Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 1
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Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 1
2 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 3
Introducción al modelado numérico
de flujos reactivos
Eduardo A. Brizuela
4 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 5
Introducción al modelado numérico
de flujos reactivos
Eduardo A. Brizuela
Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de La Plata
La Plata, 2009
6 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos Eduardo A. Brizuela
Diseño y diagramación: Julieta Lloret
Editorial de la Universidad Nacional de La Plata (Edulp)
47 N° 380 / La Plata B1900AJP / Buenos Aires, Argentina
+54 221 427 3992 / 427 4898
www.editorial.unlp.edu.ar
Edulp integra la Red de Editoriales Universitarias Nacionales (REUN)
Primera edición, 2011
ISBN Nº 978-950-34-0755-4
Queda hecho el depósito que marca la Ley 11.723
©2011 – Edulp
Impreso en Argentina
Brizuela, Eduardo Introducción al modelado numérico de flujos reactivos. 1a ed. - La Plata : Universidad Nacional de La Plata, 2011. 254 p. ; 21x15 cm. ISBN 978-950-34-0755-4 1. Flujos Reactivos. I. Título CDD 532
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 7
Índice
Prólogo………………………………………………………….13
Capítulo 1
Introducción……………………………………………………. 15
1.1 Introducción………………………………………………… 15
1.2 Planteo general del problema………………………………. 17
1.3 Nomenclatura y unidades…………………………………... 18
1.4 Química…………………………………………………….. 19
1.5 Termoquímica……………………………………………… 20
1.6 Sistemas de reacciones elementales………………………… 22
1.7 Reducción de sistemas esqueletales ………………………. 24
1.8 Resumen de química……………………………………….. 26
Referencias al Capítulo 1……………………………………….. 26
Capítulo 2
Modelos y métodos…………………………………………….. 27
2.1 Escalares conservados……………………………………… 27
2.2 Modelos de reacción……………………………………….. 28
2.3 Método de resolución numérica……………………………. 37
Referencias al Capítulo 2……………………………………….. 42
Capítulo 3
Flujos turbulentos………………………………………………. 43
3.1 Ecuaciones instantáneas y promedios……………………… 43
3.2 Tipos de promedios ………………………………………… 44
3.3 Propiedades de los promedios Reynolds y Favre………….. 46
3.4 La ecuación de Navier-Stokes en promedio Favre…………. 48
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Capítulo 4
Ecuaciones de continuidad y de transporte…………………….. 53
4.1 La ecuación de continuidad o de conservación de la masa… 53
4.2 La ecuación general de conservación de un escalar………... 54
4.3 La ecuación de conservación de la energía………………… 56
4.4 La ecuación de transporte de la fracción de mezcla………... 58
4.5 La ecuación de transporte de las especies químicas……….. 58
4.6 La ecuación de transporte del avance de reacción…………. 60
4.7 Resumen de las ecuaciones de transporte………………….. 60
4.8 Relaciones algebraicas……………………………………… 62
4.9 Cierre del modelo…………………………………………… 66
Referencias al Capítulo 4………………………………………. 68
Capítulo 5
Modelos de turbulencia………………………………………… 69
5.1 Modelo de transporte de tensiones de Reynolds…………… 69
5.2 Modelos de cero y una ecuación…………………………… 70
5.3 El modelo de dos ecuaciones……………………………….. 71
5.4 Mejoras al modelo………………………………………….. 76
Referencias al Capítulo 5………………………………………. 79
Capítulo 6
Condiciones de borde e iniciales ……………………………… 81
6.1 Condiciones de borde………………………………………. 81
6.2 Clases de fronteras…………………………………………. 81
6.3 Clases de condiciones de borde…………………………….. 83
6.4 Entradas…………………………………………………….. 84
6.5 Salidas………………………………………………………. 85
6.6 Paredes……………………………………………………… 85
6.7 Condiciones iniciales………………………………………. 91
Referencias al Capítulo 6……………………………………….. 92
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Capítulo 7
Diferencias y volúmenes finitos………………………………... 93
7.1 Discretización de las ecuaciones de transporte……………. 93
7.2 Celdas y volúmenes de control……………………………... 94
7.3 Alternativas de discretización………………………………. 97
7.4 La ecuación de transporte en diferencias
y volúmenes finitos……………………………………………... 101
7.5 Las condiciones de frontera ……………………………….. 103
7.6 El número de Peclet ………………………………………... 104
7.7 Otros métodos………………………………………………. 105
7.8 Ubicación de las variables………………………………….. 106
7.9 La corrección de presión……………………………………. 108
Referencias al Capítulo 7………………………………………..111
Capítulo 8
La grilla de cálculo…………………………………………….. 113
8.1 Tipos de grillas……………………………………………... 113
8.2 Grillas cartesianas ortogonales…………………………….. 114
8.3 Grillas ajustadas al contorno (BFC)………………………… 119
8.4 BFC, métodos diferenciales ………………………………... 121
8.5 BFC, métodos algebraicos………………………………….. 124
8.6 Transformación de las ecuaciones de transporte…………… 126
8.7 Grillas no estructuradas…………………………………….. 127
Referencias al Capítulo 8……………………………………….. 131
Capítulo 9
Solución del sistema de ecuaciones ……………………………. 133
9.1 General……………………………………………………… 133
9.2 Resolvedores directos………………………………………. 134
9.3 Resolvedores iterativos……………………………………... 138
9.4 Método the Runge-Kutta…………………………………… 141
9.5 Convergencia, residuos……………………………………... 143
Referencias al Capítulo 9………………………………………. 149
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Capítulo 10
Velocidades de reacción dominadas por la cinética
y por la mezcla …………………………………………………. 151
10.1 Reactantes no premezclados………………………………. 151
10.1.1 Cinética dominante……………………………………… 151
10.1.2 Mezcla dominante………………………………………. 152
10.1.3 Modelo de mezcla rápida………………………………... 152
10.1.4 Funciones de distribución……………………………….. 157
10.1.5 El segundo momento de f……………………………….. 160
10.1.6 La velocidad de reacción ……………………………….. 161
10.1.7 El método EBU………………………………………….. 162
10.1.8 Velocidad de reacción………………………………….. 164
10.2 Reactantes premezclados………………………………….. 164
10.2.1 Química rápida…………………………………………. 165
10.2.2 Química lenta……………………………………………. 165
10.2.3 El segundo momento del avance de reacción…………… 166
10.2.4 La velocidad de reacción ………………………………... 166
Referencias al Capítulo 10……………………………………… 167
Capítulo 11
Modelos de equilibrio y bases de datos ……………………….. 169
11.1 Bases de datos…………………………………………….. 169
11.2 Modelos de equilibrio……………………………………... 171
Referencias al Capítulo 11……………………………………… 174
Capítulo 12
Postprocesado………………………………………………….. 175
12.1 Graficadores………………………………………………. 175
12.2 Postprocesado de especies menores……………………… 176
Referencias al Capítulo 12……………………………………… 181
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Bibliografía …………………………………………………… 183
Apéndices Apéndice A: Sistemas esqueletales……………………………. 187
Mecanismo GRI-Mech2.11 (Metano en aire)………………….. 187
Apéndice B: Reducción de un sistema esqueletal……………… 197
Apéndice C: Ecuaciones de Navier-Stokes
en varios sistemas de coordenadas…………………………….. 207
Apéndice D: Software de generación de coordenadas
ajustadas al contorno……………………………………………. 211
Apéndice E: Software para realizar cálculos
de equilibrio químico…………………………………………… 229
Apéndice F: Un programa de simulación numérica
de la combustión………………………………………………... 235
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Prólogo
Los flujos reactivos son procesos básicos de industrias tales
como la petroquímica, farmacéutica y alimentaria, y un caso
particular de flujos reactivos, la combustión de combustibles fósiles
en aire, es el fundamento de nuestra civilización ya que en él se basa
el transporte y la generación de energía eléctrica.
La sociedad demanda de estas industrias y procesos cada vez
mayor eficiencia en el uso de los recursos naturales y al mismo
tiempo menor impacto sobre el medio ambiente. Esto hace
imperativo estudiar los procesos de flujo reactivo con el mayor
detalle y precisión.
Tradicionalmente los flujos reactivos se han estudiado
utilizando experimentos físicos tales como plantas piloto y reactores
de laboratorio. Sin embargo los experimentos físicos presentan
ciertas dificultades tales como su costo e inflexibilidad, lo que hace
atractivo el uso de experimentos numéricos.
El modelado numérico de flujos reactivos es una rama de la
ciencia que ha avanzado enormemente en muy poco tiempo, y la
literatura científica ofrece un gran número de trabajos especializados.
Sin embargo existe la necesidad de un texto introductorio para el
estudiante o científico investigador que desee iniciarse en el tema.
En este trabajo se presentan las etapas en que se divide la tarea
de modelar numéricamente un flujo reactivo, y se estudian los
modelos y técnicas a utilizar para cada aspecto. Los modelos y
técnicas más usuales son presentados con suficiente detalle como
para poder aplicarlos en problemas sencillos, y los menos usuales
son enunciados y descriptos brevemente.
En cada capítulo se da un mínimo de referencias bibliográficas
tales que, con la bibliografía general al final del volumen y la ayuda
de Internet el interesado pueda profundizar en el tema elegido.
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CAPÍTULO 1
Introducción
1.1 Introducción
Los flujos químicamente reactivos son elementos de proceso
sumamente comunes en las industrias del plástico, petroquímica,
farmacéutica, etc. Por consiguiente es necesario desarrollar las
herramientas teóricas para su análisis y diseño. Se necesita conocer y
comprender la función de cada parámetro que influye sobre el
producto de la reacción, parámetros de flujo como velocidad, presión
y temperatura, y de la química, como composición, propiedades
termodinámicas y de transporte, etc.
El estudio de los flujos reactivos, como el de cualquier
fenómeno de la naturaleza, comprende las etapas de observación
experimental, análisis de lo observado, teorización del fenómeno
(modelado), prueba experimental del modelo y adopción de la teoría
del fenómeno. El modelado numérico, más propiamente llamado
simulación numérica, es un tipo de experimento, llamado
experimento numérico por diferenciarlo del experimento físico
convencional.
Tanto el experimento físico como el numérico tienen sus
ventajas y desventajas y ninguno de los dos es autosuficiente: ambos
son necesarios para la teorización del fenómeno. Algunas de las
ventajas del experimento físico son:
No se desprecia, ex profeso o inadvertidamente,
ninguna ley física
Comúnmente la realización del experimento insinúa
algún fundamento físico que ayuda a la teorización
Las desventajas del experimento físico no son menores:
Costo, a veces prohibitivo
Dificultad de instrumentación, llegando a veces a la
imposibilidad de medición (por ejemplo, la
temperatura con el movimiento, llamada estática).
16 | Eduardo A. Brizuela
Inflexibilidad respecto a ciertos parámetros como
condiciones de borde y sus rangos.
Errores de observación
El experimento numérico corrige o compensa las dificultades
del experimento físico ya que:
Es de relativamente bajo costo, en especial las
repeticiones.
Todos los parámetros son “observables” (calculables).
Es sumamente flexible a bajo costo.
Sólo adolece de errores numéricos, como errores de
redondeo en el cálculo.
Por otra parte, al crear un experimento numérico se suelen
despreciar ciertas leyes o efectos físicos, por conveniencia o
ignorancia (por ejemplo, difusión multicomponente, transmisión del
calor por radiación). Es también común que los resultados del
experimento numérico sean muy voluminosos (grandes cantidades de
datos numéricos) que obscurecen y obstaculizan la comprensión del
fenómeno.
En resumen, hoy en día se considera que la fase experimental,
por lo menos en lo que concierne al tema presente, se compone de
experimentos físicos y numéricos, complementarios y de similar
importancia. Tal es así que hay grupos internacionales que se
dedican al diseño de experimentos que tiendan a minimizar las
dificultades enumeradas más arriba para así poder realizar los dos
tipos de experimentos sobre el mismo caso y perfeccionar las
técnicas experimentales.
Los experimentos numéricos sobre flujos reactivos se pueden
plantear en fase líquida o gaseosa o ser multifase (combustión de
rocíos). La combustión heterogénea (rocíos, polvillo de carbón)
requiere modelos y técnicas especiales que no se tratan en este
trabajo.
Los flujos reactivos en fase líquida requieren un planteo
especial de las ecuaciones a satisfacer (modelado de fluidos
incompresibles) y no se tratarán en detalle, haciéndose notar, sin
embargo, las diferencias cuando corresponda.
La mayor parte del presente trabajo se dedica a los flujos
reactivos en fase gaseosa, de los cuales el caso más importante desde
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el punto de vista socioeconómico es el de la combustión,
particularmente la combustión de combustibles fósiles en aire. Sin
embargo, la teoría y las técnicas descriptas son aplicables en forma
general y se notarán las diferencias en los casos específicos.
1.2 Planteo general del problema
En forma general el experimento numérico se puede plantear
como sigue: dado un entorno físico (reactor) y un flujo de especies
químicas que pueden reaccionar químicamente entre sí, se plantean
las relaciones matemáticas entre las variables del flujo, como ser,
Leyes de conservación de la física (de la masa, de la
cantidad de movimiento y de la energía)
Leyes de la cinética química, la termodinámica y la
termoquímica.
Otras relaciones tales como relaciones de simetría,
leyes de la mecánica, etc.
Condiciones de borde o frontera.
Algunas de estas relaciones tienen forma algebraica (por
ejemplo, la ecuación de estado de los gases ideales), pero otras tienen
forma de ecuaciones diferenciales, es decir, plantean relaciones entre
las derivadas, y no entre los valores, de las variables, y por
consiguiente no tienen en general una solución explícita; para ellas se
busca una solución que las satisfaga, sujeta a las condiciones de
borde.
El número de ecuaciones adoptadas debe ser igual al de las
incógnitas (los parámetros del flujo)
Se procede entonces a discretizar (dividir) el campo de flujo
en porciones finitas y replantear las ecuaciones diferenciales en cada
porción, en forma discreta, convirtiéndolas en ecuaciones algebraicas
lineales, tantas como porciones haya del campo de flujo.
El sistema de ecuaciones lineales resultante se resuelve
conjuntamente con las relaciones algebraicas remanentes para
obtener, en cada porción del espacio discretizado, un conjunto de los
valores de todos los parámetros del flujo, que forman la “solución”
numérica del problema.
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Aunque parezca innecesario, ha sido formalmente demostrado
que dicha solución numérica tiende a la solución exacta del problema
a medida que disminuye el tamaño de las porciones en que se divide
el espacio físico.
1.3 Nomenclatura y unidades
Las sustancias que pueden individualizarse por una fórmula
química se denominan especies. Un ejemplo es el dióxido de
Carbono CO2, y otro es el Dieseloil, cuya fórmula (empírica) es
CH1.15S0.0009, (por átomo de carbono).
La cantidad de una especie química presente en un punto del
flujo reactivo puede medirse de diversas maneras:
[i]: Concentración de la especie i, en moles/m3: ej:
[H2O]
yi: Fracción de masa de la especie i; masa de la especie
por unidad de masa de mezcla; adimensional; ej: yCO
xi: Fracción molar de la especie i; moles de la especie
por mol de mezcla; adimensional.
i: Abundancia específica de la especie i; kilomoles de
la especie por kilogramo de mezcla.
Si denominamos Wi [kg/kmol] a la masa molecular de la
especie, se cumple que
i
ii
W
y .
{1.1}
Si W es la masa molecular de la mezcla y [kg/m3] su
densidad
ii
i
i
W
x
W
yi
. {1.2}
Las relaciones generales
1i i iy x W {1.3}
junto con la Ley de Dalton
pxp ii {1.4}
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(p en Pascales, Pa=N/m2) y la ecuación de estado de los gases
ideales
Kkmol
JT
Wp 8314;
{1.5}
nos permiten escribir
TW
pi
ii
, y {1.6}
/iiy . {1.7}
Para el caso especial de las especies atómicas (ej., C, H, O,
etc.) la fracción de masa se indica con z en lugar de y.
1.4 Química
La reacción química elemental
Productos... cCbBaA {1.8}
tiene velocidad de reacción según la ley de acción de masas:
sCBAkw cba
3m
kmoles...][][][ , {1.9}
donde la constante de reacción k viene dada generalmente en
la forma de Arrhenius:
TE
eTCtek
. {1.10}
Las constantes Cte, y E están tabuladas para la reacción
considerada.
La velocidad de consumo de la especie A será entonces:
awdt
Ad
][, {1.11}
awdt
d A
, {1.12}
AA awW
dt
dy , etc. {1.13}
20 | Eduardo A. Brizuela
1.5 Termoquímica
La entalpía específica total [J/mol] de una especie i está dada
por
T
Tipifi dTcTHH
0 ,
0
, )( , {1.14}
donde )( 0
, TH if es el calor de formación de la sustancia a la
temperatura standard T0 (generalmente 298.16 K), y cp,i es el calor
específico molar a presión constante.
En la gran mayoría de los flujos reactivos el número de Mach
M es muy inferior a la unidad, es decir, son flujos subsónicos (lo cual
no debe confundirse con flujos incompresibles ya que los flujos
reactivos son en general de densidad variable debido a los cambios
de temperatura). En estos casos la diferencia entre la temperatura de
estagnación T0 y la estática T es despreciable:
2
0
11
2T T M T
. {1.15}
Si no fuera así se trabaja con las condiciones de estagnación y
Hi será la entalpía de estagnación.
En estas condiciones Hi incluye los componentes mecánicos y
químicos de la energía y por lo tanto sólo puede ser alterada por el
intercambio de calor o trabajo desde o hacia el sistema. En un
sistema adiabático, Hi es una variable conservada, es decir, no es
afectada por la reacción química.
Para gases es común modelar la dependencia de entalpía y
calor específico con la temperatura utilizando polinomios. Una forma
usual es:
T
aT
aT
aT
aT
aa
T
H i 645342321
5432
, {1.16}
4
5
3
4
2
321
,TaTaTaTaa
c ip
. {1.17}
Los coeficientes para cada especie están tabulados para
distintos rangos de temperatura. Las unidades de Hi son las de T y
las de cp,i las de . La temperatura debe ser dada en Kelvin.
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La entalpía por unidad de masa es
iii WHh / . {1.18}
Para mezclas:
i
ii
i
ii Hhyh , {1.19}
i i
iiii hyWHxH . {1.20}
La masa molecular de la mezcla es:
i
i
i
i i
i
ii
W
yWxW
11. {1.21}
Dada la reacción química
i i
iiii MM ' {1.22}
entre las especies Mi, el calor de reacción H viene dado por
i
iii HH '. {1.23}
Si el resultado de la reacción es un mol de una sustancia el
calor de reacción es el calor de formación de la sustancia.
Los calores de reacción se calculan a 298.16 K. Los calores de
formación de las sustancias en sus estados naturales (O2, N2, C, H2)
son cero por convención.
Ejemplos:
Calor de formación
(gas)(gas)2
1(sólido) 2 COOC . {1.24}
Entalpías a 298.16 K: C(s) : 0
O2(g) : 0
CO(g):-110.57 kJ/mol
Calor de formación de CO: 1x(-110.57)-1x0-1/2x0 = -110.57
kJ/mol
Calor de reacción
OHCOOCH 2224 22 . {1.25}
HCH4 = -74.891 kJ/mol
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HO2 = 0
HCO2 = -393.616 kJ/mol
HH2O = -241.885 kJ/mol
Hr = -393.616 x 1-241.885 x 2+74.891 x 1 = -802.495
kJ/mol
Un calor de reacción negativo indica una reacción exotérmica,
y viceversa.
1.6 Sistemas de reacciones elementales
Las reacciones elementales obedecen a la ley de acción de
masas (Ec. {1.11}). Es común encontrar en la literatura reacciones
que no obedecen a la ley de acción de masas. Por ejemplo, para la
reacción
OHCOOCH 224 22
11 {1.26}
la velocidad de reacción recomendada es
OHOCHexw T2
21
24
5718103.5
.{1.27}
Esto evidencia que la reacción considerada no es una reacción
elemental sino que se ha obtenido experimentalmente o por
combinación de reacciones elementales.
El paso de reactantes a productos finales rara vez tiene lugar
entre sustancias simples en una sola reacción. Por ejemplo, la
combustión del Hidrógeno
OHOH 222 22 {1.28}
no es una reacción elemental, no obedece a la ley de acción de
masas y no tiene lugar en la naturaleza. Lo que sucede es que hay un
número de reacciones elementales simultáneas cuyo resultado es lo
que denominamos productos, que pueden ser o no, por ejemplo, H2O,
dependiendo de las condiciones finales. Para el caso del ejemplo las
reacciones elementales más importantes son:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 23
1. MOMO 22
2. MOHMHO
3. OHHHO 2
4. 22 OOHHOO
5. 222 HOOHOHO
6. MHOMOH 22
7. 2222 OHOOH
8. OHHOOHOH 2222
9. OHOOH 2
10. MHMH 22
11. 2222 HHH
12. OHHOHH 2222
13. OHOHOH 22
14. 222 HOHOH
15. OHHOH 22
16. 2222 HHOOHH
17. OHOHOHH 222
Como se vé, aún para el caso sencillo de la combustión del
Hidrógeno con oxígeno hay que considerar 17 reacciones
simultáneas que involucran 9 especies químicas, incluyendo al “gas
de baño”, indicado por M.
Para situaciones más complejas el número de reacciones y
especies crece rápidamente. Por ejemplo, para la combustión del
metano en aire el mecanismo elemental recomendado por el Gas
Research Institute de USA como Mecanismo 2.11 (ver Apéndice)
consta de 274 reacciones entre 49 especies.
Es importante destacar que todas estas reacciones obedecen a
la ley de acción de masas.
24 | Eduardo A. Brizuela
Estos listados de reacciones elementales no incluyen todas las
reacciones posibles, sólo aquellas consideradas significativas. Por
esto se los denomina “mecanismos esqueletales”.
La composición de la mezcla de gases dependerá del tiempo,
del escurrimiento y de las condiciones de frontera. Hay diversas
herramientas que simplifican algo el problema y permiten estimar la
composición de la mezcla. Se pueden citar las hipótesis de equilibrio,
estado estacionario, adiabaticidad, etc.
1.7 Reducción de sistemas esqueletales
El número de especies y reacciones de un sistema esqueletal se
puede reducir utilizando hipótesis basadas en la observación
experimental.
Por ejemplo, puede postularse que para cierta zona del flujo
una reacción está en equilibrio. Esto significa que, dada la reacción
reversible
i i
iiii MM ' {1.29}
las velocidades de reacción en ambos sentidos son iguales:
i
irr
i
iddii MkwMkw'
.{1.30}
Se puede definir la constante de equilibrio K:
i
i
i
i
r
d
i
i
M
M
k
kK
'
. {1.31}
La constante de equilibrio es sólo función de la temperatura, y
puede calcularse en función de las concentraciones (como se indica)
o de las presiones parciales, fracciones de masa o fracciones molares.
Una constante de equilibrio alta indica que la reacción está casi
completa (pocos reactantes, muchos productos), y viceversa.
Otra hipótesis que puede formularse es que, nuevamente para
cierta zona del flujo, una especie química está en estado
estacionario, es decir, que su concentración es relativamente
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constante en el tiempo. Luego, su velocidad de creación/ destrucción
global (incluyendo todas las reacciones en las que intervenga) es
cero.
También puede postularse que algunas reacciones son
sumamente rápidas en cierta dirección (directa o reversa), por lo que
se pueden considerar completas:
FDEBA
------ -----
(rápida)
(lenta)
FEC
DCBA
eliminando la especie C.
Finalmente, ciertas reacciones pueden considerarse
extremadamente lentas y omitirse para la resolución del problema.
Con estas hipótesis y simples operaciones algebraicas se
reduce el número de reacciones y especies, obteniéndose un
mecanismo reducido que involucra sólo a ciertas especies
principales. Es de notar que las reacciones del mecanismo reducido
no obedecen a la ley de acción de masas (no son reacciones
elementales).
En el proceso de generación del mecanismo reducido se
obtienen relaciones matemáticas que permiten calcular
las velocidades de reacción de las nuevas reacciones
del mecanismo reducido, y
las concentraciones de las especies menores y las
supuestas en estado estacionario.
Los números de reacciones y de especies mayores del
mecanismo reducido pueden especificarse a voluntad, desde el
mismo mecanismo esqueletal hasta la reacción de un solo paso,
añadiendo más suposiciones de especies en estado estacionario,
reacciones en equilibrio, reacciones rápidas y lentas, etc. El
mecanismo resultante será tanto menos fiel cuanto más se lo reduzca.
El proceso de reducción ha sido automatizado y codificado en
el programa REDMECH de Göttgens y otros, de dominio público.
En el Apéndice B se ilustra la generación de un mecanismo de
4 pasos a partir de un mecanismo esqueletal de 18 pasos para el caso
26 | Eduardo A. Brizuela
de la combustión del metano en aire (sin incluir la química del
Nitrógeno).
1.8 Resumen de química
La mezcla reactiva tendrá una composición definida por las
concentraciones de las especies químicas.
Las concentraciones están relacionadas entre sí y a las
condiciones de frontera y de estado por las reacciones químicas. Las
últimas están dadas por mecanismos esqueletales que comprenden
reacciones elementales que obedecen la ley de acción de masas.
El número de especies y reacciones a considerar puede
reducirse considerablemente por medio de hipótesis simplificativas.
Luego, el aspecto químico del problema de simulación
numérica queda reducido al cálculo de las concentraciones de un
número reducido de especies (las especies principales o mayores) de
las cuales se conocen sus velocidades de creación/destrucción
química; el cálculo de las especies menores es algebraico.
El conocimiento de las concentraciones de las especies
permite el cálculo de las demás propiedades de la mezcla (densidad,
masa molecular, entalpía, etc.).
Referencias al Capítulo 1
J. Göttgens and P. Terhoeven; Appendix B : RedMech : an
automatic reduction program, en Reduced kinetic
mechanisms for applications in combustion systems; Lecture
notes in physics., New series m,, Monographs ;, m15,
Norbert Peters; Bernd Rogg, Eds. Springer-Verlag, Berlin ;
New York,1993
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 27
CAPÍTULO 2
Modelos y métodos
2.1 Escalares conservados
Un concepto muy útil para el modelado de flujos reactivos es
el de escalares conservados. Un escalar conservado es aquel que no
se modifica por las reacciones químicas. Ejemplos de escalares
conservados son los números de átomos de las especies atómicas; en
un sistema adiabático la entalpía total estandardizada es también un
escalar conservado.
Para la reacción A+B →Productos, definimos la fracción de
mezcla como
masa de la especie Af
masa total . {2.1}
Se nota que la cantidad de masa que aportó a la mezcla la
especie A no se puede alterar, haya o no sucedido la reacción
química.
Definida de esta manera la fracción de mezcla es un escalar
conservado.
Si el flujo es premezclado la fracción de masa tiene la misma
definición, sólo que toma un solo valor en todo el campo. (no sólo es
un escalar conservado sino que es una constante).
Para flujos no-premezclados, si es un escalar conservado que
toma los valores A y B en las corrientes de reactantes de entrada A
y B, entonces se puede escribir
BA
Bf
. {2.2}
De esta manera f queda normalizado entre 0 y 1.
Una aplicación inmediata de este concepto es en el caso de la
reacción adiabática. La entalpía de la mezcla en cualquier punto del
campo de flujo estará dada por
28 | Eduardo A. Brizuela
BA
B
hh
hhf
, {2.3}
de donde
BA hfhfh )1( . {2.4}
Luego, el conocimiento de f y las condiciones de entrada nos
permite obtener la entalpía en todo el campo de flujo.
2.2 Modelos de reacción
Si la química es suficientemente rápida con respecto a la
fluidomecánica podemos considerar que, una vez que los reactantes
han arribado al volumen de control por difusión/convección y están
íntimamente mezclados, la concentración de reactantes y productos
se puede estudiar exclusivamente en base a las reacciones químicas.
En este caso tenemos dos modelos de reacción relativamente
sencillos que proporcionan la composición de la mezcla. Estos son el
modelo de un solo paso y el de equilibrio químico.
En el modelo de un solo paso consideramos la reacción
A bB cC dD {2.5}
(que puede extenderse a más productos).
La fracción de mezcla en cualquier punto del campo puede
obtenerse por su definición:
BA
A
WBWA
WAf
][][
][
. {2.6}
Dada la velocidad de la reacción w, los consumos y
producciones de las especies son Aw w , bwwB , cwwC ,
y dwwD . Si formamos los escalares
1 /A B b {2.7}
2 /A C c {2.8}
3 /A D d {2.9}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 29
cCbB //4 {2.10}
dDbB //5 {2.11}
y derivamos con respecto al tiempo, como d[i]/dt = wi ,
1 / 0A B
dw w b w w
dt
, {2.12}
2 / 0, etc.A C
dw w c w w
dt
, {2.12}
lo que prueba que no se crean ni se destruyen en el
tiempo, o sea, son escalares conservados.
Multiplicamos por aWA/W y queda:
1
1A B A
B
W W WA B
W W W b . {2.13}
Llamamos s al coeficiente estequiométrico de la especie B, en
unidades de masa:
B
A
bWs
W , {2.14}
y, como
AA y
W
WA , {2.15}
resulta
s
yy B
A 1 . {2.16}
Similarmente, si llamamos
' masa producida de por unidad de masa de s C A ,
{2.17}
y
'' masa producida de por unidad de masa de s D A ,
{2.18}
quedan
30 | Eduardo A. Brizuela
'2
s
yy C
A , {2.19}
''3
s
yy D
A , {2.20}
'4
s
syy CB , {2.21}
y
''5
s
syy DB . {2.22}
Notamos que s’+s’’=s+1.
Utilizamos ahora para formar f:
BA
Bf11
11
, {2.23}
AAA y1 , {2.24}
s
yBB 1 . {2.25}
donde yBB es la fracción de masa de la especie B en la
corriente de entrada B (normalmente igual a 1, pero puede haber
alguna especie inerte). Luego,
s
yy
s
y
s
yy
fBB
AA
BBBA
. {2.26}
Distinguimos ahora el valor estequiométrico de f, aquel para el
cual ni A ni B aparecen entre los productos. Luego, si f>fe habrá
menos B que el necesario y aparecerá A entre los productos. Para
este caso, en la mezcla yB=0 y resulta
s
yy
s
yy
fBB
AA
BBA
. {2.27}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 31
Cuando f=fe será también yA=0 y entonces
s
yy
s
y
fBB
AA
BB
e
. {2.29}
De las dos últimas relaciones, para f>fe
11
e
BBA
f
f
s
yy , {2.30}
)2(0By . {2.31}
Considerando ahora 2 y con igual procedimiento:
AAA y2 , {2.32}
02 B , {2.33}
AA
C
A
y
s
yy
f '
. {2.34}
Luego,
)3(1'
e
BBAAC
f
f
s
yyfsy , {2.35}
y considerando 3
)4(1''
e
BBAAD
f
f
s
yyfsy , {2.36}
En la región f<fe será yA=0. Considerando 1 obtenemos
s
yy
s
y
s
y
fBB
AA
BBB
. {2.37}
'21
e
BBBf
fyy , {2.38}
32 | Eduardo A. Brizuela
)'1(0Ay . {2.39}
y considerando y:
)'3(' AAC yfsy , {2.40}
)'4('' AAD yfsy . {2.41}
Este modelo de un solo paso se puede representar en el plano
y-f como se muestra:
Figura 2.1: Modelo de un solo paso
De este modo dado un valor de la fracción de mezcla f
podemos obtener la composición de la mezcla.
