Introduccion Matematicas universitarias

ContenidoTema 1. N meros reales. u 1

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tema 2. Trigonometr a. 19 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Tema 3. N meros complejos. u 25 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tema 4. Funciones elementales. 33 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Tema 5. Algebra matricial. 57 Tema 6. Geometr bsica. a a 81 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Tema 7. Geometr vectorial. a 99 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Tema 8. Derivacin. o 111 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Tema 9. Integracin. o 119 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a

Tema 1. Hoja 1

11.1 Nmeros reales u

NUMEROS.

Aqu tenemos una lista de nmeros de diferentes tipos: u p 2 5 0 ; 1 ; 17 ; 4 ; ; ; ; 2 ; e ; 3 : 3 7 Los nmeros naturales son los siguientes: u 1 ; 2 ; 3 ; 4 ::: Otra clase de nmeros la forman nmeros enteros: u u ::: 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ::: Evidentemente, todos los nmeros naturales son enteros. u A partir de los enteros se obtienen las fracciones (cocientes de enteros). Por ejemplo: 2 1 6 5 ; ; ; : 3 7 4 1 Las fracciones se llaman nmeros racionales. u

Hay muchas formas de escribir un nmero racional. Ejemplos: u 5 10 15 5 10 15 = = = = = = = 3 6 9 3 6 9 3 6 9 3 6 9 3 = = = = = = = = 1 2 3 1 2 3 Todo nmero entero (luego, todo nmero natural) es un nmero racional. u u u Los siguientes nmeros, adems de otros muchos, son nmeros irracionales: u a u p p ; 2; 3; e: Los nmeros racionales y los nmeros irracionales forman la clase de los nmeros reales. u u u Un nmero real o es racional o es irracional. u Hay una clase an mayor de nmeros: los nmeros complejos, que se estudian ms adelante. u u u a Ejercicios 1. Indicar si son ciertas o falsas las siguientes armaciones: (a) 2 es entero; (b) 3 es racional; p (c) 0 es real; (d) 2 es real; (e) es racional; (f) e es natural.


Tema 1. Hoja 2

1.2

Operaciones

Con los nmeros reales hay dos operaciones muy importantes: la suma (o adicin) y el u o producto (o multiplicacin). o La diferencia (o resta) puede verse como una suma: x y = x + (y) : Hay que tener en cuenta las siguientes propiedades: x+0=x ; (x) = x ; x + (x) = 0 ; (x + y) = x y :

Ejemplo. Se verican las siguientes igualdades: a (a b) = a a + b = b Ejemplo. Las siguientes igualdades son correctas: (a b) a = a b a = b : :

El producto de dos nmeros se representa de varias maneras: u a b = a:b = ab 3 4 = 3:4 = 12 a x = a:x = ax Algunas propiedades del producto son: 1x = x ; 0x = 0 ; xy = 0 =) x = 0 o y = 0 : ; ;

2 a = 2:a = 2a ; :

La propiedad distributiva o propiedad del factor comn relaciona la suma y el producto: u x(y + z) = xy + xz Ejemplo. Se cumple lo siguiente: a b(a + 1) = a ba b Ejemplo. Se verican las siguientes igualdades: (1 b)a + a = a ba + a = 2a ba = (2 b)a : Tambin se puede hacer as e : (1 b)a + a = [(1 b) + 1]a = (1 b + 1)a = (2 b)a : :

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a El cociente (o divisin) de dos nmeros se suele escribir de varias formas o u a:b= a = a=b b : 1 0 , ni 0 0

Tema 1. Hoja 3

No tiene signicado la divisin por 0, as que no se debe escribir o El cociente se puede contemplar como un producto: x 1 =x y y Se verican las siguientes propiedades: x= 11 x

:

;

x =x 1

;

x y u v

=

xv yu

;

x u = () xv = yu : y v

Ejemplo. Se tiene lo siguiente:

aa b

=

ab =b a

:

Ejemplo. Se verica que

a ab +a b= + ab = a + ab = a(1 + b) b b

:

El producto repetido de un mismo factor da lugar a las potencias (de exponente natural): xn = x x x ::: x (n veces ) Conviene denir x0 = 1, para x 60. Ejemplos: (a) x3 = xxx; (b) a2 = aa; (c) m1 = m. = Varias igualdades muy importantes son: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 a2 b2 = (a b)(a + b) ; Ejemplo. Se verica lo siguiente: x(1 + y + y 2 ) y(1 + x + x2 ) = x + xy + xy 2 y yx yx2 = = x y + xy(y x) = (x y) xy(x y) = (x y)(1 xy) : Ejemplo. Se cumplen las siguientes igualdades: ab3 + 2a2 b2 + a3 b = ab(b2 + 2ab + a2 ) = ab(a + b)2 : ; ; (a b)2 = a2 2ab + b2 ; ;

(a b)3 = a3 3a2 b + 3ab2 b3

a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2 ) :

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a Para x 60 se denen las potencias de exponente entero negativo: = xn = 1 xn (n = 1; 2; 3:::) 1 1 ; (b) a1 = . 2 x a

Tema 1. Hoja 4

No est denido 0n . Ejemplos: (a) x2 = a Ejercicios

p 1. Escribir como diferencias las siguientes sumas: (a) 5 + 7; (b) 2 + (); (c) e + 1; (d) 2 + 2; (e) 4 + (1); (f) 2 + 3. 1 11 2. Escribir como cocientes los siguientes productos: (a) 2 ; (b) 3 ; (c) 3 2; (d) 4 (1); 7 2 (e) 6 7; (f) 2 2. 3. Simplicar las siguientes expresiones: (a) (a b) (a + b); (b) a + b (a b); (c) a + x (2x + a); (d) (u v) (v u); (e) v x + (v u); (f) x [(x y) + (y x)]. 1 1 1 b x2 y 2 x+y x+y ; (d) + b; (e) ; (f) . 4. Efectuar: (a) a + ; (b) u ; (c) b2 x v 1b w y x x y 5. Simplicar: (a) x2 x3 ; (b) x2 y 1 + x1 y 2 ; (c) x3 x3 x3 x3 ; (d) 2 ; (e) 2 ; (f) 2 . x2 x x x

1.3

Forma decimal

Todos los nmeros reales se pueden escribir en forma decimal. Por ejemplo: u 3270 18 = 3 : 100 + 2 : 10 + 7 + aqu 327 es la parte entera y 00 18 es la parte decimal. En ocasiones la parte decimal es peridica, como en los siguientes ejemplos: oc 80 75 = 80 757575:::

1 8 + 10 100

;

(peridica pura) o (peridica mixta) o

Si la parte decimal es nita, se puede escribir como peridica. Por ejemplo: o 250 6 = 250 6b = 250 6000::: 0 (peridica mixta) o

1650 0b = 1650 0333::: 3

Los nmeros que tienen una parte decimal peridica son exactamente los nmeros racionales. u o u En los siguientes ejemplos se ve cmo se pasa de decimal a fraccin y de fraccin a decimal. o o o

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a Ejemplo. Dado x = 80 75, claramente se puede escribir x= 875 100 :

Tema 1. Hoja 5

c Ejemplo. Para pasar a fraccin x = 80 75 se hace lo siguiente: llamamos o

Como el periodo tiene 2 cifras multiplicamos por 102 = 100: 100x = 8750 757575::: Observemos que x y 100x tienen la misma parte decimal. Restamos y se obtiene 100xx = 867 875 8 99x = 875 8. Luego x = = 100 1 99 lugar, pasamos a una expresin decimal peridica pura: o o

c x = 80 75 = 80 7575757:::

c Ejemplo. Para escribir como fraccin x = 1650 203 realizamos lo siguiente. En primer o c x = 1650 203 = 1650 2030303:::

Como 10x es peridico puro, hacemos algo similar al ejemplo anterior: o 1000x = 1652030 030303::: Restamos: 1000x 10x = 165203 1652. Por tanto x = Ejemplo. Dada la fraccin o 165203 1652 163 551 = 1000 10 990

c 10x = 16520 03 = 16520 030303:::

2 , se utiliza el algoritmo de la divisin y se obtiene o 5 2 = 00 4 : 5

Ejemplo. La fraccin o

Hemos dicho que todo nmero real tiene un desarrollo decimal, pero no siempre es unico. u Hay que tener en cuenta que 9 00 b = 00 9999::: = 1 :

5 se escribe, despus de realizar la divisin, del siguiente modo: e o 3 5 = 10 b : 6 3

Los nmeros irracionales son los que tienen un desarrollo decimal innito no peridico: u o p p = 30 14159::: ; 2 = 10 41421::: ; 3 = 10 73205::: ; e = 20 71828::: Por tanto, al escribir un nmero irracional en forma decimal siempre estamos haciendo u una aproximacin y nunca es una representacin exacta. o o

Por ejemplo: 20 47 = 20 46b Otro ejemplo: 130 b = 14. 9. 9


Tema 1. Hoja 6

Notacin cient o ca. Es habitual utilizar las potencias de 10 para escribir nmeros u grandes y nmeros peque~os, tal como se hace en los siguientes ejemplos: u n 20 3 1010 = 23 109 = 23 1 000 000 000 = 23 000 000 000 20 3 1010 = 23 1011 = 23 00 000 000 000 01 = 00 000 000 000 23 Representacin geomtrica. Se toma una recta y en ella dos puntos cualesquiera, a o e los que asociamos los nmeros 0 y 1 (lo haremos quedando el 0 a la izquierda y el 1 a la u que a cada punto le corresponde un nmero y a cada nmero le corresponde un punto. u u Ese nmero se suele llamar abscisa del punto. u Tambin los nmeros reales se pueden representar como vectores. Por ejemplo, el nmero e u u con origen en cualquier punto de la recta. Ejerciciosc 1. Escribir como fraccin los siguientes nmeros: (a) 20 3; (b) 00 12; (c) 30 1b (d) 510 23b (e) o u 4; 4;

derecha). Entonces se pueden representar todos los nmeros reales en esa recta, de modo u

2 se corresponde con un vector de mdulo 2, orientado de izquierda a derecha, y situado o

2. Escribir en forma decimal: (a)

60 1b (f) 110 2b 1; 3.

7 6 1 5 3 1 ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) 2 3 4 6 5 7

3. Indicar cules de los siguientes nmeros son racionales y cules irracionales: (a) 20 676767:::; a u a (b) 80 123321123321:::; (c) 50 55999:::; (d) 00 010101:::; (e) 00 010010001:::; (f) 00 0100101001:::. 9; 9; 9; 9; 9; 9. 4. Escribir de forma ms simple: (a) 00 0b (b) 30 45b (c) 100 b (d) 90 b (e) 00 08b (f) 90 8b a

5. Calcular: (a) 10 2 : 109 + 2 : 1010 ; (b) 10 2 : 109 2 : 1010 ; (c) 2 : 1010 : 10 2 : 109 ; (d) 10 2 : 109 ;(e) (10 2 : 109 )2 ; (f) (10 2 : 109 )2 . 2 : 1010 p 5 6. Dibujar en una recta los nmeros: (a) 30 2; (b) 20 3; (c) 00 6; (d) 2; (e) ; (f) . u 3

1.4

Orden e inecuaciones

Los nmeros reales estn ordenados. Se utilizan los cuatro s u a mbolos: < (menor), (menor o igual), > (mayor), (mayor o igual). Por ejemplo: 1 < 2; 3 4; 6 > 5; 7 7. Existen las siguientes relaciones: a b () b a () a < b o a = b () b > a o a = b :


Tema 1. Hoja 7

Escribir x > 0 signica que x es positivo, mientras que x < 0 quiere decir que x es negativo. Debe quedar claro que 0 no es positivo ni negativo. Los nmeros naturales (1; 2; 3:::) son los enteros positivos. u Al operar con desigualdades hay que tener en cuenta ciertas propiedades, como se ve en los ejemplos siguientes. Al sumar desigualdades se conserva el orden. Ejemplo: si sumamos(

3+x 3 x ;

1 > 1 : x

Para resolver una inecuacin se debe \despejar" la incgnita, tal como se hace en los o o 3 Ejemplo. La inecuacin 2 + 4x < 1 es equivalente a 4x < 3, es decir x < o Por 4 3 tanto, cualquier nmero menor que es solucin de la inecuacin. u o o 4 9 Ejemplo. Para resolver 2 x < x 7, se obtiene primero 9 < 2x, as que x > 2


Tema 1. Hoja 8

Ejemplo. Las soluciones de 2 + x x + 8 se pueden obtener as 2x 6, luego x 3. : Ejemplo. La inecuacin o x+1 1 < 2 x1 exige considerar los casos x 1 > 0 (x > 1) y x 1 < 0 (x < 1). No tiene sentido x = 1. p p Para x > 1: (x + 1)(x 1) = x2 1 < 2, luego x2 < 3, as que 3 < x < 3, luego p 1 < x < 3. Para x < 1: (x + 1)(x 1) = x2 1 > 2, por tanto x2 > 3, de donde p p p p x < 3 x > 3, luego x < 3 < 1. En resumen, las soluciones son x < 3 y o p 1 < x < 3.

