INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE FLUIDOS- Robert W, FOX, Alan T. McDonald-Cap 3 (segunda edición)

Estática de fluidos

P'r definición, un f ruicro se cleforma continuamente cuancro se re aplica unesfuerzo cortante de.cuarquier magnitud. La ausencia i" n-r¡ri.nto rerati_vo (y por ro tanto, de deformación angurar) implica que n0 existe esfuerzocortante. por lo anterior, los fruidos en reposo, o bien, en movimiento de"cuerpo rígido", soramente pueden estar sujetos a esfuerzos nornares. ob-viamente, er anárisis cre estos "flujos" es mucho más sencilro que ros fluidossujeros a deflormaciones angulares 1véase sección ,_+ -

Ahora bien, la pura simplicidad no es razón suficiente para estudiar estetema' Las fuerzas normares que se transmiten en los f.luiclls son oe enormeinrportancia en muchos casos prácticos. Los principios cre la hidrostática,.sirven por ejemplo para calcular las fuerzas sobre objetos sumergidos, de-sarrollar instrunrentos medidores cre presión, v ¿"or.i, p."pi.au¿., de la at_nlósfera y de ros océanos. Los principios de Ia hidrostática pueden servirtanlbién para determinar ras fueizas que tos sistemas tiarául¡.o, rogran de_sarrolrar en apricacione§, como Ias piensas o los frenos ae auto-or¡1.En un rluido en reposo, o en un fluido que efectúa un movimienlo de cuerporigido, cualquier partícula de fluido mantiene su ¡o.nri¿aJ'"n ,o¿o tiempo.Como no existe nlovimiento relativo dentro del fluido, un eremento delluido no sufre deformación. se puede apricar la segunda ley de Newton delmovimiento para calcular ra fueiza de reacción que ofrece"una particura alas fuerzas que se le aplican.

.].I UCT]ACION T'TJNDAMINTA. I)Ii LA I,]S,'AT'ICA DE }'I,TJIDOS

Nucslro objetivo principar en csta st;cción es obtc-ner una ecuación que per_

Hl,1:,:i3:::^",,:::]ry de presiones cienrro det fluido. para esro, escose_

Iis¡1

ESTATIC,A DE fLL'IDOSt;

a,

Iü

(p-(ü

Fig 91. Eier,er:l: ó,fÉ'Ei:;ai de lju;So t l"É?as dÉ ii€s'5r ea C:rea:;5n )'

il',uesl!-a e n la figura 3-1. El e lrn-¡e nic de íluido es ria.-i¡na¡ic r(sl!'.lt) aXilsisierna lijo de coordenadas recia:rguiare:. (En la secci¡n 3-? st c'lLrdir.r¡rn

los jluidos ¡¡ ¡'¡',¡i ir,-,ienio dr' culrpo rigido.)Anterio¡nt..n1e hemos seiialado que 1f puecie n a¡licar dos ti¡cs g. tlf rrllüs

de fuer¿as a un fluido: las fuerzas rolu,';rálricas ¡ las lucrzas su¡c:iiii;ics.Ce nerainente, en lCs prof,)emas de ingrnieria, la únira fuei'za r ctli;-r-,i1r-ila

que ei nf,iesa:-io considcrar es aqutlla deb,ida a la gr-areJaC. Fn al;ut';';tr ea-

scs se lresenlan lue¡z¿s rolurnÉi:-ica-s d¿hidas a campos c]Úctri¡o'' o ma¡ni'-

ticos, Flero por simpliciCad no re coni;derarán efl tsie te\lo.La fuerz¿ rc-r!uméirica, di'r.pera un elc;'nenlc dife¡encial de L-ilido, es

,!Fn=¡rlut-rj¡,,iVdonde f es el 'ectoI dc l¡ a¡eleraciÓn lo"-al de Ia graredad, ¡' la dcnrid:d' ¡'

dY el rolun:en del eie;nento. En coordenadas cartesianas,/\'= clt d-l ri:, dc

mtldo que ,tF; : pfi dt d1.rr

Flrrnos seialado que en un flu¡do en r€po§o no se pueden lresrniar es-

fuerzos corlanles; por lo tanto, !a única fuerza superñcial es Ia fuerza de

presión. La presión es una cantidad de ca;'npo, es decir, P = P 6, )', z). De

este modo, la presión varía con la posición dentro del fluido. La fuerza nela

de presión gue resulta de esta variación se puede calcular surnando las fuer-

zas que actuan sobre las seis caras del elemento de f'luido.SupOngase que la presiÓn en el cenlro, O, del elemenlo, sea p. Para drler'

tminar ia presión en cada una de las seis caras del elemento, podrrrrcs uti!izarla expansión en serie dr Ta¡'lor dr la presión alrededor del punto O' Utili-zando esle desarrollo de Ta¡'lor, la presión en Ia cara izquierda de'l tlenientodiferencial se puede escribir como

6r C.'., ,¿, 2 r\*

3¡(z+ -'' l)

dl xe, *tt-it

(P,pt=p**(.r'¿-.rl=p+- ()'

il dy

ir' 2{( i) -t'

l"li

I

i

ESTATICA DE FLL'IDOS 55

(Los térn-iincs de orden superior se puederr orru'rir )a que al {onar el !ímireresulian nulos. La ¡,:esién en Ia cara de¡echa deI eiemento djle¡encial resui-rd ' inJ'

pr= i:. t-r,.,.*

- rl= ¡ r I:' l¡ ^ ir lEn Ia figura 3-i se muestranlNÍuer:as de presión qrJe actúan en las dos

ca¡as del ele;r,E¡to iil^erencial p.rpendiculares al ejel. Cada {'¿erza t}e ¡re-siiin es el proCuclo de t¡es facloíes: el pn'rnero es Ia nragniÍud de Ia pres;óii;el segundo el área de la c¿:'a donde actúa la fuerza de presión, ¡ el f ercero el

'.e.for unilario c.-r¡resFo¡diente, ion objeto de seialar Ia di¡ecoón de lafue rza. ObsÉrre ie tan-ib.¡án rn !a figura 3-l que cada lur-rza de ¡,rs5i§n ¿^,[¿(an'iro su ccrrespondiente cara del eier.rrentO, en oira-( palabras, una p:esiónpositii'a cürrespirr'!de a un esfuFrzo de rompresión.

Los rsluerzos ¡ las [uc-rzas qur artúan sot¡re Ias olras ca:-as de] ele msnlost ol'iienen de mar¡r'ra tirnr-janf e. Surnandotodas esias f'¡ri'z.as se r,biirne la

fue rza supe rlicial nela que aitüa soL.rr rl elemenlo; es decir,

4giupando ¡ carcelanCr-r ii¡nincs, sc ohtiene

rs decir,

,ri. = (r - ', ),,u.r--riit - (i, *

./F., = - (!,*\,\

. (, - :i'i){,ir,/.-){;r* (;, - :1 t:')i,Ir,/:rr- i r

* (r - ít)(rr,/ilrir* (r, * :{f)(,rrri}t-i}

T ¡ - =t [) a.,tr ,t--a I (-- |-/

i-t , * i-t [) ,1.,1, ¿--r'.1' r -- /

,ti, = (-1, -\ ,\

:i 'i){'i r ¿/:){- i)

vi, = (; jl.',|{ - uf) = (,* + ¡ * +u ;),

(.1 Ia)

La cantidad ertre paréntrsis es r) gradienle de Ia presión )'se reprr,\enta congrad p, o bien Vp. En coordenadas rectangulares

grad ¡ =

El gradiente constitu¡'e un operador; lomando el gradiente de un cam¡ro es-

calar se obtie ne un campó r'eclorial. Empteando ta nomenclatura drl gra-

5ó ESTATICA DE FLUIDOS

diente, la ecuación 3.la se puede escribir como

dF, : - gra d p(dx dy dz) : -V p dx clv lz

De la ecuación 3.1b,

gradp:Vp: r//itd.x dy lz

Expresado en palabras, el gradiente de presión cs el negativo dc la l't¡crzasuperficial por unidad de volumen debida a la presión. Obsérvcsc t¡ttc cl ni-vel de presión no resulta importante para calcular la fuerza neta de prcsiÓn:

lo que realmente importa es la rapidez cün que cambia la presión a través de

la distancia, es decir, el grodiente de presión. Veremos en todo nuestro estu-

dio de la mecánica de fluidos que este término es muy útil.Puesto que no existen otras fuerzas en un fluido en reposo, podemos

combinar los resultados que hemos obtenido para las fuerzas superficiales y

volumétricas con objeto de obtener la fuerza total que actúa en un elcmentode fluido; se tiene entonces,

aÉ: aFr+ r/Fs: (-gracl p + pú)dxdytlz

<l bien, por unidad de volumen,

d.x d¡'tlz:-gradp+pú (.1 2)

Hemos indicado también que en un fluido estático, una partícula de

fluido retiene su identidad en todo tiempo. Dicha particula no se deformapuesto que no existe movimiento relativo dentro del fluido. Por lo anterior,podemos aplicar la segunda ley de Newton para determinar la reacción que

ofrece la particula a las fuerzas aplicadas. El resultado que se obtenga ptrede

servir también para evaluar el campo de presiÓn.

La segunda ley de Newton, para una particula de fluido, establece ¿i É : ij

dm : dp dY. Para un fluido estático, d : 0. Asi

1lF : ,,¿: o,/V

Substituyendo ,Jit= {iV de la ecrración 3.2, se obtiene

-gradp+pr¡:6 (31)

Revisemos brevemente la deducción de esta et'ttaciótl. Il :igrrilicadofisico de cada términ,¡ es el siguiente:

dFdF

riV

-grldp + l'rl -0i::i'r^'¡ Je ¡lest'.tt i I uer.'r Jc .'ucrP"r \. ¡.r unr.teJ Je r.r- \ * ' ['.rr unrJ¡J Jc rolu-

"

L:STATICA DE T:LUIDOS 57

Se trata de una ecuación vectorial, lo que significa que realmente consiste en

tres ecuaciones escalares que deben satisfacerse individualmente. Al expre-sar la ecuación vectorial en sus cofirponentes, resulta

lo- .' + Pg,:0 dirección x

(.1X

tl r¡

-;:-+ Pu,:o direcciónY(, I'

(1D

-'.: + P!J, : ll clirección ¡,(t:

(3.4)

Las ecuaciones 3.4 especifican la variación de la presión en un fluido está-tico respecto a cada una de las tres coordenadas. Para simplificar todaviamás resulta lógico seleccionar un sistema de coordenadas tal que el vectoraceleración de la gravedad quede alineado en una de las direcciones coorde-nadas. Así, escogiendo un sistema de coordenadas donde el eje z se dirijaverticalmente hacia arriba, entonces g,:0, g,:0,y g": -g; con estascondiciones, las ecuaciones componentes se reducen a

tln^1 :0(.x

,lp-':0r')'

?r; =' -p(JtZ

(3.s)

Las ecuaciones 3.5 establecen, bajo las suposiciones hechas, que la presiónes independiente de las coorclenadas x y y, y únicaniente depende cle e. Portanto, como p es una función de una sola variable, debemos utilizar la deri-vada total en lugar de la derivada parcial; de esta manera, las ecuaciones 3.5se reducen a

*pll =*y (3.6)

Clondiciones: l. Fluido en reposo2. La única fuerza volumétrica es la debida a la gravedad3. El eje z es vertical hacia arriba

[:',ta ecuación constituye la rcl¿rción básica de la presión-altrrra crr la estáticade fluidos. Está sujeta a las restricciones señaladas arriba y, por lo tanto,puede aplicarse sólo cuando dichas restricciones son razonablemenf e repre-

lt:tlz

!

:58 EST"4T}C,4 DE FLL¡DOS

:,j

srntal:las de la s;tuaciÓn ñsica. Pa:¿ ;::..-::.inar la Cistr.:-::or dr pre-

siones'Én un fluiCo eslátiio, se p*sJ: i:.=,--': Ia eruación : : bajc c:,rdi-ciones de fronlera apri';;adas.

DE LA PFESIO¡'l E\ U\ =-iiDC ESTAT;3:3

EnIaecua¡iór3.6rehae';ii:c'¿gcr:.;'h-:-:;eh:;t¡hi:..::e::.-:'.¿,-.loi)iC^ÍlrOg deben coa::jde;arse ccill.- \¿l-:.bi:. laiÜ es asi n.'Úf.iii:.:;'!.je el

proCuclo f,.t se fuede de ilnir conlr-' . - = -- i:-a irieg:ar j: :r--"--:-': !.ó y

drlrrminirr Ia C::::ihl; j¡r dc ¡:c's:.-;i:. :: .L::': ¡ e'::l'lt. L': :. : - r.3' -. i'-1ri-

iilnt: tet¡illc a l3s ra'i:;!oric. f .. É ) sEn Ia rna¡oI iatie de Ic: problcl:,.. 'jr r:-: :a dr l-l :iCi-s ¡r:

¡rá;iica de la in¡enieia, tra: raria.-...:t: r,*- S -: ¡'r-r'j.n crrr.iiJ:*:significantes. Scla¡¡enie en aquei;--: cas--. Cf nJe s. rtq':i:-::':mucha preiisión lcs can-,L,ios de ¡:t.ii:::.-: -: l:.ir'niai ca rr-:g:anCe de al:i:ud, resulta neces:ri.- i¡a::r :r .-i<nia ia: vlri:iiPara los plo¡ósitcs de este l bro. s;¡r:,i::¡" :': J.ul -§ r-( rt\i.:--:f lÍla alritud de c'.ralquitr lo¡alidad

POr el Co¡irarjO, en n.lñ'rl'ro5a\ ;¡licL,:lrl.:Í jc ir.¡rr.,ir'l':: L: .::,:;i¡iesril ¡r 5¡¡ signifiratira:. ¡ dci'cn lcr.::r(- er. aU3;ia si sc ¡rt1:'J'j .-'l-r-it re-

sullado!confiabigs. Erirlcn \&ri(1i (3iQi iar.¡c ia Ce ::iC::'r¿i-i,.-\;'aná'li:is e: sencillo. el nlás rir:l¡lt iJc i'-J¡: r¡rr'!¡'r:::lc al ;45-o 1j:¡r dl un

fluido iniomPrc.ri'lc.

a. Fluido incornpresib!e

Para un fluido iniompre:ihle, p: fc: - c!--:-r::-:ie. Ccn.i¡:iár,dn l= ¿ce!e-

r;ción {e la grarcdad constanic s. ::.:1i tr:¡'::e}..ly.i- = *{*3-:-

'L-:'i--:.-''teAI drterminar la rariación de presi.-::. de¡.sE-,:s !n:¡*c:-¿::: :sr,.E'::¡i' anle-

rior suponiendo condiciones de fro:.:era apro¡tCa-'. Si la prs'ilr .' =¡ ¡!r'el

de referencia :() es fo. enlonces la p:r-.i§n, P .; un riirel 3 '-:ilris-*ier. se ob'

ticnc mediante !a siguiente intrgra.-iln:

3.1.1 VARIACION

rs decir,{

\luchas veces es convenlente para l.rs liqui3--- lo¡Tler cl e:-qr iei gs;ema'

de coordenaCas en !a supe;ficie lib,rt lnire I c: :tlrren.-iel r =á:r ie*' jislan'

cias desde la superñcie libre hacia aha-io co=-- ¡ositila. §$!I*i s. iLui:1t3 €rl'

ta figura 3-2. De rsle ntodo, si i e. pcsitir: :;lia aba¡1. § :=:J3- _ , - ,.átl a - 'l

I - I ,,

'lIi.t{.t

+ tu!1,

S,pe,4;r ls l 5.g

EST, TICA DE FLL:]DOS 59

J.Fig 3.2. Cco'le'tzi¿-< ?.e'2le i.lernilac,Ór':t le\z

riatrÚn dt ;,'es,51 er un ll¡ cic er r?[iÜso

--rI

ó

Prohlema de ejemplo 3.1

DATOS CONOCIDOS:

ManÓmetro de varios lubos como se muestrs en la ligura La densidad relativa

aceile es 0.8, y la del mercurio es-13.6.

