Introducción a los Nœmeros Reales y a la Geometría … · 2.1.4 Raíz n-Øsima de un nœmero...

Introducción a los Números Reales y a la Geometría Analítica

Dr. Yoel GutiérrezUNEXPO - Puerto Ordaz

1 Introducción

Una teoría matemática cuenta en su origen conconceptos primitivos (no de�nidos) a partir de loscuales pueden ser de�nidos los otros conceptos quevayan surgiendo. En nuestro caso, consideraremoslos números reales como un concepto primitivo. Lasproposiciones que, sin demostrar, se aceptan comociertas se llaman axiomas y junto con los conceptosprimitivos constituyen el punto de arranque y basede una teoría matemática.Muchos de los resultados más importantes enMatemáticas se llaman teoremas. En contraste conlos axiomas o de�niciones que se dan por supuestos,los teoremas si requieren de una demostración. Unteorema es una proposición compuesta por otras dos.Una de ellas llamada premisa o hipótesis implica laotra que se llama conclusión o tesis. La cadena derazonamientos lógicos que permiten deducir la tesisa partir de la hipótesis constituye lo que se llamademostración del teorema.Un teorema recibe el nombre de lema cuando por simismo no tiene mucha trascendencia en la teoría quese esta desarrollando pero va a ser usado, inmediata-mente después de su formulación, en la demostraciónde otro teorema de marcada importancia.Un teorema recibe el nombre de corolario de otroteorema cuando es una consecuencia inmediata de él.En algunos casos se nos pide si una a�rmación comola siguiente:Para cualesquiera números reales a, b, c y d secumple que

si a > b y c > d; entonces a+ c > b+ d;

es verdadera o falsa.Ante una situación como ésta es natural que comence-mos probando con algunos casos particulares para ob-servar si para ellos la proposición se cumple o no secumple.Ahora bien, las consecuencias de esta forma de pro-

ceder son muy distintas según que las pruebas seanpositivas o negativas.En efecto, si comprobamos que la proposición secumple para todos los casos particulares que probe-mos a lo más que podemos llegar es a sospechar quees cierta, pero con ello no hemos demostrado que laproposición lo es, pues, ¿qué sucede con los casos noconsiderados?Si por el contrario, comprobamos que para un casoparticular la proposición no se cumple, este solo con-traejemplo ya basta para refutarla.Mientras no se diga lo contrario, las letrasa,b,c,......u,v,w,x,y,z que aparecen en los axiomas yteoremas representan números reales cualesquiera.

2 Axiomas de cuerpo

Junto con el conjunto de los números reales sesupone la existencia de dos operaciones llamadasadición y multiplicación, tales que para cada par denúmeros reales x e y se puede formar la suma de x ey, que es otro número real designado por x + y y elproducto de x por y designado por xy o x:y. Estasdos operaciones satisfacen los siguientes axiomas:

1. C0nmutatividad:. x+ y = y + x, xy = yx.

2. Asociatividad:. x+(y+z) = (x+y)+z, x(yz) =(xy)z.

3. Distributividad:. x(y + z) = xy + xz.

4. Elementos neutros:. Existen dos números realesdistintos, que se indican por 0 y 1 tales que paracada número real x se tiene: 0 + x = x + 0 = xy 1:x = x:1 = x.

5. Inverso aditivo:. Para cada número real x existeun único número real �x tal que (�x) + x =x+ (�x) = 0.

6. Inverso multiplicativo:. Para cada número realx 6= 0 existe un único número real x�1 = 1

x 6= 0tal que x�1x = xx�1 = 1:

Las propiedades anteriores se han descrito, prin-cipalmente, en términos de suma y multiplicación.Ahora podemos de�nir las operaciones básicas deresta y división en términos de las de suma y mul-tiplicación, respectivamente.

Resta

La diferencia a � b de dos números reales a y b, sede�ne como

a� b = a+ (�b)

En forma alternativa decimos que

a� b = c ! c+ b = a

División

El cociente a � b de dos números reales a y b, sede�ne como

a� b = a:1b

b 6= 0

También podemos decir que

a� b = c ! c:b = a; b 6= 0:

De los axiomas y de�niciones anteriores se puedendeducir todas las leyes usuales del álgebra elemen-tal. Las más importantes de ellas se recogen a con-tinuación como teoremas.

Teoremas

1. Cancelación para la suma: Si a + b = a + c,entonces b = c.

2. �a = (�1)a.

3. �(�a) = a.

4. �(a+ b) = (�a) + (�b).

5. a(b� c) = ab� ac.

6. 0:a = a:0 = 0.

7. Cancelación para la multiplicación:. Si ab = acy a 6= 0, entonces b = c.

8. Si a 6= 0, entonces (a�1)�1 = a.

9. Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.

10. Si aa = a, entonces a = 0 o a = 1.

11. (�a)b = �(ab) y (�a)(�b) = ab.

Observaciones

Las siguientes propiedades básicas de la igualdadse usan frecuentemente en el álgebra.

1. si a = b, entonces a+ c = b+ c.

2. si a = b, entonces ac = bc.

3. si a = b y c = d, entonces a+ c = b+ d.

4. si a = b y c = d, entonces ac = bd.

2.1 Potenciación

2.1.1 Potencia con exponente entero positivo

Si a es un número real, se tiene

a1 = a

a2 = a � aa3 = a � a � a

y en general, si n es un entero positivo

an =n veces

\a � a � a � ::: � a

que se denomina potencia de base a y exponente n.

2.1.2 Potencia con exponente entero nega-tivo

La potencia de númers reales con exponente un enteronegativo, se de�nen de la siguiente forma: Si a 2 R�;y n 2 Z+; entonces

a�n =1

an

2.1.3 Propiedades de la potenciación en R

Si a; b 2 R y m;n 2 Z; entonces se veri�ca

1. Productos de potencias de igual base. anam =an+m

2. Potencia de una potencia. (an)m = an�m

3. Potencia de un producto. (ab)n = anbn

4. Potencia de un cociente. (ab )n = an

bn ; b 6= 0

5. Cocientes de potencias de igual base. an

am =an�m; a 6= 0

6. Potencia de exponente cero: a0 = 1; a 6= 0

2.1.4 Raíz n-ésima de un número real

Sean a 2 R y n un número natural mayor que 1. Unnúmero x 2 R tal que xn = a se llama raíz n-ésimade a. Se denota por

x = npa

donde, a es el radicando, n es el índice de la raíz y xes la raíz n-ésima de a.En general:

1. Cuando el radicando es positivo y el índice de laraíz es par, existen dos raíces reales, de signosopuestos.

2. Cuando el radicando es negativo y el índice de laraíz es par, no existe ninguna raíz real.

3. Cuando el radicando es cualquier real y el índicede la raíz es impar, existe una raíz real.

Nótese que cuando se calcula una raíz de radicandopositivo e índice par, tal como

p16; que tiene dos

raíces 4 y -4, si no se antepone ningún signo al radicalp;se sobreentiende que se trata de la raíz positiva, así:

p16 = 4

si queremos indicar la raíz negativa, escribimos

�p16 = �4

y si queremos indicar las dos raíces, escribimos

�p16 = �4

2.1.5 Potencia con exponente fraccionario

Para esto se conviene en escribir los radicales comopotencias con exponentes fraccionarios, así:

npam = a

mn

Nótese que el numerador del exponente fraccionarioes el exponente del radicando y el denominador delexponente fraccionario es el índice de la raíz.Al operar con potencias de exponentes fraccionar-

ios se aplican las mismas raglas de la potenciación conexponentes enteros. Sin embargo, en algunos casosdichas reglas no son válidas y por lo tanto es precisotomar precauciones. Por ejemplo:

1. 2 = 412 = ((�2)(�2))

12 = (�2) 12 (�2) 12 =p

�2p�2

Nóteses quep�2 no tiene sentido ya que no es

u nnúmero real.

2.p(�4)6 =

p4096 = 64

Si hacemos el cálculo pasando a exponente frac-cionario, se obtienep(�4)6 = (�4) 62 = (�4)3 = �64

Que no es igual al resultado anterior.

2.2 Ecuaciones cuadráticas

Uno de los métodos para resolver ecuaciones de laforma ax2+ bx+ c = 0,con a 6= 0, es el de completarel cuadrado, el cual se ilustra en el siguiente ejemplo.Ejemplo. Resolver la ecuación x2 + 3x� 10 = 0solución. Sumamos 10 a cada miembro de la

ecuaciónx2 + 3x = 10

Sumamos�123�2= 9

4 a cada miembro

x2 + 3x+9

4= 10 +

9

4

Factorizamos el lado izquierdo�x+

3

2

�2=49

4

Aplicamos raíz cuadrada a cada lado y despejamos x

x+3

2= �

r49

4

x = �32� 72

Por consiguiente

x = 2 o x = �5

Observaciones

1. La técnica que acabamos de usar se llama com-pletar al cuadrado. Este proceso se puede am-pliar al caso en que el coe�ciente de x2 sea unnúmero distinto de 1.

