INTRODUZIONE AL CONTROLLO DIGITALE · il dominio tempo-discreto del regolatore ... Si ha stabilità...
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Prof. Claudio Melchiorri
DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093034
e-mail: [email protected]
http://www-lar.deis.unibo.it/people/cmelchiorri
INTRODUZIONE INTRODUZIONE AL CONTROLLO DIGITALEAL CONTROLLO DIGITALE
CONTROLLI AUTOMATICI LSIngegneria Informatica
Claudio Melchiorri Controlli Automatici L-S A.A. 2008/2009
2DigitSistemi di controlloSistemi di controllo
Controlli Automatici LA ed LBSistemi dinamici SISOAmpio uso delle Trasformate di LaplaceProgetto di schemi di controllo analogici, ad esempio:
Reti correttrici (ritardo, anticipo, …)PID…
+
+
++_
-
+
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3DigitSistemi di controllo analogicoSistemi di controllo analogicoSistemi di controllo analogici
l’elaborazione della legge di controllo è svolta in maniera tempo-continuaad esempio da circuiti elettrici, idraulici, sistemi meccanici, …
controllo impianto
trasduttore
amplificatoredi potenza attuatore
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4DigitSistemi di controllo digitaleSistemi di controllo digitaleSistemi di controllo digitale
Presenza di un calcolatore nel loop di controlloElaborazione tempo-discreta (periodo T) della legge di controllo
Occorrono dispositivi di interfaccia trail dominio tempo-continuo dell’impiantoil dominio tempo-discreto del regolatore
impianto
trasduttore
attuatoreCALCOLAT. DIGITALE DD//AAAA//DD
Clock (T)
Tempo-discreto
10
10
11
00
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5DigitControllo digitale vs. Controllo analogicoControllo digitale vs. Controllo analogicoMaggiore capacitMaggiore capacitàà e e precisione di precisione di elaborazioneelaborazione
Algoritmi di controllo più complessi
Maggiore flessibilitMaggiore flessibilitààÈ sufficiente modificare il software per adattare il sistema a nuove esigenze
Maggiore affidabilitMaggiore affidabilitàà e e ripetibilitripetibilitàà
Non sono presenti fenomeni di usura, deriva termica ecc.
Maggiore trasmissibilitMaggiore trasmissibilitààdei segnalidei segnali
I segnali digitali sono molto meno sensibili ai disturbi rispetto a quelli analogici
Progettazione piProgettazione piùùdifficile e articolatadifficile e articolata
Occorrono competenze anche nel campo della programmazione e dell’interfacciamento
StabilizzabilitStabilizzabilitàà pipiùùprecariaprecaria
Discontinuità nella trasmissione, ritardiritardiImportanza del periodo di campionamento
PossibilitPossibilitàà di arresti di arresti non previstinon previsti
Il software non ha previsto tutte le possibili situazioni di errore
NecessitNecessitàà di utilizzare di utilizzare energia elettricaenergia elettrica
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6DigitTipologie di segnaleTipologie di segnale
analogico continuo
a dati campionati
digitale
tempo-continuoquantizzato
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7Digit
grandezze analogichea tempo continuo
grandezze digitalia tempo discreto
T
0110
0
T
0011
0
T
1110
1
interfacciaD/A impiantoregolatore
sensore
attuatore
interfacciaA/D
Sistemi di controllo digitaleSistemi di controllo digitale
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8Digit
A/D
interfacciaD/A impiantoregolatore
Y
sensore
attuatorew
Segnale campionato(non quantizzato)
T T T
Campionamento
Segnale digitale(quantizzato)
T T T
0010
0
0111
0
1110
1
Conversione in digitale
segnaleanalogico
t
Sistemi di controllo digitaleSistemi di controllo digitale
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9DigitSistemi di controllo digitaleSistemi di controllo digitale
D/A Ricost. impiantoregolatoreY
sensore
attuatoreYsp
interfacciaA/D
Ricostruttore di segnale
0010
0
1100
0
1110
1
Segnale digitale
Nota: La scelta piu’ semplice per il ricostruttore di segnale risulta essere il circuito di “Hold” (tenuta)
0010
0
1100
0
1110
1
segnale analogico segnale continuo quantizzato
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10DigitConvertitore A/DConvertitore A/DCampiona, con periodo T, il segnale di ingresso x(t)Campiona, con periodo T, il segnale di ingresso x(t)Restituisce in uscita la sequenza dei valori x(Restituisce in uscita la sequenza dei valori x(kTkT) ) codificati e quantizzaticodificati e quantizzati
