Introducción a las Pruebas de Hipótesis

PRUEBA DE HIPOTESIS

PRESENTA: ING. JUAN CESAR BELTRAN MORALES

PRUEBAS DE HIPÓTESISPRUEBAS DE HIPÓTESISIntroducciónIntroducción

La experiencia sobre el comportamiento de algún La experiencia sobre el comportamiento de algún índice de un proceso, o la exigencia del cumplimiento índice de un proceso, o la exigencia del cumplimiento de alguna norma nos lleva a realizar proposiciones de alguna norma nos lleva a realizar proposiciones sobre el valor de algún parámetro estadístico. sobre el valor de algún parámetro estadístico.

Estas proposiciones se denominan Hipótesis y el Estas proposiciones se denominan Hipótesis y el procedimiento para decidir si se aceptan o se procedimiento para decidir si se aceptan o se rechazan se denomina Prueba de Hipótesisrechazan se denomina Prueba de Hipótesis

PRUEBAS DE HIPÓTESISPRUEBAS DE HIPÓTESIS

Una Una hipótesis Estadísticahipótesis Estadística es un proposición sobre los es un proposición sobre los parámetros de una población o sobre la distribución parámetros de una población o sobre la distribución de probabilidad de una variable aleatoriade probabilidad de una variable aleatoria

IntroducciónIntroducción


EjemploEjemplo: Se tiene interés en la rapidez de combustión de : Se tiene interés en la rapidez de combustión de un agente propulsor para los sistemas de salida de un agente propulsor para los sistemas de salida de emergencia en aeronaves. (esta rapidez es una variable emergencia en aeronaves. (esta rapidez es una variable aleatoria con alguna distribución de probabilidad). aleatoria con alguna distribución de probabilidad). Especialmente interesa la rapidez de combustión Especialmente interesa la rapidez de combustión promedio (que es un parámetro (promedio (que es un parámetro (mm) de dicha ) de dicha distribución). De manera más específica, interesa decidir distribución). De manera más específica, interesa decidir si esta rapidez promedio es o no 50 cm/si esta rapidez promedio es o no 50 cm/segseg..

Hipótesis Nula: Hipótesis Nula: HH00: : mm = 50 cm/= 50 cm/segsegHipótesis Alternativa:Hipótesis Alternativa: HH11: : mm 50 cm/50 cm/segseg



En ocasiones interesa una En ocasiones interesa una Hipótesis Alternativa UnilateralHipótesis Alternativa Unilateral, , Por ejemplo:Por ejemplo:

HH00: : mm = 50 cm/= 50 cm/segseg HH00: : mm = 50 cm/= 50 cm/segsegHH11: : mm < 50 cm/< 50 cm/segseg HH11: : mm > 50 cm/> 50 cm/segseg

óó



Aceptación de HAceptación de H00..-- Un valor de la media Un valor de la media muestralmuestral xx “muy “muy cercano” a 50 cm/cercano” a 50 cm/segseg es una evidencia que apoya a la es una evidencia que apoya a la hipótesis nula, sin embargo hipótesis nula, sin embargo es necesario introducir un es necesario introducir un criteriocriterio para decidir que tanto es muy cercano, para el para decidir que tanto es muy cercano, para el ejemplo este criterio pudiera ser: ejemplo este criterio pudiera ser: 48.5 48.5 x x 51.5, 51.5, si esto si esto ocurre se acepta Hocurre se acepta H00De lo contrario, es decir, si De lo contrario, es decir, si x <x < 48.5 o x >51.5, 48.5 o x >51.5, se acepta Hse acepta H11

__

__

__ __

48.548.5 50 50 51.551.5

Región Crítica Región Crítica Región de aceptaciónRegión de aceptación Región CríticaRegión CríticaSe acepta HSe acepta H11 Se acepta HSe acepta H00 Se acepta HSe acepta H11mm 50 50 mm = 50 = 50 mm 5050

Valores CríticosValores Críticos


PRUEBAS DE HIPÓTESISPRUEBAS DE HIPÓTESISErrores Tipo I y Tipo IIErrores Tipo I y Tipo II

