Introduccion Al Analisis Matematico de Una Variable Bartle Sherbert

BARTLE • SHERBERT

Introducción al Análisis Matemática de una Varia ~·

pertenece a: ángel díaz UNEFM Península de Paraguaná Estado Falcón - Venezuela

o SERIES 1 NF~NITAS

e SUCESIONES DE FUNCIONES

o LA INTEGRAL DE RIEl\1ANN

o D~ FERENCIACION

e L~IVHTES V CON.TINUIDAD

e SUCESIONES

o LOS NUIVIEROS REALES

(D REPASO DE LA TEORIA DE CON JUNTOS

Contenido de esta obra:

iNTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO DE UNA VARIABLE

~LIMUSA WILEY(ID

l rnivcrsídad del Este de Michigan t J 11 íversidad de Illinois

!{< >1~13l~T G. BARTLE 1 >< >NALD R. SHERBERT

St·~t11·1da edición

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IN~l1l{ODUCCION AL / /

/\N/\LISIS MATEMATICO 1)1~ UNA VARIABLE

HECHO EN MÉXICO ISBN 9681851919

7.2

CANIEM NúM. 121

© 2004, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDERAS 95, MÉXICO, D.F. C.P. 06040 17iffl; 8503 8050

01 (800) 706 9100 ~ 5512 2903 ffcl~ [email protected] ''1'' · www.nonega.com.mx

DERECHOS RESERVADOS:

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1 NTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO DE UNA VARIABLE

LA PRESENli'.\CIÓN Y DISPOSICIÓN EN CONJUNTO DE

COLABORADOR EN LA TRADUCCIÓN: RODOLFO PIÑA GARCÍA

VERSIÓN AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLÉS CON EL TÍTULO: INTRODUCTJON TO REAL ANALYSIS © JOHN WILEY & SONS, INC.

l ':11 :1 ( 'arolyn y Janice

El estudio del análisis real es de enorme valor para cualquier estudiante que quiera llegar más allá del manejo rutinario de fórmulas para resolver problemas comunes, ya que la capacidad para aplicar el pensamiento deductivo y analizar ejemplos complicados resulta esencial para modificar y extrapolar los conceptos a nuevos contextos. Además, los conceptos torales de límite y continuidad del análi sis real desempeñan un papel crucial en muchas áreas de la matemática y de sus aplicaciones. De hecho, la matemática se ha convertido en una herramienta indis pensable en muchos campos, incluyendo la economía y las ciencias de la adminis tración así como las ciencias físicas, la ingeniería y la ciencia de las computadoras, y el análisis real es uno de los pilares fundamentales de la matemática. Nuestra meta es ofrecer un libro de texto accesible para los estudiantes de estos campos que avance de manera gradual en los conceptos y las técnicas básicas del análisis real. A pesar de los múltiples retos que plantea, el análisis real demuestra su valor en el trabajo posterior dentro de la matemática y sus aplicaciones. Se restringe la atención aquí a las funciones de una variable; se remite a los lectores que deseen estudiar funciones de varias variables al libro Introducción al análisis matemático de Robert G. Bartle, publicado también por Editorial Limusa.

La primera edición de esta obra tuvo una excelente acogida y en esta segunda edición hemos conservado tanto su espíritu como el enfoque amistoso para el usua rio. Se revisó cada sección, se cambió de lugar a algunos temas y se agregaron algunos temas nuevos; estos cambios se describen a continuación. Los problemas fueron objeto de una revisión total, siendo el resultado la modificación de algunos ejercicios y la incorporación de un número considerable de nuevos ejercicios. En el texto hay más material del que se necesitaría en un semestre y se ha tenido en cuenta que varias secciones se pueden omitir parcial o totalmente.

A fin de proporcionar cierta ayuda cuando los estudiantes analicen las demos traciones de los teoremas, se ha incluido un apéndice sobre "Lógica y demostra ciones", donde se explican temas tales como la implicación, los cuantificadores, la negación, el contrapositivo y los diferentes tipos de demostraciones. Se ha conser vado la explicación informal a fin de evitar quedar empantanados en los detalles técnicos de la lógica formal. Su colocación en un apéndice indica que es una lectu ra opcional y se puede examinar en cualquier momento del curso o cuando sea

/ necesario. Se cree que es una experiencia de mayor utilidad analizar y hacer de mostraciones de teoremas que limitarse a leer acerca de las mismas.

"' Pl{()LOGO

l11s ~>1· dl:sarrnll1111 un la sección 5.3, y la continuidad uniforme se introduce en la svn·i1111 5.4. ll11 estas dos secciones, se explota el potencial pleno de la teoría pre via a fin de establecer las profundas propiedades de las funciones continuas. Las propiedades de las funciones monótonas se establecen en la sección 5.5.

l .a teoría básica de la derivada se presenta en las dos primeras secciones del cupítulo 6. La sección 6.2 es en esencia una secuencia de consecuencias del teore ma del valor medio. La teoría básica de la integral de Riemann está contenida en las tres primeras secciones del capítulo 7. La integral se introduce por medio de las integrales superior e inferior, y el criterio de Riemann se usa como herramienta básica para establecer la existencia de la integral. La sección 7.3 sobre el teorema fundamental del cálculo se ha redactado de nuevo en su totalidad a fin de clarificar las relaciones entre los diferentes aspectos de dicho teorema. En las secciones posteriores de los capítulos 6 y 7 se estudian otras propiedades de la derivada y la integral que se pueden cubrir si el tiempo lo permite.

En el capítulo 8 se explica la convergencia uniforme. Los instructores quizás prefieran estudiar la sección 8.1 después del capítulo 5 y considerar después los teoremas de "preservación" de la sección 8.2 a medida que vayan avanzando en los demás capítulos. En las secciones 8.3 y 8.4 las funciones trascendentales bási cas, las cuales suelen darse por descontadas, se estudian sobre fundamentos teóri cos firmes usando la convergencia uniforme. El capítulo 9 sobre series infinitas se ha revisado y ampliado ligeramente con secciones separadas donde se estudia la convergencia absoluta y no absoluta de las series. Los capítulos 8 y 9 poseen una importancia y un interés intrínsecos, pero a la vez muestran la manera en que el material visto en los capítulos anteriores se puede aplicar en temas numéricos y analíticos.

El capítulo 10 es nuevo y versa sobre conceptos topológicos. Las demostra ciones anteriores dadas para intervalos se extienden ahora a su contexto más abs tracto y se hace el énfasis debido en el concepto de compacidad. Se incluye una muy breve introducción a los espacios métricos. Puesto que muchos conceptos y argumentaciones se generalizan de inmediato a los espacios métricos, la inclusión de este tema proporciona una situación privilegiada para introducir las nociones de carácter bastante abstracto discutidas en las secciones previas del capítulo.

A lo largo del libro se ha prestado mayor atención que la acostumbrada a los temas del análisis numérico y a la teoría de las aproximaciones. Lo hemos hecho debido a la importancia creciente de estos temas para el estudiante contemporáneo y porque la comprensión apropiada de estos temas cuenta con bases más sólidas en el contexto del análisis real. Al mismo tiempo, estos temas también mejoran la comprensión de ideas "puramente analíticas"

En muchos de los ejercicios se ofrecen "sugerencias", por lo general incom pletas y en ocasiones un tanto misteriosas. Su intención es ayudar a encaminar a los estudiantes hacia Ja solución, pero los detalles adicionales deben proporcio narlos ellos.

Es una experiencia satisfactoria observar la manera en que aumenta la madu rez matemática de los estudiantes y como aprenden gradualmente a trabajar con soltura con conceptos que en un principio parecían tan misteriosos. Por supuesto,

1'1(1 )1 ()(1()

Un cambio significativo en esta edición es que los conceptos topológicos, como conjunto abierto, conjunto cerrado y compacidad, se han reunido y colocado en un nuevo capítulo: el capítulo 10, La topología de R. En la primera edición es tos temas estaban intercalados a lo largo del libro, pero nuestra experiencia nos ha demostr~do la conveniencia ~e reunirlos en un solo sitio en vez de tenerlos disper sos en diferentes partes del libro. Ahora presentamos desde un principio teoremas acerca de funciones en intervalos abiertos y cerrados, pero las demostraciones se dan en una forma que se adapta con facilidad a situaciones más generales, de tal modo que los estudiantes no necesitarán olvidar las demostraciones en un nuevo contexto. Un instructor puede pasar perfectamente al capítulo 10 en cualquier mo mento, por ejemplo, en conexión con el capítulo 5, si así lo desea.

En el capítulo 1 se presenta un breve resumen de las nociones y notaciones de conj~ntos y ~uncio~:s que se :r:iplean en el libro. Se incluye asimismo una expli cacion de la inducción matemática, ya que esta técnica de demostración se presen ta co~ reg.ul~ridad. s.e recomi~nda que este capítulo se estudie con rapidez; se debera resistir cualquier tentación para extenderse en el formalismo de la teoría de conjuntos, ya que tal estudio no presagia de manera precisa la naturaleza del aná lisis real.

En el capítulo 2 se presentan las propiedades del sistema de los números rea les. En las tres primeras secciones se ofrece práctica en el pensamiento deductivo básic~ Y ~n la elabo:ación de demostraciones; se pueden cubrir con rapidez, en ~special sr los estudiantes cuentan con experiencia previa de esta naturaleza. La importante propiedad de completidad del sistema de los números reales se estable ce en la sección 2.4 como la propiedad del supremo, y sus ramificaciones se anali zan en la sección 2.5. Estas dos secciones se deberán estudiar con atención, ya que el uso de supremos es esencial en el material posterior. La propiedad de los inter val~~ anidados se_ trata en la secci.ón 2.6. En la sección 2.7 se demuestra que el COnJU~to de los nu~eros reales es mcontable; esta demostración es precedida por ~n cuidadoso estudio de los conjuntos finitos, un tema cuyas sutilezas suelen de jarse de lado y que proporciona una excelente oportunic ad para aplicar el razona miento inductivo.

En el capítulo 4 se presenta un tratamiento exhaustivo de las sucesiones de números reales y los conceptos de límites relacionados. Este material es, desde luego, de máxima importancia; afortunadamente, los e studiantes lo encuentran muy natural. El teorema de BolzanoWeierstrass para suc esiones se establece en la sección 3.4 demostrando primero que toda sucesión re. ti tiene una subsucesión monótona.

El capítulo 4 sobre límites y el capítulo 5 sobre funciones continuas constitu yen el corazón del libro. El estudio de límites de funciones depende en gran medi ~a ~el uso de s~cesbnes; este tratamiento paralelo refuerza la comprensión de los límites y permite tratar los teoremas básicos con bastante rapidez. (Algunos ins tructores .q~izás prefieran saltarse la sección 4.3 en un curso introductorio.) De manera similar, los resultados iniciales relativos a las funciones continuas del ca pítulo 5 se construyen con base en la teoría de límites establecida en las secciones anteriores. Las propiedades fundamentales de las funciones continuas en interva

PRÓLOG(I

41.1. Límites de funciones 129 4.2. Teoremas sobre límites 139 4.3. Ampliaciones del concepto de límite 148

129 Límites CAPÍTULO CUATRO

3.1. Sucesiones y sus límites 85 3.2. Teoremas de límites 96 3.3. Sucesiones monótonas 105 3.4. Subsucesiones y el teorema de BolzanoWeierstrass 112 3.5. Criterio de Cauchy 118 3.6. Sucesiones propiamente divergentes 126

85 Sucesiones CAPÍTULO TRES

2. t Las propiedades algebraicas de R 38 2.2. Las propiedades de orden de R 44 2.3. Valor absoluto 53 2.4. La propiedad de completidad de R 58 2.5. Aplicaciones de la propiedad del supremo 62 2.6. Intervalos y decimales 68 2.7. Conjuntos infinitos 75

37 Los números reales « 'APÍ'f1ULO DO§

15 l. l. Álgebra de conjuntos 1.2. Funciones 22 1 .3. Inducción matemática 31

15 Preliminares < 'APDTULO UNO Robert G. Bartle Donald R. Sherbert Ypsilanti and Urbana

en un semestre no es posible cubrir todos los temas cid libro, pc1'0 lrn1 lm1111N hupor tantes se pueden estudiar con profundidad si uno no se quedo ompuntnnndo nl principio en los preliminares. Hay abundante material para que se puedan seguir los intereses particulares del instructor y de los estudiantes.

Hemos recibido muchos comentarios valiosos de colegas de una amplia varie dad de instituciones que han enseñado con la primera edición, y expresamos nues tra apreciación para ellos. Sus observaciones y críticas resultaron en extremo va liosas en la elaboración de esta edición. Nuestro agradecimiento por comunicarse con nosotros, deseándoles éxito en sus empresas futuras para impartir el desafío y la excitación del análisis real a sus estudiantes. Es nuestra esperanza que encuen tren esta nueva edición aún más útil que la primera.

P1u'1J ,()( l<i J()

435 mlk1·

1 1•1 ouuuduciones para ejercicios 'wh1t'l'lo11mlos 417

405 1wmlkt·. 1 ,6gka y demostraciones

403

11 11il111 NllHI

10.1. Conjuntos abiertos y cerrados en R · 376 10.2. Conjuntos compactos 384 10.3. Funciones continuas 389 10.4. Espacios métricos 394

375 CAPÍTULO DIEZ La topología de R

9.1. Convergencia de series infinitas 343 9.2. Criterios de convergencia absoluta 351 9.3. Criterios de convergencia no absoluta 361 9.4. Series de funciones 366

343· Series infinitas CAPÍTULO NUEVE

8.1. Convergencia puntual y uniforme 309 8.2. Intercambio de límites 317 8.3. Las funciones exponencial y logarítmica 324 8.4. Las funciones trigonométricas 335

309 Sucesiones die funciones CAPÍTULO OCHO

CAPÍTULO SIETE La integral de Riemann 251 7.1. Integrabilidad de Riemann 252 7 .2. Propiedades de la integral de Riemann 265 7.3. El teorema fundamental del cálculo 274 7.4. La integral como un límite 286 7.5. Integración aproximada 296

6.1. La derivada 204 6.2. El teorema del valor medio 216 6.3. Reglas de L'Hospítal 227 6.4. Teorema de Taylor 236

203 Derivación CAPÍTULO SEIS

5.1. Funciones continuas 159 5.2. Combinaciones de funciones continuas 165 5.3. Funciones continuas en intervalos 171 5.4. Continuidad uniforme 179 5.5. Funciones monótonas e inversas 191

l"funcioncs cuuttnuu» 159 CAPÍTULO CINCO

t 'ON l'\INllHI 12

Si A y B son conjuntos tales quex EA implica quex EB (es decir, que todo elemen to de A también es elemento deB), entonces se dirá que A está contenido enB, que B contiene a A o que A es un subconjunto de B, y se escribirá

X $.A.

como una forma abreviada de la afirmación de que x es un elemento de A, o que x es miembro de A, o quex pertenece aA, o que el conjunto A contiene al elemento x o que x está en A. Si x es un elemento que no pertenece a A, se escribirá

Si A denota un conjunto y x es uno de sus elementos, se escribirá

xEA

SECCIÓN 1.1 El álgebra de conjuntos

En este capítulo inicial se presentarán los fundamentos necesarios para el es tudio del análisis real. Las secciones 1.1 y 1.2 se dedican a un breve repaso del álgebra de conjuntos y de las funciones, dos herramientas vitales para la matemá tica en general. El término "conjunto" se considerará sinónimo de "clase", "colec ción" y "familia", pero estos términos no se definirán así como tampoco se dará una lista de axiomas para la teoría de conjuntos. Suele hacerse referencia a este enfoque pragmático como teoría de conjuntos "nai've" y resulta bastante adecuada para trabajar con los conjuntos definidos en el contexto del análisis real.

La sección 1.3 se ocupa de un método especial de demostración llamado in ducción matemática. Se relaciona con las propiedades básicas del sistema de los números naturales y aunque se encuentra restringido a la demostración de propo siciones de tipos particulares, es importante y su aplicación es frecuente. En el apéndice se puede encontrar un estudio informal relativo a los diferentes tipos de demostraciones que se usan en el análisis y en la matemática en general.

Además de introducir conceptos básicos y de establecer la notación y la ter minología, este capítulo también proporciona al lector cierta experiencia inicial para trabajar con definiciones precisas y en la escritura de demostraciones. El es tudio atento del análisis real implica de manera inevitable la lectura y la escritura de demostraciones, habilidades que, como cualquier otra, es necesario practicar. El presente capítulo es un punto de partida.

J> !~ELIMINARES ( ~A P l T IJ J .o lJ NO

1.1.3 Definición. El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto va cío y se denotará por el símbolo 0. Si A y B son conjuntos sin elementos en co mún (es decir, si A n B = 0), entonces se dice que A y B son disjuntos o que no se intersecan.

El resultado siguiente establece algunas de las propiedades algebraicas de las operaciones con conjuntos que se acaban de definir. Puesto que las dernostracio nes de estas afirmaciones son rutinarias, se dejarán en su mayoría corno ejercicios para el lector.

Se ha supuesto tácitamente que la intersección y la unión de dos conjuntos también es un conjunto. Entre otras cosas, esto requiere la existencia de un conjunto que no tenga elementos en absoluto (ya que si A y B no tienen elementos en común, su intersección no tiene elementos).

En relación con la unión de dos conjuntos, es importante tener presente el hecho de que el vocablo "o" se está usando en el sentido inclusivo. Decir que x pertenece a A o B deja abierta la posibilidad de que x pertenezca a ambos conjun tos. En terminología legal este sentido inclusivo en ocasiones se indica por "y/o".

AUB:={x:xEA o xEB}.

b) La unión de A y B, denotada por A U B, es el conjunto de todos l~s ele mentos que pertenecen a A o B. (Ver la figura 1.1.1 .) En otras palabras, se tiene

X E B} y A n B '= { x : x E A

1.L2 Definición. a) Si A y B son conjuntos, entonces su intersección, deno tada por A n B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B. (Ver la figura l. l. l.) En otras palabras, se tiene

Operaciones con conjuntos

A continuación se dan algunos métodos para construir nuevos conjuntos a partir de otros ya dados.

{x EN: 40 < x2 < 80},

{x EN: x2 - 15x + 56 =O},

{7+x:x=O o x=I}.

b ) 1~11111·11sii•ncs se puede usar una Iórrnula para abreviar la descripciónde un conju 1110. Pnr ejemplo, el conjunto de tocios los números naturales pares se podría denotar por {2x: x EN}, en lugar de usar la expresión más complicada {y EN: Y= 2x, X EN}.

e) El conjunto {x EN: 6 < x < 9} se puede escribir en forma explícita como {7, 8}, con lo cual se ponen de manifiesto los elementos de conjunto. Desde luego; hay muchas otras descripciones posibles para este conjunto. Por ejemplo,

17 l'I. i\1(IJllllV\1)11. ( 'ON.ltJN'l'OS

consta de los números naturales que satisfacen la ecuación enunciada. Puesto que las únicas soluciones de la ecuación cuadrática x2 - 3x + 2 =O son x = 1 y x = 2, en lugar de escribir la expresión anterior, este conjunto se denota generalmente por {1, 2}, es decir, numerando sus elementos.

{x EN: x2 - 3x + 2 =O}

Ejemplos. a) El conjunto

para denotar el subconjunto de S cuyos elementos cumplen con la propiedad. En este libro se usan varios conjuntos particulares que se denotan por símbo

los comunes como se indica a continuación. (El símbolo:= se emplea para indicar que el símbolo de la izquierda se define por la expresión de la derecha.)

º El conjunto de los números naturales N := {l, 2, 3, ... } e El conjunto de los enteros Z := {O, 1, 1, 2, 2, ... } • El conjunto de los números racionales Q := {m/n: m, n EZ y n =fo O} 0 El conjunto de los números reales R

El conjunto Res de importancia fundamental y se examinará en detalle en el capí tulo 2.

{x ES: P(x)}

para el conjunto de todos los elementos x para los cuales se cumple la propiead P. La notación se lee "el conjunto de todas las x tales que P(x)". Si es necesario especificar los elementos que se están considerando para la propiedad P, se puede escribir

{x: P(x)}

1.1J. Definiclón. Dos conjuntos A y B son iguales si contienen los mismos elementos. Si los conjuntos A y B son iguales, se escribe A= B.

Por tanto, para demostrar que los conjuntos A y B son iguales, debe probarse queA ~By queB ~A.

Un conjunto se puede definir numerando sus elementos o especificando una propiedad que determine los elementos del conjunto. No es sencillo definir con precisión el término "propiedad", pero no dudaremos en usarlo en la manera infor mal ordinaria. Si P denota una propiedad que tenga sentido y no sea ambigua para una colección de elementos, entonces se escribe

Si A ~By existe un elemento en B que no está en A, se dirá que A es un subconjunto propio de B.

Deberá notarse que la proposición A ~ B no excluye de manera automática la posibilidad de queA cubre la totalidad de B. Cuando esto es cierto, los conjuntos A y B son "iguales" como se define a continuación.

o A~B

1'1{1·:1,IMI N/\Rl:.s

En ocasiones el conjunto A se sobrentiende y no necesita mencionarse explícita merite. En esta situación se hace referencia simplemente al complemento de B y A \B se denota por -é'(B).

A\B := {x E A: x ft; B}.

1.1.5 Definición. Si A y B son conjuntos, entonces el complemento de B con respecto aA es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a B. Este conjunto se denotará por A \B (léase "A menos B"), aunque en ocasiones otros autores usan las notaciones afines A - B y A - B. (Ver la figura 1.1.2.)

En la notación introducida anteriormente, se tiene

De manera similar, si para todaj de un conjunto J existe un conjunto Aj' enton ces U {A: j E J} denota el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a un~ de los conjuntos A,. Del mismo modo, n {Aj: j E.!} denota el conjunto de todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos Aj para j EJ.

Se introduce ahora otro método para construir un nuevo conjunto a partir de dos conjuntos dados.

B = íl A1 = íl {A1: j = 1, 2, ... , n}. j~I

n A = U Aj= LJ {Aj: j = I, 2, ... , n},

j~I

En ocasiones, a fin de economizar espacio, se imita la notación empleada en las sumatorias y se usa una notación más condensada, tal como

B =A1 í1A2 n ... nA11 :== {x :xEA para todaj}.

A =A U A U ... U A := {x : x EA para alguna 1'} . 1 2 11 } ,

1 '.s posible demostrar que si {Al' A2, ... , A) es una colección de conjuntos, enton <"C.'> existe un conjunto A con una definición única que consta de todos los elernen 111s que pertenecen al menos a uno de !os conjuntosA1,j = 1, 2, ... , n; y que exis te un conjunto B con una definición única que consta de todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos Aj, j = 1, 2, ... , n. Omitiendo los paréntesis, se escribe

A U BU C. AnBnc,

( 'ousidcraudo las relaciones del teorema 1.1.4 e), se acostumbra omitir los ¡ 1:ir~nt isis y escribir simplemente

1 '1111 i>11:o1· r11 111 1kl iuiciou 1. 1. 1, ~:,· concluye que los cunjuntos A n (8 U C) y (A n B) 11 (,.\ 11 e') :>1111 iru;1ks.

11) 11 1\1 \111,lllli\ IJlit'tlNlllN'l'0~1

/

FIGURA 1.1.l La intersección y la unión de dos conjuntos.

A U B 1Jffi1J1m

AnB -

A

En calidad de ejemplo de una demostración, se probará la primera ecuación de el). Sea X Ull elemento de A n (B u C), entonces X EA y X E B u c. Esto significa que X EA y que X

EB o KE C. Por tanto se tiene que i x EA y x EB o que ii x EA y x E C. Por lo tanto, x EA n B ox EA ne, de donde X E (A n B) u (A n C). Con esto se demuestra que A n (Bu C) es un subconjunto de (A n B) U (A n C).

Recíprocamente, sea y un elemento de 0 n B) U (A n C). Entonces, iii y EA n B o iv y EA n c. Se concluye que y EA y que y EB o y E C. Por tanto,y EA y y EB u e de modo que y EA n (B U C). Así, (A n B) U (A n C) es un subconjunto de A n (B U C).

En ocasiones se hace referencia a estas igualdades como propiedades de idempotencia, conmutativa, asociativa y distributiva, respectivamente, de las ope raciones de intersección y unión de conjuntos.

a) A n A =A, A U A = A; b) A n B = B n A, A U B = B U A; e) (A () B) () e = A n (B í) C), (A u B) u e = A u (B u C); d) A n (B u C) = (A n B) u (A n C),

A U (B n C) = (A U B) n (A U C).

:tl.4 Teorema. Sean A, By C conjuntos cualesquiera, entonces

JiJWLIMli'li\lU~S

n~¡crddos de fa sección 1.1

1. Trazar un diagrama para representar los conjuntos mencionados en el teore ma 1.1.4.

2. Demostrar el inciso c) del teorema 1.1.4. 3. Demostrar la segunda parte del inciso d) del teorema 1.1.4. 4. Demostrar que A e B si y sólo si A n B =A. 5. Demostrar que el conjunto D de todos los elementos que pertenecen a~ o a~

pero no a ambos está dado por D = (A \B) U (B\A). Este conju~to sue e llamarse la diferencia simétrica de A y B. Representarlo en un diagrama.

1 ¡ ,.1111junlo A x B se puede representar como el conjunto de los seis puntos del pl~11111 <"on las coordenadas que se acaban de enumerar. . . .

( ·() n Irecuencia se traza un diagrama (como el de la figura l. l. 3) para indicar 1 l ¡n(Jduclo cartesiano de dos conjuntos A~ B. ~i~ embargo, .deberá t~ne~~ pre 1ti 11¡11 que este diagrama puede ser un tanto simplificado. Por ejemplo, s1A . {x E u 1 x::::; 2} y B := {x ER: O::::; x::::; 1 ó 2::::; x::::; 3}, entonces en lugar de un 11,< líl11gulo, se tendría un trazo como el de la figura 1.1.4. ·

FIGURA 1.1.4 El producto cartesiano de A y B.

3

~ 2 AxB

1 ,. 1 2

FIGURA :U.3 El producto cartesiano.

A a

/¡ ----•(a,h) 1

JI

AxB

?.I 111 A!.<1111\llA 1)11, ( 'ON.Jlll\l'l'()S

(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5).

1.1. 7 Definición. Si A y B son dos conjuntos no vacíos, entonces el producto cartesiano A xB de A y Bes el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) con a EA y b EB. (Ver la figura 1.1.3.)

Por tanto, si A = {l, 2,~} y B = { 4, 5}, entonces el conjunto A x B es el conjunto cuyos elementos son los pares ordenados

A continuación se define el producto cartesiano de dos conjuntos.

Producto cartesiano

Demostración. Se hará la demostración de la primera relación y la segunda se deja al lector. Para establecer la igualdad de los conjuntos, se prueba que to· do elemento de A \(B U C) está contenido tanto en (A \B) como en (A \C), y recí procamente.

Si x está en A \(B U C), entonces x está en A pero no está en B U C. Por tanto, x está en A, pero no está en B ni en C. (¿Por qué?) Por lo tanto, x está en A pero no en B, y x está en A pero no en C. Es decir, x EA \B y x EA \C, con lo cual se demuestra que X E (A \B) n (A \C).

Recíprocamente, si x E (A \B) n (A \C), entonces x E (A \B) y x E (A \C). Por tanto, x EA y x e: By x e: C. Se concluye que x EA y x e: (B U C), de donde x EA \(B U C).

Puesto que los conjuntos (A \B) n (A \C) y A \(B U C) contienen los mismos elementos, son iguales por la definición 1.1.1. Q.E.D.

A\(B íl C) = (A\B) U {A\C). A\(B U C) = (A\B) íl (A\C), 1.1.6 Teorema. Si A, By C son conjuntos cualesquiera, entonces

Se enuncian a continuación las leyes de De Margan para tres conjuntos; en lo.~ ejercicios se dará una formulación más general de ellas.

FIGURA 1.1.2 El complemento relativo.

l'ltlil IMlll1\l0lll ),(1

]..2.1 Deñnícíén. SeanA y B conjuntos. Una función de A a Bes un conjunto f de pares ordenados en Ax B tal que para cada a EA existe una b E B única con (a, b) e]; es decir, si (a, b) e] y (a, b') E f, entonces b = b', Al conjunto A de los

A medida que se desarrolló la matemática, llegó a ser cada vez más claro que el requisito de que una función fuera una fórmula era indebidamente restrictivo y que sería útil una definición más general. También llegó a ser evidente la importancia de hacer una clara distinción entre la función en sí y los valores de la función. Nos proponemos actualizar la definición con el uso corriente, lo cual haremos en dos pasos. Nuestra primera definición revisada de función sería:

Una función! de un conjunto A a un conjunto Bes una regla de correspondencia que asigna a cada x de A un elemento determinado de manera únicaf(x) de B.

Sin importar lo sugerente que pueda resultar la definición propuesta, tiene un defecto significativo: no es clara. Persiste la dificultad para interpretar la frase "regla de correspondencia". Seguramente los lectores podrán pensar en frases que sean más satisfactorias para ellos que ésta, pero no es probable que puedan despe jar por completo la bruma. La solución más satisfactoria parece ser definir "fun ción" exclusivamente en términos de conjuntos y de las nociones introducidas en la sección anterior. Esto presenta la desventaja de ser más artificial y de perder parte del contenido intituitivo de la descripción previa, pero la ganancia en clari dad supera estas desventajas.

La idea clave es pensar en la gráfica de la función: es decir, en una colección de pares ordenados. Se hace notar que una colección arbitraria de pares ordenados no puede ser la gráfica de una función, ya que una vez que se nombra el primer miembro del par ordenado, el segundo queda determinado de manera única.

si x ~ O, SÍ X < Ü. {

X [x] := ' -x,

de un número real es una "función honesta" o no. Porque después de todo la defi nición de lxJ se da "en partes" por

h(x):=lxl

que asocia a cada número real x otro número real f(x). Probablemente se habría suscitado una controversia entre dichos matemáticos en cuanto a si el valor abso luto

f( x) := x2 + 3x - 5,

:ihord:111dikrc11li.;s1 ipns de funciones, pero por lo general con un grado de abstrae ci<'111 111<.:1wr que en esta sección introductoria.

l'ara el matemático del siglo pasado el término "función" por lo general signi Iicaba una fórmula definida, como

23 l·l IN( '11 JNl~S

Se analiza ahora la noción fundamental de función o mapeo. Se verá que una función es un tipo especial de conjunto, aunque hay otras representaciones que con frecuencia resultan más sugerentes. En todas las secciones subsecuentes se

/

SECCIÓN 1.2 Funciones

14. Si B1 y B2 son subconjuntos de By si B = B1 U B2, entonces

A X B = (A X B 1) U (A x B z).

t>( n {A/j EJ}) = LJ {t>(A1):j EJ},

t>( U {A1:j EJ}) = íl {ef(1j):jEJ}.

13. Sea J un conjunto cualquiera y sea que AJ esté contenido en E para cada j EJ. Demostrar que

Obsérvese que si E\Ai se denota por -ef(A¡), las relaciones adoptan la forma

E\ LJA1= íl(E\AJ. j-1 j-1

E\ íl A1 = LJ ( E\A1), J-1 j-1

n " " "

12. Sea E un conjunto y {A1, A2, ... , A,,} una colección de conjuntos. Establecer las leyes de De Margan:

EU ílA1= íl (E u AJ. J-1 J1

En íl Aj= íl (En Aj), j=l J-1

" n " "

11. Si {A1, A2, ... , A,,} es una colección de conjuntos y si E es un conjunto cual quiera, demostrar que

EU LJAJ= LJ(EUAJ). J-1 j-1

En LJA1= LJ{EnAJ, j-1 j=l

" n " "

6. Demostrar que la diferencia simétrica D, definida en el ejercicio anterior, también está dada por D = (A U B)\(A n B).

7. Si B ~A, demostrar que B =A \(A \B). 8. Dados los conjuntos A y B, demostrar que los conjuntos A n B y A \B son

disjuntos y que A =(A n B) U (A \B). 9. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, demostrar que A n B =A \(A \B).

10. Si {A P A2, ... , A) es una colección de conjuntos y si E es un conjunto cual quiera, demostrar que

PRELIMlNMlES 22

i. := {(a,b) Ef: a E D¡}.

Restricciones y extensiones de funciones Si fes una función con dominio D(f) y D1 es un subconjunto de D(f), con

frecuencia resulta conveniente definir una nueva función t; con dominio D1 por f (x) := f(x) para toda x ED1. Esta función t. se denomina la restricción de f al c1onjunto D1. En términos de la definición 1.2.1, se tiene

intenta introducir enf algo que no pertenece aD(f), se encontrará que no es acep tado, ya que f sólo puede operar con elementos que pertenezcan a D(f). (Ver la figura 1.2.3.)

Esta última representación aclara la diferencia entre f y f(x): la primera es la máquina, la segunda es lo que produce la máquina cuando se alimenta co~,x. Des de luego, resulta muy conveniente distinguir una máquina de su producción. ~un cuando seguramente nadie confundiría un molino de carne con la carne molida, tantas personas han confundido las funciones con sus valores que bien val~ ,la pena hacer un modesto esfuerzo para distinguir ambos conceptos por su notación.

FIGURA 1.2.3 Una función como una máquina.

t f(x)

f

X

t

FlGURA 1.2.2 Una función como una transformación .

A

b = f(a)

B

l•llN( 'l(lNl•,S

Transformaciones y máquinas

Además de las gráficas, una función se puede representar como una transfor- mación del conjunto A = D(f) a una parte de B. En estos términos, cuando (a, b) E f, fse concibe como si tomara el elemento a de A y lo "transformara" o "mapeara" en un elemento b = f(a) del subconjunto R(f) de B. Es común dibujar un diagrama como el de la figura 1.2.2. Esta representación geométrica de una función se usa con frecuencia aun cuando los conjuntos A y B no sean subconjuntos del plano.

Hay otra manera de representar una función: a saber, como una máquina que acepta elementos deD(f) como materia prima y produce los elementos correspon dientes de R(f) como productos finales. Si se toma un elemento x de D(f) y se alimenta enf, se produce el valor correspondientef(x). Si se alimenta un elemento diferente y deD(f) enf, se obtienef(y) [que puede ser diferente o no def(x)]. Si se

en lugar de (a, b) E f. Con frecuencia se hará referencia a b como el valor de f en el punto a,-o como la imagen del punto a bajo f.

b = f(a)

indica que fes una función de A a B; con frecuencia se dirá que fes un mapeo de A en B o que fmapea A en B. Si (a, b) es un elemento de f, se acostumbra escribir

f: A--+ B

rh•n1l·11tos que nparcccn como primer componente de los elementos de/se le lla 11111 dm11inlo de /y en ocasiones se denota por D(f). Al conjunto de todos los ele 111r11l11:1 tic JI que pueden figurar como segundo componente de los elementos de f :w k 1 luma codomiuio de /y en ocasiones se denota por R(f). (Ver la figura 1.2.1.)

1 .u notación

J<'IGlJRA 1.2.1 Una función como una gráfica.

-4---A-ª---+1~1 .¡.

1110:.1.1M1 NA lill~I

Funciones inversas

· Si/ es una función de A a B (y, por tanto, un subconjunto especial de Ax B), entonces el conjunto de los pares ordenados en B xA obtenidos al intercambiar el

1.2.6 Definición. Se dice que una función/: A > B es biyectíva si ~s tanto inyectiva como suprayectiva. Si fes biyectiva, se dice que es una biyección.

1.2.5 Definición. Se dice que una función/: A > B es suprayectiva o que mapea A en B, sif(A) =B. Si/ es suprayectiva, se dice que/ es una suprayeccíén.

De manera equivalente,/: A > B es suprayectiva si el codominio de fes la totalidad de B, es decir, si para toda y EB existe alguna x EA tal que f(x) =y.

Al definir una función es importante especificar el dominio de la función Y el conjunto del cual se toman los valores. Una vez hecho esto, es posible indagar si la función es una suprayección o ·no. Por ejemplo, la función /(x) := x2 es una suprayección de R en {x ER: x:;;;;. O}, pero no de R en R.

Jo cual indica (¿por qué?) que x 1 (x2 - 1 ) = xi(x1 - 1 ), de donde x1 = x2. Por lo tanto, se concluye que fes inyectiva.

X 2 X 1

1.2.4 Definición. Se dice que una función/: A--> Bes inyectiva o uno a uno si siempre quex1 -:f. x2, entoncesj'(x.) * f(x2). Sifes inyectiva, se dice que fes una inyección.

De manera equivalente, una función fes inyectiva si y sólo si f(x1) = f(x2)

implica que x1 = x2, para toda xi' x2 en A. . Por ejemplo, sea A:= {x ER:x * 1} y se defmef:A> R por f(x) :=x/(x~ 1).

Para demostrar que fes inyectiva, se supone que x 1, x2 EA y f(x 1) = f(x2). Se tiene entonces

Tipos especiales de funciones

Un tipo importante de función es el que nunca asume el mismo valor en dos puntos diferentes.

1 h' IH'l'lio, :li 1 ( /' 1( t. () 1 l), entonces f(x) E G n H, ele donde f(x) E G J. f~t) E H. 11.:tln i111plirn que .1· e] 1(G) y x Ef-1(il). Por tanto, X E/1(G) n f (H): Y la i11l'l11si(111 de conjuntos enunciada queda demostrada. También se cumple la inclu •.ipi1 rn el otro sentido, por lo que en realidad se ha establecido la igualdad; se deja 1·:·lla demostración como ejercicio. En los ejercicios también se presentan otros casos dL· interacción entre las imágenes directas e inversas de conjuntos y las operacio lll~S con conjuntos de unión e intersección.

1 lJNC'IC)Nl·.S

FIGURA 1.2.4 Imágenes directa e inversa bajo f

H

f ......... E

/\·11. :.1 .<:<' d:1 1111 conjunto H k; A, entonces un punto y EB está en la imagen dl11'\'t11 /'(/•,')si y sólo si existe al menos un punto x EE\a1 que y = fi(x ). De

' . 1 1 . l 1 1 11111t1l'ra s11111 ar, e ado un con.1u111"0 H k; B, un puntox EA está en la imagen inversa /

1 (/ I) si y sólo si y2 := f(x 2) está en H. (Ver la figuia 1.2.4.)

1.2.3. Ejemplos. a) Sea una/: R--> R definida por f(x) := x2. La Ímagen direc ta del conjunto E:« {x: O :!S; x :!S; 2} es el conjuntof(E) ={y: O""' y :!S; 4 }. Si G :={y: O :!S; y :!S; 4}, entonces la imagen inversa de Ges el conjunto ¡-1(G) = {x: 2 ~ x""' 2}. Se observa por tanto que ¡-1(/(E)) =F E.

P~r otra parte, se tiene /(f1(G)) = G. Pero si H:= {y: 1 ~y~ 1 }, entonces se obtiene f(f-1(H)) = {x: O~ x :!S; 1} =F H. Un bosquejo de la gráfica de f puede ayudar a representar estos conjuntos.

b) Sea/: A -->By sean G y H subconjuntos de B. Se demostrará que

¡1(G n H) ~f1(G) nf-1(H).

f 1(11) '"" (x E A: I(x) E J-I}.

Si 11 r.~ 1111 s11hrn11j111110 de IJ, entonces la imagen inversa de H bajo j es el 111il11·111ij1111lo /' 1(1/) dl' ¡\dado por

f( E) == {f(x): x E E}.

1.2.2 Definición. Si E es un subconjunto de A, entonces la imagen directa de E bajo fes el subconjunto f(E) de B dado por

En ocasiones se escribe f1 = f JD1 para denotar la rcstricd(rn dr L1 l1111L·io11 f al conjunto D 1.

Una construcción similar es la noción de "extensión". Si ges una función con dominio D(g) y D2 ;:::;? D(g), entonces cualquier función g2 con dominio D2 tal como gz(x) = g(x) para toda x ED(g) se llama una extensión de gal conjunto D2.

Imagen directa e inversa

Sea/: A > B una función con dominio A y codominio en B.

l' fll(l.J M 1 Ni\ llJI.~ 21>

1.2.12 Definición. Una sucesión en un conjunto Ses una función cuyo domi nio es el conjuntoN de los números naturales y cuyo codominio está contenido en S.

Para una sucesión X;.N > S, es común denotar el valor de X en n de N por x11

en lugar de X(n), y este valor suele llamarse el término nésimo de la sucesión. La

Sucesiones Las funciones que tienen al conjunto N como dominio desempeñan un papel

muy especial en el análisis. Para estas funciones se cuenta con una terminología y una notación especial, las cuales se introducen a continuación.

1.2.11 Teorema. Si f' A +B.es inyectiva y si g: B--+ Ces inyectiva, entonces la composición g 0 f' A--+ Ces inyectiva.

]..2.10 Teorema. Sean f' A--> By g: B--> C funciones y sea H un subconjunto de C. Entonces(! o g)-1(H) = g-1(!-1(H)).

Ocurre con frecuencia que la composición de dos funciones herede las propie dades de las funciones que se están componiendo. El siguiente resultado es de este tipo. La demostración se deja como ejercicio.

El teorema siguiente establece una relación entre la composición de funciones y las imágenes. La demostración se deja como ejercicio.

Por tanto, g 0f=!=f0 g . b) Se debe tener cuidado de verificar que el codominio de f está contenido en

el dominio de g. Por ejemplo, si f(x) := 1 x2 y g(x) :=../X, entonces la función compuesta g o f dada por g 0 f(x) = ~ sólo está definida para aquellas x de D(f) que satisfacen f(x) ;,,, O; es decir, para las x que satisfacen 1 :;s; x :;s; l. Se observa que si se invierte el orden, entonces la composición/ 0 g, dada por f 0 g(x) = l -x, está definida para todax en el dominio de g, que es el conjunto {x ER: x;,,, O}.

f 0 g(x) = 2(3x2 1) = 6x2 - 2.

Pnr otra parte, el dominio de la función compuesta/ 0 g también es R, pero en este caso se tiene

g 0 f(x) = 3(2x)2 1=12x2 l.

Puesto que D(g) es el conjunto R de todos los números reales y R(f) s R, el dominio D(g º .!) también es R, y la función compuesta g 0 f está dada por

g(x) == 3x2 - l. f(x) ==2x,

í .V) 11;Jm1111loN. a) S0 debe observar con atención el orden de la composi l'it 111, Sc•11n f y íl lw: funciones cuyos valores para x E R están dados por

FIGURA 1.2.5 La composición de f y g.

g o f .

g ~

e

• A

B

1.2.8 Defínícíón. Para las funciones f: A + B y g: B + C, la función com puesta g 0 f (¡obsérvese el orden!) es la función de A a C definida por g º f(x) := g(f(x)) para x EA. (Ver la figura 1.2.5.)

Es frecuente la necesidad de hacer la "composición" de dos funciones encon trando primero f(x) y luego aplicando g para obtener g(f(x)), pero esto sólo es posibl~ c.uando f(x) pertenece al dominio de g. Por tanto se debe suponer que el codornínío de f está contenido en el dominio de g.

Composición de fondones

x = ¡-1(y) si y sólo si y= f(x).

Por ejemplo, se vio antes que la funciónf(x) := x/(1-x) definida para x E A := (x: x r/1 1 ~es inyectiva. No es del todo claro si el codominio dejes la totalidad (o

. ~<\lo 111111 parle) de N. Para determinar esto, se resuelve la ecuación y= x/(I - x) p111·11 1 t\11 lórr111110.~ ele y, obtcniéndost; x = y/(1 +y). Con esta información, podemos !'011V1111v1•r111H1 !11· que el <:odo1n i11 io es/?(/)= {y: y -:/:- 1} y que la función inversa d1• /' l /¡1111• doin iirlo 1J11 (y: y /. · 1 l y cstú ciado por ¡1(y) = y/(I +y).

JI¡¡ lr11pnr1111110 olisnvrir que si una función fes inyectiva, entonces la función l11v1~1tlll d11 /l11111hiú11 es iuyccuvu. Además, Ja función inversa de ¡1 esf Se dejan t'llltHI !'JC'rdvlo~ las demostraciones de estas afirmaciones.

1.2. 7 Definición. Sea f: A + B una función inyectiva con dominio A y codominio R(f) en B. Si g := {(b, a) EB xA: (a, b) E!}, entonces ges una inyec ción con dominio D(g) = R(f) y codominioA. La función g se denomina la función inversa de f y se denota por ¡1.

En la notación ordinaria de funciones, la función ¡1 se relaciona con f de la siguiente manera;

primero y el segundo miembro de los pares ordenados en j' pw• lo l',l'lit'11tl 110 cs una función. Sin embargo, si fes inyectiva, entonces este intcrcamhiu lleva a una función llamada la inversa de f

i'IU1,l ,IMINA1ll\H

Demostración. Suponer por el contrario que S o/. N. Entonces el conjunto N\S es no vacío y, en consecuencia, por la propiedad del buen orden, contiene un elemento menor. Sea m el elemento menor de N\S. Como 1 ES por la hipótesis 1),

1.3.2 Principio de inducción matemática. Sea S un subconjunto de N que tiene las propiedades:

1) 1 E S; 2) si k E S, entonces k + 1 E S. Entonces S = N.

1.3.1 La propiedad del buen orden de N. Todo subconjunto 110 vacío de N tiene un elemento menor.

Una enunciación más detallada de esta propiedad es la siguiente: si S es un subconjunto de N y si S e/ 0, entonces existe un elemento m ES tal que m % k para toda k E S.

Con base en la propiedad del buen orden, se derivará una versión del principio de inducción matemática expresado· en términos de subconjuntos de N. En ocasio nes se hace referencia a la propiedad descrita en esta versión como la propiedad "hereditaria" de N.

de las operaciones aritméticas básicas de adición y multiplicación y del significa do de que un número natural sea menor que otro. Se supondrá asimismo la si guiente propiedad fundamental de N.

N := {l, 2, 3, ... },

1 .a inducción matemática es un método importante de demostración que se 11s11 con frecuencia en este libro. Se trata de un método usado para establecer la vnlidcz de proposiciones que se expresan en términos de números naturales. Aun ruando su utilidad se encuentra restringida a este contexto bastante especial, la inducción matemática es una herramienta indispensable en todas las ramas de lama temática, Puesto que muchas demostraciones por inducción siguen las mismas lineas formales de argumentación, con frecuencia sólo se indicará que un resulta dn se deduce por inducción matemática, dejando que sea el lector quien aporte los detalles necesarios. En esta sección se enunciará el principio de inducción mate uuitica y se ofrecerán varios ejemplos para ilustrar la manera en que se llevan a cabo las demostraciones por inducción.

Se dará por sentado el conocimiento del conjunto de los números naturales

SECCIÓN 1.3 Inducción matemática

1 \ : :!·1111 f y 1: 1'111wlo11l'~: y s11¡ ioncr que .J~ w /(x) =x para toda x en D(f). Demostrar (jlll' /l':1 l11yn:liv11 y que /i(I) G f)(g) y R(g) ;;;i D(f).

1 (1, S1·1111 / y g 1'1111ciu11cs la les que g 0 j{x) = x para toda x E D(f) y f 0 g(y) =y p:il'it t11d:i y E /J(g). Demostrar que g = ¡1.

11 li'li H I< '\'ION M/\'J l'MA'l'll 'fl

1. S7eaA := B := {x ER: 1 % x % l} y considérese el subconjunto C := {(x, y): x- + y2 = 1} ele A x B. ¿Este conjunto es una función?

2. Sea/la función en R definida por f(x) := x2, y sean E:= {x ER: 1 % x ~O} Y F := {x E R: O~ x ~ 1 }. Demostrar que En F '.={O} y quef(E n F) ={O}, en tant? que j(E). = j(F) = {y ER: O < v ~ 1}. Por tanto,f(E n F) es un SL.1bcon1unto propio de f(E) n f(F). ¿Qué ocurre si el O se omite de E y F?

3. S1 E Y F son los conjuntos definidos en el ejercicio 2, encontrar los conjuntos E\F Y f(E)\f(F) y demostrar que 110 se cumple que f(E\F) s f(E)\f(F).

4. Demostrar que sif: A~ By E y F son subconjuntos ele A, entoncesf(E u F) = f(E) u f(F) y f(E n F) s f(E) n f(F).

5. Demostrar que sif: A---> By e y H son subconjuntos ele B, entoncesf1(e u H) = ¡-1ce) u ¡-1cH) y ¡1ca n H) = ¡-1ce) n ¡1cH).

6. Sea que f esté definida por f(x) := x(-./ x2 + 1, x E R. Demostrar que¡ es una biyección de R en {y: 1 <y< 1 }.

7. Para a, b ER con a «: b, encontrar una biyección ele A:= {x: a «: x < b} en B :={y: O< y< 1}.

8. De~ostrar que si f: A~ Bes inyectiva y E s A, entonces ¡-1(f(E)) =E. Dar un e1e?1plo para demostrar que la igualdad no se cumple necesariamente si/ no es myecuva.

9. Demostr~r que si f: A~ Bes suprayectiva y H s B, entonces ¡1(f(H)) =H.' ~ar un ejemplo para demostrar que la igualdad no se cumple necesariamente si j no es suprayectiva.

10. Demostrar que.s,if es una in~ección de A a B, entoncesj=":e {(b, a): (a, b) E

f} es ~na función con dom mio R(f). Demostrar a continuación que ¡-1 es myectrva y que fes la inversa de f

11. Suponer que f.es una inyección. Demostrar que ¡-1 o f(x) = x para toda x ED(f) y que f 0 ¡-1(y) =y para toda y ER(f).

12. Dar un ejemplo de dos funciones! y g de R a R tales quef -:fa g, pero tales que t=s=s=I.

13. Demostrar el teorema 1.2. 10. 14. Demostrar el teorema 1.2.11.

Ejercicios de la sección 1.2

s~cesión en sí con fre~uencia se da por Ja notación ~1·,,: 11 l N) n, di• 11111111•111 n1:ís

simple, ~~r (x,). Por e1em~l~, la sucesión en R designada poi' (J11: 11 1 N) es igual a la función X: N---> R definida por X(n) := -Jfi.

Es importante hacer la diferencia entre una sucesión (x : n EN) y su codominio {x,,: 11 EN}, el cual es un subconjunto de S. Se debe considerar que los términos de una sucesión tienen un orden inducido por el orden de los números naturales, en tant? que el codominio de una sucesión es simplemente un subconjunto de un conjunto S. Por ejemplo, los términos de la sucesión ((1)": n EN) varían entre 1 Y 1, pero el codominio de la sucesión es el conjunto {1, 1 }, que consta de dos elementos de R.

Las sucesiones se estudiarán con bastante detalle en el capítulo 3.

1'1\1\LJMIN/\1@1

Ahora a - bes un factor de a(ak- bk) por la hipótesis de inducción, y.es claramen k + 1 bk+l p . d ., te un factor de bk(a b); por tanto, a - bes un factor de a - . or m uccion

matemática se concluye que a - bes un factor de a11 - b" para toda n EN. d) La desigualdad 211 ~ (n + 1)! se puede establecer por inducción matem~ti

ca de la siguiente manera. Se observa primero que es cierta para n = l. Luego, si se supone que 2k ~ (k + 1)!, del hecho de que 2 ~ k + 2 se concluye que

2k+I = 2 · 2k.,,;; 2(k + l)k (k + 2)(k + 1)!= (k + 2)!

J .a validez de la fórmula para toda n EN se concluye por inducción matemática. e) Dados los números a y b, se demostrará que a - bes un factor de an ~ b11

para toda n EN. Se observa primero que la proposición es evidentemente cier l;i para 11 =l. Si se supone ahora que abes un factor de aí=b", se escribe entonces

ak+1 _ bk+1 = ak+1 _ ab" + abk _ bk+1

= a(ak - bk) + bk(a - b).

12 + 22 + ... +k2 + (k + 1)2 = f¡k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2

= i(k + 1)(2k2 + k + 6k + 6)

= i(k + l)(k + 2)(2k + 3).

l 'uexío que esta es la fórmula original paran= k + 1, se concluye que k + .1 ~ S: Por 1•1111siguiente, se satisface la condición 2) de 1.3.2. Por lo tanto, por el pnncipio de uulucción matemática se concluye que S = N y la fórmula es válida para toda n EN.

b) Para cada n EN, la suma de los cuadrados de los n primeros números 11.1111 mies está dada por la fórmula

12 + 22 + ... +n2 = f¡n(n + 1)(2n + 1).

l ':1r;1 demostrar la validez de la fórmula, se observa primero que es verdadera para v 1 caso n = 1, ya que 12 = t · l · 2 · 3. Si esto se supone cierto para k, entonces al <umar (k + 1)2 a ambos miembros de la igualdad supuesta se obtiene

1 + 2 + ... +k + (k + 1) = ik(k + 1) + (k + 1)

= i(k + l)(k + 2).

~t1 . ,. s11111a k + 1 a ambos miembros de la igualdad supuesta, se obtiene

1 + 2 + ... +k = ik(k + 1).

1 1' ~~111 1, M' li\'iW ,~111n11ces 1 = ~ · 1·(1+1), de donde ·1 ES. Por tanto, la , 111111 lt' it 111 1 ) ::r :;:it isl':1L·c. l)esp11és se supone que k ES y a partir de esta suposición '" 1111\'11111 i11krir q11c k + 1 S. Si k ES, se tiene entonces

,l.\ 1111111< 'I 'I( li'I M/\'l llMA'l'll 'A

Para demostrar esta fórmula, sea Sel conjunto de todas las n EN para las cuales la fórmula se cumple. Se debe verificar que se satisfacen las condiciones 1) y 2) de

1+2+ ··· +n=tn(n+l).

1.3.3 Ejemplos. a) Para cada n EN, la suma de los n primeros números na turales está dada por

Los ejemplos siguientes ilustran la forma en que se emplea el principio de in ducción matemática como un método para demostrar afirmaciones acerca de nú meros naturales.

La suposición "si P(k) es verdadera" de 2') se llama hipótesis de inducción. Al esta blecer 2'), no interesa la veracidad o falsedad de P(k), sino sólo la validez de la implicación "si P(k), entonces P(k + 1)". Por ejemplo, si se consideran las proposiciones P(n): n = 11 + 5, entonces 2') es lógicamente correcta. La implicación "si k = k + 5, entonces k + 1 = k + 6" es perfectamente válida, ya que tan sólo se sumó 1 a ambos miembros de la igualdad su puesta. Sin embargo, dado que la proposición P(l): 1 = 2 es falsa, no es posible usar la inducción matemática para concluir que n = 11 + 5 para toda n EN.

l .:1 vinculación con la versión precedente de la inducción matemática, dada en 1.3.2, se consigue haciendo S := {11 EN: P(n) es verdadera}. Entonces las condi ciuncx 1) y 2) de 1.3.2 corresponden exactam~ente con las condiciones 1') y 2'), respectivamente, La conclusión de que S = N de 1.3.2 corresponde con la conclu sión de que P(n) es verdadera para toda n EN.

l'nrn rnd1111 G N, xca 1'(11) una proposición acerca de 11. Suponerque: I ') /'( 1) l'S verdadera;

.1') si /'(k) l'S verdadera, entonces P(k + 1) es verdadera. f>'.11I01ll't..:S f)(11) es verdadera para toda n EN.

El principio de inducción matemática suele exponerse en el marco de las pro piedades o proposiciones relativas a números naturales. Si P(11) denota una propo sición plausible acerca de 11 EN, entonces P(n) puede ser verdadera para algunos valores de 11 y falsa para otros. Por ejemplo, si P(11) es la proposición: "112 = n", entonces P(l) es verdadera en tanto que P(11) es falsa para toda n * 1 , n EN. En este contexto, el principio de inducción matemática se puede formular de la si r.11 iculc manera.

se sabe que m *l. Por Jo tanto, m > J, de donde 111 l 111111lil!~11 t•11 t111 11tí111cro

natural. Puesto que m - 1 < m y mes el elemento menor de N 1111qlll'111 o S, debe ser el caso que m - 1 esté en S.

Se aplica ahora la hipótesis 2) al elemento k := m - 1 de S, y se infiere que k + 1 = (m 1) + 1 = m está en S. Esta conclusión contradice la proposición de que m no está en S. Puesto que m se obtuvo suponiendo que N\S era no vacío, la conclu sión es que N\S es vacío. Por lo tanto se ha demostrado que S = N. Q.E.D.

111{!1.1.IMINAltli'I

Ejercidos de la sección 1.3 l. Demostrar que 1/1 · 2 + 1/2 · 3 + · · · + 1/11 (n + 1) = n /(n + 1) para toda n E N. 2. Demostrar que 13 + 23 + · · · + 113 = [in (n + 1)]2 para toda n EN. 3. Demostrar que 1222 + 32 · • • + (1)11•

1n2=(1)11+1n(n + 1)/2 para toda n EN

4. Demostrar que 113 + 511 es divisible entre 6 para toda n EN. 5. Demostrar que 5211 1 es divisible entre 8 para toda n EN. 6. Demostrar que 511 4n - 1 es divisible entre 16 para toda n EN . 7. Demostrar que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos

cualesquiera n, 11 + 1, n + 2 es divisible entre 9. 8. Demostrar que n < 211 para toda 11 EN. 9. Conjeturar una fórmula para la suma 1/1 · 3 + 1/3 · 5 + · · · + l/(2n 1)(211 + 1)

y comprobar la conjetura mediante la inducción matemática. 10. Conjeturar una fórmula para la suma de los 11 pnrneros números. natura.l~s

impares l + 3 + · · · + (2n 1 ), y comprobar la conjetura usando la inducción matemática.

11. Demostrar la siguiente variante de 1.3.2: Sea S un subconjunto no vacío de N tal que para alguna 110 EN se cumple que a) n0 ES y b) si k > 110 Y k ES, entonces k + 1 ES. Entonces S contiene al conjunto {11EN:11 ? 110}.

12. Demostrar que 2" < n! para toda 11? 4, 11 EN (Ver el ejercicio 11.) 13. Demostrar que 211 - 3 ~ 211- 2 para toda n ? 5, n EN. (Ver el ejercicio 11.) 14. ¿Para qué números naturales se cumple que n2 < 211? Demostrar la respuesta.

(Ver el ejercicio 11.) 15. Demostrar que 1;.Jl + 1¡.J2 + · · · + l/..fii > ..fii para toda n? 2, 11.EN. 16. Sea S un subconjunto de N tal que a) 2k ES para toda k ¿N y b) s1 k ES Y

k ~ 2, entonces k- 1 E S. Demostrar que S = N. 17. Sea {x } la sucesión definida como: x1 := 1, x2 := 2 Y x11 + 2 := ~ (x11 + 1 + xn)

para toda 11 EN. Usar el principio de inducción fuerte 1.3.4 para demos trar que 1 ~ x,, ~ 2 para toda 11 EN.

LíA Prtncipio de inducción fuerte. Sea S un subconjunto de N tal que 1 ES, y si { 1, 2, ... , k} ~ S, entonces k + l E S. Entonces S = N..

Se deja al lector demostrar que 1.3.2 y 1.3.4 son equivalentes,

INI 1\1( '( 'l(>N M/\1'11.MÁ'l'I( 'A

Hay otra versión del principio de inducción matemática que en ocasiones re sulta de suma utilidad. Es común referirse al mismo como el "principio ele induc ción fuerte", aun cuando en realidad es equivalente a la versión anterior. Se dejará al lector establecer la equivalencia de ambas versiones.

f) La aplicación incorrecta del principio de inducción matemática puede lle var a conclusiones a todas luces absurdas. Se invita al lector a encontrar el error en la "demostración" del siguiente "teorema".

Sin es cualquier número natural y si 11 es el máximo de dos números naturales p y q, entonces p = q. (Por consiguiente, si p y q son dos números naturales cuales quiera, entonces p = q.) "Demostración": Sea Sel conjunto de los números natura les para los que la afirmación es verdadera. Entonces 1 ES porque si p y q están en N y si su máximo es 1, entonces p = q = 1. Si se supone que k ES y que el máximo de los números naturales p y q es k + 1, entonces el máximo de p - 1 y q - 1 es k. Por lo tanto,p1 = q1, ya que k ES, y se concluye, así, que p = q. En consecuen cia, k + 1 ES y se concluye que la afirmación es verdadera para toda 11 EN.

g) Hay proposiciones que son verdaderas para muchos números naturales, pero que no lo son para todos. Por ejemplo, la fórmula p(n) = n2 - 11 + 41 da un número primo paran= 1, 2, ... , 40. Sin embargo, es evidente que p( 41) no es un número primo.

Si csl:i expresión se resuelve para s11 se obtiene la fórmula original.

( l r) s 11

= s,, - rs 11

= 1 r 11 + 1 •

l\1111· 11·111ili11dn l11111hié11 se puede probar sin emplear Ja inducción matemática. Si se hill't' ,1·11 : 1 1 r I· • • • I· r", entonces rs,, = r + r2 + · · · + r" + 1, de donde

<jlll' c'N 111 l'lirrrndn para el cuso 11 = k + 1. Del principio de inducción matemática se 1•p111·!11yt• q11t• ln 1'(11'11111111 es verdadera para toda n EN.

l r 1 r

1rk+I lrk+2 1 + r + ... +rk + rk+I = + rk+I =

Esta fórmula corresponde a la suma de los términos de una progresión geométrica. Con base en la inducción matemática se puede establecer ele la siguiente manera. Primero, sin= 1, se tiene 1 + r = (1 r2)/(1 r ), de modo que la fórmula es válida en este caso. Si se supone que la proposición es válida para n = k y se suma el término r* + 1 a ambos miembros, entonces se obtiene (¿por qué?)

l r 1 + t: + r2 + · · · +r" =

Así, si la desigualdad se cumple para k, se cumple pn1n k 1 I, 11111 In 1111110, por inducción matemática, la desigualdad es verdadera para toda 11 L N.

e) Sir ER, r i=- 1 y n EN, entonces

111U\l ,IMINAlliOl ,\11

1 ~11 este capítulo se analizarán las propiedades fundamentales del sistema de los números reales R. Aun cuando es posible hacer una construcción formal de este sistema con base en un conjunto más primitivo (tal como el conjunto N de los números naturales o el conjunto Q de Jos números racionales), hemos decidido no hacerlo. En su lugar se presenta una lista de las propiedades fundamentales asocia das con los números reales y se indica Ja manera de deducir otras propiedades a partir de ellas. Este tipo de actividad es mucho más provechosa en el aprendizaje de las herramientas del análisis que el examen de las dificultades lógicas presentes en la construcción de un modelo para R.

El sistema de los números reales se puede describir como un "campo ordenado completo" y se explicará esta descripción con cierto detalle. En aras de la claridad, se prefiere no enunciar todas las propiedades de R a la vez, sino concentrarnos en los diferentes aspectos en secciones separadas. Se introducen primero, en la sec ción 2.1, las propiedades "algebraicas" (llamadas normalmente propiedades "de campo") que se basan en las operaciones de adición y multiplicación. En seguida se introducen, en la sección 2.2, las propiedades de "orden" de R, se deducen algunas de sus consecuencias junto con varias desigualdades y se ilustra el uso de estas propiedades. La noción de valor absoluto, que se basa en las propiedades de orden, se explica en la sección 2.3.

En la sección 2.4 se redondea el tema agregando la crucial propiedad de "cornpletidad o completitud" a las propiedades algebraicas y de orden de R. Des pués, en la sección 2.5 se aplica la propiedad de completidad para deducir resultados fundamentales referentes a R, incluyendo la propiedad de Arquímedes, la existen cia de raíces cuadradas y la densidad de los números racionales en R. Se explica asimismo, en la sección 2.6, la propiedad de los intervalos anidados y su relación con las representaciones binarias y decimales de los números reales. En la sección final, Ja 2.7, se estudian dos tipos de conjuntos infinitos y se contrasta el conjunto de los números racionales con el de los reales demostrando que el con junto de Jos números racionales es "contable" en tanto que el de los números reales no lo es.

El procedimiento de separar los diferentes aspectos del sistema de los núme ros reales puede parecer lento y un tanto disperso; pero tiene sus ventajas. Son varias las propiedades que intervienen y resulta más conveniente considerar unas cuantas a la vez a fin de ver su papel con claridad. Además, las demostraciones reque ridas en las etapas iniciales son de naturaleza diferente a las demostraciones poste

i.os NÚMEROS REALES ( ';\ l11ÍTlJ 1 JO DOS

Se concluye por tanto que z =O. . . . , 1 h. , _ La demostración del inciso b) se deja como ejercicio. Observese que a ipo

. Q.E.D. tesis b * O es determmante.

Se prueba en seguidaque para un elemento dado a en R,, e~ elemento -a y el elemento 1/a (cuando a * O) están determinados de manera unica.

si se utiliza (A4) en el segundo miembro, se obtiene

a+ (a)= O.

2.1.2 Teorema. a) Si z y a son elementos de R tales que z +a =a, entonces

/ = Ob) Si u y b ,¡: O son elementos de R tales que u . b = b, entonces u = l.

Demostración. a) La hipótesis es que z +a= a. Se suma -a, cuya existencia está dada en (A4), a ambos miembros para obtener

(z +a)+ (a)= a+ (-a).

. . . t (A2) (A4) y (A3) en el primer miembro, se obtiene Si se aplican suces1vamen e ,

(z +a)+ (-a)= z +(a+ (a))= z +O= z;

(ll)

t M·I)

tM 1)

(1\1 ') (ii . /i) . e 11 . (h . <') para toda a, b, e en R (propiedad asociativa de la //lllff/¡i{Í('(l<'ÍIÍll); 1 existe un elemento 1 en R diferente de O tal que 1 . a= a y a. =a para ludu a en u (existencia de un elemento unitario); . =

1 para toda a * en R existe un elemento l/a en R tal que a (1/a) y ( l /a) ·a= 1 (existencia de recíprocos); a. (/J +e)= (a. b) +(a. c) y (b + c). a= (b : a)+ (c. a) para~º~,ª a, b, c en R (propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adicion).

1 ·:t lector debe estar familiarizado con estas propiedades. La ~ista no e~ "mí~i .. . . . se han incluido algunas redundancias. Por eJemp o,

111.i pues, p01 convemencia, . f' ., r f. . , d (Al) y (A4) se deduce de la primera a trrnacion ap i \11 sl·¡•uncla a trmac10n e

' " (!!~ 1·1111do (A1). 1 , · operaciones

El objeto de esta lista de propiedades es que todas as t~cmcas y b < o11wnes del álgebra se pueden deducir de estas nueve propiedades. Lle~ar ,ªca .º t"il<1 tarea tomaría mucho tiempo y sería tediosa, de modo qu~ no se ar~, pe10 ,;·su Ita instructivo ver la forma en que se harían estas demosyac.1~nes. P.ar: :~~~%:r 1:1. 11aturaleza básica de las propiedades mencionadas se de uciran vano dos elementales (pero importantes). . . bl

. Se empieza por demostrar que los elementos O y 1, cuya existencias~ esta e , .¡(I en (A3) y (M3), en realidad son únicos.

I A:• t'l(I ll'll 1 )Al ¡11:: Al< lllllHAt< 'AS 1 )!'. I<

(Ml)

(A4)

(A3)

a+ b = b +a para toda a, ben R (propiedad conmutativa de la adición); (a + b) + c =a+ (b + c) para toda a, b, c en R (propiedad asociativa de la adición); existe un elemento O en R tal que O + a = a y a + O = a para toda a en R (existencia del elemento cero); para cada a en R existe un elemento -a en R tal que a + (-a) = O y (-a) + a = O (existencia de elementos negativos); a · b = b · a para toda a, b en R (propiedad conmutativa de la multipli- cación).;-

(Al) (A2)

2.1.1 Propiedades algebraicas de R. En el conjunto R de los números reales hay dos operaciones binarias, denotadas por + y · que se denominan adición y multiplicación, respectivamente. Estas operaciones satisfacen las siguientes pro piedades:

l·:n esta sección se analizará la "estructura algebraica" del sistema de Jos nú n1rros reales, Esto se hace presentando primero una lista de las propiedades bási 1·11s dl' In adición y 111 multiplicación. Esta lista engloba todas las propiedades 11 l¡wllnilr11s csc11ri11lcs de U en el sentido de que todas las demás propiedades afi 111·111.c p11t·11L11 dl'dt1l'ir rnn10 teoremas. En la terminología del álgebra abstracta, el 1d11f1111111 lil' los 1111111L·ros rcnlcx es un "campo" con respecto a la adición y a la 11111 lt lpl k111'i1'H1. l .us propiedades mencionadas en 2.1. l se conocen como "axiomas 1k 1•11111po".

l'or npernciéu binaria en un conjunto F se entiende una función B de núme ros reales con dominio F x F y codominio en F. Por consiguiente, una operación binaria asocia a cada par ordenado (a, b) de elementos del conjunto F con un elemento único B(a, b) de F. Sin embargo, en lugar de usar la notación B(a, b), se utilizan las notaciones comunes de a+ by a· b (o simplemente ab) en la explica ción de las propiedades de la adición y la multiplicación. En los ejercicios se pue den encontrar otros ejemplos de operaciones binarias.

SECCIÓN 2.1 Las propiedades algebraicas de R

riores. Por otra parte, puesto que existen varias formas mlís dl' l'Xpl lv111 rl concepto de completidad de R, fue necesario tener esta importan le propiedad separada ele las demás hipótesis.

Parte de la finalidad de las secciones 2.1, 2.2 y 2.3 es ofrecer ejemplos de demostraciones de teoremas elementales derivados de hipótesis enunciadas explí citamente. Así, los estudiantes pueden adquirir experiencia en la construcción de demostraciones formales antes de pasar a argumentaciones más complicadas. Sin embargo, los alumnos que hayan estudiado ya el método axiomático y la técnica de las demostraciones (quizás en un curso de álgebra abstracta) pueden pasar a la sección 2.4 después de un repaso superficial de las secciones previas.

r.os NlJMl\ll<lS l(llAI 1111 .IH

Demostración. a) Se tiene que a i:- O, así que l/a existe. Sil/a== O, entonces 1 =a· (1/a) =a· O= O, contradiciendo la propiedad (M3). Por tanto, l/a * O Y puesto que (1/a) ·a= 1, el teorema 2.1.3 b) indica que 1/(1/a) == ~·

b) Si ambos miembros de la ecuación a· b =a· e se multiplican por l/a y se aplica la propiedad asociativa (M2), se obtiene

((1/a) ·a)· b = ((l/a) ·a)· c.

2.1.6 Teorema. Sean a, b, e, elementos de R. a) Si a i:- O, entonces l/a * O y l/(l/a) =a. b) Si a· b ==a· e y a * O, entonces b =c. c) Si a · b =O, entonces a =O o b =O.

Las deducciones formales de las propiedades de campo se concluyen con los siguientes resultados importantes:

Q.E.D. l'or tanto, la afirmación se sigue del inciso e) con a= l.

(1). (1) = (1).

Axi, por el teorema 2.1.3 a), se concluye que (1) ·a= -a. e) Por (A4) se tiene (-a) + a = O. Por tanto, según el teorema 2.1.3 a) se

deduce que a= (a). d) En el inciso b) se hace la sustitución a== l. Entonces

l'•ll tanto, por el teorema 2.1.2 a), se concluye que a· O== O. h) Se usa (D), junto con (M3), (A4) y el inciso a), para obtener

a+ (1) ·a= 1 ·a+ (1) ·a

= (1 + (1)) ·a== O· a== O.

= a · (1 + O) == a · 1 == a.

lkrnostración. a) Por (M3) se sabe que a · 1 = a. Luego, al sumar a · O Y 11pli1·:1r (D), se obtiene

a+a·O=a·l+a·O

1..1.S · teorema. a) Si a es un elemento cualquiera de R, entonces: 11) 11·0=0, b) (-l)·a=-a, 1·) (o)= a, d) (1) · (1) =l.

l•n 111•, 111•1111·rn1·111as csl;1hkcidos hasta este punto se han considerado las pro pli•tli11lt"1 dr la 11dld{111 y la multiplicación por separad~. Para :xa~in~r la interac 1 ¡1,111·11111· l11N d(i~ op1.:raciones se debe emplear la propiedad distributiva (D). Esto '" ll11~.t111 r11 rl siguiente teorema.

41 1 /\ll l'llOl'li/,ll/\1)11.~i/\l,(ll•.llRAl('/\S 1)1', 11

Q.E.D.

(a)+ (a+ xi)= (-a+ a)+ xi= O+ Xi= Xi·

Se concluye por tanto que xi== (a)+ b. La demostración del inciso b) se deja como ejercicio.

(a)+ (a +x1 =(-a)+ b)

Si ahora usamos (A2), (A4) y (A3) en el primer miembro, obtenemos

Jo cual indica que x =(a) +bes una solución de la ecuación a + x = b. Para probar que es la única solución, si se supone que x1 es soluciór. de la ecuación entonces a +xi = b, y si se suma -a en ambos miembros, se obtien e

a+ ((-a)+ b) =(a+ (-a))+ b :=O+ b = b,

Demostración. Aplicando las propiedades (A2), (A4) y (A3) se obtiene

2.1.4 Teorema. Sean a, b elementos cualesquiera de R. Entonces: a) la ecuación a + x = b tiene la solución única x = (a) + b; b) si a '16 O, la ecuación a· x;:;; b tiene la solución única x = (l/a) · b.

Si las propiedades precedentes se consideran en términos de la resolución de ecuaciones, se observa que (A4) y (M4) permiten resolver las ecuaciones a+ x ==O y a · x == 1 (cuando a * O) para x, y que el teorema 2.1.3 indica que las soluciones son únicas. El siguiente teorema muestra que el segundo miembro de estas ecuaciones puede ser cualquier elemento de R.

S1.: concluye por tanto que b =-a. La demostración del inciso b) se deja como ejercicio. Obsérvese el uso de la

hipótesi» <I F O. Q.E.D.

(a)+ O= -a.

si se aplica (A3) al segundo miembro, se obtiene

(a)+ (a+ b) =(a)+ O.

Si se aplican (A2), (A4) y (A3) en el primer miembro, se obtiene

(a)+ (a+ b) =((-a+ a)+ b =O+ b = b;

Demostración. a) Si a + b =O, entonces se suma -a a ambos miembros para obtener

b) Si a * O y b son elementos de R tales que a · b = 1, entonces b = l/a. b =-a.

2.1.3 Teorema. a) Si a y b son elementos de R tali:» 'I"'' 11 1 /, O, n1t1111C<'s

LOS NI IMl·.HON lll\1\1 1

y


1! Demostrar el inciso b) del teorema 2.1.2. 2/ Demostrar el inciso b) del teorema 2.1.3. 3/Resolver1as ecuaciones siguientes, y justificar cada paso haciendo referencia

a una propiedad o teorema pertinente. a) 2x + 5 = 8, b) 2x + 6 = 3x + 2,

¡e) x2 = 2x, d) (x l)(x + 2) =O: 4. Demostrar que si a, b ER, entonces

@(a+ b) =(a)+ (b). b) (a)· (b) =a· '': . e) 1/(a) = (1/a) si a i= O, d) -(a/b) = (-a)/b si b-=!= O.

S~i a ER satisface a· a= a, demostrar que a= O o bien a= l. 6.' ~i a i= O y b i= O, demostrar que 1/(ab) = (l/a) · (l/b). 7./usar el razonamiento de la demostración del teorema 2.1.7 para probar que

no existe un número racional s tal que s2 = 6. 8. Modificar el razonamiento de la demostración del teorema 2.1.7 para probar

).!ue no existe un número racional t tal que t2 = 3. 9. Demostrar que si; E Res irracional y r i= O es racional, entonces r + ; y

r,; son irracionales.

Demostración. Supóngase, por el contrario, que p y q son enteros tales que (¡i/q)2 = 2. Se puede suponer que p y q son positivos y que no tienen factores enteros comunes diferentes de l. (¿Por qué?) Puesto que p2 = 2q2, se ve que p2 es. par. Esto significa que p también es par (porque si p = 2n + 1 es impar, entonces su cuadrado p2 = 4n2 + 4n + 1=2(2n2 + 2n) + 1 también es impar). Así, puesto que p y q no tienen a 2 como factor común, q deber ser un número natural impar.

Como p es par, entonces p = 2m para alguna m EN y, por tanto, 4m2 = 2q2, de donde 2m2 = q2. Por lo tanto, q2 es par, y por el razonamiento del párrafo anterior se sigue que q es un número natural par.

En consecuencia, se ha llegado a una contradicción; al hecho de que ningún número natural puede ser a la vez par e impar. Q.E.D.

2.1.7 Teorema. No existe un número racional r tal que r2 = 2.

q1w 1111 \'r11(111 rn Q llt.:g(\ a conocérsclcs como números Irracionales, para dar a A d 1 bl u : • l" l'lll(·11tlvl' quu no son cocientes <le enteros. un cuan o e voca o irraciona

1l1·11t· 1111 slgnif'icado muy diferente en los idiomas modernos, se adoptará el uso 11111ll'1i1(llico común ele este término.

Su terrninu esta sección con la demostración del hecho de que no existe un 1111111un) racional cuyo cuadrado sea 2. En la demostración se usarán las nociones ik números pares e impares. Recuérdese que un número natural es par si tiene la f\mn:i 211 para alguna n EN, y es impar si tiene la forma 2n + 1 para alguna n EN. 'Iodo número natural es par o bien impar, y ningún número natural es a la vez par 1· i 111par.

43 1 AH l'IU li'l 1 (Pi\l ll(S i\l ,( 111.I \J{l\IC 'i\S 1)1\ U

Se considera al conjunto de los números naturales como un subconjunto de R al identificar al número natural n EN con la suma repetida n veces del elemento unitario. De manera similar, se identifica a O E Z con el elemento cero de R, y a la suma repetida n veces de 1 la identificamos con el entero -n. Por consiguiente, se considera a N y Z como subconjuntos de R.

A los elementos de R que se pueden escribir en la forma b]a, con a, b E Z·y a -=!= O se les llama números racionales. El conjunto de todos los números raciona les en R se denotará por la notación ordinaria Q. La suma y el producto de dos · números racionales es otro número racional (demostrar este hecho) y, además, se puede demostrar que las propiedades de campo mencionadas al principio de esta sección son válidas para Q.

El hecho de que haya elementos en R que no están en Q no se percibe de inmediato. En el siglo VI A. de c. la antigua sociedad griega de los pitagóricos descubrió que la diagonal de un cuadrado con lados unitarios no se podía expresar como un cociente de enteros. De acuerdo con el teorema de Pitágoras para triángu los rectángulos, esto significa que no existe ningún número entero cuyo cuadrado sea igual a 2. Este descubrimiento tuvo un profundo impacto sobre el desarrollo de las matemáticas en Grecia. Una de sus consecuencias es que a los elementos de R

Números racionales e Irracionales

para toda m, n EN. Si a -=!= O, se usará la notación a-1 para l/a, y sin EN, se escribirá a-11 en lugar de (l/a)11, cuando sea conveniente.

Los teoremas anteriores representan una muestra pequeña pero importante de las propiedades algebraicas de los números reales. Es posible deducir muchas con secuencias adicionales de las propiedades de R, algunas de las cuales se presentan en los ejercicios.

La operación de sustracción se define por a -b :=a+ (-b) para a, ben R. De manera similar, para a, ben R, con b-=!= O, la división se define por afb :=a· (1/b). Posteriormente, se usará esta notación ordinaria para la sustracción y la división y se usarán con libertad las propiedades comunes de estas operaciones sin mayor elaboración. Asimismo, en adelante por lo general se omitirá el uso del punto para denotar la multiplicación y se escribirá ab en lugar de a · b. Como es usual, se escribirá a2 para aa, a3 para (a2)a; en términos más generales, paran EN se define a''" 1 :=(a")· a. Se adopta la convención de que a0 = 1 y de que a1 =a para toda a ER. Se deja como ejercicio para el lector demostrar (por inducción) que si a ER, entonces

Por tanto, 1 · b = 1 · e que es lo mismo que b =c. e) Basta suponer que a -=!= O y deducir que b =O. (¿Por qué") l'ucsto que

a · b = O =a · O, se aplica el inciso b) a la ecuación a · b = a · O para concluir que b =O si a -=!= O. o.E.D.

1.0S NÚMHl{üS RH/\LW 42

Demostración. a) Si a - b e P y b - e E P, entonces 2.2.1 i implica que (a - b) + (b - e)= a - e pertenece a P. Por tanto, a> b.

b) Por la propiedad de tricotomía 2.2. l iii, ocurre exactamente una de las siguientes posibilidades: a - b E P, a - b = O, -(a - b) = b - a E P.

2.2.4 Teorema. Sean a, b, e elementos de R. a) Si a > by b > e, entonces a > c. b) Exactamente una de las siguientes afirmaciones se cumple: a> b, a= b,

a< b. e) Si a ;;;. by b ~ a, entonces a = b.

Propiedades del orden Se establecerán ahora algunas de las propiedades básicas de la relación de

orden en R. Estas son las conocidas "reglas de las desigualdades" que el lector ha usado en cursos de matemáticas anteriores. Se usarán con frecuencia en las seccio nes posteriores.

etcétera.

a< b < d,

Asimismo, si a "" by b < d, se escribirá

a"" b ""c.

p:1r;i indicar que se satisface tanto a b o b <a. ¡¡ Si a - b e P U {O}, entonces se escribe a;;;. b o b <.a. l'ura simplificar la notación, se escribirá

J..J..J, l)dluklllu. Si o ( /',si.; dice que a es u11 número real positivo (o estríe 1 irnu•ul•• ¡w¡¡Ulvo) y St'. escribe o ,.;.- O. Si a E PU {O} , se dice que a es un número . 11 111 no 1u1{11Uvo y se escribe 11 ;;;. O.

SI 11 1 /',si.; dice que a es un número real negativo (o estrictamente negati. \'O) y ~:l' escribe a <O. Si -a e P U {O}, se dice que a es un número real no poNlllvo y se estribe a "" O. , .

:·k introduce ahora la noción de desigualdad entre elementos deR en termmos 1li·I n•11ju11lu Pele elementos positivos.

11\~1l'lll11'11 llAl 11•111 ll( 01(1 ll•N 1 ll• U

Las dos primeras propiedades aseguran la compatibilidad del orden con las operaciones de adición y multiplicación, respectivamente. A la condición iii se le conoce como propiedad de tricotomía, ya que divide a R en tres tipos de elemen tos distintos. Establece que el conjunto {a: a E P} de los números reales negati vos no tierie elementos en común con P y, además, que el conjunto Res la unión de tres conjuntos disjuntos.

-aEP. a= O, aEP,

2.2.1 Las propiedades de orden de R. Existe un subconjunto no vacío P de R, llamado el conjunto de los números reales positivos, que satisface las siguien tes propiedades:

i Si a, b pertenecen a P, entonces a + b pertenece a P. ii Si a, b pertenecen a P, entonces ab pertenece a P. iii Si a pertenece a R, entonces se cumple exactamente una de las siguientes

afirmaciones:

Las propiedades de "orden" de R se refieren a las nociones de positividad y desigualdades entre números reales. Como en el caso de la estructura algebraica del sistema de los números reales, se procede aislando varias propiedades básicas a partir de las cuales es posible deducir otras propiedades de orden y las operacio nes con desigualdades. La manera más sencilla de hacerlo es identificando un subconjunto especial de R mediante la aplicación de la noción de "positividad".

SECCIÓN 2.2 Las propiedades de orden de R

10/si x y y son números racionales, demostrar que x. +y y .1y SD11 uuionalcx. 11/si x y y son números irracionales, demostrar que no se sigue que x +y y xy

,son irracionales. 12/ Sea B una operación binaria en R. Se dice que B:

i es conmutativa si B(a, b) = B(b, a) para toda a, ben R. ii es asociativa si B(a, B(b, c)) = B(B(a, b), c) para toda a, b, e en R. iii tiene un idéntico si existe un elemento e e R tal que B(a, e)= a = B(e, a) para toda a e R. Determinar cuáles de estas propiedades son válidas para las siguientes opera ciones binarias, definidas para toda a, b e R por: a) B1(a, b) :=~(a+ b), b) Bi(a, b) := ! (ab), e) B3(a, b) :=a - b, d) Bia, b) := 1 + ab.

13/ Se dice que una operación binaria B en R es distributiva sobre la adición si satisface B(a, b +e)= B(a, b) + B(a, c) para toda a, b, e en R. ¿Cuáles (en caso de haberlas) de las operaciones binarias dadas en el ejercicio 12 son distributivas sobre la adición?

14/ Usar la inducción matemática para demostrar que si a E R y m, n e N, enton ces a'"" 11 = a"'a" y que (a111)11 = a11111•

15. Demostrar que un número natural no puede ser a la vez par e impar.

LOS NUM1mos 1(11.i\l Pll 44

2.2.9 Teorema. Si a ER es tal que O ,,; a < E para todo número positivo E,

entonces a =O.

Los dos resultados siguientes se usarán más adelante como métodos de de mostración. Por ejemplo, para demostrar que un número a ~ O es igual a O, por el resultado siguiente se observa que basta probar que el número a es menor que un número positivo cualesquiera.

Q.E.D. Demostración. Se hace a= O en 2.2.7.

2.2.8 Corolario. Si b ERy b >O, entonces O< ib < b.

Vale la pena mencionar que las propiedades de orden elementales que se han establecido hasta este punto bastan para demostrar que no puede existir un número real positivo mínimo. Esto se demuestra de la manera siguiente.

· Q.E.D. a= ~(2a) < i(a + b) < ~(2b) = b.

Por 2.2.5 e) se tiene que 2 >O y, así, por 2.2.6 d), se tiene que!> O. Por tanto de 2.2.6(d)}se infiere que

u (c.)

2a <a+ b < 2b.

Demostración. Puesto que a < b, de 2.2.6 a) se sigue que 2a =a +a < a + b y también que a + b < b + b = 2b. Por lo tanto se tiene

2.2.7 Teorema. Si ay b están en R y si a< b, entonces a<~ (a+ b) < b.

Al combinar 2.2.5 e) y 2.2.6 d) se observa que el recíproco l/n de cualquier número natural n es positivo. Por consiguiente, los números racionales que tienen la lorrna m/n = m(l/n), donde m y n son números naturales, son positivos.

1·¡ Si11 ¡,,/'y('( /',e11lo11cescach=c(ab)EPpor2.2.liiy,portanto, cu ('/¡ cunndo (' • o.

l'(ll' 011·a parte, si('< O, entonces e E P, de modo que cb- ca"' (c)(a b) E P. l'or lu1ll(I, ch » ca cuando c < O.

d) Si a .,., O, entonces a =F O (por la propiedad de .tricotornía), de modo que 1¡11 /()por 2.J.6a). Sil/a< O, entonces el inciso e) con c = l/a indica que 1 =

11( 1 /11) <O, que contradice 2.2.5 b). Por lo tanto, se tiene l/a >O, ya que las otras d(ls posibilidades se han excluido.

De manera similar, si a< O, entonces la posibilidad 1/a >O lleva de nuevo a la l'1,11tradicción 1 = a(l/a) <O. Q.E.D.

4'1 1 1\h l'IHll'l Jl,11¡\I Jl•,H 1111 ( 11w11,N 111•, 11

Demostración. a) Si a - b EP, entonces (a+ c) (b +e)= a - b está en P. Por tanto a + c > b + c.

b) Si a - b EP y e - d EP, entonces (a+ c) - (b + d) =(a - b) + (c - d) también pertenece a P por 2.2.1 i. Por tanto; a+ e > b +d.

2.2.6 Teorema. Sean a, b, e, d elementos de R. a) Si a > b, entonces a + c > b + c. b) Si a > by e > d, entonces a + e > b + d. e) Si a >by c > O, entonces ca > cb.

Si a > by c < O, entonces ca < cb. d) Si a >O, entonces l/a >O.

Si a < O, entonces 1/a < O.

Las propiedades siguientes relacionan el orden en R con la adición y la multi plicación. Proporcionan parte de las herramientas que se emplearán para trabajar con desigualdades.

de donde se deduce que a2 EP. Se concluye que si a -:/=O, entonces a2 >O. b) Puesto que 1 = (1)2, el inciso a) indica que 1 >O. e) Se aplica la inducción matemática. La validez de esta afirmación con n = 1

no es sino el inciso b ). Si se supone que la afirmación es cierta para el número natural k, entonces k EP. Puesto que 1 EP, se tiene entonces que k + 1EPpor2.2.1 i. Por tanto, la afirmación es cierta para todos los números naturales. Q.E.D.

(-a)(-a) = ((l)a)((l)a) = (1)(1) · a2 = a2,

Demostración. a) Por la propiedad de tricotomía si a i= O, entonces a E P, o bien, -a E P. Si a E P, entonces por 2.2 ii se tiene que a2 = a · a E P. De manera similar, si -a EP, entonces por 2.2.1 ii se tiene que (-a)(-a) EP. De 2.1.5 b) y 2.1.5 d), se sigue que

2.2.S Teorema. a) Si a ER y a -:/=O, entonces a2 >O. b) 1 >o. . e) Sin EN, entonces n >O.

Es natural esperar que los números naturales sean positivos. Se demuestra a continuación de qué manera esta propiedad se deriva de las propiedades básicas dadas en 2.2.1. La observación clave es que el cuadrado de cualquier número real diferente de cero es positivo.

e) Si a -:/= b, entonces a - b-:/= O, de donde por el inciso b) su 1 lunc111 ¡, r /',o bien, b - a EP; es decir, a > b, o bien, b >a. En cualquiera de los dos casos, una de las hipótesis se contradice. Por lo tanto, se debe tener que a = b. Q.E.D.

l.OS NlJMlmos lll\/\i .1111 tl<i

~ deberá leerse "si y sólo si". t El símbolo

b) Si a y b son números reales positivos, entonces su meó'ía aritmética es Ha+ b) y su media geométrica es,,¡¡¡[y. La desigualdad de la media aritmética geométrica para a, b se muestra al inicio de la página siguiente.

(1 ')

Se considera el caso en que a > O y b > O, dejando el caso a= O para el lector. De 2.2.1 i se deduce que a+ b >O. Puesto que b2 - a2 = (b - a)(b +a), de 2.2.6 e) se infiere que b - a > O implica que b2 - a2 > O. Asimismo, de 2.2.11 se sigue que b2

- a2 > O implica que b - a > O. Si a > O y b > O, entonces -Ja > O y -Jb > O. Puesto que a = ( -fa)2 y b = (-Jb )2,

la segunda implicación es una consecuencia de la primera cuando a y b se sustitu yen por -i: y .¡-b, respectivamente.

También se deja al lector la demostración de que si a ~ O y b ~ O, entonces

.i:« -n. a a2 < b2 <=> ( l)

2.2.14 Ejemplos. a) Sean a ~ O y b ~ O. Entonces

En los ejemplos siguientes se usan las propiedades de orden deR para estable 1·1,;r desigualdades. El lector deberá verificar los pasos seguidos en los razonarnien l1>s identificando las propiedades que se aplicaron. Estos resultados son de interés ¡H•r derecho propio y se usarán con frecuencia en las explicaciones posteriores. Cabe hacer notar que la existencia de las raíces cuadradas ele números reales estricta merite positivos aún no se establece de manera formal; sin embargo, se supone su existencia aquí con objeto de poder explicar los ejemplos. (La existencia de las 1 aíces cuadradas se estudiará en Ia sección 2.5.)

1Sv111l::v1 v11 q111· 1 < 1\ <~ > 2.x + 1 ~ (J <=> 2x ~ 3 <=> x ~~-Por lo 1111110, ~:(' 1ir11l· q111,; !\ · {x eU: x ~ i}.

h) 1 lL"lcrn1i11ar el conjunto B := {x ER: x2 + x > 2}. 1 .11 (k:sigu;ildnd se reescribe de tal modo que se pueda aplicar el teorema 2.2.11.

! >lt::nvrn.; que x E B <=> x2 + x - 2 >O <=> (x- l)(x + 2) >O. Por lo tanto, •,1· 1 irne i x- 1 > O y x + 2 > O, o bien, se tiene ii x - 1 <O y x + 2 < O. En el caso 1 :.l' elche tener tanto x > 1 como x > 2, que se satisfacen si y sólo si x > 1. En el 1 .i1:11 ii se debe tener tanto x < 1 como x < 2, que se satisfacen si y sólo si x < 2. :;!' concluye que B = {x ER: x > 1} U {x e R: x <2}.

e) Determinar el conjunto e:= {x ER: (2x + l)/(x + 2) < l}. Se observa que 1 , (' <=> (2x + l)/(x + 2) 1 < O <=> (x - 1)/(x + 2) < O. Por lo tanto, se

1 irnu i x - l < O < O y x + 2 > O, o bien, ii x - 1 > O y x + 2 < O (¿por qué?). En 1•1 cuso i se debe tener tanto x < 1 como x > 2, que se satisfacen si y sólo si 2 <

1 • 1. En el caso ii se tienen tanto x > 1 como x < 2, que nunca se satisfacen. Se roucluye que e= {x ER: 2 <X< 1}.

11<1

2.2.ll.3 Ejemplos. a) Determinar el conjunto A de todos los números reales x tales que 2x + 3 ~ 6.

Se muestra a continuación la manera en que se pueden usar las propiedades de orden establecidas en esta sección para "resolver" ciertas desigualdades. El lector deberá justificar cada uno de los pasos.

Desigualdades

La demostración se deja como ejercicio para el lector.

2.2.12 Corolario. Si ab < O, entonces i a < O y b > O, o bien ii a> O y b <O.

Q.E.D. De manera similar, si a< O, entonces l/a de donde b = (1/a)(ab) <O.

Dem_ostración. Se observa primero que ab > O indica que a o¡. O y que b o¡. O (ya que si a o b es O, entonces su producto es O). Por la propiedad de tricotomía a > O, o bien, a < O. Si a > O, entonces l/a > O por 2.2.6 d) y, por lo tanto, '

b = 1 · b = ((1/a) a)b = (1/a)(ab) > O.

2.2.11 Teorema. Si ab > O, entonces a) a >O y b >O, o bien b) a< Oy b <O.

El producto de dos números reales positivos también es positivo. Sin embar go, el carácter positivo de un producto de dos números reales no significa que los factores separados sean positivos. La conclusión correcta es que los factores deben tener el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), como se demuestra en seguida.

Q.E.D.

Demostración. Supóngase por el contrario que b <a y sea Ea :=~(a - b). Entonces E0 >O, y se deja como ejercicio demostrar que b <a - E , lo cual contra dice la hipótesis. 0

2.2.JlO Teorema. Sean a, b E R, y suponer que a - E O. Entonces a ~ b.

Q.E.D.

·IH l.OS NUMl'.HClS Hl(l\1.1111 ~10<Eo<Zl ( D.emosfraciórn. Sup~ngase por el co~trari~ que a> U. l~nlo11c·<':1 dvl ('11n•l.;1riu ''~:_~:_8 ~~uc~ que O< 2a <a. Ahora bien, sr se hace E0 :=ja, entonces se tiene

que ~~~9· Por lo tanto, es falso que a <E para toda E> O. Se concluye que a= O. ·

t El resto de esta sección se puede omitir en una primera lectura.

e) La desigualdad del triángulo. Sin EN y a1, ... , a11 y b1, ... , b11 son números reales, entonces

a1 sb1 =O, ... , a,, -sb,, =O

de donde se infiere que aj= sbj para toda}= 1, ... , n.

debe satisfacer L1 ~ O. Por consiguiente, se debe tener B2 ~ AC, que es precisa mente (5).

Si b =O para toda}= 1, ... , n, entonces ocurre la igualdad en la expresión (5) para cua] quier elección de las ªr Supóngase ahora que no todas las b =O (j = 1, ... , n ). Se ve de inmediato que si aj = sbj para alguna s E R y toda j = 11, ... , n, entonces nrnbos miembros de (5) son iguales a s2(bf + · · · + b;)2. Por otra parte, si se cumple la igualdad en (5), entonces se debe tener L1 = O, por lo que existe una raíz únicas de la ecuación cuadrática F(t) =O. Pero esto significa (¿por qué?) que

L1 := (2B)2 4AC = 4(B2 -AC)

l 'ucslo que la función cuadrática F(t) es no negativa para toda t E R, no puede tener d11s raíces reales diferentes. Por lo tanto su discriminante

B :=a b +···+a b 1 1 n n' e := bf + · · · + b'/;. ¡\ := a2 + ... + a2 1 n>

d1111(k se ha hecho

F(t) =A - 2Bt + Ct2 ~ O, .

F(t) := (a1 tb1)2 +···+(a" - tb11)2.

1 >i· .:.2.5 a) y 2.2. l i se concluye que F(t) ~ O para toda t E R. Al desarrollar los 1 uudrados se obtiene

1\tl1"11l(is, si 110 todas las b. =O, entonces la igualdad de (5) ocurre si y sólo si existe • J

1111 numero s ER tal que a1= sb., ... , a11 = sb. · Para demostrar esto se define la función F: R--+ R para t E R por

ta.b +···+a b )2 ~ (a2 + · · · + a2)(b2 + · · · + b2). l 11 ¡¡ 1 ¡¡ 1 fl

I· d) Ocsigualdad de Cauchy, Sin EN y al' ... ,a11 y b1, ... ,b11 son números Jl'1tl1•::, cnlonccs:

11111 1111110, :w deduce la desigualdad (4) paran+ l. En consecuencia, la desigual ilnd 1'11 v(ilid11 pnra toda n EN

( 1 1 .1 )" ' 1 ~ ( 1 I· x)"( 1 + x) ~, ( 1 + nx)( 1 + x) = l + (n + l)x + nx2

~ 1 +(n+l)x.

51 11\:l l'ltul'llO );\111.:~ 1>11 01(1)1',N 1 >11./i

La demostración se hace por inducción matemática. El caso n = 1 produce la igual dad, de donde la afirmación es válida en este caso. Por tanto, se supone la validez de la desigualdad ( 4) para un entero positivo n, y se obtendrá para 11 + l. La hipó tesis (1 + x)11 ~ 1 + nx y el hecho de que 1 + x > O indican que

(1+x)11~1 + nx para toda 11 EN. (4)

c) Desigualdad de Bernoulli, Si x > 1, entonces

donde la igualdad ocurre si y sólo si a1 = a2 = · · · = a . Es posiole probar este enunciado más general usando la inducción matemáticapero la demostración es un tanto intrincada. Una demostración más elegante que usa las propiedades de la función exponencial se presenta en el ejercicio 8.3.9.

n I/ ª1 + ª2 + ... +a"

( a a · .. a ) n .::: 1 2 n "" (3)

Observación. La desigualdad de la media aritméticageométrica general para los números reales positivos a 1, a2, •.• , a11 es

O= a2 - 2ab + b2 =(a - b)2.

Pero esta igualdad indica que a = b (¿por qué?). Por tanto, la igualdad de (2) significa que a = b.

de donde se deduce que

4ab =(a+ b)2 = a2 + 2ab + b2,

.J"aE <Ha+ b).

Por lo tanto (2) es válida (con la desigualdad estricta) cuando a* b. Además, si a = b(> O), entonces ambos miembros de (2) son iguales a a, de donde (2) se convierte en igualdad. Con esto se demuestra que (2) es válida para a > O, b > O.

Por otra parte, supóngase que a> O, b >O y que -lab =Ha+ b). Entonces, al elevar al cuadrado ambos miembros y multiplicarlos por 4, se obtien~

de donde se sigue que

donde la igualdad ocurre si y sólo si a = h. Para demostrar este hecho, obsérvese que si a > O, b > O y a * b, entonces

..j{¡ > O, -Ji. > O y ..Ja * -Ji, (¿por qué?). Por lo tanto, de 2.2.S(a) se infiere que (.Ja - ..Jb)2 * O. Al desarrollar el cuadrado se obtiene

a - 2 ,.;a¡;+ b >O,

,,J ab ~ Ha + b) (2)

1,0S NillVJl!IUl11IWAl11t

2.3.2 Teorema. a) lal = O si y sólo si a = O. b) 1al =!al para toda a ER. e) !abi = lal lbl para toda a, b ER. el) Si e ~ O, entonces ¡al. ~ e si y sólo si -e ~ a ~ c. e)lal <.a «: !al para toda a ER.

Por ejemplo, 131 = 3 y l21 = 2. De la definición se observa que !al ~ O para toda a ER. Asimismo, la! =a si a ~O y lal =-a si a ~O.

ia1:= a si a> O, :=o si a= O, :=-a si a< O.

2.3.1 Definición. Si a ER, el valor absoluto de a, denotado por lal, está .Icfinido por

' La propiedad de tricotomía 2.2.1 iii garantiza que si a ER y a =fa O, entonces 1•xactamente uno de los números a y -a es positivo. El valor absoluto de a =fa O se 1 k J'i ne como el número que sea positivode los dos. El valor absoluto de O se define ('111110 o.

SIEOCRÓN 2.3 Valor absoluto

.W. Suponiendo la existencia de las raíces, demostrar que si e > 1, entonces c1j"' < c1¡"' si y sólo si m > n.

~c1 +c2+ ···+e,,.

c1+c2+···+c,. [ . ¡112 ¡;; ~ cf + e~ + · · · +e;.

111/ Sea e,> (lpara k = 1, ... , n. Demostrar que

n.2~ (c1 +c2+ ···+e,.)(~+~+ ... +~). , C¡ c2 C11

1 1' 1:1 t' 1, dr111nf:lrnr que .:" , r: para toda 11 EN. (Considerar la clesigualclacl ele l1t•1111111lli cuu ,. = 1 + x.)

l ·I ( : :1 1' • 1 y"'· 11 '· N, demostrar que e"' > e" si y sólo si m > n. l 1•1 SI O 1· ·• 1. demostrar que e"~ e para toda n EN. 1 t1( Si 1) • e< 1 y 111, n EN, demostrar que cm< en si y sólo si m > n. 1 / .. Sl 11 • IJ, IJ >O y 11 EN, demostrar que a< b si y sólo si an < b" .. IH,· S1:111·k: ·O para k = 1, ... , n. Demostrar que

5'.'I VAl,(11{ AllSOl.lJ'l'O


1!a) Si as; by e< d, demostrar que a+ o< b +d. b) Si a ~by e~ d, demostrar que a+ e~ b +d.

2! a) Si O <a <by O < c.< d, demostrar que O < ac < bd. b) Si O< a <by O~ e~ d, demostrar que O~ ac ~ bd. Probar asimismo ·

¡por medio de un ejemplo que no se deduce que ac < bd. · 3. Si a < b y e < d, demostrar que ad+ be < ac + bd. / . . 4. Encontrar los números a, b, e, den R que satisfacen O < a < by e < d < O y

/ i ~~ < bd, o bien, ii bd < ac. · . . , · 5/S1 a, b ER, demostrar que a2 + b2 =O si y solo si a= O y b =O. 6. Si O ~a < b, demostrar que a2 ~ ab < b2. Probar asimismo por medio de un

ejemplo que 110 se deduce que a2 < ab <tb', , 7)D.emostrar que si.º< a< b, entonces a< .JJJ< by O< 1/b < l/a. 8jS1 n. EN, demostrar que 112 ~ n y, por tanto, 1/n2 ~ l/n. 9. Encontrar todos los números reales x tales que:

aj~>~+~ ~1<~<~ / c) l/x < .-.r, . d) l/x < x2.

10. Sean a, b ER y suponer que para toda E> O se tienezz ~ b•+ E. a) Demostrar que a ~ b.

/ b) Demostrar que no se infiere que a< b. 11. Demostrar que G(a + b))2 ~ ~(a2 + b2) para toda a, b ER. Demostrar que la )gualdad ocurre si y sólo si a = b.

12. a) Si O < e< 1, demostrar que O < c2 < e < l. b) Si 1 <e, demostrar que 1 <e< cz.

que es la expresión (6). _: Si ocurre la igualdad en (6), entonces se debe tener B = ..fAC, por lo que la igualdad se cumple en la desigualdad de Cauchy. ·

. 2] 1/2 '(7 e: + ( a1, + b,.) < vA + vC,

+(a,.+ b,.)2 = Á + 2B+ C ' 2

<A+ 21.AC +e= (v'A + IC) . De acuerdo con el inciso a) se tiene (¿pÓr qué?)

Además, si no todas las b = O, entonces la igualdad de (6) se cumple si y sólo si • , J 1

existe un numero s tal que a = sb ... · a = sb . : 1 1' ' n n Puesto que (ai + b/ =aj+ 2ai1 + bJ para}= 1, ... , n, de la desigualdad de

Cauchy (5) se deduce que [si A, By C son como en el inciso precedente d)] se tiene

[(a1 + h1)2 + +(a,.+ b,.)2]•/~

~ ·[a2 + +a2] 1;2 + [b2 + ... +b2] 1;2 ..:::. l 11 l \ " .

(6)

l.OS N\JMl(l{l\l~ NI 1\11 t;j 52

De la desigualdad del triángulo se obtiene

l2x2 3x + 11 :o:;; 2lx/2 + 3lxl + 1 :o:;; 2 · 32 ! 3 · 3 + 1 = 28

l2x2 - 3x + 11 IJ(x)I= l2xll

c) Supóngase que la función/ está definida por f(x) := (2x2 - 3x + 1)/(2x1) para 2 :o:;; x :o:;; 3. Encontrar una constante M tal que 1 f(x)I :o:;; M para toda x que satisface 2 :o:;; x :o:;; 3.

Se consideran por separado el numerador y el denominador de

Hay otro método para determinar el conjunto B, el cual se basa en el hecho de que 11 < b si y sólo si a2 < b2 cuando a » O y b ~O. (Ver 2.2.14 a).) Por tanto, la desigual dad .x - 1 < lx1 se satisface si y sólo si ix - li2 < lx12• Puesto que a12 = a2 para cualquier a (¿por qué?), se puede desarrollar el cuadrado para obtener x2- 2x + 1 < x2, expresión que al simplificarse queda como x > ~· Por tanto, se encuentra de nueva cuenta que B = {X E R: X > n. Este procedimiento de elevar al cuadrado puede resultar conveniente bajo ciertas circunstancias, pero en la mayoría de las situaciones no es posible evitar un análisis de caso cuando se trabaja con valores absolutos .

2.3.6 Ejemplos. a) Determinar el conjunto A de todos los números reales x q11L' satisfacen 12x + 31 < 6.

l 'nr 2.3.2 d) se observa que x EA si y sólo si 6 < 2x + 3 < 6, que se satisface ·.i y sólo si 9 < 2x < 3. Al dividir entre 2, se concluye que A = {x E R: - ~ < x

~ ) . b) Determinar el conjunto B := {x ER: !x l] < jx!}. Un procedimiento es considerar los casos para los que los símbolos de valor

.ihsoluto se pueden omitir. Se toman los casos i x ~ 1, ii O :o:;; x < 1, iii x <O. (¿Por qué se eligieron estostres casos?) En el caso i la desigualdad se convierte en x- 1

x, que se satisface sin necesidad de más restricciones. Por lo tanto, toda x que x.uisface x ~ 1 pertenece al conjunto B. En el caso ii, la desigualdad se convierte en (x1) < x, que impone la restricción adicional de quex > 1· Por tanto, el caso ii incorpora en el conjunto B todas las x que satisfacen ] « x < 1. En el caso iii la desigualdad se convierte en -(x 1) < -x, que es equivalente a 1 <O. Puesto que esta proposición es falsa siempre, ningún valor de x considerado en el caso iii satis tncc la desigualdad. Al combinar los tres casos, se concluye que B = {x ER: X> n.

l ·~11 l11s ejemplos siguientes se muestra la manera en que se pueden usar las ¡ 111111il'dades anteriores.

2.J.S ( 'urulurlo. l'ara cualesquiera a 1, a2, ... , a en R, se tiene 1 n

55 v1\I c11t /\J1scH.11 ro

l!?ª aplicación directa de la inducción matemática generaliza la desigualdad del tnangulo para cualquier número finito de elementos de R.

. , Demostración. a) Se escribe a = a - b + b y se aplica la desigualdad del tnangulo para obtener 1 al = 1 (a - b) + al :o:;; ja bj + 1 bl. A continuación se resta ¡ bl para obtener /al lbl :o:;; ja b/. De manera similar, de la expresión lbl = lb-a+ a¡ :o:;; lb-:- aj + ial Y de 2.3.2 b), se obtiene la b/ = b - aj :o:;; lal lbl. Si se ~o~bman estas dos desigualdades, usando 2.3.2 d), se obtiene la desigualdad del lllCISO a).

b) Se sustituye b porben la desigualdad del triángulo para obtener¡ a - bl :o:;; lal + lb/. Puesto que /bl = lbl por 2.3.2 b), se obtiene la desigualdad del inciso b).

Q.E.D.

2.3.4 Corolario. Para cualesquiera a, b en R se tiene a) llal lbll :o:;; la bl. b) la bl :o:;; ial + jbj.

Hay otras variantes útiles de la desigualdad del triángulo. A continuación se presentan dos de ellas.

Q.E.D.

(lal + lbl) :o:;; a+ b :o:;; ial + jbj.

Por tanto, se tiene la + bl :o:;; !al + /bl por 2.3.2 d).

ja+ bj ~ !al+ lbl.

Demostración. Por 2.3.2 e) se tiene lal :o:;; a :o:;; jaj y /bj :o:;; b :o:;; lbJ. Enton ces, sumando miembro a miembro y usando 2.2.6 b ), se tiene

2.3.3 Desigualdad del triángulo. Para cualesquiera a y b en R se tiene

La desigualdad siguiente se usará con mucha frecuencia.

Q.E.D.

Demostración. a) Si a = O entonces 1 aj - O Ad· / · · ¡ ¡ • , . emas, s1 11 '• L'11l1111n:s -a :/- 0, de modo que la/ * O. Por tanto, si lal =O, entonces a = O.

_ b) Si a= O, en~onces IOI =O= 10¡. Si a> O, entoncesa< O, de donde tal= a - -(-~) = 1aj. S1 a< O, entonces -a> O, de modo que jaj =-a= 1aj.

c) S1 a o bes O, entonces tanto jabl como ja! lbl son iguales a cero. Si a> O y b >O, ent?nces ab > O, de donde labj = ab =!al lbl. Si a> O y b <O, entonces ab <.O, asi que Jabj = =ab = a (b) = ial lbl. Los otros dos casos se tratan en forma semejante.

d) Supóngase que [a] :o:;; c. Entonces se tiene tanto a ~e como -a :o:;; c. Recí procamente, si e~ a :o:;; e, entonces se tiene tanto a :o:;; e como -a :o:;; e (·por qué?) de donde jaj :o:;; c. e '

e) Se hace e= lal en el inciso d).

l .OS NllMl·l(OS 10•/\J 1 !: S4

Ejercícios de la sección 2,3

1( Sea a ER. Demostrar que se tiene: /a) !ai = .JG.2, b) 'a2i = a2.

2. Si a, b ER y b *O, demostrar que 'a/bl = [al/:bl. 3( Si a, b ER, demostrar que :a+ b¡ ='a! + :b! si y sólo si ab ~O. 4! Si x,y, z ER,x ~ zdemostrar que x< y< z si y sólo si !xy! + iyz, = ¡xz•.

Interpretar geométricamente este resultado. s/ Encontrar todas las X ER que satisfacen las siguientes desigualdades:

a) ¡4xs: ~ 13, b) :x211 ~ 3, e) x- li > ¡x + 11, d) ¡x¡ + ¡x + 1 < 2.

6/ Demostrar que /x - al < e si y sólo si a - e < x < a + e. 7/si a < x <by a< y< b,_demostrar que !x-y\ < b,- a. Interpretar gráfica

mente este resultado. s! Determinar y graficar el conjunto de los pares (x, y) en R x R que satisfacen:

a) :x = ly , b) :X' + lyi ::: 1, e) :xY: == 2, d) xi - 'Y' == 2.

9/ Determinar y graficar el conjunto de los pares (x, y) en R x R que satisfacen: a) x ~ ly , b) ·x: +'Y! ~ 1, e) xy ~ 2, d) ,x: - '.y ~ 2.

10( Sean e > O y 8 > O, y sea a ER. Demostrar que Ve(a) n V8(a) y Ve(a) U ¡V1/a) son vecindadesy de a para los valores apropiados de y. 11. Demostrar que si a, b ER y a * b, entonces existen las vecindadese U de a

y V de b tales que U n V= 0.

l'or tanto, si x, y pertenecen a las vecindadese de a, b, respectivamente, entonces .v +y pertenece a la vecindad2ede a + b (pero no necesariamente a la vecindade de a+ b).

l(x +y) - (a+ b)I = l(x a)+ (y b)I

~ lxal + lybl < 2e.

que

2.3.9 Ejemplos. a) Sea U:= {x: O< x < 1}. Si a E U, entonces sea sel menor de los dos números a y 1 a. Entonces Ve(a) está contenido en U. Por tanto cada elemento de U tiene alguna vecindade del mismo que está contenida en U.

b) Sil := { x: O ~ x ~ 1}, entonces para cualquier e > O la vecindade V/O) de O contiene puntos que no están en I y, en consecuencia, V/O) no está contenida en l. Por ejemplo, el número xe := -e/2 está en V/O) pero no en/.

e) Si lx aj < e y IY bl < e, entonces la desigualdad del triángulo indica

Demostr'aciúu. Si una x particular satisface lxal <e, entonces para toda r · O, por 2.2.9 se deduce que lx al = O y, por tanto, x = a. Q.E.D.

2.J.tt '1 bwcma. St'a a E R. Si x pertenece a la vecindad Ve( a) para toda E > O, 1°11/11111'1',\' ,\' 11.

57 \/A 1.01( Al ISOl .uro

FIGURA 2.3.2 VecindadE de a.

e~.~·:: .. E+:::·ifif:.;:",.,,.;;:.H%:.L*";:::::*'8.~>·.~·;;;·~:;;.~::e~.·;xc::,;~;.;g a-& a+t:

FIGURA 2.3.1 Distancia entre a = 2 y b = 3.

12 (3) I= s 1

4 3 2 o 4 3 2 1

(Ver la figura2.3.2.)

E < X - a < E <=> a - E < X < a + E.

Para a ER, la enunciación de que x pertenece a V (a) es equivalente a cual quiera de las proposiciones e

2.3.7 Deñnición, Sean a ER y E > O. Entonces la vecindadE de a es el conjunto Ve(a) := {x ER: lx al <E}.

Una interpretación geométrica conveniente y familiar del sistema de los nú meros reales es la recta real. En esta interpretación el valor absoluto lal de un elemento a de R se considera como la distancia de a al origen O. En términos más generales, la distancia entre los elementos a y b de Res la bl. (Ver la figura 2.3.1.)

Más adelante se necesitará precisar el lenguaje para analizar la noción de que un número real está "cerca de" otro, Si a es un número real dado, entonces al decir que un número real x está "cerca de" a significaría que la distancia lx al que los separa es "pequeña". Un contexto en el que es posible explicar esta idea lo propor ciona la terminología de las vecindades, que se definen a continuación.

La recta real

ya que lxl ~ 3 para las x bajo consideración. Asimismo, l 2x. 1 I ~ll.11 1 2 · 2 1 = 3 para lxl ~ 2. Ya que lxl ~ 2 para las x bajo consideración. De este modo,

· 1/l2x I] ~ ~ parax ~ 2. (¿Por qué?) Por lo tanto, para 2 ~ x ~ 3 se tiene 1 /(x)I ~ 28/3. Por consiguiente, se puede tomar M = 28/3. (Obsérvese que se ha encontrado ama de tales constantes: evidentemente, cualquier número M > 28/3 también satisfa rá 1 f(x)I ~ M. También es posible que 28/3 no sea el menor valor posible de M.)

LOS N (¡ M 1 'fü)S I{ Ht\ I ,J (11 :)11

FIGURA 2.4.2 Inf S y sup S.

cotas superiores de S cotas inferiores de S

Se deja como ejercicio importante para el lector establecer la validez de este lema. El lector también deberá enunciar y demostrar el resultado correspondien te para un ínfimo.

2.4.3 Lema. Un número u es un supremo de un subconjunto no vado S de R si y sólo si u satisface las dos condiciones:

1) s ~u para todas ES; 2) si u< u, entonces existe una s' ES tal que u < s'.

2.4.2 Definición. Sea S un subconjunto de R. i Si S está acotado por arriba, entonces se dice que una cota superior u es un

supremo (o una mínima cota superior) de S si ningún número menor que u es cota superior de S. (Véase la figura 2.4.2.) ·

ii Si S está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior w es un intimo (o una máxima cota lníeríor) de S si ningún número mqyor que wes cota inferior de S.

Será de utilidad reformular la definición del supremo de un conjunto.

l'or una cuestión de terminología, se dice que un conjunto en R está acotado pon arriba si tiene una cota superior. De manera similar, si un conjunto en R tiene 1111:1 cota inferior, se dice que está acotado por abajo. Si un conjunto deR tiene tanto nil:1 superior como inferior, se dice que está acotado. Se dice que un conjunto de U es no acotado si carece de una cota superior o de una cota inferior. Por ejemplo, c·I conjunto {x ER: x ~ 2} es no acotado (aun cuando está acotado por arriba) pues 110 está acotado por abajo.

( Jhservnclén. Si se aplican las definiciones al conjunto vacío 0, uno se ve obligado ti, 11111·l1dr que cualquier número real es cota superior de 0. Porque, para que un número u E U 1111 nea culu superior de un conjunto S, debe existir un elementos 1 ES tal que u < s 1• Si S = 0, 1111 1·KiHtc t¡il demento en S. Por tanto, cualquier número real es cota superior del conjunto v111·1n. 1 )1.: manera similar, cualquier número real es cota inferior del conjunto vacío 0. Esto p11t·1it: parecer artificial, pero es una consecuencia lógica de la definición.

H1• oh11Nv11 11simi~1110 q11!; existe la posibilidad de que un conjunto tenga cotas lllil'dlll'tlrl pero no cotas superiores (y viceversa). Por ejemplo, considérense los 11111j1111IOH si := {x E U.: X;;, O} y s2 := {x ER: X< O}.

59 1./\ l'iH )l'!Jl.I)¡\ ll 1 ll \ ( '()M PI,!'.' 1'11)/\ D DI·: 11

FIGURA 2.4.1 Cotas superiores de S.

V u 1

s

.r.>;

2.4.1 Definición. Sea S un subconjunto de R. i Se dice que un número u ER es una cota superior de S sis~ u para toda

SES.

ii Se dice que un número wER es una cota Inferior de S si w ~ s para toda s ES.

~! lector deberá reflexionar atentamente acerca de lo que significa decir que un numero no es una cota superior (o una cota inferior) de un conjunto S. El lector deberá demostrar que un número v ER no es una cota superior de S si y sólo si existe alguna s'ES tal que v < s'. (De manera similar, un número z ER no es una cota inferior de S si y sólo si existe alguna s" ES tal que s" < z.)

c_abe hacer, notar que un subconjunto S de R puede no tener una cota superior (por ejemplo, tomese S = R). Sin embargo, si S tiene una cota superior, entonces te~drá una infinidad de ellas porque si u es una cota superior de S, entonces cual quier v tal que u < v también es una cota superior de S; véase la figura 2.4.1. (Se puede decir lo mismo para las cotas inferiores.)

Se introduce a continuación la noción de cota superior de un conjunto de números reales. Esta idea será de suma importancia en secciones posteriores.

Supremos e ínfimos

Hasta este punto del capítulo se han estudiado las propiedades.algebraicas y las propiedades de orden del sistema de los números reales R. En esta sección se presentará una propiedad más de R que suele llamarse "propiedad de completidad º.d: co~npletit.ud", ya que garantiza la existencia de elementos en R bajo ciertas h1potes~s. El sistema Q de los números racionales satisface tanto las propiedades algebraicas 2.1.1 como las propiedades de orden 2.2.1, pero se ha visto ya que ..J2 no se puede representar como un número racional; por lo tanto, ..J2 no pertenece a ~·Esta ~bservación muestra la necesidad de una propiedad adicional que caracte nce al sistema de los números reales. Esta propiedad adicional, la de completidad (o del supremo), es una característica esencial de R.

Hay varias versiones diferentes de la propiedad de completidad. Se decidió pre~entar aquí lo que probablemente es el método más eficaz de suponer que todo conjunto no vacío de R tiene un supremo.

SECCIÓN 2.4 La propiedad de completídad de u

LOS NÚMEROS RUAU\S 58

Ejercicios de la sección 2.4 11 Sea sl := {x ER: X;;;;. O}. Demostrar en detalle que el conjunto sl tiene cotas

inferiores, pero no cotas superiores. Demostrar que inf S1 =O.

2.4.7 Propiedad del ínfimo de R. Todo conjunto no vacío de números reales que tiene una cota inferior tiene un ínfimo en R.

El lector deberá hacer por escrito la demostración detallada de este resultado,

2.4.6 Propiedad del supremo ele R. Todo conjunto no vacío de números reales que tiene una cota superior tiene un supremo en R. .

La propiedad análoga del ínfimo se puede deducir a partir de la propiedad del supremo. Supóngase que Ses un subconjunto no vacío de R qu~ está acotad? por abajo. Entonces el conjunto S' := {s: s ES} está acotado por arnba Y la ~ro?1edad del supremo indica que existe u:= sup S'. Se deduce entonces que -u es el ínfimo de S, como el lector deberá comprobar.

La propiedad del supremo de R

Con hase en los supuestos de campo y de orden respecto a R que se han hecho hasta este punto no es posible demostrar que cualquier conjunto no vacío de R que esté acotado por arriba tiene un supremo. Sin embargo, es una propiedad profunda y fundamental del sistema de los números reales que este es en .realid~d e.1 caso. Se hará un uso frecuente y esencial de esta propiedad. El enunciado siguiente, que se llama la propiedad de completidad de R, es la hipótesis final acerca de R. Por tanto, se dice que Res un campo ordenado completo.

