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Transformaciones en la gráfica de 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒏(𝒙) donde 𝒏 ∈ 𝒁+
Introducción
Seno se define como “la razón entre el cateto opuesto a la hipotenusa”1. Es una de
las seis proporciones principales de la trigonometría. La función seno 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
es aquella función la cual relaciona los valores que toma el eje 𝑦 con el seno de un
ángulo en radianes. Junto con las funciones 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) y 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 (𝑥) son las más
importantes en la trigonometría, los usos que tienen estas relaciones en las
matemáticas son muchísimos. Es normal encontrar una función 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 3 o
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 3) − 5, sin embargo no tiende a ser común encontrar una función de
seno elevado a un número entero positivo: por ejemplo𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥). Este tipo de
funciones empiezan a aparecer cuando se estudian las identidades trigonométricas,
o bien, suelen ser recurrentes en ejercicios cuando se diferencia e integra en
cálculo, normalmente para comprobar si el estudiante entiende la regla de la
cadena.
Realmente, al estudiar la función de seno, nunca se llevan al plano cartesiano este
tipo de funciones, la gráfica de funciones 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) donde 𝑛 ∈ 𝑍+ nunca las
estudié a fondo, y esto fue lo que me motivó a escoger este tema. Normalmente
solo estudié transformaciones de tipo 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵(𝑥 − 𝐶) + 𝐷 en las gráficas de
seno, a pesar de que estas transformaciones son las más básicas que afectan a la
gráfica de una función seno, siempre me quede con la inquietud de qué tipo de
transformaciones afectan a la gráfica de seno al ser elevada a un número entero
positivo. ¿Es posible que al elevar seno a un número entero positivo haya algún
patrón que afecte en las características (sea ya amplitud, periodo, etc.) de la gráfica
de seno como sucede en el caso de 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵(𝑥 − 𝐶) + 𝐷?
De esto se trata mi exploración, mi objetivo es poder establecer características de
los comportamientos de la gráfica de una función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) con respecto a 𝑛 ∈
𝑍+.
A continuación intentaré llegar a una conclusión que satisfaga el objetivo de esta
investigación.
1Baldor, J. (2004). Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. México: Publicaciones Cultural.Pág 304.
La primera función que vamos a analizar es 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛(𝑥))2, o como normalmente es
expresada 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥).
Gráfica 1. Gráficas de las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) y 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)
Teniendo las gráficas de las dos funciones podemos hacer una tabla comparativa
que ayude a encontrar los cambios que sucedieron al elevar la función seno al
cuadrado.
Tabla 1. Comparación de las gráficas de las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) y
𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)
A pesar de que el dominio de las funciones es el mismo, todo lo demás cambió. El
rango de la función 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)cambió a [0,1] puesto que el resultado de todo
número elevado al cuadrado, siempre es positivo. Por eso no existen valores
negativos en el eje y.
Aspecto 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)
Dominio ℝ ℝ
Rango [-1,1] [0,1]
Amplitud 1 1
2
Periodo 2𝜋 𝜋
Movimiento Horizontal o Vertical
- Movimiento vertical hacia arriba de 0.5 unidades
Paridad de la función Impar, ya que
𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)
Par, ya que
𝑔(−𝑥) = 𝑔(𝑥)
La amplitud de 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) se redujo a la mitad al igual que el periodo. A pesar
de que la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) es par, la función 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) es impar. Otra
observación importante que hacer es que cuando 𝑓(𝑥) = 0 entonces 𝑔(𝑥) = 0,
ejemplos de esto en la gráfica se evidencian en las coordenadas (𝜋, 0), (0,0) ó
(−2𝜋, 0).
Sabiendo ya los cambios que se producen cuando tenemos una función 𝑔(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛2(𝑥), podríamos intentar usar las funciones ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4(𝑥) y 𝑖 (𝑥) =
𝑠𝑒𝑛10(𝑥) para comprobar si los comportamientos vistos en la gráfica anterior 𝑔(𝑥)
también aplican a estas, por ser 𝑛 en estos casos un número par.
Gráfica 2. Gráficas de las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙),𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙),
𝒉(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟒(𝒙)y 𝒊(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎(𝒙)
En esta gráfica sin necesidad de hacer una tabla comparativa de las cuatro
funciones, podemos observar que las gráficas de las funciones ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4(𝑥) y
𝑖(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛10(𝑥), poseen las mismas características que la función 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥).