Esra fo¡ma de Ia relación básica pres;ón-ali!ra se uiiiiza a nlfnu.i0 laÍ3reso!\eI rr'iotr'!enas de nlanonetría' Sjn einbarSo, aigunas \eces los ellu-

' d;antes tirnen difi;uliades J,ata er,atiiT2t prob'lemas de ¡::anÓn-'eiIos !rrn \a-

rios rubos. Para er ilar esto, sr recot':liendan las siguie ntcs rctiai girlirale \:

t' La ¡iesión es la 'l^iirna

¡¡ 6¡¿lnquiera dos [''-lnioi q!;e se cl}'ucniitn cn l] Illi'l-.L1

nitel y qre fo¡nren ¡arte dt! n'!smo tranio c¡nlinuc de liquido'

2. t- a preig¡ :¡jDqr;iasj uno Ó;rc aiq !artcJru::a¡elr:"nL4 3s-ll"qu]!o-r (rt;úcrdt-

,.'ioññilos dc piesión ql-re se tienrn al sumergirse en una albcrca).

Ejtmplo -1.1

A irarés de los tut'os ,4 .t B, \;slos en corle, flule agua' En el tub'o cn fo:'n:a

de una U inrrriida -se liene aceiie corno una densiCad relatira dr 0'E' En los

olros dos Srgmenlos del manÓmerio se lirne ñeICu¡io cCn una densidad rr-

lativa de 13.6. Delermine la dij'e¡e ncia de presióñ, P.r * ¡r' en ll'f''puig:'

It0-

r4'I-¡--5i

ESTATICA DE FLUIDOS

DETERMINAB:

La diferencia de presiÓn, P ¡ - Ps,en lbf/pul92'

Ids=8'

dt=10" HzO }9--Ldl=__L

-lds= 4'r(̂1)

.-Hg/

dp+: -t)g: -','oz

gP - l) '-' ''

/)tt,tl ,'tl,t¡

f" oo : - f" ','d,

" r, Jt'

P¡' Ps: 1P.n - Pt) '

: -l'tr'odr *

Substituyendo l' = DR)'x,0

62.4 ltl 103.6 Pulg:Ñ,

P,t- Pn- 3.74 lbf/Pul02

,,=or

SOLUCION:

Ecuacionesf undamentales:

dP: -^;dz Y

= constantept:pt+",,(zr-22)

ComenzadoenelpuntoAyaplicandolaecuaciÓnentrepuntossucesivosalolargodel manómetro, se obtiene

Pt=P¡*)'H,odtPo: Pt -)'rrgd'

Pr:.: P» t ?aceited¡

Pr:Pr.-)'H*doPa: P, - l'n.ods

t (p,.- p¡r) + (Po - Pr) 'f @t:- Pt\ l- (pn - po)

i'u*d, - )o¡rd¡ * i'H*d4 *'¡'n't'd'

Pt- Po: -i'rr,6d¡ + 13 67¡,od2 - 0 Bi'¡rodr + 13 6i'¡i'3d+ t i¡¡"¡ds

= j'H,o( -dr + 13.6d2 - 0 Bdr + 13 6d4 -i'ds)

: i'rr,<¡( - 10 + 40'8 - 3'2 + 68 + B) Pulg

: I'tt.t¡ X '103 6 Pulg

p¡e pie2r'

--- x '' -.--.-^12 pulg 144 Pulg'

ESl}|'TI C:.1 DE T?LU I DOS ól

Los manómetros, como el del ejemplo anterior, son simples y de bajo

costo por lo que se utilizan frecuentemente para medir la presión. Ahora

bien, un ntanómetro de tubo en forma de U puede ofrecer dificultades para

efectuar lecturas con precisiÓn debido a que los cambios en el nivel de

liquido son pequeños cuando se tienen presiones diferenciales bajas. Esto se

puede evitar mejorando el diseño del manómetro o utilizando dos liquidos

cle densidad ligeramente diferente. Fln el ejemplo 3.2 se analiza un diseño

tipico de manómetro de dePósito.

Iijernplo 3.2

El manómetro ae aepólo de Ia figura tiene un tubo de diámetro l0 mm y

un clepósito de diámetro 30 mm. El liquido manométrico es aceite rojo Me-

riam con DR = 0,827. Determine el desplazamiento del manómetro en

milimetros por cacla rnilimetro de agua de presión diferencial aplicada.

Problema de ejemplo 3.2

DATOS CONOCIDOS:

Manómetro de depÓsito como se muestra en la figura

10 mm

30 mm

DETEFIMINAB:

Oosplazamiento de liquido, ¡¡, en m¡limetros por

ferencial aplicada.

d:D:

Aco¡to, DR = 0.827

cada m¡l¡metro de agua a presión di.

ESTAT]C,.1 DE FLU¡DOS

:i

SOLUCION:

Ecuac ioribs ¡"¡i¿r¡s¡i3ls5. :f,t

én = *..¡d-ey t'9 vf

- i,9, DR

C.re''c

I'rr

: f,

/H..c¡

-t

Pa'a el,mi¡a: h, c'!sérvese qre e! volu.r'iÉn de! liquidc r:i¿ncr:,¿ir;co detre pa-tarerco:rslaite; pcr 1¿-,1c, e! vol;.r.:ren des;.i¿-6¿s del de;'ósi1o Cebe ser igualal \.31ijTren

que süL'ejjor ei iubr, e§ decif,

o bieñ,

Srbstituyerdc se:¡ane

Lo,r j

Pr - P: = f'a.'-u9\ll - (= I IL \D/ I

Es!a ecuación sÉ p.rede si¡r,plif icar elf,resañdo la pr6gi$¡ d,lere.¡ciai ap!icai¡ ca'ncura columna Je a!,re eqül\¿iente,

Pt - P: = ¡',,.,.gih

Y al observar QuÉ t,¡c¿,le = DR."u.," ¡r*-,r. Enlonces

Pata {; = _cCxSlá-,1€

o bien

Subst iluyendo vatores,

E:- Ft= -'g|z'- zy\

{,' í: = r'!.?: - z)- l¿r.'r 9,1 - d)

,:.r1 .-D'H=-d'h

s= 19l'¡\Dr

l'rrog.1h = DRr*;te/r¡r,,rrn [.t

- f;)

¡ñ DBa.Éiru[1 + (d/u)21

1_=_=109^h

0.82711 + (r0/30)rl

j Este probleme mueslra el efeclo que lienen el diseño y la se¡ección del liQuido en Illa sensibilidad del manómetro. J

h

3h

b. F iuido col-r-,presible

He;nos listo que ]a rari¿ciín de presiónce ia reiación 1,.ásica rnlre i¿ ¡re sión y'

,¡ ¡)

J:

ESTAT}C.1 DE FL{,'¡DOS

en cualqúier i-:uido eitáticola alr u¡a

i: tl

Erirer¿lrñe nf e deprnde de la ¡rc-esf aCo dc los ¡o-res id'.lllu

6)

I"a ra:iaiión d. p:-esión en un lluido cc,i¡-if,¡e-'ibJr i;'nbiín se f Lreílr'cal;ul¡ririlrg:ando )a e¡iia;ión 3.6. S,n eir,bargc, ai;ie: Cr ¡rdci ha;e rlo, sc ireirs la(\;-'ciár la iir,i,j:J r¡;ro L:,a fur,¡i¡n Je c.r.lni.,,-l dr l¿s o; r¡s ra* at-lc:e:i la eiiia,.ión. Se ¡ueJc'utiiizar Iara e'irr auala;Li !cr i;-,f¡,r::-¡¡i,in aia:¡aCe las lrr'¡i¡i:¡Jci de la s"hsi:"ci:' ¿n fdit;.Ljl.:r- i i.';t;-r L¡ra r( ij¡rri¡n dü .\-: .. ..i tl.

En mL-,rhcs i:qli,lirs, Ia rier.iJ¡d casi nc de ¡er,dr dc la irrpcraiJra; siili'irjlrarEo, la p;riión ¡ Ia drnsrCad de Ios l!quidcs rsián relacioraCas n;rdi;n-

e la:li¡idaC.

S; tslt r¡óCuio te supoite irlnslanie. en{onces la densidad es fur:iit,n ilr:iia-menle de Ia presión (es drrir, cl lluiCo es borotrópico) i'la ecuación J.fifúinstilu)e la relación adicic'nal para la dcnsidad que sr nt-cesila para F.dcrii..lcgrar la rela;jón básica cnt¡c la prcsión r la altura. In cl ;¡-nCiic Asc olrríen raio¡rs para Ios módulos rcrlunrilricos de algu;ios lir;uidoi co-nlu n ús.

Por of ra par-te, la de nsidad de lcs gases

sión ¡ de la le m¡e r-elura. La ecra¡ión de

lt = í,RT (3.9)

Cond,¡ ff es ta consiantr del gas (réase apéndice A), l f la temperalura abso-lula, representa con suliciente aproximación el comportamirnto de la ma-

)'or pañe de los gases en las aplicacíones c,¡munes dc inge nieria. Sin e mbar-go, al utilizar la ecuación -1.9 se introduce la temperatura del tas como unarariable más. Por tanlo, se requiere una hipótesis adicic'nal respecto a la va-riación de lemperatura para poder integrar la ecuación 3.6.

Ejemplo 3.3

La pote ncia máxima que puede desarrollar un mo!or de combustión internadisrninuye con la altitud porque la densidad det aire, y por lo tanto el gastornásico de combustible-aire, disrninuyen. Un lransporte de carga sale de laciudad de Denrer (altitud 5 280 pies) en un dia en gue ta temperatura y lapresión barométrica locales son 80oF y 74.8 pulg de mercurio, respecliva-menre. El vehiculo viaja hacia ia ciudad de Yail Pass (alritud l0 600 pieg. Sila te mperalura disminu¡'e a razón de 3"F/l tl00 pies de aititud, delermine tapresión ma¡ométrica local en Yail Pass, en porcenlaje, de la potencia má-ri-

ESTATICA DE T.-I.UIDOS

Problema de ejemplo 3.J

DATOS CONOCIDOS:

Vehiculo que viaja de Denver a Vail Pass. La potencia disponible del rnotor t¡s drrectamente proporc¡onal a la densidad del aire.

Denver:z = 52B0pies 10 600 p¡o$

= * 0.003 Ipio

DETERMINAR

(a) Presión atmosfér¡ca en Vail pass

{b) Porcentaje de pérdida de potoncia der mütor en v¡rt Fass comparada con Denvor

SOLUCION:

Ecuacionesfundamentales: dp

A; ,'e p=t'RT

Suposiciones: 1) f luido estático2) el aire se comporta como un gas ideal

Luego de substituir en la relación básica altura pres¡ón

p = 24.8 pulg de Hg

l' = 80oF

Vail Pass: ¿ =

dT

d,

dp_ p - dp gdzO o -- - ---dz Rt'- p RT

Como la temperatura varia linealmente con la alt¡tud, dTldz =m(z' z), se tiene -tn,ctdecir,f -fr-

dP-* gdz =g ___yd(z'-zulp RlTo - m(z * zu)! mR [To _ m(z * z)l

lnlegrando de po en Denver a'p en Vail pass,

,rl4\ = e rn[rn - m(z-2,,)l -\pul mR I r, ]

.. pie lbm , R slug tbf . s2X--=- \.-,=----X___^--:A2(0.003 F 53 3 pie tbf 32.2 tbm sluq . p¡e

-e-," lI)mR \ f,,/es decir

Substituyendo valores

I * 32.2 _piemR s:

* = (*)'''^

I = [, , 0.003F, (10600 s,28o)pi"^ _-_1 I -,,-L'- pL (460rBoñi'os7o

,l Obsérvese que fo puede usarse como una temperatura absoluta puesto que ore J{ vrene oe ta ecuación de los gases ideales. i

De esla manera

ESTATICA DE FLTJTDOS o5

= (0.970)6 2s : O.B2t

p : A.827po: Q.827)2a.8 putg. Hg : 20.5 purg. HgEl cambio de potencia, en porcentaje, e§ iguar ar cambio de d€nsidad, o" ,"1 n..oooque

P-Po :P *tPoPo Po Po

Toniendo en cuenta la ecuación ds los gases idealss,

*: (*)'"^

{g= p ro.-Po P<, T

ss dscir,

Propiedad Símbolo internacional Sistema ingtés

1:(oB2e)(#)- 1: -014s

AP_ : _.f 4.5% AP

%{

Este probrema tieno como obi€to irustrar er moct€ro de ra ecuación de estado da )

1 l::.9:.":. ¡deat€s, iunro con Ia retación básica prestón.attura, para calcutar ta Ir orsrnoucion de presionos en la atmósfera.

)

J.: A'[MOS}'ERA ESTANDAR O NORMAL

con objeto de lograr una mejor comunicación entre los expertos deaviación de todo el mundo, se han celebrado numerosos congrescis interna-cio¡rales de aeronáutica. En uno de ellos, se logró aceptar inteinacionarmen_te la definición de Ia atmósfera estándar o normar, cuyas caracteristicas alnivel del mar se presentan en la tabla 3.1.

TABLA 3"1 Atmósfera estáhdar a nivel del mar

TemperaturaPresión

DensidadPeso

especif icoViscosidad

T

p

Í)

288 K

101.3 kPa (abs)1.225 kg/ml

)'-y 1.781 x jO-ikg/m.s

59F'14.696 psia0.002377 stug/pie3

0.07651 lbf/ple33.719 x 10-, lbf . s/plez

66 ES'I"AT'|C¡| DE FL Ul DOS

- i20 - 100 -80 -b0 -40 -20 c

lemperoturo (C)

Flg. &3. Variación de temperátura con altitud en una atmÓsfera estándar'

El perfil de temperat¡ras correspondiente a la atmósfera estándar se

muestra en ta figura 3-3. En el apéndice A se tabulan valores adicionales pa-

ra las propiedades como funciones de la altitud,

3.3 PRESIONES ABSOLUTA Y MANOMNTRICA

Los valores de la presión se deben establecer respcct1¡ a un nivel dc ref'ert:n-

cia. Si este nivel de referencia es el vaclo, las presiones se denominan attsolu'

/as, como se muestra en la figura 3-4.

La mayor parte de los manómetros miden en realidacl una difcrentiu dc

presión: entre la presión real y la presiÓn del ambiente (generalmentc la prc-

iión atmosférica). Los niveles cle presión que se miden respecto a la presión

atmosférica se denominan presiones manométricas.

E6n;I

-i oo

52.4 km

47.3 krn

ESTATIC,A DE FI"UIDOS 67

Nivel do presión

Pobsoluto

Pres¡ón olmosfóricoI01.3 kPo (14.ó9ó ps¡o)

en coñdic ¡ones osióndoro nivel de mor

Flg. 3'4. Presiones manomótr¡ca y absoluta que muestran

Vocío

los niv6l6s do r€fersnc¡a"

En todos los cálculos que se efecti¡an mediante la ecuación de los gases

ideales o cualquier otra ecuación de estado se deben emplear presiones abso-lutas; por lo tanto

labsoluta : Pn,"no*¿r..". * Patmosférica

La presión atmosférica se puede obtener mediante un borómetro, en el cualse mide la altura de una columna de mercurio. La altura medida se puede

convcrtir en unidades de presión utilizando la ecuación 3.7. Cuando se re-quiere mayor precisión, la altura medida debe corregirse debido a los efec-tos de temperatura y altitud. (En el apéndice A se dispone de datos para ladensidad relativa de mercurio.)

"*3.4 SIS'IEMAS HIDRAULTCOS

["os sistemas hidráulicos se caracterizan por presiones muy altas pudiéndosedespreciar en consecuencia las variaciones cle la presión hidrostática. Se

pueden mencionar como ejemplos tipicos los frenos hidráulicos de los auto-móviles donde se desarrollan presiones hasta de l0 MPa (l 500 psi); los sis-temas hidráulicos que se emplean en aviación y maquinaria pesada dondefrecuentemente las presiones de diseño alcanzan hasta 30 MPa (4 500 psi), ylos gatos hidráulicos donde las presiones toman valores de 70 MPa (10 000psi). Además, se dispone comercialmente de equipos de laboratorio parapruebas especiales que usan presiones de I 000 MPa (150 000 psi).

