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INTRODUCTION

QUELQUES REPÈRES HISTORIQUES

M. Delfour

Département de mathématiques et de statistiqueUniversité de Montréal

2 septembre 2016

M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 1 / 33

1 RÈGLE DE FERMAT

Pierre de Fermat

2 NOTION DE DÉRIVÉE

3 NOTION DE DIFFÉRENTIELLE COMME LIMITE

4 QUELQUES PROFILS

Gottfried Wilhelm von LeibnizIsaac NewtonThéorème de RolleKarl Weierstrass

5 RAPPELS D’ANALYSE

Plus petite borne supérieure et plus grande borne inférieureR

n et Espace EuclidienEnsembles ouverts, fermés ou compacts

6 AUTRES

Heinrich Eduard HeineÉmile BorelBrook Taylor

7 RÉFÉRENCES

DÉRIVÉESPIERRE DE FERMAT (1601-1665)

FIGURE 1: Pierre de Fermat, conseiller au parlement de Toulouse, (1601-1665)

La première idée du calcul différentiel et la règle pour le calcul des extrema(Methodus ad disquirendam Maximam et Minimam, 1637)

remontent à Pierre de Fermat 1 dont les découvertes en théorie des nombres ontéclipsé ses contributions aux autres domaines des mathématiques.

1. Pierre Fermat, 17 août 1601 (Beaumont-de-Lomagne, France) - 12 janvier 1665.M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 3 / 33

1 RÈGLE DE FERMAT

Pierre de Fermat

4 QUELQUES PROFILS

6 AUTRES

7 RÉFÉRENCES

DÉRIVÉESLE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET LA NOTION DE DÉRIVÉE CRÉÉS AU XVIIE SIÈCLE

Près de 50 ans après Pierre de Fermat en 1637, la notion de dérivée a vu le jourdans les écrits de Leibniz 2 (1684 3) et de Newton 4 (1691) qui la nomme fluxion et quila définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».

La règle de Fermat pour l’extremum d’une fonction algébrique est donc en mêmetemps généralisée par Leibniz sous la forme f ′(x) = 0 en 1684.

Le domaine fut subséquemment tourmenté par une querelle de priorité entre lesdeux inventeurs du calcul pendant près de 50 ans. Les notations

f (x)(Newton),df

dx(x)(Leibnitz), f

′(x)(Lagrange)

2. Gottfried Wilhelm Leibniz, 1 juillet 1646 (Leipzig, Allemagne) - 14 novembre 1716.3. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates

moratur, et singulare pro illis calculi genus (Une nouvelle méthode pour les maxima et minima ainsi que lestangentes, qui ne sont limités à des expressions ni fractionnaires ni irrationnelles, et un type remarquable decalcul pour celles-ci), dans Acta Eruditorum, 1684, un journal fondé à Leipzig deux ans plus tôt.

4. Sir Isaac Newton, 4 janvier 1643 (Woolsthorpe-by-Colsterworth, Angleterre) - 31 mars 1728.M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 5 / 33

Près de 50 ans après Pierre de Fermat en 1637, la notion de dérivée a vu le jourdans les écrits de Leibniz 2 (1684 3) et de Newton 4 (1691) qui la nomme fluxion et quila définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».

Le domaine fut subséquemment tourmenté par une querelle de priorité entre lesdeux inventeurs du calcul pendant près de 50 ans. Les notations

f (x)(Newton),df

dx(x)(Leibnitz), f

′(x)(Lagrange)

2. Gottfried Wilhelm Leibniz, 1 juillet 1646 (Leipzig, Allemagne) - 14 novembre 1716.3. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates

moratur, et singulare pro illis calculi genus (Une nouvelle méthode pour les maxima et minima ainsi que lestangentes, qui ne sont limités à des expressions ni fractionnaires ni irrationnelles, et un type remarquable decalcul pour celles-ci), dans Acta Eruditorum, 1684, un journal fondé à Leipzig deux ans plus tôt.

