Introducci´on a la GEOMETR´IA DIFERENCIAL DE...

Introduccion a la

GEOMETRIA DIFERENCIAL

DE VARIEDADES

Miguel Sanchez Caja

Jose Luis Flores Dorado

Depto. Geometrıa y Topologıa,Universidad de Granada, 2003

Deposito Legal: GR-1558/04

Indice general

1. Topologıa basica 11.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Construccion de topologıas . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Axiomas de numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Lımites. Espacios Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6. Espacios topologicos metricos . . . . . . . . . . . . . . 121.7. Conexion y arcoconexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. El concepto de variedad diferenciable 232.1. Concepto de variedad topologica . . . . . . . . . . . . . 232.2. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3. Aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. Hipersuperficies regulares de Rn . . . . . . . . . . . . . 342.5. Subvariedades regulares de Rn . . . . . . . . . . . . . . 382.6. Apendice 1: atlas en §2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7. Apendice 2: coordenadas en R3 . . . . . . . . . . . . . 44

3. Espacio tangente 493.1. Concepto de vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1. Vector tangente como clase de equivalencia decurvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.2. Vector tangente por coordenadas . . . . . . . . 523.1.3. Vector tangente como derivacion . . . . . . . . . 53

3.2. Estructura del espacio tangente . . . . . . . . . . . . . 553.2.1. Vectores tangentes inducidos por los entornos co-

ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

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ii INDICE GENERAL

3.2.2. Estructura de espacio vectorial de TpQ . . . . . 573.3. Variedad tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4. Apendice: Mecanica Lagrangiana . . . . . . . . . . . . 62

3.4.1. Lagrangianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.2. Curvas crıticas de la accion . . . . . . . . . . . 64

4. Aplicaciones diferenciables 674.1. Diferencial de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.1.2. Expresion en coordenadas . . . . . . . . . . . . 694.1.3. Cambio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 70

4.2. El espacio cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3. Diferencial de una aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . 734.4. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5. Apendice: el espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5. Campos vectoriales 855.1. Concepto de campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 855.2. Estructura de los campos vectoriales . . . . . . . . . . 865.3. Paralelizabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4. Curvas integrales. Flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5. Grupo uniparametrico de difeomorfismos . . . . . . . . 915.6. Corchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.7. Apendice: Grupos y Algebras de Lie . . . . . . . . . . . 99

6. Tensores y formas diferenciales 1056.1. Tensores en un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . 105

6.1.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.1.2. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.1.3. Tensores tipo (r, s) con r + s = 2 . . . . . . . . 1086.1.4. Tensores tipo (r, s) . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.1.5. Tensores simetricos y antisimetricos tipo (2, 0) . 111

6.2. Tensores sobre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.2.1. Tensores en un espacio vectorial tangente . . . . 1126.2.2. Campos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.3. Formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.4. La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.4.1. Formas exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

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6.4.2. Diferencial de formas. Lema de Poincare . . . . 1196.5. Circulacion de una forma diferencial . . . . . . . . . . . 1226.6. Apendice 1: conexion simple . . . . . . . . . . . . . . . 1256.7. Apendice 2: Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . 127

7. Campos tensoriales metricos 1317.1. Metricas riemannianas y lorentzianas . . . . . . . . . . 1317.2. Gradiente de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.3. Campos conservativos e irrotacionales . . . . . . . . . . 1377.4. Circulacion de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . 1387.5. Isometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.6. Distancia en el caso riemanniano . . . . . . . . . . . . 1417.7. Apendice 1: bemol y sostenido . . . . . . . . . . . . . . 1427.8. Apendice 2: M. Lagrangiana y Hamiltoniana . . . . . . 144

8. Integracion en Variedades 1558.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.2. Integracion de n−formas diferenciales . . . . . . . . . . 159

8.2.1. El problema de la integracion sobre una variedad 1598.2.2. Integracion de n-formas en entornos coordenados 1618.2.3. Integracion general de n−formas . . . . . . . . 1638.2.4. Particiones de la unidad e integracion . . . . . . 165

8.3. Integracion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.3.1. Elementos de volumen e integracion de funciones 1678.3.2. Integracion en variedades semi-riemannianas . . 167

8.4. Teorıa de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.4.1. Nota previa sobre la integral de Riemann . . . . 1698.4.2. Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 1718.4.3. Integral de Lebesgue en Rn . . . . . . . . . . . 1728.4.4. Conjuntos de medida nula y espacio de medida

en una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.4.5. Integracion en una variedad . . . . . . . . . . . 176

8.5. Apendice 1: algebra exterior sobre V (R) . . . . . . . . 1788.6. Apendice 2: Elementos de volumen en V (R) . . . . . . 183

8.6.1. Elemento de volumen y orientacion . . . . . . . 1838.6.2. Determinante de un endomorfismo . . . . . . . 1848.6.3. El elemento de volumen metrico orientado . . . 185

8.7. Apendice 3: r−formas y orientacion . . . . . . . . . . . 186

iv INDICE GENERAL

8.7.1. El algebra de r−formas diferenciales . . . . . . 1868.7.2. Orientacion de una variedad . . . . . . . . . . . 1878.7.3. El recubridor de dos hojas orientable . . . . . . 189

9. Teorema de Stokes 1919.1. Derivaciones y antiderivaciones . . . . . . . . . . . . . 191

9.1.1. Derivacion tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . 1919.1.2. Antiderivacion tensorial . . . . . . . . . . . . . 1949.1.3. Teorema de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . 198

9.2. Variedades con borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999.2.1. Diferenciabilidad en abiertos de Rn

+ . . . . . . . 2009.2.2. Concepto de variedad con borde . . . . . . . . . 2019.2.3. Orientacion en el borde . . . . . . . . . . . . . . 204

9.3. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2069.4. Primeras aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9.4.1. Formula de Green-Riemann en el plano . . . . . 2099.4.2. Teorema integral de Cauchy . . . . . . . . . . . 2109.4.3. Teorema clasico de Stokes . . . . . . . . . . . . 211

9.5. Teorema de la Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 2149.6. Aplicaciones del T. de la Divergencia . . . . . . . . . . 2169.7. Formulas de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.8. Apendice: producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.8.1. Isomorfismos especiales en (V 3(R), µ0). . . . . . 2239.8.2. El rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

10.Conexiones afines 22510.1. Concepto de conexion afın . . . . . . . . . . . . . . . . 22510.2. Sımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22910.3. Derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23110.4. Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23410.5. Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23610.6. Conexiones simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23710.7. Aplicacion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

11.Curvatura 24111.1. Concepto de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24111.2. Tensor de curvatura 4-covariante . . . . . . . . . . . . 24211.3. Curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

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11.4. Tensor de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24411.5. Curvatura escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24511.6. Significado de la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . 246

11.6.1. Orıgenes geometricos . . . . . . . . . . . . . . . 24611.6.2. Como la curvatura determina la metrica . . . . 25011.6.3. Ecuacion de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . 25211.6.4. Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

12.Algunas notas sobre Relatividad 25512.1. Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

12.1.1. Espacios vectoriales lorentzianos . . . . . . . . . 25512.1.2. El grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . 25712.1.3. L4 como modelo de espaciotiempo . . . . . . . . 25912.1.4. La constancia de la velocidad de la luz . . . . . 26112.1.5. Algunas consecuencias del modelo . . . . . . . . 263

12.2. Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26512.2.1. El modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . 26512.2.2. Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26712.2.3. Maximizacion por geodesicas causales . . . . . . 26912.2.4. Ecuacion de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 27012.2.5. Modelos cosmologicos de Robertson-Walker . . 27312.2.6. Espaciotiempo de Schwarzschild . . . . . . . . . 275

vi INDICE GENERAL

Nota introductoria

El presente volumen recoge los apuntes del curso “Fısica Matematica III:Ga Diferencial y Variedades” impartido por el primero de los autores enla licenciatura de Fısica desde el ano 00/01. Su objetivo es ofrecer unaintroduccion rapida a la Geometrıa Diferencial que provea al estudian-te de una base geometrica para la Mecanica Racional, la RelatividadGeneral y otras ramas de la Fısica.

Con este objetivo, hacemos especial hincapie en la reflexion sobrelos conceptos y estructuras geometricas, ilustrandolos con ejemplos co-munes en Fısica. Las demostraciones tambien estan orientadas a estefin, por lo que se seleccionan aquellas que permiten profundizar en losconceptos o resolver problemas concretos. No obstante, aunque se ex-cluyan demostraciones, a menudo se dan esquemas o ideas intuitivasde ellas, que aporten mas seguridad a los conocimientos adquiridos.

Estos apuntes tambien se han revelado utiles para alumnos de Matema-ticas como los de doctorado, los cuales, una vez concluida la licen-ciatura, han necesitado reordenar sus conocimientos geometricos. Noobstante, conviene que los lectores de formacion matematica tenganpresente las siguientes dos advertencias:

(1) El objetivo de las frecuentes “Notas” o “Apendices” sobre cues-tiones de motivacion fısica no es ensenar estas a quien se las tope porprimera vez: si este es el caso, resulta preferible saltarselas. Su modestoobjetivo es permitir, a quien ya las ha estudiado alguna vez (aunque,probablemente, con un lenguaje muy diferente) ubicarlas en el contextogeometrico apropiado.

(2) Aunque los conceptos se suelen definir del modo intrınseco “librede coordenadas” usual en la Matematica moderna, se hace especialhincapie en las expresiones en coordenadas (incluso desde el puntode vista de los fundamentos). Ello suele ser especialmente util para

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viii INDICE GENERAL

los fısicos, pero no creemos que deba obviarlo un matematico. Por elcontrario, en nuestra opinion, este debe adquirir suficiente soltura encalculos concretos usando coordenadas.

Partimos de un conocimiento basico de Calculo Diferencial e Integralen varias variables, ası como de Algebra Lineal. No obstante, algunostemas de esta, que no suelen conocerse con mucha profundidad (espaciodual, tensores) se repasan en secciones especıficas. No presuponemos,sin embargo, ningun conocimiento previo de topologıa, por lo que,brevemente, el Tema 1 se dedica a ella.

Aparte de este primer tema sobre topologıa, y del ultimo, que pro-porciona una introduccion geometrica a la Teorıa de la Relatividad, elvolumen puede dividirse en cuatro partes:

Parte I. Temas 2–4. Se introducen los “fundamentos” del concepto devariedad, mostrando como el Calculo Diferencial puede extenderse aespacios mucho mas generales que los abiertos de Rn. Merece comen-tarse:

(a) Aunque el concepto de variedad diferenciable pueda introducirsede manera bastante mas directa (“conjunto dotado de un atlas dife-renciable maximal”) preferimos detenernos primero en el de variedadtopologica. La topologıa que subyace a toda variedad diferenciable orig-ina muchas de sus propiedades, y los preliminares del Tema 1 permitenentenderla con rigor.

(b) Tampoco presuponemos un conocimiento previo de superficiesde R3, por lo que estas y, en general, las subvariedades de Rn, apare-ceran a menudo como ejemplos de variedades. Sin embargo, aunque seestudien en particular sus propiedades, nuestro punto de vista es el dela geometrıa intrınseca, al resultar esta esencial en los fundamentos dela Fısica Teorica. La geometrıa extrınseca de curvas y superficies, mu-cho mas intuitiva (y de utilidad practica en problemas mas cotidianos)no la desarrollamos por razones de espacio. No obstante, hay excelentesmanuales sobre ella, como el libro de do Carmo [dC2]. Recomendamosal alumno que nunca la haya estudiado, consultar la bibliografıa paraformarse una mejor idea de conjunto, y para que su aproximacion a laGeometrıa Diferencial resulte mas gradual.

(c) Los vectores tangentes y aplicaciones diferenciables se intro-ducen de diversas maneras, progresivamente mas abstractas, ası: vec-tores como clases de equivalencia de curvas / vectores por coordenadas

INDICE GENERAL ix

/ derivaciones. A pesar de las redundancias y poca economıa logica queesto supone, creemos que ası se hacen mas asimilables esos conceptos.

Parte II. Temas 5–7. Se estudian objetos geometricos elementales sobreuna variedad diferenciable, hasta un primer contacto con la geometrıariemanniana. Aparte del tratamiento algebraico de campos tensorialessobre la variedad, se introducen: (i) campos vectoriales (curvas inte-grales, flujos), (ii) formas diferenciales (circulacion, formas cerradas yexactas) y (iii) metricas riemannianas o, con mas generalidad, semi-riemannianas. Ponemos especial interes en mostrar como, fijada unatal metrica, los conceptos asociados a formas diferenciales pueden apli-carse a campos vectoriales (y viceversa). La utilidad de las metricasriemannianas, y su facil asimilacion intuitiva, hacen que anticipemosalgunos conceptos, como el de distancia asociada, que se estudian conmas detalle posteriormente. Ası, al terminar esta segunda parte, el lec-tor habra adquirido unas nociones mınimas de geometrıa riemanniana.

Parte III. Temas 8–9. Se estudia integracion en variedades, tanto desdeel punto de vista de la integracion de n-formas diferenciales en varieda-des orientadas, como del de la integracion de funciones en un espaciode medida, definido este de manera natural a partir de una metricasemi-riemanniana. El motivo de desarrollar ambos enfoques se debe aque el alumno, probablemente, se tropezara antes o despues con losdos, aunque en las referencias al uso suelan escoger solo uno. Se pre-tende, pues, que se adquiera una vision de conjunto sobre integracion.Los conceptos relacionados de algebra exterior de formas diferenciales yorientacion (para el primer enfoque) o de integracion de Lebesgue (parael segundo) se explican sucintamente. En el Tema 9, dedicado al Teo-rema de Stokes, tambien desarrollamos los conceptos de derivaciones yantiderivaciones tensoriales. Muchas de las consecuencias del Teoremade Stokes tienen utilidad practica, tanto en partes de la Fısica (electro-magnetismo, Teorıas de Campos...) como mas puramente matematicas(calculo de areas, valores propios del laplaciano...), y nos centramos enlas mas clasicas.

La Parte III resulta independiente de la Parte IV posterior, con loque el lector interesado en esta puede leerla directamente despues dela I y II, sin perdida de continuidad.

Parte IV. Temas 10–11. Se estudia la conexion de Levi-Civita asociadaa una metrica (y, en general, conexiones afines), ası como sus elemen-

x INDICE GENERAL

tos geometricos asociados: derivada covariante, geodesicas, curvatura...Estos conceptos matematicos son mas sutiles que el de metrica rie-manniana, y su desarrollo historico fue largo y complejo. De ahı quehayamos preferido sacrificar (parcialmente) la intuicion, introduciendolos conceptos de una manera “logicamente economica”. No obstante,se intenta justificar la naturalidad de las definiciones, aunque sea aposteriori. Ası, p. ej., el Tema 11 concluye con un repaso puramenteintuitivo del concepto de curvatura en Geometrıa, con el objetivo dehacer mas asimilable la muy abstracta definicion de (tensor) curvaturade una variedad riemanniana.

Concluimos con un tema introductorio a la Relatividad General (y,por completitud, tambien a la Especial). Se pretende ilustrar ası laaplicabilidad de la geometrıa aprendida a esta parte fundamental dela Fısica, que la genialidad de Einstein pudo desarrollar gracias a laGeometrıa Diferencial preexistente.

No queremos terminar sin expresar nuestra gratitud a nuestros alumnosquienes, con agudas preguntas y disparatados comentarios, han ayu-dado en buena medida a enfocar estos apuntes. En particular, agrade-cemos a Jorge de Blas Mateo que nos prestara sus apuntes correspon-dientes al primer ano en que impartimos la asignatura.

Los autores somos conscientes de la no escasa dificultad que, prob-ablemente, hallaran los alumnos a quienes en primer lugar se dirigeel presente volumen. Pero les animamos a perseverar: si, como decıaGalileo, el libro de la Naturaleza esta escrito “in lingua matematica”pocas tareas resultaran tan gratificantes como dominar esta lengua.

Capıtulo 1

Topologıa basica

1.1. Generalidades

Intuitivamente la Topologıa es la rama de las matematicas que es-tudia las propiedades de los objetos que se conservan cuando estos sedeforman sin “cortar” ni “pegar” (con la excepcion de que es posible“cortar” si luego se “pega” por el mismo sitio). Por ejemplo, la super-ficie de una bola es topologicamente equivalente a la de una pelota derugby o la de una barra, aunque no lo es a la de un toro, puesto que esteultimo tiene un agujero. Este ultimo es topologicamente equivalente aun toro “anudado” como el de la Figura 1. En el presente capıtulo es-tudiaremos algunos preliminares topologicos, que pueden encontrarseen cualquier libro elemental de Topologıa (p. ej., vease [AMR, Chapter1] o [Ar]).

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2 CAPITULO 1. TOPOLOGIA BASICA

Figura 1

Definiciones 1.1.1 Dado un conjunto X diremos que una coleccionde subconjuntos τ de X es una topologıa si verifica:

(i) ∅, X ∈ τ .

(ii) Si U, V ∈ τ entonces U ∩ V ∈ τ (o, equivalentemente, la inter-seccion finita de elementos de τ pertenece a τ).

(iii) La union arbitraria de elementos de τ pertenece a τ .

Al par (X, τ) lo llamaremos espacio topologico. A cada elemento de latopologıa τ lo llamaremos abierto.

Ejemplos:

(1) Dado un conjunto X definimos la topologıa trivial de X comoτ = X, ∅.

(2) Dado un conjunto X definimos la topologıa discreta de X comoτ = P(X) (conjunto de las partes de X, esto es, coleccion detodos los subconjuntos de X).

1.1. GENERALIDADES 3

(3) Dado X = R definimos la topologıa usual τ de R como la colec-cion de todos los conjuntos que son intervalos abiertos o unionesarbitrarias de ellos.

(4) Dado X = R2 definimos la topologıa usual de R2 como la colec-cion de todos los rectangulos sin borde ]a, b[×]a′, b′[ o unionesarbitrarias de ellos. Ello es claramente generalizable a Rn, n ∈ N,cuyos abiertos para la topologıa usual se definen como unionesarbitrarias de n−rectangulos, cada uno de estos definido como elproducto cartesiano de n intervalos abiertos. Salvo especificacioncontraria, Rn se considerara dotado siempre de la topologıa usual.

Como ejemplo veamos que (3) es una topologıa. Obviamente, se verif-ican los axiomas (i) (∅ =]a, a[, R =] −∞,∞[) y (iii). Por tanto, soloresta comprobar (ii). Para ello es suficiente demostrar que si U, V sonabiertos y x ∈ U ∩ V entonces existe un intervalo abierto Ix ⊆ U ∩ Vtal que x ∈ Ix (pues en este caso U ∩V = ∪x∈U∩V Ix ∈ τ). Como x ∈ U(resp. x ∈ V ), que es abierto, existe ]a1, b1[⊆ U (resp. ]a2, b2[⊆ V ) talque x ∈]a1, b1[ (resp. x ∈]a2, b2[). Por tanto, basta tomar Ix =]a, b[ cona = Maxa1, a2, b = Minb1, b2.Definicion 1.1.2 Sea (X, τ) un espacio topologico, decimos que A ⊆X es cerrado si su complemento en X (es decir, X − A = x ∈ X :x 6∈ A) es abierto.

Ejemplos:

(1) ∅ y X son cerrados.

(2) En R con la topologıa usual el subconjunto [0, 1] es cerrado yaque R− [0, 1] =]−∞, 0[∩]1,∞[ es abierto. Sin embargo, los sub-conjuntos [0, 1[ y ]0, 1[∪[2, 7] no son cerrados ni abiertos.

(3) En un conjunto arbitrario X con la topologıa trivial los unicossubconjuntos cerrados o abiertos son ∅ y X.

(4) En un conjunto arbitrario X con la topologıa discreta todo sub-conjunto es cerrado y abierto.

(5) En R3 se ha definido la topologıa usual como la coleccion de todoslos subconjuntos del tipo ]a1, b1[×]a2, b2[×]a3, b3[ (3-rectangulos)


o uniones arbitrarias de ellos. No es difıcil comprobar que la esferaunidad S2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1 ⊂ R3 es uncerrado.

Las propiedades de los cerrados se deducen inmediatamente de lasdefiniciones:

(1) ∅ y X son cerrados.

(2) La interseccion arbitraria de cerrados es un cerrado.

(3) Si U y V son cerrados entonces U ∪ V tambien lo es (o, equiva-lentemente, la union finita de cerrados es un cerrado).

Definiciones 1.1.3 Sea (X, τ) un espacio topologico. Un entorno abier-to de x ∈ X es un abierto U tal que x ∈ U . Un entorno de x es unconjunto N ⊆ X que contiene a un entorno abierto de x.

Definiciones 1.1.4 Sean (X, τ) un espacio topologico, A ⊆ X y x ∈X. Diremos que:

(1) x es un punto interior de A si existe un entorno de x incluido enA. Usaremos la notacion A= x ∈ A : x es punto interior de A.

(2) x es un punto adherente de A si todo entorno de x interseca a A.Usaremos la notacion A = x ∈ X : x es punto adherente de A.Se dice que A es denso en X is A = X.

(3) x es un punto frontera de A si es adherente de A y de X − A.Usaremos la notacion ∂A = x ∈ X : x es punto frontera de A.

(4) x es un punto de acumulacion de A si todo entorno de x intersecaa A en puntos distintos de x. Usaremos la notacion A′ = x ∈X : x es punto de acumulacion de A.

(5) x es un punto aislado de A si existe un entorno N de x talque N ∩ A = x. Usaremos la notacion Ais(A) = x ∈ A :x es punto aislado de A.

Ejercicio. Clasifıquense los puntos del subconjunto A ⊂ R2 de laFigura 2 definido como la union del punto p, la curva γ (con un extremoincluido) y la region interior de la curva ρ junto con parte de esta curva.

Algunas propiedades inmediatas:

1.2. CONSTRUCCION DE TOPOLOGIAS 5

Figura 2

(1) A ⊆ A ⊆ A

(2) ∂A = A ∩ (X − A)

(3) A = A ∪ ∂A =A∪∂A

(4) A coincide con la union de todos los abiertos incluidos en A (Aes el abierto “mas grande” incluido en A).

(5) A coincide con la interseccion de todos los cerrados que contienena A (A es el “menor cerrado” que contiene a A).

Ejercicio. Clasifıquense los puntos del conjunto A = [0, 1[∪7∪ (]−3, 0[−]− 2,−1[) ⊂ R.

Ejercicio. Clasifıquense los puntos de un subconjunto arbitrario A ⊆X con cardinal mayor que 1 cuando se considera para X: (i) la topologıadiscreta, (ii) la topologıa trivial.

1.2. Algunos modos de construccion de

topologıas

Existen diferentes modos de definir una topologıa sobre un conjuntoX que pueden ser utiles dependiendo de la manera en que viene dadodicho conjunto:


A. Bases topologicas. Dado un espacio topologico (X, τ) una basetopologica o de entornos suya es un conjunto de abiertos B ⊆ τ talque todo abierto (no vacıo) U ∈ τ se puede expresar como union deelementos de B.

Ejemplos:

(1) En R con la topologıa usual una base topologica es la coleccionde todos los intervalos abiertos de R.

(2) En Rn con la topologıa usual una base topologica es la coleccionde todos los n-rectangulos abiertos de Rn.

(3) En Rn con la topologıa usual una base topologica es la coleccionde todas las bolas abiertas Bp(r) = x ∈ Rn : ‖x− p‖ < r, p ∈Rn, r > 0.

No es difıcil comprobar que, dado un conjunto X y una coleccion ar-bitraria B de subconjuntos de X tal que X = ∪B∈BB, se verifica: Bes una base topologica para alguna topologıa τ de X si y solo si paracualesquiera B1, B2 ∈ B la interseccion B1∩B2 se puede escribir comounion de elementos de B. En este caso1, τ esta determinada de maneraunica, y sus abiertos se construyen como uniones de elementos de B.

B. Subespacios topologicos. Dado un espacio topologico (X, τ)y un subconjunto A ⊆ X definimos la topologıa inducida en A por τcomo la topologıa de A: τA = A ∩ U : U ∈ τ. Ası todo subcon-junto arbitrario de R3 (por ejemplo, superficies como la esfera S2 =(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1) tiene una topologıa natural, quees la inducida por la usual de R3. Cabe destacar que los abiertos de Acon τA no tienen por que ser abiertos de X con τ . Ası, p. ej.: (a) losabiertos de S2 no lo son de R3 (salvo el ∅), o (b) un abierto de [0, 1](con la topologıa inducida de R) es ]1/2, 1].

C. Topologıa producto. Sean (X, τ), (X ′, τ ′) dos espacios topolo-gicos, se define la topologıa producto en X×X ′ como aquella topologıa

1En el caso de que no se verificara esta condicion, se puede demostrar que loselementos de B junto con las intersecciones finitas de ellos (y, eventualmente, eltotal X), determinan una base topologica; se dice entonces que B es una subbasetopologica. La topologıa ası generada se puede caracterizar como la menos fina (laque tiene menos abiertos) de entre las que contienen a B o, equivalentemente, comola interseccion de todas las topologıas que contienen a B

1.2. CONSTRUCCION DE TOPOLOGIAS 7

que admite por base topologica los productos U ×U ′, donde U,U ′ sonabiertos de τ, τ ′, respectivamente. Por ejemplo, la topologıa usual deR2 coincide con la topologıa producto de R× R.

D. Topologıa cociente. Dado un espacio topologico (X, τ) y unarelacion de equivalencia ∼ definida en X, sea X/ ∼ el conjunto co-ciente, esto es, el conjunto de todas las clases de equivalencia, y π laproyeccion canonica, es decir,

π : X → X/ ∼x 7→ [x],

donde [x] denota la clase de equivalencia de x. Definimos la topologıacociente en X/ ∼ como aquella que tiene por abiertos los subconjuntosdel tipo U ⊂ X/ ∼ tales que π−1(U) es un abierto de τ . En efecto,es inmediato comprobar que ası se define una topologıa, usando: (i)π−1(∅) = ∅, π−1(X/ ∼) = X, (ii) π−1(U ∩ V ) = π−1(U) ∩ π−1(V ) y(iii) π−1(∪αUα) = ∪απ−1(Uα).

Ejemplos:

(1) En X = [0, 1] ⊂ R definimos la relacion de equivalencia: x ∼ xpara todo x ∈ [0, 1] y 0 ∼ 1, 1 ∼ 0. El espacio topologico cocientese puede visualizar como2 una circunferencia.

(2) En X = R2 definimos la relacion de equivalencia (x, y) ∼ (x′, y′)si x− x′ ∈ Z y y − y′ ∈ Z. El espacio topologico cociente R2/ ∼se puede visualizar como un toro.

(3) En el subespacio topologico [0, 1] × [0, 1] de R2 se considera larelacion de equivalencia que se obtiene a partir de identificar cada(0, y) con (1, y),∀y ∈ [0, 1]. El cociente puede visualizarse comoun cilindro (con “borde” y sin “tapas”). Si se considera la relacionde equivalencia que se obtiene a partir de identificar cada (0, y)con (1, 1−y) el cociente puede visualizarse como la popular cintade Moebius (que es una superficie de R3 con una sola cara, unsolo borde, y para la que no existe una eleccion continua posible

2De manera rigurosa, la expresion “poder visualizar como” significa “ser home-omorfo a” (siendo el codominio del homeomorfismo un subespacio topologico deR3); vease la Definicion 1.5.3.


de un vector normal en cada punto). Si en la cinta de Moebiusademas se identifica cada (x, 0) con (x, 1) el cociente (botella deKlein) no puede visualizarse propiamente como una superficie deR3.

1.3. Axiomas de numerabilidad

Una condicion implıcita en muchas topologıas es la siguiente:

Definicion 1.3.1 Un espacio topologico (X, τ) verifica el segundo axio-ma de numerabilidad (ANII) si admite una base topologica numerable,es decir, finita o con el cardinal de N.

Aun mas, esta condicion puede relajarse:

Definicion 1.3.2 Un espacio topologico (X, τ) verifica el primer axio-ma de numerabilidad (ANI) si cada punto x ∈ X admite una base nu-merable de entornos, esto es, una sucesion de entornos abiertos Unn

(que puede elegirse de manera que Un+1 ⊂ Un para todo n) tal que:para todo entorno N de x existe un n ∈ N tal que Un ⊂ N .

Observaciones:

(1) No es difıcil comprobar: ANII⇒ANI. De hecho, la sucesion Unn

desempena el papel de “base topologica numerable” alrededor dex.

(2) R (y, en general, Rn) con la topologıa usual es ANII (y, por tanto,ANI). En efecto, una base numerable de la topologıa usual de Res B = ]x−ε, x+ε[: x, ε ∈ Q (recordemos que Q es numerable).

(3) R con la topologıa discreta es ANI pero no es ANII. En efecto,dado x ∈ R tomese, en la definicion de ANI, Un ≡ x ∀ n ∈ N.Sin embargo, cualquier base de la topologıa discreta de R debecontener a cada uno de los numeros reales como abierto suyo y,por tanto, no puede ser numerable (el cardinal de R es mayorque el de N).

1.4. LIMITES. ESPACIOS HAUSDORFF 9

1.4. Lımites. Espacios Hausdorff

Definicion 1.4.1 Sea (X, τ) un espacio topologico y xnn ⊆ X unasucesion de elementos de X. Diremos que xnn converge a x ∈ Xsi para todo entorno N de x existe un n0 ∈ N tal que xn ∈ N paratodo n ≥ n0. En este caso diremos que x es un lımite de xnn yescribiremos xnn → x.

Ejemplos:

(1) La sucesion 1/nn ⊂ R converge a 0 con la topologıa usual.

(2) Consideremos en un conjunto X la topologıa trivial. Entoncescualquier sucesion de X converge a cualquier elemento de X.Ası, el lımite de una sucesion puede no ser unico.

El problema de la posible falta de unicidad de los lımites, entre otros,se evita con el siguiente concepto.

Definicion 1.4.2 Se dice que un espacio topologico (X, τ) es Haus-dorff (o T2) si para cualesquiera x, y ∈ X x 6= y, existen entornosNx, Ny de x e y, respectivamente, tales que Nx ∩Ny = ∅.Proposicion 1.4.3 En todo espacio topologico Hausdorff (X, τ) el lı-mite de una sucesion convergente es unico.

Demostracion. Supongamos, por reduccion al absurdo, que una suce-sion xnn ⊆ X satisface xnn → x, xnn → y, siendo x 6= y. ComoX es Hausdorff existen entornos Nx, Ny de x e y respectivamente queson disjuntos. En consecuencia, existe un n0 (resp. n′0) tal que xn ∈ Nx

(resp. xn ∈ Ny) si n ≥ n0 (resp. n ≥ n′0). Entonces, si n = Maxn0, n′0

tenemos que xn ∈ Nx ∩Ny, lo que contradice que Nx ∩Ny = ∅. 2

Es inmediato comprobar que todo subespacio topologico de un es-pacio topologico Hausdorff es tambien Hausdorff.

Ejemplos:

(1) Rn con la topologıa usual (y todos sus subconjuntos con la topolo-gıa inducida) es Hausdorff.

(2) Obviamente, ningun conjunto X con cardinal mayor que uno ydotado de la topologıa trivial es Hausdorff. Todo conjunto con latopologıa discreta es Hausdorff.


(3) Sea X = R ∪ 0′ donde 0′ es un elemento que no pertenece aR, y consideremos la topologıa que tiene por base la coleccionformada por: (a) los abiertos de R (con la topologıa usual) y(b) los subconjuntos que resultan de tomar los abiertos de Rque contienen al 0, y reemplazar 0 por 0′. Esta topologıa no esHausdorff: los puntos 0 y 0′ no se pueden “separar” por entornos.

1.5. Continuidad

Definicion 1.5.1 Sean (X, τ), (X ′, τ ′) dos espacios topologicos y f :X → X ′ una aplicacion entre ellos. Se dice que f es continua enx0 ∈ X si para todo entorno abierto U ′ de f(x0) existe un entornoabierto U de x0 tal que f(U) ⊆ U ′. Diremos que f es continua si lo esen todos los puntos de X (vease la Figura 3).

Figura 3

Por supuesto, en la definicion anterior podemos reemplazar la expre-sion “entorno abierto” por “entorno” (compruebese). Tambien es facilcomprobar:

Proposicion 1.5.2 Una aplicacion entre dos espacios topologicos f :X → X ′ es continua si y solo si f−1(U ′) es abierto de (X, τ) para todoabierto U ′ de (X ′, τ ′).

1.5. CONTINUIDAD 11

Definicion 1.5.3 La aplicacion f : X → X ′ se dice que es un home-omorfismo si es biyectiva y tanto f como f−1 son continuas.

Dos espacios topologicos (X, τ), (X ′, τ ′) son homeomorfos si existeun homeomorfismo entre ellos (f : X → X ′ o, equivalentemente, g :X ′ → X).

El concepto de homeomorfismo es uno el modo riguroso de expresarla idea de cuando dos espacios topologicos son “equivalentes” y quetratabamos de apuntar con ideas intuitivas al principio de este capıtu-lo, como las de que dos espacios topologicos son “equivalentes” si sepueden obtener uno de otro deformando sin cortar ni pegar3. Dos espa-cios topologicos homeomorfos poseen las mismas propiedades topologi-cas.

Observaciones: Sean (X, τ), (X ′, τ ′) y (X ′′, τ ′′) tres espacios topologi-cos.

(1) La composicion g f : X → X ′′ de dos aplicaciones continuasf : X → X ′ y g : X ′ → X ′′ es tambien continua.

(2) La restriccion f |A⊆X : A → X ′ de una aplicacion continua f :X → X ′ es tambien continua (consideramos la topologıa inducidaen A por X). Ası, por ejemplo, la inclusion i : A ⊆ X → X escontinua ya que coincide con la restriccion a A de la aplicacionidentidad en X. Tambien son continuas las aplicaciones

ix′0 : X → X ×X ′

x 7→ (x, x′0)ix0 : X ′ → X ×X ′

x′ 7→ (x0, x′).

para cada x′0 ∈ X ′, x0 ∈ X.

(3) En el espacio topologico producto de (X, τ) y (X ′, τ ′) son con-tinuas las proyecciones:

p : X ×X ′ → X(x, x′) 7→ x

p′ : X ×X ′ → X ′

(x, x′) 7→ x′.

En efecto, la continuidad de p es consecuencia de que si U es unabierto de (X, τ) entonces f−1(U) = U × X ′ es un abierto deX ×X ′.

3Otro concepto relevante en este contexto es el de equivalencia homotopica, enel que no entraremos.


(4) Si (X, τ) es un espacio topologico entonces la proyeccion π :X → X/ ∼ es continua (consideramos la topologıa cociente paraX/ ∼). En efecto, por la definicion de la topologıa cociente, siU es un abierto de X/ ∼ entonces π−1(U) es un abierto de X.Mas aun, dado otro espacio topologico (X ′, τ ′), una aplicacionf : (X/ ∼) → X ′ sera continua si y solo si lo es la composicionf π : X → X ′.

Ejercicio. (1) Sean (X, τ) un espacio topologico ANI, A ⊆ X yx ∈ X. Pruebese que x ∈ A si y solo si existe una sucesion xnn ⊆ Aque converge a x.

(2) Sea f : X → X ′ una aplicacion entre dos espacios topologicossiendo (X, τ) ANI, y sea x0 ∈ X. Pruebese que f es continua en x0 siy solo si para toda sucesion xnn ⊆ X que converge a x0 la sucesionf(xn)n converge a f(x0).

(3) Compruebese que la relacion “ser homeomorfo a” en la clase detodos los espacios topologicos es de equivalencia.

1.6. Espacios topologicos metricos

En el espacio euclıdeo Rn estamos familiarizados con el uso de ladistancia (usual) definida por d0(x, y) = (

∑ni=1(xi−yi)

2)1/2, siendo x =(x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) dos puntos cualesquiera de Rn. Veamoscomo se puede generalizar este concepto a conjuntos arbitrarios:

Definicion 1.6.1 En un conjunto X definimos una distancia o metri-ca como una aplicacion d : X ×X → R que verifica:

(i) d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ X, con igualdad si y solo si x = y.

(ii) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X.

(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z ∈ X.

En este caso al par (X, d) se le llama espacio metrico.

Es inmediato comprobar que cada A ⊂ X hereda una distancia porrestriccion de d a A×A. Se dice entonces que A (o, mas propiamente,A con la restriccion de la distancia) es un subespacio metrico de X.

1.6. ESPACIOS TOPOLOGICOS METRICOS 13

Ejemplo. Una distancia en R2 muy distinta a la usual es la siguienteaplicacion d′ : R2 × R2 → R (“distancia de la Renfe”):

d′(x, y) =

‖x− y‖ si x, y estan en una recta que pasa por (0, 0),‖x‖+ ‖y‖ en caso contrario.

Definiciones 1.6.2 Sea (X, d) un espacio metrico y x0 ∈ X. Defini-mos la bola abierta de centro x0 y radio r ≥ 0 como Bx0(r) = x ∈X : d(x, x0) < r. Analogamente, definimos la bola cerrada de centrox0 y radio r ≥ 0 como Bx0(r) = x ∈ X : d(x, x0) ≤ r.

Definicion 1.6.3 Sea (X, d) un espacio metrico. Llamaremos topolo-gıa metrica asociada a (o inducida por) d en X a aquella que admitepor base topologica todas las bolas abiertas (de cualquier centro y decualquier radio) para dicha metrica.

Ejercicio. (1) Pruebese que las bolas abiertas constituyen, efectiva-mente, una base para una topologıa.

(2) Sea U un abierto de (X, d) para la topologıa metrica. Pruebeseque para todo x ∈ U existe un ε > 0 tal que Bx(ε) ⊂ U .

Es facil comprobar que la topologıa inducida por una metrica es siem-pre ANI y Hausdorff, aunque no necesariamente ANII.

Ejemplo. Sea X un conjunto y consideremos la distancia

d(x, y) =

0 si x = y,1 si x 6= y.

La topologıa asociada a d es la discreta. Por tanto, si X no es nume-rable, la topologıa asociada no resultara ANII.

Un espacio topologico (X, τ) se dice metrizable si existe alguna distan-cia d cuya topologıa metrica sea τ . Estaremos especialmente interesa-dos en tales espacios topologicos, pero destaquemos que, en general, ladistancia d no esta fijada de modo unico o canonico por τ .

Ejemplo. En R2 (y en cualquier Rn) la topologıa metrica asociada a ladistancia usual d0 es la topologıa usual. Considerese la nueva distanciasobre R2, d((x, y), (x′, y′)) = |x− x′|+ |y− y′| (¿como son sus bolas?).La topologıa metrica asociada a d tambien coincide con la usual. Sin


embargo, la topologıa metrica asociada a la “distancia de la Renfe” d′

es diferente.

Todo espacio metrico (X, d) se considerara siempre como espacio topolo-gico metrico, esto es, como una terna (X, d, τ) donde τ es la topologıametrica asociada a d. Para espacios topologicos metricos podemos ree-scribir los conceptos de lımite y continuidad. Las siguientes dos proposi-ciones se pueden comprobar con facilidad.

Proposicion 1.6.4 Sea (X, d) un espacio metrico. Una sucesion xnn

⊆ X converge a x0 ∈ X si y solo si para todo ε > 0 existe un n0 ∈ Ntal que si n ≥ n0 entonces d(xn, x0) < ε.

Notese que el lımite, si existe, es unico pues la topologıa metrica esHausdorff.

Proposicion 1.6.5 Sean (X, d), (X ′, d′) dos espacios metricos, f :X → X ′ una aplicacion y x0 ∈ X. Son equivalentes:

(i) f es continua en x0.

(ii) Si xnn ⊆ X converge a x0 entonces f(xn)n converge a f(x0).

(iii) Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si d(x, x0) < δ entoncesd′(f(x), f(x0)) < ε.

Notese que la equivalencia entre (i) y (ii) se mantiene en todo espaciotopologico ANI (vease el ejercicio de la Seccion 1.5).

Definicion 1.6.6 De un homeomorfismo f : X → X ′ entre dos es-pacios metricos (X, d), (X ′, d′) que verifique d(x, y) = d′(f(x), f(y)),para todo x, y ∈ X, se dice que es una isometrıa. En este caso, se diceque los dos espacios metricos son isometricos.

Espacios metricos isometricos tienen iguales todas sus propiedades re-lativas a la distancia. La relacion “ser isometrico a” en la clase de todoslos espacios metricos es de equivalencia.

Ejercicio. Compruebese que, en la definicion de isometrıa, la inyec-tividad de f , y la continuidad tanto de f como de su inversa, se puedendeducir del resto de las condiciones.

Dos conceptos que podemos definir en espacios metricos pero no entopologicos son los siguientes de sucesion de Cauchy y completitud.

1.6. ESPACIOS TOPOLOGICOS METRICOS 15

Definicion 1.6.7 Sea (X, d) un espacio metrico. Diremos que unasucesion xnn ⊆ X es de Cauchy si para todo ε > 0 existe un n0 ∈ Ntal que si n,m ≥ n0 entonces d(xn, xm) < ε.

Claramente toda sucesion convergente es de Cauchy, pero el recıprocono es cierto.

Definicion 1.6.8 Se dice que un espacio metrico (X, d) es completosi toda sucesion de Cauchy es convergente.

Ejemplos:

(1) El espacio euclıdeo Rn con la distancia usual es completo. Conla topologıa inducida sus bolas cerradas Bx0(r) son completas (ylas abiertas Bx0(r) no, para ningun x0 ∈ Rn, r > 0).

(2) El conjunto de los numeros racionales Q con la distancia inducidapor la usual de R no es completo4.

Observese que los conceptos de completitud o de sucesion de Cauchydependen (a diferencia de los de convergencia o continuidad) no solode la topologıa sino tambien de la metrica. Ası, aunque varias distan-cias generen la misma topologıa metrica τ , una misma sucesion xnn

puede ser de Cauchy para una de ellas y no para las otras. Pero xnn

sera convergente si y solo si lo es para la topologıa τ ; por tanto, sixnn es convergente tambien sera de Cauchy para todas las metricascon topologıa metrica asociada τ .

Ejercicio. Se dice que una aplicacion entre dos espacios metricosf : X → X ′ es uniformemente continua si

∀ε > 0, ∃δ > 0 : d(x, y) < δ ⇒ d′(f(x), f(y)) < ε.

Compruebese que si f es uniformemente continua:(a) es continua, y(b) la imagen por f de una sucesion de Cauchy en (X, d) es una

sucesion de Cauchy en (X ′, d′).

Muestrese con un contraejemplo que si f verifica (a) y (b) no tiene porque ser uniformemente continua.

4De hecho,R puede verse como la “completacion” deQ -intuitivamente, como elespacio que se obtiene anadiendo a Q el mınimo de puntos necesarios para obtenerun espacio completo-; el concepto de completacion se puede generalizar a cualquierespacio metrico.


1.7. Conexion y arcoconexion

Definicion 1.7.1 Decimos que un espacio topologico (X, τ) es conexosi los unicos subconjuntos de X que son a la vez abiertos y cerradosson el vacıo y el total.

Observacion. Notese que encontrar un subconjunto A ⊆ X, A 6= ∅, Xque sea abierto y cerrado equivale a encontrar dos subconjuntos de Xabiertos (o cerrados) U, V no vacıos, disjuntos y tales que X = U ∪ V .Por ejemplo, en R3 el subconjunto A definido como la union de unaesfera y un plano que no sean tangentes ni secantes es no conexo.

Definicion 1.7.2 Sea (X, τ) un espacio topologico y A ⊆ X. Diremosque A es una parte o componente conexa de X si el unico subconjuntoconexo de X que contiene a A es el propio A.

Por ejemplo, las componentes conexas de Q son cada uno de sus ele-mentos ya que ningun subconjunto A ⊆ Q con mas de un elementoes conexo. En efecto, sean r1, r2 ∈ A, r1 < r2, y sea a ∈ R − Q conr1 < a < r2. En ese caso, los subconjuntos no vacıos U =]−∞, a[∩A yV =]a,∞[∩A son abiertos de A, disjuntos y tales que A = U ∪ V , portanto, A no es conexo.

Supondremos conocido de la estructura de R que los subconjuntosconexos de R coinciden con los intervalos (de cualquier tipo: abiertos,cerrados, semiabiertos, acotados, no acotados...).

Ejercicio. Sea X un conjunto con cardinal mayor que 1 y con-siderense las topologıas trivial y discreta. ¿Con cuales de ellas es Xconexo?

Definicion 1.7.3 Dado un espacio topologico (X, τ) definimos un ar-co ϕ en X como una aplicacion continua ϕ : [a, b] → X, −∞ < a <b < ∞. Si x = ϕ(a) y y = ϕ(b) diremos que dicho arco conecta x cony.

En esta definicion se puede normalizar el dominio de los arcos suponien-do siempre [a, b] = [0, 1].

Definicion 1.7.4 Un espacio topologico (X, τ) se dice que es arco-conexo si cualesquiera x, y ∈ X se pueden conectar con un arco en X.

1.7. CONEXION Y ARCOCONEXION 17

Un ejemplo sencillo de espacio topologico arcoconexo (y, por tantoconexo; vease la siguiente proposicion) es Rn con la topologıa usual.En efecto, para cualesquiera x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn elarco (segmento cerrado) ϕ : [0, 1] → Rn, ϕ(t) = x− t(x− y) conecta xcon y.

Proposicion 1.7.5 Todo espacio topologico (X, τ) arcoconexo es co-nexo.

Demostracion. Supongamos, por reduccion al absurdo, que no es co-nexo. Entonces existen abiertos disjuntos no vacıos U, V tales queX = U ∪ V . Como X es arcoconexo existe un arco ϕ : [0, 1] → Xque conecta x ∈ U con y ∈ V . En consecuencia, los subconjuntosϕ−1(U) y ϕ−1(V ) son abiertos de [0, 1] (ya que ϕ es continua), disjun-tos (ya que U ∩V = ∅), no vacıos (0 ∈ ϕ−1(U),1 ∈ ϕ−1(V )) y tales que[0, 1] = ϕ−1(U) ∪ ϕ−1(V ) (ya que X = U ∪ V ), lo que contradice queel intervalo [0, 1] es conexo. 2

Ejemplo. El subconjunto X = (x, y) ∈ R2 : y = senπx, 0 < x ≤

1 ∪ (0, y) : −1 ≤ y ≤ 1 ⊂ R2 con la topologıa inducida de R2 esun ejemplo tıpico de espacio topologico conexo que no es arcoconexo(vease la Figura 4).

Figura 4


Teorema 1.7.6 Sean (X, τ), (X ′, τ ′) espacios topologicos y f : X →X ′ una aplicacion continua. Si X es conexo entonces f(X) tambien esconexo.

Demostracion. Supongamos, por reduccion al absurdo, que f(X) noes conexo. Entonces existen abiertos disjuntos U ′, V ′ ⊆ X ′ tales quef(X) ⊆ U ′ ∪ V ′, U ′ ∩ f(X) 6= ∅ y V ′ ∩ f(X) 6= ∅. Como f es continua,U = f−1(U ′) y V = f−1(V ′) son abiertos no vacıos de X. Ademas,U ∩ V = ∅ y X = U ∪ V . Luego X no es conexo, lo que contradicenuestra hipotesis. 2

Observese que el Teorema de Bolzano clasico se obtiene de esteresultado sin mas que tomar X = [a, b], X ′ = R y suponer f(a) ·f(b) <0. En efecto, en ese caso al ser f([a, b]) un conexo de R, este conjuntotiene que ser otro intervalo y, necesariamente, 0 pertenecera a el.

Ejercicio. Pruebese que si f : X → X ′ es continua y X es arcoconexoentonces f(X) es arcoconexo.

1.8. Compacidad

Definicion 1.8.1 Dado un espacio topologico (X, τ) llamamos recu-brimiento abierto U de (X, τ) a una coleccion de abiertos de X cuyaunion sea todo X. Un subrecubrimiento de U es un subconjunto U ⊆ Utal que U tambien es un recubrimiento abierto de X.

Definicion 1.8.2 Decimos que un espacio topologico (X, τ) es com-pacto si para todo recubrimiento abierto suyo U existe un subrecubri-miento Uf ⊆ U con un numero finito de elementos.

Dos propiedades tıpicas de los espacios compactos son las siguientes:

Proposicion 1.8.3 Sea (X, τ) un espacio topologico compacto:

(1) Si A ⊆ X es cerrado entonces A es compacto.

(2) Si (X ′, τ ′) es otro espacio topologico y f : X → X ′ es continuaentonces Imf = f(x) : x ∈ X(= f(X)) es compacto.

1.8. COMPACIDAD 19

Demostracion. (1) Notese que cada abierto UA de A se puede escribircomo UA = U ∩ A, donde U es un abierto de X. Dado cualquierrecubrimiento abierto de A, UA, consideremos el conjunto U formadopor los abiertos U de X con U ∩A ∈ UA. Como A es cerrado, X−A esun abierto de X; por tanto, U ∪ (X − A) es un recubrimiento abiertode X. Al ser X compacto, podemos extraer un subrecubrimiento finitoUf de U ∪ X −A, y el conjunto Uf

A = U ∩A|U ∈ (Uf − (X −A))es un subrecubrimiento finito de UA.

(2) Para cualquier recubrimiento abierto U ′ de f(X), se considera elrecubrimiento abierto de X: U = f−1(U ′)|U ′ ∈ U ′. Tomando ahoraun subrecubrimiento finito de U y, para cada abierto Ui, i = 1, . . . k,de este subrecubrimiento, un abierto U ′

i ∈ U ′ con f(Ui) = U ′i , se extrae

el subrecubrimiento finito U ′1, . . . , U

′k de U ′. 2

Proposicion 1.8.4 Sea (X, τ) un espacio topologico Hausdorff. Si K ⊆X es compacto entonces K es cerrado en X.

Demostracion. Probaremos que X −K es abierto. Para ello, basta condemostrar que, fijado y ∈ X −K existe un entorno abierto Uy tal queUy ∩ K = ∅. Por ser X Hausdorff para cada x ∈ K existen entornosabiertos Ux, U

′x de x e y, respectivamente, tales que Ux ∩ U ′

x = ∅. Enconsecuencia, UK = Ux ∩K : x ∈ K es un recubrimiento abierto deK. Pero como K es compacto podemos extraer un subrecubrimientofinito Uf

K = Ux1∩K, . . . , Uxn∩K. Por tanto, un entorno abierto de yque satisface las propiedades requeridas es Uy = U ′

x1∩· · ·∩U ′

xn⊆ X−K.

2

Relacionada con la compacidad se halla la siguiente propiedad.

Definicion 1.8.5 Un espacio topologico (X, τ) se dice que es secuen-cialmente compacto si cualquier sucesion xnn ⊆ X admite una par-cial5 convergente.

En los espacios topologicos que nos interesaran, compacidad y com-pacidad secuencial coinciden.

Teorema 1.8.6 (Bolzano-Weierstrass). Sea (X, τ) un espacio topolo-gico metrizable y ANII. Entonces, X es compacto si y solo si X essecuencialmente compacto.

5Esto es, una sucesion del tipo xσ(n)n, donde σ : N → N es una aplicacionestrictamente creciente.


La prueba, bajo hipotesis mas refinadas, puede consultarse, por ejem-plo, en [AMR, Proposition 1.5.5].

Ejercicio. Sea (X, d) un espacio metrico. Demuestrese: (i) si unasucesion de Cauchy admite una parcial convergente entonces converge;(ii) si (X, d) es secuencialmente compacto entonces debe ser completo.

Analicemos con mas detalle el concepto de compacidad en espaciosmetricos.

Definiciones 1.8.7 Sea (X, d) un espacio metrico y ∅ 6= A ⊆ X.Definimos el diametro de A como diam(A) =Supd(x, y) : x, y ∈ A ∈[0,∞]. Ası, diremos que A esta acotado si diam(A) < ∞.

Notese que el diametro de las bolas (abiertas o cerradas) de Rn es dosveces su radio.

Proposicion 1.8.8 Sea (X, d) un espacio metrico y K ⊆ X compacto.Entonces K es cerrado y acotado.

Demostracion. Por la Proposicion 1.8.4, K es cerrado (recordemosque todo espacio metrico es Hausdorff). Para probar que es acota-do, fijemos xo ∈ K y consideremos su recubrimiento abierto UK =Bx0(n)∩K : n ∈ N. Como K es compacto podemos extraer un sub-recubrimiento finito y, por tanto, K ⊂ Bx0(n0) para algun n0. Luegodiam(K) ≤diam(Bx0(n0)) ≤ 2n0. 2

Senalemos que, en general, no es cierto que si K ⊆ X es cerradoy acotado ello implique que sea compacto (por ejemplo, tomese K =X = R con la distancia d(x, y) = 1 si x 6= y)6. Sin embargo, ello ocurreen Rn con la topologıa usual, esto es :

Teorema 1.8.9 (Heine-Borel) Los conjuntos compactos de Rn son loscerrados y acotados.

La demostracion no es difıcil teniendo en cuenta: (a) por la Proposi-cion 1.8.3 basta con probar que un n-rectangulo cerrado y acotado[a1, b1]×· · ·×[an, bn] que contenga A es compacto, (b) [a1, b1] es secuen-cialmente compacto y, razonando inductivamente tomando sucesionesparciales, el n-rectangulo tambien lo sera, (c) por el Teorema 1.8.6, el

6Menos trivialmente: en un espacio de Hilbert de dimension ∞ la bola cerradade centro el vector 0 y radio 1 no es compacta.

1.8. COMPACIDAD 21

n-rectangulo es compacto (mas detalles pueden consultarse, p. ej., en[AMR, 1.5.9]).

Corolario 1.8.10 Sea (X, τ) un espacio topologico compacto y f :X → R continua. Entonces f admite un maximo y un mınimo absolu-tos.

Demostracion. En efecto, como X es compacto tambien lo es su imagenf(X) ⊂ R (Proposicion 1.8.3(2)). Entonces f(X) es cerrada y acotada.Por ser acotada Supf < ∞ y, por ser cerrada, Supf = Maxf (para elmınimo absoluto se razona analogamente). 2

En particular, este resultado se da cuando X = [a, b], genera-lizandose una propiedad elemental conocida de las funciones continuas.

Capıtulo 2

El concepto de variedaddiferenciable

2.1. Concepto de variedad topologica

Definicion 2.1.1 Una variedad topologica de dimension n ∈ N es unespacio topologico Hausdorff y ANII1 Q(≡ (Q, τ)), Q 6= ∅, que es lo-calmente homeomorfo a Rn en el siguiente sentido (vease la Figura 5):

para cada punto p ∈ Q existen un entorno abierto U de py un abierto Θ de Rn que son homeomorfos, esto es, talesque ∃ ϕ : U → Θ ⊆ Rn homeomorfismo.

Dada una variedad topologica Q, introducimos los siguientes conceptos:

– (U,ϕ) es un entorno coordenado de p (o bien, una carta coorde-nada o unas coordenadas locales alrededor de p).

– Sea πi : Rn → R, πi(x1, . . . , xn) = xi, entonces a qi ≡ πiϕ : U ⊆Q → R le llamaremos coordenada i-esima. Tambien usaremos lanotacion (U,ϕ) ≡ (U, q1, . . . , qn).

1Muchos autores no imponen el requisito de ser ANII. En la practica, paranosotros, no sera restrictivo (vease la Observacion (4) mas adelante).

23

24CAPITULO 2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE

Figure 5

– Una coleccion de entornos coordenados A = (Uα, ϕα) : α ∈ Ies un atlas (topologico) si Q = ∪α∈IUα.

Observaciones:

(1) En la definicion se ha supuesto que la dimension es un numeronatural (n ≥ 1). Como caso lımite admitiremos n = 0 asum-iendo R0 := 1 (si Q es localmente homeomorfo a R0 entoncestendra la topologıa discreta).

(2) La dimension de la variedad es unica, porque un espacio topolo-gico no puede ser localmente homeomorfo a Rn y Rm, n 6= m ala vez. Esto se debe a que ningun abierto ( 6= ∅) de Rn puede serhomeomorfo a ningun abierto de Rm. Aunque muy intuitivo, laprueba de este resultado no es en absoluto trivial2.

(3) Un espacio topologico que sea localmente homeomorfo a Rn puedeno ser Hausdorff. De hecho, el ejemplo no trivial de espaciotopologico no Hausdorff que vimos en el capıtulo anterior, al finalde la Seccion 1.4, prueba que ser localmente homeomorfo a R noimplica ser Hausdorff.

2Es una consecuencia de un resultado clasico en Topologıa, el Teorema de In-variancia Dominio. Sin embargo, la unicidad de la dimension de las variedadesdiferenciables, que estudiaremos mas adelante, sı se puede probar con facilidad apartir del Teorema de la Funcion Inversa.

2.1. CONCEPTO DE VARIEDAD TOPOLOGICA 25

(4) La hipotesis relativa al axioma ANII puede no imponerse en prin-cipio, si bien otras hipotesis “muy razonables” pueden acabar im-plicandolo. De hecho, es posible demostrar que, fijadas las otrashipotesis de la definicion de variedad, equivale exigir: (1) Q esANII y (2) la topologıa de Q es metrizable con un conjunto nu-merable de partes conexas3.

Ejercicio. Sea (Q, τ) un espacio topologico localmente homeomorfo aRn. Pruebese: (i) Q es ANI, (ii) Q es conexo si y solo si es arco-conexo,(iii) las partes conexas de Q son abiertas y cerradas en Q (¿ocurre lomismo con las partes conexas del conjunto de los racionales Q?)

Por supuesto, Rn (o cualquier abierto suyo no vacıo) es una variedadtopologica de dimension n. En efecto, para probarlo basta considerarcomo atlas A = (Rn, Id) (Id: aplicacion identidad). Sin embargo,en ocasiones resulta util usar otros entornos coordenados como, porejemplo, las coordenadas polares sobre R2, las coordenadas esfericaso bien las cilındricas sobre R3, etc. (vease el Apendice 2). Como unejemplo explıcito menos trivial, en el Apendice 1 construimos dos atlassobre la esfera.

En una variedad topologica (Q, τ) consideremos dos cartas (U,ϕ),(U , ϕ) tales que U ∩ U 6= ∅ y tomemos p ∈ U ∩ U . Entonces, a partirde los homeomorfismos

ϕ |U∩U : U ∩ U → ϕ(U ∩ U)

ϕ |U∩U : U ∩ U → ϕ(U ∩ U)

podemos construir los homeomorfismos

ϕ (ϕ |U∩U)−1 : ϕ(U ∩ U) ⊆ Rn → ϕ(U ∩ U) ⊆ Rn

ϕ (ϕ |U∩U)−1 : ϕ(U ∩ U) ⊆ Rn → ϕ(U ∩ U) ⊆ Rn.

A estos homeomorfismos se les llama cambios de carta o de coordenadas(vease la Figura 6).

3La metrizabilidad tambien equivale a la propiedad topologica llamada paracom-pacidad, que muchos autores usan en lugar de ANII. Ası, cuando se usa la paracom-pacidad en lugar de ANII, se permite un conjunto no numerable de partes conexas.Esta generalidad no es de mucha utilidad practica (y resulta incluso contraprodu-cente en algunos contextos, como los resultados de unicidad para la topologıa desubvariedades).


Figura 6

Observacion. De acuerdo con la notacion ya introducida (U,ϕ) ≡(U, q1, . . . , qn), (U , ϕ) ≡ (U , q1, . . . , qn) se suele usar la notacion

ϕ (ϕ |U∩U)−1 ≡ (q1(q1, . . . , qn), . . . , qn(q1, . . . , qn))ϕ (ϕ |U∩U)−1 ≡ (q1(q1, . . . , qn), . . . , qn(q1, . . . , qn)).

Ası, para el ejemplo de las coordenadas polares en R2 (Apendice 2) setienen los siguientes cambios de coordenadas:

(x(ρ, θ), y(ρ, θ)); x(ρ, θ) = ρ cos θ, y(ρ, θ) = ρsenθ,

(ρ(x, y), θ(x, y)); ρ(x, y) =√

x2 + y2, θ(x, y) = 2 · arc tan y

x+√

x2+y2.

2.2. Variedades diferenciables

Definiciones 2.2.1 Sea (Q, τ) una variedad topologica de dimension n:

(1) Diremos que un cambio de cartas entre (U,ϕ) y (U , ϕ) es dife-renciable Cr, r ∈ N ∪ ∞ si las aplicaciones

ϕ (ϕ |U∩U)−1 : ϕ(U ∩ U) ⊆ Rn → ϕ(U ∩ U) ⊆ Rn

ϕ (ϕ |U∩U)−1 : ϕ(U ∩ U) ⊆ Rn → ϕ(U ∩ U) ⊆ Rn

son diferenciables Cr. (Si U ∩ U = ∅ el correspondiente cambiode coordenadas sera diferenciable C∞ por definicion.)

2.2. VARIEDADES DIFERENCIABLES 27

(2) Diremos que un atlas A = (Uα, ϕα) : α ∈ I es diferenciable Cr

si todos sus cambios de carta son diferenciables Cr.

Por simplicidad de lenguaje, de ahora en adelante por “diferenciable”entenderemos “diferenciable C∞ ” para los cambios de carta.

Definicion 2.2.2 Diremos que un atlas D de Q es una estructuradiferenciable si es un atlas diferenciable (C∞) maximal en el siguientesentido:

Si (U,ϕ) es un entorno coordenado de Q cuyos cambiosde cartas con todos los elementos de D son diferenciablesentonces (U,ϕ) ∈ D.

Observaciones:

(1) Cualquier atlas diferenciable A determina una unica estructuradiferenciable D(A) tal que A ⊆ D(A).

(2) Dados dos atlas diferenciables A, B se tiene que D(A) = D(B)si y solo si A ∪ B es un atlas diferenciable.

Definicion 2.2.3 Una variedad diferenciable de dimension n es unaterna (Q, τ,D) donde (Q, τ) es una variedad topologica de dimensionn y D una estructura diferenciable.

De ahora en adelante, cuando digamos que Q es una variedad diferen-ciable realmente nos estaremos refiriendo a la terna (Q, τ,D).

Observacion. Una misma variedad topologica puede admitir masde una estructura diferenciable. En efecto, consideremos la variedadtopologica Q = R y los atlas A = (R, Id), B = (R, x3). Si consi-deramos los cambios de carta entre (U,ϕ) = (R, Id) y (U , ϕ) = (R, x3)tenemos:

ϕ ϕ−1 : R→ Rx 7→ x3

ϕ ϕ−1 : R→ Rx 7→ x1/3.

Vemos que ϕ ϕ−1 no es diferenciable en cero y, por tanto, D(A) 6=D(B). De ahora en adelante cuando hablemos de Rn como variedaddiferenciable asumiremos como estructura diferenciable la generada porel atlas A = (Rn, Id).


En el Apendice 1 construimos explıcitamente dos atlas diferencia-bles naturales sobre la esfera. Ambos generan la misma estructura dife-renciable la cual, por defecto, sera la que consideremos sobre la esfera.Es digno de reflexion que, aunque en la practica baste con trabajarcon un atlas diferenciable, resulte conceptualmente necesario consider-ar “estructuras diferenciables” en la definicion de variedad.

Consideremos ahora otros ejemplos:

Ejemplos de variedades diferenciables:

(1) Construyamos una estructura de variedad diferenciable en cual-quier espacio vectorial real de dimension n, V n(R), definiendotanto la topologıa como la estructura diferenciable. Sea B =(v1, . . . , vn) una base ordenada cualquiera de V n. Consideremosla aplicacion biyectiva FB que a cada vector le hace correspondersus coordenadas en B, esto es:

F−1B : Rn → V n

(a1, . . . , an) 7→ ∑ni=1 aivi.

Si tomamos otra base distinta B = (v1, . . . , vn) podemos consid-erar igualmente la aplicacion biyectiva

F−1

B: Rn → V n

(a1, . . . , an) 7→ ∑ni=1 aivi.

Entonces la aplicacion FB F−1

B: Rn → Rn es biyectiva y lineal

(en particular, continua y diferenciable). Obviamente, lo mismoocurre con la aplicacion FB F−1

B . Por tanto se trata de un home-omorfismo. Diremos que U ⊆ V n es un abierto de V n si FB(U)(y, por tanto, FB(U) para cualquier otra base B) es un abiertode Rn. De esta forma queda definida una topologıa sobre V n, queresulta independiente de la base escogida. Por construccion, V n

es homeomorfo a Rn y, por tanto, Hausdorff y ANII, ademas deuna variedad topologica de dimension n. Si tomamos como en-tornos coordenados A = (V n, FB) : B base de V n entonces loscambios de carta son las aplicaciones FB F−1

Bque, como hemos

visto, son diferenciables. Por tanto, A es un atlas diferenciableque genera una estructura diferenciable para V n.

2.2. VARIEDADES DIFERENCIABLES 29

(2) El conjunto de las matrices reales de orden m× n, Mm×n(R) esuna variedad diferenciable de orden m·n. En efecto, basta dotarlade la estructura diferenciable de Rm·n bajo la identificacion na-tural Mm×n(R) ≡ Rm·n.

(3) Si tenemos dos espacios vectoriales reales V n(R), V m(R) entoncesel conjunto de todas las aplicaciones lineales L(V n, V m) = f :V n → V m : f es lineal es una variedad diferenciable de dimen-sion n·m. En efecto, esto es inmediato de (1) y de que L(V n, V m)tiene estructura de espacio vectorial de dimension n ·m. Una for-ma natural de definir un atlas es fijar dos bases B y B′ de V n yV m, respectivamente, y considerar la aplicacion biyectiva

f : L(V n, V m) →Mm×n(R)f 7→ M(f, B′ ← B)

que asocia a cada aplicacion lineal f su representacion matricialcon respecto a las bases B y B′. (Esta aplicacion permite definiruna topologıa y una estructura diferenciable para L(V n, V m) apartir de las de Mm×n(R) tal y como se hizo en (1) a partir deRn.)

(4) Un abierto U(6= ∅) de una variedad diferenciable Q de dimensionn es tambien una variedad diferenciable de dimension n. En efec-to, basta tomar la restriccion a U de la topologıa y los elementosde la estructura diferenciable de Q.

Por ejemplo, el grupo lineal general de orden n sobre R, Gl(n,R) =A ∈ Mn×n(R) : det(A) 6= 0 ⊂ Mn×n(R) es un abierto deMn×n(R). De hecho, Gl(n,R) = det−1(R− 0) siendo

det : Mn×n(R) → RA 7→ det(A)

una aplicacion continua. Por tanto, Gl(n,R) es una variedad di-ferenciable de dimension n2.

(5) Sean Q y Q′ dos variedades diferenciables de dimensiones n y n′,respectivamente, entonces Q×Q′ admite una estructura naturalde variedad diferenciable de dimension n + n′. En efecto, dadasdos cartas coordenadas (U,ϕ), ϕ : U → ϕ(U) ⊆ Rn y (U ′, ϕ′),


ϕ′ : U ′ → ϕ′(U ′) ⊆ Rn′ de Q y Q′, respectivamente, tomamoscomo carta coordenada de Q×Q′

ϕ× ϕ′ : U × U ′ ⊆ Q×Q′ → ϕ(U)× ϕ′(U ′) ⊆ Rn × Rn′

(p, p′) 7→ (ϕ(p), ϕ′(p′)).