Si bien los líquidos generalmente se consideran incompresibles bajo pre-siones ordinarias, los cambios de densidad pueden resultar despreciablescuando se someten a presiones altas. Por otra parte, los módulos decompresibilidad de los fluidos hidráulicos pueden variar abrupta¡nente parapresiones ¡ror encima de 50 MPa (7 000 psi). En los problemas donde se pre-senta un flujo no estacionario se debe considerar tanto la compresibilidad dell'luido como la elasticidad de la estructura que le sirve de frontera. El análi-sis de problemas relacionados con el ruido y las vibraciones de sistemashidráulicos actuadores y amortiguadores, es bastante complejo y está fueradel alcance de este texto."Se pu€de omrlir esia sección sin perder conlinuidad en el texlo.

3.5 FUERZAS HIDROSTATICASSOBRE SUPERTICIES SUMERGIDAS

conociendo la manera como varía la presión en u¡r fruido estático, podemosahora estudiar las fuerzas que se producen debido a la presión sobre superfi-cies sumergidas en un líquido.

con objeto de determinar completamente ra fuerza que actúa sobre unasuperficie sumergida, debemos especiticar:

l. La magnitud de la fuerza.2. La dirección de la fuerza.3. La línea de acción de la fuerza resultante,

Veremos en nuestro estudio superficies sumergidas planas y curvas.

3.5.1 FUERZA HIDROSTATICA SOBRE SUPERFICIES PLANASSUMERGIDAS

En la figura 3-5 se muestra una superficie plana sumergida sobre cuya carasuperior se desea determinar la fuerza resultante. Se haieleccionado el siste-ma de coordenadas de tar manera que la superficie se encuentra en er pranoxy,

6E ESTAT'ICA DE FLUIDOS

Pr6¡ón ombiGntc, pO

Flg. 3'6, §uperftcle ptana sum€rgtda.

, Puesto que no puede haber esfuerzos cortantes en un fluicro estátic., lafuerza hidrostática sobre cuarquier elemento de superficie crebe actuar per-pendicularmente a la superficie. La fuerza de presión que actúa sob.e unelemento, ¿Á,ae la cara superior de la superficie, está joaa po,

Punlo do oplicoción do l|

dF : -pdÁ (3. I0)

ESTA"ilCA DE FLUIDOS 69

Ya que la dirección positiva del vector dÁ esraperpendicular a la superfi-cie dirigida hacia afuera, el signo negativo en la ecuación 3. l0 indica que lafuerza, ¿lÉ, actúa en contro de Ia superficie, es decir, en una dirección opues-ta a la de dÁ. La fuerza resultunre que actúa sobre toda la superficie sepuede terminar sumando las contribuciones de las fuerzas infinitesimalesque actúan sobre ella; cs decir

F* -pdA (3. 1 1): [^

Con objeto de poder evaluar la integral de la ecuación 3.1 l, la presión, p, yel elemento de área, dA, deben estar expresados en función de las mismasvariables. La relación básica entre la presión y la altura para un fluido está-tico se puede describir como

dp

,th: Ps

donde á se mide positivamente hacia abajo desde la superficie libre dellíquido. De este modo, si la presión en la superficie libre (/, = 0) es po, pode-mos integrar la relación presión-altura para obtener una expresión para lapresión, p, correspondiente a cualquier profundidad, lt. Asi,

f' ,, : lo t,u,ttJ T,o ,J¡

y por lo tantofhp:po+)nwdh

Esta expresión para p se puede substituir en la ecuación 3.1l. La geometríade la superficie se expresa en términos de x y J,,' como la profundidad h sepuede escribir en función de y (h = / sen d), se puede entonces calcular laintegral para determinar la fuerza resultante.

El punto de aplicación de la fuerza resultante debe ser tal que el momentode dicha fuerza con respecto a cualquier eje resulte igual al momento de lafuerza distribuida respecto al mismo eje. si er vector de posición desde unorigen arbitrario de coorclenadas al punto de aplicación de la fuerea resul-tante se denomina l', entonces

l' x É* : Jr " .,F': ).,i * nd't (3. r 2)

Teniendo en cuenta la figurai:'y ¿Á : d,4k. Puesto que la

3-5, se puede escribir i' : i-r' + .il,', i: i.x l-fuerza resultante, É* actúa en contra de la su-

70 ESTATICA DE FLUIDOS

perficie (en una direcció¡r opuesta a la d.i¡, entonces i.* : * f.o[. Subs-tituyendo en la ecuación 3.12 resulta

(ix'+ js,') x -r'*[: ftr." +ir) x dF.: _f,,,r. * j¡,¡ n ¡tJ,lR

Por lo tanto,

.ix,Fn _ i1/F^: Io,irr - i.rp),t,,t

Esta es una ecuación vectorial, por Io que las conrponentes correspondientesa ambos lados del signo de igualdad cleben resultar iguales. Así,

),'Fn: I.,rou,t

x'1.^: j^*t,a,

donde x'y y' son las coordenadas del punto de aplicació, cre Ia |uerz.a resul-tante. obsérvese que las ecuaciones 3. r l y 3. l2 sc pucden utiri¿ar para crc-termina¡ la magnitud de la fuerza resultante y su pu*to cle apricación s.brccualquier superficie plana sumergida, no se requiere que la crensidad clerfluido sea una constante ni que ra superficie liurá aer liquido estó en Ia pre-sión atmoférica.

Al estudiar la fuerza resultante que actúa sobre una superficie plana su-mergida, hemos utilizado la nornenclatura vectorial para hacer hincapié enque las fuerzas y los momentos son cantidades vectóriares. Las ecuaciones3.1 I y 3.12 constif uyen Ia formulación matemática de principios básicos queson familiares al lector de sus cursos previos y física y estática:l. La fuerza resultante es la suma de las fueras infinitesimares (ecuación 3.ll).2. El momento de la fuerza resurtante respecto a cualquier eje es iguar al momento

de la fuerza distribuida crJn respecto al mismo eje (ec. 3'.12). -

Teniendo en cuenta que ra fuerza resurfante F^, es una cantidad vectoriar,se obtiene

l. La magnitud de F* está dada por

?. La dirección de I'* es perpendicular a la superficie.3. La linea de acción de Il, pasa a través del punto ¡,, /,, donde

(3. I 3a)

(l. r 3bl

r^:lÉ*l =!or,^

t"lt*: I^

.'F* : f:'p tA

xp dA

Ejemplo 3.4

La superficie inclinada que se mueslra en ra figura, está articLrlacra en elpunto ,rl y tiene 5 m de ancho. Determine la fuerza resultante, l

^. qLre ejc,rcc

el agua sobre la superficie inclinada.

ESTATICA DE FLUIDOS 7l

-f-D=2m

-L2\)

l]roblenla de ejemplo 3.4

DATOS CONOCIDOS:

Compuerta rectangular, articulada en el punto A. r.y = 5 m.

-1.D=2m

__L

DETERMINARI

Fueza resultante, Ér, que ejerce el agua sobre la compuerta.

SOLUCION:

con objeto de delerminar É* en forma completa, debemos especificar: (a) la magni.tud, (b) la direcc¡ón y (c) la linea de acción, de la f uerza resultante.

Ecuaciones fundamentales: ÉA : -lpo¡ *: ,nr clh

i'x Fn: -J. ¡ x paÁ

supÓngase que la compuerta, articulada en A, se encuentra en el plano xy, con lascoordenadas mostradas en la figura que aparece más adelante.

It =ql

ÉR: -" J,oae.- J, pwdyk @Á:waykl

72 ESTATICA DE ¡;LUIDOS

v

::i"?;::ff;Jn:i::.,.,1.::lJ:*", nocesitamos conocer p como runción de y

dp

dh: Psde tal manora que

dp: pgdh y

Suponiendo p = constant€.

p: po 1- pgh lEsto permite obtener F = p lh).Necesitamos p = p lyl.iTen¡€ndo en cuenla €l d¡agrama, se puedo oscribir

h:D+ysen30o dondeD:Zm

;::::"rff" estamos inreresados sobre ta fuerza que ojerce et agua sobre ta compuer.

Asi,p:pS@+ysen30o)

I'.0, - .1,0, un on

=ftn= - I oclA:aJA'

r= - powlDy +

_ -999 kg__xm3

F* = -58BkkN

Para encontrar ra ,nea de acción do ra f ueza resurtante Fr, observemo§ qu8 cr¡chalinoa de acción puede ser tar que "l

,norunro Jeia f uerra resulranre con respecro areje que pasa a través dal.punto A clebe ser igual al momento de la f uer¿a d¡str¡buidacon respeclo al mismo eie; es decir,

r,, Én= ii ^ dF: *l i, paÁu J.,De este modo, §ubst¡tuyendo las diferentes cantictades, so obt¡.ne

(ix, +¡y,¡, _F*i,: _ i t* +jy) x pdAkJA

¡t.- J,, l?lD +

y2 Ir-

7""nt'',1"9.81 m

_-_v

s2

y §sn

i:,.

30')wdy /r

,n*lor", t.rnsol*

ESTATTCA DE FLL)IDOS 73

Y

porrotanto. ix'Ftt-.iy'F*:¡I'"0dA-'iI'"oo

, - ; !^r, oo - 4 l, ypw dy : X [,j ,,o+ ysen3o,) <ry

PgwlD , v' --.1' ¡,gwlDL)tu lry' , 3sen3ool ñ1"

_999kgr9.Bl m , 5, f 2m>..l6mr,64mr.1lr,¡ r,mr s2'fus^1orNl , *-s "zlrrn_.,

Y' = 2.22 m

De la misma manera

Lr I+

5sen30'I

xp dA

Para carcurar er momento de la ruerza distribuida (rado derecho), recuérdese de roscursos previos en estática, que se dobe ulilizar paÍa"x",el centroide del elomento deárea. Conro en elemento de área liene ancho conslante, ¡a = wl|, y

1tw,' : i_ l^i o ro : * Í^p dA == i : z s *

{ La tinea de acción de F* es a lo largo det I

{ eje z negativo que pasa a través de 1,, J ¡.f' :2.5i 1-2.22¡ m

i .trt::.1::],"^T."-irusrra €r procedimienro utirizado para dst€rmrnar ra f uerza resuranrÉ,

i rx ',oQUrvarente a una f uer¿a distribuida que actúa sobre una superlrcie prana sumer-gida.

lemplo 3.5

La compuerta rectangular, AB, tiene cinco pies de ancho (w = 5 pies) y l0pies dc longitud (¿ = l0 pies). La compuerta está articurada en g" Despre_ciando el peso de la compuerta, carcule ra fuerza por unicrad deancho que seejerce sobre el tope en el punto,4.

74 ESTAT'|C¡| DE FL-UIDOS

Problema de ejempl<l 3.5

DATOS CONOCIDOS:

Compuerta reclangular, AB, articulada en B,pies. Peso de la compuerta despreciable.

ancho,w = 5piesylongituct,f = 10

DETERMINAR:

Fuerza por unidad de ancho sobre el tope en A.

SOLUCION:

Ecuaciones fundamentates: F* lFrl luoo !i, , ,,0 - ,,

momento, M -., lMl .,.Fd

donde d es el brazo de momento (el momento en sentido opuesto al de las manecillasdel reloj se considera pos¡t¡vo). En equilibrio

Lu--osi consideramos la compuerta articulada en g como un cuerpo libre que se en.

cuentra en el plano xy con las coordenadas mostradas en la siguiente figura, setiene:

ESTAT'ICA DE F'LUIDAS

(a) F.{, la f ueza sobre er tope de ra compuerta, actúa a ro rargo de ra rínea y = o comose muestra.

(b) ¿É es un elemento de la fueza distribuida que actúa como se muestra en la f igu.ra, ejercida por el agua sobre la compuerta.

Nota: si al carcurar rafuerza d¡str¡buida ejercida por er agua no se considera erefecto de la pres¡ón atmosférica sobre ra superficie ribre, entonces no esnecesario incluir ra f uerza debido a la presión atmosférica que actúa sobrela cara posteriór de la compuerta.

El momento respecto a x que pasa por el punto B:(a) de É, es F.{¿(b) det torat de ta fuerza disrribuida

", _Jtr * y\ dF: I, G - y\p dA

Puosto que fnZ -- 0, se tiene

t,-lit. v)pdAL r..t

El elemento de área, dA, en la compuerta, es dA = w d¡ donde w es el ancho de lacompuerta:

1 rt.Fu:

L),,(L' y)pw dy

con objeto de efectuar ra integración necesiramos conocer p como f urición de y. Dela relación básica presión-altura,

dp

dh:l ..dp:^,'dh

Suponiendo ), = constante,

p: p" I 7h lEsto permite oblener p = p(h).

Del diagrama,

Necesitamosp= p(y).)

h : D,,+ysen3Oo dondeD = Spies.'. p: p,, +.;,(D + ysen3Oo)

Al escribir la ecuación de momento (LM o :0) no f ue necesario incluir el momentode la f uerza debido a ra presión atmosférica que actúa sobre er tope de ra compuerta.En consecuencia, ar tener en cuenta er momento debido a ra acción der agua, no cre_bemos incluir er efecto de ra presión atmosférica sobre ra superficie ribre oet agua.Por lo tanto, la presión debicla únicament€ al agua es

p : ";(D "+ ysen30o)

De esta manera,

, l:,oo : I", , on t$

ii, ¡ .1,,F,N : (L - y)pw dy = (L - y)','(D + ysen3Oo) dy

75


e§ decirFn:w

E

I. ,ra * Lysen3oo - Dy -yr sen3oo) dy

+ ! r'sen3o" - or r' f =""*" 1,,

Lr DL2 L-r I1 -sen30o - z -sen3o.

I

+ f ¿'senoo" I6l

tl,*

Siendo D = 5pies, L = 10pies, y i, = 62.4 lbf/pie3,

F_7 _ 1 x624tbf|s.pie- l00pies2 I . 1000pies3 1 |;-ro*. pi",[ - 2 t6' 'rl 2osolhr/Pies

donde F.,l es la lueza que ejerce el tope sobre la compuerta. La fuerza sobre el topetiene el sent¡do opuesto; por tanto,

F, F..i (en el toPe¡ - --: ¡ww

{ Este oroole-ma ilustra el uso directo det momento distribuido sin necesidad de i I

tcalcular la fuerza resurtanle y la linea de aplicación en forma separada. I I

3.5.2 FUERZA HIDHOSTATICA SOBHE SUPERFICIES CURVASSIJMEHGIDAS

Si bien resulta un poco más laborioso, la determinació¡r de Ia [uerza hiilros-tática en una superficie curva no ofrece mayores dificultacles que en el casoapenas examinado de una superficie plana sumergicla. La fuer¿a hidrostáti-ca en un elemento infinitesimal de una superficie curva, dÁ,actúaperpendi-cularmente sobre la superficie. Sin embargo, el diferencial de fuerza de pre-sión en cada elemento de superficie actúa en una dirección diferente debidga la curvatura de la superficie. Si se tiene en cuenta este cambio de clirecciónel problema resulta un poco más dificil.

¿Qué es lo que normalmente hacemos cuando queremos formar variclsvectores de fuerza que actúan en diferentes direcciones? El procedimientomás común es sumar las componentes de los vectores tomados con respecloa un sistema conveniente de coordenadas.

considérese la superficie curva mostrada en la figura 3-6. La fuerza depresión que actúa en el momento de área, r/.í, está dada por

dÉ: -pdÁLa fuerza resultante también está dada en este caso por

/i¡,: - [^raÁ

=2080klbf/pie,ie tlwt---- -.-, -_."¡

uido sin necesidad de | |

Fl

( 3.1 0¡

(1.il)

ESTATICA DE FLTJIDOS

z=zo

1"110* Ito., F^, y r'*, son ras componentes deF^ en las direcciones positivasx, y y z, respectivamente.