2. El proceso de completar el cuadro se puede re-sumir como sigue: Para completar el cuadrado enexpresiones cuadráticas, como x2 + bx, se sumael cuadrado de la mitad de b. Así

x2 + bx+

�b

2

�2=

�x+

b

2

�23. En la solución del ejercicio anterior aplicamosraíz cuadrada en ambos miembros. La base parahacerlo es la siguiente propiedad: Si n2 = k,entonces n =

pk o bien n = �

pk; esto es,

n = �pk

4. Aplicando el método de completar el cuadradose obtiene la fórmula cuadrática:

x =�b�

pb2 � 4ac2a

que permite resolver la ecuación ax2+bx+c = 0,con a 6= 0, la cual se puede emplear en todos loscasos.

(a) Si b2 � 4ac > 0, entonces ax2 + bx + c = 0tiene dos soluciones reales.

(b) Si b2 � 4ac = 0, entonces ax2 + bx + c = 0tiene una única solución real.

(c) Si b2 � 4ac < 0, entonces ax2 + bx + c = 0no tiene soluciones reales.

2.3 Productos notables y Factor-ización de polinomios

Los productos notables son multiplicaciones entrepolinomios que, debido a la frecuencia con que apare-cen, se realizan en forma directa mediante la apli-cación de mecanismos preestablecidos. A contin-uación se enumeran los más utilizados

1. (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2.

2. (x� y)2 = x2 � 2xy + y2.

3. (x+ y)(x� y) = x2 � y2.

4. (x+ a)(x+ b) = x2 + (a+ b)x+ ab.

5. (x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.

6. (x� y)3 = x3 � 3x2y + 3xy2 � y3.

Factorizar un polinomio signi�ca escribirlo comoel producto de varios polinomios más simples. Losprincipales casos de factorización son:

1. El proceso inverso de todos los productos nota-bles dados anteriormente. Por ejemplo:

x2 + 2xy + y2 = (x+ y)2:

2. Factor común. Es todo factor que se repite encada uno de los términos de un polinomio yque constituye el máximo común divisor de el-los. Para aplicar esta factorización, expresamosel polinomio dado como el producto del factorcomún por otro polinomio de forma tal que laaplicación de la propiedad distributiva genere elpolinomio inicial. En su forma más simple, serepresenta:

ax+ ay + az = a(x+ y + z)

3. Suma y diferencia de cubos:

x3 + y3 = (x+ y)(x2 � xy + y2)

x3 � y3 = (x� y)(x2 + xy + y2)

4. Fórmula cuadrática: Consideremos el polinomio

P (x) = ax2 + bx+ c; a 6= 0

Al factorizar P (x); aplicando la fórmulacuadrática, se obtienen tres casos:

(a) P (x) tiene dos raíces reales distintas, dig-amos m y n, entonces

P (x) = a(x� n)(x�m)

(b) P (x) tiene una única raíz real, digamos m ,entonces

P (x) = a(x�m)2

(c) P (x) no tiene raíces reales, entonces no esfactorizable en R:

Ejercicios

1. Diga si cada una de las siguientes proposi-ciones es verdadera o falsa. Si es falsa, cor-rija el lado derecho para llegar a una igual-dad correcta.

(a) 57 �

23 =

34 .

(b) 2x+yy�2x = �2(

x+yx�y ).

(c) 3ax�5b6 = ax�5b

2 .

(d) x+x�1

xy = x+1x2y :

(e) x�1 + y�1 = y+xxy .

(f) 234

= 83 .

2. Descomponer en factores.

(a) 3b2x+ 6bx2.(b) x(a+ 1)� a� 1.(c) 4y3 � 1� y2 + 4y.(d) a6 � 2a3b3 + b6.(e) 100m2n4 � 1

16x8.

(f) x2 + 2xy + y2 � 1.(g) x4 + x2 � 2.(h) t2 + t� 2.(i) x4 � 5x� 50.(j) 1� (2a� b)3.

3. Realice las operaciones indicadas y simpli-�que.

(a) 2x �

x�1x2 �

12x .

(b) x�yx+y +

x+yx�y +

4xyx2�y2 .

(c) x�2+y�2

x�1+y�1 .

(d)x

x�3�2

x2�4x+35

x�1+5

x�3.

(e)a+xa�x�

b+xb�x

2a�x�

2b�x.

(f) 1x� 1

x� x2x+1

.

4. Racionalizar los denominadores.

(a) 10p5.

(b) x�y3py� 3

px.

(c) xpx+1�

px.

(d) 43+p3.

(e) x3p�9x2 .

(f) 21� 3

px.

5. Resuelva cada una de las siguientes ecua-ciones.

(a) 5x�23 + 6x�3

2 = 3x�56 .

(b) 3x+12 = 2x�1

3 .(c) 1

2 (x� 1)� (x� 3) =13 (x+ 3) +

16 .

(d) (3� x2 )� (1�

x3 ) = x+

x2 .

(e) 3x� 12 (1 + 2x) =

4x�32 .

6. Cada uno de los lados iguales de un trián-gulo isósceles tiene 3 centímetros más delongitud que la base del triángulo. Elperímetro mide 21 centímetros. Encuentrela longitud de cada lado.

7. La longitud de un rectángulo mide 1 cen-tímetro menos que 3 veces la anchura. Si sele aumentan 6 centímetros a la longitud yse le aumentan 5 centímetros a la anchura,la longitud será el doble de la anchura. En-cuentre las dimensiones del rectángulo.

8. Tomas gana 475 dólares semanales más unacomisión del 4% sobre sus ventas. Si en unasemana sus ingresos totales fueron de 520dólares. ¿Cuáles fueron sus ventas en esasemana?

9. Tenemos las instrucciones de un trucomatemático. Primero, trate de resolverlo.A continuación, use representaciones alge-braicas de cada frase y explique por quéfunciona este truco.Piense un número.Sume 2.Multiplique el resultado por 3.

sume 9.Multiplique lo obtenido por 2.Divida el resultado entre 6.Reste el número con el que empezó.El resultado es 5.

10. Si ax2 + bx + c = 0, con a 6= 0, demuestre,aplicando el método de completación delcuadrado, que

x =�b�

pb2 � 4ac2a

:

11. Resuelva cada una de las siguientes ecua-ciones.

(a) x2 � x+ 2 = 0.(b) x2 � 3x� 10 = 0.(c) 2x2 + 3x� 2 = 0.(d) x2 � 2x� 4 = 0.(e) x4 � 5x2 + 4 = 0.(f) 3x4 � 13x2 � 7 = 0.(g) x2 + 2

p3x+ 2 = 0.

12. La piscina en el patio posterior de unacasa tiene forma rectangular, con 10 met-ros de anchura y 18 metros de longitud.Está rodeada por un pasillo de anchura uni-forme, cuya área mide 52 metros cuadrados.¿Cuánto mide la anchura del pasillo?

13. La longitud de una pieza rectangular decartón tiene 2 centímetros más que la an-chura. Se forma una caja abierta cortandoen cada esquina un cuadrado de 4 centímet-ros de lado y doblando los lados hacia ar-riba. si el volumen de la caja es de 672 cm3,encuentre las dimensiones de la pieza origi-nal de cartón.

14. La longitud de un rectángulo es 3 cm.mayor que su ancho. el área es de 70 cm2.Determines las dimensiones del rectángulo.

15. Resuelva cada una de las siguientes ecua-ciones

(a) 5x�2 +

62x�4 =

52(x�2) .

(b) x+1x�1 �

2x2�x =

4x .

(c) 2x �

5x = 6.

(d) x+42x�10 =

87 .

(e) 13x�1 +

13x+1 = 0.

(f) x+1x�1 �

2x(x�1) =

4x .

(g) 5x2�9 =

2x+3 �

2x�3 .

16. Un tubo puede vaciar un tanque en dos ho-ras. Otro tubo lo puede vaciar en 4 horas.¿cuánto tiempo se necesita para vaciar eltanque usando ambos tubos?

17. Trabajando juntas, Alma y Julia puedenpintar su cuarto en 3 horas. Alma tarda5 horas en pintarlo sola. ¿Cuánto tiempotarda Julia en pintarlo ella sola?

18. Resuelva cada una de las siguientes ecua-ciones

(a)px+ 2 =

p2x� 5.

(b) 1px= 3.

(c)px+ 16� x = 4.

(d) 2x = 1 +p1� 2x.

(e)px� 1�

p2x� 9 =

px� 4.

(f)px+ 1 +

px� 4 = 5.

(g)px� 4px = 2.

3 Axiomas de orden

Este grupo de axiomas tiene que ver con un conceptoque establece un orden entre los números reales.Este orden nos permite decidir si un número real esmayor o menor que otro.Supondremos que existe un cierto subconjuntoR+ � R, llamado conjunto de números positivos, quesatisfacen los tres axiomas de orden siguientes:1. Si x e y pertenecen a R+, lo mismo ocurre a x+yy xy.

2. Para todo real x se cumple sólo una de las trescondiciones siguientes:

x = 0; x 2 R+ o � x 2 R+:

3. 0 no pertenece a R+.