Campionatore a impulsi di Campionatore a impulsi di DiracDirac: : la chiusura dell’interruttore è istantaneain uscita produce un impulso di Dirac di “area” pari a x(kT)
A/D
A/D
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11DigitConvertitore D/AConvertitore D/AFornisce un segnale analogico a partire dalla sequenza di campioni in ingresso
La ricostruzione non La ricostruzione non èè univoca a meno di soddisfare il univoca a meno di soddisfare il TEOREMA DI SHANNONTEOREMA DI SHANNON
Ricostruttore di ordine zero (Zero Ricostruttore di ordine zero (Zero OrderOrder HoldHold))Produce l’uscita:
Supponendo un campionamento impulsivo:
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12DigitConvertitore D/AConvertitore D/ASi definisca il segnale (gradino) di ampiezza unitaria h(t)
In uscita al ricostruttore di ordine 0 si ha un segnale che può essere considerato come generato da una “successione di gradini”
1
23
45
1
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13DigitCampionamentoCampionamento e e RicostruzioneRicostruzione di di segnalisegnali
Ricordando la trasformata di Laplace di un segnale ritardato
Analizzando il solo impulso a t = kT
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14Digit
1) Progetto diretto a tempo discretoMetodo “diretto”• discretizzazione del modello• oggetto di corso specifico (Sistemi di Controllo Digitale L-A)
• II anno Laurea Triennale di ingegneria dell'Automazione• II anno Laurea Specialistica di ingegneria Informatica (a scelta)
2) Progetto a tempo continuo e discretizzazione del regolatoreMetodo “indiretto”• più coerente con i corsi di Controlli Automatici LA-LB• più semplice, perché non richiede molte altre conoscenze• qualche limitazione legata alla scelta del tempo di campionamento
Oggetto di queste note è presentare qualche principio utile al progetto del regolatore tempo discreto per discretizzazione di unregolatore tempo continuo (secondo metodo)
Progetto di regolatori tempoProgetto di regolatori tempo--discretodiscreto
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15Digit
D/A Ric. impiantoAlgoritmoY
sensore
attuatore
interfacciaA/D
Algoritmo che elabora sequenze numeriche
Progetto per Progetto per discretizzazionediscretizzazione del regolatoredel regolatore
L’algoritmo numerico dovrà essere tale per cui il comportamento del regolatore (complessivo) con ingressi e uscite analogiche sia il più fedele possibile a quello che caratterizza la funzione di trasferimento R(s) progettata nel continuo
Problema fondamentale: dimensionare il tempo di campionamentoin modo che le grandezze campionate siano una rappresentazione“fedele” del segnale tempo continuo
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16DigitDescrizione di processi a segnali campionatiDescrizione di processi a segnali campionati
Equazioni differenziali
Trasformata di Laplace
SISTEMI SISTEMI TEMPOTEMPO--CONTINUICONTINUI
Equazioni alle differenze
Trasformata Z
SISTEMI SISTEMI TEMPOTEMPO--DISCRETIDISCRETI
DD//AA
AA//DD
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17DigitEquazioni alle differenzeEquazioni alle differenzeStruttura di una equazione alle differenze
Ponendo:
uscita attuale
campione precedente
2 campioni precedenti
ingresso attuale
Il valore a pedice di u indica l’istante a cui il valore uk è riferito
-
+
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18DigitEsempio di equazione alle differenzeEsempio di equazione alle differenze
Condizione iniziale:
Soluzione generale:Soluzione generale:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
5
10
15
20
25
30
35
Dividendo per c e per zk:
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19DigitEquazione caratteristicaEquazione caratteristica
E’ detta equazione caratteristicaequazione caratteristica (associata all’equazione alle differenze)
Si ha Si ha stabilitstabilitàà se tutte le sue radici cadono allse tutte le sue radici cadono all’’interno del interno del cerchio cerchio unitariounitarioSe una radice ha modulo maggiore di 1, si ha Se una radice ha modulo maggiore di 1, si ha instabilitinstabilitàà
1
stabilestabile
instabileinstabile
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20DigitTrasformata ZetaTrasformata Zeta
Trasformata Zeta Trasformata Zeta di una sequenza di campioni:
