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Introducción a las Bases Técnicas De los Seguros de Vida 2017
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Introducción
a las
Bases Técnicas
De los
Seguros de Vida
2017
Material elaborado por:
VÍCTOR HUGO MOLINAS GWYNN Economista por la Universidad Nacional de Asunción y Actuario en Economía por la Universidad de Buenos Aires, Master en Dirección y Gestión de Planes y Fondos de Pensiones por la Universidad de Alcalá, contando con cursos de especialización en “Financiación de los Cuidados de la Salud – Principios de Seguros” en la Universidad de Heidelberg, Alemania, y “Modelización de Esquemas Públicos de Pensiones” en el Centro Internacional de Entrenamiento de la Organización Internacional del Trabajo, Turín - Italia.
i
Índice General
Unidad I - Introducción .......................................................................................................... 1
Breve Reseña Histórica ................................................................................................................ 2
Aversión al Riesgo y el Seguro ..................................................................................................... 3
Definición Económica del Seguro ................................................................................................ 5
Aspectos Generales del Seguro, Clasificación ............................................................................. 7
Unidad II – Conceptos Generales ............................................................................................ 8
Terminología Básica .................................................................................................................... 8
Concepto de Límites, Franquicia ............................................................................................... 10
Ciclo de una Póliza ..................................................................................................................... 12
Concepto de Reservas y Tipos ................................................................................................... 13
Unidad III – Introducción Seguros de Personas ..................................................................... 15
Conceptos de Probabilidad de Vida .......................................................................................... 15
Tablas de Mortalidad................................................................................................................. 18
Factor de Capitalización Actuarial ............................................................................................. 19
Valores y Tablas de Conmutación ............................................................................................. 21
Ejercicios - Unidad III ................................................................................................................. 24
Unidad IV – Seguros en caso de Vida y Muerte ..................................................................... 26
Seguros en caso de vida ............................................................................................................ 26
1. Capital Diferido de Vida .............................................................................................. 26
2. Renta Vitalicia Temporaria de Riesgo inmediato y plazo limitado ............................. 27
3. Renta Vitalicia de Riesgo inmediato y plazo ilimitado ................................................ 27
4. Renta Vitalicia de Riesgo diferido y plazo ilimitado .................................................... 28
Seguros en caso de muerte ....................................................................................................... 29
1. Capital Diferido de Muerte ......................................................................................... 29
2. Seguro en caso de muerte de riesgo inmediato y plazo limitado .............................. 29
3. Seguro en caso de muerte de riesgo inmediato y plazo ilimitado ............................. 31
4. Seguro en caso de muerte de riesgo diferido y plazo ilimitado ................................. 31
Planes Mixtos y Especiales ........................................................................................................ 32
1. Seguro en caso de muerte, con capital variable en progresión geométrica de razón igual al capital inicial (Increasing) ......................................................................................... 32
2. Dotal ............................................................................................................................ 33
3. Capital Doblado ........................................................................................................... 34
4. Seguro de Cuotas ........................................................................................................ 34
Seguro Colectivo de Vida ........................................................................................................... 35
Ejercicios - Unidad IV ................................................................................................................. 37
Unidad V - Concepto de Prima y Premio ............................................................................... 38
Primas Anuales, Primas de Tarifa Anuales ................................................................................ 38
Prima de Contraseguro ............................................................................................................. 40
ii
Primas Fraccionadas con efecto liberatorio ............................................................................. 41
Renta en “k” fracciones dentro de un año................................................................................ 41
Renta temporaria con “k” pagos fraccionarios dentro del año ................................................ 42
Primas Fraccionadas sin efecto liberatorio ............................................................................... 42
Unidad VI – Reservas Matemáticas ...................................................................................... 44
Concepto de Reservas y Tipos ................................................................................................... 44
Reserva Matemática ................................................................................................................. 44
1. Metodos Retrospectivo y Prospectivo........................................................................ 45
2. Método de Recurrencia .............................................................................................. 46
Prima de Riesgo y Prima de Ahorro .......................................................................................... 46
Unidad VII – Probabilidad de varias Cabezas ........................................................................ 47
Supervivencia Conjunta ............................................................................................................ 47
Seguros - Supervivencia Conjunta............................................................................................. 48
1. Capital Diferido de Vida .............................................................................................. 48
2. Seguro de Vida Inmediato y Temporario .................................................................... 49
3. Seguro de Muerte Inmediato y Temporario ............................................................... 49
ANEXOS .............................................................................................................................. 50
ANEXO I – Fórmulas .................................................................................................................. 50
1. DERIVADA ................................................................................................................... 50
2. Suma por partes de valores discretos ........................................................................ 50
3. Factorial ...................................................................................................................... 51
4. Diferencia de Factorial ................................................................................................ 51
5. Suma de Factorial ....................................................................................................... 51
6. DUE – Distribución Uniforme E(x; t) (del Capital Diferido de Vida) ............................ 52
ANEXO II – Tablas de Mortalidad .............................................................................................. 53
1. Tabla de Mortalidad Mujeres 2015 Paraguay. ........................................................... 53
2. Tabla de Mortalidad Hombres 2015 Paraguay. .......................................................... 56
3. Tabla de Conmutación Mujeres 2015 Paraguay. ........................................................ 59
4. Tabla de Conmutación Mujeres 2015 Paraguay. ........................................................ 62
Índice Temático ................................................................................................................... 65
Bibliografía ......................................................................................................................... 66
1
Unidad I - Introducción
Descubierto los riesgos y sus efectos económicos, que pueden ser disminución del Activo,
aumento del Pasivo o pérdida de ingresos, se pueden adoptar diferentes conductas.
Mediante la Prevención se buscan los medios para impedir, atenuar o eliminar las causas o las
consecuencias de los riesgos. Puede ser insuficiente y siempre constituye una erogación
importante. En caso que se produzca el Siniestro, se puede Combatir los efectos del riesgo sin
eliminar las causas, como son la existencia de bomberos, policías, etc.
El riesgo puede ser Asumido, donde el afectado afronta por sus propios medios los daños que
pueda sufrir. U otra posibilidad es Transferir el Riesgo, que en realidad son las consecuencias
económicas tasables de la acción dañina del riesgo lo que se transfiere. Donde la forma de
transferencia de riesgo más concreta y usual es el Seguro.
Gráfico 1 – Gama de Riesgos
“El Seguro es una operación mediante la cual una parte, el asegurado, obtiene de otra parte, el
asegurador, la promesa de indemnizar al asegurado o a una tercera persona en el caso de un
siniestro. El pago por este servicio se denomina Prima. EL asegurador acepta la totalidad del
riesgo y compensa al asegurado o a una tercera persona de acuerdo a las leyes estadísticas1”
1 Definición hecha por Joseph Hémard, The Theory and Practice of Non-marine Insurance 1924
2
El Seguro está desarrollado para proteger contra imprevistos financieros perjudiciales que
resultan de eventos aleatorios producidos en los planes de los individuos. No sólo la vida humana
está sujeta a riesgos, sino también el patrimonio y los ingresos.
Elementos del Seguro: debe existir una causa (el riesgo), el objeto (interés asegurable), interés
personal de dicho bien y titular de dicho interés,
Existen ciertas limitaciones básicas a la hora de formular un seguro. Las consecuencias de los
eventos aleatorios deben ser económicamente mesurables (en términos monetarios)
La justificación económica de un sistema de seguros es que contribuye al bienestar general
mejorando las expectativas de planes que no serán frustrados por eventos aleatorios.
Breve Reseña Histórica2
En las antiguas civilizaciones de Egipto, Grecia y Roma aparecen las primeras formas de ayuda
mutua por accidentes, enfermedad o muerte, así como los riesgos del tráfico comercial en el
antiguo imperio babilónico.
Entre los antecedente más cercanos se encuentra el “préstamo a la aventura de mar” que
consistía en el préstamo para equipar una embarcación, armar su tripulación y cargar
mercadería.
Si por riesgos inherentes al viaje mismo, o por actos humanos hostiles, se perdía la mercadería,
quedaba cancelada la deuda. Mientras si tenía éxito el viaje, el prestamista recibía el monto
decido más un interés pactado, que incluía no sólo el interés financiero sino una “prima de
riesgo” también.
Cuando la Iglesia Católica con el Papa Gregorio IX extendió a los riegos marítimos la prohibición
del cobro de intereses sobre los préstamos de dinero, el armador de la aventura comercial
asumía el costo de la inversión y adicionalmente pagaba por adelantado una prima al antiguo
prestamista, y éste mediante un contrato asumía la obligación de indemnizar en caso de pérdida
de la carga o daño de la nave. Nace así en Florencia el seguro moderno con el asegurador, la
prima y la póliza.
2 Fuente: Ariel Fernández Dirube, Introducción al Seguro
3
Aversión al Riesgo y el Seguro
La Probabilidad de que se produzca un acontecimiento repetitivo es en términos generales, la
frecuencia relativa con que ocurrirá.
El Valor Esperado es una suma ponderada de los valores de las variables, en donde las
ponderaciones son las respectivas probabilidades.
Variables Discretas
n
i
ii xpxXE1
)()(
Variables Continuas
b
a
dxxfxXE )()( [a; b] son los límites de la función de densidad
Hipótesis de la Utilidad Esperada
No se puede hacer una previsión perfecta, pero si se puede elegir un conjunto de incertidumbres
en comparación de otros. La teoría de la utilidad provee una idea de cómo hacer frente a este
tipo de decisiones.
Ejemplo: se tira una moneda, si sale cara se gana ₲1 y si sale cruz ₲-1
0)1(2
11
2
1)( XE
Ejemplo: se tira una moneda, si sale cara se gana ₲1.000 y si sale cruz ₲-1.000
0)1000(2
11000
2
1)( XE
Los juegos que tienen un valor esperado de 0 (cero) ó en los que el derecho a participar cuesta
sus valores esperados se denominan Juegos Justos (desde el punto de vista actuarial)
La gente está dispuesta a participar de juegos actuarialmente justos cuando los montos son
pequeños. Incluso a veces paga una pequeña cantidad de dinero para participa de juegos
actuarialmente injustos (lotería)
A los individuos no les interesan directamente los premios monetarios en juego, sino la utilidad
que reportan en dinero. Se suele considerar el segundo juego más “arriesgado” porque en caso
de perder el monto es mayor.
