Introducción a la Ingeniería Sismorresistente

Universidad de Oriente Ncleo Bolvar

INGENIERIA CIVIL

Introduccin a la Ingeniera Sismo Resistente Prof. Rogelio Prez Solano

APUNTES DE CLASES

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UNIVERSIDAD DE ORIENTEPrograma Sinpticos de AsignaturasNcleo: BOLIVAR ignatura: INTRODUCCION A LA INGENIERA SISMORRESISTENTE HORAS CREDITOS SEMESTRE SEMANALES T: 1 P: 3 2 VIII SINTESIS DE CONOCIMIENTOS PREVIOS: Anlisis estructural, Mtodo directo de las rigideces. Norma COVENIN 1753. Distribucin de Poisson (Estadstica). Ondas. ESCUELA: CIENCIAS DE LA TIERRA

CODIGO

PRERREQUISITOS

VIGENCIA 2004

070-4492 070-4773 OBJETIVO GENERAL:

Analizar el comportamiento dinmico de estructuras aporticadas sometidas a acciones ssmicas, segn normas COVENIN correspondientes.

CONTENIDOS (UNIDADES Y TEMAS) UNIDAD I: CARACTERIZACIN DE LOS MOVIMIENTOS SSMICOS: Origen de los terremotos, medidas de los terremotos. Descripcin probabilstica de la ocurrencia de terremotos. Mapas de Zonificacin. Normas Ssmicas. UNIDAD II: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SUJETOS A MOVIMIENTOS SSMICOS: Anlisis y caracterstica de la respuesta dinmica de sistema elsticos. Espectros de Respuesta. Efectos del Tipo de Suelos. Anlisis y caractersticas de la Respuesta dinmica de sistemas Inelsticos. Espectros Inelsticos. Factores de Reduccin. Normas Ssmicas. UNIDAD III: SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD SUJETOS A MOVIMIENTO SSMICO: Anlisis de la Respuesta dinmica de sistemas elsticos, Influencia de las propiedades del sistema en su Respuesta Dinmica. Criterios de Combinacin Modal. Caso de varias componentes ssmicas. Aplicaciones en Edificios. Anlisis de Sistemas Inelsticos y caracterizacin de la Respuesta Dinmica. Mtodos simplificados de anlisis. Normas Ssmicas. BIBLIOGRAFA Alonso, Jos Luis. Paz, Mario . Meli Roberto COVENIN MINDUR: Vulnerabilidad Ssmica de Edificaciones. Sidetur, Caracas, 2007. Dinmica de Estructuras. Van Nostrand, NY, 1980. . Diseo Ssmico de Edificios. Editorial LIMUSA, Mexico, 2001. Normas Venezolanas de Concreto Armado. 1753 Normas Venezolanas de Edificaciones Antissmicas 1756

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Los presentes apuntes son una recopilacin realizada con la finalidad de exponer de una manera clara y simplificada los principales conceptos utilizados en el campo de la Ingeniera Sismorresistente, sin que por ello pueda considerrsele un escrito especializado, simplemente se busca que los estudiantes de Ingeniera Civil del Ncleo Bolvar de la Universidad de Oriente, asuman de manera responsable, dada su importancia la aplicacin de los conceptos bsicos ac aprendidos en el diseo estructural de obras de ingeniera. Un evento ssmico, llmese Terremoto, sismo, sesmo, maremoto, o simplemente temblor de tierra, son fenmenos naturales que no pueden ser evitados por el hombre, a duras apenas con la aplicacin de la tecnologa, el hombre hace esfuerzos para detectarlos, medirlos y registrarlos, no pudiendo an de forma confiable predecirlos. Origen de los sismos Los sismos fundamentan su origen en la teora conocida como tectnica de placas, aquella propuesta por el meteorlogo alemn Alfred Wegener, publicada en la obra El Origen de los Continentes y los Oceanos, publicada e, 1915, la cual se basa que originalmente la tierra estaba compuesta por un slo ncleo o continente conocido como Pangea, cuyo significado en griego es Toda la Tierra, el cual posteriormente se dividi creando los diferentes continentes que conocemos hoy en da (Deriva Continental), con la particularidad que en el presente se encuentran an en movimiento, ocasionando que las diferentes placas geolgicas en el interior de la tierra se encuentren en contacto unas con otras, lo que origina que la tierra est permanentemente transformndose. Aunque el roce entre las placas es permanente, el desplazamiento relativo entre ellas no lo es, debido precisamente a la friccin que existe entre una y otra. Cuando no ocurre desplazamiento, igualmente se continan generndose fuerzas internas que tratan de vencer a la friccin, acumulando grandes cantidades de energa elstica de deformacin (Energa potencial). Hasta el momento en que esta barrera es sobrepasada y entonces ocurre un desplazamiento brusco, originado por la liberacin de esa gran cantidad de energa represada (Potencial), lo que se transforma en la generacin de gran cantidad de calor y un movimiento brusco, el cual se desplaza de un sitio a otro mediante ondas ssmicas. La interaccin entre las placas tectnicas, se realiza de cuatro formas: Subduccin: Ocurre cerca de las islas, donde dos placas de similar espesor entran en contacto entre s. Deslizamiento: Se produce cuando entran en contacto dos placas ocenicas, o bien una continental y una ocenica. Extrusin: Este fenmeno ocurre cuando se juntan dos placas tectnicas delgadas que se desplazan en direcciones opuestas, como el caso del contacto de dos placas en el fondo del ocano. Acrecencia: Tiene lugar cuando hay un impacto leve entre una placa ocenica y una placa continental.

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Fallas: Se denomina falla geolgica al plano de fractura de la roca de la corteza terrestre, a travs del cual se han producido desplazamientos relativos. Las Fallas geolgicas son una de las principales causas de la actividad ssmica a nivel mundial y son asociadas a fallas activas existentes en la actualidad. Los distintos tipos de falla pueden clasificarse en cuatro grupos principales, segn sea el tipo de movimiento relativo: Falla Transcurrente (Rumbo): El movimiento se produce en direccin horizontal dado que los dos bloques se desplazan lateralmente con sentidos opuestos. Falla Normal: Se produce cuando el plano de falla es oblicuo respecto a la horizontal y los bloques adyacentes e4stn sometidos a tensin. En este caso el desplazamiento relativo es predominantemente vertical y las fuerzas inducidas en la roca son perpendiculares a la falla. Falla Inversa: Se produce cuando el plano de falla es oblicuo respecto al horizonte y los bloques adyacentes estn sometidos a compresin: Falla Vertical: Es un tipo particular de falla normal o inversa en el cual el plano de falla y el movimiento relativo entre los bloques es predominantemente vertical. Si la roca donde existe la falla es dbil y dctil, la energa ser liberada lentamente y no producir un sismo. Por el contrario, si la roca es fuerte y frgil, la ruptura ocurrir de forma brusca y la energa se liberar explosivamente, dando origen a los movimientos vibratorios en la corteza terrestre. Foco o Hipocentro: Se define as al punto en el plano de falla donde se origina la ruptura y se da inicio a la liberacin de la energa mediante la propagacin de ondas ssmicas. Su ubicacin se da en latitud, longitud y profundidad. Epicentro: Es el punto sobre la superficie de la tierra ubicado verticalmente encima del foco o hipocentro. Distancia Epicentral: Es la distancia sobre la superficie de la tierra, medida desde el epicentro hasta el sitio de ubicacin o referencia. (Donde es sentido el sismo) Distancia Focal o Hipocentral: Es la distancia medida desde el Foco o Hipocentro hasta el sitio de ubicacin o referencia. (Donde es sentido el sismo)

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Tipos de Ondas Ssmicas Las Ondas se basan en dos tipos principales: Ondas Profundas o de Cuerpo: Son aquellas que viajan por el interior de la tierra. Ondas Primarias, Ondas de compresin, Ondas longitudinales u Ondas de choque (P): Son ondas que vibran en la misma direccin del desplazamiento, son las primeras en llegar, en otras palabras son las de ms rpido desplazamiento y las primeras en ser detectadas.

Ondas Secundarias, Ondas Transversales u Ondas de corte (S): Las partculas de una onda S, transversal, oscila perpendicularmente a la direccin de propagacin de dicha onda. Tenemos las ondas Sv, cuya vibracin es vertical, perpendicularmente al desplazamiento de la onda y las Sh, cuya vibracin es horizontal y perpendicular al desplazamiento.

Ondas Superficiales: Viajan a travs de la superficie de la tierra, y son las de mayor inters para el ingeniero civil, por ser las que mayormente afecta a la infraestructura. Ondas superficiales: las ondas superficiales como su nombre la indica son aquellas que se desplazan a travs de la superficie y se generan por la interaccin de las Ondas P y S al salir a la superficie y se dividen en dos tipo principales:

Ondas Rayleigh (R): Estas ondas son parecidas a las ondas del mar sus partculas vibran verticalmente en forma elipsoidal.

Ondas Love (L): Son ondas de corte que oscilan solo en el plano horizontal.

Criterios generales de clculo Las ondas ssmicas son similares a las ondas sonoras y, segn sus caractersticas de propagacin se clasifican en: Ondas P o primarias: llamadas as por ser las mas rpidas y por lo tanto las primeras en ser registradas en los sismgrafos. Son ondas del tipo longitudinal, es decir, las partculas rocosas vibran en direccin del avance de la onda. Se producen a partir del hipocentro y se propagan a travs de medios slidos y/o lquidos tridimensionalmente. Odas S o secundarias: son algo mas lentas y del tipo transversal, o se que la vibracin de las partculas es perpendicular al avance la onda. Se propagan desde el hipocentro igualmente en forma tridimensional, pero solo atraviesan medios slidos. Velocidad de Propagacin de las ondas ssmicas: La velocidades de propagacin de las ondas de mayor inters desde el punto de vista sismolgico se encuentra representado en la Velocidad de las ondas de expansin o primarias (P) y las ondas de distorsin o secundarias (S), observndose que Vp > Vs y son dependientes de las propiedades elsticas (K, ) y de la densidad del medio (), independientemente de la forma de las ondas.Pg. N 7

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Velocidad de las Ondas P:

Velocidad de las Ondas S:

Donde,

K

= = =

Mdulo de compresibilidad Densidad Rigidez

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Como ves, en ambos casos la densidad se encu8entra en el denominador y la rigidez en el numerador, lo que quiere decir que cuando mas denso es el material que atraviesan las ondas ssmicas, estas sern mas lentas, pero cuanto ms rgidas sern mas rpidas.VELOCIDADES DE ONDAS EN DIFERENTES MEDIOS Medio Velocidad Onda P m/seg 5.200 Velocidad Oda S m/seg 3.000

Granito

Basalto

6.400

3.200

Calizas Areniscas

2.400 3.500

1.350 2.150

Las ondas S mas lentas que las ondas P, su velocidad es aproximadamente Vp / conocida como condicin de poisson.

