Introducción a las Matemáticas

INTRODUCCIN A LAS MATEMTICAS(PARTE I)

2010 ANTONIO ROS MORENO

INTRODUCCIN A LAS MATEMTICAS

MATEMTICAS

Cuando puedes medir aquello de lo que hablas, y expresarlo con nmeros, sabes algo acerca de ello; pero cuando no lo puedes medir, cuando no lo puedes expresar con nmeros, tu conocimiento es pobre e insatisfactorio: puede ser el principio del conocimiento, pero apenas has avanzado en tus pensamientos a la etapa de ciencia. William Thomson Kelvin (1824-1907) Matemtico y fsico escocs.

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INDICE:1.- CONJUNTOS 1.1.- Generalidades 1.2.- Nocin de conjunto 1.3.- Operaciones con conjuntos 2.- CORRESPONDENCIAS 2.1.- Nocin de correspondencia 2.2.- Correspondencia inversa 2.3.- Clasificacin de las correspondencias 2.4.- Aplicaciones 2.5.- Relaciones binarias 2.6.- Relacin de equivalencia 2.7.- Relacin de orden 3.- ESTRUTURAS ALGEBRAICAS 3.1.- Generalidades 3.2.- Operaciones 3.3.- Leyes de composicin 3.4.- Concepto de estructura algebraica 4.- NMERO NATURAL 4.1.- Concepto de nmero natural 4.2.- Estructura del conjunto de los nmeros naturales 4.3.- Sistemas de numeracin 5.- NMERO ENTERO 5.1.- Generalidades 5.2.- Operaciones N N 5.3.- Pares ordenados y nmeros enteros 5.4.- Estructura del conjunto de los nmeros enteros 5.5.- Inmersin del conjunto N en el conjunto Z 5.6.- Divisibilidad 6.- NMERO RACIONAL 6.1.- Generalidades 6.2.- Concepto de nmero racional2


6.3.- Estructura del conjunto Q 6.4.- Inmersin del conjunto Z en el conjunto Q 6.5.- Nmeros decimales 6.6.- Fracciones generatrices 7.- RADICACIN 7.1.- Generalidades 7.2.- Potencias de exponente racional 7.3.- Operaciones con radicales 7.4.- Racionalizacin 7.5.- Simplificacin de radicales 7.6.- Clculo de la raz cuadrada de un nmero 8.- NMERO REAL 8.1.- Generalidades 8.2.- Concepto de nmero real 8.3.- Estructura del conjunto de los nmeros reales 8.4.- Inversin del conjunto Q de los nmeros racionales en el conjunto R de los nmeros reales 9.- LOGARITMIZACIN 9.1.- Generalidades 9.2.- Propiedades de los logaritmos 9.3.- Logaritmos decimales 9.4.- Antilogaritmo 9.5.- Cologaritmo 9.6.- Logaritmos neperianos 9.7.- Clculo logartmico 9.8.- Ecuaciones logartmicas 9.9.- Ecuaciones exponenciales 10.- PROGRESIONES 10.1.- Progresiones aritmticas 10.2.- Progresiones geomtricas 10.3.- Progresiones ilimitadas 10.4.- Problemas de aplicacin

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1. CONJUNTOS 1.1. GeneralidadesConjunto: concepto primario no puede definirse base de las Matemticas: construccin de los nmeros estudiar las estructuras algebraicas

1.2. Nocin de conjuntoUn conjunto es una coleccin de objetos bien determinados y diferenciados.

1.2.1. NomenclaturaNombrar a los conjuntos: Por extensin: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto. {Lunes, martes, mircoles, jueves, sbado, domingo} Por compresin: escribiendo dentro de una llave una propiedad caracterstica de los elementos del conjunto y solamente de ellos. {Das de la semana} {x/x es un da de la semana}

Pertenencia de un elemento a un conjunto: Pertenece No pertenece

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1.2.2. Conjunto vacioSe denomina as al conjunto que no tiene ningn elemento. {}

1.2.3. Conjunto unitarioEs el conjunto que tiene un solo elemento.

1.2.4. Igualdad de conjuntosDos conjuntos son iguales si, y solamente si, todo elemento del primero es un elemento del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.

1.2.5. Conjuntos disjuntosSe llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningn elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.

1.2.6. Inclusin de conjuntosSe dice que un conjunto M est incluido o contenido en otro conjunto A si todo elemento del conjunto M pertenece al conjunto A. M es subconjunto de A, bien: M es una parte de A. No inclusin B no est incluido en A. Tambin suelen emplearse las expresiones: y (A contiene a M y A no contiene a B)

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Propiedades: 1.- Reflexiva: Todo conjunto est incluido en s mismo. 2.- Antisimtrica: Dados dos conjuntos diferentes A y B, si A est incluido en B, B no puede estar incluido en A. 3.- Transitiva: Si un conjunto A est incluido en otro conjunto B y a su vez B est incluido en C, A est incluido en C.

1.2.7. Conjunto de las partes de un conjuntoSe llama as al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado, y se representa por (A). = , ,

, = , = , = , = , , = , , = , , = , ,

= , , , , , , ,

1.2.8. Representacin de conjuntos1.- Diagrama lineal: Se sita sobre una recta un punto por cada elemento del conjunto.

(A) a b c d e

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2.- Diagrama de Venn: Se sitan dentro de una lnea cerrada los signos representativos de los elementos del conjunto.(A)

a b c d e

1.3. Operaciones con conjuntos 1.3.1. Unin de conjuntosSe llama unin de dos conjuntos A y B, y se representa por A B, al nuevo conjunto que tiene por elementos a todos los elementos de A y de B. Si tienen algn elemento en comn A y b, dicho elemento entrar a formar parte del conjunto unin una sola vez, al contrario que en el concepto clsico de la suma, en la que los elementos comunes se consideran tantas veces como estn en el total de los conjuntos.

1.3.1.1. Propiedades de la unin de conjuntos1.- Propiedad idempotente: = 2.- Propiedad conmutativa: = 3.- Propiedad asociativa: = =

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1.3.2. Interseccin de conjuntosSe llama interseccin de los conjuntos A y B, y se representa A B, al nuevo conjunto que tiene por elementos todos los elementos comunes a A y B. Si A y B son conjuntos disjuntos, su interseccin es el conjunto vacio (no tiene elementos).

1.3.2.1. Propiedades de la interseccinIguales que las de la unin: 1.- Propiedad idempotente: = 2.- Propiedad conmutativa: = 3.- Propiedad asociativa: = =

1.3.2.2. Propiedades comunes a la unin y a la interseccin1.- Ley de absorcin: ( ) = 2.- Ley distributiva: - De la unin respecto de la interseccin: = ( ) - De la interseccin respecto de la unin: = ( ) Estas dos leyes nos indican que ambas operaciones, y , tienen la misma fuerza, existe entre ellas una completa analoga.

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1.3.3. Diferencia de conjuntosDados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A para B, y se representa por A B al conjunto de todos los elementos de A que no son elementos de B. La diferencia de conjuntos no es conmutativa, ni asociativa.

1.3.3.1. Complementario de un conjunto con respecto a otroSi A es un subconjunto de B, se llama complementario de A y se representa por A , al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.C

1.3.4. Producto cartesiano de dos conjuntosSe llama conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B, y se representa por A x B, al conjunto formado por todos los pares ordenados de elementos (a, b), tales que a A y b B. Pares ordenados, sern diferentes: (a, b) y (b, a), lo cual indica que dicho producto cartesiano no tiene la propiedad conmutativa.

1.3.4.1. Propiedades del producto cartesiano1. =

2.- Propiedad distributiva respecto de la unin: = ( ) 3.- Propiedad distributiva respecto de la interseccin: = ( )

1.3.4.2. ObservacinSi A es un conjunto finito que contiene m elementos y B tambin finito, contiene n elementos, el producto cartesiano A x B contiene m n pares ordenados de elementos

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1.3.4.3. Representacin grfica del producto cartesiano

AxB3 (3, a) (3, b) (3, c) (3, d) (3, e)

A 2

(2, a)

(2, b)

(2, c)

(2, d)

(2, e)

1

(1, a)

(1, b)

(1, c)

(1, d)

(1, e)

a

b

c

d

e

B

2. CORRESPONDENCIAS 2.1. Nocin de correspondenciaDados dos conjuntos A y B, se entiende por correspondencia entre ambos al subconjunto de su producto cartesiano.

"f"

A

a 1 b 2 cORIGEN IMANGEN

B

=

, 1 , , 2 , , 2

Correspondencia (f) entre A y B mediante una relacin (R).10


- A es el conjunto origen o conjunto inicial (sus elementos son los elementos originales o variables). - B es el conjunto imagen o conjunto final (sus elementos son los elementos homlogos, imgenes o constantes). = 1,2 = 2 ,

siendo f(a) y f(b), respectivamente, el conjunto imagen de a y de b. Otra forma de definir una correspondencia es como asociacin de elementos del conjunto A con otros elementos del conjunto B. 1, 2, 2

2.2. Correspondencia inversaSe llama correspondencia inversa de una correspondencia dada f, representada por , a la que est formada por los pares que tienen los mismos elementos que la primera, pero en sentido contrario.1

=

1, , 2, , 2,

Se trata, pues, de un subconjunto del producto B x A.

2.3. Clasificacin de las correspondencias1.- Correspondencia unvoca: - Del conjunto origen puede salir una flecha o ninguna flecha (de los elementos). - Al conjunto imagen puede llegar: ninguna, una o varias flechas (a los elementos). 2.- Correspondencia biunvoca: - Conjunto origen sale una flecha o ninguna (elementos) - Conjunto imagen llega una flecha o ninguna (elementos) 1 son unvocas

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3.- Correspondencia multvoca: - Del conjunto origen pueden salir: ninguna, una o varias flechas (elementos), pero por lo menos de un elemento de este conjunto debe salir ms de una.

2.4. AplicacionesSon un caso particular de las correspondencias unvocas. Se llama aplicacin a toda correspondencia tal que todos y cada uno de los elementos del conjunto origen tiene una y solamente una imagen. - Toda aplicacin es una correspondencia unvoca. - Toda correspondencia unvoca no es una aplicacin.

2.4.1. Clases de aplicacionesVamos a fijarnos en el nmero de flechas que llegan a cada elemento del conjunto imagen. 1.- Aplicacin inyectiva: Es aquella en que cada elemento del conjunto imagen recibe a lo ms una flecha, es decir, a los elementos del conjunto imagen llega o una flecha o ninguna. . < . 2.- Aplicacin suprayectiva o sobreyectiva: Es aquella en que cada elemento del conjunto imagen recibe por lo menos una flecha, es decir, a los elementos del conjunto imagen llega o una flecha o varias. . > . 3.- Aplicacin biyectiva o biyeccin: Es aquella en que cada elemento del conjunto imagen recibe una y solamente una flecha. Es una aplicacin inyectiva y suprayectiva a la vez. . = .

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2.4.2. Relacin recproca de una aplicacinDada una aplicacin entre A y B, al hacer su correspondencia recproca lo que hacemos es, en el mismo diagrama, cambiar el sentido de las flechas. Ahora B es el conjunto origen y A el conjunto imagen.

2.4.3. Composicin de aplicaciones

"f"

"g"

Am

1 a 2 n 3 p 4 q 5 d c b

B

C

Se llama aplicacin f seguida de g, o bien composicin de las aplicaciones f y g, a la aplicacin resultante del primer conjunto A en el ltimo conjunto C.