4
Aversión al Riesgo
Suponiendo que la función de utilidad de la riqueza del individuo es cóncava (utilidad marginal
decreciente), éste rechazará los juegos justos.
W* representa la riqueza actual del individuo, U(W) en la función utilidad del individuo y existe
igual probabilidad de ganar o perder “j”. La utilidad de la riqueza actual es U(W*) y Uj(W*) si
participa en el juego
)*(2
1)*(
2
1)( jWUjWUWU j
El individuo preferirá la riqueza actual a tenerla combinada con un juego justo. Esto se debe a
que ganar un juego justo aumenta el placer el individuo menos de lo que le perjudica perderla.
La pérdida es más seria desde el punto de vista de la utilidad.
Una persona que rechaza siempre los juegos justos es adversa al riesgo. Los que tengan una
utilidad marginal decreciente son adversos al riesgo y estarán dispuestos a pagar para evitar los
juegos justos.
Disposición a Pagar un Seguro
Supongamos que una persona posee una riqueza actual de ₲100.000 y la posibilidad de perder
su vehículo valuado en ₲15.000 con una probabilidad de 10% por robo. Suponemos que la
función de utilidad es U(W) = ln(W)
Gráfico 2
5
La prima justa sería ₲1.500 (15.000 x 10%), considerando sólo los costos de indemnización y
suponiendo costos administrativos de ₲0 (cero)
Utilidad Esperada sin Seguro
Utilidad Esperada con Seguro 497811,11)500.98ln()500.98( U
La persona goza de una utilidad mayor cuando adquiere el seguro. Así también se puede calcular
cual sería el monto máximo que estaría dispuesto a pagar para adquirir el seguro.
49667,11000.100ln000.100 xxUUEsS
05,612.1
000.10049667,11
x
xe
La prima máxima que está dispuesta a pagar es ₲1.612, ósea que hasta ₲112 de gastos
administrativos.
Definición Económica del Seguro
El seguro es considerado como una rama autónoma de la economía, cuyo objeto consiste en la
conservación de la riqueza. Por otro lado, desde el enfoque “productivo” de la ciencia
económica, se consideró al seguro como una industria, criterio que aún prevalece, que se basa
en considerar que el seguro transforma los aportes en dinero de los asegurados, en
indemnizaciones que permiten reponer o sustituir bienes dañados o perdidos.
Lo cierto es que el seguro es una actividad altamente compleja, que reúne en su estructura y
desenvolvimiento elementos económicos, jurídicos, financieros y técnicos
Otra teoría enfoca el tema desde un punto de vista estrictamente económico, según el cual el
seguro es un contrato que traslada los riesgos de los patrimonios individuales a una empresa
dedicada profesionalmente a asumirlos, mediante una prima con la cual se integra un fondo
adecuado a las probabilidades de ocurrencia de los daños cubiertos y suficientes, por lo tanto,
para hacer frente al pago de las indemnizaciones que correspondan.
Según la teoría indemnizatoria el seguro se mueve con mayor o menor intensidad dentro del
campo de la indemnización de un daño eventual que provoca una disminución del patrimonio o
impide su aumento.
49667,11)000.85ln(1,0)000.100ln(9,0
)000.85(1,0)000.100(9,0
UU
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Finalmente, podemos definir al seguro como una institución que tiene por objeto mantener la
integridad del patrimonio o la continuidad del ingreso de las unidades económicas, en la medida
en que resulten afectadas por riesgos independientes de la voluntad deliberada del interesado.
Dicha función reparadora se cumple mediante la previa acumulación por empresas
especializadas, de los medios financieros necesarios, formados por un aporte individual de cada
uno de los posibles afectados, cuya cuantía resulta de un cálculo técnico basado en la
probabilidad estadística de ocurrencia del riesgo previsto, ponderando la frecuencia e intensidad
con la cual se manifiesta.
Desde el punto de vista de la economía en su conjunto, el seguro constituye la acumulación de
un ahorro, que tiene por objeto preparar los medios monetarios necesarios para restablecer la
integridad de la riqueza individual de los integrantes de ese sector, esta acción resarcitoria,
permite mantener dentro de cierto equilibrio constante los factores que concurren a la
formación del Producto Interno Bruto, al posibilitar la reposición de los elementos generadores,
que puedan haber sido destruidos, deteriorados o afectados en su integridad o capacidad
productiva, por hechos accidentales, incluyendo en este concepto el caso de la propia persona
humana.
FUNCIÓN ECONÓMICA DEL SEGURO
El Seguro constituye una forma de ahorro con fines determinados, a costo parcial, mediante la
cual se transfieren los efectos económicos adversos producidos por el riesgo previsto.
En un enfoque macroeconómico, es evidente que el seguro constituye un medio de posibilitar la
reposición de los factores que concurren a la formación del PIB (PRODUCTO INTERNO BRUTO),
en tanto se vean afectados por deterioro o desaparición repentina. En virtud de esta función el
seguro posibilita el mantenimiento de los niveles de ingreso de las unidades económicas, al
permitir restablecer los medios aptos para generarlo.
Analizando la estructura económica del seguro, podemos afirmar que consiste en la
transformación técnico-económica de los riesgos individuales en colectivos.
Jurídicamente cada asegurado, mediante el pago de una prima, transfiere a la empresa
aseguradora, los efectos económicamente adversos de los riesgos que lo amenaza. El asegurador
responde por la obligación contraída de resarcir el daño, porque el riesgo no se transfiere a la
masa de asegurados, sino en forma exclusiva a la empresa aseguradora.
Desde el punto de vista económico, el sistema es viable en la medida en que el Asegurador logre
formar un Fondo de Primas suficiente, y sólo será suficiente si se cumplen una serie de
condiciones.
7
Estas condiciones son:
▪ Que las primas sean técnicamente proporcionales a los riesgos transferidos.
▪ Que el número de asegurados sea suficientemente amplio como para que se cumplan los supuestos estadísticos que determinaron las tasas de las primas aportadas al Fondo.
▪ Que el Asegurador limite y homogeneice sus responsabilidades, haciendo uso correcto del reaseguro y el coaseguro.
Aspectos Generales del Seguro, Clasificación
La Ley 827 define:
m) Ramos o ramas del seguro: A efecto de conceder autorización administrativa para
realizar operaciones de seguros, la clasificación de los ramos a tener en cuenta es la
siguiente:
1) Ramos elementales o Patrimoniales; y
2) Ramo Vida.
n) Sección de seguro: Nombre que se da al conjunto de seguros específicos agrupados
en razón a la homogeneidad de los riesgos en cada ramo.
La ley distingue solamente entre dos ramas del seguro, elementales o patrimoniales y vida. En
el primer grupo no solo se encuentran los seguros que resguardar los bienes patrimoniales como
su nombre bien lo define, sino también seguros de responsabilidad civil y de personas.
Cuando hacemos referencia a “personas” en patrimoniales es en alusión a accidentes personales
o de trabajo, donde la frecuencia de ocurrencia no tiene relación con la probabilidad de vida.
En el ramo de Vida, donde si se utilizan probabilidades de vida, pueden ser en caso de vida o en
caso de muerte (comercialmente llamado seguro de vida).
Gráfico 3
Vida y/o Muerte de las Personas
Vida
Elementalo
Patrimonial
Propiedades
Responsabilidad Civil
8
Unidad II – Conceptos Generales
Terminología Básica
Exposición: hace referencia al estado de ser sujeto de riesgo. También sirve para hacer
referencia a la unidad de medida utilizada sobre el cual está basado el premio del seguro.
Las Expuestas Escritas son las unidades expuestas de pólizas escritas durante el periodo en
cuestión.
Las Expuestas Ganadas son las unidades efectivamente expuestas al riesgo durante un periodo
dado.
Las Expuestas en Vigor son las unidades expuestas a riesgo en un punto determinado de tiempo.
Tabla 1
Fecha Expuestas Escritas Expuestas Ganadas Expuestas
en Vigor 1/ene/16 2015 2016 2015 2016
1-Ene-15 1,00 0,00 1,00 0,00 0,00
1-Abr-15 1,00 0,00 0,75 0,25 1,00
1-Jul-15 1,00 0,00 0,50 0,50 1,00
1-Oct-15 1,00 0,00 0,25 0,75 1,00
Total 4,00 0,00 2,50 1,50 3,00
Ocurrencia: es una serie de incidentes que se producen durante un corto periodo de tiempo
específico, que colectivamente resulta en daños que potencialmente están cubiertos por el
contrato de Seguros.
Reclamo: es una demanda hecha por una persona física o jurídica para recuperar por los daños
ocasionados en un Siniestro. Una Ocurrencia puede tener varios Reclamos asociados. Tanto
Ocurrencia como Reclamo indican la presencia o ausencia de un evento y no de monto.
Siniestro: relacionada a un Reclamo, es el monto al cual el Reclamo está valuado, no es una
solicitud de pago.
La Base de Datos puede ser llevada en base año de accidente (la fecha de Ocurrencia que genera
el Reclamo) ó fecha de reclamo (la fecha que la aseguradora recibe la notificación del Reclamo)
9
Periodos de Tiempo
Periodo de Accidente: es el periodo durante el cual un Ocurrencia se produce, sin importar
cuando la cobertura de las pólizas ha sido hecha, la Ocurrencia reportada ni si los Reclamos
asociados han sido hechos o pagados.
Periodo de Vigencia: es el periodo de tiempo específico durante el cual la Póliza está en vigor.
Art.1561 CC.- Se presume que la vigencia del seguro es de un año, salvo que por la
naturaleza del riesgo la prima se calcule por tiempo distinto.
