Introduzione allascomposizione in fattori

dei polinomi© 2012 Gustavo Mezzetti

Ist. mag. st. «A. di Savoia Duca d’Aosta» di Padova

Scomposizionedegli interi

Scomposizione degli interi

Partiamo da ciò che è familiare già dalla media inferiore:la scomposizione in fattori degli interi.

Scomporre in fattori un intero n vuol dire trovare due (altri) interi a e b tali che a·b = n, con a ≠ 1 e b ≠ 1.

Esempio: 15 = 3·5 (n = 15, a = 3, b = 5).

S’intende, a o b possono a loro volta essere scomponibili…

Scomposizione degli interiSi impone la condizione che i fattori non siano 1,perché altrimenti qualsiasi intero avrebbe infinite scomposizioni “banali”.

Esempio: 13 = 1·13 = 1·1·13 = 1·1·1·13 = …

Un numero che non possa essere scomposto in fattori,tranne che in modo banale, viene detto primo.

Esempio: 13 è primo.

Scomposizione degli interiFin dall’antichità sono noti procedimenti che permettono,in teoria, di decidere se un qualsiasi intero è primo o no.

Per esempio, il Crivello di Eratostene (sieve of Eratosthenes in inglese).

Tratto da Wikipedia (http://www.wikipedia.org/).

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Scomposizione degli interi

Se prendo un intero n, possono succedere due cose:• o n è primo;• oppure n = a·b, con 1 < a < n e 1 < b < n.

Nel 1° caso, non c’è altro da dire: n non può essere scomposto in fattori.

Nel 2° caso, si può ripetere lo stesso discorso per a e per b.

Scomposizione degli interi300

300 = 3·2·5·2·5 = 22·3·52

3(primo)

100

10 10

2(primo)

5(primo)

2(primo)

5(primo)

Scomposizione degli interiNessun ramo di un tale “albero di scomposizione” può scendere all’infinito (perché?).

Quindi, ogni intero può essere scomposto nel prodotto di interi primi (esistenza di una scomposizione in primi).

Non evidente, ma pure vero, è che tale scomposizione è essenzialmente unica (unicità della scomposizione in primi).

«Essenzialmente» perché 60 = 22·3·5 = 3· 22·5 = 2·3·2·5 = …

I fattori sono sempre più piccoli, e devono restare > 1.

Pure nella media inferiore si è imparato un metodo che, in teoria, permette di scomporre in fattori qualsiasi intero.

Occorre avere a disposizione (o essere in grado di generare) l’elenco dei numeri primi…

… che è infinito.

Scomposizione degli interi

Scomposizione degli interiPer numeri interi molto grandi (centinaia di cifre decimali) questo metodo non è applicabile in pratica: occorrono tempi di calcolo lunghissimi anche con i calcolatori più potenti.

575’561’092’927 =697’441·825’247

Sulla difficoltà di scomporre in fattori interi molto grandi è basata la sicurezza della crittografia RSA, usata in Internet.

Scomposizione degli interi

Esempio di pagina di rete sicura (https)

Scomposizione degli interi

Ronald L. Rivest

Adi ShamirLeonard M. Adleman

Scomporre n vuol dire trovare a e b tali chen = a·b, con a, b ≠ 1 (no scomposiz. banali).

Gli interi scomponibili solo in modo banale si chiamano primi.

Esiste un procedimento che, in teoria, permette di scomporre in fattori primi qualsiasi intero.

Tale scomposizione è essenzialmente unica.

Riepilogo:

Scomposizione degli interi

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Scomposizionedei polinomi

Scomposizione dei polinomi

Scomporre in fattori un polinomio P vuol dire trovare due (altri) polinomi A e B tali che A·B = P, con grado(A) > 0 e grado(B) > 0.

Esempio: x2-y2 = (x-y)(x+y) [P = x2-y2, A = x-y, B = x+y].

S’intende, A o B possono a loro volta essere scomponibili…

Scomposizione dei polinomiSi impone la condizione che i fattori abbiano grado > 0,cioè non si riducano a numeri, perché altrimenti qualsiasi polinomio avrebbe infinite scomposizioni “banali”.

