção está relacionada com o

deslocamento da massa sísmica pela expressão da curvatura, dada por:

EIρ

1

M = (2.28)

onde M é o momento fletor atuante na seção transversal onde estão coladosos extensômetros elétricos;

21 εε

hρ

+= é o raio de curvatura da seção com altura h; (2.29)

1ε , 2ε são as deformações específicas medidas nos extensômetros

elétricos.

Figura 2.14 Princípio de funcionamento dos acelerômetros piezoresistivos.

Mostra-se que:

3EIb

Mlδ

3

= (2.30)


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A relação anterior só é válida dentro do regime elástico do material. Logo, a

capacidade de medição dos acelerômetros piezoresistivos é estabelecida de

forma que as tensões atuantes não ultrapassem o limite elástico do material

Figura 2.15 Acelerômetros piezoresistivos, HARRIS (1996)

b) acelerômetros piezoelétricos

Acelerômetros piezoelétricos utilizam materiais piezoelétricos, ou seja, aqueles

que produzem cargas elétricas proporcionais a tensões aplicadas. São

constituídos também de massas e molas. A mola é utilizada para comprimir a

massa contra o cristal piezoelétrico. As tensões aplicadas no material

piezoelétrico são proporcionais aos deslocamentos da massa δ. Os

acelerômetros piezoelétricos têm como principais características alta

sensibilidade e abrangem extensa banda de freqüências. Figuras 2.16 e 2.17

Figura 2.16 Princípio de funcionamento dos acelerômetros piezoelétricos


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MA: massa MO: mola P: elemento piezoelétrico B: base C: cabo

Figura 2.17 Acelerômetros piezoelétricos, DOEBELIN (1990)

c) servo-acelerômetros

O servo-acelerômetro consiste basicamente em uma massa com um sensor de

deslocamento de um lado e um sistema servo compensador do outro. Quando

o acelerômetro é movimentado, a massa é deslocada e gera um sinal de erro

devido ao desequilíbrio elétrico. Este erro é restabelecido por uma força

restauradora aplicada na massa de forma que esta retorne a sua configuraçãoinicial. A aceleração é proporcional a força restauradora. Um tipo de servo-

acelerômetro é mostrado na figura 2.18. Neste caso, o sensor de deslocamento

é capacitivo e a posição da massa é restabelecida por meio de um torque

mecânico proveniente da força magnética gerada pela passagem de corrente

elétrica na bobina.


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Figura 2.18 Servo-acelerômetros, DOEBELIN (1990)

Condicionamento de Sinais

Os condicionadores de sinais são equipamentos eletrônicos que modificam o

sinal de entrada de alguma forma. Alguns exemplos de condicionamento de

sinais são:

• Transformação Impedância-Tensão Elétrica

As variações de impedâncias (resistências, capacitâncias e indutâncias) nos

transdutores precisam ser convertidas em tensões elétricas. Nesse sentido,

são utilizados basicamente os circuitos da ponte de Wheatstone e os circuitos

potenciométricos, figura 2.19.

Figura 2.19 Circuitos básicos usados para condicionamento de sinais, DALLY; RILEY (1991)


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• Amplificação ou Atenuação

Como os sinais elétricos enviados pelos transdutores podem ser de baixa ou

alta tensão, faz-se necessário o uso respectivo de amplificadores ou

atenuadores.

• Filtros

Os filtros analógicos são utilizados basicamente com um dos seguintes

propósitos: eliminação de ruídos causados por campos magnéticos vizinhos ou

seleção da banda das freqüências de interesse.

• Isolação Galvânica

Servem para eliminar ruídos por meio da linha de aterramento do sistema de

aquisição de dados.

Cabos

Os cabos interligam os transdutores, condicionadores, conversores e

gravadores. Desta forma, o número de fios presentes num cabo de ligação

transdutor-condicionador depende do tipo de transdutor utilizado. Os servo-

acelerômetros empregados nos ensaios de monitoração do estádio do

Morumbi, por exemplo, utilizam cabos de 4 fios e uma malha externa.

A utilização de cabos compridos pode acarretar erros devido a queda detensão que ocorre nos fios do cabo. Neste caso, estes erros devem ser

corrigidos.

