Introducción El presente libro no es un tratado de armonía tradicional ya que lo que pretende es, precisamente, llenar el hueco de todo aquello que no se trata en las aulas de los conservatorios. En primer lugar, los tratados de armonía no justifican científicamente el uso de las escalas ni las tonalidades. Segundo, prohiben determinadas acciones como las sucesiones de quintas paralelas y octavas, igualmente sin justificación. En su tratado de armonía, Arnold Schönberg trata de razonar el porqué de estas normas tan arraigadas pero no llega a nada claro ni contundente, dejando a la tradición como única razón para ello. Tras cuatro años de estudio de enlaces, el alumno de armonía termina esta asignatura ignorando cosas tan importantes hoy en día para la composición como lo que es una dominante sustituida, un intercambio modal, las tensiones de un acorde de undécima, una técnica dodecafónica, un cluster, una dominante secundaria o un sistema multitónica, por no citar muchas escalas que estudiaremos y un sinfín de cosas más. Tampoco se aclara por qué existe un orden en los sostenidos o bemoles de una tonalidad ni por qué un intervalo disonante debe resolver. Todas estas cosas que hemos nombrado son algo más que términos académicos puesto que permiten enriquecer enormemente las posibilidades de la composición. También se adjunta un CD con ejemplos sonoros ya que otra cosa sorprendente es que se estudie el sonido y la música sin que nada se oiga. Durante mi estancia en el conservatorio hice el experimento de tocar acordes en diversas inversiones para ver si mis compañeros eran capaces de reconocerlos y eso no sucedió. Para un compositor es necesario, no ya reconocer inversiones y tipos de acordes, sino escucharlos interiormente de manera espontánea y construir la música primero dentro antes de sacarla a la luz. Este libro va dirigido a dos tipos de público. Aquellos que son músicos y los que no lo son. También está concebido para científicos pero, como suelen ser los menos, he tratado de describir los fenómenos físicos de la forma más sencilla posible, añadiendo apéndices con demostraciones para quienes las puedan asimilar sin cortar así la línea de desarrollo de cada tema. Se supone que quien lo lea está familiarizado con la notación musical, y los que no lo estén pueden informarse primero con la bibliografía. He querido que este trabajo se parezca lo más posible a un libro de física, en el sentido de ir paso a paso, justificando debidamente cada cosa y sin saltar pasos o dar por supuestas cosas que no son evidentes. Algunos entusiastas de las formas contemporáneas opinan que emplear recursos clásicos es lo mismo que componer como Brahms, pero eso es absurdo. Muchos cambios y sistemas existen hoy en día que han enriquecido la música. En el día de hoy hay muchos que no comparten en absoluto esa creencia actual de pensar que la música clásica ya no puede ofrecer cosas nuevas. Revoluciones como el jazz, la música étnica, el cine, e incluso el pop y el rock han introducido elementos novedosos que se pueden usar conjuntamente con las técnicas clásicas y crear efectos sorprendentes parejos, por qué no, con otras contemporáneas como el atonalismo y la electroacústica. Se debería huir del mero afán de notoriedad, la excentricidad o de la obsesión por la modernidad. Por ejemplo, hay la creencia de pensar que componer “libremente” significa no emplear secuencias de acordes tradicionales o consonantes, pero esa misma idea encierra una nueva esclavitud, consistente en prohibirse a sí mismos el uso de los primeros; simplemente se ha pasado de dejar de servir a un tirano para servir a otro diferente. Algunos compositores no se atreven a usar formas tradicionales por miedo a que sus colegas se lo afeen ¿no es eso esclavitud? El verdadero arte no puede ser voluble, ligado a la moda, sino al propio espíritu humano de su creador. Creo en el arte como la creación de belleza y el reflejo del propio yo profundo sin ataduras ni restricciones arbitrarias dictadas por ciertos grupos. Sin embargo no es menos cierto que en algunos periodos de la historia se ceñían a las

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formas del momento pero eso también era debido a la falta de recursos que aún no habían sido descubiertos. Posiblemente Bach emplease el ordenador para componer si hubiese nacido en el siglo XX. También pretendo demostrar con razonamientos y hechos que la música es un fenómeno universal que no depende del medio cultural donde se desenvuelve. Que los sonidos que crean emociones y estados de ánimo, o diversos sentimientos, lo hacen por motivos universales y científicos, no porque estemos acostumbrados a ello o por el hecho de que “si mi padre se asustó, lloró o rió con esta o aquella música, yo también lo hago porque es la costumbre hacerlo en nuestra cultura”. Hace muchos años discutía con un amigo este hecho y me puso el ejemplo de una marcha fúnebre. Efectivamente, nuestras marchas fúnebres son tristes, melancólicas y evocan la ausencia del ser querido. Este amigo me decía que, en cambio, en África, una danza funeraria tiene un ritmo trepidante y lleno de fuerza, que nada tiene que ver con la música europea. Años más tarde descubrí el porqué de esa diferencia, precisamente en África, durante las iniciaciones, en donde se repetían esos ritmos de tambores incesantes. A diferencia de Europa, en donde hablar de la muerte es tabú, en África es la cosa más normal del mundo, dado que su religión animista tiene como fundamento el culto y comunicación con los antepasados. Durante el desprendimiento del espíritu, el que parte hacia el más allá tiene visiones de formas y colores veloces y danzantes que encajan perfectamente con el ritmo de los tambores, inducidas por los agentes alucinógenos de las iniciaciones. Los africanos, o al menos sus creencias en el más allá, tratan de reconstruir este escenario que va a vivir la persona que ha muerto. Como vemos no es que la música trepidante emule tristeza en la concurrencia por adaptación cultural. La música emula lo que tiene que emular, es el concepto de la muerte lo que varía en los pueblos africanos con respecto a Europa, no la música. Otro ejemplo lo protagonizaron unos investigadores en el Amazonas, que visitaron una tribu de indios indígenas cuyo contacto con la civilización occidental había sido nulo. Se les ofreció música europea y la sorpresa fue que, ante una obra de Mozart, estos indios quedaron inmóviles y en un estado cercano al trance provocado por la impresión que les había causado. Al igual que una obra literaria, la música tiene sus propios recursos para crear emociones, quizá de las más profundas. La cuestión es que en la literatura el porqué es evidente: son las propias palabras, su belleza y su combinación, al igual que en la poesía, quienes actúan directamente en el cerebro con conceptos contundentes y bien definidos. Si yo escribo: “junto al río había una fuente de cristalinas aguas” está muy claro lo que quiero decir y todo el mundo imaginará en su pantalla mental ese río, esa fuente y la pureza del agua aunque, claro está, cada uno a su manera. Se puede hablar del amor, de la guerra, de la naturaleza; no hace falta ningún fundamento científico detrás de todo eso. Si hablo en un libro de la muerte del ser amado de un protagonista está muy claro que crearé tristeza en el lector pero, en cambio, ¿por qué una obra en tono menor evoca lo mismo? No habla de la muerte de nadie ni de desgracia alguna y, pese a todo, es capaz de crear ese ambiente. Si hablo de seres sobrenaturales y dimensiones desconocidas conseguiré sobrecoger al lector por motivos obvios. En cambio, una determinada serie multitónica modal de acordes menores creará esa misma sensación sobrecogedora sin haber tenido que exponer textualmente nada explícito. Esa es la magia del cine, apoyado en la música para crear sensaciones de todo tipo. Si la música es la adecuada creará esas sensaciones inevitablemente y formará el extraordinario todo-uno de una obra de arte completa. Pues bien, insisto en que esos sentimientos radican en realidades muy profundas y demostrables, fundamentadas en la física y la neurología, y que se irán desarrollando a lo largo del libro.

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CAPÍTULO 1

El arte y la música

1.1 ¿Qué es la música? Casi todos recordaremos que en el colegio nos contaban algo así como:

“Música es el arte de combinar los sonidos” pero aquí pretendo ir un poco más allá de lo que sería una mera definición académica y tratar de razonar si esto es todo lo que se puede deducir sobre la música. En principio, esta definición no parece aclarar mucho más que esa otra que, en tono de humor, circula por los conservatorios: “El arte de combinar los horarios para que todas las clases sean compatibles”, y es cierto que tantas asignaturas pueden llegar a crear muchos conflictos de horarios. Cuando yo mismo pasé por esos bancos del conservatorio, y concretamente en la asignatura de Historia y Estética, también se nos planteó que razonásemos una buena definición de música o, más bien, las condiciones que debían cumplirse para que la música existiese. Cada uno dábamos nuestras razones tales como: “que exista un sonido”, “sucesiones de pianos y fortes”, “que haya una melodía”, “que haya una armonía”, etc. Uno por uno, el profesor fue desmontando todos nuestros argumentos. Por ejemplo, en música contemporánea no tiene que haber necesariamente una melodía, en electroacústica, compuesta muchas veces a base de efectos, tampoco aparece una armonía definida. En una discoteca todo es un forte desde que empieza hasta que acaba y, por si fuera poco, tampoco se necesita que haya sonido. ¿Cómo? ¿que no se necesita sonido? ¿cómo es posible? Es muy simple, imagine la música que escuchó ayer en la radio y ya está dentro de su cabeza. Un compositor escucha la música primero dentro y luego la plasma en el papel. El caso es que, para que haya música, simplemente basta un receptor humano, o tal vez no, que decida si hay música o no. Encienda el aspirador de su casa y párese a escuchar el sonido del motor. Si usted decide que eso es simplemente un ruido, entonces no hay música pero si, por el contrario, ese sonido le gusta y encuentra una estética en ello, para usted sí la hay. Por tanto, al igual que el color, la música se forma dentro del ser humano y el sonido no es más que un mero vehículo del que se sirve para comunicar una experiencia entre compositor y público. La música se convierte en una experiencia subjetiva. Inversamente, un equipo de sonido en el desierto con una sinfonía de Mahler no produce música sino tan solo sonido físico pues no hay nadie allí para escuchar. Decíamos antes que es como el color. Los objetos reflejan luz (radiación electromagnética) y lo hacen emitiendo una determinada longitud de onda. Esa radiación es captada por nuestro ojo y dentro de nosotros se forma el color. Un cuadro de Boticelli nos producirá una determinada sensación psicológica al contemplar su combinación de formas y colores y en ese momento es cuando aparece ese misterioso fenómeno que es el arte. Mencionaremos en este punto una frase del célebre filósofo David Hume: “La belleza no es un atributo de las cosas en sí, sólo existe en la mente que las contempla”.

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1.2 El significado del arte En el universo la energía se distribuye formando determinadas agrupaciones de partículas elementales (protones, neutrones, fotones, electrones, neutrinos, mesones, etc.) y el porqué de ello sigue siendo un misterio. Bien podría ser la energía una masa uniforme sin esas diferencias caprichosas de la naturaleza, pero entonces no existiría nada de lo que conocemos. Ni siquiera estaríamos nosotros aquí para comprobarlo. Todo se resolvería en una sopa monocolor de energía sin forma. Según las últimas teorías de supercuerdas, cada partícula elemental sería algo muy semejante a una nota musical y el universo algo muy parecido a una gigantesca sinfonía llena de notas, cada una de las cuales sería una partícula subatómica diferente. El arte es otro misterio y puede que entronque filosóficamente con realidades muy profundas del universo. Posiblemente contestaría a preguntas tales como quienes somos o por qué hemos aparecido dentro de un universo. Naturalmente hay opiniones que abogan por que todo es fruto del azar, una postura que no deja de ser muy cómoda, eliminando cualquier quebradero de cabeza y ofreciendo una solución escueta y poco estudiada de la realidad. La vida, aunque con un soporte bioquímico, se caracteriza por la aparición de la conciencia y los sentimientos, cosa que no pasa con otros objetos materiales. Da la sensación de que la biología es a la conciencia lo que el sonido a la música, los pigmentos a la pintura, las posiciones físicas a la danza o el texto escrito a la literatura. Hay indudablemente un sustrato interior del ser humano que hace que esas cosas inanimadas como pigmentos, sonido o letras cobren una vida especial, el hacer nacer sentimientos. Quisiera también hacer notar que no todo el mundo opina así. Citaré como anécdota que en cierta ocasión estuve en una conferencia en donde se hablaba de aplicaciones de algoritmos a la composición musical. Los ejemplos sonoros se constituían mediante unos sonidos metálicos, muy típicos de la electroacústica, en medio de los cuales surgían a veces una suerte de pequeñas ventosidades rápidas y agudas. Al parecer éstas eran los algoritmos que llegaban a producir hasta trescientas notas en un segundo. Pasada la charla se generó un coloquio en donde una señora preguntó al ponente si, al componer, pensaba en sentimientos o en algoritmos. Su interlocutor sonrió con condescendencia y respondió que eso de los sentimientos era un concepto antiguo ya que la música no significaba nada en absoluto. Es decir, que la misión de sus sonidos era atravesar limpiamente la cabeza entrando por un lado y saliendo por el opuesto sin producir efecto alguno al igual que un suculento bocadillo pasa por encima de una piedra sin producir en ésta apetito de ningún género. Esta teoría resulta difícil de llevar a cabo en la práctica puesto que el producir o no esos efectos no depende del sonido sino de la persona que lo escucha y le resultaría imposible evitar que alguien reaccione emocionalmente ante esos estímulos. Para poder consumar semejante concepto de la música sería necesario interpretarla ante un público de personas anestesiadas, lo que hace algo superfluo emplear tan complejos algoritmos, total, para que nadie los oiga. 1.3 La respuesta de la ciencia Ha habido no pocas investigaciones y especulaciones sobre el por qué la música es tan importante para el ser humano y aún no se ha llegado a ninguna conclusión irrefutable. Hay que decir que la música es algo muy extenso y que va desde lo profundo hasta lo superficial, desde lo celestial a lo infernal. Las personas que no tienen interés hacia respuestas filosóficas sobre la vida, el universo u otras cuestiones enigmáticas de la existencia es difícil que se relacionen bien con músicas profundas como Mahler, Shostakovitch, Bruckner o SIbelius. En cambio les parecerá mucho mejor planteamientos sonoros más sencillos como Mozart o Meldelssohn. Para quienes quieran una existencia sin meterse en honduras de ningún tipo excepto pasarlo bien y disfrutar de los placeres inmediatos se relacionarán bien con una

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música comercial sencilla y sin dobleces. Aquellos que conciben su relación con la vida de una manera más agresiva o atrevida lo harán con el rock duro. Como vemos, la música tiene un espectro muy amplio y cada sector satisface las necesidades psicológicas de la persona en la misma medida de cómo sean esas necesidades. Parece que es un arte especial porque cuando una persona está sometida a una música que no se corresponde con su naturaleza reacciona mucho más fuertemente que con la pintura o la literatura, y alegará aburrimiento por esa misma falta de conexión. Un roquero dirá que se aburre escuchando a Beethoven y un entusiasta de Beethoven dirá lo mismo cuando escuche rock, le aburrirá o le parecerá molesto y estruendoso. Es difícil, aunque no imposible, encontrar un público que goce por igual en cualquier zona del espectro musical. Eso demuestra una vez más que no es posible quedar indiferente ante un determinado tipo de música, ya sea por empatía o por todo lo contrario. Desde lo más elemental de la biología, la ciencia ha investigado el porqué de la importancia de la música en nuestras vidas. En algún caso supone la extensión de la llamada a la pareja, protagonizada muy bien por el canto de los pájaros y sus bailes ante la hembra. Este equivalente se daría sin duda en la música de baile, que promueve el acercamiento entre hombre y mujer. En otros casos se habla de que, en la prehistoria, las tribus cantaban para asustar a las otras tribus rivales y eso se puede extrapolar en la actualidad al placer que experimentan algunas personas que cantan en coros a un volumen excesivo, pues la sensación de poder y dominio es notable. Los animales que quieren enfrentarse, ya sea por la posesión de la hembra o de mejorar su estatus en la manada, suelen tener primero un desafío vocal a base de chillidos que, en muchas circunstancias, suelen acabar con la huida de uno de ellos, evitando así la contienda. En nuestra sociedad asusta bastante la persona dotada de una potencia vocal notable y también evita llegar a las manos cuando los gritos de uno logran asustar al contrincante. Por último son muy de destacar los cantos marciales y los himnos. Los soldados de los ejércitos suelen cantar para motivar la exaltación patriótica; otros lo hacen tocando la gaita, especialmente en Escocia o Norteamérica. Resulta curioso que un instrumento como la gaita pueda causar ese enardecimiento, pero yo mismo lo experimenté durante unas vacaciones en Escocia y conste que yo no tengo nada de escocés. Biología, sexo, lucha por mejorar la posición en la manada, unión ante el enemigo. Esas son algunas de las explicaciones científicas sobre el porqué de la importancia de la música pero no abarca todo. En un interesante documental, David Atenborough, ex director de la BBC británica, nos narra al final su incapacidad para explicar el origen biológico de una cantata de Bach. Esa música no trata de ningún elemento anterior, ni pretende atraer a una pareja ni pelear o mejorar su estatus, que era por cierto excelente. Simplemente ofrece eso a su Dios como lo más íntimo y puro de su propio ser, y aquí es donde probablemente el hombre diverge de sus antecedentes animales ya que, por su especial condición racional, ha accedido a un afán de trascendencia, lo que carece de puntos en común con el reino animal; es exclusivo de la especie humana. 1.4 La influencia de la cultura Todo lo dicho se refiere a la música como un todo, pero existen otros aspectos menos filosóficos como lo son la tonalidad y la modalidad, la percepción de la disonancia y que, aún siendo de menor escala, es tema de controversia. En definitiva supone decidir por qué algo “suena bien” o “suena mal”, o si gusta o no gusta. Existe una razón (excusa diría yo más bien) tan todopoderosa como manida, que es la de achacar todo a la educación. Ésta libera, así, de investigar otros porqués puesto que lo explica todo: mi percepción del color rojo es así porque me han educado para que no sea de otra manera. Un intervalo suena consonante o disonante, naturalmente, porque cuando era niño me decían: “mira, niño, este sonido suena mal y este otro bien, y si dices lo contrario te castigamos sin postre esta noche”. Los puñetazos duelen porque se te ha educado para que te duelan, tenemos enfermedades por la educación. El sol

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sale todos los días, por supuesto, porque nos han educado para que no pueda ser de otra forma. ¿Qué más hace falta decir? La explicación consistente en decir que todo es fruto de la educación es todopoderosa, huelga cualquier otro argumento. Desde muy antiguo se ha suscitado la polémica sobre la diferencia entre una consonancia y una disonancia. Sobre este tema hay también cierta beligerancia, unida a ignorar cualquier argumento científico, proponiendo cosas tales como decir que lo que para nosotros es una consonancia, como un intervalo de octava por ejemplo, para un balinés sería una tremenda disonancia, por supuesto achacando a la cultura, cómo no, semejante diferencia en la percepción. Normalmente esta argumentación se suele enunciar como: “lo que para nosotros es una consonancia, puede que para un balinés sea horrísono”. El “puede que” denota inmediatamente que, en realidad, no se le ha mostrado al balinés la susodicha consonancia y comprobar su reacción con lo que no es una prueba científica sino una mera especulación. El argumento de la educación, además de todopoderoso, elude asimismo demostración alguna, limitándose a exponer una idea sin admitir mayor discusión. Entre estas propuestas educacionales las hay que sostienen que una disonancia, a base de escucharla mucho tiempo, se puede convertir en consonancia. Eso destrozaría el sistema tonal y su delicado equilibrio entre tensión y distensión puesto que todo llagaría a ser consonante en cuestión de tiempo. Esta tesis no explica que muchas personas lleven escuchando el tritono una vida entera y su percepción sobre el mismo no haya variado un punto ni una coma. Están tan acostumbradas a él como a cualquier otro intervalo. A mi, por ejemplo, me resulta muy sencillo entonarlo y, pese a todo, me resulta siempre disonante. Si la percepción de la disonancia llegase a ser consonancia escuchándola durante mucho tiempo ¿cómo podríamos los compositores crear tensión en una obra si todo nos resultase consonante? Si la tesis de la educación fuera indiscutible, a una persona inmersa en un determinado ambiente cultural debería gustarle todo lo propio del folclore de dicha cultura, lo que no es cierto. Por ejemplo, a un español necesariamente deberían gustarle los toros y el flamenco, cosa que es falsa. Veremos que una de las teorías sobre la percepción de la disonancia se debe a dos científicos japoneses, es decir, de otra cultura muy diferente a la nuestra. Un japonés percibe una segunda menor tan disonante como un europeo o un ciudadano de Illinois. Muchas veces, al hablar de consonancia y disonancia, se emplea un lenguaje poco adecuado, citando a la primera como algo “que suena bien” y a la segunda como algo “que suena mal”, pues resulta demasiado ingenuo. Aparte de achacar diferencias entre culturas, también se recurre a periodos históricos como la Edad Media, argumentando que una tercera les sonaba mal, lo cual es igualmente falso. Simplemente no les podía sonar ni mal ni bien por la sencilla razón de que aún no se conocía, no que no la usaran porque les sonase mal. Por citarme a mí mismo, como a otros muchos, la música de otras culturas nos suena excelentemente. Hablaremos de ello y demostraremos que están sujetos a los mismos principios científicos que la música occidental, aunque con otras premisas. Tampoco es correcto decir que las disonancias “suenan mal”, simplemente son puntos de tensión muy necesarios en la música confiriendo el interés y el movimiento que esperamos de ella. No hay nada más aburrido e insípido que una música sin disonancias, al igual que los sonidos perfectamente afinados. Sin ir más lejos, en la pista 30 del CD he incluido un fragmento de mi sinfonía nº 9 en donde introduje la fuerte disonancia en el coro a fin de conseguir el efecto dramático y algo sobrecogedor del instante de la Creación. Entonces ¿tiene o no tiene la música influencia de la cultura en la que se desarrolla? Naturalmente que la tiene, eso es justamente lo que nos hace discernir su origen y exclamar: ¡eso es música china!, ¡eso es música árabe!, o medieval, o música del oeste, etc. Esta característica se debe a varios factores como pueden ser el ritmo y la aparición de instrumentos típicos de esa cultura pero, sobre todo, a lo que llamamos modalidad, y que será ampliamente estudiado.

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Para terminar de demostrar que cultura y disonancia no tienen nada que ver haremos el siguiente experimento: tomemos la pista 61 del CD y escuchémosla primeramente con auriculares. Hecho de esta manera parece que no hay nada especial, pero si ahora se escucha mediante amplificación a través del aire escucharemos un efecto extremadamente desagradable. Ambas pistas están desafinadas un cuarto de tono y solamente se produce disonancia cuando dejamos que ambas ondas interfieran en el aire. La cultura no tiene nada que ver con la interferencia de ondas, que será objeto de estudio más adelante. Hablemos de algo que sí es más cercano a la cultura: la modalidad. La modalidad es como un toque personal que tiene la música de cada lugar y que la hace inconfundible. Consiste en la elección de una escala particular acompañada por determinadas secuencias de acordes. Veamos un símil con las razas humanas. Si su vecino tuviese como rasgos característicos la mandíbula cuadrada y los ojos saltones, no por ello diría que es de otra raza. Pero imagine que le invita a ir a la ciudad donde nació y ve, con sorpresa, que allí todo el mundo tiene el mentón anguloso y los ojos saltones igual que él. En ese momento su cerebro le dirá que está en presencia de una raza que probablemente usted desconocía. De hecho, hay personas con las cejas arqueadas a semejanza del señor Spock de la serie Star Trek y que no son vulcanianos. El hecho de considerarlos una raza extraterrestre se debe a que en la citada serie aparecen muchos de ellos con estas facciones, haciendo que nuestro cerebro los clasifique inmediatamente como algo que merece tener ya entidad propia y puesto aparte. No obstante, todos compartimos tener una nariz, dos ojos, una boca, etc. En la música pasa lo mismo. Existe lo que llamaremos la escala natural, deducida científicamente (en oposición al argumento de la educación) y que muestra que compartimos esa parte de la música. A partir de esta base se derivan diferentes escalas o modos, que darán personalidad a un tipo concreto de música. De aquí saldrán músicas como la árabe, la china, japonesa, africana, medieval, el flamenco, el jazz, y todo lo que conocemos. Lo mismo que en el ejemplo de las razas, hay una igualdad esencial que es factor común pero, si dentro de ese todo aparecen muchos elementos en los que hay repetición de un determinado patrón, es puesto en un grupo aparte. Es relativamente inmaduro decir que los pertenecientes a uno de esos grupos percibirán como “desagradable” la característica que lo diferencie de otro. Insisto en el hecho de que a muchas personas occidentales no les parece desagradable la música japonesa o la balinesa. Simplemente es diferente, eso es todo. 1.5 ¿Qué debería hacer la música? Naturalmente, cada uno de los diferentes tipos de música debería satisfacer ese nivel de necesidad que la persona busca en ella. Cualquier cosa excepto pasar de oído a oído sin crear efecto alguno como aquel señor de los algoritmos que antes citábamos. De hecho lo hace así y cuando una música no encaja con ninguno de estos moldes suele fracasar; posiblemente porque no existan personas capaces de sintonizar con ese nivel salvo su propio creador, aunque a veces ni eso suele suceder. La música, ante todo, debe estimular un sentimiento. Hay músicas que producen agresividad, e incluso cólera, y dependiendo de quienes la escuchen, unos lo sentirán como algo desagradable, mientras que otros pueden disfrutar de esa misma sensación; al menos la música ha creado el efecto deseado. Desde lo infernal a lo terrenal y a lo sublime, la música ante todo debe realizar esa misión de producir estados psicológicos. Dentro del compositor, que es como el crisol, surge la música, pero ésta debe transformarse en sonido para poder viajar hasta el espectador y, por tanto, debemos estudiar los medios de los que se vale hasta cumplir con su cometido. Estos medios son dos: el sonido como tal ente físico y la fisiología de su percepción, que estudiaremos en el siguiente capítulo. Sin pretender hacer crítica ni juzgar o condenar a quienes tienen ciertas creencias hay que decir, a título meramente informativo, que hay también tendencias

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en las que se crean obras con sonidos de tipo azaroso y en los que se dan anécdotas tales como que sus propios creadores no son capaces de reconocer cuando lo escuchan. Se envuelven los discursos en lenguaje aparentemente científico, empleando palabras como fractales y teoría del caos sin saber en realidad de qué se está hablando. Lo cierto es que cada cual debería ser libre de componer como lo crea conveniente, pero resulta poco ética la arrogancia e intolerancia frente al trabajo de otras personas que no compartan las mismas ideas, ya que son igual de respetables las unas y las otras. En el último capítulo hablaremos de una marcada tendencia a mostrar obras difíciles a un público inadecuado que normalmente no goza con ello, ante lo cual la reacción es insistir en que el público “no entiende”. Es una realidad encontrar muchas personas que esperan fuera de la sala de conciertos a que este tipo de obras concluyan para entrar después, pero, en contrapartida, se ha puesto de moda que algunos directores, partidarios de esta música, planifiquen la programación para obligar al público a escucharlas, les guste o no, y esto abandona el terreno de lo estrictamente musical para entrar en el de la ética. ¿A usted le gustaría que en todos los restaurantes le obligasen a comer algo así como un bistec de burro antes de acometer el menú principal? Quizá después del postre peor aún. Y, abundando en lo mismo de antes, es decir, que todo el mundo tiene perfecto derecho a componer libremente, ya sea con este tipo de música u otro, ¿por qué no ofrecer esto únicamente a quienes lo aprecien? ¿por qué ese empeño, rayando en lo obsesivo, de intercalar estas obras donde se sabe positivamente que no va a gustar? Hay un falso argumento, usado muy frecuentemente, que reza lo siguiente: Siempre que algo novedoso comienza, no gusta. Vea si no, la torre Eiffel cómo se denigró y ahora es el grandioso símbolo de Francia. En primer lugar, no es verdad que siempre lo novedoso sea mal acogido. La música pop nunca tuvo rechazo por parte del pueblo llano. En cuestiones gastronómicas, muchas veces se prueban platos exóticos que resultan ser exquisitos. El hiperrealismo en pintura es una técnica nueva y ha sido muy bien acogida, la música new age y muchas cosas más. Lo que es recibido con rechazo es una innovación problemática. Hay, por ejemplo, una persona que hace esculturas plastificando cadáveres. Ha suscitado polémica. Las películas sobre la vida de Cristo que no se adaptan al evangelio. ¡Polémica al canto! También se esgrime el argumento de decir que algo no gusta porque no se ha mostrado lo suficiente. Eso sólo es parcialmente cierto. Pensemos en el lapso de tiempo que tardó la torre Eiffel en ser aceptada ¿20 ó 30 años? Ahora recordemos cuándo se iniciaron las excentricidades musicales: John Cage1, años 40 a 50. Años transcurridos: 67. Aceptación del gran público: la misma que cuando empezó, es decir, ninguna. Aparte de las excentricidades, también hay un tipo de música, que he dado en llamar música marrón2, consistente en la mezcla caótica del sonido. Yo la llamo así porque durante algunos años pintaba cuadros al óleo. Después hay que limpiar la paleta con un papel arrugado y se mezclan todos los residuos de pintura que han quedado. Sorprendentemente, se pinte lo que pinte, lo que resulta siempre es un color marrón, más claro más oscuro, tirando a verde o a rojo, pero siempre marrón. Pues bien, esta música siempre da la misma sensación, esté hecha con los instrumentos que esté hecha, sea del compositor que sea, hagan lo que hagan, siempre producen lo mismo (normalmente su característica fundamental es crear aburrimiento). Hay conciertos marrón claro, otros marrón oscuro, pero eso sí, siempre marrón. Y quiero remachar todo lo dicho contando una pequeña anécdota que demuestra que cuando la música se construye bien deja de ser una excentricidad para convertirse en arte. Fue en un concierto en donde había dos ejecutantes. Por supuesto el programa era de música contemporánea y, tal era el escándalo que estaban organizando, que en un par de ocasiones estuve a punto de abandonar la sala. Pero,

1 Hay que hacer constar que la obra de John Cage no la considero exclusivamente excéntrica. También tenía grandes aciertos, presentando inventos como el piano preparado, por ejemplo. 2 Una advertencia al lector. Esta denominación es coloquial y solamente mía. La llamada música marrón

existe y se tratará en este libro a su debido momento.

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de pronto, la cosa cambió y una de las obras me impactó tan positivamente que creo que es una de las mejores obras actuales que he escuchado. Y para que el lector no se quede intrigado contaré en qué consistió. Era piano solo y el intérprete había dejado el pedal libre para que, por resonancia, todas las cuerdas del piano pudiesen contagiarse del sonido de las pocas que tocaba. La obra era un ostinato, insistente en la misma nota repetida muy rápidamente y cambiando de octava de vez en cuando para poder barrer todo el espectro sonoro. De pronto, de la caja del piano comenzó a emerger un sonido compacto, de órgano, impresionante y grandioso. Todo el piano se había puesto en vibración. Pero el secreto, como siempre, radica en un principio científico consistente (como veremos a lo largo del libro) del fenómeno físico armónico. En este caso, aunque la cantidad de sonido era enorme, pues se componía de un inmenso cluster del piano entero, se había dejado que las cuerdas seleccionasen frecuencias armónicas de las que estaban sonando y el resultado era coherente. Bien, la reacción del público (ése que dicen que no entiende) fue apoteósica y la obra consiguió arrancar aplausos como ninguna otra pieza anterior había conseguido. Finalmente aparecen unas tendencias que bien podríamos considerar como extramusicales, pues se trata de tratamientos psicológicos que ciertas personas se aplican a sí mismos. Quizá llevados por algún tipo de complejo proveniente de la infancia, o por no haber recibido la debida atención, hay quienes han desarrollado un afán de protagonismo que les empuja a provocar la polémica. En estos casos el concierto es lo de menos, la música se lanza con el expreso deseo de producir malestar, sin importar que no guste, pues lo realmente importante es el efecto posterior al concierto, empezando por la reacción adversa o irritada del público, y terminando en artículos en prensa, puesto que lo que se pretende es llamar la atención a fin de mejorar el complejo. La parte importante es la polémica. Existe un dicho interesante sobre esto, que es: que se hable de mí, aunque sea mal, y aún hay quienes han hecho una modificación más aguda del dicho, enunciándolo como: que se hable de mí, aunque sea bien, puesto que se supone que cuando se habla mal de alguien se habla más. La cuestión ética de todo esto es: ¿hasta qué punto tiene derecho una persona a hacerse un tratamiento con dinero público? No nos engañemos; la música no puede dejar de tener su significado y nunca podrá tener otra estructura, por mucho que les pese a algunos fanáticos de la vanguardia, mientras que nuestro cerebro siga funcionando como el órgano que se forjó por evolución en un millón de años. Tal vez cuando pase otro millón y funcione de otra manera la música cambie, pero por ahora eso no sucederá. 1.6 Técnicas de composición Si me viese en la situación de dar clases de composición, tengo muy claro lo que debería hacer. Lo más importante es dejar al alumno en libertad para expresar lo que quiera. No hay nada más enojoso que verse limitado como en esos concursos de fotografía en donde se impone un tema. Una vez el alumno ha realizado su composición mi pregunta inmediata será: “¿está usted contento con lo que ha hecho?” ¿no hay nada que quiera cambiar o que crea que pudiese mejorar? Si las respuestas fuesen afirmativas le diría “pues entonces haga otra” y ni siquiera miraría su trabajo. La razón es que si la música es la expresión más profunda del espíritu ¿con qué derecho me entrometería en la creación de otra persona? Primera regla: Respeto a lo que otros hacen y fidelidad a la propia llamada interior. No porque la moda diga que hay que hacer esto o lo otro debe caer uno en la traición a uno mismo. Otra cosa muy diferente es que la persona se esté haciendo un tratamiento psicológico por su cuenta y pretenda simplemente llamar la atención con sus excentricidades. Aquí no hace falta fidelidad alguna pues falta lo esencial: no hay artista, simplemente una persona con problemas mentales. Otro parámetro de suma importancia a mi modo de ver es que esa obra se escuche, que su creador se de perfecta cuenta de lo que ha hecho. Lo ideal sería buscar intérpretes humanos y en su defecto realizar una maqueta con ayuda del ordenador. Creo que una de las cosas que a mí más me ha hecho avanzar en la

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composición fue el hecho de poner disponer de sintetizadores que me permitieron conocer y escuchar una y otra vez el material escrito. Cuando cursé la asignatura de armonía en el conservatorio, uno de mis “errores” fue el comenzar a realizar mis ejercicios con el piano. Sistemáticamente los profesores me señalaban que no hiciese esto o lo otro, tirando abajo una serie de cadencias y giros melódicos y armónicos que a mí me habían salido desde lo más profundo. Las razones de tener que eliminar muchas de las cosas que había compuesto eran confusas y poco claras cuando no completamente arbitrarias. Realmente la armonía tiene unas reglas, que ya comentaremos más adelante, pero son muy concretas y tienen la propiedad de estar o no estar. Por ejemplo, yo puedo imponer una regla a un composición diciéndole al compositor: “mire, no empiece usted una canción por la nota Do”. Si la canción empieza en Mi, Fa o Re la daré por buena pero si comienza con Do la rechazaré. Motivo: ha violado la regla de no empezar en Do. Bien, reconozco que esta norma es estúpida y las reglas de la armonía no lo son, se podrá o no estar de acuerdo, pero es una regla muy clara, concisa y contundente. Lo que no se puede hacer es lo que Orson Welles le dijo una vez al compositor Luis de Pablo cuando éste se encontraba realizando la banda musical3 para una de sus películas. El conocido cineasta rechazó una de las pruebas que Luis de Pablo le había presentado argumentando que “aquello no tenía swing”. Esto es absurdo, ambiguo y sin consistencia. El swing es algo tan subjetivo que algunas personas pueden pensar que una pieza lo tiene y otras no. Así acostumbraban a ser muchas de las observaciones de los ejercicios de armonía, acabando por desconcertar al alumno y hacerle pensar que hacer bien un ejercicio de armonía era como una especie de tómbola puesto que, aparte de cumplir las normas bien precisas de la armonía, además tenía que “tener swing, o swang” y qué sé yo. En un momento dado, abandoné la idea de seguir haciendo los ejercicios con piano y completé la asignatura de armonía sin escuchar un solo acorde de los que escribía. Personalmente creo que esta es la típica aberración docente burocrática que continúa en la misma línea por la única razón de que “siempre se ha hecho así”. El sonido es fundamental y hay que reconocer cuando es un tono mayor o menor, un acorde de novena, una cadencia plagal, la sonoridad especial de un acorde en primera inversión o en segunda apenas aparezca en una sinfonía y muchas cosas más. Esto no es tan difícil y lo puede hacer una persona con conocimientos nulos de música, sin más que facilitarle algunas audiciones y señalar qué es cada cosa cuando aparezca. Si esto sucede con personas ajenas a la música y con un poco de oído, cuánto más deberá hacerlo alguien que se llame compositor. Hice un experimento estando en el conservatorio y que consistió en reunir a algunos compañeros de armonía y, sin que me viesen las manos, tocarles al piano varios acordes en diferentes estados de inversión. Al irles preguntando el tipo de inversión que estaban escuchando ninguno de ellos acertó. Yo tampoco me considero más agraciado porque, por aquella época, yo tampoco habría podido discernir estos acordes ¿y cómo iba a ser de otra forma si en los conservatorios todo se trazaba sobre el papel? Si en sus manos cae una partitura del Barroco, por ejemplo, debería ser capaz de escucharla dentro de su cabeza. Pero eso se consigue escuchando previamente mucha música semejante. Desde luego si previamente no ha oído música, difícilmente conseguirá oír interiormente una partitura. Segunda regla: La música que se compone hay que escucharla. Y retomando el hilo de una hipotética clase de composición, posiblemente el alumno no esté plenamente satisfecho con su creación, y ahí es donde intervendría el profesor para proveerle de técnica y recursos suficientes como para que el alumno pueda resolver su bache. La técnica sirve para un momento dado, poder hilar fragmentos o ideas inconexos. Yo, por ejemplo, en ocasiones poseo trozos aislados que quisiera unir en una misma pieza. Lo primero que tiene uno que pensar es en comprobar que dichos fragmentos pueden pertenecer a una misma composición, es decir, que reúnan unos

3 Es error frecuente llamar “banda sonora” a la música de una película. Entonces ¿qué hay de los dialógos y de los sonidos ambientales? ¿no son sonidos?

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mínimos de coherencia que les permitan ser unidos. Otra cosa a tener en cuenta es que cada fragmento por separado haya sido debidamente desarrollado y extraído su máximo partido. Hay compositores que superponen temas de forma continua y sin desarrollar ni sacarle jugo a lo que ponen, creando una especie de mosaico. Esto pasa no sólo ahora sino también en el Barroco. El mismo Bach reconocía haber copiado temas a otros compositores ya que, según palabras textuales, esos compositores no se merecían haber tenido tanta inspiración pues, si se les ocurría un tema excelente, apenas sabían qué hacer con él. Y no le faltaba razón a Bach, a veces incomoda ver temas tan desaprovechados con los que se podría haber hecho una obra de arte. Estos fragmentos aparecen porque no siempre se puede llevar a la práctica lo que aparece en la cabeza. Por ejemplo, a mí me resulta fácil tumbarme, cerrar los ojos e imaginar una orquesta. Inmediatamente brota la música y en ese momento puedo componer mentalmente durante una hora una sinfonía entera sin interrupciones. Eso es lo que hacía desde que contaba catorce o quince años de edad hasta que entré en el conservatorio. Normalmente lo compaginaba con largos paseos en donde realizaba mis composiciones mentales. Por supuesto, lo que resulta imposible es escribir a la velocidad que la música fluye, y eso es un problema. Quizá (y yo he fantaseado con eso) en un futuro remoto de ciencia ficción, existan aparatos capaces de leer el pensamiento en tiempo real y convertirlo en sonido. Entonces el concierto consistiría en que el compositor saldría a escena completamente en solitario, se colocaría unos electrodos y la máquina y comenzaría a realizar una trascripción perfecta de los sonidos que están brotando en la cabeza del artista (¡ojalá que se invente pronto esa máquina!). Tampoco resulta nada fácil que te venga el mejor tema musical cuando vas en un autobús. Afortunadamente siempre tengo a mano un resguardo de cajero automático y escribo rápidamente lo que acabo de escuchar por dentro. Para que se produzca el surgimiento de la música interna es necesario haber escuchado previamente mucha con sonido real, preferentemente durante la infancia. Pero nunca es tarde si hay el debido interés y si cumplimos la regla número dos, aplicada esta vez a la música de otros compositores. En resumidas cuentas, lo que se tendrá al final será mucho material aislado que habrá que unir después en casa. También hay que hacer una llamada a la moderación. No se deben introducir en una obra cantidades desmesuradas de temas diversos que consigan abrumar al oyente. Esto también varía mucho según el tipo de obra que se esté realizando. Para un movimiento de una sinfonía de música clásica podremos poner dos o tres temas, mientras que para música ligera (pop o rock) con un único tema bien desarrollado hay más que de sobra. Tercera regla: Se necesita poseer la técnica adecuada para desarrollar, unir y hacer un todo coherente del material inconexo con el que nos vemos obligados a trabajar. Quizá a estas alturas el alumno ya ha logrado hacer algo interesante y coherente, pero puede sentir que las pretensiones de su música no se correspondan con lo que realmente esta dice. Puede que diga: “de acuerdo, pero me hubiese gustado una música más sentimental”, o tal vez “que refleje más misterio”. Ahora nos estamos refiriendo más bien al impacto psicológico que el compositor desearía en sus obras. Por supuesto esto quizá es lo más difícil y para ello se requiere mucha experiencia. Para empezar, lo que la persona está requiriendo en este punto son recursos. Aunque también pueden considerarse parte de la técnica, los recursos son más específicos, no para unir partes inconexas y armonizarlas sino más bien para la creación de bloques. Por ejemplo, si se requiere crear un clima de misterio, es posible que se el compositor se incline por una composición dodecafónica. Si quiere algo muy dramático optará por un tono menor. Cada una de estas cosas es un recurso y se irán tratando a su debido momento. Cuando me preguntan con quién estudié composición yo contesto sin dudar: con Mahler, Shostakovitch, Tchaikowsky, Sibelius,… Entonces me dice que cómo es posible haber estudiado composición con Mahler si estaba muerto y yo digo que un gran compositor siempre será un maestro inmortal puesto que nos ha dejado el legado de toda su obra, de sus recursos y de su técnica en sus partituras. Una buena manera

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de acceder a nuevos recursos es hacer lo mismo que yo hice en su momento: seguir una obra partitura en mano. Busque grabaciones de su compositor favorito y sígalas partitura en mano, ayudándose un lápiz con el que irá anotando simplemente los pasajes que más le gusten. Después podrá repasarlos y ver cómo resolvió el compositor cada pasaje. También puede suceder que el compositor que quiera analizar sea actual y no tenga acceso a sus partituras por ser éstas demasiado caras o, si es pop que simplemente no tenga partitura esa determinada canción. Ahora no hay más remedio que sacar de oído las melodías y armonías. Puede ser demasiado molesto tener que andar rebobinando, ya sea una cinta o disco, pues es un proceso que se hace bastante a ciegas y se suele retroceder demasiado o demasiado poco. Yo en estos casos suelo recurrir a transferir la pista al ordenador para luego leerla con un editor informático. Como suelen tener un cursor a partir del cual reproducen, lo sitúo antes del pasaje a estudiar y puedo repetirlo siempre desde el mismo punto inmediatamente sin más que pulsar la barra espaciadora como suele estar estandarizado. Sea como fuere enunciamos la siguiente regla: Cuarta regla: Podrá descubrir nuevos recursos si analiza obras de compositores a los que admire. Anote e, incluso, trate de copiar lo que han hecho. No se preocupe si cree que se convertirá en un mero imitador, porque si su forma de componer es sincera, al poco tiempo integrará ese recurso “a su manera” y, aunque se note la influencia de este compositor o aquel otro, surgirá su personalidad dándole un toque absolutamente original. La siguiente regla sería, desde luego, el sueño de todo compositor y es que, en mi opinión, todas las obras compuestas deberían ser estrenadas. Una de las razones es que nunca se sabe si esa obra en concreto puede llegar a hacer historia y en tal caso deberá pasar el filtro de los intérpretes para que opinen sobre la ejecución de la misma. Me refiero a que es posible haber colocado un pasaje demasiado difícil o artificioso a un instrumento y que eso se podría resolver de manera sencilla en el momento en que la obra es interpretada. Existe la anécdota de un concierto de guitarra de un famoso compositor imposible de tocar y que ha debido ser retocado para la posteridad. Si se hubiese estrenado eso no habría pasado puesto que antes habría sido arreglado. Otra ventaja del estreno es conocer inmediatamente la reacción del público, aunque hoy en día hay quienes dicen no importarles tal opinión. Además, una obra inédita sirve de ejercicio de interpretación a los directores e instrumentistas. Me refiero a que todos sabemos cómo suena Mozart, Beethoven o Tchaikowsky, pero ¿qué hay de un compositor desconocido? La pregunta es ¿seré capaz de entender correctamente lo que ha querido transmitir? Precisamente la fama de los grandes directores como Fürtwangler, Celibidache o Ansermet se produjo debido a su precisión a la hora de esa interpretación de la partitura y fueron, precisamente los compositores quienes lo dilucidaron. Hoy ya no está Schumann para decir si se le está interpretando bien o no pero un compositor actual sí. Y por último, la razón del estreno es la enorme satisfacción para el compositor de ver su obra interpretada. Si realmente fuese invitado a dar un curso semejante exigiría como algo no negociable, que al término del curso se dispusiera de una orquesta o los grupos necesarios para realizar los estrenos de las obras de todos los participantes. Antes de pasar al siguiente capítulo, comentaré algo sobre el trabajo en casa. A menudo me preguntan si uso el ordenador, el piano, si hago primero las partituras a mano, etc. Sobre el trabajo del compositor en casa no hay ninguna norma y cada cual debe encontrar su mejor manera de trabajar. Antes de que apareciesen los ordenadores personales es evidente que yo he trabajado como cualquier otro compositor del siglo XIX y anteriores, es decir, el piano y la partitura donde se va escribiendo. En la actualidad suelo emplear un sistema mixto. A veces, si quiero escribir lo más rápidamente posible debido a que las ideas fluyen con rapidez sigo el sistema tradicional tomando rápidas notas en papel y con poca instrumentación, simplemente melodía y armonía, anotando los instrumentos que llevan la voz cantante,

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así como unas pocas indicaciones si hay otros instrumentos que deban hacer cosas importantes, percusión, etc. Sin embargo el ir planteando la partitura directamente en el ordenador me evita el trabajo tedioso que supone luego una trascripción y, además tiene la ventaja de poder escuchar el fragmento en la siguiente sesión con la instrumentación completa, lo que sugiere una continuación lógica.

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CAPÍTULO 2

El sonido y su percepción 2.1 El sonido, soporte para la transmisión de la música En física se estudia el sonido como aquel fenómeno ondulatorio consistente en el desplazamiento de las moléculas materiales. Se genera mediante un cuerpo sonoro, que es el que vibra y, a continuación, viaja por el aire (medio trasmisor) hasta el oído (receptor). El cuerpo generador del sonido produce una vibración conocida en física como movimiento vibratorio armónico. Este movimiento se caracteriza por un punto material que recorre un segmento limitado, de un lado a otro de forma indefinida. Suponga un muelle fijado al techo y del que pende una bola. Si tira del peso hacia abajo y luego suelta, el muelle recupera su posición inicial, la sobrepasa, frena y vuelve a caer repitiéndose el proceso hasta que, poco a poco, el muelle se para. Todo el mundo ha visto esta oscilación infinidad de veces, así que no insistiremos. Definamos algunos parámetros:

� Amplitud: es la distancia que hay entre las dos posiciones extremas, superior e inferior, del muelle. Esta magnitud está íntimamente relacionada con la intensidad de la vibración.

� Frecuencia: es el número de oscilaciones completas por segundo que experimenta el muelle. Por ejemplo, suponga que en un segundo el peso conectado al muelle sube y baja dos veces. Diremos entonces que el movimiento tiene una frecuencia de 2 hertzios (2 Hz) (unidad en la que se mide)4.

� Fase: Suponga que tiene dos muelles iguales con pesos iguales suspendidos de ellos. Primero acciona uno de ellos y, un poco después lo hace con el segundo. Verá que no coinciden las posiciones de los pesos ya que no fueron accionados al mismo tiempo. Esto se llama diferencia de fase.

� Resonancia: Ahora, en lugar de un muelle, imagine un columpio, que es también un movimiento armónico. Si usted empuja el columpio una sola vez, éste adquiere un vaivén con una frecuencia propia que depende exclusivamente de la longitud de los cables que le unen al soporte, no importa con qué fuerza lo empujó. A eso se le llama modo propio de vibración, o simplemente modo. El columpio se parará al cabo del tiempo si usted no vuelve a empujarlo. Puede optar por impulsar al columpio cada vez que éste se encuentre en una posición extrema y así obtendrá el óptimo resultado, lo que se conoce en física como resonancia. Es decir, que la frecuencia de sus empujones debe coincidir con la frecuencia propia del columpio. Si usted aplica los empujones con una frecuencia diferente, cada vez encontrará al columpio en una posición arbitraria y resultará un movimiento caótico cuyo resultado es una amplitud menor de la que obtiene sincronizando sus empujes. Esto es muy importante al estudiar los instrumentos musicales.

� Periodo: Es el tiempo que transcurre entre dos estados iguales de movimiento. En el ejemplo del columpio será lo que tarda en pasar dos veces consecutivas por el mismo lugar y, muy importante, llevando el

4 Antiguamente se empleaba la unidad ciclos por segundo, modernamente sustituida por el hertzio.

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mismo sentido de movimiento. Nótese que el columpio pasa por su punto más bajo una vez hacia delante y la siguiente hacia atrás, por lo que eso No es un periodo sino la mitad de éste. Es menester esperar a que regrese nuevamente hacia delante.

Una vez el cuerpo sonoro está vibrando, su oscilación es transmitida al aire. En el ejemplo del columpio, sentirá una brisa cada vez que éste se acerca. Las moléculas de aire se desplazan con un movimiento de vaivén. Eso hace que en algunos lugares las moléculas se agolpen y en otros se separen más de lo habitual, creando zonas donde la presión es, respectivamente, mayor y menor que la atmosférica. Sin entrar en razonamientos físicos, diremos que en los lugares en los que la velocidad de las moléculas es mayor, la sobrepresión (ya sea positiva o negativa con respecto a la atmosférica) es mínima, es decir, igual a la atmosférica. En cambio cuando la velocidad de las moléculas es mínima, la sobrepresión es máxima. Decimos que la velocidad y la presión están desfasadas pues funcionan justamente al revés. El aire transmite la vibración en forma de ondas y tiene, por supuesto, sus propias características en las que no entraremos por no ser esto un curso de física. No obstante, es importante la manera en que nosotros procesamos esas ondas que nos llegan y que un compositor debe tener en cuenta. 2.2 La generación física del sonido Hay diferentes maneras de producir sonido como bien sabe el músico. Puede hacerse mediante la pulsación de una cuerda o frotándola (instrumentos de cuerda). Puede hacer vibrar una lengüeta, los labios, o soplar directamente sobre un tubo (instrumentos de viento). También puede golpear sin más, un cuerpo y forzarlo a vibrar (instrumentos de percusión). Por último, recordando que estamos en el siglo XXI no estará de más añadir una cuarta forma de generar sonido mediante procedimientos electrónicos cuya fuente sonora final será la membrana de un altavoz (electroacústica). Cada uno de estos sistemas tiene su tratamiento peculiar e intentaremos describirlo de la forma mejor posible y, aunque parezca un tema lateral de poca importancia, repercute muy directamente sobre la armonía física que queremos tratar en este libro. La armonía occidental se sustenta en la adición de sonidos simultáneos que denominamos acordes. No obstante, la pregunta obligada es ¿de dónde salen estos acordes? ¿es un proceso arbitrario o se fundamenta en algún tipo de fenómeno físico? La respuesta es que, en efecto, el fenómeno de acorde o mezcla de diferentes sonidos se basa en la propia estructura de la vibración del objeto sonoro, lo que demuestra la importancia de conocer la manera en que dichos cuerpos vibran. En principio, la acción mecánica sobre un cuerpo sonoro no difiere mucho del ejemplo del columpio dado con anterioridad. Pulsar una cuerda tensa es lo mismo que empujar el columpio una sola vez. La cuerda se pone en movimiento con una frecuencia propia de vibración. Todo instrumentista de cuerda sabe que, al hacer un pizzicato, la nota emitida no depende de la fuerza ejercida sobre la cuerda, sino que ello hará que suene más o menos fuerte. La nota emitida depende de la tensión, el grosor y de la longitud de la misma. Eso es lo que constituye inequívocamente que emita una nota fija y propia de esa cuerda. Ahora aparece una diferencia notable con el columpio. Por razones físicas, una cuerda puede ofrecer diferentes modos. Eso se ilustra en la figura 2.1. Las personas que han jugado a saltar a la comba saben que una cuerda puede vibrar, no sólo de la manera mostrada en la parte superior, sino también en las que están más abajo. A esto se les llama ondas estacionarias puesto que pueden quedar vibrando así de forma indefinida mientras se les suministre energía.

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Como su nombre indica, una onda estacionaria tiene estabilizada su oscilación existiendo zonas en reposo permanente llamadas nodos (N), y otras constantemente en la máxima amplitud de movimiento o vientres (V). La energía se transmite hacia los vientres a través de los nodos por rebote de las moléculas que vienen en sentidos opuestos. En la animación OndasEstacionarias.avi se puede ver la formación de

ondas estacionarias a partir de una excitación primaria. En el caso de una comba el trozo de cuerda situado en el nodo se limita a oscilar en un sentido y otro pero no se desplaza hacia arriba o hacia abajo como el resto de la cuerda. Para mayor claridad véase la animación Comba.avi. La diferencia con ondas no estacionarias es evidente sin más que compararlas con las producidas al lanzar una piedra en un lago. En este último caso, se ve que las ondas avanzan en el agua y no están “congeladas”. En la animación OndasEnLago.avi aparece este fenómeno. Para inmovilizar las

ondas y convertirlas en estacionarias bastaría encerrarlas en una olla redonda y golpear la pared de la misma (animacion OndasEnLagoEst.avi). La onda estacionaria se produce porque se componen las ondas que viajan en un sentido con las reflejadas (en la pared de la olla en este caso). Hay un ejemplo algo macabro sobre ondas estacionarias. En el atentado de Madrid del 11 de marzo de 2004, algunos ocupantes del tren manifestaron que habían experimentado pocas lesiones y que, por el contrario, personas cercanas a ellos habían sido destrozadas por la explosión. La explicación de ello es que la onda expansiva se reflejó en las paredes del fondo de los vagones y creó ondas estacionarias. Aquellos que tuvieron la suerte de estar en los nodos resultaron poco dañados frente a los que estaban ocupando un vientre. Cuando se excita una cuerda mediante un golpe (como el macillo de un piano, por ejemplo), en principio ésta recibe un impulso caótico, pero seleccionará por resonancia, sus modos propios de vibración y el movimiento resultante no será aleatorio sino la superposición de dichos modos, representados en la figura 2.1. Cuando se sopla en un tubo aparece algo semejante. En principio el soplido producirá una serie de turbulencias también caóticas, de las cuales el tubo eliminará aquellas que no sean frecuencias propias y dejará, también por resonancia, sus modos propios.

El sonido resultante es una superposición de todos sus modos propios, vibrando al mismo tiempo y creando una suma matemática que producirá una onda de forma peculiar. En el caso de los tubos existe una variante sobre la cuerda. Ésta solamente puede vibrar cuando ambos extremos están fijos, pero un tubo puede estar

Fig. 2.2: Modos de resonancia en tubo abierto (izquierda) y semicerrado (derecha).

NN

N

V V V

V V

V

Fig. 2.1: Modos de vibración de una cuerda.

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completamente cerrado, en cuyo caso sus modos de vibración coincidirían exactamente con los de la figura 2.1, o bien abierto por ambos lados, o abierto sólo por uno. Cuando un fluido en movimiento se encuentra con una pared, lógicamente se verá obligado a detenerse; así, cuando existe una vibración dentro de un tubo, la velocidad de las moléculas en el extremo cerrado será cero, forzando un nodo. En el extremo abierto, al estar a la presión atmosférica, hará que no haya sobrebresión, es decir, forzará un nodo de presión. Por ser inversas, donde haya un nodo de presión obligará a que la velocidad sea máxima en el extremo abierto. En la figura 2.2 se han representado respectivamente, a la izquierda los modos de un tubo abierto por ambos lados y a la derecha con un lado cerrado y otro abierto. Para mayor claridad ver animaciones OndasTuboAbierto.avi y OndasTuboCerrado.avi. Antes de nada necesitamos otra definición, que es la de longitud de onda. Volviendo a la figura 2.1 y tomando el esquema del centro, definiremos la longitud de onda como la longitud de los dos husos juntos. ¿Por qué no la longitud de uno solo de ellos? Pues porque en la figura se ha representado la oscilación de forma esquemática pero en realidad, una cuerda no es un huso sino una línea. De esta forma, la cuerda vibra formando una figura serpenteante que estará hacia abajo en la parte izquierda y hacia arriba en la derecha o al revés (animación comba.avi). El caso es que la vibración en cada huso es la contraria que en el otro (véase la figura 2.4 para mayor aclaración). Existe una relación sencilla entre la frecuencia (n), la longitud de onda (l) y la velocidad de propagación de la onda (c) que es: c = l⋅n. Pero nos bastará con saber que frecuencia y longitud de onda son inversas, es decir, que a mayor frecuencia menor será la longitud de onda. Una cuerda de contrabajo es más larga que la del violín, luego emitirá sonidos de mayor longitud de onda o, lo que es lo mismo, de menor frecuencia. Recordemos entonces lo siguiente:

� Frecuencias altas = Longitudes de onda cortas = Sonidos agudos.

� Frecuencias bajas = Longitudes de onda largas = Sonidos graves.

Por ese motivo, los instrumentos graves deben ser voluminosos, precisamente porque deben emitir sonidos de grandes longitudes de onda, que requieren tubos y cuerdas largas. Si retomamos la figura 2.2 vemos que las longitudes de onda de los modos de un tubo parcialmente cerrado difieren del abierto. Tomemos primero los husos de la parte superior (fundamental). Prolongando el huso del tubo parcialmente cerrado (derecha) vemos que es el doble de largo que el de la izquierda recompuesto (Figura 2.3), es decir, que la frecuencia fundamental del sonido es justamente la mitad de la de un tubo abierto, o bien una octava más baja. Si tenemos una flauta de pico estamos en el caso de un tubo parcialmente cerrado, en cambio una kena esta abierto por ambos lados y sus notas sonarán una octava por encima que la de la flauta de pico. Pero los tubos cilíndricos tienen, además otra curiosa propiedad. Volvamos a la figura 2.2 y el tubo abierto. Vemos que el siguiente armónico (husos del centro) tiene la mitad de longitud de onda, luego habrá un tercero que será la tercera parte de la longitud del fundamental, y así sucesivamente, es decir, que recorre la totalidad de la serie armónica. Por el contrario, en el tubo parcialmente cerrado, el siguiente armónico posible no tiene la mitad de la longitud de onda del huso de arriba sino un tercio, el de más abajo es la quinta parte, etc. Esto significa que un tubo parcialmente cerrado, aparte de dar la octava inferior del abierto tiene la peculiaridad de carecer de armónicos pares. Se puede decir con propiedad que es un timbre sonoro hueco pues le faltan componentes. Este también es el caso de una cuerda pulsada en su punto medio (animación Pizzicato.avi) y, especialmente del clarinete, cuyo timbre, curiosamente, podríamos definirlo como un sonido “hueco” y es porque, efectivamente, lo está.