El procedimiento anterior puede llevarnos a una de El procedimiento anterior puede llevarnos a una de dos conclusiones erróneas:dos conclusiones erróneas:Error Tipo I.Error Tipo I.-- Se rechaza HSe rechaza H00 cuando ésta es verdaderacuando ésta es verdadera

En el ejemploEn el ejemplo se cometerá un se cometerá un Error de tipo I Error de tipo I cuando cuando mm=50=50, , pero pero xx para la muestra considerada cae en la región críticapara la muestra considerada cae en la región críticaY se cometerá un Y se cometerá un Error de tipo IIError de tipo II cuando cuando m m 50 pero x para 50 pero x para la muestra considerada cae en la región de aceptación la muestra considerada cae en la región de aceptación

Error Tipo II.Error Tipo II.-- No se rechaza HNo se rechaza H00 cuando ésta es falsacuando ésta es falsa

____


Condición Condición RealReal

DecisiónDecisiónHH00 verdaderaverdadera HH00 falsafalsa

Rechazar HRechazar H00 Error Tipo IError Tipo Iaa

No hay ErrorNo hay Error11--bb

No rechace HNo rechace H00 No hay ErrorNo hay Error11--aa

Error Tipo IIError Tipo IIbb

Errores Tipo I y Tipo IIErrores Tipo I y Tipo II


A la probabilidad de cometer un error de Tipo I se A la probabilidad de cometer un error de Tipo I se denota por denota por aa, y se le llama el nivel o , y se le llama el nivel o tamaño de tamaño de significanciasignificancia de la prueba es decirde la prueba es deciraa = P(error Tipo I)= P(rechazar H= P(error Tipo I)= P(rechazar H0 0 | H| H00 es verdadera)es verdadera)

EjemploEjemplo: Calcular : Calcular aa para el ejemplo de la rapidez de para el ejemplo de la rapidez de combustión para una muestra de N=10 datos, combustión para una muestra de N=10 datos, suponiendo que la desviación estándar de la rapidez suponiendo que la desviación estándar de la rapidez de combustión es de combustión es ss=2.5 cm/=2.5 cm/segseg..

Error Tipo IError Tipo I


Solución: Solución: en este caso en este caso aa = P( x caiga en la región crítica | = P( x caiga en la región crítica | mm=50), =50), es decir: es decir: aa = P( x < 48.5) + P( x > 51.5)= P( x < 48.5) + P( x > 51.5)Recordando que La distribución de x es Normal con media Recordando que La distribución de x es Normal con media m=50 m=50 y error estándar y error estándar ss//N =0.79 N =0.79

1.5 / 1.5 / 0.79=1.890.79=1.89

P(x<48.5)=0.0288P(x<48.5)=0.0288por simetría P(x>51.5)=0.0288por simetría P(x>51.5)=0.0288

a=0.0577a=0.0577

______

Nσ/µXZ 0

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__

____



Hay que recordar que Hay que recordar que aa se puede reducir de dos se puede reducir de dos maneras:maneras:

-- Aumentando la región de aceptaciónAumentando la región de aceptación-- Aumentando el tamaño de la muestraAumentando el tamaño de la muestra


PRUEBAS DE HIPÓTESISPRUEBAS DE HIPÓTESISError tipo IIError tipo II

Para evaluar un experimento de prueba de hipótesis Para evaluar un experimento de prueba de hipótesis también se requiere calcular la probabilidad del error de también se requiere calcular la probabilidad del error de Tipo II, denotada por Tipo II, denotada por bb, es decir, es decir

bb = P(error Tipo II) = P(aceptar H= P(error Tipo II) = P(aceptar H00 | H| H00 es falsa)es falsa)

Sin embargo, no es posible calcular Sin embargo, no es posible calcular bb si no se tiene una si no se tiene una hipótesis alternativa específica, es decir, un valor particular hipótesis alternativa específica, es decir, un valor particular del parámetro bajo prueba en lugar de un rango de valoresdel parámetro bajo prueba en lugar de un rango de valores


Por ejemploPor ejemplo, supongamos que es importante rechazar H, supongamos que es importante rechazar H00si la rapidez promedio de combustión si la rapidez promedio de combustión mm es mayor que 52 es mayor que 52 cm/cm/segseg o menor que 48 cm/o menor que 48 cm/segseg. Dada la simetría sólo se . Dada la simetría sólo se requiere evaluar la probabilidad de aceptar Hrequiere evaluar la probabilidad de aceptar H00: : mm=50 =50 cuando el valor verdadero es cuando el valor verdadero es mm=52.=52.

