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Introduccion a la Fısica de Agujeros Negros

Curso de licenciaturaSegunda Escuela de Fısica Fundamental Centroamericana

Tegucigalpa, 29 de Agosto - 2 de Septiembre de 2016

Olivier SarbachInstituto de Fısica y Matematicas

Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo

Indice general

1. Repaso de la relatividad especial 51.1. Una breve historia de la gravitacion . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Teorıa de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1. Las transformaciones de Poincare . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2. Tensores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3. Las ecuaciones de Maxwell en forma covariante . . . . . . 131.3.4. Las ecuaciones de movimiento para una partıcula relativista 15

1.4. La estructura causal del espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. La fısica sobre el espacio-tiempo curvo 212.1. El principio de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Espacios curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3. Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4. Campos tensoriales y derivada covariante . . . . . . . . . . . . . 262.5. La formulacion matematica del principio de equivalencia . . . . . 272.6. El lımite Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. La geometrıa de Schwarzschild 333.1. La metrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Las geodesicas en la metrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . 34

3.2.1. Las trayectorias acotadas de partıculas masivas y la pre-cesion del perihelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2. La desviacion de la luz por un objeto central . . . . . . . 393.3. El agujero negro de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1. El diagrama de Eddington-Finkelstein . . . . . . . . . . . 423.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Agujeros negros rotantes 474.1. La metrica de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2. Observadores estacionarios y estaticos . . . . . . . . . . . . . . . 484.3. Las geodesicas en el espacio-tiempo de Kerr . . . . . . . . . . . . 49

3

4 INDICE GENERAL

4.4. Las leyes de la termodinamica de los agujeros negros . . . . . . . 514.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A. Transformaciones afines 55

B. Curvatura 59

Capıtulo 1

Motivacion y repaso de larelatividad especial

Literatura para este capıtulo: [1].

1.1. Una breve historia de la gravitacion

1600: Galileo Galilei introduce la idea de sistemas de referencia en movimien-tos y encuentra que la aceleracion de cuerpos en caıda libre es universal.

1666: Isaac Newton formula la ley universal de la gravedad y las ecuacionesde movimiento de la mecanica clasica.

1854: Georg Friedrich Bernhard Riemann interpreta el espacio como unmedio e introduce la nocion de distancia a traves de una metrica. Estollevara a la formulacion de la geometrıa diferencial.

1873: James Clerk Maxwell formula las ecuaciones completas de la electro-dinamica. Ademas, la teorıa de Maxwell ofrece un modelo de la luz comoun efecto electromagnetico y predice correctamente la velocidad de la luz.

1887: Michelson y Morley muestran a traves de experimentos que la existen-cia del eter queda descartada.

1905: Albert Einstein formula la teorıa de la relatividad especial, lo que llevaa una verdadera revolucion en la estructura del espacio y del tiempo.

1915: Albert Einstein formula la teorıa de la relatividad general que explica laprecesion del perihelio de Mercurio. La relatividad general tambien predicevarios efectos nuevos (desviacion gravitatoria de la luz, corrimiento al rojogravitatorio, ondas gravitatorias) algunos de ellos que son sorprendentes(agujeros negros, expansion del universo).

5

6 CAPITULO 1. REPASO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

1916: Karl Schwarzschild descubre la primera solucion no-trivial en vacio delas ecuaciones de Einstein, describiendo el campo gravitatorio externo auna configuracion de masa esfericamente simetrica. Como se lograra aentender varias decadas despues, esta solucion tambien describe un agujeronegro sin rotacion.

1916: Albert Einstein predice la existencia de ondas gravitatorias.

1919: Eddington y Dyson miden la desviacion de la luz durante un eclipse so-lar y encuentran que concuerda con la prediccion de la relatividad general.Einstein se vuelve famoso en los medios populares.

1927: Georges Lemaıtre predice la expansion del universo, basado en las ecua-ciones de Einstein. Un par de anos despues, los trabajos de Edwin Hub-ble confirman esta prediccion.

1963: Roy Kerr descubre la generalizacion de la metrica de Schwarzschild parael caso con rotacion.

1975: Hulse y Taylor descubren el primer sistema binario con un pulsar, loque permite verificar la validez de la formula cuadrupolar algunos anosdespues. Premio Nobel de Fısica 1993.

2016: Experimento LIGO: Primera deteccion directa de las ondas gravitato-rias producidas por un sistema binario de agujeros negros. Se abre unanueva ventana a nuestro universo.

La relatividad general juega un papel importante en varias ramas de la fısicaactual. Por ejemplo, es fundamental para entender el colapso de una estrella ypara entender la estructura de nuestro universo a grandes escalas. Tambien juegaun papel importante en teorıas modernas de unificacion de las fuerzas.

1.2. Teorıa de Newton

En la teorıa de Newton existen sistemas de referencias (t, x) = (t, x, y, z)preferidos (pero idealizados) que se llaman los sistemas inerciales. Estan carac-terizados por las siguientes propiedades:

(i) Las partıculas libres se mueven en trayectorias rectas,

d2x

dt2= 0.

(ii) Sean (t1, x1) y (t2, x2) dos eventos, entonces la cantidad

|t1 � t2|

es independiente del sistema inercial.

1.2. TEORIA DE NEWTON 7

Ademas, sean (t, x1) y (t, x2) dos eventos simultaneos, entonces la cantidad

|x1 � x2|

es independiente del sistema inercial.

Las propiedades (i) y (ii) implican que dos sistemas inerciales (t, x) y (t, x)estan conectados por una transformacion de coordenadas de la forma

t = � t+ a, (1.1)

x = Rx+ v t+ b, (1.2)

donde � = ±1, a 2 R, b y v son vectores en R3 yR 2 O(3) es una transformacionortogonal. Para ver esto, observamos primero que la propiedad (i) implica quela transformacion L : (t, x) 7! (t, x) mapea rectas sobre rectas. El Teorema 1en el apendice A implica1 que L debe ser una transformacion afın. Entonces lapropiedad (ii) lleva a la forma (1.1,1.2), ver el ejercicio 1.

El conjunto de todas las transformaciones que son de la forma (1.1,1.2)constituyen el grupo de Galilei, un grupo de Lie de dimension 10.

Las ecuaciones de movimiento de Newton para una partıcula en un potencialgravitatorio � son

mix = F (t, x) = �mgr�(t, x), (1.3)

��(t, x) = 4⇡G⇢(t, x), (1.4)

donde ⇢ es la densidad gravitatoria de masa, mi es la masa inercial de la partıcu-la, mg su masa gravitatoria,

G = 6,6743⇥ 10�11m3kg�1s�2

la constante de Newton, r = (@x, @y, @z) el operador nabla y � = @2x + @2

y + @2z

el operador de Laplace.

Ejemplo: Considere un objeto puntual de masa M en el origen. Entonces,⇢(t, x) = M�(x) y

�(t, x) = �GM

|x| .

Entonces,

F (t, x) = �GMmg

|x|3 x.

Los experimentos de Galilei surgieren que la aceleracion es independiente dela masa de los cuerpos, lo que implica que la masa inercial es igual a la masa

gravitatoria,mi = mg .

1De ahora en adelante, vamos a suponer que todas las transformaciones de coordenadasson invertibles.


Es facil ver que las ecuaciones de movimiento de Newton son invariantes bajo

transformaciones de Galilei, ver el ejercicio 1. Hasta aquı todo esta consistente.Pero un problema aparece a la hora de considerar las ecuaciones de Maxwell,2

r ·B = 0, r^ E +1

c

@

@tB = 0, (1.5)

r · E = ⇢c , r^B � 1

c

@

@tE =

1

cjc, (1.6)

donde E y B denotan el campo electrico y magnetico, c es la velocidad de la luz,⇢c la densidad de carga y j

cla densidad de corriente electrica. En la ausencia de

fuentes (⇢c = 0, jc= 0) las ecuaciones de Maxwell implican que las componentes

u de E y B satisfacen la ecuacion de onda

1

c2@2

@t2u��u = 0. (1.7)

En particular (y a diferencia del campo gravitatorio Newtoniano �) la teorıade Maxwell admite soluciones tipo onda (la radiacion electromagnetica) y en elvacıo, estas ondas siempre se propagan a la velocidad de la luz

c = 299, 792, 458m/s.

Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell no pueden ser invariantes bajo trans-

formaciones de Galilei. De otra forma, podrıamos considerar un rayo de luz yun observador que viaja a la velocidad de la luz en la misma direccion que elrayo de luz. El observador verıa el rayo de luz (que fue emitido en el sistemade reposo) como una onda estacionaria y no un rayo de luz. Geometricamente,esta falta de invariancia esta relacionada con la falta de invariancia del cono de

luz en un evento e := (t, x)

Ce := {(s, y) 2 R4 : c|s� t| = |y � x|},bajo las transformaciones de Galilei, ver el ejercicio 2.

1.3. Relatividad especial

Para resolver la friccion que surge de la incompatibilidad de las ecuacionesde Maxwell con las transformaciones de Galilei, Albert Einstein postulo en 1905:

(a) Los sistemas inerciales estan caracterizados por las siguientes propiedades:

(i) Las partıculas libres se mueven en trayectorias rectas,

d2x

dt2= 0.

(ii)’ La velocidad de la luz es independiente del sistema inercial.2Aquı los sımbolos · y ^ denotan los productos escalares y vectoriales, respectivamente.

1.3. RELATIVIDAD ESPECIAL 9

(b) Las leyes de la mecanica y de la electrodinamica son las mismas en cadasistema inercial

Como vemos, la propiedad (ii)’ reemplaza la propiedad (ii) en la teorıa Newto-niana. Implica que el cono de luz en un evento e = (t, x) es independiente delsistema inercial: Si L es una transformacion entre dos sistemas inerciales tal queL(e) = e0, entonces L(Ce) = Ce0 .

Los postulados de Einstein sugieren el siguiente programa: Primero, tenemosque encontrar el grupo de transformaciones de un sistema inercial a otro, es de-cir, tenemos que encontrar las transformaciones de coordenadas (t, x) 7! (t, x)que son compatibles con los puntos (i) y (ii)’ arriba. Las transformaciones queresultan se llaman las transformaciones de Poincare y reemplazan las transfor-maciones de Galilei. Luego, tenemos que reformular las ecuaciones de movimien-to de Newton (1.3,1.4) y las ecuaciones de Maxwell (1.5,1.6) en una forma quees invariante bajo transformaciones de Poincare.

1.3.1. Las transformaciones de Poincare

Para encontrar las transformaciones que son compatibles con los puntos (i)y (ii)’ es conveniente introducir la notacion que sigue

x = (xµ) = (ct, x), (µ = 0, 1, 2, 3).

Ademas introducimos la matriz3 simetrica

(⌘µ⌫) :=

0

BB@

�1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1

CCA .

Con esta notacion, y el convenio de sumacion sobre ındices repetidos, podemoscaracterizar el cono de luz C por

0 = ⌘µ⌫�xµ�x⌫ = �c2(�t)2 + |�x|2,donde �xµ := xµ

2 � xµ1 . ⌘µ⌫ define una forma bilineal (“producto escalar Loren-

tziano”),

(v,w) := ⌘µ⌫vµwµ = �v0w0 + v1w1 + v2w2 + v3w3, v,w 2 R4,

que no es positivo. El cono de luz consiste de los vectores �x 2 R4 para loscuales (�x,�x) = 0. De hecho, no es difıcil mostrar que cualquier otra formabilineal (., .)0 que caracteriza el cono de luz de esta manera esta relacionada con(., .) a traves de una constante multiplicativa, es decir, existe ↵ 6= 0 tal que

(v,w)0 = ↵(v,w)

para todos v,w 2 R4, ver el ejercicio 3.

3Como vamos a ver pronto, ⌘ no es realmente una matriz sino un tensor.


Ahora sea L : x 7! x una transformacion de un sistema inercial a otro. Comoantes, la propiedad (i) implica que L mapea rectas sobre rectas y el Teorema 1en el apendice A implica que L debe ser una transformacion afın. Entoncesexisten A 2 GL(4,R) y a 2 R4 tales que

x = Lx = Ax+ a.

Puesto que L debe dejar el cono de luz invariante (por la propiedad (ii)’), tene-mos que

(Av, Aw) = ↵(v,w) (1.8)

para todos v,w 2 R4, donde ↵ 6= 0 es una constante. Esta constante debeser positiva porque de otra manera, la transformacion lineal A mapearıa elinterior, (v,v) < 0, del cono de luz (un conjunto desconectado) sobre el exterior,(v,v) > 0, del cono de luz (un conjunto conectado) lo que no es posible dadoque A es continua.

En forma matricial, la condicion (1.8) tambien se puede escribir como

vTAT ⌘Aw = ↵vT ⌘w

para todos v,w 2 R4. Entonces, A tiene la forma

A = ⌦⇤, (1.9)

donde ⌦ > 0 es una constante positiva y ⇤ 2 GL(4,R) satisface

⇤T ⌘⇤ = ⌘. (1.10)

Una transformacion lineal ⇤ : R4 ! R4 que satisface (1.10) se llama trans-formacion de Lorentz. El conjunto de todas estas transformaciones forma ungrupo que se llama el grupo de Lorentz. Elementos particulares de este gruposon:

(1) Un boost (empuje) con velocidad v (|v| < c) en la direccion x:

⇤ =

0

BB@

� �� 0 0�� 0 00 0 1 00 0 0 1

1

CCA , � =1p

1� �2, � =

v

c.

(2) Rotaciones:

⇤ =

✓1 0T

0 R

◆, R 2 SO(3).

(3) Inversion del sentido del tiempo:

⇤ =

0

BB@

�1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1

CCA .


(3) Inversion de la paridad:

⇤ =

0

BB@

1 0 0 00 �1 0 00 0 �1 00 0 0 �1

1

CCA .

Se puede mostrar que cualquier transformacion de Lorentz se puede escribircomo una composicion de estos elementos particulares. Existe un boost y unarotacion en cada direccion, por lo tanto, el grupo de Lorentz es hexadimensional.