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Recordemos que la longitud de onda será la longitud de dos husos de la figura y que, por tanto, en un tubo como el de la figura 2.3, será 2L para el cerrado (esto es, cuatro veces la longitud del tubo) y L para el abierto. También es posible reproducir con un pequeño experimento el modo del centro del tubo cerrado de la figura 2.2 tomando una cadena y, a modo de una comba y un poco de habilidad, dejar un nodo a un tercio de su parte inferior (animación cadena.avi. 2.3 La onda senoidal

La onda senoidal es un concepto matemático que tardaríamos un tiempo en explicar. Para los aficionados a las matemáticas diremos que es una oscilación que sigue el desarrollo de la función matemática seno. Pero para el lector más interesado en la parte musical que en la científica, diremos que se trata de la forma más elemental de vibrar, y que tiene simplemente la forma de la figura 2.4. Se trata de la “típica onda” que dibujaríamos automáticamente en un papel cuando alguien nos pidiera hacerlo. También es la forma de vibrar espontánea de la membrana basilar de la cóclea5 y eso tiene su importancia como veremos. Existe igualmente un término idiomático para describir algo serpenteante, que es sinuoso, es decir, con forma senoidal. Por último lo más gráfico, que será consultar el sonido correspondiente en el CD (pista 1, sonido 1). Como vemos se trata de un sonido soso, de poca enjundia, y con el cual difícilmente compondríamos una obra maestra. Eso se debe a ser lo que es: el elemento sonoro más simple que existe. Pero no por ello es menos interesante ya que se trata nada menos que del ladrillo básico sobre el que reposa todo tipo de música, ya sea oriental u occidental, antigua o moderna, o de otro planeta: la onda senoidal.

El matemático francés Joseph Fourier demostró que cualquier función matemática periódica era susceptible de descomponerse en ondas senoidales elementales. Simplemente se trataba de sumar ondas de diferentes frecuencias con diferentes amplitudes. Normalmente se elige una frecuencia base, la más baja de

5 Ver apartado 2.6.

L

L/2

Fig. 2.3: Longitudes de onda de tubos abiertos y parcialmente cerrados.

Figura 2.4: Onda senoidal.

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todas y se suma una segunda de frecuencia doble a la anterior, otra de frecuencia triple, cuádruple, etc., y amplitudes decrecientes. Al final se consigue reproducir una onda de forma cualesquiera. Este desarrollo se conoce como serie de Fourier. Aplicando al revés lo dicho antes, resulta que un cuerpo sonoro, al vibrar con una superposición de sus modos propios está creando en realidad una serie de Fourier. 2.4 Armónicos Cada una de estas ondas senoidales de las que se compone un sonido recibe el nombre de armónico. La onda senoidal sobre la que se construye el resto (la de frecuencia más baja) se llama fundamental, y es el sonido real que el oído identifica. Si representamos cada sonido senoidal por una nota musical tendríamos lo siguiente:

Eso se debe a que, si el sonido fundamental correspondiese a una frecuencia de 66 Hz sería el Do grave representado abajo (C2)

6, su segundo armónico7 sería 66×2=132 Hz, o sea C3, el siguiente Do. La frecuencia triple corresponde al Sol G3, y así sucesivamente. Vemos que uno de estos armónicos, correspondiente al Si bemol, ha sido representado de manera diferente. Eso se debe a que, por caprichos de la naturaleza, es una nota calante, no corresponde con el Si bemol normal de la escala. Cuando vibra un cuerpo como una cuerda o un tubo, lo que se emite en realidad es un acorde mayor de sonidos senoidales y ordenado según la figura. Como estos sonidos son muy elementales, el oído no detecta que sea un acorde real sino que lo confunde con una simple nota, pero que tiene un determinado timbre. En la pista 2 del CD se ha realizado la siguiente serie:

1. Secuencia de acordes senoidales de fundamentales Do−Re−Mi−Sol−Do, que no se perciben como tales acordes sino simples notas.

2. Construcción del acorde senoidal superponiendo sucesivamente las notas de la fig 6.

Al construir el acorde senoidal nota por nota es cuando se percibe que, en realidad, se trata de un acorde pero de sonidos muy elementales. Nótese que un sonido es armónico de otro sí, y sólo sí, respetan las relaciones de frecuencias 2x, 3x, 4x, 5x, etc., siendo x la frecuencia del sonido fundamental. Es decir, que si sustituimos el sol G3 por G2, ya NO es un armónico de C2, y buena prueba de ello es que si descolocamos el Sol y el Mi en la secuencia armónica de la figura 2.5 y hacemos el acorde mayor C4−E4−G4, aunque los sonidos son senoidales y elementales, ahora sí se percibe como tal acorde puesto que los sonidos no son los correspondientes armónicos. La razón se explicará al tratar el tema de los sonidos desafinados. El sonido de este acorde está en la pista 2, sonido 3º. Este fenómeno justifica la primera regla de la armonía, que será la tendencia natural a formar acordes mayores como consecuencia directa del fenómeno físico

6 Aquí llamaremos C4 al Do central . No hay acuerdo en el convenio ya que otros le llaman C3. Las

frecuencias reales de las notas dependen de la escala (ver capítulo 4), las dadas aquí son orientativas. 7 En la nomenclatura normal, el término armónico incluye el fundamental como “primer armónico”. Segundo armónico será el que tiene frecuencia doble, tercero frecuencia triple, y así sucesivamente coincidiendo el ordinal con el factor de multiplicación.

Figura 2.5: Representación musical de los armónicos.

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armónico. Construyamos ahora un espectro. Se entiende como tal un diagrama en el que aparecen todos y cada uno de los armónicos que componen un sonido. En la figura 2.6 aparece una onda de determinada forma compuesta por varios armónicos, y para trazar su espectro mediremos la amplitud de cada uno de ellos, transportándola después a un eje en el que figura la frecuencia correspondiente.

En este caso se han representado seis armónicos pero, normalmente, una onda tiene una cantidad mucho mayor. Como vemos, las frecuencias son múltiplos enteros de la primera, que es la fundamental. A medida que aumenta la frecuencia también se comprueba que el periodo disminuye. Para ver de una forma instructiva la formación del espectro, podemos recurrir a la animación ComposicionArmonicos.avi, en donde en la parte superior aparece el fundamental y el segundo armónico. Para sumar este segundo hay que ir desplazándolo de arriba abajo y de forma tal que la línea base del armónico se vaya apoyando sobre el fundamental a medida que lo recorremos de izquierda a derecha. Eso hace que podamos sumar las alturas sin más que recorrer la línea del armónico como lo hace el punto blanco. La curva que traza este último es la forma de la resultante. Acto seguido se arrastran los dos segmentos de las alturas y queda la primera parte del espectro. A continuación, y usando la onda resultante de sumar fundamental y segundo armónico como apoyo, sumamos el tercer armónico de la misma manera, obteniendo la curva verde resultante y añadiendo un nuevo segmento al espectro. Y existe una nueva curiosidad, que es el desarrollo de Fourier a lo largo de la historia. Primero se cantaba al unísono (gregoriano), es decir, usando solamente el fundamental. Después, cuando cantaban las mujeres, obviando que su tesitura natural es una octava superior al hombre, se dio la intervención del segundo armónico. Pero después aparece el canto en quintas paralelas, que es casualmente el siguiente armónico (Sol). Más tarde aparece definitivamente la tercera (Mi), que es el armónico siguiente, al que se añade la séptima de dominante con el Sib que comenzó a ser usada por el compositor Claudio Monteverdi en el Renacimiento.

f 2f 3f 4f 5f 6f

= +

+ +

+ +

Fig. 2.6: Construcción del espectro.

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En la siguiente figura aparecen el resto de armónicos superiores que, debido a su pequeña amplitud, su presencia en el sonido es escasa y evita la disonancia correspondiente.

Son notas reales D5, E5, G5 y B5, el Fa# y el Sib son calantes, en parte porque ese Si bemol es la octava del B4, y éste era calante a su vez. El La está un cuarto de tono bajo8. A partir de este punto los armónicos se juntan cada vez más y con frecuencias relativamente arbitrarias. Eso hace que la sonoridad correspondiente a esta sección armónica se parezca más a un ruido que a otra cosa. En música electroacústica se suelen añadir ruidos cuyas frecuencias están en esta zona a las notas definidas a fin de dar algo de realismo al timbre electrónico y que se asemeje a un instrumento real.

Debemos justificar ahora una nueva etapa histórica con la llegada del cluster contemporáneo, o racimos de notas contiguas, que supondría la definitiva integración de este resto de la serie armónica. En la figura 2.8 se ilustra una onda con forma arbitraria y su espectro. ëste consiste en una serie de picos que reflejan la amplitud de cada armónico. La frecuencia del fundamental es 66 Hz (Do1) y hay hasta 19 armónicos que, como vemos, tienen intensidad decreciente. 2.5 Tabla de valores

8 La frecuencia del Sol# debería ser exactamente 12,5 veces la frecuencia del fundamental, y el La natural 13,5. Por tanto el armónico 13 está justo en medio de ambos, un La cuarto de tono bajo.

Fig. 2.8. Espectro de una onda de fundamental a 66 Hz.

Fig. 2.7: Armónicos superiores.

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De la propia figura 2.5, se pueden deducir qué relaciones de frecuencia existen entre los distintos intervalos sin más que dividir los números de orden de los armónicos. Así, entre C3 (=2x) y G3 (=3x) la relación es 3/2 (quinta justa). Entre C4 (=4x) y E4 (=5x) será 5/4 (tercera mayor), y así sucesivamente para dar el siguiente cuadro de valores:

Estas relaciones nos permiten calcular las frecuencias de todas las notas partiendo de una sola como el A4, que se toma, por convenio, como el patrón de frecuencia de 440 Hz. Sin embargo, esto hay que hacerlo con habilidad ya que si tomásemos, por ejemplo, un La grave y comenzásemos a subir por octavas no peinaríamos las doce notas sino solo los “Las”. Si vamos subiendo por segundas mayores formamos la llamada escala hexacordal, que tampoco peina el espectro completo. Tampoco lo conseguimos subiendo por terceras mayores ni menores de forma que solamente se puede completar la totalidad del espectro sonoro subiendo o bajando por cuartas o quintas. También se peina subiendo en segundas menores pero, casualmente es justo el intervalo cuya relación desconocemos ya que los armónicos Fa#, y La son inadecuados por ser precisamente los calantes. 2.6 El oído interno, el receptor del sonido El sonido penetra hacia el interior del oído primeramente por el canal auditivo externo concentrado por el pabellón (oreja). Dado que este canal tiene una longitud de unos 2,7 cm., y que está cerrado en el otro extremo por el tímpano, constituye un tubo cerrado como el de la figura 2.3. Eso supone que va a introducir una primera alteración del sonido por resonancia. El tubo posee una frecuencia propia a 3.148 Hz9, haciendo que se refuercen estas frecuencias. El sonido incide en el tímpano, que es una membrana que vibrará a su vez. La geometría del tímpano es tal que las frecuencias por debajo de 2.400 Hz se transmiten bastante bien, pero a mayores frecuencias, la eficiencia disminuye. A su vez, transmite la vibración a la cadena de huesecillos martillo, yunque y estribo, y ésta se modifica por el principio de la palanca. El motivo de esta cadena es adecuar la vibración, ya que el siguiente paso, que es transmitirla al oído interno, necesita aumentar la presión para que sea eficiente. Eso se debe a que, a diferencia del oído medio donde están los huesecillos en el aire, el oído interno está relleno de líquido (perilinfa) y, al igual que sucede con la luz, por ser ambos ondas, aparecen reflexiones y refracciones que hacen que se transmita una menor cantidad de energía cuando hay cambios de medio. La cadena de huesecillos resuelve este problema mediante la ley de la palanca y la disminución de superficie entre sus extremos. Lo trataremos por separado. Existe una magnitud llamada momento, que es el producto de la fuerza por la longitud del

9 Si la longitud de onda es cuatro veces la longitud del tubo cerrado, será entonces, 4×2,7=10,8 cm. Eso

corresponde a una frecuencia de: n= c/l, y si la velocidad del sonido es 340 metros por segundo, n=340/0,108=3.148 Hz.

Intervalo relación de frecuencia Octava 2 Quinta justa 3/2 Cuarta justa 4/3 Tercera mayor 5/4 Tercera menor 6/5 Segunda mayor 9/8 Segunda menor 16/15

Tabla I. Relaciones frecuenciales entre intervalos.

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brazo de la palanca donde se aplica. Es fácil de entender. Para cascar una nuez sin hacer esfuerzo póngala en la bisagra de una puerta y empuje ésta. La longitud del ancho de la puerta amplifica la fuerza a costa de que usted recorra más distancia. El propio cascanueces emplea también este principio para hacer que se rompa la cáscara con facilidad, aplicando un gran momento sobre la nuez. Pues esto mismo hace la cadena de huesecillos, permitiendo que la presión sobre la llamada ventana oval sea más grande que la recibida por el tímpano. La ganancia de presión depende de la relación de los brazos de la palanca que, en nuestro caso es de 1,3. La segunda amplificación de presión es por la relación de superficie incidente (del tímpano) y la final de la ventana oval. Si usted aprieta un trozo de hielo con un cuchillo afilado logrará irlo cortando poco a poco puesto que el hielo se funde al aumentar la presión. Cuando se aplica una fuerza con una superficie pequeña, la presión es más grande. La relación de superficies del tímpano10 y la ventana oval es de 13,5, que produce ese mismo incremento de presión. Uniendo esta cifra a la de 1,3 de la palanca se obtiene una amplificación de la presión de 17,5. La ventana oval es la que conduce al oído interno, y dentro de él la cóclea se encarga de la fase final (figura 2.9). Debido a la resonancia del conducto auditivo externo y las del propio tímpano, el sistema no es lineal y presentará una zona de mayor amplificación para estas frecuencias. Dado que el tímpano deja de ser eficiente a partir de los 2.400 Hz, al aumentar la frecuencia decae rápidamente la transmisión, hasta el punto de que las altas frecuencias son trasmitidas más bien por el propio hueso temporal, accediendo hasta la cóclea por sus paredes. Más tarde hablaremos de las repercusiones que eso tiene, y que son fundamentales en la percepción de la música, pero antes terminemos de explicar la percepción del sonido. La cóclea (o caracol) es un auténtico analizador de espectros, y veremos como funciona. En su interior posee una membrana llamada membrana basilar, que es la encargada de vibrar y transmitir esta vibración al llamado órgano de Corti, que está sobre ella, y cuyas células sensibles a la amplitud de la vibración envían una señal hacia el cerebro. Sobre este conjunto hay otra membrana llamada de Reissner que deja una cavidad más pequeña bajo ella. Es interesante ver cómo funciona la membrana basilar y cómo consigue traducir e interpretar el sonido que recibe ya que, en principio, las células del órgano de Corti son simplemente sensibles sólo a la amplitud de la vibración. Entonces ¿cómo puede el oído discriminar las frecuencias de los sonidos? La cóclea es semejante a un cilindro enroscado con unas pocas vueltas, 2,5 para ser exactos. Para mantener una sección más o menos constante, no es como un caracol plano sino más bien como los caracoles marinos llamados conos. Es decir, que en cada vuelta asciende una cantidad más o menos semejante al diámetro del cilindro. En la fig 2.10 se puede ver un corte de la cóclea mostrando una división interna. El porqué es fácil de comprender. Si dentro de la cóclea se formasen ondas estacionarias por reflexión en el fondo de la misma, quedarían patentes nodos a lo largo de la misma con ausencia de vibración,

10

No toda la superficie del tímpano es útil, por lo que se calcula esta relación con la parte de superficie que resulte eficaz para la transmisión.

Fig. 2.9: El interior del oído. 1: Conducto auditivo externo.

2: Tímpano. 3: Martillo. 4: Yunque. 5: Estribo. 6: Ventana

oval. 7:Ventana redonda. 8: Cóclea. 9: Nervio acústico.

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dificultando y restando eficiencia al sistema. Para evitar tal reflexión, la membrana basilar no llega hasta el fondo sino que deja un hueco llamado helicotrema por donde se comunican las dos cavidades superior e inferior conocidas respectivamente como rampa vestibular y rampa timpánica, que es por donde circula el sonido dejando éste la membrana basilar en medio de ambas rampas. Primero entra por la ventana

oval, presionada por el estribo y las ondas penetran por la rampa vestibular de la cóclea, giran en el fondo de la misma y retroceden por la timpánica dirigiéndose a la ventana redonda. Esta última descarga la vibración residual de nuevo en el oído medio, cuya presión está equilibrada con el exterior mediante la trompa de Eustaquio11. En la figura 2.11 vemos la cóclea rectificada y cómo circularía el sonido. Pero aún hay más. La membrana basilar no es de anchura constante sino que es más

estrecha en la parte cercana a la ventana redonda con lo que nos encontramos el fenómeno de la cuerda vibrante pero en dos dimensiones. Supongamos la membrana formada por infinidad de cuerdas, pegadas unas junto a otras y cada una con diferente longitud. Entonces, cada cuerda tiene un modo de vibración diferente y resonará cuando incida sobre ella un sonido de frecuencia igual a su modo propio. En la figura 2.12 se tiene un esquema de la membrana rectificada y cómo a cada sección le corresponde una frecuencia diferente. Como se muestra en la figura, el ancho de la membrana l1 es diferente a la entrada de la cóclea que en el fondo l2. Esto actúa igual que un analizador de espectros puesto que cada sección de membrana filtra su propia frecuencia. Bajo la membrana está el órgano de Corti, formado a su vez por hileras de células sensibles a la vibración a modo de sensores. Cada hilera está bajo una “cuerda” diferente de la membrana basilar de suerte que solamente reacciona ante la vibración de esa zona que, a su vez, ya ha seleccionado su frecuencia propia. Las células transforman la vibración en impulsos nerviosos igual que un micrófono transforma las oscilaciones en corriente eléctrica. Es así como sale un haz de fibras nerviosas, cada cual con la información sobre una frecuencia diferente, y que reunidas forman el nervio acústico. Existe otro fenómeno que es el de reconstrucción del sonido fundamental. Se pone de manifiesto cuando se escucha música en un equipo de baja calidad. Se reconocen los instrumentos graves por reconstrucción del fundamental porque la membrana basilar vibra en la zona del fundamental aún cuando éste no esté presente por culpa de que el equipo de música no sea capaz de reproducirlo. No obstante realizaremos para entenderlo de manera intuitiva un experimento con el piano que consiste en dejar pulsada una nota grave del teclado, digamos, C2, pero sin que

11 En los resfriados a veces esta trompa se obstruye, con lo que la presión no se equilibra y por eso empeora la audición.

membrana basilar

rampa vestibular

rampa timpánica

Fig. 2.11: Cóclea rectificada que muestra la

circulación del sonido.

de la ventana oval

rampa vestibular

órgano de Corti

rampa timpánica

hacia la ventanaredonda

Fig. 2.10: Corte de la Cóclea.

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suene. Simplemente apoyar con cuidado el dedo y dejarlo ahí mientras se realiza el resto del experimento con el fin de que la cuerda suene libremente por resonancia. Ahora se toca con fuerza C3 y se suelta sólo esta tecla. Escucharemos inmediatamente a C2 sonar, pero a la altura de C3 puesto que es un armónico y habrá excitado el modo C3 de la cuerda C2. Ahora se toca G3 y C2 sonará como G3. Si tocamos rápidamente en sucesión todas las notas que son armónicos de C2 desde C3 en adelante, al terminar escucharemos la nota C2, pero ahora sonando en su octava, es decir, como un auténtico C2 que ha sido reconstruido a partir de sus armónicos.

Este es el fenómeno de reconstrucción del fundamental, lo mismo que sucede en la membrana basilar. La razón física y matemática se explica en el apéndice B-2. Hay una pista en el disco, la 1, en la cual se han incluido tres sonidos. El primero es una onda completa con su fundamental, y la segunda es la misma pero en la cual se ha extraído dicho fundamental, de forma que es inexistente. Se comprueba que en ambos casos el sonido es semejante

porque ha tenido lugar la reconstrucción del fundamental a partir de sus armónicos. En el tercer sonido se han eliminado muchos armónicos, con lo que la reconstrucción del fundamental es deficiente. 2.7 La percepción del sonido Antes hablamos de la falta de linealidad de la cadena de huesecillos. Como consecuencia, si inciden varias ondas de diferentes frecuencias pero con la misma amplitud, el oído no responde enviando al cerebro la misma sensación de volumen sonoro para cada una de ellas. Si la eficiencia aumenta hacia los 1.000 Hz, quiere decir que hay menos sensibilidad a los sonidos graves que a los agudos, oyéndose menos aunque lleguen con la misma intensidad. Cuando la transmisión pasa al hueso temporal, los muy agudos vuelven a decaer. Aparece, pues, una intensidad aparente, según las curvas de respuesta fisiológica del oído representada en la figura 2.13, también conocidas con el nombre de sus creadores Munson y Fletcher. Vamos a estudiarla para poderla comprender bien. En el eje horizontal se han representado frecuencias, medidas en hertzios y que van desde 20 hasta 20.000, más o menos los límites aceptados para el oído humano. En vertical se ha representado la intensidad física (no fisiológica) del sonido, es decir, lo que mediría un aparato llamado sonómetro. La unidad empleada en física es el decibelio. Como esto no es un libro de física no vamos a entrar en lo que es un decibelio. Lo único que necesitamos saber es que un sonido de 120 decibelios es muy fuerte, como si pasara un avión a nuestro lado, y 20 un sonido débil y lejano. Sin embargo, no resulta nada clarificador medir en decibelios un sonido con respecto a la sensación fisiológica que una persona experimenta frente al sonido. Decir que un sonido tiene 50 dB no dice nada sobre si es un sonido fuerte o molesto, puesto que luego el oído modifica la percepción según sea su frecuencia. En la figura se ven dos líneas de trazo grueso. La de la parte inferior delimita los límites de audición de un sonido. Por debajo de esta curva hay una zona gris que pertenece a aquellos sonidos que son inaudibles. Por ejemplo, el punto P representa un sonido de 60 dB, más o menos un forte de una orquesta, y sin embargo no se oye porque su frecuencia es demasiado baja (cercana a 20 Hz). Sin embargo un sonómetro daría una medición considerable. La imperfección de nuestro oído es la que crea el conflicto. Hemos dicho que 120 dB es como el paso de un avión a escasos metros, pero si su frecuencia es superior a 30.000 Hz constituye un ultrasonido y tampoco lo oiríamos. La curva superior es el umbral de dolor. Los sonidos que están por encima de esa curva resultan dolorosos o muy molestos.

l2

1l Fig. 2.12: Membrana basilar rectificada.

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La verdadera medida fisiológica es el fonio, una unidad que se deduce a partir de las curvas grises de la figura 2.13. Estas curvas reciben el nombre de curvas

isofónicas, y corresponden a las mismas sensaciones subjetivas que causarían sonidos de diferentes intensidades y frecuencias. Cualquier sonido que quede dentro de la zona gris tendría, pues, 0 fonios independientemente de su intensidad física. En la figura hemos elegido un sonido de 200 Hz (un Sol G3) que tiene una intensidad algo inferior a 30 dB. El sonido se representa en la figura por el punto E, situado sobre la correspondiente isofónica. Fijémonos que el punto F, al estar situado sobre la misma isofónica que E produciría una sensación de volumen

sonoro semejante. El punto F corresponde a un sonido de 2.000 Hz (nota B6), pero su intensidad es más baja que E, unos 20 dB, lo que nos indica que el sonido agudo no necesita tanta intensidad como el grave para producir la misma sensación de volumen (20 fonios). Si volvemos la oración por pasiva, cuando se producen simultáneamente dos sonidos de frecuencias 400 y 2.000 Hz, pero esta vez de la misma intensidad, al oído le parecerá que el sonido de 2.000 Hz es más fuerte que el de 400 y será el que prevalezca. Si tocamos en un piano las notas G4 y B6, procurando ejercer la misma presión aproximadamente sobre ambas teclas, prevalece el Si agudo sobre el Sol grave. Esta es la razón por la cual la melodía siempre se mueve en la parte aguda del registro sonoro de una pieza musical y resulta más difícil resaltar a un violonchelo o un cantante varón sobre un tejido armónico en donde se ejecutan notas más agudas que las que estos emiten. Podemos enunciar que siempre que dos notas se escuchen simultáneamente, prevalecerá la aguda, que es “la que se oye”. Hay, empero, un aspecto importante que se desprende también de la figura 2.13, y es que, llegado a un mínimo, las isofónicas vuelven a ascender hacia agudos por encima de 2.000 Hz, lo que quiere decir que el oído se vuelve menos sensible a frecuencias demasiado altas. El límite de 2.000 Hz no es riguroso. Hay que tener en cuenta que las curvas se han obtenido haciendo que varios sujetos de experimentación expresen al investigador su opinión subjetiva sobre si los sonidos les parecen más o menos fuertes y eso no resulta muy riguroso desde el punto de vista científico. Por tanto hay que tomar esas curvas como algo muy aproximado, entendiendo que el límite de percepción máxima se sitúa entre 1.000 y 3.000 Hz. A esto se une que puede haber sonidos reales ricos armónicos que se muevan en dicha zona, lo que harán que el sonido tenga posiblemente más presencia que otro cuya fundamental se encuentre en el citado rango pero cuyos armónicos superen la barrera de los 3.000. En resumen, hay que saber que, en un momento dado, se invierte el fenómeno y que para sonidos muy agudos quien prevalece ahora es la nota inferior. Esto significa que el compositor, a la hora de poner una voz al flautín, deberá tener en cuenta que éste puede llegar a dichos límites, y que si resulta demasiado aguda perderá consistencia y será absorbido por los otros instrumentos. Lo mismo

20 100 1.000 10.000 20.000

frecuencia (Hz)

inte

nsid

ad (

dB)

200

or olumbr l de da

2.0

00

P

E

umbral de audición

F

Fig. 2.13: respuesta fisiológica al sonido.

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pasa con el violín si sobrepasa esta tesitura. Si se quiere que su melodía continúe prevaleciendo es conveniente doblarla a la octava inferior por los violines segundos12. Otra excepción que se desprende de la figura es que cuando los sonidos son muy fuertes, cercanos al umbral de dolor, todos se escuchan con una intensidad parecida, graves y agudos. Por último, y a diferencia de la sordera, en donde el sujeto no puede percibir sonidos que le llegan, el oído puede inventar sonidos que, en realidad, no está recibiendo. En particular, la membrana basilar no es un conjunto independiente de cuerdas, semejante a un clavijero de piano, sino que la vibración de una parte de ella puede transmitirse en forma de ondas mecánicas por la superficie y aparecer otras secciones de la membrana que entran en movimiento según sus modos propios de oscilación. El resultado será que las células del órgano de Corti de esas zonas comienzan a enviar señales al cerebro de armónicos que en realidad no está recibiendo. Estos armónicos fantasma son los que se conocen como armónicos aurales y pueden distorsionar el timbre de los instrumentos con relación a su auténtico sonido.

2.8 Ancho de banda crítico Como hemos dicho, la membrana basilar no es un conjunto de cuerdas separadas físicamente. Si las frecuencias de dos sonidos simultáneos están muy próximas, permiten vibrar la misma zona de la membrana basilar, haciendo que el oído no los pueda distinguir como sonidos separados. Si variamos la frecuencia de uno de ellos, llegará un momento en que comenzará a excitar una zona diferente de la membrana. En ese preciso momento la diferencia de frecuencias entre ambos sonidos es lo que se denomina ancho de banda crítico. Resumiendo, cuando la diferencia de frecuencias entre dos sonidos simultáneos es menor que esta magnitud, el oído percibirá un solo sonido, mientras que si es mayor se oirán dos.

En la figura 2.14 se han representado las amplitudes de la oscilación de la membrana basilar en función de la frecuencia del sonido incidente. Las altas frecuencias se detectan cerca del estribo y los graves hacia el fondo de la cóclea. La banda crítica abarca sobre la membrana basilar aproximadamente 1,2 milímetros y alberga 1300 receptores celulares del órgano de Corti. En total, el espectro audible abarca 24 bandas críticas de un tercio de octava más o menos. Cuando dos sonidos se sitúan dentro de la banda crítica no producen sensación de aumento de volumen sonoro, pero esto sí sucede cuando ambos sonidos caen fuera de dicha banda.

12

En la Polonesa Heroica de Federico Chopin, se viola la norma y en un momento determinado la voz superior deja de dominar frente a otra más grave. Esto me resultó sorprendente cuando la estudiaba en el piano, viendo claramente que la melodía que se oye no es, probablemente, la que Chopin quiso destacar, viciado tal vez por la falsa creencia de que la voz que siempre prevalece es la más aguda.

0 10 20 30distancia al estribo dentro de la cóclea (mm)

ampl

itud

de o

scila

ción

Fig. 2.14:Respuesta en frecuencia de la membrana basilar.

28

Entender este concepto de banda crítica es muy importante para comprender el fenómeno de la disonancia. Veremos que dos sonidos muy próximos crean una frecuencia de batido y solamente se empezarán a diferenciar ambos sonidos cuando éstos se separan por encima de la banda crítica. En el CD existen dos animaciones para hacer el siguiente experimento: Lo mejor es hacerlo con otra persona, ya que si ve el espectro mientras escucha, la referencia visual influye en el cerebro y falsea el resultado. También se puede hacer a solas si dispone de un cronómetro. Abra la animación Separacion250Hz.avi y espere a que el oído le diga el momento en que empieza a escuchar dos notas separadas. Si está con el cronómetro inícielo al comenzar el sonido y párelo cuando crea diferenciar las dos notas. Anote el tiempo. Repita el experimento observando la gráfica y verá que los espectros se separan más o menos cuando usted escucha las dos notas diferenciadas. Eso se lleva a cabo comparando el tiempo que usted cronometró primero y el que mida ahora cuando vea separarse los dos máximos en el espectro. Si lo hace con otra persona, haga primero que ésta mire la pantalla mientras usted lo intenta sólo de oído. Ella le informará que usted detectó las dos notas con bastante aproximación a la separación gráfica de frecuencias. Si ahora lo repite con la animación Separacion1000Hz.avi, esta vez comprobará que los espectros se separan antes de que usted pueda discernir las notas separadas. Eso es debido a que el ancho de banda crítico en la segunda animación es mayor que en la primera y tardará más en discernir la división del sonido. Más adelante se propondrá un experimento sobre este fenómeno, proponiendo un acorde en el que, pese a intervenir dos notas sólo se escucha una de ellas por estar sus frecuencias separadas menos del ancho de banda crítico. En la figura 2.15 se ha representado el valor de la banda crítica en función de la frecuencia media del intervalo. En ella vemos que hasta 300 Hz se mantiene aproximadamente constante, e igual a 100 Hz para más tarde ascender hasta unos 2.000 Hz a la frecuencia de 10 kHz. 2.9 La psicología de la música Cuando el sonido se convierte en pulsos nerviosos, éstos van al cerebro para su procesamiento. He aquí uno de los momentos más importantes pues es cuando somos conscientes del sonido que escuchamos y aparece el fenómeno de la música. Los partidarios de adjudicar todo a la educación no necesitan seguir leyendo las investigaciones de los científicos, puesto que resulta de todo punto innecesario conocer las rutas cerebrales y su interrelación. Para quienes prefieren conocer la profundidad del efecto de la música en nuestro cerebro, tenemos bastante que decir. Existe una disciplina, llamada grafología que estudia el trazo de la escritura y su relación con la personalidad. Estos estudios arrojan resultados muy sorprendentes y que explican muchas cosas debido a que el cerebro adjudica determinados campos de la escritura a funciones psicológicas. Por ejemplo, la parte izquierda representa el pasado y eso explicaría que quienes escriben de derecha a izquierda (árabes e israelíes) tengan una fijación tan fuerte hacia el

anch

o de

ban

da c

rític

o (H

z)

frecuencia central (Hz) Fig.2.15: Ancho de banda crítico

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mismo. De estos dos grupos, los israelíes tienen más visión de futuro porque también han adoptado la escritura occidental. Los árabes que viven en países occidentales y escriben también de izquierda a derecha tienden a mejorar su visión de futuro y desapegarse más de sus tradiciones. Con esto quiero indicar que en el cerebro existen patrones universales totalmente desligados de la tradición y la educación, aunque estos últimos tienen, desde luego, su influencia. En el caso de la música ocurre algo parecido aunque no se ha encontrado ningún centro específico para captación de ésta. Más bien se producen profundas interrelaciones de diferentes áreas del cerebro, especialmente el sistema límbico que es el centro de las emociones. También se involucran otras áreas como la parte intelectual (hemisferio izquierdo) y áreas del placer. En la actualidad se estudia el comportamiento del cerebro mediante imágenes obtenidas por tomografía, las cuales han arrojado interesantes resultados. Se sabe que la descarga de los impulsos nerviosos procedentes del oído interno se realiza en el lóbulo temporal y de aquí se reparte hacia otras zonas como la corteza frontal, que es el centro de almacenamiento de recuerdos, y que en este caso sirve para discernir la melodía y el ritmo. El área donde se encuentra el habla también está involucrada en la percepción de la altura de un sonido, dependiendo de ambos hemisferios el correcto discernimiento entre diferentes tipos de compás. Es curioso que, aunque sabemos que cada lóbulo temporal recibe la señal del oído correspondiente (invertida la lateralidad izquierda y derecha), la actividad es asimétrica, procesándose preferentemente en el

temporal derecho aspectos como el timbre o la armonía. Esto se ha demostrado con pacientes a los que ha tenido que extirpárseles dicho lóbulo temporal, quedando con la secuela de tener dificultad en diferenciar los instrumentos. El sistema límbico está formado por varias regiones: el cuerpo calloso (que conecta ambos hemisferios), el fórnix, la amígdala (centro de control de las emociones), el hipocampo, el hipotálamo y la hipófisis (figura 2.16). En él se procesa también la música y produce emociones. Por ejemplo, se ha visto que la amígdala juega un papel importante en la percepción del miedo cuando la música es inquietante ya que en pacientes con deficiencias en dicho

órgano no eran capaces de experimentarlo. Las consonancias y las disonancias se procesan en lugares diferentes. Las primeras lo hacen en la zona órbito-frontal del hemisferio derecho, relacionado con el placer, y parte del cuerpo calloso. Es conocido el trabajo realizado por los físicos Simona Bianco y Paolo Grigolini del Center for Nonlinear Science de la universidad de North Texas, y publicado en la revista Physical Review, en relación a la distribución de actividad cerebral y la estructura de la música escuchada. El trabajo se realizó mediante un electroencefalógrafo y se compararon los patrones de las señales eléctricas provenientes del cerebro con los de la música, encontrándose un alto nivel de correlación. Esto supone que los procesos cognitivos del cerebro del espectador son capaces de sintonizar a la persona con la compleja estructura de algunas composiciones y reconstruir el mensaje que el creador de la música ha impreso en ella, reflejo a su vez, de la propia mente del compositor. En este caso sí interviene de alguna manera la educación y el bagaje cultural, así como la propia personalidad del individuo, el cual sería incapaz de sintonizar con una música construida por un compositor cuyos procesos mentales sean muy diferentes a los suyos. De ahí que

Fig. 2.16: Sistema límbico.

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muchos adolescentes que no hayan recibido educación musical adecuada no sean capaces de procesar más que una música fácil, ya que aún no han podido desarrollar una mente madura que los pueda involucrar en estructuras más complejas. Por último, comentar que la versatilidad del cerebro es muy grande y que, en el caso de la música, se adapta muy rápidamente a nuevas circunstancias desarrollando áreas que hasta entonces habían tenido poca actividad. Por ejemplo, en intérpretes, las zonas del cerebro reservadas a los dedos y la mano se desarrollan mucho más que en personas normales, de ahí que sorprenda la agilidad casi sobrehumana de algunos virtuosos intérpretes. En los violinistas el desarrollo del cerebro es asimétrico, perfeccionándose más la parte de la mano izquierda que la de la derecha, ya que esta última solamente maneja el arco con poca movilidad en los dedos. Es lógico pensar que a medida que avancen las investigaciones sobre la música y el cerebro se irán comprendiendo cada vez más el por qué la música es tan importante y capaz de mover tanto dentro de nosotros mismos. Desgraciadamente, el discurso musical tiene su propia lógica pero se entronca en la misteriosa red del hemisferio derecho, que no es racional aunque no por ello menos inteligente. Este es su gran problema, ya que al no ajustarse a ecuaciones ni moldes racionales, sino al vilipendiado hemisferio derecho, hace que no se pueda definir con precisión irrefutable que es “bueno” y qué “malo” como un teorema de física. En infinidad de ocasiones se puede llegar a medrar gracias a esta ambigüedad y simplemente surgen grandes nombres mediante habilidades dialécticas. Esto carecería de importancia de no ser porque hay personas menos expertas en sus tareas de convicción hacia quienes ostentan puestos de poder y se necesitan muchos años tras su fallecimiento hasta el reconocimiento que merecían. La historia está llena de estos casos.

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CAPÍTULO 3

Consonancia y disonancia 3.1 Consonancias y disonancias Para entender de una manera racional y rigurosa el fenómeno de la disonancia, recurriremos a una parte de la física que es la composición de movimientos armónicos. Se trata de sumar dos ondas senoidales de distinta frecuencia y ver la forma de onda resultante. Para que sea más sencillo emplearemos dos ondas de igual amplitud. En física se plantea una ecuación cuyo resultado es un movimiento ondulatorio que tiene frecuencia promediada entre los dos sonidos simultáneos, modulado por otra función seno cuya frecuencia es la semidiferencia entre las dos frecuencias13. La onda cuya frecuencia está promediada recibe el nombre de portadora y la otra es la moduladora. Modular es un término físico que quiere decir que la amplitud resultante está regulada a su vez por la amplitud de la onda moduladora. En la práctica la amplitud de la portadora se multiplica en cada punto por la amplitud correspondiente de la moduladora. En la figura 3.1 se ilustra este resultado.

Vamos a dar una interpretación intuitiva. La primera onda (1), que es la superior, tiene una longitud de onda ligeramente mayor que la 2 (más grave). Vemos que si se superponen no coinciden salvo en los puntos A, B y C. En A se encuentran en fase por lo que la suma se refuerza y la amplitud resultante se dobla. Pero en B están en oposición de fase (imagine el lector en el ejemplo del columpio dos personas empujándolo en sentidos contrarios con lo que el columpio no se movería). En tal caso la amplitud resultante se cancela en B para volver a ser reconstruida en C. La figura 3.1, esquema 3, representa la onda resultante y vemos que ha adoptado una forma peculiar de sonido pulsante (amplitud modulada por una onda senoidal). Hay que destacar que la onda moduladora posee una parte negativa (parte derecha del esquema 3 de la figura 3.1 que se ve que es descendente) que invierte a la portadora. Para ver mejor el sonido pulsante se ha representado esta misma onda 3 en 4 ampliando la zona para que abarque más periodos. La curva senoidal grande que modula en 3 a la de mayor frecuencia se llama envolvente. Los lóbulos que vemos en la parte 4 reciben el nombre de grupos. Esta pulsación, también llamada batido, se

13

La demostración matemática se detalla en el apéndice A-1.

A B C

D

1.

2.

3.

4.

Fig. 3.1: Composición de movimientos armónicos.

32

escucha fácilmente y puede servir como experimento para calcular la diferencia de frecuencias entre dos sonidos. Para ello se colocan dos diapasones de frecuencias idénticas y una pequeña pieza que puede atornillarse en la horquilla de uno de ellos a fin de aumentar el momento de inercia del diapasón. Cuando ambos diapasones se hacen vibrar, el sonido es puro y no hay pulsación por ser iguales las frecuencias. Cuando se atornilla la pieza en una de las ramas de uno de los diapasones, su frecuencia baja, lo que se pone de manifiesto por la pulsación que se escucha al hacer sonar ambos diapasones. Se puede demostrar que la frecuencia depende del momento de inercia de la pieza y éste, a su vez, de la altura a la cual se atornilla la pieza. Cuanto más cerca esté del extremo libre del diapasón más grave será el sonido. Como la pulsación del sonido depende de la semidiferencia de frecuencias, va aumentando su velocidad a medida que las frecuencias se distancian. Llega un momento en el que la velocidad de la pulsación es tan alta que rebasa la zona infrasónica y empieza a llegar a la zona audible, detectándose entonces una frecuencia parásita y desagradable hacia los 15 ó 20 Hz. Si las frecuencias siguen distanciándose llega un momento en el que esa pulsación puede llegar a ser muy alta y ser armónica de los dos sonidos primitivos. En ese caso la sensación de disonancia se sustituye por otra más satisfactoria. Por ejemplo, veamos una tercera mayor. Como ya se dedujo anteriormente, las frecuencias están en la relación 5/4. Sea x la frecuencia de la nota inferior de la tercera y calculemos las frecuencias de la resultante y su pulsación (semisuma y semidiferencia):

5 594 4;

2 8 2 8media puls

x xx xx x

F F+ −

= = = =

(3.1) La relación 9/8 corresponde a una segunda mayor y 1/8 una nota tres octavas más grave que la nota inferior de la tercera. El resultado de una tercera, por ejemplo C4-E4 es como si sonase un Re con la pulsación de un C1:

Esta igualdad es simbólica pues lo que quiere decir es que la onda del Re está modulada por la envolvente de un Do1, no que una tercera mayor sea lo mismo que un acorde C1-D4. En realidad, si nos fijamos en la parte 3 de la figura 3.1, la frecuencia de la pulsación es el doble de lo esperado puesto que la parte negativa de la senoide moduladora simplemente hace un cambio de fase y se escuchan dos lóbulos por cada periodo. Por tanto, a efectos prácticos, la frecuencia de batido la tomaremos como la diferencia, no la semidiferencia, con lo que en realidad bate con la frecuencia de C2. En la siguiente figura se aclara debidamente como es el fenómeno físico correcto:

diapasones

abrazadera

caja de resonancia

Fig. 3.2: Experimento con diapasones

Fig. 3.3: Equivalencia de tercera mayor

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La onda 1 representa al Re D4, la 2 el Do grave C1 y abajo vemos la resultante de modular C1 a D4. Como ve el lector, no es la suma de ambas ondas sino en realidad el producto. No obstante, vemos que la pulsación del acorde de tercera no está desemparentado, ya que es una nota también del acorde y por esa razón la tercera suena bien al oído. Más adelante veremos que, si se combinan sonidos de diferentes fuentes, el batido corresponde a la fundamental de un hipotético sonido del cual ambas notas serían armónicos. Veamos qué sucede con la quinta, que recordemos que es 3/2. Aplicando los mismos criterios:

35 32 ;

2 4 2 2media puls

xx x x x

F F x+

= = = − = , (3.2)

dando como resultado que la nota media está a distancia de tercera mayor de la nota grave de la quinta y su pulsación esta vez está solamente a una octava por debajo de ella. La quinta tiene un sonido menos vibrante (la pulsación es lenta) que la tercera. Ilustramos una vez más el proceso de formación de una quinta:

Primero se trazan las ondas correspondientes a G4 y C4 y se calcula la tercera E4 promediando (izquierda). Después se dibuja C2 poniendo una onda cuatro veces más larga que C4 y con ella se modula E4 obteniendo finalmente la curva de abajo. Vemos que es una onda de gran simetría y con pocas oscilaciones dentro de cada lóbulo por lo que la quinta es la consonancia mayor después de la octava. Esta última se representa en la figura 3.6 (a) junto con la segunda mayor (b). En el caso de la octava ni siquiera se puede considerar que existan lóbulos de pulsaciones. La razón se explicará después al hablar de intervalos por encima de la quinta. La nota de frecuencia promediada, como el lector puede que ya haya adivinado, es una quinta sobre la nota grave, también dentro de la serie armónica. Por el contrario, una segunda contiene, como se ve en la figura, muchos periodos de la onda original dentro

= E

= C

4

2

Fig. 3.5: Forma de onda de una quinta

1.

2.

3.

Fig. 3.4: Forma de onda de una tercera mayor

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de cada lóbulo y la pulsación será muy intensa y contundente, marcando muy bien que es una disonancia fuerte. La segunda menor tiene todavía más periodos dentro de los lóbulos por lo que será una disonancia aún más dura. En cuanto a la tercera menor, de relación de frecuencias 6/5, la nota media

tiene una altura calante que no corresponde a la escala natural y su pulsación se halla una octava y una tercera mayor por debajo. La vemos representada también en la figura 3.6, c. 3.2 Índice de consonancia Llegado este punto resultaría de mucha utilidad adoptar alguna forma de medir la consonancia de una nota. Esto no resulta fácil ya que veremos en el siguiente apartado que los intervalos por encima de la quinta tienen características físicas diferentes a las que acabamos de estudiar. No obstante, de las figuras anteriores se desprende que, al parecer, un intervalo resulta tanto más disonante

cuanto mayor sea el número de periodos de la onda portadora que albergue cada grupo en su interior. Podríamos contar el número de picos bien marcados que contenga el lóbulo, pero también existe un método más científico para hacerlo y que corresponde al número de periodos de portadora por periodo de moduladora y de las ecuaciones (3.1) se desprende una regla sencilla consistente en sumar el numerador y el denominador de las relaciones de frecuencia (Tabla I)14. Al valor resultante lo llamaremos índice de consonancia, y los valores son los siguientes:

desde luego este índice parece reflejar bastante bien el concepto de consonancia que tienen estos intervalos. Llamaremos intervalos primarios a los que se forman con notas en distancia inferior a la primera mitad de la octava y de orden superior a los formados con la segunda mitad, y que pasaremos a estudiar ahora. 3.3 Intervalos en la segunda mitad de la octava

14

En el apéndice A-2 se habla en profundidad y con formulación matemática todas las propiedades de este índice.

intervalo relación índice de consonancia

octava 2 3 quinta 3/2 5 cuarta 4/3 7 tercera mayor 5/4 9 tercera menor 6/5 11 segunda mayor 9/8 17 segunda menor 16/15 31

Tabla II : Indices de consonancia de los intervalos primarios.

a

Fig. 3.6: Octava, segunda mayor y tercera menor.

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Para terminar nuestro razonamiento debemos deducir las formas de los intervalos de orden superior. Por éstos entenderemos aquellos que sobrepasan la quinta. Una de las características de estos intervalos es que no se pueden construir con armónicos contiguos como sucedía con los de orden menor. Estos intervalos son las sextas mayor y menor y las séptimas, también mayores y menores. Para ver bien el cálculo hemos vuelto a reproducir la escala de

armónicos en un tamaño grande para que sea cómodo (figura 3.7). En ella hemos eliminado las notas calantes a fin de dejar la escala diáfana. Añadiremos a los nuevos intervalos de orden superior a la serie de la Tabla I:

La sexta mayor se ha deducido con las notas G3 y E4 (armónicos 3 y 5 respectivamente). La sexta menor será E4−C5 (5 y 8). Las séptimas son: C5−B5, (8 y 15) y E4−D5 (5 y 9). Todos estos acordes se denominan

inversiones, ya que son las mismas notas que las terceras y las segundas puestas en orden inverso. Nótese que también la quinta se invierte generando una cuarta. La sexta mayor es, pues, la inversión de una tercera menor, la sexta menor inversión de la tercera mayor; las séptimas lo son de las segundas y siempre que hay una inversión cambia de tipo. Si es mayor pasa a ser menor y viceversa. Como regla siempre suman 9 (2ª↔7ª, 6ª↔3ª, 5ª↔4ª). La octava no se invierte pues resultaría ser el mismo sonido (llamado también unísono)15. En cuanto a las formas de onda de estos intervalos presentan una peculiaridad respecto a las ondas de los intervalos primarios, que es la ausencia de formación de grupos (ya se dijo que los grupos son los paquetes que vemos en las figuras 3.1 a 3.6). Las figuras presentan una simetría en cada periodo haciendo que la parte de la derecha puede formarse girando 180º la de la parte izquierda. Como podemos ver en la figura 3.8, las formas de onda son muy distintas y parecen necesitar un tratamiento algo diferente para establecer el grado de disonancia de cada una de ellas. Si definiésemos el índice de consonancia igual que en los intervalos básicos, es decir, como número de periodos de la portadora contenidos por periodo de la resultante, no resultarían comparables puesto que en los básicos basta con un periodo de la moduladora para contener a toda la resultante (un grupo), y en los de orden superior se necesitan varios periodos de la moduladora para poder generar un periodo de la resultante. Se pueden unificar los criterios redefiniendo el índice de consonancia de la forma siguiente: Adecuaremos las notas de los intervalos hasta conseguir que las frecuencias de la portadora de todos ellos sea la misma. Esto también permite que todos los intervalos estén referidos a un patrón común. Hecho esto el índice de consonancia será la longitud del periodo de la onda resultante. Al hacer esto, fijémonos que la figura 3.6 quedaría transformada de manera tal que los husos se estirarían hasta igualar sus portadoras. Esto se ha ilustrado en la lámina I. Por obra y gracia de las matemáticas, aunque el concepto sea ahora diferente, su valor numérico es el mismo.

15

El unísono sólo tiene sentido cuando se ejecuta por más de un instrumento, que tocan la misma nota.

Intervalo relación índice Sexta mayor 5/3 8 Sexta menor 8/5 13 Séptima mayor 15/8 23 Séptima menor 9/5 14

Tabla III: Intervalos de orden superior.

Fig. 3.7: Escala armónica completa

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En la figura 3.8 se han trazado las ondas con el mismo criterio. Se comprueba que la más corta es la sexta mayor, seguida de la menor, la séptima mayor y la menor. También en este caso, los cálculos matemáticos (apéndice A-2) nos permiten decir que la longitud del periodo se obtiene sumando el numerador y el denominador de las relaciones de la tabla III, con lo que los índices de consonancia valdrán

respectivamente: 8, 13, 23 y 14 (Tabla III). En este mismo apéndice se demuestra que el periodo de la onda modulada es el de una fundamental de la cual ambos sonidos serían armónicos. A modo de conclusión sobre qué es disonancia, y viendo que tiene que ver con la longitud del periodo resultante, diremos que cuando se escucha un sonido, hay un determinado tiempo para detectar la existencia de un patrón. Cuanto mayor sea este tiempo, el cerebro interpreta que el sonido es más caótico. Por ejemplo, veremos que los sonidos metálicos tienen periodos de una enorme extensión, que supone un tiempo largo para la detección del patrón, con la consiguiente sensación de disonancia de gran magnitud puesto que en esos casos resulta difícil decidir si es o no una determinada nota musical. El caso límite es el ruido, constituido por ondas aperiódicas y donde ese patrón ni siquiera existe. 3.4 Intervalos que sobrepasan la octava Brevemente también citaremos, aunque sin tanta profundidad, los intervalos que están formados por notas que distan más de una octava. El más sencillo lo constituye el de duodécima

(formado por una octava más una quinta) que es el Sol armónico 3 y que, por tanto creará una consonancia fuerte. Su índice es 3+1=4, es decir más consonante incluso que la propia quinta debido a su condición de armónico. Mucho más interesantes son las novenas cuyas relaciones de frecuencia se deducen cómodamente de la figura 3.7.

Resulta especialmente interesante la novena mayor porque su índice de consonancia es 13, igual que la sexta menor. Aunque ya se ha hablado del ancho de banda crítico, en el capítulo 4 se ampliarán estos conocimientos y veremos que la disonancia propiamente dicha se encuentra entre notas próximas. A este lado de la octava, más que disonancia pura y dura, el índice indica más bien tensión, haciendo en el caso de la novena mayor un acorde menos crítico que las séptimas. De hecho en los acordes de cuatro notas, que estudiaremos en su momento, si se elimina la séptima y se deja la novena, los acordes se hacen más suaves y estables. Estas propiedades hacen al acorde de novena muy apropiado para un final de obra. En la música se da la propiedad de la superposición igual que en otras disciplinas de la física. Este principio dice que cuando en un fenómeno intervienen diversos factores, el

Intervalo relación índice Novena mayor 9/4 13 Novena menor 32/15 47 Décima mayor 5/2 7 Décima menor 12/5 17 Duodécima 3 4

Tabla IV: Intervalos por encima de la octava.

sexta mayor

sexta menor

septima mayor

septima menor

Fig. 3.8: Intervalos de orden

superior.

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resultado puede resolverse calculando cada caso por separado y juntándolos después. Así, en ocasiones, un acorde de dos notas puede resultar más disonante y duro que uno de tres en donde intervengan también pero que la mediación de una tercera nota suavice el resultado. En tal caso, un acorde de séptima resulta más disonante que otro en donde se añade la novena cubriendo la dureza de la séptima, sobre todo si ésta es mayor. Es de destacar la novena menor con un índice de consonancia muy elevado, que lo convierte en una disonancia muy poco grata. Por ese motivo es un intervalo a evitar, incluso en jazz, y se suele eliminar esa nota en acordes en los que debe reposar la música. Las décimas son relativamente consonantes (sobre todo la mayor) por tratarse de inversiones de las terceras. En cuanto a las undécimas y decimoterceras tienen que ver con las cuartas (11ª = 8ª + 4ª) y las sextas mayores (13ª = 8ª + 3ª), y se forman sobre la nota Sol (sexta mayor sobre Sol). 3.5 El tritono Quizá el lector habría pensado que el tritono se había quedado huérfano puesto que no se le ha dedicado ni una sola línea hasta ahora, pero la omisión ha sido hecha con intención debido a que, por su enorme importancia, debía ser tratado aparte. Antes que nada vamos a volver a la figura 3.7. En el desarrollo armónico existe una peculiaridad, y es la resistencia del La y el Fa a aparecer en la secuencia. En la figura vemos que no aparece el La hasta el armónico 27, lo cual es notable, teniendo en cuenta que, incluso una nota tan disonante como el Si haya aparecido mucho antes. Más sorprendente es aún que el Fa no aparezca nunca. Se puede demostrar por muchos caminos pero baste decir que, aunque la serie de quintas, de la que se hablará en el próximo capítulo, barre todas las notas, al ir de Do hacia arriba las notas son sostenidos y lo más que conseguiremos será su enarmónica16 Mi sostenido después de muchas octavas que, por si fuera poco, lo dejarán en frecuencias ultrasónicas que ni las mariposas podrían oírlo. Como quinta de Si bemol tiene también muy poco futuro porque ese si bemol es calante y obtendríamos igualmente un Fa calante. Como tercera menor de Re no se puede conseguir un Fa con frecuencia entera puesto que la tercera menor es 6/5 y sus octavas se obtendrán multiplicando por 2, que no se puede simplificar con el 5 del denominador. Esto pasa también si se trata como intervalo de otra nota pues los que quedan son todos fraccionarios y su denominador indivisible por 2. Por sorprendente que parezca, el Fa no existe en la secuencia armónica. Lo único que se puede hacer es una extensión matemática a espejo, igual que cuando se trató de justificar el acorde menor y llevar las notas hacia abajo, cosa que, recordemos, carece de significado físico. Entonces nos encontramos con un Fa grave a distancia de duodécima trazado en gris en la figura 3.7. El Fa es, por así decirlo, una nota negativa y, en pura teoría, no debería formar parte de la escala natural puesto que no existe. En lenguaje matemático, el Fa constituye una singularidad. Un músico sabe que cualquier tonalidad de los sonidos naturales se construye con sostenidos (Mi mayor tiene 4, La mayor tres, Sol dos, etc.), pero en Fa es el único que tiene un bemol, remarcando una vez más su carácter negativo (el bemol era un -1). El resultado es que en una escala natural físicamente coherente el Fa no debería estar, lo que imposibilita la existencia del tritono en la escala. El tritono Fa−Si es una especie de intervalo artificial, algo que no debería estar ahí. De hecho veremos que en las escalas pentatónicas naturales, propias de la cultura oriental, no existe. Sin embargo, en la música occidental, el tritono se coló y dio origen a todo el sistema tonal.

16

Las notas enarmónicas son las que están en el mismo sitio en un teclado de piano. Sol# es lo mismo que Lab, Mib lo mismo que Re#, Mi# que Fa, etc.

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Para continuar con las cosas sorprendentes sobre el tritono, hemos dibujado su onda en la siguiente figura, y a una escala comparable, incluso un 80% más pequeña que las de la figura 3.8.

Lo que llama poderosamente la atención es la enorme longitud de su periodo, varias veces mayor que las disonancias de séptima. Dado que no existe el Fa en el desarrollo armónico tendremos que ingeniárnoslas para ver las relaciones frecuenciales del tritono. Construiremos el tritono sobre el Fa# que es la tercera mayor de D5 (armónico 9). De ahí se tiene:

5 5

5 5 459

4 4 4= = =F D# , y relacionada con C5 (armónico 8):

45 / 4 45

8 32= =Tritono . Esta

relación de 45/32 da el índice de consonancia más grande hasta la fecha con diferencia: nada menos que 77, de ahí su periodo tan enorme. De hecho esta relación, lo que nos está indicando es que el tritono no aparece en la secuencia armónica hasta los armónicos 45 con 32 (C7−F#7). En resumidas cuentas, un intervalo tan inestable, cuando se incrusta en un sistema de escala natural está obligado a resolver. La resolución se entiende como aquella secuencia de dos acordes que se inicia en disonancia y termina en consonancia fluyendo cada nota inicial a una cercana. Esto tiene una importancia capital porque define una nueva dimensión en la música, que es la horizontalidad, o discurso del sonido a lo largo del tiempo, a diferencia de la verticalidad que es el sonido emitido al mismo tiempo como es el caso que hemos venido estudiando. Esto es lo que define un sistema de composición denominado a lo largo de todos los tiempos como Tonalidad. El sistema tonal se basa, justamente en la resolución del intervalo tritono. Durante la Edad Media este intervalo fue considerado diabólico y gozaba de peor reputación que las séptimas o las segundas con su índice de 77 que ni el mismísimo Satán habría superado. Se podría objetar, no sin razón, que el tritono es parte integrante de nuestro sistema occidental y que el resolverlo es una cosa inherente a nuestra cultura. Eso es cierto, pero lo que sigue vigente es que el tritono genera una gran tensión. Por ejemplo, existen obras en el jazz en donde, no es ya que el tritono no resuelva, sino que la armonía única de la obra es un gran acorde tenido de séptima dentro del cual hay un tritono. Sobre él se va tejiendo todo el entramado melódico. Pues bien, estas obras suponen una gran tensión para el oyente. La relajación es casi imposible y mantiene un interés casi morboso en la música. He aquí otro ejemplo de otras culturas que poco o nada tienen que ver con la música europea: la africana. En las tribus africanas se canta de manera tal que no hay dos personas haciendo nunca lo mismo. Un coro de treinta personas son treinta voces diferentes. Pero normalmente suelen crear un acorde mayor o, precisamente, una séptima menor con tritono. Este acorde genera tal tensión que mantiene la atención igual que en el caso del jazz y empuja a los miembros de la tribu a estar totalmente concentrados en su danza sin posibilidad de aburrimiento. Pruebe a escuchar este tipo de música y verá que estoy en lo cierto y para ello se ha insertado en la pista 2 del CD una improvisación sobre esto. En el caso de la música oriental, que carece de tritono, resulta una característica serenidad de “lago donde se reflejan las siete lunas”. Precisamente por su falta de tensión puede llegar a cansar si se escucha demasiado tiempo,

Fig. 3.9: Forma de onda del tritono.

