INTRODUÇÃO LÓGICA FUZZY - UFSCmauro.roisenberg/ine5377/Cursos-ICA/LN-CLogica… · 10 CONJUNTOS...

• •

• •1

LÓGICA FUZZY

Ricardo Tanscheit

Departamento de Engenharia ElétricaPUC-Rio

INTRODUÇÃO�

Lógica Fuzzy →→→→�

inspirada na lógica tradicional�

procura modelar os modos imprecisos

do raciocínio que têm um papel

fundamental na habilidade humana de

tomar decisões

INTRODUÇÃO

�Serve de base para o raciocínio aproximado

(“ approximate reasoning” )�

fornece o ferramental matemático para o

tratamento de informações de caráter

impreciso ou vago

INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO

�aplicações em diversas áreas do

conhecimento:�

Controle�

diretamente sobre o processo�

supervisão�

previsão de séries�

classificação

INTRODUÇÃO

INTRODUÇÃO�

principais vantagens:�

formulação através de regras linguísticas�

não necessita de modelo matemático formal�

regras linguísticas:�

obtidas através de especialistas�

geradas através de dados numéricos

Evolução da área• Aplicações Comerciais e Industriais.

• Devido à resistência dos cientistas, a Lógica Fuzzycresceu no mercado comercial para depois sedesenvolver nas universidades

A N O # de A PL I C A Ç Õ ES1986 81987 151988 501989 1001990 1501991 3001992 8001993 1500

• •

• •2

Aplicações Comerciais• Controle

– Controle de Aeronave (Rockwell Corp.)– Operação do Metrô de Sendai (Hitachi)– Transmissão Automática (Nissan, Subaru)– Space Shuttle Docking (NASA)

• Otimização e Planejamento– Elevadores (Hitachi, Fujitech, Mitsubishi)– Análise do Mercado de Ações (Yamaichi)

• Análise de Sinais– Ajuste da Imagem de TV (Sony)– Autofocus para Câmera de Vídeo (Canon)– Estabilizador de Imagens de Vídeo (Panasonic)

HISTÓRICO• Bivalência �� desde Aristóteles, a Lógica Clássica

baseia-se em bivalência: V,F– (Lei da não-contradição A ∩∩∩∩ ~A = φφφφ )

• Multivalência �� desenvolvida por Lukasiewicz paralidar com o Princípio da Incerteza na MecânicaQuântica– 1920 - 3 valores: V, F, IN

– 1930 - n valores

• Lógica Fuzzy �� desenvolvida por L. A. Zadeh (1965):os elementos pertencem a um certo conjunto comdiferentes graus de pertinência

SISTEMA FUZZY

É um sistema não-linear de mapeamento de

um vetor de entrada em uma saída escalar,

capaz de incorporar tanto o conhecimento

objetivo quanto o conhecimento subjetivo.

SISTEMA FUZZY

• Conhecimento Objetivo

– Usado na formulação de problemas deengenharia � modelos matemáticos

• Conhecimento Subjetivo

– Representa a informação lingüísticaque é geralmente impossível dequantificar via matemática tradicional

SISTEMA FUZZY

– Princípio da Incompatibilidade (Zadeh)

“ Conforme a complexidade de um sistema

aumenta , nossa habilidade de fazer declarações

precisas e significativas sobre o seu

comportamento diminui, até alcançar um limite

além do qual precisão e relevância tornam-se

características mutuamente exclusivas”

SISTEMA FUZZY

“ The closer one looks at a real world problem,the fuzzier becomes its solution” (Zadeh)��

A Lógica Fuzzy fornece um método para

reduzir e explicar a complexidade do sistema.

• •

• •3

SISTEMA FUZZY

• Mapeia fuzzy sets em fuzzy sets• Determina como as regras são ativadas e combinadas

REGRAS

INFERÊNCIA

FUZZIFICADOR DEFUZZIFICADORX y

Conjuntosfuzzy deentrada

Conjuntofuzzy desaída

Fornecidas por especialistas ouextraídas de dados numéricos

Para ativar asregras

Para fornecer asaída precisa

Entradasprecisas

Saídaprecisa

Visão Geral:

REGRAS FUZZY

• Exemplo:

SE u1 É muito quente E u2 É baixo

ENTÃO gire v um pouco para a direita

• Conceitos Importantes:– Variáveis Linguísticas– Quantificadores (muito, um pouco)– Conexões Lógicas– Implicação

antecedente

consequente

Características de SistemasFuzzy

• Modelagem de Problemas Complexos

– capazes de lidar com problemas complexos, com

propriedades não-lineares, por exemplo.

• Modelagem Cognitiva:

– têm a habilidade de codificar o conhecimento de

forma similar ao modo como os especialistas

expressam o processo de decisão.


• Modelagem de sistemas envolvendo múltiplosespecialistas:– capazes de conciliar informações de especialistas

consistentes (colaboradores) ou conflitantes(contraditórios)

Exemplo: Preço deve ser baixo - MarketingPreço deve ser alto - FinanceiraPreço deve ser 2 x o custo - Produção

• Complexidade Reduzida:– possuem “ poucas” regras, similares às expressas

por especialistas


• Manipulação de Incertezas:– lidam de forma consistente e matemática com

incertezas

→ Comparação com sistema especialista��

Fuzzy: SE altura É alta ENTÃO peso É pesado��

S. Especialista: SE altura É >>>> 1.78 E <<<< 1.95 ENTÃO peso É 90kg F.C. = 0.85

Formas de Imprecisão

• Inexatidão:

– Corresponde à precisão da nossa habilidadede medir (erros humanos).

��

– Tenta-se corrigir o erro através de váriasmedidas.

• •

• •4

Formas de Imprecisão• Precisão e Acuidade:

grau de exatidão como qual se pode mediruma grandeza

É o grau com que uma certamedida corresponde ao valorpadrão de uma grandeza �� erros devido a fatores doambiente, falta de calibração.

Incertezas podem afetar a acuidade, mas aprecisão não é afetada, já que esta só dependeda granularidade do dispositivo de medida

Formas de Imprecisão

O tipo de imprecisão dos modelos fuzzy éINDEPENDENTE dos sistemas de medição

• Imprecisão Intrínseca– associada à descrição das propriedades de um

fenômeno e não com as medidas da propriedade.

Lógica Fuzzy− trata de questões associadas à imprecisão

intrínseca, ao invés das relacionadas com falhasna medição

Formas de Imprecisão• Ambigüidade:

– várias interpretações plausíveis.

Exemplo: “ The food is HOT”

Antes do estabelecimento do universo de discurso, asentença é ambígua mas NÃO é fuzzy

Após o estabelecimento do universo de discurso, asentença pode ser considerada fuzzy

Formas de Imprecisão• Probabilidade X Lógica Fuzzy:

Tenta explicar como certoseventos ocorrem em um certoespaço randômico �� explicapopulações e não instânciasindividuais �� Antes de selecionar um elementode uma certa população,conhecem-se as chances doevento ocorrer �� Após selecionado o elemento,NÃO existe mais a probabilidade

Descreve propriedades quetêm valores contínuos,associando as partiçõesdesses valores a um rótulosemântico �� Importante: as partiçõespodem coincidir (overlap) �� Ambigüidade

Formas de Imprecisão• Probabilidade X Lógica Fuzzy:

Grau de Pertinência � nível de compatibilidadede um elemento do conjunto com o conceito doconjunto

Exemplo: �� Pedro é ALTO com µµµµ = 0.85

�� Pedro tem 0.85 de probabilidade de ser ALTO

Indica que Pedro é bem compatível com o conceito ALTO.�� Tem-se uma idéia da altura de Pedro.

Indica que Pedro tem grandes chances de ser ALTO.�� NÃO se tem a menor idéia da altura de Pedro.

CONJUNTOS FUZZY

• Conjuntos Ordinários (ou “ Crisp” ) A noção de pertinência é bem definida:

elementos pertencem ou não pertencem aum dado conjunto A (em um universo X)

��

∉∉∉∉

∈∈∈∈====

Ax

Axxf A

sesomenteese0

sesomenteese1)(

f : função característica

• •

• •5

CONJUNTOS FUZZY

• conjunto de pessoas altas• conjunto de carros caros• números muito maiores do que 1

Existem conjuntos cujo limite entre pertinência enão-pertinência é vago

Exemplos

• Conjuntos Fuzzy

• A função característica é generalizada, podendo

assumir um número infinito de valores no intervalo

[0,1] →→→→ função de pertinência

• Um conjunto fuzzy A em um universo X é definido

por uma função de pertinência

µµµµA(x): X→→→→ [0,1]

CONJUNTOS FUZZY

CONJUNTOS FUZZY

• Exemplo: Pessoas Altas

f(x) µµµµ (x)

Altura (m)

1.301.40 1.50 2.001.60 1.80 1.901.70 1.301.40 1.50 1.60 1.80 1.901.70

Altura (m)2.00

Função Característica Função de Pertinência

CRISP FUZZY

CONJUNTOS FUZZY

• Exemplo: Números muito maiores do que 1

f (x) µµµµ (x)