Ejercicios 1 ; 1. Indicar cules de los siguientes nmeros son positivos: (a): (b) 3 ; (c) 0; (d) 3 a u 4 3 (e) 5 + 7; (f) . 5 2. Resolver las siguientes inecuaciones: (a) x 1 1 x; (b) 3x 1 1 1 < 7x 4; (e) x + 2 < 3x + 4; (f) 2 7. x x

x 1 ; (c) > 2; (d) 3 x

1.5

Valor absoluto y distancia(

Se dene el valor absoluto jxj del nmero real x del siguiente modo: u jxj = x x si si x0 xDe cuntas formas puede vestirse? a 2. Hay 8 bebidas diferentes. Una persona elige 2 de esas 8 bebidas para mezclarlas. >Cuntas a mezclas distintas de bebidas puede hacer? 3. >De cuntas formas distintas pueden o 4 discos? a rse 4. Una persona que posee 7 camisas decide llevar 2 a un viaje que va a realizar. >Cuntas a posibilidades tiene?

12 3

!

=

12:11:10 = 220 3:2


Tema 1. Hoja 13

5. >De cuntas modos distintos se pueden meter tres objetos en tres cajas si slo se puede a o meter un objeto en una caja? 6. Angel, Belinda, Carlos, Diana y Ernesto desean hacerse una fotograf ponindose todos a e en la misma la. >Cuntas formas hay de colocarse? a 7. Angel, Belinda, Carlos, Diana y Ernesto desean hacerse una fotograf de modo que altera nen chico y chica. >Cuntas formas hay de colocarse? a 8. Una l nea de guagua sale de la parada 1, pasa por otras 5 (paradas 2,3,4,5 y 6) y llega a la ultima (la parada 7). >Cuntos billetes diferentes habr que imprimir si se desea que en a a cada billete gure la parada en la que se sube el pasajero y la parada en la que se baja?

1.8

Ejerciciosp p p p p 2; (b) 22 2; (c) 2+2 2;

1. Indicar cules de los siguientes nmeros son enteros: (a) a p u p p 2 5 2 2 2 (d) ; (e) p 2; (f) : . 3 3 3 6 2 2. Simplicar las siguientes expresiones: (a) yb y(1 b) (b) xy x2 y + xy 2 (c) a fa [a (a 1)]g (d) a fu [a (u a)]g (e) (1 a) (1 a)2 (f) (a2 x2 )(a2 + x2 ) 3. Simplicar a + ab b a u (b) 2 + 2 u a 1 (c) 1 x a a (d) b b c c (a) (e)

1 1 1 +1 x x a b c2 (f) c a2 b2

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a 4. Simplicar (a) 1 + 1 1+ b1 1+1 1 1+ a

Tema 1. Hoja 14

(b) (c) (d) (e) (f)

ab a

a+ba2 b2 a a+b b2 1 v v 1 xx

(x + y)2 (x2 y 2 ) (x y)2 (x2 + y 2 )1 x x y

+

1 y y x

c d 6. Hallar 00 23 + 00 456, escribiendo primero los sumandos en forma de fraccin. o

c d 5. Calcular 00 23 + 00 456

7. Hallar

8. Resolver las inecuaciones siguientes: (a) x + 2 < 6 x (b) 4x 2 > 7 5x (c) x2 + 1 < 0 1 (d) x + 2 x 1 (e) 2 2 x 1 (f) 1+x 1x (a) jx 1j 0 (b) jx 2j 3 (c) jx + 5j > 5 (d) jx 5j < jx + 1j (e) jx + 1j + jx + 2j > 1 (f) jx 1j:jx 2j 3

00 2b + 00 3b 9 9 00 9b 00 8b 9 9

9. Resolver las siguientes inecuaciones:

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a 10. Demostrar la identidad

Tema 1. Hoja 15

x + jxj 2

11. Calcular x sabiendo que verica

94 78

!

2

+

x jxj 2!

2

= x2 :

94 = x

12. Hallar

15 15 + 8 9

!

! 16 16 1 + 2 17 17 14 + 15

13. Simplicar la expresin o

14. >Qu relacin existe entre m y n para que se verique la igualdad e o !

m n

m1 =2 n

!

15. Encontrar el valor de x para que se cumpla la siguiente igualdad

12 = x

!

12 3

!

16. Calcular el valor de x en la igualdad

x = 16

!

!

x 7

17. Hallar el coeciente de x15 en el desarrollo de (x + 2)20 18. Desarrollar (3 + 2x)5 19. Calcula el trmino independiente (en el que no gura x) en el desarrollo de e 20. Desarrollar las siguientes potencias: (a) (2 + x)5 ; (b) (4 x)7 ; (c)

3 2x x2

15

x 3 + 2 4

3

; (d) (3 + 2x2 )5

21. Tenemos 5 juguetes diferentes que deseamos entregar a 5 ni~os, uno a cada uno. >De n cuntas formas puede realizarse el reparto? a 22. >Cuntas diagonales hay en un pol a gono de 17 lados? 23. Hay tres ni~os, a cada uno de los cuales se le da un juguete de los 7 distintos que hay en n una tienda. >De cuntas formas puede hacerse? a


Tema 1. Hoja 16

1.9

Soluciones

1.1 N meros reales. (1a) Cierta. (1b) Cierta. (1c) Cierta. (1d) Cierta. (1e) Falsa. (1f ) u Falsa. p 1.2 Operaciones. (1a) 5 (7). (1b) 2 . (1c) e (1). (1d) 2 ( 2). (1e) 4 1. 2 3 3 4 6 2 (1f ) 2 (3). (2a) . (2b) . (2c) . (2d) . (2e) . (2f ) . (3a) 7 2= 11 1=2 1 1=7 1=2 ax + 1 uv 1 . (4b) . 2b. (3b) 2b. (3c) 2a x. (3d) 0. (3e) x u. (3f ) x. (4a) x v b(1 + w) x3 y 3 y 2 x2 x+y b2 b3 1 . (4d) . (4e) . (4f ) . (5a) x. (5b) 2 2 . (5c) (4c) 1b w xy xy x y 5 . (5e) x1 . (5f ) x5 . x. (5d) x 1.3 Forma decimal. (1a) 23 12 283 46111 550 1011 . (1b) . (1c) . (1d) . (1e) . (1f ) . 10 99 90 900 90 90 \ 3. (2a) 30 5. (2b) 2. (2c) 00 25. (2d) 00 8b (2e) 00 6. (2f ) 00 142857. (3a) Racional. (3b)

Racional. (3c) Racional. (3d) Racional. (3e) Irracional. (3f) Racional. (4a) 00 1. (4b) 30 46. (4c) 11. (4d) 10. (4e) 00 09. (4f) 90 9. (5a) 210 2 109 . (5b) 180 8 109 . (5c) 1.4 Orden e inecuaciones. (1a) Positivo. (1b) No positivo. (1c) No positivo. (1d) No 20 4 1019 . (5d) 00 06. (5e) 10 44 1018 . (5f ) 690 b 1020 . 4

positivo. (1e) Positivo. p ) Positivo. (2a) x 1. (2b) x 00 3. (2c) 0 < x < 00 5. (2d) (1f p 2 11 2 + 11 1 1 Qu altura tiene la estatua? a e Solucin: y = 20(tg28o tg12o ) o 3. Calcula la altura de un edicio sabiendo que, desde cierto punto, la cspide del edicio u forma un ngulo de 30o con la horizontal y cuando nos aproximamos 70m el angulo es de a 60o . Solucin: y = o 70tg60o tg30o . tg60o tg30o

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a Relaciones entre las razones de ngulos distintos. a Complementarios cos(90o ) = sen sen(90o ) = cos tg(90o ) = ctg Suplementarios cos(180o ) = cos sen(180o ) = sen tg(180o ) = tg Dieren en 180o cos(180o + ) = cos sen(180o + ) = sen tg(180o + ) = tg

Tema 2. Hoja 21

Opuestos cos() = cos sen() = sen tg() = tg

Frmulas de adicin. o o Razones de la suma sen( + ) = sen cos + cos sen cos( + ) = cos cos sensen tg + tg tg( + ) = 1 tgtg Frmulas del angulo doble y mitad. o 1 cos 2 2 2 = 1 + cos 2 cos 2 1 cos 2 tg2 = 1 + cos 2 sen2 = Razones de la diferencia sen( ) = sen cos cos sen cos( ) = cos cos + sensen tg tg tg( ) = 1 + tgtg

sen2 = 2sen cos cos 2 = cos2 sen2 2tg tg2 = 1 tg2

Frmulas de transformacin en producto. o o + cos 2 2 + cos + cos = 2 cos cos 2 2 + sen sen = 2 cos sen 2 2 + cos cos = 2sen sen 2 2 sen + sen = 2sen

Ejercicios 1. Resuelve la ecuacin sen2x = senx. o Solucin: 2senxcosx = senx, senx(2cosx 1) = 0. o Por tanto, senx = 0 o 2cosx 1 = 0, es decir cosx = 1 . Luego las soluciones son: k, 2 3

+ 2k y + 2k. 3


Tema 2. Hoja 22

2. Resuelve la ecuacin senx + cos x = 1. o p p Solucin: senx+ 1 sen2 x = 1, por tanto 1 sen2 x = 1senx, y elevando al cuadrado o obtenemos: 1 sen2 x = 1 + sen2 x 2senx 2

yx=

2sen2 x senx = 0; 2senx(senx 1) = 0. Por tanto senx = 0 o senx = 1, es decir, x = k + 2k

2.2

Resolucin de tringulos o a

Sea ABC un tringulo, donde denotamos por A, B, C los angulos y por a, b, c, los lados a enfrentados a los ngulos A, B, C, respectivamente. a

Se verica: A + B + C = 180o = radianes a b c = = = 2R senA senB senC siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al tringulo. a Teorema del coseno: a2 = b2 + c2 2bc cos A b2 = a2 + c2 2ac cos B c2 = a2 + b2 2ab cos C Area del tringulo: a 1 absenC 2 1 S = acsenB 2 1 S = bcsenA 2 S= Teorema del seno:

Dado p =

a+b+c , 2 S=q

p(p a)(p b)(p c) (Frmula de Hern) o o


Tema 2. Hoja 23

Ejercicios 1. Un barco que se encuentra frente a un golfo es observado desde los dos cabos que lo forman y que distan 10km. Desde cada cabo se ve el barco con angulos de 28o y 32o . Calcula la menor distancia a que se encuentra el barco de la costa. sen28o sen120o = Solucin: o 10 a 2. Desde un aeropuerto C se observan dos aviones A y B bajo un angulo de 38o . Si los aviones distan 5 y 8 km del aeropuerto, calcula la distancia que separa a los aviones. Solucin: a2 = 82 + 52 2 8 5cos38o o

2.3

Ejercicios

1. Cuando el Sol est a 30o por encima del horizonte, >cunto mide la sombra proyectada a a por un rbol de 15m de altura? a 2. Halla el rea de un hexgono regular de 10cm de lado. a a 3. Calcular el rea de un octgono regular de lado 7cm. a o 4. La diferencia entre la longitud de una circunferencia y el per metro de un hexgono regular a inscrito es de 28m. Halla el radio de la circunferencia. 5. De un tringulo se conocen dos angulos que miden 55o y 45o y el lado opuesto al de 45o a que mide 100m. Calcula los otros dos lados. 6. Calcula la longitud de un puente que se quiere construir sobre un barranco, conociendo que los ngulos que forman los extremos del barranco A y B con un punto en el fondo del a barranco O son ABO = 32o y OAB = 48o y que la distancia entre A y O es de 120m. 7. Encuentra un ngulo agudo tal que sen(x + 30o ) = cos x. a 8. Desde un barco se ve la torre de un faro bajo un angulo de 30o . Cuando el barco ha recorrido 200m en la direccin del faro dicho angulo es de 45o . Calcula la altura de la torre o sobre el nivel del mar y la distancia a la que se encuentra el barco del faro en el momento de la segunda medicin. o 9. Se quiere medir la altura de una monta~a cercana a un pueblo. A la salida de ste han n e medido el ngulo de elevacin que es de 30o . Han avanzado 100m hacia la base y han a o vuelto a medir el ngulo de elevacin siendo ahora 45o . Calcula la altura de la monta~a. a o n


Tema 2. Hoja 24

10. Juan y Rosa se encuentran a ambos lados de la orilla de un r Rosa se aleja hasta una o. caseta distante 100m del punto A, desde la que dirige visuales a los puntos A y B(donde se encuentra Pedro) que forman un angulo de 30o y desde A ve los puntos C y B bajo un a ngulo de 120o . >Qu distancia hay entre A y B? e 11. Dos monta~eros que han ascendido en nes de semana sucesivos a dos picos querr saber n an qu distancia hay entre ellos. Para ello han medido desde la base del pico A los angulos e 1 = 85o y 2 = 30o , despus han caminando hasta la base del pico B y han medido los e a ngulos 1 = 40o y 2 = 93o . La distancia que hay entre dichas bases es de 600m. > Podr calcularla? asA d B

a1 C

b2 a2 d1 b1 D

12. Enunciar y resolver un problema donde se quiera medir un objeto situado en un pedestal al que no tenemos acceso a la base.