Art.1562 CC.- La responsabilidad del asegurador comienza desde las veinte y cuatro
horas del día en que se inicia la cobertura y termina a las veinte y cuatro horas del
último día del plazo establecido, salvo pacto en contrario.
No todas las pólizas escritas están hechas para cubrir ocurrencia durante el periodo de vigencia
de la Póliza.
Reclamos Hechos (Claims-made) cubre Ocurrencias (o Reclamos, depende de los estipulado en
la póliza) reportados durante el Periodo de Póliza, sin importar la fecha de ocurrencia o el pago
de los reclamos asociados.
Reclamos Pagados (Claims-paid) cubre los Siniestros (o Siniestros más Gastos, depende de lo
estipulado en la póliza) pagados durante el Periodo de Póliza, sin importar las ocurrencias
asociadas o fechas de los reclamos si estos son después de las fechas retroactivas.
Siniestros Pagados: son los siniestros que han sido pagados como resultado de ocurrencia. El
monto puede ser cero.
Reserva de Casos: son estimaciones hechas por los examinadores del reclamo sobre el monto
faltante para llegar a un acuerdo, basado en los conocimientos sobre el caso a una fecha
determinada.
La diferencia entre los Acuerdos Últimos y el total de casos abiertos más reservas de casos es el
Desarrollo de Reserva de Casos. Las Ocurrencias/Reclamos no reportados deben tener una
Reserva de Incurridos pero No Reportados
El Art. 19 de la Ley 827 estable que Provisiones técnicas y reservas matemáticas de las empresas
aseguradoras y reaseguradoras establecidas en el país deberán constituir, se regirán de acuerdo
a las normas que fijará la autoridad de control.
10
Dichas normas son reglamentadas por las resoluciones Reservas Técnicas y Provisiones N ° SS.RG.
6/97, SS.SG.N° 197/05 y SS.SG.N° 172/07.
Gráfico 4
Concepto de Límites, Franquicia
Límite es una disposición que establece que cuando el Siniestro es superior a un valor
establecido, no se pagan montos superiores. Se trata de conocer el siniestro máximo a pagar
Deducible o Franquicia
El Deducible o Franquicia es una disposición que establece que cuando el Siniestro es inferior o
igual al deducible, no se realiza ningún pago.
Cuando la compañía tiene una alta frecuencia de siniestro de poco monto. Los gastos de
liquidación de los siniestros son altos. Y se busca reducir tanto la cantidad de siniestros pagados,
así como los gastos administrativos, aplicando un deducible el asegurado se hace cargo de los
montos pequeños y a partir del deducible se hace cargo la aseguradora. Al aplicar el deducible
se reduce la prima de riesgo y los gastos administrativos.
Tipos de Franquicia
1. Seguros con Franquicia Absoluta
X = Siniestro C = Franquicia o Deducible
Si X ≤ C la Cia. no indemniza, queda a cargo del asegurado
Si X > C la Cia. Indemniza X – C
2. Seguros con Franquicia Relativa
Si X ≤ C la Cia. no indemniza, queda a cargo del asegurado
Si X > C la Cia. Indemniza X
Siniestros Incurridos
Siniestros Reportados
Siniestros Pagados
Reserva de Casos
Siniestros No Reportados
Reserva de Reclamos no Reportados
11
3. Seguros con Franquicia Proporcional
Se establece un porcentaje ( r ) a cargo del asegurado, y lo que indemniza la Cia. es X (1 – r)
Aquí se tiene información del monto total denunciado
4. Primer Riesgo Absoluto
M = Suma Asegurada
Si X ≤ M la Cia. Indemniza X
Si X > M la Cia. Indemniza M
5. Primer Riesgo con Franquicia
La franquicia puede ser Absoluta o Relativa
Absoluta Si X ≤ Cla Cia. no indemniza, queda a cargo del asegurado
Si C < X < M la Cia. Indemniza X – C
Si X > M la Cia. Indemniza M – C
Relativa Si X ≤ Cla Cia. no indemniza, queda a cargo del asegurado
Si C < X < M la Cia. Indemniza X – C
Si X > M la Cia. Indemniza M
6. Prorrata
VR = Valor a Riesgo VR
MX
7. Reposicion Suma Asegurada
Suma asegurada ₲100.000
1er. siniestro ₲20.000 Se paga ₲20.000 Saldo ₲80.000 (100.000 – 20.000)
2do. siniestro ₲90.000 Se paga ₲80.000 Saldo ₲0
8. Coaseguro
Cada vez que se utiliza el seguro, se hace un co-pago. Normalmente utilizado en los seguros
médicos. El monto del Coseguro es muy bajo, no debe llegar a ser C
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Ciclo de una Póliza
Gráfico 5
Ciclo de la Póliza
Gráfico 6
IV: Inicio de la Vigencia RRC: Reservas de Riesgos en Curso
RM: Reserva Matemática OS: Ocurrencia del Siniestro
DS: Denuncia del Siniestro RS: Registro del Siniestro
RC: Reapertura de Casos RSP: Reserva de Siniestros Pendientes
IBNR: Incurred but no Reported (Incurridos pero no Reportados)
RBNR: Reported but no Recorded (Denunciados pero no Registrados)
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Concepto de Reservas y Tipos
Ley 827 de Seguros
Art. 19º.- Provisiones técnicas y reservas matemáticas. Las empresas aseguradoras y
reaseguradoras establecidas en el país deberán constituir, de acuerdo a las normas
que fijará la autoridad de control:
1) Provisiones para riesgos en curso por las obligaciones de la empresa con los
asegurados y tienen por objeto hacer frente a los riesgos que permanecen en vigor
al cierre contable de un ejercicio económico;
2) Provisiones para siniestros pendientes de liquidación o pago por importe
equivalente al monto aproximado de los siniestros declarados y aún no
indemnizados;
3) Provisiones para siniestros pendientes de declaración, para hacer frente a los
siniestros ocurridos y aún no comunicados antes del cierre de las cuentas del ejercicio
de dicho año; y,
4) Reservas matemáticas, que son exclusivas del ramo vida y están destinadas a
conseguir un equilibrio futuro entre primas y riesgos. Estas reservas se constituirán
de acuerdo con los procedimientos, tablas de mortalidad, tasas de interés técnico y
otros aspectos que fije la Autoridad de Control, mediante normas de carácter general.
Art. 27º.- Tasa de interés. En los seguros de vida, las reservas matemáticas y los
préstamos sobre la póliza se calcularán a tasas de interés de mercado.
14
Una manera de calcular la Reserva de Siniestros Incurridos pero No Reportados es restando de
los Siniestros Últimos los Incurridos. Tabla 2
Ocurrencia/
Desarrollo
Siniestros
Incurridos LDF
Siniestros
Últimos IBNR
2009 82.372 1,000 82.372 0
2010 87.413 1,001 87.511 98
2011 70.041 1,007 70.499 458
2012 77.947 1,031 80.394 2.447
2013 87.961 1,048 92.156 4.195
2014 57.547 1,113 64.040 6.493
2015 28.800 1,540 44.344 15.544
29.235
Gráfico 7
Tendencia
1/ene/09 1/ene/10 1/ene/11 1/ene/12 1/ene/13
Desarrollo de Siniestros Experimentados
Desarrollo de Siniestros Proyectados
Periodo de Experiencia Periodo de Exposición
Punto MedioExperiencia
Punto MedioExposición
1/ene/14
15
Unidad III – Introducción Seguros de Personas
)(xlólx es el número de personas de un grupo inicial que alcanzan exactamente la edad (x).
Es una función decreciente, ya que por el transcurso del tiempo el grupo va disminuyendo por
las bajas que se producen en él debido a las muertes.
ω es la edad a la cual ya no existe ninguna persona con vida en el grupo, siendo 0)( lól
)(xdód x representa el número de personas del grupo que fallecen después de cumplir la
edad (x) y antes de cumplir la edad (x+1)
d(x) = l(x) – l(x+1)
l(ω-1) = d(ω-1)
Conceptos de Probabilidad de Vida
Probabilidad de supervivencia )1;(xpópx es la probabilidad que tiene una persona de edad
(x) de vivir un año más, llegar hasta (x+1)
x
xx
l
lpó
xl
xlxp 1
)(
)1()1;(
Probabilidad de fallecimiento )1;0;(xqóqx es la probabilidad que tiene una persona de edad
(x) de no vivir un año más
xx pqóxpxq 1)1;(1)1;0;(
)(
)()1;0;(
)(
)1()(
)(
)1(1)1;0;(
xl
xdxq
xl
xlxl
xl
xlxq
);( nxpópxn es la probabilidad que una persona de edad (x) viva hasta la edad (x+n)
x
nxxn
l
lpó
xl
nxlnxp
)(
)();(
)1;1()1;1()1;()();()()( nxpxpxpxlnxpxlnxl
16
);0;(/ nxqóqxn es la probabilidad de que la persona (x)3 no llegue con vida a (x+n)
)(
);0;();0;(
)(
)()(
)(
)(1);(1);0;(
xl
nxdnxq
xl
nxlxl
xl
nxlnxpnxq
);;(/ nmxqóqxnm la probabilidad diferida de fallecimiento, es la probabilidad que tiene una
persona (x) viva hasta (x+m) y fallezca en los siguientes “n” años
);;();();;(
);(1);();();();(
);();()(
)()(
)(
);;();;(
nomxqmxpnmxq
nmxpmxpnmxpmxpmxp
nmxpmxpxl
nmxlmxl
xl
nmxdnmxq
Gráfico 8
Tasa instantánea de mortalidad
x
xx
x
xx
l
ll
l
dq 1
x
xxx
x
xxxxx
l
ll
l
llq
x
x
xxx
xxx
xxx
x
xx
xl
dx
d
lx
ll
llx
ll
x
q 1lim
1limlim
000
x
x
x ldx
d
l·
1
3 A partir de ahora se escribirá (x) para hacer referencia una persona de edad x
edad
tiempo
q(x+m;0;n)p(x;m)
x x+m x+m+n
0 m m+n
m n
17
Con un pequeño cambio de variables se puede relacionar las probabilidades de supervivencia
con la tasa instantánea de mortalidad.
tx
tx
x ldx
d
l
·1
tx
txx
xtx
tx
tx pdx
d
pl
ll
dx
d
l
·1
·1
Esperanza de Vida
La Esperanza de Vida es el promedio de años que se espera viva una persona de edad (x).
