Introduction à la physique desmatériaux électromagnétiques

Frédéric MAZALEYRAT

17 octobre 2006

Institut Universitaire de Formation des Maîtres de Créteil

Table des matières

1 Conducteurs 71.1 Loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Origine de la résistivité des métaux . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 8

1.2.1 Electrons libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Interaction électron-réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 81.2.3 Effet des impuretés ou éléments d’alliage . . . . . . . . . .. . . . 9

1.3 Effet thermique du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9

2 Dielectriques 112.1 Relations de l’électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 112.2 Energie stockée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Diélectriques réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

3 Magnétisme et matériaux magnétiques 173.1 Magnétostatique du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

3.1.1 Relations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Energie magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Magnétostatique de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 203.2.1 Relations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Phénoménologie du magnétisme de la matière . . . . . . . . . . .. . . . . 213.3.1 Cycle d’hystérésis, définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 213.3.2 Distinction doux-dur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.3 Constante d’anisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.4 Structure en domaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.5 Interprétation des processus d’aimantation par la structure en do-

maines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.6 Mesurage des propriétés magnétiques des matériaux doux . . . . . 28

3.4 Origine physique du magnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 293.4.1 Magnétisme de l’atome d’hydrogène. . . . . . . . . . . . . . . .. 293.4.2 Atome isolé à Z électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.3 Atome entouré à z électrons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.4 Atome entouré à z électron avec structure de bande . . . .. . . . . 333.4.5 Passage des grandeurs microscopiques aux grandeurs macroscopiques 343.4.6 Types de couplages magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

3

4 Modélisation des propriétés magnétiques des matériaux 394.1 Pertes dans les matériaux ferromagnétiques doux . . . . . .. . . . . . . . 39

4.1.1 Séparation des pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.2 Pertes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Représentation spectrale de la perméabilité initiale .. . . . . . . . . . . . 454.2.1 Perméabilité complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.2 Modèle des courants induits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.3 Modèle de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Matériaux magnétiques doux 515.1 Matériaux métalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

5.1.1 Métaux purs magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.2 Alliages fer-silicium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.3 Alliages fer-cobalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.1.4 Alliage fer-nickel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.1.5 Les poudres de fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Verres métalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565.2.1 Elaboration des verres métalliques . . . . . . . . . . . . . . .. . . 565.2.2 Cristallisation ou dévitrification des verres métalliques . . . . . . . 575.2.3 Propriétes mécaniques des verres métalliques . . . . . .. . . . . . 585.2.4 Amorphes à base de fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.5 Amorphes à base de cobalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2.6 Nanocristallins de type FinemetR© . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.7 Nanocristallins de type Nanoperm . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61

5.3 Les ferrites doux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3.1 Les ferrites simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3.2 Ferrites de type MnZn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.3 Ferrites de type NiZn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.4 Utilisation des matériaux magnétiques doux . . . . . . . . . .. . . . . . . 675.4.1 Tansformateur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4.2 Inductance et inductance couplée . . . . . . . . . . . . . . . . .. 675.4.3 Transformateur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4.4 Transformateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 705.4.5 Surveillace electronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .705.4.6 Machines tournantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Matériaux magnétiques durs 716.1 Notion de champ démagnétisant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 716.2 Circuits magnétiques avec aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 716.3 Energie stokée dans l’entrefer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 726.4 Réaction magnétique d’induit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 746.5 Les aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.5.1 Acier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.5.2 Alnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.5.3 Ferrites durs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4

6.5.4 Aimants terres rares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6 Utilisation des aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77

5

6

1 Conducteurs

1.1 Loi d’Ohm

Considérons une portion de conducteur parcouru par

Georg SimonOHM (1789-1854)éta-blit la loi de proportionalité entre lecourant traversant un dipole et la diffé-rence de potentiel à ses bornes et intro-duit la notion de résititvité. Son instru-ment utilisait un thermocouple cuivre-bismuth, beaucoup plus stable que lespiles Volta.

un courant électrique continu sous l’effet d’une diffé-rence de potentiel entre ces deux extêmités. Ces deuxgrandeurs sont liées par une troisième nommée la résis-tance via la relation macroscopique bien connue,

U = RI (1.1)

Cette relation peut s’écrire au niveau microscopiqueen utilisant de nouvelles grandeurs et des paramètres géo-métriques tels que longueurℓ et la sectionS du conduc-teur.

La densité de courant est donnée par

I =

∫

S

−→J d

−→S

Si le conducteur est de section constante la densité de courant est homogène

I = JS

Le champ électrique est donné par

U =

∮−→Edℓ

Soit, si le champ électique est homogène,

U = Eℓ

La loi (1.1) devientEℓ = RJS

en posant

R = ρℓ

S(1.2)

On obtient l’expression locale de la loi d’Ohm :

E = ρJ

7

où ρ la résistivité du conducteur exprimée enΩ·m, est un paramètre indépendant de lagéométrie du système donc intrinsèque à la matière conductrice. Il est courant d’utiliser enplace de résistivité son inverse la conductivitéσ exprimée en siemens par mètre [S·m]1.

1.2 Origine de la résistivité des métaux

1.2.1 Electrons libres

Avant de parler de l’origine de la résistivité, il convient de parler d’abord de l’origine dela conductivité des solides. Le courant électrique correspond à un déplacement d’électronssous l’effet d’un champ électrique produisant une force dite de Lorentz

−→F = q

−→E sur les

charges. Les charges peuvent être de nature ionique dans lesgaz ou les liquides (ce sont lesions eux même qui se déplacent), soit de nature électroniquedans les solides.

Dans un isolent, les électrons sont fortement liés à leur noyaux, il faut que le champ élec-trique soit très important pour qu’ils puissent se déplacer: c’est le phénomène de claquagediélectrique qui correspond à une destructuion de l’isolent.

Si certains électrons sont très faiblement liées à leur noyaux, ils peuvent se déplacer sansdomages : on a un conducteur. Dans les métaux certains électrons appartenant aux couchesélectroniques extérieures sont “libres” et se déplacents dans toutes les directions avec unégale probabilité. Les atomes du métal sont donc des ions placés aux noeuds du réseau etbaignés dans un nuage d’éléctrons libres (suivant une vision classique de la conduction onconsidère qu’ils sont au nombre d’un ou deux par atome).

Seuls les métaux dans l’état métallique conduisent car dansl’état oxydé, ces électronslibres sont liés aux atomes d’oxygène environants.

1.2.2 Interaction électron-réseau

Lorsque l’on applique un champ électrique, tous les électrons libres se déplacent dans ladirection du champ mais dans leur parcours ils peuvent soit heuter les ions soit se heurterentre eux. Ces chocs tendent à détourner les électrons de la direction du champ et à diminuerleur vitesse globale d’où la résistivité. Dans l’étét fondamental (c’est à dire à une tempéra-ture de 0 K), les ions ne sont pas agités mais plus la température augmente plus le rayonionique augmente et donc plus les électrons libre ont de chance de les renconter : la rési-tivité augmente donc avec la température. Aux température usuelles, la résistivité dépendlinéairement de la tempérautre :

ρ (T ) = ρ0 [1 + β (T − T0)]

Le coefficientβ est le coefficient thermique de résistivité (CTR) et, en général, la valeurρ0 est connue à la température ambiante. Cette formule est valable pour les métaux dansune gamme de température de l’ordre de -100 à 500˚C qui couvreemplement les domainescourants de l’électrotechnique.

Exercice : Résistance d’une bobine de cuivreSoit un solénoide de cuivre de 500 spires et de diamètre moyen5 cm.a) Calculer la longueur de fil nécessaire pour réaliser la bobine.

1On ne sait plus très bien si l’unité de conductance doit son nom à Werner Siemens l’inventeur, entre autres,du tramway ou à son frère Willem, fondateur de la compagnie dumême nom.

8

TAB . 1.1: Valeur de résistivité et de CTR de quelques conducteurusuelsMatériau Composition Résistivité CTR Application

µΩ.cm 10−3K−1

Argent Ag 1.59 4.11 brasures, colles conductriceCuivre Cu 1.7 4.27 conducteurs

Or Au 2.04 4.39 contacts, microélectroniqueAluminium Al 2.74 conducteurs, lignes HT

Fer Fe 9.8 7.34 magnétiqueTungstène W 5.6 4.5 filaments de lampes

Ferrosilicium Fe-Si 3% 40 6.7 magnétiqueFerronickel Fe20Ni80 45 magnétiqueConstantant Cu55Ni45 46 0.02 résistances de précision

RNC30 Fe38Ni40Cr22 105 0.12 chauffageCarbone C 3000 -1 balais, chauffage

b) Calculer sa résitance sachant que le fil à un diamètre de 1 mm.

c) Calculer sa résistance après une élévation de temprérature de 100˚C.

1.2.3 Effet des impuretés ou éléments d’alliage

Parmis les données concernant les principaux conducteur résumés dans le Tableau 1.1, onremarque que le fait d’ajouter assez peu de silicium (non conducteur) augmente considéra-blement la résistivité. On notera que l’allige de Fe-Si à 25%at. (composé stoichiométriqueFe3Si) a une resistivité beaucoup plus faible que les alliages contenant 15% de Si. Cela estdû au fait que le Fe3Si est ordonné alors que tous les autres composés Fe-Si sont des solu-tions solides. Nous voyons donc que l’ordre à une importancedominante par rapport à ladensité d’électrons libres.

Ce phénomène est aussi valable avec des alliages purement métalliques comme on leremarque avec les alliages pour résistance de chauffage. Bien que les trois éléments quile composent soient assez bon conducteurs, l’alliage est car il est essentiellement dû à laperturbation de la périodocité du réseau cristallin. fois plus résistif que les éléments prisindividuellement (9.8, 7 et 12.9×10−8 Ωm pour Fe, Ni et Cr respectivement)

1.3 Effet thermique du courant

Lorsqu’un électron libre choque un ion, il lui tranfert une partie de sont énergie cinétiqueprovocant une vibration de réseau qui se traduit par un échauffement du conducteur. Ceteffet dit Joule du nom de sont découvreur, s’exprime en termede puissance ou d’énergie

P = RI2

dW = RI2dt

9

FIG. 1.1: Résistivité des alliages de Fe-Si contenant 0 à 33% atomique de silicium (pour laconcentration massique diviser par 2 environ).

soit par unité de volume,

P/V = ρJ2

dw = ρJ2dt

Exercice : Echauffement d’une bobine

James PrescottJOULE (1818-1889),héritier d’une brasserie prospère, il consa-crait la majorité de son temps aux ex-périences de thermodynamique. Auteurà 20 ans de la loi de l’effet éponyme,il publia la première détermination del’équivalent mécanique de lachaleur etde nombreux traveaux sur le magné-tisme. Il egloutit sa fortune dans ses ex-périences de physique et mourru fautede pouvoir payer un médecin.

a) Calculer la puissance dissipée par la bobine de l’exer-cice 1.2.2 pour un courant de 30 A.

b) En considérant le bobinage adiabatique, calculer letemps que mettra le conducteur à élever sa temparaturede 100˚C. On donne la capacité calorifique du cuivreCp=400 J·kg−1· K−1.

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2 Dielectriques

2.1 Relations de l’électrostatique

Dans le vide l’application d’un champ électriqueE, exprimé en V/m, produit une induc-tion électriqueD, exprimée en C/m2, donnée par l’équation du milieu

−→D = ε0

−→E (2.1)

où la permitivité du vide estε0 = 8.854 × 10−8 F/m (farad par mètre).Lorsqu’un volume est rempli de charges électriques avec unerépartition uniforme de

densité volumiqueρ la charge totale est donnée par le théorème de Gauss

Q =

∫

vρdv =

∫

S

−→Dd

−→S (2.2)

Dans la matière le champ électrique peut générer un déplacement du centre de gravitédes charges dans un cristal qui se manifeste par une polarisation électriqueP de la matière.L’équation (2.1)devient : −→

D = ε0−→E +

−→P (2.3)

Dans le cas où la polarisation dépend linéairement de du champ, on définitχd la suscep-tibilité diélectrique −→

P = ε0χd−→E

d’où la reformulation de (2.3)

−→D = ε0 (1 + χd)

−→E = ε0εR

−→E (2.4)

où εR est la permittivité. Dans un milieu homogène et isotrope la suceptibilité et la per-mittivité sont des grandeurs scalaires. Si le milieu est anisotrope ces grandeurs sont destenseurs3 × 3 symétriques.

Les grandeurs électriques macroscopiques sont reliées auxgrandeurs électriques micro-scopique définies ci-dessous au travers des équations suivantes

V =

∮−→Ed

−→ℓ

Q =

∫−→SDd

−→S

où V est une difference de potentiel qui correspond au travail nécessaire pour amenerune charge unité de l’infini jusqu’à une position donnée par rapport à une autre chargeponctuelle. On dit que le champ électrique dérive d’un potentiel scalaire car sa direction

11

correspond à celle oùV varie le plus rapidement, ce qui s’exprime sous forme vectoriellecomme suit −→

E = −−−→gradV

+++++++++++++++++++++−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

S

d

−

+

FIG. 2.1: Condensateur plan

Pour simplifier, on considère que le champ électrique est créé par l’application d’unedifférence de potentiel entre deux plaques conductrices infinies séparées par un diélectriqued’épaisseurd (voir Fig. 2.1), on a alors

V = Ed

Q = DS

La capacité d’un condensateur relie la charge et la tension

C =Q

U=D

E· Sd

d’où en utilisant la relation (2.4),

C =ε0εRS

d

2.2 Energie stockée

L’énergie du champ éléctrique dans le vide par unité de volume est définie par l’intégrale

w =

∫ D

0EdD = ε0

∫ E

0EdE

exprimée en J.m−3 correspondant à la surface à gauche de la trajectoire dans leplan (D,E) comme indiqué Fig. 2.2.

Dans un milieu linéaire , la densité d’énergie est définie pa la même intégrale qui devient :

12

D

E0

w

FIG. 2.2: Densité d’énergie du champ électrique

w = ε0εR

∫ E

0EdE =

1

2ε0εRE

2

L’énergie stockée dans un condensateur s’obtient par intégration sur le volume

W =

∫

vwdv = wSd =

1

2ε0εRE

2Sd

W =1

2

ε0εRS

dd · E2d =

1

2C (Ed)2

W =1

2CU2 (2.5)

2.3 Diélectriques réels

On voit au travers des équations ci-dessus que pour obtenir une forte valeur de capacité ilest nécessaire, pour avoir des surface raisonables, de diminuer l’épaisseur du diélectrique.Cependant, pour une tension donnée, cela conduit inéviatablement à une augmentation duchamp électrique dans le diélectrique qui au delà d’une certaine limite conduit à sa destruc-tion. Cette valeur critique du champ électrique est appeléechamp de clacage ou de rupture.