2.5. Relaciones binariasSe llama as a toda correspondencia de un conjunto en s mismo. Se representan: 1.- Como subconjunto del producto cartesiano A x A. = , , , , = , , , , , , , , (, )

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2.- Poniendo los distintos pares que la determinan, sin parntesis y con los trminos separados mediante la letra R. , , , , 3.- Mediante el diagrama de Venn.

Aa a b

BUCLE

c e d

R

4.- Mediante un diagrama cartesiano.

e

d

(d, e)

Ac

(c, c)

Rb (b, c)

a

(a, a)

(a, b)

a

b

c

d

e

A

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2.5.1. Propiedades que puede tener una relacin binaria1.- Propiedad reflexiva: Se dice que una relacin binaria posee la propiedad reflexiva o idntica cuando todos sus elementos poseen bucle. En el diagrama cartesiano esto equivaldra a que todos los puntos de la diagonal principal estn ocupados.

Am n

q p

R

q

p

An

Rm

m

n

p

q

A

2.- Propiedad antirreflexiva: Una relacin tiene la propiedad antirreflexiva cuando ninguno de sus elementos poseen bucle, es decir, ninguno de sus elementos estn relacionados consigo mismo. Puede ser que no tenga ni la propiedad reflexiva ni la antirreflexiva. 3.- Propiedad simtrica: Una relacin tiene la propiedad simtrica cuando si una flecha sale de un primer elemento a un segundo, va siempre otra flecha del segundo al primero.

a

b

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4.- Propiedad antisimtrica: Una relacin es antisimtrica si su grafo no contiene nunca simultneamente una flecha que vaya de un primer elemento a un segundo, y una flecha que vaya del segundo elemento al primero, lo que equivale a decir que si un elemento est relacionado con un segundo, en ningn caso est relacionado el segundo elemento con el primero. 5.- Propiedad transitiva: Existe la propiedad transitiva cuando para tres cualquiera de sus elementos se verifica que: si el primero est relacionado con el segundo y ste con el tercero, el primero ha de estar relacionado con el tercero.

a

b

c

2.6. Relacin de equivalenciaDada una relacin cualquiera, se dice que es una relacin de equivalencia cuando tiene las propiedades reflexiva, simtrica y transitiva. Al aplicar a un conjunto una relacin de equivalencia se efecta una particin o clasificacin de dicho conjunto y a cada uno de dichos subconjuntos independientes se le denomina clase de equivalencia.

2.7. Relacin de ordenDada una relacin cualquiera, se dice que es relacin de orden si tiene las propiedades reflexiva, antisimtrica y transitiva. Tipos: 1.- De orden total: Es una relacin de orden tal, que para cada pareja de elementos del conjunto se verifica que, o bien el primero est relacionado con el segundo, o el segundo est relacionado con el primero. 2.- De orden parcial: Es una relacin de orden tal, que existe algn par de elementos del conjunto que ni el primero est relacionado con el segundo, ni el segundo lo est con el primero.

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3.- De orden estricto: Es la relacin que tiene las propiedades antirreflexiva, antisimtrica y transitiva (caso especial).

3. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 3.1. GeneralidadesHemos considerado hasta ahora a los conjuntos como simples agrupaciones de elementos, sin tener en cuenta si dichos elementos estn dispuestos de alguna forma determinada que dote al conjunto de una cierta organizacin interna; dicha organizacin interna es lo que conocemos con el nombre de estructura. Las estructuras en general (no slo las algebraicas, de las que vamos a ocuparnos aqu) se originan en el conjunto por un tipo particular de relacin, o mejor an, por las correspondencias que esas relaciones definen: las llamadas operaciones. En matemtica moderna, se habla de tres tipos de estructuras: algebraica, de orden y topolgica. En la estructura algebraica, la relacin establecida entre los elementos del conjunto tiene carcter operatorio. En la estructura de orden, la relacin establecida entre los elementos del conjunto tiende a ordenar, de algn modo, el conjunto. En la estructura topolgica, la relacin establecida entre los elementos del conjunto se refiere a los conceptos de frontera, continuidad, contorno, lmite, etc. Ayuda al mejor conocimiento del espacio.

3.2. OperacionesDados tres conjuntos (A, B y C), se llama operacin a toda aplicacin que hace corresponder a una pareja de elementos (a, b), a A y b B, un elemento del tercer conjunto C. Signos de operacin: , , O.

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3.3. Leyes de composicinSon dos tipos particulares de operaciones que dan lugar a estructuras algebraicas en los conjuntos. 1.- Ley de composicin interna es toda aplicacin: 2.- Ley de composicin externa en un conjunto A con operadores de B es toda aplicacin:

3.3.1. Propiedades de las leyes de composicin interna1.- Permutabilidad: Se dice que dos elementos son permutables si se verifica que: = Se verificar siempre que definamos una ley de composicin interna que posea la propiedad conmutativa. 2.- Elemento neutro: En un conjunto A, para el que se ha definido una ley de composicin interna , se dice que e es el elemento neutro con respecto a esta ley, cuando se verifica que cualquier elemento del conjunto A operado con e da como resultado el mismo elemento de A. = 3.- Elemento simtrico: Se dice que un elemento de un conjunto A tiene por elemento simtrico o complementario a otro elemento a del mismo conjunto, cuando definida en el mismo una ley de composicin interna se verifica que: = = ( = ) Si un elemento admite simtrico se denomina simetizable. 4.- Propiedad asociativa: Una ley de composicin interna es asociativa, cuando para todas las ternas de elementos a, b y c de un conjunto A se verifica que: = ( )18


5.- Propiedad distributiva: Dado un conjunto A en el que se han definido dos operaciones internas y , se dice que la ley de composicin es distributiva respecto a la ley de composicin por la derecha y slo por la derecha, cuando para una terna de elementos a, b y c del conjunto A se verifica: = ( ) ( ) Ser distributiva por la izquierda si se verifica: = ( ) ( )

3.4. Concepto de estructura algebraicaDado un conjunto A, se dice que se le ha dado una estructura algebraica, cuando se le ha provisto de una o varias leyes de composicin que gozan de unas determinadas propiedades.

3.4.1. Tipos de estructuras algebraicas

A) Grupoide

Una sola ley

B) Semigrupo

C) Grupo

Interviene slo leyes de composicin interna

D) Semianillo

E) Anillo

Estructuras Algebraicas

Dos leyes

F) Semicuerpo

I) Mdulo

G) Cuerpo

Interviene alguna ley de composicin externa

J) Espacio vectorial

H) Retculo

K) Algebra

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3.4.1.1. Estructuras con una operacin

GRUPOIDE- Conjunto- Operacin interna

+ P. Conmutativa

GRUPOIDE ABELIANO O CONMUTATIVO

SEMIGRUPO- Conjunto - Operacin interna

SEMIGRUPO ABELIANO+ P. Conmutativa

-------------------------GRUPOIDE+

CONMUTATIVO

- Propiedad Asociativa

+ Elemento neutro

SEMIGRUPO CON ELEMENTO NEUTRO

SEMIGRUPO ABELIANO CON ELEMENTO NEUTRO

GRUPO- Conjunto

- Operacin interna - P. asociativa - Elemento neutro -------------------------SEMIGRUPO CON ELEMENTO NEUTRO + - Elemento simtrico

+ P. Conmutativa

GRUPO ABELIANO

La estructura de grupo est considerada como una de las ms importantes de las matemticas y se debe a que, en todo grupo, se puede definir una operacin inversa a la que lo estructuraba como tal grupo. G es grupo respecto a la operacin , definimos = 20


3.4.1.2. Estructuras con dos operaciones

SEMIANILLOSEMIGRUPO CONMUTATIVO (con elemento neutro*)

ANILLOSEMIGRUPO

2 Operacin - Conjunto - Composicin interna - P. Asociativa

* No definida en algunos libros (Semigrupo abeliano)

a

DISTRIBUTIVA (b c) = (a b) (a c)

GRUPO ABELIANO

SEMIGRUPO

1 Operacin - Conjunto - Composicin interna - P. Asociativa - P. Conmutativa - Elemento neutro*

2 Operacin - Conjunto - Composicin interna - P. Asociativa

1 Operacin - Conjunto - Composicin interna - P. Asociativa - P. Conmutativa - Elemento neutro - Elemento simtrico a


SEMIANILLO ABELIANOSemianillo cuya segunda operacin cumple la propiedad conmutativa.

ANILLO ABELIANOAnillo cuya segunda operacin cumple la propiedad conmutativa.

SEMIANILLO CON E. NEUTROSemianillo cuya segunda operacin posee elemento neutro y cumple la propiedad conmutativa.

ANILLO CON ELEMENTO NEUTROAnillo cuya segunda operacin posee elemento neutro y cumple la propiedad conmutativa.

1 SEMIANILLO SEMIGRUPO ABELIANO P. DISTRIBUTIVA 2 respecto 1

2 SEMIGRUPO

1 ANILLO GRUPO ABELIANO P. DISTRIBUTIVA 2 respecto 1

2 SEMIGRUPO

SEMICUERPOSEMIGRUPO ABELIANO

CUERPOGRUPO

a


GRUPO ABELIANO

1 Operacin - Conjunto - Composicin interna - P. Asociativa - P. Conmutativa - Elemento neutro

2 Operacin - Conjunto - Composicin interna - P. Asociativa - Elemento neutro - Elemento simtrico

1 Operacin 2 Operacin - Conjunto - Conjunto - Composicin interna - Composicin interna - P. Asociativa - P. Asociativa - P. Conmutativa - Elemento neutro - Elemento neutro - Elemento simtrico - Elemento simtrico DISTRIBUTIVA a (b c) = (a b) (a c)

GRUPO

CUERPO ABELIANOCuerpo cuya segunda operacin cumple la propiedad conmutativa.

1 SEMICUERPO SEMIGRUPO ABELIANO P. DISTRIBUTIVA 2 respecto 1

2 GRUPO

1 CUERPO GRUPO ABELIANO P. DISTRIBUTIVA 2 respecto 1

2 GRUPO

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RETCULO: Un conjunto A en el que se definen dos operaciones internas que cumplen las siguientes condiciones: Propiedad idempotente para ambas operaciones. Ambas operaciones sean conmutativas. Ambas operaciones sean asociativas. Ley de absorcin de cada una de ellas por la otra. Distributiva: una operacin con respecto de la otra: distributiva para cada operacin respecto de la otra: doblemente distributiva

Retculo con elemento universal (u): = = Retculo con elemento nfimo (i): = = Retculo complementario: elemento universal (u) elemento nfimo (i) para cada x hay x' que verifica: = =

3.4.1.3. Estructuras con ley de composicin externa1.- MDULO: Si M es un grupo abeliano y A es un anillo con elemento neutro, se dice que M es un mdulo con A como dominio de operadores, cuando se tiene definida una ley de composicin externa de A sobre M que verifica las siguientes condiciones: 1. + = + 2. = ( ) 3. + = + 4. 1 =

siendo a y b elementos del anillo A, 1 su elemento neutro y x, e, y, elementos de M. Suele expresarse tambin diciendo que M es un A-mdulo.

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2.- ESPACIO VECTORIAL: Es un caso particular de los mdulos en el que el dominio de operadores es un cuerpo en lugar de un anillo. Los elementos del espacio vectorial se denominan vectores. 3.- ALGEBRA: Se da este nombre a todo conjunto A en el que hay definidas dos operaciones internas (suma y producto) con respecto a las cuales constituye un anillo, y una ley de composicin externa tal que con ella y una de las operaciones internas tiene estructura de espacio vectorial.