Facilmente se comprueba que si las ϕ, ϕ′ tienen cambios de cartadiferenciables entonces tambien los tienen ϕ× ϕ′.

En particular, son variedades diferenciables de dimension 2 eltoro S1 × S1 o el cilindro S1 × R.

Notas al concepto de variedad diferenciable:

(1) Si en lugar de considerar espacios localmente homeomorfos a Rn

los consideramos localmente homeomorfos al semiplano superiorRn

+ = (x1, . . . , xn) : xn ≥ 0 entonces podemos hablar de unavariedad topologica (o diferenciable, en su caso) con borde. De lospuntos que, en algun entorno coordenado (y, por tanto, en todoentorno coordenado), tienen su ultima coordenada nula se diceque estan en el borde. Observese que el concepto de diferencia-bilidad entre abiertos de Rn se extiende naturalmente a abiertosde Rn

+.4 Analogamente, si se toman homeomorfismos con abier-tos de (x1, . . . , xn) : xi ≥ 0 ∀i ∈ 1, . . . , n y con cambios decarta diferenciables entonces hablamos de variedad diferenciablecon borde anguloso (o diferenciable a trozos).

(2) Si en lugar de considerar espacios localmente homeomorfos a Rn

los consideramos localmente homeomorfos a Cn, con cambios decarta holomorfos, entonces tendremos una variedad compleja dedimension (compleja) n. Las superficies de Riemann son varieda-des complejas de dimension 1.

(3) En general, los posibles estados de un sistema fısico (no cuanticoy discreto) tienen intrınsecamente una estructura de variedaddiferenciable de dimension n (= numero de “grados de libertad”del sistema).

4Profundizaremos en las variedades con borde dentro del contexto del Teoremade Stokes, Subseccion 9.2.

2.3. APLICACIONES DIFERENCIABLES 31

Mas concretamente, en Fısica (Mecanica, Termodinamica, Rela-tividad...) es frecuente suponer, al menos implıcitamente, que elconjunto X de los estados de un sistema fısico5 admite para cadaestado un subconjunto U ⊆ X que contiene a dicho estado y unaaplicacion biyectiva ϕ : U ⊆ X → Θ ⊆ Rn; esto es, podemosdescribir ese estado en funcion de coordenadas en un abierto Θde Rn. Mas aun, se supone que los cambios de coordenadas sondiferenciables.

Veamos que es suficiente con estos elementos para definir una es-tructura de variedad diferenciable, salvo por los requisitos topo-logicos Hausdorff y ANII. Para definir la topologıa en X, tomare-mos como base de abiertos de X los subconjuntos ϕ−1(Θ′), siendoΘ′ cualquier abierto de Rn en el codominio de ϕ. En consecuencia,obtenemos un espacio topologico (X, τ) que, por construccion, eslocalmente homeomorfo a Rn, y ademas estara dotado de un atlasdiferenciable.

El requisito de que la variedad sea Hausdorff siempre se suponepara la topologıa τ , al menos, implıcitamente (pues se da porhecho que se pueden tomar coordenadas que separen entornos dedos estados distintos). Como se comento, la hipotesis ANII noes en principio imprescindible. Pero, suele haber otras hipotesismas o menos implıcitas para X que acaban por implicar quesea ANII (matematicamente, como ya hemos visto, basta conque la topologıa sea metrica y que X tenga un conjunto nu-merable de partes conexas; fısicamente, parece logico pensar queuna topologıa que no quedara constructivamente determinada enun conjunto numerable de pasos se escaparıa a las posibilidadesreales de medicion).

2.3. Aplicaciones diferenciables entre va-

riedades. Difeomorfismos

Sean Q y Q′ dos variedades diferenciables de dimensiones n y n′,respectivamente, y f : Q → Q′ una aplicacion continua en p ∈ Q.

5En el caso “extremo” de la Relatividad el sistema fısico serıa el espacio ytiempo, y sus “estados” los “eventos” aquı-ahora.


De la definicion de aplicacion continua en un punto que vimos en elcapıtulo anterior se tiene que para cada entorno coordenado (U ′, ϕ′) deQ′ que contenga a f(p) existe un entorno coordenado (U,ϕ) de Q quecontiene a p tal que f(U) ⊆ U ′. En consecuencia, podemos considerarla aplicacion “f vista en coordenadas”, esto es, ϕ′ f ϕ−1 : ϕ(U) ⊆Rn → Rn′ , que sera continua en p por ser composicion de continuas(vease la Figura 7).

Figura 7

Definicion 2.3.1 Sean Q, Q′ dos variedades diferenciables de dimen-siones n, n′, respectivamente. Diremos que una aplicacion f : Q → Q′

continua en p ∈ Q es diferenciable en este punto si para un par de en-tornos coordenados (U,ϕ) y (U ′, ϕ′) de p y f(p), respectivamente, talesque f(U) ⊆ U ′ se tiene que la aplicacion ϕ′f ϕ−1 : ϕ(U) ⊆ Rn → Rn′

es diferenciable en ϕ(p).

Observacion. En la Definicion 2.3.1 se puede sustituir la expresion“un par” por “cualesquiera”. En efecto, supongamos que ϕ′ f ϕ−1 esdiferenciable en ϕ(p) y probemos que, para cualesquiera otros entornoscoordenados (U , ϕ) y (U ′, ϕ′) de p y f(p), respectivamente, tambien setiene que ϕ′ f ϕ−1 es diferenciable en ϕ(p). En un entorno de ϕ(p)podemos escribir:

ϕ′ f ϕ−1 = (ϕ′ ϕ′−1) (ϕ′ f ϕ−1) (ϕ ϕ−1). (2.1)

2.3. APLICACIONES DIFERENCIABLES 33

Como ϕ′ ϕ′−1 y ϕ ϕ−1 son diferenciables en todos los puntos de sudominio (son cambios de carta) y ϕ′ f ϕ−1 es diferenciable en ϕ(p)(por hipotesis), se tiene de (2.1) que ϕ′ f ϕ−1 es diferenciable enϕ(p).

Observacion. En principio tiene sentido definir si f es diferenciableCs, s ∈ N∪∞, en p. Ello se debe a que los cambios de carta en Q y Q′

son C∞. Si solo fueran Cr y Cr′ , respectivamente, solo tendrıa sentidodefinir que f es diferenciable Cs, para s ≤ Minr, r′. En cualquiercaso, tambien supondremos por simplicidad que “f es diferenciable”significa que lo es C∞, salvo que se indique explıcitamente lo contrario.

Ejercicio. Comprobar usando la definicion que la aplicacion f : S2 ⊂R3 → R, f(x, y, z) = z es diferenciable.

Definicion 2.3.2 Dadas dos variedades diferenciables Q, Q′ se diceque una aplicacion f : Q → Q′ es un difeomorfismo si f es biyectiva yf , f−1 son diferenciables.

El nombre difeomorfismo local se extiende al caso de que solo se puedaasegurar sobre f que, para cada p ∈ Q, existen entornos abiertos U dep y U ′ = f(U) de f(p), tales que la restriccion de f a U y U ′ sea undifeomorfismo.

Definicion 2.3.3 Dos variedades diferenciables Q, Q′ son difeomorfassi existe un difeomorfismo f : Q → Q′.

Ejercicio. Probar que las variedades diferenciables (R,D(A)), (R,D(B))con A = (R, Id), B = (R, x3) son difeomorfas.

Observaciones:

(1) El espacio euclıdeo Rn admite infinitas estructuras diferenciablescompatibles con la topologıa usual. Ademas, si n 6= 4 todas el-las son difeomorfas. Curiosamente, existen infinitas estructurasdiferenciables sobre R4 que no son difeomorfas6.

(2) Toda variedad diferenciable (¡ANII!) conexa de dimension 1 esdifeomorfa a R o a S1.

6La prueba de estos hechos es realmente difıcil.


2.4. Hipersuperficies regulares de Rn

Consideremos un abierto U ⊆ R2 y una aplicacion f : U → Rdiferenciable. Definimos el grafo de f como el subconjunto Graf(f) =(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ U ⊆ R3. De manera natural, Graf(f) es unavariedad diferenciable de dimension 2, pues podemos considerar comocarta global la proyeccion

πz : Graf(f) → U(x, y, f(x, y)) 7→ (x, y).

Ası, por ejemplo, en la esfera S2 ⊂ R3 cada “casquete” U±z (vease el

Apendice 1) puede verse como una variedad diferenciable de este tipo,es decir, como grafos de las aplicaciones

f± : U ⊆ R2 → R(x, y) 7→ ±

√1− x2 − y2

siendo U = (x, y) ∈ R2 : x2 +y2 < 1. De esta manera, la carta globalπz arriba definida coincide con las aplicaciones

ϕ±z : U±z → U ⊆ R2

(x, y, f±(x, y)) 7→ (x, y)

en el Apendice 1. Para generalizar esta situacion conviene ver S2 comola “solucion” de la ecuacion F (x, y, z) := x2 + y2 + z2 = 1. Observeseque en las cartas (U±

z , ϕ±z ) hemos podido despejar la variable z de estaecuacion. De hecho, esto se ha podido hacer porque ∂F

∂z= 2z 6= 0 en

todo U±z .

Con mas generalidad, sea U un abierto de R3, F : U → R diferencia-ble, c0 ∈ Im(F ) y p0 ∈ F−1(c0). Si ∂F

∂z(p0) 6= 0 entonces el Teorema de la

Funcion Implıcita (vease el Teorema 2.5.2) permite encontrar abiertosVz ⊆ R3 y Dz ⊆ R2, y una aplicacion diferenciable φz : Dz ⊆ R2 → Rtales que F−1(c0)∩Vz = (x, y, φz(x, y)) : (x, y) ∈ Dz. Obviamente, lomismo ocurre si cambiamos el papel de la variable z con el de la varia-ble x o y. Esto es, en los puntos donde alguna de las parciales de F esdistinta de 0, la proyeccion sobre el correspondiente plano coordenadosirve de carta local (vease la Figura 8).

Ademas, si dos parciales son distintas de cero en p0 entonces loscambios de carta resultan ser diferenciables. En efecto, veamos ex-plıcitamente como son estos cambios de carta cuando las coordenadas

2.4. HIPERSUPERFICIES REGULARES DE RN 35

Figura 8

con parciales distintas de cero son z e y. En primer lugar, para lacoordenada z tenemos

πz : F−1(c0) ∩ Vz ∩ Vy → D′z ⊆ R2

(x, y, z) 7→ (x, y)

yπ−1

z : D′z ⊆ R2 → F−1(c0) ∩ Vz ∩ Vy

(x, y) 7→ (x, y, φz(x, y)),

donde φz(x, y) es la funcion diferenciable dada en el Teorema de laFuncion Implıcita por ser ∂F

∂z(p0) 6= 0 (D′

z es algun entorno apropiadode πz(p0) –cualquiera incluido en Dz ∩ πz(Vy)). Analogamente para lacoordenada y:

πy : F−1(c0) ∩ Vz ∩ Vy → D′y ⊆ R2

(x, y, z) 7→ (x, z)

yπ−1

y : D′y ⊆ R2 → F−1(c0) ∩ Vz ∩ Vy

(x, z) 7→ (x, φy(x, z), z),


donde φy(x, z) es la funcion dada en el Teorema de la Funcion Implıcitapor ser ∂F

∂y(p0) 6= 0. Entonces, los cambios de carta son:

πz π−1y : D′

y ⊆ R2 → D′z ⊆ R2

(x, z) 7→ (x, φy(x, z))

yπy π−1

z : D′z ⊆ R2 → D′

y ⊆ R2

(x, y) 7→ (x, φz(x, y)),

que son diferenciables por serlo sus componentes. Obviamente, esterazonamiento puede generalizarse al caso en que el espacio ambientees Rn, lo que permite demostrar la Proposicion 2.4.2 con la siguientedefinicion previa:

Definicion 2.4.1 Sea F : U ⊆ Rn → R diferenciable (U abierto) ysea c0 ∈ Im(F ). Diremos que c0 es un valor regular de F si para todop ∈ F−1(c0) se tiene que gradF (p) = ( ∂F

∂x1 (p), . . . , ∂F∂xn (p)) 6= 0 (esto es,

al menos una parcial es distinta de cero).

Proposicion 2.4.2 Si c0 ∈ R es un valor regular de una aplicaciondiferenciable F : U ⊆ Rn → R entonces F−1(c0) admite una estructurade variedad diferenciable de dimension n−1, con un atlas diferenciablegenerado por las proyecciones sobre los hiperplanos coordenados.

(Remarcamos que en esta proposicion estamos considerando la topolo-gıa inducida de Rn, y el atlas diferenciable para F−1(c0) se define porlas proyecciones sobre el plano xi ≡ 0 de un entorno de cada puntop ∈ F−1(c0) con ∂F

∂xi (p) 6= 0, como acabamos de justificar.)

Definicion 2.4.3 Si c0 es un valor regular de F : U ⊆ Rn → Rentonces a la hipersuperficie dada por F−1(c0) le llamaremos hipersu-perficie regular de Rn.

Ejemplos:

(1) La esfera Snq0

(r) de centro q0 ∈ Rn+1 y radio r > 0. En efecto, si

q0 = (a1, . . . , an+1) ∈ Rn+1 entonces Snq0

(r) se define como:

(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 : (x1 − a1)2 + · · ·+ (xn+1 − an+1)2 = r2.

2.4. HIPERSUPERFICIES REGULARES DE RN 37

Sea F : Rn+1 → R la funcion

F (x1, . . . , xn+1) = (x1 − a1)2 + · · ·+ (xn+1 − an+1)2.

Para ver que es una hipersuperficie regular de Rn+1 debemosprobar que r2 es un valor regular de F . Ahora bien, ∂F

∂xi = 2(xi−ai) y, por tanto, ∂F

∂xi = 0 si y solo si xi = ai para todo i. Comoq0 6∈ Sn

q0(r), se tiene que Sn

q0(r) es una hipersuperficie regular.

(2) Se prueba analogamente que en R3 el elipsoide de semiejes a, b, c >0 y centro q0 = (a1, a2, a3)

F (x, y, z) :=(x− a1)2

a2+

(y − a2)2

b2+

(z − a3)2

c2= 1

es una hipersuperficie regular de R3.

(3) Analogamente, tambien lo es el hiperboloide de una hoja en R3

para r > 0:F (x, y, z) := x2 + y2 − z2 = r2

(4) En general, resulta valida la idea intuitiva de que cualquier su-perficie “suave” S en R3 es una hipersuperficie regular, siempreque se le pueda asignar de manera continua un vector normalN . Para convencerse de ello, la idea consiste esencialmente entomar como funcion F la que a cada punto de R3 la asigna ladistancia “con signo” (positiva en el sentido al que apunta N ynegativa en el contrario) del punto a la superficie. Entonces F esdiferenciable en un entorno de S, y admite como valor regular el0 (S = F−1(0)), vease la Figura 9.

Proposicion 2.4.4 Si Q = F−1(c0) ⊆ Rn es una hipersuperficie regu-lar y f : Rn → R es una aplicacion diferenciable entonces f |Q: Q → Res tambien diferenciable.

Demostracion. Es continua por ser la restriccion a Q de una apli-cacion continua. Para ver que es diferenciable, sea p0 ∈ Q y, digamos,∂F∂xi (p0) 6= 0. Consideremos para p0 la carta generada por la Proposicion2.4.2, esto es,

πxi : Vxi ∩ F−1(c0) → Dxi ⊆ Rn−1

(x1, . . . , xn) 7→ (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn)


Figura 9

para abiertos Vxi , Dxi . Se tiene, π−1xi : Dxi → Vxi ∩ F−1(c0) con:

(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn) 7→(x1, . . . , φxi(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn), . . . , xn),

siendo φxi la funcion dada por el Teorema de la Funcion Implıcita(sobre el codominio R consideramos como carta la identidad Id). Portanto,

Id f π−1xi (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn)

= f(x1, . . . , φxi(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn), . . . , xn),

que es diferenciable por ser composicion de diferenciables. 2

2.5. Subvariedades regulares de Rn

Definicion 2.5.1 Sea F : U ⊆ Rn → Rm (n ≥ m) diferenciable(C∞) y sea c0 ∈ Im(F ). Se dice que c0 es un valor regular de F si ladiferencial de F en p, (dF )p, tiene rango maximo m para todo p ∈F−1(c0).

Esto es, la matriz (∂F i

∂xj (p))i,j ∈ Mm×n(R) tiene rango m para todop ∈ F−1(c0).

2.5. SUBVARIEDADES REGULARES DE RN 39

Si m = 1 entonces la matriz anterior se reduce a grad F (p) = ( ∂F∂x1 (p),

. . . , ∂F∂xn (p)) y, por tanto, reobtenemos la definicion de valor regular de

la seccion anterior. Nuestro objetivo sera ahora generalizar la Proposi-cion 2.4.2 para mostrar que la imagen inversa de cualquier valor regulares una variedad diferenciable.

Observemos que si (∂F i

∂xj (p))i,j tiene rango m entonces habra algunasubmatriz cuadrada de orden m con determinante distinto de 0. Estoes, podremos escoger m columnas (que supondremos son las m ultimas)tales que el correspondiente determinante es distinto de 0. En este caso,el Teorema de la Funcion Implıcita permite asegurar que en la ecuacionF (x1, . . . , xn−m, xn−m+1, . . . , xn) = c0 las variables xn−m+1, . . . , xn son“despejables” como funcion de las n−m primeras x1, . . . , xn−m. Estoes, la proyeccion sobre las n −m primeras variables sirve como cartalocal en F−1(c0) y, ademas, los cambios de carta resultan diferenciables.Con mas precision, recordemos ese teorema:

Teorema 2.5.2 (Teorema de la Funcion Implıcita): Consideremos losabiertos U ⊆ Rn−m, V ⊆ Rm y U × V ⊆ Rn. Supongamos que F :U ×V ⊆ Rn → Rm es diferenciable y que (x0, y0) ∈ U ×V es tal que ladiferencial respecto de las variables en V de F (dy F )(x0,y0) : Rm → Rm

es un isomorfismo (lineal). Entonces existe un entorno U0 de x0 y W0

de c0 := F (x0, y0) y una aplicacion g : U0 ×W0 → V diferenciable talque F (x, g(x, c)) = c para todo x ∈ U0 y c ∈ W0.

Si llamamosgc0 : U0 → V

x 7→ g(x, c0)

entonces F (x, gc0(x)) = c0 para todo x ∈ U0, y la coordenada y sedespeja en funcion de la x (y = gc0(x)).

Razonando entonces como en la seccion anterior y usando el Teo-rema 2.5.2 se obtiene la siguiente generalizacion de las Proposiciones2.4.2 y 2.4.4:

Teorema 2.5.3 Sea F : U ⊆ Rn → Rm diferenciable y c0 ∈ Im(F )un valor regular. Entonces Q = F−1(c0) es una variedad topologica, ylas proyecciones sobre los subespacios coordenados de dimension n−mgeneran canonicamente una estructura diferenciable. Ademas, si f :U ⊆ Rn → Q′ es diferenciable entonces tambien lo es f |Q.


(Como en la Proposicion 2.4.2, a fin de generar un atlas diferenciablese entiende aquı que, para cada p ∈ Q, si las columnas i1, . . . , im dedFp son independientes entonces se toma como funcion coordenada enun entorno de p la proyeccion sobre las otras n −m variables.) A lasvariedades ası obtenidas las llamaremos subvariedades regulares de Rn.

Ejemplo. Consideremos el grupo ortonormal de dimension 2

O(2,R) = A ∈M2×2(R) : A · At = Id ⊂ R4.

Veamos que O(2,R) es una variedad diferenciable de dimension 1. Enprimer lugar tenemos que M2×2(R) ≡ R4. Ahora bien, A ∈ O(2,R) si

y solo si A · At = Id, es decir, si y solo si A =

(a bc d

)≡ (a, b, c, d)

verificaa2 + b2 = 1ac + bd = 0c2 + d2 = 1.

Por tanto, si definimos

F : R4 → R3

(a, b, c, d) 7→ (a2 + b2, ac + bd, c2 + d2),

tenemos que O(2,R) = F−1(1, 0, 1). Basta con comprobar que (1, 0, 1)es un valor regular de F , esto es, que el rango de (d F )A es 3 para todoA ∈ O(2,R). En primer lugar, observemos que

(dF )A =

2a 2b 0 0c d a b0 0 2c 2d

∈M3×4(R). (2.2)

Ahora bien, como A · At = Id se tiene que det(A) = ±1 6= 0 y las dosprimeras columnas de (dF )A son independientes. Ademas tambien seobtiene que c y d no se anulan simultaneamente, por lo que el ran-go de (dF )A es 3. En consecuencia, tomando como coordenada sobreO(2,R) la proyeccion al elemento c (cuando c 6= 0) o d (cuando d 6= 0)obtenemos un atlas para O(2,R).

Notas: (1) O(2,R) puede estudiarse mas detenidamente como sigue.Si definimos

O+(2,R) = A ∈ O(2,R) : det(A) = 1O−(2,R) = A ∈ O(2,R) : det(A) = −1

2.6. APENDICE 1: ATLAS EN §2 41

entonces se puede comprobar:

O+(2,R) = (

cos θ −senθsenθ cos θ

): θ ∈ R

O−(2,R) = (

cos θ senθsenθ − cos θ

): θ ∈ R.

Los conjuntos O+(2,R) y O−(2,R) son las dos partes conexas de O(2,R).El grupo O(2,R) se reduce, por tanto, a dos copias de S1. En general,O(n,R) = A ∈ Mn×n(R) : AAt = Idn es una variedad diferenciablede dimension n(n− 1)/2 que tiene dos componentes conexas. Ademas,O(n,R) s compacto, al identificarse con un subconjunto cerrado y aco-

tado de Rn2

.(2) O(n,R) con el producto usual de matrices es un caso especial

de grupo de Lie; esto es, de grupo algebraico G ≡ (G, ·) dotado de unaestructura de variedad diferenciable, y tal que las aplicaciones

G×G → G(g, h) 7→ g · h y

G → Gg 7→ g−1

son diferenciables7.

2.6. Apendice 1: dos atlas explıcitos sobre

la esfera

La Proposicion 2.4.2 o el Teorema 2.5.3 permiten concluir que laesfera S2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1 es una (hiper)superficieregular de R3. Sin embargo, en este apendice comprobaremos directa-mente que es una variedad topologica de dimension 2 suministrando, dehecho, dos atlas diferenciables de interes que generan dicha estructuradiferenciable. Sean

U+z = (x, y, z) ∈ S2 : z > 0 ⊂ R3 (casquete superior de la esfera)

Θ = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 ⊂ R2,

dos abiertos de S2 y R2, respectivamente, y definamos la aplicacion

ϕ+z : U+

z → Θ(x, y, z) 7→ (x, y)

7La teorıa de grupos de Lie es muy precisa y, en particular, muestra que lashipotesis de esta definicion son algo redundantes.


que es continua, ya que coincide con la restriccion a U+z de la proyeccion

πz : R2 × R→ R2

((x, y), z) 7→ (x, y),

es decir, ϕ+z = πz |U+

z. La aplicacion ϕ+

z obviamente admite por inversaa la aplicacion

(ϕ+z )−1 : Θ ⊂ R2 → U+

z ⊂ R3

(x, y) 7→ (x, y,√

1− x2 − y2),

que es continua puesto que cada componente suya lo es. En conse-cuencia, hemos encontrado un entorno coordenado para cada puntop ∈ U+

z .Para el abierto U−

z = (x, y, z) ∈ S2 : z < 0 (casquete inferior)repetimos el mismo proceso pero ahora con

ϕ−z : U−z → Θ

(x, y, z) 7→ (x, y)

(ϕ−z )−1 : Θ → U−z

(x, y) 7→ (x, y,−√

1− x2 − y2).

Para completar nuestro atlas debemos cubrir el ecuador. Para ello con-sideramos en primer lugar los abiertos U+

y = (x, y, z) ∈ S2 : y > 0 yU−

y = (x, y, z) ∈ S2 : y < 0 con

ϕ+y : U+

y → Θ(x, y, z) 7→ (x, z)

(ϕ+y )−1 : Θ → U+

y

(x, z) 7→ (x,√

1− x2 − z2, z)

y

ϕ−y : U−y → Θ

(x, y, z) 7→ (x, z)(ϕ−y )−1 : Θ → U−

y

(x, z) 7→ (x,−√1− x2 − z2, z),

respectivamente. Por ultimo, para cubrir los puntos (1, 0, 0), (−1, 0, 0) ∈S2 tomamos los abiertos U+

x = (x, y, z) ∈ S2 : x > 0 y U−x =

(x, y, z) ∈ S2 : x < 0 con

ϕ+x : U+

x → Θ(x, y, z) 7→ (y, z)

(ϕ+x )−1 : Θ → U+

x

(y, z) 7→ (√

1− y2 − z2, y, z)

y

ϕ−x : U−x → Θ

(x, y, z) 7→ (y, z)

(ϕ−x )−1 : Θ → U−x

(y, z) 7→ (−√

1− y2 − z2, y, z),

2.6. APENDICE 1: ATLAS EN §2 43

respectivamente. En conclusion, el atlas para toda la esfera S2 quedaAS2 = (U+

z , ϕ+z ), (U−

z , ϕ−z ), (U+y , ϕ+

y ), (U−y , ϕ−y ), (U+

x , ϕ+x ), (U−

x , ϕ−x ).Por tanto, S2 es una variedad topologica. De la forma explıcita delos cambios de carta resulta inmediato comprobar que el atlas AS2 esdiferenciable.

Podemos optimizar el numero de elementos que componen un atlaspara S2 proyectando estereograficamente. En efecto, lo haremos parael caso general de la esfera n-dimensional Sn (de nuevo centrada enel origen y de radio 1 por comodidad). Sean N = (0, . . . , 0, 1) (polonorte) y S = (0, . . . , 0,−1) (polo sur). Como primer entorno coorde-nado consideramos el abierto UN = Sn − N junto con la proyeccionestereografica desde N , ϕN : UN → Rn, esto es, ϕN es la aplicacionque lleva cada elemento (x1, . . . , xn+1) de UN al punto de corte conel plano xn+1 ≡ 0 de la recta que pasa por N y por (x1, . . . , xn+1).Explıcitamente,

ϕN : U+ → Rn

(x1, . . . , xn+1) 7→ 11−xn+1 (x

1, . . . , xn).

Analogamente, consideremos el abierto US = Sn − S junto con laproyeccion estereografica desde S,

ϕS : US → Rn

(x1, . . . , xn+1) 7→ 11+xn+1 (x

1, . . . , xn).

Entonces (UN , ϕN) y (US, ϕS) completan un atlas para la esfera Sn.

Ejercicio. Compruebese: (1) ϕN , ϕS son homeomorfismos, (2) sucambio de cartas es diferenciable y (3) el atlasA = (UN , ϕN), (US, ϕS)genera la misma estructura diferenciable en Sn que la ya estudiada.

Nota. Para n = 2 se tiene el cambio de cartas ϕS (ϕN)−1 : R2 −(0, 0) → R2 − (0, 0), (u, v) → (u, v)/(u2 + v2). Esta aplicacion (ysu inversa) no son solo diferenciables sino tambien anti-holomorfas. Sien lugar de ϕS tomamos la aplicacion ϕS = s ϕS donde s(u, v) =(v, u),∀(u, v) ∈ R2, el cambio de cartas ϕS (ϕN)−1 (y su inverso) re-sulta holomorfo. En consecuencia, el atlas A = (UN , ϕN), (US, ϕS)es holomorfo y S2 admite una estructura de variedad compleja de di-mension 1 (esfera de Riemann) –vease la nota al concepto de variedad(2) al final de la Seccion 2.2.


Observacion. Senalemos que no existe un atlas con una unica cartapara Sn (ni para ninguna otra variedad compacta). Si existiera dichoatlas entonces tendrıamos un homeomorfismo ϕ : Sn → Θ, siendo Θun abierto de Rn. Pero Sn es compacto luego, como ϕ es continua,tambien Θ = ϕ(Sn) es compacto. En consecuencia, Θ es un cerrado(y abierto) de Rn, es decir, Θ = Rn por ser Rn es conexo. Esto es unacontradiccion puesto que Rn no es acotado y, por tanto, no puede sercompacto.

2.7. Apendice 2: coordenadas polares, ci-

lındricas y esfericas

Coordenadas polares sobre R2: Estas coordenadas vienen definidasde la siguiente manera. Consideremos como carta el abierto U = R2 −(x, 0) ∈ R2 : x ≤ 0 junto con la aplicacion

ϕ : U ⊂ R2 →]0,∞[×]− π, π[(x, y) 7→ (ρ(x, y), θ(x, y)),

donde ρ(x, y) =√

x2 + y2 y θ(x, y) es el unico real de ]− π, π[ tal quex = ρ · cos θ e y = ρ · senθ (por tanto, la inversa de ϕ es ϕ−1(ρ, θ) =(ρ · cos θ, ρ · senθ)). Existen diferentes modos de determinar la funcionθ(x, y) de manera explıcita:

θ(x, y) =

arc tan yx

si x > 0π2

si x = 0, y > 0π + arc tan y

xsi x < 0, y > 0

−π2

si x = 0, y < 0−π + arc tan y

xsi x < 0, y < 0

o mas compactamente:

θ(x, y) = 2 · arc tany

x +√

x2 + y2

para todo (x, y) ∈ R2 − (x, 0) : x ≤ 0.Coordenadas cilındricas sobre R3: Para definir estas coordenadasconsideramos el abierto U = R3 − (x, y, z) ∈ R3 : x ≤ 0, y = 0 junto

2.7. APENDICE 2: COORDENADAS EN R3 45

con la aplicacion

ϕ : U ⊂ R3 →]0,∞[×]− π, π[×R(x, y, z) 7→ (ρ(x, y), θ(x, y), z),

donde ρ(x, y) y θ(x, y) se definen como en las coordenadas polares. Portanto, la correspondiente inversa es ϕ−1(ρ, θ, z) = (ρ · cos θ, ρ · senθ, z).

Coordenadas esfericas sobre R3: Para definir estas coordenadasconsideramos el abierto U = R3 − (x, y, z) ∈ R3 : x ≤ 0, y = 0 juntocon la aplicacion

ϕ : U ⊂ R3 →]0,∞[×]0, π[×]− π, π[(x, y, z) 7→ (r(x, y, z), θ(x, y, z), φ(x, y, z)),

donde r(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2, y θ(x, y, z) y φ(x, y, z) son los unicosreales de ]0, π[ y ]−π, π[, respectivamente, tales que x = r · senθ · cos φe y = r · senθ · senφ. Por tanto, en este caso ϕ−1(r, θ, φ) = (r · senθ ·cos φ, r · senθ · senφ, r · cos θ).

Ejercicios

Ejercicio 1. Razonar si todo espacio topologico X localmente home-omorfo a Rn es necesariamente T1 (esto es, para cada par de puntosx, y ∈ X, existe un entorno de x que no contiene a y, y un entorno dey que no contiene a x.)

Ejercicio 2. Se considera la aplicacion ϕ : R+ × R → R2 − (0, 0),(ρ, θ) → (ρ cos θ, ρsenθ). Compruebese que ϕ es un difeomorfismo localy suprayectivo. ¿Es ϕ un difeomorfismo global?

Ejercicio 3. Si Q es una variedad diferenciable, pruebese que cadacarta ϕ : U −→ ϕ(U) de Q es un difeomorfismo entre las variedadesdiferenciables U y ϕ(U).

Ejercicio 4. Dado un numero real ε > 0 (o ε = ∞), demuestrese quetodo punto p de una variedad diferenciable Q de dimension n tiene unacarta (U,ϕ) tal que ϕ(p) = 0 y ϕ(U) = B0(ε) = x ∈ Rn : ‖x‖ < ε.Ejercicio 5. Se consideran en R+ =]0,∞[ los atlasA1 = (R+, IdR+),A2 = (R+, ln), A3 = (R+, exp), A4 = (R+, x3), A5 = (R+, (x−


1)3), donde ln es la aplicacion logaritmo neperiano y exp la exponen-cial. ¿Cuales de ellos definen iguales estructuras diferenciables?

Ejercicio 6. Sea S2 la esfera unitaria centrada en (0, 0, 0) de R3 y seaϕN : S2 − (0, 0, 1) −→ R2 la proyeccion estereografica desde el polonorte (0, 0, 1). Calculense las cordenadas, con respecto a esta carta, delpunto ( 1√

3, 1√

3, 1√

3) de S2. ¿Que punto de S2 tiene coordenadas (0, 0)

con respecto a esta carta?

Ejercicio 7. Sean Q y Q′ variedades diferenciables y sean π : Q ×Q′ −→ Q y π′ : Q × Q′ −→ Q′ las correspondientes proyecciones; esdecir, π(p, p′) = p y π′(p, p′) = p′, ∀(p, p′) ∈ Q×Q′. Pruebese que π yπ′ son aplicaciones diferenciables. Si Q′′ es otra variedad diferenciabley F : Q′′ −→ Q×Q′ es una aplicacion, pruebese que F es diferenciablesi y solo si π F y π′ F son diferenciables.

Ejercicio 8. Con las mismas notaciones del problema anterior, paracada (p, p′) ∈ Q×Q′ consideremos las aplicaciones ip′ : Q −→ Q×Q′,ip′(q) = (q, p′), ∀q ∈ Q, y jp : Q′ −→ Q×Q′, jp(q

′) = (p, q′), ∀q′ ∈ Q′.Pruebese que ip′ y jp son aplicaciones diferenciables.

Ejercicio 9. Si F : Q −→ N y F ′ : Q′ −→ N ′ son aplicacionesdiferenciables, pruebese que F ×F ′ : Q×Q′ −→ N ×N ′, definida por(F × F ′)(p, p′) = (F (p), F ′(p′)), es tambien diferenciable.

Ejercicio 10. Se consideran las aplicaciones F, G : R2 −→ R2, dadaspor

F (x, y) = (xey + y, xey − y)

G(x, y) = (excos(y), exsen(y)).

¿Es F (resp. G) un difeomorfismo?

Ejercicio 11. Encuentrese un difeomorfismo entre el paraboloidegrafo de la funcion z = x2 + y2 y el hiperboloide grafo de la funcionz = x2 − y2.

Ejercicio 12. Demuestrese que todos los intervalos abiertos de R sondifeomorfos.

Ejercicio 13. Demuestrese que dos esferas de Rn+1 con centros yradios arbitrarios son difeomorfas.

Ejercicio 14. Se considera al subconjunto de R3, S = (x, y, z) :yex + zey + yez = −1. ¿Es S una superficie regular de R3?

2.7. APENDICE 2: COORDENADAS EN R3 47

Ejercicio 15. Sean A,B, C ∈ R\0. Determınense los valores regu-lares de la funcion sobre R3, f(x, y, z) = Ax2 + Bxy + Czy.

Ejercicio 16. En la esfera S2 se considera la relacion de equivalenciap ∼ q si y solo si q = ±p, ∀p, q ∈ S2. Denotaremos por P2(R) al espaciocociente S2/ ∼ (espacio proyectivo real bidimensional). Pruebese que,con la topologıa cociente, P2(R) es una variedad topologica de dimen-sion 2. Demuestrese que admite una estructura diferenciable tal quela correspondiente proyeccion canonica desde S2 es un difeomorfismolocal (esta estructura diferenciable es unica). Generalizar a cualquierdimension n ∈ N.

Ejercicio 17. Consideremos la esfera unidad de dimension 1, S1,como los numeros complejos de modulo 1, es decir, S1 = z ∈ C :|z| = 1.

(1) Pruebese que la aplicacion F : S1 −→ S1, definida por F (z) = z2,∀z ∈ S1, es diferenciable, sobreyectiva y coincide sobre cada parde puntos antıpodas de S1.

(2) Si F : P1(R) −→ S1 es la aplicacion inducida por F en el cociente,pruebese que F es un difeomorfismo.

Capıtulo 3

Espacio tangente

3.1. Concepto de vector tangente a una

variedad Q en un punto p

Consideremos una superficie S ⊂ R3 y una curva diferenciableγ(t) = (x(t), y(t), z(t)) ⊂ S. Obviamente, podemos definir la veloci-dad de la curva γ(t) en t = 0 como γ′(0) = (x′(0), y′(0), z′(0)) ∈ R3.De este modo, si γ(0) = p entonces el vector γ′(0) sera “tangente” a lasuperficie S en p. Esto es, la velocidad de la curva en p esta contenidaen el plano tangente a S en p, si pensamos en γ′(0) como un vectorcon “origen” el punto p (vease la Figura 10).

Ejercicio. Sea S un superficie de R3 obtenida como imagen inversade un valor regular para alguna funcion f : R3 → R, S = F−1(c0).Demuestrese que la ecuacion implıcita del plano afın que es tangentea S en un punto p0 = (x0, y0, z0) ∈ S es:

∂f

∂x(p0)(x− x0) +

∂f

∂y(p0)(y − y0) +

∂f

∂z(p0)(z − z0) = 0.

Generalıcese a subvariedades regulares de Rn.

49

50 CAPITULO 3. ESPACIO TANGENTE

Figura 10

Con mas generalidad, consideremos ahora una variedad diferencia-ble arbitraria Q de dimension n y un punto p ∈ Q. El objetivo deeste capıtulo es dar una definicion razonable de espacio tangente a lavariedad Q en el punto p, ası como el estudio de la estructura de di-cho espacio. En general, asociaremos a cada punto p de una variedadn-dimensional Q, su espacio tangente, que sera un espacio vectorialtambien de dimension n.

Como primera aproximacion, en esta seccion introduciremos losconceptos de vector y espacio tangente a una variedad en un punto detres formas diferentes, cada vez mas abstractas, aunque equivalentes.

3.1.1. Vector tangente como clase de equivalenciade curvas

Consideremos en adelante una variedad diferenciable Q de dimen-sion n y fijemos un punto p ∈ Q. Sea

Cp = γ :]− εγ, εγ[→ Q : εγ > 0, γ(0) = p, γ diferenciable,

esto es, Cp es el conjunto de curvas contenidas Q que pasan por p donde,para simplificar el lenguaje, suponemos que cada curva pasa por p en 0y esta definida en algun entorno abierto simetrico de 0. Establecemosen Cp una relacion de equivalencia como sigue. Diremos que dos curvasγ, ρ ∈ Cp son equivalentes si para algun entorno coordenado (U,ϕ =(q1, . . . , qn)) de p se verifica d

dt|t=0 (ϕ γ)(t) = d

dt|t=0 (ϕ ρ)(t)

3.1. CONCEPTO DE VECTOR TANGENTE 51

(observese que ϕ(γ(0)) = ϕ(ρ(0)) = ϕ(p)). Es decir, las curvas sonequivalentes si coinciden los vectores tangentes en Rn de ambas curvasvistas en coordenadas (vease la Figura 11).

Figura 11

Observacion. Esta definicion es independiente del entorno coordena-do escogido. En efecto, sea (U , ϕ = (q1, . . . , qn)) otro entorno coorde-

nado de p y denotemos por ∂qj

∂qi (p) la i-esima parcial de qj ϕ−1, estoes,

∂qj

∂qi(p) =

∂(qj ϕ−1)

∂xi(ϕ(p)),

donde ∂∂xj denota la parcial j-esima usual para funciones definidas en

Rn. Entoncesddt|t=0 (qj γ)(t) = d

dt|t=0 [(qj ϕ−1) (ϕ γ)](t)

=∑n

i=1

(∂qj

∂qi (p) · ddt|t=0 (qi γ)(t)

)

(y, si γ y ρ estan relacionadas usando (U,ϕ))

=∑n

i=1

(∂qj

∂qi (p) · ddt|t=0 (qi ρ)(t)

)= d

dt|t=0 (qj ρ)(t)

para todo j y, por tanto, ddt|t=0 (ϕγ)(t) = d

dt|t=0 (ϕρ)(t). Notese que

la relacion entre ddt|t=0 (ϕγ)(t) y d

dt|t=0 (ϕγ)(t) es, matricialmente,

ddt|t=0 (q1 γ)(t)

...ddt|t=0 (qn γ)(t)

=

∂q1

∂q1 . . . ∂q1

∂qn

.... . .

...∂qn

∂q1 . . . ∂qn

∂qn

p

·

ddt|t=0 (q1 γ)(t)

...ddt|t=0 (qn γ)(t)

.

(3.1)


Es inmediato comprobar que el concepto de curvas equivalentesproporciona una relacion de equivalencia. Estamos pues en condicionesde establecer la primera definicion de vector tangente.

Definicion 3.1.1 Llamaremos vector tangente a Q en p (como clasede curvas) a cada una de las clases de equivalencia definidas por ∼ enCp.

Ası, denotaremos por [γ] al vector tangente representado por la curvaγ, esto es, la clase de equivalencia de γ. En consecuencia,

Definicion 3.1.2 Llamaremos espacio tangente a Q en p al conjuntoCp/ ∼.

Por simplicidad de notacion (y por las expresiones en coordenadas queveremos en la proxima subseccion) escribiremos γ′(0) = [γ].

3.1.2. Vector tangente por coordenadas

Consideremos, en la variedad diferenciable Q, dos curvas γ, ρ ∈ Cp.En este caso, si fijamos un entorno coordenado (U,ϕ = (q1, . . . , qn)) setiene:

ddt|t=0 ϕ γ(t) = ( d

dt|t=0 q1 γ(t), . . . , d

dt|t=0 qn γ(t)) = (a1, . . . , an)

ddt|t=0 ϕ ρ(t) = ( d

dt|t=0 q1 ρ(t), . . . , d

dt|t=0 qn ρ(t)) = (b1, . . . , bn)

y se verifica

γ ∼ ρ ⇔ (a1, . . . , an) = (b1, . . . , bn).

Esto es, fijado un sistema de coordenadas (U,ϕ) cada vector tangente[γ] se puede identificar con una n-upla (a1, . . . , an) ∈ Rn. Ademas, sitomamos otra carta coordenada (U , ϕ = (q1, . . . , qn)), al mismo vectortangente [γ] le asignamos la n-upla:

d

dt|t=0 ϕγ(t) = (

d

dt|t=0 q1 γ(t), . . . ,

d

dt|t=0 qn γ(t)) = (a1, . . . , an),

que, aunque es distinta de (a1, . . . , an), se relaciona con ella mediantela igualdad (3.1). Podemos establecer la siguiente definicion alternativade vector tangente:

3.1. CONCEPTO DE VECTOR TANGENTE 53

Definicion 3.1.3 Un vector tangente a Q en p (por coordenadas) esuna aplicacion que a cada entorno coordenado (U,ϕ = (q1, . . . , qn)) dep le hace corresponder un elemento (a1, . . . , an) ∈ Rn, de modo tal quedado otro entorno coordenado (U , ϕ = (q1, . . . , qn)) el nuevo elemento(a1, . . . , an) ∈ Rn asignado verifica

a1

...an

=

∂q1

∂q1 . . . ∂q1

∂qn

.... . .

...∂qn

∂q1 . . . ∂qn

∂qn

p

·

a1

...an

, (3.2)

o, equivalentemente,

ai =n∑

j=1

∂qi

∂qj(p) · aj ∀i ∈ 1, . . . , n. (3.3)

Resulta inmediato comprobar que las Definiciones 3.1.1 y 3.1.3 sonequivalentes. Ademas, de la linealidad de (3.2) queda de manifiesto laestructura de espacio vectorial de dimension n (a partir de la suma y elproducto por escalares usuales en Rn) de que esta dotado el conjuntode todos los vectores tangentes a p.

La Definicion 3.1.3 formaliza la idea clasica en Fısica de que unvector es asignar a cada sistema de coordenadas un elemento de Rn

“que se transforma como un vector” (esto es, verificandose (3.3)).

3.1.3. Vector tangente como derivacion

Introducimos ahora un nuevo concepto de vector tangente basandonosen la existencia de un “modo de derivar funciones” para cada vectortangente a Q en p; es lo que generaliza la derivada direccional en Rn.Mas concretamente, sea γ ∈ Cp y consideremos su vector tangente aso-ciado [γ]. Si f : Q → R es una aplicacion diferenciable (C∞) entoncespodemos considerar f γ :]− εγ, εγ[→ R y calcular d

dt|t=0 (f γ)(t). A

este numero real lo llamaremos derivada direccional de f en la direc-cion del vector tangente [γ]. Comprobemos, en primer lugar, que estaderivada es independiente del representante escogido en la clase [γ].Esto es,

Lema 3.1.4 Si γ ∼ ρ entonces ddt|t=0 (f γ)(t) = d

dt|t=0 (f ρ)(t).


Demostracion. Si (U,ϕ = (q1, . . . , qn)) es un sistema de coordenadasen p entonces d

dt|t=0 (f γ)(t) = d

dt|t=0 (f ϕ−1) (ϕγ)(t). Entonces,

aplicando la regla de la cadena,

ddt|t=0 (f ϕ−1) (ϕ γ)(t) =

∑nj=1

∂(fϕ−1)∂xj (ϕ(p)) · d

dt|t=0 (qj γ)(t)

=∑n

j=1∂(fϕ−1)

∂xj (ϕ(p)) · ddt|t=0 (qj ρ)(t) = d

dt|t=0 (f ϕ−1) (ϕ ρ)(t)

= ddt|t=0 (f ρ)(t).

2

Por tanto, cada clase de equivalencia proporciona una unica derivadadireccional en p.

De la prueba del Lema 3.1.4 resulta inmediato comprobar que si elvector tangente [γ] viene dado por coordenadas entonces la derivada

direccional de f es igual a∑

i ai ∂(fϕ−1)

∂xi (ϕ(p)), en la notacion de laDefinicion 3.1.3.

Consideremos el conjunto C∞(Q) = f : Q → R : f es diferencia-ble C∞. De manera natural, en este conjunto se pueden definir lasoperaciones f + g, f · g y a · f , siendo f, g ∈ C∞(Q) y a ∈ R. Dehecho, (C∞(Q), +, ·) tiene estructura de anillo unitario conmutativoy (C∞(Q), +, ·R) tiene estructura de espacio vectorial. Si fijamos unvector tangente en p, [γ] = vp, podemos definir la aplicacion:

Dvp : C∞(Q) → Rf 7→ Dvp(f) ≡ vp(f),

(3.4)

siendo vp(f) = ddt|t=0 (fγ)(t) la derivada direccional de f con respecto

a vp. La aplicacion (3.4) verifica las siguientes propiedades:

(1) Es R-lineal:

Dvp(a·f+b·g) = a·Dvp(f)+b·Dvp(g), ∀f, g ∈ C∞(Q), ∀a, b ∈ R.

(2) Verifica la regla de Leibniz del producto en p:

Dvp(f · g) = (Dvpf) · g(p) + f(p) ·Dvp(g), ∀f, g ∈ C∞(Q)

Demostracion de (2). Si vp = [γ], entonces

Dvp(f · g) = ddt|t=0 ((f · g) γ)(t) = d

dt|t=0 ((f γ) · (g γ))(t) =

( ddt|t=0 (f γ)(t)) · g(γ(0)) + f(γ(0)) · ( d

dt|t=0 (g γ)(t)) =

Dvp(f) · g(p) + f(p) ·Dvp(g). 2

3.2. ESTRUCTURA DEL ESPACIO TANGENTE 55

Ahora estamos en condiciones de establecer nuestra ultima definicionde vector tangente.

Definicion 3.1.5 Sea Q una variedad diferenciable y p ∈ Q. Un vec-tor tangente en p a Q (como derivacion) es una aplicacion Dvp :C∞(Q) → R tal que:

(1) Es R-lineal.

(2) Verifica la regla de Leibniz del producto en p.

Observaciones:

(1) Obviamente, cada vector tangente segun las anteriores defini-ciones proporciona un vector tangente como derivacion. Mas aun,el recıproco tambien es cierto. Esto es, si tenemos un vector tan-gente como derivacion vp = Dvp entonces existe un unico vectortangente [γ] tal que1:

Dvp(f) = vp(f) =d

dt|t=0 (f γ)(t) ∀f ∈ C∞(Q).

(2) Si dos funciones f , g coinciden en un entorno V de p se puededemostrar que Dvpf = Dvpg. En consecuencia, un vector tan-gente en p como derivacion tambien proporciona una aplicacionC∞(V ) → R, R-lineal y que verifica la regla del producto, paratodo entorno V de p.

Esta tercera definicion de vector tangente a p es la mas abstracta delas tres, aunque tambien la mas comoda desde el punto de vista pura-mente matematico. En adelante diremos que “vp es un vector tangentea p” y usaremos cualesquiera de las tres definiciones, segun convenien-cia.

3.2. Estructura del espacio tangente

En adelante denotaremos por TpQ el conjunto de todos los vectorestangentes en p a Q, y lo llamaremos espacio tangente en p a Q.

1Vease [O’N, Capıtulo 1]; en la proxima seccion veremos explıcitamente comoun vector tangente como derivacion puede expresarse por coordenadas o como clasede equivalencia de curvas.


3.2.1. Vectores tangentes inducidos por los entornoscoordenados

Sea Q una variedad n-dimensional y consideremos un punto p ∈Q. Existe una manera natural de asociar a cada entorno coordenado(U,ϕ = (q1, . . . , qn)) n vectores tangentes en p a Q. En efecto, fijadoi ∈ 1, . . . , n consideremos el vector ei = (0, . . . , 1(i), . . . , 0) ∈ Rn.Definimos la recta ri:

ri : R→ Rn

t 7→ ϕ(p) + t · ei.

A continuacion, tomemos la preimagen por ϕ de la recta ri anterior:

γi :]− ε, ε[ → Qt 7→ ϕ−1(ϕ(p) + t · ei).

Obtenemos ası n vectores tangentes en p, [γi], i = 1, . . . , n, para cadaentorno coordenado. Observemos que

d

dt|t=0 (ϕ γi)(t) =

d

dt|t=0 (ϕ(p) + t · ei) = ei.

Es decir, el vector de Rn asociado al vector tangente por coordenadas[γi] mediante (U,ϕ) vuelve a ser ei (vease la Figura 12).

Figura 12

Observemos ademas que en este caso la derivacion asociada a vp ≡ [γi]es

Dvp : C∞(Q) → Rf 7→ ∂f

∂qi (p) := ∂(fϕ−1)∂xi (ϕ(p)).


En efecto:

Dvp(f) = ddt|t=0 (f γi)(t) = d

dt|t=0 (f ϕ−1) (ϕ γi)(t)

=∑n

j=1∂(fϕ−1)

∂xj (ϕ(p)) · ddt|t=0 qj ϕ−1(ϕ(p) + tei)

=∑n

j=1∂(fϕ−1)

∂xj (ϕ(p)) · ddt|t=0 (qj(p) + δj

i t) = ∂(fϕ−1)∂xi (ϕ(p)),

donde recordemos que qj = xj ϕ y δji es la delta de Kronecker. Esto

justifica que de ahora en adelante sigamos la notacion Dvp ≡ ∂∂qi |p

siempre que vp = [γi].En resumen, fijado un entorno coordenado (U,ϕ = (q1, . . . , qn))

hemos obtenido n derivaciones en p,

∂∂qi |p: C∞(Q) → R

f 7→ ∂f∂qi (p)

i = 1, . . . , n.

Ejemplo. Consideremos la aplicacion f : R2 → R, f(x, y) = x2 +y. Consideremos coordenadas polares (U,ϕ = (ρ, θ)) con U = R2 −(x, 0) : x ≤ 0. Si tomamos p = (0, 1) entonces ϕ(p) = (ρ(p), θ(p)) =(1, π/2). Por tanto, para los vectores tangentes ∂

∂ρ|p y ∂

∂θ|p tenemos:

∂∂ρ|p (f) = ∂f

∂ρ(p) ∂

∂ρ|(1,π/2) (ρ2 cos2 θ + ρsenθ)

= (2ρ cos2 θ + senθ) |(1,π/2)= 1.

∂∂θ|p (f) = ∂f

∂θ(p) = ∂

∂θ|(1,π/2) (ρ2 cos2 θ + ρsenθ)

= (−ρ2sen2θ + ρ cos θ) |(1,π/2)= 0.

Ejercicio. Para Q = R2 y coordenadas usuales (x, y), compruebeseque ∂

∂x|p y ∂

∂y|p coinciden con las derivadas parciales usuales en p.

3.2.2. Estructura de espacio vectorial de TpQ

Cuando estudiamos el concepto de vector tangente por coordenadasllamamos la atencion sobre la estructura de espacio vectorial de dimen-sion n del espacio tangente. La estructura de espacio vectorial resultatambien obvia (no tanto su dimensionalidad) tratando los vectores tan-gentes como derivaciones. En efecto, si vp, wp ∈ TpQ entonces la suma

vp + wp : C∞(Q) → Rf 7→ vp(f) + wp(f),


y el producto por un escalar λ ∈ Rλ · vp : C∞(Q) → R

f 7→ λ · vp(f),

verifica todas las propiedades de espacio vectorial. El siguiente resul-tado permite trabajar con facilidad en coordenadas.

Proposicion 3.2.1 Para cada entorno coordenado (U,ϕ = (q1, . . . , qn))de p ∈ Q se tiene que Bϕ

p = ( ∂∂q1 |p, . . . , ∂

∂qn |p) es una base de TpQ.

Ademas, si vp ∈ TpQ entonces vp =∑n

i=1 vp(qi) ∂

∂qi |p.Demostracion. Ya vimos que para cada entorno coordenado (U,ϕ) setiene el isomorfismo natural

vp 7→

v1

...vn

∈ Rn.

En particular, ∂∂qi |p→ ei ∈ Rn. Por tanto, Bϕ

p se aplica en la base usual

de Rn y, es entonces una base. Mas aun, si vp =∑n

i=1 vi ∂∂qi |p entonces

vp(qj) =

n∑i=1

vi ∂qj

∂qi(p) =

n∑i=1

viδji = vj.

2

En particular, si (U , ϕ = (q1, . . . , qn)) es otro entorno coordenadode p ∈ Q entonces ∂

∂qj |p se puede escribir como combinacion lineal de

elementos de la base Bϕp = ( ∂

∂q1 |p, . . . , ∂∂qn |p). Con mas precision:

∂

∂qj|p=

n∑i=1

∂qi

∂qj(p)

∂

∂qi|p . (3.5)

Observaciones:

(1) La expresion (3.5) se reduce a aplicar la regla de la cadena eva-luando en la correspondiente funcion. En efecto,

∂∂qj |p (f) = ∂f

∂qj |p= ∂(fϕ−1)∂xj (ϕ(p)) = ∂(fϕ−1ϕϕ−1)

∂xj (ϕ(p))

=∑n

i=1∂fϕ−1

∂xi (ϕ(p)) ∂qi

∂qj (p) =∑n

i=1∂qi

∂qj (p) ∂∂qi |p (f).

(3.6)


(2) Tambien seguiremos la notacion vi = qi(vp)(= vp(qi)). Por tanto,

˙qi(vp) =

n∑j=1

∂qi

∂qj(p) · qj(vp) (3.7)

(o, mas brevemente, si se da por supuesto el vector vp entonces˙qi=

∑nj=1

∂qi

∂qj qj).

Ejemplos:

(1) En R2 consideramos las coordenadas usuales ϕ = (x, y). Fijemosp0 ∈ R2 y consideremos la base del espacio tangente en p0 Bp0 =( ∂

∂x|p0 ,

∂∂y|p0). Tenemos pues las aplicaciones

∂∂x|p0 : C∞(R2) → R, f 7→ ∂f

∂x(p0)

∂∂y|p0 : C∞(R2) → R, f 7→ ∂f

∂y(p0).

Ademas, dado vp0 ∈ Tp0R2 se tiene

vp0 = a∂

∂x|p0 +b

∂

∂y|p0

cona = vp0(x) ≡ x(vp0)b = vp0(y) ≡ y(vp0).

Se puede establecer por tanto un isomorfismo canonico

ip0 : R2 → Tp0R2

(a, b) 7→ (a ∂∂x|p0 +b ∂

∂y|p0).

Obviamente, esto es extensible a Rn. De hecho, podemos trabajarindistintamente con Rn o con su tangente Tp0Rn vıa el isomorfis-mo canonico ip0 anterior.

Mas aun, en todo espacio vectorial V (R) existe una identificacionnatural entre TvV y V , ∀v ∈ V . En efecto, fijado v ∈ V , paracada w ∈ V se tiene una curva t 7→ v + tw que define un vectortangente wv ∈ TvV . Se tiene entonces un isomorfismo natural

TvV → Vwv 7→ w.

Sin embargo, nada similar a estas identificaciones ocurre en va-riedades diferenciables arbitrarias.


(2) Si tomamos coordenadas polares (ρ, θ) en un abierto U de R2 quecontenga a p0 = (ρ0 cos θ0, ρ0senθ0) ∈ R2 y consideramos la base( ∂

∂ρ|p0 ,

∂∂θ|p0) del espacio tangente Tp0R2 tenemos

∂∂ρ|p0=

∂x∂ρ|p0

∂∂x|p0 +∂y

∂ρ|p0

∂∂y|p0= cos θ0

∂∂x|p0 +senθ0

∂∂y|p0

∂∂θ|p0=

∂x∂θ|p0

∂∂x|p0 +∂y

∂θ|p0

∂∂y|p0= −ρ0senθ0

∂∂x|p0 +ρ0 cos θ0

∂∂y|p0 .

Ası, ( ∂∂ρ|p0 ,

∂∂θ|p0) es una base de Tp0R2. Si escribimos eρ = ∂

∂ρ|p0 ,

eθ = 1ρ0

∂∂θ|p0 e identificamos (eρ, eθ) vıa ip0 con una base de R2,

esta base es ortonormal para el producto euclıdeo usual.

Ejercicio. Calcular las coordenadas del vector vp = v1 ∂∂x|p +v2 ∂

∂y|p∈

TpR2 en la base ( ∂∂ρ|p, ∂

∂θ|p).

3.3. Variedad tangente

Sea Q una variedad diferenciable de dimension n. Definimos el es-pacio o variedad tangente a Q como TQ = ∪p∈QTpQ. Consideremos laproyeccion π : TQ → Q, π(vp) = p. Nuestro objetivo es demostrar quecada entorno coordenado de Q induce un entorno coordenado en TQ demodo que TQ resulta ser, de manera natural, una variedad diferencia-ble de dimension 2n. Sea (U,ϕ = (q1, . . . , qn)) un entorno coordenadode Q. Definimos

ϕT : π−1(U)(⊆ TQ) → ϕ(U)× Rn(⊆ Rn × Rn ≡ R2n)vp 7→ (ϕ(p), (vp(q

1), . . . , vp(qn)))

≡ ((q1(p), . . . , qn(p)), (q1(vp), . . . , qn(vp)).

(3.8)

Claramente, ϕT es biyectiva. Consideraremos en TQ la unica topologıatal que cada ϕT es un homeomorfismo, esto es, la que admite comobase topologica los subconjuntos de TQ que se pueden escribir como(ϕT )−1(V ), para algun ϕT construido como (3.8) y algun abierto Vde ϕ(U) ⊆ Rn. Esta topologıa resulta ser Hausdorff y ANII, siendoademas TQ localmente homeomorfo a R2n. Ası, TQ es una variedadtopologica de dimension 2n, donde cada (π−1(U), ϕT ) es obviamenteun entorno coordenado. Si ahora tomamos otro entorno coordenado(U , ϕ = (q1, . . . , qn)) de Q, y definimos la correspondiente aplicacion

ϕT : π−1(U) → ϕ(U)× Rn(⊂ R2n),

3.3. VARIEDAD TANGENTE 61

se tiene ϕT (ϕT )−1 : ϕ(U ∩ U)× Rn → ϕ(U ∩ U)× Rn

((q1, . . . , qn), (q1, . . . , qn)) 7→ ((q1(q), . . . , qn(q)), ( ˙q1(q, q), . . . , ˙q

n(q, q)),

donde q = (q1, . . . , qn), q = (q1, . . . , qn). Obviamente, ϕT (ϕT )−1 es

diferenciable y ˙qi(q, q) viene determinado por (3.7). En conclusion,

Teorema 3.3.1 TQ es una variedad diferenciable de dimension 2n.

Observacion. TQ es localmente difeomorfo a Q × Rn; de hecho, dosvariedades arbitrarias de la misma dimension k son localmente difeo-morfas (por ser difeomorfas a Rk localmente). Sin embargo, no sonnecesariamente globalmente difeomorfos.

Ejemplos:

(1) Consideremos R2 y TR2. La aplicacion

R2 × R2 → TR2

(x0, y0, a, b) 7→ a ∂∂x|(x0,y0) +b ∂

∂y|(x0,y0)

es un difeomorfismo entre R4 y TR2. Analogamente, la aplicacion

V × V → TV(v, w) 7→ (v, α′(0)),

con α(t) = v + tw, determina un difeomorfismo entre V × V yTV .

(2) Justifiquemos que tambien TS1 es difeomorfo a S1 × R. Consi-deremos primero el vector tangente en cada punto de R2

−y∂

∂x|(x,y) +x

∂

∂y|(x,y) .

Este vector coincide con el vector coordenado

∂

∂θ|(x,y)= −ρsen(θ(x, y))

∂

∂x|(x,y) +ρ cos(θ(x, y))

∂

∂y|(x,y)

en el dominio de definicion de las polares. De ahı que, sin posibil-idad de confusion, podamos denotarlo ∂

∂θ|(x,y) para todo (x, y) ∈

R2−(0, 0). En particular, sobre todo punto de S1, podemos ver


∂∂θ|(x,y) como la clase de equivalencia de la curva θ 7→ (cos(θ +

θ0), sen(θ + θ0)) ∈ S1, con x = cos θ0, y = senθ0. Facilmente secomprueba entonces que

S1 × R→ TS1

((x, y), a) 7→ a ∂∂θ|(x,y)

es un difeomorfismo.

(3) Sin embargo, la variedad TS2, tangente a la esfera bidimensionalS2, no es difeomorfa a S2 × R2 (vease la Seccion 5.3).

Por ultimo, senalemos que cada curva γ(t) en Q determina un vec-tor tangente [γ] ≡ γ′(0) en γ(0) o, con mas generalidad, un vectortangente γ′(t0) en cada punto t0 de su dominio de definicion (formal-mente, γ′(t0) := [γ(t+ t0]). Ası, cada curva γ(t) en Q genera una curvaγ′(t) en TQ.

3.4. Apendice: notas sobre Mecanica La-

grangiana

A continuacion, vamos a aplicar estos conceptos al estudio de lossistemas lagrangianos. Recordemos que para una partıcula que describeuna curva x(t) en R3 con energıa cinetica T = (1/2)m ‖ x′(t) ‖2 yenergıa potencial V (x(t), t), la lagrangiana se define como

L(x, x, t) =1

2m ‖ x ‖2 −V (x, t),

que es una funcion explıcita de la posicion, la velocidad y tambien deltiempo t (en el caso de que lo sea V ). Si, p. ej., la trayectoria de lapartıcula esta restringida a pasar por una superficie S ⊂ R3, es naturalpensar que el sistema “pierde un grado de libertad”, y la lagrangianasera una funcion con dominio la superficie, junto con todos los planostangentes a ella posibles, mas, eventualmente, el tiempo. Esta situacionse puede generalizar y abstraer progresivamente, lo que conduce a lossiguientes conceptos.

3.4. APENDICE: MECANICA LAGRANGIANA 63

3.4.1. Lagrangianas

Con bastante generalidad, se postula que el espacio de configu-racion de un sistema mecanico es una variedad diferenciable arbitrariaQ siendo entonces la lagrangiana una funcion sobre TQ o, con masgeneralidad (lagrangianas dependientes del tiempo),

L : TQ× R→ R,

donde la coordenada natural de R en TQ×R o “tiempo” se usara paraparametrizar las curvas bajo consideracion (formula (3.9)). El dominiode definicion de la lagrangiana es pues una variedad producto N =TQ × R, donde usualmente se trabaja con coordenadas tipo (q, q, t),esto es, coordenadas (q, q) ≡ ϕT como en (3.8) junto a la coordenadausual de R.

Tiene sentido pues considerar ∂L∂q

, ∂L∂q

y ∂L∂t

. Sea

γ : I ⊂ R → Qt 7→ γ(t)

una curva diferenciable (tomando coordenadas podemos escribir t →q(t)). Esta curva induce a su vez curvas en TQ y en N = TQ× R:

I ⊂ R → TQt 7→ γ′(t)

I ⊂ R → TQ× Rt 7→ (γ′(t), t).

(3.9)

En coordenadas esta ultima aplicacion se suele escribir (q(t), q(t), t),donde cada qi(t) es igual a la componente i-esima del vector tangenteγ′(t), que coincide con la derivada de qi(t) ≡ qi(γ(t)) en cada t ∈ I,

qi(t) =dqi

dt(t) ∀t ∈ I.

Observese que, en general, si ρ(t) = (q(t), q(t), t) es una curva definidadirectamente en N = TQ× R entonces se tiene

ρ(t)(L) = d(Lρ)dt

(t)

=∑n

i=1(∂L∂qi (q(t), q(t), t)

dqi

dt(t) + ∂L

∂qi (q(t), q(t), t)dqi

dt(t) + ∂L

∂t(q(t), q(t), t)).

Pero solo cuando la curva ρ(t) es del tipo ρ(t) = γ′(t) para algunacurva γ(t) de Q se puede escribir

dqi

dt= qi(t);

dqi

dt=

d2qi

dt2.


3.4.2. Curvas crıticas de la accion

Es sabido que, en la deduccion variacional de las ecuaciones deEuler-Lagrange, se considera el funcional accion A(γ) =

∫ t1t0

L(γ′(t), t)dtsobre curvas diferenciales γ : [t0, t1] → Q. La compacidad de [t0, t1](concretamente, la existencia de un “numero de Lebesgue”) permitehallar un numero finito de entornos coordenados (U (α), q(α)) y una par-ticion del intervalo t0 = s0 < s1 < . . . < sk = t1 tal que γ([si, si+1]) ⊂U (αi) para algun αi. Ası, tiene sentido escribir

A(γ) =

∫ t1

t0

L(γ′(t), t)dt =k∑

i=1

∫ si

si−1

L(q(αi)(t), q(αi)(t), t)dt

para poder deducir expresiones manejables en coordenadas.Tıpicamente, en Mecanica Lagrangiana se consideran curvas que

conectan dos puntos fijos p0, p1 ∈ Q, y que son crıticas para el funcionalaccion A en el siguiente sentido. Sea γ una curva que conecta p0 conp1,

γ : [t0, t1] → Q, γ(t0) = p0, γ(t1) = p1.

Una variacion de γ es una aplicacion diferenciable

]− ε, ε[×[t0, t1] → Q,(s, t) 7→ γs(t)

para algun ε > 0, que verifica γ0(t) = γ(t),∀t ∈ [t0, t1] (en ocasiones,tambien conviene permitir que el intervalo de definicion de γs dependade s, por lo que el dominio de la variacion se generaliza subsecuente-mente). La variacion se llama de extremos fijos si

γs(t0) = p0, γs(t1) = p1, ∀s ∈]− ε, ε[.