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, que es

Resulta importante sealar que la velocidad de las ondas S a travs de material rocoso, como por ejemplo el granito, es aproximadamente de 3 km por segundo. En general en cualquier material slido las ondas P viajan 1,7 veces ms de prisa que las ondas S, mientras que las ondas superficiales viajan al 90% de la velocidad de las Ondas S. La ondas superficiales se encuentra confinadas en una banda estrecha de la corteza terrestre, ya que no se propagan por el interior de la tierra, lo que las conlleva a mantener durante ms tiempo su mxima amplitud, Siendo el intervalo de tiempo entre sus crestas (perodo) mas largo, por lo que se les conoce adems como ondas largas L.

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Introduccin a la Ingeniera Sismorresistente Prof. Rogelio Prez Solano

TEORA SOBRE EL ORIGEN DE LOS SISMOS Tectnica de placas: El corrimiento en la zona de contacto entre dos placas, no ocurre de manera suave y continua; la friccin entre los roces hacen que se pueda generar en la superficie de contacto entre las placas esfuerzos considerables, hasta que se vence la resistencia mecnica, provocando un deslizamiento brusco y por ende la liberacin sbita de importante cantidad de energa. Mientras mayor es la longitud de deslizamiento de la falla, mayor ser la cantidad de energa liberada. Determinacin del Epicentro de un Sismo La determinacin del epicentro del sismo, requiere de la triangulacin de tres estaciones ssmicas que lo hayan registrado. Como las ondas P viajan ms rpidas que las ondas S, cuando mas lejos se encuentre el foco de un sismo, mas tiempo transcurrir entre la llegada de ellas. Esta diferencia de tiempo es un dato fundamental para conocer la distancia a la que se ha producido un terremoto. Utilizando la siguiente frmula: R = (TS-TP)/ (1/VS 1/VP) Tiempo de llagada Ondas Secundarias Tiempo de llegada Ondas Primarias Velocidad de las Ondas Secundarias Velocidad de las Ondas Primarias

TS : TP : VS : VP :

De esta manera obtenemos un radio desde la estacin que ha detectado el sismo y el epicentro, por lo que es necesario obtener como mnimo los datos provenientes de tres (3) estaciones para realizar la triangulacin y poder obtener una ubicacin aproximada del epicentro, as como de la profundidad de liberacin de energa.

Est 02

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Universidad de Oriente Ncleo Bolvar EL TAMAO DE UN TERREMOTO

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Seguramente que todos los lectores han escuchado hablar acerca de un lugar en Francia (Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Svres) donde se conservan los patrones de medidas. En ese sitio existe, por ejemplo, una barra metlica, fabricada con un material especial que no es muy sensible a las condiciones ambientales (aluminio), que tiene una longitud precisa de un metro y que es conocida con el nombre de "Metro Patrn". Estos patrones definen los sistemas de medidas y sirven para que todo el mundo comprenda cuando alguien expresa el resultado de una medicin realizada (si alguien dice que una cierta distancia es de 720 metros, enseguida se entiende que se trata de 720 veces la longitud del metro patrn). En el ao de 1.935, posiblemente inspirado por estos sistemas patrones, Charles Richter pens en hacer algo similar para "medir" terremotos. Es decir, a Richter se le ocurri la idea de definir un sistema patrn (sismo patrn) para calcular el tamao de un terremoto y le pareci que una manera conveniente era usar las ondas ssmicas registradas en una estacin sismogrfica como instrumento de medida. El problema que se planteaba no era muy sencillo ya que un patrn de un sistema de medida debe cumplir ciertos requisitos (invariable, reproducible en algn laboratorio). Por ejemplo, la unidad de masa "el gramo" fue definida como la masa de un centmetro cbico de agua destilada a 4 grados centgrados, definicin que permite que cualquiera pueda generar un patrn en su laboratorio (en 1.879 se construy una barra de platino con una masa de un kilogramo para la Oficina de Pesos y Medidas). Sin embargo, la idea de Richter no era descabellada y no surgi de la nada. l haba trabajado mucho con registros sismogrficos y su experiencia le condujo a descubrir algunas caractersticas interesantes de estos registros, llamados comnmente "sismogramas". En particular, noto que si graficaba, en funcin de la distancia, los resultados de calcular el logaritmo en base diez de la amplitud mxima de los sismogramas de varios sismos, los puntos obtenidos se distribuan sobre una lnea recta. Es difcil saber cuantos desvelos y cuantas horas observando sismogramas necesit Richter para llegar a su definicin de la Magnitud de un sismo, pero leer esa definicin puede ayudar a intuir la tremenda cantidad de tiempo y trabajo escondido tras esas lneas: "la magnitud de un sismo es el logaritmo en base diez de la mxima amplitud de la onda ssmica, expresada en milsimas de milmetro, registrada en un sismmetro estndar ubicado a cien kilmetros del epicentro del evento". Richter tom en Por otro lado, no existe realmente un sismmetro estndar (instrumento que detecta el movimiento del suelo) y el planeta est "sembrado" con una infinidad de equipos distintos, con respuestas diferentes (que suelen ser alteradas por las dismiles condiciones de trabajo en que operan estos equipos), que registran diferentes clases de ondas, los cuales deberan ser calibrados peridicamente.

cuenta en su definicin que los sismmetros podran estar ubicados a distancias diferentes de cien kilmetros, aadiendo un factor especial en su ecuacin. De esta forma pareca que el problema de medir terremotos estaba felizmente resuelto, aunque no se tuviera un "sismo patrn" almacenable en la Oficina de Pesos y Medidas. Esta felicidad no dur mucho, la sismologa, al igual que otras ramas cientficas, continu avanzando y puso de manifiesto algunos detalles que no se haban tomado en cuenta en la definicin del sistema patrn ideado por Richter. El primero de ellos fue que en un sismograma se registran diferentes tipos de ondas y Richter no aclar de cual de esos tipos se elegira la mxima amplitud. En particular, en un sismograma se distinguen dos grupos principales de ondas: las ondas de cuerpo, originadas en el foco ssmico, y las ondas superficiales, que aparecen cuando las ondas de cuerpo sufren mltiples reflexiones en el interior de la corteza terrestre. Bueno, dir el lector, est bien, se elige la mxima amplitud entre todas las ondas registradas........no es tan sencillo. La amplitud de los diferentes tipos de ondas que aparecen en un sismograma no solo depende del tamao del terremoto (que es lo que se desea medir) sino que est relacionada con factores tales como la profundidad del foco ssmico, su ubicacin con respecto a la estacin que hace el registro y la clase de equipo usado para obtener el sismograma. Por ejemplo, un sismo de foco profundo produce registros muy diferentes a los de un sismo de foco superficial, an cuando la cantidad de energa liberada (tamao) sea igual para ambos eventos. Las ondas superficiales del primero de ellos suelen ser de amplitud despreciable, mientras que el de foco superficial genera grandes trenes de ondas superficiales que predominan en los sismogramas. Un ejemplo dramtico de esta situacin lo brind el Sismo de Cariaco (9/7/97): fue un evento ssmico con un foco extremadamente superficial (apenas diez kilmetros) y su magnitud de ondas superficiales da un valor de 6.7 grados (ms) mientras que su magnitud de ondas de cuerpo (mb) apenas alcanza los 5.8 grados. Los daos de este evento se corresponden con un sismo de magnitud ligeramente superior a 6 grados y otros mtodos arrojan valores tan dismiles como 7.2 grados, 6.4 grados y 5.4 grados. Para aquellos que tuvieron la desdicha de perder un ser querido, este terremoto es tan grande como lo es su dolor, es de un tamao infinito. Nada en el mundo puede justificar que otro terremoto tome a nuestra tierra venezolana tan desprevenida como lo hizo el Sismo de Cariaco: no ms sismos infinitos. El problema de medir terremotos an no est resuelto y esto es notable en nuestro pas, donde solo existen instrumentos que registran las ondas de cuerpo.

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ESCALA DE MERCALLI MEDIDA DE INTENSIDAD Creada en 1902 por el sismlogo italiano Giusseppe Mercalli, no se basa en los registros sismogrficos, sino en el efecto o dao producido en las estructuras y en la sensacin percibida por la gente. Para establecer la Intensidad se recurre a la revisin de registros histricos, entrevistas a la gente, noticias de los diarios pblicos y personales. La Intensidad es diferente en diferentes sitios donde es sentido un mismo terremoto y depende entre otras de: La energa del terremoto. La distancia de la falla donde se produjo el terremoto. La forma como las ondas llegan al sitio (Oblicuas, Perpendiculares, etc). Las caractersticas geolgicas del material subyacente del sitio donde se registra la intensidad. Los grados no son equivalentes con la escala de richter y es proporcional. (IV es el doble de II) I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. Casi nadie lo ha sentido Muy Pocas personas lo han sentido Temblor notado por mucha gente, sin embargo, no suele darse cuenta que es un terremoto. Se siente en el interior de los edificios por mucha gente. Casi todos lo sienten, Personas dormidas se despiertan. Sentido por todos, la gente corre fuera de los edificios, producen pequeos daos. Todas las personas corren fuera del edificio, las edificaciones mal construidas sufren graves daos. Las obras especialmente diseadas sufren daas, las otras se derrumban. Todos los edificios muy daados, desplazamiento de fundaciones, grietas apreciables en el suelo. Muchas Construcciones destruidas, suelo muy agrietado. Derrumbe de casi todas las construcciones, grietas muy amplias en el suelo. Destruccin Total, se ven ondulaciones sobre la superficie del terreno.

De acuerdo a la escala de M3rcalli (Intensidad) esta se puede establecer mediante una relacin emprica respecto a la aceleracin del terreno en el sitio de observacin como: IS = 1,5 + 3 . Log AS Siendo: IS AS = = Escala de Intensidad Aceleracin del terreno en el sitio, pudiendose obtener como intensidad mxima en el caso de que AS = AR (Aceleracin del terreno en el epicentro.)Pg. N 12

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Escala Modificada de Sieberg para intensidad de Tsunamis.

I II

Muy suave. La ola es tan dbil, que solo es perceptible en los registros de las estaciones de marea. Suave. La ola es percibida por aquellos que viven a lo largo de la costa y estn familiarizados con el mar. Normalmente se percibe en costas muy planas.

Bastante fuerte. Generalmente es percibido. Inundacin de costas de pendientes suaves. Las embarcaciones deportivas pequeas son arrastradas a la costa. Daos leves III a estructuras de material ligero situadas en las cercanas a la costa. En estuarios se invierten los flujos de los ros hacia arriba. Fuerte. Inundacin de la costa hasta determinada profundidad. Daos de erosin en rellenos construidos por el hombre. Embancamientos y diques daados. Las estructuras de material ligero cercanas a la costa son daadas. Las estructuras IV costeras slidas sufren daos menores. Embarcaciones deportivas grandes y pequeos buques son derivados tierra adentro o mar afuera. Las costas se encuentran sucias con desechos flotantes. Muy fuerte. Inundacin general de la costa hasta determinada profundidad. Los muros de los embarcaderos y estructuras slidas cercanas al mar son daados. Las estructuras de material ligero son destruidas. Severa erosin de tierras cultivadas y la costa se encuentra sucia con desechos flotantes y animales marinos. Todo tipo de embarcaciones, a excepcin de los buques grandes, son llevadas tierra adentro o mar afuera. Grandes subidas de agua en ros estuarinos. Las obras portuarias resultan daadas. Gente ahogada. La ola va acompaada de un fuerte rugido.