4. NMERO NATURAL 4.1. Concepto de nmero naturalPuede definirse como la clase de todos los conjuntos coordinables entre s, es decir, el nmero de elementos que poseen todos los conjuntos que son coordinables entre s es un nmero natural. El conjunto de los nmeros naturales se designa con la letra N, y puede escribirse por compresin: N = {nmeros naturales} o por extensin: N = {1, 2, 3, 4,} 189 N, 34 N, 2/3 N, 0,007 N.

4.2. Estructura del conjunto de los nmero naturalPreviamente tendremos que definir las operaciones que pueden realizarse dentro de este conjunto.

1.- Suma de nmeros naturales Dados dos nmeros naturales a y b definidos por los conjuntos disjuntos A y B, se llama suma de a y b, y se escribe a + b, al nmero natural que define el conjunto A B.23


Propiedades: a.- Ley de composicin interna o propiedad uniforme de la suma: + = b.- Propiedad conmutativa: + = + B = c.- Propiedad asociativa: + + = + + = + + B C = B C = A B C c.- Tiene elemento neutro: + 0 = El conjunto N de los nmeros naturales para la operacin de sumar es un semigrupo conmutativo y con elemento neutro. , ,

2.- Producto de nmeros naturales Dados dos nmeros naturales a y b, representantes de los conjuntos A y B, se llama producto de a y b, que se representa a b, al representante de la clase de conjuntos A x B (producto cartesiano). Propiedades: a.- Es una ley de composicin interna. b.- Posee la propiedad conmutativa. c.- Posee la propiedad asociativa. d.- Tiene elemento neutro, que es el nmero natural 1. El conjunto N de los nmeros naturales para la operacin de multiplicar es un semigrupo conmutativo con elemento neutro. Adems: + = + 24


(N, +, ) SEMIANILLO CONMUTATIVO CON ELEMENTO NEUTRO

3.- Potencia de nmeros naturales Dados dos nmeros naturales m y n, se llama potencia de base m y exponente n, y se escribe: mn a lo siguiente: (m m m )n, es decir, el producto de n factores iguales a m. Propiedades: a.- = + = ( ) ( ) = +

b.-

= ( ) = = ( ) >

c.- 0 = 1 = = 0 = 1 d.- ( ) = ( ) = ++

=

4.3. Sistemas de numeracinLos sistemas de numeracin son un conjunto de reglas que permiten representar todos los nmeros mediante un nmero limitado de signos. El sistema de numeracin ms utilizado en la actualidad es el de base 10, cuyas cifras son las arbigas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y en el cual, por ejemplo, el nmero25


1.237 representa un nmero que tiene siete unidades de primer orden, tres de segundo orden, dos de tercero y una de cuarto. Para explicar mejor un sistema de numeracin cualquiera en una base m, vamos a hacerlo mediante un caso concreto, como puede ser el sistema de numeracin en base 3: n nmero natural representante del conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, p} vamos a agruparlo en subconjuntos, disjuntos entre s, de tres elementos (base del sistema): {a, b, c} {d, e, f} {g, h, i} {j, k, l} {m, p}

{m, p} nmero de unidades de primer orden Ahora, esas unidades de segundo orden (conjunto de tres elementos) los volvemos a asociar de tres en tres, obteniendo: {{a, b, c} {d, e, f} {g, h, i}} {j, k, l}

{j, k, l} Una unidad de segundo orden {{a, b, c} {d, e, f} {g, h, i}} Una unidad de tercer orden n = 112 En general, si m es la base de numeracin, cada m elementos forman una unidad de orden inmediato superior. Otro sistema muy usado en la actualidad es el de base 2, llamado sistema binario, que utiliza solamente las cifras 0 y 1. a representa al conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m}

en base 5: {a, b, c, d, e} {f, g, h, i, j}{k, l, m} = 23,

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en base 4: {a, b, c, d} {e, f, g, h} {i, j, k, l} {m} = 31,

en base 2:

{a, b} {c, d} {e, f} {g, h} {i, j} {k, l} {m} = 11013 4 3 3 1

en base 10: {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} {k, l, m} = 13

Pasar de una base a otra: - De base 10 a una base m. 136 10) a base 5:

136 36 1

5 27 2

5 5 0

5 1

13610) = 10215)

- De base m a una base 10. ) = + + 2 + 3 2346) = 4 + 3 6 + 2 62 = 9410)

Si el sistema de numeracin es en una base mayor que 10, se emplean las cifras arbigas, siendo las restantes cifras las primeras letras del alfabeto griego. As, por ejemplo, en la base 13 las cifras utilizadas seran: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , , .

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22 10) a base 1322 9 13 1

23 10) a base 1323 10 13 1

22 10) = 19 13)

23 10) = 1 13)

19 10) a base 109 + 1 13 = 2210)

1 13) a base 1010 () + 1 13 = 2310)

El nmero 123.431 en cualquier base se leer: ciento veintitrs mil cuatrocientos treinta y uno.

4.3.1. Operar en distinta base a 10En base 2:

Suma 0 0 1 1 1 10

Multiplicacin 0 0 0 1 0 1

0 1

0 1

+

1101 1001 10110

1101 x 11 1101 1101 100111

Cociente 10110 00010 101 100

Comprobacin 101 100 = 10100 10100 + 10 = 10110

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En base 4:

Suma 0 0 1 2 3 1 1 2 3 10 2 2 3 10 11 3 3 10 11 12 0 0 0 0 0

Producto 1 0 1 2 3 2 0 2 10 12 3 0 3 12 21

0 1 2 3

0 1 2 3

Cociente 23010 110 0021 030 00 12 1312 1312 12 3230 1312 23010

x

4.3.2. Sistemas de numeracin romanoSmbolos: Principales: I X C M 1 10 100 1.000 Secundarios: V L D 5 50 500 Reglas: 1.- Si una letra se escribe a la derecha de otra de igual o mayor valor, se suman los valores de ambas: VI = 5 + 1 = 6 2.- Si una letra se escribe a la izquierda de otra de mayor valor, se restan los valores de ambas: IV = 5 - 1 = 4 3.- Ninguna letra puede escribirse ms de tres veces a la derecha de otra de mayor valor ni ms de una a su izquierda. 4.- Las letras secundarias no pueden repetirse ni colocarse a la izquierda de otras de mayor valor.

29


5.- La letra I slo se puede escribir delante de V y X. La X slo delante de L y C, y la C, slo delante de D y M. 6.- Una raya horizontal colocada sobre una letra o grupo de letras multiplica al nmero que afecta por 1.000; dos rayas, por un milln, etc. CII = 102 = 102.000

5. NMERO ENTERO 5.1. GeneralidadesEn los nmeros naturales nos encontramos con el problema de hallar la diferencia entre dos nmeros cuando el sustraendo es menor que el minuendo. Al introducir el campo de los nmeros enteros, el problema quedar resuelto dando entrada a los llamados nmeros negativos.

5.2. Operadores N N(Mquina)

Entrada] Operador [Salida

N] Operador [N Establece una aplicacin N en N

Pares = (salida, entrada) (3, 0), (4, 1), (5, 2) (0, 3), (1, 4), (2, 5) se han obtenido con el operador +3 se han obtenido con un nuevo operador opuesto al anterior 3

30


5.3. Pares ordenados y nmero enteros(3, 0), (4, 1), (5, 2) (0, 3), (1, 4), (2, 5) representa a +3 representa a 3

El conjunto de nmeros con signo 5, 4, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 se llama conjunto de nmeros enteros y se representa por Z. () nmeros negativos (+) nmeros positivos el 0 no lleva signo. Se llama valor absoluto de un nmero entero, al nmero natural que resulta cuando se borra el signo del nmero entero.

3 significa valor absoluto de 3; 3=+3 y 5=+5

5.4. Estructura del conjunto de los nmeros enteros 5.4.1. Suma de nmeros enterosDados dos nmeros enteros (a, b) y (x, y), llamamos suma de ambos al nmero entero (a + x, b + y) 4,2 + 3, 0 = 4 + 3, 2 + 0 = (7, 2) escrito de la otra manera: +2 + +3(SUMANDOS)

=

+5(SUMA)

Reglas: 1.- Si los dos nmeros son de igual signo, sumamos los valores absolutos y ponemos al resultado el signo que llevaban los nmeros sumados. +7 + +3 = (+10)31


2 + 4 = (6) 2.- Si los dos nmeros son de distinto signo, restamos los valores absolutos y ponemos delante el signo del nmero que tiene mayor valor absoluto. 8 + +3 = (5) +12 + 3 = (+9) Para sumar varios sumandos, se halla por separado la suma de los valores positivos y la suma de los nmeros negativos, se obtienen dos resultados parciales que se suman aplicando las reglas anteriores. A los nmeros que tienen igual valor absoluto, pero distinto signo, se les llama nmeros opuestos, y, como es lgico, su suma es igual a 0. Propiedades: 1.- Operacin interna , , + = 2.- Propiedad asociativa + + = + ( + ) 3.- Propiedad conmutativa + = + 4.- Posee elemento neutro (0) + 0 = 5.- Posee elemento simtrico Todo nmero tiene su opuesto en Z El conjunto Z con la operacin de la suma forma grupo abeliano (Z, +) es grupo abeliano

32


5.4.1.1. Sumas indicadasA menudo aparecen expresiones de sumas entre parntesis; en este caso, para hacer desaparecer dicho parntesis hemos de emplear la siguiente regla: el signo ms delante de un parntesis significa escribir el mismo nmero, mientras que el signo menos significa cambiar los signos. Cuando delante de un parntesis no figura ningn signo se entiende que est el signo ms. +7 8 5 + +3 7 8 = 7 + 8 + 5 + 3 7 8 = 22 + 16 = 6

5.4.1.2. Diferencias de nmeros enterosLa expresin restar un nmero entero no es ms que un modo corriente de decir sumar el opuesto de un nmero entero. +3 (7) (+10) = +3 + +7 = () () Es un caso particular de la suma.

5.4.2. Producto de nmeros enterosPor analoga del conjunto Z con el conjunto N: Como tambin +5 (+6) = +30 () () 5 6 = 30

Regla de los signos: Si dos factores tienen el mismo signo, el producto es positivo, y si tienen signo contrario, el producto es negativo.

+ +

+ +

= = = =

+ +

(+2) (+2) (2) (2)

(4) (+4) (+4) (4)

= = = =

(8) (+8) (8) (+8)33


Propiedades: Ley de composicin interna Propiedad conmutativa = Propiedad asociativa = ( ) Posee elemento neutro (1, 0) = 1 1 = El conjunto Z de los nmeros enteros para la operacin de multiplicar tiene estructura de semigrupo conmutativo con elemento neutro, es decir: (Z, ) es semigrupo abeliano con elemento neutro. Si consideramos ahora (Z, +, ), veremos que adems las operaciones de suma y multiplicacin se encuentran ligadas mediante la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma, con lo que (Z, +, ) tiene estructura de anillo conmutativo con elemento neutro.

5.4.2.1. Producto de sumas indicadasSe multiplica cada uno de los nmeros del primer parntesis por cada nmero del segundo, respetando la regla de los signos. 2 + 3 1 +4 3 = -2 +4 + +3 +4 + -1 +4 + -2 -3 + +3 -3 + -1 -3 = 8 + 12 4 + 6 9 + 3 = 21 + 21 = 0

5.4.3. Cociente de nmeros enterosa = dividendo = b = divisor c = cociente = ; = ; =

34


Existen divisiones inexactas: a = dividendo b = divisor c = cociente r = resto = + No tiene ley de composicin interna. Signos: Cociente positivo cuando a y b tienen el mismo signo. Cociente negativo cuando a y b tienen signos distintos.