DIPENDE DAL PERIODO (T) DI DIPENDE DAL PERIODO (T) DI CAMPIONAMENTOCAMPIONAMENTO
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21DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformataNei casi di interesse ingegneristico, X(z) ha una espressionerazionale fratta
pi, zi poli e zeri di X(z)
Questa è la forma più utilizzata z z --kk →→ ritardoritardo di di t = t = kTkT
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22DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitali
Metodo indiretto (per discretizzazione)
R(s) G(s)x(t) e(t) ua(t) ya(t)
R(z) G(s)x(t) e(t) ua(t) ya(t)H(s)
T = … ? (il piu` piccolo possibile…)
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23DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitali
Data la R(s), vi sono tre passi concettuali:
1) Definizione del periodo di campionamento T
2) Discretizzazione della R(s)
3) Verifica a posteriori (simulativa e sperimentale) del comportamento del sistema
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24DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitali1) Definizione di T e verifica dei margini di stabilità del sistema
Nel progetto di R(s) si potrà considerare un processo dato da
NB: il “campionamento” introduce un “guadagno” pari a 1/T
Approssimazione di Padè
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25DigitSpettro di segnali campionatiSpettro di segnali campionati• Segnale tempo continuo:
Laplace Fourier
• Segnale tempo continuo campionato:
…Pulsazione di Nyquist
Laplace
Trasformata di Fourier del segnale campionato
Fourier ( )
Ripetizione periodica dellospettro del segnale tempocontinuo
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26Digit
Caso esemplificativo: a banda limitata ( per )
ovvero
ovvero
Spettro di segnali campionatiSpettro di segnali campionati
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27Digit
Assumendo che il segnale tempo continuo abbia banda limitata è possibile ricostruire il segnale tempo continuo a partire dalla sequenza campionata se risulta
ovvero
Ricostruttore (ideale) di segnale: filtro passa banda con pulsazionedi taglio pari a e con amplificazione in banda pari a
Segnali campionati Segnali campionati –– Teorema di ShannonTeorema di Shannon
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28Digit
Filtro ideale, nonrealizzabile in pratica
Nota: Ricostruzione del segnale univoca se ovvero se il tempo di campionamento risulta sufficientemente basso in relazione alla banda del segnale
Segnali campionati: Ricostruttore di segnaleSegnali campionati: Ricostruttore di segnale
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29DigitSegnali campionati: Fenomeno dellSegnali campionati: Fenomeno dell’’aliasingaliasingNel caso in cui il tempo di campionamento non soddisfi la condizione di Shannon, non è possibile ricostruire il segnale continuo a partire dalla sequenza campionata.
Nel dominio delle frequenze questo si evidenzia con un “overlapping” delle componenti secondarie con la componente primaria (che non può quindi essere più ricostruita attraverso il ricostruttore prima evidenziato)
ovveroSpettro del segnale campionato
Fenomeno dell’aliasing: sovrapposizione frequenziale
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30DigitEsempioEsempio
Banda r/s
(no log)
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31DigitScelta del tempo di campionamentoScelta del tempo di campionamento
Problema: I segnali in gioco non avranno, in pratica, banda limitata(componenti spettrali non nulle anche a pulsazioni ).
Occorre quindi scegliere il tempo di campionamento in modo appropriato
Regola pratica: con
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32DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitali2) Discretizzazione della R(s)
Vi sono diverse TECNICHE DI DISCRETIZZAZIONE:1) metodo delle differenze all'indietro;2) metodo delle differenze in avanti (non impiegata nei controlli);3) trasformazione bilineare;4) trasformazione bilineare con precompensazione frequenziale;5) metodo della Z-trasformata, detto anche dell'invarianza della risposta
all'impulso;6) metodo della Z-trasformata con ricostruttore di ordine 0, detto anche
dell'invarianza della risposta al gradino;7) metodo della corrispondenza poli/zeri.
