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David Camacho Fernández

Lógica 1

Tema 1: Introducción

Temas Avanzados en Ingeniería Informática I

(Lógica)Lógica Computacional

“La mayoría de las ideas fundamentales de la

ciencia son esencialmente sencillas y, por regla

general pueden ser expresadas en un lenguaje

comprensible para todos.”

Albert Einstein

Lógica Computacional

La Lógica Computacional aborda el estudio de la Lógica

Matemática desde la perspectiva de su aplicación al mundo de la

computación

La Lógica se utilizará para:

Como una forma de representación del conocimiento

Para la implementación de procesos que permitan la

resolución de problemas

Definiciones

Lógica logos:razón, tratado o ciencia

Lógica : Ciencia del Razonamiento

La lógica surge con la filosofía: Debate entre el materialismo y el idealismo


Lógica 2

Definiciones

Lógica Matemática= “La Lógica es la ciencia que tiene como objetivo el análisis de los métodos de razonamiento”

Lógica Matemática = Lógica Formal = Lógica Simbólica

Lógica Formal = deducción de conocimiento a partir de otros elementos. Ciencia que estudia la validez formal del razonamiento

Definiciones

Razonamiento (deducción, inferencia, argumentación):

obtención de nuevo conocimiento (conclusión) a partir de una

serie de conocimientos previos (premisas)

Validez formal : un razonamiento es formalmente válido si la

conclusión es necesariamente verdadera cuando las premisas

son verdaderas (es válido en virtud de su forma -su estructura-,

es decir, independientemente del conocimiento concreto del que

trata). En este caso se dice que la conclusión es una

consecuencia lógica de las premisas

Breve historia de la Lógica Formal

Demócrito (460-370 a.c) Fundador de la teoría atomística

Sócrates (469-339 a.c.) y Platón (427-347 a.c.): contra la corriente materialista

La Lógica fue formalmente introducida en el marco de la Filosofía por el filósofo griego Aristóteles (384-322 A.C.). Teoría del raciocionio y de la demostración: rigurosa diferenciación entre lo verdadero y lo falso

También antecedentes en China y la India


Edad Media

Bacon (1561-1626): lógica inductiva

Descartes (1596-1650), Método Científico

El matemático alemán Leibniz (1646-1716) fue el primero en

plantear una verdadera formalización de la lógica como cálculo

matemático


Lógica 3


El trabajo es completado a mediados del siglo XIX con los

trabajos de los matemáticos ingleses Boole y De Morgan, que

aplicaron a la lógica métodos algebraicos:

G. Boole(1815-1864): Lógica Booleana

Augustus de Morgan(1806-1871): leyes distributivas de la

negación


El gran desarrollo de la lógica formal se produjo a finales del siglo

XIX y primera mitad del XX, con las aportaciones de:

Gottlob Frege(1848-1925): fundador de la lógica moderna y de

la lógica de primer orden

Bertrand Russell(1872-1957), Alfred North Whitehead(1861-

1947): Principia Mathematica: lógica simbólica

Kurt Gödel (1906-1978): Teoremas de Gödel

Alfred Tarski (1902-1983), Fundamentación de la metalógica y la

metamatemática

Hilbert, Herbrand…


A partir de los años 50 una parte importante de la

investigación en lógica se centra en el estudio de

sus aplicaciones en computación, en particular

como herramienta de programación

Tipos de Lógicas

Lógica Clásica

Considera únicamente construcciones declarativas, sobre las que

podemos pronunciarnos acerca de su verdad o falsedad sin

consideraciones de contexto

Es veritativo-funcional. Una expresión es veritativa-funcional si

forma estructuras compuestas en los que basta conocer el valor

de verdad de sus partes para saber el valor de verdad de la

estructura total


Lógica 4

Tipos de Lógicas

Lógica Clásica

Su estudio se realiza en dos niveles de análisis estructural:

1. Se contemplan únicamente construcciones declarativas simples y compuestas: Lógica Clásica Proposicional

2. En cada afirmación simple se distingue qué se declara o dequé o quién se declara: Lógica Clásica de Predicados

Tipos de Lógicas

Lógica Clásica Proposicional (I)

Representación del lenguaje natural tomando como elemento básico una representación matemática de las frases declarativas simples (o proposiciones)

Ej: Jorge es listo (p)

Tipos de Lógicas

Lógica Proposicional (o de enunciados) (II)

Estudia el comportamiento de las fórmulas proposicionales, construidas exclusivamente a partir de:

proposiciones atómicas (sentencias declarativas sin estructura interna que siempre son o bien ciertas o bien falsas)

conectivas lógicas (y, o, no, implica, ...)

Ejemplos de formalización de frases: llueve (p); me mojo (q) ; llueve o me mojo (p ∨ q); no llueve

(¬p);si llueve, me mojo (p → q)

Tipos de Lógicas Lógica Proposicional (o de enunciados) (III)

Ejemplos de formalización de razonamientos:

Ejemplo A (razonamiento válido)

Premisa 1: Si las rosas son rojas, las violetas son azules: p → q

Premisa 2: Las violetas no son azules: ¬q

Conclusión: Las rosas no son rojas: ¬p

Ejemplo B (razonamiento NO válido)

Premisa 1: Si los problemas son difíciles, estudiamos: p → q

Premisa 2: Los problemas no son difíciles: ¬ p

Conclusión: No estudiamos: ¬q


Lógica 5

Tipos de Lógicas

Lógica Clásica de Predicados (I)

Representación del lenguaje natural tomando como elemento

básico los componentes de algunos tipos de proposición (términos

y predicados)

Ej: Jorge es listo

término predicado

Tipos de Lógicas

Lógica Predicados (de primer orden) (II)

Existen razonamientos válidos que no son expresables ni

analizables en lógica de proposiciones

La lógica de predicados es una extensión de la lógica de

proposiciones que tiene en cuenta la estructura interna de los

enunciados

Tipos de Lógicas


Introduce los siguientes (nuevos) elementos:

predicados , que permiten expresar propiedades o relaciones entre objetos

cuantificadores , que permiten expresar la generalidad de los enunciados (enunciados válidos para todos los objetos de un cierto tipo o sólo para algunos)

funciones , que permiten expresar transformaciones de objetos

constantes y variables , que permiten referirse a objetos concretos u objetos generales

Tipos de Lógicas


Ejemplo de formalización de una frase:

“a es el límite de una sucesión f(n) si para todo ε > 0 existe un n0tal que para todo n ≥ n0 se verifica abs(f(n) - a) < ε"


Lógica 6

Tipos de Lógicas


Ejemplo de formalización de un razonamiento:

Premisa 1: Todas las personas son mortales

Premisa 2: Sócrates es una persona. P(s)

Conclusión: Sócrates es mortal. M(s)

(razonamiento formalmente válido)

Tipos de Lógicas

Lógicas de orden superior

En lógica de predicados de primer orden los cuantificadores sólo se pueden aplicar a objetos(elementos de primer orden)

Las lógicas de orden superior son extensiones de la lógica de predicados de primer orden que permiten aplicar cuantificadores a predicados definidos sobre objetos (segundo orden), predicados definidos sobre predicados (tercer orden), etc.

Tipos de Lógicas

Lógicas de orden superior

Ejemplos:

“Todos los múltiplos de 8 comparten una propiedad interesante“

“Todos los problemas filosóficos tienen un rasgo en común"

Tipos de Lógicas

Lógicas No Clásicas

Lógicas con mayor poder expresivo

Extensiones de la Lógica Clásica: extienden el vocabulario y añaden nuevas leyes

Lógica Temporal: considera contextos temporales

Lógica Modal: considera contextos de necesidad o posibilidad

Lógica Doxástica: considera contextos de creencia


Lógica 7

Tipos de Lógicas

Lógicas No Clásicas

Desviaciones de la Lógica Clásica: no mantienen algunas leyes de la Lógica clásica