+ +

+ +

= = = =

+ +

(+12) (+12) (12) (12)

(+4) (4) (4) (+4)

= = = =

(+3) (3) (+3) (3)

Cuando existe a/b = c, se dice que a es mltiplo de b, siendo esta relacin ser mltiplo de una relacin de orden parcial: Reflexiva: todo nmero es mltiplo de s mismo. Antisimtrica: Si un nmero es mltiplo de otro, el segundo no puede ser mltiplo del primero. Transitiva: Si un primer nmero es mltiplo de un segundo, y este segundo lo es de un tercero, el primero ser mltiplo del tercero. Como adems no todas las parejas de nmeros enteros estn relacionadas mediante dicha relacin, es de orden parcial

-

-

Nmeros enteros que son mltiplos de +2 = nmeros enteros pares. Restantes = nmeros enteros impares.

35


5.4.4. Potenciacin de nmeros enterosEs anloga a la dada para nmeros naturales. Signos: Base positiva (+) (+2)3 = +8 (+5)4 = +625 Base negativa y exponente par (+) (2)4 = +16 (3)6 = +729 Base negativa y exponente impar () (3)5 = 243 (4)3 = 64 Casos particulares: 03 = 0 ; 06 = 0 14 = 1 ; 17 = 1 71 = 7 ; 91 = 9 357 = 1 ; 4 = 10 0

=

= 0 = 1

Potencias de exponente negativo: 73 75 = 1 72 = 735 = 72 72 = 1 72

36


Potencia de un producto: (2 4 5)3 = 23 43 53 ( ) =

Producto de potencias de distintas bases e igual exponente: = ( )

Potencia de un cociente: (: ) = :

Divisin de potencias de distintas bases e igual exponente: : = (: )

Producto de potencias de la misma base: = ++

Cociente de potencias de la misma base: : =

Potencia de una potencia: ( ) =

5.5. Inmersin del conjunto N en el conjunto ZLos nmeros enteros no negativos, es decir, los positivos y el 0, cuyo conjunto representaremos por Z+, se comportan de forma totalmente anloga a como lo hacen los nmeros naturales. Podemos establecer una correspondencia f: +, : = +, 0, 0 = 037


Esta correspondencia es una aplicacin biyectiva, con lo cual Z+ y N se comportan exactamente igual y pueden considerarse como idnticos; pudiendo considerar entonces a N como un subconjunto de Z.

5.6. DivisibilidadSu estudio sirve tambin para N, ya que es un subconjunto de Z. - Si un nmero a es mltiplo de otro nmero b, se dice que b es divisor de a. - Todo nmero admite como divisores a l mismo, a su opuesto, a +1 y a 1. Si un nmero entero admite solamente estos divisores se dice que es primo; si admite alguno ms se dice que es compuesto. Los nmeros primos negativos son los opuestos de los positivos. Para averiguar si un nmero dado es o no primo se sigue la siguiente regla: Se le divide sucesivamente por todos los divisores primos a partir de 2 hasta llegar a un cociente igual o menor que el divisor primo empleado.

157 17 1

2 78

157 07 1

3 52

157 07 2

5 31

157 17 3

7 22

157 47 3

11 14

157 27 1

13 12

Es primo

si alguna de las divisiones fuese exacta, el nmero no es primo. - Todo nmero compuesto puede descomponerse en un producto de factores primos de modo nico.

720 360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 2 3 3 5

720 = 24 x 32 x 5

1.000 500 250 125 25 5 1

2 2 2 5 5 5

1.000 = 23 x 53

38


- Los criterios ms importantes de divisibilidad son: 1. 2. 3. 4. Un nmero es divisible por 2 si termina en cero o cifra par. Un nmero es divisible por 3 y 9 si lo es la suma de los valores de sus cifras. Un nmero es divisible por 5 si termina en 0 en 5. Un nmero es divisible por 11 si sumados los valores de las cifras que ocupan lugar par por un lado y los de las cifras de lugar impar por otro, y hallada la diferencia de ambos resultados, se obtiene un mltiplo de 11. 54.276 6 + 2 + 5 7 + 4 = 2 11 5. Un nmero es divisible por 4 y por 25 si lo es, respectivamente, el nmero formado por sus dos ltimas cifras, o sean ceros estas dos ltimas cifras. Un nmero es divisible por 8 y por 125 si lo es el nmero formado por sus tres ltimas cifras, o sean ceros estas tres cifras. Un nmero es divisible por 7 cuando restando sucesivamente de sus decenas el duplo de sus unidades, se obtiene como residuo cero o un mltiplo de 7.

6. 7.

18.724 8 1.864 8 178 16 1

1 no es mltiplo de 7, el 18.724 no es divisible por 7.

La condicin necesaria y suficiente para que un nmero sea divisible por otro es que el primero contenga todos los factores primos del segundo con exponentes iguales o mayores. Para hallar todos los divisores de un nmero se realiza lo siguiente:900 450 225 75 25 5 1 2 2 3 3 5 5

900 = 22 x 32 x 52

39


Escribir en lneas horizontales las diversas potencias de los factores primos, empezando por la unidad.1, 2, 22 A 1, 3, 32

Primera fila Segunda fila Tercera fila

1, 5, 52

Multiplicamos todos los nmeros de la primera fila por cada uno de los n de la segunda; obteniendo B.1, 2, 22 B 3 x 1, 3 x 2, 3 x 22 32 x 1, 32 x 2, 32 x 22

Multiplicamos todos los productos del cuadro B por los nmeros de la tercera fila.1, 2, 22 3 x 1, 3 x 2, 3 x 22

32 x 1, 32 x 2, 32 x 22 5 x 1, 5 x 2, 5 x 22 C 5 x 3 x 1, 5 x 3 x 2, 5 x 3 x 22 5 x 32 x 1, 5 x 32 x 2, 5 x 32 x 22 52 x 1, 52 x 2, 52 x 22 52 x 3 x 1, 52 x 3 x 2, 52 x 3 x 22 52 x 32 x 1, 52 x 32 x 2, 52 x 32 x 22

C nos da los divisores = 1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 25, 50, 100, 75, 150, 300, 225, 450, 900.

5.6.1. M.C.D y M.C.M- Mximo comn divisor de varios nmeros (m.c.d.) Es el mayor nmero que los divide a todos, es decir, es el mayor de los divisores comunes de ambos nmeros. La regla para hallar el m.c.d. de varios nmeros es la siguiente: se descomponen todos los nmeros en factores primos y se halla el producto de los factores comunes a todos ellos con sus menores exponentes.40


36 18 9 3 1

2 2 3 3

60 30 15 5 1

2 2 3 5

72 36 18 9 3 1

2 2 2 3 3

36 = 22 x 32

60 = 22 x 3 x 5

72 = 23 x 32

. . 36, 60, 72 = 22 3 = 12

- Mnimo comn mltiplo de varios nmeros (m.c.m.) Es el menor de los mltiplos comunes a esos nmeros. La regla para hallar el m.c.m. de varios nmeros es la siguiente: se descomponen todos ellos en sus factores primos y se busca el producto de los factores comunes y los no comunes afectados con sus mayores exponentes.80 40 20 10 5 1 2 2 2 2 5 120 60 30 15 5 1 2 2 2 3 5 200 100 50 25 5 1 2 2 2 5 5

80 = 24 x 5

120 = 23 x 3 x 5

200 = 23 x 52

. . 80, 120, 200 = 24 52 3 = 1.200

- El producto del m.c.m. y el m.c.d. de dos nmeros es igual al producto de dichos nmeros en valor absoluto (esta regla slo se verifica para el caso de dos nmeros). = . . . , . . . (, ) . . . , = . . . (, ) . . . (, )

. . . , =

41


6. NMERO RACIONAL 6.1. GeneralidadesEn el campo de los nmeros enteros no es posible: dividir en el caso de que el dividendo no sea mltiplo del divisor. lo que queremos medir no contiene un nmero exacto de veces el patrn de medida que estamos utilizando.

Estas razones obligan a ampliar el campo de los nmeros introduciendo los llamados nmeros racionales o fraccionarios.

6.2. Concepto de nmero racionalUna fraccin es un operador de la forma: (multiplicar por a y dividir por b), a y b Z; a y b 0. () () leer denominadores: 2 medios 3 tercios 4 cuartos 5 quintos 6 sextos 7 sptimos 8 octavos 9 novenos 10 dcimos 11 onceavos . . . . 40 cuarentavos 3 40 42


18 18

2 36 = = 12 3 3

6 108 = = 12 9 9

operadores equivalentes, luego las fracciones 2/3 y 6/9 son tambin equivalentes. Para hallar una fraccin equivalente a otra basta con multiplicar o dividir su numerador y su denominador por el mismo nmero. De esta forma siempre podemos: - simplificar una fraccin (otra equivalente de trminos ms pequeos) - amplificar una fraccin (otra equivalente de trminos mayores) si una fraccin no admite simplificacin se dice que es irreducible. La equivalencia de fracciones es relacin de equivalencia: reflexiva simtrica transitiva

Por tanto, en el conjunto F de las fracciones puede hacerse una particin. El conjunto de todas las fracciones equivalentes entre s forman una clase. Pues bien, cada una de estas clases es un nmero racional Clases: infinitos elementos (fracciones) cada fraccin es un representante de dicho n racional (clase) generalmente la fraccin irreducible es el representante cannico de dicha clase (n racional)

El conjunto de todos los nmeros racionales se designa con el smbolo Q.

43


6.3. Estructura del conjunto QEstudiaremos las distintas operaciones:

6.3.1. Suma de nmeros racionalesPara sumar varios nmeros racionales elegimos de cada uno de ellos un representante que tenga el mismo denominador, y entonces se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. 2 3 5 + + ; . . 5 8 4

55 1

82 42 22 1 8=23

42 22 1

5=5

4=2

2

m.c.m = 23 x 5 = 40

Buscamos los representantes de cada una de esas clases cuyo denominador sea 40, para lo cual dividimos 40 entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador: 2 3 5 16 15 50 81 + + = + + = 5 8 4 40 40 40 40

Propiedades: Es operacin interna Posee propiedad conmutativa Posee propiedad asociativa Posee elemento neutro que es el nmero racional 0 = 0 1 Todo elemento {a/b} posee elemento simtrico {- a/b}

44


El conjunto Q para la operacin de sumar tiene estructura de grupo abeliano.

6.3.2. Diferencia de nmeros racionalesAnlogamente a los nmeros enteros, la diferencia se puede considerar como un caso particular de la suma, ya que restar un nmero racional es lo mismo que sumar el opuesto.

6.3.3. Producto de nmeros racionales = Propiedades: Es una ley de composicin interna Posee la propiedad conmutativa Posee la propiedad asociativa Posee elemento neutro {1/1} Todo nmero racional, excepto el 0, tiene elemento inverso, siendo el inverso de {a/b} el nmero {b/a} = 1 1 Por tanto, el conjunto Q* = Q {0} con respecto a la multiplicacin es un grupo conmutativo. Como adems se verifica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma {Q, +, }, tiene estructura de cuerpo conmutativo.

6.3.4. Cociente de nmeros racionalesDados dos nmeros racionales m y n, llamados, respectivamente, dividendo y divisor, se dice que p es el cociente de ambos si se verifica: = luego encontrar el cociente es lo mismo que efectuar la divisin. El cociente existe siempre en Q*, pues se observa que es: : =

45


que existe siempre, por ser la multiplicacin una operacin interna y existir el inverso de todo elemento distinto de 0.