2.4

Soluciones15 tg30o .

1. x =

p p 10 75 2. AH = 6AT = 6 = 30 75. 2 3:5 7 tg22:5 28 3:5 3. AH = 8AT = 8 = . 2 tg22:5 4. 2R 6l = 28, puesto que R = l, tenemos (2 6)R = 28. 28 Por tanto, R = . 2 6 o sen45 sen55 sen45o sen80 5. = = 100 b 100 c sen32o sen100o 6. = c 120 p 3 1 o ) = senxcos30o + cosxsen30o = 5. sen(x + 30 senx + cosx. 2 2 p p p 3 1 3 3 Por tanto la ecuacin se convierte en: o senx = cosx; tagx = 3 . Luego x = arctg . 2 2 3 y o = y; o = 8. tg45 tg30 x 200+x ; 200tg45o tg30o Luego y = . tg45o tg30o 9. h= 136,4m 10. d= 100m 11. d= 1687m


Tema 3. Hoja 25

33.1 Introduccin. o

NUMEROS COMPLEJOS.

una expresin de la forma x + iy, donde x e y son nmeros reales. Dado un nmero complejo o u u z = x + iy, a x e y se les denomina parte real y parte imaginaria de z respectivamente y se denotan por x = Re z e y = Im z: En caso de que z = x+ i0 escribiremos z = x y diremos que z es real. Por otro lado, si z = 0+ iy, escribiremos z = iy y le llamaremos imaginario puro. En particular 0 = 0 + i0 e i = 0 + i1. El conjunto de todos los nmeros complejos se denota por C y ste contiene al conjunto R u e de los nmeros reales que podemos identicar con el conjunto de los nmeros complejos cuya u u a u grcamente en el plano real (R2 ) sin ms que asociar el nmero complejo z = x + iy con el par a o punto (x; y) de R2 . Este punto se conoce como ajo de z. La forma de expresar z como a + ib se conoce como expresin binmica de un nmero complejo. o o u

Si intentamos resolver la ecuacin x2 + 1 = 0 nos encontramos que no tiene solucin ya que sta o o e p deber ser x = 1 y, como sabemos, la ra cuadrada de un nmero negativo no existe en R, a z u p conjunto de los nmeros reales. Denotemos 1 por i y denamos un nmero complejo como u u

parte imaginaria es 0, es decir R = fz 2 C : Im z = 0g. El conjunto C se puede representar

3.2

Operaciones algebraicas.

Para sumar o restar dos nmeros complejos hemos de sumar o restar sus respectivas partes reales u e imaginarias: (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b)

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a (x + iy) (a + ib) = (x a) + i(y b): La multiplicacin viene denida por la regla: o (x + iy)(a + ib) = (xa yb) + i(xb + ya):

Tema 3. Hoja 26

Esta regla parece complicada y dif de recordar, pero si tenemos en cuenta que cil i2 = (0 + i1)(0 + i1) = (0 1) + i(0 + 0) = 1 + i0 = 1; y multiplicamos (x + iy)(a + ib) como dos polinomios en i, obtenemos dicha regla: (x + iy)(a + ib) = xa + x(ib) + (iy)a + (iy)(ib) = xa + ixb + iya + i2 yb = (xa yb) + i(xb + ya): Notemos que (??) nos dice que i es una solucin de x2 + 1 = 0. o La suma y la multiplicacin de nmeros complejos verican las mismas propiedades que las o u de los nmeros reales: u 1. Asociativa: z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 ; z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 . 2. Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1 ; z1 z2 = z2 z1 . 3. Elementos neutros: z + 0 = 0 + z = z ; z:1 = 1:z = z. 4. Distributiva: z1 (z2 + z3 ) = (z1 z2 ) + (z1 z3 ). 5. z:0 = 0:z = 0. (1)

3.3

Conjugacin y mdulo. o o

Dado un nmero complejo z = x + iy, llamamos conjugado de z al complejo que resulta al u cambiar de signo la parte imaginaria y lo denotaremos por z. As z = x iy. Se puede observar que: z = z si, y solamente si, z 2 R y z = z si, y solamente si, z = iy: Adems, con la denicin que hemos dado del producto de dos nmeros complejos se tiene a o u zz = (x + iy)(x iy) = x2 + y 2 ; lo que implica que zz es un nmero real positivo y u pq

p zz estar siempre bien denida. A este a

valor se le llama mdulo de z y se denota por jzj, esto es, o jzj = zz = x2 + y 2 :


Tema 3. Hoja 27

El hecho de que zz sea un nmero real nos permite denir el inverso de un complejo z = a+ib 60: u = a b 1 1 a ib a ib = 2 i 2 ; = = = 2 2 2 z a + ib (a + ib)(a ib) a +b a +b a + b2 y consiguientemente la divisin de nmeros complejos vendr dada por o u a z1 1 = z1 : z2 z2

Propiedades del mdulo y conjugacin respecto de las operaciones: o o 1. (z1 z2 ) = z1 z2 . 2. z1 z2 = z1 z2 . 3.z 1

z2

=

z1 (z2 60). = z2

4. jz1 z2 j = jz1 jjz2 j. 5. jzj = jzj. 6. j z1 jz1 j j= (z2 60). = z2 jz2 j

3.4

Forma trigonomtrica. e

Recordemos que un nmero complejo z = x + iy puede ser representado como un par (x; y) y u como tal constituye un punto del plano, lo que permite asociarle un vector con punto inicial en (0; 0) y nal en (x; y). Podemos entonces determinar el complejo z dando el mdulo de dicho o vector, que coincide con el mdulo de z denido anteriormente, y el angulo que forma con el eje o real, que se denomina argumento de z. En otras palabras, lo podemos expresar en coordenadas

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a polares:

Tema 3. Hoja 28

Observemos que si nos dicen que un nmero complejo z tiene por mdulo r y argumento u o , entonces (como indica la gura) su parte real ser x = r cos y su parte imaginaria ser a a y = rsen. Podemos expresar z como z = x + iy = r cos + irsen = r(cos + isen); expresin que se conoce como forma trigonomtrica de z. Una de las grandes ventajas de esta o e manera de representar a los nmeros complejos es que facilita la operacin de potenciacin u o o z n = rn [cos(n) + isen(n)] (n 2 N): Adems la multiplicacin y divisin se pueden expresar de forma ms sencilla como sigue: a o o a z1 z2 = r1 r2 [cos(1 + 2 ) + isen(1 + 2 )] ;p

(2)

z1 r1 = [cos(1 2 ) + isen(1 2 )] (z2 60): = z2 r2y x.

Por otro lado, si nos dan un complejo z en forma binmica z = x + iy, tenemos que su mdulo o o es jzj = r = x2 + y 2 y su argumento ser un angulo tal que tg = a Podemos entonces expresar z de una forma abreviada por z = r , expresin que se conoce como forma polar: o z = r = r(cos + isen): (3)

Es importante observar que el argumento de un complejo no es unico ya que si el angulo es un argumento de z y le sumamos un angulo de amplitud 2, es decir le damos una vuelta completa, volvemos a caer en el mismo sitio, por lo cual + 2 ser tambin un posible valor a e del argumento de z. Lo mismo sucede si damos k vueltas y por tanto + 2k ser tambin otro a e valor del argumento de z. La expresin en forma polar nos permite introducir la radicacin de los nmeros complejos de o o u p n n = z. As expresando forma ms o menos sencilla. La z ser cualquier complejo ! tal que ! a a ,


Tema 3. Hoja 29

ambos nmeros en forma polar ! = y z = r , y recordando que segn (??) y (??) ( )n = u u (n )n , obtenemos que n = r si, y solamente si, = n p n ry= + 2k n (k = 0; 1; 2; :::; n 1):

n1 ces n-simas fzk gk=0 que podemos expresar como: e Luego un complejo z = r tiene n ra

zk =

p n

r cos

+ 2k n

+ isen

+ 2k n

(k = 0; 1; 2; :::; n 1):

A modo de ejemplo, observemos en el siguiente grco, cmo se representan en el plano las a o cinco ra ces quintas de z = cos( ) + isen( ). Notamos que todas tienen el mismo mdulo y se o 3 3 distribuyen de manera que forman un pentgono regular (en el caso de ra n-simas formar a ces e an un pol gono regular de n lados).

3.5

Ejercicios

1. Calcula las ra ces de las siguientes ecuaciones: a) x2 + x + 1 = 0 ; b) x2 + 2x + 5 = 0:

2. Efecta las siguientes operaciones entre nmeros complejos: u u a) (3 + 5i) + (4 3i) ; b) (5 + 3i) (6 4i) ;

c) (6 5i) + (2 i) 2(5 + 6i); d) (2 i) (5 + 4i) + 1 (6 4i): 2

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a 3. Multiplica: a) (3 + i)(4 2i) ; b) (2 + i)(5 6i) ;

Tema 3. Hoja 30

c) (i + 1)(3 2i)(1 + 3i); ; d) 5(2 4i)(1 + 3i)i: 4. Efecta las siguientes divisiones de nmeros complejos: u u a) 5. Calcula las potencias: a) (2 3i)2 ; b) (3 i)3 ; c) i123 ; d) (2 4i)4 : 6. Efecta las siguientes operaciones y simplica: u 2 3i(4i + 2) (3i)2 (1 2i) (2 3i)(1 + 6i) a) 6 3(5 + i); b) ; c) ; d) : 5 2 + 3i 2 + 2i 1 + 5i 7. Calcula i17 ; i9 ; i10 ; i25 ; i31 . 8. >Cunto debe valer x para que el nmero (2 + xi)2 sea imaginario puro? a u 9. Calcula (1 + i)4 ; (1 i)4 ; (1 + i)4 y (1 i)4 . 10. Resuelve las siguientes ecuaciones en el campo complejo: a) (5 + i)z = 3 7i; c) b) z = 3 5i ; 3 + 4i 2 + 4i 1 4i 4 4i ; b) ; c) : 4 2i 3+i 3 + 5i

z 2z i z 2z 3i + = 3; d) + = 6 3i: 3 + 2i 4 2i z 2i

11. Representa grcamente los ajos de todos los nmeros complejos z tales que al sumarlos a u con su respectivo conjugado, se obtenga 1. 12. Representa grcamente los nmeros complejos z tales z z = i. >Qu debe vericar z? a u e 13. Representa grcamente el nmero complejo 43i. Apl a u cale un giro de 90 grados alrededor del origen. >Cul es el nuevo nmero? Multiplica ahora 4 3i por i. a u 14. Escribe en forma trigonomtrica y polar los nmeros: e u a) 1 + 3i; b) 1 + i; c) 5 12i: 15. Escribe en la forma binmica y trigonomtrica los nmeros: o e u a) 5 ; b) 2135 ; c) 3240 : 6 16. Calcula tres argumentos del nmero 1 + i. u


Tema 3. Hoja 31

17. Expresa en forma binmica y en forma polar el conjugado y el opuesto de 5 . o 4 18. Calcula sin desarrollar los binomios y expresar el resultado en forma polar: a) (1 + i)10 ; b) ( 1 + 2p 3 8 2 i) ;

c) (1 i)6 :

19. Utiliza la frmula de Moivre, (cos + isen)n = [cos(n) + isen(n)] (n 2 N), para deducir o las frmulas de las razones trigonomtricas del angulo doble. o e 20. Calcula las ra ces sextas de la unidad. 21. Resuelve la ecuacin x3 + 27 = 0. Representa grcamente todas sus soluciones. o a p p 22. Calcula 3 i; 4 1 + i;s3

1 + i p . 1 + 3i

23. Halla las coordenadas de los vrtices de un cuadrado (de centro el origen) sabiendo que e uno de estos es el ajo del nmero complejo 1 . u 2 24. Halla las coordenadas de los vrtices de un hexgono regular, de centro el origen, sabiendo e a que uno de estos es el ajo del nmero complejo 3 . u 25. Representa grcamente las igualdades siguientes. >Qu gura se determina en cada caso? a e a) jzj = 2; b) jz (1 + i)j = 5: 26. Escribe todos los nmeros complejos cuyos ajos estn en la circunferencia de centro (1; 1) u e y radio 3.