Para calcular ras comp'nentes dc ra fuerza a ro rargo de una crirección cra-da, se toma er procructo puntuar de ra fuerea por er veitor unitario f tu air..-cién considerada, asi.

I

Flü. 3.6. Superficie curva sumor0ida,

Se puede escribir

rn. 1,,,,

¡n. _ _ f'

De la ntisma manera,

É.n :

f'n. -donde

F¡ : i/:¡, -t- iFn,, + [f'*.

,: /i* ,.. J Jt':.i - _ I^t,d,i.i

prlá cos{), : -l- [o-rr^,

* [^ o uocos l/, :

- [^nuocoso,:

(3.1 4)

td (3.r5a)

(1. I sb)

(3. I 5c)

t I ptl.tn"/,

* [u.ouo,

17,, es el ángulo entre r/,i y i()r es el ángulo entre ,lÁ y i,l)" es el ángulo entre r/.i y i

dA,: ¿/,1 cos0. es la pr.yección clel elemento cle área dl sobre el planoperpendicular al eje xilAr: d.Acos{/, es la proyección del elemento de área dl sobre el planoperpendicular al eje 1,

(1.='l4cosl)- gs la proyccción ,r,:r cremenro ds árca r/,,r sobre er perpen-dicular al eje z

ESTA'T'ICA DE F-L IIIDOS

El signo (positivo o negarivo) en la úlrima igualdacl de las ecuaciones 3. l5depende de la magnitud del ángulo que forman el vector r/1 y los vectoresunitarios. Si una componente cle fuerza, calculacla según las ecuaciones3.15, resulta negativa, significa simplemente que según la ecuación 3.14, lacomponente de luerza actúa en la dirección negativa del correspoclienre ejede coordenadas.

La componente de la fuerza resultante en la dirección / está dacla, en ge-neral, por

Fr,: t [,,rdo, (,1.16)

donde tlA, es la proyección del elemento de área dl sobre el pla^o perpencli-cular a la dirección { y el signo (positivo o negativo) depende cle la magnirucldel ángulo 0,, entre tlÁ y el vector unitario correspondiente a la clirección /.

Podemos observar entonces que para determinar la fuerza resultantesobre una superficie curva sumergida se necesita determinar cada una de suscomponentes. Esto requiere aplicar tres veces c¡¡ando mucho la ecuación3.16' Al igual que en er caso de superficies pranas sumergidas, la ecuación3.16 se puede integrar solamente si se conoce la presión, ! y el clenre¡rto deárea, dA, como una función de las mismas variables de'integracion.

Al considerar la componente verticar, f'r.., de ra fucrza resulta,te, obser-vamos que la presión ejercicla por el liquidi: está clacla por

r,: l" r,s,t=,:.dode z" es la coordenacla vertical de la superficie sumcrgida y ;o es la ct¡or-denada vertical de la superficie libre. De esta manera (véase la i'igura 3-6),

Esta integral representa el peso cle un elemento cilínclrico dif'erencial delíquido que se encuentra por encima del eremento cle s,perficie , dA,; dichocilindro se extiende desde la superficie curva hasta la superficie libre delliquido, La componente vertical ele la luerza resultante sc obtienc al integraren toda la su¡:erficie surnergidí,

F, = - I l'" p11rl: tl t.J A. J='

La magnitud de la componente verticar cle ra fuerza resultante es iguar ar pe-so total del líquido que se encuentra directamente encima de ra su¡rerficic. F,lsigno negativo indica que una superficie curva con una proyección r/.4 posi-tiva está sujeta a una fuerza en la dirección e negativa.

Al tratar superficies cilindricas, es decir, superficies con un rac.lio cle cur-vatura constante, se f iene ¿/.4 : u,R ¿ifl, donde R es e[ raclio y rv es cl ancho clcla superficie cilíndrica. En esros casos, muchas veces es más fácil utilizar 0

¿¡'.: *pttA.: -(I"' w.,)dl,

ESTATICA DE I':LUIDOS

como en la variable de integración. De este modo

/r¡.t,: !.^runcos{J: *f" n"o, otvR¿lo

doncle l/ es el ángulo entre ¿/zi y el vector unitario de la dirección /.

Para especificar e¡r forma conrpleta la fr"rerza resultante que actúa sobre

una superficie curva sumergida, debemos establecer la línea de acción de la

fuerza. Dado que hemos expresado la fuerza resultante a través de sus com-ponentes, debemos entonces especificar la linea de acción de cada una de es-

tas componentes. l"o anterior se puede lograr recordando que el momentode una componente de la fuerza resultante debe ser igual al momento de la

correspondiente componente de la fuerza distribuida, con respecto al mis-

mo eje.Para encontrar la línea de acción de cada una de las componentes de la

luerza resultante sobre una superficie curva, podernos escrit:ir

iix?F*-:Jr-xi/F.,i

i', x .il: ^,

-- [ ; x,llt ri

i', x iiF*" -: l' i " at'"R

clonde i',, i'y y fl so¡l vectores de posición de las lineas de acciÓn cle las com-ponentes de la fuer¿a resultante en las dirccciones x, -v y ¿, respectivamcnte'

Las correspondientes expresiones para r/I.'., lF,, Y ,lI:, están daclas por lius

ecuaciones 3.15.A fin de visualizar ntejor las relaciones dadas en las ecuaciQnes 3.15 y

3.17, considérese la superlicie curva de ancho constante (en la dirección x)nrostracla en la figura 3-7, donde el momento de área, ¿Á,ha sido amplifica-do.

Las componcntes dc la fuerza se expresan como

F*, : !,1t, - t t dt i = I t,,l,tcosl/,, = [ n,t,tcosll = ! t,,t.t,

fu, - !,tt'" - ! t,,t,í' l' ! t,,l,tc«rslr. . - ! t.t,tseni/ .. - t n,,,r,

( 3.1 7)

fdA cos §

- -dA cos 0,

= dAt

tE----.-.,1

dAsen P

= dAcos 0¿

= dA,

Flg. 3.7. Superf icie curva sumergida bidimensional

EO ESTATTCA DE FLUIDOS

La componente de i;', en la dirección ¿, tiene como magnitud Jp dA- y ac-

túa en la dirección ¿ negativa. Llamanclo fl*,, a la componente vertical de lafuerza resultante, se tiene Fn,, : - F*,. Para erlcontrar la linea de acción de

las componentes:

z'fr. x F^"j : I,n x dF,.i: Jrl x pdA,.i

y'i x F*"k : y'i x -F^,i : I t¡x ¿JIr-[ * t r.¡ x -plA"kDe estas dos ecuaciones se obtiene

' :

i;!n"'od^n

/: -* [n.,,ouo" o )': Fr- [o"rrr,o,Se concluye entonces que no se requieren nuevos conocimientos para es-

pecificar en forma completa la fuerza resultante que actúa sobre una super-ficie curva sumergida. Al determinar las componentes y sus correspondien-tes líneas de acción, se procede de la misma manera en que se hizo para su-perficies planas sumergidas. Sin embargo, como se trhta de superficies cur-vas, las lineas de acción de las componentes de la fuerza resultante no nece-

sariamente coinciden; la resultante completa puede necesitar expresarse co-mo una fuerza y un par.

Ejemplo 3.6La compuerta mostrada en Ia figura tiene un ancho constante, yv, de 5 m.

La ecuación que describe su superficie es.x : y2 la, donde a = .l m. El niveldel agua en el lado derecho de la compuerta está a 4 m. Determine las com-ponentes F^, y I'H, de la fuerza resultante debido al agua y la línea de ac-

ción de cada una de ellas.


DATOS CONOCIDOS:

Compuerta de ancho constante, w = 5 m.

Ecuación de la superficie en el plano xyr , : y2la, donde I = 4 m.

Nivel del agua, O = 4 ñ1, a la derecha de la compuerta.

-lI

ESTATICA DE FLUIDOS

DETERMINAR

Fr,, F*, y la linea de acción de cada una de ellas.

SOLUCION:

Ecuacionesrundamentales:F^: - pdÁ *: rn.ctn

Momentodeuna fuerza, Ñ: f * F

pdÁ.¡: - j^,06¡,= -J" onav

pdÁ,¡ = I^,ooo,: !o'''" p*d,

F^-= - |UA

F^r: - I^

Con ob¡6to de poder electuar las int€gracionos necesarias, se requleren expreslonespara p(y) y p(x) a lo largo de la superlicie de la compuerta.

dP fP thdh=PS'

dP=Pgdh, ),"dP:)oPgdh

Si suponemos eu6 p = constanle, ontonces

p:p,+pgh

como la pr€s¡ón almoslórica acti¡a tanto en la parte superior de la compuerla comoen la superficie libro del lf quido, no existe una conlribuc¡ón neta por parte de la pre-sión atmosférica. Por lo tanto, para dÉterminar la fueza debida al llquido, se puedetomar p = pgh.

f Sr ruponc crc &, I

I v f¡, .on positrvos I

t1

82

Necesitamos ahora una expresión para h = h\yl y h = h(x) a lo largo rJe la superf i-c¡e de la compuerta. Sobre dicha superf ic¡e se t¡ene, h = D _ y. Como la ecuación dela superf icie de ra compuerta es x = y2ra, entonces sobre d¡cha compuerta y =,/ axt/z pudiéndose escribir para h, h = O -1 áxVe. SubstituyenrJo eslos resuttados enlas expresiones para FÁy y F^", se obtiene

Fr,: - Jo o*ov - j"' ¡,shwdy - - rsw Í,i ,,o, - ,,s* [,',,' {o

:-t)swl', ';1:, ' t)sw[r'-?I 'tY!:

F : 999k9 _9.81 m 5m (4)rm. N.s2'R. ñ^ .z-^ "-z " *o;, 392kNc

IEl signo negativo ¡nd¡ca q,ue F^. realmente aclúa hacia la izquierda. ]

tDt o ¡D)t-,: I pwdx: j" ''" pshwdx: ps" I: hdx: psw I,i''' ,o -,/ax,,,)dx

t- z ,rln'. ID, 2 Dr I ttowD\= pew lDx I, ,,.

,_lo = ,s, [? _;",o ;; I

- ,,#c _999k9_9Bl m Sm (4).m. 1 N s2'R' m-j^ -;z-^ '-l-'0n,',^ ks-., =261 kN

Para determinar la lf nea de acción Fr",

ES A'TrcA DE I:LLIIDO,\

Por lo lrnto,

De manera análoga para x',

vl dy

F !,-

y'¡ x FR,¡: tr¡ " dF,i: - lri, orte,i

-y'F*,: Ín-rooo, y y': + J".rooo,1 lD 1 co/ : -ül.,, ,oro, = ,* l" voon*dv = ,f I, ,,o - y)dy

wpsfD . ytlo: -r. LrY-- 31.

¡tgwD3 pgwDrl z I o 4mY-- 6F" =- 6 l'¡*¡l:¡:-3-=133m y

x'i x Fx,i : ! ri x dF,j : J xi x pdA,j

xp dA\ and

ESTATICA DE ['I"TJ¡DAS

1rx' -

\)n'"oo'

Y's l'' " x1D - Jaxt'2¡ox

2 r Dtl pgwDs-- 12

-¡:5 v " as,'2_l 1oF

^,a2

83

Por lo que

1 ln'" 1 rt,, d

= F& J,, xPw dx - F* J. xPghw dx

wttg I D:-l__x+F*. I2pgwD'| 3a I- lGr-L,rúDr I

3D231,'- 10, lo, U\'.' , o; = 1.2 m

2 .,1"" lrywlDssrax-'.1, - ,"1ñ

jEste problema ilustra el cálculo de las compongnles de ta luorza r6sullante que ac-lf lúa sobre una suporf icie curva sumergida. I

ljemplo 3.7

El tanque abierto nrostrado en la figura se llena con agua hasta un nivel del0 pies. Determine las magnitudes y las líneas de acción de las componentesvertical y horizontal de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre ta partecurva en el fondo del tanque.

Il0 p¡c!

__t4 pic: da rodio


DATOS CONOCIDOS:

Tanque de ancho, w = 10 p¡es, lleno d6 agua hasta el nivel 1O ples.

L = l0'

I

Io

Et ESTATICA DE FLUIDOS

DETERMINAR:

Componentes,F^.,Fr,(ysuslineasdeacción),delafuorzaresullantequeelaguaelerce sobre la parte curva an el fondo del tanque'

/

SOLUCION:

Ecuacioneslundamental6s:

,r-doF*:-)pdA *:to:r

Momentodeunatuer¿a u = lt * aÉ o dM : i x dÉ

r*,- ldr,:F*'I:!o¡ ,: -lodÁ t: -Joaetr)cos(e0-{,r)fFn.: *JOdAsentl

Puesto que para una superficie cilindrica, dA : wR d0, resulta "lÓgico" seleccionar

como variable do integraciÓn, 0. Substituy€ndo los limiles rosulla

f*12F*. = - J, PwR dl) sen ()

Nacesitamos ahora expresar p como r¡na f unciÓn do 0

dP:y o dp:ydhdh

Paray=constante,p=P¡rm*yh.Comonosinteresalaluerzaresultantodebidaalagua(p.,. actúa tanto en el fondo de la superf icis curva como en la superf icie libre

del agua), tomamos P: Yh Por lo tantc,

lat2F*,: -Jo )htvFsen0d{.}

Para poder ¡ntegrar, neces¡tamos conocer h como una funclÓn de l). Teniendo en

cuentaol diagrann, h = L - y, mientras quealo lafgodo lasuperficie cuwa,y : Acos

0.' Por lo tanto, ñ = L - Fcos0 Y

r,,2 f" IF^,: -Jn 1'(L - Rcosfl)wRsenddd: -'¡*R ),, (L - Fcos{))senfld0

f R .1tri2 / R\:-^¡wR l-Lcos0+-cos2t)l :'-vw?f t - l2--- l" ' \ 2/

,^.: -u'or9l, roaie;4 Pies' (r. -:)pie * - 1ee70rbr

.ri

v l' dp:l1'dh"pu,,, w u

lEl signo negativo ind¡ca que la componente horizontal do É* actúa hacia la de''

r*": lor,: F*'l: lof t: -lr¿Á ¡= *J rdA(r)cos0

= *[" pwldocoso= -.[" YhwRcosodr,

-fr" r,a - ñcos0)wRcos0d0 = -vlwjr"ttcos0 - Rcos2g)d0

-rnwfr-sene - ^G*'""2eI" = -vlw(t -'Í)

62.4 lbl 4 Pies . 10 Pies.. (10 - n)Pi1E :-

-x x x :-17 100 lbl

' fl' pie3

{Et siono negativo indica que la componont€ vsrtical do f*,actÜa hacia abaio.}

Para encontrar la linea de acciÓn de Fn,, 6l momento de F¡* regpecto a O debe ser

igual a la suma dt momentos de dF, con respecto a O'

y'l x FR.¡: !r¡, dr,t = t^Yl x (-PdÁsen0)¡

-y'Fx.k =* !¡cdAson0

- F*.J^\

!.roooseno : -* [''F* J. YYhwRdoséno

-*['' v1(L - Fcos olwRdoséno

F* J"I ^*12

\

-J^ ncos&y(t - n

ESTA'I'ICA DE I,'LU I DOS E5

cos 0)¡vF sénO d0

lntegrando,

Para determinar la linea de acciÓn de F¡,' el mom€nto de Ft, pies re§pecto a O debe

ser igual a la suma de momento§ ds dF, respecto a O'

, = -XI:" 1L"o"o."no - Flcos2osóno)do

R2r,wf sen20 Rcos3fr-l'r2 n'1Ywf t 8lY':- F:[t , "--. ]":-t*L,-5-l

- (¿)2 pie2 62.4 lbl - llo 4ly' : --l-!l+r , ffi'tor,"{7 - I_lni": 1 83 Pies

x'i x Fn,i:Jri * dF,j : !^x'¡ x (- pdÁcos{))i

x'F*.k: _ kl ,pdAcosfi' Jt

'l xpdAcosr: -+ !l' ,rr, - Rcos o)wlcos()tt()

-+['' Fsent)i,(r * Rcos 0)wRcos0d0

yt¡ff2.' ¡a z

- ,iJ,, (Lsenllcosl/ - llcosr (tsenil)dil

wR'-,.f senirr Fco:.o1". = _$_-.ll !l:- r" l'-¡-*^l-1, =-r;1,

5 j

,, _ _ 10 ft ' (4)ip¡e'r 62 ¿ tbf /_ 41

17,1oo lbr p* - ^ (' ¡JPies - 2 14 Pies

obsérvess que como cada fuerza inf in¡tesimar, ¿É, acrúa a través der centro de ra su.perf¡cie c¡llndrica, entonces ra f uerza resultante, F^ debe actuar iambién a través dolorigen, o. Este r6§u[ado se puede utilizar para determinar x,una vez que se conocty', o viceversa.