1 i1111111111111nf1iinm m 1';111011<.:t.:s 11 = sup S1 y w= infS1, y ambos son miembros del , 1111j11111o s 1• (1 :.sic hecho resulta evidente si S 1 tiene un solo elemento, y se puede t11•1110:1l1'11r uplicando la inducción matemática al número de elementos de S1; ver 111·. 1·j,·rcicios 11 y 12.)

ll) 1·:s evidente que el conjunto S2 := {x: O~ x ~ 1} tiene a 1 como una cota nitpl·1·ior. Se prueba que 1 es el supremo de la siguiente manera. Si v < 1, e~iste un c1,·1111.:111o s' ES tal que u < s'. (Nombrar s' a ese elemento.) En consecuencia, v no t'H 1111a cota sup~rior de S2 y, puesto que ves un número arbitrario v < 1, ~e conclu ye que sup S2 = 1. Con un razonamiento similar se puede demostra1: que inf S2 =O. ( )hs~rvcse que tanto sup S2 como inf S2 están contenidos en el COnJUntO S2.

e) Es evidente que 1 es la cota superior del conjunto S3 := {~:O< x < l}. /\pi icando el mismo razonamiento que en el inciso b) para el conjunto S2, se ve que sup S3 = l. En este caso, el conjunto S3 no contiene a sup S3. De manera similar, inf S3 =O, que no está contenido en S3' .

el) Como se mencionó antes, todo número real es una cota superior del con j 1111to vacío, por lo que el conjunto vacío no tiene supremo. De igual manera, no 1 icne ínfimo.

61 1 ¡\ l'HI 11'11'.I )i\111 )11, ( 'OMl'I 1'.'1'11)/\1) 1H', 11

s FIGURA 2.4.3 u = sup S.

2.4.S Ejemplos. a) Si un conjunto no vacío S1 tiene un número finito de ele mentos, entonces se puede demostrar que S1 tiene un elemento máximo u y un

Es importante entender que el supremo de un conjunto puede ser elemento o no del conjunto bajo consideración. En ocasiones lo es y en ocasiones no lo es, dependiendo del conjunto particular. Se consideran algunos ejemplos.

Demostración. Supóngase que u es una cota superior de S y que satisface la condición enunciada. Si v O y la condición enunciada indica que existe un número se ES tal que v = u - E < se' Por lo tanto, v no es cota superior de S. Puesto que v es un número arbitrario menor que u, se concluye que u = sup S.

Recíprocamente, supóngase que u = sup S y sea E > O. Puesto que u - E < u, entonces u - E no es cota superior de S. Por lo tanto, algún elemento se de S debe ser mayor que u - e; es decir, u -E< se. (Ver la figura 2.4.3.) Q.E.D.

2.4.4 Lema. Una cota superior u de un conjunto no vacío S de Res el supremo de S si y sólo si para cada e > O existe una se ES tal que u - e <se.

No es difícil demostrar que solamente puede h aber 1111 ,1111111·111n di' 1111

subconjunto dado S de R. (De este modo, se puede hacer referencia al supremo de un conjunto en vez de a un supremo.) De hecho, supóngase que u1 y u2 son supre mos de S; entonces ambos son cotas superiores de S. Si u1 < u2, entonces la hipó tesis de que u2 es un supremo implica que u1 no puede ser cota superior de S. De manera similar, si u2 < ul' entonces de la hipótesis se deduce que u1 es un supremo y que u2 no puede ser cota superior de S. Por lo tanto, se debe tener que u1 = u2. (El lector deberá usar el mismo tipo de razonamiento para demostrar que solamente puede haber un ínfimo de un subconjunto dado de R.)

Cuando el supremo o el ínfimo de un conjunto S existan, se denotarán por

supS e infS. Svf(S)S.'tA1

Se hace notar asimismo que si u' es una cota superior arbitraria de !:!Jsq_njunto S, entonces sup S ~ u'. Es decir, sis ~ u' para todas ES, entonces~ 0 Con esto se dice que sup Ses la mínima de las cotas superiores de S. '----

El criterio siguiente con frecuencia resulta de utilidad al establecer que una cota superior particular de un conjunto dado es en realidad el supremo del conjunto.

LOS NÚMl!ROS IH~Al,I ~ 60

Propiedad de Arquímedes

Una consecuencia importante de la propiedad del supremo es que el subconjunto N de los números naturales no está acotado por arriba en R. Esto significa que dado cualquier número real x existe un número natural n (que depen de de x) tal que x < n, Debido a la familiaridad con los números y la representa ción usual de la recta real, esto puede parecer un hecho obvio. Sin embargo, resulta significativo que esta propiedad no se pueda deducir de las propiedades algebraicas y de orden dadas en las secciones anteriores de este capítulo. En la demostración, que se presenta a continuación, se hace un uso esencial de la propiedad del supre mo de R. '

En los ejercicios se presentan otras relaciones entre supremos e ínfimos de conjuntos de valores de funciones.

h) Supóngase que f y g son funciones de valores reales con dominio común / > 1 U. Se supone que sus codominiosf(D) := {f(x): x ED} y g(D) := {g(x): x ED} 111111 conjuntos acotados en R.

i Si f(x) ~ g(x) para toda x ED, entonces sup f(D) ~ sup g(D). l'ara comprobar esta afirmación, se observa que el número sup g(!)) es una

l'ol:i superior del conjunto f(D) porque para cualquier x ED se tiene f(x) ~ g(x) ~ n11 p g(D). Por lo tanto, sup f(D) ~ sup g(D).

¡¡ Si f(x) ~ g(y) para toda x, y ED, entonces sup f(D) ~ inf g(D). La demostración se hace en dos pasos. Primero, para una y E D particular, se

VL' que como f(x) ~ g(y) para toda x E D, entonces g(y) es una cota superior del rnnj unto f(D). Por consiguiente, sup f(D) ~ g(y). Puesto que la última desigual dad es válida para toda y E D, se puede concluir que el número sup f(D) es una co 1:1 inferior del conjunto g(D). Por lo tanto, se establece la desigualdad supf(D) ~ iuf g(D). . .

c) Se deberá observar que la hipótesisf(x) ~ g(x) para toda.x ED del inciso h) no indica ninguna relación entre sup f(D) e inf g(D). Por ejemplo, si f(x) := x2 Y g(x) := x con D := {x ER: O < x < 1 }, entonces f(x) ~ g(x) para toda x E D, P~'.º sup (f(D) = 1 e inf g(D) =O. Sin embargo, sup g(D) = 1, por lo que la conclusión del inciso i es válida, en tanto que la del inciso ii no lo es.

V1·r los ejercicios para relaciones similares entre los supremos y los ínfimos il1• ('1111ju111ns y las operaciones de adición y multiplicación.

sup (a + S) = a + u = a + sup S.

11 1111p ,\' 11 11, du donde 11 +u :...: 11. Puesto que ves cualquier cota superior de ,, 1 S, lll' plll'lk s11s1i111ir 11 11 con sup (a+ S) para obtener a+ u~ sup (a+ S). Al 1 rn1tldnm uHl11s dusigualdadcs se concluye que

(¡,\ ¡\ l'I 11 '1\1 '11 iNl\~I 1 )1( 1,/\ Jil(Ol'l l i,l )/\l) ill 1,1, Sl ll'RJl.MO

Si se hace u := sup S, entonces, puesto que x ~ u para toda x ES, se tiene a + x ~ a + u. Por lo tanto, a + u es una cota superior de a + S; en consecuencia, se tiene sup (a + S) ~a+ u. Si ves cualquier cota superior del conjunto a + S, entonces a + x ~ v para toda x E S. Entonces x ~ v- a para toda x ES, lo cual significa que

sup (a + S) = a + sup S.

2.5.1 Ejemplos. a) Es importante que los supremos y los ínfimos de los conjuntos sean compatibles con las propiedades algebraicas de R. Se presenta aquí un ejemplo de esta compatibilidad con la adición; en los ejercicios se dan otros ejemplos.

Sea S un subconjunto no vacío de R que esté acotado por arriba y sea a E R. Se define el conjunto a+ S :={a+ x: x ES}. Se demostrará que

Se ilustrará a continuación la manera de trabajar con supremos e ínfimos. En el ejemplo siguiente se muestra cómo se usan las definiciones para demostrar re sultados. Se darán asimismo algunas aplicaciones de esta propiedad para deducir propiedades fundamentales del sistema de los números reales que se usarán con frecuencia.

SECCIÓN 2.5 Aplicaciones de la propiedad del supremo

/ 2. Sea s2 := {x ER: X> O}. ¿El conjunto S2 tiene (;Ollttl l1ill1ii1111111'/ ¡,HI coujunto j Sz tiene cotas superiores? ¿Existe sup s2? Demoslrar IHH l't!Hl)I lt:.'1111.Y.

3. Sea S3 := {1/n: n EN}. Demostrar que sup S3 = 1 y que inl' s3 •"' O. (Por la propiedad de Arquímedes 2.5.2 ó 2.5.3 b) se inferirá que inf S3 =O.)

4<Sea S4 := {1 (1)"/n: n EN}. Encontrar inf S4 y sup S4.

5( Sea S un subconjunto no vacío de R que está acotado por abajo. Demostrar que inf S = sup{s: s ES}.

6/ Si un conjunto S ~ R contiene una de sus cotas superiores, demostrar que esta cota superior es el supremo de S.

7•/ Sea S ~ R un conjunto no vacío. Demostrar que u ER es una cota superior de S si y sólo si las condiciones t ER y t >u indican que t ~ S.

8V Sea S ~ R un conjunto no vacío. Demostrar que si u= sup S, entonces para todo número n EN el número u -1/n no es una cota superior de S, pero el número u + l/n es una cota superior de S. (El recíproco también es verdade ro; ver el ejercicio 2.5.3.)

9! Demostrar que si A y B son subconjuntos acotados de R, entonces A U B es un conjunto acotado. Demostrar que sup (A U B) = sup {supA, sup B}. cJ]f' Sea S un conjunto acotado de R .y sea S0 un subconjunto ,no vacío de S. De mostrar que inf S ~ inf 50 ~ sup S0 ~ sup S.

11 ( Sea S ~ R y supóngase que s* := sup S pertenece a S. Si u °' S, demostrar que /sup (SU {u})= sup {s*, u}.

12. Demostrar que un conjunto finito no vacío S ~ R contiene a su supremo. (Sugerencia: Aplicar la inducción matemática y el ejercicio anterior.)

!.OS NllMl!HWl Hl'AI 1

Haciendo ligeras modificaciones en el razonamiento anterior, el lector puede demostrar que si a > O, entonces existe un número b > O único tal que b2 = a. A b

J ·:stos pasos se pueden invertir para demostrar que con esta elección de m se tiene (x - l/m)2 > 2. Ahora bien, sis ES, entonces s2 < 2 < (x l/m)2, de donde se deduce por 2.2.14 a) que s < x - l/m. Esto significa que x - l/m es una cota superior de S, lo cual contradice el hecho de que x = sup S. Por lo tanto, no se puede tener x2 > 2.

Puesto que se han excluido las posibilidades x2 < 2 y x2 > 2, se debe tener x2 := 2. Q.E.D.

m 2x <

1 x2 - 2

cuionces (x l/m)2 > x2 - (x2 2) = 2. Por hipótesis se tiene que x2 - 2 > O, de 1 lt inde (x2 - 2)/2x > O. Por tanto, por la propiedad de Arquímedes, existe m EN tal que

m < x2 2,

2x

l'ur t.mto, si se puede elegir m de tal modo que

m m 2x 2x 1 + > x2

m2

111i111s pasos se pueden invertir para demostrar que para esta elección de 11 se tiene 1 1 1 /11 ES, lo cual contradice el hecho de que x es una cota superior de S. Por lo J11111ti, 110 es posible que x2 < 2.

SL: supone ahora que x2 > 2. Se demostrará que en tal .caso es posible encon 11111 111 G: N tal que x - l/m también sea una cota superior de S, lo cual contradice el 111'1'110 de que x = sup S. Para hacer esto, obsérvese que

n 2x + 1 <~

l 2 x2

11 11111 lt·m· rnlunccx (x + 1 /n)2 < x2 + (2 x2) = 2. Por hipótesis se tiene 2 -x2 >O, il1 d1111t1L· (2 x2)/(2Y + 1) > O. Por tanto, es posible aplicar la propiedad de \1q111111L·tks [corolario 2.5.3 b)] para obtener n EN tal que

1 ) 2 (2x 1 l < 2 X , .

n

i\l'I 11 'I\< 'I( lNJlll lll' 1 A 1•1(1 >1'1111¡¡\Il11111 SI ll'Rl'.MO

( 1 )2 2x I 1

x +; = x2 + n + 112

~ x2 + ;(2x + 1).

2.5.4 Teorema. Existe un número real positivo x tal que x2 = 2.

Demostración. Sea S := {s ER: O~ s, s2 < 2}. Puesto que 1 ES, el conjunto es no vacío. Asimismo, S está acotado por arriba por 2, ya que si t > 2, entonces t2 > 4, por lo que t ~S. Por lo tanto, la propiedad del supremo indica que el conjun tos tiene un supremo en R, y se hace X := sup s. Obsérvese que X> 1.

Se probará que x2 = 2 descartando las otras dos posibilidades: x2 < 2 y x2 > 2. Se supone primero que x2 < 2. Se demostrará que esta hipótesis contradice

el hecho de que x = sup S encontrando una n EN tal que x + l/n ES, lo cual significa que x no es una cota superior de S. Para ver cómo se eligen, obsérvese que l/112 ~ l/11, de donde

2.5.2 Propiedad de Arquímedes. Six ER, entonces <'J.l.1·11• ,;1, N tul qi«: x < "·"

Demostración. Si la conclusión es falsa, entonces x es una cola superior ele N. Así, por la propiedad del supremo, el conjunto no vacío N tiene un supremo u ER. Puesto que u 1 < u, se deduce del lema 2.4.4 que existe m E N tal que u - 1 < m. Pero entonces u < m + 1 y puesto que m + 1 EN, esto contradice la hipótesis ele que u es una cota superior de N. o.s.n.

La propiedad de Arquímedes se puede enunciar ele varias maneras. Se presen tan tres ele dichas variantes.

2.5.3 Corolario. Sean y y z números reales positivos. Entonces: a) Existen EN tal que z < ny. b) Existen EN tal que O< l/n <y. c) Existen EN tal que n 1 ~ z < n.

Demostración. a) Puesto que x := z/y >O, existen EN tal que z/y = x < n y, por tanto, z < ny.

b) Al hacer z = 1 en el inciso a) se obtiene 1 < ny, lo cual implica que l/n <y. e) La propiedad de Arquímedes asegura que el subconjunto {m EN: z < m}

ele N es no vacío. Sean el elemento mínimo ele este conjunto (ver 1.3.1). Entonces n - 1 no pertenece a este subconjunto; se tiene por tanto n - 1 ~ z < n. Q.E.D.

La existencia de .J2 La importancia de la propiedad del supremo radica en el hecho de que garan

tiza la existencia de números reales bajo ciertas hipótesis. En muchas ocasiones se hará uso de ella en esta forma. Por el momento, se ilustrará este uso demostrando la existencia de un número real positivo x tal que x2 = 2; es decir, de la raíz cuadra da positiva de 2. Ya se demostró (ver el teorema 2.1.7) que dicha x no puede ser un número racional; por tanto, se deducirá la existencia de al menos un número irracional.

1.0s NIJM1\1{()s l\l~A! ,l\'I

10. Sean X y Y conjuntos no vacíos y sea que h: X x Y--> R tenga codominio acotado en R. Sea que f: X-> R y g: Y-> R estén definidas por

:= 1 six ~y.

h(x, y):= O si x <y,

y que

inf {f(x): x EX} + inf {g(x): x EX} ~ inf {f(x) + g(x): x EX}.

Dar ejemplos para demostrar que cadauna de estas desigualdades pueden ser igualdades, o bien, desigualdades e~trictas. s< Sea X= y:= {x ER: o< X< l}. Se define hiX». Y-> R por h(x, y):= 2x +y. a) Para cada x EX, encontrar f(x) := sup {h(x, y): y E Y}; encontrar después inf {f(x): x EX}. 'C) , b) Para cada y E Y, hallar g(@ := inf {h(x, y): x EX}; encontrar des?u~s sup

r {g(y): y E Y}. Hacer la comparación con el resultado encontrado en el inciso a). 9~ Efectuar los cálculos de los incisos a) y b) del ejercicio anterior para la fun

ción h: X x Y--> R definida por

inf {a+ f(x): x EX}= a+ inf {f(x): x EX}.

6.~eanA y B subconjuntos no vacíos acotados de R, y sea que A +.B :={a+ b: a EA, b E B}. Demostrar que sup (A + B) = sup A+ sup By que inf (A + B) = infA + inf B.

7! Sea X un conjunto no vacío y sea que f y g estén definidas en X y tengan codominios acotados en R. Demostrar que

sup {f(x) + g(x): x EX} ~ sup {f(x): x EX} + sup {g(x): x EX}

Demostrar que se tiene asimismo

,1 SIS: ll/11 l/111:11,111E:N},c11contrnrinfSysupS. . \¡! St'it s r , u 1111 conjunto no vacío. Demostrar que si un número u deR tiene las

pruplcdudcs: ¡ para toda n EN el número u - l/n no es una c~ta superior de S, y¡¡ p11r11 todo número n EN el número u+ 1/n es una cota supenor de S, entonces 11 ~ sup S. (Este es el recíproco del ejercicio 2.4.8.)

( 11.1{ Sen s un conjunto no vacío acotado en R. a) Sea {/>o y sea as:= {as: s ES}. Demostrar que

inf (aS) =a inf S, sup (aS) =a sup S.

b) Sea b <O y sea bS := {bs: s ES}. Demostrar que

inf (bS) = b sup S, sup (bS) = b inf S.

5./Sea X un conjunto no vacío y sea que f: X-> R tenga un codominio acotado en R. Si a ER, demostrar que el ejemplo 2.5.1 a) indica que

sup {a+ f(x): x ~X}= a+ sup {f(x): x EX}.

((/ Al'l.l('/\('ltlNHli 1)11. 1,A l'lfül'llO)/\l) lll',J.,t.;lll'R11,MO


i( Usar la propiedad de Arquímedes o el corolario 2.5.3 b) para demostrar que inf {1/n: n EN}= O.

Q.E.D. Entonces z := r .../2 es irracional (¿por qué?) y satisface x < z <y.

Demostración. Aplicando el teorema de densidad 2.5.5 a los números x/ V2 y y¡-Jl, se obtiene un número racional r * O tal que

X. y /2<r</2.

2.5.6 Corolario. Si x y y son números reales con x < y, entonces existe un número irracional z tal que x < z <y.

Para completar el análisis de la interrelación de los números racionales y los irracionales, se tiene la misma propiedad de densidad para el conjunto de los núme ros irracionales. r

Demostración. No es ninguna pérdida de generalidad suponer que x > O. (¿Por qué?) Por la propiedad de Arquímedes 2.5.2, existen EN tal que n > l/(y x). Para tal n se tiene ny - nx > 1. Aplicando el corolario 2.5.3 e) a nx > O, se obtiene m EN tal que m - 1 ~ nx < m. Esta m también satisface m < ny, ya que m ~ nx + 1 < ny. Se tiene por tanto nx < m < ny, de donde r := mtn es un número racional que satisface x < r <y. o.s.o.

2.5.5 Teorema de densidad, Si x y y son números reales con x <y, entonces existe un número racional r tal que x <;<y.

Densidad de los números racionales en R ":JJ?R!flCt,o·v>rt....

Se sabe ahora que existe al menos un número racional, a saber ../2. En reali dad hay "más" números irracionales que números racionales en el sentido de que el conjunto de los números racionales es contable, en tanto que el conjunto de los números irracionales es incontable (ver la sección 2.7). En seguida se demuestra que no obstante esta aparente disparidad, el conjunto de los números racionales es "denso" en R en el sentido de que es posible hallar un número racional (de hecho, un número indefinido de ellos) entre dos números reales diferentes.

se le llama la raíz cuadrada positiva de a y se denota prn' /J J11 o /¡ ..:: a 112. Es posibleformular un razonamiento un tanto más complicado en el que interviene el teorema del binomio para establecer la existencia de una raíz nésíma positiva única de a, denotada por va o a1111, para cada n EN.

y no es necesario considerar a ningún punto como punto terminal de (oo, oo). Se observará que los intervalos de las formas (1), ... , (5) son intervalos

acotados. Los intervalos de las formas (6), ... , ( 10) son no acotados. En la denotación de estos intervalos no acotados se han usado los símbolos =co y ce, Estos símbolos deberán considerarse solamente como acuerdos de notación; no son elementos de R.

(oo, oo) := R, ( 1 O)

se denominan rayos cerrados (o intervalos cerrados ínñnítos ). En estos casos al punto a se le llama el punto termina! de estos intervalos. Con frecuencia resulta conveniente pensar en el conjunto completo R como un intervalo infinito. En este caso se escribe

[a, oo) := {x ER: x ~a},

(oo, a}:= {x ER: x ~a},

(H)

M

1.1: les Jlama rayos abiertos (o intervalos abiertos infinitos). De manera similar, lns conjuntos definidos por

(a, oo) := {x ER: x >a},

(oo, a):= {x ER: x <a},· (/)

1 111111110 que el intervalo cerrado correspondiente es el conjunto de un solo elemen ln ¡11, al= {a}.

Si a ER, entonces a los conjuntos definidos por

(a,a)=0, ('1)

'11111 Intervalos semíabíertos (o semícerrados) determinados por los puntos ter 11il111ilcs a y b. Cada uno de los intervalos anteriores tiene una longitud definida p111 ¡, a. Obsérvese que si a= b, el intervalo abierto correspondiente es el conjun ti 1 vncío

(a, b] := {x ER: a< x ~ b}.

y

( 1)

[a, b) ::;: {x ER: a «: x < b}. ( \)

l 11•, t'íllljllll[OS

[a, b} := {x ER: a~ x ~ b}. ( ')

111•1 p1111l1111 11 y /1 se les llama puntos terminales del intervalo abierto (a, b), n1111q1H11·,·:lm1110 eslfi11 incluidos en el mismo. Si ambos puntos terminales se incor ¡i111111111l lultr vnlo abierto, se tiene el intervalo cerrado.

(íC) IN'l'P,llVALOS V lll(< 'IMl\l,11.S

(a, b) := {x ER: a< x < b}. (1)

L~ relación ~e orden en R determina la colección natural de subconjuntos c?noc1dos com.o 1~tervalo~. La notación y terminología de estos conjuntos espe c1~les son las siguientes. S1 a, b ER y a ~ b, entonces el intervalo abierto deter minado por a y b es

SECCIÓN 2.6 Intervalos y decimales

12~ D.ada cualquier x ER, demostrar que existe unan E Z única tal que n-1 ~ x < 11• 13/Si y?'. O, demostrar que existen EN tal que 1/2" <y. 14. Modificar el razonamiento del teorema 2.5.4 para demostrar que existe un

I núm~r? real positivo y tal que y2 = 3. 15. Modificar e~ razonamiento del teorema 2.5.4 para demostrar que, si a > o,

/ ent01:~es existe un número real positivo z tal que 22 =a. 16. Modificar el razonamiento del teorema 2.5.4 para demostrar que existe un

número real positivo u tal que u3 = 2. 17/ Terminar la demostración del teorema de densidad 2.5.5 eliminando la hipó

.;te.sis de que x > ?· 18. S1 ~ > O es un numero cualquiera y x <y, demostrar que existe un número

racional r tal que x < ru <y. (Por consiguiente, el conjunto {ru: r E Q} es denso en R.)

~uph(x,y) = supsuph(x,y) = supsuph(x,y). ,y X y y X

sup {h(x, y): x EX, y E Y}= sup {F(x): x EX}= sup {G(y): y E Y}.

En ocasiones este hecho se expresa con símbolos por

Obsérv~se que con l~s ejercicios 8 y 9 se demuestra que la desigualdad puede ser una igualdad o bien una desigualdad estricta.

11. Sean X Y Y conjuntos no vacíos y sea que h: X x Y-> R tenga codominio acotado en R. Sea que F: X-> R y G: Y-> R estén definidas por

F(x) := sup {h(x, y): y E Y}, G(y) := sup {h(x, y): x EX}.

Establecer el principio de los supremos iterados:

sup infh(x,y);;;; inf suph(x,y). y r X y

En ocasiones este hecho se expresa escribiendo

sup {g(y): y E Y} ~ inf {f(x): x EX}.

f(x) := sup {h(x, y): y E Y}, g(y) := 1111' l /1( 1, \' ~. 1 , ,\ [,

Demostrar que

úH

t El resto de esta sección se puede omitir en una primera lectura.

+Representacíones binaria y decimal

Se hará una breve digresión para explicar (de manera informal) las nociones de representación binaria y decimal de números reales desde la perspectiva de los intervalos anidados. Basta considerar la situación de los números reales entre O y 1, ya que las representaciones de los demás números reales se pueden obtener entonces sumando un entero positivo o negativo, según sea el caso.

Demostración. Si r¡ := inf {b11: n EN}, entonces se puede usar un razona miento similar a la demostración de 2.6.1 para probar que a11,,;;; r¡ para toda n y, por consiguiente, que ~ ,,;;; T]. De hecho, se deja como ejercicio (ver el ejercicio 2.6.8) demostrar que x E /11 para toda n EN si y sólo si ; :;;; x :;;; r¡. Si se tiene inf { b11 - an: n EN}= O, entonces para cualquier E> O existe una m EN tal que O,,;;; r¡- ~:;;; »: - am <e. Puesto que esto se cumple para toda e> O, del teorema 2.2.9 se deduce que r¡ - ~ = O. Por lo tanto, se concluye que ; = 1) es el único punto que pertenece a /11 para toda n EN. Q.E.D.

inf {b11-a11: n EN}= O,

entonces el número ; contenido en /11 para toda n EN es único.

2.6.2 Teorema. Si /11 :=[a,~ b11], n EN, es una secuencia anidada de intervalos acotados cerrados tales que las longitudes b11 - a11 de /11 satisfacen

Demostración. Puesto que los intervalos están anidados, se tiene /11 ~ /1 pa 1.1 roda n EN, por lo que a11,,;;; bn para toda n EN. Por tanto, el conjunto no vacío ¡ 1111: 11 EN} está acotado por arriba y se hace que~ sea su supremo. Evidentemente,

1111 -~ ~para toda n EN. Se afirma asimismo que ; :;;; b11 para toda n. Esto se establece demostran

do que para cualquier n particular, el número b11 es una cota superior del conjunto ¡ 111,: k EN}. Se consideran dos casos. i Si n :;;; k, entonces, como /11 ;;:¿ /k, se tiene "i ,,;;; b,.«: b . ii Si k < n, entonces, como Ik:) I , se tiene ak :S. a ,,;;; bn. (Ver la

1 "'· 11 - n n l'igura 2.6.2.) Por tanto, se concluye que ak,,;;; b11 para toda k, por lo que b11 es una cola superior del conjunto {ak: k EN}. En consecuenciaEss bn para cada n EN. Puesto que a,,,,;;;~,,;;; b11 para toda n, se tiene; Ei11 para toda n EN. Q.E.D.

2.6.l Propiedad de los intervalos anidados. Si /11 =[a,,, b1J1 n EN, es une 111c·1·sió11 anidada de intervalos acotados cerrados, entonces existe un número .',' 1( tal que I; El11para toda n EN.

Sin rn11l11r¡•,o, una propiedad muy importante de Res que toda sucesión anida d11 de· i11ll'1 valos acotados cerrados tiene un punto común. La completidad de R cl1'~:\ii11pdta un papel central en el establecimiento de esta propiedad.

71 11\l'I l(ltVA U >S Y lll\C 'I M A 1.1 '.S

FIGURA 2.6.2 Si k < n, entonces /11 s /k.

ª"

11,,j

Es i~portant~ entender que, en general, una sucesión anidada de intervalos no necesariamente tiene un punto común. Por ejemplo si J := (O l/n) N entonces est · , d · ' 11 ' para n E

. , a sucesión e intervalos está anidada, pero los intervalos no tienen :~g~: punto en común. Esto es verdadero porque para una x > O dada existe m EN

lq Kl/m < x de tal modo que x rtl111• De manera similar, la sucesión de inter

va os ·(n oo) N t' id d . n ·- ' .n E es a aru a a pero no tiene puntos comunes (Ver el · · c10 2.6.7.) · ejercr

I¡ ¿ 12 ¿ 13 ¿ ... ::) l ::) l ::) ... " 1'+1 .

Intervalos anidados

Se .dice que una sucesión de intervalos /11, n EN, está anidada (ver la figura 2.6.1) si se cumple la siguiente cadena de inclusiones

El i~tervalo unitario es el intervalo cerrado [O, 1] := {x ER: o:;;; x:;;; 1}. Con f~ecue.ncia se deno.tar~ por la notación común J. (En algunos libros se hace referen cia al intervalo unitario como el continuum.)

/1

13

E E E E E is J J J J J /4

lz

FIGURA 2.6.I Intervalos anidados.

l.OS N U M HROS H l!A 1.1'.~I 70

para toda n EN. Se escribe x = .b1b2 • · · b11 • • • y se llamará a esta expresión la representación decimal de x. Si x ~ 1 y si B EN es tal que B ..; x < B + 1, entonces x = B.b1b2 • • · b11 • • ·, donde la representación decimal de x - B E [O, 1 J es como antes. Los números negativos se tratan de manera similar.

El hecho de que cada decimal determina un número real único se deduce del teorema 2.6.2. A partir del decimal .b1b2 • • • b11 • • • se obtiene una sucesión de

b¡ h2 bn 1 ++"·++ 10 102 10" 10" ( * *)

donde b, E {O, l, ... , 9}. El subintervalo elegido se subdivide en diez subintervalos iguales y el proceso continúa. De este modo se obtiene una sucesión bl' b2, •.. , b11,

... de enteros con O ..; b n ..; 9 para toda n EN tal que x satisface la desigualdad

l

10

La percepción geométrica de las representaciones decimales de números rea l1·s es en esencia similar a la de las representaciones binarias, excepto porque en el 1 .1so de las representaciones decimales cada intervalo se subdivide en diez •:11hintervalos iguales en lugar de en dos. Si se da x E [O, 1 J y se subdivide [O, 1 J en diL·z subintervalos iguales, entonces x está en un subintervalo [bi/10, (b1+1)/10] para algún entero », de {O, 1, ... '9}. Si X es uno de estos puntos de subdivisión, entonces son posibles dos valo res de b1 y se puede elegir cualquiera de ellos. En cuulquiera de los dos casos se tiene la desigualdad

( )hscrvación. El concepto de representación binaria es de suma importancia en esta , 111 dr las computadoras digitales. En ellas, los números se registran en "bits", y cada bit se p111·1k poner en uno de dos estados; será conductor de corriente o no lo será. Estos dos 1 .t 11\ lns corresponden a los valores 1 ó O, respectivamente. Por tanto, un número representa ,¡,, prn una sucesión de unos y ceros se puede almacenar en una cadena de bits en una , umputadora digital. Por supuesto, en la práctica, ya que sólo se puede usar un número l 11111< 1 de bits para representar un numeral dado, la representación binaria se debe truncar. Si •11· 11s;11111 dígitos binarios para un número x E [O, 1 ], entonces la precisión será a lo sumo de 1 "'. Por ejemplo, para asegurar una precisión de cuatro cifras decimales es necesario usar

111 menos J 5 dígitos binarios (o 15 bits).

/i1·1 1¡111w111111·11t1•, toda s111·1'si611 de ceros y unos es la representación binaria ,/11 111111111111'/'ll rc«! único en 10, 1.J. De hecho, si se da al' a2, ... , ªn' ... , donde ,, O 1111 1 p;11atoda11 EN, entonces la desigualdad(*) determina un subintervalo

/j " •• 1 1 1111d1, de [O, 1 [ de longitud 1 /2" para cada n. Se puede comprobar con facilidad qtw 111 stll'esi6n de intervalos obtenida de esta manera es anidada; por tanto, por el 11 1111·11111 2.fl.2, existe un número real único x que satisface(*) para toda n EN. Pero 1 •,li1 :>i¡•,11il'ica que x tiene la representación binaria (.a1 a2 · · · a11 • • ')2•

73 IN 1'1 l(Vi\l ()~;V 1 u« 'IM/\1.1·.S

Si x resulta ser el punto de bisección en el nésimo paso, entonces x es de la forma x = m/2" con m impar. En este caso, se puede escoger el subintervalo izquierdo o el derecho, de tal modo que a11 =O o a11 = 1; sin embargo, una vez que se elige este intervalo, se determinan todos los subintervalos subsecuentes en el proceso de bisección. Por ejemplo, si se eligió el subintervalo izquíerío de tal modo que a11 =O, entonces x es el punto terminal derecho de los subintervalos subsecuentes y, en consecuencia, ak = 1 para toda k ~ n +l. Por otra parte, s: se elige a11 = 1, entonces se debe tener que ak =O para toda k ~ n + l. (Por ejemplo si x =~,entonces las dos sucesiones posibles para x son O, 1, 1, 1, ... y 1, O, O, O, ... )

En resumen: Si x E [O, 1 ], entonces existe una sucesic n al' a2, •.. , a11 de ceros y unos tal que la desigualdad(*) es válida para toda n. Se escribirá x = (.a1a2 · ·

· a11 • • ·)2 y se llamará a esta expresión la representación binaria de x. La repre sentación es única excepto cuando x es de la forma x = m/2", donde mes impar, en cuyo caso hay dos representaciones posibles

X= (.ala2, .. ª111100 ".)z = (.ala2 "' ªn-1011 · ' ')2,

una que termina en ceros y la otra que termina en unos.

ª1 ª2 a ; a1 a2 a,. 1 +-+···+-~x&-+-+ .. ·+-+ 2 22 2" "" "" 2 22 2" 2" (*)

El procedimiento de bisección se continúa, asignando en el nésimo paso el valor a = O si x está en el subintervalo izquierdo y el valor a = 1 si x está en el n n subintervalo derecho. De este modo se obtiene una sucesión al' a2, ..• , a11, ••• de ceros y unos que corresponde a una sucesión de intervalos anidados cuya intersec ción es el punto x. Para cada n se tiene la desigualdad

a1 a2 a1 a2 l +-~x~-+-+ 2 22 2 22 22.

Ahora se biseca el intervalo B a1, ~a1 +~].Para el segundo término se toma a2 =O six pertenece al subintervalo izquierdo y se toma a2 = 1 si x pertenece al subintervalo derecho. Si x = i, o bien, x = ~' entonces a2 se puede tomar como O o como 1. En este punto se tiene la desigualdad

a1 a1 1 -~x~-+-. 2 2 2

Se considerará primero la idea de representación hl11111 l11 d1· 111111 1 d:1da en el intervalo [O, 1 ]. Aplicando un procedimiento de bisección es posible asociar una sucesión de ceros y unos de la siguiente manera. Si x * ~pertenece al subintervalo izquierdo [O, fl, entonces se toma a1 =O para el primer término de la sucesión a 1; si x pertenece al subintervalo derecho [~, 1] entonces se toma a 1 = l. Si x = ~, el punto de bisección, entonces a 1 se puede tomar como O, o bien, como l. En cual quier caso se tiene la desigualdad

1 OS NIJMl\l(OS 1(1 /\11 72

SECCIÓN 2.7 Conjuntos infinitos El objetivo principal de esta sección es establecer el contraste entre el conjun

to de los números racionales y el de los números reales demostrando que el pnmero es "contablemente infinito" en tanto que el segundo no lo es. Como consecuencia, el conjunto de los números irracionales es incontable y, por tanto, hay much~s "más" números irracionales que racionales. Georg Cantor (18451918) fue el pri mero en publicar estos resultados en 1874, los cuales llevaron a una extensa teoría de los conjuntos infinitos, los números cardinales y los números ordinales. Esta

donde ak y bk pertenecen a [O, 1, ... ,9], entonces n = m yak= bk para k = 1, ... , n.

10. Expresar 1/7 y 2/19 como decimales periódicos. . . , . 11. Encontrar el número racional representado por los decimales periódicos

1.25137 ... 137 ... y 37.14653 ... 653 .. ·.

lt;jcn:icios de na sección 2.itíi

1. Si¡:= [a, b] e/':= [a', b'] son intervalos cerrados en R, demostrar que l t;;;; I' si y sólo si a' <a y b ~ b'. , . , .

2. Si S i;;;; R es un conjunto no vacío, demostrar que S esta acotado si y solo si existe algún intervalo acotado cerrado I t;;;; R tal que S t;;;; l.

3. Si Si;;;; Res un conjunto no vacío acotado e Is es el intervalo Is:= [inf S, sup S], demostrar que S <,;;;Is· Además, si J es cualquier intervalo acotado cerrado de R tal que S t;;;; J, demostrar que Is t;;;; J.

4. Demostrar que si /1 ;;;? 12 ;;;? · · • ;;;? In ;;;? • • · es una sucesión anidada de

intervalos cerrados en R, y si In = [ a11, b11], entonces a1 ~ a2 ~ • · · ~ ª11 ~ ...

y b1 ~ b2 ~ · • · ~ b11 • • •• 00

5. Sea I :=[O, l/n] paran EN. Demostrar que si X> o, entonces X~ n In. n ce n= 1

6. Demostrar que sil,.:= (O, l/n) paran EN, entonces n Jn;;: 0. n=l e.o

7. Demostrar que si K,. := (n, + co) para n EN, entonces se tiene !}1 Kn = 0 ·

8. Usando la notación de las demostraciones de los teoremas 2.6.1y2.6.2, probar

que se tiene r¡ E (vil. Demostrar asimismo que [ ~. r¡] = n l n '

n~l n~I 9. Demostrar que si

a1 ll2 «, », h2 i; + + ... + = + + ... + *º' 10 102 10" 10 102 lOm

¡11111111dnd11111l11l primer bloque que se repite, es decir, lüx = 73.1414 ···.Después 1111 111111t lpllni 1 Ox por 102 para mover uno de los bloques. a la izquierda del ?_Unto ¡j1 ,.¡111111, L'H decir JOOOx = 7314.1414 ···.Entonces haciendo una sustracción se 11111 limo 1111 entero: 1 OOOx lOx = 7314 73 = 7241. Por tanto, x = 7241/990, que 1 N 1111 111'1111cro racional.

75 ('ONJUN'l'OS !NFINl'l'OS

intervalos anidados con longitudes 1/10" por medio ele IH~ dmd¡.i,11nld11dc:1 ("' "') y, en consecuencia, hay un número real único x en la intersección. Puesto qucx satis face las desigualdades (* *), es evidente que x = .b ; b2 • • · b n · · ·.

La representación decimal de x E [O, 1] es única excepto cuando x es un punto de subdivisión en alguno de los pasos. Supóngase que x es uno de estos puntos, de tal modo quex = m/1011 para alguna m, n EN, 1~m~10". (Se puede suponer que m no es divisible entre 10.) Entonces x aparece como un punto de subdivisión en el 11ésimo paso y son posibles dos valores para el nésimo dígito. Una elección de b11

corresponde a escoger el subintervalo izquierdo para el paso siguiente. Puesto que x es el punto terminal derecho de este subintervalo, se deduce que todos los dígitos subsecuentes tendrán el valor 9; es decir, bk = 9 para toda k ~ n + l. Por tanto, una representación decimal de x tiene la forma x = .b ; b2 • • · b,,99 · · ·. La otra elección de la nésima cifra decimal es b11 + 1, que corresponde a escoger el subintervalo dere , cho en el nésimo paso. Puesto que x es el punto terminal izquierdo del nésimo subintervalo, todos los valores subsecuentes serán O; es decir, bk =O para toda k ~ n +l. Por tanto, la otra representación decimal de x tiene la formax = .b1b2 • · · (b,, + 1)00 · · ·. (Por ejemplo, si x := 1, entonces x = 0.499 · · · = 0.500 · · ·. De manera similar, si y := 38/100, entonces y = 0.3799 · · · == 0.3800 · · · .)

Esta breve mirada a las representaciones decimales de los números reales se concluirá con la descripción de los tipos contrastantes de representaciones deci males que ocurren para los números racionales y los irracionales. Para ello se ne cesita la idea de decimal periódico.

Se dice que el decimal B.a1 a2 · • • a11 • • • es periódico (o repetido) si existen los números naturales k y m tales que a11 = a11 + m para toda n ~ k. En este caso, el bloque de dígitos ak ak + 1 · • • ak + m _ 1 se repite una vez que se llega al késimo dígito. Al menor número m con esta propiedad se le llama el período del decimal. Por ejemplo, 19/88 = 0.2159090 · · · 90 · · ·tiene periodo m = 2 con el bloque 90 repetido empezando en el dígito k:;:: 4. Un decimal cerrado es un decimal repetido en el que el bloque que se repite es simplemente el dígito O.

La relación entre la racionalidad o la irracionalidad de un número real y la naturaleza de sus representaciones decimales es que un número real positivo es racional si y sólo si su representación decimal es periódica.

En lugar de presentar una demostración formal de este enunciado, sólo se indicarán las ideas en que se basa dicha demostración. Supóngase que se tiene un número racional p /q, donde p y q son números naturales sin factores primos. Basta considerar el caso donde O < p < q (por qué). Se puede demostrar que el proceso familiar de la división larga de q a p produce la representación decimal de p/q. Cada paso en el algoritmo de la división produce un residuo que es un entero entre O y q - l. Por lo tanto, después de a lo sumo q pasos, aparecerá algún residuo por segunda vez y, en ese punto, los dígitos del cociente empezarán a repetirse en ciclos. Por tanto, la representación decimal de un número racional se considera periódica.

Recíprocamente, si un decimal es periódico, entonces representa un número racional. La idea de la demostración se ilustra con facilidad mediante un ejemplo. Supóngase que x = 7.31414 · · · 14 ···.Se multiplica primero por 10 para mover el

74

Demostración. Se puede suponer que Tes no vacío. (¿Por qué?) La demos tración se hace por inducción sobre el número de elementos del conjunto S. Si S tiene un elemento, entonces es evidente que el único subconjunto no vacío T de S debe coincidir con S y, por tanto, es un conjunto finito.

2. 7.6 Teorema. Un subconjunto T de un conjunto finito Ses finito.

El siguiente resultado que se relaciona con los conjuntos finitos, que tratan con inclusión de conjuntos, requiere inducción matemática en su demostración.

Demostración. Si N fuera un conjunto finito, entonces existiría alguna m EN y una biyección f de N111 sobre N. Pero esto significa que la función inversa ¡1:

N--¡. N es una inyección lo cual contradice al teorema 2.7.4 b). Q.E.D. /JI '

2.7.5 Corolario. El conjunto N de los números naturales es un conjunto infinito.

Se obtiene así un resultado que parece ser "obvio". (¿Puede el lector dar una demostración más sencilla?)

2.7.4 Teorema .. a) Si m EN, entonces existe una inyección de N"' en N. b) Si m EN, entonces no existe una inyección de Nen N111•

/\la afirmación del teorema 2.7.3 b) en ocasiones se le llama el "principio del ¡11il11mar". Se puede interpretar diciendo que si m palomas se colocan en ri casillas I' ::i 111 > n, entonces al menos dos palomas deben compartir una de las casillas. Este

1": 1111 resultado que se usa con frecuencia en el análisis combinatorio. En el teorema siguiente interviene el conjunto N de todos los números natura

In:, pero se puede demostrar usando el teorema precedente. La demostración se tic.ja como ejercicio al lector.

: ;11¡ 11111¡i,1111111ilH1111 que N, (k · 1) ex tal quu ningún mapco de N111 en Nk (m > k) 1 1~ 111111 lny111·1·l1111; se 1k11111slrar6 que ningún mapeo h de N,,, enNk + 1(m>k+1) es 11¡111 l11y(·~·\'i(111. DG hecho, si el codorninio h(N"') de h está contenido en Nk ~ N;

1 , 1•11lrn1l'l'.~ por IH hip6l¡;sis de inducción el mapeo h no es inyectivo como un 1 •

1111q1P11 en N1,, y, por tanto, nó es un mapeo en Nk+ 1. En consecuencia, se supone 1 ¡111 /¡( N ) no cxl ú contenido en N,. Si más de un elemento de N se mapea en el

111 te m 11111111•1n natural le + 1, entonces sin lugar a dudas h no es inyectiva. Por lo tanto, se ¡ 1111'tl1· suponer que una sola p ENm se mapea en k + 1 mediante h. Se define ahora 111 N,,, 1 •Nkpor

h¡(q) := h(q) si q E Nm_1, 1,;:;; q < p,

:= h(q - 1) si q E N,,._1, p,;:;; q «; m - l.

l '111 la hipótesis de inducción se deduce que h1 no es inyectiva, de donde h: N m-->

NA , 1 no es inyectiva. Se aplica el principio de inducción matemática. Q.E.D.

11 < '( lNJllNT< lH INl·INIT( lS

Demostracíén, Sea que f: Nm--¡. N" esté definida por f(k) := k para k ENm ~ N". Es fácil ver que fes inyectiva.

b) La demostración se hace por inducción. Primero, sean :::; l. Si ges cual quier mapeo deNm (m > 1) en N1, entonces es evidente que g(l) == · · ·;;;; g(m);;;; 1, de donde g no es inyectiva.

2.7.3 Teorema. a) Sean m, n EN con m ,;_;:; n. Entonces existe una inyección deNm enNn.

b) Sean m, n EN con m > n. Entonces no existe una inyección de N en N. m n

El resultado siguiente es natural, pero se incluye su demostración.

2.7.2 Teorema. Un conjunto S1 tiene n elementos si y sólo si existe una biyeccion de S1 sobre un conjunto S2 que tienen elementos. Un conjunto T1 es finito si y sólo si existe una biyección de T1 sobre un conjunto T2 que es finito.

El primer resultado es útil, pero su demostración es sencilla y se deja para el lector.

2.7.]_ ])efirnidón. Sin EN, se dice que un conjunto S tienen elementos si existe una biyección del segmento inicial N,, := { 1, 2, ... , n} de N sobre el conjun to S. Se dice que un conjunto Ses ñníto si es vacío, o bien, tienen elementos para alguna n EN. Se dice que un conjunto S es ínñníto si no es finito.

Contar los elementos de un conjunto diciendo "uno, dos, tres, ... "es, desde el punto de vista matemático, una forma de definir un mapeo de un conjunto de nú meros naturales sobre un conjunto dado de palabras. Sin embargo, más adelante se verá que hay conjuntos importantes que no se pueden contar. Antes es necesario formular las definiciones que precisen las ideas.

Conjuntos finitos

área general es fascinante por derecho propio, pero no se prnl'1111dlz11r(i en ella más

allá de lo necesario para analizar los resultados particulares referentes al sistema de los números reales.

Con objeto de apreciar las distinciones entre los diferentes tipos de conjuntos infinitos, resulta conveniente estudiar primero la naturaleza de los conjuntos fini tos. Muchos resultados naturales que pueden parecer obvios en ocasiones requie ren demostraciones bastante sutiles.

Sin embargo, quienes deseen concentrarse en las nociones de los conjuntos contables e incontables pueden examinar los teoremas de la explicación inicial de los conjuntos finitos y pasar de inmediato al tratamiento posterior de los conjuntos infinitos, omitiendo el estudie· detallado de las demostraciones.

Demostración. Se observa que como una biyección es a la vez una inyección y una suprayección, la contabilidad de S indica las dos condiciones enunciadas. Por tanto, es necesario demostrar que cada una de las condiciones dadas indica que S es contable.

2. 7.12 Teorema. a) El conjunto Ses contable si y sólo si existe una inyección de Sen N.

b) El conjunto Ses contable si y sólo si existe una suprayección de N sobre S.

Cuando se intenta demostrar que un conjunto S es enumerable, en ocasiones resulta muy difícil establecer el requerimiento de que el mapeo de N sobre S es inyectivo. Afortunadamente, esta característica no es esencial, como se muestra a continuación.

!)cmostiraciólíll. Si Ses finito, entonces se puede aplicar 2.7.6; en consecuen 1·111, ,·s posible suponer que Ses enumerable. Si Tes finito, entonces se ha termina do; por tanto, se puede suponer que T también es infinito.

Ahora sea/una biyección de N sobre S y sea P := {n EN: /(n) ET}= ¡1(T). l 'ucslo que Tes no vacío, se deduce que Pes no vacío y se puede aplicar la propie .lrul del buen orden de N para obtener el elemento mínimo p1 de P. Entonces se l111n: que P: sea el elemento mínimo del conjunto P\{p1}, que debe ser no vacío. (¡,Por qué?)Al continuar de esta manera, habiendo seleccionado pl'p2, ... ,pk en P, l•l' hace que Pk+ 1 sea el elemento mínimo del conjunto no vacío (¿por qué?) P\{pl' .. , pk}. Por construcción, se tiene 1 ~ p1 < p2 < ... < pk < Pi ; 1 <···,de donde

11<; deduce (por inducción) que r ~ p., para toda r EN. · Se define ahora g: N-> N por g(r) := P,. para toda r EN. Del hecho de que

t'¡ + 1 lí'O {pl' ... , pk}, se infiere que ges inyectiva. Por lo tanto la composici~n/ 0 g l'S una inyección de Nen S. Puesto que los valores de f 0 g están contenidos en T e_ S, se considera que f º g es una inyección de Na T. Para ver que f 0 g es un mapeo suprayectivo de N sobre T, recuérdese que fes un mapeo suprayectivo so bre S, por lo que toda t ET C. S tiene la forma t = /(n1) para alguna n1 E P C. N. Sin embargo, puesto que r ~ P, = g(r) parar EN, se tiene n1 = g(m) para alguna m1 EN con m1 ~ nt' Por lo tanto, t = f º g(m), con lo cual se demuestra que f 0 ges una suprayección de N sobre T. Por tanto, Tes enumerable. Q.E.D.

2.7. íl i Teorema. Si un conjunto Ses contable y T C. S, entonces Tes contable.

1'.I resultado siguiente corresponde con el teorema 2.7.6. Sin embargo, la de 1111 ir1l rución es más complicada que en el caso de conjuntos finitos.

1..'/.IO 'H.·m·cmn. 11) Un conjunto S1 es enumerable si y sólo si existe una /1/1•1•1•1•/011 ""si sobre 1111 co11.Ju1110 s2 que es enumerable.

h) l l 11 co1(/1111lo '/'1 es contable si y sólo si existe una biyección de T1 sobre un 11111/111110 '/'2 qiu: es contable.

( 'ONJl!N'l'O:l INl<'INl'l'OS

El resultado siguiente es análogo a 2. 7.2 y la demostración se deja al lector.

e) La unión de dos conjunto enumerables disjuntos también es enumerable. La idea aplicable en la demostración se encuentra en el ejemplo anterior, donde se demuestra que Z es enumerable. Los detalles se dejan como ejercicio.

Z ={O, 1, 1, 2, 2, ... }.

2.7.9 Ejemplos. a) El conjunto E:= {2n: n EN} de los números naturales pares es enumerable, ya que el mapeo/: N-> E definido por f(n) := 2n, n EN, es una biyección de N sobre E. De manera similar, el conjunto O := N\E de los números naturales impares es enumerable.

b) El conjunto Z de todos los enteros es enumerable. Para hacer el mapeo de N sobre Z se puede mapear el elemento 1 sobre O, el conjunto de los números natura les pares sobre el conjunto de los enteros positivos y el conjunto de los números naturales impares mayores o iguales que 3 sobre el conjunto de los enteros negati vos. El mapeo se puede poner de manifiesto al escribir

2.7.8 Definición. Se dice que un conjunto Ses enumerable (o contablemente infinito) si existe una biyección de Nen S. Se dice que un conjunto Ses contable si es finito, o bien, enumerable. Se dice que un conjunto es incontable si no es contable.

Se considera a continuación un tipo importante de conjunto infinito.

Conjuntos contables

Demostración. Si U es un conjunto finito, entonces por el teorema 2.7.6 se deduce que un subconjunto S de U también es finito, lo cual contradice la hipó tesis. Q.E.D.

2.7.7 Teorema. Si Ses un conjunto infinito y S C. U, entonces U es un conjunto infinito.

Supóngase ahora que todo subconjunto no vacío de u11 ..:011,1111110t'<111 k clcrncn tos es finito. Sea ahora S un conjunto que tenga k + I elcmcruos (do 1111 modo que exista una biyección f de Nk + 1 sobre S) y sea que T C. S. Si f(k + 1) r/:; T, entonces se puede considerar que Tes un subconjunto del conjunto S1 := S\{f(k + 1)}, el cual se ha visto que tiene k elementos. Por tanto, por la hipótesis de inducción, T también es un conjunto finito. Sin embargo, si f(k + 1) ET, se observa que el conjunto T1 := T\{f(k + l)} es un subconjunto de S1, el cual tiene kelementos. Por lo tanto, T1 es un conjunto finito, de donde se puede ver con facilidad que T = T1 U {f(k + 1)} también es un conjunto finito. Se dejan los detalles al lector. Q.E.D.

1.0!; NIJMl',llON lW/\1,l(ll 7tl

Se define ahora un nuevo número real y= O.y 1y213 · · ·y" · · · de la siguiente manera. Se hace y = 2 si a

1 ~ 5 y y1 = 7 si a11 ~ 4; en general, se hace 1 J

La función de N sobre el conjunto F de fracciones se define según lo indican las líneas diagonales. Se tiene

X¡ = º·ª11ª12ª13 . . . ªin ...

3 4 .xz = º·ª21ª22ª23 ªzn 3 3 X,3 = Ü.G,31G3za31 a3n

l 2 3 4 {1 4 4 4

xn = º·ªn1ªn2ªn3 . . . «: ...

Demostración. La demostración se hace por contradicción. Se usará el hecho de que todo número real x en I tiene una representación decimal de la forma x = O.a 1a2a3 • • ·,donde cada s, representa un dígito de O a 9. Se debetener presente que ciertos números tienen dos representaciones decimales, una que termina en ceros y la otra en nueves. Supóngase que hay una enumeración xl' x2, x3 • · · de todos los números reales en I dada por

2. 7.14 Teorema. El conjunto I = { x E R: O ~ x ~ 1} no es contable.

No obstante el hecho de que el conjunto de los números racionales es conta lrlc, el conjunto completo R de los números reales no es contable. De hecho, el 1·011junto I de los números reales x que satisfacen O ~ x ~ 1 no es contable. La .lcmostración es el excelente razonamiento "diagonal" de G. Cantor. En los ejercí rios se presenta un segundo razonamiento.

La innumerabiíidad de R

Observación. El mapeo de F en N que se indica con el diagrama en la demostración ¡111T1.:dcnte se puede dar explícitamente por una fórmula. De hecho, se puede comprobar 1 ¡111.· es el mapeo f: F--+ N definido por f(m/n) := i(m + n - 2)(m + n - 1) + m.

I'• 11 I\> ICL11lo, el conjunto Fes enumerable. Cada número racional está representado p111 muchos miembros diferentes de F (por ejemplo, 1=1/1==2/2 =···).Para cada 1 , Q' se puede seleccionar la fracción que la representa con el menor denomina d111 y, por tanto, es posible considerar a Q+ como un subconjunto de F. Así, por el 11•111cma 2.7.11, el conjunto Q+ es contable. Q.E.D.

81 ( 'ON.llJN'l'OS 1Nl1\Nl'l'OS

Demostración. Se demostrará que el conjunto Q+ de los números racionales positivos es enumerable. Entonces, como Q = Q+ U {O} U Q-, donde Q- es el conjunto de los números racionales negativos, se inferirá que Q es enumerable [como Zen el ejemplo 2.7.9 c)].

Se muestra el conjunto F de todas las fracciones m/n con m, n EN de acuerdo con la ordenación siguiente, donde el nésimo renglón consta de todas las fraccio nes con denominador n.

2.7.13 Teorema. El conjunto Q de los números racionales es contable.

Se demostrará ahora que el conjunto Q de los números racionales es numerable.

La numerabílídad elle Q

en donde se permiten las repeticiones. Por consiguiente, ya no es tan indispensable que el mapeo sea inyectivo.

Así, por el teorema 2.7.12 b) se ve que un conjunto contable es un conjunto S cuyos elementos se pueden presentar como el codominio de una sucesión

a) Supóngase que f: S __, N es una inyección . Lntonccs /w1 111111 1 oJ)'1'1Tu111 de S sobre el subconjunto f(S) de N, de modo que f(S) es contable p1H' \:I 1 e o rema

· 2.7.11. Así, el conjunto Ses contable. b) Supóngase que g: N > S es una suprayección. Se define g 1: S __, N de la

siguiente manera. Para cadas ES, sea g1(s) el elemento mínimo del conjunto no vacío {n EN: g(n) = s} = g-1(s). Entonces, es fácil ver que g1 es una inyección de S a N, de donde se sigue por el inciso a) que Ses un conjunto contable. Q.E.D.

l,()S NllMl1fü)S 1rnA1 l.N l~I J

¡1, 1•11,111·111111 111111 hiyccción entre N y el conjunto O de todos los números natura 11·11 l111p111rs.

l , l'i l':1c11111r una hiyecci6n entre N y un subconjunto propio de sí mismo. H. lkiiioslrm en detalle que si S y T son enumerables, entonces S U Tes

enumerable. 1¡ 1)ar1111 ejemplo de una colección contable de conjuntos finitos cuya unión no

s1;:a finita. 1 o. 1 )l;11 iostrar que si S11 es enumerable para cada n EN, entonces la unión U~= 1 S,.

ex enumerable. (Ver la demostración de la contabilidad de Q.) 1 1. Demostrar la incontabilidad de I aplicando el siguiente razonamiento: Supo

ner que J e {x1, x2, x3, ... } es enumerable y elegir un interval_o cerr~do 11 <;;; I tal que x

1 ~11' un intervalo cerrado 12~11 tal que x2 .~12 y asi sucesivamente.

Se aplica entonces el teorema de los intervalos anidados para llegar a una contradicción.

12. Usar el hecho de que todo conjunto infinito tiene un subconjunto enumerable para demostrar que si S es un conjunto infinito, existe una biyección de S sobre un subconjunto propio de sí mismo. (Ver el ejercicio 7.)

H.I ( 'ONlllN l'O.': INl·INl'l'OS

l. Demostrar el teorema 2.7.2. 2. Demostrar que si S es finito y s* es un elemento que no está en S, entonces

SU {s*} es finito. 3. Sea S := {1, 2} y T :={a, b, e}. a) ¿Cuántas inyecciones diferentes de Sen T

hay? b) ¿Cuántas suprayecciones diferentes de T sobre S hay? 4. Demostrar que en un grupo de 53 personas, al menos 2 deben tener su cum

pleaños durante la misma semana. 5. Demostrar que cualquier subconjunto de 6 elementos del conjunto {1, 2, ... ,

9} debe contener dos elementos cuya suma es 10. (Sugerencia: Considérense las casillas {1ó9}, {2 ó 8}, {3 ó 7}, {4 ó 6}, {5}.)


Supóngase que un conjunto A es infinito; se supondrá que existe una corres pondencia biunívoca con un subconjunto de A y con Nen su totalidad. En otras palabras, se supone que todo conjunto infinito contiene un subconjunto enumerable. Esta afirmación es una forma débil del llamado axioma de elección, el cual es uno de los axiomas comunes de la teoría de conjuntos. Después de que el lector haya digerido el contenido de este libro puede pasar a un tratamiento axiomático de los fundamentos que se han venido analizando en una forma un tanto informal. Sin embargo, por el momento haría bien el lector en tomar el enunciado anterior como un axioma temporal. Se puede reemplazar más adelante con un axioma de mayo res alcances de la teoría de conjuntos.

Es posible combinar el hecho de que el conjunto R de los números reales es incontable con el hecho de que el conjunto Q de los números racionales es conta ble para concluir que el conjunto R\Q es incontable. De hecho, puesto que la unión de dos conjuntos contables es un conjunto contable [ver 2.7.9 c)], la conta bilidad supuesta de R\Q indicaría que R, la unión de Q y R\Q, sería un conjunto contable. A partir de esta contradicción se infiere que el conjunto de los números irracionales R\Q es un conjunto incontable.

Se tiene entonces O .;;; y .;;; l. El número y no es igual a ninguno de los números con dos representaciones decimales, ya que y11 * O, 9. Se tiene asimismo y * x11

para toda n EN porque y y x11 son diferentes en la nésima cifra decimal. (En con secuencia, la elección de 2 y 7 no es importante, tan sólo alguna elección que asegure que las nésimas cifras decimales difieren.) Por lo tanto, cualquier colec ción enumerable de números reales en el intervalo omitirá al menos un número real que pertenece a este intervalo. Por lo tanto, este intervalo no es un conjunto contable. Q.E.D.

si a,.,, ~ ~>. si anti< 4 .

1.0S N11M11.l~Wl HI 1\11111 82

El lector recordará que una sucesión en un conjunto S es una función en el conjunto N = {1, 2, ... } de los números naturales cuyo codominio está contenido en el conjunto S. En este capítulo se verán las sucesiones en R.

3.1.1 Definición. Una sucesión de números reales (o sucesión en R) es una función en el conjunto N de los números naturales cuyo codominio está contenido en el conjunto R de los números reales.

En otras palabras, una sucesión en R asigna a cada número natural n = 1, 2, ... un número real determinado de manera única. Los números reales así obtenidos se llaman los elementos, valores o términos de la sucesión. Se acostumbra denotar al elemento deR asignado a n EN por un símbolo tal comox11 (o a11 o z11). Por tanto, Si X: N--> Res una sucesión, por lo general el valor de X en n se denotará por x11, en lugar de usar X(n). Esta sucesión se denotará por las notaciones

X, (xn), (xn: n EN).

SECCIÓN 3.1 Sucesiones y sus límites

El material de los dos capítulos precedentes deberá proporcionar una com prensión adecuada del sistema de los números reales R. Ahora que se han estable cido estas bases, se está en condiciones de abordar cuestiones de naturaleza más analítica, para lo cual se empezará con el estudio de la convergencia de sucesiones. Algunos de estos resultados pueden ser familiares para el lector que haya cursado Cálculo, pero la presentación que se hace aquí se propone ser rigurosa y en ella se darán algunos resultados más profundos que los analizados en cursos anteriores.

Se introducirá primero el significado de la convergencia de una sucesión de números reales y se establecerán algunos resultados elementales (pero útiles) acer ca de las sucesiones convergentes. Después se presentan algunos criterios impor tantes de la convergencia de sucesiones. Es importante que el lector aprenda tanto los teoremas como la manera en que se aplican a sucesiones particulares.

Debido a las limitaciones lineales inherentes a este libro, es necesario decidir si seguir este capítulo con el análisis de las series o si éste habrá de posponerse hasta que se hayan estudiado la continuidad, la derivación y la integración. Aun cuando se ha decidido posponer el análisis de las series para más adelante, quizás el instructor prefiera presentar una breve introducción a las series inmediatamente después de este capítulo.

SUCESIONES

X+ y= ( ~, ~, 1:, ... , 2n2n + 1 ' ... ),

se tiene entonces

X:= (2,4,6, ... ,2n, ... ), Y:= ( ~· ~· i, ... , ~, ... ),

3.1.3 Definición. Si X = (x,,) y Y= (}>,,) son sucesiones de números reales, entonces su suma se define como la sucesión X+ Y:= (x,, + y11: n EN), su diferen ria como la sucesión X - Y:= (x11-y11: n EN) y su producto como la sucesión X· Y : = (x,,Y ,,: n EN). Si e E R se define el múltiplo de X por e como la sucesión cX := (ex : n eN). Por último, si Z = (z11) es una sucesión de números reales con z11 * O pa;~ toda n EN, entonces se define el cociente deXy Z como la sucesiónX/Z := (x,,lz,,: n EN).

Por ejemplo, si X y Y son las sucesiones

Se introducen ahora algunas formas importantes de construir nuevas sucesio 11\:s a partir de sucesiones dadas.

Sr observa que los diez primeros términos de la sucesión de Fibonacci son F = (1, 1' 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... ).

I,», := Ín-1 + I; (n;;;, 2). Í1:=1,

d) La sucesión de Fibonacci F := (!11: n EN) está dada por la definición uuluctiva

J.1.2 l•Jcmt>los. a) Si b ER, la sucesión B := (b, b, b, ... ),cuyos términos son i1'11.1lrs a I!, se llama la sucesión constante b. Por tanto, la sucesión constante 1 es la

111 r:;ion ( 1, 1, l , ... ), cuyos términos son iguales a 1, y la sucesión constante O es 111 1.111·1·si611 (O, O, O, ... ).

1)) l .a sucesión de los cuadrados de los números naturales es la sucesión S : = r r ', •1• ', :12, ... ) = (n2: n EN), la cual es, desde luego, la misma sucesión que (1, 4, 9,

• 11·'·, .•. ).

1.·) Si a ER, entonces la sucesión A:= (a": n EN) es la sucesión A= (a, a2, a3,

• 1111, ... ). En particular, si a=~. entonces se obtiene la sucesión

1 ,. (1· 1· .. , I' ) ¡1111a11 «N, también se pueden abordar de este modo. Sin embargo, /1 1 1 ' '11 1 ' ,'' ~ • ,, , ¡, 111< 11ln ti,· lrn1 tcrminos de una sucesión como ésta se complican para valores grandes de 11 1·11 q1w nul11111111 de los valorcs y., ... ,y11 se deben guardar en memoria a fin de calcular yn+ r

K7 Sl I< '1'.SIONl•.S V Sl!S IJMI l'l~S

OIJs~n·~ción. Las sucesiones que están dadas por un proceso recursivo son frecuen tes e~ la c1~ncia de las computadoras. En particular, las sucesiones definidas por un pro ceso mdu~t1vo de la forma x1 := dada, x11+1 := f(x,.) paran E N se prestan especialmente para estudiarlas usando computadoras. Las sucesiones definidas por el proceso y1 .=dada,

X,,+¡ := X¡ + X" ( n ~ L) . Xi:= 2,

o por la definición

X¡:= 2,

, En la práctica, con frecuencia resulta conveniente especificar el valor x1 y una f~rmula para obten.e~ x11 + i (n ~ 1) cuando se conoce x11• A un nivel aún más gene ral, se puede especificar x1 y una fórmula para obtener x (n ~ 1) a partir de x

S h . 11+i l' ~2, ... , :11· e ace referencia a cualquiera de estos métodos como una definición índucnva o recursiva de la sucesión. De esta manera, la sucesión X de los núme ros naturales pares se puede definir por

X•= (2n: n EN),

pa;a la suc_esión. de los recíprocos de los cuadrados de los números naturales. Un metodo mas satisfactorio consiste en especificar una fórmula para el término ge neral de la sucesión, tal como

( l l l l ) Z•= 12 ' 22' 32, 42 ' ...

para la sucesión de los recíprocos de los números naturales, o

X:= (2, 4, 6, 8, ... )

para la sucesión de los números naturales pares, o

Se usan Iosparéntesís para indicar que el orden inducido por t:1dl'i1•0111111110 N es un aspecto importante. Así, por medio de la notación se distingue entre la sucesión X= (x11: n EN), cuyo~ _elementos tienen un orden, y el conjunto {x11: n EN} de los valor~~ de esta sucesión, los cuales no se consideran ordenados. Por ejemplo, la sucesión X:= ((1)11: n EN) oscila entre 1 y 1, en tanto que el conjunto de los valores {(1)11: n EN} es igual al conjunto {1, l}.

Al definir una sucesión suele ser conveniente enumerar en orden Jos términos de la misma, deteniéndose cuando la regla de formación parece evidente. Así se puede escribir '

Sii( 'J\SIONI S

Eljuego K(E)

El teorema 3.1.6 forma la base de lo que se llamará "e1juegoK(e)". En este juego, el jugador A afirma que cierto número x es el límite de una sucesión de números reales. Al hacer esta afirmación, el jugador A reta al jugador B para que dé un valor específico de e > O, después de lo cual el jugador A proporcionará un valor K( e) tal que si n EN y n ~ K( e) se cumplirá que lx11 - xi < e: Si el jugador A siempre puede presentar un solo valor de K(e) y demostrar que este valor funcio nará, él gana. Sin embargo, si el jugador B puede dar un valor de e> O para el cual el jugador A no pueda dar una respuesta adecuada, entonces el jugador B gana.

A fin de asegurar el éxito, el jugador A deberá contar con una fórmula para K(e), o cuando menos con un procedimiento organizado (es decir, un "algoritmo") para encontrar un valor de K( e) una vez que se ha especificado e > O.

Observación. La definición del límite de una sucesión de números reales se usa para cornprcbar que un valor propuesto de x es en realidad el límite. No proporciona ningún medio para determinar inicialmente cuál podría ser ese valor. Resultados posteriores con tribuirán a este fin, pero con mucha frecuencia en la práctica es necesario llegar a un valor conjeturado del límite mediante el cálculo directo de varios términos de la sucesión. Las computadoras pueden ser de suma utilidad a este respecto, pero como sólo pueden calcular un número finito de los términos de una sucesión, dichos cálculos de ninguna manera son una demostración del valor del límite, sino que son únicamente una conjetura del mismo.

Q.E.D.

uEV.(x) <=> luxl<e <=> -e<u-x<e (::::> X - 6 <U< X+ 6.

Demostración. La equivalencia de a) y b) no es sino la definición. La equiva lrucia de b ), c) y d) se deduce de las implicaciones siguientes:

J. l .6 Teorema. Sea X= (x,) una sucesión de números reales, y sea x E R. Los 1/¡¡11!1'11tes enunciados son equivalentes.

11) X converge ax. b) Para toda vecindad-e VE(;;), existe un número natural K(e) tal que para

uulu 11 ~ K(c.), los términos xnpertenecen a V/x). e) Para toda e> O, existe un número naturalK(e) tal que para toda n ~ K(e),

lo« términos x" satisfacen lxn xi< e. d) Para toda e> O, existe un número natural K( e) tal que para toda n ~ K( e),

/11s términos x satisiacen x - e < x < x + e. n J' n

1 U~íilON(rncló11. Supóngase, por el contrario, que tanto x' como x" son límites 111• \', (1,) y que x' •/= x". Se elige e> O de modo que las vecindadese Vi:Cx') y 1'1( 1")11011n dlsjuntas (es decir, e> ilx' x"I). Se hace ahora que K' y K" sean 11l\1tll'l'llN unt urulcs tales que, sin > K', entonces xn E V0(x') y sin> K", entonces 111 r \/1,(.1 "). Sin embargo, esto contradice la hipótesis de que estás vecindadese

111111 diNjuntas. (¿Por qué?) Por consiguiente, x' = x". Q.E.D.

89 :111( 'l\SIOl\li\S Y SlJ8 l.(Ml'l'i~S

3.1.S Unicidad de límites. Una sucesión de números reales puede tener a lo sumo un límite.

Asimismo, en ocasiones se usará la simbología x11--+ x, la cual indica la idea intuitiva de que los valores x11 "tienden" al número x cuando n + oo,

o límX:::::x

La. defini~ión de convergencia de X= (x11) se puede describir diciendo: para cualquier vecindad-e V8(x) de x, todos los términos de X, excepto un número finito pertenecen a V8(x). El número finito de términos que pueden no pertenecer a la vecindade son los términos x x x

., l' 2'" .' , K(e)1' Cuando una sucesion X= (x11) tiene un límite x en R, se usará la notación

La notació~ K(c.) se usa para hacer explítico que la elección de K puede depender del valor de f. > O; sm embargo, con frecuencia resulta conveniente escribir K en lugar de K( c.). · En. muchos ca~os, un valor "pequeño" de f. por lo general requerirá un valor "grande" de K a fin de garantizar que x11 está en la vecindade. Ve(x) para toda n ~ K = K(c.).

, 3.1.4 Defnnidó~. ~ea X= (x,,) una sucesión de números reales. Se dice que un numero real x es un límite de (x11) si para toda e> O existe un número natural K( e) tal qu~ para tod,a ~ ~ K(e), los términos x11 pertenecen a la vecindade V (x).

~i x es un limite de la sucesión, se dice asimismo que X= (x ) converge ax (o que tiene un límite x). Si una sucesión tiene un límite, se dice que la sucesión es convergente; si no tiene ningún límite, se dice que la sucesión es divergente.

, . En el análisis real hay varios conceptos diferentes de límites. El concepto de limite de una sucesión es el más básico de ellos y será el centro de atención en este capítulo.

El límite de una sucesión

entonces están definidas X+ Z, X - Z y X · Z; pero X/Z no está definida porque algunos de los términos de Z son iguales a O.

Z== (0,2,0, ... ,l + (1)", ... ),

Se observa que si Z denota la sucesión

( 1 7· 17 2n2 - l. ) X-Y= - - - .1'2'3'·"• n , ... ,

X· Y= (2,2,2, ,2, ... ),

3X = (6, 12, 18, , 6n, ... ),

X/Y= (2,8', 18, ,2n2, ••• ).

SU( '11.SJONJI,~! 88

Colas de sucesiones Es importante entender que la convergencia (o divergencia) de una sucesión

X = (x ) depende sólo del "comportamiento final" de los términos. Con esto se quiere ndecir que si para cualquier número natural m se omiten los m primeros términos de la sucesión, entonces la sucesión resultante X, converge si y sólo si la sucesión original converge y, en este caso, los límites son iguales. Este hecho se enunciará formalmente después de introducir la idea de "cola" de una sucesión.

Ahora bien, si la desigualdad l/n < e se satisface, entonces la desigualdad(#) se cumple. Si K( e) es un número natural tal que K( e) > 1 /e, entonces para cualquier n EN tal que n ~ K(e), se tiene l/n <e y, por tanto,(#) se cumple. Puesto que el jugador A puede producir K(e) para cualquier e> O, este jugador sabe que el lí mite de la sucesión es 3.

\3n + 2 _ 3\ =13n + 2 3n - 3\ =\_=2__\ = _1_ < 2_. n+l n+l n+l n+l n

cuando n es bastante grande. Primero se simplifica la expresión del primer miembro:

\_3n_+_2 31 < e n + 1 (#)

Dada e > O, el jugador A desea obtener la desigualdad

( 3n + 2) lím = 3. n + l d)

por consiguiente, afirma que "la sucesión (l/n2) converge a O". e) La sucesión (O, 2, O, 2, ... , O, 2, ... ) no converge a O. Si el jugador A afirma que O es el límite de esta sucesión, perderá eljuegoK(e)

cuando el jugador B escoja un valor de e « 2. Para que no haya dudas, sea que el jugador B elija e= l. Entonces, independientemente del valor que escoja el juga dor A para K(l ), su respuesta no será adecuada, ya que el jugador B siempre podrá seleccionar un número par n > K(l) para el cual el valor correspondiente xn :;:: 2 Y para el cual lx11 - OI == 12 OI = 2 > l. Por tanto, ei número O no es el límite de la

sucesión (x,).

\ 2--o\=2-<e; n2 n2

1, (/') t·111rn1rn: 11 _ • 1 ¡.Je por lo que n2 > l/e (¿por qué?), de donde se deduce que r 1 ¡11' (¡,por qué"). Habiendo respondido afirmativamente a ambas cuestiones, rl j11¡•,ador /\sabe que si n > K(e), entonces

9l Sll('l•SIONHS Y SUS LIMITES

Por tanto, el jugador A se siente tentado a tomar K(e) como un número natural tal que K(e) > l/Ve (la propiedad de Arquímedes 2.5.2 garantiza que siempre habrá uno). Antes de que el jugador A haga su afirmación, debe asegurarse de que sin ~

o l

{i < n. l < {i n

para n suficientemente grande. Si se extraen las raíces cuadradas positivas, la de sigualdad l/n2 < e lleva a

Por lo tanto, el jugador A puede afirmar con toda seguridad que: "La sucesión (1/n) converge a O", pues independientemente del valor de e> O que nombre el jugador B, el jugador A sólo necesita producir un número natural K(e) > l/e.

b) lím (1/n2) :;:: O. Dada e > O, el jugador A quiere obtener

3.1.7 Ejemplos. a) lím (1/n):;:: O. Para demostrar esto, el jugador A observa que, dada e> O, entonces 1/e > O.

Por tanto, por la propiedad de Arquímedes 2.5.2, hay un número natural que exce de al/e. Ahora bien, si K(e) es un número natural con K(e) > l/e, entonces para cualquier n EN tal que n ~ K(e), se tendrán> l/ede donde l/n <e. Es decir, si n ~ K( e), entonces

Obsérvese que el jugador A no necesita presentar el número 111l'll•H /\(i') tal que lx11 xi < e para toda n ~ K( e), aun cuando esté en posibilidad de hacerlo. Se trata únicamente de que pueda dar algún valor de K( e) que funcione, sin importar el valor de e > O que el jugador B pueda especificar.

Se recuerda al lector que el jugador B gana cuando puede especificar un solo valor de e> O para el cual la respuesta del jugador A no sea adecuada en el senti do de que independientemente del valor que el jugador A dé para K( e), el jugador B puede presentar un número natural (por ejemplo nK(e)) con nK(e) ~ K(e) tal que !x"k(e) -xi~ e.

Para demostrar que una sucesión X == (x11) no converge al número x, basta presentar un número e0 > O tal que independientemente del número natural K que se elija, es posible encontrar una nx particular que satisface "« ~ Ktal queX11

no pertenece a la vecindada, de x. (Esto se analizará con mayor detalle en 1: sección 3.4.)

SUCESION HS 9U

de modo que por el teorema 3.1.10 se obtiene lím (b") =O. d) Si e> O, entonces lím (c1 11) = l. El caso e= 1 es trivial,_ya que entonces (c1 ")es la sucesión constante (1, 1,

1, ... ), que, evidentemente, converge a l.

1 1 1 O< b11 = ~ <

(l+a)" l+ria na

Corno se sabe que lím (1/n) =O, se puede recurrir al teorema 3.1.10 para inferir que lím (1/2n) =O.

e) Si O O. Por la desigualdad de Bernoulli 2.2.14 e) se tiene (1+a)n~1 +. na. Por tanto ·

I ~ ol ~ !:_ para toda n EN. zn n

l'11es10 que lím (1/n) =O, se puede recurrir al teorema 3.1.10 con C = l/a y m;;:; l p11ra inferir que lím (1/(1 +na))= O.

b) lím (1/2n);;:; O. Puesto que O < n < 211 para toda n EN (ver el ejercicio 1.3.8), se tiene O <

1 /2" < l/n, de donde se deduce que

1

1 O I ,;;;; ( !:. ) !:. para toda n E N.

l+na a n

.U.U Ejemplos. a) si a> O, entonces lím (i}na) =O.

Puesto que a > O, se deduce que O < na < 1 +na. Se concluye, por lo tanto, q111· o < 1/(1 +na) < l/(na), lo cual indica evidentemente que

Q.E.D. l'111·111n que e> O es arbitraria, se concluye que x = lím (x11).

'l1• rd¡i,11G por lo tanto que si x > Kie /C) y n ~ m, entonces

laJ = lan - ül < s/C.

01•owNlrud(m. Si se du e> O, entonces como lím (an) =O, se concluye que lmv 1111 1111111l'l'O untura! KA(c. /C) tal que sin ~ Kie /C) entonces

93 :111( 'ESl()Nl\S Y SI IS 1.f Ml'l'l•'.S

3.LlO Teorema. Sean A= (a,,) y X= (x,) sucesiones de números reales y sea X ER. Si para alguna e> o y alguna m E N se tiene

[x,, xj < Cla,,I para toda n EN tal que n ~ m,

y si lim (a,,)= O, entonces se deduce que Iím (x,,) = x.

Se presentan ahora algunos ejemplos en los que se establece la convergencia de sucesiones particulares. Si se usa la definición 3.1.4 o el teorema 3.1.6 se debe jugar en realidad el juego K(e). En su lugar, con frecuencia resulta conveniente usar el resultado siguiente.

Algunos ejemplos

En ocasiones se dirá que una sucesión X posee en última instancia determinada pro piedad si alguna cola de X tiene dicha propiedad. Por ejemplo, se dice que la sucesión (3, 4, 5, 5, 5, ... , 5, ... ) es "en última instancia constante". Por otra parte, la sucesión (3, 5, 3, 5, ... , 3, 5, ... ) no es en última instancia constante. La noción de convergencia se puede formular usando esta terminología: Una sucesión X converge ax si y sólo si los términos de X están en última instancia en toda vecindade de x. Otros casos de esta "terminología de última instancia" se señalarán más adelante.

Demostración. Se observa que para cualquier p EN el pésimo término de Xm es el (p + m)ésimo término de X. De manera similar, si q > m, entonces el q- ésimo término de X es el ( q - m )ésimo término de X .

m Supóngase que X converge ax. Entonces dada cualquier e> O, si los términos

de X para n ~ K( e) satisfacen ixn - xJ < e, entonces los términos de Xm para k ~ K(e) m satisfacen lxk - xi < e. Por tanto, se puede tomar Km(e) = K(e) - m, de modo que Xm también Converge a X.

Recíprocamente, si los términos de Xm para k ~ Km( e) satisfacen Jxk - xi < e, entonces los términos de X para n ~ K( e) + m satisfacen Jxn xi < e. Por tanto, se puede tomar K( e) "' Km( e) + m.

Por lo tanto, X converge ax si y sólo si Xm converge ax. Q.E.D.

3.1.9 Teorema. Sea X= (xn: n EN) una sucesión de números reales y sea m EN. Entonces la cola-m X = (x : n EN) de X converge si y sólo si X converge m m +n ' En este caso, IímXm = límX.

Por ejemplo, la cola3 de la sucesión X= (2, 4, 6, 8, 10, ... , 2n, ... ), es la sucesiónX3 = (8, 10, 12, ... , 2n + 6, ... ).

3.1.8 Definición. Si X= (x1, x2, ... , x,,, ... ) es una sucu11M11 lk uúmcros reales y si m es un número natural dado, entonces la colaza de X es la sucesión

92

7/ Demostrar que lím (x11) =O si y sólo si lím (lx111) =O. Dar un ejemplo para demostrar que la convergencia de (lxnl) no significa necesariamente la con

/ vergencia de (x11). · •

8/ Demostrar que si x11 ~.O para toda n EN y lím (x11) = O, entonces lím (JX;j = O. 9. Demostrar que si lím (x,) = x y si x >O, entonces existe un número natural M

tal que x11 > O para toda 11 ~ M.

10! Demostrar que ( ! _l__l ) = O n n + .

11. /Demostrar que lí1~ (1/3") = (l

b) lím (~) = 2, n+2

((l)"n)

d) ]Ím 2 =O. n + 1

d) lim ( n22 - l ) = l 2n + 3 2

b) lím (~) = 2, n + l

a) lim ( Vn ~ 7 ) = O,

e) lím (_±__)=O, n + 1

e) lím ( 3n + l ) = 3 2n + 5 2'

6/ Demostrar que

a) lím (21) = O, n + 1

4! Demostrar que para cualquier b E R, lím (b/n) =O. 5r"Usar la definición del límite de una sucesión para establecer los siguientes

límites.

Xn+l := 3x,. + 1, Yn+ 1 := ~(y,. + 2/y,.), z2 := 2, z,.+2 := (z,.+1 + z,.)/(z11+1 zn),

2. Acontinuación se dan los primeros términos de una sucesión (xJ Suponien do que el "patrón natural" indicado por estos términos se mantiene, dar una fórmula para el nésimo término x". a) 5, 7, 9, 11, ... , b) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... , e) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ... , d) 1, 4, 9, 16, ....

'.l. Enumerar los cinco primeros términos de las sucesiones siguientes definidas inductivamente. a) X¡ := 1, b) Y1 := 2, c)z1:=1, d) S¡ := 3,

b) x,. := (1)"/n, 1

d) x,. := 2· n + 2

11) .r,, ·1 +(1)", 1

d x" == n ( n + 1) '

1 ,11 s11<.:esi(rn (x,) se define por las fórmulas siguientes para el nésimo térmi 11\1. Hscrihir los cinco primeros términos en cada caso:

SI 1( '11,Sl()Nl',S Y sus 1.ÍMl'l'l:.s

O< nl/n - 1 = k ; ~ (2/n)l/2 <e.

Puesto que E> O es arbitraria, se deduce que lím (n1 ") = l.

Por tanto, k;, ~ 2/n para n > l. Ahora bien, si se da E > O, de la propiedad de Aquímedes [ver el corolario 2.5 .3 b)] se concluye que existe un número natural N t~l que 2/N0 < E2. Se infiere que sin~ sup {2, NE} entonces 2/n < c2, de dondes: sigue que

n - 1 ;:,, ln(n - l)k2 ~ 2 n '

n = l + nk¿ + ~n(n - l)k~ + · · · > l + ~n(n - I)k~, de donde se deduce que

Se recurre ahora al teorema 3.1.1 O para inferir que lím ( c1i11) = 1 cuando O < e < l. e) lím (n1/11) = l. Puesto que n1i11.> 1 paran> 1, se puede escribir n1i11 = 1 + k para alguna k

> O cuando n > l. Por tanto, n = (1 + k )11 paran> l. Por el teorema del binomi~1

si n > 1 se tiene . 11

'

l cl/n ll <(el )-nl N para n E .

de modo que

hll l O < 1 c1l11 = < h <

l + h ; " ne

de donde se concluye que O< h11 < l/nc paran EN. Por lo tanto, se tiene

l l < l+nh,. nh,.'

l ~ (1 +h,.)"

e=

Se recurre ahora al teorema 3.1.10 para inferir que lím (c1!11) = 1 cuando e> l. Supóngase ahora que O <e< l; entonces c1111 = 1/(1 + h11) para alguna h11 >O.

Por tanto, por la desigualdad de Bernoulli, se deduce que

para n EN. 1

lc1/" ll = d,. ~ (e - l) n

Se tiene por lo tanto e 1 ~ nd, de modo que d11 ~(e 1)/n. Entonces, se tiene

para n EN.

Si e > 1, entonces c1i11 = 1 + d11 para alguna d11 > O. !\NI, pP1 111 du::igualdad do Bernoulli 2.2.14 e) ·

')4

Demostración. a) Para demostrar que Iím (x +y ) = x +y es necesario esti 1

. n n mar a magnitud de .(x11 + Yn)- (x +y). Para ello se usa la desigualdad del triángulo 2.3.3 a fin de obtener

Puesto que E> O es arbitraria, con esto se demuestra que la sucesión X· Y= (xrzYn) converge a xy. c.x

El hecho de que cX = ( cx11) converge a@se puede demostrar de la misma manera; también se puede deducir haciendo que Y sea la sucesión constante (e, e, e, ... ). Se dejan los detalles al lector.

b) Se demuestra en seguida que si Z = (zrz) es una sucesión de números reales diferentes de cero que converge a un límite z diferente de cero, entonces la suce sié i (1/zn) de los recíprocos converge a 1/z. Primero se hace a:=~ !z! de modo que a > O. Puesto que lím (z11) = z, hay un número natural K1 tal que sin ~ K1 entonces [z zl < a. Del corolario 2.3.4 a) de la desigualdad del triángulo se sigue que -a n .

3.2.3 Teorema. a) Sean X= (x,) y Y= (y n) sucesiones de números reales que convergen ax y y, respectivamente, y sea e E R. Entonces las sucesiones X+ Y X -

' Y, X· Y y cX convergen ax+ y, x - y, xy y ex, respectivamente. b) Si X = (xrz) converge a x y Z = (z ) es una sucesión de números reales

diferentes de cero que converge a z y si z ; O, entonces la sucesión cociente X/Z converge a xtz.

lxnYn - xyl ~ Mly11 - yl + Mlxn - xi ~ M(e/2M) + M(e/2M) =e.

En 3.1.3 se definieron la suma, la diferencia, el producto, el múltiplo y (para algunos casos) el cociente de sucesiones de números reales. Se demuestra a conti nuación que las sucesiones obtenidas de las maneras anteriores a partir de sucesio nes convergentes dan lugar a nuevas sucesiones cuyos límites se pueden predecir.'

1 )e la convergencia de X y Y se concluye que si se da e > O, entonces existen los números naturales K1 y K2 tales que si s > K1 entonces lxn xi< E/2M, y sin¿ K2

entonces lyn - YI < t:/2M. Se hace ahora K(E) := sup {K1, K2}; entonces, sin ~ 1(( e) se infiere que ,

1 )e acuerdo con el teorema 3.2.2, hay un número real M1 > O tal que lxnl =s; M1 para roda n EN y se hace M := sup {Ml' !YI}. Se tiene por tanto la estimación

Demostración. Supóngase que lím (x11) = x y sea e:= 1. Por el teorema 3.1.6 e ), existe un número natural K := K(l) tal que sin ~ K entonces lxn xi < 1. Por tanto, por el corolario 2.3.4 a) de la desigualdad del triángulo, se infiere que si n ~ K, entonces lxnj < lxJ + 1. Si se hace

1 X n y n - xy 1 = 1 ( X 1l y n - X TI y) + ( X TI y - xy) 1

<lxn(Yn - Y)I +l(xn x)yl = lxnl ly11 - yl + lx11 - xi lyl. 3.2.2 Teorema. Una sucesión convergente de números reales está acotada.

l 'ucsto que E> O es arbitraria, se infiere que X+ Y= (xn +Y,) converge ax+ y. Se puede usar exactamente el mismo razonamiento para demostrar que X - Y

( r,, Y,) converge ax-y. Para demostrar que X· Y= (x,l,) converge a xy se hace la estimación 3.2.1 Definición. Se dice que una sucesión X = (x ) de números reales está

acotada si existe un número real M > O tal que lx111 =s; M para toda n EN. Por tanto la sucesión X= (xn) está acotada si y sólo si el conjunto {x11: n EN}

de sus valores está acotado en R.

En esta sección se obtendrán algunos resultados que con frecuenciapermiti rán evaluar los límites de ciertas sucesiones de números reales. Con estos resulta dos se podrá ampliar considerablemente la lista de sucesiones convergentes.

, SECCION 3.2 Teoremas de límites

l '111 11 i pótcsis, si E> O existe un número natural K1 tal que si n ~ K1, entonces lx11

)(1 < 1 /2; asimismo, existe un número natural K2 tal que si n ~ K2, entonces 1 y11 - YI <e./.~. Por tanto, si K(e) := sup {Kp K2}, se deduce que si n > K(c) entonces

1 ( ~ 11 1 Y 11) (X + Y) 1 = 1 (X n - X) + ( Y n - Y) 1

~ lx11 - xi + IYn - yl.

Q.E.D. entonces se deduce que lxni =s; M para toda n EN.

I . 12. Sea que b ER satisface O11) o. ¡."l'll,t:1'11'11<·ia: /Usar el teorema del binomio como en el ejemplo 3.1.ll(c).J

13., Demostrar que lím ((2n)l/n) = 1. 14.' Demostrar que lím (n2/n!) = O 151 Demostrar que lím (2n/n!) =O. [Sugerencia: si n > 3, entonces O< 2n¡n! =s;

2(~ )Tl 2.]

IJ'/ S\ /( 'l ·.SH )N 11.~l ')(>

y que lím (x11) = Jím (z,.). Entonces Y= (y,,) es convergente y

lím (x,,) = lím (y11) = lím (z),

x,, ~Y,,~ z11 para toda n EN,

3.2:7 Teorema de compresión. Suponer que X= (x,), Y= (y,) y Z = (z11) son sucesiones de números reales tú les que

El siguiente resultado afirma que si una sucesión Y está "comprimida" entre dos sucesiones que convergen al mismo límite, entonces también debe converger a este límite.

Demostración. Sea Y la sucesión constante (b, b, b, ... ). Del teorema 3.2.5 se deduce que lím X~ lím Y= b. De manera similar se demuestra que se tiene a o;:; lím X. o.e.o.

3.2.6 Teorema. Si X= (x,,) es una sucesión convergente y si a ~ x11 :s;; b para toda n e N, entonces a «: lím (x,,) :s;; b.

El resultado siguiente afirma que si todos los términos de una sucesión con vergente satisfacen una desigualdad de la forma a o;:; x11 o;:; b, entonces el límite de la sucesión satisface la misma desigualdad. En consecuencia, si la sucesión es convergente, es posible "pasar al límite" en una desigualdad de este tipo .

Q.E.D.

Demostración. Sea z :=y -x de tal modo que Z :=Y -X y z, ~ O para toda n n 11 r 11 e: N. De los teoremas 3.2.4 y 3.2.3 se sigue que

O ~ lím Z = lím (y,,) - lím (x,,),

de modo que lím (x,.) ~ lím (y11).

3.2.5 Teorema. Si X= (x11) y Y= (y11) son sucesiones convergentes de núme- ros reales y si xn ~ y11 para toda n EN, entonces lím (x,,) ~ lím (y1.).

Se presenta ahora un útil resultado que es formalmente más sólido que el l\'orema 3.2.4.

ll1·11wshw.:lóu. Supóngase l¡uc la conclusión es falsa y que x < O; entonces 1 es positiva. Puesto que X converge ax, existe un número natural K tal que

x - e < x11 < x + e para toda n ~ K.

l 111 particular se tiene xK < x + e = x + (-x) =O. Pero esto contradice la hipótesis de q111" 111 ""' O para toda n EN. Por lo tanto, esta contradicción indica que x ~ O.

Q.E.D.

')') 'l 1101ll'MAfl 111( 1 fMl'l'l•S

. 3.2.4 Teorema. Si X= (x11) es una sucesión convergente de números reales y si x11 ~ O para toda n EN, entonces x := Iím (x11) ~ O. ·

Las demostraciones de estas afirmaciones se dejan al lector.

lím (a,~) = (lím (a11)l. (3)

Por tanto, si k EN y si A =(a,.) es una sucesión convergente, entonces

(2) Iím (a11b11 • • • z11) = (lím (a11))(1ím (b11)) • • • (lím (211)).

También su producto A · B · · · Z := (a b · · · z ) es una sucesión convergente y 11 ll n

lím (a + b + · · · + z ) = lím (a ) + lírn (b ) + · · · + lím (z ) 11 ,, fl 11 1l JI. (1)

. , Alguno~ ?e los resultados del teorema 3.2.3 se pueden generalizar, por induc cion matemática, a un número finito de sucesiones convergentes. Por ejemplo, si A = a11), B = (b11),. • ., Z = (z11) son sucesiones convergentes de números reales, enton ces su suma A + B + · · · + Z := (a11 + b11 + · · · + z,) es una sucesión convergente y

La demostración del inciso b) se completa ahora al tomar a Y como la sucesión (l/z11) y usando el hecho de que X· Y= (x11¡z11) converge a x(l/z) = xiz, o.s.o.

lim ( ~) = 1

z,. z

Puesto que E> O es arbitraria, se sigue que

1 _!_ - !_ I ,;;; e para toda n > K( 6). z,. z

Ahora bien, si se da s > O, hay un número natural K tal que sin ~ K entonces 1 1

J 1 12 . . 2 2' z11 -z :s;; ! s¡z . Por lo tanto, se deduce que si K(s) := sup {Kl' K2}, entonces

2 .;;; ~lz - z,.I para toda ,, ~ K1•

j l 1¡ ¡z-zj 1 = " = --lz - z 1 z,. z z,,z lz,.zl "

~ Jz,. zj ~ Jz11[ lzl paran ~ KP de donde se deduce que ~ j.· j J .. j n· j.:,,I parn n ~ K1. Por lo tanto l/Jz11J ~ 2/jz/ paran ~ k1, por lo que se ticuo la cxl imación

Sii( '11.Sl<>NH::

f) lím (se: n) = O.

No se puede aplicar, al menos no directamente, el teorema 3.~,3 b ), ya que la sucesión (n) no es convergente [así como tampoco lo. ~s _la suc~s10n (sen n)~; Al parecer, una operación algebraica simple no nos perm1tl~a reducir est~ sucesion a una forma en la que se pueda aplicar el teorema 3.2.3. Sin embargo, si se observa que 1 ~sen n ~ 1, entonces se sigue que

l sen n 1 .;,;; .;,;; para toda n E N.

n n n Por tanto, es posible aplicar el teorema de compresión 3.2.7 para in~erir que lím (n1 sen n) = o. (Cabe mencionar que también se podría haber aplicado a esta sucesión el teorema 3~,l~}LA'O ,

g) Sea X= (xn) una sucesión de numeras reales que converge ax ER. Seap un polinomio; por ejemplo, sea

p(t) := aktk + ªk-1tk-1 + ... +a1t + ªº'

2n 2/n n2 + 1 1 + 1/n2'

entonces se puede aplicar el teorema 3.2.3 b), ya que lím (2/n) =O y lím (1 + l/n2)

= 1 i= O. Por lo tanto, lím (2n/(n2 + 1)) = 0/1 =O .

pero el teorema 3.2.3 b) tampoco se aplica en este caso, ya que (n + 1/n) no es una sucesión convergente. (¿Por qué no?) Sin embargo, si se escribe

n + l/n' 2n

n2 + 1

2

111 sucesión dada se expresa en una forma en la que se puede aplicar el teore~a 1.2.J b) cuando se toma X:::= (2 + 1/n) y Z := (1+5/n). (Comprobar que se satis

l :1n;n todas las hipótesis.) Puesto que Jím X= 2 y lím Z = 1 i= O (¿por qué?), se .lcduce que se tiene lím ((2n + 1)/(n + 5)) = 2/1 = 2.

e) lím ( n22: 1 ) = O.

No se puede aplicar directamente el teorema 3.2.3 b) (¿Por qué?) Se observa que

2 + 1/n l + 5/n'

2n + 1

n+5

1'1tL·~lo que las sucesiones (211 + J) y (n + 5) no son convergente.s (¿por ~ué?),

111, L'~1posihlt.;11sar el teorema 3.2.3 b) directamente. Sin embargo, si se escnbe

IOJ

3.2.8 Ejemplos. a) La sucesión (n) es divergente. Por el teorema 3.2.2 se deduce que si la sucesión X:= (n) es convergente

entonces existe un número real M > O tal que n = In] < M para toda n EN. Pero esto contradice la propiedad de Arquímedes 2.5.2.

b) La sucesión ((1)") es divergente. . La sucesión X:= ((1)") está acotada (tomar M := 1), por lo que no se puede

aplicar el teorema 3.2.2. Sin embargo, supóngase que existe a:= límX. Sea E:= 1 de tal modo que existe un número natural K tal que

1 '

1(1)" aj< 1 para toda n > K1•

Sin es un número natural impar con n ? Kl' se obtiene j 1 al< 1, de tal modo que ·2 < a < ?· (¿Por qué?) Por otra parte, sin es un número natural par con n ~ K1, de esta des~g~aldad se obtiene [1 al < 1 de modo que O < a < 2. Puesto que a no puede satisfacer ambas desigualdades, la hipótesis de que X es convergente · lleva a una contradicción. Por Jo tanto, la sucesión X es divergente.

e) lím ( 2 n n+ l ) = 2.

Si se hace X:= (2) y Y:= (1/n ), entonces ((2n + 1 )/n) =X+ Y. Por tanto por el teorema 3.2.3 a) se sigue que lím (X+ Y)= límX + lím y= 2 +O= 2.

d) lím ( 2

n + 1 ) = 2.

n+5

, . Observa~ió?. Puesto que cualquier cola de una sucesión convergente tiene el mismo Iímite, las h.'.potes1s de los teoremas 3.2.4, 3.2.5, 3.2.6 y 3.2.7 se pueden hacer meños rigurosas a fin de aplicarlos a la cola de una sucesión. Por ejemplo, si en el teorema 3.2.4 X= (x,) es "en última instancia positiva" en el sentido de que existe m EN tal que x ;:;,, O P.ªr~ toda n ? n_i ', entonces se cumplirá la misma conclusión de que x;:;,, O. Modifica;Íones similares son validas para los demás teoremas, como el lector deberá comprobar.

-E <yn-w <E

para toda n ;.,, K. Puesto que E > O es arbitraria, esto significa que lím (y,,) = w. Q.E.D.

se deduce (¿por qué?) que

para toda n EN,

Puesto que la hipótesis indica que ~

x -w~y -w,1$\z -w n n {J n

/z,, - w/ <e. y

Demo~trnción. Sea w := lím (x,.) = lím (z,). Si se da e O, ''1111111n;~ de l;1 convergencia de X y Za w se sigue que existe un número natural A lal que si 11 ~ K: entonces

S(J( 'l•.Sl! )NJIS Jl)I)

' < 1 por el teorema 3.2.11 se sigue que lím li ( ¡x ) - 1 Puesto que ~ ' de modo que 1m x,, + 1 ,, 1· ·

(n/2") =O.

· dérese la sucesión ·¡ strac1'ón de la utilidad del teorema precedente, consi Como una 1 u

( ) dada por x := n/2". Se tiene XII 11

+ 1 2" 1 ( 1) Xn+I _ '.:___ • - = 1 + · 2n+l n 2 n

Xn

n-K+l Ü < Xn+l < XnT < Xn-lr2 < .. < XKT

< Cr" + 1 para toda n ;;. K. Puesto que O Si se hace e:= xK/rK, se ve ~ue o « xr 1 ( 11) = o y por lo tanto, por el teorema < r < 1, por 3.2.11 e) se sigue que im r ' Q.E.D.

3.1.10 se concluye que lím (x,.) =O.

Por lo tanto, si n > K se obtiene

Xn+l < L +e= L + (r L) = r.

Xn

'?)que sin ;;. K entonces l k esta desigualdad se sigue (¿por que.

. e L > O Sea r un número tal que L < r < 1 ·, p 3 2 4 se sigue qu ~ · Demostrac1on. or · · · > K entonces L > O Existe un número K EN tal que st n ,_... v~eae:=r .

. , de números reales positivos tal que ' 2 U Teorema. Sea (x,.) una suceswn , ( ) - O . . . / ) Si L < 1 entonces (x) converge y lírn x,, - .

i•111·/1' l, := lím (xn + 1 x" . t , "

. . el resultado siguiente proporciona un rápido J 1'111·n cierto upo de sucesiones . En los e1· ercios se puede en . t " ra la convergencia.

111 i1,·ilh1 "criterio del cocien e pa 'i11111;1r resultados relacionados.

. - ' .J x es ahora una consecuencia inmediata del hecho de 1 11 l 1111Vl'l)\Cm·111 de .J x,, e Q.E.D.

'1111' 1,, '1·.

lll.l '!'11.< ll{l\M/\S ¡)11, 1,IMl'l'l·.S

Puesto que .Jx;; + ../X ~ -../X > O, se sigue que

X11 - X

o < xn = x,. - o < e2•

Por lo tanto, [ver el ejemplo 2.2.14 a)], O~.¡;;,< e para n > K. Puesto que e'> O es arbitraria, esto significa que -Jx;,-+ O.

ii Si x > O, entonces ../X > O y se observa que

Demostración. Por el teorema 3.2.4 se sigue que x = lím (x11) ;;. O, por lo que la afirmación tiene sentido. Se consideran ahora dos casos: i x = O y ii x > O.

i Si x = O, sea e > O dada. Puesto que x11 +O, existe un número natual K tal que si n ;;. K entonces

3.2.10 Teorema. Sea X= (x,,) una sucesión de números reales que converge a x y suponer que x11;;. O. Entonces la sucesión (IX;) de las raíces cuadradas po sitivas converge y lím c..rx;) = .Ji.

La convergencia de (!x11!) a lxl es entonces una consecuencia inmediata de la con vergencia de (x11) ax. Q.E.D.

para toda n EN. llx,.1lxll ~ lx11-xl

Demostración. Por la desigualdad del triángulo [ver el corolario 2.3.4 a)] se sigue que

3.2.9 Teorema. Sea que la sucesión X= (x11) converja ax. Entonces la suce- sión (lxnl) de los valores absolutos converge a !xi. Es decir, si x = lím (x11), entonces lxl = lím (lx111).

Se concluye esta sección con varios resultados que serán útiles en la explica ción que sigue.

donde k EN y aj ER para j = O, 1, ... , k. Por el teorema .l.l..l se sigue que 111 sucesión (p(x,.)) converge a p(x). Los detalles se dejan al lector como ejercicio.

h) Sea X= (x11) una sucesión de números reales que converge ax E R. Sea r una función racional (es decir, r(t) := p(t)/q(t), donde p y q son polinomios). Supóngase que q(x11) * O para toda n EN y que q(x) * O. Entonces la sucesión (r(x11)) converge a r(x) = p(x)/q(x). Los detalles se le dejan al lector como ejercicio.

!02

3.3.1 Definición. Sea X= (x,,) una sucesión de números reales. Se dice que X es creciente si satisface las desigualdades

1 lasta este punto se han obtenido varios métodos para demostrar que una su 1 1''li1)11 X= (x,,) de números reales es convergente.

i Se puede usar directamente la definición 3.1.1 o el teorema 3.1.6. Hacer mi (1 con frecuencia (pero no siempre) resulta difícil.

ii Se puede dominar lx,, xi con un múltiplo de los términos de una sucesión (11) cuya convergencia a O sea conocida y aplicar el teorema 3.1.10.

iii Se puede identificar aX como una sucesión obtenida a partir de sucesiones 111yn convergencia es conocida tomando colas, combinaciones algebraicas, valo 11·s absolutos o raíces cuadradas y aplicar los teoremas 3.1.9, 3.2.3, 3.2.9 ó 3.2.10.

iv Es posible "comprimir" X entre dos sucesiones que convergen al mismo luuitc y usar el teorema 3.2.7.

v Se puede usar el "criterio del cociente" del teorema 3.2.11. S11lvo por iii, todos estos métodos requieren que se sepa de antemano (o al menos que se conjeture) el valor correcto del límite para luego comprobar que la conjetu rn es correcta.

Sin embargo, hay muchos casos en los que no hay un prospecto evidente para t'i límite de una sucesión, aun cuando un análisis preliminar indique la probable «currencia de la convergencia. En esta sección y las dos siguientes se darán resul rudos de mayor profundidad que los presentados en las secciones precedentes, los cuales podrán usarse para establecer la convergencia de una sucesión cuando no haya un prospecto evidente para el límite. El método que se presenta en esta sec ción es de un alcance un tanto más restringido que el método que se presenta en las dos siguientes, pero su aplicación es bastante más sencilla. Se aplica a sucesiones que son monótonas en el sentido siguiente.

1r1 1

;)¡111 ( 111) 111111 su ces i(l 11 de n Cimeros reales positivos tal que lím (xY11) = L < l. 1 h·11H1111rnr que existe un número r con O< r < 1 tal que O< xn < r,, para toda 11 ' N lo xuficicntcmcnte grande. Usar este resultado para demostrar que lí111 (.1',,) =o.

l l./11) l)11r 1111 ejemplo ele una sucesión convergente (x,,) de números reales posi 1 ivux tal que lím (x,~/") = l.

h) Dar un ejemplo de una sucesión divergente (x,,) de números reales positi vos tal que lím (x,~/") = 1. (Por tanto, esta propiedad no se puede usar como criterio de convergencia.)

1 H. /<;u poner que (x,) es una sucesión convergente y que (y11) es tal que para cual quier E> O existe M tal que :x11 y,,!< E para toda n ~ M. ¿De lo anterior se in riere que (y11) es convergente?

105 Sll( 'HSJON11.S MONÓHJN/\S

b) (b"/n2),

d) (n!/n"). a) (n2a"), e) (b11/n!),

Dar un ejemplo de una sucesión convergente (x ) de números positivos tal que lím (x 1/x ) = 1 ·1 n + n .

b) Dar un ejemplo de una sucesión divergente cor esta propiedad. (Por tan

~j to, esta propiedad~? se pu~de usar como criterio de convergencia.) 4. Sea X= (x11) una sucesión de numeras reales positivos tal que lím (x ¡x ) =

L>lD t X ., n+ln · emos rar que no es una sucesión acotada y, por tanto, no es con vergente.

IS! Analizar la convergencia de las siguientes sucesiones, donde a, b satisfacen O< a< 1, b >l.

b) (b11/2"), d) (2311 ¡3211).

a) (a"),

e) (njb"), u/a)

I 2!" Dar un. ejemplo de dos sucesiones divergentes X, Y tales que su suma X+ y 1converJa:

3. Dar un. ejemplo de dos sucesiones divergentes X, Y tales que su producto XY converja.

4. v"Demostrar que si X y Y son sucesiones tales que X y X+ Y son convergentes entonces Y es convergente. '

5/ Demostrar que si X y Y son sucesiones tales que X converge ax =t o y .A'Y converge, entonces Y converge.

6/Demostrar que la sucesión (211) no es convergente. 7 jDemostrar que ,la _sucesión (( ~ 1 )'.'n2) no es convergente. 8. Encontrar los Iímites de las siguientes sucesiones:

a) lím((2 + l/n)2), b) lím((1)"/(n + 2)),

, (Vn-l) (n+l) c) hm y , d) lím , vn + l nVn 9/ Explicar por qué el resultado de la ecuación (3) antes del teorema 3.2.4 no se /puede usar para evaluar el límite de la sucesión ((1 + 1/n)n).

lOj Sea Y11 := fi1+1. --In para n EN; Demostrar que (Y,,) y ( .Jiíy11) convergen. 11. V.:Derr.iostrar que sr z,, := (a 11 + b ") 1~ 11, ?onde O < a < b, entonces lím (z,,) = b. 12. Aplicar el teorema 3.2.11 a las s1gu1entcs sucesiones, donde a, b satisfacen

O< a< 1, b >l.

2n2 + 3 d) x,. := 2

n + l

n2 e) X == --

11 n + i '

(-l)"n b) :1: :=

n n + 1 '

n a) X == --

11 n + i '

Ejercidos de la sección 3.2

1 /Parax dada 1 fé 1 · · • • 11 • por as ormu as siguientes, establecer la convergencia, o bien,

la divergencia de la sucesión X= (x )· 11.

SI 1( 'll.SIONI IN 11)4

2 =l+ n

> 1 + ~ + (~ + ~) + ... + (~ + .. ' + ~) 2 4 4 2n 2" 1 1 l

=l+ + +···+ 2 2 2

(31+¡1) ( J. 1) +···+ +···+ 2nl + 1 2n 1

X2n = 1 + 2

+

3.3.3 Ejemplos, a) lím (1/fil):;:; O. Esta sucesión se puede abordar aplicando el teorema 3.2.10; sin embargo, se

usará el teorema de convergencia monótona. Es evidente que O es una cota inferior del conjunto {1/v'n: n EN} y no es difícil demostrar que O es el ínfimo del conjun to {1/vn: n EN}; por tanto, O:; lím (1/Jñ).

Por otra parte, una vez que se sabe que X : = (1 / ,,jii) es acotada y decreciente, se sabe que converge a algún número real x. Puesto que X= (1/Jñ) converge ax, por el teorema 3.2.3 se sigue que X· X:;:; (1/n) converge ax2. Por lo tanto, x2 =O, de dondex =O.

b) Sea x11 := 1 + 1/2 + 1/3, + · · · + l/n paran EN. Puesto quex11+1:;:; x11 + 1/(n + 1) > x11, se ve que (x,) es una sucesión creciente.

Por el teorema de convergencia monótona 3.3.2, la cuestión de si la sucesión es convergente o no se reduce a la cuestión de si la sucesión está acotada o no. Los intentos por usar cálculos numéricos directos para llegar a una conjetura respecto al posible carácter acotado de la sucesión (x11) desembocan en una frustración sin resultados concluyentes. Una computadora revelará los valores aproximados x11 ""

11.4 paran= 50,000 y x11"" 12.1 paran= 100,000. Estos hechos numéricos pueden llevar al observador casual a concluir que la sucesión está acotada. Sin embargo, la sucesión en realidad es divergente, lo cual se establece al observar que

El teorema de convergencia monótona establece la existencia del límite de 1111a sucesión monótona acotada. Proporciona asimismo un medio para calcular el íunite de la sucesión siempre que sea posible evaluar el supremo en el caso a) o el ín fimo en el caso b ). En ocasiones resulta difícil calcular este supremo (o ínfimo), pero una vez que se conoce su existencia, con frecuencia es posible evaluar el 1 ímite por otros métodos.

Q.E.D. l'or lo tanto, lím Y= límX = inf {y11: n EN}.

sup { =u-: n EN} = inf{yn: n EN}.

li) Si }':;:;(y) es una sucesión decreciente acotada, entonces es evidente que X \' (-y,) es una sucesión creciente acotada. Se vio ya en el inciso a) que límX

:111p (y11: n EN}. Por una parte, por el teorema 3.2.3 a), límX:;:; lím Y; por otra p11ilc, por el ejercicio 2.5.4b ), se tiene

107 Sll( '11.SIONl·:s MONÚl'ONAS

Se sigue por tanto (¿por qué?) que

[x11 x*! <e para toda n ~ K.

Puesto que e > O es arbitraria, se infiere que (x) converge ax*.

para toda n ~ K. x* e < x ~ x ~ x* K n

Demostración. En el teorema 3.2.2 se vio que una sucesión convergente debe ser acotada. Recíprocamente, sea X una sucesión monótona acotada. Entonces X es creciente, o bien, decreciente.

a) Se trata primero el caso en que X es una sucesión creciente acotada. Por hipótesis, hay un número real M tal que x,, ~ M para toda n EN. De acuerdo con el principio del supremo 2.4.6, existe el supremo x" := sup {x11: n EN}; se demostrará que x* = lím (xJ Si se da e > O, entonces x* - e no es una cota superior del conjunto {x11: n EN}; por tanto, hay un número natural K := K (e) tal que x* - e=: xK' Pero como (x11) es una sucesión creciente se sigue que

3.3.'..! Teorema de convergencia monótona. Una sucesión monótona de nú- meros reales es convergente si y sólo si está acotada. Además:

a) Si X= (x11) es una sucesión creciente acotada, entonces lím (xn) = sup {x,,}. b) Si Y= (yn) es una sucesión decreciente acotada, entonces lím (y 11) = inf {y 11}.

(-2,0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, .. ). (7,6,2,1,2,3,4, ... ).

Las siguientes sucesiones no son monótonas, pero son monótonas "en última instancia":

(1, +2, 3, ... ,(l)"n, ... ). (+1,1,+1, ... ,(1r+1, ... ),

Las siguientes sucesiones no son monótonas:

si O< b < l. (b,b2,b3, •.• .b", ... )

( l, 1/2, 1/22,,.,, l/2"1,, •• ), (1, 1/2, 1/3, ... , l/n, ... ),

Las sucesiones siguientes son decrecientes:

(a, ª2, ª3, ... , a", ... )

(1, 2, 2, 3, 3, 3, ... ),

si a > l.

(1,2,3,4, ... ,n, ... ),

Se dice que X es monótona si es creciente, o bien, decreciente. Las sucesiones siguientes son crecientes

Se dice que X es decreciente si satisface las desigualdades

SUCESJONI iS 106

O ,,,;; s n - Va ,,,;; s n - a/ s., = ( s ~ - a)/ s ; para n ;:;. 2.

Mediante esta desigualdad es posible calcular Ja con cualquier grado de precisión que se desee. (¿Cómo?) ·

s=~(s+~). de donde se concluye (¿por qué?) que s = a/so s2 = a. Por tanto, s = -{{,¡,

Para fines de cálculo, con frecuencia es importante disponer de una estima- ción de la rapidez con que la sucesión (s,,) converge a '1Ci. Como antes, se tiene .Ja ~ s para toda n ~ 2, de donde se sigue que a 1s :s.; .Ja :s.; s . Se tiene por tanto

11 ¡ 11 11

1 'ur tanto s 1 :s.; s para toda n ~ 2. Por el teorema de convergencia monótona se ' n + 11

deduce que s := lím (s11) existe. Además, por el teorema 3.2.3 se sigue que el límite s debe satisfacer la relación

J.3.4 Ejemplo. Sea a > O; se construirá una sucesión (s,) ele números reales q¡¡,· converge a -Ja.

Sea .s·1 > O un número cualesquiera y se define sil+ 1 := Ksll + a/s,,) paran EN.

: ;,. demostrará ahora que la sucesión (s,) converge a -J(¡. (Este proceso para calcu l11r 1 níces cuadradas se conocía en Mesopotamia antes de 1500 A. de c.)

Se demuestra primero que s;, ~ a paran ~ 2. Puesto que s,, satisface la ecua 1 ·i1111 cuadrática s2 - 2s 1s +a::;: O, esta ecuación tiene una raíz real. Por tanto, el n n + n discriminante 4s~ + 1 4a debe ser no negativo; es decir, s;, + 1 ~ a paran ;,, l.

Para ver que (sil) es decreciente en última instancia, se observa que paran ~ 2 1.r tiene

( 'álculo de raíces cuadradas

11111 t11n10, z debe satisfacer la ecuación z2 = 2z, que tiene las raíces z =O, 2. Puesto 11111· 111dns los términos de z = (z) satisfacen 1 :s.; z11 :s.; 2, por el teorema 3.2.6 se ~lp,11L' cp1L: se debe tener 1 :s.; z,;;; 2. Por lo tanto, z = 2.

z =fu.

d11111111l1111 dl1<•1·111111t·111i.: que sup [z f = 2, de donde z = 2. Otra forma es usar el 1111 1t1do 11pl irndo t·11 el inciso e). La ;'elación z,, + 1 ::;: -J2z11 proporciona una relación r11l111 l'i 11 (·si11111 término de la colaI Z1 de Z y el nésimo término de Z. Por el li 1111•11111.l.1.<J se 1 icnc lím Z1 = z = lím Z, Además, por los teoremas 3.2.3 y 3.2.10, ~· 1il1',llt' que el límite z debe satisfacer la relación

1()1/

[En este último paso se ha usado el ejemplo 2.2.14 a).] Por tanto, la validez de la desigualdad 1 :s.; zk < zk + 1 < 2 indica la validez de 1 :s.; zk + 1 < ik + 2 < 2. Por lo tanto, 1 :s.; z,, < z11+1 < 2 para toda n EN.

Puesto que Z = (z,.) es una sucesión creciente acotada, por el teorema de con vergencia monótona se sigue que converge a un número z := sup {z11}. Es posible

J < 12 ~ Zk+I = {2i; < Zk+2 = ,/2zk+l < 14 = 2.

de donde se sigue que y = 3 /2. d) Sea Z = (z,,) la sucesión de números reales definida por z1 := 1, z11 + 1 :=

Ezn para n EN. Se demostrará que lím (z11) = 2. Obsérvese que z1 = 1 y z2 = -Ji; por tanto, 1 :s.; z1 < z2 < 2. Se afirma que la

sucesión Z es creciente y que tiene una cota superior igual a 2. Para demostrar esto se probará, por inducción, que 1 :s.; z11 < zn + 1 < 2 para toda n EN. Este hecho se ha comprobado paran ::;: l. Supóngase que se cumple paran = k; entonces 2 :s.; 2zk < 2zk + 1 < 4, de donde se deduce (¿por qué?) que

y= ±{2y + 3),

Por tanto, yk < Yk+ 1 indica que Yk+ 1 < Yk+2. Por lo tanto,y11<y11+1 para toda n EN. Se ha demostrado que la sucesión Y = (y11) es creciente y que tiene una cota

superior igual a 2. Por el teorema de convergencia monótona se sigue que Y con verge a un límite que es a lo sumo 2. En este caso, no es tan sencillo evaluar lím (y11) calculando sup {y11: n EN}. Sin embargo, hay otra manera de evaluar su límite. Puesto que y11 + 1 = ~(2y 11 + 3) para toda n EN, el nésimo término de la colaI Y1 de Y tiene una relación algebraica simple con el nésimo término de Y. Puesto que, por el teorema 3.1.9, se tiene y:= lím Y1 = lím Y, en consecuencia por el teorema 3.2.3 se sigue (¿por qué?) que ·

Yk+1 = i(2yk + 3) < i(2yk+l + 3) = Yk+2·

de modo que Yk+ 1 < 2. Por lo tanto, y11 < 2 para toda n EN. Se demuestra ahora, por inducción, que y11 < Y,¡ + 1 para toda n EN. Se ha

comprobado ya la validez de esta afirmación paran= l. Supóngase ahora que yk < yk + 1 para alguna k; entonces 2yk + 3 < 2yk + 1 + 3, de donde se sigue que

Yk+I = ±{2yk + 3) < H 4 + 3) = f < 2,

Por tanto, la sucesión (x) no está acotada y, en consecuencia (por el teorcmu 3.2.2) es divergente.

e) Sea Y= (y11) la sucesión definida inductivamente por y1 := 1, y11+1 := !c(2y11

+ 3) para n > l. Se demostrará que lím Y= 3/2. Un cálculo directo indica que y2 = 5/4. Se tiene por tanto y1 < y2 < 2. Se

demuestra, por inducción, que y11 < 2 para toda n EN. De hecho, esto se cumple paran= 1, 2. Si yk < 2 es válida para alguna k EN, entonces

SUCESlONP.S 108

1 1 Y,. '= ñ + 1 + n + 2 + ... + 2n para n EN.

!Sjerckios elle la sección 3.3

t/ Sean x1 > 1 y xn + 1 := 2 l/x11 paran ~ 2. Demostrar que (x,,) está acotada y que es monótona. Encontrar el límite. ·

2f' Seany1=1yYn+1 := V2 + Yn· Demostrar que (y11) es convergente y encontrar el límite.

3. Sean a> O y z1 >O. Se define z,, + 1 :=(a+ z")1i2 paran EN. Demostrar que (z,) converge y encontrar el límite.

4( Sean x1 :=a> O y x11+1 := x11 + l/x11• Determinar si (x) converge o diverge. s./ Sea (x) una sucesión acotada y para cada n EN sean s11 := sup {xk: k ~ n} y

t11 := inf {xk: k ~ 12 }. Demostrar que (s11) y (t,) son convergentes. Demostrar asimismo que si lím (s11) = lím (tn), entonces (x11) es convergente. [A lím (s)

. se le llama el límite superior de (x11) y a lím (111) el límite inferior de (x11).]

6! Sea (a11) una sucesión creciente, (b11) una sucesión decreciente y supóngase que a,, ~ b11 para toda n EN Demostrar que lím (a) ~ lím (b,) y deducir a continuación el teorema de los intervalos anidados 2.6.1 a partir del teorema de convergencia monótona 3.3.2.

