Introduzione alla Fisica Moderna -...
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p" p! h Xp" p! h Xp" p! h Xp"p! h X±S
Introduzione alla Fisica Moderna (breve viaggio nelle idee alla base delle leggi fisiche...)
M. Anselmino, Torino University & INFN
Determinismo della Meccanica Classica
Elettromagnetismo e velocità della luce
Piccoli problemi che diventano grandi...
La rivoluzione della Relatività Ristretta
La rivoluzione della Meccanica Quantistica
Meccanica Quantistica e Relatività....
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F = m a
Fr(t)
m
Determinismo della Meccanica Classica
j
k
i
x
y
z
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
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v =dx(t)
dt
i +dy(t)dt
j +dz(t)dt
k
F = m a = m
d2
x(t)dt
2i +
d2y(t)
dt
2j +
d2z(t)
dt
2k
�
date la posizione e la velocità iniziali r(t = t0) v(t = t0)
determiniamo tutte le posizioni e velocità future (e passate)
v(t) r(t)
equazioni differenziali del secondo ordine
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F = m a = GMm
R2
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Principi primi in Meccanica Classica(principio di minima azione)
L =12
m v
2 � V (x)
S =Z t2
t1
dt L(x(t), v(t))
tra tutte le linee possibili per andare da A al tempo t1 a B al tempo t2 la particelle segue quella che rende minima
la quantità S (azione)
x
tt1 t2
x1(t)
x2(t)
x3(t)A
B
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Nessun esperimento permette di distinguere due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme: Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran naviglio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti [...] e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza [...] e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazi passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose [...] fate muover la nave con quanta si voglia velocità: che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma (Galileo, Dialogo, giornata seconda)
Principio di relatività in Meccanica Classica
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Principio di relatività in Meccanica ClassicaR R0
x
x
0
y y0
z z0
O O0
P
v
v t
P 0
P 00
x0 = x� vt = OP 00 �OO0
z0 = z = P 0P 00y0 = y = PP 0
(t0 = t)O ⌘ O0 a t = 0
u0 = u� v
u0x
= ux
� v
u0y = uy
u0z = uz
a0 = a
F = m a è la stessa in R eR0
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Elettromagnetismo: la sintesi delle equazioni di Maxwell
r · E = ⇢
r · B = 0
r⇥E = �1c
@B
@t
r⇥B =1c
J +1c
@E
@t
J = densità di corrente di carica (come la carica si muove) = densità di carica (quanta carica c’è) ⇢
E campo elettrico B campo magnetico
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relazioni tra le sorgenti (ρ,J) e i campi elettrici e magnetici (E,B)
la forza di Lorentz agisce su una particella di carica q in presenza di campi elettromagnetici
F = q(E +v
c⇥B) forza di Lorentz
c = velocità della luce nel vuoto
r ⌘ @
@x
i +@
@y
j +@
@z
k
(sintesi di tutti i fenomeni elettromagnetici) la bellezza delle equazioni di Maxwell
r · E = ⇢
r · B = 0
r⇥E = �1c
@B
@t
r⇥B =1c
J +1c
@E
@t
c ' 300.000 Km/s = 3⇥ 108 m s�1
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direzione di propagazione
E
B
E
B
soluzioni delle equazioni di Maxwell nel vuoto (le onde elettromagnetiche) ⇢ = J = 0
� = c T lunghezza d’onda
T periodo
frequenzaf = ⌫ =1T
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luce visibile
raggi gamma raggi x
raggi ultra-
violetti micro-onde onde radio
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1c
2
@
2E
@t
2� @
2E
@x
2� @
2E
@y
2� @
2E
@z
2= 0
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Piccoli problemi?
r · E = ⇢
r · B = 0
r⇥E = �1c
@B
@t
r⇥B =1c
J +1c
@E
@t
le equazioni di Maxwell non sono invarianti per trasformazioni di Galileo
esiste un sistema di riferimento privilegiato (etere?) nel quale si trasmettono le onde luminose?
No!
c = velocità della luce nel vuoto, si, ma in quale sistema di
riferimento? u0
x
= ux
� v
il mistero della velocità della luce
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lo spettro del corpo nero [quando la natura è più saggia della teoria (errata)]
intensità della radiazione emessa da un corpo riscaldato
il calcolo classico è basato sull’elettromagnetismo e la termodinamica. Assume, come sembrava naturale, emissione continua di energia da parte delle cariche
oscillanti all’interno del corpo nero
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effetto fotoelettrico: emissione di elettroni da parte di lastre metalliche
investite da radiazioni elettromagnetiche
effetto fotoelettrico (un fenomeno semplice difficile da spiegare)
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Le caratteristiche sperimentalidell’effetto fotoelettrico sono incontraddizione con le predizioni della Fisica Classica, secondo la quale l’energia della radiazione è proporzionale alla sua intensità
effetto fotoelettrico: osservazioni sperimentali
Gli elettroni vengono emessiimmediatamente!
Aumentando l’intensità della luceaumenta il numero di elettroniemessi, ma non la loro velocità!