4. Sir Isaac Newton, 4 janvier 1643 (Woolsthorpe-by-Colsterworth, Angleterre) - 31 mars 1728.M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 5 / 33

1 RÈGLE DE FERMAT

Pierre de Fermat

4 QUELQUES PROFILS

6 AUTRES

7 RÉFÉRENCES

Cette condition est utilisée en 1691 dans la démonstration du Théorème de Rolle 5

qui mène et à la règle de L’Hôpital en 1696 6.Plusieurs mathématiciens, incluant Maclaurin, essayèrent de démontrer le

bien-fondé de l’utilisation des infinitésimaux.Ce n’est que 150 ans plus tard, que les travaux de Cauchy et de Weierstrass 7

préciseront la notion de limite et permettront finalement d’éviter les notionsrudimentaires de quantités infinitésimales.

Le calcul différentiel et intégral pourra alors s’appuyer sur des bases solides.

5. Michel Rolle, 21 avril 1652 (Ambert, France)- 8 novembre 1719 (Paris).6. Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661-1704)7. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897)M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 7 / 33

Cette condition est utilisée en 1691 dans la démonstration du Théorème de Rolle 5

qui mène et à la règle de L’Hôpital en 1696 6.Plusieurs mathématiciens, incluant Maclaurin, essayèrent de démontrer le

bien-fondé de l’utilisation des infinitésimaux.Ce n’est que 150 ans plus tard, que les travaux de Cauchy et de Weierstrass 7

préciseront la notion de limite et permettront finalement d’éviter les notionsrudimentaires de quantités infinitésimales.

Le calcul différentiel et intégral pourra alors s’appuyer sur des bases solides.

5. Michel Rolle, 21 avril 1652 (Ambert, France)- 8 novembre 1719 (Paris).6. Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661-1704)7. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897)M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 7 / 33

LA SUITE...

• fonctions différentiables dans Rn, n ≥ 2 (Jacobi, Weierstrass)

• 1735 - Calcul des variations (Euler) - fonctions de fonctions

• 1744-46 -Maupertuis- Principe de moindre action

• 1786-87 - Lagrange - Règle des ultiplicateurs (contraintes d’égalité)

• 1801-1883 - Problèmes de Plateaux (surfaces minimales)

• 1939 - Karush - règle des multiplicateurs (contraintes d’inégalité)

• 1939 - Kantorovich - programmation linéaire

• 1947 - John von Neumann - dualité - minimax - jeux -équilibres de Pareto et deNash

• 1947 - George Dantzig - algorithme du simplex

• 1954 - Kuhn-Tucker

Pendant trois siècles, la règle de Fermat sera appliquée, justifiée, adaptée, etgénéralisée dans le contexte de la théorie de l’optimisation, du calcul des variations, etde la théorie du contrôle optimal. Il faut signaler les travaux intensifs de Euler (XVIIIè),Lagrange et Jacobi (XIXè), et de Poincaré et Hilbert (début du XXè).

LA SUITE...

• fonctions différentiables dans Rn, n ≥ 2 (Jacobi, Weierstrass)

• 1735 - Calcul des variations (Euler) - fonctions de fonctions

• 1744-46 -Maupertuis- Principe de moindre action

• 1786-87 - Lagrange - Règle des ultiplicateurs (contraintes d’égalité)

• 1801-1883 - Problèmes de Plateaux (surfaces minimales)

• 1939 - Karush - règle des multiplicateurs (contraintes d’inégalité)

• 1939 - Kantorovich - programmation linéaire

• 1947 - John von Neumann - dualité - minimax - jeux -équilibres de Pareto et deNash

• 1947 - George Dantzig - algorithme du simplex

• 1954 - Kuhn-Tucker

Pendant trois siècles, la règle de Fermat sera appliquée, justifiée, adaptée, etgénéralisée dans le contexte de la théorie de l’optimisation, du calcul des variations, etde la théorie du contrôle optimal. Il faut signaler les travaux intensifs de Euler (XVIIIè),Lagrange et Jacobi (XIXè), et de Poincaré et Hilbert (début du XXè).