Para cada s fijo, la curva t 7→ γs(t) es una curva longitudinal de lavariacion. Para cada t fijo, la curva s 7→ γs(t) es una curva transversal;esta curva determina en s = 0 un vector tangente V (t) para cada t. Ala curva en TQ

t 7→ V (t)

se le llama campo variacional o variacion infinitesimal de γ. Observeseque la variacion de γ en Q induce una variacion de γ′ en TQ:

]− ε, ε[×[t0, t1] → TQ,(s, t) 7→ γ′s(t),

(3.10)

3.4. APENDICE: MECANICA LAGRANGIANA 65

donde γ′s(t) denota al vector tangente en γs(t) determinado por lacurva longitudinal γs (a su vez, esta variacion induce trivialmente unaen TQ × R). Se dice que γ es una curva crıtica para A si para todavariacion de γ en el conjunto de curvas que se este considerando setiene

dA(γs)

ds|s=0= 0.

No es difıcil demostrar que las curvas crıticas para variacioness de ex-tremos fijos coinciden con las que, escritas en cualesquiera coordenadas,satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange:

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0.

Ejercicios

Ejercicio 1. Razonar por que se puede identificar TpR2 con R2,∀ p ∈R2.

Ejercicio 2. Calculese una base de T(1,1,2)Q, siendo Q el paraboloidedado por la grafica de la funcion z = x2 + y2.

Ejercicio 3. Calculese una base de T( 1√2,0,√

2)Q, siendo Q el elipsoide

de ecuacionx2 + y2 + z2

4= 1.

Ejercicio 4. Sea Q una variedad, p ∈ Q y v ∈ TpQ. Demuestrese:

(i) Si f ∈ C∞(Q) es constante entonces v(f) = 0.

(ii) Si f, g ∈ C∞(Q) coinciden en un entorno de p entonces v(f) =v(g).

Ejercicio 5. Se consideran las coordenadas cilındricas definidas en[Tema 2, Apendice 2]. Escrıbanse ∂/∂ρ|p, ∂/∂θ|p y ∂/∂z|p como com-binacion lineal de la base de TpR3 inducida por las coordenadas usuales(cartesianas) de R3.

Ejercicio 6. Sean U = (x, y, z) : z > 0 y f : U → R la aplicaciondefinida por f(x, y, z) = 3 x + y/z. Calcular que valor toman sobref las derivaciones asociadas a las coordenadas cilındricas en el puntop = (1, 1, 3).


Ejercicio 7. Sean p = (3, 4, 2) ∈ R3 y vp = −∂x +3 ∂y−2 ∂z ∈ TpR3.Hallese la expresion de vp en coordenadas cilındricas.

Ejercicio 8. Dado p = (0, 1, 1) ∈ R3, se considera vp = −2 ∂ρ + ∂θ −∂z ∈ TpR3. Calculese la expresion de vp en coordenadas cartesianas.

Ejercicio 9. Sea F : R3 −→ R2 la aplicacion definida por

F (x, y, z) = (x2 + y2, z2).

Discutir si c = (1, 1) es un valor regular de F , y en tal caso, determinarla dimension de la subvariedad regular Q = F−1(c), y hallar T(1,0,1)Q.

Ejercicio 10. Dada la aplicacion F : R4 −→ R3, definida por

F (x, y, z, t) = (2 x + y, t, z),

estudiar si Q = F−1(c) es una subvariedad regular de R4, con c =(0, 1, 1), y en caso afirmativo, calcular T(1,−2,1,1)Q.

Ejercicio 5. Idem para las coordenadas esfericas ϕ = (r, θ, φ) definidasen ese mismo apendice.

Capıtulo 4

Aplicaciones diferenciablesentre variedades

En este capıtulo pretendemos generalizar el concepto de diferencialde una aplicacion diferenciable entre espacios euclıdeos a aplicacionesentre variedades arbitrarias. Para ello partiremos del conocimiento pre-vio de algunas nociones sobre el espacio dual, que se desarrollan en elApendice. Mas aun, definiremos las variedades cotangentes, que sirvende dominio natural a la Mecanica Hamiltoniana, y generalizaremosalgunos teoremas fundamentales sobre aplicaciones diferenciables.

Recordemos que, dada una funcion diferenciable de dos variables realesf : R2 → R, el plano tangente a su grafica en un punto (x0, y0, f(x0, y0))admite la expresion

z − z0 =∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0).

Este plano se suele escribir como una diferencial en (x0, y0) ∈ R2,

dz ≡ (df)(x0,y0) =∂f

∂x(x0, y0)dx +

∂f

∂y(x0, y0)dy.

Esta diferencial puede interpretarse como una funcion lineal sobre

67

68 CAPITULO 4. APLICACIONES DIFERENCIABLES

T(x0,y0)R2. En efecto, tomando un vector tangente arbitrario

v = v1 ∂

∂x|(x0,y0) +v2 ∂

∂y|(x0,y0)∈ T(x0,y0)R2

se tiene

(df)(x0,y0)(v) = v1∂f

∂x(x0, y0) + v2∂f

∂y(x0, y0) ∈ R,

vease la Figura 13.

Figura 13

En la Seccion 4.1 se va a extender este punto de vista a cualquierfuncion real sobre Q lo que, en particular, permitira definir la variedadcotangente, Seccion 4.2. En la Seccion 4.3 extenderemos el concepto dediferencial a cualquier aplicacion entre dos variedades.

4.1. DIFERENCIAL DE UNA FUNCION 69

4.1. Diferencial de una funcion sobre una

variedad

4.1.1. Concepto

Sea vp = [γ] un vector tangente a Q en p. Recordemos que paraf ∈ C∞(Q) habıamos definido la derivada de f en la direccion devp como vp(f) = d

dt|t=0 (f γ) ∈ R. En consecuencia, para cada

f ∈ C∞(Q) se tiene la aplicacion

dfp : TpQ → Rvp 7→ vp(f)

(4.1)

a la que denominaremos diferencial de f en p. Como muestra la si-guiente proposicion, la aplicacion dfp es una forma lineal sobre TpQ(vease (1) del Apendice). En efecto,

Proposicion 4.1.1 La aplicacion dfp definida en (4.1) es lineal, estoes, dfp ∈ TpQ

∗.

Demostracion.

dfp(avp+bwp) = (avp+bwp)(f) = avp(f)+bwp(f) = a·dfp(vp)+b·dfp(wp)

para todo vp, wp ∈ TpQ y todo a, b ∈ R. 2

Ası, la aplicacion dfp extiende a la diferencial usual de funcionesreales, y representa la mejor aproximacion lineal a f en p.

4.1.2. Expresion en coordenadas

A continuacion estudiaremos bases de TpQ∗ asociadas a entornos

coordenados, y determinaremos la expresion en coordenadas de la di-ferencial de f : Q → R.

Fijemos un entorno coordenado (U,ϕ = (q1, . . . , qn)) de la variedadQ. La base canonica de TpQ asociada a dicho entorno es Bϕ

p = ( ∂∂q1 |p

, . . . , ∂∂qn |p).

Proposicion 4.1.2 La base dual de Bϕp (vease (2) del Apendice) es

Bϕ∗p = (dq1

p, . . . , dqnp ).


Demostracion. Observese en primer lugar que qi : U ⊆ Q → R es, obvi-amente, diferenciable, por lo que, efectivamente dqi

p define un elementode TpQ

∗. El resultado se deduce por tanto de:

dqjp(

∂

∂qi|p) =

∂qj

∂qi(p) = δj

i ∀i, j ∈ 1, . . . , n.

2

Podemos ahora considerar la matriz de dfp asociada a Bϕp , esto es,

(siguiendo el Apendice), las coordenadas de dfp en Bϕ∗p . Usando que

∂

∂qi|p (f) =

∂f

∂qi(p) ∀i ∈ 1, . . . , n

dicha matriz queda:

M(dfp, 1 ← Bϕp ) =

(dfp(

∂

∂q1|p), . . . , dfp(

∂

∂qn|p)

)

=

(∂f

∂q1(p), . . . ,

∂f

∂qn(p)

).

Ası,

dfp =n∑

i=1

∂f

∂qi(p)dqi

p, (4.2)

y si vp ∈ TpQ entonces

dfp(vp) =n∑

i=1

∂f

∂qi(p) · dqi

p(vp) =n∑

i=1

∂f

∂qi(p) · vi

p,

donde vp =∑n

i=1 vip

∂∂qi |p.

4.1.3. Cambio de coordenadas

Tomemos ahora otro sistema de coordenadas (U , ϕ = (q1, . . . , qn))alrededor de p. Para estas coordenadas se verifica igualmente

dfp =n∑

i=1

∂f

∂qi(p)dqi

p.

4.2. EL ESPACIO COTANGENTE 71

Ahora bien, por (4.2) el cambio de base entre Bϕ∗p y Bϕ∗

p queda (com-parese con el Apendice (3)):

dqip =

n∑j=1

∂qi

∂qj(p)dqj

p.

En consecuencia, de la anterior ecuacion se tiene facilmente la siguien-te relacion entre las parciales de f con respecto a las distintas coorde-nadas:

∂f∂qj (p) = dfp(

∂∂qj |p) = dfp(

∑ni=1

∂qi

∂qj (p) ∂∂qi |p) =

∑ni=1

∂qi

∂qj (p)dfp(∂

∂qi |p)=

∑ni=1

∂qi

∂qj (p) ∂f∂qi (p).

Se obtiene ası la relacion entre las coordenadas de dfp en Bϕ∗p y Bϕ∗

p .

4.2. El espacio cotangente

El desarrollo de la seccion anterior es aplicable a cualquier for-ma lineal sobre TpQ. Ası, si fijamos un entorno coordenado (U,ϕ =(q1, . . . , qn)) de p ∈ Q y consideramos las bases Bϕ

p y Bϕ∗p entonces a

cada φ ∈ TpQ∗ le corresponden n numeros reales (b1, . . . , bn) tales que

φ =n∑

i=1

bi · dqip.

Estos n numeros reales son las coordenadas de φ en Bϕ∗p y vienen dados

por la expresion

bi = φ(∂

∂qi|p) ∀i ∈ 1, . . . , n.

Si tomamos otro entorno coordenado (U , ϕ = (q1, . . . , qn)) la formalineal φ tendra coordenadas (b1, . . . , bn), deduciendose la relacion

bj =n∑

i=1

∂qi

∂qj(p)bi. (4.3)

Como ocurrıa con los vectores tangentes, esta relacion permite definircada elemento del espacio dual TpQ

∗ por coordenadas como una n-upla


asignada a cada entorno coordenado de p que se transforma segun (4.3)frente a cambios de coordenadas.

Analogamente al caso del espacio tangente, llamamos espacio ovariedad cotangente de Q a TQ∗ = ∪pTpQ

∗. Este espacio tambien seconsidera dotado de una estructura natural de variedad diferenciable,definiendose un atlas diferenciable como sigue. Sea π : TQ∗ → Q,π(αp) = p, la proyeccion canonica, y (U,ϕ) un entorno coordenado deQ. Definimos

ϕC : π−1(U) → ϕ(U)× Rn(⊆ R2n)αp 7→ (q1(p), . . . , qn(p), p1(αp), . . . , pn(αp)),

(4.4)

donde pi(αp) = αp(∂

∂qi |p), esto es, αp =∑n

i=1 pi(αp)dqip.

Nota. En Mecanica Hamiltoniana se parte de la variedad de configu-racion Q, de su espacio cotangente TQ∗ (o espacio de fases) y de unahamiltoniana H : TQ∗ × R → R. A las coordenadas pi se les llamamomentos generalizados. Analogamente al caso lagrangiano (Seccion3.4), en Mecanica Hamiltoniana se pueden calcular curvas crıticas dela hamiltoniana (u otros funcionales relacionados con ella) para diver-sos tipos de variaciones. Esto es, curvas en TQ∗

ρ : [t0, t1] → TQ∗, ρ(t) = (q(t), p(t))

tales que para cualquier variacion

]− ε, ε[×[t0, t1] → TQ∗

(s, t) 7→ ρs(t)

(en la clase de curvas que se considere) la funcion

A(ρs) =

∫ t1

t0

H(ρs(t), t)dt

(≡

∫ t1

t0

H(qs(t), ps(t), t)dt

)

verifique dAds|s=0= 0. Pero, a diferencia del caso lagrangiano, tanto la

curva ρ(t) como la variacion ρs(t) se toman directamente en TQ∗, estoes, no se construyen a partir de curvas de Q (comparese con (3.10)).La consecuencia de esta “mayor libertad” en las variaciones, es que lasecuaciones de Hamilton

dqi

dt(t) =

∂H

∂pi

(q(t), p(t), t);dpi

dt(t) = −∂H

∂qi(q(t), p(t), t), (4.5)

4.3. DIFERENCIAL DE UNA APLICACION 73

(que caracterizan localmente a curvas extremales apropiadas), son 2necuaciones de primer orden –en lugar de n ecuaciones de segundo, comoen el caso lagrangiano.

4.3. Diferencial de una aplicacion entre

variedades

En esta seccion introduciremos el concepto de diferencial de unaaplicacion entre dos variedades arbitrarias. Sean Q, Q′ dos variedadesdiferenciables y F : Q → Q′ una aplicacion diferenciable entre ellas.Es claro que si vp = [γ] ∈ TpQ entonces [F γ] ∈ TF (p)Q

′. Pues bien,llamamos diferencial de F en p a la aplicacion

dFp : TpQ → TF (p)Q′

[γ] 7→ [F γ],

vease la Figura 14.

Figura 14

Observacion. Para comprobar que esta definicion es consistente, debe-mos tener en cuenta lo siguiente:


(1) La definicion es independiente de la curva de la clase [γ] que seelija. En efecto, supongamos que m y n son las dimensiones deQ y Q′, respectivamente. Sean (U,ϕ = (q1, . . . , qm)) y (U ′, ϕ′ =(q′1, . . . , q′n)) entornos coordenados alrededor de p y de F (p),respectivamente. Si vp = [γ] ∈ TpQ entonces

ddt|t=0 (ϕ′ F γ)(t) = d

dt|t=0 (ϕ′ F ϕ−1) (ϕ γ)(t)

=∑m

j=1∂(ϕ′Fϕ−1)

∂xj (ϕ(p)) ddt|t=0 (qj γ)(t).

(4.6)Ahora bien, si γ ∼ ρ (esto es, vp = [γ] = [ρ]) entonces d

dt|t=0

(qj γ)(t) = ddt|t=0 (qj ρ)(t) ∀j. En consecuencia, de (4.6)

deducimos que la definicion de diferencial solo depende del vectorvp y no del representante de la clase.

(2) Esta definicion es consistente con la definicion de diferencial quevimos para una funcion real f : Q → R. En efecto, esto se vefacilmente gracias a la identificacion entre R y Tf(p)R, ya que

dfp(vp) = vp(f) =d

dt|t=0 (f γ) ∈ Tf(p)R ≡ R.

De ahora en adelante usaremos la notacion

q′i F ≡ F i

∂∂xj |ϕ(p) (ϕ′ F ϕ−1) = (∂F 1

∂qj , . . . , ∂F n

∂qj )(p).

Con esta notacion dFp(vp) adopta la expresion:

dFp(vp) =n∑

i=1

(m∑

j=1

∂F i

∂qj(p)vj

)∂

∂q′i|F (p),

donde vp =∑m

j=1 vj ∂∂qj |p. Esto es, matricialmente las coordenadas de

dFp(vp) en la base Bϕ′p = ( ∂

∂q′1 |p, . . . , ∂∂q′n |p) son

∂F 1

∂q1 . . . ∂F 1

∂qm

.... . .

...∂F n

∂q1 . . . ∂F n

∂qm

p

·

v1

...vm

. (4.7)

De hecho, (4.7) puede considerarse como definicion de dFp, aplicabledirectamente cuando los vectores tangentes se dan por coordenadas.

4.3. DIFERENCIAL DE UNA APLICACION 75

De todo lo anterior resulta inmediato que dFp : TpQ → TF (p)Q′ es

lineal. La siguiente proposicion relaciona los vectores tangentes dFp(vp)y vp vistos como derivaciones.

Proposicion 4.3.1 Si vp ∈ TpQ y F : Q → Q′ es una aplicaciondiferenciable entonces

dFp(vp) : C∞(Q′) → Rg 7→ vp(g F ).

(4.8)

Demostracion. Si vp = [γ] entonces dFp(vp) = [F γ]. Por tanto,

dFp(vp)(g) =d

dt|t=0 g (F γ) =

d

dt|t=0 (g F ) γ = vp(g F ). 2

Figura 15

Obviamente, (4.8) tambien puede tomarse como definicion de dFp,aplicable directamente a vectores dados como derivaciones.

Ejemplos:

(1) Para una funcion diferenciable F : Rm → Rn, si identificamos losespacios tangentes TpRm, TF (p)Rn con Rm, Rn (vease (4.7)), res-pectivamente, entonces la definicion de diferencial (dF )p coincidecon la usual entre Rm y Rn.


(2) Consideremos la circunferencia S1 ⊂ R2 ≡ C (vease la Seccion3.3) y la aplicacion diferenciable F : S1 → S1, F (z) = z2, ∀z ∈ C.Para calcular dFp0 , p0 ∈ S1, tomamos como coordenada en tornoa p0 el “angulo” θ y consideramos la curva θ → (cos θ, senθ) ∈S1 ⊂ R2. Si θ0 es tal que p0 = (cos θ0, senθ0) entonces:

dFp0(∂

∂θ|p0) =

d

dθ|θ0 F (cos θ, senθ)

=d

dθ|θ0 (cos 2θ, sen2θ) = 2

∂

∂θ|F (p0),

donde recordemos (vease [Seccion 3.3, Ejemplo (2)])

∂

∂θ|p0= −senθ0

∂

∂x|p0 + cos θ0

∂

∂y|p0 .

(3) Consideremos una subvariedad regular Q ⊂ Rn+p y una apli-cacion F : Q → Q′ que sea restriccion de otra aplicacion F :Rn+p → Q′. Se verifica entonces

dFp = dFp |TpQ .

Ası, por ejemplo, la aplicacion F : S2 → S2, F (x) = −x es larestriccion a S2 de la aplicacion F : R3 → R3, F (x) = −x. Como,salvo identificacion, dFp = −Id3, se tiene

dFp

(n∑

i=1

ai ∂

∂xi|p

)= −

n∑i=1

ai ∂

∂xi|(−p)

para cualquier vector tangente∑n

i=1 ai ∂∂xi |p∈ TpS

2.

4.4. Teoremas fundamentales

En esta seccion enunciaremos con generalidad en variedades arbi-trarias algunos teoremas fundamentales relacionados con las aplica-ciones diferenciables. Esencialmente, sus demostraciones se reducen alas de los correspondientes teoremas entre espacios euclıdeos, una vezescritos los enunciados en coordenadas.

4.4. TEOREMAS FUNDAMENTALES 77

Teorema (Regla de la cadena): Consideremos dos aplicacionesdiferenciables entre variedades F : Q → Q′ y G : Q′ → Q′′ y consi-deremos sus respectivas diferenciales dFp : TpQ → TF (p)Q

′ y dGF (p) :TF (p)Q

′ → TG(F (p))Q′′ con p ∈ Q. Se verifica entonces:

d(G F )p = dGF (p) dFp.

Teorema de la Funcion Inversa: Sea F : Q → Q′ una aplicaciondiferenciable y p0 ∈ Q. Supongamos que (dF )p0 : Tp0Q → TF (p0)Q

′

es biyectiva (por lo que, necesariamente, dim Q =dim Q′). Entoncesexisten entornos coordenados U de p0 y U ′ de F (p0) tales que F (U) =U ′ y la restriccion de F a U es biyectiva con inversa diferenciable; estoes,

F |U : U → U ′

p 7→ F (p)

es un difeomorfismo. Ademas, d(F |−1U )F (p0) = (dFp0)

−1.(Observese que F es un difeomorfismo local si y solo si (dF )p es

biyectiva para todo p ∈ Q.)

Teorema de la Funcion Implıcita: Sea F : Q → Q′ una apli-cacion diferenciable y q ∈ ImF (⊆ Q′) un valor regular de F , esto es,tal que para todo p ∈ F−1(q) se tiene que dFp : TpQ → TF (p)Q

′ essuprayectiva. Entonces F−1(q) es una variedad topologica de dimen-sion dim Q−dim Q′ ≥ 0 y admite una estructura diferenciable naturala partir de las cartas de Q. A cada variedad diferenciable obtenida me-diante este teorema la llamaremos subvariedad de Q asociada al valorregular q de F .

Observacion 4.4.1 Sobre el Teorema de la Funcion Implıcita merecetenerse en cuenta lo siguiente:

(1) Sean, n = dim Q, m = dim Q′. Como en el Teorema 2.5.3, paraconstruir un atlas diferenciable en F−1(q) se entiende que, para cadap ∈ F−1(q) y cada entorno coordenado (U,ϕ) de Q alrededor de p, silas columnas i1, . . . , im de dFp en esas coordenadas son independientesentonces se deben escoger las otras n−m funciones coordenadas de ϕ.

(2) Como en la [Seccion 4.3, Ejemplo (3)], la restriccion de cualquieraplicacion diferenciable definida sobre Q a una subvariedad suya estambien diferenciable. Ademas, el espacio tangente a F−1(q) en cadapunto p ∈ F−1(q) puede verse como un subespacio de TpQ.


Observemos que, en el Teorema de la Funcion Inversa, dFp0 es biyectiva,mientras que en el Teorema de la Funcion Implıcita dFp es sobreyectiva.

Si dFp es inyectiva entonces existen entornos U de p y U ′ de F (p)tales que la restriccion

F |U : U → U ′

p 7→ F (p)

es inyectiva. Esto es, F |U es un embebimiento en el sentido que defi-nimos a continuacion:

Definiciones 4.4.2 Sea F : Q → Q′ una aplicacion diferenciable.

(1) F es una inmersion si dFp es inyectiva para todo p ∈ Q. En estecaso diremos que (Q,F ) es una subvariedad inmersa en Q′.

(2) F es un embebimiento si, ademas, F es un homeomorfismo so-bre su imagen F (Q). En este caso diremos que (Q,F ) es unasubvariedad embebida en Q′.

En este ultimo caso, F (Q) no es solo una variedad topologica (con latopologıa inducida de Q′) sino que la estructura diferenciable de Q seinduce sobre F (Q) de modo que Q y F (Q) son variedades difeomorfas.Una subvariedad embebida es entonces equivalente a una subvariedaden el siguiente sentido: una variedad Q incluida en otra variedad Q′ esuna subvariedad de esta si la inclusion i : Q → Q′ es un embebimiento.

Ejemplo. Consideremos tres curvas γi :]0, 1[→ R2, γ′i(t) 6= 0 ∀t ∈]0, 1[, i = 1, 2, 3, cuyas imagenes y sentido de recorrido aparecen en laFigura 16. La curva γ1 es una inmersion, con lo que (]0, 1[, γ1) es unasubvariedad inmersa en R2. La curva γ2 es una inmersion inyectiva,aunque no un embebimiento. Finalmente, la curva γ3 sı resulta ser unembebimiento, y su imagen una subvariedad.

Nota. Recordemos que en Mecanica Lagrangiana se postula que elespacio de configuracion de un sistema fısico es una variedad diferen-ciable Q. El espacio de estados del sistema queda entonces modeladopor la variedad tangente TQ. En ocasiones, existen “ligaduras” sobrelos posibles estados del sistema, que se representan mediante una fun-cion F : TQ → Rk (o, mas generalmente, F : TQ → Q′). En estecaso se supone que los estados del sistema caen en F−1(c) ⊂ TQ, para

4.5. APENDICE: EL ESPACIO DUAL 79

Figura 16

algun valor regular c ∈ Rk. Cuando existe una subvariedad S de Q talque TS = F−1(c) entonces se dice que las ligaduras son holonomas ointegrables. En caso contrario, se dice que son anholonomas.

4.5. Apendice: el espacio dual

(1) Concepto de dual algebraico.

Sea V (R) un espacio vectorial real de dimension n. Se define elespacio dual V ∗(R) de V (R) como:

V ∗(R) := (L(V,R) =)φ : V → R : φ lineal.

A cada elemento del dual φ ∈ V ∗(R) se le llama forma lineal. El espaciodual V ∗(R), dotado de sus operaciones naturales, es un espacio vecto-rial de dimension n(= dim V · dimR). Si fijamos una base ordenadade V (R) B = (v1, . . . , vn) y tomamos 1 como base de R(R) entoncespara cada φ ∈ V ∗(R) podemos calcular la matriz de la aplicacion φ ex-presada en dichas bases M(φ, B, 1)(≡ M(φ, 1 ← B)), matriz queresulta ser igual a (φ(v1) . . . φ(vn)). De esta forma, si v =

∑ni=1 aivi ∈ V

entonces

φ(v) =n∑

i=1

φ(vi)ai = (φ(v1) . . . φ(vn)) ·

a1

...an


= M(φ, 1 ← B) ·

a1

...an

∈ R.

(2) Base dual.Consideremos los espacios vectoriales V (R), V ∗(R) y fijemos una

base B = (v1, . . . , vn) de V (R). Es conocido el siguiente resultado:

Teorema 4.5.1 Existe una unica base B∗ = (φ1, . . . , φn) de V ∗(R)que verifica

φi(vj) = δij ∀i, j ∈ 1, . . . , n.

A esta base B∗ se la llama base dual de la base B. Ademas, para loselementos de esta base se tiene

M(φ1, 1 ← B) = (1, 0, . . . , 0)...

...M(φn, 1 ← B) = (0, 0, . . . , 1).

Fijada la base B = (v1, . . . , vn) y su base dual B∗ = (φ1, . . . , φn) severifica φj(v) = φj(

∑ni=1 aivi) =

∑ni=1 aiφj(vi) =

∑ni=1 aiδj

i = aj. Estoes,

v = φ1(v)v1 + · · ·+ φn(v)vn =n∑

i=1

φi(v)vi, ∀v ∈ V.

Analogamente, si φ ∈ V ∗ y φ =∑n

i=1 biφi entonces φ(vj) =

∑ni=1 biδ

ij =

bj. Esto es,

φ = φ(v1)φ1 + · · ·+ φ(vn)φn =

n∑i=1

φ(vi)φi, ∀φ ∈ V ∗. (4.9)

(3) Cambio de base dual.Sean B = (v1, . . . , vn), B = (v1, . . . , vn) dos bases de V (R) y

B∗ = (φ1, . . . , φn), B∗

= (φ1, . . . , φ

n) sus respectivas bases duales.

Supongamos que vj =∑n

i=1 aijvi, j ∈ 1, . . . , n, es decir,

M(IdV , B ← B) = (aij)i,j =

a11 . . . a1

n...

. . ....

an1 . . . an

n

.


Como consecuencia, si v ∈ V y v =∑n

i=1 aivi =∑n

j=1 ajvj entonces

ai =∑n

i=1 aija

j. Esto es,

a1

...an

= M(IdV , B ← B) ·

a1

...an

.

Comprobemos a continuacion

M(IdV ∗ , B∗ ← B∗) = M(IdV , B ← B)t. (4.10)

Observese que, si escribimos φk =∑n

j=1 bkj φ

j entonces los elementos de

la matriz (bkj ) seran los de la matriz M(Id, , B

∗ ← B∗), pero el ındicesuperior indicara ahora columna y no fila (como en (ai

j)). Ası, (4.10)se sigue de bk

j = φk(vj) = akj (la primera igualdad por (4.9).

Como consecuencia de (4.10), si ϕ =∑n

i=1 biϕi =

∑nj=1 bjϕ

j setiene

bj =n∑

i=1

aijbi,

(o bien, directamente, bj = ϕ(vj) =∑n

i=1 aijϕ(vi) =

∑ni=1 ai

jbi).

(4) Trasposicion de una aplicacion lineal.Sean V (R), V ′(R) dos espacios vectoriales y f : V → V ′ una apli-

cacion lineal entre ellos. Para cada φ′ ∈ V ′∗(R) podemos definir laaplicacion φ′ f : V → R. Como φ′ f es una composicion de apli-caciones lineales se tiene que φ′ f es tambien lineal y, por tanto,φ′ f ∈ V ∗(R).

Definicion 4.5.2 Definimos la aplicacion traspuesta f t de la apli-cacion lineal f : V → V ′ como la aplicacion

f t : V ′∗ → V ∗

φ′ 7→ f t(φ′) := φ′ f.

Se tiene entonces el siguiente resultado:

Teorema 4.5.3 La aplicacion traspuesta f t de una aplicacion linealf : V → V ′ verifica:

(i) Es lineal.


(ii) Si B y B′ son bases de V y V ′, respectivamente, entonces

M(f t, B∗ ← B′∗) = M(f,B′ ← B)t.

(iii) La aplicacion trasposicion

t : L(V, V ′) → L(V ′∗, V ∗)f 7→ f t

es lineal. De hecho, es un isomorfismo de espacios vectoriales.

(5) Teorema de reflexividad.Sean V (R) y V ∗(R) un espacio vectorial y su dual, respectivamen-

te. Podemos considerar el dual de V ∗(R), o bidual de V (R): V ∗∗(R) =(V ∗(R))∗. Estos tres espacios vectoriales tienen igual dimension y, portanto, son isomorfos. Sin embargo, mientras que no existe ningun iso-morfismo canonico general entre V (R) y V ∗(R), sı podemos definir unoentre V (R) y V ∗∗(R). Ello, en la practica, equivale a considerar ambosespacios como iguales.

Concretamente, fijado un vector v ∈ V definimos la aplicacion

Φv : V ∗ → Rφ 7→ φ(v)

que es lineal y, por tanto, pertenece al bidual V ∗∗(R). No es difıcilcomprobar:

Teorema 4.5.4 (de Reflexividad). La aplicacion

Φ : V → V ∗∗

v 7→ Φv

es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Otro modo de construir este isomorfismo es el siguiente (pruebese comoejercicio). Sean B, B dos bases de V (R). Existe un unico isomorfismoF : V → V ∗ que, de manera ordenada, aplica B en B∗. Analogamente,existe un unico isomorfismo G : V ∗ → V ∗∗ que aplica B∗ en B∗∗. ConB obtenemos analogamente isomorfismos F , G. En general, F 6= Fy G 6= G. Sin embargo, G F = G F , y ambos coinciden con elisomorfismo que proporciona el Teorema de Reflexividad.


Una consecuencia inmediata del Teorema de Reflexividad es quecualquier base B′ = (φ1, . . . , φn) de V ∗(R) es la base dual de una unicabase B de V (R). En efecto, si tomamos la base dual de B′, podemosescribir B′∗ = (Φv1 , . . . , Φvn) donde B = (v1, . . . , vn) es una base deV (R). Entonces, se comprueba facilmente que B∗ = B′.

Ejercicios

Ejercicio 1. (a) Si F : Rn −→ Rm es una aplicacion lineal, com-pruebese que, con las identificaciones usuales de Tp(Rk) con Rk, setiene (dF )p = F , ∀p ∈ Rn.

(b) Sea Q una subvariedad de R3. Si φ ∈ (R3)∗ y f : Q −→ Res la funcion diferenciable sobre Q dada por f(p) = φ(p), ∀p ∈ Q,compruebese que (df)p(v) = φ(v), ∀v ∈ TpQ.

Ejercicio 2. Se consideran las aplicaciones f : R2 −→ R2, g : R2 −→R3, dadas por

f(x, y) = (x2 − 2y, 4x3y2), g(x, y) = (x2y + y2, 2− 2y3, yex)

Calculese: (a) la matriz de (df)(1,0) en coordenadas cartesianas; (b)ıdem para (d(g f))(1,0); (c) el valor de (df)(1,0)(2

∂∂x− ∂

∂y).

Ejercicio 3. Sea f : S2 −→ R la funcion dada por f(x, y, z) =2x− y + z. Calculese (df)p(v), siendo p = ( 1√

2, 1√

2, 0) y v = (1,−1, 1).

Ejercicio 4. Sean Q y Q′ variedades diferenciables, Q×Q′ la variedadproducto de Q por Q′, (p, p′) ∈ Q×Q′ y f ∈ C∞(Q×Q′). Pruebese:

v(f) = v1(f ip′) + v2(f ip)

donde v ∈ T(p,p′)(Q × Q′), v1 = (dπQ)(p,p′)(v), v2 = (dπQ′)(p,p′)(v),πQ, πQ′ son las proyecciones de Q × Q′ en Q y Q′, respectivamente,e ip′ : Q −→ Q × Q′, ip : Q′ −→ Q × Q′ son las inclusiones ip′(q) =(q, p′),∀q ∈ Q, ip(q

′) = (p, q′),∀q′ ∈ Q′.

Ejercicio 5. Sea F : Q −→ Q′ una aplicacion diferenciable entre lasvariedades Q y Q′. Supongamos que (dF )p = 0 (aplicacion lineal nula)∀p ∈ Q. Pruebese que si Q es conexa entonces F es constante.


Ejercicio 6. Si f, f ′ : Q −→ R son dos funciones diferenciables sobreuna variedad conexa Q tales que (df)p = (df ′)p, ∀p ∈ Q, y f(p0) =f ′(p0) para un punto fijo p0 ∈ Q, pruebese que f = f ′.

Ejercicio 7. Fijada una aplicacion diferenciable F : Q → Q′ condiferencial en p dFp : TpQ → TF (p)Q

′ llamaremos codiferencial δFp deF a la aplicacion traspuesta (dFp)

t. ¿Cual es su dominio y codominio?Sean F : Q −→ Q′, y G : Q′ −→ Q′′ aplicaciones diferenciables

entre las variedades Q, Q′ y Q′′. Pruebese la siguiente regla de la cadenapara la codiferencial de una composicion: δ(GF )p = (δF )p (δG)F (p),∀p ∈ Q.

Ejercicio 8. Sea α : Tp(S2) −→ R, p = (−1, 0, 0), dada por α(0, a, b) =

2a+b. Si (U,ϕ) es una carta de S2 con p ∈ U , calculese las coordenadasde α en la correspondiente base ((dq1)p, (dq2)p) de T∗

p(S2).

Ejercicio 9. Dada una funcion diferenciable f : S2 −→ R tal que(df)p0 6= 0, p0 ∈ S2, pruebese que existe una carta (U,ϕ), con p0 ∈ U ,tal que una de sus coordenadas coincide con f sobre U .

Ejercicio 10. Sea F : Q −→ Q′ una aplicacion diferenciable. Su-pongamos que (dF )p0 es biyectiva. Pruebese que para cada sistemade coordenadas (x1, . . . , xn) en un entorno abierto de F (p0) en Q′, lasfunciones x1 F, ..., xn F son un sistema de coordenadas en un ciertoentorno abierto de p0 en Q.

Ejercicio 11. Dada la aplicacion f : R3 −→ R definida por

f(x, y, z) = x ez + 2,

calculese (df)p en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas, encada punto p ∈ R3 donde estas se hallen definidas.

Ejercicio 12. Sea O ⊂ R3 un abierto, y f : O → R una apli-cacion diferenciable que admite un valor regular a. Sea S = f−1(a)la correspondiente superficie regular de R3. Compruebese que TpS =Nuc((df)p), donde, con las identificaciones usuales, Nuc((df)p) = v ∈R3 : (df)p(v) = 0).

Capıtulo 5

Campos vectoriales

5.1. Concepto de campo vectorial

Sean Q una variedad diferenciable, TQ su variedad tangente y π :TQ → Q la proyeccion canonica. Un campo vectorial X sobre Q es unaaplicacion que asigna a cada punto p ∈ Q un vector tangente a Q enese punto, Xp ∈ TpQ. Esto es, una aplicacion X : Q → TQ tal queπ X = IdQ.

Un campo X se dice diferenciable (resp. continuo) si X es dife-renciable C∞ (resp. continua) como aplicacion entre variedades. Ası,si tomamos coordenadas (U,ϕ = (q1, . . . , qn)) entonces X, que puedeescribirse

Xp ≡ X(p) = X1(p)∂

∂q1|p + · · ·+ Xn(p)

∂

∂qn|p ∀p ∈ U,

sera diferenciable en p0 ∈ U si y solo si X1, . . . , Xn son aplicacionesdiferenciables en p0.

En particular, observemos que sobre el abierto U las coordenadasinducen n campos vectoriales diferenciables ∂

∂q1 , . . . ,∂

∂qn (campos co-

ordenados) en funcion de los cuales podemos expresar cualquier otrocampo sobre U . Como en el caso de variedades y aplicaciones entre va-riedades, de ahora en adelante supondremos, salvo mencion explıcita

85

86 CAPITULO 5. CAMPOS VECTORIALES

de lo contrario, que los campos vectoriales son “diferenciables”, por loque omitiremos esta palabra.

Ejemplos:

(1) Campos vectoriales sobre Rn. Todo campo vectorial X sobre Rn

se puede escribir como X =∑n

i=1 f i · ∂∂xi , donde f i ∈ C∞(Rn) y

(∂/∂x1, . . . , ∂/∂xn) son los campos coordenados asociados a lascoordenadas usuales (x1, . . . , xn).

(2) Campos vectoriales sobre la esfera Sn. Con las identificacionesnaturales, TpS

n puede verse como un hiperplano de Rn+1 orto-gonal a p con el producto escalar usual 〈·, ·〉. En consecuencia,dar un campo vectorial sobre Sn equivale a dar una aplicaciondiferenciable X : Sn → Rn+1 tal que 〈p,X(p)〉 = 0 para todop ∈ Sn.

5.2. Estructura de los campos vectoriales

Denotaremos por X(Q) al conjunto de todos los campos vectorialessobre Q. Veamos cuales son las operaciones naturales en X(Q).

(1) Suma:X(Q)× X(Q) → X(Q)

(X, Y ) 7→ X + Y,

definida por (X + Y )p = Xp + Yp para todo p ∈ Q.(2) Producto por escalares (reales):

R× X(Q) → X(Q)(a,X) 7→ a ·X,

definido por (a ·X)p = a ·Xp para todo p ∈ Q.(3) Producto por funciones:

C∞(Q)× X(Q) → X(Q)(f, X) 7→ f ·X,

definido por (f ·X)p = f(p) ·Xp para todo p ∈ Q.El conjunto X(Q) dotado de las dos primeras operaciones tiene es-

tructura de espacio vectorial real de dimension ∞ (salvo que Q tenga

5.3. PARALELIZABILIDAD 87

dimension 0, en cuyo caso X(Q) ≡ 0). Por otra parte, X(Q) con laprimera y la tercera operacion verifica propiedades formalmente analo-gas a las de un espacio vectorial sobre C∞(Q). Ahora bien, C∞(Q)no es un cuerpo, ya que no existe inverso respecto al producto parafunciones que, sin ser identicamente nulas, se anulen en algun punto dela variedad. De hecho, C∞(Q) solo tiene estructura de anillo unitarioconmutativo. Se dice entonces que X(Q) es un modulo sobre el anilloC∞(Q).

Fijado un campo vectorial X ∈ X(Q), para cada funcion f ∈C∞(Q) podemos definir la aplicacion

X(f) : Q → Rp 7→ Xp(f).

Si tomamos coordenadas (U,ϕ = (q1, . . . , qn)) y X =∑n

i=1 X i ∂∂qi en-

tonces

X(f) =

(n∑

i=1

X i ∂

∂qi

)(f) =

n∑i=1

X i ∂f

∂qi∈ C∞(Q).

En consecuencia, para cada X ∈ X(Q) tenemos una aplicacion

C∞(Q) → C∞(Q)f 7→ X(f)

que es R-lineal y verifica la regla de Leibniz, esto es:

X(f · g) = X(f) · g + f ·X(g).

5.3. Paralelizabilidad

Fijados r campos vectoriales X1, . . . , Xr ∈ X(Q) diremos que sonindependientes (punto a punto) si el conjunto de vectores X1(p), . . . , Xr(p)⊂ TpQ es linealmente independiente para todo p ∈ Q. En este casonecesariamente r ≤ n (n = dim Q). Obviamente, si son independientesy r = n entonces el conjunto X1(p), . . . , Xn(p) es una base de cadaespacio tangente TpQ. En este caso diremos que X1, . . . , Xn es unabase (global) de campos vectoriales (o bien una referencia movil). Engeneral, no tienen por que existir r campos independientes sobre todala variedad, por lo que existen variedades que no admiten una baseglobal de campos.


Definicion 5.3.1 De una variedad diferenciable Q que admita unabase global de campos vectoriales se dice que es paralelizable. En casocontrario, diremos que es no-paralelizable.

En caso de que una variedad Q sea paralelizable y X1, . . . , Xn seauna base global suya podemos establecer el isomorfismo de espaciosvectoriales:

C∞(Q)n → X(Q)(f 1, . . . , fn) 7→ ∑n

i=1 f iXi.

Obviamente, en este caso la aplicacion

Q× Rn → TQ(p, a1, . . . , an) 7→ ∑n

i=1 aiXi(p).

es un difeomorfismo entre Q×Rn y TQ. Es decir, en las variedades par-alelizables el correspondiente espacio tangente se reduce esencialmentea Q× Rn.

Ejemplos:

(1) Ejemplos sencillos de variedades paralelizables son Rn (vease[Seccion 3.3, Ejemplo (1)]), cualquier espacio vectorial y cual-quier abierto de un entorno coordenado. No es difıcil visualizarque un toro tambien es una variedad paralelizable.

(2) La esfera 1-dimensional S1 ⊂ R2 tambien es paralelizable. Enefecto, una base de campos global suya es ∂

∂θ= −y ∂

∂x+ x ∂

∂y,

[Seccion 3.3, Ejemplo (2)].

(3) Las esferas de dimension par S2n ⊂ R2n+1 en cambio no admitencampos vectoriales sin ceros, esto es, sin que se anulen en algunpunto1. En consecuencia, estas esferas S2n no son paralelizables.

(4) Para las esferas impares S2n+1 ⊂ R2n+2 sı existen campos vec-toriales que no se anulan. En efecto, basta tomar como campovectorial X en cada p = (p1, . . . , p2n+2) ∈ S2n+1:

X(p) = (p2,−p1, . . . , p2n+2,−p2n+1) ∈ TpS2n+1(⊂ TpR2n+2).

1Esta propiedad, relacionada con el clasico Teorema del Punto Fijo de Brouwer,puede interpretarse intuitivamente como la imposibilidad de “peinar una esferapeluda sin hacer remolinos”.

5.4. CURVAS INTEGRALES. FLUJOS 89

5.4. Curvas integrales. Flujos

Definicion 5.4.1 Sea Q una variedad diferenciable, X ∈ X(Q) uncampo vectorial y γ : I → Q, I =]a, b[⊆ R una curva diferenciable.Diremos que γ es una curva integral de X si γ′(t) = Xγ(t) para todot ∈ I.

Toda curva integral de X se puede extender como curva integral has-ta un (unico) dominio maximo. Mas formalmente, la curva integralγ : I → Q es inextensible o maximal si no existe otra curva integralγ : J → Q tal que I J y γ = γ |I . Como veremos, toda cur-va integral determinara una unica maximal por lo que, en adelante,consideraremos siempre curvas integrales inextensibles.

Una curva integral de X (inextensible) γ : I → Q es completa siI = R, e incompleta en caso contrario. En el primer caso, diremosque X es completo a lo largo de γ. Diremos que X es completo si escompleto a lo largo de todas sus curvas integrales.

Ejemplo. Consideremos en R2 el campo X = ∂∂x

. Sus curvas integralesson del tipo γ(x0,y0)(t) = (x0, y0)+(t, 0), t ∈ R. Por tanto, X es completosobre R2. Sin embargo, resulta obvio que ∂/∂x es incompleto sobre elabierto ]0,∞[×R.

Estudiemos a continuacion como se determinan localmente las cur-vas integrales de un campo vectorial. Sea X ∈ X(Q) un campo vectorialy (U,ϕ = (q1, . . . , qn)) un entorno coordenado de Q. Nuestro objetivoes encontrar una curva integral γ : I → Q de X. Ahora bien, si com-ponemos con ϕ, esto equivale a encontrar una solucion del sistema deecuaciones diferenciales sobre U de primer orden:

dqi

dt(t) = X i(q(t)) ∀i ∈ 1, . . . , n. (5.1)

De los teoremas clasicos de existencia de soluciones para sistemas deecuaciones diferenciales se deduce que, si fijamos una condicion inicialϕ(γ(t0)) = ϕ(p0), p0 ∈ U (esto es, q1(t0) = p1

0, . . . , qn(t0) = pn

0 conp1

0, . . . , pn0 ∈ R), existe ε > 0 tal que el sistema de ecuaciones (5.1)

admite solucion en ]t0 − ε, t0 + ε[. Ademas, esta solucion es unica enel sentido de que para cualquier otra solucion con la misma condicioninicial en t0 y definida en un intervalo J , las dos soluciones coincidenen J∩]t0 − ε, t0 + ε[. Mas aun, ello acaba implicando la existencia de


una unica curva integral maximal. Por otra parte, si γ(t) es una curvaintegral de un campo X entonces tambien lo es la curva γ(t) = γ(t+t0),por lo que no sera restrictivo suponer, como haremos en adelante, t0 =0 ∈ I. En conclusion,

Teorema 5.4.2 Fijado un campo vectorial X ∈ X(Q), para cada p ∈Q existe una unica curva integral inextensible de X, γp :]ap, bp[→ Q,tal que γp(0) = p (0 ∈]ap, bp[).

Ejemplo. Consideremos sobre R2 el campo vectorial X = xy ∂/∂x. Siimponemos que γ(t) sea una curva integral de X entonces obtenemosel sistema de ecuaciones

x′(t) = x(t)y(t)y′(t) = 0.

Si suponemos γ(0) = (x0, y0) ∈ R2 entonces este sistema tiene porsolucion

x(t) = x0ey0·t

y(t) = y0

para todo t ∈ R. En particular, se deduce que X es completo.

Ejercicio. Consideremos sobre R el campo de vectores X = xm ∂∂x

,m ∈ N. Hallense sus curvas integrales y compruebese si es completo ono (discutase segun el valor de m).

Del ejercicio anterior se deduce que, incluso en R, existen campos vec-toriales completos e incompletos. Ello ocurre en toda variedad (de di-mension mayor que 0) excepto en las compactas. De hecho, es posi-ble demostrar que: si Q es compacta entonces todo campo vectorialX ∈ X(Q) es completo (vease, v. gr., [O’N, Lemma 1.56]).

Intimamente relacionado con las curvas integrales aparece el con-cepto de flujo de un campo vectorial.

Definicion 5.4.3 Consideremos un campo vectorial completo X ∈X(Q). Definimos el flujo φ de X como la aplicacion

φ : R×Q → Q(t, p) 7→ φt(p) = γp(t),

donde γp es la curva integral de X dada en el Teorema 5.4.2.

5.5. GRUPO UNIPARAMETRICO DE DIFEOMORFISMOS 91

El flujo φt de X para cada t consiste por tanto en desplazar cada puntoa lo largo de sus curvas integrales en un valor t de su parametro. Sivisualizamos el campo vectorial como el campo de las velocidades deun fluido, φt determina hacia donde se mueve cada partıcula del fluidotras un tiempo t.

Debido a la variacion diferenciable de las soluciones de (5.1) conlas condiciones iniciales, tanto φt como la aplicacion flujo φ son dife-renciables. Mas aun, se verifican las siguientes propiedades:

(1) φ0 = Id.

(2) φs φt = φs+t,∀t, s ∈ R (en efecto, φs φt(p) = φs(γp(t)) =γp(t + s) = φt+s(p)).

(3) φ−t = (φt)−1, ∀t ∈ R (en particular, cada φt es biyectiva para

todo t ∈ R).

Por otra parte, si X no es completo entonces para cada p ∈ Q existeun entorno abierto U de p y un ε > 0 tal que la aplicacion

φ :]− ε, ε[×U → Q(t, p) 7→ φt(p) = γp(t)

esta bien definida y es diferenciable. En este caso, la aplicacion φ veri-fica propiedades analogas a las anteriores:

(1’) φ0(p) = p, ∀p ∈ U .

(2’) φs φt = φs+t, siempre que s, t, s + t ∈]− ε, ε[.

(3’) Para cada t, φt es inyectiva, y puede escogerse un entorno abiertoV ⊂ U de cada p0 ∈ U fijo tal que φt(V ) ⊂ U . Restringiendoentonces, φt : V → φt(V ) ⊂ U , se tiene φ−t = (φt)

−1.

5.5. Grupo uniparametrico de difeomor-

fismos

En esta seccion vamos a introducir el concepto de grupo uniparametri-co de difeomorfismos, que, como veremos, abstrae la nocion de flujo.Sea X ∈ X(Q) un campo completo y consideremos su flujo global φ.


Entonces G = φt : t ∈ R es un conjunto de difeomorfismos de Q quecon la operacion de composicion tiene estructura de grupo (veanse laspropiedades (1), (2) y (3) de la seccion anterior). Es mas, se trata deun grupo conmutativo ya que

φt φs = φt+s = φs+t = φs φt.

Ademas, la aplicacion

(R, +) → (G, )t 7→ φt

es entonces un epimorfismo de grupos. Las propiedades del flujo globalφ se pueden abstraer mediante el siguiente concepto:

Definicion 5.5.1 Sea Q una variedad diferenciable. Llamaremos grupouniparametrico de difeomorfismos de Q a toda aplicacion diferenciable

Φ : R×Q → Q(t, p) 7→ Φt(p)

que verifique: (i) Φ0 = IdQ, (ii) Φs+t = Φs Φt.

Observese que de (i) e (ii) se tiene IdQ = Φt−t = Φt Φ−t; por tanto,Φt : Q → Q es biyectiva con inversa Φ−t. Ası, el conjunto de difeo-morfismos GΦ = Φt : t ∈ R tiene estructura de grupo respecto a lacomposicion.

Obviamente, el flujo φ de un campo completo X es un grupo uni-parametrico de difeomorfismos de Q. Es mas, el recıproco tambien severifica:

Teorema 5.5.2 Fijado un grupo uniparametrico de difeomorfismos Φen Q, existe un campo vectorial completo X sobre Q cuyo flujo asociadoφ coincide con Φ.

Al campo X ası definido se le llamara generador infinitesimal delgrupo Φ.

Demostracion. Todo se reduce a definir sobre Q un campo vectorial Xcuyas curvas integrales sean del tipo t → Φt(p). Consideremos pues elcampo X determinado en cada punto p por:

Xp =d

dt|t=0 Φt(p).

5.5. GRUPO UNIPARAMETRICO DE DIFEOMORFISMOS 93

Para demostrar que t 7→ Φt(p) es una curva integral de X, basta com-probar que:

d

dt|t=t0 Φt(p) = XΦt0 (p) ∀t0 ∈ R.

En efecto,

d

dt|t=t0 Φt(p) =

d

dt|t=0 Φt+t0(p) =

d

dt|t=0 Φt(Φt0(p)) = XΦt0 (p). 2

Observaciones:

(1) El generador infinitesimal X de Φ es invariante por Φ; esto es,verifica la propiedad XΦt0 (p) = (dΦt0)pXp para todo t0. En efecto,

XΦt0 (p) =d

dt|t=0 Φt0+t(p) =

d

dt|t=0 Φt0(Φt(p)) = (dΦt0)pXp.

(2) Las curvas del tipo t 7→ Φt(p) son inyectivas o se cierran sobresı mismas, ya que son curvas integrales de un campo (el generadorinfinitesimal). Estas curvas reciben el nombre de orbitas del grupouniparametrico (vease la Figura 17).

Ejemplo. Consideremos en Q = R3 o Q = S2 las rotaciones conrespecto al eje z, Φ : R×Q → Q

θ,

xyz

7→

cos θ −senθ 0senθ cos θ 0

0 0 1

·

xyz

.

Es directo comprobar que se trata de un grupo uniparametrico dedifeomorfismos de Q. Su generador infinitesimal es

X(x,y,z) =d

dθ|θ=0 Φθ(x, y, z) =

d

dθ|θ=0

x cos θ − ysenθxsenθ + y cos θ

z

=

−yx0

∈ T(x,y,z)Q,


Figura 17

es decir, el campo vectorial X = −y ∂∂x

+ x ∂∂y

.

Nota. Conviene destacar que un grupo uniparametrico Φ : R×Q → Qinduce otro grupo uniparametrico en el espacio tangente a Q que vienedado por la expresion

R× TQ → TQ(t, vp) 7→ dΦt(vp) ∈ TΦt(p)Q.

Obviamente, tambien se induce un grupo uniparametrico sobre N =TQ×R sin mas que dejar constante la componente en R. Diremos queuna funcion F : Q → R es invariante por Φ si F (p) = F (Φt(p)) para to-do t ∈ R. Analogamente, diremos que una funcion L : N = TQ×R→R es invariante por Φ si lo es por el grupo uniparametrico inducido enTQ×R (en el sentido anterior). Por el Teorema de Noether clasico sesabe que, si una lagrangiana es invariante por un grupo uniparametri-co, entonces sus curvas extremales admiten una cantidad conservada(momento lineal, momento angular, energıa, etc. -vease la ultima sec-cion del Tema 7).

5.6. CORCHETE DE LIE 95

5.6. Corchete de Lie de campos vectoria-

les

Consideremos una base de campos de vectores X1, . . . , Xn sobreun abierto U de una variedad Q. Fijado un punto p ∈ Q nos pregun-tamos si existen coordenadas (q1, . . . , qn) alrededor de p tales que

Xi =∂

∂qi∀i ∈ 1, . . . , n (5.2)

sobre U . Para responder a esta pregunta consideremos una funcionf ∈ C∞(Q). Podemos construir entonces funciones Xi(f) ∈ C∞(Q)y, repitiendo el proceso, Xj(Xi(f)) ∈ C∞(Q). Si la base de camposproviniese de un sistema de coordenadas entonces se verificarıa (5.2)y, por tanto,

Xj(Xi(f)) =∂

∂qj

(∂f

∂qi

)=

∂2f

∂qj∂qi.

Del Lema de Schwarz se deduce entonces que

Xj(Xi(f)) =∂2f

∂qj∂qi=

∂2f

∂qi∂qj= Xi(Xj(f)).

Por tanto, una condicion necesaria para que una base de campos vec-toriales sea localmente de campos coordenados (esto es, que verifique(5.2) en un entorno de cada p ∈ Q), es que se verifique:

Xi(Xj(f)) = Xj(Xi(f)) ∀f ∈ C∞(Q) ∀i, j ∈ 1, . . . , n.La justificacion de que esta propiedad es suficiente conduce a la si-guiente definicion, de interes propio:

Definicion 5.6.1 Si X, Y ∈ X(Q), definimos su corchete de Lie enun punto p ∈ Q como la aplicacion

[X, Y ]p : C∞(Q) → Rf 7→ Xp(Y (f))− Yp(X(f)).

(5.3)

Observemos que de esta definicion se puede deducir facilmente la iden-tidad de Leibniz para el producto:

[X, Y ]p(f · g) = f(p) · [X, Y ]p(g) + g(p) · [X,Y ]p(f).


En efecto,

[X, Y ]p(f · g) = Xp(Y (f · g))− Yp(X(f · g))= Xp(g · Y (f) + f · Y (g))− Yp(g ·X(f) + f ·X(g))= Xp(g) · Yp(f) + g(p) ·Xp(Y (f)) + Xp(f) · Yp(g) + f(p) ·Xp(Y (g))−Yp(g) ·Xp(f)− g(p) · Yp(X(f))− Yp(f) ·Xp(g)− f(p) · Yp(X(g))= f(p) · (Xp(Y (g))− Yp(X(g))) + g(p) · (Xp(Y (f))− Yp(X(f)))= f(p) · [X,Y ]p(g) + g(p) · [X, Y ]p(f).

Puesto que [X, Y ]p es tambien R-lineal, se tiene que (5.3) define unvector tangente a Q en cada punto p como derivacion. Resumiendo:

Proposicion 5.6.2 Si X,Y ∈ X(Q) entonces [X,Y ]p ∈ TpQ. Ademas,

[X,Y ] : Q → TQp 7→ [X, Y ]p

es un campo vectorial sobre Q.

Veamos que expresion adquiere el corchete de Lie en coordenadaslocales. Sea (U,ϕ = (q1, . . . , qn)) un entorno coordenado de Q y sean X,Y dos campos de vectores sobre Q. Expresados en estas coordenadasse tiene:

X =n∑

i=1

X i ∂

∂qiY =

n∑i=1

Y i ∂

∂qi.

Si escribimos en coordenadas [X, Y ] =∑n

k=1[X, Y ]k ∂∂qk , entonces

[X, Y ]k = [X, Y ](qk) = X(Y (qk))− Y (X(qk))

=∑n

i=1 X i ∂(Y (qk))∂qi −∑n

i=1 Y i ∂(X(qk))∂qi =

∑ni=1 X i ∂Y k

∂qi −∑n

i=1 Y i ∂Xk

∂qi .

Por tanto, el corchete de Lie en coordenadas locales queda:

[X, Y ] =n∑

i,k=1

(X i ∂Y k

∂qi− Y i ∂Xk

∂qi

)∂

∂qk. (5.4)

Propiedades del corchete de Lie:

(1) El corchete de Lie de campos es un corchete de Lie “abstracto”.Esto quiere decir que es una aplicacion

[·, ·] : X(Q)× X(Q) → X(Q)(X,Y ) 7→ [X,Y ]

que verifica las siguientes propiedades:

5.6. CORCHETE DE LIE 97

(i) Es lineal en cada variable, esto es,

[aX + bX ′, Y ] = a[X,Y ] + b[X ′, Y ]

[X, aY + bY ′] = a[X, Y ] + b[X, Y ′]

para todo X,X ′, Y, Y ′ ∈ X(Q) y todo a, b ∈ R.

(ii) Es antisimetrico, esto es,

[X,Y ] = −[Y, X] ∀X,Y ∈ X(Q).

(iii) Verifica la identidad de Jacobi, esto es,

[X, [Y, Z]] + [Z, [X,Y ]] + [Y, [Z, X]] = 0 ∀X, Y, Z ∈ X(Q).

Un espacio vectorial dotado de una operacion que verifique laspropiedades (i), (ii), (iii) anteriores recibe el nombre de algebrade Lie. En consecuencia, (X(Q), [·, ·]) es un algebra de Lie (dedimension ∞ si dim Q > 0).

(2) Dos campos X, Y ∈ X(Q) verifican [X, Y ] = 0 si y solo si paracualesquiera flujos φ, ψ de X, Y , respectivamente, se tiene φs ψt = ψt φs en su dominio de definicion. En este caso se dice queX e Y conmutan.

La siguiente expresion del corchete de Lie permite entender estapropiedad. Sea φ el flujo del campo X ∈ X(Q). Consideremosla aplicacion φ−t y su diferencial dφ−t : Tφt(p)Q → TpQ. Si Y ∈X(Q), tiene sentido comparar los vectores Yp y (dφ−t)φt(p)Yφt(p).Se verifica entonces (vease la Figura 18):

[X, Y ]p = limt→0

(dφ−t)φt(p)Yφt(p) − Yp

t.

Esto es, el corchete de Lie mide lo que “varıa infinitesimalmente”el campo Y a lo largo de las curvas integrales de X.

(3) El corchete de Lie se preserva por aplicaciones diferenciables. Esdecir, si F : Q → Q′ es diferenciable, y X,Y ∈ X(Q), X ′, Y ′ ∈X(Q′) verifican X ′

F (p) = dFpXp, Y ′F (p) = dFpYp, para todo p ∈ Q,

entonces dFp[Xp, Yp] = [X ′F (p), Y

′F (p)].


Figura 18

El siguiente resultado resuelve el problema que planteaban las basesde campos y con el que iniciamos esta seccion:

Teorema 5.6.3 (Frobenius). Sea X1, . . . , Xr un conjunto de camposvectoriales independientes sobre una variedad Q. Son equivalentes:

(i) [Xi, Xj] = 0 para todo i, j ∈ 1, . . . , r.(ii) Para cada p ∈ Q existe un entorno coordenado (U, q1, . . . , qn) tal

que Xi = ∂∂qi para todo i ∈ 1, . . . , r.

En particular, si r = n, una base de campos X1, . . . , Xn es localmenteuna base de campos coordenados si y solo si [Xi, Xj] = 0 ∀i, j ∈1, . . . , n.Idea de la demostracion. La implicacion (ii) ⇒ (i) es inmediata de ladiscusion al comienzo de esta seccion. Para la implicacion (i) ⇒ (ii)

consideremos para simplificar el caso r = n. Sean φ(i)t flujos locales de

Xi, i = 1, . . . , n, definidos en un entorno de p para todo t ∈] − ε, ε[.Consideremos la aplicacion

F :]− ε, ε[n → Q

(t1, . . . , tn) 7→ φ(1)

t1 · · · φ(n)tn (p).

Claramente, dF ( ∂∂ti

|(0,...,0)) = Xi(p), ∀i ∈ 1, . . . , n. En consecuen-cia, por el Teorema de la Funcion Inversa existen entornos Θ de (0, . . . , 0)

5.7. APENDICE: GRUPOS Y ALGEBRAS DE LIE 99

y U de p tales que la restriccion F |Θ: Θ → U es un difeomorfis-mo. El entorno coordenado en cuestion sera entonces (U, (F |Θ)−1 ≡(q1, . . . , qn)). Para comprobar que, efectivamente, Xi = ∂

∂qi , se usa la

conmutatividad de los flujos (para mas detalles vease, p. ej., [AM,2.2.26]). 2

5.7. Apendice: Grupos y Algebras de Lie

Recordemos que un grupo de Lie (G, ·) es una variedad diferenciableG de dimension finita n con una operacion que la dota de estructurade grupo y tal que las aplicaciones

G×G → G(g, h) 7→ g · h

G → Gg 7→ g−1

son diferenciables [Seccion 2.5, Nota (2)].En todo grupo de Lie (G, ·) se pueden definir las traslaciones por la

izquierda como sigue: fijado g ∈ G la traslacion por la izquierda segung es

Lg : G → Gh 7→ g · h.

Obviamente, las aplicaciones Lg, g ∈ G son difeomorfismos. Un cam-po vectorial X ∈ X(G) se dice que es invariante por la izquierda si(dLg)hXh = Xg·h para todo g, h ∈ G.

Una manera de construir campos invariantes por la izquierda esla siguiente: sea e ∈ G el elemento neutro del grupo y sea v ∈ TeG,entonces el campo vectorial Xv dado por Xv

g = (dLg)ev es diferenciablee invariante por la izquierda. De hecho, todo campo invariante por laizquierda puede construirse de este modo.

El conjunto G = X ∈ X(G) : X es invariante por la izquierdacon las operaciones usuales es un espacio vectorial. De hecho, la apli-cacion

TeG → Gv 7→ Xv

es un isomorfismo de espacios vectoriales, por lo que G tambien tienedimension n. Ası, si (v1, . . . , vn) es una base de TeG entonces (Xv1 , . . . ,Xvn) ≡ (X1, . . . , Xn) es una base de campos sobre todo el grupo de


Lie G. En particular, G es paralelizable. Mas aun, si X =∑n

i=1 f iXi ∈X(G) entonces X ∈ G si y solo si f i ≡ cte para todo i.

Un hecho destacable es que el corchete de Lie preserva los camposinvariantes por la izquierda, esto es:

X1, X2 ∈ G =⇒ [X1, X2] ∈ G

(debido a que dLg[X1, X2] = [dLgX1, dLgX2] = [X1, X2], vease [Sec-cion 5.6, Propiedad (3)]). Como consecuencia, (G, [·, ·]) es un algebrade Lie de dimension finita n. Ademas, para los elementos de la base(X1, . . . , Xn) se tiene [Xi, Xj] =

∑nk=1 ck

ijXk, donde los ckij ∈ R deter-

minan el algebra (salvo isomorfismos) y se denominan constantes deestructura del grupo en la base (X1, . . . , Xn).

La teorıa de grupos de Lie estudia detalladamente como las pro-piedades del algebra de Lie (G, [·, ·]) determinan el grupo de Lie G(al menos localmente). Una simplificacion importante se debe a que,esencialmente, todo grupo de Lie es isomorfo a un subgrupo de matri-ces regulares (Teorema de Ado), siendo el corchete de Lie identificablecon el conmutador de las matrices en el espacio tangente a la matrizidentidad.

Ejercicio. Compruebese que el algebra de Lie del grupo de las ma-trices ortonormales O(n,R) = A ∈ Gl(n,R) : A ·At = In es identifi-cable al espacio vectorial de las matrices antisimetricas n× n.

Ejercicios

Ejercicio 1. Se considera el campo vectorial X = (x−y) ∂∂x−2xz ∂

∂y+

∂∂z

sobre R3. Calculese X(f), siendo f(x, y, z) = 2x− y + z.

Ejercicio 2. Se considera el campo vectorial X = x ∂∂x− y ∂

∂ysobre

R2. Expresese como combinacion lineal de los campos coordenadosoriginados por las coordenadas polares usuales (ρ, θ).

Ejercicio 3. Sobre R2 se consideran los campos de vectores:

X = (x + y)∂

∂x− ∂

∂y, Y = (y2 + 1)

∂

∂x+ x

∂

∂y.

(i) Pruebese que son independientes en cada punto.


(ii) Si Z = (x2 + y2) ∂∂x

+ (x2 − y2) ∂∂y

, encuentrense f1, f2 ∈ C∞(R2)tales que Z = f1 ·X + f2 · Y .

Ejercicio 4. (a) Encuentrese un campo vectorial sobre S2 que seanule exactamente en dos puntos.(b) Encuentrese un campo vectorial sobre S2 que se anule exactamenteen un punto.

Ejercicio 5. Compruebese que, con las identificaciones usuales, laaplicacion X : S2 −→ R3, X(x, y, z) = (xz, yz, z2− 1) define un campovectorial sobre S2. Tomense las coordenadas x, y sobre el hemisferioz > 0 y calculense las coordenadas de X en los correspondientes cam-pos coordenados.

Ejercicio 6. Se consideran los campos de vectores sobre R2

X = x∂

∂x+

∂

∂y, Y = y

∂

∂x+ x

∂

∂y.

Calculese [X,Y ].

Ejercicio 7. Compruebese que para todo X,Y ∈ X(Q) y todo f, g ∈X(Q) se verifica:

[fX, gY ] = fg[X, Y ] + f(X(g))Y − g(Y (f))X.

Ejercicio 8. Sea F : Q −→ Q′ un difeomorfismo. Para cada X ∈X(Q) compruebese que

(F∗(X))q′ := (dF )F−1(q′)(XF−1(q′)), ∀q′ ∈ Q′

define un campo vectorial sobre Q′.Pruebese que F∗([X, Y ]) = [F∗(X), F∗(Y )]′, ∀X, Y ∈ X(Q), donde

[, ] y [, ]′ son los respectivos corchetes de Lie en Q y Q′.