Une seconde solution consiste à utiliser un matériau diélectrique avec une forte permitti-vité. Dans un liquide la susceptibilité peut être élevée si les molécules qui le compose sontpolaires, c’est à dire que les charges ne sont pas réparties symétriquement (cas de l’eau).Dans un cristal comme le sel (NaCl) les ions positif et négatifs sont alternés donc la polari-sation est nulle. Par contre, si on applique un champ électrique, les ions positif et négatifsvont subir des forces opposées : les centres de gravité des charges + et - ne sont plus confon-dus ce qui cré un dipole électrique c’est à dire que le cristalest polarisé. Ce phénomène depolarisation dipolaire donne des permittivités relativesqui n’exèdent pas quelques dizaines.

En revanche certains matériaux peuvent présenter des permittivités beaucoup plus élevéeset même un phénomène de saturation. Ces matériaux sont appelés ferroélectrique (bien

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TAB . 2.1: Propriétés diélectriques de quelques matériauxMatériau εR Emax Pmax Phénomène Application

kV.mm−1 C.m−2

vide 1 10 -air 1 3-4 - lignes aériennesSF6 1 10 - disjoncteur HTeau 80 0.01 10−5 orientation

pyralène 5 12 orientation huile de transfoverre 5-7 5 ionique isolateurs HT

cahouchouc 2.5 20 orientation cablesporcelaine 5-8 16 ionique isolateurs HT/BTBaTiO3 4000-10 000 2 0.26 ferroélectricité µ-condensateursMgTiO3 100-700 6 relaxation id.

Pb(ZrTi)O3 500-2500 0.25-0.47 ferroélectricité piezoélectriqueLiNbO3 50 0.71 ferroélectricité

Polystyrène 2.5 20 orientation condensateursPolypropylène 2.2 100 orientation film-condensateurs

qu’ils ne contiennent pas de fer) en référence au ferromagnétisme car ils présentent un cycled’hystérésisD(E) semblable au cycleB(H). Les matériaux ferroélectriques sont toujoursdes céramiques, c’est à dire des oxydes de métaux qui présentent à température ambianteune polarisation spontanée due à la dissymétrie de leur cristal. On trouvera un apperçu despropriétés diélectriques des gaz, liquides et solides les plus courants dans le Tableau 2.1.

Exercice : Comparaison de deux technologies de condensateursOn réalise le premier condensateur par enroulement de deux films de polypropilène méta-

lisé dont l’épaisseur est de 20µm et la largeur 10mm. Les diamètres intérieur et extérieurdu rouleau valent respectivement 1 et 5mm.

Le second condensateur est réalisé par co-frittage de couhes de titanate de barium etd’argent-palladium alternées de 25µm chacune. La longeur et la largeur effective sontrespectivement de 2 et 4mm.

Pour chacun des condensateurs :Calculer le nombre de couches puis la surface effective.Quelles sont les valeurs des la capacités et des tensions de claquage de ces condensateurs ?

Calculer leurs capacités volumiques et comparer.

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Ba 2+

O 2-

Ti 4+

FIG. 2.3: Maille quadratique d’un cristal de titanate de bariumferroélectrique. Notez ledécalage de l’ion Ti4+ par rapport au plan (002), le plan horzontal médiant quicontient 4 O2−

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3 Magnétisme et matériauxmagnétiques

3.1 Magnétostatique du vide

3.1.1 Relations fondamentales

L’équation du milieu lie le champ magnétique d’exci-

André-Marie AMPÈRE(1775-1836)fondateur de la théorie de l’électroma-gnétisme en 1820, mathématicien , chi-miste et inventeur. On lui doit notam-ment le télégraphe électrique, le galva-nomètre, l’électroaimant et la premièredynamo construite sous ses instructionspar l’ingénieur Pixii.

tation (dit généralement “champ”) au champ magnétiqued’induction (dit “induction”) :

B = µ0H (3.1)

oùµ0 = 4π · 10−7H.m−1 est la perméabilité du videliée à la célérité de la lumièrec = 1√

µ0ε0≈ 2.998 · 108 m.s−1, la permittivité du

vide,ε0 étant définie par rapport àµ0 et c.

En 1820 Ampère est le premier à penser et à démon-trer que le champ magnétique est créé par le courant élec-trique et non l’inverse.

Le théorème d’Ampère s’écrit sous sa forme discrète

∑Hℓ =

∑I

forme intégrale ∮Hdℓ =

∫ ∫JdS

Au niveau macroscopique il est intéressant d’exprimer le flux du vecteur induction pro-duit par le champ d’excitation :

Φ =

∫

S

−→Bd

−→S (3.2)

Comme les lignes de champ se referment toujours sur elle-même, le flux magnétique estconservatif.

Faraday observe en 18 ? ? que la variation du flux produit une force électromotrice dontl’expression est formalisée par Lenz :

e = −∂Φ

∂t

qui lie la force électromotrice aux bornes d’une spire à la variation du flux qu’elle em-

17

brasse.3.1.2 Energie magnétique

L’énergie du champ magnétique dans le vide par unité de volume est définie par l’inté-grale

w = µ0

∫ H

0HdH =

1

2µ0H

2

Dans le vide le champ magnétique d’excitation et le champ magnétique d’induction sont liéspar l’équation du milieu, la densité d’énergie est définie pala même intégrale qui devient :

w =

∫ B

0HdB

exprimée en J.m−3 correspondant à la surface à gauche de la trajectoire dans leplan (B,H).

0

w

B

H

FIG. 3.1: Densité d’énergie du champ électrique dans le vide

L’énergie stockée dans un volume de vide s’obtient par intégration sur le volume

W =

∫

vwdv = wV =

1

2µ0H

2Sℓ

où S est la surface coupée par le flux magnétique supposée constante et finie etℓ lalongueur du tube de flux considéré.

N spires

I

Section

H

FIG. 3.2: Solénoïde long sans fer de longueurℓ et de sectionS

Cette situation correspond typiquement au cas du solénoïdeà air représenté Fig. 3.2. En

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effet, un solénoïde a une section constante, une longueur définie, le champ magnétique estconstant à l’intérieur et nul à l’extérieur si sa longueur est grande devant son diamètre (aumoins 10 fois). Comme l’air a sensiblement les propriétés electromagnétiques du vide :

W =1

2

µ0S

ℓℓ ·H2ℓ =

1

2

µ0S

ℓ(Hℓ)2

D’après le théorème d’AmpèreHℓ = NI, d’où

Joseph HENRY (1799-1878), premiergrand scientifique américain depuis Ben-jamin FRANKLIN , fut le premier à ob-server l’induction électromagnétique maisne publia pas sa découverte et en laissala postérité à FARADAY . En revanchela découverte de l’auto-induction lui estreconnue. Ci dessous deux bobines réa-lisées par lui-même. La légende veutque les fils de la première qu’il réalisafurent isolés avec la soie d’une robe deson épouse.

W =1

2

µ0S

ℓ(NI)2

W =1

2LI2 (3.3)

Où L est l’auto-inductance du solénoïde exprimée enHenry :

L =µ0N

2S

ℓ(3.4)

Exercice : Inductance d’un fil.

On se propose de calculer d’inductance interne d’unfil cylindrique de longueur infinie parcourue par un cou-rant I.

Calculer l’expression du champ magnétique en fonc-tion du rayon en considérant la densité de courant uni-forme.

Calculer l’énergie stokée à l’intérieur d’une portion du filde longueurℓ.

En déduire l’inductance par unité de longueur.

Calculer le champ à l’extérieur du fil et montrer que l’énergie stockée à l’extérieur tendvers l’infini. Expliquer ce résultat.

I

R

r

dr

FIG. 3.3: Schéma du fil parcouru par un courant continu

19

3.2 Magnétostatique de la matière

3.2.1 Relations fondamentales

L’équation du milieu dans le vide (3.1) devient

B = µ0H + J = µ0 (H +M) (3.5)

oùJ est la polarisation magnétique exprimée en teslas [T] correspondant à la contributionde la matière magnétique à l’induction et l’aimantationM correspond à la même grandeurexprimée en [Am−1]. Excepté dans certains cas particuliers (aimants très puissants), l’ai-mantation dépend de l’excitation :

M = χH (3.6)

où χ est la susceptibilité magnétique (sans dimention). Pour laplupart des matériauxχest une constante positive où négative très faible à l’exeption de fer du nickel et du cobalt(voir Fig.3.4). Les matériaux qui nous intéressent pour leurs propriétés magnétiques ont aucontraire de forte susceptibilitéχ = f(H). Pour les matériaux isotropes,χ est un scalaireet pour les matériaux anisotropesχ est un tenseur 3×3.

FIG. 3.4: Susceptibilité magnétique des éléments simples

Des relations (3.5) et (3.6) on titre :

B = µ0 (1 + χ)H = µ0µRH = µH

oùµR est la perméabilité relative (sans dimention) etµ la perméabilité absolue exprime-mée en [Hm−1]

3.2.2 Equations de Maxwell

L’électromagnétisme de la matière en dynamique est complètement décrit par quatreséquations :

20

Equation de Maxwell-Ampère

−→rot

−→H =

−→∇ ×−→H =

−→j +

∂−→D

∂t(3.7)

L’application du théorème de Stokes permet de passer

James Clerk MAXWELL (1831-1879),fonde en 1862 la théorie moderne del’électromagnétisme qui unifie l’élec-tricité, le magnétisme et l’optique et quidevait conduire à la théorie de la rela-tivité d’EINSTEIN. Il mourru brutale-ment de maladie avant que sa théoriefut vérifiée et son génie reconnu.

à à la forme intégrale∮

C

−→Hd

−→ℓ =

∫ ∫

S(C)

−→j d

−→S

︸ ︷︷ ︸I

+∂

∂t

∫ ∫

S(C)

−→Dd

−→S

︸ ︷︷ ︸ID

où la premier therme à droite est un courant de conduc-tion et le second est appelée courant de déplacement.Dans la plupart des matériaux magnétiques et en parti-culier les métaux, le courant de déplacement est nul eton retrouve l’expression intégrale du théorème d’Am-père par application du théorème de Stokes.

Equation de Maxwell-Faraday

−→rot

−→E =

−→∇ ×−→E = −∂

−→B

∂t(3.8)

Le passage à la forme vectorielle permet de retrouver la loi de Lenz :

∮

C

−→Ed

−→ℓ =

∫ ∫

S(C)−∂

−→B

∂td−→S

︸ ︷︷ ︸− ∂φ

∂t=e

Equation de conservation du flux, forme vectorielle de (3.2)

div−→B =

−→∇ · −→B = 0 (3.9)

Equation de conservation de la charge, (2.2) en notation vectorielle

div−→D =

−→∇ · −→D = ρ (3.10)

3.3 Phénoménologie du magnétisme de la matière

3.3.1 Cycle d’hystérésis, définitions

La courbe de première aimantation correspond, Fig. 3.5 à l’évolution deB (ou J) enfonction deH croissant partant de l’état démagnétisé (J=0, H=0). Cette courbe n’est pasréversible.

Pour des valeurs de champ très petites (typiquement moins d’un A/m pour les matériauxdoux), l’induction dépend linéairement du champ

B = µ0µiH

21

oùµi est le perméabilité (relative) initiale.Pour des valeurs plus grandes deH, cette relation linéaire n’existe plus et la perméabi-

lité n’est donc plus définie. Pour simplifier les calculs on linéarise entre 0 et un point defonctionnement P

B(P ) = µ0µzH(P )

où µz est appelée perméabilité (relative) d’impédance où d’amplitude. Elle correspondà la valeur que l’on utilise pour modéliser les circuit magnétiques alimentés en courantalternatif sinusoïdal.

La valeur deµz ne doit pas être confondue avec la dérivée de la courbe de premièreaimantation (cf. Fig. 3.5 droite).

0 200 400 600 800 1000 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0 200 400 600 800 1000 0

2

4

6

8

10

Indu

ctio

n (T

)

Champ (A/m) Champ (A/m)

d B /d( m 0 H )

m Z

FIG. 3.5: Courbe typique de première aimantation d’un matériaudoux

Lorsque le matériau est saturé, on peut écrire l’induction

B = JS + µ0H = µ0µzH =⇒ µz = 1 +JSµ0H

L’énergie à fournir au matériau pour atteindre un point de polarisation à partir de l’étatdésaimanté (ou démagnétisé) est appelée énergie (ou parfois travail) d’aimantation,WA.CommedWA = HdB, H>0 et dB>0, alorsWA>0. Si l’on diminue le champ magnétiquejusqu’à l’annuler, la branche de retour ne suit pas le même chemin. Comme dB<0, unepartie de l’énergie est restituée à la source et le reste est dissipé par effet Joule via diversphénomènes dépendant de la nature du matériau.

Si l’on applique au matériau un champ alternatif, on a parcouru après un période un cycledans le plan (H, J) appelé cycle d’hystérésis ou d’hystérèse. Ce cycle est parcouru dans lesens trigonométrique. La surface de ce cycle correspond à l’énergie dissipée sous forme de

22

chaleur au cours d’un cycle. La forme du cycle dépend de la nature du matériau et de lapolarisation maximale.

-600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600 -1,6

-1,2

-0,8

-0,4

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

f=50 Hz

Indu

ctio

n B

(T

)

Champ H (A/m)

FIG. 3.6: Cycle d’hystérésis majeur et cycles mineurs d’un tôlede FeSi 3% mesurés à 50Hz

Les grandeurs caractéristique d’un cycle d’hystérésis sont les suivantes :– JS : polarisation à saturation– JR : polarisation rémanente (Hց0 partant de l’état saturé)– HJ

C : champ coercitif (Jց0 partant de l’état saturé)– HK : champ d’anisotropie

Dans le plan (H, B) on peut définir– BR = JR l’induction rémanente car à ce pointH=0– HB

C : champ coercitif (Jց0 partant de l’état saturé)– HK : champ d’anisotropie– il faut remarquer que la dénomination “induction à saturation” est tout à fait abusive

dans la mesure oùB = JS + µ0H → ∞ siH → ∞.

3.3.2 Distinction doux-dur

La distinction entre doux est dur se fait par le champ coercitif.

23

– 0.1 < HJC < 100 A/m, le matériau est doux : il est aimantable et se désaimante

spontanément– 104 < HJ

C < 106 A/m, le matériau est dur : s’il est aimanté il le rste en permanence– 100 < HJ

C < 104 A/m, le matériau est dit semi-rémanent ou mi-dur

Pour un matériau doux, le champ d’anisotropie est de l’ordre de 10 à 100HJC et JS de

l’ordre du tesla. PourH = HK

B = JS + µ0HK ≈ 1 + 4π · 10−7 × 104 ≈ 1.01 T

soit un écrars de l’ordre de 1% entre la polarisation et l’induction, ce qui justifie l’utilisa-tion abusive du terme d’induction à saturation pour les matériaux doux.