V

Desastroso. Destruccin parcial o completa de estructuras hechas por el hombre a VI determinada distancia de la costa. Grandes inundaciones costeras. Buques grandes severamente daados. rboles arrancados de raz o rotos. Muchas vctimas.

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ESCALA DE RICHTER MEDIDA DE MAGNITUD Este sistema de medicin se debe a Charles F. Richter (1935), la cual consiste en asociar la magnitud de un terremoto con la amplitud de la onda ssmica, lo que redunda en propagacin del movimiento en un rea determinada. El Anlisis de la onda denominada S en un tiempo aproximado de 20 segundos en un registro sismogrfico, sirve de referencia de calibracin (100 Km) de la escala Energa Total liberada: Gutenberg/Richter Log E = 11,8 + 1,5 Ms En la cual se expresa en ergios y se deduce que por cada grado de incremento en la magnitud, la energa liberada aumenta en 101,5 veces. La magnitud de un temblor es un valor nico, y es una medida cuantitativa relacionada con la energa ssmica liberada, cada grado, equivale a un aumento de 32 veces la cantidad de energa. Un aumento de la escala de 2 a 4 representa 10 x 10 = 100 veces de incremento en la amplitud de las ondas ssmicas 2,5 3,5 4,0 6,0 7,0 >8,0 En General no sentido pero registrado en los sismgrafos. Sentido por mucha gente Puede producir daos locales pequeos Terremoto destructivo Terremoto Importante Grandes terremotos.

Igualmente, la relacin entre la escala de Magnitud segn Richter, se puede establecer en relacina la aceleracin del terreno en el epicentro, de forma aproximada como: MR = 2,2 + 1,8 . Log. AR, Donde MR AR = Escala de Magnitud de Richter = Aceleracin de la Tierra en el Epicentro.

ESCALAS DE MAGNITUD Al momento de producirse un sismo, gran parte de la Energa Ssmica se libera en forma de calor y una pequea parte mediante la propagacin de diversas tipos de ondas que hacen vibrar la corteza terrestre. Dentro de estas ondas encontramos las de Cuerpo que viajan a grandes distancias a travs de la roca, identificndose las ondas P, primarias o de compresin, que producen que las partculas experimenten un movimiento paralelo a la direccin de propagacin y las ondas S, secundarias o de corte, inducen un movimiento transversal. Otro tipo de onda son las Superficiales, las cuales se deben a reflexiones y refracciones de las ondas de cuerpo cuando stas llegan a la superficie o a una interfase entre estratos, se identifican dentro de stas ondas las Rayleigh con movimiento vertical y elptico, y las Love con movimiento horizontal.

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Con la finalidad de medir y analizar el movimiento producido por un sismo fue diseado a finales del siglo pasado el sismgrafo; el registro obtenido se denomina sismograma que es un grfico de las ondas ssmicas o una representacin amplificada del movimiento del terreno. La diferencia en el arribo de las ondas P y S, permite la localizacin del epicentro del sismo. El tamao de los sismos puede ser expresado en trminos de su Magnitud o de su Intensidad. La Intensidad es un ndice de los efectos causados por un temblor y depende de las condiciones del terreno, la vulnerabilidad de las edificaciones y la distancia epicentral. Para estandarizar los niveles de intensidad se utilizan escalas tal como la Escala Mercalli Modificada (MM). La Magnitud es un valor nico y es una medida cuantitativa del sismo relacionada con la energa ssmica liberada. Tericamente la magnitud no tiene lmite superior, pero est limitada por la resistencia de las rocas en la corteza terrestre y la longitud de ruptura probable en la falla. Para su determinacin han sido creadas diferentes escalas, dependiendo del tipo de onda en que se basa la medicin tenemos: 1. Magnitud Local ( ML ): La idea de medir la magnitud de un sismo basado en un registro instrumental fue introducido en 1935 por Charles Richter, Sismlogo de California Technological Institute. Fue definida para sismos locales en California para un radio de aproximadamente 600 km y se determina a partir de la mxima amplitud registrada por un sismgrafo Wood Anderson con constantes especficas (perodo = 0.8 segundos, amplificacin esttica = 2800 y factor de amortiguamiento = 0.8) ubicado a 100 kilmetros de la fuente ssmica. Para su determinacin se utiliza la siguiente expresin: ML = 1og A log Ao Donde A es la mxima amplitud de la traza registrada y Ao la amplitud mxima que sera producida por un sismo patrn, siendo ste aquel que producira una deflexin de 0.001 mm en un sismgrafo ubicado a 100 km del epicentro. Ya que la escala de magnitud es logartmica, el incremento en una unidad de magnitud significa un aumento en diez veces de la amplitud de las ondas en el sismograma, lo cual no debe confundirse con lo que sucede con la energa ssmica liberada en donde un incremento en magnitud equivale a un aumento de aproximadamente 31.5 veces de energa. 2. Magnitud de Ondas Superficiales( MS ): Esta escala se basa en la amplitud mxima producida por las ondas superficiales Rayleigh con perodo en el rango de 18 a 22 segundos. La expresin para determinar su valor es la siguiente: MS = log10 (A/T) + 1.66 log10 D + 3.30 Donde A es la mxima amplitud horizontal del terreno medida en micrmetros, T es el perodo de la onda en segundos y D la distancia epicentral en grados.Pg. N 16

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3. Magnitud de Ondas de Cuerpo ( mb ): La determinacin de la magnitud MS para los sismos con profundidad focal mayor a 50 kilmetros se dificulta, debido a que no se generan ondas de superficie con suficiente amplitud; para compensar sto se utiliz un factor de correccin de tal forma que se pudieran utilizar las ondas de cuerpo. La magnitud mb se basa en la amplitud de ondas de cuerpo con perodos cercanos a 1.0 segundos, para su determinacin se utiliza la siguiente expresin: mb = log (A/T) + Q(D,h) donde A es la amplitud del terreno en micrmetros, T es el perodo en segundos y Q es un factor de atenuacin que est en funcin de la distancia D en grados y la profundidad focal (h) en kilmetros. Las escalas de magnitud MS y mb no reflejan adecuadamente el tamao de sismos muy grandes, subestiman su valor y dan una estimacin poca exacta de la energa liberada, lo que se ha denominado saturacin de las escalas de magnitud. Las mximas magnitudes mb se encuentran alrededor de 6.5 a 6.8, y la magnitud MS entre 8.3 a 8.7. As tambin la magnitud definida empricamente con base en la amplitud de las ondas ssmicas no permite definir el tamao del sismo en trminos del proceso fsico de ruptura y de las dimensiones de la zona de dislocacin.

4. Momento Ssmico (MO) y Magnitud Momento (MW) La introduccin del concepto de Momento Ssmico en la sismologa, ha aportado una medida para designar el tamao de un sismo que est en funcin directa de las propiedades fsicas de la roca y de las dimensiones del rea que sufre la ruptura. Es a partir de este concepto que se ha desarrollado la magnitud de momento. Para grandes terremotos las escalas de magnitud mb (magnitud obtenida a partir de las ondas de cuerpo), como la MS (magnitud a partir de las ondas superficiales) no dan una real y exacta dimensin del tamao de un terremoto, por tal razn los sismlogos modernos se inclinan al estudio de dos parmetros diferentes para describir los efectos fsicos de un terremoto: el Momento Ssmico, que est directamente relacionado con el proceso de ruptura de la falla, y la energa radiada. La orientacin y la direccin de la falla, y el tamao del terremoto se pueden describir mediante la geometra de la falla y el momento ssmico: MO = m .S < d> Donde m (mu) es la rigidez de la roca, S es el rea de la falla y < d> es el promedio del desplazamiento de la falla. El Momento MO es una medida con mayor consistencia para medir el tamao de un terremoto que la magnitud, y algo muy importante es que el momento no tiene intrnsecamente lmite superior. Esto ha permitido el surgimiento de una nueva escala de magnitud basada en el momento ssmico, y es la llamada Magnitud Momento MW Magnitud Momento, (MW): Resulta ms adecuado y consistente medir el tamao de un terremoto a partir de la Magnitud Momento que a partir de la Magnitud MS.Pg. N 17

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La ecuacin de MW responde a: MW =2/3 log MO 10.7 El Momento Ssmico de los dos mayores sismos reportados durante este siglo son:

Chile-Valparaso- (22-5-1960), con MO = 2,5 x 1030 dyn.cm (dyna x centmetros), con MS =

8,5 y MW = 9,5.

Alaska (27-3-1964), con MS = 8,3 y MW = 9,2, con un valor de MO comprendido entre 1028 y

1029 dyn . cm. Las magnitudes de los sismos grandes fue recalculada usando esta nueva escala y para algunos de ellos cambi notablemente, tal como sucedi con el sismo de Chile de 1960 que tena una magnitud MS de 8.3 y que al calcularle la magnitud momento sta fue de 9.5 convirtindose as en el sismo de mayor magnitud hasta hoy registrado. 5. Magnitud Energa ( Me ): La cantidad de energa irradiada por un sismo es una medida del potencial de dao a las estructuras. El clculo de esta magnitud requiere la suma del flujo de energa sobre un amplio rango de frecuencias generadas por un sismo. Debido a limitantes instrumentales, la mayora de clculos de energa han dependido histricamente de la relacin emprica desarrollada por Beno Gutenberg y Charles Richter. Log10E = 11.4 + 1.5 Ms Donde la energa E es expresada en Ergios. La magnitud basada en la energa irradiada por un sismo se puede definir de la siguiente manera: Me=2/3log10 E - 9.9

6. Magnitud de duracin, (Md): Esta magnitud es una variacin del concepto de magnitud local que se emplea en algunas redes. Su nombre proviene del hecho que es calculada con base a la duracin del registro de la seal ssmica. Su expresin es la siguiente: Md= a log(J) - b + c.DE Donde J es la duracin del registro de la seal ssmica en segundos, (DE) la distancia epicentral y a,b,c son coeficientes ajustados para que Md corresponda a ML .