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33DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliMetodo delle differenze all’indietro
Esempio:
Calcolando per t = kT, t = (k-1)T e sottraendo
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34DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliPer calcolare numericamente gli integrali si approssima l'area sottesa alle curve y(t) e x(t) con rettangoli. In particolare, si considerano tra gli istanti (k-1)T e kT i rettangoli di altezza pari a y(kT) o x(kT) (valore finale del periodo considerato). Si ha dunque che:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Integrazione all`indietro
t
y(t)
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35DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliSi ha dunque
Da cui
Cioè
Utilizzando le trasformate di Laplace per risolvere l'equazionedifferenziale
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36DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliCon il metodo di integrazione all’indietro, il semipiano sinistroviene trasformato nella circonferenza di raggio r=0.5 centrata in p = (0, 0.5).
Sistemi G(s) stabili sono trasformati in sistemi G(z) stabili.
1
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37DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitali
Metodo della Trasformazione Bilineare
Deriva dall’integrazione trapezoidale (o di Tustin)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Integrazione trapezoidale
t
y(t)
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38DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliCon la trasformazione bilineare, il semipiano sinistro vienetrasformato nella circonferenza unitaria (di raggio r=1, centratain p = (0, 0)).
Sistemi G(s) stabili sono trasformati in sistemi G(z) stabili.
1
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39DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliLa trasformazione introduce una distorsione frequenziale (compressione alle alte frequenze)
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40DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliTrasformazione Bilineare con precompensazione
Si puo` verificare che per
si ha
Esempio: trasformazione di un filtro passa basso con compensazione alla frequenza ω = a
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41DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliEsempio: Progettare un filtro passa basso discreto che approssimi ilcomportamento frequenziale del filtro analogico
Con la trasformazione bilineare si ottiene
Notando che
la relativa funzione di risposta armonica Gd(ej ω T) vale
in [0, 10] rad/sper T = 0.2 s
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42DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliDiagrammi delle ampiezze di G(j Ω) e di Gd(ej ω T), curve (a) e (b) rispettivamente. Le due curve differiscano significativamente nell'intervallo frequenziale di interesse.
Con la precompensazione di frequenza per ω = 10 rad/s si ottiene
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43DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliIl modulo della risposta armonica è la curva (c). Per ω = 10 rad/s le curve (a) e (c) coincidono (guadagno pari a –3 db). Con questa tecnica la pulsazione di taglio èmantenuta invariata anche dopo aver discretizzato la G(s). Nel caso senzaprecompensazione, la pulsazione di taglio del filtro discreto è pari a 7.8 rad/s circa.
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44DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliEsempio: Dato il sistema
progettare una rete ritardatrice digitale che garantisca il margine di fase Mf = 55o
La costante di tempo inferiorecorrisponde al polo p = -2, ed è pari a τ = 0.5 s.
Si considera quindi un tempo di campionamento T = 0.1 s.
Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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45DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliDiagrammi di Bode della fdt e della fdt campionata
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Phas
e (d
eg)
Mag
nitu
de (d
B)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
10-1 100 101-360
-315
-270
-225
-180
-135
-90
G(s)
G(z)
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46Digit
Nyquist Diagram
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliInserendo il ricostruttore di ordine 0, si ha complessivamente la fdt
G(s)
G1(s)
Si nota un peggioramento del margine di fase (ritardo). In questo caso il ritardo èmodesto (piccolo T)
Risultato simile se si consideral’approssimazione
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47DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliSi considera quindi la G1(s) al posto della G(s)
Effettuando il progetto di una rete ritardatrice che garantisca per G1(s) ilmargine di fase MF = 55o, si ottiene la rete:
Discretizzando R(s) (es. Trasf. Bilineare) con T = 0.1 s si ha
N.B. Possibili problemi di arrotondamento per cifre “similli”
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48DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliSi è ottenuto il regolatore R(z)
Per la realizzazione su elaboratore digitale, è necessario ricavare la corrispondenteequazione alle differenze. Si procede come segue:
Da cui
E quindi
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49DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitali
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
tempo (s)
Uscita del sistema
0 10 20 30 40 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6
tempo (s)
Azione di controllo
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo (s)
Uscita del sistema
0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
tempo (s)
Azione di controllo
Risultati con T = 0.1 s
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50DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitali
Risultati con T = 0.5 s
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
tempo (s)
Uscita del sistema
0 10 20 30 40 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6
tempo (s)
Azione di controllo
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo (s)
Uscita del sistema
0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
tempo (s)
Azione di controllo
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51DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitali
Risultati con T = 2 s
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
tempo (s)
Uscita del sistema
0 10 20 30 40 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6
tempo (s)
Azione di controllo
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo (s)
Uscita del sistema
0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
tempo (s)
Azione di controllo
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52DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliEsempio: Dato il sistema
progettare un controllore digitale che verifichi le seguenti specifiche sulsistema in retroazione:
δ = 0.7 (S = 5%)Ta = 0.66 s
Dalla specifica sul tempo di assestamento Ta si ricava:
e quindi il sistema dovra` presentare oscillazioni smorzate con periodo
Si considera quindi un tempo di campionamento T = 0.1 s (≈ Tos/10).