7! Sea A un subconjunto infinito de R que tiene una cota superior y sea u:= sup A. Demostrar que existe una sucesión creciente (r11) con x11 EA para toda n EN

. tal que u = lím (x11).

81 Establecer la convergencia o divergencia de Ja sucesión (yn), donde

111 1kd11u: que 2 ~ e11 < 3 para toda n EN. El teorema de convergencia monótona 1i1dlrn que la sucesión E converge a un número real que está entre 2 y 3. Se define 1 1 111111iero e como el límite de esta sucesión.

/\! hacer más precisas las estimaciones se puede obtener aproximaciones ra 1 louulcs más cercanas de e, pero no es posible evaluarlo exactamente, ya que e es 1111 111í mero irracional. Sin embargo, es posible calcular e con tantas cifras decima ii'n ('()1110 se desee. El lector deberá usar una calculadora (o una computadora) para rvul uar e11 para valores "grandes" den.

l 1 1 1 + + ... + ] = 1 l < 1, 2 22 zn- 2"

1 '111110 hl' puede verificar que [ver 1.3.3 e)]

1 1 1 2 < e,, < 1 + 1 + 2 + + .. · + . 22 2nl

1 '11111 d1•111rn1t 111J' q110 los íórmlnos de 1~· tienen una cota superior, se observa que •l ¡1 1, .', ... , n; 01llo11ces (1 ~p/11) <l. Además, 2P1 ~p! [ver 1.3.3 d)], de 111111111 q111· 1 /¡d 1 /2'' 1. Por lo tanto, si n > 1, se tiene entonces

111 :111( 'l(:i!( lf'll(ll MI >N()'I ( IN1\:l

1

Obsérvese que la expresión de e contienen + 1 términos, en tanto que la de e '' 11+1 contiene n + 2 términos. Además, cada uno de los términos presentes en e es n

menor o igual que el término correspondiente de e 1, y e .1 tiene un término · n + n + positivo más. Así, 2 ~ e1 < e2 <···<e <e < · · · de modo que los térrni n n + l ' nos de E son crecientes.

+(n:l)l(l n~l)(l n~l) .. ·(l n:1)·

1 ·( 1 ) ( 2 ) ( n - 1 )' +·"+;¡ l n+l l n+l ... l n+l

e,.+1 = l + l + ~(1 _1_) + ~(1 _1_)(1 _2_) 2! n + 1 3! n + l n + 1

De manera similar se tiene

+ ... +~(1 2.)(1 _:) ... (1 ~). ni n n n

1( 1) l(. l+l+1 +1 2! n 31

e"=

Si se hace la división de las potencias de n en los términos de los numeradores de los coeficientes binomiales se obtiene

n(n1)· .. 2·1 1 + ... +

n! n"

l n(n-1) l n(nl)(n2) + . + n 2! n2 3! e,.= ( 1 + .I = l + :

3.3.5 Ejemplo. Sea en:= (1 + l/nr para toda n EN. Se demostrará ahora que la sucesión E= (e,,) está acotada y es creciente; en consecuencia, es convergente. El límite de esta sucesión es el famoso número de Euler e, cuyo valor aproximado es 2.718 281828459 045 ... , el cual se toma como la base de los logaritmos "natu rales".

Si se aplica el teorema del binomio se obtiene

Esta sección concluye con la presentación de los números "trascendentes" más importantes en las matemáticas, el segundo en importancia sólo después de re.

El número de Euler

m11 ·wrn >N1m 110

Por lo tanto, se debe tener que x =O, o bien, que x = l. Puesto que la sucesión (x,) es decreciente y tiene una cota superior b < 1, se deduce que x =,O.

b) lím (c1111) = 1 para e> l. Este límite se obtuvo en el ejemplo 3.1.11 d) para c >O, usando un razona

miento bastante ingenioso. Se presenta aquí otro enfoque para el caso e> l. Obsér vese que si zn := c11", entonces zn > 1 y z11 + 1 < z,, para toda n EN. (¿Por qué?) Por

3.4.3 Ejemplos. a) lím (b11) = O si O < b < l. Se vio ya, en el ejemplo 3.1.11 e), que si O < b < 1 y si x11 := b", entonces por

la desigualdad de Bernoulli se sigue que lím (x,) = O. De otra manera, se ve que como O < b < 1, entonces xn + 1 = b" + 1 < b11 = xn, de tal modo que la sucesión (x11)

es decreciente. También es claro que O ~ xn ~ 1, de modo que por el teorema de convergencia monótona 3.3.2 se deduce que la sucesión es convergente. Sea x := lím xn. Puesto que (x2") es una subsucesión de (xn), por el teorema 3.4.2 se sigue que x = lím (x211). Por otra parte, de la relación x211 = b 2" = (b ")2 = (x")2 y el teorema 3.2.3 se sigue que

Demostraclén, Sea E> O dada y sea K(E) tal que si n > K(E), entonces lxn xi < f. Puesto que r1 < r2 < · · · < rn < · · · es una sucesión creciente de números naturales, es fácil demostrar (por inducción) que r11 ~ n. Por tanto, sin ~ K(E) se tiene también rn ~ n ~ K(E) de tal modo que lx,11xl <E. Por lo tanto, la subsucesión (x,11) también converge ax, como se afirmó. Q.E.D.

3.4.2 Teorema, Si una sucesión X = (x") de números reales converge a un número real x, entonces cualquier subsucesián de X también converge ax.

Las subsucesiones de sucesiones convergentes también convergen al mismo 1 ím ite, como se demuestra a continuación,

.:i11 embargo, no toda subsucesión de una sucesión dada es necesariamente una cola de la misma.

r1 = m + 1, r2 = m + 2, ... , rn = m + n , ....

l 1•·.c;du luego, cualquier cola de una sucesión es una subsucesión; de hecho, la colam corres p11111lt: a la sucesión de índices:

l 1111 11111'1'.".Í•.lf•CN Nig11icolcs 110 son subsuccsioncs de X:= (l/n):

113 lfü 111 l ll 111111 H"il'~: \' ¡1,1, Tll.Olll\M/\ 1)11, HOI '/,/\NO Wl'.I HHS'l'Rl\SS

(~'~'~'"''n~2 .... ),

Po . 1 1 . . . ( 1 l 1 ) r e3emp o, as sucesiones siguientes son subsucesiones de X := , , , • . • : l 2 3

se le llama subsucesíón de X.

( xr1' xr2' xr3' ... ' xr,¡' ... )

3.4.1 Definición. Sea X= (x,,) una sucesión de números reales y sea r 1 < r

< · · · < rn < · · · una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Entonces a la sucesión X' en R dada por

En esta sección se introducirá el concepto de subsucesión de una sucesión de núme~1~s reales. Este concepto es un tanto más general que el concepto de cola de una sucesion (presentado en 3.1.8) y con frecuencia resulta de utilidad al establecer la divergencia de una sucesión. También se demostrará el importante teorema de BolzanoWeierstrass, el cual se usará para establecer varios resultados.

SECCIÓN 3.4 Subsucesíones y el teorema elle Bolzanoweierstrass

11. Usar el método del ejemplo 3.3.4 para calcular -J2 con cuatro cifras decima les de precisión.

12. Usar el método del ejemplo 3.3.4 para calcular .f5 con cinco cifras decimales de precisión.

13. Calcular el número e,, del ejemplo 3.3.5 para n = 2, 4, 8 y 16. 14. Con una calculadora calcular e,, paran= 50 y n = 100. 15. Usar una computadora para calcular e,, para n = 1,000.

d) ((1 l/n)").

b) ((1 + l/n)2"),

9! Sea~":= 1/12_+ 1/22 + · · · + 1/n2 para cada n EN. De11111,411111 cpw (.1,) es creciente Y esta acotada y, en consecuencia, que converge. lS11gcr,·n1·ia: Ob sérvese que si k ~ 2, entonces l/k2 ~ 1/k(k1) = l/(k- 1)1/k.J

10. Establecer la convergencia de las siguientes sucesiones y encontrar los límites.

112

Demostración. Para los fines de esta demostración se dirá que el mésimo término xm es un "pico" si xm ~ x,, para toda n EN con m ~ n, (~s decir, x111 nunca b excedido por ningún término que lo precede.) Se consideraran dos casos, de pendiendo ele si X tiene un número infinito o finito de picos.

3.4.6 Teorema de la subsucesión monótona. Si X =(x) es una sucesión de números reales, entonces existe una subsucesion de X que es monótona.

Existencia de subsucesiones monótonas Si bien no toda sucesión es monótona, se demostrará ahora que toda sucesión

tiene una subsucesión monótona.

entonces se ve que sen x < ~para toda x E.!, y la longitud de.! k es rr;ªY~,r que 2. Sea m ; el primer número natural que está en Jk. Entonces la subsucesíón S :=(sen

111.) d: S tiene la propiedad de que todos sus valores están en el intervalo [1, H k Dado cualquier número real e, se ve de inmediato que al menos una de las

subsucesiones S' y S" está por completo fuera de la vecindad~ de c. Porlo tanto, e no puede ser un límite de S. Puesto que e ER es arbitraria se deduce que S es divergente.

h := (7rr/6 + 27T(k - 1), ]lTr/6 + 27T(k 1)),

¡•11csto que ]a longitud ele/ es mayor que 2, hay al menos dos números naturales k . , S'

que están dentro de /k; se hace que nk sea el primero de ellos. La subsucesíón := (sen nk) des obtenida de esta manera tiene la propiedad de que todos sus valores 1·s1ún en el intervalo I], 1].

De manera similar, si k EN y .lk es ei intervalo

Ik := ( Tr/6 + 2Tr(k - 1), 5Tr/6 + 2Tr(k 1)).

\ l ·.:.111 ::ttn::.l<HI :.l' p1H.:d1.: definir por Y= (y,), donde Y,,:= 11 sin es impar Y Y,,:= ¡ ,, , 1 11 1·s pa1. \ Se puede ver con facilidad que esta sucesión no está acotada; por

11111111, Jhir el teorema 3.2.2, no puede ser convergente. De otra manera, se ob~~rva q111 ,11111 cuando la subsucesión (1/2, 1/4, 1/6, ... ) de Y converge a O, la sucesión Y , 11111¡ikla 110 converge a O. De hecho, hay una subsucesión ( 3, 5, 7 , ... ) de Y que se

1111111lil·111.: lucra de la vecindad1 de O; por tanto, Yno converge a O. c) La sucesión S :=(sen n) es divergente. . No es sencillo manejar esta sucesión. Al analizarla es necesario, desde luego,

l1.il·1•1 uso de las propiedades elementales de la función seno. Se recuerda que sen ( 11 ¡1) = } = sen ( 5 rc/6) y que sen x > ·~para x en el intervalo I 1 : = ( rc/6, 5 rc/6). Puesto <Jlll' ¡,1 longitud de [1 es 5rc/6- n:/6 = 2rc¡3 > 2, hay ~tl menos d?s núm~ros natura ¡,., que están dentro de /1; se hace que n1 sea el pnmero de dichos números. De

111:111cra similar, para cada k eN, sen x > i para x en el intervalc

11 ~ 'dlil'illl 1'.111111 •, \ 11 11 llltl Mi\ !JI· IHll //\1\1() Wl·ll•l<S'l'lt11SS

3.4.5 Ejemplos. a) La sucesión ((1)11) es divergente. Si la sucesión X:= ((1)") convergiera a un número x, entonces (por el teore

ma 3.4.2) toda subsucesión de X debería converger a x. Puesto que hay una subsucesión que converge a+ 1 y otra subsucesión que converge a 1, se concluye que X debe ser divergente.

b) La sucesión (1, ~, 3, L ... ) es divergente.

Demostración. i => ii Si X= (x11) no converge ax, entonces para alguna fo > O es imposible encontrar un número natural K(f) tal que 3.1.6 e) sea válida. Es decir, para cualquier k EN no se cumple que para toda n ~ k la desigualdad lx,, xj < e0

es válida. En otras palabras, para cualquier k EN existe un número natural rk ~ k tal que jx,.k - xi ~ f0.

ii => iii Sea f0 como en el inciso ii y sea r1 EN tal que r1 ~ 1 y jx,.1 xi~ e0.

Ahora sea r2 EN tal que "z > r1 y lx,.2 xi~ f0; sea r3 eN tal que r3 > r2 y jx,.3 xi ~ e0. Se continúa de esta manera hasta que se obtiene una subsucesión X' := (x,.11)

de X tal que ¡x,.11 - xi ~ f0.

iii => i Supóngase que X= (x11) tiene una suosucesión Y' = (x,.1.) que satisface la condición del inciso ii; entonces X no puede converger ax. Si lo hiciera, enton ces por el teorema 3.4.2 la subsucesión X' también convergería ax. Pero esto es imposible, ya que ninguno de los términos de X' pertenece a la vecindada, de x.

Q.E.D.

3.4.4 Criterio de divergencia. Sea X= (x,,) una sucesión de números reales. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

i La sucesión X = (x,,) no converge a x E R. ii Existe una e0 > O tal que para cualquier k EN, existe rk EN tal que rk ~ k

y lx,. - xi ~ f0. iii Existe una e0 > O y una subsucesián X' (x,.,,) de X tal que lx,.,, xi ~ e0 para

toda n EN.

El uso de subsucesiones facilita la presentación de un criterio para la diver gencia de una sucesión.

y el teorema 3.2.10 se sigue que

z = lím (z2,,) = (Iím (z11))1;2 = 2112.

Se tiene por lo tanto, z2 = z, de donde se sigue que z = O, o bien, z = l. Puesto que z11 > 1 para tocia n EN, se deduce que z = l.

Se deja como ejercicio para el lector considerar el caso O < e < l.

= cl/2n = (cl/11).1/2 = .,.1;2 ¡;,,2n ,N n

tanto por el teorema de convergencia monótona, existe el lí111llt·. · 11111 (:,,). l'orcl teorema 3.4.2 se sigue que z = lím (z2,,). Por otra parte de la rclaciou

Puesto que X' es una subsucesión de X, se sigue que M ta~bién es una, ~ta de X. Por tanto, por el teorema de BolzanoWeierstrass s e sigue que X tiene ~~a subsucesión convergente X". Como ya se señaló, X" también es una subsucesión

lxr,, xi ;;:> s0 para toda n EN. ( #)

Demostración. Supóngase que M > O es una cota de la sucesión X= (x,), de mudo que lx ¡ ~ M para toda n EN. Supóngase asimismo que la sucesión X no converge a x~1Del criterio de divergencia 3.4.4 se sigue que existe una e0 > O Y una subsucesión X' = (x, ) de X tal que . ll

3.4.8 Teorema. Sea X una sucesión acotada de números reales y sea que 1 e: R tenga la propiedad de que toda subsucesión convergente de X converja a x. t-utonces la sucesión X converge ax.

1 •:s fácil darse cuenta que una sucesión acotada puede tener varias subsucesiones 1(11<' convergen a límites diferentes; por ejemplo, la sucesión ((1)") tiene H11hsucesiones que convergen a 1, y otras subsucesiones que convergen a +l. lh111bién tiene subsucesiones que no convergen.

Sea X una sucesión de números reales y sea X' una subsucesión de X. En ton ' 1·s X' es una sucesión por derecho propio y, por tanto , tiene subsucesiones. Se ob 11r1 va que si X" es una subsucesión de X', entonces también es una subsucesión de X.

/\1 teorema 3.4.7 en ocasiones se le llama teorema de BolzanoWeierstrass para suce- 1¡11,,,.s, ya que hay otra versión del mismo que trata de conjuntos acotados en R (ver el 1¡111·i1:io 10.2.6).

Q.E.D. di donde se sigue que la subsucesión (x,,k) de X converge a~·

.., 1 \, 1 ,1 lnl'i11i10, se loma [3:=1; y sea n3 el menor número natural deA2. SiA2 es un 1111¡1111ln l'inito, entonces B2 debe ser infinito, y se toma 13:=1;' y sea n3 el menor

111111111111 uatural de B2• • , • • •;,. conriuún de esta manera para obtener una sucesion de intervalos anidados

1 1 f J •.. :> J :>.··y una subsucesión (x,,k) de X tal que x,,k Elk para k EN. 1 ) k - • k~ 1 2 6 2 .

1•11111110 q11e la longitud de lk es igual a (b a)/2 , por el teorema . · se sigue 'I'" ti11y 1111 punto común (único)~ Elk para toda k EN. Además, puesto quex,,k Y~ ¡i111 l1•11lcen a lk, se tiene

1\li(ll ll ;11 1Ji:1l·r11 J 1

en dos suhintervalos iguales 1; e 1;, y se divide en dos p111i111111I rn11J111llo (11c.N:11>112}:

117

Si A 1 es infinito, se toma I 2 : = I; y sea n2 el menor número natural de A 1. (Ver 1.3.1.) Si A1 es un conjunto finito, entonces B 1 debe ser infinito, y se toma 12 := I{' y sea n2 el menor número natural de B 1.

B1 := {n EN: n > n1, x,, E I~}. A1 := {n EN: n > n1, x11 E I~},

Segunda demostración. Puesto que el conjunto de valores {x,,: n EN} está acotado, este conjunto está contenido en el intervalo !1 :=[a, b]. Se toma n1 :=l.

Ahora se biseca !1 en dos subintervalos iguales 1; e 1;', y se divide en dos partes el conjunto {n EN: n > 1}:

Primera demostración. Del teorema de la subsucesión monótona se sigue que si X= (x11) es una sucesión acotada, entonces tiene una subsucesión X' = (xs11)

que es monótona. Puesto que esta subsucesión también está acotada, por el teore ma de convergencia monótona 3.3.2 se deduce que Ja subsucesión es convergente.

3.4.7 El teorema de BolzanoWeíerstrass. Una sucesión acotada de núme- ros reales tiene una subsucesión convergente.

Se usará ahora el teorema de Ja subsucesión monótona para demostrar el teo rema de BolzanoWeierstrass, el cual establece que toda su cesión acotada tiene una subsucesión convergente. Debido a la importancia de este teorema se dará asi mismo una segunda demostración basada en la propiedad de los intervalos anidados.

Teorema de BolzanoWeierstrass

No es difícil ver que una subsucesión dada puede tener una subsucesión que es cre ciente y otra subsucesión que es decreciente.

Caso 2: X tiene un número finito (posiblemente cero) de picos. Sean estos pi· cos Xml' Xm2>· .. ,x"'r'''"'' Seas, := m, + 1 (el primer índice después del último pico). Puesto que Xs1 no es un pico, existe s2 > s 1 tal que Xs1 < Xs2. Puesto que Xs2 no es un pico, existe s3 > s2 tal que xs2 < Xsy Si se continúa de esta manera, se obtiene una subsucesión creciente (xs11) de X. Q.E.D.

Por tanto la subsucesión (x111k) de picos es una subsucesión decreciente de X.

Caso 1: X tiene un número infinito de picos. E11 cNlll <Wlo, Ion picos se ol"d!\ nan mediante subíndices crecientes. Por tanto se tienen los pkm1 .x"'" x,,,2, ... , x,,,k, .. , , donde m1 < m2 < · · · < mk < · · ·. Puesto que cada uno de los términos es uu pico, se tiene

Sl 1( '11.Sl()NI 11 116

Se presenta ahora el importante criterio de convergencia de Cauchy.

Q.E.D. entonces se sigue que lx11I ~ M para toda n EN.

Demostración. Sea X= (x,) una sucesión de Cauchy y sea e :=l. Si H := H(l) y n > H, entonces ¡xn -xHI ~ l. Por tanto, por la desigualdad deltriángulo se tiene que !xnl ~ lxHI + 1 paran ;;,, H. Si se hace

3.5.3 Lema. Una sucesión de Cauchy de números reales está acotada.

Para establecer que una sucesión de Cauchy es convergente, se necesitará el siguiente resultado. (Ver el teorema 3.2.2.)

Puesto que e > O es es un valor cualesquiera, se sigue que (x,,) es una sucesión de Cauchy. Q.E.D.

1X11 X"' 1 = 1 (X 11 - X) + (X X,..) 1

~ lx,. xi+ lx111 xi< s/2 + s/2 =s.

1 Demostración. Si x := límX, entonces, por el teorema 3.1.6 c), dada e >O hay 1111 número natural K(E/2) tal que si n > K(t:/2) entonces lx,, -x] < t:/2. Por tanto, si H(t:) := K(t:/2) y sin, m ~ H(e), entonces se tiene

3.5.2 Lema. Si X = (xJ es una sucesión convergente de números reales, entonces X es una sucesión de Cauchy,

3.5. I Definición. Se dice que una sucesión X= (x11) de números reales es una Mlrc.~iún de Cauchy si para toda e > O existe un número natural H( t:) tal que para lndus Jos números naturales n, m ~ H( t:) los términos x,,, xm satisfacen lx,, x111I < e.

El lector deberá comparar atentamente esta definición con el teorema 3.1.6 e) , cl.uivo a la convergencia de la sucesión X. Se verá a continuación que las sucesio 11us de Cauchy son precisamente las sucesiones convergentes. Para demostrar esto primero se prueba que una sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.

111 •, que son monótonas. Es importante contar con una condición que implique la 11111wrgcncia de una sucesión de números reales que no requiera saber el valor del l1111i!v, y que no se restrinja a sucesiones monótonas. El criterio de Cauchy, que se

1·:1111hkccrá en esta sección, es dicha condición.

119 l 'lll'l'l\IU\l 1)11• ('/\U( 'uv

El teorema de convergencia monótona 33.2 es de extraordinaria utilidad e importancia, pero tiene la desventaja significativa de que sólo se aplica a sucesio

SECCIÓN 3.5 Criterio de Cauchy


1./ Dar un ejemplo de una sucesión no acotada que tenga una subsucesión con vergente.

2'! Usar el método del ejemplo 3.4.3 b) para demostrar que si O< e< 1, enton ces lím (c1111) = 1.

3.( Sean X= (x,,) y Y= (y) sucesiones dadas y sea que la sucesión "barajada" Z = (z,) esté definida por z1 := x1, z2 := y1, ... , z2 .1 := x , z2 :=y . . Demos

tt r- n n n' · · ,; trar que Z es convergente si y sólo si X y Y son convergentes y lím X= lím Y.

4. Sea x11 := 111/11 paran EN. a) Demostrar que Ja desigualdad x 1 < x es equivalente a la desigualdad 11 + ' 11

(1 + l/n)11 < n, e inferir q.ie la desigualdad es válida paran ~ 3. [Ver el ejemplo 3.3.5.] Concluir que (x,) es decreciente en última instancia y que x := lím (x,,) existe.

b) Usar el hecho de que la subsucesión (x211) también converge ax para de / n;ostrar que x = ../X. Concl.~ir que x = .1.

5. Supóngase que toda subsucesíón de X= (x,,) tiene una subsucesión que con verge a O. Demostrar que lím X= O.

6/ Establecer la convergencia y encontrar los límites de las siguientes sucesiones: a) ((1 + l/2n)2), b) ((1 + l/2n)"),

e e) ((1 + l/n2)"2), d) ((1 + 2/n)"). , (J Se~ (x,,) una sucesión acotada_Y para cada n EN sea s11 := sup {xk: k;;,, n} y S ,/ := m_f {s,,}. Demostrar que existe una subsucesión de (x,,) que converge a S.

8. Supongase que x11;;,, O para toda n EN y que lím ((l)11x,,) existe. Demostrar que (x,,) converge. .

9( Demostrar que si (x,,) no está acotada, entonces existe una subsucesión (x11k) tal que lím (1/x,,k) =O.

10/ Si x,, := (-1)11/n, encontrar la subsucesión de (x11'. que se construye en la se gunda demostración del teorema de BolzanoWeierstrass 3.4.7.

11. Sea (x11) una sucesión acotada y sea s :« sup {x11: n EN}. Demostrar que si s'e; {x11: n EN}, entonces existe una subsucesión de (r,,) que converge a s.

12. Sea (/11) una sucesión anidada de intervalos cerrados. Para cada n EN, sea x E /11• Usar el teorema de BolzanoWeierstrass pan dar una demostración del teorema de los intervalos anidados.

13. Dar un ejemplo para demostrar que el teorema 3.4.8 falla si se omite la hipó tesis de que X es una sucesión acotada.

de X; por tanto, converge ax por hipótesis. Por consiguiente, pcrlcuccc en ú lti111:1 instancia a la vecindada, de x. Puesto que todo término de X" también es u11

término de X', esto contradice a(#). o.u.n.

SUC'ESIUNl'.S 118

De lo anterior se sigue (¿cómo?) que x = lím X= lím X' = 1 + ~ = ~·

Xzn+I = 1 + 2 + 23 + · · · + 22nl

= l + .:.(1 .!._)· 3 4n

1 1 1

J>or lo tanto, dada e> O, si se elige un valor den tan grande que 1/2" < e/4 Y si m - n, entonces se sigue que lx x 1 < e. Por lo tanto, X se trata de una sucesión de

< 'auchy en R. Por el criterio de c:uchy 3.5.4 se infiere que la sucesión X converge 11 un número x.

Para evaluar el límite x primero se podría "pasar al límite" en la regla de la de finición x = i(x + x

2) para concluir que x debe satisfacer la relación x = i (x n < n1 n- , ,

+ x), la cual es verdadera pero no informativa. En consecuencia, se debe mtentar algo más.

Puesto que X converge ax, la subsucesión X' con índices impares también lo hace. El lector puede establecer, por inducción, que [ver 1.3.3 e)]

1 < 2112.

( J icmostrar esto por inducción.) Por tanto, si m > n, se puede emplear la desigual d11d del triángulo para obtener

lxn - Xrnl < lxn - Xn+li + lx11+1 Xn+zl + •. • +lx,,._¡ x,,.I 1 l l

= + + ... + 2nl 2" 2"'2

para n EN. 1

lxn - Xn+ll = 2nl

'" p11rdc demostrar por inducción que 1 ~ x,, ~ 2 para toda n EN. (Hacerlo.) ll1•i1il:n111do algunos cálculos se encuentra que la sucesión X no es monótona. Sin 1111tuur.o, puesto que los términos se forman sacando promedios, se ve de inmedia 111 q11c

y

l't11•~ln q1111 I' ·O es urhiuuriu, se infiere que (1/n) es una sucesión de Cauchy; se ~111111 , pw In t1111tn, por el criterio de convergencia de Cauchy que es una sucesión

1 llllVl'IJl.1'111\.l. 11) S1rn que X= (x,,) esté definida por

( 'ltl 1'1\IUO 1)1\ ('Al J( '11 Y

3.5.5 Ejemplos. a) La sucesión (1/n) es convergente. Desde luego, se vio ya en 3.1.7 a) que esta sucesión converge a O. Sin embar

go, para demostrar directamente que (1/n) es una sucesión de Cauchy se observa que si se da e> O, entonces hay un número natural H := H(e) tal que H > 2/e. (¿Por qué?) Por tanto, sin, m ~ H, entonces se tiene 1/n ~ 1/H. Se sigue por lo tanto que si n, m ~ H, entonces

Se presentarán ahora algunos ejemplos de la aplicación del criterio de Cauchy.

Puesto que e> O es un valor cualesquiera, se infiere que lím (x,,) = x*. Por lo tanto, la sucesión X es convergente Q.E.D.

lxn - x*I = j(xn - xK) + (xK - x*) 1

~ lxn - xKI + lxK - x*I < 15 /2 + 8 /2 = 8'

Puesto que la subsucesión X' = (x,,k) converge ax*, existe un número natural K ~ H(e/2) que pertenece al conjunto {ni' n2, ... } tal que

lxK - x*I < s/2.

Puesto que K ~ H( e/2), de ( *) con m = K se sigue que

lx,, -xKI < e/2 para n ~ H(e/2).

Por lo tanto, sin~ H(e/2) se tiene

( *)

Demostración. Se ha visto ya, en el lema 3.5.2, que una sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.

Recíprocamente, sea X= (x,,) una sucesión de Cauchy; se demostra~á que X converge a algún número real. Se observa primero, por el lema 3.5.3, que la suce sión X está acotada. Por lo tanto, por el teorema de BolzanoWeierstrass 3.4.7, existe una subsucesión X' = (x11k) de X que converge a algún número real x*. Se completará la demostración al probar que X converge ax*.

Puesto que X= (x11) es una sucesión de Cauchy, dada e> O, existe un número natural H(e/2) tal que sin, m ~ H(e/2) entonces

3.5.4 Criterio de convergencia de Cauchy, Una s111·1wl1í11il1•111í1111·ms reates es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy.

SlJ( '1'.Sll lNl(S 120

En el proceso de calcular el límite ce una sucesión contractiva con frecuencia es de suma importancia contar con una estimación del error en la nésima etapa. En el resultado siguiente se presentan dos de estas estimaciones: la primera inclu

Puesto que O< C < 1, se sabe que lím (C11) =O [ver 3.Lll c)]. Por lo tanto, se infiere que (xn) es una sucesión de Cauchv, Por el criterio de convergencia de Cauchy 3.5.4 se sigue que (xn) es una sucesion convergente. Q.E.D.

( 1 cm11)

=C"1 lx -x 1 1 e z i

< c"1(1)1x2 X¡I· 1-C

lx,,, x11I < lx111 x,11_11 + lxml x"'_21 + · · · +lx,.+1 x,.I < (cm2 + cm3 + .. o +c"l)lx2 X¡I = C"1(C"'_"_1 + cmll2 + ... + l)lx2 X¡I

l'ara m > n, se estima lxm - x11¡ aplicando primero la desigualdad del triángulo y usando después la fórmula para la suma de la progresión geométrica [ver 1.3.3 c)]. Se obtiene así

lx,,+2 x,.+11 < Clx,.+l x,.I < C2lx,. x .. -11 < C3lx,._1 x,._21 < · · · < C"lx2 x1I.

Demostración. Si se aplica sucesivamente la condición que define a una su ' 1·~:i1'111 contractiva, la sucesión se puede reconstruir hasta llegar al principio de la 11i¡',11icnte manera:

J.5.7 Teorema. Toda sucesión contractiva es una sucesión de Cauchy y, por ¡,, 1!11110, es convergente.

¡ 111111 toda n EN. Al número C se le llama constante de la sucesión contractiva.

.l.S.6 Dd1uid(m. Se dice que una sucesión X = (x11) de números reales es 11111l111ctivn si existe una constante e, o< e< 1, tal que

1 h 111111•111 rn t¡lil' f / nn rN 1111:1 succxión de Cauchy (¿por qué?); por lo tanto H no es 111111 11111't•1dn11 1·n11vcrgc11lt:. (En términos que se presentarán en el capítulo 9, se ha d1 1111111t111dn que 1:1 "serie armónica" L.~= 1 (1/n) es divergente.)

12.1 ('l{l'i'HHIO IJJI, ('i\ll('llY

1 l h,,. - h11 = + • • • + .

n+l m

Puesto que cada uno de estos m - n términos excede a 1/m, entonces h _ h > (m - n)/m = 1 n/m. En. particular, si m = 2n se tiene h2n - hn > i· Con esto se

que se consideró en 3.3.3 b). Si m > n, entonces

para n EN, 1 1 l

hn := 1 + 2 + . • • +;;

d) La sucesión ( 1 1 1) di l + 2 + · · · + l iverge.

Sea H := (hn) la sucesión definida por

IYn - yj < l/2"1•

Por tant~, Y .se puede calcular con cualquier grado de precisión deseado calculan do los termmos Yn para n lo suficientemente grande. El lector deberá hacerlo y demostrar que Y es aproximadamente igual a 0.632 120 559. (El valor exacto de y es 11/e.)

Por lo tanto, ,se.sigue que (yn) es una sucesión de Cauchy. En consecuencia, con verge a un Iírnite Y· Por el momento no es posible evaluar y directamente· sin embargo, al pasar al límite (con respecto a m) en la desigualdad anterior, se obtiene

IYm Ynl < 1 1 1

(n+l)! + + +

( n + 2) ! m! l 1 l l

'b< + 2n+l + ... + < 2" 2111l 211l.

Puesto que 2r,1 ~ r! [ver 1.3.3 d)], se sigue que si m > n, entonces (¿por qué?)

( 1)"+2 ( 1)"+3 ( 1)"'+1 + +···+

(n+l)! (n+2)! m! !1111 - Yn =

Evidentemente, Y no es una sucesión monótona. Sin embargo, si m > n, entonces

2! ' ... ' 1 1 (l)"+J

y"== 11 21 + ... + . . n!

1 1 1 !11'=1!' !12'=1!

e) Sea Y= (yn) la sucesión de números reales dadu por'

SIJ< 'l·:SIONl~N 122

4."" Demostrar directamente que si (x11) y (y11) son sucesiones de Cauchy, enton ces (x11 + y11) y (x,,Y11) son sucesiones de Cauchy. si Sea (x11) una sucesión de Cauchy tal que x11 es un entero para toda n EN. Demostrar que (x11) es en última instancia constante. ·

el Demostrar directamente que una sucesión creciente, monótona y acotada es una sucesión de Cauchy.

7.t/ Si x < x son números reales cualesquiera y x11 := Hx11_2+x11_1) paran> 2, demcstrar que (x11) es convergente. ¿Cuál es su límite?

( (1)")

b) n + . n a)((1)"),

3( Demostrar directamente a partir de la definición que las siguientes no son sucesiones de Cauchy.

b) (1 + ~ + ... + ~). 2! n! (n + 1)

a) -n-'

Ejercicios de la sección 3.5 11( Dar un ejemplo de una sucesión acotada que no sea una sucesión de Cauchy. 2! Demostrar directamente a partir de la definición que las siguientes son suce

siones de Cauchy.

l'(lr lo tanto, (x,.) es una su~e~ión contractiva_ y, en consecu~ncia, existe r ~1 ~ue 11111 (x) = r. Si se pasa al límite en ambos miembros de la igualdad x11+1 (x11 + /)/7, ~~obtiene r = (r3 + 2)/7 y, en consecuencia, r3 - 7r + 2 =O. Por tanto res una xolución de la ecuación.

Se puede obtener una aproximación de r al elegir un valor p~ra x1 y calcular 1 '' x3, •.. sucesivamente. Por ejemplo, si se toma x1 = 0.5, se obtiene (con nueve cifras decimales): x :::: 0.303 571 429, x3 = 0.289 710 830, x4 = 0.289 188 016, X5

= 0.289 169 244, x: = 0.289 168 571, etc. Para estimar la ~recisió~ se o_bserva que lx2x11 < 0.2. Por tanto, después den pasos por el corolano 3.5 .8 i se sigue que se

, 1 iene la seguridad de que lx* -x 1 ~ 3111 /(7" 2 · 20). Así, cuando n = 6 se tiene la se guridad de que lx* x61 ~ 35 /(74 · 20) = 243/ 48 020 < 0.0051. En realidad la aproximación es sustancialmente mejor que esto. De hecho, puesto que lx6 x5I < o.000 0005, de 3.5.8 ii se sigue que \x* x61~~~6x51<0.000 0004. Por tanto las cinco primeras cifras decimales de x6 son correctas.

lx,.+2 x,,+ 11 = JHx~+i + 2) t(x~ + 2)J 11 3 31 = 7 X,.+¡ - Xn

= tlx!+i + Xn+1X,. + x~l lx,,+1 x,.I

125 ('l(l'l'l'IUO lll'.<'AIH'llY

Como O< x1 < 1, se sigue que O< x11 < 1 para toda n EN. (¿Por qué?) Además, se tiene

n EN. Xn+I := H X~+ 2),

3.5.9 Ejemplo. Se nos dice que la ecuación cúbica x3 Tx + 2 = O tiene una solución entre O y 1 y queremos obtener una aproximación de dicha solución. Esto se puede hacer por medio de un procedimiento iterativo de la siguiente manera. Primero se reescribe la ecuación como x = (x3 + 2)/7 y se usa esta expresión pa ra definir una sucesión. Se asigna a x1 un valor arbitrario entre O y 1, y después se define

Q.E.D. proposición ii. Se pasa ahora al límite en esta desigualdad (con respecto a m) para obtener la

se infiere que

Puesto que aplicando la inducción se establece de inmediato que

Demostración. En la demostración precedente se vio que si m > n, entonces lx111 - x11I,;;:; (C11 1/(1 C))lx2 x11. Si se pasa al límite en esta desigualdad (con respecto a m ), se obtiene i.

Para demostrar ii, recuérdese que si m > n, entonces

3.5.8 Corolario. Si X := (x11) es una sucesión contractiva con una constante C, O < C < 1, y si x* := lím X, entonces:

cn-I i) lx* xnl < lx2 x1I, 1-C

e ii) lx* xnl < --lxn - Xn11· 1-C

ye los dos primeros términos de la sucesión y n; la segunda incluy« la ditcrcncia xn-x11-l'

SU( 'ESIONl:.s 124

lím (xw1y11) =L. (#)

3.6.5 Teorema. Sean (x,,) y (y) dos sucesiones de números reales positivos y supóngase que para alguna L E R, L > O, se tiene

Puesto que en ocasiones resulta difícil establecer una desigualdad como (*), con frecuencia es más conveniente la aplicación del siguiente "teorema de compa ración de límites" que la del teorema 3.6.4.

Notas. a) El teorema 3.6.4 aún es válido si la condici.ón (*)se cumple en última instancia; es decir, si existe m EN tal que x,, ~ y11 para toda n ~ m.

b) Si la condición I«) del teorema 3.6.4 se cumple y si lím (y)= +cc, no se sigue que lím (x,,) =+::o. De manera similar, si se cumple (*)y si lím (x,,) =oc, no se sigue que lím (y,) = -x. Al usar el teorema 3.6.4 para demostrar que una sucesión tiende a +oc [o a -x] es necesario demostrar que los términos de la sucesión son en última instancia mayores [o menores J o iguales que los términos correspondientes de una sucesión que se sabe tiende a +x[oa-x].

Demostración. a) Si lím (x11) = +coy si se da a E R, entonces existe un número natural K( a) tal que sin ~ K( a), entonces a < x,,. Considerando (*),se sigue que a < y11 para toda n ~ K( a). Puesto que a es arbitraria, se sigue que lím (y11) = +CtJ.

La demostración del inciso b) es similar. Q.E.D.

a) Si lím (x,) = +oo, entonces lím (y)= +oo. b) Si lím (y,)= oo, entonces lím (x11) = oo.

para toda n EN. XII ~yll (1)

3.6.4 Teorema. Sean (x11) y (y,) dos sucesiones de números reales y supónga- se que

El "teorema de comparación" que se presenta a continuación se aplica con frecuencia para demostrar que una sucesión es propiamente divergente. [De he cho, se usó implícitamente en el ejemplo 3.6.2 c).]

Demostración. a) Supóngase que (x11) es una sucesión creciente. Se sabe que :.i (.1 ) está acotada, entonces es convergente. Si (x ) no está acotada, entonces para

" n rualquicr a ER existe n(a) EN tal que a< x11(a)' Pero como (x11) es creciente, se 1ic1H.: a <x para todan ~ n(o:).Puestoque aes arbitraria, se sigue quelím (x11) =+o::.

11

El inciso b) se demuestra con un razonamiento similar, Q.E.D.

J.6.J 'Ienremn. Una sucesión monótona de números reales es propiamente i/11'1'1/:1"111<' si y sálo si no está acotada.

11) Si (x.) es una sucesión creciente no acotada, entonces lím (x11) = + oo . h) Si (x,) es una sucesión decreciente no acotada, entonces lím (x,) = oo.

td lt 'l•:,10Nl'S l'HOl'IAMl:,N'l'll, 1 liVl".IWl''N'i'l:.s

Las sucesiones monótonas son particularmente sencillas en lo que se refiere a su convergencia. Se ha visto en el teorema de convergencia monótona 3.3.2 que una sucesión monótona es convergente si y sólo si está acotada. El siguiente resul tado es una reformulación de este hecho.

Por lo tanto, lírn (e") = + zc,

3.6.2 Ejemplos. a) lím (n) = +oo. De hecho, si se da a E R, sea K( a) un número natural cualquiera tal que K( a) > a. b) lím (n2) = +oo. Si K(o:) es un número natural tal que K(o:) > a, y sin ~ K(a), entonces se

tiene 112 ~ n > a. e) Sic> 1, entonces lím (c") = +oo. Sea e := 1 + b, donde b >O. Si se da a E R, sea K( a) un número natural tal que

K(a) > aib. Si n > K(a), por la desigualdad de Bernoulli se sigue que

en= (1+b)11)'1+nb>1 +a> a.

El lector deberá tener presente que en las expresiones anteriores los símbolos icc y -x se usan tan sólo como una notación conveniente. Los resultados que se han demostrado en secciones anteriores para límites ordinarios lím (x,,) = L (para L ER) pueden no seguir siendo válidos cuando lím (x11) = ±x.

3.6.l Definición. Sea (x11) una sucesión de números reales. i Se dice que (x11) tiende a +cc, y se escribe lím (x,) = +co, si para toda a ER

existe un número natural K( a) tal que si n ~ K( a), entonces x11 > a. ii Se dice que (x,) tiende a oo, y se escribe lím (x11) = oo, si para toda f3 E R

existe un número natural K(f3) tal que si n ~ K(f3), entonces x11 < [3. Se dice que (x11) es propiamente divergente en caso de que se tenga lím (x11)

= tco o bien lím (x,) = oo.

Para ciertos fines es conveniente definir lo que se entiende cuando se dice que una sucesión (x,) de números reales "tiende a ±oo".

SECCIÓN 3.6 Sucesiones propiamente divergentes

,\o,

8 1s· , 1 1 · • 1 y1 < y2 son numeros rea es cua esquiera y y := ~ \' 1 1 ; 1· , ¡ 1111 :1 11 · 2, demostrar que (y11) es convergente. ¿Cuál es ~~1lím·Ú~1?

11

9/ Si O < r < 1 y lxn + 1 x11I < r11 para toda n e N, demostrar que (x) es 111111

. sucesión de Cauchy. 10/ Si x1 >O y x11+1 := (2 + x,)-1 para x > 1, demostrar que (xn) es una sucesión

contractiva. Encontrar el límite. llV La ecuación polinómica x3 - Sx + 1 = O tiene una raíz r con O< r < l. Usar

una sucesión contractiva adecuada para calcular r con una precisión de 104.

Sil( 'l(SIUNJ:,s 12(>

4.1.1 Definición. Sea A~ R. Un punto e ER es un punto de acumulación de A si toda ve ~indad8 Vo(c) :=(e 8, e+ 8) de e contiene al menos un punto de A diferente de c.

En esta sección se definirá el importante concepto de límite de una función. El lector observará la estrecha relación con la definición del límite de una sucesión. La idea intuitiva de la función f que tiene un límite l en e es que los valores f(x) están próximos a L para cierta x próxima a c. Pero es necesario contar con método para trabajar con Ja idea de "próximo a", y esto se consigue usando la noción de vecindad de un punto. Así, el enunciado "la función/ tiende al en e" significa que los valores f(x) estarán en una vecindadE arbitraria pero preasignada de L, siem pre que se tome x en una vecindado de e lo suficientemente pequeña, donde x * c. La elección de 8 dependerá de la E preasignada. No se desea que influya el valor (en caso de haberlo) de f(c) en e, pues sólo se desea considerar la "tendencia" indicada por los valores de f en los puntos próximos (pero diferentes) al punto c.

Para que esto tenga sentido es necesario que la función f esté definida cerca del punto c. Se enfatiza que no es necesario que f esté definida en e o incluso en todo punto próximo a e, sino que deberá estar definida en el número suficiente de puntos próximos a e como para hacer interesante el estudio. Esta es la razón de la siguiente definición.

SECCIÓN 4J .. Límites de funciones

e it·11cralmente se entiende por "análisis matemático" la rama de la matemática en 111 que se hace un uso sistemático de varios conceptos de límites. Se ha tratado ya 1111\l de estos conceptos básicos acerca de límites: la convergencia de una sucesión dc números reales. En este capítulo se abordará el concepto de límite de una fun 1·iún. Se introduce esté concepto en la sección 4.1 y se estudia con mayor detalle r 11 la sección 4.2. Se verá que el concepto de límite de una función no sólo es en ¡·.ran medida paralela al del límite de una sucesión, sino también que las cuestiones 1 eferentes a Ja existencia Lle límites de funciones con frecuencia se pueden abordar

' considerando ciertas sucesiones relacionadas. En la sección 4.3 se introducen al ¡•11nas generalizaciones del concepto de límite que con frecuencia resultan de utilidad.

5. ¿La sucesión (n sen n) es propiamente divergente? 6. Sea (x11) propiamente divergente y sea (y,,) tal que lím (x11yn) pertenece a R.

Demostrar que (y,,) converge a O. 7. Sean (x11) y (y,) sucesiones de números positivos y supóngase que Iím (xn/Yn)

=o. a) Demostrar que si lím (xn) = +co, entonces lím (y") = +co. b) Demostrar que si (y,,) está acotada, entonces lím (xn) = O.

8. Investigar la convergencia o divergencia de las siguientes sucesiones:

a) (&+2), b) (/;;/(n2 + 1)),

e) ( ,¡;;:+! / Vn), d) (sen /;;),

9. Sean (xn) y (y,) sucesiones de números positivos y supóngase que lím (xn/Y11)

= +co. a) Demostrar que si lím (y,,)= +co, entonces lím (x,,) = +co, b) Demostrar que si (xn) está acotada, entonces lím (yn) = O.

10. Demostrar que si Iím (a,jn) = L, donde L >O, entonces lím (a")= icc,

b) ( v'n+l), d) ( n/v'n+T).

a) ( i/n), e) ( rn=!),

l. Demostrar que si (x,) es una sucesión no acotada, entonces existe una subsucesión propiamente divergente.

2. Dar ejemplos de sucesiones (x11) y (yn) propiamente divergentes con Yn -=!= O para toda n EN tales que a) (x,/y n) es convergente. b) (xn/Y n) es propiamente divergente.

3. Demostrar que si x11 >O para toda n EN, entonces lím (xn) =O si y sólo si lím (l/x,) = +co.

4. Establecer la divergencia propia de las siguientes sucesiones.


El lector puede demostrar que la conclusión no es necesariamente válida si L = O, o bien, L = +oo. Sin embargo, hay algunos resultados parciales que se pueden establecer en estos casos, como se verá en los ejercicios.

Demostración. Si(#) es válida, existe K EN tal que

~L < X,/Yn < ~L para toda n ;;;: k.

Se tiene por tanto OL )y n < x,, < GL )y,, para toda n ;;;: K. La conclusión se sigue de una ligera modificación del teorema 3.6.4. Se dejan los detalles al lector. Q.E.D.

Entonces lím (xn) = +co si y sólo si lím (yn) = lco,

st J('ll.SH)NI ·:S 128

para expresar el hecho de que f tiene el límite L en c. Si f no tiene un límite en e, en ocasiones se dice que f diverge en c.

cuando x-> c f(x)--+ L

También se dice que "f(x) tiende a L cuando x tiende a~,, o que ''.f(x) se ª?roxima a L cuando x se aproxima a c". También se usa en ocasiones la simbología

o L = límf(x) x-+c L = lím f

x->c

Si L es un límite de f en e, entonces se dice también que f converge a Len c. Con frecuencia se escribirá

Nota. Puesto que el valor de 8 por lo general depende de e, en ocasiones se escribirá 8(e) en lugar de 0 para subrayar est.a depend~~c'.ª· _Sin embargo, como esto hace que la notación se complique, con frecuencia se escribirá solo 8.

FIGURA 4.1.l El límite de f en e es L.

J);ida ~(L)~

'\.<--------:¡11"[

)'

1.11 1(Ml'l'i'~i1)11,11lJN( 'IONl'.S

4.1.4 Definición. Sea A ~ R, seaf: A-> R y sea e un punto de acumulación de A. Se dice que un número real L es un límite de f en e si, dada cualquier vecindade VE(L) de L, existe una vecindado V8( e) de e tal que si x * e es un punto cualquiera de V8(c) n A, entoncesf(x) pertenece a VE(L). (Ver Ja figura 4.1.1.)

Se enuncia ahora la definición precisa del límite de una función en un punto.

Definición del límite

Después de esta breve digresión, se vuelve ahora al concepto de límite de una función en un punto de acumulación de su dominio.

4.1.3 Ejemplos. a) SiA1 :=(O, 1), entonces todo punto del intervalo cerrado [O, 1] es un punto de acumulación de A 1• Obsérvese que tanto O como 1 son puntos de acumulación de Al' pero no pertenecen aA 1. Todos los puntos deA1 son puntos de acumulación deA1• (¿Por qué?)

b) Un conjunto finito no tiene puntos de acumulación. (¿Por qué?) e) El conjunto infinito N no tiene puntos de acumulación. d) El conjunto A, := {1/n: n EN} sólo tiene al punto O como punto de acumu

lación. Ninguno de los puntos de A4 es un punto de acumulación de A 4.

e) El conjunto A, :=In Q consta de todos los números racionales de I =[O, l]. Por el teorema de densidad 2.5.5 se deduce que todo punto de I es un punto de acumulación de AS'

En los ejemples siguientes se hace hincapié en que un punto de acumulación de un conjunto puede pertenecer o no al mismo.

Demostración. Si e es un punto de acumulación de A, entonces para cualquier n EN la vecindad(1/n) V11 (e) contiene al menos un punto de A diferente de c. Si

11 ' a11 es este punto, entonces a11 EA, !fil11 i= e, y lím (a11) = c.

Recíprocamente, si existe '.;Ita sucesión (a,) en A\{ e} con lím (a11)= c, enton ces para cualquier o > O existe un número natural K( o) tal que si n ;;;. K( o), en tonces a11 E V8(c). Por lo tanto, la vecindado V8(c) de e contiene los puntos a11, n;;;,, K( o), que pertenecen a J. y son diferentes de c. Q.E.D.

4.1.2 Teorema. Un número e ER es un punto de acumulación de un subconjunto A de R si y sólo si existe una sucesión (a,) en A con an i= e para toda n EN tal que lím (a)= c.

Nota. El punto e puede pertenecer o no aA, pero aun t.:11 el l'111J11 de que perle nezca al conjunto, no cuenta al decidir si e es un punto de acumulación de A o 110,

ya que se requiere específicamente que haya puntos en Vó(c) n A que sean difcrcn tes de e para que e sea un punto de acumulación de A.

l.fMl'l'li.S l:Hl

entonces si o< \x-e\ < o(t:.), se inferirá primero que lx e\< 1, por lo que I») es válida y, por lo tanto, como [x el< e /(2[c\ + 1) se sigue que

lx2 e21 ~ (2le\ + l)lx el< e.

Puesto que se cuenta con una manera de elegir 8(e) > O para cierta elección de e > O se infiere que lím h(x) = lím x2 = e2.

' x-+c x-+c

Además, este último término será menor que e siempre que se tome lx el < t:/(2lc\ + 1). Por consiguiente, si se elige

lx2 e21 = lx +el lx el~ (2lel + l)lx el. ( *)

Por lo tanto, si lx el < 1, se tiene

lx + el ,,;;; lxl + le\ ,,;;; 2jcl + l. de tal modo que

sea menor que una e > o preasignada tomando x lo suficientemente próxima a c. l'ara ello, se observa que x2 - c2 = (x + c)(x e). Por otra parte, si lx e\ < 1, entonces

4.1.7 Ejemplos.a)JW1b=b. . , Para ser más explícitos, sea/(x) := b para toda x ER; se aflrm.a queJW!f = b.

11r hecho dada e> O, sea ó := l. Entonces si O < 1 x - el < 1, se tiene \f(x)- bl = ¡¡, b l= o'< e. Puesto que e> O es un valor cualesquiera, de 4.1.6 ii se deduce que

•,1· tiene lím f= b. x-+c b) lím x=c. Seax i(~) ;::;: X para toda X ER. Si E:.> o, sea o( s) := E:.. Entonces si o < lx el <

/i(i:), resulta trivial tener lg(x) el = lx el < e. Puesto que e > O es un valor l·11;tlesquiera, se deduce que lím g::;: c.

e) }í.!PcX2 = c2. . . Sea h(x) := x2 para toda x ER. Se desea que la diferencia

•,, 111 exentan a continuación algunos ejemplos para mostrar la manera en que suele 11J1I i1 arsc el teorema 4.1.6.

e )hst·1·vaci(m. 1.a descripción anterior se puede considerar como el juego ~(E), simi '"1 , 11 ¡ niucipio al juego K(E) para límites de sucesiones. (Ver pp. 8990.) El Jugador B

1,1, ,,rn1u 1111a ¡;>O al jugador A. Si el jugador A siempre puede responder generand~ u~a

,·,1, 1 . 11 que sutisfaga Ja condición ii del teorema 4.1.6, entonces se establece que el limite ii1 / \'11 I" es L.

l'.13

Demostración. i => ii. Supóngase que f tiene límite L en c. Entonces, dada t:. >O, existe o= O(t:.) >O tal que para todax en A que esté en la vecindado V0(c), x =te, el valor f(x) pertenece a la vecindads V/L) de L. Sin embargo,x está en V0(c) y x =t e si y sólo si O < lx el < o. (Obsérvese que O < lx el es tan sólo otra mane ra de establecer quex =t c.)Asimismo,f(x) pertenece a V//,) si y sólo si lf(x)LI < e. Por tanto, si x EA satisface O < 1 x- el< o, entonces f(x) satisface 1/ (x) L! < e.

ii =:::} i. Si la condición enunciada en ii se cumple, entonces se toma la vecin dado V8(c) :=(e o, e+ o) y la vecindadE V,,(L) := (L e, L +e). Entonces la condición ii indica que si x está en V0(c), donde x EA y x =t e, entonces /(x) per tenece a V/L). Por lo tanto, por la definición 4.1.4,ftiene el límiteL en c. Q.E.D.

4.1.6 Teorema. Sea f: A + R y sea e un punto de acumulación de A; entonces: i lím i= L si y sólo si

x---c ii para cualquier E:. > o dada existe una o( t:.) > o tal que si X (::A y o < lx el

< D(t:.), entonces lf(x) LI < e. ,

Se presenta ahora una formulación equivalente de la definición 4.1.4 al expre sar las condiciones de vecindad en términos de desigualdades. Los ejemplos que siguen mostrarán la manera en que se usa esta formulación para establecer los límites de funciones. Más adelante se obtendrá un criterio en términos de sucesio nes para el límite de una función.

Criterio e8 para el límite

Demostración. Supóngase, por el contrario, que existen los números reales L' =t L" que satisfacen la definición 4.1.4. Se elige e > O tal que las vecindadesr V/L') y V/L") sean disjuntas. Por ejemplo, se puede tomar cualquier e menor que i Jl' L"I· Entonces por la definición 4.1.4 existe o'> o tal que si X es un punto cualquiera de A n V0,(c) y x =t e, entonces fí..x) pertenece a Ve(L'). De manera similar, existe o"> o tal que si X es un punto cualquiera de A n V5,,(c) y X =te, entonces f(x) pertenece a V/L''). Se toma ahora 8 como el menor de o' y o", y sea V0(c) la vecindado de e correspondiente. Puesto que e es un punto de acumula ción de A, existe al menos un puntox0 =t c tal quex0 EA n Vo(c). Por consiguiente, f(x0) debe pertenecer tanto a VeCL') como a VE(L"), lo cual contradice el hecho de que estos conjuntos son disjuntos. Por tanto, el supuesto de queL' =t L" son límites de f en e lleva a una contradicción. Q.E.D.

4.1.5 Teorema. Si f: A + R y si e es un punto de acumulación de A, entonces f puede tener un solo límite en c.

El primer resultado garantiza que el valor L del lí111i11.: se l'11t·11t·1111 a dctcrru i1111

do de manera única, cuando existe. Esta unicidad no es parle de la definición d1• límite, sino que es necesario deducirla.

J.iMl'l'lS 1.11.

Demostración. i ==} ii. Supóngase que f tiene el límite Len e, y supóngase que (xn) es una sucesión en A con lím (xn) = e y x11 * c para toda n. Se de~e p_robar que la sucesión (f(xn)) converge a L. Sea E> O dada. Entonces por el cnteno t:-8 4.1.6, existe o> O tal que si x satisface O < [x el < 8, donde x EA, entonces f(x) satisface lf(x)-Ll < e. Se aplica ahora la definición de sucesión convergente de la 8 dada para obtener un número natural K( 8) tal que sin > K( o) entonces [xn - el < O. Pero para cada una de estas x" se tiene lf(x11) LI < e. Por tanto, sin > K(8), entonces lf(x11)LI <E. Por lo tanto, la sucesión (f(x,.)) converge ,L.

4.1.8 Teorema (Criterio de sucesiones) Sea f: A + R y sea e un punto de acumulación de A; entonces:

i lím f = L si y sólo si i(pcira toda sucesión (xn) en A que converge a e tal que xn * c para toda n

EN, la sucesión (f(xn)) converge aL.

La importante descripción del límite de una función que se presenta a conti nuación se expresa en términos de límites de sucesiones. Esta caracterización hace posible la aplicación de la teoría del capítulo 3 al estudio de límites de funciones.

Criterio de sucesiones para Ilimites

Entonces si O < [x 2[ < 8( e), se tiene ilJl(x) ( 4 /5)1 ,;;: (15 /2)[x 21 ,;;: e. Puesto que E> O es un valor cualesquiera, la afirmación queda demostrada.

Ahora para una e > O dada se elige

l'ara obtener una restricción sobre el coeficiente lx 21, se limita x mediante la 1 ·1 mdición 1 < x < 3. Para x en este intervalo se tiene 5x2 + 6x + 12 ,;;: 5 · 32 + 6 · \ + 12 = 75 y 5(x2 + 1) ~ 5(1+1) = 10, de tal modo que

1

41 75 15 l/t(x) 5 ~ 10ix 2.1 = 2lx 2[.

1

1/t(x) _ ~51 = l5x3 4x2 - 241 5(x2 + 1)

[5x2 + 6x + 121 ( 2 ) • lx - 21. 5 X + 1

S1•a 1¡1(x) := (11 4)/(.x2 + 1) para x ER. Entonces un poco de álgebra produce

135 1.IMlTl',S l)(I, l'lJN('IONl(S

x3 4 4 (e) lím =

x-<>2x2+l 5

~u~sto que se cuenta con una manera de elegir 8(e) > O para alguna E> O, se infiere que Iím 'P = 1/c.

x--+c

l'P(x) - ~I =I~ ~I <E.

e~t?nces si O < lx cj < 8( e), se inferirá primero que [x cj < ~e, por lo que ( #) es válida y, por lo tanto, como [x el < O c2)e, se sigue que

Pa:a hace'. este último término menor que e basta tomar [x c[ < ! cze. Por consi guiente, si se elige

l 'P( x) ~ 1 ~ c22 lx - el. (#)

Por lo tanto, para estos valores de x se tiene

1 2 O < < para lx - el < te.

ex c2

para x > O. Es conveniente obtener una cota superior para el término 1/(cx) que esté incluida en alguna vecindad de c. En particular, si [x e[ < k, entonces k < x < ic (¿por qué?), de modo que

1 [x el ex

sea menor que una e> O preasignada tomando una x lo suficientemente próxima a e > O. Se observa primero que

l 'P( X) - ~ 1 = 1 ~ ~ 1

Sea 'P(x) := 1/x para x > O y sea e > O. Para demostrar que lím 'P = ·1 [e su quiere hacer que Ja diferencia X--+ e

d) lím ! = ! si e > O. x--+c X C

134

TA fin de contar con aplicaciones interesantes en el presente ejemplo y los siguientes, se hará uso de las conocidas propiedades de las funciones trigonométricas y exponenciales que se establecerán en el capítulo 8.

( 1

del ejemplo 3.4.5 a) se sigue que (sgn (x11)) no converge. Por lo tanto, lígi0 sgn (x) no rxiste.

"l"c) lím sen (1/x) no existe en R. x-> O

Sea g(x) :=sen (1/x) para x * O. (Ver la figura 4.1.3.) Se demostrará que g no 1 icne límite en e = O, para lo cual se recurrirá a dos sucesiones (x11) y (yn) con x11 * O y y

11 =/:- O para toda n EN y tales que lím (x11) = O y lím (y

11) = O, pero tales que lím

(g(x11)) * lím (g(y")). De acuerdo con el teorema 4.1.9, esto indica que;~~/ no puede existir. (Explicar por qué.)

De hecho, se recuerda que en Cálculo sen t = O si t = nit para n E Z y que sen 1 = + 1 si t = ! n: + 2rcn paran E Z. Se hace ahora x11 := 1/nrc paran EN; entonces

para n EN, sgn (x,) = (1)"

( ibsérvese que sgn (x) = x/lxl para x * O. (Ver la figura 4.1.2.) Se demostrará que '•l'.11 no tiene límite en x= O. Esto se hará probando que existe una sucesión (x11) tal que lím (xn) = O, pero tal que (sgn (xi)) no converge.

De hecho, sea x" :== (1)11/n paran EN de tal modo que lím (x,) =O. Sin mbargo, puesto que

para x >O, para x:::: O, para x <O.

sgn(x):=+l := o :=1

1 1 / d) no tiene validez si e = O, ya que no es posible obtener una cota como la de 111 expresión (#)de dicho ejemplo. De hecho, si se toma la sucesión (xn) con x11 :=

1 11 p:ira n EN, entonces lím (X;)= O, pero ¡p(x,) = 1/(1/n) = n. Como se sabe, la 11111·1·siím (<p(x )) = (n) no es convergente en R, ya que no está acotada. Por tanto,

11 1 . l 1'111 el teorema 4.1.9 b), el lím (1/x) no existe en R. (Sin embargo, ver e e1emp o x--+O

1 l () a).] b) lím sgn (x) no existe.

x-+ O Sea que la función signo sgn esté definida por

FIGURA 4.1.2. La función signo.

JJ7 l.ÍMl'l'Jl.S 1111. lllJN('IONll.S

4.1.10 Ejemplos. a) lím (1/x) no existe en R. x-> O

Como en el ejemplo 4.1.7 d), sea ¡p(x) := l/x para x >O. Sin embargo, en es te caso se considera el valor e = O. El razonamiento presentado en el ejemplo

Se presentan ahora algunas aplicaciones de este resultado para indicar la ma nera en que se pueden usar.

4.1.9 Criterios de divergencia. Sea A n R, sea f: A--> R y sea e E R un punto de acumulación de A.

a) Si L ER, entonces f no tiene el límite Len c si y solo si existe una sucesión (x11) en A con x11 * e para toda n EN tal que la sucesión (x ) converge a c pero la sucesión (f(x11)) no converge a L. n

b) La función f no tiene un límite en c si y sólo si existe una sucesión (x,,) en A con X11 * e para toda n EN tal que la sucesión (x11) converge a e pero la sucesión (f(x,.)) no converge en R.

Criterios de divergencia

Con frecuencia es importante estar en posición de demostrar: i que un número determinado no es el límite de una función en un punto, o ii que la función no tiene un límite en un punto. El resultado siguiente es una consecuencia de (la demostración) el teorema 4.1.8. Se dejan al lector los detalles de su demostración como un ejercicio importante.

En la siguiente sección se verá que muchas de las propiedades básicas de los límites de funciones se pueden establecer usando las propiedades correspondien tes de las sucesiones convergentes. Por ejemplo, por el estudio de las sucesiones sabemos que si (x,.) es cualquier sucesión que converge a un número e, entonces (x~) converge a c2. Por lo tanto, por el criterio de sucesiones, se puede concluir que la función h(x) := x2 tiene el límite lím h(x) = c2. ·

x-> e

lf(x,,) - L 1 ?o E0 para toda n EN.

Se concluye que la sucesión (x11) en A\ { c} converge a c, pero la sucesión (f(x11)) no converge a L. Por lo tanto, se ha demostrado que si i no es verdadera, entonces il tampoco lo es. Se concluye que ii implica i. o.t.e.

pero tal que x,. E A, y O < lx11 el < l/n

ii => i. [La demostración es un razonamiento C()ill 1'11po:il1 lvc ,, ¡ ,<.;i lii iguald11d de i no se cumple, entonces existe una vecindada, Vcu(L) l;il q111,; independiente mente de la vecindad8 de c que se elija, habrá al menos un número x8 en zt ( 1 V0(c) con x8 * c tal que f(xi) ~ Vc0(L). Por tanto, para toda n EN, la vecindad (1/n) de c contiene un número x tal que

//

J .fMJ'l'I~~ 1%

4.2.2 Teorema. Si A ~ R y f: A + R tiene un límite en e E R, entonces f está acotada en alguna vecindad de c.

4.2.1 Definición. Sea A ~ R, sea f: A + R y sea e E R un punto de acumula . ción de A. Se dice que f está acotada en una vecindad de e si existe una vecindado V f c) de e y una constante M >O tales que se tiene lf(x)j :s:: M para toda x EA n V/e).

Se obtendrán a continuación algunos resultados que son útiles para calcular límites de funciones. Estos resultados son paralelos a los teoremas sobre límites de sucesiones establecidos en la sección 3.2. De hecho, en la mayoría de los casos estos resultados se demuestran usando el teorema 4.1.8 y los resultados de la sec ción 3.2. De otra manera, los resultados de esta sección se pueden demostrar usan do razonamientos e-o que son muy similares a los que se emplearon en la sección 3.2.

SECCIÓN 4.2 Teoremas sobre límites

l i) Suponer que la funciónf: R--+ R tiene límite Len O, y sea a> O. Si g: R--+ R está definida por g(x) := f(a) para x ER, demostrar que }~0g =L.

13/ Sea e un punto de acumulación de A [; R y sea f: A + R tal que IJW Jf(x))2 = L. Demostrar que si L = O, entonces lím f(x) = O. Demostrar con un ejemplo

x->c que si L =f. O, entonces f puede no tener límite en e.

14( Sea quef: R--+ Resté definida haciendof(x) :=x six es racional y f(x) :=O si x es irracional. Demostrar que f tiene un límite enx =O. Usar un razonamien to en términos de sucesiones para demostrar que si e =f. O, entoncesfno tiene límite en c.

(e) lím ( x + sgn ( x) ), x>O

1 (b) lím 1 (x > O),

x+O yx

(d) lím sen( 1/x 2) (x =t. O). .r>O

1 (a) lím 2 (x > O),

x>O X

(x :> O). 1

2

x2 X~ - X + 1 (e) lím = O (x =F O), (d) lím

x+olxl x--+I x+l 1 1 /Demostrar que los siguientes límites no existen en R.

x--+ 1 (x >O),

1 +X 2 (b) lím

X 1 1 (a) lí111 = l (x > 1),

x•2 1 X

l, ,'l1111 / 1 U 1111 l11il01v1ilo, sen [: 1-• R y sea e el. Supóngase que existen Jos 111111w1rn1 /\.y/, l11lcs que IJ(r)Li ,,¡;; K~x-c! parax El. Demostrar que Ji!p/=L.

H.• 1 k1111H1lrnr que lfm x3 = c3 para cualquier e ER. x ..... e •1, 1 le1110,\ll'l1r que lím ..Ji= .Je para cualquier e;;;. O.

)."-'(.'

101 lls11r u111has descripciones del concepto de límite, la e8 y la de sucesiones, p11ni establecer las siguientes proposiciones:

l,\l) 1111 HWMAI : t 11110! 1IMI1'111

5. Sea f: R ...... R, sea J [; R un intervalo cerrado, y sea e E J. Si f2 es la restricción de fa J, demostrar que si f tiene límite en e entonces f2 tiene límite en c. Demostrar que no se deduce que si f2 tiene límite en e, entonces f tiene lími te en e:

6. Sea l := (O,' a), a > O, y sea g(x) := x2 para x El. Para cualesquiera x, e en l, demostrar que !g(x) - c2i ""' 2a!x - e'. Usar esta desigualdad para demostrar que lím x2 = c2 para cualquier e El. - X_. C

4( Sea f: R + R, sea l [; R un intervalo abierto y sea e E l. Si t. es la restricción de fa l, demostrar quef1 tiene un límite en e si y sólo siftiene un límite en e, y que lím f = lím f,1. x-tc x-t-c

lím f(x + e)= L. X""'0


11 Determinar una condición sobre :x - I] que asegure que: a) !x2 lf < 1/2. b) !x2 1¡ < 1/103.

e) jx2 1: < 1/n para unan EN dada. d) lx3 r < 1/n para unan E N dada.

21 Sea e un punto de acumulación de A [; R y sea f: A --+R. Demostrar que lím f(x) = L si y sólo si lím 'f(x) - LI = O. x-+c x-+c ·

3( Sea f: R + R y sea e E R. Demostrar que J~ f(x) = L si y sólo si

lím (x11) =O y g(x11) = sen nn= O para toda n EN, de modo que lím (g(x11)) =O. Por otra parte, sea y 11 := sen G 1r + 2nn )-1 paran EN; entonces lím (y

11) = O y g(y11) = sen

G 1r + 2nn) = 1 para toda n EN, de modo que lím (g(y )) = l. Se concluye que lím sen (1/x) no existe.

11 x-+O

FIGURA 4.1.3. La función g(x) = sen (1/x) (x =f. O).

l(Ml'l'I!! 13H

L1 + L2 + ·_· · +L,, = lím (f1 + Í2 + · · · +f,,), x-+c

entonces por el teorema 4.2.4, mediante un razonamiento de inducción, se sigue que

Lk := Iímfk para k = l, ... ,n, x-->c

no exista. Pero aun si este límite existe, no se pueda usar el teorema 4.2.4 b) para evaluarlo.

2) Sea A ~ R, y sean fl' f2, •.. , t, funciones de A a R, y sea c un punto de acumulación de A. Si

lím f(x) x->c h(x)

Observaciones. 1) Se hace notar que, en el inciso b ), se establece la hipótesis adicional de que H == lím h i=- O. Si esta hipótesis no se satisface, entonces es

11, . x-> e posible que e imite

Los demás incisos de este teorema se demuestran de una manera similar. Se dejan los detalles al lector. Q.E.D.

lím (fg) = lím ((fg)(x,.)) = LM. X-+ C

l't11· consiguiente, por el teorema 4.1.8 se sigue que

lím ((fg)(x,,)} = lím (f(x,.)g(x,,))

= (lím (f(x,,) ))(lím (g(x,,) ))

=LM.

l'or lil tanto, aplicando el teorema 3.2.3 se obtiene

(fg)(x,.) = f(x,,)g(x,,) para n EN.

11111 ul1<1 parte, la definición 4.2.3 indica que lím(g(x,,)) = M. lírn (f(x,.)) = L,

1)1•nwNj rnd6u. LJ 11a demostración de este teorema es similar paso a paso a la di l lt•rnt•11111 ,\.~~.:\.Otra forma es hacer uso del teorema 3.2.3 y del teorema 4.1.8. Pi11 1'it111plo. xcu (x,,) cualquier sucesión en A tal que xn =I= e paran EN Y e= lím ( 1 ) l'()r L'I teorema 4.1.8 se sigue que

11

1111 'l'JIOl(HMAS SOllHli. t.fMl'i'FS

lím { f_) = !:_. x->c h H

b) Si h:A ~ R, si h(x) i=- O para toda x EA, y si lím h i=- O, entonces x-> e

lím (fg) = LM, x->c

lím ( f - g) = L - M, x->c

Iím (bf) = bL. x->c

lím ( f + g) = L + M, x->c

4.2.4 Teorema. SeaA ~R, seanfy g funciones de A a R, y sea e ER un punto de acumulación de A. Además, sea b E R.

a) Si lím f = L y lím g = M, entonces: x-+c x~c

( f ) ( x) := ~ i: ~ para toda x E A .

Por último, si h(x) i=- O para x EA, se define el cociente f/h como la función dada por

(bf)(x) := bf(x) para toda x E A.

para toda x EA. Además, si b ER, se define el múltiplo bf como la función dada por

(f + g)(x) := f(x) + g(x), (f- g)(x) := f(x) - g(x), (fg)(x) := f(x)g(x),

4.2.3 Definición, Sea A <;;: R y sean f y g funciones definidas de A a R. Se define la suma f + g, la diferencia f - g, y el producto fg de A a R como las funciones dadas por

La siguiente definición es similar a la definición 3.1.3 para sumas, diferen cias, productos y cocientes de sucesiones.

Por lo tanto, si x EA n V8(c), xi=- e, entonces jf(x)j.,; ILI + l. Si e ..:A, se toma M := ILI + 1, en tanto que si e EA se hace M := sup {lf(c)I, ILI + 1 }. Se sigue que si x EA n V8(c), entonces lf(x)I.,; M. Con esto se demuestra que f está acotada en la vecindad V0(c) de c. Q.E.D.

IJ(x)I ILI ~lf(x) LI <l.

Demostracíón, Si L := lím f, entonces por el tcorcrua 11.1.11 vrn1 1·.;;; 1, existo x->c

8 > O tal que si O < lx el < 8, entonces lf(x) LI < 1; por ta11!0 J por el corolario 2.3.4a)],

iJMl'l'l•:S 140

= p(c).

lím(a11xn) + lím(a11_1xnl) + ··· + lím(a1x) + lím c¿ X-te x--+c x--+c x~c

e) lím .! no existe en R. x-->@_X

ce;i'.::i Desde luego, lím 1 = 1 y H := lím x = O. Sin embargo, puesto que H =O, no se

x->O x e O puede aplicar el teorema 4.'"' 4 b) para evaluar lím (1/x). De hecho, como se vio en

x--> O 1·1 ejemplo 4.1.10 a), la función cp(x) = l/x no tiene límite en x ==O. Esta conclusión 1 arnbién se sigue del teorema 4.2.2, ya que la función cp(x) = 1 /x no está acotada en 1111a vecindad de x = O. (¿Por qué?)

f) Si pes una función polinómica, entonces lím p(x) = p(c). x-> e

Sea puna función polinómica en R de tal modo que p (x) = a,,x" +a,,_ 1xn- I + · · · + a1x + a0 para toda x ER. Del teorema 4.2.4 y del hecho de que lím xk = ck se sigue que

límp(x) = lírn [anx" + a,,_1x"-1 + · · · +a1x + a0] x~c x--+c

( i

< lll.~favese que la función g(x) = (x2 - 4)/(3x - 6) tiene límite en x = 2 aun cuando "º está definida en este punto.

lím x>2 3x - 6

1 ( lim X+ 2) 3 x>2

l lím -(x + 2) = x>2 3 1 4 (2+2)=. 3 3

X2 X

'k 1 icne, por lo tanto,

1 3(x+2).

(x+2)(x2) 3(x - 2)

x2 - 4

3x - 6

11111 cmbnrgo, si x * 2, entonces se sigue que

11= lím h(x) = lím (3x 6) :r2 Xi>2

= 3 lím x - 6 = 3 · 2 6 = O. x-+ 2

: ll 11<• li11co /(x) :.• xl - 4 y li(x) := 3x- 6 para x ER, entonces no se puede usar ti l1'<11t•11111 .i ... ul h) pura evaluar lím (/(x)/h(x)) porque

x-> 2

111'.J 'l'l'.010\Mt\~I /.lOIHU\ 1.(Ml'l'l\S

4

3

x2 - 4 (d) lím

.r _, z 3x 6

Obsérvese que como el límite del denominador [es decir, lím (x2 + 1) == 5] no es igual a O, entonces se puede aplicar el teorema 4.2.4 b ). x _,

2

lím ( x2 + 1) x+2

4

5

x3 - 4 lím 2 x->2 X + l

lím ( x3 4) Xlo2 .

Si se aplica el teorema 4.2.4 b), se obtiene

( x3 4) 4 (e) lím = .

X_, 2 x2 + 1 5

lim (X 2 + 1) (X 3 4) = ( lím (X 2 + 1)) ( Iím (X 3 4)) X-ll2 Xll2 X---t2

= 5. 4 = 20.

(Explicar por qué.) b) l~2 (x2 + l)(x3 - 4) == 20.

Por el teorema 4.2.4 se sigue que

x->c e lím X

l 1 1 lím

X----1-C X

4.2.S Ejemplos. a) Algunos de los límites que se establecieron en la sección 4.1 se pueden demostrar usando el teorema 4.2.4. Por ejemplo, de este resultado se sigue que, como lím x =e, entonces lím x2 == c2, y que si e> O, entonces

X4'C x---tc

L" = lím ( f ( x)) ". X-lle

3) ·En particular, a partir de 2) se deduce que si L = lím f y n EN, entonces x->c

L · L · · · L = lím ( f · f · · · j:· ) 1 2 n l 2 11 • x-->c

y

IJMl'IWl 142

Puesto que se ve de inmediato (¿cómo?) que lím f =O = lím h, por el teorema de x~o x---+O

compresión se sigue que lím (cos x -1)/x =O. x-+ O

(sen x) (e) lím = l.

X + o X

f ( X ) ~ ( cos X - l) /X ~ h ( X ) para X * o.

Sea ahora f(x) := -x/2 para x ~ O y /(x) := O para x < O, y sea h(x) :=O para x ~ O y h(x) := -x/2 para x < O. Se tiene entonces

O~ (cosx - 1)/x ~ tx para x <O. y que

-tx~(cosx-l)/x~O para x>O

No se puede usar el teorema 4.2.4 b) (al menos no direct.ame11te) para. evaluar este límite. (¿Por qué?) Sin embargo, de la desigualdad (*)del ejemplo e) se sigue que

(

COS X - 1) (d) lím =O.

X-+ o X

Puesto que lírn (1 ~x2) = 1, del teorema de compresión se sigue que lí.T0 cos x = l.

l ix2 ~ cos x ~ 1 para toda x E R. ( *)

l'ucsto que lím (±x) = O, del teorema de compresión se sigue que l~o sen x = O. x->O

e) lím cos x = l. x-o Más adelante se demostrará (ver el teorema 8.4.8) que

para toda x ~ O. -x ~sen x ~ x

·, 4 2 7 . I' 312 O dt·I teorema de compres10n . . se sigue que 1m x · = . x-o h) lím sen x = O.

x->O Más adelante se demostrará (ver el teorema 8.4.8) que

lím x = 0, x->O

y lím x2 =O x->O

•1.2.8 ~lcmplo.~. 11) lírn x:112 =O (x >O). x•O !12 1

Se;1 /(x) := x1/2 para x > O. Puesto que la desigualdad x < x 1 ~ 1 se cump e p11111 11 ~ x ~ 1, se sigue que x2 ~ f(x) = x312 ~ x, para O < x ~ l. Puesto que

111.s rr« )IO(MAS SI llil{li iJMl'l'l(S

y si lím f = L = lím h, entonces lím g =l. x-c x----¡.c x----Joc

para toda x EA, x -=fa c, f(x) ~ g(x) ~ h(x)

4.2.7 Teorema de compresión. Sea A(';;; R, seanf, g, hi A:» R,y sea c ER un punto de acumulación de A. Si

Se establece a continuación un análogo del teorema de compresión 3.2.7. La demostración se le deja al lector.

Demostración. De hecho, si L = lím f, entonces por el teorema 4.1.8 se sigue x-1o e

que si (x,,) es cualquier sucesión de números reales tal que e * x11EA para tod,a n EN y si la sucesión (x) converge a e, entonces la sucesión (f(x,,)) converge a L. Puesto que a ~ f(x11) ~ b para toda n EN, por el teorema 3.2.6 se sigue que a ~ L ~ b. Q.E.D.

y si lím f existe, entonces a ~ lím f ~ b. x-c x-c

para toda x EA, x * c, a ~f(x) ~ b

4.2.6 Teorema. Sea A (';;; R, sea f: A-+ R y sea e ER un punto de acumulación deA. Si

El resultado siguiente es un análogo directo del teorema 3.2.6.

lím q(x) X----)C

p(c) q( e) .

lím p(x) x~c , p(x)

lim x->c q(x)

Sic no es solución de q(x), entonces q(c) * O y por el ejemplo f) se sigue que lím q(x) x~c

= q(c) *O. Por lo tanto, se puede aplicar el teorema 4.2.4 b) para concluir que

p(x) r(x) == .

q(x)

Puesto que q(x) es una función polinómica, de un teorema de álgebra se sigue que existen a lo sumo un número finito de números reales a:1, ... , 0:111 [las raíces reales de q(x)] tales que q(a) =O y tales que si x E {al' ... , a,,,}, entonces q(x) -=/= O. Por tanto, six E {al' ... , 0:111}, se puede definir

p(c) q(c)

l. p( X) 1m

x->cq(x)

Por tanto, l~p(x) = p(c) para cualquier función p(lli11Pi1il(·11 ¡1.

g) Si p y q son funciones polinómicas en R y si q(c) :f- O, e111011ccs

1.IM l'l'l(S 111.4

dondex >O. {l+2x - Jl+3x

1·' Encontrar;~ x + 2x2

4!1 Demostrar que lím cos (1 /x) no existe pero que lím x cos (l/x) =O. x-o x-o )/Sea que f, g estén definidas en A~ R a R y sea e punto de acumulación de A.

Supóngase que f está acotada en una vecindad ele e y que 1íTc g = O. Demos trar que lím fg = O.

6( Usar Ja formulación e-8 del límite para demostrar la primera proposición del teorema 4.2.4 a).

7¡/ Usar Ja formulación ele sucesiones del límite para demostrar el teorema 4.2.4 b ). 8¡1 Sea n EN tal que n ~ 3. Deducir la desigualdad -x2 ~ x" ~ x2 para 1 < x < 1.

Usar después el hecho de que lím x2 = O para demostrar que lí_T x" = O. x-0 X Ü

9. Sea que j, g estén definidas de A a R y sea e un punto de acumulac~ón ~e A. a) Demostrar que si existe tanto Jím fcomo lím (! + g), entonces existe hT g. x-c x-+c x e

b) Si existen lírn f y lím fg, ¿se sigue que existe IÍf'.l g? x-c x-c x~c

10. Dar ejemplos de funciones f y g tales que f y g no tengan límite en un punto e, pero tales que tanto f.+ g como fg tengan límite en c.

11. Determinar si existen en R los siguientes límites. a) lím sen (1/x2) (x =FO), b) lí_T x sen (1/x2) (x *O),

x-0 X Ü e) lím sgn sen (1/x) (x -=F O), d) lím .JX sen (1/x2) (x >O).

x-0 x-0 12. Sea f: R--> R tal que f(x +y) = f(x) + f(y) para toda x, y en R. Sup~ngas~ q~e

lím f = L existe. Demostrar que L = O y demostrar después que f tiene limite x-o entodo punto e ER [Sugerencia: Observar primero que f(2x) = f(x) + f(x) = 2f(x) para x ER. Observar asimismo que f(x) = f(x - e)+!~~) para x, c. en R]

13/sea A ~ R, sea f: A > R y sea e E R un punto de acumulación de A. S1 existe Jím f y si !!)denota la función definida paraz EA por lf((x) := {f(x~, demos

t~~ que lím ''f\= \1im f ·\ ·x-c\ x-c

\

r!i1 x2 - 4 (a) (x >O) (b) lím (x > O), lím x-+2 X - 2 x-+2

(x+1)2l ¡; - 1 (x >O). (e) lím (x >O), (d) lím

x-0 X x1.xl

(1·) lí111 (1 __:__) (x > O), x-•2 x + l 2x

.'. netcrminar los siguientes límites y señalar los teoremas que se usan en cada caso. (Quizás quiera usarse el ejercicio 14 siguiente.)

X + l (d) lím

x-+O x2 + 2

/f •I (11) lí111 (x + 1 )(2x + 3) (x E R), (x > 0),

/\pli1·111 el teorema 4.2.4 para determinar los siguientes límites: x2 + 2

(b) lím x+J x2- 2

l•I/

I i

Demostración. Sea L := lím f y supóngase que L >O. Se toma E= ~L >O en x++c

el teorema 4.1.6 b) y se obtiene un número 8 > O tal que si O < lx el < 8 y x EA, entonces lf(x)-LI <~L. Por lo tanto, (¿por qué?) se sigue que si x EA n V0(c), x * c, entonces f(x) > iL > O.

Si L < O se aplica un razonamiento similar. Q.E.D.

entonces existe una vecindad V0(c) de e tal que f(x) > O [o bien, f(x) <O] para toda X EA n V5(c), X* c.

[ respectivamente, !~, f < O] , lím .f > O x___,c

4.2.9 Teorema. Sea A~ R, sea ji A:+ Rysea c ER un punto de acumulación deA. Si

Hay resultados que son paralelos a los teoremas 3.2.9 y 3.2.10; sin embargo, se dejan como ejercicios. Se concluye esta sección con un resultado que es, en cierto sentido, un recíproco parcial del teorema 4.2.6.

para tocia x ER, x *O. Puesto que lím lxl =O, por el teorema de compresión se x-+ O sigue que lím f = O. x-o

lxl <.f(x) = xsen(l/x) < lxl

Pero como lím (1ix2) = 1 ~ · lím x2 = 1, por el teorema de compresión se infiere x-+O x•-+O

que lím (sen x)/x = l. x-+ O f) lím (x sen (1/x)) =O.

x-+O

Sea/(x) := x sen (1/x) para x *O. Puesto que 1 ~sen z ,s; 1 para toda z ER, se tiene la desigualdad

1 tx~ <(sen x)/x < 1 para toda x =FO.

Por lo tanto se deduce (¿por qué?) que

x < sen x < x - * x 3 para x < O.

y que

X )> Ü para f

x - /¡x3 <sen x < x

De nueva cuenta, no es posible usar el tcorcuu, •l..~.·l ll) ¡1111111·v1d1111r 1,;slu 111111

te. Sinembargo, más adelante se demostrará (ver el lt:(11rn111 H.·l.H) que

IJMI 1•11•,

4.3.2 Teorema. Sea A ~ R, sea f: A > R y sea e E R un punto de acumulación de A n (e, oo). Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

i lím f = L ER, x-.c +

ii para toda sucesión (x11) que converge a e tal que x11 E Ay x11 > c para toda n EN, la sucesión (f(x")) converge a L ER.

Se le deja al lector la demostración de este resultado (así como la formulació~ y demostración del resultado análogo para límite por la izquierda). No se ~cupara espacio en repetir las formulaciones de la versión para un lado de los demas resul tados de las secciones 4.1 y 4.2.

El resultado siguiente relaciona el concepto de límite de una función con los límites por un lado. La demostración se deja como ejercicio.

4.3.3 Teorema. SeaA ~ R, seaf:A ~ Ry sea c ER un punto de acumulación de los dos conjuntos A n ( c, ce) y A n (ce, c). Entonces}~ f = L E R si Y sólo si Iím f=L = lím f

x--+c+ x-+c-

s., usa una terminología similar para los límites por la izquierda. . (2) A los límites )ÍW+ f y )i,q¡_ f se les llama límites por un lado de/ e~ c.' E~ pos1

lile que no exista ningún límite por un lado. Asimismo, uno de ellos puede existir sm que , rx ista el otro. De manera similar, como es el caso para f(x) := sgn (x) en e = O, ambos

pueden existir y ser diferentes. (3) Si A es un intervalo con punto terminal izquierdo e, entonces se puede ver ?e

inmediato quef:A+ R tiene límite en e si y sólo si tiene límite por la derech~ en ~.,Ad~~as, 1·11 este caso el límite lím fy el límite por la derecha lím f son iguales. (Una situación similar

x-c x-+c . ) , .curre para el límite por la izquierda cuando A es un intervalo con punto terminal derecho c.

Se deja al lector la demostración de que f únicamente puede tener un límite por la derecha (o bien, por la izquierda) en un punto. Existen resultados análogos a los establecidos en las secciones 4.1 y 4.2 para límites por ambos lados. En particular, la existencia de límites por un lado se puede reducir a consideraciones en términos de sucesiones.

lím f(x) =L. x-i.c+

Notas. 1) Si L es un límite por la derecha de f en e, en ocasiones se dice que L es un límite de f desde la derecha en c. En ocasiones se escribe

'"dada cualquier E> O existe una 8 >O tal que para toda x EA con O< c -x < 8, rutonces lf(x) LI < E.

lím f = L x-----)c-

¡¡ Si e cR es un punto de acumulación del conjunto A n (oo, e)= {x EA: x 1• ! , entonces se dice que L ER es un límite por la izquierda de f en e y se

11,1·1ihe

l49 Atv11'1.li\('IONl\S lW.1.('0N('P.1''1'0 l>I~ LÍMl'l'I'.

t Gran parte de esta sección se puede omitir en una primera lectura de este capítulo. De hecho, tan sólo se usa el concepto de límites unilaterales, y esto ocurre hasta la sección 5.5.

si dada cualquier E> o existe una o= o(E) > o tal que para toda X EA con o <X - e < 8, entonces lf(x) - LI < E.

lím f = L X---f>C+

4.3.1 Definición. Sea A ~ R y seaf: A---> R. i Si e ER es un punto de acumulación del conjunto A n (e, ce)= {x EA: x >

c}, entonces se dice que L E R es un límite por la derecha de f en e y se escribe

En ocasiones una función f puede no tener un límite en un punto e, a pesar de que existe un límite cuando la función se restringe a un intervalo en un lado del punto de acumulación c.

Por ejemplo, la función signo considerada en el ejemplo 4.1.10 b), e ilustrada en la figura 4.1.2, no tiene límite en e = O. Sin embargo, si la función signo se restringe al intervalo (O, oo), la función resultante tiene límite 1 en e= O. De manera similar, si la función signo se restringe al intervalo ( XJ, O), la función resultante tiene límite '1 en e = O. Estos son ejemplos elementales de límites por la derecha y por la izquierda en c = O.

Las definiciones de límites por la derecha y por la izquierda son modificacio nes directas de la definición 4.1.4. De hecho, al sustituir el conjunto A de la defini ción 4.1.4 por el conjunto A n (c, oo) se llega a la definición del límite por la derecha en un punto e que es un punto de acumulación de A n (c, XJ). De manera similar, al sustituir A por A n ( oc, c) se llega a la definición del límite por la izquierda en un punto e que es punto de acumulación de A n ( oo, e). Sin embargo, en lugar de formular estas definiciones en términos de vecindades, se enunciarán las formas E-o análogas del teorema 4.1.6.

Límites por un lado

En esta sección se analizarán tres tipos de ampliación del concepto de límite de una función que ocurren con frecuencia. Puesto que todas las ideas presentadas son estrechos paralelos de las que ya se han tratado, esta sección se puede leer con facilidad.

"!'SECCIÓN 4.3 Ampliaciones del concepto de límite

14! Sea A ~ R, seaf: A---> R y sea e El? un punto de 1w111111il111'l1111 de ;l. /\1k111(111, supóngase que f(x) ~O para toda x EA, y sea J/ lu 1'1111cio11 definida p11111 x EA por (.Jf)(x) := #W. Si existe JL~ f, demostrar que)J.~ -J7 = ~.J ~n j'.

1.{Ml'l'Hl1 i'IH

4.3.5 Definición. Sea A ~ R, sea f: A > R y sea e E R un punto de acumula

ción de A. Se dice que f tiende a co cuando x-> e, y se escribe

límf = ce, x-+c

Límites infinitos La función f(x) := l/x2 para x * O (ver la figura 4.3?) no está a~o~a~~ en una

vecindad de o, por ¡0 que no puede tener límite en el sentido,de la definición 4.1.4. Aun cuando los símbolos oo (= + oo) y oo no representan numeres reales, en oca

2 . d d >O" siones resulta conveniente poder decir que "f(x) = l/x tren e a 00 cu~n o x · 1 :.ste uso de± oo no causará ninguna dificultad siempre que se tenga cuidado Y nunca se interprete oo o oo como un número real.

< )hsérvese que para esta función existen en R los límites por ambos lados, pero son

1 I i tcrentes.

= l. 1

o+ 1

l'uesto que en el ejercico b) se vio que lím e1fx = O, por el análogo del teo x-+ O

¡,·111¡¡ 4.2.4 b) para límites por la izquierda se sigue que

FIGURA 4.3.2 Gráfica de h(x) = l/(e1fx + 1) (x =fa O).

------------

1

1 ~' 1 AMl'I IA< 'IPNt1:: 1 )111, < '()N( 'tll' t'O lll1 1 IMl'l'I\

FIGURA 4.3.1 Gráfica de g(x) = e1/x (x =fa O).

desigualdad que indica que lím h = O. x-+0+

1 1 Ü < l/ < <X, e x + 1 el/x

la cual se demostrará posteriormente (ver el corolario 8.3.3). De ($)se sigue que Nf x > O, entonces O < l/x < e1fx. Por tanto, si se toma x11 = l/n, entonces g(x,.) > 11

para toda n EN. Por lo tanto, lím e1/x no existe en R. x-oO+

Sin embargo, Iím e1/x =O. De hecho, si x <O y se toma t = -1/x en (*)so x-+0-

obtiene O < -1/x < e1fx. Puesto que x <O, esto significa que O< e1fx < -x para toda x <O. De esta desigualdad se sigue que lím e1/x =O.

x-+0- e) Sea h(x) := l/(e1fx + 1) para x *O. (Ver la figura 4.3.2.) En el ejercicio b) se vio que O < 1/x < e1/x para x > O, de donde se sigue que

O < t < e' para t > O, ( *)

4.3.4 Ejemplos. a) Seaf(x) := sgn (x). En el ejemplo 4.1.10 b) se vio que la función sgn no 1 icnc 1 ím itc en O. I ·~

evidente que lím sgn (x) = + 1 y que lím sgn (x) =l. Puesto que estos dos lf x-+O+ x-•O-

mites por un lado son diferentes, por el teorema 4.3.3 también se sigue que sgn ( 1)

no tiene límite en O. b) Sea g(x) := e1/x para x * O. (Ver la figura 4.3.1.) Se demuestra primero que g no tiene límite finito por la derecha en e = O y11

que no está acotada en ninguna vecindad por la derecha (O, 8) de O. Se usará 111 desigualdad

150

[ respectivamente, Iím f = 00] • :t-J-C-

lím i= oo :x-.c-

si para toda a E R existe 8 = 8( a) > O tal que para toda x EA con O < x - e < 8, entoncesf(x) >a [o bien,f(.x) <a].

ii Si e ER es un punto de acumulación del conjunto A n (e.o, e)= {x E~: x < e}, entonces se dice que f tiende a e.o [o bien, a co] cuando x > e - y se escnbe

4.3.8 Definición. Sea A t;;:; R y sea f: A ->R. ¡ Si e ER es un punto de acumulación del conjunto A n (e, 00) = {x EA:.x >

r}, entonces se dice que f tiende a co [o bien a e.o] cuando x > e + y se escnbe

lím f = oo [respectivamente, lím f = 001, x~c+ x~c+

La función g(x) = l/x considerada en el ejemplo 4.3.6 b) sugiere la convenien cia de considerar límites unilaterales infinitos.

Q.E.D.

Demostración. a) Si lím f ce co y si a ER es dada, entonces existe 8(a) >O tal

que si O < lx el < 8( a) xy~ EA, entonces f(x) > a. Pero como f(x) ,,_;;; g(x) para toda x EA, x * e, se sigue que si O< lx el< 8( a) y x EA, entonces g(x) > a. Por lo tanto, lím g = 00•

X_, C

1 .a demostración del inciso b) es similar.

FIGURA 4.3.4 Gráfica de g(x) = 1/x (x =/=O).

153 /\Ml'I JA( 'IONJl.S J)l(J, ( '()Nl'l\l"l'O 1)1\ dMl'l'I\

4.3.6 Ejemplos. a) lím (1/x2) = oo, x._,O

En efecto, dada a> O, sea 8 := 1/Já. Se sigue que si O < lxl < 8, entonces x2 < l/a de tal modo que 1/x2 > a.

b) Sea g(x) := l/x para x *O. (Ver la figura 4.3.4.) La función g no tiende a co ni a e.o cuando x-> O. En efecto, si a > O entonces

g(x) < a para toda x < O, por lo que g no tiende a co cuando x > O. De manera similar, si f3 < O, entonces g(x) > f3 para toda x > O, por lo que g no tiende a e.o cuando x > O.

Aun cuando muchos de los resultados de las secciones 4.1 y 4.2 tienen am pliaciones de acuerdo con este concepto de límite, no todos ellos las tienen ya que ± 00 no es un número real. El resultado siguiente es un análogo del teorema de compresión 4.2.7. (Ver también el teorema 3.6.4.)

4.3.7 Teorema. Sea A t;;:; R, sean f, g: A > R y sea e E R un punto de acumu- lación de A. Suponer que f(x),,;;; g(x) para toda x EA, x =/= c.

a) Si lím f = oo, entonces lím g = oo, x--+c x-+c

b) Si lím g = oo, entonces lím f = oo. x--+c x-+c

si para toda f3 ER existe 8 = 8(/3) > O tal que para toda x EA con O < lx el < 8, entonces f(x) < {3.

límf = oo, x-+c

si para toda a ER existe 8 = 8(a) >O tal que para toda x EA con O< lx el< 8, entonces f(x) > a.

ii Se dice que f tiende a oo cuando x-> e, y se escribe

FIGURA 4.3.3 Gráfica de f (x) = 1/x2 (x =/= O).

l.fMl'l'l\S 152

4.3.14 Teorema. Sea A k R, sea f: A t R y suponer que (a, 00) ~ A para

alguna a ER. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

Como antes, hay un criterio de sucesiones para este límite. Se formulará el que corresponde al caso cuando x t 00•

si dada una a ER cualquiera, existe K = K(a) a [o bien,f(x) <a].

[respectivamente, x ~~ 00 f = oo J , lim f = oo

x11 oo

si dada una a ER cualquiera, existe K = K(a) >a tal que para cualquier x > K, entonces f(x) > a [o bien, f(x) < a). (Ver la figura 4.3.5 .)

ii Supóngase que (oo, b) k A para alguna b ER. Se dice queftñende a 00 [o bien a oo] cuando x t oo y se escribe

x.-->oo lím f = oo

4.3.13 Definición. Sea A k R y sea f: A t R. i Supóngase que (a, oo) k A para alguna a EA. Se dice que f tiende a 00 [o

bien, aco] cuando x too y se escribe

l respectivamente, lím f = 001. X +00

Así como resulta conveniente poder decir que f(x) t ± 00 cuando x t e para e ER, también lo es contar con la noción correspondiente cuando x t ± 00•

4.3.12 Ejemplos. a) Sea g(x) := l/x para x * O. Es un ejercicio elemental demostrar que ~~00(1/x) =O= x~~"' (1/x). (Ver la

figura 4.3.4 en la página 153.) b) Sea f(x) := l/x2 para x =I= O. El lector puede probar que lím (1/x2) = O = lím (1/x2). (Ver la figura 4.3.3.)

x-+:o • x--1-00 2 • Una forma de hacerlo es demostrar que si x ~ 1 entonces O,,,;:; l/x ,,,;:; 1/x. Consi

derando el ejercicio a), esto indica que 1~112.~l/x2) =O.

.l.J.11 lcorcma. Sea A ~ R, sea f: A t R y suponer que (a, 00) ~A para

11!¡;111111 a ER. Entonces los siguientes 2enunciados son equivalentes: i l, = lírn f;

x-' ce ii para toda sucesión (x,) en A n (a, oo) tal que lím (x,,) = oo, la sucesión

( /( 1,,)) converge a L.

Se le deja al lector la demostración de este teorema y la formulación y demos 11 ación del resultado correspondiente para el límite cuando x t oo.

155

si dada una e> O cualquiera, existe K = K(c) < b tal que para cualquier x < K, entonces [f(x) LI < c.

El lector deberá notar la gran semejanza entre 4.3.10 i) y la definición de lí mite de una sucesión.

Se le deja al lector la demostración de que los límites de f cuando x t ±co son únicos siempre que existen. También se cuenta con criterios de sucesiones para estos límites; sólo se enunciará el criterio cuando x t co, Para ello se emplea el concepto de límite de una sucesión propiamente divergente (ver la definición 3.6.1 ).

lím f = L, XJ!00

si dada una e> O cualquiera, existe K = K(c) >a tal que para cualquier x > K, entonces lf(x)-LI <c.

ii Supóngase que (oo, b) ~A para alguna b ER. Se dice que L ER es límite de f cuando x t oo y se escribe

lím f = L, X +OO

4.3.10 Definición. Sea A ~ R y sea f: A t R. i Supóngase que (a, oo) ~A para alguna a ER. Se dice queL ER es límite de

f cuando x t oo y se escribe

También es deseable definir el concepto de límite de una función cuando x t co [o cuando x v;»].

Límites en e! infinito

se ve de inmediato que lím e1fx = oo en el sentido de la definición 4.3.8. x->O +

l/x < e11x para x > O,

b) En el ejemplo 4.3.4 b) se vio que la función g(x) := e1/x para x *O no es tá acotada en ningún intervalo (O, 8), c5 > O. Por tanto, el límite por la derecha de e1/x cuando x t O+ no existe en el sentido de la definición 4.3. l i). Sin embargo, puesto que

y lím (1/x) = oo. x->0-

lím (1/x)=oo x->O+

4.3.9 Ejemplos. a) Sea g(x) := 1/x para x =/= O. En el ejemplo 4.3.6 b) su encontró que lím g no existe. Sin embargo, es un e1· ercicio sencillo demostrar que x-o

si para toda a ER existe O= o(a) >o tal que para Luda X\ ¡\ l'\)11 (1 (' .r. i'i. entoncesf(x) >a [o bien,f(x) <a].

l,IMf'l'l•.S 154

(a) lím (x * n x-1+ X - 1

X (b) lím (x * 1),

x-1 X - 1 X

l. Demostrar el teorema 4.3.2. 2. Dar un ejemplo de una función que tiene un límite por la derecha pero no un

límite por izquierda en un punto. 3. Sea f(x) := .x.112 para x *O. Demostrar que lím f(x) = lím f(x) =+ce.

x--+O+ x~o-

4. Sea e ER y sea que/esté definida parax E(c, ro) y f(x) >O para todax E(c, ro). Demostrar que lím f = ce si y sólo si lím 1/f =O.

x-c x-c 5. Evaluar los siguientes límites o demostrar que no existen.


se sigue que lím (p(x);'g(x)) =a . Puesto que lím g = oo, la afirmación se sigue x~x n x--1-x

del teorema 4.3.15. d) Sea p l_a función polinómica del problema c). Entonces }l,n:,, p = oo [o

bien oo] si n es par [o bien, impar] y ª" > O. Se dejan los detalles al lector.

!1.:.2_ =a +a (2) +···+a (-1 ) +a (2) ( )

n n1 l n1 O n ' g X X X X

Entonces lím p = oo si a > O y lím p = oo si a < O. x+oo n x---lx 11

De hecho, sea g(x) := x" y se aplica el teorema 4.3.15. Puesto que

""(x) :=a x" +a x"1 + · · · +ax+ a ,., n n-1 1 o·

4.3.16. Ejemplos a) lím x" = oo paran EN. X__,'° Sea g(x) := x" para x E (O, <XJ). Dada a E R, sea K := sup {1, a}. Entonces para

111da x > K se tiene g(x) = x" ;:,, x > a. Puesto que a E R es un valor cualesquiera, se sigue que lím g = <XJ.

X__, CO

b) lím x11 = oo paran EN, n par, y lím x" = oo paran EN, n impar. x-.-oo x~-oo

Se tratará el caso den impar, es decir, n = 2k + 1 con k = O, 1, .... Dada a E R, xca K := inf {a, 1 }. Entonces, como (x2)k;:,, 1, para cualquier x < K se tiene x11 = (x2lx ~X< a. Puesto que a ER es arbitraria, se sigue que lím x" = 00,

x---1--:.c

e) Sea p: R--> R la función polinómica

Se le deja al lector la formulación del resultado análogo cuando x--> oo.

1·111 lo 1111110, !!L: 1k111.: (~ L)t.;(x) <f(x) < GL)g(x) para todax >al' de donde se si ¡1,111· de inmediato la conclusión.

l ,;1 demostración del inciso ii es similar. Q.E.D.

157 ¡\f\11'1 11\( 'I( >NJI~ 1ll•'.I,1 'ON\ 'Hl''l'O I >I\ l .IMl'l'I\

Demostración. i Puesto que L > O, la hipótesis indica que existe a1 > a tal que

1 f( X) 3 O < 2L ,;;;; g( x) < 2L para x > a1•

para alguna L ER, L -.:/=O. i Si L > O, entonces lím f = oo si y sólo si lím g = ce,

x-.~ x~oo ii Si L < O, entonces lím f = oo si y sólo si lím g = co.

x-.oo xtoo

lím f(x) = L X-->00 g(x)

4.3J.5 Teorema. Sea.A \:;;; R, sea f: A--> R y suponer que (a, =) \:;;;A para alguna a E R. Suponer además que g(x) > O para toda x > a y que·

El resultado siguiente es un análogo del teorema 3.6.5.

i Iím f = co [o bien, lím f = oo ]; x--..x x-.oo

ii para toda sucesión (x,,) en (a, oo) tal que lím (x11) = =, entonces lím (f(x11))

= ce [o bien, lím (f(xn)) = oo].

FIGURA 4.3.5 lím f = co. x-oo

K(a)

156

5.lJ. Definición. Sea A ~ R, sea f: A > R y sea e EA. Se dice que fes continua en e si, dada cualquier vecindad V¡;(f( e)) de f(c), existe una vecindad V0(c) de e tal que si x es cualquier punto de A n V0(c), entonces f(x) pertenece a Vtlf(c)). (Ver la figura 5.1.1.)

En esta sección, que es muy similar a la sección 4.1, se definirá qué se en tiende al decir que una función es continua en un punto o en un conjunto. Este concepto de continuidad es uno de los básicos del análisis matemático y se usará prácticamente en la totalidad del material subsecuente de este libro. Por consi guiente, es esencial que el lector lo domine.

SECCIÓN 5.1 Funciones continuas

1 :.11 este capítulo se iniciará el estudio de la clase más importante de funciones que surge en el análisis real: la clase de las funciones continuas. Se definirán primero los conceptos de continuidad en un punto y continuidad en un conjunto, y se de mostrará que varias combinaciones de funciones continuas dan lugar a funciones continuas.

Las propiedades fundamentales que hacen tan importantes a las funciones continuas se establecen en la sección 5.3. Por ejemplo, se demostrará que una tunción continua en un intervalo acotado cerrado debe alcanzar un valor máximo y 1111 mínimo. Se demostrará asimismo que una función continua debe asumir todos los valores intermedios a cualesquiera dos valores que adopte. Estas y otras pro piedades no las poseen las funciones en general y, por tanto, distinguen a las fun ciones continuas como una clase muy especial de funciones.

Segundo, en la sección 5.4 se introducirá el concepto importante de continui dad uniforme y se aplicará dicho concepto al problema de obtener aproximaciones de funciones continuas usando funciones más elementales (tales como polinomios). Las funciones monótonas son una clase importante de funciones y poseen sólidas propiedades de continuidad; se analizan en la sección 5.5. En particular, se demos trará que las funciones monótonas continuas tienen funciones inversas monótonas continuas.

FUNCIO.NES CONTINUAS ( 'APiTl 11 ,( J ( '! NCO

14. Seanquefygesténdefiniclasen(a,x)ysupóngaseque lím f=Ly lím g x-~x x--.x = xi. Demostrar que lím f º g =L.

X-¡. X

10. Demostrar el teorema 4.3.14. 11. Terminar la demostración del teorema 4.3.15. 12. Supóngase que Iím f(x) = L, donde L > O, y que lím g(x) = oo. Demostrar

x->c x-c que}~~ f(x)g(x) = O'.J. Si L =O, demostrar por un ejemplo que esta conclusión

no se puede cumplir.

13. Encontrar las funciones f y g definidas en (O, oo) tales que lím f = O'.) y lím g x-+x x--+x

= O'.J, Y líTx (!- g) =O. ¿Puede el lector encontrar dichas funciones con g(x) > O para toda x E (O, x) tal que lím f/g = O?

X---¡. X

6. Demostrar el teorema 4.3.11. 7. Suponer que f y g tienen límites en R cuando x r+ o: y que f(x) ~ g(x) para

toda x E (a, oo). Demostrar que Jíin,, f ~ }Li;n,, g.

8. Sea que f esté definida ele (O, oo) a R. Demostrar que lím f(x) = L si y sólo si lím f(l/x) =L. x _,"' x-+ O+

9. Demostrar que sif: (a, oo)> Res tal que lím xf(x) = L, donde L ER, enton ces lím f(x) =O. x- co

X____, ce

Vx - X (h) lím (x > O).

x--+co rx +x rx - s

(g) lím rr=:": (x > O), x>co VX + 3

(O lím (/x + i ) /x (x > O). x>oc

(e) lím (rx+l")/x (x > 1), x>O

(d) H111 ( 1 1 ~·.1; ./1 ( 1· . o), X ~\'XJ

(e) lím (x + 2)/Vx (x >O), x~o+

l 1.fMl'l'll~

5.1.5 Ejemplos. a) f(x) := bes continua en R. En el ejemplo 4.1.7 a) se vio que si e E R, entonces se tiene ~11}, f = b. Puesto

que f (e)= b, entonces! es continua en todo punto e E R. Por tanto, fes continua en R. b) g(x) := x es continua en R. En el ejemplo 4.1.7 b) se vio que si e E R, entonces se tiene J~ g = c. Puesto

que g(c) = c, entonces ges continua en todo punto.e E R. Por tanto, ges continua en R. c) h(x) := x2 es continua en R. - En el ejemplo 4.1.7 e) se vio que sic ER, entonces se tiene lí.!Jlh = c2. Puesto

que h(c) = c2, entonces hes continua en todo punto e ER. Por tanto, hes continua en R.

d) q:;(x) := l/x es continua en A := {x ER: x >O}. En el ejemplo 4.1.7 el) se vio que si e EA, entonces se tiene J~ tp = l/c. Puesto

que q:;(c) = 1/c, entonces q:; es continua en todo punto e EA. Por tanto, tp es conti nua en A.

e) cp(x) := 1/x no es continua en x =O. De hecho, si q:;(x) = 1/x para x > O, entonces q:; no está definida para x =O, por

lo que no puede ser continua en ese punto. Alternativamente, en el ejemplo 4.1.10 a) se vio que F,!;1¡J'P no existe en R, ele donde q:; no puede ser continua en x =O.

f) La función signo sgn no es continua en O. La función signo se definió en el ejemplo 4.1.1 O b ), donde se demostró tam

bién que lím sgn (x) no existe en R. Por lo tanto, sgn no es continua en x =O (aun X~ (l ) , el f 'el ) cuando sgn (O esta e 1111 a .

Se deja como ejercicio demostrar que sgn es continua en todo punto e -+ O. g) Sea A := R y sea f la "función discontinua" de Dirichlet definida por

f(x) := 1 si x es racional,

:= O si x es irracional.

5.1.4 Criterio de discontinuidad. Sea A (: R, sea f' A > R y sea e EA. Entonces] es discontinua en e si y sólo si existe una sucesión (x,) en A tal que (x,) converge a e, pero la sucesión (f(x")) no converge a f(c).

J ,;1 demostración de este teorema requiere tan sólo ligeras modificaciones en 111~. demostraciones de los teoremas 4.1.6 y 4.1.8. Se dejan los detalles como un ci1·1cicio importante para el lector.

Ll siguiente criterio de discontinuidad es una consecuencia ele la equivalencia 1 li· los incisos i y ii del teorema anterior; se deberá comparar con el criterio de diver /',rncia 4.1.9 a) con L == f(c). El lector deberá escribir en detalle la demostración.

11 ! >111/11 1·1111/1¡1111'/' L _. O, existe una 8 > O tal que para toda x EA con jx el (1, ··11r1111ccs jf(x)- f(c)j <f.

¡¡¡ Sí (x,) es cualquier sucesión de números reales tal que x11 EA para toda 11, N v (x,.) converge a c, entonces la sucesión (f(x,,)) converge a f(c).

1()1 l'l lf\ll '1( INll.S C ! lN'l'IN\ IAS

5.1.3 Teorema. Sea A (: R, sea [: A > R y sea e EA. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes.

i fes continua en e; es decir, dada cualquier vecindad Ve(f(c)) de f(c), existe una vecindad V6(c) de e tal que si x es cualquier punto de A (! V6(c), entonces f(x) pertenece a Vclf(c)).

Se presentan a continuación algunas formulaciones equivalentes de la defini ción 5.1.1.

f5.l.2 Definición. Sea A C R, seaf:A> R. SiB CA, se dice que/ es continua en B si fes continua en todos los puntos de B.

Por tanto, si e es un punto de acumulación de A, entonces para que (1) sea válida se deben satisfacer tres condiciones: i f debe estar definida en e (para que f(c) tenga sentido), ii el límite de f en e debe existir en R (para que lím f tenga sentido) y iii estos valoresf(c) Y)Ln¿f deben ser iguales. x~c

2) Si e EA no es un punto de acumulación de A, entonces existe una vecindad V8(c) de e tal que A n V8(c), = {c }. Así, se concluye que una función/ es continua automáticamente en un punto e EA que no sea un punto de acumulación de A. Estos puntos con frecuencia se llaman "puntos aislados" de A; revisten escaso interés práctico para nosotros, ya que están "lejos de la acción". Puesto que la continuidad es automática para dichos puntos, en general sólo se examinará la conti nuidad en puntos de acumulación. En consecuencia, la condición (1) se puede considerar característica de la continuidad en c.

En seguida se define la continuidad de f en un conjunto.

/(c) = límf x-c

(1)

Observaciones 1) Sic EA es un punto de acumulación de A, entonces una comparación de las definiciones 4.1.4 y 5.1.1 revela que fes continua en e si y sólo si

FIGURA 5.1.1 Dada Ve(f(c)), la vecindad V0(c) se encuentra determinada.

,_.,... T's(c)

e

¡111 NC 'ION 11.H ( 'ON' l 'I Nt Ir\' ltiO

1( Demostrar el teorema 5.1.3. 2(Establecer el criterio de discontinuidad 5.1.4. 3(sea a < b < c. Supóngase que fes continua en [a, b ], que ges continua en

[b, c] y que f(b) = g(~). Definir h en [a, e] por h(x) := f(x) parax E [a, b] Y h(x) := g(x) para x E (b, e]. Demostrar que hes continua en [a, e].

entonces Fes continua en x = O.

X* O, para

F(x)==O

== x sen (1/x)

X= O, para

5.1.7 Ejemplos. a) La función g(x) :=sen (1/x) parax *O (ver la figura 4.1.3 1 11 la página 138) no tiene límite en x = O [ver el ejemplo 4.1.1 O e)]. Po~ ,tanto n? liiiy ningún valor que se pueda asignar en x =O para obtener una extensión contí 1111:1 de gen x =O. ,

b) Seaf(x) := x sen (1/x) para x 'f. O. (Ver Ja figura 5.1.3.) Pues~o que f no esta ikl'iuicla enx =O, la función/no puede ser continua en este punto. Sm embargo, en 1°1 <..:jcm_g)o 4.2.8 f) se vio que J~rl/i (x sen (1/x)) =O. Por lo tanto, de la nota 5.1.6 a) •,L' sigue que si se define F: R-+ R por

Para verlo, obsérvese que si existe Jt!:1 G y es igual a C, entonces J~ g tam l il1·11 existe y es igual a C.

X E A. para

X= C, para G(x) == C

== g(x)

1 1111111c1,;s Fes continua en c. Para verlo basta verificar que Y,!Pc F = L, pero esto es 111111 lutcrcncia (¿por qué?), ya que }f!i),f =L.

11) Si una función g: A ..... R no tiene límite en e, entonces no hay manera de 111 rlrucr una función G: A U {e} + R que sea continua en e definiendo

X E A, para

para F(x) := L

:= f(x)

•1, 1.(1 Observaciones. a) En ocasiones una función/: A ..... R no es continua en 1111111111111 e debido a que no está definida en ese punto. Sin embargo, si la función/

111 111 1l111il1,; t.c« el punto c y si se define F en A U {e}+ R por

l¡illt 1 11lrnt1 r:1 'llll' pura j.r /JI ·,._o, x EA, se tiene llz(x) h(b)I = lh(x)I~ 1/no ~e. 1•111 1111iln /¡ l't: ('011ti1111a <..:11 el número irracional b.

1111 1·uiN·cu<..:ncia, se deduce que la función h de Thomae es continua precisa 11111111' 1·11 los p1111t11s irracionales de A.

1•1 IN< 'H lNli.H ('(IN 1 INll/\S

FIGURA 5.1.2 Función de Thomae.

4 3

2 3

1 3

5 3

.. · 1 7

. . .. . . . . . . . . . . ... . .·· . . . 2

1 2 1 3

Se afirma que f no es continua en ningún punto de U. (1 (:1111 l u11d1111 l uc i11timltll'l1h1 por P.G.L. Dirichlet en 1829.)

De hecho, si ces un número racional, sea (x11) una sucesión de 11(1111m1111

irracionales que converge a c. (El corolario 2.5.6 del teorema de densidad 2.:1, 1

garantiza la existencia de esta sucesión.) Puesto que f(x11) =O para toda 11 EN, 111 tiene lím (f(x,,)) = O, en tanto que /(c) = l. Por lo tanto, f no es continua en 111 número racional c. 'J:f.((f}cuJA.Ji/L

Por otra parte, si bes un número ~, sea (y1) una sucesión de nürncros racionales que converge a b. (El teorema de densidad 2.5.5 garantiza la existcncln de esta sucesión.) Puesto que f(y11) = 1 para tocia n EN, se tiene lím (f(y11)) = 1, l'1I tanto que f(b) =O. Por lo tanto, f no es continua en el número irracional P< !:,.,

Puesto que todo número r~l es racional o irracional, se deduce que f 1H1

es continua en ningún punto de R. ~ RML h) Sea A := {x ER: x >O}. Para cualquier número irracional x >O se define

h(x) :=O. Para un número racional en A de la forma m/n, con los números naturales m, n que no tienen factores comunes excepto 1, se define h(m/n) := 1/n. (Ver 111 figura 5 .1.2.) Se afirma que h es continua en todo número irracional en A y que es discontinua en todo número racional en A. (Esta función fue introducida por K..l. Thomae en 1875.)

De hecho, si a > O es racional, sea (x ) una sucesión de números irracionales 11 •

en A que converge a a. Entonces lím (h(x11)) =O, en tanto que h(a) >O. Por tanto, h es discontinua en a.

Por otra parte, si b es un número irracional y e> O entonces (por la propiedacl de Arquímedes) existe un número natural n0 tal que l/n0 < e. Sólo hay un número finito de racionales con denominador menor que n0 en el intervalo (b - 1, b + 1 ). (¿Por qué?) Por tanto.se puede elegir una o> O tan pequeña que la vecindad (b- o, b + o) no incluya ningún número racional con denominador menor que n0. Se

FlJN( 'HJNl(:i {'llN 111111"11 162

Por lo tanto,¡+ g es continua en c. Las afirmaciones restantes del inciso a) se demuestran de manera similar.

b) Como c EA, entonces h(c) =FO. Pero como h(c) = .Vwch, por el teorema 4.2.4 b) se sigue que

(! + g) (e)= f(c) + g(c) = Jígic (! + g).

Por tanto, del teorema 4.2.4 a) se sigue que

f(c) = lím f y g(c) = Jímg. x-> e

Demostración. Si e EA no es un punto de acumulación ele A, entonces la conclusión es automática. Por tanto, se supone que e es un punto de acumulación de A.

a) Como f y g son continuas en e, entonces

5.2.1 Teorema. Sea A <;;;; R, sean f y g funciones de A a R y sea b ER. Supo- ner que c EA y que f y g son continuas en c.

a) Entonces f + g, f- g, fg y bf son continuas en c. b) Si h: A > R es continua en e EA y si h(x) 4 O para toda x EA, entonces el

cociente f /h es continuo en c.

Sea A ~ R y sean f y g funciones que están definidas de¿ ~ R y sea b E~ En 11.2.3 se definió la suma, la diferencia, el producto y el múltiplo de funciones, denotadas por f + g, f- g, fg, bf Además, si h: A--> Res tal que h(x) * O para toda x EA, entonces se definió la función cociente, denotada por f /h. .

El siguiente resultado es similar al teorema 4.2.4, del cual se denva.

SECCIÓN 5.2 Combinacíones elle funcíones continuas

l I: S<:a /\ . o y sea qut: t. R.-> R cumpla con la condición f(x)f(y): ~ K'x-y: p.ua toda x, y E R. Demostrar que fes continua en todo punto e E R. ,

1 .l/ Supóngase que f: R-. R es continua en R y que j(r) = O para todo numero racional r. Demostrar que f(x) =O para toda x E R.

¡ J'. Definir g: R--> R por g(x) := 2x parax racional, y g(x) := x + 3 para x irracional. Encontrar todos los puntos en los que g es continua.

14. Sea A := (O, co) y sea que k: A >Resté definida como se indic~_ a continua ción. Para x E A, x irracional, se define k(x) := O; para x EA racional Y ele la forma x::: m/n con números naturales m, n que no ti~nen factores c01~unes excepto 1, se define k(x) :::: n. Demostrar que k no esta acotada en todo mter valo abierto de A. Concluir que k no es continua en ningún punto de A.

15. Sea f: (O, 1). R acotada pero tal que}.!fTI f no existe. Demostrar que existen dos sucesiones (x) y (y,,) en (O, 1) con lím (x11) =O::: lím (y), pero tales que lím (f(x)) y lím (f(y,,)) existen pero no son iguales.

1e11\rnlNi\( 'l()Nl•:S 1>11, 111JN('ll)Nli.S ('ONTINU;\S

4. Si x ER, se define [x] como el mayor entero 11 E Z tal que n ~ x. (Así, por ejemplo, [8.3] = 8, [rt] = 3, [rt] = 4.) A la función x ,__. [x] se le llama la función del mayor entero. Determinar los puntos de continuidad de las si guientes funciones: a) f(x) == [xll, b) g(x) == x[xll, e) h(x) == [sen x], d) k(x) == [l/x] (x *O).

s,/ Sea que f esté definida para toda x E R, x =F 2, por f(x) := (x2 + x - 6)/(x - 2). ¿Puede definirse f en x::: 2 de tal manera que f sea continua en este punto?

6! Sea A <;;;; R y sea f: A > R continua en un punto e EA. D~mostrar que para cualquier E> O, existe una vecindad V8(c) de e tal que si x, y EA n V8(c), entonces f(x)- f(y)' < E.

