logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Introduction à la physique desplasmascours 9:

Magnétohydrodynamique

S. Mazevet

Laboratoire de Structure ElectroniqueDépartement de Physique Théorique et Appliquée

Commissariat à l’Energie AtomiqueBruyères-Le-Châtel, France

Orsay, Octobre 2010

Orsay, Octobre 2010 p-1/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Table of contents

1 Résistivité d’un plasma complètement ionisé

2 Magnétohydrodynamique

3 Diffusion dans un plasma complètement ionisé

4 Equilibre hydromagnétique

5 Diffusion d’un champ magnétique dans un plasma

Orsay, Octobre 2010 p-2/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Résistivité d’un plasma complétement ionisé

Lorsqu’un plasma est complétement ionisé, toutes les collisionssont coulombiennes et entre particules chargées.Les équations fluides incluant les collisions entre particuleschargées est de la forme

Mndvidt

= en(E + vi ×B)−∇pi −∇.πi + Pie (1)

mndvedt

= −en(E + Ve ×B)−∇pe −∇.πe + Pei (2)

Les termes Pie et Pei représentent le gain de moment pour lefluide ionique du aux collisions avec les électrons et vice versaLe tenseur de stress Pj est séparé en deux parties: une partieisotropique pj et un terme de viscosité anisotropique πjπj représente les collisions entre particules identiquesCe terme peut être ignoré lorsque l’on considère la diffusionLa conservation de moment entre les deux fluides implique

Pie = −Pei (3)

Orsay, Octobre 2010 p-3/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Résistivité d’un plasma complétement ionisé

On peut définir

Pei = ηe2n2(vi − ve) = mn(vi − ve)νei (4)

η est une constante de proportionalité et représente la résistivitéspécifique du milieu

νei =ne2

mη (5)

Pour un plasma complétement ionisé les collisions sontcoulombiennes et la fréquence de collision est donnée par

νei = nσv = ne4/16π�20m

2v3 (6)

En considérant une distribution de Maxwell-Boltzmann, larésistivité est donnée par

η ≡ πe2m1/2

(4π�0)2(kBTe)3/2(7)

Orsay, Octobre 2010 p-4/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Résistivité d’un plasma complétement ionisé II

En incluant les collisions à angle faible on obtient l’expressiondonnée par Spitzer

η ≡ πe2m1/2

(4π�0)2(kBTe)3/2lnΛ (8)

Avec lnΛ le logarithme Coulombien variant de 10 à 30 pourl’ensemble des plasmas

Dans l’approximation quasi-statique, si l’on applique un champ Edans un plasma où B = 0 et kBTe = 0, l’équation du mouvementpour les électrons se réduit à

enE = Pei = ηen(en(vi − ve)) = ηenj (9)E = ηj (10)

où l’on retrouve la loi d’Ohm

Orsay, Octobre 2010 p-5/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Magnéto-hydrodynamique

Pour traiter le problème de la diffusion dans un plasmacomplètement ionisé, il est plus simple de travailler avec vi − vecomme inconnue.

Avec cette approximation, le plasma se décrit comme un fluidesimple possédant une densité ρ et une conductivité 1/η

Pour un plasma quasi-neutre composé d’une seule espèce ioniqueon a

ρ ≡ niM + nem ≈ n(M + n) (11)

v ≡ 1ρ

(niMvi + nemve) ≈Mvi +mveM +m

(12)

j ≡ e(nivi − neve) ≈ ne(vi − ve) (13)

On ajoute un terme gravitationnel Mng aux équations dumouvement

Ce terme peut être utilisé pour représenter toute force qui n’estpas électromagnétique

Orsay, Octobre 2010 p-6/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Magnéto-hydrodynamique II

En négligeant le terme quadratique et la viscosité les équations dumouvement pour les électrons et les ions sont

Mn∂vi∂t

= en(E + vi ×B)−∇pi +Mng + Pie (14)

Mn∂ve∂t

= −en(E + ve ×B)−∇pe +mng + Pei (15)

Par sommation, nous obtenons

n∂

∂t(Mvi +mve) = en(vi − ve)×B−∇p+ n(M +m)g (16)

On remarque que le champ électrique et le terme de collisiondisparait Pei = −Pie.Nous avons introduit p = pi + pe pour la pression totale

Orsay, Octobre 2010 p-7/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Magnéto-hydrodynamique III

En utilisant les variables introduites précédement on obtient

ρ∂v

∂t= j×B−∇p+ ρg (17)