Ejercicio 9. Compruebese que la aplicacion Φ : R × R2 −→ R2,Φ(t, x, y) = (xe2t, ye−3t), es un grupo uniparametrico de difeomorfismosde R2. Determınese el campo vectorial que induce.

Ejercicio 10. Se considera el campo vectorial sobre Rn, X =∑n

i=1 ai ∂∂xi

,

ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n. Pruebese que X admite como grupo uniparametrico


global asociado a la aplicacion Φ : R × Rn −→ Rn, Φ(t, p) = p + tv,siendo v = (a1, ..., an).

Ejercicio 11. Se considera el campo vectorial X = y ∂∂x−x ∂

∂y∈ X(R2)

¿Admite un grupo uniparametrico global?

Ejercicio 12. En la variedad Q = R2 − (0, 0) se considera el cam-po X = x∂x − y∂y. Calculense y dibujense sus curvas integrales. De-termınese su flujo. ¿Es X completo?

Ejercicio 13. En R2 se considera el campo de vectores X = y ∂∂x−

(y + 1) ∂∂y

. Calculense sus curvas integrales. ¿Es X completo?

Ejercicio 14. Se considera la aplicacion φ : R× R2 → R2,

φ(t, (x, y)) =1

2

((x + y)et + (x− y)e−t, (x + y)et − (x− y)e−t

).

(i) Demuestrese que φ es un grupo uniparametrico sobre R2.

(ii) Calculese su generador infinitesimal X.

(iii) ¿Es X completo?

Ejercicio 15. En R3 se considera el campo de vectores,

X = (x2 − y)∂

∂x− 2xz

∂

∂y+ y

∂

∂z.

Calculese X(f), siendo f(x, y, z) = x + y + z.

Ejercicio 16. En R3 se consideran los campos vectoriales:

X1 = y∂z − z∂y, X2 = z∂x − x∂z, X3 = x∂y − y∂x.

(i) Compruebese que inducen, por restriccion, tres campos vecto-riales sobre cualquier esfera S centrada en el origen. ¿Formanuna base de campos (referencia movil) sobre R3? ¿Y sobre S?Calculense todos los corchetes [Xi, Xj], i, j = 1, 2, 3.

(ii) Sea φ(i) el flujo de cada Xi y considerese la aplicacion ψ : R ×S → S, ψ(t, p) = φ

(1)t φ

(2)2t (p). ¿Es un grupo uniparametrico de

difeomorfismos? Calculese el campo generado como ∂ψ(t, p)/∂t|0.


Ejercicio 17. En R2 se consideran los siguientes tres campos vecto-riales:

X = ∂x + x2∂y, Y = x2∂x + ∂y Z = [[X, Y ], ∂y] + [[∂y, X], Y ].

Calculense sus curvas integrales. ¿Cuales de ellos son completos?

Ejercicio 18. En R3 se consideran los campos de vectores:

X = ∂y, Y = zy∂x + 3∂y − xy∂z.

Calculense las curvas integrales de Z = [X, Y ]. ¿Es Z completo?

Ejercicio 19. Se considera la aplicacion φ : R× R2 → R2,

φ(t, (x, y)) =1

2

((x + y)et + (x− y)e−t, (x + y)et − (x− y)e−t

).

(i) Demuestrese que φ es un grupo uniparametrico sobre R2.

(ii) Calculese su generador infinitesimal X.

(iii) ¿Es X completo?

Ejercicio 20. Se considera el campo vectorial sobre R2, X = x ∂∂x−

y2 ∂∂y

. Calculense sus curvas integrales. ¿Es X completo?

Ejercicio 21. Dada una funcion diferenciable no constante y que nose anule f : R −→ R, se considera el campo vectorial X sobre R,Xy = f(y) d

dx|y, ∀y ∈ R. Hallense todos los campos que conmutan con

X, y compruebese que, salvo el nulo, ninguno de ellos conmuta con ddx

.

Ejercicio 22. Se considera en R3 un sistema de ecuaciones en deri-vadas parciales

∂z

∂x= g(x, y, z),

∂z

∂y= h(x, y, z),

y se le asocian los campos

X =∂

∂x+ g

∂

∂z, Y =

∂

∂y+ h

∂

∂z.

Demuestrese que si el sistema admite una solucion z = f(x, y), entonceslos campos X, Y son una paralelizacion de la variedad z = f(x, y) talque [X,Y ] = 0.

Capıtulo 6

Campos tensoriales y formasdiferenciales

En este tema comprobamos en primer lugar que no solo el concepto devector tangente induce el de campo vectorial, sino que toda el algebratensorial sobre un espacio vectorial induce los correspondientes camposy operaciones tensoriales sobre la variedad.

A continuacion, nos centramos por su particular interes en lasr−formas diferenciales para r = 1, 2, e introducimos los conceptosde 1-formas cerradas y exactas, y de circulacion de una 1-forma a lolargo de una curva. El estudio general de r−formas diferenciales sepospone hasta el estudio de Integracion en Variedades (Temas 8 y 9),que resulta independiente del resto.

6.1. Tensores en un espacio vectorial

6.1.1. Concepto

Definicion 6.1.1 Sea V (R) un espacio vectorial. Un tensor r vecescovariante y s veces contravariante (o tipo (r, s)) sobre V (R) es unaaplicacion

T : V r × (V ∗)s → R(u1, . . . , ur, φ

1, . . . , φs) 7→ T (u1, . . . , ur, φ1, . . . , φs)

105

106 CAPITULO 6. TENSORES Y FORMAS DIFERENCIALES

que es multilineal, esto es, lineal en cada una de sus r + s variables.

Denotaremos por Tr,s(V ) al conjunto de los tensores tipo (r, s) sobreV (R). De manera natural se puede definir en este conjunto una sumay un producto por escalares reales. Concretamente,

(1) si T, T ′ ∈ Tr,s(V ) entonces T + T ′(∈ Tr,s(V )) se define por:

(T + T ′)(y1, . . . , yr, φ1, . . . , φs) =

T (y1, . . . , yr, φ1, . . . , φs) + T ′(y1, . . . , yr, φ1, . . . , φs);

(2) si T ∈ Tr,s(V ), a ∈ R entonces a · T (∈ Tr,s(V )) se define por:

(a · T )(y1, . . . , yr, φ1, . . . , φs) = a · T (y1, . . . , yr, φ1, . . . , φs).

Se comprueba facilmente que (Tr,s(V ), +, ·R) tiene estructura de espa-cio vectorial.

Ejemplos:

(1) Claramente, T1,0(V ) = V ∗ y T0,1(V ) = V ∗∗. Ahora bien, puestoque por el Teorema de Reflexividad podemos identificar V ∗∗ conel propio V , podemos considerar T0,1(V ) = V . Por tanto, unvector v se correspondelos con el tensor 1-contravariante:

v : V ∗ → Rφ 7→ φ(v).

(2) Los metricas g : V ×V → R sobre V (R) se definen como tensores2-covariantes y simetricos; esto es, tales que verifican g(u, v) =g(v, u), ∀u, v ∈ V (vease el Tema siguiente).

(3) Consideremos la aplicacion det : Rn2 → R definida por

(

a11...

an1

, . . . ,

a1n...

ann

) 7→

∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1n...

. . ....

an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣.

Es directo comprobar que det∈ Tn,0(Rn).

6.1. TENSORES EN UN ESPACIO VECTORIAL 107

(4) Sea f : V → V un endomorfismo de espacios vectoriales y consi-deremos la aplicacion

Tf : V × V ∗ → R(u, φ) 7→ φ(f(u)).

Se demuestra facilmente Tf ∈ T1,1(V ). Es mas, la aplicacion

End(V ) → T1,1(V )f 7→ Tf

es un isomorfismo de espacios vectoriales. Por tanto, es posibleasociar una traza a un tensor tipo (1, 1) sin mas que calcularla de su endomorfismo correspondiente. Concretamente, si B =(v1, . . . , vn) es una base de V :

traza Tf := traza f =n∑

i=1

φi(f(vi)) =n∑

i=1

Tf (vi, φi),

que resulta independiente de la base B escogida.

Por completitud, se define tambien T0,0(V ) = R, de modo que el con-cepto de tensor incluye simultanemente los de escalar, vector, formalineal y endomorfismo.

6.1.2. Producto tensorial

El producto tensorial resultara util para estudiar tensores tipo (r, s)a partir de tensores de tipo inferior en r o s. El objetivo final sera poderestudiar todos los tensores a partir de los (1,0) (vectores) y (0,1) (for-mas lineales).

Definicion 6.1.2 Sean T ∈ Tr,s(V ) y T ′ ∈ Tr′,s′(V ). Se define el pro-ducto tensorial de T por T ′ como

T ⊗ T ′ : V r+r′ × (V ∗)s+s′ → R((u1, . . . , ur+r′), (φ

1, . . . , φs+s′)) 7→ T ⊗ T ′(u1, . . . , ur+r′ , φ1, . . . , φs+s′),

siendo

T ⊗ T ′(u1, . . . , ur+r′ , φ1, . . . , φs+s′) =

= T (u1, . . . , ur, φ1, . . . , φs) · T ′(ur+1, . . . , ur+r′ , φ

s+1, . . . , φs+s′).


Propiedades. Se comprueba facilmente:

(1) T ⊗ T ′ es multilineal y, por tanto, T ⊗ T ′ ∈ Tr+r′,s+s′(V ).

(2) La operacion producto tensorial es lineal en cada variable en elsiguiente sentido:

(aT + bT )⊗ T ′ = a(T ⊗ T ′) + b(T ⊗ T ′)T ⊗ (aT ′ + bT

′) = a(T ⊗ T ′) + b(T ⊗ T

′)

para todo T, T ∈ Tr,s y T ′, T′ ∈ Tr′,s′ .

(3) La operacion producto tensorial es asociativa (aunque no conmu-tativa).

6.1.3. Tensores tipo (r, s) con r + s = 2

Consideremos en primer lugar el espacio vectorial T2,0(V ). Acabamosde ver que si φ, ψ ∈ V ∗(= T1,0(V )) entonces φ ⊗ ψ ∈ T2,0(V ), sien-do (φ ⊗ ψ)(v, w) = φ(v) · ψ(w), ∀v, w ∈ V . Consideremos fijada unabase B = (v1, . . . , vn) de V , y su correspondiente base dual B∗ =(φ1, . . . , φn). Nuestro objetivo sera demostrar que una base de T2,0(V )es el conjunto de todos los productos tensoriales de elementos de B∗,esto es

B2,0 = φi ⊗ φj : i, j ∈ 1, . . . , n.

Lema 6.1.3 Si T =∑n

i,j=1 tijφi⊗φj ∈ T2,0(V ) entonces tkl = T (vk, vl)

para todo k, l ∈ 1, . . . , n.

Demostracion.

T (vk, vl) =n∑

i,j=1

tij(φi ⊗ φj)(vk, vl) =

n∑i,j=1

tij δikδ

jl = tkl. 2

Teorema 6.1.4 (1) El conjunto B2,0 es una base del espacio T2,0(V )y, por tanto, dim T2,0 = n2.

(2) La coordenada (k, l) de un tensor T en la base B2,0 coincide conT (vk, vl).


Demostracion. (1) En primer lugar veamos que B2,0 es linealmenteindependiente. En efecto, si

∑ni,j=1 tijφ

i⊗φj = T0 ≡ 0 entonces, por elLema 6.1.3, tij = T0(vi, vj) = 0, ∀i, j. Para demostrar que B2,0 es unsistema de generadores basta comprobar que para todo T ∈ T2,0(V )se tiene T =

∑ni,j=1 tijφ

i ⊗ φj, siendo tij = T (vi, vj). En efecto, si

u =∑n

i=1 aivi, v =∑n

j=1 bjvj entonces

T (u, v) = T (n∑

i=1

aivi,

n∑j=1

bjvj) =n∑

i,j=1

T (vi, vj)aibj

=n∑

i,j=1

tijaibj =

(n∑

i,j=1

tijφi ⊗ φj

)(u, v)

(2) Inmediato del Lema 6.1.3. 2

Observacion. Las coordenadas tij de T en B2,0 se pueden escribir demodo matricial

MB(T ) = (tij)i,j =

T (v1, v1) . . . T (v1, vn)...

. . ....

T (vn, v1) . . . T (vn, vn)

.

Se comprueba entonces:

T (u, v) = (a1, . . . , an)MB(T )

b1

...bn

.

Observacion. Todos los tensores tipo (2, 0) se pueden escribir comoproductos tensoriales del tipo φ⊗ψ o sumas finitas de ellos. Esto llevaa usar a veces la notacion T2,0(V ) = V ∗ ⊗ V ∗ (producto directo de V ∗

por V ∗).

Ejercicio. Sea B∗ = (φ1, . . . , φn) una base de V ∗ con n ≥ 2. Pruebeseque no existen φ, ψ ∈ V ∗ tales que φ⊗ ψ = φ1 ⊗ φ2 + φ2 ⊗ φ1.

Un desarrollo analogo al que hemos hecho para T2,0(V ) se puedellevar a cabo para T0,2(V ), T1,1(V ). Ası, consideremos el espacio vec-torial T0,2(V ). Dados dos vectores u, v ∈ V (≡ T0,1(V )) ahora tambien


podemos definir la aplicacion

u⊗ v : V ∗ × V ∗ → R(φ, ψ) 7→ φ(u) · ψ(v).

En consecuencia, fijada una base B = (v1, . . . , vn) de V y su corres-pondiente base dual B∗ = (φ1, . . . , φn), podemos construir el conjuntoB0,2 = vi ⊗ vj : i, j ∈ 1, . . . , n de manera que se verifica:


i,j=1 tijvi ⊗ vj entonces tkl = T (φk, φl).


(2) La coordenada (k, l) de un tensor T en la base B0,2 coincide conT (φk, φl).

Observacion. Se suele usar la notacion T0,2(V ) ≡ V ⊗ V .

Finalmente, consideremos el espacio vectorial T1,1(V ). Dados φ ∈V ∗ y u ∈ V podemos definir

φ⊗ u : V × V ∗ → R(v, ψ) 7→ φ(v) · ψ(u).

Para el conjunto B1,1 = φj⊗vi : i, j ∈ 1, . . . , n se verifica entonces:


i,j=1 tijφj ⊗ vi entonces tlk = T (vk, φ

l).


(2) La coordenada (k, l) de un tensor T correspondiente al elementoφl ⊗ vk de la base B1,1 coincide con T (vl, φ

k).

Observacion. Segun la definicion general de producto tensorial queestamos considerando, se verifica φ⊗ u = u⊗ φ. Por tanto, indistinta-mente se suelen usar las notaciones T1,1(V ) ≡ V ⊗ V ∗ ≡ V ∗ ⊗ V .


6.1.4. Tensores tipo (r, s)

Consideremos r formas lineales ψ1, . . . , ψr en V ∗ y s vectores u1, . . . , us

en V . Usando la asociatividad de ⊗ puede escribirse inequıvocamenteψ1 ⊗ · · · ⊗ ψr ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ us ∈ Tr,s(V ). Explıcitamente,

ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψr ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ us : V r × (V ∗)s → R(w1, . . . , wr, ρ

1, . . . , ρs) 7→ ψ1(w1) · · ·ψr(wr) · ρ1(u1) · · · ρs(us).

Para construir una base de Tr,s(V ) consideramos una base B = (v1, . . . , vn)de V y su base dual B∗ = (φ1, . . . , φn) de V ∗. Definimos entonces

Br,s = φi1⊗· · ·⊗φir⊗vj1⊗· · ·⊗vjs : i1, . . . , ir, j1, . . . , js ∈ 1, . . . , n.

Argumentos analogos a los del caso r + s = 2 permiten demostrar:

Teorema 6.1.9 (1) Br,s es una base de Tr,s(V ) y, por tanto, dim Tr,s(V ) =nr+s.

(2) Si T ∈ Tr,s(V ) satisface

T =n∑

i1,...,js=1

tj1...js

i1...ir· φi1 ⊗ · · · ⊗ φir ⊗ vj1 ⊗ · · · ⊗ vjs

entonces tj1...js

i1...ir= T (vi1 , . . . , vir , φ

j1 , . . . , φjs).

Abusando del lenguaje se suele decir que los escalares tj1,...,js

i1,...,irson las

coordenadas de T en B (en lugar de en Br,s).

6.1.5. Tensores simetricos y antisimetricos tipo (2, 0)

Definiciones 6.1.10 (1) Diremos que un tensor T ∈ T2,0(V ) es simetri-co si T (x, y) = T (y, x), ∀x, y ∈ V .

(2) Diremos que un tensor T ∈ T2,0(V ) es antisimetrico si T (x, y) =−T (y, x), ∀x, y ∈ V .

En caso de tensores tipo (0, 2) se puede dar una definicion analoga; encambio, para tensores tipo (1, 1) esto no tiene sentido.

Proposicion 6.1.11 Sea T ∈ T2,0(V ). Son equivalentes:

(i) T es simetrico (resp. antisimetrico).


(ii) Existe una base B = (v1, . . . , vn) de V tal que T (vi, vj) = T (vj, vi)(resp. T (vi, vj) = −T (vj, vi)), ∀i, j ∈ 1, . . . , n.

(iii) Cualquier base verifica la propiedad (ii).

Demostracion. Las implicaciones (i) ⇒ (iii) y (iii) ⇒ (ii) son triviales.Para (ii) ⇒ (i) tengase en cuenta lo siguiente:

T (x, y) = T (n∑

i=1

aivi,

n∑j=1

ajvj)

=n∑

i,j=1

aibjT (vi, vj) =n∑

i,j=1

aibjT (vj, vi) = T (y, x). 2

Observacion: Si φ, ψ ∈ V ∗ entonces el tensor φ⊗ψ+ψ⊗φ es simetricomientras que el tensor φ⊗ ψ − ψ ⊗ φ es antisimetrico.

Definicion 6.1.12 Si φ, ψ ∈ V ∗ se define su producto exterior comoel tensor antisimetrico φ ∧ ψ = φ⊗ ψ − ψ ⊗ φ.

Es facil probar que se verifican la siguientes propiedades:(1) Tanto T S

2,0(V ) = T ∈ T2,0(V ) : T es simetrico como T A2,0(V ) =

T ∈ T2,0(V ) : T es antisimetrico son subespacios vectoriales deT2,0(V ).

(2) Se verifica la descomposicion en suma directa T2,0(V ) = T S2,0(V )⊕

T A2,0(V ) (esto es, T2,0(V ) = T S

2,0(V )+T A2,0(V ) y T S

2,0(V )∩T A2,0(V ) = 0.)

(3) Si B = (φ1, . . . , φn) es una base de V ∗ entonces los conjuntosBS

2,0 = φi ⊗ φj + φj ⊗ φi : 1 ≤ i ≤ j ≤ n y BA2,0 = φi ∧ φj =

φi ⊗ φj − φj ⊗ φi : 1 ≤ i < j ≤ n son bases de los espacios T S2,0(V ) y

T A2,0, respectivamente. Por tanto, la dimension del primero es n(n+1)/2

y la del segundo n(n− 1)/2.

6.2. Tensores sobre variedades

6.2.1. Tensores en un espacio vectorial tangente

Sea Q una variedad diferenciable y p ∈ Q. Consideremos el es-pacio vectorial tangente TpQ y sea (U,ϕ = (q1, . . . , qn)) un entorno

6.2. TENSORES SOBRE VARIEDADES 113

coordenado de p. Para estas coordenadas podemos construir las basesBp = ( ∂

∂q1 |p, . . . , ∂∂qn |p) y B∗

p = (dq1p, . . . , dqn

p ), y a partir de ellas, los

tensores dqip⊗dqj

p ∈ T2,0(TpQ), dqip⊗ ∂

∂qj |p∈ T1,1(TpQ), etc. Como vimosen la Subseccion 6.1.3, estos tensores permiten construir las bases de loscorrespondientes espacios tensoriales (T2,0(TpQ), T1,1(TpQ)). Con masgeneralidad (Subseccion 6.1.4), si Tp ∈ Tr,s(TpQ), existiran numerosreales tj1...js

i1...irtales que

Tp =n∑

i1,...,js=1

tj1,...,js

i1,...,ir· dqi1

p ⊗ · · · ⊗ dqirp ⊗

∂

∂qj1|p ⊗ · · · ⊗ ∂

∂qjs|p,

donde tj1,...,js

i1,...,ir= Tp(

∂∂qi1

|p, . . . , ∂∂qir |p, dqj1

p , . . . , dqjsp ) (coordenadas de T

en Bp).Para estudiar como cambian las coordenadas del tensor ante cam-

bios de base, supongamos que (U , ϕ = (q1, . . . , qn)) es otro entornocoordenado alrededor de p. Entonces las nuevas bases asociadas a esascoordenadas son Bp = ( ∂

∂q1 |p, . . . , ∂∂qn |p) y B∗

p = (dq1p, . . . , dqn

p ). Portanto, debemos hallar la relacion existente entre las coordenadas de Tp

en las diferentes bases de tensores inducidas por Bp y Bp. Para ello,supongamos en primer lugar que Tp ∈ T2,0(TpQ), entonces

Tp =n∑

i,j=1

tij · dqip ⊗ dqj

p =n∑

k,l=1

tkl · dqkp ⊗ dql

p.

Ahora bien,∂

∂qk |p=∑n

i=1∂qi

∂qk (p) ∂∂qi |p

∂∂ql |p=

∑nj=1

∂qj

∂ql (p) ∂∂qj |p,

luego

tkl = Tp(∂

∂qk |p, ∂∂ql |p) =

∑ni=1

∑nj=1

∂qi

∂qk (p)∂qj

∂ql (p) · Tp(∂

∂qi |p, ∂∂qj |p)

=∑n

i,j=1∂qi

∂qk (p)∂qj

∂ql (p)tij.

Esto es,

tkl =n∑

i,j=1

∂qi

∂qk(p)

∂qj

∂ql(p)tij ∀k, l ∈ 1, . . . , n.


Ejercicio. (1) En el caso de que Tp sea un tensor 2 contravariante,compruebese que la transformacion analoga de coordenadas es

tkl =n∑

i,j=1

∂qk

∂qi(p)

∂ql

∂qj(p)tij ∀k, l ∈ 1, . . . , n.

(2) Supongamos que la transformacion de coordenadas qi(q1, . . . , qn)es afın, esto es:

q1

...qn

= A ·

q1

...qn

+

q10

...qn0

(6.1)

para alguna matriz regular A = (aji )i,j y q1

0, . . . , qn0 ∈ R fijos. Escribien-

do la matriz inversa como A−1 = (bji )i,j, muestrese que se verifica:

tkl =n∑

i,j=1

aki a

ljt

ij, tkl =n∑

i,j=1

bikb

jl tij

para todo k, l ∈ 1, . . . , n. ¿Que sucede si A es una matriz ortonormal,A ∈ O(n,R)?

(3) Repıtanse los dos puntos anteriores cuando Tp es un tensor (1,1).

A continuacion, consideremos el caso general Tp ∈ Tr,s(TpQ). Ahora

tenemos coordenadas tj1,...,js

i1,...,iry tl1,...,ls

k1,...,kren las bases inducidas por Bp y

Bp, respectivamente. La relacion entre ambas queda:

tl1,...,lsk1,...,kr

= Tp(∂

∂qk1|p, . . . , ∂

∂qkr |p, dql1p , . . . , dqls

p )

= Tp(∑n

i1=1∂qi1

∂qk1(p) ∂

∂qi1|p, . . . ,

∑nir=1

∂qir

∂qkr (p) ∂∂qir |p,∑n

j1=1∂ql1

∂qj1(p)dqj1

p , . . . ,∑n

js=1∂qls

∂qjs (p)dqjsp ).

Por tanto, usando la multilinealidad de los tensores se tiene

tl1,...,lsk1,...,kr

=n∑

i1,...,js=1

∂qi1

∂qk1(p) · · · ∂qir

∂qkr(p) · ∂ql1

∂qj1(p) · · · ∂qls

∂qjs(p) · tj1...js

i1...ir. (6.2)

La expresion (6.2) proporciona la definicion clasica por coordenadasde tensor (r, s) en p, esto es: una asignacion de nr+s numeros reales acada entorno coordenado de p que se transforma segun (6.2).

6.2. TENSORES SOBRE VARIEDADES 115

Observacion. La eleccion de las posiciones de los ındices (“contrava-riantes” arriba, “covariantes” abajo) facilita recordar mnemotecnicamen-te expresiones tensoriales generales como (6.2): (i) siempre que hay unsumatorio de dos ındices, uno de ellos aparece arriba y otro abajo, (ii)si un ındice queda suelto (sin sumarse en el) en uno de los miembros dela igualdad, tambien quedara suelto en el otro, y en la misma posicion.

Nota (Sobre el electromagnetismo en Relatividad Especial). Clasicamen-te se suponıa que cada observador inercial O medıa en cada instante detiempo t y en cada punto p del espacio fısico ordinario tridimensional(al que asigna unas coordenadas (x, y, z)), un campo electrico ~Et(p) ≡~E(t, x, y, z) y un campo magnetico ~Bt(p) ≡ ~B(t, x, y, z). Otro obser-

vador inercial O′ medira un campo electrico ~E ′t(p) ≡ ~E ′(t, x′, y′, z′) y un

campo magnetico ~B′t(p) ≡ ~B′(t, x′, y′, z′). Si, por ejemplo, O′ se mueve

a lo largo del eje x de O con velocidad constante v, desde el punto devista de Galileo la transformacion de coordenadas que los observadoresinerciales encuentran para los puntos del espacio fısico es:

x′ = x− vty′ = yz′ = z.

(6.3)

Notese que t desempena el papel de un parametro (igual para O y O’)independiente de p. Ası,

∂

∂x|p= ∂

∂x′|p; ∂

∂y|p= ∂

∂y′|p; ∂

∂z|p= ∂

∂z′|p . (6.4)

Si los campos electrico y magnetico fueran vectores sobre el espaciofısico medibles por O y O′, entonces ~Et(p) = ~E ′

t(p), ~Bt(p) = ~B′t(p) y

las igualdades (6.4) conducirıan a que las coordenadas de ~Et(p) y ~Bt(p)deberıan ser las mismas para O y O′. Por el contrario, se sabe de lasdistintas leyes de la electrodinamica que ello no ocurre ası. Es merito deEinstein percatarse del siguiente hecho. Consideremos el tiempo comouna coordenada mas (esto es, ahora la variedad Q es el espacio-tiempofısico, formado por todos los “eventos” espacio-temporales) y conside-remos las ternas (E1, E2, E3), (B1, B2, B3) obtenidas de las mediciones

de ~E(t, x, y, z), ~B(t, x, y, z) por cada observador inercial O. Podemosconstruir el tensor electromagnetico F para O, definido por la matriz


de coordenadas :

(Fij) =

0 E1 E2 E3

−E1 0 B3 −B2

−E2 −B3 0 B1

−E3 B2 −B1 0

.

Supongamos ahora que, entre cada dos observadores inerciales O, O′

la transformacion de coordenadas (t, x, y, z) y (t′, x′, y′, z′) asignada aun mismo evento espacio-temporal, en lugar de verificar la transfor-macion galileana (6.3) (mas la implıcita t = t′), verifica la igualdad(6.1) para alguna matriz A en el grupo de Lorentz (esto es, tal queAηAt = η, donde η es la matriz diagonal -1,+1,+1,+1). Entonces “lamatriz (Fij)i,j se transforma como un tensor entre observadores in-erciales”, esto es: el tensor electromagnetico F construido por O en(t, x, y, z) a partir de sus mediciones de ~E(t, x, y, z), ~B(t, x, y, z) coin-cide con el tensor electromagnetico F ′ construido por cualquier otroobservador inercial O′ en ese punto a partir de sus propias medicionesde ~E ′(t′, x′, y′, z′), ~B′(t′, x′, y′, z′).

6.2.2. Campos tensoriales

Un campo tensorial T tipo (r, s) sobre una variedad Q es una asig-nacion de un tensor Tp ∈ Tr,s(TpQ) a cada punto p ∈ Q. Dado el cam-po T y un entorno coordenado (U,ϕ = (q1, . . . , qn)), existen funcionestj1,...,js

i1,...,ir, i1, . . . , js ∈ 1, . . . , n definidas en U tales que

Tp =n∑

i1,...,js=1

tj1,...,js

i1,...,ir(p)·dqi1

p ⊗· · ·⊗dqirp ⊗

∂

∂qj1|p ⊗ · · ·⊗ ∂

∂qjs|p ∀p ∈ U.

Diremos que el campo tensorial T es continuo (resp. diferenciable Cr)en p si todas las funciones tj1...js

i1...irson continuas (resp. diferenciables

Cr) en p. A partir de ahora adoptaremos el convenio de llamar campostensoriales a aquellos que son diferenciables C∞.

Observacion. Recordemos que habıamos definido un campo de vec-tores como una aplicacion X : Q → TQ tal que π X = IdQ, siendoπ(vp) = p para todo p ∈ Q. Una definicion analoga puede darse paracampos tensoriales en general. Para ello, consideramos:

Tr,s(Q) ≡ ∪p∈QTr,s(TpQ),

6.3. FORMAS DIFERENCIALES 117

que, de forma natural, es una variedad de dimension n + nr+s, Uncampo tensorial tipo (r, s) es una aplicacion T : Q → Tr,s(Q) tal queπr,s T = IdQ, siendo πr,s : Tr,s(Q) → Q la proyeccion canonica, estoes, πr,s(Tp) = p, ∀Tp ∈ Tr,s(Q). Denotamos por Xr,s(Q) al conjunto detodos los campos tensoriales (diferenciables) (r, s) sobre Q. Al igualque X(Q), tambien Xr,s(Q) tiene estructura de espacio vectorial (dedimension infinita si dim Q > 0) y de C∞(Q)-modulo.

Definicion 6.2.1 Sea T un campo tensorial tipo (2, 0) sobre Q. Dire-mos que T es simetrico (resp. antisimetrico) si Tp es simetrico (resp.antisimetrico) para todo p ∈ Q; esto es, si

Tp(vp, wp) = Tp(wp, vp) ∀vp, wp ∈ TpQ, ∀p ∈ Q(resp. Tp(vp, wp) = −Tp(wp, vp) ∀vp, wp ∈ TpQ, ∀p ∈ Q).

Ejercicio. Consideremos el campo tensorial sobre R2

g = dx⊗ dx + dy ⊗ dy(≡ dx2 + dy2).

Escrıbanse sus coordenadas en la base inducida por las coordenadaspolares.

6.3. Formas diferenciales

Definicion 6.3.1 Una forma diferencial (tipo (1, 0) o 1-forma dife-rencial) α es un campo de formas lineales, esto es, de tensores tipo(1, 0).

Denotaremos por Λ1(Q) al conjunto de todas las formas diferen-ciales, dotado de sus operaciones naturales.

Ahora podemos reobtener el concepto de variedad cotangente a Q(definida ya en la Seccion 4.2) sin mas que tener en cuenta T1,0(Q) =TQ∗.De nuevo, Λ1(Q) es un espacio vectorial (de dimension ∞) y unC∞(Q)-modulo. La diferente notacion introducida hasta ahora se re-sume en el siguiente esquema:

(r, s) cualquiera r = 0, s = 1 r = 1, s = 0Tr,s(Q) TQ TQ∗

Xr,s(Q) X(Q) Λ1(Q).


Ademas, si α ∈ Λ1(Q) y (U, q1, . . . , qn) es un entorno coordenado de Qentonces α =

∑ni=1 αidqi, siendo αi = α( ∂

∂qi ).

Un ejemplo relevante de forma de diferencial es la diferencial de unafuncion f ∈ C∞(Q) esto es, df ∈ Λ1(Q).

Definicion 6.3.2 Una forma diferencial (2, 0) o 2-forma diferencial Ωsobre una variedad Q es un campo tensorial tipo (2, 0) que es anti-simetrico, esto es, tal que Ωp(vp, wp) = −Ωp(wp, vp), ∀vp, wp ∈ TpQ y∀p ∈ Q.

Denotaremos por Λ2(Q) al conjunto de todas las formas diferen-ciales, dotado de sus operaciones naturales.

Recordemos que si φ, ψ ∈ TpQ entonces φ ∧ ψ = φ ⊗ ψ − ψ ⊗ φ esun tensor (2, 0) antisimetrico y, obviamente, el producto ∧ se extiendenaturalmente a formas diferenciales. Ademas, si Ω ∈ Λ2(Q) entonces

Ω =n∑

i,j=1

Ωijdqi ⊗ dqj,

donde Ωij = Ω( ∂∂qi ,

∂∂qj ) = −Ω( ∂

∂qj ,∂

∂qi ) = −Ωji. Ası,

Ω =∑

1≤i<j≤n

Ωijdqi ∧ dqj,

siendo Ωii = 0 para todo i.

Nota. En general, para todo entero r no negativo se puede definir elconcepto de r-forma diferenciable sin mas que extender el concepto deantisimetrıa a tensores tipo (r, 0) (si r = 0 se define Λ0(Q) ≡ C∞(Q)).Ası, el espacio vectorial y C∞(Q)-modulo de todas las r-formas difer-enciales sobre Q se denota por Λr(Q).

6.4. La diferencial exterior

6.4.1. Formas exactas

Definicion 6.4.1 Diremos que una forma diferencial α ∈ Λ1(Q) esexacta si existe una funcion f ∈ C∞(Q) tal que α = df .

6.4. LA DIFERENCIAL EXTERIOR 119

Una cuestion interesante consiste en cuando una forma diferencial α =∑ni=1 αidqi es exacta. Observese que, en caso afirmativo,

α =n∑

i=1

∂f

∂qidqi, f ∈ C∞(Q)

y, por tanto,∂αi

∂qj=

∂2f

∂qj∂qi=

∂2f

∂qi∂qj=

∂αj

∂qi.

Esto es, si α es exacta entonces en cualquier sistema de coordenadas:

∂αi

∂qj=

∂αj

∂qi∀i, j ∈ 1, . . . , n. (6.5)

Mas adelante veremos que la condicion (6.5) no solo es una condi-cion necesaria para que α sea exacta sino que, localmente, tambienes suficiente (Teorema 6.4.6). Pero antes definiremos el concepto dediferencial de una forma, que, como veremos, extiende al de una fun-cion. Este concepto nos permitira comprobar que la igualdad (6.5) esindependiente de coordenadas, esto es, si para unas coordenadas so-bre un abierto U se verifica (6.5), entonces tambien se verifica paracualesquiera otras coordenadas en U .

6.4.2. Diferencial de formas. Lema de Poincare

Sea α =∑n

i=1 αidqi la expresion de una forma diferencial en unentorno coordenado (U,ϕ = (q1, . . . , qn)) de Q. Por analogıa con ladiferencial de una funcion, no resulta extrano definir la diferencial ex-terior de α (en esas coordenadas) como

dα =n∑

i=1

dαi ∧ dqi. (6.6)

Observese que dαi =∑n

j=1∂αi

∂qj dqj, por lo que

dα =n∑

i=1

n∑j=1

∂αi

∂qj· dqj ∧ dqi,


o tambien,

dα =∑

1≤i<j≤n

(∂αi

∂qj− ∂αj

∂qi) · dqj ∧ dqi. (6.7)

Sin embargo, para que esta definicion sea consistente, debe resultarindependiente de coordenadas, como comprobamos a continuacion.

Proposicion 6.4.2 Sea α ∈ Λ1(Q), y sean (U,ϕ = (q1, . . . , qn)),(U , ϕ = (q1, . . . , qn)) do entornos coordenados con U ∩ U 6= ∅, es-cribiendose en U ∩ U :

α =n∑

i=1

αidqi =n∑

j=1

αjdqj.

Entonces:n∑

j=1

dαj ∧ dqj =n∑

k=1

dαk ∧ dqk. (6.8)

Llamaremos diferencial exterior dα de α a la 2-forma diferencial defini-da en cada entorno coordenado por la expresion (6.8).

Demostracion. Como

αj = α

(∂

∂qj

)= α

(n∑

k=1

∂qk

∂qj

∂

∂qk

)=

n∑

k=1

∂qk

∂qjα

(∂

∂qk

)=

n∑

k=1

∂qk

∂qjαk,

(que es un caso particular de (6.2)) se tiene:

dαj =n∑

l=1

∂

∂ql

(n∑

k=1

∂qk

∂qjαk

)dql =

n∑

k,l=1

(∂2qk

∂ql∂qjαk +

∂qk

∂qj

∂αk

∂ql

)dql.

En consecuencia,

∑nj=1 dαj ∧ dqj =

∑nj,k,l=1(

∂2qk

∂ql∂qj αk + ∂qk

∂qj∂αk

∂ql )dql ∧ dqj

=∑n

k,l,j=1(∂αk

∂ql dql) ∧ (∂qk

∂qj dqj) =∑n

k=1 dαk ∧ dqk,

donde se ha usado que

n∑

l,j=1

∂2qk

∂ql∂qjdql ∧ dqj = 0

6.4. LA DIFERENCIAL EXTERIOR 121

por la antisimetrıa de ∧. 2

El siguiente resultado caracteriza a la diferencial exterior, y puedetomarse como definicion alternativa de ella.

Teorema 6.4.3 Sea α ∈ Λ1(Q), y X, Y ∈ X(Q). Entonces:

dα(X, Y ) = X(α(Y ))− Y (α(X))− α([X, Y ]).

Demostracion. Resulta inmediato de (6.7) en el caso de que X, Y seancampos coordenados. Para el caso general, observese que cada miem-bro es C∞(Q)−lineal en X e Y , esto es, resulta equivalente en cadamiembro multiplicar por f ∈ C∞(Q) que reemplazar X (resp. Y ) porfX (resp. fY ) . 2

Ejercicio. Demuestrese que la aplicacion diferencial exterior d : Λ1(Q) →Λ2(Q) es lineal y verifica:

d(fα) = df ∧ α + fdα, ∀f ∈ Λ0(Q),∀α ∈ Λ1(Q).

Podemos caracterizar ahora la igualdad (6.5).

Definicion 6.4.4 Diremos que una forma diferencial α ∈ Λ1(Q) escerrada si dα = 0, esto es, si en cualesquiera coordenadas verifica(6.5).

De la discusion al comienzo de la Subseccion 6.4.1 se tiene:

Corolario 6.4.5 Si α ∈ Λ1(Q) es exacta (α = df) entonces α escerrada (dα = 0).

Veamos a continuacion un recıproco parcial de este resultado.

Teorema 6.4.6 (Lema de Poincare). Sea α ∈ Λ1(Q) una forma dife-rencial cerrada. Para cada p ∈ Q existe un entorno abierto V de p yuna funcion f : V → R tal que α = df sobre V .

Demostracion. Consideremos un entorno coordenado (U,ϕ = (q1, . . . ,qn)) de p ∈ Q tal que ϕ(p) = 0. Sea δ > 0 tal que ]−δ, δ[n⊂ ϕ(U) ⊆ Rn,y tomemos V = ϕ−1(]− δ, δ[n). Todo se reduce a hallar una funcion ftal que

∂f

∂qi= αi ∀i ∈ 1, . . . , n. (6.9)


Ahora bien, como α es cerrada, la solucion explıcita del sistema deecuaciones (6.9) es:

f(q1, . . . , qn) =∫ q1

0α1(t, q

2, . . . , qn)dt +∫ q2

0α2(0, t, q

3, . . . , qn)dt+

+∫ q3

0α3(0, 0, t, q

4, . . . , qn)dt + . . . +∫ qn

0αn(0, . . . , 0, t)dt + C

para cualquier C ∈ R.1 2

Una cuestion interesante es “como de grande” puede tomarse V enel Lema de Poincare. De la demostracion anterior resulta obvio quesi Q = Rn entonces es posible tomar V = Rn. Con mas generalidad,es posible demostrar que podemos asumir V = Q siempre que Q sea“simplemente conexa” (vease el Apendice 1). Concretamente:

Teorema 6.4.7 Sea Q una variedad simplemente conexa. Una formadiferencial α ∈ Λ1(Q) es cerrada si y solo si es exacta.

A veces, aunque α no sea cerrada existe una funcion h ∈ C∞(Q), h > 0,tal que h · α es cerrada. Se dice entonces que h es un factor integrantede α. Obviamente, en este caso h verifica la ecuacion

d(h · α) = dh ∧ α + hdα = 0.

Observemos que, al no anularse h, el nucleo de la forma lineal h(p)·αp :TpQ → R coincide con el de αp. Por otra parte, es facil comprobar quedos formas lineales que tengan igual nucleo son proporcionales. Dadauna forma diferencial α la coleccion de todos los nucleos de las co-rrespondientes formas lineales αp, p ∈ Q determina cuando α admitefactores integrantes. De hecho, del Teorema 6.4.3 es inmediato deducirque si α ∈ Λ1(Q) admite un factor integrante, entonces para cua-lesquiera X, Y ∈ X(Q) con α(X) ≡ α(Y ) ≡ 0 se tiene α([X, Y ]) ≡ 0.El recıproco tambien es cierto localmente; en particular, en dimension2 toda forma diferencial admite localmente factores integrantes.

6.5. Circulacion de una forma diferencial

Consideremos una forma diferencial α ∈ Λ1(Q) y una curva dife-renciable γ : [a, b] → Q. Es posible definir la composicion:

α γ′(t) = αγ(t)(γ′(t)) ∈ R, ∀t ∈ [a, b],

1Esto es bien sabido del estudio elemental de ecuaciones en derivadas parciales,y se puede comprobar directamente derivando.

6.5. CIRCULACION DE UNA FORMA DIFERENCIAL 123

que resulta ser una aplicacion diferenciable [a, b] → R. Definimos lacirculacion de α a lo largo de γ como la integral de esta aplicacion:

∫

γ

α :=

∫ b

a

α(γ′(t))dt. (6.10)

Esta definicion se extiende de manera natural al caso en el que γ seasolo diferenciable a trozos (vease la Seccion ??, Observacion (3); el in-tegrando no estarıa bien definido solo en un conjunto finito de puntos).Una consecuencia interesante de la linealidad de α es que la circulacionresulta independiente de la reparametrizacion de γ. Con mas precision:

Proposicion 6.5.1 Consideremos una forma diferencial α ∈ Λ1(Q),una curva γ : [a, b] → Q y una aplicacion diferenciable t : [c, d] → [a, b],s 7→ t(s) con t(c) = a, t(d) = b. Si definimos γ : [c, d] → Q como2

γ(s) = γ(t(s)), entonces la circulacion de α a lo largo de γ coincidecon la circulacion de α a lo largo de γ.

Demostracion. Del comportamiento de la integral frente al cambio devariable y de la linealidad de α se tiene:

∫ b

a

α(γ′(t))dt =

∫ d

c

α(γ′(t(s))) · dt

ds· ds =

∫ d

c

α(γ′(s))ds. 2

Cuando γ cae dentro de un entorno coordenado (U, q1, . . . , qn) se veri-fica:

∫ b

a

α(γ′(t))dt =n∑

i=1

∫ b

a

αi(q1(t), . . . , qn(t))

dqi(t)

dtdt, (6.11)

siendo γ(t) = (q1(t), . . . , qn(t)). En la practica, se suele calcular lacirculacion mediante la expresion:

n∑i=1

∫ b

a

αi(q1(t), . . . , qn(t))

dqi(t)

dtdt

2Cuando t′(s) > 0 en todo punto se dice que γ es una reparametrizacion (cre-ciente) de γ, aunque esta hipotesis no es necesaria para la presente proposicion. Encualquier caso, la condicion t(c) = a, t(d) = b implica que la derivada sea positivaen un subconjunto de [c, d]; si reemplazamos esta condicion por t(c) = b, t(d) = aentonces el signo de la circulacion a lo largo de γ cambia con respecto a γ. Observeseademas que, en el caso de que γ(a) = γ(b), la condicion t(c) = a, t(d) = b implicaintuitivamente que el “numero de vueltas” con el que finalmente se recorre γ seaigual al “numero de vueltas” con el que se recorre γ.


=n∑

i=1

∫ qi1

qi0

αi(q1(qi), . . . , qi, . . . , qn(qi))dqi, (6.12)

siendo γ(a) ≡ (q10, . . . , q

n0 ), γ(b) ≡ (q1

1, . . . , qn1 ). En ocasiones, en lugar

de la expresion “circulacion de α a lo largo de γ” se habla de “integralde lınea (o camino) de α a lo largo de (la imagen de) γ”, con lo que sepone mas de manifiesto su invariancia ante reparametrizaciones.

Si conocemos la circulacion de α a lo largo de cualquier curva en-tonces podemos reconstruir α. Con mas precision, de (6.11) se sigueinmediatamente:

Proposicion 6.5.2 Si vp ∈ TpQ y si γ : [0, ε] → Q, ε > 0 es unacurva diferenciable con γ′(0) = vp, entonces se verifica

α(vp) = limt→0

∫ t

0α(γ′(t))dt

t.

La circulacion de α a lo largo de dos curvas distintas γ y γ no tiene porque coincidir aunque los extremos de γ y γ sı lo hagan. Sin embargo,esto sı coincide cuando α es exacta. En efecto, si α = df entonces

∫ b

a

α(γ′(t))dt =

∫ b

a

df(γ′(t))dt =

∫ b

a

d(f γ)

dtdt = f(γ(b))− f(γ(a)).

(6.13)De hecho, esta propiedad caracteriza a las formas diferenciales exactas:

Teorema 6.5.3 Resultan equivalentes:

(i) α es una forma diferencial exacta.

(ii) Para cualesquiera dos curvas γ : [a, b] → Q, γ : [c, d] → Q conγ(a) = γ(a), γ(b) = γ(b) la circulacion de α a lo largo de γcoincide con la circulacion de α a lo largo de γ.

Demostracion. La implicacion (i) ⇒ (ii) se reduce a (6.13). Para larecıproca, escojamos un punto p0 en (cada parte conexa de) Q. Paracada punto p (en esa parte conexa -y, por tanto, arcoconexa) tomamosuna curva γ : [0, b] → Q que conecte p0 con p. Definimos f escogiendof(p0) ∈ R arbitrariamente y tomando:

f(p) = f(p0) +

∫ b

0

α(γ′(t))dt. (6.14)

6.6. APENDICE 1: CONEXION SIMPLE 125

La funcion f esta bien definida por la hipotesis (ii). Si v = γ′(0) ∈Tp0Q, de

dfp(v) =d(f γ)

dt(0), v = γ′(0)

y (6.14) se comprueba que αp0(v) = dfp0(v). Para comprobar la igual-dad entre α y df en cualquier otro punto p1 (de la misma parte conexade p0), basta con darse cuenta de que la igualdad (6.14) se verificatambien sustituyendo f(p0) por f(p1) y tomando curvas que conectenp1 con cada p (fıjese una curva γ0 que conecte p0 con p1 y yuxtapongasecon cualquiera que conecte p1 con p). 2

Si α es cerrada pero no exacta entonces las circulaciones de α alo largo de γ y γ no tienen por que coincidir. Ahora bien, si γ y γson homotopicas (vease el Apendice 1) entonces estas circulacionesnecesariamente coinciden. Una explicacion intuitiva de este hecho esque, al ser γ y γ homotopicas, ambas caen en un conjunto simplementeconexo U de Q. Por tanto, α es exacta sobre U y el resultado se siguedel Teorema 6.5.3.

Ejercicio. Sea α una forma diferencial cerrada sobre Q = R2\0.Pruebese que es exacta si y solo si su circulacion a lo largo de la curvaγ(t) = (cos t, sent), t ∈ [0, 2π] es nula. Generalıcese a Q igual a R2

menos un conjunto finito de puntos.

6.6. Apendice 1: variedades simplemente

conexas

A continuacion introducimos el concepto de conexion simple. Esteconcepto es aplicable a todo espacio topologico aunque, por comodidad,puede suponerse que el espacio topologico es siempre una variedad(topologica) Q.

Fijados p, q ∈ Q, diremos que la curva (continua) γ : [0, 1] → Qconecta p con q si p = γ(0), q = γ(1). En el caso particular p = q,diremos que γ es un lazo en p. Dada otra curva γ : [0, 1] → Q queconecte p y q se dice que γ y γ son homotopicas si existe una aplicacioncontinua

H : [0, 1]× [0, 1] → Q(s, t) 7→ γs(t)


tal que cada curva γs conecta p y q, ∀s ∈ [0, 1] y, ademas, γ0 = γ,γ1 = γ. Un lazo γ en p se dice homotopico nulo si es homotopico allazo constantemente igual a p.

Definicion 6.6.1 Una variedad3 conexa Q es simplemente conexa sitodo lazo en p es homotopico nulo, ∀p ∈ Q.

Al ser la variedad conexa, no es difıcil comprobar que si la anteriorcondicion se verifica en un punto entonces se verifica en todos los pun-tos.

Algunos ejemplos de espacios simplemente conexos son Rn, Sn conn ≥ 2 y R3 − p (para cualquier p ∈ R3). Ejemplos de espacios queno son simplemente conexos son S1, R2 − p y R3 − r donde r escualquier lınea recta.

Nota. Resulta relevante que todo espacio topologico arcoconexo Q ad-mite (bajo hipotesis muy generales satisfechas por cualquier variedad)un recubridor universal (Q, Π), donde Q es un espacio topologico sim-plemente conexo y Π : Q → Q una aplicacion recubridora, esto es, unhomeomorfismo local que verifica: todo punto p ∈ Q admite un entornoconexo V tal que Π restringido a cada parte conexa de Π−1(V ) es unhomeomorfismo sobre V . En el caso de que Q sea una variedad dife-renciable, la aplicacion recubridora Π induce de manera natural una(unica) estructura diferenciable sobre Q, para la cual Π resulta ser undifeomorfismo local4.

Analogas conclusiones se derivan para el caso de variedades com-plejas (vease la nota al concepto de variedad anterior a la Seccion2.3). De hecho, la superficie de Riemann Q que se construye en va-riable compleja para una funcion holomorfa f sobre C con singular-idades aisladas, es un ejemplo tıpico de variedad (real de dimension2, compleja de dimension 1) construida de tal modo que la aplicacion

3En principio, los conceptos de homotopıa y de conexion simple son aplicables atodo espacio topologico, por lo que se formulan solo con continuidad. No obstante,en variedades se puede suponer que todos los elementos son diferenciables (o dife-renciables a trozos) sin perdida de generalidad. De hecho, toda curva continua queconecte dos puntos fijos es homotopica a una diferenciable, y si dos curvas diferen-ciables son continuamente homotopicas entonces tambien son diferenciablementehomotopicas.

4Discutiremos con mas detalle estas propiedades en el Tema 8, Apendice 8.7

6.7. APENDICE 2: TERMODINAMICA 127

Π : Q → C\singularidades que identifica puntos de diversas hojas deQ resulta ser una aplicacion recubridora (diferenciable compleja). Ası,p. ej., la superficie de Riemann Q de la aplicacion logaritmo neperiano,dotada de su proyeccion natural Π : Q → C\0, puede verse como elrecubridor universal de C\0.

6.7. Apendice 2: Termodinamica

Consideramos los “estados de equilibrio” de un sistema termodinami-co (simple) como puntos de una variedad5 M que, por sencillez, supon-dremos simplemente conexa.

Cada “proceso casiestatico” de un estado p ∈ M a un estado q ∈ Mse modela por una curva diferenciable γ : [a, b] → M con γ(a) = p,γ(b) = q. El parametro de la curva no debe interpretarse como eltiempo (los estados son de equilibrio). Como estaremos interesados encirculaciones de formas, por la Proposicion 6.5.1 no nos importara lareparametrizacion de γ.

En cada proceso casiestatico γ, el fısico es, en principio, capaz decalcular el calor transferido Q y el trabajo realizado L por el sistema.La independencia de Q y L con la reparametrizacion de γ sugiere queambos son circulaciones de formas diferenciales. La Proposicion 6.5.2permitirıa calcular entonces estas formas. Postulamos entonces que ex-isten dos formas diferenciales, dQ y dL, cuyas circulaciones a lo largode cualquier proceso casiestatico γ proporcionan, respectivamente, Qy L. Notese que d es solo una notacion, no representa diferenciales defunciones, dQ, dL ∈ Λ1(M). La notacion simplemente sugiere que elcalor o trabajo transferidos a lo largo del proceso γ se obtiene comouna circulacion a lo largo de el.

En principio, las formas dQ, dL pueden ser arbitrarias, con la unicarestriccion de que en ningun punto se anulen. Sin embargo, existenrazones fısicas por las que se postula que su diferencia es exacta, estoes:

(Primer Principio de la Termodinamica.) Existe una fun-cion U , la energıa interna del sistema termodinamico, queverifica:

dQ− dL = dU.

5En esta seccion reservamos la letra Q para el calor transferido por el sistema.


Aunque dQ, dL no sean cerradas, se admite que dL es expresableen terminos de funciones con significado fısico sobre M , tıpicamentedL = −PdV , donde P es la presion del sistema y V : M → (0,∞)el volumen; ası, 1/P es un factor integrante de dL. De nuevo, exis-ten razones fısicas para creer que dQ tambien debe admitir un factorintegrante:

(Segundo Principio de la Termodinamica). La inversa de latemperatura T del sistema fısico es un factor integrante dedQ, esto es 1

TdQ es cerrada. Al ser M simplemente conexa,

podemos escribir:1

TdQ = dS

para una funcion S sobre M , a la que se le llamara entropıadel sistema fısico.

Una consecuencia del Segundo Principio de la Termodinamica es el“Teorema de Caratheodory”, la conclusion del cual puede admitirsecomo un postulado alternativo al Segundo (“Postulado de Caratheodo-ry”). Para analizarlo tengase en cuenta el siguiente resultado general[AMR, Section 8.4.1]:

Teorema 6.7.1 Sea M simplemente conexa y α ∈ Λ1(M) tal que αp 6=0,∀p ∈ M . Equivalen:

(i) α admite un factor integrante.(ii) Para ningun p ∈ M existe un entorno suyo U tal que el punto p

y cada q ∈ U puedan conectarse mediante una curva γ con α γ′ ≡ 0.

[Es facil comprobar (i) ⇒ (ii). De hecho, si h·α = df entonces αγ′ ≡ 0equivale a df γ′ ≡ 0, esto es, f γ ≡ constante. Por tanto, mediantecurvas γ con α γ′ ≡ 0 solo podremos conectar p y q si f(p) = f(q).]

Una vez admitido el Segundo Postulado de la Termodinamica, elTeorema de Caratheodory afirma:

Para todo estado p ∈ M existen estados arbitrariamenteproximos de p (esto es, una sucesion pnn → p, pn ∈M − p, ∀n ∈ N) que son inaccesibles desde p por vıaadiabatica (esto es, no existe ningun proceso casiestatico γentre p y pn tal que dQ(γ′(t)) ≡ 0).

Claramente, esta conclusion es una reformulacion de (i) ⇒ (ii) en elteorema anterior.

6.7. APENDICE 2: TERMODINAMICA 129

Ejercicios

Ejercicio 1. Expresese en coordenadas cilındricas el campo tensorialsobre R3: T = xyzdx⊗ dz ⊗ ∂/∂y.

Ejercicio 2. Pruebese que para toda funcion f sobre una variedaddiferenciable Q se verifica d(df) = 0.

Ejercicio 3. Sean α, β ∈ Λ1(Q), Ω ∈ Λ2(Q), f ∈ C∞(Q) ≡ Λ0(Q) ysea F : Q′ → Q diferenciable. Definimos (vease tambien la Definicion8.5.6.) F ∗α : TQ′ → R por

F ∗α(vp′) = α(dFp′(vp′)), ∀vp′ ∈ Tp′Q′, ∀p′ ∈ Q′,

y, analogamente, F ∗Ω : TQ′ × TQ′ → R. Demuestrese:(i) F ∗α ∈ Λ1(Q′), F ∗Ω ∈ Λ2(Q′).(ii) F ∗α ∧ F ∗β = F ∗(α ∧ β).(iii) d(F ∗α) = F ∗dα, d(f F ) = F ∗df .(iv) si α es cerrada (resp. exacta), F ∗α es cerrada (resp. exacta).

Ejercicio 4. Se considera la forma diferencial α = (xdy−ydx)/(x2 +y2) sobre R2 − (0, 0). ¿Es α cerrada? ¿Es exacta?

Sea Π : R+ × R → R2 − (0, 0), (ρ, θ) → (ρ cos θ, ρsenθ). En lanotacion del ejercicio anterior, ¿es Π∗α cerrada? ¿Es exacta?

Ejercicio 5. En R+ × R+ se considera la 1-forma diferencial α =yxdx + 2dy. ¿Es α cerrada o exacta? ¿Admite un factor integrante?

Calculese su circulacion a lo largo del rectangulo de extremos los puntos(1, 1), (3, 1), (3, 2), (1, 2) en sentido de giro positivo.

Ejercicio 6. En todo R2\0 se considera la forma diferencial que,en el dominio de definicion de las coordenadas polares, se expresa co-mo α = ρdθ + ρ2dρ. Sea α su restriccion a la circunferencia unidad.Determınese si α y α son cerradas o exactas. Calculese la circulacionde ambas a lo largo de la curva γ(t) = (cos t, sent), t ∈ [0, 3π].

Ejercicio 7. En R2\0 se considera la forma diferencial

α =1

x2 + y2

((x3 + xy2 − y)dx + (yx2 + y3 + x)dy

).

Calculese su circulacion a lo largo de γ(t) = (cos t, sent), t ∈ [0, π]. ¿Esα cerrada? ¿Es exacta?


Ejercicio 8. Sea Q la variedad formada por R2×]0,∞[ menos el eje z,y considerense las formas diferenciales α, β ∈ Λ1(Q) que, en el dominiode definicion de las coordenadas cilındricas, vienen dadas por:

α = ρsen(2θ)dρ + ρ2cos(2θ)dθ +1

2zρ2sen(2θ)dz, β = z α.

(i) ¿Son α y β cerradas? ¿Son exactas?

(ii) Calculese la circulacion de ambas a lo largo de la curva

γ(t) =

(cos t, sent, 1), t ∈ [0, 2π](1, 0, t− 2π + 1), t ∈ [2π, 2π + 2].

Ejercicio 9. En R2\0 se considera la forma diferencial

α =

(x− y

x2 + y2

)dx +

(y +

x

x2 + y2

)dy.

Calculese su circulacion a lo largo de γ(t) = (cos t, sent), t ∈ [0, π]. ¿Esα cerrada? ¿Es exacta?

Ejercicio 10. Determınense las posibles funciones f ∈ C∞(R4) paraque la forma diferencial sobre R4, µ = (y + z + t)dx + (x + z + t)dy +(x + y + t)dz + fdt, sea cerrada, y entonces muestrese explıcitamenteque es exacta.

Capıtulo 7

Campos tensoriales metricos

Cuando a cada espacio tangente TpQ de una variedad Q se le fija unproducto escalar gp se tiene una variedad semi-riemanniana (en parti-cular, riemanniana o lorentziana segun el ındice del producto escalar).Puesto que gp determina un isomorfismo canonico entre TpQ y su es-pacio dual, en este capıtulo traduciremos las propiedades de las formasdiferenciales vistas en el capıtulo anterior a campos vectoriales. Enparticular, definiremos los campos conservativos e irrotacionales comolos asociados a formas exactas y cerradas, respectivamente. Tambiendefiniremos el concepto de variedades semi-riemannianas isometricas,que permite decidir cuando dos variedades semi-riemannianas tienentodas sus propiedades iguales. Finalmente, anticipamos el concepto dedistancia asociada a una metrica riemanniana, que desarrollaremos masampliamente en el Capıtulo ??.

7.1. Concepto de metrica riemanniana y

lorentziana

Sea V (R) un espacio vectorial real y 〈·, ·〉 un tensor 2-covariante ysimetrico (metrica) sobre el. Por el Teorema de Sylvester es bien sabidoque existe una base B = (v1, . . . , vs, vs+1, . . . vr, vr+1, . . . , vn) de V tal

131

132 CAPITULO 7. CAMPOS TENSORIALES METRICOS

que

〈vi, vj〉 = 0 si i 6= j y 〈vi, vi〉 =

−1 si i = 1, . . . , s

1 si i = s + 1, . . . , r0 si i = r + 1, . . . , n.

A las bases en las que 〈·, ·〉 adopta esta expresion se les llama ortonor-males. Los valores de s, r ∈ 0, 1, . . . , n son independientes de la baseortonormal escogida y reciben el nombre de ındice y rango de 〈·, ·〉,respectivamente. Se dice que 〈·, ·〉 es:

(1) no degenerado o un producto escalar si r = n. Ello ocurrira si ysolo si la matriz asociada (〈vi, vj〉)i,j es regular (su determinantees distinto de 0) para alguna base B = (v1, . . . , vn) de V (y, eneste caso, la matriz es regular para cualquier base).

Equivalentemente: si un vector v ∈ V verifica 〈v, w〉 = 0 paratodo w ∈ V , entonces necesariamente v = 0.

(2) un producto escalar euclıdeo si s = 0 y r = n, o equivalente-mente: 〈v, v〉 ≥ 0 ∀v ∈ V , con igualdad si y solo si v = 0. Portanto, 〈·, ·〉 es no degenerado y las bases ortonormales puedencalcularse por el procedimiento clasico de ortonormalizacion deGram-Schmidt. Observese que en este caso la matriz asociada auna base ortonormal B = (v1, . . . , vn) es la identidad.

(3) un producto escalar lorentziano si n ≥ 2 y la matriz (〈vi, vj〉)i,j

es no degenerada y con ındice s = 1. En este caso, para cualquierbase ortonormal B = (v1, . . . , vn) se tiene la matriz:

(〈vi, vj〉) =

−1 0 . . . 00... Idn−1

0

.

Definiciones 7.1.1 Sea Q una variedad diferenciable. Llamaremoscampo tensorial metrico o, simplemente, metrica sobre Q a cualquiercampo de tensores 2-covariante simetrico g sobre Q. En este caso sedice que la metrica g es:

7.1. METRICAS RIEMANNIANAS Y LORENTZIANAS 133

(1) riemanniana si gp es un producto escalar euclıdeo de TpQ paratodo p ∈ Q.

(2) lorentziana si gp es una producto escalar lorentziano de TpQ paratodo p ∈ Q.

(3) semi-riemanniana si gp es un producto escalar de TpQ con ındices constante para todo p ∈ Q1.

Segun el caso, llamaremos al par (Q, g) variedad riemanniana, lorentzianao semi-riemanniana, respectivamente.

En adelante todas las metricas que consideremos seran semi-riemannianas,salvo especificacion contraria.

Ejemplos:

(1) La metrica riemanniana usual de Rn es

g0 = dx1 ⊗ dx1 + · · ·+ dxn ⊗ dxn ≡n∑

i=1

(dxi)2.

Analogamente, la metrica lorentziana usual se define como

gL = −dx1⊗dx1+dx2⊗dx2+· · ·+dxn⊗dxn ≡ −(dx1)2+n∑

i=2

(dxi)2.

(2) Sea S una subvariedad de Rn. Como TpS es un subespacio deTpRn para todo p ∈ S, la metrica usual g0 de Rn puede restrin-girse a TpS para proporcionar un producto escalar euclıdeo gS

p

sobre cada TpS. Concretamente,

gSp : TpS × TpS → R

(v, w) 7→ g0(v, w).

El campo de tensores gS sobre S ası determinado es una metricariemanniana. Esto ocurre, por ejemplo, en la esfera bidimensio-nal S2 ⊂ R3 (ası como en cualquier superficie de R3), sobre la

1Si Q es conexa entonces la condicion de que la metrica sea no degeneradaimplica que el ındice sea constante.


que se puede inducir la metrica usual de R3. Con mas gene-ralidad, para cualquier variedad riemaniana (Q, g), su metricapuede inducirse por restriccion a cualquier subvariedad suya S,generandose ası una nueva variedad riemanniana2 (S, gS).

(3) Consideremos sobre R2 un campo de tensores arbitrario

g = g11(x, y)dx2 + g12(x, y)(dx⊗ dy + dy ⊗ dx) + g22(x, y)dy2.

Si el determinante∣∣∣∣

g11(x, y) g12(x, y)g12(x, y) g22(x, y)

∣∣∣∣

es distinto de 0 en todo punto de R2 entonces g es una metricasemi-riemanniana. Si el determinante es mayor que 0 y g11 > 0 en-tonces g es riemanniana. Finalmente, si el determinante es menorque 0 entonces g es lorentziana. Esto se mantiene aun cuando(x, y) representaran las coordenadas de cualquier variedad bidi-mensional (en el abierto donde esten definidas). El criterio paracomprobar cuando es riemanniana se generaliza facilmente a di-mensiones superiores (hallese como ejercicio).

(4) Consideremos dos variedades semi-riemannianas (Q, g), (Q′, g′).Para la variedad producto Q×Q′ se tiene la identificacion naturalT(p,p′)(Q×Q′) ≡ TpQ×Tp′Q

′, de modo que cada vector tangenteen (p, p′) se puede ver como un par (vp, v

′p′) ∈ TpQ × Tp′Q

′. Demodo natural, podemos considerar g y g′ como tensores metricossobre Q×Q′ y definir

(g + g′)((vp, v′p′), (wp, w

′p′)) = g(vp, wp) + g′(v′p′ , w

′p′).

Por tanto, g + g′ es una nueva metrica semi-riemanniana cuyoındice es la suma de los ındices de g y g′ (en particular, si ambasson riemannianas entonces g+g′ tambien lo es). Si h, f ∈ C∞(Q×Q′), h > 0, f > 0 entonces hg+fg′ es tambien una metrica semi-riemanniana.

2Si la metrica de partida g fuera semi-riemanniana, habrıa que tener la precau-cion de que el campo de tensores inducido gS sobre la subvariedad no degeneraseen ningun punto. Con esta restriccion, (S, gS) tambien es una nueva variedad semi-riemanniana, aunque no necesariamente del mismo ındice que (Q, g).

7.2. GRADIENTE DE UNA FUNCION 135

Puede demostrarse que toda variedad diferenciable admite una metricariemanniana, usando particiones de la unidad (vease el Tema 8, Seccion8.2.4).

Ejercicio. Sean (Q, g) = (R,−dt2), (Q′, g′) = (S3, gS), donde −dt2

es la metrica opuesta a la usual de R y gS es la metrica inducida por(R4, g0) sobre la esfera S3. Sea

f : R× S3 → R(t, x) 7→ f(t), f > 0,

y consideremos sobre R× S3 la metrica:

g = −dt2 + f 2(t)gS

(modelo cosmologico estandar de universo finito pero ilimitado de Ro-bertson -Walker). Compruebese:

(1) En cada base Bp = (∂t, v1, v2, v3) del espacio tangente Tp(R×S3)

tal que B = (v1, v2, v3) es ortonormal para gS, la metrica g tiene pormatriz asociada

−1 0 . . . 0

0... f 2(t) · Id3

0

.

(2) La metrica g es lorentziana. Construyase una base ortonormalen cada punto.

(3) La restriccion de la metrica lorentziana g a cada hipersuperficiet ≡constante es una metrica riemanniana.