Ahora se pueden de�nir las relaciones <;>;� y� llamados respectivamente: menor que, mayor que,igual o menor que e igual o mayor que, de la manerasiguiente:

1. x < y signi�ca que y � x es positivo.2. y > x signi�ca que x < y.

3. x � y signi�ca que x < y o x = y.4. y � x signi�ca que x � y.

Observaciones

1. La relacones <;>;� y � se llaman desigual-dades

2. R+ = fx 2 R=x > 0g.

3. Si un número real distinto de cero no pertenecea R+, entonces pertenece a los reales negativos,que se denota por R�. Es decir

R� = fx 2 R=x < 0g

4. El par de desigualdades simultáneas x < y, y < zse escriben frecuentemente en la forma más brevex < y < z; interpretaciones análogas se dan a lasdesigualdades compuestas x � y < z, x < z � y,x � y � z.

De los axiomas de orden se pueden deducir todaslas reglas usuales para operar con desigualdades, lasmás importantes se dan a continuación.

Teoremas

1. Para a y b números reales cualesquiera se veri�cauna y sólo una de las tres relaciones siguientes:

a < b; b < a o a = b

2. Si a < b y b < c, entonces a < c.

3. Si a < b, entonces a+ c < b+ c.

4. Si a < c y b < d, entonces a+ b < c+ d.

5. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

6. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

7. Si ab > 0, entonces se tiene a > 0 y b > 0, o biena < 0 y b < 0.

8. Si ab < 0, entonces se tiene a > 0 y b < 0, o biena < 0 y b > 0.

9. Si a 6= 0, entonces a2 > 0.

10. Si a y b son reales positivos, entonces:

(a) a < b, si y sólo si, a2 < b2.

(b) a < b, si y sólo si,pa <pb.

3.1 Interpretación geométrica de losnúmeros reales como puntos deuna recta

Para representar los números reales por medio delos puntos de una recta, se elige un punto pararepresentar al 0 y otro a la derecha del 0 pararepresentar el 1, como se indica en la �gura.

0 11 2 3 x

Esta elección determina la escala. Cada númeroreal corresponde a uno y sólo un punto de la recta y,recíprocamente, cada punto de la recta a un númeroreal y sólo uno. Por esta razón la recta se denominafrecuentemente recta real o eje real, y es costumbreutilizar las palabras número real y punto como sinón-imos. Por eso se dice muchas veces el punto x en vezdel punto correspondiente al número real x.

3.2 Intervalos

Son subconjuntos de R que se usan frecuentementepara describir soluciones de desigualdades de unavariable. Dados dos números reales a y b tales quea < b, el intervalo abierto (a; b) es el conjunto de losnúmeros reales comprendidos entre a y b; este con-junto no contiene a ninguno de los extremos a y b. Elintervalo cerrado [a; b] es el conjunto de los númerosreales entre a y b, y, además, los extremos a y b. Acontinuación se indican la amplia variedad de posibil-idades.

(a; b) = fx 2 R : a < x < bg[a; b] = fx 2 R : a � x � bg(a; b] = fx 2 R : a < x � bg[a; b) = fx 2 R : a � x < bg(a;1) = fx 2 R : x > ag[a;1) = fx 2 R : x � ag

(�1; b) = fx 2 R : x < bg(�1; b] = fx 2 R : x � bg(�1;1) = R

3.3 Inecuaciones

Es de mucha importancia resolver desigualdadescomo las siguientes

2x+ 5 > 3

3x2 � 4x < 2

2x� 2x+ 4

� 1

px� 3 < 4

Tales desigualdades se llaman inecuaciones. Resolveruna inecuación es encontrar el conjunto de todos losnúmeros reales que la hacen verdadera.En contraste con una ecuación, cuyo connjunto

solución, en general, consta de un número o un con-junto �nito de números, el conjunto solución de unainecuación habitualmente consta de un intervalo o, enalgunos casos, de una unión de intervalos..El procedimiento para resolver inecuaciones con-

siste en transformarla en una inecuación cuyo con-junto solución sea obvio. Las herramientas princi-pales son las reglas usuales para operar con desigual-dades.Para abordar las inecuaciones cuadráticas y de

grado superior es importante señalar que:

1. Si el polinomio ax2+bx+c tiene dos raíces realesdistintas, digamos x1 y x2, entonces

ax2 + bx+ c = a(x� x1)(x� x2)

2. Un factor de la forma x � x1 es positivo parax > x1 y negativo para x < x1: Se sigue que unproducto (x�x1)(x�x2) puede cambiar de pos-itivo a negativo sólo en x1 o en x2: Estos puntosen los que un factor se anula se llaman puntos deseparación. Son la clave para determinar el con-junto solución de las inecuaciones cuadráticas yde grado superior.

3. Si el polinomio ax2 + bx+ c tiene una única raízreal, digamos x1, entonces

ax2 + bx+ c = a(x� x1)2

4. Si el polinomio no tiene raíces reales se cumpleque b2 � 4ac < 0. Completando el cuadrado setiene que

ax2 + bx+ c = a(x+b

2a)2 � b

2 � 4ac4a

de lo cual se concluye que

(a) Si a > 0, entonces ax2 + bx + c > 0 paratodo x 2 R.

(b) Si a < 0, entonces ax2 + bx + c < 0 paratodo x 2 R.

Ejercicios

1. Determine en cada caso la verdad o falsedad. De-muestre con un contraejemplo las proposicionesfalsas.

(a) Si x < 2, entonces x es negativo.

(b) si 0 < x, entonces x < x2.

(c) si a < b, entonces a2 < b2.

(d) Si x < 0, entoncesp(�x)2 = �x.

(e)px2 = x.

(f) Si x > 1 y y > 2, entonces x+ y > 3.

(g) Si x < 5 y y < 6, entonces xy < 30.

(h) Si a < b y c < d, entonces a� c < b� d.

2. Hallar el conjunto solución de cada una de lassiguientes inecuaciones.

(a) 4x� 7 < 3x+ 5.(b) �2 < 1� 5x � 4.(c) 2 + 3x < 5x+ 1 < 16.

(d) 32 (x� 2) + 1 > �2(x� 4).

(e) 2x+14 � 4x+4

2 � x+13 .

(f) x+ 2 � x�23 .

(g) 32 (x� 1)� 2 �

13x� 1.

(h) (x+ 2)(x� 5) < (x+ 1)2.(i) �2 � 5�3x

8 � 12 .

3. Considere el conjunto de todos los rectánguloscuyo largo es una unidad menos que tres veces suancho. Encuentre los anchos posibles de todos losrectángulos cuyos perímetro sean menores que150 centímetros.

4. Las temperaturas Fahrenheit (F) y las temper-aturas Celsius (C) están relacionadas por la fór-mula C = 5

9 (F � 32). Durante un determinadoperiodo, la temperatura en grados Celsius varióentre 25 y 30. ¿Cuál fue la variación en gradosFahrenheit durante dicho periodo?

5. En un pequeño negocio, una familia emplea ados trabajadores que sólo colaboran unas horaspor semana. La cantidad total de los salariosque pagan a estos empleados varía de 128 a 146Dólares por semana. Si un empleado gana 18Dólares más que el otro. ¿cuáles son las posiblescantidades ganadas semanalmente por cada unode los empleados?

6. Una tienda tiene tres empleados de tiempo par-cial a los cuales se les paga un total semanalde 210 a 252 dólares. Dos de ellos ganan lomismo y el tercero gana 12 dólares menos que losotros. Determine los sueldos posibles semanalesque gana cada uno de ellos.

7. Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones

(a)

((x� 1)(x3 + 2) < x4 � x3

3x+ 1 > 0

(b)

8<:x�13 + 2(x+1)

6 > 2x

2x�12 + 3x�1

3 < x� 1


(a) x2 + x� 12 < 0.(b) x2 � 5x+ 6 > 0.(c) x < x2.

(d) x4 � 2x2 � 0.(e) (x� 6)2(x� 3) > 0.(f) x2 < x3.

(g)�x� 1

2

�2< 25

4 � 2x.(h) (x+ 2)(2x� 1)(3x+ 7) � 0(i) (2x+ 3)(3x� 1)2(2x� 1) > 0(j) x3 � 5x2 � 6x < 0(k) x3 � x2 � x+ 1 > 0

9. Se construye una caja recortando unos cuadradosde lado x unidades en cada esquina de una piezade carton de 1o cm de ancho y de 15 cm de largo.Determine el valor de x para que el volumen dela caja sea menor que 63 cm3

10. Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones

(a)

(x+ 5 > 0

x2 � 3x+ 2 > 0

(b)

(x2 � 2

p2x+ 2 > 0

x2 + 3x� 1 < 0

(c)

8<:x2+33 � x < 2x+ 1

3x2 +

2x�13 < x2 + 1


(a) 53�x < 0.

(b) 2x�1x�3 > 1.

(c) 5x <

34 .

(d) � 2x+1 > 0.

(e) 3(x�2)2 > 0.

(f) �2x2+2 > 0.

(g) 4x�13�x �

32 .