Pour un aimant sous un champH = HJC

B = JS + µ0HJC ≈ 1 + 4π · 10−7 × 105 ≈ 1.1 T

dans ce cas il est indispensable de bien différencier les notions de polarisation et d’induc-tion comme on peu le constater Fig. 3.7 où l’on voit égalementqueHB

C < HJC .

On considère qu’un aimant est de bonne qualité siµ0HJC ≥ JR ce qui entraîne que

µ0HBC ≤ JR.

FIG. 3.7: Comparaison des cycles d’hystérésis d’un ferrite dur, Fe12BaO19 à gauche et d’unferrite doux Fe2(MnZn)O3 à gauche.

24

3.3.3 Constante d’anisotropie

La constante d’anisotropie caractérise la force de rappel du moment magnétique versson axe de facile aimantation (AFA). Celui ci dépend des directions cristallographiquesdu solide. Celon la nature des atomes qui constitue le cristal, cet axe peu correspondre àdifférentes direction pour une même symétrie. En effet, lesdistance entre sommets adjacentsou opposé étant différente, le degré de recouvrement des orbitales 3d, et donc l’énergied’échange, varie selon les axes.

La première constante d’anisotropie est relié au champ d’anisotropie par la l’équation :

K1 =1

2JSHK (3.11)

Dans le cas simple d’une symétire hexagonale (ou uniaxiale)la champ d’anisotropie peutêtre évalué relativement facilement à partir de la courbe d’aimantation. En revanche, dansle cas de symétries cubiques (simple, centrée ou à face centrée), cette évaluation est plusdifficile notamment parceque les relations sont sont plus complexes et font intervenir uneseconde constante d’anisotropie.

100

100

111

0001

AFA

ADA

J

H

SJ

AFA=0001ADA=1010

HK

100

111

100

AFA

AMA

ADA

J

H

SJ

AFA=100AMA=110ADA=111

KH

AFA

AMA

ADA

J

H

SJ

AMA=110

KH

AFA=111

ADA=100

1010

Cobalt:Fer: Nickel:

FIG. 3.8: Cristaux de symétrie cubique centrée et hexagonales et courbes d’aimantation demonocristaux mesuré selon les axes principaux.

3.3.4 Structure en domaines

Les domaines ont été inventées par Pierre Weiss en 1906 pour expliquer l’existance del’état désaimanté. Leur existance a été validée expérimentalement par Bitter en 1931. Pourexpliquer ce phénomène nous allons nous intéresser au cas d’une bande longue monocris-talline où la seule source d’anisotropie serait magnétocristalline et la structure hexagonaledirigée suivant le grand axe de la bande.

Les domaines se répartissent en anti-parallèle de manière àminimiser l’énergie démagné-tisante. Les domaines sont séparés par des parois de Bloch dans lequelles les spins tournent

25

de 180˚. Dans certains car, les domaines peuvent être perpandiculaires (domaines de ferme-ture) et les parois qui les séparent sont dites à 90˚. (il existe d’autres structures de paroi dontnous ne parlerons pas ici).

y

z

x

+ +

l

b

a

c

FIG. 3.9: Représentation schématique de la structure en domaine d’une plaque dans le casd’une anisotropie uniaxiale forte (gauche) et dans le cas oùelle est faible faibleou cubique (droite)

L’expression de l’énergie surfacique de paroi est :γ =√AK1

Wp = nγac pour un volumev = abc

wp =nγ

b(3.12)

Cas où le flux se referme à l’extérieurEnergie démagnétisantewd = NJ2

S/µ0

Si il n’y a pas de domaineNx ≈ ba × c

a (cette valeur du coefficient démagnétisant est trèsapproximative et son emploi ici se justifie uniquement par soucis de simplifier les calculs)

Si il y a n domainesNx ≈ ℓc/a2 = bc/na2

wd =bcJ2

S

na2µ0(3.13)

Cas où il se cré des domaines de fermetureLe coût énergétique d’un domaine de fermeture estW = 1

2K1c(ℓ√

2)2

d’où pourn paroisWa = nK1c(bn

)2

wa =bK1

na(3.14)

Dans le cas du cobalt,K1 > NxJ2S/2µ0 donc le flux se referme à l’extérieur du matériau.

Pour les faibles anisotropies il se forme des domaines de fermeture. Comme les matériauxà faible anisotropie présentent en général une structure cubique, coût en énergie d’anisotro-pie des domaines de fermeture est nul et l’énergie démagnétisante est nulle. L’équilbre sefait alors avec l’énergie magnétoélastique induite par lescontraintes générées par la défor-mation magnétostrictive qui, dans les domaines de fermeture, est perpandiculaire à celle desdomaines.

Dans les polycristaux les domaines ont tendance à se connecter d’un grain à l’autre.Cela est particulièrement vrai quand la désorientation dans le plan et l’axe de laminage estfaible (cf.3.11). Ces branchements de domaines entraînentune suppression des domaines de

26

0 5 10 15 20 25 0

200

400

600

800

1000

w a

w d

w p

w d +w

p D

ensi

té d

'éne

rgie

(Jm

-3 )

Nombre de parois

FIG. 3.10: Comparaison en énergie d’anisotropie des domaines de fermeture, énergie dé-magnétisante et énergie de paroi pour une couche de cobalt de10×1×0.1 mm.

fermeture si l’angle entre les axes de facile aimantion entre grains adjancents,∆θ, est faible.

En effet l’énergie démagnétisante associée au branchements’écritwd =J2

S

2µ0sin2(∆θ).

FIG. 3.11: Domaines magnétiques dans une tôle de Fe-Si à grains orientés (image RichardBarrué)

3.3.5 Interprétation des processus d’aimantation par la st ructure endomaines

L’action du champ magnétique a pour effet de favoriser l’augmentation du volume desdomaines orientés dans le sens du champ (cf. Fig. 3.12 H2). Ce phénomène se produit parun processus de déplacement de parois qui nécessitte peu d’énergie pour pour la plupart desmatériaux doux (la sucseptibilité de paroi est plutôt grande). Lors de son déplacement, une

27

paroi reste toujours parallèle à un axe de facile aimantation, ce qui fait que lorsqu’elle dispa-raît, l’aimantation à l’intérieur d’un grain est unifome etsensiblement parallèle à l’AFA (cf.H3). Si le champ d’excitation est augmenté au delà de cette valeur, le vecteur aimantationde chaque grain tourne graduellement vers la direction du champ d’excitation jusqu’à lasaturation (cf. H4). En général, la vraie saturation nécessite d’appliquer unchamp importantcar la susceptibilité rotationelle est beaucoup plus faible que la susecptibilité de paroi.

La suceptibilité rotationelle peut être facilement calculée en fonction de la constanted’anisotropie pour une symétrie uniaxiale sachant queχR = JS

µ0HK. En introduisant (3.11),

on trouve faciliment :

χR =J2S

2µ0K1(3.15)

On peut démontrer que cette formule est aussi valable au premier ordre pour les symétriescubiques quandK1 > 0.

Pour le Fe-Si 3%, dont la constante d’anisotropie est de 35 kJm−3, on trouveχR = 45.Un calcule rapide montre qu’une fois les grains localement saturés (plus de domaines), ilfaut un champ de l’ordre de 2000 Am−1 pour gragner seulement 0.1 T, ce qui explique lalente approche à saturation des tôles de Fe-Si NO (voir plus loin).

H

H H3

1 2

4

H =0

H

HH

H

2

34

1

Champ d’excitation, H

Pol

aris

atio

n, J

FIG. 3.12: Effet du champ magnétique sur la structure en domaines.

3.3.6 Mesurage des propriétés magnétiques des matériaux do ux

Pertes :Les pertes se mesure usullement avec un wattmètre en utilisant la méthode d’Ep-stein. Ce montage est indispensable si l’on veut s’affranchir des pertes Joule du du bobinageprimaire (le secondaire étant chargé d’un impédance très grande).

Cycle d’hystérésis: le principe de la mesure consiste à mesurer le courant primaire etintégrer la tension secondaire à vide.

Si R satisfait la conditionI2 ≪ I1 alorsH(t)ℓ = N1I1(t) etVX(t) = rI1(t)ψ(t) = N2φ(t) = N2B(t)S etV2(t) = dψ

dtL’intégration du flux peut être réalisée par un simple circuit RC (cf. Fig. 3.13 c) si la

condition sur la fréquence de coupure12πRC = fc <f

100 est vérifiée. On a alors :

VY (t) =

∫V2(t)dt =

N2S

RCB(t)

28

Si l’on visualiseVY en fonction deVX on obtient une image du cycle d’hystérésis.

R

C

V2

V

r I 1

VY

(d)

(c)

X

V21I (a)

(b)

W

FIG. 3.13: Shéma d’un montage simple pour visualiser le cycle d’hystérésis d’un circuitmagnétique doux.

Cette méthode est applicable dans le cas où l’inductance magnétisante est très supérieureà la résistance serie (résistance du bobinage + résistance de mesure), ce qui est vérifié pourun transformateur usuel à fréquence industrielle. Si on ne dispose pas d’une grande quantitéde matériau ou si la fréquence de mesure est faible il faut avoir recours à un intégrateurplus performant à base d’amplificateurs opérationels (cf. Fig. 3.13 d) mais dans ce cas lesréglages sont très délicats car il faut s’affranchir des dérives d’intégration. Pour des mesuresà fréquences plus élevées il est recommandé d’effectuer l’intégration numériquement aprésconversion analogique-numérique.

3.4 Origine physique du magnétisme

Au cours de l’histoire les explications les plus farfelues ont été avancées pour expliquerl’origine du magnétisme. Descartes lui-même se fourvoya dans une explication mécanistealambiquée dont le seule mérite fût de sonner le glas de la théorie des vertus occultes forten vogue à l’époque. Après lui, les grands savants se sont bien gardés de fournir la moindreexplication à ce phénomène, se bornant à le décrire parfois de manière très précise commeCoulomb. C’est seulement Ampère -le “Newton de l’électricité”, dixit J.C. Maxwell- quifondant la théorie de l’électrocinétique, démontre l’équivalence entre un solénoïde et unaimant de même dimentions. Là où ces contemporains -notamment Oersted- en cocluentque l’électricité est engendrée par le magnétisme, Ampère suggère au contraire que le ma-gnétisme des aimants est dû à des “courants moléculaires” à l’intérieur de l’aimant. Cetteintuition fut confirmée au début du 20ème siècle par les traveaux des “atomistes” notam-ment Niels Borh.

3.4.1 Magnétisme de l’atome d’hydrogène.

Selon le modèle planétaire circulaire, l’atome d’hydrogène est composé d’un électron demasseme gravitant autour d’un proton à une distancer. Ce système est équivalent à une

29

z

I

Mv

−e

r

+e

u

S

L

FIG. 3.14: Atome d’hydrogène et boucle de courant ampérienne équivalente.

boucle de courant de même rayon dont le moment magnétique estdonné par :

−→M = I · S−→n = −I · πr2−→uz

le courant étant défini par

I =dq

dt=e

T=eω

2π

On déduit :−→M = −eωr

2

2−→uz

Cette expression peut être écrite en utilisant le moment cinétique de l’électron sur son orbite

−→L = −→r ∧ −→p = me

−→r ∧ −→v = meωr2−→uz

−−→ML = − e

2me

−→L (3.16)

En mécénique classique, on ne peux pas prévoir la valeur du moment magnétique car ilexiste un nombre infini de couplesr, ω satisfaisant l’équilibre entre force centrifuge d’unepart et force électrostatique et gravitationelle d’autre part. En, revanche la mécanique quan-tique montre que le moment cinétique est quantifié dont le quantum est~ = 6.62 ·10−34 Js.On définit le rapport gyromagnétique d’une manière généralecomme étant le rapport entrele moment magnétique et le moment cinétique

∣∣∣−−→ML

∣∣∣∣∣∣−→L

∣∣∣= −gL

e

2me

où pour un moment orbitalgL = 1.

Outre son mouvement orbital autour de son noyau, l’électronà l’instar d’une planèteautour de son étoile, est animé d’un mouvement de rotation autour de lui même. Ce mou-vement dont le moment cinétique

−→S est appelé “spin” (toupie en anglais) donne aussi nais-

sance à un moment magnétique. Le spin est égament quantifié mais il présente la particu-larité d’être un demi-entier de~. Contrairement au cas de l’orbitale, aucun calcul classique

30

ne peu donner le rapport gyromagnétique car la charge à l’intérieur de l’électron n’est pasuniforme (en fait un électron n’est pas une petite boule chargée !). Ce rapport est définitcomme suit :

∣∣∣−−→ML

∣∣∣∣∣∣−→S

∣∣∣= −gS

e

2me

où gS=2.002 : on parle de double magnétisme propre de l’électron.Le moment magné-tique de l’atome est donc :

−→M =−−→ML +

−−→MS

Cependant, ces vecteurs ne sont pas des observables quantique. En effet, observer unmoment magnétique necessite l’application d’un champ suivant un axe donné, par exempleOz. Le vecteur~L aura une direction telle que sa projection sur l’axe de quantificationLz etne pourra prendre que 2 valeurs

Lz = mℓ~

mℓ = ±1

De même pour le spin, Sz = ms~

ms = ±12

Il apparait donc une quantité appelée magnéton de Borh :

µB = − e~

2me= 0.927 · 10−23 Am2,

ce qui permet d’écrire les modules des projections des moments magnétiques sur l’axede quantification :

MLz = −gmℓµB = ±1µBMSz = gSmsµB = ±1µB

Il faut préciser ici que l’hydrogène étant un gaz diatomique, les deux états sont occupéset le moment magnétique est nul.

3.4.2 Atome isolé à Z électrons

Pour un atome isolé à plusieurs électrons, le nombre quantique orbitalmℓ ne pourraprendre que les2ℓ+ 1 valeurs

mℓ = −ℓ, (−ℓ+ 1), (−ℓ+ 2), ..., 0, ..., (ℓ− 2), (ℓ− 1), ℓ

Le nombre d’états susceptibles d’être occupé dans une sous-couche “ℓ” est doncNℓ =2(2ℓ+ 1). En résumé, pour les sous-couches d’intérêt pour le magnétisme, nous avons :

31

s p d f

ℓ 0 1 2 3Nℓ 2 6 10 14

En vertu du principe d’exclusion de Pauli, deux électrons nepeuvent occuper le mêmeniveau d’énergie (la même vaeur demℓ oums) que si leurs spins sont opposés. Chaque sous-couche contenant deux électrons et a fortiori chaque couchepleine, aura donc un momentmagnétique nul. Les électrons libres étant délocalisés ilsne donne pas non plus de momentmagnétique. Le magnétisme n’est donc dû qu’à une seule couche atomique interne.

En pratique, seuls les éléments ayant une couche 3d ou 4f incomplete présentent un mo-ment important, c’est à dire les métaux de transition et les terres rares.