Error tipo IIError tipo II


45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 550

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

H0: H0: mm=50=50

H1: H1: mm=52=52

De acuerdo a la figura: De acuerdo a la figura: bb = P(48.5 = P(48.5 x x 51.5 | 51.5 | mm=52)=52)



es decir: es decir: bb = P( x < 51.5)= P( x < 51.5)-- P( x < 48.5) P( x < 48.5) Recordando que La distribución de x es Normal con media Recordando que La distribución de x es Normal con media m=52 m=52 y error estándar y error estándar ss//N =0.79 N =0.79

0.5 / 0.5 / 0.79=0.79=--0.63240.63243.5 / 3.5 / 0.79=0.79=--4.42714.4271

P(x<48.5)=0.0000P(x<48.5)=0.0000por simetría P(x>51.5)=0.2635por simetría P(x>51.5)=0.2635

b =0.2635b =0.2635

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Nσ/µXZ 0

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La probabilidad de obtener un error de tipo II aumenta La probabilidad de obtener un error de tipo II aumenta muy rápido a medida que el valor verdadero muy rápido a medida que el valor verdadero mm tiende tiende al valor hipotético, al valor hipotético, En cambio; En cambio; bb disminuye cuando N aumenta, excepto disminuye cuando N aumenta, excepto si el valor real de si el valor real de mm está muy cerca del hipotético.está muy cerca del hipotético.


PRUEBAS DE HIPÓTESISPRUEBAS DE HIPÓTESISConclusiones Fuerte y DébilConclusiones Fuerte y Débil

Es por eso que Es por eso que el rechazo de Hel rechazo de H00 siempre se siempre se considera como una considera como una Conclusión FuerteConclusión Fuerte. (los datos . (los datos aportan fuerte evidencia de que Haportan fuerte evidencia de que H00 es falsa)es falsa)

Como uno puede elegir los valores críticos del Como uno puede elegir los valores críticos del intervalo de aceptación intervalo de aceptación uno controla el valor de uno controla el valor de aa. . Uno puede entonces controlar la probabilidad de Uno puede entonces controlar la probabilidad de rechazar de manera errónea Hrechazar de manera errónea H00..


La decisión de La decisión de aceptar Haceptar H00 se considera una se considera una Conclusión DébilConclusión Débil, a menos que se sepa que , a menos que se sepa que bb es es considerablemente pequeño.considerablemente pequeño.

Por esto en lugar de decir Por esto en lugar de decir “se acepta H“se acepta H00” ” se prefiere se prefiere decir decir “incapaz de rechazar H“incapaz de rechazar H00””, es decir, no se ha , es decir, no se ha encontrado evidencia suficiente para rechazar Hencontrado evidencia suficiente para rechazar H00. O . O sea, sea, no quiere decir que exista gran evidencia de que no quiere decir que exista gran evidencia de que HH00 sea cierta sino que no hay gran evidencia de que sea cierta sino que no hay gran evidencia de que sea falsasea falsa..

Conclusiones Fuerte y DébilConclusiones Fuerte y Débil


La La POTENCIAPOTENCIA de una prueba estadística es la de una prueba estadística es la probabilidad de rechazar la Hprobabilidad de rechazar la Hoo cuando la Hcuando la H11 es es

verdadera. verdadera.