1 2 3 84 6 75

Função Característica Função de Pertinência

CRISP FUZZY

109 1412 1 2 3 84 6 75 109 1412

CONJUNTOS FUZZY

• Exemplo: X = todos os automóveis do Rio de Janeiro

Conjuntos crisp

azul

marrom

cinza

vermelho

verde

outraNacional

Importa

do

4 cilindros

6 cilindros

8 cilindros

outros

CONJUNTOS FUZZY

Conjunto A no universo X com µµµµA(x) ∈∈∈∈ [0,1]

medida do grau de compatibilidadede x com A

% de peçasnacionais

µµµµ (x)

25 50 75 100

1.00.9

0.5

0.25

importado nacional

• •

• •6

CONJUNTOS FUZZY

{{{{ }}}} Xx/xx�A A ∈∈∈∈==== )(

• Representação:

Um conjunto fuzzy A em X pode ser

representado por um conjunto de pares

ordenados

CONJUNTOS FUZZY• Outra Representação:

X contínuo:

denota a coleção de todos os pontos x ∈∈∈∈ X com

função de pertinência µµµµ (x)

X discreto:

denota a união de todos os pontos x i ∈∈∈∈ X com grausde pertinência µµµµ (x i )

�� ====

n

iiiA xx�

1

/)(

�� X

A xx� /)(

CONJUNTOS FUZZY

Exemplo: seja A = inteiros próximos de 10

X = {nos inteiros de 1 a 20}

A = 0.1/7 + 0.5/8 + 0.8/9 + 1/10 + 0.8/11 + 0.5/12 + 0.1/13

Observações:

• os inteiros não especificados possuem µµµµA (x) = 0

• os valores de µµµµA (x) são especificados �� exceto

para µµµµA(x)=1, todos os outros valores podem ser

modificados.

• a função de pertinência, neste caso específico, deveser simétrica.

CONJUNTOS FUZZY

Nomenclatura:

• Altura: maior grau de pertinência permitido pela

função de pertinência

• Normalização: um certo conjunto fuzzy é normal sea sua altura for igual a 1

– Forma normal mínima: pelo menos um elementotem µµµµ (x) = 1

– Forma normal máxima: pelo menos um elementotem µµµµ (x) = 1 e outro elemento tem µµµµ (x) = 0

CONJUNTOS FUZZY• Domínio:

Universo total de valores possíveis para oselementos de um conjunto �� depende docontexto

Domínio Aberto Domínio Fechado

Meia-IdadeAltas

1.80m

45

CONJUNTOS FUZZY• Suporte:

Área efetiva do domínio de um conjunto fuzzyque apresenta valores de µµµµ (x) >>>> 0

Pesadoµµµµ (x)

Suporte

Domínio

60 8070 90 110100 15014013012050kg

• •

• •7

CONJUNTOS FUZZY• Observação:

O conjunto fuzzy cujo suporte é um único ponto emU, com valor de µµµµ (x) = 1, é chamado de singleton

Igual a 10µµµµ (x)

10

CONJUNTOS FUZZY

• Conjunto αααα -cut:

– Restrição (limite) imposta ao domínio, baseada

no valor de αααα

– Contém todos os elementos do domínio que

possuam µµµµ (x) acima de um certo valor de αααα

µµµµ (x) ≥≥≥≥ αααα �� αααα-cut fraco

µµµµ (x) >>>> αααα �� αααα-cut for te

CONJUNTOS FUZZY

• Conjunto αααα -cut:– útil para as funções com longos “ tails” , que

tendem a possuir valores muito baixos de µµµµ(x)por um domínio extenso

85 9590 100 110105 14013513012512512011580

µµµµ (x)

kg

pesado

αααα-cut = 0.2

0.2-cut do conjunto pesadoé, então, de 100 a 140 kg.

CONJUNTOS FUZZY

Idade Criança Jovem Adulto Velho5 1 .1 0 010 .8 .3 0 020 .1 .8 .7 .130 0 .5 1 .240 0 .2 1 .450 0 .1 1 .660 0 0 1 .870 0 0 1 180 0 0 1 1

• Conjunto αααα -cut:

Conjuntos αααα-cut do conjuntoVELHO:

• velho .2 = {30,40,50,60,70,80}

• velho .8 = {60,70,80}

• velho1.0 = {70,80}

Variáveis Linguísticas

• Têm a função de fornecer uma maneirasistemática para uma caracterizaçãoaproximada de fenômenos complexos oumal definidos


• Variável linguística: variável cujos

valores são nomes de conjuntos fuzzy

Exemplo: temperatura de um processo

120 160140 180 220200 360340320300280260240100

Baixa Média Alta Muito Altapertinência

Temperatura

• •

• •8


• Formalismo: caracterizada por uma

quíntupla (N, T(N), X, G, M ), onde:N: nome da variável

temperatura

T(N): conjunto de termos de N, ou seja, o conjuntode nomes dos valores linguísticos de N

{baixa, média, alta, muito alta}

X: universo de discurso (espaço fuzzy completode variação de uma variável do modelo)

100 a 360 oC

Variáveis LinguísticasG: regra sintática para gerar os valores de N como

uma composição de termos de T(N), conectivoslógicos, modificadores e delimitadores

temperatura não baixatemperatura não muito alta

M: regra semântica, para associar a cada valor

gerado por G um conjunto fuzzy em X

associa os valores acima a conjuntos fuzzy

cujas funções de pertinência exprimem seus

significados

Funções de Pertinência

• Aos termos de uma variável linguística (ou aos

seus valores) faz-se corresponder conjuntos

fuzzy, definidos por suas funções de pertinência

• Podem ter formas padrão ou definidas pelousuário


• Contínuas: podem ser definidas por meio defunções analíticas

1)))((1()( −−−−−−−−++++==== bA cxaxµµµµ

12

12

12

))2(91()(

))5,0(91()(

)91()(

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−++++====

−−−−++++====

++++====

xx

xx

xx

grande

médio

pequeno

µµµµ

µµµµ

µµµµ


• Discretas: consistem em valores discretos

correspondendo a elementos (discretos) do

universo

{{{{ }}}}{{{{ }}}}{{{{ }}}}1;7,0;3,00;0;0;0)(

3,0;7,0;1;7,0;3,0;0;0)(

0;0;3,0;7,0;1;7,0;3,0)(

====

====

====

x

x

x

grande

médio

pequeno

µµµµ

µµµµ

µµµµ

{{{{ }}}}6,5,4,3,2,1,0====X


• Diferentes pessoas, ou grupos de

pessoas, podem definir funções de

pertinência (para um mesmo conjunto)

de forma diferente

• Exemplo: estatura de pessoas

• •

• •9

Funções de Pertinência�

Linear�

Trapezoidal�

Triangular�

Formato S�

Formato Z�

Formato PI�

Gaussiana�

Singleton�

Irregulares

Funções de Pertinência• Linear:

– conjunto mais simples, sendo uma boa escolha naaproximação de conceitos não bem compreendidos

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

µµµµ (x)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

µµµµ (x) Crescente Decrescente

xx

Funções de Pertinência• Trapezoidal: �� rápido processamento

�� contém descontinuidades

µµµµ (x)

1.0

a cb

Trap (x,a,b,c,d)

0 x ≤≤≤≤ a 1 - (b - x)/(b - a) a <<<< x ≤≤≤≤ b

Trap (x,a,b,c,d)= 1 b <<<< x ≤≤≤≤ c (d - x)/(d - c) c <<<< x ≤≤≤≤ d

0 x >>>> d

d x

Funções de Pertinência• Triangular: caso especial de trapezoidal

0 x ≤≤≤≤ e

1 - (f - x)/(f - e) e <<<< x ≤≤≤≤ f

TRI (x,e,f,g) = (g - x)/(g - f) f <<<< x ≤≤≤≤ g

0 x >>>> g

µµµµ (x)

1.0

e f

TRI ( x,e,f,g)

g x

Funções de Pertinência• Formato S: equação quadrática

µµµµ (x)

1.0

a cb

S(x,a,b,c)

dS/dx

0 x ≤≤≤≤ a 2 [(x - a)/(c - a )] 2 a ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ b

S (x,a,b,c) = 1 - 2 [(x - c)/(c - a)] 2 b ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ c 1 x ≥≥≥≥ c

x

Funções de Pertinência• Formato S com 2 parâmetros:

µµµµ (x)

1.0

a

S(x,a,b)

dS/dx

0 x ≤≤≤≤ a - b

[x - (a - b)] 2 / 2b2 a - b ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ aS (x,a,b) =

1 - [(a + b) - x]2/ 2b2 a <<<< x ≤≤≤≤ a + b

1 x >>>> a + b

b

x

• •

• •10

Funções de Pertinência• Formato Z: Z (x,a,b) = 1 - S(x,a,b)

1 x <<<< a - b

1 - [x - (a - b)] 2/ 2b2 a - b ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ a Z (x,a,b) =

[(a + b) - x]2/ 2b2 a <<<< x ≤≤≤≤ a + b

0 x >>>> a + b

µµµµ (x)

1.0

a

Z (x,a,b)

b

x

Funções de Pertinência• Formato PI: junção das curvas S e Z

S ( x, a - b/2, b/2) x ≤≤≤≤ aPI (x,a,b) =

Z (x, a + b/2, b/2) x ≥≥≥≥ a

µµµµ (x)

a

b

PI (x,a,b)

x

Funções de Pertinência• Gaussiana: - distribuição normal

- cai a zero para valores muito maiores ou muito menores do que a média

µµµµ (x)

µµµµ

σσσσ

G (x,µµµµ,σσσσ)