3.6

Soluciones1 2

1. a) x1 =

p 3 2 i,

b) 1 2i

2. a) 7 + 2i, b) 1 + 7i, c) 18 18i, d) 3i 3. a) 14 2i, b) 16 7i, c) 16 2i, d) 10 + 70i1 4. a) i, b) 10 13 10 i,

c)

16 17

4 17 i

5. a)5 12i, b) 18 26i, c) i, d) 112 + 384i 6. a) 9 6 i, b) 5 7. i; i; 1; i; i 8. x = 2 9. 49 13

6 13 i,

c) 9 + 9 i, d) 4 4

5 2

7i 2

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a 10. a)4 13

Tema 3. Hoja 32

9 13 i, 1 2 1 2

b)29 3i, c) 239 52

1 52 i,

d)

11 2

5i

11. Recta x = 12. Recta y = 13. 3 + 4i 14. a)

13(cos(10 17) + isen(10 17)) 15. a) 5p 3 5 2 + 2 i, 5(cos( 6 ) 3(cos( 4 ) + isen( 4 )). 3 3 9 4, 4 ,

p p p p 1010 25 , 10(cos(10 25) + isen(10 25)); b) 2 3 , 2(cos( 3 ) + isen( 3 )); c) 1310 17 , 4 44

p p p + isen( )); b) 2 + 2i, 2(cos( 3 ) + isen( 3 )); c) 3 6 4 4 2

p 3 3 2 i,

16.

7 4

17. Opuesto: forma binmica 5 2 2 o Conjugado: forma binmica o 18. a)32 , b) 1 4 , c) 8 2 23

p 5 2 2 i, forma polar 5 5 4 p p 5 2 5 2 2 2 i, forma polar 5 4

p

19. sen(2) = 2sen() cos(), cos(2) = cos2 () sen2 () 20. 1; 21. 22.p p p 3 i; 1 1 23 i; 1 23 i 2 2 2 p p x = 3; x = 3 + 3 23 i; x = 3 3 23 i 2 2 p p p p p a) i, 23 1 i, 23 1 i; b) 4 2 16 , 4 2 9 , 4 2 17 , 2 2 16 16 1 2

+

p 3 2 i;

1 + 2

p 4

2 2516

23. i, 1, i, i 24. 3, 1 2

p 3 1 2 i, 2

p 3 2 i,

3,

1 2

+

p 3 2 i,

1 + 2

p 3 2 i

25. a) Circunferencia de centro (0; 0) y radio 2, b) circunferencia centrada en (1; 1) y radio 5 26. (1 + 3 cos()) + i(1 + 3sen()), 0 < 2


Tema 4. Hoja 33

44.1

FUNCIONES ELEMENTALES.

Concepto de funcin y propiedades bsicas. o a

Decimos que hay una correspondencia entre dos conjuntos cuando existen unas determinadas reglas que permiten asociar elementos del primer conjunto (conjunto inicial) con elementos del segundo conjunto (conjunto nal). Una aplicacin es una correspondencia que asigna a cada elemento del conjunto inicial un o unico elemento del conjunto nal. Cuando los conjuntos inicial y nal son subconjuntos de R, hablamos de funciones reales de o variable real. Si f es una funcin de A R en R, llamamos dominio de la funcin al conjunto o de los elementos de A cuya imagen pertenece a R y recorrido o imagen de la funcin al conjunto o de todos los valores que toma la funcin. o Ejercicios 1. (a) Si a cada persona del mundo se le asigna su madre biolgica, >es aplicacin? o o (b) Si a cada mujer del mundo se le asignan sus hijos, >es aplicacin? >Por qu? o e 2. Indicar cules de las siguientes grcas representan funciones y en tal caso, hallar el dominio a a y recorrido.1 1

- 2p

-p -1

p

2p

-3

-2

-1

1

2

3

2

-2

-1 -1

1

2

Propiedades de las funcionesAcotacin. Una funcin f est acotada superiormente si sus imgenes no superan cierto valor, o o a a M es una cota superior. esto es, cuando existe M 2 R tal que f (x) M , para cualquier x del dominio de f . Se dice que De la misma forma, la funcin f est acotada inferiormente si sus imgenes superan siempre o a a de f . un cierto nmero, es decir, si existe m 2 R de tal forma que f (x) m, para todo x en el dominio u


Tema 4. Hoja 34

Decimos que una funcin f est acotada si lo est superior e inferiormente. Esto equivale a o a a que existe M 0 de tal forma que jf (x)j M , para todo x del dominio de la funcin. o Ejemplos. La funcin f (x) = x2 1 slo est acotada inferiormente (f (x) 1) mientras que o o a 1 2 lo est slo superiormente (g(x) 1). La funcin h(x) = la funcin g(x) = 1 x o a o o est a 1 + x2 acotada (jh(x)j 1)y la funcin l(x) = x no est acotada ni superior ni inferiormente. o a

y=x -11

2

y=1-x

2

-1 -1

1

-1

1

y=1/(1+x )1

2

y=x

se tiene que x + T est en el dominio y f (x + T ) = f (x). Se llama periodo fundamental de f al a periodo ms peque~o de f . a n Ejemplo La funcin f (x) = senx es una funcin peridica de periodo fundamental 2. o o o

Periodicidad. Una funcin es peridica de periodo T (T 60) cuando para todo x del dominio, o o =

1

- 2p

- 3p 2

-p

-p 2 -1

p 2

p

3p 2

2p

Paridad. Se dice que una funcin f es par cuando, para cada x de su dominio, x es tambin o e respecto al eje de ordenadas.

del dominio y se satisface f (x) = f (x). En este caso, la grca de la funcin es simtrica a o e Decimos que una funcin f es impar cuando, para cada x de su dominio, x pertenece o

tambin al dominio y se verica f (x) = f (x). En este caso, la grca de la funcin es e a o

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a simtrica respecto del origen de coordenadas. e Ejemplos

Tema 4. Hoja 35

Funcin parf(x)

Funcin impar

f(x)-4

-x

x

-x

-1 1 x -f(x) 4

Existen funciones que no son pares ni impares, como f (x) = x2 + x. Crecimiento y decrecimiento. Sea f una funcin real de variable real e I un intervalo o contenido en su dominio. f es creciente en I si y slo si para cada par de nmeros x1 , x2 de I tales que x1 < x2 , se tiene o u f es decreciente en I si y slo si para cada par de nmeros x1 , x2 de I tales que x1 < x2 , se o u tiene f (x1 ) f (x2 ). f es estrictamente creciente en I si y slo si para cada par de nmeros x1 , x2 de I tales que o u f (x1 ) f (x2 ).

x1 < x2 , se tiene f (x1 ) < f (x2 ). f es estrictamente decreciente en I si y slo si para cada par de nmeros x1 , x2 de I tales que o u x1 < x2 , se tiene f (x1 ) > f (x2 ). Decimos que f es montona en I cuando es creciente, decreciente o constante en el intervalo. o Ejemplos. La funcin en (a) es creciente en el intervalo I 0 y es estrictamente creciente en I. En o la gura (b) podemos observar que la funcin es decreciente en I 0 y estrictamente decreciente o en el intervalo I.

(a)f(x2)=f(x3) f(x1) f(x2)=f(x3) x1I

(b)

f(x1) x2I

x3

x1

I

x2I

x3

Mximos y m a nimos. Se dice que un punto (x0 ; f (x0 )) de la grca de la funcin f es un a o mximo absoluto de f cuando f (x0 ) es el mayor valor que toma f en su dominio, esto es, a f (x0 ) f (x), cuando x pertenece al dominio. Anlogamente, decimos que un punto (x0 ; f (x0 )) de la grca de la funcin f es un m a a o nimo


Tema 4. Hoja 36

para cada x del dominio.

absoluto de f cuando f (x0 ) es el menor valor que toma f en su dominio, es decir, f (x0 ) f (x), Un punto (x0 ; f (x0 )) de la grca de la funcin f es un mximo relativo si f (x0 ) es el mayor a o a

valor que toma f en un entorno del punto x0 . Un punto (x0 ; f (x0 )) de la grca de la funcin f es un mnimo relativo si f (x0 ) es el menor a o valor que toma f en un entorno de x0 . Ejemplo.

a x1 x2 x3

x4 M

m

b

En la grca de la funcin f se observa que el dominio de f es [a; b]. El punto (M; f (M )) a o es el mximo absoluto, mientras que los puntos (x1 ; f (x1 )) y (x3 ; f (x3 )) son mximos relativos. a a Asimismo, el punto (m; f (m)) es el m nimo absoluto, mientras que los puntos (x2 ; f (x2 )) y (x4 ; f (x4 )) son m nimos relativos. Ejercicios 1. Estudia la acotacin de las siguientes funciones: o 1 (a) y = 2x 1 (b) y = (c) y = 2x x2 x trazar su grca. a 3. Estudiar la paridad de las siguientes funciones: (b) f (x) = x3 , x 2 [2; 2]. (a) f (x) = x 2, x 2 (1; 2). (c) f (x) = x2 , x 2 (2; 1). x3 (d) f (x) = 4 ; x 2 R. x +1 (d) y = 1 2 + x4

2. Consideramos la funcin f (x) = x2 denida en [0; 1). Extenderla peridicamente a todo R y o o

4. Sea f (x) = x2 =2. Probar que la funcin es creciente en el intervalo I = [1; 5]. >Qu sucede o e en el intervalo J = [4; 1]? 5. >Cules son los mximos y m a a nimos absolutos y relativos de las funciones representadas en

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a las siguientes grcas? a

Tema 4. Hoja 37

a

x1

x2

x3

b

a

x1

b

a

b

4.2

Transformaciones elementales.

Sea f una funcin real de variable real. Nuestro objetivo en este apartado es analizar cmo se o o modica la grca de la funcin f cuando realizamos ciertos cambios en la misma. a o

f(x)

Traslaciones verticales. Sea a > 0. Consideramos las funciones y = f (x) + a e y = f (x) a. grca de la funcin f , hacia arriba en el primer caso y hacia abajo en el segundo. a o

La grca de cada una de estas funciones se obtiene trasladando verticalmente en a unidades la a

f(x)+a

f(x)-a

a a

La grca de estas funciones se obtiene por traslacin horizontal en a unidades de la grca de a o a

Traslaciones horizontales. Sea a > 0. Construimos las funciones y = f (x + a) e y = f (x a).