(4) Si S1 = (x, y, z, w) ∈ S3 : z = w = 0 es el ecuador deS3, entonces S = R × S1 es una subvariedad de R × S3 y la metricalorentziana g restringida a S tambien es lorentziana.

(5) Existen en R × S3 subvariedades de dimension 1 tales que grestringida a cualesquiera de ellas es identicamente nula.

7.2. Gradiente de una funcion

En un espacio vectorial dotado de un producto escalar los isomor-fismos bemol y sostenido permiten asociar a cada vector una forma


lineal, y viceversa (vease el Apendice 1). Por tanto, si (Q, g) es unavariedad semi-riemanniana, se definen de manera natural la forma di-ferencial bemol X[ ∈ Λ1(Q) y el campo sostenido α] ∈ X(Q) de uncampo X ∈ X(Q) y una forma diferencial α ∈ Λ1(Q), respectivamente.En coordenadas (U, q1, . . . , qn), dichos campos tienen la expresion:

X =n∑

i=1

X i ∂

∂qi, X[ =

n∑i,j=1

gijXidqj.

α =n∑

i=1

αidqi, α] =n∑

i,j=1

gijαi∂

∂qj.

Estamos en condiciones de establecer la siguiente definicion:

Definicion 7.2.1 Sea (Q, g) una variedad semi-riemanniana. Paracada f ∈ C∞(Q) definimos el campo vectorial gradiente de f , grad f ,como el campo asociado a la diferencial de f por la metrica g:

grad fp = (dfp)] ∀p ∈ Q.

Por tanto, de la expresion por coordenadas obtenida anteriormentepara el campo sostenido se tiene:

grad f =n∑

i,j=1

gij ∂f

∂qi

∂

∂qj.

Discutimos a continuacion algunas propiedades del gradiente queayudan a comprender mejor su significado. Supongamos que la funciondiferenciable f : Q → R presenta un valor regular c ∈ R (esto es,dfp 6= 0 para todo p ∈ f−1(c)). Sea S = f−1(c) la correspondientesubvariedad (hipersuperficie de nivel) asociada a f . Consideremos unvector vp ∈ TpS arbitrario y una curva γ en S cuya velocidad inicialcoincida con vp. Entonces,

g(grad fp, vp) = dfp(vp) =d

dt|t=0 f γ(t) =

d

dt|t=0 c = 0.

Por tanto, al ser vp ∈ TpS arbitrario, acabamos de probar que grad fp

es perpendicular a S en p.

7.3. CAMPOS CONSERVATIVOS E IRROTACIONALES 137

Mas aun, cuando g es riemanniana y γ es una curva arbitraria en Q(no necesariamente contenida en S) tal que γ(0) = p ∈ S, |γ′(0)‖ = 1,entonces:

d

dt|t=0 f γ(t) = gp(grad fp, γ

′(0)) = ‖grad fp‖ · cos β,

siendo β el angulo que forman grad fp y γ′(0) segun gp. En particular, siγ′(0) apunta en la direccion de grad fp entonces cos β = 1 y la derivadaanterior es maxima. En resumen, grad fp es perpendicular a S en p yapunta en la direccion de maxima variacion de f , en sentido creciente,con modulo igual a la maxima derivada.

7.3. Campos conservativos e irrotacionales

Definiciones 7.3.1 Sea (Q, g) una variedad semi-riemanniana.

(i) Diremos que un campo vectorial X ∈ X(Q) es conservativo siX = grad f para alguna funcion f ∈ C∞(Q), esto es, si X[ esexacta (X[ = df).

(ii) Diremos que un campo vectorial X ∈ X(Q) es irrotacional si X[

es cerrada, esto es, si la 2-forma rotacional dX[ es nula.

De estas definiciones y de las propiedades de las formas cerradas yexactas (Seccion 6.4) se tiene inmediatamente:

Proposicion 7.3.2 (i) Si un campo X ∈ X(Q) es conservativo en-tonces es irrotacional.

(ii) Si un campo X ∈ X(Q) es irrotacional entonces es localmenteconservativo, esto es, para todo p ∈ Q existe un entorno suyo V y unafuncion f ∈ C∞(V ) tal que X = grad f en V .

Cuando Q es simplemente conexa entonces puede tomarse V = Q; portanto, para estas variedades los campos irrotacionales coinciden conlos conservativos.

Ejemplo. En R3 con su metrica usual consideremos un campo vectorial

X = X1 ∂

∂x+ X2 ∂

∂y+ X3 ∂

∂z.


definido en un abierto U ⊆ R3. Dado que el conjunto ( ∂∂x

, ∂∂y

, ∂∂z

) es

una base ortonormal en cada punto de R3 se tiene:

X[ = X1dx + X2dy + X3dz.

Un calculo simple muestra entonces que la 2-forma rotacional vale:

dX[ =

(∂X3

∂y− ∂X2

∂z

)dy ∧ dz

+

(∂X3

∂x− ∂X1

∂z

)dx ∧ dz +

(∂X2

∂x− ∂X1

∂y

)dx ∧ dy.

Usando las coordenadas usuales de R3 podemos definir el rotacional deX como el siguiente campo de vectores3:

Rot X =

(∂X3

∂y− ∂X2

∂z

)∂

∂x−

(∂X3

∂x− ∂X1

∂z

)∂

∂y+

(∂X2

∂x− ∂X1

∂y

)∂

∂z.

(7.1)Claramente, dX[ = 0 si y solo si Rot X = 0. Ası, si X esta definidoen un abierto U simplemente conexo, (p. ej., todo U = R3), X esconservativo si y solo si RotX = 0.

7.4. Circulacion de un campo vectorial a

lo largo de una curva

Sea X un campo vectorial sobre una variedad semi-riemanniana(Q, g) y consideremos una curva diferenciable γ : [a, b] → Q. Se tienen

3Para definir el rotacional de X estamos usando la base de campos usual deR3. Como veremos en el Tema 9, para definir Rot X en cada punto p, podemosusar (7.1) reemplazando las coordenadas usuales de R3 (y sus correspondientescampos vectoriales coordenados) por cualesquiera otras (q1, q2, q3) que verifiquen:(i) Bp = (∂/∂q1|p, ∂/∂q2|p, ∂/∂q3|p) es una base ortonormal de TpR3, y (ii) Bp

esta “positivamente orientada” respecto a la base B0p en p inducida por las coor-

denadas cartesianas usuales, esto es, el determinante de la matriz de cambio debase entre B0

p y Bp es positivo (por verificarse (i), el determinante sera entoncesigual a 1). La construccion del campo vectorial RotX es entonces generalizablede manera inmediata a cualquier variedad riemanniana (Q, g) que este orientada ytenga dimension 3. En dimension superior no existe la interpretacion del rotacionalcomo campo vectorial (vease tambien la Seccion ?? para mas detalles).

7.5. ISOMETRIAS 139

entonces que Xγ(t), γ′(t) ∈ Tγ(t)Q, y tiene sentido considerar la apli-cacion diferenciable

[a, b] → Rt 7→ g(Xγ(t), γ

′(t)).

Definicion 7.4.1 Definimos la circulacion de un campo X ∈ X(Q) alo largo de una curva diferenciable γ en Q como la integral

∫ b

a

g(Xγ(t), γ′(t))dt. (7.2)

Observese que esta definicion coincide con la circulacion de X[ a lolargo de γ, esto es: ∫ b

a

X[γ(t)(γ

′(t))dt.

En particular, resulta independiente de la reparametrizacion de γ (Pro-posicion 6.5.1).

Por otra parte, de las propiedades de la circulacion de formascerradas y exactas (Seccion 6.5) resultan inmediatas las propiedadesanalogas para la circulacion de campos irrotacionales y conservativos.Ası, si X es conservativo entonces la circulacion de X a lo largo deuna curva depende solo de los extremos de la curva. Concretamente, lacirculacion de X = grad f a lo largo de la curva γ verifica

∫ b

a

g(X, γ′)dt = f(γ(b))− f(γ(a)).

Esta propiedad caracteriza a los campos conservativos (Teorema 6.5.3).Si X fuera irrotacional pero no conservativo entonces solo podrıamosasegurar que la circulacion de X a lo largo de dos curvas γ, ρ con losmismos extremos coincide si γ y ρ son homotopicas.

7.5. Isometrıas

Definicion 7.5.1 Sean (Q, g), (Q′, g′) dos variedades semi-riemannianas.Diremos que una aplicacion diferenciable F : Q → Q′ es una isometrıa(entre variedades semi-riemannianas) si


(i) F es un difeomorfismo,

(ii) F “preserva las metricas”, esto es,

gp(vp, wp) = g′F (p)(dFp(vp), dFp(wp)), ∀vp, wp ∈ TpQ, ∀p ∈ Q.

Observemos que la condicion (ii) equivale a que la aplicacion dFp :TpQ → TF (p)Q

′ sea una isometrıa vectorial entre (TpQ, gp) y (TF (p)Q′,

g′F (p)) para todo p ∈ Q. De dos variedades semi-riemannianas entre lasque existe una isometrıa se dice que son isometricas. Todas las pro-piedades derivadas de la metrica (y, por supuesto, de la estructura devariedad diferenciable -en particular las propiedades topologicas) queverifique una variedad semi-riemanniana (Q, g) las verificaran tambientodas las variedades isometricas a ella. Por tanto, las propiedades aso-ciadas a la metrica en la variedad se conservan a traves de la isometrıa.

Dadas dos variedades semi-riemannianas resulta natural pregun-tarse cuando son isometricas. Por ejemplo, consideremos la esfera S2 ⊂R3, un cilindro C ⊂ R3 y un plano Π ⊂ R3 como variedades riemanni-anas. Dos a dos no son isometricas porque no son difeomorfas global-mente (de hecho, ni siquiera son homeomorfas): la esfera es compacta yel resto no; el cilindro no es simplemente conexo mientras que la esferay el plano sı lo son. Sin embargo, un casquete abierto de una esferası es difeomorfo a un disco, o a algunos abiertos de un cilindro (Figura19).

Figura 19

7.6. DISTANCIA EN EL CASO RIEMANNIANO 141

Se puede demostrar que no existen abiertos de la esfera y del planoque sean isometricos entre sı. Por otra parte, todo abierto simplementeconexo del cilindro es isometrico a algun abierto del plano. En la de-terminacion de la posible existencia de isometrıas desempena un papelesencial el tensor de curvatura, que estudiaremos mas adelante.

7.6. Distancia asociada a una metrica rie-

manniana

Sea (Q, g) una variedad riemanniana y sea γ : [a, b] → Q una curvadiferenciable. Definimos la longitud de γ como

L(γ) =

∫ b

a

‖γ′(t)‖dt =

∫ b

a

√gγ(t)(γ′(t), γ′(t))dt.

El concepto de longitud de una curva que acabamos de introducir sugie-re la siguiente definicion de distancia. Dada una variedad riemannianaconexa (Q, g) y dos puntos p, q ∈ Q, definimos la distancia entre elloscomo:

dg(p, q) = InfγL(γ) : γ : [a, b] → Q, γ(a) = p, γ(b) = q.

Aunque las propiedades de la funcion distancia se veran con mas detalleen el Capıtulo ??, anticipamos ahora las dos siguientes:

(1) La aplicacion dg : Q×Q → [0,∞) es una distancia “abstracta”,esto es, verifica las propiedades de una distancia definidas en[Seccion 1.6, Definicion 1.6.1].

(2) La topologıa asociada a la distancia dg en Q coincide con latopologıa de (Q, g) como variedad.

Como acabamos de ver, toda variedad riemanniana conexa (Q, g) tieneasociado un espacio metrico (Q, dg) que, en general, puede o no sercompleto. Por otra parte, dos variedades riemannianas isometricas sontambien isometricas como espacios metricos. En particular, tendran elmismo diametro, que se define (como en cualquier espacio metrico):

diam(Q) = Supdg(p, q) : p, q ∈ Q ∈ [0,∞].


Una cuestion que surge de manera natural es la siguiente: dadosdos puntos p, q ∈ Q, ¿existe alguna curva que conecte p y q y quetenga longitud igual a dg(p, q)? La respuesta a esta pregunta (que esafirmativa siempre localmente, y que lo es globalmente cuando (Q, dg)es completo) se obtiene en terminos de geodesicas, tal y como veremosen el Tema ??.

7.7. Apendice 1: aplicaciones bemol y sos-

tenido

En general, cada producto escalar 〈·, ·〉 induce un isomorfismo canonicoentre V (R) y V ∗(R). En efecto,

Definicion 7.7.1 Llamamos aplicacion bemol [ (“bajar ındices”) en-tre V (R) y V ∗(R) asociada al producto escalar 〈·, ·〉 a la aplicacion

[ : V → V ∗

v 7→ v[ ≡ 〈v, ·〉,

donde〈v, ·〉 : V → R

w 7→ 〈v, w〉.

Teorema 7.7.2 (1) La aplicacion bemol [ es un isomorfismo entre losespacios vectoriales V (R) y V ∗(R).

(2) La aplicacion inversa ] de [, conocida como aplicacion sostenido(subir ındices), queda caracterizada por la relacion 〈φ], w〉 = φ(w),∀φ ∈ V ∗, ∀w ∈ V .

Demostracion. (1) La linealidad es inmediata. Para la inyectividadnotese que son equivalentes: (i) [ tiene nucleo 0, (ii) el tensor metrico〈·, ·〉 es no degenerado.

(2) En efecto, (φ])[(w) = 〈φ], w〉 = φ(w) ∀w ∈ V . Ademas, estaigualdad caracteriza a φ] por ser 〈·, ·〉 no degenerada. 2

Para dar sus expresiones en coordenadas consideremos una base B =(v1, . . . , vn) de V (R) y su correspondiente base dual B∗ = (φ1, . . . , φn).

7.7. APENDICE 1: BEMOL Y SOSTENIDO 143

Entonces podemos suponer que v =∑n

i=1 aivi ∈ V y v[ =∑n

j=1 ajφj.

Ahora bien, aj = v[(vj) = 〈v, vj〉 y

aj = v[(vj) = 〈v, vj〉 =n∑

i=1

gijai, (7.3)

donde gij = 〈vi, vj〉. Por tanto, v[ =∑n

i,j=1 aigijφj. Si denotamos por

(gij)i,j la matriz inversa de (gij)i,j entonces multiplicando ambos miem-bros de la igualdad (7.3) por gjk y sumando en j obtenemos:

ak =n∑

j=1

ajgjk

En conclusion, si φ =∑n

i=1 biφi ∈ V ∗ y suponemos φ] =

∑nj=1 bjvj

entonces

φ] =n∑

i,j=1

bigijvj. (7.4)

Observacion: Si 〈·, ·〉 es euclıdea y B es una base ortonormal entoncesaj = aj para todo j ∈ 1, . . . , n. (En el caso lorentziano la unicadiferencia es a1 = −a1).

Este isomorfismo entre V (R) y V ∗(R) induce isomorfismos entre ten-sores tipo (2, 0), (0, 2) y (1, 1) (y, en general, entre tensores tipo (r, s)y (r′, s′) con r + s = r′ + s′). Por ejemplo, supongamos que T es untensor (2, 0) y queremos construir a partir de el un tensor T que sea(0, 2). Entonces basta con definir T (φ, ψ) := T (φ], ψ]). Observese quela relacion correspondiente en coordenadas queda:

T =n∑

i,j=1

tijφi ⊗ φj, T =

n∑

k,l=1

tklvk ⊗ vl,

donde

tij =n∑

k,l=1

gikgjltkl, tkl =

n∑i,j=1

gkigljtij.

Ademas, si el producto escalar es euclıdeo y la base B ortonormalentonces tij = tij, para todo i, j ∈ 1, . . . , n.


Finalmente, recordemos que para tensores (1, 1) habıamos definidosu traza mediante la del endomorfismo asociado, [Capıtulo 6, Subsec-cion 6.1.1]. Puesto que usando un producto escalar euclıdeo g podemosasignar unıvocamente a cada tensor 2-covariante o 2-contravarianteun tensor (1, 1), ahora tambien es posible definir una traza para es-tos tensores. Ası, por ejemplo, la traza de un tensor de tipo (2, 0)T =

∑ni,j=1 tijϕ

i ⊗ ϕj es:

trazag T =n∑

i=1

tii , siendo tij =n∑

k=1

giktkj.

Esto es facilmente generalizable a tensores de tipo superior (“contrac-cion” de tensores en un ındice covariante y otro covariante -sin necesi-dad de g- y contraccion de tensores en dos ındices covariantes o doscontravariantes -con ayuda de g).

7.8. Apendice 2: M. Lagrangiana frente a

Hamiltoniana

En este apendice comentaremos la relacion existente entre el formalis-mo lagrangiano, introducido en el apendice del Capıtulo 3, y el forma-lismo hamiltoniano, del que dimos algunos elementos en la nota finalde la Seccion 4.2. Esencialmente desarrollaremos las siguientes ideas:

(1) cualquier lagrangiana L : TQ × R → R, a cada instante t fijo,define de manera natural una aplicacion (no necesariamente lineal)TpQ → TpQ

∗ para cada p y, por tanto, una aplicacion TQ → TQ∗;cuando esta es un difeomorfismo, la lagrangiana se dice hiper-regular,

(2) las lagrangianas tıpicas L = T − V , donde T es la “energıacinetica” asociada a una metrica semi-riemanniana g, y V un potencial,no solo son hiper-regulares, sino que la aplicacion que inducen entreTQ y TQ∗ coincide con el bemol para g, independientemente de t,

(3) para cualquier lagrangiana hiper-regular, el difeomorfismo aso-ciado TQ × R → TQ∗ × R se expresa en coordenadas (q, q, t) →(q, p(q, q, t), t), con pi = ∂L/∂qi; ademas las coordenadas en TQ × Rse inducen TQ∗ × R, y viceversa, y

(4) cuando, fijada una funcion L(= Lp,t) sobre un espacio vectorialse toman como nuevas coordenadas las derivadas parciales de L, resulta

7.8. APENDICE 2: M. LAGRANGIANA Y HAMILTONIANA 145

conveniente introducir una nueva funcion, la transformada de Legendrede L, que admite una interpretacion geometrica natural.

Aplicacion entre V y V ∗ asociada a una funcion sobre V

Sea V (R) un espacio vectorial, B = (v1, . . . , vn) una base suya,B∗ = (φ1, . . . , φn) su correspondiente base dual y (x1, . . . , xn) (resp.(p1, . . . , pn)) las coordenadas sobre todo V (resp V ∗) inducidas por B(resp. B∗).

Sea f : V → R una aplicacion diferenciable (no necesariamentelineal) y consideremos su diferencial como una aplicacion entre V yV ∗. Es decir,

Df : V → V ∗ u 7→ Dfu

donde Dfu : V → R coincide con la diferencial dfu : TuV → Tf(u)R ≡ Rsalvo por la identificacion natural de TuV con V . Por tanto,

Dfu =n∑

i=1

∂f

∂xi(u)φi,

o, directamente en las coordenadas introducidas,

Df(x1, . . . , xn) = (p1(x1, . . . , xn), . . . , pn(x1, . . . , xn)),

siendo

pi(x1, . . . , xn) =

∂f

∂xi(x1, . . . , xn), i = 1, . . . , n.

Si calculamos la diferencial de Df en u0 ∈ V , se obtiene que sumatriz en las coordenadas introducidas coincide con la matriz hessiana∂2f/∂xi∂xj en u0. Si esta es regular, el Teorema de la Funcion Inver-sa permite escoger entornos apropiados de u0 y Dfu0 para los que larestriccion de la aplicacion Df es un difeomorfismo.

Supongamos para simplificar que Df es un difeomorfismo global en-tre V y V ∗. En este caso las coordenadas (p1, . . . , pn) (resp. (x1, . . . , xn))sobre V ∗ (resp. V ), compuestas con Df (resp. (Df)−1) generan unasnuevas coordenadas en V (resp V ∗), y las funciones

(p1(x1, . . . , xn), . . . , pn(x1, . . . , xn))

(resp. (x1(p1, . . . , pn), . . . , xn(p1, . . . , pn))) sirven para denotar tanto laaplicacion Df (resp. (Df)−1), como el cambio de coordenadas en V (re-sp. V ∗) entre (x1, . . . , xn) y (p1, . . . , pn) (resp. (p1, . . . , pn) y (x1, . . . , xn)).


Ejercicios. (1) Sean a, b, c, d, e, f ∈ R y definamos f : R2 → R por

f(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 + dx + ey + f, ∀(x, y) ∈ R2.

Calculese Df : R2 → R2∗ y pruebese que es un difeomorfismo global siy solo si ∣∣∣∣

a bb c

∣∣∣∣ 6= 0.

(2) Sea g un producto escalar sobre el espacio vectorial V (R), y seaEg : V → R la aplicacion Eg(u) = g(u, u)/2, ∀u ∈ V . Pruebese queDEg coincide con la aplicacion bemol asociada a g.

Lagrangianas regulares. Momentos generalizados

Consideremos en Mecanica Lagrangiana un espacio de configuracionQ (≡ (q1, . . . , qn)), el correspondiente espacio de estados TQ (≡ (q1, . . . ,qn, q1, . . . , qn)), y una lagrangiana

L : TQ× R → R(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t) 7→ L(q, q, t).

Fijado (p0, t0) ∈ Q× R podemos considerar la aplicacion

Tp0Q → Rvp0 7→ L(vp0 , t0),

(7.5)

esto es,

(q1, . . . , qn) 7→ L(q1(p0), . . . , qn(p0), q

1, . . . , qn, t0).

Como vimos en el apartado anterior, esta aplicacion (de V = TpQ aR) induce otra con codominio el dual:

Leg(p0,t0) : Tp0Q 7→ Tp0Q∗

vp0 7→ vp0 ,

que viene definida por la diferncial, esto es:

vp0 : Tp0Q → Rwp0 7→ dL

ds|s=0 (vp0 + swp0 , t0).

Diremos que la lagrangiana L es regular en (p0, t0) si Leg(p0,t0) es undifeomorfismo local, esto es, si su diferencial es biyectiva en todo punto.


Notese que fijado cualquier entorno coordenado (U, q1, . . . , qn) de p0 lamatriz de la diferencial de Leg(p0,t0) en cada vp0 ∈ Tp0Q resulta ser

(∂2L

∂qi∂qj(vp0 , t0)

)

i,j

,

por lo que L es regular en (p0, t0) si y solo si esta matriz (para unascoordenadas alrededor de p0 y, por tanto, para cualesquiera) es regularen todo vector vp0 tangente a p0. Diremos que L es regular si es regularen todo (p0, t0) ∈ Q × R. En adelante, supondremos por simplicidadla condicion algo mas fuerte de que L sea hiper-regular, esto es, queLeg(p0,t0) sea un difeomorfismo (no solo local, sino global) ∀(p0, t0) ∈Q× R. Por tanto, en este caso se tiene el difeomorfismo:

Leg : TQ× R → TQ∗ × R(vp, t) 7→ (vp = Leg(p,t)(vp), t).

(7.6)

Ejercicio. Sea (Q, g) una variedad semi-riemanniana y consideremosla lagrangiana

L : TQ× R→ R(vp, t) 7→ 1

2gp(vp, vp)− V (p, t)

(7.7)

para cierta funcion V : Q × R → R (potencial). Demuestrese que,independientemente del valor de t, la aplicacion Leg correspondientecoincide con la aplicacion bemol [ : TQ → TQ∗, vp 7→ v[

p (en particu-lar, L es hiper-regular).

Observese que, al componer con el difeomorfismo Leg, las coordenadaspi en TQ∗ sirven tambien como coordenadas de TQ; esto es, para cadat ∈ R podemos usar como coordenadas de TQ:

(q1, . . . , qn, p1 :=∂L

∂q1, . . . , pn :=

∂L

∂qn).

A estas nuevas coordenadas pi se les llama momentos generalizados.Notese que cada vector vp y su imagen vp por Leg tienen las mismascoordenadas pi. De hecho, si wp =

∑ni=1 wi

p∂

∂qi |p entonces

vp(wp) =n∑

i=1

∂L

∂qi(q(p), q(vp), t)w

ip


y, por tanto,

vp =n∑

i=1

vp(∂

∂qi|p)dqi

p =n∑

i=1

∂L

∂qi(q(p), q(vp), t)dqi

p =n∑

i=1

pi(vp, t)dqip.

Remarquemos que si tomamos coordenadas q ≡ (q1, . . . , qn), unaexpresion del tipo L(q, p, t) puede denotar, indistintamente: (a) la fun-cion lagrangiana L : TQ × R → R escrita en las coordenadas sobreTQ que se obtienen componiendo Leg con las coordenadas (q, p, t) deTQ∗ × R o (b) la funcion LLeg−1 : TQ∗ × R → R escrita en coorde-nadas (q, p, t). Analogamente, componiendo con Leg−1 las coordenadas(q1, . . . , qn) se pueden usar en TQ∗, por lo que, para una funcion hamil-toniana H : TQ∗×R→ R, la expresion H(q, q, t) puede denotar tantoa la funcion H en las coordenadas inducidas por Leg−1 como la funcionHLeg en las coordenadas naturales de TQ× R.

La transformada de Legendre

Consideremos de nuevo el espacio vectorial V (R) y las bases B, B∗.Observese que en V (R) se puede definir el campo de vectores radial ρque a cada vector u ∈ V le hace corresponder el propio vector u vistocomo un elemento de TuV ; esto es, ρ =

∑ni=1 xi∂/∂xi.

Sea f : V → R tal que Df : V → V ∗ es un difeomorfismo. Latransformada de Legendre de f se define como la aplicacion L[f ] :V ∗ → R dada por:

L[f ](φ) = (f − ρ(f)) (Df)−1(φ), ∀φ ∈ V ∗.

Si φ =∑n

i=1 piφi entonces el vector (Df)−1(φ) tiene coordenadas

(x1(p1, . . . , pn), . . . , xn(p1, . . . , pn))

y escribiendo directamente f, L[f ] sobre las coordenadas de u, φ:

L[f ](p1, . . . , pn) = f(x1(p1, . . . , pn), . . . , xn(p1, . . . , pn))

−n∑

i=1

xi(p1, . . . , pn)pi (7.8)

Geometricamente, la interpretacion de L[f ] es la siguiente. Dada unaforma lineal φ : V → R podemos considerar su grafo en V × R, que


sera un hiperplano (u, φ(u)) : u ∈ V que pasa por el origen. Despla-zando paralelamente este hiperplano podemos construir un hiperplanotangente a la grafica de la funcion f : V → R en un (unico) punto(uφ, f(uφ)). La ordenada en el origen de este hiperplano coincide conL[f ](φ).

El principal interes geometrico de la transformada de Legendreaparece cuando, por alguna razon, resulta conveniente usar como coor-denadas las derivadas parciales de una funcion4 f . Si conocemos la fun-cion f(p1, . . . , pn) pero no el difeomorfismo Df entonces, en principio,no podemos recuperar la funcion original f(x1, . . . , xn). Sin embargo,si conocemos L[f ] podemos recuperar la grafica de f como la hipersu-perficie envolvente a todos los hiperplanos Hφ = (u, φ(u) + L[f ](φ)) :u ∈ V obtenidos variando φ ∈ V ∗. Se dice entonces que la transfor-mada de Legendre de f “conserva la informacion” de f (al menos bajola hipotesis de que Df sea un difeomorfismo).

Ejercicio. (1) Se considera la funcion f : R→ R, f(x) = x2 +3x+2.

(a) Calculese Df y compruebese que es un difeomorfismo.

(b) Calculese f (Df)−1 y L[f ].

(c) Sea h : R → R tal que Dh es un difeomorfismo. Compruebese:(i) L[h] = L[f ] ⇒ h = f , (ii) existe una funcion h 6= f tal quef (Df)−1 = h (Dh)−1.

(2) Repıtanse los puntos anteriores para f : R2 → R, f(x, y) = 2xy −3x + 4y − 1.

La hamiltoniana como transformada de Legendre

Consideremos ahora una lagrangiana hiper-regular L. Como hemosvisto, tenemos asociado un difeomorfismo Leg entre el dominio TQ×Rde L y el dominio TQ∗×R de las funciones hamiltonianas. Llevando acabo la transformada de Legendre de Leg(p0,t0) en cada (p0, t0) ∈ Q×Ry cambiando el signo, generamos una funcion

H : TQ∗ × R→ R4P. ej., esto ocurre frecuentemente en Termodinamica, donde las parciales de la

energıa interna U con respecto a la entropıa S y el volumen V son, respectivamente,la temperatura T y la opuesta de la presion −P . P y T pueden resultar mucho masfaciles de medir que V y (por supuesto) que S.


que, expresada en coordenadas, se define por:

H(q, p, t) =n∑

i=1

piqi(q, p, t)− L(q, p, t). (7.9)

Se dice entonces que la funcion H es la funcion hamiltoniana asociadaa la lagrangiana (hiper-regular) L.

Es bien conocido que si γ(t) ≡ (q(t)) es una curva en Q para lacual se verifican las ecuaciones de Euler-Lagrange para L (γ es unacurva crıtica de L ante variaciones de las q’s con extremos fijos), en-tonces Leg γ′(t) = γ′(t) ≡ (q(t), p(t)) es una curva en TQ∗ que verifi-ca las ecuaciones de Hamilton para H (Leg γ′(t) es una curva crıticade H ante variaciones de las q y las p con extremos fijos). Por tan-to, la Mecanica Lagrangiana puede verse (al menos para lagrangianashiper-regulares, como las del tipo (7.7)) como un caso particular de laHamiltoniana.

Nota sobre el Teorema de Noether

Sea Q una variedad y L una lagrangiana hiper-regular que, parasimplificar, supondremos tambien independiente de t (eventualmente,t podrıa considerarse como una coordenada mas de Q). Sea Φ ungrupo uniparametrico de difeomorfismos de Q con generador infinites-imal XΦ ∈ X(Q), y consideremos la forma diferencial asociada a XΦ,XΦ = Leg XΦ : Q → TQ∗ . Supongamos que L es invariante porΦ (vease la Seccion 5.5); el Teorema de Noether afirma entonces quesobre cada curva crıtica γ(t) de la lagrangiana (aquella que satisfacelas ecuaciones de Euler-Lagrange) la funcion

XΦ(γ′(t)) (7.10)

es constante (independiente de t). Esto es, (7.10) es una cantidad con-servada a lo largo de la curva γ. Si L es una tıpica lagrangiana

L(vp) =1

2gp(vp, vp)− V (p), (7.11)

esta cantidad conservada se puede escribir directamente a partir de Xφ

en terminos de la metrica:

XΦ(γ′) = g(XΦ, γ′) ≡ constante[γ]. (7.12)


Ejemplo. Considerese una lagrangiana del tipo (7.11) para (R3, g0)que sea invariante por un grupo uniparametrico de difeomorfismos Φ.No es difıcil comprobar:

(a) Si Φ es el grupo de traslaciones segun el eje z de R3 (esto es,Φs(x, y, z) = (x, y, z + s),∀x, y, z, s ∈ R) entonces XΦ = ∂/∂z,y la cantidad conservada (7.12) para cada curva crıtica γ(t) =(x(t), y(t), z(t)) es z(t) (o momento lineal segun el eje z).

(b) Si Φ es el grupo de rotaciones segun el eje z (definido en el ejem-plo de la Seccion 5.5) entonces XΦ = −y∂/∂x + x∂/∂y, y la co-rrespondiente cantidad conservada es el momento angular segundicho eje x(t)y(t)− y(t)x(t).

Ejercicios

Ejercicio 1. Sea V (R) un espacio vectorial real de dimension 3, B =(v1, v2, v3) una base ordenada suya y B∗ = (φ1, φ2, φ3) su base dual. Seconsideran los tensores metricos g, g′ sobre V definidos por sus matricesen B:

MB(g) =

2 1 01 1 00 0 3

, MB(g′) =

1 0 00 −3 00 0 −1

Compruebese que g y g′ son productos escalares y determınense susındices. Calculese para cada uno v[, φ], siendo v = 2v1 + v2 + v3 yφ = φ1 − 3φ2 + φ3.

Ejercicio 2. Se considera en R3 la metrica riemanniana usual y unafuncion f : R3 → R. Calculense las coordenadas de grad f en los cam-pos coordenados inducidos por las coordenadas cartesianas, cilındricasy esfericas.

Ejercicio 3. Se considera sobre R2 el campo de tensores metrico

g = 2exdx2 + 2senydxdy + e−xdy2

(≡ 2exdx⊗ dx + seny(dx⊗ dy + dy ⊗ dx) + e−xdy ⊗ dy).

(a) ¿Es g una metrica riemanniana? Calculese, si es posible, una basede campos que sea ortonormal en todo punto.


(b) ¿Cuales de los siguientes campos son conservativos?

(b1) Los campos coordenados ∂x, ∂y.

(b2) El campo vectorial

Z =1

2− sen2y

((e−x − seny)∂x + (2ex − seny)∂y

).

Ejercicio 4. Para la variedad semi-riemanniana del problema an-terior, calculense los campos vectoriales X = (dx)], Y = (dy)]. De-termınense las circulaciones de X e Y a lo largo de la curva γ(t) =(etsen(πt), t3), t ∈ [0, 1].

Ejercicio 5. En R2\0 con la metrica usual se consideran los campos

X =1√

x2 + y2(x∂x + y∂y) , Y = (−y∂x + x∂y) .

¿Son conservativos? (Resuelvase trabajando tanto en coordenadas carte-sianas como en polares.)

Ejercicio 6. Se considera en R2 la metrica lorentziana g = dx2 −e2xdy2. Calculense todos los puntos de R2 que pueden conectarse con(0, 0) mediante una curva “luminosa” γ, esto es, que verifica γ′(t) 6=0, g(γ′(t), γ′(t)) = 0 para todo valor de t.

Ejercicio 7. Se considera en R3 la metrica g = −ex+y(dx⊗dy +dy⊗dx)+exydz2. ¿Es g riemanniana o lorentziana? Calculese la circulacionde ∂/∂y a lo largo de la curva

γ(t) = (1, cos t, t), t ∈ [0, π].

Ejercicio 8. Se considera en R3 la metrica

g = exydx2 − dx⊗ dy − dy ⊗ dx + 2e−xydy2 + 4dz2.

¿Es g riemanniana? Sea f = xy + yz + zx. Calculese grad f y sucirculacion a lo largo de la curva

γ(t) = (t/2, tet, sen22t), t ∈ [0, π].

Ejercicio 9. Se considera sobre R×R+ el campo de tensores metricog = 2y2dxdy.


(i) ¿Es g riemanniana? ¿Es lorentziana?

(ii) Se consideran las nuevas coordenadas (u, v) sobre R×R+ definidaspor el cambio de cartas:

u = (x + y)/2, v = (x− y)/2.

Obtengase la expresion de g en las coordenadas (u, v).

(iii) Se considera el campo vectorial X = A(x, y)∂x, siendo A(x, y)una funcion sobre R× R+. Determınense todas las posibles fun-ciones A(x, y) para las que X sea conservativo.

(iv) Determınese un campo vectorial Y y una curva γ sobre R× R+

de modo que la circulacion de Y a lo largo de γ sea igual a 2π+1.

Ejercicio 10. En R3 se consideran la metrica riemanniana usual g1,la metrica lorentziana usual g2, y la metrica

g3 = −dx2 − dy2 + dz2.

Calculese el gradiente de las funciones f1 = x y z2 y f2 = z ex y respectode las tres metricas.

Capıtulo 8

Integracion en Variedades

En este tema generalizaremos la integracion usual (de Riemann oLebesgue) en Rn a una variedad diferenciable arbitraria. Este proble-ma admite esencialmente dos enfoques, a priori muy distintos: a partirde integracion de n−formas (en variedades orientadas) y a partir dela definicion directa de una medida (variedades semi-riemannianas).La primera aproximacion es la que nos sera mas util para el proxi-mo tema, con multiples aplicaciones practicas. La segunda, empero,tambien presenta ventajas: la delimitacion clara del tipo de funcionesobjeto de integracion, que permite definir espacios de funciones “com-pletos” de dimension infinita, con multiples relaciones y aplicaciones aotras partes de la Matematica y Fısica.

Tras una primera motivacion de los conceptos (Seccion 8.1, Subsec-cion 8.2.1), desarrollaremos en primer lugar la integracion de n−formasen variedades orientadas (Seccion 8.2). La introduccion de este con-cepto es progresiva, razonandose la cada vez mayor generalidad den−formas a las que se puede aplicar el concepto de integracion. El re-sultado final se obtiene en la Subseccion 8.2.4, donde se introducen lasparticiones de la unidad. Este concepto requiere cierta dosis de abstrac-cion y soltura en topologıa, pero es importante en sı pues permite ex-tender globalmente multitud de elementos definibles localmente sobreuna variedad (de hecho, esto se requerira para la prueba del Teoremade Stokes, en el proximo tema). No obstante, en la integracion practica

155

156 CAPITULO 8. INTEGRACION EN VARIEDADES

de una n−forma concreta se suele evitar su uso, como justificamos enla Subseccion 8.2.3.

Los elementos tecnicos se desarrollan en los apendices. Concreta-mente, en los Apendices 8.5 y 8.6 se desarrollan sucintamente los ele-mentos necesarios de algebra de tensores antisimetricos para la inte-gracion de n−formas. En el Apendice 8.7 se estudia el concepto deorientacion en variedades, e introducimos el concepto topologico deespacio recubridor, que aplicamos para mostrar la existencia de un re-cubridor orientable.

En la Seccion 8.3, definiremos la integral de una funcion respectoa un elemento de volumen. Puesto que toda metrica semi-riemannianasobre una variedad orientada tiene canonicamente asociada un elemen-to de volumen, ello permite hablar de integracion de funciones en varie-dades semi-riemannianas orientadas. Mas aun, esta integracion resultaser independiente de la orientacion; de hecho, se puede extender a varie-dades semi-riemannianas cualesquiera (incluyendo las no-orientables).

Ello sirve como motivacion a la Seccion 8.4, aunque esta seccionpuede leerse con independencia del resto. En ella se define un espaciode medida sobre cualquier variedad semi-riemanniana, y la integracionde funciones sobre variedades se recupera como un caso particular dela integracion de funciones sobre un espacio de medida, en analogıadirecta con la integracion de Lebesgue en Rn.

8.1. Motivacion

Cuando se integra una funcion real f : U ⊆ Rn → R, se supone,explıcita o implıcitamente, que se sabe como “medir” subconjuntosapropiados del dominio, derivandose este concepto de la estructurapeculiar de R. Ası, para la integral de Riemann, las sumas (superiores,inferiores) de su construccion parten del concepto de longitud de lossubintervalos y, a partir de el, de volumen de los n−rectangulos enque se subdivide el dominio U . En la integral de Lebesgue se parteexplıcitamente del concepto de medida (construida de nuevo a partirdel concepto de longitud y volumen de intervalos y n−rectangulos)para subconjuntos muy generales de Rn.

Este hecho debe tenerse presente para cualquier intento de defini-cion de integracion sobre una variedad. De hecho, no podremos definir

8.1. MOTIVACION 157

la integracion de una funcion hasta que no tengamos algun modo de“medir el volumen” de subconjuntos apropiados de la variedad. Ası,nuestros objetivos seran: (1) abstraer primero que significa “medirel volumen” sobre la variedad, lo que conduce a la integracion den−formas diferenciales, y a la integracion de una funcion respectoa un elemento de volumen, y (2) mostrar como una metrica semi-riemanniana produce un modo canonico de medir volumenes, lo queconduce a la integracion de funciones sobre variedades semirrieman-nianas.

Para entender mejor las futuras definiciones, conviene tener pre-sente los siguientes aspectos de Geometrıa elemental:

Determinante y volumen de n−paralelepıpedos en Rn. Si se tienenn vectores independientes v1, . . . , vn en Rn se sabe por ge-ometrıa elemental que det0(v1, . . . , vn) (el determinante de la ma-triz de coordenadas de (v1, . . . , vn) en la base usual) es, salvo sig-no, igual al volumen del n-paralelepıpedo que generan. Mas aun,existen populares reglas practicas para n = 2, 3 que permiten de-terminar el signo de det0(v1, . . . , vn) (regla del sentido inverso delgiro de las agujas del reloj, regla del sacacorchos). Observese quedet0 puede verse como un tensor antisimetrico n−covariante nonulo sobre Rn o “elemento de volumen”. De hecho, para n = 2,det0 = φ1

0 ∧ φ20, donde (φ1

0, φ20) es la base dual de la usual de R2.

Por otra parte, podemos afirmar que, salvo signo (determinablepor las reglas practicas aludidas), el producto escalar usual de Rn

determina al elemento de volumen det0. Ası, puede comprobarsecon facilidad para n = 2 que det0 = ±φ1 ∧ φ2, donde (φ1, φ2)es la base dual de cualquier base ortonormal de R2. Y, para narbitrario, el valor de det0(v1, . . . , vn) coincide, salvo signo, conel del determinante de la matriz de coordenadas de (v1, . . . , vn)en cualquier base ortonormal.

En resumen, se sugieren ası las relaciones

Volumen de n−paralelepıpedos ←→ elementos de volumen.Producto escalar + fijacion de signo =⇒ elemento de volumen .

Integracion en superficies de Rn. Consideremos una superficie Sde R3, obtenida como un grafo, S = (x, y, z(x, y)) : (x, y) ∈ D.


Fijemos (x0, y0) ∈ D, z0 = z(x0, y0), y sea R el rectangulo devertices (x0 ± ∆x/2, y0 ± ∆y/2). En primer orden, el area ∆Ade la porcion de superficie S que se proyecta sobre R se puedeaproximar por el area dA del paralelogramo en el plano tangenteT(x0,y0,z0)S ⊂ R3 que se proyecta sobre R. Clasicamente, esta arease calcula por:

dA =dxdy

|~n · ~k|=

√1 +

(∂z

∂x

)2

+

(∂z

∂y

)2

(x0, y0) dxdy, (8.1)

donde ~k = ∂/∂z|(x0,y0,z0), ~n es un vector unitario perpendiculara T(x0,y0,z0)S, (el normalizado de ±(∂z/∂x(x0, y0), ∂z/∂y(x0, y0),−1)), el producto escalar usual se denota por · , y dx = ∆x, dy =∆y. El area de la superficie S se computa entonces integrando elsegundo miembro de (8.1) en el dominioD de (x, y). Mas aun, unavez que se tiene el concepto de area (esto es, medida o volumenbidimensional), se puede rehacer la construccion de Riemann –ode Lebesgue– para definir la integral de una funcion f : S → R.Asi, se define la “integral de superficie” de f sobre S como:

∫

S

f dA =

∫

Df(x, y, z(x, y))

√1 +

(∂z

∂x

)2

+

(∂z

∂y

)2

(x, y) dxdy.

(8.2)No obstante, estas definiciones de area e integracion parecen muyparticulares para grafos. Para indagar su posible generalidad,pensemos ahora en el grafo S solo como una variedad dotada de lametrica g (obtenida por restriccion de la usual de R3), para la cualla proyeccion sobre el plano z = 0 desempena el papel de cartacoordenada (global) ϕ(x, y, z) = (q1(x, y, z) = x, q2(x, y, z) = y).

La funcion “peso” |~n · ~k|−1 que aparece en (8.1), (8.2) se puedeexpresar en funcion de la metrica g y la carta coordenada ϕ comosigue. Sea B la base de campos coordenados inducida por ϕ,

B =

(∂

∂q1,

∂

∂q2

)=

(∂

∂x+

∂z

∂x

∂

∂z,

∂

∂y+

∂z

∂y

∂

∂z

).

Resulta inmediato computar la matriz gij de g en la base B,

8.2. INTEGRACION DE N−FORMAS DIFERENCIALES 159

obteniendose

det MB(g) = 1 +

(∂z

∂x

)2

+

(∂z

∂y

)2

,

que es igual a |~n · ~k|−2. Ası, (8.2) se reescribe:

∫

S

f dA =

∫

Df(q1, q2)

√|det MB(g)|(q1, q2) dq1dq2, (8.3)

expresion esta que valdrıa tambien para cualesquiera otras coor-denadas sobre S.

8.2. Integracion de n−formas diferenciales

8.2.1. El problema de la integracion sobre una va-riedad

Supongamos que nos planteamos el problema de definir la inte-gral de una funcion real f sobre una variedad diferenciable Q de di-mension n. Para simplificar dicho problema, supondremos inicialmentef ∈ C∞(Q) y que el soporte de f es compacto y esta incluido en unentorno coordenado (U,ϕ) de Q, sopf ⊂ U . En este caso, la funciondiferenciable f ϕ−1 : ϕ(U) ⊆ Rn → R tambien tiene soporte com-pacto incluido en Rn, pues sop(f ϕ−1) = ϕ(sop f). Ingenuamente, sepodrıa pensar en definir la integral de f sobre Q como

∫

ϕ(U)⊆Rnf ϕ−1, (8.4)

donde la integral es la usual en (abiertos de) Rn. Sin embargo, estadefinicion presentarıa un problema fundamental: no es independientedel entorno coordenado escogido. Para comprobarlo, supongamos que(V, ψ) es otro entorno coordenado que verifica sopf ⊂ V , y tomemosanalogamente la integral

∫

ψ(Q)

f ψ−1. (8.5)


Puesto que sop f ⊂ U ∩ V ,∫

ϕ(U)

f ϕ−1 =

∫

ϕψ−1(ψ(U∩V ))

f ϕ−1,

y, aplicando el teorema clasico de cambio de variables para la integralusual en Rn, obtenemos:∫

ϕψ−1(ψ(U∩V ))f ϕ−1 =

∫ψ(U∩V )

((f ϕ−1) (ϕ ψ−1))|det J(ϕ ψ−1)|=

∫ψ(V )

(f ψ−1)|det J(ϕ ψ−1)|

donde J(ϕ ψ−1) denota la matriz jacobiana de ϕ ψ−1. Resumiendo:∫

ϕ(U)

f ϕ−1 =

∫

ψ(V )

(f ψ−1)|det J(ϕ ψ−1)|, (8.6)

y, puesto que el factor |det J(ϕ ψ−1)| no es necesariamente igual a1, las expresiones (8.4) y (8.5) no coinciden, en general. Ası, el valor(8.4) ingenuamente propuesto para la integral de f sobre Q dependedel entorno coordenado escogido, resultando este problema esencial: sise usa solo la estructura diferenciable de la variedad Q, no existe unprocedimiento canonico de privilegiar un entorno coordenado frente aotro ni, tampoco, de definir la integracion de funciones.

Ejercicio. Considerese en Rn el entorno coordenado (Rn, ϕ), dondeϕ : Rn → Rn viene definida por

x1

...xn

7→ A ·

x1

...xn

,

siendo A ∈ Gl+(n,R) = A ∈Mn×n(R) : det(A) > 0. Compruebese∫

Rnf = a ·

∫

Rnf ϕ−1

donde a = det(A−1). En consecuencia, obtengase una definicion deintegracion de funciones para variedades riemannianas isometricas aRn.

Una posible manera de resolver el problema anteriormente apuntado esla siguiente. Dado que los cambios de carta afectan a la integral definida


en (8.4) mediante el factor peso |det J(ϕ ψ−1)|, podrıamos tratar dehallar un objeto matematico w que, al escribirse en coordenadas, setransforme afectado exactamente por ese mismo factor peso; esto es,tal que

wψ = wϕ (ϕ ψ−1) · |det J(ϕ ψ−1)|. (8.7)

De esta manera, multiplicando el integrando de (8.4) por dicho objetomatematico, la integral permanecerıa invariante frente a cambios decarta. En una variedad semi-riemannaniana (Q, g), este objeto existe:puede tomarse como

√|det MB(g)|, lo que conduce directamente a una

definicion de integracion de funciones que generaliza a las integrales desuperficie tipo (8.3) (vease la Seccion 8.4). Pero ganaremos en pers-pectiva si antes centramos nuestro estudio en otro objeto matematico,que nos permitira identificar geometricamente el significado del factorpeso: las n-formas diferenciales.

8.2.2. Integracion de n-formas en entornos coor-denados

Las r−formas diferenciales, o campos tensoriales r covariantes an-tisimetricos, ya fueron introducidas en el Tema 6, en el cual nos cen-trabamos en los casos r = 1, 2. Las propiedades de (el C∞(Q)-modulode) las r−formas diferenciales Λr(Q) resultan inmediatas a partir delas propiedades de los tensores antisimetricos sobre un espacio vectorialy de los campos tensoriales sobre una variedad (veanse los Apendices8.5, 8.7.1). En adelante necesitaremos n−formas diferenciales, esto es,el caso de covariancia maxima no trivial r = n.

Definicion 8.2.1 Consideremos un abierto U ⊆ Rn y una n-formadiferencial ω ∈ Λn(U), con soporte incluido en U , y expresion en co-ordenadas usuales:

ω = w dx1 ∧ · · · ∧ dxn, w ∈ C∞(U)

La integral de ω se define como:∫

U

ω :=

∫

U

w,

donde en el segundo miembro se esta considerando la integral usual enRn.


El siguiente resultado describe como se comportan las n-formas frente atransformaciones diferenciables, y sera la clave que nos permitira exten-der la Definicion 8.2.1 a una variedad orientada arbitraria. En efecto,resulta inmediato (Apendice 8.6, Proposicion 8.6.4 (1)):

Lema 8.2.2 Sean U, V dos abiertos de Rn y F : U → V una apli-cacion diferenciable. Si ω = w dx1 ∧ · · · ∧ dxn ∈ Λn(V ) entonces lan−forma inducida F ∗w (Definicion 8.5.6) tiene la expresion

F ∗ω = det J(F ) · (w F ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Acabamos de comprobar por tanto que, salvo por el signo de det J(F ),las n-formas se transforman afectadas del mismo factor peso con que lohacıa la integral que proponıamos en (8.4) (vease (8.7)). En consecuen-cia, se deduce ahora de la Proposicion 8.6.4 (2) el siguiente resultado:

Lema 8.2.3 Sean U , V dos abiertos de Rn y F : U → V un difeo-morfismo que conserva (resp. invierte) la orientacion (usual de Rn) entodos sus puntos (Definicion 8.6.2). Entonces,∫

V

ω =

∫U

F ∗ω si F conserva la orientacion en todo punto,− ∫

UF ∗ω si F invierte la orientacion en todo punto.

Estamos ya en condiciones de introducir la definicion de integral de unan-forma diferencial en una variedad orientada arbitraria, al menos enel caso de que el soporte de la n−forma sea compacto e incluido en unentorno coordenado. Observemos previamente que, para una variedadorientada, no supone ninguna perdida de generalidad restringirnos aentornos coordenados (U,ϕ) que preserven la orientacion (Proposicion8.7.5).

Definicion 8.2.4 Sea +Q una n−variedad orientada, y ω ∈ Λn(Q)una n-forma diferencial con soporte compacto incluido en un entornocoordenado. Se define la integral de ω en Q como:∫

+Q

ω :=

∫

ϕ(U)

(ϕ−1)∗ω, (8.8)

donde (U,ϕ ≡ (q1, . . . , qn)) es cualquier entorno coordenado que con-tiene al soporte de ω y preserva la orientacion.

Por construccion, resulta inmediato ahora comprobar que esta defini-cion es independiente del entorno coordenado que se escoja (siempreque incluya al soporte de ω y preserve la orientacion).


8.2.3. Integracion general de n−formas

De las varias restricciones sobre ω en la Definicion 8.2.4, algunas seimponen solo por comodidad en la discusion, y otras tienen un caractermas profundo. Discutimos a continuacion tales restricciones, lo quepermite extender la integracion a n−formas mucho mas generales:

1. Orientabilidad y eleccion de una orientacion en la variedad Q.Aunque, como veremos en la proxima seccion, esta restriccion nosera necesaria para la integracion de funciones, sı resulta esen-cial para la integracion de n−formas. En cualquier caso, no sonsuposiciones muy restrictivas (vease el Apendice 8.7): (i) si Qno fuera orientable admitirıa un “recubridor de dos hojas” quesı lo es, (ii) si Q es orientable y conexa admite exactamente dosposibles orientaciones.

2. Diferenciabilidad C∞ de ω, con soporte compacto. Estas hipotesisse han impuesto solo por simplicidad de lenguaje, y se puedenrelajar claramente. De hecho, en nada varıan los argumentos an-teriores que hacen consistente la Definicion 8.2.4 si se supone quelas n−formas (como campos tensoriales) son solo continuas.

Si el soporte no fuera compacto, las unicas precauciones serıan:(a) la n− forma sobre Rn, (ϕ−1)∗ω = wdx1 ∧ . . .∧ dxn podrıa noser integrable, en el sentido de que no lo sea la funcion w, y (b)convendrıa incluso admitir como posibles valores de la integral±∞.

Se aplicarıa entonces la solucion estandar en teorıa de la inte-gracion (comparese con la Subseccion 8.4.3): (i) si w ≥ 0 seadmite la posibilidad natural de que la integral de w (y de ω)sea infinita, y (ii) en general, se escribe w = w+ − w− dondew+, w− ≥ 0, y se dice que w es integrable si al menos una de lasdos integrales es finita, en cuyo caso se define

∫

Q

ω :=

∫

ϕ(U)

w :=

∫

ϕ(U)

w+ −∫

ϕ(U)

w− ∈ [−∞,∞].

Observese que la descomposicion w = w+ − w− tambien induceuna descomposicion de ω ligada a la orientacion1 ω = ω+ − ω−.

1Mas intrınsecamente, las funciones ω± se caracterizan por anularse en cada


Por ultimo, podrıamos extender la definicion de integracion in-cluso al caso en el que ω no sea continua, sino que generara encoordenadas una funcion w que fuera solo integrable Riemann oLebesgue (vease la Seccion 8.4).

3. El soporte de ω cae en un entorno coordenado. A priori, estarestriccion resulta totalmente indeseable y, como veremos en laproxima subseccion, tal problema se puede resolver con la ayudade un nuevo elemento de interes propio: la existencia de parti-ciones de la unidad.

No obstante, conviene tener en cuenta los siguientes hechos queanticipamos de la Seccion 8.4 y que permiten, en la practica,evitar completamente el uso de particiones de la unidad:

Asociada a su estructura diferenciable, en toda variedad sepueden definir directamente los conjuntos de medida nula(Subseccion 8.4.4).

A efectos de calculo de una integral, un subconjunto de me-dida nula carece de importancia, y puede obviarse.

Toda variedad Q contiene un subconjunto cerrado de medi-da nula N tal que Q\N admite una carta coordenada globalϕ : Q\N → ϕ(Q\N) ⊆ Rn, Teorema 8.4.4 (de hecho, si Qes conexa Q\N puede tomarse difeomorfo a Rn o la bolaunidad).

Aun cuando la manera general de construir el conjunto de medi-da nula N y la carta ϕN puede no ser manejable en la practica,sı ocurre muy a menudo que se visualiza con facilidad un sub-conjunto cerrado de medida nula N , tal que Q\N es la union devarios abiertos conexos, cada uno de los cuales admite una cartaglobal (piensese p. ej., en una esfera, eventualmente con una ovarias asas). El problema queda entonces reducido al caso de queel soporte de ω caiga en varios entornos coordenados disjuntos.

punto al menos una de ellas, y por estar positivamente orientadas donde no seanulan.

Observese ademas que si w es continua (esto es, ω continua) entonces las fun-ciones w± (y las n−formas ω±) son continuas, pero estas no necesariamente sondiferenciables si w lo es. Esto ilustra las limitaciones de integrar solo n-formas quesean diferenciables.


8.2.4. Particiones de la unidad e integracion

Definicion 8.2.5 Sea U ≡ Uαα∈I un recubrimiento abierto de unavariedad diferenciable Q. Se dice que una coleccion de funciones dife-renciables να : Q → [0, 1], α ∈ I es una particion de la unidad sobreQ, subordinada a U si:

(1) sop να ⊂ Uα para todo α,

(2) la coleccion sop ναα∈I es localmente finita, esto es, todo puntode Q tiene un entorno coordenado que interseca solo a un numerofinito de elementos de sop ναα∈I ,

(3)∑

α να(p) = 1 para todo p ∈ Q.

Observaciones:

(1) En principio, la suma que aparece en la condicion (3) anteriorinvolucrarıa posiblemente un numero infinito de sumandos. Sinembargo, la condicion (2) implica que cada p ∈ Q admite unentorno en el cual la funcion να es identicamente nula para todossalvo para un numero finito de valores del ındice α. En conse-cuencia, la sumatoria en (3) debe entenderse siempre en cadapunto como la suma (finita) de los terminos no nulos.

(2) En una variedad diferenciable (paracompacta) todo recubrimien-to abierto admite una particion de la unidad.Mas aun, las condi-ciones sobre las να implican que, aunque el conjunto de ındices Ipodrıa ser no numerable, solo un subconjunto numerable de lasνα puede no ser identicamente nulo2.

Ejercicio. Usando la existencia de particiones de la unidad, pruebeseque toda variedad diferenciable admite una metrica riemanniana. ¿Ad-mite tambien una lorentziana?

Sea (+Q, g) una variedad riemanniana orientada y consideremos un re-cubrimiento por entornos coordenados positivamente orientados (Uα,ϕα)α∈I de Q. Sea ναα∈I una particion de la unidad subordinada, yconsideremos una n-forma ω.

2De hecho, toda variedad diferenciable es Lindeloff, esto es, todo recubrimientoabierto de Q admite un subrecubrimiento numerable.


Si ω tiene el soporte compacto, existe un subconjunto finito de en-tornos (Ui, ϕi)m

i=1 tal que sop ω ⊂ ∪mi=1Ui. Consideremos la n-forma

wi := w · νi, cuyo soporte es compacto y esta incluido en el corres-pondiente entorno coordenado (Ui, ϕi), por lo que se tiene definida suintegral

∫+Q

wi. Definimos entonces:

∫

+Q

w :=m∑

i=1

∫

+Q

wi.

No es difıcil comprobar que esta definicion resulta independiente de losentornos coordenados y la particion escogida.

Para incluir el caso general en que el soporte de ω no sea compacto,podemos usar que Q siempre se puede recubrir por un conjunto nume-rable de entornos coordenados positivamente orientados (Ui, ϕi)i∈N,y considerar una particion de la unidad subordinada νii∈N. Escribi-mos entonces, para evitar inconsistencias si las integrales se hicieran in-finitas, ω = ω+−ω−, con ω± positivamente orientadas y no simultanea-mente distintas de 0, y definimos ω+

i = νiω+, ω−i = νiω

− para todoi ∈ N. Podemos dar ya la siguiente definicion, donde permitiremosademas que el valor de la integral sea infinito.

Definicion 8.2.6 Sea +Q una variedad orientada y ω una n-formasobre Q. Diremos que ω es integrable si lo son cada una de las n-formas ω+

i , ω−i para todo i ∈ N y, ademas, al menos una de las series

∞∑i=1

∫

+Q

ω+i ,

∞∑i=1

∫

+Q

ω−i

es finita.En este caso, se define la integral de ω en (+Q, g) como

∫

+Q

w :=∞∑i=1

∫

+Q

ω+i −

∞∑i=1

∫

+Q

ω−i ∈ [−∞,∞].

De nuevo, la integral ası definida resulta independiente del recubri-miento abierto y la particion escogida. Ademas, como apuntamos enla subseccion anterior, no solo es aplicable al caso en que ω es dife-renciable, sino tambien a cuando es solo continua o, aun mas, cuandocada una de las funciones w±

i generada sobre ϕi(U) ⊆ Rn por las ω±ies integrable en el sentido de Riemann o, con mas generalidad, en elde Lebesgue.

8.3. INTEGRACION DE FUNCIONES 167

8.3. Integracion de funciones

8.3.1. Elementos de volumen e integracion de fun-ciones

Recordemos del Apendice 8.7 que un elemento de volumen sobreuna variedad Q no es mas que una n−forma diferencial sin ceros. Sifijamos un elemento de volumen Ω0 automaticamente consideraremosa Q orientada por [Ω0], y podemos definir la integracion de funcionessobre Q como sigue:

Definicion 8.3.1 Sea Q una variedad diferenciable dotada de un ele-mento de volumen Ω0. Una funcion f sobre Q se dira integrable si lan−forma fΩ0 es integrable y, en este caso, definimos la integral de fen Q respecto a Ω0 como:

∫

(Q,Ω0)

f =

∫

(Q,+)

fΩ0.

donde la orientacion de (Q, +) es [Ω0].

Resulta inmediato comprobar que, si en lugar de fijar el elemento devolumen Ω0, fijamos −Ω0 entonces las dos integrales de f coinciden:

∫

(Q,−Ω0)

f =

∫

(Q,−)

f(−Ω0) =

∫

(Q,+)

fΩ0 =

∫

(Q,Ω0)

f. (8.9)

Ejercicio. Compruebese que esta igualdad se mantiene si Q no esconexa y se cambia el signo de Ω0 solo en alguna parte conexa de Q.

8.3.2. Integracion en variedades semi-riemannianas

El concepto de integral de funciones respecto a un elemento devolumen resulta especialmente natural desde un punto de vista semi-riemanniano. En efecto, si suponemos ahora que el ambiente es unavariedad semi-riemanniana orientada (+Q, g), entonces disponemos deun elemento de volumen canonico, sin mas que aplicar a cada espaciotangente TpQ la Definicion 8.6.5:


Definicion 8.3.2 Se define el elemento de volumen metrico orientadoµ+

g de una variedad semi-riemanniana orientada (+Q, g) como la n-forma diferencial que en cada espacio tangente TpQ es igual al elementode volumen metrico orientado para (+TpQ, gp).

El elemento de volumen metrico orientado se calcula en coordenadas apartir de las expresiones en el Apendice 8.6. En efecto, para cualquierentorno coordenado positivamente orientado (U,ϕ ≡ (q1, . . . , qn)) setiene

µ+g =

√|det MB(g)| dq1 ∧ · · · ∧ dqn,

donde B = (∂q1 , . . . , ∂qn) (vease la Proposicion 8.6.6). En particular,esto prueba que µ+

g es diferenciable.La Definicion 8.3.1 permite ahora definir la integracion de funciones

respecto a µ+g . Por supuesto, si en Q tomamos la orientacion opuesta,

entonces se tiene µ−g = −µ+g . De la igualdad (8.9) (para cada parte

conexa de Q) se tiene que la integracion es independiente de la orien-tacion escogida, lo que conduce a la definicion:

Definicion 8.3.3 Sea (Q, g) una variedad semi-riemanniana orien-table. Una funcion f sobre Q se dice integrable si, escogida una (yentonces, para toda) orientacion sobre Q, f es integrable respecto alelemento de volumen metrico orientado µ+

g . En este caso, se define suintegral por la expresion, independiente de la orientacion escogida:

∫

(Q,g)

f :=

∫

(Q,µ+g )

f.

El siguiente ejercicio muestra que toda integral de funciones respectoa un elemento de volumen en el sentido de la Definicion 8.3.1 puedeverse como una integral en una variedad riemanniana en el sentido dela Definicion 8.3.3.

Ejercicio. Sea Q una variedad orientable y Ω un elemento de volumensobre ella. Pruebese que existe una metrica riemanniana g tal que (parala orientacion determinada por Ω) µ+

g = Ω. (Sugerencia: usese quesiempre existe alguna metrica riemanniana h, y calculese f > 0 demodo que se pueda tomar g = fh.)

Observacion. La Definicion 8.3.3 se extiende sin dificultad a varie-dades semi-riemannianas no orientables. Para comprobarlo, usese: (1)

8.4. TEORIA DE LA MEDIDA 169

el abierto de definicion de cada entorno coordenado es orientable, loque permite definir la integracion para funciones con soporte en unentorno coordenado, (2) las particiones de la unidad (o, alternativa-mente, el Teorema 8.4.4) extienden esta definicion al caso de que elsoporte no verifique tal condicion.

8.4. Integracion a partir de la teorıa de la

medida

Dado un subconjunto A de un conjunto X, la funcion caracterısticade A se denotara por χA : X → R, donde χA(x) es igual a 1 para todox ∈ A, y a 0 en caso contrario.

8.4.1. Nota previa sobre la integral de Riemann

Recordemos brevemente la integracion de Riemann en Rn. Decimosque un subconjunto C ⊂ Rn es un n−rectangulo o, simplemente, unrectangulo si existen 2n constantes ai < bi, i ∈ 1, . . . , n tales que

C = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : ai < xi < bi ∀i ∈ 1, . . . , n.

Para estos conjuntos se define su volumen como

vol(C) = Πni=1(bi − ai).

Cualquier subconjunto acotado de Rn esta incluido en un rectangu-lo de lados suficientemente grandes, y una particion de cada uno delos lados genera de manera natural una particion del rectangulo porrectangulos menores. Consideremos una funcion f : Rn ⊆ Rn → R,(si solo esta definida en un subconjunto, la supondremos extendidapor 0 a todo Rn). Si suponemos que f esta acotada, con f ≥ 0 y susoporte cae dentro de un rectangulo C, se hace la siguiente construc-cion. Sea Cm

m∈N una sucesion de particiones de C (esto es, cadatermino Cm = Cm

k , k ∈ 1, . . . , km es un conjunto de km rectangu-los obtenido del producto de particiones de cada uno de sus n−lados),tal que el menor diametro |Cm| de las particiones de cada uno de losn lados, tiende a cero cuando m tiende a infinito. Se dice que f es


integrable en el sentido de Riemann si: (a) existe el lımite

∫

Rnf := lım

m→∞

∞∑

k=1

f(xmk ) · vol(Cm

k ) ∈ [0,∞], (8.10)

donde xmk es cualquier punto del rectangulo Cm

k , y (b) este lımite resultaindependiente de la particion y los puntos xm

k escogidos. A esta defini-cion se le hacen las extensiones progresivas estandar (comparese conla Subseccion 8.4.3): (i) En el caso de que el soporte no este acotado,se hace primero la eleccion C = [−L,L]n y se toma entonces el lımiteL →∞; (ii) si f no esta acotada, se reemplaza por fM , definida en ca-da punto p como el mınimo de f(p),M, y se toma el lımite M →∞;(iii) si no se verificara f ≥ 0, se escribe f = f+ − f−, f+, f− ≥ 0, serepite la construccion para f± y, caso de que ambas integrales existan yno sean ∞ simultaneamente3, se define:

∫Rn f =

∫Rn f+− ∫

Rn f−. Unsubconjunto A ⊆ Rn se dice medible Jordan si su funcion caracterısticaχA es integrable (lo cual ocurre si y solo si el conjunto de sus puntosfrontera es de medida nula, en el sentido de la Subseccion 8.4.2); eneste caso, se dice que la integral de Riemann de f en A,

∫A

f , existe siexiste la de fχA, y en este caso se define

∫A

f =∫Rn fχA.

Cuando f es continua con soporte compacto, se demuestra que ellımite anterior existe, y es independiente de la sucesion de particionesescogida. Concretamente, se prueba que el lımite de la suma superiorde Riemann (esto es, la sumatoria obtenida en (8.10) tomando xm

k

igual al maximo de f en el rectangulo -cerrado- Cmk ) y el de la suma

inferior de Riemann (ıdem tomando xmk como el mınimo) coinciden.