USO MINITAB EN PRUEBAS DE HIPOTESISUSO MINITAB EN PRUEBAS DE HIPOTESIS

Conclusiones Fuerte y DébilConclusiones Fuerte y Débil


Procedimiento general para la prueba de HipótesisProcedimiento general para la prueba de Hipótesis

Antes de Examinar los datos Antes de Examinar los datos muestralesmuestrales::1.1. Identificar el parámetro de interésIdentificar el parámetro de interés2.2. Establecer la Hipótesis Nula HEstablecer la Hipótesis Nula H003.3. Especificar una Hipótesis alternativa adecuada HEspecificar una Hipótesis alternativa adecuada H114.4. Seleccionar un nivel de significancia Seleccionar un nivel de significancia aa

Usando los datos Usando los datos muestralesmuestrales::5. 5. Establecer un estadístico de prueba adecuadoEstablecer un estadístico de prueba adecuado6. 6. Establecer una región de rechazoEstablecer una región de rechazo7. 7. Calcular todas las cantidades Calcular todas las cantidades muestralesmuestrales necesarias necesarias

para el estadísticopara el estadístico8. 8. Decidir si debe o no rechazarse HDecidir si debe o no rechazarse H00

PRUEBAS DE HIPÓTESISPRUEBAS DE HIPÓTESISHipótesis UnilateralesHipótesis Unilaterales

HH00: : mm=50 cm/=50 cm/segsegHH11: : mm<50 cm/<50 cm/segseg

En el ejemplo supongamos que si la rapidez media de En el ejemplo supongamos que si la rapidez media de combustión es menor que 50 cm/combustión es menor que 50 cm/segseg y si se desea y si se desea demostrar esto con una conclusión fuerte, la hipótesis demostrar esto con una conclusión fuerte, la hipótesis deberá plantarsedeberá plantarse


Prueba de hipótesis sobre la media, varianza conocidaPrueba de hipótesis sobre la media, varianza conocida

Si se desea probar la Hipótesis:Si se desea probar la Hipótesis:HH00: : m m = = mm00HH11: : m m ==mm00

Se puede usar el estadístico de prueba Z siguienteSe puede usar el estadístico de prueba Z siguiente

El cual tiene una distribución Normal con media cero y El cual tiene una distribución Normal con media cero y varianza 1 (si se cumplen las suposiciones del teorema del varianza 1 (si se cumplen las suposiciones del teorema del límite central)límite central)

Nσ/µXZ 0

__


Entonces, para una Entonces, para una aa dada podemos establecer las siguientes regiones dada podemos establecer las siguientes regiones de aceptación y crítica:de aceptación y crítica:

--zzaa/2 /2 zzaa/2/2 ZZ

aa/2 /2 aa/2/2

Región de aceptaciónRegión de aceptaciónregión crítica región críticaregión crítica región crítica

ConclusionesConclusiones::Rechazar HRechazar H00 si: si: z < z < --zzaa/2/2 o z > zo z > zaa/2/2No rechazar HNo rechazar H00 si: si: -- zzaa/2/2 z z zzaa/2/2



EjemploEjemplo: Se ilustrarán los 8 pasos del procedimiento general para el : Se ilustrarán los 8 pasos del procedimiento general para el ejemplo del combustible sólido para sistemas de escape de aeronaves. ejemplo del combustible sólido para sistemas de escape de aeronaves. En este caso se conoce En este caso se conoce ss=2 cm/=2 cm/segseg, se desea probar si la media , se desea probar si la media mm es es de 50 cm/de 50 cm/segseg. Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño N=25, . Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño N=25, obteniendo x=51.3 cm/obteniendo x=51.3 cm/segseg. . Se especifica un nivel de Se especifica un nivel de sginificanciasginificanciaaa=0.05=0.05 ¿A qué conclusiones se debe llegar?¿A qué conclusiones se debe llegar?