Ahora regresamos al resultado (1.9), A = ⌦⇤. Queremos concluir que elfactor de escala, ⌦, debe ser uno. Para mostrar esto vamos a suponer que cada

sistema inercial posee una escala fija. Esto implica que ⌦ debe ser constantepara ⇤ fijo y que A solamente puede depender de ⇤,

A = A(⇤) = ⌦(⇤)⇤, ⌦(⇤) > 0.

Ademas, tenemos que A(⇤1) � A(⇤2) = A(⇤1 � ⇤2) para todas las transforma-ciones de Lorentz ⇤1,⇤2. Entonces,

⌦(⇤1) · ⌦(⇤2) = ⌦(⇤1 � ⇤2) (1.11)

para todas las transformaciones de Lorentz ⇤1,⇤2. Pero esta condicion y lapositividad de ⌦ implican que ⌦(⇤) = 1 para todas las transformaciones deLorentz.4

Concluimos que las transformaciones L que llevan de un sistema inercial aotro tienen la forma

Lx = ⇤x+ a, x 2 R4, (1.12)

donde ⇤ es una transformacion de Lorentz y a 2 R4. El conjunto de todas estastransformaciones generan un grupo de Lie de dimension 10 llamado grupo dePoincare. Notamos que las rotaciones, las translaciones y la inversion de laparidad y del sentido del tiempo tambien son elementos del grupo de Galilei.Los boosts reemplazan las transformaciones de Galilei

t = t, x = x+ vt.

Por ejemplo, un boost en la direccion x tiene la forma

t = �⇣t+

v

c2x⌘, (1.13)

x = �(x+ vt) (1.14)

4Esto se puede demostrar de la siguiente forma: Primero, eligiendo ⇤1 = ⇤2 = I (laidentidad) en (1.11) obtenemos ⌦(I) = 1. Luego, si ⇤ es una inversion de paridad o del sentidodel tiempo, tenemos que ⇤2 = I y (1.11) implica que ⌦(⇤) = 1. Luego, sea ⇤ una rotacion porel eje e, y sea S una rotacion con el angulo ⇡ por un eje perpendicular a e. Entonces, S2 = I

y ⇤�1 = S⇤S. Por lo tanto, (1.11) implica que ⌦(⇤) = 1. De manera similar, sea ⇤ un boosten la direccion x y S la rotacion con el angulo ⇡ por el eje z. Entonces S2 = I y ⇤�1 = S⇤S yconcluimos que ⌦(⇤) = 1, como antes. Finalmente, ya que cualquier transformacion de Lorentzse puede representar por la composicion de transformaciones analizadas hasta el presente,concluimos que ⌦(⇤) = 1 para todas las transformaciones de Lorentz.


(y y = y, z = z), donde � = [1 � (v/c)2]�1/2. Entonces recuperamos las trans-formaciones de Galilei en el lımite formal c ! 1. Para c finito ocurren efectoscinematicos que no se dan en la teorıa Newtoniana:

(a) Dilatacion del tiempo: Considere un reloj en reposo en el sistema inercial(t, x), y sea �t una unidad de tiempo fija medida por este reloj. Un ob-servador que se mueve en un sistema inercial (t, x) con velocidad v 6= 0con respecto a (t, x) nota que �t = ��t > �t.

(b) Contraccion del espacio: Considere un objeto de tamano L que se encuen-tra en reposo en el sistema inercial (t, x). Un observador que se mueve enun sistema inercial (t, x) con velocidad v 6= 0 con respecto a (t, x) mideque el objeto tiene el tamano L/� < L.

(c) Adicion de velocidades: Demuestre que la composicion de dos boosts convelocidades v1 y v2 en la misma direccion, x, digamos, corresponden a unboost con velocidad

v = c� =v1 + v21 + v1v2

c2(1.15)

en la direccion x (ver Ejercicio 4). En particular, |v| < c si |v1| < c y|v2| < c.

1.3.2. Tensores de Lorentz

Definimos el espacio de Minkowki M := (R4, (., .)), donde (., .) es el pro-ducto

(v,w) := ⌘µ⌫vµwµ = �v0w0 + v1w1 + v2w2 + v3w3, v,w 2 R4.

Las definiciones que siguen podrıan parecer un poco artificiales a primera vista.Adquieren un contenido mas natural y general en el contexto de la geometrıadiferencial.

Definicion 1 Sea xµ = ⇤µ⌫x⌫ + aµ una transformacion de Poincare, donde

⇤µ⌫ denotan las componentes de la matriz ⇤ con respecto a la base canonica en

R4.

1. Una funcion � : M ! R se llama un escalar de Lorentz si

�(x) = �(x), x 2 M.

2. Un campo vectorial X : M ! R4se llama un vector de Lorentz (o cuadri-

vector) si

Xµ(x) = ⇤µ⌫X

⌫(x), x 2 M.

Ademas, un cuadrivector v 2 M se llama tipo tiempo si (v,v) < 0, tipoespacio si (v,v) > 0, y nulo si (v,v) = 0.


3. Un covector de Lorentz es un mapeo V : M ! R4tal que

Vµ(x) = ⇤µ⌫V⌫(x), x 2 M,

donde ⇤µ⌫denota las componentes de (⇤�1)T . Notamos que ⇤↵

µ⇤↵⌫ =

⇤µ↵⇤⌫

↵ = �µ⌫y que la contraccion de un vector con un covector de Lo-

rentz es un escalar de Lorentz:

XµVµ = ⇤µ↵X

↵⇤µ�V� = �↵

�X↵V� = X↵V↵ .

4. De manera mas general, un tensor de Lorentz del tipo (r, s) es un

mapeo T : M ! R4(r+s), x 7! Tµ1µ2...µr

⌫1⌫2...⌫s(x) tal que

T µ1...µr⌫1...⌫s(x) = ⇤µ1

µ1 ···⇤µrµr⇤⌫1

⌫1 ···⇤⌫s⌫sTµ1...µr

⌫1...⌫s(x), x 2 M.

Notamos que si Tµ1µ2...µr⌫1⌫2...⌫s ⌘ 0 en un sistema inercial, T µ1...µr

⌫1...⌫s

tambien es cero en cualquier otro sistema inercial.

Ejemplos:

1. ⌘µ⌫ es un tensor de Lorentz (constante) del tipo (0, 2) dado que

⌘µ⌫ = ⇤µµ⇤⌫

⌫⌘µ⌫ =⇥(⇤�1)T ⌘⇤�1

⇤µ⌫

= ⌘µ⌫ .

2. ⌘µ⌫ := (⌘�1)µ⌫ = ⌘µ⌫ es un tensor de Lorentz (constante) del tipo (2, 0)puesto que

⇤µµ⇤

⌫⌫⌘

µ⌫ =⇥⇤⌘⇤T

⇤µ⌫= ⌘µ⌫ .

3. Los tensores ⌘µ⌫ y ⌘µ⌫ se pueden usar para “subir” y “bajar” los ındices detensores. Por ejemplo, sea Xµ(x) un campo vectorial de Lorentz, entonces

Vµ(x) := ⌘µ⌫X⌫(x)

es un covector de Lorentz:

Vµ = ⌘µ⌫X⌫ = ⌘µ⌫⇤

⌫⌫X

⌫ = [⌘⇤]µ⌫X⌫

= [(⇤�1)T ⌘]µ⌫X⌫ = ⇤µ

↵⌘↵⌫X⌫ = ⇤µ

↵V↵ .

De manera similar, Xµ(x) := ⌘µ⌫V⌫(x) es un campo vectorial de Lorentzsi Vµ(x) es un covector de Lorentz.

1.3.3. Las ecuaciones de Maxwell en forma covariante

Consideramos primero las ecuaciones de Maxwell homogeneas,

r ·B = 0, r^ E +1

c

@

@tB = 0.


Estas ecuaciones se pueden resolver introduciendo un potencial escalar � y unpotencial vectorial A tales que

B = r^A, (1.16)

E = �r�� 1

c

@

@tA. (1.17)

Los potenciales (�, A) no son unicos; la transformacion de norma

� 7! �� 1

c

@

@t�, A 7! A+r�, (1.18)

donde � es una funcion diferenciable arbitraria, dejan E y B invariantes. Comovemos de (1.18) es conveniente definir el cuadrivector

A = (Aµ) ⌘ (��, A). (1.19)

Con el operador (@µ) = (c�1@t,r) definido en (1.41) la transformacion (1.18)se puede escribir como

Aµ 7! Aµ + @µ�. (1.20)

Por otro lado, las componentes de (1.16,1.17) son

B1 = @2A3 � @3A2 , y permutaciones cıclicas de 123, (1.21)

Ej = @jA0 � @0Aj , j = 1, 2, 3. (1.22)

Entonces, si definimosFµ⌫ := @µA⌫ � @⌫Aµ , (1.23)

obtenemos

(Fµ⌫) = (�F⌫µ) =

0

BB@

0 �E1 �E2 �E3

E1 0 B3 �B2

E2 �B3 0 B1

E3 B2 �B1 0

1

CCA . (1.24)

Puesto que el tensor "↵�� definido en (1.42) es totalmente antisimetrico, tene-mos que

"↵��@�F �� = 2"↵��@

�@�A� = 0.

Estas son las ecuaciones homogeneas de Maxwell.Ahora consideramos las ecuaciones inhomogeneas,

r · E = ⇢c , r^B � 1

c

@

@tE =

1

cjc.

Definiendo el cuadrivector(jµ) := (c⇢c, jc) (1.25)

no es difıcil ver que se pueden escribir de la forma (ver el ejercicio 6)

@�F↵� =

1

cj↵. (1.26)


Resumiendo, si consideramos E y B como componentes del tensor anti-simetrico

(Fµ⌫) =

0

BB@

0 E1 E2 E3

�E1 0 B3 �B2

�E2 �B3 0 B1

�E3 B2 �B1 0

1

CCA , (1.27)

y si introducimos el cuadrivector (jµ) := (c⇢c, jc), las ecuaciones de Maxwell sepueden escribir como

"↵��@�F �� = 0, (1.28)

@�F↵� =

1

cj↵. (1.29)

Pidiendo que Fµ⌫ se transforme como un tensor de Lorentz del tipo (2, 0) y quejµ se transforme como un vector de Lorentz, (1.28,1.29) se vuelven ecuacionesentre tensores de Lorentz y por lo tanto tienen la misma forma en cualquiersistema inercial.

Observaciones

1. La ecuacion de continuidad @t⇢c + rjc= @µjµ = 0 es una consecuencia

inmediata de (1.29) y de la antisimetrıa de Fµ⌫ .

2. Aplicando la regla de transformacion Fµ⌫ = ⇤µ↵⇤⌫

�F↵� a un boost convelocidad v = c� en la direccion x,

x0 = �(x0 + �x1),

x1 = �(�x0 + x1), � = (1� �2)�1/2,

y x2 = x2, x3 = x3, encontramos que

E1 = E1 , E2 = �(E2 + �B3), E3 = �(E3 � �B2), (1.30)

B1 = B1 , B2 = �(B2 � �E3), B3 = �(B3 + �E2). (1.31)

Entonces un boost mezcla el campo electrico con el campo magnetico.Por ejemplo, si q es una carga electrica en reposo con respecto al sistemainercial (t, x) un observador que se mueve a una velocidad constante nocero con respecto al sistema inercial (t, x) detecta un campo magnetico(B 6= 0) aun si B = 0.

1.3.4. Las ecuaciones de movimiento para una partıcularelativista

Logramos formular las ecuaciones de Maxwell de tal manera que son inva-riantes bajo transformaciones de Poincare. Ahora generalizamos la ecuacion demovimiento de Newton,

mix = F (t, x), (1.32)


al caso relativista. Para esto, pensamos primero como definir la velocidad enrelatividad. Una posibilidad es dxµ/dt, pero el problema con esta definicion esque no resulta en un vector de Lorentz puesto que t no es un escalar de Lorentz.

Sea xµ(�) la linea de mundo de una partıcula con masa inercial mi, donde� es un parametro de curva. Suponemos que la partıcula se mueve con unavelocidad menor que la de la luz. Geometricamente, esto significa que para todo� el cuadrivector dxµ/d� es de tipo tiempo. En vez de t introducimos el tiempo

propio ⌧ definido por

d⌧ =1

cds,

ds

d�:=

r�⌘µ⌫

dxµ

d�

dx⌫

d�. (1.33)

Por definicion, ⌧ es un escalar de Lorentz que no depende de la parametrizacion� de la curva. Entonces

uµ :=dxµ

d⌧(1.34)

es un vector de Lorentz independiente de �, llamado cuadrivelocidad. Las defi-niciones (1.33,1.34) son independientes del parametro �. Si usamos � = t paraparametrizar la trayectoria de la partıcula encontramos que

d⌧ =

r1� |v|2

c2dt =

dt

�

y por lo tanto, (uµ) = �(c, v), donde v := dx/dt. En el lımite Newtoniano|v|/c ⌧ 1 vemos que d⌧ ⇡ dt y uj ⇡ vj , j = 1, 2, 3.

Con estas definiciones es obvio como generalizar (1.32) al caso relativista:Reemplazamos v = dx/dt por la cuadrivelocidad uµ = dxµ/d⌧ , el momentolineal p = miv por el cuadrimomento pµ = miuµ y (1.32) por

dpµ

d⌧= Fµ, (1.35)

donde pedimos que Fµ se transforme como un vector de Lorentz bajo transfor-maciones de Poincare. La energıa cinetica relativista esta definida por E = cp0.Puesto que

✓E

c

◆2

� |p|2 = �pµpµ = m2i �

2(c2 � |v|2) = m2i c

2,

encontramos que

E = cq

m2i c

2 + |p|2 = �mic2.

La pregunta que queda es como elegir el cuadrivector Fµ de fuerza. Para darun ejemplo, consideremos una partıcula con masa inercial mi y carga q que semueve bajo la influencia de un campo electromagnetico Fµ⌫ . En un sistemainercial tal que v(0) = dx/dt|t=0 = 0 (reposo momentaneo) la partıcula nosiente el campo magnetico al tiempo t = 0, y

mid2x

dt2

��t=0

= qE(0, x(0)).