Le remplissage des sous-couches incomplètes se fait suivant les règles de Hund :

1. la valeur du nombre quantique de spin totalS = Sz

~=

∑i (ms)i est la plus grande

valeur possible deSz compte tenu du principe de Pauli ;

2. la valeur du nombre quantitique orbital totalL = Lz

~=

∑i (mℓ)i est la plus grande

valeur possible deLz compte tenu du principe de Pauli et de la règle précédente ;

3. la valeur du nombre quantitique cinétique totalJ est,

– J=L+S si la couche est plus que moitié remplie ,– J = |L− S| si la couche est moins que moitié remplie.

Exemple du fer :Z=26 Fe=1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 4s2=[Ar]+3d6 4s2

3d ↑↓ ↑ ↑ ↑ ↑ 4s ↑↓mℓ : -2 -1 0 1 2 0 ⇒L=2ms : 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 0 ⇒S=2

Les moments magnétiques orbitaux et de spin sont donc

MLz = gLLµB = 2µBMSz = gSSµB = 4µB

Similairement, le moment magnétique total est donnée par :

Mz = gJµB

où le facteur de Landé permet de prendre en compte le fait queMz est la projection surOz de la somme des vecteurs

−→MS et

−→ML . Un calcul relativement simple montre que :

g =J (J + 1) + S (S + 1) − L (L+ 1)

2J (J + 1)+ 1

Pour un spin nul on retrouveg=1 et pour un moment cinétique orbital nul on retrouveg=2.

Pour le ferJ=4 etg=3/2 d’oùM = 6µB ce qui est très au delà de ce que l’on mesure.

32

Il faut prendre garde au fait qu’iciMLz +MSz = M qui est dû au fait queS = L maisqui n’est pas vrai dans le cas général1.

3.4.3 Atome entouré à z électrons.

Lorsque les atomes sont placés dans un réseau cristallin, lapériodicité des ions cré unchamp électrique cristallin anisotrope dont l’effet est debloquer le moment orbital (L=0).

Pour le ferJ=2 etg=2 d’oùM = 4µB ce qui est toujours au delà de la valeur mesuréepour le fer métallique mais correspond bien à celle du fer divalant (ionFe2+) :

3d ↑↓ ↑ ↑ ↑ ↑ 4ss : 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 0 ⇒S=2

De même pour le fer trivalent (ionFe3+) :

3d ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 4ss : 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 0 ⇒S=5/2

d’oùM = 5µB , ce qui correspond bien à ce qui est mesuré dans les ferrites où les atomesde fer ou autre métaux de transition (Mn, Zn, Ni, Co, Cu...) sont entourés de 4 ou 8 atomesd’oxygène. En fait cette approche de type électrons locatisés marche bien dans les isolantsoù les semi-conducteurs (comme la magnétite ou le ferrite MnZn).

3.4.4 Atome entouré à z électron avec structure de bande

Dans les métaux les électrons de la couche 3d ne sont pas localisés ce qui induit unestructure de bande. On passe donc à un magnétisme de type électrons intinérants où lastructure de bande a pour effet de transferer en partie les électronss dans la couche 3d− etéventuellement une partie des électrons 3d+dans la couche 3d−.

Dans un matériau magnétique où les atomes de métaux de transition sont entouré d’autreatomes de métaux de transition, on mesure des valeurs nettement plus faibles que ne lelaisse prévoir la théorie simple que nous avons présenté (voir Tab. 3.1).

TAB . 3.1: Comparaison entre les moments magnétiques calculés et mesurés pour des mé-taux purs.

M/µB isolé bloqué mesuré 3d+ 3d− 4s+ 4s−

Fe 6 4 2.2 4.8 2.6 0.3 0.3Co 6 3 1.7 5 3.3 0.35 0.35Ni 5 2 0.6 5 4.4 0.3 0.3

Cepandant, ce n’est pas parcequ’un matériau présente une aimatation macroscopiquenulle que les atomes qui le compose ne portent pas de moment magnétique. Le moment

1En fait les modules des vecteurs quantiques qui ne sont pas observables ont pour valeur˛

˛

˛

~A

˛

˛

˛=

p

A (A + 1)

alors que leur projection sur l’axe de quantificationAz = A, doncMLz + MSz > M.

33

magnétique global peut être nul en moyenne en fonction de l’arrangement des spins quidépend de la structure des couches électroniques des porteurs de moment magnétiques etdes atomes qui les entourent.

E

n(E)

F

E

E

n(E)

F

E

+3d

−3d

4s

4s

+

−

FIG. 3.15: Représentation schématique de la structure de bandedu fer

3.4.5 Passage des grandeurs microscopiques aux grandeursmacroscopiques

Pour atteindre des grandeurs mesurables, on définie l’aimantation spécifique comme étantle moment magnétique par unité de masse

σS =MNa

m

Am2kg−1

oùNa = 6.023 · 1023 est le nombre d’Avogadro etm est la masse molaire.La polarisation s’obtient à partir de la masse volumiqueρv :

JS = µ0σSρv T

3.4.6 Types de couplages magnétiques

L’énergie qui couple les porteurs de moment magnétique avecses voisin dépend du re-couvrement des obitales électroniques qui donnent le moment (3d pour les métaux, 4f pourles terres rares). Si elles ne se recouvrent pas l’énergie decouplage est nulle. On appellecette énergie “énergie d’échange” car elle correspond à l’échange d’électrons 3d entre voi-sins magnétiques (pour les terres rares il n’y a pratiquement pas d’échange d’électrons 4fcar cette coucheest une couche intererne).

On comprend donc que l’énergie d’échange sera fortement dépendante de la distanceentre voisins. Ni les gaz ni les liquides ne peuvent être magnétique car la distance entre

34

Energie d’échange non− nulleEnergie d’échange nulle

FIG. 3.16: Représentation schématique du recouvrement d’orbitales

atomes est trop grande. Dans les métaux, tous addition d’un élément qui modifie le para-mètre de maille du cristal modifie le comportement magnétique a fortiori si cet élémentne porte pas de moment magnétique. En fonction du degré de recouvrement des orbitales,l’énergie d’échange peut être soit positive soit négative.Les types possibles de couplagemagnétiques sont décrits dans la Fig. 3.17.

Le diamagnétisme existant pour tous les éléments mais le phénomène peut être cachépar un autre plus fort, paramagnétisme et ferromagnétisme.Au delà de leur point de Curie,tous les matériaux ferri et feromagnétiques sont paramagnétiques. L’antiferromagnétismedisparait aussi avec la temprérature. Seuls le ferromagnétisme et le ferrimagnétisme ont uneutilité pratique en raison de leur susceptibilité élevée.

35

χ=−10 , −10−6 −9

J=0

Antiferromagnétisme

J=0

χ=0

complète

=0

>0<0

ouinon

Diamagnétisme

M=0ouinon

externes

coucheélectronique

Eéchχ=1 ,10

J<0.5 T

4

oui

nonMi=Mj

Ferrimagnétisme

Ferromagnétisme

Paramagnétisme

J=0

χ=1 , 106

J<2.5 T

−7 −3χ=10 , 10

FIG. 3.17: Types de couplages magnétiques.

36

FIG. 3.18: Propriétés magnétiques des corps simples dans l’état fondamental et à tempéra-ture ambiante

37

38

4 Modélisation des propriétésmagnétiques des matériaux

4.1 Pertes dans les matériaux ferromagnétiques doux

4.1.1 Séparation des pertes

La surface du cycle d’hystéresis dépend fondamentalement de la fréquence. Quels quesoient les matériaux elle augmente toujours tant que l’induction maximale est maintenue.

Habituellement on sépare les pertes en trois contributions: pertes par hystérésis, pertespar courants de Foucault et pertes supplémentaires (voire anormales). Cependant cette dé-nomination est très ambigüe car toutes ces pertes correspondent à un hystéresis, les pertespar hystéresis dans les métaux sont dues à des courants induits locaux et les pertes supplé-mentaies sont aussi dues aux mêmes courant. A cette dénomination nous substitueront lasuivante : pertes quasi-statiques et pertes dynamiques. Par mesure de commodité (en faitparceque l’on ne peut prédéterminer les pertes dynamiques correctement) nous conserve-rons la séparations entre pertes classiques et supplémentaires.

Les pertes mesurées en W sur un échantillon seront divisées de la façon suivante :

P = Pqs + Pcl + Psup

Comme cette mesure dépend émminament de la quantité de matière on calcule en généralles pertes par unité de volumePV exprimées en W/m3où de masse exprimées en W/kg. Pourrevenir à la surface du cycle d’hystéresis, on exprime les pertes en terme d’énergie :

P = Wf = wfV

w = wqs + wcl + wsup

En dessous d’une certaine fréquence qui dépend de la nature du matériau, la surfaceatteind une limite minimale : il s’agit du cycle quasi-statique, c’est à dire mesuré à unefréquence très faible. Cette surface est considéré comme sensiblement proportionnelle aucarré de l’inductuion. Le terme suivant fera l’objet de la prtie suivante et le troisième a uneexprission sensiblement arbitaire. En résumé on a :

Exprimé en J/m3 Exprimé en W/m3

wqs = k0B2 pqs = k0B

2fwcl = k1B

2f pcl = k1B2f2

wsup = k2B2√f psup = k2B

2f3/2

39

-600 -400 -200 0 200 400 600 -1,6

-1,2

-0,8

-0,4

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

B max

=1.5 T

Indu

ctio

n B

(T

)

Champ H (A/m)

5 Hz 50 Hz 200 Hz 500 Hz

FIG. 4.1: Cycle d’hystérésis d’une tôle de FeSi 3% mesurés à 5, 50, 200 et 500 Hz avec uneinduction maximale de 1.5 T.

40

4.1.2 Pertes classiques

Nous appelons ici pertes classiques les pertes associées audéveloppement decourantsinduits macroscopiquesdans le matériau.

Habituellement, ces pertes sont appelées en France “pertespar Courants de Foucault”.En fait, a découverte des courants toubillonnaires n’est pas due à Foucault mais à Lord Kel-vin (Léon Foucault a seulement inventé le frein qui exploitela formation de ces courantpour dissiper de l’énergie) qui en démontre l’existance à partir des équations de Maxwell.Il s’agit simplement de courants induits qui se déveleppentdans la masse d’un conducteurtraversé par un flux magnétique variable. Ces courants dépendent essentiellement de la fré-quence de l’intensité de l’induction et de la géométrie. Celon la géométrie et les hypothèsesfaites, le calcul est plus ou moins compliqué. Il peut être fait analytiquement dans le casd’une sphère, d’un éllipsoïde de révolution, d’un cylindreinfiniment long ou d’une plaqueinfinie. Si les deux premiers cas ne correspondent pas à des cas usuels en électrotechnique,le troisième correspond à un fil conducteur et le quatrième à une tôle magnétique. Nous netraiterons pas ici le cas du fil car il fait intervenir les fonctions de Bessel, peu aisées à ma-nipuler puisqu’elles ne sont pas à proprement parler des fonctions analytiques. Nous nousattarderons donc uniquement sur le cas de la tôle.

yz

xLx

e

Ly BJ

J

FIG. 4.2: Tôle magnétique conductrice d’épaiseur négligeablepar rapport à la largeur et àla longueur

Approche qualitative :

Lx ≫ e,Ly ≫ e, densité de courant uniforme sur chaque demi-épaisseur, flux sinusoïdal.La puissance dissipée dans l’échantillon s’écrit :

P = RI2 =V 2

R(4.1)

Comme on a l’équvalent d’une spire,

V (t) = −dφ

dt

d’ou la valeur efficace de la tension efficace,

V =1√2ωBeLy (4.2)

41

La valeur de la résistance équivalente s’écrit dans notre hypothèse :

R = ρ2Ly12eLx

(4.3)

En introduisant (4.3) & (4.2) dans l’expression (4.1), on obtient :

P =1

8σω2B2e3LxLy

En divisant par le volumeLxLye et en substituant la fréquencef à la pulsationω, onobtient l’expression des pertes “classiques” par unité de volume :

pcl =π2

2σf2B2e2 (4.4)

Approche quantitative dans l’approximation d’une RMI faib le :

Lx ≫ e, Ly ≫ e, le champ de réaction créé par les courants induits est faible devantl’induction

−→∇ ∧−→E = −d

−→B

dt

−→∇ ∧−→E =

∣∣∣∣∣∣

∂∂x∂∂y∂∂z

∧

∣∣∣∣∣∣

ExEyEz

=

∣∣∣∣∣∣

−∂Bx

∂t

−∂By

∂t

−∂Bz

∂t

Comme on le voit sur la Figure 4.2, le vecteur induction est dirigé suivant x, d’oùBy =Bz = 0. Par raison de symétrie,jx = jz = 0 ce qui impliqueEx = Ez = 0

Il ne reste donc qu’une composante non nulle :

∂Ey∂z

=∂Bx∂t

Dans l’hypothèse d’une réaction magnétique d’induit faible,Bx est indépendante dez,d’où

Ey =∂Bx∂t

z +K

Comme le champ électrique est nul pourz = 0 ⇒ K = 0.Les pertes générés par ces courants induits s’obtiennent par intégration sur le volume des

variables locales :

Pcl =

∫

VσE2

ydV

Pcl =

∫ Lx

0

∫ Ly

0

∫ e/2

−e/2σ

(∂Bx∂t

z

)2

dxdydz

42

FIG. 4.3: Pertes dans des tôles de FeSi NO, GO conventionnelles et GO à haute perméabilité(HiB)

Pcl = 2LxLyσ

(∂Bx∂t

)2 ∫ e/2

0z2dz

Pcl = 2LxLyσ

(∂Bx∂t

)2 e3

24dz

par unité de volume on a :

pcl =1

12σ

(∂Bx∂t

)2

e2

Dans le cas d’un signal sinusoïdal de pulsationω nous trouvons finalement l’expressionde la puissance instantanée :

pcl(t) =π2

3σf2B2e2 cos2 ωt

Ce qui donne après intégration sur une période (⟨cos2 ωt

⟩= 1

2 ) :

pcl =π2

6σf2B2e2 (4.5)

43

Approche quantitative exacte :

Lx ≫ e, Ly ≫ e, le champ de réaction créé par les courants induits est comparable auchamp d’excitation

Sans détailler le calcul ici, nous pouvons montrer que dans l’hypothèse où le matériauxest linéaire et isotrope (B = µH), le problème se ramène à la résolution de l’équation deHelmholtz :

Pour les matériaux magnétiques métalliques, ce terme peu être calculer en reprenant leséquations de Maxwell dans les conditions décrite dans la Figure 4.2,

−→rot

−→H =

−→J

−→rot

−→E = −∂

−→B

∂t

auquelles −→B = µ0µR

−→H = µ

−→H

−→J = σ

−→E

On subsituantJ dans la première équation,

−→rot

−→H = σ

−→E

−→rot

−→rot

−→H = σrot

−→E = −σ∂

−→B

∂t= −σµ∂

−→H

∂t

Sachant que−→rot−→rot−→H = grad.div−→H − ∆

−→H et quediv

−→H = 0,

On obtient l’équation de Helmholtz

∆−→H = σµ

∂−→H

∂t(4.6)

En tenant compte des symétrie du problème comme dans la partie précédente, on réduit(4.6) à,

∂2Hx(z, t)

∂z2= σµ

∂Hx(z, t)

∂t

En régime sinusoïdal, on peut écrire cette équation en notation complexe et dériver lesecond terme par rapport au temps

∂2Hx(z)

∂z2= iσµωHx(z)

Cette équation admet une solution hyperbolique de typeHx(z) = A cosh (kz) où lenombre complexek est définik2 = iσµω.