Tema 4. Hoja 38

la funcin f , hacia la izquierda en el primer caso y hacia la derecha en el otro. of(x+a) f(x-a)a a

Dilataciones y contracciones verticales. Consideramos ahora la funcin y = af (x), con a > 0. o La grca de esta funcin es una dilatacin vertical (si a > 1) o una contraccin vertical (si a o o o a 2 (0; 1)) de la grca de la funcin f . a oy=af(x)af(0)

y=af(x) a>1af(0)

a 0. En o este caso, la dilatacin o contraccin de la grca de la funcin f se produce horizontalmente, o o a o de forma que si a 2 (0; 1) se dilata y si a > 1 se contrae.f(ax) a>1 f(ax) a 0 las ramas van hacia arriba y si a < 0 hacia abajo. - Las abcisas de los puntos de corte de la parbola con el eje OX son las soluciones de la a ecuacin ax2 + bx + c = 0. Por tanto, el nmero mximo de puntos de corte con el eje OX es o u a


Tema 4. Hoja 44

de 2, pudiendo darse el caso de que exista slo 1 o incluso, ninguno. Con el eje OY la parbola o a siempre se corta en el punto P = (0; c). - En el vrtice la parbola presenta un mximo o m e a a nimo, segn sea a positivo o negativo. u b La abcisa del vrtice viene dada por x = . e 2a

Puntos de corte con OX y=ax +bx+c2

a>0

a0

y=k/xk 1 entonces la funcin es estrictamente creciente, converge a 0 cuando x tiende a 1 o

a

son simtricas e

y=a

x

y=a1 1

x

y=aa 1

1 y = a

x

Ejercicios 1. Representa grcamente las siguientes funciones exponenciales. a 4 x x (a) y = 675 (b) y = (c) y = 0:01x (d) y = 2:01x 5 2. Indica cules de las anteriores funciones son crecientes o decrecientes. a

Funcin logar o tmica. La funcin y = loga x, siendo a un nmero positivo distinto de 1, es o ula funcin inversa de la funcin exponencial y = ax , esto es, o o y = loga x; si y slo si x = ay : o As log2 8 = 3, log1=2 4 = 2, log7 7 = 1 y log5 1 = 0.

Como funcin inversa de la exponencial, se concluye que el dominio de la funcin logar o o tmica

es (0; +1) y su recorrido R. Queda claro entonces que no tienen signicado expresiones como

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a log2 (3), log2 0, log2 3, log1 8.

Tema 4. Hoja 47

Las propiedades de la funcin f (x) = loga x se obtienen de las propiedades de la correspono diente funcin exponencial. o - f (1) = 0, esto es, loga 1 = 0. - f (a) = 1, es decir, loga a = 1 1 1 -f = f (x), o lo que es lo mismo, loga = loga x. x x - f (xy) = f (x) + f (y), esto es, loga (xy) = loga x + loga y. - f (xy ) = yf (x), esto es, loga (xy ) = y loga x. Las bases ms usadas son a = 10 y a = e. Si no se indica la base, se entiende que es a = 10 y a se trata del logaritmo decimal; por ejemplo log 100 = 2. Para el caso a = e, se habla de logaritmo neperiano o logaritmo natural y se escribe de cualquiera de las siguientes maneras: loge x = ln x = L x :

La siguiente igualdad nos permite pasar de logaritmos en una base a los de otra: logb x = loga x loga b :

Teniendo presente que las grcas de una funcin y su inversa son simtricas respecto a la a o e recta y = x, podemos obtener la grca de la funcin logar a o tmica a partir de la correspondiente exponencial. De esta forma, tambin en este caso la base a condiciona la forma de la grca. e a - Si 0 < a < 1 la funcin f es estrictamente decreciente, tiende a +1 cuando x converge a o 0 (por la derecha) y tiende a 1 cuando x toma valores muy grandes. x ! +1 , la funcin tiende a +1. o respecto al eje OX. - Si a > 1 entonces es estrictamente creciente, y si x ! 0+ , la funcin tiende a 1 y cuando o Se tiene, adems, que las grcas de las funciones y = loga x e y = log1=a x son simtricas a a e

y=a y=loga xa >11

x

y=loga xa Cul es el dominio y el recorrido de esta funcin? a o (b) >Pasa por el punto (1,0)? >Y por el (10,1)? (c) >Es acotada inferiormente? >Y superiormente?

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a (d) >Qu ocurre cuando x ! 0+ ? >Y cuando x ! +1? e

Tema 4. Hoja 48

2. Representa grcamente las funciones y = log3 x e y = log9 x. Analiza las grcas y contesta: a a (a) >En el intervalo (1; +1) se verica log3 x > log9 x? (b) >Es cierta la expresin log3 x = 2 log9 x? o

Funciones circulares o trigonomtricas. Estas funciones se denen a partir de las razones etrigonomtricas. e o Funcin seno. La funcin seno f (x) = senx hace corresponder a cada valor x de un angulo, o medido en radianes, el valor del seno de dicho angulo. Las propiedades ms importantes de esta funcin trigonomtrica se recogen a continuacin. a o e o - Su dominio es R y su recorrido [1; 1]. - Es una funcin continua y acotada en R. o - Es una funcin impar y peridica de periodo 2. o o funcin toma el valor 1. o - Posee innitos mximos absolutos en los puntos de abcisa x = =2 + 2k, k 2 Z, donde la a - Asimismo presenta innitos m nimos absolutos en los puntos de abcisa x = =2 + (2k + 1), k 2 Z, donde la funcin toma el valor 1. o - Corta al eje OX en los puntos de abcisa x = k, k 2 Z.

- Se observa que no existe el l mite de la funcin cuando jxj ! 1. o

1

- 2p

- 3p 2

-p

-p 2 -1

p 2

p

3p 2

2p

Funcin coseno. La funcin coseno, f (x) = cos x, hace corresponder a cada valor x de un angulo, o o medido en radianes, el valor del coseno de dicho angulo. Las propiedades de la funcin coseno son anlogas a las de la funcin seno como indicamos o a o a continuacin. o - Su dominio es R y su recorrido [1; 1]. - Es una funcin continua y acotada en R. o - Es una funcin par y peridica de periodo 2. o o toma el valor 1. - Posee innitos mximos absolutos en los puntos de abcisa x = 2k, k 2 Z, donde la funcin a o

- Asimismo presenta innitos m nimos absolutos en los puntos de abcisa x = (2k + 1), k 2 Z, donde la funcin toma el valor 1. o

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a - Corta al eje OX en los puntos de abcisa x = (2k + 1) , k 2 Z. 2 - Se observa que no existe el l mite de la funcin cuando jxj ! 1. o

Tema 4. Hoja 49

1

-2p - 3p 2

-p

-p 2 -1

p 2

p

3p 2

2p

Funcin tangente. La funcin tangente, f (x) = tgx, hace corresponder a cada valor x de un o o a ngulo, medido en radianes, el valor de su tangente. Las principales propiedades de la funcin tangente son las siguientes: o - Est denida para todos los valores x 2 R que no anulan la funcin y = cos x, esto es, su a o dominio es el conjunto R n (2k + 1) ; k 2 Z . 2 - Es una funcin continua en su dominio y no est acotada, siendo R su recorrido. o a - Es una funcin estrictamente creciente en los intervalos de la forma (2k 1) ; (2k + 1) , o 2 2 a nimos. k 2 Z y no tiene mximos ni m

- Es una funcin impar y peridica de periodo . o o

- Corta al eje OX en los puntos de abcisa x = k, k 2 Z. ntotas verticales para la funcin. o - Las rectas de la forma x = (2k + 1) son as 2

- 5p2

- 3p 2

-p2

p 2

3p 2

5p 2

Ejercicio Representa e indica las caracter sticas ms notables de las siguientes funciones. a x (a) y = 3 + sen(2x): (b) y = 3 cos(4x): (c) y = tg . 4


Tema 4. Hoja 50

4.4

Ejercicios

1. Hallar el dominio de las siguientes funciones. p p x1 ; (c) f (x) = ln( x 3 1). (a) f (x) = x2 x ; (b) f (x) = x9 2. Analizar si las siguientes funciones son pares o impares. p (a) f (x) = jxj ; (b) f (x) = x2 + 1 ; (c) f (x) = x ; (d) f (x) = E(x), E(x) denota la funcin parte entera. o o a 3. Sea f una funcin denida en R, par y peridica de periodo 2. Adems, se conoce que o f (x) = 1 x, para x 2 [0; 1). Representa grcamente la funcin f . a o 4. (a) Si f y g son dos funciones peridicas del mismo periodo fundamental T , probar que o f + g y f g son peridicas de periodo T . >Es T el periodo fundamental de estas nuevas o funciones? (b) Demostrar que las funciones peridicas no son inyectivas. o 5. Estudiar el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones, as como los posibles mximos y m a nimos. (a) f (x) = jxj 1 ; (c) f (x) = x2 4 ; (b) f (x) = 1 ; jxj

(d) f (x) = x + jxj.8 x > < ;

6. Sea f la funcin dada por o f (x) =

Estudiar si esta funcin posee mximos y m o a nimos relativos y absolutos. 7. Justica de forma anal tica y grcamente, la veracidad o la falsedad de las siguientes a armaciones sobre la funcin f (x) = 2x + 1. o (a) f (x + 3) = f (x) + 3 ; (b) f (x + a) = f (x) + a ; (c) f (x) + a = f (x) + f (a) ;

1 x 2 ; 2 > 2(x 3)2 ; 2 < x 7 : : 2

(d) f (x + a) = f (x) + f (a) ; (e) f (ax) = af (x) : 8. El polinomio P (x) es de grado 5 y Q(x), de grado 3. >Cul es el grado de: P (x) + Q(x), a P (x)Q(x) y P (x)=Q(x)? (Suponiendo que P (x)=Q(x) sea un polinomio). 9. (a) Calcula el valor de m en el polinomio P (x) = x3 6x + m, sabiendo que al dividirlo por Q(x) = x + 2 da de resto 7 . polinomios? () (x2 3x + 5) : (x 1) ; () (x3 + 3x + 14) : (x + 2). (b) Sin efectuar las divisiones, >podr saber si son exactas los siguientes cocientes de as

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a 10. Factoriza los siguientes polinomios. (a) x3 + 4x2 3x 18 ; (b) 9x6 16x2 ;

Tema 4. Hoja 51

(c) x3 2x2 5x + 6 :

11. Calcular el cociente y el resto al dividir P (x) entre Q(x). (a) P (x) = 3x4 2x2 1, Q(x) = x2 3 ; (b) P (x) = 6x5 3x4 + x2 x, Q(x) = x2 2x + 1. (c) P (x) = x3 + 3x2 + 5x + 6, Q(x) = x + 1. 12. Hallar grca y anal a ticamente los puntos de interseccin de las parbolas y rectas siguieno a tes: (a) y = x2 2, y = 3x 4 ; (b) y = x2 + 4x 4, y = 3x 4 ; (c) y = x2 + 6x, y = 9.

13. Tomar logaritmos en las siguientes expresiones. a2 b3 c a 2 bc abc ; (b) x = 3 2 ; (c) x = p 2 : (a) x = mn m np a2 3 bc 3 14. Si 1 1 log a + 3 log b (log c + 2 log d) ; 2 3 expresar el valor de x en funcin de a, b, c y d. o log x =1

15. Demostrar la siguiente relacin o a b log(a2 b2 ) = log(ab) + log( ): b a 16. Encontrar la base del sistema de logaritmos en la que el logaritmo de 100 excede al logaritmo de 25 en 2 unidades. 17. Resolver las siguientes ecuaciones logar tmicas: (a) log(7x 9)2 + log(3x 4)2 = 2 ; (b) 2 ln x + 3 ln x = 5: 18. >En qu regin del plano situamos la grca de las siguientes funciones? e o a (a) y = ln(2x+3); (b) y = log2 jxj; (c) y = log(x2 x2); (d) y = log(1x)+log(x+1). h(x) = log8 x.

19. Representa grcamente las funciones logar a tmicas siguientes: f (x) = log2 x; g(x) = log4 x;

(a) Ordena de mayor a menor estas funciones en el intervalo (1; 1). (b) >Existe alguna relacin entre las funciones f y g? >Y entre f y h? o 20. Representa en una misma grca las funciones exponenciales y = a >Qu caracter e stica observas? x 3 x 2

2

e y =

3

.