ESCALAS DE INTENSIDAD 1. Escala de Mercalli Modificada (MM):Pg. N 18

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La escala de Mercalli toma su nombre del fsico italiano Giuseppe Mercalli, quien la desarroll en el siglo XIX. Es una escala subjetiva, porque evala la percepcin humana del sismo. Sirve para recolectar informacin en zonas donde no existen aparatos detectores, o instrumentos de medicin. Se basa en lo que sintieron las personas que vivieron el sismo, o en los daos ocasionados. Cuando se utiliza esta escala, se habla de grados de intensidad.La escala de Mercalli se bas en la simple escala de diez grados formulada por Michele Stefano Conte de

Rossi y Franois-Alphonse Forel. La escala de Rossi-Forel era una de las primeras escalas ssmicas para medir la intensidad de eventos ssmicos. Fue revisada por el vulcanlogo italiano Giuseppe Mercalli en 1884 y 1906. En 1902 el fsico italiano Adolfo Cancani ampli la escala de Mercalli de diez a doce grados. Ms tarde la escala fue completamente reformulada por el geofsico alemn August Heinrich Sieberg y se conoca como la escala de Mercalli-Cancani-Sieberg (MCS). La escala de Mercalli-Cancani-Sieberg fue

posteriormente modificada por Harry O. Wood y Frank Neumann en 1931 como la escala de MercalliWood-Neumann (MWN). Finalmente fue mejorada por Charles Richter, tambin conocido como el autor de otra escala sismolgica, la escala de Richter, que mide la magnitud de la energa liberada durante un sismo. En la actualidad la escala se conoce como la Escala de Mercalli Modificada, comnmente abreviado (MM).

2. Escala de Medvedev-Sponheuer-Karnik (MSK): La escala Medvedev-Sponheuer-Karnik, tambin conocida como escala MSK o MSK-64, es una escala de intensidad macrossmica usada para evaluar la fuerza de los movimientos de tierra basndose en los efectos destructivos en las construcciones humanas y en el cambio de aspecto del terreno, as como en el grado de afectacin entre la poblacin. Tiene doce grados de intensidad, siendo el ms bajo el nmero uno, y expresados en nmeros romanos para evitar el uso de decimales. Fue propuesta en 1964 por Sergei Medvedev (Antigua URSS), Wilhelm Sponheuer (Antigua Alemania del Este, RDA) y Vt Krnk (Antigua Checoslovaquia). Est basada en los datos disponibles a principios de los aos sesenta obtenidos mediante la aplicacin de la escala Mercalli Modificada y tambin mediante la aplicacin de la versin de 1953 de la escala de Medvedev conocida como la escala de intensidad ssmica de GEOFIAN. La escala MSK pas a ser muy utilizada en Europa y en la URSS con pequeas modificaciones en la dcada de los setenta y a principios de los ochenta. Al inicio de la dcada de los noventa, la Comisin Sismolgica Europea us muchos de los principios postulados en la escala MSK para desarrollar la Escala macrossmica europea (EMS-98), que es utilizada como estndar para la medicin de la actividad ssmica y de su intensidad en los pases europeos. La escala MSK-64 se usa an en India, Israel, Rusia y en la Commonwealth. La escala MSK es parecida a la escala Mercalli Modificada, que se utiliza en Estados Unidos.Pg. N 19

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1 Grado I: no perceptible 2 Grado II: difcilmente perceptible 3 Grado III: dbil 4 Grado IV: bastante notado 5 Grado V: algo fuerte 6 Grado VI: fuerte 7 Grado VII: muy fuerte 8 Grado VIII: bastante daino 9 Grado IX: destructivo 10 Grado X: devastador 11 Grado XI: catastrfico 12 Grado XII: extremadamente catastrfico

Principales Fallas Activas En Venezuela

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Lneas Isossmicas: Aplicando tcnicas adecuadas es posible determinar respecto a suficientes sitios, aquellos que presenta valores semejantes de aceleracin y velocidad mxima del terreno, u otra medida de la intensidad (No de magnitudes), que se correspondan con un perodo de ocurrencia dado, lo que permite graficar las lneas con tendencias similares, conocidas como lneas isossmicas.

Mapa de Lneas Isossmicas de Venezuela

Fuente: Riesgo Ssmico del Ministerio de Interior y Justicia http://www.riesgos.gob.ve/

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Las Normas, recogiendo esta informacin, permiten establecer en el pas cierta uniformidad en el riego ssmico, lo que permite dividir al pas en 8 zonas: Aumento en el Riego Ssmico De este modo, el nuevo mapa de zonificacin tiene 8 zonas: desde la Zona 0, donde no se requiere la consideracin de las acciones ssmicas, hasta la Zona 7 donde el coeficiente de aceleracin horizontal A, es igual a 0.40; el mapa correspondiente a la versin anterior de la Norma tena 5 zonas, con un coeficiente de aceleracin horizontal mximo que alcanzaba 0.30. El mapa de zonificacin dado en la Figura 4.1 de este Artculo, as como los valores establecidos en la Tabla 4.1 del Artculo 4.2, se consideran representativos de Tabla 4.1 probabilidades de excedencia de 10% para una vida til de 50 aos, es Valores de Ao decir periodos de retorno de 475 aos. Se fundamentan en una revisin Zona Ssmica Ao de los mapas de zonificacin ssmica conocidos (1898-1998), as como 0,40 7 en aquellos incorporados en diversos documentos tcnicos, as como en 0,35 6 estudios de amenaza ssmica hechos en el pas en los ltimos 15 aos 0,30 5 (Beltrn, 1993; PDVSA, 1991; CADAFE, 1984; Consejo Nacional de Seguros, 1990; Lobo, 1987; Grases, 1997). Entre estos ltimos, destaca 0,25 4 el mapa de zonificacin ssmica propuesto en base a resultados de 0,20 3 estudios realizados en INTEVEP (Quijada et al, 1993) en su versin mas 0,15 2 reciente; este mapa contiene curvas de isoaceleracin de 50 en 50 gal, 0,10 1 para perodos de retorno de 475 aos y ha sido tomado como base para -0 la zonificacin de la Figura 4.1.

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Estudios de peligro ssmico para sitios especficos, solo se justifican para obras excepcionales de gran importancia, tales como presas o centrales termonucleares, etc. Para obras comunes puede recurrirse a estudios comunes como el caso de esta norma. En regiones adyacentes a embalses de ms de 80 metros de altura, se requieren estudios especiales. Esto, debido a los eventuales efectos de sismicidad inducida por el peso del embalse sobre el terreno natural.

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CONSIDERACIONES GENERALES1.- Calcular la estructura considerando el comportamiento dinmico frente a un sismo. Este procedimiento, intenta reproducir lo mas exacto posible lo que ocurre en realidad, por cuanto considera los efectos de las aceleraciones inducidas sobre una masa, como consecuencia del movimiento de la base de una estructura a travs del sistema de fundacin de las misma. Se trata de un problema de elasticidad dinmica en el que se busca el perodo propio de vibracin y de sus armnicos en la estructura, para que estos se encuentren alejados de los del sismo, con el fin de evitar se produzcan fenmenos de resonancia que traeran como consecuencia la amplificacin infinita de las elongaciones. 2.- Mediante la simulacin de cargas esttica equivalentes. El procedimiento esttico de clculo intenta, al igual que se hace para simular el efecto de otras acciones de carcter dinmico como el viento, sobrecargas de esta naturaleza o el impacto, sustituir la accin del sismo por un conjunto de fuerzas estticas que actuando sobre la estructura induzcan el mismo estado tensional que pudiera originar un evento ssmico considerado. La ocurrencia del Terremoto de Caracas conduce al Ejecutivo Nacional a decretar la creacin en 1972 de la Fundacin Venezolana de Investigaciones Sismolgicas (FUNVISIS), organismo especializado dedicado a la evaluacin instrumental, geolgica e ingeniera de la activacin ssmica generada en todo el territorio nacional. Sismologa La ciencia que se dedica al estudio de las caractersticas de los sismos es una rama de la geofsica llamada sismologa, la cual explica como origen de los grandes sismos a la teora denominada Tectnica de Placas. Sismologa: Rama de la geofsica que se encarga del estudio de las caractersticas de los sismos, los cuales se basan principalmente en la teora denominada Tectnica de Placas. La influencia de un sismo en una estructura civil (Presas, Edificios, Puentes, Silos, etc.), es variada y compleja, ya que depende de la interaccin entre el movimiento ssmico, las propiedades del suelo de fundacin y la de la estructura misma. Ninguna zona puede considerarse a salvo de los efectos ssmicos, de manera que, aun donde no se tengan evidencias de la ocurrencia de sismos en pocas recientes, las estructuras importantes requieren de un diseo sismorresistente. Por lo tanto, para realizar un diseo ssmico, es necesario hacer las siguientes consideraciones: a) La definicin de la accin de diseo. Las normas especifican la intensidad ssmica que debe usarse en el diseo de los diversos tipos de estructuras en distintas regiones del pas; sin embargo, en estructuras de particular importancia es necesario realizar estudios para determinar la intensidad del sismo de diseo. La seleccin de una estructura adecuada: Los efectos del sismo depende de los elementos estructurales, en cuanto a estructuracin, dimensiones y materiales. La respuesta estructural: El mtodo de anlisis ssmico vara grandemente en el nivel de refinamiento; desde la consideracin del efecto de una serie de fuerzas estticas equivalentes, hasta el anlisis dinmico ante el movimiento del suelo en la base de las estructuras experimentado durante el sismo.

b) c)

El dimensionamiento y detallado de la estructura. Efectos ssmicos sobre las estructuras Como bien sabemos las estructuras en la ingeniera civil, son esqueletos que se encargan de transmitir las fuerzas generadas por una actividad determinada en un lugar determinado y transmitidas a la tierra a travs de elementos de fundacin diseados para tal fin, Por lo tanto cualquier movimiento que sufra el elemento de fundacin (Temblor de Tierra), cualquiera estructura apoyada sobre el, tiende a seguir el movimiento del suelo, pero debido a la inercia del sistema, las masa que soporta la estructura se oponen a ser desplazadas dinmicamente, generndose fuerzas de inercia que pueden ser estudiadas como un problema dinmico. Los movimientos del suelo constan de vibraciones horizontales y verticales, siendo las horizontales las ms crticas. La flexibilidad estructural ante un fenmeno ssmico, el cual hace que se generen fuerzas de inercia, ocasiona que esta vibre en forma distinta a la del suelo, ya que dichas fuerza dependen de las propiedades de la estructura misma.Pg. N 24

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Anlisis ssmico Los mtodos de anlisis ssmico considerados en la mayora de las normas de diseo y empleados en la prctica, recurren a idealizaciones simplistas de la accin ssmica, mediante un sistema de fuerzas estticas equivalentes; sin embargo, no hay que perder de vista el carcter dinmico del fenmeno ssmico, por lo que es necesario conocer los principio bsicos de la Dinmica Estructural.

Anlisis Ssmico: Los mtodos de anlisis ssmicos considerados en las normas de diseo empleadas en la prctica, recurren a idealizaciones simplistas de la accin ssmica, mediante un sistema de fuerzas estticas equivalentes; sin embargo, no hay que olvidar que el fenmeno ssmico tiene un carcter dinmico, por lo que es necesario conocer los principios bsicos de la dinmica estructural. El Modelo Estructural en la Dinmica Estructural La utilizacin de modelos en el anlisis estructural, es la manera mas simple para plasmar de una forma ideal el comportamiento de las estructuras, de manera de facilitar el entendimiento de soluciones a problemas que matemticamente sern sumamente complejo lograr (Modelos Matemticos). Estos modelos son simples, pero no por ello carecen de importancia, ya que son los ms utilizados por las normativas y los ingenieros estructurales.