Ahora bien, la integral tambien esta bien definida en algunas funcionesno continuas (piensese por ejemplo en la funcion escalon). La clase delas funciones para las que podemos definir la integral en el sentido deRiemann, y esta es finita, recibe el nombre de clase de las funciones“integrables Riemann”.

Todo ello resulta extensible de manera mas o menos directa a laintegracion en variedades (semi-)riemannianas (vease [Sp2]).

Aunque a la hora practica de realizar integrales el concepto de inte-gracion de Riemann suele resultar suficiente, este presenta limitacionesteoricas importantes como: (1) es facil encontrar funciones que coin-ciden en todos sus puntos excepto en un conjunto numerable, una de

3Se excluye ası el caso de la integral impropia de Riemann en R


ellas integrable Riemann y la otra no (v. gr.: funcion caracterıstica delos racionales y la identicamente nula), (2) el espacio de las funcionesintegrables Riemann (modulo las funciones de integral nula) dotado dela norma ‖ f ‖= ∫

Rn |f | no es completo. Estas carencias se salvan conla integracion de Lebesgue.

8.4.2. Espacios de medida. Medida de Lebesgue

Un espacio medible es un par (X,F), donde X es un conjunto ar-bitrario y F es una σ-algebra; esto es, una coleccion no vacıa de sub-conjuntos de X que verifica las siguientes propiedades:

(a.1) ∅ ∈ F ,

(a.2) si A pertenece a F entonces su complementario Ac tambien,

(a.3) si Ann es una sucesion de elementos de F entonces su uniontambien pertenece a F .

Un espacio de medida es un espacio medible (X,F) dotado de unamedida; esto es, de una funcion real m sobre F tal que:

(m.1) m(∅) = 0,

(m.2) m(∪∞n=1An) =∑∞

n=1 m(An), siendo los An disjuntos dos a dos.

Previamente a la definicion de un espacio de medida canonico en Rn,definimos la medida exterior de Lebesgue de un subconjunto arbitrarioA ⊂ Rn como el ınfimo de las sumas de los volumenes de los rectangu-los, tomado variando en el conjunto de los recubrimientos (numerables)por rectangulos de A; esto es:

µ(A) = InfCii∈N:A⊆∪∞i=1Ci

( ∞∑i=1

vol(Ci)

).

En particular, se dice que un subconjunto A ⊂ Rn es de medida nulasi µ(A) = 0; o, equivalentemente, si para todo ε > 0 existe un con-junto numerable de rectangulos Ci∞i=1 que recubren A y tales que∑∞

i=1 vol(Ci) < ε. Esencialmente, para la integracion lo que ocurra enun conjunto de medida nula resultara irrelevante, de ahı que se hable de


que una propiedad se verifica “casi por doquier” (c.p.d.) cuando se ve-rifica para todos los puntos, salvo a lo mas para los de un subconjuntode medida nula.

La relacion entre los conjuntos de medida nula y las aplicacionesdiferenciables se resume en el siguiente resultado:

Teorema 8.4.1 Sea F : Rn → Rn, una aplicacion diferenciable:

(1) Si A ⊂ Rn es de medida nula en Rn entonces F (A) es de medidanula en Rn.

(2) (Sard.) Si ΣF ⊂ Rn es el conjunto de los puntos crıticos de F ,entonces F (ΣF ) es de medida nula en Rn.

Ademas, si F : Rn → Rm, y n < m entonces F (Rn) es de medida nulaen Rm.

El conjunto P(Rn) de las partes de Rn es obviamente una σ-algebra deRn, y la medida exterior de Lebesgue es aplicable a cualquier elementode ella. Sin embargo, la medida exterior no verifica la propiedad (m.2)de una medida. De ahı que se elijan σ-algebras para las cuales la res-triccion de la medida exterior de Lebesgue sı proporcione una medida.Existen dos elecciones fundamentales: (1) la σ-algebra boreliana, estoes, la σ-algebra mınima que contiene a los abiertos de Rn, y (2) laσ-algebra de Lebesgue, esto es, la σ-algebra mınima que contiene tantoa los abiertos como a los conjuntos de medida nula de Rn. (Que talesσ-algebras mınimas existen se prueba tomando la interseccion de todaslas σ-algebras que contienen los subconjuntos requeridos).

Se define ası el espacio de medida de Lebesgue (Rn,MRn , µRn) ≡(Rn,M, µ), donde M es la σ-algebra de Lebesgue, y µ es la restric-cion a M de la medida exterior de Lebesgue o, simplemente, medidade Lebesgue. La clase de los conjuntos medibles Lebesgue (que, des-de luego, incluye tanto a los abiertos como a los cerrados), se revelaespectacularmente grande; la construccion de un conjunto no medibleprecisa del axioma de eleccion.

8.4.3. Integral de Lebesgue en Rn

Una vez definido el espacio de medida de Lebesgue, vamos a definirla clase de las funciones sobre Rn a las que, potencialmente, podremos


definir la integral. Intentaremos que esta sea lo mas general posible y,eventualmente, admitiremos incluso como valor de las funciones ±∞.

Definicion 8.4.2 Diremos que f : Rn → [−∞,∞] es medible si sonsubconjuntos medibles Lebesgue las preimagenes de cualquier intervaloabierto f−1(]y0, y1[), ası como f−1(∞), f−1(−∞).4

La clase de las funciones medibles no solo incluye a las continuas, sinoque, al igual que la de los conjuntos medibles, resulta muy grande. Lamedibilidad no solo es respetada por las operaciones algebraicas ele-mentales, sino que se conserva por paso al lımite. Ası, una funcion fsera medible cuando exista una sucesion de funciones fmm∈N medi-bles que converge puntualmente c.p.d a f ; el lımite superior o inferiorde una sucesion de funciones medibles es tambien medible.

El proceso de definicion de la integral sigue entonces los siguientespasos:

(1) En primer lugar, supongamos f ≥ 0 y acotada, f(Rn) ⊂ [0,M ]para algun real M > 0. Consideremos una sucesion de parti-ciones Pmm de [0,M ], Pm = ym

k , k = 0, . . . , jm, y tal que sudiametro |Pm| = supk(ym

k+1− ymk ) : k ∈ 0, . . . , jm− 1 tienda a

cero. Definimos la integral de f sobre Rn como:

∫

Rnf := lım

m→∞

(jm−1∑

k=0

f(ymk ) · µ(Am

k )

)∈ [0,∞],

siendo Amk = f−1([ym

k , ymk+1]). En efecto, se puede demostrar que

este lımite existe y es independiente de la sucesion de particionesescogida. En particular, con esta definicion se tiene

∫Rn χA =

µ(A), para todo A ⊆ Rn medible.

4En general, dados dos espacios medibles (X,F), (X ′,F ′), una aplicacion f :X → X ′ se dice medible si f−1(A′) ∈ F para todo A′ ∈ F ′. Se puede comprobarque, para el caso de que f : Rn → R, esta definicion general incluye a la de arribasiempre que en el dominio Rn consideremos la σ−algebra de Lebesgue y en elcodominio la σ− algebra boreliana (la cual, al tener menos elementos que la deLebesgue, en principio permite que sean admisibles como medibles mas funciones).La extension de la σ-algebra boreliana a [−∞,∞] puede hacerse de manera obvia;en cualquier caso, la definicion de que f sea medible equivale a que la preimagende cualquier intervalo cerrado de [−∞,∞] sea un medible.


(2) Si f ≥ 0 no esta acotada, se define fM : Rn → [0,∞[ comofM(x) =Minf(x), M, se considera la integral de fM segun elpaso anterior y se define:

∫

Rnf := lım

M→∞

∫

RnfM .

Observese que este lımite debe existir, pues la integral de fM(≥ 0)crece con M .

(3) Supongamos ahora que la funcion medible f puede tomar valo-res negativos. Entonces podemos escribir f = f+ − f−, dondef+, f− : Rn → [0,∞] son funciones medibles no negativas (cuyaintegral ya hemos definido). En este caso, si al menos una de lasdos integrales

∫Rn f+,

∫Rn f− es finita, se define la integral de f

por ∫

Rnf :=

∫

Rnf+ −

∫

Rnf− ∈ [−∞,∞].

(4) Se dice que una funcion f : Rn → [∞,∞] es integrable L1 sila integral de f esta bien definida segun el paso anterior, y suintegral es finita (esto es, si f es medible y

∫Rn |f | < ∞). Si se

establece en el espacio de las funciones integrables L1 la relacionde equivalencia f ∼ h si y solo si f ≡ h c.p.d. (o, equivalente-mente, si y solo si

∫Rn |f − h| = 0) se induce en el cociente una

estructura de espacio vectorial, ası como la norma (norma L1):‖[f ]‖ =

∫Rn |f | (es costumbre abusar de la notacion y denotar

por f indistintamente a la funcion y a su clase de equivalencia[f ]). Se denota por L1(Rn) a este espacio normado, que resultaser de Banach.

(5) Finalmente, senalemos que no es necesario considerar siemprecomo dominio todo Rn. Ası, cualquier funcion f definida en unsubconjunto medible E se supone extendida por 0 fuera de el, yse define: ∫

E

f :=

∫

RnfχE,

(en el caso de que exista el ultimo miembro) ası como, de maneraobvia, el espacio L1(E).


8.4.4. Conjuntos de medida nula y espacio de me-dida en una variedad

Consideremos ahora una variedad semi-riemanniana (Q, g) de di-mension n. Para definir de manera analoga a Rn un espacio de medida,debemos empezar por considerar una σ−algebra sobre Q. La σ−alge-bra, sera intrınseca a la estructura diferenciable, e independiente deg.

Definicion 8.4.3 Un subconjunto A de la variedad diferenciable Q esde medida nula si para todo entorno coordenado (U,ϕ) el subconjuntoϕ(U ∩ A) es un conjunto de medida nula de Rn.

El Teorema 8.4.1(1) muestra la consistencia de esta definicion, esto es,basta con verificar que ϕ(U ∩ A) es de medida nula para un recubri-miento por entornos coordenados de A.

Es facil entender la importancia a la hora del computo de una inte-gral del siguiente resultado, que permite reducir siempre la integraciona un unico entorno coordenado (entorno coordenado c.p.d.)5:

Teorema 8.4.4 Sea Q una variedad diferenciable de dimension n. Ex-iste un cerrado C ⊂ M de medida nula tal que U = Q\C es difeomorfoa un abierto de Rn.

Consecuencia inmediata de este resultado es que el Teorema 8.4.1 estraspasable a variedades, sin mas que sustituir Rn,Rm por variedadesde dimensiones n,m, resp.

Con estas definiciones, ya estamos en condiciones de definir el es-pacio medible para (Q, g). Definimos la σ-algebra MQ de Q como laσ-algebra generada por los abiertos y los conjuntos de medida nula deQ. A los elementos de MQ los llamaremos conjuntos medibles de lavariedad. Para cada conjunto medible A ⊆ Q, y cualquier entorno co-ordenado, ϕ(U ∩A) resulta ser entonces un medible de Rn. Definimosası la medida de A como:

µg(A) =

∫

ϕ(U)

√|det MB(g)|χϕ(U∩A),

5Aunque se puede dar una prueba directa de este teorema, existen metodoselegantes y simples dentro del marco de la Geometrıa Riemanniana: se toma unametrica riemanniana completa, y se suprime su “lugar de corte”.


donde (U,ϕ) es cualquier entorno coordenado c.p.d. Es facil comprobardirectamente por el teorema del cambio de variables (y se ha discutidoya exhaustivamente en las Subsecciones 8.2.1, 8.3.2), que la medidaası definida resulta independiente del entorno coordenado escogido6.

Algunas propiedades de esta medida, que resultan inmediatas delas de Rn, son las siguientes:

1. Si A ⊆ B ⊆ Q entonces µQ(A) ≤ µQ(B).

2. Dada una sucesion Ann ⊆ Q, si µQ(An) = 0 para todo nentonces µQ(∪nAn) = 0.

3. Si A ⊂ Q verifica µQ(A) = 0 entonces su interior es vacıo.

4. Si F : Q → Q′ es diferenciable y las dimensiones de Q,Q′ coinci-den, entonces A ⊂ Q con µQ(A) = 0 implica µQ′(F (A)) = 0.

5. Si F : Qn → Qm es diferenciable y las respectivas dimensionessatisfacen n < m, entonces µQ′(F (Q)) = 0.

6. Dadas las variedades Q, Q′, y fijado un punto (q0, q′0) ∈ Q × Q′

definimos

iq′0 : Q → Q×Q′

q 7→ (q, q′0)jq0 : Q′ → Q×Q′

q′ 7→ (q0, q′).

Sea A ⊂ Q×Q′. Si casi para todo q0 ∈ Q (resp. casi para todo q′0 ∈ Q′)µQ′(j

−1q0

(A)) = 0 (resp. µQ(i−1q′0

(A)) = 0) entonces µQ×Q′(A) = 0.

8.4.5. Integracion en una variedad

Una vez definido el espacio de medida de la variedad (Q, g), ladefinicion de funcion medible f : Q → [−∞,∞], de la la integral deLebesgue

∫Q

f y del espacio normado de Banach L1(Q) sigue pasos

completamente analogos a los de la Subseccion 8.4.3 para Rn (bastacon reemplazar Rn, µ por Q, µg a lo largo de toda esa subseccion).

6Observese que aunque, debido a la simplificacion de notacion para el elementode volumen metrico orientado, µ+

g ≡ µg, usamos ahora la misma notacion para lamedida, no existe posibilidad de confusion entre ambas.


Mas aun, las propiedades fundamentales de la integral de Lebesguese demuestran de manera completamente analoga en el caso de Rn y dela variedad. Repasamos brevemente estas propiedades, formulandolasdirectamente para (Q, g):

Elementales:

(i) Linealidad: si f = af1 + bf2 siendo f1 y f2 integrablesLebesgue, entonces f es integrable Lebesgue y:

∫(Q,g)

f =∫(Q,g)

f1 +∫(Q,g)

f2,

(ii) Orden: f ≤ g entonces∫(Q,g)

f ≤ ∫(Q,g)

g.

Conmutatividad del lımite con la integral:

Teorema de la Convergencia Monotona. Sea fnn unasucesion no decreciente c.p.d. de funciones medibles positivas so-bre (Q, g) y f : Q → [0,∞] su lımite puntual c.p.d. Entonces, fes medible y su integral verifica:

∫(Q,g)

f = lımn

∫(Q,g)

fn.

Teorema de la Convergencia Dominada. Sea fnn unasucesion de funciones integrables L1 en (Q, g) tales que: (i) ex-iste una funcion h integrable L1 tal que |fn| ≤ h c.p.d. para cadan ∈ N; (ii) existe f : Q → [−∞,∞] que es lımite puntual c.p.d.de fnn. Entonces, f es integrable L1 y lımn

∫(Q,g)

fn =∫

(Q,g)f .

Integracion en variedades producto:

Para integrar en una variedad producto, usaremos la notacionestandar (diferencial respecto a una variable) para indicar si seesta integrando solo en uno de los factores.

Teorema de Fubini. Sean (Qi, gi), i ∈ 1, 2 dos variedadessemi-riemannianas y f : Q1 × Q2 → [−∞,∞] una funcion me-dible.

Sean:

I12 =

∫

(Q1,g1)

dq1

∫

(Q2,g2)

dq2|f(q1, q2)|

I21 =

∫

(Q2,g2)

dq2

∫

(Q1,g1)

dq1|f(q1, q2)|.


Entonces I12 < ∞⇔ I21 < ∞.

En este caso, f es integrable L1 y se verifica:

∫

(Q1×Q2,g1+g2)

f(q1, q2) =

∫

(Q1,g1)

dq1

∫

(Q2,g2)

dq2 f(q1, q2) =

∫

(Q2,g2)

dq2

∫

(Q1,g1)

dq1 f(q1, q2),

donde ademas:

(i) casi para todo q01 ∈ Q1, la funcion q2 7→ fq0

1(q2) := f(q0

1, q2)

es finita c.p.d. en Q2 y es integrable L1;

(ii) casi para todo q02 ∈ Q2, la funcion q1 7→ fq0

2(q1) := f(q1, q

02)

es finita c.p.d. en Q1 y es integrable L1;

(iii) la funcion q1 7→∫

(Q2,g2)fq1 es finita c.p.d. en Q1 y es inte-

grable L1;

(iv) la funcion q2 7→∫

(Q1,g1)fq2 es finita c.p.d. en Q2 y es inte-

grable L1;

Otros resultados clasicos de teorıa de integracion permiten relacionarintegrales con derivadas (version de la Regla de Barrow clasica, resul-tados que permiten permutar la integral con derivadas parciales, etc.)

8.5. Apendice 1: algebra exterior sobre

V (R)

En este apendice y el siguiente se recogen algunas notas basicassobre el algebra exterior en un espacio vectorial V (R) de dimension n,necesarias para el desarrollo de la teorıa de la integracion de n−formasen variedades. Esencialmente, en el presente apendice estudiaremostensores antisimetricos, extendiendo nuestro estudio de los 2-covariantesen la Seccion 6.4 a los r−covariantes; en el Apendice 2 nos centraremosen el caso r = n.

8.5. APENDICE 1: ALGEBRA EXTERIOR SOBRE V (R) 179

Definicion 8.5.1 Diremos que un tensor r-covariante T ∈ Tr,0(V ) esantisimetrico si verifica:

T (y1, . . . , yi, . . . , yj, . . . , yr) = −T (y1, . . . , yj, . . . , yi, . . . , yr)

1 ≤ i < j ≤ r, para todo y1, . . . , yr ∈ V , esto es, si T es antisimetricorespecto a cualquier par (i, j) de sus variables, i < j. El conjunto detodos los tensores r-covariantes antisimetricos se denotara por Λr(V ).

Es directo comprobar que Λr(V ) es un subespacio vectorial de Tr,0(V ).Recordemos ademas las identificaciones Λ1(V ) = V ∗ y Λ0(V ) = R.

Antes de introducir el concepto de antisimetrizador para los ten-sores de un espacio vectorial, conviene recordar la definicion, ası comoalgunas propiedades basicas, de las permutaciones.

Definicion 8.5.2 Sea S(r) = 1, 2, . . . , r ⊂ N. Llamaremos per-mutacion de S(r) (o de r elementos) a toda aplicacion biyectiva σ :S(r) → S(r). Al conjunto de todas las permutaciones de S(r) lo deno-taremos por Sr.

Propiedades elementales:

(1) El conjunto de las permutaciones Sr junto con la operacion decomposicion tiene estructura de grupo abeliano. Ademas, su car-dinal es r!

(2) Toda permutacion σ ∈ Sr, se puede escribir como composicion detrasposiciones (permutaciones que actuan sobre S(r) unicamenteintercambiando dos de sus elementos). Existen muchas mane-ras de escribir una misma permutacion σ como composicion detrasposiciones, y se pueden escoger estas de un modo canonicocomo [σ] trasposiciones “de ındices contiguos”, tomadas de mo-do que se vayan “reordenando los ındices de menor a mayor”.En cualquier caso, el numero de trasposiciones necesarias parauna σ fijada siempre sera par o impar, independientemente de lacomposicion de trasposiciones, y se define la signatura de σ comosig(σ) := (−1)[σ].

(3) La aplicacion sig : Sr → −1, 1 es un homomorfismo de grupos.La permutacion σ se dice par (resp. impar) si sig(σ) = 1 (resp.= −1).


Definicion 8.5.3 Se define el antisimetrizador de orden r ∈ N parael espacio vectorial V como la aplicacion

hr : Tr,0(V ) → Tr,0(V )T 7→ ∑

σ∈Srsig(σ)T σ,

donde T σ(y1, . . . , yr) := T (yσ(1), . . . , yσ(r)) para todo y1, . . . , yr ∈ V .

No es difıcil comprobar las siguientes propiedades:

Propiedades:

(1) hr es lineal y hr(T σ) = sig(σ) hr(T ).

(2) Im hr ⊂ Λr(V ), y si T ∈ Λr(V ) entonces hr(T ) = r! T .

(3) Para todo T ∈ Tr,0(V ), T ′ ∈ Tr′,0(V ) se tiene

hr+r′(hr(T )⊗ T ′) = r! hr+r′(T ⊗ T ′),

hr+r′(T ⊗ hr′(T ′)) = r′! hr+r′(T ⊗ T ′).

(4) hr+r′(T ⊗ T ′) = (−1)r·r′hr+r′(T ′ ⊗ T ).

Definicion 8.5.4 Se definen los siguientes productos exteriores:

∧ : Λr(V )× Λr′(V ) → Λr+r′(V )(T, T ′) 7→ T ∧ T ′ = 1

r!r′!hr+r′(T ⊗ T ′)

∧ : Λr(V )× Λr′(V ) → Λr+r′(V )(T, T ′) 7→ T∧T ′ = 1

(r+r′)!hr+r′(T ⊗ T ′).

Es inmediato comprobar que estos productos pueden expresarse delsiguiente modo:

T ∧ T ′ = 1k!k′!

∑σ∈Sr+r′

sig(σ)(T ⊗ T ′)σ =∑

σ∈σr,r′sig(σ)(T ⊗ T ′)σ

T∧T ′ = 1(k+k′)!

∑σ∈Sr+r′

sig(σ)(T ⊗ T ′)σ

donde σr,r′ = σ ∈ Sr+r′ : σ(1) < · · · < σ(r) y σ(r + 1) < · · · <σ(r + r′).Propiedades: Los productos exteriores ∧, ∧ son:

8.5. APENDICE 1: ALGEBRA EXTERIOR SOBRE V (R) 181

(1) bilineales (obviamente),

(2) asociativos (para lo cual resulta esencial la eleccion hecha de losfactores r!r′! o (r + r′)!), y

(3) antisimetricos, en el siguiente sentido:

T ∧ T ′ = (−1)r+r′T ′ ∧ T, T∧T ′ = (−1)r+r′T ′∧T,

para T ∈ Λr(V ), T ′ ∈ Λr′(V ). En adelante, escogeremos siempre elproducto exterior ∧.

Proposicion 8.5.5 Sea B∗ = (φ1, . . . , φn) una base de V ∗, se verifi-can:

(i) El conjunto φi1 ∧ · · · ∧ φir : 1 ≤ i1 < · · · < ir ≤ n es una basede Λr(V ).

(ii) dim Λr(V ) =

(nr

)si r ≤ n, y 0 si r > n.

(iii) Si T ∈ Λr(V ) entonces:

T =∑

1≤i1<···<ir≤n

ti1...irφi1 ∧ · · · ∧ φir ,

donde ti1...ir = T (vi1 , . . . , vir) y B = (v1, . . . , vn) tiene por basedual a B∗.

Demostracion. Obviamente, (ii) se deduce directamente de (i). Paracomprobar la independencia lineal del conjunto en cuestion, suponga-mos que ∑

1≤i1<···<ir≤n

ai1...irφi1 ∧ · · · ∧ φir = 0.

Entonces, aplicando los dos miembros de la expresion al vector (vl1 ,. . . , vlr), 1 ≤ l1 < · · · < lr ≤ n, obtenemos que al1···lr = 0.

Finalmente, escribiendo como hasta ahora ti1···ir = T (vi1 , . . . , vir):

T =∑n

i1,...,ir=1 ti1,...,irφi1 ⊗ · · · ⊗ φir

=∑

1≤i1<···<ir≤n

∑σ∈Sr

tiσ(1)...iσ(r)φiσ(1) ⊗ · · · ⊗ φiσ(r)

=∑

1≤i1<···<ir≤n

∑σ∈Sr

sig(σ)ti1...irφiσ(1) ⊗ · · · ⊗ φiσ(r)

=∑

1≤i1<···<ir≤n ti1...irhr(φi1 ⊗ · · · ⊗ φir)

=∑

1≤i1<···<ir≤n ti1...irφi1 ∧ · · · ∧ ϕir ,


lo que prueba (i) y (iii). 2

Ejercicio. Consideremos φ1, . . . , φr ∈ V ∗. Demuestrese que el conjun-to φ1, . . . , φr es linealmente independiente si y solo si φ1∧· · ·∧φr 6= 0.

Llamaremos algebra exterior sobre V al espacio

Λ(V ) ≡ (⊕nr=0Λ

r(V ),∧),

donde el producto exterior ∧ se supone definido para cualequiera parde elemento de Λ(V ) extendiendolo de manera natural por bilinealidad.

Por ultimo, justifiquemos para referencia posterior como es posible usarlos homomorfismos entre espacios vectoriales para transportar tensoresantisimetricos y, en general, r-covariantes, de uno a otro espacio. Enadelante, V ′(R) sera otro espacio vectorial de dimension finita.

Definicion 8.5.6 Sea F : V → V ′ lineal y T ′ ∈ Tr,0(V′). Se define el

tensor inducido o pull-back F ∗T ′ ∈ Tr,0(V ) de T ′ por F como

F ∗T ′(y1, . . . , yr) = T ′(F (y1), . . . , F (yr)), ∀y1, . . . yr ∈ V.

Propiedades:

(1) La aplicacion F ∗ : Tr,0(V′) → Tr,0(V ) es lineal y verifica F ∗(Λr(V ′))

⊂ Λr(V ).

(2) Si F = IdV entonces F ∗ = IdTr,0(V ).

(3) Si se tiene otra aplicacion lineal G : V ′ → V ′′ entonces (GF )∗ =F ∗ G∗.

(4) Si F es biyectiva entonces (F−1)∗ = (F ∗)−1. En particular, F ∗ esbiyectiva y F ∗(Λr(V ′)) = Λr(V ).

Se define entonces F∗ = (F−1)∗ que, en el caso de que G tambiensea biyectiva verifica: (G F )∗ = G∗ F∗.

(5) F ∗(T ′1 ∧ T ′

2) = F ∗(T ′1) ∧ F ∗(T ′

2).

8.6. APENDICE 2: ELEMENTOS DE VOLUMEN EN V (R) 183

8.6. Apendice 2: Elementos de volumen

en V (R)

8.6.1. Elemento de volumen y orientacion

Si ω ∈ Λn(V ), ω 6= 0, entonces forma una base de Λn(V ). Estehecho simple permite introducir los siguientes conceptos:

Definiciones 8.6.1 (1). Llamamos elemento de volumen de V a to-do ω ∈ Λn(V ) no nulo.

(2). Consideremos la relacion de equivalencia en Λn(V )−0 definidapor: ω1 ∼ ω2 si y solo si w1 = a w2, a > 0. Llamamos orientacionen V a cada una de las dos unicas clases de equivalencia definidaspor ∼. Fijada una de estas clases, [ω], al par (V, [ω]) le llamare-mos espacio vectorial orientado segun [ω].

(3). Sea (V, [ω]) un espacio vectorial orientado. Diremos que una base(ordenada) B = (v1, . . . , vn) esta positivamente orientada (resp.negativamente orientada) si su correspondiente base dual B∗ =(φ1, . . . , φn) verifica TB := φ1∧· · ·∧φn ∈ [ω] (resp. TB 6∈ [ω]). Altensor TB le llamaremos tensor determinante en B (y, de hecho,TB(y1, . . . , yn) coincide con el determinante de la matriz cuyacolumna j−esima esta formada por las coordenadas de yj en B,para todo j).

Ejercicio. Pruebense las siguientes afirmaciones:

(i). Todo elemento de volumen ω ∈ Λn(V ) puede escribirse como untensor determinante para alguna base ordenada B.

(ii). Para Rn, el determinante usual de n vectores es un elementode volumen, que coincide con el tensor determinante en la baseusual.

(iii). Si B′ = (v′1, . . . , v′n) es otra base ordenada entonces

TB′ = det(M(IdV , B′ ← B)) · TB. (8.11)

donde M(IdV , B′ ← B) es la matriz en cuyas columnas aparecen,ordenadamente, las coordenadas de los elementos de la base Ben B′.


8.6.2. Determinante de un endomorfismo

Definicion 8.6.2 Sean (V, [ω]), (V ′, [ω′]) dos espacios vectoriales o-rientados. Diremos que un isomorfismo F : V → V ′ preserva las ori-entaciones si F ∗ω′ ∈ [ω].

Observese que esta definicion es independiente del representante ω′

escogido. Ademas, si F preserva las orientaciones [ω] y [ω′], entoncestambien preserva las orientaciones opuestas.

El hecho de que Λn(V ) tenga dimension 1 permite definir el deter-minante cuando F es un endomorfismo.

Definicion 8.6.3 Sea F un endomorfismo de V y consideremos elcorrespondiente endomorfismo

F ∗ : Λn(V ) → Λn(V )w 7→ F ∗w

del espacio vectorial monodimensional Λn(V ). Llamamos determinantede F al unico numero real det F ∈ R que verifica

F ∗ = det F · IdΛn(V ).

Esta definicion coincide, para cualquier base B = (v1, . . . , vn), con ladel determinante usual de la matriz M(F, B) cuya columna j−esimaesta formada por las coordenadas de F (vj) en B. De hecho, es facilcomprobar de la Definicion 8.6.3 y las propiedades del tensor TB:

Proposicion 8.6.4 (1) Si F es un endomorfismo de V y B = (v1,. . . , vn) es una base ordenada suya, entonces se verifica

det F = TB(F (v1), . . . , F (vn)) = det(M(F, B)).

(2) Sea F un automorfismo de V . Se verifica que det F > 0 si y solosi F ∗ω ∈ [ω] para algun (y, entonces, para todo) elemento de volumenω, esto es, si y solo si F aplica bases positivamente orientadas en basespositivamente orientadas.

8.6. APENDICE 2: ELEMENTOS DE VOLUMEN EN V (R) 185

8.6.3. El elemento de volumen metrico orientado

Consideremos ahora que, en el espacio vectorial orientado (V, [ω]),fijamos un producto escalar g = 〈·, ·〉.Definicion 8.6.5 Se define el elemento de volumen metrico orientadode (V, g, [ω]) como

µ+g := TB0 ,

donde B0 es cualquier base de V ortonormal y positivamente orientada.

Resulta inmediato de (8.11) que, en esta definicion, TB0 no depende dela base B0 (ortonormal y positivamente orientada) escogida.

Por simplicidad, omitiremos en la notacion la dependencia del el-emento de volumen metrico con la orientacion, y escribiremos unica-mente µg. No obstante, cuando nos refiramos al elemento de volumenmetrico con la orientacion opuesta, escribiremos µ−g .

Observese que si fijamos una base B = (v1, . . . , vn) de V entoncesse tiene:

µg = µg(v1, . . . , vn) · TB = det(IdV , B0 ← B) · TB,

donde B0 es cualquier base ortonormal, positivamente orientada. Ahorabien, considerando las matrices MB(g), MB0(g) de la metrica g en lasbases B, B0, respectivamente, se tiene

MB(g) = M(IdV , B0 ← B)t ·MB0(g) ·M(IdV , B0 ← B).

Por tanto, deducimos que

|det MB(g)| = det (M(IdV , B0 ← B))2.

En resumen:

Proposicion 8.6.6 Si B es cualquier base positivamente orientada de(V, [ω], g), entonces:

µg =√|det MB(g)|TB.

Por ultimo, es de senalar que la definicion de determinante de un en-domofismo se puede extender a la de determinante de una aplicacionlineal entre dos espacios vectoriales metricos orientados de igual di-mension.


Definicion 8.6.7 Sean (V, g, [ω]), (V ′, g′, [ω′]) dos espacios vectoria-les metricos orientados de igual dimension, y F : V → V ′ una aplica-cion lineal. Se define el determinante de F como el unico numero realdet F ∈ R que verifica

F ∗µg′ = det F · µg.

Obviamente, si F es un endomorfismo de V entonces las Definiciones8.6.3 y 8.6.7 coinciden para todo g y [ω], siempre y cuando se supongang′ = g y [ω′] = [ω].

8.7. Apendice 3: r−formas y orientacion

en variedades

8.7.1. El algebra de r−formas diferenciales

De manera inmediata, todo el algebra de tensores antisimetricosdesarrollada en las secciones anteriores para un espacio vectorial setraspasa a variedades diferenciables. Ası, un un campo tensorial anti-simetrico r-covariante o r−forma diferencial β ∈ Λr(Q) se escribira encoordenadas:

β =∑

1≤i1<···<ir≤n

βi1···irdqi1 ∧ · · · ∧ dqir , i1, . . . , ir ∈ 1, . . . , n. (8.12)

con βi1···ir = β(∂i1 · · · ∂ir). Se define el algebra exterior

Λ(Q) ≡ (⊕nr=0Λ

r(Q),∧)

entendiendose la accion natural del producto exterior ∧ punto a punto.

Como para cualquier campo tensorial, la diferenciabilidad de ca-da r-forma equivale a que las funciones ai1···ir sean diferenciables paracualesquiera entornos coordenados (aunque basta con que la diferen-ciabilidad se verifique para las cartas de un atlas). Analogamente, sepueden definir r−formas que sean solo continuas o medibles, segun elcaracter de las funciones que inducen sus coordenadas sobre abiertosde Rn.

8.7. APENDICE 3: R−FORMAS Y ORIENTACION 187

8.7.2. Orientacion de una variedad

Dada una n−variedad Q, un elemento de volumen (resp. orientacion)sobre Q se define como una asignacion diferenciable de un elemento devolumen sobre cada TpQ:

Definiciones 8.7.1 (1) Un elemento de volumen sobre Q es una n-forma diferenciable Ω que no se anula en ningun punto.

(2) Una orientacion sobre una variedad Q es una eleccion en cadap ∈ Q de una orientacion [ωp] de TpQ que resulta diferenciable en elsentido de que para todo p ∈ Q existe un entorno Up y un elemento devolumen Ω sobre Up tal que Ωp′ ∈ [ωp′ ] para todo p′ ∈ Up.

Proposicion 8.7.2 Sea Q una variedad diferenciable. Son equivalen-tes:

(1) Q admite un elemento de volumen.

(2) El C∞(Q)-modulo Λn(Q) esta generado por un elemento Ω0, estoes, Λn(Q) = fΩ0 : f ∈ C∞(Q).

(3) Q admite una orientacion.

(4) Cada parte conexa de Q admite exactamente dos orientaciones.

Idea de la Demostracion. Resultan inmediatas la equivalencia (2) ⇔(1) ⇒ (3). (3) ⇒ (1) se demuestra usando una particion de la unidadµi subordinada al recubrimento de los Up en la Definicion 8.7.1(2), ytomando Ω =

∑i µiΩpi

.Para la equivalencia con (4), observese que la orientacion determi-

nada por el elemento de volumen Ω es distinta a la de −Ω. Ademas, siQ es conexa no pueden existir mas de dos orientaciones por (2): la de-terminada por fΩ0 y la determinada por −fΩ0, para cualquier f > 0.2

Definicion 8.7.3 Una variedad diferenciable Q se dice orientable si(alguna de) las condiciones de la Proposicion 8.7.2 se verifican. Eneste caso, al par (Q, [Ω]) se le llama variedad orientada, siendo Ω unelemento de volumen y [Ω] la orientacion que define.


Para simplificar la notacion, escribiremos (Q, [Ω]) ≡ +Q, y −Q deno-tara la variedad orientada con la orientacion opuesta. Todo abierto deuna variedad orientada se supone asimismo orientado por la restriccionde la orientacion.

A continuacion centraremos nuestra atencion en el comportamiento dela orientacion respecto a los difeomorfismos locales y, en particular,respecto de los entornos coordenados.

Definicion 8.7.4 Sea F : Q′ → Q un difeomorfismo local y [Ω] unaorientacion sobre Q. Se define la orientacion inducida por F en Q′

como [F ∗Ω]. Si suponemos prefijada una orientacion [Ω′] en Q′, sedice que F preserva la orientacion si [Ω′] = [F ∗Ω].

Ejercicio. Pruebese que si Q es conexa entonces un difeomorfismolocal F : +Q → +Q preserva o no la orientacion con independencia dela que se escoja.

En Rn, la orientacion canonica o usual es [dx1∧· · ·∧dxn]. Si F : U → Ves un difeomorfismo local entre dos abiertos U, V de Rn entonces Fpreserva la orientacion si y solo si detJ (F ) > 0.

Proposicion 8.7.5 Sea Q una variedad diferenciable. Son equivalen-tes:

(1) Q es orientable,

(2) Existe un recubrimiento por entornos coordenados de Q con cam-bios de carta de jacobiano positivo.

En este caso, escogida una orientacion en Q, existe un atlas cuyascartas coordenadas preservan la orientacion de Q y la usual de R.

Demostracion. (1)⇒(2) Observemos previamente que, escogida unaorientacion, para cada entorno coordenado (U,ϕ ≡ (q1, . . . , qn)) con Uconexo, la aplicacion ϕ : U → ϕ(U) ⊆ Rn o conserva la orientaciono la invierte en todo punto. En este ultimo caso, podemos definir lacarta ϕ ≡ (q1, . . . , qn−1,−qn), que sı la conservarıa. El atlas ası formadoverifica la propiedad deseada. En efecto, como la composicion de dosdifeomorfismos locales que preservan la orientacion tambien preserva laorientacion, cada cambio de coordenadas conserva la orientacion usualde Rn, de donde se sigue el resultado.

8.7. APENDICE 3: R−FORMAS Y ORIENTACION 189

(2)⇒(1) Escojamos para cada p ∈ Q la orientacion inducida porcada carta del recubrimiento. Esta eleccion es consistente, esto es, si(U,ϕ), (W,ψ) son dos de tales cartas, la orientacion inducida por ψes la misma que por ϕ en U ∩W (ψ = (ψ ϕ−1) ϕ se expresa comocomposicion de dos difeomorfismos que preservan la orientacion). 2

Ejercicio. Demuestrese que si Q es una variedad orientable entoncesadmite exactamente 2c orientaciones, siendo c el numero de partesconexas de Q.

8.7.3. El recubridor de dos hojas orientable

Aunque existen conocidos ejemplos de variedades no orientables(cinta de Moebius, botella de Klein, superficie proyectiva real), la re-striccion de orientabilidad no se considera muy restrictiva por la exis-tencia, en este caso, de un recubridor de dos hojas orientable.

Definicion 8.7.6 Sean Q, Q dos variedades diferenciables, Q conexa.Una aplicacion diferenciable Π : Q → Q es recubridora si para cadap ∈ Q existe un entorno conexo U tal que Π−1(U) es una union disjuntade k ∈ N ∪ ∞ abiertos conexos Π−1(U) = ∪k

i=1Ui tales que cadarestriccion Π|Ui

es un difeomorfismo sobre U .

En este caso, k es constante, y se dice que (Q, Π) es un recubridorde k hojas de Q.

Ası, son aplicaciones recubridoras de infinitas hojas R → S1(⊂ R2 ≡C), t 7→ eit, o la proyeccion canonica R2 → R2/Z2, donde el cocientees identificable con un toro. En variable compleja, las superficies deRiemann de k hojas construidas para una funcion k−multivaluada sonrecubridoras en el sentido anterior. No es difıcil construir una aplicacionrecubridora de dos hojas del cilindro (orientable) en la cinta de Moebius(no orientable). Este ejemplo se puede generalizar a cualquier variedadQ como sigue.

Definamos a partir de la variedad conexa Q la siguiente nueva variedad.Como conjunto consideramos Q = (p, Op) : p ∈ Q, Op es unaorientacion en TpQ. Para la topologıa y la estructura diferenciable,consideramos para cada p = (p,Op) ∈ Q una carta (U,ϕ) tal que U esconexo, p ∈ U y ϕ preserva la orientacion Op. Definimos entonces un


entorno coordenado (U , ϕ) de Q como

ϕ : U → Rn

(q, Oq) 7→ ϕ(q),

siendo U = (q, Oq) : q ∈ U, Oq la orientacion inducida por ϕ en q.Se verifican entonces las siguientes propiedades:

(i) Por construccion, la aplicacion Π es un recubridor de dos hojas,y Q es orientable;

(ii) Q es orientable si y solo si Q tiene dos partes conexas.

En particular, se demuestra ası:

Teorema 8.7.7 Toda variedad diferenciable no orientable conexa Qadmite un recubridor de dos hojas (Q, Π) tal que Q es orientable yconexo.

Ejercicio. Una variedad producto Q1 × Q2 es orientable si y solo siQ1 y Q2 lo son.

Por ultimo, es de senalar que la idea de la construccion del recubri-dor de dos hojas orientables esta en la base del siguiente importanteresultado, en el que el papel del conjunto de las dos orientaciones encada punto lo pasa a desempenar el conjunto de las clases de lazoshomotopicos en cada punto.

Teorema 8.7.8 Toda variedad diferenciable conexa Q admite un re-cubridor universal, esto es, un recubridor (Q, Π) tal que Q es simple-mente conexo.

Es de remarcar que el concepto de recubridor es valido en el contex-to mas general de los espacios topologicos arcoconexos, sin mas quereemplazar la diferenciabilidad de las aplicaciones por continuidad –enparticular difeomorfismos locales por homeomorfismos locales. En estecontexto tambien se mantiene el Teorema 8.7.8, con alguna condiciontopologica poco restrictiva (hay que suponer que, ademas de ser ar-coconexo, Q verifica que todo punto admite un entorno simplementeconexo –propiedad esta que verifica cualquier obviamente variedad).

Capıtulo 9

Teorema de Stokes

El objetivo fundamental de este capıtulo es estudiar la version generaldel Teorema de Stokes, y algunas de sus aplicaciones mas importantes.Para ello, previamente veremos algunos conceptos que necesitaremospara entender dicho teorema, como son las derivaciones y antideriva-ciones tensoriales, y las variedades con borde. A continuacion, enuncia-remos y demostraremos el Teorema de Stokes, y estudiaremos algunosresultados clasicos que se derivan de el.

9.1. Derivaciones y antiderivaciones ten-

soriales

9.1.1. Derivacion tensorial

El concepto de derivacion usual puede extenderse al espacio de loscampos de tensores sobre una variedad. Para ello, es necesario intro-ducir previamente el concepto de contraccion, que generaliza el de trazapara endomorfismos y tensores (1, 1).

Definicion 9.1.1 Sea V (R) un espacio vectorial de dimension n ∈ N,y consideremos un tensor T ∈ Tr,s(V ) con r, s ≥ 0. Dada una ba-se B = (v1, . . . , vn) de V se define el tensor contraıdo de T respec-

191

192 CAPITULO 9. TEOREMA DE STOKES

to a los ındices i−esimo covariante y j-esimo contravariante, Cji T ∈

Tr−1,s−1(V ), con i ∈ 1, . . . , r, j ∈ 1, . . . , s como:

Cji T (w1, . . . , wr−1, ψ

1, . . . , ψs−1)

=n∑

k=1

T (w1, . . . , wi−1, vk, wi+1, . . . , wr−1, ψ1, . . . , ψj−1, φk, ψj, . . . , ψs−1)

donde B tiene por base dual a B∗ = (φ1, . . . , φn).

Resulta inmediato que esta definicion es independiente de la base Bescogida pues, fijados los argumentos de todos los ındices de T salvo eli y el j-esimos, se tiene un tensor (1, 1) al cual se le esta calculando latraza. Asimismo, resulta obvio de la definicion que Cj

i T es un tensor(r − 1, s− 1).

En adelante consideraremos el espacio vectorial y C∞(Q)−moduloT (Q) = ⊕r,sTr,s(Q), cuyos elementos se pueden escribir como una sumafinita de elementos en cada Tr,s(Q).

Definicion 9.1.2 Una derivacion tensorial D : T (Q) → T (Q) es unaaplicacion R-lineal tal que D(Tr,s(Q)) ⊂ Tr,s(Q) y verifica, para todoT, T ′ ∈ T (Q):

(i) Regla de Leibniz: D(T ⊗ T ′) = DT ⊗ T ′ + T ⊗DT ′

(ii) Conmutabilidad con las contracciones: D(Cji T ) = Cj

iDT .

Nota. En esta definicion, las funciones se consideran como campostensoriales (0,0), y el producto de una funcion por un tensor como unproducto tensorial. De hecho, la regla de Leibniz (i) generaliza a la queverifican los campos vectoriales, y ası D |C∞(Q) es identificable a uncampo vectorial V ∈ X(Q).

Se comprueban sin dificultad las siguientes propiedades de las deriva-ciones tensoriales:

Propiedades:

(1) Localidad. Si T, T ′ ∈ T (Q) y T = T ′ en un entorno U de p, en-tonces DTp = DT ′

p. En particular, si D es una derivacion tensorial

9.1. DERIVACIONES Y ANTIDERIVACIONES 193

sobre Q y U es un abierto, existe una unica derivacion tensorialDU sobre U tal que:

DU(A |U) = (DA) |U ∀A ∈ T (Q)

(en adelante se usara la misma letra D para denotar DU).

Demostracion. Tomese una funcion ρ ∈ C∞(Q) con soporte enU , y que sea distinta de 0 en p. Entonces ρT ≡ ρT ′ por lo que,aplicando la derivacion en ambos miembros:

D(ρ)T + ρD(T ) = D(ρ)T ′ + ρD(T ′)

en todo punto. Evaluando en p y usando ρ(p) 6= 0 se sigue elresultado inmediatamente.

(2) Unicidad. El valor deD sobre C∞(Q) y X(Q) (resp., sobre C∞(Q)y Λ1(Q)), determina unıvocamente a D.

Ası, si D y D′ son dos derivaciones tensoriales que coinciden sobreC∞(Q) y X(Q) (resp. sobre C∞(Q) y Λ1(Q)) entonces D = D′.

Demostracion. Sean ω ∈ Λ1(Q), X ∈ X(Q). Puesto que ω(X) =C1

1(ω ⊗X), necesariamente

D(ω(X)) = (Dω)(X) + ω(DX). (9.1)

Ası, determinado el valor de D sobre la funcion ω(X) y el campovectorial X se deduce el valor de Dω (analogamente, si se tienedeterminado D sobre la forma diferencial ω). Para el resto decampos tensoriales, la demostracion se sigue con facilidad porinduccion. Ası, si T es un campo tensorial (2, 0), observese queT (X, Y ) = C1

1(C11(T ⊗X ⊗ Y )) por lo que se tendra:

(DT )(X,Y ) = D(T (X, Y ))− T (DX,Y )− T (X,DY ). (9.2)

(3) Existencia. Sea V ∈ X(Q) cualquier campo vectorial, y δ : X(Q) →X(Q) una aplicacion R-lineal tal que δ(fX) = V (f)X + fδ(X),∀f ∈ C∞(Q), ∀X ∈ X(Q). Entonces existe una (unica) derivaciontensorial D tal que D |C∞(Q)≡ V y D |X(Q)≡ δ.

Demostracion. Observese que, si existiera tal D, su valor sobrecualquier campo tensorial quedarıa determinado por las igual-dades (9.1), (9.2) (y otras analogas obtenidas inductivamente).Basta entonces con definir D por tales igualdades.


La siguiente derivacion tensorial tiene gran interes1, y sera definidahaciendo uso de la propiedad (3).

Definicion 9.1.3 Sea Q una variedad diferenciable. Se define la deriva-da de Lie segun V ∈ X(Q), como la unica derivacion tensorial que veri-fica: (i) LV f = V (f) ∀f ∈ C∞(Q), (ii) LV (X) = [V,X] ∀X ∈ X(Q).

Ejercicio. Pruebense las siguientes propiedades de la derivada de Lie:

(a) L[X,Y ] = LX LY − LY LX ∀X,Y ∈ X(Q).

(b) Consideremos ω ∈ Λr(Q), ω′ ∈ Λr′(Q) y X ∈ X(Q). Se verifican:(i) LXω ∈ Λr(Q), (ii) LX(ω ∧ ω′) = (LXω) ∧ ω′ + ω ∧ (LXω′).

Ejercicio. Demuestrese:(1) Si D una derivacion tensorial, y V ≡ D |C∞(Q), entonces D−LV

restringido sobre X(Q) es C∞(Q)-lineal y, por tanto, identificable a uncampo de endomorfismos.

(2) Dados V ∈ X(Q) y A ∈ T1,1(Q) existe una unica derivacion Dtal que V = D |C∞(Q) y (D − LV ) |X(Q)≡ A.

9.1.2. Antiderivacion tensorial

Aprovechando las propiedades de antisimetrıa del producto exte-rior, es posible introducir un tipo de derivacion especıfica para lostensores antisimetricos.

Definicion 9.1.4 Una antiderivacion de grado p ∈ Z en Λ(Q) es unaaplicacion R-lineal D : Λ(Q) → Λ(Q) que verifica:

(i) D(Λr(Q)) ⊂ Λr+p(Q) (asuminos el convenio: Λ−r(Q) ≡ 0, ∀r ∈N),

(ii) D(ω∧ω′) = (Dω)∧ω′+(−1)rω∧Dω′ ∀ω ∈ Λr(Q), ∀ω′ ∈ Λr′(Q)(Regla de Leibniz).

La generalidad permitida de que se pueda aumentar o disminuir en p eltipo de forma tensorial se revelara util para antiderivaciones2 Resulta

1Tambien tendran interes las derivaciones asociadas a un conexion afın ∇ sobreuna variedad diferenciable Q (vease el Tema 10). Dada una tal ∇, la derivadacovariante segun V ∈ X(Q) se define como la unica derivacion tensorial que verifica:(i) ∇V (f) = V (f) ∀f ∈ C∞(Q), (ii) ∇V (X) = ∇V X ∀X ∈ X(Q).

2No precisaremos una propiedad similar para derivaciones, por lo que no seadmite tal posibilidad para ellas (pero comparese con el Apendice del Tema ??).


inmediato comprobar las siguiente propiedades de las antiderivaciones,que son analogas a las de las derivaciones tensoriales.

Propiedades:

(1) Localidad. Las antiderivaciones tensoriales son tambien operado-res locales; esto es, si U es un abierto de Q y ω |U≡ ω′ |U entonces(Dω) |U= (Dω′) |U para todo ω, ω′ ∈ Λ(Q). En particular,

(i) si f ∈ C∞(Q) ≡ Λ0(Q) es constante en un entorno U de p,(Df)p ≡ 0,

(ii) D define de manera natural derivaciones en cada abierto deQ.

(2) “Unicidad”. Determinado el valor de D sobre C∞(Q) y Λ1(Q),se determina sobre todo Λ(Q).

Nos interesaran dos simples casos particulares de antiderivaciones, unade grado 1 y otra de grado -1. La primera de ellas es solo la generali-zacion de la diferencial estudiada en el Tema 6.

Definicion 9.1.5 Sea Q una variedad diferenciable de dimension n.Se define la derivada exterior de ω como la (r+1)-forma dω ∈ Λr+1(Q)que en coordenadas locales (U, q1, . . . , qn) de Q tiene la expresion

dω :=∑

1≤i1<···<ir≤n

dωi1...ir ∧ dqi1 ∧ · · · ∧ dqir , (9.3)

siendo ω :=∑

1≤i1<···<ir≤n ωi1...ir dqi1∧· · ·∧dqir , y dωi1...ir la diferencialusual de funciones.

Repitiendo pasos analogos a los de la Proposicion 6.4.2 no es difıcilcomprobar que esta definicion resulta independiente de las coordenadaselegidas.

Observese que de la expresion (9.3) se deduce directamente que laderivada exterior sobre las funciones coincide con la diferencial usu-al. Para las (n − 1)-formas diferenciales, la siguiente expresion de ladiferencial exterior, que usaremos mas adelante, tambien es inmediato


Proposicion 9.1.6 Sea ω ∈ Λn−1(Q) una (n − 1)-forma diferencial.Entonces, en coordenadas locales ω admite la expresion:

ω =n∑

i=1

(−1)i−1ωi dq1 ∧ · · · ∧ dqi ∧ · · · ∧ dqn,

(donde el signo · indica que se suprime el termino que cubre), y ası:

dω =

(n∑

i=1

∂ωi

∂xi

)dq1 ∧ · · · ∧ dqi ∧ · · · ∧ dqn.

El siguiente resultado es general.

Proposicion 9.1.7 La derivada exterior satisface la igualdad d2 = 0.

Demostracion. Aplicando directamente la definicion de diferencial ex-terior se tiene:

d(dω) = d(∑

1≤i1<···<ir≤n

∑nj=1

∂ωi1···ir∂qj dqj ∧ dqi1 ∧ · · · ∧ dqir

)

=∑

1≤i1<···<ir≤n

(∑nj=1

∑ni=1

∂ωi1···ir∂qi∂qj dqi ∧ dqj

)∧ dqi1 ∧ · · · ∧ dqir

= 0,

donde se ha usado que, por la igualdad entre las derivadas cruzadas,el parentesis del ultimo termino es nulo. 2

Ejercicio. Pruebense las siguientes caracterizaciones de la diferencialexterior:

(1.) La diferencial exterior es la unica antiderivacion tensorial quecoincide con la diferencial usual sobre las funciones y que verificad d = 0.

(2.) La diferencial exterior es la antiderivacion tensorial definida, paratodo ω ∈ Λr(Q), por:

dω(X0, X1, . . . , Xr) =∑r

i=0(−1)iXi(ω(X0, . . . , Xi, . . . , Xr))

+∑

0≤i<j≤r(−1)i+jω([Xi, Xj], X0, . . . , Xi, . . . , Xj, . . . , Xr).

donde el sımbolo ˆ sobre un argumento indica que este ha sidosuprimido.


Proposicion 9.1.8 Consideremos dos variedades diferenciables Q, Q′

y una aplicacion diferenciable entre ellas F : Q′ → Q. Si ω ∈ Λ(Q)entonces se verifica

d(F ∗ω) = F ∗dω.

Demostracion. Basta con considerar ω ∈ Λr(Q) para r arbitrario, yrestringirnos a un abierto. Notese previamente que si f : Q → Rentonces

F ∗df = d(f F ), (9.4)

ya que F ∗df(v) = df dF (v) = d(f F )(v) para todo v ∈ TQ. Portanto, si ω =

∑1≤i1<···<ir≤n ωi1...irdqi1 ∧ · · · ∧ dqir entonces

F ∗ω =∑

1≤i1<···<ir≤n(F ∗ωi1···ir) F ∗dqi1 ∧ · · · ∧ F ∗dqir

=∑

1≤i1<···<ir≤n(ωi1···ir F ) d(qi1 F ) ∧ · · · ∧ d(qir F ).

En consecuencia, usando de nuevo (9.4) se deduce:

d(F ∗ω) =∑

1≤i1<···<ir≤n d(ωi1···ir F ) ∧ d(qi1 F ) ∧ · · · ∧ d(qir F )= F ∗ ∑

1≤i1<···<ir≤n dωi1···ir ∧ dqi1 ∧ · · · ∧ dqir

= F ∗ dω. 2

La otra antiderivacion que tambien desempenara un papel impor-tante mas adelante es el producto interior. Pero, previamente, convienetener presente el siguiente ejercicio elemental.

Ejercicio. Sea V un espacio vectorial, v ∈ V y ω ∈ Λr(V ). Se defineel producto interior de ω segun v, ivω ∈ Λr−1(V ), como:

ivω(v1, . . . , vr−1) := ω(v, v1, . . . , vr−1) ∀v1, . . . , vr−1 ∈ V.

Pruebese que se verifican:

(i) iv : Λr(V ) → Λr−1(V ) es una aplicacion lineal,

(ii) iv(ω ∧ ω′) = (ivω) ∧ ω′ + (−1)rω ∧ (ivω′), ∀ω ∈ Λr(V ), ω′ ∈

Λr′(V ).

Definicion 9.1.9 Sea Q una variedad diferenciable de dimension n.Se define el producto interior iX segun X ∈ X(Q) como la unica an-tiderivacion de grado −1 tal que: (i) iX(f) = 0 para todo f ∈ C∞(Q),(ii) iX(ω) = ω(X) para todo ω ∈ Λ1(Q).


Si bien la unicidad viene garantizada por la propiedad (2) de las an-tiderivaciones, para asegurar su existencia se debe aplicar el ejercicioanterior.

Observese que de la definicion de producto interior se deduce facil-mente el siguiente resultado.

Proposicion 9.1.10 Si X, Y ∈ X(Q) y f, h ∈ C∞(Q) entonces

(1) ifX+hY = f iX + h iY

(2) iX df = X(f).

9.1.3. Teorema de Cartan

Consideremos un campo de vectores X sobre una variedad diferen-ciable Q.

Lema 9.1.11 El operador definido por DX := iX d+d iX : Λ(Q) →Λ(Q) es R-lineal y verifica la regla de Leibniz; esto es,

DX(ω ∧ ω′) = (DXω) ∧ ω′ + ω ∧ (DXω′) ∀ω, ω′ ∈ Λ(Q). (9.5)

Demostracion. Dado que DX es manifiestamente lineal, basta con de-mostrar (9.5) para ω ∈ Λr(Q), ω′ ∈ Λr′(Q). Se tiene entonces:

iX d(ω ∧ ω′) = iX(dω ∧ ω′ + (−1)rω ∧ dω′)= (iXdω) ∧ ω′ + (−1)r+1dω ∧ (iXω′)

+(−1)r(iXω) ∧ dω′ + (−1)2rω ∧ iXdω′,(9.6)

d iX(ω ∧ ω′) = d((iXω) ∧ ω′ + (−1)rω ∧ (iXω′))= (d iXω) ∧ ω′ + (−1)r−1(iXω) ∧ dω′

+(−1)rdω ∧ (iXω′) + (−1)2rω ∧ (d iXω′).(9.7)

Por tanto, sumando (9.6) y (9.7), y simplificando los terminos que secancelan, se obtiene:

DX(ω ∧ ω′) = (iXdω) ∧ ω′ + (d iXω) ∧ ω′ + (−1)2rω ∧ (iX dω)+(−1)2rω ∧ (d iXω) = (DXω) ∧ ω′ + ω ∧ (DXω′). 2

Ya estamos listos para demostrar la siguiente relacion debida a Cartan.

9.2. VARIEDADES CON BORDE 199

Teorema 9.1.12 (de Cartan) Dado un campo de vectores X ∈ X(Q)se verifica

LX = iX d + d iX . (9.8)

Demostracion. Por el Lema 9.1.11 y las propiedades de unicidad delas derivaciones, basta con comprobar la igualdad (9.8) sobre C∞(Q)y Λ1(Q). Ası, si f ∈ C∞(Q) se tiene

DXf = iX df + d iXf = iX df = X(f) = LX(f).

Y, en el caso Y ∈ X(Q) y ω ∈ Λ1(Q), se tiene

DXω(Y ) = (iX dω + d iXω)(Y ) = dω(X, Y ) + d(ω(X))(Y )= X(ω(Y ))− Y (ω(X))− ω([X, Y ]) + Y (ω(X))= (LXω)(Y ).

como se querıa. 2

Como consecuencia inmediata del Teorema de Cartan se obtiene elsiguiente resultado:

Corolario 9.1.13 LX y d conmutan; esto es,

dLXω = LX dω ∀X ∈ X(Q),∀ω ∈ Λr(Q).

Demostracion. Aplicando el Teorema de Cartan y la Proposicion 9.1.7dos veces se tiene:

dLXω = d(iXdω + diXω) = (d iX)dω = (LX − iX d)dω = LXdω. 2

Ejercicio. Redemuestrese este corolario usando que (localmente) LXω =ddt

φ∗t ω y d φ∗t = φ∗t d, siendo φt el flujo local de X.

Ejercicio. Demuestrese la igualdad i[X,Y ]ω = LX(iY ω)− LY (iXω).

9.2. Variedades con borde

En esta seccion vamos a estudiar el concepto de variedad con borde.Para ello, previamente necesitaremos algunas nociones sobre diferen-ciabilidad en abiertos de Rn

+.


9.2.1. Diferenciabilidad en abiertos de Rn+

En adelante usaremos la notacion Rn+ = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : xn ≥

0. Si U es un abierto de Rn+, escribiremos Int(U) para denotar al

interior de U visto como subconjunto de Rn:

Int U = (x1, . . . , xn) ∈ U : xn > 0.Por otra parte, escribiremos ∂U para denotar su borde:

∂U = U \ Int U = (x1, . . . , xn) ∈ U : xn = 0.Cabe senalar que, en general, el borde ∂U no coincide con la fronteratopologica de U (ni en Rn ni en Rn

+).

Definicion 9.2.1 Sean U , V dos abiertos de Rn+ y F : U → V una

aplicacion. Diremos que F es diferenciable en x ∈ U si existen abiertosU1 y V1 de Rn con x ∈ U1 y F (x) ∈ V1, y una aplicacion diferenciableen x0, F1 : U1 → V1, tal que F1 |U1∩U= F |U1∩U . En este caso, definimos(dF )x0 := (dF1)x0 : Tx0Rn ≡ Rn → TF1(x0)Rn ≡ Rn.

Es facil comprobar que esta definicion es independiente de la extensionF1 escogida (d(F1)x0 queda fijada por su valor sobre n vectores tan-gentes independientes, que pueden tomarse asociados a curvas definidasen ]− ε, 0] o [0, ε[ incluidas en RN

+ ). Analogamente, se definen la difer-enciabilidad cuando V ⊂ Rm

+ , la diferenciabilidad en (todo) U , o elconcepto de difeomorfismo. En particular, si F es un difeomorfismoentonces dFx0 es biyectiva.

Lema 9.2.2 Sea F : U ⊆ Rn+ → Rn

+ una aplicacion diferenciable:

(1) Si x0 ∈ Int(U) y F (x0) ∈ ∂Rn+ entonces, con las identificaciones

naturales, (dF )x0(Rn) ⊆ ∂Rn+.

(2) Si V = F (U) es un abierto de Rn+ y F es un difeomorfismo sobre V

entonces induce por restriccion los difeomorfismos Int F : IntU → IntVy ∂F : ∂U → ∂V .

Demostracion. (1) Como F (x0) ∈ ∂Rn+, se tiene para todo v ∈ Tx0Rn

y t ∈ R:

0 ≤ xn(F (x0 + tv)) = xn(F (x0) + dFx0(tv) + o(tv))= xn(dFx0(tv)) + xn(o(tv)),

(9.9)


donde lımt→0o(tv)

t= 0. Por tanto, multiplicando ambos miembros de

(9.9) por 1/t y tomando lımite t → 0+, se obtiene

xn(dFx0(v)) ≥ 0. (9.10)

Ahora bien, dado que (9.10) se verifica para todo v, en particular severifica para −v. Luego,

−xn(dFx0(v)) = xn(dFx0(−v)) ≥ 0.

Por tanto, xn(dFx0(v)) = 0 para todo v ∈ Tx0Rn. Esto es, dFx0(Rn) ⊆∂Rn

+.(2) Del apartado (1) se sigue que F (Int(U)) ⊂ IntV y F−1(IntV ) ⊂

IntU . Luego se puede definir IntF : IntU → IntV , que es necesaria-mente un difeomorfismo. Por ser F biyectiva, tambien se puede definir∂F : ∂U → ∂V , que es tambien biyectiva. Para demostrar que ∂F(definida entre abiertos de Rn−1) es un difeomorfismo, notese que six0 ∈ ∂U entonces

(∂F i

∂xj(x0)

)

i,j

=

c1

C...

cn−1

0 . . . 0 c

, (9.11)

donde F i ≡ xi F , C =(

∂(∂F )i

∂xj (x0))

i,jy c > 0. Por tanto, todas

las derivadas parciales de ∂F existen, son diferenciables y forman unamatriz no singular. 2

Nota. Es de remarcar que, si se supone solo que F sea solo un home-omorfismo, entonces sigue siendo cierto que se inducen por restriccionhomeomorfismos Int F : IntU → IntV y ∂F : ∂U → ∂V , si bien laprueba de este resultado (basado en el “Teorema de la Invariancia delDominio”) es mucho mas difıcil de demostrar.

9.2.2. Concepto de variedad con borde

La definicion de variedad (diferenciable) con borde resulta comple-tamente analoga a la de variedad diferenciable, con la unica salvedadde que las cartas locales toman ahora valores en Rn

+.


Ası, una variedad diferenciable con borde es una variedad topologicacon borde (un espacio topologico Q, Hausdorff y ANII, localmentehomeomorfo a Rn

+) dotado de una estructura diferenciable, esto es, unatlas maximal cuyos cambios de carta son diferenciables, en el sentidode la subseccion anterior.

Observese que, por el Lema 9.2.2 (2), el hecho de que, para unacarta coordenada (U,ϕ), el punto ϕ(p) pertenezca a ∂Rn

+ o no, es inde-pendiente de la carta escogida. Ello permite distinguir entre los puntosdel interior y del borde de Q:

Definicion 9.2.3 Sea A = (Uα, ϕα) : α ∈ I un atlas de Q. Sedefinen los conjuntos interior y borde de Q como:

IntQ := ∪α∈Iϕ−1α (Intϕα(Uα))

∂Q := ∪α∈Iϕ−1α (∂ϕα(Uα)),

respectivamente.

Se comprueba con facilidad que si U es un abierto de Q entoncesIntU := U ∩ IntQ y ∂U = U ∩∂Q. Es mas, del Lema 9.2.2 (2) tambiense deduce inmediatamente:

Proposicion 9.2.4 Sea Q una variedad con borde de dimension n.Entonces:

(i) IntQ es una variedad diferenciable (sin borde) de dimension n.

(ii) Si no es vacıo, el borde ∂Q es una variedad diferenciable (sinborde) de dimension n − 1, que admite como atlas diferenciablelas cartas formadas por la restriccion a ∂Q de las (n−1) primerascoordenadas de cada carta de Q.

El concepto de aplicacion diferenciable entre variedades con borde semantiene de manera completamente analoga al del caso sin borde. Elloincluye la diferenciabilidad de curvas del tipo γ : [a, b[→ Q o γ :]a, b] → Q, que se pueden usar para definir los vectores tangentes(ademas de mediante derivaciones o por coordenadas). En cualquiercaso, el espacio tangente en un punto p ∈ Q resulta completamenteanalogo al caso sin borde. Notese que si p ∈ IntQ entonces, de maneranatural, TpQ ≡ Tp(IntQ). Si p ∈ ∂Q entonces TpQ tambien es un


espacio vectorial de dimension n, pudiendo identificarse Tp∂Q comoun subespacio vectorial de TpQ de dimension n− 1.

De hecho, dada un entorno coordenado (U, q1, . . . , qn), para cadap ∈ Q se induce una base de vectores tangentes en TpQ, con lo quetodo vector tangente en p se escribe como

∑ni=1 ai( ∂

∂qi ). Si p ∈ ∂Q, losvectores tangentes con coordenada an = 0 se identifican con vectorestangentes a ∂Q en p, con lo que se puede escribir Tp(∂Q) ⊂ TpQ.

Usando la expresion (9.11), se comprueba directamente: si, en unacarta coordenada, la n-esima coordenada de un vector tangente v aun punto p del borde es mayor que cero (resp. menor que cero), ellotambien ocurre cualquier otra carta coordenada que contenga a p. Ellopermite introducir las siguientes definiciones.

Definiciones 9.2.5 Sea p ∈ ∂Q y v ∈ TpQ. Para un entorno coorde-nado de p, escribamos v =

∑n−1i=1 ai∂qi|p + an∂qn|p. Diremos que:

(i) v apunta al interior si an > 0,

(ii) v es tangente a ∂Q si an = 0,

(iii) v apunta al exterior si an < 0.

En particular, ∂qn |p apunta siempre al interior.