0
0 · dtpte txxtx
Resolviendo por partes se tiene que
0
0
00
0 · dtppxpdtdtpte xtxtxttxxtx
0
0 dtpe xtx
Si se calcula a partir de datos de una tabla de mortalidad
1
00
1
0
1
0
)1;();();()1;;(x
t
xx
t
x
t
x txptxpttxpttxtqe
1
1
);(x
t
x txpe
Otros Conceptos
)(xLóLx es el valor esperado de años vividos entre (x) y (x+1) de los sobrevivientes del grupo
inicial l(0)
1
2
)1()()()(
o
xlxldttxlxL
)(xTóTx es el número total de años vividos desde (x) en adelante por el grupo inicial l(0)
18
x
t
txLxT
0
)()(
El promedio T(x) es lo que se conoce como esperanza de vida a la edad (x)
)(
)(
xl
xTex
Tablas de Mortalidad
Una tabla de mortalidad es una tabulación por edades de las funciones básicas q, l, d
Tabla 3 - Tabla de Mortalidad Hombres
Hombres 2015
EDAD q(x) l(x) d(x) L(x) T(x) ex
0 0,034571 100.000 3.457 98.271 7.169.244 71,69
1 0,002055 96.543 198 96.444 7.070.972 73,24
2 0,000955 96.345 92 96.298 6.974.528 72,39
3 0,000590 96.252 57 96.224 6.878.230 71,46
4 0,000428 96.196 41 96.175 6.782.006 70,50
5 0,000335 96.155 32 96.138 6.685.831 69,53
60 0,013682 82.747 1.132 82.181 1.562.821 18,89
61 0,015003 81.615 1.224 81.003 1.480.640 18,14
62 0,016451 80.391 1.323 79.730 1.399.637 17,41
63 0,018042 79.068 1.427 78.355 1.319.907 16,69
64 0,019773 77.642 1.535 76.874 1.241.552 15,99
65 0,021677 76.107 1.650 75.282 1.164.678 15,30
Fuente: Tablas de Mortalidad utilizadas en el Estudio y Proyecciones Actuariales IPS 2015-2100.
19
Tabla 4 - Tabla de Mortalidad Mujeres
Mujeres 2015
EDAD q(x) l(x) d(x) L(x) T(x) ex
0 0,025980 100.000 2.598 98.701 7.608.843 76,09
1 0,001753 97.402 171 97.317 7.510.142 77,10
2 0,000902 97.231 88 97.187 7.412.826 76,24
3 0,000633 97.144 61 97.113 7.315.638 75,31
4 0,000510 97.082 49 97.057 7.218.526 74,35
5 0,000385 97.033 37 97.014 7.121.468 73,39
60 0,008717 88.267 769 87.882 1.892.053 21,44
61 0,009573 87.497 838 87.079 1.804.171 20,62
62 0,010525 86.660 912 86.204 1.717.092 19,81
63 0,011577 85.748 993 85.251 1.630.889 19,02
64 0,012748 84.755 1.080 84.215 1.545.638 18,24
65 0,014040 83.674 1.175 83.087 1.461.423 17,47
Fuente: Tablas de Mortalidad utilizadas en el Estudio y Proyecciones Actuariales IPS 2015-2100.
Factor de Capitalización Actuarial
Financiero
Gráfico 9
Gráfico 10
0 t
1
Regimen de Capitalización
ti)1(
0 t
1
Regimen de Actualización
t
t
iv
)1(
1
20
Biométrico Gráfico 11
La idea es que el día de hoy grupo de personas depositen en una canasta un monto dado de
dinero para que en la fecha “t” los sobrevivientes de dicho grupo reciban ₲1. Dicho monto l(x+t)
debe dividirse por la cantidad de personas que iniciaron el grupo.
Gráfico 12
Para la capitalización biométrica la idea es inversa, un grupo inicial de personas depositan el día
de hoy ₲1 para que en la fecha “t” los sobrevivientes se repartan el dinero recaudado. El monto
depositado es l(x) y debe dividirse entre l(x+t)
Actuarial
Gráfico 13
xt
t
xt Evp p(x; t)vt = E(x; t)
Para realizar una actualización actuarial se debe actualizar tanto financiera como
biométricamente.
0 t
x x+t
l(x) l(x+t)
p(x;t) 1
Regimen de Actualización
0 t
x x+t
l(x) l(x+t)
1 p(x;t)-1
Regimen de Capitalización
0 t
x x+t
E(x;t) 1
Regimen de Actualización
21
Gráfico 14
11
)1(
xt
t
xt Eip p-1(x; t)(1+i)t = E-1(x; t)
Para capitalizar actuarialmente se debe capitalizar tanto financiera como biométricamente.
Valores y Tablas de Conmutación
Los Valores de Conmutación se utilizan para facilitar los cálculos
xvxlxD )()(
1)()( xvxdxC
x
t
txDxN
0
)()( para seguros en caso de vida de capitales múltiples
x
t
txNxS
0
)()( para seguros en caso de vida de capitales variables
1
0
)()(x
t
txCxM
para seguros en caso de muerte
1
0
)()(x
t
txMxR
para seguros en casa de muerte para capitales múltiples
0 t
x x+t
1 E-1(x;t)
Regimen de Capitalización
22
Gráfico 15
ω-x-1
d(ω-1)
D(ω-1)
N(ω-1)
S(ω-1)
C(ω-2)
R(ω-2)R(x+1) R(x+t-2) R(x+t-1) R(x+t)
D(ω-2)
N(ω-2)
S(ω-2)
C(ω-3)
R(ω-3) R(ω-1)
C(ω-1)
Valores de Conmutación - Vida
Valores de Conmutación - Muerte
M(ω-1)
R(x)
M(x) M(x+1) M(x+t-2) M(x+t-1) M(x+t) M(ω-3) M(ω-2)
C(x+t-1)
S(ω)
C(x+t)[E] C(x) C(x+1) C(x+t-2)
N(ω)
S(x) S(x+1) S(x+2) S(x+t-1) S(x+t) S(x+t+1)
D(x+t+1) D(ω)
N(x) N(x+1) N(x+2) N(x+t-1) N(x+t) N(x+t+1)
vx+t+1
vω-2
vω-1
vω
[D] D(x) D(x+1) D(x+2) D(x+t-1) D(x+t)
[C] vx
vx+1
vx+2
vx+t-1
vx+t
l(ω)
[B] d(x) d(x+1) d(x+t-2) d(x+t-1) d(x+t) d(ω-3) d(ω-2)
ω
[A] l(x) l(x+1) l(x+2) l(x+t-1) l(x+t) l(x+t+1) l(ω-2) l(ω-1)
ω-x-2 ω-x
x x+1 x+2 x+t-1 x+t x+t+1 ω-2 ω-1
0 1 2 t-1 t t+1
Utilizando la tabla de mortalidad para hombres se cálculo la tabla de conmutación
Tabla 5
i = 3% v = 0,970873786
Mujeres 2015
EDAD D(x) N(x) S(x) C(x) M(x) R(x)
0 100.000 2.978.028 76.619.804 2.522 13.261 746.383
1 94.565 2.878.028 73.641.776 161 10.739 733.122
2 91.650 2.783.463 70.763.748 80 10.578 722.383
3 88.900 2.691.813 67.980.285 55 10.498 711.805
4 86.256 2.602.913 65.288.472 43 10.443 701.307
5 83.701 2.516.657 62.685.559 31 10.401 690.864
60 14.982 235.041 2.661.720 127 8.136 157.515
61 14.419 220.059 2.426.679 134 8.009 149.379
62 13.865 205.640 2.206.620 142 7.875 141.370
63 13.319 191.776 2.000.979 150 7.733 133.495
64 12.782 178.457 1.809.203 158 7.584 125.761
65 12.251 165.675 1.630.747 167 7.426 118.178
23
Tabla 6
i = 4% v = 0,961538462
Mujeres 2015
EDAD D(x) N(x) S(x) C(x) M(x) R(x)
0 100.000 2.388.515 52.667.758 2.498 8.134 362.832
1 93.656 2.288.515 50.279.243 158 5.636 354.698
2 89.896 2.194.859 47.990.729 78 5.478 349.062
3 86.360 2.104.963 45.795.870 53 5.400 343.584
4 82.986 2.018.603 43.690.907 41 5.348 338.183
5 79.754 1.935.617 41.672.304 30 5.307 332.836
60 8.391 119.492 1.280.666 70 3.795 70.236
61 7.998 111.102 1.161.173 74 3.724 66.441
62 7.616 103.104 1.050.072 77 3.651 62.717
63 7.246 95.488 946.968 81 3.574 59.066
64 6.887 88.241 851.480 84 3.493 55.492
65 6.538 81.354 763.239 88 3.409 51.999
Tabla 7
i = 3% v = 0,970873786
Hombres 2015
EDAD D(x) N(x) S(x) C(x) M(x) R(x)
0 100.000 2.905.000 72.766.875 3.356 15.388 785.577
1 93.731 2.805.000 69.861.874 187 12.032 770.188
2 90.814 2.711.269 67.056.874 84 11.845 758.156
3 88.085 2.620.455 64.345.605 50 11.761 746.312
4 85.469 2.532.371 61.725.149 36 11.710 734.551
5 82.944 2.446.902 59.192.779 27 11.675 722.841
60 14.045 200.076 2.104.187 187 8.218 138.789
61 13.449 186.031 1.904.111 196 8.031 130.571
62 12.862 172.581 1.718.080 205 7.835 122.540
63 12.282 159.720 1.545.499 215 7.630 114.705
64 11.709 147.438 1.385.779 225 7.415 107.076
65 11.143 135.729 1.238.341 235 7.190 99.661
24
Tabla 8
i = 4% v = 0,961538462
Hombres 2015
EDAD D(x) N(x) S(x) C(x) M(x) R(x)
0 100.000 2.342.704 50.574.236 3.324 9.896 397.541
1 92.830 2.242.704 48.231.531 183 6.572 387.646
2 89.076 2.149.875 45.988.827 82 6.388 381.074
3 85.568 2.060.799 43.838.952 49 6.307 374.685
4 82.228 1.975.231 41.778.153 34 6.258 368.379
5 79.032 1.893.002 39.802.923 25 6.224 362.121
60 7.866 102.480 1.022.345 103 3.924 63.159
61 7.460 94.614 919.865 108 3.821 59.235
62 7.065 87.154 825.250 112 3.713 55.414
63 6.682 80.089 738.096 116 3.602 51.701
64 6.309 73.407 658.007 120 3.486 48.099
65 5.946 67.098 584.600 124 3.366 44.613
Ejercicios - Unidad III
1. Si la Esperanza de Vida al nacer de una mujer en Paraguay es de 69 años. ¿Eso quiere decir que una mujer con 60 años de edad que se acaba de jubilar, se estima que sólo estaría recibiendo una jubilación durante 9 años?