(K) Resorte

Vigas

(M)asa(C) Amortiguador

KColumnas

M C

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Sistemas de Un Grado de Libertad: Toda estructura responde ante una excitacin ssmica mediante Aceleraciones, velocidades y desplazamientos, que se generan en el suelo donde se encuentra asentada una estructura, manifestndose como una vibracin a travs de la cual se disipa la energa generada por dicho movimiento, esta informacin es llevada en un registro histrico por la red de sismografa de cada pas. Espectro de Respuesta: Se denomina Espectro de Respuesta de desplazamientos, velocidades y aceleraciones, para un determinado acelerograma, a los mximos valores de las respuestas del sistema, formado por un oscilador de un grado de libertad. Si definimos el desplazamiento como (Xt) La velocidad es la primera derivada del desplazamiento respecto al tiempo dx (t) / dt La aceleracin es la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo d2x (t) / dt2 Por lo tanto los mximos valores de desplazamiento, velocidad y aceleracin, se denominarn valores espectrales:

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Universidad de Oriente Ncleo Bolvar Sd (Desplazamiento Espectral) Sv (Velocidad Espectral) Sa (Aceleracin Espectral)

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Cuando ocurre un movimiento en la base (Desplazamiento), el Sistema conformado por una masa determinada (M) entra en oscilacin, generando sobre la estructura tres (3) tipos de fuerzas.

Esta fuerza son las siguientes:

AMORTIGUADOR

Si llamamos

Sd =

MRESORTE

Sv =

Sa =

DESPLAZAMIENTO EN LA BASE

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1)

La Fuerza de Inercia viene representada por: FI = M x X Donde (M) es la masa de la estructura y ( X ( t) ) es la aceleracin total que sufre la masa, la cual es igual a la sumatoria de la aceleracin del terreno ( X(o)) mas la aceleracin de la ( X(t) ). masa relativa al terreno

2)

La Fuerza de Resorte Esta fuerza se produce por la rigidez lateral de la columna al tratar de ser desplazada FR = K x X Donde el coeficiente (K) se define como el clculo de la derivada de la fuerza de resorte, respecto desplazamiento. al respecto al terreno.

3)

La Fuerza de Amortiguamiento Es aquella fuerza que trata de restablecer el equilibrio de la estructura en vibracin. FA = C x X(t) El coeficiente ( C ) se define como el clculo de la derivada de la fuerza de amortiguamiento respecto a la velocidad.

ONDAS DE DESPLAZAMIENTO RECORDAR ANALISIS DE CURVA (MATEMATICA I)

Xo

"C"

Vo

(t)

W "T"

T: W: F: Xo: C:

Perodo Fundamental = 2 / w Frecuencia Angular del Sistema (Rad/seg) Frecuencia Natural del Sistema = 1 / T Elongacin en un instante determinado to Amplitud de Onda (Corresponde a la mxima Elongacin)

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CLASIFICACION DE LOS MTODOS DE ANLISIS Anlisis Esttico Anlisis Dinmico Plano Anlisis Dinmico Espacial Anlisis Dinmico con Diagrama Flexible Anlisis Inelstico Para poder utilizar los mtodos ms simplificados se requiere que las estructuras satisfagan ciertas condiciones de regularidad que se encuentran implcitamente definidas por las hiptesis simplificadoras que sustentan cada mtodo en particular, como los requisitos de uniformidad en la distribucin de las masas, rigideces, resistencia y capacidad dctil, tanto en planta como en elevacin para poder aplicar el Anlisis esttico. Para el Anlisis Dinmico Plano, pueden existir irregularidades moderadas en planta y significativas en su elevacin. Todas las irregularidades, tanto en planta como en elevacin, son manejables mediante el Anlisis Dinmico Espacial. Estos mtodos descritos anteriormente, suponen una rigidez infinita del entrepiso en el plano respectivo, si esta hiptesis no es valedera, es necesario recurrir al mtodo de Anlisis Dinmico Espacial Con Diafragma Flexible. El Anlisis Inelstico es especialmente til en casos de estructuras cuyas irregularidades puedan dar cabida a la concentracin de energa inelstica que puedan amenazar la estabilidad del sistema estructural, como el caso de muros discontinuos en sus plantas inferiores. Anlisis Esttico: En este mtodo los desplazamientos y las fuerzas internas en los elementos estructurales se determinan de un anlisis de la estructura sujeta a la accin de cargas estticas (Fuerzas y Momentos Torsores), aplicadas en los centros de masas de cada entrepiso. La Magnitud y sentido de estas cargas, se obtienen mediante la aplicacin de sencillas formulas, por o cual las estructuras tienen que satisfacer algunas condiciones de regularidad Anlisis Dinmico: En este mtodo el sistema posee un total de N modos de vibracin, siendo N el nmero de pisos o niveles de la estructura,. El procedimiento de anlisis consiste en determinar los perodos y formas de vibracin de los modos mas importantes, calcular la mxima respuesta dinmica en cada modo y finalmente superponer las mximas respuestas a fin de contener la mxima respuesta de la estructura., la cual se logra combinando la raz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC). Anlisis Dinmico Espacial: En este mtodo la estructura es modelada con sus tres grados de libertad por nivel, por lo que incorporamos en el clculo tanto sus vibraciones laterales como las torsionales. En el caso de edificios asimtricos en planta donde es obligatoria la aplicacin de este mtodo es el instrumento mas poderoso disponible en la norma vigente de edificios. Anlisis Dinmico Espacial con Diafragma Flexible: La inclusin de la flexibilidad del sistema de piso en su propio plano, puede modificar sensiblemente la distribucin y la magnitud de las fuerzas laterales que son transferidas a los planos sismorresistentes verticales. Este puede ser el caso de edificios con aberturas o entrantes excesivos en su planta, o con plantas de gran esbeltez, apoyadas sobre muros de gran rigidez. Anlisis Inelstco: Este procedimiento no es exigido por las normas, debido a la gran cantidad de clculos que es necesario realizar, pero de esta manera nos permitira evaluar la capacidad de disipacin de energa de la estructura y determinar los efectos debido a la alternancia o ciclos de carga.

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Se considera Edificacin de Estructura Irregular, aquella no contemplada en cada uno de los siguientes enunciados:

SELECCIN DE LOS MTODOS DE ANLSIS CONDICINEstructura Regulares Hasta 10 Pisos o 30 mts. Excede 10 Pisos o 30 mts. Estructuras Irregulares Irregularidad Vertical a3 a5 a6 a1 a2 a4 a6 a8 Irregularidad en Planta b1 b2 b3 b4 Anlisis Dinmico Plano Anlisis Dinmico Espacial Anlisis Dinmico Espacial Anlisis Dinmico Espacial con Diagrama Flexible

IRREGULARIDAD

MTODO DE ANLISISAnlisis Esttico Anlisis Dinmico Plano

IRREGULARIDAD VERTICAL a.1).- Entrepiso Blando: La rigidez lateral de algn entrepiso, es menor que el 70% del entrepiso superior o el 80% del promedio de los tres entrepisos superiores. a.2).- Entrepiso dbil: La resistencia lateral a la fuerza cortante de algn entrepiso, es menor que el 70% la resistencia correspondiente al entrepiso superior o 80% del promedio de las resistencias de los tres entrepisos superiores. En la evaluacin de la resistencia, se incluir la contribucin de la tabiquera. En el caso que la contribucin sea superior que para los pisos superiores, esta se podr omitir. a.3).- Distribucin Irregular de masas de uno de los pisos contiguos: Cuando la masa de algn piso exceda 1,3 veces la masa de uno de los pisos contiguos. Se excepta la comparacin con el ltimo nivel de techo de la edificacin. a.4).- Aumento de las masas con la elevacin: La distribucin de masas de la edificacin crece sistemticamente con la altura. a.5).- Variacin en la geometra del sistema estructural: La dimensin horizontal del sistema estructural en algn piso excede 1,30 veces la del piso adyacente. Se excluye el ltimo nivel. a.6).- Esbeltez excesiva: El cociente entre la altura de la edificacin y la menor dimensin de la estructura a nivel de base exceda a 4. a.7).- Discontinuidad en el plano del sistema resistente a cargas laterales: I) II) III) El desalineamiento horizontal del eje de un miembro vertical, muro o columna, entre dos pisos consecutivos, supera 1/3 de la dimensin horizontal del miembro. El ancho de la columna o muro en un entrepiso presenta una reduccin que excede el 20% del ancho de la columna o muro en el entrepiso inmediatamente superior. Columnas o muros que no continan a u nivel inferior distinto al nivel de base.

a.8).- Falta de conexin entre elementos verticales: Alguno de los miembros verticales, columnas o muros, no estn conectados a diafragma de algn nivel. a.9).- Columnas cortas: Marcada reduccin en la longitud libre de columnas, por efecto de restricciones laterales tales como paredes u otros elementos no estructurales.

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IRREGULARIDAD EN PLANTA b.1).- Gran Excentricidad: En algn nivel la excentricidad entre la lnea de accin de la cortante y el centro de rigidez supera el 20% del radio de giro inercial de la planta. b.2).- Riesgo torsional elevado: I) II) El radio de giro torsional ( r ) en alguna direccin es inferior al 50% del radio de giro inercial. La excentricidad entre la lnea de accin de la cortante y el centro de rigidez de la planta supere el 30% del valor del radio de giro torsional ( r ) en alguna direccin.

b.3).- Sistema No ortogonal: Cuando una porcin imortante de los planos del sistema sismorresistente no sean paralelos a los ejes principales del sistema. b.4).- Diafragma Flexible I) II) Cuando la rigidez en su plano sea menor a la de una losa equivalente de concreto armado de 8 cm. De espesor. Cuando un nmero significativo de plantas tenga entrantes cuya menor longitud exceda al 40 % de la dimensin del menor rectngulo que inscribe a la planta, medida paralelamente a la direccin del entrante, o cuando el rea de dicho entrante supere el 30% del rea del citado rectngulo circunscrito. Cuando las plantas presenten un rea total de aberturas internas que rebasen el 20% del rea bruta de planta. Cuando existan aberturas prominentes adyacentes a planos sismorresistentes importantes o, en general, cuando se carezca de conexiones adecuadas para ello. Cuando en alguna planta el cociente Largo / Ancho del menor rectngulo que inscribe a dicha planta sea mayor que 5.CORRECTO INCORRECTO

III) IV) V)

L1 L2

L1 L1 / L2 > 5

En Zonas de alta peligrosidad ssmica, deben evitarse los planteamientos estructurales, que pongan en duda su estabilidad ante cargas laterales. Es deber del proyectista estructural alertar sobre el aumento en costos que conlleva el planteamiento de una estructura que se sale de los siguientes planteamientos bsicos, pero esto no necesariamente impide la funcionabilidad de este proyecto bajo un anlisis mas sofisticado. Una estructura sencilla permite al calculista entender claramente en que forma esta resiste las cargas laterales y como la energa inducida por el sismo es disipada. Es necesario que toda estructura tenga mecanismo de rigidez y resistencia en los dos sentidos ortogonales. De no existir simetra de los elementos portantes en planta, se generaran torsiones importantes en la respuesta estructural, generando esfuerzos muy altos en los diferentes elementos estructurales. Deben evitarse las formas L, T y H, porque presentan problemas torsionales por la generacin de excentricidades en la distribucin de rigideces.Pg. N 32

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L2


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Verticalmente la estructura no debe sufrir fuertes reducciones, ya que producen amplificaciones locales que no se encuentran contemplados en las normas. Deben evitarse las grandes concentraciones de masas o rigideces, de manera que difieran de los niveles adyacentes como por Ejemplo Piscinas. Siempre es necesario recordar que el diseo estructural se realiza en el campo inelstico, por lo que las fuerzas que actan sobre ella se reducen (Reduccin de Respuesta) Proporcionar a la estructura la mxima hiperestaticidad posible, para garantizar que el mximo nmero de secciones que puedan llegar a la fluencia antes que la estructura colapse. Evitar elementos sobre diseados, ya que estos no participarn en la deformacin inelstica. Anlogamente deben evitarse los entrepisos que tengan una resistencia y rigidez inferiores al resto. Igualmente deben evitarse las zonas dbiles, ya que la energa inducida por el sismo tender a disiparse a travs de esta, produciendo fallas locales difciles de reparar. El sistema de transmisin de los esfuerzo al suelo (Fundacin) deber transmitirlos de manera que acte como una unidad monoltica y no se generen deformaciones importantes entre el suelo y la estructura.