Ponto de Inflexão

µµµµ = médiaσσσσ = desvio padrão

x

(((( ))))(((( ))))

2

2

,, σσσσµµµµ

σσσσµµµµ−−−−−−−−

====x

exG


• Singleton: - na verdade não é um conjunto fuzzy

- simplifica os cálculos para produzir saídas fuzzy

µµµµ (x)

a

1.0

1 x = aSgl (x,a) =

0 x ≠≠≠≠ a

x

Funções de Pertinência• Irregulares:

– ocasionalmente as formas padrão não conseguemcapturar a semântica de uma variável �� representaçõesarbitrárias

µµµµ (x) µµµµ (x)

Hora Idade10 20 10090807060504030

Risco Alto de DirigirTráfego Intenso

9 10 17161514131211 18

Definições e operações

• Conjunto Vazio

XxxA A ∈∈∈∈∀∀∀∀====∅∅∅∅==== 0)(se somente e se µµµµ

• Complemento

Xxxx AA ∈∈∈∈∀∀∀∀−−−−==== )(1)(' µµµµµµµµ

• •

• •11


• Conjuntos iguais

XxxxBA BA ∈∈∈∈∀∀∀∀======== )()(se somente e se µµµµµµµµ

• A subconjunto de B

XxxxBA BA ∈∈∈∈∀∀∀∀≤≤≤≤⊂⊂⊂⊂ )()(se µµµµµµµµ

Definições e Operações• Conjuntos ordinários (crisp) exemplo:

X = {1,2,...20}

2 4 6 8 9 10 12 14

15 1618 19 20

1 2 3 5 8 13 20

1 3 5 7 11 13 17

Interseção: todos os elementosde X que estão em S1 e em S2

União ExclusivaS1 ⊕⊕⊕⊕ S2 = S1 ∪∪∪∪ S2 - S1 ∩∩∩∩ S2

S1 S21 3 5 13

1 2 3 5 7 8 11 13 17 20

2 7 8 11 17 20

Complementotodos oselementos deX que ∉∉∉∉ a S1

Uniãotodos os elementosde X que ∈∈∈∈ a S1 ou a S2


• Interseção - Conjuntos ordinários

Contém todos os elementos que pertencem a A e a B

1)( ====∩∩∩∩ xf BA se x ∈∈∈∈ A e x ∈∈∈∈ B

se x ∉∉∉∉ A ou x ∉∉∉∉ B0)( ====∩∩∩∩ xf BA

Xxxfxfxf BABA ∈∈∈∈∀∀∀∀∧∧∧∧====∩∩∩∩ )()()(


• União - Conjuntos ordinários

Contém todos os elementos que pertencem a A ou a B

Xxxfxfxf BABA ∈∈∈∈∀∀∀∀∨∨∨∨====∪∪∪∪ )()()(

Definições e Operações• a exemplo dos conjuntos crisp, existem operações

para combinar e modificar os conjuntos fuzzy

As operações são aplicadasàs funções de pertinência

• um certo elemento é membro de um conjunto fuzzy– se está dentro do domínio do conjunto

– se o grau de pertinência é >>>> 0

– (se está acima do limite αααα-cut)

Definições e Operações

Interseção e União - Conjuntos fuzzy

Zadeh estendeu as operações de conjuntos

ordinários para conjuntos fuzzy:

Xxxxx

Xxxxx

BABA

BABA

∈∈∈∈∀∀∀∀∨∨∨∨====

∈∈∈∈∀∀∀∀∧∧∧∧====

∪∪∪∪

∩∩∩∩

)()()(

)()()(

µµµµµµµµµµµµ


• •

• •12

PropriedadesUtilizando os operadores (de Zadeh) maxe min para a união e interseção fuzzy,verificam-se as seguintes propriedades:

AA ====)''(

��

====∪∪∪∪

====∩∩∩∩

AAA

AAA

Propriedades

��

∪∪∪∪====∪∪∪∪

∩∩∩∩====∩∩∩∩

ABBA

ABBA

��

∪∪∪∪∪∪∪∪====∪∪∪∪∪∪∪∪

∩∩∩∩∩∩∩∩====∩∩∩∩∩∩∩∩

)()(

)()(

CBACBA

CBACBA

Propriedades

�� ∪∪∪∪∩∩∩∩∪∪∪∪====∩∩∩∩∪∪∪∪∩∩∩∩∪∪∪∪∩∩∩∩====∪∪∪∪∩∩∩∩

)()()(

)1()()()(

CABACBA

CABACBA

Demonstração de (1):

))()(())(()((

))()(()(

xxxx

xxx

CABA

CBA

µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ

∧∧∧∧∨∨∨∨∧∧∧∧====∨∨∨∨∧∧∧∧

Para cada uma das situações seguintes, verificam-se os resultados correspondentes:(considerando-se os cálculos como feitos “ elemento a elemento” )

Propriedades

CCBCA

BBCBA

AABAC

AAABC

AACAB

AAACABA

ABACBA

ACB

dqc

µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ

µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ


====�� >>>>>>>>====�� >>>>>>>>====�� >>>>>>>>====�� >>>>>>>>====�� >>>>>>>>

====∨∨∨∨====∧∧∧∧∨∨∨∨∧∧∧∧====∧∧∧∧====∨∨∨∨∧∧∧∧

�� >>>>>>>>

...)()(

)(

Propriedades

CACBBA ⊂⊂⊂⊂�� ⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂ ese

��

∩∩∩∩====∪∪∪∪

∪∪∪∪====∩∩∩∩

'''

'''

)(

)(

BABA

BABA

��

====∩∩∩∩∪∪∪∪

====∪∪∪∪∩∩∩∩

ABAA

ABAA

)(

)(

Propriedades

Observando que as funções depertinência dos conjuntos vazio euniverso são 0 e 1:

��

====∪∪∪∪

====∩∩∩∩ ��

====∅∅∅∅∪∪∪∪

∅∅∅∅====∅∅∅∅∩∩∩∩

XXA

AXAe

AA

A

• •

• •13

Propriedades

Conjuntos ordinários:

XAAAA ====∪∪∪∪∅∅∅∅====∩∩∩∩ '' e

Conjuntos fuzzy:

XAAxxx

AAxxx

'AAAA

'AAAA

≠≠≠≠∪∪∪∪�� ≠≠≠≠−−−−∨∨∨∨====

∅∅∅∅≠≠≠≠∩∩∩∩�� ≠≠≠≠−−−−∧∧∧∧====

∪∪∪∪

∩∩∩∩

1))(1()()(

0))(1()()(

'

'



Propriedades

Observa-se, portanto, que

a lei da Não-Contradição (A ∩∩∩∩ A’ = φφφφ ) e

a lei da Exclusão Mútua (A ∪∪∪∪ A’ = X)

são inválidas no caso fuzzy

Lei da Não-Contradição

NOME IDADE µµµµMI (x) µµµµMI' (x) Interseção

Abel 36 .92 .08 .08José 58 0 1 0

Carlos 64 0 1 0João 32 .47 53 .47Pedro 40 1 0 0Tiago 22 0 1 0Felipe 47 .74 .26 .26André 25 .10 .90 .10

4 membros têm grau de pertinência diferente de zeropara ambos os conjuntos Meia-Idade e não-Meia-Idade

– Quais os membros que são de MEIA-IDADE enão MEIA-IDADE ao mesmo tempo?

NOME ALTURA µµµµALTO (y) µµµµALTO' (y) Interseção

Abel 1.70 .84 .16 .16José 1.75 .92 .08 .08

Carlos 1.65 .68 .32 .32João 1.78 .96 .04 .04Pedro 1.77 .94 .06 .06Tiago 1.60 .39 .61 .39Felipe 1.73 .90 .10 .10André 1.75 .92 .08 .08

Lei da Não-Contradição

TODOS os membros têm grau de pertinência diferentede zero para ambos os conjuntos ALTO e não-ALTO

– Quais os membros que são ALTOS e não-ALTOSao mesmo tempo?

Lei da Exclusão Mútua

Nem TODOS os membros têm grau de pertinênciaigual a um para a união dos conjuntos MI e MI’

NOME IDADE µµµµM-I (x) µµµµMI' (x) União

Abel 36 .92 .08 .92José 58 0 1 1

Carlos 64 0 1 1João 32 .47 53 .53Pedro 40 1 0 1Tiago 22 0 1 1Felipe 47 .74 .26 .74André 25 .10 .90 .90

– Quais os membros que são de MEIA-IDADEou não-MEIA-IDADE ao mesmo tempo?

Lei da Exclusão Mútua

NENHUM dos membros têm grau de pertinência igual aum para a união dos conjuntos ALTO e ALTO’

NOME ALTURA µµµµALTO (y) µµµµALTO' (y) União

Abel 1.70 .84 .16 .84José 1.75 .92 .08 .92

Carlos 1.65 .68 .32 .68João 1.78 .96 .04 .96Pedro 1.77 .94 .06 .94Tiago 1.60 .39 .61 .61Felipe 1.73 .90 .10 .90André 1.75 .92 .08 .92

– Quais os membros que são ALTOS ounão-ALTOS ao mesmo tempo?