6.3.5. Potenciacin de base de un nmero racional y exponente un nmero enteroExponente positivo

=

teniendo en cuenta los casos particulares: Exponente negativo: 1

=

0

=1

=

=

es lo mismo que su inverso elevado al mismo exponente, pero positivo.

6.4. Inmersin del conjunto Z en el conjunto QAnlogamente al razonamiento empleado al incluir al conjunto N como subconjunto de Z, comprobaremos que los conjuntos Z y Q1 (nmeros racionales con denominador 1) son idnticos, es decir, se comportan exactamente igual, pudindose considerar Z como subconjunto de Q en virtud de esta identificacin. Extiende Z a otro conjunto ms amplio, el conjunto de los nmeros racionales Q, en el que las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicacin y divisin) son internas.

6.5. Nmeros decimalesPara hallar el valor de una fraccin, es decir, para convertir sta en nmero decimal, se aaden ceros al numerador, y al efectuar la divisin entre el denominador, en el momento de bajar el primer cero aadido, se pone una coma en el cociente, con lo que obtenemos una representacin decimal aproximada de orden n del nmero dado.

46


- existe n, para el cual la divisin es exacta - no existe n, para el cual la divisin es exacta

nmero decimal exacto

Periodicos (nmero de - Decimal peridico puro (primera cifras decimales que se cifra decimal empieza el periodo) repiten peridicamente - Decimal peridico mixto (el {"periodo"}) periodo empieza ms all de la primera cifra, y las cifras que se quedan delante del periodo se llaman "cifras no peridicas" )

Operaciones: Sumar o restar decimales2367,54 45,013 2412,553 6897,457 324,12 6573,337

+

-

Multiplicar decimales 3546,78 0,3 = 1064,034

-

Dividir decimales 84,6 2,15

8460,0 2010 0750 105

215 39,3

6.6. Fracciones generatricesSe llama fraccin generatriz de una expresin decimal a una fraccin cualquiera representante del nmero racional del que es representacin la expresin decimal dada. Reglas: Si el decimal es exacto, se escribe el nmero que resulta de quitar la coma al decimal, partido de la unidad seguida de tantos ceros como cifras hay despus de la coma.

47


25,4 -

254 10

Si el nmero es peridico puro, la fraccin tiene por numerador la parte entera seguida del primer perodo (sin coma) menos la parte entera, y por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo. 32, 45 3245 32 3213 = 99 99

-

Si el nmero es peridico mixto, el numerador est formado por la parte entera seguida de la parte no peridica y del primer perodo menos la parte entera seguida de la parte no peridica, y por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo seguidos de tantos ceros como tiene la parte no peridica. 33,456 33456 334 33122 = 990 990

El arco se coloca encima de las cifras correspondientes al periodo: 32, 45 = 32,454545

7. RADICACIN 7.1. GeneralidadesSe define como raz ensima de un nmero N, al nmero x que elevado a la ensima potencia da N. Se representa as:

= =

donde n es el ndice, N el radicando y x la raz. Si n = 2, no es necesario escribir el 2 y se llama raz cuadrada. Dos radicales son semejantes cuando despus de simplificados tienen el mismo ndice y el mismo radicando.

48


7.2. Potencias de exponente racional = de donde =1

7.3. Operaciones con radicales 7.3.1. Suma de radicalesSe escriben unos a continuacin de otros con su propio signo, luego se reducen los radicales semejantes, si los hay. 8+ 4 5+ 82 5=3 3 3

8+ 8 + 52 5 + 4

3

3

=2 83 5+ 4

7.3.2. Multiplicacin de radicalesPara que puedan multiplicarse es preciso que tengan el mismo ndice, y en este caso se deja el ndice comn y se multiplican los radicandos3

5 4=

3

3

20

Si los radicales no tienen ndice comn se reducen a ste como veremos a continuacin.

7.3.3. Reduccin de radicales a ndice comnSe buscan el mnimo comn mltiplo de todos los ndices, y ste se deja como ndice comn; cada radicando se eleva al cociente de dividir dicho m.c.m. por el ndice que tuviese al principio. 5 4 7 . . . 2, 3, 4 = 1212 3 4

56

12

44

12

73 =

12

56 44 7349


7.3.4. Divisin de radicalesHan de tener tambin el mismo ndice dividendo y divisor. Para dividirlos, se deja el mismo ndice y se dividen los radicandos

9 3

=

9 3=

3

7.3.5. Potencia ensima de un radicalPara elevar un radical a un exponente se deja el mismo ndice y se eleva el radicando a dicho exponente

=

7.3.6. Raz ensima de un radicalSe deja el mismo radicando y se pone como ndice el producto de los ndices

=

7.4. RacionalizacinSe llama as a la operacin mediante la cual se consigue que desaparezcan las races del denominador sin que vare el cociente. Primer caso. Si el denominador es un monomio; en este caso se multiplican numerador y denominador por la expresin conveniente, teniendo en cuenta que si el radicando est elevado al mismo valor que el ndice desaparece la raz 3 3

7 3 72 723 3 3

3 723

3

7 72

3

=

3 72 723

3

3

7 72

=

73

3 72 72 = 7

3

3

50


-

Segundo caso. Si el denominador es un binomio de radicales cuadrticos (de ndice 2). En este caso se emplea la siguiente regla: se multiplican numerador y denominador por el binomio conjugado del denominador + el binomio conjugado del denominador es = = 2

+

+

2

=

7.5. Simplificacin de radicalesSimplificar un radical es transformarlo en otro equivalente de expresin ms sencilla. Propiedades: 1. 2. Un radical no vara su valor si se multiplican o dividen el ndice y el exponente por el mismo nmero. Para sacar un factor fuera de un radical se divide el exponente entre el ndice y el factor sale fuera del radical con un exponente igual al cociente de la divisin, quedando el resto de la misma (si lo hay) como exponente del mismo factor dentro del radical.5

312 = 32

5

32

ya que: 12 = 5 2 + 2 3. Inversamente, para introducir un factor dentro de un radical bastar multiplicar su exponente por el ndice de la raz. Se utiliza cuando se pueden hacer radicales semejantes y de esta manera sumarlos. Reduccin de radicales a ndice comn (visto). A veces, para hacer una operacin con radicales, nos interesa poner a stos en forma de potencia.

4. 5.

Ejemplos:3

4 3 6 = 2

3

51


2 23

3

2 = 2 3 6

3

23

2 +

3

5 + 3

6

6 4 36

3

5 =

2 2

6 4 = 3

4 = 3

2

3

2 +

3

2 + 3

3

2 = 2 + + 3

3

2

7.6. Clculo de la raz cuadrada de un nmero1.- Se divide el nmero propuesto en grupos de a dos cifras, a partir de la derecha; el grupo de la izquierda podr resultar con una sola cifra. 2.- Se extrae la raz cuadrada del grupo de la izquierda, y as se obtiene la primera cifra de la raz. Se eleva sta al cuadrado y se resta del primer grupo de la izquierda. 3.- A la derecha del resto obtenido se baja el grupo siguiente del radicando, se separa con una coma la ltima cifra de la derecha, y la cifra de la izquierda se divide por el duplo de la parte de la raz hallada. El cociente calculado se escribe a la derecha del duplo de la raz y el nmero as formado se multiplica por el mismo cociente calculado. Si el producto se puede restar de todo el primer resto, la cifra calculada como cociente es buena y ser la segunda cifra de la raz, escribindose a la derecha de la primera. 4.- A la derecha del segundo resto obtenido se escribe el grupo siguiente del radicando. Se separa con una coma la primera cifra de la derecha y el grupo que queda a la izquierda se divide por el duplo de la raz hallada, continuando como se ha dicho antes hasta bajar el ltimo grupo del radicando. 104976 10, 49, 76 comenzando por la derecha y hallamos la raz cuadrada por defecto del 1 grupo de la izquierdaer

52


5,428

5,4280 -4 142 -129 1380 - 924 456

2,3 43 3 = 129 462 2 = 924 2 x 2 = 4; 14 : 4 = 3

23 x 2 = 46; 138 : 46 = 3 463 3 = 1389 > 1380

8. NMERO REAL 8.1. GeneralidadesEn la operacin de radicacin existen dos dificultades que no se pueden solucionar en el campo de los nmeros racionales, son las siguientes: Si tratamos de hallar una raz ensima, donde n sea un nmero par, de un nmero negativo, esto no es posible puesto que no existe ningn nmero que elevado a exponente par d como resultado un nmero negativo. Aun en el caso de que el radicando sea positivo, puede ocurrir que no tenga raz ensima dentro del campo de los nmeros racionales. As, por ejemplo, si tratamos de hallar la raz cuadrada de 3, vemos que por muchas cifras decimales que saquemos nunca llegaremos a un resto cero, ni a tener un periodo.

-

El segundo problema se soluciona introduciendo el nuevo campo de los nmeros reales, el cual comprende a todos los nmeros racionales y adems a aquellos que hemos citado ltimamente llamados irracionales 2, 3, 5, , . El primer problema se solucionar despus con la introduccin de los nmeros complejos.

8.2. Concepto de nmero realVamos a utilizar el mtodo de las sucesiones montonas convergentes.53


Una sucesin numrica es una aplicacin cuyo conjunto original es el conjunto de los nmeros naturales. Cuando el conjunto final es el conjunto de los nmeros racionales, la sucesin se llama de nmeros racionales. Para las sucesiones se emplea la siguiente notacin para representar el valor de la funcin u correspondiente a valor n de la variable: un en lugar de u(n) como se hace para otras funciones. Los valores que toma la funcin se llaman trminos de la sucesin, llamndose a un trmino ensimo de la sucesin. Una sucesin a1, a2, an que verifica que: 1 2 se llama sucesin montona creciente. Si la sucesin 1 , 2 , verifica que: 1 2

se llama montona decreciente. Se define como par de sucesiones montonas convergentes al conjunto formado por dos sucesiones ( ) y ( ) tales que: Una de ellas es montona creciente. Otra es montona decreciente. < para todo valor de i. La diferencia llega a ser un valor absoluto menor que cualquier nmero > 0, desde un valor de i en adelante.

Se llama nmero real a todo par de sucesiones montonas convergentes. Nmero real [(0,0)] a: 0000 0000 Todo nmero real mayor que el [(0,0)] se llama positivo y los menores que el [(0,0)] se llaman negativos.

54


El valor absoluto de un nmero positivo es l mismo, y el valor absoluto de un nmero negativo es su opuesto.

8.3. Estructura del conjunto de los nmeros reales 8.3.1. Suma de nmeros reales ,

+ ,

=

+ , +

Propiedades: Es una ley de composicin interna. Propiedad conmutativa. Propiedad asociativa. Posee elemento neutro [(0,0)] Todo nmero real , tiene su simtrico, que es el , , es decir, su opuesto; ambos sumados dan como resultado el elemento neutro.

El conjunto R respecto a la suma tiene estructura de grupo abeliano.

8.3.2. Diferencia de nmeros realesPara restar dos nmeros reales basta con sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Es por tanto, un caso particular de la suma.

8.3.3. Multiplicacin de nmeros reales ,

,

=

,

1 1,2 1,24 2 1,3 1,25 2 2,0 2,01 3 2,1 2,02

55


Producto: 2 2,4 2,4924 6 2,73 2,5250 Propiedades: Ley de composicin interna. Propiedad conmutativa. Propiedad asociativa. 1111 Elemento neutro [(1,1)] 1111 Todo nmero real , tiene como simtrico a su inverso 1 , 1

El conjunto R* = R {0}, tiene estructura de grupo conmutativo. Como adems se verifica la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma, (R, +, ) tiene estructura de cuerpo. Es el cuerpo de los nmeros reales.