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SISTEMA DE UN (01) GRADO DE LIBERTAD SISTEMA LIBRE DE FUERZA NO AMORTIGUADO F(t) = F(i) + F(r) Los sistemas No Amortiguados se encuentran representados en el siguiente esquema, en el cual (M) representa la masa y (K) representa la rigidez de los elementos verticales que unen a la masa con tierra. Si a la masa (M) se le aplica un desplazamiento (X) las fuerzas que actan sobre dicho sistema se encontrarn representadas por:K.X + M.X = 0 d2 X M . dt2 + K.X = 0

K

M

Una estructura responde a una excitacin ssmica por una historia de aceleraciones, velocidades y/o desplazamientos que presenta el suelo donde se encuentra asentada mediante una vibracin a travs de la cual disipa la energa generada por dicho movimiento. Ftotal = FI + FR Cuando el sistema se encuentra en reposo, la sumatoria de todas las fuerzas debe ser igual a 0. Como en un sistema no amortiguado la solucin de la ecuacin:M x X + K x X = 0

La Solucin de la ecuacin homognea es la siguiente

Debido a que las ecuaciones (1) y (2) son soluciones particulares de le ecuacin mX + KX = 0 y cada una de estas representa una ecuacin lineal, la superposicin de estas es tambin una solucin.

o lo que es lo mismo esta ecuacin presenta las dos constantes de Integracin ( A ) y ( B ), y es de hecho la solucin general de la ecuacin diferencial de segundo orden. Para las condiciones Iniciales, las constantes de integracin A y B se determinan para valores conocidos del desplazamiento y de la velocidad en el instante de tiempo t =o. De esta manera sustituyendo los valores t = O, X = Xo, las ecuaciones anteriores se obtiene que Xo = A Vo = B . WX = A cos (wt) + B sen (wt)

C

A ( Xo )

B ( Vo/W)

Vo Seno Cos Tan

= = = = =

Velocidad de la masa (M) en to Angulo de Fase A/C = Xo / C B/C = (Vo/W) / C / = Xo/(Vo/W)Pg. N 34

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C = Xo + (Vo/W)

2

2

Introduciendo el valor C de amplitud (Mxima desplazamiento del sistema) X = C (Xo/C cos (wt) + (Vo/W)/C sen (wt)) O sea X = C (sen . cos (wt) + cos . sen (wt)) De donde se deduce lo que se conoce como ecuacin del desplazamiento X = C . sen (wt + ) Desplazamiento Velocidad (Primera Derivada) Aceleracin (Segunda Derivada) Si tenemos que M x X + K x X = 0 - M W . C . Sen (Wt + ) = - K . C . Sen (Wt + ) ( K W .M) = 0 W = K/M(Ecuacin de Frecuencias)2 2 2

X X X

= C . Sen (Wt + ) = W . C . Cos (Wt + ) = - W . C . Sen (Wt + )2

Se denomina perodo () al tiempo que emplea una masa (M) en dar una vibracin (Oscilacin) completa y se denomina frecuencia natural del sistema a la inversa del perodo = / W T f : Frecuencia Angular del Sistema = : Perodo fundamental del sistema K/M (Rad / Seg)

= 2 . / W (Segundo / Ciclo)

: Frecuencia Natural del Sistema = 1 / T = / 2 . (Ciclos / segundo)

Ejemplo: En un Sistema de un (1) Grado de libertad No Amortiguado tendremos:

En otras palabras, Si la matriz de masas M

K = W2 . M es positiva, la solucin de la ecuacin

de un sistema de n grados de libertad, existirn n valores de W2Aceleracin Velocidad

(t)

Desplazamiento

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Los coeficientes de Rigidez (K) o constante de Resorte, que existe entre dos masas consecutivas, es la fuerza requerida para producir un desplazamiento relativo unitario entre dos niveles de pisos adyacentes K = P /

A

B

A

B

A MA EI B

A MA EI B

MB EI

MA = P.L 3 B = MA/EI . L/2 . 2/3 (L) = P . L / (3 . EI) 3 3 K = P / = P / (PL /3EI) = 3EI / L

MA = MB P = 2MA/L B = MA/EI . L/2 . 2/3 (L) MB/EI . L/2 . 1/3 (L) 2 2 B = (2/6) MA/EI . L (1/6)MA/EI . L 2 B = (1/6).MA.EI . L 3 K = 12 EI/L

Problema: El siguiente prtico se encuentra sometido a un movimiento libre no amortiguado. Si la masa tiene un desplazamiento inicial donde (Xo) 3 cm a una velocidad de (Vo) de 75 cm/seg. Se pide determinar el desplazamiento, velocidad y aceleracin un (01) y (02) segundos despus. Utilizar E = 250.000 kg/cm2 W = K/M2

3600 Kg/m

4.50 m

20 x 30

20 x 30

X = C . sen (wt + )

Desplazamiento X = C . Sen (Wt + ) Velocidad (Primera Derivada) X = W . C . Cos (Wt + ) 2 Aceleracin (Segunda Derivada) X = - W . C . Sen (Wt + ) Seno = A/C = Xo / C Cos = B/C = (Vo/W) / C 2 2 C = Xo + (Vo/W) Tan = / = Xo/(Vo/W) PESO = 3600 Kg/m . 7.50 m = 27.000 kg M = 27000 kg / 9.8 m/s = 2755,1 kg.s/m 3 (I) por ser dos columnas corresponde a 2 . Ic Ic = b. h /12 3 K = 12 EI/L 3 4 4 4 4 4 4 Ic = 0.30m x (0.20 m) / 12 = 2 E m I = 2 . 2 E m = 4 E m 2 2 +9 2 E = 250.000 kg/cm * (1 / 0,01 ) = 2,5 E kg/m +9 2 4 4 3 K = 12 . 2,5 E kg/m . 4 E m / (4.50 m) = 131.687,24 kg/m W = (K/M)^(1/2) = (131687.24 kg/m / 2755.1 kg.S/m) ^(1/2) = 6.91 Rad/seg = Atan (0.03 / (0.75 m/seg / 6.91 Rad/Seg) = 0.2697 Rad 2 C = (0.03 + (0.75/6.91)) ^(1/2) = 0.1126082

7.50 m

Y

X

X

Y 20 cm

30 cm

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MA

MA

MB

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W= a= C=

6.91 Rad/seg 0.26966731 Rad 0.11260805 X m 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 0.03 0.09229064 0.11224002 0.08069571 0.01212968 -0.06200123 -0.1076871 -0.10396809 -0.05255041 0.02297644 0.08796212 0.11259238 0.0855673 0.0192855 -0.05584413 -0.1053535 -0.10652859 -0.0588303 0.01585826 0.08327134 0.11248104 X m/seg 0.75 0.44584285 -0.0628589 -0.54272212 -0.77359431 -0.64955549 -0.22751243 0.2989092 0.68819672 0.7617521 0.48582947 -0.01298289 -0.50583893 -0.76662527 -0.67569788 -0.27477259 0.25221337 0.66348842 0.77036705 0.52381529 0.03694659 X m/seg2

Vo = Xo =

0.75 m/seg 0.03 m/seg

-2.46842884 -4.23641122 -4.65120732 -3.95782055 -1.86128296 0.85004879 2.45639912 2.33268847 0.50176516 -2.23378568 -4.13549744 -4.65776138 -4.07806996 -2.10833466 0.62346506 2.37895763 2.41803216 0.73352381 -1.99061659 -4.02196426 -4.65569348

Pg. N

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SISTEMA AMORTIGUADO LIBRE DE FUERZA La hiptesis de amortiguamiento nulo no es realista. Todo sistema luego de cesar la vibracin llegar el momento en el cual la amplitud del desplazamiento llega a ser nulo, debido a la absorcin de le energa esencialmente por el amortiguamiento, el cual se supone del tipo viscoso lineal, es decir la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad de desplazamiento. Vibracin Libre Amortiguada: Todo sistema en movimiento presenta fuerzas de amortiguamiento Amortiguamiento Viscoso: Cuando un sistema se mueve a travs de un fluido (Aire, Agua, Aceite, etc) Pa = C dx/dt = C.V. 2. Amortiguamiento por friccin o de Coulomb, se ocasiona por la friccin en las conexiones y apoyos y es constante independientemente del desplazamiento o de la velocidad Pa = . N, donde (N) es la fuerza normal a la superficie y () es el coeficiente de friccin. 3. Amortiguamiento estructural: Es la disipacin de energa ssmica a travs de las conexiones de los elementos estructurales, debido a la friccin Interna. Cuando un sistema se encuentra sujeto a un movimiento de su base, la masa (M) entra en oscilacin generando sobre el sistema estructural tres (3) tipos de fuerzas: 1. La Fuerza de Inercia 2. La Fuerza de Resorte. 3. La fuerza de amortiguamiento(K) Resorte

1.

(Fi) (Fr) (Fa)


La Fuerza de de Inercia: X(t): Aceleracin total que sufre la masa que es igual a la suma de la aceleracin del terreno Xo(t) ms la de la masa relativa al terreno X1(t): X(t) = Xo(t) + X1(t) (Fi) = M . X(t) La fuerza de resorte se produce por la rigidez lateral de la columna al tratar de ser desplazada respecto al terreno: F(r)= K . X El coeficiente (K) se define como el clculo de la derivada de la fuerza de resorte con respecto al desplazamiento. La fuerza de amortiguamiento, la cual trata de reestablecer el equilibrio de la estructura en vibracin: F(a) = C . X(t) El coeficiente (C) se define como el clculo de la derivada de la fuerza de amortiguamiento con respecto a la velocidad.