2. Calcular la probabilidad que tiene una persona de 30 de llegar con vida hasta los 31 años.
3. Calcular la probabilidad que tiene una persona de 45 años de morir antes de cumplir los 50 años.
4. Calcular la probabilidad que tiene una persona de 25 años de morir entre los 45 y 50 años.
5. De 10.000 hombres que lleguen a los 35 años, cuántos pueden llegar a los 55 años?
25
6. Calcular cuánto tiempo vive todo el grupo de personas de 32 años durante 1 año.
7. Calcular cuánto tiempo vive todo el grupo de personas de 95 años hasta que el último integrante del grupo fallezca.
8. ¿Cuál es la esperanza de vida de una persona de 95 años? Calcularlo utilizando las “lx” de la tabla de mortalidad.
9. ¿Qué es la tasa de interés técnico y cómo se determina?
26
Unidad IV – Seguros en caso de Vida y Muerte
Seguros en caso de vida
1. Capital Diferido de Vida
Se calcula el valor actual actuarial a la edad x del capital unitario pagadero en el momento “t”; si
la persona sobrevive a tal fecha.
Expresión del Capital Diferido de Vida por medio de la Esperanza Matemática:
Tabla 9
)(
)(
)(
)(
)(
)();();()1;(
xD
txD
xlv
txlv
v
v
xl
txlvtxpvtxExP
x
tx
x
xtt
Marcha Progresiva Individual
Se busca demostrar que lo abonado por una persona (x) en el momento cero y por única vez, el
valor de una prima “E(x;t)” a una compañía de seguros, para recibir en el momento “t” un capital
equivalente a ₲CA si sobreviven. La compañía con lo recaudado en el momento cero, lo invierte
por “t” años a una tasa de interés “i”. Tabla 10
Saldo Cap. Financiera Cap. Biométrica
0 P(x;1) = CA·E(x;5) = CA·v5p(x;5) CA·v
5p(x;5)·(1+i) = CA·v
4p(x;5) CA·v
4p(x;5)·p
-1(x;1) = CA·v
4p(x+1;4)
1 CA·v4p(x+1;4) CA·v
4p(x+1;4)·(1+i) = CA·v
3p(x+1;4) CA·v
3p(x+1;4)·p
-1(x+1;1) = CA·v
3p(x+2;3)
2 CA·v3p(x+2;3) CA·v
3p(x+2;3)·(1+i) = CA·v
2p(x+2;3) CA·v
2p(x+2;3)·p
-1(x+2;1) = CA·v
2p(x+3;2)
3 CA·v2p(x+3;2) CA·v
2p(x+3;2)·(1+i) = CA·v
1p(x+3;2) CA·v
1p(x+3;2)·p
-1(x+3;1) = CA·v
1p(x+4;1)
4 CA·v1p(x+4;1) CA·v
1p(x+4;1)·(1+i) = CA·p(x+4;1) CA·p(x+4;1)·p
-1(x+4;1) = CA
5 CA
Ejercicio 1
Calcular la prima pura única de un capital diferido de vida para una persona de edad (x),
considerando un capital asegurado de ₲10.000 y un plazo de 10 años.
Sucesos (x) (x+t) (x) (x+t)
Capitales 0 1
Factor de Actualización Financiero vt vt
Factor de Actualización Biométrico q(x; 0; t) p(x; t)
Factor de Actualización Actuarial 0· vt ·q(x; 0; t) = 0 1· vt ·p(x; t)
27
Seguros en caso de vida de capitales múltiples
2. Renta Vitalicia Temporaria de Riesgo inmediato y plazo limitado
El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan, y éste
le acuerda cobertura de vida de riesgo inmediato y plazo limitado; consistente en el pago del
capital asegurado al comienzo de cada año durante un plazo preestablecido mientras viva.
Gráfico 16
)(
)()(
)(
)(
)(
)();();();0;(
1
0
1
0
1
0
1
0 xD
nxNxN
xD
txD
v
v
xl
txlvtxpvtxEnxa
n
t
n
tx
xtn
t
tn
t
3. Renta Vitalicia de Riesgo inmediato y plazo ilimitado
El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan, y éste
le acuerda cobertura de vida de riesgo inmediato y sin límite; consistente en el pago del capital
asegurado al comienzo de cada año mientras viva.
Gráfico 17
)(
)(
)(
)(
)(
)();();();0;(
1
0
1
0
1
0
1
0 xD
xN
xD
txD
v
v
xl
txlvtxpvtxExxa
x
t
x
tx
xtx
t
tx
t
E(x;0) E(x;1) E(x;2) E(x;t-1) E(x;t) E(x;t+1) E(x;n-2) E(x;n-1)
x+n-1 x+n
1 1 1 1 1 1 1 1
n-2 n-1 n
x x+1 x+2 x+t-1 x+t x+t+1 x+n-2
0 1 2 t-1 t t+1
ω-x-1
E(x;ω-2) E(x;ω-1)E(x;0) E(x;1) E(x;2) E(x;t-1) E(x;t) E(x;t+1)
ω
1 1 1 1 1 1 1 1
ω-x-2 ω-x
x x+1 x+2 x+t-1 x+t x+t+1 ω-2 ω-1
0 1 2 t-1 t t+1
28
4. Renta Vitalicia de Riesgo diferido y plazo ilimitado
El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan, y éste
le acuerda cobertura de vida de riesgo diferido y sin límite; consistente en el pago del capital
asegurado al comienzo de cada año, a partir de la edad “x+h”, mientras viva.
Gráfico 18
1
0
1
0
1
0
1
0 )(
)(
)(
)();();();;(
hx
t
hx
tx
xthx
t
thx
t xD
thxD
v
v
xl
thxlvthxpvthxEhxhxa
)(
)();;(
xD
hxNhxhxa
);0;();()(
)(·
)(
)(
)(
)(·
)(
)(hxhxahxE
hxD
hxN
xD
hxD
hxD
hxD
xD
hxN
Ejercicio 2
Una persona de edad x contrató un seguro de renta vitalicia de riesgo diferido e ilimitado, con
₲3.500 de capital anual asegurado, con primer pago a los 60 años. ¿Cuál es la prima pura única
que debe pagarse?
ω-x-h-2
x+h
h+10
x
1
x+1
h
x+h+1 ω
t
x+t
t+1
x+t+1 ω-2 ω-1
ω-x-h-1 ω-x-h
1 1 1
E(x;ω-x-1)E(x;t+1)
1 1
E(x;h) E(x;h+1) E(x;t)
1
E(x;ω-x-2)
29
Seguros en caso de muerte
1. Capital Diferido de Muerte
Es el valor actual actuarial a la edad (x) del capital unitario pagadero a la edad (x+t) a los
derechohabientes, si el fallecimiento del asegurado tiene lugar durante el transcurso del t-ésimo
año. Expresión del Capital Diferido de Muerte por medio de la Esperanza Matemática:
Tabla 11
)(
)1(
)(
)1;1;()1;1;()1;1;(
xD
txC
v
v
xl
txdvtxqvtxA
x
xtt
Seguros en caso de muerte de capitales múltiples
2. Seguro en caso de muerte de riesgo inmediato y plazo limitado
El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste
le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y plazo limitado consistente en el pago del
capital asegurado a los derechohabientes al fin del año del fallecimiento del asegurado si tiene
lugar entre las edades x y x+n.
Gráfico 19
A la hora de calcular la prima de un seguro en caso de muerte es básicamente sumar las primas
de cada año del periodo considerado actualizadas a la fecha de valuación.
)(
)()(
)(
)(
)(
)()1;;()1;;();0;(
1
0
1
0
11
0
11
0 xD
nxMxM
xD
txC
v
v
xl
txdvtxqvtxAnxA
n
t
n
tx
xtn
t
tn
t
Sucesos (x) (x+t-1) (x) (x+t-1) (x+t) (x) (x+t)
Capitales 0 1 0
Factor de Actualización Financiero vt vt vt
Factor de Actualización Biométrico q(x; 0; t-1) q(x; t-1; 1) p(x; t)
Factor de Actualización Actuarial 0· vt ·q(x; 0; t-1) = 0 1· vt ·p(x; t) 0· vt ·p(x; t) = 0
tiempo
edad
A(x;n-2;1) A(x;n-1;1)
1 ó 1
A(x;0;1) A(x;1;1) A(x;t-2;1) A(x;t-1;1) A(x;t;1) A(x;n-3;1)
1 ó 1 ó 1 ó
x+n-1 x+n
1 ó 1 ó 1 ó
n-2 n-1 n
x x+1 x+2 x+t-1 x+t x+t+1 x+n-2
0 1 2 t-1 t t+1
30
Marcha Progresiva por el método de la colectividad necesaria
Tabla 12
Ejercicio 3
Calcule la prima pura anual de un seguro en caso de muerte para una persona de edad x, con
₲10.000 de capital asegurado, pagadero al final del año de fallecimiento, si el mismo ocurre antes
de la edad x+10.