Conversão de Sinais Analógicos em Digitais

O conversor A/D converte um sinal analógico em digital. O sinal digitalizado é

desejável porque pode ser manipulado pelo computador. O conversor constitui-


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se em uma placa de circuito impresso que pode ser colocada na unidade de

computação. A principal característica de um conversor é o número de bits

para os quais o mesmo é projetado, que define a sua resolução básica. Ofuncionamento de um conversor A/D de aproximações sucessivas é ilustrado

na figura 2.20.

Figura 2.20 Conversor A/D de aproximações sucessivas, DOEBELIN (1990)

Registro de Sinais Analógicos

Algumas maneiras de registrar dados analógicos são as seguintes: gravadores

XT e XY eletromecânicos do tipo servo, gravadores matriciais térmicos e

eletrostáticos, gravadores de fitas magnéticas, etc.

Gravação de Sinais Digitais

Para a gravação de sinais digitalizados, utiliza-se principalmente

microcomputadores. Nesse caso os dados são armazenados normalmente no

disco rígido do micro. Outras formas de registrar esses sinais são por meio de

osciloscópios ou impressoras.


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Frequências de Amostragem

A discretização de um sinal é feita por meio da sua amostragem em intervalos

regulares. A freqüência de amostragem é o inverso deste intervalo. Esta

freqüência não pode ser muito baixa (comparada com a freqüência de variação

do sinal) devido ao efeito de sub-amostragem, fenômeno referido na literatura

como “aliasing”.

Figura 2.21 Representação gráfica da sub-amostragem, ROMBERG (1996)

O teorema de Nyquist mostra que o efeito de sub-amostragem ocorre sempre

que a freqüência de amostragem é menor que duas vezes a maior freqüência

que se deseja considerar no sinal. Portanto, deve-se sempre ter:

Ba

2f f ≥ (2.31)

onde af : frequência de amostragem

Bf : frequência mais alta do sinal (banda de interesse do sinal)

A equação 2.31 decorre do fato que os valores de transformadas de Fourier

calculados (equação 2.22) fora da faixa de frequências rad/s∆

πωrad/s

∆

π≤≤−


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Nos ensaios de monitoração de estádios de futebol, onde foram medidas as

respostas estruturais às cargas induzidas por pessoas, verificou-se que as

freqüências importantes estavam no intervalo entre 0 e 80 Hz.

Tabela 2.1 Características de alguns sinais, LYNX (1993)

2.3.3 Análise de Sinais

Análise no Domínio do Tempo

A análise de séries temporais leva a valores imediatos tais como amplitudes

máximas e, além disso, a conclusões qualitativas em relação ao tipo de sinal

de acordo com a classificação apresentada na figura 2.2.

Análise no Domínio da Freqüência É antiga a idéia de desmembrar uma função periódica em seus componentes

harmônicos e, mais ainda, tratar e avaliar essa função segundo estes

componentes. Por muitos anos, matemáticos famosos como Euler, D’Alembert

e Lagrange discordavam que funções arbitrárias pudessem ser representadas

por séries trigonométricas. NEWLAND (1989)


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Jean Baptiste Joseph Fourier, entretanto, provou que qualquer função periódica

( )tx pode sempre ser expressa por meios de infinitas séries trigonométricas,

chamadas séries de Fourier (Equação 2.17).

• Transformadas discretas de Fourier

O desenvolvimento das integrais que compõem as transformadas de Fourier

(Equação 2.22) só é possível em casos onde são disponíveis as expressões

analíticas das funções ( )tx ou ( )ωX . Quando dispõe-se de dados na forma devalores discretos, como no caso dos ensaios de monitoração realizados no

estádio do Morumbi, as transformadas só podem ser obtidas por meio de

procedimentos numéricos.

Desta forma, a função ( )tx será expressa por uma seqüência de números

{ }r x dada por:

{ } { },...x,x,xx 210r =

com intervalo de amostragem igual a ∆ como mostra a figura abaixo.

Figura 2.23 Amostragem da função ( )tx , NEWLAND (1989)


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Demonstra-se que:

∑

∑−

=

−

=

−

=

=

1n

0k

N

kr 2i

k r

1n

0r

N

kr 2i

r k

eX N

1x

ex N1X

πω

πω

(2.32)

k X e r x são chamadas de transformadas discretas de Fourier (DFT’s).