C’est l’équation d’un fluide simpleUne autre équation peut être obtenue en prenant une autrecombinaison linéaireEn multipliant l’équation du mouvement des ions par m et desélectrons par M et en effectuant la différence, on obtient

Mmn∂

∂t(vi − ve) =en(M +m)E + en(mvi +Mve)×B

−m∇pi +M∇pe − (M +m)Pei(18)

En introduisant les grandeurs d’un fluide simple on obtient

Mmn

e

∂

∂t

(j

n

)=eρE− (M +m)neηj−m∇pi +M∇pe

+ en(mvi +Mve)×B(19)

Orsay, Octobre 2010 p-8/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Magnéto-hydrodynamique IV

Le dernier terme peut être simplifié de la manière suivante

mvi +Mve = Mvi +mve +M(ve − vi) +m(vi − ve)(20)

=ρ

nv − (M −m) j

ne(21)

En divisant par eρ, on obtient

E + v ×B− ηj = 1eρ

(22)[Mmn

e

∂

∂t

(j

n

)+ (M −m)j×B +m∇pi −M∇pe

]Pour des déplacements lents la dérivée peut être négligée

Dans la limite m/M → 0 on obtient

E + v ×B = ηj + 1en

(j×B−∇pe) (23)

Cette seconde équation est la loi d’Ohm généralisée

Orsay, Octobre 2010 p-9/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Magnéto-hydrodynamique V

Le terme j×B représente l’effet HallLes équations de continuité pour la masse ρ et la charge σs’obtient en prenant la somme et la différence des équations decontinuité pour les électrons et les ionsL’ensemble complet des équations de la MHD est donc

ρ∂v

∂t= j×B−∇p+ ρg (24)

E + v ×B = ηj (25)∂ρ

∂t+∇.(ρv) = 0 (26)

∂σ

∂t+∇j = 0 (27)

Avec les équations de Maxwell, cet ensemble d’équations estsouvent utilisé pour décrire un plasma à l’équilibre.Cette formulation peut également être utilisée pour décrire lesondes dans un plasma mais elle reste moins precise qu’uneformulation s’appuyant sur une description de deux fluides

Orsay, Octobre 2010 p-10/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Diffusion dans un plasma complètement ionisé

En l’absence de champ gravitationnel et pour un plasma enéquilibre quasi-statique le système d’équations devient

j×B = ∇p (28)E + v ×B = ηj (29)

La composante paralléle au champ est simplement la loi d’Ohm

E‖ = η‖j‖ (30)

La composante perpendiculaire est trouvée en prenant la ×B

E×B + (v⊥ ×B)×B = η⊥j×B = η⊥∇p (31)E×B− v⊥B2 = η⊥∇p (32)

v⊥ =E×BB2

− η⊥B2∇p (33)

Le premier terme est la dérive due à E×B alors que le secondreprésente la diffusion dans la direction −∇p

Orsay, Octobre 2010 p-11/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Diffusion dans un plasma complètement ionisé II

Par example, dans un plasma cylindrique pour lequel E et ∇p sontdans la direction radiale

vθ = −ErB

vr = −η⊥B2

∂p

∂r(34)

Le flux associé à la diffusion est donc

Γ⊥ = nv⊥ = −η⊥n(kBTi + kBTe)

B2∇n (35)

On retrouve ainsi la loi de Fick avec pour coefficient de diffusion

D⊥ =η⊥n

∑kBT

B2(36)

On remarque que D⊥ est proportionnel à 1/B2 comme dans le cas

d’un d’un gas faiblement ioniséContrairement à un plasma faiblement ionisé D⊥ dépend de ladensité nLa diffusion est nécessairement ambipolaire dans un plasmacomplétement ionisé (lorsque l’on néglige les collisions entreparticules semblables)

Orsay, Octobre 2010 p-12/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Diffusion dans un plasma complètement ionisé III

Comme D⊥ n’est pas constant dans un plasma complètementionisé on définit

A ≡ ηkBT/B2 (37)L’équation de continuité peut maintenant s’écrire

∂n

∂t= ∇.(D⊥∇n) = A∇.(2n∇n) (38)

∂n

∂t= A∇2n2 (39)

Nous avons une équation non-linéaire pour laquelle il n’existe pasde solution simple

En utilisant une séparation de variable du type

n = T (t)S(r) (40)

On obtient1

T 2dT

dt=A

S∇2S2 = −1

τ(41)

Orsay, Octobre 2010 p-13/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Diffusion dans un plasma complètement ionisé IV

la partie temporelle admet une solution du type

1

T=

1

T0+t

τ(42)