J Este problema ¡rustra ra apricación de ras ecuaciones básicas para determinar ras ,

1 lueruas hidrostáticas que acrúan sobre una superficie de radio de curvarura.on.. I'tant€. -- -'- ---"-

J

**3-6 FLOTACION O T'UBRZA DE EMPUJB Y ESTABILII}AI)si un objeto se sumerge en un riquido o flüta sobre una superficie, la rue rzaque experimenta debido a la presión del líquido se denomina fuerzu de e¡¡t-puje o flotación. considérese el objeto mostrado en ta figura 3-g, sunrcrgi_do en un líquido en reposo.

La fuerza verticar que actúa sobre er cuerpo debido a la presióLr hicrrostá-tica se puede determinar más fácilmente si se consideran los elcr¡rcnlos devolumen en forma cirí,drica semejantes al nostraclo e, ra figura 3-g. paraun fluido estático

tp,¡ ¡,

-- l'!l

Integrando para t) constante, se obtiene

lt ,., ¡t¡, t. pqlr

" Esla sección se puede omil¡r sln perder conlinuidad en el lextü.

LJ t.-t t I L1l DE l-'1. {J I DOS

t:lS'f A I t C ¡1 D M: L' LJ l l.)0 5 E7

Flg. 3.8. Cuorpo sumergido en un lfquido en reposo.

l,.a f uerza vertical neta sobre el elentento resulta, por lo tanto'

dl'-,-.lpo + luh,)t1,1 '(Pt¡ | t,ght\d,1 - ¡tt¡(h'- ht)d''l

[)cro (/r2 -" hr)lA - r/V. es el volurnen dcl elcnlento' Entorlces,

f" - l,ll'. = | ¡tp¡tlY - ¡tL¡Y' .l - Jv"'eloncle V es el volulnen del otrjetg. Resulta, pues, que la fuerza vertical neta

tlcbida a la ¡rresión, o fuerza de eurpuje sobre cl objet0, es igual a la fuerza

cle graveclad clel líquido clcsplazado por el objeto. Esta relaciÓn la puso en

práclica por prirnera vez Arquímedes, qtrien en el año 220n.C'determinó el

conrenido rle oro cle la corona del Rey Hieron II (ejemplo 3.8). Por lo ante-

¡ior, a ilicha fórmula se le conoce como principio de Arquimedes' En las

aplicaciones técnicas flrás reciel)tes, la ecuación 3.18 se utiliza para diseñar

grandes enibarcaciones, tgda clase de dispositivos flotantes, y batiscafos.

La línea cle acción de la fuerza de flotación se puede determinar utilizan-do los métodos examinados en la secciÓn 3-5.2. Puesto que los cuerpos que

llotan se elcuentran en equilibrio bajo la acción de las fuerzas de cuerpo y

las I'uerzas cle flotación, la localización de la línea de acción de la fuerza de

l'lotación cletermina la estabilidad del cuerpo, co¡no.se muestra en la figura3-9.

l'1,,"""u,,¡

(0) t stable

Flg. 3-9. Estabrlidad do cusrpos flotanl(,s

lb) lnestable

E8 ESTATTCA DE FLUID^S

La fuerza volumétrica debida a ta graledad,en un objeto actúa a travósdel cenrro de gravedad aer .ue.pJ, óé. e, Ia figura 3-9q, rafuerza de em-puje (flotación) está tarancea¿áy'rlrm1 parre de un par que dende a res-tablecer la embarcación en ,u oori.iin de equilibrio. Én üj¡*r. a 3-9b, etpar formado tiende a vortear ru .rnu-*"ion. Én b, b;;'i; vera, ras cargasproducidas por ros vientos *ur¡on* rr.-ur"¿i.ior"rlüiour*.r bore quedeben considerarse al esrudiar ,, .riuúili¿¿a.EJcmplo 3.t

El Rey Hieron ordenó que re hicieran una nueva corona de oro puro. cuan_do la recibió, sospechó qu. r. 'uiiunlipreaao

otros metares en su manu-factura' Arquimedes.oescubrio queiu *ron" requería una fuerza de 4.7 lbfpara quedar suspendida cuando r. ru*.rgu.n "guu

, *;;il;..rro despra-zaba I8'9 purg3 de.agua, por ro que conciuyó q". r" il.rino *r,uou r,""t ode oro puro. ¿Está il t..io. a. i.r.J" con esto último?

DATO§ CONOCIDOS:

Volumen d€ la corona, V = 1g.g pulg3Fuetza nocegaria para suspondsr la corona en agua, Fnet¡ = 4.7 lbl

DETERMINAR

Densidad promedio elel material an la corona.

SOLUCION:

Se trata de aplicar F : má a la corona sumergida. t

Ecuaciones fundamenteles: fF: ma F,lotacrón= pu,ogVk§upóngase: á : 0 para la corona. por lo tanto

IF = 4","+ 6r""*"0* Frio,o¡on = má = oo bien

(6et¡- 6r¡veo¡¿+ pn,ogV)l - Q

Problem¡ de ejemplo 3.E

Por olra parto, Fgravodad

tal manera que

, Fner" 1.94 slug 4.1 lblrc - pu2o

pi"a * x

p" : 15.3 slug/pie3

ESTATICA DE I-LUIDOS E9

: p"gV, donde p. es la densidad clel material de la corona, de

6rav6daa: t","* PnrogV : P,gv

1 s2 slug.pie18.9 pulgJ 32.2 pie tbf .s

"T3.7 }-I.UIDOS CON MOVII\IIENTO D[ CUERPO RIGIDOun fluido con movimiento de cuerpo rigido se mueve sin deformarse comosi efectivamente consistiera en un cuerpo sólido. como no existen de forma_ciónes, tampoco puede haber esfuerzos cortantes; en consecuencia, er únicoesfuerzo que actúa sobre cada elemento de fluido es la presión.

como un fluido con movimiento de cuerpo rígido no se deforma, cadauna de sus partículas mantiene su iclentidad. por esta razón,al igual que erlel caso de un fluido estático podemos apricar Ia seguncla ley de Newton purudeterminar el campo de presiones que resulta de un movimiento de cuerporígido específico.

En la sección 3-l dedujimos una expresión para la fuerza torar debida a rapresión y a Ia gravedad que actúa¡r sobre una particura de fluido de voru-men, dV. Obtuvimos,

dF:(-gradp+pildyes decir,

dFñ --gradp+pú (3.2)

La segunda ley de Newton se puede escribir

¿É : a¿lm: úpdY

o bien

1728 pul

EF-

dF;li: pn

Substituyendo de la ecuación 3.2, se obtiene

-grad p + pú : pit

" Esli sacción ss pu€ds omlilr 3ln porder conllnuidad sn sl f€xlo.

(3. r e)

9ü EST,/ITICA DE ÍILUIDOS

Las ecuacio¡res componentes para otros sistenras de coordenaclas se pucclcrrescribir utilizando la correspondiente expresión de grad p.

Ejemplo 3.9

Una persona debe nlrldarse a otra localidad. De sus pertenencias, debe lle-var consigo una pecera en la parte trasera de su vehículo. La pecera liclteforma de una prisma rectangular de l2 x 24 x 12 pulg. ¿Quó cantidad dc

agua debe colocar en la pecera con objeto de asegurar que el agua no sc

derrame durante el viaje?

Pr¡¡blema de ejtmpl«r 3.9

DATOS CONOCIDOS:

Pecera en forma de prisma rectangular de 12 x 24 x 12 pulg parcialmente llena conagua a Ser transportada en un automóvil.

DETERMINAFl:

Nivel máximo del agua para asegurar que no se derrame duranle el viaje

SOLUCION:

El primer paso para obtener una solución consiste en tormular científicamentú elproblema, es dec¡r, expresarlo de manera más especif ica.

El signil'icado físico cle cada uno cle li¡s tór¡¡rilios cfi csta ecuación sc sciul.ien seguida:

-gradp + pg pá

¡ luerza de prcsión ¡ ¡ luerza volurnéirica I I nrasa por I laccleracion ,

J por unidad de l' -J pu, uniclad de l-] Lrnitlarl l', Jr.l* la pur- t

I volu.mcn en un | |

votumcn c¡r un j la. uoru- [" I r're uta rtc

Ipur)to punlo nler) lltrrtlo

Esta ecuación vectorial está formada por tres ecuacioncs co¡¡)poltcntcs qilcdebe satisf'acerse individLralrncllte. [:n coorclcnadas rcctaugularcs lir-ecuaciones comp()nentes son

ip\l,L , pg, - 1,.,, ¡rara llr clireceiórr .r I

I

^! a ,0, : ,u, para l, ..lirc.ci.'r,, ,'

I (.1.1()l

,'p .. I

,.'- + [r!1. : l,o, ¡:ara ll tlirceciórl ;

]

EST"ATICA DE fLUDOS 9l

Es obvio que la superf icie del agua se moverá como resultado del efecto que

causen Sobre el vehiculo los baches sobre el camino, laS vueltas en las esquinas, etc'

sin embargo, supongamos que el principal efecto sobre la superf icie del agua se de-

be exclusivamente a las aceleraciones (y desacelerac¡ones) lineales sobr el vehiculo,

es dec¡r, que no se presenta ningún bamboleo o agitaciÓn sobre el agua como resul-

lado del movimiento del vehiculo.COn lo anter¡or hemos reducido el problema a determinar el ef eCto de una acelera'

ción lineal sobre la superficie libre del agua. Sin embargo, no hemos decidido la

orientación del tanque con re§pecto a la dirección del movimento, Si el eie de coorde-

nadas x se encuentra en ladirecciÓn clel movimiento, ¿debemos al¡near el tanque con

su lado más largo paralelo a este eie, o bien perpendicular a la direcciÓn del movi'

mionto?St no existe movimiento relativo en el agua, debemos SUponer que se trata de un

$istema con aceleraciÓn constante, a.. ¿Cuál será la forma que tome la superficie

libre del agua bajo estas condiciones?Establezcamos el problemaa f in de respondera las ¡nterrogantes originales sin ha-

cer desde un principio suposiciones restrictivas.

DATOS CONOCIDOS:

fanque parcialmente lleno con agua (hasta una altura d, en pulg) suieto a una acele-

faciÓn l¡neal constante, a,. La altura del tanque es de 12 pugl; la longitud paralela a la

dirección del movimiento es b en pulg. El ancho perpendicular a la direcc¡Ón del mo'

vimienlo es c en Pulg.

UI

DETERMINAR:

(a) Forma que toma la superf icie libre del

(b) Altura máxima oel agua, d, para evitarorientaciÓn del tanque.

(c) OrientaciÓn Óptima del tanque y nivel

SOLUCION:

agua bajo una celeraciÓn constante a.su clerrame, como f uncián cle a- y de la

rnáximo del agua.

l)a

+ /<g.) -

-T-I

d

EcuaciÓn f undafnenial :*'Yp t ¡,9

92 ESTATICA DE Í,LUIDryS

Puesloquepnoesunafuncióndez, lp/tz: O,porolra parle,g, * 6, g, =:0yar:á,:0.

r'o io.'. -i;*i+- jps:ipa^('X ('y

Las ecuaciones componentes son:

?p

¡;: * Pa'

?p

-: -P9.'y

fRecuérdese que una derivada parcral

lsignilica que todas tas demás

{ variables ¡ndependi6nt€s

lse mantienen constantes durante ol procosoIcle derivación.

El problema consiste ahora en determinar una expresión pdra p = p lx, yl. Eslo nosperm¡tirá encontrar la ecuación de la superf icie libre. sin embargo, posiblemento notengamos que hacerlo.

Como la presiÓn, p = p (x, y,l, la dif erencia de presión entre dos puntos (x, y) y (x +dx,y + dy\es

¿p=!a, +'!ay('X a,y

Dado que la superf icie libre constituye una linea de presión constante, entonces a lolafgo cle la superficie libre, dp = e y

o:P dx+?dy: - pa,dx- pgdy('x (,ypor lo tanto,

dY\ . ax

lx )"up.,t,r,.r,u," 7{La superlicie l¡bre es una tinea recta.l

En el diagrama que aparece abajo,

d = nivel original del agua

e = altura del aoua sobr€ ol nivel original

D = longitud d€l ianque en la dirección del movimiento

' : f t"n' : : (- #)*o"n** ,,0,": :? {""0o únicamente para d }

Ie

l

)

t,lil

ESTATICA DE T"LUIDOS 93

Como se requiere que e sea lo más pequeño posible para rrna a, dada, el tanque debe

alinear§e buscando que b sea lo más pequeña posible. Debemos entonces alinoar el

tanque con su lado más largo perpend¡cular a la direcciÓn del movim¡ento, es decir,

seleccionarD = 12 pulg.

Tomando D = 12 pulg. a-,:6--:pulgg

El máximo valor para e resulta '12 - d, en pulg. De ost€ modo

12-d= d.rr: 12 -s s

Si se supone que el valor máximo eS 39 e§ de do§ tercios de g, entonces el n¡vel n¡áx¡'

mo pos¡ble resulta d - 8 Pulg.A f in de tener un margen de seguridad, tal vez debamos selecc¡onar d - 6 pulg.

Recuórdese que hemos supuesto en la soluciÓn de €ste problsma que se t¡ene una

aceleración estacionaria, por lanlo, el vehiculo debe conducirse cuidadosamenle.

El objetivo de sste problema es demostrar:

f -r'io*'^","á".

i".-rr"o'"mas están ctaramente def inidos n¡ tienen una solalI fespuesta, i[(ll) la aplicación de la ecuaciÓn, -Vp + pg - pá. )

tjemplo 3.10

Un recipiente cilindrico, parcialmente lteno con un líquido, se hace girar

respecto a un eje a una velocidad angular constante, (D, como se muestra en

el diagrama. Después de un corto periodo ya no se tiene movimiento relati-vo entre las partículas del líquido, es decir, é§te gira en el recipiente como si

todo el sistema fuera un cuerpo rigido. Determine la forrna de la superficielibre.

Prr¡blems dt ejemplo 3.10

DATOS CONOCIDOS:

Un cilindio que contiene liquido en rot*dlon de cuerpo sÓlido alredodor de su eje,

con velocidad angular, r,r.

,l

94 ESTATICA DE FLUIDÜS

DETERMINAR:

La forma de la suPerf icie libre..