Obtenida la composición de la mezcla obtenemos la entalpía
de la reacción adiabática como:
BBAA hffhh )1( , {2.42}
o bien como
i
iihyh . {2.43}
Para obtener la temperatura de la mezcla es común reducir el
orden del polinomio (Ec. {1.18}, por ejemplo, al segundo grado:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 33
2
321 TaTaah iiii , {2.44}
Luego,
i
ii
i
ii
i
ii ayTayTayh 3
2
21 ,
{2.45}
y la temperatura se obtiene resolviendo la ecuación de segundo
grado, ya que h es conocido.
Alternativamente, si el calor de reacción por mol de A es
rH podemos calcular la temperatura Ta de la reacción adiabática
del balance:
mapBAA
A
rA TTcMMM
W
HhM
,
{2.46)
donde MA y MB son las masas de las especies y donde
utilizamos un calor específico por unidad de masa medio y la
temperatura de la mezcla sin reaccionar:
BBAAm TffTT 1 . {2.47}
Si el número de moles de B lo damos como el valor
estequiométrico b dividido por la equivalencia , operando la Ec.
{2.46} obtenemos
ma
p
r TTs
c
h
1 . {2.48}
Dado que estamos considerando química rápida, en el caso de
procesos premezclados la mezcla de reactivos dá lugar a los
productos en forma inmediata. Sin embargo puede ser de utilidad
definir una variable de avance de la reacción, desde la mezcla
inerte hasta la reacción completada. Con lo anterior definimos
entonces
ma
m
TT
TT
. {2.48}
El avance de reacción varía entre 0 y 1.
También definimos los valores de las fracciones de mezcla de
A, B, C y D en la mezcla inerte:
34 | Eduardo A. Brizuela
AAAm fyy , {2.49}
BBBm yfy 1 , {2.50}
0Cmy , {2.51}
0Dmy . {2.52}
En la reacción premezclada la fracción de mezcla toma un
único valor. Para el caso de f<fe las fracciones de mezcla de A, B, C
y D se pueden obtener a partir de la Figura 2.2:
Figura 2.2: Pasaje de mezcla a productos
Resultan:
AAA fyy , {2.53}
BB
ee
B fyf
ff
f
fy
1 , {2.54}
AAC fysy ' , {2.55}
AAD fysy '' . {2.56}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 35
Para la región f>fe similarmente resulta:
AA
e
e
e
eA yf
ff
f
ffy
11
1 , {2.57}
BBB yfy 1 , {2.58}
AAe
e
C yfsf
fy '
1
1
, {2.59}
AAe
e
D yfsf
fy ''
1
1
. {2.60}
Para la temperatura, en ambas regiones:
mma TTTT . {2.61}
El modelo de un solo paso nos dá la composición de la mezcla
con sólo conocer f , pero no resulta en ninguna especie intermedia o
menor. Para esto es necesario un modelo que admita la existencia de
más especies y reacciones.
El segundo modelo simple es el de equilibrio químico: se
asume que la química es rápida y la mezcla de un número de
especies es estable en el tiempo a una dada temperatura.
Se nota que esto no implica que no estén sucediendo
reacciones químicas ni que todas las velocidades de reacción sean
cero, sino que, para todas las especies, las velocidades de creación y
de destrucción están balanceadas.
La composición de una mezcla definida por su fracción de
mezcla y su presión es sólo función de la temperatura a través de las
constantes de reacción
RTE
eATk
. {2.62}
Luego, podemos formar una tabla donde, dados f y h
obtenemos la composición yi y la temperatura de la mezcla.
El equilibrio de la mezcla puede hallarse utilizando la energía
libre de Gibbs, G , cuya definición es:
TSHG . {2.63}
36 | Eduardo A. Brizuela
Para un sistema en equilibrio a T y P constantes se demuestra
que la energía libre es mínima, o sea, 0G . En estas condiciones
se puede demostrar que
0ln0 PKTGG , {2.64}
donde 0G es el cambio en G a una atmósfera desde
condiciones STP a las actuales, y KP es la constante de equilibrio de
la reacción, calculada utilizando presiones parciales.
Esta última ecuación nos relaciona la composición PKG ,0
con la temperatura, y se puede plantear una de estas relaciones para
cada reacción, por ejemplo, de un sistema esqueletal. Luego se busca
minimizar G variando sistemáticamente la composición y la
temperatura.
Esto se puede hacer automáticamente utilizando, por ejemplo,
el programa EQUIL o DEQUIL, variantes del programa STANJAN,
de dominio público. Estos programas hallan la composición de
equilibrio dadas f y T, o h y T, o T y P, etc. Y se pueden especificar
las especies involucradas sin especificar el mecanismo esqueletal, o
el mecanismo deseado.
La figura siguiente ilustra el resultado para una mezcla de CH4
y aire, inicialmente a 336K. No se especificó un mecanismo de
reacción sino solamente las 17 especies CH4, CO2, H2O, CO, H2, N2,
CH3, H, O, OH, HCO, HO2, CH2O, O2, CH3O, H2O2 y C, (este
último para balancear si fuera necesario durante el cálculo). Se
muestran la temperatura (caso adiabático) y algunas especies:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 37
Figura 2.3: Equilibrio, metano en aire a 336K
El modelo de equilibrio sí permite calcular algunas especies
intermedias y menores. Sin embargo, aún no se tiene en cuenta la
fluidomecánica, es decir, la convección y difusión.
Estos métodos, de un solo paso y equilibrio químico, pueden
utilizarse para dar una solución aproximada rápida, o bien para
generar una condición inicial para la resolución numérica completa.
En ambos casos se incorpora el modelo en forma de tablas de yi
versus f o de yi versus f y h.
2.3 Método de resolución numérica
En breve, el método de resolución numérica consiste en
satisfacer las ecuaciones de conservación de la física, habida cuenta
de las condiciones de frontera.
Una ecuación de conservación (también llamada ecuación de
transporte o de balance) es conceptualmente la igualdad referida a un
volumen de control:
Cambio en el tiempo = convección + difusión +
creación/destrucción.
38 | Eduardo A. Brizuela
Este concepto se aplica a cualquier parámetro intensivo, es
decir, que sea una propiedad del fluido.
Las incógnitas a computar son:
presión
temperatura
densidad
masa molecular
velocidad (3 componentes)
composición (n componentes)
entalpía
a los que se pueden agregar otros parámetros tales como los
calores específicos, viscosidad, etc.
No es necesario resolver ecuaciones de conservación para
todas las variables. Hay otras relaciones algebraicas que permiten
reducir el número de ecuaciones a resolver. Por ejemplo, la ecuación
de estado
TW
p
, {2.65}
la ecuación para la masa molecular
n n
n
W
y
W
1, etc., {2.66}
y particularmente el uso de escalares conservados. De estos
últimos se pueden generar al menos tantos como especies atómicas
haya en las corrientes de entrada, ya que el número de átomos es un
escalar conservado.
También disponemos de las relaciones )(Thh y
)(Tcc PP y relaciones viscosidad-temperatura.
De todos modos, debemos satisfacer ecuaciones de
conservación para un número elevado de escalares.
Las ecuaciones de conservación, escritas en forma tensorial y
utilizando la convención de Einstein (índices repetidos indican suma)
son:
Ecuación de continuidad o de conservación de la masa:
0
i
i
x
u
t
. {2.67}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 39
Ecuación de conservación de la cantidad de
movimiento o ecuación de Navier-Stokes (una para
cada dirección i):
2
3
i ji
j
ji kij
j j i k i
u uu
t x
uu u p
x x x x x
.{2.68}
Ecuación de conservación de la energía o de entalpía:
11
Pr
j
j
kk
j j j
u hh
t x
yh ph
x x Le x t
.{2.69}
Ecuación de conservación de la especie química yn :
j nn n
nj j j
u yy yWw
t x x Sc x
.
{2.70}
En estas ecuaciones,
es la viscosidad dinámica,
Pr es el número de Prandtl, /Pr Pc
es la conductividad térmica, de Tdtdq / ,
Sc es el número de Schmidt, DSc / ,
D es la difusividad, del flujo difusivo
yDdtdm /
Le es el número de Lewis, Pr/ScLe
En la ecuación de Navier-Stokes hemos despreciado el
segundo coeficiente de viscosidad 2
' 03
k , y en la de
entalpía hemos supuesto despreciables
Los efectos de masa (gravedad)
Los efectos Dufour y Soret (difusividad térmica)
40 | Eduardo A. Brizuela
La difusión de presión
Una vez identificadas las variables que requieren una ecuación
de conservación se procede a satisfacerlas en el campo de flujo,
teniendo como condición las fronteras del campo. Las ecuaciones se
satisfacen en forma discretizada, convirtiéndolas de ecuaciones
diferenciales parciales a ecuaciones lineales en diferencias o
volúmenes finitos.
La discretización de las ecuaciones de conservación puede
hacerse de varias maneras, desde la sencilla (implícita centrada)
)();(;2
1111 xxyyxxyy
x
yy
x
y
{2.71}
hasta los procedimientos más complejos como QUICK, FCT,
etc., que se verán más adelante.
Se obtiene así un sistema de ecuaciones lineales, tantas como
celdas de discretización existan en el volumen, por cada variable a
computar.
El sistema de ecuaciones se resuelve generalmente por
métodos iterativos, obteniéndose un conjunto de valores de todas las
variables para cada celda del campo de flujo.
Los programas de computación (software) necesarios para el
cálculo pueden adquirirse comercialmente o crearse para el
problema.
Se debe notar que hay operaciones de cómputo anteriores y
posteriores a la resolución del sistema de ecuaciones, denominadas
en general pre-procesado y post-procesado. Las primeras incluyen la
generación de la grilla de celdas de cómputo y de las matrices de
constantes físicas y geométricas. Las segundas comprenden el
cálculo de parámetros derivados utilizando leyes físicas y relaciones
algebraicas, la manipulación de resultados y su presentación gráfica.
Ambos, el pre y el post-procesado, son operaciones tanto o
más complejas como la solución del campo de flujo. El mallado y la
preparación de las condiciones iniciales y de frontera del cálculo
insumen normalmente la mayor parte del tiempo de una simulación.
Por su parte, el resultado de la simulación es un gran número de
datos numéricos cuya interpretación es muy difícil sino imposible sin
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 41
un eficiente método de presentación gráfica y condensación de
resultados.
Hoy en día, en general, ya no se considera razonable escribir el
software para ninguna de las etapas de solución. El post-procesado es
el caso más claro, ya que existen procesadores gráficos muy
eficientes y versátiles, tanto comerciales (TECPLOT) como de
acceso público (GNUPLOT).
El pre-procesado es algo más problemático ya que los
generadores de grilla, tanto los más simples como los más
sofisticados, usualmente no pueden utilizarse como “cajas negras”,
ya que producen resultados menos que óptimos o en ocasión fallan
totalmente. Es común tener que escribir algo de software, ya sea para
modelar inicialmente la geometría o para refinar el pre-procesado.
En lo que se refiere al procesado de las ecuaciones de
transporte, si bien los algoritmos de solución de sistemas lineales y
los esquemas de avance del cálculo usualmente pueden ser del tipo
de “caja negra”, es comúnmente necesario tener acceso al código en
lenguaje de programación (FORTRAN, C, etc.) para poder
implementar modelos físicos y químicos (modelos de reacción, de
mezcla, etc.) y las operaciones complementarias (cálculo de otros
escalares, puntos de decisión). Algunos códigos comerciales (por
ejemplo, CFX, FLUENT), pueden ser adquiridos en forma mixta,
con las secciones de propiedad intelectual que dan ventaja comercial
(el resolvedor de ecuaciones, la discretización) pre-compilados y
sellados, y la sección de cálculos algebraicos y toma de decisiones en
código abierto para introducir software específico local.
Con respecto al equipo a utilizar (hardware), vale el aforismo
que no hay problema cuya solución no pueda mejorarse con una
computadora más grande. La capacidad de las computadoras
personales (PC) ha aumentado y continúa aumentando tanto que la
mayoría de los problemas de flujos reactivos pueden encararse
utilizando una PC de máxima performance. En las condiciones
actuales la mejora más importante que puede desearse es mayor
velocidad del reloj (memoria y procesador más veloces).
En los últimos tiempos ha comenzado a popularizarse el uso
de grupos de PC conectadas para funcionar en paralelo (cluster). Si el
código de cálculo se genera apropiadamente para la computación en
42 | Eduardo A. Brizuela
paralelo esto puede redundar en reducciones del tiempo de cálculo
inversamente proporcionales al número de PC en el cluster.
Las supercomputadoras usualmente son necesarias para
problemas con muy altos números de Reynolds (flujos de la
atmósfera), de muy alta velocidad (supersónicos) o de malla muy
fina (simulación numérica directa o DNS). Las minicomputadoras
(workstations) están perdiendo terreno frente a las PC, conservando
su ventaja sólo en dos áreas: velocidad y sistema operativo (UNIX
versus WINDOWS o LINUX).
Considerando el costo de las supercomputadoras y
workstations, la solución más efectiva es probablemente utilizar dos
o tres PC, configuradas especialmente para las tareas de pre-
procesado (gráfica interactiva, capacidad de almacenamiento), para
procesado (máxima velocidad de procesado y memoria,
posiblemente un cluster) y post-procesado (software gráfico, calidad
de pantalla e impresión).
Los tiempos de solución son tan variados como los
problemas a resolver. A título indicativo, las escalas de tiempo
razonables son:
Pre-procesado: semanas-hombre para el primer
problema, horas para variaciones sobre el original.
Procesado: horas a días de máquina.
Post-procesado: días a semanas-hombre.
Referencias al Capítulo 2
W.C.Reynolds; The Element Potential Method for Chemical
Equilibrium Analysis: Implementation in the Interactive
Program STANJAN, Version 3, Stanford University (1986),
incluído en R.J.Kee, F.M.Rupley, E. Meeks,and J.A.Miller,
Chemkin-III: A Fortran Chemical Kinetics Package for the
Analysis of Gas-Phase Chemical and Plasma Kinetics,
Sandia National Laboratories Report SAND 96-8216 (1996).
R.J.Kee, F.M.Rupley, and J.A.Miller, “The Chemkin
Thermodynamic Data Base,” Sandia Nacional Laboratorios
Report SAND87-8215B (1990).
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 43
CAPÍTULO 3
Flujos turbulentos
3.1 Ecuaciones instantáneas y promedios
Las ecuaciones dadas en el Capítulo 2 son válidas
instantáneamente, habida cuenta de las simplificaciones hechas.
Cuando el flujo es dependiente del tiempo es necesario
satisfacer las ecuaciones de transporte en un número de instantes
sucesivos lo que permite computar, por ejemplo, un flujo en
desarrollo temporal. La simulación numérica de flujos en desarrollo
temporal se denomina simulación numérica directa (DNS) y requiere
un esfuerzo computacional tan elevado que al presente está limitada
a casos relativamente simples, con números de Reynolds bajos
(experimentos de ondas de choque, combustión en tubos de choque).
Hay una clase de flujos que, si bien son estacionarios en el
tiempo, se caracterizan porque las variables (velocidad, temperatura,
composición) varían constantemente en una forma aparentemente
impredecible alrededor de un valor medio.
Estos flujos turbulentos requerirían la simulación numérica
instantánea con muy breves pasos de tiempo y en gran número. En la
actualidad no se poseen los medios computacionales, en especial el
hardware, para hacer tales cómputos, y, aún si pudiera hacerse, es
probable que no fuera de interés práctico, ya que para la utilización
de flujos turbulentos interesa conocer las propiedades promedio. La
utilidad del experimento numérico como contraste y complemento
del experimento físico se hace efectiva cuando los resultados de
ambos son comparables, y los instrumentos físicos en general miden
valores promedio.
Luego, es necesario modificar las ecuaciones instantáneas de
transporte para computar los parámetros estocásticos de las
variables, vale decir, sus momentos (media, varianza, tercer
momento, cuarto momento o kurtosis, etc.).
44 | Eduardo A. Brizuela
En la generación de las ecuaciones promediadas se acepta la
hipótesis de Taylor sobre la equivalencia de las medias espaciales y
temporales en un volumen de control (hipótesis ergódica).
3.2 Tipos de promedios
Sea la variable sujeta a variaciones estocásticas. El promedio
simple o del tipo Reynolds se define por
' , {3.1}
donde es el promedio espacio-temporal de la variable en
un volumen de control y ' la fluctuación estocástica cuya media es,
por definición, cero
Para hallar el promedio se mide la variable a intervalos
regulares de tiempo en un punto de espacio un número de veces.
Alternativamente, se toma un número de muestras simultáneas en un
volumen de control en puntos igualmente espaciados.
Si el espaciado L, el período de muestreo T son tales que, dada
la velocidad U del flujo,
TLU / {3.2}
ambos promedios serán iguales. Inversamente, si la velocidad
del flujo es U y tomamos muestras separadas un tiempo T el
promedio será válido en un entorno de tamaño L, y si tomamos
muestras en un volumen de tamaño L el período de muestreo no debe
ser superior a T.
Esto asume que lo que se está midiendo es efectivamente .
Sin embargo, hay casos en que la medición de la variable no es tan
aparente. Por ejemplo, si se utiliza un tubo Pitot para medir
velocidad en un flujo turbulento, lo que se mide es 2
2
1v , que no
es igual a 2
2
1v . Para poder deducir v de esta medición es
necesario hacer
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 45
''2'''''' 2222 vvvvvvvvvv
, {3.3}
lo que requiere conocer tres nuevas correlaciones,
''y'','22
vvv .
Hay otras mediciones en las que el valor medido depende de la
densidad o la velocidad u otras variables; la medición de temperatura
con termocuplas o hilos calientes son ejemplos.
Para flujos reactivos donde puede existir fuertes variaciones en
la densidad de la mezcla se prefiere utilizar el promedio tipo Favre, o
de pesada con la densidad, definido por
''~
. {3.4}
El cómputo del promedio de se realiza según
~
. {3.5}
Esto mejora el caso del ejemplo ya que
2 2v v
2~v 2
"v {3.6}
y sólo requiere una correlación (la varianza o autocorrelación
de v).
Favre definió este promedio para simplificar la medición de las
propiedades de los gases en base a la ecuación de estado
TW
p
, {3.7}
que, utilizando promedio Reynolds resulta en
''TTW
TW
p
, {3.8}
mientras que, utilizando el promedio Favre se elimina la
correlación densidad-temperatura:
TW
p~
. {3.9}
46 | Eduardo A. Brizuela
Desafortunadamente esta simplificación se pierde cuando la
composición de la mezcla (dada por la masa molecular W) es
también una variable estocástica, ya que
1
i i
y
W W
, {3.10}
y, si bien las masas moleculares de las especies, Wi , son
constantes, las fracciones de masa yi son variables turbulentas, y
resulta
' ' ' ' ' ' ' ' 'i i i i ii
i ii i
y T T y y T y T y Ty Tp
W W
.
{3.11}
Esto se simplifica un poco usando promedio Favre:
i i i
y yp T T
W W
, {3.12}
pero nuevamente encontramos una correlación entre
fluctuaciones de composición y temperatura que, incidentalmente,
apunta al corazón de la química.
Lo anterior se repite al promediar las ecuaciones de transporte:
el uso de promedios Favre simplifica el resultado, pero quedan
correlaciones por modelar. Esto se denomina el problema de cierre o
de clausura de la turbulencia (en el sentido de formar un sistema
completo o cerrado de ecuaciones).
3.3 Propiedades de los promedios Reynolds y Favre
Según sus definiciones,
0';' , {3.13}
''; " 0 . {3.14}
Notamos que 0'~ y 0" . De las definiciones, tomando
promedios cruzados y notando que
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 47
~
, y {3.15}
~~
, {3.16}
resulta
' , y {3.17}
"~
, {3.18}
de donde obtenemos
''" . {3.19}
También se encuentra que 222
' , {3.20}
2"
2
2~ . {3.21}
Para la densidad en particular se encuentra que
2' , {3.22}
2'' , {3.23}
Como 2 2' 0 y " 0 deducimos que
2 2 y también que " ' , es decir, que la distribución de
probabilidades en promedio Favre tiene una media más alta y es más
dispersa (su varianza es mayor), como ilustra la Figura siguiente:
48 | Eduardo A. Brizuela
Figura 3.1: Distribuciones de probabilidades Reynolds y Favre
3.4 La ecuación de Navier-Stokes en promedio Favre
En forma tensorial y utilizando la notación de Einstein, la
ecuación instantánea de conservación de la cantidad de movimiento
en la dirección i es:
i ji
l ij
j j i
u uu pS
t x x x
, {3.24}
donde
2
3
ji kij ij
j i k
uu uS
x x x
. {3.25}
y l es la viscosidad laminar.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 49
El término k
k
u u v w
x x y z
es la dilatación o
divergencia de la velocidad, indicada en adelante por , y ij es el
delta de Kronecker.
Tomando promedio tipo Reynolds:
i ji
l ij
j j i
u uu pS
t x x x
,
{3.26}
donde hemos despreciado las variaciones turbulentas de la
viscosidad laminar ya que la viscosidad de la mezcla no cambia
mucho con la composición en los casos más usuales.
El término convectivo i ju u lo expandimos como
" "i j i j i ju u u u u u . {3.27}
Para modelar el segundo término del segundo miembro
adoptamos una forma de la Ley de Fick, o de difusión con el
gradiente, que escribimos
," " ii j t u
j
uu u D
x
, {3.28}
que indica que la perturbación u”i se difunde en la dirección j
según la magnitud del gradiente (la diferencia) del valor promedio
iu en la dirección j, con un coeficiente de proporcionalidad
,t uD (turbulento, de u).
El coeficiente de difusión lo reemplazamos utilizando el
número de Schmidt:
ScD
, {3.29}
tt
t
ScD
, {3.30}
(La “viscosidad turbulenta”, t , aún no está definida)
Como también podríamos haber escrito
50 | Eduardo A. Brizuela
," "j
i j t u
i
uu u D
x
, {3.31}
adoptamos la forma
" "jt i
i j
t j i
uuu u
Sc x x
. {3.32}
Si en esta expresión (que no es una suma ya que no hay
subíndices repetidos) hacemos i = j obtenemos
2
,
" 2t ii
t u i
uu
Sc x
. {3.33}
Si sumamos ahora los tres componentes obtenemos, en el
primer miembro,
2 2 2" " " ,u v w {3.34}
que es el doble de
2 2 2" " "
1" "
2 2i i
u v wu u
{3.35}
llamada la energía cinética de la turbulencia.
En el segundo miembro tenemos 2 . Luego, para mantener la
igualdad de la traza (valor de la expresión para i = j) hacemos
, ,
" "
2 2
3 3
i j
jt i tij ij
t u j i t u
u u
uu
Sc x x Sc
.
{3.36}
Sustituyendo en la ecuación promediada:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 51
,
2
3
i ji tij ij
j j t u
l ij
j i
u uuS
t x x Sc
pS
x x
.
{3.37}
Notamos que ij
j ix x
y reordenamos para obtener
,
2
3
i ji
j
tl ij ij
j t u i
u uu
t x
S S px Sc x
.
{3.38}
Se verá luego que en general t l , por lo que
despreciamos la diferencia entre y ij ijS S y, adoptando un valor del
número de Schmidt laminar escribimos
,
, ,
;l t l tu u t u
l u t u u
D Sc ScSc Sc Sc
,
{3.39}
y queda finalmente
2
3
i ji
u ij
j j i
u uuD S p
t x x x
{3.40}
Se hace notar que al sustraer el término 2 / 3 a la
componente 2
"iu hemos supuesto que se divide igualmente en las
tres direcciones, o sea, se ha supuesto turbulencia isotrópica.
52 | Eduardo A. Brizuela
La ecuación de Navier-Stokes queda así escrita en términos de
, y p u , faltando aún definir la viscosidad turbulenta t .
Todo lo anterior fue desarrollado en notación tensorial.
Cuando las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben en coordenadas
cartesianas ortogonales, cilíndricas o esféricas pueden aparecer otros
términos que se deben modelar. Las expresiones completas de la
ecuación de Navier-Stokes en varios sistemas de coordenadas se dan
en el Apéndice C.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 53
CAPÍTULO 4
Ecuaciones de continuidad y de transporte
4.1 La ecuación de continuidad o de conservación de la
masa
La forma instantánea de la ecuación de conservación de la
masa, o de continuidad, es:
0
i
i
x
u
t
. {4.1}
En promedio Reynolds,
' '0
i i
i
u u
t x
, {4.2}
lo que requiere un modelo para la correlación ' 'iu . En
promedio Favre la ecuación es más simple:
0
i
i
u
t x
. {4.3}
En otros sistemas de coordenadas:
Cartesianas ortogonales x, y, z:
0
u v w
t x y z
. {4.4}
Cilíndricas r, z:
1 10
r u v w
t r r r z
.
{4.5}
54 | Eduardo A. Brizuela
4.2 La ecuación general de conservación de un escalar
Para un escalar general la ecuación de transporte es:
,
j
l
j j j
uD S
t x x x
,
{4.6}
donde , si 1Pr
l llD Le
Sc
, y S
es el término de
fuente o de creación/destrucción de .
Tomando promedio Reynolds:
,
j
l
j j j
uD S
t x x x
,
{4.7}
Expandiendo el término convectivo:
" "j j
j j
u u u
x x
. {4.8}
Adoptamos la ley de difusión por el gradiente o ley de Fick:
," " " tj j t
j j
u u Dx Sc x
,
{4.9}
con la viscosidad turbulenta t y el número de Schmidt que
corresponde a .
Luego,
,
j
j
tl
j j j
u
t x
D Sx x Sc x
, {4.10}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 55
Si despreciamos la variación del coeficiente de difusión ,lD
con la turbulencia queda:
l t
j jSc x Sc x
. {4.11}
Considerando que t l , despreciamos la diferencia entre
las medias Reynolds y Favre de y escribimos:
l t
j j j
DSc x Sc x x
, {4.12}
l tDSc
. {4.13}
Ocasionalmente algunos autores hacen diferencia entre el
número de Schmidt para el componente laminar y el turbulento,
definiendo
, ,
l t
l t
DSc Sc
. {4.14}
La ecuación de transporte promediada queda entonces:
j
j j j
uD S
t x x x
,
{4.15}
La forma Reynolds de esta ecuación es mucho más compleja
ya que aparecen un número de correlaciones, como ser:
' ' ' 'j j j ju u u u , {4.16}
que deberían ser modeladas.
Para el caso de un escalar conservado el término de fuente es
cero,
j
j j j
uD
t x x x
. {4.17}
Al no haber término de fuente, la ecuación de transporte de una
variable a b (con a y b constantes) es la misma ya que la
ecuación es lineal en :
56 | Eduardo A. Brizuela
0
j
j j j
uD
t x x x
L.
{4.18}
Luego, las soluciones de la ecuación de L y las de L
son también combinaciones lineales. Es decir, sólo es necesario
resolver una ecuación diferencial parcial para escalares conservados,
y las soluciones de los demás escalares conservados se pueden
obtener algebraicamente.
La única observación es que el número de Schmidt debe ser
muy similar para ambos escalares conservados.
El término de fuente S
puede tener valores distintos de cero,
aún para escalares conservados, en las fronteras. En los casos en que
sea necesario evaluarlo, se debe tener presente que se evalúa en
promedio Reynolds y no Favre.
4.3 La ecuación de conservación de la energía
Consideramos la conservación de la entalpía total de
estagnación por unidad de masa h, que ya fue definida. La ecuación
instantánea puede consultarse en el texto de Anderson, Tannehill y
Pletcher o en el de Kuo. Despreciando el efecto de las fuerzas de
masa, los efectos Dufour y Soret (difusión-temperatura) y aplicando
como antes la ley de Fick resulta:
11
Pr
j
j
l ih i
j j j j
h u h
t x
yh pD h
x x t x Le x
.
{4.19}
(Notar la suma en el último término)
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 57
Si el número de Lewis Le fuese muy distinto a la unidad
debiéramos modelar el término ii
j
yh
x
, lo que crea considerable
dificultad, ya que
''i i i
i i i
j j j
y y yh h h
x x x
, {4.20}
y no sólo debemos modelar una correlación que es básica en
flujos reactivos (fluctuaciones de energía, o sea, temperatura, y
composición) sino que también necesitamos conocer los promedios
Reynolds de entalpía y composición.
Pero aún si Le fuera distinto de la unidad, como en flujo
turbulento
11
Pr
lh
Le
, {4.21}
se desprecia este término.
El término 0p
t
puede ser muy importante para flujos
como en motores de combustión interna; para flujos isobáricos, como
en la mayoría de los reactores químicos, es cero, con lo que queda
0h L , lo que reafirma que la entalpía total de estagnación es un
escalar conservado.
Sin embargo, si la transmisión de calor por radiación o por
conducción no fueran despreciables se deben introducir términos de
fuente apropiados. Igualmente se deben introducir términos de fuente
en las fronteras si hay intercambio de energía.
Algunos autores prefieren plantear la ecuación de conservación
de la energía en función de la temperatura. Para ello escriben
Ph c T y reemplazan en la ecuación de h. En este caso es necesario
generar una tabla de calor específico de la mezcla en función de la
temperatura para ajustar el valor de Pc según vaya variando la
solución de T. Este es un procedimiento engorroso y se prefiere la
solución del párrafo (2.2) para obtener temperatura y calor específico
de yi y h.
58 | Eduardo A. Brizuela
4.4 La ecuación de transporte de la fracción de mezcla
Siendo la fracción de mezcla un escalar conservado su
ecuación de transporte es
j
f
j j j
f u f fD
t x x x
. {4.22}
Normalmente no existen en esta ecuación los términos de
fuente, pero pueden existir en ciertos casos de flujos bifásicos. Por
ejemplo, si se considera la cantidad de masa evaporada de una gota
de líquido dentro de un volumen de referencia. Suponiendo que el
líquido es el reactivo al cual corresponde f = 1. Si la masa evaporada
es m y la masa original en el volumen era M, el incremento de f
resulta:
1 10
1 / / 1
f m ff
m M M M m
, {4.23}
que sería el término de fuente.
Si en cambio en el volumen de referencia se inyecta el otro
reactivo en cantidad m por unidad de tiempo, la disminución de f es
0/ 1
ff
M m
, {4.23}
4.5 La ecuación de transporte de las especies químicas
Para la especie química i escribimos la ecuación instantánea
, i
j ii il
j j j
uD w
t x x x
,
{4.24}
donde wi es la velocidad de creación/destrucción de la especie
en kmol/m3/s, es decir, en las unidades de la velocidad de reacción:
'
i i i i
i i
M M , {4.25}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 59
( )i
i
i
w k T M
, {4.26}
'i i iw w . {4.27}
Para obtener la ecuación de las fracciones de masa
reemplazamos i i iy W y obtenemos
, i
j ii il i
j j j
u yy yD W w
t x x x
,.
{4.28}
Tomando promedio Reynolds y con las mismas operaciones
que para las anteriores ecuaciones de transporte llegamos a:
j ii ii i i
j j j
u yy yD W w
t x x x
.