1.4. LA ESTRUCTURA CAUSAL DEL ESPACIO-TIEMPO 17

Esta ecuacion es equivalente a

dpµ

d⌧=

q

cFµ⌫u⌫ (1.36)

al tiempo t = 0. No obstante, (1.36), siendo una ecuacion para vectores deLorentz, vale en cualquier sistema inercial y por esta razon, Fµ = qc�1Fµ⌫u⌫ .Si v 6= 0, obtenemos

d

dt�mic

2 = q v · E, (1.37)

d

dt�miv = q

⇣E +

v

c^B

⌘. (1.38)

La primera ecuacion expresa la conservacion de la energıa. El lado derecho dela segunda ecuacion es la fuerza de Lorentz.

1.4. La estructura causal del espacio-tiempo

En la teorıa Newtoniana, el tiempo es absoluto. Dado un evento e = (t, x),cualquier otro evento ocurre o en el futuro de e, o en el pasado de e o bien almismo tiempo que el evento e. Existen las superficies distinguidas

⌃t = {(t, x) : x 2 R3}, t 2 R

que caracterizan el conjunto de eventos simultaneos. Los sistemas inercialesestan relacionados a traves de las transformaciones de Galilei.

En la relatividad especial, la simultaneidad es una nocion relativa. Las es-tructuras invariantes son los conos de luz

Ce := {(s, y) 2 R4 : �c2(s� t)2 + |y � x|2 = 0},en cada evento e = (ct, x). Dado dos eventos e1 = (ct1, x1) y e2 = (ct2, x2), losobservadores inerciales solamente pueden ponerse de acuerdo si e1 y e2 estanrelacionados de manera

causal: (e1 � e2, e1 � e2) 0,

estrictamente causal: (e1 � e2, e1 � e2) < 0,

acausal: (e1 � e2, e1 � e2) > 0.

Los sistemas inerciales estan relacionados a traves de las transformaciones dePoincare.

La estructura causal del espacio-tiempo no es fija en la relatividad generalcomo en la teorıa Newtoniana o en la relatividad especial, sino que esta in-fluenciada por la presencia de materia y de radiacion. Como en la relatividadespecial, la estructura causal se define a traves de un cono de luz

gµ⌫XµX⌫ = 0,


pero en la relatividad general el tensor metrico gµ⌫(x) puede variar de un puntodel espacio-tiempo a otro. Ademas, la topologıa del espacio-tiempo no tiene porque ser R4, puede ser mas complicada. Como vamos a ver, el tensor metrico gµ⌫no solamente describe la estructura causal del espacio-tiempo sino tambien elcampo gravitatorio. Las ecuaciones de Einstein relacionan la (curvatura de) lametrica con el tensor de energıa-impulso. Una propiedad importante de la relati-vidad general es que no existen sistemas de referencia preferidos. Las ecuacionesde campo valen en todos los sistemas de referencia.

1.5. Ejercicios

Ejercicio 1. Consideramos los postulados Newtonianos (i) y (ii) que discutimosal principio de la seccion 1.2. Demuestre que estos postulados implican que dossistemas inerciales (t, x) y (t, x) estan conectados entre ellos a traves de unatransformacion de la forma

t = � t+ a,

x = Rx+ v t+ b,

donde � = ±1, a 2 R, b y v son vectores en R3 yR 2 O(3) es una transformacionortogonal.

Verifique que las ecuaciones de Newton son invariantes bajo las transforma-ciones de Galilei.

Ejercicio 2. Sea

Ce := {(s, y) 2 R4 : c|s� t| = |y � x|},

el cono de luz en el evento e = (t, x).Demuestre que si L es una transformacion de Galilei que lleva el evento e

al evento e0, entonces L(Ce) solamente es igual a Ce0 para transformaciones conv = 0.

Ejercicio 3. Considere una forma bilineal g : R4 ⇥ R4 ! R simetrica y elconjunto asociado

N := {v = (x0, x1, x2, x3) 2 R4 : g(v, v) = 0}.

SeaC := {(x0, x) 2 R4 : (x0)2 � (x1)2 � (x2)2 � (x3)2 = 0}

el cono de luz. Demuestre que N = C si y solo si existe una constante ↵ 6= 0 talque

g(v, v) = ↵⇥�(x0)2 + (x1)2 + (x2)2 + (x3)2

⇤

para todo v = (x0, x1, x2, x4) 2 R4.

1.5. EJERCICIOS 19

Ejercicio 4. Demuestre que la composicion de dos boosts con velocidades v1y v2 en la direccion x corresponden a un boost con velocidad

v = c� =v1 + v21 + v1v2

c2(1.39)

en la direccion x.Solucion: Tomamos la composicion de dos boosts en la direccion de x con

velocidades v1 y v2,

⇤1 =

0

BB@

�1 �1�1 0 0�1�1 �1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

1

CCA , ⇤2 =

0

BB@

�2 �2�2 0 0�2�2 �2 0 0

0 0 1 00 0 0 1

1

CCA ,

donde �m = vm/c, �m = (1� �2m)�1/2, m = 1, 2. Entonces,

⇤1⇤2 =

0

BB@

�1�2(1 + �1�2) �1�2(�1 + �2) 0 0�1�2(�1 + �2) �1�2(1 + �1�2) 0 0

0 0 1 00 0 0 1

1

CCA =

0

BB@

� �� 0 0�� 0 00 0 1 00 0 0 1

1

CCA ,

donde � = (�1 + �2)/(1 + �1�2), � = (1� �2)�1/2. Entonces, ⇤1⇤2 es un boostcon velocidad

v = c� =v1 + v21 + v1v2

c2. (1.40)

Ejercicio 5.

(a) Muestre que ⌘µ⌫ = ⌘⌫µ = �µ⌫ , y que el tensor del tipo (2, 0) que se obtieneal subir los ındices de ⌘µ⌫ es consistente con la definicion de ⌘µ⌫ .

(b) Muestre que el operador

@µ :=@

@xµ(1.41)

se transforma como un covector de Lorentz bajo tansformaciones de Poin-care.

(c) Defina el siguiente tensor totalmente antisimetrico:

"↵�� :=

8<

:

+1, si ↵�� es una permutacion par de 0123,�1, si ↵�� es una permutacion impar de 0123,0, de otra manera.

(1.42)

Muestre5 que "↵�� se transforma como un tensor del tipo (0, 4) si nosrestringimos a las transformaciones de Poincare con det(⇤) = 1.

5Para este ejercicio es conveniente mostrar la identidad

"↵��A↵µA

�⌫A

�⌧A

�⇢ = det(A)"µ⌫⌧⇢

para una matriz 4⇥ 4 A = (Aµ⌫) arbitraria.


(d) Sean Sµ1...µr⌫1...⌫s y T↵1...↵p

�1...�q tensores de Lorentz del tipo (r, s) y(p, q), respectivamente. Muestre que

(S ⌦ T )µ1...µr↵1...↵p⌫1...⌫s�1...�q (x) := Sµ1...µr

⌫1...⌫s(x) · T↵1...↵p�1...�q (x)

define un tensor de Lorentz del tipo (r + p, s+ q).

Ejercicio 6.

(a) Verifique que las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir de la forma

"↵��@�F �� = 0, (1.43)

@�F↵� =

1

cj↵, (1.44)

donde

(Fµ⌫) =

0

BB@

0 �E1 �E2 �E3

E1 0 B3 �B2

E2 �B3 0 B1

E3 B2 �B1 0

1

CCA ,

es el tensor electromagnetico, F↵� = ⌘↵µ⌘�⌫Fµ⌫ y (jµ) := (c⇢c, jc) elcuadrivector corriente.

(b) Explique por que las ecuaciones (1.43,1.44) son invariantes bajo transfor-maciones de Poincare.

(c) Analice de que manera se transforman los campos E y B, ⇢c y jcba-

jo rotaciones, bajo inversion de paridad y bajo inversion del sentido deltiempo.

(d) Sea A↵ es un covector de Lorentz que es dos veces continuamente diferen-ciable. Demuestre que el tensor F↵� := @↵A� �@�A↵ satisface la ecuacion(1.43).

Ejercicio 7.

(a) Analice de que manera se transforman los campos E y B bajo rotacionesy bajo la inversion de la paridad.

(b) ¿Como se transforman E, B, ⇢c y jcbajo la inversion del sentido del

tiempo?

Capıtulo 2

La fısica sobre elespacio-tiempo curvo

Literatura para este capıtulo: [2, 3]

En este capıtulo vamos a generalizar la descripcion relativista del movimientode partıculas y de la propagacion del campo electromagnetico para espacio-tiempos curvos, donde la metrica de Minkowski ⌘ se reemplaza por una metricacurva g. Fısicamente, este paso corresponde al acople de la materia al campogravitatorio.

Uno de los ingredientes mas importantes para llevar a cabo este proceso es elprincipio de equivalencia. Este principio lleva de manera natural a la formulacioncinematica de la teorıa general de la relatividad y provee una receta de comoacoplar la materia a un campo gravitatorio externo.

2.1. El principio de equivalencia

La relatividad general se basa en los siguientes postulados:

la universalidad de la gravitacion

el principio de equivalencia

Universalidad de la gravitacion (Galilei)El movimiento de un cuerpo de prueba en un campo gravitatorio es indepen-

diente de su masa o composicion (despreciando las interacciones del espın y del

momento cuadrupolar de la partıcula con el campo gravitatorio).

Como vimos en la seccion 1.2, en la teorıa de Newton la universalidad de lagravitacion es una consecuencia de la igualdad de la masa inercial con la masagravitatoria. Esta igualdad se ha verificado de manera experimental hasta una

21

22 CAPITULO 2. LA FISICA SOBRE EL ESPACIO-TIEMPO CURVO

precision relativa de 10�12.

El principio de equivalencia (Einstein)En un campo gravitatorio arbitrario, ningun experimento local puede distinguir

un sistema en caıda libre no-rotante (un sistema inercial local) de un sistema

en movimiento uniforme en la ausencia de un campo gravitatorio.

En otras palabras, siempre es posible hacer desaparecer el campo gravita-torio al nivel local mediante una transformacion de coordenadas. Ejemplos desistemas inerciales locales son un ascensor en caıda libre no-rotante o una naveespacial en una orbita terrestre. En ambos casos existe un campo gravitatorio(el campo gravitatorio terrestre), pero ni las personas que se encuentran dentrodel ascensor ni los astronautas pueden medirlo con experimentos locales (en laseccion 2.5 daremos una definicion precisa de lo que queremos decir con “local”).Por otro lado, un sistema en reposo sobre la superficie de la tierra no es un siste-ma inercial local; observadores en este sistema miden un campo gravitatorio notrivial. Al pasar al sistema del ascensor es posible deshacerse del campo gravita-torio al nivel local. Sin embargo, no es posible deshacerse del campo gravitatorioa nivel global, porque la orbita de la nave espacial constituye una trayectoriacerrada.

Ejemplo: Considere una partıcula Newtoniana en un campo gravitatorio ho-mogeneo con aceleracion g:

mix = mgg.

La universalidad implica que mi = mg, entonces la ecuacion de movimiento sereduce a x = g. Con respecto al sistema de referencia acelerado y = x � 1

2gt2

tenemos quey = 0.

Entonces, en la teorıa Newtoniana, el principio de equivalencia es una conse-cuencia de la universalidad de la gravitacion. En general, esto no tiene queocurrir.

2.2. Espacios curvos

Una realizacion matematica muy elegante del principio de equivalencia seobtiene al generalizar el espacio-tiempo plano de la relatividad especial M :=(R4, (., .)) a un espacio curvo (M, g), donde M es una variedad diferenciablede dimension 4 y g es una metrica Lorentziana,

g = gµ⌫(x)dxµdx⌫ .

Dar una definicion precisa de estas cantidades requiere el estudio de la geo-metrıa diferencial, pero en estas notas vamos a trabajar a un nivel mas pedes-tre. Por lo tanto, podemos pensar que M es un conjunto que se “ve” localmentecomo R4 y que los coeficientes de la metrica gµ⌫(x) tienen la propiedad que son

2.2. ESPACIOS CURVOS 23

simetricos (gµ⌫(x) = g⌫µ(x)) y la matriz (gµ⌫(x)) posee un eigenvalor negativoy tres positivos. Bajo una transformacion de coordenada, xµ = xµ(x), se tieneque

dxµ =@xµ

@x↵dx↵

y entonces en las nuevas coordenadas la metrica tiene la siguiente representacion:

g = g↵�(x)dx↵dx�

con los nuevos coeficientes

g↵�(x) = gµ⌫(x)@xµ

@x↵

@x⌫

@x�. (2.1)

Aquı es importante notar que el objeto invariante es la metrica g y no suscomponentes gµ⌫(x). Como vamos a ver, la metrica describe:

El potencial gravitatorio.

La estructura causal del espacio-tiempo: Los rayos de luz emitidos en unevento p 2 M se propagan en el cono de luz futuro del punto p.1

Ejemplo: En la relatividad especial el espacio-tiempo es (M, g) = (R4, ⌘),donde la metrica en coordenadas inerciales (t, x, y, z) es

⌘ = ⌘µ⌫dxµdx⌫ = �c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2.

Si elegimos coordenadas esfericas (r,#,'), relacionadas con las coordenadas Eu-clideanas (x, y, z) a traves de

x = r sen# cos',

y = r sen# sen',

z = r cos#.

obtenemos la nueva representacion de la metrica (ver ejercicio 8)

⌘ = ⌘↵�dx↵dx� = �c2dt2 + dr2 + r2(d#2 + sen2 # d'2), (2.2)

con los coeficientes

(⌘↵�) =

0

BB@

�c2 0 0 00 1 0 00 0 r2 00 0 0 r2 sen2 #

1

CCA .

Notamos que si restringimos la metrica ⌘ sobre una superficie de t y r cons-tante obtenemos

hr = r2(d#2 + sen2 # d'2).

como se puede ver facilmente de la representacion (2.2). Esta es la metrica usualsobre la 2-esfera S2

r de radio r. A diferencia del espacio (R4, ⌘) es intuitivamenteclaro que el espacio (S2

r , hr) es curvo. Una definicion precisa de la curvatura deun espacio y de alguna de sus propiedades basicas se dan en el apendice B.