Em rotinas computacionais, como no programa SISDIN, que será referido

adiante, utiliza-se um algoritmo computacional que requer cerca de 2000 vezes

menos operações que a DFT, chamado de transformada rápida de Fourier

(FFT). Consiste, basicamente, na partição da seqüência original em seqüências

menores. Obtem-se a DFT das seqüências menores. Estas são combinadas

conforme mostrado na figura 2.24 de modo a obter a DFT completa de { }r x .

Figura 2.24 Passos da FFT, NEWLAND (1989).

A análise de sinais no domínio da freqüência é feita em todos os ensaios

citados no item 2.3.1 (ensaios de vibrações livres, forçadas e ensaios de

monitoração), pois os espectros obtidos pela amostragem discreta do sinal

mostra os valores de freqüência nos quais a estrutura apresenta maiores

amplitudes da grandeza considerada (aceleração, velocidade ou

deslocamento), ou seja, as bandas de freqüência que apresentam maior

energia de vibração.


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31

• Parâmetros Utilizados na FFT.

Na prática, os programas computacionais que desenvolvem o algoritmo da FFT

apresentam alguns parâmetros que o usuário precisa determinar para a

obtenção do espectro. No programa SISDIN, por exemplo, o espectro é

calculado pela média dos espectros de cada uma das janelas de dados do sinal

analisado individualmente, sendo o tamanho da janela fixado pelo usuário. Os

parâmetros utilizados na análise são:

a) tipo de janela

A operação de janelamento da série temporal é necessária, pois o algoritmo da

FFT é baseado na hipótese da repetição da série ao longo do tempo, ou seja,

na periodicidade da série.

Figura 2.25 Erros devido a falta de janelamento, HEWLETT PACKARD (1982)


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O janelamento é feito multiplicando-se a série temporal por uma função ( )tW

cujos valores iniciais e finais são nulos. Alguns tipos de janelas utilizadas são

apresentadas na figura 2.26.

O programa SISDIN dispões dos seguintes tipos de janelas: retangular,

hanning, hamming, triangular e blackman.

Figura 2.26 Alguns tipos de janelas utilizadas na FFT, ROMBERG (1996)

b) Resolução

Indica o número de raias espectrais e, portanto, define o tamanho da janela de

dados da série temporal utilizada para cálculo do espectro.

2r d = (2.33)

onde d é o número de dados

r é a resolução


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O programa SISDIN admite os seguintes valores de resolução: 1024, 512, 256

e 128 raias.

c) Fator de aumento da resolução na freqüência (zoom de freqüência)

A resolução na banda de freqüência de interesse corresponde à divisão da

freqüência de amostragem por este fator. Para evitar efeitos de sub-

amostragem, o valor deste parâmetro deve ser limitado pela relação:

≤

b

f 2z a (2.34)

onde z é o fator de aumento da resolução na freqüência;

af é a freqüência de amostragem;

b é a banda do sinal de interesse.

d) Número de janelas

Indica o número de janelas de dados utilizadas no cálculo da média.

n2.j.z.r ≤ (2.35)

onde j é o número de janelas;

n é o número de amostras

2.4 Experimentação Numérica

2.4.1 Fundamentos Teóricos

O método dos elementos finitos é um método numérico que pode ser usado na

determinação da solução da equação 2.4 de sistemas dinâmicos complexos.

Neste método, a estrutura é representada por um modelo matemático

composto de elementos que se comportam como estruturas contínuas

chamados elementos finitos. Os deslocamentos medidos num sistema de

coordenadas locais no interior de cada elemento é assumido como uma função

dos deslocamentos dos N pontos nodais finitos. BATHE (1996).


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34

Para o elemento m, tem-se:

( )( ) ( )( )v̂zy,x,Hzy,x,v mm = (2.36)

onde ( )mH é a matriz de interpolação dos deslocamentos;

[ ].....wvuwvuv̂ 222111= é vetor dos 3 componentes

globais de deslocamentos em todos os pontos nodais.

