INTRODUCCIÓN A LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS PARA EL AJUSTE DE REDES FOTOGRÁFICAS. MÉTODO DE LAS ECUACIONES

DE CONDICIÓN

 Septiembre de 2.001

 Alonso Sánchez Ríos y José Antonio Gutiérrez Gallego Profesores del Departamento de Expresión Gráfica Universidad de Extremadura  

1. INTRODUCCIÓN

Uno de los métodos empleados en Topografía para el ajuste de observaciones condicionadas es el de las ECUACIONES DE CONDICIÓN, basado en relacionar entre sí los valores obtenidos directamente de las observaciones topográficas de campo formulando matemáticamente entre éstos una serie de condiciones lógicas y geométricas, que darán lugar a las llamadas ecuaciones de condición, cuya resolución nos proporcionará las correcciones necesarias para que las observaciones de campo cumplan aquellas condiciones.

Resulta, por tanto, un método en el que las correcciones a aplicar a las observaciones de campo para que cumplan unas determinadas condiciones pueden tener infinitas soluciones, entre las que escogeremos aquella que cumpla que la suma de sus cuadrados sea mínima.

Por otra parte, y con relación al método de las ecuaciones de observación, requiere menos capacidad de cálculo, pero, a la hora del análisis de los resultados del ajuste, la obtención de la matriz varianza-covarianza resulta mucho más compleja y por tanto, mantuvo su vigencia frente a éste hasta que se generalizó el uso de los ordenadores electrónicos y fue desplazado. Hoy en día, la gran mayoría de las aplicaciones informáticas desarrolladas para los cálculos topográficos utilizan los algoritmos de cálculo del método de las relaciones de observación.

No obstante, se procederá al desarrollo del método de las ecuaciones de condición por ser de aplicación para la resolución de problemas de nivelación, triangulación, itinerarios, gravimetría, etc., complementándolo con la exposición de un ejemplo sencillo, qeu ayude a la comprensión de los temas tratados.

2. AJUSTE DE OBSERVACIONES CONDICIONADAS. MÉTODO DE ECUACIONES DE CONDICIÓN

En este método las características principales son:

- En las ecuaciones de condición no aparecen parámetros, sino que aparecen directamente residuos.- El número de grados de libertad del problema (redundancia), coincide con el número de ecuaciones independientes, es decir, si:

c: número de ecuaciones de condición.n: número de observaciones.r: redundancia; r = c.

En el caso general, se tendrá r = c ecuaciones de condición y n observaciones, siendo n mayor que c, es decir, hay más observaciones que condiciones.

2.1. FORMA GENERAL DE LAS ECUACIONES DE CONDICIÓN

La forma general de las ecuaciones de condición linealizadas es:

BV + D = 0

Siendo un sistema de c ecuaciones lineales con n ingógnitas, siendo n mayor que c, que se denomina sistema de ecuaciones de condición, y es un sistema indeterminado de infinitas soluciones.

Designamos por:

B(bij): coeficientes numéricos de los residuos.V(vij): residuos.D(dij): constantes numéricas.

Las ecuaciones de condición en forma matricial serán:

Teniendo que B(r,n), V(n,1) y D(r,1).

2.2. SOLUCIÓN MATRICIAL AL SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES EN EL MÉTODO DE LAS ECUACIONES DE CONDICIÓN

Tenemos que la forma general de las ecuaciones de condición linealizadas es:

BV + D = 0

- P es la matriz de pesos.- Q es la matriz cofactor formada por los inversos de los pesos. Q = P-1

- 1 es el vector de las observaciones reales.- es el vector de los valores ajustados de las observaciones.

La solución al sistema de ecuaciones es:

2.3. ESTIMACIÓN DE LA PRECISIÓN A POSTERIORI

La estimación de la varianza de la medición de peso unidad se expresa como:

La estimación de la matriz varianza-covarianza de los valores ajustados , será:

Siendo

la matriz cofactor de las observaciones ajustadas que obtendremos siguiendo 

 

los siguientes pasos:

- EJEMPLO:

Partiendo del punto Caja, proyectamos una triangulación según croquis y datos adjuntos.

SOLUCIÓN:

Comenzamos calculando las ecuaciones de lado, que en este caso es solo una ya que únicamente tenemos un lado conocido: la base.

Llamaremos "i" al ángulo observado, (i) a la corrección a aplicar en i, e "ic" al ángulo corregido.

Tenemos que:

Tomaremos con Di la diferencia tabular de un segundo correspondiente al ángulo i, y teniendo en cuenta que:

Log sen [i + (i)] = Log sen i + (i) Di

Tenemos en nuestro caso que:

tomamos logaritmos y desarrollando, quedará:

Sustituyendo los siguientes valores:

La ecuación de lado queda:

Ahora calcularemos las ecuaciones de ángulos. Como únicamente tenemos una vuelta de horizonte completa, tendremos una sola ecuación, cuando estacionamos en CAJA.

1 + (1) + 2 + (2) + 3 + (3) + 4 + (4) + 5 + (5) = 400g

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 400, 0016g (1) + (2) + (3) + (4) + (5) = -16cc

Pasamos ahora a calcular las ecuaciones de los triángulos. Tendremos tantas ecuaciones como triángulos, en este caso 5.

El sistema de ecuaciones queda de la forma:

B V + D = 0

Para el cálculo seguiremos el siguiente proceso:

Siendo P, la matriz pesos, que en nuestro caso coincide con la matriz identidad, ya que todas las observaciones prácticamente tendrán la misma precisión.

Seguimos ahora con el cálculo matricial:

Siendo:

Obtenemos:

Los valores de los errores residuales obtenidos son:

La varianza de la medición peso unidad resultará:

Siendo c el número de ecuaciones, en este caso c = 15.

Por lo tanto, el error cuadrático de la medición de peso unidad será:

ec = 3.20cc

por tanto, podemos garantizar que los errores cuadráticos de los restantes ángulos de la triangulación están por debajo de esta cantidad, lo que indica que las observaciones gozan de gran precisión.

Los resultados definitivos serán:

Una vez conocidos los ángulos compensados, procederemos al cálculo de las coordenadas de COCHE, RUINA, PIEDRA y ALAMBRADA; a partir de las coordenadas conocidas de CAJA y ESQUINA.

 

Operando convenientemente, obtenemos las coordenadas definitivas siguientes, quedando de esta forma resuelto el problema:

3. BIBLIOGRAFÍA

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