1Asumimos que existe en cada punto p una distincion entre el cono de luz futuro y el conode luz pasado que depende de manera continua de p.


2.3. Geodesicas y el movimiento de partıculasen caıda libre

En el espacio-tiempo plano de la relatividad especial existen curvas preferidasque son las rectas,

xµ = 0. (2.3)

Fısicamente, aquellas rectas que son de tipo tiempo describen las trayectoriasde partıculas libres.

Sin embargo, en un espacio-tiempo curvo, no es inmediatamente claro comodefinir una “recta”, y seguramente no tiene sentido definirla a traves de laecuacion (2.3), al menos que tengamos a disposicion coordenadas preferidas xµ

(como las coordenadas inerciales en la relatividad especial). Si ningun sistemade coordenadas esta distinguido, debemos permitir transformaciones arbitrariasde coordenadas:

xµ = xµ(x), (2.4)

tal que

˙xµ =@xµ

@x↵x↵

y

¨xµ =@xµ

@x↵x↵ +

@2xµ

@x↵@x�x↵x� ,

y entonces postular la ecuacion (2.3) llevarıa a trayectorias que no serıan inde-pendientes de la eleccion de las coordenadas. Por otro lado, es claro que cualquiergeneralizacion geometrica de la ecuacion (2.3) debe depender de la metrica gdel espacio-tiempo.

Para encontrar la generalizacion natural de la ecuacion (2.3) recordamos pri-mero que en la geometrıa Euclideana las rectas estan caracterizadas por aquellascurvas que minimizan la distancia entre dos puntos p1 y p2 dados. Entonces bus-camos un mınimo del funcional

S[x(�)] =

p2Z

p1

|x(�)|d� =q�ij xi(�)xj(�)d�, xi ⌘ dxi

d�, i = 1, 2, 3,

que mide la longitud de la curva x(�) que conecta los puntos p1 y p2. La gene-ralizacion obvia a la relatividad general es considerar el funcional

S[xµ(�)] =

e2Z

e1

q�gµ⌫(x(�))xµ(�)x⌫(�)d�, xµ ⌘ dxµ

d�, µ = 0, 1, 2, 3,

(2.5)donde xµ(�) denota una curva causal dirigida hacia el futuro que conecta doseventos fijos e1 y e2 del espacio-tiempo. Notamos que (como su contraparteEuclideana) el funcional (2.5) es independiente de la eleccion del parametro �.

2.3. GEODESICAS 25

Pero ademas, S tiene la propiedad importante de ser invariante bajo transfor-maciones de coordenadas arbitrarias (2.4), ver el ejercicio 9. Fısicamente2, S/crepresenta el tiempo propio que necesita un observador para moverse de e1 a e2a lo largo de la curva xµ(�).

Para encontrar los puntos estacionarios del funcional S calculamos su pri-mera variacion:

�S =

e2Z

e1

1

2p�gµ⌫ xµx⌫

�2gµ⌫ x

µ�x⌫ � @gµ⌫@x↵

xµx⌫�x↵

�d�.

Para simplificar el calculo suponemos que la curva estacionaria esta parame-trizada con respecto a su tiempo propio ⌧ , tal que

p�gµ⌫ xµx⌫ = cd⌧/d�, yentonces obtenemos

�S =1

c

e2Z

e1

d

d⌧(gµ⌫ x

µ)� 1

2

@g↵�@x⌫

x↵x�

��x⌫d⌧,

donde integramos por partes y supusimos que la variacion �x⌫ desvanece en lospuntos extremos e1 y e2. De esta forma, obtenemos la ecuacion de movimiento

d

d⌧(gµ⌫ x

µ) =1

2

@g↵�@x⌫

x↵x� (2.6)

o de forma equivalente,x↵ + �↵

µ⌫ xµx⌫ = 0, (2.7)

con los sımbolos de Christo↵el

�µ↵� :=

1

2gµ⌫ (@↵g�⌫ + @�g↵⌫ � @⌫g↵�) . (2.8)

La ecuacion (2.7) se llama ecuacion de la geodesica y sus soluciones des-criben las geodesicas del espacio-tiempo. Estas constituyen las generalizacionesnaturales de las rectas en el espacio-tiempo plano. Fısicamente, la ecuacion (2.7)

generaliza la primera ley de Newton d2xdt2 = 0 para partıculas de prueba en un

campo gravitatorio. Surge la tentacion de interpretar el termino ��µ↵� x↵x�

como fuerza gravitatoria por unidad de masa, pero como vamos a ver prontoesta interpretacion no es independiente del observador.

Observaciones

1. La ecuacion (2.7) implica que (ver ejercicio 10)

d

d⌧

⇥g↵� x

↵x�⇤= 0,

2Para que S tenga las unidades correctas de una accion, podrıamos multiplicar (2.5) por mc

donde m es la masa de la partıcula. Sin embargo, esta multiplicacion no afecta las trayectoriasclasicas, y por lo tanto no es necesaria para el material presentado en estas notas.


y entonces g↵� x↵x� = const a lo largo de las geodesicas, lo que es com-patible con la eleccion

p�gµ⌫ xµx⌫ = c que habıamos hecho en el calculode variacion de S con el fin de que � sea igual al tiempo propio. El hechode que g↵� x↵x� sea constante a lo largo de la geodesica tambien impli-ca que el vector tangente a la geodesica no puede cambiar su caractertipo-tiempo/nulo/tipo-espacio.

2. Las geodesicas nulas (aquellas que tienen g↵� x↵x� = 0) describen los rayosde luz en el lımite geometrico como vamos a ver mas adelante. En estecaso la accion S definida en (2.5) ya no tiene sentido puesto que no esdiferenciable para curvas nulas. Sin embargo, en este caso la ecuacion dela geodesica se puede obtener al variar la accion modificada (que ya no esinvariante bajo reparametrizaciones)

S0[xµ(�)] =

e2Z

e1

gµ⌫(x(�))xµ(�)x⌫(�)d�. (2.9)

3. Mientras en la geometrıa Euclideana la geodesica entre dos puntos p1 yp2 es unica (es la recta que conecta p1 y p2) y siempre representa unmınimo global del funcional S, en la geometrıa curva ninguna de estas dospropiedades se satisface en general, ver el ejercicio 11.

2.4. Campos tensoriales y derivada covariante

En la relatividad general las cantidades fısicas se describen a traves de cam-pos tensoriales.3 Una definicion satisfactoria de estos objetos requiere conoci-mientos basicos de la geometrıa diferencial, pero como mencionamos anterior-mente aquı vamos a adoptar un camino pedestre. En analogıa al caso de larelatividad especial postulamos que un campo vectorial Xµ(x) se transforma deacuerdo a4

Xµ(x) = Aµ⌫(x)X

⌫(x), Aµ⌫(x) :=

@xµ

@x⌫(x),

y que un campo de covectores Aµ(x) se transforma de acuerdo a

Aµ(x) = Bµ⌫(x)A⌫(x), Bµ

⌫(x) =@x⌫

@xµ(x).

Notamos que (Aµ⌫) = (Bµ

⌫)�T y que Aµ(x)Xµ(x) es un escalar.

3Si quisieramos describir fermiones tambien tendrıamos que introducir espinores sobre elespacio-tiempo curvo. Desafortunadamente, en este curso no vamos a tener tiempo de intro-ducir los espinores.

4Una forma natural de obtener estas transformaciones es pedir que la derivada direccional

X

µ @

@x

µ

asociada al campo vectorial Xµ y la 1-forma Aµdxµ sean invariantes bajo transformaciones

de coordenadas.

2.5. LA FORMULACIONMATEMATICA DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA27

De forma mas general, un campo tensorial Tµ1...µr⌫1...⌫s(x) del tipo (r, s) se

transforma de acuerdo a

Tµ1...µr⌫1...⌫s(x) = Aµ1

↵1(x) · · ·Aµr↵r (x)B⌫1

�1(x) · · ·B⌫s�s(x)T↵1...↵r

�1...�s(x).

Ejemplos:

1. El vector tangente, xµ, a una curva es un campo vectorial (a lo largo dedicha curva). En cambio, xµ no lo es.

2. El potencial electromagnetico Aµ es un campo de covectores.

3. Las componentes de la metrica se transforman como un tensor del tipo(0, 2), ver la ecuacion (2.1).

Para introducir la derivada covariante, notamos que la ecuacion de la geodesi-ca (2.7) puede ser escrita de la siguiente forma:

xµrµx↵ = 0,

con la derivada covariante rµ cuya accion sobre un campo vectorial X↵ estadefinida por

rµX↵ := @µX

↵ + �↵µ⌫X

⌫ , (2.10)

donde �↵µ⌫ son los sımbolos de Christo↵el definidos en (2.8).5 Se puede mostrar

que rµX↵ se transforma como un tensor del tipo (1, 1) si X↵ es un campovectorial. Para un campo de covectores A⌫ la derivada covariante es

rµA⌫ = @µA⌫ � �↵µ⌫A↵. (2.11)

De forma similar, la derivada covariante de un campo tensorial T↵� del tipo

(1, 1) esrµT

↵� = @µT

↵� + �↵

µ⌫T⌫� � �⌫

µ�T↵⌫ .

Algunas de estas propiedades se verificaran en el ejercicio 12.

2.5. La formulacion matematica del principio deequivalencia

Despues de haber introducido los conceptos geometricos necesarios, en es-ta seccion vamos a ver como generalizar las leyes de la fısica en la teorıa dela relatividad especial a la relatividad general, es decir, como acoplar la mate-ria a la gravedad. Como mencionamos anteriormente, la guıa central para esteprocedimiento es el principio de equivalencia.

Para poder dar una formulacion matematica precisa de las leyes fısicas en elespacio-tiempo curvo definimos primero:

5A nivel geometrico, la derivada covariante describe una conexion afın que define unanocion de transporte paralelo a lo largo de una curva.


Definicion 2 Un sistema inercial local (SIL) con respecto a un eventop es un sistema de coordenadas locales x0, x1, x2, x3

definidas en una vecindad

de p tal que

(i) gµ⌫(p) = ⌘µ⌫ .

(ii)

@gµ⌫

@x� (p) = 0.

Se puede mostrar que cualquier evento p admite un SIL. La existencia deSIL’s es la version matematica del principio de equivalencia, que dice que esposible deshacerse del campo gravitatorio al nivel local. Entonces “local” serefiere al hecho de que en un evento p 2 M dado, siempre es posible encontrarun sistema de referencia tal que las componentes de la metrica y sus primerasderivadas son ceros en este evento. En otras palabras, las componentes de lametrica en un SIL tienen la forma

gµ⌫(x�) = ⌘µ⌫ +O(x�)2,

donde suponemos que el punto p esta representado por xµ = 0. Los terminoscuadraticos estan relacionados con la curvatura del espacio-tiempo y no puedenser eliminados.

Para encontrar las leyes de la fısica sobre el espacio-tiempo curvo vamos apedir lo siguiente:

(i) Covarianza general. Nos acordamos de que en la relatividad especialexisten sistemas de referencia preferidos (los sistemas inerciales) que estanconectados a traves de las transformaciones de Poincare. Se requiere quelas leyes de la fısica sean invariantes con respecto a estas transformacio-nes (covarianza de Lorentz). En la relatividad general no existen sistemasde referencia preferidos (excepto en casos particulares con simetrıas). En-tonces, pedimos que las leyes de la fısica sean invariantes con respecto acualquier transformacion de coordenadas.

(ii) Principio de equivalencia. Las leyes de la fısica se reducen a las leyescorrespondientes en relatividad especial en el origen de un sistema inerciallocal.

(iii) Aparte de la metrica y de sus derivadas, las leyes de la fısica deben in-volucrar solamente cantidades que tambien estan presentes en la teorıaespecial de relatividad.

La propiedad (i) sugiere que las leyes de la fısica deben ser escritas en terminos decampos tensoriales6 sobre el espacio-tiempo. Entonces, una ecuacion de primerorden tendrıa la forma

rT = J,

6o espinoriales, si queremos incluir a las fermiones

2.5. LA FORMULACIONMATEMATICA DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA29

donde r es la derivada covariante asociada a la conexion de Levi-Civita, yT, J 2 T (M) son campos tensoriales. Con respecto a coordenadas locales,

@

@xµT ...

... + �...T

...... + ...� �.

..T...

... = J ...... ,

donde �... son los sımbolos de Christo↵el asociados a r. En un sistema inercial

local con respecto a un evento p esta ecuacion, evaluada en el punto p donde�.

..(p) = 0, se reduce a

rµT...

...|p =@

@xµT ...

...

��p

= J ......(p).

Entonces obtenemos la siguiente receta para acoplar la materia al campo gra-vitatorio: Si en relatividad especial una ley fısica se describe a traves de una

ecuacion de primer orden de la forma

@T = J,

donde T y J son tensores de Lorentz, entonces en relatividad general la misma

ley se describe a traves de la ecuacion

rT = J,

donde T y J son campos tensoriales sobre el espacio-tiempo (M, g). Dado quelos sımbolos de Christo↵el dependen de la metrica y de sus primeras derivadas,obtenemos un acople de la materia al campo gravitatorio.

Ejemplos:

1. Como vimos en (2.7) las trayectorias de partıculas de pruebas estan de-terminadas por la ecuacion de la geodesica

xµ + �µ↵� x

↵x� = 0.

En un SIL con respecto a un evento p, �µ↵�(p) = 0 y la ecuacion de la

geodesica se reduce a

xµ|p = 0,

es decir, la ecuacion para una partıcula libre en relatividad especial.

Tambien notamos que la ecuacion de la geodesica satisface el principio dela universalidad de la gravitacion.

2. Como vimos en la seccion 1.3.3 las ecuaciones de Maxwell en relatividadespecial se pueden escribir de la forma

@[↵Fµ⌫] = 0, @⌫Fµ⌫ =

1

cjµ,


donde Fµ⌫ describe el tensor electromagnetico y jµ el cuadrivector de flujoelectrico. Entonces la generalizacion para la relatividad general es

r[↵Fµ⌫] = 0, r⌫Fµ⌫ =

1

cjµ, (2.12)

donde Fµ⌫ = gµ�g⌫⌧F�⌧ son las componentes de un campo tensorial deltipo (2, 0) y jµ son las componentes de un campo vectorial.

