Introduccion a la Metodologia de la MatematicaHaga clic para modificar el estilo de subttulo del patrn 4/28/12

Elementos que constituyen la estructura de la Matematica: Conceptos Proposiciones y relaciones4/28/12

Dos procesos diferentes: Conceptuacion:encadenamiento de conceptos. Demostracion: encadenamiento o proceso de

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Conceptuacion matematicaEn Logica, se clasifican los conceptos en:

Individuales Especificos

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Indivduales: Se refiere a objetos particulares. Especificos: Se refiere a objetos que tienen ciertas propiedades comunes.4/28/12

La coleccion de objetos a los

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Dado un grupo de propiedades, para que constituyan la comprension de un concepto matematico, es necesario probar su

Existencia: cuando hay un sistema de entes matematicos que poseen todas esas propiedades. Unicidad: cuando hay un solo sistema de4/28/12

Formas de Conceptuacion4/28/12

Creadoras: aquellas que introducen un concepto que resulta ampliacion del campo de conceptos de la teoria. Tautologicas: aquellas que sirven para dar un nombre a un concepto ya creado. Existencial: se exige la demostracion de la no contradiccion del nuevo 4/28/12 concepto.

Las que mas interesan4/28/12

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Definiciones nominales explicitas Tiene por objeto introducir palabras nuevas para designar combinaciones logicas de conceptos ya

Definiciones por abstraccionSi los elementos de una clase se agrupan segn determinado criterio en subclases, y se fija la atencion unicamente en los caracteres comunes de los elementos de cada subclase no diferenciales - ; el conjunto 4/28/12

Metodo GeneticoPermite elevarse de los conceptos simples hasta los mas complejos. Tiene como norma el principio enuncia por Hankel llamado de permanencia de las leyes formales: Al generalizarse un concepto 4/28/12

En su proceso se distinguen 2 partes: 1: consiste en dar un criterio de igualdad. 2: consiste en probar la existencia y unicidad del nuevo concepto.4/28/12

Definicion por recurrencia

Utiliza el principio de induccion completa. Otro recurso fundamental del metodo genetico. Metodo de razonamiendo deductivo.

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AxiomaticaConsiste en establecer un grupo de conceptos llamados Conceptos Primitivos y un grupo de proposiciones y relaciones llamadas Proposiciones y Relaciones Primitivas, tales que: 1: Los conceptos primitivos no se definen explicitamente, unicamente se enuncian. 2: Las proposiciones primitivas se aceptan como verdaderas sin demostracion. 4/28/12

Proposiciones primitivas - Axiomas - PostuladosLa caracterizacion de los conceptos primitivos mediante los axiomas4/28/12

Sistema de axiomas

No es unico. Una misma proposicion puede ser axioma en un sistema y teorema en otro. Para que dos sistemas de axiomas sirvan como fundamento a la misma disciplina, los axiomas de uno de los sistemas, no comunes con el otro, sean proposiciones deductibles en este, y viceversa. 4/28/12

Precursores

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Compatibilidad de axiomasUn sistema es compatible cuando se ha probado que operando logicamente con ellos no es posible llegar a demostrar dos proposiciones opuestas contradictorias. 4/28/12

Los axiomas A1, A2,. . ., An de un sistema son independientes, cuando se demuestra la imposibilidad de que uno cualquiera de ellos, o parte de uno de ellos, puede ser deducido de los demas. Se dice que un sistema de 4/28/12 axiomas tiene independencia

Independencia de los sistemas de axiomas

Saturacion, integridad o completicidad de un sistema maneras de axiomas Formulado de dos

Formulacion amplia: cuando el ultimo axioma del sistema es independiente de los anteriores y puede ser reemplazado por otro axioma de manera que el sistema quede compatiple, se dice que el sistema es bifurcable; en caso contrario se dice que el sistema es saturado o completo. Formulacion restringida: es designada 4/28/12

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La demostracion o raciocinio matematico es la combinacion o enlace de dos o mas proposiciones para obtener nuevas proposiciones y

Las demostraciones matematicas

Dos tipos

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Proposiciones y relaciones deducidas: Teoremas Proposiciones y relaciones aceptadas sin demostracion:

Esquema de demostracion: 1- Se sabe que la hipotesis esverdadera, o porque es axioma, o porque es tesis de otra demostracion anteriormente dada. 2- Resulta por combinaciones de los procedimientos demostrativos. 4/28/12

Si resulta que la tesis esta incluida en la hipotesis, porque es menos general, o porque es una parte de ella, se dice que la demostracion es Tautologia. Si la tesis fuera mas general que la hipotesis o 4/28/12

Demostraciones directas y por reduccion al absurdoDadas dos proposiciones, hipotesis y tesis, el enlace de estas dos o sus negaciones entre si por medio de la demostracion es el tipo mas comun de4/28/12

Tipos de Teoremas: Teorema directo: si es valido,diremos que la hipotesis es condicion sufieciente para que se cumpla la tesis. Teorema reciproco: si vale, se dice que la hipotesis es condicion necesaria para que se cumpla la tesis. Teorema contrario: el reciproco es

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Razonamiento por reduccion al absurdo

Se acepta como falsa la tesis y se demuestra que con esta suposicion resulta la falsedad de la hipotesis.4/28/12

El metodo llamado de induccion completa o induccion matematica consiste en demostrar una propiedad valida para el numero cero, y que la validez de la propiedad para cero implica que vale tambien para el numero 1, de 4/28/12 esta forma habra una camino

Induccion completa o recurrencia

Metodos de demostracion Los griegos los clasificaban en:

Metodos sinteticos: cuando la demostracion se realiza median una cadena de implicaciones y equivalencias en la cual la hipotesis del teorema a demostrar o el problema a resolver constituye el primer eslabon de la cadena, y la tesis el ultimo. Metodos analiticos o reductivos: consta de un doble proceso, la primera consiste en suponer el teorema demostrado, 4/28/12 basandose para demostrar esta

Si se trata de la solucion de un problema. . . Tres casos:1- Las hipotesis o condiciones del problema primero son equivalentes a las del ultimo. 2- Si las hipotesis o condiciones de uno de los problemas de la sucesion son consecuencias de las del siguiente, las soluciones de este son soluciones de aquel, pero podran no estar todas en 4/28/12 el priemero.

Metodo reductivo en Aritmetica y AlgebraLos metodos tipicamente aritmeticos son sinteticos, mientras que los tipicamente algebraicos son reductivos.4/28/12

Metodo reductivo en GeometriaExisten 2 caminos: 1- Aplicando lugares geometricos. 2- Por transformaciones de figuras.4/28/12

Metodo de las transformaciones Las mas usadas:

Traslaciones Rotaciones Simetria Homotecias y semejanzas Inversiones o transformaciones por radios

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Fundamentos de la MatematicaProfesora: Silvia Castro4/28/12