{4.29}
Notamos que el término de fuente queda en promedio
Reynolds. Esto crea una seria dificultad ya que
'i
i i i i
i
w w k T M
, {4.30}
y aparecerían un elevado número de correlaciones debido a las
fluctuaciones de temperatura y concentración, a más de la
complicación de promediar potencias de las concentraciones. Por
otro lado tampoco se dispone de los promedios Reynolds de las
concentraciones, pero esto no es una dificultad ya que
i i
i i
y yi i
W W
. {4.31}
Simplemente a fin de poder continuar se desprecian las
fluctuaciones y correlaciones y se adopta
i
ii
i
i
i
ii
i i
i
y
w k T i k TW
, {4.32}
60 | Eduardo A. Brizuela
4.6 La ecuación de transporte del avance de reacción
Para las situaciones de reacción premezclada es conveniente
trabajar con el avance de reacción definido por
P mm
p m AA
c T TT T
T T Qy
, {4.33}
donde Tp es la temperatura de los productos, Q es el calor de la
reacción por kilogramo de la especie A, y las demás variables ya han
sido definidas.
Una ecuación de transporte no es estrictamente necesaria ya
que si definimos la fracción de masa reducida del reactivo A como
AAr
AA
yy
y , {4.34}
es inmediato que, para el caso adiabático,
1Ary , {4.35}
por lo que sabiendo la fracción de masa se obtiene el avance
de reacción. No obstante, para el caso general, se puede plantear la
ecuación de transporte como:
j
j j j
uD w
t x x x
.
{4.36}
La aplicación del avance de reacción para sistemas
premezclados en química rápida y lenta se verá más adelante.
4.7 Resumen de las ecuaciones de transporte
Las ecuaciones de transporte, incluyendo la de conservación
de la masa, pueden escribirse en forma general como
j
j j j
uD S
t x x x
,
{4.37}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 61
donde la variable , el término de fuente y el número de
Schmidt son:
Para las especies químicas en estado gaseoso el número de
Prandtl vale aproximadamente 0.75; el número de Lewis, sin
embargo, varía considerablemente, y por consiguiente también varía
el número de Schmidt, Sc=Le Pr. Algunos valores recomendados
son:
Especie Le
CH4 0.97
O2 1.11
H2O 0.83
CO2 1.39
H 0.18
O 0.70
OH 0.73
cuación S
Sc
Masa 1 0 -
Navier-
Stokes
ui 2 2
3 3
j k
u ij
j i k i
u uD p
x x x x
1
Energía h 0 0.7
Mezcla f 0 0.7
Especies yi i iW w ver
Avance
w ver
62 | Eduardo A. Brizuela
HO2 1.10
H2 0.3
CO 1.10
H2O2 1.12
HCO 1.27
CH2O 1.28
CH3 1.0
CH3O 1.3
N2 1.0
4.8 Relaciones algebraicas
De las i especies presentes en el sistema de reacciones
químicas un número s puede obtenerse por medio de relaciones
algebraicas utilizando escalares conservados, mientras que las (i-s)
restantes deberán obtenerse de ecuaciones de transporte.
Es importante entonces determinar cuántos escalares
conservados podrán generarse a fin de reducir el número de
ecuaciones diferenciales a resolver.
En principio hay por lo menos tantos escalares conservados
como especies atómicas en las corrientes de entrada, ya que los
números de átomos se conservan. Sin embargo, puede haber más
escalares conservados, y la definición del escalar conservado más
ventajosa no es necesariamente la obvia del número de átomos.
El procedimiento que sigue es sólo un ejemplo; no se conoce
una teoría general del tema.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 63
Consideremos un sistema de reacciones I-IV con siete especies
químicas A-G:
I. A + B + 2C → D + 4E
II. D + B → F + E
III. 2E + G → 2B
IV. 3E + G → 2B + 2C
La velocidades de creación/destrucción son:
wA = -wI
wB = -wI - wII + 2wIII + 2wIV
wC = -2wI + 2wIV
wD = wI - wII
wE = 4wI + wII - 2wIII - 3wIV
wF = wII
wG = - wII - wIV
Ordenamos los segundos miembros como una matriz de 4x7:
+ wII wIII wIV
-1 0 0 0 a
-1 -1 2 2 b
-2 0 0 2 c
1 -1 0 0 d
4 1 -2 -3 e
0 1 0 0 f
0 0 1 1 g
El rango de esta matriz es 4, lo que indica que 4 especies son
independientes (y deben ser halladas resolviendo ecuaciones de
transporte) y 3 son combinaciones lineales de las otras, y pueden ser
halladas utilizando escalares conservados.
Para hallar las ecuaciones independientes debemos encontrar
los grupos de 4 ecuaciones con determinante cero. Hay
64 | Eduardo A. Brizuela
7! 35
7 4 !4!
grupos posibles de 4 ecuaciones, y de ellos 8
tienen determinante cero. Las ocho combinaciones son:
a, b, d, g especies A, B, D, G
a, b, f, g A, B, F G
a, d, f, g A, D, F, G
a, b, c, e A, B, C, E
a, d, e, f A, D, E, F *
a, b, d, f A, B, D, F *
*
a, c, d, f A, C, D, F
a, d, f, g B, D, F, G
Se han anotado las especies involucradas pero esto no implica
que todas aparezcan en el escalar. Por ejemplo, las notas (*) y (**)
indican que las especies E y C no aparecen en el resultado. Esto
implica que, al menos, uno de los dos (E o C) deberá computarse por
medio de una ecuación de transporte, ya que habrá un solo escalar (el
cuarto) que los involucra a ambos.
Para generar los escalares tomamos cualquier menor
(determinante) que dé cero y buscamos la combinación lineal que
tiene segundo término nulo. Por ejemplo, tomando (a), (b), (c) y (e):
-
1
0 0 0 (
a)
-
1
-
1
2 2 (
b)
-
2
0 0 2 (
c)
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 65
4 1 -
2
-
3
(
e)
Es inmediato que 4( ) 2( ) 2( ) ( ) 0a e b c
Luego, una especie tal que su abundancia específica sea
4 2 2A B C E tendrá 0w , o sea, será un escalar
conservado:
4 2 2A B C EC . {4.38}
De este modo podemos generar escalares conservados para las
8 combinaciones cuyos menores son nulos.
De los 8 escalares conservados debemos elegir 3 para calcular
tres especies, y las 4 restantes se calcularán por ecuaciones de
transporte. La selección de cuál especie obtener de escalares
conservados y cuál por ecuaciones de transporte depende de la
especie. En general se prefiere obtener de ecuaciones de transporte
aquellas especies que estén en concentraciones muy bajas, para evitar
calcularlas por diferencia entre concentraciones de especies
principales, lo que incrementaría el error numérico.
Para utilizar un escalar en el cómputo de una especie nos
basamos en la fracción de mezcla:
2
1 2
f
, {4.39}
y luego, por ejemplo,
1 2 2 4 2 2A B C Ef , {4.40}
con lo que, conociendo f y los valores del escalar en las
corrientes de entrada 1 y 2 podemos calcular una de las especies A, B,
C o E a partir de las otras tres.
66 | Eduardo A. Brizuela
4.9 Cierre del modelo
Las ecuaciones de transporte de las medias Favre proporcionan
las soluciones requeridas para computar los parámetros principales, a
saber, , , , , , .i iu p T h y
Restan algunas dificultades aún no resueltas para cerrar el
modelo. Por ejemplo, la computación de la masa molecular de la
mezcla de
1 i
i i
y
W W , {4.41}
o bien
i i
i
W W x . {4.42}
Suponiendo disponibles iy o ix podemos calcular
i i
i
W W x , {4.43}
o bien
1 i
i i
y
W W
. {4.44}
Ninguna de estas dos expresiones nos es útil para la ecuación
de estado,
p TW
, {4.45}
Tp
W
. {4.46}
Una forma usual de resolver este problema es escribir
pW T , {4.47}
pW T , {4.48}
y luego hacer pW pW , ya que la masa molecular no es
una función muy fuerte de la presión. Necesitamos ahora modelar
W , y hacemos
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 67
1 1 1 ' 11
'
i
i i
y W
W W W W W W W
,
{4.49}
con lo que la ecuación de estado queda
p TW
, {4.50}
1 i
i i
y
W W . {4.51}
Otra dificultad se presenta al calcular T a partir de la entalpía
ya que
i i
i
h h y , {4.52}
0
j
i i ji
j
h h a T , {4.53}
por lo que
0
j
i i ij i
i i j
h h y a y T , {4.54}
0
j
i i ij i
i i j
h h y a y T . {4.55}
Es sabido que descartar las correlaciones que aparecen entre la
composición y la temperatura causa errores no despreciables, del
orden del 10% en T. Sin embargo, y a falta de mejores modelos, se
adopta
0
j
i i ij i
i i j
h h y a y T . {4.56}
Con respecto a la presión, en la mayoría de los casos se la
puede considerar constante, por lo que sólo es necesario efectuar
correcciones originadas en las fuerzas de masa, por el escurrimiento
o por efectos térmicos. Más adelante se trata la ecuación de
corrección de la presión.
Finalmente resta el problema de modelar el coeficiente de
difusión turbulenta t con lo que el sistema de ecuaciones
diferenciales y algebraicas quedaría completo o “cerrado”.
68 | Eduardo A. Brizuela
Referencias al Capítulo 4
Favre, A.; Equations des gaz turbulents compressibles, J.
Mecanique 4 :361
Kuo, K. K. ; Principles of Combustion, Wiley, 1986.
Anderson, D. A., Tannehill, J. C., and Pletcher, R. H.;
Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer,
Hemisphere, 1984
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 69
CAPÍTULO 5:
Modelos de turbulencia
5.1 Modelo de transporte de tensiones de Reynolds
El modelo elegido al desarrollar las ecuaciones de transporte
fue de modelar las correlaciones según el principio de difusión con el
gradiente, o ley de Fick:
" " ; tj t t
j t
ux Sc
, {5.1}
modificado para la ecuación de Navier-Stokes por la traza
" "i iu u como
2" " ; 1
3
ii j tu ij tu
j
uu u Sc
x
, {5.2}
Generalmente se retiene el modelo de Fick para las ecuaciones
de transporte de los escalares como la entalpía o las fracciones de
masa, pero el modelado de la correlación de velocidades puede
hacerse de diversas formas.
Una técnica consiste en obtener ecuaciones de transporte para
las correlaciones " "i ju u a partir de manipulaciones de las
ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad. La forma general de
las ecuaciones así obtenidas es la ya vista, con términos de fuente
que contienen correlaciones dobles y triples entre densidad y
velocidad. Este es el método de transporte de las tensiones de
Reynolds, la que las correlaciones " "i ju u son las tensiones de
Reynolds.
Los términos de fuente pueden modelarse por repetida
aplicación de la ley de Fick, o bien utilizando formas algebraicas
70 | Eduardo A. Brizuela
para representar las correlaciones (modelo algebraico). Hay un
número de variantes de la ecuación básica
" "u
i j iju u SL . {5.3}
que difieren en la forma del término de fuente S.
Estos métodos de ecuaciones de transporte de las tensiones de
Reynolds proporcionan los términos " "i ju u a reemplazar en la
ecuación de Navier-Stokes promediada y, por otra parte, permiten
obtener t mediante la ley de Fick para ser utilizada en las otras
ecuaciones de transporte.
Si bien estos métodos son muy difundidos y dan muy buenos
resultados en ciertos casos de flujo, dan como resultado sistemas de
ecuaciones lineales muy rígidos, difíciles de resolver por métodos
numéricos (pobre convergencia). Conceptualmente, además, no es
clara la ventaja de modelar la ecuación de transporte de una
correlación doble que contiene una correlación triple. Si se intentara
modelar las correlaciones triples se encontrarían correlaciones
cuádruples " " "i j ku u u , y así siguiendo. Esta es la raíz del
problema de cierre de la turbulencia.
5.2 Modelos de cero y una ecuación
Dado lo anterior es más usual adoptar modelos de turbulencia
basados en escalas de turbulencia y sus respectivas ecuaciones de
modelado. Hay modelos de cero ecuaciones (donde t se modela con
una expresión algebraica empírica o basada en experimento), de una
ecuación y el más popular, el de dos ecuaciones.
En el modelo de una ecuación se resuelve una ecuación de
transporte para la energía cinética de la turbulencia (que se verá en
lo que sigue) y luego se computa
't C L , {5.4}
con L una escala predeterminada y C’una constante.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 71
5.3 El modelo de dos ecuaciones
En este modelo se generan dos ecuaciones de transporte para
dos escalares, y o bien ydonde
1: energía cinética de la turbulencia: " "
2i iu u , {5.5}
""1: disipación de : " "
2
jl iij ji
j i
uuS S
x x
, {5.6}
: vorticidad (un vector) , {5.7}
: componente de en la dirección ij ijk
k
uj
x
, {5.8}
donde el tensor ijk tiene los valores
123 312 231 1 , {5.9}
321 213 132 1 , {5.10}
y los demás ijk = 0.
En coordenadas cartesianas ortogonales,
x
u v
y x
, {5.11}
y
v w
x y
, {5.12}
z
w u
x z
. {5.13}
Las ecuaciones de transporte se generan por manipulación de
las ecuaciones de Navier-Stokes y la de continuidad, tomando la
forma conocida y difiriendo en el término de fuente.
Para la ecuación de se obtiene el término de fuente exacto
" "i j
i j
p pS G u u
x x
, {5.14}
donde
72 | Eduardo A. Brizuela
2
3
it ij
j
uG S
x
. {5.15}
El término G, llamado de generación o de producción de
toma diversas formas en los distintos sistemas de coordenadas, como
se muestra (sólo se indica la expresión iij
j
uS
x
):
Coordenadas cartesianas ortogonales
22 2
2 2 2
2
2
2, 5.16
3
iij
j
u u v wS
x x y z
v u w v u w
x y y z z x
u v w
x y z
Coordenadas cilíndricas , ,r z
22 2
2
2 2
2
12
1
1
2 1 1, 5.17
3
iij
j
u u v v wS
x r r r z
v ur
r r r
w v u w
r z z r
v wru
r r r z
La ecuación de transporte de también puede obtenerse a
partir de las ecuaciones de Navier-Stokes, pero resulta en un término
de fuente que contiene numerosos términos, incluyendo
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 73
correlaciones dobles y triples que no se han modelado hasta el
momento. En su lugar se adopta el término de fuente
1 2"i
i
pS C G u C
x
, {5.18}
con C1 = 1.44, C2 = 1.92.
En lo que respecta a la ecuación de transporte de la vorticidad,
la ecuación instantánea para la componente i se obtiene por
manipulación de la ecuación de Navier-Stokes como
21
j i ji ij i
j j i
lj lj
ilm
m j m l j
u uu
t x x x
S Sp
x x x x x
.{5.19}
Esta ecuación debe ser primeramente promediada en promedio
Favre.
El término de fuente que así resulta contiene varios términos
que requieren modelado, especialmente cerca de paredes sólidas, más
complejos que los de la ecuación de , lo que hace que esta ecuación
no sea muy utilizada.
Suponiendo que las ecuaciones de transporte de las i han
sido resueltas se puede formar el módulo de la vorticidad:
12 2 22
i i
u v v w w u
y x z y x z
.
{5.20}
Obtenidos los valores de o de se puede formular una
expresión para la viscosidad turbulenta t.
La base de la formulación es la hipótesis de longitud de mezcla
de Prandtl:
m
uv l
y
. {5.21}
74 | Eduardo A. Brizuela
En una capa límite, u otra situación cuasi-bidimensional, lm es
la distancia en la dirección y a la cual la turbulencia transporta un
cambio de velocidad u , que aparece como una velocidad turbulenta
v
El próximo paso es asumir que el número de Reynolds
turbulento
Re mt
t
vl
{5.22}
es constante, con lo que
2
t m m
uvl l
y
. {5.23}
En el modelo se adopta
v l , y {5.24}
l
, {5.25}
con lo que resulta
t t l
. {5.26}
Este modelo no es muy utilizado debido a las dificultades
mencionadas.
En el modelo se adopta la escala de tiempo
, {5.27}
que es el tiempo en que se disipa un torbellino. La escala de
longitud es
L v v
, {5.28}
y se adopta v , con lo que, introduciendo una constante
CD 3
2
DL C
. {5.29}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 75
De aquí resulta 2
t C
. {5.30}
La relación entre CD y Cla hallamos asumiendo turbulencia
estable en el tiempo y despreciando la influencia de la convección y
difusión en la ecuación de , con lo que la producción iguala la
destrucción, o bien
Producción: t
u u
y y
{5.31}
32
Destrucción: DCL
{5.32}
de donde 32
2
t D
uC
y L
. {5.33}
Además podemos escribir 2
't C C L
, {5.34}
Manipulando estas relaciones obtenemos 1
3 4'
m
D
Cl L
C
, {5.35}
' DC C C , {5.36}
34
DC C , {5.37}
1134' DC C C , {5.38}
3
234L C
, {5.39}
1
4
t C L . {5.40}
76 | Eduardo A. Brizuela
Un valor usual es C = 0.09 con lo que queda completo el
modelo de turbulencia de dos ecuaciones.
5.4 Mejoras al modelo
El modelo es el más utilizado porque es relativamente
sencillo de implementar (sólo dos ecuaciones de transporte) y no dá
peores resultados que otros modelos más complejos (por ejemplo,
transporte de tensiones de Reynolds). Sin embargo, el modelo
tiene serias deficiencias entre las que se cuentan
Rigidez
Insensibilidad a la curvatura de la corriente
Insensibilidad a las grandes estructuras
La rigidez, o dificultad en alcanzar la convergencia, proviene
de la forma ad-hoc del término de fuente de , ya que si omitimos C1
y C2, que son de orden unitario, resulta
S Gt
, {5.41}
S Gt
, {5.42}
de donde
. {5.43}
Luego, las soluciones de las ecuaciones de y son casi
proporcionales, y la intersección (solución) no está fuertemente
definida; en un plano x-y serían curvas casi paralelas. La solución
existe porque las constantes son distintas.
Una manera de mejorar esto consiste en la aplicación de la
Teoría de Grupos de Renormalización de Yakhot y Ország. La teoría
es demasiado compleja para resumirla aquí; al aplicarla al modelo
resulta en una modificación al coeficiente C1 tal que
0
1 3
1
1.421
C
, {5.44}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 77
donde
1
2; 2 ij ijS S S S
, {5.45}
1
2
jiij
j i
uuS
x x
, {5.46}
y las constantes valen = 0.012 y 4.38.
El parámetro es esencialmente un cociente de escalas de
tiempo de la turbulencia (/y del flujo medio (S). Cuando → 0 o
bien → ∞, C1 → 1.42. Igualmente, C1 = 1.42 cuando .
Para valores de algo inferiores o algo superiores a la
fórmula reduce o incrementa C1 aproximadamente en un 50%. Vale
decir, si la escala de tiempo de la turbulencia (la “vida” de un
torbellino) es baja, se reduce la creación de , y si aumenta por
encima de se aumenta la creación de
Se han reportado resultados algo contradictorios respecto al
uso del método RNG. Si bien no se cuestiona la base teórica, algunos
investigadores reportan excelentes resultados en flujos separados
(codos, escalones) mientras que otros no hallan diferencia.
Respecto a la performance con fuertes curvaturas, el modelo
es notoriamente insensible a la curvatura de la línea de corriente,
lo que hace que dé pobres resultados en flujos con fuerte
recirculación.
Una posible mejora consistiría en la computación de los
términos "i
i
pu
x
que, transformación de coordenadas mediante,
pueden interpretarse como correcciones al término de generación G
en base a gradientes de presión radial y tangencial (principalmente
los primeros) en una zona de recirculación, como indica la figura:
78 | Eduardo A. Brizuela
Figura 5.1: Gradientes de presión en recirculación
Para computar estos términos es necesario modelar la
correlación
' '" uu
. {5.47}
Estas correlaciones se pueden obtener de ecuaciones de
transporte (tres, para u”, v” y w”) a partir de las ecuaciones de
Navier-Stokes. Los términos de fuente son bastante complejos y
requieren modelos para correlaciones triples, etc.
Esta técnica aún no ha sido probada, al menos no en forma
Favre y completa (se han hecho intentos en flujos cuasi-
bidimensionales).
También se han intentado numerosas modificaciones al
modelo en base a la curvatura de la línea de corriente, a números
de Richardson, a fuerzas de Coriolis, etc., sin obtener una mejora ni
sustancial ni general.
Con respecto al comportamiento en presencia de grandes
estructuras, el modelo implica considerar turbulencia isotrópica
(ver el término en 2
3 ), lo que descarta estructuras tridimensionales
tales como vórtices y engolfamientos. Por otro lado la “viscosidad
turbulenta” o “coeficiente de difusión turbulenta” t, que es la
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 79
medida de la influencia de la turbulencia en la mezcla, es computada
con dos valores locales, y, y es por lo tanto insensible a lo que
sucede, por ejemplo, aguas arriba.
Por consiguiente el modelo no puede reproducir regímenes de
turbulencia “gruesa”, en el régimen inercial o de grandes estructuras,
y está limitado a modelar turbulencia “fina”, en la región de
disipación viscosa del espectro de turbulencia.
Puede argumentarse que este defecto se corrige con una malla
más fina a fin de computar y no modelar los movimientos “gruesos”.
Este razonamiento por supuesto lleva a la computación de las
ecuaciones instantáneas (Simulación Numérica Directa) cuyo costo
computacional, para casos prácticos, es prohibitivo.
Una solución posible a este dilema es un mejor modelo del
término de fuente de que incluya a la verticidad y posiblemente una
más completa definición de la ley de Fick para " "i ju u que también
incluya la vorticidad.
Referencias al Capítulo 5
Yakhot, V., Orszag, S. A., Thangam, S., Gatski, T. B., and
Speziale, C. G.; Development of turbulence models for shear
flows by a double expansion technique, Phys. Fluids A 4(7),
July 1992.
80 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 81
CAPÍTULO 6
Condiciones de borde e iniciales
6.1 Condiciones de borde
La solución de un problema de flujos reactivos consiste en
satisfacer las ecuaciones de transporte sujetas a las condiciones de
borde.
Luego, es vital especificar correctamente las condiciones de
borde para asegurar la existencia de una solución al problema.
Es de hacer notar que no se ha desarrollado completamente la
teoría de las condiciones de borde. En las entradas de flujo, por
ejemplo, se sabe qué condiciones son necesarias pero no cuáles son
suficientes. Existe el riesgo de sobre-especificar las condiciones de
borde y por lo tanto impedir el alcanzar una solución.
La mejor condición de borde, al decir de Elaine Oran del
Naval Research Laboratory de Washington es no tener ninguna. De
ser posible los bordes deben especificarse como regiones de flujo en
las que se conocen todos los parámetros del flujo y por lo tanto las
ecuaciones de transporte pueden extenderse a ellas sin modificación.
Esto sin embargo no es siempre posible y se verán algunas
condiciones típicas.
6.2 Clases de fronteras
Las fronteras del caso de flujo pueden ser
Entradas
Salidas
Paredes, permeables o impermeables
Superficies libres
Superficies de simetría, incluyendo ejes de simetría
Interfases
82 | Eduardo A. Brizuela
Las fronteras de superficie libre e interfase no son aplicables a
flujos en fase gaseosa, y no se tratarán en este trabajo.
Una entrada es aquella porción de frontera en la que el flujo
ingresa al campo de cálculo. Esto no es tan trivial como pareciera ya
que hay ocasiones en que existe recirculación en la boca de entrada
y el flujo puede revertirse en parte de la entrada.
La regla básica para elegir una entrada es que las líneas de
corriente sean lo más paralelas posible. Si es necesario se debe
extender el campo corriente arriba, incluso por medios artificiales,
para lograrlo; la figura siguiente ilustra algunos casos:
Figura 6.1: Entradas
Si no se pueden lograr líneas de corriente paralelas se pueden
probar fronteras en las que se conozca otra propiedad, por ejemplo,
líneas de corriente radiales, como muestra la figura.
Una salida es una porción de frontera en la que el flujo egresa
del campo. Son válidas las mismas observaciones que para la
entrada, dando preferencia a salidas con conductos de sección
uniforme:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 83
Figura 6.2: Salidas
Las paredes son aquellas fronteras que son impermeables al
flujo, aunque se debe distinguir entre las que son impermeables al
flujo másico y al flujo calórico. También pueden ser parcialmente
permeables o porosas, para ambos tipos de flujos.
Las superficies de simetría son las que dividen al campo en
dos imágenes especulares. Los ejes de simetría se presentan
normalmente en geometrías axisimétricas o esféricas.
Un caso especial de frontera es aquel en que una superficie de
simetría atraviesa una entrada o salida, ya que requiere revisar las
condiciones en las bocas para asegurar las condiciones de simetría.
6.3 Clases de condiciones de borde
En una frontera se puede especificar
el valor de un parámetro, o
el gradiente del parámetro normal a la frontera, o
el flujo del parámetro normal a la frontera.
84 | Eduardo A. Brizuela
Las primeras son llamadas condiciones tipo Dirichlet y las
segundas tipo Neumann; las últimas no tienen denominación
individual.
Como se verá hay casos más complejos, combinación de los de
más arriba.
6.4 Entradas
En las entradas normalmente se especifica todo lo conocido, es
decir, , , , , , , etc.i jp T y u h Se debe cuidar que se cumplan las
leyes y relaciones matemáticas que las involucran.
La velocidad normal a la entrada es comúnmente uniforme. Si
se trata de un conducto circular se puede aplicar la ley de la potencia
1/n, con n generalmente igual a 7.
Si el conducto tiene radio R y el caudal volumétrico Q es
conocido, la velocidad nominal U0 se obtiene de 2
0Q R U . {6.1}
Para cada radio r la velocidad axial u vendrá dada por la ley de
potencia 1
7
. 1r
u CteR
, {6.2}
por lo que, integrando e igualando 1
7
0
1201
98
ru U
R
. {6.3}
Esta ley es válida hasta el límite de la ley universal de la pared
que se verá más adelante.
La energía cinética de la turbulencia se supone conocida. Si
no lo es se suele asumir un nivel proporcional a u (por ejemplo, 5%
de u), con lo que
23(0.05 )
2k u . {6.4}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 85
Para establecer un valor de , si no es conocido, se puede
adoptar un valor para la escala L (por ejemplo, 1 mm, o 1% del radio
del conducto), y obtener de 3
234C
L
. {6.5}
Alternativamente, se puede asumir un número de Reynolds
turbulento (digamos, 10000) y de
Ret
uD
{6.6}
obtener t y luego de 2
t C
. {6.7}
Las componentes de velocidad transversales debieran
normalmente ser cero si la entrada fue bien elegida. Un caso
particular es el de flujos con rotación, en que la velocidad tangencial
puede estar especificada. Si no se poseen valores experimentales es
común asumir rotación de cuerpo sólido, w r , también válida
hasta la ley de la pared.
6.5 Salidas
Si la salida está bien elegida las condiciones de borde para
todos los parámetros son gradiente en la dirección del flujo igual a
cero y flujos en la dirección normal (o sea, paralela a la cara de
salida) igual a cero.
6.6 Paredes
Para paredes impermeables al flujo másico las condiciones de
borde para la velocidad son ui = 0 en la pared, y gradientes de
86 | Eduardo A. Brizuela
presión, temperatura y entalpía nulos en la dirección normal a la
pared.
El flujo cerca de la pared obedece a la ley universal de la
pared, entre ciertos límites en la dirección normal. Inmediatamente
cerca de la pared el flujo puede considerarse laminar, y más allá del
límite externo de la ley de la pared puede considerarse flujo libre:
Figura 6.3: Ley de la pared
Para encontrar las condiciones de borde de y de acuerdo a
la ley de la pared, definimos el número de Reynolds local y+ como
yuy
, {6.8}
donde
y: distancia a la pared
viscosidad laminar
u: velocidad de fricción
La velocidad de fricción está definida como
u
, {6.9}
donde es la tensión de corte en la pared.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 87
Para valores de 11.63y se asume una subcapa viscosa
donde se cumple que .Const y
uy
u
. {6.10}
En esta región la velocidad paralela a la pared varía entre cero
y 11.63 ucon y u los correspondientes a la próxima capa.
Para aproximadamente 11.63 100y
tomamos la
ecuación de transporte de , despreciando convección y difusión y
reteniendo del término de generación G la derivada normal a la
pared, con lo que queda: 2
0t
u
x
. {6.11}
Con la expresión de t 2
t C
, {6.12}
y la aproximación
t
u
y
{6.13}
obtenemos 1
2C . {6.14}
Luego,
1 1
4 2u C . {6.15}
En esta región la Ley Universal de la Pared es
1
lnu
y Eu k
, {6.16}
donde
k: constante de von Kármán: 0.4187
E: constante; para paredes lisas, 9.793
De esta ecuación obtenemos la derivada
88 | Eduardo A. Brizuela
uu
y ky
. {6.17}
Para hallar el valor de añadimos a esta la ecuación
simplificada de (Ecuación 6.11) y la ecuación 6.12 y operamos
para hallar 2
2 2 uC
ky
. {6.18}
Reemplazamos las Ecuaciones 6.9 y 6.14 para obtener 3 3
4 2C
ky
. {6.19}
El procedimiento es el siguiente: las ecuaciones de transporte
se satisfacen desde el interior hasta un punto alejado de la pared una
distancia y+ del orden de 100 a 200. De allí hasta la pared se adoptan
dos puntos más de cálculo, uno en la pared y otro a media distancia.
La condición de borde de y se fija, no en la pared, sino en
el punto de media distancia. La turbulencia se extrapola desde los
puntos interiores, asumiendo en la pared, y se obtiene así en
el punto intermedio. Con la última fórmula se obtiene en el punto
medio. Quedan así fijados y en el punto medio y en la pared.
Los términos de fuente para las ecuaciones de transporte en el
punto medio se construyen como sigue:
Para :
3 34 2Cu
Gy ky
,
{6.20}
Para :
3 310 4 2
10
1 2
1010
CC G C
ky
.
{6.21}
La razón del término de se verá cuando se trate la
discretización de la ecuación de transporte.
Las condiciones de borde para la fracción de mezcla f y para
las especies químicas yi son que el gradiente normal a la pared sea
cero.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 89
Para la ecuación de energía hay varios tipos de condiciones de
pared. Si la pared es adiabática la condición es gradiente cero.
Si se especifica la temperatura de la pared se debe computar el
coeficiente de conductividad de la mezcla y calcular el flujo de
calor
P
T A hQ A
y y c
. {6.22}
Alternativamente se puede utilizar el coeficiente de
transmisión total y
y calcular
P
T hQ A A
y c
. {6.23}
Si la distancia y desde el último punto a la pared es
relativamente grande (y+ > 30) se puede utilizar la ley de la pared y
escribir, asumiendo que el último punto tiene las mismas condiciones
que a y+ = 11.63,
; PrPr
P Pc cT TQ A A
y y
.
{6.24}
Sustituyendo Ecuaciones 6.10, 6.15 y 6.16 obtenemos
1 14 2
Pr ln
C kQ A h
y E
. {6.25}
El flujo de calor Q [W] así obtenido es el término de fuente
correcto para la ecuación de transporte de la entalpía en volúmenes
finitos ya que, si consideramos el primer término
90 | Eduardo A. Brizuela
.
1
hVolumen
t
masa energíavolumen
tiempo volumen masa
energíaWatts
tiempo
. {6.26}
Las ecuaciones de Navier-Stokes no tienen término de fuente
propiamente dicho salvo por dp
x. Lo que sí se modifica por la ley
de la pared es el término de difusión de las velocidades paralelas a la
pared en la dirección normal. El término es u
dy dy
, el que
reemplazamos por (en volúmenes finitos)
1 uAy
y y , {6.27}
siendo Ay el volumen. Reemplazamos
ln Eyu
yu k
, y {6.28}
1 14 2u C {6.29}
para obtener el término de fuente
14
ln
kCAu
Ey
, {6.30}
y si estamos en el régimen de la subcapa viscosa (y+ < 11.63):
l Auy
. {6.31}
El término de generación G de las ecuaciones de y se
corrige añadiendo
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 91
124
2.
ln
u kCvolumen Au
y Ey
. {6.32}
Las paredes permeables al flujo másico son equivalentes a las
paredes no adiabáticas con respecto al flujo calórico. Es necesario
generar funciones de pared para todas las ecuaciones de transporte,
por lo que comúnmente se las estudia como salidas con un flujo
másico ajustable de acuerdo a las condiciones interiores.