SOLUCION:

En este problema conviene utilizar un s¡stema de coordenadas cilindr¡cas, r, 0,2' Da"

da la simetria circunf erencial del sistema, la presiÓn p no resulta sér f unciÓn de 1/, es

decirp = Plr,z\.Nota:Lasuperficielibr6esunasuperficiedepre§iÓncon§tante,elproblemacon-

siste en determinar la ecuaciÓn de esta superf icie'

Comop=plr,z\,elcambiodiferencial,dp,enpresiÓnentrelosdospuntosdeco'ordenadas lr, (), 2) y (r + dr, 0 ' z + dz\ esta dado por

¿o -! \ ,, , f) o,i.r l, ,'z),

Por lo tanto, necesitamos obtener expresionss para ip/rtz\,y t)p/ir\"'Esto se puede

lograrescribiendolasegundaleydeNewlonenlasdireccioneszy/,re§pectivamen.te, para un elemento inf initesimal de f luido'

De la ecuaciÓn 3.20 se tiene para la direcciÓn z'

,to\-+l t Pg'= Pa't'Z /,

Como g" : -g y á. : 0,entonces i'p/iz\,: * t'9'ParaobtenerunaexpresiÓndelp/lr)..aplicamoslasogundaleydeNewtonenla

dirección r a un elemento dilerenc¡al adecuado'

La presiÓn en el centro del elem€nto es p'

rl

pdrdz

(r-'#

(o +'{, a) (, + !) a a,

EnoltliagramaSemuestranlasfuerzasqueactúanenelplanorl)delelemento.Escribiendo la segunda ley de Newton en la d¡recciÓn r' se tiene

I¿f, = a,dm: a,pdY: -t':2r¡'dY: -o2rpr70drdz

De la f igura

t iPdrt/ drt.. / .iPdrt/ drt d0

¡or, .(n ':+)1, i)0,,0, (, 'i;)\r t ,)dooz t.2pdrdzsen-

Al dosarrollar la expresiÓn anterior, cancelar los términos iguales y al observar que

sand0/2:d012(yaquesetratadeángulospequeños),seobt¡ene

Ldr,-attaz\nr of ,:+,:(';f N p+ ":+

':A+Í'P.*\

(i'o)LdF,.auaz\ r- orl

Por lo tanto

*, ! o, oU dz': - :»2

rpr dt) dr ctz

Luego de dividir ambos lados de la ecuaciÓn entre -r elr d0 dz fssulta

ES'TATIC.A DE FLIJIDOS 95

(P )

- : rr(t)'rir

ar:f\ ar*f) o,' ,'r/, tz/,

dp: polrdr - pgdz

Es necesario integrar con obieto de obtener la diferencia de presiÓn entfe el punto

d€referencia(r,,2,),,dondelapres¡Ónvalep,,yunpuntoarbitrario(r'z)dondelapresión es p.

i,,, c, f'J ''oo

- )""'''"d' )""n0'It't2 ,

P _ Pr =,; lr, _ ril _ pg(z -- zt)

Tomando el punto de referencia en la intersecc¡Ón clel eie del c¡lindro con la superf i'

cie libre del liquido se obt¡ene

P1: Porn rr :0 zt: ht

,rr,.r2 r',p _ pu,_ =,i _ pg(z -_ h1\

Por otra parte, siendo

Resulta

Por lo tanto


Como la superlicie librB e§ una superficie de presiÓn constants (p ='' p",-)' su

ecuación esta dada Por

o bien,

,:ry-petz*h)(ror) 2

z: ht t --

SeconcluyequelaecuaciÓndela§upeflici€libr6€sunaparábolaconunvérlicgen el ejo del cilindro en z = lt'.

Podemosexpresarlaalturat,,u"¡olascondicionesderotación,entórminosdelaaltura orlgina| de la superficie, tru, es decir, en ausencia d€ rotac¡Ón' Por s3lo, ob§€r-

vemo§queelvolumend6fluidodobep€rmanecerconstanlg.Asi,enausencladerotación

Con rotaciÓn

Finalmente,

v = n?2hn

t = j" !" znrtz, : 1,, Znzrdr: J* 'n (n, .':r) '

o'

Y -2n1,,1.#],: n[n,n' '#]Por lo tanto

n.2ho =, Lr,o,

. g;,* ](roH)2

hr:ho- 4s

(tuR)r (rur)2,:n.r_ On

* 29

z=ñ._*[l_(il'l z(t\

f Esto oroblema ilustra el comportam¡ento tisico de un llquido con suporf icie libre qu0

I ;;,i;;"; rotacion de cuerpo sÓlido y al mi§mo t¡smpo eiompl¡lica la aplicaciÓn de

l;;;;il,ey d€ Newton a un elemento diterenciat en coordenadas citindricas.

Obletlvos del caPitulo

una vez que ha completado el estutlio del capitulo 3, el lettor deberá ser ca¡:az dc lo

siguiente:

l. Describir la ecuaciÓn fundamental de la estática tle f'luidos en forma vectorial y

señalar el significado ñsico de cada término'

2. Escribir la relación básica presión-altura para un fluido estático e integrarla pa'

ra determinar la variaciónie presión teniendo en cuenta cualquier variaciÓn en

las propiedades del fluido'

cs'l.{ 7r¡c..1 oE l--l- Lt I Dos 97

3. Especificar las condiciones de temperatura y presión para una atmósfera están-

dar o normal.4. llstablecer la relación entre las presions absoluta y mafiométrica.

5" Para una supcrf icie plana sumergida:

(a) Detcrnrinc la fucrza resultante y su linea de acción que actüa sobre la super-

ficie debido a la presencia dcl tluido'(b) Deternrinar las I'uerzas extern¿ls que se requieren para mantener [a superfi-

cie en equilibrio'6. lrara una superl'icie sumergirJa con curvatura en un plano:

(a) Derernrin¿rr las componentes cle [a fuerza resultante que actúan sobre la su-

perficie y sus lineas dc acción debido a la presencia del fluido'(b) beterminar las fuerzas extelnas que se tcquieren para mantener [a superli-

cic en rcposo.i47.I)etemrinar la l'ucrza cle llotación o empuje que actúa sobre ttn cuerpo sumergl-

clo o quc flota sobre la supcrlicie clc un líquiclo, dett:rmitlar la esubilidad del

cuerpo llotante.**S.Aplicar la ecr¡aciÓti básica <ie ta hidrostática para determinar el campo de pre-

sioncs, la forma cle [a superficie libre de cualquier masa de lluido que se mueve

con nrovitniento de cuerpo rigido, o ambos.

9 . Resolver aqur-'llos ¡:roblcmas ¿rl final del capítulo que se relacionatl con el tema

quc :e ha cstudiaclo.

Problemas

l. t Una prcnszr hi{ráulica que sirve para troquelar partes metálicas automotrices

puede clesarrollar una fuerza dc 36 MN (megallewtons). La carrera del troquelado es 0.2 m y [a prensa se acciona hidráulicamente mediante un sistema

cuya presiirn de cliseño es 20 IviPa. Desprecianclo el rozamiento determineel

área minirria clc pistón necesaria ¡rara producir la fuerza de troquelado. ¿Qué

c:antir,lael clc aceitc hictráulico se clcbc sunrinistrar por cada ciclo de la prensa?

1.2 Se desea cliserl¿¡r una gr(ta montacalga neumática p¿ya un taller de reparaciÓn

cle autonlóviles. Se dispone de aire cornprinrido a una presiÓn manométrica

clc ó00 kPa. El montacarga debe ser capaz de levantar vehículos hasta de

3 0ü kg. E.l rclzalnienlo en cl urec:rnisnro pistón-cilindro y en los sellos oca-

siona una fuerza clc 9tt0 N quc sc opone ill movimiento del pistón. Determine

cl cliárne tro del pistón necesario para suministrar la fucrz.a de levantamiento.

¿Qué presiÓn deberá manteilerse en el cilindro con objeto de levantar fácil-

rlente un automóvil compírcto que tiene una masa de 895 kg?

3.3 La tuberia dcl oleoducto de Alaska tiene un diámetro interno de 1.22 m. En

su consrrucción se utilizaron tubos con paredes de I I y l4 mm. La tuberia se

probó hidrostáticamente hasta una presiÓn de l0 MI'¡a; se espera que la pre-

sión máxinra en servicio sea de 7.79 MPa. Calcule el eslucreo de tensiÓn má-

ximo que se espera tener en la pared de [a tubería una vez que ésta entre en

servicig. ¡,Scrá arial o circunfcrc¡icial la dirección clel esfuerzo rnáximo en la

parcd dc la trrbcría'l

-1.,1 I:l nitrógcno conrprimitlo se enrbarca para su distrihuciÓn comercial en tan-

ques cilintlricos dc diámctro, D : 0'25 rn y longitucl l' = l'3 m' El gas en el

tanque sc oncuentür a una prc.,ión tbsoluta de 20 N'lPa y 20uc. Calcule la

.. Eslos ohjelivos so relieron a l¿is secciones qus se púe.len omilir sin per(i6f la continui.lad del toxlo

9E ES'lA'tlC¡l DE I:LU IDOS

masa del gas en el tanque . Si el esfuerzo ¡náxit'tlo perrnisiblc en la parcd ,icl

tanque es 210 MPa, deterrüine el espesor mi¡rinro teÓrico de la pared del ei-

lindro.Al integrar la relación presión-altura para un fluido incofirpresible en reposo,

se supuso que la aceleración gravitacional, g, era una constante. La ley clc lu

atracción gravitacional se puede expresar como

/ R \2u:u,,(¡+t/donde .R es el radio de la Tierra y á la altitud sobre la supcrficie . Deterntine l¡variación del porcentaje ell g para los siguientes dos casos (tórllese R = 4 (Ilt)

millas):(a) ir = 6 millas de altitudtb) h : -4 millas de altitud

Liquido A

T-10"

__J5"I

iqu¡do B

3.ó

Flg. íl'10.

Un barómetro de rnercurio se utiliza para me«lir la presión atmosf ér'ica cn la

misma localiilad pero en dos clías dif'erentcs. Iln anrbos días, la lec¡ura rlr

presión fue 29.5 pulg de mercurio, pero las te nrperaturas ambicntales rest¡lta-

ion 70 y 95oF, respectivamente. Deterndne las prcsiottcs at¡noslÚricas reale\

en los dos rtias, el lbf/pid, y la cliferencia cntrc cllas, en psi'

Un recipientc cerrado contictle agua con ttn ttivel tlc 5 m. L,a prcsiilrt atrsoluta

por encima dc la superficie del agua es 0.3 atm. (lulcule la plesiÓrt absolutü

de la superñcie interior del fondo del recipicnte.

3.t Determine la presiÓn manométrica en psig en el pullto a de la figura 3-10' si

el liquido.4 tiene una de¡rsidad relativa de 0.75, y la B es de 1.20. El liquido

que rodea al punto a es agua y el tanque de la izquierda está descubicrto a la

atmÓsfera.3.9 Un tanque rectangular, abierto la atmósfera, se llena con agt¡¿t hasta el nivel

2.5 m comO se muestra en la figura 3-l L Se conecta al tanqrte un manónretro

de tubo en u en un punto localizado a 0.7 nr por encima del londo tlcl tart-

que. si el nivel cero del fluido manÓmetrico (densidad relativa I .75) es 0.2 rn

por debajo de la conexiÓn, determine la desviaciÓn / una vez qtte se ha conec-

tado el manómetro y se ha elinrinado todo el aire dcl tubo manonrétrico.

3.5

i5"

3.7

It

ESTATICA DE F-LUTDOS 99

Flg. 3.11.

J. l0 si el tanque del problema 3.9 se tapa sellándolo perfectamente, y se permiteel desalojo lento del agua por el fondo, determine la desviación, d una vezque el sistema ha alcanzado el equilibro.

3.ll En el sistema del problema 3.9 el fluido manométrico se cambia por mercu-rio, manteniéndose el mismo nivel cero. se sella el tanque y se aumenta la pre-sión del aire hasta alcanzar una presión manométrica de 0.5 atm. Determinarel valor de /.

3"12 un manómetro de depósito se calibra para ser utilizacto con un lluido condensidad relativa 0.827. El diámetro del depósito es 5/g pulg y el cliámetrodel tubo vertical es 3/ 16 pulg. Calcule la distancia necesaria entre dos marcasconsecutivas de la escala vertical, que correspondan a una diferencia de pre-sión de I pulg de agua.

l.13 El manómetro inclinado mostrado en la figura 3-12 tiene un depósito condiámetro, D, de 90 mm y un tubo medidor con diánretro, d, d;6 mm; elfluido manométrico es aceite rojo Meriam. La longitud del tubo medidor es0.6 m, 0 = 30o. Determine la presión máxima, en pa, que puede medirse coneste manómetro.

Fle. 3.12.

3.14 El manómetro inclinado mostrado en la figura 3-12 tiene un depósito condiámetro, D, de3 pulg, un tubo medidor con diámetro, 4 de 0.25 pulg, y €§_tá lleno con aceite manométrico con una densidad relativa 0.g97. calcule elángulo l/ necesario para obtener 5 pulg de aceite ¡nanométrico en et tuboinclinado para una presión aplicacla de l pulg de agua (manomérrica).

3.15 El manómetro inclinado mostrado en la figura 3-12 tiene un depósito condiámetro, D, de 96 mm y un tubo medidor con diámetro, d, de g mm. Deter_mine el angulo l) necesario parir obtener una relación 5:l di desplazamientodel liquido comparado con un n¡anórnetro de tubo en U convencionat.

IOO ESTAT-IC,,I DE IILL]IDO,S

3.1ó En una localiclad doncle la prcsión es I atrlt se cneontrÓ quc la vur iaciirrr.ic

presión con la altura a ctp/dz: - 10.7 N,/mr. La coordenada, í, sc tnide ver'

. ticalmente hacia arriba. Dcterniine 1a temperatura ilcl lirc, cn csta locltliLl¡il'

si se sttpon!'quc eI airc sc colllportil conto gas idcal'

l.l7 para describir Ias variacioncs dcl ¡reso espccilico tlcl airc cn l¡ iltll)i)slcrlt rlc l.r

Tierra se ha propuesto url modelo dado por l¡ ccuaciórl:

'' "' j''r - l.:

dondek: l.9j x l0-ólbl/pie],i = alrurasotrre lasuperficie tle lrt'fitrrlr,t

i,,, = pcso especilic¡ tlel airc u nivcl dcl nrar (0.0765 lhvl.ipicr). Sul)()rliclrrl\)

quc'11 prcsi¡n 4r'l airt ¿l nivcl clcl r¡rar scrt 1.1.7 ¡tsiit, citlcrrlc lit Plcsiolt tuttt'

¡'rortrlicrtlc a ulla allittltl dc 2() 0ü) pies; colttparc cl tcst¡lt¡tlo ci)ll cl (ltrr \r

L)bt it'nc ¡l consirlcrlit tttl¡ attllosl'srll cstíll(l:tl '

l.lB Si la r,ariacion dcl ¡reso cs¡-rccilico ctt e[ ¡irc lrtlllosl'L'lict) elltrc tl nircl ,lcl ttl;tt

y una altitud de I 6(x) pies cstuviera dacia por )' 't' -- A",:, donde 1,,, es ilpeso espccitico del aire al nivel del nlar, ¿ es Ia attitt¡(l ltor eucirtta dcl nivel ilcl

nlar y k = 0.00020 lbt/pid . pie' ', determine la prcsiiril en psia a la nri:;nra al-

tura de 3 600 pies cuanclo las concliciones a nive I ,,lcl ttrar son 14.7 psia, 59"1

3.lg Como resultado de los cambios e n tc'mperatura, saliniclad y prcsi(rtt, la dcn'i

clact clel agua del mar se increnrenta al aurnentar la ¡lrof uttcliclad scgún la ri'

guiente ecuación:

P--P'+blt

doltcie ¡,. es la clensidad en la superlicie, /¡ es la prr.rl.undiclacl dl,.:tlc lit sLt¡rcrlt

cieybesunaConstantepositiva.DesarrolleultaccuaciÓnalgchraica¡rltrlllpresiÓn conlo lunción de la prt-rlundidad'

J.20 para c¡ilcular las vari¿ciones cic presión estática, gentrainlente st| sr.lpolrc (ltlr

elaguaesunlluidoincornpresible'Enrcalidad,e[aguaesdclorclcltdeltt}veces más compresible que el acero. EI niÓdulo dc elasticidad se dct'ittc ci'r¡r¡"

1'.,,: tlp,ltlpifl y se puede suponer constante (véase el apéndicc A parit viilirtc'

de este,roiuftl. óalcule el cambio en porcentaje cle la densidiicl del a¡lrru

cuando se aurnenta su presión manométric¿r eli 100 atrtl si la clcnsidacl ori¡r'

nalcorrespondientealapresiónatmosl'éricaescle2ggkg/nl].3.21 para calcular las variaciones cie presión estálica, cl agua generalntertlc se 'ri'

ponecomofluidoincompresible.Enreali<lad,sucompresibiliclad¡ructlc.,"timportarrteeneldiseñoclevehícl¡l«rssumergibles.Supóngasequeclttróilui.,deelasticidaddelaguaesconstanteyCalcúleselapresiónylatJetrsidadautt.iprolunrliclacl de 4 millas clesdc el nivel clel nr¿ir. L.a dernsidad ett la su¡rcrlrrrt

del mar es 64 lbm'zPier'

3'22 Los submarinos cle investigación oceanográI.ica han llegado a descenr,ler }r.i.,

ta proltrrrclidacles c]e l0 km descle el nivel cleI nrar' A estas prol\rndiclacler, tllt,

extremas, la compresibiliclacl clel agua del tnar ¡ucde ser sigrlit'icativa trlir

manerademoclelarelconr¡lorlattrientodelaguaclclllarellcslescliliclocs,i,ponerquesumÓdulodeelasticiclaclpermanececonslante.[)eacttertltlcLltil.lanterior, calcule la diferelcia e¡ densiclad y presión a ttna prot\ttttiitlr'i dc it

knrclescleelnivelclelmaryCompareestosvaloresctllllosqut.sctlbticltcti"r,utilizar el nroclelo de iluido incompresitrle. firprcsc los resrtltrdtls cll ]-]r)lriri

tajes"

ESTATICA DE FLIJIDO.S IOI

1.23 Un lluido compresible hipotútico se utiliza en el sisterna mostrado en la figu-ra 3-ll. Anlbos órnbolos sc rnucven sin rozamiento con las paredes y sus ca-ras externas están expucstas a la prcsión atrrrosl'Crica. La ecuación cle estadopara cl I'luido se ¡ruede suponer como

' - Kpr'2lbfr r

donde h = 0. l0 ft l

De tcrnrine la ¡:resión en l¿r cara intcrrra del pistón supe rior y la fuerza, F, ne-

ccsaria para nrantener el equilibrio.