Tema 4. Hoja 52

21. Representa grcamente las funciones: (a) y = 2x + 2x ; (b) y = 2x 2x . >Qu tipo de a e simetr presenta cada una? a 22. Representa las funciones y = log2 x e y = log1=2 x conjuntamente. >Observas alguna simetr a? 23. Representa en una misma grca las funciones y = 3x e y = log3 x. >Qu tipo de simetr a e a existe? >En cuntos puntos se cortan? a 24. Representa y estudia la simetr y periodicidad de las siguientes funciones: a (a) y = 3 + senx (b) y = tg(x + =4) (c) y = 2sen(2 x) (d) y = tg(x=4) (e) y =1 2

cos(2x)

(f) y = cos(2x =2):

4.5

Soluciones

1. (a) R n f(0; 1)g. (b) R n f9g (c) (4; 1). 2. Funciones pares: (a) y (b). 3. Grca de la funcin: a o

1

-3

-2

-1

1

2

3

5. (a) Estrictamente decreciente en (1; 0] y estrictamente creciente en [0; +1). No hay mximos y existe un m a nimo absoluto en (0; 1). (b) Estrictamente creciente en (1; 0) y estrictamente decreciente en (0; +1). No hay mximos ni m a nimos. (c) Estrictamente decreciente en (1; 0] y estrictamente creciente en [0; +1). No hay mximos y existe un m a nimo absoluto en (0; 4). (d) Constante en (1; 0] y estrictamente creciente en [0; +1). No hay mximos y tiene a innitos m nimos en los puntos de la forma (a; 0), con a 0. 6. No hay mximos. M a nimo relativo en (3; 0) y m nimo absoluto en (1; 0:5). 7. Son falsas: (a) y (d). Es cierta (c), slo cuando a = 1. (b) y (e) son ciertas cuando a = 0 o y a = 1, respectivamente, pero esto son los casos triviales. 8. El grado P (x) + Q(x) es 5, el de P (x)Q(x) es 8 y el de P (x)=Q(x) es 2.

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a 9. (a) m = 3. (b) () no es exacta y () s . 10. (a) P (x) = (x 2)(x + 3)2 . (b) P (x) = 3x2 (x2 + 4 )(x 3 (x 1)(x + 2)(x 3).p 2 3 3 )(x

Tema 4. Hoja 53

+

p 2 3 3 )

(c) P (x) =

11. (a) Cociente: 3x2 + 7, resto: 20. (b) Cociente: 6x3 + 9x2 + 12x + 16, resto: 19x 16. (c) Cociente: x2 + 4x + 1, resto: 5. 12. (a) P (2; 2) Q(1; 1) (b) P (0; 4) Q(1; 1) (c) P (3; 9).(a) (b)

2 1

P(2,2) -1 -1 -2 P(0,-4)

2 11 2 Q(1,-1)

-2

-1 -1 -2

1

2 Q(1,-1)

(c)

-6

-1

-1

P(-3,-9)

13. (a) log x = log a + log b log m log n. (b) log x = 2 log a + 3 log b + log c 3 log m log n 3 2 1 2 log p (c) log x = log a + log b + log c. 2 3 3 14. x = a1=2 b3 . c1=3 d2=3

16. a = 2. 17. (a) x = 2, x = 18. (a) En13 21 .

(b) x = e.

3 ; +1). (b) En R n f0g. (c) En (1; 1) [ (2; 1). (d) En (1; 1). 2

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a 19. (a) log2 x > log4 x > log8 x; x 2 (1; 1).

Tema 4. Hoja 54

(b) f (x) = 2g(x), f (x) = 3h(x). 20. Son simtricas respecto al eje OY . e

21. (a) Es par (simtrica respecto al eje OY ). (b) Es impar (simtrica respecto al origen). e e(a)

y=2 +2

x

-x

(b)

y=2 -2

x

-x

22. Son simtricas respecto al eje OX. ey=log2x

1

y=log1/2x

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a 23. Son simtricas respecto a la recta y = x. No se cortan en ningn punto. e u

Tema 4. Hoja 55

24. (a)

(b)

(c)

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a (d)

Tema 4. Hoja 56

(e)

(f)


Tema 5. Hoja 57

5

ALGEBRA MATRICIAL

Las matrices aparecen por primera vez hacia el a~o 1850, introducidas por el matemtico ingls n a e J.J. Sylvester (1814-1897). El desarrollo inicial de la teor se debe al matemtico y astrnomo a a o irlands W.R. Hamilton (1805-1865), y al ingls A. Cayley (1821-1895), quien utiliz en 1858 la e e o notacin matricial como una forma abreviada de representar un sistema de ecuaciones lineales. o Las matrices aparecen en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, a e o de las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. Adems las matrices aparecen a de forma natural en geometr estad a, stica, econom informtica, f a, a sica, ... y actualmente su utilizacin constituye una parte esencial de los lenguajes de programacin (arrays), ya que o o la mayor de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en las y a columnas : hojas de clculo, bases de datos,... a

5.1

Denicin de matriz o

Se llama matriz de orden m n a todo conjunto de m n elementos aij dispuestos en m l neas horizontales (llamadas las) y en n l neas verticales (llamadas columnas) de la forma:0 B B @

A=B

a11 a12 a21 a22 am1 am2

a1n a2n amn

1

C C C: A

Abreviadamente puede escribirse como A = (aij ) donde el sub ndice i var entre los valores 1 y a m y el sub ndice j var entre los valores 1 y n. Los sub a ndices indican la posicin del elemento o dentro de la matriz, el primero denota la la i y el segundo la columna j. Ejemplo: la matriz A= !

4 1 3 0 9 2

es de orden 3 2 donde a11 = 4, a12 = 1, a13 = 3, a21 = 0, a22 = 9 y a23 = 2. Obsrvese que denotamos las matrices con letras maysculas y que en el ejemplo anterior los e u elementos de la matriz son nmeros enteros. En estas notas trabajaremos en general con mau trices cuyos elementos sern nmeros reales o complejos pero existen matrices con elementos a u no numricos como por ejemplo la disposicin de los alumnos en una clase (las x columnas) e o o el horario de clases de un curso donde las las representan las franjas horarias, las columnas representan los d de la semana y los elementos de la matriz son las asignaturas. as


Tema 5. Hoja 58

Dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) son iguales cuando tienen el mismo orden y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales, es decir aij = bij para todo valor de i y de ! ! 4 a 4 1 j. Segn esta denicin, para que las matrices A = u o yB= sean iguales 9 7 9 b debe ocurrir que a = 1 y b = 7. Ejercicio: Determina si los siguientes pares de matrices son iguales: ! ! p 24 4 52 13 p14 12 + 164 6 p y 1. 9 7 16 9 49 22 2.143 2

3:5

3 1

!

y

5+21 6

1 2

3 1

!

Algunos tipos de matricesPodemos clasicar las matrices segn distintos criterios, como pueden ser su forma o las propiedades u de sus elementos. Atendiendo a la forma tenemos: Una matriz la es aquella que slo tiene una la: o A = (a11 a12 a1n ) : Ejemplo: los vectores en el plano real R2 o en el espacio real R3 se pueden interpretar como matrices las. Anlogamente una matriz columna es aquella que slo tiene una columna: a o a11 Ba C B C A = B 21 C : @ A am1 Una matriz cuadrada es aquella que tiene igual nmero de las que de columnas. En este u caso diremos que la matriz es de orden n, donde n es el nmero de las (y columnas). u Si A = (aij ) es una matriz cuadrada de orden n llamamos diagonal principal a los elementos aii donde i var entre 1 y n: a0 B B @ 0 1

A=B

a11 a12 a21 a22 an1 an2

a1n a2n ann

1 C C C A

diagonal secundaria a los elementos aij donde 1 i n y j = n + 1 i


Tema 5. Hoja 59

A=B

0 B B @

a11 a12 a21 a22 an1 an2

a1n a2n ann

1 C C C A

Ejemplo: los cuadrados mgicos, que son aquellas matrices cuadradas de nmeros enteros a u positivos cuya suma de los elementos de cada la, columna o diagonales es constante. Por ejemplo, el conocido como cuadrado mgico de Durero cuya constante es 34 y que aparece a en la esquina superior derecha de su grabado titulado Melancol a

0 B B B @

16 3 2 13 5 10 11 8 C C C 9 6 7 12 A 4 15 14 1

1

o el cuadrado mgico de la fachada de la pasin del Templo Expiatorio de la Sagrada a o Familia en Barcelona:0 B B B @ 1 C C C A

1 14 14 4 11 7 6 9 8 10 10 5 13 2 3 15

cuya constante es 33, la edad de Jesucristo en la Pasin. o Atendiendo a sus elementos tenemos: La matriz nula, ! se denota por O y cuyos elementos son todos cero, as por ejemplo que 0 0 0 O= es la matriz nula de orden 2 3. 0 0 0 La matriz identidad, que es una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y los restantes elementos son ceros: 1 0 0 B C I=@ 0 1 0 A 0 0 10 1

es la matriz identidad de orden 3.


Tema 5. Hoja 60

Matriz diagonal es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes importante destacar que en la denicin de matriz diagonal los elementos de la diagonal o principal pueden tomar el valor que se desee, nulo o no, as por ejemplo 0 1

a la diagonal principal son nulos. Obsrvese que toda matriz identidad es diagonal. Es e

1 0 0 B C @ 0 0 0 A 0 0 8 es una matriz diagonal. Matriz escalar es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales, como por ejemplo

3 0 0 3

!

:

Matriz triangular superior es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo triangular superior si aij = 0 para todo i < j, como por ejemplo0 B B B @

de la diagonal principal son nulos, es decir, si A = (aij ) es cuadrada de orden n, A ser a1

1 10 2 0 0 5 3 2 0 0 8 6 0 0 0 5

C C C: A

Matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima triangular inferior si aij = 0 para todo i > j, como por ejemplo0 B B B @

de la diagonal principal son nulos, es decir, si A = (aij ) es cuadrada de orden n, A ser a1

1 2 1 9

0 5 0 3

0 0 8 4

0 0 0 7

C C C: A

Matriz triangular es una matriz triangular inferior o superior. Obsrvese que los trminos matriz identidad, diagonal, escalar y triangular se reeren unicamente e e a matrices cuadradas. Adems toda matriz diagonal es triangular superior y triangular inferior. a

5.2

Traspuesta de una matriz

Dada una matriz A = (aij ) de orden m n, llamamos traspuesta de A, y se denota por At , a la donde bij = aji . As por ejemplo matriz de orden n m que se obtiene cambiando las por columnas en A, es decir, At = (bij )


Tema 5. Hoja 61

si

A=

1 4 2 12 5 0

!

1 12 B C entonces At = @ 4 5 A : 2 0

0

1

Obsrvese que dada cualquier matriz A se verica que (At )t = A. e

5.3

Matrices simtricas y antisimtricas e e

Llamamos matriz simtrica a toda matriz cuadrada A = (aij ) tal que aij = aji , es decir, si e A = At . Ejemplos de matrices simtricas son e0 B B B @ 1 C C C A

1 0 0 0

0 5 4 3

0 4 8 9

0 3 9 7

y

5 3 3 5

!

:

Llamamos matriz antisimtrica a toda matriz cuadrada A = (aij ) tal que aij = aji , es decir, e antisimtrica son nulos. e

si A = At . Como consecuencia de ello, los elementos de la diagonal principal de una matriz

Ejemplos de matrices antisimtricas son e0

0 3 10 B C 0 4 A @ 3 10 4 0 puede ser de varios tipos): 1 0 1 B C 1. A = @ 0 2 3 A 1 3 40 1 0 1

1

y

0 13 13 0

!

:

Ejercicio: Determina de qu tipo son las siguientes matrices (observa que una misma matriz e

17 0 0 B C 2. B = @ 0 17 0 A 0 0 17 3. D = B0 0 B B @

1 1 1 1

0 2 1 1

0 0 3 1

0 0 0 4

1 C C C A

1 1 0 B C 4. E = @ 1 0 2 A 0 2 3

1


Tema 5. Hoja 62

5.4

Operaciones con matrices

Hemos visto que los vectores los podemos identicar con matrices las. De igual forma que sumamos vectores y multiplicamos estos por un nmero podemos denir dichas operaciones u para las matrices: Suma de matrices Dadas dos matrices A = (aij ) y B = (bij ), del mismo orden m n, se dene la suma de A y B,0 B B @ 1

y se denota A + B, como la matriz (aij + bij ), es decir: a11 + b11 a12 + b12 a21 + b21 a22 + b22 am1 + bm1 am2 + bm2

A+B =B Si A =

a1n + b1n a2n + b2n amn + bmn

C C C: A !

