Introduccion Al Metodo Diferencial Con Elementos Finitos

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OFICINA DE CONFIABILIDAD - K3333OFICINA DE CONFIABILIDAD - K3333

DIPLOMADO DE MANTENIMIENTO PREDICTIVO

MÓDULO V - ELEMENTO FINITO, INTRODUCCIÓN

DR. GABRIEL ANGEL CARRILLO [email protected]

noviembre, 2006


OFICINA DE CONFIABILIDAD - K3333ELEMENTO FINITO, INTRODUCCIÓN.


HISTORIA DEL MEF.

El método de elemento finito (MEF), es un poderoso recurso en el proceso del análisis númerico basado en los principios de la mecánica clásica.

El método fue originalmente desarrollado para resolver problemas de tipo estructural, sin embargo debido a la naturaleza de la teoría en la que esta basado, es posible su aplicación en la solución de problemas de otros campos de la ingeniería, tales como térmicos, de fluidos, de magnetismo, alta frecuencia, eléctricos y últimamente se aplica en la investigación de carácter médico.

El concepto de aproximación en partes está muy lejos de ser nuevo, en realidad los primeros estudios de geometría usaron elementos finitos para determinar un valor aproximado de π.

Se dice que Arquímedes usó estas ideas para determinar las áreas de figuras planas y volúmenes de sólidos, aunque por supuesto él no tenía un concepto preciso de un procedimiento limitante, como lo es el MEF.

La escuela francesa de Navier y St. Venant, logran grandes avances sobre la teoría de elasticidad, misma que sirve de referencia a Maxwell, Castigliano y Mohr, para su análisis de estructuras entre los años de 1850 y 1875.

En 1920 Maney en Estados Unidos y Ostenfeld en Dinamarca, desarrollan ideas básicas del análisis de desplazamiento de incógnitas que sirven a los conceptos de análisis estructural matricial, tan en uso hoy en día.




Hasta 1932 Hardy Cross, presenta el método de distribución de momentos, mismo que hace posible la solución de problemas de análisis estructural. El uso moderno de elementos finitos, realmente se inició con Hrennikoff(1941) y Mchenry (1943), quienes desarrollaron analogías entre elementos discretos como barras y vigas.

Dichos métodos fueron usados en los años cuarentas para el diseño estructural de aviones.

El concepto de modelar un sistema como una colección de piezas discretas fue presentado en 1943 por Courant.

Este último paso formó la base matemática del método de elemento finito, por lo que en 1956 M. J. Turner, R.W. Clough, Martín y Topp, presentan el primer tratamiento del método de rigidez directo; ellos aplicaron las técnicas a modelos de vigas y estructuras como elementos discretos y usaron métodos de soluciones matriciales.

La terminología actual de elemento finito fue presentada en 1960, en una publicación titulada “El método del Elemento Finito en Análisis de Deformación Plana”, su autor R. W. Clough.

Se debe mencionar que un punto importante para el desarrollo del método, lo representan la aparición y desarrollo de las computadoras digitales; y que el concepto fundamental del método de elemento finito, es que cualquier cantidad continua, tal como temperatura, presión o desplazamientos, pueden ser aproximados por un modelo discreto compuesto de un conjunto de funciones continuas, en partes definidas sobre un número finito de subdominios. Las funciones continuas en partes se definen usando valores de cantidades continuas en un número finito de puntos en su dominio.




DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MEF.

En general el método de elemento finito (MEF), es un método sistematizado para resolver ecuaciones diferenciales parciales, generalmente estas son del tipo elíptico. Cuando se utilizan cualesquiera de los programas comerciales que existen sobre elemento finito para resolver problemas reales, es posible modelar y resolver problemas de varias especialidades, entre los que se encuentran los estructurales, térmicos, de fluidos, de magnetismo, alta frecuencia y eléctricos.

La solución de problemas continuos por el método de elemento finito, sigue un proceso ordenado. En seguida se describen en términos generales los pasos usados en este proceso.

1.- Discretización del continuo.

El dominio total del problema se divide en subdominios simples llamados elementos, ver figura 1.En problemas de dos dimensiones el dominio total se divide en triángulos o paralelogramos de lados rectos, o bien triángulos o cuadriláteros de lados curvos. Con elementos de lados rectos se puede lograr una buena aproximación del dominio con una discretización fina; sin embargo; con elementos de lados curvos la aproximación del dominio es aún mejor.

En problemas de tres dimensiones el dominio se discretiza con elementos en forma de tetrahedros, cubos o elementos con superficies curvas. Algunos de estos elementos se muestran en la figura 2.




2.- Funciones de forma.