(h) 2x�1 � 4�

31�x .

(i) 2xx+1 + 3x >

3x2+1x+1 .

12. La Ley de Boyle establece que para un cierto gasa temperatura constante P:V = 400, donde Pes la presión a la que esta sometida el gas y Vsu volumen. Si tenemos que el volumen del gasvaría a un rango de valores mayores o iguales que20 y menores ques que 49. ?�Cuál es el rangocorrespondiente de variación para la presión P?

13. La fórmula 1R =

1R1+ 1

R2+ 1

R3da la resistencia

total R de un circuito eléctrico que contiene tresresistencias R1, R2 y R3 conectadas en paralelo.Si 10 � R1 � 20, 20 � R2 � 30 y 30 � R3 � 40,encuentre el rango de valores para R.


(a)p2x� 1 < 1

2 .

(b)p4x+ 2 > 5.

(c) 12 +

q14 + x < 1 + x.

(d)px+ 1 +

p1� x �

p2 + x.

(e) 2�px+3

x�1 < 13 .

4 Valor absoluto

En el cálculo es frecuente tener que operar con de-sigualdades. Son de particular importancia las que serelacionan con la noción de valor absoluto.Si x es un número real, el valor absoluto de x es unnúmero real no negativo que se designa por jxj y sede�ne como sigue:

jxj =(x; si x � 0;

�x; si x < 0:

Si los números reales están representados geométri-camente en la recta real, el número jxj se denominadistancia de x a 0.

Observaciones

1. ja� bj representa la distancia entre los puntos ay b sobre la recta numérica.

2. Si x1 e x2 son los extremos de un intervalo de larecta numérica, la coordenada del punto medioes

x1 + x22

Teoremas

1. jxj = j � xj.

2. jxj = jyj, si y sólo si, x = y o x = �y.

3. Si a � 0, entonces jxj = a, si y sólo si, x = a ox = �a.

4. jxj2 = x2.

5. jxj =px2.

6. �jxj � x � jxj.

7. jxyj = jxjjyj.

8.��xy �� = jxj

jyj , con y 6= 0.

9. jx+ yj � jxj+ jyj.

10. jjxj � jyjj � jx� yj.

11. jxj < a, si y sólo si, �a < x < a.

12. jxj > a, si y solo si, x < �a o x > a.

Ejercicios

1. Determine en cada caso la verdad o falsedad. De-muestre con un contraejemplo las proposicionesfalsas.

(a) Si tanto x como y son negativos, entoncesjx+ yj = jxj+ jyj.

(b) Si x < 5, entonces jxj < 5.(c) jaj � jbj = a� b.(d) Si a < b, entonces ja� bj = b� a.

2. Demuestre la regla del producto, jxyj = jxjjyjpara el caso en que x < 0 y y > 0.

3. Demuestre la regla del cociente, jxy j =jxjjyj para el

caso en que x < 0 y y < 0.

4. ?�Bajo que condiciones jx + yj = jxj +jyj??�Cuándo no es cierta esa igualdad?

5. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones.

(a) j4x� 3j = 7.(b) j2x+ 1j = �1.

(c) j4� 2xj = 0.(d) j7xj = 4� x.(e) j2x� 5j = j3x+ 5j.(f) 2x+ 3 = j4x+ 1j.(g) jxj

x = �1.

(h) jxjx = 1.

(i) x2 � 2jxj � 3 = 0.

(j) jx2�4j2�x = 2.


(a) jx+ 2j < 3.(b) j2x� 6j � 10.(c) j2x� 5j < jx+ 4j.(d) jx2 � 1j �

12 .

(e) j6� 10xj < �1.(f) j3x� 1j � �2.(g) jxj > �2 + x

2 .

(h) x�1jx� 1

2 j< 2.

(i) j3x�4j2x�5 � 0.

(j) jx� 1j � x+12 .

(k) 1 � j4� xj < 2.

7. resuelva los sistemas de ineecuaciones siguientes.

(a)

( jxj < �xjx+ 2j > 1

(b)

( jxj > x2x� 1 > 3

8. Demuestre que cada implicación es verdadera

(a) jx� 3j < 0:5 �! j5x� 15j < 2; 5(b) jx+ 2j < 0:3 �! j4x+ 8j < 1:2(c) jx� 2j < "

6 �! j6x� 12j < "(d) jx+ 4j < "

2 �! j2x+ 8j < "

9. En cada caso encuentre � (que depende de ") demodo que la implicación sea verdadera

(a) jx� 5j < � �! j3x� 15j < "(b) jx� 2j < � �! j4x� 8j < "(c) jx+ 6j < � �! j6x+ 36j < "(d) jx+ 5j < � �! j5x+ 25j < "

5 Sistema de coordenadas rec-tangulares

El sistema coordenado rectangular, indicado en la�gura , consta de dos rectas reales X y Y , llamadasejes de coordenadas, perpendiculares entre sí. Larecta X se llama eje X o eje de las abscisas, La rectaY es el eje Y o eje de las ordenadas; y su punto deintersección 0, el origen. Estos ejes coordenados div-iden al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantestal como se indica en la �gura . La dirección positivadel eje x es hacia la derecha; la dirección positiva deleje Y , hacia arriba.

X

Y

0 1

1

x

y P(x,y)I(+,+)II(,+)

III(,) IV(+,)

A cada punto P del plano se le puede asignar unpar de números, llamados coordenadas del punto. Siuna recta horizontal y una vertical que pasen por Pintersecan los ejes X e Y en x e y, respectivamente,entonces P tiene coordenadas (x; y) . Llamaremosa (x; y) un par ordenado de números debido a quetiene importancia cual de los dos va primero. Elprimer número, x, es la abscisa; el segundo número,b, es la ordenada.Recíprocamente, tómese un par ordenado de númeroscualesquiera (x; y). La recta vertical que pasa por xen el eje de las abscisas y la horizontal que pasa pory en el eje de las ordenadas se cortan en un punto P ,cuyas coordenadas son (x; y).Es evidente que a cada punto P del plano coor-denado le corresponden uno y solamente un parde coordenadas (x; y). Recíprocamente, un par decoordenadas (x; y) cualesquiera determina uno ysolamente un punto en el plano coordenado.

5.1 Distancia entre dos puntos

Consideremos dos puntos cualesquiera P y Q, con co-ordenadas (x1; y1) y (x2; y2), respectivamente. Juntocon R; el punto de coordenadas (x2; y1); P y Q, sonlos vértices de un triángulo rectángulo, como se mues-tra en la �gura.

X

Y

0x1 x2

y1

y2

P

Q

R

Las longitudes de los segmentos PR y RQ son jx2 �x1j y jy2 � y1j, respectivamente. Cuando se aplica elteorema de Pitágoras obtenemos que la distancia dentre los puntos P y Q es

d =p(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2

5.2 Punto medio de un segmento

Sean P (x1; y1) y Q(x2; y2), con x1 < x2, los extremosdel segmento PQ como en la �gura .

X

Y

A B C

PM

Q

xx1 x2

y

y1

y2

Sea M(x; y) el punto medio de dicho segmento. Lostres segmentos paralelos PA, MB y QC, determinandos segmentos PM y MQ de igual longitud, por lostanto; por la geometría elemental; los segmentos ABy CB también tienen la misma longitud, esto es:

x� x1 = x2 � x:

De donde, despejando x se tiene que x = x1+x22 :

En forma análoga se deduce que y = y1+y22 :

De esto se concluye que las coordenadas del puntomedio del segmento de extremos P (x1; y1) y Q(x2; y2)son �

x1 + x22

;y1 + y22

�Ejercicios

1. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos(1; 3), (7; 3), (9; 8) y (3; 8). Demuestre que elcuadrilátero es un paralelogramo.

2. Demuestre que los puntos (�5; 0), (0; 2) y(0;�2) son los vértices de un triángulo isósceles.

3. Demostrar que los puntos (2;�2), (�8; 4) y(5; 3) son los vértices de un triángulo rectángulo.

4. Demuestre que los puntos (2; 2 +p3), (5; 2)

y (2; 2 �p3)son los vértices de un triángulo

equilátero.

5. Uno de los extremos de un segmento de longitud5 es el punto (3;�2). Si la abscisa del otro ex-tremo es 6 hallar su ordenada. (dos soluciones.)

6. Uno de los puntos extremos de un segmentoes el punto (7; 8), y su punto medio es (4; 3).Hallar el otro extremo.

7. Los vértices de un triángulo son A(�1; 3),B(3; 5) y C(7;�1). Si D es el punto medio dellado AB y E es el punto medio del lado BC.Demostrar que la longitud del segmento DE esla mitad de la longitud del segmento AC.

6 Grá�ca de una ecuación o lu-gar geométrico

Supongamos que se nos da una ecuación de dos vari-ables, x e y, que podemos escribir, brevemente, en laforma

f(x; y) = 0:

En general, hay un número in�nito de pares devalores de x e y que satisfacen esta ecuación. Cadauno de tales pares de valores reales se toman comolas coordenadas (x; y) de un punto en el plano real.El conjunto de los puntos, y solamente de aquellospuntos cuyas coordenadas satisfagan la ecuaciónf(x; y) = 0 , se llama grá�ca de la ecuación, o bien,su lugar geométrico.