Les condition aux limites permettent de déterminer la constanteA

Hx(z) = Hexcosh (kz)

cosh (ke/2)(4.7)

En écrivantk = (1 + i)δ, on fait apparître une grandeur homogène à une longueur quel’on nomme l’épaisseur de peau :

44

δ =

√2

σµω(4.8)

En calculant le module de moyennée sur une période, on obtient la valeur efficaceHeff

en fonction du champ d’excitationHex :

Heff = Hex

√cosh

(2zδ

)+ cos

(2zδ

)

sinh(eδ

)+ sin

(eδ

)

Dans l’hypothèse de courants de déplacements nuls (vérifiéedans les conducteurs), ondéduit l’expression de la densité de courant à partir de la simplification de l’équation deMaxwell-ampère∇∧−→

H =−→j :

jeff =

√2

δHex

√cosh

(2zδ

)− cos

(2zδ

)

sinh(eδ

)+ sin

(eδ

)

Pour obtenir les pertes, on intègre les pertes locales sur levolume

pcl =1

σe

∫ e/2

−e/2

∣∣∣jy(z)∣∣∣2dz

pcl =2

σeδH2ex

sinh(eδ

)− sin

(eδ

)

cosh(eδ

)+ cos

(eδ

) (4.9)

On peut ensuite remplaçerHex parB/µ et considérer deux expessions aux limite :

e≪ δ ⇒ pcl =π2

6σe2f2B2

e≫ δ ⇒ pcl =√π

1

e2σ1/2µ3/2

√fB2e2

4.2 Représentation spectrale de la perméabilité initiale

4.2.1 Perméabilité complexe

Un inductance dans le domaine des basses fréquences peut être représentée par un clas-sique modèle RL série

Z = R+ iLω

= jω(L− iRω

)

= jω(N2µ0µRS

ℓ − iRω

)

On peut ramener cette expression aux propriétés intrinsèques du matériaux en se rame-nant au terme sans dimention nommé perméabilité complexe etenretranchant la résistance

45

ohmique du bobinage mesurée en courant continu :

µ = µR − i (R−R0) ℓ

µ = µ′ − iµ′′

où la partie réelle représente la composante purement inductive et la partie imaginairepertes.

Pour une fréquence donnée, la perméabilité complexe est indépendante du champ ma-gnétique si celui-ci reste suffisament faible (H < 10HC ). En revanche les deux termesdépendent emminement de la fréquence.

4.2.2 Modèle des courants induits

La diminution de la perméabilité des métaux avec la fréquence est natuellement miseen relation avec l’effet de peau. Nous avons vu plus haut que le modèle classique est trèsinsuffisant pour modéliser les pertes en grands signaux car il faut tenir compte de l’hétéro-généité magnétique du matériaux. Dans le cas où le champ d’excitation est très faible, nousprouvons considérer les parois comme immobiles : en conséquence, le matériaux peut êtreà nouveau considéré comme homogène et la théorie classique s’applique.

Cas de la plaque infinie : tôles fines et rubans.En reprenant les résultats de la section précédente, nous pouvons calculer la perméabilité

apparente complexe comme étant la perméabilité locale (quiest égale à la perméabilité ini-tiale en basse fréquence) pondérée du rapport entre le champmoyen pénétrant le matériau,défini par (4.7), et le champ d’excitation :

µ = µi

⟨Hx(z)

⟩

Hex=

µiHex

1

e

∫ e/2

−e/2Hex

cosh (kz)

cosh (ke/2)dz

Ce qui après intégration et réduction donne :

µ = µitanh (ke/2)

(ke/2)(4.10)

Cette équation n’est pas aisée à décomposer en deux partie réelle et imagininaire, maisreste néanmoins à la portée de n’importe quel logiciel de mathématiques. A titre d’exemple,un résultat de calcul et montré Fig.4.4. Il est clair que ce modèle s’applique bien au métauxet peut être très utile pour modéliser les spectre de perméabilité des matériaux amorphes etnanocristallins.

On définie alors des valeurs particulière à partir de ces courbes :– la perméabilité statique,µS qui est la perméabilité initiale quandf → 0 ;– la fréquence de relaxation,fR qui est définie comme étant celle pour laquelle la partie

imaginaire est maximale, le temps de relaxationτ valant2π/fR.La fréquence de relaxation correspond sensiblement à la fréquence pour laquelle l’épaisseurde peauδ≈ 2−2/3e, soit :

fR ≈ 22/3ρ

πµ0µSe2(4.11)

46

De cette équation, nous remarquons que le produitµS × fR = cst.

102

103

104

105

106

107

108

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Fréquence (Hz)

Per

méa

bilit

é

FIG. 4.4: Comparaison entre les spectres des parties réelle et imaginaire calculées et mesu-rées pour un alliage FinemetR©. Les paramètres de calcul sontµi = 15000, e=25µm, ρ=120µΩcm.

Cas d’une sphère : poudres métalliques.Le calcul des courants induits peut également fait en coordonnées sphériques, même s’il

est complexe, en partant de l’équation de Helmholtz. Nous nous bornerons ici à donner lerésultat

µ = 4µSkr cos (kr) − sin (kr)

sin (kr) − kr cos (kr) + (kr)2 sin (kr), (4.12)

où r est le rayon de la particule. Comme le montre la Figure 4.5, lecomportement fré-quentiel est sensiblement différent de celui de la plaque enparticulier au dessus de la fré-quence de relaxation. On notera, que toutes propriétés intrinsèques du métal étant égales,les fréquences de relaxation de la sphère et de la plaque correspondent quand le diamètrede la particule2r ≃ 2.4e. Cela s’explique par le fait que les courants induits dans lasphèresont confinés en deux dimentions au lieu d’une dans la plaque.

4.2.3 Modèle de Debye

Pour les ferrites le modèle des courants induits n’est bien sûr pas applicable. On a doncrecours à des approche qualitatives comme le modèle de relaxation de Debye conçu à l’ori-gine pour modéliser le spectre de permittivité complexe desdiélectriques :

47

10−2

100

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω τ

µ’, µ

"

10−2

100

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω τ

µ’, µ

"

10−2

100

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω τ

µ’, µ

"

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

µ’

µ"

Debyeα = 0.7β = 0.7

plaquesphere

Debyeeplaque

Debyeplaqueα=0.7

FIG. 4.5: Comparaison entre plusieurs modèles de perméabilitécomplexe. Modèle de cou-rants induits dans une plaque et dans une sphère, en haut à gauche ; modèle decourants induits et de Debye, en haut à droite ; modèle de Debye, Davidson-Coleet Cole-Cole, en bas à gauche ; diagrammes d’Argand des différents modèles, enbas à droite.

48

µ =µS

1 + iωτ(4.13)

où la constante de tempsτ est relié à la fréquence de relaxationfR = 1/(2πτ). Lesparties réelles et imaginaires sont facile à extraire :

µ′ =µS

1 + (ωτ)2µ′′ =

µSω

1 + (ωτ)2

Un calcul simple montre quedµ′′

dω = 0 pourωτ = 1 etµ′(ωR) = µ′′(ωR) = µS/2.Comme on le voit sur la figure , le modèle de Debye ne représentepas toutes les situation

(en particulier pour les métaux). Dans ce but, plusieurs modifications ont été empiriquementapportée au modèle de Debye, notamment le modèle de Davidson-Cole

µ =µS

(1 + iωτ)α(4.14)

et le modèle de Cole-Coleµ =

µS1 + (iωτ)β

Un moyen très simple d’identifier une relaxation de Debye consiste à tracer un dia-gramme d’Argandµ′′ = f(µ′)

49

50

5 Matériaux magnétiques doux

5.1 Matériaux métalliques

5.1.1 Métaux purs magnétiques

Il n’existe que trois éléments porteur d’un moment magnétique fort à température am-biante : le fer, le cobalt et le nickel. De ces trois éléments,le fer est celui qui porte le mo-ment magnétique le plus important,JS = 2.16 T à 300 K, et il est de loin le plus abondantet donc le moins cher.

Pourquoi utilise-t-on peu le fer pur ?– sa dureté et son élasticité sont médiocres,– il n’est pas finement laminable,– il est très oxydable,– sa résistivité est faible.

Le fer pur n’est donc utilisé que sous forme massive et sous champ magnétique continu(gros électro-aimants).

Le cobalt pur n’est pas utilisé car il n’est pas vraiement doux ni assez dur.Le nickel n’a aucun des désavatages cités au dessus mais présente une polarisation trop

faible pour être intéressant (JS = 0.6 T à 300 K)

5.1.2 Alliages fer-silicium

Au début de l’histoire de l’électricité, les métallurgistes on cherché à obtenir le fer le pluspur possible pour améliorer ces qualité magnétiques. En fait, il s’agissait surtout d’éliminerle carbone responsable de la dureté mécanique et magnétiquedes aciers. En 1896, Hadfielddécouvre que la présence fortuite de quelques % de silicium dans le fer améliore ces qualitésmécaniques mais n’en étudie les propriétés électromagnétiques qu’en 1900.

La présence de silicium à raison de 2 à 4% de la masse confère à l’alliage :– une forte augmentation de la dureté et la limite d’élasticité,– une nette amélioration de la laminabilité,– une meilleure résistance à la corrosion,– une multiplication de la résistivité par 4,– une perte de polarisation à saturation de moins de 10%.On distingue deux familles de tôles de Fe-Si.Les tôles à grains non orientés, NO, sensiblement isotropesdans le plan et les tôles à

grain orientées, GO, anisotropes dans l’axe de laminage.Les tôles NO sont produites par laminage d’abord à chaud (1000-13000˚C) puis à froid

(300-40˚C) jusqu’à 40-60/100 mm suivit d’un recuit (800˚C). Les tôles dites “semi-process”sont ensuite isolées et découpés. Les tôles dites “fully process” sont écrouies 35/100 mmdécoupées, recuites et isolées.

51

FIG. 5.1: Influence du taux de silicium sur les propriétés physiques de l’alliage.

Les tôles GO sont laminées une fois à chaud et deux fois à froidpuis recuites. Elle sonttraités à la magnésie avant de subir un recuit de recristallisation qui va favoriser la croissancedes cristaux suivant l’axe de laminage et permet d’obtenir la texture cristallographique deGoss, du nom de son inventeur (GOSS en anglais signifie aussi grain oriented steel sheet,ça ne s’invente pas !). Les tôles GO dite HiB (prononcer “aïe bi”) subissent un processplus évolué qui permet d’augmenter la tailles des grains et d’améliorer l’orientation. Unrevêtement spécial permet en outre d’appliquer une contrainte de traction permanente quiaugmente la perméabilité et diminue les pertes.

5.1.3 Alliages fer-cobalt

Le matériau magnétique qui présente la plus forte polarisation magnétique à temprératureambiante à pour composition Fe2Co. Il fut découvert par Pierre Weiss en 1912 qui mesuraune polarisation de 2.43 T à 20 ˚C. En 1926, G.W. Elmen montra que l’alliage contenant50% de chaque métal est beaucoup plus perméable avec une polarisation sensiblement égale(2.4 T). Cependant, ce matériau etant difficile à laminer il faut procéder à des additions.L’alliage industriel le plus courant est Fe49Co49V2 car le vanadium en plus d’améliorerla laminabilité permet de faire passer la résistivité de l’alliage de 6.3 à 26µΩ · cm. Leferrocobalt peut être utilisé dans les transformateurs avec un gain en poids appréciable parrapport à du Fe-Si HiB mais au prix de pertes nettement supérieures. Le gain est beaucoupplus appréciable par rapport au Fe-Si NO dans les machines électrique mais ce matériauest réservé aux applications militaires et aéronautiques car le cobalt est un métal cher etstratégique (39% de la ressource mondiale au Zaïre, 30 à Cuba, 10 en Zambie, 7 en NouvelleCalédonie).

Il existe aussi une catégorie d’alliages contenant seulement 18% de Co et qui est doncbeacoup moins cher. Cependant, sa perméabilté étant relativement faible, son emploi n’estintéressant que dans le cas où le champ d’excitation est nettement supérieur à 1000 A/m. Lanouvelle génération d’alliages fortement texturé permet dobtenir des performance proches

52

10 100 1000 10000 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

Indu

ctio

n (T

crê

te)

Champ (A/m crête)

NO fully process GO conventionel GO HiB

FIG. 5.2: Courbes typique deBmax en fonction deHmax mesurée à 50 Hz sur des tôle NOet GO de 35/100 mm et sur une tôle HiB de 30/100 mm.

Non orientée Orientée Goss (110) Orientée cubique (100)

D.L. D.L. D.L.

FIG. 5.3: Types de textures rencontrés dans les matériaux magnétiques. La texture est dési-gnée par le plan cristallographique qui coincide avec le plan de la tôle.

53

du ferrocobalt grâce à une bonne maîtrise de la texture〈100〉 (la face du cube est dans leplan de la tôle il n’y a pas dorientation dans le plan).

0,1 1 10 100 1000 10000 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

Indu

ctio

n B

(T

)

Champ H (Am -1 )

Mumetal Ferrocobalt

FIG. 5.4: Comparaison entre alliage à haute perméabilité et alliage à haute induction

5.1.4 Alliage fer-nickel

Les premiers alliages de Fe-Ni ont été étudiés par Hopkinsonen 1889. Ils ont trouvéleur première utilisation en 1896 avec l’INVAR, un alliage àdilatation nulle découvert parCharles-Edouard Guillaume contenat 30% de nickel. Il a fallu cependant attendre 1921 pourqu’un alliage contenant 78% de nickel (Permalloy 78) trouveson appliacation en tant quematériau magnétique dans la téléphonie.

54

Les alliages Fe-Ni sont des alliages à haute perméabilité. Ils se décomposent principale-ment en deux familles :

– Permalloy 50, contenant 50% de Ni, à polarisation élevée (1.6 T)– Permalloy 80, contenant 80% de Ni environ, à perméabilité élévée (90 000 maximum)

et à polarisation faible (0.8 T).De nombreuses nuances de Permalloy 80 existent contenant des éléments d’addition dontle rôle est de modifier légèrement certains paramètres physiques pour obtenir par exempleune magnétostriction1 et une anisotropie nulle en même temps et augmenter la résistivité.On citera les principaux alliages commerciaux :

– Mollypermalloy, Fe15Ni80Mo5 à résistivité et perméabilité optimales,– Mumétal, Fe13Ni78Mo4Cu5 ou Fe16Ni77Cr2Cu5, de performances moindres mais beau-

coup plus facile à fabriquer (donc moins cher).En outre le Mollypermalloy est aussi utilisé sous forme de poudres isolées et compressées.On obtient ainsi un matériau à entrefer réparti (perméabilité 20 à 300) utilisable à fréquenceélevée grace à leur finesse de grain (20 à 100µm).