1)1) El parámetro de interés es El parámetro de interés es mm (rapidez promedio de combustión)(rapidez promedio de combustión)2)2) HH00: : mm = 50 cm/= 50 cm/segseg3)3) HH11: : mm 50 cm/50 cm/segseg4)4) aa = 0.05= 0.05

__



5) La estadística de prueba es 5) La estadística de prueba es

6) Rechazar H6) Rechazar H00 si z>1.96 o si z<si z>1.96 o si z<--1.96 1.96 (consecuencia del paso 4)(consecuencia del paso 4)7) cálculos7) cálculos

8) Conclusión como z = 3.25 > 1.96, 8) Conclusión como z = 3.25 > 1.96, se rechaza Hse rechaza H00: : mm = 50 cm/= 50 cm/segseg con con un nivel de significancia un nivel de significancia aa = 0.05= 0.05

8) Es decir, 8) Es decir, Se concluye que en base a una muestra de 25 mediciones la Se concluye que en base a una muestra de 25 mediciones la rapidez promedio de combustión es diferente de 50 cm/segrapidez promedio de combustión es diferente de 50 cm/seg, de , de hecho, existe evidencia fuerte de que ésta es mayor.hecho, existe evidencia fuerte de que ésta es mayor.

Nσ/µXZ 0

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25.3252/

503.51Z


PRUEBAS DE HIPÓTESISPRUEBAS DE HIPÓTESISOtras pruebas paramétricas de HipótesisOtras pruebas paramétricas de Hipótesis

Prueba sobrePrueba sobre Hipótesis NulaHipótesis Nula SuposicionesSuposiciones Estadístico Estadístico de Pruebade Prueba

La mediaLa mediam m = = mm00 ss22 conocidaconocida NormalNormalm m = = mm00 ss22 desconocidadesconocida TT

Igualdad de Igualdad de mediasmedias

mm11 = = mm22 ss1122 = = ss2222 conocidasconocidas NormalNormalmm11 = = mm22 ss1122 = = ss2222 desconocidasdesconocidas TTmm11 = = mm22 ss1122 ss2222 conocidasconocidas TT

La varianzaLa varianzass22 = = ss0022 dist. Normal, N pequeñadist. Normal, N pequeña JiJi22

ss22 = = ss0022 N grandeN grande NormalNormalIgualdad de dos Igualdad de dos

varianzasvarianzas ss1122 = = ss2222 FF

Una proporciónUna proporción p = pp = p00 NormalNormalIgualdad de dos Igualdad de dos

proporcionesproporciones pp11 = p= p22 NormalNormal


Pruebas de Hipótesis No ParamétricasPruebas de Hipótesis No Paramétricas

Las pruebas de hipótesis anteriores se llaman Las pruebas de hipótesis anteriores se llaman paramétricasparamétricas porque porque suponen conocida la distribución de la población y la hipótesis es acerca suponen conocida la distribución de la población y la hipótesis es acerca de los parámetros de dicha distribución. de los parámetros de dicha distribución.

Otra clase de hipótesis es: No se sabe cual es la distribución de la Otra clase de hipótesis es: No se sabe cual es la distribución de la población y población y se desea probar la hipótesis de que cierta distribución en se desea probar la hipótesis de que cierta distribución en particular será un modelo satisfactorioparticular será un modelo satisfactorio. Por ejemplo, tal vez se requiera . Por ejemplo, tal vez se requiera probar si la distribución es Normal, Uniforme o probar si la distribución es Normal, Uniforme o PoissonPoisson por ejemplopor ejemplo


Prueba JiPrueba Ji22 de la Bondad del Ajustede la Bondad del Ajuste

Se parte de una Se parte de una muestra aleatoriamuestra aleatoria de tamaño N, proveniente de una de tamaño N, proveniente de una población cuya distribución de probabilidad es desconocida.población cuya distribución de probabilidad es desconocida. Las N observaciones se acomodan en un Las N observaciones se acomodan en un HistogramaHistograma de frecuencia de frecuencia con k intervalos de clase. Sea con k intervalos de clase. Sea OOii la ila i--ésimaésima frecuencia de clasefrecuencia de clase

De la distribución de probabilidad propuesta se calcula la De la distribución de probabilidad propuesta se calcula la frecuencia frecuencia esperada Eesperada Eii en el ien el i--ésimo intervalo de claseésimo intervalo de clase