• •

• •14

Outros Operadores

• Interseção:

[[[[ ]]]])1)()((,0

)()(

2))()((

))(),((

−−−−++++∗∗∗∗++++

yxmax

yx

yx

yxmin

BA

BA

BA

BA

µµµµµµµµµµµµµµµµ

µµµµµµµµµµµµµµµµZadeh

média

produto$

Lukasiewicz

$ também sugerido por Zadeh

Outros Operadores

• Exemplo:0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.000.25 0.25 0.25 0.25 0.250.50 0.25 0.50 0.50 0.500.75 0.25 0.50 0.75 0.751.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.25 0.250.50 0.25 0.500.75 0.25 0.50 0.751.00 0.25 0.50 0.75 1.00

Zadehmin

Lukasiewiczmax [0, (µµµµA(x) + µµµµB(y) - 1)]

Outros Operadores

• União:

Zadeh

média

somaprobabilística(ou algébrica)

soma limitada

[[[[ ]]]]{{{{[[[[ ]]]]}}}}

[[[[ ]]]]))()((,1

)()()()(

6)(),((4

)(),((2

))(),((

yxmin

yxyx

yxmax

yxmin

yxmax

BA

BABA

BA

BA

BA

µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ

µµµµµµµµµµµµµµµµ

µµµµµµµµ

++++∗∗∗∗−−−−++++

∗∗∗∗++++∗∗∗∗

UNIÃO• Exemplo:

0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.00 0.25 0.50 0.75 1.000.25 0.25 0.25 0.50 0.75 1.000.50 0.50 0.50 0.50 0.75 1.000.75 0.75 0.75 0.75 0.75 1.001.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.00 0.25 0.50 0.75 1.000.25 0.25 0.50 0.75 1.00 1.000.50 0.50 0.75 1.00 1.00 1.000.75 0.75 1.00 1.00 1.00 1.001.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

Zadehmin

Soma limitadamin [1, (µµµµA(x) + µµµµB(y))]

Outros Operadores

• Funções de Yager:

família parametrizada de operadores

– Interseção:

– União:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) 011,11,1

>>>>�� −−−−++++−−−−−−−−==== pyxminyxTppp

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] 0,1,1

>>>>++++==== pyxminyxCppp

Yager: Interseção

• •

• •15

Yager: União Operadores

• Generalização

operadores norma-t e co-norma-t (norma-s)

• Operações binárias de [0,1] x [0,1] →→→→ [0,1], tal que,∀∀∀∀x, y, z, w ∈∈∈∈ [0,1], determinadas propriedades sãosatisfeitas.

Norma-t

As seguintes propriedades são satisfeitas:

xyyx ∗∗∗∗====∗∗∗∗

)()( zyxzyx ∗∗∗∗∗∗∗∗====∗∗∗∗∗∗∗∗zywxzwyx ∗∗∗∗≤≤≤≤∗∗∗∗≤≤≤≤≤≤≤≤ então,,se

xxx ====∗∗∗∗====∗∗∗∗ 1e00

Norma-t• Exemplos:

– mínimo

– produto

– Lukasiewicz

– norma-t degenerada

x, se y = 1

Z (x,y) = y, se x = 1 0, caso contrário

Co-norma-t

As seguintes propriedades são satisfeitas:

xyyx ⊕⊕⊕⊕====⊕⊕⊕⊕

)()( zyxzyx ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕====⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

zywxzwyx ⊕⊕⊕⊕≤≤≤≤⊕⊕⊕⊕≤≤≤≤≤≤≤≤ então,,se

11e0 ====⊕⊕⊕⊕====⊕⊕⊕⊕ xxx

Co-norma-t• Exemplos:

– máximo– soma probabilística– soma limitada– norma-t degenerada

x, se y = 0

Z (x,y) = y, se x = 0 1, caso contrário

• •

• •16

MODIFICADORES

• são operadores semânticos

• atuam na modelagem de um sistema fuzzy damesma forma que advérbios e adjetivos atuam emuma sentença

• modificam a natureza de um conjunto fuzzy

atuam sobre a função de pertinência de umconjunto fuzzy com o objetivo de modificá-la

MODIFICADORES

• Da mesma forma que com os advérbios e

adjetivos, a ordem dos modificadores é

importante

NÃO MUITO ALTO

≠≠≠≠ MUITO NÃO ALTO

MODIFICADORES

• De forma análoga à construção de sentenças,múltiplos modificadores podem ser aplicados a umúnico conjunto fuzzy

• Exemplo: positivamente não muito ALTO

Conjunto fuzzy básicoMúltiplos modificadores

MODIFICADORES

• o processamento é feito de forma análoga à

linguagem:

positivamente não muito ALTO

(positivamente (não (muito ALTO)))

MODIFICADORES

• podem ser usados tanto no antecedente quanto noconsequente:

SE custo é muito ALTO ENTÃO a margem de lucro é BAIXA

SE inflação é muito GRANDE ENTÃO vendas são positivamente PEQUENAS

MODIFICADORES• concentradores:

– muito, extremamente

• diluidores:

– um pouco, levemente, mais ou menos

• aproximadores:

– em torno, aproximadamente, perto de

• restrição de uma região fuzzy:

– abaixo de, acima de

• contraste:

– positivamente, de uma forma geral

• •

• •17

Concentradores

• Reduzem os graus de pertinência dos

elementos que pertencem ao conjunto fuzzy

µµµµA (x) ≥≥≥≥ µµµµ MUITO A (x)

Concentradores

• Concentradores de ZADEH:

µµµµ MUITO A (x) = [µµµµ A (x)] 2

µµµµ CONC A (x) = [µµµµ A (x)] n n ∈∈∈∈ [1,4]

Concentradores

• Exemplo 1:

altomuitoalto

n = 2

µµµµ (x)

extremamente alton = 3

1.0

Para se obter o mesmo valor de µµµµ (x), o elementodo domínio deve estar mais à direita

Concentradores

• Exemplo 2:

meia-idade

45

muito de meia-idade

1.0

µµµµ (x)

Diluidores

• Diluem a função de pertinência para umacerta região fuzzy

µµµµA (x) ≤≤≤≤ µµµµ UM POUCO A (x)

Diluidores

• Diluidores de ZADEH:

µµµµ UM POUCO A (x) = [µµµµ A (x)] 1/2

µµµµ DILUIDOR A (x) = [µµµµ A (x)] 1/n n ∈∈∈∈ [1,8]

• •

• •18

Diluidores

• Exemplo 1:

µµµµ (x)

1.0

Altoum pouco alton = 1/2

levemente alton = 1/3

Para se obter o mesmo valor de µµµµ (x),o elemento do domínio deve estarmais à esquerda

Diluidores

• Exemplo 2:

meia-idade

45

um pouco de meia-idade

1.0

µµµµ (x)

Concentradores/Diluidores

• possuem o mesmo suporte que o conjunto original;

• possuem o mesmo valor no domínio para µµµµ (x) = 0 e

µµµµ (x) = 1;

• muito e um pouco são os únicos modificadores

comutativos

Modificadores

• Exemplo:

alto

alto

não muito alto

muito não alto

não alto

não muito alto muito não alto

muito alto

não muito alto ≠≠≠≠ muito não alto

Aproximadores

• alargam ou estreitam uma região fuzzy

(do tipo “ sino” );

• transformam valores escalares em

regiões fuzzy �� número fuzzy

Aproximadores

• Alargando:

meia-idade

45

em torno de meia-Idade

1.0

µµµµ (x)

• •

• •19

Aproximadores

• Estreitando:

meia-idade

45

perto de meia-idade

1.0

µµµµ (x)

Aproximadores

• Transformando em um número fuzzy:

em torno de 22

12

1.0

µµµµ (x)

x14 1816 30282624222010

o domínio depende do contexto!

Restrição de uma RegiãoFuzzy

ACIMA DEABAIXO DE

restringem o escopo dafunção de pertinência


• ACIMA:

45

1.0

µµµµ (x)

acima de meia-idademeia-idade


• ABAIXO:

45

1.0

µµµµ (x)

abaixo de meia-idademeia-idade

Contraste

• Mudam a natureza da região fuzzy

– Intensificador �� torna o conjunto menos fuzzy�

positivamente, definitivamente

– Difusor �� torna o conjunto mais fuzzy�

de uma forma geral

• •

• •20

Contraste

• Intensificador: muda a função aumentando os µµµµ (x)

acima de 0.5 e diminuindo os µµµµ (x) abaixo de 0.5µµµµ (x)

1.0

alto

0.5

positivamentealto

1.401.20 1.50 1.60 1.80 2.00

0.350.25

ponto de

inflexãoaltura (m)

Contraste

µµµµ (x)

1.0 alto

0.5

1.401.20 1.60 1.80 2.00

ponto de inflexão

Altura (m)

• Difusor: muda a função reduzindo os µµµµ (x) acimade 0.5 e aumentando os µµµµ (x) abaixo de 0.5

de uma forma geralalto

0.350.23

Relações e Composições

O que é inferência?

Premissa 1: temperatura = 75°

Premissa 2: SE temperatura é alta ENTÃO vazão é grande

Conclusão: vazão = ?

Relações e Composições

temperatura = 75°

SE temperatura é alta ENTÃO vazão é grande

vazão = ?

R2 �� Relação de ImplicaçãoA �� B

Composição das RelaçõesR1 o R2

R1 �� Relação simples (um conjunto fuzzy)

Relações

• Relação Crisp:

– representa a presença ou ausência de associação,

interação ou interconectividade entre elementos de

dois ou mais conjuntos.