Para cada elemento se selecciona una aproximación de la función buscada. La función buscada puede ser la distribución de temperatura en problemas de transferencia de calor, o bien, el campo de desplazamientos en problemas de elasticidad. Para problemas unidimensionales las funciones de forma Ne (x) son polinomios de primero, segundo o tercer orden.

Para problemas de dos dimensiones las funciones Ne (x,y) son polinomios lineales, cuadráticos o de orden mayor. La función por aproximar u(x,y), (por ejemplo la distribución de temperatura en una región dada de un horno), puede expresarse a través de las variables nodales del elemento mediante una combinación lineal de las funciones de forma con las variables nodales como coeficientes.

Si sólo los valores de la función en los nodos, ui(e), son tomados como variables, la aproximación para

elemento bidimensional e con n nodos tiene la forma:

n

ue (x,y) = Σ ui(e) Ni

e (x,y) --- ec. 1i=1




3.- Ensamble y solución.

El MEF trabaja con la formulación variacional del problema, esto es, una expresión matemáticamente equivalente a la ecuación diferencial que gobierna el problema. Sustituyendo la ec. 1 de aproximación del punto 2 anterior, en la formulación variacional obtenemos un sistema lineal de ecuaciones de la forma:

[Ke] {ue} = {be} para el elemento e.

Considerando la contribución de cada uno de los elementos en que se ha dividido el dominio original se obtiene el sistema global de ecuaciones:

[K] {u} = {b} --- ec.2

donde: [K] es llamada la matriz de rigidez y {b} vector de fuerzas; el vector de incógnitas {u} son las variables nodales y contienen el valor de la función en los puntos nodales.

Una vez aplicadas las condiciones de frontera podemos resolver la ec. 2, para obtener nuestra solución aproximada de u(x,y) en los puntos nodales.




PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES.

Partimos del conocimiento de las tres formulaciones equivalentes para un problema dado, P1 diferencial, P2 débil, y P3 variacional.

1.- Barra elástica

Formulación de los problemas P1, P2, P3

Consideremos una barra de material homogéneo de longitud L y sección transversal constante A mostrada en la figura 3. Las fuerzas axiales están simétricamente ubicadas respecto del eje centroidal. La fuerza q(x) es una fuerza de cuerpo por unidad de longitud. La única componente del esfuerzo distinta de cero es σx = σx(x). Aplicando la condición de equilibrio al elemento diferencial de la figura 3, obtenemos:

-σxA + (σx + d σx)A + q dx = 0

dividiendo entre dx y tomando el límite cuando dx-- 0, obtenemos:

dA ----- σx + q = 0 --- ec. 3

dx




Sabemos que la relación desplazamiento-deformación es: duεx = ----- --- ec. 4

dxdonde u = u(x) es el desplazamiento horizontal de la barra. Asumiendo que el material de la barra es linealmente elástico, la ley de Hooke establece que:

σx = E εx --- ec. 5

sustituyendo la ec. 4 en 5 y el resultado en 3, obtenemos: duσx = E -----

dxla ecuación diferencial se escribe:

d2uEA -------- + q(x) = 0

dx2

Esta es la ecuación diferencial que describe el desplazamiento axial de la barra y ha sido obtenida de la condición de equilibrio de la barra. Quedan pendientes las condiciones de frontera.

Una vez formulado el problema, sabemos que podemos usar P2 y P3 puesto que son soluciones equivalentes. Hagamos un rápido recordatorio de las formulaciones antes mencionadas.




Con estas formulaciones deseamos encontrar u(x), tal que se satisfaga la siguiente ecuación diferencial y condiciones de frontera:

P1. Formulación diferencial:d2u

EA -------- + q(x) = 0 para: 0 < x < L dx2 u (0) = 0

EAu´(L) = PL

P2. Formulación débil(Principio del desplaza-miento virtual).

con: δu (0) = 0u (0) = 0

P3. Formulación variacional(Principio de mínima energía δπ = 0potencial). con: δu (0) = 0

u (0) = 0

E A⋅0

L

xu´ δu´⋅⌠⎮⌡

d⋅0

L

xq x( ) δu⋅⌠⎮⌡

d PL δu L( )⋅+:=

π12

E⋅ A⋅0

L

xu´ x( )( )2⌠⎮⌡

d⋅0

L

xq x( ) u x( )⋅⌠⎮⌡

d− PL u L( )⋅−:=




Continuamos con la discretización de la barra en elementos:

Sea m el número de elementos de la barra los cuales tienen n nodos cada uno, la consideración básica del MEF es aproximar la función incógnita u(x) en cada elemento mediante polinomios de interpolación de la siguiente forma:

ue(x) = u1e N1

e(x) + u2e N2

e(x) + ... + une Nn

e(x) --- ec. 6

donde uie son los desplazamientos nodales y Ni

e(x) son llamadas funciones de forma o polinomios de interpolación. Se llaman así porque el desplazamiento ue (x) en cualquier punto interior x del elemento e, lo vamos a aproximar como una combinación lineal de los desplazamientos nodales. Es decir ue (x) se obtiene como una interpolación usando los desplazamientos nodales ui

e. Existe una función asociada a cada nodo con la propiedad de que Ni

e(x) evaluada en el nodo i es 1 y vale cero en cualquier otro nodo, es decir :

Nie(x) = { 1 en el nodo 1

0 en cualquier otro nodo }

En forma matricial la ec. 6 se escribe:ue(x) = Ne ue = ueT NeT

veamos en la siguiente hoja, la forma:




con: Ne = {N1e, N2

e,..., Nne} y ue = {u1

e

u2e

.

.

.un

e }

Para enfatizar, diremos que el MEF nos dará como solución una aproximación de la función u(x) solamente en los puntos nodales, es decir, nuestro objetivo será encontrar los coeficientes ui

e de la ecuación 6. Si deseamos conocer u(x) en un punto que no sea un nodo, tendremos que interpolar a través de la ecuación 6, usando valores nodales previamente calculados del elemento que contiene tal punto.

Funciones de forma.

La figura 4 muestra un elemento e cuyos nodos en los extremos tienen coordenadas x1e y x2

e. En este caso n = 2, es decir tenemos dos nodos por elemento y dos ecuaciones de forma. Para este elemento lineal la expresión general 6, se reduce a:

ue(x) = u1e N1

e(x) + u2e N2

e(x)




Los elementos de la matriz de rigidez y del vector de fuerzas del elemento e, son:

Kije = bi

e =

Las funciones de forma para el elemento lineal están dadas por los polinomios de primer grado siguientes:

N1e = N2

e =

donde: he = x2 - x1 y las condiciones de frontera son: N1(x1) = 1 N1(x2) = 0

N2(x1) = 0 N2(x2) = 1

x1

x2

xN i x( ) E⋅ A⋅ N´j⋅ x( )⌠⎮⌡

dx1

x2

xq N´i x( )⌠⎮⌡

d

1he

x2 x−( )⋅1

hex x1−( )⋅




Resolviendo las integrales para K11e , K12

e, K22e, y b1

e, b2e, tenemos las matrices siguientes:

[Ke] = {be} =

De lo anterior tenemos:E = módulo de YoungA = Areaq = carga total, distribuida igualmente en los dos nodos, y es constantehe = x2 - x1

Asimismo, se ha obtenido una solución variacional más sencilla de resolver, dado que se usan matrices, en lugar de utilizar y obtener la ecuación diferencial que resuelve el problema y que aparece en el acetato seis.

Incluso al cambiar la función de forma (polinomio de n-grados), es más sencillo obtener la variación de los coeficientes del mismo que resolver nuevamente para encontrar la nueva ecuación diferencial.

E A⋅he

1

1−

1−

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅q he⋅

2

1

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅




Aplicaciones de elemento finito:

- Para problemas unidimensionales de aproximación lineal, barra elástica.

- Para problemas unidimensionales de aproximación cuadrática, Transferencia de calor.

A ambos problemas se les dá solución aplicando la metodología del MEF, sin usar ningún software comercial.




Ejemplo de Elementos unidimensionales, aproximación lineal.

Determinar la deformación axial de la barra mostrada bajo su propio peso. Usar E = 200Gpa, A = 1m2, L = 4m y r = 7840 Kg/m3. Emplear dos elementos lineales.

u1 = 0

x

L u2 = 0.00096 mm

u3 = 0.00115 mmE, A La barra la dividimos en dos elementos iguales de

longitud h = 2m, por lo que tenemos tres nodos.

E,A




Los desplazamientos nodales serán u1, u2, y u3. De acuerdo a los resultados anteriores, la matriz de rigidez y el vector de fuerzas elementales son:

Donde tenemos que:

sustituyendo encontramos los valores de q1 y q2:

K 1200 10 9⋅ 1⋅

2

1

1−

1−

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:= K 2200 10 9⋅ 1⋅

2

1

1−

1−

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

b 1 q 1 2⋅

2

1

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:= b 2 q 2 2⋅

2

1

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

q 1 A ρgL

LL4

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=A ρg

q2 AρgL

L3 L⋅4

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=Aρg




Por lo que q1 = 57682.8

Por lo que q2 = 19227.6

Ya que en nuestra formulación asumimos que q era constante a lo largo del elemento, lo cual no es correcto, ya que varía linealmente con la distancia. Sin embargo, hemos tomado el valor de q en el centro de cada elemento como una buena aproximación.