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especialmente si se junta con el hecho de no estar muy metido en este tipo de música, lo mismo que pasa con la “new age”. El tritono también se usa solo, sin más notas, y tampoco tiene por qué resolver cuando se encuentra fuera del sistema tonal. Ciertamente este intervalo, se usa para crear las máximas tensiones, por ejemplo en el cine, la típica escena del psicópata que se aproxima, o el zombie con la calavera al descubierto. Mientras dure el tritono, se garantiza que el espectador seguirá esperando a que llegue el zombie o el psicópata. Volviendo a la Edad Media, este intervalo diabólico se tenía que tratar con alguna suerte de exorcismo, para lo cual se colocó sobre el Si una cruz y obligarle a resolver. Y, como bien dicen, que en el infierno está la gente interesante, el tritono fue la piedra angular de la tonalidad, especialmente cuando se junta con otro intervalo disonante como es la séptima menor. Ambos juntos forman un poderoso acorde con necesidad total de resolución, inventado por Claudio Monteverdi y que se conoce como séptima de dominante. Pero en la escala natural física, esto es, sin Fa, este acorde no existe y ello obliga a la inclusión de esta nota en la única combinación posible, que es sobre Sol. En el acorde de séptima de dominante, el Fa forma la séptima menor sobre Sol y un tritono con Si a lo que, si añadimos su condición de intruso en la escala, es el candidato obligado a resolver. Así se enseña en armonía tradicional. En cuestión de nomenclatura, el tritono es un intervalo que es su propia inversión. Es decir, que si una tercera mayor se invierte en sexta menor, una cuarta en una quinta, etc., un tritono invertido es nuevamente un tritono. No obstante, pese a tener el mismo sonido, cambia de nombre siendo unas veces quinta disminuida y en otras cuarta aumentada. Pensemos, por ejemplo en Do−Fa#, que es una cuarta. Al invertirse queda Fa#−Do, que es, técnicamente, una quinta. 3.6 Notas reales Todo lo dicho hasta ahora se refiere a acordes construidos con sonidos senoidales pero ¿qué sucede si ahora los hacemos con notas reales provenientes de instrumentos? Vamos a escuchar la pista 3 del CD en donde se aparecen acordes senoidales seguidos de acordes con instrumentos reales. Es evidente la radical diferencia, pues las senoidales parecen no chocar tanto como los reales. Por supuesto, la razón estriba en que las notas reales están compuestas por armónicos y en cada intervalo no hay un único acorde de notas senoidales sino muchos, algunos disonantes incluso aunque el acorde sea “oficialmente” consonante. En la realidad, un acorde de dos notas no tiene solamente dos sino una cantidad de notas mucho mayor con lo que las formas de onda ganarán en complejidad y será inviable tratar de bucear en ellas en busca de las consonancias y las disonancias matemáticamente simples que acabamos de estudiar. En su lugar, aplicaremos el principio de superposición, al que hemos aludido con anterioridad en el párrafo 3.4. Veamos lo siguiente para poder entender esto. Cuando escuchamos una canción, es perfectamente legible la melodía y el texto, aunque esté sonando un acompañamiento instrumental simultáneamente. La realidad física es que todos los sonidos se mezclan y se creará una onda resultante extremadamente compleja. No hay más que observar una partitura de orquesta para comprender la imposibilidad de análisis físico alguno. Sin embargo, el cerebro, que es un instrumento muy perfeccionado a lo largo de millones de años, puede separar sin problemas sonidos como si en la realidad no interfiriesen entre sí. Lo que visualmente no pasa de ser un galimatías ininteligible, para una persona le resulta fácil discernir cada parte sonora con un papel relevante. Lo mismo pasa en un acorde complicado, pues es la suma de sus partes. Para estudiar la consonancia o disonancia de un determinado acorde bastará, pues, con evaluar los intervalos elementales senoidales de que se compone. La teoría de la afinidad sonora del físico Helmholtz dice que dos tonos son consonantes si

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coinciden uno o varios de sus armónicos superiores. Incluiremos también el fundamental. El problema es que la cantidad de armónicos es elevada y habrá que poner un tope. Dado que la intensidad de éstos es decreciente según aumenta el orden del armónico, la teoría admite la concordancia hasta el armónico octavo, excluyendo el 7 que, como sabemos, es calante. Estudiemos, por ejemplo, un intervalo de quinta ejecutado por instrumentos acústicos. En la figura se han representado con cabezas en negro los armónicos de las notas graves y en gris los armónicos de la nota aguda ajenos a los de la grave que, normalmente, chocan como segundas. Si hay coincidencia se representan en negro:

De izquierda a derecha vemos los acordes de quinta, cuarta, tercera mayor, tercera menor, segunda mayor y octava. En los casos de segunda menor y tritono carecen de coincidencia alguna en el rango representado. El criterio de concordancia parece funcionar bastante bien, ya que según aumenta la sensación psicológica de disonancia, mayor es el número de choques de segunda y menor las concordancias. En los intervalos de orden superior (figura 3.11), tenemos la sexta mayor con concordancia E4 y E5, como la tercera menor primaria, y la sexta menor, séptima menor y novena mayor, se produce una concordancia, con D5 la sexta y las otras dos con D5, lo que las sitúa a la par de la segunda mayor. En este caso, la séptima mayor y novena menor tampoco tienen armónicos comunes. Comparando estos resultados con el índice de consonancia en la tabla V, comprobamos un evidente paralelismo, aunque éste se definió para sonidos senoidales. También hay que tener en cuenta el orden del armónico coincidente ya que, cuanto más alto sea éste mayor número de choques deja por debajo de él, y serán además armónicos de mayor intensidad con lo que la disonancia se acentúa. En este caso, no es lo mismo una sexta menor con su concordancia D5 y que deja tres choques bajo ella, que la segunda mayor con sus cinco choques. También sucede que, al aumentar la distancia entre fundamentales, toda la zona armónica baja de la nota más grave queda desaprovechada y la concordancia de armónicos tiene que ser, necesariamente en las zonas agudas. Esto tiene su pro y su contra. Por una parte, el dejar de tener puntos en común hace que las notas parezcan menos emparentadas pero, por otra parte, teniendo en cuenta que la intensidad de los armónicos es decreciente a medida su orden es cada vez más alto, las disonancias en estas zonas son menos agresivas y el acorde se suaviza

Fig 3.10: Concordandias y discordancias de diversos acordes reales.

41

En la figura 3.11 se completan los intervalos de orden superior. De izquierda a derecha están los intervalos de sexta mayor, menor, séptima mayor y menor, décima y duodécima. Abajo están las dos novenas. Plantearemos también un cuadro en donde se reflejen el índice de consonancia del intervalo senoidal, así como el número de concordancias y discordancias:

Las dos columnas de la derecha indican concordancias y discordancias de armónicos. En algunos casos las faltas de concordancia se suplen con menos choques de armónicos. Por ejemplo, la décima mayor, aunque tiene menos concordancias, también tiene menos disonancias y se compensa lo uno con lo otro. La duodécima, aunque tiene las mismas concordancias que la quinta, al carecer de choques la sitúa por delante. Además, tampoco es lo mismo una discordancia a distancia de tercera mayor entre armónicos que de segunda menor. Lo que pretende la tabla IV es mostrar un paralelismo razonable entre el índice de consonancia y los choques y concordancias, pudiendo concluir que el primero puede emplearse para determinar, con notas reales, la medida de su consonancia o disonancia. 3.7 Tríadas Nuestra armonía va tomando cuerpo. El paso siguiente al acorde de dos notas es uno de tres, denominado tríada. En pura teoría estas notas pueden ser tres cualesquiera siempre que pertenezcan, por supuesto, a la escala sobre la que se está

intervalo índice de consonancia concordancias discordancias

Octava 3 7 0 Duodécima 4 5 0 Quinta 5 5 4 Cuarta 7 4 5 Décima mayor 7 3 3 Sexta mayor 8 2 6 Tercera mayor 9 3 7 Tercera menor 11 2 8 Sexta menor 13 1 6 Novena mayor 13 1 5 Séptima menor 14 1 6 Segunda mayor 17 2 9 Décima menor 17 1 4 Séptima mayor 23 0 7 Segunda menor 31 0 11 Novena menor 47 0 6 Tritono 77 0 10

Tabla V: Comparación entre el índice de consonancia y el número de concordancias

armónicas de los intervalos reales.

Fig 3.11: Concordandias y discordancias de intervalos de orden superior.

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construyendo la pieza musical. No obstante, nos centraremos primero en tres notas que deben formar consonancia, y además pertenecer a la primera mitad de la escala, es decir, que los intervalos deberán ser primarios. Esto se refiere a que si el acorde se hace con tres sonidos, pongamos X, Y Z, entonces X con Y deberá ser consonante, Y con Z también y X con Z. Estas tríadas se conocen como acordes perfectos. No hay muchas posibilidades puesto que X con Z tendrá que ser forzosamente un intervalo de quinta justa, quedando X con Y e Y con Z como terceras. En una escala natural simplemente aparecerá una nota sí, una no, con el siguiente resultado:

El primer acorde está formado por una tercera mayor seguido de una menor. Eso pasa también en el cuarto y el quinto y se llaman acordes mayores. Los otros están al revés: primero una tercera menor y después una mayor denominándose acordes menores. Observemos que sobre el Si no aparece acorde y es porque Fa−Si forma tritono y no se cumpliría la consonancia X↔Z. Este acorde, aunque es una tríada no se considera perfecto y se llama de quinta disminuida. Existe el llamado cifrado, consistente en representar el acorde mediante una serie de letras y símbolos. Aquí adoptaremos el sistema anglosajón por ser más sencillo. Los acordes mayores se representan simplemente por la letra mayúscula de la nota fundamental, es decir, C es Do mayor, A, la mayor, F fa mayor, etc. Los acordes menores se representan mediante la misma letra pero añadiendo una “m” minúscula o un signo -. El acorde de disminuida se cifra con un pequeño cero en la parte superior, o dis (por ejemplo Bº=Si−Re−Fa). Ahora nos quedan algunas definiciones que habrá que memorizar pues forman parte importante de la nomenclatura musical:

� Tónica: Es la nota sobre la que se construye la escala, origen y final y da su nombre a la tonalidad en que se encuentra la música. Por ejemplo, en Do mayor es Do, en Re mayor, Re, etc.

� Dominante: Si la séptima de dominante es un acorde construido sobre el acorde de Sol mayor es porque Sol es la llamada dominante. Como hemos dicho, el tonalismo se fundamenta en el juego dominante-tónica, es decir, pasar de un acorde de máxima tensión al remanso de la tónica. El final de una obra tonal siempre termina mediante la sucesión de estos dos acordes, lo que se denomina cadencia perfecta.

� Subdominante: Es la nota a distancia de quinta de la tónica, pero descendente. En Do mayor es el Fa, como sabemos.

� Sensible: Nota a distancia de semitono de la tónica, es decir el Si en Do mayor. Como se ha visto en la figura 3.12 forma parte del acorde de Sol mayor de dominante y es la nota donde se ponía la cruz del “vade retro”. Como la dominante resuelve en la tónica, el Si tiene especial atracción por ésta y será hacia donde se mueva normalmente en las piezas.

� Cadencia plagal: En lugar de emplear la secuencia Sol-Do, la cadencia plagal usa el acorde de subdominante en lugar del de dominante, es decir, Fa-Do.

� Cadencia rota: Si se parte de la dominante, no resuelve en la tónica sino en su relativo menor. Nótese que esto no viola la resolución de la séptima ni del tritono puesto que, por ejemplo en Do mayor, el relativo de Do es La menor (La−Do−Mi), de suerte que Fa baja igualmente a Mi y SI a Do con lo que no se rompe la norma. Existen otros tipos de cadencia rota más heterodoxos y de los que hablaremos más adelante.

Fig 3.12: Acordes tríadas perfectos

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� Estado fundamental: Coincide con la ordenación de la escala de armónicos de forma que la nota fundamental sea la más grave. El orden del resto de las notas por encima no tiene mayor importancia. Eso se debe a que la nota más grave es la que tiene más armónicos que chocarán o no con las notas que están por encima de ella, y es la que identifica el oído como la base armónica del acorde.

� Inversiones: Cuando la nota más grave del acorde no está en el bajo se dice que el acorde está invertido. Si en el bajo está la tercera entonces está en primera inversión. Por ejemplo, en un acorde de Sol mayor, su primera inversión será Si−(Sol, Re). Las notas que están entre paréntesis quiere decir que no importa su orden. La segunda inversión posee la quinta en el bajo. Por ejemplo Re mayor en segunda inversión será: La−(Re, Fa#).

� Grados de la escala: Dado que lo que se aplica a una escala es igualmente aplicable a cualquier otra de otra tonalidad diferente resulta conveniente numerar las notas para independizarlas de la tonalidad cada vez que se hable de cualquier propiedad. Así, la tónica es el grado I, la dominante el V, la sensible el VII y la subdominante el IV. El resto se numera correlativamente igual a la posición que ocupe la nota en la escala.

� Grado conjunto: Es el intervalo, ya sea mayor o menor, formado por dos notas correlativas.

A partir de este punto es donde arrancan todos los tratados de armonía de conservatorio. Este libro no va a tratar nada de eso ya que se trata de enlazar sucesiones de diferentes acordes de acuerdo a una serie de normas arbitrarias en algunos casos, y más justificadas en otros. Sin ánimo de criticar metodologías de conservatorio, creo que la asignatura de armonía debería llamarse mejor “técnicas de enlace de acordes” ya que el noventa por ciento de lo que yo siempre he considerado “armonía” se queda fuera del estudio. El lector interesado en cómo se llevan a cabo estos enlaces entre acordes debería comprarse un libro de armonía tradicional que se lo explique con todo lujo de detalles. La armonía tradicional plantea cuatro pentagramas con voces corales (tampoco he llegado muy bien a comprender por qué no podían ser instrumentales) y en cada pentagrama hay una voz con notas que dibujan diferentes líneas melódicas. Al pasar al siguiente acorde, estas notas deben, lógicamente, cambiar y deben respetar algunas reglas. Aunque no se tratará esto en profundidad, he aquí, no obstante, algunas de esas normas:

� Evitar que, al enlazar dos acordes, las notas que componen los mismos formen líneas melódicas en donde haya quintas u octavas paralelas.

� Evitar cruzar las voces.

� No distanciar más de una octava las voces excepto en el bajo.

� No entrar en un unísono por movimiento de segunda.

� No producir disonancias por movimientos paralelos.

� Resolver la sensible (Si) sobre la tónica (Do).

� Cuando el acorde está en su primera inversión (hablaremos enseguida de eso) no duplicar la nota del bajo.

� Usar la segunda inversión sólo sobre los grados “fuertes” de la escala (tónica, dominante y subdominante).

Fig. 3.13: Enlace del

acorde de séptima de

dominante con la tónica.

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� Resolver la séptima por movimiento descendente a la nota inferior. La siguiente figura muestra una típica resolución de séptima de dominante en donde la séptima desciende a Mi y el Si (la sensible) resuelve en Do. Las notas del bajo pasan de Sol a Do adoptando sus estados fundamentales. En armonía tradicional se plantea una guía, bien la voz de un bajo, bien una línea melódica en la soprano que hay que completar en el resto de las voces usando la armonía que crea conveniente y respetando en los enlaces las normas académicas. En música antigua, cada nota de la melodía o bajo se enfrentaba a otra de la misma duración en cualquiera de las otras voces, lo que en latín se llamaba punctum contra punctum (nota contra nota), actualmente contrapunto. En la figura 3.14 se ha puesto un enlace defectuoso en donde hay una sucesión de quintas paralelas entre el bajo y el tenor. En este enlace vemos que la nota Si no tiene la cruz correspondiente. Eso se debe a que el primer acorde no es de dominante sobre el grado V, sino Mi menor, que es sobre el III. La sensible, que es la que tiene siempre la cruz, solamente se considera sobre el acorde de dominante.

3.8 Psicología de los acordes Existe una propiedad en los acordes que es inherente en la música y, por el momento su justificación científica exacta no es conocida. Es lo mismo que un determinado sabor o color, que produce efectos en la psicología del individuo. En el caso del color puede haber un fundamento, por ejemplo, el color rojo, por ser el de la sangre resulta inquietante y agresivo. Los colores de la naturaleza como azul o verde, recordarían a ésta, reflejando serenidad. Lo que es también desconocido es la propia reconstrucción del color en el cerebro ¿por qué el verde es como es y no podía haber sido como el violeta, por ejemplo?

Aunque no está suficientemente estudiado, los acordes influyen en el sistema límbico del cerebro (figura 2.16) provocando profundos sentimientos. Los acordes mayores provocan sensaciones psicológicas de euforia y optimismo. Se emplean acordes mayores para reflejar alegría, grandiosidad, fuerza y poder. Una obra grande deberá acabar en un acorde mayor si se quiere dar ese sentimiento. Por el contrario, los acordes menores son más íntimos y se emplean para evocar tristeza, tragedias, catástrofes, ensoñación, melancolía y recogimiento. Por supuesto, un solo acorde no es capaz de producir efectos milagrosos y he ahí la habilidad de compositor para combinar todos estos elementos para la creación de la obra de arte. Una determinada cadencia de acordes producirá un efecto que no es la suma de sus partes, es decir, que si alternan acordes mayores y menores el espectador no se verá sometido a una especie de zarandeo emocional que lo sacuda de la alegría a la tristeza en cuestión de segundos, sino que los sentimientos se irán perfilando a medida que la pieza avanza, creando una lógica no matemática sino más ligada al hemisferio derecho como se habló al citar el trabajo de los investigadores Bianco y Grigolini.

Fig. 3.14: Enlace con

quintas paralelas

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CAPÍTULO 4

Las escalas 4.1 La construcción de la escala Después de la arquitectura, la música es el arte más ligado a la ciencia; no en balde en la antigua Roma la música formaba parte de las ciencias y se estudiaba junto con ellas. Aparte de estar basada en un fenómeno físico como la emisión de armónicos de un cuerpo, la música tiene otras relaciones más intrínsecas aún con las matemáticas y que se fundamenta en las secuencias de quintas. A diferencia del fenómeno físico armónico de un cuerpo sonoro, que es una emisión simultánea de muchos sonidos simples, la música necesita desarrollar estos sonidos a lo largo del tiempo creando sucesiones de notas con unos determinados intervalos entre ellas. Es, en realidad, un objeto físico de dos dimensiones porque no sería de gran utilidad que toda la información se emitiera de golpe según el fenómeno físico armónico. Imaginemos todas las notas de la quinta sinfonía de Beethoven apelotonadas y lanzadas al tiempo en un solo segundo. Las dos dimensiones de la música se resumen en melodía (sucesión a lo largo del tiempo) y armonía (notas que suenan a la vez), lo cual se conoce también en la jerga musical con las denominaciones horizontal y vertical respectivamente, ya que en la partitura la melodía se desarrolla de forma horizontal y la armonía que le corresponde lo hace en forma vertical. Ese desdoblamiento de notas que no suenan ya a la vez se debe al fenómeno del ritmo, que es el encargado de distribuir dichas notas a lo largo del tiempo. El propio ritmo es también una función periódica, pero esta vez de muy baja frecuencia. La escala se puede definir como una sucesión finita de sonidos, o notas, que se encuentran distanciados mediante intervalos fijos de frecuencia dentro del ámbito de una octava, lo que nos indica que la escala resulta de dividir la octava en partes llamadas intervalos. Dichas partes pueden, o no, ser constantes e iguales para todas las notas, creando una elevada cantidad de escalas posibles. La primera escala que se nos ocurriría formar procede del propio fenómeno físico armónico en donde la nota siguiente coincidiría con el correspondiente armónico desarrollando a lo largo del tiempo en lugar de sonar de forma simultánea. La escala quedaría:

Lo primero que vemos es que se extiende mucho más de una octava y que los intervalos van siendo cada vez más cortos a medida que avanzamos, dejando espacios demasiado grandes en el comienzo. Aunque esto es muy poco práctico, existen dos casos de instrumentos que usan esta escala. El primero es la corneta militar que, por su condición de ser un simple tubo resonante no está capacitado más que para emitir estas notas. En los toques de cuartel las melodías se componen exclusivamente de notas de esta escala y la mayoría de los himnos suelen empezar o están basados en esta escala que es, simplemente el arpegio de un acorde mayor. El segundo caso es el canto difónico, practicado por pastores en algunas zonas del Asia Central. Esta técnica es muy sorprendente ya que consiste en emitir una nota muy grave, rica en armónicos y amplificar y seleccionar éstos para generar melodías.

Fig: 4.1: La escala física armónica.

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Aunque se trata de canto, los armónicos suenan semejante a una flauta, sin texto, y por eso se puede considerar un instrumento. Como las distancias primeras son demasiado grandes, la escala del canto difónico se encuentra en la zona superior de armónicos, a partir del G4. El inconveniente es, como ya se habrá adivinado, la inclusión de las notas calantes Sib y Fa#, que resultan muy poco musicales cuando se ejecutan por lo que se puede optar por suprimirlas y dejar la siguiente escala pentatónica (de cinco sonidos)17:

Esta escala tiene la ventaja de tener sus sonidos dentro del ámbito de la octava y que los intervalos que separan sus notas son más regulares que comenzando en el fundamental. De hecho esta escala es considerada como una de las llamadas escalas naturales, y físicamente sería la más acertada. El problema es que no resulta suficientemente amplia como para el desarrollo de grandes obras musicales. Debemos, pues tratar de crear otras escalas más ambiciosas pero que, a su vez tengan un fundamento lógico. 4.2. La escala de entonación justa Por su carácter artificial, las escalas van a producir una serie de problemas físicos algo complicados de resolver. En este libro no se puede profundizar sobre este tema lo suficiente, ni es su propósito, y por ese motivo nos conformaremos con dar una visión esquemática. Para mayor información se recomienda consultar la bibliografía.

El sistema de entonación justa, o Zarlino, construye la escala empleando las mismas distancias entre notas que en la serie armónica. Básicamente sería muy semejante a la escala anterior (figura 4.2) pero añade dos notas que no están en esa escala interpolando intervalos de acuerdo con la tabla II. La primera es el Fa, que no

17 En la práctica, se usa también el Sol inferior, mientras que el Si natural agudo es difícil de conseguir.

nota relación con la fundamental

relación con la anterior

oDo (I) a1

o9/8

oRe (II) a9/8

o10/9

oMi (III) D5/4

o16/15

oFa (IV) D4/3

Do9/8 oSol (V) D3/2

Do10/9

oLa (VI) D5/3

Do9/8 oSi (VII) o15/8

Do16/15 oDo2 (I)

o2

Tabla VI: Relaciones interválicas de la escala de entonación justa.

Fig: 4.2: Escala pentatónica difónica.

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es armónico, y se materializa como intervalo a distancia de cuarta de la fundamental, y la segunda el La como sexta mayor de la fundamental en lugar de esperar al armónico 27. Nótese que si se propusiera la nota Fa a otra distancia diferente a la cuarta, quedaría un intervalo disonante con la fundamental, y si el La se definiera como sexta menor, quedaría otro sonido (Lab), que no es armónico. Conforme con ello queda reflejada la escala en la tabla VI con sus correspondientes relaciones de frecuencia. En la columna de la derecha se han representado las relaciones de cada nota con la anterior, y que se calculan sin más que dividir las relaciones de ambas con la fundamental, es decir, que entre Re y Mi será:

Mi DoRe Mi

Re Do

5 / 4 10

9 /8 9

rr

r−

−

−

= = = ,

y que es coincidente con la relación entre los armónicos 10 (E5) y 9 (D5). Hay que hacer notar que ya aparece una cierta irregularidad en la relación de una nota con la siguiente con las fracciones siguientes: 9/8, 10/9 y 16/15. El intervalo 9/8 se corresponde con la segunda mayor dado en la tabla II, que es el intervalo Do−Re (armónicos 8 y 9), pero entre los armónicos 10 y 9, es decir, Re−Mi, hay una distancia diferente: 10/9. En esta escala hay tonos de diferentes tamaños. Al existente entre Do y Re se le llama tono grande y al que está entre Re y Mi tono pequeño. El restante, 16/15, es el mismo entre Mi y Fa como entre Si y Do, y se llama semitono diatónico. En la escala alternan el tono grande y el pequeño, con dos semitonos intercalados. La relación entre el tono grande (9/8) y el pequeño (10/9) se denomina coma sintónico y su valor es:

9 / 8 81

10 / 9 80sε = =

Esta escala deducida científicamente a partir del fenómeno armónico recibe el nombre de escala mayor, y fue deducida por el músico italiano Gioseffo Zarlino, por lo que este sistema también lleva su nombre. En este ejemplo hemos construido la escala partiendo de la nota Do, pero se puede construir perfectamente en cualquier otro sonido, obteniendo la escala mayor correspondiente a ese tono nuevo y respetando las distancias de la tabla VI. En adelante, para independizar las escalas de nombres de notas, sus sonidos, denominados grados, se identifican mediante numeración romana (I, II, III, IV, etc.), lo que se ha detallado en la tabla. Recordemos que el Ier grado también se conoce como tónica y el V dominante. Si en esta escala se encadenan dos terceras mayores a partir de la tónica, nos aparece una nota que está situada entre el V y el VI. Al intervalo definido por el grado V y esta nueva nota se le denomina semitono cromático y se representará como V#, donde el signo # se denomina sostenido, y supone subir medio tono a la nota. Cuando

se baja un semitono cromático, a la nota se le añade el símbolo b, llamado bemol. Pese a su excelente simetría y elegancia matemática, el sistema Zarlino tiene inconvenientes importantes. El mayor quizá el hecho de que no todas las quintas de su escala son justas. Si calculamos la relación entre La y Re se ve que, al dividir las fracciones 5/3 por 9/8, el resultado no es 3/2 como correspondería a la quinta justa. Desde el punto de vista musical, que esté esa quinta desafinada resulta defectuoso. Si tratamos de afinar esa quinta, entonces se descolocarían otros intervalos. Hemos construido una escala que tiene un defecto. Pero eso no es todo, si todas las melodías se moviesen dentro de una sola escala, solamente tendría el defecto de la quinta, el nuevo problema surge cuando conviven escalas basadas en notas diferentes. Como ejemplo, pongamos Si bemol. En ese caso se tiene el siguiente desarrollo armónico:

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con la correspondiente tabla para la escala de Sib mayor:

que tiene unos valores idénticos a los de Do mayor, como es natural (imagine el lector esta misma tabla pero eliminando los nombres de las notas y dejando simplemente los grados I, II, III, IV, etc.). El problema es que en esta escala el intervalo Do−Re es 10/9 (tono pequeño) y en la de Do mayor era el tono grande 9/8. El ejecutante que tenga que interpretar una pieza moviéndose en varias escalas se vería obligado a reafinar el constantemente el instrumento. Para los instrumentos de afinación fija sería imposible ajustarse a este sistema y para los de afinación variable, aunque puedan hacerlo, les resultaría muy engorroso tantos cambios de distancia entre notas que teóricamente serían las mismas. 4.3. Sistema pitagórico Hemos dicho antes que la creación de una escala no obedece a ningún fenómeno físico, a excepción de las escalas físicas armónicas de las que hemos hablado. En este caso, la practicidad de las necesidades de la música está reñida con el fenómeno físico en sí a causa de la no linealidad de la percepción del tono (altura). De ello trataremos más adelante. Para remediar la desafinación de la quinta entre los grados II-VI del sistema anterior, el pitagórico emplea las quintas justas para ordenar y crear una secuencia de sonidos. Cada nota tiene una relación de frecuencia de 3/2 con la anterior. Tomando un sonido de referencia, para los siguientes sonidos 1, 2, 3, 4, etc., se obtienen relaciones de frecuencia:

nota relación con la fundamental

relación con la anterior

oSib (I) a1

o9/8

oDo (II) a9/8

o10/9

oRe (III) D5/4

o16/15

oMib (IV) D4/3

Do9/8 oFa (V) D3/2

Do10/9

oSol (VI) D5/3

Do9/8 oLa (VII) o15/8

Do16/15 oSib2 (I)

o2

Tabla VII: Relaciones interválicas comenzando en Sib

Fig. 4.3: Desarrollo armónico a partir de Sib.

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Para la nota n-ésima se obtiene una relación de 3n/2n. Ahora bien, la secuencia de quintas supera la octava, con lo que no es propiamente una escala tal y como la hemos definido. Para conseguirla, habrá que rebajar las notas que excedan la octava el número necesario de éstas para que la nota baje lo suficiente como para quedar en la misma octava que el resto. Si el lector tiene un piano puede comprobar que hay que bajar una octava cada dos quintas sucesivas. Procediendo de esta manera se obtienen las siguientes relaciones de frecuencia18:

En esta tabla vemos algo muy interesante, que es el hecho de haber conseguido eliminar las diferencias entre tono grande y tono pequeño (ahora todos son grandes) a expensas de rebajar el semitono diatónico a 256/243 (=1,05) en lugar de 16/15 (=1,066) como en el Zarlino. Ahora, se tome la nota base que se tome, las distancias físicas entre grados (notas) son las mismas para cualquier escala y, además, todas las quintas están correctamente afinadas. Las series de quintas se pueden prolongar hacia arriba o hacia abajo con quintas descendentes. Después del Si aparece un intervalo de quinta justa que también se denomina Fa# pero que, al resultar algo más alto que un semitono diatónico, define el semitono cromático de este nuevo sistema que, en general, será diferente del semitono cromático de la escala de entonación justa. También se añaden en este caso los símbolos # y b. A partir de Fa# se repite la secuencia, pero esta vez todas las notas con sostenido. Por quintas descendentes se obtiene la secuencia en sentido inverso cuyas notas están un semitono cromático por debajo de las de la secuencia inicial, siendo, por tanto, bemoles. En definitiva la secuencia completa sería:

Fb Cb Gb Db Ab Eb Bb F C G D A E B F# C# G# D# A# E# B# 18 En el apéndice B1 se detalla este proceso.

1 2 3 4 n 1

3

2

9

4

27

8

L

3

2

n

n

nota relación con la fundamental

relación con la anterior

oI a1

o9/8

oII a9/8

o9/8

oIII D81/64

o256/243

oIV D4/3

Do9/8 oV D3/2

Do9/8

oVI D27/16

Do9/8 oVII o243/128

Do256/243 oI o2

Tabla VIII: Relaciones interválicas de la escala de pitagórica.

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4.4. Relaciones entre los sistemas se entonación justa y pitagórico Calcularemos las relaciones entre los tamaños de los semitonos diatónico y cromático de ambos sistemas19. En el pitagórico se tiene:

531.4411,0136

524.288pε = ≈ .

La diferencia entre el semitono cromático y el diatónico se conoce con el nombre de coma pitagórica. En este sistema, el semitono cromático es mayor que el diatónico. Por el contrario, para el Zarlino, la relación entre sus semitonos es:

1281,024

125δε = ≈ ,

y el nombre de la diferencia es díesis enarmónica. Ahora es el semitono cromático el que es menor que el diatónico. Nótese que no hay paralelismo de la escala pitagórica con el coma sintónico puesto que sus intervalos de segundas son siempre iguales. Como en toda disciplina de la física, se necesita tomar un patrón. Sabemos que el metro tiene su definición y es el patrón de longitud, el kilogramo y el segundo lo son también de la masa y el tiempo. Para la música se tomó como nota patrón el La, y por eso se representa en notación sajona por la primera letra del alfabeto: A. En el Renacimiento y Barroco su frecuencia era menor que el actual patrón de 440 Hz y fue aumentando en busca de sonidos más brillantes hasta estabilizarse en su actual valor. Tomando el La4 como patrón sí podemos deducir todas las frecuencias subiendo y bajando por quintas, cuya relación de 3/2 es conocida (2/3 para descendentes naturalmente). Así se obtendría una secuencia que es capaz de cubrir todo el espectro sonoro, incluyendo notas en principio redundantes, como serían Fb, Cb, E#, y B#, que aparentemente serían lo mismo que E, B, F y C. Pero veremos que esto no es del todo correcto. Basándonos en el A4 de 440 Hz, y aplicando octavas descendentes, llegamos hasta el A0 cuya frecuencia se obtiene dividiendo 440 por 16, esto es 27,5 Hz. La secuencia de quintas arranca desde esta nota hasta B#5. Actuando de la misma forma pero inversamente, tomaremos un La agudo, A6, por ejemplo, e iremos bajando por quintas descendentes hasta Cb de 30,5 Hz. El Fa bemol queda demasiado grave y tampoco nos hace falta realmente para lo que vamos a demostrar a continuación. La Tabla IX ilustra los cálculos realizados. En la mitad izquierda están los valores calculados subiendo a partir de A0 y en la derecha los descendentes desde A6.

19

La deducción de estos valores se muestran en el apéndice B-1.

51

Llamaremos notas enarmónicas a aquellas que, según el teclado del piano, serían coincidentes, es decir:

Si nos fijamos en la tabla, se ve claramente que los valores de frecuencias entre las notas enarmónicas no coincide porque las frecuencias de los bemoles siempre están por debajo de los sostenidos. En la última columna se han representado las relaciones de las frecuencias entre la nota sostenida y su enarmónica bemol, mostrando que siempre vale 1,0136, es decir, que están separadas por un intervalo que siempre es el mismo. Esta tabla afirmaría que la música tiene en realidad 21 valores diferentes. En la figura 4.4 se ha representado un original teclado de piano en donde aparecen teclas dobles para poder incluir las diferencias entre sostenidos y bemoles. Esto no resulta nada práctico aunque cumpla con las leyes de la física. Resultaría engorroso y añadiría un toque algo excéntrico a los conciertos.

Octava Nota valores en Hz. Nota valores en Hz. relación f#/fb

6 A 1.760,0 6 FXXXX 1.585,8 6 D 1.173,3 6 B# 1.057,2 C 1.043,0 1,0136 5 FX 792,9 G 782,2 1,0136 5 E# 704,8 F 695,3 1,0136 5 B# 528,6 C 521,5 1,0136 4 A# 469,9 Sib 463,5 1,0136 4 E# 352,4 F 347,7 1,0136 4 D# 313,2 Eb 309,0 1,0136 3 A# 234,9 Sib 231,8 1,0136 3 G# 208,8 Ab 206,0 1,0136 3 D# 156,6 Eb 154,5 1,0136 3 C# 139,2 Db 137,3 1,0136 2 G# 104,4 Ab 103,0 1,0136 2 F# 92,8 Gb 91,6 1,0136 2 C# 69,6 Db 68,7 1,0136 1 B 61,9 Cb 61,0 1,0136 1 F# 46,4 Gb 45,8 1,0136 1 E 41,3 Fb 40,6 1,0136 0 B 30,9 Cb 30,5 1,0136 0 A 27,5

Tabla IX. Cálculo de las frecuencias de las notas musicales por medio de quintas

ascendentes y descendentes.

E#### F B# C A#### Sib E# F D#### Eb A# Sibbbb G#### Ab D# Ebbbb

Fig 4.4: Teclado de piano

de valores reales.

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Si queremos comprobar el fenómeno de falta de concordancia de manera gráfica, partiremos por ejemplo de la nota La bemol 1 y vamos a ascender por dos caminos diferentes. El primero por quintas hasta llegar a Sol#7, y el segundo por

octavas hasta Lab7, que son enarmónicas:

La relación entre las frecuencias de notas enarmónicas (bemol y sostenido) resulta ser 1,0136, que concuerda con el valor de la tabla20, y nuevamente igual a la coma pitagórica, antes definida, y cantidad que resulta muy cercana a la quinta parte de una segunda menor (16/15, tabla I). Podemos comparar ambos sistemas. Si en el sistema pitagórico todos los intervalos de tono son grandes, y la diferencia entre tono grande y pequeño es de un coma sintónico es que a todos los tonos pequeños del sistema Zarlino se les ha sumado esta cantidad. En la escala hay dos tonos pequeños, luego la cantidad total de dos comas sintónicos habrá que quitárselos a alguien, concretamente a los dos semitonos y por eso son más pequeños. Si e es el coma sintónico se tiene entonces:

Si calculamos la relación entre dos notas enarmónicas de la escala de entonación justa, nos encontramos que ésta es igual a la cantidad también antes definida como díesis enarmónica. Finalmente hay que exponer las desventajas del sistema pitagórico, que son, como se puede apreciar en la tabla VIII, que, si bien las quintas están bien afinadas, las terceras tienen una relación de 81/64, y eso resulta bastante defectuoso al oído. A continuación resumimos en un cuadro las comparaciones de ambas escalas: 4.4 El temperamento igual Al parecer la naturaleza está llena de importantes irregularidades y no parece posible encontrar un sistema donde todo encaje bien. Este comportamiento tan 20 La demostración se detalla en el apéndice B-1.

La Mib b b �� # # #Si Fa Do Sol Re La Mi Si Fa Do Sol

Lab La La La La La La Lab b b b b b b1 2 3 4 5 6 7 8 Coma pitagórica

Fig. 4.5: Falta de concordancia entre la serie de quintas y 7 octavas.

Zarlino

Pitagórico

+e -e +e -e Fig. 4.6: Comparación entre la escala Zarlino yla pitagórica.

escala

semitono diatónicosemitono cromático

relación entre notas

enarmónicas tono grande

tono pequeño Defectos

Zarlino

díesis enarmónica 128

1,024125

≈

díesis enarmónica

coma sintónico 81

=1,012580

quinta D−A desajustada

Pitagórica

coma pitagórica 531.441

1,0136524.288

≈

coma pitagórica

-

terceras mayores desajustadas

Tabla X: Relaciones irregulares en las escalas Zarlino y pitagórica.

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inelegante, que complica enormemente las cosas, se debe a que la percepción de la altura de un sonido sigue la ley de Weber-Fechner, que dice que para que la respuesta sensorial a un determinado estímulo se perciba de forma lineal, éste deberá aumentar de forma exponencial. Esto se pone de manifiesto en la percepción, tanto de la intensidad, como de la altura de un sonido. Si a una determinada nota le sumamos 12 semitonos obtenemos la misma, pero una octava más alta; sumando otros doce se tienen dos octavas y así sucesivamente. Esto es lo que entendemos por linealidad, el hecho de poder obtener un intervalo por suma de semitonos. En cambio, las frecuencias que deben tener esas notas tienen que ir doblándose cada vez (multiplicando por dos). Véase la siguiente tabla:

C1 C2 C3 C4 C5 Semitonos añadidos 0 12 2×12 3×12 4×12 Relación de Frecuencia 1 2 4 8 16

La fila primera es de la forma n×a, mientras que la fila inferior lo es como 2n. Representemos estos resultados en la figura siguiente:

Se pueden ver trazados en el eje horizontal una serie de segmentos de longitud constante a, que representan diferentes octavas. Se ha dividido linealmente una de las octavas en semitonos de tal manera que los segmentos en blanco y en negro sean iguales y representen las notas en un teclado de piano. En el vertical se han trazado las correspondientes relaciones entre frecuencias partiendo de una nota de referencia cualquiera, cuya relación de frecuencia consigo misma es, evidentemente, 1. Ahora se puede comprobar que en este eje las distancias no son iguales. Este fenómeno es, precisamente la no linealidad. A medida que vamos hacia las frecuencias altas los intervalos van siendo más amplios. Si en lugar de frecuencia medimos en longitud de onda, el fenómeno será inverso, es decir, que las longitudes son cada vez más cortas hacia el agudo. Esto lo saben demasiado bien los instrumentistas de cuerda que, según avanzan hacia las notas altas, necesitan juntar más los dedos, lo que requiere una especial destreza y hacen que la ejecución afinada resulte cada vez más difícil. Con otra problemática diferente, también aumenta la dificultad en los instrumentos de metal, porque en la zona aguda las posiciones de los labios son más parecidas y aumentan la posibilidad de equivocación haciendo sonar la nota indebida. Esto es lo que produce el típico “gallo” de los instrumentistas poco hábiles.

octava(tonos)

rela

ción

de

frec

uenc

ia

a Fig. 4.7: Relaciones no lineales de la escala.

54

En definitiva, la falta de linealidad es la causante del problema de los desajustes a la hora de construir una escala. Hay que tener en cuenta que, si bien el fenómeno físico armónico es de índole natural, una escala es de hecho artificial, no existe en la naturaleza. Se podría optar por comprimir las quintas en la figura 4.5 el valor de la coma pitagórica, de suerte que coincidan con las 7 octavas. Eso haría que la quinta real fuese 1/12 de coma más pequeño que el justo. Entonces, en materia de quintas, estaría resuelto el problema pero ¿qué hay del resto de las notas? ¿qué hacemos con la díesis enarmónica y el coma sintónico? La no muy elegante, pero única, solución es proceder al temperamento de la escala, consistente en dividir la octava en intervalos regulares, y de acuerdo a una ley lineal. En la figura 4.7 podemos apreciar esta división. Actualmente, el sistema más racional consiste en dividir la octava en partes linealmente iguales como aparece en la figura 4.7. El sistema occidental lo divide en doce partes iguales (temperamento igual), mientras que el árabe lo hace en 17 y el indio en 22 partes llamadas srutis. El temperamento igual divide en doce partes iguales la octava. Cada división tiene una relación de frecuencia de 12 2 21. Ahora ya no se respetan los intervalos de la tabla I sino que se convierte en otros nuevos. La raíz 12ava de 2 es aproximadamente 1,059, quedando ahora las relaciones plasmadas en la Tabla XI. 4.5 Otros temperamentos Sin embargo hay otras formas de temperar. Algunas fueron utilizadas en el Renacimiento y el Barroco. Unas consisten en dividir la octava en un número diferente de comas, otras en repartir el error acumulado en la escala dando preferencia a unos intervalos frente a otros. he aquí algunos de ellos:

� Marsene: El piano posee varias cuerdas dependiendo de la altura a la que estemos del teclado, desde tres hasta una sola en los graves. Esta afinación parte de una desigualdad en las frecuencias de cada nota, de forma que no estén perfectamente afinadas las tres cuerdas.

� Holder: Divide la octava en 53 comas, asignando un temperamento desigual, dando al tono 9 comas, al semitono diatónico 5 y al cromático 4. Los intervalos de tercera mayor, quinta, sexta mayor y séptima mayor son más cortos que en la pitagórica. Mejora la sonoridad de terceras y sextas pero empobrece cuartas y quintas. Evita operar con decimales pero no se basa en ningún principio físico.

� Temperamento desigual: Este temperamento fue aplicado al comienzo del siglo XVI y consiste en repartir de forma desigual los restos entre los intervalos. En principio funciona bien con la primera escala pero, cada vez que se cambia a otra tonalidad, las cantidades se van acumulando. En principio esto resulta interesante porque cada tonalidad goza de su propia interválica y confiere a la música una personalidad, o sabor, diferente según la tonalidad en que nos movamos. El problema se produce cuando dicha tonalidad comienza a moverse hacia muchos bemoles o sostenidos. En ese caso, para poder cerrar el círculo de quintas, la última de ellas resulta demasiado grande con lo que se

21 Demostración en el apéndice B3.

Do 1,000 Do# 1,059 Re 1,122 Re# 1,189 Mi 1,260 Fa 1,335 Fa# 1,414 Sol 1,498 Sol# 1,587 La 1,682 Si b 1,782 Si b 1,888 Do 2,000

Tabla XI. Relaciones de

frecuencia en el sistema

temperado.

55

vuelve disonante y fue conocida como quinta del lobo por asemejar un aullido. Eso inutilizaba el sistema.

� Werckmeister y Kirnberger: Tampoco afina perfectamente las cuerdas de cada nota. Tiene especial interés en la mejora y belleza de acordes medios.

Nótese que ahora el semitono, propio de la escala temperada, no es igual que la segunda menor física sino que es más pequeño que la segunda menor y entonces la coma pitagórica antes descrita, y que es un quinto de la segunda mayor, queda aproximadamente un 23% del semitono, y que aproximaremos a la cuarta parte. Por tanto, un cuarto de tono tiene dos comas y un semitono cuatro. Por supuesto este cuarto de tono es el temperado ya que el natural es 13/12 como se desprende de la figura 2.7. En el apéndice B-3 se adjunta una tabla con los valores de las frecuencias de las notas para distintos sistemas. 4.6 Consonancia y disonancia en el temperamento. Banda crítica Queda estudiar el efecto que puede tener el temperamento en las notas porque abandonan la serie armónica y no sabemos qué consecuencias puede tener esto aunque, por experiencia, sabemos de sobra que los acordes temperados suenan bien. Sin embargo analicémoslo desde el frío punto de vista de la ciencia. Estudiaremos lo que sucede si hiciésemos sonar simultáneamente dos notas enarmónicas pero sin temperar, es decir, el acorde Lab−Sol# en la escala pitagórica. La distancia entre ambas es de una coma, y se demuestra en el apéndice B-1 que la relación de frecuencias es, empleando números enteros:

531.441

524.288,

lo que arroja la nada despreciable cifra de 1.055.729 para su índice de consonancia. Esto parece dar a entender que ambas notas formarían la disonancia más formidable de todos los tiempos. No obstante, volviendo a la definición de índice de consonancia, sabemos que lo que mide es simplemente el periodo armónico de la onda resultante. Para el caso de dos frecuencias extremadamente cercanas, este periodo tan dilatado lo único que nos indica es que la portadora se encuentra modulada por un pulso de frecuencia extremadamente baja, concretamente es 0,0136 (una centésima) veces la frecuencia de la nota. Por ejemplo, para un C4 unido a su enarmónica no temperada B#3 supondría una frecuencia de batido de 3,6 Hz. Estos batidos muy lentos, del mismo orden que la fluctuación de amplitud de una flauta travesera. A nadie le parece que una flauta travesera suene mal por el hecho de tener ese batido de amplitud. Falta un nuevo ingrediente en la percepción de la disonancia y que nos lleva nuevamente al tema del ancho de banda crítico comentado en el capítulo 2. En él se anunció la importancia de esta banda en la percepción de la disonancia. Según la teoría de dos científicos holandeses, Plomp y Levelt, así como los japoneses

sens

ació

n de

dis

onan

cia

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

e

ee

e

ee

e

ee

e

ee

e

ee

frecuencia de batido

discernimiento denotas separadas

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

bandacrítica

Fig. 4.8: Sensación de disonancia en función del

ancho de banda crítico.

56

Kameoka y Kuriyagowa22 (fíjense, de otra cultura), se afirma que la máxima disonancia se produce cuando la diferencia de frecuencia entre dos sonidos es del orden de la cuarta parte del ancho de banda crítico para la frecuencia media resultante. Como se dijo en su momento, ambos sonidos, por estar dentro de dicha banda no se apreciarán como dos sonidos separados sino como uno solo modulado por un batido cuya frecuencia es la diferencia de frecuencias. En la figura 2.15 se detallaba este ancho de banda, que es de unos 90 ó 100 Hz para frecuencias de hasta 300 Hz. La cuarta parte de esta banda es de 20 a 25 Hz, luego si las frecuencias baten a esa razón la disonancia será máxima. Por encima y por debajo de ese batido la sensación de consonancia vuelve a aparecer, lo que se ha plasmado en la figura 4.8. La figura es sencilla de comprender si vuelve a abrir las animaciones del capítulo 2 Separacion250Hz.avi y Separacion1000Hz.avi. Una de las notas es fija mientras que otra barre un rango de frecuencias desde la misma nota que la primera hasta sobrepasar la banda crítica. Usted notará que primero hay una pulsación que se acelera paulatinamente. Está en la zona 0 a 0.2 de la banda crítica de la figura 4.8 y la sensación de disonancia se acrecienta hasta alcanzar su punto máximo hacia la cuarta parte del ancho de banda en 0.25 (en la figura 4.8 está invertido porque se ha consignado la consonancia en lugar de la disonancia). A partir de aquí notará que el sonido se va “arreglando” hasta que llega al borde de la banda (punto 1 de la figura) y a partir de este momento empieza a escuchar dos notas diferenciadas. Ahora podemos ir a la pista 4 en donde están situados secuencialmente los siguientes sonidos: En esta tabla se han detallado todos los sonidos de la pista. Hay cuatro grupos: 100, 500, 1.000 y 2.000 Hz. El lector verá que se ha dejado una diferencia fija de 22 Hz en todos las grupos para comparar con el caso de 100 Hz. Al escuchar el primer sonido, se notará que hay mucha disonancia. A medida que se ensancha la banda crítica para los sonidos siguientes, esa misma diferencia de 22 Hz, que causaba la máxima disonancia a 100 Hz, ya no es suficiente, por lo que se ha añadido una segunda combinación en cada grupo en la cual la diferencia de frecuencias corresponde a la disonancia máxima, esto es, la cuarta parte del ancho crítico. La tercera combinación consta de un intervalo cuya diferencia es justamente el ancho de banda crítico y demuestra que en ese momento se pueden discernir dos notas separadas. Finalmente citaremos dos curiosidades que son una quinta oculta (que no se oye) y una quinta justa disonante. Son el resultado de la teoría de la banda crítica. Se ha calculado una frecuencia tal que, al unir dos tonos en un intervalo de quinta justa, la

22

Según estos últimos, la sensación de disonancia tiene una expresión matemática algo complicada que no se verá aquí.

intervalo diferencia ancho banda crítica

máxima disonancia

discernimiento notas

separadas 100 Hz – 122 Hz 22 100 25 no 500 Hz – 522 Hz 22 no 500 Hz – 530 Hz 30 no 500 Hz – 620 Hz 120

120

30

si 1.000 Hz – 1.022 Hz 22 no 1.000 Hz – 1.040 Hz 40 no 1.000 Hz – 1.160 Hz 160

160

40

si 2.000 Hz – 2.022 Hz 22 no 2.000 Hz – 2.070 Hz 70 no 2.000 Hz – 2.280 Hz 280

280

70

si

Tabla XII: Anchos de banda críticos para diferentes diferencias de frecuencia.

57

banda crítica sea tan ancha que la diferencia de frecuencias sea más pequeña que ésta y no permita discernir dos notas como sucede siempre en la música normal. En el apéndice B-4 se detalla cómo se ha calculado y se puede escuchar en la pista 5, primer sonido. Aquí aparece un sonido descendente que se inicia en un punto donde el intervalo de quinta está claro y se escuchan con claridad dos notas separadas. A medida que el sonido desciende la evidencia de presencia de dos notas se va haciendo más confusa hasta el grave en donde parece haber una sola nota y resulta difícil distinguir la quinta. Esta es la quinta oculta. El segundo caso resulta también muy curioso porque es una quinta disonante. Para calcular esto se tomaron dos sonidos en intervalo de quinta justa 3/2, cuya diferencia de frecuencias fuese precisamente la cuarta parte del ancho de banda crítico para esa frecuencia, que es donde está la disonancia máxima. El resultado es el segundo sonido de la pista 5 que, como puede comprobar el lector, es disonante. Las notas correspondientes a este intervalo son G1−D2. Si tiene a mano un piano posiblemente disentirá de que esa quinta sea disonante pero recuerde que la disonancia solamente sucede en los fundamentales y los armónicos no contribuyen a la disonancia con lo que ésta será menos patente. Para terminar, la tercera parte de la pista es una secuencia de quintas en contrabajos. Puede escucharla primero el lector y cotejar después con los comentarios siguientes: Las dos primeras quintas son bien sonantes, pero la tercera parece más borrosa y fea pues está en la zona disonante, esta quinta debería evitarla el compositor; el cuarto sonido está cerca del límite de la disonancia, resulta menos desagradable que la anterior pero menos estética que las primeras. La última corresponde a una quinta oculta y es poco clara. Da la sensación de haber una nota con gran presencia que enmascara la otra, haciéndola difícil de reconocer. Si conseguimos lo último es por la ayuda de los armónicos, que permiten la separación. El ancho de banda hace alusión a frecuencias muy próximas como dos notas enarmónicas de sistemas no temperados. Pero luego, en la música normal aparecen intervalos normalmente muy separados (los casos curiosos antes citados corresponden a situaciones extremas que difícilmente se producen en una obra musical normal). Terceras, quintas, sextas, etc., en las tesituras ordinarias de los instrumentos producirían índices de consonancia también muy elevados pero en tal caso se producen unos batidos diferentes, también llamados de segundo orden, que no se corresponden exactamente con la figura geométrica del grupo sino que los máximos y mínimos de la parte superior están alternados con la inferior como se muestra en la figura 4.9. Estos batidos son mucho menos profundos que en las notas contiguas pero se les puede aplicar la misma teoría de la banda crítica que a los anteriores con resultados parejos. En la figura 4.10 se ha representado, como ejemplo, una tercera mayor natural (arriba) y el mismo intervalo temperado (abajo). Si nos fijamos, los periodos de la onda de abajo no son idénticos como arriba sino que difieren ligeramente bien, lo que generaría el batido de segundo orden, que se manifiesta al ampliar la onda en pequeñas variaciones de la forma del grupo. Para construir esta figura se ha exagerado diez veces la diferencia de frecuencia porque un temperamento real sería inapreciable en el dibujo. Con sonidos senoidales los batidos de segundo orden, correspondientes a frecuencias lejanas, son casi imperceptibles y por desafinado que estén los sonidos no suele producir una sensación desagradable. Solamente en sonidos reales los armónicos pueden provocar choques importantes pero en una escala de temperamento igual el grado de desafinación es muy pequeño, haciendo que las

batido de segundo orden

Fig. 4.9:Batidos de segundo orden.

58

distancias frecuenciales sean lo suficientemente pequeñas como para que eso no suceda. Esto deja bien sentado que un intervalo temperado se escucha muy parecido a uno natural, y no habrá problemas de afinación por lo que ha sido mundialmente aceptado. No obstante, estas leves diferencias en los periodos afectan la sonoridad, marcando una diferencia de carácter psicológico entre diferentes tipos de temperamento.

Es dudoso que el espectador sea capaz de decir al término de un concierto: “Bien, se notaba que los instrumentos tenían un temperamento Holder”, pero sí podrá decir que la música sonaba especialmente “dulce” o “dura” o “soñadora”. El temperamento se nota, pero a un nivel mucho más sutil. Este hecho hace que algunos instrumentistas prefieran afinar su instrumento de una u otra manera cuando son solistas. En una orquesta no se podría permitir que cada músico afinase su propio instrumento como le viniese en gana, claro está, pues eso sería un caos. Hay otro caso muy diferente al de la falta de concordancia por temperamento y en el que se producen disonancias realmente fuertes y desagradables situándose en la zona gris de la figura 4.8 y que corresponden a frecuencias próximas, nunca a sonidos alejados. Es lo que conocemos como sonidos realmente desafinados y son siempre intolerables en cualquier cultura y propios de malos intérpretes. La desafinación se puede producir, empero, en sonidos alejados y, dado que habíamos dicho que en estos casos los batidos son mucho más livianos, eso podría inducir a pensar que los instrumentos de una orquesta podrían desafinar impunemente siempre que las notas estuviesen alejadas del unísono. La realidad es que el sonido desafinado es igualmente desagradable en todos los rangos de la escala porque, al no ser senoidales, sino reales, se producen faltas de coincidencia en armónicos muy próximos y que tendrán el efecto de batido desagradable de hallarse en el cuarto de banda crítica. 4.7 Melodía en oposición a armonía Cuando hablamos de armónicos calantes, que son los que ocupan una posición de número primo superior a 5, bien se podría objetar si deberían ser éstos quienes fuesen las notas auténticas puesto que, en definitiva, son los verdaderos armónicos. Un Si bemol en la escala temperada no es armónico real de Do, mientras que el calante que hemos desechado sí lo es. La pregunta que nos hacemos es: ¿por qué motivo desechamos entonces el armónico real y lo sustituimos por otro que no lo es? La respuesta radica en la oposición de la melodía frente a la armonía. A lo largo de este capítulo hemos comprobado que las relaciones frecuenciales de una escala no guardan relación sencilla con las relaciones armónicas (figura 4.7) y eso provoca una falta de entendimiento entre armonía y melodía. Lo mismo que una serie armónica (acorde) necesita relaciones sencillas entre las frecuencias de sus componentes para no provocar disonancia, una melodía necesita también relaciones simples entre las frecuencias de las notas de la escala para que ésta suene natural, lo que se refleja tanto en las tablas VI y VII, como en la relación del temperamento. Si en una escala introducimos las notas calantes, obtenemos unas relaciones demasiado complicadas para que el cerebro pueda detectar una escala coherente y el resultado

Fig. 4.10: Intervalo de tercera mayor natural y tercera mayor temperada.

59

será malo. Melodía y armonía deben llegar a una solución de compromiso integrada en el sistema temperado. Es una suerte que las desviaciones de las frecuencias de este sistema caigan lejos de la cuarta parte del ancho de banda crítico de la figura 4.8 porque en caso de que nuestra fisiología hubiera sido tal que las excursiones de frecuencia del sistema temperado hubiesen caído en una zona de la banda crítica de sensación de disonancia, muy posiblemente el hombre no habría podido desarrollar el arte musical. Volviendo al tema del Fa en la escala, en algunos tratados, el armónico 11, que es un Fa sostenido calante, lo aproximan al Fa natural. La relación de frecuencia de este Fa con el Do sería de 11/8, que se aparta del intervalo de cuarta justa 4/3 que debería formar. Sin embrago, se podría justificar la existencia real del Fa en la escala como el armónico 11 argumentando que el Fa del sistema temperado se aparta igualmente de la relación 4/3. Este argumento no resulta consistente si comparamos las cantidades que, respectivamente, se apartarían del intervalo de cuarta justa en ambos casos. En el armónico 11, se tendría la relación:

11/ 8 331,03125

4 / 3 32= = .