Los modelos utilizables varían mucho con el tipo de pared
permeable y de campo de flujo.
6.7 Condiciones iniciales
Para comenzar la resolución numérica de un problema es
necesario asignar valores a cada una de las variables en cada punto
de cálculo. Esto se denomina fijar las condiciones iniciales.
La elección adecuada de las condiciones iniciales es muy
importante ya que una gran parte del tiempo de cómputo se emplea
en aproximar los valores de las variables a un 90% de su valor final.
Una mala selección de condiciones iniciales puede incluso causar el
colapso del programa de cálculo.
En general se debe evitar dar el valor cero a todas las variables.
En caso de ser necesario se aconseja dar un valor pequeño pero finito
como ser 20
10 para todo iy i
, salvo que a las especies mayores
se le asignarán valores empíricos tales que 1i
i
y .
Una buena distribución de temperaturas puede acelerar mucho
la solución. Vale la pena extrapolar otros resultados o incluso asignar
valores estimados de temperatura, interpolados a los puntos de
cálculo.
También es aconsejable comenzar la solución con el campo de
temperatura, presión y composición iniciales y hacer un pre-cálculo
de variables termodinámicas tales como entalpía, calor específico,
densidad, masa molecular, etc. para asignar valores iniciales.
92 | Eduardo A. Brizuela
Para las velocidades vale lo dicho para la temperatura, una
buena distribución inicial, aunque sea estimada, es mucho mejor que
comenzar con 20
1 o con 10 .i iu u
La distribución inicial de y puede hacerse asignando a
todos los puntos de cálculo los valores de y de la entrada; aunque
el par- forma un sistema rígido (tarda en converger), es rápido en
alcanzar una distribución cercana a la convergencia y no es común
que diverja.
Referencias al Capítulo 6
Oran, E. S., and Boris, J. P.; Numerical simulation of
reactive flow; Cambridge University Press, 2001
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 93
CAPÍTULO 7
Diferencias y volúmenes finitos
7.1 Discretización de las ecuaciones de transporte
Para la solución numérica de las ecuaciones diferenciales de
transporte se las discretiza, es decir, se eligen un número de puntos
en los que se satisface la ecuación y los valores en puntos
intermedios se obtienen por interpolación.
Para la mecánica de los fluidos, particularmente los de de
densidad variable, el método tradicionalmente más popular es el de
diferencias finitas, en su versión de volúmenes finitos. El método de
elementos finitos es también popular aunque carece del desarrollo y
del apoyo masivo del anterior.
Por otra parte el método de volúmenes finitos utiliza grillas
cada vez más sofisticadas, incluyendo grillas no estructuradas como
las de elementos finitos, y modelos de discretización más complejos,
mientras que el método de elementos finitos utiliza elementos cada
vez más simples, por lo que la formulación de ambos es casi idéntica
en la práctica.
En el método de diferencias finitas se aproxima una derivada
parcial por medio de las diferencias finitas:
u x x u xu
x x
. {7.1}
Para aplicar este principio se divide el campo de flujo en zonas
o elementos, usualmente cuadriláteros en dos dimensiones o
hexaedros en tres dimensiones, que serán los volúmenes de control.
Las variables de flujo se consideran concentradas o medidas en un
punto del volumen de control (usualmente el centro) o bien en las
caras. Se asume que la variable posee el mismo valor en todo el
volumen de control aunque en algunos casos, como se verá, se
utilizan leyes de interpolación entre volúmenes de control.
94 | Eduardo A. Brizuela
En los métodos de diferencias finitas que se desarrollaron en
un principio se presentaba una dificultad en que, al considerarse la
variable constante dentro del volumen de control, ocasionalmente no
se cumplía alguna de las ecuaciones en forma global. Por ejemplo, si
se tomaba una sección transversal del conducto de flujo podía
suceder que la suma de los flujos de masa uA no fuera igual al
flujo total de masa.
Para corregir esto se desarrollaron los métodos de volúmenes
finitos, en que esencialmente se integra la ecuación de transporte
sobre el volumen de control, con lo que la ecuación de continuidad
queda implícitamente satisfecha en forma global.
7.2 Celdas y volúmenes de control
Dado el campo de flujo es necesario elegir una división del
mismo en volúmenes de control y una disposición de las caras y los
centros de los volúmenes.
Hay varias maneras de generar la grilla de volúmenes de
control, y se puede encontrar una discusión del tema en el libro de
Patankar. En conclusión se recomienda comenzar por dividir el
campo en volúmenes y asignar los puntos de cálculo a los centros
geométricos de los volúmenes, y no a la inversa, distribuir los puntos
de cálculo y luego construir los volúmenes, Por ejemplo, el primer
método daría como resultado:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 95
Figura 7.1: Grilla aceptable
Mientras que el segundo procedimiento podría resultar en una
grilla como
Figura 7.2: Grilla no aceptable
96 | Eduardo A. Brizuela
donde los puntos de cálculo pueden estar muy cerca o muy
lejos de las caras del volumen de control, requiriendo técnicas de
interpolación más sofisticadas y arriesgando no cumplir con la
ecuación de continuidad.
Con respecto a los bordes, es aconsejable en lo posible utilizar
coordenadas ajustadas al contorno para evitar numerosas condiciones
de borde y mejorar la precisión del cálculo:
Figura 7.3: Grilla ajustada al contorno y grilla cartesiana ortogonal
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 97
7.3 Alternativas de discretización
Dado un punto P de la grilla es usual designar sus vecinos con
los puntos cardinales:
Figura 7.4: Nomenclatura de celdas vecinas
Para discretizar una derivada podemos hacer
E O
OP PEx x x
, o bien {7.2}
P O
OPx x
, o bien {7.3}
E P
PEx x
, o bien {7.4}
1
2
P O E P
OP PEx x x
. {7.5}
La precisión de estas expresiones no es la misma para todas;
las {7.2} y {7.5} son de orden x2 mientras que las demás son de
orden x.
Para las derivadas segundas podemos plantear, con espaciado
uniforme por brevedad,
98 | Eduardo A. Brizuela
22
2 2
2, (orden ,centrada)E O P x
x x
, {7.6}
2
2 2
2, (orden , "corriente abajo")P EE E x
x x
,
{7.7} 2
2 2
2, (orden , "corriente arriba")P OO O x
x x
,
{7.8} 2
2 2
1,
2 2 2
(orden , , centrada)
NE SE NO SO
x y x y y
x y
, {7.9}
21
,
(orden , , "corriente abajo")
E SE P S
x y x y y
x y
, {7.10}
21
,
(orden , , "corriente arriba")
N P NO O
x y x y y
x y
, {7.11}
y otras formas.
Existen otras alternativas tales como hacer pasar una parábola
cúbica o de segundo grado por tres o más puntos y hallar su derivada,
etc.
Para hacer un planteo más general consideramos la ecuación
de conducción del calor
T Tc k
x x x
. {7.12}
Consideramos , c y k constantes y utilizamos subíndices para
la ubicación y superíndices 0 y 1 para el paso de tiempo.
Integramos esta ecuación entre los puntos E y O y entre t y
t+t. El primer miembro resulta
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 99
1 0
P P
E t t
O t
Tc dtdx c x T T
t
, {7.13}
donde OP PEx x x es la distancia entre E y O.
Para el segundo miembro la integración según x puede hacerse
primero, resultando en:
t tP OE P
tPE OP
T TT Tk dt
x x
. {7.14}
Para integrar respecto a t asumimos que el valor de T está
comprendido entre T0 y T
1 según una función f que varía entre cero y
uno, o sea,
1 01
t t
tTdt fT f T
. {7.15}
Luego, obtenemos
1 0
1 1 0 01 1 0 0
1 . {7.16}
P P
t tP OE P
tPE OP
P O P OE P E P
PE OP PE OP
T TT Tc x T T k dt
x x
T T T TT T T Tt k f f
x x x x
Definimos
E
PE
ka
x
, {7.17}
O
OP
ka
x
, {7.18}
0
P
xa c
t
, {7.19}
1 1 1 0
P E O Pa fa fa a , {7.20}
y reordenamos para obtener
100 | Eduardo A. Brizuela
1 1
1 0 1 0
0 0
1 1
1 1 . {7.21}
P P
E E E O O O
P E O P
a T
a fT f T a fT f T
a f a f a T
Esta es la ecuación discretizada que nos relaciona el nuevo
valor de T en el punto P (1
PT ) con el viejo valor en P (0
PT ) los viejos
y nuevos valores adyacentes.
Si en esta ecuación hacemos f=0 obtenemos el modo de
discretización explícito:
1 1 0 0 0 0
P P E E O O P E O Pa T a T a T a a a T , {7.22}
en el que sólo intervienen los valores viejos y adyacentes, por
lo que el punto P se computa explícitamente.
Si hacemos f=1 obtenemos el modo implícito: 1 1 1 1 0 0
P P E E O O P Pa T a T a T a T , {7.23}
en el que intervienen los valores adyacentes nuevos y por lo
tanto se debe resolver por un método iterativo.
Haciendo f=0.5 se obtiene el modo de Crank-Nicholson:
1 1
1 0 1 0 0 0 01
2
P P
E E E O O O E O P P P
a T
a T T a T T a a T a T
,
{7.24}
que es un modo semi-implícito.
Con referencia al modo explícito, es evidente que el
coeficiente de 0
PT debe ser positivo, ya que si no la expresión sería
divergente en el tiempo, todo 0
PT produce un menor 1
PT . Luego,
P E Oa a a . {7.25}
Esto resulta en la condición
2
2
c xt
k
, {7.26}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 101
lo que limita el paso de tiempo t en que se puede avanzar la
iteración. Similar condición se puede hacer en el método de Crank-
Nicholson.
El método implícito, por su parte, no está limitado en el paso
de tiempo.
7.4 La ecuación de transporte en diferencias y volúmenes
finitos
Sea la ecuación de transporte
j
j j j
u Sdt x x x
,{7.27}
donde D (no confundir con la abundancia específica
Primeramente escribimos
u PS S S
, {7.28}
siendo Su y Sp las partes no proporcional y proporcional a de
S. Esto lo hacemos para evitar que, si S
contiene un término
proporcional a (o a una potencia de y con signo negativo, la
ecuación diverja por la razón antes mencionada (cada nuevo valor
dereduce el valor del mismo
Añadimos ahora los puntos del cuadrante T y B (Top y
Bottom, arriba y abajo) a los cuatro anteriores (N, S, E y O) para
casos tridimensionales.
Discretizamos utilizando las formas implícitas de primer
orden, y multiplicamos (integramos) por el volumen V x y z
y por t . Se definen los coeficientes de convección C y de difusión
D tales que
uC V
, {7.29}
2D V
, {7.30}
con lo que los coeficientes son
102 | Eduardo A. Brizuela
E
E E
uC V u y z
x
, {7.31}
N
N N
uC V u x z
y
, etc., {7.32}
que podemos abreviar como
i iiC u A , {7.33}
siendo Ai el área normal a ui.
Los coeficientes del término de difusión son
2
E EED V y z
xx
, {7.34}
2
N NND V x z
yy
,etc., {7.35}
que podemos abreviar como
ii i
i
D Ax
, {7.36}
siendo xi la distancia entre P y el punto i (N, S, E, O, T o B) y
Ai el área normal a xi.
Construímos entonces los coeficientes de los vecinos
/ 2E E Ea D C {7.37}
/ 2O O Oa D C {7.38}
/ 2N N Na D C {7.39}
/ 2S S Sa D C {7.40}
/ 2T T Ta D C {7.41}
/ 2B B Ba D C {7.42}
0
PP E O N S T B Pa a a a a a a a S V
{7.43}
00 PPa V
t
, {7.44}
0 0
u P Pb S V a
, {7.45}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 103
y nuestra ecuación discretizada queda en forma de una
ecuación lineal en :
......P P E E B Ba a a b . {7.46}
Para flujos estables en el tiempo, 0
0Pa .
Para acelerar la convergencia se suele probar el signo de pS
y de 0
Pa de modo que si son negativos pasen al primer miembro y si
son positivos al segundo.
7.5 Las condiciones de frontera
En las cercanías de una frontera no habrá celdas para
completar el stencil de discretización, y es necesario generar
algoritmos especiales (extrapolación). En general, y siguiendo la
recomendación de Oran y Boris (Capítulo 6) se recomienda crear una
línea de celdas virtuales por fuera de la frontera, lo que permitirá
tratar, por ejemplo, los gradientes sin necesidad de algoritmos
especiales por la falta de una celda. En los casos en que la condición
de pared es cero (velocidad) a la celda exterior se le adjudicará el
valor de la primera celda interior cambiado de signo, lo que asegura
que el valor de frontera sea cero.
Para aquellas variables cuyo valor de frontera no sea trivial
como cero o uno, como en el caso de la disipación , se puede incluír
un término de fuente como 3 3
4 210 10
10 10u p
CS S S
ky
. {7.47}
Al ser los coeficientes mucho mayores que los demás
coeficientes de la ecuación discretizada, la solución es forzada a 3 3
4 2C
ky
, {7.48}
que es el valor de pared deseado.
104 | Eduardo A. Brizuela
7.6 El número de Peclet
El número de Peclet de la celda se define como
CPe
D {7.49}
y, con las definiciones de C y D resulta ser el número de
Reynolds de la celda o volumen de control.
Para un caso unidimensional sin término de fuente la ecuación
de transporte queda
P P E E O Oa a a . {7.50}
Si fuera D = 1 y C = 8 tendríamos
/ 2 3
/ 2 5
2
E
O
P E O
a D C
a D C
a a a
Luego 2 3 5P E O . Damos algunos valores:
E O P
200 100 -50
100 200 350
Los resultados son incorrectos: una interpolación lineal no
puede dar valores más altos ni más bajos que los extremos.
La condición para que esto no ocurra es que Ea sea positivo,
/ 2D C , o sea
2Pe . {7.51}
De lo contrario deberemos utilizar la discretización corriente
arriba.
Hay varios métodos para asegurar esto. Uno es el método
híbrido, en el que los coeficientes se eligen de acuerdo al número de
Peclet para que resulte o bien discretización implícita centrada o bien
explícita corriente arriba, haciendo
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 105
, / 2,0
, / 2,0
, / 2,0
, / 2,0 , etc. {7.52}
E E
O O
N N
S S
a MAX C D C
a MAX C D C
a MAX C D C
a MAX C D C
Otro método es el de la Ley de Potencias. En este se define la
función
5
0, 110
PeA Pe MAX
, {7.53}
y los coeficientes se forman como
,0
,0
,0 , etc. {7.54}
E E E E
O O O O
N N N N
a D A MAX C
a D A MAX C
a D A MAX C
Esta función genera una transición suave entre las
discretizaciones centrada y corriente arriba.
Los métodos híbrido y de ley de potencia son los más usuales
y recomendados para generar los coeficientes de la ecuación
discretizada.
7.7 Otros métodos
Existen otros métodos para corregir el problema del número de
Peclet. Entre ellos se puede mencionar el de McCormack, en el que
se aplican dos pasos de tiempo iguales, uno “predictor” y el otro
“corrector”. En el primero se utilizan fórmulas de discretización
“corriente abajo”, y se obtiene un juego de valores; luego se aplica
una discretización “corriente arriba” con los parámetros antes
calculados como valores vecinos.
En el método de “corriente arriba – segundo orden” se utiliza
la estimación
106 | Eduardo A. Brizuela
P O
ex x
, {7.55}
donde el subíndice e indica la cara entre P y E.
En el método QUICK se utilizan ¾ de la discretización
centrada y ¼ de la anterior, con lo que
1
3 24
E P O
ex x
. {7.56}
7.8 Ubicación de las variables
Hasta aquí hemos considerado todas las variables localizadas
en el centro del volumen de control P.
Se presenta una dificultad cuando evaluamos el término de
fuente de la ecuación de Navier-Stokes, /p x . Supongamos el
volumen de control de la figura:
Figura 7.5: Volumen de control
Escribimos el término de fuente discretizado:
2 2 2
o e P O O EP Ep p p p p pp pp
x x x x x
. {7.57}
Luego, el término de fuente introduce una relación entre los
centros de las celdas adyacentes y no entra el valor de la presión en
las caras de la celda. Si así fuera una distribución de presión como la
de la figura:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 107
Figura 7.6: Distribución de presión
daría el mismo resultado que una presión uniforme, lo que es
incorrecto.
Similar dificultad se presenta cuando integramos la ecuación
de continuidad sobre el volumen de control. Suponiendo flujo estable
en el tiempo y densidad constante,
0u
x
. {7.58}
Con el procedimiento anterior llegamos a
e o E Ou u u u , {7.59}
y nuevamente llegamos a la conclusión que una distribución
en diente de sierra es igual a una distribución uniforme.
La solución a este problema es la grilla alternada, que consiste
en ubicar las velocidades en las caras del volumen de control y no en
el centro:
108 | Eduardo A. Brizuela
Figura 7.7: Grilla alternada
La ecuación de Navier-Stokes, discretizada e integrada y
aplicada al punto e resulta:
P E
e e evecinos
p pa u au b Vol
x
. {7.60}
Para la dirección y, aplicada al punto n:
P N
n n nvecinos
p pa u au b Vol
y
.
{7.61}
De este modo el valor de u (digamos ue ) queda relacionado a
las presiones que lo rodean (pP y pE ) lo cual es físicamente correcto.
7.9 La corrección de presión
Partimos de la suposición que existe un juego completo de
parámetros obtenidos en una iteración anterior de la solución.
Supongamos que los valores de presión así obtenidos son p* y
deseamos corregirlos al valor p añadiendo una corrección p’. Esto
causará correcciones u’ a las velocidades u*.
La ecuación de Navier-Stokes discretizada era, por ejemplo,
e e e P E evecinosa u au b p p A , {7.62}
donde /eA Vol x es el área de la cara e.
Con los valores de la última iteración
* * * *
e e e P E evecinos
a u au b p p A , {7.63}
(b, si existe, no cambia).
Restando obtenemos la ecuación en correcciones
' ' ' 'e e P E evecinosa u au p p A , {7.64}
Despreciamos el término 'vecinos
au para generar el
método SIMPLE. Luego, nos queda
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 109
' ' 'e e P E ea u p p A , {7.65}
o sea
*' 'e
e e P E
e
Au u p p
a . {7.66}
Ecuaciones similares se pueden escribir para las otras
componentes de velocidad.
Para obtener la ecuación de corrección de la presión,
comenzamos con la ecuación de continuidad
0
u v w
t x y z
, {7.67}
y la discretizamos en volúmenes finitos
0
0
P P
e o
n s
t b
VolVol u u
t x
Volu u
y
Volu u
z
{7.68}
Sustituímos ahora las expresiones de u, v y w halladas antes y
reordenamos para escribir
'P Pa p B , {7.69}
donde
, etc. {7.70}
eE e
e
oO o
o
nN n
n
A Vola
a x
A Vola
a x
A Vola
a y
y el término de fuente B contiene todo los sobrantes:
110 | Eduardo A. Brizuela
0
* *
* *
* *
P P
o e
s n
b t
VolB Vol u u
t x
Volu u
y
Volu u
z
. {7.71}
Notamos que se debe interpolar la densidad ya que
normalmente sólo tenemos los valores en los centros de los
volúmenes de control y no en las caras.
La solución de la ecuación de p’ produce una corrección que,
sumada a p* produce la presión corregida. Mediante las ecuaciones
de corrección {7.62} también corregimos las velocidades, y con la
presión y temperatura recalculamos la densidad y procedemos a
iterar.
El haber descartado el término 'vecinos
au no afecta la
solución ya que, al avanzar en la iteración, todos los valores prima
deben tender a cero.
Si no despreciamos el término 'vecinos
au sino que lo
calculamos con los valores disponibles en esta iteración obtenemos
el método SIMPLER.
En el método SIMPLEC se resta a la ecuación de corrección de
velocidad el término u’ vecinos
a , con lo que queda, para la cara e:
'
' ' ' '
e vecinos e
vecinos vecinos e P E e
a a u
a u u p p A
, {7.72}
y ahora se descarta la sumatoria del segundo miembro ya que
dá aproximadamente cero. Luego, la ecuación de corrección de la
velocidad queda:
' ' 'ee P E
e vecinos
Au p p
a a
, {7.73}
y la ecuación de corrección de p es la misma que para
SIMPLER.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 111
Referencias al Capítulo 7
Leonard, B.P., (1979), "A stable and accurate convective
modelling procedure based on quadratic upstream
interpolation", Comp. Meth. in Appl. Mech. and Engrng.,
vol. 19, pp. 59-98.
MacCormack, R. W., The Effect of viscosity in
hypervelocity impact cratering, AIAA Paper, 69-354 (1969).
112 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 113
CAPÍTULO 8
La grilla de cálculo
8.1 Tipos de grillas
Para proceder a resolver las ecuaciones discretizadas es
necesario dividir el área o volumen de flujo en celdas, generando una
grilla de cálculo.
Las grillas pueden ser estructuradas o no-estructuradas,
indicando con esto si son cuadriláteros (o hexaedros en 3D) o bien si
son triángulos (o tetraedros en 3D). Trataremos primero las grillas
estructuradas.
La grilla puede estar referida a ejes cartesianos, ya sean
coordenadas cartesianas ortogonales (x, y, z) ú otro sistema más
adecuado al problema (cilíndricas, esféricas).
Las grillas cartesianas tienen la propiedad de ser ortogonales,
lo que simplifica la evaluación de las áreas normales a las
velocidades, y los volúmenes de control. Por otra parte presentan
serias dificultades para discretizar fronteras inclinadas o curvas:
Figura 8.1: Frontera inclinada
114 | Eduardo A. Brizuela
A menos que la región de flujo esté formada por
paralelepípedos es siempre aconsejable utilizar grillas ajustadas al
contorno:
Figura 8.2: Grilla ajustada al contorno
En todos los casos es necesario que las grillas sean ortogonales
para evitar complicaciones al calcular flujos de entrada y salida del
volumen de control.
La generación de grillas estructuradas ajustadas al contorno
tridimensionales normalmente se realiza generando grillas
bidimensionales sobre las caras más complejas y completando la
tercera dimensión por unión de puntos correspondientes. Esto hace
que sea necesario que cada cara bidimensional tenga el mismo
número de puntos.
De acuerdo a lo ya visto es aconsejable generar la grilla de
caras de los volúmenes de control y colocar los centros en el centro
geométrico del cuerpo de seis caras resultante. Sin embargo, en
ciertos casos se generan grillas de centros, colocando las caras a
media distancia entre centros. Esto hace necesario calcular y
almacenar la ubicación de los centros, como se verá.
8.2 Grillas cartesianas ortogonales
Dada una región (x, y, z) que incluya todo el campo de flujo,
los segmentos (0-x), (0-y) y (0-z) se dividen en (nx, ny, nz) partes
con lo que la grilla de caras queda generada.
La división puede ser uniforme o variada, en series
aritméticas, geométricas o arbitrarias. Se suele utiliza un espaciado
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 115
no-uniforme para reducir el tamaño del volumen de control en zonas
donde se sospeche que el número de Peclet excederá el valor 2, o
donde simplemente se desea refinar el cálculo:
Figura 8.3: Grilla cartesiana variada
Este procedimiento tiene dos defectos: uno que se corre el
riesgo de producir celdas con elevadas relaciones de aspecto
(largo/ancho) como la indicada en (1); esto puede provocar que la
discretización en una dirección sea implícita centrada y en la otra
corriente arriba, lo que causará dificultad en la convergencia. El
segundo defecto es que se generan celdas muy finas en zonas fuera
del flujo (2) o en regiones sin interés (3), causando computaciones
innecesarias.
Una solución a este problema es el uso de grillas refinadas
localmente, que, si bien ahorran espacio de almacenamiento, retardan
el cálculo por causa de los procesos de pasaje de la grilla gruesa a la
fina:
116 | Eduardo A. Brizuela
Figura 8.4: Grilla refinada localmente
Por simplicidad las grillas se refinan dividiendo por dos en
cada dirección, y nuevamente pos dos si es necesario otro nivel de
refinación.
El pasaje de una grilla fina a una gruesa se realiza por
procesos lineales:
Figura 8.5: Pasaje de fina a gruesa
Las velocidades en la grilla gruesa se hallan balanceando
flujos en las caras. Los escalares en la grilla gruesa por integración
(con el área de la celda).
Para pasar de la grilla gruesa a la fina las velocidades se
interpolan linealmente:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 117
Figura 8.6: Interpolación de velocidades
Los escalares centrados, por interpolación bilineal entre cuatro
celdas gruesas:
Figura 8.7: Pasaje de escalares
En este caso, asumiendo áreas iguales:
1 2 3 4
19 3 3
16F G G G G . {8.1}
En este último caso será necesario modificar esta fórmula si el
espaciado no es uniforme (los coeficientes 9, 1, 3 y 3 salen de la
interpolación bilineal).
Es necesario generar un número de esquemas especiales para
grillas finas cerca de las fronteras, donde puede no haber suficientes
celdas gruesas en derredor para usar los procedimientos indicados.
118 | Eduardo A. Brizuela
La solución numérica se hace en la grilla gruesa, pasándose a
la grilla fina cuando se han resuelto las adyacentes gruesas.
El uso de grillas refinadas, si bien reduce considerablemente el
número total de celdas, obliga a usar una cantidad de puntos de
decisión que retardan notablemente la ejecución del programa de
cálculo, con lo que su uso no es siempre aconsejable.
Si se adopta el método de generar grillas de centros es
necesario almacenar la posición de los centros respecto a los vértices:
Figura 8.8: Localización de centros
Comúnmente esto se hace almacenando las fracciones
(llamadas f y g en la figura) de la longitud de cara en la dirección
creciente de la ordenada.
Las fórmulas de pasaje de grilla fina a gruesa y viceversa
deben modificarse como corresponda. Por ejemplo, el flujo sobre una
cara (uA) requiere interpolar la densidad ya que no puede asumirse
la densidad en el centro como válida en el centro de la cara:
Figura 8.9: Escalares no centrados
Las coordenadas cilíndricas normalmente se usan sólo para
casos axisimétricos, vale decir, bidimensionales. En este caso se
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 119
resuelve sólo una cuña de abertura 1 radián. Se debe evitar utilizar
aberturas menores (digamos, un grado sexagesimal), ya que esto
genera celdas con mala relación de aspecto:
Figura 8.10: Celda en coordenadas cilíndricas
El área en el plano xy es x y mientras que el área yz es
2y . Si hacemos x y para tener una buena relación de
aspecto en el plano xy, en el plano yz deberá ser = 1.
8.3 Grillas ajustadas al contorno (BFC)
La experiencia indica que la mejor grilla es aquella que es lo
más paralela posible al flujo. Como el flujo normalmente sigue los
contornos del conducto, las grillas ajustadas al contorno son
preferibles a las cartesianas. Por otro lado, con su uso se ahorra en
espacio de almacenamiento y en algoritmos especiales para celdas de
frontera.
La generación de grillas ajustadas al contorno consiste
esencialmente en un mapeo del plano (x, y, z, t) al plano (,
aunque normalmente el tiempo no se transforma, y como se dijo, se
120 | Eduardo A. Brizuela
generan grillas ajustadas al contorno en planos y se concluye la grilla
uniendo los puntos correspondientes en la tercera dimensión.
El requisito es que la grilla sea ortogonal para poder separar
las componentes de velocidad u y v y computar los flujos uA.
Igualmente se requiere que la grilla sea normal a las fronteras.
Es poco común que estos requisitos se cumplan exactamente
en casos prácticos. Salvo situaciones elementales (paralelepípedos en
coordenadas cartesianas, cilindros en coordenadas cilíndricas) no es
matemáticamente posible generar una grilla perfectamente ortogonal.
Por otro lado no es estrictamente necesario que la grilla sea
perfectamente ortogonal ya que la curvatura de las líneas de grilla no
se toma en cuenta al computar, por ejemplo, las áreas:
Figura 8.11: Líneas de grilla
La generación de grillas ajustadas al contorno puede hacerse
por resolución de ecuaciones diferenciales parciales o por medios
algebraicos. En ambos casos la grilla transformada es una grilla
rectangular, ya que las variables transformadas ( tienen el mismo
rango de variación en dos fronteras opuestas. Por comodidad se suele
adoptar el índice de la celda (variando de 1 a NI y de 1 a NJ) como la
variable transformada, ya que entonces 1; 1A .
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 121
8.4 BFC, métodos diferenciales
Las grillas ajustadas al contorno pueden generarse por medio
de ecuaciones diferenciales elípticas, parabólicas e hiperbólicas.
Las elípticas son preferidas por producir grillas más uniformes,
porque no producen líneas que se crucen, no propagan (más bien
amortiguan) las discontinuidades o quiebres de las fronteras, ofrecen
control sobre el grado de ortogonalidad y concentración de líneas y
son las más versátiles y adaptables. Sin embargo, requieren métodos
de solución más sofisticados y excelentes condiciones iniciales.
Las hiperbólicas son más eficientes y de solución más sencilla
pero pueden propagar las discontinuidades al interior y sólo son
aplicables donde una dirección de flujo es predominante.
Las grillas parabólicas son también de eficiente solución y
amortiguan discontinuidades. Sin embargo, son menos utilizadas que
las elípticas.
Veremos la generación de grillas elípticas.
Partimos del mapeado de , ,x y , con
0 1, y 0 1 , donde , e ,x x y y , con el
Jacobiano de la transformación
; , etc.x
J x y x y x
. {8.2}
Hay tres propiedades del mapeado que nos interesan: la
gradualidad del cambio de espaciado, la ortogonalidad y la variación
de área o volumen.
La primera la evaluamos por medio de
2 2
1I dx dy . {8.3}
La segunda por medio de
2
2I dx dy , {8.4}
y la tercera por
3I J dx dy . {8.5}
122 | Eduardo A. Brizuela
El mínimo de la segunda debiera ser cero mientras que las
otras dos debieran tener un mínimo. Es posible minimizar el
conjunto utilizando multiplicadores de Lagrange:
1 2 2 3 3I I I I . {8.6}
Por simplicidad veremos el caso de minimizar el cambio de
tamaño, o sea, I1.
Para introducir la ortogonalidad consideramos una línea de
=const. Luego,
0d dx dyx y
, {8.7}
de donde
x
const y
dy
dx
. {8.8}
Escribimos
const
dydy
xdx
, {8.9}
y reemplazando
0x yx y , {8.10}
y con el Jacobiano obtenemos
y
x y
Jx
x y
, {8.11}
x
x y
Jy
x y
, {8.12}
El denominador es
11x yx y dx dy
x y
.
{8.13}
Luego, quedan
;y x
x y
J J
. {8.14}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 123
Igualmente, considerando líneas de =const obtenemos
;y x
x y
J J
. {8.15}
Con dxdy Jd d reemplazamos en {7.74} para obtener
1 1 2 2 2 2
10 0
1I x x y y d d
J . {8.16}
Esta integral es una medida de los gradientes de la grilla. Se
puede demostrar que es minimizada por las expresiones
2 0
2 0; {8.17}
x x x
y y y
donde los coeficientes son 2 2
3
3
2 2
3
{8.18}
;
x y
J
x x y y
J
x y
J
Si la grilla fuera ortogonal se cumplen las condiciones de
Cauchy-Riemann
;x y x y y el sistema anterior se reduce a
2 20x y , {8.19}
con lo que la grilla queda definida por la ecuación de Laplace.