Los vectores de desplazamiento nodales son: u1 = { u1 y u2 = { u2

u2} u3}

De acuerdo con lo anterior podemos proceder a ensamblar las matrices globales.

q1 7840⋅ 9.81⋅

44

44

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

q1 7840⋅ 9.81⋅

44

3 4⋅4

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=




Agregando la contribución de cada elemento a la matriz de rigidez global obtenemos:

y para el vector global de fuerzas obtenemos:

para finalmente obtener el sistema siguiente:

K

K11

K21

0

K12

K22 K11+

K21

0

K12

K22

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

b

b1

b2 b1+

b2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

S200 109⋅ 1⋅

2

1

1−

0

1−

2

1−

0

1−

1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅

u1

u2

u3

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅

57682.8

76910.4

19227.6

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅:=




La matriz de rigidez global K es singular puesto que no hemos impuesto aún las condiciones de frontera. La condición de frontera demanda que u1 = 0, esto se logra eliminando el primer renglón y primer columna de la matriz S anterior, y el primer renglón del vector b; por lo que nos lleva al sistema reducido siguiente:

Cuya solución es: u2 = 0.00096 mm

u3 = 0.00115 mm

Entonces la solución al problema esta dada, ya que hemos obtenido la deformación axial de la barra en los nodos propuestos (1, 2 y 3); y en los elementos 1 y 2.

S 100 109⋅2

1−

1−

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅u2

u3⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅76910.4

19227.6⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=




Ejemplo de Elementos unidimensionales, aproximación cuadrática.

Transferencia de Calor.

Una aleta de aluminio de sección rectangular, mostrada en la figura, es usada para remover calor de una superficie cuya temperatura es 100 °C.

La temperatura del medio ambiente es de 20 °C, la conductividad térmica del aluminio es de 168 W/mK, el coeficiente de convección natural es de 30 W/m2K.

La aleta tiene 80 mm de largo, 5 mm de ancho y 1 mm de espesor.

Determinar la distribución de temperatura a lo largo de la aleta usando el MEF con 2 elementos cuadráticos y 5 nodos.

Veáse la figura del problema en el acetato siguiente.




Ejemplo de Elementos unidimensionales, aproximación cuadrática.

Transferencia de calor

100 °Ct1 = 100 °C

xt2 = 75.26 °C

L t3 = 60.17 °C

t4 = 52.03 °C

t5 = 49.48 °CE, A

La aleta la dividimos en dos elementos iguales de longitud h = 40 mm, y definimos cinco nodos.

E,A




%Este programa resuelve el problema de la pag. 46 de los apuntes

K=[1 0 0 0 0;-.05504 .11968 -.05504 0 0;.00652 -.05504 .10184 -.05504 .00652;0 0 -.05504 .11968 -.05504;0 0 .00652 -.05504 .05092]b=[100 .192 .096 .192 .048]T=K\b'

x=[0 20 40 60 80]plot(x,T)title('Distribución de Temperaturas\theta^2')xlabel('x en milímetros')ylabel('T en ^°C')%Este comando es correctox1=0:10:80;alf=sqrt(30*.012/(168*.005*.001))T1=20+(100-20)*cosh(alf*.08*(1-x1/80))/cosh(alf*.08)plot(x1,T1)title('Solución exacta')plot(x,T,'--sr',x1,T1,'b')legend('sol.MEF','sol.exacta')




K =1.0000 0 0 0 0-0.0550 0.1197 -0.0550 0 00.0065 -0.0550 0.1018 -0.0550 0.0065

0 0 -0.0550 0.1197 -0.05500 0 0.0065 -0.0550 0.0509

b =100.0000 0.1920 0.0960 0.1920 0.0480

T =100.000075.266460.172452.033249.4812

x =0 20 40 60 80

alf =20.7020

T1 =100.0000 86.2129 75.2737 66.7119 60.1591 55.3336 52.0278 50.0995 49.4659




0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 04 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

1 0 0

s o l . M E Fs o l . e x a c t a




Entonces la solución al problema esta dada, ya que hemos obtenido la distribución de temperaturas en los cinco nodos propuestos, encontrando que el MEF es una excelente aproximación de la solución de la ecuación diferencial.

C o m p a r a c ió n d e la s o lu c ió n e x a c ta y la d e l M E F p a r a la d is t r ib u c ió n d et e m p e r a tu r a s e n la a le t a .

x ( m m ) T ° C p o r e l M E F T ° C p o r la e c u a c ió nd i f e r e n c ia l

E r r o r e n %

0 1 0 0 1 0 0 0

2 0 7 5 .2 6 7 5 .2 7 0 .0 0 9

4 0 6 0 .1 7 6 0 .1 5 0 .0 2 2

6 0 5 2 .0 3 5 2 .0 2 0 .0 1 0

8 0 4 9 .4 8 4 9 .4 6 0 .0 3 1

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