• Relação Binária:

– envolve dois conjuntos X e Y R (X,Y)

Relações CrispDados os universos X e Y, a relação crispR definida em X x Y é um subconjunto doproduto cartesiano dos dois universos,tal que R: X x Y →→→→ {0,1}

função característica

�� ∈∈∈∈

====contrár iocasoem0

),(sesomenteese1),(

Ryxyxf R

• •

• •21

Relações Crisp

• OBSERVAÇÃO: como R também é um

conjunto, todas as operações de conjuntos

crisp podem ser aplicadas sem modificação.

Relações Crisp

• Exemplo 1:

X = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Y = { 1, 2, 3, 4, 5}

R(X,Y) = {(x,y) / x ≥≥≥≥ y}=?

R(X,Y) = {(1,1); (2,1); (3,1); (2,2); (3,2); (3,3)}

Relações Crisp

• Exemplo 2:

X : conjunto de todos os sistemas contínuos, lineares,de segunda ordem

X = { x1, x2} = {sistema variante no tempo,

sistema invariante no tempo}

Y: conjunto dos pólos de tais sistemas

Y = {y1, y2} = {pólos no semi-plano esquerdo,

pólos no semi-plano direito}

Relações Crisp Relações Crisp

• Exemplo 2 (continuação):

• Relação de Estabilidade entre X e Y

SistemasEstáveis

sistemas invariantes no tempo E

pólos no semi-plano esquerdo

R(X,Y) = {sistema invariante no tempo, pólos no semi-plano esquerdo}

Relações Crisp

• Exemplo (continuação):

x1

x2

y1 y2

0 0

01

x1

x2

Y1

y2

MATRIZ RELACIONAL DIAGRAMA SAGITAL

Relações Crisp Relações Fuzzy

• Relação Fuzzy:

– representa o grau de associação, interação ou

interconectividade entre elementos de dois ou mais

conjuntos fuzzy

– Exemplos: x é muito maior do que yy é bem próximo de xz é muito mais alto do que yse x é grande então y é pequeno

• •

• •22

Relações Fuzzy

A relação fuzzy R (X,Y) é um conjunto fuzzycaracterizado pela função de pertinência

µµµµ R (x,y) x ∈∈∈∈ X e y ∈∈∈∈ Y

R (X,Y) = { [(x,y) , µµµµ R (x,y)] / (x,y) ∈∈∈∈ X x Y}

Relações Fuzzy

• OBSERVAÇÃO: como as relações fuzzy

são também conjuntos fuzzy, as operações

com essas relações podem ser definidas

utilizando-se os operadores de união,

interseção e complemento

Relações Fuzzy

• Exemplo 1:

X = {x1, x2, x3} = {8, 2, 10}

Y = {y1, y2, y3, y4} = {2, 0, 4, 3}

R (X,Y) = x é muito maior do que y

x1

x2

x3

y1 y2 y3 y4

0.8 0.51

00.40

0.7

0

0.710.9 0.8

µµµµmm (x,y) =

Relações Fuzzy

Exemplo 2:

X = {x1,x2} = {Fortaleza, Florianópolis}

Y = {y1,y2, y3} = {Porto Alegre, Criciúma, Curitiba}

R: "muito próxima".

Relações Fuzzy

Matriz Relacional para o caso crisp

y1 y2 y3

Porto Alegre Criciúma Curitiba

x1 Fortaleza 0 0 0

x2 Florianópolis 1 1 1

Relações Fuzzy

Matriz Relacional para o caso fuzzy

y1 y2 y3

Porto Alegre Criciúma Curitiba

x1 Fortaleza 0,1 0,2 0,3

x2 Florianópolis 0,8 1 0,8

• •

• •23

Composição de Relações

• Representa um papel muito importante emsistemas de inferência fuzzy

• Caso crisp: dadas as relações P(X,Y) eQ(Y,Z), a composição é definida por

),(),(),( ZYQYXPZXR �====

subconjunto de X x Z tal que (x,z) ∈∈∈∈ R se e somente se

existir pelo menos um y ∈∈∈∈ Y tal que (x,y) ∈∈∈∈ P e (y,z) ∈∈∈∈ Q


• Exemplo (caso crisp):

��

�� ====

110000011010

),(3

2

1

4321

xxx

YXP

yyyy

��

��

�� ====

0100

0011

1000

0001

),(

4

3

2

1

4321

y

y

y

y

ZYQ

zzzz


x1

x2

x3

y1

y2

y3

y4

z1

z2

z3

z4

P (X,Y) Q (Y,Z)

x1

x2

x3

z1

z2

z3

z4

R(X,Z) = P (X,Y) ° Q (Y,Z)

Diagrama sagital:

��

��

====011100011100

),(3

2

1

4321

xxx

ZXR

zzzz


A operação realizada para se obter a composiçãodas relações pode ser representada por:

• composição max-min:

))]},(),,(([),,{(),(),( zyfyxfminmaxzxzxfzxf QPy

QPR ======== • composição max-produto:

))]},(),([(),,{(),(),( zyfyxfmaxzxzxfzxf QPy

QPR ========


Exemplificando para o cálculo do elemento(x1,z2) de R (no exemplo):

0)]}0,0,0,0[),,{(),(

)]}0,1(),1,0(),0,1(),0,0([),,{(),(

))]},(),,(()),,(),,((

)),,(),,(()),,(),,(([),,{(

))]},(),,(([),,{(),(),(

2121

2121

24412331

2221211121

212121

============

============

maxzxzxf

minminminminmaxzxzxf

zyfyxfminzyfyxfmin

zyfyxfminzyfyxfminmaxzx

zyfyxfminmaxzxzxfzxf

R

R

QPQP

QPQP

QPy

QPR �


• Observação (caso crisp):

Cada elemento de R(X,Z) pode ser obtido por meio

da “ multiplicação de matrizes” observando-se que:

– cada “ multiplicação” deve ser efetuada com o

operador adequado: min ou produto

– cada “ adição” deve ser efetuada com o operador

max

• •

• •24


Composição fuzzy faz-se umageneralização do caso não-fuzzy

)],(),([),(),( zyyxsupzxzx QPy

QPR µµµµµµµµµµµµµµµµ ∗∗∗∗======== �

• a norma-t é usualmente o min ou o produto

• para universos finitos, o sup é o max


Interpretação gráfica:

µµµµP (x,y) µµµµQ (y,z)x ∈∈∈∈ X z ∈∈∈∈ Zy ∈∈∈∈ Y µµµµ P ° Q (x,z)

Obs.: o procedimento de “ multiplicação de matrizes”aplica-se também ao caso fuzzy


• Exemplo 1:• Estudantes:

X = {Maria, João, Pedro}

• Características de cursos

Y = {teoria, aplicação, hardware, programação}

• Cursos

Z = {lógica fuzzy, controle fuzzy, redes neurais,

sistemas especialistas}



– Interesse dos estudantes, em termos das

características dos cursos:

��

��

��

��

��

��

====15,09,05,05,001,011,08,012,0

),(JoãoMariaPedro

YXP

phat



– Características dos cursos:

��

��

��

��

====

18,05,01,007,03,008,08,012,01,06,05,01

),(

phat

ZYQ

SERNCFLF



– A composição (max-min) pode servir de auxílio aos

estudantes na escolha dos cursos:

��

��

��

��

====18,09,05,05,06,05,018,08,012,0

JoãoMariaPedro

QP

SERNCFLF

Obs: ao contrário deste exemplo, a composição max-produto

geralmente não produz o mesmo resultado!

• •

• •25

Composição de Relações• Exemplo 2:

x é muito maior do que y E y é muito próximo de z

X = { x1, x2, x3}Y = { y1, y2, y3, y4}Z = {z1, z2, z3}

µµµµmm ° mp (x,z) = ?

µµµµmm (x,y) µµµµmp (y,z)

Composição de Relações• Exemplo 2 (continuação):

x1

x2

x3

y1 y2 y3 y4

0.8 0.11

00.80

0.7

0

0.710.9 0.8

µµµµmm (x,y) =

y1

y2

y3

y4

0.4 0.30.9

00.400.80.50.9

µµµµmp (y,z) =

0.50.70.6

x1

x2

x3

0.42 0.35 0.72

00.320

0.560.810.63

Composição max-produto

x1

x2

x3

0.6 0.50.8

00.40

0.70.90.7

Composição max-minz1 z2 z3

z1 z2 z3

z1 z2 z3

Relações dadas:


µµµµR (z,w)µµµµP (x,y) µµµµQ (y,z)w ∈∈∈∈W µµµµP ° Q ° R (x,w)

µµµµP ° Q (x,z) µµµµR (z,w)w ∈∈∈∈ W µµµµP ° Q ° R (x,w)

x ∈∈∈∈ X z ∈∈∈∈ Zy ∈∈∈∈ Y

x ∈∈∈∈ X z ∈∈∈∈ Z

• Três relações:

Obs.: poder-se-ia compor Q e R, primeiramente; oresultado seria então composto com P

Composição de RelaçõesCaso especial: P é um conjunto fuzzy apenas

em vez de tem-se , o que éequivalente a se ter X = Y

),( yxPµµµµ )(xPµµµµ

)],()([)( zxxsupz QPx

R µµµµµµµµµµµµ ∗∗∗∗====

Obs.: resultado fundamental para sistemas de inferência fuzzy!