Esempio: x+y = (½)·(2x+2y) = (⅓)·(3x+3y) = …

Un polinomio che non possa essere scomposto in fattori,tranne che in modo banale, viene detto irriducibile.

Esempio: ogni polinomio di 1° grado è irriducibile.

Perché?

Scomposizione dei polinomiSe prendo un polinomio P, possono succedere due cose:

• o P è irriducibile;• oppure P = A·B, con 0 < grado(A) < grado(P)

e 0 < grado(B) < grado(P).

Nel 1° caso, non c’è altro da dire: P non può essere scomposto in fattori.

Nel 2° caso, si può ripetere lo stesso discorso per A e per B.

Scomposizione dei polinomiax4-ay4

ax4-ay4 = a(x-y)(x+y)(x2+y2)

a(irriduc.)

x4-y4

x-y(irriduc.)

x+y(irriduc.)

x2-y2 x2+y2

(irriduc.)

Scomposizione dei polinomiNessun ramo di un tale “albero di scomposizione” può scendere all’infinito (perché?).

Quindi, ogni polinomio può essere scomposto nel prodotto di polinomi irriducibili (esistenza di una scomposiz. in irriduc.).

Per nulla evidente, ma pure vero, è che tale scomposizione è essenzialmente unica (unicità della scomposiz. in irriduc.).

«Essenzialmente» sempre per lo stesso motivo.

I fattori hanno grado sempre più basso, che però deve restare > 0.

Scomposizione dei polinomi

Non insegniamo alcun metodo generale per scomporre in fattori un polinomio, e nemmeno per capire se un polinomio è irriducibile (al contrario del caso dei numeri interi).

Ciò che impareremo saranno una serie di “trucchi”, applicabili in certi casi particolari.

Sappiamo comunque che tutti i polinomi di 1° grado sono irriducibili.

Scomposizione dei polinomiRipetiamo che scomporre in fattori un polinomio vuol diretrovare un prodotto che dia per risultato tale polinomio.

Alcuni tipici errori vengono commessi perché non si è capita questa definizione fondamentale.

Non è una scomposizione: dà per risultato il polinomio di sinistra, ma non è un prodotto.

ax+bx+cy+dy = x(a+b) + y(c+d)

Scomposizione dei polinomiTutte le regole che servono a eseguire prodotti di polinomi…

… se lette al contrario, forniscono una scomposizione:

a(x+y+z) = ax+ay+az(x+y+3)2 = x2+y2+9+2xy+6x+6y

ax+ay+az = a(x+y+z)x2+y2+9+2xy+6x+6y = (x+y+3)2

Scomposizione dei polinomiGran parte dei “trucchi” che insegneremo è di questo tipo (prodotti letti al contrario).

L’applicabilità di un tale trucco è limitata ai casi nei quali si riesce a riconoscere, nel polinomio da scomporre, il risultato di una delle regole studiate.

Ciò fa pesantemente affidamento sull’abilità del risolutore…

… abilità che si acquisisce facendo molto esercizio.

Scomposizione dei polinomi

Tutto ciò può sembrare desolante, ma il problema della scomposizione dei polinomi è intrinsecamente molto difficile.

Già il caso, estremamente più limitato, della scomposizione dei polinomi in una sola indeterminata è interessante.

Per tale caso ristretto riusciremo a dire qualcosa di generale.In terza riusciremo a risolvere completamente il problema di scomporre polinomi in una variabile di 2° grado.

Wow!

Scomporre P vuol dire trovare A e B tali cheP = A·B e di grado > 0 (no scomposiz. banali).

I polinomi scomponibili solo in modo banale si dicono irriducibili.

Non insegniamo alcun procedimento generale per scomporre polinomi in fattori irriducibili.

Resta vero, però, che la scomposizione esiste ed è essenzialmente unica.

Riepilogo (1):

Scomposizione dei polinomi

Gran parte dei procedi-menti particolari che insegneremo saranno regole di moltiplicazione lette al contrario.

Per riuscire ad applicarli serve molto esercizio.

Il caso ristretto dei polinomi in una sola indeterminata è degno di particolare interesse.

Riepilogo (2):

Scomposizione dei polinomi