La luce rossa non causaemissione di elettroni,
qualunque sia la sua intensità!
Una debole luce violetta producel’emissione di pochi elettroni, ma
con una velocità superiore a quellaottenuta con una luce più intensa,
di lunghezza d’onda maggiore
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spettri atomici (una legge semplice deve avere una spiegazione semplice...)
solo particolari lunghezze
d’onda sono emesse o
assorbite dagli atomi
la fisica classica prevederebbe uno spettro continuo...
1�
= R
✓1n2
1
� 1n2
2
◆n1, n2 = 1, 2, 3, ... n2 > n1
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soluzioni e spiegazioni semplici, ma radicali... velocità della luce e Principio di Relatività
Le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti sistemi di riferimento inerziali
La velocità della luce nel vuoto (c) ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento,
indipendentemente dal moto della sorgente
c ≡ 299.792.458 m/s ~ 300.000 Km/s“Nel considerare la natura specifica della Teoria della Relatività,
tengo a mettere in evidenza che questa teoria non è di origine speculativa, ma che la sua scoperta è dovuta completamente e
unicamente al desiderio di adattare, quanto meglio è possibile, la teoria fisica ai fatti osservati” (Einsten, 1921)
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R R0y y0
z z0
O O0
P
v
x, x
0
c
2t
2 � x
2 � y
2 � z
2 = c
2t
02 � x
02 � y
02 � z
02
x
0 = � (x� v t)y0 = y
z0 = z
t
0 = � (t� v
c
2x)
trasformazioni di Lorentz (lasciano
invariate le equazioni di Maxwell)
� =
s1
1� v2
c2
fattore di Lorentz
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semplice idea (c indipendente dal moto della sorgente) e profonde conseguenze ....
impossibilità di superare la velocità della luce
se t1 = t2 in R, in R0 si ha :
t
01 = � (t1 �
v
c
2x1) 6= t
02 = � (t2 �
v
c
2x2)
relatività della simultaneità, etc...
ux
=u0
x
+ v
1 + v u0x
/c2se u0
x
= v = c si ha ux
= c
le leggi della dinamica vanno riformulate per soddisfare i principi della Relatività Ristretta
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soluzione di Planck (1900): l’emissione di energia da parte degli oscillatori non avviene per valori continui, ma solo per multipli di un
quanto fondamentale di energia:
E = h ⌫
= frequenza della radiazione emessa⌫
spettro del corpo nero
= costante di Planckh h = 6.6⇥ 10�34 Js
nuova costante fondamentale della Natura
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curve di Planck
P (W ) ⇠ e�W/kT
come succede il “miracolo”?ogni “oscillatore” emette energia W con probabilità
k = costante di Boltzmann T = temperatura
< W >=R10 We�W/kT dWR10 e�W/kT dW
= kT
< W >=P1
n=0 nh⌫ e�nh⌫/kT
P1n=0 e�nh⌫/kT
=h⌫
eh⌫/kT � 1
comportamenti molto diversi a grandi valori di ν, cioè piccoli valori di λ
emissione continua
emissione per quanti
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L’osservazione che l’energia degli elettroni emessi dipende dalla frequenza, ma non dall’intensità della radiazione, indusse
Einstein all’interpretazione della radiazione elettromagnetica come ad un insieme di quanti di luce, fotoni, ciascuno di energia
effetto fotoelettrico
E = h ⌫
in pieno accordo con la spiegazione di Planck della radiazione di corpo nero
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interpretazione corpuscolare di fenomeni elettromagnetici, onde come insiemi di fotoni
E = h⌫ = 6.6⇥ 10�34J s⇥ 428⇥ 1012 s�1 ' 1.77 eV
luce rossa ⌫ =c
�=
3⇥ 108 m/s
700⇥ 10�9 m' 428⇥ 1012 s�1
(1 eV = 1.6⇥ 10�19 J)
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1�
= R
✓1n2
1
� 1n2
2
◆n1, n2 = 1, 2, 3, ... n2 > n1
spettri atomici
Il valore del modulo del momento angolare dell'elettrone che ruota intorno al nucleo deve essere un multiplo intero della
costante di Planck ridotta (h/2π) (orbite quantizzate)
prima spiegazione: modello atomico di Bohr, modello classico con richieste “quantistiche”
L'atomo irraggia solamente quando un elettrone effettua una transizione da un’orbita a un’altra. La frequenza della radiazione è
legata all'energia del livello di partenza (Ei) e di quello di arrivo (Ef) dalla relazione:
h ⌫ = hc
�= Ei � Ef
mvr = nh/2⇡mv2
r=
Ze2
r2
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a0 = 0.5� 10�10 m rn = a0 n2
atomo di idrogenoEn = � e2
2a0
1n2
= �13.6 eV1n2
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e comportamento ondulatorio delle particelle...