I |.25 riez

200 pie

1_ "+,8Flg.3,13.

3.24 Calcule dp/tlz para el aire estándar en un dia calmado al nivel del mar y auna altitud de 5 km. (La coordenada ¿ se mide positivamente hacia arriba.)

-1.25 Determine el canrbio de altitud ne.cesario para lograr una reducción del 1590

en la densidad de la atmósfera isotérmica a 20oC.3.26 [.a presión atmosférica y la temperatura al nivel del suelo en [a ciudad de

Denver, Colorado, sorr 83.2 KPa y 25"C, respeclivamente. Calcule la presióncn una de las montañas aledañas que tiene una altura de 2 690 m respecto a laciudad, suponiendo (a) un fluido incompresible, y (b) una atmósfera adiabá-tica.

1.27 Si se supone que el aire es un gas ideal, entonces, conociendo las variacionesde temperatura con la altitud, puede determinarse la presión en cualquier al-titud si se sabe las condiciones a un nivel de referencia, :r.(a) Suponiendo 7' : l"o (l + n¡:), deduzca la ecuación para la variación depresión como función de la altitud si la presión al nivel de referencia es po.(b) Utilizando los resultados obtenidos en la parte (a), demuestre que la va-riación de presión para el caso isotérmico (m + 0) está dada por

! : o 'o ¿11"x: -:'))

Po

l.2ll A nrayor altitud, la presión atmoslérica disminye; en consecuencia, la tempe-ratura del punto de ebullición del agua es menor. Por lo anterior, determina-dos alimentos, como los huevos pasados por agua, se deben cocinar con dife-re ntes lapsos. Determinese la temperatura de ebullición del agua a I 000 y a2 ,C00 nl de altitud en un dia común y compararlo con los valores que se ob-tie¡ren al nivcl del mar.

.1.29 (lorno resultado de la disminución en la densidad del aire, los automóvilc-sexperimentan una pérdida de' potencia con la altitud. Si la eficacia volumétri-ca de un motor permanece constante y la carburaciÓn se ajusta para mante-ner la misma relación aire-combustible, determine el porcentaje de perdidaen potencia para un motor a 3 ü00 m de altitud, com¡rarado con el nivel delmar en un dia estándar.

A= 0.10 pie2


3.30 Las variaciones de presión que resultan de los cambios de altitud ocasionan

que los oídos "se tapen", efeclo que resulta molesto para los pasajeros de

avión o para aquellas personas que viajan a través de las montal'las. Cada in-

dividuo se ve aiectado de manera diferente, pero sc puede suponer como t¡npromedio razo¡rable que por cada 75 m de altitud se tenga la sensación r'le

oidos tapados. Deterrnine el cambio de presiÓn, expresado en ¡nilimetros dc

agua, que corresponde a esta diferencia de altitud en un dia estándar y en Ia

altitud de 2 000 m.

3.3f Para calibrar presiones manométricas, muchas veces se utiliza un dispositivtr

que se podria denominar corno probador de peso bruto (el rango posible dc

cobertura va de 30 kPa a 35 MPa). Las presiones conocidas se generan nlc-

diante cargas de peso conocidg en un conjuntg vertical de pisttln y cili¡dro.El pistón cargalo se hace girtu para anünorar los electos de la iriccion. l..a

carga máxima recomendable es de 100 kg. Determine el tamaño apropiado

del pistón para cubrir el rango de presión señalado.

3.32 Muchas instalaciones recreativas se construyen en la actualidad utilizandrr

estructuras inflables en forma de burbuja, A una burbuja destinacla para

cubrir cuatro canchas de tenis, se le da forma aproxirnada de un senricilinilr6

circular de 30 m de diámetro y 60 de longitud. Los ventiladores ulilizados pit-

ra emplear la estructura pueden mantener la presión del aire dentro cle la bur'

buja a l0 mm de agua por encima de la presiÓn ambiental. El material de l¿

pared de la burbuja tiene un espesor uniforme. Deternüne la de nsidad rnáxt

ma del material, en masa por unidad de área, quc puecle utilizarse para l'abri-

car una burbuja sostenida por la presión.

3.33 Una de las principales empresÍ¡s fabricantes de neunráticos acaba de poner e tt

operación una prensa vulcanizadora de 6.0 m cle diámetro. Se utiliza un do-

mo hemisférico para sostener el molde y el neurnático, cuando sc introducc cl

vapor a presión. La masa del clomo es 130 toneladas métricas. Determinc l¡presión del vapor (manontétrica) para la cual la masa del domo qucda exae-

tamente balanceada. ¿Cuánto vale la temperatt¡ra de saturaciÓn correspoll'

diente?3.34 Un manómelro colocado en un depÓsi1o cerrado que contie¡re aire señala una

presión de 827 kPa en un dia en que la lectura del barómetro es 750 mm de

mercurio. Calcule la presiÓn absoluta en el tanque ' ¿Qué presiÓn indicaria cl

manómetro si la lectura del barÓmetro cambiara a 775 mm de mercurio?

En la pared plana vertical de un tanque de agua se dispone de una puerta de

I m de ancho y 1.5 de altura. La puerta está articulada en su arista su¡rrior, la

cual se encuentra a I m debajo de la superficie del agua. La presiÓn atmosl?'

rica actúa sobre la superficie exterior de la puerta y sobre la superficie librt

del agua. Determine la fuerza resultante total ejercida por todos los fluidos

que actúan sobre la puerta.

3.3é Si en el problema 3.35 la presión Inanométrica que actúa sobre la superficic

. del agua se aumenta a 0.3 atm, determine la fuerza resultante tolal de todor

los fluidos que actúan sobre la co¡npuerta.3.37 Se sumergeuncubode I piede ladocomo se muestraen la figura 3-14. ('al'

cule la fuerza real del agua sobre la superficie del fondo, y la fuerza vcrtical

neta que actúa sobre el cubo.3.3S La puerta mostrada en la figtrra 3-15 tiene 5 pies de ancho y l0 pies de alttrra

Determine la fuerza resultante de todos los fluidos que actúí¡t1 sobre elh

3.35

F|s.3.14.

Airep=5ps¡g

Flg. 3.15.

ESTATICA DE FLT]IDOS IO3

t5',_T

10'_t5',

-l

Flg. 3-f7.

muestra enliquido in-

J'39 La rnayoría de ras grandes presas disponen cre compuertas que pueden ac-cionarse para libcrar er agua armaccnacla (fig. 3-16). i,u.o.pu.rtu mostradase desli,a sobre una praca en cada uno de sus lados. La masa de la compuertaes 5 fi)O kg.(a) Deterrnine l¿¡ fuerza perpencricurar que actúa sobre la compuerta debiclo

al agua.(b) Si ¡r.(coeficientetle rozam¡cnto estárico) = 0.4 entre la compuerta y sus

soporte§' determine ra magnitud de ra luerza, ,R, necesaria para iniciar erdeslizanriento de la compuerta.

Flg. 3-1t.

J.40 Una superlicie plana vertical se sumerge en un liquido como sela ligura 3-17. El ancho de la superficie es w. La densidad delcompresible es p. Obtenga:(a) L.lna expresión general para la fuerza resultante, Fl.(h) Una exprcsión general para la distancia vertical, aConsidérese otra ve¿ la superficie plana mostrada en la ñg.ra 3-17. De-*ucsrre que ros resurtados der problema 3.40 se pueden escribir como

Ir..A

.1..1 I

l -. p,..4 It- i'. I

104 ESTATTCA DE FLUIDOS

donde p" es la presión en el centroide de la superficie, y" es la coordenada ver-tical del centroide, .4 es el área de la superficie e l es el momento del área clela superficie respecto a su eje central.

3.42 Un tanque descubierto con uno de sus lados verticales en forma rectangular,de dos pies de ancho y seis pies de altura, se llena con un liquido de pesoespecifico variable, y, donde y : 50 + 2y (lbf/pie3), siendo y la distanciadesde la superficie libre medida verticalmente hacia abajo. Determine lamagnitud de la fuerza sobre el lado del tanque.

3.43 Sobre la pared plana vertical de un tanque de agua se dispone de una pue¡ade I m de ancho y 1.5 de altura. La puerta está articulada en su arista supe-rior, la cual se encuentra I m por debajo de la superficie de agua. La presionatmosférica actúa sobre la superficie exterior de la puerta. Si la presión queactúa sobre la superiicie libre del agua es también la atmosférica, ¿qué fuerzadeberá aplicarse en el extremo infe¡ior de la puerta con objeto de mantenerlacerrada?

3.44 Si en el problema 3.43 la presión manométrica en la superlicie libre det aguaes 0.5 atm. ¿Qué fuerza deberá aplicarse en el extremo inferior de la puerracon objeto de mantenerla cerrada?

3.45 Uno de los acuarios del centro recreativo de Ma¡ineland tiene una ventanacomo la que se esquematiza en la figura 3-18. La fuerza resultante del aguade mar 0 : e lbf/pie3) que actúa sobre la ventana es I 280 lbf. Determinela línea de aplicación de la iuerza resultante, en pies medidos desde la aristasuperior de la ventana.

+A5

Agua t2'

Ltr_lorg, r+b

Flg. &1E. Flg. 3-19.

3.1ó La compuerta áOC mostrada en la figura 3-19 tiene 6 pies de ancho y se en-

cuentra articulada en el punto O. Despreciando el peso de la compuerta, de-

termine la luerza que actúa sobre la barra AB.3.17 La compuerta mostrada en la figura 3-20 está articulada en su arista inlerior.

Se aplica una presión de 100 psfg sobre la superficie libre del líquido. Deter-mine la fuerza, F, necesaria para mantener la puerta cerrada.

3.48 Conforme aumenta el nivel del agua en el lado izquierdo de la compuerla rec-tangular como se muestra en la figura 3-21, la compuerta se abre automática-mente. ¿Para qué nivel por encima de la articulación ocurrirá lo anterior?Desprecie la masa de la compuerta.

ffi

: IOO lbf /pie2 (

íquido,l = 100 lbf/P¡

3.50

3.49

3.51

3.52

3.s3

ESTATICA DE FLUIDOS IO5

Fig. 32o. Fig. 3-21.

un tanque con una partición central dispone de una pequeña puerta de 0.5 m

de ancho y I m de altura colocada en el fondo del tanque. Esta compuerta es-

tá circutada en su arista superior. En el lado izquierdo se tiene un nivel de 0.6

m de agua mientras que en el lado derecho se disponde I m de ácido nitrico

(densidad relativa 1.5). ¿Qué iuerza (magnitud y dirección) se requiere en el

ixtremo inferior para mantener la puerta cerrada?

El registro circular de acceso a un depÓsito regulador de abastecimiento de

agua, tiene un diámetro de 0.6 y se mantiene en su lugar mediante 8 pernos

unifor¡¡.rn.nte distribuidos circunferencialmente. Si el depósito tiene un

diÉrmetro de 7 m y el centro del registro se localiza 12 cm por debajo de la su-

periicie libre del agua, determine: (a) la fuerza total que actúa en el registro y

(b) el diámetro apropiado de los pernos.

La compuerta mostrada en la figura 3-22está articulada en H. Dicha com-

puerra riene 2 m de ancho perpendicularmente al plano del diagrama. Calcu-

le la fuerza necesaria en .4 para mantener cerrada la compuerta'

Ftg. !22. Fig. 3.23.

un submarino se encuentra 100 pies debajo de la superficie del agua como se

muestra en la figura 3-23. Determine la luerza neta, F, necesaria para abrir la

escorilla circular, en la forma que se indica en la figura. La presión dentro del

submarino es igual a la presiÓn atmosférica.

La compuerta mostrada en la figura l-24 tiene 3 m de ancho y se puede consi-

derar que no tiene masa, para los propósitos del análisis. ¿Qué altura deberá

tener el agua para que esta compuerta rectangular se encuentre en equilibrio

en los 600 que se iridica en la figura?

Una compuirta plana se mantiene en equilibrio mediante la aplicación de la

luerza 4 como se muestra en la figura 3-25.La compuerta pesa 600 lbf/pie

de ancho y su centro de gravedad eslá a 6 pies desde la articulación en 0. De-

termine la fuerza desconocida, F, cuando ft : 5 pies y l): 30 '

3.54

Fí9. $24. Fig. íl.zi.

3.55 una compuerta de masa 2 00 kg se insrala con una articuración sin friccion,en su arista inferior. La rongitud dei :iepós!to y la compuerta (perpendicurarar plano del paper) es g m. para las condiciones de equiiibrio *tstiuous .n rafigura 3-26, calcule el ancho, b, d,e la compuerta.

3.56 La compuerta AB tiene 3 pies de ancho y 2 pies de rongitud. cuando es¡ácerrada, la compuerta se encuentra inclinada un ánguro de r : 60.. Determi-ne el momento respecto a ra articuración á ejercida por er agua $rc. 3-21).3.57 La compuerra rectangular ,4fl mostrada en ra figura 3-2g, tiene 2 m deancho. Determine la fuerza que por unidad de ancho se ej.rcá contra el topeen l. Supóngase que la masa de la compuena es despreciable.

rts. é-¿é. Fl$ &29.

3'58 La densidad de líquido que se encuentra en un gran tanque no es constantedebido a los gradientes de temperatura. La variación de densidad está dadapor

Fig. 3.26. Fig.3-27.

Ftg- 3.2s.

¡t: ¡tn(l + hl 5l

DOIñ'tWñ UD rr-UtUuO

Determlnar:(a) La fuerza resultante que actúa sobre el área señalada en la figura 3-29

debido exclusivamente al líquido.(b) La posición y' donde actúa la fuerza resultante.

1.59 La compuerta parabólica de la figura 3-30 tiene 2 m de ancho. Determinar lamagnitud y la linea de acción de la fuerza horizontal que actúa sobre la com-puerta debido a la presencia del agua; c = 0.25 m-1.