1 4 1 2 3 7 1

!

yB=

7 3 3 2 16 2 8

!

entonces A + B =

8 1 2 13 9 7

.

En un contexto real podemos escribir por cada Centro de Ense~anza Secundaria de Canarias n la matriz cuadrada de orden 2 donde ordenamos los chicos y chicas de las dos modalidades de Segundo de Bachillerato. Si queremos saber el nmero de chicos y chicas por curso en los u Centros de Tenerife, basta con sumar las matrices asociadas a los centros sitos en dicha isla. La suma de matrices posee las siguientes propiedades: 1. Propiedad asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C. 2. Propiedad commutativa: A + B = B + A. 3. A + O = O + A = A. 4. (A + B)t = At + B t . donde A; B; C son matrices cualesquiera del mismo orden y O es la matriz nula de dicho orden. Producto de matrices por un nmero real u El producto de una matriz A = (aij ) por un nmero real k es la matriz (kaij ), que denotamos u kA, es decir, es la matriz del mismo orden que A cuyos elementos se obtienen multiplicando los elementos de A por el nmero k: u0 B B @ 1

kA = B

ka11 ka12 ka21 ka22 kam1 kam2

ka1n ka2n kamn

C C C: A

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a 1 14 3 42 B C B C Si A = @ 3 7 A entonces 3:A = @ 9 21 A. 0 1 0 30 1 0 1

Tema 5. Hoja 63

Retornando al ejemplo de los Centros de Secundaria en Canarias, si jamos uno de ellos y sabemos que el nmero de estudiantes aprobados por curso es el 70 por ciento de los matriculau u dos, multiplicando la matriz asociada a dicho Centro por 00 7 obtenemos el nmero de alumnos aprobados en cada especialidad de Bachillerato. Al nmero real k se le llama tambin escalar, y al producto de un nmero por una matriz, u e u producto de escalares por matrices. El producto de un nmero por una matriz posee las siguientes propiedades: u 1. k(A + B) = kA + kB. 2. (k + h)A = kA + hA. 3. k(hA) = (kh)A. 4. 1:A = A. 5. (k:A)t = k:At . donde A y B son matrices cualesquiera del mismo orden y h; k son nmeros reales. u Se llama matriz opuesta de la matriz A = (aij ) a la matriz que resulta de multiplicar el nmero u 1 por A y la denotamos A. 1 11 1 11 B C B C Si A = @ 30 17 A su matriz opuesta es A = @ 30 17 A. 0 21 0 21 Obsrvese que la suma de toda matriz con su opuesta es la matriz nula, es decir A + (A) = O. e Dadas dos matrices A, B del mismo orden llamamos diferencia de A y B, que escribimos A B, 0 1 0 1

a la suma de A con la matriz opuesta de B, es decir A B = A + (B). Si A = 1 4 1 2 3 7 1!

yB=

7 3 3 2 16 2 8

!

entonces A B =

6 7 1 19 5 9

!

.

El producto escalar y la suma de matrices verican las siguientes propiedades de simplicacin: o 1. A + C = B + C es equivalente a A = B, 2. kA = kB es equivalente a A = B si k es distinto de 0,

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a 3. kA = hA es equivalente a h = k si A es distinta de la matriz nula,

Tema 5. Hoja 64

donde A; B; C son matrices cualesquiera del mismo orden y h; k son dos nmeros reales. u Producto de matrices Dados dos vectores podemos multiplicarlos mediante el producto escalar: si (x; y; z); (x0 ; y 0 ; z 0 ) 2R3 su producto escalar se dene como

(x; y; z):(x0 ; y 0 ; z 0 ) = xx0 + yy 0 + zz 0 : Adems de la interpretacin geomtrica de dicho producto se pueden dar otras. Por ejemplo si a o e vamos de paseo y compramos 3 CD de msica a 15 euros cada uno, 2 libros de bolsillo a 90 5 u euros y 2 botellas de agua a 60 cntimos, podemos considerar (3; 2; 2) como vector compra y e (15; 90 5; 00 6) como vector precio, y el coste total de las compras de esa tarde fue: (3; 2; 2):(15; 90 5; 00 6) = 3 15 + 2 90 5 + 2 00 6 = 650 2 euros: Obsrvese que para poder denir el producto escalar los vectores deben tener el mismo nmero e u de componentes. El producto escalar se puede interpretar como el producto de una matriz la por una matriz columna: 0 1

x y z

x0 B 0 C : @ y A = xx0 + yy 0 + zz 0 : z0

Vamos a generalizar el producto a dos matrices no necesariamente las o columnas como el producto de todas las las de la primera por todas las columnas de la segunda ( en cul de las dos centros comerciales comprar a amos los tres discos ms baratos? Para a resolver la cuestin basta multiplicar: o 0 1

00 9 00 85 00 88

y concluimos que ahorramos dinero comprando en el primer centro comercial. El producto de matrices posee las siguientes propiedades: 1. Si A; B; C son matrices tales que A:B y B:C estn denidas, entonces A:(B:C) y (A:B):C a tambin estn denidas y A:(B:C) = (A:B):C. e a 2. Si A; B; C son matrices tales que A:B y B + C estn denidas, entonces A:(B + C) y a A:B + A:C tambin estn denidas y A:(B + C) = A:B + A:C. e a 3. Si A; B; C son matrices tales que A + B y A:C estn denidas, entonces (A + B):C y a A:C + B:C tambin estn denidas y (A + B):C = A:C + B:C. e a e a 4. Si A; B son matrices tales que A:B est denida, entonces B t :At tambin est denida y a (A:B)t = B t :At . 5. Si A es una matriz cuadrada de orden n e In es la matriz identidad de orden n entonces A:In = In :A = A.

15 12 B C @ 12 14 A = 310 62 350 9 9 15

Aunque muchas de las propiedades de las operaciones con nmeros reales se verican tambin u e en las operaciones de matrices, existen otras, como las que presentamos a continuacin, que no o se verican: 1. El producto de matrices no verica la propiedad conmutativa: ! ! ! ! ! !

1 2 9 5

:

5 1 2 4

=

9 9 55 29

= 6

14 15 38 24

=

5 1 2 4

:

1 2 9 5

.

2. Si A:B = A:C, no podemos deducir que B = C:

1 2 2 4

!

:

1 1 2 3

!

=

1 2 2 4

!

:

3 3 1 1

!

pero

1 1 2 3

!

= 6

3 3 1 1

!

.


Tema 5. Hoja 66

3. Si A:B = 0, no tiene por qu ocurrir que A o B sean iguales a la matriz nula: e 1 1 2 2 nula. !

:

1 1 1 1

!

=

0 0 0 0

!

pero ni

1 1 2 2

!

ni

1 1 1 1

!

son la matriz

En el conjunto de las matrices cuadradas podemos denir la potencia de matrices de la forma siguiente: si A es una matriz cuadrada y n es un nmero entero positivo denimos An como u el producto de n veces la matriz A por ella misma, es decir, An = A:A: : : : A. Obsrvese que e | {z } An = An1 :A.n veces

Adems se tiene en general que: a 1. (A + B)2 es distinto de A2 + 2AB + B 2 , 2. (A B)2 es distinto de A2 2AB + B 2 , 3. (A + B)(A B) es distinto de A2 B 2 . Ejercicios.1. Encuentra matrices que conrmen las tres armaciones anteriores. 2. Consideramos las siguientes matrices: A=

4 2 7 0

!

; B=

3 1 6 8 2 1

!

2 3 7 4 B C B C ; C = @ 12 6 5 A ; D = @ 1 A : 1 3 6 5

0

1

0

1

Justica si las siguientes operaciones estn bien denidas y realiza aquellas que s lo estn: a a A2 , A:B, B:A, 5D, 3C 7D, B.

5.5

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen frecuentemente en diferentes campos de la ciencia en general y de las matemticas en particular, como muestran los siguientes ejemplos tomados a del Bachillerato de Ciencias. El primer ejemplo procede de la F sica: imagina que viajas en avin entre dos ciudades que distan o 2200 kilmetros. Si el vuelo de ida, con viento en contra, dura tres horas y el de regreso ese o mismo d con viento a favor, dura 2 horas y media, > cual era la velocidad del avin (respecto a, o del suelo) y la velocidad del viento, suponiendo que ambas son constantes? Si denotamos por x


Tema 5. Hoja 67

la velocidad del avin y por y la del viento, el problema se reduce a resolver el siguiente sistema o de ecuaciones: 3(x y) = 2200 5 2 (x + y) = 2200)

El segundo ejemplo nos viene de la Qu mica: Si mezclamos, bajo condiciones controladas, tolueno C7 H8 con cido n a trico HN O3 podemos producir trinitrotolueno C7 H5 O6 N3 (ms conocido a como TNT) con un excedente de agua. > En qu proporcin debemos mezclar los diferentes e o componentes para obtenerlo? Si recordamos el principio general que nos dice que el nmero de u a tomos de cada componente antes de la mezcla debe ser el mismo que despus de la mezcla, el e diagrama de nuestro ensayo es xC7 H8 + yHN O3 lo que nos da el sistema: 7x 8x + 1y 1y 3y = = = = 7z 5z + 2w 3z 6z + 1w9 > > > = > > > ;

!

zC7 H5 O6 N3 + wH2 O

Contestar a las preguntas de los ejemplos anteriores requiere resolver un sistema de ecuaciones, donde en ninguna ecuacin aparecen potencias de las variables que sean superiores a o uno. Mostraremos un mtodo, conocido como Mtodo de Gauss, en honor de Carl Friedrich e e Gauss (1777-1855), que nos permitir resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. a Se llama ecuacin lineal en las variables x1 ; : : : ; xn con coecientes en R a toda ecuacin de la o o forma a1 x1 + : : : + an xn = b (4)

donde a1 ; : : : ; an 2 R son los coecientes de la ecuacin y b 2 R es el trmino independiente de o e la misma. Una n-upla (s1 ; : : : ; sn ) 2 Rn es una solucin de (o satisface, o verica) la ecuacin (??) si o o a1 s1 + a2 s2 + + an sn = b. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto nito de ecuaciones lineales de la forma: a11 x1 + : : : + a1n xn = b1 a21 x1 + : : : + a2n xn = b2 . . . . . . am1 x1 + : : : + amn xn = bm9 > > > > = > > > > ;

y diremos que tiene por solucin a (s1 ; : : : ; sn ) 2 Rn si la n-upla es solucin de todas las o o ecuaciones que forman el sistema.

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a Ejemplo.- El par (2; 0) es solucin del sistema o 2x1 + x2 = 4 3x1 + x2 = 6)

Tema 5. Hoja 68

sin embargo (0; 2) no es solucin del mismo. Podemos interpretar el resultado de forma geomtrica: o e cada ecuacin del sistema se corresponde con la ecuacin de una recta en el plano. Decir o o L2 3x1 + x2 = 6 se cortan en un unico punto del plano, el punto (2; 0): que el par (2; 0) es solucin del sistema equivale a decir que las rectas L1 2x1 + x2 = 4 y o

Sabemos geomtricamente que dos rectas en el plano o bien son secantes, como nuestro ejemplo, e o bien paralelas o bien son coincidentes. Algebraicamente, la armacin anterior se reduce a o decir que un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas o bien tiene una unica solucin, o o o ninguna o innitas:

Diremos que un sistema de ecuaciones es incompatible si no admite ninguna solucin. En caso o contrario diremos que es compatible. Los sistemas compatibles a su vez pueden tener una unica solucin, en cuyo caso diremos que es compatible determinado, o ms de una solucin que deo a o nominaremos compatible indeterminado. Diremos que dos sistemas con el mismo nmero de incgnitas son equivalentes si tienen el mismo u o conjunto de soluciones.