La ecuación f(x; y) = 0 se llama ecuación deun lugar geométrico plano. Sus soluciones realespara valores correspondientes de x e y son todaslas coordenadas de aquellos puntos, y solamentede aquellos puntos, que satisfacen la condición ocondiciones geométricas dadas que de�nen el lugargeométrico.

En lo sucesivo haremos un estudio de la ecuacióngenera de segundo grado,

Ax2 +Bxy + cy2 +Dx+ Ey + F = 0:

En particular, consideraremos el caso en que B 6= 0:

7 La recta

7.1 Pendiente de una recta

Se llama ángulo de inclinación de una recta el for-mado por la parte positiva del ejeX y la recta, cuandoésta se considera dirigida hacia arriba. Así, el ángulode inclinación de la recta L (Ver �gura ) es �, y deL1 es �1.

X

Y

αα1

LL1

Evidentemente, � puede tener cualquier valor com-prendido entre 0o y 180o; es decir, su intervalo devariación está dado por 00 � � � 180oSe llama pendiente de una recta a la tangente de

su ángulo de inclinación.La pendiente de una recta se designa comúnmentepor la letra m. Por tanto, podemos escribir

m = tan�:

La pendiente puede tomar todos los valores reales.Si � es agudo, la pendiente es positiva, como parala recta L e la �gura anterior; si �1 es obtuso, comopara la recta L1, la pendiente es negativa; Si � = 00

o � = 180o, la pendiente es cero. Cualquier recta quecoincida o sea paralela al eje Y será perpendicular aleje X, y su ángulo de inclinación será de 90o. Comotan 90o no está de�nida, la pendiente de una rectaparalela al eje Y no existe.

Teorema

Si P1(x1; y1) y P2(x2; y2) son dos puntos diferentescualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es

m =y2 � y1x2 � x1

; x1 6= x2:

Prueba: Consideremos la recta L de la �gura , de-terminada por los puntos P1 y P2, y sea � su ángulode inclinación.

X

YL

P1

P2

A

α

α

x1 x2

y1

y2

En el triángulo rectángulo P1P2A que se muestraen la �gura , la longitud del segmento P1A es x2 �x1 y, la longitud del segmento P2A es y2 � y1. Portrigonometría, tendremos

m = tan� =y2 � y1x2 � x1

; x1 6= x2:

El valor de m dado por la fórmula anterior no estáde�nido analíticamente para x1 = x2. En este caso,la interpretación geométrica es que una recta deter-minada por dos puntos diferentes con abscisas igualeses paralela al eje Y , por tanto, como se a�rmó ante-riormente, no tiene pendiente.El orden en que se toman las ordenadas en la fór-

mula anterior no tiene importancia, ya que y2�y1x2�x1 =

y1�y2x1�x2 . Se debe evitar, en cambio, el error muy fre-cuente de tomar las ordenadas en un orden y las ab-scisas en el orden contrario. Ya que esto cambia elsigno de m.

7.2 Diferentes formas de la ecuaciónde una recta

1. Forma punto y pendiente.. La recta que pasapor el punto dado P1(x1; y1) y tiene la pendientedada m, tiene por ecuación

y � y1 = m(x� x1)

2. Una recta que coincide o es paralela al eje Y notiene pendiente. Por la tanto, la ecuación ante-rior no puede representar a una recta de tal nat-uraleza. Para este caso, la ecuación de la rectaes de la forma

x = a

en donde a e una constante real y representa laintersección de la recta con el eje X (Abscisa enelorigen).Una recta es o no paralela al eje Y . Si es paralelaal eje Y su ecuación es de la forma x = a ;

si no es paralela a dicho eje, su pendiente estáde�nida y su ecuación es de la forma punto pen-diente. Como todas las rectas caen bajo una deestas clasi�caciones, cualquiera otra forma de laecuación de una recta debe deducirse, necesaria-mente, a una de estas dos formas anteriores.

3. Una recta que coincide o es paralela al eje Xtiene pendiente 0. Por lo tanto, aplicando lafórmula punto y pendiente, se deduce que laecuación de una recta de esta naturaleza es dela forma

y = b

en donde b es una constante real y representa laintersección de la recta con el eje Y (Ordenadaen el origen)

4. Ecuación de la recta dada su pendiente y su or-denada en el origen. La recta cuya pendientees m y cuya ordenada en el origen, es decir, suintersección con el eje Y , es b tiene por ecuación

y = mx+ b:

5. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Larecta que pasa por dos puntos dados P1(x1; y1)y P2(x2; y2) tiene por ecuación

y � y1 =y1 � y2x1 � x2

(x� x1); x1 6= x2:

Si x1 = x2, la ecuación no puede usarse. En estecaso, la recta es paralela al eje Y , y su ecuaciónes x = x1.

6. Ecuación simétrica de la recta. La recta cuyasinteanterior rsecciones con los ejes X e Y son a 6=0 y b 6= 0, respectivamente, tiene por ecuación

x

a+y

b= 1:

Si a = 0, entonces también b = 0, y la formasimétrica no puede usarse. En este caso, sola-mente se conoce un punto, el origen, y no es su-�ciente para determinar una recta.

Como una recta queda perfectamente determinadapor dos cualesquiera de sus puntos, la manera másconveniente de trazar una recta a partir de suecuación es determinar las dos intersecciones con losejes. Si la recta pasa por el origen, basta determinarotro punto cuyas coordenadas satisfagan la ecuación.

7.3 Forma general de la ecuación deuna recta

Hemos visto que la ecuación de una recta cualquiera,en el plano coordenado, es de la forma lineal

Ax+By + C = 0;

en donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y Cpuede o no ser igual a cero. La ecuación anterior sellama la forma general de la ecuación de una recta.Ahora consideraremos el problema inverso, a saber, laecuación lineal Ax+By + C = 0, ¿representa siem-pre una linea recta? Para contestar a esta preguntaexaminaremos las dos formas posibles de la ecuacióncon respecto al coe�ciente de y, es decir, las formaspara B = 0 y B 6= 0.CASO I. B = 0. Si B = 0, entonces A 6= 0, y laecuación Ax+By + C = 0 se reduce a la forma

x = �CA;

que es la ecuación de una recta paralela al eje Y .CASO II. B 6= 0. Si B 6= 0, podemos dividir laecuación Ax + By + C = 0 por B, y entonces portransposición se reduce a la forma

y = �ABx� C

B;

que es la ecuación de una recta cuya pendiente es �AB

y cuya ordenada en el origen es �CB . En consecuencia,vemos que en todos los casos la ecuación Ax+By +C = 0 representa una recta.

Teorema

Toda ecuación de la forma linea Ax+By+C = 0,donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y Cpuede o no ser igual a cero, representa una recta, yrecíprocamente, la ecuación de toda recta del planoreal se puede escribir de esa forma.

Observación

Ya que dos puntos determinan una recta, paratrazar la grá�ca de una recta a partir de su ecuación,únicamente es necesario determinar las coordenadasde dos puntos en la recta, situar ambos puntos y luegotrazar la recta. Cualesquiera dos puntos bastan, peroconviene generalmen utilizar aquellos donde la rectacorta a los ejes.En general. supongamos que se nos da una

ecuación de dos variables, x e y, que podemos es-cribir, brevemente, en la forma

f(x; y) = 0:

Como la intersección con el eje X es la abscisa deun punto que está sobre el eje de las X, la ordenadade ese punto es cero. Por tanto, haciendo y = 0 en laecuación anterior las soluciones reales de la ecuaciónresultante en x nos darán las intersección con el ejede las X. Análogamente, haciendo en la ecuaciónanterior x = 0, las soluciones reales de la ecuaciónresultante en y nos darán las intersecciones con el ejeY .

7.4 Paralelismo y perpendicularidad

Teorema

Si L1 y L2 son dos rectas no verticales diferentescon pendientes m1 y m2, respectivamente, entoncesL1 y L2 son paralelas si y sólo si m1 = m2.Prueba. Sean las ecuaciones de L1 y L2; respecti-

vamente

y = m1x+ b1 y y = m2x+ b2

La �gura muestra las dos rectas cortando al eje Y enlos punto A(0; b1) y B(0; b2):

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

A

B

C

DL

L2

X=10

La recta vertical x = 1 corta a la recta L1 enC(1;m1 + b1), y a L2 en D(1;m2 + b2): Entonces,las rectas L1 y L2 son paralelas si y sólo si

d(A;B) = d(C;D)

b2 � b1 = m2 + b2 � (m1 + b1)

0 = m2 �m1

m1 = m2

Por consiguiente, L1 y L2 son paralelas sólo cuandom1 = m2:

Observación

Dos puntos distintos cualesquiera determinan unarecta. Tres puntos distintos pueden o no encontrarseen la misma recta. Si tres o más puntos se localizanen la misma recta, se dice que son colineales. Por lotanto, tres punto A; B y C son colineales si y sólo sila recta que pasa por los puntos A y B es la mismaque la que pasa por los puntos : Como la recta quepasa por A y B y la que pasa por B y C contienenambas el punto B, so la misma recta si y sólo si suspendientes son iguales.