1 RÈGLE DE FERMAT

Pierre de Fermat

4 QUELQUES PROFILS

6 AUTRES

7 RÉFÉRENCES

DÉRIVÉESGOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ

FIGURE 2: Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716)

Leibniz est un philosophe, scientifique, mathématicien, diplomate, bibliothécaire ethomme de loi allemand qui a écrit en latin, français et allemand.

ll est envoyé en 1672 à Paris, en mission diplomatique. Il y reste jusqu’en 1676 et yrencontre les grands savants de l’époque : Huygens et Malebranche, entre autres. Il seconsacre aux mathématiques et laisse à Paris son manuscrit sur la quadraturearithmétique du cercle. Il travaille également sur ce qui sera le calcul infinitésimal. Ilconçoit en 1673 une machine à calculer qui permet d’effectuer les quatre opérations, etqui inspirera bien des machines à calculer du XIXe et XXe siècle (Thomas de Colmar,Curta). Avant de rejoindre Hanovre, il se rend à Londres étudier certains écrits d’IsaacNewton, jetant, tous les deux, les bases du calcul intégral et différentiel en 1684 (Nova

methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec

irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus).◮ Pascaline : Blaise Pascal (1623-1662).

DÉRIVÉESSIR ISAAC NEWTON

FIGURE 3: Sir Isaac Newton (1643-1727)

Newton est un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais. Figureemblématique des sciences, il est surtout reconnu pour sa théorie de la gravitationuniverselle et, en mathématiques, la création, en concurrence avec Leibniz, du calculinfinitésimal en 1691 (Leibniz, 1684). Il nomme fluxion ce qui deviendra la notion dedérivée et la définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».

Il est aussi connu pour la généralisation du théorème du binôme et l’invention dite dela méthode de Newton permettant de trouver des approximations d’un zéro (ou racine)d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles.

DÉRIVÉESMICHEL ROLLE (1652-1719)

FIGURE 4: Michel Rolle né à Ambert le 21 avril 1652 et mort à Paris le 8 novembre 1719

Michel Rolle est un mathématicien français principalement connu pour avoir établi etpublié en 1691, dans le cas particulier des polynômes réels à une variable, unepremière version du théorème qui porte maintenant son nom. En 1689, il écrit unarticle en algèbre, qui contient le théorème sur la position des zéros d’une équation.En 1675, il se relocalise à Paris où il travaille en tant que spécialiste de l’arithmétique.Rolle œuvra surtout dans l’analyse, l’algèbre, et la géométrie Diophantine. En 1685, ilest élu à l’Académie Royale des Sciences.

Rolle gagna aussi quelque notoriété en résolvant un problème posé par JacquesOzanam en 1682. Impressionné par la réalisation de Rolle, Jean-Baptiste Colbert,contrôleur général des finances sous le roi Louis XIV de France, lui fit verser unepension pour le recompenser de son travail consciencieux.

Il adopta aussi, pour désigner la racine n-ième d’un réel x , la notation normalisée :n√

x .M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 12 / 33

DÉRIVÉESMICHEL ROLLE (1652-1719)

CONCEPTS TOPOLOGIQUES, NOTION DE LIMITEKARL WEIERSTRASS

FIGURE 5: Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897), mathématicien allemand

Souvent cité comme le « père de l’analyse moderne », il consolida des travaux deCauchy (1789-1857) sur les nombres irrationnels et leur amena une nouvellecompréhension.

Il eut comme étudiants Sofia Kovalevskaïa et Georg Cantor. Ne pouvant s’inscrire àl’université du fait de son sexe, Kovalevskaïa suit les cours privés de Karl Weierstrasset de Hermann Ludwig von Helmholtz. Elle est la première femme au monde à obtenirun doctorat de mathématiques, en 1874 à l’université de Göttingen.

1 RÈGLE DE FERMAT

Pierre de Fermat

4 QUELQUES PROFILS

6 AUTRES

7 RÉFÉRENCES

BBORNE SUPÉRIEURE ET BORNE INFÉRIEURE

R nombres réels,

R+déf= {x ∈ R : x ≥ 0} R

+ déf= {x ∈ R : x > 0}

Rdéf= R ∪ {±∞} nombres réels étendus

DÉFINITION

∅ 6= A ⊂ R.