Si comparamos esta relación con la del sistema temperado (tabla XI), se tiene:

1,3351,00125

4 / 3= ,

de donde el armónico 11 se aparta de la cuarta justa mucho más que el intervalo temperado y no resulta aceptable para una escala. De hecho, esta nota no se emplea en el canto difónico. La armonía y la melodía se procesan en zonas diferentes del cerebro y se complementan, permitiendo que armonías difíciles o disonantes sean mucho mejor asimiladas por el oyente si el movimiento melódico lo justifica. En el capítulo 6, apartado 6.3, se verá un ejemplo en donde la fuerza de la melodía compensa las posibles disonancias que se puedan formar en una pieza. Eso permite al compositor olvidar la rigidez armónica siempre y cuando la melodía ayude a superar situaciones armónicas difíciles. Como única excepción hay que decir que no deben producirse disonancias por movimiento directo de las voces porque eso nunca creará un buen efecto, espacialmente si formas intervalos de gran disonancia como segundas o novenas menores. Un buen ejemplo que subraya el efecto de enmascaramiento que tiene la melodía en zonas armónicamente problemáticas lo constituye Bach. Cuando este compositor creaba determinadas obras, siempre daba un especial énfasis a la melodía. De hecho, el barroco es un periodo eminentemente contrapuntístico. Una frase musical se puede enhebrar cuando se ejecuta a la velocidad idónea con la cual fue concebida. Si la ejecución es excesivamente lenta, el espectador perderá la estructura de la melodía y predominará la armonía. En el caso de Bach, una interpretación muy lenta de una obra concebida como un allegro, provocará que las disonancias existentes creen un efecto desagradable que estropeen la pieza. En el momento en que la velocidad sea la adecuada, el cerebro captará rápidamente la estructura melódica, haciendo que las disonancias, pese a que continúen ahí, dejen de molestar porque el cerebro prestará mayor atención a la melodía. Este efecto, que podríamos llamarlo “efecto Bach” se hace patente en otros tipos de música que veremos más adelante. Podemos afirmar que en tiempos lentos predomina la verticalidad en la música, o armonía, mientras que en los rápidos será la melodía (horizontal) quien predomine, tapando los posibles defectos armónicos, insostenibles, por otra parte, con un tempo lento.

60

4.8 Cócleas extraterrestres Todo lo que se ha expuesto arroja finalmente un sentido muy claro al porqué del fenómeno de la disonancia. En la lámina 1, y a modo de recapitulación vemos que la sensación de disonancia depende de la longitud del periodo armónico de la onda. Todas estas ondas en lo único que difieren es en el número de periodos que engloban en cada grupo en el caso de intervalos primarios, por ejemplo. Entonces la pregunta es: ¿en qué momento se inicia la disonancia? La respuesta ya la hemos visto en las líneas finales de este capítulo: simplemente cuando la frecuencia de batido es del orden de un cuarto del ancho de banda crítico. En este punto, ambas frecuencias se estorban mutuamente y producen un conflicto de vibración en la membrana basilar, la cual no es suficientemente elástica como para independizar las oscilaciones de una y de otra. La información emitida al cerebro es confusa y eso se conoce como disonancia. Quizá una membrana mucho más fina podría permitir a las dos ondas una resonancia limpia pero entonces sería frágil y los sonidos fuertes podrían desgarrarla. Una buena solución sería que la cóclea tuviese una longitud superior a sus, aproximadamente, 35 mm habituales y eso daría lugar a anchos de banda críticos también mayores. Ahora las dos oscilaciones se podrían resolver y la señal emitida al cerebro ya no sería confusa. Obtendríamos una consonancia. El fenómeno de la disonancia se produce por falta de resolución de nuestras cócleas. Un supuesto extraterrestre con una longitud de cóclea de 70 ó 100 mm sería capaz de captar unas variaciones de frecuencia el doble de precisas y seguramente nuestras segundas menores las percibiría como intervalos consonantes. Sus disonancias se centrarían en intervalos de notas separadas en torno al cuarto u octavo de tono. También resultaría que en el rango de la octava percibiría nítidamente más de doce notas, tal vez 20 o más y sus escalas tendrían muchos más sonidos, así como un amplio rango de posibles acordes consonantes, aparte de los nuestros, mayores y menores. Ahora si que, finalmente, podríamos argumentar que un concierto de música contemporánea altamente disonante haría las delicias de un ser como el descrito y estaría plenamente preparado para su perfecto entendimiento. Desafortunadamente nuestras cócleas miden 35 mm y, posiblemente lo sigan haciendo durante los próximos miles de años, lo que nos imposibilita, hoy por hoy, para poder encontrar puntos de reposo dentro de un conjunto de estentóreas disonancias. Basándonos en este punto también pasaremos a discutir el tema de la microtonalidad en el último capítulo.

61

CAPÍTULO 5

El sistema tonal 5.1 Círculo de quintas

Al unir los sonidos enarmónicos y fundirlos en uno solo, el sistema temperado define un ente matemático muy interesante y que se conoce como espacio cerrado de variable discreta. Generalmente en matemáticas los espacios suelen ser infinitos y de variable continua. Veamos las diferencias. Por lo general se nos dice en el colegio que existen infinitos números y que una recta tiene infinitos puntos. En matemáticas los planos son de dimensiones infinitas y cada punto está separado del contiguo por una distancia infinitamente pequeña. Como un segmento es infinitamente divisible (no tiene moléculas ni nada semejante) resulta que siempre podremos partir una distancia en trozos tan pequeños como queramos, eso es lo que se entiende como una variable continua, es decir que no va “a saltos” sino que supone que está sustentada sobre un ente infinitamente homogéneo. Una distancia en un espacio de este estilo puede tomar cualquier valor, como por ejemplo:

2,3 2,345 2,345679 2,34567985443 2,345679854436837459 2,345679854436837459946735265012

y así indefinidamente cuantos decimales queramos hasta el infinito, eso es una variable continua. Por supuesto que esto no es física. Todo el mundo sabe que si empezamos a partir cualquier cosa llegará un momento en que tropecemos con los átomos y, aunque los podamos partir a su vez en protones, neutrones y electrones, la división de éstos parece problemática. La materia no es infinitamente divisible sino que llegamos a un límite. No obstante, los átomos son tan pequeños que en física se suelen utilizar variables continuas para estudiar los sistemas sin que por ello los resultados se falseen. Con la llegada de la computación y el mundo digital, una cantidad no puede tener infinitos decimales sino que, en código binario, siempre está limitado a sumar de uno en uno. Esto es una variable discreta, siempre tiene que aumentar en una cantidad finita, ahora sí va “a saltos”. Por otro lado, un sistema informático no permite manejar el infinito. Forzosamente tiene un número tope por encima del cual no puede seguir, por grande que sea. Estamos en presencia de un espacio también limitado. En el sonido aparece una cualidad muy propia de la música y es su ordenación por octavas. El hecho de que en una escala musical partamos de Do y lleguemos a Do lo convierte en un espacio cerrado. Aunque el Do al que lleguemos vaya siendo cada vez más agudo, un acorde de Do mayor siempre es el mismo acorde desde un punto de vista musical, esté en la octava que esté, aunque sus frecuencias vayan en aumento. Otra propiedad estrictamente musical es que los sonidos intermedios, aunque se emplean ocasionalmente en otras culturas como los cuartos de tono, quedan relegados a meros adornos ya que los acordes hechos con cuartos de tono son imposiblemente disonantes y quedan, por tanto, fuera del ámbito musical.

62

Con ello tenemos que, aunque el sonido sea un fenómeno físico de características continuas, el fenómeno musical constituye un espacio matemático cerrado (de Do a Do, de Fa a Fa o lo que sea en cada caso) y de variable discreta que aumenta de semitono en semitono. Para nosotros, en este espacio, el sostenido se comporta como un +1 y el bemol como un -1. Veamos un esquema de este espacio en la figura 5.1, donde se ha adoptado el convenio matemático de sentido positivo al contrario a las agujas del reloj. En algunos tratados el lector lo encontrará al revés. El origen será el Do, aunque puede ser cualquier otro, lo que encaja con el concepto relativo de la tonalidad. En este nuevo espacio se pueden representar los intervalos de quintas sucesivas por líneas que unen los diferentes puntos, dando lugar a la siguiente figura (izquierda):

La estrella une todos los puntos, razón por la cual las quintas barren todo el espacio temperado. En cambio a la derecha tenemos una sucesión de terceras mayores (triángulo), menores (cuadrado) y de segundas (hexágono), viendo que no se cubren todos los puntos. El espacio matemático así construido refleja las relaciones físicas entre frecuencias de los distintos sonidos espaciados por un semitono. Cuando el círculo se recorre en sentido antihorario (contrario a las manecillas del reloj) las frecuencias son ascendentes (#), y descendentes si lo recorremos en sentido inverso (b). Ya que las quintas constituyen un caso especial que recorre igualmente todo el círculo, éste se podrá reordenar, creando un espacio matemático afín en donde cada punto contiguo está separado en frecuencia por una distancia de quinta. Hay que notar que si quisiéramos reordenar el espacio por segundas, terceras, etc., no reconstruiríamos el espacio completo pues nos faltarían notas, tal como demuestra la parte derecha de la figura 5.2. Este nuevo espacio queda según la figura 5.3. La ordenación de las quintas también se ha hecho de forma antihoraria y, a primera vista, parece que la variable que habíamos empleado, que debería aumentar de semitono en semitono, se ha desordenado puesto que de Do a Sol no hay un semitono, ni de Sol a Re, etc. Sin embargo, el espacio definido funciona de forma parecida a lo que en física se llama espectro. Por ejemplo, el espectro de una nota tocada al piano se compone, precisamente, de sus armónicos, y que están representados en la figura 2.5. Al espacio nuevo representado en la figura 5.3 suele llamarse Rueda o círculo de quintas, y en él aparece un nuevo concepto que es la distancia tonal, que no tiene nada que ver con un intervalo determinado de frecuencia. Por definición, diremos

Do

DoRe

Fa

ReMi

ReMi

FaSol

Sol

LaSol

LaSiLa

Si

Fig. 5.1: Distribución del espacio

musical cerrado.

Do

DoRe

Fa

ReMi

ReMi

FaSol

Sol

LaSol

LaSiLa

Si

Intervalos de terceras y segundas

Do

DoRe

Fa

ReMi

ReMi

FaSol

Sol

LaSol

LaSiLa

Si

Fig. 5.2: Representación de quintas.

63

que la distancia tonal entre Do y Sol es de un sostenido, de Sol a Re también hay un sostenido de distancia tonal y, consecuentemente, cada punto que esté inmediatamente a la izquierda de otro estará separado por un sostenido de su anterior. Por el contrario, si adoptamos el sentido horario (matemáticamente negativo) Fa está a un bemol de distancia tonal de Do, Sib también a un bemol de Fa y así sucesivamente. La distancia tonal, que es el número de sostenidos o bemoles que separan a una tonalidad dada de la de Do mayor, se denomina armadura y se coloca en el pentagrama inmediatamente detrás de la clave. Hemos encontrado una nueva variable, esta vez no física sino estrictamente musical que también aumenta de sostenido en sostenido o decrece de bemol en bemol. Así, la distancia tonal entre Do y Re es de dos sostenidos y de Do a Lab de 4 bemoles. En la figura 5.3 se han representado también las distancias tonales entre los puntos mediante el número de sostenidos o bemoles correspondientes. Aunque en música los sostenidos y bemoles no se les suele dar carácter matemático, en el espacio del círculo de quintas tienen una equivalencia numérica en donde el sostenido suma y el bemol resta. En otras palabras se tendría:

1; 1= + = −# b ,

y daría lugar a curiosas operaciones aritméticas como:23:

; ;= = + =# + # X # + b § º # b El músico está familiarizado con estas operaciones, y tienen su equivalente numérico muy simple sin más que considerar que 1; 1= + = −# b :

1 1 2; 1 1 0; 2 1 1+ = − = − + = (5.3) La utilidad de esta equivalencia se presenta, por ejemplo, para instrumentos transpositores, bastando recordar que una trompa es un +1, un clarinete en Si bemol o una trompeta un +2 y con ello se calculará la armadura que necesita de forma rápida y sencilla sin más que sumar respectivamente uno o dos sostenidos. 5.2 Variables de la rueda de quintas Volviendo a la figura 5.3, aunque en ésta aparecen sobre los vértices (o puntos del espacio cerrado) los nombres Do, Sol, Re, etc., no pueden ser notas físicas, puesto que ya hemos dicho que entre Do y Sol no hay medio tono. Entonces ¿qué representa Do, Sol, Fa, Mi, etc., en la rueda de quintas?

23 El doble sostenido (X) representa la acción de subir dos medios tonos (un tono completo). Lo mismo sucede con el doble bemol (º) pero esta vez en sentido inverso. El becuadro (§) deshace la acción de cualquier otra alteración.

Do

DoRe

Re

Fa

ReMi

Mi

Mi

FaSol

La

Sol

SolSi

La

La

Si

Si

Fig. 5.3: La rueda de quintas.

64

Por definición diremos que los puntos Do, Sol, etc., no son notas sino que representan una tonalidad. Diremos entonces “la tonalidad de Do”, “la tonalidad de Si bemol”, etc. Por simple sentido común se deducirá que los puntos contiguos darán tonalidades contiguas o cercanas y los opuestos tonalidades opuestas o lejanas. Así pues, observando la figura 5.3 se ve que la tonalidad más alejada de Do es Fa# o Solb, la de La será Mib o Re#, y sus distancias tonales serán, indistintamente, de seis sostenidos o bemoles (coinciden). La rueda de quintas será particularmente útil al hablar de la música de cine y secuencias tonales inéditas. 5.3 Escala natural Es, por definición, la formada por los sonidos, convertidos en nota real, de cualquier mitad de la rueda de quintas. Estamos haciendo la salvedad de cualquier mitad porque en la figura 5.3 el hecho de haber empezado en Do no tiene ninguna justificación especial salvo que es la costumbre usar el Do como el comienzo. De hecho, el ser una circunferencia, le confiere la misma propiedad que a la Tabla Redonda del rey Arturo y podemos tomar como punto de inicio cualquiera de ellos. En dicha figura, la nota Fa es la única que está por debajo por su carácter de “nota negativa” que se comentó en su momento. Girando la rueda 30 grados se obtiene:

Con ello se puede definir cómodamente una escala natural como aquella cuyas notas están comprendidas en la mitad superior de la rueda, esto es: Fa, Do, Sol, Re, La, Mi, Si, que ordenados en frecuencias ascendentes queda por fin la escala que todos estábamos esperando. Do Re Mi Fa Sol La Si. Pero no es la única ordenación posible puesto que los sonidos del círculo de quintas no especifican la octava en la que se hallan. Así pues, también se pueden ordenar como:

Do

DoRe

Re

Fa

Re

Mi

Mi

FaSol

La

Sol

Sol

Si

La

La

Si

Fig. 5.4: Rueda de quintas iniciada en Fa.

Re Mi Fa Sol La Si Do Mi Fa Sol La Si Do Re Fa Sol La Si DO Re Mi Sol La Si Do Re Mi Fa La Si Do Re Mi Fa Sol Si DO Re Mi Fa Sol La

65

que, unidas a la tradicional, nos definen siete escalas naturales diferentes. Como su nombre bien indica, el modo en que se ordenan estos sonidos nos determina la llamada modalidad24. Cada uno de estos modos tiene una denominación ya que surgieron históricamente en Grecia y luego fueron muy usados durante la Edad Media en el canto gregoriano. Sus nombres son:

Tabla XIII. Los modos naturales.

Pero si se toma la rueda de quintas original no son menos escalas naturales las obtenidas tomando Do Sol Re La Mi Si Fa#, y la nueva mitad del círculo queda girada 30º a la izquierda.

Fig. 5.5: Representación de las escalas naturales.

Las distancias son idénticas que las anteriores y se obtienen los mismos modos jónico, dórico, frigio, Lidio, etc., que en el caso anterior. Si se gira una vez más obtenemos Sol Re La Mi Si Fa# Do#, con las que se pueden construir igualmente otra serie de escalas naturales que, por simetría de la rueda, tienen idéntica interválica. Según vamos girando la rueda en sentido antihorario (positivo), van apareciendo tonalidades nuevas con el orden de sostenidos Fa, Do, Sol, Re, La, Mi, Si, es decir, el orden de las quintas pitagóricas, y si lo hacemos en sentido horario (negativo) el orden es el inverso: Si, Mi, La, Re, Sol, Do, Fa, añadiendo esta vez bemoles a la armadura y confirmando una vez más el carácter negativo del bemol. Como se puede ver, hay que empezar o terminar siempre en Fa, debido a su condición de nota también negativa, lo que equivaldría en matemáticas a contar de la forma: -1, 0, 1, 2, 3, etc. Quedan, pues,

24 No hay que confundir el modo de una tonalidad con los modos propios de resonancia de un cuerpo, aunque se llamen igual por falta de imaginación del ser humano.

ordenación nombre del modo Do Re Mi Fa Sol La Si Jónico o mayor Re Mi Fa Sol La Si Do Dórico Mi Fa Sol La Si Do Re Frigio Fa Sol La Si Do Re Mi Lidio Sol La Si Do Re Mi Fa Mixolidio La Si Do Re Mi Fa Sol Eolio o menor Si Do Re Mi Fa Sol La Hipofrigio o Locrio

M

L

dmxm

f

hf

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# ##

##

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b bb

bb

b

b b bb b

b bb b

b b bb b b

Sol

Fa

SiLa

ReMi

LaSol

FaSol

DoRe

Mi

Si

La

Re

Do

mayor

lidio

dórico

mixolidiomenor

frigio

hipofrigio

66

establecidas las diferentes tonalidades con escalas mayores de acuerdo a esta secuencia, es decir: A partir de Fa se repetiría nuevamente la secuencia (.. Do#, Sol#, Re#, …) con el número correspondiente de sostenidos determinado por la variable posición de la tabla XIV. La secuencia se puede prolongar en sentido negativo con las tonalidades “negativas”: Al ser un espacio matemático cerrado, las tonalidades de muchos bemoles coinciden con las de muchos sostenidos, produciendo tonos enarmónicos. En cuanto a los modos relativos, el sistema más fácil para ver esto es regresar a la rueda de quintas y trazar el esquema fundamental de las escalas naturales (figura 5.5). En este esquema las escalas naturales están representadas por el trazado en línea gris. Este tramado puede ir girando de vértice en vértice e irá determinando cada familia de escalas naturales. A la derecha se ha extraído la curva y asignado a cada vértice el modo que le corresponde. Todos los diferentes modos que se han expuesto se denominan modos relativos y cada posición de la rueda define una familia completa de relativos. Por ejemplo, en la figura 5.5 tenemos que Re dórico es relativo de Mi frigio, de Fa lidio, de Do mayor, de La eolio o menor, de Sol mixolidio y de Si hipofrigio o locrio. Todos los relativos comparten la misma armadura, en el caso de la figura 5.5 armadura de notas naturales. Cuando el polígono se gira sobre la rueda nos define una nueva familia de

relativos, por ejemplo en la figura 5.6 está la familia de Mi mayor, Do# menor, Fa# dórico, Si mixolidio, etc. Un dispositivo práctico consiste en hacer una copia en acetato transparente de estos modelos, que se puede hacer girar sobre un papel en donde se haya puesto la rueda de quintas e ir viendo rápidamente cada tonalidad y modalidad. Se ha hecho un pequeño cambio en el diseño de bemoles y sostenidos para conocer inmediatamente la armadura de la clave de cada familia, pues lo señala una flecha que colocaremos en el vértice central del polígono. Un músico sabe de memoria las alteraciones de las tonalidades mayores y menores pero puede que no le sea tan inmediato saber, por ejemplo,

las alteraciones de un modo frigio de La bemol.

tonalidades Fa Do Sol Re La Mi Si Fa# posición -1 0 1 2 3 4 5 6

armadura b # ##

# ## # ## #

# ### #

# #### #

Tabla XIV: Armaduras de las tonalidades mayores.

tonalidades Solb Reb Lab Mi Sib Fa posición -6 -5 -4 -3 -2 -1

armadura b b bb b b

b b bb b

b bb b

b bb

bb b

Tabla XV: Armaduras de las tonalidades mayores negativas.

M

L

d

mx

mf

hf

#

# ##

##

# #### #

# ### #

# ## #

b bb

bb

b

b b bb b

b bb b

b b bb b b

Sol

Fa

SiLa

ReMi

LaSol

FaSol

DoRe

Mi

Si

La

Re

Do

Fig. 5.6: Modo de Lab / Sol# frigio.

67

Si se tiene el acetato móvil basta con señalar Lab con el vértice frigio y ver las alteraciones que marca la flecha. El figura 5.6 se ve inmediatamente que tiene 4 sostenidos (en realidad sería enarmonizado Sol# frigio). Aparte de estas escalas naturales, que podríamos llamar completas, existen otras en las que no están todas las quintas, sino que faltan dos. Esto lo representamos en la figura 5.7 en donde ahora el polígono representa una escala natural incompleta en donde faltan el Fa y el Si. Esta escala de tan sólo cinco notas se llama escala pentatónica. y también puede tener sus modos correspondientes, aunque ahora no puede haber lidio ni hipofrigio por no haber Si ni Fa. Por último representaremos un ejemplo más de escalas pentatónicas, que será un modo dórico de Sib en escala pentatónica. En la figura no tenemos que hacer nada más que hacer coincidir con Sib el vértice “d” del polígono correspondiente a escalas pentatónicas naturales de la figura 5.7 y obtenemos la siguiente figura 5.8 que nos indica una tonalidad de cuatro bemoles y siguiendo el polígono trazado nos va dando todas las notas de la escala:

Sib Do Mib Fa Lab La figura 5.7 representa la escala pentatónica más comúnmente usada, pero existen más, derivadas también de la natural. Todo consiste en ir combinando qué dos notas deberán ser eliminadas en lugar de Si y Fa. La teoría combinatoria dice que hay 21 en total (combinaciones de 7 elementos tomados de 5 en 5). Además, si a ello sumamos que cada escala puede ordenarse de cinco modos diferentes (dórico, jónico, frigio, etc.), nos da un total de 105 escalas para una sola posición del polígono en la rueda. Según vamos girando éste, nos dará a su vez 12 tonalidades para cada escala que hemos creado, en total ¡1.260 escalas pentatónicas!

Pese a esta aparente riqueza, que sin duda hará frotarse las manos al compositor, por desgracia una gran cantidad de estas escalas pentatónicas son impracticables como tonalidad puesto que luego deberán ser acompañadas por una armonía adecuada. Una de estas escalas posee la nota Do y empieza en ella como tónica de la escala, pero carece de las notas Mi y Sol con lo que no existe el acorde de Do mayor en donde debería reposar por excelencia. En lugar de ello tendrá que hacerlo sobre otras combinaciones como Fa mayor o la disonancia Do-Re-Fa. Aunque estamos en el siglo XXI y las disonancias no sean ya motivo de temor, el compositor debería crear arte y cuidar que la

escala pentatónica elegida sea interesante y diga algo al espectador, no presentarlo simplemente como un experimento. Por el contrario, las escalas pentatónicas sí pueden ser de gran utilidad a la hora del diseño de melodías con tintes exóticos y acompañadas de manera más libre sin tener que estar supeditado a huecos armónicos en los acordes. En la lámina 2 se detallan las 21 escalas básicas pentatónicas. Para simplificar, se han formado con notas sin alteraciones, en el modo que les corresponda. Así resulta más sencillo de tocar en el piano para alguien que no sea pianista. Se han incluido igualmente en el CD, pista 6. Se adjuntan también los esquemas gráficos en donde se ha eliminado el resto de la rueda por claridad.

M

dmxm

f

#

# ##

##

# #### #

# ### #

# ## #

b bb

bb

b

b b bb b

b bb b

b b bb b b

Sol

Fa

SiLa

ReMi

LaSol

FaSol

DoRe

Mi

Si

La

Re

Do

Fig. 5.7: Escala pentatónica

M

d

mx

m

f

#

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##

# #### #

# ### #

# ## #

b bb

bb

b

b b bb b

b bb b

b b bb b b

Sol

Fa

SiLa

ReMi

LaSol

FaSol

DoRe

Mi

Si

La

Re

Do

Fig. 5.8: Escala pentatónica de Sib dórico.

68

Para terminar esta sección comentaremos tres escalas más que se deducen matemáticamente de la rueda de quintas y que permiten relacionar tonalidades no cercanas. Para generar estas escalas se toma una regla matemática simple tal como ir de dos en dos, de tres en tres o cuatro en cuatro. Esto se puede hacer porque 12 es un múltiplo de 2, 3 y 4 y cierra un polígono. Las figuras geométricas son las mismas que las representadas en la figura 5.2 (derecha) y las escalas son igualmente, una sucesión de terceras mayores (triángulo), correspondientes a un acorde de aumentada, sucesión de terceras menores (cuadrado), correspondiente a un acorde de séptima disminuida, y por último de segundas (hexágono), que es la escala hexacordal mencionada en 2.5. Si se hace de 5 en 5 el polígono resultante es una estrella semejante a la parte izquierda de la misma figura, salvo que ahora sería una escala cromática. Como curiosidad matemática podemos ver una interesante simetría entre el diagrama por segundas (figura 5.1) y el de quintas (figura 5.3) pues se comportan como complementarias. En el siguiente cuadro se detallan estas figuras: Siguiendo con esta tónica, se podría generar otra escala saltando de 6 en 6. En realidad, esa escala es simplemente el intervalo de tritono, y que se encuentra justamente en la mitad del sistema temperado. La escala tendría solamente dos notas. A partir de este punto el proceso se simetriza, es decir, que la escala de 7 en 7 es lo mismo que de 5 en 5 (escala cromática), de 8 en 8 se repite el triángulo de las terceras mayores, después el cuadrado terminando por el hexágono de las segundas mayores. Nótese que las sextas y las cuartas, por ser inversiones respectivamente de las terceras y quintas tienen formas totalmente equivalentes. Para saber cuántas escalas se derivarán en total, no tenemos más que contemplar la parte derecha de la figura 5.2. El cuadrado puede girarse dos veces, dando un total de 3 escalas disminuidas. El triángulo puede girar a tres posiciones más dando 4 escalas aumentadas. Por último, el hexágono puede girar una sola vez lo que implica que sólo hay dos escalas hexacordales. Si unimos a ello la escala cromática de semitono en semitono, un dodecágono, no podrá girar puesto que se quedaría siempre de la misma forma. Sólo hay una única escala cromática, como todo músico sabe bien. También se podría considerar una escala la propia serie de quintas. Al barrer una gran cantidad de espacio sonoro constituye un caso complicado. Por un lado cubren todas las notas en nombre, pero no en sonido ya que, al avanzar, van dejando huecos. Para poder abarcar todas las notas del teclado de un piano deberían, al menos, partir sendas escalas de todas las notas de la primera octava más grave del piano teniendo un total de doce escalas. Dado que en estas cinco escalas las distancias entre notas son idénticas, carecen de jerarquías y no tienen más que un modo único. He aquí las cinco escalas (las quintas abarcan demasiado espacio, por lo que no se han representado):

Intervalos Diagrama de segundas Diagrama de quintas Terceras mayores Triángulo equilátero Triángulo equilátero Terceras menores Cuadrado Cuadrado Segundas Dodecágono Estrella Quintas Estrella Dodecágono

Tabla XVI: Figuras geométricas de diversos intervalos.

69

Todo lo dicho hasta la fecha se refiere a las escalas científicamente deducidas a partir del fenómeno físico armónico y los diagramas de quintas y segundas. Eso no quita que se puedan hacer extensiones que se salen de la norma, es decir, que supondría, por ejemplo, saltar primero dos, luego uno, tres, etc. Este tipo de escalas se denominan escalas artificiales y en ocasiones, pueden arrojar resultados interesantes pese a no cumplir las normas científicas que estamos tratando. Buen ejemplo de ello son la escala Zingara y la Oriental, de las que se hablará más tarde. También es muy usual retocar escalas naturales y proveerlas de adornos o pequeñas variaciones. Por ejemplo, en los blues es común usar, entre otras, escalas pentatónicas en las que se han añadido dos cromatismos25 a modo de notas de adorno (blue notes) y que suelen emplearse de paso en la melodía:

Naturalmente, esta escala se emplea indistintamente ascendiendo o descendiendo, y también se ha extendido en el pop y el rock. Con ello aparecen nuevamente siete notas pero dos de ellas más apretadas y los dos huecos característicos de la pentatónica. 5.4 La armonía tradicional En los tratados clásicos de armonía se comienza con las tríadas que corresponden a los modos mayores y menores de la figura 5.12. Una de las cosas que siempre resulta difícil de justificar es el acorde menor. Si bien está claro que el acorde mayor surge de modo natural a partir del fenómeno físico armónico (de hecho ya dijimos que una nota cualquiera emitida por un instrumento era en realidad un acorde mayor de sonidos senoidales). Una forma de justificar el acorde menor, lo mismo que para sacar el Fa, es hacer una extensión puramente matemática del fenómeno armónico, lo mismo que para sacar el Fa. A veces hay teorías en física que resultan de hacer este tipo de extensiones. En realidad no tiene nada en común con fenómeno físico alguno sino que simplemente es la aplicación de un algoritmo matemático. En nuestro caso consiste en doblar a espejo los armónicos duplicando los intervalos pero hacia la parte inferior (hacia el grave) en lugar de ir ascendiendo como en la figura 5.7. Si comenzamos en la nota Sol, se obtiene un desarrollo como sigue:

25 El cromatismo se define en música como notas que se salen fuera de la escala natural en forma de semitonos y que suelen usarse como nota de paso entre dos o más notas reales de la escala.

Fig. 5.9: Escalas especiales

Fig. 5.10: Cromatismos de adorno añadidos en una escala pentatónica (blues).

70

Ahora vemos que se forma un acorde de Do menor, pero insistimos una vez más en que es una extrapolación sin sentido físico alguno. Si volvemos a la figura 2.7, vemos que, en la zona superior se ha formado un acorde menor de notas correctas. Es un acorde de Mi menor, que no es el acorde de La menor que el músico esperaría, sino que correspondería al modo de Mi frigio. También es cierto que, según aumenta el número de orden del armónico su intensidad es cada vez menor y es de esperar que al tocar un instrumento un Do ese acorde de Mi menor sea poco audible. Existe una justificación mucho más física para el acorde menor, pero se trata de un cuerpo sonoro que no es un tubo ni una cuerda, sino una campana. La distribución sonora de la campana es complicada y no responde a la serie de Fourier. Estos cuerpos sonoros poseen armónicos que no son múltiplos enteros de la frecuencia del fundamental y esa es la característica fundamental de los sonidos metálicos. Si se desea crear un timbre metálico para una obra de electroacústica bastará con hacer que sus armónicos no sigan múltiplos enteros. En realidad en casi toda la percusión sucede algo parecido. Ni la membrana de un timbal ni el sonido del bombo ni de un tam-tam siguen las leyes tradicionales de la acústica de tubos y cuerdas. Por ese motivo no se considera que dan notas sino efectos de ruido. También hablaremos más adelante del ruido y cómo componer con él. También estudiaremos estos cuerpos sonoros y su acústica. De momento nos centraremos en el tema que hemos iniciado sobre la armonía tradicional. 5.5 El modo menor En la rueda de quintas se tiene que uno de los modos es el menor, también llamado eolio, que es el que comienza en La en una escala de Do mayor sin alteraciones. Por ese motivo empleará las mismas tríadas que la figura 5.12, pero ordenadas de otra manera, es decir, comenzando en el acorde de La menor. El primer grado sería La, Si el II, Do el III, etc. Existe una peculiaridad en el modo eolio y es que la distancia entre el grado VII y la tónica es de un tono entero, lo que hace que no exista sensible. Si consideramos el grado V, que es la dominante, carece de tritono, pues éste se encuentra ahora en el grado II (en La menor el Vº grado sería el acorde de Mi menor) por lo que la tonalidad menor quedaría fuera del sistema tonal propiamente dicho. Para solucionar este problema bastaría con modificar artificialmente la escala subiendo un semitono al grado VII y dejarlo a la distancia adecuada de la tónica para convertirlo en sensible. El acorde sobre el grado V queda así convertido en un acorde mayor, y si se le añade una séptima menor, nos aparece el tritono para producir el juego tonal de su resolución exactamente igual que en el modo mayor. En el modo menor hay, por consiguiente, dos tritonos, uno en el II grado y otro en el V. Cuando se resuelve el tritono del segundo grado (Si−Fa en La menor), produciría las dos notas del acorde menor de la tónica (Do−Mi en nuestro ejemplo) y, de alguna manera, tendría una función semejante a la de dominante. Más adelante usaremos este mismo recurso para enriquecer el modo mayor. El problema que crea la conversión del grado VII en sensible es producir una segunda aumentada entre éste y el anterior, que resulta algo extraño en la cultura

Fig. 5.11: Armónicos invertidos

71

europea26. Evitar esta segunda aumentada es sencillo si se aumenta el sexto grado también un semitono. Cuando esta escala se interpreta no resulta de buen efecto la bajada porque la sensible tiende a subir hacia la tónica y resulta forzado escucharla bajar hacia el VI grado. Entonces se decidió optar por subir de una forma y descender de manera diferente, generando una escala asimétrica llamada escala menor melódica, indicada en la figura 5.12. También se conserva la escala eolia original, subiendo y bajando igual, y que se conoció después como escala menor armónica, por conservar la armonía original del modo menor (eolio).

Cuando se trata de armonizar una escala menor melódica, hay que alterar los acordes originales, haciendo que en modo menor existan más posibilidades que en el mayor. En la parte inferior de la misma figura se han añadido estos acordes que acompañarían a la escala. 5.6 Otras escalas Aparte de las escalas citadas existen muchas más. En realidad resulta sorprendente las más de 400 escalas existentes, y que se detallan en el apéndice C. Muchas de ellas son artificiales y fueron creadas por compositores como Verdi y Scriabin, y otras son escalas tradicionales de muy diversas culturas como la india, con sus muchos ragas, mongoles, egipcias e, incluso, esquimales y derivan de las naturales como un determinado modo de escala pentatónica de las detalladas en la lámina 2, o modificadas con seis, ocho e incluso sólo dos sonidos. La combinación de los doce sonidos de la escala pueden llegar a dar escalas como nos dice la teoría combinatoria. La escala Zíngara Mayor y Oriental se componen de los intervalos de la figura 5.13,

Estas escalas no pertenecen a ninguno de los modos naturales por la presencia de segundas aumentadas, que no suelen ser fáciles de entonar para personas en cuya cultura no existan. No es el caso de España y países árabes, en donde sí aparece frecuentemente este intervalo. 5.7 El modo frigio tonal El modo frigio es, esencialmente, no tonal como veremos en los capítulos siguientes. Sin embargo, y a modo de experimento, el hecho de ver que el acorde de Mi menor aparece de forma natural en el fenómeno armónico, me animó a aplicar el sistema tonal al modo frigio lo mismo que al aplicarlo sobre el jónico y eolio dio las tonalidades mayor y menor. De esa manera el modo frigio pasaría a ser tan tonal 26

Ahora sí que es cierto que interviene un problema de educación ya que esta segunda aumentada carece de importancia en otros tipos de música. Sin ir más lejos, para nosotros, los españoles, no resulta inusual, por estar presente y ser muy característica de la música española, debido a la influencia árabe.

Fig. 5.12: Escala menor melódica y su armonía.

Fig. 5.13: Escalas artificiales.

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como La menor en Do mayor. Para que entrase en el sistema tonal habría que introducir el tritono y una séptima de dominante que resolviese sobre la tónica. Esto es tan artificioso como el proceso que se siguió en el modo menor, no introduciendo una distorsión mayor que éste. Para ello introduciremos el concepto de tetracordo. Un tetracordo no es más que la mitad de una escala formada con cuatro notas, las cuatro primeras o las cuatro segundas. En la figura 5.12, la escala melódica menor está compuesta por el primer tetracordo, que es el situado en el primer compás y el segundo en el segundo compás. El primer tetracordo es propio del modo eolio mientras que el segundo correspondería a una escala igual que la de La mayor. Visto de esta manera, la escala menor melódica es la sucesión del tetracordo de La menor seguido de otro de La mayor. Pues bien, aplicando la misma filosofía se pueden alterar escalas de otros modos y, concretamente, la de Mi, resultando dos tetracordos: Mi frigio seguido de otro de Mi mayor. Al descender regresaría a la escala habitual frigia.

El resultado está en la figura 5.14 y se puede escuchar en la pista 7. Aunque el lector no encontrará esto en otros tratados, es un recurso tan válido como cualquier otro y, además, original. Si el último acorde hubiese sido mayor (Mi mayor), entonces no sería tan original pues corresponde a miles de piezas de música española. El empleo de una dominante para Mi fortalece la escala y no se hace necesario terminarlo en acorde mayor como es el uso en flamenco a fin de que el final sea más rotundo. Esta filosofía se puede aplicar, naturalmente a otros modos con lo que se podrían “tonalizar”. En su momento veremos algunas formas de alterarlos.

Fig. 5.14: Escala frigia tonal.

73

CAPÍTULO 6

La ampliación de la tonalidad 6.1 Inversiones Un acorde de tríada puede estar invertido. Ya se definió un poco más arriba lo que era una inversión. Aunque musicalmente da la sensación de que una inversión debería ser lo mismo que un estado fundamental pues, en definitiva, seguiría siendo el mismo acorde, desde el punto de vista físico son diferentes. Realmente es una tríada X, Y, Z en donde los intervalos superan la quinta. Volviendo a un típico acorde de Do mayor, en primera inversión tendrá un Mi en el bajo. Eso hace que los armónicos tengan coincidencias muy diferentes. Ahora el bajo forma un acorde de sexta menor con el Do, acorde que está más abajo en la tabla V que la tercera mayor que se forma cuando el acorde está en estado fundamental. El intervalo restante es de quinta y lo comparte con el estado fundamental. En la figura 6.1 se han representado los armónicos del acorde invertido y vemos que hay menos coincidencias que en el caso del acorde sin invertir. En esta inversión se añade una sonoridad novedosa. Siempre que aparece una nota en el bajo, el oído tiende a entender que esa nota es la fundamental con lo que el acorde de Do mayor se impregna con un tinte de Mi menor. Antes dijimos que los acordes menores tienen sus efectos psicológicos con lo que la inversión hace un acorde más inestable por disonancia pero al tiempo más dulce o soñador. Cuando se produce en la orquesta da una sonoridad muy característica. En el CD, pista 8 se ha reflejado un fragmento en donde aparece dos veces dicha inversión entre fundamentales. Trate el lector de localizarlo por oído, pero si no lo saca he aquí la secuencia:

Las flechas señalan los acordes en primera inversión. Ahora una pregunta: ¿cree el lector que el fragmento que ha escuchado tiene carácter conclusivo? ¿Podría acabar ahí la obra? Parece muy evidente que eso no es así. Hemos deducido una nueva propiedad de las inversiones. Aunque el final del fragmento de la figura 6.2 es una resolución de séptima de dominante (lea de abajo hacia arriba:

Fig. 6.2: Ejemplo de primera inversión.

Fig. 6.1: Armónicos

de la primera inversión.

74

Fa−Re−Sol−Si > Mi−Do−Sol−Do) el acabar en un acorde invertido es débil y no tiene la rotundidad de un final. Naturalmente, no es que sea un defecto, simplemente la obra debería continuar. Un final conclusivo necesita obligatoriamente un acorde en estado fundamental y así acaban todas las sinfonías de este mundo. Ahora pasamos a la segunda inversión. Nuevamente la figura 6.3 ilustra la disposición de los armónicos. Sin embargo, como antes, es más sencillo analizar el acorde por el principio de superposición. Ahora es el Sol (V grado) el que está en el bajo a modo de pseudo-fundamental. Los intervalos que se forman son de cuarta (con

el Do) y de sexta mayor (con Mi). El acorde aparenta menor disonancia que la primera inversión por estar estos intervalos más arriba en la tabla, de hecho en la figura 6.3 se ven más coincidencias con la nota del bajo. Pero en esta ocasión aparece otro fenómeno: la inestabilidad del intervalo de cuarta. Sabemos que este intervalo no aparece de forma natural en el fenómeno armónico (sobre una fundamental Do no aparece el Fa). Por idénticas razones sobre una fundamental en Sol no aparece Do como armónico, provocando la paradoja de que, siendo un intervalo muy consonante, posea una nota extraña a la

tonalidad. Esto se traduce en una inestabilidad que necesita resolver. Además, el oyente creerá oír un Sol mayor por desarrollo de los armónicos del Sol grave, que es el acorde de la dominante, pero el real es Do mayor, lo que provoca una especie de “esquizofrenia” acústica. En este caso el acorde en segunda inversión es como si arrastrase literalmente a la conversión en Sol y, dado que se había oído ya Do mayor, cadenciar inmediatamente después hacia la tónica. Es una resolución muy típica, para dar precisamente una sensación de final, poner primero este acorde, después el de dominante y, por último, una cadencia perfecta a la tónica. Vea el efecto en la pista 9. Para que el lector se vaya acostumbrando a otras tonalidades, hemos puesto una tonalidad de Re mayor con lo que queda:

� Tónica: Re (mayor)

� Dominante: La mayor

� Bajo del acorde en segunda inversión: La. En la siguiente figura se ilustra el fragmento:

Juzgue ahora si hay sensación de final. Con estas pequeñas partituras quiero que el lector se vaya animando para lo que en un futuro podría ser el análisis de la partitura

Fig. 6.4: Ejemplo de segunda inversión con intención de final.

Fig. 6.3: Armónicos

de la segunda inversión.

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de algún gran maestro. Posiblemente le intimide la idea de analizar una obra como la sinfonía patética de Tchaikowsky, pero el sistema es esencialmente el mismo. También he incluido fragmentos de orquesta ya que en los conservatorios, al parecer, sólo existen los coros. El cifrado de las inversiones se realiza poniendo la letra de la fundamental del acorde del cual procede y luego una barra inclinada tras la cual se especifica qué nota hay en el bajo. Por ejemplo, el segundo acorde de la figura 6.2 se escribiría como G/B, y el acorde del cuarto compás de la figura 6.4 D/A. Dado que esta inversión produce los intervalos de cuarta y de sexta se le suele conocer muy comúnmente por este mismo nombre: una cuarta y sexta. 6.2 Círculo de quintas en las tonalidades Para dilucidar rápidamente los grados, tónica, dominante, etc., de las diferentes tonalidades, podemos recurrir al círculo de quintas con los papeles transparentes que antes decíamos. De esa manera podemos trabajar con varias tonalidades:

En estas ruedas el tritono siempre ocupa las dos notas diametralmente opuestas de la rueda. Es como, si de alguna manera simbólica, estuviese proclamando que es el eje de la tonalidad. 6.3 Elementos adicionales En composición es esencial el juego de consonancia y disonancia. A veces se puede pensar en la disonancia como algo negativo de lo que hay que huir; nada más lejos de la verdad. Anteriormente hablamos de la música oriental y, de paso, daremos algunas normas adicionales. El hecho de haber eliminado el tritono en estas escalas, que ya hemos visto que es el intervalo de periodo más extenso, produce disonancias mucho más estables que no necesitan resolución. Hay que ver que en una escala pentatónica china típica no existe el Fa, resultando una música, por decirlo así, demasiado científica, demasiado apacible. Le falta justamente el elemento perturbador que da movimiento y que indica en qué dirección ha de moverse la pieza. La música china resulta muy simétrica, sin caminos demasiado marcados a dónde ir y resulta apacible y serena, aunque puede aburrir si se prolonga demasiado. También veremos que el tritono es un elemento básico de movimiento intertonal, conocido como modulación (no confundir con la modulación física de dos ondas). La música china, al no tenerlo, queda estancada en una tonalidad permanente y, en el raro caso en que el compositor quiera moverse de una tonalidad a otra es necesario forzar la modulación.

Tónica

Dominante

II grado

III grado

VI grado

Sensible

Subdominante

Tónica

Dominante

II grad

o

III grad

o

VI grado

Sensible

Subdom

inante

Tónica

Dominante

II grad

o

III grado

VI gradoSensib

le

Subdominante

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bb

bb b

b

b b b

b b bb b b b b

b b b b bb b

b bb b b b

b b b bb b

b b bb b b b b b

b b b b b bb b b

Sol Sol Sol

Fa Fa Fa

Si Si Si

La La La

Re Re ReMi Mi Mi

La La LaSol Sol Sol

Fa Fa Fa

Sol Sol Sol

Do Do DoRe Re Re

Mi Mi Mi

Si Si Si

La La LaRe Re Re

Do Do Do

Fig. 6.5: tres tonalidades: Do mayor, Re mayor y Sib mayor.

76

La música china y de parte del sureste asiático resulta fácil de componer puesto que, como ya hemos dicho, las disonancias tienden a ser estables. Carece de novenas menores, segundas menores, séptimas mayores, y tritonos naturalmente, que son justamente las más disonantes según la tabla V, de forma que el autor no deberá tener miedo de que se produzcan siempre y cuando la línea melódica justifique la disonancia, es lo que habíamos llamado efecto Bach. Una norma general en música dice que no se deben crear disonancias sin justificar, especialmente cuando se producen por movimientos paralelos de las voces pues parece una equivocación del instrumentista. Por consiguiente, si la disonancia se crea a favor de la mejora de una línea melódica, no será tan grave (a no ser que sea, como acabamos de decir, por movimiento paralelo). La razón de la fuerza de una línea melódica radica en su efecto en el cerebro pudiendo incluso ignorarse determinadas disonancias frente a ésta. En el siguiente ejemplo (pista 10 del CD) se ha realizado un fragmento en escala pentatónica de Do mayor al uso de la música que estamos comentando. Hay que subrayar que, al componerla, no me he preocupado lo más mínimo de la armonía que se pudiese ir formando sino exclusivamente de las líneas melódicas instrumentales. Casi es más importante conocer la instrumentación de la música oriental (p.ej. flautín doblado a la octava con la flauta en algunos pasajes) que el tejido armónico en sí. Cualquier disonancia formada es eclipsada por la fuerza de la melodía (figura 6.6). Hay, pues unos elementos adicionales que resultan a veces ser tan importantes como el propio tejido armónico, que en este caso es la melodía. Volviendo a las disonancias, existe el llamado retardo, que consiste en prolongar una nota del

Fig. 6.6:Pieza en escala pentatónica de Do mayor al estilo oriental.

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acorde anterior y resolverla cuando el acorde ya ha cambiado produciendo una disonancia que acaba resolviendo. El efecto es algo parecido a lo que consigue hacer el tritono, enriqueciendo la música. En la figura 6.4, justo al pasar de la inversión de cuarta y sexta a la dominante La, el oboe realiza un retardo Fa−Mi. Cuando se hacen retardos es muy importante que la nota retardada no se encuentre duplicada por encima del retardo porque el efecto es muy pobre. La razón es que el retardo plantea el vacío sonoro de una nota (la que es retardada) que luego aparecerá. Ahí radica precisamente el interés del retardo. Si la nota ya está presente y se oye perfectamente por estar en registro más agudo, se pierde el retardo y se convierte en una disonancia sin justificación alguna. Las notas de adorno son notas muy rápidas que suelen preceder a la nota definitiva y que, como su nombre indica, adornan y enriquecen un sonido. Fueron muy abundantes en el Barroco y en la actualidad su uso está más restringido por ser un recurso que ya se ha escuchado mucho. 6.4 Acorde de aumentada Queda una tríada especial por estudiar. Es un acorde especialmente interesante por estar constituido por dos terceras mayores X↔Y, Y↔Z. El resultado es que, entre X y Z se produce una sexta menor. La pregunta es ¿este acorde es consonante o disonante? Si nos remitimos a la tabla V la respuesta sería consonante puesto que está constituido por intervalos que lo son. No obstante, toda persona que escuche este acorde estará de acuerdo con que es disonante (pista 11 del CD). Hay dos poderosas razones para ello. La primera es la posición ambigua que ocupa el intervalo de sexta menor en la tabla. Su índice de consonancia es 13, igual que la novena mayor, que está considerada como una disonancia, incluso tiene más discordancias armónicas que ésta con lo que es un intervalo poco claro27. Cuando la sexta menor es un intervalo invertido de tercera mayor dentro de una escala, la sexta será considerada como consonante, pero en el caso de la tríada hay una nota que no pertenece a la escala natural (figura 6.7).

Este acorde se representa como un triángulo equilátero en la figura 6.8, que es parecida a la parte derecha de la figura 5.2, aunque ahora se ha cambiado el círculo por el de quintas. Como vemos, se sale fuera de la mitad del círculo, que es donde se contiene la tonalidad de Do mayor, deduciéndose que no pertenece a ella. De hecho el intervalo formado Do−Sol#, aunque tenga el sonido de una sexta menor, no se considera como tal sino una quinta aumentada, de ahí la denominación del acorde. Hablaremos de este acorde en el fenómeno de la modulación. De momento, y como se desprende de la figura 6.8, el triángulo se circunscribe en el hexágono de línea delgada y que corresponde, como dijimos con anterioridad, a una escala hexacordal. De hecho, girando el triángulo 60º se obtiene otro triángulo que constituye el segundo acorde (de los dos únicos que tiene) de esta escala. Pero la escala hexacordal es atonal, con lo que se refuerza la idea de disonancia de este acorde. También ha servido de base para la música

27 Por poner un símil químico, este acorde sería como el manganeso que, unas veces tiene propiedades de metal y otras veces de no metal formando ácidos como el permangánico.

#

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bb

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b b bb b

b bb b

b b bb b b

Sol

Fa

SiLa

ReMi

LaSol

FaSol

DoRe

Si

La

Re

DoMi

Fig. 6.8: Acorde de aumentada.

Fig. 6.7: Acorde de aumentada.

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contemporánea. El cifrado de este acorde se expresa con la letra de la fundamental a la que se añade el signo +. El acorde de la figura 6.7 se pondría C+. 6.5 La modulación Volviendo al círculo de quintas, es posible girar 30º en uno u otro sentido, y situarnos en otro medio círculo que representa una nueva tonalidad. Dado que tanto si nos movemos hacia el bemol como hacia el sostenido, la nueva tonalidad a 30º tiene en su armadura una alteración más (+1b, ó +1#) diremos que la nueva tonalidad es vecina. Si nos movemos más de 30º la tonalidad se considerará más o menos lejana. Tanto en la música clásica más antigua como en la mayor parte de las canciones pop actuales, la modulación más frecuente es a los tonos vecinos. Por el contario, en el jazz la modulación suele ser a tonalidades lejanas, que son más contrastantes. Volviendo al círculo de quintas, vemos que tonos vecinos de Do son Sol (+1#) y Fa (+1b), es decir, que tomando una tonalidad cualquiera, sus vecinas son, como es natural, las que están inmediatamente a su derecha o a su izquierda. Para realizar una modulación se recurre fundamentalmente al tritono, introducido dentro de un acorde de séptima de dominante de la tonalidad a la que se quiere ir. El cifrado de este acorde se expresa como X7, donde X es el nombre correspondiente al Vº grado de la escala. Es fácil saber qué acorde de dominante hay que introducir en una pieza para modular a un tono vecino, pues éste se halla justamente en el siguiente punto del círculo de quintas marchando en sentido matemáticamente positivo (antihorario). Si queremos ir a Sol, su dominante es el inmediato antihorario, esto es, Re. Si deseamos ir a Fa, su dominante es el propio Do, sobre quien se construirá una séptima de dominante. Como nota interesante diremos que el acorde de séptima que empleemos para modular tiene, precisamente, la alteración que posee en la armadura la nueva tonalidad. En nuestro ejemplo, de Do mayor a Sol mayor, usamos D7 (Re−Fa#−La−Do) y Sol mayor tiene justamente el Fa#. Para ir de Do mayor a Fa mayor usaremos el acorde C7 (Do−Mi−Sol−Sib), y la tonalidad de Fa mayor posee el Sib. En el siguiente ejemplo (fig. 6.9), hay tres modulaciones: de Do a Sol, de Sol nuevamente a Do y de Do a Fa (pista 12).

El acorde de aumentada también sirve para modular, generalmente al tono relativo menor. 6.6 Acordes de cuatro notas Por extensión matemática de las tríadas aparecen los acordes con cuatro notas, que son las séptimas o cuatríadas. En la figura siguiente se pueden ver los acordes de séptima correspondientes a Do mayor:

Fig. 6.9. Modulaciones a tonos vecinos.

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En los acordes mayores, la séptima está justificada por el armónico 15 aunque, al ser una séptima mayor, sabemos que produce una disonancia importante. El V grado es una excepción porque la séptima que forma es menor y, consecuentemente, se trata del acorde de séptima de dominante que ya conocemos. En cuanto a los acordes menores sobre los grados II, III y VI forman séptimas menores y serán menos disonantes que las generadas sobre I y IV. La notación sajona para la séptima mayor es XMaj7 y simplemente X7 para los menores. En la figura 6.10 se han puesto los cifrados bajo cada acorde. Como no existe tritono salvo en el grado V, los acordes serán estables e, incluso, se podrá reposar en ellos o acabar una pieza, siempre que se produzca una cadencia perfecta. En jazz es normal acabar así pero si lo hacemos en una obra clásica, acabar en una séptima le dará un interesante toque de modernidad. La séptima sobre tónica suele ser bastante disonante y yo suelo recurrir al recurso de “cubrir” la séptima. Eso consiste en añadir una nota del acorde por encima de la séptima (un Mi o Sol en el caso de Do mayor), lo que suaviza el sonido. El último acorde es especial porque está construido sobre una tríada disminuida (Si−Re−Fa), y el tritono obligará a resolver igual que en el caso de tres notas, continuando este acorde con su función de dominante. Antiguamente las séptimas se utilizaban con precaución, restringiéndose su uso a la llamada serie de séptimas, que se estudiará más tarde. En la actualidad, y esta vez sí que hay que admitir el factor educacional, las séptimas no constituyen material heterodoxo y se pueden usar sin restricción, sobre todo en música modal. El jazz, y muchos aspectos del pop por extensión, son también un buen ejemplo de la proliferación de estos acordes y los que se verán más adelante. Sobre el modo menor existen estos mismos acordes de la figura 6.10 más unos nuevos, producidos por la escala melódica que, al ascender, forma nuevas séptimas con los grados alterados. En la figura 6.11 se pueden ver estos acordes.

El primer acorde forma séptima mayor con la fundamental La, y resulta mucho más disonante y desgarrado que el sexto acorde de la figura 6.10. Muy útil cuando se requiere conferir efectos de drama o desesperación con la música. Con carga emocional parecida es el tercer acorde en donde la séptima se construye sobre un acorde de aumentada del que se habló en el anterior capítulo. El quinto es, exactamente, una séptima de dominante, y era el efecto que se quería conseguir cuando se alteraron los grados de la escala menor para crear la melódica. En este caso el Sol# es la sensible. Finalmente, resulta especialmente interesante el último acorde. Es muy usado y se denomina séptima disminuida, en notación sajona Xº7. Si nos fijamos está construido con dos tritonos, Sol#−Re y Si−Fa, por lo que necesita una doble resolución. Tiene una gran tensión y está incorporado en muchas obras del clasicismo. Por ejemplo, Beethoven lo usa en su sonata Claro de Luna durante varios compases con el fin de crear un clima expectante. En el cine también se usa con el mismo motivo. En la pista 13 se puede escuchar el efecto que causa. Este acorde se representa en el círculo de quintas mediante un cuadrado (parte derecha de la figura

Fig. 6.10: Acordes de séptima.

Fig. 6.11: Acordes de séptima en modo menor.

80

5.2). En dicha figura vemos que sobrepasa el semicírculo que encierra la tonalidad con lo que se deduce que este acorde es intertonal y, de hecho, se utiliza para modular a tonalidades lejanas. De la figura también se desprendía que solamente se pueden trazar tres cuadrados, es decir, que únicamente existen tres acordes de séptima disminuida. Para modular a una tonalidad lejana se emplea una propiedad del tritono, que consiste en poder resolver en cualquier sentido puesto que si se invierte resulta un intervalo idéntico, esto es, otro tritono. En un contexto tonal de Do mayor, por ejemplo, el tritono Si−Fa resolverá normalmente como:

y vemos que puede resolver, tanto “hacia dentro” en una tercera como “hacia fuera” en una sexta. Con esta propiedad, los tritonos de la séptima disminuida pueden cambiar de dirección en un momento dado y enviar la música hacia una tonalidad lejana.

En la figura 6.13 (pista 14) se puede ver una modulación desde La menor (sin armadura) a Fa# menor (tres sostenidos) por medio de una bisagra que es la séptima

disminuida G#º7. Cuando un acorde de cuatro notas construido sobre acorde menor se invierte, recibe el nombre de acorde de sexta (por ejemplo, Do-Mi-Sol-La), que es un recurso bastante empleado. 6.7 Dominantes sustitutas Aunque según la figura 6.12 el tritono Fa−Si resuelve en un intervalo Mi−Do, dado que la inversión de un tritono es él mismo, podría suceder que resolviese justamente al revés, es decir, hacia dentro en la parte izquierda de la figura o hacia fuera en la derecha, intercambiando sus papeles la séptima y la sensible. El intervalo resultante sería Solb−Sib, y se podría considerar que el acorde de séptima de dominante G7 no solamente puede resolver en Do mayor sino también en Sol bemol mayor. Esto es lo que se llama una dominante sustituta, no siendo esta vez el grado V sino una séptima de dominante cuya fundamental está a distancia de segunda menor ascendente del acorde mayor sobre el que resuelve. En resumidas cuentas, Do mayor tiene una dominante que es G7 y una dominante sustituta que es Db7. En la figura siguiente se detallan dos cadencias sobre

Fig. 6.13: Modulación lejana con séptima disminuida.

Fig. 6.12: Resolución del tritono.

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Do mayor, indicando la resolución del tritono (fijémonos que Db7 es dominante real de

Solb y sustituta de Do):

Vemos que la resolución del tritono es igual en ambos casos enarmonizando Si a Dob. La resolución natural de Db7 sobre Gb está forzada a C y se indica mediante un corchete discontinuo. De forma parecida a lo que sucedía en la séptima disminuida, la dominante sustituta se puede emplear para modular a un tono diametralmente opuesto en el círculo de quintas. Como los puntos son diametralmente opuestos hay simetría y se puede oscilar de una tonalidad a otra mediante las dominantes sustitutas tal como se muestra en la figura 6.15:

Ambas figuras 6.14 y 6.15 pueden escucharse en la pista 15. En el apartado 5.6 (intercambio modal) se habló de una cadencia rota inversa que consistía en la resolución de la dominante del modo menor en la tónica del mayor. Si se recurre a la dominante sustituta se puede ver que el tritono resuelve bien, solamente que en sentido contrario al habitual (figura 6.16), igual que este tipo de dominantes:

Lo mismo que una dominante normal, la sustituta también puede resolver como cadencia rota en el relativo menor del tono donde se dirige. 6.8 Otros usos del tritono Las notas fuertes de la escala son las propias de la escala diafónica, figura 4.2. En ella no aparecen ni el La ni el Fa. El primero debido a que es un armónico muy tardío y el Fa porque ni siquiera lo es. Aprovechando la debilidad de estos grados de la

Fig. 6.14: Dominante sustituta.

Fig. 6.16:Cadencia rota invertida menor>mayor

con resolución invertida del tritono.

Fig. 6.15: Modulación diametral con dominantes sustitutas.