?~ Seaf: R-> R continua en e y seaf(c) >O. Demostrar que existe una vecindad 1 V8(c) de e tal que para cualquier x E ¡.,;5(c) entoncesf(x) >O.

8~ Seaf: R-> R continua en R y sea S := {x E R: f(x) =O} el "conjunto cero" de . f Si (x,,) <;;;; S y x = lím (xn), demostrar que x E S.

9'.i Sea A <;;;; B <;;;; R, sea f: B > R y sea g la restricción de fa A (es decir, g(x) := f(x) para x EA). a) Si fes continua en e EA, demostrar que ges continua en c. b) Demostrar con un ejemplo que si ges continua en e, no se sigue necesaria mente que fes continua en c.

10./ Demostrar que la función valor absoluto f(x) :::: x es continua en todo pun to e ER.

FIGURA 5.1.3 Gráfica de f(x) = x sen (1/x) (x -:/= O).

/

/ /

/ /

/ /

/ /

/

y

lllJN< '11 >NI·.~ ( 'llN l'INll/\11

siempre que sen x *O (es decir, siempre quex =I= nn, n EZ). Puesto que sen y cos son continuas en R, por la observación 5.2.3 se sigue que la función cot es con

sen x cot x := COS X

I'or lo tanto, cos es continua en c. Puesto que c ER es un valor cualesquiera, se sigue que coses continua en R. [De otra manera, se podría usar la relación cos x = sen (x + n/2).]

e) Las funciones tan, cot, sec, ese son continuas en donde están definidas. Por ejemplo, la función cotangente está definida por

leos x - cos el~ 2 · l · tic xi = [x el.

l'or tant,p¡.¡; si e E R, se tiene entonces

[sena] ~ [z], [senz] ~ 1,

cos x - cos y = 2 sen (t ( x + y)] sen [ t( y - x)] .

l'or In tanto, sen es continua en c. Puesto que e e R es un número cualesquiera, se 1111'.111..: que sen es continua en R.

el) La función coseno es continua en R. Se hace uso de las siguientes propiedades de las funciones seno y coseno que

rin demostrarán más adelante. Para toda x, y, z ER se tiene

[senx sen el ~ 2 · ilx - el · l = lx el.

l'rn 1:111to, si e ER, se tiene entonces

[senz] ~ lzl, leos z] ~ 1,

sen x - sen y = 2sen [ t( x - y)] cos [ t{ x + y)] .

l'1111l111s palabras, res continua en c. Puesto que e es un número real cualquiera _ 1¡i11• 1111 1..:s raíz de q, se infiere que una función racional es continua en todos los

11111111'/'0,\' reales para los que está definida. 1·) Se demostrará que la función seno sen es continua en R. 1'11ra ello se hace uso de las siguientes propiedades de las funciones seno y

, w1rno que se demostrarán en el capítulo 8. Para toda x, y, z ER se tiene:

p(c) p(x) r(c) = = lím = lím r(x). q(c) x->cq(x) x-+c

167 ( '()M!ilNA< 'IONHS DI\ FUN< 'IONi\S CON'i'INU/\S

En el ejemplo 4:2.5 g) se vio que si q(c) * O, entonces

p(x) r(x) :=

q(x)

5.2.4 Ejemplos. a) Funciones polinómicas. Si pes una función polinómica, de tal modo que p(x) = a x" + a x11,1 +

n 111 ·: · + a 1x + a0 par~ toda x E R, entonces por el ejemplo 4.2.5 f) se sigue que p(g) = lím p para cualquier e ER. Por tanto, una función polinómica es continua e~ R~

b) Funciones racionales. Si p Y q son funciones polinómicas en R, entonces existe a lo sumo un número

finito al' ... , am de raíces reales de q. Six ~ { a1, ••. , am} entonces q(x) =I= O, de tal modo que se puede definir la función racional r por

Si cp es continua en un punto e EA1, es evidente que Ja restricción cp de cp aA también es ' l 1

contmua en c. Porlo tanto, por el teorema 5.2.11 b) aplicado a cp1 se sigue quefjcp1 es continua en e EA1. Pu.es'.º qu~ (f/cp)(x) = (f/~1)(x) parax EA!' se sigue que f¡¡p es continua en e EA1.

De ma~era similar, si f y cpson contmuas en A, entonces la funciónf/cpdefinida enA1 por r) es continua en A 1.

para x E A1. ( !_)(x) := J(x) cp cp(x)

(*)

5.2.3 Observación. Para definir cocientes, en ocasiones resulta más conveniente proce~er de la siguiente manera. Si cp:A-> R, sea A 1 := {x EA: <P(x) * O}. Elcociente fj<,o en el conjunto A1 se puede definir por .

5.2.2 Teorema. Sea A C R, sean f y g funciones de A a R y sea b E R. a) Las funciones f + g, f - g, fg y bf son continuas en A. b) Si h: A > R es continua en A y h(x) =I= O para x EA, entonces el cociente

f /h es continuo en A.

El siguiente resultado es una consecuencia inmediata del teorema 5.2.1, apll· cado a todos los puntos de A. Sin embargo, puesto que se trata de un resultado de suma importancia, se enunciará formalmente.

Q.H.J), Por lo tanto, el cociente f/h es continuo en c.

f (e) h

l'UNCiONHS < '( lN'l'IN\ IAtl ]66

\

para toda x, c ER. Por tanto, g1 es continua en c E R. ~i f: .A > R es cualquier función que es continua en A, entonces el teorema 5.2.8 implica que g1 º f = lfl es continua en A. Esto proporciona otra demostración del teorema 5.2.5 ..

b) Sea g (x) := .J.X para x ~O. Por los teoremas 3.2.10 y 5.1.3 se s1g~e que g2

~s continua e2n cualquier número c ~ O. Si/: A--> Res continua en A Y si f(x) .~ O para toda x EA, entonces por el teorema 5 .2.8 se sigue que g2 º f = .ff es· continua en A. Esto proporciona otra demostración del teorema 5.2.6. . .

e) Sea g3(x) :=sen x para x ER. En el ejemplo 5.2.4 e) se v10 que g3 ~s conti nua en R. Sif: A--> R es continua en A, entonces por el teorema 5.2.8 se sigue que g3 ºfes continua en A. . , .

En particular, sif (x) := l/x para x =/= O, entonces la función g(x) :=sen (l/x) es continua en todo punto c *O. [Se vio ya, en el ejemplo 5.1.7 a), que g no se puede definir en O a fin de hacerla continua en ese punto.]

! '

5.2.9 Ejemplos. a) Seag1(x) := lxl parax ER. Por la desigualdad del triángu lo (ver el corolario 2.3.4) se sigue que

Los teoremas 5.2.7 y 5.2.8 son muy útiles al establecer que ~iertas fu~1ciones son continuas. Se pueden usar en situaciones en las que resultana complicada la nplicacíón directa de la definición de continuidad.

FIGURA 5.2.1 La composición de f y g.

e B A

g f

11

( '! IMl\iNi\C'IONllS 1)1•, l•llN( 'IONl'.S ('!lN'l'INlJ/\S

Demostración. El teorema es consecuencia inmediata del resultado anterior, si/ y g son continuas en todo punto de A y B, respectivamente. o.E.D.

5.2.8 Teorema. Sean A, B i:;;; R, sea f' A > R continua en A y sea g: B > R continua en B. Si f(A) i:;;; B, entonces la función compuesta g 0 ['A--> Res continua en A.

Demostración. Sea Wuna vecindade de g(b). Puesto que ges continua en b, existe una vecindadó V de b = f(c) tal que si y E B n V entonces g(y) E W. Puesto que fes continua en c, existe una vecindady U de c tal que si x EA n U, entonces f(x) E V. (Ver la figura 5.2.1.) Puesto que f(A) i:;;; B, se sigue que si x EA n U, entonces f (x) E B n V, de modo que g 0 f(x) = g( f (x)) E' W. Pero como W es una vecindade cualesquiera de g(b), esto indica que g ºfes .xmtinua en c. o.E.D.

5.2. 7 Teorema. Sean A, B i:;;; R y sean [tA > R y g: B--> R funciones tales que f(A) i:;;; B. Si fes continua en un punto e E A y g es continua en b = f(c) EB, entonces la composición g 0 ¡-A > R es continua en c.

Composición de funciones continuas

Se demostrará ahora que si la función f: A > R es continua en un punto c y si g: B--> Res continua en b = f(c), entonces la composición g 0 fes continua en c. Para tener la seguridad de que g 0 f está definida en la totalidad de A, también es necesario suponer que f(A) i:;;; B.

Demostración. Esta es una consecuencia inmediata del ejercicio 4.2.14. Q.E.D,

5.2.6 Teorema. Sea A i:;;; R, sea ]: A-> R y sea f(x) ~ O para toda x EA. S(• hace que .ff esté definida para x EA por ( Ji)(x) := '1}(x).

a) Si fes continua en un punto c EA, entonces ,/fes continua en c. b) Si fes continua en A, entonces .ff es continua en A.

Demostración. Esta es una consecuencia inmediata del ejercicio 4.2.13. o.u.n,

5.2.5 Teorema. Sea A i:;;; R, sea fi A:+ R y sea que lfi esté definida pam .1· 1 ;\

por lf 1 (x) := lf(x)I. a) Si fes continua en un punto e EA, entonces lf 1 es continua en c. b) Si fes continua en A, entonces lfl es continua en A.

tinua en su dominio. Las demás funciones trigo110111cl rlrn:1 :a· 11 :11 :111 de 111il1H1111 similar.

J.'tJN( 'IONJl.S < '! )N'l'INI 1,\ 1 168

t Este teorema, así como el 5.3.4, se cumplen para un conjunto· acotado cerrado cua lesquiera. Para otros desarrollos, ver las secciones 10.2 y 10.3.

Por lo tanto, el supuesto de que la función continua f no está acotada en el intervalo acotado cerrado I lleva a una contradicción. Q.E.D.

para rE N. \

Demostración. Supóngase que f no está acotada en/. Entonces, para cual quier n EN existe un número x El tal que lf(x )1 > n. Puesto que I está acotado, la ~ n n , sucesi"tfn X:= (x,,) está acotada. Por lo tanto, por el teorema de BolzanoWeíerstrass J.4.7 se sigue que existe una subsucesiónX' = (x,,1) de X que converge a un número x. 'Puesto que J es cerrado y los elementos de X' pertenecen a I, por el teorema 3.2.6 se sigue que x E l. Por tanto, fes continua en x, por lo que (f(x,,r)) converge a f(x). Se concluye entonces por el teorema 3.2.2 que la sucesión convergente (f(x,,r)) debe estar acotada. Pero esta es una contradicción, ya que ¡

5.3.2 Teorema de acotabilidad! Sea J :=[a, b] un intervalo acotado cerrado l' sea f' I-> R continua en J. Entonces f está acotada en J .

En otras palabras, una función está acotada si su codominio es un conjunto acotado en U. Se hace notar que una función continua no está acotada necesariamente. Por ejemplo, la luución j'(x) := l/x es continua en el conjunto A:::: {x ER: X> O}. Sin embargo,fno está Jl\'<Jl;1da en A. De hecho,f(x) = l/x ni siquiera está acotada cuando se restringe al conjunto 11 := {x ER: O < x < l}. Sin embargo, f(x) = 1/x está acotada cuando se restringe al runjunto e:= {x ER: 1 ~ x}, aun cuando el conjunto e no está acotado.

5.3.1 Definición. Se dice que una función f: A > R está acotada en A si 11¡¡istc una constante M >O tal que lf(x)I ·~ M para toda x EA.

1 .as funciones que son continuas en intervalos tienen varias propiedades im ¡1111 l1111Lcs que no poseen las funciones continuas en general. En esta sección se 1'11i11blccerán algunos resultados bastante profundos que son de considerable im pnrlancia y que se aplicarán más adelante.

SECCIÓN 5.3 Funciones continuas en intervalos

I ''· So1111 [. ¡.¡: R ~>U continuas en un punto e, y sea h(x) := sup {f(x), g(x)} para 1 ' R. lk11wstrar que h(x) = i(f(x) + g(x)) + i!f(x) - g(x)I para toda x ER. lJN11r este hecho para demostrar que hes continua en c.

111. Sen / := 1 a, /J) y sea que f: I--> R esté acotada y sea continua en J. Se define g: !-•U por g(x) := sup {f(t): a e: t ~ x} parax El. Demostrar que ges continua (;11 /.

1 ·11 i'1 INC 'H )l\IH8 ( '(JN'l'INUAS l(N JN'l'l(IW/\1,0S

X

d/k(x) := cos .,¡¡+;2 (x E R).

2! Demostrar que si f: A > R es continua en A k R y si n EN, entonces la función j'" definida por r(x) ::;;: (f(x))" para X EA es continua en A.

3( Dar un ejemplo de funciones f y g que sean discontinuas en un punto c de R tales que: a) la sumaf + g sea continua en c, b) el producto fg sea continuo en c.

4. Sea que x >> [x] denote la función del mayor entero (ver el ejercicio 5.1.4). Determinar los puntos de continuidad de la función f(x) ::;;: x - [x], x E R.

s( Sea que gesté definida en R por g(l) ::;;: O y g(x) := 2 si x * 1, y seaf(x) := x + 1 para toda x E R. Demostrar que lím g 0 f * (g º!)(O). ¿Por qué este hecho no contradice el teorema 5.2.7? x-->c

6! Sea que f, g estén definidas en R y sea e E R. Supóngase que lím f = b y que· ges continua en b. Demostrar que lím g 0 f = g(b ). (Compar~; este' resultado

x-->c con el teorema 5.2.7 y con el ejercicio anterior.)

71 Dar un ejemplo de una funciónj: [O, 1 J> R que sea discontinua en todos los .;punt0s de [O, .1] pero tal que !f i s~a continuo en [O, 1].

8. Sean/, g contmuas de R a R y supongase que f(r) = g(r) para todos los núme ros racionales r. ¿Es verdadero que f(x) = g(x) para toda x E R?

9. Sea h: R-> Runa función continua en R que satisface h(m /2") =O para toda m E Z, n EN. Demostrar que h(x):;;: O para toda x E R.

10! Seaf: R-> R continua en R y sea P := {x ER: f(x) >O}. Sic EP, demostrar /que existe una vecindad V0(c) k P. ( FJt.~. 5.'1.7') ,

11. Sif y g son continuas en R, sea S := {x ER:f(x) ~ g(x)}. Si (s") k S y lím (s11)

= s, demostrar que s E S. 12. Se dice que una funciónf: R--> Res aditiva sif(x +y)= f(x) + f(y) para toda

x, Y .en R. Demostrar que si fes continua en algún punto x0, entonces es contmua en todos los puntos de R. (Ver el ejercicio 4.2.12.)

13. Supóngase que/ es una función aditiva continua en R. Si e:= f(l), demostrar que se tiene f(x) =ex para toda x ER. [Sugerencia: Demostrar primero que si res un número racional, entoncesf(r) = cr.]

14. Sea que g: R-> R satisfaga la relación g(x +y)= g(x)g(y) para toda x, y en R. Demostrar que si ges continua en x = O, entonces g es continua en todos los puntos de R. Asimismo, si se tiene g(a) =O para alguna a ER, entonces g(x) =O para toda x ER.

(x *O),

)/ ( ) x2 + 2x + 1 a f X := (x E R), x2 + 1

b)/g(x) := ,¡;+!; (x ;;;, O),

c(h(x) := VI+ lsenxl

l. Determinar los puntos de continuidad de las siguientes funciones e it1dl1•111 los teoremas que se usan en cada caso.

Ejercidos de la sección 5.2

1.'UN('IC >Nl\S ( '( >N'l'INt IMI 170

Puesto que I está acotado, la sucesión X := (x11) está acotada. Por lo tanto, por el teorema de BolzanoWeiersrrass 3.4.7, existe una subsucesión X' := (x11,.) de X que converge a un número x*. Puesto que los elementos de X' pertenecen a I::: [a, b ¡,

n para n EN. s" <f(x,,) ,;;;; s" ( #)

l

Demostración. Considérese el conjunto no vacío f(I) := {f(x): x E!} de los valores de f en l. En el teorema 5.3.2 anterior se estableció que f(l) es un subconjunto acotado de R. Seas* := sup f(l) y s * := inf /(!).Se afirma que existen Jos puntos x"' y x* en I tales que s" = f(x*) y s, = f(x,J. Se establecerá la existencia del punto x", dejando al lector Ja demostración de Ja existencia de x*.

Puesto que s* = sup f(I), sin EN, entonces el números* l/n no es cota superior del conjunto f(I). Por consiguiente, existe un número x11 E I tal que

5.3.4 Teorema del máximomínimo. Sea I :== [a, b] un intervalo acotado cerrado y sea f' I-> R continua en l. Entonces f tiene un máximo absoluto y ttn mínimo absoluto en l.

Se ve de inmediato que si una función tiene un punto máximo absoluto, c11 ronces este punto no se encuentra determinado necesariamente de manera única. l'or ejemplo, la función g(x) := x2 definida para x EA:= [1, +1) tiene dos puntos r = ±1 que producen un máximo absoluto en A y el punto único x =O que produce su mínimo absoluto en A. (Ver Ja figura 5.3.2.) Para citar un ejemplo extremo, la (unción constante h(x) := 1 para x ER es tal que todo punto de R es tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto de f.

FIGURA 5.3.2 La función g(x) = x2 (lxJ ::o; 1).

1 1

11 \ 111111 /( >N/1'1 e 'ON /'INllt\~, 1 N IN 11 l<V/\ 1 ( JS

FIGURA 5.3.1 La función f(x) = l/x (x > O).

2 1

Se hace notar que una función continua en un conjunto A no necesariamente tiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto en el conjunto. Por ejemplo, f(x) := 11x no tiene ni

.. . . .. • I un maximo ll! un rrnmmo absoluto en el conjunto A := {x E R: x >O}, (Ver Ja figura 5.3.1.) No pued~ ha~er un máximo absoluto para[ en A porque f no está acotada por arriba en A, y no hay nmgun punto en el que f asuma el valor O = inf {f(x): x EA}. La misma función tampoco tiene un máximo ni un mínimo absoluto cuando se restringe al conjunto {x ER: O < x < 1}, en tanto que tiene ambos, un máximo absoluto y un mínimo absoluto cuando se restringe al conjunto {x E R: 1 ;;;;: x.;:; 2}. Además, f(x) = l/x tiene un máximo absoluto pero no u? mínimo absoluto cuando se restringe al conjunto {x ER: x ~ 1 }, aunque no tiene un máx11110 absoluto ni un mínimo absoluto cuando se restringe al conjunto {x ER: x > 1}.

Se, d.ice que x* es un punto máximo absoluto de f en A y que x* es un punto mmimo absoluto de f en A si existen.

f (X*) ;;;, f (X) para toda X E A.

5.3.3 Definición. Sea A C R y seaf: A-> R. Se dice q11l' ¡ thue un máximo absoluto en A si existe un punto x* E A tal que

f(x*) ~f(x) para toda x EA.

Se dice que f tiene un mínimo absoluto en A si existe un punto x , EA tal que

FllNC'IONJ:S < '<JN 1INl11\'• 172

En el siguiente teorema se resumen los principales resultados de esta sección. Establece que la imagen de un intervalo acotado cerrado bajo una función continua también es un un intervalo acotado cerrado. Los puntos terminales del intervalo de la imagen son los valores mínimo absoluto y máximo absoluto de la función, y la enunciación de que todos los valores entre los valores mínimo absoluto y máxi

Q.E.D.

inff{I) =f{c*).,,;;; k ..;;;f(c*) = supf(I). Entonces la conclusión se sigue del teorema 5.3.6.

Demostración. Por el teorema del máximomínimo 5.3.4 se sigue que existen los puntos c * y c* tales que

entonces existe un número c E I tal que f(c) = k.

inff(I).,,;;; k «; supf(l),

5.3.7 Corolario. Sea 1 := [a, b] un intervalo acotado cerrado y sea f: > R continua en J. Si k ER es cualquier número que satisface

Demostración. Supóngase que a< by sea g(x) := f(x)-k; entonces g(a) <O< g(b). Por el teorema de localización de raíces 5.3.5 existe un punto e con a< e< b la! que O= g(c) = f(c) - k. Por lo tanto, /(c) = k.

Si b <a, sea h(x) := k-f(x) de modo que h(b) <O< h(a). Por lo tanto, existe un punto e con b < c <a tal que O= h(c) = k- /(c), de donde /(c) = k. Q.E.D.

5.3.6 Teorema del valor intermedio de Bolzano. Sea 1 un intervalo y sea f: l > R continua en 1. Si a, b E 1 y si k E R satis/ a ce f (a) < k < f( b ), entonces existe 1111 punto c E I entre a y b tal que f(c) = k.

El siguiente resultado es una generalización del anterior. Garantiza que una íunción continua en un intervalo asume (al menos una vez) cualquier número que esté entre dos de sus valores.

l'm otra parte.puesto que /(/3,,) ;;,, O para toda n EN, por el teorema 3.2.4 se sigue q110f(c) = lím (f(/3));;,, O. Asimismo, puesto quef(an) ~O para toda n EN, por rl mismo resultado (aplicado a!) se sigue que /(c) = lím (f(an)) ~ O. Por lo üuuo, se debe tener que f(c) =O. Por consiguiente, ces una raíz de f Q.E.D.

, 11• · ':/ rv (µa)¡2111 y0~/3 -c~/3 -a =(/3a)¡2n1.Sesigue, 11 /- 11 11 ' n n n • .

po1 tanto, que e= lím (a11) y c = lím ((311). Puesto que fes continua en c, se tiene

1•1/Í'I( 'IONil.S { 'ON'llNU/\S l~N IN'IERV/\1.US

Si este proceso termina al localizar un punto Yn tal que f(y11) = O, la demostración se completa. Si el proceso no termina, se obtiene una sucesión anidada de interva los acotados cerrados !11 = [ a11, {311], 11 EN. Puesto que estos intervalos se encuen tran por un proceso de bisección repetida, se tiene (Jn - a,,= ({3- a)/2"1. Por la propiedad de los intervalos anidados 2.6.1 se sigue que existe un punto e que per tenece a /11 para toda 11 EN. Puesto que an ~ e ~ (311 para toda n EN, se tiene O~

y

Demostración. Se supone que f( a) <O < f(f3). Sea /1 := [a, {3] y y:=~( a+ /3). Sif(y) =O se toma c :=y y se termina la demostración. Sif(y) >O se hace a2

:=a, /32 :=y, en tanto que sif(y) <O se hace a2 :=y, {32 := {3. En cualquiera de los dos casos se hace 12 := [ a2, {32], de donde/( a2) < O y /(/32) > O. Se continúa este proceso de bisección.

Supóngase que los intervalos /1, 12, •.• , Ik := [ ak, f3k] se han obtenido por bisección sucesiva y que son tales quef(ak) <O y f(f3k) >O. Sea yk := Kak + f3k). Si f ( yk) = O, se toma c : = yk y se termina la demostración. Si f( yk) > O se hace a k + 1 := ak, (Jk + 1 := yk, en tanto que sif(yk) <O se hace ak + 1 := Y» (Jk + 1 := f3k. En cualquiera de los dos casos se hace Ik+ 1 := [ak + 1' f3k + 1] de donde

5.3.5 Teorema de localización de raíces. Sea 1 un intervalo y sea f' 1--> R continua en 1. Si a< f3son números en I tales quef(a) <O <f(/3) (o tales que f (a) > O > f ( /3) ), entonces existe un número c E (a, /3) tal que f ( c) = O.

El siguiente resultado proporciona la base para la localización ele las raíces de funciones continuas. La demostración presentada proporciona asimismo un algoritmo para el cálculo de la raíz y se puede programar con facilidad en una computadora. Otra demostración de este teorema se indica en el ejercicio 5.3.8.

Q.E.D. Se concluye que x* es un punto máximo absoluto de f en J.

f(x*) =Iím (f(x11)) = s* = supf(I).

por el teorema ele compresión 3.2.7 se concluye que lím (f(x,,,.)) = s*. Se tiene por lo tanto

1 s*--<J(xn).,,;;;s* para rEN, n, ,

por el teorema 3.2.6 se sigue que x* E J. Por lo tanto, /i..:s co111 luun i..:11 x'", de 111od11 que lím f(xn,)) = f(x*). Puesto que de(#) se sigue que

FU NC'ION HS ( 'ON'l'I N 1 J/\I 174

Demostración. Se supondrá que S tiene al menos dos puntos. Hay cuatro casos principales que se deben considerar: i S está acotado, ii S está acotado por arriba pero no por abajo, iii S está acotado por abajo pero no por arriba y iv S no está acotado ni por arriba ni por abajo.

i Sean a := inf S y b := sup S. Sis ES, entonces a ~ s ~ b de tal modo que s E [a, b ]; puesto que s ES es algún valor, se concluye que S ~ [a, b].

Por otra parte, se afirma que (a, b) e S. Porque si z E (a, b), entonces z no es cota superior ele S y, por tanto, existe x ES con x < z. Además, z no es cota superior de S, por lo que existe y ES con z <y. Por consiguiente, z E [x, y] y la propiedad(*) indica que z E [x, y] e s. Puesto que z es un elemento cualesquiera ele (a, b), se deduce que (a, b) CS.

Si a ,,;S y b ,,;S, entonces se tiene S =(a, b); si a ,,;S y b ES se tiene S = (n, b]; si a ES y b ,,; S se tiene S = [a, b ), y si a ES y b ES se tiene S = [a, b].

Entonces S es un intervalo.

entonces [x, y] CS. si X, y ES y X < y, (*)

5.3.9 Lema. Sea S C R un conjunto no vacío con la propiedad

Para demostrar el teorema de preservación de intervalos 5.3.10, es necesario el siguiente lema para caracterizar intervalos.

imagen continua de un intervalo también es un intervalo no se cumple que el inter valo de la imagen tiene necesariamente la misma forma que el intervalo del domi uio. Por ejemplo, la imagen continua de un intervalo abierto no es necesariamente un intervalo abierto y la imagen continua ele un intervalo cerrado no acotado no es necesariamente un intervalo cerrado. Sif(x) := l/(x2 + 1) para x ER, entonces! t:s continua en R [ver el ejemplo 5.2.4 b )]. Es fácil ver que si /1 := (1, 1 ), entonces /'(11) = (t 1], que no es un intervalo abierto. Asimismo, si 12 :=(O, oo), enton ces f(f 2) =(O, 1], que no es un intervalo cerrado. (Ver la figura 5.3.4.)

FIGURA 5.3.4 Gráfica def(x) = l/(x2 + 1) (x ER).

17'/ i1ill ll 'll>l\JJl,S ('ON'l'l~llJAS l\N INTl\IWALOS

FIGURA 5.3.3 f(I) = [m, M].

b * X a x.

m

f (a)

f (b)

M------------------

El teorema anterior es un teorema "de preservación" en el sentido de que establece que la imagen continua de un intervalo acotado cerrado es un conjunto del mismo tipo. El siguiente teorema extiende este resultado a intervalos genera les. Sin embargo, se deberá tener presente que aun cuando se demuestra que la

Atención. Si I := [a, b] es un intervalo y f: I-> R es continua en J, se ha demostrado que f(/) es el intervalo [ m, M]. No se ha demostrado (y no siempre se cumple) que f(I) es el intervalo [ f(a),f(b)]. (Ver la figura 5.3.3.)

Demostración. Si se hace m := inf f(I) y M := sup f(l), entonces por el teore ma del máximomínimo 5.3.4 se sabe que m y M pertenecen a f(!). Además, su tiene f(/) C [m, M]. Por otra parte, si k es cualquier elemento de [ m, M], entonces por el corolario anterior se sigue que existe un punto e El tal que k = f(c). Por tanto, k Ef'(I) y se concluye que [m, M] C f(l). Por lo tanto, f(l) es el intervalo [m, M].

Q.E.D.

5.3.8 Teorema. Sea l un intervalo acotado cerrado y sea [: Tr+ R continua 1•11

l. Entonces el conjunto f(I) := {f(x): x El} es un intervalo acotado cerrado.

mo absoluto pertenecen a la imagen es una manera do tlv:111ti111 l'i tcurcn 1¡1 dvl valor intermedio de Bolzano.

lllJN( 'IONl(S ( '()N'l'll'll 11\ ¡ l /(1

y, por tanto, se puede elegir O(c, u):= c/2 para toda e> O, u ER. (¿Por qué?)

lf(x) - f(u)I = 2lx u],

~ Sea A ~ R y sea f: A-> R. Por el teorema 5.1.3 se ve de inmediato que los 111¡·,~ icntes er'1nciados son equivalentes:

fes continua en todo punto u EA; ii dada e> O y u EA, existe una 8(€, u)> O tal que para toda x tal que x EA

\' Ir ul < 8( €, u), entonces 1 f(x) - f(u)I < c. El punto que se quiere subrayar aquí es que 8 depende, en general, tanto de

r ·O como de u EA. El hecho de que o depende de u es un reflejo del hecho de que 111 runciónfpuede cambiar sus valores con rapidez cerca de determinados puntos Y ron lentitud cerca de otros. [Por ejemplo, considérese f (x) :=sen (1/x) para x > O; ver la figura 4.1.3.]

. Ahora bien, ocurre con frecuencia que la función fes tal que el número 8 se puede elegir de tal modo que sea independiente del punto u EA y que dependa tan ·ltlo de c. Por ejemplo, si f(x) := 2x para toda x E R, entonces

SECCIÓN 5.4 Continuidad uniforme

1J ~~1·11 l : [u, 11/.~I y sea q11ef: /->U esté definida por/(x) := sup {x2, cosx} ¡ 111111 1 , J. lk111oslrnr que existe un punto mínimo absoluto x0 El para f en l. 1 >r111os!rnr que x11 es una solución de la ecuación cos x = x2•

111,1 S11p1'n1gase quc j: R-> Res continua en R y que xUi:1"'Í~? Y }~n;,_f = 0. 1 k111oslrar que f está acotada en R y que se alcanza un rnaximo, o bien, un iuiuimo en R. Dar un ejemplo para demostrar que no necesariamente se al c¡111/.:t tanto un máximo como un mínimo.

111• S1,;a [: R-+ R continua en R y sea f3 ER. Demostrar que si x0 ER es tal que .f'(x11) < {3, entonces existe una vecindad8 U de x0 tal que f(x) < /3 para toda xEU.

1 .'. Examinar qué intervalos abiertos [o bien, cerrados] son mapeados por f(x) := x 2 para x E R en intervalos abiertos [o bien cerrados].

1 \. Examinar el mapeo de intervalos abiertos [o bien, cerrados] bajo las funcio ncs g(x) := 1/(x2 + 1) y h(x) := x3 para x ER.

l · I. Si f: [O, 1] -+Res continua y sólo tiene valores racionales [o bien, irracionales], ¿la función f debe ser constante?

15. Sea/:= [a, b] y sea f: />Runa función (no necesariamente continua) con Ja propiedad de que para toda x E/, la función f está acotada en una vecin dad V0x(x) de x (en el sentido de la definición 4.2.1 ). Demostrar que f está acotada en l.

16. Sea J := (a, b) y sea g: J-> R una función continua con la propiedad de que para toda x E J la función g está acotada en una vecindad V ¡¡/x) de x. Demos trar que g no está necesariamente acotada en J.

¡•¡1¡ ( '( H l i'INilil l/\1 l \/NIH lit MI'


1/ Sea I :::: [a, b] ~ sea f: I-+ R una función continua tal que f(x) > O para toda x en l. Demostrar que existe un número a> O tal que f(x) ~ a para toda x E/,

2! Sea I : = [a, b] y sean f: I-+ R y g: I-+ R funciones continuas en/. Demostrar que el conjunto E := {x E!: f(x) = g(x)} tiene la propiedad de que si (xn) ~ E y x,, > x0, entonces x0 E E.

3. Sea I := [a, b] y sea f: 1-> R una función continua en 1 tal que para cada x en I existe y en I tal que lf(y): ~ N(x)'. Demostrar que existe un punto e en I tal quef(c) =O. .

4. Demostrar que todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.

5. Demostrar que el polinomio p(x) := x4 + 7x3 9 tiene al menos dos raíces reales. Usar una calculadora para localizar estas raíces con dos cifras decima les de precisión.

6! Sea f continua del intervalo [O, 1] a R y tal que f(O) = f(l ). Demostrar que existe un punto e en [O, H tal quef(c) = f(c + n. [Sugerencia: Considerar g(x) = f(x)- f(x + i).] ConclÚir que existen, en cualquier momento, puntos antípo

J das en el ecuador terrestre que tienen la misma temperatura. 7. Demostrar que la ecuación x = cos x tiene una solución en el intervalo [O,

n-/2l Usar el procedimiento de bisección usado en la demostración del teore ma de localización de raíces y una calculadora para encontrar una solución

/aproximada de esta ecuación, con dos cifras decimales de precisión. 8. Sea I :=[a, b], seaf: I-> R continua en I y s.eanf(a) <O, f(b) >O. Sea W :=

{x E!: f(x) < O} y sea u! := sup W. Demostrar que f(u~ = O. (Este resultado proporciona otra demostración del teorema 5.3.5.)

Demostración. Sean Cl', f3 E/(I) con Cl' < [3; entonces existen los puntos a.l: El tales que Cl' =/(a) y f3 = f(b). Además, por el teorema del valor intermedio dt• Bolzano 5 .3.6 se sigue.que si k E (a, [3), entonces existe un número e E I con k /(e) E f(/). Por lo tanto( [a, [3] ~ f(I), demostrándose así que f(J) posee la propio dad (*)del lema anterior. Por lo tanto,/(/) es un intervalo. Q.12.11.

5.3.10 Teorema de preservación de intervalos. Sea I un intervalo y sea j'.· I + R continua en J. Entonces el conjunto f(I) es un intervalo.

ii Sea b := sup S. Sis ES, entonces s · /J, prn 111(111!'111• d1•l w 11·111·1 Se,( 1t11/i1 Se afirma que (oo, b) ~S. Porque, si z E (oo, h), c:I 1111n1111111ie11l11 dudo 1111 l

indica que existen x, y ES tales que z E [x, y] ~S. Por lo 1¡11110, ( ca, /1) ~ ,\'. Si b ~ S, entonces se tiene S = (oo, b ); si b ES se tiene S = (oo, b J. iii Sea a := inf S y se aplica un razonamiento similar al de ii. En este caso N1

tiene S =(a, co) si a ~S, y S =[a, oo) si a ES. iv Si z e R, el razonamiento empleado antes indica que existen x, y ES 11i111t~

que z E [x, y]~ S. Por lo tanto R ~ S, de modo que S = (oo, oo). Por tanto, en cualquiera de los casos anteriores Ses un intervalo. o.u.u

l<IJN< 'l<)Nt\:l ('(!1'4111111 \ l'/H

Es evidente que si fes uniformemente continua en A, entonces es continua en todo punto de A. Sin embargo, en general el recíproco no es verdadero, como lo muestra la función g(x) := l/x en el conjunto A := {x ER: x >O}.

5.4.l Definición. Sea As R y seaf:A+ R. Se dice quef es uniformemente continua en A si para cada E > O existe una 8(r) > O tal que si x, u EA son números cualesquiera que satisfacen lx ui < o(r), entonces lf(x) - f(u)I <E.

La situación se presenta gráficamente en las figuras 5.4.1y5.4.2, donde para una vecindadE dada alrededor de f(2) = ! y de JG) = 2 se ve que los valores máxi mos correspondientes de 8 son considerablemente diferentes. Cuando u tiende a O, los valores permitidos de 8 tienden a O.

El lector atento habrá observado que hay otras selecciones de 8 que se pueden hacer. (Por ejemplo, también se podría haber tomado 81(e, u) := inf Hu, ju2e}, como el lector puede demostrar; sin embargo, se seguirá teniendo inf { 81(e, u): u> O} =O.) De hecho, no hay forma de elegir un valor de 8 que "funcionará" para toda u > O para la función g(x) := l/x, como se verá.

- uj < o y x, u EA. Se hace notar que el valor de O(e, u) dado en (2) depende sin lugar a dudas del punto u EA. Si se quisiera considerar toda u EA, lafórmula (2) no lleva a un valor 8(€) >O que "funcionará" simultáneamente para toda u> O, ya que inf { o(r, u): u > O} =O.

FIGURA 5.4.2 g(x) = l/x (x >O).

~ Veci'lliÍado

Vecindade{ 2 1--1-+a.

IHI <'ONTINlllDAI> lJNll'ORME

Se ha visto que la selección de 8(t:, u) por la fórmula (2) "funciona" en el sentido de que nos permite dar un valor de 8 que asegurará que lg(x)- g(u): <€cuando ¡x

jg(x) g(u)I < (2/u2)(iu2t:) =E.

Por consiguiente, si lx ul < 8(t:, u), la desigualdad (3) y la definición (2) indi can que

lg(x) g(u)J.:;; (2/u2)lx - u]. (3)

entonces s~ lx uJ < 8(r, u) se tiene lx uj <~u de tal modo que iu < x <ju, de don.de se sigue que 1/x < 2/u. Por tanto, si Jx ul < iu, la igualdad (1) produce la desigualdad

(2)

Si u EA está dada y si se toma

ux g(x)-g(u)=

U - X ( 1)

Por otra parte; si se considera g(x) := l/x para x EA := {x ER: x > O}, entonces

FIGURA 5.4.1 g(x) = 1/x (x > O).

~ Vecindado

1111Nt 'I< >Nl•S < 'I >N 1111111\ IHO

para toda x, u en [O, b]. Por tanto, f satisface una condición de. Lipschitz con la constante K:« 2b en A y, por lo tanto, fes uniformemente continua en A. Desde

5.4.6 Ejemplos. a) Si /(x) := x2 en A := [O, b ], donde b es una constante positiva, entonces

lf(x) - f(u)I = lx + u] lx ul ~ 2blx - ul

Q.E.D. Por lo tanto fes uniformemente continua en A.

=e. e

1 f (X) f (u) 1 < K . K

Demostración. Si la condición de Lipschitz se satisface con la constante K, entonces dada e> O se puede tomar 8 := e/K. Si x, u EA satisfacen !x ul < 8, entonces

utonces la cantidad que está entre los signos de valor absoluto es la pendiente del '.(·g1ncnto de recta que une los puntos (x,/(x)) y (u,/(u)). Por tanto, una función/ 1.:ilisface una condición de Lipschitz si y sólo si las pendientes de todos los seg mentes de recta que unen dos puntos de la gráfica de y= f(x) en l están acotadas por algún número K.

5.4.5 Teorema. Si f· A 4 R es una función de Lipschitz, entonces fes unifor- iuemente continua en A.

x-u f(x) - f(u)

x,uEl,x=l=u, ~ K,

¡i,11 :1 toda x, u EA, entonces se dice que fes una función de Lípschítz (o que ·nd isl'ace una condición de Lipschitz) en A. . ,,

1 .a condición de que la función f: A i> R en un intervalo l es una fun~1on de 1 rpxchitz se puede interpretar geométricamente de la siguiente manera. S1 se es 1 i ihc Ja condición como

lf(x) j'(u)I ~ Klx - ul

q 111 •

5.4.4 Definición. Sea A e R y sea f: A l> R. Si existe una constante K > O tal

l1'1ou·iout's <le Lipschitz

:~l .'~1• d11 1111:1 luncióu uniformemente continua en un conjunto que no e.s u~ ¡1111·1 vnlu acolado cerrado, entonces en ocasiones es difícil establecer su ~ont1nu1 dtid uniforme. Sin embargo, hay una condición que ocurre con frecuencia que es

111l 1t'ic11I(.; para garantizar la continuidad uniforme.

P(\ ( 'ON'l'INlllt)J\1) llNl11'0ltMl1.

para toda n EN. Por tanto, la hipótesis. de que f no es uniformemente continua en el intervalo acotado cerrado I implica que f no es continua en algún punto z E/. Por consiguiente, si/ es continua en todo punto del, entonces/ es uniformemente conti nua en/. o.s.o.

Ahora bien, si/ es continua en el punto z, entonces lé s dos sucesiones (f(x11k)) y (f(unk) deben converger a/(z). Pero esto no es posible porque

Demostración. Si f no es uniformemente continua en I entonces, por el resul tado anterior, existen e0 > O y dos sucesiones (x11) y (un) en I tales que jx11 - u11j < 1/n Y l/(x12)/(u11)I ~ E0 para toda n EN. Puesto que/ está acotado, la sucesión (x11)

está acotada; por el teorema de BolzanoWeierstrass 3.4.7, existe una subsucesíón (xnk) de (x,) que converge a un elemento z. Puesto que 1 es cerrado, el límite z pertenece al, por el teorema 3.2.6. Es evidente que la subsucesión correspondiente (unk) también converge a z, ya que

5.4.3 Teorema de continuidad uniforme. Sea I un intervalo acotado cerra do y sea [: I l> R continua en l. Entonces fes uniformemente continua en J.

Se presenta ahora un importante resultado que asegura que una función contl nua en un intervalo acotado cerrado I es uniformemente continua en l. Otra de mostración de este teorema se da en 10.3.5 e).

Este resultado se puede aplicar para demostrar que g(x) := l/x no es uniforme mente continua en A := {x ER: x > O}. Si x11 := l/n y u11 := 1/(n + 1), entonces 8l'

tiene Iím (x11 - un)= O, pero lg(xn)- g(u,)I = 1 para toda n EN.

5.4.2 Criterios de continuidad no uniforme. Sea A e R y sea f: A ~ li Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

i f no es uniformemente continua en A. ii Existe una €0 > O tal que para toda 8 > O existen los puntos x 8' u

8 en ti

tales que lx0 - u81 < 8 y lf(x0)- f(u8)1 ~ E0.

iii Existe una €0 > O y dos sucesiones (x11) y ( u11) en A tales que lim (x11 1111)

=O Y lf(x11) - f(u11)I ~ E0para toda n EN.

Resulta conveniente formular una condición cquivnhnn pn1 a decir que j 1101· 1

uniformemente continua en A. Estos criterios se presentan ¡;11 el resultado sinui1111 te, dejándose la demostración al lector como ejercicio.

l•IJN( 'ION11.~: ( '()N 1'11fl11\11 182

t El resto de esta sección se puede omitir en una primera lectura de este capítulo.

t Aproximación En muchas aplicaciones es importante estar en posición de obtener aproxima

ciones de funciones continuas por medio de funciones de carácter elemental. Aun

Puesto que el límite de f(x) := sen (1/x) en O no existe, por el teorema de extensión continua se infiere que la función no es uniformemente continua en (O, b] para cualquier b > O. Por otra parte, puesto que 101 x sen (1/x) = O existe, la función g(x) := x sen (1/x) es uniformemente continta gn (O, b] para toda b > O .

Puesto que se obtiene el mismo valor L para toda sucesión que converge a a, por el criterio de sucesiones para límites se infiere que f tiene límite Len a. Si se define f(a) = L, entonces/ es continua en a. El mismo razonamiento se aplica a b, por lo que se concluye que f tiene una extensión continua al intervalo [a, b ]. Q.E.D.

lím (!(un))= lím (!(un) J(xn)) + lím (f(xn)) =O+L=L.

Demostración. Una función que es uniformemente continua en [a, b] desde luego que es continua en el conjunto (a, b), por lo que sólo se debe demostrar la implicación inversa.

Supóngase que fes uniformemente continua en (a, b). Se mostrará cómo ex tender fa a; el razonamiento para bes similar. Esto se hace al demostrar que existe li,m f(x) = L, y esto se consigue usando el criterio de sucesiones para límites. Si

'ex:) es una sucesión en (a, b) con lím (x11) =a, entonces es una sucesión de Cauchy, y por el teorema anterior, la sucesión (f(xn)) también es una sucesión de Cauchy y, por consiguiente, es convergente por el teorema 3.5.4. Por tanto, el límite lím (f(x11)) = L existe. Si (un) es cualquier otra sucesión en (a, b) que converge a a, enton ces lím (u - x ) = a - a = O, de modo que por la continuidad uniforme de f se tiene n n

5.41.8 Teorema de extensión continua. Una función fes uniformemente continua en el intervalo (a, b) si y sólo si se puede definir en los puntos terminales a y h de tal modo que la función extendida es continua en [a, b].

El resultado anterior ofrece otra manera de ver que f(x) := l/x no es uniforme urente continua en (O, 1). Se observa que la sucesión dada por x11 = l/n en (O, 1) es 1111a sucesión de Cauchy, pero la sucesión de la imagen, donde j'(z} = n, no es una sucesión de Cauchy.

11111:1 Inda n, m _,, 11(8). Por la elección de c5, esto indica que paran, m > H(ó) se i lruc [f(x,,) f(x,,,)I < e. Por lo tanto, la sucesión (f(x11)) es una sucesión de Cauchy.

Q.E.D.

185 C :ONTINUIDJ\D UNll10RME

Demosrracíén. Sea (xn) una sucesión de Cauchy en A y sea e > O dada. Pri mero se elige c5 >O tal que six, u en A satisfacen lxul < 8, entonces lf(x)/(u)[ < e. Puesto que (xn) es una sucesión de Cauchy, existe H( c5) tal que lx11 - xml < c5

.5.41.7 Teorema. Si/: A~ Res uniformemente continua en un subconjunto A de R y si (x) es una sucesión de Cauchy en A, entonces (f(xn)) es una sucesión de Cauchy en R.

Se han visto funciones que son continuas pero no uniformemente continuas en intervalos abiertos; por ejemplo, la función! (x) := l/x en el intervalo (O, 1). Por otra parte, por el teorema de continuidad uniforme, una función que es continua en un intervalo acotado cerrado siempre es uniformemente continua. Así, surge la pregunta: ¿bajo qué condiciones una función es uniformemente continua en un intervalo acotado abierto? La respuesta revela el alcance de la continuidad unifor me, pues se demostrará que una función en (a, b) es uniformemente continua siy sólo si se puede definir en los puntos terminales para producir una función que es continua en el intervalo cerrado. Se establece primero un resultado que es de inte rés por sí mismo.

EH teorema de extensión continua

Por tanto, g es una función de Lipschitz en J con la constante K = ~ y, por tanto, por el teorema 5.4.5, ges uniformemente continua en [1, ex:} Puesto que A= 1 U J, se sigue [tomando c5(t:) := inf {1, c5¡(t:), c5¡(t:)}] que ges uniformemente continua en A. Se dejan los detalles al lector.

jg(x) g(u)I =lv'X v'ul = : ~ ~ ílx ul. X + U

luego, como fes continua y A es un intervalo acotado ccrrudo, 1a111bi6n se puedo llegar a esta conclusión por el teorema de continuidad uniforme. (Obsérvese (]11(; f no satisface una condición de Lipschitz en el intervalo [O, oo).)

b) No toda función uniformemente continua es una función de Lipschitz. Sen g(x) := .JX para x en el intervalo acotado cerrado I := [O, 2]. Puesto que g es continua enl, por el teorema de continuidad uniforme 5.4.3 se sigue que ges unifor memente continua en J. Sin embargo, no hay ningún número K > O tal que lg(x)I ,,;; Klxl para toda x E J. (¿Por qué no?) Por lo tanto, g no es una función de Lipschitz en J.

e) En ocasiones se pueden combinar el teorema de continuidad uniforme y el teorema 5.4.5 para establecer la continuidad uniforme de una función en un con junto. Se considera g(x) :=.../X en el conjunto A:= [O, oo). La continuidad uniforme de gen el intervalo I := [O, 2] se sigue del teorema de continuidad uniforme, como se indicó en el ejemplo b ). Si J := [ 1, oo) entonces si tanto x como u están en J se tiene

FUNCIONES Ct>NTINllAtl 184

Obsérvese que la demostración del teorema anterior establece algo más de lo que se señaló en el enunciado del teorema. De hecho, se ha demostrado la siguien te afirmación más precisa.

Q.E.D. Se tiene por lo tanto lf(x)se(x)I <e para toda x El.

1 f (X) sE( X) 1 = 1 f (X) - j"( a + kh) 1 < e .

de tal modo que s es constante en cada intervalo Ik. (De hecho, el valor de s sen lk es el valor deJ_e"l el punto terminal derecho de lk. Ver la figura 5.4.4.) Por consi guiente, si x E Ik, entonces

se ( x) := f ( a + kh) para x E l k , k = 1, ... , m, ( 4)

Demostracíón. Puesto que (por el teorema de continuidad uniforme 5.4.3) la l 111H.:i611 fes uniformemente continua, se sigue que dada e> O existe un número 8(c) >O tal que si x, y El y ¡xyl < 8(e), entonces lf(x) f(y)I <e. Sea l :=[a, /11 y sea m EN lo suficientemente grande para que h := (b-a)/m < o(e). Se divide ali ora J = [a, b] en m intervalos disjuntos de longitud h; a saber, /1 = [a, a + h] e Ik

(a+ (k- l)h, a+ kh] parak= 2, ... , m. Puesto que la longitud de cadasubintervalo /"es h < o(e), la diferencia entre dos valores cualesquiera de f en lk es menor que r. Se define ahora

FIGURA 5.4.4 Aproximación por funciones escalonadas.

b a

y=f(x)1 1

'

y= f (x) +E

187 ( 'ON'l'INlJll>/\I) 1 lNl110lHVll\

! l •

FIGURA 5.4.3 Gráfica de y= s(x).

E J

J (

5.4.10 Teorema. Sea I un intervalo acotado cerrado y sea f: I ~ R continua en/. Si e> O, entonces existe una función escalonada se: I 4 R tal que if(x)-se(x)I <e para toda x El.

es una función escalonada. (Ver la figura 5.4.3.) Se demostrará a continuación que una función co.ntinua en un intervalo acota

do cerrado I se puede aproximar arbitrariamente cerca por funciones escalonadas.

1 ~X~ O,

O<x<~, ! <X< 1,

l <X< 3, 3 <X~ 4,

2 ~X < 1,

:= 2 ' · 2 · '

· 3 · '

s( x) := O,

:= 1, 1

:= 2'

Por ejemplo, la función s: [2. 4] 4 R definida por

5.4.9 Definición. Sea/ e R un intervalo y seas: I 4 R. Entonces s se denorut na función escalonada si posee tan sólo un número finito de valores diferentes, con cada valor siendo asumido en uno o más intervalos en/.

cuando hay varias definiciones que se pueden usar pura pl't•rl11111 1•l urmino ''11p1' •X 1 mar", una de las más naturales (así como una de las más irnport.uucs) es cstahh·(•t•1 que, en cualquier punto del dominio dado, la función de aproximación no dil'L·tlrrl de la función dada por más del error preasignado.

FUNCIONl•'.S ( 'ON'l'll 11 J¡\'I 186

n(n 1) ··· (n -k + 1) 1 . 2 ... k

y de los coeficientes binomiales

1 2 k O, , , ... , , ... , l,

n n n

La función polinómica B,,, según se define en (5), se llama el nésim~ p.olinomio de Bernstein para f; es un polinomio cuyo grado es a lo sumo 11 y cuy~s coe~1c~entes dependen de los valores de la función f en n + 1 puntos separados por una distancia igual

_-/

(5)

Hay varias demostraciones de este resultado. Desafortunadamente, todas ellas son bas tnutc complicadas o emplean resultados de los que aún no se dispone. Una de las de~nostra cienes más elementales se basa en el siguiente teorema, debido a Serge Bernstein, para funciones continuas en [O, 1 ]. Dadaf: [O, 1 ] R, Bernstein definió la sucesión de polinomios:

5.4.14 Teorema de aproximación de Weierstrass. Sea I un intervalo acotado cerrado y sea f: / ~ R continua en J. Si e > O, entonces existe una función polinomica Pe tal que lf(x) Pe(x)I <e para toda x El.

FIGURA 5.4.5 Aproximación por funciones lineales por partes.

1 H1J < '( IN'l'll ll lll lAI > t li'lll•'( >HMll.

Se concluye esta sección enu.nciando el importante teorema de Weierstrass relativo a la aproximación de funciones continuas por funciones polinómicas. Como sería de esperarse, para obtener una aproximación dentro de una e> O preasigna da, se debe estar en posición de usar polinomios de grado alto.

Entonces ge es una función lineal por partes continua en J. Puesto que para x Elk el valor /(x) está dentro de e unidades de /(a + (k - l)h) y f(a + kh), es un ejercicio demostrar que l/(x) ge(x)I < e para toda x Elk; por lo tanto, esta de sigualdad se cumple para toda x E l. (Ver la figura 5 .4.5.) Q.E.D.

( a + kh , f (a + kh)) . . y (a+ (k l)h,f(a + (k l)h))

Demostración. Puesto que fes uniformemente continua en I := [a, b ], existe un número 8(e) >O tal que si x, y El y lx-yl < 8(e), entonces l/(x) /(y)I <e. Sea m EN lo bastante grande para que h :::.: (b-a)/m < o(e). Se divide J =[a, b] en m intervalos disjuntos de longitud h; a saber, /1 =[a, a+ h], y sea Ik =(a+ (k- l)h, a+ kh] para k = 2, ... , m. En cada intervalo Ik se define g8 como la función lineal que une los puntos

5.4.13 Teorema. Sea l un intervalo acotado cerrado y sea f: I ~ R continua en l. Si e> O, entonces existe una función lineal por partes continua ge: I ~ R tal que lf(x)- ge(x)I <e para toda x El.

Observación. Es evidente que para que una función lineal por partes g sea continua en/, los segmentos de recta que forman la gráfica de g se cortan en los puntos terminales de los subintervalos adyacentes Jk, Jk + 1 (k = 1, ... , m - 1).

5.4.12 Definición. Sea l := [a, b] un intervalo. Entonces se dice que una fun ción g: I ~ R es lineal por partes en I si 1 es la unión de un número finito do intervalos disjuntos /l' ... , J m tales que la restricción de g a cada intervalo lk es una función lineal.

Las funciones escalonadas son de naturaleza en extremo elemental, pero no son continuas (excepto en los casos triviales). Puesto que con frecuencia es desea ble obtener aproximaciones de funciones continuas por funciones continuas sim ples, se demostrará a continuación que es posible aproximar funciones continuas mediante funciones lineales por partes que son continuas.

5.4.11 Corolario. Sea I :=[a, b] un intervalo acotutl«¡ 1'('r'u1tl11 y.\'('{/ f: I >U continua en l. Si e > O, existe un número natural m tal qu« si I se divide en 111 intervalos disjuntos Jk que tienen longitud h := (b- a)/m, entonces la función cscu lanada se definida en la ecuación (4) satisface l/(x) se(x)I <e para toda x at.

JllJN( 'IONHN l 'ON'l'll\ll lA'1 188

SECCIÓN 5.5 Funciones monótonas e inversas /)

Recuérdese que si A e R, entonces se dice que una función f: A - R es cre ciente en A si siempre que xl' x2 EA y x 1 ~ x2, entonces f(x 1) ~ f(x2). Se dice que l·a función fes estrictamente creciente en A si siempre que xi' x2 EA Y x 1 ~ x2,

entonces f(x1) ::::; f(x2). De manera similar, se dice que una función g: A - R es decreciente en A si siempre que xl' x2 EA y x1 ~ x2, entonces g(x1) ;;:,: g(x2). Se dice que la función ges estrictamente decreciente en A si siempre que x l' x2 EA y x 1 < x2, entonces g(x1) > g(x2). . ~

Si una función es creciente o bien decreciente en A, se dice que es mono~ona en A. Si fes estrictamente creciente o bien estrictamente decreciente en A, se dice que fes estrictamente monótona en A.

16. Si /1 (x) := x para x E [O, 1 ], calcular los primeros polinomios de Bernstein de /1• Demostrar que coinciden con f~.

17. Sif2(x) := x2 para x e (O, 1), calcular los primeros polinomios de Bernstein de f2• Demostrar que Bn(x) = (1 ljn)x2 + (1/n)x.

18. Usando el resultado del ejercicio anterior para /2, ¿qué tan grande debe ser n para que el nésimo polinomio de Bernstein B11 de /2 satisfaga /2(x) -Bn(x) ~ 0.001 para todaxe[O, 1]?

111 111•1110:.11111 q11e ~ifcs uniformcrnculc continua en un subconjunto acotado A d1· lt , cnl1H1c0s/cs1(i acotada en A.

111 S1 .1:(.1) : Jx parax E [O, l], demostrar que no existe ninguna constanteKtal q 11e 1;.:(.\')1 e, K'): para toda x E [O, 1]. Concluir que la función uniformemente co11t i 1111a g no es una función de Lipschitz en [O, 1].

I .~( l icnrostrnr que si fes continua en [O, co) y es uniformemente continua en [a, oJ) para alguna constante positiva a, entonces/ es uniformemente continua en 10, co),

1 J. Sea A e R y supóngase que f: A~ R tiene la siguiente propiedad: para cada e> O existe una función ge: A - R tal que ge es uniformemente continua en A y lf(x) ge(x) J < e para toda x EA. Demostrar que fes uniformemente conti nua en A.

14. Se dice que una funciónf: R- Res periódica en R si existe un número p >O tal que f(x + p) :::: /(x) para toda x E R. Demostrar que una función periódica continua en R está acotada y es uniformemente continua en R.

15. Si f0(x) := 1 para x E [O, 1 ], calcular los primeros polinomios de Bernstein de ¡0. Demostrar que estos polinomios coinciden conf~. [Sugerencia: El teorema del binomio afirma que

1IJI11 )1 u H'': IVH ll 11 >'l't lNAn 11, lt !VI 1(:;1\1:

lil Demostrar que la función f(x) := 1/x es uniformemente continua en el con /junto A := [a, o: ), donde a es una constante positiva.

2. Demostrar que la función f(x) := 1/x2 es uniformemente continua en A := [1, ce ), pero que no es uniformemente continua en B := (O, ce ). ·

3. Usar el criterio de continuidad no uniforme 5.4.2 para demostrar que las si guientes funciones no son uniformemente continuas en los conjuntos dados. a) f(x) := x2, A:= [O, x), b) g(x) :=sen (líx), B :=(O, ce).

4. Demostrar que la función f(x) := 1/(1 + x2) para x ER es uniformemente continua en R.

si( Demostrar que sif y g son uniformemente continuas en un subconjunto A de R, entonces f+ ges uniformemente continua en A.

6( Demostrar que si f y g son uniformemente continuas en A e R y si ambas están acotadas en A, entonces su producto fg @es uniformemente conti

c '/' nuo en A. ::::::1

7. Si f(x) := x y g(x) :=sen x, demostrar que tanto f como g son uniformemente /continuas en R, pero que su producto fg no es uniformemente continuo en R.

8. Demostrar que si f y g son uniformemente continuas en R, entonces la fun /ción compuesta! 0 ges uniformemente continua en R.

9. Si fes uniformemente continua en A C R y f(x) ;;:,: k > O para toda x EA, demostrar que l¡f es uniformemente continua en@

A


Es posible obtener una aproximación de la función F por polinomios de Bernstein para F en el intervalo [O, 1 ], la cual produce entonces polinomios en [a, b] que dan una aproxi mación de f

para t E [O, l] . F(t) == f(a + (b - a)t)

La estimación (6) da información acerca de qué tan grande se debe tomar n para que 811 so aproxime a f dentro de E unidades.

El teorema de aproximación de Weierstrass 5.4.14 se puede derivar del teorema du aproximación de Bernstein 5.4.15 mediante un cambio de variable. Específicamente, sr sustituye f: [a, b] - R por una función F: [O, l]-R definida por

(6)

La demostración del teorema de aproximación de Bernstein se presenta en ERA. pp, 169172. Ahí se demuestra que si 8(e) >O es tal que lf(x)- f(y)I <e para toda x, y e ¡o, 1 I con lx - y 1 < 8( €) y si M ~ lf(x)I para toda x E [O, 1 ], entonces se puede tomar

5.4.15 Teorema ele aproximaciéu de Ilerustolu. S1·11 / 1 (), 1 I ~ u 1·01111111111

y sea e> O. Existe una ne EN tal que si n s» n'-', e11lo11<·1·,, sr t/1·111· 1 /(.\) /J11( 1 )1 e para toda x E [O, 1 ].

11 t 11'l 1 • 1 ( 1 t~ 1 1i t '() 1 ~ 1 11 1 1 r , ' 1 1)(1

Se demuestra a continuación que puede haber a lo sumo un conjunto contable de puntos en los que una función monótona es discontinua.

Demostración. Si e no es un punto terminal, esto se sigue por el corolario 5.5.2. Si e E J es el punto terminal izquierdo de/, entonces fes continua en e si y sólo si j( c) = lím f, que es equivalente a }¡( c) = O. Se aplican observaciones

x->c+ similares al caso de un punto terminal derecho. Q.E.D.

5.5.3 Teorema. Sea I e R un intervalo y sea f: I---... R creciente en l. Si e E/, entonces j es continua en e si y sólo si J1(c) =O.

para una función creciente. Si el punto terminal izquierdo a de I pertenece a I, se define el salto dejen a comoj1(a) := }L~ +j-f(a). Si el punto terminal derecho ¡, ele J pertenece a I, se define el salto dejen b como j 1( b) : = j ( b) - x ÜT f.

}¡(e)= inf{f(x): x E 1, x >e} sup{f(x): x E I, x <e},

11 ~¡ y sólo si j(a) = xlirf} .t Condiciones similares se aplican al punto terminal . dr 1 echo, así como para funciones decrecientes ..

Si f: Lr+ R es creciente en I y si e no es un punto terminal del, se define el •.aUo dejen e como j .(c) := lím i- lím f (Ver la figura 5.5.1.) Del teorema 5.5.1 J x~c+ x-•a- :,(' sigue que

f (a) = inf { f (X): X E l , a < X}

1 .stos resultados se deducen con facilidad del teorema 5.5. l y 4.3.3. Se dejan 111•, .ktallcs al lector.

Sea f un intervalo y seaj: 1- Runa función creciente. Si a es el punto terrni 11i1I izquierdo de J, es un ejercicio demostrar quejes continua en a si y sólo si

FIGURA 5.5.1 Salto de f en c.

e

}¡(e) 1

11 ¡ .1 1 • 111 11 'I 1 11 111 ~ f\ 1 ( 11 t ! >' 1 'i 1 N /\' , 1 11 1 V 11 H !. /\:,

/ 5.5.2 Corolario. Sea I C R un intervalo y sea t. l=+ R creciente en l. Suponer

que e E I no es un punto terminal de J. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes.

a) j es continua en c. b) lím f = f(c) = lím f.

x~c- x~c+ e) sup {f(x): x E I, x <e} = f(c) = inf{J(x): x E I, x >e}.

El resultado siguiente proporciona criterios para la continuidad de una fun ción creciente j en un punto e que no es un punto terminal del intervalo en el que está definida f

Por lo tanto, lf(y) L! <e cuando O < e - y< o(E). Puesto que e> O es un valor cualesquiera, se infiere que se cumple i.

La demostración de ii es similar. Q.E.D.

5.5.1 Teorema. Sea 1 C R un intervalo y sea f: I---... R creciente en l. Supone! que c E I no es un punto terminal de J. Entonces

i lím f = sup {f(x): x E I, x <e}, x-.c-

ii lím f = inf{f(x): x E I, x > e}. x-.c+

Demostración. Se observa primero que si x E I y x < c, entonces f(x) ~ j(c). Por tanto, el conjunto {j(x): x E/, x < c }, el cual es no vacío pues e no es un punto terminal de!, está acotado por arriba por f(c). Por tanto, el supremo indicado exis te; se denota por L. Si se da e> O, entonces L - e no es una cota superior de este conjunto. Por tanto, existe y e E/, Yt: < e tal que L - e «: j(y t:) ~L. Puesto quejes creciente, se deduce que si 8( e) : = e Ye y si O < e - y < 8( e), entonces y e <y < e de tal modo que

Se hace notar que sif: A-+ Res creciente c11 !\, e111011<•1111 ;.1; / t:.i dcc1 ~·l·lu111t en A; de manera similar, si 'P: A ---... Res decreciente c11 /\, entonces 1¡1: 1¡1 11~ creciente en A.

En esta sección se tratará con las funciones monótonas que están dcfinidn. 1•11 un intervalo I C R. Las funciones crecientes se analizarán explícitamente, au11q111 es evidente que existen los resultados correspondientes para las funciones de('1 c1 cientes. Estos resultados se pueden obtener directamente a partir de los resultadoli para las funciones crecientes o bien es posible demostrarlos empleando razonn mientas similares.

Las funciones monótonas no son necesariamente continuas. Por ejemplo, 1·d f(x) :=O para x E [O, 1] y f(x) := 1 para x E (1, 2], entonces fes creciente en [O,:'. J, pero deja de ser continua en x = l. Sin embargo, el siguiente resultado establece que una función monótona siempre tiene límites por ambos lados (ver la dcfinl ción 4.3.1) en R en cualquier punto que no sea un punto terminal de su dominio.

111 JNt 'lt lNll.1: {'UN 1'11111(\ 1 192

Demostración. s·e considera el caso en que fes estrictamente creciente y se dej a al lector el caso en que fes estrictamente decreciente.

Puesto que fes continua el es un intervalo, por el teorema de preservación de intervalos 5.3.10 se sigue que J := f(I) es un intervalo. Además, puesto que fes estrictamente creciente en I, es inyectiva en/; por lo tanto, existe la función g: J--> R inversa de f Se afirma que ges estrictamente creciente. De hecho, si yl' y2 El, donde y1 < >'2, entonces y1 = f(x¡) y y2 = f(x2) para alguna xi' x2 E l. Se debe tener x1 < x2; de no ser así, x1 ~ x2, lo cual indica que y1 = f(x1) ~ f(x2) = y2, que contradice la hipótesis de que y 1 < h Se tiene por lo tanto,

5.5.5 Teorema de la inversa continua. Sea l e;: R un intervalo y sea f: I--> R estrictamente monótona y continua en l. Entonces la función g inversa de fes estrictamente monótona y continua en J := f(l).

Se considerará ahora la existencia de las funciones inversas de funciones que ,•;011 continuas en un intervalo I e;: R. Se recuerda (ver la sección 1.2) que una 1'1111ción f: l :» R tiene una función inversa si y sólo si fes inyectiva ( = uno a uno); rs decir, x, y E I y x =F y implican que f(x) =F f(y). Se observa que una función estrictamente monótona es inyectiva y, en consecuencia, tiene una inversa. En el xiguiente teorema se demostrará que si f: I--> R es una función estrictamente mo nótona continua, entonces f tiene una función inversa gen J := f(I) que es estricta mente monótona y continua en J. En particular, si fes estrictamente creciente, entonces también lo es g, y si fes estrictamente decreciente, entonces también lo es g.

Funciones inversas

y si Ir es continua en un solo punto x11, entonces hes continua en todo punto de R. :;L. sigue que si h es una función monótona que satisface ( * ), entonces h debe ser rontinua en R. [De este hecho se sigue que h(x) = Cx para toda X ER, donde e:= /¡( 1 ). ]

h ( x + y) = h ( x ) + h ( y) para toda x , y E R. , ( +)

1 ~1 teorema 5.5.4 tiene algunas aplicaciones útiles. Por ejemplo, en el ejercicio '• .'. 12 se vio que si h: R--> R satisface la identidad

l'r·1111·011w todo ¡H11tl\) de V debe estar incluido en este conjunto, se deduce queD 1·~: 1111 conjunto contable. Q.E.D.

l•I 11>11 'I( lNJl,S MONl)'l'ONAS H INVIORSMi

X¡ Xz X3 X4 b

FIGURA 5.5.2 J¡(x1) + ... + 1[(x11) s: f(b) - f(a).

a

f(b) - f(a)

f(b) p {

1 1

j¡(x4) 1 1

/. : r: 1

}¡ (x3) { 1 1 1 1 1 1 _.,,,.1 1

f""" 1 1

}¡ (x2) { 1 1 1

/

1 1 1

1 1 1 1 1

. ( >{'- 1 1 ]f X¡ I I I 1 1

~ 1 1 1 1 _J _J _¡ _¡ _1

1 1 1 1 1 1 f (a) 1 1 1 J 1

1 1

(Ver la fi~ura 5.5.2.) Por consiguiente, puede haber a lo sumo k puntos en l > [a, b] don~e 11(x) ~ (f(b)-f(a))/k. Se concluye que existe a lo sumo un punto x E f donde 11(x) = f(b) - f(a); hay a lo sumo dos puntos en I donde J¡(x) ~ (f(b) _ f(a))/2; a lo sumo tres puntos en l donde j.ó') ~ (f(b)-f(a))/3, y así sucesiva mente. Por lo tanto; hay a lo sumo un conjunto contable de puntos x donde J¡(x) > O.

}¡(x1) + · · · +j¡(x,,) ~f(b) f(a).

de donde se sigue que

f(a) <f(a) + J¡(x1) + · · · +J¡(xn) <.J(b),

Demostración. Se supondrá que fes creciente en!. Por el teorema 5.5.3 s(i

~igue que D = {x El: J¡(x) =F O}. Se considerará el caso en que J := [a, bj es 1,111

mtervalo acotado ~errado, dejando al lector el caso de un intervalo cualesquiera. S~ ob~erva pnmero que como fes creciente, entonces}¡(c) ~O para toda e E/,

Ademas, si a ~ x1 < · · · < x,, ~ b, entonces (¿por qué?) se tiene

5.5.4 Teorema. Sea I e;: R un intervalo y sea j': J ' 1( m1111u11111a 1•11 J. ¡.;1111111 ces el conjunto de puntos D e;: I en los que fes disconti111111 ,.,,. un conjunto con table.

1,.UNl 'IONl\S ( '( )N'l'INI 11\M

or el teorema del valor intermedio de Bolzano 5.3.6 se sigue que Y El. Puesto que p ~ O es un valor cualesquiera, se deduce que J = [O, co], . , Y Por el teorema de la inversa continua 5 .5 .5 se con el u.ye que la fu~c10n g q~e ~s la inversa de /(x) = x" eti l= [O, oo) es estrictamente creciente y continua en J - [ , co ). Se acostumbra escribir

f(O) =O::;;;, y< k « kn = f(k),

./ = [O, ce ). S~,~ O algún valor; po: ~a propiedad de Arquímedes, existe k EN tal que O ~ y < k. Puesto que (¿por que.)

FIGURA 5.5.5 Gráfica de g(x) = x 1·1" (x > O, n par).

X

y

FIGURA 5.5.4 Gráfica de f(x) = x11 (x 2:: O, n par).

\'

P> I l•lll\l< '10111•.~ M<>N<l'l'<lN/\S h INVl1.ltSA:;

' \

! 1

Se aplicará el teorema de la inversa continua 5.5.5 a la función de la potencia nésima. Es necesario distinguir dos casos: in par y ii n impar.

in par. Para obtener una función que sea estrictamente monótona, se centra la atención al intervalo I := [O, oo ). Por tanto, sea f(x) := x11 para x El. (Ver la figura 5 .5 .4.) Se ha visto ya (en el ejercicio 2.2.17) que si O ~ x <y, entonces f (x) = xn < yn = f(y); por lo tanto, fes estrictamente creciente en/. Además, por el ejemplo 5 .2.4 a) se sigue que fes continua en/. Por lo tanto, por el teorema de preservación de intervalos 5.3.10, se sigue que]:= f(I) es un intervalo. Se demostrará ahora que

La función raíz n~ésima

Si se elige cualquier número x =!= g(c) que satisfaga lím g < x < Iím g, entonces y .... e- y--> e+

x tiene la propiedad de que x =f=. g(y) para cualquier y El. (Ver la figura 5.5.3.) Por tanto, x ~ I, lo cual contradice el hecho de que I es un intervalo. Se concluye por lo tanto que ges continua en J. Q.E.D.

lím g < lím g . y-)c- y-)c+

Puesto que y 1 y y2 son elementos cualesquiera de J con y 1 < y2, se concluye que n

es estrictamente creciente en J. Aún falta demostrar que g es continua en J. Sin embargo, esta es una censo

cuencia del hecho de que g(J) = I es un intervalo. De hecho, si ges discontinua e11 un punto e El, entonces el salto de gen e es diferente de cero, de tal modo que

FIGURA S.5.3 g(y) =/= x para y El.

e -<tt-~~~~~~~J~~~~~~~~r

X

1 ()(1

Así, se ha definido x' cuando res un número racional y x > O. Las gráficas de x r+ x' dependen de sir> 1, r = 1, O< r < 1, r =O, o bien, r <O. (Ver la figura 5.5.8.) Puesto que un número racional r E Q se puede escribir en la formar= m/n, con m E Z, n EN, de diferentes maneras, se deberá demostrar que la definición 5.5.6 no es ambigua. Es decir, sir= m/n = p/q con m,p EZ y n, q EN y six >O, entonces (x1111yn = (x1iq)P. Se deja como ejercicio para el lector establecer esta

relación.

5.5.6 Definición. i Si m, n EN y x > O, se deñne x"?" := (x1111yn. ii Si m, n EN y x >O, se define x-111!11 := (x1/11)111•

Una vez que se han definido las funciones de la raíz nésima paran EN, resul ta sencillo definir las potencias racionales.

Potencias racionales

para toda x ER y n impar.

y (x'I")" =X ( ")l/11 X =X

y llamar a x1í11 la raíz nésima de x E R. A la función G se le llama la función de la raíz nésima (n impar). (Ver la figura 5.5.7.) Se tiene

FIGURA 5.5.7 Gráfica de G(x) = x1111 (x e R, n impar).

y

I -n l'l IN< '11 >Nl•.S MON(J'l'I >NAS 1\ !NVl\RSAS

FIGURA 5.5.6 Gráfica de F(x) = x" (x e R; n impar).

X

y

o n impar, G(x) = Vx R para x E , G(x) = x1111

~i n Impar. En.este caso se hace F(x) := x" para toda x ER; por 5.3.4 a), Fes contmua en R. Se deja al lector la demostración de que Fes estrictamente crecien te en R y de que F(R) =R. (Ver la figura 5.5.6.) . Por el teorema de la inversa continua 5.5.5 se sigue que la función G que es la mversa de F(x) - 11 R · ' .- .x para x E es estnctamente creciente y continua en R. Se acostumbra escribir

para toda x E [O, oo) y n par.

y ( ")l/11 X =X

Estas ecuaciones se pueden escribir en la siguiente forma:

y f(g(x)) = x para toda x E [O,oo). g(f(x)) =X

para.~;,,, O (n par), y llamar a x1!11 = 11.[X la raíz nésima de x ;,,, O (n par). /\ 111

función g se le llama la. función de la raíz nésima (n par). (Ver la figura 5.5.5.) Puesto que ges la mversa de f, se tiene

o g(x) = ';¡-:; g(x) =xl/n

FUNCIONl!S CON'l'INI 11\'l IYK

1 Si/ Y }: xuu Iuncioncx crecientes en un intervalo l <;;: R, demostrar que f +ges 111111 íuucióu creciente en/. Si f también es estrictamente creciente en/, en 11111\'l:s f +J.: es estrictamente creciente en/.

\, 1 k111os1 rur que tanto f(x) := x como g(x) := x 1 son estrictamente crecientes cll I : = j O, 1 J, pero que su producto fg no es creciente en J.

l. Dcmosuar que si f y g son funciones positivas crecientes en un intervalo/, entonces su producto fg es creciente en J.

S. Dcm ostrar que si J: = [a, b] y f: I > R es creciente en J, entonces fes continua en a si y sólo sif(a) = inf {f(x): x E(a, b)}.

<>. Sea I ~ R un intervalo y seaf: I-> R creciente en l. Supóngase que e E I no es un punto terminal de J. Demostrar que fes continua en e si y sólo si existe una sucesión (x,,) en I tal que x11 < e paran = 1, 3, 5, ... ; x11 > e paran:::: 2, 4, 6, ... ; y tal que e= lím (x11) y f(c) = lím (f(x11)).

7. Sea I ~ R un intervalo y sea f: J-> R creciente en l. Si e no es un punto terminal de/, demostrar que el salto }¡(e) de f en e está dado por inf {f(y) f(x): x <e< y, x, y El}.

8. Seanf, g crecientes en un intervalo I ~ R y seaf(x) > g(x) para toda x El. Si y Ef(I) n g(I), demostrar que f-1(y) < g1()'). [Sugerencia: Hacer primero la interpretación geométrica de este enunciado.]

9. Sea 1 := [O, 1] y sea que f: I-> R esté definida por f(x) := x para x racional y f(x) := 1 -x para x irracional. Demostrar que fes inyectiva en I y que f(f(x)) = x para toda x E/. (Por tanto, fes su propia función inversa!) Demostrar que f sólo es continua en el punto x:::: ~·

10. Sea J := [a, b] y sea f: I-> R continua en/. Si f no tiene máximo [o bien mínimo] absoluto en un punto interior e de!, demostrar que f no es inyectiva en/.

11. Seaf(x) :=xparax E [O, 1] y f(x) := 1 +x parax E(l, 2]. Demostrar quef y ¡-1 son estrictamente crecientes. ¿Son continuas en cualquier punto f y ¡1?

12. Seaf: [O, 1]> Runa función continua que no asume ninguno de sus valores ~dos veces y con f(O) < f (1 ). Demostrar que fes estrictamente creciente en

[O, 1]. 13. Sea h: [O, 1]> Runa función que asume cada uno de sus valores exactamente

dos veces. Demostrar que h no puede ser continua en todo punto. [Sugeren- cia: Si e1 < c2 son Jos puntos donde h alcanza su supremo, demostrar que e1

= O, e2 = l. Examinar ahora los puntos donde h alcanza su ínfimo.] 14. Sea x ER, x >O. Demostrar que si m, p EZ, n, q 'EN y mq = np, entonces

(xl~ (xl/q)P. . 15. Si x ER, x >O y sir, s E Q, demostrar que xrX'' = xr + s = x5xr y (xr)s = x,.s =

(xsy.

),() 1 1•1 INC 'IONl.S MON(l'l'ONAS 1\ INVl(J(SAS

l. Sil := [a, b ~ es un intervalo Y f: I-> R es una función creciente, entonces el punto a.[ o bien, b] es u.n punto mínimo [o bien, máximo] absoluto de f en/. Si fes estnctamente creciente, entonces a es el único punto mínimo absoluto de fenl.

Ejercidos <lle la sección 5.5

y

El lector también deber demostrar, como ejercicio, que si x > o y r s 'E Q entonces ' '

Q.E.D.

Demostración. Si X> o y m, n E Z, entonces (xm)n '= xllll1 = (x")lll Sea h ·- mtn ( Jrn)m o d . a ora y ·-X · = x 1 > e tal modo que y11 - ((xl/n)m)n - (("1 '11)11)111 m S · . · , ,, · = x . e sigue por lo tanto que y= (x"')I/11,

5.5.7 Teorema. Si m E Z, n EN y x >O, entonces xm/n = (xm)l/11.

FIGURA 5.5.8 Gráfica de X---; x' (x ~ O).

y

11llN( 'I< JNHS < '( lN l'INl !MI 200

Antes del siglo XVII, una curva por lo general se describía como un lugar geomé 1 rico de los puntos que satisfacían alguna condición geométrica, y las rectas tan gentes se obtenían por construcciones geométricas. Esta perspectiva cambió de manera radical con la creación de la geometría analítica en los años 1630 por René Descartes (15961650) y Pierre de Fermat (16011665). En este nuevo escenario los problemas geométricos se replanteaban en términos de expresiones algebraicas, y las nuevas clases de curvas se definían no por condiciones geométricas sino algebraicas. El concepto de derivada evolucionó en este nuevo contexto. En los años 1630, Fermat fue el primero en vislumbrar una relación entre el problema de encontrar rectas tangentes y el problema aparentemente inconexo de encontrar valores máximos o mínimos. Y la relación entre las rectas tangentes a curvas y la velocidad de una partícula en movimiento fue descubierta por Isaac Newton (1642 1727) a fines de los años 1660. La teoría de las fluxiones de Newton, la cual se basaba en una idea intuitiva del límite, sería familiar para cualquier estudiante moderno de cálculo diferencial una vez que se hicieran algunos cambios en la terminología y notación. Pero la observación fundamental, hecha por Newton e, independientemente, por Gottfried Leibniz (16461716) en los años 1680, era que las áreas bajo curvas se podían calcular invirtiendo el proceso de diferenciación. Esta técnica, que resolvía con facilidad problemas de áreas antes complicados, des pertó enorme interés entre los matemáticos de la época y desembocó en una teoría coherente que llegó a conocerse como cálculo diferencial e integral.

En este capítulo se explicará la teoría de la derivación. La teoría de la inte gración, incluyendo el teorema fundamental que relaciona la derivación y la integra ción será el tema del siguiente capítulo. Se supondrá que el lector se encuentra familiarizado con las interpretaciones geométrica y física de la derivada de una función, según se describen en los cursos de introducción al cálculo. Por consi guiente, se atenderán los aspectos matemáticos de la derivada sin abordar las apli caciones en la geometría, la física, la economía, etcétera.

La primera sección se dedica a una presentación de los resultados básicos relativos a la derivación de funciones. En la sección 6.2 se estudia el teorema fun damental del valor medio y algunas de sus aplicaciones. En la sección 6.3 se pre sentan las importantes reglas de L'Hospital para el cálculo de ciertos tipos de lími tes "indeterminados". En la sección 6.4 se ofrece un breve análisis del teorema de Taylor y algunas de sus aplicaciones; por ejemplo, en funciones convexas y en el método de Newton para la localización de raíces.

DERIVACIÓN <'APÍTU LO SEIS

6.1.3 Teorema. Sea I ~ R un intervalo, sea e E I y sean f: I-> R y g: Lr+ R funciones que son derivables en c. Entonces:

Hay varias propiedades básicas de la derivada que son muy útiles al calcular las derivadas de diferentes combinaciones de funciones. Se proporciona a conti nuación la justificación de algunas de estas propiedades, las cuales le serán fami liares al lector por cursos previos.

posee Ja propiedad citada. Sin embargo, no se presentará una demostración de esta afirmación.)

l f(x) == :[, ~ cos (3"x)

n=O

Observación. Al considerar combinaciones algebraicas simples de funciones de la iorma x r> lx el, no es difícil construir funciones continuas que no tienen derivada en un numero finito (o incluso contable) de puntos. En 1872, Karl Weierstrass causó el asombro del mundo matemático al ofrecer un ejemplo de una función que es continua en todo punto ¡11:1;f'c11ya derivada no existe en ninguno de ellos. Esta función desafiaba la intuición geo métrica acerca de curvas y rectas tangentes y, por consiguiente, estimuló la realización de investigaciones mucho más profundas de los conceptos del análisis real. (Es posible demos trar que la función/ definida por la serie

La continuidad de f: l=» R en un punto no garantiza la existencia de la deriva tl.i en ese punto. Por ejemplo, si/(x) := [xj para x ER, entonces para x * O se tiene ( /'\.r) f(O))¡'(x - O)= [x[/x, que es igual a 1 si x >O y a 1 si x <O. Por tanto, el lunite en O no existe [ver el ejemplo 4.1.10 b)] y, por lo tanto, la función no es .krivable en O. En consecuencia, la continuidad en un punto e no constituye una \'llllllición suficiente para que la derivada exista en c.

Q.E.D. 1'111 lo tanto, lím f(x) = /(c), por lo que/ es continua en c. x--+c

( f(x)-f(c))( )

:~·::(f(x)f(c))= !~ x-c .!~(x-c) ·

=J'(c) ·0=0.

1'111".il> q1H.: existe f'(c), se puede aplicar el teorema 4.2.4 relativo al límite de un ¡i1rnl11el1i para concluir que

(f(x) -f(c))

J(x)f(c)= x-c (x-c).

1 knio~h·ad{m. l'r1f'a Inda x E/, x '-/= e, se tiene

205 1 A lllil{IV1\l)A

6.1.2 Teorema. Si f: I-> R tiene una derivada en c EJ, entonces fes continua en c.

Por tanto, en este caso, la función f' está definida en la totalidad de R y f'(x) :;;; 2x para x ER.

Se demuestra a continuación que la continuidad de f en un punto e es una condición necesaria (pero no suficiente) de la existencia de la derivada en c.

x-+c X - C = lím ( x + e) = 2 e.

x->c

x2 c2 lím f'(c) = lím f(x) - f(c)

x->c X - C

Siempre que la derivada de f: I-> R exista en un punto e E!, su valor se denota por f'(c). Se obtiene así una función!' cuyo dominio es un subconjunto del domi nio de f Al trabajar con la función f' es conveniente considerarla también como una función de x. Por ejemplo, sif(x) := x2 para x ER, entonces en cualquier punto e de R se tiene

Nota. Es posible definir la derivada de una función que tiene un dominio más general que un intervalo (ya que sólo es necesario que el punto e sea un elemento del dominio y, asimismo, un punto de acumulación del dominio) pero la importancia del concepto se pone de manifiesto de manera más natural usando funciones definidas en intervalos. En conse cuencia, restringiremos la atención a dichas funciones.

siempre que este límite exista. (Se deja abierta la posibilidad de que e sea el punto terminal del intervalo.)

f'(c) = lím f(x) - f(x) x-+c x-c

(2)

En otras palabras, la derivada de f en c está dada por el límite

En este caso se dice que fes derivable en e, y se escribe f'(c) para denotar L.

( 1)

6.1.1 Definición. Sea I ~ R un intervalo, seaf: I ~ R y sea e El. Se dice q111· un número real L es la derivada de f en e si para cualquier número E > O dadll

existe un número O(E) > Ü tal que para cualquier X eI con Ü < [x cj < O(f'), entonces

En esta sección se presentarán algunas de las propiedades elementales de li1 derivada. Se empieza con la definición de derivada de una función.

SECCIÓN 6.1 La derivada

Ul".1{1 VAC 'I( )N 204

D(fg) = (Df) ·g'+ f· (Dg). D(f + g) = Df + Dg,

En particular, si se tomaf(x) := x, entonces para la derivada de g(x) ;;;;; xn se obtiene g'(x);;;: nx!!.~<fÍ EN. La fórmula se amplía para incluir enteros negativos aplicando l¡,1 regla del cociente 6.1.3 d).

6.1.5 Notación. Si / i::; R es un intervalo y f: I > R, se ha introducido la notación f' para denotar la función cuyo dominio es un subconjunto del y cuyo valor en un punto e es la derivada f'(c) de f en c. Existen otras notaciones que se usan en ocasiones para f'; por ejemplo, en ocasiones se escribe Df en lugar de f'. Así, las fórmulas ( 4) y (5) se pueden escribir en la forma

(f'1)'(c) = n(f(c)f1j'(c) ( 9)

/

( Un importante caso especial de la regla del producto ampliada (8) oc1urre si las

tunciones son iguales, es decir, t, ;;;: f2;;;: · · · ;;;: fn =f. Entonces (8) da lug~r a

(H} (ÍiÍ2 · · · fn)'(c) = J;(c)f2(c) · · · Ín(c) + f1(c)n(c) · · · Ín(c)

b) La función fif2 • • • t. es derivable en e y

U1 + Í2 + · · · +fn)'(c) = J;(c) + f~(c) + · · · +f~(c). ('/)

6.1.4 Corolario. Si fl' f2, ... , !,, son funciones de un intervalo I a R que son .lrrivables en e El, entonces: ·

a) La función /1 + /2 + · · · + t, es derivable en e y

Se puede aplicar la inducción matemática para obtener las siguientes amplia 1 1011t:s de las reglas de derivación.

Q.E.D. !'111 lanto, q = f/g es derivable en e y se cumple ta ecuación (6).

q(x) - q(c) f'(c)g(c) - f(c)g'(c) q' (e) = lím = 2 ·

x~c X - e (g(c))

11111111!10 la continuidad de gen e y !a derivabilidad de f y gen e, se deduce que

/(.r)r~(1·) J(c)g(c) + f(c)g(c) f(c)g(x) g(x)g(c)(x - e)

1 [f(x) f(c) g(x) g(c)] · g(c) f(c) · · g(x)g(c) x-c x-c

)O'/ 1 A lll1.l~IV/\l>A

X - C x-c f(x)g(c) - f(c)g(x)

g(x)g(c)(x e) f(x)/g(x) - f(c)/g(c) q(x) - q(c)

Por tanto, p = fg es derivable en c y se cumple Ja expresión (5). d) Sea q := f/g. Puesto que ges derivable en e, es continua en ese punto (por

el teorema 6.1.2). Por lo tanto, como g(c) * O, se sabe por el teorema 4.2.9 que existe un intervalo 1 i::; I con e El tal que g(x) * O para toda x El. Para x El, x * e, se tiene

, p(x) -p(c) lírn = f'(c)g(c) + f(c)g'(c). x->c x-c

Puesto que, por el teorema 6.1.2, g es continua en e, entonces lím g(x) = g(c).

Puesto que f y g son derivables en e, por el teorema 4.2.4 sobre la; ;r~piedades de los límites se infiere que

= f(x) -f(c) . g(x) + f(c). g(x) - g(c). x-c x-c

x-c = f(x)g(x) - f(c)g(x) + J(c)g(x) - f(c)g(c)

x-c x-c f(x)g(x) - f(c)g(c) p(x) - p(c)

Demostración. Se demostrarán los incisos e) y d), dejando a) y b) como ejer cicios para el lector.

e) Sea p := fg; entonces para x El, x * e, se tiene

( [_)'(e)= f'(c)g(c) - f~c)g'(c). g (g(c))

(6)

d) (Regla del cociente) Si g( e) * O, entonces la función f! g es derivable en e, y

(5) (fg)'(c) = f'(c)g(c) + f(c)g'(c).

(4) (! + g)'(c) = f'(c) + g'(c).

e) (Regla del producto) La función fg es derivable en e, y

b) La funcián f + g es derivable en e, y

(3) (af)'(c) = af'(c).

a) Si a ER, entonces la funcián a [es derivable 1·11,, l'

1 >llltl VA! 'l(!N 206

( g o!)' (X) = g' ( f( X)) . f' (X) para X E I.

Se tiene por lo tanto (f")'(x) = n (f(x))"1f'(x) para toda x El, como se vio en (9). )

6.1.7 Ejemplos. a) Sif: [>Res derivable en l y g(y) :=y" para y ER, n EN, entonces como g'(y) = ny11- 1, por la regla de la cadena 6.1.6 se sigue que

Si g es derivable en I, si fes derivable en J y si f(l) <;;;; I, entonces por la regla de la cadena se sigue que (g º !)' =.(g' 0 !) · f', expresión que también se puede escribir en la forma D(g 0 !) = ((Dg) 0 !) · Df

Por lo tanto, g 0 fes derivable en e El y se cumple la igualdad (10). Q.E.D.

lím g º f(x) - g º f(c) = g'(f(c)) ·.f'(c). :t__,C x-C

l'or consiguiente, por (11), se tiene

g º f(x) g 0 f(c) f(x) - f(c) '=Gof(x)· . x-c x-c

Por lo tanto, si x El, x i= e, se tiene entonces

g º f(x) g 0 f(c) = g(f(x)) g(f(c)) = e 0 f( x) (!( x) f( e)).

¡ uua toda y E l. Por tanto, si x El y se hace y = f(x), se tiene entonces

g(y) g(d) = G(y)(y d)

Por la definición de G se sigue que

lím G 0 f(x) = lím G(y) = g'(f(c)). x--,,c y-+d

( 1 1 )

Puesto que ges derivable en d, se tiene lím G(y) = g'(d) = G(d), por lo que G y~d

1·.·: continua en d. Ahora bien, como fes continua en e El (por el teorema 6.1.2) Y /(.!) <;;;; J, por el teorema 5.2. 7 se concluye que G 0 fes continua en e, de donde

si y El, y =I= d ,

si y= d.

g(y)g(d) C( 1/) := y-d

:= g'( d)

l.A 1J1qUVA1>/\

Demostración. Sea d := f(c) y sea que Gesté definida en I por

( g 0 !)' (e) = g' ( f (e)) · J' (e). (10)

6.1.6 Regla de la cadena. Sean l, J intervalos en R, sean g: I--> R y f: Lr+ R funciones tales que f(l) <;;;; l y sea e El. Si fes derivable en e y si ges derivable en f(c), entonces la función compuesta g 0 fes derivable en e y

Esto sugiere el valor límite correcto. Desafortunadamente, el primer factor del producto puede no estar definido si el denominador f(x)-f(c) es O para valores de X próximos a e, y esto plantea un problema. La siguiente demostración salva esta dificultad.

X - C

g(f(x)) g(f(c)) f(x) - f(c) f( x) - f( e) x - e

g(f(x)) g(f(c))

La idea de la regla de la cadena es la observación de que el cociente diferencial se puede escribir como el producto

( g o !)' = ( g' o f) . f'.

El siguiente teorema sobre la derivación de funciones compuestas se conoce como la "regla de la cadena". Proporciona una fórmula para la derivada de una función compuesta g 0 f Por ejemplo, la fórmula (9) se podría derivar usando la regla de la cadena.

Si fes derivable en e y ges derivable en f(c), entonces se demostrará que la derivada de la composición g 0 fes (g 0 !)'(e)= g'(f(c))f'(c). Obsérvese que esta expresión se puede escribir como

La regla de la cadena

Esta última notación, debida a Leibniz, tiene ciertas ventajas. Sin embargo, ta111· bién tiene algunas desventajas y se debe usar con cierto cuidado.

d ( df ) ( dg ) dx (f(x)g(x)) = dx (x) (g(x)) + f(x) dx (x) .

Cuando x es la "variable independiente:", en cursos cil·111l'1111111", ~·1· 111.·.,sl 11mlirn escribir dfjdx para denotar f'. Así, la fórmula (5) en oca.~iu11l·~; ~v escribe l'll 111 forma

1 >llfüVA( 'HIN

de modo que H(y) -::/= O para y =F d, y EJ.

g(y)g(d) H(y) y-d

Puesto que g: J--+ Res estrictamente monótona, entonces g(y) =F g(d) para y El, y -::/= d; por lo tanto, H está bien definida en J. Asimismo, puesto que y = f(g(y)) y d = f(g(d)), se tiene entonces

f(g(y)) - f(g(d)) H(y) := g(y) g(d) .

Demostración. Para y El, y =F d, se define

f'(g(d)). ( 12) 1 1

g'(d) = f'(c)

6.1.8 Teorema. Sea I ~ R un intervalo y sea [: /> R estrictamente monótona I' continua en J. Sea]:=/(!) y sea g: J---> R la función estrictamente monótona Y

""', ontinua inversa de f. Si fes derivable en e El y f'(c) =F O, entonces ges derivable t'I/ d ;:;: f(c) Y

Funciones inversas

A continuación se relaciona la derivada de una función con la derivada de su t unción inversa, cuando esta última existe. Para poder usar el teorema de la inversa , out inua 5.5.5, sólo se atenderá a funciones continuas estrictamente monótonas.

1'111 lauto, la derivada f' de f existe en toda x E R. Sin embargo, la funcíón j" no 111·11v 1 írnite en x =O (¿por qué) y, por consiguiente, f' es discontinua en x =O. Por 111110, una función f que es derivable en todo punto de R no tiene necesariamente 1111:1 derivada f' continua.

, f(x)f(O) x2sen(l/x) /'(O)= lim = lim = límxsen(l/x) =O.

/ x->0 X - Ü x-.O X x-.o

11 , O, 110 se puede aplicar ninguna de la reglas anteriores. (¿Por qué?) Por con l1',n11·11te, 1.i derivada de f en x =O se debe encontrar recurriendo a la definición de

111 r rvnda. Si; encuentra que

para x =FO I'(x) = 2x sen (l/x) cos(l/x)

11 ,, il'111 l'I lin Ir(> ik: que /J sen x = cos x para toda x ER y se aplica la regla del I" 11.1111 lo<•. I. \~·)y la regla de la cadena 6.1.6, se obtiene (¿por qué?)

J.11 1 /\ 111 •.ltl VA 111\

para x =FO,

para x =O.

D ese x = (ese x) ( eot x)

sen x ese x ==

1

= ( sec x) (tan x ) (eos x)2

sen x

f(x) := x2sen(l/x) :=o

D eot x = (ese x ) 2 y

para x =F kn, k E Z. d) Supóngase que f está definida por

para x =F kn, k E Z, se obtiene entonces

sen x eot x :=

COS X

para x =F (2k + l)n/2, k E Z De manera similar, ya que

01(senx) D sec x = =

( eos x)2

y

1 2 = (see x)2 ( eos X)

( eos x) ( cos x) - (sen x) ( sen x) D tan x =

( eos X )2

para x =F (2k + l)n/2, k E Z, y se aplica la regla del cociente 6.1.3 d), se obtiene

eos X see x :=

1 CDS X

tan x •= sen x

para toda x E R. Si se usan estos hechos conjuntamente con las definiciones

S'(x) :;: cos x:;: C(x) y C'(x) =sen x:;: - S(x)

e) Se demostrará más adelante que si S(x) ;:;: sen x y C(x) ::;: c9s x parn 111tl11 x ER, entonces

para f'(x)

(f(x))2 (7 )'(x) = (h0f)'(x) = h'(f(x))f'(x) =

b) Supóngase que f: 1-• H es derivable en I y quv / ( 1) I n y /'( 1) I o ¡i11111 . EJ. Si h(y) ;:;: l/y para y =FO, entonces es un ejercicio dcniosrrar que /i'(y) 1 1 para y E R, y =F O. Se tiene por lo tanto

1 IJ'l(IV¡\1 '11111 210

Sin embargo, g no es derivable en O. (Para una gráfica de f y g, ver las figuras 5.5.4 y 5.5.5 en la p. 197.)

b) Sean EN, n -:/= 1, impar, ses F(x) := x" para x ER y sea G(y) := y11" su función inversa definida para toda y E R. Como en el ejemplo a), se encuentra que Ges derivable para y =FO y que G'(y) = (l/n)y(l/nl1 para y-:/= O. Sin embargo, G no es derivable en O, aun cuando G sea derivable para toda y -:/= O. (Para una gráfica de F y G, ver las figuras 5.5.6 y 5.5.7 en las pp. 198 y 199.)

y> o. para 1 g'(y) = y(l/n)1 n

Se deduce por tanto que

~ 1 1 g' (y) = f' ( g ( y)) n(g(y))"1

1 1

n(yll"f-1 ny<n-1)/n .

6.1.10 Ejemplos. a) Sean EN par, sea!:= [O, oo) y sea f(x) :=x" parax El. Al l 111al de la sección 5.5 se vio que fes estrictamente creciente y continua en!, de modo que su función inversa g(y) := y1/n para y El:= [O, oo] también es estricta mente creciente y continua enJ.Además, se tienef'(x) = nx"-1 para toda x El. Se

"" r1igue por tanto que si y > O, entonces g'(y) existe y

l111111Jién se puede escribir en la forma g'(y) = l/f'(x), siempre que se tenga muy presente 1 ¡111· x y y se relacionan por y = f(x) o x = g(y).

1 g' 0 f(x) = f'(x) para x E l.

111·11 la forma

1 g' (y) = f' ( ) para y E ]

o g y

( )hscrvación. Si en el teorema 6.1.9 f: Lr+ R y g: J-+ R son funciones estrictamente 11111111 t11u1:1s, se ha visto ya que si f'(x) of. O parax El, entonces ges derivable en J. Si x El y 1 • I 1w relacionan por y= f(x) o [x = g(y)], entonces la ecuación (13) se puede escribir en li1 l1>1111;1

U1·1110,'ltrnd(111. Si fes derivable en/, por el teorema 6.1.2 se sigue que fes 1111111111111 1·11 /. Por lo tanto, por el teorema de la inversa continua 5.5.5, la función. 1111·1 u111 g 1:s con1 i1111a en./. La ecuación (13) se sigue del teorema 6.1.8. Q.E.D.

21:1 1 /\ 1 )l(IOVAD/\

1 g' = !-;--. og

{13)

6.1.9 Teorema. Sea IS: R un intervalo y sea f: I-> R estrictamente monótona en l. Sea J:« f(I)y sea g: J-> R lafu.nción inversa def Sif es derivable en J y f'(x) * O para x El, entonces ges derivable en J y

. , Nota. La hipótesis hecha en el teorema 6.1.8 de quef'(c) *O es esencial. De hecho, s1f. (e)= O, entonces la función inversa g no es derivable en d = f (e). En realidad, si g fuera derivable en d, como fes la función inversa de g, se puede aplicar el teorema 6.1.8 a g pa ra concluir que fes derivable en e= g(d) y que 1 = f'(c)g'(d) =Ü, que es una contradicción. Por lo tanto, g no es derivable en d. La funciónf(x) := x3, x ER, ejemplifica esto con e= o.

Q.E.D .. Por lo tanto, g'(d) existe y es igual a l/f'(c).

1 1 =

lím H(y) f'(c) · y->d

, 1 lim = y-.d H(y)

1, g(y)--g(d) Im

y-..d y - d

para y =F d, y El, se infiere que

1 H(y)

g(y) - g(d) y-d

c~1a~d.o O < IY di < Y, Y_El. Pero como e> O es un valor cualesquiera esl11 significa que Iím H(y) =T(c).

y=r d

Sin embargo, se observó ya que H(y) =F O para y =F d, y EJ. Como se tiene

IH(y) J'(c)I =lf(g(y)) f(g(d)) - f'(c)I <e g(y)-g(d)

Pero como g es continua en d = f(c), existe y> O tal que si IY di < y, y 1 I entonces l~(y) g(d)I < 8. Puesto que ges inyectiva y e= g(d), se tiene O < 11:( l'l el< 8 si O< IY di< y, y E]. Por lo tanto se sigue que

l_f(_x)_-_f_(c_) _ f'(c)I <e.

x-c

. Se demostrará que J~nd H(y) = f'(c). De hecho, ~il 1a• d11, (1, ('<11110 / 1111 d1

nvable en e= g(d), existe 8 >O tal que si O< lx el. 8, .1 1:: /, cnloun:.~

lll ,l<IVI\( l!lN 212

Sin embargo, demostrar con un ejemplo que la existencia del límite de esta .sucesión no significa que exista f' (e).

14< Dado que la función h(x) := x3 + .2x + 1 para x ER tiene una inversa h1 en R, encontrar el valor de (h1)'(y) en los puntos que corresponden ax= O, !,. 1.

15. Dado que la restricción de la función coseno a I := [O, n] es estrictamente decreciente y que cos O= 1, cos re= 1, sea J := [1, 1], y sea Arccos: J-+ R

.lafunción inversa de la restricción de cos a I. Demostrar que Arccos es derivable en (1, 1) y que D Arccos y= (1)/(1 y2)112 para y E(1, 1). Demostrar que Arceas no es derivable en 1 y l.

16.· Dado que la restricción de la función tangente a 1: (-n:/2, rc/2) es estrictamen te creciente y que tan (/) = R, sea Arctan: R + R la función inversa de la restricción de tan a l. Demostrar que Arctan es derivable en R y que D Arctan (y)= (1 + y2t1 para y ER.

f'(c) = lím(n{f(c + 1/n) f(c)}). ' ·'

,, ~~t·11 11 , N y sea que [: R-+ R esté definida por f(x) := x" para x ~ O Y f(x) := o pn111 1 ··o. ¡,Para qué valores de «!' es continua en O? ¿Para qué valores de 11 /" cN derivable en O'!

l , Suponer que f: R--+ R es derivable en e y que f(c) =O. Demostrar que g(x) ::/(.1')[ es derivable en e si y sólo sif'(c) =O.

H. lklcnninar dónde son derivables las siguientes funciones de R a R y encon trar la derivada: a) f(x) := !x~ + [x + I] b) g(x) := 2x + [x[ e) h(x) := x;x' d) k(x) := [sen x¡. e) p(x) := x2 para x racional y p(x) :=O para x irracional.

'' '!. Demostrar que sif: R-+ Res una función par [es decir,f(x) = f(x) para toda x E R] y tiene derivada en todo punto, entonces la derivada f' e~ u~a funció~ impar [es decir,f'(x) =f'(x) para todax ER]. Demostrar asrmismo que si g: R + R es una función impar derivable, entonces g' es una función par.

1 o( Sea que g: R-+ Resté definida por g(x) := x2 sen (1/x2) para x * O, Y g(O) = O. Demostrar que ges derivable para tocia x ER. Demostrar asimismo que la derivada g' no está acotada en el intervalo [1, 1].

11( Suponer que existe una función L: (O, co)+ R tal que L'(x) = l/x para x > O. Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a) f(x) := L(2x + 3) para x > O. b) g(x) := (L(x2))3 para x >O. e) h(x) := L(ax) para a> O, x >O. .d) k(x) := L(L(x)) cuando L(x) >O, x >O.

12( Sir:> O es un número racional, sea que f: R--+ Resté definida por /(x) := xr sen (1/x) para x of:; O, y f(O) := O. Determinar los valores de r para los que existe f'(O).

13. Si/: R-+ Res derivable en e ER, demostrar que

215 1 A lll\HIV/\lli\

d) k(x) :=tan (x2) para [x! < Viji.

b) g(x) := .Js - 2x + x2, a) f(x):= ~' 1+x e) h(x) :=(sen xk)m para m, k EN,

1( Usar la definición para encontrar la derivada de las siguientes funciones: a) f(x) := x3 para x ER. ' b) g(x) := l/x para x ER, x ;:/=O. e) h(x) := ..JX, para x > O.

/ d) k(x) := 1/,/X para x >O. 2. Demostrar que f(x) := x113, x ER, no es derivable en x =O. 3-! Demostrar el teorema 6.1.3 a), b). · 4/ Sea que f: R--+ Resté definida por f(x) := x2 para x racional, f(x) := O para x

irracional. Demostrar que fes derivable en x =O y encontrar f'(O). 5. Derivar y simplificar:

para toda y E (1, 1). La derivada de Arcsen no existe en los puntos 1 y l.


J1 y2 Vl(senx)2

1 l

COS X Dsenx DArcseny

l l

para toda x > O. Si r > 1, entonces es un ejercicio demostrar que la derivu.ln también existe en x =O y R'(O) =O. (Para una gráfica de R, ver la figura 5.5.8 en 111 p. 200.)

d) La función seno es estrictamente creciente en el intervalo l := [n/2, n/2J¡ por lo tanto, su función inversa, que se denotará por Arcsen, existe en J := [1, 1 ¡, Es decir, si x E [n/2, n/2] y y E [1, 1] entonces y = sen x si y sólo si Arcsen y= .1,

En el ejemplo 6.1.7 e) se afirmó (sin demostración) que sen es derivable en/ y que D sen x = cos x para x E l. Puesto que cos x :f. O para x en (n/2, n/2) por el teoremn 6.1.8 se sigue que

m x<m/n)1 = rxr1 n

l R'(x) =f'(g(x.))g'(x) = m(xl/n)"'1. x<I/11)1

n

e) Sea r := m/n un número racional positivo, sea I: jo, v.1) y st::i 1<(1) 11 para x El. (Recuérdese la definición 5.5.6.) Entonces U es la composiciuu d11 1111 funciones f(x) := xm y g(x) := x1111, x El. Es decir, R(x) = f(g(x)) para x e l. SI ill aplica la regla de la cadena 6.1.6 y los resultados de a) [o b), según 11 sea ¡uli 11 impar}, se obtiene entonces

1 )1 l{I VA( 'ION 214

FIGURA 6.2.1 Teorema de Rolle.

/

f(b) - f(a) 'P(x) := f(x) f(a) - b - a (x a).

Demostración. Considérese la función cp definida en I por

'

f(b) - f(a) = f'(c)(b a).

6.2.4 Teorema del valor medio. Suponer que fes continua en un intervalo cerrado [:=[a, b] y que f tiene derivada en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a, b) tal que

Como consecuencia del teorema de Rolle, se obtiene el importante teorema del valor medio.

Demostración. Si f se anula en l, entonces cualquier e en (a, b) satisfará la /' i unclusión del teorema. Por tanto, se supone que/no es este el caso; sustituyendo

¡ por! de ser necesario, es posible suponer que f asume algunos valores positivos. l'ur el teorema del máximomínimo 5.3.4, la función/ alcanza el valor sup {f(x): 1 1 /} > o en algún punto e de J. Puesto que f (a) = f( b) = O, el punto c debe estar en ¡11, h); por lo tanto,f'(c) existe. Puesto que/tiene un máximo relativo en e, por el

11·orcma del extremo interior 6.2.1 se concluye que f '(c) =O. Q.E.D.

(1.2.3 Teorema de Rolle. Suponer que fes continua en un intervalo cerrado l 111• t. J, qu« fa derivada f' existe en todo punto del intervalo abie;to (a, b) Y ~ue

/!") f(b). Entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que f (e)= O. (Ve1 la /1,1;111'11 6.2.1.)

n/Alt/4? St· oh::l'rva qw.: si f(x) := lxl en/:= [1, 1 ], entonces /tiene unmáximo interior

O; sin embargo, la derivada de f no existe en x"' O. 111 1

217 111, 'l'l•OIO,Mi\ IW.l. Vi\1.01( Ml\1)10

6.2.2 Corolario. Sea f: I > R continua en un intervalo I y supóngase que f tiene un extremo relativo en un punto interior e de l. Entonces la derivada de f en c no existe, o bien, es igual a cero.

Pero esto contradice la hipótesis de que f tiene un máximo relativo en c. Por tanto, no se puede tener f'(c) > O. De manera similar (¿cómo?), no se puede tener f'(c) <O. Por lo tanto, se debe tener f'(c) =O. Q.E.D.

f(x) - f(c) f(x)-f(c)=(x-c)· >O. x-c

Si x E V y x > c, se tiene entonces

x-c X E V, X,¡, c. para f(x) - f(c) >O

Demostración. Se demostrará el resultado únicamente para el caso en que f tiene un máximo relativo en e; la demostración del caso de un mínimo relativo es similar.

Si f' ( c) > O, entonces por el teorema 4.2. 9 existe una vecindad V s; I de c tal que

6.2.l Teorema del extremo interior. Sea e un punto interior del intervalo I en el que f' I ~ R tiene un extremo relativo. Si la derivada de f en c existe, entonces f'(c) =O.

El teorema del valór medio, que relaciona los valores de una función 1·011 l11• valores de su derivada, es uno de los resultados de mayor utilidad en el 1111~11~1 real. En esta sección se establecerá este importante teorema y se examinarán 1111111 nas de sus múltiples consecuencias.

Se empieza con el análisis de la relación entre los extremos relativos de 111111 función y los valores de su derivada. Recuérdese que se dice que la función/: I • R tiene un máximo relativo [o bien, un mínimo relativo] en e El si existe 111111 vecindad V:= V8(c) de e tal que f(x) ~ f(c) [o bien,f(c) ~ f(x)] para toda x 011 l' n J. Se dice que/tiene un extremo relativo en e El si tiene un máximo relativo, 11

bien, un mínimo relativo en c. El siguiente resultado proporciona la justificación teórica del conocido procr

so de encontrar los puntos en los que f tiene extremos relativos examinando lo~ ceros de la derivada. Sin embargo, se debe tener presente que este procedimiento sólo se aplica a los puntos interiores del intervalo. Por ejemplo, si f(x) := x en ~·I intervalo I := [O, 1 ], entonces el punto terminal x = O produce el único mínimo relativo y el punto terminal x = 1 produce el único máximo de f en/, pero ninguno de estos dos valores es un cero de la derivada de f

SECCIÓN 6.2 El teorema del valor medio

1)11.l{IVA( 'I( >N 2]6

Q.E.D. b) La demostración del inciso b) es similar y se omitirá.

Puesto qusJ'(c) ""'O y x2 -x1 >O, se sigue que f(x2) - f(x1) ~O. (¿Por qué?) Por taiitó, f(x1) ~ f(x;J y, como x1 < x2 son puntos cualesquiera de J, se concluye que fes creciente en J.

E_n cuanto a la afirmación recíproca, se supone que fes derivable y creciente, en l. Para cualquier punto e de J, si x > c, o bien, x < e para x E I, entonces se tiene que (f(x) /(c))/(x c). (¿Por qué?) Por tanto, por el teorema 4.2.6 se concluye que

Lf!.0Cc\ ·~O , ,,_. , f(x) - f(c) »; - e f (e) = Iím ;;;;. O.

x->c x-c

Demostracíón. a) Supóngase quef'(x) ""'O para toda x El. Si x1' x2 en Isatis lacen x1 < x2, entonces se aplica el teorema del valor medio a f en el intervalo cerrado J := [xl' x2] para obtener un punto e en (xl' x2) tal que

6.2.7 Teorema. Sea f: I--+ R derivable en el intervalo J. Entonces: a) fes creciente ~n I si y sólo si f'(x) ~O para toda x El.

'"'b) fes decreciente en I si y sólo si f' (x) ~ O para toda x E J.

Recuérdese que se dice que una función/: I--+ Res creciente en el intervalo I 1,i siempre que xl' x2 en I satisfacen x1 < x2, entonces f(x1) ~ f(xi). Recuérdese usimismo que fes decreciente en I si la función! es creciente en J.

6.2.6 Corolario, Suponer que f y g son continuas en I := [a, b], que son .lctivables en (a, b) y que f'(x) = g'(x) para toda x E (a, b). Entonces existe una 1 oustante e tal que f = g + e en J.

/' Demostración. Se demostrará que f(x) = f(a) para toda x E J. De hecho, si se d11 1 ' /, x >a, se aplica el teorema del valor medio a fen el intervalo cerrado Z, :=

1 u, 1 I· Se obtiene un punto e (que depende de x) entre a y x tal que f(x) f(a) = / '(1 ·)(x a). Puesto que f'(c) =O (por hipótesis), se deduce que f(x)- f(a) =O. Por

1111110,f(x) = f(a) para cualquier x El. Q.E.D.

(1.2.5 Teorema. Suponer que fes continua en un intervalo cerrado I := [a, b ], 1¡111' / «s derivable en el intervalo abierto (a, b), y que f'(x) = O para x E (a, b). ¡,'11/0111·e.1· fes constante en l.

I · 1 In 11 t·11w .lcl valor medio permite sacar conclusiones acerca de la naturaleza il1 111111 l1111df\11 I a partir de la información sobre su derivada f'. Los resultados lllj\1ilc11il'H M0 obtienen de esta manera.

219 I' 1, 'n l,C H( 1 :,MI\ 1)11.I, V/\ I ,( )1( MI :,1 no

FIGURA 6.2.2 Teorema del valor medio.

e X b a

· La interpretación geométrica del teorema del valor medio es que existe un punto en h1 curva y = f(x) en el que la recta tangente es paralela al segmento de recta que pasa por to11 puntos (a,f(a)) y (b,f(b)). En consecuencia, es fácil recordar el enunciado del teorema del valor medio trazando los diagramas apropiados. Si bien el uso ele este procedimiento ilOsb deberá desalentar, tiende a sugerir que la importancia de este resultado es de naturalez11" geométrica, lo cual es bastante engañoso. De hecho, el teorema del valor medio es un Jobo con traje ele oveja y es el teorema fundamental del cálculo diferencial. En el resto de esta sección se presentarán algunas de las consecuencias de este resultado. Más adelante so ofrecerán otras aplicaciones.

Q.U.1>, Por tanto, f(b) - f(a) = f'(c)(b- a)

0 = <,o'(c) = f'(c) _ f(b) - f(a). b-a

[La función cp es simplemente la diferencia de f y la l't111d{111 cuya grálk11 r11 t1I segmento de recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, J{b)); ver la figura (i.2.2.11 n función 'P satisface la hipótesis del teorema de Rolle, ya que 'Pes continua en !11, b], derivable en (a, b) y cp(a) = 'P(b). Por lo tanto, existe un punto e en (a, b) t:d q111'

Ul\RIV/\( 'l(ll'I 2L8

La estimación mejorada.es 10.2439 < JiÜ5 < 10.2500.

5 o.2439 < < v'10s 10.

2( 10.2500)

de dondesesigue que 10.2272 < ,/l05 < 10.2500. Quizás esta estimación no ten ga la precisión deseada. Es evidente que la estimación -Je< '1105_< "121 fue muy amplia y que se puede mejorar haciendo uso de la conclusión de q~~ < 10.2500. Por tanto, -JC < 10.2500 y se puede determinar con facilidad que

5 5 < v'los 10 < ) ,

2(11) 2(10

para algún número e con 100 < e < 105. Puesto que 10 < ./c < ..f1o5 < v'W = 11, se puede afirmar que

5 Vl05 v'lOO = r: ,

2vc

1 :,1 lector deberá aportar los detalles de este razonamiento. b) Es posible aplicar el teorema del valor medio para obtener cálculos apro

ximados y estimaciones de error. Por ejemplo, supóngase que se quiere evaluar Jl05. Se emplea el teorema del valor medio conf(x) := -JX, a= 100, b = 105 pa

ra obtener

\ .1"]11(x)}' = x"J,,_i(x),

<..2.9 Ejemplos. a) El teorema de Rolle se puede usar para localizar las raíces il1· una función. Si una función g se puede identificar como la derivada de una l unción f, entonces entre dos raíces cualesquiera de f hay al menos una raíz de g. l'or ejemplo, sea g(x) := cos x; se sabe entonces que ges la derivada de f(x) :=sen

/ 1 l'or tanto, entre dos raíces cualesquiera de sen x hay al menos una raíz de cos x. 1'111 otra parte, g'(x) = sen x = -f(x), por lo que otra aplicación del teorema de l{ollc nos dice que entre dos raíces cualesquiera de cos hay al menos una raíz de sen. .'>L· concluye por lo tanto que las raíces de sen y cos se entrelazan entre sí. Quizás v .... ta conclusión no sea nueva para el lector; sin embargo, un razonamiento similar M' puede aplicar a las funciones de Bessel 1,, de orden n ::: O, 1, 2, ... usando las u.laciones

( )h·us npllcacfuncs del teorema del valor medio

Sl1 d11rú11 otros tipos de aplicaciones del teorema del valor medio; para ello se 11, un iríl con más libertad a la experiencia previa del lector y a sus conocimientos 1wn vli de 1 us derivadas de algunas funciones muy conocidas.

..!21 11.'l'l'<H(ll,M¡\ IJl(I, VAl,OI( Mll,1)1()

Observación. El recíproco del criterio de la primera derivada 6.2.8 no se cumple. Por ejemplo, existe una función derivable f: R + R con mínimo absoluto en x = O pero tal que r asume valores tanto positivos como negativos a ambos lados (o de alguna manera cerca) de x = O. (Ver el ejercicio 6.2.9.)

Demostración. a) Si x E ( e - 8, c ), entonces por el teorema del valor medio se sigue que existe un punto ex E (x, c) tal que f(c) - f(x) =(e x)f'(c). Puesto que f'(c) ~O, se infiere quef(x) ~ f(c) para x E (c 8, c). De manera similar, se sigue (¿cómo?) que f(x) ~ /(c) para x E (c, c + 8). Por lo tanto,f(x) ~ /(c) para toda x E (e 8, c + 8), de donde f tiene un máximo relativo en c.

b) La demostración es similar. Q.E.D.

6.2.8 Criterio de fa primera derivada para extremos. Sea f continua en el intervalo 1 :=[a, b] y sea e un punto interior de J. Suponer que fes derivable en (a, e) y (e, b). Entonces:

a) Si existe una vecindad (e 8, e+ 8) ~ I tal que f'(x) ~O para c- 8 < x < e y f' (x) ~ O para c < x < c + 8, entonces f tiene un máximo relativo en c.

b) Si existe una vecindad (c 8, e + 8) ~ l tal quef'(x) ~O para e - 8 < x < c y f'(x) ~ O para e< x < e+ 8, entonces f tiene un mínimo relativo en c.

En seguida se verifica una condición suficiente para que una función tenga un extremo relativo en unpunto interior de un intervalo. Es común hacer referencia a esta condición como el "criterio de la primera derivada".

es tal que g'(O) = 1, a pesar de lo cual es posible demostrar que g no es creciente en ningunn vecindad de x:::: O. (Ver el ejercicio 6.2.10.)

Sl X* O, si x = O,

g(x) := x + 2x2 sen (1/x) :=o

Observación. Resulta razonable definir una función como creciente en un punto 11] existe una vecindad del punto en la que la función es creciente. Se podría suponer que, si 111 derivada es estrictamente positiva en un punto, entonces la función es creciente en c~l1• punto. Sin embargo, este supuesto es falso; de hecho, la función derivable definida por

Se dice que una función fes estrictamente crccíeute 1:111111 intervalo /ni p11111 cualesquiera puntos xl' x2 del tales que x1 < x2, se tiene f(x1) < f(x2). Co11 illl razonamiento similar a la demostración del teorema 6.2.7 se puede dcmosrrnr q111 una función que tiene una derivada estrictamente positiva en un intervalo es (.;slrl<• tamente creciente en el mismo. (Ver el ejercicio 6.2.13.) Sin embargo, la afi1•11111 ción recíproca no se cumple, ya que una función derivable estrictamente crccicntr puede tener una derivada que asuma valores cero en determinados puntos. 1101 ejemplo, la funciónj: R ~ R definida por/(x) := x3 es estrictamente creciente 011 N, pero f'(O) =O. La situación para las funciones estrictamente decrecientes es simil.u,

Dl\RIVA< 11<)N 220

6.2.11 Lema. Sea I <;:;;; R un intervalo, sea f: I-> R, sea c E I y suponer que f tiene derivada en c. Entonces:

a) Si f' ( e) > O, entonces existe un número o > O tal que f (x) > f ( c) para x El tal que c < x < c + o.

b) Sif'(c) <O, entonces existe un número o> O tal que f(x) > f (c) para x El tal que e - 8 < x < c . .