2.6. El lımite Newtoniano

En la seccion previa vimos que las trayectorias de partıculas de prueba encaıda libre son geodesicas del espacio-tiempo (M, g). En esta seccion vamos ademostrar que las geodesicas satisfacen las ecuaciones de movimiento de Newtonen el lımite de campos debiles ycuasi-estacionarios y de velocidades pequenascomparadas a la velocidad de la luz. Mas precisamente, suponemos que existencoordenadas locales en una region U ⇢ M del espacio-tiempo tales que

(i) La metrica es casi plana, es decir,

gµ⌫ = ⌘µ⌫ + hµ⌫ , |hµ⌫ | ⌧ 1,

donde (⌘µ⌫) = diag(�1, 1, 1, 1) es la metrica de Minkowski.

(ii) 1c |@thµ⌫ | ⌧ |@ihµ⌫ |, i = 1, 2, 3.

(iii) La velocidad v := dxdt de la partıcula con respecto a estas coordenadas

satisface |v| ⌧ c.

Sea xµ(⌧) la parametrizacion de una geodesica con respecto a estas coordenadas,donde ⌧ es el tiempo propio a lo largo de la trayectoria. Entonces

xµ + �µ↵� x

↵x� = 0, xµ :=dxµ

d⌧. (2.13)

Despreciando terminos que son por lo menos cuadraticos en hµ⌫ y v/c, encon-tramos que

�1 =1

c2gµ⌫ x

µx⌫ = gµ⌫1

c

dxµ

dt

1

c

dx⌫

dt

✓dt

d⌧

◆2

= �(1� h00)

✓dt

d⌧

◆2

,

de tal manera que

dt

d⌧= 1 +

1

2h00 , (xj) = v, j = 1, 2, 3.

Por otro lado, los sımbolos de Christo↵el en nuestra aproximacion son

�µ↵� =

1

2⌘µ⌫

@h↵⌫

@x�+

@h�⌫

@x↵� @h↵�

@x⌫

�.

2.6. EL LIMITE NEWTONIANO 31

Entonces las componentes espaciales de (2.13) dan

d2xk

dt2+ �k

00c2 = 0, k = 1, 2, 3.

Usando la hipotesis (ii) encontramos que

�k00 = �1

2⌘kj

@h00

@xi= �1

2@kh00 .

Concluimos que

d2x

dt2=

c2

2rh00 .

Esto concuerda con la ley de Newton (1.3) si igualamos la masa inercial con lamasa gravitatoria, y si

h00 = �2�

c2, (2.14)

donde � es el potencial gravitatorio Newtoniano. En otras palabras, recuperamoslas ecuaciones de movimiento de Newton bajo las suposiciones (i),(ii) y (iii) si

g00 = �✓1 +

2�

c2

◆, (2.15)

�k00 =

1

c2@k�, k = 1, 2, 3. (2.16)

Estas ecuaciones motivan los nombres “potencial gravitatorio” y “fuerza gravi-tatoria” para gµ⌫ y �µ

↵� , respectivamente, aunque insistimos en que fuera delregimen de validez de la aproximacion Newtoniana los sımbolos de Christo↵elno tienen ningun significado fısico.

La suposicion (i) y la ecuacion (2.14) implican que la aproximacion Newto-niana es valida si

|�|c2

⌧ 1. (2.17)

Como ejemplo, podemos considerar el valor de �/c2 en la superficie de un objetoesfericamente simetrico de masa M y radio R, por lo cual � = �GM

R :

|�|/c2 en la superficie10�9 de la tierra10�6 del sol10�4 de una enana blanca10�1 de una estrella de neutrones1 en el horizonte de eventos de un agujero negro

10�39 de un proton


2.7. Ejercicios

Ejercicio 8. Verificar la expresion (2.2) para la metrica de Minkowski encoordenadas esfericas.

Ejercicio 9. Verifique que la accion (2.5) es invariante bajos transformacionesde coordenadas xµ = xµ(x) arbitrarias.

Ejercicio 10. Demuestre que g↵� x↵x� = const. a lo largo de una geodesica.

Ejercicio 11. Determinar las geodesicas sobre la 2-esfera (S2, d#2+sen2 # d'2).

Ejercicio 12.

(a) Demuestre que los sımbolos de Christo↵el se transforman de la siguienteforma:

��µ⌫ =

@x↵

@xµ

@x�

@x⌫

✓@x�

@x⇢�⇢

↵� � @2x�

@x↵@x�

◆. (2.18)

Debido a la presencia del segundo termino a la derecha, los sımbolos deChristo↵el no se transforman como un campo tensorial del tipo (1, 2).

(b) Sea X↵ un campo vectorial. Demuestre que rµX↵ se transforma comoun campo tensorial del tipo (1, 1).

(c) Asumiendo que la accion de la derivada covariante sobre funciones f sereduce a la derivada parcial, rµf = @µf , derive la expresion (2.11) parala derivada covariante de un campo de covectores.

Ejercicio 13. Sea p un evento. Demuestre que existen coordenadas locales x�

en la vecindad de este punto tal que

gµ⌫(x�) = ⌘µ⌫ +O(x�)2

cerca del punto p.

Ejercicio 14. Muestre que las ecuaciones de Maxwell (2.12) son invariantesbajo transformaciones conformes gµ⌫ 7! e2�gµ⌫ , jµ 7! e�4�jµ, Fµ⌫ 7! Fµ⌫ .

Capıtulo 3

La geometrıa deSchwarzschild

Literatura para este capıtulo: [2, 3].

En este capıtulo analizamos las soluciones esfericamente simetricas de lasecuaciones de Einstein en el vacıo. La metrica correspondiente fue encontra-da por Karl Schwarzschild en 1916, solamente dos meses despues de queEinstein publico sus ecuaciones de campo. Fısicamente la metrica de Schwarz-schild describe el campo gravitatorio en el exterior de una distribucion de masaesfericamente simetrica. Como vamos a ver, si esta distribucion de masa estaconcentrada en una region suficientemente pequena, la metrica de Schwarzschilddescribe un agujero negro.

3.1. La metrica de Schwarzschild

La metrica de Schwarzschild se obtiene al resolver las ecuaciones de Einsteinen el vacıo, suponiendo un espacio-tiempo esfericamente simetrico. La represen-tacion mas comun de la metrica de Schwarzschild es

g = �✓1� 2m

r

◆(cdt)2 +

dr2

1� 2mr

+ r2(d#2 + sen2 #d'2), r > 2m, (3.1)

donde m � 0 es un parametro libre que surge como constante de integracion. Acontinuacion vamos a analizar las propiedades fısicas de esta metrica.

Primero notamos que la metrica (3.1) es estatica (en particular, los coefi-cientes de la metrica no dependen de t) y esfericamente simetrica. Luego, ob-servamos que en el lımite r ! 1 la metrica se reduce a la metrica de Minkows-ki (2.2) en coordenadas esfericas. En este sentido, la metrica de Schwarzschildes asintoticamente plana y describe un sistema aislado.

Por otro lado, si 2m/r ⌧ 1 la componente 00 de la metrica tiene la formag00 = �1+h00 con h00 = 2m/r ⌧ 1, y de acuerdo al lımite Newtoniano podemos

33

34 CAPITULO 3. LA GEOMETRIA DE SCHWARZSCHILD

identificar2m

r= �2�

c2.

Si usamos la expresion � = �GM/r para el potencial Newtoniano de una dis-tribucion esferica de masa total M llegamos a la relacion

m =GM

c2.

Entonces el parametro m es proporcional a la masa total del sistema.Finalmente, observamos que si m > 0 el factor 1�2m/r es cero para r = 2m

y diverge cuando r ! 0. Entonces la representacion de la metrica (3.1) enlas coordenadas locales (t, r,#,') es singular en r = 0 y r = 2m. Mas abajoanalizaremos estas singularidades en detalle; por el momento nos restringimosa la region r > 2m. La cantidad

rs := 2m =2GM

c2

se llama radio de Schwarzschild. Un par de ejemplos numericos son:

rssol ⇠ 3km

estrella de neutrones ⇠ 1kmtierra ⇠ 1cm

Para cada uno de estos objetos el radio de Schwarzschild rs es menor que suradio R. Asumiendo que estos objetos son esfericamente simetricos y no estenrodeados de materia, el campo gravitatorio en la region exterior a estos objetosesta descrito por la metrica de Schwarzschild con r > R > rs, y en esta regionla metrica (3.1) es regular.

3.2. Las geodesicas en la metrica de Schwarz-schild y los tests clasicos del sistema solar

A continuacion analizamos las trayectorias de las partıculas de prueba y delos rayos de luz en la geometrıa de Schwarzschild. Como vimos en el capıtu-lo 2, las partıculas masivas de prueba en un campo gravitatorio se muevensobre geodesicas tipo tiempo, mientras que los rayos de luz siguen geodesicasnulas. Como para el caso de una partıcula no-relativista en un potencial centralNewtoniano, vamos a ver que las ecuaciones de las geodesicas en el campo deSchwarzschild son integrables. Esto se debe al hecho de que existe una cantidadsuficiente de leyes de conservacion.

El analisis de las geodesicas de la metrica de Schwarzschild nos permitiranestablecer varias predicciones de la relatividad general para el sistema solar,como la precesion del perihelio de Mercurio y la desviacion de la luz. Para unresumen actualizado de los tests de la relatividad general consultar [4].

3.2. LAS GEODESICAS EN LA METRICA DE SCHWARZSCHILD 35

De acuerdo a las observaciones que se hicieron al final de la seccion 2.3 lasgeodesicas pueden obtenerse de la accion

S0[�] =

e2Z

e1

L(xµ(�), xµ(�))d�,

con la funcion de Lagrange

L(xµ, xµ) := gµ⌫(x)xµx⌫ , xµ =

dxµ

d�,

Ademas, vimos que L = const. a lo largo de la trayectorias, donde la constantees cero para geodesicas nulas y negativa para geodesicas que son de tipo tiempo.En este ultimo caso podemos normalizar el parametro � tal que L = �c2 lo queimplica que � = ⌧ sea el tiempo propio a lo largo de la curva.

Para la metrica (3.1) obtenemos el Lagrangiano

L = �N(r)(ct)2 +r2

N(r)+ r2

⇣#2 + sen2 # '2

⌘, N(r) = 1� 2m

r.

Gracias a la conservacion del momento angular,1 la trayectoria debe estar con-finada a un plano y eligiendo las coordenadas esfericas tal que este plano sea# = ⇡/2 el Lagrangiano se simplifica:

L = L(t, r,', t, r, ') = �N(r)(ct)2 +r2

N(r)+ r2'2. (3.3)

Luego notamos que las variables t y ' son cıclicas, es decir, L no dependeexplıcitamente de ellas. Consecuentemente, tenemos dos cantidades conservadasE y `, determinadas por

@L

@ t= �2N(r)ct = const. ⌘ �2E, (3.4)

@L

@'= 2r2' = const. ⌘ 2`. (3.5)

Usando estas dos cantidades para eliminar t y ' en la expresion (3.3) para lafuncion de Lagrange, y observando que L = const. a lo largo de las trayectorias,obtenemos el siguiente problema efectivo:

r2 + U(r) =E2

c2, U(r) :=

✓1� 2m

r

◆✓s+

`2

r2

◆, (3.6)

1Una manera mas formal de ver esto es considerar primero la ecuacion de Euler-Lagrangepara #:

d

d�

(r2#) = r

2 sen# cos# '

2. (3.2)

Para una geodesica dada, siempre podemos elegir las coordenadas #,' sobre la esfera de talmanera que # = ⇡/2 y # = 0 para un valor particular de �. La ecuacion (3.2) implica que estatrayectoria satisface #(�) = ⇡/2 para todos los �’s.


donde s = 0 para geodesicas nulas y s = c2 para geodesicas tipo tiempo. Estaecuacion es formalmente identica a la ecuacion de movimiento de una partıculamecanica en una dimension en el potencial U(r).

Observacion: Es instructivo comparar la ecuacion (3.6) con la ecuacion efec-tiva de una partıcula masiva Newtoniana en el potencial gravitatorio de unadistribucion esferica de masa M :

1

2r2 � GM

r2+

`2

2r2= EN , (3.7)

donde EN y ` son la energıa y el momento angular de la partıcula divididospor su masa. Esto corresponde precisamente a la ecuacion (3.6) en el lımiteNewtoniano 2m/r ⌧ 1, tomando en cuenta que m = GM/c2 y que la energıarelativista E contiene la energıa de reposo de la partıcula.

Antes de resolver explıcitamente el sistema (3.6) analizamos la forma del po-tencial efectivo U(r), para obtener una idea sobre el comportamiento cualitativode las trayectorias:

Para el caso s = 0 de rayos de luz el potencial y su primera derivada son

U(r) =`2

r2

✓1� 2m

r

◆, U 0(r) = �2`2

r3

✓1� 3m

r

◆, (3.8)

entonces U(r) tiene un maximo en r = 3m. Este maximo corresponde a unatrayectoria circular inestable de fotones con energıa E = `c/(

p27m).

Para el caso de partıculas masivas el potencial efectivo U(r) converge a c2

para r ! 1, y cambia de signo en r = 2m. Mientras tanto |`| > p12mc su

primera derivada

U 0(r) =2mc2

r4

✓r2 � `2

mc2r + 3

`2

c2

◆, (3.9)

posee dos ceros

r± =`2

2mc2

"1±

r1� 12m2c2

`2

#(3.10)

que corresponden a un maximo (r�) y a un mınimo (r+) local de U . El mıni-mo local corresponde a trayectorias circulares estables, y el pozo de potencialalrededor de el a trayectorias acotadas. Gracias a este pozo de potencial puedenexistir “planetas” que giran alrededor del objeto central.2 Cuando ` =

p12mc

el pozo se reduce a la trayectoria circular r = 6m. Esta trayectorıa correspon-de al lımite inferior del radio de todas las trayectorias circulares estables. Para` <

p12mc el momento angular ya no es suficientemente grande para compensar

la atraccion gravitatoria y la partıcula cae en el objeto central.