interferenza: comportamento ondulatorio
della luce
effetto fotoelettrico: comportamento corpuscolare
della luce
esperimento della doppia fenditura
� =h
p
� =h
p
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e adesso? quali teorie? La rivoluzione della Relatività (Ristretta)
x
0 = � (x� v t)y0 = y
z0 = z
t
0 = � (t� v
c
2x)
c
2t
2 � x
2 � y
2 � z
2 = c
2t
02 � x
02 � y
02 � z
02
le leggi della fisica sono invarianti per trasformazioni di Lorentz, che
rimescolano ct, x, y, znuove quantità: 4-vettori, tensori di Lorentz
nuovi invarianti e nuova geometria, spazio-tempo di Minkowski
lo spazio tridimensionale e il tempo non sono più distinti e assoluti (nuovi fenomeni come la contrazione delle
lunghezze, la dilatazione dei tempi, etc....)
x
µxµ = c
2t
2 � x
2 � y
2 � z
2
x
µ = (ct, x, y, z) = (ct, r)
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riformulazione delle leggi della dinamica
enormi quantità di energia nelle masse E = m0 c2
Il consumo medio di energia di un cittadino americano in 1 anno è stimato in circa 1011 J
pµ = (E/c, p) pµpµ =E2
c2� p2 = m2
0 c2
4-impulso
E = m(u) c2
m(u) = �(u) m0E = m(u) c2
uµ = �(u)(c,u) �(u) =
s1
1� u2
c2
x
µ = (ct, r)4-posizione 4-velocità
@µ =✓
@
@t
,
@
@x
,
@
@y
,
@
@z
◆4-derivata
E = 1 Kg ⇥ (3⇥ 108 m/s)2 = 9⇥ 1016 J
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le leggi dell’elettromagnetismo rimangono invariate...
(solo riscritte in modo più compatto ed elegante)
r · E = ⇢
r · B = 0
r⇥E = �1c
@B
@t
r⇥B =1c
J +1c
@E
@t
@µFµ⌫ =1cJµ
@µeFµ⌫ = 0
Fµ⌫ =
0
BB@
0 �Ex
�Ey
�Ez
Ex
0 �Bz
By
Ey
Bz
0 �Bx
Ez
�By
Bx
0
1
CCA eFµ⌫ =
0
BB@
0 �Bx
�By
�Bz
Bx
0 �Ez
Ey
By
Ez
0 �Ex
Bz
�Ey
Ex
0
1
CCA
Jµ = (c ⇢, J)
µ, ⌫ = 0, 1, 2, 3 indici ripetuti sono sommati
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La rivoluzione della Meccanica Quantisticacomportamento ondulatorio delle particelle?
ma le onde non sono localizzate ...
una funzione d’onda contiene tutte le informazioni sulla particella; il suo modulo al
quadrato dà la densità di probabilità di trovare la particella in (x,y,z) al tempo t.
La funzione d’onda è soluzione dell’equazione di Schrödinger:
(x, y, z; t)
(x, y, z; t)
i~ @
@t
= � ~2
2m
✓@
2
@x
2+
@
2
@y
2+
@
2
@z
2
◆ + V (x, y, z)
~ ⌘ h/2⇡
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non tutte le grandezze fisiche possono essere misurate contemporaneamente, principio di
indeterminazione
�x�p � ~2
livelli energetici discreti emergono in modo spontaneo (quantizzazione di Planck). Per l’atomo di idrogeno sono in accordo con il modello di Bohr,
ma scompare il concetto di orbita
nessuna predizione della Meccanica Quantistica è, sinora, in contraddizione con gli esperimenti
...........
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Meccanica Classica e Relatività
nel limite v/c ---> 0, le trasformazioni di Lorentz coincidono con quelle di Galileo. Gli effetti relativistici sono dell’ordine v/c. E c è molto grande (ma anche v è
grande per le particelle elementari.....)
x
0 = � (x� v t)y0 = y
z0 = z
t
0 = � (t� v
c
2x)
v
c! 0x
0 = x� v t
x
0 = x� v t
y0 = y
z0 = z
t0 = t
v/c! 0� ! 1
� ! 1v/c! 0
tutti gli effetti relativistici sono verificati quotidianamente negli acceleratori di particelle
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Meccanica Classica e Meccanica Quantistica
tutti gli effetti quantistici sono importanti per i fenomeni per i quali le grandezze in gioco sono
confrontabili con la costante di Planck [h] = [Energia]⇥ [tempo] = [lunghezza]⇥ [impulso]
h = 6.6⇥ 10�34 Js
esempio di effetti quantistici applicati a corpi macroscopici: incertezza nella velocità di una matita posata sul tavolo
�p = m �v ' ~2 �x
(m = 10 g �x ' 10�7m)
�v ' 10�34 Js
2⇥ 10�2 Kg 10�7 m= 0.5⇥ 10�25 ms�1
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Relatività e Meccanica Quantistica
le particelle elementari si muovono a velocità prossime a quelle della luce; i fotoni si
muovono alla velocità della luce
i fenomeni atomici e sub-atomici coinvolgono scale di energia e tempi i cui prodotti sono
dell’ordine della costante di Planckin urti ad alte energie massa ed
energia si trasformano l’una nell’altra
le teorie che descrivono tali fenomeni devono essere teorie quantistiche-relativistiche....
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grazie per l’attenzione e arrivederci