"i·

La propiedad del valor intermedio de las derivadas

Se concluye esta sección con un resultado interesante, más conocido como teorema de Darboux. Establece que si una función/ es derivable en todos los pun tos de un intervalo/, entonces la función/' tiene la propiedad del valor intermedio. Esto significa que sif' asume los valores A y B, entonces también asume todos los valores que están entre A y B. El lector puede identificar esta propiedad como una ele las importantes consecuencias de la continuidad establecida en el teorema 5.3.6. Resultanotable que las derivadas, que no son necesariaménte funciones continuas,

· también posean esta propiedad. \

donde la igualdad ocurre si y sólo si a = b. (Esta desigualdad es con frecuencia el <,

punto de partida para establecer la importante desigualdad de Holder.)

aªb1-ª,,;; aa + (1 - a)b,

Si a> O y b >O y se hacex =a/by se multiplica por b, se obtiene la desigualdad

xª ,,;; ax + ( l - a).

l'ucsto que e> O y a1 >O, se sigue que (1 + c)ª1 > 1 y, por tanto, que (1 + x)ª J t· rxx. Si 1 < x < O, una aplicación similar del teorema del valor medio en el

/ Intervalo [x, O] lleva a la misma desigualdad estricta. Puesto que el caso x =O da 1·111110 resultado la igualdad, se concluye que(#) es válida para toda x > 1 con la 1¡•,11aldad si y sólo si x =O.

d) Sea a un número real que satisface O < a < 1 y sea g(x) = ax - x" para 1 • O. Entonces g'(x) = a(l -xª-1), de modo que g'(x) <O para O < x < 1 y g'(x)

· O para x > l. Por consiguiente, si x ;3 O, entonces g(x) ;3 g(l) y g(x) = g(l) si y 1/110 si x = 1. Por lo tanto, si x ;3 O y O < a < 1, se tiene entonces

a r' (1 + x) - 1 = a(l +e x.

S 1 /1( 1) : ( 1 ·I .v)", entonces h'(x) = a(l. + x)" - 1 para toda x > l. [En el 1 l1·111¡ilo f1. l. IO e) se estableció la derivada para a racional. La ampliación a a 1!1111 I0111d se estudiará en la sección 8.3.] Six >O, por el teorema del valor medio 1q t1k·11llo ¡1 h en el intervalo (O, x] se infiere que existe e que satisface O < e < x tal q1H' /i(x) /i(O) = h'(c)(x O). Se tiene por tanto

22.1 11 'i'Jl.()l(Ji.MA lll\l.VAl.(11{ Mhl>IO

donde la igualdad ocurre si y sólo si x = O. Esta desigualdad se estableció antes, en el ejemplo 2.2.14 e), para valores

enteros positivos de a mediante inducción matemática. Se deduce ahora la versión más general empleando el teorema del valor medio.

para toda x > 1, (1 + x)ª ;3 1 + Q'.X (#)

para alguna centre O y x. Puesto que sen O= O y 1 ~ cos c ~ 1, se obtiene -x ~ sen x % x. Como la igualdad ocurre cuando x =O, la desigualdad é «) se encuentra establecida.

e) (Desigualdad de Bernoulli) Si a> 1, entonces

sen x - sen O= (cos c)(x - O)

De hecho, si se aplica el teorema del valor medio a gen el intervalo [O, x ], donde x > O, se obtiene

para toda x ;3 O. -x ~ senx ~ x ( * *)

ex-eº=ec(x-0).

Puesto que e0 = 1 y e e > 1, se llega a ex - 1 > x de donde se tiene ex> 1 + x para r >O. Un razonamiento similar establece la misma desigualdad estricta parax <O. Poi' tanto, la desigualdad I«) se cumple para toda x y la igualdad ocurre sólo si x =O.

b) La función g(x) r= sen x tiene la derivada g'(x) = cos x para todax ER. Con base en el hecho de que 1 ~ cos x ~ 1 para toda x E R se demostrará que

en la que la igualdad se cumple si y sólo si x = O. Si x = O, se tiene la igualdad con ambos miembros iguales a 1. Si x > Ü)o

aplica el teorema del valor medio a la función f en el intervalo [O, x]. Entonces pam alguna e con O < e < x se tiene

xER ( *)

6.2.10 Ejemplos. a) La función exponencial f(x) := ex tiene la derivada f'( 1) =ex para todax ER. Por tanto,f'(x) > 1 parax >o y f'(x) < 1 parax < O.Aparli1 de estas relaciones se establece la desigualdad

Un uso muy importante del teorema del valor medio es la obtención d<.: dt11 ll1N desigualdades. Siempre que se cuente con información acerca del codom inio cl11 lt1 derivada de una función, esta información se puede usar para deducir ciertas p111 piedades de la función en sí. Los siguientes ejemplos ilustran el valioso papel q111• desempeña el teorema del valor medio a este respecto.

Desigualdades

1111.l(IV/\C 'ICÍN 222

Encontrar el único punto del mínimo relativo para f. . · f 2 D 11" b1 rn < (a 5. Sea a>. b >O y.sean EN que satis ace n ~ . emostrar que a ·· - '

~ - b)l/n. [Sugerencia: Demostrar que f(x) := x1i" - (x - 1)1/" es decreciente parax ~ 1yevaluarfen1 y en a/b.]

6:' Usar el teorema del valor medio para demostrar que isen x - sen y;¡,;; 'x - y¡ . para toda x, y en R. /

1( Usar el teorema del valor medio para demostrar que (x- 1)/x "S)og x < x-1 yara x > l. [Usar el hecho de que D log x = l/x para x >o~r

sti Sea f: [a, b) _, R continua en [a, b) y derivable en (a, b). Demostrar que si lím f'(x) =A, entonces existe f'(a) y es igual aA. [Sugerencia: Usar la defi

1ni~iÓn de f'(a) y el teorema del valor medio.) 9~eáque f: R _,Resté definida por f(x) := 2x4 + x4 sen (l/x) para x * O y f(O)

:=O. Demostrar queftiene un mínimoabsoluto en x =O, pero que su derivada tiene valores tanto positivos corno negativos en cualquier vecindad de O. '

1o! Sea que g: R-> R esté definida por g(x) := x + 2x2 sen (1./x) para x i= O y g(O) :=O. Demostrar que g'(O) = 1, pero que en cualquier vecindad de O la deriva da g'(x) asume valores tanto positivos como negativos. Por tanto, g no es monótona en ninguna vecindad de O.

11( Dar un ejemplo de una función uniformemente continua en [O, 1] que sea derivable en (0,\1) pero cuya derivada no esté acotada en (O, 1).

X E R. n

f(x):= I:(a;x)2,

i= 1

¡., l '111 ¡¡ l;is siguientes funciones de R a R, encontrar los puntos de los extremos 1 d:il ivos, los intervalos en los que cada función es creciente y aquéllos en los que es decreciente: ;i) j'(x) := x2 - 3x + 5, b) g(x) := 3x- 4x2,

e) h(x) := x3 3x - 4, d) k(x) := x4 + 2x2 4. .>.. lincontrar los puntos de los extremos relativos, los intervalos en los que las

siguientes funciones son crecientes y aquéllos en los que son decrecientes: a) f(x) := x + l/x para x i= O. b) g(x) := x/(x2 + 1) para x ER. e) h(x) :=!X 2.Jx + 2 para x >O.

.d) k(x) := 2x + 1/x2 para x i= O. ]'. Encontrar los puntos de los extremos relativos de las siguientes funciones en

el dominio especificado: a) f(x) := ¡x2 1! para 4 ~ x ~ 4. b) g(x) := 1 (x - 1)213 para O~ x,;; 2. e) h(x) := x'x2 - 12! para 2 ,;;.x,;; 3. d) k(x) := x(x - 8)1/3 para O ,;; x,;; 9.

4'. Sean al' a2, •.. , "« números reales y sea que f esté definida en R por

l'I '11 tlltl'Mt\ Plil V/\l .OH Mi'.1>10

(que es una restricción de la función signo) no satisface la propiedad del valor ,intermedio en el intervalo [1, 1]. Por lo tanto, por el teorema de Darboux, no existe una función f tal que f' (x) = g(x) para toda x E [1, 1 J. En otras palabras, g no es la derivada en [1, 1] de ninguna función en este intervalo.

g(x) := 1 para x > O.

:= O para x = O.

:=1 para x<O.

6.2.13 Ejemplo. Es evidente que la función g: [1, 1] _, R definida por

Demostración. Supóngase que f'(a) < k < f'(b). Se define gen I por g(x) := kx- f(x) para x E/. Puesto que ges continua, alcanza un valor máximo en/. Puesto que g'(a) = k- f'(a) >O, por el lema 6.2.11 a) se sigue que el máximo de g no ocurre en x =a. De manera similar, como g'(b) = k- f'(b) <O, por el lema 6.2.11 b) se sigue que el máximo no ocurre en x = b, Por lo tanto, g alcanza su máximo en alguna e en (a, b). Entonces por el teorema 6.2.1 se tiene O= g'(c) = k-f'(c). Por tanto, f'(c) = k. Q.E.D.

6.2.12 Teorema de Darboux, Si fes derivable en J = [a, b] y si k es un núme- ro entre f'(a) y f'(b), entonces existe al menos un punto e en (a, b) tal que f'(c) = k.

o.e.n, Por tanto, si x El y e< x <e+ 8, entonces f(x) > f(c). La demostración del inciso b) es similar.

f(x) - f(c) f(x)-f(c)=(x-c)· >O.

X - C

Si x E f también satisface x > e, entonces se tiene

x-c f(x) - f(c)

>O.

por el teorema 4.2.9 se sigue que existe un número 8 > O tal que si x E f y O ... 11 el < 8, entonces

lím f(x) - f(c) = f'(c) >O, x-->c X - C

Demostración. a) Puesto que

l lllJN 224

Por tanto, la forma indeterminada O/O puede llevar a cualquier número real a como

límite. 0 Otras formas indeterminadas se representan por los símbolos =t=. O· ro, O ,

¡e/. ceo e co ce. Estas notaciones corresponden al comportamiento indicado en el límite y a la yuxtaposición de las funciones f y g. La tendón s.'! centrará en las formas indeterminadas O/O e ro¡rx,, Los demás casos indeterminados por lo ge~eral se reducen a la forma OíO ó oc¡w al tomar logaritmos, exponenciales o mediante operaciones algebraicas.

líma=a. x>O

ax lím x>O X

lím f(x) x+O g(x)

Sin embargo, si B = O, entonces no se llegó a ni~g~na co.nc~u~ión .. se :erá en el ejercicio 6.3.2 que si B =O y A * O, entonces el limite es Infinito (sí existe.).

· El caso en que A= O yB =O no se ha considerado aún. En este caso se die: q~e el límite del cociente f/g es "indeterminado". Se verá que en est~ caso el l.im~te puede no existir o ser cualquier valor real, dependiendo de las func10n~s part1cu~a res ¡y g. La simbología O/O se usa para referirse a esta situación. Por ejemplo, si a es cualquier número real y si se define f(x) := ax y g(x) := x, entonces .

A

B lím f(x) x-+c g(x)

Formas indeterminadas En los capítulos anteriores con frecuencia nos hemos ocupado de los métodos

p.1ra evaluar límites. En el teorema 4.2.4 b) se demostró que si A:= lí,!PJ(x) Y B := 11111 g(x), y si B i= O, entonces 1 ~e

Sli'.( '( ·núN <..J Reglas de L'Hospñtal

1 '.l marqués Guillame Francois L'Hospital (16611704) fue el a~tor del primer 1111111 de cálculo diferencial, L'Analyse des infiniment petits, publicado en 1696. 1 ',i11di6 el entonces novedoso cálculo diferencial de Johann Bernoulli (16671748), ¡111111(·1 o cuando Bernoulli visitó la finca campestre de L'Hospital _Y poste~iorm~nte 11 11 nvéx de una serie de cartas. El libro fue el resultado de los estudios de L Hospital. ¡ 1 lnm:ma del límite que llegó a conocerse como la regla de L'Hospi~al se dio a

1111111ccr en este libro, aunque fue descubierto en realidad por Bernoulli. ¡ :.1 teorema inicial fue refinado y ampliado, y los diferentes resultados se co

11111·cn en su conjunto como las reglas de L'Hospital (o de L'Hópital). En esta sec 1 11111 se establecen los resultados básicos y se indica la manera en que se pueden .ltducir los demás.

J(lltll AS lll'. l 'llWll'l'l'i\1.

Demostrar que si fes uniformemente derivable en I, entonces f' es continua enr

20! Supóngase que f: [O, 2] > R es continua en [O, 2] y derivable en (O, 2), así como que f(O) = O,f (1) = 1 y f (2) = l. a) Demostrar que existe c1 e (O, 1) tal que f'(ci) = l. b) Demostrar que existe c2 E (1, 2) tal que f'(c2) =O. e) Demostrar que existe e e (O, 2) tal que f'(c) = Í· (-r. v.1. ?M-A 'Dl':R 1v;lí>11))

l f(x) f(y) f'(x)I <e. x-y

19. Se dice que una función derivable f: J--> Res uniformemente derivable en 1 :=[a, b] si para toda E> O existe 8> O tal que si O< lxy¡ < 8 y x,y e/, entonces

lf(x) J(y) f'(c)I < e,

x - y

12. Si h(x) :=O para x <O y /z(x) := 1 para x ;?;o O, di,;1llll.~li111 qui; 110 uxi~111 111111 función f: R > R tal que f'(x) = h(x) para toda x e R. Dar ejemplos (I¡· d1111 funciones, que no difieran por una constante, cuyas derivadas son iguall')I 11 h(x) para toda x * O.

13/ Sea 1 un intervalo y seaf: J--> R derivable en J. Demostrar que sif' es posit lvn en J, entonces fes estrictamente creciente en /.

14."' Sea I un intervalo y sea f: I--> R derivable en/. Demostrar que si la derivada f' nunca es O enJ, entoncesf'(x) >O para todax el o bienf'(x) <O para lodu XE J.

15 y' Sea I un intervalo. Demostrar que si fes derivable en I y si la derivada f' est 6 acotada en/, entonces f satisface una condición de Lipschitz en/. [Recuérde se que se dice que una funciónf: l=+ R satisface una condición de Lípschitz en 1 si existe una constante K.tal que lf(x) f(y)I ~ ~x- yi para toda x, y en l. (Ver la sección 5.4.)]

16. Seaf: [O, oo)> R derivable en (O, oo) y supóngase que f'(x)> b cuando x» oo, a) Demostrar que para cualquier h >'·o se tiene lím (f (x + h)- f (x))/h = b.

x->:io

b) Demostrar que si f (x)--> a cuando x--> oo, entonces b =O. e) Demostrar que lím (f (x)/x) = b.

x->cc

17':" Sean f, g derivables en R y supóngase que /(O) = g(O) y f'(x) ~ g'(x) para toda x;;;: O. Demostrar que f(x) ~ g(x) para toda x ;;;: O.

18. Sea 1 :=[a,' b] y seaf: I--> R derivable en e e J. Demostrar que para toda E> O existe o> O tal que si O < !x YI < 8 y a ~ x ~ e ~y ~ b, entonces

l)J ~IU Vi\('1( lN 22(1

a) Sí lím f:((x)) = L para L ER, entonces lím f((x)) = L; x .... a+ g x . x .... a+ gx

b) Si lím f_ :((x)) =ce [o bien, oo] entonces lím f((x)) =ce [o bien, =l x-+a+ g X x--+a+ g X

~··/ .. 6.3.3 Regla de L'Hospítal. Suponer que f y g son continuas en [a, b ], que son

derivables en (a, b), quef(a)!::: g(a) =O y que g(x) -=fa O y g'(x) i= O para a< x < b. Entonces:

Se establecerá a continuación el resultado principal de esta sección, al que se liará referencia como la regla de L'Hospital. El lector deberá observar que, en con traste con el teorema 6.3.1, el resultado siguiente no supone la derivabilidad de las lunciones en el punto a. Este resultado afirma que el comportamiento en el límite def/g en a es igual al comportamiento en el límite de f' /g' en a, incluyendo el caso en que el límite es infinito.

Observación. El teorema anterior posee una interpretación geométrica que es simi 1111 :i la del teorema del valor medio 6.2.4. Se puede considerar que las funciones f y g 1l1•lcrminan una curva en el piaría por medio de las ecuaciones paramétricas x = f(t), y= g(t) !ln11dc a ~ t ~ b. Entonces la conclusión del teorema es que existe un punto (f (c), g(c)) en

"1i1 curva para alguna e en (a, b) tal que la pendiente g'(c)/f'(c) de la recta tangente a la curva 1 11 ese punto es igual a la pendiente del segmento de recta que une los puntos terminales de 111 curva. Obsérvese que si g(x) := x, entonces el teorema del valor medio de Cauchy se tl'lluc~l teorema del valor medio 6.2.4.

l'i1('sto que g'(c) -=fa O, se obtiene el resultado buscado al dividir entre g'(c). Q.E.D.

O= h'(c) = f(b) - f(a) g'(c) f'(c). g(b) g(a)

l11111111<'~S hes continua en [a, b], es derivable en (a, b) y h(a) = h(b) =O. Por lo 111111n, por el teorema de Rolle 6.2.3 se sigue que existe un punto e en (a, b) tal que

f(b)-f(a) .N h ( X ) := ( , ) ( ) ( g ( X) - g ( a) ) - ( f ( X ) - f ( a) ) .

r: go -ga

l>rmoslrnció11. Como en Ja demostración del teorema del valor medio, se 1111111t111~·e 111w función a la que se pueda aplicar el teorema de Rolle. Se observa en ¡1111111·1 término que como g'(x) -=fa O para todax en (a, b), por el teorema de Rolle se

lg111· q11~ g(a) * g(b). Ahora, para x en [a, b], se define

f'( e) g'(c).

f(b) - f(a) g(b) g(a)

229 l{l•,(11.AS 1)1\ 1.'llOSl'l'l'AI.

. 6.3.2 Teorema del valor medio de Cauchy, Sean f y g continuas en [a, b] y derivables en (a, b) Y suponer que g'(x) -=fa O para toda x en (a, b). Entonces existe e en (a, b) tal que

El resultado anterior permite trabajar con límites tales como

X2 +X 2 · Ü + l l lim = x _,.o sen 2 x 2 cos O 2

Para. '.,llane!ar límites cuando f y g no son derivables en el punto a es necesaria una version mas general del teorema del valor medio debida a Cauchy.

mientras que f'(O) = ! g'(O) 2

lím J(x) = 17 x ..... o g(x) 3 '

Advertencia. La hipótesis de que f(a) = g(a) = O es esencial aquí. Por ejemplo, :;l f(x) := x + 17 y g(x) := 2x + 3 para x ER, entonces

X - a x-+a+

Iím g ( x) g ( ª) Q.E.l), f'( a) g'( a).

1, f(x) f(a) lffi

x-->a+ X - a lím f(x) x-->a+ g(x)

Aplicando el teorema 4.2.4 b) se obtiene

x-a g(x) - g(a)

X - a f(x) - f(a) g(x) - g(a)

f(x) -f(a) J(x) g(x)

6.3.1 Teorema. Sea que f y g estén definidas en [a, b ], sea f(a) = g(a) f11

sea g(x) ~O para~< x < b. Sify g son derivables en a y si g'(a) ;:fa O, enunu» existe el limite de f/g en a y es igual a f'(a)/g'(a). Por tanto

Iim f(x) = f'(a) x-->a+ g(x) g'(a) ·

Demostración. Puesto que f(a) = g(a) =O el cociente f(x) 'g(x) para a< 1 b se puede escribir de la siguiente manera:

1 '

Regla de L'Hospital: El caso 0/0

Para ~emostrar que el uso de la derivación en este contexto no es un dl'~lil llill1,

forz~do sino natural, se establece primero un resultado elemental que se 1w111 , " clusivamente en la definición de derivada.

1 )1 \1(1 VAi 'I( lN

d) Se tiene lím (log x)/(x 1) = lím (1/x)/1 =l. x~l x~l

1 2

ex - 1 lím x+O 2x

ex T 1 X l , I un _,,._.._2 __ x->O X

~/

e) Se tiene lím (ex 1)/x = lím ex¡1 = 1 x--> O x-+ O

De manera similar, se tiene

1 2

l cos x sen x cos x lím = lím = lím x+O x2 x-+O 2x x>O 2

El cociente del segundo límite es de nueva cuenta indeterminado en la forma o¡o. Sin embargo, las hipótesis de la regla de L'Hospital aún ~e cumple, de tal modo que es válida una segunda aplicación de la misma. Se obtiene por tanto

(1 cos x ) sen x .... b) Se tiene lím 2 = lím 2 ·

x-+O X x-+O X

Obsérvese que el denominador no es derivable en x :;:; O, por lo que no es posible aplicar el teorema 6.3.1.

<,

sen x cos x r: lím = lím = lím 2vx cos x = O.

x>O+ Vx x+0+ 1/(2Vx) x>O+

6.3.5 Ejemplos. a) Se tiene

, f'(x) lím , . Q.E.D.

x-+oog(x) _ F(t) _ f'(l/t)

hm = hm , 1 ..... 0+ G(t) 10+ g (1/t)

lím f(x) x->+oo g(x)

< )hsérvese que lím F(t) = lím f(x) y lím G(t) = lím g(x). Ahora se aplican a t-+O+ x-+oo t-+O+ x.-.co

¡:y e; las hipótesis del teorema 6.3.3. Para O< t < l/b, la regla de la cadena 6:1.6 int~ica que F'(t) = (l/t2)f'(l/t) y que G'(t) = (l/t2)g'(l/t). Por tanto, al aplicar l'i teorema 6.3.3, se concluye que

Hl'.lll.i\S lll\ 1.'l H lSl'l'l'i\l. 231

F(t) := f(l/t) si o e t ~ l/h,

:=o si t =O;

G(t) := g(l/t) si o < t ,,;;; l/b,

:=o si t =o.

V

,, 1

Demostración. El cambio de variables t := l/x permite considerar las funcio nes F y G definidas en el intervalo [O, l/b] por

lím f(x) = lím f'(x) x-+oo g(x) x+oo g'(x) ·

6.3.4 Teorema. Suponer que f y g son continuas y derivables en [b, oo), que lím f(x) = lím g(x) =O, y que g(x) * O y g'(x) :fo O para x > b. Entonces

x-+oo x-+x

El último resultado se estableció para límites por Ja derecha, pero es evidente que al combinar los resultados para límites por la izquierda y por la derecha St' llega al resultado correspondiente para límites por ambos lados.

A continuación se ampliarán los resultados al caso de límites en el infinito; so considerará tan sólo el caso co,

Puesto que K es arbitraria, se concluye que lím f(x)/g(x) = +oo. Q.E.u. x-+a +

f(x) f'(cx) --=-->K g(x) g'(cx) ·

Puesto que esca expresión es válida para toda x con a < x < a + 8, se concluye t¡111 lím f(x)/g(x) =L. ·

x-+a + b) Se considerará únicamente el caso +oo. Si se da cualquier K >O, entoneoa

existe o> o tal que si a< X< a+ oentoncesf'(x)/g'(x) > K. Para cada una (I¡

talesx se puede aplicar el teorema del valor medio de Cauchy 6.3.2 para obtener 1,

tal que a < ex < x < a + ó y

¡ ~ 1-IJ'(cx) - 1 ( ) L - '( ) L <e. g X g Cx

Puesto que ex satisface a < ex < a + o, la desigualdad anterior indica que

f(x) f'(c") = g(x) g'(c,J ·

Para cada x que satisface a < x < a + o se obtiene (por el teorema del valor 111111111. de Cauchy) un punto ex tal que a <s.: x y

¡f'(x) - LI < ~ g'(x) "·

Demostración. a) Si se da e >O, entonces existe o ·O Ial que si 11 • 1

o entonces

l>l\IUVA< 'ION 230

Las formas indeterminadas tales como oo ce, O · oo, 100, o0, oo O se pueden reducir a los casos ya considerados mediante operaciones algebraicas y el uso de

Otras formas Indeterminadas

Puesto que lím x/(sen x) = 1 y lím cos x = 1, se concluye que el límite bajo x->O+ \ x__,o+

consideración es igual a 1.

log sen x ( • x ) ljm = lím sen x = lím · cos x. ---x40+ log x x->O+ l/x x-->O+ sen X

COS X

6.3.7 Ejemplos. a) Sea I =(O, oo) y considérese lím (log x)/x. x r+ co

Si se aplica la modificación del teorema 6.3.6, se obtiene Iím. (lag x)/x = lím(l/x)/1=0. x->oo 1·~

b) Sea l = R y considérese lím x2 [e". x__,x Se tiene lím x2iex = lím Zxte" = lím 2/ex =O.

x--¡.x , X-l>CC 1 x~oo

e) Sea J;:: (O, n) y considérese lím (log sen x)/log x. x->O +

Al aplicar el teorema 6.3.6 se obtiene

: Hay un resultado análogo al teorema 6.3.6 que es válido bajo las mismas hipótesis para el cálculo de límites cuando x ~ ce (o cuando x ~ oo ). Este resulta tll\ se establece con base en el teorema 6.3.6 del mismo modo que el teorema 6.3.4 :.1· derivó del teorema 6.3.3. Este resultado se usará ampliamente, dejando los de t.rlles al lector.

l'ucslo que E> O es un valor cualesquiera, se concluye que lím /(x)/g(x) =L. x--¡.a+

b) Se deja la demostración como ejercicio. Q.E.D.

1

f (X) 1 1 r ( 0 1 1 g(x) L = g'(g) . F(x) - L

lf'(O \ ¡ ¡1 = g'(fl LF(x)

1 • F(x)

< {I~:~!~ i\ +IL LF(x)l}IF(x)l1

<(e+ IL\e)2 = {2(1 + ILl)}e.

l'111·Hln que 11 · x < c3 < c2 < c1 <a+ í5, se sigue que

233 ur« ll.l\S 1ll\1."l lOSl'll'/\L

f'(O 1 · g'(O F(x) · f(x) = g(x)

Entonces, por el teorema del valor medio de Cauchy 6.3.2, existe ~en (x, c1) tal que

F(x) l

· F(x). f(x)-f(c¡J g(x) g(c1)

F(x) ·=

f(x) f(x) g(x) = g(x)

Se observa que

1 l < <2.

IF(x)I l e

Obsérvese q~eco~o g'(x) *O para a< x a+ ' 3 3 < C2 tal que IF(x)1 I < E siempre que a< x < c3• Por tanto, si a <x < c3 se tiene

para a < x < e 2 . F(x):= l-f(c1)/f(x)

l g(c1)/g(x)

Se e~ige c1 en (a, a+ í5) y, como /tiene límite por la derecha infinito en a, se puede elegu c2 en (a, c.) tal que/(x) * f(c1) para a< x < c2. Se define ahora la función F en (a, c2) por

l

f'(x) 1 g'(x) L <e.

~emostiración. a) Por hipótesis, si se da O< E~ L entonces existe í5 > {) ¡11¡ que sr a < x < a + í5, entonces

6.3.6 Teorema. Suponer que f y g son derivables en (a, b ), que lím /{i) Y }I~ + g(x) = 00, Y que g(x) *O y g'(x) * O para a< x < b. Enton·~.;5'.; +·

, ) S' l' f'(x) f (x) a t . !,m ----,---.( ) = L para L E R, entonces Iím = L · x a+gx x->a+g(x) '

b) s, u f'(x) f(x) z . ~.m ,.( ) = oo [o bien, oo] entonces lím · = oo [o bien oo] x a+g X x->a+ g(x) '

EH caso co ¡w En el resultado siguiente se considera la forma indeterminada oo¡w.

232

~ lím log(x + 1) tan x

(O, 'lT/2), b) lím (O, 'IT'/2), x .... o+ sen x x->O+ X

lím logcos x tanxx

e) (O, tt /2), d) lím x3 (O, 'IT'/2). x-->O+ X x>O+

7 !Evaluar los siguientes límites: <, 1 Aretan x

a) lím ( eo, oo), b) lím 2 (O, 1),

x .... o X x>O x(log x)

x3 log x x3

e) lím (O, oo), d) lím (O, oo). x--+O+ X ---?00 ex

Ejerckios de la sección 6,3

1"'.° Suponer que f y g son continuas en [a, b] y derivables en (a, b ), que e E [a, b] y que g(x) *O parax E [a, b], x *c. Sea A:= F.!PJ y B := V!!lc g. Si B =O y si lím f(x)/g(x) existe en R, demostrar que debe tenerse A =O. [Sugerencia:

x-->c f(x) = {f(x)/g(x)}g(x).]

'.?/Además de las hipótesis del ejercicio anterior, sea g(x) >O para x E [a, b ], x * c. Si A > O y B =O, demostrar que se debe tener F.!Pc f(x)/g(x) = oo, Si A <O y B =O, demostrar que se debe tener lím f(x)/g(x) = oo. x->c

3( Seaf(x) := x2 sen (1/x) para O< x ~ 1 y f(O) =O, y sea g(x) := x2 parax E [O, 1 ]. Entonces tanto f como g son derivables en [O, 1] y g(x) > 9 para x * O. Demostrar que lím f(x) =O= lím g(x) y que lím f(x)/g(x) no existe .

.;¡,. / x-tO xs O x r+Ü

4. Sea f(x) := x2 para x racional, sea f(x) := O para x irracional y sea g(x) := sen x para x ER. Usar el teorema 6.3.1 para demostrar que lím f(x)/g(x) =O. Ex plicar por qué no se puede aplicar el teorema 6.3.3. x »

0

s/ Seaf(x) :=x2sen (1/x) parax *O, seaf(O) := Oy seag(x) := sen x para x e R Demostrar que lím f(x)/g(x) =O pero que lím f'(x)/g'(x) no existe.

/ x--toO x-¡,O 6( Evaluar los siguientes límites, donde el dominio del cociente es el que se

indica.

Sl: tiene por lo tanto lím (1 + l/x)x = eº= l. X>Ü+

1 lím = O.

x .... o+ l + l/x log(l + l/x)

lnn x log ( l + l/x) = lirn x•O+ x .... o+ I/x

P111·Nl1l que y i> <:Y es continua en y= 1, se infiere que lím (1 + 1 xY =e. • x-HX) /:

e) Sea I :=(O, oo) y considérese lím (1 + 1/x)X, que tiene la forma indeter X-> Ü +

111 inuda 00°. De acuerdo con la fórmula ( * ), se considera

235 HHOI ,l\S IW. L'llOSl'ITl\L

l lim = l.

x>oo I + I/x

, (1 + l/x)1(x2) lím .:...

x-->oo -x-2

, log(l + l/x) lim xlog(l + l/x) = lím

x->00 x ... oo l/x

Se tiene además

(l + l/x)"' = ex!og(l+l/x). ( =)

e) Sea I :=(O, 00) y considérese lím xX, que tiene la forma indeterminada oO X-+Ü+ 1

Se recuerda por el cálculo elemental (ver también la sección 8.3) que xx =ex Iagx,

Po~ el ejercicio b) y por la continuidad de la función y H eY en y = O se sigue que Iím xx =eº= l.

X-+ Ü +

d) Sea I := (1, 00) y considérese lím (1 + l/xY, que tiene la forma indeter minada l "'. Se observa que x .... ce ·

l/x -l/x2 = lím (-x) =O.

x->0+

log X lím x log x = lím = lím

x-->O+ .:>O+ l/x x->O+

b) Sea l :=(O, ro) y considérese lím x log x, que tiene la forma indeterminn da O· (oo). Se tiene x-. 0 + ' ·

o =o 2 .

lím x-->O+ Sen X + X COS X

+sen z lím . ·~

x->O+ 2 cos x - x sen x>; cos X - I

sen x - x lím x->O+ x senx (

l l ) lím = x->O+ x sen x

que tiene la forma indeterminada oo co. Se tiene

( l 1 ) Iím

x-->O+ x sen x '

6.3.8 Ejempjos, a) Sea I :=(O, n/2) y considérese

las funciones !ogarítmica y exponencial. En lugar de tormulur estas vurinnl(.)N ~·rn1111 teoremas, se ilustrarán las técnicas pertinentes por medio ele ejemplos.

l)I\HIVM'l<'>N 234

( X - t) n - . ¡<n)(t) F(t) := f(x) - f(t) - (x - t)f'(t) - · · · nl

Demostración Sean x0 y x dadas y sea que J denote el intervalo cerrado con puntos terminales x0 E· Se define la función F en J por

+

\ f"(xo) 2 f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 21 (x - xo)

¡<n>(xo) n ¡<n+l>(c) n+l + n! (x-x0) + (n+l)!(xx0) •

(2)

6.4.l Teorema de Taylor. Sean EN, sea I =I«. b] y sea f: l=+ R tal que f Y sus derivadas f', f", ... , ¡<11l son continuas en I y que ¡<11 + 1 l existe en (a, b ). Si x0 E/, entonces para cualquier x en I existe un punto centre x y x0 tal que

1 ioscc Ja propiedad de que él y sus derivadas hasta del orden n coinciden con l.a

Iunción ¡y sus derivadas hasta el orden n, en el punto especificado x0• Este poh numio p se llama el nésimo polinomio de Taylor para f en x0. Es natural esperar que este polinomio proporcione una aproximación razonable.de /para punto.s próxi mos a x , pero para graduar la precisión de la aproximación es necesano tener informa~ión en cuanto al residuo R11 := f- P11• El siguiente resultado fundamental proporciona esta información. ~.

, f"(xu) 2 P"(x) := f(x0) + f (x0)(x x0) + 21 (x - Xo)

¡<n>( Xo) n + · · · + ni (x - x0) ,

( 1)

111 1 dr 1111 i1111·1 valo J que contit:11i..: un punto e, entonces es posible considerar la

1 •i•.ti·111·i:i rk: la derivada de la función!' en el punto c. En caso de quef' tenga il1 1 lv:1d.1 ~·n el p1111lo e, se hace referencia al número resultante como la segunda de 1 lviuln de rl'll c. y este número se denota por f"(c) o por ¡<2)(c). La tercera derivada

, 1lr 1 i ne de manera similar f'"(c) = JC3l(c), ... , y la nésima derivadajv" (e), siem 1,1, que L·stas derivadas existan. Se hace notar que la existencia de la nésima deri 1.11i1a en e presupone la existencia de la (n 1)ésima derivada en un intervalo que , 11n1 icnc a e, pero dejando abierta la posibilidad de que e sea uno de los puntos ll'll11inak:s de dicho intervalo.

Si una función f tiene nésima derivada en un punto x0, no es difícil construir 1111 pnlinomio de nésimo grado P11 tal que P11(x0) = f(x0) y p~k)(x0) = ¡<k)(x0) para k

1, 2, ... , n. De hecho, el polinomio

.'I/ '11 01(1 MA 1 )11 'l'A YI <lit

Una técnica de suma utilidad en el análisis de funciones reales es la aproxima ción de funciones por polinomios. En esta sección se demostrará un teorema fun damental en esta área que se remonta a Brook Taylor (16851731), aun cuando el término del residuo fue incorporado mucho después por JosephLouis Lagrange (17361813). El teorema de Taylor es un poderoso resultado que tiene múltiples aplicaciones. Se ilustrará la versatilidad del teorema de Taylor mediante una expli cación breve de algunas de sus aplicaciones en estimaciones numéricas, desigual dades, valores extremos de una función y funciones convexas.

El teorema de Taylor se puede considerar como una ampliación del teorema del valor medio a derivadas de "órdenes superiores". En tanto que el teorema del valor medio relaciona los valores de una función con su primera derivada, el teore ma de Taylor proporciona una relación entre los valores de una función y sus deri vadas de órdenes superiores.

Las derivadas de orden mayor que uno se obtienen por una ampliación natural del proceso de derivación. Si la derivada f'(x) de una función f existe en todo pun

SECCIÓN 6.4 Teorema de Taylor

Hacer después la evaluación cambiando la expresión en términos de senos y cosenos.

x>iT/2 sec x lím tan x

12. Intentar aplicar la regla de L'Hospital para encontrar

11. Sea f derivable en (O, oc) y supóngase que Iím (f(x) + f'(x)) =L. Demostrar x->x

que lím f(x) = L y lím f'(x) =O. [Sugerencia: f(x) = éf(x)le-'.] x+x x-+«- '

d) e) lím x"nx (O,oo), x--->O+

" lím (sec x - tan x) (0,'71/"I x->iT/2-

b) lím (sen x)x (O, tr ), x+0+

10.ivaluar los siguientes límites:

a) lím x11x (O, ao), x--+oo

(O, 0t1) d) lím (~ 1) x->O+ X Arctan X

e) lím (l + 3/x)x (O, oo), x->oo

b) lím (1 + 3/xY (O, ao), x->O

X+ log X d) lirn (O, ao).

x->oo X log X e) lím x log sen x (O, tr ),

X-1'0

e( 'Evaluar los siguientes límites:

a) lím x2x (0,oo), x->O+

log X b) lím (O, ao),

X+00 IX

s;/ Evaluar los siguientes límites: logr

a) lirn 2 (O, ao), x-+oo X

236

con un error menor uue Jl)5.

1 1 ezPa(l)=l+l+ +"·+¡=2.71828 2! 8.

Y el residuo para x = 1 está dado por R (1) = é/(11 + 1) ! para alguna e que satisface n 5

()<e< l. Puesto que ec < 3, se busca un valor den tal que 3¡(n + 1)! < 10 . La rcalizaciónde;:;'n cálculo revela que 9! = 362,880 > 3 x 105, de tal modo que el valotv~ = 8 proporcionará la precisión deseada; además, puesto que 8! = 40,320, no hay la seguridad de que sea suficiente un valor menor den. Se obtiene por tanto

\ x2 x" f (X) := 1 + X + + ' ' . +

" 21 n!

/\:;í se tiene 1m i.09¡ < 0.5 x 102, con lo cual se asegura una precisión de clos 1 1 lras decimales.

b) Aproximar el número e con un error menor de 135, '.. Se considera la función g(x) := ex y se toma x0 = O y x = 1 en el teorema de 'Iuylor. Es necesario determinar n de tal modo que IR/1)1 < 105. Para ello se usará c;l,.hecho de que g'(x) = ex y la restricción inicial de ex ~ 3 para Ü ,¡:_:;X ~ l.

Puesto que g'(x) = eX, se sigue que g<kl(x) =ex para toda k EN y por lo tanto ¡;tkl(O) = 1 para toda k EN. Por consiguiente, el nésimo polinomio de Taylor está dacio por

< 0.17 X 102. 5 ( 3 )3 1 R2(0.3) ~ fil 10 = 600

f'"(c) 5 d1111lk Ri(x) = 3! x3 =TI (1 + ct8i3x3 para algún punto e entre O y x.

\1 hacer X = 0.3 se obtiene la aproximación p 2(0.3) = 1.09 para m. Además, 1111110 e> O en este caso, entonces (1 + ct8'3 < 1 y, por tanto, el error es a lo sumo

t1A.Z l•~jcmpios. a) Usar el teorema de Taylor con n = 2 para aproximar YI 11,r ...... 1.

Sl· loma la función/(x) := (1 + x)1/3, el punto x0 =O y n = 2. Puesto que f'(x) = 1 ( 1 1 1) :ip y f"(x) = H j)(l + xt513, se tiene f'(O) = j y f"(O) = 2/9. Se obtiene ¡1111 1.11110

1'111 1i11 u p111'k, Mi se especifica una precisión determinada, entonces la cuestión

11111nlr.t1· r11 1·11l'1J11lrar un valor adecuado de n. Los siguientes ejemplos ilustran 111111111.e uxuclvcn estos casos.

l.l'I i l•(JI(llMA 1 >l'.'IJ\Yl.01(

Aplicaciones del teorema de Taylor

El término correspondiente al residuo R11 del teorema de Taylor se puede usar para estimar el error al aproximar una función por su polinomio de Taylor P . Si el número n está dado, entonces surge la cuestión de la precisión de la aproximación.

para algún punto e entre x y x0. Se hace referencia a esta fórmula para R11 como la forma de Lagrange (o como la forma derivada) del residuo. Se conocen muchas otras expresiones para R11; una de ellas se expresa en términos de integración y se introducirá más adelante. (Ver el teorema 7.3.14.)

¡(n+l)(c) R ( ) := . ( _ )n+I

n X ( ) 1 X Xo n + 1 . (3)

Se usará la notación P,, para el nésimo polinomio de Taylor (1) de f y R 11 para el residuo. Así, la conclusión del teorema de Taylor se puede escribir como f(x) = P11(x) + R 11(x), donde R 11 está dado por

Q.E.D. que implica el resultado enunciado.

n + 1 ( i"" ( )" f( +I) x-x0 x-c ¡<n+l>(c)= " (e){. )n+I

(xc)" n! (n+l)! x-xo . 1

l ( )n+l - -- X - X o n F' (e)

n+l (x-c)

Se obtiene por tanto

(x e)" 0 = G'(c) = F'(c) + (n + 1) n+I F(x0).

(X - x0)

para t El, entonces G(x0) = G(x) =O. Al aplicar el teorema de Rolle 6.2.3 se obtie ne un punto e entre x y x0 tal que

( t )n+l

G(t) := F(t) == F(x0) X - Xo

Si se define G en J por

(x - tf ! ¡<n+l)(t).

n. F'( t) =

para t El. Entonces un sencillo cálculo indica que se 1 lene

lll1.lll VA( 'l()N 2JH

Funciones convexas " La noción de convexidad es fundamental en varias áreas, en particular en la

teoría moderna de la optimización. Se examinarán de manera breve las funciones convexas de una variable real y su relación con la derivación. Los resultados bási cos, con las modificaciones adecuadas, se pueden ampliar a espacios de dimensio nes superiores.

.loude e es algún punto entre x0 y x. Puesto que .f(n) es continua, si .f(n)(x0) * O, ruionces existe un intervalo U que contiene a x0 tal que JC11l(x) tendrá el mismo lii¡'.110 que .f<11l(x0) para x E U. Si x E U, entonces el punto e también pertenece a U y,

<, p11r consiguiente,f<11l(c) y ¡<11l(x0) tendrán el mismo signo. i) Si n es par y JC11l(x0) > O, entonces para x E U se tiene .fC11l( e) > O y (x - x0)''

· O.Je tal modo que R11_ 1(x) ~O. Por tanto,f(x) ~ .f(x0) para x E U y, en cense rucncia, f tiene un mínimo relativo en x0.

ii) Sin es par y .fCnl(x0) <O, entonces se sigue que R 11

_ 1 (x) ~ O para x E U, de donde f(x) ~ f(x0) para x E U. Por lo tanto, f tiene un máximo relativo en x0.

iii) Sin es impar, entonces (x-x0)" es positivo si x > x 0 y negativo si x < xO' l'or consiguiente, si x E U, entonces R

11 _ 1 (x) tendrá signos opuestos a la izquierda

y a la derecha de xO" Por lo tanto, f no tiene un mínimo relativo ni un máximo relativo en xO" Q.E.D.

Demostración. Al aplicar el teorema de Taylor en x0 se encuentra que para 1 ' I se tiene

(1A.4 Teorema. Sea J un intervalo, sea x0 un punto interior de I y sea n > 2. '111¡1111/l'f' que existen las derivadas f',f", ... ,f(n) y que son continuas en una vecin-

1/11il rk x11, y que .f'(x0) = ... = r: - 1l(x0) =O, pero f<11l(x0) o/ O. i) Sin es par y .f(11l(x0) > O, entonces .f tiene un mínimo relativo en x0.

ii) Sin es par y .fC11l(x0) < O, entonces .f tiene un máximo relativo en x0.

iii) Sin es impar entonces f no tiene un máximo relativo ni un mínimo relati- 1•111·11 x1r

¡, 11/',111111 t·x1n:11H> relativo c11 c es qucf'(c) =O. Una manera de determinar si f tie 111 1111 11111xi1110 relativo o un mínimo relativo [o ninguno de ellos] en e es usar el 1 1 ll1·1 l11 dc l;1 primera derivada 6.2.8. En caso de existir, también se pueden usar en 1 •d11 dt·ln111i11;H.:i6n las derivadas de orden superior, como se indica a continuación.

.!'11

En el teorema 6.2.l se estableció que si una función[:¡. Res derivable en un punto e localizado en el interior de/, entonces una condición necesaria para que .f

Extremos relativos

para alguna e que satisface O < e < x. Por tanto, para cualquier x > O, si n = 2k es par, se tiene entonces R2k(x) >O; y sin= 2k_+ 1 es impar, se tiene entonces R2k + 1 (x) < O. Entonces la desigualdad enunciada se sigue de manera inmediata. ·

(--l)ncn+l -----x"+l

n + 1

y el residuo está dado por

1 +(1r1xn

n

l Pn( X) =X - -x2 +

2

Usando el hecho de que la derivada de log (1 + x) es 1/(1 + x) para x > O, se ve que el nésimo polinomio de Taylor para log (1 + x) con x0 = O es

l l l 1 x- -2xz+ ... -2kxzk<log(l+x) <x- 2x2+ ... + Zk+1

2k + 1 X ,

Si O ~ x ~ n, entonces O ~ e < n: puesto que tanto e como x3 son positivas, ra tiene R2(x) ~ O. Asimismo, si -n ~ x ~O, entonces -st ~ e~ O; puesto qué tatzlo sen e como x3 son negativas, se tiene de nueva cuentaRi(x) ~O. Por lo tanto, se vt1 qu~ 1 ! x2 ~ cos x para lxl ~ x. Si lxl ~ n, entonces 1 ~ x2 < 3 ~ cos x y 111 validez de la desigualdad es trivial. Por tanto, la desigualdad se cumple para tocln XER.

b) Para cualquier k EN y para toda x > O, se tiene

!'"(e) sen e R2(x) = --x3 = --x3 .

. 3! 6

donde para alguna e entre O y x se tiene

6.4.3 Ejemplos. a) 1 ~ x2 ~ cos x para toda x ER. Usando .f(x) := cos x y x0 = O en el teorema de Taylor, se obtiene

El teorema de Taylor también se puede usar p:11'¡1 cnluhlcccr dcsl¡•,1111ld11d1%

lll(l{IV¡\( 'I( JI I 240

Método de Newton ._____/

Con frecuencia es deseable estimar una solución de una ecuación con un gra do elevado de precisión. El método de bisección de intervalos, usado en la demos tració~del teorema de localización de raíces 5.3.5, proporciona un procedimiento de estimación, pero tiene la desventaja de converger a una solución con mucha lentitud. Un método que con frecuencia produce una convergencia mucho más rápida se basa en la idea geométrica de obtener aproximaciones sucesivas de una curva por rectas tangentes. El nombre de este método es en honor de su descubri dor, Isaac Newton.

Q.E.D. Por tanto, se ve que fes una función convexa en l.

( 1 t)f(x1) + tf(x2) = f(x0) + f'(x0)((1 t)x1 + tx2 - x0) ~'<.

+ t ( 1 t) !" ( el) ( X l X o) 2 + t tf" (e 2 )( X 2 X o) 2

= f(xo) + R

~f(x0) = f((I t)x1 + tx2).

1 nrnbién es no negativo. Se obtiene por tanto

Si/" es no negativa en /, entonces el término

y 1111 punto ": entre x0 y x2 tal que

1'111 J() tan lo, se tiene f(a + h) 2/(a) +/(a h):;,, O. Puesto que h2 >O para toda h / (l, se ve que el límite de t») debe ser no negativo. Por tanto, se obtiene f"(a):;,, O

¡ 1111.1 cualquier a E J. l'ara probar el carácter suficiente de la condición se usará el teorema de Taylor.

/' ',1·.111 x1, x2 dos puntos cualesquiera de!, sea O < t < 1 y sea x0 = (1 t)x 1 + =. Al 1q1liv;ir el teorema de Taylor a/ en x0 se obtiene un punto c1 entre x0 y x1 tal que

f(a) -I(t(a + h) +Ha - h))..; i.f(a + h) + tf(a - h).

¡111111•1Hli111, l. (Ver el ejercicio Cl.4.1(>.) Dada a El, sea h tal que a+ h y a -h

11, 11i·1w1·r1111/.11.11to11ci.;s11 = i((a + h) + (a-h)) y como fes convexa en/, se tiene

'n« 110'M/\ 1 ll'. 'l'i\ YI ,( )I{

11 , f( a + h) - 2f( a) + f( a - h) f (a) = Iím h2

h->O ( *)

Demostración. A fin de probar el carácter necesario de la condición, se haná uso del hecho de que la segunda derivada está dada por el límite

6.4.6 Teorema. Sea I un intervalo abierto y suponer que f: I > R tiene se• gunda derivada en l. Entonces fes una función convexa si y sólo si f"(x) :;,, O para toda x El.

Obsérvese que si x1 < x2, entonces cuando t varía de O a 1, el punto (1 t)x1 1

tx2 recorre el intervalo de x1 a x2. Por tanto, si fes convexa en l y si xl' x2 ( J, entonces la cuerda que une dos puntos cualesquiera (xp/(x1)) y (x2,f(x2)) sobre lt1

gráfica de f está arriba de la gráfica de f (Ver la figura 6.4. l.) Una función convexa no es necesariamente derivable en todo punto, como 111

indica el ejemplo f(x) := lx!, x E R. Sin embargo, es posible demostrar que sil L\~

un intervalo abierto y sif: I-> Res convexa en/, entonces existen las derivadas iv. quierda y derecha de f en todo punto de J. Como una consecuencia, se sigue que una función convexa en un intervalo abierto es necesariamente continua. No Sl'

probarán las afirmaciones anteriores, ni se desarrollarán muchas otras propiedades interesantes de las funciones convexas. Más bien, sólo se establecerá la relació» entre una función convexa f y su segunda derivada j'", suponiendo que/" existe.

6.4!.5 Definición, Sea l ~ R un intervalo. Se dice que una funciónf: /->U 1

convexa en l si para cualquier t que satisface O ,,,.;; t,,,.;; 1 y los puntos cualesqulnn xl' x2 en I, se tiene

FIGURA 6.4.1 Una función convexa.

(1 t)x1 + tx2 X¡

IH\IHVA('I< 1~1 242

(#)

Puesto que· c' E I, las restricciones supuestas sobre f' y f" se cumplen y, al hacer K := M/2m, se obtiene la desigualdad

lx" - r] ~ Klx' - rl2•

1 f"( e') , z 2 f' ( x') ( x - r) . x" - r =

de donde se sigue que .....__,/

1 f"( e') , z x" = x' + ( r - x') + 2 f' ( x') ( r - x ) '

entonces un cálculo elemental indica que

f(x') f'(x')' x" := x' -

<, si x" es el número definido a partir de x' por "el procedimiento de Newton":

-f(x') = j'(x')(r - x') + *f"(c')(r - x')2•

d1· donde se sigue que

o= f(r) = f(x') + f'(x')(r - x') + tf"(c')(r x')2,

p111110 e' entre x' y r tal que

1

ncmostración. Puesto quef(a)f(b) <O, los númerosf(a) y f(b) tienen signo~ 11p11eslos; por tanto, por el teorema 5.3.5, existe r El tal que f(r) =O. Puesto que f 11111,t·a es cero en I, por el teorema de Rolle 6.2.3 se sigue que f no se anula en 11111¡•,\111 otro punto de l. .

Se hace ahora x' E¡ un valor cualesquiera; por el teorema de Taylor existe un

para n EN. ( + t)

1,,.11,·111·ce a l" y (x,) converge ar. Además

para n EN, X11+¡ :=X,.

I' ,111,. 11111111.,,1• 1111" ralz r de f tal que para cualquier x1 et" la sucesión (x11)

,/, f f 1111 '" /il //

1 l'(llU'.M/\ lll('l'/\Yl.OI(

6.4.7 Método de Newton. Sea l := [a, b] y sea f: l ~ R derivable dos veces en l. Suponer quef(a)f(b) <O y que existen las constantes m, M tales que lf'(x)¡ ~ m >O y lf"(x)I <:;;; M para toda x Ely sea K := M/2m. Entonces existe un sub intervalo

Bajo las hipótesis adecuadas, la sucesión (x,,) convergerá con rapidez a la ecuación f(x) = O, como se demuestra a continuación. El elemento clave para establecer La rapidez de Ja convergencia es el teorema de Taylor.

Xn+I :=X,.

(Ver la figura 6.4.2.) Si se sustituye x1 por la segunda estimación x2, entonces st• obtiene un punto x3, y así sucesivamente. En la nésima iteración se obtiene el punto x,, + 1 a partir del punto x11 por la fórmula

X2 :=X¡

Sea f una función derivable que tiene una solución en r y sea x1 una estima ción inicial der. La recta tangente a Ja gráfica en (x1, f(x1)) tiene la ecuación y f(x 1) + f'(x 1)(x x 1) y corta el eje x en el punto

FIGURA 6.4.2 Método de Newton.

1 ll ·1(1 V/\( 'ION

4. Demostrar que si x > O, entonces 1 + ~x-:}[; ,,s;}il + x ~ 1 ~ ~x. 5. Usar el ejercicio anterior para aproximar 1.2 y 2. ¿Cual es a mayor pre

cisión que se puede asegurar al usar esta desigualdad? . . , , 6. Usarel teorema de Taylor con 11 = 2 para obtener una aproximacron mas

precisa de fil Y -ñ. 3 '7. Si x > o, demostrar que i(l + x)1/3 (1 + jx - bx2); ~ (5/8l)x . Usar esta

desigualdad para aproximar 02 Y ~. . . 8. Sif(x) :"' eX, demostrar que el término correspondiente al residuo e~ el teore

ma de Tay lor converge a cero cuando n-> oo para cada x0 predetermmada Y x. [Sugerencia: Ver el teorema 3.2.11.] . .

9. Si g(x) := sen x, demostrar que el término correspondiente aldres1du? d~l teo rema de Taylor converge a cero cuando n= oo para cada x0 pre etermma a Y x.

(fg)(n)(x) = t (~)¡(uk>(x)g(k>(x). k-o

Ejercicíos de la sección 6.4

1. Seaf(x) := cos ax parax ER, donde a= O. Encontrar f(n)(x) P~~() EN,x :~· 2. Seag(x) := :x3[paraxER. Encontrar g'(x) y g"(x)paraxER, Y g x parax ·

Demostrar que g'"(O) no existe. , . . '3. Usar la inducción para demostrar la regla de Leibniz para la 11es1ma denvada

de un producto:

FIGURA 6.4.5 (x,.) oscila entre x1 Y x2.

FIGURA 6.4.4 XII-; OO,

.WI 'IHllWMA lll•.'11\Yl.OH

\ !

FIGURA 6.4.3 f no definida en x 2.

Observaciones. 1) Si se hace que e,,:= x,, - r sea el error al aproximar el valor de 1·, entonces la desigualdad (**)se puede escribir en la forma IKe,, + 1¡ ,¡;; !Ke,,12. Por consiguien te, si jKe,,I < 10m entonces IKe,, + 11

< 102"', por lo que el número de dígitos significativos de Ke,, se ha duplicado. Debido a esta duplicación, se dice que la sucesión generada por el método de Newton converge "cuadráticamente".

2) En la práctica, al programar el método de Newton en una computadora, con frc cuenda se hace una conjetura inicial x1 y se corre el programa. Si es muy mala la elección de x1 o si la raíz está muy cerca del punto terminal de/, el procedimiento puede no conver gcr a una raíz de f En las figuras 6.4.3 a la 6.4.5 se ilustran una serie de posibles dificultades. Una estrategia conocida es usar el método de bisección para llegar a una estimación más o menos próxima de la raíz y cambiar después al método de Newton para el coup de gráce.

Si se toma x1 :== 1 como estimación inicial, se obtienen los valores sucesivos x2

3/2 == 1.5, X3 = 17 /12 == 1.416666 ... , X4 == 577 /408 == 1.414215 ... yx5 == 665,857 /47() 832 == 1.414213562374 ... , valor que es correcto once cifras decimales.

= ~(xn + __:_)· 2 xn = xn -

6.4.8 Ejemplo. Se ilustrará el método de Newton aplicándolo para aproxl mar .J2. Se hace f(x) :== x2 - 2 para x E R, entonces se busca la raíz positiva dti 111 ecuación f(x) == O. Puesto que f'(x) == 2x, la fórmula de iteración es /'

Seeligeahora8>0tanpequeñat¡ueo l//\yq11c~·l11111;1valu/'': 11 ¡'I r + 8] esté contenido en J. Si x,, E I *,entonces lx11 rl""' o y de la cxprcxi. 111 (l/l o sigue que lx,,+ 1 rl ,,;_:; Klxn r[2 ,,;_:; K82 <o; por tantox,, E I "jndica que x,, 1 1 1 / 1

Por lo tanto, si x1 E J*, se infiere que x,, E/* para toda n EN. Además, si .11 ' I entonces un razonamiento de inducción elemental usando(#) indica que [x,, 1 1 1 ¡ < (K8)"[x1 rl paran EN. Pero como K8 < 1 con esto se demuestra que lím ,1·11

(), 1 ,11

IH:l<IVA<'Hll..i

[Sugerencia: Si <p(x) := x - f (x)/M, demostrar que O q¡'(x) ~ 1 m/M < 1 y que q¡(/) s;; l.]

26. Aplicar el resultado del ejercicio anterior a algunas de las funciones conside radas en los ejercicios 19 al 24.

lx .. +1 rl.;; {l m/M)nlx1 - rl,,;; (1 m/Mnf(x1)l/m.

11> 1 k111(lstrnr que la función j(x) := x3 - 2x- 5 tiene una solución r en el inter valo/ := [2, 2.2). Si x1 := 2 y si se define la sucesión (xn) usando el procedi miento de Newton demostrar que !x 1 rl ~ (0.7)'x r;2. Demostrar que . ' , n + . , n x,1 es correcta con seis cifras decimales.

20. Aproximar las soluciones reales de g(x) := x4 -x - 3. 21. Aproximar las soluciones reales de h(x) := x3 x - l. Aplicar el método de

Newton empezando con las elecciones iniciales a) x1 := 2, b) x1 :=O, e) x1 := 2. Explicar qué ocurre.

22. La ecuación log x = x - 2 tiene dos soluciones. Aproximarlas usando el méto do de Newton. ¿Qué ocurre si x1 :=~es el punto inicial?

23. La función f(x) := 8x3 8x2 + 1 tiene dos raíces en (O, 1). Aproximarlas usando el método de Newton con los puntos iniciales a) x1 := b y b) x1 := ! . Explicar qué ocurre.

24. Aproximar la solución de la ecuación x = cos x, con seis cifras de precisión. 25. Sea/:= [a, b] y seaf: I--> R derivable en/. Suponer quef(a) <O <f(b) Y que

existen m, M tales que O < m < f'(x) ~ M para x E I, Sea x1 E I un valor cualesquiera y se define x11 + 1 := x11 - f(x,,)/M paran EN Demostrar que la sucesión (x,,) está bien definida y converge a la solución única r El de f y que

2'1') 'l'l'.Clltl·.tvl/\ lll·.'1'/\Yl,(H(

, f(x) ¡<n>(c) hrn =

x-+c g(x) g<"){c) ·

Dar un ejemplo en que este límite exista, pero la función no tenga segunda derivada en a.

17. Suponer que l ~Res un intervalo abierto y que f"(x);;;: O para toda x El. Si e El, demostrar que la parte de la gráfica de f en I nunca está abajo de la recta tangente a la gráfica en (c,f(c)).

18. Sea l ~ R un intervalo y sea e E/. Supóngase que f y g están definidas en J y que existen las derivadas f <11>, g<11> y son continuas en/. Si ¡<k)( e) = O y g(k)( e) =O para k =O, 1, ... , n - 1, pero g(n)(c) * O, demostrar que

, f(a + h) - 2f(a) + J(a - h) f"(a) = lim

h>O h2

13. Calcular e con siete cifras decimales correctas. 14. Determinar si x =O es o no un punto del extremo relativo de las siguientes

funciones: a) f(x):=x3+2, b) g(x):=senx-x, e) h(x) :=sen x + ~ x3, d) k(x) := cos x - 1 + ~x2.

15. Sea f continua en [a, b] y supóngase que existe la segunda derivada I" en (11, b ). Supóngase asimismo que la gráfica de f y el segmento de recta que une In~ puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) se cortan en un punto (x0, f(x0)), donde a < x0 < h, Demostrar que existe un punto e E (a, b) tal que f"(c) =O.

16. Sea I ~ R un intervalo abierto, sea f: I--> R derivable en I y supóngase qu¡• existe f"(a) en a El. Demostrar que

[z] ,,;; l. para 1

( x3 x5 ) 1 1 sen x - x - - + < 6 120 5040

Usar este resultado para obtener una aproximación de log 1.5 con un c1·1111 menor que 0.01; menor que 0.001.

12. Se quiere aproximar sen por un polinomio en [1, 1) de tal modo que el e1·1111 sea menor que 0.001. Demostrar que se tiene

1 ( x2 x3 x")I x"'' log ( 1 + x} x - - + + · · · + ( 1) n- l < __ , 2 3 n n+I

10. Sea h(x) := el/x2 para x *O y h(O). Demostrar que f1("i(O) =O purn l1Hli111 • N Concluir que el término correspondiente al residuo del teorema dl' 'l\iyl111 para x0 = O no converge a cero cuando n=+ oo para x * O. (Sugeri:11t'i11: l '111 li1

regla de L'Hospital, lím h(x)/xk =O para cualquier k EN. Usar el cjcr\'ll'lll 1 x-o para calcular /¡C11l(x) para x * O.]

11. Si x E (O, 1) y n EN, demostrar que

J >11.lll Vi\( 'H lN 248

SL: han mencionado ya los avances realizados durante los años 1630 por Fermat y 1 icscartes que desembocaron en la geometría analítica y la teoría de la derivada. Sin embargo, la materia que conocemos como cálculo no empezó a tomar forma sino a fines de los años 1660, cuando Isaac Newton (16421727) creó su teoría de las "fluxiones" e inventó el método de las "tangentes inversas" para encontrar áreas bajo curvas. El proceso inverso de encontrar rectas tangentes para encontrar áreas 1:1111bién fue descubierto en los años 1680 por Gottfried Leibniz (16461716), quien desconocía el trabajo no publicado de Newton y quien llegó al descubrimiento por un camino muy diferente. Leibniz introdujo la terminología "calculus differentialis" y "calculus integralis", ya que para encontrar rectas tangentes se utilizaban diferen cias y para encontrar áreas se usaban sumas. Así, ambos descubrieron que la integra ción, siendo un proceso de sumas, era el inverso de la operación diferenciar.

Durante siglo y medio de desarrollo y depuración de las técnicas, el cálculo estuvo compuesto de estas operaciones aparejadas y sus aplicaciones, principal mente en problemas de la física. En la década de los años 1850, Bernhard Riemann (18261866) adoptó una perspectiva nueva y diferente. Separó el concepto de inte gración de su contraparte, la diferenciación, y examinó aislado el interesante pro ceso de sumas y límites para encontrar áreas. Amplió el panorama al considerar todas las funciones de un intervalo para las que era posible definir este proceso de "integración": la clase de las funciones "integrables". El teorema fundamental del cálculo se hizo un resultado válido tan sólo para un conjunto restringido de funcio nes. La perspectiva de Riemann llevó a otros matemáticos a inventar otras teorías de la integración, la más significativa de las cuales es la de Lebesgue.

En este capítulo se empezará por definir el concepto de integrabilidad de Riemann de funciones et. un intervalo por medio de sumas superiores e inferiores. En la sección 7.2 se analizarán las propiedades básicas de la integral y la clase de las funciones integrables en un intervalo. El teorema fundamental del cálculo es el tema principal de la sección 7.3. En la sección 7.4 se analizan otras formas de tratar la integral de Riemann, y se establece su equivalencia, además se presenta una breve introducción a las "integrales impropias". En la sección 7.5 se estudian varios métodos para aproximar integrales, un tema que se ha convertido de impor tancia creciente durante la era delas computadoras de alta velocidad.

Una historia interesante acerca de la teoría de la integración, con un capítulo sobre la integral de Riemann, se encuentra en el libro de Hawkins citado en la bibliografía.

1 JA INrfEGRAL DE RIEMANN

FIGURA 7.1.3 U(P;f), una suma superior.

\

n U(P ;f) == L Mk(xk - xk_¡),

k=I

Si fes una función positiva, entonces la suma inferior L(P; f) se puede inter pretar como el área de la unión de los rectángulos con base [xk-l' xk] y altur_a mk. (Ver la figura 7.1.2.) De manera similar, la suma superior U(P; f) se puede inter pmt.ar como el área de la unión de los rectángulos con base [xk-l' xk} Y altur~ ~k· (Ver la figura 7.1.3.) La interpretación geométrica sugiere que, para una particion ciada, la suma inferior es menor o igual que la suma superior. Se demuestra a continuación que es este el caso.

y la suma superior de f correspondiente a P se define como

L(P;f) .== L mk(xk -xk-1), k= 1

n

1 .:1 suma inferior de f correspondiente a la partición P se define como

FIGURA 7.1.2 L(P; !), una suma inferior.

11\1' l'tl,111(1\ uu ,11 )Al J 1 JI\ H 1 Jl.M./\ N N

FIGURA 7.1.1 Una partición de 1 =[a, b],

Xn-1 Xn = b a=x0

Seaf: I--? Runa función acotada en J y sea P = (x0, xl' ... , xn) una partición de/. Para k = 1, 2, ... , n se hace

(Ver la figura 7.1.1.) Los puntos de la partición P se pueden usar para dividir J en subintervalos no traslapados:

Sumas superior e inferior

Para discutir el concepto de integral de Riemann, primero se debe introduch algunos aspectos de terminología y notación.

Si I := [a, b] es un intervalo acotado cerrado en R, entonces una partíclón du I es un conjunto finito ordenado P := {x0, x1, ... , xn} de puntos en I tales que

En esta sección se seguirá el procedimiento de Darboux y se definirú 1:1 l1>HI gral superior y la integral inferior de una función acotada cualesquiera 011 un lut¡'¡ valo acotado cerrado. Entonces se dirá que tal función es integrable según R icn 1111111 si su integral superior y su integral inferior son iguales; la integral de Riemr11111 dt la función se define como este valor común. Se consideran asimismo varios cjcru plos elementales y se establece un criterio para la integrabilidad de Riernann qll( hace recordar el criterio de Cauchy para la convergencia de una sucesión. Desp1111,1 se aplica este criterio para demostrar que funciones que son continuas o bien mu nótonas en un intervalo y son integrables según Riemann. Puesto que se supone que el lector está familiarizado, al menos de manera informal, con la integral pm un curso previo de cálculo, no se proporcionará una motivación extensa de ella ni ¡¡¡i

estudian las múltiples interpretaciones importantes que se usan en sus aplicaciones,

SECCIÓN 7.1 Integrabilidad de Riemann

LA IN l'E(Jl{J\1.1 >I\ HH .MMIN 252

U(f) := inf{U(P ;f): PE .9(1)}.

y la integral superior de f en I es el número

L(f) := sup{L(P;f): PE .9(!)},

7.1.4 Definición. Sea I :=[a, b] y seaf: [>Runa función acotada. La inte .. g~al in[~def en I es el número

'·

\"' <,

La colección de todas las particiones del intervalo I se denotará por//'(/). Sif: I-> R está acotada, entonces cada P en j)(I) determina dos números: L(P; !) y U(P; !). Por tanto, la colección :l'(/) determina dos conjuntos de números: el conjunto de las sumas inferiores L(P; !) para PE,/(/) y el conjunto de las sumas superiores U(P; f) para PE Y(!). Por tanto, se llega a las siguientes definiciones.

~ Integrales superior e inferior

Q.E.D. L(P1 ;!) .,;;;; L(Q;f).,;;;; U(Q;f)::;;; U(P2 ;!).

Demostración. Sea Q := P1 U P2 la partición obtenida al combinar los puntos de P1 y P2. Entonces Q es un refinamiento tanto de P1 como de P2. Por tanto, por los lemas 7.1.1y7.1.2 se concluye que

7.1.3 Lema. Sea que f' I __..Resté acotada. Si Pl' P2 son dos particiones cualesquiera de!, entonces L(P1;f),,.;:; U(P2;f).

En el lema 7.1.1 se demostró que una suma inferior es menor que una suma uupcrior si ambas sumas corresponden a la misma partición y en el lema 7.1.2 que .ti hacer el refinamiento de una partición se incrementan las sumas inferiores y se decrementan las sumas superiores. Estos dos resultados se combinan a continua ción para concluir que una suma inferior siempre es menor que una suma superior aun cuando correspondan a particiones diferentes.

1\l1or:1 bien, si {} es un refinamiento cualquiera de P (es decir, si P ~ Q), 1·11h 11wcs (!se puede obtener a partir de P agregando un número finito de puntos a I' 111H1 a L1 vez. Por tanto, al repetir el razonamiento anterior, se infiere que L(P; f)

{.((}; /). J .as sumas superiores se manejan de manera similar; los detalles se dejan como

1·jncicio. Q.E.D.

lN'l'HIHAltll.lllAll lll', l\IHMANN

Si se suman los términos m/xj - x1_1) para j * k a la desigualdad anterior se. obtiene L (P; !) ""'L (P'; !).

Entonces mk,,.;:; m'¡ y mk""' m"¿ (¿por qué?) y, por consiguiente,

obtenida a partir de Pal agregar za P. Sean m'k y m"; los números

Demostración. Sea P = (x0, x1, ... , x11). Se examina primero el efecto de agregar un punto a P. Sea que z E J satisfaga xk.- l < z < xk y sea P' la partición

U( Q; f) ::;;; U( P ;f). y L(P .T) .,;;;; L(Q;f)

7.1.2 Lema. Si f: I __.. R está acotada, P es una partición de f y si Q es uu refinamiento de P, entonces

Se demuestra a continuación que el refinamiento de una partición incrementa 111'1 sumas inferiores y decrementa las sumas superiores.

Si P := (x0, xl' ... , x11) y Q := (y0, Yp ... , Ym) son particiones de!, se dice qw Q es un refinamiento de Psi cada punto de partición xk EP también pertenece 11 ( ¡ (es decir, si P ~ Q). Un refinamiento Q de una partición P se puede obtener agregando aP un número finito de puntos. En este caso, cada uno de los intervalna [xk-l' xk] en que P divide a I se pueden escribir corno la unión de los intervalos cu yos puntos terminales pertenecen a Q; es decir, ,

L(P ;f) L mk(xk - xk_1).,;;;; L Mk(xk - xk_1) = U(P ;f). U,H,11 k=l k=l

n n

Demostración. Sea P := (x0, xl' , x11). Puesto que mk,,.;:; Mk para k = 1, 2, , , n y como xk-xk-l >O para k = 1, 2, , n, se sigue que

7.1.1 Lema. Si f: I __.. R está acotada y Pes 111111 /1(11 r/,·ir)11 rnu/1¡11it·11i ,¡,. f, entonces L(P; !) ,,.;:; U(P; !).

1.A INl'l!(llU\I, IJI( 1(11111111\1111 254

Puesto que g es una función creciente, su ínfimo y su supremo en el subintervalo [(k-1)/n, k/n] se alcanzan a la izquierda y a la derecha de los puntos terminales

r; == (o,!_,_:' ... , n - 1' ~ = 1). n n n n

b) La función g(x) := x es integrable en [O, 1 ].

1 Sea.I',,__]9.,.partición del:= [O, 1] en n subintervalos dados por

i\

7.1.7 Ejemplos. a) Una función constante es integrable. , Sea/(x) :=e parax El:= [a, b]. Si Pes partición cualesquiera de!, es fácil ver

que L(P; !) = e (b- a) = U(P ;!). (Ver el ejercicio 7.1.1.) Por lo tanto, las integrales inferior y superior están dadas por L(f) = c(b - a)= U(f). Por consiguiente, f es integrable en/ y

En adelante con frecuencia se omitirá el genitivo "ele Ricmann" y se usará el término "iutcgral" para hacer referencia a la integral de Riemann. Hay varias teorías diferentes de la uucgración en el análisis real y Ja integral de Riemann es una de ellas; pero como en este hhro limitaremos la atención a la integral de Riernann, no habrá ambigüedad en cualquier ulcrencia a la "integral" o "integrabilidad". Para un tratamiento de la integral de Ricmann 'lticltjes, el lector deberá consultar Introducción al análisis matemático (Editorial Limusa); p.rra un tratamiento de la integral de Lebesgue, consultar The Elements of Integration de l(.G. Bartle.

Se ve, por tanto, que si la integral de Riemann de una función en un intervalo , , rxto, entonces la integral es el único número real que está entre las sumas inferio 1 vs y las sumas superiores.

{f=O. a

y [!= -tJ b a

1\tlrn 1ús, se definen

o

'/.I '• Ot'l1uldt'm. SL·a f [11, "l .Y St;aj': f > R u11;1 función acotada. Entonces , , 111 ,. q111· /'L's ltil·111:1nn intcgrnblc en/ si L(J) =U(!). En este caso la integral

1'4 ltlrnrn1111 dL: I en I se define como el valor L(f) = U(!) y este número por lo I" 111·1:il Sl' <k~11ola por

''1/ l/lll 1lllAllll ll11\l1 tit nn Mi\Ntl

Si l es un intervalo acotado cerrado y f: 1-+ R es una función acotada, en el l~orema 7.~.5 se demostró que la integral inferior L(f) y la integral superior U(!) siempre existen. Además, siempre se tiene L(f).;:;;; U(!). Sin embargo, es posible que se tenga L(f) < U(!), como se verá en el ejemplo 7.1.7 d). Por otra parte, hay u~a numerosa clase de funciones para las que L(f) = U(!). Se dice que esas fun cienes son "integrables" y al valor común de L(f) y U(!) se le llama "la integral ele f en l ".

La integral de Riemann

Puesto ~ue P 2 es una partición cualesquiera de!, entonces L(f) es una cota inferior del conjunto { U(P; !): PE JJ(I)}. Por consiguiente, el ínfimo U(f) de este con junto satisface la desigualdad (t).

Q.E.D.

Demostración. Si P1 y P2 son particiones cualesquiera de/, entonces por el lema 7.1.3 se s.igue que L~P1; !) ~ U(P2; !). Por lo tanto, el número U(P2; !) es una cota supenor del conjunto {L(P; !): PE .i'(l)}. Por consiguiente, L(f), por ser el supremo de este conjunto, satisface

L(f) .;;; U(f). (t)

. 7.1.S Teorema. Sea 1 = [a, b] y sea f: I--+ R una función acotada. Entonces existen la integral inferior L(f) y la integral superior U(!) de¡ en J. Además

También se anticipa la siguiente desigualdad.

U(f).;;; M1(b - a). y m1(b - a) .;;; L(f) (#)

Se sigue por tanto que

m1(b - a).;;; L(P;f).;;; U(P;f).;;; M1(b - a).

está garantizada. Se ve de inmediato que para cualquier PE .r(I) se tiene

M1 := sup {f(x): x El}. y m1 := inf{f(x): x E I}

Puesto que fes una función acotada, la cxistcucia de los número»

l.A lN'J'i/(lltAI IH! IW'MAl'lll 256

U( P. ; f) L( P. ; f) < e. ( *)

Al tratar la integral de Riemann nos enfrentamos a dos tipos de cuestiones. l'rimera, para una función acotada dada en un intervalo surge la cuestión de la existencia de la integral. Segunda, si se sabe que existe la integral, entonces se plantea el problema de evaluarla. Se empieza por establecer algunas condiciones para la existencia de la integral.

\ <; .:»:

7.1.8 Criterio de integrabilidad de Riemann. Sea I := [a, b] y sea f: I-> R una función acotada en J. Entonces fes integrable en l si y sólo si para cada E > O existe una partición PE de I tal que

l'uesto que L(f) i= U(!), la función f no es integrable en [O, 1].

U(f) = 1. L(f) =O,

...... para toda PE .'J'(/), de donde

U( P; f) = 1, L(P;f)=O,

:= O para x irracional.

•;, P := (x0, x1, ••• , x,,) es partición cualesquiera de (O, 1 J, entonces corno cualquier hucrvalo no trivial contiene números tanto racionales como irracionales (ver el trorerna de densidad 2.5.5 y su corolario), se tiene mk =O y Mk =l. Se tiene por lo 1111110

<,

f(x) := 1 para x racional,

d) Una función no integrable. Sea I :=[O, lJ y seaf: Lr+ R la función de Dirichlet [ver el ejemplo 5.1.5 g)]

rhIinida por

1 1 11 1 h = x2 dx = . o o 3

1 uionccs, se infiere que L(h) = U(h) =~·Por lo tanto, hes integrable en I = [O, 1 J y ,,, U(h) = inf{U(P; h): PE .9(1)} ~ inf{U(P11; h): n EN}=!.

111111·orno que

sup {l(P11; h): n EN}~ sup (L(P; h): PE .9(1)} = L(h),

¡111111 1ncl11 11 1 N. Por lo tanto, se ve que

259 IN'l'll(ll(l\lltl lllAI> 1)1( lttl·.Ml\NN

V(P11;h) = n(n + 1)(2n + 1)/6n3 = ~(1 + _2_ + _1_) 3 2n 2n2 '

L(Pn ;h) = (n - l)n(2n - l)/6n3 = 2(1 _ _2_ + _1_) 3 2n 2n2 '

Usan~o la fórmula 12 + 22 + · · · + m2 = t,m(m + 1)(2m + 1) [ver el ejemplo .l.3.3 b)] se obtiene

L(Pn; h) = (02 + 12 + +(n - 1)2)/nJ,

U(P11; h) = (12 + 22 + +n2)/n3.

e) La función h(x) := x2 es integrable en/:= [O, I]. Sea E;, como en el ejercicio b ). Puesto que h es creciente en [O l J se tiene m

= ((k- l)/n)2 Y Mk = (k/n)2 para k = 1, 2, ... , n. Se tiene por tanto' k

1 1 11 l g= xdx=-. o o 2

~orno i .;;:; L(g) ~ U(g) ~ ! , se concluye que L(g) = U(g) = t· Por lo tanto g e~ mtegrable en I = [O, 1] y ' '

U(g) = inf{U(P; g): PE 9(1)} ~ inf{U(P,.; g): n EN}= i·

y también que

i = sup{L(P11;g): n EN}~ sup{L(P;g): p E .9(1)} = L(g),'

Puesto que el co~j~nto de particiones {E;,: n EN} es un subconjunto del conj1111l11 de tocias las partícíones .<J?(/) de J, se sigue que ·

n( n + 1) 1 ( 1 } U( Pn ; g) = 2 · = .1 1 2n 2 u

(nl)n 1( 1) L( Pn; g) = = l 2n2 2 n '

Si se usa la fórmula 1 + 2 + · · · + m = m(m + 1)12 para m EN [ . ¡ .·. 1 1 3 3 )J b . , , ver e cicn1¡i ,,

. . a se o tiene que ·

U(P11; g) = (1 + 2 + · .. 1·11),11 L(P11;g) =(O+ 1 + ··· +(n - l))/n2,

resp.ectivamente y, por tanto, están dacios por 111k = (k J )/n y M k..., k/ti. /\dt'l!Ul puesto que xk - xk- 1 = l/n para toda k = 1, 2, ... , n, se tiene

1 A IN'l'l\(ll!i\l 1>11ltll1\111\1111 2.'.lH

\ \ ~ Iintegrabiilidad de ;·hdolllles monótonas y continuas

Se concluye esta sección demostrando que una función que es monótona con tinua en [a, b] es integrable.

Si f: J-+ Res una función acotada en J :=[a, b] y P := (x0, xl' ... , x11) es una partición de J, se emplea la notación común

y por tanto que J\ dx = lím U(P11; g) = lím ~(1 + 1/n) = ~· b) Si h(x) := ºx2 en [O, 1] y si P,1 es la partición del ejemplo a), entonces por el

ejemplo 7.1.7 c) se sigue (¿por qué?) que

1( 3 1) 1 fx2dx = límU(Pn;h) = lím3 1 + 2n + 2n2 = 3·

1 lím(U(Pn; g) L(P,,; g)) = lím =O n n n

7.1.10 Ejemplos. a) Sea g(x) := x en [O, 1]. Si P11 :=(O, l/n, ... , (n1)/n, 1), rnt@nces por el cálculo del ejemplo 7.1.7 b) se tiene

La importancia del corolario radica en el hecho de que aun cuando la defini 1·1iín de la integral de Riemann incluye, para una función dada, el conjunto de Indas las particiones posibles de un intervalo, la existencia de la integral Y su valor ron frecuencia se pueden determinar por una sucesión especial de particiones.

uemostracton. Si se da e > O, por la hipótesis se sigue que existe K tal que si

11 - K, entonces U(P11; !) -L(P,,; !) < e, de donde se sigue l~ integrab~lid~~ de i ¡ por el criterio de Riemann. El resto de la demostración se deja como ejercicio.

Q.E.D.

FIGURA 7.1.4 U(P; f)-L(P; f).

b a

11'1'1'11(11(/\lill li>/\0 l)lf, ltl11M/\NN

entonces fes integrable y lím L (P ; !) = Pt = lím U(P ; !). n n a n n

lím (U(Pn ;f) - L( r; ;f)) = O, n

7.1.9 Corolario. Sea I :=[a, b]yseaf: J-> Runa función acotada. Si{~: 11 EN} es una sucesión de particiones de f tal que

En la figura 7. 1.4 se proporciona una representación geométrica de la diferen cía U(P;f)-L(P;f).

Dado que E> O es un valor cualesquiera, se concluye que U(!) ~ L(f). Puesto que (por el teorema 7.1.5) la desigualdad l(f) ~ U(!) es válida siempre, se tie1w L(f) = U(!). Por tanto, fes integrable. . Q.L>.11,

U(f) - L(f) ~ U(P, ;f) - L(P, ;f) <e.

Supóngase ahora que para cada E > O existe una partición P0 tal que la expresluu (*)se cumple. · Se tiene entonces

U(f) - L(f) ~ U(P ;f) - L(P ;!).

Puesto que L(f) = U(!), se concluye la validez de (oi ). (¿Por qué?) Para establecer el recíproco, se observa primero que para cualquier particlnu

P se tiene L(P; !) ~ L(f) y U(!) ~ U(P; !). Por lo, tanto,

L(f) - e/2 < L(P1 ;!) ~ L(P8 ;!)

~ U(Pe ;f) ~ U(P2 ;f) < U(f) + e/2.

Si se hace P<: := P1 U P2, entonces P0 es un refinamiento tanto de P1 como de r; 1•111 consiguiente, por los lemas 7.1.1. y 7.1.2, se tiene ~

U(P2 ;f) < U(f) + e/2.

De manera similar, existe una partición P2 de J tal que

L(f) e/2 < L(P1 ;!).

Demostración. Si/ es integrable, entonces se 1ii.:110 /.(/) U(/). Si 11¡• dn t O, entonces por la definición de integral inferior como un supremo, l' x 11111' 1111 • partición P1 de J tal que

U\ INl'l\(llV\l. l>JI. xn M1\l lll 260

Ejercicios de la sección 7 .1

1~ Demostrar en detalle que si f(x) := e para x E [a, b ], entonces J: f = c(b - a). 2,( Sea que f: [O, 2] ~Resté definida por f(x) := 1 si x * 1 y f(1) :=O. Demostrar

que fes integrable en [O, 2] y calcular su integral. 11 3: a) Demostrar que si g(x) := O para O ~ x ~ ! y g(x) ::;:: 1 para ! < x ~ 1, \ . fn 1

\\,. b) ~~~o~~:t~::et~:n;o;c~usi~n si se c~mbía el valor de gen el punto ! a 7? 4. Sea que h: [O, 11 ~Resté definida por h(x) :=O para x irracional y h(x) := x

para x racional. Demostrar que L (h) =O y U(h) =!.Por tanto, h no es integrable en[O,l]. \

5. Sea f(x) := x3 para O ~ x ~ 1 y sea Pn la paAtición del ejemplo 7.1.7 b). Calcula·r L(Pn; f) y U(Pn; f), y demostrar que 10x3 dx = ~·(Sugerencia: Usar la fórmula 13 + 23 + · · · + m3 = [!m(m + 1)]2.)

"it\Nota. En los ejercicios se verá que si f: [a, b] ~ R está acotada y tiene a lo sumo un número finito de discontinuidades en [a, b], entonces/ es integrable en [a, b]. Sin embargo, es posible que una función tenga un número infinito de discontinuidades y aun así sea integrable; ver el ejercicio 7.1.11.

Puesto que e> O es un valor cualesquiera, se sigue que lím (U(Pn;f)-L(Pn; /)) ""' .:: O, por lo que el corolario 7.1.9 indica que fes integrable en l. Q.E.D.

n e b - a ~ I.: . = e. k=lb~a n

n

O~ U(Pn ;f) - L(Pn ;f) = L (Mk - mk)(xk - X1c1) k=I

1 le donde se sigue que

: ;<. tiene por lo tanto

\ 111 /11 o, entonces l/(u) f(v)I < E/(b - a). Sea ahora n eN tal que n > (b 11) 11> y :;e¡1 /~1 :::: (x0, x I' ... , x,) la partición del en n partes iguales de tal modo que 11, '" 1;;:(f>a)/n<8. . .

Si se aplica el teorema del máximomínimo 5.3.4 a cada intervalo [xk _ 1, xkJ, 1u• nhl icuc la existencia de los puntos uk, vk en [xk _ 1, xk] tales que

263 IN'l'l\( ll<Allll .lDAD m: IUl~MANN

Demo~tración. Por el teorema de continuidad uniforme 5.4.3, ¡es uniforme mente continua en J. Por lo tanto, si se da e > o, existe o > o tal que si u, v E¡

7.1.12 Integrabílidad de funciones continuas. Sea¡:= [a, b] y sea f: ¡-+ R continua en /. Entonces fes integrable en J.

. ~e demuestra a continuación que la continuidad también es una. condición suñcíente para la integrabilidad.

Q.E.D. Por el corolario 7.1.9 se sigue que fes integrable en/.

n

U(Pn ;f) - L(Pn ;f) = L (Mk - mk)(xk - xk_1) <e. k=I

Si se da ah~r~ _e> O, se eligen EN tal que n > (b - a)(f(b) - /(a))/e. Para la partícíon correspondiente P se tiene

11

+ · · · +J(xn) -f(xn-1)) b-a

- -n-(f(xn) -f(xo)) b-a

n ( f ( b) - f (a)).

Demostración. Supóngase que fes creciente en l. Sea p ·= (x x , ) 1 · ·" . n • Ü' l' · · · , .X 111 partíción de I en n partes iguales, de tal modo que x _ x = (b _ a)/n para k" 1 2 p f . k k-1 1 , · ·. , n. uesto que es creciente en [xk - l' xk], es evidente que m k = f(xk ) y Al

= f(xk). Por lo tanto se tiene la suma "telescópica": 1 A

?.1.11 Integrabilidad de funciones monótonas. Sea J :=[a, b] y sea f: / ~u monotona en l. Entonces fes integrable en /.

n

U(P;f) - L(P;f) = E (Mk - mk)(xk - xk_1). k=I

Se hace notar asimismo que

262

L(kf) = sup {L(P; kf):~ E .9(1)} = k inf {U(P; !): PE .9(1)} = kU(f).

1

\ para j'» 1, 2, ... , n. (Ver el ejercicio 2.5.4 b).) Al multiplicar cada uno de estos términos por xj-xj-l y sumar, se obtieneL(P; kf) = kU(P;f). Por lo tanto, ya que k < O, se tiene

Demostración. 1) Si k = O, las afirmaciones acerca de kf son triviales. Se considerará el caso k < O, dejando al lector el caso k > O que es un poco más sencillo. Sea P := (x0, x1, ... , x) una partición de J. Puesto que k < O, se ve de inmediato que

(2)

( l_.}.

7.2.1 Teorema. Sea I :=[a, b] y sean], g: J-+ Rfunciones integrables en J. Si /¡ E R, entonces las funciones kf y f + g son integrables en !, y

l ·:n esta sección se establecerán algunas de las propiedades básicas de la inte 1•.1,tl de Riemann, incluyendo las importantes propiedades de linealidad y positividad.

1 ~l concepto de integrabilidad describe una colección de funciones, la clase de l.1s funciones integrables en un intervalo, y la sección se concluirá con una revisión dt· las propiedades de permanencia de esta clase. El resultado clave es que si se luu.c la composición de una función integrable con una función continua, la fun l'i(111 compuesta resultante es integrable. De este hecho se infiere que el valor abso luto, la potenciación y el producto de funciones integrables también son integrables.

Es común hacer referencia a la siguiente propiedad como la propiedad de linealidad de la integral de Riemann.

SECCIÓN 7 .2 Propiedades de fa integral de Riemann

h) Si /'1 L'S una parl ición obtenida a partir de P agregando k puntos a P, de 111t1sl rur que L(1'1;f).s; L(P;f) + 2k ¡11 · !P1, y también que U(P1;f) ~ ll(l';f) 2k /11 · IP:1.

20. Demostrar que si e> O, entonces existe o> O tal que si Q es cualquier partición de /=[a, b] con ''Q 1 < o, entonces L(Q; !) ~ L(f)- e y U(Q; f) - l.(I) +e. (Sugerencia: Sea P1 una partición tal que l(f)- e/2 < L(P1; f). Si hay k puntos en P1 diferentes de a, b, sea o:= eí(4k'1f:). Sea ahora Q cualquier partición con! Qi < oy considérese Ql := Q u r. .)

26.'i l'l(Cll'll lli\lll.:O lll• 11\ IN'IH:J<Al.1>11l(ll'M!\NN

\ I

· 18( Sea Pe la partici~n cuya existencia se afirma en el criterio de Riemann 7.1.8. Demostrar que st P es cualquier refinamiento de P entonces U,(P· !) _ L (P. !) .s; e. e' ' '

19. ~if: 1-> Res una función acotada, s~~ !lf11 ::; sup {:f(x)!: x Ef}, y si p =(a -x0 < X1 < ... < x,, = b) es una partición de I :=[a, b], sea i!Pll := sup {x1 _ xo, • • • ' x11 - x11 - 1} · a) Si P' es la partición obtenida a partir de P como en la demostración del

lema 7.1.2, demostrar que L(P;f) .s; L (P'; !) .s; L(P; f) + 2·:¡¡1 . ¡ 1p 'I U(p;f):;,,,U(P';f)~U(P;f)-2/if'/·.!P;!. 1' 1 '¡,y

O .,;·U(Pn ;!) - j"J.,; K(b - a)2/n. a

17.v Sea1/ := [a, b] Y sea que f: 1-> R satisfaga la condición de Lipschitz lf(x) _ f(y). .s; K;x - YI para toda x, y E/. Si P11 es la partición de J en n partes iguales demostrar que '

O.¡; U(Pn ;f) - ['J..; (b -- a)(f(b) - f(a))/n. a

6. Si/: [a, b]-> Res una función acotada tal que/(x) = () cxccptu ¡1:1111 1, 11 ¡1 1

· · · , e,,} de [a, b ], demostrar que fes integrable en [a, b J y que /,1'.f' ( 1,

7. Suponer que fes una función acotada en [a, b] y que para cualquier 11111111•1111

E (a, b) la restricción de fa le, b] es integrable. Demostrar que /'es ÍlllL'/" itlii1 (b (b . 1

en [a, b] y que¡ª f= )f.f}}+ ¡e¡

· 8'. Sea I :=[a, b] Y seaf 1-> Runa función acotada y tal que f(x) ~o purn /rn/11

/ x E l. Demostrar que l(f) :;,,, O. · 9. Sea I := [a, b ], =! /->Runa función continua y seaf(x):;,,, O para toda 1 1 /

Demostrar que si l (!) = O, entonces f(x) = O para toda x E/. 10. Sea I :=[a, b], sea f: I-> Runa función continua y suponer que para lrnl11

función integrable g: I-> R el producto fg es integrable y que ~bfg = o. 1 )¡•

mostrar que f(x) = O para toda x E/. 11. Sea I :=[O, 1) Y sea h Ia restricción a I de la función de Thomae del ejcmpln

5.1.5 b). Demostrar que hes integrable y que ~1h =O. Comparar este resu~11 do con el del ejemplo 7.1.7 d).

12. Sea I :=[a, b] Y seanfl' J2: l=+ R funciones acotadas. Demostrar queL( f') t L U2) ..s; L U1 + [2). (Sugerencia: Usar el ejercicio 2.5.7.) · 1

13. ~ar ~J~mplos ~ara demostrar que la desigualdad estricta puede ocurrir en ('] ejercicio anterior.

14. Demostrar que/(~):= cos(níx) para O< x .s; 1, f(O) =O, es integrable en [O, 1 ¡. 15. ~e~ostrar. que s~ i: [a, b] > R es una función acotada y tiene un número

finito de .d1s~o.ntmu1dades, entonces fes integrable en [a, b]. (Sugerencia: Usar el ejercicio 7.)

16:/ Sea I := [a, b J. Y sea f: I-> Runa función creciente en/. Si P,, es la partición dll I en n partes iguales, demostrar que

LA IN'f'UJH!\1.1)1· 1111•1\.11\Nll 264

J

Demostración. Por el teorema 7.2.1, la función g- fes integrable en J y

\ 7~.3 Corolario. Si f, g: J-> R son integrables en J := [a, b] y si f(x) ~ g(x)

para toá{l x E!; entonces

(5)

En particular, sif es integrable en I y si lf(x)I ~ K para toda x El, entonces

m(b - a)" jbf" M(b - a). a

" De hecho, de la expresión ( #) que está después de la definición 7 .1.4, se deduce que sif: J-> Res integrable en I :=[a, b] y si m ~ f(x) ~ M para todax E/, entonces ~.

Demostración. Esta se sigue inmediatamente de la expresión ( #) que está después de la definición 7.1.4. Q.E.D.

·, 1

1 (:l)

7.2.2 Teorema. Sea J := [a, b] y sea f: I-> R integrable en J. Si f(x) ~ O para Inda x E/, entonces

Al aplicar un razonamiento de inducción común es posible ampliar el teorema / I .1. 1 a una combinación lineal finita de funciones integrables.

En ocasiones se hace referencia al resultado siguiente como la propiedad de po~itüvid.adl de la integral.

Puesto que e > O es un valor cualesquiera, se deduce la ecuación 2). Q.E.D.

< L( P, ; f + g) + e < t ( f + g) + s. (J

f /1, f'' l + g < U( P, ; !) + U( P. ; g) (1 a

2C>? l11H)l'll\l)¡\l11(S 1)1\ Lt\ lN'l'l\<ll{AL l)J'. llll\MANN

De ( *) también se sigue que

fb fb b ( f + g) .;;:;; U( P. ; f + g) < L( P. ; f) + L( Pe; g) + e .;;:;; f + J g + s. a a u

Por tanto, por el criterio de Riemann 7.1.8, se ve que f +ges integrable. Para terminar la demostración de (2), se observa que de la expresión ( *) se

sigue que

( *) U( P. ;f + g) < U( P8 ;f) + U(P8 ; g)

< L( P. ;f) + L( P, ; g) + e < L( P. ;f + g) + s.

Si se hace pe:= pf,E u p e entonces se obtiene (¿por qué?) ' g,",

s U(P¡,, ;f) < L(P¡,e ;!) + 2'

para cualquier partición PE .9'(!). Si se da ahora e> O, entonces como f y g son integrables, existen las particiones P¡, y P tales que .e g,e

U(P;f+g) < U(P;f) +U(P¡¡t) y L(P;f) + L(P;g).;;:;; L(P;f + g)

Se infiere de inmediato que

(2) Para establecer la afirmación acerca def + g, sea!j := [x._1,x]; se utilizau las siguientes desigualdades (ver el ejercicio 2.5.7): 1 1

~"'\ inf{f(x): X E Ij} + inf{g(x): X E Ij}.;;:;; inf{(f + g)(x): X E I;},

sup {(f + g)(x): x E I;} < sup {f(x): x E I1} + sup {g(x): x E IJ

t'kf = k f~f. a a

Puesto que fes integrable, entonces U(!)= L(f), de donde se sigue que l(kj') kU(f) = kL (!) = U(kf). Por consiguiente, kf es integrable en J y

U(kf) = inf{ U( P; kf): PE .9(1)} = k sup {L(P ;!): PE .9'(1)} .. /d,( ( 1

Con un razonamiento similar se demuestra que U(P; kf)::: kl(P;.f) y, p1J1' 1110111, que

LA INTEGRAL rw 1{11\MANN 266

En el teorema 7.2.1 se demostró que una constante múltiplo de una función integrable es integrable. De manera similar, la suma de dos funciones inte~rab~es también es integrable. Se demuestra a continuación que algunas otras combinacio

· \ Al aplicar un razonamiento de inducción común es posible ampliar el teorema 7.2":\ a una descomposición de [a, b J en una unión finita de intervalos no traslapados.

~ La ciase de Ras funciones integrables

Q.E.D. Puesto que s > O es un valor cualesquiera, se obtiene la relación 6).

{! + tJ ~ u( r; ; f) + u( t; ;f) a e

< L(P; ;f) + L(P; ;!) + 2s

= L(P' ;f) + 2s ~ jbf + 2s. a

Q~ (#)también se sigue que

tJ ~ U( P'; f) = u,( r; ; f) + U( r; ;f) a

< L(P; ;f) + L(P;; f) + 2e ~ {f + tJ + 2s. a e

1 'ucsto que e> O es un valor cualesquiera, por el criterio de Riemann se sigue que [ c« integrable en [a, el y en [c, b].

Hemos demostrado que fes integrable en [a, b] si y sólo si es integrable tanto ru [a, e] como en [e, b). La demostración se completa al establecer (6). De la expresión (#)del párrafo anterior se sigue que

y U(P; ;!) - L(P; ;f) <e. ( //:) U( r; ; !) - L( r; ; f) < s

;# l'ucxto que los dos términos entre corchetes son no negativos, se deduce que

(U(P;;J)L(P;;J)} + [U(P;;f)L(P;;J)] <s.

1\l 1·11111hinar estos resultados con la fórmula precedente se tiene

y L(P' ;f) = L(Pi; j) + L(P; ;f). 11( 1" , / ) U( P; ; .f) + U( P; ; f)

•,¡ 111 ¡,11t·1· 1•;: /'1 r 1 [11, r·I y p; := r' n le, /Jj, entonces se ve de inmediato que

,/(¡I) l'IHH'íl•l)/\IMi lll( 1/\11\1'1'11111(/\1 lll( IW1M/\NN

U( P'; f) - L( P' ; !) ~ U( P; !) - L( P; !) < s.

Puesto que e> O es un valor cualesquiera, por el criterio de Riemann se sigue que fes integrable en [a, b].

Se supone ahora que fes integrable en [a, b}. Si e> O, existe una partición P de [a, b] tal que U(P; !) L(P; f) < E. Si P' := P U {e}, entonces P' es ua refinamiento de P, de donde, por el lema 7.1.2, se sigue que

<e. = [U(P1,e .I) - L(Pl,e ;f)] + [U(P2,e ;f) - L(P2,e ;f)I

U(Pe ;f) - L(Pe; f) = [U(P¡ 6; f) + U(P2 e; f)] [L(P¡ e; f) + L(P2 e ;f)I ' , ' \'

Sea ahora Pe:= P1 e U P 2 e· Se sigue que

Demostración. Se supone primero que fes integrable en [a, c] y [ c, b J. EntOll· ces, dada e> O, por el criterio de Riemann se sigue que existen las particiones P 1 1 de [a, c] y P2,ede [c, b] tales que '

U(P,,, ;f) L(P,,, ;f) < e/2 y U(P,,, ;f) T,(P,,, ;f) «/~ ~

(6)

7.2.4 Teorema. Sea I := [a, b] y sea que c satisfaga a < c < b. Sea], I -~ 1( una función acotada. Entonces fes integrable en I si y sólo si es integrable tantu en !1 :=[a, e] como en 12 := [c, b]. En este caso,

No es obvio que si fes integrable en [a, b] y sic E (a, b), entonces fes integruhh en [a, c] y [c, b]. En el siguiente resultado se establece este hecho así como lt1

"adivitidad" de la integral en intervalos.

l),1(,11

Por hipótesis, (g f)(x) ~ O para toda x E!, de tal modo que por el teorema 'U, ' se sigue que

1./\ IN'l'l•:(l)l/\L lJll 1\11'.M/\NI 1 268

\

. Demostración. Puesto que fes integrable en/, entonces existe K > O tal que

1

lf(x):\~ Kpara todax El. a) 'sea .. .:p1(t) := it! para t e I := [-K,K]. Entonces (1>1 es continuaenJ y .:p1 ° J=

.i ; Por tanto, el teorema de composición se aplica para demostrar que lf'I es integrable. La primera desigualdad se sigue del hecho de que -V 1 <i ~ lf 1 y del corolario 7.2.3, y la segunda desigualdad se sigue del hecho de que f(x) ~ K para toda x El. (Ver la desigualdad (5) que precede al corolario 7.2.3.)

donde ¡¡ (x)! ~ K para toda x E/. b) Sin EN, entonces la función de la n-ésima potencia f 11 es integrable en l. e) Si existe o > O tal que f(x) ~ o para toda x E/, entonces la función reci-

proca lJ es integrable en l.

(7)

7.2.6 Corolario. Sea I :=[a, b] y seaf: Lr+ R integrable en l. Entonces: }) La función valor absoluto! f ! es integrable en I, y

El considerable esfuerzo realizado en la demostración del teorema de compo uición se recompensa con varios corolarios útiles. ,,

Q.E.D. 1\

l'or tanto se obtiene la desigualdad(§), como se quería.

< e' ( b - a) + 2 K e' = e.

+ E ( Mk - rñk}(xk - xk-1) kEB

U(P;cp0f)-L(P;(l>0f)= E (Mk-rñk)(xk-xk-1) kEA

1\1 combinar (i) y (ii) se obtiene

L (.Mk - rñk)(xk - xk_1) < 2Ke'. kEB

( 11) /

'•t' 1 icnc por lo tanto

1 < °8 [U( P ; f) - L( P; !) ] < 8 < e'.

1 L (xk - xk_1) < 8 I: (Mk - md(xk - xk_1) !. < /J kEB

:w l'lt0l'llllJl\l)tl,t4 llt'.1 fl IN'l'J\(1Hi\L llH Rlll,M/\NN

Sin embargo, para k E B se tiene o~ Mk - mk, de modo que

Por otra parte, si k EB, sólo se puede afirmar que Mk - mk "% 2K, de donde

L (Mk - rñk)(xk - xk_1) < e'(b - a). kEA

(i)

Ahora bien, si k EA y x, y E [xk-1' xk], entonces J(x)-f(y): < o, de donde se sigue que

1 tp º f (x) - (f> 0 f (y) < e'. Por lo tanto, si k EA, entonces Mk -iñk <e', de donde

se concluye que

~uesto que e > O es un valor cualesquiera, con esto se demostrará que cp ºfe~ mtegrable en/, por el criterio de Riemann 7.1.8.

Para establecer(§) sea que mk, Mk denoten, como es costumbre, el ínfimo y el supremo de f en [xk _ l' xk] y sea que mk, Mk denoten el ínfimo y el supremo de (f> o f en [xk _ l' xk]. Será conveniente separar los índices de la partición p en dos subconjuntos disjuntos: er~ el primero se hará pequeña cada M - m (y, en con secuencia, también cada Mk - mk), y en la segunda se demostrará ~ue la suma I(xk - xk- 1) es tan pequeña como se requiera. Específicamente, sean

U(P;cp0f) - L(P;(l>ºj) <e. (§)

La demostración se terminará probando que para esta partición P se tiene

U( P; f) - L( P; !) < o2•

Demostración. Sea e> O dada, sea K := sup {I (f'(t)I: t El} y sea e,':= e/(h 11 + 2K). Puesto que tp es uniformemente continua en J, existe o > O tal que s-: I' Y tal que si s, t EJ y Is ti < o, entonces 1 (f'(s) (f>(t)I < e'.

Puesto que fes integrable en I = [a, b] y 82 > O, existe una partición P := (x111 xl' . " , x11) de I tal que

7.2.S Teorema de composición. Sean/:= [a, b] y J := [c, d] intervalo, v suponer que f: l=+ R es integrable en I, que tp: J-> R es continua y que f(! ) ( ,/ Entonces la composición cp 0 f: /->Res integrable en/.

nes de funciones integrables son integrables. El resultado de mayor ut il idad cu 1'1lll sentido se establecerá a continuación.

1./\ IN'l'E( illAI. 1)1\ )UJl.MANN 270

11. Dar un ejemplo de una función integrable h: [O, l]+ R con h(x) >O para toda x, pero tal que l/h no sea integrable en [O, 1].

] 2~ Dar un ejemplo de una función f: [O, 1] > R que no sea integrable en [O, 1}, pero tal que j f f sea integrable en [O, 1].

4! Sea!:= [a, b] y seanf, g, h funciones acotadas de I a R. Supóngase que f(xj.,,;;,. g(x) ~ h(x) para x ER. Demostrar que sifv h son integrables en l y sil f =

b r !/¡ l h, entonces g también es integrable en I y a g = a f. 5/ Elaborar una demostración detallada del hecho de que U(P'; !) = U(P;; !) +

U(P;; !) en la demostración del teorema 7 .2.4. · 6.1 Usar la inducción matemática para demostrar que si P := (x0, xi' ... , x") es

Jb f.. f x, f una p~rtición de [a, b] y si fes integrable en [a, b ], entonces a f = L.- x,_, · k=l

7. Sea J :=[a, b] y sea e E(a, b). Sea v" que denote el conjunto de todas las particiones de J y sea que ~. denote el conjunto de todas las particiones del que contienen al punto c. Si f: ! + R es una función acotada en/, demostrar que L (!) = sup {L(P; !): PE~}. .

8. Sea a > O y sea J := [-a, a]. Sea f: J-+ R una función acotada y sea ./' "' el conjunto de todas las particiones P de J que contienen a O y que son simétri cas (es decir, x E Psi y sólo si -x E P). Demostrar que L(f) = sup { L (P; !): P E'f'*}.

9. Supóngase que J := [-a, a], donde a > O, y que f: J-> Res una función integrable en J. Usar el ejercicio anterior para establecer los siguientes resul

tados. Jª fª a) Sí fes par (es decir, sif(x) =f(x) para todax EJ), entonces -aÍ~ 2J0 f. b) Si fes impar (es decir, sif(x) = f(x) para toda x E]), entonces lat =O.

10. Supóngase que fes integrable en [a, b] y sea e E R. Si g se define por g(y) := f(y - e) para toda y E [a + e, b + e], demostrar que g es integrable en el intervalo [a+ e, b +e] y que

\

\"

1t;l1•1·t·idoN de 111 secclén 7.2

Sl:11 / :"' '"· b 1, sea f: />Runa función acotada y sea k > O. 11) l icmoslrar queL(kf) = kL(f) y que U(kf) == kU(f). h) Demostrar que si fes integrable en I y k > O, entonces kf es integrable en

J /1 !/¡ /y kf=k f.

.'.~ Sl:a '/ := [a, b] y sean f y g funciones acotadas del a R. Si f(x) .,,;;,. g(x) para toda x E/, demPistfar que L(f) .,,;;,. L (g) y que U(!)_~ U(g). .

11• Usar la inducciC~nJbJatemática para dem~strar :ue s.1f;: [a, b J> Res integrable

y k; ER para i "ijjL 2, ... , n, entonces E k;f; es integrable en [a, b] Y ;~1

h n n ¡., f '[, kJ¡ = '[, kJ Í;· ª i=l i= l a

2'/,I l'H<ll'll(l1AllllN 011. 1./\ IN'l'l'.llH/\l, 1)1\ tu1:.M1\NN

Observación. Al final de la sección 7.1 se enfatizó que una función acotada que tiene a lo sumo un número finito de discontinuidades es integrable y quizás el lector suponga que este hecho caracterizaría a la colección de las funciones integrables. Sin embargo, la fun ción de Thornae f del ejemplo 7.2.8 ilustra que la colección de discontinuidades de una función integrable no debe ser necesariamente finita. A este respecto, hay un teorema debi do a Henri Lebesgue que ofrece una condición necesaria y suficiente para que una función acotada sea integrable. Para establecer este resultado es necesario hacer una definición: Se dice que un conjunto D C Res un conjunto de medida cero si para toda e > O existe una

colección contable de intervalos I :=(a , b ) con a ,s:; b paran e N tal que D C U In 11 n n n 11 00 n=l ·

y L (b,, - a,) <e. El teorema de Lebesgue es que una función acotada f: [a, b]--> Res n=i

Riemann integrable si y sólo si su conjunto de discontinuidades es un conjunto de medida cero. En Introducción al análisis matemático (Editorial Limusa) (proyecto 44.a) se da una demostración del teorema de Lebesgue.

7 .2.8 Ejemplo. La composición de funciones integrables no es necesaria mente integrable.

De hecho, sea l := [O, 1] y sea f: 1 _,. R la función de Thornae definida por /(O) := 1, f(x) :=O si x El es irracional y f(m/n) := l/n si m, n EN y m y n no tienen factores enteros comunes. Entoncesf es integrable en I (ver el ejercicio 7.1.11), Sea que g: J-> Resté definida por g(O) :=O y g(x) := l para x E (O, 1 ]. Entonces g es integrable en J y es continua en todo punto del excepto O. La composición g" f (x) = O si x E J es irracional y g 0 f (x) = 1 si x El es racional. Por tanto, g 0 fes I¡¡ función de Dirichlet cuya no integrabilidad se demostró en el ejemplo 7.1.7 d).

aplicando otra vez el teorema 7 .2.1 se demuestra que fg es integrable en l. u.11.11

. Los resultados precedentes garantizan la existencia de la integral en una chwl

muy numerosa de funciones. El ejemplo siguiente muestra que no se puede J)l'CH cindir de la hipótesis del teorema de composición de que 'P sea continua.

Demostración. Del teorema 7.2.l y del corolario 7.2.6 b) con n = 2 se si¡r,u1• / + g, (! + g)2, i? y g2 son integrables en l. Puesto que se ~j,ene que

7.2.7 Teorema del producto. Sea I := [a, b] y sean f, g: J-;. R intcgrablos 1'/I J. Entonces la función producto fg es integrable en l.

b) Sea cpz(t) := t" para t EJ := lK, K J. Entonces 'i'.i ., I I" y,~\' 11pllrn 1 I teorema de composición.

e) En este caso se tiene 8.,,;;,. f(x) ~ K para x E l. Si se hace ({J1(t) : 1 /1 plllll /

EJ := [ 8, K ], entonces ({!3 ° f = 1/f, y se aplica el teorema de composición. 0,1 1 •

1./\ IN'l'I'< 11{/\I. 1 i11 1rn M1\J ll l 272

se sigue (¿por qué?) que

L(P;F') ~ tF'~ U(P;F'), a

l'cro como támbién se tiene

L(P; F') ~ F(b) F(a) ~ U(P; F').

.londe m ~y M'. denotan el ínfimo y el supremo de F' en [xk _ J> xk]. Si se agregan r'tas desigualdades en todos los subintervalos de la partición P y se observa que el termino de en medio es "telescópico", se obtiene

dv l~nde se sigue que \ I

~ . '.i '•L: aplica ahora el teorema del valor medio 6.2.4 a F' en cada uno de los interva l11·. ¡xk _ 1, xJ, se obtiene un punto tk E (xk- 1, xk) t:l que

U(P;F')L(P;F') <s.

Demostración. Sea e> O dada; por el criterio de Riemann 7.1.8, existe una ¡i1111ición P = (x0, xl' ... , x) de [a, b] tal que

tJ = F(b) - F(a). a

11)

T.J. I Teorema fundamental del cálculo (primera forma). Sea f: [a, b]> R f11/1·1:11ili/C' en la, b] y sea que F: [a, b]--> R satisfaga las condiciones:

a) Fes continua en [a, b]; h) existe la derivada F' y F'(x) = f(x) para toda x E (a, b).

l·.'111011ces:

1 11 I" 1111.1 :i f'rn 111;1 del rcorcrna fundamental proporciona las bases teóricas para i 1111111d•11k calcular una integral que el lector aprendió en sus clases de cálculo. 1 ¡i11··.rnt:1 cxrc resultado en un contexto bastante general; se llega luego a una 1 i•d1111 1111 1:11110 más limitada como un corolario.

11 11(11tlt.l/\l•lJNll/\l\llN'l'1\l lll'I ('1\1('1110

En esta sección se presenta Ja conexión entre las nociones de derivada e inte gral. De hecho, hay dos teoremas; uno se refiere a la integración de una derivada y el otro a la derivación de una integral. Ambos establecen que, en sentidos que deberán precisarse, las operaciones de derivación e integración son inversas la una de la otra. Sin embargo, hay ciertos aspectos sutiles y se advierte al lector que verifique que las hipótesis de estos teoremas se satisfacen antes de aplicarlos.

SECCIÓN 7.3 El teorema fundamental del cálculo

19. Si f y g son integrables en I :=[a, b] y si h(x) := sup {f(x), g(x)} para toda r E/, demostrar que h es integrable en /.

20. Si/es continua en I :=[a, b] y f(x) >O para todax El, demostrar que ljfes integrable en l.

[ 1 ] 1/2

f(c) = -jbf2 b - a a

18./ Si fes continua en l := [a, b] y f(x) ~ O para toda x E/, demostrar que existe e El tal que

[ 1 ]1/2

m ~ b - a lbf2 ~ M.

parax,y El para demostrar que f2 es integrable en I sin usar el teorema 7..1!1 15. Si I C::: Res un intervalo, dar un ejemplo de una función! integrable en I y ill

una función g no integrable tal que fg sea integrable en l. , 16:' Si fes integrable en I := [a, b] y f(x) ~ O para toda x E/, ¿se cumple nccesn

riamente que g(x) := .fJW es integrable en!? 17( Si fes integrable en [a, b] y O ~ m ~ f(x) ~ M para toda x E [a, b ], demos

trar que

(f(x))2 (f(y))2 ~ 2Klf(x) - f(y)I

para x, y E I para demostrar que i/l también es integrable en I sin usar el lt·1111•111 7.2.5.

14. Sea I := [a, b ], sea f: />Runa función integrable en I y sea !f(x)1 t: 1111111 toda x E l. Usar la desigualdad

lf(x)l lf(y)J ~ lf(x) - f(y)I

13. Sea I :=[a, b] y sea f: />Runa función i11lt:grnhlt~ c11 /.U sal' 111 d1•1il¡•,111il1h11I

1/\IN'l'I\(11</\I 1ll•,1(11 M/\1111 274

Demostración. El lector deberá comprobar que la equivalencia de estas con diciones se encuentra garantizada por los corolarios 7.3.2 y 7.3.4. Q.E.D.

7.3.5 Teorema fundamenta] del cálculo (forma combinada). Sean F y f funciones continuas en [a, b} y sea F(a) =O. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: \ . (i) F'(x) = f(x) pata toda x E [a, b]; (ii) F(x) = {! para toda x E [a, b].

a

En ocasiones resulta conveniente combinar estas dos formas en un solo teore ma, el cual se presenta a continuación. Obsérvese que las hipótesis de esta versión son más estrictas que en las formas anteriores. Sin embargo, la conclusión subraya la naturaleza inversa de la derivación y la integración de funciones continuas.

Q.E.D. Demostracién. Este resultado se sigue de inmediato del teorema.

Entonces Fes derivable en [a, b} y F'(x) = f(x) para toda x E [a, b]. ~~~'

F(x) := {! para x E [a, b]. (l

Q.E.D.

1, F(c + h) - F(c) !ID = f(c).

h-+O h

~~e tiene por tanto F '(e)== f(c).

\ 7 .3.4 Corolario. Sea f: [a, b] ->R. continua en [a, b] y sea

l 'ucsto que e > O es un valor cualesquiera, se sigue que

1'1·111 corno el integrando de la última integral es, en el valor absoluto, menor que e, ,_, p111 '7.2.6 a) se infiere que

\ F( e + h) F( e) 1 1

h f(c) s ThT ·e ·lhl=e.

1 \

Ifc+h f(c) ¡c+h 1 - f(c) = h e f(x) dx - -h-}c 1 dx

1 lfc+h 1 = ThT (f(x) - f(c)) dx e

1

1"(1' 1 h) F(c) h

277 11.1. 'l'l '.OHl\Mi\ (l{J NDl\MHN'li\L IW.L l'ÁU 'U LO

La continuidad de F se sigue de la desigualdad ( 4). Supóngase ahora quejes continua en un punto e E [a, b]. Sea e >O dada y sea

8 > O tal que si lhl < 8 y e+ h E [a, b], entonces lf(c + h) f(c)I < e. Para

cualquiera de estas h se usa la observación de que (1/h) j" +h 1 dx = 1 para obtener . e -·

IF(y) F(x)I < Kly - xi. (4)

por el corolario 7.2.6(a) se sigue que

F(y)-F(x)= {f- [f= jyf, a a r

Demostracíón. Sea K > O tal que lf(x)I ~ K para x E [a, b]. Si x, y E [a, b] y x <y, entonces, como

F' (e) = f {e). (3)

entonces Fes continua en [a, b]. Además, si fes continua en un punto e E lo. b ], entonces(f)s derivable en e y . ·

F

F(x) == {! para x·E [a,b]; a

(2)

"" 7.3.3 Teorema fundamental del cálculo (segunda forma). Seaf: [a, bl •U integrable en [a, b] y sea

Se presenta a continuación la segunda forma del teorema fundamental di l cálculo, la cual considera la posibilidad de permitir que varíe el "límite suporto¡' de integración.

7.3.2 Corolario. Sea que F: [a, b]-> R satisfaga las condiciones: i la derivada F' de F existe en ~a, b], ii la función F' es integrable en [a, b]. Entonces la ecuación (1) es válida con f = F '.

Como e > O es un valor cualesquiera, se deduce la ecuación (1 ).

l~bF' - [F(b) F(a)] 1 < e .

1.1\ INTl1.(JHl\1. lll\ IW'MAI t~I 276

Si se aplica el corolario 7.3.2 y se usa el hecho de que H(a) = F(cp(a)):::: F(c) =O, se concluye que

H'(t)=f(cp(t))q/(t) para tE].

Considérese aho'a la función H: Jr+ R d;finidapor H(t~ := F(cp(t)) para t ~J. Por la regla de Ja cadena 6.1.6 se sigue queH (t) = F ( cp(t))cp (t) y por el corolano 7.3.4 se sigue que F'(u) ':::: f(u), de donde

F{ u) == { f ( x) dx para u E l. e

Demostración. Sean e := cp(a) y d := cp(f3), de tal modo que el intervalo l contiene al intervalo con puntos terminales e, d. Puesto que fes continua en I, se puede definir F: l > R por

f 13f(cp(t))cp'(t) dt = J'p(f3)f(x) dx. a ~(a)

( li) ....

7 .3.8 Teo;ema de la primera sustitución. Sea J : = [a, .B] y sea que tp: J ~ R 1, ·uga una derivada continua en J. Si fes continua en un intervalo l que contiene 1¡<(.f ), entonces

,,dndo.

Q.E.D. il1 d•>nd¡; se sigue de inmediato la ecuación (5)

1 .os dos teoremas siguientes proporcionan la justificación de los métodos de "• umhio ele variable" que se usan con frecuencia para evaluar integrales. Estos ,, 111 r mas, que se basan en la regla de la cadena 6.1.6, se. emplean (por l~ g~neral

, 111qdícitamente) en la evaluación de integrales por medio de los procedimientos l1¡i1t• incluyen operaciones con derivadas, comunes en los cursos elementales de

t(JG + Fg) =. H(b) - H(a), a

1111111 111d.i 1 1 ¡11, h]. Por lo tanto, H es una ~ntiderivada de la ~nción/G + Fg. Pero, 11111111 / ,. xnn integrables y F, G son contmuas (y por tanto mtegrables) en [a, b],

... . . t 'G+F 11111 ··l teorema del producto 7.2.7 se sigue quefG,Fgy, porcons1gu1en e,;• g

1111 1ulL'l'.rablcs en [a, b]. Al aplicar el teorema fundamental 7.3.1 se concluye que

//'( 1) 1"'(.r)C(x) 1 F(x)G'(x) = J(x)G(x) + F(x)g(x)

·' /') 11 ll•()IWM/\ 1 llNll/\MI Nli\l,1>11!'Al1'111()

Demostración. Sea H(x) := F(x)G(x) para x E [a, b]. Entonces Hes continua en [a, b] y, por la regla del producto [teorema 6.1.3 c)], se tiene

(5) JbF(x)g(x) dx = [F(b)G(b) - F(a)G(a)] - jbJ(x)G(x) dx . a a

7.3.7 Integración por partes. Si f, g: [a, b] > R son integrables en [a, b] y tienen antiderivadas F, Gen [a, b], entonces

Se presentará a continuación una breve revisión de las "técnicas de integra ción" comunes que se basan en los teoremas fundamer tales. Deberán ser fami liares para el lector por un curso de cálculo previo.

Evaluación de integrales

La primera forma del teorema fundamental 7.3. 1 indica que si fes integrtM1 en [a, b] y Fes una antiderivada de f, entonces (1) es válida. Este es el mél1lth1 común para evaluar integrales en el cálculo. Sin embargo, desafortunadamente / una función integrable puede no tener antiderivada (ver los ejercicios 7.3.2 y 7.?.. /) y ii una función puede tener antiderivada pero no ser integrable (ver el ejercicio 7.3.5).

La integrabilidad de f garantiza la existencia de la integral indefinida F, y 111

segunda forma 7.3.3 indica que si fes continua en!, entonces su integral indefiul da es una antiderivada de f en l. Se concluye, por lo tanto, que las funciones continuas siempre tienen antiderivadas. Sin embargo, desafortunadamente, si lu función integrable f no es continua, entonces la integral indefinida puede no S()l

una antiderivada de f debido a que i puede no ser derivable en puntos del intervale (ver el ejercicio 7.3.4) o ii la derivada de la integral indefinida puede existir pero ser diferente del valor de f en muchos puntos del intervalo (ver el ejercicio 7.3.8).

se le llama la integral indefinida de f en/.

F(x) := [! para X E I a

7.3.6 Definición. Sea l :=[a, b] un intervalo en R. a) Si f: I--> R, entonces una antíderívada de f en I es una función I': I ~ I

tal que F'(x) = f (x) para toda x E/. b) Si f: I--> Res integrable en /, entonces a la función F: I--> R dcf 11 id11 p111

Hay una terminología particular que se usa c11 n.:lacio11 con 1·:.1n~ ll'1111·11111 (aunque la misma varía un tanto dependiendo del autor).