Momento Evento Fórmula
0 Recaudación
1 Capitalización
1 Pago
1 Saldo
2 Capitalización
2 Pago
2 Saldo
3 Capitalización
3 Pago
3 Saldo
4 Capitalización
4 Pago
4 Saldo
5 Capitalización
5 Pago
5 Saldo
)5;0;()5;0;()()5;0;()()1;()( 55 xdvxqvxlxAxlxPxl
)5;0;()1)(5;0;()1)(1;()( 45 xdvixdvixPxl
)(xd
)4;0;1(4 xdv
)4;0;1()1)(4;0;1( 34 xdvixdv
)1( xd
)2( xd
)3( xd
)4( xd
)3;0;2(3 xdv
)3;0;2()1)(3;0;2( 23 xdvixdv
)2;0;3(2 xdv
)2;0;3()1)(2;0;3(2 xvdixdv
)4( xvd
)4()1)(4( xdixvd
0
31
3. Seguro en caso de muerte de riesgo inmediato y plazo ilimitado
El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y este
le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato, sin límite consistente en el pago del capital
asegurado a los derechohabientes al fin del año del fallecimiento del asegurado.
Gráfico 20
)(
)(
)(
)(
)(
)()1;;()1;;();0;(
1
0
1
0
11
0
11
0 xD
xM
xD
txC
v
v
xl
txdvtxqvtxAxxA
x
t
x
tx
xtx
t
tx
t
4. Seguro en caso de muerte de riesgo diferido y plazo ilimitado
El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste
le acuerda cobertura de muerte de riesgo diferido y plazo limitado consistente en el pago del
capital asegurado a los derechohabientes al fin del año del fallecimiento del asegurado; si éste
tiene lugar a partir de h años y por un período de n años.
Gráfico 21
)(
)()();;(
)(
)(
)(
)(
)1;;()1;;()1;;();;(
1
0
1
0
1
11
11
1
xD
nhxMhxMnhxA
xD
thxC
v
v
xl
thxdv
thxqvtxqvtxAnhxA
n
t
n
tx
xth
n
ot
thnh
ht
tnh
ht
tiempo ω-x-1
edad
ó
A(x;ω-x-2;1)
1
A(x;0;1) A(x;1;1) A(x;t-2;1) A(x;t-1;1) A(x;t;1) A(x;ω-x-3;1) A(x;ω-x-1;1)
ó 1 ó 1 ó 1
ω
1 ó 1 ó 1 ó 1
ω-x-2 ω-x
x x+1 x+2 x+t-1 x+t x+t+1 ω-2 ω-1
0 1 2 t-1 t t+1
tiempo
edad
A(x;h;1) A(x;t;1) A(x;h+n-3;1) A(x;h+n-2;1) A(x;n-1;1)
ó 1 ó 1 ó 11 ó 1
h+n-1 h+n
x x+1 x+h x+h+1 x+t+1 x+n-2 x+n-1 x+n
0 1 h h+1 t+1 h+n-2
32
Método de Recurrencia
)(
)()(·
)(
)();;(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)1;;();()1;;();(
)1;;()1;;()1;;();;(
1
0
1
0
1
11
11
11
11
1
hxD
nhxMhxM
xD
hxDnhxA
hxD
thxC
xD
hxD
v
v
hxl
thxdv
xl
hxlv
thxqvhxpvthxqhxpvv
thxqvtxqvtxAnhxA
n
t
n
tx
xth
n
ot
thn
ot
th
n
ot
thnh
ht
tnh
ht
);0;();();;( nhxAtxEnhxA
Planes Mixtos y Especiales
1. Seguro en caso de muerte, con capital variable en progresión geométrica de razón igual al
capital inicial (Increasing)
El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste
le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y limitado, consistente en el pago del capital
asegurado variable a los derecho habientes al fin del año de fallecimiento del asegurado, si éste
tiene lugar entre las edades “x” y “x+n”.
Gráfico 22
)1;;()1();0;(1
0
txAtnxAIn
t
tiempo
edad
A(x;n-2;1) A(x;n-1;1)
n-1 ó n
A(x;0;1) A(x;1;1) A(x;t-2;1) A(x;t-1;1) A(x;t;1) A(x;n-3;1)
t ó t+1 ó n-2 ó
x+n-1 x+n
1 ó 2 ó t-1 ó
n-2 n-1 n
x x+1 x+2 x+t-1 x+t x+t+1 x+n-2
0 1 2 t-1 t t+1
33
Gráfico 23
)1;1;()2;2;()1;1;();0;(
)()1;1;()1;1;()1;1;()1;1;(1
)1;2;()1;2;()1;2;(2
)1;1;()1;1;(1
)1;0;(0
nxAnxAnxAnxA
vecesnnxAnxAnxAnxAn
xAxAxA
xAxA
xA
t
)(
)()()(
)(
)()(
)(
)()1;;();;();0;(
1
0
1
0
11
0
11
1
0
xD
nxnMnxRxR
xD
nxMtxM
xD
jxCjxqvtntxAnxAI
n
t
n
t
n
tj
n
t
n
tj
jn
t
2. Dotal
El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste
le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y plazo temporario o cobertura de vida de
riesgo diferido, consistente en el pago del capital asegurado a los derechohabientes al fin del año
de fallecimiento del asegurado; si éste tiene lugar dentro del plazo establecido; o en el pago de
dicho capital al fin del plazo de la cobertura, si el asegurado sobrevive.
Gráfico 24
P(x;1) = [A(x;0;n) + E(x;n)]·CA
Ejercicio 4
Calcular un plan de seguros ofrece las siguientes coberturas:
a) De muerte, de riesgo inmediato y por un plazo de 10 años, pagando al final del año a los
derechohabientes la suma de ₲10.000
b) De vida, con pago de ₲10.000 de capital asegurado si el contratante llega con vida al fin
del plazo de la cobertura de riesgo en caso de muerte.
tiempo
edad
A(x;0;n)
E(x;n) 1
1 ó 11 ó 1 ó 1 ó
x+n-1 x+n
1 ó 1 ó 1 ó
n-2 n-1 n
x x+1 x+2 x+t-1 x+t x+t+1 x+n-2
0 1 2 t-1 t t+1
34
3. Capital Doblado
El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste
le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y plazo temporario o cobertura de vida de
riesgo diferido y cobertura de muerte de riesgo diferido sin límite consistentes en el pago del
capital asegurado a los derechohabientes al fin del año de fallecimiento del asegurado, si éste
tiene lugar dentro del plazo establecido, o en el pago del capital asegurado si el asegurado
sobrevive a dicho plazo y el pago del capital asegurado a sus derecho habientes al fin del año de
fallecimiento, si éste tiene lugar a partir del plazo de diferimiento.
);();0;()1;( nxExxaxP
4. Seguro de Cuotas
El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al aegurador el riesgo del plan y éste le
acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y plazo limitado consistente en al pago de las
cuotas consecutivas y constantes a cargo del asegurado, a partir del fin del año de fallecimiento
del mismo y durante el plazo establecido.(no se cancela en ese momento todo el capital).
Gráfico 25
d
v
v
v
v
vvitnaf
tntntn
jtn
j
j
1
1
1
1);;0(
0
1
0
1
0
11
1
0
11
0
)1;;()1;;(
1)1;;();;0()1;;()1;(
n
t
nt
n
t
tnt
n
t
txqvtxqvd
C
d
vtxqvCitnaftxACSCxP
);0;();0;()1;( 1 nxqvnxAd
CSCxP n
tiempo
edad
af(0;n-1;i) af(0;2;i)
af(0;n-t-2;i) af(0;3;i)
af(0;n-t-1;i) af(0;n-t;i)
ó C
af(0;n;i) af(0;1;i)
ó C ó C ó C
x+n-1 x+n
C ó C ó C ó C
n-2 n-1 n
x x+1 x+2 x+t-1 x+t x+t+1 x+n-2
0 1 2 t-1 t t+1
35
Seguro Colectivo de Vida
Un seguro colectivo de vida4 es un seguro donde el tomador mantiene una relación definida con
un grupo de personas asegurables unidas por un interés común distinto al de obtener un seguro,
y cuyas vidas desea cubrir. Estas pueden ser empleados o miembros de un determinado grupo,
empresa, u organización (ej. asociación, club, escuela, empresa, etc.).
El grupo debe existir previamente a la contratación del seguro, la vigencia es anual y usualmente
no requiere un examen médico. El Seguro Colectivo de Vida se recalcula anualmente. Si fuera
totalmente teórico se debería calcular con cada entrada y salida de personas al grupo. Puede
no utilizarse factores de actualización financiero, debido al corto plazo de la vigencia que
imposibilitaría invertir los fondos.
Ejemplo: Se desea calcular5 la prima a ser cobrada en un seguro colectivo de 20 personas con
igual capital asegurado de ₲1.000.
Tabla 13
4 Fuente: MetLife 5 Se utiliza la tabla GSO 1960.
[A] [B] [C] [D] [E]1 18 1.000 0,00199 1,99000 4,98889 2,998892 20 1.000 0,00209 2,09000 4,98889 2,898893 22 1.000 0,00218 2,18000 4,98889 2,808894 24 1.000 0,00224 2,24000 4,98889 2,748895 26 1.000 0,00228 2,28000 4,98889 2,708896 27 1.000 0,00230 2,30000 4,98889 2,688897 28 1.000 0,00233 2,33000 4,98889 2,658898 29 1.000 0,00236 2,36000 4,98889 2,628899 30 1.000 0,00240 2,40000 4,98889 2,5888910 30 1.000 0,00240 2,40000 4,98889 2,5888911 33 1.000 0,00260 2,60000 4,98889 2,3888912 35 1.000 0,00285 2,85000 4,98889 2,1388913 41 1.000 0,00437 4,37000 4,98889 0,6188914 42 1.000 0,00475 4,75000 4,98889 0,2388915 44 1.000 0,00564 5,64000 4,98889 -0,6511116 50 1.000 0,00952 9,52000 4,98889 -4,5311117 55 1.000 0,01488 14,88000 4,98889 -9,8911118 60 1.000 0,02262 22,62000 4,98889 -17,63111
18.000 89,80000 89,80000
1.000 4,98889
0,004988889 xp = 42
Total
Promedio
Prima Colectiva por ₲1
EdadCapital
Aseguradoq(x;0;1) Prima
Prima
CobradaDiferencia
36
El primer paso para el cálculo es establecer la prima para cada asegurado de manera individual y
luego sumarlas [C]. El total de dichas primas debe dividirse por el total de capitales asegurados,
lo que da como resultado la prima promedio del grupo.