Para dar mayor flexibilidad al método e introducir condiciones
de borde se adopta la forma
2
2
2
2 ;{8.20}
x x x J Px Qx
y y y J Py Qy
donde P y Q son dos funciones que pueden utilizarse para
generar las condiciones de borde. Por ejemplo, Sorensen elige
124 | Eduardo A. Brizuela
max
max
,
, ;{8.21}
ca
db
P p e r e
Q q e s e
con a, b, c y d constantes positivas; a y b controlan el
decaimiento exponencial del valor de frontera p o q hacia el interior
sobre líneas de =const; c y d controlan el decaimiento exponencial
del valor de frontera r o s hacia el interior sobre líneas de =const.
El método de generación de la grilla consiste en resolver las
ecuaciones {7.91} por diferencias finitas, satisfaciendo la ecuación
en el interior y ajustando el valor en las fronteras. Por ejemplo, para
la frontera =max P y Q toman valores solamente con
Las ecuaciones son un sistema de ecuaciones de
Poisson en las que se puede controlar tanto el espaciado como la
ortogonalidad de la grilla. Un control completo del espaciado y del
grado de ortogonalidad también puede obtenerse resolviendo
ecuaciones biarmónicas 4 4
0 , {8.22}
pero la solución puede no ser biunívoca y deben extremarse
los cuidados al utilizarla.
8.5 BFC, métodos algebraicos
También se pueden generar grillas cuasi-ortogonales por
medios algebraicos, básicamente por interpolación. La interpolación
lineal entre fronteras no puede producir grillas cuasi-ortogonales ni
ofrecer control sobre el ángulo de las líneas de grilla en la frontera;
es necesario utilizar funciones de interpolación especiales.
Para el caso de un campo con cuatro fronteras
0, 1, 0, 1, se puede utilizar el método de los
polinomios de Hermite, escribiendo por ejemplo, para las líneas de
=const
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 125
1 2 3 4
0 1
1 2 3 4
0 1
, ,0 ,1
, ,0 ,1 ;
{8.23}
x xx x h x h h h
y yy y h y h h h
Los polinomios de Hermite son: 3 2
1
3 2
2
3 2
3
3 2
4
2 3 1
2 3
2
; {8.24}
h
h
h
h
Se pueden plantear funciones similares para las líneas de
=const .
La ortogonalidad en las fronteras se puede asegurar haciendo,
para =0
1
0 0
1
0 0
; {8.25}
x dyk
d
y dxk
d
y para =1
2
1 1
2
1 1
; {8.26}
x dyk
d
y dxk
d
donde k1() y k2() son funciones arbitrarias de en las
fronteras =0 y =1.
126 | Eduardo A. Brizuela
8.6 Transformación de las ecuaciones de transporte
Las ecuaciones de transporte pueden ser reescritas en las
coordenadas , utilizando las siguientes transformaciones
; {8.27}
x
y
u U
v V
; {8.28}
U uy vx
V uy vx
; {8.29}
Ux Vxu
J
Uy Vyv
J
Las derivadas cruzadas son nulas:
0
0, etc. {8.30}
x x x x
y y y y
x x x x
x x x x
por lo que resulta
; {8.31}
x x
x
x x
x
y y
y
y y
y
U x V xu
J
U y V yv
J
U x V xu
J
U y V yv
J
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 127
; {8.32}
x x x
y y y
x x x
y y y
U u y v x
U u y v x
V u y v x
V u y v x
El elemento de volumen se transforma como
dV dxdy dz J d d dz
Un punto importante a recordar es que las métricas
( , , , etc.x y J ) deben discretizarse en los mismos lugares y por el
mismo método que las variables; de lo contrario se introducirán
errores numéricos.
8.7 Grillas no estructuradas
Las grillas cartesianas y ajustadas al contorno ya vistas son
grillas estructuradas, indicando con esto que son formadas por
cuadriláteros en el plano o hexaedros en el espacio, de modo que un
índice constante identifica un lado o cara.
El desarrollo de los métodos de elementos finitos ha
proporcionado algoritmos y software muy eficientes, aptos para
generar grillas no-estructuradas, formadas por triángulos o
tetraedros. Estas grillas tienen la ventaja de permitir un fácil
refinamiento local y pueden adaptarse al contorno tan bien o mejor
que las estructuradas.
En el trabajo de Mavriplis se halla una completa revisión de las
técnicas para generar y utilizar estas grillas para el modelado de
escurrimientos. Una breve descripción se da en lo siguiente.
Para generar grillas no estructuradas existen dos métodos
principales, el avance del frente y el método de Delaunay.
En ambos casos se dividen los bordes de frontera en
segmentos; si se trata de un caso tridimensional, la grilla se genera
inicialmente en la superficie de frontera, es decir, se comienza con
un problema bidimensional, e igualmente se dividen los bordes de la
superficie de frontera en segmentos.
128 | Eduardo A. Brizuela
En el método de avance del frente frente a cada segmento de
frontera se ubica un punto y se traza el triángulo correspondiente.
Hecho esto se elimina del conjunto el segmento de frontera que se ha
utilizado y se añaden a la frontera los dos nuevos lados del nuevo
triángulo:
Figura 8.12: Método de avance de frente
El método es muy sencillo pero tiene un problema en que no
hay un algoritmo robusto para decidir la ubicación del nuevo vértice;
puede suceder que el nuevo vértice resulte ubicado demasiado
cercano a otro vértice, generando un triángulo con pobre relación de
aspecto (uno o más ángulos demasiado agudos). También puede
suceder que el nuevo vértice resulte ubicado dentro de otro triángulo
ya existente.
En el método de Delaunay se crea inicialmente una grilla
gruesa (manualmente o con un algoritmo de avance de frente
sencillo) y luego se añaden elementos refinando la grilla.
El principio se ejemplifica como sigue: dados tres triángulos
consecutivos se trazan los círculos que los circunscriben. En la zona
donde los tres círculos se superponen se ubica un punto, y luego se
eliminan los tres triángulos; notar que, si los tres triángulos eran
parte de la malla gruesa, sólo se eliminan algunos de los lados, ya
que otros lados pertenecen a otros triángulos. Hecho esto con el
nuevo punto se trazan cinco nuevos triángulos a los vértices que
quedaron libres:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 129
Figura 8.13: Método de Delaunay
Una vez generada la grilla sobre las superficies de frontera la
grilla tridimensional de interior se puede generar por un
procedimiento similar, si por el método de avance, ubicando un
punto en el inerior, creando el tetraedro correspondiente y avanzando
la superficie de frontera, si por el método de Delaunay, con una grilla
interior gruesa, creando las superficies esféricas que circunscriben a
los tetraedros, etc.
Una desventaja de las grillas no estructuradas es que requieren
generar tablas y algoritmos para identificar sus partes, proceso
denominado definir la conectividad. Es necesario identificar y
detallar para cada celda sus vértices, su centro, sus áreas, el largo de
sus aristas, la orientación espacial de caras y aristas, con qué otras
celdas se conecta y qué elementos (vértices, aristas, caras) comparte.
La colocación de las variables, como en el caso de las grillas
estructuradas, puede hacerse en el centro de la celda o en los vértices.
La discretización de las ecuaciones de transporte se puede
realizar de manera similar a la ya vista, identificando un volumen de
control y realizando las integrales de flujos sobre las áreas del
volumen de control, como se indica en la figura:
130 | Eduardo A. Brizuela
Figura 8.14: Grilla de vértices
El valor de una variable sobre la cara del volumen de control
se obtiene por interpolación lineal, en el caso de la figura entre
vértices. Si se utiliza el principio de colocar las variables en el
centroide de las celdas el volumen de control puede coincidir con las
caras de las celdas:
Figura 8.15: Grilla de centroides
Como se aprecia, las componentes de la velocidad en general
no coinciden con las direcciones normales y/o tangentes a las caras
del volumen de control lo que obliga a generar algoritmos para
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 131
obtener los vectores normal y tangente y proyectar los flujos sobre
éstos para proceder a integrar con las áreas. La discretización de los
gradientes y en especial de los términos disipativos (derivadas
segundas) puede resultar muy compleja.
La ecuación discretizada es muy similar a las ya vistas, salvo
que ahora el número de vecinos varía según la plantilla de
discretización que se utilice, y si se utiliza la colocación en vértices o
centroides.
Referencias al Capítulo 8
Sorenson, R. L.; A computer program to generate two-
dimensional grids about airfoils and other shapes by the use
of Poisson equation, NASA TM-81198, 1980
Mavriplis, D. J.; Unstructured Grid Techniques; Annual
Review of Fluid Mechanics, Vol. 29: 473-514, 1997
132 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 133
CAPÍTULO 9
Solución del sistema de ecuaciones
9.1 General
El conjunto de ecuaciones de transporte discretizadas forma un
sistema de ecuaciones lineales donde las incógnita son los valores de
los parámetros en cada celda. Los parámetros a computar son ui (3
componentes), p, yi (n especies), f, h, etc., o sea, con un mínimo
de cuatro especies principales, aproximadamente 12 parámetros. Si
no se utiliza un sistema de reacciones reducido n puede alcanzar
valores de 100 a 200.
Hay un juego de ecuaciones lineales por cada celda, por lo que
el total de ecuaciones lineales es (10 200)Nx Ny Nz .
Con 100 celdas en cada dirección se alcanzan números de
ecuaciones en el orden de 107-10
8. Como los coeficientes de difusión
están afectados del número de Prandtl/Schmidt que no es
necesariamente el mismo para todas las variables, los coeficientes
son en general todos distintos.
La ecuación general se escribe
P P uvecinosa a S , {9.1}
donde P P vecinos Pa a a S , y los vecinos son en general
E, O, N, S, T y B. Luego, son aproximadamente 10 coeficientes por
ecuación, lo que implica un total de 108-10
9 coeficientes y resultados
a almacenar.
Estos números son demasiado altos para las capacidades de
memoria de las computadoras de escritorio y por lo tanto no es
común que se resuelvan todas las variables simultáneamente. Los
resolvedores que así lo hacen se denominan resolvedores
simultáneos, y los más usuales resolvedores secuenciales. En el
segundo caso se resuelven las ecuaciones de transporte de un
134 | Eduardo A. Brizuela
parámetro a la vez y se itera el conjunto. La secuencia más usual es
u, v, w, p, f, h, yi.
Luego se recomputan las variables algebraicas (W, , otras
especies, t, etc) y los coeficientes de las ecuaciones de transporte C,
D, Su, Sp, y se itera.
En ciertos casos es posible resolver simultáneamente las
ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad (u, v, w y p) y a estos
resolvedores se los denomina de Bloque Implícito.
La resolución del sistema de ecuaciones para un parámetro
solo en todo el campo de flujo (Nx, Ny, Nz) puede hacerse en forma
Directa o Iterativa, y las soluciones pueden ser Sobre o Sub-
Relajadas.
9.2 Resolvedores directos
El sistema de ecuaciones lineales puede ser resuelto por el
método de eliminación de Gauss, el algoritmo de Thomas (TDMA),
la factorización LU y otros.
El método de eliminación de Gauss es el más sencillo aunque
es computacionalmente costoso ya que requiere aproximadamente N3
operaciones para resolver un sistema de N ecuaciones.
Dado el sistema
ij i ia c , {9.2}
el procedimiento consiste en restar a la fila i la primera fila
multiplicada por 1 11/ia a , con lo que se elimina 1 de la columna 1.
Luego se resta a la fila i la segunda multiplicada por 2 22/ia a (los
nuevos valores de 2 22 y ia a ) para eliminar 2 de la columna 2, y así
siguiendo.
El método resulta en un sistema triangular:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 135
22 2 2
11 1 12 2 1 1
' ' '
2
' '
........
........
.................................
. {9.3}
n
nn n
n n
n
n
a a a c
a a c
a c
Se obtiene n de la última ecuación y se calculan los
sustituyendo progresivamente hacia arriba los valores calculados.
El método de Gauss no es recomendable para grandes sistemas
ya que se acumulan errores de truncado, reduciendo la precisión. La
precisión se puede mejorar algo reordenando el sistema para que la
diagonal iia sea predominante.
El algoritmo de Thomas es una variante del método de Gauss
que se aplica si consideramos conocidos los valores laterales. Por
ejemplo, en dos dimensiones,
P P E E O O N N S S ua a a a a S .{9.4}
Asumimos que los valores N y S son conocidos por el
momento y escribimos la ecuación como
O P Eb d a c . {9.5}
Al recorrer la línea Oeste-Este en cuestión, el valor O de la
primera celda y el valor E de la última celda son valores de
frontera, conocidos, que podemos resumir en el término
independiente del segundo término.
Queda entonces un sistema tri-diagonal:
1 1
2 2 2
3 3 3
0 0 0............0 0
0 0............0 0
0 0............0 0
...................................................
0............................0 0 NN NN
d a
b d a
b d a
b d
1 1
2 2
3 3
.. ..
.. ..
N N
c
c
c
c
.
{9.6}
136 | Eduardo A. Brizuela
La matriz de coeficientes puede llevarse a la forma triangular
derecha de Gauss con la substitución
1
1
j
j j j
j
bd d a
d
, {9.7}
1
1
j
j j j
j
bc c c
d
, {9.8}
y las incógnitas se calculan por substitución de abajo hacia
arriba como en el último paso del método de Gauss:
1k k kk
k
c a
d
. {9.9}
El método LU consiste en dividir la matriz de los coeficientes
a, llamada Aij en dos matrices L y U tales que
A LU , {9.10}
siendo L la matriz diagonal inferior y U la matriz diagonal
superior.
Luego, abreviando la notación matricial,
LU c , {9.11}
1U L c
, {9.12}
y obtenemos inmediatamente la forma final del método de
Gauss
Los métodos para dividir la matriz A en dos matrices
triangulares y para invertir L están disponibles en libros de texto y
software por lo que se obvian.
En el método de Bloque Implícito, debido a Vanka, se aplican
las ecuaciones de Navier-Stokes a las cuatro caras de la celda, con lo
que las incógnitas son , , , y O P S N Pu u u u p :
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 137
Figura 9.1: Bloque Implícito
A estas cuatro ecuaciones se añade la de continuidad escrita
como
0O O O P P E S S S P P Nu A u A v A v A .
{9.13}
El sistema que queda es de 5x5, de la forma:
Ou
Pu
Sv
Pv
Pp
11a
0 0 0 15a
1c
0
22a
0 0 25a
2c
0 0
33a
0 35a
3c
0 0 0
44a
45a
4c
51a
52a
53a
55a
0 0
138 | Eduardo A. Brizuela
Este sistema se resuelve rápidamente haciendo
5 ; 1 4ii
ii
ar i
a , {9.14}
con lo cual
5 1 1 2 2 3 3 4 4
15 1 25 2 35 3 45 4
P
c c r c r c r c rp
a r a r a r a r
. {9.15}
Luego,
4 45
44
, etc.PP
c p av
a
{9.16}
La ventaja del sistema de bloque implícito es que computa las
velocidades y la presión satisfaciendo simultáneamente las
ecuaciones de Navier-Stokes y la de continuidad.
El método no se aplica a las variables primitivas como se ha
descripto sino a las correcciones a la iteración anterior. Si escribimos
para la iteración n+1: 1
'n n
x x x , {9.17}
y substituímos, obtenemos el mismo sistema con diferentes
segundos términos; en particular, 5 0c .
9.3 Resolvedores iterativos
El más común de los resolvedores iterativos es el de Gauss-
Seidel, que se ejemplifica con un sistema de 3x3:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3; {9.18}
a x a x a x c
a x a x a x c
a x a x a x c
que podemos reordenar como
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 139
1 12 2 13 31
11
2 21 1 23 32
22
3 31 1 32 23
33
; {9.19}
c a x a xx
a
c a x a xx
a
c a x a xx
a
Comenzando con un par de valores supuestos (2 3,x x ),
iteramos hasta obtener 1 2 3, y x x x con la precisión deseada.
El método de Gauss-Seidel puede ser mejorado mediante la
sobre- o sub-relajación.
La sobre-relajación es un método de aceleración de la
convergencia. Supongamos que el valor previo de era n y el nuevo
será n+.1. Luego, n
ha sido corregido en una cantidad 1n n
.
Es entonces lógico suponer que un valor más apropiado para n+.1
sería 1 'n
tal que
1 ' 1; 1 r 2
n n n nr
. {9.20}
Si r = 1 no hay sobre-relajación. Para 1 r 2 estamos sobre-
corrigiendo n
en la dirección correcta:
1 ' 1 1 11
n n n n n n nr r
.
{9.21}
vale decir, agregamos al nuevo valor 1n
un extra de la
corrección 1n n
, siendo el coeficiente de sobrecorrección
1r , que vale entre 0 y 1.
Si r fuera mayor que 2 el cambio en una iteración 1 ' 1 1
1n n n n
r
. {9.22}
iría aumentando en cada iteración lo que haría divergente al
problema.
140 | Eduardo A. Brizuela
El uso de sobre-relajación puede acelerar la solución un orden
de magnitud o más, por lo que es muy aconsejable. El valor óptimo
de r no es en general calculable, pero valores de 1.5 a 2 son usuales.
Si el valor de r fuera menor que 1 el resultado es corregido en
menos que la cantidad 1n n
, procedimiento conocido como
sub-relajación. Este método puede ser necesario para reducir las
oscilaciones de la solución en las primeras iteraciones, en particular
si las condiciones iniciales no son muy adecuadas.
En general conviene comenzar a iterar con sub-relajación,
pasando a sobre-relajación cuando la solución comienza a
estabilizarse hacia la convergencia.
Con respecto al barrido de las celdas, asumimos que los
índices (i,j) identifican filas y columnas de la grilla bidimensional. El
método de Gauss-Seidel puede aplicarse barriendo i y j en cualquier
orden. Sin embargo, normalmente se barre un índice primero y luego
se incrementa el otro. Esto se conoce como barrido por líneas.
En este caso, si se utiliza el stencil de cinco puntos:
Figura 9.2: Stencil de cinco puntos
Cada ecuación sólo involucra tres incógnitas (P, E y N), ya que
O se habría obtenido de la ecuación en (i-1) y S de la línea en (j-1).
Luego, la línea i puede ser resuelta por TDMA o por Gauss-
Seidel. En ambos casos puede aplicarse un factor de relajación.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 141
Alternativamente puede resolverse primero una línea y luego la
columna que la intercepta en P. Para ahorrar espacio de
almacenamiento el método más común es el Implícito de Dirección
Alternada (ADI), en el que primero se barren todas las filas y se
almacenan las soluciones. Luego se barren las columnas utilizando
las soluciones anteriores para las incógnitas (N y E) y los valores
recién calculados para las conocidas (O y S). Es decir,
Resolver por iteración barriendo por línea i. Los
valores así obtenidos son 'k
. Los anteriores, k
. En
esta pasada, S y O son 'k
, N y E son k
.
Resolver por iteración barriendo por columnas j. Los
valores así obtenidos son 1k
. Los anteriores, 'k
. En
esta pasada, S y O son 1k
, N y E son 'k
.
Igualmente puede utilizarse un factor de relajación en
líneas o columnas.
9.4 Método the Runge-Kutta
Para flujos en desarrollo en el tiempo el resolvedor iterativo
más usual el el método de Runge-Kutta, aunque es igualmente
utilizable para flujos estables en el tiempo.
La ecuación general de transporte se escribe:
j
j j j
uD S
t x x x
,
{9.23}
que también podemos escribir
,f t
t
. {9.24}
El método de Runge-Kutta se aplica a la ecuación general
,x
f x tt
. {9.25}
142 | Eduardo A. Brizuela
Si bien se puede plantear el método en un número variable de
pasos y en forma explícita o implícita, la forma más usual es la
explícita de cuatro pasos.
Sea xn el valor actual de la función; el valor x
n+1 luego de un
paso de tiempo h viene dado por
1
1 2 3 4
12 2
6
n nx x k k k k
, {9.26}
donde los valores intermedios se calculan como
1 ,n
k hf x t , {9.27}
2 1
1 1,
2 2
nk hf x k t h
, {9.28}
3 2
1 1,
2 2
nk hf x k t h
, {9.29}
4 3,n
k hf x k t h . {9.30}
Por ejemplo, tomemos la ecuación diferencial
dxxt
dt {9.31}
00t {9.32}
01x {9.33}
cuya solución es 2
2t
x e , {9.34}
y hallemos su valor para h=0.1.
0 0
1 , 0k hf x t , {9.35}
2 1
1 1, .005
2 2
nk hf x k t h
, {9.36}
3 2
1 1, 0.0050125
2 2
nk hf x k t h
, {9.37}
4 3, 0.010050125n
k hf x k t h . {9.38}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 143
Luego,
1
1 2 3 4
12 2 1.00501252
6
n nx x k k k k
.
{9.39}
El valor exacto es 1.00501252.
Para flujos estacionarios el valor de la ecuación (9.23}, vale
decir, k1, debe ser cero. El paso de tiempo h puede ser variable para
cada celda.
Para flujos no estacionarios empleando esquemas explícitos el
paso de tiempo t debe ser el mismo en todas las celdas de cálculo
y debe cumplir con la condición de Courant-Friedrich-Levy
1u t
x
, {9.40}
u otra condición de estabilidad; el método de Runge-Kutta se
emplea iterativamente dividiendo t en un número entero de partes
de tamaño h.
9.5 Convergencia, residuos
En una resolución iterativa, o incluso en un paso de una
resolución iterativa que incluya un resolvedor directo, las soluciones k
que se obtengan no satisfarán las ecuaciones lineales
perfectamente, ya sea porque la solución sólo incluye un número
finito de pasos, o por errores de truncado.
La diferencia entre el valor del segundo y primer miembros de
la ecuación lineal es el residuo de esa celda:
, , u P PvecinosR i i k a S a . {9.41}
La convergencia es el proceso por el cual la solución de las
ecuaciones discretizadas se aproxima a la solución de las ecuaciones
de transporte. Es posible demostrar que ambas soluciones tienden a
confundirse para una grilla infinitamente fina. Sin embargo, para una
grilla finita la solución de las ecuaciones discretizadas, por más que
144 | Eduardo A. Brizuela
el residuo sea cero en todos los puntos, no será igual a la solución de
las ecuaciones de transporte.
Hecha esta salvedad, se denomina más prácticamente
convergencia a la reducción monotónica de residuos, lo que indica la
bondad del conjunto de valores de las variables como solución del
sistema de ecuaciones lineales.
La forma habitual de juzgar la convergencia es adoptar un
valor absoluto de los residuos y observar su disminución, calculando
, ,
( , , )
Ref
i j k
R i j k
N
. {9.42}
El valor de referencia Ref puede ser un valor significativo de
(máximo, mínimo, valor de entrada)
Usualmente la evolución del residuo total , ,
( , , )i j k
R i j k con el
número de iteraciones varía como lo ejemplifica la figura:
Figura 9.3: Residuos y convergencia
Si el programa de cálculo permite arrancar y parar, o bien si se
almacena el residuo total, es aconsejable utilizar como valor de
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 145
referencia el primer residuo de la curva descendente, como indica la
figura.
La curva debiera tender a cero. Si no lo hace (residuo
irreducible) usualmente se debe a una o más de tres razones:
Hay un error de programación
Valores de frontera mal elegidos
No se ha respetado el principio de consistencia, que
indica que a ambos lados de una cara de la celda debe
utilizarse el mismo modelo de discretización
Si la curva desciende monotónicamente se continúa iterando
hasta que el valor de , ,
( , , )
Refi j k
R i j k
N
haya descendido hasta un
nivel preestablecido (10-4
o 10-5
), cuando se considerará alcanzada la
convergencia.
No obstante lo anterior es conveniente analizar los residuos
individuales, al menos visualmente, para asegurar que no haya una o
más celdas con residuos significativos o irreducibles.
Esto puede hacerse graficando a intervalos regulares el residuo
por planos como superficie tridimensional:
146 | Eduardo A. Brizuela
Figura 9.4: Residuos en un plano
Durante el proceso de solución es común observar oscilaciones
en los residuos, que debieran amortiguarse con la aproximación a la
convergencia. Estas oscilaciones son normales y se deben a la
naturaleza de las ecuaciones de transporte.
Por ejemplo, si se adopta la grilla de 3x3, la ecuación
diferencial de transporte queda discretizada en una ecuación lineal
que, a lo sumo, conecta los valores de tres celdas contiguas.
Luego, una corrección en una celda no afecta más allá de las
dos adyacentes, hasta el próximo paso de iteración.
Si se barre por líneas y columnas, el residuo de una celda se va
transfiriendo a razón de una línea/columna por iteración, proceso que
puede observarse claramente en un gráfico por planos como el de la
figura anterior. La figura siguiente ejemplifica esto:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 147
Figura 9.5: Residuos en dos pasos de iteración
Este proceso de barrido del error continúa (y se inicia) en las
fronteras y sólo se reduce con el número de iteraciones a medida que
disminuyen los residuos en general.
Sin embargo, es importante observar la evolución de los
residuos para asegurarse que estos picos de error sean acotados y
vayan siendo reducidos.
148 | Eduardo A. Brizuela
En otros términos, el sistema de ecuaciones discretizadas actúa
como un filtro pasabajos, atenuando rápidamente los errores de alta
frecuencia (celda a celda) y mucho más lentamente los de baja
frecuencia, mayor longitud de onda (varias celdas).
El error de más baja frecuencia (un valor de residuo constante
en toda la grilla) sólo puede deberse a inconsistencia en las
condiciones de frontera, y no debiera existir.
Los residuos de más baja frecuencia son los que más tardan en
reducirse y consumen la mayor parte del esfuerzo de computación.
Para reducirlos puede hacerse una de dos opciones:
Usar una grilla más gruesa
Usar un stencil más extenso
Ambas son indeseables, la primera porque atenta contra la
exactitud de la solución, y la segunda porque requiere un mayor
esfuerzo computacional y complica las condiciones de borde.
Sin embargo ambas opciones se utilizan normalmente. La
primera, aplicando el método multigrilla ya visto, por el cual cada
cierto número de iteraciones en la grilla fina se pasan todos los
resultados a una grilla más gruesa y se realiza otro número de pases
de iteración para reducir los residuos de baja frecuencia. Luego se
vuelven a pasar todos los resultados a la grilla fina y se continúa
resolviendo.
La segunda opción consiste en el uso de métodos de
discretización de orden superior que involucran stenciles de 5x5,
7x7, etc., a veces combinados con métodos como Predictor/
Corrector, FCT, etc.
No es seguro que estos métodos reduzcan el esfuerzo
computacional requerido, aunque pueden producir reducciones
sustanciales del tiempo total de cómputo.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 149
Referencias al Capítulo 9
Chapra, S. C., and Canale, R. P.; Métodos numéricos para
ingenieros; McGraw-Hill, 1992
Vanka, S. P., “Block-Implicit Calculation of Steady
Turbulent Recirculating Flows,” International Journal of
Heat and Mass Transfer, 28:11, 2093-2103, 1985.
150 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 151
CAPÍTULO 10
Velocidades de reacción dominadas por la cinética
y por la mezcla
10.1 Reactantes no premezclados
10.1.1 Cinética dominante:
Vimos en el Capítulo 4 que la ecuación de transporte de la
especie química Yi era:
j ii ii i i
j j j
u yy yD W w
t x x x
, {10.1}
donde
'i i iw w , y {10.2}
i
i
i
i
i
i
i
i
y
w k TW
. {10.3}
La velocidad de reacción puede utilizarse para estimar un
tiempo característico de la química c ; si también definimos un
tiempo característico de la mezcla m podemos definir un número de
Damkohler
/m cDa {10.4}
de tal modo que si 1Da el tiempo c m y la velocidad
de reacción es la que domina por ser más lenta que la mezcla.
En otras palabras, si 1Da tenemos el caso en que la
cinética es dominante.
152 | Eduardo A. Brizuela
10.1.2 Mezcla dominante
Si la cinética es mucho más rápida que la mezcla, el estado
instantáneo de la mezcla estará totalmente determinado por la
composición original, es decir, por la fracción de mezcla f.
En el caso de flujo turbulento, la reacción de mezcla f estará
descripta por una función aleatoria, y se conocerá su forma y sus
momentos de primero, segundo, etc, órdenes.
10.1.3 Modelo de mezcla rápida
Para el caso de mezcla dominante (mezcla lenta respecto a la
cinética), basamos el análisis en la ecuación de un solo paso
introducido en el Capítulo 2. Consideremos la reacción
1F rO r P , {10.5}
donde
F: “fuel”, uno de los reactantes, el que corresponde a f=1
O: “oxidante”, el reactante que corresponde a f=0
r: factor estequiométrico, kg de oxidante por kg de F
P: productos
La reacción está escrita en forma estequiométrica, y sin
balasto o especies inertes (ej: N2)
En este caso deducimos inmediatamente que hay dos zonas,
sf f y sf f , donde sf es el valor estequiométrico de f.
Para sf f
0
1 1
F B s
O
P B s
y y f f
y
y r y f f
, {10.6}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 153
y para sf f
0
1 1
F
O B s
P B s
y
y ry f f
y r y f f
, {10.7}
donde
,1 ,2
,2
,1 ,2
1
F O
B
s s
O
s
F O
y yy
f rf
yf
ry y
, {10.8}
siendo
,1
,2
en el chorro 1
en el chorro 2
F F
O O
y y
y y
. {10.9}
Esto produce el gráfico y-f típico de la reacción de un solo
paso visto en (2.2).
La fracción de mezcla promedio responde a la ecuación de
transporte
j
f
j j j
f u f fD
t x x x
.{10.10}
Más adelante se verán las posibilidades de modelar otros
momentos de f a fin de definir la ecuación de distribución de f en
flujo turbulento. Por el momento definimos la ecuación de
distribución turbulenta
, ,P P f x {10.11}
que nos determina la probabilidad de encontrar
simultáneamente los valores instantáneos de y f en el punto
, ,x x y z .
154 | Eduardo A. Brizuela
De aquí definimos la función Favre de distribución
0
1, , ,P f x P f x d
, {10.12}
de modo que si Q=Q(f) 1
0( ) , etc.Q Q f Pdf {10.13}
En el caso de cinética rápida podemos considerar que las
concentraciones son las de equilibrio (a esa temperatura y presión),
por lo que
( ).e
i iy y f {10.14}
Luego, 1
0( ) ( ) ,
e
iiy x y f Pdf {10.15}
1
0( ) ( ) ,
eT x T f Pdf {10.16}
0( ) ( ( ), , ) ( ) ( , )
( )( , ) ( , )
e eef P f f x d f P f x
xP f x P f x
.