Es decir, los dominios siguen siendo ℝ, los rangos tampoco cambiaron: las gráficas
tienen un rango de {0,1}; las amplitudes continúan siendo 1
2 , el periodo es igual en
las tres gráficas 𝑔, ℎ, 𝑖, es decir𝜋; y cuando comprobamos la paridad de la función
seguimos teniendo que ℎ(−𝑥) = ℎ(𝑥) y 𝑖(−𝑥) = 𝑖(𝑥). Esto demuestra que cada vez
que 𝑛 es un 𝑍+ par, la gráfica de la función siempre va a tener estas características.
La única diferencia entre las gráficas de estas funciones es que se puede ver que
los espacios bajo las curvas de las gráficas de ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4(𝑥)y de 𝑖(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛10(𝑥) tienen menos área que las de 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) ya que hay muchos más
valores en el eje y cercanos al 0.
Habiendo ya visto lo que sucede con la gráfica de una función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) en el
caso de que 𝑛 sea un número par, podríamos intentar ver qué sucede con la gráfica
cuando 𝑛 es un número impar.
Gráfica 3. Gráfica de las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) y 𝒋(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝟑(𝒙)
Al igual que en las anteriores funciones, podemos hacer una tabla comparativa para
ver detalladamente los cambios que le ocurrieron a la gráfica.
Tabla 2. Comparación de las gráficas de las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) y 𝒋(𝒙) =
𝒔𝒆𝒏𝟑(𝒙)
Gracias a la tabla comparativa podemos decir que aparentemente no hubo ningún
tipo de transformación de la gráfica, ya que en ningún aspecto se diferencia la
gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) con la de 𝑗(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥). Las gráficas se cortan entre sí
Aspecto 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 𝒋(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟑(𝒙)
Dominio ℝ ℝ
Rango [-1,1] [-1,1]
Amplitud 1 1
Periodo 2𝜋 2𝜋
Movimiento Horizontal y/o Vertical
- -
Paridad de la función Impar, ya que 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)
Impar, ya que 𝑗(−𝑥) = −𝑗(𝑥)
cada 𝜋
2, y con el eje x cada 𝜋, por eso cuando 𝑓(𝑥) = 0, 𝑗(𝑥) = 0.A pesar de todo
esto, podemos ver en la Gráfica 3 que sí hubo un ligero cambio, hay muchos más
valores cercanos a 0 en el eje y en la gráfica de 𝑗(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥) que en la de 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛 (𝑥). Lo que significa que la gráfica se achata más, es decir, se pega más al eje
x. Si tomáramos un rango de observación 0 a 𝜋 es posible observar que el área
debajo la curva de 𝑗(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥) en este rango es mucho menor a la de la curva
de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥).
Para verificar esto podemos tomar las funciones 𝑗(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥), 𝑘(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛5(𝑥) y
𝑙(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛7(𝑥) donde 𝑛 es impar.
Gráfica4. Gráficas de las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙), 𝒋(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟑(𝒙),
𝒌(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟓(𝒙) y 𝒍(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟕(𝒙)
A pesar de que no cambia el periodo (2𝜋), la amplitud (1), el rango [-1,1] o el dominio
(ℝ) cuando 𝑛 es un número impar (como se puede observar en la Gráfica 4) -lo que
nos permite afirmar que cuando 𝑛 sea impar siempre tendrá estas características-,
sí cambia el área debajo de la curva entre 0 y 𝜋, que es nuestro rango de
observación. Este comportamiento ocurre tanto cuando 𝑛 es un número par como
cuando 𝑛 es un número impar, como se puede observar.
Con esta gráfica podemos ver que a medida que el exponente aumenta el área que
hay debajo de las curvas se vuelve más pequeño, y hay muchos más valores de x
en el eje y cercanos a 0. Las curvas parecen contraerse, a medida que 𝑛 va
aumentando, independientemente si 𝑛 es par o impar. A pesar de los cambios que
vimos que ocurrían si 𝑛 era par o impar, en realidad no nos decían mucho de las
transformaciones de una gráfica 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥).
Este comportamiento de contracción de las curvas de la gráfica 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) a
medida que 𝑛 aumenta, genera una pregunta: ¿de qué manera afecta 𝑛 al área que
está debajo de las curvas de la gráfica 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥)?
Para resolver esta pregunta usaremos integrales definidas. Estudiaremos el área
que se encuentra debajo de las curvas 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥), donde 𝑛 es 𝑍+ ≤ 36. Para este
análisis se tomará 𝑛 ≤ 36, puesto que estadísticamente una muestra es
considerada grande cuando el universo es mayor a 30, así se tienen más datos para
poder analizar. Se utilizará como límite superior 𝜋 y como límite inferior 0 (que es el
rango de observación propuesto anteriormente), ya que no importa si 𝑛 es par o
impar, siempre hay una curva positiva en esos puntos del eje x.