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escala, que en modo mayor son VI y IV, se pueden alterar a guisa de adorno, haciendo que formen tritonos con funciones de dominante secundaria, y permitir que desemboquen en acordes del modo en el que se está componiendo. Generalmente se recurre, no a séptimas de dominante sino a acordes disminuidos con séptima (séptimas de sensible) que resultan más suaves y originales. En estos acordes, la fundamental se encuentra a distancia de tritono de la quinta, que es disminuida, y se anota en el cifrado como b5 (bemol 5). Aparte de la séptima de sensible, propia de la tonalidad en cuestión, existen dos acordes que son de uso frecuente, ubicados sobre los grados II y IV# de la escala y en los cuales se han alterado los grados débiles de los que hablábamos antes, VI y VI (La y Fa en Do mayor). El primero de ellos tiene un tinte soñador, muy usado en música americana y también por compositores como Sibelius. Su resolución natural es sobre la dominante o la tónica, mientras que el segundo, sobre el IV grado alterado lo hará en general solamente sobre la dominante. Es un acorde muy típico del jazz usado por compositores como Scott Joplin. Citamos a continuación ambos ejemplos en Do mayor, que están en la pista 16:

Como en el caso de las dominantes sustitutas, los tritonos pueden resolver al revés y modular hacia otras zonas del espectro sonoro. Por ejemplo, el acorde #IVm7(b5) puede resolver hacia fuera como Re menor o Si bemol mayor, y el primero hacerlo sobre La menor o Fa mayor. Aparte de ellos, existen más acordes que pueden usar un tritono para crear flexiones dentro de una frase que pueden ser construidas por el mismo lector sin más que aplicar lo que se acaba de decir, aunque los citados son más adecuados por alterar los grados débiles VI y IV. Valga como ejemplo el acorde #Im7(b5) que está construido sobre el primer grado alterado un semitono hacia arriba y que, como el #IVm7(b5), tenderá a resolver sobre el segundo grado o en sentido inverso. Nombre un grado cualquiera de la escala, bájese un semitono y constrúyase un acorde disminuido con séptima sobre él que tenderá a ir al acorde el grado elegido. 6.9 Acordes de cinco notas Por extensión matemática de las tríadas aparecen los acordes con cinco notas, también conocidos como acordes de novena. En el desarrollo armónico vimos que la novena es el armónico 9 y que el intervalo no era especialmente disonante siempre y cuando fuese una novena mayor. Por el contrario, la novena menor es un intervalo muy disonante y no es conveniente usarlo en piezas tradicionales. Su uso contemporáneo no se justifica científicamente y constituye una licencia del compositor, que deberá juzgar cómo y cuando usarlo según su criterio. En la siguiente figura se detallan las novenas diatónicas sobre cada grado de la escala, indicando con la nota pequeña aquellas novenas que son menores. En este tratado las evitaremos, por lo que diremos que sobre los grados III y VII no hay acorde de novena. Especialmente en el VII es de muy mal efecto porque, teniendo una función de dominante, se suma el hecho de que la resolución de la sensible, que es la nota que está abajo, tiene sobre ella la tónica, o nota retardada, y ya hemos comentado los problemas que eso conlleva.

Fig. 6.17:Usos del tritono en acordes disminuidos.

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En estos acordes se pueden eliminar las séptimas mayores, que son más disonantes con lo que se obtendrán acordes de sonoridad más suave. Un acorde especial es el de novena de dominante, consistente en una séptima de dominante a la que se añade una novena. Este es el único caso en el que se puede emplear una novena menor, pues la dominante tiene tanta tensión que será de buen efecto hacerlo. El cifrado es básicamente igual que la séptima a la que se añade un (9) a la derecha. Por ejemplo, CMaj7(9) es la novena correspondiente al acorde de séptima mayor sobre Do y también se indica como C9. 6.10 Acordes de muchas notas

Por extensión matemática de los acordes anteriores se pueden añadir dos intervalos más: la undécima y la decimotercera, generando los acordes de dicho nombre. Si volvemos a la serie armónica, comprobamos que el intervalo de undécima contiene justamente la nota que no existe en dicha serie (el Fa en el acorde de Do), y la decimotercera tampoco es mucho mejor, ya que la nota (La) se produce en un armónico de orden muy alto. Eso hace que el tratamiento de estos acordes no se pueda incluir como una prolongación más de los anteriores. En general, tanto la undécima como la decimotercera son intervalos que no son disonantes con la fundamental pues son ampliaciones, respectivamente, del intervalo de cuarta y de sexta mayor más una octava. No obstante, sí resulta disonante con relación al resto de notas del acorde, y a eso hay que unir que, con la fundamental, hace un acorde de cuarta y sexta del que ya se habló con anterioridad al tratar las inversiones, y entonces se dijo que era inestable. Por tanto, los intervalos de undécima y decimotercera añadidos no crean acordes estables sobre los que se pueda reposar sino que se emplean a modo de apoyatura para resolver sobre otro. A continuación se estudian los intervalos citados en dos columnas (figura 6.19). En ellas se señalan intervalos problemáticos que se forman con las otras notas del acorde como lo son las novenas menores (corchete a la derecha de la nota) o tritono (a la izquierda). En el acorde se ha procedido a suprimir la novena menor quitando la nota inferior para mantener la 11ª o 13ª, aunque a veces eso supone dejar el acorde sin tercera y queda ambigua su modalidad (mayor o menor). Cuando el acorde tiene muchas notas, al aumentar la disonancia, tampoco tiene que implicar forzosamente “ser desagradable” pero sí puede suceder que eso provoque una pérdida de personalidad por exceso de apelmazamiento de notas. Es como el color marrón del que se habló en 1.5. Los marrones son demasiado parecidos, haciendo que el acorde pierda su característica psicológica especial para parecerse más bien a un ruido.

Fig. 6.18:Acordes de novena.

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Fig. 6.19: Acordes de undécima y decimotercera.

6.11 Progresiones Vamos a realizar una sucesión de quintas pitagóricas, sólo que esta vez se harán con un instrumento natural, un piano por ejemplo. Ya sabemos que en cada nota habrá un contenido armónico y se escuchará algo semejante a la figura 6.20:

En esta sucesión de notas hemos considerado los armónicos 2, 3, 4, 5, 6, 8 y

15. Ahora vamos a hacer esta misma serie con acordes, también con el piano, de forma que las notas que empleemos estén situadas en el mismo sitio que los

Fig. 6.20: Sucesión de quintas pitagóricas con sonidos reales.

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armónicos y con intensidad decreciente. En la pista 17 se puede apreciar esta escala y comprobamos que es muy consonante debido a la posición coincidente de las notas. Podemos hacer que sea menos consonante pero, no por ello disgustará al oído, si alteramos la posición de las notas tal como en la figura 6.21: Esta ordenación de los sonidos se conoce como serie de séptimas, y puede escucharse en la segunda parte de la pista 17. Esta serie, que podíamos llamar pitagórica, emplea los sonidos coincidentes de los armónicos y vemos que siempre se construyen sobre el acorde mayor correspondiente. Recordemos que, si comenzamos en la nota Do, los acordes de Re mayor, Sol mayor, La mayor, etc., no pertenecen a la tonalidad de Do mayor, lo que sitúa a esta serie dentro de un marco intertonal.

Por extensión matemática podemos dar un paso más y eliminar todas las alteraciones para que la serie de séptimas quede inmersa en la tonalidad de Do mayor, con el resultado de la figura 6.22. Hay que notar que, al convertir la serie en diatónica, es decir, dentro de una tonalidad concreta, algunas séptimas no se construyen ya sobre acordes mayores sino menores, que podrían ser más disonantes por su condición de acorde menor, pero eso no sucede porque la séptima de estos acordes resulta ser menor, que es menos disonante que la mayor. Cuando una serie de séptimas se mueve dentro de un marco tonal diatónico hay que tener en cuenta que la séptima sobre el grado V es realmente una séptima de dominante y tenderá a resolver sobre la tónica o el VI grado. En el caso de la figura 6.21, esta séptima realiza lo que se conoce con el nombre de resolución excepcional, movida por la fuerza de la serie. Para resolver el tritono, y sabiendo que la nota sensible tiene una gran tendencia a ir a la tónica, se procede a mover la primera (Si en este caso) hacia el Do, que es la séptima del siguiente acorde, y el Fa queda tenido para construir Re−Fa−La−Do con lo que el tritono se resuelve de una manera más o menos airosa (pista 17, tercera parte).

En la figura 6.20 no se había considerado el armónico 9, que es menos

disonante que el 15, luego se podrá construir otra nueva serie en donde también aparezca, siendo ahora una serie de novenas. En esta serie podemos optar por poner la novena completa o prescindir del armónico 15, que en la práctica es la séptima mayor, con lo que la sucesión es menos disonante y queda suavizada.

Al igual que con las séptimas, las novenas se pueden reordenar, dando lugar a notas menos distanciadas. En las figuras 6.21, 6.22 y 6.23 se aprecia que para recoger el espacio sonoro y que no se dispare la serie como sucede en la 6.20, se suceden en el bajo intervalos de quinta y cuarta. Hay que tener una precaución

Fig. 6.21: Serie de séptimas.

Fig. 6.22: Sucesión de séptimas diatónicas.

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cuando se emplean series de séptimas y de novenas porque en algún momento puede producirse un intervalo de tritono, que da un efecto bastante pobre y poco brillante.

En el ejemplo de la figura 6.24 tenemos una serie de novenas en donde se produce este defecto, que se ha marcado con una flecha. Para que el lector se haga cargo de la debilidad de este punto, se ha incluido en la pista 18 (primera parte).

Fig. 6.23: Serie de novenas.

Fig.6.24: Serie de novenas con un defecto de tritono.

Fig.6.25: Serie de novenas con el tritono corregido.

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Resulta de una gran fuerza, por el contrario, mantener las distancias de quintas y cuartas justas, aunque eso significará que la progresión modulará a otras tonalidades. Véase la figura 6.25 y la correspondiente pista 18 (2ª parte).

Cuando se quiera hacer una serie, ya sea de séptimas o de novenas diatónicas, es decir, dentro de la misma tonalidad sin modulación, hay que calcular el no interceptar ningún tritono. Generalmente dará bastante juego la serie si se inicia en una séptima o novena sobre tónica; sobre el grado IV dará el máximo de peldaños, que son seis sin contar el primer acorde. En la figura 6.26 se ilustra una serie de novenas diatónicas, que se puede escuchar en la pista 18 (3ª parte).

En el fragmento de la figura 6.26 hemos usado en el segundo compás un acorde de dominante (sobre Re por estar en Sol mayor). Sin embargo, en el caso de las novenas, la resolución de este acorde es menos crítico que el de la séptima en marco tonal porque las novenas tienen un sabor mucho más modal y no necesitan tan fuertemente la resolución tradicional del tritono. 6.12 Cadenas de dominantes Las progresiones son como un mecano, que se pueden combinar de cientos de maneras diferentes. Las pretensiones de este libro quedan fuera de la labor de peinado que los libros de armonía moderna suelen hacer habitualmente y, por ello, nos remitimos a la bibliografía para ampliar. Solamente daremos las reglas de ensamblaje de las piezas y dejamos también a la imaginación del lector hacer sus propios inventos. Gran parte del talento compositivo dependen de esta capacidad del compositor de experimentar y adoptar nuevos recursos. Comenzaremos por intercalar una serie de séptimas muy sencilla dentro de una escala tonal (mayor o menor), de tan solo dos peldaños y luego lo iremos complicando. Suele ser muy frecuente hacer flexiones a tonalidades vecinas, y se ha hecho abundantemente a lo largo de la historia. Consiste en modular durante un tiempo muy corto, regresando rápidamente a la tonalidad principal. Normalmente esta flexión dura tan poco que la armadura permanece y simplemente se alteran las notas. Lo que se aprecia en la figura 6.9 son en realidad flexiones de este tipo, ya que, por motivos de brevedad no se ha intercalado una partitura de varias páginas. Para hacer la flexión se intercala el acorde de séptima de dominante del tono al que queremos ir (D7, G7 y C7 en la figura 6.9). Esta dominante se conoce como dominante secundaria, y puede ir precedida del II grado del tono al que se quiere flexionar. El

Fig.6.26: Serie de novenas diatónicas.

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primer caso, que sería el más simple, consistiría en la propia cadencia al grado I, que todavía no implicaría modulación. Por ejemplo, si estamos en Do mayor, sería la secuencia: C, Dm7, G7, C. Existe un tipo nuevo de cifrado que podemos llamar relativo, indicando con una barra de separación el grado de la escala sobre el cual se aplica el acorde. En este caso podemos poner: I, II7/I, V7/I, I, donde el número romano a la derecha de la barra indica sobre que grado se aplica. En este caso, como la cadencia es sobre la tónica, todos ellos llevan /I. Si queremos hacer una flexión a Re menor, la secuencia sería:

C, Em7, A7, Dm, con la mini serie de séptimas Em7 A7, y su cifrado relativo será: I, II7/II, V7/II, II. Ahora II7/II significa una séptima aplicada sobre el II grado de Do mayor, pero dicha séptima es del segundo grado del segundo grado, es decir, Mi menor. El siguiente es V7/II, o sea, quinto grado de dominante aplicado sobre el segundo (Re menor), que es A7 y finalmente II (que no hace falta indicar como I/II). A partir de este punto se puede complicar tomando una dominante de la dominante. En nuestro ejemplo sería la dominante de A7, que también es Mi pero mayor, y así irán resolviendo secuencialmente (flechas):

C, E7 A7 Dm. En este caso, E7 se denomina dominante por extensión. Siguiendo adelante con nuestro mecano, se pueden ir añadiendo séptimas de II grado relativo a cada dominante, y además, es posible intercalarlas porque el oído nota bien la resolución de la dominante aunque tenga un acorde por medio. Algunas de estas combinaciones pueden ser:

C, E7, Em7 (II de Dm) A7 Dm

C, F 7 E7 A7 Dm#

C, F 7 E7, Em7 A7 Dm# donde las flechas indican la resolución de dominante y de las séptimas. De igual forma se puede continuar ampliando indefinidamente estas cadenas haciendo series de séptimas, combinadas ya sea como diatónicas o de dominante, dentro de la misma tonalidad (figura 6.27).

6.13 Progresiones cíclicas con diferente espaciado. Multitónica Nos podemos preguntar por qué hemos espaciado con quintas los fundamentales de los acordes. Naturalmente, en una serie pueden estar separados por otros intervalos diferentes a la quinta. La razón científica también estriba en el fenómeno armónico porque la distribución de sonidos a lo largo del tiempo guarda relación con los emitidos simultáneamente si observamos la figura 3.10. En su momento se habló de las concordancias armónicas y están reflejadas en la tabla V. Cuando se escuchan sucesiones de acordes, aquellos separados por quintas o cuartas se sentirán más emparentadas que por intervalos con menos notas comunes, de ahí que tengan más fuerza. No obstante, las sucesiones espaciadas por terceras también dan buen juego, y menos los de segundas.

V7II7V7II7

V7II7

Fig.6.27: Concatenación de dominantes.

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Las progresiones por quintas van modulando por todas las diferentes tonalidades recorriendo la rueda por puntos contiguos. Si la serie se recorre 12 veces, por enarmonización se llegará al punto de partida. Por lo general las progresiones tienen mucha fuerza y guardan algún tipo de relación con los caleidoscopios en donde un modelo geométrico simple, al repetirse por simetría, genera una figura de gran belleza. En el caso de la música, la simetría no puede ser espacial sino temporal haciendo simplemente que cada célula de la progresión guarde las mismas distancias entre intervalos sucesivos. El cerebro percibe este patrón que se repite y genera esa sensación tan grata. Pese a su belleza, las progresiones resultan cansadas si la célula se repite

excesivamente. Bach jamás abusaba de un número excesivo de células y cortaba la progresión muy pronto, evitando el cansancio del espectador. Otro caso muy diferente es Vivaldi, cuyas progresiones resultan interminables. En los tiempos en los que dirigía una orquesta de cámara siempre me veía obligado a marcar con el dedo disimuladamente la parte de la partitura en que se hallaba la música para evitar perderme en aquellas progresiones tan largas. No es conveniente hacer progresiones de quintas con doce celdas a no ser que el efecto buscado sea, precisamente, el de echar al público de la sala. En ese caso es mejor recurrir a particiones del círculo de quintas que requieran pocos pasos para cerrar el espacio

tonal. Ya hemos visto en otras ocasiones que eso se consigue mediante terceras mayores (triángulo), menores (cuadrado) o segundas (hexágono), como los acordes de aumentada, disminuida, y escala hexacordal (ver figura 6.28). Incluso se pueden hacer progresiones con acordes situados a distancia de tritono, tal como ya se comentó en 6.7 acerca de las dominantes sustitutas, con lo que oscilaría simplemente entre dos acordes diametralmente opuestos y su figura geométrica se representaría por diámetros del círculo de quintas.

Nótese que de esta manera, las células de la progresión dividen la octava en partes iguales con dos, tres, cuatro y seis porciones. No es necesario que cada célula

Fig. 6.29: Progresión multitónica.

DoRe

Re

Fa

ReMi

Mi

Mi

FaSol

La

Sol

Do

SolSi

La

La

Si

Fig. 6.28: Progresiones cerradas.

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ocupe una sola nota, sino que puede extenderse por espacio de un compás entero o varios compases. Dentro de cada célula hay total libertad de emplear varios acordes dentro de esa tonalidad antes de proceder a usar un acorde de dominante y modular hacia la siguiente celda. En la figura 6.29 (pista 19) se ha construido una progresión a distancia de terceras mayores y si nos fijamos en el cifrado, se pasa de Do mayor a Mi mayor (modulando con el acorde de séptima de dominante B7). Cada celda ocupa un compás, y del segundo en Mi mayor se modula a Sol# mayor (enarmonizado a la bemol) y nuevamente a Do. Debido a que la progresión es modulante, la música estabiliza una tonalidad durante un cierto espacio de tiempo y luego en otra diferente. En la figura 6.29 se comprueba que se puede repetir indefinidamente entre las dos barras de repetición puesto que encaja perfectamente, y finalmente no se sabría a ciencia cierta cual es la tonalidad “auténtica” de la pieza puesto que estaría oscilando entre tres distintas. En esta figura, dado que se han colocado dobles barra por comodidad para la explicación, cuando se regresa a Do mayor lo hace sobre el mismo compás, pero en una obra musical se puede construir sobre celdas diferentes, digamos: C1, E1 Ab1 C2, E2, Ab2, etc. Llamaremos celdas homólogas a aquéllas que tienen la misma tonalidad tras regresar de un ciclo completo (en nuestro caso C1 C2, C3 … serían las celdas homólogas). Cuando las celdas son pequeñas, este recurso no se debería utilizar puesto que generaría una monotonía extrema, pero si las celdas son largas y al regresar a la tonalidad correspondiente se traza un modelo melódico diferente, estaríamos en presencia de una progresión armónica, es decir, que solamente se respeta la verticalidad (armonía) de las celdas. Esto se conoce como un sistema multitónica. Para añadir riqueza se pueden variar también las armonías dentro de las celdas homólogas antes de modular. El recurso es muy usado en el cine, especialmente los sistemas multitónica modales, de los que hablaremos en el siguiente capítulo (Más allá de la tonalidad). También se pueden poner progresiones de séptimas y novenas diatónicas, esto es, no modulantes sino dentro de la misma tonalidad, pero espaciadas por terceras sin que la progresión pierda por ello carácter expresivo. En la figura 6.30 se ha trazado una progresión de séptimas espaciadas a distancia de terceras. Este tipo de progresiones no son, naturalmente, multitónicas. Como se mueven dentro de una tonalidad concreta, hay que evitar séptimas de dominante que tiendan a desviar la progresión por resolución de su tritono.

Cuando la progresión es de novenas diatónicas hay que tener cuidado de no incluir acordes con novenas menores (figura 6.31), donde se ha eliminado el acorde sobre el Mi.

Fig. 6.31: Progresión de novenas separadas a intervalos de tercera.

Fig. 6.30: Progresión de séptimas separadas a intervalos de tercera.

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Ambas progresiones se pueden escuchar en la pista 20. 6.14 El mecano continúa Las últimas progresiones se construirán a intervalo de segunda. Ya se indicó que la fuerza de la progresión es proporcional a la consonancia del intervalo que separa sus fundamentales, de donde se deduce que las series separadas por segundas serán menos contundentes, pero no por ello menos interesantes. Al no compartir muchos armónicos, el parentesco de los acordes de estas progresiones es bajo y darán sensaciones psicológicas de lo más variado. Las ascendentes de acordes mayores producen mucha tensión. En la figura 6.32 se ha empleado esta técnica con un grupo de metales con un crescendo que culmina al final de la progresión. El resultado se puede escuchar en la pista 21 (1ª parte). Y reunidas todas las piezas, se puede comenzar a construir el mecano a voluntad. Se trata de crear progresiones en donde las distancias entre sus tónicas sean variables. Esta técnica se utiliza mucho en el cine, y como ejemplo crearemos

una secuencia al estilo de “El señor de los anillos” (figura 6.33) y que podemos escuchar en la pista 21, (2ª parte). En este caso se han empleado secuencias con separaciones de tercera menor y cuarta, modelo caleidoscópico que se repite hasta

Fig. 6.32: Progresión a intervalos de segunda.

Fig. 6.33: Progresión a intervalos de tercera menor y cuarta.

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una cadencia final de modo mixolidio con enlace II-I. Hay que comprender que en este tipo de progresiones, al ser las variaciones tan rápidas e intertonales, no es posible detectar una determinada modalidad para cada célula. Nada más el remate de la misma es la que determina, al menos, el modo final en el que la progresión va a descansar. Unamos la última pieza, que procede del sistema de multitónica, y que consiste en crear dos divisiones diferentes de la octava y ensamblar progresiones de la manera siguiente: Dividamos la rueda de quintas en tres y en cuatro (figura 6.34). La primera serie se construye con una multitónica a distancias de tercera mayor (triángulo) con lo que recorre las tonalidades a e i a. Una vez retorna a la tonalidad base a, se desplaza según la segunda división en cuatro partes (cuadrado) hacia la tonalidad d, que sirve como nuevo centro para apoyar otro triángulo girado 90º de multitónica que recorre d h l d. Al cerrar una vez más en d, sufre un nuevo giro según el cuadrado y recorre ahora g k c g., y así sucesivamente hasta llegar al inicio en la tonalidad a, punto a partir del cual volvería a repetirse el ciclo. Es como tener dos multitónicas anidadas en donde hay una superestructura que sería la multitónica del cuadrado dentro de la cual se mueve, a su vez, la segunda multitónica triangular.

Esta técnica soportaría un nivel indefinido de anidamiento haciendo que, por ejemplo, sobre cada vértice de la multitónica triangular se apoyase otra nueva basada en una división diferente de la octava, en dos, por ejemplo, a distancias de tritono (recordar lo dicho en 6.13) conformando una estructura muy semejante a un fractal.

No es obligatorio recorrer todas las tonalidades, pero al hacer divisiones diferentes es posible que eso suceda. Esta pieza puede combinarse con las anteriormente dichas para generar un poderoso recurso compositivo. En la figura 6.34 no especifica el tiempo que debe permanecer la progresión en cada vértice, quedando libre al buen criterio del compositor. Una sola obra puede formarse a partir de una superestructura como la de la figura 6.34, reposando en cada vértice una cantidad apreciable de tiempo como para definir una modalidad concreta. Al paso por cada tonalidad se pueden incluir otras progresiones como series de séptimas, novenas, etc. Para variar un poco el ejemplo, esta vez podemos escuchar un fragmento de jazz en la pista 22 en donde se ha usado esta técnica.

a

b

cde

f

g

h

i j k

l

a

b

cde

f

g

h

i j k

l

a

b

cde

f

g

h

i j k

l

a

b

cde

f

g

h

i j k

l

Fig. 6.34: Progresiones multitónica anidadas.

93

CAPÍTULO 7

La modalidad 7.1 Modos diferentes de mayor y menor En el periodo del clasicismo, y especialmente en Alemania, la música que se compuso tenía un carácter marcadamente tonal. En la actualidad, y para diferenciarla de la música atonal, a cualquier otro tipo de música se la denomina bajo el nombre de “tonal”. Técnicamente esto no es correcto, ya que por tonalidad propiamente dicha se entiende aquella que implique el juego dominante-tónica con abundantes resoluciones del tritono. Este tipo de música se extiende en la actualidad a formas más modernas de música ligera como el pop, el rock y también, aunque con un gran nivel de complejidad, gran parte de la música de jazz. La gran mayoría de la música comercial, en cualquiera de sus tipos suele ser técnicamente tonal. Con la llegada del impresionismo se retomaron escalas que, habiéndose usado mucho en la Edad Media, como el canto gregoriano, habían caído en el olvido. Éstas, a su vez, procedían de la música de la antigua Grecia y en principio están tan justificados científicamente como la música tonal. Para diferenciarla de ésta se la llamó música modal. Las notas de estas escalas son las mismas que en el sistema tonal pero ordenadas de forma diferente. Las distancias entre los grados de una escala mayor tonal y las de otro modo no son las mismas. Por lo general, lo más sencillo es estudiar los modos relativos, de los que ya se habló en 5.2, solamente que ahora hay que añadir algo más sobre cómo armonizarlos. Eso fue lo que se hizo precisamente en el impresionismo ya que estos modos eran cantos monódicos (sin armonía) durante el gregoriano. Cualquier tonalidad puede estar expresada en uno de estos modos. En la figura 7.1 se han representado dos escalas de Do dórico y La frigio, ambas relativas de Si bemol mayor y Fa mayor respectivamente (consultar el círculo de quintas):

La armonización de estas escalas se realiza exactamente igual que en los casos mayores y menores como se indicaba en las figuras 3.12, pero alterando el orden de los mismos, igual que sucedía en el modo menor. Si nos centramos en la tonalidad de do mayor, por ejemplo, sabemos, por la figura 5.5, que tiene seis modos relativos. Quitando el modo menor, que tiene también su dominante y funciona con la misma contundencia que el mayor, la pregunta es ¿qué sucederá cuando se usen los otros modos? Posiblemente, por la fuerza de la tonalidad, sería de esperar que cada vez que se oiga el V grado del relativo mayor nos haga desembocar en éste, dejando atrás el otro modo. De hecho, si queremos hacer una obra en Re dórico, por ejemplo, no se deberá usar jamás una séptima de dominante sobre Sol ya que, irremediablemente nos obligará a regresar a Do mayor. Uno de los recursos mejores, y que dará sabor modal será usar la que llamaremos nota modal característica y montar sobre ella una cadencia. La nota, o notas modales características, son aquellas que diferencian al modo en cuestión con su equivalente tonal. Explicaremos esto con el ejemplo en Re dórico. En el modo dórico, la tónica se construye sobre un acorde menor, es decir, Re menor. Pues bien, de la comparación entre Re dórico (ninguna alteración) y su equivalente tonal, que es Re menor (1 bemol), encontramos que la nota característica es la que los diferencia, es decir, el Si, que en el caso de Re dórico es natural. Para crear las cadencias dóricas

Fig. 7.1: Escala de Do dórico y La frigio.

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típicas crearemos un primer acorde en el que intervenga el Si natural y a continuación Re menor (tónica de Re dórico). Otro ejemplo es Sol mixolidio, relativo de Do mayor. El acorde de la tónica mixolidia es Sol mayor, de donde su equivalente tonal será Sol mayor con un sostenido en la armadura (Fa). La nota característica será, pues, Fa natural, y sobre tal nota construiremos los acordes de las cadencias mixolidias. De todos los modos, el hipofrigio, o locrio, es el más débil pues se apoya en el Si28 que, aparte de ser sensible de Do y resultar muy difícil de estabilizarlo como tónica, su acorde característico es disminuido y, por tal razón se considera este modo impracticable incluso en técnicas tan complejas y liberales como el jazz. Sin embargo, sus variantes pentatónicas son mucho más estables y entre ellas se encuentra la escala japonesa Hira-joshi, que son practicables por haber eliminado notas que lo apartan de la tonalidad tradicional. Las escalas japonesas tienen un interés especial por tener la sensible invertida, es decir, que funciona bajando un semitono hacia la tónica en lugar de subir como en los modos tonales occidentales. En el modo frigio la tónica es un acorde menor y su nota característica es el segundo grado (ejemplo: en Mi frigio será Fa natural), que, encontrándose a distancia de semitono constituye también una sensible superior. En el lidio, de tónica mayor, la nota será el IV grado (en Fa lidio es Si natural). En estas dos escalas hay que hacer un par de salvedades. La última (modo lidio) tiene su IV grado (y nota característica) a distancia de tritono de la tónica, lo que hace que la cadencia no suene conclusiva y que produzca la sensación de que la música debería continuar. Tampoco permite una sólida construcción sobre la subdominante ya que es un acorde disminuido. Por estos motivos es el modo más débil de todos después del locrio. Los más consistentes son dórico y mixolidio, seguido del frigio. Sobre este último hay que decir algo importante. Dado que la tónica está sobre modo menor, y por la interválica de su escala, el modo resulta algo más débil que el dórico y mixolidio. No obstante, se hace más consistente si la tónica fuese un acorde mayor, lo que hace que el tercer grado se altere. Es algo parecido a lo que sucedía cuando hablábamos del modo menor, que se modificaba al ejecutar una escala ascendente. En este caso, sólo al cadenciar, la tónica reposa en un acorde mayor con su tercera alterada, permaneciendo sin alteración en el resto de los casos. Esto se conoce con el nombre de modo frigio mayor, sobre el cual está construido el flamenco. La música española emplea de forma ya manida y abundantemente esta cadencia que, arrancando desde el III grado, llega por grados conjuntos hasta la tónica alterada, y que se denomina cadencia andaluza. (figura 7.2). Aprovechamos para indicar un nuevo cifrado, que es el de acordes con alteraciones, y que se indican simplemente con la alteración correspondiente seguida por el intervalo alterado, el 3º

en este caso. En la figura 7.3 aparecen cadencias modales típicas. Las notas con cabeza cuadrada son las características. Para aquellos que no dispongan de piano,

28

Se refiere el ejemplo a Si locrio como es relativo de Do mayor.

Fig. 7.3: Cadencias modales típicas.

Fig. 7.2:Cadencia andaluza.

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pueden escuchar estas cadencias en la pista 23, que están dispuestas en el mismo orden (ocho cadencias) y termina con la cadencia andaluza. Los acordes que intervienen en las cadencias como previos a la tónica, y que poseen la nota característica, se denominan acordes cadenciales, o cadentes. Por ejemplo, Re dórico tiene como acordes cadentes Mi menor y Sol mayor. Existe, en música modal, el llamado acorde a evitar, que es el que se construye con un acorde disminuido que contiene un tritono que, por su tendencia a resolver, nos hará desembocar en música tonal. 7.2 Progresiones modales Tras conocer la posibilidad de trabajar modalmente, lo primero que se nos ocurre es la posibilidad de generar progresiones no tonales, es decir, que no tengan que enlazarse mediante dominantes cuando quieran modular. Si deseamos pasar de un modo frigio a uno dórico, por ejemplo, lo haríamos a través de alguna de las cadencias de la figura 7.3. Cuando toda la música se encuentra girando entre modos relativos resulta algo confuso puesto que en la modalidad, al no ser tan contundente como la tonalidad, es difícil decidir si se está en un Re dórico, en un Sol mixolidio o en un Mi frigio, por ejemplo. La fuerza de la progresión se debe aprovechar para hacer modulaciones a tonos vecinos, manteniendo la modalidad. Es muy fácil conocer los tonos vecinos sin más que consultar la rueda de quintas y seguir, como siempre, el orden de éstas igual que en el caso de modos mayores y menores. Valga como ejemplo, que Re dórico es vecino de Sol y La dóricos también. Usemos los acordes cadentes para lograr la modulación modal. En el ejemplo siguiente se procede a construir una progresión desde Re dórico hasta Si dórico usando sus respectivos acordes cadentes como puente. Las notas características son las de cabeza cuadrada. El ejemplo resulta muy ilustrativo y recomendamos escucharlo en la pista 24.

En el cifrado el último acorde de cada sección antes del cambio de tonalidad, que es la tónica, también es el grado IV de la siguiente tonalidad y así se ha indicado. Será, pues, el acorde cadente. Es muy posible que el lector tenga una sensación extraña al oír la progresión y que hay algo que no acaba de encajar. Eso es porque el acorde cadente usado para modular es la dominante del modo mayor relativo del tono al que estamos modulando. En el ejemplo de la figura 7.4, hemos usado Re mayor como cadente de La dórico, pero resulta que éste es dominante de Sol mayor, relativo a su vez de La dórico. El oyente espera caer en Sol mayor en lugar de La menor debido a la costumbre que tenemos de oír obras tonales y por esa razón el fragmento propuesto no suena tan modalmente contundente. Por el contrario si usamos el acorde del grado II (que es el VI del tono que abandona y que también tiene la nota característica) como acorde cadente resultará más convincente (figura 7.5), y que se puede escuchar a continuación en la misma pista. En este caso nos encontramos realmente con un problema de costumbre y adaptación del oído a ciertos modelos. Muy posiblemente una persona que se haya educado en un lugar donde no se conozca la tonalidad no encuentre problemas al escuchar la progresión de figura 7.4. Sin embargo, si usted va a componer para públicos acostumbrados a la tonalidad es mejor que no la use, sustituyéndola por la de la figura 7.5.

Fig. 7.4: Progresión dórica.

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Finalmente pondremos otro ejemplo de progresión en modo mixolidio, que se puede escuchar también en la pista 24 a continuación de las dos anteriores (figura 7.6). En el caso mixolidio no aparece el problema del caso dórico ya que ninguno de los acordes cadentes es dominante del relativo mayor o menor al que se desea modular.

Referente a usar los acordes disminuidos en una pieza modal hay que decir que éstos pueden ser acordes de paso normales o cadentes. En el primer caso hay que tener cuidado de no resolver el tritono de la forma tonal habitual (véase apartado 7.4) ya que, en caso de hacerlo, se abandonará inmediatamente la modalidad para ingresar en el tono mayor o menor relativo correspondiente (a no ser, naturalmente que sea eso justamente lo que se desee). Si se usa como cadente el tritono se resolverá de forma inusual, buscando las notas más próximas a la tónica (en ocasiones alguna de las notas del tritono no hará falta modificarla pues pertenece al propio acorde de tónica). Se pueden usar acordes de séptima, no de dominante, como cadentes. En el modo dórico, el acorde cadente de séptima une precisamente los dos de grados II y IV que son los cadentes perfectos habituales. En el mixolidio también ocurre lo mismo, refundiendo en la séptima los acordes cadentes de los grados V y VII. El frigio y lidio unen VII y II. 7.3 Multitónica modal Igual que se habló en el apartado 6.11 sobre progresiones tonales que cierran figuras en el círculo de quintas, se puede hacer exactamente igual con otros modos. En ese caso, la diferencia con lo anterior es que se salta a tonalidades que no son vecinas. La figura 6.28 nos indica las tonalidades a las cuales ir saltando lo mismo que cuando se usaban modos mayores o menores. Por ejemplo, y basándonos en la misma figura, se puede hacer un ciclo saltando de Re a Si, Lab y Fa, todos ellos en modo frigio, dórico o cualquier otro. El proceso de modulación se hará mediante los acordes cadentes correspondientes. El resultado se puede ver en la figura 7.7, que ha empleado una secuencia semejante a la de la figura 7.6, excepto el cadente que se ha puesto el VII grado del siguiente tono. La progresión se encuentra en la pista 25.

Fig. 7.6: Progresión mixolidia.

Fig. 7.5: Progresión dórica usando el II grado como acorde cadente.

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7.4 Intercambio tonal e intercambio modal El sistema que se obtuvo con la tonalidad resultó ser muy sólido y permitió una enorme evolución de la música que en otras culturas no sucedió. Incluso en algunas de ellas, como la árabe o la india, no llegaron a desarrollar polifonía, es decir, la emisión simultánea de sonidos formando acordes, centrándose mucho más en el ritmo con el acompañamiento de instrumentos de percusión. Fue en la cultura europea donde nacieron las grandes obras sinfónicas y corales, con complejísimos tejidos armónicos y contrapuntísticos y que, pasado el tiempo, acabó influyendo también a otras culturas. Hoy en día es normal encontrar, por ejemplo, compositores japoneses y africanos cuya música en poco se diferencia de los compositores europeos. En la música pop de todo el mundo aparece un fuerte sustrato tonal y de acompañamiento en forma de acordes europeos teñidos con elementos tradicionales de esa cultura concreta. La sensible, con su tendencia a desembocar en la tónica, y el tritono fueron dos de los elementos más robustos de la música occidental. En el momento en el cual el modo menor consiguió sensibilizar el VII grado optó a poder mezclarse con su relativo mayor, confiriendo un gran interés y riqueza a las obras. Este intercambio basado en compartir algún elemento ha dado lugar a otras herramientas que están a disposición del compositor, aprovechando esos puntos en común entre dos elementos para que actúen como una bisagra y poder pasar así de uno a otro. Un buen ejemplo de ello era el tritono que podía resolver, bien hacia dentro, bien hacia fuera, sin más que intercambiar los papeles de la séptima y de la sensible (dominantes sustitutas). Con este mismo criterio se pueden incorporar los intercambios tonales y modales. El primero consiste en cambiar de tonalidad conservando como elemento común la armadura, es decir, flexiones a los modos relativos, usando para ello el recurso de la cadencia rota. Históricamente esta cadencia hace que la dominante del modo mayor resuelva de forma sorpresiva en el relativo menor dando un giro inesperado a la pieza. Derivar al modo menor sigue siendo lo más habitual, pero puede hacerse también a cualquiera de otros relativos, permitiendo que el tritono resuelva de manera diferente según sea el caso. Incluso se puede proceder a la inversa, aunque es menos usual, resolviendo el V grado del modo menor en el relativo mayor. La razón es que la resolución del tritono del V grado del modo menor no es tan buena como al revés, debiendo resolver en sentido contrario como una dominante

Fig. 7.7: Progresión multitónica mixolidia en terceras menores.

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sustituta y sin sensible. El tritono puede, no obstante, resolver de forma normal cuando deriva al VI grado, igual que la cadencia rota en modo mayor. En este caso, no obstante, se mueve la tonalidad hacia el tono vecino VI mayor. Si estamos en La menor, desembocaríamos en Fa mayor. Sin embrago, esta flexión no es estable y el discurso natural de la música tiende normalmente a regresar a La menor. Dependiendo de ello las clasificaremos en resolución tonal, o resolución modal. Entenderemos por resolución tonal del tritono aquella que lo hace por movimiento contrario de ambas notas. La resolución tonal es más contundente y arrastrará inevitablemente la música hacia un sistema tonal. La resolución modal es más libre y lo hace por movimiento oblicuo de las voces29. La resolución es válida pero más débil que la tonal. Cuando un tritono realiza una resolución modal puede hacer cadencias rotas a todos los modos relativos con los movimientos que se detallan en la tabla XVII. Aunque la sensible no tiene oficio de tal, por ser un concepto plenamente integrado dentro del sistema tonal, se ha mantenido la nomenclatura por sencillez para el lector. En modo mayor las notas serían: Fa (séptima) y Si (sensible). También se han explicitado estas cadencias en la figura 7.8. Nótese que la cadencia rota al relativo mixolidio es impracticable porque el acorde de dominante del modo mayor (Sol) es la propia tónica mixolidia. En cuanto a la cadencia rota al relativo lidio, suele combinarse a continuación con una plagal desde IV a I, cosa muy frecuente en música pop. Estas cadencias se pueden escuchar en la pista 26. No hay que olvidar que la resolución de un tritono es un elemento también del sistema tonal y que estas cadencias pueden inducir al espectador a pensar que se ha cadenciado, o flexionado, a los tonos mayores o menores correspondientes, en lugar de dóricos, frigios, etc. Por ejemplo, y regresando a la figura 7.8, en los compases 3 al 6 se pueden interpretar las flexiones a Fa mayor (no al relativo lidio), Re menor (en lugar de Re dórico), o Mi menor (en lugar de Mi frigio). Esta ambigüedad puede, no obstante, ser usada con habilidad por el compositor para jugar con el paso precisamente a esas otras tonalidades, lo que tampoco resulta abrupto por tratarse de tonos vecinos. Por último, y antes de pasar al siguiente tema, hay que recordar que este tritono se ha puesto aislado con plena intención, ya que puede pertenecer tanto a acordes de dominantes normales como de sustitutas y disminuidas con o sin séptima, abriendo una enorme abanico de posibilidades. Para más detalle consulte un tratado de armonía moderna.

29 En música se entiende por movimiento oblicuo aquel en el que una de las voces permanece quieta mientras se mueve la otra.

tipo de flexión sensible séptima uso menor sube baja muy frecuente mayor baja sube poco usada mayor VIº sube baja poco usada lidia sube se mantiene usual (pop) dórica baja se mantiene poco usada mixolidia se mantiene sube impracticable frigia se mantiene baja usual

Tabla XVII: Cadencias rotas modales.

Fig. 7.8: Cadencias rotas.

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Por otro lado está el intercambio modal, que es aquel que cambia de modo conservando la tonalidad. Como ejemplo podemos poner un fragmento en Do mayor que flexiona a Do menor, dórico, frigio, etc. Se pueden usar, sin mayor preámbulo, acordes propios de estos modos, teniendo la precaución de no poner séptimas de dominante que arrastren nuevamente a la música hacia un carácter decididamente tonal. Se puede hacer esto con plena libertad siempre y cuando el compositor controle en cada momento las sonoridades y efectos psicológicos, evitando que tanta libertad se le vaya de las manos y produzca piezas incomprensibles. Cuando se trata de jazz, resulta muy flexible, pues en este estilo se permiten muchas licencias, manteniendo en infinidad de ocasiones un carácter de la pieza marcadamente ambiguo que es, justamente, lo que se pretende. Desde luego serán necesarias más precauciones en el caso del pop o de la clásica, en donde el público puede quedar desconcertado si el compositor no centra lo suficientemente bien los cambios modales y tonales que pretende hacer. La materia del intercambio modal es extensa y no es nuestro propósito el detallarla pues está contenida en los tratados de armonía moderna. Como siempre, el objetivo de este libro es buscar el porqué de las cosas y entroncarlas con un fundamento científico, encauzándolas desde un argumento lógico. Por ello, diremos que los intercambios modales más interesantes son aquellos que emplean acordes de IV grado del modo menor. Valga una vez más como ejemplo Do mayor y hagamos un intercambio modal con Do menor usando el IV grado, esto es Fa menor. Este acorde tiene la ventaja de usar el grado VI alterado como bemol y entronca con la familia de acordes tratados en el apartado 6.8 referente a otros usos del tritono, concretamente con el acorde IIm7(b5) del que ya se habló allí. Un ejemplo más sería bVIIm7, acorde propio del Do frigio, que también posee el VI grado de Do mayor alterado. Hay un intercambio modal de mayor a mixolidio muy frecuente. Este uso procede de reforzar el acorde del VII grado que, por ser disminuido, resulta débil. Si en lugar de usar este acorde disminuido, bajamos la sensible un semitono, obtenemos el acorde mayor bVII, que lo convierte en un intercambio modal mixolidio. Es muy usado en el pop y el rock, pero también en el cine, y su uso sinfónico es interesante. Yo lo uso frecuentemente, y el lector puede escuchar esta cadencia en la pista 27. Existen unos acordes especiales que han sido y continúan siéndolo, de uso muy frecuente y emparentados con el intercambio modal. El primero de ellos, llamado sexta napolitana, aparece como la primera inversión del acorde bII propio de un intercambio modal con el frigio correspondiente. Desemboca en la dominante tonal o en la propia tónica aunque, en este caso, hay que tener en cuenta que puede dar sonoridad de música española y a lo mejor no es eso lo que se pretende. Los otros son acordes llamados de sexta aumentada, ya que en ellos aparece este intervalo por usarse normalmente también en primera inversión. Se conocen tres de ellos con los nombres de sexta francesa, italiana y alemana. Todos ellos comparten una vez más tener alterado el VI grado como bemol. La sexta francesa es la primera inversión del acorde II7(b5). Este grado, normalmente menor en el modo mayor de la tónica (Re menor en Do mayor), es ahora mayor y puede considerarse como la dominante de la dominante, y en ella desemboca habitualmente. Las sextas italiana y alemana son en realidad acordes sobre el grado VI bemol que funcionan como dominantes sustitutas haciendo una cadencia rota lidia (ver figura 7.8 y tabla XVII). 7.5 Progresiones de acordes de undécima. Politonalidad Aunque las séptimas y novenas tienen la capacidad de formar series, al tratar de ampliar estos conceptos a undécimas y decimoterceras, nos encontraríamos con el mismo escollo que al hablar de los acordes correspondientes. No siendo estos intervalos armónicos claros (el Fa ni siquiera lo es), ya se dijo en su momento que las

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undécimas y decimoterceras se empleaban como tensiones. En la figura 7.9 se ha construido un acorde de undécima e, inmediatamente, vemos que éste se puede

descomponer en dos trozos bien diferenciados. En el bajo se encuentra un acorde de Do mayor, mientras que en la parte superior el acorde es un Sol séptima de dominante G7. Su tritono invita al acorde a resolver sobre Do mayor, y si queremos mantener que este nuevo acorde sea también de undécima, el bajo deberá moverse a Fa mayor y añadir arriba un Si bemol (representado entre paréntesis en la fig. 7.9). Como ya sabemos, este acorde es inestable por su condición de undécima y, a su vez, se moverá hacia el siguiente, creando

la progresión. Ahora bien, esta serie tiene una peculiaridad que la diferencia de las series de séptimas y novenas y es que, si nos fijamos en ambos pentagramas por separado, el bajo ha realizado una cadencia perfecta (aunque sin séptima) de Do a Fa, mientras que el acorde superior ha hecho un enlace de G7 a C7, que es otra cadencia, pero esta vez de Sol a Do. Es como si la parte del bajo estuviese en Fa mayor mientras que la superior lo fuera en Do mayor, dos tonalidades superpuestas. La siguiente célula de la progresión está obligada a resolver su séptima de

arriba en F7, otra nueva séptima, y el acorde del bajo a Sib, superponiendo nuevamente dos tonalidades. Podemos escuchar una serie de este tipo en la pista 28 y que, a su vez, es el fragmento de la figura 7.10. El resultado es muy semejante a la serie de séptimas ya que, no en balde, la undécima tiene función de dominante aunque esta vez la séptima de dominante esté unida a la tónica. Nótese el doble cifrado en donde aparecen los acordes superpuestos a partir de la primera viola. En estos acordes hay un problema, consistente en la formación de una novena menor entre la tercera y la undécima del acorde. Esto ya se anunciaba en la figura 6.19 y no es una novedad, siendo la solución eliminar la tercera, lo que deja ambigua la modalidad del acorde sobre el que se construye. Además, también existe un tritono

Fig. 7.10:Enlaces de undécimas.

Fig. 7.9: Enlace de undécimas.

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que necesita resolver por lo que el siguiente acorde está obligado y, volviendo a ser una dominante, resolverá una y otra vez. La novena menor y el tritono se evitarían alterando la undécima medio tono ascendente (Fa pasará a Fa# en el ejemplo) con lo que la parte superior quedaría definitivamente estabilizada en Sol mayor, sin disonancia agresiva ni necesidad de resolver. Este fenómeno se denomina politonalidad, y permite que una parte de la obra se mueva en la parte superior en una tonalidad mientras que la de abajo lo haga en otra. Al no haber obligación de resolver, el discurso melódico y armónico queda libre, a condición de formar acordes de novena y dejar la undécima para resolución de dominante simultánea para ambas tonalidades. Cuando se respeta esta norma, la politonalidad genera piezas agradables, pues sus disonancias están construidas de acuerdo a una tonalidad extendida. En el periodo de rotura de reglas del siglo XX, la politonalidad no sigue ninguna regla, pero si está sabiamente conducida, puede generar efectos interesantes. No siempre es así y en ocasiones la música resulta demasiado difícil.

Fig. 7.11:Politonalidad de dos niveles. En la politonalidad “ortodoxa”, por llamarla así, la tonalidad superior está supeditada armónicamente a la inferior pues esta última es la que se halla en el bajo. Por el contrario, la tonalidad superior es la que se escucha, por ser la aguda, y la cadencia final deberá reposar en ésta. La relación entre las tonalidades es muy clara y está gobernada por la formación de acordes de undécima. Sobre la tónica del bajo se traza en la voz superior el V grado, que será, a su vez, primer grado de la tonalidad superior. A continuación se respetarán los mismos grados arriba y abajo, tal como se ha escrito en la figura 7.11, es decir, que sobre un acorde de IIº grado abajo le corresponde también otro IIº grado de la tonalidad de arriba. El fragmento se puede escuchar en la pista 29. Aunque en el pentagrama de arriba el Fa es sostenido y natural en el de abajo, no coinciden nunca verticalmente. Estos cambios se pueden aprovechar en líneas melódicas como la de la trompa en el cuarto compás, dando así un toque singular y algo sorprendente. Aunque una ventaja de la politonalidad es haber eliminado las novenas menores, hay, empero, un problema sobre el acorde de la sensible, porque entran en conflicto alteraciones, simultáneamente naturales y sostenidos en la misma vertical.

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Siendo la tonalidad superior la que domina eliminaremos la nota en conflicto de la parte inferior. Cuando los acordes que intervienen son de decimotercera el resultado es análogo, pero añade una tercera superposición tonal, a su vez un Vº grado del Vº de la tonalidad inferior. El problema en la sensible que había en la doble tonalidad se repite ahora en la triple, siendo tres las notas en conflicto, de las que habrá que eliminar dos, normalmente las quintas en este mismo acorde de sensible de las dos tonalidades inferiores. La quinta de la tonalidad superior forma novena menor como se ve en la figura 7.12 (pista 31), y en la que se han detallado los diferentes acordes en tres tonalidades superpuestas como decimoterceras.

Sobre una vertical los acordes siempre estarán en relación de quinta ascendente. Sobre la sensible se eliminarán la notas en conflicto de la tonalidad inferior, que son las notas en negro de la figura 7.12. Siempre que se respete esta disposición será posible aplicar conceptos dichos con anterioridad, tales como multitónicas y progresiones, tanto tonales como modales, vigilando siempre la formación de posibles novenas menores y tritonos que tengan que resolver. En líneas generales podemos enunciar las siguientes reglas para la politonalidad:

� Se pueden apilar hasta un máximo de tres tonalidades.

� Cada tonalidad superior estará a una distancia de quinta de la inmediata inferior.

� En una misma vertical deberán coincidir los mismos grados de los acordes respectivos de cada tonalidad.

� En los acordes de sensible se deben suprimir las quintas, sustituyéndolas por las fundamentales del acorde de sensible de la tonalidad inmediatamente superior.

� Evitar presencia de notas con diferentes alteraciones en notas de paso.

7.6 Células modales simples. Floreo armónico Hasta ahora, al plantear una progresión, ya sea tonal o modal, se suponía que entre celdas existía un determinado acorde que conectaba ambas. En el caso de progresiones tonales, dicho acorde es la séptima de dominante de la siguiente tonalidad, y en las modales esta misión se reserva al acorde cadencial correspondiente al modo sobre el cual se va a caer. Reduciendo al caso más simple, cada celda de una progresión puede estar ocupada simplemente por un solo acorde, que quedaría relegado a uno de séptima o de novena como si se tratase de una modulación permanente sin quedar fija en una determinada tonalidad (figuras 6.30 y 6.31), lo que dio pie al sistema multitónica. Sin embargo, en la figura 6.33 también se

Fig. 7.12:Sucesión de acordes en una politonalidad de tres niveles.

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propuso una progresión en la cual, aprovechando la fuerza de la misma, no existen acordes bisagra y aparece simplemente un modelo que se repite.

Uniendo ambas filosofías, es decir, la de carecer de enlace entre tonalidades y la de reducir a un solo acorde la célula de la progresión, se obtiene una progresión por células modales simples, y que queda constituida mediante simples acordes mayores o menores ya que hemos eliminado la necesidad de modular y tener, por consiguiente, que ser forzosamente séptimas o novenas. Aplicando sobre estas progresiones el concepto de la multitónica obtendríamos progresiones cíclicas multitónica de células modales simples, un nombre bastante largo que podemos resumir en progresiones modales simples, y que constituyen un potente recurso que ha sido y sigue siendo una de las herramientas más empleadas en música de cine.

Al hablar de progresiones, se dijo en 6.12 que los intervalos del espaciado entre acordes son más favorables con quintas y cuartas, después terceras y finalmente segundas. En el caso presente, las quintas resultan demasiado amplias y ligadas a la tonalidad por lo que suenan más tradicionales y se emplean menos. Cada celda de la progresión está controlada por un único acorde y el paso de una a la siguiente no requiere de ninguna fórmula de paso, es más, lo abrupto del cambio forma parte, precisamente, del efecto y la fuerza de estas series. Dentro de cada celda se puede desarrollar una melodía variada y coherente con el acorde que la mantiene. Esto rompe la progresión melódica y enriquece y mejora el fragmento como veremos en los siguientes capítulos. El concepto de progresión queda, así, reducido a escalones armónicos equidistantes en la rueda de quintas. En el terreno psicológico es de destacar que con acordes mayores el efecto que se consigue es de grandiosidad o de tensión, como en la figura 6.32 en donde tenemos una progresión de este tipo. En cuanto a las de acordes menores el efecto tiene un tinte decididamente sobrecogedor,

Sol

Fa

SiLa

ReMi

LaSol

FaSol

DoRe

Si

La

Re

DoMi

Fig. 7.13 a: Progresiones modales simples mayores.

104

por lo que se emplea fundamentalmente en temática fantástica, ciencia ficción y catástrofes.

En las figuras 7.13 a y b vemos dos ejemplos (pista 32) de estas progresiones. En la a las células se componen de acordes mayores espaciados como aparece en el círculo de quintas, a distancia de tercera mayor. En la b las células son de acordes menores y están espaciadas por terceras menores. También se pueden distanciar segundas mayores y menores, así como tritonos, quedando reducidas a dos células en este último caso. Con estos conceptos podemos abordar el floreo armónico. En música se entiende por floreo una flexión corta a otra nota y regresar acto seguido a la primera como si fuera un balanceo. Aplicando esto mismo a la armonía, un floreo armónico es igualmente un balanceo entre dos acordes. El floreo puede ser tonal o modal. Los floreos tonales se producen empleando acordes de la tonalidad donde nos encontramos. Por ejemplo, podría ser C – F – C, que se emplea en el Aleluya de Händel. Como floreos modales son de uso común las cadencias mixolidias como podrían ser C – Bb – C, ó C – Gm – C, muy usada esta última en el impresionismo. Naturalmente también se pueden usar los floreos con células modales simples, y fueron los precursores de las progresiones, siendo un ejemplo significativo Neptuno, de la suite Los Planetas de Gustav Holst. Hay floreos a distancia de semitono en la banda musical de la película Species, de Christopher Young. Yo he empleado este recurso numerosas veces, por ejemplo en la pista 33 aparece un floreo de acordes mayores a distancia de tritono en mi 9ª sinfonía. Ninguno de los recursos de los que hemos hablado es rígido y, lo mismo que Bach cortaba una progresión antes de resultar reiterativo, no hace falta que en una progresión se completen todos los escalones. Pueden mezclarse células menores con

Sol

Fa

SiLa

ReMi

LaSol

FaSol

DoRe

Si

La

Re

DoMi

Fig. 7.13 b: Progresiones modales simples menores.

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mayores y viceversa. Incluso es posible hacer un único escalón en un momento determinado, lo que resulta a veces muy efectista. Por ejemplo, John Williams realiza un giro con acorde menor a distancia de tritono en la película Harry Potter en el vuelo del dragón sobre el lago. En mi 8ª sinfonía (pista 34) aparece una progresión simple mixta, con acordes mayores y menores. Con estos elementos ha quedado completada la paleta de recursos que el compositor posee en la actualidad en lo que a tonalidad y modalidad se refiere. En el capítulo 10 hablaremos del último recurso, que es el atonalismo y sus formas análogas.

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CAPÍTULO 8

El arte y la información 8.1 Teoría de la información La teoría de la información fue introducida por C.E. Shannon y W. Weaver con el objeto del tratamiento de señales digitales e informáticas; la propia palabra indica que el elemento básico es la información. Con el tiempo se comprobó que, al igual que suele ocurrir en determinadas disciplinas matemáticas, que resultan aplicables en otros campos, la teoría de la información podía utilizarse en otros ámbitos muy diferentes como la sociología, el periodismo y el arte. La teoría en su origen posee un formalismo matemático como corresponde a una aplicación dentro de la transmisión de datos entre máquinas. Sin embargo, y como ya se ha apuntado, su incorporación en otros escenarios en donde el elemento humano se integra dentro de la transmisión de información, como el arte, obliga a una mayor flexibilidad de planteamientos puesto que se adaptará con mayor dificultad a tratamientos matemáticos rigurosos. En estos casos, lo más oportuno suele ser recurrir a grandes muestras de sujetos de experimentación (en donde es frecuente tener en cuenta su educación y grado cultural) y realizar los estudios estadísticos oportunos que engloben un comportamiento universal para un estímulo determinado, desechando la opinión de sujetos singulares cuya percepción de la realidad se aparte de la media. Hay que puntualizar que la opinión de tales sujetos es absolutamente respetable, pero no es representativa, y debe eliminarse siempre en cualquier proceso estadístico.

Al realizar un estudio de este tipo es menester tener en cuenta la dispersión de datos, consistentes en la mayor o menor diferencia de todos ellos con respecto al valor medio. Cuanto menor sea la dispersión, mayor será la universalidad de la ley, en tanto que una dispersión grande nos indicará que la calidad de la obra es discutible, y si se divide la opinión es porque el tema está sujeto a polémica. Por ejemplo, si se hace una encuesta sobre si la Tierra rota o no, el casi cien por cien de los encuestados responderá afirmativamente, acumulando los resultados en torno a un valor único. Si la encuesta fuese sobre la práctica, o no, del aborto las respuestas no serán unánimes y abarcarán áreas más o menos extensas. En preguntas simples como ésta en donde las respuestas se relegan a tres posibilidades: «sí», «no» y «no sabe, no contesta», obtendremos tres montones de datos con tres alturas diferentes. Al hallar la media aritmética llegaremos a la conclusión de si un país dice si o no al aborto, pero eso no nos informa de si la decisión ha sido o no reñida o el nivel de importancia que la gente le ha dado (medido por las abstenciones). En otras ocasiones puede existir un mayor abanico de respuestas. Por ejemplo, para aportar información sobre asuntos de estética musical, de la que se tratará en el último capítulo, se ha realizado un experimento sociológico proponiendo puntuar unas determinadas piezas de cero a diez. Con las respuestas se hace una representación gráfica de la calificación de la

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c

Fig. 8.1: Gráficos sobre encuestas de opinión.