Lógica Intuicionista: no contempla como ley “A o no A” (ley del tercero excluido)

Lógica 3-valuada: se consideran tres valores de verdad

Lógicas que incorporan el tratamiento de la incertidumbre o la imprecisión: Lógicas multivaluadas, Lógicas probabilistas, Lógicas borrosas (fuzzy)

Lógica lineal: no es veritativo funcional

Características de una Lógica

Para definir una lógica es necesario

Un lenguaje formal (sintaxis )

Una Semántica (o Teoría de Modelos)

Una Teoría de la demostración

Automatizar las Deducciones

Características de una Lógica

Sintaxis Describe los elementos básicos del lenguaje y las reglas

que permiten construir las expresiones admitidas por el lenguaje, denominadas fórmulas

Semántica Permite asignar un significado (valor de verdad, cierto o

falso) a las fórmulas del lenguaje, y definir qué significa que una fórmula o un razonamiento sean válidos

Sistemas de demostración Son sistemas formales que permiten averiguar cuándo una

fórmula es válida o cuándo un razonamiento es válido

Lenguaje Formal

Alfabeto : Un alfabeto es cualquier conjunto finito o infinito

numerable de símbolos (A)

Lenguaje universal sobre A:

A* = ∪ Ann∈N

Lenguaje sobre A : es cualquier subconjunto del lenguaje

universal: L ⊆ A*


Lógica 8

Lenguaje Formal

Los elementos de L se denominan fórmulas bien formadas (fbf), o

fórmulas sintácticamente correctas (fsc)

Equivalentemente, un lenguaje L viene determinado por:

Alfabeto : Conjunto de símbolos admitidos en el lenguaje

Gramática : Conjunto de reglas de formación que determinan

quá cadenasde símbolos son fbf en el lenguaje

Semántica o Teoría de Modelos

Una semántica o Teoría de modelos sobre un lenguaje L

viene de dada por los siguientes tres elementos :

Un conjunto de valores semánticos (S)

Un conjunto D ⊂ S de valores destacados

Un conjunto (I) de aplicaciones I : L → S denominadas

interpretaciones

Semántica o Teoría de Modelos

Modelo . Una interpretación es un modelo de un conjunto de

fbfs Ω si asigna a toda fórmula de Ω un valor destacado

Fórmula válida : una fbf es válida si toda interpretación del

lenguaje es un modelo para ella; se denota: |= α

Inferencia semántica : una fbf α se deriva o infiere

semánticamente de un conjunto de fbfs Ω, si todo modelo de Ωes modelo de α. Se denota: Ω |= α

Teoría de la demostración

Es un “mecanismo deductivo”, es decir, un mecanismo que permite obtener una fbf de otras sin hacer referencia a ninguna semántica

Tiene como objetivo establecer la noción sintáctica de deducción

Sistemas axiomáticos

Sistemas de Deducción Natural

Sistemas de Gentzen


Lógica 9

Sistema axiomático

El mecanismo deductivo viene dado por los dos elementos

siguientes:

Axiomas : Conjunto finito o infinito numerable de fbfs de L

Reglas de inferencia : Conjunto de reglas deducción o

transformación que establecen cuando un fbf es consecuencia

inmediata de una o varias fórmulas

Sistema axiomático

Fórmula válida o teorema . Una demostración es una secuencia finita de

fbfs en la cual cada fbf es o un axioma o una consecuencia inmediata de

una o varias fórmulas precedentes

Si A es la última fórmula de la secuencia, decimos que A es una fórmula

válida o teorema; lo denotamos A

Deducción o derivación . Una deducción o derivación de una fbf A desde

un conjunto Ω de fbfs es una secuencia finita de fbfs en la cual cada

fórmula es un axioma, un elemento de Ω o una consecuencia inmediata de

una o varias fórmulas precedentes. Lo denotamos: Ω A

Corrección y completitud

Estas nociones se asocian a un sistema de demostración

definido sobre un lenguaje con una teoría de modelos

Corrección : Una teoría de la demostración es correcta si

todo lo derivable en ella es derivable en la semántica: Ω A

⇒ Ω |= A

Completitud : Una teoría de la demostración es completa si

toda inferencia válida en la semántica es derivable en ella: Ω|= A ⇒ Ω A

Automatización de las demostraciones

Decidibilidad : Una lógica se dice decidible, si para ella es posible

diseñar un algoritmo que determine si cualquier inferencia es, o no,

válida

Semidecidibilidad

Complejidad de los algoritmos de decisión


Lógica 10

Campos de aplicación

Lógica computacional

Lógica de la programación

Uso de la lógica formal para describir la semántica de los lenguajes de programación, para verificar la corrección de programas o para probar propiedades de los programas (ejemplo: Lógica de Hoare,1969)

Especificación formal

Uso de la lógica formal para especificar formalmente programas (ejemplo: lenguaje de especificación Z, 1989)

Campos de aplicación

Lógica computacional

Análisis, síntesis y verificación de Programas

Teoría de la especificación

Programación Lógica

Inteligencia Artificial

Control de Procesos

Robótica

Breve historia de la Lógica Computacional

Años 50

Nacimiento de la Inteligencia Artificial y del primer lenguaje de programación declarativo (LISP) (McCarthy, 1959)

Aparición de los primeros sistemas de demostración automática

Años 60

Nuevos sistemas de demostración automática, más eficientes y completos (Gilmore, Davis-Putnam, ...)

Aparición del sistema de Resolución (Robinson, 1965): sistema muy eficiente, sencillo y de fácil implementación (sistema utilizado por PROLOG)

Años 70

Introducción de la programación lógica como mecanismo

general de resolución de problemas (Greene, Kowalski)

Primera implementación de un lenguaje de programación

lógico (Prolog, Colmenauer, 1972)



Lógica 11


Años 80 en adelante

Prolog alcanza su madurez (varias implementaciones

comerciales, libros, etc), su uso se empieza a generalizar y se

define un estándar

Programación lógica concurrente, Programación lógico-

funcional, programación lógica con restricciones, sistemas

distribuidos y orientación a objetos, uso de otras lógicas, ...


Constituye una parte fundamental de la Inteligencia Artificial ≡ construcción de sistemas informáticos capaces de reproducir comportamientos “inteligentes"


Se basa en dos ideas fundamentales:

1. El “conocimiento " asociado con un sistema se puede expresar de forma declarativa mediante fórmulas lógicas (≡ uso de la lógica como mecanismo de representación del conocimiento)

2. El “razonamiento " de un sistema se traduce entonces en la realización de una serie de operaciones lógicas (deducciones) sobre dicho conocimiento (≡ uso de la lógica como mecanismo de resolución de problemas)


A diferencia del paradigma de programación imperativo o

procedural (e.g. Pascal, Ada, C, etc), o del orientado a objetos

(C++, Java, Eiffel, Smalltalk, etc.) los programas en un lenguaje

de programación lógico no describen cómo resolver el

problema sino simplemente especifican qué hay que resolver


Lógica 12


Escribir un programa lógico consiste en:

1. Declarar el conocimiento relativo al problema mediante una

serie de fórmulas lógicas (≡ construir una base de

conocimientos)

2. Representar el problema a resolver mediante una fórmula

lógica de tipo existencial (≡ realizar una consulta a la base de

conocimientos)


Funcionamiento de la programación lógica

La realización de una consulta se traduce en averiguar si la

fórmula existencial es una consecuencia lógica de las fórmulas

que constituyen la base de conocimientos

Para ello, los lenguajes lógicos incorporan mecanismos de

demostración automática, basados en sistemas de

demostración lógicos


Ventajas de la programación lógica

Los programas están muy próximos a la especificación de los

problemas que pretenden resolver

Son por ello más sencillos, más fáciles de entender y

mantener y más fiables


Ejemplo

Base de conocimientos

Madre(m1,m2);Madre(m2,m3);Madre(m2,m4)Padre(p1,m2); Padre(p1, p2)

Consultas

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