Ejercicio. Sean α : [0, ε[→ Q, β :]− ε, 0] → Q dos curvas diferencia-bles con α(0) = β(0) = p ∈ ∂Q. Demuestrese que:

(i) α′(0) no apunta al exterior,

(ii) β′(0) no apunta al interior.

Por ultimo, resulta obvio:

Proposicion 9.2.6 Sea F : Q → Q′ un difeomorfismo entre dos va-riedades con borde. Entonces se inducen por restriccion los difeomor-fismos

IntF : IntQ → IntQ′ ∂F : ∂Q → ∂Q′.


9.2.3. Orientacion en el borde

La orientabilidad en una variedad con borde Q se define de modoanalogo al caso sin borde, estudiado en el Tema 8 (recuerdese que elespacio tangente en los puntos del borde es de la misma dimension quela variedad), esto es, mediante:

(i) elementos de volumen ;

(ii) atlas cuyos cambios de carta tienen jacobiano positivo;

(iii) elecciones (diferenciables) de bases ordenadas;

(iv) existencia de un generador del C∞(Q)-modulo Λn(Q).

Ademas, de (ii) y teniendo en cuenta la expresion (9.11), se compruebadirectamente que si Q es orientable entonces ∂Q tambien lo es. Conmas precision, vamos a mostrar ahora como una orientacion sobre Qinduce una sobre ∂Q. Esencialmente, el problema se soluciona en cadaespacio tangente mediante la siguiente definicion.

Proposicion 9.2.7 Sean (V, [ω]) un espacio vectorial orientado de di-mension n, H ⊂ V un hiperplano y V ext ⊂ V \U una de las dos partesconexas de V \ U .

Existe una unica orientacion que verifica: si B′ = (e2, . . . , en) de Hesta positivamente orientada (respecto a [ω] y V ext) si la base BN =(N, e2, . . . , en) (o, equivalentemente, (e2, . . . , en, (−1)n−1N)) esta pos-itivamente orientada en (V, [ω]), donde N es cualquier vector de V ext.

Ademas, esta orientacion coincide con la definida por iNω |H , paracualquier N ∈ V ext.

Llamaremos a esta orientacion sobre H la orientacion inducida porV ext y [ω].

Demostracion. Basta con demostrar que la orientacion ası definida porB′ en H resulta independiente tanto B′ como del vector N escogidos.Ası si B′ es otra base de H y N ∈ V ext, la matriz de cambio de baseverifica:

M(IdV , BN ← BN) =

a1 0 . . . 0

a2... M(IdV , B′ ← B′)

an

, con a1 > 0.


Esto es, la orientacion de BN y BN coincide si y solo si coincide la deB′ y B′, como se querıa.

Por ultimo, iNω |H (e′2, . . . , e′n) = ω(N, e′2, . . . , e

′n) > 0, por lo que

la orientacion inducida en H coincide con la definida por iNω|h. 2

En una variedad con borde orientada (Q, [ω]), podemos repetir en elespacio tangente de cada p ∈ ∂Q la construccion anterior, de modoque induzcamos una orientacion en ∂Q. Ası, tomamos V = TpQ, H =Tp∂Q ⊂ TpQ y consideramos sobre Tp∂Q la orientacion inducida por[ωp] y V ext = N ∈ TpQ : N apunta al exterior.

Observese que en cualquier carta (U, q1, . . . , qn) coordenada alrede-dor de p, el campo −∂/∂qn apunta al exterior, por lo que la orientacioninducida sobre ∂Q∩U coincide con la restriccion de i−∂qnω (lo que de-muestra la diferenciabilidad de la orientacion). En resumen:

Definicion 9.2.8 Sea (Q, [ω]) una n−variedad con borde orientadade dimension n. Se define la orientacion inducida sobre ∂Q tomando,para cada p = ∂Q cualquier vector tangente Np que apunte al exterior(p. ej., Np = −∂/∂qn|p), y definiendo la orientacion equivalentementecomo:

(1.) La definida por la clase de equivalencia de iNωp |Tp∂Q

(2.) Aquella para la cual una base B′ = (e2, . . . , en) ⊂ Tp(∂Q) esta pos-itivamente orientada si y solo si (N, e2, . . . , en) esta positiva-mente orientada en TpQ.

Ejercicio. Identificando Rn−1 con el hiperplano ∂Rn+ de Rn, com-

pruebese que la orientacion en ∂Rn+ inducida de la usual de Rn, coincide

con la usual de Rn−1 si y solo si n es par.

Por otra parte, no debe olvidarse que la orientacion en Q no solo induceuna orientacion en su borde sino tambien, trivialmente, una en Int Q.

Observaciones finales:

(1) Los conceptos de particion de la unidad y metrica (no degenera-da) se traspasan directamente a variedades con borde3.

3Para esta y otras propiedades puede resultar util, dada una variedad con bordeQ, construir su “variedad doble” Q. Esta se define como dos copias de Q con los


(2) Si Q es una variedad con borde entonces trivialmente ∂Q tienemedida nula. Por tanto, todo sistema coordenado c.p.d. de IntQtambien lo es de Q, y toda variedad con borde admite un sistemacoordenado c.p.d.

(3) Como consecuencia, fijada una orientacion en Q (resp. una metri-ca no degenerada en Q) se puede definir la integracion de unan-forma (resp. una funcion) de modo analogo al caso sin borde(y obteniendose que esta integral coincide con la integral sobreInt Q).

(4) Todo lo que se ha visto en esta seccion se traspasa sin dificultad alas variedades con borde anguloso (o a trozos); esto es, variedadestopologicas que son “localmente difeomorfas” a abiertos de Rn

m =(x1, . . . , xn) ∈ Rn : xm ≥ 0, . . . , xn ≥ 0. Es de senalar, empero,que este es un concepto que, a diferencia del de variedad conborde, solo tiene sentido para variedades diferenciables, y no paratopologicas.

Ejercicio. Si Q es una variedad (orientable o no) con borde, pruebeseque existe un campo diferenciable N que apunta al exterior y queesta definido sobre todo ∂Q.

9.3. Teorema de Stokes

En esta seccion damos la version general del Teorema de Stokes que,esencialmente, se puede ver como una generalizacion a variedades dedimension arbitraria de la Regla de Barrow clasica. Por la importanciade este resultado, rebajaremos los requisitos de diferenciabilidad quehabitualmente hemos usado.

puntos analogos de los bordes identificados. Ası, IntQ se puede visualizar como unabierto de Q, cuya frontera topologica coincide con la hipersuperficie regular ∂Q.Un recubrimiento abierto de Q induce naturalmente uno de Q, y una particion dela unidad subordinada a este recubrimiento de Q induce por restriccion una delrecubrimiento original. No obstante, debe tenerse presente que un campo tensorial(v.gr., una metrica riemanniana) no tiene por que poderse extender de maneradiferenciable de Q a la variedad doble.

9.3. TEOREMA DE STOKES 207

Teorema 9.3.1 (de Stokes): Sea +Q una variedad con borde orien-tada de dimension n ≥ 2, i : ∂Q → Q la inclusion del borde en lavariedad, y ω una n− 1 forma continua sobre Q que sea diferenciableC1 en IntQ.

Si el soporte sop ω es compacto, entonces∫

+∂Q

i∗ω =

∫

+Q

dω,

donde +∂Q denota al borde de Q con la orientacion inducida por +Q.En particular, si Q es una variedad sin borde entonces

∫+Q

dω = 0.

Demostracion. Sea (Uα, ϕα)α∈I un recubrimiento por entornos co-ordenados de Q y ρii∈N una particion de la unidad subordinada,sop ρi ⊂ Ui, i ∈ N. Puesto que sop ω es compacto, podemos suponerω =

∑ki=1 ρiω. En particular,

∫

+Q

dω =k∑

i=1

∫

+Q

d(ρiω).

De la linealidad de esta igualdad, basta con probar el resultado pa-ra cada uno de los k sumandos. Esto es, sin perdida de generalidad,podemos suponer sop ω incluido en un entorno coordenado (U,ϕ).

Podemos asumir que ϕ : U → ϕ(U) ⊂ Rn+ esta positivamente

orientada. Ademas, se verifica la igualdad i ∂ϕ−1 = ϕ−1 i, siendoi : ∂(ϕ(U)) ⊂ ∂Rn

+ → ϕ(U) ⊂ Rn+. En consecuencia,

∫

+Q

dω =

∫

+Rn

+

ϕ−1∗dω =

∫

+Rn

+

d(ϕ−1∗ω)

y ∫

+∂Q

i∗ω =

∫

+∂Rn

+

(∂ϕ−1)∗i∗ω

=

∫

+∂Rn

+

(i ∂ϕ−1)∗ω =

∫

+∂Rn

+

(ϕ−1 i)∗ω =

∫

+∂Rn

+

i∗(ϕ−1∗ω).

Luego no resulta restrictivo suponer que ω es una (n − 1)-forma so-bre Rn

+, por lo que simplificaremos (ϕ−1∗ω) por ω. Podemos escribirentonces (Proposicion 9.1.6):

ω =n∑

i=1

(−1)i−1ωi dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn.


En este caso,

dω =∑n

i=1∂ωi

∂xi dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn

i∗ω = (−1)n−1ωn(x1, . . . , xn−1, 0) dx1 ∧ · · · ∧ dxn−1 |∂Rn

+.

Integrando:

∫

+Rn

+

dω =

∫

Rn

+

(n∑

i=1

∂ωi

∂xi

)dx1 · · · dxn

=n−1∑i=1

∫

Rn−2×R+

(∫ +∞

−∞

∂ωi

∂xidxi

)dx1 · · · dxi · · · dxn

+

∫

Rn−1

(∫ ∞

0

∂ωn

∂xndxn

)dx1 · · · dxn−1.

Ahora bien, por la compacidad de sopω, la primera sumatoria es nula(∫ bi

−ai

∂ωi

∂xi dxi = 0 para ai, bi suficientemente grande).Si sop ω ∩ ∂Rn

+ = ∅ tambien el ultimo sumando serıa cero, esto es,∫+Rn

+dω = 0. Pero si sop ω ∩ ∂Rn

+ 6= ∅:∫+Rn

+dω =

∫Rn

+

∂ωn

∂xn =∫Rn−1

(∫∞0

∂ωn

∂xn dxn)dx1 · · · dxn−1

= − ∫Rn−1 ωn(x1, . . . , xn−1, 0) dx1 · · · dxn−1.

Pero esta integral coincide con,

∫+∂Rn

+i∗ω =

∫+∂Rn

+(−1)n−1ωn(x1, . . . , xn−1, 0) dx1 · · · dxn−1

= (−1)n(−1)n−1∫Rn−1 ωn(x1, . . . , xn−1, 0) dx1 · · · dxn−1

= − ∫Rn−1 ωn(x1, . . . , xn−1, 0) dx1 · · · dxn−1.

como se querıa. 2

Observaciones:

(1) El Teorema de Stokes tambien se verifica para una variedad sinborde de dimension 1, El caso unidimensional con borde, estoes, esencialmente, cuando Q = [a, b], tambien se puede deducircomo un caso lımite, reobteniendose ası la Regla de Barrow. Enefecto, para Q = [a, b] basta con definir, para cada funcion (0-forma) f sobre Q, su integral en un punto x del borde de Q

9.4. PRIMERAS APLICACIONES 209

como f(x). Aplicando estrictamente la definicion de orientacioninducida, esta sera la usual en b y la opuesta en a, esto es:

∫

+∂Q

f =

∫

+af +

∫

+bf = −

∫

a

f +

∫

b

f = −f(a) + f(b).

Mientras que, como df = f ′dx:

∫

+Q

df =

∫ b

a

f ′dx.

(2) Cabe senalar que el Teorema de Stokes tambien se verifica pa-ra una variedad con borde anguloso, adaptandose la prueba demanera sencilla.

9.4. Primeras aplicaciones

Veamos a continuacion algunas consecuencias inmediatas del Teo-rema de Stokes.

9.4.1. Formula de Green-Riemann en el plano

Aplicando el Teorema de Stokes a una 1-forma diferencial generalω = Pdx + Qdy sobre R2, se deduce el siguiente resultado:

Teorema 9.4.1 Sea D un abierto de R2 tal que su cierre D sea unavariedad con borde, y sean P,Q dos funciones diferenciables en D ycontinuas en D, con soporte compacto. Entonces

∫

+∂D

(Pdx + Qdy) =

∫

+D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx ∧ dy.

Observese que el miembro izquierdo no es mas que una integral ordinar-ia de una funcion (con soporte compacto en D) sobre D. El miembroderecho se puede escribir como la circulacion de la 1-forma ω sobreuna curva γ que parametrice (cada parte conexa de) +∂D “en sentidopositivo” (esto es, de modo que al recorrerla “D quede a la izquierda”).Puesto que el soporte es compacto, no supone perdida de generalidad


considerar que el dominio de la curva tambien lo es, γ : [a, b] → R2. Lacirculacion se reescribe entonces como:

∫

[a,b]

γ∗ω =

∫

[a,b]

2∑i=1

(ωi γ)γ∗(dxi) =2∑

i=1

∫ b

a

(ωi γ)dxi

dtdt

=

∫ b

a

(P (x(t), y(t))dx

dt+ Q(x(t), y(t))

dy

dt)dt.

Resulta especialmente interesante el caso en el que +∂D puede parametrizarsecon una curva de Jordan diferenciable, esto es, una curva diferenciableγ : [a, b] → R2, cerrada γ(a) = γ(b), cuya restriccion a [a, b[ es inyecti-va, y tal que ademas γ′(a) = γ′(b).4 En particular, observese que paracalcular el area D basta con tomar ω = −ydx o bien ω = xdy en elTeorema 9.4.1, obteniendose:

Corolario 9.4.2 El area de la region D encerrada por la curva deJordan γ : [a, b] → R2, se puede calcular como

∫ b

a

x(t)y′(t)dt = −∫ b

a

y(t)x′(t)dt =1

2

∫ b

a

(x(t)y′(t)− y(t)x′(t))dt,

(9.12)siendo γ(t) = (x(t), y(t)).

Ejercicio. Aplıquese (9.12) para calcular el area de la superficie dela elipse.

9.4.2. Teorema integral de Cauchy

Consideremos de nuevo un abierto D del plano complejo C(≡ R2)tal que su clausura D sea una variedad con borde, y sea f : D → C,f(x, y) = f1(x, y)+ i f2(x, y) una funcion diferenciable en D y continuaen D, con soporte compacto. Se verifica entonces el siguiente resultado:

4Esta igualdad de los vectores tangentes en los extremos no es necesaria, puesse puede aplicar el Teorema de Stokes para variedades con borde anguloso; masaun, por este motivo tambien basta con que γ sea diferenciable a trozos en [a, b].El celebrado “Teorema de la curva de Jordan” permite afirmar que toda curvadiferenciable de Jordan es el borde parametrizado de un abierto conexo D cuyaadherencia es una variedad con borde compacta; recıprocamente, el borde de todotal abierto es parametrizable por una curva diferenciable de Jordan.


Teorema 9.4.3 (integral de Cauchy) Si f es holomorfa entonces∫

∂D

f(z)dz :=

∫

∂D

(f1dx− f2dy) + i

∫

∂D

(f1dy + f2dx)

es nula.

Demostracion. Observese que el integrando es, al menos formalmente,la “1-forma compleja”:

ω(z) := f(z)dz = (f1 + if2)(z) (dx + idy)

= (f1dx− f2dy) + i(f2dx + f1dy) = ω1 + iω2,

siendoω1 = f1dx− f2dy ω2 = f2dx + f1dy.

dos 1-formas diferenciales ordinarias sobre R2. De las ecuaciones deCauchy-Riemann para f es directo comprobar que dωi = 0, i = 1, 2.En consecuencia, aplicando el Teorema de Stokes a las 1-formas ωi,i = 1, 2, se obtiene:

∫+∂D

(f1dx− f2dy) =∫

+∂Dω1 =

∫+D

dω1 = 0∫+∂D

(f1dy + f2dx) =∫+∂D

ω2 =∫+D

dω2 = 0,

lo que concluye la prueba. 2

9.4.3. Teorema clasico de Stokes

Recordemos que habıamos definido el rotacional rot X de un campovectorial X sobre una variedad riemanniana (Q, g) como la 2-forma:

rotX = d(X[).

Por tanto, se deduce ahora directamente la siguiente version intrınsecadel Teorema de Stokes:

Teorema 9.4.4 (Stokes clasico intrınseco.) Sea (+Q, g) una variedadriemanniana orientada bidimensional con borde. Si X ∈ X(Q) tienesoporte compacto entonces

∫

+Q

rot X =

∫

+∂Q

X[. (9.13)


Observese que el miembro derecho de la igualdad no es mas que lacirculacion de X[ a lo largo del borde, por lo que si este se reparametrizacon una curva de Jordan γ : [a, b] → Q podemos escribir:

∫

+∂Q

X[ =

∫ b

a

g(γ′, X)dt. (9.14)

Supongamos ahora que, ademas, Q es una superficie regular S de R3

o, con mas generalidad, de cualquier variedad orientada de dimension3, (+Q, 〈·, ·〉) y g la metrica 〈·, ·〉 restringida a Q.

Observemos que la orientacion de S determina un campo vectorialnormal unitario N , mediante N = E1×E2, donde (E1, E2) es cualquierbase ortonormal local de campos positivamente orientados sobre S;esto es, N queda caracterizado porque (N, E1, E2) es en cada puntouna base ortonormal positivamente orientada en R3 (observese que,recıprocamente, la eleccion de un vector normal unitario selecciona laorientacion de S).

Usando en este ambiente la definicion del rotacional como un campovectorial (vease el Apendice), se tiene:

〈Rot X, Y × Z〉 = rot X(Y, Z) ∀Y, Z ∈ X(Q).

En consecuencia (compruebese aplicando ambos miembros sobre (E1,E2)):

rot X = 〈Rot X,N〉µg (9.15)

donde µg es el elemento de volumen metrico orientado sobre S. Portanto, teniendo en cuenta (9.14) y (9.15), el Teorema Clasico de Stokesse reescribe, para superficies regulares de R3 o, en general, (+Q, 〈·, ·〉):

∫

(S,µg)

〈Rot X,N〉 =

∫ b

a

g(γ′, X)dt, (9.16)

donde la curva de Jordan γ que parametriza el borde ∂S se recorrede modo que, en todo punto, la base ordenada formada por el nor-mal exterior a S, la velocidad γ′ y el vector normal a la superficie Nesten positivamente orientados en R3 (“un sacacorchos que girara enel sentido de γ avanzarıa en el sentido de N”).


Por ultimo, es de remarcar que la igualdad anterior no solo esvalida cuando el campo X ∈ X(Q) (el cual, para superficies embe-bidas -como la regular S-, siempre se puede obtener por restriccion deotro definido en un entorno de Q en Q), sino tambien para un campoarbitrario X ∈ X(Q) que, sobre los puntos de S, no sea necesaria-mente tangente a S. Para comprobarlo, escribamos (cada entorno de)S como imagen inversa de un valor regular de una funcion F , siendoS = Sc=0, Sc = F−1(c). Podemos considerar N como un campo vecto-rial unitario definido en un entorno de S y que sea ortogonal a cada su-perficie Sc (de hecho, componiendo F con una funcion apropiada ψ paranormalizar, se tiene N =grad(ψ F )), y escribir X = X + 〈X, N〉N ,donde X es tangente a cada superficie Sc. Entonces claramente

〈γ′, X〉 = g(γ′, X),

y, de rotX = rotX + d(〈γ′, X〉)N se sigue:

〈RotX, N〉 = 〈RotX, N〉.

Por tanto, usando (9.16) se tiene, en resumen:

Teorema 9.4.5 (Stokes clasico extrınseco). Sea S una superficie regu-lar de R3 (o de cualquier 3-variedad riemanniana orientada), orientadapor un vector unitario normal N , y eventualmente con borde, cada unade sus partes conexas parametrizada con una curva γi : [ai, bi] → ∂S,demodo que γ′i pertenezca en cada punto a la orientacion inducida. Paracada campo X ∈ X(Q) se considera la funcion flujo del rotacional atraves de S:

〈RotX, N〉 : S → R.

Si la interseccion del soporte de X y S es compacta, se tiene entonces:

∫

(S,µg)

〈Rot X, N〉 =∑

i

∫ bi

ai

〈γ′i, X〉dt, (9.17)

(donde la sumatoria se extiende a lo mas a un numero finito de suman-dos).


9.5. Teorema de la Divergencia

Fijado un elemento de volumen Ω0, la derivada de Lie respecto a uncampo vectorial LXΩ0 da una medida de como el elemento de volumenvarıa con el flujo de X. Esta medida puede hacerse cuantitativa, puesLXΩ0 es una n−forma diferencial y, por tanto, expresable como unafuncion por el propio Ω0.

Definicion 9.5.1 Sea Ω0 un elemento de volumen sobre la variedadQ. La divergencia del campo vectorial X ∈ X(Q) se define como lafuncion divΩ0X ∈ C∞(Q) que verifica:

LXΩ0 = divΩ0X · Ω0.

En una variedad semi-riemanniana orientada, divX se refiere a la di-vergencia obtenida con respecto al elemento de volumen metrico ori-entado. Mas aun, al ser claramente independiente de la orientacion es-cogida, divX es definible tambien para variedades semi-riemannianasno orientables (vease el Tema ?? para una definicion directa -Definicion??).

Ejercicio. Obtenganse expresiones en coordenadas cartesianas, cilın-dricas y esfericas, para la divergencia de campos vectoriales sobre R3

con respecto al elemento de volumen usual.

El siguiente resultado es una consecuencia especialmente relevantedel Teorema de Stokes.

Teorema 9.5.2 (de la Divergencia). Sean (+Q, g) una variedad rie-manniana con borde orientada, y X un campo vectorial sobre Q consoporte compacto. Entonces

∫

+Q

divX µg =

∫

+∂Q

g(X, N) µi∗g, (9.18)

donde N es el campo normal que apunta al exterior, y µi∗g denotael elemento de volumen metrico iNµg sobre ∂Q para la orientacioninducida.

Demostracion. Mediante una calculo directo y usando el Teorema deCartan se tiene

(div X)µg = LXµg = iXdµg + d iXµg = d iXµg, (9.19)

9.5. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 215

la ultima igualdad por ser dµg una (n + 1)-forma diferencial. Por otraparte, si X ∈ X(Q) y v2, . . . , vn ∈ Tp(∂Q) entonces

(iXµg)(v2, . . . , vn) = µg(X, v2, . . . , vn) = g(X, N) µg(N, v2, . . . , vn)= g(X,N) iNµg(v2, . . . , vn) = g(X,N) µi∗g(v2, . . . , vn).

Por tanto,iXµg = g(X, N)µi∗g. (9.20)

Teniendo en cuenta que iXµg tiene soporte compacto, la igualdad (9.18)se deduce de aplicar directamente a esta (n− 1) forma el Teorema deStokes, usando (9.19) y (9.20). 2

Una consecuencia conocida de este teorema es la formula de Gauss-Ostogradski, que se obtiene cuando Q es el cierre de un abierto acotadoD de Rn, y se considera la metrica usual. Esto es,

∫

D

n∑i=1

∂X i

∂xi=

∫

∂D

〈X,N〉,

donde D es compacto.

Observaciones:

(1) La formula de Gauss-Ostogradski (y, en general, el Teorema de laDivergencia) admite una interpretacion muy intuitiva en termi-nos de teorıa de fluidos. En efecto, si D es una region compacta deR3 y X el campo de velocidades de un fluido, el miembro derecho(flujo de X a traves de ∂D) representa la cantidad de fluido quesale por ∂D por unidad de tiempo. Si el fluido es incompresible(divX ≡ 0), entonces el miembro izquierdo es nulo “la cantidadde fluido que entra en cualquier region compacta D por unidadde tiempo es igual a la que sale”. Si p ∈ Q es un manantial,div Xp > 0 (resp. sumidero, div Xp < 0) entonces en cualquierbola compacta B alrededor de p lo suficientemente pequena, elsigno de div X se mantiene constante y

∫∂B〈X, N〉 > 0 (resp.∫

∂B〈X, N〉 < 0) representa la cantidad de fluido que mana de

B al exterior (resp. que se suma al de B desde el exterior) porunidad de tiempo.

(2) Puesto que tanto la divergencia de X, como la integracion defunciones o el concepto de normal exterior son independientes de


la orientacion escogida, podemos escribir la igualdad

∫

(Q,g)

divX =

∫

(∂Q,i∗g)

g(X, N) (9.21)

incluso cuando (Q, g) no sea orientable (en este caso, (9.21) sepuede probar pasando al recubridor de dos hojas orientable).

(3) Tambien se puede dar una version del Teorema de la Divergenciapara un elemento de volumen arbitrario. En efecto, sin mas queusar el Teorema de Cartan y el de Stokes se tiene:

∫

(Q,Ω0)

divΩ0X =

∫

+∂Q

iXΩ0.

9.6. Algunas aplicaciones del T. de la Di-

vergencia

A lo largo de esta seccion, consideraremos Rn dotado de sus ele-mentos geometricos usuales, y Q = D sera una n−variedad con bordecompacta obtenida como la adherencia de un abierto D. Denotare-mos al borde por5 S = ∂Q, y a su campo normal exterior por N . Dadop ∈ Rn, denotaremos p al propio p visto como vector tangente en TpRn.

Calculo de volumenes de Rn:

Consideremos en Rn el campo vectorial X =∑n

i=1 xi∂/∂xi. Un calculodirecto muestra: div X = n. Por tanto, el Teorema de la Divergenciaproporciona la siguiente formula para el volumen de D (y Q):

vol(D) =1

n

∫

S

〈p, Np〉.

Caracterizacion de superficies que contienen al origen deR3:

5Un resultado conocido afirma que si S es una hipersuperficie conexa compactaembebida en Rn, entonces Rn\S tiene dos partes conexas, una de ellas (la “interi-or”) acotada D, de modo que Q = D es una variedad con borde en las condicionesde arriba.

9.6. APLICACIONES DEL T. DE LA DIVERGENCIA 217

Consideremos en R3\0 con la metrica inducida por la usual, el campode vectores

Xp =p

‖p‖3=

1

(x2 + y2 + z2)3/2(x∂x + y∂y + z∂z).

Un calculo directo muestra que divX = 0. En consecuencia, aplicandoel Teorema de la Divergencia obtenemos que

∫∂B(0,r)

g(X, N) es inde-

pendiente del radio r escogido, donde B(0, r) es la bola de centro 0 yradio r, y N apunta al exterior de la bola. Computando el valor de estaintegral para r = 1 se obtiene inmediatamente 4π, que coincide con elvalor del area de la superficie ∂B(0, 1) = S2(1). Ası, si S es cualquiersuperficie compacta embebida en R3 \ 0 y D es su dominio interioren R3, se tiene, de nuevo por el Teorema de la Divergencia,

∫

S

g(X, N) =

0 si (0, 0, 0) 6∈ D,4π si (0, 0, 0) ∈ D,

donde N apunta al exterior de D. Por tanto, el valor de esta integralcaracteriza las superficies que contienen al origen de R3.

Ley de Gauss del campo electromagnetico:

Esta ley es solo una reformulacion del resultado anterior. Se defineel campo electrico E producido en un punto p ∈ R3 por una cargapuntual de magnitud q situada en el origen como

E :=q

4πε0

p

‖p‖3,

donde ε0 > 0 es una constante (dielectrica del vacıo). Salvo una cons-tante, E coincide con el campo X del apartado anterior. Por tanto,tomando una superficie S compacta y embebida en R3 que contenga alorigen, se sigue la siguiente igualdad conocida como Ley de Gauss:

∫

S

g(E, N) =q

ε0

.

Nota. Cabe senalar que la Ley de Gauss lleva naturalmente a postularla igualdad (una de las Leyes de Maxwell)

div E =ρ

ε0

, ρ densidad de carga.


Angulo solido:

Llamamos angulo solido a la 2-forma en R3 \ 0 definida por:

Ωsol = ip/|p|3Ω0 =x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy

(x2 + y2 + z2)3/2,

donde Ω0 = dx ∧ dy ∧ dz es el elemento de volumen metrico orientadousual. Observese entonces que

Ωsol(vp, wp) =1

|p|3 Ω0(p, vp, wp) =1

|p|3 〈p, vp × wp〉

para todo p ∈ R3 − 0 y todo vp, wp ∈ TpR3.

Un calculo directo permite demostrar:

dΩsol = 0.

Por otra parte, en coordenadas esfericas el angulo solido admite lasiguiente expresion sencilla:

Ωsol = i 1r2 ∂r

Ω0 = senθ dθ ∧ dφ.

Estudiemos a continuacion la relacion del angulo solido con la superficiede las esferas. Consideremos la esfera S2(r), centrada en el origen deradio r > 0. Una base ortonormal positivamente orientada de TpR3,p ∈ S2(r), es

BR3 =

(∂

∂r,1

r

∂

∂θ,

1

rsenθ

∂

∂φ

)

(valida siempre que θ 6= nπ, n ∈ Z). En consecuencia, una baseortonormal de TpS

2(r), positivamente orientada con la orientacion in-ducida sobre S2(r) como borde de B(0, r), es

BS2(r) =

(1

r

∂

∂θ,

1

rsenθ

∂

∂φ

),

cuya dual es B∗S2(r) = (r dθ, rsenθ dφ). Ası, la metrica inducida en S2(r)

es

〈, 〉 |S2(r)= r2(dθ2 + sen2θdφ2),

9.6. APLICACIONES DEL T. DE LA DIVERGENCIA 219

y el elemento de volumen positivamente orientado µ0 sobre S2(r), tam-bien calculable inmediatamente de B∗

S2(r):

µ0 = r2senθ dθ ∧ dφ = r2Ωsol en TS2(r).

Esta ultima igualdad permite caracterizar a Ωsol mediante:

Ωsol(vp, wp) = 1r2 µ0(vp, wp) si vp, wp ∈ TpS

2(r)Ωsol(vp, ∂r |p) = 0 para todo vp ∈ TpR3.

(9.22)

Estamos en condiciones de establecer la siguiente definicion:

Definicion 9.6.1 Sea S una superficie con borde compacta y orienta-da de R3−0. Se define el angulo solido subtendido por +S desde elorigen como:

^sol(+S) =

∫

+S

i∗Ωsol,

donde i : S → R3 − 0 es la inclusion.

Justificacion. Supongamos que: (a) la superficie S ⊂ R3 \ 0 es talque cada semirrecta r que parte del origen corta a S transversalmentea lo sumo una vez y, (b) en este caso, si r = λv0 : λ > 0 corta a Sen p0, la orientacion inducida de la usual de R3 por el vector v0 (vistocomo vector transverso a Tp0S en Tp0R3) coincide con la orientacionpositiva de Tp0S. Sea C(S) la union de las semirrectas que cortan a S.Desde el punto de vista clasico, se define el angulo solido subtendidopor S como el area de S2(1) ∩ C(S). De la caracterizacion (9.22) sededuce entonces:

Area(S2(1) ∩ C(S)) =

∫

+S

i∗Ωsol.

En la Definicion 9.6.1 se incluye este caso, y cuando la orientacioninducida por v0 es negativa, el area se computa de manera negativa.

La caracterizacion de las superficies compactas que incluyen al ori-gen puede reformularse ahora como:

Teorema 9.6.2 Sea S ⊂ R3 \ 0 una superficie compacta sin bor-de, que encierra un abierto D de R3, y orientada con la orientacioninducida por D. Entonces

^sol(S) =

0 si (0, 0, 0) 6∈ D4π si (0, 0, 0) ∈ D.


Teorema de Arquımedes:

Suponiendo a R3 dotada con la metrica usual, consideremos la funcionpresion P : R3 → R definida por:

(x, y, z) 7→ −cz si z ≤ 0

0 si z > 0,

siendo la constante c > 0 la densidad por atraccion gravitatoria que,en terminos de magnitudes fısicas tıpicas, es igual a c = ρ g0, siendo ρla “densidad (constante) de masa del fluido” y g0 la aceleracion grav-itatoria (digamos g0 = 9′8 m/s2). Supongamos que el “solido rıgido”Q = D esta incluido en la region z < 0. Para cada q ∈ S = ∂Q sedefine la fuerza ejercida por el fluido en q como

Fq = −PNq = czNq,

siendo Nq el vector unitario normal exterior. Consideremos el campovectorial F = F x ∂

∂x+ F y ∂

∂y+ F z ∂

∂zası definido sobre S, y definamos

el empuje del fluido sobre Q como la terna, E = (Ex, Ey, Ez):

Ex =

∫

S

F x, Ey =

∫

S

F y, Ez =

∫

S

F z.

Aplicando directamente el Teorema de la Divergencia, se obtiene elsiguiente resultado clasico.

Teorema 9.6.3 (de Arquımedes). Con la notacion introducida

Ex = Ey = 0, Ez = c vol(Q) = ρg0 vol(Q).

Esto es, todo cuerpo solido (representado por la variedad compacta conborde Q) sumergido en un fluido (subespacio z < 0) experimenta unempuje vertical hacia arriba E igual al peso del fluido que desaloja.

Demostracion. Sea Z = cz ∂/∂z. Entonces div Z = c y F z = cz·〈N, ∂/∂z〉 = 〈N, Z〉. Luego, por el Teorema de la Divergencia,

Ez =

∫

S

〈Z, N〉 =

∫

D

c = c vol(Q).

Si X = cz ∂/∂x, Y = cz ∂/∂y entonces div X = div Y = 0 y F x =〈N, X〉, F y = 〈N, Y 〉. Luego, por el Teorema de la Divergencia,

Ex =

∫

Q

div X = 0,

y analogamente Ey = 0. 2

9.7. FORMULAS DE GREEN 221

9.7. Formulas de Green

Para cualquier variedad semi-riemanniana, se define el laplacianode una funcion f como:

∆f = div(gradf).

Sea Q una variedad riemanniana con borde, y N un campo normalunitario sobre ∂Q que apunta al exterior.

Primera Formula de Green: Si f, h ∈ C∞(Q) son tales que sop(f∇h)es compacto, entonces

∫

Q

f∆hµg +

∫

Q

g(∇f,∇h)µg =

∫

∂Q

f g(∇h,N)µi∗g.

En particular, si ∂Q = ∅ entonces∫

Q

f∆hµg = −∫

Q

g(∇f,∇h)µg.

Demostracion. Aplıquese el Teorema de la Divergencia teniendo pre-sente la igualdad

div(f∇h) = fdiv∇h + g(∇f,∇h). 2

Observese que si f ≡ 1 entonces se reobtiene el Teorema de la Diver-gencia para ∇h.

Segunda Formula de Green: Si f, h ∈ C∞(Q) son tales que sop(f∇h)y sop(h∇f) son compactos, entonces

∫

Q

f∆hµg −∫

Q

h∆fµg =

∫

∂Q

g(f∇h− h∇f,N)µi∗g.

En particular, si ∂Q = ∅ entonces∫

Q

f∆h µg =

∫

Q

h∆f µg.

Demostracion. Escrıbase tambien la Primera Formula de Green inter-cambiando los papeles de f y h, y restense las dos expresiones. 2

Las formulas anteriores se mantienen validas para metricas no de-generadas (siempre que i∗g tambien sea una metrica no degeneradasobre ∂Q, al menos c.p.d.) Sin embargo, el siguiente resultado funda-mental usa fuertemente el caracter definido de la metrica.


Teorema 9.7.1 Sea (Q, g) una variedad riemanniana conexa, com-pacta y sin borde. Si h ∈ C∞(Q) es tal que ∆h ≥ 0 o ∆h ≤ 0 sobretodo Q, entonces h es constante.

Demostracion. Consideremos el caso ∆h ≥ 0 (si ∆h ≤ 0 usese que∆(−h) = −∆h ≥ 0). Puesto que Q es compacta, podemos escogerc ≥ 0 (c ∈ R) tal que hc = h + c ≥ 0; observese que ∇hc = ∇h y∆hc = ∆h. Tomando f = hc en la Primera Formula de Green se tiene

∫

Q

hc∆h µg +

∫

Q

g(∇h,∇h) = 0.

Como al ser g riemanniana los integrandos de ambos sumandos son nonegativos, estos deben anularse. Por tanto, g(∇h,∇h) ≡ 0, y ∇h ≡ 0.2

Nota. A una funcion h con ∆h ≡ 0 se le llama armonica, si ∆h ≥ 0subarmonica, y si ∆h ≤ 0 superarmonica. Por el teorema anterior, lasunicas funciones subarmonicas o superarmonicas que admite la varie-dad riemanniana compacta Q son las constantes.

Consecuencias: Sea (Q, g) una variedad riemanniana conexa, com-pacta y sin borde:

(1) Si definimos 〈f, h〉 :=∫

Qfhµg, obtenemos un producto escalar

sobre C∞(Q). Por la Segunda Formula de Green, el operador∆ : C∞(Q) → C∞(Q) es autoadjunto para 〈, 〉. Ademas, porel Corolario 9.7.1, Nucl∆ ≡ R(≡ funciones constantes), y unacondicion necesaria para que f ∈ Im∆ es que

∫Q

fµg = 0. Dehecho, mirando la igualdad ∆u = f como una ecuacion dondef es conocida y u es la incognita, la anterior es una condicionnecesaria para la existencia de soluciones (que puede demostrarsees tambien suficiente).

(2) Consideremos los autovalores del laplaciano, esto es, los escalaresµ ∈ R tales que

∆u = µu

para alguna funcion no constante u ∈ C∞(Q). Multiplicando estaigualdad por u y aplicando la Primera Formula de Green, se tiene

µ

∫

Q

u2µg +

∫

Q

g(∇u,∇u) = 0.

9.8. APENDICE: PRODUCTO VECTORIAL 223

Pero la primera y segunda integral son no negativas (y claramentedistintas de cero). Por tanto, necesariamente µ < 0. De hecho,es posible demostrar que estos autovalores forman una sucesiondivergente a −∞.

9.8. Apendice: producto vectorial y rota-

cional

9.8.1. Isomorfismos especiales en (V 3(R), µ0).

Sea V (R) un n−espacio vectorial con un elemento de volumen fijadoµ0. Entonces, existe un isomorfismo entre V (R) y Λn−1(V ), canonica-mente asociado a µ0; concretamente, el isomorfismo que a cada vectorv le hace corresponder el tensor antisimetrico ivµ0

Ası, para n = 3 podemos escribir este isomorfismo como

V 3 → Λ2(V 3)v 7→ ivµ0 = µ0(v, ·, ·). (9.23)

Por otra parte, en dimension 3, a la aplicacion

V 3 × V 3 × V 3 → R(u, v, w) 7→ µ0(u, v, w),

(9.24)

la denominaremos “producto mixto” Si fijamos los vectores (u, v), laaplicacion

V → R, w 7→ µ0(u, v, w),

es una forma lineal. Cuando µ0 es el elemento de volumen metricoorientado para un producto escalar, 〈·, ·〉, al sostenido de esta formalineal se le llama, producto vectorial de u y v, que se denota por u× v.Esto es, se define

u× v = (iv(iuµ0))],

con lo que el producto vectorial queda caracterizado por la igualdad:

〈u× v, w〉 = µ0(u, v, w), ∀w ∈ V. (9.25)

Por supuesto, todo esto resulta extensible punto a punto a los espaciostangentes en variedades de dimension 3.


Ejercicio. En R3 con la metrica riemanniana y orientacion usuales,obtenganse expresiones para el producto vectorial de dos campos vec-toriales en coordenadas cilındricas y esfericas.

9.8.2. El rotacional

Consideremos ahora una variedad semi-riemanniana (Q, g) y uncampo vectorial X ∈ X(Q). Recordemos (Seccion 7.3) que la 2-formadiferencial rotacional se definıa como rotX=dX[. Supongamos ahoraque en Q se fija una orientacion, y el correspondiente elemento devolumen metrico orientado µg.

En dimension n = 3, el inverso del isomorfismo (9.23) permitedefinir ahora el campo vectorial rotacional de X, RotX ∈ X(Q), quese caracteriza como:

iRotXµg = rotX = dX[.

Ası, usando (9.25), tambien se tiene la caracterizacion:

µg(RotX, Y, Z) = g(RotX, Y × Z)= rotX(Y, Z) = Y g(X, Z)− Zg(X, Y )− g(X, [Y, Z]),

valida para cualesquiera campos vectoriales Y, Z. En particular, siY, Z fueran campos coordenados, el ultimo termino no aparecerıa, ysi ademas Y = ∂i, Z = ∂j fueran ortonormales para una metricag riemanniana (lo cual solo sucede en el caso particular de que lametrica sea isometrica a la usual de R3, en algun abierto), entonces:µg(RotX, ∂i, ∂j) = ∂iX

j − ∂jXi.

Ejercicio. En R3 con la metrica riemanniana y orientacion usuales,obtenganse expresiones para el rotacional de un campo vectorial encoordenadas cilındricas y esfericas.

Capıtulo 10

Conexiones afines

En este capıtulo introducimos un elemento nuevo sobre una va-riedad: el concepto de conexion afın. A partir de el se pueden definirvarios conceptos de interes geometrico: la derivada covariante a lo largode una curva, el transporte paralelo, las geodesicas y la aplicacion ex-ponencial (ademas de la curvatura que estudiaremos en el capıtulosiguiente). Describiremos brevemente estos conceptos y hallaremos ex-presiones en coordenadas para todos ellos a partir de los sımbolos deChristoffel de la conexion.

10.1. Concepto de conexion afın

Hasta ahora, dada una variedad diferenciable arbitraria sabemosderivar una funcion f con respecto a una direccion del espacio tan-gente v, pero no sabemos derivar un campo de vectores Y . Un primerintento para definir esta derivacion serıa el corchete de Lie que, si bienpermitirıa hablar de la derivada de un campo Y en la direccion de otrocampo V , no permite derivar en la direccion del vector v en un punto.Esto es, puede ocurrir que para V, V ∈ X(Q) con v = Vp = Vp se tenga[V, Y ]p 6= [V , Y ]p.

Para tratar de definir esta derivacion consideremos en primer lugarRn con el sistema usual de coordenadas (x1, . . . , xn). Todo campo de

225

226 CAPITULO 10. CONEXIONES AFINES

vectores Y ∈ X(Rn) puede escribirse como:

Y =n∑

i=1

Y i ∂

∂xi, con Y i : Rn → R diferenciable ∀i ∈ 1, . . . , n.

Si vp ∈ TpRn entonces podemos definir la derivada de Y en la direccionde vp como

vp(Y ) :=n∑

i=1

vp(Yi)

∂

∂xi|p .

Obviamente, esta definicion depende del sistema de coordenadas es-cogido. Ası, en una variedad arbitraria Q donde no exista un sistemade coordenadas privilegiado la anterior definicion carece de sentido.Por tanto, se hace necesario abstraer las propiedades deseables de estadefinicion de manera que sea aplicable a una variedad Q arbitraria.

Definicion 10.1.1 Sea Q una variedad diferenciable. Una conexionafın sobre Q es una aplicacion ∇,

∇ : X(Q)× X(Q) → X(Q)(X, Y ) 7→ ∇XY

que verifica:

(1) Es R-lineal con respecto a la segunda variable, esto es,

∇X(aY + bY ) = a∇XY + b∇XY , ∀a, b ∈ R, ∀X,Y, Y ∈ X(Q).

(2) Verifica la regla de Leibniz del producto con respecto a la segundavariable:

∇X(fY ) = X(f)Y + f∇XY, ∀f ∈ C∞(Q), ∀X,Y ∈ X(Q).

(3) Es R-lineal con respecto a la primera variable, esto es,

∇aX+bX(Y ) = a∇XY + b∇XY, ∀a, b ∈ R, ∀X, X, Y ∈ X(Q).

(4) Es C∞(Q)-lineal con respecto a la primera variable, esto es,

∇fXY = f∇XY, ∀f ∈ C∞(Q), ∀X, Y ∈ X(Q).

10.1. CONCEPTO DE CONEXION AFIN 227

Si, ademas, se verifica

∇XY −∇Y X = [X, Y ], ∀X, Y ∈ X(Q)

entonces se dice que la conexion es simetrica. Al par (Q,∇) lo llamare-mos variedad afın.

Observaciones:

(1) Es inmediato comprobar que el corchete de Lie sobre Q

[·, ·] : X(Q)× X(Q) → X(Q)(X,Y ) 7→ [X,Y ]

no es una conexion afın puesto que no verifica la propiedad (4)(en cambio, sı verifica el resto de las propiedades).

(2) Del axioma (2) queda claro que (si dim Q > 0) la conexion afınno es C∞(Q)-lineal con respecto a la segunda variable. Sı lo es,sin embargo, respecto de la primera variable (propiedad (4)).

Comprobemos ahora que con una conexion afın sı es posible definir laderivada de Y en la direccion de un vector tangente v. En adelante,simplificaremos sistematicamente la notacion siendo consistentes con:

∂i ≡ ∂/∂qi.

Proposicion 10.1.2 Sean X, X ∈ X(Q) tales que Xp = Xp para cier-to p ∈ Q. Entonces

(∇XY )p = (∇XY )p, ∀Y ∈ X(Q).

Demostracion. Sean X, X ∈ X(Q) tales que Xp = Xp. Si (U, q1, . . . , qn)es un entorno coordenado de Q alrededor de p entonces podemos es-cribir:

X =n∑

i=1

X i∂i, X =n∑

i=1

Xi∂i,

Ahora bien, por la propiedad (4) de la Definicion 10.1.1

∇XY = ∇(∑n

i=1 Xi∂i)Y =∑n

i=1 X i∇∂iY,

∇XY = ∇(∑n

i=1 Xi∂i)

Y =∑n

i=1 Xi∇∂i

Y.(10.1)


Por tanto, como X i(p) = Xi(p) se tiene

(∇XY )p =n∑

i=1

X i(p)(∇∂iY )p =

n∑i=1

Xi(p)(∇∂i

Y )p = (∇XY )p. 2

Gracias a este resultado podemos definir la derivada ∇vpY , vp ∈TpQ. En efecto, para computar dicha derivada basta con calcular (∇XY )p,siendo X ∈ X(Q) tal que Xp = vp.

Nota. Al escribir los campos X e Y en coordenadas en la demostracionanterior, se plantea la dificultad de que estas expresiones no estendefinidas sobre todo Q. En este caso, en rigor, no tiene sentido escribir(10.1) aplicando los axiomas de la Definicion 10.1.1. Esta dificultad sepuede salvar porque de estos axiomas se deduce que si X, Y ∈ X(Q)coinciden, respectivamente, con X, Y ∈ X(Q) en un entorno U de p, en-tonces ∇XY = ∇XY sobre U . En particular, si se define una conexionsobre una variedad, esta queda definida sobre cualquier abierto suyo.La prueba de estos resultados usa la existencia de “funciones meseta”alrededor de cualquier punto p (vease [O’N, Proposition 2.2, Lemma2.3] para mas detalles).

Ejercicio. Pruebese que la aplicacion ∇0 : X(Rn)× X(Rn) → X(Rn)definida usando las coordenadas usuales de Rn por

(X, Y ) 7→ ∇0XY :=

n∑j=1

X(Y j)∂

∂xj=

n∑i,j=1

X i ∂Y j

∂xi

∂

∂xj,

siendo X =∑n

i=1 X i ∂∂xi , Y =

∑nj=1 Y j ∂

∂xj , es una conexion afın sime-trica sobre Rn.

Definicion 10.1.3 Dada una variedad afın (Q,∇) se dice que X ∈X(Q) es paralelo si ∇X ≡ 0; esto es, si

∇vX = 0, ∀v ∈ TQ.

Una variedad afın puede no admitir campos paralelos.

Ejercicio. Determınense todos los campos paralelos de (Rn,∇0).

10.2. SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL 229

10.2. Sımbolos de Christoffel

Sean (Q,∇) una variedad afın y (U, q1, . . . , qn) un entorno coorde-nado de Q. Como sabemos, el conjunto (∂1 ≡ ∂/∂q1, . . . , ∂n ≡ /∂qn) esuna base de campos sobre U , y dado que ∇∂i

∂j tambien es un camposobre U , podemos expresarlo punto a punto como combinacion linealde los campos coordenados (∂1, . . . , ∂n). En consecuencia, existen n3

funciones diferenciables Γkij, i, j, k ∈ 1, . . . , n sobre U tales que

∇∂i∂j =

n∑

k=1

Γkij∂k. (10.2)

Definicion 10.2.1 Las funciones Γkij, i, j, k ∈ 1, . . . , n dadas por la

expresion (10.2) reciben el nombre de sımbolos de Christoffel de ∇ enlas coordenadas (q1, . . . , qn).

Propiedades:(1) Los valores de Γk

ij, i, j, k ∈ 1, . . . , n determinan la conexion∇ sobre el abierto U . En efecto, si X =

∑ni=1 X i∂i, Y =

∑nj=1 Y j∂j

entonces

∇XY = ∇(∑n

i=1 Xi∂i)(∑n

j=1 Y j∂j) =∑n

i,j=1 X i∇∂i(Y j∂j)

=∑n

i,j=1 X i(∂iYj∂j + Y j∇∂i

∂j) =∑n

i,j=1 X i(∂iYj∂j + Y j

∑nk=1 Γk

ij∂k),

(mientras que en la segunda igualdad se usa el axioma (4), en la tercerase usa el (2); para la ultima igualdad se ha usado (10.2)). En conse-cuencia, conociendo los sımbolos de Christoffel podemos computar laconexion afın sobre dos campos cualesquiera.

(2) Recıprocamente, fijado un entorno coordenado (U, q1, . . . , qn) yn3 funciones diferenciables arbitrarias Γk

ij, i, j, k ∈ 1, . . . , n sobre U ,existe una unica conexion afın ∇ sobre U cuyos sımbolos de Christoffelen coordedanadas (q1, . . . , qn) son Γk

ij. Concretamente, ∇ viene dadopor la expresion

∇XY :=n∑

i,j=1

X i

(∂iY

j∂j + Y j

n∑

k=1

Γkij∂k

), X, Y ∈ X(U).

En particular, si en Rn tomamos coordenadas usuales y Γkij ≡ 0, ∀i, j, k,

reobtenemos la conexion usual ∇0.


(3) Sean Γkij los sımbolos de Christoffel de una conexion ∇ sobre

Q para un entorno coordenado (U, q1, . . . , qn). Se verifica que ∇ essimetrica en U (vease la Definicion 10.1.1) si y solo si Γk

ij = Γkji para

todo i, j, k. (En consecuencia, la simetrıa de los sımbolos de Christoffelno depende de las coordenadas elegidas).Demostracion de (3). Probemoslo en primer lugar para campos coor-denados. Dado que [∂i, ∂j] = 0, computando directamente se tiene:

∇∂i∂j −∇∂j

∂i =n∑

k=1

Γkij∂k −

n∑

k=1

Γkji∂k =

n∑

k=1

(Γkij − Γk

ji)∂k,

que es nulo si y solo si Γkij = Γk

ji para todo i, j, k. Para campos cua-lesquiera basta con expresar dichos campos en terminos de los coorde-nados y reducir la prueba al caso anterior.

(4) Sea ∇ una conexion sobre Q y sean (q1, . . . , qn), (q1, . . . , qn)dos sistemas coordenados sobre un mismo abierto U ⊆ Q. La relacion

existente entre los sımbolos de Christoffel Γkij y Γ

k

ij asociados a losrespectivos sistemas coordenados es:

Γs

ij =n∑

r=1

∂qs

∂qr

∂2qr

∂qi∂qj +n∑

l,m,r=1

∂ql

∂qi

∂qm

∂qj

∂qs

∂qrΓr

lm. (10.3)

En particular, la expresion (10.3) muestra que una conexion no sepuede considerar como un campo tensorial ya que, debido al terminoen derivadas segundas, las funciones Γk

ij no se transforman como lascoordenadas de un tensor.Demostracion de (4). Por definicion de los sımbolos de Christoffel

∇∂i∂j =

∑nk=1 Γk

ij∂k

∇∂i∂j =

∑nk=1 Γ

k

ij∂k.

Ahora bien, como ∂k ≡ ∂∂qk =

∑nl=1

∂ql

∂qk∂

∂ql ≡∑n

l=1∂ql

∂qk ∂l se tiene

∇∂i∂j = ∇∑n

l=1∂ql

∂qi ∂l(∑n

m=1∂qm

∂qj ∂m) =∑n

l,m=1∂ql

∂qi∇∂l(∂qm

∂qj ∂m)

=∑n

m=1∂2qm

∂qi∂qj ∂m +∑n

l,m,r=1∂ql

∂qi∂qm

∂qj Γrl,m∂r.

Por otra parte,

∇∂i∂j =

n∑

k=1

Γk

ij∂k =n∑

k,r=1

Γk

ij

∂qr

∂qk∂r.

10.3. DERIVADA COVARIANTE 231

Igualando la componente r-esima de cada expresion se obtiene:

n∑

k=1

Γk

ij

∂qr

∂qk=

∂2qr

∂qi∂qj +n∑

l,m=1

∂ql

∂qi

∂qm

∂qj Γrlm. (10.4)

Pero∑n

r=1∂qr

∂qk∂qs

∂qr = ∂qs

∂qk = δsk. Por tanto, multiplicando los dos miem-

bros de (10.4) por ∂qs

∂qr y sumando en r obtenemos finalmente:

Γs

ij =n∑

k=1

Γk

ijδsk =

n∑r=1

∂qs

∂qr

(n∑

k=1

Γk

ij

∂qr

∂qk

)

=n∑

r=1

(∂2qr

∂qi∂qj +n∑

l,m=1

∂ql

∂qi

∂qm

∂qj Γrlm

)∂qs

∂qr. 2

Ejemplo. Como ya indicamos los sımbolos de Christoffel de R2 para∇0 en coordenadas usuales son todos nulos. Sin embargo, en coorde-nadas polares se tiene (compruebese directamente de (10.3)):

∇0∂ρ

∂ρ = 0, ∇0∂θ

∂θ = −ρ∂ρ, ∇0∂θ

∂ρ =1

ρ∂θ.

10.3. Derivada covariante

Sean (Q,∇) una variedad afın y γ : I → Q, I =]a, b[ una curvadiferenciable. Como ya vimos, si X ∈ X(Q) entonces tiene sentidoescribir ∇vX para cualquier vector tangente v ∈ TQ. En particular,podemos escribir ∇γ′(t)X, ∀t ∈ I.

Definicion 10.3.1 Llamamos derivada covariante de X ∈ X(Q) a lolargo de γ : I → Q a la aplicacion

DXdt

: I → TQt 7→ ∇γ′(t)X ∈ Tγ(t)Q.

Usando las propiedades de la conexion afın de la Seccion 10.1 se ob-tienen las siguientes:

(1) La derivada covariante es R-lineal, esto es,

D(aX + bX)

dt= a

DX

dt+ b

DX

dt.


(2) Se verifica la regla de Leibniz del producto, esto es,

D(fX)

dt= γ′(f)X + f

DX

dt=

d(f γ)

dtX + f

DX

dt.

Estudiemos a continuacion la expresion en coordenadas de la derivadacovariante. Supongamos que X =

∑ni=1 X i∂i y γ(t) = (q1(t), . . . , qn(t)).

Entonces γ′(t) = (q1(t), . . . , qn(t)) ∈ Tγ(t)Q, es decir,

γ′(t) =n∑

j=1

qj(t)∂

∂qj|γ(t) .

Por tanto,

DXdt

(:= ∇γ′(t)X) =∑n

k=1∇γ′(t)(Xk∂k)

=∑n

k=1 γ′(t)(Xk)∂k +∑n

i=1 X i∇γ′(t)∂i

=∑n

k=1d(Xkγ)

dt∂k +

∑ni,j=1 X i(γ(t))qj(t)∇(∂j |γ(t))∂i

=∑n

k=1d(Xkγ)

dt∂k +

∑ni,j=1 X i(γ(t))qj(t)

∑nk=1 Γk

ij(γ(t))∂k.

En conclusion, su expresion en coordenadas queda:

DX

dt(t) =

n∑

k=1

(d(Xk γ)

dt+

n∑i,j=1

X i(γ(t))qj(t)Γkij(γ(t))

)∂k |γ(t) .

(10.5)La definicion de derivada covariante se puede extender a campos vec-toriales sobre γ mas generales de la siguiente manera:

Definicion 10.3.2 Dada una curva diferenciable γ : I → Q decimosque X es un campo sobre γ si es una aplicacion diferenciable

X : I → TQ

t 7→ X(t)

tal que X(t) ∈ Tγ(t)Q, ∀t ∈ I (esto es, tal que π X = γ siendoπ : TQ → Q la proyeccion canonica).

Por ejemplo, si X ∈ X(Q) entonces la aplicacion diferenciable

X γ : I → TQt 7→ Xγ(t),

(10.6)

10.3. DERIVADA COVARIANTE 233

Figura 20

es un campo sobre γ. Ahora bien, no todos los campos sobre una cur-va son restricciones a esa curva de un campo definido sobre toda lavariedad (vease la Figura 20).

A partir de (10.5) se comprueba que la derivada covariante deun campo a lo largo de una curva γ solo depende de los valores delcampo sobre dicha curva. Esto permite definir la derivada covariantea lo largo de γ de un campo X sobre γ que no provenga necesari-amente de un campo definido sobre toda la variedad. En efecto, siX(t) =

∑ni=1 X i(t) ∂

∂qi |γ(t) entonces definimos

DX

dt(t) :=

n∑

k=1

(dXk

dt(t) +

n∑i,j=1

X i(t)qj(t)Γkij(γ(t))

)∂k |γ(t) . (10.7)

Esta definicion es independiente de las coordenadas elegidas, al coin-cidir con (10.5).

En resumen, para cualquier campo vectorial X sobre una curva

γ hemos definido un nuevo campo vectorial DXdt

tambien sobre γ que

representa la “derivada de X en la direccion de γ′(t)”, para todo t ∈ I.


10.4. Transporte paralelo

Definicion 10.4.1 Sea X : I → TQ un campo de vectores sobre una

curva γ. Diremos que X es paralelo si DXdt≡ 0.

A continuacion veremos que existe una unica manera de “transportarparalelamente” un vector v a lo largo de una curva γ. En efecto:

Teorema 10.4.2 Fijados una curva γ : I → Q y un vector v ∈Tγ(t0)Q, t0 ∈ I, existe un unico campo de vectores V sobre γ tal queV (t0) = v y DV

dt≡ 0.

Idea de la demostracion. Tomemos coordenadas alrededor de γ(t0).La prueba se reduce entonces a resolver el sistema de n ecuacionesdiferenciales de primer orden

dV k(t)

dt+

n∑i,j=1

V i(t)qj(t)Γkij(γ(t)) = 0, k = 1, . . . , n, (10.8)

con condiciones iniciales V i(t0) = vi, ∀i ∈ 1, . . . , n. Pero esto sereduce a aplicar los teoremas clasicos de existencia y unicidad paratales ecuaciones1. El resultado se puede extender entonces a toda lacurva, recubriendo su imagen por entornos coordenados. 2

Ejemplo. En Rn las ecuaciones de transporte paralelo de un campoV , V (t0) = v, a lo largo de una curva en coordenadas usuales son:

dV k(t)

dt≡ 0, V k(t0) = vk, k = 1, . . . , n.

Obviamente, estas ecuaciones admiten como unica solucion V k(t) ≡vk = cte, ∀t ∈ I. Ello coincide con la idea intuitiva de lo que debe sertransportar un vector paralelamente en R2 o R3.

Denotemos por Ttt0(v) al vector de Tγ(t)Q obtenido por transporte par-

alelo de v ∈ Tγ(t0)Q a lo largo de γ. Entonces se verifican las siguientespropiedades:

1Vease, por ejemplo, el Teorema 1 del Capıtulo 2 de “Ecuaciones diferencialesII”, Ediciones Piramide, S.A., 1996 (C. Fernandez, J. M. Ruiz).

10.4. TRANSPORTE PARALELO 235

(1) La aplicacion transporte paralelo

Ttt0

: Tγ(t0)Q → Tγ(t)Qv 7→ Tt

t0(v)

es un isomorfismo de espacios vectoriales (esencialmente, la linealidadse debe a la del sistema (10.8) y la inyectividad a la unicidad de solu-ciones de (10.8) para cada v).

(2) Si (e1, . . . , en) es una base de Tγ(t0)Q y E1, . . . , En son los co-rrespondientes campos sobre γ obtenidos por transporte paralelo de losvectores e1, . . . , en, respectivamente, entonces cualquier campo paraleloV sobre γ puede escribirse como

V =n∑

i=1

aiEi, ai ∈ R, ∀i ∈ 1, . . . , n.

(3) Se verifica la igualdad Tt2t1 Tt1

t0= Tt2

t0, ∀t0, t1, t2 ∈ I.

(4) Es posible reconstruir la conexion a partir del transporte par-alelo. En efecto, para cada campo X ∈ X(Q) y cada curva γ en Q, elcampo de vectores ∇γ′(t)X se puede expresar en terminos de la apli-cacion transporte paralelo de la siguiente manera:

∇γ′(t)X = limh→0

Ttt+h(Xγ(t+h))−Xγ(t)

h

(vease, p. ej., [Sp1, Chapter 6, Proposition 3]).

Ejercicio. Demuestrese:

(1) Sea X ∈ X(Q) un campo paralelo para la conexion ∇ (Definicion10.1.3). Para cualquier curva γ, X = X γ es paralelo (Definicion10.4.1).

(2) Sean X, Y ∈ X(Q) dos campos paralelos. Si Q es conexa y Xp =Yp para algun p ∈ Q entonces X = Y .

(3) Si Q es conexa entonces los campos paralelos sobre Q forman unespacio vectorial de dimension menor o igual que n.


10.5. Geodesicas

Hasta ahora, para una curva diferenciable γ(t) en Q hemos definidosu velocidad γ′(t) pero no su aceleracion. A continuacion veremos comola conexion permite definir esta ultima y, con ella, el concepto degeodesica.

Definicion 10.5.1 Sea (Q,∇) una variedad afın y γ : I → Q una cur-va diferenciable. Llamaremos aceleracion de γ a la derivada covariantede su velocidad Dγ′

dt.

Diremos que γ es una geodesica si tiene aceleracion nula Dγ′/dt ≡0, esto es, si el campo de vectores γ′(t) sobre γ es un campo paralelo.

Observese que para definir los conceptos de aceleracion y geodesica hasido necesario introducir previamente la conexion afın.

Estudiemos a continuacion la ecuacion que define las geodesicas encoordenadas. Dado un entorno coordenado (U, q1, . . . , qn) de Q y uncampo X a lo largo de una curva γ en U , la expresion de la deriva-da covariante viene dada por (10.7). Por tanto, si tomamos X ≡ γ′

entonces

Dγ′

dt(t) =

n∑

k=1

(d2qk

dt2(t) +

n∑i,j=1

qi(t)qj(t)Γkij(γ(t))

)∂

∂qk|γ(t) .

En consecuencia, γ sera una geodesica si y solo si se verifica:

d2qk

dt2(t) +

n∑i,j=1

Γkij(γ(t))qi(t)qj(t) = 0, ∀k ∈ 1, . . . , n. (10.9)

Ejemplo. Si tomamos coordenadas usuales en (Rn,∇0) entonces (10.9)se reduce a

d2xk

dt2= 0, ∀k ∈ 1, . . . , n

y, por tanto, las geodesicas son rectas afines xk(t) = ak · t + bk, ∀k ∈1, . . . , n. En cambio, en las coordenadas polares de R2 las ecuacionesde las geodesicas adoptan la expresion:

ρ− ρθ2 = 0, ρθ + 2ρθ = 0.

10.6. CONEXIONES SIMETRICAS 237

Como en la demostracion del Teorema 10.4.2, si aplicamos los teo-remas clasicos de existencia y unicidad de soluciones de ecuacionesdiferenciales a (10.9) obtenemos:

Teorema 10.5.2 Sea (Q,∇) una variedad afın. Para cada t0 ∈ R,p ∈ Q y v ∈ TpQ, existe una unica geodesica γ :]a, b[→ Q tal que

(i) γ(t0) = p, γ′(t0) = v, y

(ii) γ es inextensible (o maximal), esto es, no existe otra geodesica γque verifique (i) y cuyo dominio de definicion contenga estricta-mente a ]a, b[.

Grosso modo, lo que se esta diciendo es que el punto y la velocidadiniciales determinan la geodesica. Una propiedad relevante que puedenpresentar las geodesicas es la completitud:

Definicion 10.5.3 Si una geodesica inextensible tiene dominio de de-finicion todo R entonces se dice que es completa.

Una variedad cuyas geodesicas inextensibles son todas completas sedice que es una variedad geodesicamente completa.

Por ejemplo, Rn con la conexion usual es completa. Sin embargo, labola de centro 0 y radio r(< ∞) no lo es.

Nota. Las velocidades de las geodesicas proporcionan las curvas inte-grales de un campo vectorial G sobre la variedad tangente, G ∈ X(TQ).Ello permite descubrir algunas analogıas entre los conceptos aquı es-tudiados para las geodesicas y los vistos en el Tema 5 para las curvasintegrales de cualquier campo vectorial.

10.6. Conexiones simetricas

Si observamos con detenimiento las ecuaciones de las geodesicas,encontramos que el termino xixj va multiplicado por (Γk

ij + Γkji) para

cada par de ındices i, j. Esto implica que las sumas (Γkij + Γk

ji) estandeterminadas por las geodesicas. Ademas, si la conexion es simetricaentonces se tiene Γk

ij +Γkji = 2Γk

ij. Por tanto, las geodesicas determinanlos sımbolos de Christoffel y, en consecuencia, tambien la conexion.

Por otra parte, aunque una conexion ∇ no sea simetrica, siemprees posible construir otra conexion ∇ simetrica a partir de ∇ que tengasus mismas geodesicas.


Proposicion 10.6.1 Dada una conexion no simetrica ∇, existe unaunica conexion simetrica ∇ cuyas geodesicas coinciden con las de ∇.

Esquema de la demostracion. Paso 1. Para toda conexion afın ∇ sedefine su torsion como

Tor(X,Y ) = ∇XY −∇Y X − [X, Y ], X, Y ∈ X(Q).

Es facil comprobar que Tor(·, ·) es un campo de tensores 2-covariante,1-contravariante, no nulo y antisimetrico (Tor(X,Y ) = −Tor(Y, X)).

Paso 2. Definimos ∇ := ∇ − 12Tor(·, ·), esto es, ∇XY = ∇XY −

12Tor(X, Y ), ∀X, Y ∈ X(Q). Entonces ∇ tambien es una conexion ya

que, en general, si a una conexion se le suma un tensor tipo (2, 1), seobtiene otra conexion.

Paso 3. De la antisimetrıa del tensor Tor(·, ·) es claro que ∇ essimetrica. En efecto,

∇XY − ∇Y X = ∇XY −∇Y X − 12Tor(X, Y ) + 1

2Tor(Y,X)

= ∇XY −∇Y X − Tor(X,Y ) = [X,Y ].