1,/\ IN'l 1~< 11(/\1, IJI'. 1(11 Mt\t 111 278

Demostración. Por los teoremas 7.1.12 y 7.2.7 se sigue que el productofp es integrable. Sea m := inf f(I) y M := sup f(I), de tal modo que mp(x) ~ f(x)p(x) ~ Mp(x) para toda x E/. Por lo tanto, por el corolario 7.2.3 se concluye que

7.3.12 Teorema del valor medio para integrales. Sea f continua en I := [a, b] y sea p integrable en I y tal que p(x) ~ O para toda x El. Entonces existe un punto c El tal que \ . , (8) jhf(x)p(x) dx = f(c) jhp(x) dx.

a a

f2x+l-l 2 = 2 --dx = 2J {1 (1 + x)-1}dx

1 +X l l

= 2 ( x - log ( l + x ) ] 1 ~ = 2 [ 1 log U .

~ 14 7.3.11 Ejemplo, Considérese la integral 1/(1 +.Jlj dt. Es evidente que el integrando tiene la formÁf 0 cp(t) si se tomanf(x) := 1/(1 +

.r) cp(t) :="\l'fpara t e [1, 4].Ahora, cp'(t) = ~t1/2 >O para t e [I, 4] y es evidente que r¡t(x) := x2 es la función inversa de cp en [1, 2] = <p([l, 4]). Puesto que fes continua en [1, 2], es posible aplicar el teorema de la segunda sustitución para obtener

!4 1 !2 1 r: dt = --2x dx

1 +vi 1 +X l 1

Nota. En ocasiones ocurre que cp' se anula en a. En este caso con frecuencia ve aplica el teorema al intervalo [a, J1] y después se hace a ~ a +. Se procede de manera similar si cp'(/3) =O. Si cp'(y) =O para alguna YE (a, /3), se consideran los intervalos [a, y1] y [y2' /3] donde Y1 <y< Yi-

Q.E.D. Al combinar las dos últimas ecuaciones se obtiene (7).

j13f(<p(t)) dt = G(f3) G(a). a

l'•>r otra parte, como G';;;; f0 tp, por el corolario 7.3.2 también se sigue que

J"'(fJ)f(x)«/J'(x) dx = (Gol/¡)(<p(/3)) (Go¡/l)(cp(a)) <p(a)

= G(/3) G( a).

p11111 lrnl:1 1 1 /.Por el corolario 7.3.2 se sigue que

JHI 11 ll'Ol(l'MA 11t1Nl>AM1:N'l'Al.lll'l,('Ál.('lll.O

O.P,11

(G01/¡)'(x) = G'(l/l(x))i//(x) = (jo<p)(l/l(x))1//(x)

=f(<p0¡/J(x))l/l'(x) =f(x)1//(x)

Demostración. Puesto que cp'(t) -:/= O para t EJ, se sigue que cp es estrictamen te monótona. (Ver el teorema 6.2. 7 y las observaciones correspondientes.) Por tan to 1/1 = cp-1 está definida en/. Además, por el teorema 6.1.9 se sigue que 1/1' existe y es continua en I,

Sea ahora G: J ~Runa antiderivada de la función continua f º ip. Entonces G 0 1/1 es derivable en/ y·

j13f(cp(t)) dt = J"'<Mf(x)1//(x) dx. a <p(a)

(7)

7.3.10 Teorema de Ja segunda sustitución. Sea J := [a, /3] y sea que tp: J -~ R te~ga una derivada continua tal que cp'(t)-:/= O para t EJ. Sea J un intervalo que contiene cp(J) Y sea l/f: I ~ R la función inversa de ip. Si f: / ~ R es continua en I, entonces

!25 1 125 ~ 1 dx = i log ( 1 + x) = H log 26 log 2] = l Iog 13. + X ¡ 2 l

7.3.9 Ejemplo. Considérese la integral j5t/(1 + t2) dt. Si se hace /(x) := Kl + x)-1 y <p(t) := t2, entbnces como cp'(t) = 2t, el integrando

tiene la forma (! º <p(t)) cp'(t). Puesto que cp([l, 5]) = [1, 25] y como fes cont~11111

para x > 1, es evidente que fes continua en cp([l, 5]). Entonces el teorema de 111 primera sustitución 7.3.8 indica que la integral anterior es igual a

La fórmula (6) se deduce de estas dos ecuaciones.

H(f3) = F(cp(f3)) = F(d) = fdf(x) dx. e

Por otra parte, también se tiene

f13f(cp(t))q/(t) dt = H(f3) - H(a) = H(f3). a

LA INTl!CiHAI. 1)11. Hll:MANN 280

4. Demostrar que la integral indefinida de sgn en [1, 1] está dada por S(x) :== :x 1. Por tanto, la integral indefinida en un intervalo puede existir aun cuando no exista una antiderivada.

5. Sea G(x) :== x2 sen (n/x2) para O < x ~ 1, y G(O) :"' O. Demostrar que la derivada g(x) := G'(x) existe para toda x E [O, 1 ], pero que g no está acotada y, en consecuencia, no es integrable. (Por tanto, g tiene una antiderivada en [O, 1}, pero no es integrable en este intervalo.) Sin embargo, demostrar que exis . ¡1 te lím a ;g(x) dx.

a >o+ '\ 6. Sea K(x) :== x'Z~en (n/x) para O < x ~ 1 y K(O) :== O. Demostrar que k(x) :=

K'(x) es integrable en [O, 1] aun cuando es discontinua en x == O. Evaluar

fo1k(x) dx. 7. La función de Thomae h, dada en el ejemplo 5.1.5 b), es integrable en to

do intervalo [a, b] contenido en {x: x > O} (ver el ejercicio 7.1.11), aun

t sgn(x)dx = H(b) - H(a) = b +a. a

b) Usar el teorema 7.2.4 y la primera forma del teorema fundamental para "1t, demostrar que si a < O < b, entonces

t sgn(x) dx = H(b) H(O) = b, o

3. a) Usar la primera forma del teorema fundamental para demostrar que si b ., > O, entonces

f sgn(x)dx=H(l)H(1). 1

nqercicños de la sección 73

¡~ Si F1 y F2 son antiderivadas def: l r+ R en un intervalo/, demostrar que F1 -

F2 es una función constante. · 2. Demostrar que la función signo (sgn(x) :== 1 cuando x < O, sgn(O) := O,

sgn(x) :"' +1 cuando x >O) es integrable en l := [1, 1], pero que no tiene antiderivada en/. Obsérvese, no obstante, que si H(x) :"' ~x:, entonces H'(x) = sgn(x) para toda x * O, y que

( 1: 1)

l •'.11 h1¡•,:1r de usar Ja expresión (12), con frecuencia resulta conveniente hacer el , 11111l1i() .tc variable 1 == (J s)a + sb paras E [O, 1] para obtener la fórmula

(b-af+I 1 R,. =

1 J (l sfJCn+l)(a + (b - a)s) ds.

n. o

d 111• ('11111 i1111:1 n>11 este proccxo dc integración por partes, se obtiene la fórmula ( 1 1 ). Q.E.D.

11'l'l10IU.M1\1•11Nll/\Ml:.N'l'/\I, 1)11,1,( 'Ál ( '(11,(l

l { " ¡t=b fb l } a, = n! (b - t) j<")(t) t=o +na (b - t)"- J(n)(t) dt

J<")( a) l b (b - af + f (b - tr-1¡<n)(t)dt.

n! {n1)! a

Demostración. Se integra R11 por partes para obtener

l fb n Rn == r (b - t) ¡<n+l)(t) dt. n. a

(12)

donde el residuo está dado por

f'(a) f(b) = f(a) + --(b - a)+

l ! (11)

7.3.14 Teorema de Taylor, Suponer que la función f y sus derivadas t'. f", ... ,J(12l,JC11 + l) son continuas en [a, bJ a R. Entonces

Forma integral del residuo

El lector recordará el teorema de Taylor 6.4.1, el cual permite calcular el valor f(b) en términos de los valoresf(a),f'(a), ... ,JC11l(a) y un término correspondiente al residuo que requiere de ¡(n + l) evaluada en un punto entre a y b. Para algunas aplicaciones es más conveniente poder expresar el término del residuo como una integral en la que interviene ¡(11 + 1l.

Q.U.JJ, Demostracíén, Se tomap(x) :== 1 en (8).

jbf = f(c)(b - a). , a

{10)

7.3.13 Corolario. Si fes continua en l :==[a, b], entonces existe e El tal qu»

Puesto que fes continua, por el corolario 5.3.7 del teorema del valor intermedio d1 Bolzano se sigue que existe un punto c El donde f(c) es igual al cociente de 111 desigualdad (9). 0.11.11.

(9)

'Jb S1 a p == O, la elección de c es un valor cualesquiera; de no ser así se tiene

fb fb fb m p.;:;; fp < M p. a a a

LA IN'l'l·:(m1\L IJI\ l{ll(ÍVl/\NN 282

[,) .¡¡

b) -{t di, o 1 + t f 2~ yl 1

a) l =r:"

! 3 1 !4 .¡¡ e)

1 dt d) dt. tlt+T. ' l t(t + 4)

22. Evaluar las ~uientes integrales; justificar cada paso.

converge a M. 20. Evaluar las siguientes integrales; justificar cada paso.

a) f \.,[l+t2 dt, b) 13 ~ dt, o 1 + t2 o

J4b + {t e) f 2t2fl+t3

dt, d) {t dt. o 1 t

21. Evaluar las siguientes integrales; justificar cada paso.

a) f ~--1 dt, b) f 5tv12t + 3 dt,

1 2 + .¡¡ 1

.....

demostrar que f(x) = x para toda x ;;¡;; O. 19. Sea I';= [a, b] y Supóngase que f: I-> Res continua y que f(x) ;;¡;; O para x ER.

Si M := sup {f(x): x El}, demostrar que la sucesión ,

(f(x))2 = 2 {f para toda x >O, o

Demostrar que f(x) = O para toda x E I, . 18. Supóngase que f: [O, oo)> Res continua y que f(x) * O para toda x >O. S1 se

tiene

{ f = ff para toda x E l. 0 X

Demostrar que ges derivable y encontrar g'. 1 /. Sea f := [O, 1] y sea f: I-> R continua. Supóngase que

g(x) := {+"¡ para x E R. x-a

¡ ¡, Sc11 [: U , U co11li11t111 y sea 11 ,,>O. Dcfínusc g: R -• R por

11 ll'!lltl'M1\lllNlli\MllNl'i\l lll•I <'t\l<'lll!J

Verificar las siguientes propiedades de L. a) L'(x) = 1/x para x > O. b) L(xy) =L(x) +L(y) parax,y >O. e) L(x") = nL(x) parax >O, n EN.

L(x) := [~dt para x >O. 1

entonces G '(x) = (!o v)(x) u'(x) para toda x E J. 13. Encontrar F', cuando F está definida en I := [O, 1] de la siguiente manera:

r r2 a) F(x) := j sen (t2) dt, b) F(x) := i (1 + t3)1 dt,

o o

e) F(x) := Jx fl+t2 dt, d) F(x) := j sen r cos t dt. r2 O

14. Sea que F: [O, 3] >Resté definida por f(x) := x para O:,,¡; x < l,f(x) := 1 para 1 ~ x < 2 y f (x) := x para 2 ~ x ~ 3. Obtener una expresión explícita para F(x) = far fcomo una función dex. ¿Dónde es derivableF? Evaluar F'(x) en todos los puntos donde F es derivable.

15. Una forma de tratar el logaritmo es definir L: (O, oo)> R por

G(x) := ¡o(r)J j para x E , a

Encontrar H'(x) parax El. 12. Sea l :=[a, b] y seaf: I-> R continua en l. Además, sea J =[e, d] y sea v: J

> R derivable en J y tal que satisfaga v(J) ~ /. Demostrar que si G: J-> R está definida por

H(x) := tJ para x E l. X

cuando es discontinua en todo número racional. Demostrar que h IHJ 1111111 antiderivada en ningún intervalo.

8. Demostrar que Ja función de Thomae del ejercicio anterior tiene una i11l<•11111I indefinida H en [1, 2], pero que H'(x) -:F h(x) para todo número raciouul 111 [1, 2].

9. Usar los teoremas 7.2.4 y 7.3.1 para demostrar que si fes integrable e11 [11, /ti y si Fes continua en [a, b] y F '(x) = f(x) excepto para un número fi11i10 !11•

puntos de [a, b], entonces/:!= F(b)-F(a). 10. Sea que F: [O, oo)> Resté definida por F(x) := (n - l)x (n l)n/2 p¡1111 1

E [n1, n), n EN. Demostrar queF es continua y evaluar F'(x) en los pu11IUH

donde esta derivada existe. Usar este resultado para evaluar J: [xD dx parn O :s; a < b, donde [x] denota la función del mayor entero introducida en 111

ejercicio 5.1.4. 11. Sea f continua en I := [a, b] y sea que H: I-> R esté definida por

LA IN'l'E(llli\1. 111( llll'.Mi\NN 284

FIGURA_7.4.1 S(P;f), una suma de Riemann.

xo 4 X1 + X2 1 X3 f X4

~1 ~2 b ~4

& L( P ; f) .,;;; S( P ; f) < U( P ; f).

"" Se tiene por tanto

k=l k=l

n n 11 ¡fl

L mk(xk - xk_i) < 1.~1

l'ar:1 1.111a función positiva/en 1, la suma (1) se puede interpretar como el árcn tll' l 11 1111 i ón ele los rectángulos con bases X k - xk - 1 y alturas f ( sk). (Ver la figura / 1 1.) Si la partición Pes muy fina, resulta razonable esperar que l.a suma ele \l 11'111:111ll (I) produzca una aproximación del "área bajo la gráfica de f" y, en con 'H 1·111.:11cia, que esté cerca del valor de la integral de f, siempre que dicha integral 1 \l:;I :1.

ne hecho, resulta evidente que para cualquier partición P de 1, y para cual quier elección de los puntos intermedios ~k(k = 1, ... , n), entonces

Notn, /\1111 c11H1Hlo un se 1H·i.;sc111:1r{i la notacióu pnra i11dic11r la de¡ic11de11l'l:1 dl' \111¡ •11111111:; de Ri1;n1111111 S(I'; /)de los puntos intermedios ~k' el lector IHl dcl>l'1'{1 1ilvlil.11 l11. 1 ll'. hecho, p111;(1ú haber u11 número infinito de valores que se pueden 11\11t·111•r l'<lllHl una suma de Ricmunn correspondiente a una partición dada ,", al 1 l1 p,l1 dil'~n;11tes puntos intermedios,

111/ l 1\ IN'l'l•!ll(/\I t'(>l\llt)llN 1 Íf\1111•,

se le llama suma de Riemann de f, correspondiente a la partición P y Jos puntos intermedios Sk·

S(P;f) ·- 'f.f(tk)(xk -xk-1) k=l

( 1) n

7.4.1 Definición. Sea l := [a, b] y sea f: 1---+ Runa función acotada. Si P := (xo, X l' ... ' x,) es una partición del y si ( s l' S2, ... 's,) son números tales que xk- l ~ sk ~ xk para k ::: 1, 2, ... ' n, entonces a la suma

En los cursos de introducción al cálculo la integral de Riemann con frecuen cia se introduce en términos de límites de ciertas sumas conocidas como "sumas de Riemann" y no en términos de integrales superior e inferior como se ha hecho aquí. Por fortuna, es el caso que estas formas de tratar los límites lleven también al mismo concepto de integración. Uno de los propósitos de esta sección es estable cer la equivalencia de estas teorías de la integral de Riemann. La sección concluye con una breve estudio de las integrales "impropias". '

SECCIÓN 7.4 La integral como un Ilimite

para algún número e E [O, 1]. [Esta es Ja forma del residuo debida a Cauchy.]

(h - a)"+1

R" = n! (1 e)"¡<n+l)(a + e(b - a))

Demostrar que existe e El tal que f(c) = g(c). 25. Demostrar que, bajo las hipótesis de 7.3.14, el residuo se puede expresar ()II

1 la forma

f"¡ = f"g. a a

Demostrar que g(x) =O para toda x E/. 24. Sea l := [a, b] y sean f, g continuas en l y tales que

1 g ( x) 1 <,;; K {I g 1 para toda x E I. (l

23. Sea l := [a, b] y sea g: 1---+ R continua en l. Supóngase que existe K >O 1111 q111

·3

!·~ d) dt.

1 t ¡ 2

l e) ---dt

o2+/i '

1,/\ IN'l'Ullt/\L lll\ Hlil,IVIMIN 28(¡

Se demostrará a continuación que si fes integrable, entonces la integral de fes el límite de las sumas de Riernann cuando ::P;! +O en el sentido del siguiente teorema.

Nota. Deberá quedar muy claro que dos particiones muy diferentes de I pue den tener la misma norma. También es claro que si Pe;;:: Q, entonces ! IQI 1 <S 1IPi1; sin embargo, no se sigue que si !iQil <S !:P~i, entonces Pe;;:: Q. (¿Por qué?)

En otras palabras, !!Pi 1 es la longitud máxima de los subintervalos en que/ es dividido por la partición P.

7.4.4 Definición. Si I :=[a, b] y si P := (x0, x1, ... , xn) es una partición de 1, entonces la norma de P, denotada por 1 !Pil se define por

7.4.3 Teorema. Sea I := [a, b] y sea f: I--+ R una función acotada. Suponer r¡111· existe un número A tal que para toda E> O existe una partición ~tal que si P

1 r.v si S(P;f) es cualquier suma de Riemann def correspondiente a P, entonces S( !; ; /)A 1 < E. Entonces fes integrable en I en el sentido de la definición 7 .1.6

\' i\ = f'l U1~a demostración de este teorema se puede basar en la observación de que

ti.idas E > O y una partición Q de I, existe una suma de Riemann de Q que está .kntro de E unidades de la suma superior U(Q; !) y existe otra suma de Riemann tlt· Q que está dentro de E unidades de la suma inferior L(Q; !). Puesto qu~ la .lctinición no resulta particularmente difícil, se dejará para el lector como un ms uuciivo ejercicio.

Hay otro sentido en el que la integral se puede obtener como un límite de las ·.11 mas de Riemann.

1 :,1 recíproco del teorema anterior también es verdadero.

Q.E.O. 111111(1 se afirmó.

is(P;f) f!I.:;; U(P;f) - L(P;f) <e,

'llll 1 1\ 11'1111•( lllt\l ( 'OMO t IN 1 fMITP

Además, se tiene asimismo que L(P; !) ~ [b f ~ U(P; !). Se sigue por lo tanto que

L(P;f).:;; S(P;f).:;; U(P;f).

de donde U(p; !) - L (P; f) < E. Pero si S(P; !) es una suma de Riemann de f correspondiente a P y a cualquier elección de los puntos intermedios, entonces se tiene

L( P, ; f) .:;; L( P ; f) ~ U( P ; f) ~ U( P, ; f)

Demostración. Si fes integrable y E > O, entonces, por el criterio de Riemann 7.1.8, existe una partición P0 de I tal que U(P0; !) -L(P,; !) < E. Además, si Pes cualquier partición tal que P :2 ~entonces por el lema 7.1.2 se sigue que

(2)

7.4.2 Teorema. Sea I :=[a, b] y seaf: I -s Runa función integrable en I en el sentido de la definición 7.1.6. Entonces, si se da E >O, existe una partición ~de I tal que si Pes cualquier partición que sea un refinamiento de P0y si S(P; !) es cualquier suma de Riemann de f, entonces

Es decir, cualquier suma de Riemann de f correspondiente u l ' está cutre 111 N1111111

inferior y la suma superior def correspondientes a P, sin importar la forma un q1111 se elijan los puntos intermedios ~k'

Se hace notar que· si las cotas superior e inferior mk y M¿ se encuentran rn [xk-1' xkJ para toda k = 1, 2, ... , n, entonces las sumas superior e inferior ~011

iguales a las sumas de Riemann para elecciones particulares de los puntos inll'l medios. Sin embargo, en general, las sumas superior e inferior no son sumas du Riemann (dado que f puede no asumir los valores mk y Mk), aun cuando es posible considerarlas arbitrariamente próximas a sumas de Riemann para puntos intermo dios elegidos con sumo cuidado. (Ver el ejercicio 7.4.5.)

Surge una pregunta: ¿es posible obtener la integral }a6f como "el límite" de luM sumas de Riemann S(P; !) de f? Para hacer más precisa esta pregunta es necesario hacer más explícito qué se entiende por "el límite", ya que deberá ser claro para el lector que hasta este punto no se ha considerado ningún proceso de límites que incluya la convergencia de las sumas de Riemann. Sin embargo, a continuación se mostrará que se pueden ofrecer al menos dos posibles definiciones de límite y que en ambos casos la respuesta a la pregunta inicial es afirmativa.

LA. IN'l'l~WV\I. J)li. ltlHMi\NI~ 2KB

fb f(x)dx. a

o

7.4.7 Definición. See ]: (a, b)->R tal que/ es integrable en el intervalo [c, bJ para toda e en (a, b ]. Supóngase que existe un número real A tal que para t~da e> () existe o > O tal que si e satisface a < c < a + 8, entonces se tiene IA l JI < e. En es te caso se dice que A es la integral impropia de f en (a, b] y el valor de A se denota por

Integrales impropias En la explicación precedente de la integral se emplearon dos premisas fijas: se

11·q~ría que la función estuviera acotada y que el dominio de integración fuera un intervalo acotado. Si cualquiera de estas dos condiciones no se satisface, entonces 110 es posible. aplicar la teoría de integración presentada sin introducir algun.os 1·arnbios. Puesto que hay casos importantes en que es deseable hacer menos estnc 111 uno o ambos requerimientos, se indicarán brevemente las alteraciones que es necesario hacer. Una relación más detallada se puede encontrar en Introducción al análisis matemático (Editorial Limusa).

Se considera primero el caso de una función no acotada.

En los últimos treinta años, R. Henstock y J. Kurzeweil han presentado (de 1111111cra independiente) una notable ampliación de la integral de Riemann quepo 111•\: varias propiedades de mayores alcances que la.integral de Riem~n~, común o lucluso que la fntegral de Lebesgue. R.M. Mcl.eod ofrece una exposicion de esta ll'1>ría en una monografía citada en las referencias.

Demostración. Sean e > O y 8 > O como en el teorema, y sea PE una parti 1 11111 de J con l IP 11 < 8. Si Pes cualquier partición tal que P ;:;;:> ~' entonces l IPI 1 ~ 111' 11 < 8 de tat modo que para cualquier suma de Riemann correspondiente se 111 1'ic ¡5>(P; !) B[ < e. Por lo tanto, por el teorema 7.4.3, fes integrable en I y B = /''f. Q.E.D. " /

7.4.6 Teorema. Sea l := [a, bJ y sea f: I -->Runa función acotada. Suponer 1¡111• rvistc un número B tal que para toda E> O existe una _8 >O tal que .si Pes 1 t1t1/1¡11i<'r partición de/, con l IPll < 8, y S(P; !) es cualquier suma de Riemann 11111 r·.1¡1()11diente, entonces IS(P; !) -bBI < E. Entonces fes integrable en I en el

/" v• utulo de la definición 7.1.6 y B = l f.

l '.I rcclprocu del teorema anterior también es verdadero.

1'111 'ilº (llH' (J'1'.) ''. .• xc debe tener que U(Q'1'; I) L(Q~; f) < c/3, por lo ql~IC la i1111¡~11ud dl' /,. cN menor que e. Por Jo tanto, la distancia entre S(Q; !) y~ fes 1111 Jlill q11c I', lu cual indica la desigualdad (3). O.E.o.

)1) 1 t !\IN t 11( lllAI ( 'OM\l llN 1fMI111

, \

I, := (L(Q* .T) - t:/3,U(Q* ;!) + s/3).

Ahora tanto la suma de Riemann S(Q; !) como la integral t f están contenidas en el intervalo cerrado [ L ( Q; !), U( Q; !) ] y, por consiguiente en el intervalo abierto

L(Q* ;f) - s/3 < L(Q ;!).

Un razonamiento exactamente igual indica que

U(Q;f) < U(Q* ;!) + s/3.

Se tiene por tanto

O.,;;; U(Q;f) - U(Q* .I) .,;;; 2(n - 1)2Mo < s/3.

donde Mj es el supremo de f en el jésimo sub intervalo de Q y M/ es el supremo d11

/en el késimo subitervalo de Q*. Puesto que IMj-M!I ~ 2My jzkzk_1! ~ llQ~'ll ~ 11011 ~ o, se deduce que

Demostración. Puesto que fes integrable y e> O, por el criterio de Ri01n111111 7.1.8 se sigue que existe una partición PE:= (x0, x1, ••. , x,) tal que U(PE;f)-1,(111 !) < e/3. Además, si P ;:;;:>~'entonces también se cumplirá que U(P; f)-L(P; / 1 < e/3. Sea M := sup {lf(x)I: x El} y sea o:= e/l2nM, donde n + 1 es el número 1h punto de~ Sea ahora Q := CYo, y l' ... 'Y,,,) una partición de I con l IQI 1 < ó y sea u~ := Q U~· Se sigue que Q* ;:;;:>PE y que Q* tiene a lo sumo n 1 más puntos q110 (' es decir, los puntos entre x1, ••• , x11_1 que pertenecen a~ pero no a Q.

Se quiere comparar U(Q ;!) y U(Q *;!).Puesto que Q* ;:;;:> Q, se sigueqm.hu tiene U(Q; !) - U(Q *; !) ~ O. Si se escribe Q* := (z0, zl' ... , z1,), entonces tU puede ver que U(Q; !) U(Q *;!)se puede escribir como la suma de a lo su1·1111 2(n - 1) términos de la forma

(3)

7A.5 Teorema de Darboux, Sea I := la, bJ y S('ll /: >U 111111 ji1111 /1111

integrable en I en el sentido de la definición 7.1.6. Entonces, si se da e • (), 1•1 /111 una o > o tal que si p es cualquier partición de I tal que l IPI 1 < o y si su· i j ) 1

cualquier suma de Riemann de f correspondiente, entonces

1.1\ 11\l'l'l\c 11{1\t, 1 >I( lltli.MAI ll 1 290

fe fe . 1 1 g = x-ª dx = (1 e-a+ ).

1 1 a - l

Puesto que la función log e no está acotada cuando e---> co, la integral impropia de f en [a, oc) no existe. . .

b) Sea a> O, a* 1, y sea g(x) :=x-" para x en [1, ce). Para cualquier e> 1 se tiene

e 1 , f ; dx = log e - log a. a

7.4.10 Ejemplos. a) Si a> O y sif(x) := l/x parax en [a, ce), entonces para toda e > a se tiene

..,,_, En otras palabras, Ja integral impropia de f en [a, oc) está dada por { f = FE\ J.c f, si el límite existe. En ocasiones se dice que la integral impropia de ["converge" si el límite existe y que "diverge" en el caso contrario.

{'f(x) dx. a

o

7.4.9 Definición. Sea a ER y sea f: [a, oc)> R tal que para toda e > a, la /lit ución fes integrable en el intervalo [a, e]. Supóngase que existe un número A tal

q11c para toda E> O existe un número real M tal que si e> M, entonces IA ~e f 1 < 1 . 1 \n este caso se dice que A es la integral impropia de J en [a, oo) y el valor de A ·.1· denota por'

1•111 ejemplo, si f(x) := 1/x2 para x E (O, 1], x * O, y f(x) :=O para x E [1, O], la 1111rgr;il impropia de f en [1, 1] no existe porque la integral impropia de f en (O, 1] 1111 existe.

A continuación se trata el caso de las integrales impropias en intervalos no 111·111ados.

111 di·ll11ivi1'111 precedente i11<..:!11ye una "impropiedad" en el punto terminal iz 1111111d11 de 1111 iutcrvalo: u11 comportamic11Lo análogo en el punto termi~al derecho ~· 11,11:1 d\' manera similar. Si una funciónfno está acotada en toda vecindad de un ¡11111111 1111l'1iur ¡1 de [a, b], entonces se dice que la integral impr?pia def en [a, b] , ~ 1',11• :.i y sólo si existen las integrales impropias de f en ambos mtervalos, [a, p) Y 1 ¡1, ¡,¡, y0¡;11 este caso la integral impropia defen [a, b] se define como la suma

.")1 1AIN'l'l111(/\1 !'OM() \IN t lMJll

Si O< a< 1, entonces c1-a---> O cuando Cr+ O+, por lo que la integral impropia de h existe. Sin embargo, si a > 1, entonces h no tiene una integral impropia.

l l l . J h = J X-a dx = (1 c1-ª). e e 1 CI'

Puesto que la función log e no está acotada cuando e---> O+, la integral impropia de g en (O, 1] no existe.

e) Sea h (x) := x-" para x en (O, 1 ], donde a > O, a * 1. (El caso en que a es racional para esta función se analizó en el ejemplo 6.1.10 e); en la sección 8.3 se discutirá el caso en que a es irracional.) Para O < e < 1 se tiene

J I fl 1 g = dx = log 1 log e = log e. e e X

b) Si g(x) := 1/x para O< x ~ 1, entonces para toda e con O< e< 1 se tiene

[! = lím 2( 1 rc) = 2. O c>O+

Por tanto, si se hace que e> O+, se infiere que la integral impropia de f en (O, 1] CH

J l JI l . 11 e Í = e {; dx = 2{; e = 2(1 Vc).

7.4.8 Ejemplos. a) La función f: [O, 1] > R definida por f (x) := 1/ .,/X para O < x ~ 1, f(O) := O, no está acotada y, por tanto, no es integrable en [O, 1 ]. ~111 embargo, para toda e que satisface O < e < 1 se tiene

Observaciones. a) Si f está acotada en [a, b] y si fes integrable en [e, /¡ l 1111111 toda e que satisface a <e~ b, entonces se sigue que fes integrable de hecho c11 111 b ]. (Ver el ejercicio 7.1.7.) Además, el valor del límite en la definición prcccdrnu coincide con el valor de la integral de f en [a, b]. Por tanto, la noción de inlq1,111l impropia resulta superflua en este caso.

b) Obsérvese que es posible asignar un valor cualesquiera a af sin afectar •111 integrabilidad o el valor de su integral.

r Es evidente que el número A es el límite por la dcrcchu /\' 11111 . [. 1·:11 v11111.1•1•11111 e· •u·I i . !h era, resultaría natural denotar la integral impropia def en (a, bj por A= "' I Si11 \'111111111111

no se acostumbra escribir el signo más en el límite inferior de la integral a 111c1w~ q111· 1111111 una grave confusión.

l .A IN'l'l,,Ul(i\1. 1111ltll·~l1\I1t 1

13. Supóngase que f satisface la condición de la definición 7.4.9. Demostrar que la integral impropia de f en [a, oo) existe si y sólo si para toda e> O existe M E R tal que si M "" u < v, entonces ,/,,° i. > e. 14i Establecer por qué cada una de las siguientes es impropia y determinar si son convergentes o divergentes. Calcular el valor de las que sean convergentes.

d) J1x log x dx. o !2 X

e) · ¡; dx, 1 vx - 1

1 b) J.2--dx

1 X log X ' a) f log x dx,

o

para k = 1, ... , n. Demostrar que ~k E [xk-l' xk] y encontrar el valor de la suma de Riensann S(P; g) de estos puntos intermedios. Usar este resultado para evaluar f~xP dx. [Sugerencia: uP+ 1 vP+ 1 =(u - v)(uP + uP-1 v+ uP-2 v2 + · · · + vP).]

8. Usar el teorema 7.4.2, o bien, el 7.4.5 para dar otra demostración del teorema fundamental 7.3.1.

9. Demostrar que fes integrable si y sólo si se satisface la siguiente "condición de Cauchy": para toda e> O, existe 8 >O tal que si 1:P': < 8 y 1:Q!' < 8 entonces 'S(P;f)-S(Q ;!)·<E para todas las sumas de Riemann correspon dientes.

10. Usar los teoremas 7.4.5 y 7.4.6 para dar otra demostración del teorema 7.2.1. 11. Dar otra demostración alternativa de la parte del teorema 7.2.4 que afirma

que sif es integrable en [a, e] y [e, b], entonces es integrable en [a, b] y es

(válida la fórmula (6) de la sección 7.2.

12 Para cada una de las integrales siguientes, establecer si es impropia y por qué, y determinar si es convergente o divergente. Si es convergente, calcular su valor.

/

6. Sea f (x) := x para x E [O, b J y sea P := (x0, xl' ... , x11) una partición de [O, b ]. Demostrar que para los puntos intermedios ~k := i(xk + xk_1), k = 1, ... , n, !ª suma de Riemann correspondiente satisface S(P ;!) = !b2. Concluir que fo x dx = ib2.

7. Sea g(x) := xP para x E [O, b], con p EN y p ~ 2, sea P := (x0, x1, ... , x,,) una partición de (O, b] y sea

L f(11k)(xk - xk_1) - L(P ;f) <e. k=I

De manera similar, existen los puntos intermedios (771' r¡2, •.. ·' 77,.) tales que

U(P .T) - L f(gd(xk - xk-1) <e. k=I

1 A IN'f'I'.( IHAI ('()M(l lJN 1 fMl'f'l1•

5. =t= función acotada definida en [a, b] y sea p := (x0, xi' ... , x11) una partición de [a, bJ. Dada e> O, demostrar que existen los puntos intermedios ( ~!' ~ 2, ... , ~11) tales que

( " k'TT) b)Jím (l/n)Lsen. le=! n

) ( n ) 3. Demostrar que lím ~ __ n_ = 14 11+oo L., k2 2 7T' • ) k=l + n

4. Usar el ejercicio 1 para evaluar:

a) lím ( ( ljn8) k~l k7),

( n k ) b) lím :E .

n-+oo k=I n2 + k2 ( n l ) a) lím L --

n-+oo k=ln+k'


lj Seafintegrable en [O, 1]. Demostrar que ,¡0100 (0/n) k~/k/n)) ~ ¡¿¡. 2. ~sar el ejercicio 1 para expresar cada uno de los límites siguientes como una

integral:

f. 1 : x' dx ~ f. 1 : x' áx + { ¡ : x' dx

lím { Arctan e) + lím ( Arctan e) e-> -oo c-Hx>

Por ejemplo, se tiene

. . Las integrales impropias en intervalos de la forma (oo, b] se tratan de m1111r111

~1mrlar. El caso de una función f definida en (oo, oo) se trata considerando 111~

integrales impropias de f en (oo, b] y en [b, oo) para cualquier b ER fija. Si tul!

ba~ rntegrales .impropias existen, entonces la integral impropia de¡ en (-<Y>, , .. , existe y se defme como

Si a> 1, e~tonces.c"'+ 1> O cuando e_, oo, por lo que la integral imr11opl11 (11 1 en [1, oo) existe y tiene el valor 1/(a1). Si O< a< 1, entonces e ,,. '11111111111

acotada cuando e> ce y la integral impropia de gen [I, oo) no existe.

l.A IN'l'l~URAl.1)1! ltlHMANN 294

Sumas superior e inferior

Es natural intentar aproximar integrales considerando las sumas superior e inferior (o las sumas de Riemann) que se usan para definir estas integrales. Sin embargo, al reflexionar por un momento es claro que no será sencillo evaluar las sumas superior e inferior de funciones generales, ya que con frecuencia es difícil determinar el supremo y el ínfimo de una función en un intervalo. Un caso en el que esto resulta sencillo es, desde luego, el de una función monótona. En este caso el supremo y el ínfimo corresponderán con los puntos terminales del intervalo.

En general, es conveniente usar particiones en las que los puntos sean equidistantes. Así, al considerar una función continua f en el intervalo [a, b ], se consideran las particiones P" de [a, b] en n subintervalos iguales con una longitud h := (b - a)/n dada por Jos puntos de partición

con un error menor que 0.005.

1 .!e-x" dx = ¡1(1 x2 + ±x4 - ix6) dx + J.1R3 dx o o o

l 1 l 11 = 1 + + R dx .

3 10 42 o 3

1 1 l'uesto que se tiene O.;; J 01R3 dx «; -- = < 0.005, se sigue que

' 9. 24 216 26 1 1e'2 dx ::::: -(::::: 0.7429),

o 35

/ donde O ~ R3 ~ x8 /24, para x E [O, 1 ]. Por lo tanto, se obtiene

_2 2 14 16 e x = 1 x + 2x - 6x + R3,

iln11dc R3 = y4e-c /24, donde e es algún número con O ~e ~ l. Puesto que no se , 11t"11ta con mayor información acerca de la localización de e, hay que confor 111arsc con la estimación O ~ R3 ~ y4¡24. Se tiene por tanto

_ 1 2 1 3 R e y = 1 Y + 2Y - 6Y + 3,

111 1 1·:dil11dL":·:. Si se desea obtener una aproximación mejor, se puede intentar i.:11 1, 11111111 l'uucioucx de aproximación g y h más exactas.

Sv puede 11s<1r el. teorema ele Taylor 6.4.1 para aproximar e-x2 por medio ele un ¡i11111111111 in. Al usar el teorema ele Taylor es necesario establecer restricciones sobre 1 1 lr1111inn dd residuo para que los cálculos tengan significación. Por ejemplo, si 111· 1q>lic1 el teorema de Taylor a e-Y para O~ »< 1 se obtiene

IN 1'1•! 111/\( '1( >N i\l'i(! >XIMl\l 11\

t Esta sección se puede omitir en una primera lectura de este capítulo.

Por consiguiente, se tiene 1 1 /e ~ fo1 e-x2 dx ~ l. Si se usa el promedio de los ;alares del paréntesis cuadrado se obtiene la estimación 1 l/2e;:;;; 0.816 para la mtegral con un error menor que l/2e < 0.184. Esta estimación es muy aproxima da, pero se obtiene con rapidez y puede ser bastante satisfactoria para nuestras

¡1 1 . }, e-xdx;;;;; J, e-x2dx;;;;; ii o: o o lo

Si se pueden calcular las integrales de g y h, se obtiene entonces una estimación del valor de la integral de f

Por ejemplo, supóngase que se quiere estimar el valor de fo1 e-x2 dx. Es· senci llo demostrar que e= ~ e-x2 ~ 1 para x E [O, 1 ], de donde

fb lb lb g(x) .u « f(x) dx;;;;; h(x) dx. a a a

El teorema fundamental del cálculo 7.3. 1 ofrece un método sencillo para uv11 luar una integral, pero sólo si es posible encontrar una antiderivada del integrando. De nada sirve este método cuando no se puede encontrar una antiderivada. Sl11 embargo, existen varias técnicas para aproximar el valor ele una integral cuando 1111 es posible encontrar una antiderivada, y en esta sección se estudiarán algunos di• los métodos más elementales y útiles. Por conveniencia, la atención se centrarñ en los integrandos continuos.

Un procedimiento muy elemental para obtener estimaciones rápidas del vaku de una integral tf(x) dx se basa en la observación de que si g(x) ~ f(x) ~ h(,\) para x E [a, b ], entonces

1SECCIÓN 7.5 Integración aproximada

00 l d) j dx.

o rx (x + 4)

00 l e) j > dx

o X-

b)j""e-xdx 00

loo log X oo l e) dx, d) J

2 dx,

2 x z x( log x) is/Establecer por qué cada una ele las siguientes es impropia y determinar NI ~1111

convergentes o divergentes, Calcular el valor de las que sean converg,01111111

J I 1 a) .~ dx,

lylx2

00 I b) J ¡-;- dx ,

o v e"

l.i\ IN'IHIH/\1.1>1( ltiHrvlt\l IN 2%

(3)

Se ve, por tanto, que la integral de la aproximación lineal por partes g11 de fes igual a la suma

tg,,(x) dx = h[tf(a) + f(a + h) + · · · +f(a + (n - l)h) + if(b)]. a

donde k =o, 1, ... , n - 1. La integral de g,, en [a, b] se obtiene entonces al sumar estos valores. Puesto que todo punto de partición de P,,, con excepción de a Y b, pertenece a dos intervalos adyacentes, se obtiene

J°+(k+l)hgn(x) dx = ih[f(a + kh) + f(a + (k + l)h)), a+kh

La regla del trapezoide El método de integración numérica llamado la "regla del trapezoide" se basa

1•11 aproximar la función continuaf: [a, b]> R por medio de una función lineal por rhrtes. Sean EN y h := (b a)/n; como antes, se considera la partición P,, :=(a, a

1 h, a+ 2h, ... , a+ nh = b). Se aproximafpor la función lineal por partes gn, cuya ¡•.rfüca pasa por lbs puntos (a+ kh, f(a + kh)) donde k = O, 1, ... , n. Parece

1 nzonable que la integral ~b f(x) dx será "aproximadamente igual a" la integral (1, r.1 (x) dx siempre que f sea razonablemente suave y n lo suficientemente grande . . º

011Es un ejercicio de geometría elemental determinar que el área de un trapezoide

'/'con base de longitud h y lados de longitudes l1 e 12 es !h(l1 + 12). Esto se puede <, interpretar como la longitud h de la base multiplicada por la longitud promedio W1

t· l ) de los lados de T. De manera similar, se puede demostrar que como gn es lin~l en el intervalo [a+ kh, a+ (k + l)h}, la integral de gn en este intervalo está dada por

7 .5.2 Ejemplo. Si f(x) = e-x2 en [O, 1 ], entonces fes decreciente. Por la des ,!" l¡1,1111ldad (2) se sigue que sin= 8, entonces lfo1ex2 dxT8(f)I ~ (1 e1)/16 <

11.011, y sin= 16, entonces ¡fo1 e-x2 dx-T16(f)I ~ (1 e1)/32 < 0.02. En realidad, 111 aproximación es bastante mejor, como se verá en el ejemplo 7.5.5.

Demostración. Se ha dado ya la demostración el caso en que fes monóto 1111 y creciente. Se deja al lector la consideración del caso en que fes decreciente.

. Q.E.D.

1

1,_ 1 lf(h)-f(a)l(b-a) J j(x) dx - T,i(f) ~ 2n · a

',l})l) lN'l'I<:( lltl\C'H'JN Al'ílOXIMl\DI\

7.5.1 Teorema. Sif: [a, b]--> Res una función monótona en [a, b] y si T,,(f) está definida por (1), entonces se tiene

Una estimación del error como ésta resulta particularmente útil pues proporciona una restricción superior para el error en términos de cantidades que se conocen desde el principio. En particular, se puede usar para determinar qué tan grande se deberá elegir n. para tener una aproximación dentro de una tolerancia específica e> O.

ltj(x) dx - Tn(f)I ~ i[U(Pn ;f) - L(Pn ;f)]

= ih[f(b) - f(a)]

[J(h)-f(a)](b-a) 2n

como una aproximación razonable de la integral. En este caso la estimación del error es:

(1)

En este caso el valor exacto de la integral t f(x) dx está entre L(P,,; f) y U(P,,; .n A menos que haya razones para pensar que uno de estos términos se encuentra mrt1i cerca de la integral que el otro, generalmente se toma la media HL(P,,; f) + U(P11;

!)], la cual se ve de inmediato que es igual a .

n

U(Pn ;f) = h L J(a + kh). k=l

en tanto que la suma superior de f correspondiente a P,, es

n-1 L(Pn ;f) = h L J(a + kh),

k=O

Supóngase que fes continua y creciente en [a, b ]; entonces la suma inferior d11 / correspondiente a la partición P,, es

a, a+ h, a+ 2h, ... , a + nh = b.

LA IN'll·:URAI. l>H !lll~MANN 298

7.5.5 Ejemplo. Sif(x) := e-x2 en [O, 1), entonces un cálculo indica quef"(x) = 2e-x2 (2x2 1 ). Se tiene, por lo tanto, B2.,;; 2. Por la desigualdad (6) se sigue que si 11 = 8, entonces ,Tlf)-fo1e-x2 dx .,;; 2; (12 · 64) = 1/384.,;; 0.003 y que sin=

16, entonces '.T16(!)fu1 e=? dx. .,;; 2/(12 · 256) = 1/1536 < 0.000 66. Esto indica que Ja precisión es considerablemente mejor en este caso que Ja predicha en el ejemplo 7.5.2.

Cuando se conoce B?, esta desigualdad se puede usar para determinar qué tan grande se debe elegir -n para tener la seguridad de conseguir el grado de precisión deseado,

1

b 1 (b - a)3 TJ!) - ~ f(x) dt ~ 12n2

e; ( (i)

La expresión (5) también se puede escribir en la forma

l

b 1 (b-a)h2 Tn(f) ~ ~ J(x) dx ~ 12 B2.

7 .5.4 Corolario. Sean f, I' y f" continuas en [a, b] y sea B2 := sup {:f"(x)I: x , 111, b]}. Entonces

l.a igualdad ( 4) resulta interesante por cuanto proporciona tantob una restric ' 11111 superior como una restricción inferior de la diferencia Tn(f) -l f(x) dx. Por 1 ¡1·111¡ilo, si f"~») ~A > O para toda x en [a, b], entonces (4) indica que esta

/ d1it'rcncia deberá exceder siempre f-2A(b - a)h2. Sin embargo, por lo general, la 11".1 ricción superior es la de mayor interés.

l'i11".to quc j" es continua en [a, b], por las definiciones de A y By el teorema del 1111111 intermedio de Bolzano 5.3.6 se deduce que existe un punto e en [a, b] tal que 111 1¡•,11;ddad ( 4) se cumple. Q.E.D.

/,/1.(h a)h2 ~ T11(f) - f'J(x) dx ~ -&_B(b - a)h2. (1

11 , 1111\'111yl· que 11:.1'\/r111 """·1;,C.n-tK•) dx .,;; ~!3'1311. Puesto que 1z = (b- a)/11, se 111111•

! Ir, / ./ (X) 1 .v , (/

L.: 1h < t, ) .,.h en /, 1

1111 11111 ( 111/\( 'I( H l 1\l'IH 1\11\.1/\1 l/\

para k = 1, 2, ... , n. Si se suman estas desigualdades y se observa que

por lo que se tiene Mt .,;; <f>~'(t) .,;; iBt para t E [O, h ], k = 1, 2, ... , n. Al integrar y aplicar el teorema 7.3.2 se obtiene, ya que <f>~(O) =O, que iAt2 ~ <P~(t).,;; iBt2 para t E [O, h], k = 1, 2, ... , n. Al integrar nuevamente y tomar t = h se obtiene, ya que <f>k =O, que

B := sup {f '1 (X) : X E [a' b]} A:= inf{f"(x): x E [a,b]},

Sea ahora que A, B estén definidas por

</>'k(t) = -~f'(ak + t) + kf'(ak + t) + hf"(ak + t) = itf"(ak + t).

Por consiguiente, cf/ k(O) = O y

para t E [O, h]. Se observa que cf>iO) =O y que (por 7.3.4)

<l>~(t) = t[J(ak) + f(ak + t)] + ~tf'(ak + t) - f(ak + t) = Hf(ad - f(ak + t)] + ~tf'(ak + t).

<J>k(t) := kt[f(ak) + f(ak + t)] - rk+1f(x) dx ªk

Demostración. Si k = 1, 2, ... , n, sea ak :=a+ (k1)/h y sea que <Pk: [O, Ji 1 • R esté definida por

r (b-a)h2 Tn(f) -- f(x) dx = f"(c).

a 12 (4)

7.5.3 Teorema. Sean f, f' y f" continuas en [a, b] y sea T,,(f) la 11-1"sl11111 aproximación trapezoidal (3). Entonces existe un punto e E [a, b] tal que

que es igual a la que se obtuvo antes como la media de L(/ ~.; f) y U( l '11; f ). S1· 11111 1

referencia a T,,(f) como la nésima aproximación trapezoidal de/L:11 lo, h ¡. li.111 1 teorema precedente se obtuvo una estimación del error cuando fes mo11(11rn111 lu deriva ahora una sin esta restricción sobre f, pero en términos de la segunda dt•1 lv11 da f" de f.

Li\ IN'l'l:<;1l/\l, lll\ IUl·.M1\NN 300

1 3 l l 3 -Ah ~ r/lk(2h) ~ -Bh . 24 24

para toda t E [O, i/t], k = 1, 2, ... , 11. Al tomar t = ~h se obtiene

Por el teorema del valor medio 6.2.4, existe un punto ck,r con », - ck,tl :% t tal que ¡¡t~(t) = 2tf"(ck). SiA y B se hacen como en la demostración del teorema 7.5.3, se tie ne 2tA :% t¡1';(i) :% 2tB para t E [O, h/2], k = 1, 2, ... , n. Se sigue como antes que

t/J'k(t) = f'(ck + t) + f'(ck - t)(1) = f'(ck + t) f'(ck - t).

Par consiguiente l/f '/O) = O y

¡/Jk(t) =f(ck+t)-f(ck'--t)(-1)-2f(ck) = [f(ck + t) + f(ck - t)] 2f(ck).

se tiene

~h(t) = rk+1f(x) dx - rk-1f(x) dx - f(cd2t, ck ck

para t E [O, ~h]. Obsérvese que l/fk(O) =O y que como

/' Demostración. Si k = 1, 2, ... , n, sea ck :=a+ (k-Dh y sea que t¡1k: [O, ~h] ~ U esté definida por

b (b - a)h2 J f(x) dx - Mn(f) = 24 f"(y). a

( 11)

7.5.6 Teorema. Sean f, f' y f" continuas en [a, b] y sea M,,(f) la n-ésima 11¡ 1ru 1 unacián del punto medio (7). Entonces existe un punto y E [a, b] tal que

1111111•1ni1k 11111¡•.1·111!'" resulta ser igual a la "regla del punto medio". Se demuestra a , 1111111111111:i611 que la regla del punto medio proporciona una precisión ligeramente 1111·i111 que la regla del trapezoide.

\l)I 1111'11( lllA< 'I( lN /\i'I(( >.X 1 M/11 lA

\ I

FIGURA 7.5.1 El trapezoide tangente.

a+ kh a+(k-l)h 1 a+(k--)h . 2

¡ l f(a + (k- 2)'1)

Otro método consiste en usar funciones lineales por partes que sean tangentes a la gráfica de f en los puntos medios de estos subintervalos. A primera vista, es!\• último método parece presentar la desventaja de que será necesario conocer 111

pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en cada uno de los puntos medios u + (k - Dh (k = l, 2, ... , n). Sin embargo, es un ejercicio de geometría demostrar que el área del trapezoide cuyo lado superior es esta recta tangente en el punto medio a+ (k-Dh es igual al área del rectángulo cuya altura esf(a + (k-Dh). (Ver la figura 7.5.1.) Por tanto, esta área está dada por (7) y se ve que la "regla del

n

= h I: f(a + (k - k)h). k=l

(7)

Mn(f) == h[J(a + -}h) + f(a + íh) + · · · +f(a(n - -})h)]

se tiene la aproximación por la regla del punto medio dada por

Pn == (a, a + h , a + 2h, ... , a + nh = b)

Un método obvio para aproximar Ja integral de fes tomar las sumas de ll.k•111111111 evaluadas en los puntos medios de los subintervalos. Así si P es la part ici >n

' 11

La regla del punto medio

l./l IN'l'll.(11~/ll, 1ll(1tll1MAI 111 .102

por lo que cp~:(O) =O y

'P'í.(t) = *t[f"(ck - t) + f"(ck + t)] - H-f'(ck - t) + f'(ck + t)],

Evidentemente, cpk: (O) = O Y

cpÍc(t) = it[-f'(ck - t) + f'(ck + t)] ~[f(ck - t) - 2f(ck) + f(ck + t)],

Demostración. Si k = 1, 2, ... , ~n - 1, sea ck :=a + (2k + 1 )h y sea que 'Pk: [O, h] > R esté definida por

¡, (h-a)h4

Sn(f) J f(x) dx = J<4>(c). {l 180 ' (12)

7.5.8 Teorema. Seanf,f',f" y I'" y ¡<4) continuas en [a, b] y sean EN un número par. Si S11(f) es la nésima aproximación de Simpson (11 ), entonces existe un punto e E [a, b] tal que

Obsérvese que los coeficientes de los valores de f en los n + l puntos de partición ' son 1, 4, 2, 4, 2, ... , 2, 4, 1.

Se establece' a continuación un teorema que proporciona información acerca de la precisión de la aproximación de Simpson.

( 11) Sn(f) := ih[f(a) + 4f(a + h) + 2j(a + 2h) + 4f(a + 3h)

+2f(a + 4h) + · · · +2f(b - 2h) + 4f(b - h) + f(b)}.

..> 1 :.n vista de la relación anterior estos lleva a la nésima aproximación de Simpson

definida por

Y2=f(a+2h), ... Y1=f(a+h), Yo= f(a),

•,1· aproximafpor una función cuadrática que coincida confen los puntos

[a,a + 2h],[a + 2h,a + 4h], ... ,[b 2h,b],

Sc1111linrn ¡ 111111 l\111L'i(111 continua en !a, /J] y sea 11 EN un número par. Se hace ¡, (11 11)/11. b1 cada "subintcrvalo doble"

111~ IN'l 11( 11\/\l 'HIN /\l'IH l)\IM/\ll/\

El método que se introducirá a continuación, generalmente, proporciona una aproximación mejor que la regla del trapezoide o la del punto medio y requiere muy pocos cálculos adicionales. Mientras que las reglas del trapezoide y del punto medio aproximan la función/por medio de funciones lineales por partes, la regla de Simpson aproxima! por medio de una función cuya gráfica es la unión de partes de parábolas.

A fin de motivar la fórmula, el lector deber demostrar que si se dan tres puntos (-h, y0, (O, y1), (h, y2), entonces la función cuadrática q(x) =Ax2 + Bx + C que pasa por estos tres puntos tiene la propiedad de que

Regla de Simpson

1

b ¡ (b-a)3 (10) M"(f) - ~ J(x) dx ~

24n2 B2•

La desigualdad (9) también se puede escribir en la forma

(9)

' 7.5.7 Corolario. Sean], f' y t" continuas en [a, b] y sea B2 := sup {lf"(x)¡: 1

E [a, b]}. Entonces

Si se usa el hecho de que h = (b - a)/n y se aplica el teorema del valor interrncdln ele Bolzano 5.3.6 a f" en [a, b], se concluye que existe un punto YE [a, b] tal qur la igualdad (8) se cumple. 0.1\.11,

1 fb 1 24

Ah3n ~ J(x) dx - M"(f) ~ -Bh3n. a 24

se concluye que

n b L «/lk(th) = j J(x) dx - Mn(f), k=I a

Al sumar estas desigualdades y observar que

l./\ IN'1'11,(ll\1\I lll Hllif\11\llll .104

Ejercicios de Ja sección 7.5

l. Usar la aproximación trapezoidal con n = 4 para evaluar log 2 = fi\1¡x) dx. Demostrar que 0.6866 ~ log 2 ~ 0.6958 y que

1 l 0.0013 < ~ T4 - log2 ~ < 0.0105.

768 96

7.5.11 Observaciones. a) La nésima aproximación del punto medio Mn = M,,(f) se puede usar fácilmente para establecer las aproximaciones (211)ésimas del trapezoide y de Simpson usando las fórmulas establecidas en los ejercicios 7.5.9 y 7.5.10. De hecho, una vez que se calcula la aproximación trapezoidal ini cial T1, sólo hace falta encontrar M". Un procedimiento rápido y eficaz para aproxi mar una integral se puede basar en la siguiente serie de cálculos: T1 = ~(b-a)[f(a) + f(b)]; M1 = (b-a)fG(a + b)), T2 = ~M1 + ~Tl' S2 = ~M1 + t T1; M2, T4 = ~M2 + ~T2,

S4 = ~M2 + *T2; M4, T8, S8; ... b) Si f"(x) ~ O [o f"(x) ~ O] para toda x E (a, b], entonces el valor de la

integral está entre M" y T2,, (ver el ejercicio 7.5 .8), por lo que es inmediata una estimación del error.

l sl6(f) ~)1ex2 dxl ~ 1

< 0.000001 7. 589 824

v que sin= 16, entonces

tl1· donde se sigue que Jf C4l(x)[ ~ 20 para x e [O, 1 J. Por tanto, B 4 ~ 20. Por (14) ,,. deduce que sin = 8, entonces

j<4l(x) = 4e-x2[4x4 - 12x2 + 3],

7.5.lO Ejemplo. Sif(x) := e-x2 en [O, 1], entonces un cálculo indica que

1

r 1 (b - a)5 Sn(f) - J(x) dx ~ 4 B4. a 180n

( 1 1)

1 .:1 expresión (13) también se puede escribir en la forma

l

. J" 1 (b-a)h4 S,i(f) - f(x) dx ~ B4. (l 180

( 11)

\11/ li'l 11•< 11(/\( 'l()i'f Al'I(( J\ IMAI IA

7.5.9 Corolario Sean f, f' f" f"' ¡<4) · {11(4)( )[ · • ' ' Y Y continuas en [a, b J y sea B := sup

x · x E [a, b]}. Entonces 4

Q.E.D.

~ue~to que h = (b a)/n, por el teorema del valor intermedio de Bolzano 5 3 6 aphcado aj(4l) se sigue que existe un punto e E [a b] tal que la relación (12). se

cumple. '

1 n 1 Ahs ( j" n 90 2~S,.f) f(x)dx~-Bh5-. a 90 2

se concluye que

iu-1

k"fo 'Pk(h) =S,.(J)- f'J(x)dx,

para k = O ] 1 · ~ 1 Al 1 • , , · · · , 211 · sumar estas 1n desigualdades y observar que

para toda t E [O h] k - O 1 1 1 Al h ' , - , , • • • , 211 - • · acer t = h, se obtiene

para t E [O h] k = O 1 1 1 D , d · . ' , ' ' · · · , in - · espues e mtegrar tres veces esta desigualdad se convierte en ' '

entonces se tiene

B == sup {j<4)( X): X E [ a · IJ 1) 1 y A== inf{f<4l(x): x E [a,b]}

En consecuencia, por ei teorema del valor medio 6.2.4 se sigue que existe y crni le 'V 1 ~ t tal q '"() 2 2¡(4l( . "·' k 1kt uecpk t =v Y ) S1sehacequeAyB té d fi · 1 , k,1 · es en e micas poi

cp';(t) = tt[f111(ck + t) - f111(ck - t)].

por lo que cpi(ü) = O y

1 i\ IN'l'li<li{i\l lll\ J<IJIMM/i~ .11111

8.1.1 Definición. Sea(!,,) una sucesión de funciones de A ~ R a R, seaA0 ~

A y seaf: A0--+ R. Se dice que la sucesión Un) converge de A¿ a/si, para toda x E A0, la sucesión (fn(x)) converge a f(x) en R. En este caso a f se le llama el límite

que se obtiene al evaluar cada una de las funciones en el punto x. Para ciertos valores de x EA la sucesión (1) puede converger y para otros valores de x EA esta sucesión puede divergir. Para cada número x EA para el que la sucesión (1) conver ge, existe un número real determinado de manera única, a saber, lím Un(x)). En general, el valor de este límite, cuando existe, dependerá de la elección del punto x EA. Por tanto, surge de esta manera una función cuyo dominio consta de todos los números x E A para los que la sucesión (1) converge.

(f,/x)), (1)

Sea A ~ R dado y supóngase que para toda n EN existe una función/11:A+ R; si.: dice que (!,,)es una sucesión de funciones de A a R. Es obvio que para toda x ' !\ tal sucesión da lugar a una sucesión de números reales, es decir, a la sucesión

~ SECCIÓN 8.1 Convergencia puntual y uniforme

l 11111píl11los anteriores con frecuencia se han usado sucesiones de números rea 11 11 l ·:11 este capítulo se considerarán sucesiones cuyos términos son funciones en 1111•.111 de números reales. Las sucesiones de funciones surgen de manera natural c11 el 1111111 isis real y resultan particularmente útiles para obtener aproximaciones ele 11 nu l 1111ri(111 ciada y para definir nuevas funciones a partir de funciones conocidas.

1 ~n la sección 8.1 se introducirán dos nociones diferentes de convergencia de 111111 sucesión de funciones: la convergencia puntual y la convergencia uniforme, 1 \1 111'/'.lilldo tipo de convergencia es muy importante y será el principal centro de atcu

/, l1J11. La razón de ello es el hecho de que, como se demuestra en la sección 8.2, la 1 uuvcrgencia uniforme "preserva" ciertas propiedades en el sentido de que si cada 11 1111ino de una sucesión de funciones uniformemente convergente posee estas pro i'll'ilades, entonces la función límite también posee dichas propiedades.

En la sección 8.3 se aplicará el concepto de convergencia uniforme para defi 1111 y derivar las propiedades básicas de las funciones exponencial y logarítmica. La •1lTción 8.4 se dedica a un tratamiento similar de las funciones trigonométricas.

~l JC:ESIONES DE FUNCIONES

16. [ dx 17T senx

o l + x3 17. --dx

O X

18. 17T/2 dx 17T/2~ o 1 +sen x 19. senx dx

o

20. [ cos (x2) dx o

15. ¡2(4 + x3)112 dx o

2. Usar la aproximación de Simpson con 11 = 4 i1a1:1 cva luar lo¡•, .1 /.'( 1 ¡ / • I 1 1 Demostrar que 0.6927 ~ log 2 ~ 0.6933 y que

1 1 l 0.000016 < 5 · ..;; S - log2..;; < O.OOO!i21.

2 1920 4 1920

3. Sea f(x) :== (1 + x2t1 para x E [O, 1 J. Demostrar que f"(x) == 2(Jx2 1)(1 1 1 1 3 Y que f"(x)' ~ 2 ~ara x E [O, 1 ]. Usar la aproximación trapezoidal con 11 1

p~ra evaluar rc/4 ==fo f(x) dx. Demostrar que iTif)(n/4); ~ 1;96 ~ o.o 11 ¡ 4. s.1 se .u~a la nrroximación trapezoidal Tll(f) para aproximar TC/4 como \111 '1

ejercicio 3, demostrar que se debe tomar n ;,, 409 para tener la seguruhul 111

que el error es menor que ] o6. 5. Sea} corno en el ejercicio 3. Demostrar que ¡(4l(x) == 24(5x4 -1Qx2 + 1)(1 1 x2t5 y que !fC4l(x)' -s: 96 · [O 1 J U · · . , . 1 ~ para x E , . sar la aproximación de Si111p11"11

c~n n == 4 para evaluar n/4. Demostrar que !S4(f)(rc/4Y ~ 1/480 < 0.0(11 ¡ 6. S.1 se.u~a la aproximación de Simpson S,,(f) para aproximar n/4 como cu i l

ejercrcio 5, demostrar que se debe tomar. n ;,, 28 para tener la seguridad di que el error es menor que 106. '

7. Si P. ~s un polinomio a lo sumo de grado 3, demostrar que las aproximacimu de Simpson son exactas.

8. Demostrar que si f"(x).;,, O en [a, b] (es decir, si fes convexa en [a, 1i¡1, entonces para cualesqmera números naturales m, n se tiene M (!) ~ /''/(

1 ¡

dx ~ T,/f). Sif"(x) ~O en [a, b], se invierte el sentido de est~ desigu~11<111d 9. Demostrar,que T211(!) == HM11(f) + T,iCJ)].

10. Demostrar que Sz,,C() == j[M,,(f) + !T,,(f)]. b 11. Demostrar q~e

1~no tiene la estimación S11(f)-l ¡ (x) dx ~ [(ba)2/18n2J//" donde B2 ;,, f Lx): para toda x E [a, b]. •

12 Ob , 1(J 2) 1 '2 . · .servese que 0 -x · dx == rc/4. Explicar por qué no se pueden usar IHN e~timacwnes del error dadas por las fórmulas (4), (8) y (12). Demostrar qiw sih(x) := (1x2)112paraxen (O, 1], entonces T (h) ~ ¡¡:14 ~M (h) Calculm M8(h) y T8(h). 11 1

11 • •

13. Si hes como en el ejercicio 12, explicar por qué K == /,,1· .J2h(x) dx = rct8 + l/!J Demostrar que :h"(x): ~ 23,'2 y que ft(4l(x) ~ 9 . 21, i° para x E [O, 1 /)2]. De' mostrar que 'K - T11(h), ~ l/12n2 y que 'K _ S,,(h). ~ 1¡10114. Usar estos resultados para calcular n: E.n los ejercicios 14 al 20, aproximar las integrales indicadas, dando estima c1on~~ ?el error. Usar una calculadora (o una computadora) para obtener una precisión mayor.

14. l2(1 + x4)112 dx o

1.A IN'l'll(il<AI l)ll J{ll'l\11\1111 .lOH

para toda x E R. Se sigue, por lo tanto, que lím (F,,(x)) =O~ F(x) par~ ~oda x E R. El lector deberá observar que, dada cualquier e > O, al elegir n lo suf1c1.enten;ente grande se puede hacer \F,,(x) - F(x)I < e para todos los valores de x simultánea mente.

En parte para reforzar la definición 8.1:1 y en parteya~~ preparar el terreno para la importante noción de convergencia uniforme, la definición 8.1.1 se reformula de la siguiente manera.

( \)

que la sucesión es divergente. De manera similar, si lxl > 1, entonces la suc.esión ( 1 ) 110 está acotada y, por tanto, no es convergente en R. Se concluye que si

11

g(x) :=O para 1 < x < 1,

:= 1 para x = 1,

cutonces la sucesión (g,,) converge a gen el conjunto (1, 1]. e) lím ((x2 + nx)/n) = x para x E R. Sea h,,(x) := (x2 + nx) para x E R, n EN, y sea h(x} :;:; x para x E R. (Ver la

figura 8.1.3.) Puesto que se tiene h 11(x) = (x2)/n), por el ejemplo 3.1.7 a) Y el teore

111a 3.2.3 se sigue que h,,(x) ~ x;:; h(x) para toda x E R. d) lím ((1/n) sen (nx + 11) =O para x E R. Sea F11(x) := (1/n) sen (nx + n) para x E R, n EN, y sea F(x). :=O para x E R.

(Ver la figura 8.1.4.) Puesto que [sen y 1 ~ 1 para toda y E R, se tiene

FIGURA S.1.2 g11(x) = x".

(1,g(l))

11 1 1 111 IVl•UI lt•N< 1/\ 1'1IN1 \1/\1 \ llNll•OltMI

FIGURA 8.1.1 f,.(x) = xtn.

...,.,.tz --h

para todax E R. (Ver la figura 8.1.1.) b) lím (z"). Sea g,,(x) := x" para x E R, n EN. (Ver la figura 8.1.2.) Evidentemente, si x e, 1

entonces la sucesión (g,,(1)) = (1) converge a l. Por el ejemplo 3.1.11 c) se sig111 que lím (x") =O para O~ x < 1 y se ve de inmediato que esta igualdad se cumph para1 < x <O. Si x = 1, entonces gi1) = (1)" y en el ejemplo 3.2.8 b) se vlu

lím (f,,(x)) = lím (x/n) = x Iím (1/n) = x ·O= O

8.1.2 Ejemplos. a) Iím (x/n) =O para x E R. Paran EN, sea fix) := x/n y sea/(x) :=O parax E R. Por el ejemplo 3. l.7 111

se tiene lím (1/n) =O. Por tanto, por el teorema 3.2.3 se sigue que

f(x) = Iím J,,(x) para x E A0, o J,,(x) ~ f(x) para x E AO'

En ocasiones, cuando j', y /están dadas por fórmulas, se escribe

f = Iím (!,,) en A0, o t, ~ f en A0.

enA0 de Ja sucesión(!,.). Cuando tal función f existe, se din· q111· 111 :.11ff1:lo11 ( I 1 es convergente enA0, o que(!,,) converge puntualmente en 1\11.

Por el teorema 3.1.5 se sigue que, salvo por una posible 111ndil'i~·1l('l1111 tl1 I dominio A0, la función límite está determinada de manera única. Por lo g¡;m•11d 11 se elige como el mayor conjunto posible; es decir, se loma A0 como el conj 1111111 rh todas las x EA para las que la sucesión (1) es convergente en R.

Para denotar que la sucesión (!,,) converge a f en A0, en ocasiones se 1:s1 1ll11

SU( 'l·SIONl·S nr: 111 N( 'IONI·~: J JIU

8.1.6 Ejemplos. a) Considérese el ejemplo 8.1.2 a). Si se hace nk = k y xk = k, entonces.f,,k(xk) = 1, por lo que lf,,k(xk)-f(xk)i =: 110[ =l. Por lo tanto, la sucesión Un) no converge uniformemente a f en R.

8.1.5 Lema. Una sucesión (!,,) de funciones de A e;: R a R no converge uniformemente a una función f: A0 + R en A0 e;: A si y sólo si para alguna e0 > O existe una subsucesián (!,,) de Un) y una sucesión (xk) en A0 tal que

·· (5) lfnixk) - f(xk)\ ~ e0 para toda k E N

Para demostrar este resultado el lector únicamente tiene que negar la defini ción 8.1.4; se deja como importante ejercicio para el lector. Se indica a continua ción cómo se puede usar este resultado.

t, =t f en A0, o fn(x) =t f(x) para x E A0.

Una consecuencia inmediata de estas definiciones es que si la sucesión (!,,) converge uniformemente a f enA0, entonces esta sucesión también converge pun ruulmente a f en A¿ en el sentido de la definición 8.1.1. El hecho de que el recípro co no siempre se cumple sale a relucir mediante un examen atento de los ejemplos K. l.2 ae); a continuación se presentarán otros ejemplos.

En ocasiones resulta conveniente contar con la siguiente condición necesaria y suficiente para que una sucesión (!,) no converja uniformemente a f en A0.

1 :,11 este caso se dice que la sucesión Un) es uniformemente convergente entA0. En ucasiones se escribe

lfn(x) - f(x)I < e.

Convergencia uniforme

8J .. 4 Definición. Una sucesión (!,,) de funciones de A ~ R a R converge uulformemente en A0 e;: A a una función [: A0-+ R si para toda E> O existe un 11111ncro natural K(e) (que depende de e pero no de x E A0) tal que sí n > K(e) y x • 1\1)' entonces

: ;r <kj1111I lector demostrar que esta formulación es equivalente a la definición 11 1 1 ()11rl'cmos subrayar que el valor K(e, x) dependerá, en general, tanto de e> O , 1111111 dl· .1· Aw El lector deberá confirmar el hecho de que en los ejemplos 8. 1.2 11 1 ) 1·1 valor de K(E, x) requerido para obtener una desigualdad como (3) depende 1J11110 d1C t: > O como de x E AO' La razón intuitiva de esto es que la convergencia de 111 rm1 ·1·sión es "significativamente más rápida" en unos puntos que en otros. Sin 1 11111:1rgo, en el ejemplo 8.1.2 d), como se vio en la desigualdad (2), si se eligen lo ~11l H·ic11tcmente grande, se puede hacer IF/x)F(x)I < e para todos los valores de 1 , U. Es justamente esta muy sutil diferencia la que distingue la noción de "con v1·i¡•,1.:11cia puntual" de una sucesión de funciones (de acuerdo con la definición 11 1, 1) tle la noción de "convergencia uniforme".

.11 \ 1'UNVltl!l111,Nt 'li\ 1'1 IN'l'l IAI. V t INlll( ll(M 11.

/• F,,

8.1.3 Lema. Una sucesión (!.) de funciones de A e R a R co fu · , ¡ n - nverge a una

ncton : Ao-+ R en Aa si Y sólo si para toda e> O y toda x E A existe un número natural K(e, x) tal que sin ~ K(e, x), entonces 0

(3) 11,,(x) f(x)j <e.

FIGURA 8.1.4 F11(x) =sen (nx + n)/n.

FIGURA 8.1.3 h,,(x) = (xz + nx:)/n.

/i1 1i2 1i11

SU('ESIONHS 1)1\ JltJN( 'IONl(S 312

Haciendo uso de la norma uniforme es posible obtener una condición necesa ria y suficiente para la com::~rgencia uniforme que suele ser útil.

8.1.9 Ejemplos. a) El lema 8.1.8 no se puede aplicar a la sucesión del ejem plo 8.1.2 a) porque la función Ín(x) - f(x) = x/n no está acotada en R. Para fines

que converge al número diferente de cero l/e. Así, se ve que la convergencia no es uniforme enA.

para obtener el punto x,, := n/(n + 1). Este es un punto interior de [O, 1] y es sencillo verificar aplicando el criterio de la primera derivada 6.2.8 que G1, alcanza un máxi mo en [O, 1] para xn. Se obtiene por lo tanto

~or lo tanto, la función f está acotada (¿por qué?) y se sigue que 11!,, /llA ~ e siempre que n > K (s). Puesto que E > O es un valor cualesquiera esto significa que li.t;, /JIA? O. .

<:=)Si 11!,, /llA> O, entonces dada E> O existe un número n~tural H(e) tal que SI n;;,; H(t:), entonces 11/n f[IA <e. Por la relación (7) se sigue que lf. (x)/(x)I ~E para toda n ;» H(t:) y x E A. Por lo tanto,(!,,) converge uniformemente a f en A.

Q.E.D.

Se ilustra en ~egui~a el uso del lema 8.1.8 como una herramienta para exami nar la convergencia umforme de una sucesión de funciones acotadas.

G~ ( x ) = x n - 1 ( n - ( n + l ) X ) = O lfn(x) - J(x)J <e.

. ~~~ostradólíll. ( » Si Un) converge uniformemente a f en A , entonces por 111

definición 8.1.4, dada cualquier E> O, existe K(t:) tal que sin ;;,; K (s) y x EA entonces .¡,,

l'or lo tanto, la sucesión (h,,) converge uniformemente ah en A. d) Remitiéndose al ejemplo 8.1.2 d), por la relación (2) se observa que llF11

FllR ~ l/n. Por tanto (F,,) converge uniformemente a F en R. e) Sea G(x) :== x"(l x) para x EA:= [O, 1]. Entonces la sucesión (G11(x))

converge a G(x) :=O para toda x E A. Para calcular la norma uniforme de G11 G == G nen A, se encuentra la derivada y se resuelve

. 8.L8 Lema. Una sucesión Un) de funciones acotadas en A ~ R converge uniformemente a f en A si y sólo si llfn fllA> O.

llhn hllA = SUp {x2/n; Ü ~X~ 8} = 64/n. para toda x E A.

Obsérvese que se sigue que si E > O, entonces

ll'PllA~E <=> l<p(x)l<e (7)

¡•ara cualquier n EN. Puesto que 11 gn - g[IA no converge a O, se infiere que la suce sión (g,) no converge uniformemente a gen A.

c) El lema 8.1.8 no se puede aplicar a la sucesión del ejemplo 8.1.2 e) porque l:.1 lunción h11(x) - h (x) = x2 /n no está acotada en R. Sin embargo, sea A := [O, 8] y 1 ·onsidérese .

llq;llA == sup { lc¡;( x) I: x E A}. (6)

8.1.7 Defi~kión .. Si A ~ R y cp: A -r ü e« una función, se dice que cp oSlll acotada en A SI el conjunto cp(A) es un subconjunto acotado de R. Si 'P está acot11 da, la norma uniforme de 'P en A se define por

para O ~ x < l } = 1 para x = l

A_! ,discutir la convergencia uniforme, con frecuencia resulta conveniente lllllll la noción de norma uniforme en un conjunto de funciones acotadas.

¡11>1 lo que 11!,, fllA> O. Por lo tanto,(!,,) converge uniformemente a f en A. b) Sea gJx) :=xn parax EA:= [O, 1] y n EN, y seag(x) :==O para O~ x < 1

y ¡:( 1) :== 1. Las funciones g11(x) - g(x) están acotadas en A y La norma uniforme

n 11.f,. .fllA = sup {lx/n OI: O~ x ~ l} l Por lo tanto!~ s,ucesión \gn) no converge uniformemente a gen (1, J 1

h e) _Cons1derese el ejemplo 8.1.2 c). Si nk == k y xk = -k, entonces ft i.VA) 1)

Y (x~) - -k por lo que lhk(xk) - h(xk)I == k. Por lo tanto, la sucesión (h ) 110 conv111 ge umformemente a h en R. 11

11111.11.ilivus, ~¡;11 /\ :' 10. 11. ;\1111 cuando la sucesión (x/11) no converge uniforme 11w11ti· 11 l;i i'1111d(\11 cero e11 R, se demostrará que la convergencia es uniforme en A. 11111111·11(\, obsérvese que

b) Considérese el ejemplo 8.1.2 b). Si nk == k y xk = (j)I ·1, ,:iiloiH'rl~

jgk(xJ -g(xk)] =li oj =t.

11•1 t t>NV111((111Nl'I/\ l'llN'l'll/\l,V llNll•'()l(MI'. 314

X= l. para := l

Ü ~X< 1, para g(x) :=O

8.2.1 Ejemplo. a) Sea g,,(x) := x11 para x E [O, l] y n EN. Entonces, como se observó en el ejemplo 8.1.2 b ), la sucesión (g11) converge puntualmente a la función

Con frecuencia es conveniente saber si el límite de una sucesión de funciones es una función continua, una función derivable o una función integrable. Desafor tunadamente, no siempre sucede que el límite de una sucesión de funciones tenga estas útiles propiedades.

SECCIÓN 8.2 Intercambio de límites

l. Demostrar que lím (x/(x".4 n)) = O para toda x E R, x ~ O. 2. Demostrar que lím (nx/(1 + n2x2)) = O para toda x E R. 3. Evaluar lím (nx/(l + nx)) para x E R, x ~ O. 4. Evaluar lím (x" /(l + x")) para x E R, x ~ O. 5. Evaluar lím ((sen nx)/(l + nx)) para x E R, x ~ o. 6. Demostrar que lím (Arctan nx) = (n:/2) sgn x para x E R. 7. Evaluar lím (e-nx) para x E R, x ~ O. 8. Demostrar que lím (xe-"x) = O para x E R, x ~ O. 9. Demostrar que lím (x2e-nx) = O y que lím (n2x2e-11x) =o para x E R, x ~o.

10. Demostrar que lím ((cos n:x)2n) existe para toda x E R. ¿Cuál es el valor del límite?

11. Demostrar que si a> O, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 1 es uniforme en el intervalo [O, a], pero que no es uniforme en el intervalo [O, ce). ~emostrar .que si a > º: entonces la convergencia de la sucesión del ejerci c10 2 es uniforme en el intervalo [a, ce), pero no es uniforme en el intervalo [O, ce).

1 ~, "'·


para x EA f(x) := lím (J,lx))

/fm(x) - J,,(x)I,,;; lf111(x) - f(x)I + IJ,,(x) -f(x)I,,;; is+ is= e

para toda x E A. Por lo tanto, 11!,,, J,,llA ~e, para m, n ~ K( i e) := H(c.). ( <=) Recíprocamente, supóngase que para E> O existe H( c.) tal que si m , n

H(c), entonces llfm f,,llA <e. Por lo tanto, para toda x E A se tiene

(8) lfm( X) - Ín( X) 1 ,,;;; llfm - fmllA ~ e para m, n ~ H(c).

Se sigue que (..f,,(x)) es una sucesión de Cauchy en R; por lo tanto, por el teorema 3.5.4, es una sucesión convergente. Se define f: A > R por

Demostración.(==>) Si!,, =t f en A, entonces dada e >O existe un númu10 natural K( !e) tal que si n ~ K( i e) entonces !lf,, -f llA ~ i E. Por tanto, si m y 11 K ( ~ e), entonces se concluye que

1 \. 1 l('l1l<),~lt .u que si 11...,,. O, ¡;11(011ces Ja convergencia de Ja sucesión del ejercicio .\e~ uniforme en el intervalo [a, oo), pero no es uniforme en el intervalo [O, 00).

ll. Demostrar que si O O, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 5 es uniforme en el intervalo [a, ce), pero no es uniforme en el intervalo [O, ce).

1 (1. Demostrar que si a > O, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 6 es uniforme en el.intervalo [a, ce), pero no es uniforme en el intervalo (O, ce).

17. Demostrar que si a> O, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 7 es uniforme en el intervalo [a, ce), pero no es uniforme en el intervalo [O, 00).

18. Demostrar que la convergencia de la sucesión del ejercicio 8 es uniforme en [O, ce).

19. Demostrar que la sucesión (x2e-11x) converge uniformemente en [O, =), 20. Demostrar que si a > O, entonces la sucesión (n2x2e-11x) converge uniforme

mente en el intervalo [a, oo), pero no converge uniformemente en el intervalo [O, ce).

21. Demostrar que si Un), (g,,) convergen uniformemente a f y g, respectivamen te, en el conjunto A, entonces(!,,+ g11) converge uniformemente a f +gen A.

22. Demostrar que si f,,(x) := x + 1/n y f(?:) := x para x E R, entonces(!,,) conver ge uniformemente a f en R, pero la sucesión (f,,2) no converge uniformemen te en R. (Por tanto, el producto de sucesiones de funciones uniformemente convergentes puede. no ser uniformemente convergente.)

23. Sean(!), (g,,) sucesiones de funciones acotadas en A que convergen unifor memente a f, g, respectivamente, en A. Demostrar que (f,,gJ converge uni formemente a fg en A.

24. Sea (!,,) una sucesión de funciones que converge uniformemente a f en A y que satisface !f,,(x): ~ M para toda n EN y toda x E A. Si ges continua en el intervalo [-M, M], demostrar que la sucesión (g 0 !,,) converge uniformemen te a g º f en A.

Q.E.D.

Si se hace n > 00 en (8), por el teorema 3.2.6 se sigue que para toda x E A se tiene

l!,"(x) f(x)f ~E para m ~ H(c).

Por lo tanto, la sucesión(!") converge uniformemente a f en A.

. , 8.1.10 ~riterio de Cauchy de convergencla uniforme. Sc11 (/;,) 111111 .11ti't• ston de funciones acotadas en A {';;R. Entonces esta sucesión co11V1'/'.J.:<' 1111ijiJ1·1111•

mente a una función acotada f en A si y sólo si para toda e> O existe 1111 111í11i1·1ti

H(c) en N tal que para toda m, n ~ H(c) entonces 11!. -L 11 ~ e ' n: n A ·

11/ IN'l'llfü 'i\MlllO 1il(1 IMl'l'JI.!~ SUCESIONl·'.S IJll, i·'IJNC'IONJl.S 316

FIGURA 8.2.1 Ejemplo 8.2.1 e).

l'uesto que fH es continua en c, existe un número í5 := 15( ~e, e, J¡.¡) > O tal que si x - e < í5 y x E A, entonces lfH(x) JH (e) < ~e. (Ver la figura 8.2.2.) Por lo tanto, si x- e < 8y x E A, entonces se tiene f(x)-f(c) <s. Puesto que E> O es un valor

cualesquiera, con esto se establece la continuidad de f en el punto arbitrario e E A. Q.E.D.

1 1 11

o

lf(x) f(c)I :( IJ(x) ÍH(x)I + IJH(x) ÍH(c)I + IJH(c) f(c)I

:;;;; ±t:: + lfH(x) ÍH(c)I + ±t::.

Demostración. Por hipótesis, dada e> O existe un número natural H := H (\e) tal que si a > H entonces f,,(x)- f(x) <~e para toda x E A. Sea ahora e E A un valor cualesquiera; se demostrará que fes continua en c. Por la desigualdad del triángulo se tiene

8.2.2 Teorema. Sea Un) una sucesión de funciones continuas en un conjunto /\ h: R y suponer que(!,,) converge a una función f: A ~ R en A. Entonces fes 1 -ontinua en A. flflJJ Fo1?r1t:nb"~'f.E (¡}, n)

Intercambio del límite y la continuidad j1J(x) dx =O* 1 = lím {fn(x) dx.

o o ~.,

El lector puede demostrar que f,,(x) _, O para toda x E [O, 1 ]; por tanto, la función límite f asume el valor cero y es continua (y por tanto integrable) y J1 f(x) dx =O. Se llega así a la incómoda situación en que: 0

(Ver la figura 8.2.1.) Es evidente que todas las funciones f. son continuas en [O, 1 1 ¡ . n

por tanto, son mtegrables. Ya sea mediante un cálculo directo, o bien, hacieridu referencia al significado de la integral como un área, se obtiene

Aun cuando la discontinuidad la función límite del ejemplo 8.2.1 a) no es muy p,1,111dc, resulta evidente que es posible construir ejemplos más complicados que 111<1ducirán una discontinuidad más amplia. De cualquier modo, se debe abando 11111 la esperanza de que el límite de una sucesión convergente de funciones conti 111111s lv. en su caso, derivables, integrables] será continuo [y, en su caso, derivable, l11IL·grable].

Se verá a continuación que la hipótesis adicional de la convergencia uniforme 1 •, condición suficiente para garantizar que el límite de una sucesión de funciones 1·nnt inuas sea continuo. También se establecerán resultados similares para suce 'itPnes de funciones derivables e integrables.

{f11(x)dx=I para n~2. o

i\1h11i'>, es un ejercicio demostrar que h(x) := lím (h11(x)) =O para toda x E [O, 1]. •., 1k11c, por tanto, f,,(x) := n2x para Ü :s_; X :s_; l/n,

:= -n2(x - 2/n) para l/n :s.; x :s.; 2/n,

: =o para 2/n :s_; X :s_; l.

d) ()1d<·m·:: <'011."i<krc~u ''¡¡rtil'ici:ilcs'' J¡¡s funciones ;;, del inciso e) quizás pre 111111111 rn11sidL·1'ar l;1 sucesión (h11) definida por h11(x) := 2nxe-11x2 parax E [O, 1], 11 , N l'11csto que /¡ =JI' donde H (x) := e-11x2 se tiene

n n1 11 '

Aun cuando todas las funciones g11 son continuas en x = 1, la J'1111d(rn 111111k1: oo 1111 continua en x = l. Recuérdese que en el ejemplo 8.1 .6 b) se dcn1osld1 qn(' ('i41ir sucesión no converge uniformemente a gen [O, 1 ].

b) Todas las funciones gJx) = xn del ejercicio a) tienen derivadas co11ti11u1111

en [O, 1 ]. Sin embargo, la función límite g no tiene derivada en x = 1, ya que 110 º" continua en este punto.

e) Sea que J;,: [O, 1] ~ R esté definida para n ~ 2 por

ll'/'1'101! '/\tvlllll l 1111 1 IMl'l'I·~: SlJC 'HSIONl\S 1)11, l,'l IN< 'l!JNHS 318

siempre y cuando x =!= e, n ~ H(e). Puesto que g(c) = lím (f;,(c)), existe N(e) tal que si n > N(e), entonces IJ;,(c) g(c)i <E. Se hace ahora K := sup {H(e), N(e)}. Puesto que existe f ;, existe 8K( e) > O tal que si O < 1 x - c¡ < Dx( E), entonces

l

f(x) f(c) _ f11(x) - f,,(c) 1 <:;; s, x-c x-c

Si se toma el límite con respecto a m en esta desigualdad y se aplica el teorema 3.2.6, se obtiene

l

fm(x) fm(c) _ Ín(x) - fn(c) 1 <:;;s. x-c x-c

Puesto que(!,;) converge uniformemente enl, si se da E> O, existe H(e) tal que si m, n ~ H(e) y x =/= c, entonces

l

.fm(x) f,,,(c) _ .f11(x) fn(c) 1 <:;; llf,;, _ f;.ll¡. x-c x-c

Por tanto, si x =/= e, se tiene

{f,n(x) J~,(x)} {f"'(c) j~(c)} = (x - c){f,',,(z) .f;.(z)}.

1·111 el teorema 8.1.1 O de esta desigualdad y de las hipótesis de que (f,,(x0)) es con vngente y de que (!,) es uniformemente convergente en J se sigue que (!,) e~ uuiformemente convergente en J. El límite de la sucesión (!,,) se denota por J. l 'ucsto que todas las J;, son continuas y la convergencia es uniforme, por el teore 111;1 8.2.2 se sigue que fes continua en J. .

Para establecer la existencia de la derivada de f en un punto e El se aplica el teorema del valor medio 6.2.4 a + -I. en un intervalo con puntos terminales e, x. · Jm u .'le concluye que existe un punto z (que depende de m, n) tal que

llfm J,.ll¡ <:;; lfm(xo) J,,(xo)I + (b a)llJ,;, f:,11,.

•:¡· tiene por tanto

Ot•11ao.<1t rnclou. St:;111 u ·, b los puntos terminales ele./ y sea x EJ cierto valor. •.1111. 111 N, se iiplirn el teorema del valor medio 6.2.4 a la diferencia j , -J;, en el

11111·1 vnlo con puntos terminales x0, x. Se concluye que existe un punto y (que de ¡irndt: de m, n) tal que

l.!i 11~ uu« '/\Mlllll 1111 1 fMI l'l·,q

8.2.3 Teorema. Sea J ~ R un intervalo acotado y sea (!,,) una sucesión de funciones de Ja R. Suponer que existe x0 E J tal que (f/x0)) converge, y que la sucesión u;,) de derivadas existe en J y que converge uniformemente a una fun- ción f en J que tiene derivada en todo punto de J y t' = g.

es continua en cualquier punto pero que no tiene derivada en ningún punto de R. Al considerar las sumas parciales de esta serie se obtiene una sucesión de funciones (!,) que tienen derivada en cualquier punto y que convergen uniformemente a f. Por tanto, aun cuando la sucesión de funciones derivables (!,,) es uniformemente convergente, no se sigue que la función límite sea derivable.

Se demostrará a continuación que si la sucesión de derivadas CJ;,) es uniforme mente convergente, entonces también lo es(!,,). Si se agrega la hipótesis de que las derivadas son continuas, entonces es posible presentar una demostración suscinta, basada en la integral. (Ver el ejercicio 8.2.11.) Sin embargo, sin el supuesto de que las derivadas son continuas se requiere un razonamiento un tanto más elaborado.

J(x):= ¿2kcos(3kx) k~o

ce

En la sección 6.1 se mencionó que Weierstrass demostró que la función defi nida por la serie

Intercambio del límite y la derivada

Observación. Aun cuando la convergencia uniforme de la sucesión de funciones continuas es condición suficiente para garantizar la continuidad de la función límite, no oN

_condición necesaria. (Ver el ejercicio 8.2.2.)

(x. f,, ( . ..:))

:.J20

l. Probar que la sucesión ((x" /(1 + x11)) no converge uniformemente en [O, 2] probando que la función límite no es continua en [O, 2].

2. Demostrar que la sucesión del ejemplo 8.2.1 e) es un caso de una sucesión de funciones continuas que converge de manera no uniforme a un límite con tinuo.

3. · Construir una sucesión de funciones en [O, 1] que sean discontinuas en todo punto de [O, 1] y que converja uniformemente a una función que sea continua en todo punto.

4. Suponer que (!") es una sucesión de funciones continuas en un intervalo I que converge uniformemente a una función f en/. Si (x11) (: I converge a x0

E /,demostrar que lím (f,,(x,,)) = f(x0).

5. Seaf: R--> Runa función uniformemente continua en R y seaf,,(x) := f(x + l/n) para x E R. Demostrar que (!11) converge uniformemente af en R.

6. Seaf,,(x) := 1/(1 + x)" para x E [O, 1 ]. Encontrar el límite puntual f de la suce sión(!,,) en [O, l]. ¿La sucesión (f,,) converge uniformemente a f en [O, 1]?

Ejercicios de !a sección 8.2

8.2.5 · Teorema de convergencia acotada. Sea Un) una sucesión de [uncio- 111 ·.1· que son integrables en [a, b] y suponer que (!11) converge a una función lutcgrable f en [a, b]. Suponer asimismo que existe B > O tal que if11(x)I """B para tuda x E [a, b], n EN. Entonces la igualdad(*) se cumple.

l .. a hipótesis de que la convergencia de la sucesión (!,)es uniforme es bastan 11· 1 cstrictiva y restringe la utilidad de este resultado. Se enunciará a continuación 1111 resultado que no restringe la convergencia de manera tan estricta pero que re quiere la integrabilidad de la función límite. La demostración de este resultado es hnxtante elaborada y será omitida.

Q.E.D. J'1wsto que lím 11/ f,,I~ =O, se sigue la conclusión.

ltf(x) dx - tfn(x) dxl =lfff(x) -fn(x)}dxl

~ fff fn[[¡(b - a).

1h111d1· se ha usado la desigualdad(#). Puesto que e> O es un valor cualesquiera, ¡1111 1•1 criterio de Riemann se sigue que fes integrable en].

Para establecer la igualdad ( *) se aplica el corolario 7.2.6 a) para obtener

< ie + ie =i s ,

l 11 l ll!l'lt'L'!l\.'.lli.:IH, ~lt' concluye que

lt°'1'1'1(1lt '/\Miii! l 1 >H l .IMl'l'H:l

De manera similar se infiere que

U( P,;JK) - L( P,; ÍK).,;;.< ie. ff Como if(x)- /K(x)f ""· t:/4(b- a) para toda x EJ, se sigue que si los supremos de f y !K e~ [xj-1' 'jJ se de?otan por M/f) y M(!K), entonces M(f) """M.( +') 4( - a). (l.Por que?) Se tiene por lo tanto J J J J K + E/ b

Demostración Sea]· [a b] 0 si k > v(") ent . 11/ J,.11 ' y sea e > dada. Entonces existe K( e) tal que ~ .n.1 L onces k 1 < c/4(b _a). Sea K := K(t:)· pue t +' · . . . , , s o que J K es mtegrable, por el criterio de Riemann 7 1 8

existe una partición p = (x x x ) d 1 t 1 , · · ·, e º' 1'" ., 12 e a que

8.2.4 Teorema. Sea (J,) una . · , d fu . b] n suceston e nciones que son integrables en [a en [ ;~~J;e;/::~:fe ~~~;e;~~~~i{~;·~emente a f en [a, b]. Entonces fes integrabll'.

Se demuestra a continuación que la uniformidad de la e . . . suficiente para garantizar que esta igualdad se cumple. onvergencia es condición

Intercambio del límite y na integral

que ~n el ~jemplo 8.2.lc). ~e ~io que si(!") es una sucesión de funciones integrabl11N onverge a una función mtegrable f en [a b] merite que , , entonces no ocurre necesarin.

fb b f(x) dx = lím J J,,(x) dx.

a a

lf(x) - J(c) 1

x _e g(c) < 3e.

Puesto que E> O es un val I . . 1

. or cua esquiera, con esto se demuestra que existe f'(c) y ;~~ ~. igua a g(c). Puesto que e El es un valor cualesquiera, se concluy~ que f'

o.u.n,

I

JK(x)-fK(c) 1 ·-j-'(c) <e

X - C K •

Al combinar estas desigualdades, se concluye que sí O < 1 x c·I < .<: ( ·) 1 - UK /; , en .OIH'U~

,'HJI H'\IONJl,S !JI\ l!IJN( 'IONl(~l

(5)

Sea A > O dada; entonces si 1 xi ~A y m > n > 2A, se tiene

para x ER. x x2 x"

En( X) = l + + + " ' + l! 2! n! ( 4)

Por un razonamiento de inducción (el cual se le deja al lector) se demuestra que (3)

para toda n EN, x E R. Evidentemente, E1 es continua en R y, ~or tanto, es integrable en cualquier intervalo acotado. Si se ha definido En y es contJ~u~ en R, ~n.tonces es integrable en cualquier intervalo acotado, de donde E11 + 1 esta bien definida por la íórmula anterior. Además, por el teorema fundamental del cálculo 7.3.3 se sigue

que E es derivable en cualquier punto x E R Y que 11+1

E' (x) =E (x) para n EN. n + 1 n

( 2)

E1(x) := 1 + x,

En+l(x) := 1 + J:En(t) dt,

( 1)

Demostración. Se define por inducción una sucesión (E11) de funciones conti 1111as de la siguiente manera:

8.3.:J.. Teorema. Existe una función E: R-> R tal que: i E'(x) = E(x) para toda x E R. ii E(O) = l.

La función exponencial Se empieza estableciendo al resultado clave de la existencia de la función

1 x 1 iuncncial.

1, • ,¡1

1·•,11' ulu o se dio por sentada l;i l'arniliariJad con estas funciones para po~er ,11111111111 l11s cjcruplus. Si111.:mbargo, es necesario colocar estas importantes fun~io 111 ., ••

111i1 ,. l);i~es firmes en algún sitio a fin de establecer su existencia y determmar

11., 1,111picd;1dcs básicas. Esto se hará aquí. Es posible adopt~r otros enf?ques _Pªra

11111 •. 1•1 •. 11¡r este objetivo. Se procederá aquí demostrando primero la ex1ste,n~ia de

111111 l'uución qut: es la derivada de sí misma. A partir de este resultado ba~1co se 111,111·11c11 algunas de las propiedades principales. de la función e~ponencial. ~n

11 ¡•,i1ida se presenta la función logarítmica como la inversa del~ función exponen~1,al

\',·.ta relación inversa se usa para deducir algunas de las propiedades de la función

l111·.o1rít111ica.

1~·· l 1\'l t lll lt 111111~'1•\l'lll\11•.N< 'l/\l Y 1 tlli/\ttl ttvllt 'A

E~ esta sección se presentarán las funciones exponencial y logarítmica y se deducirán algunas de sus propiedades más importantes. En las secciones anterio

SECCIÓN 8.3 Las funciones exponencial y logarítmica

15. Sea g,,(x) := nx(l -x)" para x E [O, l], n EN. Discutir Ja convergencia de (g) fl 11 y(10g11dx).

16. Sea {r., r2, ... , r11} una enumeración de los números racionales eti l :« (O, 1] y sea que J,,: I-> R esté definida como 1 si x = r1, ..• , r y como O en caso

• 11 contrario. Demostrar .que!,, es Riemann integrable para toda 11 EN, que t. (x) ~ f 2(x) ~ · · · ~ J,,(x) ~ · · · y que f(x) := Jím (J,,(x)) es la función de Dirichlet, que no es Riemann integrable en [O, 1].

j1J(x) dx = lím j1fn(x) dx. o o

¿Qué ocurre si a = O? 14. Sea J;,(x) := nx/(l + n..) para x E [O, 1 ]. Demostrar que (!,,) converge de ma

nera no uniforme a una función integrable f y que

7T

f sen nr lím --dx =O.

nx a

y que f'(x) = g(x) para tocia x E l. 12. Demostrar que lím J/ e··llx2 dx = O. 13. Si a > O, demostrar que

f(x) - f(a) = f g(t) dt ll

7. Suponer que la sucesión u;,) converge uuilcu llH'llll'lliL' il j l'll rl t'tlll¡illli11

suponer que todas las[,, están acoladas en A. (Es decir, pí1ra lt1d:i 111·x1•.11 11111

constante Mn tal que lf,,(x)!,;;; Mil para toda x E A.) Demos: rar q11" 111 l 11111 11111 f está acotada en A.

8. SeaJ,,(x) := 11,./(l + nx2) para x E A :=[O, oo). Demostrar que !odas l:i.~ ( 111,11111 " acotadas en A, pero que el límite puntual f de la sucesión no csul aL·nt 11d11 1 11

A. ¿La sucesión (fil) converge uniformemente af en A? 9. Sea J;,(x) := x"]» para x E [O, l]. Demostrar que la sucesión (f) de l1111ci11111

derivables converge uniformemente a una función derivable J~n l O, 1 I y 11111 la sucesión U;;) converge en [O, 1] a una función g, pero que g(l) =t- /'( 1 ).

10. Sea gll(x) := c11x¡n para x;;:,, O, n EN. Considérese la relación entre l í111 ( 1• J \ 4111

lím (g,;). 11. Sea l := [a, b] y sea U;,) una sucesión de funciones en I-+ R que converge 11 /

en l. Supóngase que tocias las derivadas t; son continuas en I y que la s111 1

sión (!,;)converge uniformemente a gen l. Demostrar que

~\11( 'l•.:H1 INI .:~ 111\ 111111 '11ll11 •, .11'1

El uso de la notación ex para E(x) se justifica por la propiedad v del teorema siguiente, donde se establece que si r es un número racional, entonces E(r) y er coinciden. (Los exponentes racionales se analizaron en la sección 5.5.) Por tanto,

El número e se puede obtener como un límite, y en consecuencia, es posible aproxi marlo de varias maneras. (Ver los ejercicios 8.3.1 y 8.3.10 y el ejemplo 3.3.5.]

o para x ER. ex:= E(x) exp(x) := E(x)

8.3.5 Definición. A la función única E: R-+ R tal que E'(x) = E(x) para toda x E R y E(O) = 1 se le llama la fondón exponencñal. Al número e = E(l) se Je

·· llama el número de Euler. Con frecuencia se escribirá

La terminología y notación comunes de la función E (cuya existencia y unicidad se ha establecido ya) se ofrece en la siguiente definición.

Pero como lím (lx[n /n!) =O, se concluye que F(x) =O. Puesto que x E Res un valor cualesquiera, se infiere que E1(x) E2(x) = F(x) =O para toda x E R. Q.E.D.

para toda n E N. Klxln

IF(x)I ~ 1 n.

Se tiene por lo tanto

F'(O) F(x) = F(O) + 1x + l.

I · ·· cv idente (por inducción) que F tiene derivadas de todos los órdenes y, de hecho, q11r r<11l(x) = F(x) paran EN, x E R.

Sea x E R un valor cualesquie¡ra y sea Ix el intervalo cerrado con puntos terrni 1111li;s O, x. Puesto que Fes continua en lx, existe K >O tal que IF(t)I::;; K para toda t • /x. Si se aplica el teorema de Taylor 6.4.1 a F en el intervalo Ix y se usa el hecho de que p(k)(O) = F(O) = O para toda k EN, se sigue que para toda n EN existe un

p11nto en E IX tal que

F(O) = E1(0)Ei(O) = 11 =O. ¡1111a luda x E R y

F'(x) = E{(x)- E~(x) = E1(.i) Ei(x) = F(x)

lkmostrnd(m. Sean E 1 y E2 dos funciones de R aR que satisfacen las propie

1htth':1 i y ii del teorema 8.3.1 y sea F := E1 E2. Entonces

.1.n 1 M• 1111N( 'H)NJi.S l'.Xl'UNl\N( 'IAI. Y l .OOAIÜl'Mll'A

8.3.4 Teorema. La función E· R + R u . ,f. . teorema 8.3.l es única. . q e satisface las propiedades i y ii del

Se demuestra a continuación que la f . , . . en el teorema 8.3.1, es en realidad única. uncion E, cuya existencia se estableció

tonc~el~;~~:~~!~º· A partir de l~ expresión ( 4) resulta evidente que si x > O en

t d (E/x)) es estrictamente creciente. Por tanto E (x) <E( )

ra o a x > o. • 1 x pa Q.E.D.

8.3.3 Corolario. Si x > O, entonces 1 + x < E(x).

Demostración Si n - 1 el · d . . , enuncia o se reduce a la propiedad . S . fi para n E N por mducción. z. e m ere Q.E.D,

8.3.2 Corolario. La fu.nción E t · d . d = E(x) para toda n EN R tene ertva as de todos los órdenes y EM(..1') ,xE .

E'(x) = lím (E,;(x) = lím(E,, _ 1(x)) = E(x)

para toda x E (A, A]. Puesto que A > O . , enunciado i. es un valor cualesquiera, se establ~cc ,.¡ Q.l!.11

"<·A:+;)1[1+ ~ + ... +(~)"' .. 'I An+i

< (n + 1) 12·

Puesto que lím (A"/n!) =O, se sigue ue la suc . , . en el intervalo [-A A] d d A qO esion (E,.) converge uniformcnuun ' ' on e > es un valor cuales · E · · .. particular que (E (x)) co d quiera. sto signiñcn 111 " nverge para to ax E R. Se define E: R-+ R por

E(x) := lím E"(x) para x E R.

Puesto que toda x E R está contenida en algún interval [ 8.2.2 se sigue que E es continua e Ad , o ~A 'A], por el teo1·1•11111 E (O)

1 n x. emas, resulta evidente por (1) (Z)

" = para toda n EN. Por lo tanto, E(O) = 1 con lo y . . q111 En cualquier intervalo [-A, A] se tiene 1 ' q~e se ?~muestra u. sión (E ) C b l . , a convergencia uniforme de la s111•c

n · on ase en a relación (3) tamb ·, · de la sucesión (E" de las derivad p' 1 ien se tiene la convergencia uniforuu 1

,.J as. or o tanto por el teor 8 2 3 . a función límite E es derivable en [ A. A] , ema . . se sigue q111 , y que

SU< 'HSIONl\S l>H 111 IN( 'H lNPr, 326

8.3.8 Definición. A la función inversa de E: R-> R se le llama el logaritmo (o el logaritmo natural). Se denotará por L o por log. (Ver la figura 8.3.2.)

La función Iogarítmíca

Se ha visto que la función exponencial E es una función derivable estricta mente creciente con dominio R y codominio {y E R: y> O}. (Ver la figura 8.3.1.) Se infiere que R tiene una función inversa.

Por lo tanto, por el teorema del valor intermedio 5.3.6, toda y E R con y> O perte nece al codominio de E. Q.E.D.

lím E(x)=O. x-> oo

Asimismo, como O< E(-n) = e-11 < 2-11, se sigue que lím E(-n) =O, así que

límE(x)=w. X__, oo

Demostración. Se sabe que E(O) = 1 > O y que E(x) i= O para toda x E R. Puesto que E es continua en R, por el teorema del valor intermedio de Bolzano 5.3.6 se sigue que E(x) > O para toda x E R. Por lo tanto, E'(x) = E(x) > O para x E R, de modo que E es estrictamente creciente en R.

Por el corolario 8.3.3 se sigue que 2 <e; en consecuencia, 211 <e"= E(n), de donde se sigue que lím E(n) = ce Puesto que E es estrictamente creciente, se con cluye que

8.3.7 Teorema. La función exponencial E es estrictamente creciente en R Y tiene codominio igual a {y E R: y> O}. Además se tiene

vi lím E(x) = O y líTl} E(x) = w. x-+-cc x--+x.

Q.E.D. Con esto se establece v.

E(m/n) = (E(l/n))m = (e1/11)'1' = em/11•

de donde se sigue que E(l/n) = e1/n. Se tiene asimismo queE(m) = 1/E(m) == 1/e'" co e-m para m EN. Por lo tanto, si m E Z, n EN, se tiene

Si se hace x = l/n, esta relación indica que

e= E(l) =E( n · ~) =E(~ r E(nx) = E(x)11•

l'm iv 1: inducción se sigue que sin EN, x E R, entonces

l ,\', l llN('l()Nl·:s 1:.x1·0Nl'N('l/\l.Y l.O(U\ld'l'MIC/\

De la unicidad de E, demostrada en el teorema 8.3.4, se sigue que G(x) = E(x) para toda x E R. Por tanto, E(x +y)= E(x) E(y) para toda x E R. Puesto que y E Res un valor cualesquiera, se obtiene iv.

G(O) = E(O +y) = l E(y) .

para toda x E R, y

E( x + y) == G( X) E(y)

E'(x +y) E(y)

G'(x)

Evidentemente se tiene

para x E:: R. E( x + y)

G(x) := E(y)

Pero como lím (Jaln/n!) ==O, esto constituye una contradicción. iv Sea y fija; por iii se tiene E(y) * O. Sea que G: R-> Resté definida por

K O < 1 ,¡;; lal11 para n EN.

n!

Se tiene por tanto

E'(a) E<111l(a) 1 = E(O) = E(a) + (a)+ · · · + (a)"1

l l (n1)!

E<"l(c ) E( ) ·+ • " ( )" ' Cn ( n n ! --a = n! -a) .

Demostración. iii Sea a E R tal que E( a)=: O, y seaJ el intervalo cerrado v1111 . a puntos terminales O, a. Sea K ~ IE (t)[ para toda r El a· Al aplicar el teorema th Taylor 6.4. J, se concluye que para toda n EN existe un punto e E J tal que

11 l~

8.3.6 Teorema. La función exponencial satisface las siguientespropirda.lv« iii E(x) * O para toda x E R; iv E(x +y) == E(x) E(y) para toda x, y E R; v E(r) == er para toda r E Q.

la función E se puede considerar como una ampliacíóu de l¡1 itk<1(.li.;1.:xp1)1H.:i1vl111 11111

de números racionales a números reales cualesquiera. Para una deJ'i11iei1'111 1 li• 11 para a > O y x E R arbitraria, ver la definición 8.3.10.

Estas fórmulas también se pueden escribir en la forma En la definición 5.5.6 se analizó la función potencia x ~ x', x >O, donde res un número racional. Mediante las funciones exponencial y logarítmica es posible generalizar la noción de funciones de potencias de potencias racionales a poten cias reales cualesquiera.

elogy =y. log ex= x,

Funciones de potencias E0L(y)=y paratoda yER,y>O.

y Q.E.D.

L 0 E(x) = x para toda x ER

lím L(x) = lím L(e-") = oo, X >O+

y lim L(x) = lím L(en) = oo x~oo

Puesto que E y L son funciones inversas, se tiene

de modo queL(xy) = L 0 E(u + v) =u+ v = L(x) + L(y). Con esto se establece viii. Las propiedades de ix se siguen de las relaciones_§(O)=Yy E(l) =e. x Este resultado se sigue por viii y por índuccíó» matemática para n E N, y se

generaliza para r E Q aplicando razonamientos similares a los empleados en la demostración de 8.3.6 v.

Para establecer la propiedad xi se observa en primer término que como 2 < e, entonces lím (en) = oo y lím (e11) =O. Puesto que L(e") = -n y L (e11) = -n, del hecho de que L es estrictamente creciente se sigue que FIGURA 8.3.2 Gráfica de L.

xy = E(u)E(v) = E(u + v),

vm Si x >O, y> O, sean u·"" L(x) y v := L(y). Se tiene entonces x =E (u) y y = E(v). Por la propiedad iv del teorema 8.3.6 se sigue que

X E' o L(x) para x E (O, oo).

E o L( x) I.:(x) 1 l l

Demostracíén. El hecho de que Les estrictamente creciente con dominio {x E R: x > O} y codominio R se sigue de que E es estrictamente creciente con domi nio R y codominio {y E R: y > O}.

vii Puesto queE'(x) = E(x) >O, por el teorema 6.1.9 se sigue queL es derivable en (O, oo) y que

FIGURA 8.3.1 Gráfica de E.

H.J.? 'Iuorernu. W logaritmo L es una [uncián estrictamente creciente con 1{11111i11io (x E R: x >O} y codominio R. La derivada de L está dada por

vii L'(x) = l/x para x > O. /·.'/ logaritmo satisface la ecuación [uncional

viii L(xy) = L(x) + L(y) para x >O, y> O. ,...,·,.tiene además

ix L(l) =O y L(e): l. x L(x') = rL(x) para x > O, r E Q. xi lím L(x) = oo y lím L(x) = oc,

x~o+ x~x

3:31 1 ¡\~¡ l•l lNl 'ION l'.S 1 \X l'ONl',N( 'IAI. Y 1.00/\l<f'l'MlC/\ SUCESIONLS DI·'. l'iJN( 'IONl1,I 330

Las gráficas de las funciones x ,_, x" de (O, ce) a R son similares a las de la figura 5.5.8 de la página 200.

Usar esta igualdad para probar que x2 x3 ¡x" fx(-t)"

log ( x + l) = X - - + · · · + ( 1) n + dt 2 3 n l+t

(1

En uno de los ejercicios se verá que si a> O, Ja función potencia x i-->X" es estricta mente creciente de (O, oo) a R, y que si a < O, Ja función x ,_. x" es estrictamente decrecien te. (¿Qué ocurre si a= O?)

( r: (x)" + -x + . l +X

1 2 3 --=1-x+x ~x +

X + 1

Q.E.D. para toda x E (O, oo).

Usar esta desigualdad para demostrar que e no es un número racional. 5. Si x ~O y n EN, demostrar que X

= x" · = ax"-1•

O< en!(1+1+_2_+· .. +2)n! <_e_< l. 2! n! n + 1 Dx" = DeªIogr = eªlogx. D(a log x)

a

Demostración. Por la regla de la cadena se tiene 4. Demostrar que si n ~ 2, entonces

para x E (O, oc'[,

x x11 x x"~1 enxn 1 + + · · · + ~ ex ~ l + ~ + · · · + + l! n! 11 (nI)I ni

8.3.13 Teorema. Sea a E R. Entonces la función x ,_, x" de (O, oo) a R es continua y derivable, y

Usar esta fórmula para demostrar que 2 ~ <e < 2 i y que, por lo tanto, e no es un número entero.

2. Calcular e con cinco cifras decimales de precisión. 3. Demostrar que si O~ x ~ a y n EN, entonces

El siguiente resultado se refiere a la naturaleza derivable de las funciones du potencias.

8.3J.2 Teorema. Si a, f3 E R y x E (O, oo), entonces: a) x" + f3 == x"xf3; b) (xª)/3 == x"f3 = (xf3)ª; e) x-" = l/x"; d) si a< (3, entonces xª < xf3 para x > l.

l. Demostrar que si x > O y si n > 2x, entonces

Ejercicios ene la sección 8.3 8.J.n Teorema. Si a E R y x, y pertenecen a (O, .oo), entonces: a) 1ª=1; b)x">O; e) (xy)" == xªyª; d) (x/y)ª = xª /y".

Para x E (O, oo), al número logª(x) se le llama el logaritmo de x base a. El caso 11 ,. produce la función logaritmo (o logaritmo natural) de la definición 8.3.8. El , 11:;11 11 = 10 da lugar a la función logaritmo base 10 (o logaritmo común) log.¿ de 11·1\l trccuente en la realización de cálculos. Las propiedades de las funciones logª ~.1· presentarán en los ejercicios.

Se establecen a continuación algunas propiedades de las funciones ele poten cías. Sus demostraciones son consecuencias inmediatas de las propiedades de 11111 funciones exponencial y logarítmica y se dejarán al lector.

para x E (O, oo). log X

log a log , (x) · Nota. Si x >O y a= m/n, donde m E Z, n EN, entonces en la sección 5.5 se dcl'inlu 1"

:= (x"') 1111• Se tiene por tanto log x" = a log x, de donde se sigue que x" = elog x" = e'il"''· 1, f 111 consecuencia, la definición 8.3.10 es consecuente con la definición dada en la sección ~1,'1

A la función x H xª para x >O se le llama la función potencia con cxponcuu 11

H.J. l ..J Dcfinicíón. Sea a > O, a * l. Se define x" == e"logx = E(aL(x)).

1 ,ji r1rnd1111 log{/

( '111111do 11 • O, 11 J 1, c11 ocasiones es conveniente definir Ja función logª. 8.3.JlO Definición. Si a E R y x >O, el número .x" se (ki'i11c cu11111

sun:sroN 11.s 111·. l•'l IN< ·11111tt11 332 11! ¡ 1111 ll (l 1~1¡1•11111111J)11 11! 'IAI ) 1 ( Jt li\1111 l'vll! 1\

x2.n+l

( 1)" + (2n + 1) !

2n " X

+(l) (2n)!' X2 X~

1 + 2! 4!

Por razonamientos de inducción matemática (que se dejan al lector) se de muestra que

y para n EN, x ER. (4) s;,(x)=C11(x)

para toda n EN, x E R. Se observa por inducción que las funciones C11 y S,, son continuas en R y, por

tanto, que son integrables en cualquier intervalo acotado; en consecuencia, estas funciones están bien definidas por las fórmulas anteriores. Además, por el teore ma fundamental 7.3.3 se sigue que sil y en+ 1 son derivables en todo punto y que

C,,+1(x) := 1 {s,,(t) dt, ()

(3)

C1(x) := 1, S1(x) :=x,

S11(x) := {c,,(t)dt, ()

(1)

(2)

Demostración. Se definen de manera inductiva las sucesiones (C11) y (S) de funciones continuas de la siguiente manera:

8.4.:1. Teorema. Existen las funciones C: R ~ R y S: R ~ R tales que i C"(x) = C(x) y S"(x) = -S(x) para toda x E R; ii C(O) = 1, C'(O) = O y S(O) = O, S'(O) = I.:

Sl~CCIÚN tt.4 Las funciones trigonométricas

Junto con las funciones exponencial y logarítmica, existe otra colección muy 11n portan te de funciones trascendentales conocidas como las funciones l 1 igonométricas. Estas son las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, se cuníc y cosecante. Es común introducirlas con base en una perspectiva geométrica en términos de triángulos, o bien, del círculo unitario. En esta sección las funcio

111.:s trigonométricas se introducen de manera analítica y después se establecen nlgunas de sus propiedades básicas. En particular, las diferentes propiedades de las íuuciones trigonométricas que se usaron en los ejemplos de partes anteriores de este libro se deducirán con todo rigor en esta sección.

Basta considerar las funciones seno y coseno ya que las demás funciones lrigonométricas se definen en términos de estas dos. El tratamiento del seno y el coseno es similar en esencia al que se empleó con la función exponencial por cuanto primero se establece la existencia de las funciones que satisfacen ciertas propiedades de derivación.

.1.1'1 1 /\!I liJ 1 N( 'i( )NI IH 'l'lll( 1( )N( )M l\'J'l(l( '/\H

En particular, probar que Iog10 x = (Iog e/log lO)log x = (log e)log x para X E (0, =), . JO

log b logª r = logh x para x E (O,oo). log a

Demostrar asimismo que la desigualdad en (*)se cumple si y sólo si a1 = a2

= ... = ª·11· 10. Evaluar L'(l) utilizando la sucesión (1+1/n) y el hecho de que e= lím ((1 +

l/n)n). 11. Establecer las afirmaciones del teorema 8.3.11. 12. Establecer las afirmaciones del teorema 8.3.12. 13. a) Demostrar que si a> O, entonces la función x t->Xª es estrictamente cre

ciente de (O, ex:) a R y que lím xª =O y lím xª =ex:. x-+O+ x-+cc

b) Demostrar que si a < O, entonces la función x r> x" es estrictamente de creciente de (O, ex:) a R y que lím xª ca co y lím x" =O.

x-+O+ x-x 14. Demostrar que si a> O, a* 1, entonces a1°gax = x para todax E (O, ex:) y log

~aY) =y para toda y E R. Por lo tanto, la función x --. logª x de (O, ex:) a Res I; inversa de la función y ,..... aY en R. ·

15. Si a > O, a * 1, demostrar que la función x t> logª x es derivable en (O, x) y que D logª x = 1/(x log a) para x E (O, x).

16. Si a> O, a * l, y x y y pertenecen a (O, oc), demostrar que ]og (xy) = log x + logaY· a a

17. Si a> O, a » 1, y b >O, b * 1, demostrar que

(*)

6. Usar la ~órmula ?el ejercicio anterior para calcular log 1.1 y log (1.4) co11 cuatro c_1fras decimales de precisión. ¿De qué magnitud se debe elegir ,1 (iJI esta desigualdad para calcular log 2 con cuatro cifras decimales de precisión?

7. Demostrar que log(e/2) = 1 log 2. Usar este resultado para calcular lo~') con cuatro cifras decimales de precisión.

8. Sea f: R--> R tal que f'(x) = f(x) para toda x E R. Demostrar que existe K is }( tal que f(x) = Ke" para toda x E R.

9. Sea ak >O para k = 1, ... , n y sea A := (a1 +···+a )In la media aritmética do dichos números. Para cada k, incorporar xk :=a /A~ 1 en la desigualdad 1 1

x ~ ex (v~lida para x ~ O). Multiplicar los térm~nos resultantes para demos· trar la desigualdad de la media aritméticageométrica

+(1)"I x" )/ ~ ~1 ,

n n ·I 1

y que

/ log (X + l) (X - ~2 + ~3 ...

SLJ<.'HHl(INl!S IJI\ 111 INI '1111'11 •j

Demostración. Sean C1 y C2 dos funciones de R a R que satisfacen Cj'(x) = C(x) para toda x E R y C(O) = 1, C'.(O) =O paraj = 1, 2. Si se hace D := C 1 C2,

enionces D "(x) = D(x) Jara x E R ~ D(O) = O y D(k)(O) = O para toda k EN.

Sea ahora x E R un valor cualesquiera, y sea lx el intervalo con puntos termi nales O, X. Puesto que D = C¡ c2 y T := S¡ - s2 =e; e; son continuas en IX, existe K > O tal que iD(t)I :s;; K y 1 T(t) ~ K para toda t E lx. Al aplicar el teorema de Taylor 6.4.1 a Den lx y se usa el hecho de que D(O) =O, D(kl(O) =O para k EN, se deduce que para toda n EN existe un punto c,, E lx tal que

8.4.4 Teorema. Las funciones C y S que satisfacen las propiedades i y ii del teorema 8.4.l son únicas.

En seguida se establece la unicidad de las funciones C y S.

Se deduce por tanto, que f (x) es una constante para toda x E R. Pero como f(O) = 1 +O= 1, se concluye que f(x) = 1 para toda x E R. Q.E.D.

f'(x) = 2C(x)(S(x)) + 2S(x)(C(x)) =O para x E R.

Demostración. Seaf(x) := (C(x))2 + (S(x))2 para x E R, de donde

8.4.3 Corolario. Las funciones S y C satisfacen la identidad de Pitágoras iv (C(x))2 + (S(x))2 = 1 para x E R.

Demostración. Las fórmulas iii se establecieron en (6) y (7). La existencia de las derivadas de orden superior se deduce por inducción matemática. o.r.n,

8.4.2 Corolario. Si C, S son las funciones del teorema 8.4.1, entonces iii C'(x) = S(x) y S'(x) = C(x) para x E R. Además, estas funciones tienen derivadas de todos los órdenes.

Q.E.D. l'or tanto, los enunciados i y ii están demostrados.