(i) A est borné supérieurement s’il existe b ∈ R tel que

∀a ∈ A, a ≤ b

et b est appelé borne supérieure de A ;

(ii) A est borné inférieurement s’il existe b ∈ R tel que

∀a ∈ A, b ≤ a.

et b est appelé borne inférieure de A ;

(iii) A est borné s’il est borné inférieurement et supérieurement. .

PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURESUPREMUM ET INFIMUM

DÉFINITION

Soit ∅ 6= A ⊂ R.

a) Soit A un ensemble borné supérieurement. On dit que b0 est est la plus petiteborne supérieure de A si

i) b0 est une borne supérieure de A,ii) pour toute borne supérieure M de A, on a b0 ≤ M.

La plus petite borne supérieure b0 de A est unique et sera notée sup A.b) Soit A un ensemble borné inférieurement. On dit que b0 est est la plus grande

borne inférieure de A sii) b0 est une borne inférieure de A,

ii) pour toute borne inférieure m de A, on a b0 ≥ m.

La plus grande borne inférieure b0 de A est unique et sera notée inf A.

Lorsque A n’est pas borné supérieurement, on posera sup A = +∞Lorsque A n’est pas borné inférieurement, on posera inf A = −∞◮ Si A 6= ∅, alors −∞ ≤ inf A ≤ sup A ≤ +∞.◮ Si A = ∅, alors par convention on posera inf∅ = +∞ et sup∅ = −∞.

DÉFINITION

Soit ∅ 6= A ⊂ R.

DÉFINITION

Soit ∅ 6= A ⊂ R.

DÉFINITION

Soit ∅ 6= A ⊂ R.

DÉFINITION

Soit ∅ 6= A ⊂ R.

DÉFINITION

Soit ∅ 6= A ⊂ R.

PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURECONDITIONS ÉQUIVALENTES

Lorsque A est un ensemble fini, inf A ∈ A et sup A ∈ A. Lorsque A n’est pas unensemble fini et que par exemple inf A /∈ A, il peut être intéressant de construire unesuite d’éléments de A qui converge vers inf A. Dans ce cas, on peut utiliser lesconditions équivalentes suivantes.

THÉORÈME

Soit ∅ 6= A ⊂ R.

a) b0 est la plus petite borne supérieure de A si et seulement si

i) b0 est une borne supérieure de A,ii’) pour tout M tel que b0

> M, il existe x0 ∈ A tel que b0 ≥ x0 > M.

b) b0 est la plus grande borne inférieure de A si et seulement si

i) b0 est une borne inférieure de A,ii’) pour tout m tel que b0 < m, il existe x0 ∈ A tel que b0 ≤ x0 < m.

EXEMPLE

Par exemple si b0 = sup A est finie et b0 /∈ A, on construit pour chaque n ∈ N, xn ∈ A

tel que b0 ≥ xn > b0 − 1/n. Cette suite comporte un nombre infini d’éléments.

THÉORÈME

Soit ∅ 6= A ⊂ R.

EXEMPLE

THÉORÈME

Soit ∅ 6= A ⊂ R.

EXEMPLE

THÉORÈME

Soit ∅ 6= A ⊂ R.

EXEMPLE

THÉORÈME

Soit ∅ 6= A ⊂ R.

EXEMPLE

ESPACE EUCLIDIENPRODUIT CARTÉSIEN, BOULES, ET CONTINUITÉ

Pour un entier n ≥ 1, soit

Rn = R× . . .× R

︸︷︷︸

n fois

le produit cartésien de dimension n avec les notations suivantes

un élément x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn ou sous forme matricielle ~x =

la norme ‖x‖Rndéf=

et le produit scalaire x · ydéf=

xi yi . (5.2)

On écrira simplement ‖x‖ pour la norme lorsque le contexte le permettra et la flèchesur le vecteur ~x sera souvent omise.

Pour n = 1, ‖x‖R1 coïncide avec la valeur absolue |x |. Rn muni de la multiplication

par un scalaire et de l’addition

∀α ∈ R, x ∈ Rn, α x = (αx1, . . . , αxn)

∀x , y ∈ Rn, x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

est un espace vectoriel sur R de dimension n.M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 19 / 33

DÉFINITION

La base canonique orthonormale de Rn est l’ensemble {en

i ∈ Rn : 1 ≤ i ≤ n} défini par

(eni )j

déf= δij , δij

1, si i = j

0, si i 6= j ,

c’est-à-dire,

en1 = (1,0, 0, . . . , 0, 0), e

n2 = (0, 1, 0, . . . , 0,0), . . . , e

nn = (0, 0,0, . . . , 0,1).