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53DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliConsiderando il ricostruttore di ordine 0
Si ottiene complessivamente
Un controllore analogico che verifica le specifiche richieste (dal luogo delleradici) è dato da
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54DigitProgettoProgetto di di regolatoriregolatori digitalidigitaliCon la trasformazione bilineare si ottiene dunque il regolatore R(z)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo (s)
Uscita del sistema
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10
0
10
20
30
40
tempo (s)
Azione di controllo
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55DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata
Appendice A
Trasformata Z di funzioni elementariProprietà della Trasformata Z
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56DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– FunzioniFunzioni elementarielementariImpulso discreto unitario. Sia data la funzione, detta anchefunzione delta di Kronecker δ0(t):
Gradino unitario. Sia data la funzione
Serie convergente per |z| > 1
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57DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– FunzioniFunzioni elementarielementariRampa unitaria. Si consideri la funzione rampa unitaria:
Serie convergente per |z| > 1
Poiche` x(kT) = kT, k = 0, 1, 2, …, la Z-trasformata e`
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58DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– FunzioniFunzioni elementarielementariFunzione potenza ak. Sia data la funzione:
Serie convergente per |z| > a
Dalla definizione si ha
a costante reale o complessa
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59DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– FunzioniFunzioni elementarielementariFunzione esponenziale. Sia data la funzione:
Convergente per |z| > e-Re(a)T
Poiche` x(kT) = e-akT, k = 0, 1, 2, …, si ha
a costante reale o complessa
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60DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– FunzioniFunzioni elementarielementariFunzione sinusoidale. Sia data la funzione:
Convergente per |z| > 1
Dalle formule di Eulero
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61DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– FunzioniFunzioni elementarielementariFunzione cosinusoidale. Sia data la funzione:
Convergente per |z| > 1
Analogamente a prima, con le formule di Eulero
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62DigitTabelleTabelle delledelle ZZ--TrasformateTrasformate
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63DigitTabelleTabelle delledelle ZZ--TrasformateTrasformate
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64DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformataLa Z-trasformata X(z) e la sequenza corrispondente x(k) sonolegate da una corrispondenza biunivocaQuesto non avviene tra una X(z) e la sua “inversa” x(t)Data una X(z) si possono avere molte x(t) (Teorema di Shannon)
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
y0, y
1
t (s)
x x x x x x
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65DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietààLinearità
Moltiplicazione per ak. Siano X(z) la Z-trasformata di x(t) e auna costante. La Z-trasformata di ak x(k) e` data da X(a-1 z):
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66DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietààTeorema della traslazione nel tempoSe x(t) = 0, t<0, X(z) = Z[x(t)] e n = 0, 1, 2, …
Operativamente:
ritardo
anticipo
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67DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietààTeorema del valore inizialeSe X(z) = Z[x(t)] ed esiste
Infatti si noti che
Teorema del valore finaleSiano tutti i poli di X(z) entro al cerchio unitario, con al piu` un polo semplice in z =1
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68DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietààEsempio: Si consideri il segnale descritto da
X(kT) = 0, 0.5000, 1.2500, 1.6250, 1.8125, 1.9063, 1.9531, 1.9766, 1.9883,1.9941, 1.9971, 1.9985, 1.9993, 1.9996, 1.9998, 1.9999, 2.0000, 2.0000, ….