8.3.4. Divisin de nmeros reales = A = dividendo B = divisor 0 C = cociente

Basta multiplicar el primero por el inverso del segundo. Luego la divisin a efectos de estructura es un caso particular de la multiplicacin.

8.4. Inmersin del conjunto Q de los nmeros racionales en el conjunto R de los nmeros realesSi consideramos el subconjunto R1 del conjunto de los nmeros reales R, formado por los elementos de la forma , y , , siempre que el nmero , se pueda escribir en forma de fraccin, comprobamos que se trata de un subconjunto de R, es decir, un cuerpo con las mismas operaciones que R. R1 es idntico a Q de los nmeros racionales y ambos se comportan igual, pudindose considerar por tanto a Q como un subconjunto de R. Todos los nmeros reales que no son racionales se llaman irracionales.56


9. LOGARITMIZACIN 9.1. GeneralidadesLogaritmizacin es la operacin inversa a la potenciacin. Se llama logaritmo en base b de un nmero N al exponente a que hay que elevar dicha base para obtener el nmero N. log = = ; > 0 1

9.2. Propiedades de los logaritmos1.- El logaritmo de la base es la unidad. log = 1 1 = 2.- En cualquier caso, el logaritmo de 1 es 0. log 1 = 0 0 = 3.- Si la base es mayor que 1, al aumentar el nmero aumenta su logaritmo. Tienen logaritmo positivo los nmeros mayores que 1 y logaritmo negativo los menores que 1. 4.- Si la base es menor que 1, al aumentar el nmero disminuye el logaritmo, y en este caso tienen logaritmo positivo los nmeros menores que 1 y negativo los mayores que 1. 5.- Los nmeros negativos no tienen logaritmo real, ya que hemos dicho que la base ha de ser positiva y distinta de 1, y cualquier nmero positivo elevado a cualquier exponente (positivo o negativo) da como resultado un nmero positivo. 6.- El logaritmo de 0 en cualquier base es (- ) 7.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. log = log + log

57


8.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. log = log log

9.- El logaritmo de la potencia de un nmero es igual al exponente por el logaritmo de la base. log = log 10.- El logaritmo de la raz ensima de un nmero M es igual al logaritmo de dicho nmero M dividido por el ndice n de la raz. log Ejemplo: 34 15 3 log = log 34 15 log 128 540 40 128 5 3 = log 34 + log 15 log 128 + log 540 1 = 4 log 3 + log 15 log 128 40 log 5 33

= log =

1

log

9.3. Logaritmos decimalesLos logaritmos decimales, o de base 10, son los ms utilizados y reciben tambin el nombre de logaritmo de Briggs. Se escriben log sin indicar la base. log 10 = 1 log 100 = 2 log 0,1 = 1 log 0,01 = 2 Logaritmos enteros las potencias de 10; lo tendrn positivo y el valor ser el nmero de ceros que sigue a la unidad. Los decimales de la forma 0,1 - 0,01 - 0,001, los tendrn negativos y con un valor igual al nmero total de ceros incluyendo el que est delante de la coma.58


Los logaritmos de todos los dems nmeros no sern enteros, sino que estarn formados por una parte entera llamada caracterstica y una parte decimal llamada mantisa.

9.3.1. Clculo de la caractersticaA).- Si el nmero es mayor que la unidad, la caracterstica es un nmero entero positivo y cuyo valor es el nmero de cifras que haya antes de la coma disminuido en una unidad. B).- Si el nmero es menor que la unidad, la caracterstica es un nmero negativo cuyo valor absoluto es igual al lugar que ocupa la primera cifra significativa despus de la coma.

9.3.2. Clculo de la mantisaLo primero que tendremos en cuenta es que el valor de la mantisa es independiente de la posicin de la coma. 10 ( ) .

log =

log 10 = log + log 10 = +

y como n es un nmero entero, dichos logaritmos slo se diferenciarn en la caracterstica, pero no en la mantisa. Se ha convenido que la mantisa es siempre positiva independientemente del signo de la caractersticas, para lo cual, si la caracterstica es negativa, el signo menos se le coloca encima indicando as que slo ella es negativa, pero no la mantisa. Para buscar la mantisa suprimimos la coma y los ceros del final y a continuacin miraremos en una tabla de logaritmos. Para buscar la mantisa, miraremos dnde se cruza la fila encabezada por el nmero formado por las dos primeras cifras y la columna encabezada por la tercera cifra; al nmero encontrado en dicho cruce le sumaremos el que est situado en la misma fila, pero en la columna de la derecha del todo, que va encabezada por la cuarta cifra. Si el nmero tiene ms de cuatro cifras significativas cometemos algo de error, pero podemos acudir al mtodo de interpolacin.59


log 4328 Caracterstica: 4 1 = 3 Mantisa: fila 43 y columna 2 = 6355 8

fila derecha y columna 8 =

6355 + 8 = 6363 log 4328 = 3,6363

9.3.2.1. Mtodo de interpolacinlog 354,78 Caracterstica: 3 1 = 2 Mantisa: Se halla la mantisa de los nmeros 354,70 5499 y 354,80 5500 354,80 354,70 = 0,10 5500 5499 = 1 354,78 354,70 = 0,08 la variacin de la mantisa es proporcional a la variacin en el nmero: 0,08 = ; = 0,8 0,10 1 El valor obtenido se lo sumamos a la mantisa encontrada para 354,70, y obtenemos la mantisa del nmero que nos interesa: 5499 + 0,8 = 54998 log 354,78 = 2,5499860


TABLA DE LOGARITMOS DECIMALESPartes proporcionales

N 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

0 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902 6990 7076 7160 7243 7324 0

1 0043 0453 0828 1173 1492 1790 2068 2330 2577 2810 3032 3243 3444 3636 3820 3997 4166 4330 4487 4639 4786 4928 5065 5198 5328 5453 5575 5694 5809 5922 6031 6138 6243 6345 6444 6542 6637 6730 6821 6911 6998 7084 7168 7251 7332 1

2 0086 0492 0864 1206 1523 1818 2095 2355 2601 2833 3054 3263 3464 3655 3838 4014 4183 4346 4502 4654 4800 4942 5079 5211 5340 5465 5587 5705 5821 5933 6042 6149 6253 6355 6454 6551 6646 6739 6830 6920 7007 7093 7177 7259 7340 2

3 0128 0531 0899 1239 1553 1847 2122 2380 2625 2856 3075 3284 3483 3674 3856 4031 4200 4362 4518 4669 4814 4955 5092 5224 5353 5478 5599 5717 5832 5944 6053 6160 6263 6365 6464 6561 6656 6749 6839 6928 7016 7101 7185 7267 7348 3

4 0170 0569 0934 1271 1584 1875 2148 2405 2648 2878 3096 3304 3502 3692 3874 4048 4216 4378 4533 4683 4829 4969 5105 5237 5366 5490 5611 5729 5843 5955 6064 6170 6274 6375 6474 6571 6665 6758 6848 6937 7024 7110 7193 7275 7356 4

5 0212 0607 0969 1303 1614 1903 2175 2430 2672 2900 3118 3324 3522 3711 3892 4065 4232 4393 4548 4698 4843 4983 5119 5250 5378 5502 5623 5740 5855 5966 6075 6180 6284 6385 6484 6580 6675 6767 6857 6946 7033 7118 7202 7284 7364 5

6 0253 0645 1004 1335 1644 1931 2201 2455 2695 2923 3139 3345 3541 3729 3909 4082 4249 4409 4564 4713 4857 4997 5132 5263 5391 5514 5635 5752 5866 5977 6085 6191 6294 6395 6493 6590 6684 6776 6866 6955 7042 7126 7210 7292 7372 6

7 0294 0682 1038 1367 1673 1959 2227 2480 2718 2945 3160 3365 3560 3747 3927 4099 4265 4425 4579 4728 4871 5011 5145 5276 5403 5527 5647 5763 5877 5988 6096 6201 6304 6405 6503 6599 6693 6785 6875 6964 7050 7135 7218 7300 7380 7

8 0334 0719 1072 1399 1703 1987 2253 2504 2742 2967 3181 3385 3579 3766 3945 4116 4281 4440 4594 4742 4886 5024 5159 5289 5416 5539 5658 5775 5888 5999 6107 6212 6314 6415 6513 6609 6702 6794 6884 6972 7059 7143 7226 7308 7388 8

9 0374 0755 1106 1430 1732 2014 2279 2529 2765 2989 3201 3404 3598 3784 3962 4133 4298 4456 4609 4757 4900 5038 5172 5302 5428 5551 5670 5786 5899 6010 6117 6222 6325 6425 6522 6618 6712 6803 6893 6981 7067 7152 7235 7316 7396 9

1 4 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 8 8 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 12 11 10 10 9 8 8 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3

4 17 15 14 13 12 11 11 10 9 9 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 4

5 21 19 17 16 15 14 13 12 12 11 11 10 10 9 9 9 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 5

6 25 23 21 19 18 17 16 15 14 13 13 12 12 11 11 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 6

7 29 26 24 23 21 20 18 17 16 16 15 14 14 13 12 12 11 11 11 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 7

8 33 30 28 26 24 22 21 20 19 18 17 16 15 15 14 14 13 13 12 12 11 11 11 10 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 6 6 8

9 37 34 31 29 27 25 24 22 21 20 19 18 17 17 16 15 15 15 14 13 13 12 12 12 11 11 11 10 10 10 10 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 7 7 7 9

Tabla 1

61


TABLA DE LOGARITMOS DECIMALESPartes proporcionales

N 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

0 7404 7482 7559 7634 7709 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956 0

1 7412 7490 7566 7642 7716 7789 7860 7931 8000 8069 8136 8202 8267 8331 8395 8457 8519 8579 8639 8698 8756 8814 8871 8927 8982 9036 9090 9143 9196 9248 9299 9350 9400 9450 9499 9547 9595 9643 9689 9736 9782 9827 9872 9917 9961 1

2 7419 7497 7574 7649 7723 7796 7868 7938 8007 8075 8142 8209 8274 8338 8401 8463 8525 8585 8645 8704 8762 8820 8876 8932 8987 9042 9096 9149 9201 9253 9304 9355 9405 9455 9504 9552 9600 9647 9694 9741 9786 9832 9877 9921 9965 2

3 7427 7505 7582 7657 7731 7803 7875 7945 8014 8082 8149 8215 8280 8344 8407 8470 8531 8591 8651 8710 8768 8825 8882 8938 8993 9047 9101 9154 9206 9258 9309 9360 9410 9460 9509 9557 9605 9652 9699 9745 9791 9836 9881 9926 9969 3

4 7435 7513 7589 7664 7738 7810 7882 7952 8021 8089 8156 8222 8287 8351 8414 8476 8537 8597 8657 8716 8774 8831 8887 8943 8998 9053 9106 9159 9212 9263 9315 9365 9415 9465 9513 9562 9609 9657 9703 9750 9795 9841 9886 9930 9974 4

5 7443 7520 7597 7672 7745 7818 7889 7959 8028 8096 8162 8228 8293 8357 8420 8482 8543 8603 8663 8722 8779 8837 8893 8949 9004 9058 9112 9165 9217 9269 9320 9370 9420 9469 9518 9566 9614 9661 9708 9754 9800 9845 9890 9934 9978 5