2Es notable que en espacio-tiempos esfericamente simetricos de dimension superior a cuatroya no existe este pozo de potencial, ver [5].


3.2.1. Las trayectorias acotadas de partıculas masivas y laprecesion del perihelio

Ahora nos enfocamos en las trayectorias de las partıculas masivas. Solamenteestamos interesados en la forma geometrica de la trayectoria, por lo tanto bus-camos la dependencia r(') del radio de area como funcion del angulo '. Comoen el caso Newtoniano, conviene reemplazar r(') por la funcion u(') = 1/r(').Utilizando la ecuacion (3.5) para la conservacion del momento angular encon-tramos que

r = 'dr

d'=

`

r2dr

d'= �`u0, u0 :=

du

d'.

Substituyendo en la ecuacion (3.6) obtenemos

`2u02 + (1� 2mu)(c2 + `2u2) =E2

c2.

Tomando la derivada con respecto a ' de ambos lados llegamos a�2`2u00 � 2mc2 + 2`2u� 6m`2u2

�u0 = 0,

lo que implica o bien u0 = 0 (trayectorias circulares) o bien

u00 + u =GM

`2+ 3mu2, (3.11)

donde usamos la ecuacion mc2 = GM con M la masa del objeto central. Enel lımite Newtoniano el segundo termino en la parte derecha de la ecuacion esausente. Entonces el termino 3mu2 representa una correccion relativista.

Para calcular los efectos de este termino comparamos primero

3mu2

GM/`2= 3

`2

c2u2 = 3

(r')2

c2' 3

⇣vtgc

⌘2, (3.12)

donde vtg representa la velocidad tangential de la partıcula. Si pensamos quelas partıculas representan los planetas del sistema solar podemos asumir quevtg ⌧ c (para Mercurio, por ejemplo, vtg/c ' 10�8), de tal manera que eltermino 3mu2 en la parte derecha de la ecuacion (3.11) puede ser tratado anivel perturbativo.

En el lımite Newtoniano 3mu2 ! 0 la solucion del problema (3.11),

uN (') =1

p(1 + e cos'),

describe una elipse de Kepler con excentricidad e (|e| < 1), donde

p = a(1� e2) =`2

GM

con a el eje mayor de la elipse. Para tomar en cuenta la correccion relativistahacemos el ansatz

u(') = uN (') + u1('),


donde suponemos que |u1(')| ⌧ |uN (')|. Introduciendo este ansatz en la ecua-cion (3.11) obtenemos a primer orden

u001 + u1 =

3m

p2�1 + 2e cos'+ e2 cos2 '

�. (3.13)

Ahora usamos el hecho de que soluciones particulares de la ecuacion diferen-cial u00 + u = F con F = A,A cos', A cos2 ' son u = A,A' sen'/2, A/2 �A cos(2')/6, respectivamente, de tal manera que una solucion particular delproblema (3.13) es

u1(') =3m

p2

1 + e' sen'+

e2

2� e2

6cos(2')

�. (3.14)

Notamos que3m

p=

3

2

rsa(1� e2)

⌧ 1

para los planetas del sistema solar, y entonces el resultado es consistente con lasuposicion |u1| ⌧ |uN |.

Todos los terminos en la expresion (3.14) son 2⇡-periodicos, salvo el termino3

3me

p2' sen'.

Dado que 3m/p ⌧ 1 podemos juntar este termino con el termino e cos'/p enla expresion uN para la solucion Newtoniana y escribir

e

pcos'+

3me

p2' sen' ' e

pcos

✓'� 3m

p'

◆.

El periodo de esta funcion es

T1 =2⇡

1� 3mp

' 2⇡

✓1 +

3m

p

◆> 2⇡. (3.15)

Consecuentemente, existe una precision del perihelio por el angulo

�' =3⇡rsp

, rs =2GM

c2, p = a(1� e2). (3.16)

Para Mercurio y el sol los datos relevantes son

rs =2GMc2 ' 3km (con M ' 2⇥ 1030kg la masa del sol)

a ' 59⇥ 106km

e ' 0,2

3Notamos que la adicion de una solucion homogenea a u1 solamente afecta la parte New-toniana de la solucion que es 2⇡-periodica.


T ' 0,24y

con T el periodo de la trayectoria de Mercurio. Con estos datos obtenemos�' ' (29⇥ 10�6)� por orbita o

�'|100y ' 43” (3.17)

por siglo. Este resultado coincide con las observaciones astronomicas con unerror relativo menor que 0,5% y constituye uno de los primeros gran triunfosde la relatividad general.4

3.2.2. La desviacion de la luz por un objeto central

Si en vez de una partıcula masiva consideramos la trayectoria geometrica deun rayo de luz, la ecuacion (3.11) debe ser reemplazada por

u00 + u = 3mu2. (3.18)

Para el caso de un rayo de luz que roza un objeto esferico con radio R � rs,la parte derecha de esta ecuacion puede considerarse como una perturbacion,como en el caso anterior:

3mu2

u= 3mu =

3

2

rsr

3

3

rsR

⌧ 1.

Si despreciamos completamente el temino 3mu2 a la derecha de la ecuacion (3.18),la solucion con las siguientes condiciones en la frontera:

r(' = 0) = 1, r(' = ⇡/2) = b (parametro de impacto)

es

u0(') =1

bsen',

y describe simplemente una recta con distancia b al objeto central. Para calcularla correccion debida al termino 3mu2 hacemos el ansatz

u(') = u0(') + u1('),

donde suponemos que |u1(')| ⌧ |u0(')|. Introduciendo este ansatz en la ecua-cion (3.18) obtenemos, a primer orden

u001 + u1 =

3m

b2sen2 '.

4En realidad, el angulo de precesion del perihelio de Mercurio es mucho mas grande que43” por siglo. El efecto debido a las perturbaciones Newtonianas por la presencia de los otrosplanetas del sistema solar tambien lleva a una precision del perihelio de Mercurio, que es delorden de 500” por siglo. Es realmente impresionante saber que los astronomos tenıan medicio-nes tan precisas en el siglo IXX para darse cuenta de la diferencia de 43” entre la prediccionNewtoniana (tomando en cuenta las perturbaciones Newtoniana de los otros planetas) y losdatos observacionales.


Esta ecuacion posee la solucion particular

u1(') =3m

2b2

1 +

1

3cos(2')

�.

Salvo la adicion de una solucion homogenea que solamente afectarıa el valor delparametro de impacto en la solucion u0('), esta es la unica solucion que satisfacela simetrıa ' 7! ⇡�'. Entonces una solucion aproximada de la ecuacion (3.18)es

u(') ' 1

bsen'+

3m

2b2

1 +

1

3cos(2')

�. (3.19)

Verificamos enseguida que

3m/(2b2)

1/b=

3

4

rsb

3

4

rsR

⌧ 1,

de tal manera que |u1(')| ⌧ |u0(')|, como habıamos pedido. Para r ! 1 elangulo ' debe converger a un angulo pequeno '1, de tal manera que u ! 0.Entonces

0 ' 1

b'1 +

3m

2b24

3,

lo que implica que '1 = �2m/b = �rs/b. Por la simetrıa ' ! ⇡ � ' el angulototal de defleccion es igual a

� = 2|'1| = 2rsR

R

b, (3.20)

con rs y R el radio de Schwarzschild y el radio del objeto central y b el parametrode impacto. Si tomamos el sol como ejemplo con un rayo de luz con parametrode impacto b ' R entonces

� = 2rsR�

' 1,75”, (3.21)

con R� ' 7⇥ 105km el radio del sol.

Observacion: La desviacion de la luz tambien se da en la teorıa Newtoniana sipostulamos (como Newton) que la luz esta compuesta de partıculas con masainfinitesimal (“fotones”): En este caso las trayectorias de la luz obedecen laecuacion Newtoniana

u00 + u =GM

`2.

La unica solucion que satisface las condiciones u(' = ⇡/2) = 1/b y que esinvariante bajo la transformacion ' 7! ⇡ � ' es

u(') =1

p

h1�

⇣1� p

b

⌘sen'

i, p :=

`2

GM.

3.3. EL AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD 41

Para fijar el valor del parametro p asumimos que las partıculas de luz se muevencon la velocidad de la luz en ' = ⇡/2, de tal manera que

c = r'|'=⇡/2 =`

b.

Entonces p = b2c2/(GM) = 2b2/rs, y usando el hecho de que b/p = rs/(2b) ⌧ 1encontramos que

'1 =1

1� pb

=b

p

1bp � 1

' � b

p

Entonces el angulo total de defleccion es

�Newton = 2|'1| = rsb

=1

2�Einstein, (3.22)

la mitad de la prediccion de la teorıa de Einstein.Entonces existıan por lo menos dos predicciones para la desviacion gravi-

tatoria de la luz: La prediccion Newtoniana �Newton = rs/b y la prediccion�Einstein = 2rs/b de la teorıa de Einstein.

Los efectos de la desviacion gravitatoria de la luz fueron medidos por pri-mera vez durante la eclipse solar el 29 de marzo de 1919, en dos expedicionesorganizadas por Dyson y Eddington en Sobral (Brasil) y en la isla de Principe(Africa). Los resultados de las expediciones fueron los siguientes:

� =

⇢(1,98± 0,16)” (Sobral)(1,61± 0,40)” (Principe)

y favorecieron claramente a la teorıa de Einstein. El lector interesado en masinformacion sobre la expedicion de Dyson y Eddington y experimentos masmodernos puede consultar [6].

3.3. El agujero negro de Schwarzschild

En esta seccion analizamos la estructura de la metrica de Schwarzschild (3.1)para r > 0, suponiendo que no hay materia en el centro. Como vamos a ver,esta solucion describe un agujero negro.

Como notamos anteriormente, las componentes de la metrica (3.1) son sin-gulares en el “centro” r = 0 y en las esferas r = rs = 2m > 0 con radio de areaigual al radio de Schwarzschild.

¿Cual es la interpretacion de estas singularidades? Hay dos posibilidades:

(a) Una singularidad de coordenadas. Por ejemplo, si consideramos elplano Euclideano R2 con la metrica h = dx2+dy2 y cambiamos (x, y) porlas nuevas coordenadas (⇠, ⌘) := (x3/3, y) 2 R2, entonces en estas nuevascoordenadas obtenemos

h = (3⇠)�4/3d⇠2 + d⌘2.


Esta nueva representacion de la metrica es singular en ⇠ = 0. Pero clara-mente, esta singularidad es una singularidad que proviene de una “mala”eleccion de las coordenadas (⇠, ⌘), y no de la metrica h. Efectivamente, lametrica h es simplemente la metrica Euclideana.

(b) Una singularidad genuina del espacio-tiempo, donde la geometrıa “di-verge”.

Para entender a que clase pertenecen las singularidades en r = 0 y r = 2m esutil considerar primero cantidades escalares que se construyen de la curvatura.Por ejemplo, podemos calcular el escalar de Kretschmann5

I := R↵�µ⌫R↵�µ⌫ =48m2

r6.

Dado que I diverge para r ! 0, concluimos que el “centro” r = 0 es unasingularidad genuina.

En cambio, I se comporta perfectamente bien en las esferas r = 2m. Estehecho sugiere (pero no demuestra) que la metrica es regular en la superficier = 2m. Un indicio adicional para la regularidad de la metrica en r = 2m vienede la siguiente observacion: Consideremos la trayectoria de una partıcula masivao de un foton que se mueve desde un punto con r = r0 > 2m hacıa la superficier = 2m. La trayectoria esta descrita por la ecuacion efectiva (3.6),

r2 =E2

c2� U(r), (3.23)

que determina el radio de area r(�) como funcion del parametro afın �. Perodado que U(r) es finito en r = 2m y que U 0(r = 2m) > 0, el cambio en elparametro afın cuando la partıcula se mueve de r = r0 a r = 2m es finito. Enparticular, esto implica que las partıculas masivas llegan a la superficie r = 2men tiempo propio finito. Por otro lado, vemos que la coordenada temporal t quesatisface cdt/d� = E/N(r) diverge cuando r ! 2m. Esto sugiere fuertemente(pero no demuestra) que la coordenada t no es una buena coordenada en r = 2my que la region r > 2m puede ser extendida a una region mas grande.

3.3.1. El diagrama de Eddington-Finkelstein

Para demostrar que la metrica (3.1) puede ser extendida a toda la regionr > 0 cambiamos la coordenada t de tal forma que se regularice la parte radialde la metrica,

�N(r)(cdt)2 +dr2

N(r).

5Otros escalares de curvatura son R y R

↵�R↵� , pero esto son cero para la metrica de

Schwarzschild que satisface las ecuaciones de Einstein en el vacıo Rµ⌫ = 0. Otro escalarposible que se podrıa contemplar para la metrica de Schwarzschild es la cantidad N(r) =g

µ⌫(rµr)(r⌫r) = 1� 2m/r que diverge para r ! 0.

3.3. EL AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD 43

Esto se puede lograr, por ejemplo, al cambiar t por la nueva coordenada vdefinida por

cv := ct+

rZdr

N(r)= ct+ r + 2m log

��r

2m� 1

�� ,

de tal manera que cdt = cdv � dr/N(r), y entonces

�N(r)(cdt)2 +dr2

N(r)= �N(r)(cdv)2 + 2cdvdr.

Los coeficientes de la metrica en las coordenadas (v, r) son regulares en r = 2m.Notamos que las lıneas v = const son nulas.

Finalmente, introducimos la nueva coordenada temporal

ctEF := cv � r = ct+ 2m log��r

2m� 1

�� . (3.24)

En las nuevas coordenadas (tEF , r,#,') la metrica de Schwarzschild tiene lasiguiente representacion (ver el ejercicio 18):

g = �c2dt2EF + dr2 +2m

r(cdtEF + dr)2 + r2(d#2 + sen2 # d'2) (3.25)

y es regular para todo r > 0. Las geodesicas nulas radiales en estas nuevascoordenadas estan dadas por:

entrantes: ctEF = const.� r,

salientes: NctEF = 4m log��r

2m� 1

��+ r + const.