Empezaremos con la integral definida de𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el área designada.
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = − cos(𝑥)𝜋
0
𝜋0
= − cos(𝜋) − (− cos(0)) = 2
Otro ejemplo de integración es el de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥):
∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝜋
0
𝑑𝑥 =1
2∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑑𝑥 =
1
2[∫ 𝑑𝑥
𝜋
0
−1
2∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 × 2𝑑𝑥
𝜋
0
]𝜋
0
=1
2[𝑥 −
1
2𝑠𝑒𝑛2𝑥]
𝜋0
=1
2[(𝜋 −
1
2𝑠𝑒𝑛2𝜋) − (0 −
1
2𝑠𝑒𝑛2(0))] =
1
2𝜋
Ahora muestro la integración de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥):
∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝜋
0
𝑑𝑥 = ∫ (𝑠𝑒𝑛2𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 =𝜋
0
∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥𝜋
0
= ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥𝜋
0
=𝜋
0
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥(−𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥𝜋
0
𝜋
0
Para resolver la segunda integral hacemos u = cosx y du = -senx por lo tanto:
= [𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑥]
0
𝜋
reemplazando el valor de x tanto par 𝜋 como para 0, se obtiene:
∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝜋
0
𝑑𝑥 =4
3
Para resolver la integral de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4(𝑥):
∫ 𝑠𝑒𝑛4(𝑥)𝜋
0
𝑑𝑥 = ∫ (𝑠𝑒𝑛2𝑥)2𝑑𝑥 =𝜋
0
∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2)
2
𝑑𝑥𝜋
0
=1
4∫ (1 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠22𝑥)𝑑𝑥 =
1
4∫ (1 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥
2) 𝑑𝑥
𝜋
0
𝜋
0
=1
4∫ (1 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
1
2+
𝑐𝑜𝑠4𝑥
2) 𝑑𝑥
𝜋
0
=1
4∫ (
3
2− 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
1
2+
𝑐𝑜𝑠4𝑥
2) 𝑑𝑥
𝜋
0
=1
4(
3
2𝑥 − (2)
1
2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + (
1
2)
1
4𝑠𝑒𝑛4𝑥)
0
𝜋
=3
8𝜋
Procediendo de manera análoga como se resolvió ∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝜋
0𝑑𝑥, tenemos que:
∫ 𝑠𝑒𝑛5(𝑥)𝜋
0
𝑑𝑥 =16
15
La siguiente tabla muestra estos resultados para n≤ 36
Tabla 3. Tabla de Integrales Definidas 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒏(𝒙)donde 𝒏 es𝟏 ≤ 𝒁+ ≤ 𝟑𝟔
Valor de 𝒏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒏
𝝅
𝟎
(𝒙)𝒅𝒙 Valor de 𝒏
∫ 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅
𝟎
(𝒙)𝒅𝒙
1 2,000 19 0,568
2 1
2𝜋≈1,570 20 0,554
3 4
3≈1,333 21 0,541
4 3
8𝜋 ≈1,178 22 0,528
5 16
15≈1,067 23 0,517
6 0,982 24 0,506
7 0,914 25 0,496
8 0,859 26 0,487
9 0,813 27 0,478
10 0,773 28 0,469
11 0,739 29 0,461
12 0,709 30 0,454
13 0,682 31 0,447
14 0,658 32 0,440
15 0,637 33 0,433
16 0,617 34 0,427
17 0,599 35 0,421
18 0,583 36 0,415
Los datos de la anterior tabla muestran una disminución del área a medida que 𝑛
aumenta, justo se mostraba en las gráficas. Esta tabla muestra una disminución del
área debajo de las curvas, esto concuerda con las contracciones de las curvas que
se vieron en las Gráficas, por eso se buscara un modelo que logre explicar el patrón
de disminución que tiene el área con el exponente 𝑛 de la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥).
El dominio de esta gráfica es 𝐙+, su rango es (0,2], pero, en el contexto de este
análisis sería de (0, 2]. A partir de lo anterior, me surge la siguiente pregunta ¿tendrá
el mismo comportamiento la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) si n 𝜖 ℝ+?