Dans le cas général, il est difficile d’obtenir une solution pour lapartie radiale

Il existe un cas pour lequel l’équation de la diffusion peut êtreresolue de manière simple

On considère une colonne de plasma pour lequel une sourcemaintient un état quasi-statique en injectant des particules pourremplacer celles perdues par la diffusion

L’équation de continuité en dehors de la région où la source injectedes particules donne

−A∇2n2 = −αn2 (43)

Orsay, Octobre 2010 p-14/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Diffusion dans un plasma complètement ionisé V

De considérer les recombinaisons en dehors de la source permet deretrouver une équation linéaire en n2

∂2n2

∂x2=α

An2 (44)

Cette équation admet des solutions du type

n2 = n20exp[−(α/A)1/2x] (45)

La distance caractéristique est

l = (A/α)1/2 (46)

Comme A change en fonction de B, de mesurer la variation de lavec B représente un test pour la théorie de la diffusion classique

Orsay, Octobre 2010 p-15/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Diffusion dans un plasma complètement ionisé VI

La vérification expérimentale de la dépendance de D⊥ en 1/B2

s’est faite à la fin des années 60 plusieurs années aprés ledéveloppement de la théorie

Dans beaucoup d’expériences une dépendance en B−1 étaitobservée ainsi qu’une valeur plus élevée pour la diffusion

Une loi empirique connue sous le nom de diffusion de Bohm a étéproposée en 1946

D⊥ =1

16

kBTeeB

≡ DB (47)

La difficulté a consisté à éliminer les oscillations, assymmetriespossibles ainsi que les dérives donnant lieu à une dépendence enB−1

Orsay, Octobre 2010 p-16/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Equilibre hydromagnétique

En ne considérant que le mouvement individuel des particules, ilsemble a priori simple de confiner un plasma à l’aide d’un champmagnétique

D’un point de vue fluide, le point de vue est différent car unplasma génére ses champs internes qui peuvent à leur tour affecterson mouvement

Le problème de confinement d’un plasma peut être divisé en deuxparties, le problème de l’équilibre et le problème de la stabilité

La différence entre l’équilibre et la stabilité peut être illustrée parune analogie avec la mécanique

Un équilibre est stable ou instable suivant qu’une faibleperturbation est atténuée ou amplifiée

De l’équilibre et la stabilité, le dernier est plus simple à traiter

Pour la stabilité, on linéarise les équations du mouvement pour depetites perturbations comme pour les ondes plasmas

Le problème de l’équilibre est comme la diffusion un problèmenon-linéaire est donc plus difficile à traiter

Orsay, Octobre 2010 p-17/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Equilibre hydromagnétique II

Bien que le problème général de l’équilibre est compliqué, leséquations de la MHD permettent de dégager quelques conceptssimples

Pour une situation quasi-statique ∂/∂t = 0 et en l’absence dechamp gravitationnel g = 0, les équations de la MHD donnent

ρ∂v

∂t= j×B−∇p+ ρg (48)

∇p = j×B (49)

Cette équation montre qu’il y a un équilibre entre le gradient depression dans le plasma et la force de Lorentz

Pour en comprendre l’origine, considérons un plasma cylindriqueavec ungradient de pression dirigé vers le centre

Pour contrer l’expansion vers l’extérieur, un courant azimutal estnécessaire

Orsay, Octobre 2010 p-18/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Equilibre hydromagnétique III

L’amplitude de ce courant azimutal est

∇p = j×B (50)B×∇p = B× j×B (51)B×∇p = B2j⊥ (52)

j⊥ =B×∇pB2

= (kBTi + kBTe)B×∇nB2

(53)

où nous avons utilisé j⊥.B = 0

Ceci représente l’expression du courant diamagnétique

D’un point de vue particulaire, le courant diamagnétique provientdes orbites de Larmor qui ne s’annulent pas entre les ions et lesélectrons lorsqu’il y a un gradient de densité

D’un point de vue de la MHD, le courant diamagnétique estproduit par le gradient de pression et le champ magnétique

Ce courant permet d’équilibrer les forces sur chaque élément dufluide et empécher ainsi son mouvement

Orsay, Octobre 2010 p-19/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Equilibre hydromagnétique IV

L’équation du mouvement hydromagnétique dit également que j etB sont chacunes perpendiculaires à ∇pEn prenant la composante le long du champ, on obtient ∂p/∂s = 0L’équation du mouvement hydromagnétique impose doncégalement que la densité soit constante le long d’un ligne de forcelorsque la température est constanteEn utilisant l’équation de Maxwell