µµµµP (x,y) µµµµQ (y,z)x ∈∈∈∈ X z ∈∈∈∈ Zy ∈∈∈∈ Y µµµµ P ° Q (x,z)

µµµµP (x) µµµµQ (x,z)x ∈∈∈∈ X z ∈∈∈∈ Zx ∈∈∈∈ X µµµµ P ° Q (z)

X = Y

Interpretação gráfica:

Composição de Relações• Exemplo:

x é mediamente grande E z é muito menor do que x

µµµµmg (x) = {0,3; 0,7; 1; 0,.7; 0,3}

x1

x2

x3

x4

x5

0.3 0.10.2

0.30.70.80.60.81µµµµmm (x,z) =

0.811

z1 z2 z3 z4

X = { x1, x2, x3, x4, x5} = {5, 10, 15, 20, 25}Z = {z1, z2, z3, z4} = {1, 2, 3, 4}

111

0

0.20.40.6

1

µµµµR (z) = {1/1; 0,8/2; 0,7/3; 0,6/4}Composição max-min

• •

• •26

Proposições Fuzzy• Frases da forma � é A, onde A é um conjunto

fuzzy definido no universo X de �

• Podem ser combinadas por meio de diferentes

operadores:

• conectivos lógicos e e ou

• negação: não

• operador de implicação: se .... então

• Podem ser descritas em termos de relações fuzzy

Proposições Fuzzy• Conectivos:

• e →→→→ usado com variáveis em universos diferentes

Ex: temperatura é alta e pressão é baixa

• ou →→→→ conecta valores linguísticos de uma mesmavariável

Ex: temperatura é alta ou baixa

→→→→ em sentenças do tipo se .... então, podeser usado com variáveis diferentes

Ex: se a pressão é alta ou a temperatura é baixa

Proposições Fuzzy

• Negação:

• Exemplo: pressão é não alta

{{{{ }}}} {{{{ }}}}xxAnão/xx�A AA /))(1()( µµµµ−−−−====��====

Proposições Fuzzy

• Considerem-se:

• variáveis linguísticas de nomes x e y definidas em

universos X e Y

• conjuntos fuzzy A e B definidas em X e Y

• proposições fuzzy ��

By

Ax

é

é

Proposições Fuzzy

Conexão das proposições por meio de e (interseção):

)é()é( ByeAx

relação fuzzyBeAR

norma-t (geralmente o min ou o produto)

)()(),( yxyx BAR µµµµµµµµµµµµ ∗∗∗∗====

Proposições Fuzzy

Conexão das proposições por meio de ou (união):

)é()é( ByouAx

relação fuzzyBouAR

)()(),( yxyx BAR µµµµµµµµµµµµ ⊕⊕⊕⊕====

co-norma-t (geralmente o max)

• •

• •27

Proposições Fuzzy• Exemplo:

– Quais os membros do grupo abaixo que sãoao mesmo tempo ALTOS e de MEIA-IDADE?

NOME IDADE ALTURAAbel 36 1.70

Marcelo 58 1.75Carlos 64 1.65João 32 1.78Pedro 40 1.77Tiago 22 1.60Felipe 47 1.73André 25 1.75

Proposições Fuzzy• Exemplo (continuação):

com conjuntos crisp:

Conjunto ALTO Conjunto MEIA-IDADE

3025 4035 45 50 551.651.60 1.751.70 1.80 1.85 1.90


Membros com idade entre 35 e 45 anos e altura maior do que 1.75m (caso crisp):

NOME IDADE fMI (x) ALTURA fALTO (y) RMI e ALTO

Abel 36 1 1.70 0 0José 58 0 1.75 1 0

Carlos 64 0 1.65 0 0João 32 0 1.78 1 0Pedro 40 1 1.77 1 1Tiago 22 0 1.60 0 0Felipe 47 0 1.73 0 0André 25 0 1.75 1 0


com conjuntos fuzzy:

Conjunto ALTO Conjunto MEIA-IDADE

3025 4035 45 50 551.50 1.65 1.80

11

0,5

Proposições Fuzzy

NOME IDADE µµµµMI (x) A LTURA µµµµA LTO (y ) RMI e A LTO

Ab el 36 .92 1.70 .67 .67José 58 0 1.75 .83 0

Car los 64 0 1.65 .50 0João 32 .47 1.78 .93 .47

Ped ro 40 1 1.77 .90 .90Tiag o 22 0 1.60 .33 0Fel ipe 47 .74 1.73 .77 .74A nd ré 25 .10 1.75 .83 .10


Graus de pertinência da relação “ Meia-Idade e Alto” :

min


– Quais os membros que são ALTOS ou de MEIA-IDADE?

Membros com idade entre 35 e 45 anos ou altura maior que 1.75m (caso crisp):

NOME IDADE fMI (x) ALTURA fALTO (y) RMI ou ALTO

Abel 36 1 1.70 0 1José 58 0 1.75 1 1

Carlos 64 0 1.65 0 0João 32 0 1.78 1 1Pedro 40 1 1.77 1 1Tiago 22 0 1.60 0 0Felipe 47 0 1.73 0 0André 25 0 1.75 1 1

• •

• •28

Proposições Fuzzy

NOME IDADE µµµµMI (x) ALTURA µµµµALTO (y) RMI ou ALTO

Abel 36 .92 1.70 .67 .67José 58 0 1.75 .83 .83

Carlos 64 0 1.65 .50 .50João 32 .47 1.78 .93 .93Pedro 40 1 1.77 .90 1Tiago 22 0 1.60 .33 .33Felipe 47 .74 1.73 .77 .77André 25 .10 1.75 .83 .83

max


Graus de pertinência da relação “ Meia-Idade ou Alto” :

Proposições FuzzyDeclaração condicional fuzzy (operação se .... então)(descreve a dependência do valor de uma variável linguística emrelação ao valor de outra)

)é()é( ByentãoAxse

relação fuzzyBAR →→→→

operador de implicação

))(),((),( yxfyx BABA µµµµµµµµµµµµ →→→→→→→→ ====

Proposições FuzzyMais de um antecedente:

relação fuzzy

)é()é(....)é()é( 2211 ByentãoAxeeAxeAxse mm

))()),(,...),(),(((),,...,,( 2121 21yxxxffyxxx BmAAAemR m

µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ →→→→====

operador que representa o conectivo e(geralmente min ou produto)

Proposições FuzzyCombinação de várias declarações condicionais por ou

)é()é(:

)é()é(:)é()é(:

222

111

nnn ByentãoAxseR

ouByentãoAxseRouByentãoAxseR

�

))](),((,....)),(),(()),(),(([

)],(,....),,(),,([),(

2211

21

yxfyxfyxff

yxyxyxfyx

nn

nN

BABABAou

RRRouR

µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ

→→→→→→→→→→→→

========

operador que representa o conectivo ou (geralmente max)

LÓGICA FUZZY

• Regras são implicações lógicas

se x é A então y é B

a função de pertinência desta relação édefinida por meio do operador de implicação

relacionado à Lógica Proposicional

Lógica Proposicional

• Regras são formas de proposição

declaração envolvendo termos já definidos

Ex: a temperatura é alta

se temperatura é alta então diminui a vazão

• •

• •29


• Proposições podem ser verdadeiras ou falsas

• Proposições p e q podem ser combinadas a

partir de três operações básicas:

• conjunção

• disjunção

• implicação


• Conjunção: p ∧∧∧∧ q

estabelece a verdade simultânea de

duas proposições p e q

• Disjunção: p ∨∨∨∨ q

estabelece a verdade de uma ou de

ambas as proposições p e q


• Implicação: p �� q

verifica se a regra abaixo é verdadeira (V)

se p então q

antecedente consequente

Lógica ProposicionalOutras operações:

• Equivalência: p ⇔⇔⇔⇔ q

verifica se as duas proposições são

simultaneamente verdadeiras ou

simultaneamente falsas

• Negação: ~ p

para se dizer é falso que ....


• Proposições não relacionadas entre

si podem ser combinadas para

formar uma implicação

• Não se considera nenhuma relação

de causalidade


• A implicação é verdadeira quando:

• antecedente é V, consequente é V

• antecedente é F, consequente é F

• antecedente é F, consequente é V

• A implicação é falsa quando:

• antecedente é V, consequente é F

• •

• •30


• Tabelas Verdade:

p q p ∧∧∧∧ q p ∨∨∨∨ q p ↔↔↔↔ q p →→→→ q ~ pV V V V V V FV F F V F F FF V F V F V VF F F F V V V


• Axiomas Fundamentais:

• cada proposição é V ou F, mas nuncaambos

• as tabelas verdade de:�

Conjunção�

Disjunção�

Equivalência�

Implicação�

Negação


Exemplo:

Considere-se a declaração condicional

se eu estiver bem de saúde (p)

então irei à escola (q)


Situações possíveis:� p = V (estou bem de saúde)

q = V (fui à escola)

promessa cumprida →→→→ declaração verdadeira


Situações possíveis:� p = V (estou bem de saúde)

q = F (não fui à escola)

promessa violada →→→→ declaração falsa


Situações possíveis:� p = F (não estou bem de saúde)

q = V (fui à escola)

promessa (de ir à escola) cumprida →→→→ declaração verdadeira

• •

• •31


Situações possíveis:� p = F (não estou bem de saúde)

q = F (não fui à escola)

promessa não violada →→→→ declaração verdadeira


• TAUTOLOGIA:

� É uma proposição sempre verdadeira

formada a partir da combinação de

outras proposições


• Tautologias importantes:

(p →→→→ q) ↔↔↔↔ ~ [ p ∧∧∧∧ (~q)]

(p →→→→q) ↔↔↔↔ [(~p) ∨∨∨∨ q]


• Comprovação das tautologias:

(p →→→→ q) ↔↔↔↔ ~[ p ∧∧∧∧ (~q)]

p q p →→→→ q ~ q p ∧∧∧∧ (~ q) ~ [p ∧∧∧∧ (~ q)] ~ p (~ p) ∨∨∨∨ qV V V F F V F VV F F V V F F FF V V F F V V VF F V V F V V V

(p →→→→ q) ↔↔↔↔ [(~p) ∨∨∨∨ q]


Isomorfismos:

O isomorfismo entre a álgebra booleana, a teoria dos

conjuntos e a lógica proposicional garante que cada

teorema em qualquer uma dessas teorias tem um teorema

equivalente em cada uma das outras duas teorias


Equivalências importantes:

LÓGICA TEORIA DOSCONJUNTOS

ÁLGEBRABOOLEANA

∧∧∧∧ ∩∩∩∩ ××××∨∨∨∨ ∪∪∪∪ +

~ ′′′′ ′′′′V 1

F 0

↔↔↔↔ =

• •

• •32

Lógica Proposicional• Considerando

• as tautologias anteriores

• as equivalências entre lógica, teoria deconjuntos e álgebra booleana

• que, em conjuntos crisp, a função característicapode assumir apenas os valores 0 e 1

obtêm-se funções característicaspara a implicação

Lógica ProposicionalTradicional

• Tautologia 1:

(p →→→→ q) ↔↔↔↔ ~[ p ∧∧∧∧ (~q)]

)](1),([1),( yfxfminyxf qpqp −−−−−−−−====→→→→


• Tautologia 2:

(p →→→→ q) ↔↔↔↔ [(~p) ∨∨∨∨ q ]

)](),(1[),( yfxfmaxyxf qpqp −−−−====→→→→

Lógica Proposicional• Demonstração:

fp(x) fq(y) 1 - fp(x) 1 - fq(y) I I I

1 1 0 0 1 11 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1

0 0 1 1 1 1

I

I I

)](),(1[),( yfxfmaxyxf qpqp −−−−====→→→→

)](1),([1),( yfxfminyxf qpqp −−−−−−−−====→→→→


• Observação: existem inúmeras outras

funções características para a

implicação, não necessariamente

fazendo uso dos operadores max e min


�Regras de Inferência Clássicas:

• Modus Ponens

• Modus Tollens

• •

• •33


• Modus ponens:

Premissa 1: x é A (p)Premissa 2: se x é A então y é B (p→→→→q)Consequência: y é B (q)

[ p ∧∧∧∧ (p →→→→ q) ] →→→→ q

Lógica Fuzzy

• Os conceitos de Lógica Fuzzy nasceram inspirados na

lógica proposicional (tradicional)

• A extensão da lógica tradicional para a Lógica Fuzzy

foi efetuada através da substituição das funções

características (bivalentes) por funções de pertinência

fuzzy

Lógica Fuzzy

• A declaração condicional

se x é A então y é B

tem uma função de pertinência

),( yxBA→→→→µµµµ

mede o grau de verdade darelação de implicação entre x e y

Lógica Fuzzy

• Exemplos de funções de implicação, obtidas

por simples extensão da lógica tradicional:

)](1),([1),( yxminyx BABA µµµµµµµµµµµµ −−−−−−−−====→→→→

)](),(1[),( yxmaxyx BABA µµµµµµµµµµµµ −−−−====→→→→

Lógica Fuzzy

• Modus ponens generalizado:

Premissa 1: x é A*

Premissa 2: se x é A então y é BConclusão: y é B*

A* e B* não são necessariamente

iguais a A e B, respectivamente

Lógica Fuzzy• Exemplo:

se homem é baixoentão homem não é bom jogador de basquete

��

A = baixoB = não é bom jogador de basquete

��

Premissa: homem é abaixo de 1.60m A*

Conclusão: homem é mau jogador de basquete

B*

• •

• •34

Lógica FuzzyConclusão:

• Lógica Tradicional (Crisp) ��

A regra é disparada somente se a premissa 1 for

exatamente igual ao antecedente, sendo que o

resultado da regra é o próprio consequente.

Lógica FuzzyConclusão:

• Lógica Fuzzy ��

A regra é disparada desde que exista um grau de

similaridade diferente de zero entre a premissa 1 e

o antecedente da regra, sendo que o resultado é

um consequente que tem um grau de similaridade

diferente de zero com o consequente da regra.

Interpretação do Modus Ponens Generalizado:

Lógica Fuzzy

Regra se-entãox é A* y é B*

µµµµB*(y)

µµµµA→→→→B (x,y)

µµµµP (x) µµµµQ (x,z)x ∈∈∈∈ X z ∈∈∈∈ Wx ∈∈∈∈ X

µµµµ P ° Q (z)

Composição de um conjunto fuzzy com uma relação fuzzy

O Modus Ponens Generalizado é uma composição de

relações fuzzy, onde a primeira relação é apenas um

conjunto fuzzy e a segunda é a relação de implicação.

Lógica Fuzzy

)],()([)( ** yxxsupy BAAAx

B →→→→∈∈∈∈

∗∗∗∗====∗∗∗∗


Exemplo:

• dada a relação de implicação:

• e dois conjuntos A e B, em universos discretos e finitosX e Y, com funções de pertinência:

Lógica Fuzzy

)](),(1[),( yxmaxyx BABA µµµµµµµµµµµµ −−−−====→→→→ • obtém-se:

Lógica Fuzzy

��

��

��

====→→→→

111116,06,018,06,0

05,018,03,03,05,018,03,08,08,018,08,0

11111

),( yxBAµµµµ

{{{{ }}}}{{{{ }}}}0;5,0;1;8,0;3,0)(

0;4,0;1;7,0;2,0;0)(

====

====

y

x

B

A

µµµµ

µµµµ

• •

• •35

• dado um conjunto A* definido por:

• e utilizando o min para a norma-t em:

(universos discretos e finitos: sup →→→→ max)

Lógica Fuzzy

{{{{ }}}}2,0;7,0;1;8,0;3,0;0)( ====∗∗∗∗ xA

µµµµ

)],()([)( ** yxxmaxy BAAAx

B →→→→∈∈∈∈

∗∗∗∗====∗∗∗∗


• tem-se

Lógica Fuzzy

{{{{ }}}}6,0;6,0;1;8,0;6,0

);12,0;6,07,0;01;3,08,0;8,03,0;10(

);12,0;6,07,0;5,01;5,08,0;8,03,0;10(

);12,0;17,0;11;18,0;13,0;10(

);12,0;8,07,0;8,01;8,08,0;8,03,0;10(

);12,0;6,07,0;3,01;3,08,0;8,03,0;10(

)(

====

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧

∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧

====∗∗∗∗

max

max

max

max

max

y�B

{{{{ }}}}2,0;7,0;1;8,0;3,0;0)( ====∗∗∗∗ xA

µµµµ

��

��

��

====→→→→

111116,06,018,06,0

05,018,03,03,05,018,03,08,08,018,08,0

11111

),( yxBAµµµµ

Supondo que a entrada A* do sistema seja precisa

(não-fuzzy):

A* é um singleton

Lógica Fuzzy

��

∈∈∈∈====

====Xx

xxx

A outro todo para0

'para1)(*µµµµ

Como x ≠≠≠≠ 0 apenas no ponto x’, o sup torna-se

desnecessário

Lógica Fuzzy

),'(

)],'(1[

)],'()'([)( **

yx

yx

yxxy

BA

BA

BAAB

→→→→

→→→→

→→→→

====∗∗∗∗====

∗∗∗∗====

µµµµµµµµ


LÓGICA FUZZY

• Exemplo: considere-se a implicação

e conjuntos A e B representados por funções de

pertinência triangulares, em universos contínuos

)](1),([1),( yxminyx BABA µµµµµµµµµµµµ −−−−−−−−====→→→→

LÓGICA FUZZY

Para uma entrada singleton x’, o consequente B* serádado por:

Graficamente, o procedimento consiste em:

)](1),'([1)(* yxminy BABµµµµµµµµµµµµ −−−−−−−−====

• •

• •36

Lógica Fuzzy

x

µµµµ

x'

A*1 •

Lógica Fuzzy

Regra (implicação): se A então B

yx

µµµµ

1 µµµµA (x)

µµµµ

1 µµµµB (y)

Lógica FuzzyOperações (passo a passo):observando que µµµµA (x' ) < 1

y

1-µµµµB (y)

y

µµµµ

1µµµµA (x' )

min [µµµµA (x' ), 1-µµµµB (y)]

µµµµ

1

Lógica Fuzzy

Resultado final (consequente):

y

µµµµ

1 )(* yB

µµµµ

Lógica Fuzzy

• Observa-se que o resultado de uma regra específica, cujo

consequente é associado a um conjunto fuzzy com

suporte finito, é um conjunto fuzzy com suporte infinito

• Este comportamento, que é observado também para

outras implicações, viola o senso comum, de importância

em aplicações em engenharia

foram definidas implicações que não violassem o sensocomum : min e produto [Mamdani e Larsen → → → → Controle],mesmo rompendo o vínculo com a lógica proposicional

Lógica FuzzyRefazendo o exemplo com essas implicações:

y

y

y

grau de ativaçãoda regra

x

µµµµ1 µµµµA (x)

x'

µµµµ1 µµµµB (y)min

)(* yB

µµµµ

produto

µµµµ

1 µµµµB (y)

)(* yB

µµµµ

• •

• •37

Lógica Fuzzy• Com estas implicações, chamadas de implicações de

engenharia [Mendel], observa-se que:

– o conjunto fuzzy resultante está diretamente associado

ao consequente da regra.