Teorema

Si L1 y L2 son dos rectas no verticales diferentescon pendientes m1 y m2, respectivamente, entoncesL1 y L2 son perpendiculares si y sólo si m1m2 = �1.Prueba. Se seleccionan ejes coordenados tales que

el origen coincida con el punto de intersección de L1y L2; como se muestra en la �gura

L

L2X=1

0

A

B

Sean las ecuaciones de L1 y L2; respectivamente

y = m1x+ b1 y y = m2x+ b2

Puesto que ninguna de las rectas es vertical cortanala línea x = 1; en los punto A(1; a) y B(1; b), respec-tiuvamente.Puesto que L1 contiene los puntos O(0; 0) y A(1; a);

y su pendiente es

m1 =a� 01� 0

entonces a = m1: De manera análoga se obtiene queb = m2:A partir del Teorema de Pitágoras y su recíproco,

la recta L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si

(d(O;A))2 + (d(O;B))2= (d(A;B))2

1 +m21 + 1 +m

22 = (m1 �m2)

2

2 +m21 +m

22 = m2

1 � 2m1m2 +m22

m1m2 = �1

Puesto que m1m2 = �1; se tiene que

m1 = �1

m2y m2 = �

1

m1

Por lo tanto, el teorema indica que dos rectas noverticales son perpendiculares entre sí si y sólo si lapendiente de una de ellas es la inversa negativa de lapendiente de la otra.

7.5 Ecuaciones factorizables

Si la ecuación

f(x; y) = 0

es f actorizable, es decir, se puede escribirse como elproducto de dos o más factores variables, su grá�caconstará de las grá�cas de las ecuaciones obtenidas aligualar a cero cada uno de estos factores.

7.6 Intersecciones de curvas

Consideremos dos ecuaciones independientes

f(x; y) = 0;

g(x; y) = 0

:Si sus grá�cas se cortan en uno o más puntos, cadauno de estos puntos se llama punto de intersección.Como un punto de intersección de las dos curvasestá sobre cada una de dichas curvas, sus coordenadadeben satisfacer, simultáneamente, ambas ecuaciones.La interpretación analítica de un punto de intersec-ción es obvia, es un punto cuyas coordenadas repre-sentan una solución común de las dos ecuaciones.Como las coordenadas de un punto deben ser ambasnúmeros reales, una solución común (x; y) de las dosecuaciones no puede representar un punto de inter-sección en el sistema coordenado real a menos queambos valores de x e y sean reales. Además, si lasdos ecuaciones son incompatibles, es decir, no tienensolución común, sus grá�cas no se cortan.

7.7 Posiciones relativas de dos rectas

Consideremos dos rectas, cuyas ecuaciones forman unsistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas(

Ax+By + C = 0;

A0x+B0y + C 0 = 0;

1. El sistema tiene solución única, si y sólo si, lasdos rectas se cortan en uno y solamente en unpunto.

2. El sistema tiene solución in�nita, si y sólo si, lasdos rectas son coincidentes.

3. El sistema no tiene solución, si y sólo si, las dosrectas son paralelas y no coincidentes.

7.8 Distancia de una recta a un puntodado

La distancia d de una recta, cuya ecuación es Ax +By + C = 0, a un punto dado P1(x1; y1), viene dadapor

d =jAx1 +By1 + Cjp

A2 +B2:

Geométricamente, d representa la longitud del seg-mento de recta perpendicular de la recta al punto P1.

7.9 Familia de rectas

Una recta y su ecuación quedan determinadas per-fectamente por dos condiciones independientes. Portanto, una recta que satisface solamente una condi-ción no es una recta única; hay in�nidad de rectas quela cumplen, cada una de las cuales tienen la propiedadcomún asociada con esa única condición. La totali-dad de las rectas que satisfacen una única condicióngeométrica se llama familia o haz de rectas.Por ejemplo, consideremos todas las rectas que tienenpendiente 5. La totalidad de estas rectas formanuna familia de rectas paralelas, teniendo todas lapropiedad común de que su pendiente es igual a 5.Analíticamente esta familia de rectas puede represen-tarse por la ecuación

y = 5x+ k;

en donde k es una constante arbitraria, llamadaparámetro, que puede tomar todos los valores reales.Así, podemos obtener la ecuación de cualquier rectade la familia asignando únicamente un valor particu-lar a k en la ecuación . Este número k representa laordenada en el origen de cada recta.

8 Inecuaciones en el plano

Trataremos inecuaciones cuya soluciones se represen-tan geométricamente como una región en el plano.Toda recta

Ax+By + C = 0

divide al plano en dos semiplanos. Para saber el signoque tiene el primer miembro de la ecuación de la rectapara los puntos del plano que no pertenecen a ella,

basta hallar su valor numérico para un punto M dealgunos de los dos semiplanos. Los valores numéricoscorrespondientes a los puntos del mismo semiplanoque contiene aM tienen el mismo signo que el halladopara M . Los valores numéricos correspondientes alos puntos del semiplano que no contiene a M tienensigno contrario.

Ejercicios

1. Demostrar que los tres puntos (12; 1), (�3;�2)y (2;�1) son colineales.

2. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto(3; 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4.Hallar su ordenada.

3. Halar la ecuación de la recta que pasa por elpunto (�2; 4) y(a) Tiene pendiente 7

16 .(b) Es paralela a la recta 5x� 3y = �3.(c) Es perpendicular a la recta 5x� 3y = �3.(d) Es paralela al eje X.(e) Es paralela al eje Y .(f) Pasa por el origen.

4. Una recta L1 pasa por los puntos (3; 2) y(�4;�6) y otra recta L2 pasa por el punto(�7; 1) y el punto A cuya ordenada es -6. Hallarla abscisa del punto A, sabiendo que L1 esperpendicular a L2.

5. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es-4, y que pasa por el punto de intersección delas rectas 2x+ y � 8 = 0 y 3x� 2y + 9 = 0.

6. Hallar el valor de k para que la rectakx + (k � 1)y � 18 = 0 sea paralela a larecta 4x+ 3y + 7 = 0.

7. En las ecuaciones ax + (2 � b)y � 23 = 0 y(a � 1)x + by + 15 = 0 hallar los valores de a yb para que representan rectas que pasen por elpunto (2;�3).

8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por elpunto (a; b) y por el punto de intersección de lasrectas x

a +yb = 1 y

xb +

ya = 1.

9. Hallar la distancia comprendida entre las rectasparalelas 3x� 4y + 8 = 0 y 6x� 8y + 9 = 0.

10. La distancia de la recta 4x � 3y + 1 = 0 alpunto P es 4. Si la ordenada de P es 3, hallarsu abscisa. (Dos soluciones.)

11. Escríbase la ecuación de la familia de rectasque poseen la propiedad dada en los ejerciciossiguientes. En cada caso asignase dos valores alparámetro y grafíquese las rectas correspondi-entes.

(a) Pasan por (3;�4).

(b) La intersección con el eje Y es el doble dela intersección con el eje X.

(c) Son perpendiculares a la recta 3x� 4y = 5.(d) La abscisa al origen es igual a 3.(e) La suma de las intersecciones con los ejes

coordenados es igual a 5.

12. Trazar la representación grá�ca de las siguientesecuaciones.

(a) x+23 + y�1

2 = 1.(b) (y � x+ 2)(2y + x� 4) = 0.(c) jxj+ jyj = 1.(d) jxj � jyj = 1.

13. Las medidas de temperaturas Fahrenheit (F ) yCelcius (C) están relacionadas por una ecuaciónlineal.

(a) Hallar la ecuación que relaciona F y C,teniendo en cuenta que C = 0 cuandoF = 32 y C = 100 cuando F = 212.

(b) ¿Existe alguna temperatura para la queC = F? De ser así, ¿qué temperatura es?.

14. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones ytrazar la representación grá�ca correspondientea cada ecuación.

(a)

(2x� y � 1 = 0

3x+ y � 9 = 0

15. Dibuje la región que contiene los puntos cuyascoordenadas satisfacen la desigualdad dada.

(a) y > 1.(b) x > �3.(c) �1 < y < 1.(d) x� y > 2.(e) 2x� y < �2.(f) jxj+ jyj < 1.(g) jxj � jyj � 1.

16. Represente grá�camente el conjunto solución delsistema de inecuaciones indicado a continuación.

(a)

(x+ y > 1

x� y < 1

(b)

(2y � 1 > 0

(x+ 3)2 > x2 + 2y

9 La circunferencia

Una Circunferencia es el lugar geométrico de unpunto que se mueve en un plano de tal manera quese conserva siempre a una distancia constante de unpunto �jo de ese plano.El punto �jo se llama centro de la circunferencia, yla distancia constante se llama radio.Designemos por C y r, como se muestra en la�gura, el centro y el radio de una circunferencia,respectivamente.