{10.17}
En la última
( ) ( , ) ( ) ( , )e
x P f x f P f x , {10.18}
( , )( ) ( , )
( )e
P f xx P f x
f
. {10.19}
Integrando con respecto a f
1
0
1( ) ,
( , )
( )e
xP f x
dff
{10.20}
es decir
1
0
1 ( )
( )e
P fdf
f , {10.21}
o bien
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 155
1
0( ) ( ) .
ef P f df {10.22}
Con estas definiciones podemos integrar las expresiones
instantáneas de yF , yO e yP para hallar los promedios:
1
( ) ,s
F B sf
y y f f Pdf {10.23}
0( ) ,
sf
O B sy ry f f Pdf {10.24}
1
0( 1) (1 ) (1 ) ,
s
s
f
P B s sf
y r y f fPdf f f Pdf
{10.25}
donde hemos omitido x ya que estas expresiones se aplican a
un punto , ,x x y z
El cambio de expresiones entre la zona pobre ( )sf f y rica
( )sf f puede obviarse utilizando las expresiones
12
1 12
( ) ,e s
F F B
f fy y f y g J
g
{10.26}
12
1 12
( ) ,e s
O FO B
f fy y f ry g J
g
{10.27}
12
1 12
( ) ( 1) ,e s
P P B
f fy y f r y g J
g
{10.28}
donde 2
"g f es la varianza o segundo momento de f, y
1 1 1 102 2 2
( ) ,sfs s s
s
f f f f f fJ Pdf H f f
g g g
{10.29}
siendo ( )sH f f la función de Heaviside
156 | Eduardo A. Brizuela
1 para 0
0 para 0
s
s
H f f
H f f
. {10.30}
Los valores de equilibrio como ( )e
Fy f se obtienen de
programas de equilibrio como ya se vió, entrando con f y T . Para
reacciones irreversibles de un solo paso 1 , y para otras, algo
menor (digamos, 0.8).
J1 es la integral de falta de mezclado, “unmixedness”, que
sólo es función de la función de distribución P . En la variable
reducida 1
2
ss
f fz
g
:
Figura 10.1: Función J1
La forma de J1 es bastante independiente de la función P , y
puede ser simplemente aproximada por
1( ) 0.45 sz
sJ z e
. {10.31}
Finalmente, para y T :
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 157
12
1
11
( ) (0) (1)1 1
(1 )( )
s s
s
s s
f f
fJ g
f ff
, {10.32}
12
1
( ) (1 ) (0) (1)( )
(1 )
s s s
s s
T f f T f TT T f J g
f f
,
{10.33}
donde (0) ( 0, equilibrio)f ,
(1) ( 1, equilibrio)T T f , etc.
Este modelo entonces permite calcular los promedios de
concentraciones, densidad y temperatura conociendo los valores de
,f g y el equilibrio químico. Como las condiciones de equilibrio
químico son a su vez función de T, se requiere una solución iterativa.
Más comúnmente se adoptan como valores de equilibrio los de la
reacción instantánea, dada por las relaciones lineales.
( ) ( ) ( ) para
0 para , etc.
e
F F B s s
s
y f y f y f f f f
f f
{10.34}
Queda por determinar la función de distribución
10.1.4 Funciones de distribución
Si representamos la probabilidad de f en función de f para
distintos tipos de casos de mezcla obtenemos los diagramas típicos:
158 | Eduardo A. Brizuela
Figura 10.2: Distribuciones de probabilidades
Los picos en cero y uno indican que hay un número (alto) de
casos de medición de fluido puro.
Una forma de modelar la función de distribución de f es
asumir un grado de intermitencia I tal que si 0I estamos en
uno de los fluidos puros, y si 1I estamos en el fluido mezcla. El
fluido mezcla tiene una función de distribución de f 1( )P f , de media
tf y varianza 2
"t tg f , y definimos
tf I f , {10.35}
2 2
1t tg I g f f I f
, {10.36}
2
1.25
1I
g
f
, {10.37}
21
2t tg f , {10.38}
2
2
1
1.023( )
2
t
t
f f
g
P f e
(Gaussiana), {10.39}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 159
y
1( ) 1 ( ) ( )P f I f I P f . {10.40}
El procedimiento es como sigue:
1) Obtener f y g de ecuaciones de transporte.
2) Calcular tf y tg .
3) Calcular , 0 1I I .
4) Formar ( )P f
Otro método consiste en obtener f y g y utilizar la función
Beta:
21
111 2
1 2
( ) 1P f f f
, {10.41}
donde
11 1
0( )
xx e dx
, {10.42}
1
11
f ff
g
, y {10.43}
2
11 1
f ff
g
, {10.44}
cuya forma (para una media de 0.5) es:
160 | Eduardo A. Brizuela
Figura 10.3: Función Beta
Es decir, aparenta ser adecuada para flujos de mezcla, con
picos en f=0 y f=1 proporcionales a la posición de f .
10.1.5 El segundo momento de f
Una ecuación de transporte para 2
"g f puede obtenerse
de la ecuación de f, resultando
2
" " " "2 "2 2j j j
j j j j
g f fu u f u f D
x x x x
.
{10.45}
Esta ecuación es modelada según Jones y Whitelaw como 2
,1 ,2t
j D D
j j j g j
g f gu C C g
x x x x
.
{10.46}
donde ,1 2.8DC y ,2 2.0DC .
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 161
Notar que
2
j
f
x
es en realidad
2 2 2
j j
f f f f f
x x x y z
. {10.47}
El término
" "2
j j
f fD
x x
{10.48}
es la disipación del escalar, y es la medida en que f”
desaparece, o bien en que desaparece la inhomogeneidad de la
mezcla (aunque no la turbulencia). En el modelo de Jones y
Whitelaw
2g
, {10.49}
lo que implica relacionar la disipación escalar como el
cociente de la dispersión g y la escala de tiempo de la turbulencia
/ .
Este modelo es muy importante ya que relaciona la mezcla
(basada en el escalar conservado f) y su disipación u
homogeinización con el nivel de turbulencia y su velocidad de
disipación .
10.1.6 La velocidad de reacción
Bilger ha demostrado que 2
2
e
ii
j j
d yf fD
x x df
. {10.50}
Tomando promedios, y con
2j j
f fD
x x
{10.51}
162 | Eduardo A. Brizuela
2
1
20 0
1,
2
e
ii
d yP f d df
df
, {10.52}
siendo ( , )P f la función de distribución Favre de y f
conjuntas.
Para el combustible y para química rápida, la segunda
derivada de e
Fy sólo existe cerca de fs (el quiebre del diagrama).
Luego, la integral respecto a f se simplifica y nos queda
1( ) ( )
2F B s sy f P f , {10.53}
donde ( )sf es la media de en sf f .
Notar que esta fórmula relaciona la disipación del escalar,
, con la velocidad de reacción F . Estamos considerando
cinética rápida por lo que es razonable esperar que la velocidad de
reacción dependa más de la mezcla que de la composición.
10.1.7 El método EBU
El modelo de Eddy Break-up (ruptura de torbellinos) se debe
a Magnussen y otros. En esencia dice que la velocidad de reacción en
el caso de cinética rápida es función de una concentración y un
tiempo.
La concentración es la del componente deficiente, o de
menor concentración. En nuestra nomenclatura, será Fy o bien
/Oy r .
El tiempo es aquel de vida de un torbellino, ya que en una
situación de mezcla turbulenta dos torbellinos, uno de F y otro de O
deben destruirse para que las dos especies se mezclen hasta nivel
molecular, y la reacción química pueda tener lugar. Un tiempo
adecuado es / . Luego,
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 163
1F LA y
, {10.54}
; /L F Oy y y r , {10.55}
donde A1, es una constante empírica.
El valor de A, es comúnmente 2 aunque varios autores han
propuesto desde 0.4 hasta 7. Si adoptamos al modelo de Jones y
Whitelaw, donde
2s g
, {10.56}
y sabiendo que, de (10.3) 1
2
1( )L B sy y g J z , {10.57}
resulta
1
1
( )
( )
s
s
P fA
J z . {10.58}
Estos valores han sido calculados para la función Beta y
Gaussiana, y sus gráficas son típicamente:
Figura 10.4: Parámetro A1
164 | Eduardo A. Brizuela
Una forma empírica de A1 es
4
1 /
F FF
F O O
y ry
ry y y
. {10.59}
En resumen, el modelo EBU de Spalding tiene una base
teórica (con la hipótesis de Jones y Whitelaw), y se logran reproducir
los valores de las constantes experimentales.
10.1.8 Velocidad de reacción
En el caso en que la velocidad de reacción esté dominada por
la mezcla (cinética rápida) vimos que una expresión adecuada es la
forma EBU
, 1F EBU LA y
, {10.60}
Si la velocidad de reacción es dominada por la cinética, es
decir, la cinética es mucho más lenta que la mezcla, las variaciones
turbulentas en la composición media pueden ser despreciadas y
escribir la velocidad de reacción, por ejemplo, para la reacción
( 1)F rO r P , como
2
,
ERT
F C F Oy y ke
, {10.61}
es decir, la expresión de Arrhenius con las concentraciones
medias.
Para formar la expresión general la forma empírica más
adecuada parece ser la media armónica, para dar preponderancia a la
velocidad de reacción más lenta de las dos: 1
, ,
1 1F
F EBU F C
. {10.62}
10.2 Reactantes premezclados
En el apartado (4.6) hemos visto la ecuación de transporte
del avance de reacción:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 165
j
j j j
uD w
t x x x
.
{10.63}
Queda por definir el modelo de la velocidad de reacción .
10.2.1 Química rápida
Par el caso en que la zona de reacción es delgada, vale decir,
química rápida, se puede aplicar el modelo EBU como
2"EBUC
, {10.64}
donde EBUC es del orden de A1.
Si la zona de reacción es muy delgada el avance de reacción
toma solo dos valores, cero en los reactantes y 1 en los productos.
Luego, podemos aproximar 2
y modelar
2" 1 , {10.65}
con lo que queda
1EBUC
. {10.66}
10.2.2 Química lenta
En este caso modelamos en forma similar al caso no
premezclado. Asumimos que existe un modelo de composición de la
mezcla en función del avance de reacción, tal como fue descripto en
el apartado (2.2) o bien cinético (por ejemplo, de equilibrio químico)
por lo que, si definimos una función de distribución de
probabilidades ( )P las fracciones de masa se podrán obtener de
1
0( ) ( )i iy y P d . {10.67}
Igualmente la velocidad de reacción se obtendrá como
166 | Eduardo A. Brizuela
1
0( ) ( )P d . {10.68}
Para continuar es necesario definir la función de distribución
que usualmente se asume ser la función Beta. Esto requiere el cóm
puto de la varianza 2
"q .
10.2.3 El segundo momento del avance de reacción
Una ecuación de transporte para la varianza del avance de
reacción se puede deducir a partir de la de avance {10.63},
obteniéndose:
2
2 2 2 " ( )
j
j
ef
j j j
qu
x
q qD D q
x x x
.
{10.69}
Se aprecia que es muy similar a la ecuación de la varianza de
fracción de mezcla, salvo por el agregado de la última correlación,
que se calcula como
1
0" P d . {10.70}
10.2.4 La velocidad de reacción
Igualmente que en el caso de las reacciones no premezcladas,
es aconsejable adoptar la media armónica de las velocidades de
reacción EBU y cinéticas.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 167
Referencias al Capítulo 10
Jones, W. P., and Whitelaw, J. H; Calculation methods for
reacting turbulent flows; Combustion and Flame 48:1-26,
1982
Bilger, R. W.; The structure of diffusion flames; Combustion
Science and Technology, 13:155-170, 1976.
Magnussen, B. F., and Hertjager, B. H.; 16th. Symposium
(International) on Combustion, Pittsburgh, 1977, page 719.
168 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 169
CAPÍTULO 11
Modelos de equilibrio y bases de datos
11.1 Bases de datos
Las propiedades físicas, químicas y de transporte de las
sustancias gaseosas pueden hallarse en varías Bases de Datos.
La referencia básica la forman las tablas de JANAF (Joint
Army- Navy – Air Force), originalmente compiladas en los
laboratorios Dow en Michigan, USA. Estas tablas (y sus Addenda o
añadidos) se obtienen del US Dept. of Commerce, National Bureau
of Standards, Institute for Applied Technology.
En estas Tablas se listan, para un gran número de gases y
algunos sólidos y líquidos, el calor específico, la entropía, la entalpía
y la función de energía de libre de Gibbs en función de la
temperatura. También se dan las constantes de equilibrio, los calores
de formación y otras constantes.
Información más fácil de utilizar se encuentra en las bases de
datos de la NASA, principalmente en dos publicaciones:
- Gordon, S. , and McBride, B.J., “Computer program for
calculation of complex chemical equilibrium compositions,
Rocket performance, incident and reflected shocks, and
Chapman-Jouget detonations”, NASA Special Publication
SP-273 (1971)
- McBride, B.J., Gordon, S., Reno, M. “Coefficients for
calculating Thermodynamic and transport properties of
individual species”, NASA Technical Memorandum 4513
(1993)
En la primera, el calor específico a volumen constante, la
entalpía total y la entropía se han expresado como series de potencias
de la temperatura:
170 | Eduardo A. Brizuela
2 3 4
1 2 3 4 5PC
a a T a T a T a TR
, {11.1}
02 3 43 5 62 4
12 3 4 5
a a aa aHa T T T T
RT T ,
{11.2} 0
2 3 43 541 2 7ln
2 3 4
a aaSa T a T T T T a
R .
{11.3}
El superíndice 0 se refiere al estado estándar de 1atm, 0°C.
La información está dada en el siguiente formato:
Registro 1
Registro 2
Registro 3
Registro 4
Registro 1: Nombre de la especie (18A1), fecha (6A1),
símbolos atómicos y fórmula (4(2A1,I3), fase (S,L,G) (A1),
temperatura baja (E10.0), temperatura alta (E10.0) temperatura
común (E8.0), más símbolos atómicos y fórmula (si es necesario)
2A1, I3, número 1.
Registro 2: coeficientes a1-a5, intervalo superior de temperatura
(común alta), (5E15.0), número 2
Registro 3: coeficientes, a6 y a7 del intervalo superior.
Coeficientes a1-a3 del intervalo inferior (5E15.0), número 3
Registro 4: coeficientes a4-a7, intervalo superior, número 4
En la versión revisada de 1993 se listan coeficientes y
además, en el registro 4, último bloque, se da 0
/ (298)H R .
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 171
En esta versión también se dan los parámetros de transporte
viscosidad, conductividad térmica y un parámetro de interacción
viscosa. Para los tres:
2
ln
ln ln
ln ij
B CA T D
T T
. {11.4}
La viscosidad resulta en micro Poise (μP), la conductividad
en μW/cm/K, y las unidades de ηij son las mismas que las de η.
La estructura es como la anterior pero con hasta 17 registros
que contienen:
Registro 1: Nombre (A15), segunda especie (para ηij) (A15),
V(A1), número de intervalos de viscosidad (I1), C(A1), número de
intervalos de conductividad (I1), comentarios (A40).
Registro 2: V ó C (A1), primera y última temperatura del
intervalo (2F9.2), coeficientes A-D (4E15.8)
Registros 3-17: como el registro 2
Las ηij sólo están dadas para He-Ar, Ar-Kr y CH4-CF4
11.2 Modelos de equilibrio
El más popular de los programas de equilibrio es
CHEMKIN, listado y publicado en
- Kee, R.J.; Miller, J.A.; and Jefferson, T.H.; “CHEMKIN: a
general-purpose, problem independent, transportable, fortran
chemical kinetics code package”; Sandia National
Laboratories Report SAND80-8003, March 1980
172 | Eduardo A. Brizuela
La versión PC de CHEMKIN (CHEMKIN-PC) está
disponible para corer en 486 PC´s con un compilador FORTRAN.
El programa CHEMKIN requiere dos archivos de entrada:
xxxx.dat y xxxx.in
El archivo xxxx.dat debe copiarse al archivo INRATE y
puede tener la estructura sencilla de:
ELEMENTS
C H O N
SPECIES
CH4 CO2 H2O CO H2 N2 CH3 H O OH HCO HO2 CH2O
O2 CH3O H2O2 C
END
o bien incluir reacciones con sus constantes A, β y E de E
RTk AT e
. {11.5}
El siguiente ejemplo es el archivo INRATE para la
combustión del Propano en aire:
ELEMENTS
H O C N
END
SPECIES
CH4 O2 N2 H2O CO2 H O OH HO2 H2 CO HCO CH2O
CH3 C3H8 N*C3H7 I*C3H7 C3H6 C2H6 C2H5 CH3HCO C2H4
C2H3 CH2CO C2H2 HCCO C2H CH2 CH
END
REACTIONS O2 + H=OH + O 1.200E17 -0.91 16530.
H2 + O=OH + H 1.5E7 2.0 7560.
H2 + OH=H2O + H 1.000E08 1.6 3300.
OH + OH=H2O + O 1.500E09 1.14 100.
H +O2 + M - HO2 + M 2.00E18 -0.8 0.
H2O/18.6/ CO2/4.2/ H2/2.86/ CO/2.11/ O2/0.0/ N2/1.26/
HO2 +H-OH +OH 1.500E14 0.0 1000.
HO2 +H-H2 +O2 2.500E13 0.0 690.
HO2 +H-H2O +O 3.000E13 0.0 1720.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 173
HO2 +OH-H2O +O2 2.000E13 0.0 0.0
CO +OH=CO2 +H 4.400E06 1.5 -740.
CH4 + H = H2 + CH3 2.200E04 3.0 8760.
CH4 + OH - H2O + CH3 1.600E06 2.1 2460.
CH3 + O - CH2O + H 7.000E13 0. 0.
CH3 + OH - CH2O + H + H 4.500E14 0. 15500.
CH3 + OH - CH2O + H2 8.000E12 0. 0.
CH3 + H - CH4 1.9E36 -7.0 9066.
CH2O +H-HCO +H2 2.500E13 0. 4000.
CH2O +OH - HCO +H2O 3.000E13 0. 1200.
HCO + H - CO + H2 2.0E14 0. 0.
HCO + OH - CO + H2O 1.0E14 0. 0.
HCO +O2- CO +HO2 3.000E12 0. 0.
HCO +M - CO+H+M 7.100E14 0. 16820.
CH3 + CH3 - C2H6 1.0E38 -7.66 9500.
C2H6 + H - H2 + C2H5 5.400E02 3.5 5215.
C2H6 + OH - H2O + C2H5 6.300E06 2.0 645.
C2H5 - C2H4 + H 1.0E38 -7.71 49000.
C2H5 + H - CH3 + CH3 3.000E13 0. 0.
C2H5 + O2 - HO2 + C2H4 2.000E12 0. 5000.
C2H4 + OH - C2H3 + H2O 7.000E13 0. 3000.
C2H3 = C2H2 + H 1.600E32 -5.5 46290.
C2H3 + O2 - CH2O + HCO .500E12 0. 0.
C2H3 + O - CH2CO + H 3.000E13 0. 0.
CH2CO + H - CH3 + CO 7.000E12 0. 3000.
CH2CO + OH -CH2O + HCO 1.000E13 0. 0.
C2H2 + O - HCCO + H 4.300E14 0. 12130.
C2H2 + O - CH2 + CO 4.100E08 1.5 1700.
C2H2 + OH - H2O + C2H 1.000E13 0. 7000.
HCCO + H - CH2 + CO 3.000E13 0. 0.
HCCO + O - CO + CO +H 1.000E14 0. 0.
CH2 +O2 - CO2 +H +H 6.500E12 0. 1500.
CH2 +O2 - CO +OH +H 6.500E12 0. 1500.
CH2 +H=CH +H2 4.000E13 0. 0.
CH +O2 - HCO +O 3.000E13 0.0 0.
C2H + O2 - HCCO + O 5.000E13 0. 1500.
C2H + H2 - C2H2 + H 1.100E13 0.0 2870.
CH3 + H - CH2 + H2 1.800E14 0. 15070.
CH3 + OH - CH2 + H2O 1.5E13 0. 5000.
CH2 + OH - CH2O + H 2.5E13 0. 0.
CH2 + OH - CH + H2O 4.5E13 0. 3000.
174 | Eduardo A. Brizuela
CH + OH - HCO + H 3.0E13 0. 0.
C3H8 + H - N*C3H7 + H2 1.300E14 0. 9710.
C3H8 + OH - N*C3H7 + H2O 3.7E12 0. 1650.
C3H8 + H - I*C3H7 + H2 1.000E14 0. 8350.
C3H8 + OH - I*C3H7 + H2O 2.8E12 0. 860.
N*C3H7 + H - C3H8 2.000E13 0. 0.
I*C3H7 + H - C3H8 2.000E13 0. 0.
N*C3H7 - C2H4 + CH3 3.000E14 0. 33033.
N*C3H7 - C3H6 + H 1.000E14 0.0 37340.
N*C3H7 + O2 - C3H6 + HO2 1.000E12 0. 5000.
I*C3H7 - C3H6 + H 2.000E14 0. 38730.
I*C3H7 + O2 - C3H6 + HO2 1.000E12 0. 2990.
C3H6 + OH - CH3HCO + CH3 1.0E13 0. 0.
CH3HCO + H - CH3 + CO + H2 4.0E13 0. 4210.
CH3HCO + OH - CH3 + CO + H2O 1.0E13 0. 0.
END
�
Notar que para las reacciones en las que el “gas de baño” o
“tercer cuerpo” M interviene, se dan los coeficientes catalíticos tal
que:
iM a i . {11.6}
Las reacciones irreversibles se indican con el signo -, y las
reversibles con =
Referencias al Capítulo 11
NIST-JANAF Thermochemical Tables, 4th. Ed., Monograph
No. 9 (Parts I & II), American Institute of Physics, 1998.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 175
CAPÍTULO 12
Postprocesado
12.1 Graficadores
La resolución numérica de las ecuaciones de transporte y
relaciones algebráicas dá como resultado matrices (en principio
tridimensionales) donde a cada celda, identificada por sus índices
(i,j,k) corresponden valores discretos de los parámetros calculados.
El número de estos parámetros es muy grande; mencionamos
x,y,z del centro de la celda
x,y,z del vértice P
u, v, w
h, T, Cp, ν
μT ,k , ε
xi[i], yi, Γi ( i puede ser varias decenas)
Para poder analizar este cúmulo de datos es necesario post-
procesar la información y presentarla en forma gráfica. También es
necesario poder manipular los datos para realizar interpolaciones
(por ejemplo, a puntos de muestreo experimental) y cambios de
unidades.
Los postprocesadores gráficos pueden ser de acceso libre
(freeware) o comerciales. Entre los gratuitos se pueden mencionar
XMGR (sólo bidimensional) y GNUPLOT. XMGR es un excelente
generador de gráficos X-Y y de isolíneas, con gran variedad de fonts,
símbolos y colores; la versión tridimensional, sin embargo es
comercial.
GNUPLOT es producido por la Free Software Foundation,
que también produce EMACS (editor), LEMACS, GHOSTVIEW
(visor de gráficos postscript), GHOSTSCRIPT (visor de textos
postscript).
176 | Eduardo A. Brizuela
GNUPLOT, en su versión PC, se obtiene de INTERNET.
Produce gráficos en 2 y 3 dimensiones, isolineas y de gráficos de
puntos. Tiene un número reducido de fonts y alguna capacidad de
gráficos en colores.
De los graficadotes comerciales el más popular es
TECPLOT-3D. Es un graficador muy versátil, que produce
isosuperficies, sombreado, trayectorias, etc, con amplia gama de
colores, superposición de gráficos, etc.
Tanto GNUPLOT como TECPLOT proveen el manipuleo de
las variables para realizar cambios de unidades o creación de otras
(ej: T = t + v2/2cp). GNUPLOT incorpora también funciones útiles
como la función Gamma, funciones de Bessel, etc.
Tanto GNUPLOT como TECPLOT producen gráficos en
varios estándares como Bitmap (BMP), TIFF, Postscript (PS),
Postscript encapsulado en TIFF (EPS). Sin embargo, la baja
confiabilidad de los estándares hace que rara vez un procesador,
digamos de WINDOWS, puede aprovechar un gráfico BMP o TIFF
producido por un procesador gráfico científico como GNUPLOT o
TECPLOT. Es más seguro producir los gráficos como Postscript (PS
o CPS, color postscript) e imprimirlos con un traductor que pueda
enviar PS o CPS a un impresor WINDOWS. El traductor gratis
(Freeware) es GHOSTVIEW, aunque no es muy confiable, y no es
seguro que funcione en color. Un traductor comercial de muy bajo
costo es USPC, que toma gráficos (y texto) postscript e imprime
directamente en impresoras tipo deskjet y laserjet.
12.2 Postprocesado de especies menores
En ciertos casos hay especies químicas que aparecen en
concentraciones tan bajas que las energías involucradas no afectan
los balances, y tampoco a las concentraciones de las especies
principales.
En este caso se pueden computar como un post-procesado.
Si las reacciones son rápidas esto puede hacerse con un
programa de equilibrio como CHEMKIN, añadiendo las reacciones
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 177
relevantes. Por ejemplo, para la producción de óxidos de nitrógeno
del aire, se agregaría al archivo m.dat las reacciones siguientes:
N+NO<=>N2+O 3.500E+13 .000 330.00
N+O2<=>NO+O 2.650E+12 .000 6400.00
N+OH<=>NO+H 7.333E+13 .000 1120.00
N2O+O<=>N2+O2 1.400E+12 .000 10810.00
N2O+O<=>2NO 2.900E+13 .000 23150.00
N2O+H<=>N2+OH 4.400E+14 .000 18880.00
N2O(+M)<=>N2+O(+M) 1.300E+11 .000 59620.00
HO2+NO<=>NO2+OH 2.110E+12 .000 -480.00
NO+O+M<=>NO2+M 1.060E+20 -1.41 .00
NO2+O<=>NO+O2 3.900E+12 .000 -240.00
NO2+H<=>NO+OH 1.320E+14 .000 360.00
NH+O<=>NO+H 5.000E+13 .000 .00
NH+H<=>N+H2 3.200E+13 .000 330.00
NH+OH<=>HNO+H 2.000E+13 .000 .00
NH+OH<=>N+H2O 2.000E+09 1.200 .00
NH+O2<=>HNO+O 4.610E+05 2.000 6500.00
NH+O2<=>NO+OH 1.280E+06 1.500 100.00
NH+N<=>N2+H 1.500E+13 .000 .00
NH+H2O<=>HNO+H2 2.000E+13 .000 13850.00
NH+NO<=>N2+OH 2.160E+13 -.230 .00
NH+NO<=>N2O+H 4.160E+14 -.450 .00
NH2+O<=>OH+NH 7.000E+12 .000 .00
NH2+O<=>H+HNO 4.600E+13 .000 .00
NH2+H<=>NH+H2 4.000E+13 .000 3650.00
NH2+OH<=>NH+H2O 9.000E+07 1.500 -460.00
NNH+M<=>N2+H+M 1.300E+14 -.110 4980.00
NNH+O2<=>HO2+N2 5.000E+12 .000 .00
NNH+O<=>OH+N2 2.500E+13 .000 .00
NNH+O<=>NH+NO 7.000E+13 .000 .00
NNH+H<=>H2+N2 5.000E+13 .000 .00
NNH+OH<=>H2O+N2 2.000E+13 .000 .00
NNH+CH3<=>CH4+N2 2.500E+13 .000 .00
H+NO+M<=>HNO+M 8.950E+19 -1.32 740.00
HNO+O<=>NO+OH 2.500E+13 .000 .00
HNO+H<=>H2+NO 4.500E+11 .720 660.00
HNO+OH<=>NO+H2O 1.300E+07 1.900 -950.00
178 | Eduardo A. Brizuela
HNO+O2<=>HO2+NO 1.000E+13 .000 13000.00
CN+O<=>CO+N 7.700E+13 .000 .00
CN+OH<=>NCO+H 4.000E+13 .000 .00
CN+H2O<=>HCN+OH 8.000E+12 .000 7460.00
CN+O2<=>NCO+O 6.140E+12 .000 -440.00
CN+H2<=>HCN+H 2.100E+13 .000 4710.00
NCO+O<=>NO+CO 2.350E+13 .000 .00
NCO+H<=>NH+CO 5.400E+13 .000 .00
NCO+OH<=>NO+H+CO 2.500E+12 .000 .00
NCO+O2<=>NO+CO2 2.000E+12 .000 20000.00
NCO+M<=>N+CO+M 8.800E+16 -.500 48000.00
NCO+NO<=>N2O+CO 2.850E+17 -1.52 740.00
NCO+NO<=>N2+CO2 5.700E+18 -2.00 800.00
HCN+M<=>H+CN+M 1.040E+29 -3.30 126600.00
HCN+O<=>NCO+H 1.107E+04 2.640 4980.00
HCN+O<=>NH+CO 2.767E+03 2.640 4980.00
HCN+O<=>CN+OH 2.134E+09 1.580 26600.00
HCN+OH<=>HOCN+H 1.100E+06 2.030 13370.00
HCN+OH<=>HNCO+H 4.400E+03 2.260 6400.00
HCN+OH<=>NH2+CO 1.600E+02 2.560 9000.00
H+HCN+M<=>H2CN+M 1.400E+26 -3.40 1900.00
H2CN+N<=>N2+CH2 6.000E+13 .000 400.00
C+N2<=>CN+N 6.300E+13 .000 46020.00
CH+N2<=>HCN+N 2.857E+08 1.100 20400.00
CH+N2(+M)<=>HCNN(+M) 3.100E+12 .150 .00
CH2(S)+N2<=>NH+HCN 1.000E+11 .000 65000.00
C+NO<=>CN+O 1.900E+13 .000 .00
C+NO<=>CO+N 2.900E+13 .000 .00
CH+NO<=>HCN+O 5.000E+13 .000 .00
CH+NO<=>H+NCO 2.000E+13 .000 .00
CH+NO<=>N+HCO 3.000E+13 .000 .00
CH2+NO<=>H+HNCO 3.100E+17 -1.38 1270.00
CH2+NO<=>OH+HCN 2.900E+14 -.690 760.00
CH2+NO<=>H+HCNO 3.800E+13 -.360 580.00
CH2(S)+NO<=>H+HNCO 3.100E+17 -1.38 1270.00
CH2(S)+NO<=>OH+HCN 2.900E+14 -.690 760.00
CH2(S)+NO<=>H+HCNO 3.800E+13 -.360 580.00
CH3+NO<=>HCN+H2O 9.600E+13 .000 28800.00
CH3+NO<=>H2CN+OH 1.000E+12 .000 21750.00
HCNN+O<=>CO+H+N2 2.200E+13 .000 .00
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 179
HCNN+O<=>HCN+NO 2.000E+12 .000 .00
HCNN+O2<=>O+HCO+N2 1.200E+13 .000 .00
HCNN+OH<=>H+HCO+N2 1.200E+13 .000 .00
HCNN+H<=>CH2+N2 1.000E+14 .000 .00
HNCO+O<=>NH+CO2 9.800E+07 1.410 8500.00
HNCO+O<=>HNO+CO 1.500E+08 1.570 44000.00
HNCO+O<=>NCO+OH 2.200E+06 2.110 11400.00
HCNN+O<=>CO+H+N2 2.200E+13 .000 .00
HCNN+O<=>HCN+NO 2.000E+12 .000 .00
HCNN+O2<=>O+HCO+N2 1.200E+13 .000 .00
HCNN+OH<=>H+HCO+N2 1.200E+13 .000 .00
HCNN+H<=>CH2+N2 1.000E+14 .000 .00
HNCO+O<=>NH+CO2 9.800E+07 1.410 8500.00
HNCO+O<=>HNO+CO 1.500E+08 1.570 44000.00
HNCO+O<=>NCO+OH 2.200E+06 2.110 11400.00
HNCO+H<=>H2+NCO 1.050E+05 2.500 13300.00
HNCO+OH<=>NCO+H2O 4.650E+12 .000 6850.00
HNCO+OH<=>NH2+CO2 1.550E+12 .000 6850.00
HNCO+M<=>NH+CO+M 1.180E+16 .000 84720.00
HCNO+H<=>H+HNCO 2.100E+15 -.690 2850.00
HCNO+H<=>OH+HCN 2.700E+11 .180 2120.00
HCNO+H<=>NH2+CO 1.700E+14 -.750 2890.00
HOCN+H<=>H+HNCO 2.000E+07 2.000 2000.00
HCCO+NO<=>HCNO+CO 2.350E+13 .000 .00
CH3+N<=>H2CN+H 6.100E+14 -.310 290.00
CH3+N<=>HCN+H2 3.700E+12 .150 -90.00
NH3+H<=>NH2+H2 5.400E+05 2.400 9915.00
NH3+OH<=>NH2+H2O 5.000E+07 1.600 955.00
NH3+O<=>NH2+OH 9.400E+06 1.940 6460.00
(Las unidades son moles, cm3, seg, Kelvin, calorías/mol)
Las concentraciones así obtenidas serían las de equilibrio
[NO]e. Sin embargo, en el caso del Nitrógeno, las concentraciones de
NO en el escape son menores que las de equilibrio en la llama,
aunque mucho mayores que las de equilibrio a la temperatura de
escape.