– não existe mais o patamar (suporte infinito)

• Outros operadores também são usados para implicaçãogeralmente normas-t

y

Lógica Fuzzy• Quanto aos demais operadores, utilizam-se, geralmente:

• conectivo e ( fe ) normas-t

• conectivo ou ( fou ) co-normas-t

• norma-t no modus ponens generalizado min

y

regra de inferência max-min

SISTEMA DE INFERÊNCIA FUZZY

REGRAS

INFERÊNCIA

FUZZIFICAÇÃO DEFUZZIFICAÇÃOX y

• Mapeia conjuntos fuzzy em conjuntos fuzzy• Determina como as regras são ativadas e combinadas

Conjuntosfuzzy deentrada

Conjunto fuzzyde saída

Fornecidas por especialistas ouextraídas de dados numéricos

Para ativaras regras

Para fornecer asaída precisa

Entradasprecisas

Saídaprecisa

• Fuzzificação: mapeamento de dados precisos para

os conjuntos fuzzy (de entrada)

• Defuzzificação: interpretação do conjunto fuzzy desaída

y


o processo de defuzzificação produz umasaída precisa, a partir do conjunto fuzzy desaída obtido pelo sistema de inferência

DEFUZZIFICAÇÃO

• Existem vários métodos diferentes

• Os mais utilizados são:– Máximo

– Média dos Máximos

– Centróide (ou Centro de Gravidade)

– Altura

– Altura Modificada

DEFUZZIFICAÇÃO• Máximo: examina-se o conjunto fuzzy de

saída e escolhe-se, como valor preciso, o valorno universo da variável de saída para o qual ograu de pertinência é o máximo

10 20 30 40

B2 B3

10 20 30 40

B2 B3

Qual valor escolher se omáximo for uma faixa?

O valor máximo é o limite superiordo Universo de Discurso!!

• •

• •38

DEFUZZIFICAÇÃO• Média dos máximos: a saída precisa é obtida

tomando-se a média entre os dois elementosextremos no universo que correspondem aosmaiores valores da função de pertinência doconjunto fuzzy de saída

B1 B2

10 20 30 40

B2 B3

y1 y2

(y1+y2)/2

O valor preciso é o limite superiordo Universo de Discurso!!

O valor preciso possui grau depertinência igual a ZERO!!

DEFUZZIFICAÇÃO• Centróide: a saída precisa ( yC ) é o valor no

universo que corresponde ao centro de

gravidade do conjunto fuzzy (B)

Problema: dificuldade no cálculo!

�� ====

dyy

dyyyy

B

B

C)(

)(

µµµµ

µµµµ

�� ====

)(

)(

iB

iBiC y

yyy

µµµµµµµµ

Contínuo Discreto

DEFUZZIFICAÇÃO• Altura: calcula-se

�� ====

l

lB

l

l

B

l

h y

yyy

l

l

)(

)(

µµµµµµµµ

yl: valor no universo correspondente ao centro de

gravidade do conjunto fuzzy Bl, associado ao

grau de ativação da regra Rl

DEFUZZIFICAÇÃO• Altura (continuação)

• Método simples o valor no universo quecorresponde ao centro de gravidade das funções depertinência mais comuns é conhecido a priori:

• Triangular (simétrica) �� corresponde ao ápice do triângulo

• Guassiana �� corresponde ao centro da função

• Trapezoidal (simétrica) �� corresponde ao ponto médio dosuporte

• Problemas:• só utiliza o centro do suporte da função de pertinência do

consequente• qualquer que seja a largura da função de pertinência, fornece

o mesmo resultado!

DEFUZZIFICAÇÃO• Altura modificada: calcula-se

�� ====

l

llB

l

ll

B

l

mh y

yyy

l

l

2

2

)/()(

)/()(

δδδδµµµµδδδδµµµµ

δδδδ l: medida da extensão do suporte do consequente

da Regra Rl

funções de pertinência triangulares e trapezoidais suporte do conjunto.

funções de pertinência gaussianas desvio padrão

•

•

Exemplo: Estacionamento de um veículo

ponto de parada

φφφφ

x

θθθθ

x: central (CE)

φφφφ = 90 o ou vertical (VE)


• •

• •39


Regra: se (x é LE) e (φφφφ é RB) então (θθθθ é PS)

LE LC CE RC RIRB PS PM PM PB PBRU NS PS PM PB PBRV NM NS PS PM PBVE NM NM ZE PM PMLV NB NM NS PS PMLU NB NB NM NS PSLB NB NB NM NM NS

φφφφx

SISTEMA DE INFERÊNCIA FUZZYConjuntos fuzzy:

Entradas precisas: x = 47,5m φφφφ = 99°

.6

.4

.7

.2



φφφφ xOperadores considerados neste exemplo:

• conectivo e ( fe ) min

• implicação min

• norma-t no modus ponens generalizado min

• conectivo ou ( fou ) max


Dois antecedentes:


)())'()'(()(21

* θθθθµµµµφφφφµµµµµµµµθθθθµµµµ BAABx ∧∧∧∧∧∧∧∧====

)(2,0)()2,06,0()())'()'(()(

)(6,0)()7,06,0()())'()'(()(

)(2,0)()2,04,0()())'()'(()(

)(4,0)()7,04,0()())'()'(()(

*

*

*

*

θθθθµµµµθθθθµµµµθθθθµµµµφφφφµµµµµµµµθθθθµµµµ




NSNSNSLVCENS

ZEZEZEVECEZE

NMNMNMLVLCNM

NMNMNMVELCNM

x

x

x

x

∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====

∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====

∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====

∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====

Para cada uma das regras ativadas, tem-se:(cf. figuras a seguir)



φφφφ x .4

.7

.4

)(4,0)()7,04,0()())'()'(()(* θθθθµµµµθθθθµµµµθθθθµµµµφφφφµµµµµµµµθθθθµµµµ NMNMNMVELCNMx ∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====

• •

• •40

SISTEMA DE INFERÊNCIA FUZZY)(6,0)()7,06,0()())'()'(()(* θθθθµµµµθθθθµµµµθθθθµµµµφφφφµµµµµµµµθθθθµµµµ ZEZEZEVECEZE

x ∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====


φφφφ x

.7

.6

.6

SISTEMA DE INFERÊNCIA FUZZY)(2,0)()2,06,0()())'()'(()(* θθθθµµµµθθθθµµµµθθθθµµµµφφφφµµµµµµµµθθθθµµµµ NSNSNSLVCENS

x ∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====


φφφφ x

.2

.6

.2


.4

.2

.2

)(2,0)()2,04,0()())'()'(()(* θθθθµµµµθθθθµµµµθθθθµµµµφφφφµµµµµµµµθθθθµµµµ NMNMNMLVLCNMx ∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====∧∧∧∧∧∧∧∧====


φφφφx

União dos consequentes de cada regra


.4

.6

.2

.4

.6

.2

Defuzzificação:


.4

.6

.2

COG MOM

considera somente as regrascom o maior grau de ativação

considera todas as regras

forma dos conjuntos é importante

Número de conjuntos (ou de funções depertinência) dos antecedentes


Número de regras possíveis(5 x 7 = 35, no exemplo)

muitos conjuntos

• dificuldade na construção dabase de regras

• maior custo computacional• menor interpretabilidade

(linguística)

• •

• •41

Formas das funções de pertinência


• arbitrárias, de início• ajustadas de acordo com o desempenho

sistemas neuro-fuzzy e fuzzy-genéticos

Conclusão �� o desempenho de um sistema

fuzzy é afetado por:

• base de regras

• número e forma dos conjuntos fuzzy

• operador de implicação

• método de defuzzificação


Números Fuzzy: conjuntos fuzzy definidos no

conjunto dos números reais

COMENTÁRIOS

Aritmética Fuzzy

base do Raciocínio Aproximado

Aplicações em:• Programação Linear Fuzzy• Previsão• Planejamento

Outros Sistemas de Inferência Fuzzy

COMENTÁRIOS

Regra 1

Regra 2

Tsukamoto �� se x é A e y é B então z é C monotônica

Outros Sistemas de Inferência Fuzzy

COMENTÁRIOS

Takagi-Sugeno-(Kang) �� se x é A e y é Bentão z = f(x,y)

Regra 1

Regra 2

Áreas de aplicação de Sistemas Fuzzy e Híbridos:(bibliografia abundante)

• Controle (NEFCON)

• Classificação (NEFCLASS)

• Aproximação de Funções (NEFPROX)

• Previsão de Séries (extração automática de regras)

• Fuzzy clustering

• etc.

COMENTÁRIOS

INTRODUÇÃO LÓGICA FUZZY - UFSCmauro.roisenberg/ine5377/Cursos-ICA/LN-CLogica… · 10 CONJUNTOS...

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