S'(O) = C(O) = l. C'(O) = S(O) =O,

para tocia x E R. Además se tiene

S"(x) = (C(x))' = -S(x) y

(/)

l'or (6) y (7)

C:"(x) = (S(x))' = C(x)

para toda x E R. S'(x) = C(x)

1111 1azo11a111il'lllo similur, basado en el hecho de que s,;(x) = C,lx), se demuestra •111t· Ses derivable en R y que

11 / 1 1\ ', 1•1 IN< '!ONl'.S 'l'ltlOONOMl\'11{1( 'AS

C'(x) = -S(x) para x ER. (6)

Por el teorema 8.2.2 se sigue que Ses continua en R y, comos (O)= o para toda n EN, que S(O) = 0. 11

. , Puesto que c,;(x) = S,, _ 1 (x) paran > 1, por lo anterior se sigue que la suce sion (C,;) co~~erg_e uniformemente en [-A, A]. En consecuencia, por el teorema 8.2.3, la función limite Ces derivable en [-A, A] y

C'(x) = lím c,;(x) = lím (S,, 1 (x)) = -S(x) para X E [-A, A J. Puesto que A >O es un valor cualesquiera, se tiene

para x E R. S(x) := lírn S,,(x)

~e donde se sigue que la sucesión (S11) converge uniformemente en [-A, A]. Se de fine S: R -> R por

¡\2n ( 16 ) ISm(x) - s (x)I ~ -- -A " (2n)! 15 '

Si se usa (5) y el corolario 7.2.6 a), se concluye que

S,,.(x) - S,.(x) = ['{C,,,(t) - Cn(t)} dt. o

Como lím (A 2"/(2n)!) =O, la sucesión (C,,) converge uniformemente en el interva lo [-A,A], donde A> O es un valor cualesquiera. Esto significa en particular que (C11(x)) converge para toda x E R. Se define C: R-> R por

C(x) := lírn C,,(x) para x E R.

Por el teorema 8.2.2 se sigue que Ces continua en R y, como e (O) = J para toda n E N, que C(O) = 1. "

Si x ~A y m ;,: n > 2A, por (2) se sigue que

A2" ( 16) < (2n)! L5 .

+ (~)2,,,2,, 2n

1

211 o +2 . X x¿,11 X :l.111 ~! IC111(x) C,,(x)I = + .... + _ (2n)! (2n + 2)! (2m 2)11

A2" [ ( A 2 ~1+ + (2n)! 2n)

(5)

Sea A> O dada. Entonces si lxl =s;;A y m > 11 / 2.1\, se 1il·111• qitl' (¡H1L·slt1 q11t· \ '" <1~: '

-x ~ f C(t) dt ~X, o

Demostración. Por el corolario 8.4.3 se sigue que 1 ~ C(t) ~ 1 para t E R por lo que si x ~ O, entonces

x2 x2 x4 x 1 .::: C(x).::: 1 + . 2 "" """ 2 24

x3 ix x - - ,;;; S(x) ~ x;

6

x2 viii 1 ,;;; C(x) ,;;; l;

2

8.4.8 Teorema. Si x E R, x ~ O, entonces se tiene vii -x ~ S(x) ~ x;

Las siguientes desigualdades se usaron anteriormente (por ejemplo, en 4.2.8).

para x E R. Si se hace x =O, se obtiene C(y) =a y S(y) = {3, de donde se sigue la primera fórmula del inciso vi. La segunda fórmula se demuestra de manera similar.

Q.ü.D.

y f(x) = C(x +y)= aC(x) + {3S(x)

f'(x) = -S(x +y)= aS(x) + {3C(x)

Demostración. v Si cp(x) := C(x) para x E R, entonces mediante un cálculo ::r .ícmuestra que cp"(x) = cp(x) para x E R. Además, cp(O) = 1 y cp'(O) =O de modo que <p =C. Por tanto, C(x) .= C(x) para toda x E R. Se demuestra de manera ximi l.u' que S(x) = S(x) para toda x E R.

vi Sea y E R dada y sea f(x) := C(x +y) para x E R. Mediante un cálculo S\'

demuestra que f"(x) = f(x) para x E R. Por tanto, por el teorema 8.4.6, existen los

números reales a, /3 tales que

8.4.7 Teorema. La función C es par y S es impar en el sentido de que ,, C(-x) = C(x) y S(x) = S(x) para x E R.

\'1 1, y E R,. entonces se tienen las "fórmulas de adición" vi C(x +y)= C(x)C(y) S(x)S(y), S(x +y)= S(x)C(y) + C(x)S(y).

S\'. derivarán a continuación algunas de las propiedades básicas de las l'unci«

1w'. 1·osc110 y seno.

il• 111·rn·1·11111 111111·11111 :.t• dud11n: q11u /i(.t) ,,. O par:1 lod:1 .1· r U, l'or 111 111111<>, ./(1)

1;( 1) p.11 a toda x e:: U. 0.11.11,

11•1 11\',llllll'llil~I~• lltlllllllllMI IHll 1\'•

f(x) = aC(x) + {JS(x) para x E R.

~~mostración. Seag(x) := f(O)C(x) + f'(O)S(x) parax e R. Se ve de inmediato que g (x) = g(x) y que g(O) = f(O), y puesto que

g'(x) = f(O)S(x) + f'(O)C(x),

se tiene ~~imismo g'(O) = f'(O). Por lo tanto, la función h := f- g tiene la propiedad de que h (x) = h (x) para toda x E R y h (O) = O, h'(O) = O. Así por la demostración

entonces existen los números reales a, f3 tales que

f"(x) = -f(x) para x E R,

8.4.6 Teorema. Si f: R t R es tal que

. Las propi~dades de de~ivación del inciso i del teorema 8.4.1 no llevan por sí mismas a funciones determmadas de manera única. Se tiene la siguiente relación.

para x e R. y sen x := S(x) COSX := C(x)

_ 8.4.S D1~finic~ón. Las funciones únicas C: R t R y S: R t R tales que C"(x) - - C(x) Y S (x) =: S(x) para toda x E 1!-,Y C(O) = 1, C'(O) =O y S(O) =O, S'(O) = 1 se .n~man la función coseno y la función seno, respectivamente. Se acostumbra escribir

Aho;a que s~ ha establecido la existencia y la unicidad de las funciones e y S, se dara a las mismas sus nombres comunes.

Pero co~o lím (l~l"(n!) =O, se concluye que D(x) =O. Puesto que x e Res un valen cualesquiera, se infiere que C1(x) C/x) =o para toda x E R.

Con un razonamiento similar se demuestra que si S y S son dos funciones en R---t R tales ~ue s;'(x) = -Sj(x) para toda X E R y S¡(O) ~O, S~(O) = 1para)=1, 2, entonces se tiene S/x) = Si(x) para toda x E R.

1 Q.E.o.

Klxl" ID(x)I ~ --.

n!

Entonces DC11l(c ) = +D(c ) o b' D(11)( ) +"'( ) · • , n - 11 , 1en, e,, = 1' c . En cualquiera de estos casor1 se tiene

11

_ v<11>( e,,) n - X

n!

/)(")( ('") 11 1•" u! .

D<"1>(0) + x"

( n - 1) ! D'(O)

D(x) = D(O) + --x + ll

Sil< 'tl,Slt>Nl(S 1H~1·111'1( '111111 JJ8

para toda x, y e R. 10. Demostrar que c(x);;;. 1 para toda x E R, que tanto e comos son estrictamente

crecientes en (O, :o) y que lím c(x) = Jím s(x) =:o. x~x x-+:c

s(x +y)= s(x)c(y) + c(x)s(y), c(x +y)= c(x)c(y) + s(x)s(y),

para toda n EN, x E R. Usar un razonamiento como el de la demostración del teorema 8.4.1 para concluir que existen las funciones e: R ~ R y s: R ~ R tales que (j) c"(x) = c(x) y s"(x) = s(x) para toda x E R, y (jj) c(O) ~ 1, c'(O) = O y s(O) =O, s'(O) = l. Además, c'(x) = s(x) y s'(x) = c(x) para toda x E R.

7. Demostrar que las funciones e, s del ejercicio anterior tienen derivadas de todos los órdenes, que satisfacen la identidad (c(x))2 (s(x))2 = 1 para toda x E R. Además, son las únicas funciones que satisfacen ( j) y ( jj ). (Las fun ciones e, s se llaman el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico, respecti vamente.)

8. Si f: R +Ree tal que f"(x) = f(x) para toda x E R, demostrar que existen los números reales a, f3 tales que f(x) = ac(x) + f3s(x) para toda x e R. Aplicar este hecho a las funcionesf1(x) :=ex y f2(x) := e:' para x E R. Demostrar que c(x) =~(ex+ e-x) y que s(x) =~(ex - e-x) para x E R.

9. Demostrar que las funciones e, s de los ejercicios anteriores son par e impar, respectivamente, yque

c,,.1.i(x) = 1 + {s,.(t) dt o

s11( X) = { c11( t) dt, ()

Usar esta desigualdad para establecer una cota inferior para n. 5. Calcular n aproximando la menor raíz positiva de Ja función seno. (Bisecar

intervalos o usar el método de Newton de la sección 6.4.) 6. Definir las sucesiones (e,,) y (s11) por inducción como c1(x) := 1, s1(x) := x, y

x2 x4 x6 x2 x4 1 + $'. COS X $'. l + .

2 24 720"" "" 2 24

1. Calcular cos (.2), sen (.2) y cos 1, sen 1 con cuatro cifras decimales de preci sión.

2. Demostrar que .sen x', ~ 1 y que 'cos x: ~ 1 para toda x E R. 3. Demostrar que la propiedad vii del teorema 8.4.8 no es válida si x < O, pero

que se tiene [sen x; ~ ¡x: para toda x E R. Demostrar también que [sen x-xl :,;;; Jxl 3/6 para toda x E R.

4. Demostrar que si x > O entonces

l1:jcn:icios de la seccíón 8.4

11! Sl· uli:ir1v11 q11e < '() tr) O, y es 1111 cjc1L·iciodi:mo.~l1;11q11c.\'((\11) l. S1 11 11:•1111 cstnx dos igualdades junio con las lónuulas vi, se ohl icucn 1:1.~ rd:1cin1H'S

1 li·.1·:itl:is. <).l·.11.

111 1i\'•11111< 'I< ll\ll . 1111< H 1111 li'vlf 1111< 1\11

S(x + 27T) = S(x)C(27T) + C(x)S(21T) = S(x).

y

Demostración. xi Puesto que S(2x) = 2S(x)C(x) y S(n) = 0 . . S(2n) o Ad , · , se sigue que · emas, sr x =y en vi se obtiene C(2x) (C(x))2 (S( ))~ p 1 C(2 ) 1 E . x -. or o tanto re - . n consecuencia, por vi con y= 2n se sigue que ,

C(x + 27T) = C(x)C(21T) - S(x)S(21T) = C(x),

8.4.10 Definición. Sea que n := 2y denote la menor raíz positiva de S.

Nota. De la desigualdad ..J2 < y < ,¡ 6 2 .J3 se sigue que 2.829 < n:«: 3.185.

8:4~(1 Teorema. Las funciones C y S tienen periodo 2n en el sentido de que xi, x + 2n) = C(x) Y S(x + 2n) = S(x) para x E R.

Ademas se tiene

x E:.¡¡ S(x) = C(~n-x) = -C(x + ~ z), C(x) = S(! n-x) = S(x + ~ n) para toda

D~mostración. Por la desigualdad -(x) del teorema 8.4.8 se sigue que C Liurw una ra1z entre la raíz positiva .Ji de x2 2 =O y la menor raíz positiva de x4 - J 21 , + 24 =O, que es V6 2.,,/3 < V3. Se hace que y sea la menor raíz de C .

Por la d fó ¡ · · • , • e s.egun a ormu a de v1 con x =y se sigue que S(2x) = 2S( ·)C( ) E.

relación indica que S(2y) _ 0 de d d , x x · sl11 1 . , . . . , e on e 2y es una ra1z positiva ele S. La misma re acron indica que si 25 > o es la , .. p . . , . i:nenor raiz positiva de S, entonces C( o) = o,

uesto que y es la menor raiz posinva de C, se tiene ¿; = y. Q.E.D,

Ad 8.~.9 Lema. Existe una raíz y de la funcion coseno en el intervalo (../2 'h) emas, C(x) >O para x E [O ) El , ' · · , Y · numero 2y es la menor raíz positiva de S.

x2 2 '( X 2 ~ -e x) + 1 ~ 2

Se tiene por tanto 1 (x2/2) -s: C( ) d d · , . .. . ~ x , e onde se sigue viii. La desigualdad 11 111 establece al integrar vtu, y la desigualdad x se obtiene al integrar ix. 0.11,11

El número tt se obtiene a partir del lema siguiente.

en consecuencia

x2 1· x2 2 .,;;;¡s(t)dt~ .:__

() 2'

de donde se obtiene vii. Al integrar esta dcsigualc.l:id :w ol il une

S\l('l(Sl<JNl·.S l>fl l liNI f!lfll 'i J4()

(= X1 + X2),

( = X 1 + X 2 + • • . +X k ),

9.1.1 Definición. Si X:= (x11) es una sucesión en R, entonces la serie infinita (o simplemente la serie) generada por X es la sucesión S := (xk) definida por

S¡ :=X¡,

Sin embargo, esta "definición" carece de claridad, ya que no hay ningún valor particular que pueda asociarse a priori a este arreglo de símbolos, el cual requiere la realización de un número infinito de adiciones. Aun cuando no hay otras defini ciones que sean adecuadas, se considerará que una serie infinita es lo mismo que una sucesión de sumas parciales.

( 1)

En textos elementales, una serie infinita en ocasiones se "define" como "una expresión de la forma

SECCIÓN 9.1 Convergencia de series infinitas

Este capítulo se dedica a establecer los teoremas más importantes en la teoría de las series infinitas. Aun cuando se incluyen aquí algunos resultados periféricos, la atención se centra en las proposiciones básicas. Se remite al lector a tratados más detallados para resultados y aplicaciones avanzadas.

En la primera sección se presentarán los teoremas básicos relativos a la con vergencia de series infinitas en R. Se obtendrán algunos resultados de carácter general que sirven para establecer la convergencia de series y justifican ciertas operaciones con series.

En la sección 9.2 se presentarán algunos "criterios" usuales de convergencia absoluta de series. En la siguiente sección se presentan los "criterios" que resultan de utilidad cuando las series no son absolutamente convergentes. En la sección final se introduce el estudio de series de funciones y se establecen las propiedades básicas de las series de potencias.

SERIES INFINITAS

~ < 'APITllLO NlJEVIG

9.:t6 Definición. Sea X:= (xn) una sucesión en R. Se dice que la seri~ L(x,,) es absolutamente convergente si la serie¿ ( [x11[) es convergente en R. Se dice que

La noción de convergencia absoluta con frecuencia resulta de gran importan cia al considerar series, como se demostrará más adelante.

9.1.5 Criterio de Cauchy para series. La serie L (xn) en R converge si y sólo si para todo número e >O existe un número natural M( t:) tal que si m > n :;;: M( t:), entonces

Puesto que el criterio de Cauchy que se presenta en seguida es justamente una reformulación del teorema 3.5.4 la demostración se omitirá.

Conforme al teorema de convergencia monótona 3.3.2, la sucesión S converge si Y sólo si está acotada. Q.E.D.

Demostración. Puesto que x,, ~ O, la sucesión de sumas parciales es monóto na creciente:

I:xn = lím( sd = sup { sd.

9.1.4 Teorema. Sea (x,,) una sucesión de números reales n~ nega~ivos. En~ tonces L(x11) converge si y sólo si la sucesión L = (sk) de sumas parciales esta acotada. En este caso,

El resultado siguiente, a pesar de su alcance limitado, es de gran importancia.

Demostración. Por definición, la convergencia de L (x11) significa que Iím ( s k) existe, Pero, como xk = sk - sk _ 1, entonces Iím (xk) = lím (s") Iím (sk_ 1). Q.E.D.

9.1.3 Lema. Si L(xn) converge en R, entonces Iím (x,) =O.

e 'nhrfu cspcr.u' qut.: si las sucesiones X= (x11) y Y= (y,,) generan series conver ¡r.1·111us, entonces la sucesión XY = (x11y11) también genera una serie conve~gente. El hrcho de que no sea siempre este el caso se puede ver al tomar las sucesiones X= \' :.= ((1)'1/.Jñ), como se demostrará más adelante.

Se presenta en seguida una condición necesaria muy simple para la conver v.t.:11cia de una serie. Sin embargo, se encuentra lejos de ser suficiente.

,Id.~ < 'l lÍ'IVl\lll IJl.N( 'I/\ 1)11, Sli.1(111,S INlllNI l'/\S

Q.E.D.

Demostración. Este resultado se obtiene directamente del teorema 3.2.3 y la definición 9. l. l.

Un resultado similar es válido para las series generadas por X - Y. b) Si la serie L(xn) es convergente y ces un número real, entonces la serie

L(cxn) converge y

x«, +Y,,)= L(xn) + L(y,,).

9.1.2 Teorema. a) Sitas series L(xn) y L(y,,) convergen, entonces la serie ~(x11 + Yn) converge y las sumas están relacionadas por la fórmula .

En 3.1.3 se definió la suma y Ja diferencia de dos sucesiones X, Y en R. De manera similar, sic es un número real, se definió la sucesión cX = (cxn). Se exami nan a continuación las series generadas por estas sucesiones.

L Xn. n=k

LXn, n=5

00

I: x,,, n=O

tanto para denotar la serie infinita generada por la sucesión X= (x,) como para denotar lím Sen caso de que esta serie infinita sea convergente. En la práctica, ul doble uso de estas notaciones no lleva a confusiones, siempre que se dé por sobrentendido que es necesario establecer la convergencia de la serie.

El lector deberá estar alerta para no confundir los vocablos "sucesión" y "se. rie". En el lenguaje no matemático estos dos términos son intercambiables; sin embargo, en matemáticas no son sinónimos. De acuerdo con la definición dada, una serie infinita es una sucesión S obtenida a partir de una sucesión dada X de acuerdo con un procedimiento especial que se enunció antes.

Unas palabras finales acerca de la notación. Aun cuando por lo general el índice de los elementos de las series son números naturales, en ocasiones resulta más conveniente empezar con n =O, con n> 5 o con n = k. Cuando sea este el caso, las series resultantes o sus sumas se denotarán por notaciones tales como

L (x11),

n=l

Se acostumbra usar la expresión (1) o uno de los símbolos

Si S converge, se hará referencia a lím S como la sumu d\; 111 serie i11fi11i1u. !\ loN elementos xn se les llama los términos y a los elementos xk se les llama la¡.¡ NUhlllli parciales de esta serie infinita.

~44

sk = ~ + ( 2_ + 2_) < 1 + ~ = 1 + 1 2 1 2P 3P 2P 2p-l' m > n.

lan+ll + lam+ll [s., snl = lan+l + ... +ami,,¡;;.

11 al

como se puede comprobar al multiplicar ambos miembros por 1 a y observar el "efecto de telescopio" en el primer miembro. Por tanto las sumas parciales satisfa cen

Puesto que las sumas parciales de la serie armónica no están acotadas, esta des igualdad demuestra que las sumas parciales de I:(ljnP) no e.tán acotadas para O 1. Puesto que las sumas parciales son mo nótonas, esta es condición suficiente para demostrar que alguna subsucesión se mantiene acotada a fin de establecer la convergencia de la serie. Si k; = 21 1 = 1, entonces sk1 = 1. Si k2 = 22 1 = 3, se tiene

l a

an+I _ arn+l an+I + an+2 + , , . +c'" = (3)

Una condición necesaria para la convergencia es que lím (a")= O, lo cual requiere que [al< l. Si m > n, entonces

para n EN. l 1 a+ a2 + ... +an + .... (2)

9.]..8 Ejemplos. a) Se considera la sucesión real X:= (a"), la cual genera la sede geométrica:

Por lo tanto, la subsucesión (sk,.) no está acotada y por el teorema 9.1.4 se sigue que la serie armónica no converge.

e) Se considera ahora la serie p 1:(1/nP), donde O < p ~ 1 , y se usa la des igualdad elemental nP ~ n, paran EN. De esta última se sigue que si O < p ~ 1, entonces

Se aplica el carácter suficiente del criterio de Cauchy para concluir que la serio k (x") debe converger. Q.E.D.

lxn+I + Xn+2 + · · · +x,J

Por inducción matemática se establece que si k, = 2r, entonces De acuerdo con la desigualdad del triángulo, el primer miembro de esta relación (l~

dominante con respecto a

s1c2 = :_ + ~ + 1

+ ~ = sk + ~ + ~ > sk + 2( !_) = l + _:. l 2 3 4 1 3 4 1 4 2

y si k2 = 22, entonces Demostracíón, Por hipótesis, la serie 1: ( lx111) converge. Por lo tanto, del cu

rácter necesario del criterio de Cauchy 9.1.5 se sigue que dada e > O, hay llíl número natural M(e) tal que si m > n ~ M(e), entonces

1 1 . + ~k¡ - 1 2,

9.:n.. 7 Teorema. Si una serie en R es absolutamente convergente, entonces 1'\'

convergente.

Si 1111 · 1, rni\>lll'cs l 11" •· 1 I >O por lo que el criterio de Cauchy indica que la serie 1',l'1)111t51ricll (2) converge si y sólo si lal < l. Al hacer n =O en (3) y pasar al límite ,·011 respecto a m, se encuentra que (2) converge al límite a/(1 a) cuando 1 al < l.

b) Considérese la serie armónica 1:(1/n), la cual es bien sabido que diverge. l'ucsto que lím (1/n) = O, no se puede aplicar el lema 9.1.3 para establecer esta divergencia. En su lugar se usará un razonamiento como el del ejemplo 3.3.3 b) y se demostrará que una subsucesión de las sumas parciales no está acotada. De hecho, si k1 = 2, entonces

una serie es condicionalmente convergente si es C:(lJJVl!l'¡•,e111c pt!ro 110 111l:iol11111

mente convergente. Se hace hincapié en que, para series cuyos elementos son números ru11lu111111

negativos, no hay diferencia entre la convergencia común y la convergencia ni l/111

!uta. Sin embargo, para otras series puede existir una diferencia. (Por ejemplo, 111ílt1 adelante se demostrará que la serie 1:(1/n) diverge, en tanto que la serie :k( J)''/11 converge.)

Jtl 1 SF!{li ',S INl,'INl'l'l\~l '.146

Ejercicios de la sección 9.1 l. Sea L(a11) una serie dada y sea L(b11) una serie cuyos términos son los mis

mos que los de L(a,) excepto porque se han omitido los términos para los

Q.E.D. Puesto que e> O es un valor cualesquiera, se tiene I(y11) = x.

lt111 - xi ~ ltm snl +Is,. xi <E +e = 2s.

Ahora bien, sea M E Ntal que todos los términos xi' ... , xN están contenidos como sumandos en t.M :=y 1 + · · · + yM. Se sigue que si m ~ M, entonces tm - s11 consta de una suma finita de términos xk con índice k > N; por tanto, para alguna q > N se

q tiene it s 1 ~ L lxki <e. Por lo tanto, si m ~ M, se tiene

im n k=N+l1'

y q

L lxkl <e k=.V+I

Demostración. Sea I(x11) que converge ax y sea L(y11) un reordenamiento de I(x11); se demostrará que I(y11) converge ax. Si e> O, sea N tal que si q, n > N y s11 := x1 + · · · + x,,, entonces

9.1.10 Teorema de reordenamiento, Sea I(x11) una serie absolutamente convergente en R. Entonces cualquier reordenamiento de L(\,) converge al mismo valor.

Al trabajar con series por lo general se encontrará conveniente tener la seguri dad de que los reordenamientos no afectarán la convergencia o el valor del límite.

A Riemann se debe la notable observación de que si I(x11) es una serie en R que es condicionalmente convergente (es decir, que es convergente pero no absolutamente conver gente) y si e es un número real cualesquiera, entonces existe un reordenamiento de L:(x11)

que converge a c. El concepto ele la demostración de esta afirmación es elemental: se toman términos positivos hasta obtener una suma parcial que exceda a e, entonces se toman térmi nos no positivos de la serie dada hasta obtener una suma parcial de términos menor que e, cte. Puesto que lím (x,) =O, no es dificil ver que se puede construir un reordenamiento que converge a c.

9.1.9 Definición. Una serie L(Ym) en R es un reordenamíento de una serie L:(x11) si existe una función biyectiva f deN en Ntal que y111 = xf(m) para toda m EN.

1 ·:J pri mcr I'<;< irdcunmicnto se obtiene al intercambiar el primer término y el segun tl1Í, el tercero y el cuarto, y así sucesivamente. El segundo reordenamiento se ob 1 icuc a partir de la serie armónica tomando un "término impar", dos "términos pares", tres "términos impares", y así sucesivamente. Es evidente que la serie ar móuica se puede reordenar en muchas formas más.

:l<I'> ( '( 11\IVli.lWll,l\i( 'I/\ llH Si•,l(IJi,S INl·'JNJ'l'/\S

serie armónica

1 l l 1 + + + ... + + 1 2 3 n

tiene los reordenamientos

1 1 l 1 1 1 + + + + ++ + 2 1 4 3 2n 2n - 1

1 l 1 1 1 1 + + + + + + ...

1 2 4 3 5 7

Hablando en términos generales, una reordenación de una serie es otra serie que se obtiene a partir de la serie dada utilizando todos los términos exactamente una vez, pero cambiando el orden en que se toman los términos. Por ejemplo, la

Reordenamientos de series

Se sigue que la sucesión (sn) converge a l.

+· .. + n( n + 1) +

1

n + 1

l

1

1 1 2·3

1

1·2

Esta expresión demuestra que las sumas parciales son telescópicas (¿por qué?) y, por tanto,

k(k + 1) 1

k + 1. 1 k

1 l

k2 + k

Por tanto, el número 1/(1 a) es una cota superior de las sumas parciales ele 111 seriep cuando 1 <p. Por el teorema 9.1.4 se sigue que para tales valores de p la seriep converge.

e) Considérese la serie L(l/(n2 - n)). Usando fracciones parciales se puedo escribir

0<sk,<l+a+a2+ ··· +ar-1•

Sea a := l/2P-1; puesto que p > 1, se ve que O <a < l. Por inducción maternát len se encuentra que si k, = 2' 1, entonces

4" 1

< l + + 2rl 4,, 1 •

4 (

l 1 l l ) ~ s =s + +++ <s + k, k2 4" 51• 6" 71' kz

y si k3 = 23 1 = 7, se tiene

s1:Rll\S INl<'INl'l'i\S 348

Entonces la convergencia de '2:. (y,,) indica la convergencia de L(x11) y la divergencia de L(x,) indica la divergencia de L(y11).

b) E i n(log n )(log log n) '

a) [1~ n Iog n'

n ~K. para (1)

9.2.1 Criterio de comparación. Sean X:= (x,) y Y:= (y,,) suceciones reales y suponer que para algún número natural K,

converge. Se acostumbra referirse a este resultado como el criterio de condensación de Cauchy, [Sugerencia: agrupar los términos en bloques como en los ejemplos 9. l.8 b, d).]

12. Usar el criterio de condensación de Cauchy para explicar la convergencia de la seriep 2.(1/nP).

13. Usar el criterio de condensación de Cauchy para establecer la divergencia de las series

En la sección anterior se obtuvieron algunos resultados relativos al manejo de series infinitas, en especial en el importante caso en que las series son absoluta mente convergentes. Sin embargo, excepto por el criterio de Cauchy y el hecho de que Jos términos de una serie convergente convergen a cero, no se establecieron condiciones necesarias o suficientes para la convergencia de series infinitas. Se presentarán a continuación algunos resultados que se pueden usar para establecer la convergencia o divergencia de series infinitas. En vista de su importancia, en esta sección se prestará especial atención a la convergencia absoluta.

El primer criterio señala que si los términos de una serie real no negativa están dominados por los términos correspondientes de una serie convergente, entonces la primera serie es convergente. Proporciona un criterio de convergencia absoluta que el lector deberá formular.

00

L: 2" ª2" n=J

SECCIÓN 9.2 Criterios de convergencia absoluta

20. Si 2: (x11) es absolutamente convergente, demostrar que cualquier reordenación 2:(y11) también es absolutamente convergente. 7. Si 1: (a,,) es una serie convergente, entonces ¿la serie L(a,~) es convergen

te siempre? Si a,, ~ O, entonces ¿se cumple que L( ,fa") es convergente siempre?

8. Si I(a12) es convergente y a ~O, entonces .Ia serie L(. ~)es conver n v '\/ unu.n + 1 · gente?

9. Sea I(a11) una serie de números positivos y sea que b11, con n EN, esté defini d~ como b11 := (a1 +a 2 + · · · + a,,)/n. Demostrar que 2.(b11) diverge siempre.

10. S1 I(a") es absolutamente convergente y (b,,) es una sucesión acotada, de mostrar que 2.(a,,b,) converge.

11. Sea 2. (a,,) una serie monótona decreciente de números positivos. Demostrar X

que L (an) converge si y sólo si la serie ,,~¡

4

17. 18.

15. 00

Encontrar la nésima suma parcial s := a2 + · · ·+a de la serie L log (1 n n 11::;: 2 l/112). Demostrar que esta serie es convergente. Si (a11) es una sucesión decreciente de números positivos, demostrar que si L(a11) es convergente, entonces lím (na11) =O. (Sugerencia: Usar el razona miento del ejercicio 11.) Dar un ejemplo de una serie divergente con (a,,) decreciente y lím (na,,)= O. Si (a,,) > O y si lím (n.2a,,) existe, demostrar que L (a,,) es convergente. Sea O< a. Demostrar que la serie 2: (1/(1 +a")) es divergente si O <a < 1 y que es convergente si a > 1.

19. ¿Converge la serie :[. ( ~ Vn ) ? n=l n

16.

1 b) E e.

n(log n)(loglog n) 1

a) L e, n(log n)

14. Demostrar que si e> 1, las series siguientes son convergentes:

l l') 2..: .

n(log n )(log log n )(log log log n)

que an =O. Demostrar que L:(a11) converge a un 11111111:1111\ si y s(\lll si)~(/•,¡) converge aA.

2. Demostrar que la convergencia de una serie no es afectada al cambiar uu número finito de sus términos. (Desde luego, el valor de la suma puede ni111

biar.) 3. Demostrar que al agrupar los términos de una serie convergente introducicn

do paréntesis que contienen un número finito de términos no destruye la cou vergencia ni el valor del límite. Sin embargo, la agrupación de los térmiuos ele una serie· divergente puede producir su convergencia.

4. Demostrar que si una serie convergente sólo contiene un número finito de términos negativos, entonces es absolutamente convergente.

5. Demostrar que si una serie es condicionalmente convergente, entonces la se· rie de términos positivos es divergente y la serie de términos negativos es divergente.

6. Demostrar usando fracciones parciales que

'\"' 1 1 ~ ~ ~a>~

,.~0(a+n)(a+n+l) a

1 l b) L:

n~I n(n + l)(n + 2)

y,¡ ! 'IU'l I· 1( 1t 1:: 1 JI ( < '01\1Vll.lll11 'N< '1 /\ /\ll~OLl l'I'/\ 350

entonces la serie I (x") es divergente.

(7) para n > K,

entonces la serie I (x,,) es absolutamente convergente. b) Si existe un número natural K tal que

.;:;; r para n > K, (6)

9.2.5 Criterio de! cociente. a) Si X:= (x") es una sucesión de elementos de R diferentes de cero y existe un número positivo r < 1 y un número natural K tales que

Nota. Cuando r = 1 no hay conclusión; es posible la convergencia o la diver gencia, como el lector deberá demostrar.

El criterio siguiente se debe a D' Alembert.

Demostración. Se sigue que si el límite de (5) existe y es menor que 1, enton ces existe un número real r l con r < r 1 < 1 y un número natural K tales que lx,,¡1111

es= r1 paran ~ K. En este caso la serie es absolutamente convergente. Si este límite es mayor que 1, entonces existe un número natural K tal que

lx,,11/11 > 1 paran ~ K, en cuyo caso la serie es divergente. Q.E.D.

siempre que este límite exista. Entonces L (x11) es absolutamente convergente cuando r < 1 y es divergente cuando r > I.:

(S)

9.2.4 Corolario. Sea X := (x11) una sucesión en R y se establece

Con frecuencia resulta conveniente empicar la siguiente variante del criterio de la raíz.

Dl0Ul01>lrndún. a) Si se cumple (3), entonces se tiene lxJ ~ r'' paran ~ K. l111í ;i O .; r < 1, la serie 1:(r") es convergente, como se vio en el ejemplo 9.1.8 a). ,':1· sigue, por tanto, por el criterio ele comparación que I (x11) es absolutamente rouvcrgcnte.

b) Si se cumple ( 4), entonces lx,,I ~ 1 paran ~ K. Por lo tanto, los términos ( 1,,) 110 convergen a cero, de donde la serie es divergente. Q.E.D.

\'i.( 1 H111 Hli H' 1ll'1 '0NVl'll< lllN< 'IA i\J1:H JI t 1'1'1\

entonces la serie I (x11) es divergente.

para n ~ K, I X 11/n >: 1 " -s-:

( 4)

entonces la serie I(x,,) es absolutamente convergente. b) Si existe un número natural K tal que

n > K, para 1 11/n x,. .;:;; r (.3)

9.2.3 Criterio de la raíz. a) Si X := (x ) es una sucesión en R y existe un , 11

numero positivo r < 1 y un número natural K tales que

Se presenta a continuación un importante criterio debido a Cauchy.

Criterios de Ja raíz y del cociente

Q.E.D.

Si se aplica dos veces el criterio de comparación 9 .2.1, se obtiene la afirmación del inciso a).

La demostración del inciso b) es similar y se omitirá.

para n > K.

Demostración. De la relación (2) se sigue que para algún número real e > J

y algún número natural K

entonces L(x11) es convergente si y sólo si I(y11) es convergente. b) Si el límite de (2) es cero y I (y11) es convergente, entonces I (x11) es conver

gente.

(2)

9.2.2 Criterio de comparación de límites. Suponer que X:= (x) y Y:= (v ) . l . . 11 ti son suceszones rea es posiuvas. a) Si se cumple la relación

de donde es evidente la primera afirmación. El segundo enunciado es el co1111·11¡111 sitivo del primero y, por lo tanto, es lógicamente equivalente al mismo. 0.11,.11

Xn+ l + ... +xm ~ Yn+I + ... +v.; <e,

Demostración. Si m > n ~ sup {K, M(c)}, entonces

Sl\RllJS INl'INJ'l'All 352

l 1 <

n( n + 1) n2

(8)

k~l L (f(k)) satisfacen la estimación k~ 1

s=

existe. Cuando ocurre la convergencia, la suma parcial s,, = L (f (k)) y la suma 00

j +oof(t) dt = lím (J"J(t) dt) 1 n ]

9.2.8 Ejemplos. a) Primero se aplica el criterio de comparación. Al saber que la serie armónica r. (1/n) diverge, se ve que si p ~ 1, entonces nr ~ n y, por tanto, 1/n ~ 1./nP. Después de usar el criterio de comparación 9.2.1, se concluye que la seriep r. (l/nP) diverge para p ~ l.

b) Se considera ahora el caso en que p == 2; es decir, la serie r.(1/n2). Se compara la serie con la serie convergente r. (1./n(n + 1)) del ejemplo 9.1.8 e). Pues to que la relación

n

Se indicará la manera en que los resultados de los teoremas 9.2.1 al 9.2.7 se pueden aplicar a la seriep L(l/nP) que se introdujo en el ejemplo 9.1.8 c).

9.2.7 Criterio de la integral. Sea f una función positiva decreciente en {t: t ~ 1 }. Entonces la serie I.(f(n)) converge si y sólo si la integral impropia

Si se toma el límite con respecto a m en esta última desigualdad, se obtiene la desigualdad (8). Q.E.D.

El siguiente criterio de convergencia, de gran potencial, utiliza la noción de la integral impropia que se presentó en la sección 7.4.

+l fm J'n f(t) di e; s111 - s,..,,;; . J(t) dt. n+l n. El criterio de la integral

de donde se sigue que Nota. Cuando r = 1 no se puede llegar a una conclusión; es posible la conver gencia o la divergencia, como el lector deberá demostrar.

0 bien la inexistencia de ambos. Si existen, entonces al sumar la relación (9) para k = n + 1., ... , m , se obtiene que

Demostración. Supóngase que el límite existe y que r < l. Sir 1 satisface r r1 < 1, entonces existe un número natural Ktal que lx11+11/lx,,I < r1 para x > K. IJn este caso el teorema 9.2.5 establece la convergencia absoluta de la serie. Sir> J 1

entonces existe un número natural K tal que lx,, + 11/lxnl > 1. paran ~ K, y en esto caso ocurre la divergencia. Q.E.D.

lím ({f(t) dt) siempre que el límite exista. Entonces la serie L (x11) es absolutamente convergente cuando r < 1 y es divergente cuando r > 1..

la cual establece la existencia de los dos límites r := lím (lxn+11/lxnl),

Sn - J(I) < ff(t) dt < Sn1> l

9.2.6 Corolario. Sea X:== (x,) una sucesión en R y sea

Al sumar esta desigualdad para k == 2, 3, ... , n, se obtiene la relación

f(k)<t f(t)dt<f(k-1). k-1

( ll)

l)cmosh·ud<m. l'ucst« t¡uu f i.:s positiva y creciente en el intervalo (k1, k), 1.1• ni¡•,111.: que

Demostración. a) Si se cumple (6), entonces poi 1111 1a1n1rn111ii.;11lo dl' l11d111 ción elemental se establece que lxK +mi~ r " lxKI para m r l. Su sigue que p11n111 K los términos de E (xn) son dominados por un múltiplo fijo de los térrninos d0 111 serie geométrica ~(r") con O ~ r < l. Por el criterio de comparación 9.2. 1 111

infiere que L(x,,) es absolutamente convergente. · b) Si se cumple (7), entonces por un razonamiento de inducción elerneutnl 111

establece que lxK +mi ~ lxKI para m ~ l. Puesto que los términos (x,,) no converp,1111

a O, la serie es divergente. 0.11,p,

l lllllllllO: l!il('ONVJl,IHIJl,N('l/\Alll.01111'/\

Demostración. a) Si se cumple la desigualdad (1), entonces se tiene

entonces la serie L: (x11) es absolutamente convergente.

para n ;» K, (ll)

entonces la serie L(x11) es absolutamente convergente. b) Si existe un número real a ~ 1 y un número natural K tales que

para n;;. K, (10)

9.2.9 Criterio die Raabe. a) Si X:= (x11) es una sucesión de elementos diferentes de cero en R y si existe un número real a > 1 y un número natural K tales que

Críterío de Raabe

Si los límites lím (lx1111i11) o lím (lx11 + 1\/lx11\) que se usaron en los corolarios 9.2.4 y 9.2.6 son iguales a 1, entonces estos criterios no funcionan y puede tener lugar la convergencia o la divergencia. (Se ha visto ya que esto ocurrió en el ejem plo 9.2.8 d) para la seriep.) En esos casos con frecuencia resulta conveniente usar un criterio más elaborado, debido a Raabe,

Con base en estas relaciones se ve que la seriep converge sip > 1 y que diverge si f) ~l.

para p =I= l. ¡" 1 1 ~ dt = --(n1-ri - 1) t" 1 p

1

fn l t dt = log ( n) lag ( 1),

1

y l·o111o J11 fll1!'1·::ion (( 1 + 1 /n)'') converge a 1, el criterio del cociente (en la forma dd l·ornlarin ').2.6) tampoco ofrece información alguna.

e) Por último, se aplica el criterio de la integral a la seriep. Sea f(t) := r-P Y 1 ('l'uérdcse que

.1~ I 1 urn ltlr t~i l JI•. ( '! lNVl'l' n" ( n + 1)" l 1 1

por lo que el criterio de la raíz (en la forma del corolario 9.2.4) no da información alguna.

Del mismo modo, como

Se sabe [ver el ejemplo 3.1.11 e)] que la sucesión (n1i") converge a l. Se tiene por tanto

Si p > 2, esta expresión converge a O, de donde por el corolario 9.2.2 b) se sigue que la serie L:(l/nP) converge parap ~ 2.

Usando el criterio de comparación no es posible obtener ninguna información respecto de la seriep para 1 < p < 2, a menos que se pueda encontrar una serio cuya naturaleza convergente sea conocida y que se pueda comparar con la seriep en este codominio.

d) Los criterios de la raíz y del cociente se ejemplifican aplicándolos a la seriep. Obsérvese que

2 n -» l 1 2 n l

Puesto que el límite de este cociente existe y no es igual a O, y como L:(l/n(n + J ))

converge, entonces la serie L: (l/n2) también converge. e) Considérese ahora el caso en que p ~ 2. Si se observa que nP ~ n2 para p

2, entonces 1/nP ~ l/n2• Una aplicación directa del criterio de comparación a.q~· gura que L: (1/nP) converge para p ~ 2, ya que L: (1/n2) converge. De otra mancru, se podría aplicar el criterio de comparación de límites y observarse que

n + 1 n( n + 1) 2 n n( n + 1) n l l

se cumple y los términos del primer miembro forrnau u1111 se1 le cunverel·11ll~. 111, 1

posible aplicar directamente el criterio de comparación (¿por qué no?) (1~sil•1(•011 mase podría aplicar si se comparara el nésimo término de L: (1/n(n + J )) con ¡•I (il + 1)ésimo término de L:(l/n2).) En su lugar, se aplica el criterio de comp;11'11dii11 de límites 9.2.2 y se observa que

Sl\1(11\S INlllNl'l'A:l 356

b) (log n) ", d) (log n)loglogn,

O (n(log nXlog log n)2)1.

a) (log n)11,

e) (log n) log ",

e) (nlogn)1,

3. Analizar la convergencia o la divergencia de las series con término nésirno (para n suficientemente grande) dado por

b) (n2(n + 1))112, d) ( l)"n/(n + 1).

minos son: a) (n(n + 1))112, e) n!/n",

2. Establecer la convergencia o la divergencia de las series cuyos nésimos tér

b) (n + l)(n + 2)' d) n/2".

a) (n+l)(n+2)' e) 21/n,

n 1

Ejercidos de la sección 9,2 l. Establecer la convergencia o la divergencia de las series cuyos nésimos tér

minos son:

l . > 1 entonces la seriep es convergente. Sin embargo, si p = Se conc uye que Sl p , . . , ¡ el corolario 9.2.10 no da ninguna mformac1on. , . .

, b) Se considera ahora la serie L(n/(n2 + 1)). Un sencillo c~lculo ~n~ca .que li ) _ 1 por lo que no es posible aplicar el corolario 9.2. . e tiene

11'.1 \x11 + ifx11 1: '( (l _ [x )) = 1 por lo que tampoco se puede aplicar el as1m1smo que im .'l x" + 1 11 ' ¡ > (n 1)/n de

l · 9 2 10 Sin embargo es posible demostrar que x,. + 1 x" ~ - , • coro ano . . · ' · di te (En 1 it . de Raabe 9 2 9 b) se sigue que la sene es rvergen . donde por e en eno · · · , d

este caso también se puede aplicar el criterio de la integral o el de cornparacion e

límites con (y ) = (1/n).) , · 9 2 10 d 1 it Aun cua~do es más sencilla la aplicación la forma de límites . . e en e

rio de Raabe, el ejemplo 9.2.11 b) muestra que la forma 9.2.9 es de mayores alcan

ces que la 9.2.10.

=p. 1 =p.

((l+l/n)1'l), ( 1 )

= lím l/n . lím (1 + 1/n)r

( ((n+l)rnr))

a = lím n ( n + 1) r

. 1 1 evo In seríep en vista del criterio de 9.2. l ¡ 11acmplos. a) Se constl era e e nu · ' . . , ? Haabe. J\I aplicar la regla de L'Hospital cuando p ;;;, 1, se obtiene (&por qué")

1 lll n1.1uos lll'. ( 'ONV11.l(( 111.Nt'lt\ ¡\llSOJ.ll I'/\

Nota. Cuando a == 1 no se puede llegar a ninguna conclusión; es posible la convergencia o la divergencia, como el lector deberá demostrar.

Demostración. Supóngase que existe el límite de (13) y que se satisface a > l. Si a1 es un número cualquiera con a > a1 > 1, entonces existe un número natural K tal que a1 < n(l - lx11+11/lx11I) paran ;;;;: K. Se sigue por lo tanto que lx11 +

11/lx,,/ < 1: a1/n paran ;;. K, y es posible aplicar el teorema 9.2.9 a). El caso en que a < 1 es similar y se deja como ejercicio para el lector. Q.E.D.

siempre que este límite exista. Entonces la serie L(x11) es absolutamente convergente cuando a > 1 y no es absolutamente convergente cuando a < l.

( ( lxn+ll )) a := lím n 1 ~ , (13)

9.2.:10 Corolario. Sea X:= (x,.) una sucesión de números reales diferentes de cero y sea

Al aplicar el criterio de Raabe, con frecuencia es conveniente emplear la si guiente forma en términos de límites.

Por lo tanto, la sucesión (n/x,. + 1/) es creciente para n > K y existe un número e > O tal que jx,. + 11 > c/n para a > K. Pero como la serie armónica ¡(1/n) diverge, se sigue que la serie L(x11) no puede ser absolutamente convergente. Q.E.D.

Con esto se demuestra (¿por qué?) que las sumas parciales de ¡(lx,.I) están acota das y se establece la convergencia absoluta de la serie.

b) Si se cumple la relación (11) para n > K, entonces, como a :s;; 1, se tiene

de donde se deduce que la sucesión (klxk +¡[)es decreciente para k > K. Si se sumn la relación (12) para k = K, ... , n y se observa que el primer miembro es telcscépl co, se encuentra que

Se sigue que

SHRll(S 1Nl11Nl'l'.l\:I 358

que son convergentes pero no absolutamente convergentes, result~, conveniente contar con algunos criterios para este fenómeno. En esta breve seccion se presen tará primero el criterio para series alternantes y luego los criterios para series más generales debidos a Dirichlet y Abel.

n =]

co <1r+I I: ¡;; '

n=l n

oc (1)"+1 I: ' n

Los criterios de convergencia explicados en la sección anterior se enfocaban principalmente en el establecimiento de la convergencia absoluta de una serie. Puesto que hay muchas series tales como

SECCIÓN 9,3 Criterios de convergencia !!10 absoluta

es absolutamente convergente para e > a + b y que es divergente para e < a+ b.

19. Sea «> O y supóngase que L(an) converge. Construir una serie convergente z. (b ) con b > O tal que Iím (a /b ) = O; por tanto, 2:. (b11) converge con me~~s rapid~z que L (aJ [Sugere~ci~: Sea (A,,) las sumas parciales de L(a,,) y A su límite. Definir b ; ;;;; VA-.../A A1 y b,, := .../A-A11_1 -.JA-An para n ~l.]

20. Sea (a ) una sucesión decreciente de números reales que converge a O y su pónga;e que Z.(a11) diverge. Construir una serie divergente k(b11) con b" >O tal que lím (bn/a,,) =O; por tanto, L(b,) diverge con menos rapidez que L (a11).

[Sugerencia: Sea b,, :::: a11¡.JA11, donde A, es la nésima suma parcial de L (a11).]

ah a(a + l)b(b + 1) a(a + l)(a + 2)b(h + l)(b + 2) ------- + ~-----------.,.--- + ... 11c + 21c(c + 1) Jlc(e + l)(c + 2)

converge para q > p + 1 y que diverge para q ~ p + l. 18. Suponer que ninguno de los números a, b, e es un entero negativo o cero.

Probar que la serie hipergeométrtca

(p + l)(p + 2) · · · (p + n )

E (q + 1)(q + 2) ... (q + n)

rnlu1 l<TS la sucesión (b11) converge a log 2. [Sugerencia: b,, = e211 e,,+ log 2.J l(L St:a que {11." n2, ... }denote la colección de números naturales en los que ~o

está presente el dígito 6 en sus expansiones decimales. Demostrar que la s~r1e L(l/n ) converge a un número menor que 80. Si {ml' m2, .•. } es la colección de nú~eros que terminan en 6, entonces L(l/mk) diverge.

17. Si p > O, q > O, demostrar que la serie

,\(11 1 il 11'11ltlO~i 1 IJI. ( '\ )1\1\111.1{(111,N( '11\ NO/\ l !SOl.ll'l't\

l l l l b == + ...

n l 2 3 2n '

Demostrar que se puede aplicar el criterio de la raíz, pero no el criterio del cociente.

9. Sir E (O, 1) satisface la expresión (3) del criterio del cociente 9.2.3, demos trar que las sumas parciales s11 de :E(x11) son una aproximación de su límites de acuerdo con la estimación !s s11 ¡ ~ r" + 1 /(1 r) para n ~ K.

10. Sir E (O, 1) satisface la expresión (6) del criterio del cociente 9.2.5, demos trar que Is s11 I ~ r¡x,, 1/(1 r) paran ~ K.

11. Si a> 1 satisface la expresión (10) del criterio de Raabe 9.2.9, demostrar que Is s11f ~ n;x,,!/(a 1) para x > K.

12. Para las series del ejercicio 1 que convergen, estimar el residuo si se toman únicamente cuatro términos. Cuando sólo se torn. n diez términos. Si se qui siera determinar la suma de las series con un error de 1/1000, ¿cuántos térmi nos se deberán tomar?

13. Responder las preguntas planteadas en el ejercicio 12 para las series dadas en el ejercicio 2.

14. Demostrar que la serie 1 + ; ~ + t + ~ t + + · · · es divergente. 15. Para n EN, sea que e,, esté definida por e11 := } t ~ + · · · + 1/n - log n.

Demostrar que (e11) es una sucesión creciente de números positivos. Al límite C de esta sucesión se Je llama la constante de Euler y es igual aproximada mente a 0.577. Demostrar que si se hace

a2 +a + a4 + a3 + ... +a2n + ª2 n -1 + ....

8. Sea O < a < 1 y considerar la serie

d) 5 · 7 · · · (2n + 3) ·

2·4···(2n)

4. Explicar la convergencia o la divergencia de Le, ~c1 tl'~1 cu11lt·rn1ir"'11 !'11111111

a) 2ne-", b) n"e-'', e) elogn, d) Oogn)e.¡", e) n!e-", f) n!e_"z.

5. Demostrar que la serie 1/12 + 1/23 + 1/32 + 1/43 + · · ·es convergente, flllH1 que no es posible aplicar el criterio del cociente ni el de la raíz.

6. Si a y b son números positivos, entonces :E(an + btP converge si p _, 1 y diverge si p ~ l.

7. Analizar las series cuyos términos nésimos son

n! (n!)2 a) b)

3·5·7···(2n+l)' (2n)!'

2·4···(2n) e)

3 · 5 · · · (2 n + 1) '

SHIUl\S lNl•'INl'l'AH J(>()

1

E XkYkl ,¡;; (xm + Xn+1)B + mi:l (xk - Xk+1)B k=n+l k=n+l

= [(xrn + Xn+1) + (xn+I - xm)]B Nota. Es un ejercicio demostrar que sis es la suma de la serie alternante y si s11

es su nésima suma parcial, entonces

Demostración. Sea ls11I ~ B para toda n EN. Si m > n, por el lema de Abe! 9.3.3 y el hecho de que xk -xk + 1 ~ O se sigue que

Por lo tanto, toda suma parcial de un número impar de términos también está den tro de e unidades de s si n es lo suficientemente grande. Puesto que e > O es un valor cualesquiera, se establece la convergencia de (s11) y, en consecuencia, la de L(1) "+ 1z. Q.E.D. , n

9.3.4 Criterio de Dírlchlet, Si X:= (x ) es una sucesión decreciente con lím /loo

(x ) = O y si las sumas parciales (s ) de I. (y ) están acotadas, entonces la n oo n n=l n

serie :r, (x y ) es convergente. n = 1 n n lszn+l - si= ls2n + Z2n+I - si

.;;; ls2n si+ lz2n+1I.,;; ks + ke =s.

Se aplica ahora el lema de Abel para obtener criterios de convergencia de series de la forma LXnYn·

se sigue asimismo que s211 ~ z1 para toda n E N. Por teorema de convergencia monótona 3.3.2 se sigue que la subsucesión (s2,,) converge a algún números E R.

Se prueba a continuación que la sucesión (s11) completa converge a s. De he cho, si e ~O, sea K tal que sin~ K, entonces ls2,, si~ ie y [z 211+11

~~e. Se sigue que si n ~ K entonces

Demostración. Puesto que yk = sk - sk-l para k = 1, 2, ... , el primer miembro m

de (3) es igual a k= .r,,+ 1 x/sk - sk_ 1). Al juntar los términos multiplicando s11, s,, + l'

... , s111 se obtiene el segundo miembro de (3). Q.E.D.

y como z k - z k + 1 ~ O, se sigue que la subsucesión (s211) de sumas parciales es creciente. Puesto que

m1

L (xk - xk+i)sk. k=n+l

m

L XkYk = (xmsm - Xn+lsn) + k=n+l

(3)

9.3.3 Lema de Abel. Sean X:= (x11) y Y:= (y11) sucesiones en Ry sea que las sumas parciales de L(y,,) estén denotadas por (s11) con s0 := O. Si m > n ~ O, entonces Demostración. Puesto que se tiene

Criterios de Dñrkh]et y Abel

Se presentarán a continuación otros dos criterios de aplicación generalizada. Se basan en el siguiente lema, que en ocasiones se denomina la fórmula die sumas parciales, ya que corresponde a la conocida fórmula de la integración por partes. 9.3.2 Criterio para series alternantes. Sea Z := (z11) una sucesión decre-

ciente de números estrictamente positivos con lím (z11) = O. Entonces la seria alternante L((1)"+ 1zn) es convergente.

n=I

00 ( l)n+l I: =

n=1 rn 00 (l)n+l E , n (2) 9.3.]. Deñnícíón, Se dice que una sucesión X := (xn) de números reales di

ferentes de cero es alternante si todos los términos (-1)n+1xn, n EN, son númc ros reales positivos (o negativos). Si la sucesión X= (x,,) es alternante, se dice q110 la serie :í::(x11) que genera es una sede alternante.

En el caso de una serie alternante, resulta conveniente hacer x11=(1)"+1z,, lo (l)"z,,], donde z,, >O para toda n EN.

kcsulra evidente que este criterio para series alternantes establece la convergencia de las dos series ya mencionadas, a saber,

El criterio más conocido para la convergencia no absoluta de series es el crr11 do por Leibniz, el cual se puede aplicar a series que son "alternantes" en el fll guiente sentido.

Series alternantes

1 fü l l'.IUOS 01\ l'ONVl1.lW1:.NC'I/\ NO /\BSOI .U'I'/\ 362

l 1 1 +-+-+-- 4 5 6

1 1 1 2 3

Como antes, si (a ) es decreciente y si lím (a ) = O, entonces la serie f (a sen n 11 n:;::; 1 n

nx) converge para x * 2krc (y converge también para estos valores).

se sigue que si x * Zkr: (k EN), entonces

2senix(senx + ... +sennx) = cosix - cos(n + i)x, n=l

9. Si las sumas parciales de 'i..(an) están acotadas, demostrar que la serie E ae':" es convergente para t > 000

10. Si las sumas parciales s11 de [. a11 están acotadas, demostrar que la se co l 00 n w I

rie [. -a,, converge a E 1 s,,. n w 1 n n s= 1 n( n + 1)

11. ¿Se puede aplicar el criterio ele Dirichlet para establecer la convergencia de l

lsen x + · · · +sen nxl < lsenixl·

nr1+l

(n + 1)" d)

b) (n+l)"+l'

n" n" a) ( 1)" n + 1 '

(n + 1)

( l)" e) ( 1)" n +11

n

Por tanto, el criterio de Dirichlet implica que si (a ) es decreciente con lím (a ) = ce n n

O, entonces la serie 11~1

(an sos nx) converge siempre que x * Zktt. b) Puesto que se tiene

se sigue que si x * 2kn (k EN), entonces

donde los signos se repiten por pares. ¿Converge? 6. Sea an E R para n EN y sea p < q. Si la serie 'i..(an/nP) es convergente,

demostrar que la serie 'f.(an/nq) también es convergente. . 7. Si p y q son números positivos, demostrar que 'i..(1 )"(log n )P /n q es una sene

convergente. 8. Analizar las series cuyo término nésimo es:

lsen(n + t)x - senixl 1 1 cos x + · · · cos nx 1 = <

12 sen ix 1 1 sen ix 1 ·

1 + + 7

1

6 1 1 1 1

1++ 2 3 4 5

2 sen ix ( cos x + · · · + cos nx) = sen ( n + i) x - sen tx,

9.:.Mí Ejemplos, a) Puesto que se tiene

2 Sis es la nésíma suma parcial ele la serie alternante L (1)" + 1z11 y sis · n n=l

denota la suma de esta serie, demostrar que ~s s11I ~ z,, + 1. .

3. Dar un ejemplo para demostrar que el criterio para series alternantes 9.3.2 puede fallar si (z,,) no es una sucesión creciente. . .

4. Demostrar que el criterio para series alternantes es una consecuencia del en terio de Dírichlet 9.3.4.

5. Considérese la serie

00 log n d) I:<nn+1 __ .

n=l n

00 c1r+ln e) L n + 2 ,

n=l Demostración. Si (x11) es decreciente con límite x, sea u11 := x11 - x, n EN, pw lo que (u11) decrece a O. Entonces x11 = x + u", de donde x11y,, = xy11 + u11y11• Por el criterio de Dirichlet 9.3.4 se sigue que I(u,,y11) es convergente y, como I(.xy) converge [debido al supuesto ce la convergencia de I(y,,)], se concluye que I(x11y11) es convergente.

Si (x11) es creciente con límite x, sea v,, := x -x11, n EN, por lo que ( v11) decrece a O. Err este caso x11 =x- v11, de donde zy, = xy12 - v11y11, y el razonamiento continúo como antes. Q.E.J),

00 c1r+l

I: n + 1 • n=l b)

oo (l)n+l a) [. __:_2__:__1_ ,

n=I n +

9.3.5 Criterio de Abel, Si X:= (x11) es una sucesión monótona convergcntr \'

la serie 11~1 (Y,) es convergente, entonces la serie

11~1 (x11y11) también es co11\11•1

gente.

l1~jl•ffkloN de In sección 9.3

1. Aplicar criterios ele convergencia y convergencia absoluta a las siguientes series:

Puesto que lím (xk) =O, la convergencia de I(xkyk) se si1•,ue del criterio de co11v1 1 gencia de Cauchy 9.1.5. 11.11,,11

\(¡~ 1 111 l '11,¡w 11: 1 111 l '( JN VJl,lt(l 11 Nl 'I A ~10 ¡\ l l~!l 11 .11 IA SJl.l(IES INFINl'l'A!l 364

Criterios de convergencia uniforme

Puesto que se han enunciado algunas consecuencias de la convergencia uni forme de series, se presentarán ahora algunos criterios que se pueden aplicar para establecer la convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S¡( X) := f1( X), s2(x) := s1(x) + f2(x)

9.4.4 Teorema. Para toda n EN, seaf11 una función con valores reales en]:= [a, b] que tiene derivada f~en J. Suponer que la serie 'I.(f,,) converge para al menos un punto de J y que la serie de derivadas :E ( f;,) converge uniformemente en l.

Entonces existe una función con valores reales f en J tal que I( !,,) converge uniformemente a f en J. Además, f tiene derivada en l y f' = I:(f ;,).

9.4.1 Defínlcíón. Si (!,,) es una sucesión de funciones definida en un subconjunto D de R con valores en R, la sucesión de las sumas parciales (s ) de la serie infinita I:( !,,) está definida para x en D por 11

En seguida se considera el teorema correspondiente relativo a la derivación. En este caso se supone la convergencia uniforme de la serie obtenida después de derivar término por término la serie dada. Este resultado es una consecuencia in mediata del teorema 8.2.3.

lb ce fb f = I: i; a n= l a

( 1)

9.4.3 Teorema. Suponer que las funciones con valores reales fn, n EN, son integrables en el intervalo J := [a, b]. Si la serie 2.(f,,) converge a f uniformemente en J, entonces fes integrable y

Debido a su frecuente ocurrencia e importancia, se presenta a continuación una discusión de las series infinitas de funciones. Puesto que la convergencia de una serie infinita se maneja al examinar la sucesión de sumas parciales, las cuestiones referentes a series de funciones se responden examinando las cuestio nes correspondientes relativas a sucesiones de funciones. Por esta razón, una parto de la presente sección es una simple transposición a la terminología ele series de l~s resultados ya establecidos para sucesiones de funciones. Este es el caso, por ejemplo, para la parte de esta sección que trata series de funciones generales. Sin e?1bargo, en la segunda parte de la sección, donde se estudian las series ele poten c'.as, surgen nuevas variantes debido al carácter especial de las funciones que inter vienen.

9.4.2 Teorema. Si!,, es continua en D ~ R a R para toda n EN Y si "'f.(fn) converge a f uniformemente en D, entonces fes continua en D.

Esta es una transposición directa para series del teorema 8.2.2. El resultado siguiente es una transposición del teorema 8.2.4.

SECCIÓN 9.4 Series de funciones

para denotar la serie o la función límite, cuando existe. Si la serie :L(IJ;,(x)I) converge para toda x en D, se dice que I(f,,) es abso

lutumente convergente en D. Si la sucesión (s,) de funciones converge uniforme mente a f en D, se dice que I(f,,) es uniformemente convergente en D, o que converge a f uníformemente en D.

Una de las principales razones del interés en las series de funciones uniforme mente convergentes es la validez de los siguientes resultados, los cuales ofrecen condiciones que justifican el cambio de orden de la sumatoria y otras operacio nes con límites.

n= L o

00 00

( '111111do 1111111( 1•111011 (s ) di; funciones converge a una función f en D, se dice que la ,,.._, ic i111'inl111 de l'unci~nes 2.(f,,) converge a f en D. Es común escribir

donde el número de signos aumenta en uno u11 ('11d11 "hlnquc"? ()u 110 111•1 llNI,

usar otro método para establecer la convergencia de esta serie. 12. Demostrar que las hipótesis de que la sucesión X= (x11) es dccrcciouro 1·11 ,11

criterio de Dirichlet 9.3.4 se pueden reemplazar por la hipótesis el() q1111 ) ;

lx11x,,+11 es convergente. " 1 13. Si (a11) es una sucesión decreciente acotada y (b ) es una sucesión crccit'llll1

11 00

acotada y si x,, := a,, + b para n EN, demostrar que " lx x 1 t N n L,¡ n 11 .¡ 1

convergente. n= 1

14. Demostrar que si las sumas parciales s de la serie " a satisfacen 1.1· ¡ 11 00 .t.- k ·111

M r ¡ " k1 n para a guna r < 1, entonces Ja serie nf.::1 (1/n)a~ converge. 15. Supóngase que l:(a11) es una serie convergente de números reales. Probar quu

l:(b,,) converge o da un contraejemplo cuando b,, está definida por

a) a,jn, b) {;:, /n . (an ;;. O),

e) ª"sen n, d) i/a ,,/n (a,, ;;. O),

e) n1111an, O an/(l + lanl)·

1!1/ Sl~Hii18 INl•INl'J'M

para toda n lo suficientemente grande. Puesto que c < 1, la convergencia absoluta de I(a11x11) se sigue por el criterio de comparación 9.2. l.

(3)

Demostración. Sólo se tratará el caso en que O < R < + co, dejando como ejercicios los casos en que R = O y R == + oo. Si O < lxl < R, entonces existe un número positivo c < 1 tal que lxl < cR. Por lo tanto, p < c/lxl, de donde se sigue que sin es lo suficientemente grande, entonces ja11¡1111 ~ c/lxl Esto es equivalente a decir que

9.4.9 Teorema de CauchyHadamard, Si R es el radio de convergencia de la serie de potencias :E(a,,x11), entonces la serie es absolutamente convergente si lxl < R y es divergente si lxl >R.

El intervalo de convergencia es el intervalo abierto (-R, R). Se justifica a continuación el término "radio de convergencia".

R :=O si p= +co, · l/p si O<p < +oo, · +oo si p =o.

9.4.8 Definición. Sea :r.(a,,x11) una serie de potencias. Si la sucesión (Ja,,!1i11)

está acotada, se hace p := lím sup (la,,11/"); si esta sucesión no está acotada, se hace p = + co. Por definición, el radio de convergencia de :E(a1,.x11) está dado por

respectivamente. Por tanto, el conjunto en el que una serie de potencias converge puede ser pequeño, mediano o grande. Sin embargo, un subconjunto cualesquiera de 1( no puede ser el conjunto exacto en el que una serie de potencias converge, romo se demostrará a continuación.

Si (b11) es una sucesión acotada de números reales no negativos, entonces se define el límite superior de (b,,) como el ínfimo de los números v tales que b11 ~

,, para toda n EN lo suficientemente grande. Este ínfimo se encuentra determinado de manera única y se denota por lím sup (b,,). Lo único que se debe saber es i que si v > lím sup (b,,), entonces b11 ~ v para toda n EN lo suficientemente grande, y ii que si w < lím sup (b,,), entonces w ~ b11 para un número infinito den EN.

R, {x E R: !xi< l}, {O},

n 111vcrgcn para x en los conjuntos

L x" /n!, n=O

L x", n=O

L; n!x ", 11=0

ce

:{l llll''l 111 i llNI '11 INl(H

Aun cuando las funciones que aparecen en (2) están definidas en la totalidad d~ R, no debe.rá esperarse que la serie (2) sea convergente para toda x en R. Por ejemplo, med1~nte la aplicación del criterio del cociente 9.2.5 es posible demos trar que las senes

00

L: anx" = ªº + a¡x + ... +anxn + n=O

(2)

A fin de simplificar la notación, sólo se tratará el caso en que e =O. Sin embar go, al o~r~~ así

1no se restringe la validez .general de los resultados, ya que con Ja transpo~1c10n x = x - c una serie de potencias en la proximidad de e se reduce a una sene ~e potencias .en la proximidad de O. De este modo, siempre que se hable de una sene de potencias, se hará referencia a una serie de la forma

donde a11 y e pertenecen a R con n = O, 1, 2, ....

. 9.4.7 Definición. Se dice que una serie de funciones reales I(f.) es una se rie de potencias en la proximidad de x = c si la función f. tiene la f~rma .

¡¡

Series de potencias

Se abordará ahora el estudio de las series de potencias. Esta es una clase irn po~tante de se'.ies de funciones que posee propiedades que no son válidas para las senes de funciones en general.

o.u.u. Se aplican ahora 9.1.5, 9.4.5 y la convergencia de I(M11).

para x E D. IJ:,+1(x) + · · · +f,,,(x)I ~ Mn+I + · · · +M111

Demostración. Si m > n, se tiene la relación

. ~.4.6 CriterioM ele Weierstrass. Sea (M,.) una sucesión de números reate» positivos tales que 1 f,,(x)I ~~,,para x E D, n EN. Si la serie I(Mn) es converr:c11/1•,

entonces I ( !,,) converge uniformemente en D.

lf,,-1-1(x) + · · · +fm(x)I <E para toda x E D.

9.~.~ Cr.iterio de Cauchy. Sea Cf;,) una succsiáu ,¡,. [unciones r/1• ¡ > r u 11 J( La. sene infinita I( !,,) converge uniformemente en D si y sálo si para totl« 1 11 existe M(E) tal que si m > n ~ M(E), entonces '

Sl\1{11\S INl·INI 1/\',

oo n ! " n-k e: (n-k)!a,,x .

n=k (5)

Mediante la aplicación repetida del resultado anterior:x,se concluye que si k es cualquier número natural, entonces la serie de potencias L: (a11xn) se puede deri var k veces término por término para obtener n =o

n=\

Se debe notar que el teorema no hace ninguna afirmación acerca de los puntos termi nales del intervalo de convergencia. Si una serie es convergente en uno de los pu?tos terminales entonces la serie derivada puede ser convergente o no en este punto. Por ejem plo, la serie f: (x11/n2) con~erge en ambos puntos terminales x = 1 y x =+l. Sin embargo,

n=O " d' 1 la serie derivada dada por ¿_ (x" - 1 /n) converge en x = 1 pero rverge en x = + ·

Por ¡0 tanto el radio de convergencia de las dos series es el mismo, por lo que la serie derivada formalmente es uniformemente convergente en todo intervalo ce rrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia. Entonces es posible aplicar el teorema 9.4.4 para concluir que la serie derivada formalmente converge a la derivada de la serie dada. Q.E.D.

Demostración. Puesto que lím (n1fn) = 1, la sucesión (\na,i\11") está acotada si y sólo si la sucesión (la,.11/11) está acotada. Además, se puede ver de inmediato que

Ambas series tienen el mismo radio de convergencia.

'11=0

f(x) = 'E (anxn), entonces f'(x) = 'E (nanxn-l) para lxl <R. n=l

00

9.4.12 Teorema de derivación. Una serie de potencias se puede derivar tér- mino por término dentro del intervalo de convergencia. De hecho, si

Se demuestra ahora que una serie de potencias se puede derivar té.rmino por termino. A diferencia de la situación para series generales, no es necesario suponer que la serie derivada sea uniformemente convergente. En consecuencia, este resul lado es más sólido que el teorema 9.4.4.

l>t:mosfrndón. Si ¡x01 < R, entonces el resultado anterior afirma que ~(a11~11)

1 onvng~ uniformemente en cualquier vecindad cerrada y acotada de x0 conte~1da ru ( u,/?). Entonces la continuidad en x0 se sigue por el teorema 9.4.2, Y la ínte i·.1 ación término por término se justifica por el teorema 9.4.3. O.E.o.

,l'/I Sl•IUl·.S lll', l:lJNl 'l()Nl'.S

9.4.11 Teorema. El límite de una serie de potencias es continuo en el intervalo de convergencia. Una serie de potencias se puede integrar término por término en cualquier intervalo cerrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia.

Demostración. La hipótesis sobre K ~ (-R, R) indica que existe una constan te positiva c < 1 tal que lxl < cR para toda x E K. (¿Por qué?) Por el razonamiento de 9.4.9 se infiere que paran suficientemente grande, la estimación (3) es válida para toda x E K. Puesto que c < 1, la convergencia uniforme de L(a11x11) en K es consecuencia directa del criterioM de Weierstrass con M11 := e", Q.E.D.

9.4.10 Teorema. Sea R el radio de convergencia de L(a11x11) y sea K un intervalo cerrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia (R, R). Enton- ces in serie de potencias converge uniformemente en K.

siempre que el límite exista. Con frecuencia resulta más conveniente emplear ( 4) que la definición 9.4.8.

El razonamiento usado en la demostración del teorema de CauchyHadamard produce la convergencia uniforme de la serie de potencias en cualquier intervalo fijo cerrado y acotado en el intervalo de convergencia (-R, R).

( la11I ) lím

la11+1I ' (4)

Es un ejercicio demostrar que el radio de convergencia de la serie L(a,/:") también está dado por

Puesto que lím (n11") = l, todas estas series de potencias tienen radio de convergencia ig11ul a l. La primera serie de potencias no converge en ninguno de los puntos x = 1 y x = + 1: la segunda serie converge en x = 1 pero diverge en x = + 1, y la tercera serie de potenchu converge tanto en x = 1 como en x = + 1. (Encontrar una serie de potencias con R = 1 que converge en x = + 1 pero diverge en x = 1.)

l "-xri L.,, 2 , n

l '°' -x" L.,, . ' n LXII,

Se habrá notado que el teorema de CauchyHadamar no establece si la serie i;rn1v111¡111 cuando lxl =R. De hecho, cualquier cosa puede ocurrir, como lo indican los ejemplos

Si [xi> R = l/p, entonces existe un número infi11i111 di; 11 < N p;ir;1 las q1111 ru tiene la11¡1/n > 1/lx!. Por lo tanto, la,,x"I > 1 para un número infinito <le 11, p111 111 que la sucesión (a11x11) no converge a cero. 0.11 11

SHIUl·.S INl.'INI !'/\', 370

Ejercidos de la sección 9.4 l. Explicar la convergencia y la convergencia uniforme de la serie 'f.(f,), donde

f,,(x) está dada por: a) (x2 + n2t1, b) (nxt2, x *O, e) sen (x/n 2), d) (x" + 1)1, x ~ O, e) x"(x"+lt1,x~O, f) (l)"(n+xt1,x~O.

2. Si L(a,,) es una serie absolutamente convergente, entonces la serie 'f.(a11 sen nx) es absoluta y uniformemente convergente.

3. Sea (e ) una sucesión decreciente de números positivos. Si 'f.(c,, sen nx) es uniformemente convergente, entonces Iím (nc11) = O.

4. Analizar los casos R =O, R = + oo en el teorema de CauchyHadamard 9.4.9. 5. Demostrar que el radio de convergencia R de la serie de potencias :E(a,,x")

está dado por lím (!a11j/a11+11) siempre que este límite exista. Dar un ejemplo de una serie de potencias en que este límite no existe.

6. Determinar el radio de convergencia de las series L(a,,x"), donde a,, está dada por a) 1/n", b) nª/n!, c) n"/n!, d) (log nt1, n ~ 2, e) (n!)2/(2n)1, f) n-b.

7. Si a = 1 cuando n es el cuadrado de un número natural y a,, = O en caso contrario encontrar el radio de convergencia de l:(a11x11). Si b11 = 1 cuando n = m! par; m EN y b,, ==O en caso contrario, encontrar el radio de convergencia <le 'f.(b X").

8. Demostrar en detalle que lím sup ('na,,11111) == lím sup ('a11[1f11).

9. Si O< p.,;; ~a,,I .,;; q para toda n EN, encontrar el radio de convergencia de

l:(a,,x").

Se puede obtener la expansión de Taylor en una e E R cualesquiera mediante el recurso de sustituir x por x - e en (7) y observar que

oc l oo e" ex= e" ·ex-e= e" 'E t(x e(= }: 1(x e( para x E R.

n=O n. n=O n.

00 1 ex = I: -xn para toda X E R.

n=O n! (7)

b) Si g(x) := eX, x E R, entonces g<11>(x) = ex para toda n EN y, en consecuen cia, los coeficientes de Taylor están dados por a11 = 1/n! para n EN. Para x E R dada se tiene [RnCx)[ ~ e!x11x[ "/n! y, por lo tanto, (R11(x)) tiende a O cuando n=+ co, Se obtiene así la expansión de Taylor

para toda x E R. .;. (l)" 2n ¡_, ---x

n=O (211) 1 COS X=

.l'/.1 s11,1u1\S 1 w. ¡o'\ INC"IONl.'.S

Al aplicar el teorema 9.4.12 se obtiene la expansión de Taylor

para toda x E R. 00 ( i)"

sen x = L x2n+l n=O (211 + 1) !

9.4.14 Ejemplos. a) Sif(x) :=sen x,x E R, se tiene/<211l(x) = (1)" senx y ¡c211

+ 1l(x) = (1)" cos x paran EN, x E R. Al hacer la evaluación en e= O se obtienen· los coeficientes de Taylor a211=Oya211+1 = (l)11/(2n + 1) !paran EN. Puesto que [sen xi~ 1 y leos xi ~ 1 para toda x, se sigue que IR11(x)I ~ lx["/n! paran EN y x E R. Puesto que lím (R11(x)) =O para toda x E R, se obtiene la expansión de Taylor

para lx el < R si y sólo si la sucesión (R,/x)) de los residuos converge a O para toda x en algún intervalo {x: jx el< R}. En este caso se dice que la serie de potencias (6) es la expansión de Taylor de f en e. Se observa que los polinomios de Taylor de f estudiados en la sección 6.4 no son sino las sumas parciales de la expansión de Taylor (6) de f.

f(x) = E f<"l~c) (x - e)" n=O n.

(6)

Serie de Taylor

Si una función f tiene derivadas de todos los órdenes en un punto e de R, entonces se pueden calcular los coeficientes de Taylor a = ¡(11l(c)/n! paran EN y obtener así una serie de potencias con estos coeficientes'.1Sin embargo, no se cum ple necesariamente que la serie de potencias resultante converge a la función f en un intervalo en una proximidad de c. (Ver el ejercicio 9.4.12 para un ejemplo.) La cuestión de la convergencia se resuelve por medio del término del residuo R del teorema de Taylor 6.4.1. Se escribirá

11

Demostración. Las observaciones precedentes demuestran que n!a11 = ¡<11l(O) = nsb¿ para toda n EN. o.u.n,

a11 = b11 para toda n EN.

9.4.13 Teorema de unicidad. Si L(a11x11) y L(b11x11) convergen en algún 111

tervalo (r, r), r > O, a la misma función f, entonces

Además, esta serie converge absolutamente aj'(kl(,1) p:11.1 111 U y co11v1·1¡•.1· 11111

formemente en cualquier intervalo cerrado y acotado en el intervalo ch; 1,;011v1·1'¡•,1•11

cía. Al sustituir x = O en (5), se obtiene la importante fórmula

J<k)(O) = k!ak.

Sl•IHl',S INl•'INI l/\'l .172

En la mayor parte de este texto únicamente se han considerado funciones que están definidas en intervalos. De hecho, en el caso de ciertos resultados importan tes relativos a funciones continuas, también se estableció el supuesto de que los intervalos eran cerrados y estaban acotados. Se examinarán ahora las funciones defi nidas en conjuntos más generales, con el fin de establecer algunas importantes propiedades de las funciones continuas en un contexto más general. Por ejemplo, en la sección 5.3 se demostró que una función que es continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un valor máximo. Sin embargo, se verá que la hipótesis de que el conjunto es un intervalo no es esencial y que es posible pasarla por alto en el contexto apropiado.

En la sección 10.1 se definen las nociones de conjunto abierto y de conjunto cerrado. El estudio de los conjuntos abiertos y los conceptos que se pueden definir en términos de dichos conjuntos constituyen el estudio de la topología puntocon junto, por lo que en realidad se analizan ciertos aspectos de la topología de R. (El campo de las matemáticas llamado "topología" es muy abstracto y rebasa con mucho el estudio de la recta real, aun cuando las ideas clave se encontrarán en el análisis real. De hecho, es el estudio de las funciones continuas en R el que motivó muchos de los conceptos abstractos desarrollados en la topología.)

La noción de conjunto compacto se define en la sección 10.2 en términos de coberturas abiertas. En el análisis avanzado, la compacidad es un concepto muy poderoso de uso generalizado. Los subconjuntos compactos de R están caracteri zados en su totalidad por el teorema de HeineBorel, por lo que el potencial com pleto de la idea no es tan evidente como lo sería en contextos más generales. No obstante, cuando en la sección 10.3 se establezcan las propiedades básicas de las funciones continuas en conjuntos compactos, el lector deberá empezar a apreciar la manera en que se usan los razonamientos basados en la compacidad.

En la sección 10.4 se abordan las características esenciales de distancia en la recta real y se introduce una generalización de la distancia llamada "métrica". La ampliamente usada desigualdad del triángulo es la propiedad clave en este concep to general de distancia. Se presentan ejemplos y se indica la manera en que los teore mas relativos a la recta real se pueden ampliar al contexto de un espacio métrico.

Las ideas discutidas en este capítulo son un tanto más abstractas que las de capítulos anteriores; sin embargo, la abstracción con frecuencia desemboca en conocimientos más profundos y refinados. En este caso, lleva a un contexto más general para el estudio del análisis.

/

LA rfOPOLOGIA DE R

para lkl < l. (~ ·)- 71'

00

(1·3···(2n1))2 F , k - - L k2" 2 2 n=O 2 · 4 · · · 2n

18. Demostrar que si lxl < 1, entonces Arcsen x = E 1 . 3 ... ( 2 n - l) x 211 + '

11=<1 2·4··'·2n 2n+I 19. Encontrar la expansión de una serie para fax «: 2 dt para x E R.

20. Si.ª~ R Y lkl _<:•a la integral F(a, k) := fo°'(l k2(sen x)2)-1¡2 dx se le llama la mtegral elíptica del primer tipo. Demostrar que

17. Demostrar que si ix,. < 1, entonces x = ce ( 1) 11 I: ---x2,,+1. n=o2n+l

00 (l)"+l log ( 1 + x) = L x ".

i

16. Demostrar integrando la serie para 1/(1 + x) que si lx! < 1, entonces

15. (Serie geométrica) Demostrar directamente que si !xi < 1, entonces

l = I: 1·11. 1-x n=O

00

( l + X) m = L ( i;: ) X " para o ~ X < l. n=O

converge af(x) para !xJ < r. 12. ~roba~· por in~ucción que la funció~ dada por f(x) := e-l/x2 para x =F o, /(O)

- º: tiene derivadas de todos los ordenes en cada punto y que todas eslaN derivadas asu~en el valor cero en x = O. Por tanto, esta función no está dada por su expansión de Taylor en la proximidad de x =O.

13. Dar un ejemplo de una función que es igual a su expansión de la serie de ~~ylor en la proximidad de x = O para x ;?o O, pero que no es igual a su expan sien para x < O.

14. Usar la forma de Lagrange del residuo para justificar la expansión binomial general

oo JM(O) I: ---x" 11=0 n!

10. Seaf(x) = L(anx") para lxl <R. Si f(x) = /(.1) ¡>11111 l11d:1 1 rj · J<, dl'111u·il1111 que an = O para toda n impar.

11. Demostrar que sif está definida para lxl < r y si existe una constante JJ 1111 q11n l/(n)(x)J ~ B para toda Jx! < r y n EN, entonces la expansión de la scl'it· dt Taylor

Sl!Hll~S INl·INI IA' J74

10.1.5 Propiedades de los conjuntos cerrados. a) La i~tersección de una colección cualesquiera de conjuntos cerrados en Res un conjunto cerrado.

b) La unión de cualquier colección finita de conjuntos cerrados en Res un

conjunto cerrado.

Demostración. a) Si {F¡._: A. E A} es una familia de conjuntos cerrados en R Y

F := n F )..• entonces í! (F) = LJ í!( F>.) es la unión de los conjuntos abiertos. AEA AEA

10.1.4 Propiedades de los conjuntos abiertos. a) L~ unión ~e una colec- ción cualesquiera de subconjuntos abiertos en R es un con1u~to abier~o.

b) La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos en R

es un conjunto abierto.

Demostración. a) Sea {G¡._: f.. EA} una familia de conjuntos en 1!- ~~~son abiertos, y sea G su unión. Considérese un elemento x E G; por la defm1c1~n de unión, x debe pertenecer a G ¡._0 para alguna A.0 E A. Puesto que G ¡._0 es abierto, existe una vecindad V de x tal que V s G¡._0. Pero G¡._0 s; G, por lo que V~ G. Puesto quex es un elemento cualesquiera de G, se concluye que Ges un conjunto abierto en R.

b) Supóngase que G¡ y G2 son abiertos y sea G := G1.n º2· Para demostrar que G es un conjunto abierto se considera una x E G cualquiera; enton~es x E G_1 Y x E c2. Puesto que G1 es abierto, existe e1 >O ~al que(~ el' x + e1) esta contenido en G

1. De manera similar, puesto que G 2 es abierto, existe e2 > O tal que (x - e2, x

+ 8 ) está contenido en G 2•

Si se toma ahora e como el menor de e1 y e2, entonces la v~cindade U := (x e, :X+ e) satisface tanto U\: G 1 como U ~ G 2· Por tanto, x E u\: G. Puesto que x es un elemento cualesquiera de G, se concluye que Ges un conjunto abierto en R. .

Aplicando un razonamiento inductivo (cu~? des~rrollo sel~ deja al l~ctor) se sigue que la intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es

• Q.E.D. abierta.

Las propiedades correspondientes para conjuntos c~rrados se establecerán mediante el uso de las identidades de De Morgan para conjuntos y sus componen tes. (Ver el teorema 1.1.6.) ·

El siguiente resultado básico describe la manera en que los c~njuntos abiertos se relacionan con las operaciones de unión e intersección de conjuntos en R.

1 :.11 el kll¡•ulljr común, lus vocablos "abierto" y "cerrado" son an:ónimos cua~do se

1111¡ icau a puerta», ventanas y mentes. Sin embargo, no lo son cuando se a~llcan a subconjuntos •k u. Por ejemplo, se observó ya que los conjuntos 0 y R son tanto abierto: como cerrados ,.11 u. (Quizás el lector se sienta aliviado al saber que no hay otros subconjuntos e~ R que_ ll'ngan ambas propiedades.)Además, hay muchos subconjuntos deR que ,no son abiertos ni

cerrados; de hecho, la mayoría de los subconjuntos de R poseen este carácter neutro.

vn t ON 11 IN'I OS Allll•ll'I OS V ! 'l·HHAl)OS l·.N 11

10.1.3 Ejemplos. a) El conjunto R = (oo, oo) es abierto. Para cualquier x E R se puede tomar e:= 1. b) El conjunto G := {x ER: O< x < 1} es abierto. Para cualquier x E G se puede tomar ex como el menor de los números x, 1x.

Se le deja al lector demostrar que si [u x[ < ex entonces u E G. c) Cualquier intervalo abierto I :=(a, b) es un conjunto abierto. De hecho, si x E J, se puede tomar ex como el menor de los números x - a, b - x.

Entonces el lector puede demostrar que (x - ex, x + e) \: J. De manera similar, (oo, b) y (a, oo) son conjuntos abiertos.

d) El conjunto l := [O, 1] no es abierto. Esto se sigue porque toda vecindad de O E 1 contiene puntos que no pertene

cen al. e) El conjunto I es cerrado. Para ver esto, se hace y ~ I; entonces y < O ó bien y > 1. Si y < O, se toma e

:= [y [, y si y > 1, se toma ey :=y - l. Se le deja al lector demostrar que en ambo~ casos se tiene I n (y - e , y + e ) = 0.

f) El conjunto H :;; {x: OYE; x < 1} no es abierto ni cerrado. (¿Por qué?) g) El conjunto vacío 0 es abierto en R. De hecho, el conjunto vacío no contiene puntos en absoluto, por lo que el

requisito de la definición 10.1.2 i se satisface. El conjunto vacío también es cerra do ya que su complemento Res abierto, como se vio en el ejemplo a).

10.1.2 Definición. i Un subconjunto G de R es abierto en R si para cada .r E G existe una vecindad V de x tal que V s; G.

ii Un subconjunto F de Res cerrado en R sí el complemento (} (F) = R\F es abierto en R.

Para demostrar que un conjunto G \: R es abierto, basta probar que cada punto de G tiene una vecindade contenida en G. De hecho, G es abierto si y sólo si para cada x E G existe Ex> O tal que (x - ex, x + e) está contenido en G.

Para demostrar que un conjunto F ~ R es cerrado, basta probar que cada punto y e: F tiene una vecindade disjunta de F. De hecho, Fes cerrado si y sólo si para cada y e; F existe t:Y > O tal que F n (y - t:Y, y + ey) = 0.

10.1.1 Definición. Una vecindad de un punto x E Res cualquier conjunto \1 que contiene una vecindade V/x) := (x e, x +e) de x para alguna e> O.

Aun cuando se requiere que una vecindade de un punto sea simétrica respcc to de dicho punto, la idea de una vecindad (general) relaja esta característica partl cular, aunque con frecuencia sirve al mismo propósito.

Hay tipos especiales de conjuntos que desempeñan un papel destacado t·11 l'I análisis; éstos son los conjuntos abiertos y cerrados en R. A fin de agilizar e] t:st 11 dio, resulta conveniente contar con una noción ampliada de vecindad ele un punto,

SECCIÓN 10.1 Conjuntos abiertos y cerrados en U

1.A 'l'Ol'Ol.()C:IA 1>I!11 376

HU.9 Teorema. Un subconjunto de Res abierto si y sólo si es la unión de un número contable de intervalos abiertos disjuntos en R.

Demostración. i => ii. Sea X= (x,,) una sucesión de elementos de F y sea x : = lím X; se quiere demostrar que x E F. Supóngase, por el contrario, que x ~ F; es decir, que x E -é? (F), el complemento de F. Puesto que -éf (F) es abierto y x E

~ (F), se sigue que existe una vecindade de x tal que Ve está contenida en -éf (F ). Puesto que x = lím (x,,), se sigue que existe un número natural K = K(e) tal que xK

Caracterización de conjuntos abiertos La idea de conjunto abierto en R es una generalización de la noción de inter

valo abierto. El hecho de que esta generalización no lleve a conjuntos demasiado peculiares que sean abiertos se pone de manifiesto en el resultado siguiente.

HU.7 Caracterizacíón de Ros conjuntos cerrados. Sea F ~ R; entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

i F es un subconjunto cerrado de R. ii Si X= (x11) es cualquier sucesión convergente de elementos de F, entonces

lím X pertenece a F.

Caracterización de conjuntos cerrados Se presentará ahora una caracterización de los subconjuntos cerrados en R en

términos de sucesiones. Como se verá, los conjuntos cerrados son precisamente los conjuntos F que contienen los límites de todas las sucesiones convergentes cuyos elementos se toman de F.

Demostración. Sea F un conjunto cerrado en R y sea x un punto de acumula ción de F; se probará que x E F. De no ser así, entonces x pertenece al conjunto abierto -é? (F). Por lo tanto, existe una vecindade vs de X tal que VE e -é? (F ). Por consiguiente VE n F = 0, lo cual contradice el supuesto de que x es un punto de acumulación de F.

Recíprocamente, sea F un subconjunto de R que contiene a todos sus puntos de acumulación; se demostrará que ,ef (F) es un conjunto abierto. Porque si Y E -é? (F), entonces y no es un punto de acumulación de F. Se sigue que existe una vecindade Ve de y que no contiene un punto de F (con la posible excepción de y). Pero como y E -é? (F ), se sigue que VE ~ -é? (F ). Puesto que y es un elemento cualesquiera de -é? (F), se deduce que para todo punto en y existe una vecindade que se encuentra contenida en su totalidad en -é? (F ). Pero esto significa que -é? (F) es un conjunto abierto en R. Por lo tanto, Fes un conjunto cerrado en R. Q.E.D.

00

b) SeaF11:=[l/n,l],nEN.TodoF escerrado,perolauniónF:= UF es n n . n=l

el conjunto (O, 1], que no es cerrado. Por tanto, la unión de un número indefinido de conjuntos abiertos en R no es necesariamente un conjunto cerrado.

HU.8 Teorema. Un subconjunto de Res cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación.

H).1.6 Ejemplos. a) Sea G11 := (O, 1 + 1/n) para n EN. Entonces, por el ejemplo 10.1.3 e), Gn, es abierto para cada n EN. Sin embargo, la intersección

00

G := n G11 es el intervalo (O, l], el cual no es abierto. Por tanto la intersección n=l '

de un número indefinido de conjuntos abiertos en R no es necesariamente un conjunto abierto.

Las restricciones de finitud en 10.1.4 b) y 10.1.5 b) no se pueden eliminar. Considérense los siguientes ejemplos.

El resultado siguiente guarda una estrecha relación con el teorema anterior. Establece que un conjunto F es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación. Recuérdese por la sección 4.1 que un punto x es un punto de acumu lación de un conjunto F si toda vecindade de x contiene un punto de F diferente de x. Puesto que por el teorema 4.1.2 cada punto de acumulación de un conjunto Fes el límite de una sucesión de puntos de F, el resultado se sigue de inmediato del teorema 10.1.7 anterior. Se ofrece una segunda demostración en la que sólo se usan las definiciones pertinentes.

Puesto que cada -é? (F¡) es abierto, por el teorema 10. 1.4 b) se sigue que -é? (F) es abierto. Por tanto, Fes un conjunto cerrado. o.u.o.

Por tanto, -é? (F) es abierto por el teorema 10.1.4 a) y, por cousiguicurc, /i ~1111111

conjunto cerrado. b) Supóngase que los conjuntos F1, F2, ... , F,, son cerrados en R y sea tt:

F1 U F2 U · · · U F11• Por la identidad de De Morgan, el complemento de f' c~IA dado por

, \/,.· 1•111lo11111111, se elche tener qut.:x" E (i (//);pero esto contradice el supuesto d<· q11t.: x11 L J' para toda ti EN. Se concluye por lo tanto que x E F.

ii => i. Supóngase, por el contrario, que F no es cerrado, por lo que G := -é? (F) 11<> es 1111 conjunto abierto, Entonces existe un punto y0 E G tal q~e para cada n E,N existe un número Yn E -é? (G) = F tal que IY,, y01 < l/n. Se sigue que Yo:= lím (yJ y, puesto que y11 E F para toda n EN, la hipótesis ii implica ~u~ Yo .E F, hecho qu<.: contradice el supuesto de que y0 E G -é? =(F). Por tanto, la h1potes'.s el.e que~ 110 es un conjunto cerrado implica que ii no es verdadera. Por consiguiente, u implica i, como se quería demostrar. Q.E.D.

é?(F) = é?(F¡) n ... n é?(F,J.

l'/1) ( 'I )N l l 1 N'I ( )lJ /\ 11111.inl IN \' ( 'hH 1(/\1 ¡()~ 1\N 11 1,/\ 'l'()I'( )1 ( )( ¡f¡\ lll\ 11

FIGURA 10.1.l Contrucción del conjunto de Cantor.

Nota. Del teorema anterior no se sigue que un subconjunto de R es cerrado si y sólo si es la intersección de una colección contable de intervalos cerrados (¿por qué no?). De hecho, hay conjuntos cerrados en R que no se pueden expresar como la intersección de una colección contable de intervalos cerrados en R. Un con junto que consta ele dos puntos es un ejemplo. (¿Por qué?) Se describe a conti

Se deja como ejercicio demostrar que la representación de G como una unión disjunta de intervalos abiertos se encuentra determinada de manera única.

1 o

lOJ .. 10 Definición. El conjunto de Cantor Fes la intersección ele los con juntos F n EN obtenido por la eliminación sucesiva de la tercera parte de en ~ 11' '

medio, empezando con l = [O, 1].

Se ve que F7 es la unión de 22 = 4 intervalos cerrados, cada uno de los cuales es de la forma [k/32, (k + 1)/32]. Después se elimina las terceras partes abiertas de enmedio de cada uno de estos conjuntos para obtener F3' que es la unión de 23 == 8 intervalos cerrados. Se continúa de esta manera. En general, si se ha construido F11 y está formado por la unión de 211 intervalos de la forma [k/3", (k + l)/Y'], entonces el conjunto F se obtiene al eliminar la tercera parte de en medio de cada uno de

ll + l los intervalos. El conjunto de Cantor Fes lo que queda después de que este proce dimiento se ha llevado a cabo para toda n E N. (Ver la figura 1 O. l. L)

Después se elimina la tercera parte abierta de en medio de cada uno de los dos intervalos cerrados en F1 para obtener el conjunto

E! conjunto die Cantor

El conjunto de Cantor, el cual se denotará por F, es un ejemplo muy interesan te de un conjunto (un tanto complicado) que es diferente a cualquiera de los con juntos que se han visto hasta este punto. Revela lo inadecuada que puede resultar la intuición en ocasiones al intentar describir subconjuntos de R.

El conjunto de Cantor F se puede describir eliminando una sucesión de inter valos abiertos del intervalo unitario cerrado I :==[O, 1 ]. Se elimina primero la terce ra parte abierta de en medio ( i, n del para obtener el conjunto

1111m·iú11 l111·1111.~ll'llct.:i(111 de un ejemplo mucho más interesante llamado el conjun to lle Cantor.

Demostracíon, Supóngase que G * 0 es un conjunto uhicrto cu U. 1'¡¡1'11 l11d11

x E G, sea Ax:= {a E R: (a, x] ~ G} y sea Ex:= {b E R: [x, b) ~ G}. Puesto que U es abierto, se sigue que Ax y B¿ son conjuntos no vacíos. (¿Por qué?) Si el conjunto Ax tiene una cota inferior, se hace ax := inf Ax; si Ax no tiene una cota inferior, 1m

hace ªx := +o». Obsérvese que en cualquiera de los dos casos ªx É G. Si el ccnjuntu Bx tiene una cota superior, se hace bx := sup Bx; si Bx no tiene una cota superior, .~e· hace bx := zo, Obsérvese que en cualquiera de los dos casos bx e: G.

Se define ahora Ix := (ax, b); evidentemente, Ix es un intervalo abierto que contiene~· Se afirma que lx ~ G. Para ver esto, sea y E Ix y supóngase que y < x. Por la definición de ax se sigue que existe a' E Ax con a' <y, de donde se sigue que y E (a', x] ~ G. De manera similar, si y E Ix y x <y, existe b' E Bx con y < b', do donde se sigue que y E [x, b') ~ G. Puesto que y Eix es un valor cualesquiera, se tiene que Ix ~ G.

Puesto que x E Ges un valor cualesquiera, se concluye que U Ix ~ G. Por xEG

otra parte, puesto que para toda x E G existe un intervalo abierto Ix con x E Ix ~ G,

se tiene asimismo que G ~ íl I". Se concluye, por lo tanto, que G = LJ Ix. . xEG xEG

Se afirma que si X, y EG y X* y, entonces I = I o bien, I n I = 0. Para X y, X y

demostrar esto, supóngase que z E Ix n IY, de donde se sigue que ax < z < b Y y a < z < bx. (¿Por qué?) Se probará que ax = ªy· De no ser así, por la propiedad de tricotomía se sigue que i a < a o bien, ii a < a . Si se cumple el caso i, entonces X y, y X

ªY Eix =(ax, b) ~ G, lo cual contradice el hecho de que a e: G. De manera similar, SI se cumple el caso ii, entonces ªx EIY =(ay, by)~ G, loycual contradice el hecho de que ax É G. Por lo tanto, se debe tener ªx = ay y un razonamiento similar implica que bx =by. Se concluye, por lo tanto, que silx n IY * 0, entonces/x = IY.

Aún queda por demostrar que la colección de intervalos diferentes {Ix: x E G} es contable. Para ello, se enumera el conjunto Q de los números racionales Q = {r1,

"» ... , r11, ••• }(ver el teorema 2.7.13). Por el teorema de densidad 2.5.5 se sigue que todo intervalo Ix contiene números racionales; se selecciona el número racio nal de Ix que tiene el menor índice n en esta enumeración de Q. Es decir, se elige rn(x) E Q tal que I,.n(x) = Ix y n(x) es el menor índice n tal que I,11 = Ix. Por tanto, el conjunto de intervalos diferentes Ix x E G, se pone en correspondencia con un subconjunto de N. En consecuencia, 'este conjunto de intervalos diferentes es con table. Q.E.D.

IH 1 t 't lNH 11\i'l't IS A1111<1(1't IS Y< 'P.lrnA1 H )S l'N N 1,A 'l'Ol'Oi,()(IÍA lll! /I 380

Ejercicios de la sección JO.].

1. Si x E (O, 1 ), sea ex como en el ejemplo 10.1.3 b ). Demostrar que si u - x, < Ex, entonces u E (O, 1).

2. Demostrar que los intervalos (a, oo) y (oc, a) son conjuntos abiertos y que los intervalos [b, oc) y (oc, b] son conjuntos cerrados.

3. Desarrollar el razonamiento de inducción matemática de la demostración del inciso b) de las propiedades de los conjuntos abiertos 10.1.4.

00

4. Demostrar que (O, 1] = n (O, 1 + 1/n), como se afirmó en el ejemplo 10.1.6 a). n=l

5. Demostrar que el conjunto N de los números naturales es un conjunto cerrado. 6. Demostrar que A := { l/11: n EN} no es un conjunto cerrado, pero que A U {O}

es un conjunto cerrado. 7. Demostrar que el conjunto Q de los números racionales no es ni abierto ni

cerrado. 8. Demostrar que si Ges un conjunto abierto y Fes un conjunto cerrado, enton

ces G\F es un conjunto abierto y F\G es un conjunto cerrado. 9. Se dice que un punto x E Res un punto interior de A<::;:; R cuando existe una

vecindad V de x tal que V <;;:;A. Demostrar que un conjunto A<::;:; Res abierto si y sólo si todo punto de A es un punto interior de A.

10. Se dice que un punto x E R es un punto frontera de A <::;:; R cuando toda vecindad V de x contiene puntos de A y puntos de ef (A). Demostrar que un conjunto A y su complemento ef (A) tienen exactamente el mismo número de puntos frontera.

11. Demostrar que un conjunto G <::;:; Res abierto si y sólo si no contiene a ningu no de sus puntos frontera.

12. Demostrar que un conjunto F <::;:; R es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos frontera.

13. Si A <::;:; R, sea Aº la unión de todos los conjuntos abiertos que están conteni dos en A; al conjunto Aº se le llama el interior de A. Demostrar que Aº es un conjun. 1 abierto, que es el mayor conjunto abierto contenido en A y que un punto z pertenece a Aº si y sólo si z es un punto interior de A.

Es decir, cp((a1a2 • • ·)3) = (b1b2 · · ·)2, donde b11 = a,/2 para toda n E Ny (b1b2 · · ')

denota la representación binaria de un número. Es posible verificar que se define así un mapeo que lleva a F en I; se concluye que F tiene un número incontable de puntos. (Ver la sección 2.7.)

para x E F.

tll¡•,ilm: 1; pn( 1j~111plo, ~ = ( l 00 · · ·)3 = (022 · · ·)3. Si se elige la expansión sin dígitos 1 para estos puntos, entonces F consta de todas las x E I que tienen expansiones

ternarias sin dígitos 1; es decir, a,, es O ó 2 para toda n EN. Se define ahora un mapeo cp de F en I de la siguiente manera:

,\H_I ( ON.11 IN'!'()S ;\J 111,l(l'O.'\ V ( 'P.IU(I\ 1 )(IS HN 11

donde cada an es O, 1 ó 2. (Ver la explicación del final de la sección 2.6.) De hecho, cada x que está a uno de los intervalos abiertos eliminados tiene a11 = 1 para alguna n; por ejemplo, todo punto de G, D tiene a1 = 1. Los puntos terminales de los intervalos eliminados tienen dos expansiones ternarias posibles, una que no tiene

,, a X= L 3: = ( ª1ª2 ·'' «, ·'' )3

n=l

Por tanto F es un subconjunto del intervalo unitario I, cuyo complemento en J tiene longitud total 1.

Obsérvese asimismo que la longitud total de los intervalos que forman F,, es (2/3)11, que tiene límite O cuando n-> oo, Puesto que F ~Fil para toda n EN, se ve que si es válido decir que F tiene "longitud", debe tener longitud O.

2) El conjunto F no contiene ningún intervalo abierto no vacío como subconjunto. De hecho, si F contiene un intervalo abierto no vacío I := (a, b), entonces como J ~Fil para toda n E N, se debe tener O< b - a :o.:; (2/3)" para toda n EN. Por lo tanto, b - a =O, de donde I es vacío, que es una contradicción.

3) El conjunto de Cantor F contiene un número infinito (incluso incontable) de puntos.

El conjunto de Cantor contiene todos los puntos terminales de los intervalos abiertos eliminados y todos ellos son puntos de la forma 2k/3", donde k =O, 1, ... , n para toda 11 E N. Existe un número infinito de puntos de esta forma.

El conjunto de Cantor en realidad contiene muchos más puntos que los de la forma 2k¡J"; de hecho, Fes un conjunto incontable. Se presenta el razonamiento en términos generales. Se observa que toda x E I se puede escribir como una ex pansión ternaria (base 3)

l 1 L= = l.

3 2 1

3

Al usar la fórmula para la suma ele una serie geométrica se obtiene

Puesto que es la intersección de conjuntos cerrados, el pn•pin /,. ex un cnil,lllll to cerrado por 10.1.5 a). Se mencionan a continuación algunas ele las prnpit.:d11d1•t1 de F que lo hacen ser un conjunto tan interesante.

1) La longitud total de los intervalos eliminados es l. Se observa que la primera tercera parte de en medio tiene longitud 1/3, la.~ (111~1

terceras partes de en medio siguientes tienen longitudes cuya suma es 2/32, l11N cuatro terceras partes de en medio siguientes tienen longitudes cuya suma es 22 ;J·1,

y así sucesivamente. La longitud total L de los intervalos eliminados está dacia poi

LA 'I '( H '<l 1 ,00 f /\ I JI 1, u 3H2

10.2.1 Definición. Sea A un subconjunto de R. Una cubierta abierta de A es una colección .§ = { G "} de conjuntos abiertos en R cuya unión contiene a A; es decir,

rn.2.3 Ejemplos. a) Sea K := {x¡, X2, .•• 'xn} un subconjunto finito de R. Si= .§ { G "} es cualquier cubierta abierta de K, entonces cada X; está contenida en algún conjunto G u; de .§. Entonces la unión de los conjuntos de la colección {Gal' Ga2, ... , G,,n} contiene a K, por lo que es una subcubierta finita de .Y'. Puesto que.§ es una colección cualesquiera, se sigue que el conjunto finito K es compacto.

b) Sea H := [O, co). Para probar que H no es compacto, se presentará una cubierta abierta que no tiene ninguna subcubierta finita. Si se hace Gn := (1, n)

00

para cada n EN, entonces n t; U G,,, por lo que.§':= {Gn: n EN} es una n~I

O'

En análisis avanzado y topología, la noción de conjunto "compacto" es de enorme importancia. Esto es menos cierto en R porque el teorema de HeineBorel proporciona una caracterización muy simple de los conjuntos compactos en R. No obstante, la definición y las técnicas usadas en relación con la compacidad son de suma importancia, y la recta real ofrece un sitio adecuado para ver la idea de compacidad por primera vez.

La definición de compacidad hace uso de la noción de cubierta abierta, la cual se define a continuación.

JL0.2.2 Definición. Se dice que un subconjunto K de Res compacto si toda cubierta abierta de K tiene una subcubierta finita.

En otras palabras, un conjunto K es compacto si, siempre que esté contenido en la unión de una colección.§= {G } de conjuntos abiertos en R, entonces está

C(

contenido en la unión de algún número finito de conjuntos en .§. Es muy importante observar que para aplicar la definición a fin de demostrar

que K es compacto, se debe examinar una colección cualesquiera de conjuntos abiertos cuya unión contenga a K, y probar que K está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos de la colección dada. Es decir, se debe demostrar que cualquier cubierta abierta de K tiene una subcubierta finita. Por otra parte, para probar que un conjunto H no es compacto, basta presentar una colección particular .§de conjuntos abiertos cuya unión contiene a H, pero tal que la unión de cualquier número finito de conjuntos de.§ no contenga a H. Es decir, H no es compacto si existe alguna cubierta abierta de H que no tiene ninguna subcubierta finita.

SECCIÓN 10.2 Conjuntos compactos

Se observa que .§2 es una subcubierta de .§71, y que ~ es una subcubierta de .§.3. Desde luego, es posible describir muchas otras cubiertas abiertas de A.

~) := {(0,co)}, .§1 := { ( r - 1, r + 1): r E Q, r > O}, .Y'2 := {(n 1, n + 1): n EN}, .§3 == {(O,n): n EN}, ~ == {(O, n): n EN, n ;;:.. 23}.

;11 , ~·· L':·: 111111 .ruhcnlccción de conjuntos de.§ tal que la unión de los conjuntos ,¡.. . 9'' uuubicn contiene a A, entonces a .§' se le llama subcubíerta de .§. si . tJ' consta de un número finito de conjuntos, entonces a .§' se le llama subcubierta flnita de .§.

Puede haber varias cubiertas abiertas diferentes para un conjunto dado. Por ejemplo, si A := [1, =), entonces el lector puede verificar que las siguientes colec ciones de conjuntos son todas cubiertas abiertas de A:

14. Empleando la notación del ejercicio anterior, se1111 A, JI 1'1>11j111110~ e11U,1111

mostrar que Aº i;;:; A, (Aº)º =Aºy que (A n B)º ==Aº f1 H'. n'emoslrar 11sl11d11 mo queA º U Bº i;;:; (A U B)° y dar un ejemplo para probar que la i1H:ii1Hl(\11 puede ser propia.

15. Si A i;;:; R, sea A- la intersección de todos los conjuntos cerrados que cn11(k nen aA; al conjunto A- se le llama la cerradura de A. Demostrar que A- es 1111 conjunto cerrado, que es el menor conjunto cerrado que contiene aA y qtH.: 1111. punto w pertenece a A- si y sólo si tu es un punto interior, o bien, un punto frontera de A.

16. Empleando la notación del ejercicio anterior, sean A, B conjuntos en R. De mostrar que se tiene A i;;:; A-, (Af =A y que (A u Bf =A- U B-. Demostrar que (A n Bf i;;:; A- n B- y dar un ejemplo para probar que la inclusión puede ser propia.

17. Dar un ejemplo de un conjunto A i;;:; R tal que Aº= 0 y A-= R. 18. Demostrar que si F i;;:; Res un conjunto cerrado no vacío que está acotado por

arriba, entonces sup F pertenece a F. 19. Si Ges un conjunto abierto y x E G, demostrar que los conjuntos Ax y Bx de la

demostración del teorema 10.1.9 no son vacíos. 20. Si el conjunto Ax de la demostración del teorema 10.1.9 tiene una cota infe

rior, demostrar que ªx := inf Ax no pertenece a G. 21. Si en la notación empleada en la demostración del teorema 10 .. l.9 se tieneª"'

<y < x, demostrar que ax := inf A, no pertenece a G. 22. Si en la notación empleada en la demostración del teorema 10.1.9 se tiene lx

n ¡y i= 0, demostrar que bx =by. 23. Demostrar que todo punto del conjunto de Cantor es un punto de acumula

ción de F. 24. Demostrar que todo punto del conjunto de Cantor es un punto de acumula

ción de ¿ (F).

~ 'C\NfüN'J't)~ < 'OMl'i\(TOS 1AT<Jl'lll,(Hl(A1111 N

(z - e ,» + s) ~ GA.

Demostración. En el teorema 10.2.4 se demostró que un conjunto compacto en R debe ser cerrado y acotado. Para establecer el recíproco, suponer que K es cerrado y acotado, y sea.§ = { G } una cubierta abierta de K. Se desea demostrar que K debe estar contenido en Jaª unión de alguna subcolección finita de .#. La demostración se hará por contradicción. Se supone que:

(*) K no está contenido en la unión de ningún número finito de conjuntos en .§.

Por hipótesis, K está acotado, por lo que existe r >O tal que K C [-r, r]. Se hace J1 := [-r, r] y se biseca !1 en dos subintervalos cerrados 1; := [-r, O] e I{' :=[O, r]. Al menos uno de los dos subconjuntos K n I; y K n 1{' debe ser no vacío y poseer la propiedad de que no esté contenido en la unión de cualquier número finito de conjuntos en .§. [Porque si los dos conjuntos K n 1; y K n I{' están conten}dos en la unión de algún número finito de conjuntos en ..§, entonces K = (K n 11) U (K n I') está contenido en Ja unión de algún número finito de conjuntos en .#, lo cual contradice el supuesto (*).] Si el conjunto K n 1; no está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos en .#, se hace /2:=1;; en caso contra rio K n !"tiene esta propiedad y se hace 12=1;.

' Ahor~ se biseca J en dos subintervalos cerrados 1; e I ~'. Si el conjunto K n 1; es no vacío y no está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos en .#, se hace J :=!';en caso contrarioK n 1;' tiene esta propiedad y se se hace !3:=1;'.

Al continuar el proceso se obtiene una sucesión anidada de intervalos (In). Por la propiedad de los intervalos anidados 2.6.1, existe un punto z que pertenece a todos los l n EN. Puesto que todo intervalo I contiene puntos de K, el punto z n' n debe ser un punto de acumulación de K. Además, como se supuso que K es cerra do, por el teorema 10.l.8 se sigue que z EK. Por lo tanto, existe un conjunto G,_ en .§ con z E G,_. Puesto que G,., es un conjunto abierto, existe e > O tal que

10.2.5 Teorema de HeineBorel, Un subconjunto K de Res compacto si y sólo si es cerrado y acotado.

Se demuestra a continuación que las condiciones del teorema 10.2.4 son tanto necesarias como suficientes para que un subconjunto de R sea compacto.

/\partir de este hecho se sigue que K n (u -1/m, u+ l/m) = 0, por lo que (u 1 [m, u + 1 ¡m) e ef (K). Pero como u era un punto cualesquiera en ef (K), se infiere que ef (K) es abierto. Q.E.D.

m

K ~ U e,.= e,,.. 1'=1

\11/ ('ONlllN'IWl('OMl'A( I'();,

Por lo tanto, K está acotado, ya que está contenido en el intervalo acotado (-M, M). Se demuestra ahora que K es cerrado, probando que su complemento ef (K)

es abierto. Para ello, sea u E ef (K) un punto cualesquiera y para toda n E N se hace G11 :={y ER: jy-uj :¡¡; l/n}. Es un ejercicio demostrar que cad~ conjunto G11

es abierto y que R\{u} = 11l}1

G11• Puesto que u e K, se tiene K C LJ G11• Puesto que K es compacto, existe m EN tal que n== 1

M

K~ UHm=HM=(-M,M). m=I

Demostración. Se demostrará primero que K está acotado. Para toda m EN,

sea H111 := (-m, m ). Puesto que cada Hm es abierto y como K C LJ H,,, = R, se ve m=l que la colección {H111: m EN} es una cubierta abierta de K. Puesto que K es com

pacto, esta colección tiene una subcubierta finita, por lo que existe ME N tal que

10.2.4 Teorema. Si K es un subconjunto compacto de R, entonces K es cerrado y acotado.

Ahora se quiere describir todos los subconjuntos compactos de R. Se estable cerá primero mediante razonamientos bastante directos que cualquier conjunto compacto en R debe ser tanto cerrado como acotado. Después se demostrará que estas propiedades en realidad caracterizan a los conjuntos compactos en R. Este es el contenido del teorema de HeineBorel.

Puesto que 1/s está en J pero no en G,., se ve que la unión no contiene a J. Por lo tanto, J no es compacto.

G,.I u G,,2 u ... u c .. ,= es= (l/s, 1).

Evidentemente, esta unión no contiene a H =[O, oo). Por tanto, ninguna subcolccclón finita de .§conseguirá que su unión contenga a H y, por lo tanto, H no es cornpactn

e) SeaJ :=(O, 1). Si se hace G11 := (l/n, 1) para cada n EN, entonces se ve dt• 00

inmediato que J = u¡ G,,. Por tanto, .§ := { G,,: n E N} es una cubierta abierta do n==

J. Si {G,, P G112, ... , Gn,} es cualquier subcolección finita de.#,. y si se haces: sup {np n2, ... , n,.}, entonces

cubierta abierta de H. Sin embargo, si { G11 I' G,,2' ... , G,,k¡ ex cualquier ~uhrnkt•t•l1111

finita de .#,y si se hace m := sup {n1, n2, ... , nk}, entonces

1.A '1'01'01(HllA1111 I/ 3Hf1

Continuidad En la sección 5.1 se examinó la continuidad en un punto; es decir, la continui

dad "local" de funciones. A continuación se analizará principalmente la conti

l. Presentar una cubierta abierta del intervalo (1, 2) que no tenga ninguna subcubierta finita.


En esta sección se examinará la manera en que el concepto de continuidad de funciones se puede relacionar con las ideas topológicas de conjuntos abiertos y conjuntos compactos. Se establecerán en este contexto algunas de las propiedades fundamentales de las funciones continuas en intervalos presentadas en la sección 5.3. Entre otras cosas, estas nuevas argumentaciones demostrarán que el concepto de continuidad y muchas de sus importantes propiedades se pueden llevar a un nivel más alto de abstracción. Esto se estudiará brevemente en la siguiente sección relativa a los espacios métricos.

SECCIÓN rn.3 Funcíones continuas

Demostración. Supóngase que K es compacto y sea (x ) una sucesión con x E K para toda n EN. Por el teorema de HeineBorel, el conj~'nto K está acotado, d~ donde la sucesión (x11) está acotada; por el teorema de BolzanoWeierstrass 3.4.7, existe una subsucesión (x11k) que converge. Dado que K es un conjunto cerrado (por el teorema de HeineBorel), el límite x = lím (xnk) está en K. Por tanto, toda sucesión en K tiene una subsucesión que converge a un punto de K.

Para establecer el recíproco, se probará que siK no es cerrado o no está acota do, entonces debe existir una sucesión en K que no tiene ninguna subsucesión que converge a un punto de K. Primero, si K no es cerrado, entonces existe un punto de acumulación e de K que no pertenece a K. Puesto que e es un punto de acumula ción de K, existe una sucesión (x ) con x E K y x =F e para n E N tal que lím (' x )

.,, 11 11 n 11 • =c. Entonces toda subsucesión de (xn) también converge a e y como e e K, no existe ninguna subsucesión que converge a un punto de K. ,

Segundo, si K no está acotado, entonces existe una sucesión (x11) en K tal que fxnl > n para toda n EN. (¿Por qué?) Entonces ninguna subsucesión de (xn) deja de estar acotada, de donde ninguna subsucesión de ella puede converger a un punto deK. Q.E.D.

JW.2.6 Teorema. Un subconjunto K de R es compacto si y sólo si toda suce- sión en K tiene una subsucesián que converge a un punto en K.

Los teoremas de HeineBorel y de BolzanoWeierstrass 3.4.7 se pueden com binar para obtener una caracterización en términos de sucesiones de los subconjuntos de R.

Observación, En el ejemplo 10.2.3 b) se vio que el conjunto cerrado H :=¡o, co) no es compacto; obsérvese que H no está acotado. Asimismo, en el ejemplo 10.2.3 e) se vio que el conjunto acotado J :« (O, 1) no es compacto; obsérvese qut: 1 no es cerrado. Por tanto, no es posible omitir ninguna de las dos hipótesis del Teorema de HeineBorcl.

'..!. l'1N1t•11111r 1111a cubierta abierta ele N que 110 1u11µ.n 11i11gu1111 .•:t1hn1hic1l11 ll1iiln 3. l'ri.:su11tar una cubierta abierta del conjunto { 1/11:11 EN} que no lu11µ.M 1d11¡•,11·

na subcubierta finita. 4. Usar la definición 10.2.2 para, demostrar que si Fes un subconjunto cerrado

de un conjunto compacto K en R, entonces Fes compacto. 5. Usar la definición 10.2.2 para, demostrar que si K1 y K2 son conjuntos coiu

pactos en R, entonces su unión K1 U K2 es compacta. 6. Usar el teorema de HeineBorel para demostrar la siguiente versión del tcorc

ma de BolzanoWeierstrass: Todo subconjunto infinito acotado de R tiene 1111 punto de acumulación en R. (Obsérvese que si un conjunto no tiene pu11111s 111' acumulación, entonces es cerrado por el teorema 10.1.8.)

7. Encontrar una colec~ión infinita {K,,: n EN} de conjuntos compactos c11 (i

tales que la unión U K no sea compacta. 1 n

8. Demostrar que la intersección de una colección cualesquiera de eoilj\111101. compactos en Res compacta.

9. Sea {K11: n EN} una sucesión de conjuntos compactos no vacíos en U 11!1 q11t• K :J K :J · · · :J K :J · · · . Demostrar que existe al menos un punto. • U 1 2 n - ce

tal que X E K para toda n EN es decir la intersección n K es no v11d11. n , ' 11=1 11

10. Sea K un conjunto compacto en R. Demostrar que inf K y sup K existen y pertenecen a K.

11. Sea K compacto en R y sea e E R. Demostrar que existe un punto a en K. tal que 1c a',::: inf {le xj: x E K}.

12. Sea K compacto en R y sea e E R. Demostrar que existe un punto b en K tal que [e bj = sup {]c x,: x E K}.

13. Usar la noción de compacidad para dar otra demostración del ejercicio 5.3.15. 14. Si K1 y K2 son conjuntos compactos disjuntos, demostrar que existe k; E K1 tul

que O< 1k1 k21:;; inf {!x1 x21: X¡ EK¡}. 15. Dar un ejemplo de dos conjuntos cerrados disjuntos F1, F2 tales que O = inf

{;x1 xz!: x1 E KJ

Por otra parte, puesto que los intervalos 111 se obtienen prn lil:it'l'ciom:s rcpvl ldwi !111 I1 = [-r, r], la longitud de In es r¡2n-2• Se sigue que si 11 es lo suficit:11le1111·11111 grande para que r¡2n-2 <E, entonces In ~ (z- E, z + .s) ~ G¡,_. Pero esto sie11ilku que sin es tal que r/2n - 2 < E, entonces K n I,, está contenido en el conjuuln particular G¡,_ en ~· lo cual contradice la construcción de In. Esta contradi~<.:io11 demuestra que la hipótesis j ") de que el conjunto cerrado y acotado K requiere 1111 número infinito de conjuntos en.§ para cubrirlo es insostenible. Se concluye que K es compacto. Q.iw,

1111) 111 li'lr 'ICINll,~l f 'UN'l lN!IAS l,A 'l'Ol'(ll,O(lf/\ 1)11, 11 .IHH

Demostración. Sea .§;; { G1.} una cubierta abierta del conjunto f (K). Se debe demostrar que .§tiene una subcubierta finita. Puesto que f(K) k U Gt., se sigue que K k U ¡1(G1J Por el teorema 10.3.2, para cada G1. se puede encontrar un conjunto abierto H1. tal que Hx_ n K = ¡-1(G').). Entonces la colecci~n {H1.}. es una cubierta abierta del conjunto K. Puesto que K es compacto, esta cubierta abierta de K contiene una subcubierta finita {H1.l' H1.2, ••. , H x.n}. Se tiene entonces

10.3.4 Preservación de la compacidad. Si K es un subconjunto compacto de R y si f: K-+ R es una función continua en K, entonces f (K) es compacto.

En la sección 5.3 se demostró que una función continua pasa un intervalo cerrado y acotado [a, b] a un intervalo cerrado y acotado [m, M], donde m y M son los valores mínimo y máximo de f en [a, b ], respectivamente. Por el teorema de HeineBorel, éstos son subconjuntos compactos de R, por lo anP pi 'eorema 5.3.8 es un caso especial del siguiente teorema m&~

Preservación de la compacidad

Si Ges el conjunto abierto G := (1, 1), entonces la imagen directa bajo f esf(G) = [1, 2), que no es abierto en R. Ver los ejercicios para más ejemplos .

XER. f(x) := x2 + 1,

10.3.3 Corolario. Una función f: R-+ Res continua si y sólo si ¡1(G) es abierta en R siempre que G sea abierto.

Se debe subrayar el hecho de que el teorema de continuidad global 10.3.2 no establece que sif es una función continua, entonces la imagen directaf(G) de un conjunto abierto es necesariamente abierto. En general, una función continua no enviará conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Por ejemplo, considérese la fun ción continu~ f: R + R definida por

En el caso en que A = R, el resultado anterior se simplifica en cierta medida.