En raison de l’abondance modeste du Ni dans la croute terrestre, ces alliages sont destinésà des applications spécifiques où une très grande perméabilité est indispensable. Le nickelest moins stratagique que le cobalt car les ressources sont mieux ditribuées dans les paysoccidentaux (17% de la ressource en Nouvelle Calédonie).

5.1.5 Les poudres de fer

Les poudres de fer ont deux types d’applications possibles :– inductances haute fréquence ;– circuit magnétiques basse fréquence.

Dans le premier cas, on utilise le fer pour sa forte anisotropie magnétocristalline sous laforme de poudre fine pour éviter l’effet de peau. Les poudres de fer HF sont utilisablesj’usqu’au GHz.

Au contraire pour les applications basse fréquences, on utilise le fer pour sa forte aiman-tation sous la forme de poudre pour permettre la fabricationde circuit magnétiques isotropesdans les trois dimentions par simple moulage et frittage (comme les ferrites).

Dans les deux cas une parfaite isolation des grains est indispensable ce qui conduit àl’existence d’un entrefer réparti.

Les propriétés des matériaux sous forme de poudres isolées peut être simplement décritespar le modèle des joints de grains non magnétiques (Non Magnetic Grain Boundary), quiconsite à calculer la susceptibilité effective d’un ensemble de grains cubiques d’arêteDespacés un enterfer isolente :

χeff =Dχi

D + eχi(5.1)

oùχi est la suceptibilité intrinsèque de la particule. Il est important de noter que la suc-septibilité intrinsèque de la particule dépend également de la taille de grain (χi ∝ 1/D). On

1Découvert par Joule en 1842, la magnétostriction est un phénomène de déformation du matériau sous l’actiond’un champ magnétique. Il peut être exploiter pour réaliserdes transducteurs. Le phénomène inverse peuservir à réaliser des capteurs de force. Il est souvent considéré comme néfaste car une contrainte appliquersur le circuit magnétique peu engendrer une dégradation despropriétés magnétiques.

55

FIG. 5.5: Comparaison de la courbe de première aimantation d’unpoudre de fer à hautedensité comparé à une tôle de Fe-Si NO

remarque que :

lime→0

χeff = χi limχi→∞

χeff =D

e

Pour les applications BF, la taille de grain est limitée par la fréquence de travail à quelquescentaines deµm, il est clair que la principale difficulté pour obtenir des poudres de perméa-bilité supérieure à 100 sera d’assurer une parfaite isolation avec l’épaisseur d’isolent la plusfaible possible. Pour les application HF, il faut réduire lataille des particules (<10µm) etla susceptibilité intrinsèque de manière à augmenter la fréquence de relaxation (µSfR ∝1/D2).

5.2 Verres métalliques

5.2.1 Elaboration des verres métalliques

Les verres ou amorphes métalliques sont des matériaux de structure topologiquementet chimiquement désordonés. En pratique, pour que le métal ne cristallise pas, il faut quel’alliage comporte une proportion d’éléments dits amorphisant, c’est à dire qui naturelle-ment se solidifient sans cristallier. De plus il est nécessaire de refroidir le métal en fusiontrès rapidement (de l’ordre de106 ·Ks−1) par des méthodes dites d’hypertrempe comme laprojection sur roue. La composition chimique des amorphes magnétiques est du type :

(Fe ,Ni ,Co)︸ ︷︷ ︸+ (B, Si, P, C)︸ ︷︷ ︸+ (Ga ,Al ,Ge , ...)︸ ︷︷ ︸+ (Nb ,Zr ,Mo, Cr...)︸ ︷︷ ︸ferromagnétiques non-metaux semi-métaux réfractaires

70-80% 5-20% 0-5 0-10%Leur structure chimique et topologique entraîne les conséquences suivantes :– isotropes⇒ perméabilité très élevée, résistance mécanique élevée, possibilité d’induire

une direction de facile aimantation par des traitements ad-hoc,

56

– désordonnées⇒ résistivité élevée (50 à 200µΩ · cm),– sans défauts⇒ champ coercitif faible,– métastable⇒ risque de cristallisation,– proportion d’éléments non ferromagnétiques⇒ point de Curie faible (100-500˚C),

polarisation à saturation modeste.– mode d’élaboration⇒ production continue de rubans de 15 à 40µm d’épaisseur et

jusqu’à 20 cm de largeur.

FIG. 5.6: Dispositif de trempe rapide sur roue dit “melt spinning”. Le métal est fondu parinduction dans la buse qui se trouve dans l’inducteur et projeté par une pressionde gaz neutre sur une roue de bronze dont la vitesse périphérique est de l’ordre de30 ms−1 (image CECM/CNRS).

5.2.2 Cristallisation ou dévitrification des verres métall iques

Comme l’état vitreux est un état métastable, le matériau estsusceptible de subir un change-ment d’état sans aucune cause extérieure apparente. Cette perspective est vraisemblable-ment à l’origine du faible développement qu’ont connu ces matériaux en dépit des propriétésintéressantes qu’ils présentent. Toutefois, il parait acquis aujourd’hui que ces craintesétaient non fondées. Depuis leur introduction sur le marché, il y a 15 ans, aucun cas dechangement d’état d’un composant magnétique à noyau amorphe n’a été relaté.

Cependant, il est clair que leur température de fonctionnement doit rester dans tous les casraisonnable (en général 150˚C). Dans le cas contraire, la cristallisation peut se produire etles propriétés du matériau s’en trouvent irrémédiablementdégradées. Dans le cas des verresmétalliques, la présence de plus de deux éléments (métalliques et non métalliques) a pourconséquence de produire la cristallisation de plusieurs composés à des températures propresà chaque composé. Il est possible de mettre en évidence les pics de cristallisation par analysethermique. La température de cristallisation (en général plus de 450˚C) reste toutefois trèsau-dessus de la température de Curie (entre 150 et 400˚C pourles compositions usuelles).

57

5.2.3 Propriétes mécaniques des verres métalliques

L’homogénéité chimique des verres métalliques est très importante pour les propriétés mé-caniques. L’absence de joints de grains et de direction privilégiée fait qu’il n’existe pas deplan de glissement : la limite élastique est donc très élevéedans ces matériaux (de l’ordrede 3 GPa). Leur module d’élasticité valant environ 100 GPa, leur déformation dans le do-maine élastique dépasse 2.5%. C’est pourquoi une partie importante des verres métalliquessont produits pour la fabrication de béton préarmé. Les bandes de quelques mm de largeuret quelques cm de longueur sont mélangées dans le béton liquide. La dureté importante(900 Vickers) alliée à une forte perméabilité font que les amorphes magnétiques sont trèsperformants pour les têtes de lecture magnétiques ou pour des capteurs de force.

5.2.4 Amorphes à base de fer

Les conséquences du désordre à grande distance et de l’augmentation des distances inter-atomiques ont pour conséquence de réduire nettement le point de Curie dans les verres parrapport à un matériau cristallin de même composition. Cela est illustré par quelques donnéesnumériques comparatives (Tableau 5.1).

Table 5.1: Comparaison de matériaux amorphes et cristallins de composition procheComposition Structure Aimantation Résistivité Limite Point de

à 0 K (T) (µΩ · cm) élastique (MPa) Curie (˚C)

Fe78B13Si9 amorphe 1.56 120 3000 350Fe82B18 cristalline 1.55 99 70 700

On voit Il reste que la nécessaire présence d’éléments amorphisants dans l’alliage lim-ite l’induction à saturation de ces matériaux et que leurs pertes restent assez élevées enhaute fréquence pour les matériaux amorphes à haute induction. Un aperçu des propriétésgénérales des amorphes est donné en annexe.

En général, dans les matériaux magnétiques cristallins, l’anisotropie est dominée parl’anisotropie magnétocristalline. Dans le cas des verres métalliques, cette dernière est nulleen raison du désordre à grande échelle : il ne peut apparaîtred’axe privilégiés puisque toussont équivalents. C’est l’anisotropie magnétoélastique qui domine en raison d’importantescontraintes internes liées à la solidification rapide. Ces contraintes s’expliquent en partie parle fait que la vitesse de refroidissement n’est pas la même sur la face du ruban côté roue etsur celle côté air. Cet effet est d’autant plus important quele coefficient de magnétostrictionest grand, ce qui est le cas pour la plupart des verres métalliques (λS ≈ 20 · 10−6) àl’exception de certains alliages à base de cobalt.

Pour les utilisations en génie éléctrique, il est nécessaire de faire subir à ces matériauxun recuit de détensionnement pour réduire les contraintes internes. Ce recuit s’accompagned’une diminution de l’anisotropie magnétoélastique, doncde l’anisotropie totale et, parsuite, du champ coercitif. L’élévation de la température enaugmentant la mobilité desatomes permet de favoriser un arrangement microscopique plus homogène ce qui conduit àun état plus stable sur le plan thermodynamique. Ceci explique notamment que le point deCurie soit sensiblement plus élevé après un recuit.

58

Cette diminution de l’anisotropie s’accompagne d’une augmentation de la perméabilitéinitiale (elle aussi gouvernée par le couplage magnétoélastique) et, parallèlement au champcoercitif, des pertes électromagnétiques.

Les traitements thermiques sont réalisés dans des fours électriques classiques non induc-tifs, à des températures de l’ordre de 400˚C pour des durées comprises entre 1 et 2 heures.Le traitement optimum dépend évidemment de la composition de l’alliage.

Certaines actions extérieures peuvent favoriser l’apparition d’anisotropies induites lorsqu’ellessont appliquées pendant le recuit. Ainsi l’application d’un champ magnétique permet d’induireune anisotropie dans le sens du champ appliqué. Ainsi un champ longitudinal (dans lesens du ruban) induit une anisotropie axiale révélée par un cycle d’hystérésis qui devientrectangulaire et des domaines magnétiques transversaux. De même un champ magnétiquetransversal induit une anisotropie transverse qui se manifeste par un cycle d’hystérésis platet des domaines transversaux (voir Figure 4).

D’une manière générale, les dénomination suivantes sont utilisées pour désigner les formesde cycles d’hystérésis.

X : cycle "rond", traitement classique;Z : cycle "carré", traitement sous champ longitudinal;F : cycle "plat", traitement sous champ transverse.

Figure 5.7: Domaines de Weiss observées sur un amorphe de compositionFe78B13Si9. Dedgauche à droite, brut de tempe, recuit 1h à 400˚C, recuit 1h à400˚C sous unchamp longitudunal de 1000 A/m (image Richard Barrué).

5.2.5 Amorphes à base de cobalt

Les amorphes à base de cobalt sont particulièrement doux grace à un coefficient de ma-gnétostriction très faible. Déjà à l’étét brut, ils présentent des champ coercitifs faibles et desperméabilités élevées par rapport aux amorphes à base de fer. Ils sont utiles dès que l’on abesoin d’un matériau de haute perméablité et très ductile. Les compositions les plus doucessont proche deCo66Fe2Mo2Si16B12 (Ni peu remplacer Mo) et ont des champs coerci-tifs de l’ordre de 0.3 Am−1, ce qui reste un record pour le moment. En raison de l’abscenced’anisotropie d’origine magnétocristalline ou magnétoélastique, il est très facile de modifierla forme du cycle d’hystérése par un recuit sous champ (voir Fig.5.9). Certaines nuances,par exempleCo70(Fe,Mo)2Mn5(Si,B)23 permettent d’induire une anisotropie plus fortede manière à avoir un cycle plus couché mais toujours plat.

Comme leur induction à saturation est relativement faible (0.55 à 0.8 T) mais que leurperméabilté est très élevée, ces matériaux sont surtout utilisés dans les capteurs et dans les

59

FIG. 5.8: Cycles d’hystérésis typiques d’un amorpheFe78B13Si9 recuit sans champ, souschamp longitudunal et sous champ transverse. Pour avoir le champ en A/m multi-plier par 80.

badges de surveillance électronique.

5.2.6 Nanocristallins de type Finemet R©Ce n’est donc qu’en 1988 que Y. Yoshizawa et son équipe (Magnetic & Electronic Materi-als Research Laboratory, Hitachi Metals) ont mis au point l’alliage FinemetR© qui permetd’obtenir les propriétés que nous décrirons plus loin.

De nombreuses combinaisons de ces éléments ont fait l’objetd’études poussées, mais ilest certain que la composition la plus intéressante est celle du type FinemetR©, dont le brevetcouvre toutes les compositions FeSiBMCu où M est un métal de transition du groupe 5 ou6 de la table de Mendeléev.

Les compositions les plus courantes sont du type Fe73.5SixB22.5−xNb3Cu1 et contiennent13.5% ou 16.5% de silicium. Le métal est constitué après traitement termique ad-hoc (540-550˚C) de nanoparticules (10-15µm) de Fe80Si20 dispersées dans une matrice amorpherésiduelle. En généralx=13.5 ou 15.5% (proportion atomique)

Même si certains points restent encore obscurs, il parait donc acquis que la cristallisationse déroule de la façon suivante:

Des amas cristallins de quelques nm de cuivre se forment, répartis de manière homogènedans le volume .

Le fer et le cuivre étant très peu miscibles, le fer est repoussé et il y a une augmentationde la concentration de fer au bord des amas de cuivre, ce qui favorise la germination decristaux de fer.

Les atomes de fer et de silicium environnant migrent vers le cristal, formant une solutionsolide de FeSi qui, au cours du recuit, s’enrichis en silicium (le fer et le silicium sont très

60

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Champ magnétique (A/m)

Indu

ctio

n (T

)

FIG. 5.9: Cycles d’hystéresis d’un amorphe à base de cobalt

miscibles car leur diamètre atomique est proche).Simultanément, les atomes de bore et de niobium sont repoussés de la maille cristalline.

Ces derniers vont ralentir la croissance du cristal car ils diffusent beaucoup plus lentementque les autres atomes de l’alliage. Par suite, ils vont s’amasser autour des cristaux, formantune barrière qui limitera leur taille.

Les recuits de ce type d’alliage sont généralement d’une durée d’une heure. Nous pou-vons voir Figure 5.10, que le minimum de coercivité est obtenu entre 520 et 580˚C alors quele taux de rémanence varie de 30 à 70% dans cette zone. Cela confirme que la coercivitédépend surtout de la taille des grains, alors que la rémanence est surtout liée au taux decristallinité. La perméabilité initiale, suit inversement l’évolution du champ coercitif maisconnaît un optimum plus étroit, probablement en liaison avec le coefficient de magnétostric-tion.