180 | Eduardo A. Brizuela
Para corregir estos e puede utilizar un parámetro s [velocidad
al equilibrio, en seg-1
] que, para una llama de hidrocarburos
estequiométrica se ilustra en la figura:
Figura 12.1: Factor de velocidad al equilibrio
Por ejemplo, para llamas a presión ambiente y y 400K de
entrada al combustor, 1
5s s
.
Si la llama no fuera estequiométrica se corrige s con la
gráfica siguiente:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 181
Figura 12.2: Corrección a s
Obtenido , y nuevamente, para pequeñas concentraciones de
[NO], puede calcularse
e
NO t NO , {12.1}
donde t es el tiempo de residencia en la zona de llama
donde fue calculado [NO]e.
Referencias al Capítulo 12
Para XMGR: GRACE; http://plasma-gate.weizmann.ac.il
182 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 183
Bibliografía
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Chung, T. J. (Ed); Numerical modeling in combustion,
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Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 185
Apéndices
186 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 187
Apéndice A: Sistemas esqueletales
Mecanismo GRI-Mech2.11 (Metano en aire)
ELEMENTOS
1. O
2. H
3. C
4. N
5. AR
ESPECIES
1. H2
2. H
3. O
4. O2
5. OH
6. H2O
7. HO2
8. H2O2
9. C
10. CH
11. CH2
12. CH2(S)
13. CH3
14. CH4
15. O
16. O2
17. HCO
18. CH2O
19. CH2OH
20. CH3O
21. CH3OH
22. C2H
23. C2H2
24. C2H3
25. C2H4
26. C2H5
27. C2H6
28. HCCO
188 | Eduardo A. Brizuela
29. CH2CO
30. HCCOH
31. N
32. NH
33. NH2
34. NH3
35. NNH
36. NO
37. NO2
38. N2O
39. HNO
40. CN
41. HCN
42. H2CN
43. HCNN
44. HCNO
45. HOCN
46. HNCO
47. NCO
48. N2
49. AR
REACCIONES Constante E
2O+M<=>O2+M 1.200E+17 -1.00 .00
O+H+M<=>OH+M 5.000E+17 -1.00 .00
O+H2<=>H+OH 5.000E+04 2.67 6290.00
O+HO2<=>OH+O2 2.000E+13 .000 .00
O+H2O2<=>OH+HO2 9.630E+06 2.00 4000.00
O+CH<=>H+CO 5.700E+13 .000 .00
O+CH2<=>H+HCO 8.000E+13 .000 .00
O+CH2(S)<=>H2+CO 1.500E+13 .000 .00
O+CH2(S)<=>H+HCO 1.500E+13 .000 .00
O+CH3<=>H+CH2O 8.430E+13 .000 .00
O+CH4<=>OH+CH3 1.020E+09 1.500 8600.00
O+CO+M<=>CO2+M 6.020E+14 .000 3000.00
O+HCO<=>OH+CO 3.000E+13 .000 .00
O+HCO<=>H+CO2 3.000E+13 .000 .00
O+CH2O<=>OH+HCO 3.900E+13 .000 3540.00
O+CH2OH<=>OH+CH2O 1.000E+13 .000 .00
O+CH3O<=>OH+CH2O 1.000E+13 .000 .00
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 189
O+CH3OH<=>OH+CH2OH 3.880E+05 .500 3100.00
O+CH3OH<=>OH+CH3O 1.300E+05 2.500 5000.00
O+C2H<=>CH+CO 5.000E+13 .000 .00
O+C2H2<=>H+HCCO 1.020E+07 2.000 1900.00
O+C2H2<=>CO+CH2 1.020E+07 2.000 1900.00
O+C2H3<=>H+CH2CO 3.000E+13 .000 .00
O+C2H4<=>CH3+HCO 1.920E+07 1.830 220.00
O+C2H5<=>CH3+CH2O 1.320E+14 .000 .00
O+C2H6<=>OH+C2H5 8.980E+07 1.920 5690.00
O+HCCO<=>H+2CO 1.000E+14 .000 .00
O+CH2CO<=>OH+HCCO 1.000E+13 .000 8000.00
O+CH2CO<=>CH2+CO2 1.750E+12 .000 1350.00
O2+CO<=>O+CO2 2.500E+12 .000 47800.00
O2+CH2O<=>HO2+HCO 1.000E+14 .000 40000.00
H+O2+M<=>HO2+M 2.800E+18 -.860 .00
H+2O2<=>HO2+O2 3.000E+20 -1.72 .00
H+O2+H2O<=>HO2+H2O 9.380E+18 -760 .00
H+O2+N2<=>HO2+N2 3.750E+20 -.720 .00
H+O2+AR<=>HO2+AR 7.000E+17 -.800 .00
H+O2<=>O+OH 8.300E+13 .000 14413.00
2H+M<=>H2+M 1.000E+18 -1.00 .00
2H+H2<=>2H2 9.000E+16 -.600 .00
2H+H2O<=>H2+H2O 6.000E+19 -1.25 .00
2H+CO2<=>H2+CO2 5.500E+20 -2.00 .00
H+HO2<=>O+H2O 3.970E+12 .000 671.00
H+HO2<=>O2+H2 2.800E+13 .000 1068.00
H+HO2<=>2OH 1.340E+14 .000 635.00
H+H2O2<=>HO2+H2 1.210E+07 2.00 5200.00
H+H2O2<=>OH+H2O 1.000E+13 .000 3600.00
H+CH<=>C+H2 1.100E+14 .000 .00
H+CH2(+M)<=>CH3(+M) 2.500E+16 -.80 .00
H+CH2(S)<=>CH+H2 3.000E+13 .000 .00
H+CH3(+M)<=>CH4(+M) 1.270E+16 -.630 383.00
H+CH4<=>CH3+H2 6.600E+08 1.62 10840.00
H+HCO(+M)<=>CH2O(+M) 1.090E+12 .480 -260.00
H+HCO<=>H2+CO 7.340E+13 .000 .00
H+CH2O(+M)<=>CH3O(+M) 5.400E+11 .454 2600.00
H+CH2O<=>HCO+H2 2.300E+10 1.05 3275.00
H+CH2OH(+M)<=>CH3OH(+M) 1.800E+13 .000 .00
H+CH2OH<=>H2+CH2O 2.000E+13 .000 .00
190 | Eduardo A. Brizuela
H+CH2OH<=>OH+CH3 1.200E+13 .000 .00
H+CH2OH<=>CH2(S)+H2O 6.000E+12 .000 .00
H+CH3O(+M)<=>CH3OH(+M) 5.000E+13 .000 .00
H+CH3O<=>H+CH2OH 3.400E+06 1.60 .00
H+CH3O<=>H2+CH2O 2.000E+13 .000 .00
H+CH3O<=>OH+CH3 3.200E+13 .000 .00
H+CH3OH<=>CH2OH+H2 1.700E+07 2.10 4870.00
H+CH3OH<=>CH3O+H2 4.200E+06 2.10 4870.00
H+C2H(+M)<=>C2H2(+M) 1.000E+17 -1.00 .00
H+C2H2(+M)<=>C2H3(+M) 5.600E+12 .000 2400.00
H+C2H3(+M)<=>C2H4(+M) 6.080E+12 .270 280.00
H+C2H3<=>H2+C2H2 3.000E+13 .000 .00
H+C2H4(+M)<=>C2H5(+M) 1.080E+12 .454 1820.00
H+C2H4<=>C2H3+H2 1.325E+06 2.53 12240.00
H+C2H5(+M)<=>C2H6(+M) 5.210E+17 -.99 1580.00
H+C2H5<=>H2+C2H4 2.000E+12 .000 .00
H+C2H6<=>C2H5+H2 1.150E+08 1.90 7530.00
H+HCCO<=>CH2(S)+CO 1.000E+14 .000 .00
H+CH2CO<=>HCCO+H2 5.000E+13 .000 8000.00
H+CH2CO<=>CH3+CO 1.130E+13 .000 3428.00
H+HCCOH<=>H+CH2CO 1.000E+13 .000 .00
H2+CO(+M)<=>CH2O(+M) 4.300E+07 1.50 79600.00
OH+H2<=>H+H2O 2.160E+08 1.51 3430.00
2OH(+M)<=>H2O2(+M) 7.400E+13 -.37 .00
2OH<=>O+H2O 3.570E+04 2.40 -2110.00
OH+HO2<=>O2+H2O 2.900E+13 .000 -500.00
OH+H2O2<=>HO2+H2O 1.750E+12 .000 320.00
OH+H2O2<=>HO2+H2O 5.800E+14 .000 9560.00
OH+CH<=>H+HCO 3.000E+13 .000 .00
OH+CH2<=>H+CH2O 2.000E+13 .000 .00
OH+CH2<=>CH+H2O 1.130E+07 2.00 3000.00
OH+CH2(S)<=>H+CH2O 3.000E+13 .000 .00
OH+CH3(+M)<=>CH3OH(+M) 6.300E+13 .000 .00
OH+CH3<=>CH2+H2O 5.600E+07 1.60 5420.00
OH+CH3<=>CH2(S)+H2O 2.501E+13 .000 .00
OH+CH4<=>CH3+H2O 1.000E+08 1.60 3120.00
OH+CO<=>H+CO2 4.760E+07 1.228 70.00
OH+HCO<=>H2O+CO 5.000E+13 .000 .00
OH+CH2O<=>HCO+H2O 3.430E+09 1.18 -447.00
OH+CH2OH<=>H2O+CH2O 5.000E+12 .000 .00
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 191
OH+CH3O<=>H2O+CH2O 5.000E+12 .000 .00
OH+CH3OH<=>CH2OH+H2O 1.440E+06 2.00 -840.00
OH+CH3OH<=>CH3O+H2O 6.300E+06 2.00 1500.00
OH+C2H<=>H+HCCO 2.000E+13 .000 .00
OH+C2H2<=>H+CH2CO 2.180E-04 4.50 -1000.00
OH+C2H2<=>H+HCCOH 5.040E+05 2.30 13500.00
OH+C2H2<=>C2H+H2O 3.370E+07 2.00 14000.00
OH+C2H3<=>H2O+C2H2 5.000E+12 .000 .00
OH+C2H4<=>C2H3+H2O 3.600E+06 2.00 2500.00
OH+C2H6<=>C2H5+H2O 3.540E+06 2.12 870.00
OH+CH2CO<=>HCCO+H2O 7.500E+12 .000 2000.00
2HO2<=>O2+H2O2 1.300E+11 .000 -1630.00
2HO2<=>O2+H2O2 4.200E+14 .000 12000.00
HO2+CH2<=>OH+CH2O 2.000E+13 .000 .00
HO2+CH3<=>O2+CH4 1.000E+12 .000 .00
HO2+CH3<=>OH+CH3O 2.000E+13 .000 .00
HO2+CO<=>OH+CO2 1.500E+14 .000 23600.00
HO2+CH2O<=>HCO+H2O2 1.000E+12 .000 8000.00
C+O2<=>O+CO 5.800E+13 .000 576.00
C+CH2<=>H+C2H 5.000E+13 .000 .00
C+CH3<=>H+C2H2 5.000E+13 .000 .00
CH+O2<=>O+HCO 3.300E+13 .000 .00
CH+H2<=>H+CH2 1.107E+08 1.79 1670.00
CH+H2O<=>H+CH2O 1.713E+13 .000 -755.00
CH+CH2<=>H+C2H2 4.000E+13 .000 .00
CH+CH3<=>H+C2H3 3.000E+13 .000 .00
CH+CH4<=>H+C2H4 6.000E+13 .000 .00
CH+CO2<=>HCO+CO 3.400E+12 .000 690.00
CH+CH2O<=>H+CH2CO 9.460E+13 .000 -515.00
CH+HCCO<=>CO+C2H2 5.000E+13 .000 .00
CH2+O2<=>OH+HCO 1.320E+13 .000 1500.00
CH2+H2<=>H+CH3 5.000E+05 2.00 7230.00
2CH2<=>H2+C2H2 3.200E+13 .000 .00
CH2+CH3<=>H+C2H4 4.000E+13 .000 .00
CH2+CH4<=>2CH3 2.460E+06 2.00 8270.00
CH2+CO(+M)<=>CH2CO(+M) 8.100E+11 .500 4510.00
CH2+HCCO<=>C2H3+CO 3.000E+13 .000 .00
CH2(S)+N2<=>CH2+N2 1.500E+13 .000 600.00
CH2(S)+AR<=>CH2+AR 9.000E+12 .000 600.00
CH2(S)+O2<=>H+OH+CO 2.800E+13 .000 .00
192 | Eduardo A. Brizuela
CH2(S)+O2<=>CO+H2O 1.200E+13 .000 .00
CH2(S)+H2<=>CH3+H 7.000E+13 .000 .00
CH2(S)+H2O(+M)<=>CH3OH(+M) 2.000E+13 .000 .00
CH2(S)+H2O<=>CH2+H2O 3.000E+13 .000 .00
CH2(S)+CH3<=>H+C2H4 1.200E+13 .000 -570.00
CH2(S)+CH4<=>2CH3 1.600E+13 .000 -570.00
CH2(S)+CO<=>CH2+CO 9.000E+12 .000 .00
CH2(S)+CO2<=>CH2+CO2 7.000E+12 .000 .00
CH2(S)+CO2<=>CO+CH2O 1.400E+13 .000 .00
CH2(S)+C2H6<=>CH3+C2H5 4.000E+13 .000 -550.00
CH3+O2<=>O+CH3O 2.675E+13 .000 28800.00
CH3+O2<=>OH+CH2O 3.600E+10 .000 8940.00
CH3+H2O2<=>HO2+CH4 2.450E+04 2.47 5180.00
2CH3(+M)<=>C2H6(+M) 2.120E+16 -.970 620.00
2CH3<=>H+C2H5 4.990E+12 .100 10600.00
CH3+HCO<=>CH4+CO 2.648E+13 .000 .00
CH3+CH2O<=>HCO+CH4 3.320E+03 2.81 5860.00
CH3+CH3OH<=>CH2OH+CH4 3.000E+07 1.50 9940.00
CH3+CH3OH<=>CH3O+CH4 1.000E+07 1.50 9940.00
CH3+C2H4<=>C2H3+CH4 2.270E+05 2.00 9200.00
HCO+H2O<=>H+CO+H2O 2.244E+18 -1.00 17000.00
HCO+M<=>H+CO+M 1.870E+17 -1.00 17000.00
HCO+O2<=>HO2+CO 7.600E+12 .000 400.00
CH2OH+O2<=>HO2+CH2O 1.800E+13 .000 900.00
CH3O+O2<=>HO2+CH2O 4.280E-13 7.60 -3530.00
C2H+O2<=>HCO+CO 5.000E+13 .000 1500.00
C2H+H2<=>H+C2H2 4.070E+05 2.40 200.00
C2H3+O2<=>HCO+CH2O 3.980E+12 .000 -240.00
C2H4(+M)<=>H2+C2H2(+M) 8.000E+12 .440 88770.00
C2H5+O2<=>HO2+C2H4 8.400E+11 .000 3875.00
HCCO+O2<=>OH+2CO 1.600E+12 .000 854.00
2HCCO<=>2CO+C2H2 1.000E+13 .000 .00
N+NO<=>N2+O 3.500E+13 .000 330.00
N+O2<=>NO+O 2.650E+12 .000 6400.00
N+OH<=>NO+H 7.333E+13 .000 1120.00
N2O+O<=>N2+O2 1.400E+12 .000 10810.00
N2O+O<=>2NO 2.900E+13 .000 23150.00
N2O+H<=>N2+OH 4.400E+14 .000 18880.00
N2O(+M)<=>N2+O(+M) 1.300E+11 .000 59620.00
HO2+NO<=>NO2+OH 2.110E+12 .000 -480.00
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 193
NO+O+M<=>NO2+M 1.060E+20 -1.41 .00
NO2+O<=>NO+O2 3.900E+12 .000 -240.00
NO2+H<=>NO+OH 1.320E+14 .000 360.00
NH+O<=>NO+H 5.000E+13 .000 .00
NH+H<=>N+H2 3.200E+13 .000 330.00
NH+OH<=>HNO+H 2.000E+13 .000 .00
NH+OH<=>N+H2O 2.000E+09 1.20 .00
NH+O2<=>HNO+O 4.610E+05 2.00 6500.00
NH+O2<=>NO+OH 1.280E+06 1.50 100.00
NH+N<=>N2+H 1.500E+13 .000 .00
NH+H2O<=>HNO+H2 2.000E+13 .000 13850.00
NH+NO<=>N2+OH 2.160E+13 -.230 .00
NH+NO<=>N2O+H 4.160E+14 -.450 .00
NH2+O<=>OH+NH 7.000E+12 .000 .00
NH2+O<=>H+HNO 4.600E+13 .000 .00
NH2+H<=>NH+H2 4.000E+13 .000 3650.00
NH2+OH<=>NH+H2O 9.000E+07 1.50 -460.00
NNH+M<=>N2+H+M 1.300E+14 -.110 4980.00
NNH+O2<=>HO2+N2 5.000E+12 .000 .00
NNH+O<=>OH+N2 2.500E+13 .000 .00
NNH+O<=>NH+NO 7.000E+13 .000 .00
NNH+H<=>H2+N2 5.000E+13 .000 .00
NNH+OH<=>H2O+N2 2.000E+13 .000 .00
NNH+CH3<=>CH4+N2 2.500E+13 .000 .00
H+NO+M<=>HNO+M 8.950E+19 -1.32 740.00
HNO+O<=>NO+OH 2.500E+13 .000 .00
HNO+H<=>H2+NO 4.500E+11 .720 660.00
HNO+OH<=>NO+H2O 1.300E+07 1.90 -950.00
HNO+O2<=>HO2+NO 1.000E+13 .000 13000.00
CN+O<=>CO+N 7.700E+13 .000 .00
CN+OH<=>NCO+H 4.000E+13 .000 .00
CN+H2O<=>HCN+OH 8.000E+12 .000 7460.00
CN+O2<=>NCO+O 6.140E+12 .000 -440.00
CN+H2<=>HCN+H 2.100E+13 .000 4710.00
NCO+O<=>NO+CO 2.350E+13 .000 .00
NCO+H<=>NH+CO 5.400E+13 .000 .00
NCO+OH<=>NO+H+CO 2.500E+12 .000 .00
NCO+O2<=>NO+CO2 2.000E+12 .000 20000.00
NCO+M<=>N+CO+M 8.800E+16 -.50 48000.00
NCO+NO<=>N2O+CO 2.850E+17 -1.52 740.00
194 | Eduardo A. Brizuela
NCO+NO<=>N2+CO2 5.700E+18 -2.00 800.00
HCN+M<=>H+CN+M 1.040E+29 -3.30 126600.00
HCN+O<=>NCO+H 1.107E+04 2.64 4980.00
HCN+O<=>NH+CO 2.767E+03 2.64 4980.00
HCN+O<=>CN+OH 2.134E+09 1.58 26600.00
HCN+OH<=>HOCN+H 1.100E+06 2.03 13370.00
HCN+OH<=>HNCO+H 4.400E+03 2.26 6400.00
HCN+OH<=>NH2+CO 1.600E+02 2.56 9000.00
H+HCN+M<=>H2CN+M 1.400E+26 -3.40 1900.00
H2CN+N<=>N2+CH2 6.000E+13 .000 400.00
C+N2<=>CN+N 6.300E+13 .000 46020.00
CH+N2<=>HCN+N 2.857E+08 1.10 20400.00
CH+N2(+M)<=>HCNN(+M) 3.100E+12 .150 .00
CH2(S)+N2<=>NH+HCN 1.000E+11 .000 65000.00
C+NO<=>CN+O 1.900E+13 .000 .00
C+NO<=>CO+N 2.900E+13 .000 .00
CH+NO<=>HCN+O 5.000E+13 .000 .00
CH+NO<=>H+NCO 2.000E+13 .000 .00
CH+NO<=>N+HCO 3.000E+13 .000 .00
CH2+NO<=>H+HNCO 3.100E+17 -1.38 1270.00
CH2+NO<=>OH+HCN 2.900E+14 -.690 760.00
CH2+NO<=>H+HCNO 3.800E+13 -.360 580.00
CH2(S)+NO<=>H+HNCO 3.100E+17 -1.38 1270.00
CH2(S)+NO<=>OH+HCN 2.900E+14 -.690 760.00
CH2(S)+NO<=>H+HCNO 3.800E+13 -.360 580.00
CH3+NO<=>HCN+H2O 9.600E+13 .000 28800.00
CH3+NO<=>H2CN+OH 1.000E+12 .000 21750.00
HCNN+O<=>CO+H+N2 2.200E+13 .000 .00
HCNN+O<=>HCN+NO 2.000E+12 .000 .00
HCNN+O2<=>O+HCO+N2 1.200E+13 .000 .00
HCNN+OH<=>H+HCO+N2 1.200E+13 .000 .00
HCNN+H<=>CH2+N2 1.000E+14 .000 .00
HNCO+O<=>NH+CO2 9.800E+07 1.41 8500.00
HNCO+O<=>HNO+CO 1.500E+08 1.57 44000.00
HNCO+O<=>NCO+OH 2.200E+06 2.11 11400.00
HCNN+O<=>CO+H+N2 2.200E+13 .000 .00
HCNN+O<=>HCN+NO 2.000E+12 .000 .00
HCNN+O2<=>O+HCO+N2 1.200E+13 .000 .00
HCNN+OH<=>H+HCO+N2 1.200E+13 .000 .00
HCNN+H<=>CH2+N2 1.000E+14 .000 .00
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 195
HNCO+O<=>NH+CO2 9.800E+07 1.41 8500.00
HNCO+O<=>HNO+CO 1.500E+08 1.57 44000.00
HNCO+O<=>NCO+OH 2.200E+06 2.11 11400.00
HNCO+H<=>H2+NCO 1.050E+05 2.50 13300.00
HNCO+OH<=>NCO+H2O 4.650E+12 .000 6850.00
HNCO+OH<=>NH2+CO2 1.550E+12 .000 6850.00
HNCO+M<=>NH+CO+M 1.180E+16 .000 84720.00
HCNO+H<=>H+HNCO 2.100E+15 -.690 2850.00
HCNO+H<=>OH+HCN 2.700E+11 .180 2120.00
HCNO+H<=>NH2+CO 1.700E+14 -.750 2890.00
HOCN+H<=>H+HNCO 2.000E+07 2.00 2000.00
HCCO+NO<=>HCNO+CO 2.350E+13 .000 .00
CH3+N<=>H2CN+H 6.100E+14 -.310 290.00
CH3+N<=>HCN+H2 3.700E+12 .150 -90.00
NH3+H<=>NH2+H2 5.400E+05 2.40 9915.00
NH3+OH<=>NH2+H2O 5.000E+07 1.60 955.00
NH3+O<=>NH2+OH 9.400E+06 1.94 6460.00
196 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 197
Apéndice B: Reducción de un sistema esqueletal
Comenzamos con un sistema esqueletal:
222
222
2
2
22
2
22
2
2
2
22
2
22
22
23
234
234
O (18)
(17)
(16)
(15)
(14)
(13)
(12)
(11)
(10)
(9)
(8)
(7)
(6)
(5)
(4)
)3(
)2(
(1)
OOHHOH
OHHOH
OHOHHOH
MOHMOHH
MHOMOH
OOHOHOH
HOHHOH
HOHHO
OOHOH
HCOOHCO
HOCOOCHO
MHCOMCHO
HCOHCHO
OHCHOOHOCH
HCHOHOCH
HOCHOCH
OHCHOHCH
ΗCΗHCH
Hay 18 reacciones y 13 especies.
Las especies principales son OHCOOCH 2224 y ,, . Otras
tres especies son significativas por su influencia en las velocidades
de reacción, HHCO y , 2 . Luego, hay 7 especies en estado no-
estacionario, a más del gas de baño M
Consideramos 6 especies en estado estacionario:
CHOOCHCHHOOOH y , , , , 232 .
Debemos encontrar
198 | Eduardo A. Brizuela
Un juego de reacciones que sólo incluya las 7 especies
no-estacionarias
Las velocidades de reacción del nuevo juego en
función de las originales
Las velocidades de formación/destrucción de las 7 no-
estacionarias
Las concentraciones de las 6 estacionarias
Comenzamos planteando que la velocidad de
creación/destrucción de las especies estacionarias es cero:
i
kkiii w
t0, . {1.34}
Luego,
2
3
2
2 5 9 10 11
12 13 15 16 18
3 10 11 13
8 14 16 17 18
1 2 3
3 4 5
4 5 6 7 8
2 2 0
0
0
0
0
0
OH
O
HO
CH
CH O
CHO
w w w w w
w w w w w
w w w w
w w w w w
w w w
w w w
w w w w w
Utilizamos estas 6 ecuaciones para eliminar 6 velocidades de
reacción; elegimos 3, 4, 7, 11, 12 y 17 (no importa cuales):
17 8 14 16 18
3 1 2
7 1 2 6 8
11 1 2 10 13
12 1 2 5 9
10 13 15 16 18
2
2 2
w w w w w
w w w
w w w w w
w w w w w
w w w w w
w w w w w
Utilizamos estas relaciones para reemplazar en la velocidad de
creación/destrucción de las especies no-estacionarias:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 199
2
2
2
2
4
1 3 4 6 7 9
10 11 12 14 15 16 17
1 4 6 11 12 17
8 10 14 17 18
2 5 12 13 15 18
6 7 8 9
9
1 2
H
H
O
H O
CO
CO
CH
w w w w w w
w w w w w w w
w w w w w w
w w w w w
w w w w w w
w w w w
w
w w
Reemplazando y cancelando:
2
2
2
2
4
1 2 6 8
10 14 15 16
1 2 6 8
9 11 14 15 16
10 16
1 2 9 10 16
1 2 9
9
1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 4
3 3
2 2
H
H
O
H O
CO
CO
CH
w w w w
w w w w
w w w w
w w w w w
w w
w w w w w
w w w
w
w w
Ahora debemos hallar un sistema de reacciones que sólo
involucre estas siete especies y tal que las velocidades de
creación/destrucción sean las de arriba.
Tomamos las reacciones 1, 9, 14 y 10 y probamos con
combinaciones de las reacciones 3, 4, 7, 11, 12 y 17 para eliminar las
6 especies estacionarias. Si fuera necesario probamos con las 5, 13 y
18 en lugar de 4, 12 y 17.
200 | Eduardo A. Brizuela
La elección de las reacciones 1, 9, 14 y 10 implica que quedará
un sistema de 4 reacciones en las 7 especies no-estacionarias. La
elección de las otras es por prueba y error.
Nos quedamos con:
(I) 1, 3, 4, 7, 11 y 12
(II) 9, 12
(III) 14, 18 y 12
(IV) 10, 11 y 12
Veamos cómo balancear las reacciones elegidas:
Para la reacción (I), tomamos la reacción (1) y le sumamos las
3, 4, 7, 11(directa) y 12(directa) multiplicadas por factores a, b, c, d y
e respectivamente. Balanceamos las especies estacionarias:
Para CH3 a = 1
Para O a + d = 0, luego d = -1
Para CH2O b = a , luego b = 1
Para CHO c = b , luego c = 1
Para OH e = d , luego e = -1
Luego debimos haber tomado las 11 y 12 reversas.
Verificamos sumando miembro a miembro:
(I) 42
------------
(12)
(11)
(7)
(4)
)3(
(1)
224
22
2
22
23
234
HCOHOHCH
HOHHOH
HOHOH
MHCOMCHO
HCHOHOCH
HOCHOCH
ΗCΗHCH
Hemos hallado la reacción reducida (I). Las tres
restantes son más sencillas:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 201
(II)
-------- ----------
(reversa) (12)
(9)
222
22
2
HCOOHCO
HOHHOH
HCOOHCO
(III)
-------- ------------
O (18)
(14)
(reversa) (12)
2
222
22
22
MHMHH
OOHHOH
MHOMOH
HOHHOH
(IV) 223
--------- ----------
veces)(dos (12)
(12)
(11)
(10)
222
22
22
2
2
OHHOH
HOHHOH
HOHHOH
HOHHO
OOHOH
Hemos obtenido un sistema de cuatro reacciones en las siete
especies no-estacionarias.
Hallamos ahora las velocidades de reacción de estas nuevas
reacciones. Utilizando resultados anteriores:
202 | Eduardo A. Brizuela
4
2
2
1 2
1 2
9 9
10 16
10 16
1 2 6 8
10 14 15 16
6 8 14 15
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
Reemplazando , y
CH I
I
CO II II
O IV
IV
H
I III IV
I II IV
III
w w w
w w w
w w w w
w w w
w w w
w w w w
w w w w
w w w
w w w
w w w w w
Las nuevas velocidades de reacción se pueden calcular si
sabemos algunas de las velocidades de reacción originales.
Verificamos si se pueden calcular:
21616
1515
21414
1021010
2999
288
66
422
411
HOHkw
MOHHkw
MOHkw
OOHkOHkw
HCOkOHCOkw
OCHkw
HCHOkw
OHCHkw
HCHkw
rd
rd
Luego, aparte de las especies no-estacionarias necesitamos las
concentraciones de CHO, HO2, OH y O. Para obtenerlas partimos de
las velocidades de creación/destrucción de las especies estacionarias:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 203
0
0
0
87654
543
321
2
3
wwwww
www
www
CHO
OCH
CH
Sumándolas obtenemos 87621 wwwww , que
escribimos:
1 4 2 4
6 7
8 2 (a)
k CH H k CH OH
k CHO H k CHO M
k CHO O
También de 02HO
obtenemos
818171614 wwwww , que escribimos:
14 2
16 17 2 18 2
8 2 (b)
k H O M
k k H HO k OH HO
k CHO O
Hasta aquí sólo hemos utilizado la hipótesis de estado
estacionario. Planteamos ahora que las reacciones 11 y 12 están en
equilibrio:
(d) 112 KH
OHHO
(c) 122
2
KH
OHHOH
Luego, con las especies no-estacionarias obtenemos [OH] de
(c), y sucesivamente [O] de (d), [CHO] de (a) y [HO2] de (b).
La concentración del gas de baño [M] se calcula de diversas
maneras para las distintas reacciones. En general M representa la
concentración de la mezcla en moles por m3, y para la reacción 3
W
M
. {1.35}
204 | Eduardo A. Brizuela
Para las reacciones 14, 15 y III se calcula utilizando las
eficiencias catalíticas recomendadas según la fórmula
i
i ieM . {1.36}
donde ei son las eficiencias catalíticas y [i] es la concentración
de las especies. Tenemos
[M]14=8.6[H2O]+4.2[CO2]+2.86[H2]+
2.11[CO]+1.26[N2]
[M]15 = 20.0[H2O]
[M]III = 6.0[H2O]+2.0[H]+3.0[H2]
Finalmente, de 03CH
obtenemos 213 www ,
que escribimos:
OHCHkHCHkOCHk 424133 ,
de donde obtenemos [CH3], y de 02 OCH
obtenemos
543 www , que escribimos:
OHOCHkHOCHkOCHk 252433
de donde obtenemos [CH2O].