107

obra en función del número de respuestas obtenido para esa determinada calificación, con lo que se consigue algo semejante a la figura 8.1. El aspecto del dibujo nos da mucha información sobre la obra, si ha sido exitosa o un fracaso y el grado de los mismos, si levanta o no polémica o si no existe ninguna norma aparente. Por ejemplo, la parte a de la figura corresponde a una obra básicamente mala (dispersión moderada con aglomeración de votos en torno a una calificación baja). Aún puede acentuarse este efecto si, en lugar de varias barras, se hubiese obtenido una sola, sin votación en el resto de las calificaciones. En tal caso la decisión toma la denominación de indiscutible, puesto que todo el mundo está de acuerdo. En b se tiene una obra polémica que ha dividido al público entre quienes opinan que es buena (derecha) y otros que creen que es mala (izquierda), aunque mayoritariamente se concluye que no ha gustado puesto que predomina la parte izquierda. En este caso la encuesta se podría complementar con otros datos, tales como conocimientos musicales o costumbre de escuchar conciertos, etc., que arroje luz sobre el por qué ha gustado a un grupo reducido. El caso c es mucho más ambiguo, pues resulta imposible saber una ley clara, ya que la dispersión es excesiva y no permite establecer norma alguna sobre la calidad de la obra. 8.2 El concepto de información. En la teoría desarrollada por Shannon y Weaver aparece un concepto matemático sobre la información, surgido con objeto de cuantificarla y poder ser tratada posteriormente. Para entender qué es la información es menester comenzar previamente con una pequeña disquisición intuitiva. Por ejemplo, estamos acostumbrados a escuchar a personas que hablan mucho y dicen poco o nada útil. Eso suele ser porque la mayoría de las palabras y frases que emiten están vacías de contenido, carecen de información. Pero ¿cómo es posible que una persona sea capaz de hablar tanto tiempo sin decir nada? La respuesta es simple: todo lo que dice es algo sobradamente conocido. Existe un ejemplo muy gráfico y aclaratorio. A lo mejor cayó en sus manos en cierta ocasión un papel en donde se indicaba cómo crear un discurso para un político. Había varias columnas con frases hechas y que no había más que unir de forma aleatoria, produciendo una disertación aparentemente coherente que podía prolongarse indefinidamente. Las frases, aunque gramaticalmente correctas, no contienen una información novedosa, es siempre la misma. Eso hace que, quien las escucha pierda el interés rápidamente al comprobar que no hay nada nuevo a tratar. Eso es básicamente la información: novedad y sorpresa. Cada elemento nuevo que aparece en un discurso se llama dato. En el momento en que un dato se repita, deja de serlo, y pasa a ser material redundante, incluso basura si la repetición es grande. Insistir en lo mismo suele ser perjudicial para un discurso. Ahora bien, una abundancia excesiva de datos originales también resulta negativa cuando el receptor es humano. Un cerebro no es una computadora y un aluvión de datos llega a producir cansancio y la consiguiente desconexión al cabo de cierto tiempo. Esto también es importante a la hora de crear arte, que puede tomar forma como una complejidad excesiva en una obra plástica, o una duración inadecuada en el caso de literatura, teatro y música. Otra importante y radical diferencia entre la teoría matemática de la información y el arte consiste en la propia naturaleza del receptor quien, lejos de ser una máquina, es un ser humano con potestad para aceptar o rechazar la información recibida. Esta circunstancia hace que la cadena básica propuesta en teoría de la información de: fuente→medio transmisor→receptor, haya que revisarla puesto que en el caso de una obra de arte, la fuente de información, es decir, el artista, se ve influido por la reacción que pueda tener el receptor ante su creación. Es relativamente corriente que en la época actual se desprecie por completo dicha reacción, pero en tal caso no debería sorprender que el último paso de la cadena se vea seriamente afectado. No se puede pretender en modo alguno que el receptor humano se amolde de forma dócil a una información que

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le desagrade puesto que es soberano en sus decisiones de aceptar o no las propuestas del artista. En el arte también hay información, aunque de naturaleza diferente al caso de la informática, y es precisamente esa información la que resulta importante y diferencia una obra buena de una mala. No hay nada peor en el arte que algo no diga nada, que aburra o que canse, y eso es porque la información no existe o está mal distribuida. Se dice que algo es manido cuando no aporta nada nuevo, y no es otra cosa que la ausencia de datos. En el cine se abusa constantemente de frases hechas como: “¿estás bien?”, “tengo que irme”, o “todo saldrá bien”, y dejan de ser información útil para el espectador. Los datos necesitan un soporte sobre el que transmitirse. Por ejemplo, en la radio existe una onda senoidal de frecuencia fija sobre la cual se modula en amplitud o frecuencia determinada información como diálogos, música, etc. La escultura necesita un bloque de piedra o barro sobre el que comenzar a trabajar, la literatura papel y tinta o un ordenador, la música una onda sonora que ir variando en frecuencia y amplitud, etc. Este soporte lo llamaremos portadora y se define como un fenómeno o ente físico, matemáticamente definido y con la característica de ser perfectamente predecible, es decir, que un estado del sistema determina inequívocamente el siguiente. Por su propia definición, la portadora no lleva información. Si algo es predecible por poderse deducir del estado anterior no hay novedad, carece, pues, de datos. Por ejemplo, si usted es capaz de saber el final de una película, por todo lo que ha sucedido anteriormente, dicho final no es información y quedará decepcionado, había demasiada portadora en esa película. Dicho esto, definiremos como señal aquella portadora que contiene una cierta información en forma de datos. Como hemos apuntado antes, la información conlleva sorpresa, de ahí que el artista deba ingeniárselas para crear estructuras de las que no se pueda deducir el siguiente paso. En teoría de la información se dice que la cantidad de información de un dato es tanto mayor cuanto más sorpresivo sea. En lenguaje matemático la “sorpresa” se mide con la probabilidad de que este dato sea emitido. Cuanto más improbable sea el dato, tanto mayor será la sorpresa que origine su aparición. Imagine de nuevo el final de una película. Un desenlace inesperado implica mucha información y el espectador se ve tanto más gratamente sorprendido. Sobre esto hay, empero, que puntualizar muy bien que el dato sorpresivo debe ser, además, coherente, esto es, que guarde una relación lógica con el resto de la información precedente, no puede ser discordante porque decepcionará sin duda. Una vez más en el ejemplo de la película, un final absurdo, inconexo y disparatado, por muy sorpresivo que resulte, carece de ilación con el resto y parecerá extraído de otra película diferente y añadido posteriormente a la primera. El espectador se sentirá defraudado y, en ocasiones, incluso irritado, ya que puede llegar a pensar que se están burlando de su inteligencia tomándole por un estúpido a quien va a parecerle coherente ese final. Esto es igualmente válido para datos intermedios, que no pueden intercalarse sin lógica alguna. Cuando sucede esto, es decir, la interpolación esporádica de elementos que no guardan relación con la información principal, se denomina ruido, que se define como cualquier variación aleatoria de la señal que la altere o distorsione. Cuando las alteraciones son lo suficientemente grandes como para que la señal no sea en absoluto reconocible, nos hallamos ante un ruido puro. Los datos son de carácter aleatorio y sin relación ninguna entre ellos. Se ha dicho que en una señal puede aparecer el mismo dato repetidas veces con la consiguiente pérdida de información. A esto se le llama redundancia, y aunque parece negativo a simple vista, es muy útil en las señales ruidosas porque permite separar bien la señal del ruido simplemente por insistencia. En un debate en los que los interlocutores se cortan constantemente la palabra vemos con frecuencia que el interrumpido insiste en una frase, repitiéndola constantemente para que prevalezca sobre el ruido introducido por quien le cortó el discurso. Este es el mismo efecto que produce un dato redundante en una señal ruidosa. Pero también podría pasar que los datos intercalados en forma de ruido tuviesen coherencia entre sí, y entonces lo que se estaría produciendo sería una

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interferencia entre dos señales, siendo el ruido en este caso una señal parásita que contamina la principal, que es la que interesa. En el mundo técnico se sabe que cualquier muestra natural contiene dos componentes: la señal y el ruido, aunque por lo general, el ruido suele presentar una intensidad menor que la señal. La mayor parte de las veces, para un ingeniero, la señal es lo importante y debe filtrar el ruido, que es lo que molesta, pero en otras el ruido también tiene información, diferente a la de la señal, y guarda relación con las causas que crean la distorsión de ésta. Puede que, si bien el ruido sea una señal diferente, se halle relacionada con la principal y entonces lo que hace es complementarla. El ruido será tanto más perturbador cuanta menos relación guarde con la señal principal. En la manifestación artística puede, y en ocasiones debe, existir una cierta cantidad de ruido para que añada interés; de hecho, el propio flujo de datos puede considerarse como un ruido frente a la portadora. Atendiendo a la definición de esta última, su perfecta predictibilidad está reñida con el propio concepto de arte, en donde la creatividad de la persona es la que añade el factor de sorpresa imprescindible que lo caracteriza. Si bien en el mundo tecnológico el concepto de portadora y de señal es algo muy bien definido, en terrenos como el arte, éste resulta mucho más difuso, relativo y no tan sujeto a una norma matemática indiscutible. Por ejemplo, en el caso de la música, o del sonido en general, el primer ejemplo de portadora que se nos vendría a la cabeza sería el de una onda senoidal de frecuencia constante y extensión infinita. Este caso concuerda con el concepto intuitivo de lo que es un sonido puro, pero no es menos cierto que el ritmo constante del batido de un tambor también sería de alguna manera una portadora, ya que es perfectamente predecible. Lo mismo sucede cuando se tiene un caso más complejo como podría ser una serie de séptimas. Si hemos tomado como portadora una onda senoidal infinita, es evidente que cualquier modulación de ésta para crear música sería una señal, como el caso propuesto de la serie de séptimas. No obstante, si la serie se prolonga, se convierte en un ente completamente predecible y pasaría a ser una portadora aunque, eso sí, de mucha mayor complejidad. Dicho grado de complejidad hace que en esta nueva portadora exista algo de información y consecuentemente, despierte un interés. Es la insistencia en una gran cantidad de celdas de cualquier progresión la que la convierte en predecible hasta formar una nueva portadora. Ya se comentó anteriormente el problema de la pérdida de interés por la repetición de un dato hasta llegar al fenómeno de la redundancia. Cuando nos encontramos en el caso de una serie muy larga, lo más práctico será añadir algo de ruido sobre ella. Este ruido consiste en no copiar exactamente la celda siguiente como un calco transportado de la anterior, sino introducir determinadas variaciones en las posiciones de las voces, inversiones, etc., que reconviertan la serie en una nueva señal, abandonando su condición de portadora. En las portadoras complejas aparece el fenómeno de dispersión de datos experimentales. En la parte a de la figura 8.1, se ha representado la respuesta de un público frente a una portadora compleja (pista 35), mientras que cuando se hizo el experimento con una onda simple sin variación de ningún tipo (pista 36), el colectivo reaccionó unánimemente (con una sola barra) considerando que, como obra musical, una portadora pura carecía por completo de calidad artística. 8.3 Relación señal/ruido. Acabamos de ver que los conceptos de portadora y de señal pueden confundirse fácilmente a medida que aumenta la complejidad de un sistema, como sucede en una obra de arte. Eso plantea igualmente un problema en el tratamiento riguroso de tales sistemas. Por ese motivo, la herramienta más aceptable para su estudio es la estadística y la experimentación con grupos humanos. A medida que aumenta la complejidad de un sistema, también lo hace la dispersión de opiniones. En los siguientes capítulos aplicaremos la teoría de la información a dos sistemas de complejidad diferente. El primero será el estudio del timbre, mucho más ligado a las

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leyes de la física, y en donde su escaso nivel de complicación hace que haya un buen acuerdo entre todo el mundo. En cambio, el siguiente capítulo habla de la estética musical y, más concretamente, de la música mal llamada “contemporánea”30, en donde es evidente que ha surgido una polémica (dispersión de datos). Dado que en el arte nos encontraremos normalmente con portadoras complicadas, en adelante la llamaremos señal (puesto que su estructura almacena cierta información), y el ruido será cualquier modificación de ésta, tenga relación o no con ella. Pero no todos los ruidos son iguales, nos encontramos con dos tipos diferentes del mismo: coherente o incoherente, según tenga o no que ver con la naturaleza de la señal, y aún un tercer tipo que trasciende al sistema mismo y que, por ello, llamaremos meta-ruido. Estudiemos la influencia de la adición de ruido en una señal dada. En la figura 8.2 vemos un ejemplo gráfico en donde se ha representado un paisaje con diferentes relaciones señal/ruido. La parte a representaría la señal, un terreno liso y de forma matemática, junto a un cielo con nubes cuadradas y un mar completamente plano y reflectante; en la b se ha añadido una cantidad muy moderada de ruido que aparta todas las formas de lo estrictamente predecible; la parte c presentaría la mejor opción de mezcla señal/ruido por ser la que mejor se adaptaría a un paisaje real. Finalmente d tiene demasiado ruido y se desvirtúa el realismo del paisaje.

En cualquier caso, el ruido que se ha añadido es coherente. ¿Por qué? Muy simple: la señal es un terreno y el ruido consiste en sus variaciones topográficas. Un ruido incoherente es, por el contrario, el de la figura 8.4, que no tiene nada que ver con la geometría del terreno por tratarse del ruido creado por el sistema de reproducción fotográfico. Otro tipo de ruido incoherente sería el de la figura 8.3, pero esta vez parece no ser molesto como el de la figura 8.4. Las razones se basan en que en la figura 8.3 aparece el mismo paisaje interpretado por un pintor, y en él el ruido se

30 La palabra en sí tiene sentido temporal y no tiene nada que ver con un estilo de hacer arte. Resulta absurdo que dentro de mil años siga llamándose “música contemporánea” a la realizada diez siglos atrás.

a b

c d

Fig. 8.2: Diferentes relaciones señal/ruido en un paisaje.

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materializa en forma de pinceladas. Como ya decíamos, el ruido añade una información que no está en la señal, y en el caso de la creación artística aporta parte del intelecto del artista, su propia visión del paisaje, lo que hace que resulte muy interesante frente a la figura 8.4, consistente en una imagen muy desenfocada que resulta inadmisible (izquierda), lo mismo que la parte derecha de la misma figura que es una imagen sucia y descuidada. El ruido de la figura 8.3, aparentemente incoherente por no guardar relación con la geometría del terreno, informa sobre su creador y aparece como un metalenguaje31, quedándonos con la palabra anteriormente citada de meta-ruido para el caso de la fig. 8.3, y simplemente ruido incoherente el de la de 8.4. En música este tipo de meta-ruido es precisamente la interpretación, consistente en la visión propia del instrumentista, o director de orquesta, sobre una determinada obra (señal). Cuando un ruido coherente comienza a ser muy intenso, pese a su información

adicional, entra en conflicto con la señal básica por interferencia con ésta y se presenta una situación indeseable. Estamos en el caso d de la figura 8.2, donde el ruido consigue un efecto irreal y resta credibilidad al paisaje. Todo esto nos habla de la complejidad del tratamiento del ruido para un caso de creación artística y hay que distinguir entre ruido con información y ruido simplemente de distorsión y enmascaramiento. Como el ruido no es otra cosa que la propia señal ligeramente modificada, cuando se traza un fractal resulta mucho más estético si cada

elemento del mismo no es exactamente igual a los adyacentes. De hecho, en música electroacústica se suelen añadir pequeñas cantidades de ruido o sonidos inarmónicos a la señal y que, combinados con éstas, añaden riqueza e interés al sonido modelado. El otro ejemplo es el batido de un tambor, que sería la base de una música minimalista. Sobre un determinado ritmo o modelo que se repite indefinidamente (señal) aparecen pequeñas variaciones del mismo que hacen que se transforme de forma continua (ruido). Precisamente la música minimalista cobra sentido siempre que exista este ruido, puesto que una señal, por sí misma, resultaría extremadamente monótona al cabo de unos minutos. Un ejemplo más sería un bosque con repoblación forestal. Ésta se suele hacer poniendo todos los pinos alineados, lo que da una sensación totalmente artificial y poco estética. Un bosque repoblado tiene el problema de poseer demasiada señal y poco ruido.

31 El prefijo meta suele aplicarse a aquellos entes que se encuentran fuera de los sistemas, y que a menudo los crean. Por ejemplo, si un escritor habla del personaje de una novela en algún pasaje de la misma, eso se entiende como una referencia a dicho personaje. En cambio, si habla de sí mismo en la misma novela, se entiende esto como una meta-referencia.

Fig. 8.3: Visión artística del mismo paisaje.

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8.4 Relación crítica. Acabamos de ver que una adición de ruido coherente mejora una determinada señal, pero que si el ruido es excesivo se produce una interferencia molesta en una zona a la que llamaremos relación crítica. Un mayor aumento del ruido por encima de esta relación puede llegar a borrar la señal original y nos encontraremos ante una nueva, haciendo que el efecto estético sea mejor. La razón estriba en que el cerebro tiene la propiedad de tratar de sacar información cuando aparentemente está ahí, aunque haya dificultades para hacerlo. Veamos algunos ejemplos aclaratorios. El primero consiste en la observación de la parte izquierda de la figura 8.4. El primer intento del ojo será el esfuerzo en enfocar bien esa imagen. El trabajo es tanto mayor cuanto más ligero es el desenfoque de la foto ya que, para desenfoques muy grandes, el cerebro comprende inmediatamente que no es posible obtener la información con la debida claridad y abandona el intento. Resulta muy malo para la vista, por ejemplo, trabajar con monitores de ordenador sucios que no den imágenes nítidas porque el ojo hará un gran esfuerzo, pensando que es él quien tiene adaptarse y conseguir el enfoque correcto; con ese fin fue diseñado por la naturaleza. El siguiente ejemplo consiste en analizar los textos siguientes:

x9ubn as39dhf slkh ds4jd0 as hsa haslkj$%&/) 1kaj/¿hosd=ufyg ,dmfng osdy sid f2rtyo”/%oiu r&$USsvs() jg4$osd3iufy duyg)$%/dga6fkjg lkdj¿f Bn vx\b lkj8k0jfg kcv x!cv lf%g djfv mcv& wPqp’ite kjv a%”hgpiUCP”pe5 hhf uw(ei$r ev7iur)”oiu

Glaws dünigen parkte feduk she mollak. Lu me kwar Skettong ni preskawst du niglübert. Wo lé donièdir shup me fagned melosk van tiphenröse. Dodëln guatrepsi, fedür manye shopf güs. Mè dâlenk var!

En cierta ocasión la de aquel no se supo. Pero un día que la mesa cuadro vente a las cosas del lago, no se sabía si las literas sube de cuando veo lavando aquello. Casi no ve la de si no tengo, ahora, queso, de la furia térmica y cuando camisa de torpe no creo que si la tuviese, y donde se cuenta que la oso no puede ser cuadrado. Pero no todo velocidad se negligencia, porque yo necesitaba la cine de calle mayor que encuentro, pero sí, lo hubo.

Fig. 8.4: Ruido por desenfoque y suciedad.

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En estos textos la relación señal/ruido es creciente. En el primer texto está claro que la señal es nula pues se trata simplemente de una sopa de letras sin significado alguno. En el segundo, inmediatamente a su derecha, se aprecia que las letras se han ordenado pero el texto es un tecleado aleatorio en donde la señal sigue siendo muy débil. En cambio, en el tercero la cosa cambia. Ahora el cerebro detecta la posibilidad de existencia de una señal pero enmascarada por un ruido en forma de idioma extraño que no conoce; se ha producido el primer esfuerzo de comprensión al haberse hecho más clara la señal frente al ruido. Por último, el texto del final resulta el más molesto de todos porque ahora entendemos el idioma, las letras están bien ordenadas y las frases parecen tener sentido a primera vista. A medida que leemos nos encontramos con un ruido que impide la coherencia de las frases, lo que se traduce en un esfuerzo adicional del cerebro en un intento de descifrar el significado de un texto incomprensible. Ante los dos primeros textos será raro que una persona exclame nada, se limitará a observarlos, y en todo caso, para ella estará muy claro que se trata de una sopa de letras y de un tecleado aleatorio. En el tercero es posible que diga algo así como ¿en qué idioma está escrito? o simplemente “no lo entiendo”. En cambio, en el último caso más de uno exclamará muy sorprendido, y tras unos instantes de reflexión: ¡esto no tiene sentido!, ¡es absurdo!, etc. Está muy claro que el último texto ha supuesto el más laborioso y el que ha gastado más energía. Si añadimos un quinto texto con coherencia, la persona lo leerá, comprenderá su significado y eso no habrá supuesto esfuerzo alguno. El siguiente ejemplo consiste en un conferenciante que habla, por ejemplo, sobre vidas de compositores a lo largo de la historia y que alguien le interrumpiese de vez en cuando con frases cortas que hablen del momento político simultáneo a la vida de cada compositor. En este caso la señal sería la conferencia y el ruido las interrupciones. Éstas, pese a ser ajenas al tema principal, guardan una cierta correlación, puesto que versan sobre las situaciones políticas en la misma fecha en la que el tema principal se desarrolla. Nos encontramos ante un tipo de ruido coherente, y éste puede arrojar y revelar interesantes conclusiones sobre la vida de cada compositor, enriqueciendo notablemente la conferencia. No obstante, imaginemos que las interrupciones se hiciesen cada vez más abundantes hasta el punto de no dejar al conferenciante principal hilar las frases con la suficiente claridad. Ahora ya no seríamos capaces de saber si asistimos a una conferencia sobre compositores o sobre política, con lo que el exceso de ruido la habría arruinado. Es posible, incluso, que los asistentes se mostrasen indignados al alcanzar el punto crítico de la relación señal/ruido, es decir, cuando las interrupciones comenzasen a ser excesivas. Un segundo caso consistiría en ruido incoherente. La falta de coherencia puede ir en aumento a medida que las interrupciones de corte político informen sobre acontecimientos en fechas que se vayan apartando paulatinamente de las del hilo principal. Una forma de ruido totalmente incoherente sería, por ejemplo, hablar de botánica o de fútbol, un tema que nada tiene que ver con la conferencia principal. Este tipo de ruido se manifiesta en forma de intervenciones inoportunas que no aclaran ni complementan nada, por lo que su presencia es siempre molesta. Si bien en materia científica es relativamente sencillo cuantificar todos estos conceptos, al aplicarlos a disciplinas artísticas la cosa cambia notablemente y es menester recurrir a procedimientos estadísticos con grandes números de sujetos de experimentación. No obstante, se puede hacer una representación gráfica teniendo en cuenta que siempre que parezca que hay una supuesta información (señal) enmascarada por ruido, el cerebro intentará extraerla. Si la señal es grande con respecto al ruido podrá obtenerla con poco esfuerzo; a medida que el ruido aumenta, dicho esfuerzo también lo hará hasta que, según el ruido va siendo mayor, el cerebro se irá relajando hasta abandonar todo intento de obtener señal cuando ésta sea ya demasiado débil. La curva de esfuerzo se ilustra en la figura 8.5, en donde en el eje horizontal se han colocado los diferentes valores de la relación señal/ruido con un ruido coherente, y en el vertical la sensación psicológica del efecto estético que causa, relacionada con el esfuerzo realizado por el cerebro al tratar de extraer la debida

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información. Vemos que aparece un mínimo en la relación crítica produciendo la sensación antiestética máxima. Si añadimos más ruido, el efecto empieza a mejorar debido a que éste puede comprenderse como una nueva señal, una vez desaparecida la inicial. Concluiremos que la relación señal/ruido crítica posee un efecto molesto por ser la zona de interferencia entre dos señales. En el caso del arte, la cuantificación de la señal, del ruido y del efecto estético resulta muy compleja y depende de un elevado número de factores. Averiguar la curva en cada caso corresponde a un trabajo de investigación estadístico exhaustivo que no se ha realizado hasta la fecha, pero sería interesante tratar de correlacionar la belleza con la facilidad o dificultad de extracción de información, siendo máximo para una determinada relación señal/ruido. Es muy posible que en la belleza influyan otros muchos factores pero no sería descabellado pensar que una dificultad en la comprensión conduzca a la sensación de fealdad. Al menos, en nuestra relación con el mundo animal, nos parecen más estéticos los mamíferos puesto que son primos nuestros más cercanos que los batracios, los peces y decididamente más que los insectos. Un caso especial es el mono, que resulta mucho más feo que otros animales. Mucho más feos aún son los homínidos, especies anteriores al hombre y que han sido reconstruidos artificialmente en los documentales. Estos seres resultan, con mucha diferencia, los más esperpénticos y desagradables, y eso se debe precisamente, a que su aspecto físico está mucho más cerca de nosotros. Nuestro cerebro los interpreta realmente como seres humanos deformes, en lugar de catalogarlos como otra especie. Es un caso claro en donde la relación señal(humano)/ruido(diferencia con un humano) es la más problemática y se situaría en la parte baja de la curva de la figura 8.5. En cambio, cuanto menos recuerde a algo humano un animal, tanto menos desagradable nos comenzará a resultar. Valga como ejemplo un caballito de mar, una anémona o un coral. Por el lado contrario está la señal, que es la zona más a la izquierda de la figura 8.5. No hemos representado curva en esta zona ni en la de la derecha (ruido puro) porque depende su efecto estético de varios factores. Al llegar a los puntos extremos, hace falta volver a diferenciar entre señal y portadora. A medida que una señal pierde información, nos acercamos a la portadora, una función predecible que produce un efecto muy pobre; recordemos que la portadora no tiene información. El efecto es de monotonía y aburrimiento. Por citar dos ejemplos, una portadora musical sería una onda senoidal simple, en el caso de los homínidos, sería una persona demasiado perfecta. En cierta ocasión, y viendo una secuencia de un cortometraje relacionado con la película Matrix, aparecía una joven de aspecto oriental muy atractiva a primera vista. No obstante, cuanto más la contemplaba, más extraño se me hacía aquel rostro hasta que me percaté de que estaba hecha con ordenador, una persona artificial. Estaríamos en el caso de un exceso de señal, una portadora, que transforma un rostro en una belleza realmente inhumana, demasiado perfecta para ser real. Sabemos que una cara no es totalmente simétrica, y es esa cierta cantidad de ruido la que hace a la persona más interesante, situando la relación señal/ruido en una zona mejor de la figura 8.5. La parte derecha (ruido puro) tampoco se ha representado por la misma razón. Hemos dicho que, al desaparecer la señal original, el ruido puede convertirse en una nueva señal, pero si este ruido resulta demasiado uniforme, pasa a ser

relación señal/ruido

calid

ad s

onor

a∞ 1 0

1

0

Fig. 8.5: Curva de calidad sonora.

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automáticamente una segunda portadora, con los mismos problemas. Al final del capítulo 10 se hablará de un experimento en donde se comentarán los resultados de los efectos creados por portadoras en un grupo de personas. 8.5 Tipos de ruido Existen varios tipos de ruido, el más conocido de ellos es el llamado ruido blanco, que consiste en una mezcla totalmente aleatoria de todas las frecuencias posibles. Su espectro es dinámico y las fluctuaciones de las respectivas amplitudes de todos sus componentes son igualmente estadísticas. La denominación se debe a su semejanza con la luz, siendo la luz blanca una mezcla de todas las frecuencias posibles del espectro visible. El ruido rosa, es un ruido blanco en el cual la amplitud de sus componentes decrece a medida que aumenta su frecuencia, con lo que las frecuencias graves son de mayor amplitud que las agudas. El lector puede abrir las animaciones ruidos.avi, en donde puede escuchar ambos ruidos (primero el blanco y después el rosa) y ver a la vez sus espectros. La onda de un ruido es aperiódica, o bien de periodo infinito. Según los conceptos expuestos en el capítulo 3 el ruido constituiría la máxima disonancia. Curiosamente, un ruido no resulta tan desagradable como podría parecer en un principio, a excepción del ruido blanco, que es el más puro. Una cascada, la lluvia, un río o un trueno son ruidos que no son necesariamente desagradables (pista 37). Por eso en la figura 8.5 se aprecia una subida de la curva de calidad sonora una vez se ha abandonado el mínimo crítico donde el efecto sonoro parece ser más desagradable. 8.6 Tipos de señal. Se pueden clasificar las señales en diferentes tipos, según sea su constitución física. Dado que el ruido generado sobre una señal puede llegar, a su vez, a formar una nueva señal, evidentemente esta última estaría, por decirlo así, un escalón por encima de la primitiva. Sería una señal de segundo orden. Como siempre, un buen ejemplo ayudará a aclararlo. La onda más simple que conocemos es la senoidal, por lo que la tomaremos como una señal de primer orden. Añadiendo armónicos sobre ella, que son notas diferentes, se obtiene una cierta cantidad de ruido que la mejora en forma de variación del timbre. El efecto de coro aplicado a esta nueva señal crearía el óptimo efecto para este timbre. Si se exagera lo suficiente este efecto de coro, superando el umbral de la desafinación, obtendremos un sonido ruidoso pero que no resulta tan desagradable como un sonido claramente desafinado y será una nueva señal sobre la que trabajar. En la pista 38 se ha puesto un ejemplo de metamorfosis sonora desde una señal senoidal hasta un sonido complejo. La última adición de ruido consiste en unos toques de campanas que nada tienen que ver con el rumor del fondo, que sería la señal, pero constituyen un ruido coherente por tratarse de música. Un ejemplo de ruido incoherente serían chasquidos eléctricos de malas conexiones en el equipo de grabación; sonidos molestos siempre. El nivel de monotonía de una señal disminuye a medida que aumenta su orden puesto que la riqueza acumulada le permite ser cada vez más tolerable. Resulta evidente que una onda senoidal es mucho peor que el sonido de un río. El fenómeno se manifiesta en una dispersión de datos como se muestra en la figura 8.6, en donde se han ilustrado dos estadísticas en un grupo de personas a las cuales se han mostrado las pistas 36 y 37. La señal de mayor orden ha obtenido una calificación menos severa que la nota pura tenida de la pista 36, concretándose en una mayor dispersión de datos, es decir, que no había unanimidad en cuanto a la mala calidad musical.

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Una nota tenida representa la señal, y una melodía es ruido que se añade a dicha señal. Si la melodía se repite indefinidamente formando lo que en música se llama ostinato, vuelve a ser una señal. Indudablemente, al cabo de un cierto tiempo cansará al espectador pero desde luego mucho después que una nota tenida. También hay que considerar que la propia estructura cerebral de individuo decide cuál es para él la mejor señal. Por ejemplo, hay personas que se quejan de que una tonalidad muy férrea, como la del clasicismo (Mozart, Haydn, etc.) le resulta aburrida, precisamente por lo predecible que es, y se decantan por las formas “más ruidosas” del romanticismo o el modernismo. Sin embargo hay otros que se encuentran cómodos en este periodo por considerar que esa señal es de orden suficientemente grande para sus necesidades. En el siguiente capítulo volveremos sobre este tema de la relación señal/ruido y ampliaremos su influencia en las formas más actuales de composición. Para acabar sobre el tema de qué es más grato y qué no, añadiremos un fenómeno físico que controla la aparente estridencia de un sonido, consistente en la mayor o menor cantidad de componentes de alta frecuencia, que son las responsables del nivel de incomodidad que produce un ruido. Compare el ruido blanco de la anterior animación ruidos.avi con el rosa y juzgue usted mismo cuál es más molesto. 8.7 Fuentes. Tratemos ahora sobre la fuente. En teoría de la información la fuente es un dispositivo desde el cual parten los datos. Dichos datos se transmiten por un medio, en donde se incorpora el ruido para llegar finalmente al receptor. Ya hemos hablado de esta cadena. En el caso que nos ocupa, se podría pensar que la fuente sería un instrumento o una orquesta pero, tratándose de arte, la verdadera fuente es el artista. La interpretación es un ruido añadido por el medio (que sería la orquesta o el intérprete) y que proporciona una nueva información. Las fuentes pueden ser continuas en el tiempo, que corresponden a aquéllas que no cesan de emitir información. De alguna manera una sinfonía o una novela sería una fuente de este tipo. Otra clasificación proviene de analizar el tipo de información que emiten, y puede ser continua o discreta. La más normal es la segunda y consistente en paquetes de información llamados símbolos. En música la emisión del sonido se hace en forma de frecuencias discretas, no un espectro continuo, y es lo que conocemos por notas. En literatura un símbolo es una letra. La unión de símbolos se llama alfabeto y coincide con ese mismo concepto en el caso de la literatura. En música el alfabeto sería una escala, aunque cuando se emplea electroacústica la emisión de sonido puede ser en forma de una banda continua de frecuencia haciendo desaparecer las notas como tales.

portadora de bajo nivel

portadora de alto nivel

Fig. 8.6. Estadística de aceptación de portadoras.

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Otra variante que en la técnica no existe es que la propia fuente introduzca ruido. Veamos un ejemplo que ya conocemos. Definamos una señal como el paisaje real que aparece en la figura 8.2 c. Dicha señal llega en forma de estímulos sensoriales al artista y éste introduce “su ruido” para impregnar al paisaje con su propia visión. Cuando se trata de música, no hay tal fuente externa de inspiración y todo procede del interior de la persona. En la literatura puede ser mixto, es decir, que una novela surja de las vivencias del escritor, que sea pura fantasía o una combinación de ambas.

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CAPÍTULO 9

El timbre 9.1 El timbre Por lo general, en ningún tratado de armonía se cita el timbre como elemento esencial. A lo sumo esta disciplina pasa a las asignaturas de instrumentación. La realidad es que todo se descompone en una suma de armónicos y es la combinación final de éstos la que proporciona el efecto armónico definitivo. Ya hemos visto que el sonido aparentemente simple de la nota de una trompeta o de una guitarra es, en realidad, un acorde de sonidos senoidales, por lo que no será lo mismo hacer una tercera mayor entre notas de trompetas que de flautas. Imaginemos, de hecho un sonido que sea rico en armónicos 4 y 5 (la tercera mayor de la fundamental) y construyamos un acorde menor. Dado que en el acorde menor la tercera es menor, se producirá un choque entre los armónicos 4 y 5 respectivamente de las dos notas de dicho intervalo, y si éste es importante, el acorde menor puede llegar a resultar muy duro, aunque “oficialmente” sea consonante. Este efecto debe ser tenido en cuenta especialmente en electroacústica donde los timbres “a la carta” pueden producir sorpresas. En la pista 39 podemos escuchar dos acordes menores de dos timbres diferentes. El primero tiene armónicos normales con intensidades decrecientes, mientras que el segundo está construido con un timbre rico en armónicos 4 y 5, lo que se traduce en choques que hacen un acorde más duro que el primero. Cuando se forman disonancias, los instrumentos ricos en armónicos presentan mayor estridencia que los que poseen pocos armónicos. Eso nos lleva de nuevo al tema anterior sobre la diferencia entre flautas y trompetas. Como caso límite, el tercer sonido de la pista 39 es el mismo acorde pero generado con un timbre con intensos armónicos de orden muy alto. El acorde resulta decididamente desagradable, lo que demuestra que el timbre de un instrumento es importante, poniendo de relieve que no es lo mismo hacer música con un Stradivarius que con un violín de ocasión. 9.2 Timbres gratos y timbres desagradables La pregunta obvia es ¿qué hace que un timbre resulte más estético que otro? La respuesta es muy compleja porque son muchos los factores que intervienen en la belleza tímbrica. Para empezar vamos a escuchar la pista 40 que contiene varios sonidos. El primero de ellos es una onda simple con huecos armónicos, habiendo dejado solamente aquellos cuyo número de orden son números primos. Esto se ha hecho porque los armónicos primos no tienen relación numérica divisible con el fundamental y son precisamente los sonidos calantes. El sonido es hueco y metálico. El segundo sonido se ha creado justamente a la inversa, es decir, en donde se han eliminado los armónicos primos. El resultado es más tradicional, aunque se sigue notando la oquedad de su textura. El tercer sonido posee todos los armónicos y suena más completo. No obstante, el lector estará de acuerdo en que resulta extremadamente insulso y poco interesante. Este problema existe también en los instrumentos musicales y se suele emplear la técnica del vibrato (oscilación de la frecuencia) para dar mayor riqueza al instrumento o al canto. Los siguientes sonidos de la pista resultan más interesantes puesto que se han añadido variaciones de las amplitudes de los armónicos a lo largo del tiempo y también variando ligeramente la frecuencia de los mismos, como el vibrato. Parece que uno de los factores que resultan antiestéticos es la pobreza del sonido, en el sentido de falta de variación. También el exceso de armónicos primos redunda, como hemos visto, en un tinte metálico y que confiere acritud. Veremos esto con más detalle en el apartado 9.4.

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9.3 Movimiento de armónicos Desde pequeños se nos ha dicho que el timbre de un instrumento depende de la forma de la onda que emite. No obstante, vamos a proceder a un experimento, para lo cual debe tener lista la pista 41 del CD. Vaya pasando sonidos para ver si usted identifica algún instrumento de los que intervienen. Cada onda que va a escuchar pertenece a la forma de onda de los siguientes instrumentos:

� Flauta

� Trompa

� Violonchelo

� Guitarra

� Violas

� Coro masculino cantando “Oh”

No resulta difícil estar de acuerdo en que los sonidos que acaba de escuchar no se parecen lo más mínimo a estos instrumentos. Es más, notará que entre ellos se parecen mucho, es casi como si fuesen emitidos por el mismo instrumento salvo algunos sutiles cambios. No obstante, las formas de onda de cada uno de ellos pertenecen exactamente a los instrumentos indicados. Se infiere, pues, que la forma de una onda resulta insuficiente para definir lo que entendemos por timbre, de ahí la complejidad de esta materia. En la otra mitad de la pista se han adosado estos sonidos con los auténticos para comprobar que el sonido tiene parentesco. ¿Qué falta entonces? Sin duda a usted le habrá sucedido en alguna ocasión que cuando está estacionando su vehículo, algún peatón tiene la ocurrencia de pasar precisamente por donde usted maniobra cuando, posiblemente, haya muchos más lugares para hacerlo y mejores que el suyo. A lo mejor pensará que lo hace a propósito para molestar, pero ni siquiera actúa de forma consciente, simplemente usted llamó su atención al moverse. Es una característica del cerebro consistente en la detección del movimiento. Algunos animales localizan a sus presas cuando se mueven; por eso cuando alguien tiene pánico una defensa es quedarse inmóvil a fin de neutralizar la detección de movimiento del depredador. Pues bien, la primera batería de sonidos de la pista 41 tiene como característica fundamental que sus armónicos no se mueven, son estáticos y usted no los puede diferenciar bien. En cualquier sonido natural se da el fenómeno de que sus armónicos se mueven constantemente. Para ello abra la animación EspectroMovil.avi, en donde verá en tiempo real el espectro de uno de los sonidos de la pista. Se puede ir trazando el movimiento que describe la punta de cada armónico a lo largo del tiempo, lo que da como resultado una curva que recibe el nombre de envolvente. Para los que están familiarizados con los sintetizadores y la electroacústica entienden la envolvente como una variación global de volumen de la onda a lo largo del tiempo. Es muy parecido a la onda moduladora de la figura 3.1, sólo que ahora resulta que cada armónico posee su propia envolvente independiente. El fenómeno es ciertamente complejo, pero aquí lo único que nos interesa es el hecho de que la amplitud de cada armónico no se mantiene fija a lo largo del tiempo permitiendo que la persona que lo escucha pueda descubrirlos precisamente por hallarse en movimiento. En la figura 9.1 se ha representado el mismo espectro que se puede ver en la animación pero desarrollado a lo largo del tiempo según un eje perpendicular al dibujo, que vendría hacia nosotros. Los picos de cada armónico se han ido uniendo para describir su envolvente. Aparte de esta envolvente de volumen, llamada también de amplitud, también hay que decir que la frecuencia del armónico tampoco se mantiene

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fija sino que oscila a lo largo del tiempo describiendo, a su vez, una nueva envolvente, esta vez de frecuencia32.

Esta doble oscilación de amplitud y frecuencia es la responsable de que podamos reconocer realmente un determinado instrumento. Las envolventes incluyen también el ataque de las notas y su distribución armónica, que puede ser diferente cuando se inicia el sonido que cuando está mantenido. Los instrumentos de metal, por ejemplo, inician con más armónicos que cuando la nota está tenida, lo mismo que el piano o la guitarra. Concluiremos que una mejor definición de timbre será:

Timbre es la forma de la onda de un sonido y su particular evolución en el tiempo. Nos podríamos preguntar si cualquier timbre es válido, pero sabemos perfectamente, a la hora de comprar un instrumento, que un material barato suele tener un sonido de poca calidad. El violín Stradivarius fue una leyenda por su sonido sin igual. Decididamente hay timbres mejores que otros y eso tiene que ver con su espectro y su variación en el tiempo. En el caso de un instrumento de cuerda, se produce un curioso fenómeno, que es igual que la adaptación de un zapato a un pie. La caja de resonancia es de madera de poco espesor la cual, al ser un material flexible, se va adaptando más y más al sonido que recibe haciendo que la resonancia propia esté cada vez más próxima a las de las cuerdas. Volviendo al ejemplo del columpio, imagine que la persona que lo empuja no lo hace cuando el columpio está en su punto más alto, lo que estropeaba la resonancia. Sin embargo, si se dispusiera de un columpio “inteligente” capaz de adaptarse, aumentando o reduciendo la longitud de sus tirantes, a la frecuencia de los impulsos de la persona, la resonancia se recuperaría. Por esa razón un instrumento de cuerda generalmente suele sonar cada vez mejor a medida que pasa el tiempo (y que se toca, claro está), contrariamente a uno de viento, mucho menos flexible. Otro factor estético resulta de la propia ejecución del instrumento. Usted habrá escuchado posiblemente el fantástico sonido que es capaz de sacar de un violín un virtuoso, y lo puede contrastar con el sonido de un estudiante de primero del mismo instrumento. La diferencia estriba en la destreza de la persona a la hora de manejar el arco, y eso también tiene mucho que ver con la física. 32

Técnicamente lo que se produce es una envolvente de fase, es decir, que el armónico avanza y retrocede ligeramente a medida que pasa el tiempo. El efecto físico es simplemente una variación muy sutil de su tono.

envolventes

Fig. 9.1: Envolventes de amplitud de cada armónico.

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Existe lo que se llaman coeficientes de rozamiento, que se relaciona con la fuerza con que un cuerpo se resiste al deslizamiento al intentar desplazarlo por una superficie. La fuerza de esta resistencia es proporcional al peso del cuerpo y al coeficiente de rozamiento, que a su vez depende de la rugosidad y del material. Existen dos tipos de rozamiento: dinámico y estático. Si usted ha tratado de arrastrar un cajón pesado sobre el suelo, habrá notado que, una vez consigue moverlo, el cajón ofrece menos resistencia y se puede mover con más facilidad. Eso se debe a que el coeficiente de rozamiento estático (cuando está parado) es mayor que el dinámico (cuando el cuerpo se está moviendo). Piense ahora en el arco de un violín. Éste se cubre de resina para aumentar mucho el coeficiente de rozamiento. Cuando desplaza el arco, éste sujeta a la cuerda y luego la suelta bruscamente; aunque el arco toque la cuerda, en este momento el rozamiento es dinámico y la cuerda puede deslizar una fracción de segundo. El instrumentista añade algo más de presión, lo que sujetará nuevamente la cuerda un instante y la vuelve a arrastrar hasta repetir el ciclo indefinidamente o, al menos, durante toda la longitud del arco. Es así como funciona el frotado del arco, son como una infinidad de pequeños y cortos impulsos. Y ahora viene lo bueno ¿cuál debería ser la frecuencia de esos impulsos? Pues muy simple: la misma que la frecuencia propia de resonancia de la cuerda, como en el columpio. Si conseguimos hacer que los pequeños saltos del arco sobre la cuerda se sincronicen con la onda propia del movimiento del arco, conseguiremos una onda estacionaria tal como se muestra en la animación ArcoViolin1.avi. En ella vemos cómo tiene lugar una onda que recorre la cuerda de arriba hacia abajo. Hay que calcular el tirón del arco para sincronizarlo con el momento en que la onda vuelve a pasar por él. Si la frecuencia de los tirones es el doble, entonces se favorece el segundo armónico y cambia el sonido (ver animación ArcoViolin2.avi), así como la dirección de las ondas sobre la cuerda. Como cada nota tiene una determinada longitud de cuerda, se deduce que para que cada posición produzca un buen sonido deberá aplicarse una presión y velocidad de arco diferente en cada caso, demostrando la dificultad que representa sacar un buen sonido a todas y cada una de las notas de la escala. Un guitarrista tiene problemas parecidos porque cuando se pulsa una cuerda, el timbre varía desde un sonido hueco, al pulsar en el centro, por ausencia de armónicos pares, hasta los más estridentes o brillantes cuando se pulsa cerca del puente puesto que activa armónicos de orden superior. La disposición de la caña de un oboe u otro instrumento de viento madera también es decisivo en el sonido del instrumento, así como la destreza de los labios en el caso de instrumentos de metal. Finalmente, y como vemos, sacar o no un buen sonido a un instrumento se convierte en un arte, como debe ser, aunque también tiene su fundamento científico. 9.4 Efecto de coro Recordando lo dicho en el capítulo 8, tomando una portadora pura, consistente en una onda senoidal sin ningún tipo de alteración, ni en frecuencia ni amplitud, nos encontramos con que este tipo de sonido resultaría carente de interés alguno. Un violinista, por ejemplo, añade una cierta alteración de la señal moviendo el dedo sobre la cuerda produciendo una cierta modulación en frecuencia que habíamos denominado vibrato en 9.2. En los sintetizadores se suministran dos o más osciladores que pueden desafinarse entre sí con el fin de enriquecer el timbre, juntando varias fuentes sonoras para crear el llamado efecto de coro, que se encuentra situado en una óptima relación señal/ruido, y su nombre deriva de lo que sucede en un coro, que tiene un timbre distinto al de un solista, aún siendo ambos voz humana. Por regla general, un timbre con efecto de coro resulta más acogedor y cálido que aquel que no lo tiene, por lo que resulta tan importante la cuerda en una orquesta. Cuando tocan dos violines, y debido a la imposibilidad de una perfecta sincronización del vibrato, resulta difícil una buena afinación. Pero si, en lugar de dos, ponemos varios, se mezclan las diferentes frecuencias de batido de todas las desafinaciones que se generan de dos en dos, resultando un borrado del mismo y produciendo un notable enriquecimiento del timbre

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a favor de la estética, situándonos en la zona de efecto de coro. Lo que en un principio, y por desconocimiento de la física, quiso ser un simple aumento de volumen sonoro de la cuerda frente a los instrumentos de viento metal se convirtió en una de las más bellas sonoridades de la orquesta. Pero, como reza el refrán: la virtud está en el medio, un sonido con demasiadas variaciones puede caer en lo desagradable por alcanzar la relación crítica de la figura 8.5. En el caso de un timbre determinado, al exagerar las envolventes de frecuencia, los armónicos comenzarán a rozar las correspondientes bandas críticas de desafinación y el sonido acabará por ser desagradable o simplemente de poca calidad. La última batería de sonidos de la pista 41 corresponden a los mismos instrumentos previos pero con sus envolventes de frecuencia exageradas. Se hace sonar primero el instrumento auténtico y después el exagerado para poder comparar ambos. El primer caso son violas que parecen no estar bien afinadas, en el segundo caso, que es la guitarra, el instrumento con excesivo ruido en sus armónicos lo consideraríamos de un instrumento de baja calidad, lo mismo que el chelo, que resulta con un sonido gangoso: Todo ello nos muestra que la relación señal/ruido también es responsable en gran parte de la belleza o no de un sonido. Otro tanto sucede con el efecto de coro. Cuando la desafinación entre las voces de un conjunto sonoro aumenta, ello supone el incremento de ruido sobre la señal hasta llegar a la relación señal/ruido inaceptable. Todo el mundo sabe que resulta poco grato escuchar a un coro o grupo instrumental que posea tan gran “ancho de banda”. 9.5 Modos de vibración de un cono

El clarinete tiene un tubo cilíndrico, y ya hemos comentado que por ese motivo carecía de armónicos pares. Esto lo hará especialmente interesante para algunos experimentos más tarde. En cambio, el oboe, el fagot y el saxofón disponen de un tubo cónico, por lo que será interesante estudiarlo. Dado que un cilindro tiene sección constante, la presión se distribuye uniformemente a lo largo de él, pero no es así en el caso de un cono. Sabemos que cuando una fuerza se reparte sobre una gran superficie la presión es baja. Por eso un esquiador no se hunde en la nieve puesto que distribuye su peso sobre una superficie mucho mayor que la de su pié. Cuando una onda viaja por un

cono, a medida que se acerca al vértice, aumenta la presión, por ser ésta inversamente proporcional a la sección. La velocidad de las moléculas del aire se comporta al revés que la presión como ya comentamos en 2.1, por lo que cerca del extremo del cono las moléculas se moverán con dificultad y rápidamente en las zonas anchas. El resultado se puede ver en la figura 9.2, comprobando que hay una onda estacionaria básicamente igual que en el caso de un cilindro en lo que a vientres y nodos se refiere (ver figura 2.2), sugiriendo que tampoco habrá vibraciones pares. Ciertamente, no hay este tipo de vibraciones, pero vemos que los armónicos se han deformado por culpa de la geometría del cono. Pero un armónico deformado, tal y como se muestra en la fig. 9.2, ya no es senoidal y, por el propio concepto de armónico, deja de serlo. En lugar de ello le llamaremos simplemente componente.

Fig. 9.2: Armónicos cónicos.

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Estas componentes, al no ser ondas senoidales, se descomponen en sus propios armónicos, apareciendo los de orden par que no existían en un tubo cilíndrico. Por ejemplo, es interesante comparar los espectros de un clarinete y de un saxofón, dado que ambos comparten una boquilla semejante, con lo que el material sonoro de partida es idéntico. Simplemente es el efecto del tubo lo que producirá las diferencias de timbre. En la figura 9.3 se pueden ver los espectros del clarinete y del saxofón, comprobando que en este último aparecen armónicos pares que no existen en el clarinete. Desde el punto de vista de la física, lo que ha sucedido es simplemente una redistribución de energía en donde los armónicos pares han aparecido a expensas de bajar la intensidad de los impares, sobre todo, del fundamental y el tercer armónico que son quienes alimentan a los pares.

Ahora haremos un interesante experimento que nos va a permitir comprender algunas normas sobre instrumentación. Para ello aprovecharemos las propiedades únicas del clarinete con su falta de armónicos pares. Escribamos dos fragmentos para clarinete y dos flautas considerando la propiedad ya citada del clarinete y que la flauta tiene escasos armónicos con lo que éstos interferirán poco en el proceso. El primer fragmento consiste en doblar el clarinete una y dos octavas por encima, mientras que el segundo se doblará una quinta, octava alta, y una tercera mayor, dos octavas por encima (figura 9.4). Como el lector ya estará adivinando, se trata de jugar con los armónicos del clarinete y, como se dice vulgarmente, “hacer diabluras”. La “diablura” de la izquierda consiste en rellenar los huecos sonoros de los armónicos 2 y 4 del clarinete. Al escucharlo nos damos cuenta de que el timbre del clarinete ha variado notablemente y que es más difícil reconocer su oquedad característica que cuando se toca solo, pero las flautas se escuchan perfectamente pues no interfieren. En la parte de la derecha se produce el efecto contrario: el timbre hueco del clarinete se aprecia con mucha mayor nitidez y, en cambio, las flautas se distinguen con más dificultad puesto que éstas se encuentran actuando ahora sobre los armónicos 3 y 5 del clarinete, que ya están presentes y las enmascaran (pista 42).

Fig. 9.4: Efectos tímbricos jugando con los armónicos de los instrumentos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 .......

clar

inet

esa

xofó

n

Fig. 9.3: Comparación de espectros del clarinete y el saxofón.

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Lógicamente, este efecto no se puede producir con un saxofón puesto que este instrumento tiene armónicos pares. No obstante, el ejemplo que se ha detallado es para hacer más espectacular el resultado de la mezcla tímbrica orquestal. El lector que quiera dedicarse a la composición podrá tener en cuenta estos conceptos y hacer sus propias mezclas. Por ejemplo, durante el clasicismo resultaba muy usual doblar con el oboe a la trompa, obteniendo una sonoridad característica (figura 9.5, pista 43). Antiguamente nadie osaba doblar a la quinta o a la tercera mayor (dos octavas por encima) porque estos sonidos a veces se desvían de la tonalidad base como se ve en la parte derecha de la figura 9.4, pero apenas se sabía nada sobre armónicos ni física por aquel entonces. Tampoco se usaba la politonalidad, pero hoy en día esas cosas ya están superadas y, como bien puede comprobar el lector, la citada secuencia suena perfectamente bien, pese a ser politonal, por tratarse de armónicos. Exhortamos, pues, a que estos recursos se usen sin temor. Hay otras costumbres como doblar los violonchelos y contrabajos a la octava (figura 9.5), unísonos de los primeros y el fagot, y muchas cosas más pero, abundando una vez más en lo de siempre, hay que decir que esto no es un libro de instrumentación sino que sólo trata de ver el porqué de las cosas con lo que remitimos al lector a dichos tratados si desea ampliar estos conocimientos.

Nada más apuntaremos a una única cosa más que viene a cuento de los huecos. En el experimento de la figura 9.4 hemos podido comprobar que cuando un sonido ocupa un hueco se puede escuchar perfectamente. No es necesario calcular los lugares donde no hay armónicos para colocar en ese punto melodías de instrumentos, eso podría llevar al compositor a tener que realizar complicados cálculos que no se han hecho nunca a lo largo de la historia. Simplemente basta aplicar el sentido común. Sabemos, por lo dicho en los primeros capítulos, que la voz que predomina en una obra es la aguda por lo que una melodía llevada por una flauta, violines o trompetas siempre estará destacada sin necesidad de utilizar extraños cálculos. El problema se presenta cuando lo que queremos destacar no es la voz superior. Muy concretamente esto sucede cuando se escribe un papel solista para un barítono o un bajo dentro de la orquesta, o en un concierto para instrumento grave como lo es un violonchelo, un fagot o un contrabajo. Cuando nos encontremos en esta situación es importante despejar el espacio sonoro donde se mueve el solista. Si hay un violonchelo que está interpretando una melodía no es una buena idea poner un trombón haciendo florituras en ese lugar. El cantante es un caso especial ya que produce unos armónicos que no existen en la orquesta, empleando un espacio sonoro en el que puede destacar sin problemas.

Fig. 9.5: Variación de timbre doblando la trompa a la octava con el oboe.

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9.6 Sonidos no emitidos por tubos ni cuerdas No todos los instrumentos de la orquesta son tubos o cuerdas. La percusión está formada por cuerpos sonoros que no lo son. Concretamente, láminas (marimbas, xilófonos), membranas (caja, timbales, bombo) o masas metálicas (campanas, platillos, gongs). La acústica de estos instrumentos es muy diferente a la de los tubos o las cuerdas. Lo primero que sucede es que el sonido no se mantiene sino que tiende a extinguirse en un corto espacio de tiempo. El segundo es que sus armónicos no siguen relaciones de números enteros sino fraccionarias y deja de emplearse el término armónico. En este caso aparece un nuevo vocablo llamado sobretono. El sobretono no hace distinción de si la frecuencia es o no múltiplo entero del fundamental y abarcaría al concepto de armónico. Así, un armónico sería un sobretono de frecuencia múltiplo entero. Hay que decir que los sobretonos no incluyen al fundamental. Si se juntan todos los sobretonos más el fundamental, el conjunto se engloba bajo la denominación de parcial. Un sonido de este tipo puede desarrollarse en serie de Fourier teniendo presente que los parciales serán simplemente múltiplos fraccionarios del fundamental. El resultado de unir frecuencias tan dispares es un periodo armónico extremadamente largo, como corresponde a su mínimo común múltiplo. Cuando hablábamos del concepto de disonancia, y más concretamente del índice de consonancia, decíamos

que éste medía la longitud del periodo de la onda resultante. En el caso de composición de sobretonos fraccionarios su índice de consonancia será elevado, indicando que estamos en presencia de una disonancia. El timbre de un instrumento de percusión será, en general, disonante traduciéndose en un sonido metálico o inarmónico. En el caso de las láminas, los parciales tienen frecuencias que siguen relaciones f, 2,71f, 3,25f, 3,57f, 5,15f, etc., donde f es la frecuencia del sonido

fundamental. Los modos de vibración son parecidos a las cuerdas pero, al ser de dos dimensiones, las láminas también vibran de forma transversal (figura 9.6 y animación Laminas.avi). Las membranas tienen igualmente sobretonos fraccionarios, y cuando son circulares, como es el caso del bombo, timbales, tambores, etc., siguen los valores en donde se hace cero una expresión matemática llamada función de Bessel, que se produce en fenómenos de simetría cilíndrica. En la animación Membranas.avi se pueden ver los modos de vibración de una membrana circular, siendo sus sobretonos de la forma:

, 1,59 , 2,14 , 2,3 , 2,65 , 2,92 , 3,16 ,...f f f f f f f

Fig. 9.6:Modos de vibración de láminas.

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Además ya hemos dicho que su espectro dinámico es muy variable y el sonido se extingue rápidamente tras haber sido percutido el objeto sonoro. En la figura 9.7 (izquierda) se puede ver el espectro de un timbal. Ya que los sobretonos no son armónicos, por no ser múltiplos enteros del fundamental, el sonido de una nota emitida por un timbal es ambiguo, aunque hay que tener en cuenta que la membrana está montada sobre un hemisferio que actúa como caja de resonancia y modifica sustancialmente el contenido armónico. Esto último mejora la definición de las notas del timbal, lo que no ocurre con otras membranas como el bombo. Citaremos también la campana que, a diferencia de otros cuerpos masivos, posee parciales múltiplos enteros (armónicos), excepto el tercero, de relación 12/5. Concretamente, en la figura 9.8 se desglosan estos armónicos y se puede apreciar

que se forma un acorde menor en la parte baja y que explica el por qué el tañer de una campana suele tener un tinte melancólico. En la pista 44 se ha hecho un experimento, consistente en una secuencia con notas de piano con la configuración de parciales de campana. Esta secuencia “campanoide” con la melodía característica del carillón de la abadía de Westminster recuerda a dicho instrumento. Naturalmente no tiene el timbre exacto de una campana puesto que las cuerdas del piano tienen sus propios armónicos, pero lo recuerda. En definitiva, no sería de extrañar que en una cultura

con instrumentos basados en la campana, el acorde natural sería el menor en lugar del mayor. La única diferencia es que este intervalo menor no es múltiplo entero del inferior y forma mayor disonancia que en el caso mayor. El parcial de frecuencia más baja curiosamente no se le suele llamar fundamental sino humming; el fundamental se entiende como el segundo parcial, es decir, el Do4. Finalmente existen muchos instrumentos de percusión metálicos con modos de vibración de extremada complejidad como los platillos, gongs y tam-tam cuyas vibraciones son mucho más complejas aún y están representadas a la derecha de la figura 9.7. Los contenidos de parciales de alta frecuencia son abundantes y producen choques importantes en el sonido, que le confieren su característico timbre metálico. Estando cercanos al ruido, el sonido emitido por estos instrumentos, no resulta desagradable, como se muestra en la figura 8.5, y por ese motivo forman parte de la orquesta sin interferir en la tonalidad, modalidad, atonalismo o cualquier otro recurso. Este hecho es especialmente interesante cuando se incluye dentro de la orquesta la electroacústica, puesto que ruidos electrónicos o concretos como viento, olas, truenos y otros pueden formar parte de la plantilla sonora de la composición actual.