J.é{l Para las condiciones del problema 3.59, determine la magnitud y la linea deacción de la fuerza vertical que actúa sobre la compuerta debido a la accióndel agua.

Flg. +30. Fig. 331.

3.ól El nivel del agua del lado derecho de la compuerta en el problema 3.59 se

incrementa desde 0 hasta I m. Determine el nivel Z, necesario para reducir elmomento respecto a 0 en un 5090 del valor correspondiente cuando L = 0

3.62 La compuerta mostrada en la figura 3-31 tiene 1.5 m de ancho. Determine lamagnitud de la fuerza vertical y su momento respecto a O.El líquido es agua;a = l.0m-2.

3.63 Determine, para las condiciones del problema 3.62,\a magnitud y la línea deacción del componente horizontal de la fuerza.

3.64 Si el agua a la izquierda de la compuerta3"62 alcanza el nivel 0.5 m (fig.3-31), determine el momento total respecto a O.

3.65 Determine la magnitud y la línea de acción de la fuerza verrical que actúasobre la sección cuwa AB de la figura 3-32. El líquido es agua y la secciónAB tiene un pie de ancho. Sobre la superficie libre actúa la presión atmosféri-ca;k:l.0Pie-1.

Fig. 331.

-c-;----{\

Flg. 3-32. Flg. 3.33.

r0E ESTATICA DE FLUIDOS

3,66 Un tanque descubierto se llena con agua hasta el nivel señalado en la ligur;

3-33. La presión atmosférica actúa sobre todas las superficies externa\ c*itanque. Determine la magnitud y la línea de acción de la componente verti(r'

de la fuerza que ejerce el agua sobre la parte curva del fondo del tanque.

3.61 La compuerta del vertedor de excedencias en una presa tiene la forma de ¡¡;

arco circular de ancho )v m, como se muestra en la figura 3-34'

Determine:(a) La magnitud y la dirección de la componente vertical de la luerza de¡r.

do a todos los fluidos que actúan sobre la compuerta.

(b) Un punto de la linea de acción de la fuerza resultante total sobre la e oar.

puerta debido a la acciÓn de todos los fluidos.

Fig. 3-34. Fis. 3.35.

3.68 La compuerta de la figura 3-35 que tiene [a forma de un cuarto de cilindro e.-

tá articulada con el punto á y tiene 2 m de ancho perpendicularmente al pla-

no del papel. El fondo de la compuerta se encuentra 3 m debajo de la superli-

cie del agua; determine:(a) la magnitud de la fuerza horizontal(b) la linea de acciÓn de la fuerza horizontal(c) la magnitud de la fuerza vertical(d) la línea de acción de la fuerza resultante

3.69 El tanque mostrado en la figura 3-36 tiene 2 pies de ancho (es decir, 2 pies

perpendicularmente al plano -rZ). Se encuentra lleno de agua hasta el nivel de

8 pies. La presión del aire encima del agua es l0 psig. Determine la rnagnitud

de línea d.- acción de la fuerza vertical que actúa sobre la parte curva del tan-

#;tiÉ

§

a

i

-{-4',

+I

8'.

ItF¡9. 3-36. Fig. 3"37.

1.70

ESTATICA DE FLUIDO§ IO9

si el nivel del agua en el tanque del problema 3.69 se reduce hasta 4 pies y la

pr*iá" del aire'se mantiene en l0 psig manométrica, determine la magnitud

i t" tin." de acción de la fuerza vertical que actúa sobre la parte curva del

tanque.un vertedero cilíndrico tiene 3 m de diámetro y 6 m de longitud (fig. 3-37).

Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante que actúa sobre

et vertedero debido a la acciÓn del agua'

Determine la masa del cilindro mostrado en la figura 3-38. Tiene I m de lon-

gitud y está sostenida por el líquido (agua)' Supóngase que el rozamiento

entre el cilindro y la pared sólida es nulo; no se utilice la técnica de la luerza

de empuje excepto para verificar los resultados obtenidos'

Pn, \ / Po"

\ Aa,cu,lociónPz

Fig. 3-39.

.1.71

r.12

-TI

15l

1

1.73 Dos liquidos diferentes se encuentran separados por un divisor curvo, srn pe-

so, cuyo radio de curvatura es constante. Los líquidos se encuentran a dife-

rente presión en su superficie libre, representadas Por Po, Y Po,, r€sPectiva-

mente, en la figura 3-39. La articulación no tiene fricción. Las densidades, pr

} p¡. Son 33 lbm,/pier, respectivamente. Determine la diferencia en las pre.

siones necesarias para apenas mantener cerrada la compuerta'

3.14 La cubierta de la cancha de tenis del problema 3.32 se encuentra sujeta a un

viento que sopla con velocidad 50 km/h en una dirección perpendicular.al eje

del cuerpo Semicilíndrico' Utilizando coordenadas polares con ángulo, 0.

contado a partir del lado corriente arriba (aguat arriba) de la estructura, la

distribuciÓn de presiones se puede expresar como

P-!' : I -4senru\pt';dondepeslapresiónenlasuperficie,p,eslapresiónatmosférica,yl,*,eslavelocidad del viento. Determine lr fuerza vertical neta que actúa sobre la

estructura.Se sumerge un cuerpo en forma de cubo en un líquido hasta el nivel mostra-

do en la ligura 3-,10. La masa del cubo es 0.5 slug y la tensiÓn en la cuerda es

l0 lbf. Determine el peso especiirco del liquido'

3.75

Fig. 3.38.

F¡9. 3.40. F¡s.3.41.

il0 ESTATICA DE FLUIDOS F

{.l

3'76 un hidrómetro e§ un dispositivo para medir la densidad rerativa de u¡líquido; el valor de esa propiedad queda indicado por el nivel iona. l" ,up..-ficie libre interseca¿l vástago der dispositivo.u"náo r. ü;;;L flotar en ellíquido' El niver 1.0 correspoñde ar agua destilada. para el dispositivomostrado en la figura 3_41 de 6 mm de diámetro, el volumen srm"rgi¿o enagua dest,ada fue de 15 cm3- Determine la distancia, á, desde el niver 1.0hasta la superficie cuando el hidrómetro se coroca en una solución de ácidonitrico cuya densidad relariva es 1.5.J. t t uno de ros recientes desarrolros en la industria automotriz son ros acumura_dores de promo-ácido compretamenre se,ados. E"* ;;;i;;;;; disponende hidrÓmetros interconstruidos para indicar la densidad ..úi;; del electró-lito y conocer asi su carga. cuando el acumulado. esta comptei"i-,.nr.."rru_

do (ra densidad rerativa del erectrólito se encuentra entre r.2g y 1.30), ra partecilindrica de diámetro uniforme der hidrómetro sobresale J. ü ,up"rri.i. a.rerectrórito de tal manera que se puede observar desde el exterior der acumura-dor a través de una pequeña ventana. Er hidrómetro.rta t..io a. un plásri-co con una densid:d.rerativa 1.12 y la ventani,a se encuentra a l0 mm porencima de la super{icie del electrórito. Determine la longitud, r, der eremenroder hidrómetro de tar.manera que éste apenas sobresalga de la superficie, ar-canzando la ventanilla, cuando el erectiólito ,.ngu ,,i"r.gu1áñp1.," p.r.una densidad relativa de 1.2g.3'7E un buque moderno supertanque dispone de una capacidad de medio milrónde toneladas métricas de petróleo crudo tipo arábico, cuya densidad relati,,.aes 0'86' El buque tiene forma esenciarmente rectangurar con una longitud de400 m y un ancho. de 65 m' su masa es aproximadamente 230 000 toneradasmétricas' con objeto de lograr un calado suficiente para la estabilidad delbuque cuando se encuentra descargado y mantener su propela sumergida, re-sulta necesario introducir at interioi del tuque agua de mar como lastre. siserequiere un caiado mínimo d. 20 ;, ;.;rmine er calado máximo cuando eltanque se encuentra cargado de petróreo. Determine ,".u;¿n qrc fraccióndel tanque debe llenarse.on "grá

de mar cuando el buque viaja sin carga.3.79 Los grobos de investigación ciátifica que se utilizan para erevar instrumen_tación hasta altitude§ extremadamente grandes, op.i"n u";o eqritiu.io a.presión con sus alr-ededores. un globo Je este tipo, construido áe poriestercon un espesor de.0.013 mm (0.5 mil), es capaz de levantar 230 k; de cargahasta una artitud de aproximadamente 4g km. Las condiciones de la atmósfe-ra en esa altitud son 0-95 mbar v -20"c.E1gas herio r".n.;;;;;; una tem-peratura de aproximadamente - rOoc. La densidad ..rutir" o.iáterial delgrobo es l'2g. Determine el diámetro y la masa de globo. supóngase que elbalón tiene forma esférica3'E0 un globo presurizado que contiene helio se ha diseñado para revanrar unacarga hasta una artitud de 40 km, donde ra presión y la t.rp.."tr.a1tmorr.-

rica es 3.0 mbar y -soc, respectivamente. Er material del globo es poriéstercon densidad relativa I.2g y espesor 0.015 mm (0.6 mil). para mantener raforma esférica del globo se decidió presu.irarro hasta 0.45 mbar. si er máxi-mo esfuerzo de tensión permisible en el materiar der globo es 62 MN,/m2, de-termine er diámetro máximo del grobo. ¿Qué carga se puede levantar en esascondiciones?

l.ll I

r.82

ESTATTCA DE FLUIDO§ III

Determine el peso específico de la eslera mostrada en la figura 3.42 si su vo-lumen es I pier. Establezca todas las hipótesis necesarias. ¿Es realmente ne-cesario el peso para que flote la esfera?Un pid de cierto material que pesa 67 lbf se sumerge en agua como semuestra en la figura 3-43. Una barra de madera de l0 pies de longitud y 3pulg2 de sección transversal une el peso con la pared. Si la barra pesa 3 ltf,¿cuál será el angulo 6 de equilibrio?

I.'1.E3 una caja en forma de cubo, de I m por cada lado, está llena hasta la mitad

con aceite (DR : 0.80). si se le imprime una aceleración horizontal consran-te de 0.2 g, determine la pendiente de la superñcie libre y la distribución depresiones a lo largo del fondo de la caja.

3.E4 un recipiente rectangular que contiene agua experimenta una aceleraciónconstante al desplazarse hacia abajo sobre el plano inclinado como semuestra en la figura 3-4-4. Detelmine la pendiente de la superficie libre utili-zando el sistema de coordenadas mostrado.

ls

a,Densidod

= l0 o,"r,.2 del líqu:do',v

Flg. 3-44. Ftg. 34S,

3.85 se puede fabricar un acelerómetro rudirnentario con un tubo en u lleno deliquido, como se muestra en la figura 3-45. Deduzca una expresión para laaceleración, ¿i, en función de la variaciones del nivel, ft, del liquido, lageometria del tubo y las propiedades del fluido.

3.E6 un recipiqnte rectangular cuya base mide 0.4 m x 0.2 m y cuya altura tiene0.4 m se llena con agua hasta el nivel 0.2 m; la masa del recipiente vacio es 10kg. El recipiente se coloca en un plano inclinado un ángulo de 30o respecto ala horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el recipiente y el plano es0.3, determine el ángulo que toma la superficie del agua respecto a la hori-zontal.

30"'a-T-*Fig. 344.

Í, 1a_L

I t2 EST"I TIC.1 DE t''LUIDOS

l.ll7 Si el rccipiente del problcrnl J.8(r sc dcsliza sirr rozi¡rniento, dctc¡r¡i¡e cl .r¡igulo quc la superl'icic'clcl agua toma con respccto al horizontal. ¿,C'uál seriri l"ipettdiente tle la supcrlieic [ibre dcl agua si tuvicrii ]¿ rnisr¡ta acclcraci(rn sohirel plano pcro hacia arrib¿'i

3.8E un recipiente rectangular cuya basc nride 0..1 rn x 0.2 nl y cuyil altulu trcr¡,0.5 m se llena con agua hlsta cl nivel 0.2 nr; la r¡llrsa rlcl rccipisntc vacítt g l¡kg. El recipiente se coloca sobre una superlicie horizontal y se suicta a Lrri.r

[uerza horizi¡ntal conslante de 150 N. Si el coelicicntc dc rozalnicnt() entt'( cl

recipiente 1'Ia superlicie es 0.25 y el tanqr"re se oricnta clc tul n¡rrrera quc rLi

dinlensión ntás corta qr-recle paralela a la dirección dcl rtrovitttit"ltto, cletcrnii.ne:

(a) La fucrza que ejerce el agrra sobrc cada llido clcl trlt(lLlü(b) L.a fuerza quc ejcrce el agua sobrc el londo clel lanquc

3.tt9 Una cubeta dc I pic cle cliámetro y I pie de alrura, que pesa 3 lbl', ct»rrierrc ¡pulg de agua. La cubeta se hace girar a una velr-rcitl¿id de I5 pics/s s6brc uucírculo de 3 pics cle l adio en un plano vertical. Se pue«le suponcr que cl aguase rrueve conto un cuerpo rigido. calcule la tensión cn la cue¡da y la prcsióilque ejercc cl agua con el fondo de l¡r cubeta, cuando ósta sc eneuentra en laparte rnás alta de su trayectoria.

3.90 Una cámara hermótica, que contiene aceitc mant¡¡ltétrico (DI{ : 0.8), giracon respccto a su eje con velocidacl angular, r,r. Dcduzc¿i rrna cxpresión purae[ gradiente de presión radial en el aceite, r]7rr'f¡. sn túrrninos clcl radio, r, y llvelocidad angular, r,r.

3.91 Un recipienrc cilindrico, senrejante al estudiaclo en el problerna de cjcrnplo3.10, se hacc girar con velocictad angular consran[e a]redcdor cle su ejc. El ci-lindro tiene I ¡:ric tle diánretro e inicialnicntc contiene agua hasta cl nivcl .lpulg. Determinc la mÉ¡-rirna velocidad con que el recipiente puecle girar sinque la superficie libre toque cl londo del tanque. ¿Dcpencle el resultado qucse obtiene de la densidad del tiquido? Explique.

3,92 Un automóül que viaja a una vclocidad de 90 km/h toma una curva abiertade 250 m de radio. Las ventanillas del vehículo se encuentran cerradas dc raltnodo que el aire d.'[ inferior puede considerarse escnci¿rlnlentc c()¡to si filcraun cucrpo sóliclo. LJn niño scntado en la partc trascra soslieltc cn su nlancl lacuerda cle un globo que estír ller¡o cje hclio. I-a cuercla tcnia la posición vcrri-cal cuanclo el autor¡lóvil se cncontraba en una recla, pero ahora tienc u¡ án-gulo de inclinación. Deterntine la magnitud y la clirección rlel ángrrlo clc lacuerda con rcspccto a la vertical.

J.CJ lJn los procesos tlc lirrmltclt¡ tlc piezas tubularcs elc l'ulrtlición cor¡ror'ilirrrlros,tubos, etc., se trtiliza hicrro colaclo o ¡nolclcs dc accro cn un¿r ¡tritr¡clril¿rr.lorahorizontal. Se coloca una carga clcl metal lirndidr-r cn la rnatri¿ giratoria, y laaceleración radial permitc que se lormen parcclcs dc cs¡rcsor urrilirrrne. Se dc-seal'ornraruncilinclrode¿rccrodclongitudl-..2rn,racliocxtcnror.r¡ - 0.15nr, y radio intcrno ri =0. l0 tn mcdiantc este proceso, llr dcnsitlirrl rclirtit,it rletacero es 7.8. A fin dc asegurar un espL-sor unilornlc, la acelcl-aciir,r rarli;rlminima dche ser l0 g. Dclermine:(a) La vclocidad angular necesaria(b) t-as presiones m¿ixima y nríninta que se alcanzan sttbrc la supcrl'ieic ijc la

lu nd ición

INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE FLUIDOS- Robert W, FOX, Alan T. McDonald-Cap 3 (segunda edición)

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