Para establecer cuál es la prima que se debe cobrar a cada persona del grupo, se multiplica la
prima promedio por el capital asegurado de dicha persona [D]. En caso que el capital asegurado
sea el mismo para todos los miembros del grupo, la prima a ser cobrada será la misma para todos.
Al hallar las diferencias entre la prima del seguro colectivo y la prima natural de cada persona [E],
la que sea igual a cero (o cercana) es la edad promedio del grupo. Al ser la prima del seguro
colectivo un promedio ponderado, el hecho que haya un mayor número de personas jóvenes
hace que baje dicho promedio.
O que los capitales asegurados de las personas más jóvenes del grupo sean altos, hacen que la
prima colectiva promedio baje en comparación con capitales iguales, manteniendo las
características del grupo.
Tabla 14
[A] [B] [C] [D] [E]1 18 2.000 0,00199 3,98000 4,66349 0,683492 20 10.000 0,00209 20,90000 23,31744 2,417443 22 2.000 0,00218 4,36000 4,66349 0,303494 24 500.000 0,00224 1120,00000 1165,87201 45,872015 26 10.000 0,00228 22,80000 23,31744 0,517446 27 1.000 0,00230 2,30000 2,33174 0,031747 28 2.000 0,00233 4,66000 4,66349 0,003498 29 1.000 0,00236 2,36000 2,33174 -0,028269 30 1.000 0,00240 2,40000 2,33174 -0,0682610 30 2.000 0,00240 4,80000 4,66349 -0,1365111 33 1.000 0,00260 2,60000 2,33174 -0,2682612 35 1.500 0,00285 4,27500 3,49762 -0,7773813 41 1.000 0,00437 4,37000 2,33174 -2,0382614 42 1.000 0,00475 4,75000 2,33174 -2,4182615 44 1.230 0,00564 6,93720 2,86805 -4,0691516 50 1.000 0,00952 9,52000 2,33174 -7,1882617 55 1.000 0,01488 14,88000 2,33174 -12,5482618 60 1.000 0,02262 22,62000 2,33174 -20,28826
539.730 1258,51220 1258,51220
29.985 69,91734
0,002331744 xp = 28
Total
Promedio
Prima Colectiva por ₲1
EdadCapital
Aseguradoq(x;0;1) Prima
Prima
CobradaDiferencia
37
Ejercicios - Unidad IV
1. Una persona de 40 años de Edad desea contratar un seguro cobrar en caso de que sobreviva al final del año un capital de ₲100 millones. Tasa de interés técnico del 3%.
2. El mismo ejercicio del punto anterior con tasa de interés técnico del 4%.
3. Una persona de 40 años de Edad desea contratar un seguro y cobrar en caso de que sobreviva al final del 5to. año un capital de ₲100 millones. Tasa de interés técnico del 4%.
4. Una persona de 70 años acaba de recibir una herencia de Gs.100millones, pero no sabe qué hacer con el dinero. Le han propuesto tomar un Renta Vitalicia de por vida. ¿Es conveniente aceptar la oferta? Compararlo con el Salario Mínimo Legal Vigente.
5. El sobrino de la persona del ejercicio anterior tiene 30 años y se da cuenta de la importancia de una jubilación. ¿Cuánto debería pagar hoy, para recibir una jubilación de US$10.000 anuales a partir de los 60 años?
6. El Sr. del ejercicio anterior se da cuenta que le resulta muy caro pagarlo de una vez. ¿Qué alternativas se le puede ofrecer y a que costo?
7. Pedro tiene 35 años y desea adquirir un seguro en caso de sobrevivencia. ¿Cuál es el costo de la Prima Pura Única si recibe un capital de ₲1.000.000:
7.1. Al final de año en caso de que sobreviva. Tasa de interés técnico es del 3%. Y si la tasa es 4%.
7.2. Al final de cada año durante 7 años. Tasa de interés técnico es del 4%.
7.3. A partir de los 60 años de edad. Tasa de interés técnico es del 4%.
7.4. Durante toda la vida. Tasa de interés técnico es del 4%.
38
Unidad V - Concepto de Prima y Premio
La Ley 827 de Seguros define:
Prima: Monto de suma determinada que ha de satisfacer el tomador o asegurado al
asegurador o fiador en concepto de contraprestación por la cobertura de riesgo que
éste le ofrece. Está compuesto por la prima de riesgo, gastos administrativos y un
margen de utilidad para la empresa
Premio: Resultado de sumar a la prima los gastos impositivos de emisión de la póliza.
Art. 15º.- Tarifas de prima. Los aseguradores establecerán libremente las tarifas de
primas que le resulten suficientes para cumplir con las obligaciones que asuman y su
necesaria capacitación económica financiera.
UPFVPPPP
P: Prima F: Gastos Fijos
PP: Prima Pura o Prima de Riesgo U: Utilidad como % de la Prima
V: Gastos Variables como % de la Prima
UV
FPPP
1
Primas Anuales, Primas de Tarifa Anuales
Prima Natural vs Prima Nivelada
A modo de ejemplo, consideremos un seguro temporario en caso de muerte, (x) = 27; n = 30 y
capital asegurado ₲10.000
39
Gráfico 26
Primas Anuales
Valor Actual de las Primas = Valor Actual de la Cobertura
)1;();0;();( xPnxanxP
);0;(
)1;();(
nxa
xPnxP
Primas de Tarifa Anuales
Gráfico 27
tiempo
edad
δPT(x;n)
α : Gastos que tienen lugar al inicio y se calculan sobre el Capital Asegurado
β : Gastos periodicos que se calculan sobre el Capital Asegurado
φ : Gastos que tienen lugar al inicio y se calculan sobre la Prima de Tarifa
δ : Gastos periodicos que se calculan sobre la Prima de Tarifa
β β
φPT(x;n)
δPT(x;n) δPT(x;n) δPT(x;n) δPT(x;n) δPT(x;n) δPT(x;n) δPT(x;n)
x+n-1 x+n
P(x;1)
α
β β β β β β
n-2 n-1 n
x x+1 x+2 x+t-1 x+t x+t+1 x+n-2
0 1 2 t-1 t t+1
40
);;();();();0;()1;();;();( noxanxPTnxPTCAnxaxPnoxanxPT
CAnxaxPnoxanoxanxPT );0;()1;();;();;();(
CAnxaxPnoxanoxanxPT );0;()1;();;(1);;();( 1
CAnoxanxaxPnoxanxPT );;();0;()1;();;(1);( 11
CAnoxanoxaxPnoxanxPT );;();;()1;();;(1);( 111
CAnoxanxPnoxanxPT );;();();;(1);( 11
);;(1
);;();();(
1
1
noxa
CAnoxanxPnxPT
Prima de Contraseguro
La idea de un Contraseguro es de devolver las primas pagadas (de tarifa) en caso que no se
produzca el evento cubierto en dicho plan.
A modo de ejemplo se tiene como plan principal un seguro temporario en caso de muerte y las
primas se pagan en forma anual adelantadas. El Contraseguro de este plan es devolver el total
de las primas pagadas al final del periodo sin llega con vida.
Gráfico 28
La prima pura del plan principal es );0;()1;( nxAxP
tiempo
edad
n·PT(x;n)
ó CA
PT(x;n) PT(x;n) PT(x;n) PT(x;n) PT(x;n) PT(x;n) PT(x;n) PT(x;n)
ó CA ó CA ó CA
x+n-1 x+n
CA ó CA ó CA ó CA
n-2 n-1 n
x x+1 x+2 x+t-1 x+t x+t+1 x+n-2
0 1 2 t-1 t t+1
41
Si se considera
);();();;();();();0;()1;();;();( nxEnxPTnnoxanxPTnxPTCAnxaxPnoxanxPT
CAnoxanoxaxPnoxannoxanxPT );;();;()1;();;();;(1);( 1111
);;(1
);;();();(
1
1
noxan
CAnoxanxPnxPT
Primas Fraccionadas6 con efecto liberatorio
Gráfico 29
);;0;();;()1;( knxaknxPxP
Renta en “k” fracciones dentro de un año
1
0
1
0
1
0
1
0
)1;(111
)1;()0;()0;(1
;1
;1
);1,0;(
k
s
k
s
k
s
k
s
k
s
txEk
s
ktxEtxE
k
stxE
k
k
stxE
kk
stxpv
kktxa
)1;(12
11);1,0;( txE
k
kktxa
6 El desarrollo de los supuestos y fórmulas se encuentra en el ANEXO
tiempo
edad
0 1
x x+1
k
1
k
2
k
s 1
k
s
k
k 1
k
nxP );(
k
nxP );(
k
nxP );(
k
nxP );(
k
nxP );(
k
nxP );(
42
Renta temporaria con “k” pagos fraccionarios dentro del año
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
)1;(11);(1
;);(1
;1
;1
);1;0;();();,0;(
n
t
k
s
n
t
k
s
n
t
k
s
n
t
k
s
k
stn
t
txEk
stxE
k
k
stxEtxE
kk
stxE
k
k
stxpv
kktxatxEknxa
);(12
1);0;();,0;(
)1;();(2
1);(
)1;(12
11);();,0;(
1
0
1
0
nxEk
knxaknxa
txEtxEk
ktxE
txEk
ktxEknxa
n
t
n
t
Primas Fraccionadas sin efecto liberatorio
Cuando se habla de efecto liberatorio es dentro del año y se hace referencia a la posibilidad de
dejar de pagar las primas cuando el asegurado fallece.