Fig. 9.7: Espectros dinámicos de un timbal (izquierda) y un tam-tam (derecha).

Fig. 9.8: Armónicos de la

campana.

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9.7 Del espectro discreto al continuo. La transformada de Fourier Cuando el sonido de un cuerpo se extingue rápidamente, tal como sucede en la percusión, al tratarlo como un todo, es decir, no como un espectro variable a lo largo del tiempo sino como una onda completa, se obtiene la llamada transformada, consistente en un espectro cuyas componentes de frecuencia no son discretas como se ha visto hasta la fecha, sino continuas. Es decir, que las frecuencias de sus parciales están infinitamente próximas. Este suele ser el caso de los instrumentos de percusión. El espectro es tanto más ancho cuanto más corta es la duración de un sonido. El caso límite es un pulso de intensidad infinita y duración infinitamente corta llamado delta de Dirac. El espectro de una delta de este tipo consiste en una banda infinitamente ancha de frecuencias. Este ente no tiene existencia real pero puede aproximarse como un golpe seco y corto. Podemos realizar un experimento con un piano acústico dando un golpe sobre la caja. Cuando se da con un objeto duro, como un bolígrafo de plástico, por ejemplo, se asemeja a una delta de Dirac; ya que su espectro es muy ancho, abarcará una gran gama de frecuencias y si se mantiene el pedal del piano bajado escucharemos cómo la práctica totalidad de las cuerdas vibran. Comparando este golpe con otro dado con el puño, al ser éste más blando, su duración es superior y su espectro más estrecho. Normalmente escucharemos sólo las cuerdas graves. Comparemos este efecto una vez más con la relación señal/ruido. Cuando a un sonido se le añade una determinada cantidad de armónicos ya hemos dicho en 9.5 que el sonido mejora. Si se suman parciales no armónicos (en relación no entera) aparece una alteración que resulta aún más cercana al concepto físico de ruido. Al aumentar el número de parciales se alcanza la relación desfavorable y cuando aumenta aún más se llega a producir un espectro continuo, transformándose el sonido en un pulso corto. El batido de un tambor se adapta a este tipo de pulsos que verifica una vez más el efecto más grato reflejado en la figura 8.5. El tambor puede crear una célula rítmica, es decir, una señal de orden mayor. Las variaciones de ritmo

constituirán, pues, el ruido de la nueva señal. 9.8 Efecto de la fase en los armónicos La lámina I ilustra diversas formas de onda para los intervalos, pero éstas formas no son fijas e invariables puesto que si varía la fase relativa entre armónicos las formas varían. Pese a todo, el efecto que causa en el oído no resulta discernible, a no ser que, siguiendo la norma general de movimiento, las fases se muevan a lo largo del tiempo creando el efecto llamado phasing. En la pista 45 se detallan sonidos de tercera mayor con formas de onda de la figura 9.9 en donde las fases de los armónicos son

diferentes. En el último sonido las fases varían en el tiempo.

Fig. 9.9: Dos terceras con diferentes

fases entre armónicos.

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CAPÍTULO 10

Más allá de la tonalidad 10.1 Acordes separados por cuartas y quintas Cuentan que una vez el sultán de un estado árabe, cuando se encontraba en un país europeo, acudió a un concierto invitado por las autoridades de dicho país y que, al final de la actuación, a la pregunta de qué le había gustado más, contestó decididamente que el principio, refiriéndose al momento de la afinación de los instrumentos. Pues bien, verdad o no, esta anécdota que haría reír a más de uno, no es tan descabellada. En el momento de la afinación de la orquesta se produce una impresionante masa de acordes por quintas y por cuartas, por cuya sonoridad quedó muy impresionado nuestro querido sultán. Hemos hablado de las tríadas, cuatríadas y acordes de muchas notas en donde el intervalo que separa a las tres notas X, Y, Z es la tercera. Por extensión matemática nos entra la curiosidad de construir acordes basados en otros intervalos. Estudiaremos aquellos que superan la tercera, es decir, cuartas y quintas. Estos acordes se emplean en música contemporánea pero también se hace en el jazz. Comencemos por los acordes por quintas. Cuando se toma una tríada de quintas hay que tener precaución de ubicar la nota grave de tal manera que la superior esté dentro de la escala natural a la que pertenezca. Se pueden conseguir cuatríadas de acordes por quintas y de más notas si se sitúa en el bajo la nota desde su orden más bajo, es decir, que por ejemplo en Do mayor sabemos que la de orden más bajo es el Fa por su condición de nota negativa, e inicio de la serie de quintas Fa, Do, Sol, Re, La, Mi, Si. Podemos hacer un acorde de siete notas sin que se salga de la tonalidad. Si los acordes son por cuartas, que es la inversión de la quinta y un intervalo “negativo” como se explicó en 6.1, la secuencia se invierte lógicamente de mayor a menor (Si, Mi, La, Re, Sol, Do, Fa) y tomaremos ahora las primeras notas como bajo si queremos un acorde de muchas notas. La sonoridad de estos acordes es impresionante y de carácter marcadamente épico (recordemos lo que le sucedió al sultán) pero la inclusión de tritonos debilita su estructura por lo que insistimos en la construcción ordenada según la serie de quintas recién explicada. En la pista 46 se puede escuchar un fragmento de acordes de este tipo en mi sinfonía nº 8. Aunque la sonoridad de estos acordes es muy buena tienen un problema, y es su homogeneidad, siendo prácticamente indiscernibles entre sí. Eso hace que no se puedan usar durante un tiempo excesivamente prolongado porque llegarían a provocar la falta de interés por exceso de parecido. Como siempre, el compositor será quien deba arbitrar su uso.

En la figura 10.1 se ve un acorde por quintas, que puede ser considerado simplemente como un acorde de novena al que le falta la tercera y la séptima. En la parte derecha se ve un acorde por cuartas, que es la inversión del acorde por quintas correspondiente. Los acordes por cuartas o quintas no son consonantes puesto que, aunque X con Y, e Y con Z sean muy consonantes (más que las terceras), X con Z forma, bien una novena mayor, o una séptima menor. El nivel de disonancia sería intermedio entre los consonantes mayores o menores y los de séptima y novena. Si son cuatríadas, entonces se pueden ver como acordes de decimotercera con sus correspondientes huecos 3, 7, 11 y, aunque disonantes, eliminan problemas típicos de estos acordes en cuanto a formación de novenas menores.

Fig. 10.1: Acordes por cuartas y quintas.

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La característica fundamental psicológica de estos acordes se desprende de todo lo dicho. Por un lado son levemente disonantes y al faltarles la tercera su modalidad es ambigua, careciendo de la contundencia de un acorde mayor o menor. Estos acordes pueden generar sus propias modulaciones, que se producen al realizar progresiones. Ya se ha dicho que, para completarse, necesitan tener su fundamental cerca de la nota negativa (Fa en Do mayor) en la secuencia Fa, Do, Sol, Re, La, Mi, Si por lo que, a medida que avanza la progresión, aumenta la probabilidad de que su tercera nota no pueda caer dentro de la tonalidad en que se inició; con mucha mayor razón si empleamos cuatríadas o acordes de más notas. En ese caso, la última nota habrá que sacarla fuera del tono original y se producirá la modulación forzosa, a no ser que se introduzca un tritono, cosa poco aconsejable si se desea mantener la sonoridad de estos acordes. En la figura 10.2 se ven dos de estas progresiones (pista 47). En la primera de ellas, que es de acordes por quintas separados por terceras, el cuarto de ellos se ve obligado a modificar el Fa para evitar el tritono. En la derecha vemos otra progresión semejante de acordes por cuartas y, en este caso hay modulación brusca a dos bemoles.

Estos acordes no admiten inversiones excepto la suya natural que las convierte de cuartas a quintas y viceversa. La razón es que se pierde su sonoridad característica, a no ser que sea eso lo que se pretende. Como vemos, la inversión produce intervalos de segunda y eso merece ser tratado aparte más adelante. Por su ambigüedad y facilidad de paso a diferentes tonalidades son la puerta al sistema que se verá en el apartado 10.3. 10.2 Acordes híbridos Un acorde híbrido se compone de intervalos diferentes entre sus notas. Hay varios casos, el primero consistiría en un acorde de quinta más una tercera, que en realidad es una séptima mayor en la que se ha quitado la tercera del acorde. Si tenemos dos quintas más una tercera, el acorde equivale a un acorde de undécima sin tercera ni séptima (figura 10.3). En cuanto a la combinación con cuartas, el acorde formado por una cuarta y una tercera no es otra cosa que de cuarta y sexta tratado en el epígrafe 6.1, dos cuartas y una tercera es la cuarta inversión de un acorde de novena mayor en un acorde mayor sin séptima, y un acorde con una cuarta, una tercera y otra cuarta es la tercera inversión del acorde de séptima sobre el segundo grado. En general, los acordes híbridos de relevancia aparecen en la figura 10.3 y pueden verse simplemente como acordes mayores y menores a los cuales se añade una nota aparentemente extraña en el bajo. El cifrado se realiza mediante una barra inclinada a la derecha y a continuación la nota que está en el bajo.

En la figura aparecen los acordes híbridos junto a aquel del que proceden, en donde las notas pequeñas son las eliminadas.

Fig. 10.2: Progresiones de acordes de quintas y cuartas.

Fig. 10.3: Acordes híbridos.

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10.3 Sistemas atonales. Dodecafonismo Se define un sistema atonal como aquel en el cual no existe ningún centro preferente sobre el que cadenciar. Hasta ahora hemos visto acordes que necesitaban resolver, como era el caso del tritono, produciendo un movimiento obligado desde una dominante hacia una tónica. También se vio que en música modal existían unos acordes cadentes que daban el sabor característico a dicha modalidad y que en el caso de cadencias rotas, aún no moviéndose hacia los acordes que era de esperar, también lo hacían hacia centros bien definidos. Por tanto, un sistema modal no es atonal. En una pieza atonal no existen estos centros, ni cadencias propiamente dichas, sino más bien sucesiones de acordes sin orden jerárquico. En definitiva, lo que sucede es que desaparece la tónica, (es lo que significa literalmente atonal, sin tónica) y como consecuencia la dominante, así como cualquier tipo de acorde cadencial. Lo primero que se nos ocurre es relacionar un sistema atonal con determinadas escalas, y si no debe existir tónica es porque han desaparecido las jerarquías entre notas. Dichas jerarquías se producen porque existen diferencias entre los diversos grados, y la mejor forma de eliminarlas será haciendo que todos los grados de la escala sean equidistantes. Volviendo una vez más a la figura 5.2, nos encontramos con estas escalas, que ya se han tratado antes. La primera se trata de la hexacordal, o de tonos enteros, cuyos grados están siempre separados por un tono. Si las distancias entre notas son idénticas es porque no existen, efectivamente, jerarquías y cualquier nota es buena tanto para comenzar como para concluir la pieza. Este es un problema aún no muy bien resuelto en el atonalismo, y es el saber dar carácter conclusivo a una obra por lo que el compositor deberá jugar con otros recursos que indiquen que la música ha llegado a su fin, sin que los intérpretes o los directores de orquesta se vean obligados a tener que realizar gestos corporales exagerados que indiquen al público el término de la obra y que pueden comenzar a aplaudir. Uno de estos recursos suele ser la dinámica33 haciendo que el sonido se extinga paulatinamente. En mi caso particular, prefiero no terminar con fragmentos atonales sino más bien incluirlos en el transcurso de la obra, a no ser que emplee una base de electrónica. Existen más escalas atonales de distancias fijas, representadas siempre en el círculo de quintas con polígonos regulares, que denotan la equidistancia. Así tenemos el cuadrado (terceras menores, o tono y medio), que definen el acorde de séptima disminuida, el triángulo (distancias de terceras mayores, o dos tonos), definiendo ahora el acorde de aumentada, y otra escala consistente simplemente en distancias de tritono, quedando reducida a dos notas. Se pueden construir escalas a distancia de cuarta o de quinta, que enlazarían con los acordes anteriormente descritos y que revelan que la armonía obtenida con acordes por cuartas o quintas definen, de hecho, un sistema atonal. Queda la figura del dodecágono que, por su importancia, será tratada más tarde con detalle. Las tríadas en la armonía de las escalas hexacordales se forman a base de acordes de aumentada, todos idénticos. Como los acordes que construyen la armonía de la escala hexacordal son todos iguales, no hay necesidad de cadenciar y la música puede moverse sin ningún tipo de norma ante este equilibrio indiferente. Aunque la representación de esta escala sea geométricamente bella, el resultado no es similar, precisamente porque un exceso de simetría redunda en algo poco variado (señal) y que puede conducir rápidamente al aburrimiento, especialmente cuando los acordes de su armonía, si bien se hallan a distinta altura, son también idénticos en su estructura. El efecto psicológico de esta escala es exactamente lo que anuncia su propia descripción matemática: indiferente, homogénea, sin tensión, algo insípida. Por todo ello, el uso de este recurso debería aplicarse con precaución, sin caer en el abuso. En la pista 48 se ha incluido un fragmento breve de modo hexacordal y que,

33

En música se entiende por dinámica el volumen del sonido, que va desde piano (baja intensidad) a forte.

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como vemos, no tiene un final convincente. En la rueda de quintas se pueden inscribir dos hexágonos, por tanto hay sólo dos escalas hexacordales posibles. La escala triangular formada por distancias de dos tonos es un hijo de la hexacordal, pues es ella misma, en la cual aparece una nota sí, otra no. La cuadrada no es otra cosa que un simple acorde de séptima disminuida, no siendo de excesivo interés usarla en solitario puesto que, además, sus tritonos están invitando a resolver. No resulta un recurso especialmente potente, excepto cuando se aprovecha su carácter atonal para ser usado dentro de un marco tonal como elemento de modulación hacia tonos lejanos. Esto es especialmente interesante si se combina con sus escalas homólogas. En la figura 5.2 se aprecia que en el círculo se pueden inscribir tres cuadrados, por giro de 30 grados, y eso quiere decir que solamente hay tres escalas posibles de este tipo. Al no haber jerarquías, cada escala es atonal en sí y la música puede moverse de una a otra sin necesidad de acordes de enlace excepto la propia séptima disminuida que define, tal como se dijo en 6.6, cada séptima disminuida puede derivar a una tonalidad lejana, y si se unen las escalas cuadradas es posible usarlas como bisagra para aparecer en cualquier tonalidad. Por tanto, las escalas cuadradas tienen la peculiaridad de ser ambivalentes, es decir, que pueden ser tanto atonales como tonales. Existe un símil químico con los jabones. Las moléculas pueden ser polares o no polares; en el primer caso son sales y se disuelven bien en el agua mientras que en el segundo no se disuelven en agua pero sí lo hacen en disolventes orgánicos. La molécula de jabón tiene una parte polar y otra no polar; con la parte no polar atrae las grasas y las obliga a disolverse en agua a través de su parte polar. Lo mismo pasa con las escalas disminuidas de las que hablamos. Y nos queda finalmente una importante escala que usa intervalos de semitono, y que recibe el nombre de escala cromática, representada en la rueda de quintas por el dodecágono. Esta escala está formada con doce sonidos en un sistema temperado y crea un recurso muy importante conocido como sistema dodecafónico (de dodeca=12), que fue introducido por el compositor Arnold Schönberg a principios del siglo XX. Este sistema usa como base la escala cromática y emplea sus doce sonidos para las melodías y armonías. Visto así, la tonalidad y cualquier otra escala posible, sería un caso especial del sistema dodecafónico, si no es porque éste tiene unas normas que lo apartan de cualquier tipo de tonalidad o modalidad, encuadrándolo inconfundiblemente dentro de un marco atonal. La música dodecafónica ha sido injustamente vilipendiada por ser confundida con la música a la cual yo llamo “música marrón”, consistente en una agrupación caótica de sonido. Por el contrario, el dodecafonismo es un recurso interesante que ha sido explotado por compositores como Béla Bártòk en obras como Música para Cuerda Percusión y Celesta y que también se usa en el cine. Aunque la armonía es libre, con la condición de no formar acordes tradicionales y mantener así su carácter atonal, las líneas melódicas están extremadamente trabajadas cuando esta técnica se une al serialismo, fundamentado en las leyes del contrapunto, y que emplea recursos como aumentar un tema o disminuirlo, invertirlo o rescribirlo a espejo (conocido como movimiento retrógrado). En esta técnica, existe un motivo musical central, que es el que se denomina serie (de ahí su denominación), y se construye a partir de las doce notas cromáticas, sin que se reconozcan escalas mayores, menores o modales. Dicha serie se va utilizando en las diversas voces de la manera antes explicada. Para más información se recomienda consultar libros especializados. Desde el punto de vista psicológico es bueno para la creación de atmósferas tensas y angustiosas, películas de terror, etc. Puede el lector escuchar la pista 49, en donde he incluido un pequeño fragmento dedicado al dodecafonismo serial de mi suite Las Eras de la Música. Si el dodecágono gira 30º se queda igual que estaba, por lo que sólo existe una única escala cromática.

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10.4 El cluster: racimos de notas Comenzamos el capítulo ampliando los acordes para distancias superiores a la tercera (cuartas y quintas) y ahora nos preguntamos si se podrían formar con los intervalos inferiores a ésta, es decir, segundas mayores o menores. Cuando se juntan varias de estas notas en tales disposiciones definen lo que se llama actualmente un cluster. Esta palabra viene del inglés y significa literalmente racimo. Si la escala es una diatónica clásica como un modo mayor o menor, los clusters alternan segundas mayores y menores, según la posición, y en escalas como la cromática se definen tríadas y cuatríadas muy variadas a distancias de segunda mayor o menor de manera indiferente. Desde el punto de vista físico, los armónicos superiores, como en la figura 2.7, forman precisamente un cluster. Quizá si situamos uno de estos clusters en zona aguda y añadimos un bajo a distancia de fundamental no suene tan mal como parecería a simple vista. El experimento es el de la figura 10.4 y está en la pista 50.

Se ha elegido una flauta para que los choques sean menores y se ha bajado su intensidad para simular que son armónicos. La sonoridad no deja de ser dura debido a que no son armónicos reales sino que estos sonidos instrumentales, a su vez, tienen los suyos propios. La escala del bajo es, no obstante, perfectamente nítida. El fragmento se podría definir como una “tonalidad áspera”. En las escalas naturales los clusters se pueden considerar todos ellos como acordes de decimotercera en diversas inversiones ya que éstos se componen de todas las notas de la escala. Por el contrario, en las escalas atonales como la cromática o hexacordal, resultaría artificioso tratar de encontrar un acorde del cual el cluster sea su inversión. Simplemente le llamaremos cluster a secas. Es de esperar que en la composición actual los clusters no se sitúen en la zona armónica sino en cualquier lugar, pero, de alguna manera, y por el fenómeno de reconstrucción del fundamental a partir de sus armónicos, el oído detecta en los clusters un sonido muy grave que produce su efecto psicológico de oscuridad y misterio, a no ser que su frecuencia se sitúe en el rango infrasónico. Si los clusters están producidos por instrumentos ricos en armónicos como la trompeta, por ejemplo, las disonancias son extremadamente duras y pueden llegar a cansar y aturdir. Aunque puede que ciertos sectores no teman caer en ello, un compositor responsable debería medir bien este recurso si lo que desea es convertir su estilo contemporáneo en algo interesante y de calidad. Añadamos una tercera voz a los clusters de flauta recién hechos, consistente en un oboe formando politonalidad con el bajo como voz superior a dos quintas de distancia (Re mayor contra Do mayor en el bajo), que resulta ser el quinto armónico con lo que se rellenan huecos sonoros y mejora aún más (figura 10.5 y segunda parte de la pista 50).

Fig. 10.4: Clusters armónicos.

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Esto demuestra que palabras como cluster y politonalidad, que asustan a primera vista, incluso si están combinadas, son capaces de arrojar un buen resultado cuando cumplen las leyes de la física. Sin embrago no debería caer en saco roto todo lo dicho en el apartado 4.7, referente a la falta de concordancia entre armonía y melodía, con lo que en una pieza, aunque funcione bien armónicamente como el caso de la figura 10.5, se deberán hacer las consideraciones melódicas pertinentes. 10.5 Música estocástica En la introducción hablaba de cierto tipo de música a la cual llamo “música marrón”. En realidad, existen dos conceptos auténticos conocidos como música blanca y marrón. Esta última, y dada su relación con el movimiento browniano, de las moléculas de un cuerpo, he preferido denominarla música browniana, por su aspecto más científico y menos coloquial que “marrón”. Ambos conceptos se centran en dos aspectos estadísticos diferentes. La música blanca, llamada así por su semejanza con el ruido blanco, se centra en valores completamente aleatorios de una melodía, tanto en lo que respecta a su duración como su altura. Por el contrario, la música browniana, si bien posee ciertas desviaciones estadísticas entre una nota y la siguiente, dichas fluctuaciones están correlacionadas con la nota previa. Como una imagen vale más que mil palabras, nos referiremos a la figura 10.6, en donde se muestran ambos tipos de melodía.

La música blanca presenta un aspecto completamente aleatorio o caótico, mientras que en la browniana, cada nota guarda una relación estrecha con la anterior. En la segunda, el rumbo que toma cada nota es al azar cada cierto tiempo, bien subiendo o bien bajando, y su duración el doble o la mitad que la anterior. El cambio de rumbo, es decir, el momento en el cual cambia de dirección o de duración es aleatorio, pero ambos parámetros se podrían conjuntar de forma que los cambios fuesen predecibles. En tal caso, la música browniana representaría la señal y la lógica total, mientras que la blanca estaría relacionada con el ruido y la ilógica. Estos dos conceptos ya han sido tratados, y se han deducido igualmente sus repercusiones. En grafología existe un paralelismo total entre dos tipos de escritura: desligada y ligada. El primer caso consiste en que las letras de un texto escrito se encuentran sueltas, y en el segundo están todas ligadas con la anterior y la posterior. En esta disciplina se considera tan malo lo uno como lo otro, puesto que una escritura desligada corresponde a una persona ilógica, y en la segunda, el exceso de lógica conduce a obsesión y fanatismo. Un compositor con escritura desligada compondrá de forma

Fig. 10.5: Clusters con politonalidad.

Fig. 10.6: Música blanca y browniana.

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igualmente desligada e ilógica. Otro con escritura ligada al cien por cien creará una música obsesiva y atenazada, sin libertad. La música blanca presenta un aspecto caótico y la browniana reducida a meras escalas, pero ninguna de ambas posee un valor estético aceptable. Lo mismo que en grafología se dice que la escritura óptima tiene un cierto porcentaje de desligada (ilógica), una melodía deberá regirse por los mismos principios, si es que nos queremos adaptar al funcionamiento normal de un cerebro sano. En el caso que tratamos, si sobre una música browniana practicamos de vez en cuando una serie de saltos aleatorios, propios de la música blanca, obtendremos unas melodías mucho más estéticas que sus extremos blanco y browniano. En la figura 10.7 se ha diseñado una melodía aleatoria híbrida, mezclando los conceptos de música blanca (ruido) y señal (browniana).

Los tres ejemplos, blanco, browniano e híbrido pueden escucharse en la pista 51. La melodía híbrida propuesta, no es precisamente una obra maestra, pero tiene mucho mayor valor estético que sus compañeros blanco y browniano. Quizá uno de los mayores problemas de la música de nuestro tiempo radique en su crecimiento silvestre a espaldas de todo principio científico que podría haber arrojado luz sobre un nuevo tipo de estética y no sobre el axioma de la validez de cualquier cosa. Existen sistemas, más o menos esotéricos, que usan unas tablas de doble entrada, siendo una de ellas la duración (en negras, blancas, corcheas, etc.) y la otra las alturas de una secuencia de notas obtenida aleatoriamente. Aún valorando el esfuerzo, este sistema resulta caprichoso y no obedece a ningún fundamento científico excepto el de la mera ocurrencia bajo un aspecto aparentemente formal, pues no se basa en ningún fenómeno tanto físico como fisiológico o neurológico, ni tampoco se sustenta en investigación alguna. Los conservatorios tampoco ofrecen alternativas académicas. Por el contrario, el principio de relación señal/ruido podría ser un buen baremo para plantear la composición actual, pues es un campo que repercute en muchos aspectos de la vida cotidiana, incluido el arte y el funcionamiento del cerebro. Este principio es particularmente interesante en el campo de la electrónica, que analizaremos después, puesto que su estética llega a apartarse notablemente de los conceptos clásicos de la música. En el siguiente apartado analizaremos el caso de la música blanca cuando se armoniza de una manera semejante, obteniendo una música aleatoria tanto en lo horizontal como en lo vertical. 10.6 Música aleatoria En este grupo aparecería la música a la que he llamado coloquialmente “marrón”. No contiene relación horizontal ni vertical. En su parte melódica (horizontal) sería simplemente música blanca, y la parte vertical, o armónica, no seguiría ninguna norma física de las ya vistas. Un acorde se formaría con la concurrencia de notas sin parentesco. Esta música se crearía a partir de los doce sonidos de la escala por lo que sería dodecafónica pero no serial. Este tipo de composición ha resultado frecuente en la segunda mitad del siglo XX, y aunque, como siempre, y siguiendo la tónica de este libro, no se condena ningún recurso, debería ser analizado minuciosamente antes de su uso indiscriminado. Sería bueno conocer previamente algunas peculiaridades del cerebro, especialmente su tendencia a la sincronización con los patrones de estímulos a los

Fig. 10.7: Música híbrida.

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que se halla sometido, lo que ha dado lugar a algunas terapias. El cerebro emite cuatro tipos de ondas que son de tipo ruidoso, es decir, aperiódicas. Pese a ello, se pueden reconocer algunas frecuencias aproximadas que, si bien no corresponden a sonidos senoidales, pueden considerarse ligeramente marcadas. Bajo estas premisas veamos el siguiente cuadro:

En la pista 52, primer sonido, se han reproducido ondas del tipo beta, que son propias de la vigilia, y en la segunda parte ondas theta propias de estados inductores del sueño34. Todos sabemos, por ejemplo, que en un largo viaje, el sonido del motor del coche provoca estados de somnolencia, y eso es porque asemeja las ondas theta cerebrales. Al escuchar este sonido, el cerebro tiende a sincronizarse con él y aparece la tendencia a dormir. Tanto las ondas theta como las delta, del sueño profundo, poseen una frecuencia muy baja y son infrasonidos por lo que se asocian más con el ritmo. Un batido de esas frecuencias resultan ser hipnóticas y se aprovechan con tal fin. La adaptación del cerebro a los estímulos se emplea en técnicas como la grafoterapia, que consiste en obligar al sujeto a cambiar determinados trazos de su escritura, transformando el comportamiento cerebral. Lo mismo que la escritura refleja la personalidad del individuo, los cambios deliberados de su forma también los efectúa en el cerebro con la práctica grafológica prolongada. Esta técnica, que antes era de corte esotérico, forma parte ahora de las terapias psicológicas ortodoxas. Pues bien, toda esta disertación previa nos sirve para analizar qué sucede en el cerebro frente a la música aleatoria. La forma más caótica de sonido es el ruido, que ya se estudió en el capítulo anterior. En este caso la señal es débil o nula y no hay esfuerzo alguno para intentar extraer información ya que ésta no existe. Estos ruidos son los que ya estudiamos antes y no sólo el cerebro no sufre por escucharlos, siempre que su volumen no supere los umbrales de incomodidad, sino que puede incluso ser agradable o sincronizar ondas de relajación alfa o theta. Es lo que en 8.5 se denominó una señal de orden superior. En el caso de la música aleatoria no existen acordes reconocibles, ni relaciones frecuenciales, nada coincide con nada y las disonancias se suceden sin resolución ni nexos lógicos entre un sonido y el siguiente. Aunque aparentemente es ruido en su estado más puro, no es del todo cierto, existe una cierta señal. Dicha señal se debe a dos factores: el primero es el hecho de poder reconocer instrumentos, escalas y las frecuencias de las notas que emiten, patrones que surgen y se extinguen rápidamente, etc. El segundo es que la música la ha creado una persona y, automáticamente, el cerebro del espectador piensa que esa persona está tratando de comunicar algo, pero no acaba de entenderlo. Y es esta señal débil la que resulta molesta, conduciéndonos al caso del cuarto texto, punto más bajo de la figura 8.5, y en donde existe un enorme esfuerzo por tratar de extraer infructuosamente una supuesta señal. Si la música se genera electrónicamente puede parecerse mucho más al ruido, quedando en un punto intermedio entre éste y la música aleatoria. Además, lo novedoso de algún timbre electrónico inédito añade más interés que realizar estos cócteles con instrumentos tradicionales. El caos que la música aleatoria produce en el cerebro se traduce en sensación de falta de lógica, puesto que a lo largo de este libro hemos tratado de desentrañar las pautas lógicas que unen los sonidos, y que éstas se entroncan con las leyes físicas.

34 Deberá disponer de un equipo de sonido con una buena reproducción de graves.

estado físico onda frecuencia base (Hz) vigilia Beta (β) 14 – 33 relajación Alfa (α) 18 – 14 umbral del sueño Theta (θ) 4 – 8 sueño profundo Delta (δ) 0 – 4

Tabla XVIII: Tipos de ondas cerebrales.

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El abuso del recurso de la música aleatoria encierra un peligro fisiológico desconocido y que se está practicando hoy en día en numerosas salas de conciertos. El hecho se basa en la primera propiedad del cerebro de adaptarse a determinados estímulos. Cuando un cerebro está inmerso día y noche en música aleatoria, se vuelve ilógico, al igual que ella y procede exactamente igual que cuando se somete a una grafoterapia. Si bien es cierto que en muchas ocasiones un artista no necesita demasiada lógica para salir adelante en la vida, otras personas que se hayan adaptado a este tipo de música pueden sufrir las consecuencias de ésta en aspectos de su vida que necesiten de la lógica. Alguien adaptado a esa música rechazará sistemáticamente cualquier intento de razonamiento puesto que no puede seguir ningún proceso de concatenación intelectiva, y presentará dificultades al tratar de resolver problemas matemáticos o lógicos. Lejos de querer hacer una crítica, sino un simple descripción psicológica, hay que decir que quienes componen habitualmente este tipo de obras poseen una mente vaga e imprecisa en cualquier otro aspecto extramusical de su vida, e incluso su modo de expresión se tiñe de esa misma característica. Se dice en medicina que no existen venenos sino la proporción en la que se toma una determinada sustancia. Por ejemplo, es posible ingerir arsénico o cianuro sin que pase nada. Los efectos letales de estos productos se manifiestan cuando la proporción es la inadecuada. Lo mismo sucede con la música caótica que, en sí, no es letal para la lógica cerebral, sino la proporción en la que se usa. El uso constante de música aleatoria pura también puede conducir hacia ciertas neurosis obsesivas contra los acordes y la tonalidad, rechazando hacer cualquier otro tipo de música. Privado el cerebro del arma de la lógica, se crean círculos viciosos en donde cuanto más se escucha la música aleatoria, más ilógica se vuelve la persona y, por consiguiente, más adicta al caos. Este recurso debería ser usado con mucha precaución y sin caer en el fanatismo. También sería importante realizar un estudio serio psicológico sobre las curvas de respuesta del cerebro ante diferentes relaciones señal/ruido e investigar sobre este nuevo tipo de estética con el aplomo y el rigor científico que necesita y no como hasta ahora, que no se le ha prestado la debida atención. Pasando al ejemplo práctico, en la pista 53 se han incluido ejemplos de músicas con diferentes relaciones señal/ruido. En estos casos resulta difícil de cuantizar precisamente por la falta de investigación sobre formas contemporáneas, pero un reducido número de personas concluyeron que existía una relación crítica señal/ruido y que la música menos grata era instrumental, atonal, pero con pequeñas pinceladas de señal que no acababa de definirse, con el consiguiente desconcierto de quienes la escuchaban. Por el contrario, sonidos electrónicos decididamente ruidosos en lo que a su espectro se refiere (no a un volumen particularmente alto) parecían causar más aceptación. Finalmente, una música con más señal, esto es, más cercana a las reglas del clasicismo y la física armónica era más fácil de desentrañar y obtuvo mejor puntuación. En ésta se incluyeron elementos de música celular, de la que hablaremos a continuación y que, al estar más emparentada con dichas reglas, definían un mayor nivel de señal. 10.7 Música celular Este es, sin duda, un curioso tipo de música y que he escuchado en pocas ocasiones. Básicamente consiste en un tipo de música aleatoria pero consonante. Se fundamenta en la técnica de celdas modales simples vistas en el párrafo 7.6 pero distribuida esta vez al azar en lugar de seguir la pauta de un polígono regular. Cada celda se encuentra en una determinada tonalidad o modalidad, con lo que no es especialmente disonante, a diferencia de otros tipos de música aleatoria. Baste para ello decir que dentro de cada celda puede existir incluso, un acorde mayor o menor, con lo que la consonancia sería total. Vemos que es, en efecto, relativamente aleatoria puesto que no existe ninguna relación lógica de una celda con la siguiente. Por ejemplo, podrían sucederse armonías de Do mayor, Fa# mayor, Si bemol menor, Re mayor, La bemol menor, La mayor, etc. No existe justificación alguna entre un acorde y el siguiente produciendo

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una armonía consonante pero inconexa desde el punto de vista físico estudiado a lo largo de este libro. Las células armónicas pueden ser muy cortas con lo que la melodía se mueve de forma errática por todas las tonalidades engendrando en realidad una escala dodecafónica atonal en el sentido de su definición, es decir, que no existe un centro preferente donde cadenciar. El efecto psicológico que produce depende de la duración y la habilidad del compositor a la hora de controlar el efecto final. Cuando la obra es corta el efecto es positivo porque no castiga con la disonancia y la persona se muestra bastante tolerante a ella. Por el contrario, si se prolonga en el tiempo, la falta de cohesión comienza a producir una completa indiferencia, es como un cilindro apoyado en el suelo sobre una generatriz: el objeto rueda pero siempre parece estar en la misma postura pues todas ellas son indiscernibles. En este caso, la música celular tiene un efecto negativo sobre el cerebro y suele terminar en el aburrimiento por falta de estímulo ni de dirección hacia la que moverse. No hay ningún vector en la música que trace una ruta. Ante una hipotética composición en donde se hubiera abusado de este recurso una persona normal creería que su autor podría ser demasiado inmaduro como para pretender transmitir algo concreto. Posiblemente sería la piedra angular que buscaba aquel señor de los algoritmos del que hablamos en la introducción, una música que no produciría ningún efecto al igual que el elemento neutro de una operación matemática35. En la pista 54 se ha detallado un fragmento celular. Se puede comprobar que el recurso no es malo en sí, siempre que no se abuse de él o se sepa usar con destreza. Aplicando los conceptos de la teoría de la información, un pequeño fragmento de esta música puede contener su parte de señal y ruido pero si es largo, el exceso de parecido hace que comience el fenómeno que se denominó redundancia, aparentando que el autor nos repite su discurso una y otra vez. 10.8 Música sucia En el argot de composición se llama coloquialmente “ensuciar” al proceso de alterar una obra tonal produciendo determinadas disonancias y excursiones de la tonalidad de forma que la obra quede distorsionada y no sea reconocible su estructura tonal. Este proceso resulta peligroso y, tras el proceso de “ensuciado”, la obra debe ser inmediatamente escuchada para ver el efecto pues éste puede resultar muy negativo, sobre todo porque el cerebro estructura e identifica la base tonal y considera tales excursiones como fallos del intérprete en lugar de pinceladas atonales. Si el proceso cae en el descontrol la obra queda definitivamente estropeada ya que el ensuciado se reconoce como ruido incoherente, y si la señal es clara, el conjunto se sitúa en la zona mala de la figura 8.5, equivaliendo a una orquesta desafinada, inadmisible en cualquier estilo. En la pista 55 se muestra un ejemplo de música sucia en donde la alteración de la línea principal está descuidada y cae de lleno en la zona problemática, con el consiguiente efecto negativo. Aunque pueda resultar el ejemplo una caricatura, diré como curiosidad, que en cierta ocasión, haciendo un curso de composición, el profesor “vanguardista” expuso un proceso de ensuciado en donde las notas del mismo nombre presentasen diferentes alteraciones cuando coincidían verticalmente o durante un mismo fragmento armónico. A ello alegaba que juntar, por ejemplo en un mismo acorde, Re natural, sostenido y bemol, añadía “riqueza” a la composición. El fragmento de la pista 55 se ha realizado a partir de una obra tonal con un proceso de ensuciado semejante al promulgado. Juzgue el lector por sí mismo su opinión sobre la “riqueza” de esta obra. El ensuciado de obras es bastante delicado y suele conducir a resultados que no agradan al público en general. En este caso sí sería aplicable que un auditorio formado por personas con conocimientos musicales pueden valorar mejor este tipo de obras, pues están más acostumbradas a escuchar disonancias y técnicas similares, lo

35 En una suma el elemento neutro es el cero. Cualquier número al que se suma cero resulta inalterado. En el producto el neutro es el uno; cualquier número multiplicado por uno es él mismo.

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que les hace más receptivas y condescendientes con lo que el compositor ofrece. Sin ir más lejos, el propio Mahler hizo un proceso de ensuciado en su cuarta sinfonía, tratando de imitar un ambiente teatral sórdido en donde aparece un violinista callejero, bohemio y completamente bebido. El solo de violín debe imitar ese efecto de desafinado, propio de un intérprete ebrio, por lo que se procede a ensuciar la obra. En este proceso aparece el reto de dar a entender al espectador la escena que se describe y que sólo un artista genial, como lo fue Mahler, pudo llevar a cabo satisfactoriamente. Cuando el ensuciado es torpe y da lugar a equívocos, un intérprete debería negarse a interpretarlo, pues el espectador puede confundir fácilmente una obra mal planteada con un pésimo intérprete. 10.9 El caos sonoro Y llegamos por fin a la “música marrón” o caos sonoro. Si bien la música aleatoria ya presenta unos ciertos problemas debido a su falta de parentesco armónico, aún resulta posible estructurarla de tal forma que la señal se haga lo suficientemente notable como para mantener un interés y una cierta forma. El planteamiento puede ser atonal, pero conservando crescendos, pianos y fortes y cierto parentesco entre sus notas aunque sean clústeres. Eso sería de un efecto relativamente bueno (pista 56). No obstante, aún eso se puede perder y generar definitivamente el caos sonoro, no solo en cuanto a la armonía, sino referente a cualquier posible estructura. Igual que en los casos anteriores, un caos completo no sería especialmente molesto, siempre que las frecuencias en uso no sean hirientes, pero si alcanza la relación crítica señal/ruido, entonces se produce la música marrón. Esta música, careciendo por completo de la señal primitiva, es susceptible de generar a su vez otra nueva, completamente predecible tal como se trató en 8.5 y que puede caer fácilmente en la monotonía. Aunque existe un determinado público que escucha y goza con el caos sonoro, indudablemente por encontrar aceptable esta nueva señal de orden superior, la mayoría de los cerebros normales no suelen hallar suficiente sustancia en él y les resulta difícil mantener la atención en algo tan aburrido, con el consabido disgusto hacia este tipo de conciertos. Un ejemplo de “música marrón” puede escucharse en la pista 57. La falta de estudio de estos fenómenos, como relaciones señal/ruido y funcionamiento del cerebro es quizá responsable de las grandes dificultades que ha tenido la música contemporánea, y que ha degenerado en enfrentamientos dialécticos entre compositores, críticos, intérpretes y público. No existen en la actualidad unas normas precisas para la composición llamada vanguardista y eso ha dado lugar a una enorme especulación. Por un lado, los compositores achacan el rechazo del público a la ignorancia y a su falta de preparación y, por el otro lado, el público se siente engañado. Los intérpretes también están divididos radicalizándose ambos bandos. Al final de este capítulo propondremos un arbitraje para esta situación. Lo cierto es que, llegado el atonalismo a principios de siglo, cierta cantidad de público decidió rechazar de plano esas nuevas tendencias y entregarse a una música que era más fácil de comprender floreciendo el pop y el rock, que son plenamente tonales. Otro sector tomó un camino intermedio con música tonal, desenfadada pero de mayor complejidad armónica, y así avanzó el jazz. Personalmente creo que hoy en día faltan estudios serios que diluciden de una vez por todas, qué es aceptable y qué no lo es en el género vanguardista de nuestros días y que integren las diversas tendencias musicales que se escindieron en el siglo XX. 10.9 Electroacústica A diferencia de un compositor clásico o instrumental, que no necesita de conocimiento alguno sobre acústica, aquel creador que quiera realizar trabajos sobre electroacústica, sí necesitará conocimientos científicos. Tendrá que saber qué es un

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armónico y la acción que tiene sobre el sonido un filtro pasabajos o pasaaltos. Un modulador en anillo, por ejemplo, es un dispositivo que multiplica dos ondas. Si un determinado sonido posee armónicos superiores con intensidad grande, éstos pueden chocar en acordes que no son teóricamente disonantes. La electroacústica es un campo muy extenso y ella sola ocuparía un tratado completo de muchas páginas, motivo por el cual no podemos entrar en materia con la suficiente profundidad en este libro. Remitiremos al lector a la literatura específica sobre este tema. Hablaremos de la electroacústica como una herramienta que ha revolucionado la propia estructura de la música. Antiguamente existían notas específicas y definidas, emitidas por los instrumentos acústicos. En teoría de la información se dijo que un sistema con notas era discreto y que cada nota recibía el nombre de carácter. Las escalas correspondían al alfabeto. A diferencia de un sistema discreto, la electrónica produce timbres cambiantes, haciendo que una sola nota pueda evolucionar en el tiempo de manera sorprendente. Cuando un timbre varía mucho, el instrumento electrónico no puede ejecutar notas rápidas puesto que perdería su efecto peculiar. Si el compositor desea elaborar melodías tendrá que recurrir a timbres parecidos a los acústicos o mezclar éstos con la electrónica. El mundo tímbrico que se presenta al compositor puede llegar a abrumar. Aparte de esto, la costumbre de escuchar instrumentos acústicos nos hace poder concebir fácilmente una obra, ya sea desde una canción simple con acompañamiento de guitarra, hasta una orquesta sinfónica. Con la electrónica la composición se hace muy difícil, tanto de concebir como de tratar de recrear un timbre electrónico que suene en nuestra cabeza. La electroacústica es una técnica que, por ser muy maleable, permitiría graduar muy bien la relación señal/ruido y permitir hacer música de buena calidad, siempre que se admita que dicha relación sea la responsable de la estética musical. 10.10 Otras técnicas: microtonalidad y espectralismo Será bueno comentar algunas otras técnicas modernas y discutir su viabilidad. Concretamente serán dos: microtonalidad y espectralismo. La segunda consiste en una técnica para el tratamiento del timbre y tiene un fundamento físico muy concreto. Sabemos que en el sonido aparecen siempre parciales, ya sea armónicos o sobretonos (recordemos que los primeros tienen relaciones de frecuencia de números enteros y los segundos son fraccionarios). Pues bien, sabiendo que estas ondas están siempre ahí, el espectralismo las busca, filtra y trabaja con ellas. Sería muy tedioso tratar de explicar los métodos ya que ellos supondría al lector con un nivel alto de conocimientos en electrónica (filtros pasabajos, pasabanda, de rechazo de banda, así como factor de resonancia, moduladores en anillo, etc.). Baste decir que los parciales se procesan y esto produce un efecto en el timbre del sonido, tal como ya se comentó en el capítulo 9. Aunque muchos compositores que utilizan esta técnica cultivan el atonalismo, hay que decir que la técnica en sí, no se circunscribe necesariamente a esta estética y puede usarse también dentro del marco tonal. No se puede decir otro tanto de la microtonalidad. Una persona no debería confiar en que el uso de un término rimbombante justifique un determinado trabajo. Al final del capítulo 4 se habló de la limitación que supone la longitud de una cóclea en cuanto a la resolución de dos frecuencias próximas, y que ello suponía la percepción de la disonancia. En ese mismo apartado 4..8 se sugirió la inclusión de un organismo extraterrestre, con una fisiología ampliamente diferente a la nuestra, para poder percibir nuestras disonancias como consonancias. Pues bien, imaginemos lo que supone crear música en escalas microtonales con intervalos que la tradición ha identificado con lo que se llama desafinar. Un intervalo de quinta justa más un cuarto de tono es, simplemente, una quinta desafinada e inadmisible en cualquier concierto. El resultado positivo o negativo de esta interválica se deberá estudiar según lo expuesto en 4.6, que es donde se investigó si los intervalos temperados (que corresponderían realmente a una microtonalidad), evitando así caer en el engaño de

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alguna nomenclatura más o menos altisonante. Valga como ejemplo, algo cómico, que sería el resultado de calificar a una orquesta con los adjetivos: microtonal de banda ancha. Realmente esto impresiona, parece algo épico, cuando no es más que una orquesta incapacitada para que varios de sus músicos, supuestamente tocando al unísono, emitan una misma nota sino un amasijo de sonidos desafinados. 10.11 ¿Bueno? ¿Malo? El arte no es un fenómeno físico ni matemático y eso lleva a una ambigüedad total en la definición de qué es bueno y qué es malo. Cuando un aparato no funciona bien, se puede demostrar científicamente su poca calidad porque no cumple determinadas especificaciones para las cuales fue creado expresamente. En el caso del arte las fronteras son mucho más difusas y polémicas. Una misma pieza de Stockhausen, por ejemplo, puede parecerle a algunos una obra maestra y para otros la expresión de un perturbado mental. ¿Es relativo el concepto de bueno y malo? ¿debería abandonarse dicho concepto puesto que depende de quien lo escuche? Existen valores relativamente absolutos como el hecho de que un conjunto instrumental emita un ancho de banda de frecuencias que produzcan malestar. A eso normalmente se le llama desafinar y propio de malos intérpretes. Incluso se podría demostrar con aparatos el nivel de desafinación y cuantificarlo con una cifra, un índice numérico que expresase la baja calidad de una determinada interpretación. Algo más difícil que esto resultaría ponderar la mediocridad tímbrica, es decir, el sonido emitido por un instrumento malo, pero aún así se podría llegar a hacer un recuento de sus armónicos, variaciones de los mismos y así también se expresaría numéricamente la calidad instrumental. Otra cosa muy diferente es la valoración artística de una determinada obra. Podríamos citar otro ejemplo: un concurso de composición, en donde la decisión se confía a un jurado compuesto por personas de reconocido prestigio. Faltaría saber también cómo se ha llegado a ese supuesto prestigio que, generalmente consiste en su aceptación por parte de un buen número de personas cercanas al arte que practican. Eso no quita, sin embargo, que su criterio esté impregnado por sus propias ideas y convicciones, y que juzguen de acuerdo a un código parcial que no se ajusta a ninguna norma científica ni mesurable. Hoy en día se presenta la paradoja de que un jurado puede ser elegido por esa aceptación mayoritaria y que, contra todo pronóstico, premien una obra que sea del desagrado general del público. También hemos comentado que algunos compositores de músicas difíciles achacan a la falta de conocimiento del público la mala acogida de sus obras pero tampoco son capaces de demostrar científicamente que sus obras alcancen la calidad necesaria. En pocas palabras, la apreciación del arte no deja de ser un fenómeno subjetivo y demasiado ambiguo. Suele suceder que una determinada película haga mella en una persona que se identifique especialmente, bien con el guión, bien con algunas circunstancias, o bien con ciertos personajes. Una persona que haya sufrido por causa de un desengaño amoroso resonará más con guiones que traten de ese tipo de sinsabores, mientras que un homosexual tenderá a valorar más las películas que traten de los problemas sociales que se derivan de las tendencias sexuales de una persona inmersa, por ejemplo, en una sociedad intolerante con este tipo de cosas. A esto se suma todo lo dicho en 8.5 sobre las diferentes impresiones hacia una señal dada en función de los mecanismos particulares cerebrales del individuo, haciendo que cada persona se incline en mayor o menor medida a determinadas temáticas en función de su propia personalidad pero, aún así, insistiremos de nuevo en la pregunta de si hay arte bueno y arte malo. Es muy posible que, por mala que sea una representación de teatro, siempre exista una persona a la que le parezca bien, y basta que eso ocurra para no poder calificar la función como “mala” desde un punto de vista unánime. La única solución matemáticamente aceptable sería realizar una estadística de las personas a quienes les ha gustado y a las que no, evaluando igualmente el nivel cultural de las mismas. Con ello se podría generar un índice que combinase el número de personas a favor o en contra y su nivel cultural. Pese a todo,

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decidir si algo es bueno o malo en función de la cifra alcanzada por dicho índice no pasaría de se un mero convenio sin un claro valor objetivo y absoluto. Concluiremos, para no herir susceptibilidades, que los gustos son subjetivos y que también dependen de los diferentes funcionamientos cerebrales. Hay gustos mayoritarios y minoritarios, tan respetables unos como otros y nadie debería censurar a ciertos sectores del público por el mero hecho de que su gusto no se adapte a determinado estilo. Cada forma musical debería igualmente dirigirse al sector adecuado y eso no debería suponer ningún problema. Lo que es un clarísimo error es ofrecer a un determinado público un lenguaje que se sabe positivamente que no va a asimilar y luego echar la culpa del fracaso a la incapacidad intelectual de éste, cuando la única incapacidad es la de aquel que ha realizado la programación. Este nuevo siglo se presenta prometedor porque cada día que pasa la opresión de las modas pierde fuerza, haciendo que la personalidad de cada compositor se pueda desarrollar con normalidad, evitando tener que soportar censuras que, por otra parte, no se fundan en fenómeno científico alguno ni tampoco pueden medirse. Contrariamente a la opinión generalizada, la música está lejos de terminar; en mi modesta forma de ver las cosas, creo que lo que está es empezando, ya que en tiempos de Bach o Mozart no existían la cantidad de recursos que hay en la actualidad y cuando el atonalismo del siglo XX deje de ser una moda que excluya al resto de los estilos para pasar a ser un recurso más, estaremos en disposición de usar la enorme paleta que, tanto el siglo XX como la tradición de varios siglos de música, ha dejado en nuestras manos. 10.12 En busca de una estética En lugar de aceptar como premisa la incapacidad del público para entender un nuevo tipo de estética más actual, o que no ha escuchado suficiente cantidad de obras en esa línea, he partido justamente de todo lo contrario, del axioma de pensar que si lo que hago desagrada a un gran número de personas, es porque algo está fallando en mis planteamientos. Como ya hemos discutido ampliamente en anteriores apartados, ambas premisas son igualmente válidas siempre que se aplique el principio de no obligar a nadie tener que soportar aquello que le disguste y que cada tipo de música se dirija al público adecuado. En este apartado estudiaremos el principio de producir una estética aceptable para un gran número de personas y, cómo no, mediante la aplicación de los principios de la teoría de la información. Para ello se dispusieron diez fragmentos de música atonal, o difícil, con el fin de que fuesen valorados por un grupo de X personas. Este grupo se formó con personas de nivel cultural alto y la mitad de ellos con conocimientos musicales (alumnos del conservatorio y músicos). La música tonal posee unas normas muy claras y no se necesita hacer ningún trabajo de investigación para dilucidad qué es bueno y qué no. Antes de dar el resultado quizá prefiera hacer usted mismo el test y después conocer la respuesta de la muestra de observadores del experimento y compararlo. Las piezas fueron las siguientes, algunas de ellas ya las conoce:

� Sonido 1: pista 58.

� Sonido 2: pista 35.

� Sonido 3: pista 54.

� Sonido 4: pista 56.

� Sonido 5: pista 37.

� Sonido 6: pista 57.

� Sonido 7: pista 59.

� Sonido 8: pista 36.

� Sonido 9: pista 60.

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� Sonido 10: pista 55. Para realizar la valoración estética, cada fragmento debe ser puntuado de cero (disgusto total) hasta 10 puntos (aceptación plena). El resultado estadístico dispuso en forma de diagramas de barras y posteriormente se pasaron a curvas para poder compararlos en una misma gráfica. Para poder realizar un estudio comparativo coherente de las diferentes muestras, sería menester establecer su relación señal/ruido y ubicar la muestra en la figura 8.5. A diferencia de lo que sucede en teoría de la información con las secuencias de datos, asignar un valor numérico a nuestras muestras, y en general a cualquier expresión de arte, es algo prácticamente imposible debido a la gran cantidad de variables y parámetros en juego. Esa es una de las razones por las cuales hay que recurrir a estadísticas y también el fenómeno de la dispersión de datos, algo ausente en teoría de la información. La dispersión de datos se produce, tal como se explicó en el apartado 8.1, a la falta de unanimidad de los distintos observadores, que actúan con criterio propio característico de su condición de persona y no de máquina. Además, como veremos, en el estudio de una serie de muestras se superponen diferentes aspectos que analizaremos debidamente. Daremos una aproximación de la situación de la muestra en el diagrama de la figura 8.5 evaluando su cantidad de ruido y señal. El primer estudio ya se ha consignado en 8.6, y se refiere a la diferencia entre una portadora de primer orden (muestra de la pista 36) y otra de orden mayor (pista 37). Ninguna de las dos ha obtenido buena calificación pero la portadora de primer orden ha sido la peor casi por unanimidad. La razón es simple: un sonido puro mantenido es totalmente predecible y la información que contiene es nula por lo que su valor musical es igualmente nulo. En cambio, la muestra de la pista 37 tiene mayor riqueza y produce mayor dispersión en las opiniones. Ordenemos ahora las muestras según la cantidad de señal o ruido que contengan. El orden es el siguiente:

� Pista 36 (sonido puro)

� Pista 54 (música celular)

� Pista 56 (música aleatoria)

� Pista 59 (“marrón claro”)

� Pista 57 (“marrón oscuro”)

� Pista 55 (Música “sucia”)

� Pista 60 (música electroacústica)

� Pista 37 (efectos naturales)

Ahora justificaremos el porqué de este ordenamiento pero, como curiosidad, diremos que en la prueba se introdujo un dato redundante, con dos músicas bastante

pista 58 pista 59

Fig. 10.8:Dos estadísticas de muestras semejantes.

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similares, que son las pistas 58 y 59. El resultado estadístico fue muy similar (figura 10.8), lo que demuestra que los sujetos de experimentación supieron identificar perfectamente dos muestras con una relación señal/ruido semejante. Es evidente que la pista 36 es una portadora de primer orden y que deberá ocupar la relación S/R más alta. La pista 54 ocupa el siguiente lugar puesto que tiene un nivel tenue de ruido, consistente en desligar las relaciones armónicas entre las diferentes celdas. Un paso más de ruido creará mayor nivel de disonancia pero conservando estructuras rítmicas y una cierta relación secuencial entre notas, es decir, que contiene crescendos y decrescendos, y puntos similares con la música browniana, tal como se dijo en 10.5 (música aleatoria). Rompiendo algo más estas relaciones, las muestras se aproximan hacia el punto problemático de la figura 8.5 y obtenemos la primera muestra de la “música marrón”, como la he llamado (pistas 59 y 57). Nótese que, para diferenciarlas, y dado que la densidad sonora de ambas es muy diferente, les he añadido el calificativo de “claro” y “oscuro”. De las dos, la segunda muestra tiene un aspecto más caótico y, por consiguiente, es más ruidosa. Tal como ya se ha dicho en 10.9, se conserva una señal de notas discernibles debido a los instrumentos acústicos y se sitúa en la peor relación S/R. A este aspecto se superpone otro, referente a la predictibilidad de la señal. Ciertamente las notas se suceden en forma azarosa pero, precisamente es ese azar el que hace que el oyente sepa con certeza que la siguiente nota será tan arbitraria como la anterior y generará una portadora de orden superior. El resultado es una cantidad de información deficiente, y su curva estadística, la número 5, tiene una calificación mala. En la figura 10.9 se pueden ver las distintas curvas y cómo un ruido creciente hace decrecer su calidad al aproximarse a la relación crítica.

Ahora vamos a subir el ruido aún más haciendo que los timbres sonoros de instrumentos tradicionales no sean reconocibles como tales. Eso es fácil recurriendo a

celular

aleatoria

portadora

“marrón claro”

electrónica

efectosnaturales

“marrón oscuro”

1

52

3

4

6

7

Fig. 10.9: Diferentes curvas de calidad en función de la relación S/N.

144

la electroacústica, obteniendo la muestra de la pista 60. Una vez más se superponen aquí conceptos diferentes. La pista 60 y la 35 son ambas electroacústicas, pero la 35 obtuvo en la figura 8.6 un mal resultado, mientras que la 60 (curva 6 de la figura 10.9) ha sido mucho mejor aceptada ¿por qué? El propio lector podría deducirlo fácilmente: la pista 60 es monótona, tiene muy poca información y posee características de portadora, mientras que la 35 se presenta mucho más variada (con más ruido en relación a la pista 60) y está más cercano al máximo de calidad de la figura 8.5. Finalmente se ha optado por eliminar por completo las frecuencias reconocibles como notas musicales y aparece una pista con sonidos naturales, físicamente ruido, que obtuvo la máxima aceptación (curva 7). Además, a esto puede sumarse el efecto relajante que este tipo de sonidos causan en los organismos vivos. Hemos visto en todo este desarrollo lo entremezclado de los conceptos. Eso sucede porque cada magnitud física puede generar su propia serie de relaciones señal/ruido, es decir, la armonía, el ritmo, el timbre, etc. Como norma general se ha visto en las estadísticas que la monotonía equivale a una portadora y que las señales que se mueven poco tienen poca información y tienen poca aceptación. Pero queda algo interesante, relacionado con una relación señal/ruido crítica, normalmente producida por la interferencia de dos señales poco compatibles (recuérdese el ejemplo del conferenciante del apartado 8.4). Se trata de una música “sucia” que ha sido especialmente diseñada para que esté en la relación crítica. El resultado de la estadística reveló que el público quedó desconcertado (figura 10.10) con un resultado global negativo pero sumamente dividido entre lo malo y lo muy malo, con una pequeña fracción que pensó que era interesante. La razón se debe a que se está dando en esta muestra una de cal y otra de arena. Parece que la base es coherente, se trata de música tonal que “chirría” de vez en cuando, terminando en un acorde mayor. Los sentimientos del oyente oscilan entre la aceptación y el rechazo y le resulta difícil evaluar qué ha pesado más, si lo positivo o lo negativo. De la figura 10.9 parece desprenderse que la peor música es la “marrón oscuro” (descartando, naturalmente el pitido de la pista 36, que se ha introducido nada más que por motivos de control). Eso es completamente cierto si la tónica de la obra es similar de principio a fin, pero no del todo cierto si es solamente un fragmento. Es decir, que la calidad de una música depende mucho de todo lo que ocurrirá a lo largo de un desarrollo prolongado. En nuestro experimento hemos tenido que optar por muestras cortas para no cansar a los voluntarios pero, por ejemplo, si una música con aceptación, como la celular, se prolongase durante mucho tiempo, acabaría por caer

en la monotonía decayendo su calificación ostensiblemente. Si una música como la marrón oscuro ocupase una fracción pequeña de una obra más larga, mejoraría su situación porque dejaría de ser tan monótona y predecible; añadiría información, en otras palabras. En el pico máximo, óptimo de la fig. 8.5 se situaría la música clásica tradicional, pero eso no quiere decir que una música tonal sea siempre buena ni mucho menos. Las hay pésimas y son,

además mucho más fáciles de juzgar que las atonales. Para una composición tonal rezan los mismos principios y, pese a cumplir normas estéticas, puede que no transmita ninguna información, que no aporte absolutamente nada nuevo, y que esa falta de información haga que sea poco o nada aceptada por el oyente. Lo que sucede es que una música atonal, por su condición disonante y difícil, será mucho más criticada si no es buena, y necesita un tratamiento mucho más cuidadoso que la tonal, lo cual no suele suceder en muchos casos.

música sucia

Fig. 10.10: Estadística sobre música “sucia”.