. . . ¡· 1 (( ') s i111plirn quv f ( 1) 1 <,";es decir, V(c) está <:011fe111dn 1,:11 1:1 1111:1J',i.:11 111vt·1.~;i • . • L'

selecciona \/(e) para cada e en f 1 (G), y sea l/ la u11i611 de Indos cslos <:t111j1111los

ll(c). Por las propiedades de los conjuntos abiertos 10.1.4, el conjunto 11 es ahiello y se tiene H n A = ¡-1(G). Por tanto, a) implica b ).

b) ~a). Sea c un punto cualquiera de A, y sea G una vecindad abierta de f(c). Entonces la condición b) implica que existe un conjunto abierto H en R tal que// n A= ¡-i(G). Puesto que/(c) E G, se sigue que c EH, de donde Hes una vecindad de e. Si x EH n A, entonces f (e) E G y, por lo tanto, fes continua en c. Con esto se demuestra que b) implica a). O.E.O.

\IJI 11 IN< 'I< IN11'! 1 '< HI 1lt111/\'•

Demost~ación. ~) :::::} b ). Supóngase que fes continua en todo punto de A, y sea G un con1~mto abierto en R dado. Sic pertenece a/1(G), entoncesf(c) E G, y como~ es. abierto, Ges.una vecindad def(c). Por lo tanto, por el lema anterior, de la continuidad de f se sigue que existe un conjunto abierto V(c) tal que x E V(c)

. , 10.3.2 T~o~ema de continuidad global. Sea A ~ R y sea f: A -. R una fun- cton con dominio A. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

a) fes continua en todo punto de A. b) Para todo conjunto abierto Gen R, existe un conjunto abierto H en R tal

que H n A = ¡1(G).

. Cabe hacer not~r que el enunciado de que x E V n A indica que /(x) E u es eqmvalen~e al enu.ncrndo de que f(V n A) k U; es decir, que la imagen directa de V n A esta contenida en U. Y por la definición de imagen inversa, esto es Jo mismo ~ue V n A k ¡-1(U). (Ver la sección 1.2 para las definiciones de imagen directa e mversa) Usando esta observación se obtiene una condición para que una función sea continua en su dominio en términos de conjuntos abiertos. En cursos más avan zados de topología el inciso b) del siguiente resultado con frecuencia se toma como definición de continuidad (global).

Demostracíon, Supóngase que f satisface la condición enunciada. Entonces dada e> O,, se ?ace U= Vi/ (c)) y después se obtiene una vecindad V para la cual x E V n A i~di~a que f(x) E U. Si se elige o > O tal que V0(c) k V, entonces x E Va( c) n A indica que f (x) E U; por lo tanto, fes continua en c de acuerdo con la definición 5.1.1.

Recíprocamente, si fes continua en e en el sentido de la definición 5.1.1, e~tonces, como cualGuie~ vecindad U de /(c) contiene una vecindade V//(c)), se sigue que al tomar la vecindadS V= Vo(c) de e de la definición 5.1.1 se satisface la condición del lema. Q.E.D.

. 10.3.1 Lema. U na función f: A -+ R es continua en el punto e de A si y sólo si para toda vecindad U de f(c), existe una vecindad V de e tal que si x E V n A, entonces f (x) E U.

nuidad "global" en el sentido de que se supondrá que las funciones son rn111 im111r1 en la totalidad de sus dominios.

En la sección 5.1 se definió la continuidad de una función f: A r+ }( i.;11 1111 punto e E A. La definición 5.1.1 establece que/ es continua en c si para toda vccln dad-e Vt:(f (c)) de f (c) ex~ste una vecindado V0(c) tal que si x E V0(c) n A, c111011

=t»: Vif(c)). ~e quiere reformular esta condición de continuidad en un punto en termmos ele vecmdades generales. (Recuérdese por 10.1.1 que una vecindad de un punto e es cualquier conjunto U que contiene una vecindade de e parn alguna e >O.)

l./\ 'J'Ol'()l,()(11/\ lll( u 3\IU

Ejercidos elle la sección .HU

1. Sea que f: R-> Resté definida por f(x) := x2, x E R. a) Demostrar que la imagen inversaf1(1) de un intervalo abierto I :=(a, b) es un intervalo abier to, la unión de dos intervalos abiertos, o bien, el conjunto vacío, dependiendo

de donde 8( E) > O. Ahora bien, si x, u E K y lx ul < o( e), entonces existe alguna uk con k = 1, ... , M tal que x E G,,k; por lo tanto, lx ukl < ! 8uk· Puesto que se tiene 8(e) ~ ~Ouk' se sigue que

Se concluye, por lo tanto, que /(x*) = f (x0). Sin embargo, como fes inyectiva, esto implica que x* = x0, lo cual constituye una contradicción. Se concluye, por tan to, que ¡1 pasa sucesiones convergentes en f (K) a sucesiones convergentes en K y, en consecuencia, ¡1 es continua. Q.E.D.

o(e) == finf{o,, , ... ,ou }, 1 .\1

lím (f(x~)) = lím (y~)= Yo= f(xo)·

Demostración, Como K es compacto, entonces el teorema 10.3.4 implica que la imagen f(K) es compacta. Puesto que fes inyectiva por hipótesis, la función inversa ¡1 está definida de f(K) a K. Sea (Y,) cualquier sucesión convergente en f(K) y sea y0 = lím (y n). Para establecer la continuidad de ¡1 se demostrará que la sucesión (f1(y )) converge a ¡-1(y0).

Sea x := ll(y ) y, por el método de contradicción, supóngase que (xn) no 11

,, b "(')tl converge ax0 := ¡1(y0). Entonces existe una E> O y una su sucesión xk a que lx' x i ? E para toda k. Puesto que K es compacto, se concluye por el teorema 10.2.6 ~ue existe una subsucesión (x ;) de la sucesión (x~) que converge a un punto x* deK. Puesto que [x" -x 1? E, se tienex* * x0.Ahora bien, como/es continua, se tiene lim (f(x")) = /(x~•). Asimismo, como la subsucesión (y;) de (y,,) que corresponde a la

1subsucesión (x ~) de (xn) debe converger al mismo límite que

(y,,), se tiene

H).3.6 Teorema. Si K es un subconjunto compacto de R y f: K _. R es una función inyectiva y continua, entonces ¡1 es continua en f(K).

ll0.3.5 Algunas aplicaciones. Se indicará a continuación cómo aplicar 111 noción de compacidad (y el teorema de HeineBorel) para obtener otras dernostra ciones de algunos resultados importantes que se probaron usando el teorema do BolzanoWeierstrass. De hecho, estos teoremas conservan su validez si los inter valos se reemplazan por conjuntos compactos no vacíos cualesquiera en R .

A) El teorema de acotabilidad 5.3.2 es una consecuencia inmediata del teore ma.10.3.4 y del teorema de HeineBorel 10.2.5. De hecho, si K ~Res compacto Y si f: K-> R es una función continua en K, entonces f(K) es compacto y, en consecuencia, está acotado.

B) El teorema del máximomínimo 5.3.4 también es una consecuencia inme diata del teorema 10.3.4 y del teorema de HeineBorel. Como se hizo anteriormen te, se encuentra que f(K) es compacto y, por tanto, está acotado en R, por lo que s* := s~p f(K_) ~x.iste. Si f(K) es un conjunto finito, entonces s* Ef(K). Si f(K) es un conjunto infinito, entonces s* es un punto de acumulación de/(K) [ver el ejercicio 1.0.2.6). Puesto quef(K) es un conjunto cerrado, por el teorema de HeineBorel, se sigue por el teorema 10.l.8 que s* E f(K). Se concluye que s* = f(x*) para alguna x* EK.

C) También se puede dar una demostración del teorema de continuidad uni forme 5 .4.3 basada en la noción de compacidad. Para ello, sea K ~ R compacto y sea f: K-> R una función continua en K. Entonces, dada E > O y u E K, existe un número ou := ó{!e, u)> O tal que six EKy lxu¡ <ºu' entonces lf(x)-f(u)I < ie. Para cada u EK, sea G :=(u - H5 , u+ !8) de tal modo que G es abierto· se . . ,, u u u ' u ' considera la colección .§': = { G u: u E K}. Puesto que u E G u para u E K, es un

hecho trivial que K ~ U G . Puesto que K es compacto existe un número finito ueK u ' ·

de conjuntos, digamos Gup ... , G uM cuya unión contiene a K. Se define ahora

Se tiene por lo tanto lf(x) - f(u)I < e. Se ha demostrado que si e> O, entonces existe c5(e) > O tal que si x, u son

puntos cualesquiera de K con lx ul < c5(e), entonces lf(x)- f(u)I <~Puesto que e > O es un valor cualesquiera, con esto se demuestra que fes umformemente continua en K, como se afirmó.

Se concluye esta sección ampliando el teorema de la inversa continua 5.5.5 a funciones cuyos dominios son, en lugar de intervalos en R, subconjuntos compac tos de R.

n

De esta relación se sigue que U GA.; ;:;;) f(K). Por tanto, se ha encontrado u11n subcubierta finita ele .:#. Puestd qhe .§' es una cubierta abierta arbitraria ele f(l\ ), se concluye que f(K) es compacto. o.u.n.

lf(u) - f(udl <~E. y lf(x) f(udl < ie u ¡1(GA.) = u HA; Í1 K ~ K.

i=I i=I

" n

1'11 l'llN('l<lNJi.~i t'()N'l'INlli\S l./\ '1'(11'()1 ( H I[/, 1 JI• JI .l')).

e) Es posible definir varios métricos diferentes en el mismo conjunto. En R2

también se puede definir el métrico d 1 de la siguiente manera:

para todax, y, z E R. b) La función de distancia en el plano obtenida a partir del teorema de Pitágoras

ofrece un ejemplo de un métrico en R2• Es decir, se define el métrico den R2 de la manera siguiente: si P1 := (xl' y1) y P 2 := (x2, y2) son puntos en R2, entonces

d(x,y)=\x - yl = \(x - z) + (z - y)\ ,¡¡;; lx z] + [z yl = d(x, z) + d(z, y),

La desigualdad del triángulo parad se sigue de la desigualdad del triángulo para el valor absoluto ya que se tiene

d(x, y) := lx yl para x, y E R.

rn.4l.2 Ejem¡plos. a) El métrico familiar en R está definido por Este libro se ha dedicado al estudio cuidadoso del sistema de los números reales y de diferentes procesos de límites que se pueden definir para funciones de una variable real. Uno de los temas centrales fue el estudio de las funciones conti nuas. En este punto, con una sólida comprensión del análisis en la recta real, se puede iniciar el estudio de espacios más generales y los conceptos de límites rela cionados. Es posible generalizar los conceptos fundamentales del análisis real de varias maneras diferentes, pero una de las más provechosas es en el contexto de los espacios métricos, donde métrico es una abstracción de una función de distancia.

En esta sección se introducirá la idea de espacio métrico para indicar a conti nuación la manera en que ciertas áreas de la teoría desarrollada en este libro se pueden ampliar a este nuevo contexto. Se analizarán los conceptos de vecindad de un punto, de conjuntos abiertos y cerrados, de convergencia de sucesiones y de continuidad de funciones definidas en espacios métricos. La finalidad de esta bre ve explicación no es desarrollar la teoría de los espacios métricos con gran profun didad, sino poner de manifiesto la manera en que las ideas y las técnicas claves del análisis real se pueden ubicar en un marco más abstracto y general. El lector debe rá observar cómo los resultados básicos del análisis en la recta real sirven para motivar y encauzar el estudio del análisis en contextos más generales. .

La generalización puede cumplir dos importantes objetivos. Uno es que los teoremas derivados en contextos generales con frecuencia se pueden aplicar en

Se consideran varios ejemplos de espacios métricos. SECCIÓN HJJ,4 Espacios métricos

Hl.4.1 Deñnlción. Un métrico en un conjunto Ses una función d: S x S ~ R que satisface las siguientes propiedades:

a) d(x, y);;.: O para toda x, y ES ipositividady; b) d(x, y) = O si y sólo si x =y (precisión); e) d(x, y)= d(y, x) para toda x, y ES (simetría); d) d(x, y)~ d(x, z) + d(z, y) para toda x, y, z ER (desigualdad del triángulo).

Un espacio métrico (S, d) es un conjunto S junto con un métrico den S.

Métricos En la recta real, los conceptos de límites se definieron en términos de la dis

tancia lx-y 1 entre dos puntos x, y en R, y muchos teoremas se demostraron usando la función del valor absoluto. En realidad, un estudio atento revela que sólo se requirieron unas cuantas propiedades claves del valor absoluto para probar mu chos resultados fundamentales, y resulta que estas propiedades se pueden extractar y aplicar para definir funciones de distancia más generales llamadas "métricos".

muchos c11~0¡.i paniculares sin necesidad de una demostración separada para cada caso especial. El segundo objetivo es que al eliminar las características no esenci~ les, y en ocasiones distrayentes, de las situaciones particulares, con frecuencia resulta posible la comprensión de la significación real de un concepto o teorema.

de a y b. b) Demostrar que sil es un intervalo abierto que contiene u O, c11ICl11

ces la imagen directa f(I) no es abierta. 2. Sea que f: R--+ Resté definida por f(x) := 1/(1 + x2), x E R. a) Encontrar 11n

intervalo abierto (a, b) cuya imagen directa bajof no sea abierta. b) Demos· trar que la imagen directa del intervalo cerrado [O, oo] no es cerrada.

3. Sea I := [1, oo] y sea f(x) = ~para x E J. Para toda vecindade G = (t:, + e) de O, presentar un conjunto abierto H tal que H n I = ¡1(G).

4. Sea que h: R--+ Resté definida por h(x) := 1 si O ~ x ~ 1, h(x) :=O en caso contrario. Encontrar un conjunto abierto G tal que h-1(G) sea no abierto y un conjunto cerrado F tal que h-1(F) sea no cerrado.

5. Demostrar que si f: R--+ Res una función continua, entonces el conjunto {x E R: f(x) < a} es abierto en R para toda a E R.

6. Demostrar que si f: R--+ Res una función continua, entonces el conjunto {x E R: f(x) ~ a} es cerrado en R para toda a E R.

7. Demostrar que sif: R--> Res una función continua, entonces el conjunto {x E R: f(x) = k} es cerrado en R para toda k E R.

8. Dar un ejemplo de una funciónf: R--> R tal que el conjunto {x E R: f(x) = 1} no es ni abierto ni cerrado en R.

9. Demostrar quef: R--> Res una función continua si y sólo si para todo conjun to cerrado F en R. la imagen inversa ¡-1(F) es cerrada.

1 O. Sea l := [a, b] y sean f: l t R y g: I > R funciones continuas en /. Demostrar que el conjunto {x El: f(x) = g(x)} es cerrado en R.

JIJ.'.I LATOl'Ol.OOIA llH N 3\)4

Sucesiones de Cauchy

La noción de sucesión de Cauchy es un concepto importante en los espacios métricos. La definición se formula como se anticiparía, con el métrico sustituyen do al valor absoluto.

10.4.5 Ejemplos. a) Considérese R2 con el métrico d definido en el ejemplo 10.4.2 b). Si P = (x y ) e R2 para toda n eN, entonces se afirma que la sucesión n n' n (P11) converge a P = (x, y) con respecto a este métrico si y sólo si las sucesiones de números reales (x,.) y (y11) convergen ax y y, respectivamente.

Primero, se observa que la desigualdad lx11 xi ~ (d(P11, P) implica que si (/'11)

converge a P con respecto al métrico d, entonces la sucesión (x11) converge ¡¡ x; la convergencia de (y11) se sigue con un razonamiento similar. El recíproco se sigue de la desigualdad d(P11, P) ~ lx" xj + ly11 y¡, la cual se verifica con facilidad. Se dejan los detalles al lector.

b) Sea d"' el métrico en C[O, 1] definido en el ejemplo 10.4.2 d). Entonces una sucesión ( t; ) en C[O, 1] converge a f con respecto a este métrico si y sólo si (!,.)converge uniformemente a/en el conjunto [O, J.]. Esta condición se estableció en el lema 8.1.8 en la explicación de la norma uniforme.

10.4.4 Definición. Sea (x,.) una sucesión en el espacio métrico (S, d ). Se dice que la sucesión (x,,) converge ax en S si para cualquier e > O existe K EN tal que x11 e Vs(x) para toda n ;;o K.

Obsérvese que como x11 e V/x) si y sólo si d(x11, x) < e, una sucesión (x,.) converge ax si y sólo si para cualquier e> O existe Ktal que d(x11, x) < s para toda n ;;o K. En otras palabras, una sucesión (x,.) en (S, d) converge ax si y sólo si J¡¡ sucesión de números reales (d(x11, x)) converge a O.

Cualquier noción definida en términos de vecindades se puede definir y anali zar ahora en el contexto de los espacios métricos mediante la modificación ade cuada de la terminología. Se considera primero la convergencia de sucesiones.

Una sucesión en un espacio métrico (S, d) es una función X: N---> S con domi nio N y codominio en S, y se usa la notación usual para sucesiones; se escribe X:= (x ) pero ahora x e S para toda n e N. Al sustituir el valor absoluto de la defini n' ,, ción convergencia de sucesiones por un métrico, se llega a la noción de convergen cia en un espacio métrico.

Una vecindad de x0 es cualquier conjunto U que contiene una vecindade de x0

para alguna e > O.

V, ( X o) := {X E S: d ( X o , X) < S} .

IO.•l .. 1 lh·hukiún. Sea (S, d) un espacio métrico. Entonces para e> O la vecindad r de un punto x0 en Ses el conjunto

\1)/ 1 'd'A! 'U 1:, 1\111 l'IW < 1:l

Vecindades y convergencia

. La noción básica necesaria para introducir los conceptos de límites es la de vecmdad, la cual se define en espacios métricos de la siguiente manera.

.·~abe hace1r notar que si (S, d) es un espacio métrico y si T ~ S, entonces d' definido por d (x, Y) := d(x, Y) para toda x, y e T produce un métrico en T, el cual se denota g~ner~l~ente por d. Con base en lo anterior, se dice que (T, d) también es un espac;o .metnco. Por ~jemplo, el métrico den R definido por el valor absolu to es .un metnco en el conjunto Q de los números racionales y por tanto (Q d) también es un espacio métrico. ' ' '

Es u~ ejercicio demo~trar quedes un métrico en S. Este métrico se llama el métri co discreto en el conjunto S.

si s = t , si s =I= t.

d(s,t):=O := l

Es posibl~ u.sar las propiedades de la integral para demostrar que éste es en reali dad un metnco en C[O, 1]. Los detalles se dejan como ejercicio.

f) Sea S un conjunto no vacío. Para s, t e S se define

I, g E C[O, IJ.

Entonces .se puede verificar que d,,, es un métrico en C[O, 1 J. Este métrico es la norma uniforme de/ g, según se definió en la sección 8.1; es decir, d""(f, g) = l/f - g/l, donde 1111.1 denota la norma uniforme de f en el conjunto [O, 1].

e) Se considera nuevamente C[O, 1], pero ahora se define un métrico diferen te d1 por

d~(f,g) :=sup{lf(x)g(x)l:x E [0,1]}.

La com.pro?a.ción de que d, Y d00 satisfacen las propiedades de un métrico se deja como e1erc1c10. ·

. . d) Sea que C [O, 1] denote el conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo [O, 1]. Para f, gen C[O, 1 ], se define

d 1 ( p 1' p 2) = 1 X l X 2 I + 1 Y¡ - Y z l.

Otro métrico más en R2 es d,,, definido por

l./\ 'i'OJ'()J 0( HA 1 ll 11

para

. , ) ntualmente a la función discontinua Obsérvese que la sucesión (!" converge p~ 2 < < 1 Por tanto fe: C[O, 1 ]; de f(x) := 1 para O ~ x ~ 1/2 Y f(x) :=O para / x - · __. 0 ' hecho, no hay ninguna función g E C[O, 1] tal que d¡(f", g) .

Conjuntos abiertos y continuidad . , Una vez definida la noción de vecindad, las ~efiniciones de con Junto abierto y

conjunto cerrado se escriben igual que para conjuntos en R.

. 10 4 9 Definición. Sea (S, d) un espacio métrico. Se dice ~ue un subc?i~u~t~

Gd de s1~~ unUcocnjGun~e a~~:rqt:=~~ :~::~~jt~~t~ ~u~~o; :s ~:~1~~~t~~~ ::~~:;0 en ex ta que _ · . . s

S si el complement~0s~¡yes1~i~ c;~~~;~~::~e~~~ ~~io~es e intersecciones de c~n Los teoremas ·. · · · m liar sin dificultad a espacios

juntos abiertos y conjuntos cer:a~,os ses~~~~:; ~ét~cos de las demostraciones de métricos. De hecho, la transpos1c10n a ~odificaciones· simplemente se sustituyen esos teoremas se hace con muy pocas . . 'v ( ) S

. d ( + e) en R con vecindadese e x en · las vecinda ese x - e, x d . . dad de funciones que mapean un

Se examina ahora el concepto ~ co~tt1~U1 (S d ) Obsérvese que la definí . , · (S d ) en otro espacio me neo 2, 2 · . espacio rnetnco 1' 1 . R modifica al reemplazar las vecin

. , n 5 1 1 de continuidad para funciones en se ClO · · . , . dades en R con vecindades en los espac10s métncos

Ü ~X< 1/2 1/2 < X ~ 1/2 + ljn 1/2 + ljn < X ~ l.

para para

:= 1 + n/2 nx :=o

Para probar esta a~irmación .basta pres~~tar una ~~~e:iió~i::tec;~~~~a 1~~r~~ tenga límite en el espacio. Se define la sucesión (!.) d g figura 10.4.1):

fn(x) := 1

FIGURA 10.4.1 La sucesión(!.).

_l 1+1 2 2 n

1

\1¡1) 11.:ll'/\I ·1rnl M1t 1'1(1( 'Wi

para toda x E [O, 1] y toda n, m ;;,, H. Por tanto, para toda x, la sucesión ( f,,(x)) es una sucesión de Cauchy en R y, por consiguiente, converge en R. Se define f como el límite puntual de la sucesión; es decir,f(x) := lím (J,,(x)) para toda x E [O, 1 ]. Por (#) se sigue que para toda x E [O, 1] y toda n ;;,, H se tiene Jf,,(x) f (x)i ~ e. En consecuencia, la sucesión ( !,.) converge uniformemente a f en [O, l]. Puesto que el límite uniforme de funciones continuas también es continuo (por 8.2.2), la fun ción f está en C[O, I]. Por lo tanto, el espacio métrico (C[O, 1 ], d<J es completo.

e) Si d, es el métrico en C[O, 1] definido en 10.4.2 e), entonces el espacio métrico (C[O, 1), d1) no es completo.

(#)

10.4.8 Ejemplos. a) El espacio métrico (Q, d) de los números racionales con el métrico definido por la función del valor absoluto no es completo.

Por ejemplo, si (x11) es una sucesión de números racionales que converge a -Ji, entonces es una sucesión de Cauchy en Q, pero no converge a un punto de Q. Por lo tanto, ( Q, d) no es un espacio métrico completo.

b) El espacio C[O, 1] con el métrico d¿ definido en 10.4.2 d) es completo. Para probar esta afirmación, supóngase que (!,.) es una sucesión de Cauchy

en C[O, 1] con respecto al métrico d,,,. Entonces, dada e > O, existe H tal que

10.4.7 Definición. Se dice que un espacio métrico (S, d) es completo si toda sucesión de Cauchy en S converge a un punto de S.

En la sección 2.4 la propiedad de completidad de R .se estableció en términos de las propiedades de orden imponiendo el requisito de que todo subconjunto no vacío de R que esté acotado por arriba tenga un supremo en R. La convergencia de las sucesiones de Cauchy se deduce como un teorema._ De hecho, es posible inver tir los papeles de estas propiedades fundamentales deR: la propiedad de completidad de R se puede enunciar en términos de sucesiones de Cauchy como en 10.4.7, y la propiedad del supremo se puede deducir entonces como un teorema. Puesto que muchos espacios métricos no tienen una estructura de orden apropiada, el concep to de completidad se debe describir en términos del métrico, y las sucesiones de Cauchy ofrecen el medio natural para ello.

10.4.6 Definición. Sea (S, d) un espacio métrico. S1· dice que una NtlCl'~lii'•ll (xn) en Ses una sucesión de Cauchy si para toda e >O existe JI EN tal que i/(111, x111) < e para toda n, m ;;,, H.

El teorema de convergencia de Cauchy 3.5.4 para sucesiones en R estahloco que una sucesión en Res una sucesión de Cauchy si y sólo si converge a un punto de R. Este teorema no se cumple para espacios métricos en general, como lo rcvc lan los ejemplos que siguen. Los espacios métricos para los cuales las sucesiones de Cauchy son convergentes poseen una importancia especial.

LA 'l'OPOl ,rnll/\ 1)lt11 J')H

'J. l •c•nH•:.litii q111.: cu cualquier espacio métrico una vecindade de un punto es 1111 rrn1j1111lo abierto.

1 O. Demostrar el teorema 10.4.11. 11. Demostrar el teorema 10.4.12. . , 12. Si (S, d) es un espacio métrico, se dice que un subcon1du(nto A)~ SBe}s~ acot~da~

siexistex ESyunnúmeroB>OtalqueA~{xES: x,x0 ~ · emosr que si A e~ un subconjunto compacto de S, entonces A es cerrado Y acotado.

11()1 ¡1,~W/\( 'l(l~i Mll,'t'ltl< 'WI


l. Demostrar que las funciones d, y d.¿ definidas en 10.4.2 e) son métricos en R2.

2. Demostrar que las funciones d ¿ y d1 definidas en 10.4.2 d, e) son métricos en C[O, 1].

3. Verificar que el métrico discreto en un conjunto S según se definió en 10.4.2 f) es un métrico.

4. Si P11 := (x11, Y,,) E R2 y d ¿ es el métrico de 10.4.2 e), demostrar que (P,.) converge a P := (x, y) con respecto a este métrico si y sólo si (x,,) y (Y,,) conver gen ax y y, respectivamente.

5. Verificar la conclusión del ejercicio 4 si d.¿ se sustituye con d.. 6. Sea S un conjunto no vacío y sea del métrico discreto definido en 10.4.2 f).

Demostrar que en el espacio métrico (S, d) una sucesión (x11) en S converge a x si y sólo si existe una K EN tal que x,, = x para toda n ;:¡;, K.

7. Demostrar que si des el métrico discreto en un conjunto S, entonces todo subconjunto de Ses a la vez abierto y cerrado en (S, d).

8. Sean P := (x, y) y O:= (O, O) enR2• Trazar los siguientes conjuntos en el plano: a) {PE R2: i1(0, P) ~ l}. b) {PE R2: d,)O, P).:; l}.

10.4.12 Preservación de la compacidad. Si (S, d) es un espacio métrico compacto y f: S-> Res una función continua, entonces f(S) es compacta en R.

Por tanto, las importantes propiedades de las funciones continuas dadas en 10.3.5 se siguen de inmediato. El teorema de acotabilidad, el teorema del máxi momínimo y el teorema de la continuidad uniforme para funciones continuas con valores reales en un espacio métrico compacto se establecen mediante la modifica ción apropiada de la terminología de las demostraciones dadas en 10.3.5.

10.4.11 Teorema de continuidad global. Si (Sl' dJ) y (S2, d2) son espacios métricos, una funcion] : S1> S2 es continua en S1 si y sólo si ¡-1(G) es abierto en S1 siempre que G sea abierto en S2.

La noción de compacidad se amplía de inmediato a los espacios métricos. Se dice que un espacio métrico (S, d) es compacto si toda cubierta abierta de S tiene una subcubierta finita. Entonces al modificar la demostración de 10.3.4 se obtiene el siguiente resultado.

10.4.10 Definición. Sean (SJ, d1) y (S2, d2) cspack», 11wl 111·11.~ y sl':i f: \ • S, una función de S1 a S2. Se dice que la función/ es continua e11 el pu1110 r: de .'11 :il para toda vecindade Ve(f(c)) def(c) existe una vecindadé V8(c) ele e tal <¡LI\:. :ii 1

E V8(c), entonces f(x) E Vif(c)). La formulación e-8 de la continuidad se puede establecer de la siguiente mu

nera: f: S1> S2 es continua en c si y sólo si para toda e > 0 existe Ó > 0 tal que d¡(x, c) < 8 implica que d2(f (x), f(c)) < e.

El teorema de continuidad global se puede establecer para espacios métricos mediante la modificación apropiada de la argumentación para funciones en R.

11\ '101'(>1!HIÍ/\111' /1 tll)(J

Apóstol, T. M., Mathematical Analysis, 2a. edición, AddisonWesley, Reading, Mass., 1974.

Bartle, R. G., The Elements of Integration, Wiley, New York, 1966. Bartle, R. G., Introducción a/Análisis Matemático, 2a. edición, Editorial Limusa. Barwise, J. y J. Etchemendy, The Language of First Order Logic, U niv. of Chicago

Press, 1990. Boas, R. P., Jr.,A Primer of Real Functions, 3a. edición, Carus Monograph Number

13, Math. Assoc. Amer., 1981. Gelbaum, B. R., y J. M. H. Olmested, Counterexamples in Analysis, HoldenDay,

San Francisco, 1964. Halmos, P. R., Naive Set Theory, SpringerVerlag, New York, 1974. Hawkins, T., Lebesgue's Theory of Integration, lts Origins and Development, Univ.

Press, Madison, 1970. Kline, M., Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Oxford Univ.

Press, New York, 1972. McLeod, R.M., The Generalized Riemann Integral, Carus Monograph Number

20, Math, Assoc. Amer., 1980. Tichmarsh, E. C., The Theory of Functions, 2a. edición, Oxford U niv. Press, London,

1939. Wilder, R. L., The Foundations of Mathematics, Wiley, New York, 1952.

~ilJliografía

Las ciencias naturales se ocupan del registro de hechos y de la organización de los mismos en un cuerpo coherente del saber que haga posible la comprensión de la naturaleza. Originalmente, las ciencias se restringían en gran medida a la observa ción, al acopio de información y a su clasificación. Esta clasificación llevó de manera gradual a la formación de diferentes "teorías" que ayudaban a los investi gadores a recordar los hechos individuales así como a poder explicar, y en ocasio nes predecir, los fenómenos naturales. La meta final de la mayoría de los cientí ficos es poder organizar su ciencia en una colección coherente de principios y teorías generales para que estos principios les permitan tanto la comprensión de la naturaleza como su aplicación para hacer predicciones del resultado de futuros experimentos. Así, su intención es estar en posición de desarrollar un sistema de principios generales (o axiomas) para la ciencia que los ocupa les permita deducir los hechos y consecuencias particulares a partir de estas leyes generales.

Las matemáticas son diferentes a otras ciencias: por su naturaleza intrínseca es una ciencia deductiva. Esto no quiere decir que los matemáticos no reúnan he chos y hagan observaciones relacionadas con sus investigaciones. En realidad, muchos matemáticos dedican gran parte de su tiempo a la realización de cálculos de casos especiales de fenómenos que estudian con la esperanza de descubrir "prin cipios unificadores". (El gran Gauss llevó a cabo una vasta cantidad de cálculos y estudió muchos datos numéricos antes de poder hacer una conjetura respecto de la distribución de los números primos.) Sin embargo, incluso después de formular estos principios y conjeturas, el trabajo se encuentra lejos de haber concluido, pues los matemáticos no están satisfechos hasta que las conjeturas se han derivado (es decir, probado) de los axiomas de las matemáticas, de las definiciones de los tér minos y de los resultados (o teoremas) ya demostrados. Así, un enunciado mate mático no es un teorema hasta que se ha derivado cuidadosamente de axiomas, definiciones y teoremas demostrados con anterioridad.

Cabe dedicar algunas palabras a los axiomas (es decir, postulados, hipótesis, etc.) de las matemáticas. Hay pocos axiomas que se apliquen a las matemáticas en su totalidad, los "axiomas de la teoría de conjuntos", y hay axiomas específicos dentro de las diferentes ramas de las matemáticas. En ocasiones estos axiomas se enuncian formalmente y en ocasiones se encuentran incorporados en definiciones. Por ejemplo, en el capítulo dos de este libro se presentó una lista de propiedades que se supuso posee el sistema de los números reales; en realidad son un conjunto de axiomas. Como otro ejemplo, la definición de "grupo" en el álgebra abstracta

J\PI 1:NIJICE

LÓGICA Y DEMOSTRACIONES

(P o Q) = (Q o P). . . di f las conjuntivas, obsérvese que

A fin de contrastar las propos1c10nes isyun IVaS y . . , "2 < ,,/2 ó .J2 . . , "2 < .J2 y ./2 < 3,, es falsa, pero la propos1c10n

la propos1c10n t: . d nte i ual a 1 4142 .. ·). < 3" es verdadera (ya que "2 es aproxima ¡"me . ~n la co~junción y la disyun

Reflexionando un poco se descubre que a negaci ' ción se relacionan por las leyes de De Morgan:

no (P y Q) =(no P) o (no Q),

no (P 0 Q) =(no P) y (no Q).

La primera equivalencia se puede ilustrar considerando las proposiciones

P: X = 2, Q: y E A.

. ( 2) 0 (y EA) son verdaderas, La proposición (P y Q) es .verdadera si ta~to l~ ;rop~~:iones (x = 2) y (y E A) es y la proposi~ión es fals~ ": al me(;ys uQn)aes ~erdadera si al menos una de las propo falsa; es decir, la propos1c1on no siciones (x * 2) Y (y (;!:A) se cumple.

(P y Q) = (Q y P). . ., d p Q s la proposición denotada por

De manera similar, la d1syunc1on e y e

PoQ d 1 oposiciones p y Q es verdadera y es

que es verdadera cuando al menos una e as pr 1 1 el "o" se denota por "y/o" falsa cuando ambas so? falsa.s. En do~~men~~~d:~:r:s cuanto tanto p como Q son para aclarar que esta d1syunc1ón también ed~ ., d p y Q es P V Q). También verdaderas. (Una notación común para la isyuncion e

es evidente que

PyQ p o Q son verdaderas y es falsa en los demás

que es verdadera cuando tanto com . . , d p y Q es p !\ Q.) Resulta evi casos. (Una notación común para la conjunción e

dente que

(Este es el "principio de.!~ doble negación".) niunción es la proposición denota Si p y Q son propos1c10nes, entonces su co "

da por

noP l. es falsa cuando pes verdadera. (Una notación

que es verdadlera cua~?º:ee; f:s sa ~)Al reflexionar un poco se llega a que común para a negac10n _, ·

p = no(noP).

·, .. l: proposición denotada por S1 l ' l"• 111.:1 p1l1p11siciún, entonces su ncgacmn es a

Existen varias maneras diferentes de formar nuevas proposiciones a partir de proposiciones dadas usando conectivos lógicos.

(x es Abraham Lincoln) = (x es el dieciseisavo presidente de los Estados U nidos).

Todas las demostraciones y razonamientos matemáticos se basan en proposi ciones, que son enunciados declarativos o cadenas de símbolos inteligibles que su pueden calificar como verdaderos o falsos. No es necesario saber si una proposi ción dada es en realidad verdadera o falsa, pero debe ser lo uno o lo otro y no puede ser ambas cosas a la vez. (Este es el "principio del medio excluido".) Por ejemplo, el enunciado "Los pollos son bonitos" constituye una cuestión de opi nión y no una proposición en el sentido de la lógica. Considérense los siguientes enunciados:

• Llovió en Kuala Lumpur el 2 de junio de· 1988. • Thomas Jefferson era más bajo de estatura que John Adams. • Los números primos gemelos son infinitos. • Este enunciado es falso.

Los tres primeros son proposiciones: el primero es verdadero, el segundo es falso y el tercero es verdadero o falso, pero no estamos seguros cuál es el caso en este momento. El cuarto enunciado no es una proposición; no puede ser verdadero ni falso porque lleva a conclusiones contradictorias.

Algunas proposiciones (como "1+1:::: 2") siempre son verdaderas; se llaman tautologías. Algunas proposiciones (como "2 = 3") siempre son falsas; sella man contradicciones o falacias. Algunas proposiciones (como "x2:::: 1") a veces son verdaderas y a veces son falsas (e.g., verdadera cuando x:::: 1 y falsa cuando x = 3). Desde luego, para que la proposición sea totalmente clara es necesario que. se haya establecido el contexto adecuado y que se haya definido adecuadamente el significado de los signos (e.g., en los ejemplos anteriores es necesario saber que nos referimos a la aritmética de enteros).

Se dice que dos proposiciones P y Q son equivalentes lógicos si Pes verda dera estrictamente cuando Q es verdadera (y, por tanto, P es falsa estrictamente cuando Q es falsa). En este caso se acostumbra escribir P = Q. Por ejemplo, se escribe

Proposiciones y sus combinaciones

es básicamente un conjunto de axiomas que se suponv pw.LT 1111 c1111j1111l11 d1· 1 h mentos, y el estudio de Ja teoría de grupos es una invcstigacion de l;1s L'Oll:\L'1'1w11

cias de estos axiomas. Los alumnos que estudian análisis real por primera vez por lo general 110 n11·1111111

con gran experiencia en la comprensión (por no mencionar la consuuccióu) d1• demostraciones. De hecho, uno de los principales objetivos de este curso (y de l'Sil'

libro) es ayudar al lector a obtener experiencia en el pensamiento crítico qui; sl' emplea en este proceso deductivo. El objetivo de este apéndice es ayudar al lector a conocer más a fondo las técnicas de la demostración.

i\l'l•NI 111 1 4()(1

(no Q) =>(no P),

la cual se llama el contra positivo de la implicación P => Q. Por ejemplo, si P => Q es la implicación

Como ejercicio, el lector deberá demostrar que la implicación P => Q es equi valente lógico de la implicación

Contraposítívo y recíproco

(P :::> Q) y (Q => P). p Q es verdadera precisamente cuando Es un ejercicio directo demostrar que <=>

p y Q son ambas verdaderas o ambas falsas.

(noP) o Q,

ya que esta proposición es verdadera a menos que tanto no P como Q sean falsas; es decir, a menos que P sea verdadera y Q sea falsa.

y que se define por

ya que esta proposición sólo es falsa cuando P es verdadera y Q es falsa, y es verdadera en los casos restantes. De la primera ley de De Morgan y del principio de la doble negación se sigue asimismo que P => Q es un equivalente lógico de la proposición

es la proposición Si estoy en lllinois, entonces estoy en Chicago.

Puesto que es posible estar en Illinois ~uera de Chicago, es evidente que estas dos proposiciones no son equivalentes lógicos.

· , Es la Hay una última manera de formar proposiciones que se mencionara. doble implicación (o la bicondicional), que se denota por

p <=> Q 0 psi y sólo si Q,

no (P y (no Q)),

Q=>P,

la cual se llama el recíproco de p => Q. El lector deber~ ~star atento para no co~~:~ dir el recíproco de una implicación con su con~tr~pos~t~~'/q~i~~~e~~~ ~r;¡: de la

dif tes Mientras que el contraposi rvo e . , ~~~~;:ció1n e~:~a, ~l recíproco no lo es. Por ejemplo, el recíproco de la proposic10n

Si estoy en Chicago, entonces estoy en lllinois,

En este caso a P se le llama la hipótesis y a Q se le llama la conclusión de In implicación. Para ayudar a comprender los valores de verdad de la implicación, considérese la proposición

Si hoy me saco la lotería, entonces le compraré un automóvil a Sam.

Resulta claro que esta proposición es falsa si me saco la lotería y no le compro un automóvil a Sam. ¿Qué pasa si no me saco la lotería hoy? Bajo estas circunstan cias, no he hecho ninguna promesa acerca de comprarle a alguien un automóvil, y como la condición de sacarse la lotería no se realiza, el hecho de no comprarle un automóvil a Sam no se deberá considerar como la ruptura de una promesa. Por tanto, la implicación se considera verdadera si la hipótesis no se satisface.

En los razonamientos matemáticos, las implicaciones son motivo de gran in terés cuando la hipótesis es verdadera, pero no lo son tanto cuando la hipótesis es falsa. El procedimiento aceptado es tomar la proposición P => Q como falsa úni camente cuando P es verdadera y Q es falsa; en los casos restantes la proposi ción P => Q es verdadera. (Por consiguiente, si Pes falsa, entonces se conviene en tomar la proposición P => Q como verdadera sin importar si Q es verdadera o falsa. Esto puede parecerle extraño al lector, pero resulta ser conveniente en la práctica y consecuente con las demás reglas de la lógica.)

Se observa que la definición de P => Q es lógicamente equivalente a

Implicaciones

Una manera muy importante de formar una nueva proposición a partir de fHll

posiciones dadas es la implicación (o condicional), denotada por

Si estoy en Chicago, entonces estoy en lllínois,

. · ( Q) => (no P) es la implicación entonces el contrapos1tivo no Si no estoy en lllinois, entonces no estoy en Chicago.

. . rcibe después de reflexionar un La equivalencia de estas dos pr~po~~c~~~~ s:np;casiones es más sencillo estable

~~~~Í ~~~~:;~:i~~t:~~~:~~:~ 1::ui~alente' lógico. (Este hecho se explicará con

mayor detalle má_s adl~lan~~) p => Q entonces también se puede formar la propo Si se da una imp icacron ,

sición

(P implica Q). o (si P entonces Q) (P => Q),

1101) l.IHlll'A y 1>1'.MOS'l'HA('IONl1.S

Al'Í1.NllH 'I' 408

(entendida para enteros) se puede leer La última proposición se puede expresar en palabras como:

Existe un entero x tal que

para toda y, x +y * O. Para todo entero x, existe

un entero y tal que x +y = O.

Aun cuando en este libro no se usan estos símbolos, es importante que el lector sepa cómo leer las fórmulas en que aparezcan. Por ejemplo, la proposición

no (Vx) (3y) (x +y= O), (3x) no (3y) (x +y= O), (3x) (Vy) no (x +y= O),

(3x) (Vy) (x +y * O). ('lfx) (3y)(x +v = O)

Cuando interviene 1 varios cuantificadores, estos cambios se usan repetidamente. Así, la negación de la proposición (verdadera) i dada anteriormente pasa a ser de

manera sucesiva

(Vy) no§. no (3y) ,'Y pasa a ser

y de manera similar,

(3x) no :Y no (Vx) :Y pasa a ser

Existe x tal que x2 = 1.

La primera proposición incluye el cuantífícador universal "para toda", y está haciendo una afirmación (en este caso falsa) acerca de todos los enteros. La segun da proposición incluye el cuantificador existencíal "existe", y está haciendo una afirmación (en este caso verdadera) acerca de al menos un entero.

Estos dos cuantificadores ocurren con tanta frecuencia que los matemáticos acostumbran usar el símbolo V para representar el cuantificador universal y el símbolo 3 para representar el cuantificador existencial. Es decir, se tiene

V denota "para toda",

3 denota "existe".

y

Existe un entero x tal que x2 = 1.

Evidentemente, la primera proposición es falsa, como se constata al tomar x = 3; sin embargo, la segunda proposición es verdadera, ya que se puede tomar x = 1 ó x = 1.

Si se ha establecido el contexto de que se habla de enteros, entonces las pro posiciones anteriores se pueden abreviar sin problemas como

Para toda x, x2 = 1

Existe un entero y tal que

para todo entero x, x + y = O.

Estas dos proposiciones son muy diferentes; por ejemplo,_ l~_Primera es ve:da dera y la segunda es falsa. La moraleja es que el orden d~, apancion de los dos tipo~ diferentes de cuantificadores es muy importante. Tamb1en se debe_ subra~ar que si en una expresión matemática con cuantificadores intevienen vanas vanables, se debe suponer que los valores de las variables posteriores dependen de l~s valo:es de las variables mencionadas antes. Así, en la proposición (verdadera) t. antenor, el valor de y depende del valor de x; en este caso, si x = 2, entonces Y = 2, en tanto que si x = 3, entonces y= 3.

Es importante que el lector sepa cómo negar una proposición que incluye cuantificadores. En principio, el método es simple. .

a) Para demostrar que es falso que todo elemento x .de un con1unto.clado p~ see cierta propiedad ff', basta presentar un solo crnrnft~aie.]ema:fo (es decir, un ele mento particular del conjunto que no posee esta propiedad); Y .

b) Para demostrar que es falso que existe un elemento Y. en "" conjunto dad~ que satisface cierta propiedad :Y', es necesario probar que mngun elemento Y del conjunto tiene esa propiedad. . ,

Por Jo tanto, en el proceso de formar una negación

y

se puede. leer como

(3y)(Vx)(x +y = O) ll

lk muriera similar, la proposición entero? ¿Una función? ¿Una matriz? ¿Un subgrupo de u11 ¡•,r11pu d:1du? ¡,1 .;( sf111lh1 lo 1 denota un número natural? ¿La función identidad'! ¿La matriz identidad? ¡,l •'.I subgrupo trivial de un grupo?

Con frecuencia quienes participan en una discusión conocen bien el contexto, pero siempre es una buena idea establecerlo desde un principio. Por ejemplo, en muchas proposiciones matemáticas intervienen una o más variables cuyos valores por lo general afectan la veracidad o falsedad de las mismas, por lo que siempre s0

debería aclarar cuáles son los posibles valores de las Variables. Con mucha frecuencia las proposiciones matemáticas incluyen expresiones

como "para todo", "para cualquier", "para alguna", "existe", "hay", etc. Por ejem plo, se pueden tener las proposiciones

Para todo entero x, x2 = 1

1111 /\1'11,Nl )1( 'JI, 4HI

R2: n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1,

R3: n2 = 2(2k2 + 2k) +l.

Es firm~ opinión de los autores que, si bien el uso de este tipo de simbología con frecuen~ra ~esulta conveni~nte, no es un sustituto de la reflexión. De hecho, los lector~~ ?~dmanamen~e deb.eran razonar por sí mismos cuál es la negación de una propo~1c1on Y n~ confiar a ciegas en la simbología. Aun cuando una notación y sim b~Iogia convementes con frecuencia pueden ser un útil auxiliar para el razona miento, nunca pueden ser un sustituto adecuado del pensamiento y la comprensión.

o como

Q: n2 es un entero impar.

Se necesita la definición de entero impar, por lo que se introduce la proposición

R1: n = 2k + 1 para algún entero k.

Se tiene entonces P => R 1. Se quiere deducir la proposición n2 = 2m + 1 para algún entero m, ya que ésta implicaría Q. Se puede obtener esta proposición usando álgebra

(38 > O)(A n (-8,B) = 0).

(38 > O)('v'y E A)(y 9! ( B, 8)) La conclusión del teorema es:

Y su negación se puede simbolizar como

Teorema l. El cuadrado de un entero impar también es un entero impar. Si se hace que n simbolice un entero, entonces la hipótesis es:

P: n es un entero impar. ('t/8 > 0)(3y E A)(y E (-8, 8)),

(La ley del silogismo establece que si R1 => R2 y R2 => R3 son verdaderas, entonces R1 => R3 es verdadera.) Esta construcción no suele ser una tarea sencilla; puede requerir intuición y considerable esfuerzo. Con frecuencia también requiere experiencia y suerte.

Al construir una demostración directa, con frecuencia se trabaja hacia adelan te a partir de P y hacia atrás a partir de Q. Nos interesan las consecuencias lógicas deP; es decir, las proposiciones Q1, ... , Qk tales que P => Qi' Y también se podrían examinar las proposiciones Pl' ... , P,. tales que P1 => Q. Si se puede trabajar hacia adelante a partir de P y hacia atrás a partir de Q de tal modo que la cadena "se co necte" en alguno de los pasos intermedios, entonces se tiene una demostración. Con frecuencia en el proceso de intentar establecer P => Q uno se encuentra con que se debe fortalecer la hipótesis (es decir, agregar hipótesis a P) o debilitar la conclu sión (es decir, reemplazar a Q por una consecuencia que no sea equivalente a Q).

La mayoría de los estudiantes están familiarizados con las demostraciones "directas" del tipo descrito arriba, pero daremos aquí un ejemplo elemental. De mostremos el siguiente teorema.

Para toda 8 > O, el intervalo ( ó, ó)

contiene un punto que pertenece al conjunto A.

se puede considerar que incluye la negación

Existe ó > O tal que el intervalo

(-8, ó) no contiene ningún punto de A.

La primera proposición se puede simbolizar como

no (3y) ('t/x) (x +v = O),

(\fy) no ('t/x) (x +v= O),

(V'y) (3x) no (x +y= O),

(\fy) (3x) (x +y =F O).

La última proposición se puede expresar en palabras como:

Para todo entero y, existe

un entero x tal que x +y =F O.

Obsérvese que esta proposición es verdadera y que el valor (o los valores) dex que hace x +y * O depende de y, en general.

De manera similar, la proposición

· Demostraciones directas

Sean P y Q proposiciones. Al afirmar que la hipótesis P de la implicación P => Q implica la conclusión Q (o queP => Q es un teorema) se afirma que siempre que la hipótesis P es verdadera, entonces Q es verdadera.

La construcción de una demostración directa de P => Q requiere la construc ción de una cadena de proposiciones Rl' R2, ... , R,, tal que

(Esta proposición es, desde luego, falsa.) De manera similar, la negación de la proposición (falsa)¡¡ dada antcriorml'llft•

pasa a ser de manera sucesiva

1111 1 t H 11( 'A V 1 >l\Mo:.i HA< 'l<!NI1•1 412

Demostración. Si se supone, por contradicción que los números primos son finitos, entonces se puede suponer que S = {pl' ... , p1J es el conjunto de todos los

Teorema 3. Sea a ~ O un número real. Si para toda E> O se tiene O ,,;;; a < E, entonces a = O.

Teorema 6. (Elementos de Euclides, Libro IX, Proposición 20.) Hay una infi- nitud de números primos.

La demostración por el contrapositivo suele ser conveniente cuando el cuan tificador universal está presente, ya que la forma contrapositiva incluirá entonces el cuantificador existencial. El siguiente teorema es un ejemplo de esta situación.

Hay varias demostraciones clásicas por contradicción (conocidas tam?!én como reductio ad absurdumi en la literatura matemática. Una es la demostración de que no hay ningún número racional r que satis;aga :2 ~~·(Este es e~ teore~a ~.1.7 en el texto.) Otra es la demostración del caracter rnflmt~ de los numero~ pnmos, la cual se encuentra en los Elementos de Euclides. Recuerdese que un numero,n~tu ral pes primo si sus únicos divisores son 1 y p. Se supon?rán los resultados básicos de que todo número primo es mayor que 1 y que todo numero natural mayor que 1 es primo o divisible por un número primo.

Teorema 2. Si n es un entero y n2 es par, entonces n es par. La negación de "Q: n es par" es la proposición "no Q: n es impar". La hipóte

sis "P: n2 es par" tiene una negación similar, por lo que el contrapositivo es la implicación: Si n es impar, entonces n2 es impar. Pero este es precisamente el teorema 1, el cual se demostró arriba. Por lo tanto, esto proporciona una demostra ción del teorema 2.

Demostración. Se supone que la proposición a > O es verdadera Y que la proposición l/a >O es falsa. Por lo tanto, l/a ,s; O. Pero como a> O es verdadera, por las propiedades de orden deR se deduce que.~(1/a) ,s; º:Puesto que 1 = a(l/a!, se deduce que 1 ~ O. Sin embargo, esta conclusión contradice el resultado conocí

d d 1 > O Q.E.D. o e que .

Teorema 5. Sea a> O un número real. Si a> O, entonces l/a >O. Hay básicamente dos tipos de demostración indirecta: i las demostraciones por el contrapositivo y ii las demostraciones por contradicción. Ambos se inician con el supuesto de que la conclusión Q es falsa, en otras palabras, que la proposi ción "no Q" es verdadera.

i Demostraciones por el contraposítívo. En lugar de demostrar P => Q, se puede probar su contrapositivo, que es su equivalente lógico: no Q :=:> no P. Con sidérese el siguiente teorema.

son equivalentes lógicos. Por tanto, P => Q se establece demostrando que la propo sición (P y (no Q)) implica una contradicción. Demostraciones indirectas

p =>Q (P y (no Q)) => C,

ii Demostracíón por contradiccíón. Este método de dem~s~r~ción h~ce uso del hecho de que si Ces una contradicción (es decir, una proposicion que siempre es falsa, tal como "I =O"), entonces las dos proposiciones

Por cierto, las letras "Q.E.D." se refieren a quod erat demonstrandum, expre sión en latín que significa "lo que se quería demostrar".

Demostración. Si la conclusión es falsa, entonces se cumplen las dos des igualdades m < 10 y n < 10. (Recuérdese la ley de De Morgan.) Entonces al sumarlas se obtiene m + n < 10 + 10 = 20, por lo que la hipótesis es falsa. Q.E.D.

Demostración del teorema 1. Si n es un entero impar, entonces n = 2k + 1 para algún entero k. Entonces el cuadrado de n está dado por n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) +l. Si se hace m = 2k2 + 2k, entonces mes un entero y n2 = 2m +l. Por lo tanto, n.2 es un entero impar. o.E.D.

Teorema 4, Si m, n son números naturales tales que m + n ~ 20, entonces m ~ 10, o bien, n ~ 10.

Se presenta ahora un ejemplo más de una demostración por el contrapositivo.

Demustración. Si a= O es falso, entonces como a > O se debe tener a> O. En este caso, si se escoge s0 = i a, entonces se tiene f0 > O y f0 < a, de donde la hipótesis O ,s; a < e para toda f > O es falsa. Q.E.D.

Si se hace m = 2k2 + 2k, entonces m es un entero y se h11 dt·duddn 1:1 prop0Mi1 ·io11

R4: n2 = 2m + 1

Se tiene, por tanto, P => R1 => R2 => R3 => R4 => Q y el teorema se 1!;1

demostrado. Desde luego, esta es una manera complicada de presentar una demostración.

Normalmente, la lógica formal se omite y el razonamiento se da en un estilo más literario con enunciados en lenguaje común. La demostración anterior se puede reescribir en un estilo más satisfactorio de la siguiente manera.

111'• ti 14

l. No. Por ejemplo, tanto (O, 1) como (O, 1) pertenecen a C. 3. E\F = {x: 1 ~ x < O},f(E)\f(F) es el conjunto vacío, y f(E\F) ={y: O<

y~ 1}. 4. Si y E f(E n F), entonces existe X EE n F tal que y = f (x), Puesto que X E E

implica que y E f(E) y x E F implica que y E f(F), se tiene y E f(E) n f(F). Con esto se demuestra que f (E n F) C f (E) n f (F).

7. Una biyección es la función lineal que mapea a a O y b a 1, a saber, f(x) := (x -a)/(b-a). ·

SECCIÓN 1.2

4. A n B e A por definición. Si A e B, entonces X E A implica que X E B, de donde x E A n B de tal manera que A ~A n B ~A. Por tanto, si A ~ B, entoncesA =A n B. Recíprocamente, si A =A n B, entonces r s A implica que XEA n B, de dondex E B, por lo quex E B. Por tanto, siA =A n B, entonces A CB.

5. 6. El conjunto Des la unión de {x: x EA y x 9E B} y {x: x 9EA y x E B}. 10. Six E En (U Aj), entoncesx E E y X E u Aj' Por lo tanto, X E E y X E Aj para

al menos una}. Esto significa que x EE n Aj para al menos una), de modo que E n (UA ¡) C U(E n A)· La demostración de la inclusión en el otro sentido es similar.

13. Si x it n{Aj: j EJ}, entonces existe k E J tal que x it Ak. (¿Por qué?) Por lo tanto,x E (Ak) y, en consecuencía.x e U{ (A);J El}. Por lo tanto, (nA) C U (A¡). La demostración de la inclusión en el otro sentido es similar.

SECCIÓN 1.1

Lector: No recurra a estas sugerencias a menos que se encuentre atorado. Sin em bargo, después de reflexionar un poco en un problema, en ocasiones una pequeña sugerencia es' todo lo que se necesita para desatar una idea. En muchos de los ejercicios se piden demostraciones y con frecuencia no hay un solo enfoque que sea correcto, así es que aun cuando el lector tenga un razonamiento totalmente diferente, éste puede ser correcto. Pocas de las siguientes sugerencias están com pletas, aunque se ofrecen mayores detalles para el material de los primeros capítulos.

!{ECOMENDACIONES PARA EJERCICIOS SELECCIONADOS

números primos. Se hace m =p. . . . el . . y se hace q = m + 1 e 1 pi/, producto <le lodt1i. In.~ uumcrox P• 111111,

. . · orno q > P· para toda i vem · , . . "• cons1gu1ente q no es núme . 1 E ' os que (J 110 está en ..S y que P<H

' ro pnmo. ntonces existe · ' q. Puesto que Pes primo, entonces = 1 . un pruno p que es divisor de m. Pero si p divide tanto a m com p /)para a gunaj, por lo que pes un divisonk~ cia q - m = 1. Si~ embargo esto a q-:- m + _1, entonces pes divisor de la difcreu, contradicción. , es imposible, por lo que se ha llegado a una

Q.E.D.

Al'Í\Nl>ll'I( <11(1

SECCIÓN 2.4

1 . >o , . ero es una cota inferior. Para cua qu~er x ~ ' Cualquier numero negativo oc 1 x no es cota superior de Sr l. , s por o que . el número mayor x + 1 esta en 1' O es una cota inferior de Si· S1 t d x Es entonces u - p

1 Puesto que O~ x para o a . 1' . /2 ES y v/2 < v. or o v >O, entonces v no es cota inferior de S1 ya que u i

tanto, inf S1 = O.

1. Se multiplican por 1/b ambos miembros de ub = b. Se usan (M2), (M4) y (M3) en el primer miembro y (M4) en el segundo miembro.

3. a) Se suma 5 a ambos miembros de 2x + 5 = 8 y se usan (A2), (A4) y (A3) para obtener 2x = 3. Después se multiplican ambos miembros por 1/2.

e) Se escribe x2 - 2x = x(x - 2) = O y se aplica el teorema 2.1.6 e ). Alternati vamente, obsérvese que x = O satisface la ecuación, y si x =l O, entonces al multiplicar por 1/x se obtiene x = 2.

4. a) -(a+ b) = (-1)(a + b) = (-l)a + (-l)b =(-a)+ (-b). 7. Obsérvese que si q E Z y si 3q2 es par, entonces q2 es par, de donde q es par.

Por tanto, si (pjq)2 = 6, entonces se deduce que pes par, por ejemplo,p = 2m, de donde 2m2 :;; 3q2, por lo que q también es par.

9. Sis := r + ~E Q, entonces ~:;; s - r E Q, que es una contradicción. Si t := r4 e Q y r =!= O, entonces~:;; t/r E Q, que es una contradicción.

11. Se toma x =-y:;: .../2.

SECCIÓN 2.3

r> si a< O entonces /al"' -a= R. ) S . > O entonces !al= a= v ar; ' l.a 1a~,

b) a2 ~ o para toda a E R. . , . r b) - a b Demostrar después que ( a Probar primero que a b ~ O _si y solo si a - . 3· + b)2=(a+b)2siysólos1 ab =ah. O}

912} e) {x E R: x < · 5. a) {x E R: 2 ~ x ~ '

8. a) {(x, y): y= x o y= x}. Si ~O v > O, se obtiene el segmento de recta b) Considerar cuatro casos: I x ;,, O btiene el segmento de recta que (o 1) Y (1 O) S1 x ~ O, Y ~ • se 0 queune , • · .

une (1, O) Y (O, 1), Y así suces1va;e;tye.8 Para la unión, sea y el mayor Para la intersección, sea y el menor e . 10. de ey 8.

SECCIÓN 2.1

(l)k+l k(k+1) +(-l)k+2(k+l)2=(-l)k+2(k+l)(k+2). 2 2

5. Si 52k 1 es divisible entre 8, entonces se deduce que 52(k+ 1)1 = (52k 1) + 24 · S2k también es divisible entre 8.

7. Si k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 es divisible entre 9, entonces (k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 + 9(k2 + 3k + 3) también es divisible entre 9. 9. La suma és igual a n/(2n + 1).

11. Si n0 > 1, sea S1 := {n EN: n -n0 + 1 ES}. Se aplica 1.3.2 al conjunto S1•

13. Paran:;; 5 se tiene 7 ~ 23. Si k ~ 5 y 2k-3 ~ 2k-2, entonces 2(k + 1)3 = (2k-3) + 2 ~ 2k2:;; 2(k+ 1)2.

15. vk + 1/../K+I:;; (v'kVk+f + 1)/Vk+l > (k + 1)/.Jk+f = Yk+f

l. La afirmación se cumple paran= 1porque1/(1·2):;; 1/(1+1). Si se cumple para n = k, entonces se deduce para n :;; k + 1, ya que

~ + 1 + k+ 1. k+l (k+l)(k+2) k+2

3. La igualdad se cumple paran"' 1porque12 = (1)2 U . La demostración se termina probando que 2

. . ue a+ e< b +c. Si a= b, entonces a ) Si a< b entonces 2.2.6 a) implica q ,,:;:: b +e Si e< d entonces l. a + e = b ; c. Por tanto, si a ~ b, en~o~~e~:n~ec a-: e o· P""'º que b' "' O, se sigue 5. Si a * O, entonces 2.2.5 a) implica que ,

que a2 + b2 >O. . 0 < a2 < ab < bz. Entonces, Si O< a < b, por el ejercici~ 2.~.6 se s1gu: ~ < .Jib < ..Jb2 = b. 7·

. 1 2,., 14 a) se infiere que a - ª por el ejemp o ·~· ' { R· 1 < x <O ó 1 < x}.

9. a) {x ER: x < 1 ó x > 4}, c). x ~ica. ue O< c2 <e, de donde O< c2 12. a) Si 0 <e< 1, entonces 2.2.6 e) rmp q

<e< l. · · 2114 14. Usar el ejercicio 2.2.13 y e~ :jerc1c10 . . .

16. Sea b := 1/c y usar el e!~r~1~:¡~·~:~igualdad de Cauchy 2.2.14 d)._ . 18. Tornar aj:= 1/~ y bi .- cli d sigualdad de Cauchy. Obsérvese asimismo

Tomar e.re e.y bj:"'len a ue 1 )2>c2+···+c2. 19· }. 0 p~ra toda k implica que (c1 + · · · +en 1 n que ck

SECCIÓN 1.3 SECCIÓN 2.2

12. a) Conm utativa, no asociativa, sin idéntico. l3. a) No distributiva.

10. Si (b, a) y (b, a') perteucccn a/ 1, ¡;11fo11<:cs (11, h) y (11'. li) pcrlc:1wn11111 f. Si/ es inyectiva, entonces a= a' y, por tanto, f 1es1111a f11ndó11.

12. Sea f(x) := 2x y g(x) := 3x. (Hay muchas más.) 15. Si f(x1) = f(x2), entonces x1 = g(f(x1)) = g(f(x2)) = x2• Por tamo, fes i11 yectiva.

' ' (A 1'11 l«'H'IO! /,Jll fll'í'IOl'l/\1111~. ltl\('!IMl'NIJAI IONHN IAI IU(COMl·.Nlll\('IONhH l'l\l(A 1!.il lll 'lt'IOll •H•l l 11 lllll \IHl'l

) 1, ( ) _ 1 b) Divergencia. l. a un xn - · 3. Considerar ( (1 )"). n última instancia x * O por lo que

. · lím (x ) = x * O, entonces e n 5. S1zn.X11Y11Y n Yn = 2nfxn.

7. No está acotada. .. (l + l/n)n el exponente varía. 9. En (3) el exponente k es f1JO, pero en

· 211nb 11. Demostrar que b ,,,;; z n ~ ' ·

SECCIÓN 3.2

11. Sea S :== {h(x, y): x E X, y E Y}. Se tiene h(x, y) ~ F(x) para toda x E X, y E Y, por lo que sup S ~ sup {F(x): x EX}. Si w < sup {F(x): x EX}, enton ces existe x0 E X con w < F(x0) = sup {h(x0, y) y E Y}, de modo que existe y0 E Y con w < h (x0, y0). Así, w no es cota superior de S y, por consiguiente, tu < sup S. Puesto que esto se cumple para cualquier w tal que w 2, entonces t3 > 2 por lo que t

~ T. Por tanto, y:= sup T existe. Si y 3 < 2, se escoge l/n < (2 y3)/(3y 2 + 3y + 1) y se demuestra que (y+ 1/n)3 < 2, que es una contradicción, y así suce sivamente.

SECCIÓN 3.1

O 2 o 2 o. b) 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5.

l. a) ' ' ' ' c) 1 2 3, 5, 4. 3. a) 1, 4, 13, 40, 121. _ 2 '= 2;(n + l) < 2¡n. Dada e> O, seaK ~ 2/e. 5. b) Obsérvese que 2n/(n + 1)) ~/(n + 1) < 1¡./ñ. 6. a) 1;.fn+7 < 1/~· e n 7 Considerar ((l)n). 9: Escoger E >o t~l que X - e> o). Si (2n)11" = 1 + k", demostrar que k;,,,,;; 2(211

13. Usar el razonamiento ~e 3.1.1 e . l)/n(n _ 1) < 4/(n 1).

~u+ v.

l. El número O es cota inferior del conjunto, y si y > O, entonces existe una n EN tal que O < l/n <y. Por tanto, O es el ínfimo del conjunto.

3. Supóngase que u E R no es el supremo de S. Entonces i u no es cota superior de S (porlo que existe s1 ES con u< si' de donde se toman EN con l/n < s1 u para demostrar que u + l/n no es cota superior de S), o bien, ii existe una cota superior u1 de S con u1 < u (en cuyo caso se toma 1/n < u - u 1 para probar que u - l/n no es cota superior de S).

5. Sea u := sup f(X). Entonces f (x) ~ u para toda x E X, por lo que a + f (x) ~ a+ u para todax EX, de donde sup {a+ f(x): x EX}~ a+ u. Si w <a+ u, entonces w- a < u, por lo que existe xw E X con w - a < f(x,), de donde w <a+ f(xw) y, por tanto, w no es cota superior de {a+ f(x): x EX}.

7. Si u:= sup f(X) y v:= sup g(X), entoncesj'(e) s u y g(x) ~ v para todax EX, de donde f (x) + g(x) ~ u+ v para toda x EX. Por tanto, u + v es cota superior del conjunto {f(x) + g(x): x EX} y, por consiguiente, sup {f(x) + g(x): x EX}

3. a) Hay seis inyecciones d~ S etn dT. seis elementos debe pertenecer a uno de Cada miembro del subcon3un o e . . . del palomar dos de los seis 5. . erados Por el pnncipio , los cinco con3untos enum . . . to y la suma de esos dos elemen elementos deben parar en el mismo con3un '

tos es 10. . . . 2 7 6 n ejemplo. Otro es el cambio definido 7. La biyección del e1erc1c10 N. • ~~{l}

por f(n) = n + 1 que mapea en . 9. Sea A":= {n} para toda n EN.

SECCIÓN 2.5

SECCIÓN 2.7

[ 1 b']si sólosia',.;;a:S;;b~b'.

l. Obsérvese que [a, b] ~ a ' . ¡ S Ses cota superior de S, entonces 3. Puesto que inf S es cota su[ pebn1or neton~e:u~ es cota inferior de S y b es cou

s e I . Además, si S ~ a, , e - s d [ b1 :J l superior de S, de don e a, 1. s·2 5 3 b) se sigue que existen EN con 1/n

5. Si x > O, entoncespor el coro ano .. <X de donde X é [O, 1/n}. . ' N Si X > o entonces por la

' K ara mnguna n E · ' 7 Six,.;;O,entoncesxé nP 'tenENconxé(n,oo). . . d d de Arquímedes se deduce que exis x x propte a 5 1 .25137·. ·137· .. == 31253/2497 . 11.

SECCIÓN 2.6 3. Puesto que 1/n ~ 1 para toda 11 EN, 1 l.lS l'Uill llllJl('l 1411 do s,I' l'l'l'O l 1111

miembro de S3, de donde 1 = sup Sy (Ver el ejercido 2.'1.6.). 5. Si S está acotado por abajo, entonces S' := {s: s ES} c:;lá acotado por 11n 1

ba, por lo que u := sup S' existe. Si v ~ s para todas ES, entonces 11 ;. .1·

para todas ES, por lo que -v ~ u y, por tanto, v ~ -u. En consecuencia, inf S =-u.

6. Sea u E S una cota superior de S. Si v es otra cota superior de S, entonces u ,~ v. Poftanto, u = sup S.

8. Sea u := sup S. Puesto que u es una cota superior de S, también lo es u + l /11 para toda n EN. Puesto que u es el supremo de S. y u - 1/n < u, entonces existe s0 ES con u -1/n < s0, de donde u -1/n no es cota superior de S.

10. Puesto que sup S es cota superior de S, es cota superior de S0 y, por tanto, sup S0 ~ supS.

11. Considerar dos casos. Si u > s", entonces u= sup (SU {u}). Si u< s", entonces existes ES tal que u < s ~ s", por lo que s* = sup (S U {u}).

• , )S Slll 11< '< 'ION/\llOS lll'.( 'OMl·'.NDAl'H)NJl.S t•AltA 11.Jtl.lH 1( ll .. , , , ur« 'OMl'NI >A< 'ION11.:j l'AltA 111111(< 'lt 'lt 1 "ti 1 1 1 1 11111\11111

3. Obsérvese que x11 - O < e si y sólo si x11 > l/e. 5. No. Como en el ejemplo 3.4.5 e), existe una subsucesión (nk) tal que nk sen

(nk) > nk/2, y existe una subsucesión (mk) tal que mk sen (mk) < -md2.

3. a) Obsérvese que (1)11(1)"+1 = 2 para toda n EN. 6. Sea u:= sup {xn: n EN}. Si e> O, seaHtal que z, -e<xH:os; u. Sim;;;,: n;;;,:

H, entonces u - e < x11 ,,,;;; x,,, .:; u, de modo que ;l,,. x11 < e. 7. SeaL :=x2 x1. Demostrar que xn+t -xn =L/211-·-. Obsérvese que (x211+ 1) es

una sucesión creciente. Expresar x2,, + 1 en términos de x2,, _ 1. 10. Demostrar que x11 + 1 x,, < ~ xn - x11_1 . El límite es .J2 1.

SECCIÓN 4.3 < l/a y en consecuencia, f(x) >

. 0 < 1/az entonces x ' 3. Dada a > O, si < x ' ales uiera lím f(x) = r:t:J,

a. Puesto que a es un valor cu q ' x-->O < /( 1)· se tiene por tanto . 1 1 < x < a/(a 1), entonces a x x '

S. a) S1 a> Y que }~ + x/(x - 1) = oo~ ces a< 2 ..JX y, por tanto, «< (x + 2)/Ji·

e) Si a> 0 y 0 < x < 4/a e ento(~)/x ~e donde el límite por la derecha e) Six>O,entoncesl/"Jx< x+ '

es+ ce, g) l.

7. Usar el teorema 4.3.11.

SECCIÓN 3.6

l. a) 10 e) 1/12 d l denominador por ..Jf + 2x + .J1"+3x. 3. Multiplicar el numera or Y e s \f (x) (x) _O\ ,,,;;; Af\g(x) O\ para x e 5. Si \f(x)i.:; M para x E Y.s(c), entonce g

V 0(c). _ (! + )(x) _ f(x). 9. a) Obsérvese que g(x) - g) · x2 (x) := 1/x para x >O.

b) No; por ejemplo. tomar f(x .- Y g 11. a) El límite no existe. b) O

SECCIÓN 3.5

SECCIÓN 4.2 2. Si xn := c1í11, entonces x211 = -JX;. 5. Si (x11) no converge a O, entonces existe e0 > O y una subsucesión (x,,k) con

x"k > e0 para toda k EN. 6. a) l. d) Obsérvese que (n + 2)/n = [(n + 2)/(n + 1)] · [(n + 1)/n]. 8. Demostrar que lím ((l)"x,,) =O.

11. Escoger n1;;;,, 1 para quex,,1;;;,: s- l, después escoger n2 > n1 para quexn2 > s 1/2 y, en general, escoger nk > nk- l para que Xnk > s - 1/k.

SECCIÓN 3.4

l. Demostrar por inducción que O ,,,;;; x11 :os; 2 paran ;;;,, 2 y que (x,,) es monótona. De hecho, (x,,) es decreciente, porque si x1 < x2, entonces se tendría (x1 1)2

< x1x2 - 2x1 + 1 = O. Puesto que x := lím (x,,) debe satisfacer x = 2 1/x, se tiene x =l.

3. Demostrar que la sucesión es monótona. La raíz positiva de la ecuación z2 z -a= O es z* = (1 + ./1 + 4a)/2. Demostrar que si O< z1 < z", entonces zl- z1 a < O, y la sucesión (z11) se incrementa a z*. Si z" < Zp entonces la sucesión se decrementa a z*.

5. Demostrar que (S11) es decreciente y que está acotada, y que (t11) es creciente y está acotada. Asimismo, t,, :os; x11 :os; s11 para n EN.

8. Demostrar que Yn + 1 -yn >O y que Yn < n/(n + 1) < 1 para toda n. 10. a) e. d) Obsérvese que 11/n = (1+1/(n 1))1.

12. Obsérvese que O :os; s,, - -J5,,;;;; (s; 5)/JS,,;;;; (s;- 5)/2.

SECCION 4.1 d \ 2 I] < 3\x1\. Por tanto,

) S. 1 I] < 1 entonces lx + 1) < 3, de don e x - - l. a 1,x '

12 1'<1/2

lx1\ < 1/6 asegura que x - 1 < 7· d) Si \x1\ < l, entonces \x2 + x + 1'. ~ 0 existe 0 >o tal que si O <\y Si lím /(y)= L, entonces para cualquier e ·- - por lo que y= x +

3. y-->c 'f( )L\<e.Sehaceahorax.Y e, _ e\ < 0, entonces : Y ) _ L e para concluir que se tiene l~o f (x + e - . . O

' [O 1] tiene lím ite en . Obsérvese que la restricción de sgn a '

;: Tomar o:= e¡'K. 2 s: >O demostrar que \..fi - -JC \,,,;;; (1/../C)\x e\. 9. Si e= O, tomar o:= e . i e ,

11. a) Considerar x,, := l/n. · _1 . e) Considerar x11 := l/n Y Y11 ;- (f/(n.))2 _ 1 pero lím f(x) no existe.

13. Si f(x) := sgn(x), entonces ~l.Po x - ' x-->O

SECCIÓN 3.3

422 IU1.COMl\NDA('IONl·:S l'AltA l' . .IHH• 'I( 'H >N M 1 11 1 11H11\l ll 11•

<17 1 , , ,.., ''l'll'( ·1 'H>N/\llOS

A( 'l(>Nl'S l'AllA 1111\IH 1( u,,,''''' RI'.( 'OMl'.Nll "

. > N entonces o < X < y n' • , 7. ·1) Existe N., tal que st n l' O e~iste e > o· Y una subsuces1on

~) Sea O < =, < M. Si (y") no convergl~ a ( , /Y ) = ~. existe K tal que si k > 9. <y Puesto que un xn " . ·,

(Y11k) tal que Eo, "k. lo cual da lugar a una contrad1cc1on. K, entonces M¡ e0 < x,,k/Y11k'

b) Diverge. 13. a) (1/n). 15. a) Converge a O. 17. b) (n).

SECCIÓN 6.1 1( 1 1) , l _ _:2.

'( ) lí = hm ( h) - z l. b) g X ::;: 111~10 h X + h X /1 _,O X X + X 1 1

e) h'(x)::;: h1Í!J10 ~(v'x+h ./X)= 1~Í!I10 JX+h + ¡; = 2/;

4. Obsérvese que .f(x)/x ""' x parax ER .

1 Sixe[ab],entoncesf(a)~f(x). . (x): ( b)} s: Si f es dreciente en [a, b ], entonces )in¿+ f (x) == inf {f x . x e a, . . f {f(y)-f(x)· x <e <y,x,y e/}= ínf {f(y): e <y,yEl}

7. Demostrar que m · sup{f(x):x<c,xe/}. · 536

10. Usar el teorema del valor intermedio de BolzanoWe1erstrass ... ll. La función ¡no es continua en x = l.

SECCIÓN 5.5

SECCIÓN 5.4 l. Puesto que 1/x1/u = (u-x)/xu, se deduce que 1/x1/u ""'(1/a2)xu

para x, u en [a, oo], 2 2) ,,,:: 2 ara x u en R. 4· ~ie~o::r;~t~~:~~o +d~ ~(~0+:0 ~~; e~A.:ieiJostra; que .f(x)g(x) f(u)g(u) 6. f( ) M ( )- f(u) para toda x, u en A. I

""'M f(x) u + .g x ntonces Jf(x) f(u) <l. Si A 10. Existe 8 > O tal que sr )x ", u¡< (), ~d u E Ala e unión de un número finito de

está acotado, entonces esta contem o en . intervalos de longitud 8. . está acotada en R Puesto que f

14 Puesto que f está acotada en [O, p ], se sigue . . J Demostrar . . J ·- [1 p + ll es uniformemente contmua en .

es contínua en . ' ' . ntinua en R. ahora que esto imf p(ll)' ca :u(:)f !s ;;~!º;~::1:n:;uca~dad se cumple en x = 1/2.

18. Demostrar que . 2 x - 11 ~

Por tanto, se debe tomar n ~ 250.

7. En el intervalo [0.7390, º·7391]. f(O) _ 1 f(7r:/2) > l, se sigue que x0 9. Puesto que f(n/4) < 1, en tanto que . y · d d-8 y (x) e I en la

'O /2) Si cos x > x2 entonces existe una vecm a o o e \ , 7r: • o d es un punto mínimo absoluto de f. cual f(x) = cos x, .de don ~ X(o~º 1) bajo fes [O 1), por lo que la imagen de

12. Obsérvese que la imagen e , '. un intervalo abierto puede no ser un intervalo abierto.

i!: ~~nsiderar g(x) :::;: 1/x para x enl :::;: (O, 1).

~25 • r: OS SJll JIC( 'IONADOS Rl\C'()MJ'Nl>A( 'lt lNJl.S 1'/\l{A 1\.11'.lH l .• 1 . . , •

•

l. Aplicar el teorema de acotabilidad 5.3.2 a 1// o bien el teorema del máximo mínimo 5.3.4 para concluir que inf /(/)>O.

3. Construir una sucesión (x11) en I con lím (f (xn)) = O y aplicar el teorema de BolzanoWeierstrass a (x11). (Alternativamente, demostrar que si el valor mí nimo de f en I es diferente de O, entonces ocurre una contradicción.)

5. En los intervalos [1.035, 1.040] y [7.026, 7.025].

SECCIÓN 5.3

3. Sea f la función discontinua de Dirichlet [ejemplo 5.1.5 g)] y sea g(x) := 1 f(x).

5. La función g no es continua en 1 = f (O). 7. Sea /(x) .= 1 si x es racional y f(x) := 1 si x es irracional. 9. Demostrar que un número real cualesquiera es el límite de una sucesión de

números de la forma m/2", donde me Z, ne N. 11. Si h(x) := f(x)- g(x), entonces hes continua y S = {x e R: h(x) ~O}. 13. Demostrar primero que /(O)= O y (por inducción) que f (x) =ex para x e N y,

en consecuencia, también para x e Z. Probar después que f (x) = ex para x e Q. Por último, si x e: Q, sea x = lím (r11) para alguna sucesión en Q.

15. Si f(x) ~ g(x), entonces de ambas expresiones se obtiene h(x) = /(x); y si /(x) ""' g(x), entonces h(x) = g(x) en ambos casos.

SECCIÓN 5.2

4. a) Continua si e i= O, ±1, ±2, .... e) Continua si sen e-:/= O, l.

5. Sí. Definir /(2) := lím /(x) = 5. x-+2

7. Sea e:= f(c)/2 y sea 8> O tal que si x-c < 8, entonces f(x) /(e) <e, lo cual significa que f(x) > /(e) e = /(c)/2 >O.

9. b) Sea /(x) := 1 para x ~O, /(x) := 1 para x <O y A:= [O, 1]. 12. Si x es irracional, entonces existe una sucesión (r") de números racionales

que converge a x. 13. La función g sólo es continua en 3. 15. Sea In:= (O, l/nJ paran e N. Demostrar que (sup f(In)) es una sucesión de

creciente y que (inf /(In)) es una sucesión creciente. Si lírn (sup f (In))= lím (inf f (In)), entonces lím f existe.

x-+O

SECCIÓN 5.1

9. Existe a > O tal que ,xf(x) -L < 1 siempre que ) 11•. l'or tanto, f( 1) (L + 1)/x para x > a.

13. No. Si h(x) := f(x) g(x), entonces lím h(x) =O y se tiene que f(x)/g(x) = 1 x-+o:>

+ h(x)/g(x)-> l.

RE(.;OMl\NDACIONrnl l'ARA 1\.11\l{( 'I( '11 l:I M ,1 l'I 1 111111\I ti Hl

21. J<,2nl)(x) = (l)na2111 sen ax y j(211)(x) = (l)"a211 ces ax para N

· g (x) = 3x2 para x :=. O '(x) 3 2 n E · 5. 1.095 < fil < ;1 ; f375 ==; ,:h_ ~r: ~ < O Y g"(x) = 6Jxl para x E R. 6. Rz(0.2) < 0.0005 y Rz(l) < 0.0625 . 7. Rz(x) = (1/6)(10/27)(1 + c)-B/3x3 < (5/81)x3, donde O< e< x

l. a) Puesto que inf {kf(x): x E!) = k inf {f(x): x E!). se tiene L(P; kf) = kL(P;f).

3. El caso n = 2 es el teorema 7.2.1. 7. Por el ejercicio 2.4.10 se deduce que sup {L(P; !): PE &;(l)} ~ sup {L(P;

!): PE Si'(J)}. Recíprocamente, si PE flJ(I), sea P' :=PU {e}. 9. a) Si fes par y P es una partición simétrica de [-a, a], entonces L(P; f) =

2L(P1;f).


l. A = B [ Jí_giJ(x)/g(x)] =O

64. O)bsérvese que f'(O) = o; pero que f'(x) no existe si x * O

· ª 1 b) 1 e) O d) 1/3 · 7. a) 1 b) co e) o d) 0 8. a) O b) O c) O d) O 9. a) 1 b) 1 e) e3 d) 0

10. a) 1 b) 1 c)(O,/ d) 0 '/

l. Demostrar que siP es cualquier partición de [a, b], entoncesL(P; f) = U(P; f) = c(b-a).

2. Considerar Pe:= (O,!, e,~ +e, 1). 5. Demostrar que L(P11; f) = (11/n)2/4 y U(P,,; f) = (1 + l/n)2/4. 7. Dada e> O, escoger e E (a, b) en la proximidad de a. Si Qe es una partición

de [e, b] tal que U(Qe;f)-L(Qe;f) <e, sea P0 :={a} U Qe. 9. Si f(c) >O para alguna e El, usar el teorema 4.2.9 para encontrar una parti

ción P 0 de I tal que L(P 0; f) > O. 11. Evidentemente, L(P; h) = O para toda P. Si e > O, construir una partición Pe

tal que U(Pe; h) < e. 13. Considerar el ejemplo 7.1.7 d). 15. Dada e > O, encerrar cada discontinuidad en K intervalos disjuntos [a k' b d

con longitud total< e/4My con índices tales que bk < ak+ 1, k = 1, ... , K. En cada uno de los conjuntos [a, a1], [bk, a k + 1], [bK, b] la función es uniforme mente continua.

17. Examinar la demostración de 7.1.12. 19. a) Con la notación de 7.1.2, se tiene !mk¡, !m;¡, :m¡'I ~¡¡¡¡¡.Por tanto, O~

L(P';f)-L(P;f) = (m~-mk)(z-xk-1) + (mt-mk)(xk-z) ~ 2i!fi:(xk -xk-1) ~ 2llfil · llPll·

SECCIÓN 6.3

SECCIÓN 7.1 l. a) Cr~c~ente en ~3/2, oo). e) Creciente en (oo, 1] y [1, oo). 2. a) M~x~mo relativo en x = 1; máximo relativo en x == 1

c) Máximo relativo en x = 2/3. · 3. a)) ~~n~mos relativos en x = ± 1; máximos relativos en x =O ±4

4 e ( mimos relativos en x = 2, 3; máximo relativo en x = 2' .

· x = 1/n)(a + ... +a ). · 6 s· 1·

" 9. f'C~!~ y' )existe e en (x, y) tal que [sen x - sen y j :::; kos e/ Jy xj.

11. P . nst ¡<O paran¡:. 2, y f'(2/(4n + l)n) >O para x > 1 . or ejemp o, f(x) ::::; v x. ·

14. Aplicar el teorema de Darboux 6.2.12. 16. b) Si b i=- O, entonces para n suficientemente grande si x > t

existe una x > t 1 1 ' ~ n, en onces 20. e) Aplicar el t~~re~aªd qDue Eb> if(n + 1) f(n)! = lf'(x,,)/ ~ lb//2.

e ar oux a los resultados de a) y b).

9. U,,(x) r .1·11 "/11 ! • O cuando ti > oo 11. Con 11 = 4, log 1.5 = 0.40; con n = 7, log 1.5 = 0.405. 13. e= 2.718 281 8 con n = 11 14. a) No b) No e) No d) Mínimo relativo 16. Considerar f (x) := x x en a = O. 19. Puesto que f(2) <O y f(2.2) > O, hay una solución de f en [2.0, 2.2]. El

valor de x4 es aproximadamente 2.094 5515. 20. r1 = 1.452 626 88 y r2 = 1.164 035 14 21. r = 1.324 717 96 22. r1 == 0.158 594 34 y r, = 3.146 193 22 23. r1 = 0.5 y r2 = 0.809 016 99 24. r = O. 739 085 13

SECCIÓN 6.2

5. a) f:(x) = (1 x2)/(1 + x2)2. e) h (x).~ m~xk-1(cosxk)(senxk)"'-1.

6. ~)aff~(nc)1~n/ es continua paran~ 2 y es derivable para a > 3. 8. x - parax>O,f(x)==Oparal<x<O f'()-

e) h'(x) = 2lxl para toda x E R. y x - -2 para x < 1. 10. Puesto que g'(l/..fE!ir) = _2Jnir se si , ,

vecindad de O. ' gue que g no esta acotada en ningu11a

11. a) f'(x) = 2/(2x + 3). b) g'(x) = 6(L(x2))2/x. 12. r >l.

l(l'f 1111'\ 11 l u 1¡\t l 1 11 l l 1' I'/\ lll\ Jl.l hlH '!( 'IOS Sl<.I .1\( '('ION/\ 1 >OS RH('OMl!NJli\( 'IONl!S l'i\HA llJl(I{( 'l('I( I' tJI J 1tell11 IAI tt I~

42ú

l. La suma es la suma de Riemann correspondiente aP11 :=(O, l/n, 2/n, ... , n/n) y los puntos intermedios g.k := k/n.

3. Demostrar que el límite es igual a /d (1 + x2)~1 dx. 4. a) 1/8. b) 2/n:. 7. La suma de Riemann es telescópica.

11. Obsérvese que la suma de las sumas de Riemann de f en [a, e] y en [e, b J es una suma de Riemann en [a, b]. Además, si e > O, existe 8 > O tal que todas las sumas de Riemann en [a, b] correspondientes a P con P < 8 difiere en menos de e de una suma en [a, e] más una suma en [e, b].

15. a) La integral es igual a n. b, e) Las integrales son divergentes. d) La integral es igual a rc/2.

El límite es f(x) :=O para O~ x < 1, f(l) := 1/2, Y f(x) = 1 para 1 < x ~ 2. ~: Dada e> O, sea 8 >O tal que para x, u E R con x- u < 8, f(x)- f(u) <f.

Ahora establecer la restricción 1/n < 8. 1 7. Dada e= 1, existe K >O tal que sin ~ K y x E A, entonces .f,,(x) - f(x) < ·

Demostrar que f (x) ~ f J._x) + 1 para toda x E A. 9. En este caso f(x) :=O para todax E [O, 1], pero g(l) ~l. x r.: x _

11. Por la primera forma del teorema fundamental se sigue que fa!,,- !,,( ) J, (a). Ahora se aplica el teorema 8.2.4.

11 • 1 8 2 4 Si a - O usar el teorema 13 Si a > O, entonces se puede aplicar e teorema · · · ,

8.2.5. 1 . t 1 15. Se puede aplicar el teorema 8.2.5, o bien, se pueden evaluar as in egra es

directamente.

SECCIÓN 7.4

SECCIÓN 8.2 Aplicar ahora el corolario 7.3.13.

l. Obsérvese que O ~ fn(x) ,;;; xfn :> O cuando n=+ 00•

3. ¡(O) = O y f (x) = 1 para O < x. 5. En este caso f(x) =O para O ~ x. 9. El teorema 3.2.11 puede resultar útil.

11. Si x E [O, a], entonces ln(x) ,;;; a/n. Sin embargo, f,,(n) = 1/2. 13. Six E [a, oo), entonces fn(x)1 ,;;; l/na. 15. Si x E [a, oo), entonces ln(x) ,;;; l/na. 17. En este caso fn(l/n) = l/e. 19. ¿Dónde se maximiza!,,? 23. Sea Muna cota de (f,,(x)) y (g,,(x)) en A de tal modo que g(x) ~ M. Demos

trar que (fn(x))(g11(x)) f(x)g(x) ,;;; M g11(x) g(x) + M f/x) - f(x) para toda x s A.

SECCIÓN 8J.

3. a) Aplicar el teorema 7 .3.1 a H(x) := x en [O, b ], b > O. 7. Si h tuviera una antiderivada en algún intervalo no trivial, ocurriría una con

tradicción en el teorema de Darboux 6.2.12. 9. Si Pes una partición que contiene a todos los puntos donde F'(x) -:f. f(x),

aplicar el teorema 7.3.1 a cada subintervalo de P. 11. Escribir H(x) = /abf-/axf 13. b) F'(x)=2x(l+x6t1• d) F'(x)=(cosx)cos(senx). 15. a) Si O< a < x < 1, escribir /{(1/t) dt = N(l/t) dt + lax(l/t) dt.

b) Para y> O fija, demostrar que si g(x) := L(xy) -L(x), entonces g'(x) =O para toda x >O y g(l) = L(y).

17. Si F(x) := N f, entonces F '(x) = O para toda x E I y F(O) = O. 19. Si 8 >O, entoncesM e< f(x) paraxen algún intervalo [e, d] i:;;; [a, b]. Usar

el ejemplo 3.1.11 d). 20. a) (23/21)/3 b) ~1

e) 52/9 d) (4/3)(33/2 _ 23/2) 21. a) 4(1 log(5 /3)) b) (135/2 _ 55/2)/10 _ (133/2 _ 53/2)/2

e) log(3 + 2../2) log 3 d) n/4Arctan (1/2) 22. a) 2(1 n/4) b) 2 log 2 1

c) 2Ji + 4 log(2J2) d) .J8 + (1 /2) log (('181/(.JS + 1)) 23. Si g(x) ~ M para x E J, demostrar que g(x) ~ MKn(x - a)"/n!. Aplicar

ahora el ejercicio 3.2.15 c). 25. Sea t := tt+-8(b - a) para e E (O, 1] y escribir

Rn;; (1/n!)(b - a)n + 1 /01(1 e) t'" + 1l(a + &(b - a)) de.

l. Usar ( 4) con n"' 4, a= 1, b = 2, h = 1/4. En este caso, 1/4 ~ f"(c) ~ 2, T4"" 0.697 02.

2. s4""" 0.693 25. 3. T4::::: 0.782 79. 5. S4 = 0.785 39.

11. Usar el ejercicio 7.5.10. 13 Interpretar K como un área. tt= 3.14159265. l4. Aproximadamente 3.653 484 49. 15. Aproximadamente 4.821159 32.

16. Aproximadamente 0.835 648 85. 17. Aproximadamente 1.85193705. . 19. Aproximadamente 1.198140 23. 18. l.

20. Aproximadamente 0.904 524 24.

SECCIÓN 7.3

SECCH)N 7.5 13. Usar la desigualdad para demostrar que U(P; / fl) ~ tu-, Jf/) ~;; U(P; j')

L(P;f). 19. Demostrar que h = (1/2)(! + g + lf gl).

428 RECOMUNDl\(;IONES P/\1{/\ IUl~IH'l('ll>H ~111111111<11IAlll111 ¡1jt¡ 111\ll'f ll ll\l lt l! !Htl 111\IV\ IUl~JH '1< 'l<1K KHI ,11.1 '<'ION/\DOS

l. a) Tomar M := l/112. b) Convergencia uniforme para x ~a> O y conver 11 •

gencia no uniforme paraR\{O}. e) Convergencia enR; convergencia uni forme para x ~ a.

3. Si Ia serie converge uniformemente, entonces· e11 sen nx + · · · + e211 sen 2nx < e para n suficientemente grande. Ahora x se restringe a un intervalo en el que sen kx > 1/2 para n ~ k ~ 2n.

6. a) R = ce, e) R = 1/e. e) R = 4. 7. Ambos radios « l. 9. Por 3.1.11 d) se tiene p1/n ..-. l.

11. Usar el teorema de Taylor 6.4.1. 12. Si n EN, existe un polinomio P,. tal que ¡Cnl(x) = e-11x2P/l/x) para x =I= O. 15. En este caso s,.(x) = (1x11+1)/(1 x).

3. Se obtiene una subsucesión de la sucesión (s ). Considerar la serie divergente :E(1)". n

6. a) [(a:+ n)(a + 11 + l)J1 =(a:+ n)-1 -(a+ n + 1)1. 7. Considerar 1:(1)"/nI/2. 8. Sí.

11. Ag~upar términos para demostrar que a1 + a2 + · · · + a2,. está acotada por abajo por (1¡2)(a1 + 2a2 + 22a22 + · · · + 211a211) y por arriba por a1 + 2a2 + 22a22 + ... + 2"a2n·

13. a) 211(1/211 log 2") = 1/(n log 2) > 1/n. b) Usar el inciso a).

15. Usar la inducción matemática para demostrar que s,, = log 2 log n + log (n + 1).

19. No; racionalizar.


l. Si n > 2 x, entonces cos x - C,,(x) ~ (16/15) x 2"/(2n )!. Por tanto, cos (0.2) ""0.980 067, cos 1 """0.540 302.

3. Usar 8.4.8 ix y el hecho de que el seno es una función impar. 5. El ejercicio 8.4.4 indica que C4(x),,,; cos x,,,; Cix) para toda x ER. Al inte

grar varias veces se obtiene Six),,,; sen x,,,; S5(x) para toda x >O. Demostrar que sp.05) >O y que S5(3.15) <O. (Este procedimiento se puede afinar.)

7. Seguir unrazonamiento como el de 8.4.3 y 8.4.4. 9. Si <p(x) :::: e(-x), demostrar que <p"(x) = <p(x) y <p(O) = 1, <p'(O)::: O, por lo que

q>(x) = e(x) para toda x ER. Por lo tanto, e es par.

l. b, d) Son convergentes pero no absolutamente convergentes. 3. Sea z211_1 ::: 1/n, z211 :=O. 5. Sí. 8. a) Es convergente. b) Es divergente.

11. Agrupar los términos para obtener una serie alternante. Usar la integral de l/x para demostrar que los términos de la serie agrupada son decrecientes a O.

12. Usar el lema de Abe!. 15. a) Usar el criterio de Abe!.

e) Si a11:: O excepto cuando sen n está próximo a± 1, es posible obtener un contraejemplo.

e) Recuérdese el ejemplo 3.1.11 e).


l. a, d) Son convergentes. b, e) Son divergentes. 3. a) Es divergente ya que (log n)P < n paran suficientemente grande.

e) Es convergente. d) Es divergente. 5. Comparar con :E(l/n2). 7. a) Es convergente. e) Es divergente. 8. En este caso lím (x,~/11) = a < l. 9 Si m > n ~ K entonces s - s ~ x 1 + · · · + .x < r" + 1/(1 r). Se hace · ' m n n+ m

ahora m ..-. co 11. Sumar los términos de (12) para k:: n + 1, ... , m; entonces se hace m ..-. 00•

13. b) ss10 <0.633y ss11 <0.001cuandon>4x106•

14. Obtener una estimación más baja de s311•

15. Usar el teorema del valor medio para demostrar que e11 > e11+1. 17. Si q =I= p + I, usar el corolario 9.2.10. Si q = p + 1, usar 9.2.2 cony11:: 1/n.

l. En.(5), sea A:::: x >O y sea m ..-. oo, Para estimar e, tomar x::: 1yn:::3. 3. Evidentemente, E,,(x) ~ex para toda n EN, x ~O. Para obtener Ja otra des

igualdad, aplicar el teorema de Taylor 6.4.1 a [O, a] y observar que si e E lO, a], entonces 1 ~e°~ eª.

5. Obsérvese que O~ 111/(1 + t) ~ t" para t E [O, x]. 7. log 2 = 0.6931. 9. Puesto que a k/A "= 1 + xk ,,,; E(xk), se deduce que (a1 • • • a11)/A11 ~ E(x1) • •.

E(x,.)::: E(x1 + · · · + x11)::: l. 11. a) Puesto que l(l)::: O, se tiene 1"::: E(a:l(l))::: E(O) =l.

e) (xy)" = E(a:L (xy))::: E(a:L(x) + al (y))= E(a:L(x)) · E(a:L (y))= x"yª. 13. a) Si a> O, por 8.3.13 se sigue que x >> x" es estrictamente creciente. Puesto

que l~n L(x) = roc, usar 8.3.7 para demostrar que lím x" =O. x O+ x-0+

15. Usar 8.3.14 y 8.3.9 vii. 17. ~e hecho, se tiene 1og0x = (Iogx)/(log a)= {(logx)/(log b)}{(log b)/(log a)}

si a =I= 1, b =I= l. Ahora se toma a= 10, b =e.

SE<'( 'ION 9.2 SECCIÓN 8.3

lll l llf\ll lll1\1 J111n 1 l'/\UA l'll'ltt'll'IWlSIO l'<'('IONJ\1)()8 IU\( 'OM l!N 1 li\( 'IONflS l'Alti\ 11 ll'lt( 'lt '1011 '11 1 1 1 1 lt ti 1\I11 1•

l. Sea G11 := (1 + 1/n, 3) para n EN. 4. Obsérv~se que ~i .§es una cubierta abierta de F, entonces .§n {ef(F)} es

una cubierta abierta de K. 7. Sea K11 := [O, n] paran EN. 8. Usar el teorema de HeineBorel.

10. Puesto que K está acotado, inf K existe. Paran EN, sea K,, := { k E K: k ~ (inf K) + 1/n }. Se aplica ahora el ejercicio 10.2.9. (Otra opción es usar el teorema 10.2.6.J

11. ParaneN,seax11eKtalque c-x11 ~inf{cx:xEK}+l/n.Seaplica ahora el teorema 10.2.6.

SECCIÓN 10.2

l. SiP1:=(xl'y1), P2:=(x2,Yi), P3:;::(x3,y3), entonces d1(PpP2)~('x1 -x3 + x3-x2)+(y1-y3 + y3y2)=d1(P"P3)+d1(P3,P2).Portanto,d1

satisface la desigualdad del triángulo. 3. Se tienes =F t si y sólo si d(s, t) =l. Sis=/= t, el valor de d(s, u)+ d(u, t) es 1,

o bien, 2, dependiendo de si si u es igual a s o a t, o a ninguno de los dos. 5. Si (x11), (y,,) converge ax, y, entonces d(P11, P) = x11 -x + y11 - j _,.O, por l~

que (P ) converge a P. Recíprocamente, puesto que x,, - x ~ d(P,,, P), s1 d(P' P)--> O entonces lím (x ) = x· se procede de manera similar para (y,,).

n' ' 11 ' • 7. Demostrar que un conjunto compuesto por un solo punto es abierto. Enton

ces se sigue que cualquier conjunto es un conjunto abierto, lo cual a su vez implica que cualquier conjunto es un conjunto cerrado.

9. Para una y E V0(x) dada, sea 15 := e - d(x, y); entonces 15 > O. Demostrar que V6(y) s V/x). Puesto que y es un valor cualesquiera, se deduce que Ve(x) es un conjunto abierto.

12. Modificar la demostración del teorema 10.2.4.

SECCIÓN 10.4 l. Si x-u <inf{x,1x},entoncesu<x+(lx);;;lyu>xx;::Ü,porlo que O< u< l.

4. Si x E (O, 1), entonces x E (O, 1 + 1/n) para toda n e N. Asimismo, si x > 1, entonces x - 1 > O, por lo que existe nx EN tal que x - 1 > 1/nx, de donde x ~ (O, 1 + 1/n).

7. Por el corolario 2.5.6 del teorema de densidad se sigue toda vecindad de un pun~o x en ~ contiene un punto que no está en Q, por lo que Q' no es un conjunto abierto.

10. Obsérvese quex es un punto frontera de A <=> toda vecindad V dex contiene puntos de A y puntos de .ef (A) <=> x es un punto frontera de .ef(A).

12. Sea F cerrado y sea x un punto frontera de F. Si x ~ F, entonces x E ({(F). Puesto que -G' (A) es un conjunto abierto, existe una vecindad V de x tal que V s ef (A), lo cual contradice la hipótesis de que x es un punto frontera de F. Recíprocamente, si F contiene a todos sus puntos frontera y si y ~ F, entonces Y no es un punto ~ront~ra de F, por lo que existe una vecindad V de y tal que V s .ef(F). Esto implica que -ef(F) es abierto, por lo que Fes cerrado.

14. Puesto que A: es la unión de subconjuntos de A, se tieneAº e A. Se sigue que (Aº)° s Aº. Puesto que Aº es un subconjunto abierto de Aº y(Aº)º es la unión de todos los conjuntos contenidos en Aº, entonces Aº s (Aº)º. Tomar A= Q. Si ªx E G, entonces como Ges abierto, existe e> O con (a - e, a +e) s G. Esto contradice la definición de ax· x x

17. 20.

SECCIÓN 10.1

1. b) Si /:=(a, b) donde a< O< b, entonces f(l) =[O, e) donde e es el mayor de a2 y b2.

3. ¡1(G) = ¡1 ([O, e))= [1, 1 + e2) =(O, 1 + e2) n J. 5. ¡1((oo, a)) es la imagen inversa del conjunto abierto (oo, a). 7. Si x11 E Res tal que f(x11) = k para toda n EN y si x = lím (x,,), entonces f(x)

= lím (f (x11)) = k.

(Tr/2 }0 (sen x)2" dx = (ir/2)(1 · 3 · 5 · · · (2n 1))/(2 · 4 · 6 · · · 2n).

S!l'.CCl.ÓN IO.J I 'L. 11 ' nccr 1111 cumhio de vurinhlc cu el ejercicio <J,11, 1ti11l1111iK1111,11N111ulo ol h•o11• mu ().11.J l.

l 9. Integrar e-11=1:(-l)111Z11¡n!. 20. Aplicar el ejercicio 9.4.14 y el hecho de que

,¡,11 10'1 i HvH•l li 11\I 11lf11 l't\lll\ l• 11'1(1 'I< '11 )~; ~.¡q I'( 'e '11 ll IAI H l~i lllil'OMl1NllAl'lllNIUJl'AliAHlllJH'll'lll i1111111111 1111• •ll'

acotado, 59, 401 cerrado, 376, 399 compacto, 384 complemento de, 19 complemento con respecto, 19 contable, 78 contiene/está contenido en, 15 de Cantor, 381 diferencia simétrica de, 21 disjunto, 17 enumerable, 78 finito, 76 iguales, 16 inclusión de, 16 incontable, 78 ínfimo de, 59 infinito, 76 intersección de, 17 intervalos, 68 ss. no acotado, 59 producto canesiano de, 20 punto de acumulación de, 130 punto frontera de, 383 punto interior de, 383 que no se intersecan, 17 supremo de, 59 unión de, 17 vacío, 17

Conjunto abierto, 376, 399 Conjunto cerrado, 376, 399 Conjunto compacto, 384 ss. Conjunto contable, 78 Conjunto de Cantor, 381 Conjunto enumerable, 78

_Conjunto finito, 76 Conjunto infinito, 76 Conjunto vacío, 17 Conjuntos disjuntos, 17 Constante de Euler (C), 360

Bernoulli, Johann, 227 Bicondicional, 409 Biyección, 27

Cambio de variable, 284 Campo, 37 Canis Lupus, 218 Cantor, Georg, 75 Cauchy:

criterio de condensación de, 350 criterio de convergencia de, 120, 316,

345,367 criterio de)a raíz de, 352 desigualdad de, 50 sucesión de, 119, 397 teorema del valor medio de, 228

Clase, 15 Cociente:

de funciones, 139 de sucesiones, 140

Cola de una sucesión, 92 Compacidad, preservación de la, 391, 400 Complemento de un conjunto, 19, 20 Composición de funciones, 28, 168 Computadoras, 73, 86 Condición de Lipschitz, 226 Condicional, la, 408 Conjunción, 407 Conjunto(s):

abierto, 376, 399

Absurdum, ver Reductio Acotada(o):

conjunto, 59, 400 función, 139, 171 sucesión, 96 teorema de convergencia, 305

Antiderivada, 278 Axioma, 405 Axioma de selección, 82

fNDICI ~ /\NJ\LÍ1.,1CO

Ga/lus gallus, 406 Gráfica, 24

logarítmica, 129 ss., 329 métrico, 395 monótona, 191 múltiplo de, 140 no derivable, 205 par, 215 periódica, 191 polinómica, 144, 166, 189 racional, 144, 166 raíz cuadrada, 66 raíz 11ésima, 196 ss. restricción de, 25 salto de, 193 signo, 137 sobre, 27 sucesión de, 309 ss. suma de, 140 suprayectiva, 27 trigonométricas, 335 ss. uno a uno, 27 valores de, 24

Función aditiva, 170, 193 Función convexa, 242 Función creciente, 191, 219 Función de Thomae, 162, 272, 283 Función decreciente, 191, 219 Función del entero mayor, 164

cota mínima(= ínfimo), 58 Función derivable, 204

uniformemente, 226 Función discontinua de Dirichlet, 161 Función exponencial, 325 ss. Función impar, 215 Función inyectiva, 27 Función lineal por partes, 188 Función métrica,"395 Función par, 215 Función periódica, 191 Función signo, 137 Función suprayectiva, 27 Funciones de Bessel, 221 Funciones hiperbólicas, 341 Funciones no derivables, 205 Funciones trigonométricas, 335 ss.

Falacia, 406 Fermat, Pierre de, 203, 251 Flexiones, 203 Formas indeterminadas, 227 Función(es), 22 ss.

aditiva, 170, 193 acotada, 139, 171 biyectiva, 27 cociente de, 140 compuesta, 28, 168 continua, 159 ss., 400 contradominio de, 24 convexa,241 creciente, 191, 219 de Bessel, 221 de Lipschitz, 183 de potencias, 124, 136 de Thomae, 162, 272, 283 decreciente, 191, 219 del entero mayor, 170 del seno inverso, 214 derivable, 204 derivada de, 204 diferencia de, 140 dominio de, 24 escalonada, 186 exponencial, 327 extensión de, 26 gráfica de, 24 hiperbólico, 341 imagen de, 24 imagen directa de, 26 imagen inversa de, 26 impar, 215 integrable, 256 inversa, 28, 195 ss., 221 ss. inyectiva, 27 límite de, 129 ss. lineal por partes, 188

Elemento cero, 38 Elemento de un conjunto, 15 Elemento idéntico:

de R, 39 de una operación binaria, 44

Elemento unitario, 39

Fntcros, 16 Equivalencia lógica, 406 Espacio métrico, 394 ss. Espacio métrico completo, ~98 Excluido, principio del medio, 406 Exponentes, 42 Extensión de una función, 26 Extremo relativo, 216, 220, 240

Darboux, (:11:,11111, \'.>.'. Dccimai t'inito, 711 Decimal periódico, 74 Demostración:

directa, 413 indirecta, 414 por contradicción, 415 por el contrapositivo, 414

Demostración directa, 413 Demostraciones indirectas, 414 Derivabilidad uniforme, 226 Derivada, 204

de orden superior, 236 segunda, 237

Derivadas de orden superior, 236 Desarrollo del binomio, 374 Descartes, René, 203, 251 Desigualdad:

aritméticageométrica, 49, 334 de Bernoulli, 50, 222 de Cauchy, 40 de Holder, 223 del triángulo, 51, 54, 395

Desigualdad de Bernoulli, 50, 222 Desigualdad del triángulo, 51, 54, 395 Diferencia:

de dos funciones, 140 de dos sucesiones, 87 simétrica, 21

Diferencia asimétrica, 21 Distancia, 56, 395 Disyunción, 407 Divergencia:

de una función, 132, 136 de una sucesión, 88, 112, 126

División en R, 42 Doble implicación, 409 Doble negación, 407 Dominio de una función, 24

Continuidad, 28 ss., 389 ss. global, 390 uniforme, 179 ss.

Continuidad uniforme, 179 ss., 392 Continuo (continuum), 70 Contradicción, 406

demostración por, 415 Contradominio de una función, 23 Contraejemplo, 411 Contrapositivo (antítesis), 408

demostración por, 414 Convergencia:

absoluta, 345 de una serie de funciones, 366 ss. de una sucesión, 88, 126 de una sucesión de funciones, 309 ss. en un espacio métrico, 397 intervalo de, 369 radio de, 369 uniforme, 313, 367

Convergencia absoluta, 345 Convergencia condicional, 346 Convergencia uniforme:

de una serie, 367 de una sucesión, 313

Coseno, 338 Cota:

inferior, 58 ~ máxima inferior, 59 mínima superior, 59 superior, 58

Criterio: de la nésima derivada, 220 de la primera derivada, 220

Criterio de Abel, 364 Criterio de Dirichlet, 363 Criterio de discontinuidad, 161 Criterio de la integral para series, 354 Criterio de la primera derivada, 220 Criterio de la razón, 103, 353 Criterio dela segunda derivada, 242 Criterio de Raabe, 357 Criterio de razón de D' Alambert, 353 Criterios de comparación, 127, 351 Criterios de convergencia de series, 351 ss, Cuantificador existencial, 410 Cuantificador universal, 410

111 f11J ll< ¡r ¡\NAI 1'11< '() INJ)l('J•.ANAI l'J'J('()

Radio de convergencia, 369 Raíz(ces):

criterio de la, 352 existencia de, 66, 68 funciones de, 196 ss. localización de, 174 método de Newton, 243 ss.

Raíz cuadrada de 2: cálculo, 109 carácter irracional, 44 existencia, 64

Rayos, 69 Recíproco, 39, 409 Reductio ad absurdum, 415 Refinamiento de una partición, 254 Regla de la cadena, 208 Regla de Simpson, 304 ss. Regla del punto medio, 302 ss. Reglas ele L'Hospital, 227 ss.

Quod erat demostrandum, 414

Propiedad de Arquímedes, 63 Propiedad de completitud de R, 5H s1i.

Propiedad de idempotencia, 18 Propiedad de los intervalos anldadon, / 1 Propiedad de tricotomía, 44 Propiedad del buen orden, 31 Propiedad del ínfimo, 61 Propiedad distributiva, 18, 39, 1111 Propiedades algebráicas de R, .lH 1iM

Propiedades de los conjuntos ce 11111 h •~ 377

Propiedades de los conjuntos ab!io1 l111, 377

Propiedades de orden de R, 44 s~. Proposición, 406 Punto:

de acumulación, 129 frontera, 383 interior, 383 intermedio, 286

Punto de acumulación, 129 Punto fijo, 400 Punto frontera, 383 Puntos antípodas, 178 Puntos terminales de intervalos, 69 /11

• 11 Ir H llf '11. ANAl.Í 111 '11

, Par ordenado, 20 Partición, 252

norma, 183 refinamiento, 254

Pico, 116 Polinomio:

de Bernstein, 189 de Taylor, 237

Polinomio de Taylor, 237 Positiva( o):

clase, 44 número, 45

Potencia(s): de un número real, 42, 199, 331 funciones de, 199, 331 series de, 368

Preservación: de intervalos, 178 de la compacidad, 391, 400

Principios del palomar, 77 Producfo:

de conjuntos, 20 ele funciones, 140 de sucesiones, 87 teorema del, 272

Producto cartesiano, 20 Progresión geométrica, 34 Propiedad, 16 Propiedad asociativa, 18, 38, 44 Propiedad conmutativa, 18, 38, 44

Operación binaria, 38, 44

Número(s): irracionales, 16, 43 naturales, 16, 42 racionales, 16, 42 reales, 16, 37 ss.

Número de Euler (e), 110, 327 Número impar, 43 Número irracional, 43 Número par, 43 Número racional, 16, 42 Números naturales, 16 Números negativos, 44 Números reales, 16, 37 ss.

potencias de, 199, 331

Lagrange, .r. L.. 1 11, Lebcsguc, l Icnri, 272 Leibnitz:

criterio de, para series alternas, 362 regla de, 247

Leibnitz, Gottfried, 203, 251 Lema de Abe!, 363 Leyes de De Morgan, 20, 22, 407 L'Hospital, G. F., 227 Límite(s):

criterio de comparación, 127, 351 de una función, 23 ss. de una sucesión, 88 inferior, 11 l infinito, 151 ss. superior, 111, 369 unilateral, 148

Límites por un lado, 148 Límites infinitos, J 51 ss. Logaritmos, 284, 329 ss. Longitud de un intervalo, 69

Mapeo, ver Función Máquina, 25 Máximo absoluto, 171 Máximo relativo, 216 Media aritmética, 49, 334 Media geométrica, 49 Medida cero, 272 Medio excluido, principio del, 406 Método de Newton, 243 ss. Miembro de un conjunto, 15 M'.n!ma cota superior(= supremo), 58 Mínimo absoluto, 172 Mínimo relativo, 216 Molino de carne, 25 Monótona:

función, l91 sucesión, 105 teorema de la subsucesión 87

Múltiplo de una sucesión, 87 Negación, 407 Newton, Isaac, 203,'251 Norma de una función, 312 Norma (o malla) de una partición 289 Norma uniforme, 314 ' Numerabilidad de Q, 80

ÍNl)I( 'H ANAi Í'l 1< '< 1

Juego K (E), 89

Hipótesis, 408 de inducción, 32

Imagen, 24, 26 Imagen directa, 26 Implicación, 408 Inducción fuerte, 35 Inducción matemática, 31 ss. Inferior:

cota, 58 integral, 255 suma, 253

Ínfimo, 59 Innu1rerabilidad de R, 81 Instancia, en última, 92 Integración aproximada, 296 ss. Integral, 256

elíptica, 374 impropia, 291 ss. indefinida, 278 inferior, 255 superior, 255

Integral de Lebesgue, 251, 257 Integral de RiemannStieltjes, 257 Integral elíptica, 374 Integral indefinida, 278 Integral por partes, 278 Integrales impropias, 291 ss. Interior:

de un conjunto, 384 punto, 383 teorema del extremo, 216

Intersección de conjuntos, 17, 19 Intervalo(s), 68 ss.

anidados, 70 ss. caracterización de, 176 conservación de, 178 de convergencia, 369 longitud de, 69

Intervalo abierto, 68 Intervalo cerrado, 691

Intervalo semiabierto, 69 Intervalo semicerrado, 69 Inversa:

función, 27, 195 SS., 211 SS. imagen, 26

Inyección, 27

-ooo-

Y/o, 407

Vecindad, 56, 376, 291, 397 Weierstrass:

criterio M de, 368 función no derivable de, 204 teorema de aproximación de, 189

Valor absoluto, 53 Valor de una función, 24

'l\.:ore11111 del valor intermedio de Bolzano, 175

Teorema del valor intermedio de Darboux, 224

Teorema del valor medio: forma de Cauchy, 228 para derivadas, 217, ss. para integrales, 281

Teorema fundamental del cálculo, 275 ss. Teoremas de sustitución, 279, 280 Teoremas del valor intermedio:

de Bolzano, 175 de Darboux, 224

Transformación, ver Función(es)

Unión de conjuntos, 17, 19 Uno a uno, 27

.l corcuu: iil' l lnl~.1111<1· Wcicrxtrns»: para conjuntos infinitos, 389 para sucesiones, 116

Teorema de CauchyHadamard, 369 Teorema de composición, 270 Teorema de compresión, 99, 144 Teorema de continuidad global, 390, 400 Teorema de convergencia monótona, I 06 Teorema de Darboux sobre la integral, 290 Teorema de densidad, 66 Teorema de derivación, 371 Teorema de extensión continua, 185 Teorema de HeineBorel, 387 Teorema de integrabilidad, 259 ss. Teorema de intercambio:

en relación con Ja continuidad, 319, 366 en relación con la derivación, 320, 367 en relación con Ja inteligencia, 296, relacionados con series, 366 ss. relativos a sucesiones, 317 ss.

Teorema de la inversa continua, 195, 393 Teorema de localización de raíces, 174 Teorema de reordenamiento, 349 Teorema de Rolle, 217 Teorema de unicidad para series de

potencias, 372 Teorema del máximomínimo, 173, 392

COllVCl}',l'lll 111 lllllJ1111111· dr, \ l ,1

co11vergr11l1:, llH de Cauchy, 1 J IJ de Fibonacci, 87 de funciones, 309 ss. diferencia de, 87 divergente, 88 inductiva, 86 límite de, 88 monótona, 106 múltiplo de, 87 no acotada, 127 producto de, 87 propiamente divergentes, 126 recursiva, 86 subsucesión de, 112 suma de, 87 término de, 29, 85 valores de, 85

Sucesión barajada, 118 Sucesión contractiva, 123 Sucesión creciente, 105 Sucesión de Fibonacci, 37 Sucesión decreciente, 106 Sucesión propiamente divergente, 126 ss. Suma:

de funciones, 140 de la serie, 344 de Riemann, 286 ele sucesiones, 86 parciales, 344, 366

Sumas parciales, 344, 363 Superior:

cota, 58 integral, 255 suma, 253

Suprayección, 27 Supremo, 59

iterados, 68 propiedad del, 61

Supremos iterados, 68 Sustracción en R, 42

Tautología, 406 Taylor, Brook, 236 Teorema de aproximación, 185 ss. Teorema de aproximación de Bernstein, l 90

l{cprcsc1llat:ió11 hi1111ri11, '/'2 ss. Representación decimal, 73 sx. Residuo:

en el teorema de Taylor, 238 forma de Cauchy, 286 forma de Lagrange, 238 forma integral, 283

Restricción de una función 25 Riemann: '

criterio de integrabilidad de 259 integral de, 256 ' suma de, 286

Riemann, Bernhard, 25l

Salto de una función, 193 Selección, axioma de, 32 Seno,346 Serie(s), 343

absolutamente convergentes, 345 alternante, 362 condicionalmente convergentes 346 de funciones, 366 ss. ' de potencias, 368 ss. de Taylor, 372 geométrica, 346 hipergeométrica, 361 reordenamientos de, 348 seriep, 347 sin seis, 36 l

Ser!e armónica, 122123, 347 Sene de Taylor, 372 Serie geométrica, 346, 374 Serie sin seis, 361 Seriep, 347 Series alternantes, 362 Sef~i!s hipcrgeométricas, 361 Senes infinitas, 343 ss. Subconjunto, 16 Subcubierta, 385 Subsucesión, 112 Sucesión(es), 29, 30 ss.

acotada, 96 barajada, 118 cociente de, 87 cola de, 87 constante, 87 contractiva, 123

IN1J11 '11 i\l lt\l l'l ltU

LA EDICIÓN, COMPOSICIÓN, DISEÑO E IMPRESIÓN DE ESTA OBRA FUERON REALIZADOS SAJO LA SUPERVISIÓN DE GRUPO NORIEGA EDITORES. BALDERAS 95, COL. CENTRO. MÉXICO, D.F. C.P. 06040

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Es una obra que se distingue por la forma de exposición de sus temas, ya que adernás de ser rigurosa y precisa, es de fácil comprensión. Mediante definicio nes sxactas. numerosos ejemplos y minuciosas demostraciones trata. sin caer en la abstracción matemática, de eliminar el abismo existente entre los cursos de cálculo y los cursos avanzados de análisis, matemáticas aplicadas, topo logía y gec)metría.

. El libro contiene ocho capítulos, cada une) de los cuales se subdivide en, sec ciones que profundizan en temas corno el álgebra de. conjuntos, propiedades algebraicas de los números reales, conjuntos cerrados y abiertos, teorema de HeineBorel1 teorema de Bolzano Weierstrass, convergencia, sucesiones de funciones continuas, límites de fun ciones, teorema de valor medio, integral de RiemannStieltjes, convergenda de series infinitas, la derivada en Rr y la Integral en RP.

Por su contenido y claridad de expo sición. esta obra es un va1ioso libro de texto para los cursos que se imparten sobre la materia a nivel licenciatura en las carreras del área de ciencias físico matemáticas.

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, .. INTRODUCCION AL ANALISIS MATEMÁTICO

Robert G. Bartle

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ÁREA: MATEMÁTICAS

Una materia como el análisis maternátieo es tan indis pensable en el estudio profundo de la matemática que debe haber un libro en el cual aparezcan tanto los te mas que se estudian en un curso normal, como los que no, pero que posteriormente se deban conocer. Un tex to como el piresente contiene los temas que permiten al estudiante y al pro~esional resolver los problemas de anéllsls que se le presenten.

El autor ha tomado en consideliación la dificultad que representa comprender el análisis y, por tanto, ha pues te especial interés en la manera de explicar cada uno de 1 s temas que se tratan en la ebra para lograr captar la atenc16.n ~e! as~tidiante. En cada capítulo se da una explicación teórica que se complementa con ejemplos descritos en detalle y ejerc~;_9s que refuerzan la teoría. La intención del autor es que el libro sea de utilidad para estudiantes y maestros ql!le necesiten un texto puramente matemático.

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Introduccion Al Analisis Matematico de Una Variable Bartle Sherbert

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