Esto lleva al diagrama que se muestra en la figura 3.1. La region 0 < r < 2mcorresponde a un agujero negro: ninguna senal que proviene de esta regionpuede salir a la region exterior r > 2m. Por esta razon la superficie r = 2m sellama un horizonte de eventos.

En la figura 3.1 tambien se muestra la lınea de mundo de una nave espacialque cae en el agujero negro. Mientras r > 2m las senales radio que emite sonpercibidas por el observador estacionario que se encuentra en la region exterior.Pero conforme la nave se acerca al horizonte de eventos en r = 2m la senal tomamas y mas tiempo para llegar al observador. De hecho, el observador no ve quela nave atraviesa el horizonte de eventos, mas bien tiene la impresion de que lanave se “congela” justo antes de llegar a r = 2m. Desde el punto de vista delobservador, la nave no solamente se congela pero tambien se hace mas y masoscura debido al un efecto del corrimiento al rojo.

Mientras tanto, un astronauta que se encuentra dentro de la nave no perci-be nada particular al cruzar el horizonte de eventos y sigue recibiendo posiblessenales de la region exterior. Sin embargo, al acercarse lo suficiente de la sin-gularidad empieza a notar fuerzas de marea muy grandes. Si en este momentoya cruzo el horizonte de eventos no puede hacer nada para salvarse; ni siquierapuede enviar un mensaje de despedida a su companero que se encuentra fueradel horizonte.


Figura 3.1: El diagrama de Eddington-Finkelstein, que visualiza la estructuracausal de la parte radial de la metrica de Schwarzschild por medio de las coor-denadas regulares t0 = ctEF y r. Para r � 2m los conos de luz son verticales ytienen un angulo de apertura de casi 90�, como en la metrica de Minkowksi. Peroconforme r se acerca a 2m, los conos de luz se inclinan mas y mas hacıa el cen-tro, hasta que los rayos de luz salientes son verticales. En la region 0 < r < 2m,ninguna partıcula puede seguir una trayectoria estacionaria r = const., y todaslas partıculas llegan inevitablemente a la singularidad. El “tiempo de vida” delas partıculas en este region es finito y de hecho es muy pequeno para un agujeronegro estelar, ver el ejercicio 19.

3.4. EJERCICIOS 45

3.4. Ejercicios

Ejercicio 15. Calcule la velocidad de escape6 vesc de una estrella esfericaNewtoniana de radio R y masa M . Determine el radio crıtico Rc(M) comofuncion de M tal que la vesc = c sea igual a la velocidad de la luz.

¿Que pasarıa para una estrella cuyo radio es menor que Rc(M)?

Ejercicio 16.

(a) Muestre que existen coordenadas locales (t, x, y, z) en la cual la metricade Schwarzschild (3.1) posee la siguiente representacion:

g = ��1� m

2R

�2�1 + m

2R

�2 (cdt)2+

⇣1 +

m

2R

⌘4(dx2+dy2+dz2), R =

px2 + y2 + z2.

Encuentre la relacion entre el radio de area r de las esferas invariantesy la nueva coordenada radial R. Las coordenadas (t, x, y, z) se llamancoordenadas isotropicas.

(b) Demuestre que el area de las esferas invariantes posee un mınimo globalen R = m/2, y verifique que la metrica es invariante bajo la reflexionR 7! m2/(4R) en la esfera R = m/2.

(c) Determine el lımite de g para distancias grandes R � m.

Ejercicio 17. En este ejercicio consideramos la posibilidad de que la precesiondel perihelio del mercurio provenga del momento cuadrupolar del sol.

(a) Demuestre que el potencial gravitatorio Newtoniano fuera de una distribu-cion con densidad de masa ⇢(x) (que no es necesariamente esfericamentesimetrica) es

�(x) = �4⇡GX

`m

Q⇤`m

2`+ 1

1

|x|`+1Y `m(x), Q`m :=

Z⇢(y)|y|`Y `m(y)d3y,

donde Y `m denotan los armonicos esfericos.

(b) Ahora asumimos que ⇢ es axisimetrico e invariante bajo una reflexion porel plano ecuatorial # = ⇡/2. Demuestre que estas suposiciones implicanque Q`m = 0 para m 6= 0 y que Q10 = 0, de tal forma que dominan eltermino monopolar y el termino cuadrupolar en la expansion del inciso(a).

6La velocidad de escape es la velocidad mınima con la que debe lanzarse un cuerpo paraque escape de la atraccion gravitatoria de un planeta.


(c) Demuestre que bajo esta suposiciones, el potencial se puede escribir como

�(x) = �GM

r

"1� 1

2J2

✓R

r

◆2

(3 cos2 #� 1)

#,

donde M =R⇢(y)d3y es la masa total y donde J2 es la cantidad adimen-

sional

J2 = � 1

2MR2

Z⇢(y)|y|2(3 cos2 #� 1)d3y.

(d) Derive las ecuaciones de movimiento para una partıcula de prueba en elplano ecuatorial, y demuestre que la trayectoria esta descrita por la funcionu(') = 1/r(') que satisface

u00 + u =GM

`2

✓1 +

3

2J2R

2u2

◆. (3.26)

(e) Comparando con la ecuacion relativista (3.11), verifique que

�'cuad

�'Einstein=

1

2

R2

ma(1� e2)J2

Buscando valores para J2 en la literatura, concluya de esta comparacionque para el sol y Mercurio vale �'cuad ⌧ �'Einstein. Entonces el efec-to debido al momento cuadrupolar del sol es subdominante, y no puedeexplicar la desviacion observada del perihelio de Mercurio.

Ejercicio 18. Derive la metrica de Schwarzschild en coordenadas de Eddington-Finkelstein (3.25).

Ejercicio 19.

(a) Considere una partıcula en la region 0 < r < 2m que se mueve a lo largode una curva de tipo tiempo dirigida hacia el futuro (no necesariamenteuna geodesica). Muestre que el cambio del radio de area r con respecto altiempo propio ⌧ de la partıcula obedece la desigualdad

��dr

d⌧

�� c

✓2m

r� 1

◆1/2

.

(b) Demuestre que el tiempo de vida maximo para una partıcula en la region0 < r < 2m es ⌧max = ⇡m/c.

(c) Calcule ⌧max para

Un agujero negro estelar de masa 10M�,

Un agujero negro supermasivo de masa 4⇥ 106M�,

donde M� es la masa solar.

(d) Muestre que las geodesicas radiales con energıa E ! 0 poseen un tiempode vida que se acerca al tiempo de vida maximo ⌧max.

Capıtulo 4

Agujeros negros rotantes

Literatura para este capıtulo: [2, 7].

4.1. La metrica de Kerr

Casi 50 anos despues del descubrimiento de la solucion de Schwarzschild,en 1963 el matematico Roy Kerr derivo una solucion exacta de las ecuacionesde Einstein en el vacıo que generaliza la metrica de Schwarzschild al caso conrotacion. En las coordenadas de Boyer-Lindquist (t, r,#,') la metrica es1

g = �⇢2�

⌃dt2 +

⌃

⇢2sen2 #

✓d'� 2amr

⌃dt

◆2

+ ⇢2✓dr2

�+ d#2

◆, (4.1)

donde

⇢2 = r2 + a2 cos2 #,

⌃ = (r2 + a2)2 � a2� sen2 #,

� = r2 � 2mr + a2,

y (m, a) son dos parametros. Como la metrica de Schwarzschild, la metrica deKerr (4.1) es asintoticamente plana. Ademas, los coeficientes de la metrica nodependen ni del tiempo t ni del angulo azimutal ', y por lo tanto el espacio-tiempo correspondiente es estacionario y axisimetrico.

Como en el caso de Schwarzschild, m esta asociada con la masa total delespacio-tiempo. El nuevo parametro a en cambio, determina el momento an-gular J = am como vamos aclarar mas adelante. Si a = 0 es facil ver que lametrica (4.1) se reduce a la metrica de Schwarzschild (3.1).

La representacion de la metrica (4.1) se vuelve singular donde � = 0, lo queocurre si y solo si

r = r± = m±pm2 � a2,

suponiendo que el momento angular es suficientemente pequeno tal que a2 < m2.

1Por simplicidad, en este capıtulo trabajamos en unidades para las cuales c = 1.

47

48 CAPITULO 4. AGUJEROS NEGROS ROTANTES

4.2. Observadores estacionarios y estaticos

Para ganar intuicion sobre la estructura de la metrica de Kerr notamosprimero que los generadores de las simetrıas del espacio-tiempo son los vectorescon componentes

(kµ) = (1, 0, 0, 0), (lµ) = (0, 0, 0, 1)

con respecto a las coordenadas de Boyer-Lindquist (t, r,#,'). Un observadorestacionario es un observador cuya cuadri-velocidad es tangente al vector

k + ⌦l,

donde ⌦ es la velocidad angular de dicho observador. El observador se llamaestatico si ⌦ = 0.

Para que k + ⌦l sea de tipo tiempo necesitamos

0 > gµ⌫(kµ + ⌦lµ)(k⌫ + ⌦l⌫) = gtt + 2⌦gt' + ⌦2g'',

lo que (en la region donde � > 0) es equivalente a

(⌦� !)2 < �

✓⇢2

sen#⌃

◆2

, ! :=2amr

⌃.

Por ende, la velocidad angular del observador esta restringida de la forma

⌦� < ⌦ < ⌦+, ⌦± = ! ±p�

⇢2

⌃ sen#. (4.2)

Para r � r+ se tiene que

! =2am

r2

1 +O

✓1

r2

◆�,

p�

⇢2

⌃ sen#=

1

r sen#

1 +O

✓1

r2

◆�,

de tal forma que ⌦� < 0 < ⌦+. Sin embargo, al disminuir r llega un punto en elcual ⌦� = 0 y entonces la velocidad angular ya no puede ser cero. La condicion⌦� = 0 es equivalente a ⇢2 = 2mr, o

r = rsl(#) = m+pm2 � a2 cos2 #.

La superficie r = rsl(#) se llama lımite estatico. Los observadores ubicadosen la region r+ < r < rsl(#) (llamada ergo-region) ya no pueden ser estaticos,estan rastreados por la rotacion.2 En el lımite r ! r+ tenemos ⌦± ! ⌦H ,donde

⌦H = !(r+) =2amr+

(r2+ + a2)2=

a

2mr+.

En este lımite el vector k + ⌦l se vuelve nulo, y ya no existen observadoresestacionarios. Introduciendo nuevas coordenadas que son regulares en r = r+ yanalizando la estructura de los conos de luz es posible demostrar que la superficier = r+ describe un horizonte de eventos, como en el caso de Schwarzschild.

2Es interesante consultar el artıculo de H. Stephani http://arxiv.org/pdf/gr-qc/

0304087v1.pdf que establece una conexion entre el agujero negro de Kerr y el poema “DerTaucher” (el buceador) de Friedrich Schiller.

http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0304087v1.pdf

http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0304087v1.pdf

4.3. LAS GEODESICAS EN EL ESPACIO-TIEMPO DE KERR 49

4.3. Las geodesicas en el espacio-tiempo de Kerr

En el caso de Schwarzschild vimos que el movimiento geodesico es integra-ble. Esto se debe a la simetrıa esferica y estacionariedad del espacio-tiempoque implica la existencia de una cantidad suficientemente grande de cantida-des conservadas. En el caso de Kerr no es nada claro que las ecuaciones de lasgeodesicas sean integrables, dado que solamente contamos con tres cantidadesconservadas a priori (la masa m, la energıa E y el momento angular azimutal`z de la partıcula). Sin embargo, ocurre un “milagro”: Efectivamente, para elespacio-tiempo de Kerr existe una cantidad conservada adicional que permiteintegrar el sistema. Esta cantidad adicional fue descubierta por B. Carter en1968 usando el metodo de Hamilton-Jacobi.

Para aplicar este metodo recordamos primero que las geodesicas en el espacio-tiempo pueden ser descritas por la funcion de Lagrange

L(xµ, xµ) =1

2gµ⌫ x

µx⌫ ,

donde anadimos el factor 1/2 por convencion. El momento canonico asociado es

pµ :=@L

@xµ= gµ⌫ x

⌫ ,

y entonces xµ = gµ⌫p⌫ . Por lo tanto, la funcion Hamiltoniana es

H(xµ, pµ) = xµpµ � L =1

2gµ⌫pµp⌫ .

Dado que los coeficientes de la metrica inversa gµ⌫ no dependen de t ni de 'obtenemos enseguida

pt = �@H

@t= 0, p' = �@H

@'= 0,

es decir, E := �pt (energıa de la partıcula) y `z := p' (momento azimutal) soncantidades conservadas.

El metodo de Hamilton-Jacobi consiste en encontrar una solucion completade la ecuacion

H(xµ, @µS) =1

2gµ⌫(@µS)(@⌫S) = �µ2

2,

para una funcion S que depende de xµ y de parametros Pµ, donde µ es la masade la partıcula. La funcion S genera nuevas coordenadas simplecticas (Qµ, Pµ)a traves de las relaciones

pµ =@S

@xµ, Qµ =

@S

@Pµ.

Para la metrica de Kerr en coordenadas de Boyer-Lindquist la ecuacion deHamilton-Jacobi es

� 1

�

(r2 + a2)

@S

@t+ a

@S

@'

�2+

1

sen#

@S

@'+ a sen#

@S

@t

�2

+ �

✓@S

@r

◆2

+

✓@S

@#

◆2

= �µ2�r2 + a2 cos2 #

�. (4.3)


Dado que pt = �E y p' = `z son constantes de movimiento, podemos separarla ecuacion (4.3) mediante el siguiente ansatz para la funcion generadora:

S = �Et+ `z'+ Sr(r) + S#(#). (4.4)

Substituyendo este ansatz en la ecuacion (4.3) obtenemos

1

�

⇥(r2 + a2)E � a`z

⇤2 � µ2r2 ��S0r(r)

2

=

✓`z

sen#� a sen#E

◆2

+ µ2a2 cos2 #+ S0#(#)

2, (4.5)

y dado que el lado izquierdo es una funcion que depende solamente de r mientrasque el lado derecho depende solamente de #, ambas partes deben ser igual a unaconstante �C. Por lo tanto obtenemos

pr = S0r(r) =

R(r)

�(r),

p# = S0#(#) = ⇥(#),

donde definimos las cantidades

R(r)2 :=⇥(r2 + a2)E � a`z

⇤2 ��(µ2r2 + C),

⇥(#)2 := C �✓

`zsen#

� a sen#E

◆2

� µ2a2 cos2 #.