.

X

Y

C

r

Teorema

La circunferencia cuyo centro es el punto (h; k)y cuyo radio es la constante positiva r, tiene porecuación

(x� h)2 + (y � k)2 = r2

:Para el caso particular en que el centro C está en elorigen, h = k = 0, y tenemos la ecuación

x2 + y2 = r

Las ecuaciones anteriores se conocen como lasecuaciones ordinarias o formas ordinarias de laecuación de una circunferencia. En general, des-ignaremos como forma ordinaria aquella ecuaciónde una curva que nos permite obtener más rápiday fácilmente sus características importantes. Así,por ejemplo, en el caso de la ecuaciones anteriores,podemos obtener, inmediatamente, las coordenadasdel centro y el radio.

Teorema (Forma general de la ecuación de una cir-cunferencia)

Si los coe�cientes A y C son iguales y no nulos, laecuación

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0;

representa una circunferencia, un punto, o no repre-senta ningún lugar geométrico real.

Si se da la ecuación de una circunferencia en laforma general� es conveniente que se reduzca laecuación a la forma ordinaria por el método decompletar cuadrados, para obtener el centro y elradio.

Observación

Los pares de coordenadas de los puntos exterioresa la circunferencia

(x� h)2 + (y � k)2 = r2

son soluciones de la inecuación

(x� h)2 + (y � k)2 > r2

y los pares de coordenadas de los interiores lo son de

(x� h)2 + (y � k)2 < r2:Ejercicios

1. Para cada caso, encuentre la ecuación de lacircunferencia que satisface las condicionesdadas.(a) Centro (3;�4) y radio 6.(b) El segmento que une (0; 0) con (6;�8) es

un diámetro.(c) Pasa por (�3; 5) y el centro está en (1;�3).

2. Una cuerda de la circunferencia x2+y2 = 25 estásobre la recta cuya ecuación es x� 7y + 25 = 0.Hallar la longitud de la cuerda.

3. Determine que lugar geométrico representacada ecuación. Trazar la representación grá�cacorrespondiente para cada una.(a) x2 + y2 + 1 = y.(b) 2x2 + 2y2 � 6x+ 10y + 7 = 0:(c) 4x2 + 4y2 + 28x� 8y + 53 = 0.(d) 16x2 + 16y2 � 64x+ 8y + 177 = 0.

4. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones ytrazar la representación grá�ca correspondientea cada ecuación.

(a)

((x� 2)2 + (y + 1)2 = 8

y = x� 1

(b)

(x2 + y2 � 2x+ 6y = 6

x2 + y2 + 4x+ 2y = 8

5. Dibuje la región que contiene los puntos cuyascoordenadas satisfacen la desigualdad dada.(a) x2 + y2 < 4.(b) (x� 1)2 + (y + 2)2 > 9.

6. Represente grá�camente el conjunto solución delsistema de inecuaciones indicado a continuación.

(a)

(x2 + y2 > 1

x+ y < 1

10 La elipse

Una elipse es el lugar geométrico de un punto quese mueve en un plano de tal manera que la suma desus distancias a dos puntos �jos del plano, llamadosfocos, es siempre igual a una cantidad constante,mayor que la distancia entre los focos.

..L1

L2

V1 V2

A1

A2

F1 F2C

P

B1

B2

D1

D2

E1

E2

En la �gura anterior se ha dibujado una elipse. Losfocos están designados por F1 y F2. La recta L1 quepasa por los focos se llama eje focal. El eje focal cortaa la elipse en dos puntos V1 y V2, llamados vértices.La porción del eje focal comprendido entre los dos vér-tices, el segmento V1V2, se llama eje mayor. El puntomedio C del eje mayor se lama centro. La recta L2 quepasa por C y es perpendicular al eje focal, se llama ejenormal. El eje normal corta a la elipse en dos puntos,A1 y A2, el segmento A1A2 se llama eje menor. Elsegmento B1B2 que une dos puntos diferentes cua-lesquiera de la elipse se llama cuerda. En particular,una cuerda que pasa por un foco, tal como D1D2 sellama cuerda focal. una cuerda focal, tal como E1E2,perpendicular al eje focal se llama lado recto; eviden-temente, por tener dos focos, la elipse tiene dos ladosrectos. Si P es un punto cualquiera de la elipse, lossegmentos F1P y F2P que unen los focos con el puntoP se llaman radios vectores de P .

Teorema

La ecuación de una elipse de centro en el origen yeje focal el eje x es

x2

a2+y2

b2= 1

:si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y , laecuación de la elipse es

x2

b2+y2

a2= 1

:Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2bla del eje menor, y a, by c están ligadas por la relación

a2 = b2 + c2:

Donde c es la distancia del centro a cada foco. Tam-bién, para cada elipse, la longitud de cada lado rectoes 2b2

a y la excentricidad e está dada por la fórmula

e =c

a=

pa2 � b2a

< 1:

Teorema

La ecuación de la elipse de centro el punto (h; k) yeje focal paralelo al eje X, es

(x� h)2a2

+(y � k)2b2

= 1:

Si el eje focal es paralelo al eje Y ; su ecuación es

(x� h)2b2

+(y � k)2a2

= 1:

Teorema

Si los coe�cientes A y C son no nulos del mismosigno, la ecuación

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

representa una elipse de ejes paralelos a los ejes co-ordenados, o bien un punto, o no representa ningúnlugar geométrico real.

Observación

Los pares de coordenadas de los puntos exterioresa la elipse

(x� h)2a2

+(y � k)2b2

= 1

son soluciones de la inecuación

(x� h)2a2

+(y � k)2b2

> 1

y los pares de coordernadas de los interiores lo sonde:

(x� h)2a2

+(y � k)2b2

< 1:

Ejercicios

1. Para cada uno de los ejercicios siguientes,hallar la ecuación de la elipse que satisface lascondiciones dadas. Dibujar cada curva.

(a) Centro en (0; 0), un foco en ( 34 ; 0), unvértice en (1; 0).

(b) Centro en (�3; 4), semiejes de longitud 4 y3, eje mayor paralelo al eje X.

(c) Vértices en (�1; 2) y (�7; 2), eje menor delongitud 2.

(d) Vértices en (3;�2) y (13;�2), focos en(4;�2) y (12;�2).

2. Determine que lugar geométrico representacada ecuación. Trazar la representación grá�cacorrespondiente para cada una.

(a) x2 + 4y2 � 6x+ 16y + 21 = 0.(b) 4x2 + 9y2 + 32x� 18y + 37 = 0.(c) x2 + 4y2 � 10x� 40y + 109 = 0.(d) 9x2 + 4y2 � 8y � 32 = 0.(e) 3x2 + 2y2 � 6

p2x� 4

p3y + 6 = 0.

(f) (x2 + 4y)(x2 + 4y2 � 4) = 0.(g) (2x�1)2

4 + (2� y)2 = 1.3. Represente grá�camente el conjunto solución delsistema de inecuaciones indicado a continuación.8<:

x2

9 +y2

4 < 1

x2 + y2 > 4

11 La parábola

Una parábola es el lugar geométrico de un punto quese mueve en un plano de tal manera que su distanciade una recta �ja, situada en el plano, es siempreigual a su distancia de un punto �jo del plano y queno pertenece a la recta. El punto �jo se llama foco yla recta �ja directriz de la parábola.

L1

L2

A V F

B1

B2

C1

C2

D1

D2

E

Designemos por F y L1 (ver �gura anterior), elfoco y la directriz de una parábola, respectivamente.La recta L2 que�pasa por F y es perpendicular aL1 se llama eje de la parábola. Sea A el punto deintersección del eje y de la directriz. El punto V ,punto medio del segmento AF , está, por de�nición,sobre la parábola; este punto se llama vértice. Elsegmento de recta B1B2, que une dos puntos cua-lesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda;

en particular, una cuerda que pasa por el foco comoC1C2, se llama cuerda focal. La cuerda focal D1D2perpendicular al eje se llama lado recto. Si E es unpunto cualquiera de la parábola, el segmento FP seradio radio focal de E, o radio vector.

Teorema

La ecuación de un parábola de vértice en el origeny eje el eje X, es

y2 = 4px;

en donde el foco es el punto (p; 0) y la ecuación dela directriz ea x = �p. Si p > 0, la parábola se abrehacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre haciala izquierda.Si el eje de una parábola coincide con el eje Y , y elvértice está en el origen, su ecuación es

x2 = 4py;

en donde el foco es el punto (0; p), y la ecuación dela directriz es y = �p. Si p > 0, la parábola se abrehacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.En cada caso, la longitud del lado recto es j4pj.

Teorema

La ecuación de un parábola de vértice (h; k) y ejeparalelo al eje X, es de la forma

(y � k)2 = 4p(x� h);

siendo jpj la longitud del segmento del eje compren-dido entre el foco y el vértice. Si p > 0, la parábolase abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abrehacia la izquierda.Si el eje de la parábola es paralelo al eje Y , y el vérticees el punto (h; k), su ecuación es de la forma

(x� h)2 = 4p(y � k):

Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, laparábola se abre hacia abajo.