On vérifie que eni · en

j = δij .

Donc tout x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn peut s’écrire

xi eni .

Lorsque le contexte le permettra, on écrira simplement {ei} sans l’indice n.

On appelle espace euclidien un espace vectoriel E que l’on peut identifier à Rn via

une bijection linéaire pour un entier n ≥ 1.Par exemple, on peut identifier à R

n l’espace Pn−1[0, 1] des polynômes d’ordreinférieur ou égal à n − 1 dans l’intervalle [0, 1] :

p 7→ (p(0),p′(0), . . . , p(n−1)(0)) : Pn−1[0, 1] → R

(p0, p1, . . . , pn−1) 7→ p(x)déf=

n−1∑

i !: Rn → P

n−1[0, 1].

BOULES OUVERTE, FERMÉE, TROUÉ

Les notions d’ensemble ouvert et d’ensemble fermé dans Rn peuvent être définis à

l’aide de boules.

Boules centrées en x de rayon r > 0 :

ouverte Br (x) = {y ∈ Rn : ‖y − x‖ < r}

fermée Br (x) = {y ∈ Rn : ‖y − x‖ ≤ r}.

Boule unité centrée en 0 :

ouverte : B = {y ∈ Rn : ‖y‖ < 1}; fermée : B = {y ∈ R

n : ‖y‖ ≤ 1}.

Boule ouverte trouée centrée en x :

r (x) = {y ∈ Rn : 0 < ‖y − x‖ < r}.

CLASSIFICATION DES POINTS PAR RAPPORT À UNE PARTIE UPOINT INTÉRIEURS ET ENSEMBLE OUVERTS

DÉFINITION

Soit U une partie de Rn.

(I) a ∈ Rn est un point intérieur de U s’il existe r > 0 tel que Br (a) ⊂ U.

(II) L’intérieur de U est l’ensemble de tous les points intérieurs de U. On le noteraint U. Par définition int U ⊂ U.

(III) V (x) est un voisinage de x s’il existe r > 0 tel que Br (x) ⊂ V (x).

(IV) A est un ensemble ouvert de Rn pour tout x ∈ A, il existe un voisinage V (x) de x

tel que V (x) ⊂ A.

(V) La famille T de tous les ouverts dans Rn est la topologie de R

n générée par lanorme.

La topologie T de Rn coïncide avec la famille des intersections finies et des réunions

arbitraires des boules ouvertes dans Rn.

CLASSIFICATION DES POINTS PAR RAPPORT À UNE PARTIE UPOINT D’ACCUMULATION, D’ADHÉRENCE ET ENSEMBLE FERMÉS

DÉFINITION

(I) a ∈ U est un point isolé de U s’il existe r > 0 tel que B′

r (a) ∩ U = ∅.

(II) a ∈ Rn est un point d’accumulation de U si pour tout r > 0 B′

r (a) ∩ U 6= ∅.

U ′ est l’ensemble des points d’accumulation de U.

DÉFINITION

(I) a ∈ Rn est un point d’adhérence de U si pour tout r > 0 on a Br (a) ∩ U 6= ∅.

(II) L’adhérence (ou fermeture) de U est l’ensemble de tous les points d’adhérence deU. On la notera U.

(III) F est un ensemble fermé s’il contient tous ses points d’accumulation.

(I) De façon équivalente, a est un point d’adhérence ou de la fermeture d’une partieU de R

n si, pour tout voisinage V (a) de a, V (a) ∩ U 6= ∅.(II) L’adhérence de U est égale à l’union de ses points isolés et de ses points

d’accumulation. On a donc U ∪ U ′ = U.(III) Les seules parties de R

n qui soient à la fois ouvertes et fermées sont l’ensemblevide ∅ et l’espace R

n.M. Delfour (Université de Montréal) Introduction 2 septembre 2016 24 / 33