Les pertes à haute fréquence, qui intéressent l’utilisateur de matériaux magnétiques,évoluent de manière comparable au champ coercitif.

La plupart des produits commerciaux sont traités sous champtransverse. Ils ont un cyclequasiment linéaire jusqu’à la saturation qui intervient pour un champ très faible (Fig. 5.11).

5.2.7 Nanocristallins de type Nanoperm

Les alliages de type Nanoperm ont été découverts par Kiyonori Suzuki en 1990 dansl’équipe du Pr. Masumoto de l’université de Tohoku. La composition originales était Fe84Zr7B9

mais elle a évoluée d’un manière plus large par la suite. Les plus performant alliages ont laformule :

Fe100−x−yZrxByCu1

x ≃ 7, partiellement substitué par du Nb2 < y < 6

61

0 50 400 450 500 550 600 650 0,1

1

10

100

1000

Cha

mp

coer

citif

(A

/m)

Temperature de recuit (˚C)

0 400 500 600 100

1000

10000

100000

Perm

eabilité initiale

Figure 5.10: Effet des traitements thermiques isothermes sur les propriétés magnétiques del’alliage Fe73.5Si13.5B9Nb3Cu1.

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Champ magnétique (A/m)

Indu

ctio

n (T

)

FIG. 5.11: Cycles d’hystérésis typiques d’un alliage de type Finemet avec 15.5% de Si re-cuit à 540˚C sous champ transverse.

62

Alliage produit par les mêmes méthodes que le Finemet avec une polarisation élevée (1.5T) et une perméabilité de quelques dizaines de milliers.

Alliage commercial Fe86Zr3.5Nb3.5B6Cu1, perméabilité maximale 160 000. Défauts :difficile à produire (il a tendance à s’oxyder durant la trempe), résitivité faible (ρ ≃ 50µΩ ·cm).

L’évolution des propriétés magnétiques de ces matériaux enfonction du traitement ther-mique est totalement similaire à celle observée sur les FinemetR© (Figure 5.12). Une dif-férence notable est cependant observée : la cristallisation provoque une augmentation im-portante de l’aimantation qui est liée au fait que les cristaux sont constitués de fer pur. Lesélectrons de la couche 3d de atomes de fer ne sont plus captés par les électrons périphériquesdu métal de transition et du métalloïde. Au contraire dans leFinemetR©, la proportiond’électrons du porteur de moment magnétique capté par les métalloïdes est sensiblement lamême dans la phase amorphe, dans la phase cristalline et dansl’alliage précurseur.

Les débouchés sont modestes voir confidentiels.

5.3 Les ferrites doux

5.3.1 Les ferrites simples

La magnétite ou ferrite de fer est un matériau naturel d’origine volcanique. Ces propriétésd’aimants sont connues depuis l’antiquité et furent rapportées vers 600 av J.C. par Thalèsde Millet. La légende rapporte qu’un berger du nom de Magnes menant ses bêtes près de laville de Magnesie, sentit les clous des sandales et le fer de son bâton soudainement collésau sol. Creusant la terre sous ses pieds il décrouvrit la pierre d’aimant.

En fait la magnétite, de formule chimique Fe3O4, n’est pas un bon aimant et n’est passucseptible de le devenir du fait de sa faible anisotropie structurale (symétrie de type cubiquealors qu’il faut une symétrie uniaxiale pour faire un bon aimant).

De plus, la conductivité de la magnétite est relativement basse pour un oxyde (10−4 Ω·m).La magnétite contient des ions fer de différentes valence (2ou 3 les électrons des couchesexternes du fer sont “captés” par les oxygènes environants). La magnétite à une structure detype spinelle et comporte donc un Fe divalent et deux Fe trivalents.

La conductivité relativement forte est due aux ion divalents Fe2+qu’il convient de rempla-cer. La substitution du fer au profit de certians métaux permet d’augmenter cette résistivitéde plusieurs ordres de grandeur et en plus d’en faire d’exellent matériaux doux.

La formule générale des ferrites sera donc M2+O-Fe3+2 O3 où M est un métal de transis-tion (Mn, Zn, Ni, Cu, Co). Dans ces composés qui cristallisent en structure spinelle, les ionsM2+ occupent 8 sites tétraédriques sur 64 et les ions Fe3+ occupent 16 sites octaédriquessur 24 et forment ainsi deux sous-réseaux qui portent des moment magnétiques alignés enanti-parallèle de valeur différente.

Celon la nature du métal divalent, il existe deux types de spinelles, les spinelles directeset le spinelles inverses.

Dans les ferrites directes, les moments magnétiques sont antiparallèles dans le site oc-tahèdrique. En revanche, dans les ferrites inverse, les moment magnétiques sont parallèleentre eux dans le site octahèdrique et antiparallèles par rapport à ceux du site tétrahèdrique.

63

0 200 400 600 800 0,1

1

10

100

1000

Température de recuit (˚C)

Cha

mp

coer

citif

(A

/m)

0

10

20

30

40

50

Perm

eabilité initiale (1000)

0 200 400 600 800

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

Fe 3 Zr+X

Amorphe

bcc a -Fe

Pol

aris

atio

n à

satu

ratio

n (T

)

Figure 5.12: Effet des traitements thermiques isothermes sur les propriétés magnétiques del’alliage Fe86Zr7B6Cu1

64

O -

(A) [B]

FIG. 5.13: Structure spinelle

La magnétite ayant une structure spinelle inverse, on peut écrire sa formule chimique(Fe3+

) [Fe2+

2

]O4. D’après le tableau 5.2, les moments magnétiques des ionFe3+ sont an-

tiparallèles et donnent donc un moment magnétique net nul. Le moment magnétique globalde la cellule élémentaire de magnétite est donc dû uniquement à l’ion Fe2+.

Les principaux ferrites spinelle sont basés sur des ions divalent de métaux de transition,à l’exception du ferrite de magnésium (qui n’est plus utilisé aujourd’hui) et du ferrite delithium (qui est monovalent). Pour les ions divalents de métaux de transistion (de Mn à Zn),deux situations se pésentent :

– la sous-couche 3d est incomplète et les deux électrons 4s sont “captés” par l’oxygène ;– la sous-couche 3d est complète et les électrons 4s sont “captés” par l’oxygène ainsi

qu’un électron 3d si la sous-couche 4s n’en contient qu’un.Dans les deux cas, la conductivité des ferrites étant faibleou quasiment nulle, les électrons3d sont localisés. On se trouve donc dans la situation de l’atome entouré sans structure debande : c’est ce que l’on appelle un magnétisme d’électrons localisés. Le moment magné-tique se calcule exactement de la manière que nous avons exposé au §3.4.3.

Les ferrites sont fabriqués à partie d’hématite et d’oxidesde métaux de transition (NiO,ZnO, MnO, etc.). Les oxydes sont broyés pour calcinés pour faire réagir les divers oxydesvers 1200˚C puis broyés à nouveau pour obtenir ce que l’on appelle la chamotte. La cha-motte est pressée dans un moule de forme donnée (tore, E ou pot) puis frittée entre 1200

TAB . 5.2: Répartition des ions dans les sites du spinelledirect inverse

(A) [B] (A) [B](M2+

) [Fe3+

2

]O4

(Fe3+

) [Fe3+M2+

]O4

tétra octa tétra octa↑ ↑↓ ↓ ↑ ↑

65

TAB . 5.3: Propriétés magnétiques des ferrites simplesFerrite Spinelle M (µB) JS TC K1 AFA λS

calc. obs. (T) (˚C) kJ.m−3 ppm

MnFe2O4 mixte 5 4.85 0.95 0.54 300 -4 [111] -14Fe3O4 inverse 4 4.2 0.64 0.61 585 -11 [111] 47

CoFe2O4 inverse 3 3.3 0.6 0.53 520 220 [100] -168NiFe2O4 inverse 2 2.3 0.38 0.33 585 -6.7 [111]CuFe2O4 inverse 1 1.3 0.2 0.17 455 -6 [111]ZnFe2O4 directe 0 0 0 0 - - [111]

Mn0.5Zn0.5Fe2O4 mixte 7.5 6 0.93 0.45 ~150 ~0 [111] ~-1Ni0.5Zn0.5Fe2O4 inverse 6 5 0.83 0.53 ~290 ~-1 [111] ~-10

Li0.5Fe2.5O4 - 2.5 2.6 0.42 0.39 670

et 1300˚C selon les propriétés désirées (la croissance de grain favorise la perméabilité àbasse fréquence) sous pression partielle d’oxygène pour former la structure spinelle. Aprèsce traitement thermique, on obtient une céramiques composée de grains d’environ 100µmqui a la forme du moule. Pour les circuit en deux parties (E et des pots), les surfaces d’en-trefer des sont rectifiées afin d’éliminer au maximum l’entrefer résiduel lorsque le circuitmagnétique est fermé.

5.3.2 Ferrites de type MnZn

La formule générale du ferrite MnZn est Fe2(Mn1−xZnx)O4. L’ion Mn2+ augmente lemoment du site octahédrique par rapport à un Fe2+ alors que l’ion Zn2+ diminue le mo-ment du site tétrahédrique, ce qui fait que globalement le moment magnétique peut devenirbeaucoup plus important que celui de la magnétite. La particularité de ce ferrite est qu’iln’est pas inverse comme la plupart des oxydes magnétiques mais mixte. Cela tient au faitque le ferrite de manganèse est mixte, c’est à dire que les ions divalents sont présents dansles sites (A) et [B]. Les propriétés de ces ferrites dépendent donc fortement de la distributiondes ions, c’est pourquoi un très bon contrôle de la pression partielle d’oxygène en fonctionde la température pendant le frittage est nécessaire.

En fait pour les application industrielles, le contrôle du ratio Mn/Zn permet surtout d’agirsur le point de Curie et le moment magnétique et donc de contrôler l’aimantation à la tempé-rature ambiante et sa variation avec la température. Pour agir sur la constante d’anisotropieet en particulier sa dépendance thermique, on combine le ratio Mn/Zn avec de légers écartsà la stoechiométrie. La formule générale devient alors Fe2+δ(Mn1−xZnx)1−δO4 où δest leplus souvent de l’ordre de quelques %. On voit par exemple, pour un ferrite avecx = 0.25et δ = 0.72, que la constante d’anisotropie magnétocristalline passede valeurs négatives, àbasse température, à positive au delà d’une certaine température. Le point où l’anisotropieest nulle s’appelle le point de compensation de l’anisotropie. Il se signale particulièrementsur la courbe de perméabilité en fonction de la température qui montre un fort pic, tout à faitsemblable au pic d’Hopkinson à l’approche de la températurede Curie (voir figure 5.14).

En agissant sur les paramètresx et , il est possible de déplacer le point de compensationjusqu’à 100˚C environ. Pour les matériaux industriels, lespoints de compensation et de

66

Curie sont relativement proches (~100 K) ce qui fait que la perméabilité varie finalementassez peu sur la plage de température d’usage.

La résistivité du ferrite MnZn est intrinsèquement relativement peu élevée (de l’ordre de0.1Ω · m). En effet, il contient une part de fer divalent car c’est un spinelle mixte. On isoledonc les grains entre eux par des oxydes isolant (CaO et SiO2), ce qui porte la résistivitéglobale à environ1Ω · m.

Les ferrites de MnZn peuvent présenter des perméabilités supérieures à 15 000 mais leurrésistivité bien que très supérieure à celle des métaux n’est pas suffisante pour permettre desapplications au delà du MHz. En fait ce ferrite est un semi-conducteur intrinsèque ce quiimplique que sa conductivité (et donc ces pertes) augmente avec la température ce qui estsusceptible de générer un phénomène d’emballement thermique. Par l’intermédiaire de lacomposition et les conditions d’élaboration, on peu favoriser, soit la perméabilité pour lesapplications de filtrage, soit les pertes pour les application en électronique de puissance.

5.3.3 Ferrites de type NiZn

Les ferrites NiZn sont de composition proche des précédents: Fe2(Ni1−xZnx)O4. Làencore, les propriétés magnétiques se règlent par l’intermédiaire du ratiox. La résistivité estpar contre extêmement élevée (∼ 108 Ω · m) car ce spinelle inverse ne contient pas de ferdivalent. Son utilisation est possible jusqu’à 10 MHz environ selon les nuances. Ces ferritesprésentent des perméabilités entre 1000 et 20 selon la fréquence d’utilisation.

Les ferrites NiZn sont en général utilisé en petits signaux,notament en radio en tantqu’antenne, transformateur ou inductance. Ils sont caractérisés par un facteur de mériteµSfR (produit de la permibilité initiale statique par la fréquence de relaxation, voir §4.2.1).

Les méthodes de fabrication des ferrites NiZn sont semblables à celles des MnZn saufque le spinelle est déjà formé dans la chamotte. L’opérationde frittage se fait sous air etpermet la consolidation et la densification.

5.4 Utilisation des matériaux magnétiques doux

5.4.1 Tansformateur de tension

Le principe du ransformateur a été découvert vers 1845 par Michael Faraday. Ce premiertransformateur était composé d’un anneau de fer autour duquel deux bobinages étaient en-roulés. Utilisé essentiellement comme objet d’étude, c’est seulement en 18XX que l’idéevient à Lucien Gaulard et Gibbs de fabriquer un “générateur secondaire” qui permet de dé-velloper le transport de l’énergie en haute tension. Les tranformateurs de Gaulard et Gibbssont constitué d’un noyau droit en fil de fer entouré de deux bobinages concentriques oud’un noyau en U avec des bobinages séparés. En Hongrie, Deri fabrique en 18XX un trans-formateur constitué de bobinages en anneau entourés de fil defer. C’est seulement avecl’appareil de Westinghouse dont le noyau est constitué de tôles de fer empilées, que le tran-formateur commence à prendre son allure moderne.

5.4.2 Inductance et inductance couplée

67

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 -3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

Mn 0.59

Zn 0.20

Fe 2.21

O 4 K

1 (kJ

.m -3

)

Température (K)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Per

mea

bilit

é

FIG. 5.14: Dépendance thermique de la perméabilité initiale etde la constante d’anisotropiedu premier ordre d’un ferrite Mn-Zn

68

FIG. 5.15: Cycle d’hystérésis d’un ferrite MnZn à haute perméabilité comparé à celui d’unnanocristallin

10k 100k 1M 10M 100M

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000 10k 100k 1M 10M 100M

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Per

méa

bilit

é im

agin

aire

Fréquence (Hz)

Per

méa

bilit

é ré

elle

FIG. 5.16: Spectre de la perméabilité complexe de trois nuancesde ferrite à haute perméa-bilité.