11.1 Forma general de la ecuación deuna parábola

1. Toda ecuación de la forma

Ax2 +Dx+ Ey + F = 0;

donde A 6= 0 y E 6= 0, representa una parábolacuyo eje es paralelo o coincidente con el eje Y .Si, en cambio, E = 0, la ecuación toma la forma

Ax2 +Dx+ F = 0;

que es una ecuación cuadrática en la única vari-able x. Si las raíces de esa ecuación son realesy desiguales, digamos r1 y r2, entonces lpuedeescribirse en la forma

(x� r1)(x� r2) = 0;

y el lugar geométrico correspondiente consta dedos rectas diferentes, cuyas ecuaciones son x =r1 y x = r2, paralelas ambas al eje Y . Si laraíces son reales e iguales, el lugar geométricoconsta de dos recta coincidentes representadasgeométricamente por una sola recta paralela aleje Y . Finalmente, Si no tiene raíces reales, norepresenta ningún lugar geométrico.

2. Toda ecuación de la forma

Cy2 +Dx+ Ey + F = 0;

donde C 6= 0 y D 6= 0, representa una parábolacuyo eje es paralelo o coincidente con el eje X.Si, en cambio, D = 0, la ecuación toma la forma

Cy2 + Ey + F = 0;

que es una ecuación cuadrática en la única vari-able y. Si las raíces de esa ecuación son reales ydesiguales, digamos r1 y r2, entonces puede es-cribirse en la forma

(y � r1)(y � r2) = 0;

y el lugar geométrico correspondiente consta dedos rectas diferentes, cuyas ecuaciones son y =r1 y y = r2, paralelas ambas al eje X. Si laraíces son reales e iguales, el lugar geométricoconsta de dos recta coincidentes representadasgeométricamente por una sola recta paralela aleje X. Finalmente, Si no tiene raíces reales, norepresenta ningún lugar geométrico.

Observación

La parábola

(x� h)2 = 4p(y � k)

divide al plano en dos regiones, la que contiene al focoy la que no lo contiene.Si un punto (x; y) de una de las regiones (que no

pertenezca a la curva) satisface la inecuación

(x� h)2 < 4p(y � k)

también lo satisfarán todos los puntos de lamisma región. Si no la satisface, serán soluciones lascoordenadas de los puntos de la otra región.

Ejercicios

1. Para cada uno de los ejercicios siguientes, hallarla ecuación para la parábola que satisface lascondiciones dadas y dibujar la curva.

(a) Vértice en (3; 2), foco en (3; 4).(b) Vértice en (4; 1), directriz x = 2.(c) Vértice en (4; 1), directriz y = �3.(d) Vértice en (4;�2), lado recto 8, abre hacia

la derecha.


(a) 4y2 � 48x� 20y = 71.(b) 4x2 + 48y + 12x = 159.(c) 2(1� y) = (3x� 1)2).(d) (2y � 3)2 + 6(1� 3x).(e) 2x2 + x� 3 = 0.(f) y2 + y + 1 = 0.

3. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones ytrazar la representación grá�ca correspondientea cada ecuación.

(a)

(y2 � x = 0

2x� y � 6 = 0

(b)

(x2 + y2 = 8

y2 = 2x

(c)

(y = x2 � 6x+ 9

(x� 3)2 + (y � 9)2 = 9

12 La hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de un puntoque se mueve en un plano de tal manera que el valorabsoluto de la diferencia de sus distancias a dospuntos �jos del plano, llamados focos, es siempreigual a una cantidad constante, positiva y menor quela distancia entre los focos.

L1

L2L3

L4

V1 V2CF1 F2

A1

A2

P

. .

La hipérbola consta de dos ramas diferentes, cadauna de longitud in�nita. En la �gura anterior se hadibujado una posición de cada una de estas ramas;los focos están designados por F1 y F2. La recta L1que pasa por los focos se llama eje focal. El eje focalcorta a la hipérbola en dos puntos V1 y V2, llama-dos vértices. La porción del eje focal comprendidoentre los dos vértices, el segmento V1V2, se llama ejetransverso. El punto medio C del eje transverso selama centro. La recta L2 que pasa por C y es per-pendicular al eje focal, se llama eje normal. El ejenormal no corta a la hipérbola; sin embargo, unaporción de�nida de este eje, el segmento A1A2 , sellama eje conjugado. En forma análoga que en unaelipse, el segmento que une dos puntos diferentes cua-lesquiera de la hipérbola se llama cuerda. En particu-lar, una cuerda que pasa por un foco, se llama cuerdafocal. Una cuerda focal, perpendicular al eje focal sellama lado recto; evidentemente, por tener dos focos,la hipérbola tiene dos lados rectos. Si P es un puntocualquiera de la hipérbola, los segmentos F1P y F2Pque unen los focos con el punto P se llaman radiosvectores de P . Las rectas L3 y L4 , son asíntotas de lahipérbolas. Estas rectas son las prolongaciones de lasdiagonales del rectángulo de centro C que se muestraen la �gura.

Teorema

La ecuación de la hipérbola de centro en el origen,eje focal coincidente con el eje X, es

x2

a2� y

2

b2= 1

y sus asíntotas son las rectas dadas por las ecuacionesax� by = 0 y bx+ ay = 0.Si el eje focal coincide con el eje Y , entonces laecuación es

y2

a2� x

2

b2= 1

y sus asíntotas son las rectas dadas por las ecuacionesbx� ay = 0 y ax+ by = 0.Para cada hipérbola, 2a es la longitud del ejetransverso, 2b la del eje conjugado, c la distancia delcentro a cada foco, y a, b y c están ligados por laecuación

c2 = a2 + b2:

También, para cada hipérbola, la longitud de cadauno de sus lados rectos es 2b2

a y la excentricidad eestá dada por la fórmula

e =c

a=

pa2 + b2

a> 1:

Teorema

La ecuación de la hipérbola de centro el punto (h; k)y eje focal paralelo al eje X, es de la forma

(x� h)2a2

� (y � k)2

b2= 1:

Si el eje focal es paralelo al eje Y , su ecuación es

y2

a2� x

2

b2= 1:

12.1 Asíntotas

Si para una curva dada, existe una recta tal que, amedida que un punto de la curva se aleja inde�nida-mente del origen, la distancia de ese punto a la rectadecrece continuamente y tiende a cero, dicha recta sellama asíntota de la curva.Esta de�nición implica dos cosas:

1. Una curva que tiene una asíntota no es cerradao de extensión �nita, sino que se extiende in-de�nidamente.

2. Una curva se aproxima a la asíntota más y mása medida que se extiende más y más en el planocoordenado.Siendo la asíntota una línea recta, puede teneruna cualquiera de tres posiciones particulares. Sies paralela o coincide con el eje x, se llama asín-tota horizontal ; si es paralela o coincide con el ejeY , asíntota vertical ; y si no es paralela a ningunode los ejes coordenados, asíntota oblicua.Se debe tener presente que una curva no tienenecesariamente una o más asíntotas. Haymuchas curvas que no tienen asíntotas. sin em-bargo, si una curva tiene asíntotas, su determi-nación será, como veremos más adelante, unagran ayuda para construir su grá�ca.

Teorema

Si los coe�cientes A y C son no nulos y di�eren enel signo, la ecuación

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

representa una hipérbola de ejes paralelos a los coor-denados, o un par de rectas que se cortan

Observación

La hipérbola

(x� h)2a2

� (y � k)2

b2= 1

divide al plano en tres regiones, una de ellascontiene al centro, cada una de las otras dos contieneun foco.

Los pares de coordenada de los puntos de una delas regiones que contiene un foco son soluciones de lainecuación

(x� h)2a2

+(y � k)2b2

> 1

y los pares de coordenas de los puntos de la regiónque contiene al centro, lo son de:

(x� h)2a2

+(y � k)2b2

< 1

Ejercicios

1. Para cada uno de los ejercicios siguientes, hallarla ecuación para la parábola que satisface lascondiciones dadas y dibujar la curva.

(a) Vértice en (3; 2), foco en (3; 4).(b) Vértice en (4; 1), directriz x = 2.(c) Vértice en (4; 1), directriz y = �3.(d) Vértice en (4;�2), lado recto 8, abre hacia

la derecha.


(a) x2 � 9y2 � 4x+ 36y � 41 = 0.(b) 4x2 � 9y2 + 32x+ 36y + 64 = 0.(c) x2 � 4y2 � 2x+ 1 = 0.(d) 9x2 � 4y2 + 54x+ 16y + 29 = 0.(e) 3x2 � 1y2 + 30x+ 78 = 0.(f) 2y2 � x2

4 = �5.(g) x2

4 � 2y2 = 0.

3. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones ytrazar la representación grá�ca.

(a)

(x2 + 4y2 = 36

2x2 � y2 = 8

4. Represente grá�camente el conjunto solucióndel sistema de inecuaciones indicados a contin-uación.

(a)

8<:x2

9 +y2

4 > 1

x2

9 �y2

4 < 1

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