El El estadístico de prueba estadístico de prueba eses

El cual tiene una El cual tiene una distribución Jidistribución Ji22 con kcon k--pp--1 grados de libertad 1 grados de libertad si la si la población sigue la distribución propuesta. (donde p es el número de población sigue la distribución propuesta. (donde p es el número de parámetros de la población)parámetros de la población)

k

1i i

2ii2

E)E(Oχ



La aproximación mejora a medida que N es más grandeLa aproximación mejora a medida que N es más grande

La hipótesis debe rechazarse si el valor del estadístico de prueba esLa hipótesis debe rechazarse si el valor del estadístico de prueba escc2 2 > > cc22

11--aa,k,k--pp--11

PrecauciónPrecaución: Si las frecuencias esperadas son muy pequeñas el : Si las frecuencias esperadas son muy pequeñas el estadístico estadístico cc22 no reflejará el alejamiento entre lo observado y lo no reflejará el alejamiento entre lo observado y lo esperado. (Se considera que valores menores de 5 son pequeños)esperado. (Se considera que valores menores de 5 son pequeños)

Si en una prueba resultan frecuencias esperadas pequeñas, se Si en una prueba resultan frecuencias esperadas pequeñas, se pueden pueden combinar intervalos de clase adyascentescombinar intervalos de clase adyascentes para aumentar estos para aumentar estos valores, ya que no es necesario que los anchos de clase sean del valores, ya que no es necesario que los anchos de clase sean del mismo tamañomismo tamaño



Ejemplo 1Ejemplo 1..-- Un algoritmo para generar enteros Un algoritmo para generar enteros pseudoealeatoriospseudoealeatorios de 0 a de 0 a 9 9 ´́se prueba para determinar si tiene una distribución uniforme, para ello se prueba para determinar si tiene una distribución uniforme, para ello se generan 1000 números, obteniendo la siguiente tabla de frecuencia. se generan 1000 números, obteniendo la siguiente tabla de frecuencia. ¿Existe evidencia de que el generador funciona de manera correcta?. ¿Existe evidencia de que el generador funciona de manera correcta?. Utilice Utilice aa=0.05=0.05

Como Como EEii se puede calcular sin estimar ningún parámetro a partir de la se puede calcular sin estimar ningún parámetro a partir de la muestra, entonces p=0 y el estadístico será jimuestra, entonces p=0 y el estadístico será ji22 con kcon k--pp--1=101=10--00--1=9 1=9 grados de libertad.grados de libertad.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Oi 94 93 112 101 104 95 100 99 108 94Ei 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100



1)1) Variable de interés: distribución de los números Variable de interés: distribución de los números pseudoaleatoriospseudoaleatorios2)2) HH00: La distribución es uniforme en el intervalo de 0 a 9: La distribución es uniforme en el intervalo de 0 a 93)3) HH11: La distribución No es uniforme en ese intervalo: La distribución No es uniforme en ese intervalo4)4) aa = 0.05= 0.055)5) El estadístico de prueba es El estadístico de prueba es 6)6) Se rechazará HSe rechazará H00 si si cc22> > cc22

0.05,90.05,9=16.92=16.927)7) CálculosCálculos

cc22= 0.01*( (94= 0.01*( (94--100)100)22+(93+(93--100)100)22+...+(94+...+(94--100)100)22 )=3.72)=3.728)8) Conclusiones: como 3.72 < 16.92 No es posible rechazar la Conclusiones: como 3.72 < 16.92 No es posible rechazar la

hipótesis. Por lo tanto parece ser que el generador de números hipótesis. Por lo tanto parece ser que el generador de números aleatorios trabaja bien. aleatorios trabaja bien.

¿Cual es el valor P de la prueba ?¿Cual es el valor P de la prueba ?

k

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E)E(Oχ



Ejemplo Ejemplo ..-- Se desea determinar con Se desea determinar con aa=0.05 si el voltaje de salida de una =0.05 si el voltaje de salida de una fuente de alimentación está descrito por una distribución Normal. Se fuente de alimentación está descrito por una distribución Normal. Se toma una muestra aleatoria de N=100 fuentes, determinándose los toma una muestra aleatoria de N=100 fuentes, determinándose los siguientes valores siguientes valores muestralesmuestrales x = 5.04, s = 0.08.x = 5.04, s = 0.08.