Tema 5. Hoja 69

Resolver un sistema consiste en encontrar el conjunto de sus soluciones. El Mtodo de Gauss es e un algoritmo que permite resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. En l neas generales, este mtodo consiste en transformar el sistema de ecuaciones lineales que tenemos de partida en e otro de tal forma que tenga el mismo conjunto de soluciones, es decir en un sistema equivalente, pero que sea ms fcil de resolver. Por ejemplo si tomamos el sistema a a 3x3 = 9 > = x1 + 5x2 2x3 = 2 > 1 ; 3 x1 + 2x2 = 39

podemos transformarlo sucesivamente de la siguiente forma, que nos ser ms fcil de resolver: a a aPermutamos la primera con la tercera ecuacin o

x1 +

1 3 x1 5x2

Multiplicamos la primera ecuacin por 3 o

Sumamos a la segunda ecuacin la primera multiplicada por 1 o 9 x1 + 6x2 = 9 > =

x1 + 6x2 = 9 > = x1 + 5x2 2x3 = 2 > 3x3 = 9 ;

+ 2x2 = 3 > = 2x3 = 2 > 3x3 = 9 ;9

9

y podemos resolver el ultimo sistema despejando las variables de abajo hacia arriba. As de la ultima , ecuacin obtenemos x3 = 3, que sustituido en la segunda ecuacin nos da x2 = 1 y sustituyendo por o o o ultimo en la primera ecuacin, obtenemos x1 = 3, y por tanto el sistema tiene una unica solucin que es o la terna (3; 1; 3).

x2 2x3 = 7 > 3x3 = 9 ;

Los diferentes sistemas de ecuaciones que van apareciendo son equivalentes, es decir, todos tienen el mismo conjunto de soluciones, gracias al siguiente teorema: Teorema.- Si transformamos un sistema de ecuaciones lineales en otro utilizando alguna de las siguientes operaciones: 1. Se permuta una ecuacin por otra. o 2. Se multiplica una ecuacin por una constante no nula. o 3. Se sustituye una ecuacin por la suma de ella con un mltiplo de otra ecuacin o u o entonces ambos sistemas tienen el mismo conjunto de soluciones. Las tres operaciones del teorema anterior se denominan operaciones elementales u operaciones de Gauss, y son conocidas por permutacin, multiplicacin por un escalar y pivotacin, respeco o o tivamente.


Tema 5. Hoja 70

Obsrvese que dichas operaciones tienen restricciones. As por ejemplo, est prohibido multie , a plicar por el escalar nulo pues cambia el conjunto de soluciones del sistema. De la misma forma mismo efecto que multiplicar la ecuacin por cero. o Por simplicar denotaremos: la permutacin de la i-sima ecuacin por la ecuacin j-sima como Fi $ Fj , o e o o e la multiplicacin de la i-sima ecuacin por el escalar no nulo como Fi , o e o la pivotacin de la i-sima ecuacin mediante el escalar y la j-sima ecuacin por Fi +Fj . o e o e o Utilizando transformaciones elementales todo sistema de ecuaciones lineales se transforma en un sistema equivalente triangular, que ser ms fcil de resolver. a a a Un sistema de ecuaciones lineales queda determinado por sus coecientes y sus trminos ine dependientes. Dichos nmeros podemos escribirlos en dos matrices, la matriz formada por los u coecientes se denomina matriz del sistema y si a sta le a~adimos una columna con los trminos e n e independientes, se obtiene la matriz ampliada, ms concretamente la matriz asociada al sistema a a11 x1 + : : : + a1n xn = b1 a21 x1 + : : : + a2n xn = b2 . . . am1 x1 + : : : + amn xn = bm es0 B B B B @ 1 C C C C A 9 > > > > = > > > > ;

est prohibido sustituir una ecuacin por ella menos el producto de ella por 1 pues tiene el a o

(5)

a11 a21 . . .

a12 a22 . . .

a1n a2n . . .

am1 am2 amn a12 a22 . . . a1n a2n . . .

y su matriz ampliada es

0 B B B B @

a11 a21 . . .

am1 am2

Podemos reescribir el sistema (??) usando su matriz asociada y el producto de matrices de la forma siguiente:0 B B B @

1 b 1 C b2 C . C: . C . A amn bm 1 0 C B C B C:B A B @ 1

a11 a12 a21 a22 am1 am2

a1n a2n amn

x1 x2 . . . xn

que se conoce como escritura matricial del sistema en cuestin. o

C B C B C=B C B A @

0

b1 b2 . . . bm

1 C C C C A

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a Si retornamos al sistema9

Tema 5. Hoja 71

tenemos que su matriz asociada y su matriz ampliada son0

3x3 = 9 > = x1 + 5x2 2x3 = 2 > 1 ; 3 x1 + 2x2 = 31

respectivamente y la escritura matricial del sistema es:0 1 0 1

0 0 3 B C 1 5 2 A @ 1 0 3 2

y

0

0 0 3 B 1 5 2 @ 1 0 3 20

1 9 C 2 A 3 1

0 0 3 x1 9 B C B C B C @ 1 5 2 A : @ x2 A = @ 2 A : 1 0 x3 3 3 2 Obsrvese que podemos realizar a las las de la matriz ampliada las mismas transformaciones e que hicimos al sistema para resolverlo y obtenemos:0 0 1 0 1 9 F $F C 1 3 B 3 2 A @ 1 ! 3 0 1

1 6 0 9 B C 0 1 2 7 A @ 0 0 3 9

0 0 3 B @ 1 5 2 1 0 3 2

2 0 3 1 6 0 9 3F1 C B C 5 2 2 A @ 1 5 2 2 A ! 0 3 9 0 0 3 9

1

0

1

F2 +(1)F1

!

siendo la ultima matriz, la matriz ampliada del sistema x1 + 6x2 = 9 > = x2 2x3 = 7 > 3x3 = 9 ;9

que resolvimos fcilmente. a

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales es homogneo si todos sus trminos independientes e e son nulos, es decir, si bi = 0 para todo valor de i. Los sistemas homogneos son siempre compatibles pues admiten la solucin (0; : : : ; 0), pero e o pueden ser determinados o indeterminados. Como veremos a continuacin las transformaciones elementales sern de utilidad en otros cono a textos. Obsrvese que toda transformacin elemental es reversible, es decir, que si el sistema S es e o equivalente al sistema R por una operacin elemental entonces existe una operacin elemental o o que transforma el sistema R en el sistema S.

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a Ejercicios.1. Usa el mtodo de Gauss para resolver los sistemas: e (a) 2x + 3y = 13 x y = 1)

Tema 5. Hoja 72

(b)

2. Hay otros mtodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales adems del mtodo de e a e Gauss. Uno de ellos, visto en la Educacin Secundaria, consiste en despejar una variable en o una ecuacin y sustituirla en las otras ecuaciones. Este paso se repite hasta que conseguir o una ecuacin con una unica incgnita, de la cual despejamos su valor y aplicamos entonces o o sustitucin ascendente. Este mtodo conlleva en general ms operaciones y por tanto la o e a probabilidad de equivocarse es mayor. Para ilustrar lo anterior tomamos el ejemplo x + 3y = 1 > = 2x + y = 3 > 2x + 2y = 0 ;9

xz =0 > = 3x + y = 1 > x + y + z = 4 ;

9

(a) Despeja x de la primera ecuacin y sustityela en la segunda ecuacin. Encuentra el o u o valor de y. (b) Sustituye el valor de x de la primera ecuacin en la tercera y encuentra el valor de y. o (c) >Deducimos de lo anterior que el sistema tiene solucin? > Qu nuevo paso debemos o e dar para concluir correctamente que el sistema no tiene solucin? o 3. Recuerda las propiedades elementales de la trigonometr para deducir, utilizando el a mtodo de Gauss, si el siguiente sistema tiene solucin: e o 2sen cos + 3tg = 3 > = 4sen + 2 cos 2tg = 10 > 6sen 3 cos + tg = 9 ;9

>Quines son las incgnitas del sistema? e o

4. > Los sistemas que resultan de problemas de reacciones qu micas, como el del ejemplo del TNT, deben tener innitas soluciones? > Qu informacin nos proporcionan las soluciones e o de dichos sistemas? 5. > Hay algn sistema lineal con dos incgnitas cuyo conjunto de soluciones sea todo el plano u oR2 ?

6. > Hay alguna operacin elemental que sea redundante, es decir, que se pueda obtener de o otras operaciones elementales?


Tema 5. Hoja 73

5.6

Determinantes y sus propiedades.

En este apartado asociaremos a toda matriz cuadrada A un nmero real, llamado determinante u interpretacin geomtrica y su uso en el algebra lineal. o e Determinante de una matriz cuadrada de orden 2: Si A =

de A, que denotaremos jAj. Estudiaremos expl citamente la forma de calcularlos as como su

a11 a12 a21 a22

!

es una matriz 2 2, calculamos su determinante como a jAj = 11 a21

a12 a22

= a11 a22 a12 a21 :

Por ejemplo el determinante de la matriz A =

Geomtricamente el determinante de A, en valor absoluto, coincide con el area del paralelogramo e que determinan las las de A vistas como elementos de R2 . En efecto el area del paralelogramo que determinan los vectores (a11 ; a12 ) y (a21 ; a22 ) coincide con el area de cualquier otro paralel ogramo que tenga la misma base y la misma altura que el anterior. Obtenemos entonces un segundo paralelogramo trasladando el primer vector hasta intersectar el eje x y el segundo vector hasta intersectar el eje y. Algebraicamente dicha traslacin consiste o en hacer dos transformaciones elementales sobre las las: si ningn vector est sobre el eje y, u a an a11 y a12 son distintos de cero y las transformaciones consistir en sumar a la segunda la la segunda de tal forma que la componente de la matriz que ocupa la la primera y la columna vector hasta el otro eje. Veamos esto en el ejemplo anterior: 1 7 1 jAj = = 2 8 0

1 7 jAj = = 1 8 (2) 7 = 8 + 14 = 22: 2 8

1 7 2 8

!

es

primera la multiplicada por a12 y luego a la primera la le restamos una proporcional a la a11

segunda sea cero. Si uno de los vectores ya est sobre uno de los ejes basta trasladar el otro a

7 22

= 22:

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a Determinante de una matriz cuadrada de orden 3: a11 B Si A = @ a21 a31 conocida como0

Tema 5. Hoja 74

a12 a22 a32 regla

a13 C a23 A es una matriz 3 3, calculamos su determinante, utilizando la a33 de Sarrus, en honor al matemtico francs Pierre Frdric Sarrus (1798a e e e

1

1861) que la hizo expl cita en su art culo Nouvelles mthodes pour la rsolution des quations e e e publicado en Estrasburgo en 1833: a 11 jAj = a21 a31

a12 a13 a22 a23 a32 a33

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32 :0 1

1 1 0 B C 8 2 A es Por ejemplo el determinante de la matriz A = @ 2 4 6 7

El determinante de una matriz de orden tres se puede interpretar como el volumen del paralelep pedo determinado por sus tres las. Determinante de una matriz cuadrada de orden n: Calcularemos el determinante de una matriz cuadrada de orden n mediante recurrencia utilizando el concepto de menor complementario. Se llama menor complementario de un elemento aij de una matriz A = (aij ) de orden n n al

1 1 0 jAj = 2 8 2 = 1 8 7+ 1:(2) 4 + 0:(2):(6) 0 8 4 1:(2) 7 1:(2):(6) = 50: 4 6 7

columna j de la matriz original, y se denota por Mij . Se llama adjunto del elemento aij , y lo denotaremos Aij a: Aij = (1)i+j Mij : Si en una matriz cuadrada A = (aij ) cada elemento se sustituye por su adjunto, se obtiene una matriz del mismo tama~o que se llama adjunta de A, y que se denota por adjA. n Calculamos un determinante de una matriz cuadrada de orden n n, a partir del desarrollo por

determinante de la matriz de orden (n 1) (n 1) que se obtiene al suprimir la la i y la

las o columnas siguiente: a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann

= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + : : : ain Ain = a1j A1j + a2j A2j + : : : anj Anj ;

Curso Introductorio a las Matemticas Universitarias. a para todo 1 i; j n.

Tema 5. Hoja 75

1 1 0 B C Retornando al determinante de la matriz A = @ 2 8 2 A, si desarrollamos por la primera 4 6 7 la se tiene: 1 1 0 8 2 2 2 2 1+1 1+2 1+3 8 2 = (1) 1 1 0 2 + (1) + (1) 6 4 4 7 7 4 6 7 :

0

1

8 6

Obsrvese que el nmero de sumandos obtenidos al desarrollar un determinante crece rpidamente e u a al aumentar el orden de la matriz. As los determinantes de matrices de orden 4 tienen 24 , trminos, los de orden 5 tienen 120, y en general los de o

Introduccion Matematicas universitarias

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