6 7451 7528 7604 7679 7752 7825 7896 7966 8035 8102 8169 8235 8299 8363 8426 8488 8549 8609 8669 8727 8785 8842 8899 8954 9009 9063 9117 9170 9222 9274 9325 9375 9425 9474 9523 9571 9619 9666 9713 9759 9805 9850 9894 9939 9983 6

7 7459 7536 7612 7686 7760 7832 7903 7973 8041 8109 8176 8241 8306 8370 8432 8494 8555 8615 8675 8733 8791 8848 8904 8960 9015 9069 9122 9175 9227 9279 9330 9380 9430 9479 9528 9576 9624 9671 9717 9763 9809 9854 9899 9943 9987 7

8 7466 7543 7619 7694 7767 7839 7910 7980 8048 8116 8182 8248 8312 8376 8439 8500 8561 8621 8681 8739 8797 8854 8910 8965 9020 9074 9128 9180 9232 9284 9335 9385 9435 9484 9533 9581 9628 9675 9722 9768 9814 9859 9903 9948 9991 8

9 7474 7551 7627 7701 7774 7846 7917 7987 8055 8122 8189 8254 8319 8382 8445 8506 8567 8627 8686 8745 8802 8859 8915 8971 9025 9079 9133 9186 9238 9289 9340 9390 9440 9489 9538 9586 9633 9680 9727 9773 9818 9863 9908 9952 9996 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3

4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

5 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5

6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6

7 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7

8 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 8

9 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 9

Tabla 2

62


9.4. AntilogaritmoSe llama antilogaritmo al nmero que corresponde a un logaritmo dado. antilog 3 = 1.000 log 1.000 = 3

antilog 3,5497 La caracterstica es 3, lo cual indica que el nmero que buscamos tiene cuatro cifras enteras. La mantisa es 5497 y en la tabla tenemos el 5490 y la diferencia entre ambos es 7. 35 4 6

antilog 3,5497 = 3546 log 3546 = 3,5497

9.5. CologaritmoSe llama cologaritmo de un nmero N al logaritmo de su recproco 1/N. colog = log 1/ = log 1 log = 0 log = log log / = log + colog Para calcular el cologaritmo se aplica la siguiente regla: Se suma una unidad positiva a la caracterstica del logaritmo y luego se cambia de signo: las cifras decimales de la mantisa se restan de 9, excepto la ltima cifra significativa, que se resta de 10. colog 45,78 log 45,78 = 1,6607

Caracterstica: 1 + 1 = 2 (2)

63


Mantisa:

999 660 339

10 7 3

3393

colog 45,78 = 2 , 3393

9.6. Logaritmos neperianosLos logaritmos neperianos son los que tienen como base el nmero e. Suelen escribirse mediante la letra L o bien ln. 2,72 = log = = = 10 log = 10 = Si tomamos logaritmos en los dos miembros de la ltima igualdad: log = log 10 ; log = log 10 ; log 2,72 = 1 buscamos en la tabla el log 2,72 log 2,72 = 0,4346 luego: = = log = 0,4346 0,4346

= 2,3 log (2,3 es el inverso de 0,4346)

Para cualquier base: log = = = log

64


9.7. Clculo logartmico1). = 457 4 37 457 4 374 4

log = log

1 log = 7 log 45 log 4 + log 37 4 1 log = 7 1,6532 0,6021 1,5682 = 11,5724 0,9941 = 10,5783 4 = antilog 10,5783 = 3787 107 2). = 45,3 log = log 45,3 3 3

0,362

1 1 0,362 = log 45,3 + log 0,362 = 1,6561 + 1 , 5587 3 3

Problema dividir entre 3 caracterstica negativa y mantisa positiva. 1 1 1, 5587 = 3 + 2,5587 = 1 + 0,8529 = 1, 8529 3 3 1, 5587 = 0,4413 (log = colog ), 1 0,4413 = 0,1471 3 y buscamos su cologaritmo, con lo que tenemos de nuevo el logaritmo: 0,1471 = 1, 8529 log = 1,6561 + 1, 8529 = 1,5090 = antilog 1,5090 = 32,28

65


Cuando se realiza el clculo con logaritmos, siempre que interese, puede pasarse de la forma de caracterstica negativa y mantisa positiva a la de caracterstica y mantisa negativas o viceversa, aplicando la regla de clculo de cologaritmo.

9.8. Ecuaciones logartmicasSon aquellas en que la incgnita aparece bajo la operacin del logaritmo. a).- Dejarla en la forma: log 1 = log 2 b).- Tomar antilogaritmos correspondientes y pasarnos a los nmeros: 1 = 2 Ejemplo1.log 16 2 =2 log 3 4 log 16 2 = 2 log 3 4 log 16 2 = log 3 4 16 2 = 3 4 10 2 24 = 0 Ejemplo 2.log + 3 log = 5 2 log = 3 los antilogaritmos de 5 y 3 son respectivamente 105 y 103. log 3 = log 105 3 = 105 = 100 2 2 log = log 103 = 103 = 102 2

1 = 0 2 = 2,4

66


9.9. Ecuaciones exponencialesSe llama as a aquellas ecuaciones en las que la incgnita figura como exponente. Ejemplo 1.3 + 3+1 + 3+2 = 2 + 2+1 + 2+2 en una suma no podemos tomar logaritmos. + = 3 + 3 3 + 32 3 = 2 + 2 2 + 22 2 3 1 + 3 + 9 = 2 1 + 2 + 4 log 13 3 = log 7 2 log 13 + log 3 = log 7 + log 2 1,1139 + 0,4771 = 0,8451 + 0,3010 0,2688 = 0,1761 = Ejemplo 2.42 8 4 + 12 = 0 Hacer un cambio en la variable 4 2 8 + 12 = 0 = 8 64 48 8 4 1 = 6 = 2 = 2 2 2 0,2688 = 1,5 0,1761

Vamos a calcular los valores de x = 4 = 6 log 4 = log 667


=

log 6 0,7782 = = 1,29 log 4 0,6021 = 4 = 2 log 4 = log 2

=

log 2 0,3010 = = 0,5 log 4 0,6021

10. PROGRESIONESUna progresin es una sucesin en la que los trminos se obtienen por aplicacin sucesiva de una misma ley.

10.1.

Progresiones aritmticas

Se llama progresin aritmtica a una sucesin de nmeros tales que cada uno se obtiene del anterior sumndole una constante llamada diferencia o (impropiamente) razn de la progresin. 2, 5, 8, 11 3 Las progresiones aritmticas pueden ser crecientes (con razn positiva) y decrecientes (razn negativa). Cada uno de los nmeros de una progresin se llama trmino, llamndose extremos a los trminos primero y ltimo, y medios a los dems. Las progresiones que no tienen ltimo trmino se llaman ilimitadas. Clculo del trmino ensimo: = 1 + 1 an = trmino ensimo a1 = primer trmino n = nmero de trminos d = razn68


Suma de los n primeros trminos: = 1 + 2 1

Interpolacin: Se llama interpolar m medios diferenciales entre dos nmeros dados a y b, a la formacin de una progresin aritmtica de m + 2, trminos cuyos extremos sean a y b. El problema se resume en encontrar la razn de la progresin: = + + 2 1 de donde: = + 1

, + , + + ,

10.2.

Progresiones geomtricas

Se llama progresin geomtrica a una sucesin de nmeros tales que cada uno se obtiene del anterior multiplicndolo por una constante, llamada razn de la progresin. Si r > 1, la progresin es creciente, y si r < 1, es decreciente. 1, 2, 4, 8, 16 ( = 2) 9, 3, 1, 1 ( = 1 3) 3

En el caso de que r < 0 (negativa), los trminos se van alternando, y uno es positivo y otro es negativo. En este caso, la progresin se llama alternante 2, 4, 8, 16 ( = 2) Clculo del trmino ensimo: = 1 1

69


Suma de los n primeros trminos: = 1 1 1

Producto de los n primeros trminos: = 1

Interpolacin: Interpolar m medios geomtricos entre los nmeros dados a y b es formar una progresin geomtrica de m + 2, trminos cuyos extremos sean a y b. = +21 = +1

, , ,

10.3.

Progresiones ilimitadas

Son aquellas en que n = Veremos cuatro casos: A) Progresiones aritmticas ilimitadas decrecientes. Su trmino ensimo ser , y la suma de todos sus trminos tambin ser . B) Progresiones aritmticas ilimitadas crecientes. Tanto su trmino ensimo como su suma tendern a . C) Progresiones geomtricas ilimitadas crecientes (r > 1). Tanto el trmino ensimo como la suma tienden a . D) Progresiones geomtricas ilimitadas decrecientes (r < 1). 1 1 = 1 = = 1 1 1

1 1 1 1 70


Puesto que n crece ilimitadamente, rn 0, con lo que el segundo trmino de la suma tiende tambin a 0 y queda para la expresin de la suma: = 1 1

10.4.

Problemas de aplicacin

1).- Colocar 50 piedras en lnea recta y que disten del sitio en que se encuentran reunidas 5 metros, 10 metros, 15 metros, etc. Cul es la distancia que debe recorrerse para colocar las piedras, llevndose una sola cada vez? d=5 a1 = 5 n = 50 Se trata de una progresin aritmtica y lo que pide el problema es el doble de la suma de todos los trminos (ir y volver). = 1 + 2 1

50 = 1 + 50 1 50 = 5 + 49 5 = 250 = 1 1 5 + 250 50 = 255 50; 2 2 2 = 255 50 = 12750 Se han de recorrer 12750 metros en total. 2).- Tres nmeros estn en progresin geomtrica. El segundo es 16 unidades mayor que el primero, y el tercero 48 unidades mayor que el segundo. Hallar estos nmeros. Los nmeros son: a, a + 16, a + 16 + 48. Condicin para que sea progresin geomtrica: el cociente entre el segundo trmino y el primero ha de ser igual al cociente entre el tercero y el segundo

71


+ 16 + 64 = + 16 + 162

= 2 + 64

2 + 256 + 32 = 2 + 64 = Los nmeros son 8, 24, 72 y r = 3 3).- Hallar la fraccin generatriz del nmero 2,282828 2 + 0,28 + 0,0028 + 0,000028 Prescindiendo de la parte entera (2), el resto es la suma de los trminos de una progresin geomtrica ilimitada decreciente, cuya r = 0,01 y su primer trmino 0,28. = 0,28 0,28 28 = = 1 0,01 0,99 99 256 =8 32

le aadimos de nuevo la parte entera que habamos dejado: 2,282828 = 2 + 28 226 = 99 99

Aplicando las reglas para calcular fracciones generatrices, el resultado es el mismo. 4).- Inscribe en un cuadrado de lado 2 metros un crculo, en ste un cuadrado, en ste un crculo y as de nuevo e indefinidamente. Hallar el lmite de la suma de las reas de todos los cuadrados.

l1 = 2 (lado del primer cuadrado) r1 = 1 (radio del primer crculo)

La diagonal del segundo cuadrado es el dimetro del primer crculo y, por tanto, el lado del primer cuadrado. Esto ir sucediendo en todos los casos, luego:2 2 2 2 1 = 2 2 , 2 = 2 3 ,

72


de donde: 1 1 2 = 1 ; 3 = 2 2 2 hemos escrito esto teniendo en cuenta que el rea de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado. Por tanto, las reas de todos esos cuadrados forman una progresin geomtrica decreciente de r = 1/2, y su suma es: = 1 1 = 1 1 1 = 2 4 = 8 2 1 2

73

INTRODUCCIN A LAS MATEMTICAS(PARTE II)

2010 ANTONIO ROS MORENO


MATEMTICAS

Si la gente no piensa que las matemticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida. John Von Neumann (1903-1957) Matemtico hngaro-estadounidense.