(T = 1 sec)
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69DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietàà
Differenziazione complessa
Esempio: gradino unitario
La Z-trasformata del segnale rampa unitaria x(kT) = kT, k = 0, 1, 2, …, e`
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70DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietàà
Integrazione complessaSi consideri la sequenza
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71DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietàà
Trasformazione di funzioni periodicheSia data una successione xp(k) periodica di periodo pT e sia x(k) la successione dei campioni relativi al primo periodo e nulla per k>p
Se X(z) è la Z-trasformata di x(k), allora:
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72DigitLa ZLa Z--trasformatatrasformata –– TeoremiTeoremi e e proprietproprietàà
Teorema della convoluzione reale
Teorema della convoluzione complessa
Teorema di Parseval
Analoghi a quelli visti per la trasformata di Laplace
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73DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZPermette di passare da una Z-trasformata X(z) alla corrispondente sequenzaxk e possibilmente alla funzione continua x(t) cui corrisponde per campionamento la sequenza xk
X(z) x(k) x(t)Biunivoca Non biunivoca
Se e` soddisfatto il Teorema di Shannon sul campionamento, la funzionecontinua x(t) può essere determinata univocamente a partire dalla sequenzaxk.
0 2 4 6 8 1 0 1 20
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1 .2
1 .4
1 .6
1 .8
2
y0, y
1
t (s )
x x x x x x
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74DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZ
Diversi metodi per antitrasformare una funzione X(z)
1) Metodo della lunga divisione2) Metodo computazionale3) Metodo della scomposizione in fratti semplici4) Metodo dell’integrale di inversione
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75DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZ
Metodo della lunga divisioneCon questa tecnica si espande la X(z) in una serie di potenze in z-1. Il metodo viene applicato quando non si riescono a trovare espressioni in forma chiusa per x(k) e nel caso in cui si sia interessati a ricavare solo un numero finito di termini di x(k).
Si divide per il polinomio a denominatore con la regola di Euclide
da cui si ricava
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76DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZ
Esempio:
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77DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZ
Metodo della scomposizione in fratti semplici
Caso 1: tutti i poli sono semplici
I coefficienti ci (residui) sono dati da:
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78DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZSe in X(z) vi e` almeno uno zero nell’origine, si usa X(z)/z:
Quando sono presenti poli complessi coniugati, i coefficienti ci sono anch'essi complessi. In questo caso si ricorre alle formule di Eulero per ottenere funzioni trigonometriche a coefficienti reali. L'espressione finale cercata e` quindi del tipo
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79DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZCaso 2: vi sono poli multipli in X(z) o in X(z)/z
Si puo` porre:
con
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80DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZEsempio: Calcolare l'antitrasformata della funzione
I due poli risultano z1 = 1 e z2 = 0.6. Inoltre, la X(z) puo` essere scritta come
Si utilizza quindi la X(z)/z
da cui
Dalle tabelle si ha quindi che
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81DigitLa La antitrasformataantitrasformata ZZEsempio: Antitrasformare la funzione
Si ha che
e quindi
e
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82DigitEq.niEq.ni differenzialidifferenziali e e allealle differenzedifferenze
Appendice B
Soluzione di equazioni differenziali e di equazioni alle differenze
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83DigitModellistica dei Sistemi a Tempo ContinuoModellistica dei Sistemi a Tempo Continuo
Si consideri il regolatore tempo continuo:
Tale espressione rappresenta, nel dominio delle trasformate di Laplace, l’equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti che esprime la relazione dinamica tra la legge di controllo u(t) ed il segnale errore e(t) :
-+
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84DigitSoluzione di equazioni differenziali lineariSoluzione di equazioni differenziali lineari
Supponiamo che il segnale di controllo u(t) sia descritto dall’equazione autonomaautonoma (in quanto (in quanto u(t)u(t) non dipende dallnon dipende dall’’ingresso ingresso e(t)e(t))):