Para evitar valores de frecuencias esperadas muy pequeños, de Para evitar valores de frecuencias esperadas muy pequeños, de antemano se elige el ancho de los intervalos de clase de manera que la antemano se elige el ancho de los intervalos de clase de manera que la frecuencia esperada sea constante frecuencia esperada sea constante FFi i = N / k= N / k..

Así, si k=8 clases, se buscarán 8 intervalos de clase que dividan la curva Así, si k=8 clases, se buscarán 8 intervalos de clase que dividan la curva de densidad normal en 8 áreas iguales, como se muestra en la siguiente de densidad normal en 8 áreas iguales, como se muestra en la siguiente figura para media 0 y varianza 1.figura para media 0 y varianza 1.



Para la distribución N(0,1) los límites de los 8 intervalos sonPara la distribución N(0,1) los límites de los 8 intervalos son––, , --1.15, 1.15, --0.675, 0.675, --0.32, 0, 0.32, 0.675, 1.15,+0.32, 0, 0.32, 0.675, 1.15,+,,

por lo tanto para el ejemplo, los límites sonpor lo tanto para el ejemplo, los límites son––, 4.948, 4.986, 5.014, 5.040, 5.066, 5.094, 5.132,+, 4.948, 4.986, 5.014, 5.040, 5.066, 5.094, 5.132,+

Con esta elección se obtiene la siguiente tabla de frecuencias para la Con esta elección se obtiene la siguiente tabla de frecuencias para la muestramuestra

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 400.05

0.10.15

0.20.25

0.30.35

0.4



Intervalo de ClaseIntervalo de Clase OOii EEii

De De –– a 4.948a 4.948De 4.948 a 4.986De 4.948 a 4.986De 4.986 a 5.014De 4.986 a 5.014De 5.014 a 5.040De 5.014 a 5.040De 5.040 a 5.066De 5.040 a 5.066De 5.066 a 5.094De 5.066 a 5.094De 5.094 a 5.132De 5.094 a 5.132De 5.132 a + De 5.132 a +

12121414121213131212111112121414

12.512.512.512.512.512.512.512.512.512.512.512.512.512.512.512.5

Suma:Suma: 100100 100100


Prueba JiPrueba Ji22 de la Bondad del Ajustede la Bondad del Ajuste1)1) La variable de interés es el tipo de distribución del voltaje dado por La variable de interés es el tipo de distribución del voltaje dado por

una fuente de alimentaciónuna fuente de alimentación2)2) HH00: El tipo de distribución es Normal: El tipo de distribución es Normal3)3) HH11: El tipo de distribución no es Normal: El tipo de distribución no es Normal4)4) aa = 0.05= 0.055)5) El estadístico de prueba esEl estadístico de prueba es6)6) Para determinar los intervalos de clase se requirió estimar Para determinar los intervalos de clase se requirió estimar mm y y ss, por , por

lo tanto los grados de libertad son klo tanto los grados de libertad son k--pp--1=81=8--22--1=5, por lo tanto se 1=5, por lo tanto se rechazará Hrechazará H00 si si cc2 2 > > cc22

0.05,5 0.05,5 = 11.07= 11.077)7) Cálculos:Cálculos:

cc2 2 = ( = ( 11//12.5 12.5 )[(12)[(12--12.5)12.5)22+(14+(14--12.5)12.5)22+...+(14+...+(14--12.5)12.5)22] = 0.64] = 0.648)8) Conclusiones: como 0.64<11.07, no es posible rechazar HConclusiones: como 0.64<11.07, no es posible rechazar H00, por lo , por lo

tanto no hay evidencia fuerte de que la distribución no sea Normal.tanto no hay evidencia fuerte de que la distribución no sea Normal.El valor P de la prueba (para El valor P de la prueba (para cc2 2 = 0.64) es P=0.9861.= 0.64) es P=0.9861.

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GRACIAS

Introducción a las Pruebas de Hipótesis

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