Notamos que en el caso de Schwarzschild, donde a = 0, la constante C se reducea

C = p2# � p2'sen2 #

= `2,

que es igual al momento angular al cuadrado. Las ecuaciones de movimiento deHamilton implican

⇢2r = ⇢2@H

@pr= �pr = R(r), (4.6)

⇢2# = ⇢2@H

@p#= p# = ⇥(#). (4.7)

Si solamente nos interesa la parte espacial de la trayectoria podemos combinarestas dos ecuaciones para obtener la ecuacion

dr

R(r)=

d#

⇥(#)

que puede ser integrada.

4.4. LAS LEYES DE LA TERMODINAMICA DE LOS AGUJEROS NEGROS51

4.4. Las leyes de la termodinamica de los aguje-ros negros

Dado que el vector (kµ) = (1, 0, 0, 0) que genera la simetrıa de traslacion enel tiempo ya no es tipo tiempo dentro de la ergo-region, la energıa conservada

E = �pt = �pµkµ

no es positiva para todos los momentos pµ. Esto ofrece la siguiente posibilidadinteresante (conocida como proceso Penrose): Podemos pensar en un escenariodonde una partıcula viene de la region asintotica con energıa Ein > 0, que llegaa la ergo-region y allı decae en dos partıculas, una con energıa E1 < 0 quecae en el agujero negro y otra con E2 > 0 que regresa al infinity. Dado queE2 = Ein�E1 > Ein la partıcula que rebota posee mas energıa que la partıculaincidente. La energıa que gano la partıcula proviene de la energıa de rotaciondel agujero negro.

Para analizar esta cuestion con mas detalle, preguntamos como cambiarıanlos parametros del agujero negro (m,J = ma) si traga una partıcula con energıaE y momento angular azimutal `z. Si la partıcula es mucha mas pequena que elagujero negro y su masa es mucha mas pequena que m, puede ser consideradacomo partıcula de prueba. Al cruzar el horizonte los parametros del agujeronegro cambian de acuerdo a

�m = E, �J = `z.

Utilizando la ecuacion (4.5) encontramos la ecuacion cuadratica

⌃E2 � 4amr`zE +

✓a2 � �

sen2 #

◆`2z � µ2⇢2�� (�2p2r + p2#) = 0,

y despreciando el termino no-negativo µ2⇢2�+ (�2p2r + p2#) podemos estimar

E � 1

⌃

2amr`z + `z

p�

⇢2

sen2 #

�.

En particular, cuando la partıcula cruza el horizonte r = r+, obtenemos

E � 2amr`z(r2+ + a2)2

=a

2mr+`z = ⌦H`z,

y entonces

�m � a

2mr+�J = ⌦H�J, (4.8)

lo que muestra que para extraer energıa del agujero negro (�m < 0) su momentoangular debe decrecer (a�J < 0).

Podemos reescribir este resultado de forma mas sencilla si introducimos lamasa irreducible,

mirr :=1

2

qr2+ + a2.


Entonces la condicion (4.8) es equivalente a

�mirr � 0, (4.9)

es decir, la masa irreducible no puede decrecer. Por otro lado, no es difıcilverificar la identidad

m2 = m2irr +

J2

4m2irr

entre la masa total del agujero negro, su momento angular J y la masa irreduci-ble. Esto muestra que es, en un principio, posible sacar toda la energıa rotacionaldel agujero negro (tomando un proceso idealizado para el cual �mirr = 0).

Finalmente, viene el resultado importante. Las superficies que se obtienenal cortar el horizonte de evento con las rebanadas t = const tienen area (ver elejercicio 22)

A = 4⇡(r2+ + a2) = 16⇡m2irr.

Entonces la condicion (4.9) es equivalente a

�A � 0, (4.10)

es decir el area del horizonte no puede decrecer. Por otro lado, usando la defi-nicion de la masa irreducible, tambien encontramos

�A

8⇡=

2mr+pm2 � a2

�m� a�Jpm2 � a2

,

o

�m =

8⇡�A+ ⌦H�J, :=

pm2 � a2

2mr+, ⌦H :=

a

2mr+. (4.11)

Las ecuaciones (4.11,4.10) se ven formalmente iguales a la primera y segundaley de la termodinamica,

�E = T �S � p�V,

�S � 0,

si identificamos m con la energıa E, A con la entropıa S y /(8⇡) con la tem-peratura T del sistema.

Esta analogıa formal puede ser extendida a soluciones de agujeros negros masgenerales y uno de los retos mas grandes de la teorıa general de la relatividady de sus generalizaciones cuanticas es derivar estas leyes de la termodinamicapara los agujeros negros a partir de la fısica estadıstica. Un paso importante eneste direccion fue establecido en 1975 por Stephen Hawking quien demostro quedebido a efectos cuanticos un agujero negro de masa M emite una radiacion decuerpo negro con temperatura3

TH =h

2⇡ckB' 6⇥ 10�8

✓M�M

◆K,

con h la constante de Planck y kB la constante de Boltzmann.

3Aquı M� denota la masa del sol.

4.5. EJERCICIOS 53

4.5. Ejercicios

Ejercicio 20. Verifique que la metrica (4.1) se reduce a la metrica de Schwarz-schild (3.1) cuando a = 0.

Ejercicio 21. Consideramos un observador estacionario con velocidad angular⌦. Muestre que su momento angular azimutal es cero si y solo si

⌦ = ! =2amr

⌃.

(El hecho de que ⌦ 6= 0 es otra manifestacion del efecto de rastreo por larotacion.)

Ejercicio 22. Calcule el area A de las superficies t = const, r = r+ de lametrica de Kerr.

Resultado: A = 4⇡(r2+ + a2).

Ejercicio 23. Considere un agujero negro de Kerr extremo para el cual elvalor del parametro de rotacion a tiene la maxima magnitud posible: a = ±m (si|a| > m la solucion de Kerr ya no describe un agujero negro sino una singularidaddesnuda). Demuestre que al tragar una partıcula de prueba, los parametros dela solucion de Kerr estan restringidos a la desigualdad

�m � �a.

Esto implica que la nueva configuracion satisface (a+ �a)2 (m+ �m)2, yentonces no es posible “destruir” el agujero negro extremo lanzandole partıculasde pruebas.

Apendice A

Transformaciones afines

En este apendice demostramos el teorema siguiente:

Teorema 1 Sean n � 2 y L : Rn ! Rnuna biyeccion de Rn

que mapea

rectas sobre rectas. Entonces L es una transformacion afın, es decir, existen

una transformacion lineal A : Rn ! Rninvertible y un vector b 2 Rn

tales que

L(x) = Ax+ b

para todo x 2 Rn.

Observacion: El teorema no vale para n = 1 porque en este caso todas lasbiyecciones de R a R mapean rectas sobre rectas.

Demostracion del Teorema 11.Definimos la aplicacion A : Rn ! Rn, x 7! A(x) := L(x)�L(0) que satisface

A(0) = 0. El objetivo consiste en demostrar que A es lineal.

Paso 1: Notamos primero que si R y R0 son dos rectas distintas paralelas, entoncesL(R) y L(R0) tambien son rectas distintas paralelas. De otra manera, L(R)y L(R0) tendrıan un punto en comun lo que violarıa la inyectividad de L.

Paso 2: Sean x, y 2 Rn dos vectores linealmente independientes, y considere elparalelogramo P con vertices 0, x, x+ y, y. Dado que A mapea rectas pa-ralelas sobre rectas paralelas, la imagen de P tambien es un paralelogramocon vertices 0, A(x), A(x+ y), A(y). Entonces, encontramos que

A(x+ y) = A(x) +A(y),

para x, y 2 Rn linealmente independientes.

1Adaptado de M. Berger, Geometry, Springer-Verlag, Volume 1 y de un comunicado privadode D. Giulini

55

56 APENDICE A. TRANSFORMACIONES AFINES

Paso 3: Sea x 2 Rn \ {0} y considere las rectas

R := {k x : k 2 R}, R0 := A(R) = {k0A(x) : k0 2 R}.Entonces, la funcion A : R ! R0 y la funcion inducida � = �R : R ! R,k 7! k0 son biyectivas. Ahora mostramos que � es un automorfismo, esdecir, satisface

�(�+ µ) = �(�) + �(µ), �(� · µ) = �(�) · �(µ)para todos �, µ 2 R. Esto se puede ver de manera similar a la demostracionen el paso 2 tomando un punto y 2 Rn \R y usando el resultado del paso1.

Paso 4: La funcion � : R ! R no depende de la recta R: Sea � 2 R \ {0} ysean x, y 2 Rn linealmente independientes. Considere la recta R que pasapor los puntos 0, x y la recta R1 que pasa por los puntos 0, y. Entonces,la recta que pasa a traves de x y de y es paralela a la recta que pasaa traves de �x y �y. Dado el resultado del paso 1, la recta que pasa atraves de los puntos A(x) y A(y) es paralela a la recta que pasa a travesde los puntos A(�x) = �R(�)A(x) y A(�y) = �R1(�)A(y). Entonces,A(�y) = �R(�)A(y) y �R1(�) = �R(�).

Paso 5: De los pasos anteriores concluimos que A : Rn ! Rn es una transformacionsemi-lineal. Esto significa que existe un automorfismo � : R ! R tal que

A(�x+ µy) = �(�)A(x) + �(µ)A(y) (A.1)

para todos x, y 2 Rn, �, µ 2 R.

Paso 6: Sea � : R ! R un automorfismo de R. Entonces � debe ser la identidad.Para demostrar esta afirmacion notamos primero que q 2 R \ {0} implicaque �(q) 6= 0. De otra manera, �(p) = �(q)�(p/q) = 0 para todo p 2 Ry � serıa identicamente cero. Luego, notamos que 0 + 0 = 0 y 1 · 1 =1 implican que �(0) = 0 y �(1) = 1. Sea n = 1 + 1 + ... + 1 2 N.Entonces �(n) = �(1) + �(1) + ... + �(1) = 1 + 1 + ... + 1 = n. Luego,p+(�p) = 0 implica que �(�p) = ��(p) para todos p 2 R. En particular,�(�n) = ��(n) = �n para n 2 N. Ahora, p · 1/p = 1 implica que�(1/p) = 1/�(p) para p 6= 0. Entonces si m,n 2 Z, n 6= 0, tenemos que�(m/n) = �(m · 1/n) = �(m)/�(n) = m/n. Concluimos que � : Q ! Qes la identidad.

Finalmente, sea p = q2 > 0. Entonces �(p) = �(q)2 > 0. Esto muestra quep1 < p2 implica que �(p1) < �(p2). Ahora sea p 2 R arbitrario, y seanak y bk sucesiones en Q que convergen a p por debajo y por arriba de p,respectivamente. Puesto que

ak = �(ak) < �(p) < �(bk) = bk , k 2 N,

obtenemos que �(p) = p tomando el lımite k ! 1 a ambos lados. Estoconcluye la demostracion del teorema.

58 APENDICE A. TRANSFORMACIONES AFINES

Apendice B

Curvatura

En este apendice mencionamos brevemente algunas de las propiedades de lacurvatura que son importantes en la teorıa general de la relatividad. Partiendode la definicion de la derivada covariante (ver (2.10)),

rµX↵ = @µX

↵ + �↵µ�X

�, (B.1)

para campos vectoriales X↵, definimos el tensor de curvatura o tensor deRiemann R↵

�µ⌫ a traves de

[rµ,r⌫ ]X↵ ⌘ (rµr⌫ �r⌫rµ)X

↵ = R↵�µ⌫X

� .

Observamos que [rµ,r⌫ ](fX↵) = f [rµ,r⌫ ]X↵ para cualquier funcion f , detal manera que (R↵

�µ⌫X�)(x) solamente depende del valor de X� en el punto xy no depende de derivadas de X� . Ademas, se puede verificar que R↵

�µ⌫ defineun campo tensorial del tipo (1, 3) sobre el espacio-tiempo.

Usando la definicion (B.1) encontramos la siguiente expresion explıcita paralas componentes del tensor de Riemann:

R↵�µ⌫ = @µ�

↵⌫� + �↵

µ��⌫� � (µ $ ⌫). (B.2)

Se puede mostrar que R↵�µ⌫ := g↵�R��µ⌫ posee las siguientes simetrıas alge-

braicas:

R↵�µ⌫ = �R↵�⌫µ = �R�↵µ⌫ = Rµ⌫↵� , R↵[�µ⌫] = 0,

lo que reduce el numero de componentes independientes a 20. El tensor decurvatura desvanece si la metrica es plana, es decir, si g es igual a la metrica deMinkoski ⌘.1

1Para ver esta propiedad, usamos coordenadas inerciales (xµ) para las cuales ⌘ = �(dx0)2+(dx1)2 + (dx2)2 + (dx3). Entonces las componentes ⌘µ⌫ de la metrica son constantes y porende los sımbolos de Christo↵el. Por consiguiente, R↵

�µ⌫ = 0. De hecho, se puede demostrarque R

↵�µ⌫ = 0 tambien implica que el espacio-tiempo es plano.

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60 APENDICE B. CURVATURA

El tensor de Ricci esta definido a traves de Rµ⌫ := R↵µ↵⌫ y es simetrico,

Rµ⌫ = R⌫µ. Las ecuaciones de Einstein en vacıo son

Rµ⌫ = 0,

y pueden ser obtenidas a partir de la accion de Hilbert

S[g] :=c4

16⇡G

ZRp

�|g|d4x,

donde R = gµ⌫Rµ⌫ es el escalar de Ricci, y |g| denota el determinante de lamatriz (gµ⌫).2

2El elemento de volumenp�gd

4x es invariante bajo transformaciones de coordenadas, de

tal manera que la accion S[g] tambien lo es.

Bibliografıa

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