Premoltiplicando entrambi i membri dell’equazione per iltermine e-t si ottiene:
Da cui si deduce che tutte e sole le soluzioni dell’equazionedifferenziale di partenza sono del tipo:
Ove c è una costante dipendente dalle condizioni iniziali
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85DigitSoluzione di equazioni differenziali lineariSoluzione di equazioni differenziali lineariIn generale, un’equazione differenziale lineare autonoma del primo ordine sarà del tipo:
E la relativa soluzione generale risulta:
È possibile introdurre l’equazione caratteristica associata:
la quale consente di calcolare il coefficiente a che, nella funzione esponenziale, moltiplica t
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86DigitSoluzione di equazioni differenziali lineariSoluzione di equazioni differenziali lineariConsideriamo ora una equazione del secondo ordine:
Introducendo la variabile ausiliaria:
È possibile riscrivere l’equazione del secondo ordine in un sistema di due equazioni del primo ordine:
È quindi del tutto evidente che, per la linearità, la soluzione generale dell’equazione del secondo ordine, sarà fornita dalla combinazione lineare una coppia qualunque di soluzioni particolari u1(t) e u2(t)
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87DigitSoluzione di equazioni differenziali lineariSoluzione di equazioni differenziali lineariConsideriamo ora una equazione del secondo ordine:
Per la linearità, l’integrale generale sarà fornito dalla combinazione lineare di due soluzioni indipendenti uu11(t)(t) e uu22(t)(t):
In analogia con quanto accade nel caso dell’equazione del primo ordine, anche qui le soluzioni particolari sono del tipo:
con ss11, s, s22 radici dell’eq. caratteristica:
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88DigitSoluzione di equazioni differenziali lineariSoluzione di equazioni differenziali lineari
Si noti infine la proprietà fondamentale degli integrali particolari di una ED del secondo ordine:
L’evoluzione dei sistemi a dati campionati, descritti daequazioni lineari alle differenze, possiede proprietà analoghe a quelle viste sinora per le equazioni differenziali lineari.
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89DigitModellistica dei Sistemi a Tempo DiscretoModellistica dei Sistemi a Tempo Discreto
Per mezzo della Z-trasformata, il regolatore tempo-discreto può essere rappresentato come:
Oppure, mediante equazioni alle differenze finite, la relazione dinamica tra la legge di controllo u(k) ed il segnale errore e(k)è rappresentabile come:
-+
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90DigitSoluzione di equazioni alle differenzeSoluzione di equazioni alle differenze
Consideriamo l’equazione differenziale:
Se il periodo di campionamento TT è sufficientemente piccolo, la derivata può essere riscritta come:
Quindi, trascurando la divisione per la costante TT, l’equazionealle differenze corrispondente all’ED di partenza è:
Ovvero:
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91DigitSoluzione di equazioni alle differenzeSoluzione di equazioni alle differenze
Consideriamo quindi:
Premoltiplicando entrambi i membri dell’equazione per il termine 22--kk siottiene:
c è una costante dipendente dalle condizioni iniziali
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92DigitSoluzione di equazioni differenziali lineariSoluzione di equazioni differenziali lineariIn generale, un’equazione alle differenze lineare autonoma del primo ordine sarà del tipo:
e la relativa soluzione generale risulta:
È possibile introdurre l’equazione caratteristica associata:
Consente di calcolare la base della funzione esponenziale in k
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93DigitSoluzione di equazioni differenziali lineariSoluzione di equazioni differenziali lineariConsideriamo ora una equazione del secondo ordine:
Per la linearità, la soluzione generale sarà fornita dalla combinazione lineare di due soluzioni indipendenti uu11(k)(k) e uu22(k)(k) :
In analogia con quanto accade nel caso dell’equazione del primo ordine, anche qui le soluzioni particolari sono del tipo:
con zz11, z, z22 radici dell’eq. caratteristica:
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94DigitSoluzione di equazioni differenziali lineariSoluzione di equazioni differenziali lineari
Si noti infine la proprietà fondamentale delle soluzioni di una equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti:
In analogia con quanto accade nel caso tempo-continuo
Prof. Claudio Melchiorri
DEIS-Università di Bologna
Tel. 051 2093034
e-mail: [email protected]
http://www-lar.deis.unibo.it/people/cmelchiorri
INTRODUZIONE AL CONTROLLO INTRODUZIONE AL CONTROLLO DIGITALE DIGITALE -- FINEFINE
CONTROLLI AUTOMATICI LSIngegneria Informatica