Paso 4. Dado que

∇XX = ∇XX − 1

2Tor(X, X) = ∇XX,

(la ultima igualdad por la antisimetrıa de Tor) las geodesicas paraambas conexiones coinciden. 2

10.7. Aplicacion exponencial

Consideremos una reparametrizacion arbitraria γ(s) = γ(t(s)) deuna geodesica no constante γ(t). Entonces

Dγ′

ds(s) =

D

ds

(dt

dsγ′(t(s))

)=

d2t

ds2· γ′(t(s)) +

(dt

ds

)2

· Dγ′

dt(t(s)).

Por tanto, γ seguira siendo una geodesica si y solo si d2tds2 (s) ≡ 0, es

decir, si y solo si t(s) = a · s + b, a, b ∈ R.Por otra parte, observemos que si las geodesicas inextensibles γv,

γh·v, h ∈ R\0 verifican γv(0) = γh·v(0), γ′v(0) = v, γ′h·v(0) = h ·v entonces ambas geodesicas tienen la misma imagen y γ′h·v(s) ≡ h·γ′v(hs).

10.7. APLICACION EXPONENCIAL 239

Lema 10.7.1 Sea (Q,∇) una variedad afın y consideremos un puntop ∈ Q. Existe un entorno abierto U de 0 en TpQ tal que para todo v ∈ Ula (unica) geodesica inextensible γv tal que γ′v(0) = v esta definida ent = 1.

La demostracion puede consultarse en [O’N, Chapter 3, Lemma 27]2.

Teorema 10.7.2 Sea (Q,∇) una variedad afın y consideremos unpunto p ∈ Q. Existe un entorno U0 de 0 en TpQ y un entorno Up

de p en Q tal que la aplicacion exponencial

expp : U0(⊆ TpQ) → Up(⊆ Q)v 7→ γv(1)

esta bien definida y es un difeomorfismo de U0 en Up.

Esquema de la demostracion. Se basa en los siguientes puntos: (1) porel Lema 10.7.1 la aplicacion expp esta bien definida en algun abiertoU de 0 ∈ TpQ; (2) es diferenciable porque esta construida a partir desoluciones de ecuaciones diferenciales; (3) su diferencial en 0,

(d expp)0 : T0(TpQ) → TpQ, (10.10)

es biyectiva; de hecho, (d expp)0 es, esencialmente, la identidad, con laidentificacion natural entre un espacio vectorial y su tangente en unpunto (vease [Subseccion 3.2.2, Ejemplo (1)]); (4) como (d expp)0 esbiyectiva, podemos obtener el entorno en cuestion U0 ⊆ U usando elTeorema de la Funcion Inversa [Capıtulo 4, Seccion 4.4]. 2

Observaciones:(1) El Teorema 10.7.2 proporciona un entorno coordenado (Up,

exp−1p ) que contiene a p ∈ Q (identificando TpQ con Rn mediante

cualquier isomorfismo vectorial).(2) Las geodesicas que pasan por p, escritas en estas coordenadas,

se corresponden con lıneas rectas que pasan por el origen de Rn. Enparticular, esto implica Γk

ij(p) + Γkji(p) = 0 para todo i, j, k y, si ∇ es

simetrica, Γkij(p) = 0 para todo i, j, k.

Nota. Una discusion clasica en Relatividad General es la del “prin-cipio de equivalencia”, segun el cual los observadores en caıda libre

2Para la idea intuitiva tengase en cuenta que si la geodesica γv puede definirseen, digamos, t = t0 > 0 entonces la geodesica γt0v(t) podra definirse hasta t = 1.


pueden tomar coordenadas (t, x, y, z) tales que “infinitesimalmente”(“en primer orden de aproximacion”) las leyes de la Fısica se escribenigual que para los observadores inerciales de la Relatividad Especial. Laformulacion matematica de este principio es la siguiente. La gravedaddetermina una conexion afın sobre el espacio-tiempo y, por tanto, susgeodesicas. Los observadores en caıda libre seguiran geodesicas de estaconexion y, si miden cuidadosamente, lo haran usando la aplicacionexponencial. Por ello, en sus coordenadas los sımbolos de Christoffelse anulan a lo largo de esa geodesica con lo que, en primer orden,consideraran sımbolos de Christoffel nulos, igual que si se hallaran en(Rn,∇0).

Capıtulo 11

Curvatura

El concepto de curvatura resulta esencial para entender la geometrıa deuna variedad semi-riemanniana. No obstante, la formulacion abstractade la curvatura como tensor, aunque muy simple matematicamente,resulta muy alejada de la intuicion geometrica. Inicialmente, en estetema se define el tensor curvatura y se estudian sus propiedades alge-braicas elementales, incluyendo sus contracciones tıpicas -el tensor deRicci y la curvatura escalar- (Secciones 11.1– 11.5), para hacer luegoun breve recorrido intuitivo (Seccion 11.6) que justifique el significadode este tensor.

11.1. Concepto de curvatura

Sea (Q, g) una variedad semi-riemanniana y ∇(≡ ∇g) la conexionde Levi-Civita de g. Definimos el tensor de curvatura como la apli-cacion:

R : X(Q)× X(Q)× X(Q) → X(Q)(X,Y, Z) 7→ R(X, Y )Z

que viene dado por la expresion

R(X,Y )Z := ∇X∇Y Z −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z.

241

242 CAPITULO 11. CURVATURA

Otra manera de expresar el tensor de curvatura es

R(X, Y ) = [∇X ,∇Y ]−∇[X,Y ],

expresion donde queda de manifiesto que R mide la falta de conmuta-tividad entre ∇X∇Y y ∇Y∇X . Senalamos que el termino ∇[X,Y ] (queno aparece si X, Y son campos coordenados) es necesario para que Rsea C∞(Q)-lineal en cada una de sus variables. Por tanto, tiene sentidocomputar

R(up, vp)wp ∈ TpQ ∀up, vp, wp ∈ TpQ.

y considerar a la curvatura como un campo tensorial 3 covariante, 1contravariante.

En coordenadas locales (U, q1, . . . , qn) el tensor de curvatura adoptala expresion

R =n∑

i,j,k,l=1

Rli,j,kdqi ⊗ dqj ⊗ dqk ⊗ ∂

∂ql,

donde Rli,j,k = dql(R(∂/∂qi, ∂/∂qj, ∂/∂qk)). Teniendo en cuenta que

∇∂i(∇∂j

∂k) = ∇∂i(∑

l

Γljk∂l) =

∑

l

(∂Γl

jk

∂qi∂l + Γl

jk

(∑m

Γmil ∂m

)),

se deduce facilmente que la expresion de los coeficientes Rijkl en coor-

denadas locales es:

Rikjl =

∂

∂qkΓi

jl −∂

∂qkΓi

lj +n∑

m=1

ΓilmΓm

jk −n∑

m=1

ΓikmΓm

lj .

Conviene destacar la dependencia de estos coeficientes respecto de Γkij

y ∂lΓkij, es decir, respecto de gij, ∂kgij y ∂l∂kgij.

11.2. Tensor de curvatura 4-covariante

El tensor de curvatura R tiene sentido para cualquier variedaddotada de una conexion afın arbitraria. Sin embargo, como nos re-stringiremos a conexiones de Levi-Civita, podemos usar la correspon-diente metrica g para subir y bajar ındices. Ası, a partir del tensor de

11.3. CURVATURA SECCIONAL 243

curvatura R podemos obtener un tensor tipo (4, 0) equivalente al an-terior sin mas que aplicar a R el sostenido ]. Es decir, podemos definirel campo tensorial

R] : X(Q)4 → C∞(Q)(X,Y, Z,W ) 7→ R](X,Y, Z, W ) := g(R(X, Y )Z, W ).

Obviamente, para reobtener el tensor de curvatura a partir de estebasta con subir ındices, [Seccion 7, Apendice 1]. De ahora en adelanteabusaremos de la notacion escribiendo tambien R en lugar de R].

El tensor de curvatura R presenta las siguientes simetrıas:

(1) Es un tensor antisimetrico en las dos primeras variables, esto es,

R(X, Y, Z, W ) = −R(Y, X, Z, W ), ∀X,Y, Z, W ∈ X(Q).

(2) Es antisimetrico en las dos ultimas variables, esto es,

R(X, Y, Z, W ) = −R(X, Y, W,Z), ∀X,Y, Z, W ∈ X(Q).

(3) Es simetrico dos a dos en las dos primeras variables con las dosultimas, esto es,

R(X,Y, Z, W ) = R(Z, W,X, Y ), ∀X, Y, Z, W ∈ X(Q).

(4) Verifica la primera identidad de Bianchi, esto es,

R(X, Y )Z + R(Z, X)Y + R(Y, Z)X = 0, ∀X,Y, Z,W ∈ X(Q).

11.3. Curvatura seccional

Sea (Q, g) una variedad semi-riemanniana y consideremos un planotangente a dicha variedad Π = Genu, v ⊆ TpQ tal que g |Π sea nodegenerada.

Definicion 11.3.1 La curvatura seccional Ks del plano Π se definecomo

Ks(Π) =R(u, v, v, u)

g(u, u)g(v, v)− g(u, v)2. (11.1)


Observaciones:(1) La expresion (11.1) se simplifica si tomamos u, v tales que for-

men una base ortonormal de Π, ya que en este caso el denominadorpasa a ser ±1.

(2) Cuando g |Π es euclıdea el denominador coincide con el cuadradodel area del paralelogramo generado por u, v. En efecto, si α(u, v) esel angulo formado por u y v entonces

g(u, u)g(v, v)− g(u, v)2 = ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2(α(u, v))

= ‖u‖2‖v‖2sen2(α(u, v)).

Ademas, si g es riemanniana entonces g |Π es no degenerada paracualquier plano Π.

(3) El valor de la curvatura seccional de un plano Π es independientede los vectores u, v elegidos. En efecto, si u = au + bv y v = cu + dvcon ad− bc 6= 0 entonces

R(u,v,v,u)g(u,u)g(v,v)−g(u,v)2

= (ad−bc)2R(u,v,v,u)(ad−bc)2(g(u,u)g(v,v)−g(u,v)2)

= R(u,v,v,u)g(u,u)g(v,v)−g(u,v)2

.

(4) La curvatura seccional Ks(Π) para todo plano no degenerado Πtangente a Q en p determina el tensor de curvatura R en p. Por tanto,resulta equivalente conocer R y Ks (vease, v. gr., [Sp1, Chapter 4D,Proposition 8] o [O’N, pag. 79]).

11.4. Tensor de Ricci

Sea (Q, g) una variedad semi-riemanniana y R su tensor de curvatu-ra. Para cada Y, Z ∈ X(Q) consideramos el campo de endomorfismosp 7→ R(·, Yp)Zp, siendo

R(·, Yp)Zp : TpQ → TpQXp 7→ R(Xp, Yp)Zp.

Definicion 11.4.1 Se define el tensor de Ricci de (Q, g) como el ten-sor (2, 0)

Ric : X(Q)× X(Q) → C∞(Q)(Y, Z) 7→ Ric(Y, Z),

11.5. CURVATURA ESCALAR 245

definido porRic(Y, Z) : Q → R

p 7→ traza R(·, Yp)Zp.

Si se computa esta traza en terminos de la metrica se obtiene:

Ric(Y, Z)(p) := traza R(·, Yp)Zp

=∑n

i,j=1 gijg(R(∂i, Yp)Zp, ∂j) =∑n

i,j=1 gijR(∂i, Yp, Zp, ∂j).

Propiedades:

(1) El tensor de Ricci es simetrico, esto es, Ric(Y, Z) = Ric(Z, Y )(esto es facil de comprobar a partir de las simetrıas de R, veasela Seccion 11.2). Ademas, salvo signo es el unico tensor (2, 0) nonulo que se obtiene como contraccion del tensor de curvatura.

(2) En el caso riemanniano la “media” de las curvaturas seccionalesde todos los planos que contienen a vp ∈ TpQ− 0 es

1

n− 1

Ric(vp, vp)

g(vp, vp). (11.2)

La propiedad (2) se formula con mas precision como sigue. Sea Bp =(e1, . . . , en) una base ortonormal de TpQ con e1 = vp/‖vp‖, y sean Πi,i ≥ 2 los planos tangentes generados por e1 y ei. Entonces se tiene

Ric(vp,vp)

g(vp,vp)= Ric(e1, e1) =

∑ni=1 R(ei, e1, e1, ei)

=∑n

i=2R(ei,e1,e1,ei)

g(ei,ei)g(e1,e1)−g(e1,ei)2=

∑ni=2 Ks(Πi),

donde en la penultima igualdad se ha usado que g(ei, ei)g(e1, e1) −g(ei, e1)

2 = 1, i = 2, . . . , n. Por tanto, al dividir por n − 1 se obtienela media de las curvaturas seccionales de los planos Π2, . . . , Πn paracualquier eleccion ortogonal de (e2, . . . , en).

11.5. Curvatura escalar

Dado que el tensor de Ricci de una variedad semi-riemanniana(Q, g) es de tipo (2, 0), su contraccion metrica tiene sentido (vease[Tema 7, Apendice 1]).


Definicion 11.5.1 Se define la curvatura escalar S de (Q, g) como lacontraccion metrica de su tensor de Ricci.

En coordenadas (U, q1, . . . , qn) la curvatura escalar en p adopta la ex-presion

S(p) =n∑

i,j=1

gij(p)Ric(∂i |p, ∂j |p), ∀p ∈ U.

Ası, si e1, . . . , en es una base ortonormal de TpQ y g es riemannianaentonces

Sp ≡ S(p) =n∑

i=1

Ric(ei, ei)p.

Por tanto, en este caso 1nSp es una “media” de las curvaturas de Ricci

en p. Ahora bien, como (11.2) es la media de las curvaturas seccionalesde los planos que contienen a vp, en el caso riemanniano la expresion

1

n(n− 1)Sp

puede entenderse como la media de las curvaturas seccionales de todoslos planos contenidos en p.

Nota. Las definiciones del tensor de curvatura (3,1) y del tensor deRicci tienen sentido para cualquier conexion afın ∇ (no necesariamentede Levi-Civita). Sin embargo, tanto la curvatura seccional como laescalar precisan de la metrica g para su definicion.

11.6. Significado de la curvatura

Aunque la construccion algebraica de R, Ric y S es simple, susignificado geometrico no es obvio, y tiene detras una larga historiade desarrollos matematicos. En esta seccion intentaremos dar un breveapunte de su significado. Para fijar ideas nos restringiremos en estaseccion a una metrica g riemanniana.

11.6.1. Orıgenes geometricos

Sea γ : I → R2 una curva plana unitaria (‖γ′(t)‖ = 1). A contin-uacion, consideremos la circunferencia tangente a dicha curva en γ(t0)

11.6. SIGNIFICADO DE LA CURVATURA 247

que mejor se aproxime a ella, esto es, aquella que, parametrizada comocurva unitaria, tenga velocidad y aceleracion coincidentes con las de γen γ(t0). Se define la curvatura C(γ(t0)) de γ en γ(t0) como 1/r siendor el radio de dicha circunferencia. Observese que, como g0(γ

′(t), γ′(t))es constante, se tiene 2g0(γ

′′(t), γ′(t)) = 0, es decir, γ′′(t)⊥γ′(t), ∀t. Elcentro de la circunferencia que mas se aproxima queda entonces sobrela recta que pasa por γ(t0) con vector director γ′′(t0), y su radio esr = 1/‖γ′′(t0)‖. Como caso lımite, la curvatura se define como 0 siγ′′(t0) = 0 (r = ∞). 1

Observacion. Esta definicion de curvatura se extiende facilmente alcaso de curvas en R3. En este caso, aunque la curva unitaria γ : I →R3 no este contenida en un plano, el plano afın que pasa por γ(t0)generado por γ′(t0) y γ′′(t0) es el que mas se aproxima a γ en γ(t0).Ası, puede definirse la curvatura de γ en t0 como ‖γ′′(t0)‖, y mantenersesu interpretacion como inversa del radio de circunferencia que mas seaproxima a γ en γ(t0).

Figura 24

Consideremos a continuacion una superficie S incluida en R3. Nues-tro objetivo ahora sera definir su curvatura en un punto p ∈ S. Seavp ∈ TpS un vector unitario y sea γvp la geodesica en S con velocidad

1Estas afirmaciones no son difıciles de demostrar. En cualquier caso, para todolo referente a curvatura de curvas y superficies en R3 remitimos al libro clasico deM.P. do Carmo [dC2]


inicial vp. Considerando a γvp como una curva en R3, puede demostrarseque su aceleracion en p es perpendicular a TpS, por ser una geodesicaen S. Obviamente, podemos aplicar la definicion anterior para calcularC(γvp(t0)) = 1/r. Ademas, usando que la curva esta contenida en S,es posible asociar un signo a la curvatura como sigue. Escojamos unvector unitario Np normal a la superficie en p (Np ∈ TpR3 es ortogonala TpS). El centro Ovp de la circunferencia estara en la recta que pasapor p con vector director Np, concretamente o en p+rNp o en p−rNp.En el primer caso, consideraremos a la curvatura con signo positivo y,en caso contrario, negativo. Esto es, definimos:

Figura 25

CNp(γvp(t0)) =

‖γ′′vp(t0)‖ si Ovp = p + rNp

−‖γ′′vp(t0)‖ si Ovp = p− rNp.

Nota. Aunque en una superficie no orientable de R3 (como la cinta deMoebius) no existe un campo normal globalmente definido N , sı pode-mos definir un vector normal en cada punto y, por tanto, mantener laanterior definicion punto a punto.

Calculemos la curvatura con signo de todas las geodesicas unitariascontenidas en S que pasan por p. Existiran dos direcciones tales queestas curvaturas sean maxima y mınima. Denotemos entonces a estascurvaturas principales como:

Cmax = MaxCNp(γvp(t0)) : vp ∈ TpS, ‖vp‖ = 1Cmin = MinCNp(γvp(t0)) : vp ∈ TpS, ‖vp‖ = 1.


Observese que Cmax, Cmin se calculan “extrınsecamente” a S, esto es,viendo a S somo una superficie dentro de R3, por lo que no tienenun significado “intrınseco” (calculable a partir de la geometrıa de Scomo variedad riemanniana). Ademas, Cmax, Cmin tambien dependendel normal Np escogido –aunque su producto es independiente de este.

Por otra parte, como S es una variedad riemanniana de dimension2 (con la metrica inducida de la usual de R3), cada punto p ∈ S tieneasociada una unica curvatura seccional KS(p) = Ks(Πp) correspon-diente al unico plano Πp = TpS contenido en el espacio tangente a p(vease la Seccion 11.3). Pues bien, ambas curvaturas se relacionan dela siguiente manera (Teorema Egregium de Gauss):

Para toda superficie S ⊂ R3 se verifica

KS(p) = Cmin · Cmax,

donde KS(p)(:= Ks(TpS)) denota la curvatura seccional deS en p.

Es decir, el producto de las curvaturas principales de una superficieS ⊂ R3 en cada punto p es una propiedad intrınseca a la superficie,computable exclusivamente del valor de la metrica sobre ella y, dehecho, igual a KS(p).

Por ejemplo, en cualquier punto de la esfera de radio r se tieneCmax = Cmin = 1

ry, por tanto, KS ≡ 1

r2 . Para el cilindro de radio de labase a, se tiene Cmax = 1/a y Cmin = 0, luego KS ≡ 0.

Estudiemos ahora el caso mas general en que (Q, g) es una variedadriemanniana n-dimensional. Sea Πp un plano de TpQ y consideremosun abierto U0 ⊆ TpQ tal que expp : U0 ⊆ TpQ → Up ⊆ Q es un difeo-morfismo. Consideremos la superficie S = expp(Πp ∩ U0) que contienea p. Se puede demostrar entonces que la curvatura seccional Ks(Πp)coincide con la curvatura de S en p con la metrica restringida2, KS(p).

Ası, el tensor de curvatura R en cada punto p “contiene la informa-cion” de todas las curvaturas en p de todas las superficies que podemosconstruir de este modo. Recıprocamente, estas curvaturas determinanal tensor curvatura, pues a partir de la curvatura seccional Ks(Πp) decada uno de los planos Πp tangentes a p es posible determinar el tensorde curvatura R en p (vease la Seccion 11.3).

2Esto se mantiene valido si g es semi-riemanniana y el plano Πp no degenerado.


Extrınseco Curvatura de curvas C(γ(t0))Extrınseco Curvatura (con signo) de curvas en una su-

perficie S ⊂ R3 con un normal fijado; cur-vaturas principales Cmin, Cmax

Extrınsecol

Intrınseco

Producto de curvaturas maxima y mınimade S en p

l T. EgregiumCurvatura seccional KS(p) = Ks(TpS)

Intrınseco Curvatura seccional de variedades rieman-nianas bidimensionales KS(p) = Ks(Πp),para el unico plano Πp = TpS

Intrınseco Curvatura seccional de cada plano tan-gente a una variedad riemanniana Ks(Πp),Πp ⊂ TpQ, que coincide con la de la sub-variedad riemanniana bidimensional S =expp(Πp) en p

Intrınseco Tensor curvatura R (que equivale a Ks(Πp)para todo Πp)

11.6.2. Como la curvatura determina la metrica

Una vez estudiado el origen del tensor de curvatura, conviene enten-der como la curvatura determina la metrica. De nuevo, nos restringire-mos a una variedad riemanniana (Q, g) aunque, esencialmente, lo quesigue tambien valdra para una variedad semi-riemanniana arbitraria:

Resultado 1. “La curvatura es una segunda derivada de la metri-ca”. Sea p ∈ Q y consideremos coordenadas normales (q1, . . . , qn) aso-ciadas a expp : U0 ⊆ TpQ → Up ⊆ Q, siendo expp |U0 un difeomorfismoy U0 un abierto estrellado,

gij(p) = δij y Γkij(p) = 0, ∀i, j, k ∈ 1, . . . , n. (11.3)

Como q1(p) = · · · = qn(p) = 0, se verifica el siguiente desarrollo deTaylor de gij:

gij(q1, . . . , qn) = δij +

1

3Rijkl(p)qkql + O(‖q‖3).


Para ello basta con tener en cuenta la expresion de los sımbolos deChristoffel en terminos de la metrica y usar (11.3) (vease [Sa, ChapterII, Proposition 3.1]).

Resultado 2. “La curvatura determina la metrica”. Sean g, g′ dosmetricas riemannianas sobre una variedad conexa Q. Si Rg = Rg′ sobretodo Q y gp = g′p en un punto p ∈ Q entonces g = g′.3 Por supuesto,dos variedades isometricas (Q, g), (Q′, g′) (Seccion 7.5) tienen “igualescurvaturas” R, R′; esto es, al inducir mediante la isometrıa F : Q →Q′el tensor curvatura R de Q en Q′ se obtiene R′, o:

R′(dFpvp, dFpwp)dFpup) = dFp(R(vp, wp)up),

para todo vp, wp, up ∈ TpQ, ∀p ∈ Q.Resultado 3. “La curvatura mide cuanto se aleja localmente una

geometrıa de la de Rn”. Existen diversos resultados en esta direccion.Como un ejemplo sencillo, sea (Q, g) una variedad riemanniana conR ≡ 0. Entonces para cada p ∈ Q existen coordenadas (Up, q

1, . . . , qn)tales que g(∂/∂qi, ∂/∂qj) = δij en todo Up; esto es, la carta coordenadaϕ : Up → ϕ(Up) ⊂ Rn es una isometrıa. Este resultado se puede vercomo un caso muy particular, o bien del Resultado 2 anterior, o biende un Teorema clasico de Cartan (vease, p. ej., [Sa, II, Theorem 3.2]).Ası, curvatura nula implica “localmente isometrico” a Rn (pero noglobalmente, piensese en el cilindro).

Resultado 4. “Geometrıas no-euclıdeas modelo”. Se definen lossiguientes espacios modelo de curvatura constante C y dimension n:

(i) Para C = 0, Rn.

(ii) Para C > 0, la esfera

Sn(r) = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 :g0((x

1, . . . , xn+1), (x1, . . . , xn+1)) = r2,con r = 1/

√C, siendo g0 la metrica riemanniana usual de Rn+1

y la metrica de Sn(r) la inducida.

(iii) Para C < 0, el espacio hiperbolico

Hn(r) = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 :gL((x1, . . . , xn+1), (x1, . . . , xn+1)) = −r2, xn+1 > 0

3Vease v.gr. 1.7.18 en J.A. Wolf, “Spaces of constant curvature”, Mc Graw-HillCo. NY (1967).


con r = 1/√−C, siendo gL la metrica lorentziana usual de Rn+1

y la de Hn la inducida (que es riemanniana). Ası, por ejemplo,para n = 2 se tiene4

H2(r) = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = −r2, z > 0,

esto es, z =√

r2 + x2 + y2.

Teorema 11.6.1 Toda variedad riemanniana (Q, g) de curvatura cons-tante C es localmente isometrica al espacio modelo de esa misma cur-vatura. Si, ademas, Q es

11.6.3. Ecuacion de Jacobi

Justifiquemos a continuacion que la curvatura se halla ıntimamenterelacionada con la velocidad con la que las geodesicas se aproximan ose separan entre sı. En efecto, consideremos una variedad riemanniana(Q, g) y sea γ : [0, 1] → Q una geodesica con ‖γ′‖ = 1. Consideremosuna variacion de γ por geodesicas, esto es, una aplicacion diferenciable

]− ε, ε[×[0, 1] → Q(s, t) 7→ γs(t)

(11.4)

tal que

(i) γ0 = γ, y

(ii) γs es una geodesica para cada s.

Para esa variacion se define el campo variacional asociado, o campo deJacobi, como el campo sobre γ

J(t) =d

ds|s=0 γs(t).

En ocasiones se dice que J(t) es la “variacion infinitesimal” de γ antela variacion (“finita”) (11.4), escribiendose δγ(t) en lugar de J(t). Seexpresa ası que J(t) mide, hasta primer orden, como se desvıan las

4Este espacio es isometrico al famoso semiplano de Poincare (R × R+, g =

(dx2 + dy2)/y2).


geodesicas proximas a una dada. Se puede comprobar que el campo deJacobi J(t) verifica la ecuacion

D2J

dt2+ R(J, γ′)γ′ = 0,

que se conoce como ecuacion de Jacobi. Por tanto, el termino g(D2Jdt2

, J)esta ıntimamente relacionado con la curvatura seccional del plano Πt =Genγ′(t), J(t), ya que, vıa la ecuacion de Jacobi, se tiene

g(D2J

dt2, J) = −g(R(J, γ′)γ′, J) = −Ks(Πt)(g(γ′, γ′)g(J, J)− g(γ′, J)2).

Ası, si la curvatura seccional es positiva (y g es riemanniana) lasgeodesicas proximas tenderan a juntarse mas que en el espacio eu-clıdeo (Rn, 〈·, ·〉), y si es negativa, tenderan a separarse mas que endicho espacio.

Esta interpretacion puede extenderse al Ricci. Si, por ejemplo, enlugar de suponer que la curvatura seccional sea positiva suponemossolo que el tensor de Ricci sea definido positivo, entonces las geodesicasproximas a γ se acercaran “en promedio” mas que en Rn, aunque even-tualmente puede haber direcciones con Ks(Πt) < 0 y en las que lasgeodesicas proximas se alejen mas.

11.6.4. Otras propiedades

Existen otras propiedades que caracterizan la curvatura. Ası, porejemplo, sea (Q, g) una variedad riemanniana y Πp un plano incluidoen TpQ. Consideremos expp : Πp ∩ U0 → S ⊂ Q de manera que S seauna superficie. Consideremos en Πp ∩ U0 la circunferencia centrada en0 y de radio r. Sea Cr la imagen de esa circunferencia por expp, cuyalongitud L(Cr) se computa usando la metrica g. Entonces:

limr→02πr − L(Cr)

r3=

π

3Ks(Πp). (11.5)

Por otra parte, en el Tema 8 se muestra que la metrica g permiteintroducir una medida (area en dimension 2, volumen en dimension 3)de cualquier subconjunto abierto o cerrado de (Q, g) (vease tambien lanota al final de la Seccion ??). Si denotamos por A0(r) = πr2 y A(r)


a las areas de la circunferencia usual de radio r (en TpQ) y de Cr enexpp(Πp ∩ U0), respectivamente, se verifica:

Ks(Πp) = limr→012A0(r)− A(r)

r2A0(r). (11.6)

Grosso modo, a mayor curvatura menor longitud y area que las esper-adas en Rn.

Las formulas (11.5) y (11.6) permiten conocer si el espacio esta cur-vado en un punto p a partir de “mediciones infinitesimales de longitudy area alrededor de p”. Ası, los eventuales habitantes de un espaciocurvado podran percatarse de su curvatura a partir de mediciones delongitudes y areas.

Capıtulo 12

Algunas notas sobreRelatividad

En este capıtulo se describen muy brevemente los ambientes matemati-cos de la Relatividad Especial y General. Mostraremos como los difer-entes objetos geometricos introducidos encajan en el marco de la Re-latividad, resultando imprescindible toda la maquinaria matematicaestudiada para el caso de la Relatividad General. Sin mayores pre-tensiones, nuestro objetivo es doble: ayudar a conectar los diferenteslenguajes fısico y matematico que aparecen en la literatura sobre Re-latividad, y estimular la curiosidad e interes rigurosos por esta teorıa.

12.1. Relatividad Especial

12.1.1. Espacios vectoriales lorentzianos

Recordemos que todo espacio vectorial lorentziano (V, 〈·, ·〉) de di-mension n + 1 es isometrico al espacio de Lorentz-Minkowski Ln+1,que se define como Rn+1 dotado con la metrica usual lorentziana η ≡(−, +, . . . , +). Denotaremos por (t = x0, x1, . . . , xn) a las coordenadasusuales de Ln+1, por lo que en ellas se tiene:

η00 = −1, ηij = δij, ∀i, j ∈ 1, . . . , n.

255

256 CAPITULO 12. ALGUNAS NOTAS SOBRE RELATIVIDAD

El caso de mayor interes fısico es, por supuesto, n = 3. De ahoraen adelante a

√|〈v, v〉| lo denotaremos por ‖v‖, aunque no verifica,

obviamente, las propiedades de una norma. Diremos que un vectorv ∈ V es:

temporalluminosocausalespacial

si

〈v, v〉 < 0〈v, v〉 = 0, v 6= 0〈v, v〉 ≤ 0, v 6= 0〈v, v〉 > 0 o v = 0.

No es difıcil comprobar (observese la Figura 26 para L3) que losvectores causales de (V, 〈·, ·〉) junto con el vector v = 0 forman dosconos. Si elegimos uno de estos conos C↑ y lo llamamos cono futuro,diremos que el espacio vectorial lorentziano esta orientado temporal-mente, y al otro cono C↓ se le llama cono pasado. En Ln+1 elegimoscomo cono futuro al superior, esto es, C↑ = a = (a0, . . . , an) ∈ Ln+1 :〈a, a〉 ≤ 0, a0 ≥ 0.

Figura 26

Fijada una variedad lorentziana (Q, g), a una eleccion “continua”de un cono para cada TpQ (isometrico a Ln+1, aunque no de modo

12.1. RELATIVIDAD ESPECIAL 257

canonico) se le llama una orientacion temporal de la variedad. Unavariedad lorentziana que admita una orientacion temporal (no todasla admiten) se dice que es temporalmente orientable. Si Q es conexay temporalmente orientable, tal orientacion temporal estara fijada porla eleccion del cono en un punto cualquiera p ∈ Q.

Llamamos transformaciones de Lorentz en Ln+1 a cada una de susisometrıas vectoriales, esto es, a los isomorfismos vectoriales f : Ln+1 →Ln+1 que verifican η(u, v) = η(f(u), f(v)), ∀u, v ∈ Ln+1. Esto equivalea que f aplique bases ortonormales en bases ortonormales de maneraordenada. Matricialmente, esta condicion se reduce a

(ηij) = At · (ηij) · A, (12.1)

donde ηij = η(vi, vj) y

A = M(f, B) = (f(v0), f(v1), . . . , f(vn)),

donde cada f(vi) se escribe por columnas y B = (v0, . . . , vn) es cual-quier base ortonormal de Ln+1.

Conviene senalar que, en general, las transformaciones de Lorentzno conservan la eleccion hecha para los conos temporales, esto es, talvez f(C↑) = C↓. A una transformacion de Lorentz que sı respete losconos temporales, esto es, tal que f(C↑) = C↑ (y, por tanto, f(C↓) =C↓) se le llama ortocrona. Si, ademas, det f > 0 entonces se dice quees propia.

Claramente, el conjunto de las transformaciones de Lorentz juntocon la operacion de composicion tiene una estructura de grupo. Elestudio de las isometrıas vectoriales de un espacio vectorial lorentziano(V, 〈·, ·〉) de dimension n+1 equivale al estudio de las transformacionesde Lorentz de Ln+1.

12.1.2. El grupo de Lorentz

El estudio de las transformaciones de Lorentz equivale al de las ma-trices que verifican (12.1). Ası llamamos grupo de Lorentz de dimensionn + 1 a:

O1(n + 1) = A ∈ Gl(n + 1,R) : At(ηij)A = (ηij).Retomando la subseccion anterior, es inmediato ahora comprobar queuna transformacion de Lorentz f con matriz en una base ortonormal


A ∈ O1(n + 1) y elementos (aij), i, j ∈ 0, 1, . . . , n sera ortocrona si y

solo si a00 > 0. Ademas, como η(e0, e0) = −1 y

−1 = η(f(e0), f(e0)) = −(a00)

2 +n∑

i=1

(a0i )

2,

necesariamente se tiene que |a00| ≥ 1. Denotamos por O↑

1(n + 1) (resp.O+

1 (n+1), O+↑1 (n+1)) al subgrupo de O1(n+1) formado por las matri-

ces con a00 ≥ 1 (resp. det A = 1, que verifican ambas condiciones). Para

cualquier espacio vectorial lorentziano (V, 〈·, ·〉) las isometrıas vectoria-les de V se corresponden, fijada una base ortonormal, con los elementosde O1(n + 1).

En el caso n = 1 el grupo de Lorentz puede computarse explıcita-mente con facilidad, obteniendose:

O1(2) =

(ε · cosh θ ν · senh θε · senh θ ν · cosh θ

): θ ∈ R, ε, ν ∈ 1,−1

. (12.2)

Ejercicio. Demuestrese (12.2).

Observese que si ε = ν = 1 entonces las correspondientes trans-formaciones son ortocronas propias, esto es, pertenecientes a O+↑

1 (2).Adicionalmente, podemos usar la siguiente expresion para las matricesen O+↑

1 (2):

(cosh θ senh θsenh θ cosh θ

)= cosh θ ·

(1 tagh θ

tagh θ 1

).

Usando entonces que cosh2 θ−senh2 θ = 1 y definiendo v = tagh θ, queverifica |v| < 1, obtenemos

O+↑1 (2) =

1√

1− v2

(1 vv 1

): v ∈]− 1, 1[

. (12.3)

Con mas generalidad, no es difıcil demostrar que si f es una trans-formacion de Lorentz de (V, 〈·, ·〉) y Π es un subespacio invariante porf (esto es, f(Π) ⊆ Π) entonces el subespacio ortogonal a Π (es decir,Π⊥ = v ∈ V : 〈v, w〉 = 0,∀w ∈ Π) tambien lo es (f(Π⊥) ⊆ Π⊥). Ellopermite dar la siguiente definicion:


Definicion 12.1.1 Sea f una isometrıa de un espacio vectorial lorent-ziano (V, 〈, 〉) de dimension n + 1. Diremos que f es una transforma-cion de Lorentz pura o “boost” (resp. isometrıa espacial pura) si fadmite un subespacio Π invariante por f que verifica: tiene dimension2 (resp. dimension n), la metrica restriccion g |Π es lorentziana (resp.euclıdea) y la restriccion de la isometrıa al subespacio ortogonal f |Π⊥es la identidad.

En dimension 4 se puede demostrar que para toda transformacion deLorentz propia ortocrona f existe un “boost” f1 y una isometrıa espa-cial pura f2 tales que

f = f1 f2.

Ademas, al ser f2 esencialmente una isometrıa vectorial (y que conservala orientacion) en un espacio vectorial Π de dimension 3, f2 restringidoa alguna recta R ⊂ Π es la identidad, por lo que f2 puede considerarsecomo una rotacion pura en el plano P ⊂ Π ortogonal a R. Esto es,“f se puede escribir como composicion de un “boost” y una rotacion”–aunque el plano espacial P en el que transcurre la rotacion no esnecesariamente ortogonal al plano temporal en el que transcurre el“boost”. Ası, muchas de las propiedades mas caracterısticas de lastransformaciones de Lorentz se pueden estudiar en dimension 2.

12.1.3. L4 como modelo de espaciotiempo

Reflexionemos en primer lugar sobre por que el plano fısico ad-mite como modelo matematico al plano euclıdeo R2 ≡ (R2, dx2

1 + dx22).

Esencialmente, esto significa:

(a) El plano fısico P admite una estructura de variedad riemanniana(o de espacio afın euclıdeo) de dimension 2 que es isometricaa R2.

(b) Existe una manera fısica de construir una tal isometrıa I : P →R2. A la postre, digamos: se puede “fijar un origen, unos ejesortogonales y unidades” en el plano fısico y “proyectar” cadapunto sobre los ejes coordenados, obteniendo ası el elemento de-seado de R2.


Es de senalar que esta isometrıa no es unica. Sin embargo, si fijamosuna entonces podemos trabajar indistintamente con P o R2. Ademas,cuando se tienen dos de tales isometrıas I, I ′ : P → R2 existe unaisometrıa R de R2 tal que I ′ = R I; esto es, todo el estudio se acabareduciendo al de R2.

En Relatividad Especial se postula que el conjunto de todos loseventos (o sucesos “aquı-ahora”) del espaciotiempo admite como mo-delo fısico al espacio de Minkowski L4 con su orientacion temporalfutura. La necesidad de este postulado se puede comprobar a poste-riori, ya que permite modelar la constancia de la velocidad de la luz.Como en el caso del plano fısico tal postulado significa:

(a) El espaciotiempo como conjunto de sucesos admite una estruc-tura de variedad lorentziana (Q, g) (o de espacio afın lorentziano)de dimension 4 y orientada temporalmente que es isometrica a L4

(mediante una isometrıa que respeta los conos futuros, es decir,una isometrıa ortocrona).

(b) Existe una manera fısica de construir esa isometrıa.

Sin embargo, (b) resulta ahora menos intuitivo y precisa de discusionesfısicas. Resumiendo, se admite que dicha isometrıa se construye usandola existencia de observadores inerciales en el espaciotiempo (Q, g). Ca-da uno de estos observadores describe una geodesica (recta afın) r(t)tal que r′(t) pertenece al cono futuro y g(r′(t), r′(t)) = −1. En cadainstante t0 el observador percibe como espacio en reposo el hiperplanoafın Π(t0) que es ortogonal a r(t) en r(t0). Este hiperplano podra con-siderarse entonces como una variedad riemanniana (o un espacio afıneuclıdeo) isometrica a R3 (Figura 27).

Si nos restringimos a una dimension espacial, una vez que el ob-servador fija la isometrıa dicho observador “se ve a sı mismo” comouna recta con vector director e0 = (1, 0) de L2, siendo su “espacioen reposo” una recta de vector director e1 = (0, 1). Otro observadorsera visto por el primero como otra recta de vector director temporale′0 ∈ C↑, y tendra como espacio en reposo una recta distinta con vectordirector e′1 que sera ortogonal a e′0. La matriz de cambio de base entre(e0, e1) y (e′0, e

′1) pertenecera a O↑

1(2).


Figura 27

12.1.4. La constancia de la velocidad de la luz

En la aceptacion historica de Ln+1, n = 3, como modelo del espacio-tiempo en Relatividad Especial, el problema de la velocidad de la luz,que comentaremos brevemente, represento un papel central. Por sim-plicidad puede suponerse n = 1, aunque los desarrollos matematicosque siguen pueden extenderse para un n arbitrario.

En contra de la intuicion newtoniana clasica, tanto argumentos teoricoscomo evidencias experimentales sugerıan postular que la velocidad dela luz es finita y la misma para todos los observadores (inerciales). Losargumentos teoricos se basaban en los siguientes tres hechos:

(1) las ecuaciones de Maxwell proporcionan la velocidad de la luz-o de cualquier onda electromagnetica- con respecto a su medio depropagacion (no respecto a la fuente que la origina),

(2) la luz se propaga en el vacıo y

(3) el vacıo parece ser el mismo para todos los observadores iner-ciales.

Ası, la velocidad de la luz respecto al vacıo predicha por las ecuaciones


de Maxwell debıa ser la misma que midieran todos los observadoresinerciales, independientemente de su movimiento relativo. La eviden-cia experimental de este hecho se hallo con el celebre experimento deMichelson-Morley.

En el marco de la Mecanica Newtoniana, la existencia de esta ve-locidad c igual para todos los observadores resultaba absurda: si unobservador inercial mide como velocidad de la luz c, otro observadorinercial que se mueva a una velocidad v respecto al primero en la direc-cion y sentido de propagacion de la luz deberıa medir como velocidadde la luz c− v. Veamos como esta velocidad de propagacion constante(digamos c = 1, en unidades apropiadas) es modelable en RelatividadEspecial.

Supongamos, como al final de la subseccion anterior, que se tienendos observadores inerciales, el primero de los cuales toma coordenadasde modo que describe al espaciotiempo como Ln+1, y la recta que elmismo describe se corresponde con r(t) = t(1, 0) (≡ t(1, 0, . . . , 0)),siendo e0 ≡ r′(0) = (1, 0). Supondremos por simplicidad que la rectas que describe el segundo observador corta a r en el origen, esto es,se escribe en las coordenadas del primero como s(t) = te′0, siendoe′0 = (t0, x0) ∈ C↑ cualquier vector temporal unitario que apunte alfuturo.

La n-upla v = x0/t0 se interpreta (bien como definicion matematica,bien como postulado fısico) como la velocidad del observador asociadoa e′0 medida por el observador e0. Ahora bien, como −1 = η(e′0, e

′0) =

−t20 + ‖x0‖2 se tiene ‖v‖2 = 1 − 1/t20 y, por tanto, esta velocidad essiempre menor que 1.

Sea ahora u = (u0, u1) ∈ C↑ un vector luminoso (u0 > 0, ‖u1‖ =|u0|). El cociente v = u1/u0 verifica ‖v‖ = 1 al ser 0 = η(u, u) =u2

0−u21. Este hecho es de vital importancia para nuestro modelo, porque

permite postular que las trayectorias de los rayos de luz se describenmediante geodesicas (rectas afines) luminosas de L4 que apuntan alfuturo: cualquier observador inercial medira como velocidad de esageodesica en sus coordenadas v = u1/u0 de modo que siempre ‖v‖ = 1.

Mas aun, como demostro el propio Einstein, la descripcion unificadade los campos electrico ~E y magnetico ~B como componentes de una2-forma diferencial (vease la Subseccion 6.2.1) permite una descripcionsencilla de las ecuaciones de Maxwell y de todo el electromagnetismo.


12.1.5. Algunas consecuencias del modelo

Admitiendo L4 como modelo del espaciotiempo, debemos ser con-sistentes con el. Ello provoca algunas consecuencias que inicialmentepueden resultar sorprendentes. Historicamente, la mas conocida de el-las es la identidad entre masa (en reposo) y energıa, a traves de lafamosa ecuacion de Einstein E = mc2. Podemos intuir la necesidad deuna relacion de este tipo porque para una partıcula en movimiento, elmomento ~p = (px, py, pz) y la energıa E medidos por un observadorinercial no pueden tener un significado intrınseco (no se transformanseparadamente como las coordenadas de ningun tensor sobre L4). Re-sulta ası natural postular que no son mas que componentes de unvector (E, ~p). El escalar 〈(E, ~p), (E, ~p)〉 precisa entonces de alguna in-terpretacion fısica, y diversos analogos con la energıa cinetica clasicahacen natural postular 〈(E, ~p), (E, ~p)〉 = −m2(≡ −m2c4), siendo m lamasa que medirıa un observador para el que la partıcula estuviera enreposo. Describimos brevemente a continuacion otras consecuencias,estas puramente geometricas.

Dilatacion del tiempo. Supongamos que los observadores e′0 y e0

asignan coordenadas (T ′, 0) y (T, X), respectivamente, al evento P ,con T ′ > 0 (Figura 28).Entonces, aplicando la metrica η al vector OP obtenemos η(OP, OP ) =−(T ′)2 para el observador e′0. Para el observador e0 se tiene, en cambio,η(OP, OP ) = −T 2 + X2. Igualando ambas expresiones se tiene:

T 2 = (T ′)2 + X2

y, por tanto, T > T ′. Mas aun, dividiendo en ambos miembros por T 2

se tiene

1 =

(T ′

T

)2

+ v2,

siendo v la velocidad relativa del observador e′0 respecto del observadore0. En consecuencia,

T =1√

1− v2T ′.

Desigualdad triangular. Consideremos un triangulo lorentzianoOPQ en L4 (Figura 29). Se verifica el siguiente teorema: si OP , OQ


Figura 28

y PQ son temporales y apuntan al futuro entonces

‖OQ‖ ≥ ‖OP‖+ ‖PQ‖, (12.4)

con igualdad si y solo si los vectores son colineales. Esta desigualdadrecibe el nombre de desigualdad triangular, y se deduce analogamente ala conocida desigualdad triangular euclıdea (‖OQ‖ ≤ ‖OP‖+ ‖PQ‖).Fısicamente, (12.4) se interpreta como que el tiempo medido por elobservador e′0 que sigue la trayectoria desde O hasta Q es mayor queel medido por el observador que sigue la trayectoria OP y luego PQ.(Esta conclusion produce la popular “paradoja de los gemelos”.)

Contraccion de la longitud. Consideremos una varilla V de lon-gitud L = ‖OP‖ que esta en reposo respecto del observador e0. Parael observador e′0 la varilla tendra longitud L′ y estara en movimiento

(vease la Figura 30). Esta longitud L′ sera igual a la del segmento OP′,

interseccion del espacio en reposo de e′0 (generado por e′1) con todaslas rectas temporales Rx = (t, x) : t ∈ R generadas por cada uno delos puntos de la varilla (0, x) para x ∈ [0, L]. Por tanto,

η(OP′, OP

′) = (L′)2.

12.2. RELATIVIDAD GENERAL 265

Figura 29

Como P ′ = (T, L) en las coordenadas del observador e0, se tiene

η(OP′, OP

′) = −T 2 + L2. En consecuencia,

L′ =√−T 2 + L2

y, por tanto, L′2 < L2. Mas aun, tengase en cuenta que e′0 es orto-gonal a e′1, por lo que las coordenadas de e′0 determinadas por e0 sonproporcionales a (L, T ). La velocidad de e′0 medida por e0 es entoncesv = T/L. Ası, de la expresion anterior para L′ se tiene:

L′ =√

1− v2 · L.

12.2. Relatividad General

12.2.1. El modelo matematico

En Relatividad General, esto es, el modelo obtenido cuando se in-corporan los efectos de la gravedad a la Relatividad Especial, se postulaque el espaciotiempo fısico (o una region “macroscopicamente grande”de el) admite una estructura de variedad de Lorentz conexa temporal-mente orientada de dimension 4.

Esto se corresponde con el paso (a) de la Subseccion 12.1.3, con laimportante diferencia de que ahora no esta prefijado de antemano elmodelo matematico de variedad a la que es isometrico el espaciotiem-po. Por eso, el paso (b) de esa subseccion debe llevarse a cabo desen-tranando a la vez a que variedad lorentziana temporalmente orientableconcreta es isometrico el espaciotiempo.


Figura 30

Para esto no existen reglas fijas, pero sı se aceptan algunas pres-cripciones: (i) Cada observador se modela como una curva temporal(unitaria) γ dirigida hacia el futuro; si el observador esta en caıda libreentonces describe una geodesica (el vector velocidad de la geodesica estemporal, unitario y apunta en la direccion del cono futuro en cadapunto). (ii) Si γ(t) es un observador, en cada instante t0 podemos con-siderar el hiperplano Π ortogonal a γ′(t0) en Tγ(t0)Q (Π serıa el “espa-cio en reposo infinitesimal” de γ′(t0)) , y la hipersuperficie expγ(t0)(Π)constituye el “espacio en reposo” del observador γ en t0 (al menos paradistancias “suficientemente pequenas”). (iii) Las partıculas aceleradasvienen representadas por curvas temporales que apuntan al futuro (sunormalizacion, en lugar de unitaria, se suele escoger igual a la masaen reposo en cada instante). (iv) Los rayos de luz se describen co-mo geodesicas luminosas que apuntan tambien al futuro (la luz noesta acelerada1).

Es de senalar que el tensor de curvatura desempena ahora un papelcrucial, puesto que determina como se comportan las geodesicas. Comoveremos mas adelante (Subseccion 12.2.4), este tensor vendra determi-nado por la materia y la energıa.

1Sin embargo, no existe una interpretacion fısica clara para las geodesicas espa-ciales.


12.2.2. Causalidad

Consideremos una variedad de Lorentz orientada temporalmente(Q, g). Si p, q ∈ (Q, g), se definen las siguientes relaciones de causali-dad:

p esta en el

futuro cronologico (q << p)futuro causal estricto (q < p)pasado cronologico (p << q)pasado causal (p ≤ q)

de q

si existe una curva diferenciable a trozos,

temporal y dirigida al futurocausal y dirigida al futurotemporal y dirigida al pasadocausal y dirigida al pasado

que parte de p y llega a q. La notacion p ≤ q significa que o bien p < qo bien p = q. Se pueden comprobar relaciones del tipo:

p << q, q << r =⇒ p << rp << q, q ≤ r =⇒ p << rp ≤ q, q ≤ r =⇒ p ≤ r,

etc. Llamaremos ası futuro cronologico de p, I+(p), (resp. futuro causalde p, J+(p)) a:

I+(p) = q ∈ Q : p << qJ+(p) = q ∈ Q : p ≤ q

Para los pasados cronologico I−(p) o causal J−(p) las definiciones sonanalogas.

La estructura causal del espaciotiempo tiene un enorme interes tan-to fısico como geometrico, pudiendo presentar los futuros y pasadosmultitud de posibilidades. Ası, observemos que en el espaciotiempode Minkowski los conos aparecen como en la Figura 31, por lo que elconjunto J+(p) acaba intersecando a toda geodesica temporal dirigidahacia el futuro r(t). Sin embargo, en un espaciotiempo en el que losconos se distribuyan como en la Figura 32, ocurre que si p esta a laderecha de la lınea L (el “horizonte de sucesos”) entonces J+(p) nointerseca la region a la izquierda de L. De hecho, un observador como


γ1, que parte del punto q a la izquierda de L, una vez que atraviese Lno volvera a cruzar esta lınea, perdiendo todo contacto con la regionizquierda de L. Ası, γ1 solo podra encontrarse con γ2 si este tambiense decide a cruzar L (sabiendo que entonces γ2 tampoco la volvera apoder cruzar).

Figura 31

Para un espaciotiempo se suele admitir que se verifican diferentescondiciones de causalidad. De todas, la mas basica y menos restrictivaes la condicion de cronologıa, esto es, que no existan curvas temporalescerradas (a traves de las cuales un observador podrıa viajar a su propiopasado).

Por ultimo, senalemos la siguiente cuestion tecnica. Sea Ω > 0 unafuncion diferenciable sobre Q. A la metrica de Lorentz g′ = Ωg se lellama metrica conforme a g mediante Ω. Claramente, dos metricas con-formes presentan los mismos vectores luminosos y, por tanto, la mismacausalidad (la causalidad es un “invariante conforme”). Ademas, si dosmetricas lorentzianas g, g′ tienen iguales vectores luminosos (y, portanto, igual causalidad) entonces un bonito razonamiento algebraicomuestra que son conformes (vease, por ejemplo, [BEE, Theorem 2.3];el resultado es valido en cualquier dimension n, con la salvedad paran = 2 de que el factor Ω puede ser tambien siempre negativo). Esto


Figura 32

sugiere definir clases conformes de metricas mediante la relacion deequivalencia: g ∼ g′ si y solo si existe Ω > 0 tal que g′ = Ωg. La es-tructura conforme de un espaciotiempo equivale a la causal (conjuntode los conos luminosos futuros en cada punto), y existen multiples pro-piedades fısicas y geometricas (trayectorias de rayos luminosos, tensorde Weyl, etc.) que dependen solo de ella.

12.2.3. Propiedades maximizantes de las geodesicascausales

En el caso lorentziano, la longitud de una curva γ : [a, b] → Q se de-

fine como∫ b

a

√|g(γ′(t), γ′(t))|dt. Aunque ahora no existe una distancia

asociada como en el caso riemanniano (Seccion ??), se puede definir unconcepto con ciertas analogıas para curvas causales dirigidas al futuro.En primer lugar, observese que no podemos usar como distancia entredos puntos relacionados causalmente p, q , p ≤ q el ınfimo de las longi-tudes de las curvas causales que los conectan, puesto que este siempreserıa cero (bastarıa con coger curvas que fuesen luminosas en casi todo


su trayecto). Por el contrario, lo que se hace es tomar el supremo delas longitudes de tales curvas. Aunque este supremo puede ser ∞ (porejemplo, si existiera una curva temporal cerrada que pasase por p yq), condiciones de causalidad poco restrictivas implican su acotacion.Este supremo recibe el nombre de distancia lorentziana o separaciontemporal d(p, q) definido por:

SupL (γ) : γ curva causal dirigida al futuro que conecta p y q,que puede tomar cualquier valor en [0,∞] (si p 6≤ q entonces se defined(p, q) = 0). Con esta definicion se prueban algunas analogıas entre laspropiedades minimizantes de las geodesicas en geometrıa riemannianay las correspondientes maximizantes en geometrıa lorentziana. La masrelevante de ellas es la desigualdad triangular invertida:

d(p, q) + d(q, r) ≤ d(p, r).

Sin embargo, tambien hay notables diferencias: ası d(p, q) = 0 no im-plica p = q y, en general, d(p, q) 6= d(q, p) (de hecho, si d(p, q) = d(q, p)entonces necesariamente d(p, q) ∈ 0,∞). Las analogıas se extiendena las propiedades que relacionaban geodesicas y longitud en el casoriemanniano. Ası, si en el caso riemanniano (Seccion ??) las geodesicasminimizan localmente la longitud (en Rn+1 globalmente), en el casolorentziano las geodesicas causales la maximizan localmente (en Ln+1

globalmente). Fısicamente, la longitud de una curva causal se identificacon el tiempo medido por un observador que la recorra (“tiempo pro-pio” del observador). Por tanto, un observador en caıda libre γ medirıaun tiempo mayor que el de cualquier otro observador ρ “proximo”2 quesiga una curva temporal no geodesica, Figura 33. (Esta es la versionmas general de la “paradoja de los gemelos”.)

12.2.4. Ecuacion de Einstein

Como ya sabemos, cada espaciotiempo viene modelado por una va-riedad de Lorentz orientada temporalmente de dimension 4. Ası, unavez fijada la variedad de Lorentz es posible establecer la causalidad,la velocidad de las partıculas, las trayectorias de los rayos de luz, etc.

2Basta con que ρ y γ caigan en un mismo entorno normal, ası, en Ln+1 no esnecesaria la restriccion de que ρ sea “proximo”.


Figura 33

Ahora bien, ¿que es lo que determina la metrica g que modela al espa-ciotiempo (y su estructura topologica y diferenciable)? Parece fısica-mente razonable que sea la energıa, considerada en sentido amplio, esdecir, abarcando el momento, la masa, etc. La ecuacion de Einsteinrelaciona conceptos geometricos asociados a g, como el tensor de Ric-ci y la curvatura escalar, con conceptos fısicos como la energıa y elmomento.

La energıa del espaciotiempo fısico permite construir un campode tensores T de tipo (2, 0) y simetrico, que llamaremos tensor im-pulso -energıa, atendiendo a lo siguiente: para cada base ortonormal(e0, e1, e2, e3) en TpQ el termino T (e0, e0) medira la densidad de energıaen ese punto para cualquier observador con velocidad e0 en p; el termi-no T (e0, ei) medira la densidad de momento lineal en la direccion ei,y T (ei, ej) la densidad de presion en la direccion ej sobre la superficieen e⊥0 ortogonal a ei. Se tiene ası la matriz 4× 4:

T (e0, e0) T (e0, ei)

T (e0, ej) T (ei, ej)

,

donde T (ei, ej), i, j ∈ 1, 2, 3 es una matriz 3 × 3. En principio, estetensor, que se construye a partir de la distribucion de energıa del es-paciotiempo, debiera determinar su geometrıa. La igualdad esperada


entre elementos asociados a g y T es la ecuacion de Einstein:

Ric− 1

2Sg + Λg = T, (12.5)

donde Λ ∈ R es la constante cosmologica. Ademas (siempre que no seentre en consideraciones cuanticas como las referentes a la energıa delvacıo), se acepta que la constante cosmologica Λ debe ser 0, por lo quela ecuacion de Einstein se supondra en adelante:

Ric− 1

2Sg = T. (12.6)

Hay varios argumentos fısicos de plausibilidad en favor de (12.5)3, peroesta ecuacion debe admitirse como un postulado, sin demostracion for-mal.

Si se describe una region del espaciotiempo que este vacıa, sin mate-ria o energıa de ningun tipo, la ecuacion (12.6) queda Ric−(1/2)Sg = 0.Al tomar la traza en esta igualdad se tiene (en dimension 4): S− 1

24S =

−S = 0. En conclusion, la ecuacion de Einstein en el vacıo (con Λ = 0)queda

Ric ≡ 0. (12.7)

Observaciones:(1) Vıa la ecuacion de Einstein, el tensor energıa-impulso propor-

ciona esencialmente el tensor de Ricci. Ahora bien, el tensor de curvatu-ra R tiene “mas componentes” que el de Ricci. En efecto, en dimension4 o superior, a partir de R se puede construir el llamado tensor de WeylC el cual, conjuntamente con el Ricci, determina R. El tensor de Weyles un “invariante conforme”, esto es, depende solo de la causalidad; ası,dos metricas conformes tendran el mismo tensor de Weyl (vease el finalde la Subseccion 12.2.2). Se tiene entonces que el tensor de Ricci (de-terminado por las ecuaciones de Einstein) junto con el tensor de Weyl(determinado por la causalidad) sı determinan el tensor de curvatura

3Ası: (i) tomando un lımite apropiado se reobtiene la ecuacion de Poisson de laMecanica Newtoniana; (ii) a partir de la ecuacion de Einstein es posible deducirleyes de conservacion (div T = 0, siendo div T (v) =

∑ni,j=1 gij(∇eiT )(v, ej)), sin

necesidad de imposiciones adicionales, como en el caso de la Mecanica Newtoniana;(iii) la ecuacion (12.6) se corresponde con propiedades extremales para variacionesapropiadas de S.


R que, como vimos en la Subseccion 11.6.2, caracteriza esencialmentela metrica.

(2) Ya establecimos que T (e0, e0) es la densidad de energıa. Parecerazonable suponer que esta sea positiva, esto es, T (e0, e0) ≥ 0 paratodo e0 temporal unitario. La condicion equivalente T (v, v) ≥ 0 paratodo v temporal (y, por continuidad, tambien para todo v luminoso)recibe el nombre de condicion debil de energıa. En particular, si u esluminoso entonces de (12.6) se tiene

0 ≤ T (u, u) = Ric(u, u).

(3) Existen otros tipos de condiciones esperables sobre el compor-tamiento de T o Ric. Por ejemplo, la condicion, muy usada:

Ric(v, v) ≥ 0 para todo v temporal, (12.8)

recibe el nombre de condicion de convergencia temporal, y se interpretadiciendo que la gravedad, en promedio, atrae. Tal interpretacion sedebe a la relacion estudiada en la Subseccion 11.6.3 entre curvatura ygeodesicas por medio de la ecuacion de Jacobi.

12.2.5. Modelos cosmologicos de Robertson-Walker

Sea (QC , gC) la variedad riemanniana modelo de curvatura cons-tante C y dimension 3, esto es, un plano (C = 0), esfera (C > 0) oespacio hiperbolico (C < 0), Subseccion 11.6.2.

Sea I ⊆ R un intervalo real y f : I → R una funcion diferenciablepositiva. Se define el espaciotiempo de Robertson-Walker asociado comola variedad producto I ×QC dotada de la metrica

g = −dt2 + f 2(t)gC ,

donde t (funcion tiempo universal) es la proyeccion de I ×QC sobre I.

Usando la identificacion natural T(t0,x0)(I × QC) ≡ Tt0I × Tx0QC ,cada vector v ∈ T(t0,x0)(I × QC) puede escribirse como v = (vt0 , vx0)con vt0 ∈ Tt0I y vx0 ∈ Tx0QC . Se tiene ası:

g(v, w) = −vt0wt0 + f 2(t0)gC(vx0 , wx0).


Los espaciotiempos de Robertson-Walker son los modelos mas simplesque describen a gran escala el Universo fısico y, pese a su sencillez, haybuenos argumentos fısicos de plausibilidad a su favor4.

Para las metricas tipo g = −dt2 + f 2(t)gC que aparecen en estetipo de modelos no resulta difıcil computar el tensor de Ricci y lacurvatura escalar, ası como escribir la ecuacion de Einstein. De he-cho, dependiendo de la funcion f y resolviendo las correspondientesecuaciones de Einstein, apareceran distintas posibilidades para f (uni-versos de Friedmann, suponiendo que T es el correspondiente a un“fluido perfecto”).

La condicion de convergencia temporal (12.8) tiene importantesconsecuencias en los espaciotiempos de Robertson-Walker. En efecto,si esta condicion se verifica entonces

Ric(∂t, ∂t) ≥ 0. (12.9)

Ahora bien, no es difıcil comprobar que esta condicion equivale a quef sea concava, esto es:

f ′′ ≤ 0. (12.10)

Ejercicio. Compruebese que (12.9) implica (12.10).

De (12.10) se sigue necesariamente que si f no es constante entoncesel intervalo de definicion I de f no puede ser todo R, ya que f debeser positiva. Es mas, si f ′(t0) > 0 para cierto t0 ∈ I entonces I =]a, b[esta acotado por la izquierda, esto es, −∞ < a < b ≤ ∞. Esta con-clusion es relevante, porque, efectivamente, se cree5 que actualmenteel Universo se esta expandiendo, (esto es, f ′(t0) > 0 para el tiempouniversal actual t0), lo que sugiere que el tiempo universal tuvo unprincipio: la Gran Explosion o Big Bang (Figura 34).

Ideas de este tipo se hallan presentes en los celebres (y mucho masgenerales) teoremas de singularidades de Hawking y Penrose.

4Entre ellos: (1) cada hipersuperficie a t ≡ t0 constante, dotada de la metricaespacial g = f2(t0)gC , es isotropa y homogenea, lo que coincide a gran escala conla estructura observada del universo; (2) es un dato experimental aceptado que, agran escala, el universo se va enfriando, lo que permite identificar la funcion tiempouniversal t con, esencialmente, la inversa de la temperatura media del universo.

5Debido al corrimiento al rojo del espectro de las estrellas, por el efecto Doppler.


Figura 34Posibilidades para f(> 0) si f ′′ ≤ 0 y f no es constante.

Si f ′(t0) > 0 para algun t0 ∈ I, necesariamente el extremo inicial adebe ser finito.

12.2.6. Espaciotiempo de Schwarzschild

La caracterıstica mas sorprendente del espaciotiempo de Schwarzschildes que conduce a la aparicion de una singularidad fısica que, a dife-rencia de las que eventualmente pueden tener los espaciotiempos deRobertson-Walker, estarıa presente en el Universo actual, debido a laevolucion natural de muchas estrellas. Muy grosso modo, podemos de-cir que aparece una singularidad fısica cuando se dan simultaneamentelos siguientes elementos:

(1) Existen geodesicas temporales incompletas. Por ejemplo, en elcaso de un espaciotiempo Robertson-Walker las geodesicas tem-porales s 7→ (s, x0) son incompletas (hacia el pasado) cuandoI =]a, b[, a > −∞.

(2) El espaciotiempo es inextensible, esto es, no se puede considerarcomo un abierto propio de un espaciotiempo mayor.

(3) Existe algun “invariante” o funcion (escalar) asociado al tensorde curvatura que diverja a lo largo de alguna geodesica temporalincompleta γ (un ejemplo de invariante es

∑ni,j,k,l=1 RijklRijkl,

pero no una coordenada concreta6 Rijkl).

6No obstante, la divergencia de alguna coordenada Rijkl para una “tetrada


El espaciotiempo de Schwarzschild modela el campo gravitatorio ge-nerado fuera de una estrella con simetrıa esferica que no rota. Con-cretamente, se trata de la variedad Q = R×]2m,∞[×S2 dotada de lametrica7

g = −(

1− 2m

r

)dt2 +

1

1− 2mr

dr2 + r2(dθ2 + sen2θdφ2).

La constante m > 0 admite la interpretacion de masa de la estrella.En r = 2m (radio de Schwarzschild) la metrica es singular. Sin

embargo, no se trata de una singularidad fısica (sino de un horizontede sucesos). De hecho, si consideramos la region 0 < r < 2m dota-da formalmente de la misma metrica, que vuelve a ser una variedadde Lorentz (“agujero negro de Schwarzschild”), es posible “pegar porel borde” esta con la region r > 2m de manera que desaparezca lasingularidad en r = 2m. De manera mas precisa, existe un espacio-tiempo mayor (K, g) (espaciotiempo de Kruskal) tal que dos abiertossuyos K+, K− son isometricos, respectivamente, a las regiones r > 2my 0 < r < 2m, estando K+ y K− separados por una hipersuperficie enla que g esta bien definida.

Sin embargo, el agujero negro de Schwarzschild (y, por tanto, elespaciotiempo de Kruskal) presenta una singularidad, que sı es fısica(en el sentido del principio de esta subseccion), en r = 0. El estudio dela evolucion estelar muestra que, para estrellas con una masa superior acierta cantidad crıtica, el espaciotiempo de Kruskal, incluido el agujeronegro de Schwarzschild, puede tomarse como un modelo apropiado desu campo gravitatorio (vease, p. ej., [HE]).

paralela” (base de campos sobre γ obtenida por transporte paralelo) sı se considera“invariante”, al ser esta propiedad independiente de la tetrada escogida.

7Las principales condiciones de plausibilidad de este modelo son las siguientes:(1) el Ricci de g es nulo, lo que permite modelar el campo fuera de la estrella,esto es, el vacıo que rodea la estrella, vease (12.7); (2) la coordenada t se puedeinterpretar como una coordenada temporal, siendo los coeficientes de la metricaindependientes de ella, lo que da idea de una situacion estacionaria; (3) cada hiper-superficie a t constante es ortogonal a ∂t (su espacio en reposo), y tiene simetrıaesferica; (4) asintoticamente, cuando r → ∞, la metrica tiende a la del espacio-tiempo de Minkowski L4. Esencialmente, estas condiciones fijan al espaciotiempode Schwarzschild unıvocamente.

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