1


INDICE:1.- TRIGONOMETRA 1.1.- Generalidades 1.2.- Definiciones y signos de las razones trigonomtricas 1.3.- Relacin entre las razones trigonomtricas de un ngulo 1.4.- Reduccin de las razones al primer cuadrante 1.5.- Tablas trigonomtricas 1.6.- Relaciones trigonomtricas ms importantes 1.7.- Ecuaciones y sistemas trigonomtricos 1.8.- Resolucin de tringulos rectngulos 1.9.- Resolucin de tringulos oblicungulos 1.10.- Frmulas del rea de un tringulo 2.- NMERO COMPLEJO 2.1.- Nmeros imaginarios 2.2.- Concepto de nmero complejo 2.3.- Representacin vectorial de los nmeros complejos 2.4.- Formas de escribir un nmero complejo 2.5.- Estructura del conjunto C de los nmeros complejos 2.6.- Potencias y races de los nmeros complejos 3.- COMBINATORIA 3.1.- Generalidades 3.2.- Variaciones 3.3.- Permutaciones 3.4.- Combinaciones 3.5.- Nmeros combinatorios 4.- POTENCIA DE UN BINOMIO 4.1.- Potencia n-sima de un binomio (Binomio de Newton) 4.2.- Relaciones entre los coeficientes binmicos 4.3.- Tringulo de Tartaglia 5.- POLINOMIOS 5.1.- Generalidades 5.2.- Adicin de polinomios 5.3.- Multiplicacin de polinomios 5.4.- Potenciacin de polinomios. Frmulas notables2


5.5.- Divisin de polinomios 5.6.- Divisin de un polinomio por x-a. Regla de Ruffini 5.7.- Teorema del resto 6.- NOCIONES GENERALES SOBRE MATRICES Y DETERMINANTES 6.1.- Matrices 6.2.- Determinantes 7.- ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 7.1.- Ecuaciones 7.2.- Sistemas de ecuaciones 8.- SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO Y REPRESENTACIONES GRFICAS 8.1.- Proyeccin ortogonal sobre un eje 8.2.- Coordenadas cartesianas de un punto en un plano 8.3.- Representacin de funciones de una variable 8.4.- Cambio de ejes de coordenadas 8.5.- Coordenadas polares 9.- EL PLANO VECTORIAL 9.1.- Estudio de la recta vectorial 9.2.- Estudio del plano vectorial 10.- EL PLANO AFN 10.1.- Generalidades 10.2.- Ecuacin de la recta en el plano afn 10.3.- Incidencia, paralelismo y alineacin 11.- EL PLANO MTRICO 11.1.- Generalidades 11.2.- Producto escalar de dos vectores 11.3.- Perpendicularidad y ecuacin normal de la recta 11.4.- Distancias 11.5.- Frmulas de inters

3


1. TRIGONOMETRA 1.1. GeneralidadesEs la ciencia que estudia todos los elementos de un tringulo. Dado un ngulo cualquiera :

OA lado origen (eje positivo de abscisas valor cero de ngulos). OB lado extremo. Todo ngulo tendr dos valores, uno positivo (sentido contrario agujas reloj) y uno negativo (sentido agujas reloj). Unidades de medida de ngulos: - Grado sexagesimal (la circunferencia tiene 360). - Grado centesimal (la circunferencia tiene 400). - Radin (la circunferencia tiene 2

B

O -290o

70o A

0o

1.2. Definiciones y signos de las razones trigonomtricasSea una circunferencia de radio r y centro O y en ella un arco cualquiera AM, cuyo origen A coincide con el semieje positivo de abscisas y cuyo extremo M tiene por coordenadas x, y. si llamamos a su ngulo central correspondiente, las razones trigonomtricas de dicho ngulo o de dicho arco AM (tres fundamentales y tres inversas) vienen definidas as: Seno: relacin entre ordenada y radio; Coseno: relacin entre abscisa y radio; Tangente: relacin entre ordenada y abscisa;

4


-

Cotangente: relacin entre abscisa y ordenada; Secante: relacin entre radio y abscisa; Cosecante: relacin entre radio y ordenada;

M( x,y)r y x

O

A

En trigonometra, suele utilizarse la llamada circunferencia gonio mtrica, que tiene un radio unidad, y los signos que tienen las distintas razones en los distintos cuadrantes puede observarse en la figura siguiente:

+ -

+ -

-

+ +

+

+ -

SENO COSECANTE

COSENO SECANTE

TANGENTE COTANGENTE

1.3. Relaciones entre las razones trigonomtricas de un ngulo

1) trigonometra). 2)

(es la que se conoce como relacin fundamental de la

5


3) 4) 5) 6) 7)

1.4. Reduccin de las razones al primer cuadrante1. Razones de ngulos suplementarios

180 - y' x' y x

2. Razones de ngulos que difieren en 180o

6


180 + y x' y' x

3. Razones de ngulos complementarios

90 -

y' x' x y

4. Razones de ngulos que difieren en 90o

7


90 + y' x' x y

5. Razones de ngulos que suman 360o(opuestos)

360 - y - x y'

1.5. Tablas trigonomtricasComo hemos visto, las razones trigonomtricas de cualquier ngulo pueden reducirse a las de un ngulo agudo positivo. De esta manera, las tablas trigonomtricas slo necesitan darnos los valores de las razones trigonomtricas de los ngulos de 0o a 90. Para buscar los valores de las razones trigonomtricas, si el ngulo est a la izquierda (de 0o a 45), las razones son las correspondientes a la indicacin de arriba, y

8


si el ngulo est a la derecha (de 45o a 90), los valores son los correspondientes a la indicacin de abajo.

Tabla de sen, cos, tg, cotg, sec y cosecngulo 0 1 2 3 5 6 7 8 9o o o o

sen 0,000 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,122 0,139 0,156 0,174 0,191 0,208 0,225 0,242 0,259 0,276 0,292 0,309 0,326 0,342 0,358 0,375 0,391 0,407 0,423 0,438 0,454 0,469 0,485 0,500 0,515 0,530 0,545 0,559 0,574 0,588 0,602 0,616 0,629 0,643 0,656 0,669 0,682 0,695 0,707 cos

cos 1,000 1,000 0,999 0,999 0,998 0,996 0,995 0,993 0,990 0,988 0,985 0,982 0,978 0,974 0,970 0,966 0,961 0,956 0,951 0,946 0,940 0,934 0,927 0,921 0,914 0,906 0,899 0,891 0,883 0,875 0,866 0,857 0,848 0,839 0,829 0,819 0,809 0,799 0,788 0,777 0,766 0,755 0,743 0,731 0,719 0,707 sen

tg 0,000 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,123 0,141 0,158 0,176 0,194 0,213 0,231 0,249 0,268 0,287 0,306 0,325 0,344 0,364 0,384 0,404 0,424 0,445 0,466 0,488 0,510 0,532 0,554 0,577 0,601 0,625 0,649 0,675 0,700 0,727 0,754 0,781 0,810 0,839 0,869 0,900 0,933 0,966 1,000 cotg

cotg

sec 1,000 1,000 1,001 1,001 1,002 1,004 1,006 1,008 1,010 1,012 1,015 1,019 1,022 1,026 1,031 1,035 1,040 1,046 1,051 1,058 1,064 1,071 1,079 1,086 1,095 1,103 1,113 1,122 1,133 1,143 1,155 1,167 1,179 1,192 1,206 1,221 1,236 1,252 1,269 1,287 1,305 1,325 1,346 1,367 1,390 1,414 cosec

cosec

57,290 28,636 19,081 14,301 11,430 9,514 8,144 7,115 6,314 5,671 5,145 4,705 4,331 4,011 3,732 3,487 3,271 3,078 2,904 2,747 2,605 2,475 2,356 2,246 2,145 2,050 1,963 1,881 1,804 1,732 1,664 1,600 1,540 1,483 1,428 1,376 1,327 1,280 1,235 1,192 1,150 1,111 1,072 1,036 1,000 tg

57,299 28,654 19,107 14,336 11,474 9,567 8,206 7,185 6,392 5,759 5,241 4,810 4,445 4,134 3,864 3,628 3,420 3,236 3,072 2,924 2,790 2,669 2,559 2,459 2,366 2,281 2,203 2,130 2,063 2,000 1,942 1,887 1,836 1,788 1,743 1,701 1,662 1,624 1,589 1,556 1,524 1,494 1,466 1,440 1,414 sec

90o 89o

88o 87o 86o 85o 84o 83o 82o 81o

4oo o o o o o o o

10 11 12 14 15 16 17 19 20 21 22 24 25 26 27 29 30 31 32 34 35 36 37 38 39 40 41 43 44 45

80o 79o 78o 77o 76o

13oo o o o

75o 74o 73o 72o 71o

18oo o o o

70o 69o 68o 67o 66o 65o 64o 63 61 60 58o

23oo o o o

28oo o o o

62oo o

59oo

33oo o o o o o o o

57o 56o 55o 54 53 51 49 47o o

52oo

50oo

42oo o o

48oo

46o 45 nguloo

9


1.6. Relaciones trigonomtricas ms importantes1. Seno, coseno y tangente de la suma de dos ngulos.

2. Seno, coseno y tangente de la diferencia de dos ngulos.

3. Razones del ngulo doble.

4. Razones del ngulo mitad.

5. Transformacin en producto de la suma y diferencia de senos, cosenos y tangentes.

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1.7. Ecuaciones y sistemas trigonomtricosEn ellas, la incgnita est bajo la forma de una funcin trigonomtrica. Para su resolucin no existe un mtodo general; sin embargo, vamos a exponer unas cuantas indicaciones que son las que suelen seguirse en la mayora de los casos y el orden en que deben hacerse: 1.- Si las funciones que intervienen no son de ngulos sencillos, es decir, son de suma o diferencia de dos ngulos, de ngulo doble, ngulo mitad, etc., se reducen a las de ngulos sencillos utilizando las relaciones expuestas en el apartado anterior. 2.- Si intervienen varias funciones, se reducen a la misma, con lo cual nos quedamos con una sola incgnita y podemos resolver la ecuacin correspondiente. 3.- Una vez hallados los valores correspondientes a la funcin hemos de buscar los correspondientes a los ngulos, teniendo en cuenta que en la mayora de los casos para un mismo valor de una funcin pueden existir varias soluciones. Al expresar las soluciones de la ecuacin, siempre lo haremos en la forma: , ya que todos los ngulos que se diferencian en un nmero entero de circunferencias tienen iguales todas sus razones trigonomtricas. Ejemplo:

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En resumen, las soluciones de la ecuacin son:

1.8. Resolucin de tringulos rectngulosPor resolver un tringulo se entiende encontrar todos sus elementos (lados y ngulos) a partir del conocimiento de alguno de ellos. En el tringulo rectngulo: Un ngulo es de 90o La suma de los tres ngulos de un tringulo es 180o En este caso se puede aplicar el teorema de Pitgoras

De las definiciones de las razones trigonomtricas se deducen las siguientes conclusiones: 1.- Un cateto es igual al producto de la hipotenusa por el seno del ngulo opuesto a dicho cateto o por el coseno del ngulo adyacente a dicho cateto. 2.- Un cateto es igual al producto del otro cateto por la tangente del ngulo opuesto al primero o por la cotangente del ngulo adyacente al primero.

C bo

a

A = 90

B

Con estas reglas es suficiente para resolver cualquier caso de tringulos rectngulos conocido slo dos de los elementos.12


1.9. Resolucin de tringu

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