Las fuerzas que actan sobre el sistema son las siguientes: F(t) = F(i) + F(r) + F(a)M . X(t) + C . X(t) + K . X(t) = 0 1

X(t): X(t): X(t):

Representa el desplazamiento de la masa Represente la Velocidad de la Masa Representa la Aceleracin de la Masa

La Solucin de esta ecuacin, no puede ser satisfecha por la determinadas anteriormente: X = A Cos (wt) X = B Sen (wt) En cambio la funcin exponencialpt X=C.e

si la satisface, resultando que:

Pg. N

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En esta ecuacin ecuacin (1)X(t): X(t): X(t):

e

es la base del logaritmo natural ypt C.e

p

es una constante que se determina sustituyendo esta ecuacin en la

= = =

pt C.p.e pt 2 C.p .e pt 2 M . C . p . e + C . C.p .

ept + K . C . ept = 03

2

M.p +C.p. +K =0

2

Determinando las races de la ecuacin anterior, la podemos expresar como: 2 C P = 2M C K 2M M

4

AMORTIGUAMIENTO CRTICO En la resolucin de la ecuacin de segundo grado obtenemos tres posibles soluciones o valores de (p): Pueden ser negativos, positivos o iguales a (C/2M). En el caso de este ltimo, es necesario que el radical sea igual a cero, de manera tal que debe cumplirse:

C 2.M

2

K M = 0

Ya habamos demostrado mediante la ecuacin de frecuencias que: W2 = K/M amortiguamiento ( C ) es el llamado crtico ( Ccr ).Ccr = 2. M . W 2.M = Ccr / W

C/(2.M) = W. En este caso el coeficiente de

(Xi)

(Damping Ratio) (Relacin de Amortiguamiento)

= C / CcrLlamemos a: Wd (Frecuencia Angular del sistema Amortiguado) W (Frecuencia Angular del sistema No Amortiguado) K Wd = M 2M W. C Ccr Td : Perodo fundamental del sistema Amortiguado2

C

2

En sistemas No Amortiguados habamos demostrado que:

W 2 = K/M W (12

Wd =

W

2

C Ccr

2

Wd =

)

Wd =

W

(1

2 )

= 2 . / Wd

Segundo / Ciclo

Pg. N

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Por lo tanto se pueden generar tres (3) casos CASO 1 C > Ccr (SISTEMA SOBRE AMORTIGUADO) En este caso la ecuacin (4) presenta dos valores reales y distintos, pudindose determinar. No produce movimiento oscilatorio, ya que este decae exponencialmente con el tiempo a cero.(X)

X(t) = A .

e p1t + B . e p2t(X)

(t

CASO 2 C = Ccr (SISTEMA CRTICAMENTE AMORIGUADO) Se produce cuando P1 = P2 = - Ccr / 2M La solucin de la ecuacin de desplazamiento puede expresarse Como: X1(t) = A . e (Ccr / 2M) t X2(t) = B. t . e (Ccr / 2M) t Siendo la solucin general la superposicin de las dos anteriores X(t) = (A + B. t ) . e (Ccr / 2M) t Bajo estas condiciones la masa regresa a su posicin inicial, siguiendo una curva exponencial

(t)

CASO 3 C < Ccr (SISTEMA SUBAMORTIGUADO) En el caso de sistema sub amortiguados o sub crticos, es el que mas se asemeja al de las estructuras en el campo de la ingeniera civil, ya que los elementos verticales poseen una resistencia relativamente pequea, lo que mantiene el carcter oscilatorio del sistema, disminuyendo la amplitud a travs del tiempo. 2 C P = 2M K C M 2M(X)

Ccr = 2. M . W Sustituyendo 2 M = Ccr / W

i

Si definimos la segunda parte de la ecuacin como i . Wd La ecuacin p1t p2tX(t) = A .

e

+B.

e

(t)

Quedar definida como:X(t) = A .

e (-C/2M + i Wd)t + B . e (-C/2M i Wd)tY de acuerdo a Euler la Solucin de e(iWd) es de la forma = Cos (Wd) + i sen (Wd) e-(iWd) es de la forma = Cos (Wd) - i sen (Wd)

Como es propiedad de los logaritmos tenemos que:

e (-C/2M + i Wd) = e (-C/2M) . e (i Wd) e (-C/2M i Wd) = e (-C/2M) / e (i Wd)

Dado que los puntos del plano se pueden definir en funcin de sus coordenadas polares r y , todo nmero complejo z se puede escribir de la forma z = r (cos + i sen ) p 1t p 2t La solucin general del sistema se encontrar determinada por la superposicin de las dos X(t) n = A e +Be posibles soluciones: Lo que determina la Ecuacin: X(t) = e (-C/2M)t . ( A Cos(Wd.t) + B Sen (Wd.t)) Donde A y B son constantes de integracin, los cuales se determinan a partir de las condiciones iniciales, es decir para un desplazamiento Xo y una velocidad Vo al comienzo del movimiento para t = 0, es decir:A = Xo Vo + Xo . . W B= Wd Multiplicando y dividiendo por C : X(t) = C . e . Sen . Cos (Wd.t) + Cos . Sen (Wd.t) Tomando convenientemente la forma de la ecuacin general del sistema subamortiguado: X(t) = C . e(-C/2m)t (-C/2m)t

CA ( Xo )

B ( Vo+Xo. .W) Wd

. Sen (Wd. t + ) Pg. N 40

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Wd =

W

(1

2 )

Td = 2 . / Wd

Decremento Logartmico Un mtodo prctico para determinar experimentalmente el coeficiente de Amortiguamiento de un sistema, es iniciar una vibracin libre, obteniendo registro de los movimientos oscilatorios. El Decremento puede ser convenientemente expresado () como el logaritmo natural de la relacin entre las amplitudes de dos crestas consecutivas (-C/2m).t

= ln (X1 / X2)

X(t) = C . e

. Sen (Wd. t + )

Si en la ecuacin sen (Wd.t + ) corresponde a la tangente en las crestas del movimiento oscilatorio, por lo tanto puede asumirse = 1Por lo tanto Y1 puede definirse como: X1 = C . e X2 = C . e C/2M = W . C/Ccr = W . X1 = X2 C. e C.e(-W . ).t1 (-C/2m).t1 (-C/2m).(t1 + Td)

=C.e = C. e

(-W . ).t1 (-W . ).(t1 + Td)

X1 = X2 C. ( e

C.e

(-W . ).t1

(-W . ).(t1 + Td)

(-W . ).(t1) .

e (-W . ).(Td)

El signo Negativo Implica Inversas X1 = X2 Por lo tanto

e (W . ).(Td)

= ln (X1 / X2) = . W . Td = . W . 2 . / (W

= . W . 2 . / Wd(1 2 ) )

= 2 / ( 1 2 )

(X )

La relacin entre las amplitudes de dos crestas consecutivas, puede definirse como:C .e -

W .tTd

= ln (Y1 / Y2)Y2 (t) Td 1

Y1 Td 1

- C .

e

-

W .t

La relacin entre las amplitudes de dos crestas no consecutivas puede decirse como: Donde K representar el nmero de ciclos entre las crestas no Consecutivas

K = ln (Y1 / YK)Pg. N 41

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EJEMPLO Una plataforma cuyo peso es de 1815 Kg. est siendo soportada por cuatro (4) columnas las cuales son sujetadas a la fundacin. Experimentalmente se ha determinado que la fuerza esttica aplicada horizontalmente es de 454 Kg, produciendo un desplazamiento de 0,254 cm. Se estima que el amortiguamiento de la estructura es del 5% del amortiguamiento Crtico. Determinar: a) Frecuencia angular No Amortiguada b) Coeficiente absoluto de amortiguamiento c) Decremento logartmico. d) Nmero de ciclos y el tiempo requerido para que la amplitud del movimiento se reduzca del valor inicial de 0,254 cm a 0.0254 cm.a)

W=

K/M

K : Se define como la relacin existente entre la fuerza y el desplazamiento. F/ = 454 kg / 0.254 cm = 1787 kg/cm Y la frecuencia angular del sistema W=b)

1787 / (1815 kg/980 cm/seg2)

= 31.06 rad / segundo

El amortiguamiento crtico es:

Ccr

= 2.M . W

Ccr

= 2.M .

K/M =

2

K.M

Ccr = 2 ,

1787 kg/cm . 1815 kg / 980 cm/seg

2

= 115,06 (kg . seg / cm)

Y el amortiguamiento absoluto es C = 5% . 115.06 kg . seg / cm = 5,75 (kg . seg /cm)

= C / Ccr

= 2 / ( 1 2 )c)

El Decremento Logartmico se expresa como:

= 2 . 5% . / ( 1 (5%)2 ) = 0,3149Y 1 / Y2 = e Wd =

W

(1

2 )

= 31.06 rad/seg. (1 (5%)2) = 31.02 rad/segTd = 2 . / 31.06 rad/seg = 0.2023 seg

Td = 2 . / Wd

Para determinar el nmero de ciclos existentes Y1 = 0,254 y YK = 0,0254

K = ln (Y1 / YK)

0,3149 K = ln(0,254 / 0.0254) )

K = 2,3026 / 0.3149 = 7,32 8 Ciclos

Si (Td) entre dos ciclos consecutivos = 0,2023, para 8 ciclos ser = 8 . 0,2023 = 1,62 seg.