Notamos que de las 7 especies no-estacionarias, 3 se pueden
obtener por balance de las especies atómicas C, O y H (conservación
del número de átomos). Luego, sólo es necesario saber 4 especies no-
estacionarias para calcular las otras 3, y de ellas las restantes 6
estacionarias y el gas de baño.
En resumen,
Hemos asumido 6 especies en estado estacionario y
dos reacciones en equilibrio.
Partiendo de una solución inicial aproximada de las
concentraciones, calculamos las velocidades wi del
sistema original y de ellas las wI a wIV. Notar que las
primeras responden a la ley de acción de masas, no así
las segundas.
Con las velocidades de reacción del sistema reducido
resolveremos ecuaciones de transporte para cuatro
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 205
especies no-estacionarias, con términos de
creación/destrucción que serán, por ejemplo:
etc. ,2
4
IICO
ICH
w
w
Obtenemos las otras tres no-estacionarias de relaciones
algebraicas (balance de átomos)
Obtenemos las 6 estacionarias de relaciones
algebraicas
Calculamos la concentración del gas de baño
Iteramos para ajustar la solución
Las propiedades de la mezcla se calculan una vez obtenida un
juego de concentraciones como
T
pW
W
yW
i i
i
1
La elección de las cuatro reacciones para comenzar a generar
el sistema reducido se basa en experiencia. Por ejemplo, las
reacciones 1 y 9 se eligen por ser las más lentas del conjunto,
mientras que las 14 y 10 se eligen por ser de inicio y terminación del
sistema O-H.
Luego, el mecanismo de reacción reducido es:
(IV) 223
(III)
(II)
(I) 42
222
2
222
224
OHHOH
MHMHH
HCOOHCO
HCOHOHCH
Si consideramos la reacción III, cuya velocidad de reacción es
muy alta, podemos sumarla con la IV para obtener un mecanismo de
tres pasos:
206 | Eduardo A. Brizuela
)(III' 22
)(II'
)(I' 42
222
222
224
OHOH
HCOOHCO
HCOHOHCH
La velocidad de III’ es mucho mayor que la de I’ por lo
que si la multiplicamos por 2 y la sumamos a I’ obtenemos el
mecanismo de dos pasos (debemos también sumar la inversa
de III):
)'(II'
)'(I' O32
222
2224
HCOOHCO
HCOHOCH
Y finalmente, si asumimos H2 o CO en estado
estacionario obtenemos la reacción de un solo paso:
)''(I' O22 2224 HCOOCH
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 207
Apéndice C: Ecuaciones de Navier-Stokes en varios
sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas ortogonales x, y, z
Componente x
yxxx zxu uu vu wu p
t x y z x x y z
Componente y
xy yy zyv uv vv wv p
t x y z y x y z
Componente z
yzxz zzw uw vw ww p
t x y z z x y z
Componentes del tensor de tensiones de Reynolds
22
3xx
u
x
22
3yy
v
y
22
3zz
w
z
xy yx
u v
y x
yz zy
v w
z y
208 | Eduardo A. Brizuela
zx xz
u w
z x
Coordenadas cilíndricas r, , z
Componente r (velocidad u)
21
1 1 rrr rz
u uu vu v wu
t r r r z
rp
r r r r r z
Componente (velocidad v)
2
2
1
1 1 1r z
v uv vv uv wv
t r r r z
rp
r r r zr
Componente z (velocidad w)
1
1 1 zrz zz
w uw vw ww
t r r z
rp
z r r r z
Componentes del tensor de tensiones de Reynolds
22
3rr
u
r
1 22
3
v
r
22
3zz
w
z
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 209
r r
u v
r
1z z
v w
z r
zr rz
u w
z r
1 1ru v w
r r r z
210 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 211
Apéndice D: Software de generación de
coordenadas ajustadas al contorno
En el disco adjunto se encuentra la carpeta BFC que
contiene los programas FORTRAN para generar grillas
ajustadas al contorno. El uso de estos programas fue presentado
en un Congreso en el paper que se incluye en este Apéndice.
Se comienza por crear un archivo BOUN.DAT con los
datos del contorno a fin de poder correr el programa
BOUN.FOR, que creará los archivos de datos necesarios para
correr el generador de grilla.
La forma de describir las fronteras se describe en el paper
citado. El archivo BOUN.DAT se describe a continuación para
el caso ejemplificado en el paper; lo indicado entre asteriscos
es comentario y no debe estar en el archivo:
1/ngrid *Numero de grillas*
3,1,3,3/nsxm,nsxp,nsym,nsyp *Numero de
segmentos en cada lado; son cuatro lados*
2,12, 22/jfxm *Primer índice de cada
segmento en el lado xm*
11,21, 31/jlxm *Ultimo índice de cada
segmento en el lado xm*
2/jfxp *Idem para xp*
31/jlxp *Idem para xp*
2,57, 60/ifym *Idem para ym*
56,59,134/ilym *Idem para ym*
2,57, 60/ifyp *Idem para yp*
56,59,134/ilyp *Idem para yp*
1, 1, 1/nbitxm *Numero de trozos en que se
dividen los segmentos de xm*
1/nbitxp *Idem para xp*
3, 1, 5/nbitym *Idem para ym*
3, 1, 5/nbityp *Idem para yp*
1,1,1/nclxm *Clase de los trozos de xm: 1:
recta; 2: arco de circulo; 3: curva de 5 puntos*
1/ncxp *Idem para xp*
2,2,3,1,2,2,3,2,2/nclym *Idem para ym*
212 | Eduardo A. Brizuela
2,2,3,1,2,2,3,2,2/nclyp *Idem para yp*
14.000000,12.367763,12.367763,10.636224,10.636
224, 9.000000/xinxm *Coordenada x de los trozos
de xm; como son rectas se dan dos puntos*
12.692308,16.342345,16.342345,20.196117,20.196
117,23.846154/yinxm *Coordenada y de los
trozos, idem.*
53.928571,52.964286/xinxp *Idem para xp*
31.000000,40.000000/yinxp *Idem para xp*
*Siguen las coordenadas de los trozos de ym e
yp. Para los arcos de circulo se dan tres pares de
valores (x,y): dos extremos y el centro del
circulo. Para las curvas de 5 puntos, 5 pares de
valores (x,y). Para las rectas, dos pares de
valores (x,y). Por ejemplo, las coordenadas x para
ym,
que tiene clases (2,2,3,1,2,2,3,2,2) son:
14.000000,16.454335,18.200000, *arco*
18.200000,19.945665,23.802391, *arco*
23.802391,24.900000,29.500000,33.200000,34.200
000, *curva*
34.200000,35.000000, *recta*
35.000000,34.569587,35.442158, *arco*
35.442158,36.314730,35.900000, *arco*
35.900000,36.900000,40.500000,44.300000,45.814
672, *curva*
45.814672,43.219164,49.000000, *arco*
49.000000,54.780836,53.928571 *arco*
*Escritas todas en una sola línea:*
14.000000,16.454335,18.200000,18.200000,19.945
665,23.802391,23.802391,24.900000,29.500000,33.2000
00,34.200000,34.200000,35.000000,35.000000,34.56958
7,35.442158,35.442158,36.314730,35.900000,35.900000
,36.900000,40.500000,44.300000,45.814672,45.814672,
43.219164,49.000000,49.000000,54.780836,53.928571/x
inym(nsxm,nbit,npoint)
12.692308,
7.217252,12.957692,12.957692,18.698132,14.101865,14
.101865,15.003817,18.401760,20.738026,21.314857,21.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 213
314857,21.000000,21.000000,21.775002,21.618468,21.6
18468,21.461933,22.245440,22.245440,22.764380,24.46
6836,25.999182,26.538465,26.538465,34.105719,28.575
625,28.575625,23.045531,31.000000/yinym(nsxm,nbit,n
point)
9.000000,
7.200154,11.600154,11.600154,16.000154,13.800154,13
.800154,14.400000,21.300000,27.500000,28.500000,28.
500000,29.000000,29.000000,29.290641,29.911956,29.9
11956,30.533270,30.800000,30.800000,32.200000,38.50
0000,45.300000,46.408565,46.408565,46.639699,49.375
860,49.375860,52.112021,52.964286/xinyp(nsxm,nbit,n
point)
23.846154,27.861195,27.861195,27.861195,27.861
195,31.671707,31.671707,32.014049,35.415650,37.7115
04,38.020080,38.020080,39.000000,39.000000,37.99260
5,38.837167,38.837167,39.681729,38.667741,38.667741
,39.020442,40.232082,40.875115,40.916049,40.916049,
32.919389,40.436930,40.436930,47.954471,40.000000/y
inyp(nsxm,nbit,npoint)
La figura siguiente ilustra el caso a resolver:
Figura D.1: Fronteras y puntos
214 | Eduardo A. Brizuela
Una vez generado el archivo BOUN.DAT se procede a
compilar y correr el programa BOUN.FOR con un compilador
FORTRAN.
Se crean así dos archivos de salida, BOUN.OUT y
BOUN.PLT. El primero sirve para una verificación visual de
las coordenadas del contorno y el segundo se puede utilizar
para graficar el contorno utilizando el utilitario TECPLOT y al
mismo tiempo sirve como archivo de entrada para el generador
de grilla.
Se procede a compilar y correr el programa
GRAPE.FOR. Esta es una versión modificada y ampliada del
programa GRAPE de Sorenson (ver el paper adjunto). El
programa original creaba grillas ajustadas al contorno para
formas (especialmente perfiles aerodinámicos) en un medio
infinito, por lo que había dos fronteras: una interna (el perfil) y
una externa (el infinito); vale decir, era para flujos exteriores.
Este programa fue ampliado para generar grillas entre cuatro
fronteras y ser aplicable a flujos interiores.
El programa original no puede correr sin una solución
inicial aproximada, por lo que el nuevo programa contiene una
sección que crea una grilla inicial por interpolación bilineal
entre las cuatro fronteras, como se describe en el paper. Esta
grilla inicial la escribe el programa en el archivo ICOND.OUT,
nuevamente para ser graficado por TECPLOT. La figura
siguiente ilustra la grilla inicial:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 215
Figura D.2: Grilla inicial
Otra diferencia entre el programa original y el presente es que
el resolvedor de las ecuaciones diferenciales discretizadas no puede
resolver casos en que una frontera sea perfectamente paralela a uno
de los ejes coordenados, por lo que el programa inicialmente gira
todo el problema 3 grados en dirección contraria a las agujas del
reloj.
Los parámetros p, q, r y s y a, b, c, d (ver Capítulo 8) y otros
parámetros del resolvedor se encuentran en el archivo GRAPE.DAT.
El programa genera un archivo de salida GRAPE.OUT que
contiene los datos de entrada y el progreso de la solución, el archivo
MESH.DAT que contiene las métricas de la grilla (y el
jacobiano) y el archivo MESH.OUT que contiene la grilla terminada
para graficar con TECPLOT.
La figura siguiente ilustra el resultado final:
216 | Eduardo A. Brizuela
Figura D.3: Grilla ajustada al contorno
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 217
A public-domain quasi-orthogonal BFC meshing code
Eduardo Brizuela, Departamento de Mecánica y Naval, Facultad de
Ingeniería, Universidad de Buenos Aires, Paseo Colón 850, (1063) Capital,
Argentina, [email protected]
Victoria Echaniz, Departamento de Mecánica, Universidad Nacional
de Mar del Plata, J. B. Justo 4302, (7600) Mar del Plata, Argentina.
ABSTRACT
A set of programs is presented for the modelling of boundaries and
the generation of quasi-orthogonal, 2-D meshes in closed, four-boundary
domains by means of a Poisson equation. The programs are offered freely
in source code form to interested users.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 218
1.0 INTRODUCTION
The numerical solution of continuum problems requires the subdivision of the
computational domain into finite size cells by means of a mesh of lines. The simplest
manner to generate such a mesh is to use Cartesian coordinates, either rectilinear
(x,y,z), cylindrical (x,r, ) or spherical (r,).
However, if the computational domain has boundaries which are sloping with
respect to the axes, are curved, or are broken into angled segments, the use of
Cartesian coordinates may produce meshes with large numbers of cells outside the
computational domain (dead cells), and model sloping and curved boundaries as
staircase lines. This results in wasted computational effort and poor modelling of the
physical boundaries.
In these cases it is advisable to use Boundary Fitted Coordinates (in two
dimensions, usually named and) by which means the mesh only covers the
computational domain (no dead cells) and follows the boundary with greater accuracy.
Transport and other equations to be solved numerically are transformed into
generalised coordinates by the known methods of calculus.
If the BFC mesh is perfectly orthogonal some terms in the transformed
equations (e.g., involving some cross-derivatives) may be simplified. However, it is
often difficult if not impossible to generate a perfectly orthogonal mesh inside
arbitrary boundaries, and an approximation (a quasi-orthogonal mesh) is usually
accepted, at the cost of retaining the cross-derivative terms.
The mesh described above is of the structured, simple type. Unstructured
(e.g., triangular) meshes and composite meshes (i.e., with zones of finer meshing) can
also be constructed. Meshes may be generated by algebraic or differential methods,
and they may also be suitable for multigrid schemes. They may also be generated in 2-
D or 3-D form.
There is an abundant body of literature on grid generation, and here we only
cite Gerolymos and Tsanga (1999), Shih et. al. (1990) and Thompson et. al. (1974) as
examples of reviews of previous work and of grid generation methods.
Despite the advanced state of grid generation techniques alluded to above,
BFC generating codes, particularly for closed, four boundary domains, are not readily
available in source code for the user or developer of numerical methods. Even less
material is publicly accessible regarding the generation of the mathematical model of
the boundaries as an input to the mesh generator.
In this work we present three programs which are thus put in the public
domain for:
describing in a simple manner the four boundaries of a computational domain and
distributing points along those boundaries (program BOUN),
Generating an algebraic mesh which will serve as initial condition for the
subsequent quasi-othogonal mesh generator (subroutine IC), and
generating a quasi-orthogonal 2-D BFC mesh by the use of a Poisson differential
equation (program MESH).
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 219
2.0 BOUNDARY DESCRIPTION
The computational domain is assumed bounded by four boundary lines,
joined at four vertices (which do not necessarily have to mark a discontinuity in
slope).
Each boundary may be divided into segments and these in turn into sub-
segments, to enable assigning the desired number of points to each chosen sector of
the boundary. Each sub-segment is described as belonging to one of three classes of
lines:
a straight line, given by its two end points,
an arc of circle, defined by its end points and its center, or
a general 5-point line, defined by two end points and three internal points.
Slope matching between the 5-point curve and other curves may be achieved
by placing two of the internal points close to the end points (spline slope matching).
The program computes the length of boundary for each segment and places
the desired number of points along the segment (i.e., along consecutive sub-segments)
with an even spacing.
Note that a segment beginning and ending do not have to coincide with the
beginning or ending of a line of a class; e.g., an arc of circle may be shared between
two adjacent segments or sub-segments.
Given the flexibility in the subdivision of the boundary it has not been
considered necessary to provide for the distribution of points in other than an evenly
spaced manner. Arithmetic, geometric or other series, however, could easily be
implemented for better matching between segments with fine and coarse point
distributions.
By convention the boundaries where the generalised coordinate and its
corresponding point index i are minimum and maximum are indicated XM and XP (x-
minus and x-plus), and the other pair of boundaries, where and j are minimum and
maximum are YM and YP. For a structured grid, opposed boundaries (e.g., XM and
XP) must have the same number of points.
Fig 1 shows the point distribution produced for a domain similar to the
longitudinal section of a gas turbine combustor. For this example, XM and XP consist
of 3 and 1 segments respectively, all comprising only one sub-segment each of one
class (straight line). The three segments of XM have 10 cells each (total 31 points) and
the single segment of XP has 30 cells (31 points).
220 | Eduardo A. Brizuela
FIGURE 1: Example boundary and point distribution
YM and YP boundaries have been generated using 3 segments, each in turn
comprising 3, 1 and 5 sub-segments. For the first segment, the three sub-segments are
two arcs of circle and a 5-point curve. For the second segment, the sole sub-segment is
a straight line (the inlet slot for secondary air). The third segment has 5 sub-segments:
two arcs of circle for the secondary air slot joggle, one 5-point curve, and two arcs of
circle to join with XP. The three segments have 55, 3 and 75 cells each, for a total of
134 points along YM and YP.
3.0INITIAL CONDITIONS
The program which generates the quasi-orthogonal mesh requires a
reasonably good initial set of values for the coordinates of the internal mesh points;
the usual assumptions of all zeroes or all ones will result in failure to start.
Hence the mesh program starts with a subroutine IC which generates an
initial mesh by double linear interpolation between the four boundaries using the point
distribution generated by program BOUN.
Consider the domain of Figure 2, where the four boundaries are known and,
for the mesh lines of index i and j and generalised coordinates and all that is
unknown is the location of C3 .
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 221
FIGURE 2: General 2-D case
We start with a simplified case where the distances A1B1 = A2B2 = A3B3 , and
the YM and YP boundaries are straight, parallel lines and so are A1B1 and A2B2 (see
Figure 3). For simplicity we assume A3B3 to be the correct value (i.e., that of Figure
2).
FIGURE 3: Starting case
The generalised coordinates in this plane are u and v, and we interpolate:
u u r u u 13 1 2 1
v v r v v 23 1 2 1
r =D D
D D3
3 1
2 1
222 | Eduardo A. Brizuela
where Di is the mid-point of AiBi .
To convert these (u,v) coordinates into ()BFC we first scale triangles 1
and 2 by the scale factors A1B1 /A3B3 and A2B2 /A3B3 :
1 2 3 u u u 41
A B
A B 2
A B
A B 3
1 1
3 3
2 2
3 3, ,
1 2 3 v v v 51
A B
A B 2
A B
A B 3
1 1
3 3
2 2
3 3, ,
All that is left now is to shift triangles 1 and 2 to the true positions of D1 and
D2, and to rotate the triangles to the true angular positions of A1B1 and A2B2 . Figure 4
illustrates the final position, which coincides with Figure 2, to clarify scaling, shift and
rotation.
FIGURE 4: Scaling, shift and rotation
The result for the example case is shown in Figure 5. It is evident that the
algebraic mesh thus generated, although satisfactory as an initial condition, is far from
being orthogonal, and that some cells are unnecessarily distorted.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 223
FIGURE 5: Initial mesh
4.0 QUASI-ORTHOGONAL MESH GENERATION
The generation of the quasi-orthogonal BFC mesh is done in program MESH,
which is a heavily modified version of the program GRAPE (Sorenson, 1980).
MESH differs from GRAPE in that it has been altered and extended from two
to four boundaries and in that it is applied to internal domains, whereas GRAPE was
aimed at the simulation of external flows over submerged bodies.
However, MESH still solves the Poisson equations
x x x J Px Qx 62 2
y y y J Py Qy 72 2
with the metrics
x x y y 8
x x y y 9
x x y y 10
J x y x y 11
and the decay functions
P , p e r e 12-a -c max
Q , q e s e 13-b -d max
where a, b, c, and d are numerical constants and p, q, r, and s are functions of
the auxiliary variables R1 to R4 :
224 | Eduardo A. Brizuela
Rx x x
J141 2
2
0
Ry y y
J152 2
2
0
Rx x x
J163 2
max
2
Ry y y
J174 2
max
2
py R x R
J
1 2
0
18
qx R y R
J
2 1
0
19
ry R x R
J
3 4
max
20
sx R y R
J
4 3
max
21
The four constants a, b, c, and d control how far into the mesh (from
the boundary inwards) will extend the preset condition of orthogonality between
boundary and mesh lines. With a smaller value of the constants the condition extends
further but convergence becomes more difficult.
Figures 6 and 7 show the finished mesh for a, b, c and d equal to 0.01 and 0.2
respectively in the joggle region, and 0.2 elsewhere. The figures show these to be
more satisfactory meshes than the initial mesh, with quasi-orthogonal meshing, near-
orthogonal boundary intersects and lesser distortion of cells.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 225
FIGURE 6: Mesh with slow decay in a region
FIGURE 7: Mesh with fast decay
5.0 CONCLUSION
A set of programs has been created to generate structured BFC meshes in
two-dimensional domains enclosed by four boundaries.
The programs allow for relatively easy generation of the boundaries and point
distribution along the same, and generate quasi-orthogonal meshes by means of a
Poisson equation, offering control of mesh line angles and other refinements.
The set of programs and examples are freely available in source code from
the authors.
226 | Eduardo A. Brizuela
6.0 REFERENCES
Gerolymos, G. A., and Tsanga, G., 1999, “Biharmonic three-dimensional grid
generation for axial turbomachinery with tip clearance”, Journal of Propulsion and
Power, Vol. 15, No. 3, May-June 1999, pp. 476-479.
Shih, T, I-P., Bailey, R. T., Nguyen, H. L., and Roelke, R. J., 1990,
“GRID2D/3D - A computer program for generating grid systems in complex-shaped
two and three-dimensional spatial domains”, NASA Technical Memorandum TM-
102453, 1990.
Sorenson, R. L., 1980, “A computer program to generate two-dimensional
grids about airfoils and other shapes by the use of Poisson´s equation”, NASA
Technical Memorandum TM-81198, 1980.
Thompson, J. F., Thames, F. C., and Mastin, C, W, 1974, “Automatic
numerical generation of body-fitted curvulinear coordinate system for field containing
any number of arbitrary two-dimensional bodies”, Journal of Computational Physics,
Vol. 15, pp. 299-319, 1974.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 227
Apéndice E: Software para realizar cálculos de equilibrio
químico
228 | Eduardo A. Brizuela
En el disco adjunto se encuentra la carpeta EQUIL que contiene
los programas necesarios para calcular el equilibrio químico de una
mezcla de gases, incluyendo fases condensadas. Esta es una versión
para PC del código de equilibrio de la Universidad de Stanford
utilizando las subrutinas del código original CHEMKIN de Sandia
Laboratorios. Es un conjunto de programas de uso público. En el
Capítulo 11 se encuentra más información sobre este tema.
Para comenzar se requiere correr el programa DINTERPC.FOR
que interpreta (traduce al lenguaje de DEQUILPC) qué elementos y
especies químicas se considerarán. Estos datos están detallados en el
archivo INRATE, del cual se ilustra un ejemplo para el Metano con
cuatro elementos y 17 especies:
ELEMENTS
C H O N
END
SPECIES
CH4 CO2 H2O CO H2 N2
CH3 H O OH HCO HO2
CH2O O2 CH3O H2O2 C
END
Este archivo puede contener hasta 8 elementos de la tabla
periódica y hasta 40 especies.
En la carpeta se incluyen dos ejemplos, uno para el Metano (el
ilustrado arriba) llamado INRATE_CH4, y otro para el Etileno, llamado
INRATE_C2H4. Una vez compilado DINTERPC, se debe copiar uno
de los archivos ejemplo (o crear uno nuevo) al archivo INRATE, borrar
el archivo LINK.BIN (si existe) y correr DINTERPC.
DINTERPC hace uso de las tablas de propiedades termodinámicas
de la NASA contenidas en el archivo NASACOMB.DAT. Las especies
incluídas en INRATE deben estar tabuladas en NASACOMB.
La salida de DINTERPC es el archivo LINK.BIN, un archivo sin
formato que no puede leerse con los utilitarios comunes, que es archivo
de entrada para el programa de equilibrio.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 229
Para correr el programa de equilibrio se necesita también un
archivo de entrada como el CH4.IN, que contiene los datos de la
mezcla.
Este archivo de entrada tiene la siguiente estructura:
HP (o TV o UV o TP)
P T
Especie 1 Concentración
“ 2 Concentración
“ 3 Concentración
END
END
Las opciones son:
TV: Temperatura y densidad fija a los valores de entrada
UV: idem, energía interna y densidad
HP: idem, entalpía y presión
TP: idem, temperatura y presión
Las presiones están en atmósferas y la temperatura en Kelvin.
Las concentraciones están en moles; no es necesario que su suma
dé 1. Por ejemplo
CH4 .05
N2 3.76
O2 1
Los moles de N2 están en la proporción correcta para el aire
(3.76/1) con el 02. El programa corrige la composición a
CH4 .05/4.81 = .0104
N2 3.76/4.81 = .7867
O2 1/4.81 = .2079
1
230 | Eduardo A. Brizuela
Lo contenido entre asteriscos es comentario y no debe estar en el
archivo:
HP *Modelo, en este caso, a presión y entalpía constantes*
1.00000 298.000 *presión en atm. Y temperatura en
Kelvin*
CH4 0.50000 *Moles de la especie*
N2 3.76200 *Idem*
O2 1.00000 *Idem*
END
END
Es posible hacer varias corridas sucesivas, como ilustra el archivo
C2H4.IN.
Para correr el programa de equilibrio se deben compilar y linkear
los programas
dequilpc.for (programa de equilibrio)
dsymnum.for (programa de cálculo numérico)
dcklib.for (biblioteca de subrutinas de CHEMKIN)
vis.for (calcula viscosidad de la mezcla)
La salida típica DEQULPC.OUT se ilustra en la página
siguiente.
Notar el cambio de peso molecular entre los reactantes (27.321) y los
productos de equilibrio (25.910)
Notar también que la temperatura final es menor que la adiabática, ya
que las especies intermedias no han completado su reacción.
ENTHALPY WILL BE EVALUATED AT THE INPUT
CONDITIONS AND HELD FIXED. NORMALLY THE INPUT
TEMPERATURE WILL BE 300K. THE ADIABATIC FLAME
TEMPERATURE WILL BE OUTPUT.
INPUT PRESSURE(ATM) AND TEMPERATURE(K):
P= 0.1000E+01ATM TREF= 0.3360E+03K
INPUT MOLES OF NEXT SPECIES:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 231
CH4 0.645806
INPUT MOLES OF NEXT SPECIES:
N2 3.76000
INPUT MOLES OF NEXT SPECIES:
O2 1.00000
INPUT MOLES OF NEXT SPECIES:
END
THE TOTAL ENTHALPY IS -0.2858E+10 ERGS/GM
COEFFICIENT OF VISCOSITY BASED ON MIXTURE 0.24714E-
06 WHICH GIVES A DYNAMIC VISCOSITY OF 0.43257E-04 KG/M-SEC
AT FINAL TEMPERATURE
(THIS IS ONLY A TEMPERATURE CORRECTION)
COMPOSITION AT T =2090.152 K P = 1.000 ATM.
INITIAL WT = 27.321 FINAL WT = 25.910
SPECIES
GAS PHASE
MOL.
FRACTION
IN
MIXTURE
MASS
FRACTION
IN MIXTURE
MOL.
FRACTION
IN GAS
PHASE
CH4 0.63033E-12 0.39029E-12 0.63033E-12 1
CO2 0.53526E-01 0.90917E-01 0.53526E-01 2
H2O 0.18374E+00 0.12775E+00 0.18374E+00 3
CO 0.59772E-01 0.64617E-01 0.59772E-01 4
H2 0.42412E-01 0.32998E-02 0.42412E-01 5
N2 0.65965E+00 0.71319E+00 0.65965E+00 6
CH3 0.22023E-12 0.12779E-12 0.22023E-12 7
H 0.60044E-03 0.23358E-04 0.60044E-03 8
O 0.30943E-05 0.19107E-05 0.30943E-05 9
OH 0.30021E-03 0.19705E-03 0.30021E-03 10
HCO 0.10281E-07 0.11515E-07 0.10281E-07 11
HO2 0.38449E-08 0.48979E-08 0.38449E-08 12
CH2O 0.16106E-08 0.18665E-08 0.16106E-08 13
O2 0.57788E-05 0.71367E-05 0.57788E-05 14
CH3O 0.15986E-15 0.19148E-15 0.15986E-15 15
H2O2 0.11200E-08 0.14703E-08 0.11200E-08 16
C 0.24552E-15 0.11382E-15 0.24552E-15 17
232 | Eduardo A. Brizuela
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 233
Apéndice F: Un programa de simulación numérica de la
combustión
234 | Eduardo A. Brizuela
En el disco adjunto se encuentra la carpeta UIFLOW que contiene
los programas necesarios para simular la combustión del caso de
Spadaccini et al. Es una versión modificada y ampliada del original de
S. P. Vanka, que fuera publicado en la Tesis de Cope (ver las
referencias en el paper de Echaniz et al. adjunto).
El programa contiene subrutinas para simular la mezcla simple de
reactantes (model = 1), la reacción de un solo paso (model = 2) (ver
Capítulo 2) y la reacción de difusión turbulenta (model = 3) (ver
Capítulo 10).
También contiene subrutinas para modelar la correlación u
(ver Capítulo 5) según varias alternativas: Utilizando un modelo de la
ley de Fick (Kolbe and Kollmann, 1980), una ecuación de transporte
para estas correlaciones (Kollmann and Vandromme, 1979) o un
modelo heurístico.
En el primer caso se modelan:
2
1tuSc x
, {F-1}
2
1tvSc r
, {F-2}
En el segundo caso se resuelven ecuaciones de transporte para las
correlaciones con términos de fuente:
1
t
v
u
r ur u r u v
x x Sc r r r
ur v rC u
r
(para u ) {F-3}
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 235
1
2
2
t
v
v
v
r ur v
x x r rSc
r v v rCr r
rC v
(para v ) {F-4}
donde los números de Schmidt tienen el valor de 1.5 y las
constantes
1 1 21.0, 0.1, y 3.0.u v vC C C
En el tercer caso las correlaciones se modelan según una
expresión aproximada:
2
i iu R , {F-5}
de donde
2
i iu R
. {F-6}
Para computar el valor cuadrático medio de la densidad 2
se
construyeron tablas de equilibrio químico (ver Apéndice E) y se
computaron los valores
1
0
1 ( )
( )e
p fdf
f , y {F-7}
1
0( ) ( )
ep f f df , {F-8}
(ver Capítulos 3 y 10). Con esto, se puede obtener
2 {F-9}
Para la función de distribución ( )p f se adoptó la función Beta
(ver Ecuaciones 10.41 y siguientes). Los factores de correlación son Ru
= 1.0, Rv = 1.0.
236 | Eduardo A. Brizuela
El programa también permite ensayar una versión modificada del
modelo por la teoría RNG (ver Capítulo 5).
Todas estas opciones se seleccionan en el archivo de entrada
test*.in, donde el asterisco indica distintas combinaciones (reemplazar
uiflow.in, removiendo la primera línea antes de usar).
El programa también utiliza el método multigrilla y las
coordenadas ajustadas al contorno.
Las salidas principales son plotec.out (para ver con TECPLOT) y
gnu.out (para ver con GNUPLOT). Los siguientes gráficos de
temperatura y velocidad fueron creados con TECPLOT:
Figura F-1: Contornos de temperatura, x/d de 0 a 20
Figura F-2: Vectores velocidad, x/d de 0 a 2
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Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 241
242 | Eduardo A. Brizuela
Referencias al Apéndice F:
Kolbe, W., and Kollmann, W.; Acta Astronáutica, 7, 91 (1980).
Kollmann, W., and VANDROMME, D.; “Turbulent shear flow
with fluctuating density”, AIAA Paper 79-1485, 12th
Fluid and Plasma
Dynamics Conference, Williamsburg, VA, 1979.
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 243