145

10.13 ¿Lo sublime es parametrizable? Hemos tratado los principios físicos del sonido que hacen que un sonido sea duro o fácil al oído, el desarrollo a lo largo del tiempo producido por resoluciones y progresiones armónicas. Son centros de referencia donde el oído tiende a sentirse más cómodo o entender un discurso lógico. También nos hemos adentrado en formas más atrevidas y modernas en donde al parecer, la teoría de la información juega un papel importante a la hora de decidir si la música transmite o no algo. Todo esto constituye un material básico en donde asentar el arte de la música; es lo mismo que juzgar a un buen intérprete y diferenciarlo de otro malo. Al menos debe cumplir una serie de condiciones sin las cuales no se puede construir una obra de arte. Un buen intérprete no debe desafinar, debe sacar un timbre hermoso a su voz o al instrumento que toca y tiene que poseer una técnica que le impida cometer errores, tanto rítmicos como dar notas equivocadas. Pero hay algo más, consistente en la transmisión de algo intangible, de naturaleza si se quiere espiritual, que provoque sentimientos profundos en el oyente. Puede que un cantante de voz privilegiada y técnica impecable sea incapaz de transmitir eso y acabará por aburrir. Ciertamente también se puede aplicar la teoría de la información, aunque esta vez lo que se exige no son meros elementos sonoros originales que eviten la monotonía, sino la emisión de otro tipo de información, mucho más sutil y difícilmente plasmable en números o

fórmulas matemáticas: es la comunicación de una vivencia mental, psicológica. Hay tendencias actuales (recordemos la anécdota de los algoritmos) que desprecian por completo estos aspectos y los califican de “anticuados”. En ese caso lo sublime sería por completo parametrizable ya que ni siquiera existirá semejante concepto de “sublimidad”, relegándose a simples ondas transmitiéndose por el aire sin finalidad alguna. En ese caso no hacen falta normas, ni siquiera público, simplemente el autor de la obra. Volviendo a nuestro punto de vista anticuado, parece que lo sublime no se puede reducir fácilmente a

ecuaciones. Sí es cierto que cualquier música se puede contemplar en su lado físico como ondas más o menos complicadas y de esta manera reducir matemáticamente hasta la obra más profunda, espiritual y grandiosa. Yo mismo tengo en varios CD ROM las obras de pintura más excelsas de la humanidad, tomadas de los museos más importantes del mundo, y reducidos a una secuencia de ceros y unos. La obra musical más excelsa, interpretada por el mejor director de orquesta de todos los tiempos se reduce igualmente a una secuencia de ceros y unos. Pero no es eso lo que significa parametrizar lo sublime, ya que su verdadera misión no es la de digitalizar a posteriori lo ya hecho sino crear desde cero la belleza, lo que implicaría conocer la descripción matemática de ésta. Hay algunos estudios sobre el segmento áureo y las series de Fibonacci, pero esto es lo mismo de lo que hablábamos antes, es un sustrato sobre el que construir, no el reflejo de la belleza misma. Desde luego hay estudios sobre fractales, innegablemente bellos y que parten de una función matemática muy concreta (ver figura 10.11) pero aún no parece suficiente comparar un efecto físico estético con la honda impresión causada por una sinfonía o una misa de requiem. Quizá algún día pueda determinarse esto pero, hoy por hoy no existe ninguna fórmula que, supliendo a la genialidad del artista, permita a un compositor hacer esa música que deja huella. Si se consigue algún día no cabrá duda de que nos habremos adentrado en uno de los misterios más profundos de la existencia: el origen y la naturaleza misma de la consciencia, el fundamento mismo del alma humana.

Fig. 10.11: Fractal del conjunto de Madelbrot

146

1 2cos 22

tν − ν

π

Apendice A 1. Suma de dos ondas Vamos a demostrar que cuando se suman dos ondas senoidales, el resultado es una nueva onda senoidal cuya frecuencia es la semisuma de las frecuencias de las notas de partida y que está modulada por otra sinusoide de frecuencia la semidiferencia. Para ell recurriremos a la expresión de la onda en su notación compleja, es

decir: 2exp( 2 ) j tj t e πνπν = , en donde j es la unidad imaginaria ( 1j = − ), n la

frecuencia de la onda y t el tiempo. La razón estriba en que la demostración en notación compleja es mucho más compacta y simple. Sean dos ondas de frecuencias n1 y n2. Expresemos su suma como Ψ(t):

1 2( ) exp( 2 ) exp( 2 )t j t j tψ = πν + πν .

La expresión se puede desarrollar de la siguiente forma:

1 2 1 1 2 2( ) exp( 2 ) exp( 2 ) exp( ) exp( ) exp( ) exp( )t j t j t j t j t j t j tψ = πν + πν = πν ⋅ πν + πν ⋅ πν

Ahora vamos a hacer una operación invariante en cada sumando del segundo miembro multiplicando y dividiendo por la misma cantidad:

2 11 1 2 2

2 1

exp( ) exp( )( ) exp( ) exp( ) exp( ) exp( )

exp( ) exp( )

j t j tt j t j t j t j t

j t j t

πν πνψ = πν πν + πν πν

πν πν

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]{ }

1 2 1 2 2 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( )

exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( )

exp ( ) exp ( ) exp ( )

t j t j t j t j t

j t j t j t j t

j t j t j t

ψ = π ν + ν π ν − ν + π ν + ν π ν − ν =

= π ν + ν π ν − ν + π ν + ν − π ν − ν =

= π ν + ν π ν − ν + − π ν − ν

Pero la cantidad que está entre llaves es, según la ecuación de Euler, el coseno:

[ ] [ ]1 2 1 2 1 2exp ( ) exp ( )

cos 22 2

j t j tt

π ν − ν + − π ν − ν ν − ν = π

y sustituyendo:

1 2 1 2( ) exp 2 cos 22 2

t j t tν + ν ν − ν

ψ = π ⋅ π ,

quedando demostrado que hay una onda portadora 1 22

2j te

ν +νπ

modulada por 2. Índice de consonancia Sean dos ondas H1 y H2 de un intervalo con frecuencias respectivas n1 y n2. Ambas las supondremos que son armónicos de una fundamental de frecuencia n. Definiremos el índice de consonancia mediante la relación:

147

1 2ν + ν

σ =ν

,

Como las ondas son armónicos de un sonido, estarán relacionadas con su fundamental mediante una relación de número entero, es decir:

1 2;a bν = ⋅ν ν = ⋅ν (A1)

en donde a y b son dos enteros cualesquiera. De esta forma, el índice de consonancia queda:

1 2 a ba b

ν + ν ν + νσ = = = +

ν ν. (A2)

Ahora se trata de calcular el número de periodos de la onda portadora que entrarán en un periodo de la onda moduladora, para lo cual habrá que hacer unos pasos previos para deducir los periodos de ambas. Sabemos que la frecuencia de la moduladora es la semidiferencia, obteniendo:

1 2 ( )2 2 2

m

a ba b

ν − ν ν − ν νν = = = − .

En cuanto a la portadora:

1 2

2 2 2p

a b a bν + ν ν + ν +ν = = = ν . (A3)

Ahora falta deducir cuál será el periodo de la onda modulada resultante. Para la onda H1, que podemos representar mediante su forma de coseno: cos(2pn1t), se tiene que su periodo termina cada vez que el argumento del coseno es múltiplo entero de 2p. Esto define unos intervalos de tiempo a partir de los cuales los valores se vuelven a repetir cíclicamente. Es decir:

1 1 1 12 2t n t nπν = π → ν = , donde n1 es un número

entero cualquiera que denota el número completo de periodos transcurridos. De esta ecuación se deducen una serie de valores discretos del tiempo para los cuales la onda vuelve a repetirse. Por otro lado, para la otra onda, que tiene su propio periodo, también se podrá decir que 2 2t nν = , siendo n2 otro número entero también, y que

definirá, a su vez, aquellos valores del tiempo para los cuales la segunda onda se repite. Esto se expresará como:

11 1

1

22 2

2

nt nT

nt n T

= =ν

= =ν

(A4)

La onda modulada resultante deberá ser tal que haya coincidencia de los valores de ambos periodos (figura A.1) y para el mismo valor de t, es decir, que igualando las ecuaciones (A4) se tiene que en la onda resultante deberá verificarse que:

1 1 2 2 rnT n T T= = , (A5)

igual a su vez al periodo de la resultante Tr. Y teniendo en cuenta las relaciones (A1)

1 2;a bν = ⋅ν ν = ⋅ν :

148

2 11 2 2 2 2

1 2

T a an n n n n

T b b

ν ν= = = =

ν ν

que muestra el número de veces (n1) que el periodo 1 entrará en n2 periodos del 2. Para que esta ecuación resulte compatible hay que tener en cuenta que los n deberán ser números enteros y que a y b son indivisibles. Si fueran divisibles significaría que

habríamos tomado dos armónicos que forman un intervalo que ya estaría en un lugar más bajo. Por ejemplo, 9/6 corresponde a la quinta G4D5, cuando el intervalo de quinta ya está más abajo como C4G4 y con relación 3/2 que resulta de simplificar 9/6. Por tanto, siendo a y b indivisibles, la única posibilidad es que sea n2=b , con lo que n1=a . En el ejemplo de la figura A.1 sen ha puesto dos ondas cuyas relaciones de frecuencias son 5/2. En ese caso a= 5, b = 2, con lo que n1= 5, n2= 2. Para construir el periodo resultante hay que colocar cinco periodos de H1 contra 2 periodos de H2, como

se muestra en la figura. En la onda resultante se ve con claridad que ambas ondas coinciden cuando se apilan de esta forma y que ése será el periodo de la resultante. De la ecuación (A5) sacaremos dicho periodo:

1 2rT aT bT= = ,

con lo que la frecuencia (inversa de T) es:

1 2 ;r r

a b

a b a b

ν ν ν νν = = ν = = = ν , (A6)

o bien:

rT T=

Este es un resultado muy interesante que explica lo comentado en el texto sobre el reconocimiento del grave en aparatos de baja calidad. Si el periodo de la suma de H1 y H2 coincide con el del fundamental, cuando la onda sufra alguna pequeña distorsión este reaparecerá puesto que está latente. Esto es lo que sucede en la membrana basilar del oído interno y comenzará a vibrar con la nota fundamental reconstruyendo el grave aunque no se hubiese emitido. También hay un experimento de reconstrucción de la fundamental que se puede realizar con el piano. Ahora ya podemos calcular la relación entre el periodo de la onda resultante y de la portadora deducido de (A3), puesto que ya sabemos que el periodo de la resultante es igual al de la fundamental

1 1

2 2p p

a b T a b

T T T

+ += → = ,

que relacionado con (A2):

2p

Ta b

Tσ = + = , (A7)

H

T

1

1

H2T2

Fig. A.1

149

Representando el doble de la relación entre el periodo de la onda resultante y el de la portadora. Este índice reúne dos conceptos aparentemente diferentes. El primero, que se desprende de (A7) es el número de periodos de la portadora que entran en un periodo de la resultante, pero visto de esta otra manera:

1

2pT T= σ

mide la longitud aparente del periodo. Si tenemos varios intervalos diferentes pero todos ellos con la misma longitud de su portadora Tp, al ser común Tp para todos ellos resulta que la longitud de la resultante es proporcional a s. En este caso el índice s mide la longitud del periodo de la onda modulada resultante. Aunque ambos conceptos son diferentes tienen la misma expresión matemática con lo que el índice de consonancia nos sirve para los dos. 3. Relaciones entre intervalos en el sistema pitagórico Desarrollemos los cocientes:

3 9 27 81 2431, , , , ,

2 4 8 16 32.

Sabiendo que el Fa es una nota “negativa”, tenemos que añadir a esta serie una quinta descendente:

2 3 9 27 81 243, 1, , , , ,

3 2 4 8 16 32.

Ahora falta ordenar los sonidos y dejarlos todos en la misma octava. El Fa hay que subirlo una octava, por lo que habrá que multiplicar por 2 la fracción, quedando 4/3. Hay que bajar una octava (dividir por 2) los sonidos:

9 27

4 8y , es decir:

9 27

8 16y ,

y bajar dos octavas (dividir por 4) los restantes:

81 243

64 128y .

Ordenando de menor a mayor se tienen los diferentes grados de la escala:

I II III IV V VI VII

9 81 4 3 27 2431, , , , , ,

8 64 3 2 16 128

Para ver las relaciones de frecuencia entre una nota y su anterior dividiremos ambas fracciones (segunda partido por primera):

150

9I-II

8

81/ 64 9II-III

9 /8 8

4 / 3 256III-IV

81/ 64 243

3/ 2 9IV-V

4 / 3 8

→

→ =

→ =

→ =

27 /16 9V-VI

3/ 2 8

243/128 9VI-VII

27/16 8

2 256VII-I

243/128 243

→ =

→ =

→ =

151

Apendice B 1. Cálculo de diferencias frecuenciales. Deduciremos la forma general para calcular residuos o intervalos formados al ascender desde una determinada nota base cuya frecuencia es n por dos caminos diferentes. En primer lugar hay que especificar la escala en la que se trata de calcular la diferencia entre notas enarmónicas. En general, el método a seguir consiste en subir por dos caminos diferentes a partir de una misma nota. Cuando subamos por el primer camino, se creará una serie ascendente de notas a intervalos iguales. El segundo camino lo hará también de la misma forma pero con un intervalo diferente. Sea X la nota base, que puede ser un Do, un Fa, un Mi o cualquier otra nota. Al crear el primer intervalo, la nueva nota X’ tendrá una relación de frecuencia a/b con relación a la fundamental. La siguiente, X’’ tendrá una relación, a su vez de a/b con X’, de donde:

' ; '' 'a a

X X X Xb b

= = ,

de donde: 2

2''a

X Xb

= .

Siguiendo de forma análoga construyendo las subsiguientes notas X’’’, Xiv, etc., se tiene que para la n-ésima nota:

nn

n

aX X

b= .

Cuando se traza el segundo camino con intevalos diferentes y cuya relación es, digamos c/d, se alcanza una nota Ym de valor:

mm

m

cY X

d= ,

de donde la relación de frecuencias n2 y n1 entre ambas notas extremas será:

2

1

/

/

n n n

m m m

X a b

Y c d

νε = = =

ν. (B1)

pudiendo calcular la diferencia entre ambas frecuencias, y a la cual llamaremos d, con lo que:

( )2 1 1 1 1 1δ = ν − ν = ν ε − ν = ν ε − (B2)

Cuando e es mayor que la unidad significa que la frecuencia de la nota final obtenida por quintas es mayor que la obtenida por el segundo camino y el resultado d será positivo. Si es menor que la unidad, será negativo y entonces n1 >n2. Para unificar criterios, es costumbre dar la relación de frecuencias como la mayor partida por la menor. Como a veces no se sabe a priori cual será mayor de las dos, si e nos diese menor que la unidad, bastará invertirlo para obtener la relación correcta.

152

1.1 Cálculo de la diferencia entre semitono diatónico y cromático. Pongamos un ejemplo práctico aplicándo esta ecuación al cálculo del intervalo de semitono cromático y diatónico de las escalas. Para ello debemos primero fijar la escala en la cual vamos a calcular y después idear los dos caminos. Por ejemplo, cuando se trata de una escala pitagórica, el primer camino está constituido mediante quintas ascendentes, y el segundo se forma con otros tipos de intervalo, octavas por ejemplo. En el caso de quintas ascendentes, cada nota tiene una relación de 3/2 con la anterior, luego a=3 y b=2. Las octavas tienen una relación de 2 y será entonces c=3 y d=1, quedando la expresión (B1) como:

3 / 2

2

n n

mε = .

Vamos a calcular la distancia entre una nota X y su nota alterada sostenida X#. El primer camino lo haremos subiendo 7 quintas por un lado y 4 octavas por el segundo camino con lo que n=7 y m=4. La expresión correspondiente será:

7 7 7

4 11

3 / 2 3

2 2crε = = ,

que es la relación buscada. Para que no resulte tan abstracto, podremos un ejemplo con notas concretas. Partiendo de la nota Fa1, al ascender 7 quintas nos situamos sobre la nota Fa#5. Subiendo 4 octavas a partir de Fa1 obtenemos Fa5, de lo que

resulta la relación Fa5−Fa#5. Comparemos este intervalo cromático con el semitono diatónico, para lo cual se puede simplemente subir 5 quintas por un lado (ejemplo de Do1 a Si3) y por el otro 3 octavas (ej. Do1 a Do4), siendo ahora n=5 y m=3. Como Do4 está por encima del Si habrá que invertir e para obtener un número mayor que la unidad.

3 8

5 5 5

2 2

3 / 2 3dε = = ,

y comparando ambos:

7

7 5 1211

8 11 8 19

5

33 3 32

2 2 2 2

3

crp p

d

εη = = = = = ε

ε, (B3)

y que se denomina coma pitagórica. A continuación estudiemos las relaciones de semitonos diatónico y cromático en la escala de afinación justa. El cromático se obtendría subiendo dos terceras mayores por un camino (ejemplo C1 a G#1) y simplemente una quinta justa por el otro lado (intervalo G−G#). Los valores que hay que introducir en (B1) son la tercera (5/4): a=5 y b=4 dos veces n=2 y por el otro lado una quinta: c=3, d=2, m=1:

2 2 2 2

2 3

5 / 4 2 5 5

3/ 2 3 4 3 2cr

⋅ε = = =

⋅ ⋅,

y el semitono diatónico ya está calculado y vale 16/15. Comparando ambos:

153

7

2 3

3

16

215

5 5

3 2

dz

cr

δ

εη = = = = ε

ε

⋅

, (B4)

que se llama díesis enarmónica. A diferencia del caso pitagórico, en la escala de afinación justa el semitono diatónico es mayor que el cromático. 1.2 Cálculo de la diferencia entre notas enarmónicas. En la escala pitagórica realizaremos los siguientes caminos: primero se asciende 12 quintas (a=3, b=2, n= 12) y el segundo 7 octavas (c=2, d=1, m= 7), de donde:

12 12 12

7 19

3 / 2 3

2 2pε = = = ε#b ,

coincidente con (B3) y que muestra que la diferencia entre dos notas enarmónicas en una escala pitagórica es una coma. La diferencia de frecuencias se deduce de (B2):

1 1( 1) 0,0136pδ = ν ε − = ν .

En la escala Zarlino podemos llegar a dos notas enarmónicas simplemente subiendo tres terceras mayores (ejemplo de Do a Mi, Sol#, Si#) con (a=5, b=4, n= 3) y una simple octava (de Do1 a Do2) (c=2, d=1, m= 1). Las tres terceras se quedan cortas por lo que invertiremos el cociente:

7

3 3 3

2 2

5 / 4 5δε = = = ε#b ,

coincidente con (B4) y que muestra que la diferencia entre dos notas enarmónicas en una escala de afinación justa es una diesis enarmónica. En este caso se tiene una diferencia de frecuencias:

1 1( 1) 0,024δδ = ν ε − = ν ,

aproximadamente el doble que en una escala pitagórica. 2. Cálculo del intervalo en el temperamento igual. Para relacionar ambos ejes de la figura 4.7, tomaremos logaritmos en la escala de frecuencias, obteniendo:

2

3

4

log1 0

log2

log4 log(2 2log2

log8 log(2 3log2

log16 log(2 4log2

)

)

)

=

= =

= =

= =

Comparando este resultado con el eje horizontal, se deduce que:

154

log2a =

Si se quiere dividir la octava en n partes iguales, al dividir el segmento a en n, cada fragmento tendrá una longitud a/n, y podemos poner:

1/1log2 log(2) log 2n na

n n= = = ,

quedando el eje vertical dividido según 2n , pero, a diferencia del eje horizontal, que es lineal, esta distancia no es, en modo alguno la de cada división vertical. Veamos qué sucede si sumamos dos divisiones horizontales en semitonos:

( )2

2 2log 2 log 2 log 2 2n n n na a a

n n n + = = = = ⋅ .

Por tanto, para calcular el intervalo de frecuencia entre la tónica y cualquier grado de la escala hay que multiplicar las frecuencias del intervalo en lugar de sumarlas, como se hacía con los semitonos. Sucesivamente, se obtienen las relaciones de intervalos de frecuencia correspondientes a cada nota:

( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 1

2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2n

n n n n−

L

Se ha dejado a propósito n sin definir, ya que hay diferentes temperamentos

que usan divisiones distintas de la octava. Particularmente están las escalas árabe e india, con valores respectivamente de n= 17 y n= 22. Para el sistema europeo, es sobradamente sabido que n= 12, con lo que se podrán calcular las relaciones frecuenciales de las notas de la escala temperada con las ecuaciones anteriores. Una de las divisiones más rigurosas de la octava consiste en dividir el semitono en cien partes iguales. A cada una de estas partes se le llama cent, en cuyo caso, al

haber 12 semitonos, se tiene que n= 1.200, y cada fracción o cent vale 1.200 2 . 3. Tabla de frecuencias Las frecuencias de las notas en los tres sistemas, temperado, entonación justa y pitagórico se detallan a continuación en la siguiente tabla para la octava C4 – C5. Para cualquier otra octava bastará con multiplicar por 2.

Nota Temperamento igual (Hz) Entonación justa (Hz) Pitagórico (Hz)

C4 261,63 264,00 260,74 C#4 277,18 275,00 278,44 Db4 277,18 285,12 274,69 D4 293,66 297,00 293,33 D#4 311,13 309,38 313,24 Eb4 311,13 316,80 309,03

155

Nota Temperamento igual (Hz) Entonación justa (Hz) Pitagórico (Hz)

E 329,63 330,00 330,00 F 349,23 352,00 347,65 F#4 369,99 366,67 371,25 Gb4 369,99 380,16 366,25 G 392,00 396,00 391,11 G#4 415,30 412,50 417,66 Ab4 415,30 422,40 412,03 A 440,00 440,00 440,00 A#4 466,16 458,33 469,86 Bb4 466,16 475,20 463,54 B 493,88 495,00 495,00 C5 523,25 528,00 521,48

4. Banda crítica He aquí dos ejemplos interesantes de la banda crítica, que son la quinta “oculta” y la disonante. Para calcular la primera deberemos hacer que la diferencia entre las frecuencias de ambas sea inferior a la banda crítica en la frecuencia media. Sean n1 y n 2 las frecuencias de ambas notas, y Df la banda crítica. Entonces:

2 1f∆ > ν − ν

Si hacemos un ejemplo con quintas sabemos que la relación de frecuencia es:

2

1

3

2

ν=

ν, de donde: 2 1

3

2ν = ν ,

y sustituyendo:

11 1

3

2 2f

ν∆ > ν − ν = ; 1 2 fν < ∆ ;

la frecuencia media será:

1 12 1

1

352

2 2 4m

ν + νν + ν

ν = = = ν ,

que es la tercera, como ya sabemos. Sustituyendo:

5 52

4 2m f fν < ∆ = ∆

Juntando ambas:

1 2 fν < ∆ , y 2

5mf∆ > ν

Si Df es 100, se tiene: 250mν < y 1 200ν < , que da un buen número de

posibilidades. Si por ejemplo, 1 100ν = , sería 1

5 500125

4 4mν = ν = = , y 2 150ν = con lo

que se cumplen ambas relaciones, dando una quinta oculta. En cuanto a la quinta disonante, habrá que igualar la diferencia de frecuencias

a la cuarta parte de la banda crítica y tener presente que, al ser una quinta 2 1

3

2ν = ν :

156

2 14

f∆ν − ν = ; 1 1

3

2 4

f∆ν − ν = ; 1

2

f∆ν = .

Para la banda crítica de 90 Hz, la frecuencia de la nota grave será 45 Hz, que es donde se produce la quinta de mayor disonancia. Fijémonos en que, al ser la banda más o menos constante a esas frecuencias, si baja de valor se obtiene una diferencia de frecuencias inferior a la cuarta parte de la banda y será menos disonante según la figura 4.8. La quinta disonante no se puede producir en ninguna otra zona porque, por ejemplo para Df=160 la frecuencia media es de 1 kHz, y 160/2 es 80 con lo que ya no puede coincidir. 5. Ejercicio Vamos a plantear el siguiente problema: ¿Qué intervalo resulta más disonante de los de la figura en un sistema temperado?

Ambas son dos segundas mayores pero situadas en diferente tesitura. Deberemos primeramente hallar el batido de ambas. El grave está formado con un Do2 y Re2 cuyas frecuencias sacamos de la tabla del apartado 3 dividiendo por 4 las de Do4 y Re4. Haremos lo mismo para el agudo (Do5 Re5):

1 32(293,66 261,63) 8 Hz

4 4− = − ≈ =Re2 Do2 con una frecuencia central (media) que

será la semisuma, es decir, del orden de 70 Hz.

587,32 523,25 64 Hz− = − ≈Re5 Do5 con frecuencia central de 555 Hz. Con ambos valores entramos en el gráfico de la figura 2.15 y vemos que para frecuencias de 70 Hz la banda crítica corresponde a 100, lo que hace un cuarto de banda de 25. Para 555 el ancho es de unos 120 Hz, con un cuarto de banda de 30 Hz. Vemos que ambos sonidos se alejan de la zona de alta disonancia (que correspondería a sonidos desafinados desagradables), lo que dice que una segunda mayor no es una disonancia de alta dureza. La grave está a distancia de un tercio de la zona disonante, mientras que la aguda lo está al doble. La disonancia grave es menor que la aguda. Si el lector lo comprueba en un piano quizá no esté de acuerdo con esto pero no olvidemos que en un instrumento aparecen choques de los armónicos que enmascaran la verdadera disonancia de sus fundamentales. Para completar el ejercicio veamos en qué zona se diferencian mejor dos notas separadas. La diferencia en la zona grave está por debajo, mientras que en la aguda lo está por encima. Hay mejor resolución en el agudo, y puede comprobarse la sensación confusa que esta vez sí aparece convincentemente en el piano cuando se pulsan las teclas graves.

157

Apendice C Escalas.

Adonai Malakh 1,b2,2,b3,4,5,6,b7 Dominante sus 4 1,2,4,5,6,b7 Ahavoh Rabboh 1,b2,3,4,5,b6,b7 Dórica 1,2,b3,4,5,6,b7 Akebono 1,2,b3,5,6 Dórica alterada 1,2,b3,4,b5,b6,b7 Algeriana 1,2,b3,4,b5,5,b6,7 Dórica b2 1,b2,b3,4,5,6,b7 Alhijaz 1,b2,3,4,5,b6,b7 Dórica cromática 1,b2,2,4,5,b6,6 Alterada 1,b2,b3,3,b5,b6,b7 Egipcia 1,2,4,5,b7 Arabe 1,2,3,4,b5,b6,b7 Enigmática 1 1,b2,b3,4,b6 Arabe 2 1,2,b3,4,#4,#5,6,7 Enigmática 2 1,b2,3,#4,#5,7 Arabe 3 1,2,b3,4,b5,6,b7 Enigmática de Verdi 1 1,b2,3,4,b5,b6,b7,7 Arabe 4 1,2,b3,4,5,6,b7,7 Enigmática de Verdi 2 1,b2,3,4,#5,#6,7 Arabe 5 1,b2,#2,3,4,5,b6,b7,7 Enigmática de Verdi 3 1,b2,3,#4,#5,#6,7 Aumentada 1 1,b3,3,5,#5,7 Española hexatónica 1,b2,3,4,5,b7 Aumentada 2 1,#2,3,5,#5,b7 Española octotónica 1,b2,b3,3,4,b5,b6,b7 Aumentada 3 1,2,3,#4,#5,b7 Espla 1,b2,#2,3,4,b5,b6,b7 Balinesa 1 1,b2,b3,4,b6 Esquimal heptatónica 1,2,b3,4,5,6,b7 Balinesa 2 1,b2,b3,5,b6 Esquimal hexatónica 1 1,2,3,b5,b6,7 Be-Bop Dominante 1,2,3,4,5,6,b7,7 Esquimal hexatónica 2 1,2,b3,4,5,b7 Be-Bop Mayor 1,2,3,4,5,b6,6,7 Esquimal tetratónica 1,2,3,5 Be-Bop menor 1,2,b3,3,4,5,6,b7 Etíope 1 1,2,3,4,5,6,7 Be-Bop Semi-disminuida 1,b2,b3,4,b5,5,b6,7 Etíope 2 1,2,b3,4,5,b6,b7 Bi Yu 1,b3,5,b7 Etíope 3 1,2,3,4,5,b6,7 Bizantina 1 1,b2,3,4,5,b6,b7 Eólica o menor natural 1,2,b3,4,5,b6,b7 Bizantina 2 1,b2,3,4,5,b6,7 Flamenca 1,b2,3,4,5,b6,b7 Blues 1 1,b3,4,b5,5,b7 Frigia 1,b2,b3,4,5,b6,b7 Blues 2 1,b3,4,b5,5,b7,7 Frigia #6 1,b2,b3,4,5,6,b7 Blues 3 1,2,b3,3,4,#4,5,6,b7,7 Frigia cromática 1,#2,3,4,#5,6,b7 Blues 4 1,b2,b3,3,b5,5,6,b7 Frigia doble hexatónica 1,b2,b3,4,b5,6 Blues 5 1,2,b3,4,b5,5,b7 Frigia española 1,b2,#2,3,4,5,b6,b7 Blues 6 1,2,b3,4,b5,5,6,b7 Frigia hexatónica 1,b3,4,5,b6,b7 Blues 7 1,b3,3,4,b5,5,b7,7 Frigia Mayor 1,b2,3,4,5,b6,b7 Blues 8 1,2,b3,3,4,b5,5,6,b7 Frigia árabe 1,b2,#2,3,4,5,b6,b7,7 Blues 9 1,b3,3,4,b5,5,6,b7,7 Genus chromaticum 1,b2,b3,3,4,5,b6,6,7 Blues 10 1,b3,3,4,5,b6,b7 Genus diatonicum 1,2,3,4,5,6,b7,7 Chad Gadyo 1,2,b3,4,5 Genus diatonicum

veterum 1,2,3,4,b5,5,6,7

Chaio 1,2,4,#5,b7 Genus primum 1,2,4,5 Chiao 2 1,2,b3,4,5,b6,b7 Genus secundum 1,3,4,5,6,7 China 1,b3,b5,b6,b7 Genus tertium 1,b3,3,5,b6,7 China 1 1,3,#4,5,7 Ghana heptatónica 1,2,3,4,5,6,7 China 2 1,2,3,5,6 Ghana pentatónica 1 1,2,b3,4,5 China antigua 1,2,3,#4,5,6 Ghana pentatónica 2 1,2,3,5,6 China octontónica 1,2,3,4,5,6,b7,7 Gong 1,2,3,5,6 Coreana 1 1,2,3,5,6 Gregoriana 1,2,b3,4,5,b6,6,b7 Coreana 2 1,2,4,5,6,b7 Han-Kumoi 1,2,4,5,b6 Cromática 1,b2,2,#2,3,4,#4,5,#5,6

,#6,7 Armónica Mayor 1,2,3,4,5,b6,7

Disminuida 1 1,2,b3,4,#4,#5,6,7 Hawayana 1 1,2,b3,5,6,7 Disminuida 2 1,#2,3,#4,5,6,b7 Hawayana 2 1,2,b3,4,5,6,7 Disminuida 3 1,b2,#2,3,#4,5,6,b7 Hedjaz 1,2,b3,#4,5,6,b7 Doble Armónica 1,b2,3,4,5,b6,7 Hexacordal 1,2,3,#4,#5,#6

158

Hipodórica cromática 1,2,b3,3,5,b6,6 Maqam Kurd 1,b2,b3,4,5,b6,b7 Hexatónica Piramidal 1,2,b3,4,b5,6 Maqam Karcigar 1,2,b3,4,b5,6,b7 Hipolidia cromática 1,b2,3,#4,5,b6,7 Maqam Nakriz 1,2,b3,#4,5,6,b7 Hipofrigia cromática 1,b3,4,b5,5,#6,7 Maqam Nahawand 1,2,b3,4,5,b6,b7,7 Hispano-árabe 1,b2,3,4,5,b6,7 Maqam Shahnaz Kurdi 1,b2,b3,4,5,b6,7 Hira-joshi 1,2,b3,5,b6 Maqam Shadd'araban 1,b2,#2,3,4,b5,6,b7 Hitzaz 1,b2,3,4,5,b6,b7 Maqam Suzdil 1,2,b3,#4,5,b6,b7 Hitzaskiar 1,b2,3,4,5,b6,7 Maqam Shawq 1,2,3,4,5,6,b7,7 Honchoshi 1,4 Marva That 1,b2,3,#4,5,6,7 Hon-kumoi-joshi 1,b2,4,5,b6 Maqam Zengule 1,b2,3,4,5,b6,7 Houzam 1,b3,3,4,5,6,7 Mela Calanata 1,#2,3,4,5,#6,7 Honchoshi Plagal 1,b2,b3,4,b5,b7 Mela Bhavapriya 1,b2,b3,#4,5,b6,b7 Húngara Mayor 2 1,b2,3,#4,5,b6,b7 Mela Carukesi 1,2,3,4,5,b6,bb7 Húngara Mayor 1 1,#2,3,#4,5,6,b7 Mela Calanata 1,#2,3,4,5,#6,7 Húngara menor 2 1,2,b3,#4,5,b6,7 Mela Citrambari 1,2,3,#4,5,#6,7 Húngara menor 1 1,2,b3,#4,5,b6,b7 Mela Chakravakam 1,b2,3,4,5,6,b7 In 1,b2,b3,4,5,b6,b7 Mela Dhatuvardhani 1,#2,3,#4,5,b6,7 Ichikosucho 1,2,3,4,b5,5,6,7 Mela Dharmavati 1,2,b3,#4,5,6,7 Ishikotsucho 1,2,3,4,b5,5,6,7 Mela Divyamani 1,b2,b3,#4,5,#6,7 Indostán 1,2,3,4,5,b6,b7 Mela Dhavalambari 1,b2,3,#4,5,b6,bb7 Israelí 2 1,b2,3,4,5,b6,b7 Mela Gangeyabhusani 1,#2,3,4,5,b6,7 Israelí 1 1,#1,#2,3,#4,#5,6,7 Mela Ganamurti 1,b2,2,4,5,b6,7 Iwato 1,b2,4,b5,b7 Mela Gayakapriya 1,b2,3,4,5,b6,bb7 Javanesa 1 1,b2,b3,4,b6 Mela Gavambodhi 1,b2,b3,#4,5,b6,bb7 Javanesa 2 1,b2,b3,4,5,6,b7 Mela Hatakambari 1,b2,3,4,5,#6,7 Javanesa 3 1,b2,b3,5,b6 Mela Harikambhoji 1,2,3,4,5,6,b7 Jin Yu 1,2,4,5,b7 Mela Salaga 1,b2,2,#4,5,b6,b7 Jazz Menor 1,2,b3,4,5,6,7 Mela Hemavati 1,2,b3,#4,5,6,b7 Jónica o Mayor natural 1,2,3,4,5,6,7 Mela Jhankaradhvani 1,2,b3,4,5,b6,bb7 Judía 1,2,3,4,#5,6,7 Mela Jhalavarali 1,b2,2,#4,5,b6,7 Kokin-joshi 1,b2,4,5,b7 Mela Kantamani 1,2,3,#4,5,b6,bb7 Jónica aumentada 1,2,3,4,#5,6,7 Mela Jyotisvarupini 1,#2,3,#4,5,b6,b7 Kung 1,2,3,b5,6 Mela Latangi 1,2,3,#4,5,b6,7 Kumoi 1,3,4,6,7 Mela Kosalam 1,#2,3,#4,5,6,7 Leading Whole Tone 1,2,3,#4,#5,#6,7 Mela Mararanjani 1,2,3,4,5,b6,bb7 Kyemyonjo 1,b3,4,5,6 Mela Manavati 1,b2,2,4,5,6,7 Lidia aumentada 1,2,3,#4,#5,6,7 Mela Namanarayani 1,b2,3,#4,5,b6,b7 Lidia 1,2,3,#4,5,6,7 Mela Naganandini 1,2,3,4,5,#6,7 Lidia cromática 1,b2,3,4,b5,6,7 Mela Navanitam 1,b2,2,#4,5,6,b7 Lidia b7 1,2,3,#4,5,6,b7 Mela Natakapriya 1,b2,b3,4,5,6,b7 Lidia hexatónica 1,2,3,5,6,7 Mela Pavani 1,b2,2,#4,5,6,7 Lidia disminuida 1,2,b3,#4,5,6,7 Mela Nitimati 1,2,b3,#4,5,#6,7 Locria Mayor 1,2,3,4,b5,b6,b7 Mela Raghupriya 1,b2,2,#4,5,#6,7 Locria 1,b2,b3,4,b5,b6,b7 Mela Ragavardhani 1,#2,3,4,5,b6,b7 Magyar 1,2,b3,#4,5,b6,7 Mela Rasikapriya 1,#2,3,#4,5,#6,7 Magen Abot 1,b2,#2,3,#4,#5,6,7 Mela Ramapriya 1,b2,3,#4,5,6,b7 Mayor Jonica 1,2,3,4,5,6,7 Mela Rupavati 1,b2,b3,4,5,#6,7 Mahometana 1,2,b3,4,5,b6,7 Mela Ratnangi 1,b2,2,4,5,b6,b7 Maqam Bayat Esfahan 1,2,b3,4,5,b6,7 Mela Salaga 1,b2,2,#4,5,b6,bb7 Mayor invertida 1,b2,b3,4,5,b6,b7 Mela Sadvidhamargini 1,b2,b3,#4,5,6,b7 Maqam Hijaz 1,b2,3,4,5,b6,b7,7 Mela Senavati 1,b2,b3,4,5,b6,bb7 Maqam Hicaz 1,b2,3,4,5,6,b7 Mela Sanmukhapriya 1,2,b3,#4,5,b6,b7 Maqam Huzzam 1,b2,b3,3,5,b6,b7 Mela Sucaritra 1,#2,3,#4,5,b6,bb7 Maqam Humayun 1,b2,3,4,5,b6,b7 Mela Shankarabharanam 1,2,3,4,5,6,7 Mela Suryakanta 1,b2,3,4,5,6,7 Pentatónica Alt.b3/b6 1,2,b3,5,b6

159

Mela Sulini 1,#2,3,4,5,6,7 Pentatónica de Dominante

1,2,3,5,b7

Mela Syamalangi 1,2,b3,#4,5,b6,bb7 Pentatónica de Dominante 2

1,3,4,5,b7

Mela Suvarnangi 1,b2,b3,#4,5,6,7 Pentatónica Mayor 1 1,2,3,5,6 Mela Vagadhisvari 1,#2,3,4,5,6,b7 Pentatónica Mayor 2 1,2,3,5,7 Mela Tanarupi 1,b2,2,4,5,#6,7 Pentatónica Menor 1 1,b3,4,5,b7 Mela Vanaspati 1,b2,2,4,5,6,b7 Pentatónica Menor 2 1,2,b3,5,6 Mela Vakulabharanam 1,b2,3,4,5,b6,b7 Pentatónica Menor 3 1,b3,4,b5,b7 Mela Visvambhari 1,b2,3,#4,5,#6,7 Pentatónica Menor 4 1,2,b3,5,b7 Mela Varunapriya 1,2,b3,4,5,#6,7 Pentatónica neutral 1 1,2,4,5,b7 Menor Natural Eolica 1,2,b3,4,5,b6,b7 Pentatónica neutral 2 1,b2,4,5,6 Mela Yagapriya 1,#2,3,4,5,b6,bb7 Persa 1 1,b2,3,4,b5,b6,7 Menor hexatónica 1,2,b3,4,5,b7 Persa 2 1,b2,3,4,5,b6,7 Menor Armónica 1,2,b3,4,5,b6,7 Peruana mayor 1,2,3,4,5,6,7 Menor Melódica 1,2,b3,4,5,6,7 Peruana menor 1,2,b3,4,5,b6,b7 Messiánica 1 1,b2,2,3,4,b5,5,6,b7 Peruana tritónica 1 1,3,5 Messiánica 2 1,b2,2,b3,#4,5,#5,6 Peruana tritónica 2 1,b3,5 Messiánica 3 1,b2,2,#4,5,b6 Pien Chih 1,b2,b3,4,b5,b6,b7 Messiánica 4 1,b2,2,3,#4,5,b6,b7 Prometheus 1,2,3,b5,6,b7 Messiánica 5 1,b2,2,b3,3,#4,5,#5,6,b

7 Prometheus neopolitan 1,b2,3,b5,6,b7

Minyo 1,b3,4,5,b7 Pyongjo 1,2,4,5,6,b7 Mischung 1 1,2,b3,4,5,6,7 Raga Abhogi 1,2,b3,4,6 Mischung 2 1,2,3,4,5,b6,7 Raga Adana 1,2,b3,4,5,b6,b7 Mischung 3 1,2,3,4,5,6,b7 Raga Ahir Bhairav 1,b2,3,4,5,6,b7 Mischung 4 1,2,b3,4,5,b6,7 Raga Amarasenapriya 1,2,b3,#4,5,7 Mischung 5 1,2,b3,4,5,6,b7 Raga Amritavarsini 1,3,#4,5,7 Mischung 6 1,2,3,4,5,b6,b7 Raga Audav Tukhari 1,2,b3,4,#5 Mixolidia 1,2,3,4,5,6,b7 Raga Bagesri 1,2,b3,4,6,b7 Mixolidia aumentada 1,2,3,4,#5,6,b7 Raga Barbara 1,2,3,#4,6,b7 Mixolidia cromática 1,b2,2,4,b5,5,b7 Raga Bauli 1,b2,3,5,b6,7 Mixolidia hexatónica 1,2,4,5,6,b7 Raga Bhanumanjari 1,#2,3,4,5,b7 Mongólica 1,2,3,5,6 Raga Bhanumati 1,b2,2,4,5,6,b7 Napolitana 1 1,b2,3,#4,6,b7 Raga Bhatiyar 1,b2,3,4,b5,5,6,7 Napolitana 2 1,b2,b3,4,5,6,7 Raga Bhavani

hexatónica 1,b2,b3,b5,b6,b7

Napolitana 3 1,b2,b3,4,5,b6,7 Raga Bhavani tetratónica 1,2,4,6 Niagari ditónica 1,5 Raga Bhinna Pancama 1,2,4,5,b6,7 Niagari hexatónica 1,b2,4,5,b6,b7 Raga Bhinna Shadja 1,3,4,6,7 Niavent 1,2,b3,#4,5,b6,7 Raga Bhupalam 1,b2,b3,5,b6 Nohkan 1,2,4,b5,#5,6,7 Raga Bhupeshwari 1,2,3,5,b6 Nonatónica 1,2,b3,3,b5,5,#5,6,7 Raga Bilashkhani Todi 1,b2,b3,4,5,b6,b7 Octatónica 1,b2,#2,3,#4,5,6,b7 Raga Brindabani Sarang 1,2,4,5,#6,7 Oriental 1 1,b2,3,4,b5,b6,b7 Raga Caturangini 1,2,3,#4,5,7 Oriental 2 1,b2,3,4,b5,6,b7 Raga Chandrajyoti 1,b2,2,#4,5,6 Ousak 1,b2,b3,4,5,b6,b7 Raga Chandrakauns-Kafi 1,b3,4,6,b7 Overtone 1,2,3,#4,5,6,b7 Raga Chandrakauns-

Moder 1,b3,4,6,7

Peiraiotikos 1,b2,3,#4,5,6,7 Raga Chhaya Todi 1,b2,b3,b5,b6 Pelog 1,b2,b3,5,b7 Raga Chndrakauns-

Kiravani 1,b3,4,b6,7

Pentatónica Alt. b5 1,2,3,b5,6 Raga Cintamani 1,2,b3,#4,5,b6,6,b7 Pentatónica Alt.b2 1,b2,3,5,6 Raga Darbar 1,2,4,5,6,b7 Pentatónica Alt. b6 1,2,3,5,b6 Raga Desh 1,2,4,5,7

160

Raga Deshgaur 1,b2,5,b6,7 Raga Manaranjani I 1,b2,3,5,b7 Raga Devakriya 1,2,4,5,6 Raga Mamata 1,3,5,6,7 Raga Devaranji 1,4,5,b6,7 Raga Manaranjani II 1,b2,4,5,6 Raga Devranjani 1,4,5,b6,b7 Raga Manavi 1,2,b3,5,6,b7 Raga Dhavalangam 1,b2,3,#4,5,b6 Raga Mandari 1,b2,3,#4,5,7 Raga Dhavalashri 1,3,#4,5,6 Raga Manohari 1,b3,4,5,6,b7 Raga Dipak 1,2,3,4,b5,5 Raga Matha Kokila 1,2,5,6,b7 Raga Gambhiranata 1,3,4,5,7 Raga Megharanjani 1,b2,3,4,b6 Raga Ganasamavarali 1,b2,2,4,5,b6,7 Raga Megharanji 1,b2,3,4,7 Raga Gandharavam 1,b2,b3,4,5,b7 Raga Mian Ki Malhar 1,2,b3,4,5,6,b7,7 Raga Gaula 1,b2,3,4,5,7 Raga Mohanangi 1,#2,3,5,6 Raga Gauri 1,b2,4,5,7 Raga Mruganandana 1,2,3,b5,6,7 Raga Ghantana 1,2,b3,4,b6,7 Raga Mukhari 1,2,b3,4,5,b6,6,b7 Raga Girija 1,3,4,#5,7 Raga Multani 1,b3,#4,5,7 Raga Gopikavasantam 1,b3,4,5,b6,b7 Raga Nabhomani 1,b2,2,#4,5 Raga Gopriya 1,2,3,#4,#5,b7 Raga Nagagandhari 1,2,4,5,6,7 Raga Gorakh Kalyan 1,2,4,6,b7 Raga Nagasvaravali 1,3,4,5,6 Raga Gurjari Todi 1,b2,b3,b5,b6,7 Raga Nalinakanti 1,2,3,4,5,7 Raga Hamsa Vinodini 1,2,3,4,6,7 Raga Nata 1,b3,4,5,7 Raga Hamsadhvani 1,2,3,5,b7 Raga Navamanohari 1,2,4,5,b6,b7 Raga Hamsanandi 1,b2,3,b5,6,7 Raga Neroshta 1,2,3,b6,b7 Raga Hari Nata 1,3,4,5,6,7 Raga Ongkari 1,#4,5 Raga Harikauns 1,b3,b5,b6,b7 Raga Padi 1,b2,4,5,b6,7 Raga Hejjajji 1,b2,3,#4,#5,6 Raga Palasi 1,2,b3,4,5,b7 Raga Hindol 1,3,b5,6,7 Raga Paraju 1,3,4,5,b6,7 Raga Jaganmohanam 1,2,#4,5,b6,b7 Raga Patdip 1,2,b3,4,5,6,7 Raga Jayakauns 1,b3,4,b5,b7 Raga Phenadyuti 1,b2,4,5,b6,b7 Raga Jivantika 1,b2,4,5,6,7 Raga Pilu 1,2,b3,4,5,b6,6,b7,7 Raga Jivantini 1,b3,#4,5,#6,7 Raga Priyadharshini 1,2,4,b6,7 Raga Jyoti 1,3,#4,5,b6,b7 Raga Purna Pancama 1,b2,3,4,5,b6 Raga Kaikavasi 1,2,b3,#4,5,7 Raga Purnalalita 1,2,b3,4,5 Raga Kalagada 1,b2,3,5,b6,6 Raga Puruhutika 1,4,5,6,7 Raga Kalakanthi 1,b2,4,5,b6,6 Raga Rageshri 1,2,3,4,6,b7 Raga Kalavati 1,b2,3,4,5,6 Raga Ragesri 1,2,3,4,6,b7,7 Raga Kamalamanohari 1,3,4,5,b6,b7 Raga Ramdasi Malhar 1,2,b3,3,#4,#5,6,b7,7 Raga Kambhoji 1,2,3,4,5,6 Raga Ramkali 1,b2,3,4,b5,5,b6,7 Raga Kanakambari 1,b2,2,4,5,b6,bb7 Raga Ranjani 1,2,b3,b5,6,7 Raga Khamaji Durga 1,3,4,6,b7 Raga Rasamanjari 1,#2,3,#4,5,7 Raga Khamas 1,3,4,5,6,b7 Raga Rasavali 1,b2,4,5,6,b7 Raga Kiranavali 1,2,b3,4,5,b6,7 Raga Rasika Ranjani 1,b2,3,5,6 Raga Kokil Pancham 1,b3,4,5,b6 Raga Rasranjani 1,2,4,6,7 Raga Kshanika 1,b2,4,b6,7 Raga Reva 1,b2,3,5,b6 Raga Kumud 1,2,3,5,6,7 Raga Rudra Pancama 1,b2,3,4,6,b7 Raga Kumurdaki 1,2,3,b5,7 Raga Salagavarali 1,b2,b3,5,6,b7 Raga Kuntvarali 1,4,5,6,b7 Raga Salanganata 1,b2,4,5,b6 Raga Lalita 1,b2,3,4,b5,b6,7 Raga Samudhra Priya 1,b3,#4,5,b7 Raga Latika 1,2,3,5,b6,7 Raga Sarang 1,2,4,5,#6,7 Raga Lavangi 1,b2,5,b7 Raga Sarasanana 1,2,3,4,b6,7 Raga Madhukauns 1,b3,#4,5,6,b7 Raga Sarasvati 1,2,#4,5,#6,7 Raga Madhuri 1,3,4,5,6,b7,7 Raga Sarasvati 1,2,#4,5,6,b7 Raga Madhyamavati 1,2,4,5,b7 Raga Saravati 1,3,4,5,b6,bb7 Raga Mahathi 1,3,5,b7 Raga Sarvasri 1,4,5 Raga Malasri 1,3,5 Raga Saugandhini 1,b2,#4,5,b6 Raga Malayamarutam 1,b2,3,5,6,b7 Raga Saurastra 1,b2,3,4,5,b6,6,7 Raga Malkauns 1,b3,4,b6,b7 Raga Shobhavari 1,2,4,5,b6

161

Raga Shri 1,b2,3,#4,5,b6,7 Semitono-Tono 1,b2,#2,3,#4,5,6,b7 Raga Shri Kalyan 1,2,#4,5,6 Sengah 1,b3,3,4,5,b6,7 Raga Shuddh Kalyan 1,2,3,#4,5,6,7 Shang 1,2,3,5,b7 Raga Simharava 1,2,b3,#4,5,b7 Simétrica 1 1,2,#2,4,#4,#5,6,7 Raga Sindhi Bhairavi 1,b2,2,b3,3,4,5,b6,b7,7 Simétrica disminuida 1,#1,#2,3,#4,5,6,b7 Raga Sindhura Kafi 1,2,b3,4,5,7 Simétrica 3 1,#1,2,3,4,#4,5,b6,b7

,7 Raga Siva Kambhoji 1,2,3,4,5,b7 Simétrica hexatónica 1,b2,3,4,#5,6 Raga Sivaranjini 1,2,b3,5,6 Siria 1,b2,3,4,b6 Raga Sorati 1,2,4,5,6,b7,7 Skriabin 1 1,2,3,#4,6,b7 Raga Suddha Bangala 1,2,b3,4,5,6 Skriabin 2 1,b2,3,5,6 Raga Suddha Mukhari 1,b2,2,4,b6,6 Souzinak 1,2,b3,#4,5,6,b7 Raga Suddha Simantini 1,b2,b3,4,5,b6 Super dominante 1,b2,b3,3,#4,5,6,b7 Raga Suddha Todi 1,b2,b3,4,b6,b7 Super Locria 1,b2,#2,3,b5,b6,b7 Raga Sumukam 1,2,#4,7 Taishikicho 1,2,3,4,b5,5,6,b7,7 Raga Syamalam 1,2,b3,#4,5,b6 Tcherepnin 1,#1,#2,3,4,5,#5,6,7 Raga Takka 1,b3,4,5,b6,7 Tetratónica 1,4,b5,7 Raga Tilang 1,3,4,5,#6,7 Todi That 1,b2,b3,#4,5,b6,7 Raga Trimurti 1,2,b3,5,b6,b7 Tono-semitono 1,2,b3,4,b5,b6,6,7 Raga Vaijayanti 1,2,#4,5,7 Tonal o exatona 1,2,3,#4,#5,#6 Raga Valaji 1,3,5,6,b7 Tritónica 1,4,5 Raga Vasanta 1,b2,3,4,6,7 Ujo 1,2,4,5,6 Raga Vasantabhairavi 1,b2,3,4,b6,b7 Ultra Locria 1,b2,b3,3,b5,b6,6 Raga Vibhavari 1,b2,4,5,b7 Ute 1,b3,b7 Raga Vijayanagari 1,2,b3,#4,5,6 Warao ditónica 1,b7 Raga Vijayasri 1,b2,b3,#4,5,7 Warao tritónica 1,4,5 Raga Vijayavasanta 1,3,#4,5,#6,7 Warao tetratónica 1,2,b3,b7 Raga Viyogavarali 1,b2,b3,4,b6,7 Yo 1,2,4,5,b7 Raga Vutari 1,3,#4,5,6,b7 Yi Ze 1,b3,4,b6,b7 Raga Yamuna Kalyani 1,2,3,#4,5,6 Yosen 1,2,4,5,6,b7 Raga Zilaf 1,3,4,5,b6 Youlan 1,b2,2,3,4,b5,5,6,b7 Rast 1,2,3,4,5,6,b7,7 Yu pentatónica 1,b3,4,5,b7 Ritsu 1,b2,b3,4,b6,b7 Yu heptatónica 1,2,b3,4,5,6,b7 Ritusen 1,2,4,5,6 Zíngara española 1,2,b3,4,5,b6,7 Rumana 1,2,b3,#4,5,6,b7 Zhi 1,2,4,5,6 Ryosen 1,2,3,5,6 Zíngara Mayor 1 1,b2,3,4,5,b6,7 Ryukyu 1,3,4,5,7 Zíngara hexatónica 1,b2,3,4,5,b6,bb7 Sambah 1,2,b3,b4,5,b6,b7 Zíngara Menor 1,2,b3,#4,5,b6,7 Sansagari 1,4,b7 Zíngara Mayor 2 1,b2,3,#4,5,b6,b7 Semidisminuida 1,2,b3,4,b5,b6,b7 Zirafkend 1,2,b3,4,5,b6,6,7

162

Glosario de términos

Acorde: Unión de dos o más notas que suenan simultáneamente. Alteración: Se llama alterar una nota al hecho de modificar su frecuencia

subiéndola o bajándola. Si es un semitono ascendente, la alteración es un sostenido (#) y si baja un bemol (b). Cuando sube o baja un tono entero se denomina doble sostenido (X) o doble bemol (º) respectivamente.

Altura: Frecuencia del sonido. A mayor frecuencia mayor altura. Armadura: Es el número de alteraciones que tiene una determinada

tonalidad y que se indica al inicio de una partitura o fragmento de la misma.

Atonal: Que carece de tónica. Blanca: Figura musical (h) con duración doble a la negra. Cadencia: Sucesión lógica de dos acordes que derivan hacia un centro tonal.

Puede tener carácter conclusivo o de reposo intermedio. Clave: Signo que se pone al inicio de una partitura y que indica qué notas

habrá en cada una de las posiciones del pentagrama. Pueden ser clave de sol: , do: y fa:

.

Corchea: Figura musical (e) con duración mitad que la negra. Cromático: Elemento que queda fuera de una escala natural, cuando uno de

sus grados se altera. Desafinación: Falta de concordancia de frecuencia entre dos sonidos

simultáneos. Diatónico: Propio de las escalas naturales. Entre dos notas de una escala

natural siempre se produce un intervalo diatónico. Dinámica: Volumen sonoro de un fragmento. Puede ir desde muy baja

intensidad (pp), poca (p), media (mf), fuerte (f), fortísimo (ff). Dominante: En música tonal es el acorde tras el cual aparece el de tónica. Es

siempre el primer acorde de las llamadas cadencias perfectas. Escala natural: Sucesión de notas formada con las mismas frecuencias que

los armónicos naturales de vibración de cuerdas y tubos. Intervalo: Distancia en frecuencia entre dos sonidos. Modalidad: Determinada distribución de distancias entre notas de una escala

natural. Música modal: Dícese de aquella que, aún siendo tonal en el sentido estricto

de poseer una tónica o centro de atracción, carece del juego de resolución de tritono y cadencias dominante-tónica, apartándose de los llamados modos mayor y menor.

Música tonal: Dícese de aquella que posee un centro de atracción preferente sobre el que reposa la música. Especialmente en la que aparece el juego de cadencia dominante-tónica y resolución de tritono.

Negra: Figura musical (q) que representa la unidad de tiempo en una obra. La duración depende del tempo.

Octava: Intervalo entre dos notas cuyas frecuencias son una el doble de la otra.

Pentagrama: Conjunto de las cinco líneas donde se escribe la música. Semitono: Distancia de frecuencia equivalente a la doceava parte de una

octava. Si ambas notas forman parte de una escala natural se denomina

163

diatónico y si corresponde a una nota alterada que no pertenece a la escala natural es un semitono cromático.

Sensible: En música tonal, nota que se halla a distancia de semitono por debajo de la tónica. Pertenece al acorde de dominante y forma tritono con la séptima moviéndose hacia la tónica en la resolución de éste.

Tempo: Velocidad de la obra. Va desde Largo (muy lento), Adagio (lento), Andante (poco movido), Moderato (moderado), Allegro (deprisa) y Presto (muy rápido).

Tonalidad: Nombre de la tónica correspondiente a la escala. Tónica: Centro preferente hacia el que tiende determinado tipo de música. El

acorde de tónica es aquel sobre el que reposa el final de una pieza. Tono: Distancia de frecuencia equivalente a la sexta parte de una octava.

Bibliografía

Afinación y temperamentos históricos. J. Javier Goldáraz Gainza. Alianza Música.

2004.

Atlas de música. Ulrich Michels, Alianza Editorial, 1985.

Introducción a la música. Otto Károlyi. Alianza Editorial. 1965.

The science of sound. Thomas D. Rossing. Addison-Wesley publishing comp. 1990.

164

octava

sexta mayor

sexta menor

septima mayor

tritono

septima menor

cuarta

segunda mayor

tercera menor

tercera mayor

quinta

segunda menor

LAMINA 1Formas de onda de los diferentes intevalos

165

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Tra d ic io n a l

P e lo g (fr ig io )

L A M IN A 2la s esca la s p e n ta tó n ica s