Pg. N

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Ejercicio El siguiente portico, se encuentra sometido a un movimiento libre Sub Amortiguado, con un desplazamiento inicial para t= 0 seg, de 15 cm y una velocidad de 5 cm/seg. B Columna 1 Columna 2 Columna 3 X(0) V(0) H= Peso = E concreto = 30 40 30 15 cm 5 cm/seg 800 cm 3600 Kg/m 250000 kg/cm2 5%4,70 5,30 H 30 x 40 cm 40 x 30 cm 30 x 50 cm

H 40 30 50Carga Ssmica = 3600 Kg.f/m

I1 = I2 = I3 = Masa = Crtico = = W = Wd = C=

90000 cm4 160000 cm4 112500 cm4 27.55 Kg. Seg/cm 483.8140679 24.19070339 8.78032938 rad/seg 8.7693471 rad/seg 15.06 cm

K1 K2 K3

527.34 937.50 659.18 A B Amplitud C 15.00 1.32 15.06 K= 2,124.02 Kg/cm

ALPHA =

1.482949193 Rad

Este valor es igual a X(o)

t0 0.50 1 1.50 2 2.50 3 3.50 4 4.50 5 5.50 6 6.50 7 7.50 8 8.50 9

X15.00 -4.88 -7.15 6.84 1.07 -4.96 1.87 2.23 -2.36 -0.22 1.64 -0.70 -0.69 0.81 0.03 -0.54 0.26 0.21 -0.28

Seno(Wd.t+)1.00 -0.40 -0.74 0.88 0.17 -0.99 0.46 0.69 -0.91 -0.10 0.98 -0.52 -0.64 0.93 0.04 -0.96 0.58 0.58 -0.96

e -(C/2M).t1.00 0.80 0.64 0.52 0.42 0.33 0.27 0.22 0.17 0.14 0.11 0.09 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.02 Pg. N 43

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X (t) 20.00 15.00 10.00 5.00 0.00 -5.00 -10.00 0 2 4 6 8 10 X (t)

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. SISTEMA SOMETIDO A FUERZAS ARMONICAS Amortiguacin Nula (NO AMORTIGUADO)

La solucin General es del tipo Xg(t) = A . Cos (Wt) + B . Sen(Wt) Siendo la solucin particular de la forma Xp(t) = C . Sen (Wa.t)M . X + K . X = P(t) = Po . Sen(Wa.t + )

Ecuacin de un sistema Libre No Amortiguado

(K) Resorte Po Sen (Wa.t)

(M)asa

Xp(t) = C . Sen (Wat + ) Desplazamiento Velocidad (Primera Derivada) Aceleracin (Segunda Derivada)2

X X X

= C . Sen (Wa.t+) = Wa . C . Cos (Wa.t+) 2 = - Wa . C . Sen (Wa.t+)

Ecuacin de la Fuerza Aplicada

- M Wa . C . Sen (Wa.t+) + K . C . Sen (Wa.t+) - M . Wa . C + K . C = Po2 2

= Po . Sen(Wa.t+ )

- M . Wa . C + K . C = Po

2

C . ( K MWa ) = Po Po C = ( K MWa )2

Dividiendo el Numerador y el Denominador por (K), obtenemos:Po / K C = ( K MWa ) / K2

Po / K C = ( 1 Wa / W )MOVIMIENTO ARMNICO Movimiento armnico simple, movimiento rectilneo con aceleracin variable producido por las fuerzas que se originan cuando un cuerpo se separa de su posicin de equilibrio. Un cuerpo oscila cuando se mueve peridicamente respecto a su posicin de equilibrio. El movimiento armnico simple es el ms importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena aproximacin a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir matemticamente. Se llama armnico porque la ecuacin que lo define es funcin del seno o del coseno. En el movimiento armnico simple en una dimensin, el desplazamiento del cuerpo, desde su posicin de equilibrio, en funcin del tiempo viene dado por una ecuacin del tipo: x = A sen(t + ) siendo A, y constantes. El desplazamiento mximo, A, es la amplitud. La magnitud t + es la fase del movimiento, y la constante es la constante de fase. En el movimiento armnico simple, la frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud, y la aceleracin es proporcional al desplazamiento, pero de sentido contrario: a = -2x2 2

De acuerdo a la ecuacin anterior, cuan Wa = W, el denominador tiende a cero, por lo que la amplitud (C) tiende a infinito, indistintamente del valor de la fuerza Po y de la Rigidez (K), entonces se considera que el sistema se encuentra en resonancia. Donde denominamos a r = Wa / W, como la relacin de frecuencias entre (Wa) la frecuencia de la fuerza aplicada y (W), la frecuencia natural del sistema en vibracin.Po / K C = (1r)2

La solucin particular del sistema se transforma en:Po / K Xp(t) = ( 1 r2 ) . Sen (Wa.t)

La solucin del sistema se encontrar conformada por la solucin General ms la solucin particular:Po / K X(t) = A . Cos (W.t) + B . Sen(W.t) (1r )2

Sen (Wa.t)

Como A es igual X (o) que para el instante inicial es 0, este trmino se anula

Si las condiciones iniciales para t = 0 son Xo=0, Vo=0, la constantes de Integracin para la ecuacin determinada son:A = Xo

r . Po / KB= 1r2

r . Po / KX(t) = 1r2

Po / K . Sen (Wt) 1r2

. Sen (Wa.t)

Po / K X(t) = 1r2

.

Sen (Wat)

r . Sen (W.t)

Como se puede observar, la superposicin de dos movimientos armnicos de diferentes frecuencias, el resultado del movimiento es No Armnico. Pg. N 45

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Universidad de Oriente Ncleo Bolvar Amortiguacin Existente (AMORTIGUADO)

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M . X + C . X + K . X(K) Resorte Po Sen (Wa.t)

= P(t) = Po . Sen(Wa.t)


La solucin completa de esta ecuacin consiste en la suma de la Solucin Complementaria ms la solucin complementaria para el caso C < Ccr (subamortiguado), siendo: Solucin Complementaria: Xc(t) = e Wt . A . Cos (Wdt) + B . Sen(Wdt)

Solucin Particular: Xp(t) = C1 . Sen (Wat) + C2 Cos (Wat) Tomando le relacin de Euler como la solucin mas aproximada (iWa.t) Y de acuerdo a Euler la Solucin de e es de la forma = Cos (Wa.t) + i sen (Wa.t)

e

i Wa.t

= Cos

(Wat) + i Sen (Wat)

L solucin de la ecuacin anterior se encuentra tomar solamente la parte imaginaria de la ecuacin de Euler, igualando: Sen (Wdt) a la solucin imaginaria de la ecuacin: Po . Sen (Wdt) = Po e i Wat , por lo tanto la solucin particular de la solucin puede ser:Xp(t) = C . e i Wat . Xp(t) = C . e = i C Wa Xp(t) = Ci Wat

e i Wat

Por lo que2 2

-1e i Wat + C . i C Wa . e i Wat + K .C . e i Wat = Po e i Wat(Po . Xp =

. e i Wat = i2 C Wa2 . e i WatPo C=

M . i C Wa .

e i Wat )2

(K-M.Wa +iCWa)2

(K-M.Wa +iCWa)

Como tenemos un nmero complejo en el denominador, podemos utilizar la transformacin a coordenadas polares del nmero imaginario donde el nmero complejo Z = X + iY, puede escribirse de la forma Z i 2 2 y e = Cos + i Sen del vector Z= X +Y Por lo tanto i Wat Po . e Xp = Xp = i 2 2 2 (K-M.Wa ) + (CWa) . e Ccr = 2. M . W Po .

= r (Cos + i Sen ), siendo (r) el mduloPo . ei (Wat - )2

(K-M.Wa ) + (CWa)

2 2

Igual que como dijimos al comienzo, se basaba en la solucin de la parte imaginaria de la ecuacin de Euler:Multiplicando y Dividiendo por K = W2 . M Xp = (Po/K) Sen (Wat ) (1-M.Wa2/M.W2) + (CWa/W2 . M) Xp = X(t) Sen(Wat - ) (Po/K) X(t) = (1 - r2) + (2 r )2 2 2 2

e i (Wat - ) = Po Sen (Wat )(Po/K) Sen (Wat ) (1 - r ) + (2 . r2

Xp =

2

. C/Ccr)

2

Xp =

(Po/K) Sen (Wat ) (1 - r ) + (2 r )2

2

2

La respuesta total obtenida es la suma de la solucin complementaria y la solucin particular: Tan = 2..

r2

1r

r = Wa / W

X(t) = e Wt.

Po / K (Sen (Wat ) A . Cos (Wdt) + B . Sen(Wdt) + (1 - r2) + (2 r )2 2

Pg. N

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SISTEMA SOMETIDO A FUERZAS EN LA FUNDACION Amortiguacin Existente (AMORTIGUADO) Considerando el sistema amortiguado sometido a fuerzas armnicasM . X + C . X + K . X Xp = X Sen(Wat - )1

= Po . Sen(Wa.t) (Po/K) X = (1 - r2) + (2 r )2 2(K) Resorte


2

Xp = X.Wa. Cos(Wat - ) 2r

De donde

Tan =

Po = X. (K) . (1 - r2) + (2 r )

2

2

1 - r2

por otro lado siendo (PT) Fuerza del terrenoFT

C . X + K . X

= PT

Sustituyendo en esta (1) y (2), obteniendo:Demostracin: a Sen + b Cos = a2 + b2 seno ( + ) Donde = Atan(b/a) Supongamos la Ecuacin 3 Cos 30 + 4 Seno 30 = 5 . seno(30 + 53.13) 1.5 + 3.46 = 5 . 0.993 4.964 = 4.964

PT = K . X . Sen(Wat - ) + C . X . Wa . Cos(Wat-) PT = X K2 + C2 . Wa2 . Sen(Wat - + )

Si llamamos a = ( ) (Angulo de fase) Para las condiciones iniciales (desplazamiento y velocidad inicial Nula)

= Atan((-2..r)/(1 - r2))PT Xp(t) = K2 + C2 . Wa2 C.Wa Tan = K = C. Wa W2.M = W Ccr . Sen(Wat + ) 2 . C . Wa Xp(t) = K 1 + (2r)2 . Sen(Wat + ) PT

= 2..r

Ccr

= 2.M . W

Donde es la relacin entre las amplitudes de la fuerza transmitida a la fundacin y la fuerza aplicada (PT/Po), conocindose entonces como Transmisibilidad. Y se define como:Po = X. (K) . (1 - r2) + (2 r )2 2

PT = X. (K) . 1 + (2r)2

1 + (2r)2

Transmisibilidad Absoluta (Respecto a la posicin de origen)

Tr =

(1 - r2) + (2 r )

2

2

r2Trasmisibilidad Relativa (Respecto a la Base)TrRB = (1 - r2) + (2 r )2 2

1Amplificacin Dinmica

fA =

(1 - r2) + (2 r )

2

2

Pg. N

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M . X + C . X + K . X

= Po . Sen(Wa.t)

(Po/K) X = (1 - r ) + (2 r )2

2

2

X(t) = e Wt.

Po / K . (Sen (Wat + ) A . Cos (Wdt) + B . Sen(Wdt) + (1 - r ) + (2 r )222

= Atan((-2..r)/(1 - r2))Determinar la frecuencia natural de un sistema (W)

Pg. N

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ESPECTROS DE RESPUESTAS Se denomina Espectro de Respuesta de desplazamientos, velocidades y aceleraciones, para un determinado acelerograma, a los mximos valores de las respuestas del sistema formado por un oscilador de un grado de libertad, expresadas en funcin de las frecuencias (f), W, o del perodo T, del sistema para una determinada proporcin del amortiguamiento crtico, es decir los valores mximos que toman las siguientes Integrales. Sea: XT(t) : Desplazamiento Total de la masa del sistema XS(t) : Desplazamiento del Terreno XR(t) : Desplazamiento Relativo de la Masa XT(t) = XS(t) + XR(t) Las fuerzas que actan sobre la masa, vienen dada por las Fuerza de Inercia (FI) mas la fuerza de Amortiguamiento (FA) mas la fuerza de resorte (FR), las cuales vienen dadas por las siguientes expresiones. FI = M . X(t) FA = C . X(t) FR = K . X(t) FI + FA + FR = 0, ya que no existe ninguna fuerza externa aplicada en el sistema La fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad relativa de la masa y la fuerza de Resorte es proporcional al desplazamiento Relativo de la masa, mientras la fuerza de Inercia es proporcional a la Aceleracin total del sistema.

Introducción a la Ingeniería Sismorresistente

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