Partindo-se dessa hipótese, podem ser determinadas as matrizes de massa,

amortecimento e rigidez das estruturas para então ser desenvolvida a equação

2.4:

R KVVCVM =++ &&& (2.37)

Matematicamente a equação acima representa um sistema de equações

diferenciais lineares de segunda ordem. A princípio, as respostas poderiam ser

obtidas utilizando-se procedimentos padrões para solução de equações

diferenciais com coeficientes constantes. Entretanto esses procedimentos

tornam-se inadequados quando as matrizes possuem grandes dimensões.

2.4.2 Métodos Numéricos para Solução de Equações de Equilíbrio Dinâmico

Métodos no domínio do tempo

Para a determinação da resposta ( )tv são utilizados principalmente dois

métodos:

Método da superposição modal

Neste método, assume-se que a resposta pode ser escrita na forma:

( ) ( )tΦYtv = (2.38)

onde Φ é a matriz modal

( )tY é um vetor de r funções do tempo


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A matriz modal é definida como o conjunto de vetores modais r v̂ para os quais:

( ) 0v̂MωK 2 =− , desconsiderando a solução trivial 0v̂ = . A cada modo normal

r v̂ está associada uma freqüência r ω determinada pela condição:

( ) 0MωK det 2 =− . Nessas formas elásticas r v̂ , os pontos da estrutura

movimentam-se todos em fase, com amplitude variando harmonicamente. Os

modos normais possuem certas propriedades de ortogonalidade importantes

na análise dinâmica de estruturas:

0K

0M

r

t

s

r

t

s

=

=

φ φ

φ φ r s ≠ (2.39)

Define-se massa modal como: r t

r r MM φ φ = ;

rigidez modal como: r t

r r K K φ φ =

Para a normalização dos vetores modais, deve-se fazer com que as

componentes do modo normal r φ sejam tais que as correspondentes massas

modais tenha um valor especificado, em geral unitário. Desta forma, as

rigidezes modais devem ser dadas por: 2r r r ωMK = .

Após a determinação dos vetores normais, as várias equações de equilíbrio

global são reduzidas a r equações diferenciais de segunda ordem

desacopladas para cada modo:

r r

2

r r r r r FYωYω2ξY =++ &&& (2.40)

onde r F é a carga modalr ξ é a taxa de amortecimento modal

As equações desacopladas são resolvidas para o intervalo de tempo de

interesse. Para este cálculo, são utilizados métodos de integração numérica.

Após a determinação dos valores de ( )tYr , reconstitui-se a resposta do sistema

físico:

( ) ( )∑==m

1r

r r tYtv φ (2.41)


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Segundo WILSON (1997), quando admite-se um movimento sísmico

tridimensional, a equação 2.40 pode ser escrita como:

gznzgynygxnxr

2

r r r r r v pv pv pYωYω2ξY &&&&&&&&& ++=++ (2.42)

onde it

nni M p φ −= são os fatores de participação modais

Nos resultados dos processamentos numéricos é utilizado o fator de

participação de massa modal dado por:

∑

∑=

=i

r

1n

ni

im

p

γ (2.43)

onde são incluídos r modos de vibração;

∑ im é a massa total na direção i.

Método de integração direta (passo-a-passo)

É um método incremental no qual as equações de equilíbrio 2.4 são resolvidaspara os instantes ∆t, 2∆t, 3∆t, etc. Os processos desta categoria dividem-se em

explícitos, quando a equação 2.4 é formulada no instante em que a solução é

conhecida, e implícitos, quando é formulada no próprio instante que se busca a

solução. No primeiro grupo, estão o método das diferenças centrais e o de

Runge-Kutta. No outro, estão o método da aceleração linear (Newmark), de

Houbolt e o de Wilson.

Métodos no domínio da freqüência

Além desses dois métodos, pode ser utilizada a integral de convolução para

cálculo da resposta a excitações gerais ( )t p . No domínio da freqüência,

existem as técnicas baseadas na análise harmônica de Fourier. Neste caso,

dado o espectro de solicitação, a determinação do espectro de resposta é feita

utilizando-se a função de resposta em freqüências, onde são consideradas as

características da estrutura (eq. 2.12).

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