∇×B = µ0j (54)

L’équation du mouvement magnétohydrodynamique devient

∇p = j×B (55)∇p = µ−10 (∇×B)×B (56)

∇p = µ−10[(B.∇)B− 1

2∇B2

](57)

∇(p+ B2

2µ0) =

1

µ0(B.∇)B (58)

Orsay, Octobre 2010 p-20/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Equilibre hydromagnétique V

Dans de nombreux cas, tels que pour un cylindre avec un champaxial, le terme de droite est nul ou très faible

p+B2

2µ0= cste (59)

On trouve donc que la somme de la pression du champ magnétiqueB2/2µ0 et de la pression particulaire est une constante.

Dans un plasma possédant un gradient de densité, le champmagnétique doit être faible lorsque la densité est élevée est viceversa.

La décroissance du champ magnétique à l’intérieur du plasmaprovient du courant diamagnétique

L’importance de l’effet diamagnétique est définit par β

β =

∑nkBT

B2/2µ0=

Pression particulaire

Pression du champ magnétique(60)

Orsay, Octobre 2010 p-21/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Equilibre hydromagnétique VI

Nous avons jusqu’à présent considéré des plasma où β était faibleentre 10−3 et 10−6.

Dans ce cas l’effet diamagnétique est faible et nous avons pu, parexemple, considérer un champ uniforme B0 dans le traitement desondes plasmas

Lorsque β est faible, le dénominateur peut être le champ dans levide ou en présence du plasma

Lorsque β est élevé, la valeur locale du champ B peut êtrefortement réduite par le plasma. Dans ce cas, on utilise la valeurde B dans le vide pour la définition de β

Les plasmas avec β élevé sont très communs en astrophysique

En principe on peut avoir un plasma avec β = 1 c’est à dire où lecourant génére un champ exactement égale et opposé au champextérieur

On peut ainsi considérer qu’il existe une région avec plasma etsans champ et une région avec champ et sans plasma

Orsay, Octobre 2010 p-22/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Diffusion de B dans un plasma

Un problème courant en astrophysique est la diffusion d’un champmagnétique dans un plasma

Si on a une région avec un plasma et sans champ magnétique etune région avec champ magnétique et sans plasma, les deuxrégions restent séparées si le plasma n’a pas de résistivité

Si la résistivité du plasma est finie, le plasma peut se déplacer dansla région où le champ est présent et vice versa

Le temps de diffusion s’obtient en utilisant la loi d’Ohm généralisée

∇×E = −∂B∂t

(61)

E× v ×B = ηB (62)

On considère le plasma au repos v = 0 avec les lignes de champ lepénétrant

∂B

∂t= −∇× ηj (63)

Orsay, Octobre 2010 p-23/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Diffusion de B dans un plasma II

En utilisant∇×B = µ0j (64)

On obtient

∂B

∂t= − η

µ0∇× (∇×B) (65)

= − ηµ0

[∇(∇.B)−∇2B

](66)

Avec l’approximation ∇.B = 0, on obtient une équation dediffusion pour le champ magnétique

∂B

∂t=

η

µ0∇2B2 (67)

Les solutions de cette équation s’obtient en utilisant uneséparation de variableEn supposant que la variation spatialle de B soit telle que

∂B

∂t=

η

µ0L2B (68)

Orsay, Octobre 2010 p-24/25

logo-CEA

Résistivité

MHD

Diffusion

Eq.Hydromag

Diffusionde B

Diffusion de B dans un plasma III

Les solutions sont donc du type

B = B0e±t/τ (69)

avec τ = µ0L2/η (70)

Le temps τ peut donc aussi être interprété comme le tempsnécessaire pour l’annihilation du champ magnétique dans le plasmaAlors que les lignes de champ se déplacent dans le plasma, lescourants induits produisent un échauffement du plasma.Cette énergie provient de l’énergie du champL’énergie perdue par m3 durant le temps τ est donnée par

ηj2τ = η

(B

µ0L

)2µ0L

2

η(71)

=B2

µ0= 2

(B2

2µ0

)(72)

τ est le temps nécessaire pour que l’énergie du champ soit dissipéepar effet Joule

Orsay, Octobre 2010 p-25/25

Résistivité d'un plasma complètement ioniséMagnétohydrodynamiqueDiffusion dans un plasma complètement ioniséEquilibre hydromagnétiqueDiffusion d'un champ magnétique dans un plasma