69

100k 1M 10M 100M 1G 0

50

100

150

200

250

300

Per

méa

bilit

é co

mpl

exe

Fréquence (Hz)

µ' µ"

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Fac

teur

de

pert

es

tg d

FIG. 5.17: Spectre de la perméabilité complexe d’un ferrite pour radio-fréquences

5.4.3 Transformateur de courant

5.4.4 Transformateurs différentiels

5.4.5 Surveillace electronique

5.4.6 Machines tournantes

70

6 Matériaux magnétiques durs

6.1 Notion de champ démagnétisant

Lorsque le champ change de milieu il ce produit un phénomène de réfraction identiqueà celui de la lumière traversant la surface de l’eau. Fig.6.1est représenté le cas du champmagnétique passant du fer à l’air. L’induction au bord de la surface s’écrit respectivementcôté matériau et côté extérieur :

Bm = Jm + µ0Hm

Be = µ0He

La continuité de la composante normale de l’inductionnous donne :

Bm = Beµ0µRHm = µ0He

Hm = He −Jmµ0

= He − χHm = He − χHe

µR

Hm = He −χ

1 + χHe

On appelle champ démagnétisant le terme :

Hd =χ

1 + χHe

– Siχ≫ 1, cas des matériaux douxHd = He ⇒ Hm = 0– Siχ ≈ 1, cas des matériaux dursHd = 1

2He ⇒ Hm = 12He

6.2 Circuits magnétiques avec aimants

Théorème d’AmpèreHaℓa +Hfℓf +Heℓe = 0

limµR→∞

Hf = limµR→∞

Bfµ0µR

= 0

Ha = −Heℓeℓa

= −Beℓeµ0ℓa

(6.1)

Conservation du fluxBaSa = BfSf = BeSe

71

µ0µ=µ µ0 RB

HB

H

B

Be

m

m

e

f

eaJ

FIG. 6.1: Conservation de l’induction normal au passage d’un milieu à un autre (gauche).Circuit magnétique avec aimant (droite).

Be =BaSaSe

(6.2)

D’ou l’expression de l’induction dans l’aimant

Ba = −µ0HaℓaSe

ℓeSa(6.3)

Cette expression représente un droite appeléedroite d’entrefer . L’intersection entre lecycle d’hystérésis et la droite d’entrefer donne le point defonctionnement de l’aimant, celuici est donc déterminé par les propriétés intrinsèques de l’aimant et les paramètres géomé-triques du circuit.

Lorsque l’entrefer varie, la pente de la droite d’enterfer varie et le point de fonctionne-ment se déplace. Ce déplacement (toujours à l’intérieur du cycle) ce fait sur le bord du cyclesi l’entrefer augment et suivant ladroite de recul si l’entrefer diminue. La pente de la droitede recul varie entreµ0 pour un très bon aimant et 5µ0 pour un aimant de mauvaise qualité.Il en résulte que lorsque l’entrefer s’agrandi puis retouvesa taille initiale, l’aimantationinitiale n’est recouvrée que si la pente de la droite de reculestµ0 (pour les aimants dontµ0H

JC ≥ JR).

6.3 Energie stokée dans l’entrefer

We =1

2BeHeVe

D’après (6.1) & (6.2) :

We =1

2

BaSaSe

×(−Ha

ℓaℓe

)Ve

CommeVe = Seℓe etVa = Saℓa,

BeHeVe = −BaHaVa

72

H

B

24

3

1

H

BR

C

FIG. 6.2: A gauche : 1, point de polarisation initial ; 2, ouverture de l’entrefer ; 3, entreferinitial ; la droite de recul (3,4) est réversible. A droite : R, point rémanentℓe = 0 ;C, point coercitifℓe ≫ ℓa.

On déduit donc l’énergie stockée dans l’enterfer du point defonctionnement dans le cycled’hystérésis.

Pour trouver le point de fonctionnement idéal, il faut trouver celui où le produitBH estmaximum.

Dans le cas d’un aimant aimant idéal pour lequelµ0HJC ≥ JR, le cycle d’hystérésis dans

le troisième cadran du plan(B,H) est une droite d’équation :

B =BR

µ0HBC

H −HBC

BH =BR

µ0HBC

H2 −HBCH

d

dH(BH) =

2BR

µ0HBC

H −HBC = 0

H =µ0H

B2

C

2BR

Commeµ0HBC = JR,

H =1

2HBC ⇒ B =

1

2BR

(BH)max =1

4BRH

BC

Dans le cas d’un aimant quelconque, ne disposant pas d’une équation de la branche ducycle, on trace les courbes “d’iso-BH” c’est à dire celles pour lesquelles ce produit estune constante. Le point d’intersection entre le cycle et la courbe apparatenant a la familled’hyperboles d’équationB = −k/H qui le tangeante donne de point de fonctionnementoptimal de cet aimant.

73

−1 −0.5 00

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

H/Hc

B/J

s

FIG. 6.3: Recherche du point d’énergie maximum pour un aimant quelconque.

6.4 Réaction magnétique d’induit

Haℓa +Hfℓf +Heℓe = NI

He =NI

ℓe−Ha

ℓaℓe

Be = µ0He

Be = µ0

(NI

ℓe−Ha

ℓaℓe

)

BaSa = BfSf = BeSe

Ba = µ0NISe

ℓeSa− µ0Ha

ℓaSe

ℓeSa

On reconnait l’équation de la droite d’entrefer dans le deuxième terme. L’intersectionavec l’axe des abscisses donne :

µ0NISe

ℓeSa= µ0H

ℓaSe

ℓeSa

74

B

B

f

eaJ

I

FIG. 6.4: Circuit magnétique avec aimant et bobinage.

H =NI

ℓa

6.5 Les aimants

6.5.1 Acier

La terminologie dur et doux pour les matériaux magnétiques provient de l’analogie avecla mécanique. Les aciers pour aimants sont des acier mécaniquement durs. Ce durcissementest obtenue par la trempe qui génère une phase dite martensite sous forme de petits cristauxqui piègent les parois de domaines, ce phénomène étant à l’origine du champ coercitif élevépar rapport à l’acier doux.

En pratiqueHJC < 20 kA/m ce qui est faible pour un aimant. Pour avoir un énergie

dans l’entrefer suffisante, il est nécessaire d’avoir une droite d’entrefer presque verticale,c’est à dire un aimant très long (d’où la forme en fer à cheval). Ces aimants ne plus utilisésaujourd’hui.

6.5.2 Alnico

Les Alnico qui sont apparus dans les années 30 ont provoqué une révolution car leurchamp coercitif peut atteindre 150 kAm−1. Leur composition est de typeAl17Ni14CoxCu3MyFe76−x−yoù 24<x<36, M est un métal réfractaire (Ti, Nb) avec 0<y<6. Ces alliages ont la caractéris-tique de ce décomposer enα-FeCo +α-NiAl. Un recuit prolongé vers 650˚C induit unecroissance des grains de FeCo suivant leur axe de facile aimantation et une diffusion par-tielle du Ni vers le FeCo. On obtient alors un ensemble de particules de FeCo ferromagné-tique allongées dispersées dans une matrice de NiAl paramagnétique. Pour obtenir un bon

75

H

B

1

B

2

3

2

1

3

4

H

FIG. 6.5: Déplacement de la droite d’entrefer par rapport au cycle par la réaction magné-tique d’induit (gauche). A droite : 1-2-3, désaimantation totale par une surchargede courant inverse (court-circuit par exemple) ; 3-4, réaimantation par applicationd’un courant direct (impulsionnel) avec entrefer fermé parune cale de fer.

aimant anisotrope on peut le recuire sous champ magnétique qui permet d’orienter la crois-sance de chaque cristal dans la direction〈100〉 la plus proche de celle du champ appliqué.On peut même obtenir une texture colonnaire par un procédé decristallisation dirigée encreuset à fond froid. Comme les cristaux ferromagnétiques sont de symétrie cubique, Laconstante d’anisotropie magnéto-cristalline reste faible, aussi l’anisotropie provient de laforme des particules qui force l’aimantation suivant le grand axe des cristallites. Chaqueparticule étant séparée des autres par une matrice non magnétique, le retournement de l’ai-mantation ne se produit que pour un champ proche deJS/µ0 soit de l’ordre 105 Am−1.

Les Alnico qui sont apparus dans les années 30 ont un champ coercitif qui peut atteindre150 kAm-1. Leur composition est de type . Ces alliages ont la caractéristique de ce décom-poser enα-FeCo +α-NiAl. Les particules de FeCo ferromagnétique ont un forme allongéeet sont dispercées dans une matrice de NiAl non magnétique. Lanisotropie provient es-sentiellement de la forme des particules qui force l’aimantation suivant le grand axe descristallites.

6.5.3 Ferrites durs

Inventés en 1952, les ferrites durs sont des oxyde de composition 6 (Fe2O3) MO quicristallisent dans le système magnétoplombite fortement anisotrope. Les atomes du métaldivalent M (Sr ou Ba) sont localisés sur la base du prisme hexagonal. Tous les momentsmagnétiques des ions Fe3+ sont dirigés suivant laxe c, mais contrairement au cas des mé-taux ils peuvent avoir des directions opposées en nombres inégaux selon les sites occupés(7↑ et 2↓ sur les 18 sites octaédriques, 1↑ sur les 2 sites bipyramidaux et 2↓ sur les 4 sitesoctaédriques). Cet ordre dit ferrimagnétique entraîne quela polarisation magnétique à sa-turation n’est donnée que par le moment magnétique de 4 ions Fe3+ sur 12. Les ferritesauront donc toujours une polarisation inférieure à celle des métaux.

Les ferrites durs sont fabriqués à partie d’hématite et de carbonate de strontium ou ba-

76

ryum. Une calcination vers 1200˚C permet d’éliminer le carbone et de former la magnéto-plombite :

SrCO3 + Fe2O3 −→ Fe2O3SrO + CO2

Fe2O3SrO + CO2 −→ 6 (Fe2O3) SrOL’oxyde obtenu est alors broyé pour obtenir une poudre de 0,5µm environ. Le pressage

dans un moule de forme donnée puis le frittage entre 1200 (pasde croissance de grain pourobtenir le champ coercitif le plus élevé) et 1300˚C (croissance de grain pour favoriser larémanence) permet d’obtenir un produit semi fini. Pour obtenir un aimant anisotrope, lebroyage est effectué dans l’eau et le pressage se fait sous champ magnétique afin d’orienterles grains. Les ferrite anisotropes ont une caractéristique d’aimant idéal : cycle carré etµ0H

JC ≥ JR(voir figure 3.7).

6.5.4 Aimants terres rares

Les champ coercitifs les plus élevés (>1 MA/m) sont obtenus avec les aimants terre-rares. Le premier composé connu est le SmCo5 qui tend à être remplacé par des composésde type Sm2Co17 qui permettent des applications à plus haute température que les autresaimants (généralement limités à environ 150˚C). Dans lindustrie, ces aimants sont des com-posites nanostructurés préparés à base de poudres de composition 2-17 et 1-5. Comme cesphases sont métastables les alliages doivent être tempés avant broyage. Les même tech-niques de métallurgie des poudres sont applicables pour lescomposés Nd2Fe14B qui sontaussi durs que les SmCo mais avec une polarisation plus élevée (1,2 T) pour un coût net-tement moindre. Par contre leur température dutilisation est limitée à 100˚C. Les aimantsNdFeB de seconde génération contiennent du Co en substitution du Fe et divers adjuvants(Al, Dy, Ga, Nb). Il sont produits par trempe ultra rapide puis broyés et fritté. La polarisationpeu dépasser 1,4 T et la température utile atteint 180˚C.

TAB . 6.1: Propriétés des principaux aimants commerciaux.BR HB

C HJC (BH)max TC Tutile

(T) (kA/m) (kA/m) (kJm−3) (˚C) (˚C)

Alnico colonnaire 1.3 50 50 30 860 300Ferrite anisotrope 0.22 145 270 9 450 200

Ferrite texturé 0.4 250 340 30 450 200Plasto-ferrite orienté 0.2 180 250 10 450 120

Sm1Co5 0.9 690 2000 154 730 250Sm2Co17 1.08 780 1030 230 830 300

Nd2Fe14B1 1.1 750 850 320 310 120NdFeB lié 0.75 540 600 100 310 120

6.6 Utilisation des aimants

77

-2,0 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 -2,0

-1,6

-1,2

-0,8

-0,4

0,0

0,4

0,8

1,2

Indu

ctio

n B

(T

)

µ 0 H (T)

NdFeB Sm

2 Co

5

Ferrite Ba AlNiCo

-1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0

Champ magnétique H (A.m -1 )

FIG. 6.6: Partie utile du cycle d’hysteresis des principaux aimants commerciaux.

78

FIG. 6.7: Champ coercitif intrinsèque en fonction de l’induction rémanente.

79

80

Liste des tableaux

1.1 Valeur de résistivité et de CTR de quelques conducteur usuels . . . . . . . 9

2.1 Propriétés diélectriques de quelques matériaux . . . . . .. . . . . . . . . . 14

3.1 Comparaison entre les moments magnétiques calculés et mesurés pour desmétaux purs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1 Comparaison de matériaux amorphes et cristallins de composition proche . 585.2 Répartition des ions dans les sites du spinelle . . . . . . . .. . . . . . . . 655.3 Propriétés magnétiques des ferrites simples . . . . . . . . .. . . . . . . . 66

6.1 Propriétés des principaux aimants commerciaux. . . . . . .. . . . . . . . 77

81

82

Index

énergie, 12énergie d’échange, 34

Acier, 75aimant, 73aimantation, 20aimants, 75Alnico, 75amorphes, 56Ampère, 17anisotropie, 25antiferromagnétisme, 35

Bloch, 25Borh, 31

capacité, 12chamotte, 65champ coercitif, 23cobalt, 52coercitif, 23, 77conducteur, 67conductivité, 8courants toubillonnaires, 41

d’échange, 34d’hématite, 65démagnétisant, 71diamagnétisme, 35Domaines, 59domaines, 25droite d’entrefer, 72droite de recul, 72

ferrite, 63ferrites, 76ferroélectrique, 13ferromagnétisme, 35Finemet, 47, 60

Foucault, 41frittée, 65

GO, 51gyromagnétique, 30

Helmholtz, équation de, 44Henry, 19HiB, 52Hopkinson, 54hystérésis, 21

induction électrique, 11induction rémanente, 23

Joule, 9

l’aimant, 72Landé, 32Lenz, 17Lorentz, 8

magnétite, 63magnéton, 31Maxwell, 20MnZn, 66moment cinétique, 30moment magnétique, 30Mumétal, 55

Nanocristallins, 61nanocristallins, 60Nanoperm, 61NdFeB, 77nickel, 54NiZn, 67NO, 51

Ohm, 7

83

paramagnétisme, 35paroi, 26perméabilité, 22Permalloy, 54permitivité, 11pertes, 39polarisation électrique, 11polarisation magnétique, 20

résistivité, 8Relaxation, fréquence de, 46

Siemens, 8silicium, 51SmCo, 77solénoïde, 18spin, 30spinelle, 66susceptibilité diélectrique, 11susceptibilité magnétique, 20

terres rares, 77

verre métallique, 56

Weiss, 25, 52

84