Por ejemplo, encontremos el área para:
∫ 𝑠𝑒𝑛12(𝑥)
𝜋
0
𝑑𝑥 ≈
∫ 𝑠𝑒𝑛32(𝑥)
𝜋
0
𝑑𝑥 ≈
∫ 𝑠𝑒𝑛14(𝑥)
𝜋
0
𝑑𝑥 ≈
∫ 𝑠𝑒𝑛𝜋(𝑥)𝜋
0
𝑑𝑥 ≈
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑒(𝑥)𝜋
0
𝑑𝑥 ≈
Al observar estos resultados, y compararlos con la gráfica, notamos que encaja
perfectamente en la curva por lo que puedo concluir que el dominio y el rango de
esta gráfica son 𝐑+.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
área
baj
o la
cu
rva
n
área bajo la curva f(x)=sennx, con respecto a n
A continuación encuentro el modelo tecnológico que rige esta función.
Gráfica 5. Gráfica de 𝒚 = 𝟐, 𝟏𝟕𝟗𝟕𝒙−𝟎,𝟒𝟓𝟖 para 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑𝟔
En el anterior diagrama de dispersión se observa un comportamiento potencial, que
se puede apreciar con su línea de tendencia. Aquí se muestra el modelo potencial
𝑦 = 2,1797𝑥−0,458el cual se ajusta en un 99,75% (coeficiente de determinación) a
la tabla de datos anteriormente presentada. Nótese que x=0 es una asíntota vertical
pues la función tendería a serla recta y=1 y por lo tanto el área sería infinito. De
igual manera, y=0 es también una asíntota porque a medida que x tienda a infinito,
f(x) tiende a 0.
Con el modelo encontrado, se puede averiguar el área de una función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥)
entre un rango de 0 a 𝜋, o bien encontrar 𝑛 a partir de un área determinada que se
nos dé entre estos rangos. La asíntota de esta gráfica tiende a 0 -a pesar de que en
la Gráfica 5 no se evidencie- puesto que a medida que 𝑛 aumente el área debajo de
las curvas va a ir disminuyendo.
y = 2,1797x-0,458
R² = 0,9975
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0 5 10 15 20 25 30 35
Conclusión
A través del trabajo se intentó ver qué tipo de influencia tenía 𝑛 ∈ 𝑍+ en las gráficas
de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥). Para ello se utilizaron diferentes herramientas matemáticas
pasando desde la gráfica de una función de seno, hasta tareas más complejas como
la integración definida en cálculo.
Los resultados del trabajo fueron los siguientes:
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒏(𝒙) donde 𝒏 ∈ 𝒁+
A pesar de que el modelo no tiene un 100% de precisión, se acerca bastante a
predecir el comportamiento de las áreas bajo la curva, conociendo ahora que 𝑛
juega un papel importante a la hora de trabajar con gráficas 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥). El modelo
presenta imprecisiones en cuanto 𝑛 empieza a crecer de manera exagerada, puesto
que es más difícil predecir el comportamiento de áreas que se hacen tan
decimalmente pequeñas que hacen que la imprecisión sea más frecuente. Lo que
indica que para hacer un modelo más preciso todavía se necesitarían tomar muchos
más datos.
El objetivo de esta investigación fue cumplido, ya que a través de ella se pudo
evidenciar las transformaciones que afectan a la gráfica de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) en relación
con 𝑛 ∈ 𝑍+, centrándose especialmente en los casos en los que 𝑛 es par o impar,
y cómo cambia 𝑛 el área que ocupa la curva de estas funciones a medida que
aumenta 𝑛. Sin lugar a dudas sería interesante investigar más a fondo las
transformaciones de seno, puesto que al haber estudiado unos pocos aspectos de
esta gráfica requirió un trabajo que incluyó diferentes áreas de la matemática, lo
cual le da un interés de estudio por su facilidad de análisis, pero a la vez, por su
profundidad de estudio.
Aspecto 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒏 (𝒙) (n es par)
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒏+𝟏(𝒙) (n es impar)
Dominio ℝ ℝ
Rango [0,1] [-1,1]
Amplitud 1
2
1
Periodo 𝜋 2𝜋
Movimiento Horizontal y/o Vertical
- -
Paridad de la función Par, ya que 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)
Impar, ya que 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)
|∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥)𝜋
0
| ≅ 2,1797𝑛−0,458
Bibliografía Baldor, J. (2004). Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. México: Publicaciones
Cultural.
Brinton Thomas, G., Weir, M. D., Hass, J., & Giordano, F. R. (2005). Cálculo: una variable.
Pearson.
Matemática Tuya. (s.f.). Matemática Tuya. Recuperado el 18 de Enero de 2015, de
http://matematicatuya.com/FUNCIONES/Paridad.pdf
Sullivan, M. J. (2006). Álgebra y Trigonometría. Séptima Edición. México: Pearson
Education.
Vitutor. (s.f.). Vitutor. Recuperado el 18 de Enero de 2015, de
http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integrales_trigonometricas2.html