Cuando es sin efecto liberatorio dentro el año, significa que las se continuaran pagando las primas
fraccionadas dentro del año de fallecimiento, no así en los siguientes años
k
s
k
s
k
k
k
s
s
k
s
s
ksk
s
k
s
s
v
v
k
knxP
v
v
k
knxP
v
v
k
knxP
vk
knxPv
k
knxPnxP
11
0
1
1
0
11
0
1
1);;(
1
1);;(
1
);;(
);;();;();(
43
vdvkkf
kf
dknxPnxP
k
s
11)(
)();;();(
1
d
kfnxPknxPs
)();();;(
44
Unidad VI – Reservas Matemáticas
Concepto de Reservas y Tipos
Ley 827 de Seguros
Art. 19º.- Provisiones técnicas y reservas matemáticas. Las empresas aseguradoras y
reaseguradoras establecidas en el país deberán constituir, de acuerdo a las normas
que fijará la autoridad de control:
1) Provisiones para riesgos en curso por las obligaciones de la empresa con los
asegurados y tienen por objeto hacer frente a los riesgos que permanecen en vigor
al cierre contable de un ejercicio económico;
2) Provisiones para siniestros pendientes de liquidación o pago por importe
equivalente al monto aproximado de los siniestros declarados y aún no
indemnizados;
3) Provisiones para siniestros pendientes de declaración, para hacer frente a los
siniestros ocurridos y aún no comunicados antes del cierre de las cuentas del ejercicio
de dicho año; y,
4) Reservas matemáticas, que son exclusivas del ramo vida y están destinadas a
conseguir un equilibrio futuro entre primas y riesgos. Estas reservas se constituirán
de acuerdo con los procedimientos, tablas de mortalidad, tasas de interés técnico y
otros aspectos que fije la Autoridad de Control, mediante normas de carácter general.
Art. 27º.- Tasa de interés. En los seguros de vida, las reservas matemáticas y los
préstamos sobre la póliza se calcularán a tasas de interés de mercado.
Reserva Matemática
En todo seguro contratado a primas anuales se tiene en el momento inicial que “el compromiso
del asegurador iguala al compromiso del asegurado”, pero esta situación encuentra su fin apenas
empieza a correr el primer año de vigencia. En los seguros de vida - rentas vitalicias - los
compromisos del asegurador decrecen con el transcurso del tiempo; en cambio para los seguros
de muerte los compromisos del asegurador se ven incrementados con el tiempo. Así mismo, el
compromiso del asegurado, que consiste en el pago de las primas, decrece a medida que va
recibiendo la cobertura estipulada.
45
El concepto de “reservas” surge de la necesidad de medir la obligación que el asegurador posee
frente a cada asegurado en cualquier momento posterior a la contratación.
El mayor valor proporcional de la prima en los primeros años determina un capital excedente por
riesgos futuros, el cual sumado a la renta derivada de su correspondiente inversión constituye la
denominada “RESERVA MATEMÁTICA”.
Esta reserva juega en los casos de rescate, de conversión de seguro y también como beneficios
para el asegurado en forma de préstamos.
Según el método prospectivo para el cálculo de la reserva, ésta resulta del exceso del valor actual
actuarial del riesgo no corrido por encima de las primas a pagar. Mientras que según el método
retrospectivo para el cálculo de la reserva, ésta resulta del exceso del valor actual actuarial de las
primas pagadas por encima del valor final actuarial del riesgo corrido.
1. Metodos Retrospectivo y Prospectivo
a) Seguro Temporario en caso de Muerte con Prima Única
);0;(·)1;( nxACAxP
);;();0;(·)1;( tntxAtxACAxP
);();;();0;(·);()1;( 11 txEtntxAtxACAtxExP
);();;(·);();0;(·);()1;( 111 txEtntxACAtxEtxACAtxExP
ospectivootrospectiv
tntxACAtxEtxACAtxExP
PrRe
11 );0;(·);();0;(·);()1;(
b) Seguro Temporario en caso de Muerte con Primas Anuales
);0;(·);0;();( nxACAnxanxP
);;();0;(·);;();0;();( tntxAtxACAtntxatxanxP
);();;();0;(·);();;();0;();( 11 txEtntxAtxACAtxEtntxatxanxP
);0;(
11
);0;(
11 );();;(·);();0;(·);();;();();();0;();(
tntxAtntxa
txEtntxACAtxEtxACAtxEtntxanxPtxEtxanxP
ospectivootrospectiv
tntxanxPtntxACAtxEtxACAtxEtxanxP
PrRe
11 );0;();():0;(·);();0;(·);();0;();(
46
2. Método de Recurrencia
Caso de un Seguro temporario de muerte
)()1;1;()1()1();()1;;()( txdtxVtxlinxPtxVtxl
)1(
)()1();()1;;(
)1(
)()1;1;(
txl
txdinxPtxV
txl
txltxV
)1;0;()1;();()1;;()1;1;( 1 txibtxEnxPtxVtxV
)1;()1;0;();()1;;()1;1;( 1 txEtxAnxPtxVtxV
Reservat+1 = [Reservat + Prima - Riesgo] Capitalización Actuarial
Prima de Riesgo y Prima de Ahorro
)1;()1;0;(·);()1;;()1;1;( 1 txEtxACAnxPtxVtxV
)1;0;(·)1;;()1;()1;1;();( txACAtxVtxEtxVnxP
)1;0;()1;1;()1;0;(·)1;;()1;0;()1;1;()1;()1;1;();( txAtxVtxACAtxVtxAtxVtxEtxVnxP
)1;1;()1;0;()1;;()1;0;()1;()1;1;();( txVCAtxAtxVtxAtxEtxVnxP
RiesgoAhorro
txVCAtxAtxVvtxVnxP )1;1;()1;0;()1;;()1;1;();(
47
Unidad VII – Probabilidad de varias Cabezas
Supervivencia Conjunta
El grupo como tal subsiste en tanto sobrevivan todos sus integrantes; es decir que el grupo se
extingue con el primer fallecimiento.
Suponiendo un grupo compuesto por “m” individuos (cabezas) de distintas edades );...;;( 21 mxxx
. La probabilidad de supervivencia conjunta de los “m” integrantes del grupo durante un período
de “n” años se expresa.
);()...;();();;:...::( 2121 nxpnxpnxpmnxxxp mm
“n” es el tiempo que debe llegar con vida y “m” es el número de personas que sobreviven del
grupo considerado
)(
)(...
)(
)(·
)(
)();;:...::(
2
2
1
121
m
mm
xl
nxl
xl
nxl
xl
nxlmnxxxp
):...::(
):...::();;:...::(
21
2121
m
mm
xxxl
nxnxnxlmnxxxp
Siendo ):...::( 21 mxxxl el conjunto de sobrevivientes de varias cabezas, resulta del producto de
las l(x) para las distintas edades.
Último Sobreviviente (al menos 1)
El grupo formado por “m” cabezas subsiste en tanto sobreviva alguna de ellas (al menos una). El
grupo se extingue sólo cuando fallece el último integrante. La probabilidad de que al menos uno
de los integrantes sobreviva es igual a 1 menos la probabilidad de que todos mueran.
);1;;0;:...::(1);1;;:...::( 2121 mnxxxqmnxxxp mm
al menos “1” de un grupo de “m”
48
Supongamos un grupo de 2 personas del cual queremos que sobrevivan al menos 1.
);();();();()2;1;;:(
);();();();();();();();(
)2;;:();(1);();(1);(
)2;;:();0;();();0;();(
)2;1;;0;:(1)2;1;;:(
212121
21212211
211221
211221
2121
nxpnxpnxpnxpnxxp
nxpnxpnxpnxpnxpnxpnxpnxp
nxxpnxpnxpnxpnxp
nxxpnxqnxpnxqnxp
nxxqnxxp
)2;;:();();()2;1;;:( 212121 nxxpnxpnxpnxxp
Siempre se intenta expresar cualquier tipo de probabilidad para más de una cabeza como
combinación de probabilidad de supervivencia simple (donde el cálculo es directo a partir de
cualquier tabla utilizada) y conjunta (que no es otra cosa que el producto de probabilidades de
supervivencia simple; y su cálculo puede aproximarse a partir de distintas tablas ajustadas por
Makeham o Gompertz).
Seguros - Supervivencia Conjunta
1. Capital Diferido de Vida
El seguro consiste en el pago de ₲1 al cabo de “n” años, al grupo si sobreviven las “m” cabezas
que lo componen.
):...::(
):...::();;:...::();;:...::(
21
212121
m
mn
m
n
mxxxl
nxnxnxlvmnxxxpvmnxxxE
multiplicamos numerador y denominador por vt, donde “t” representa el promedio de las edades
del grupo
):...::(
):...::(·);;:...::(
21
21
:...::
:...::
2121
21
m
m
m
xxx
m
xxxn
mxxxl
nxnxnxl
v
vmnxxxE
m
m
Si definimos como valor de conmutación para varias cabezas:
):...::():...::( 21
:...::
21
21
m
m
xxx
m xxxlvxxxD
m
49
entonces el capital diferido de vida lo expresamos
):...::(
):...::();;:...::(
21
2121
m
mm
xxxD
nxnxnxDmnxxxE
2. Seguro de Vida Inmediato y Temporario
El seguro consiste en el pago de ₲1 anual, durante “n” años al grupo; siempre y cuando todos los
integrantes del mismo sobrevivan (cada integrante recibirá ₲m
1 ).
1
0 21
211
0
2121):...::(
):...::();;:...::();;0;:...::(
n
t m
mn
t
mmxxxD
txtxtxDmtxxxEmnxxxa
):...::(
):...::():...::();;0;:...::(
21
212121
m
mmm
xxxD
xxxNnxnxnxNmnxxxa
3. Seguro de Muerte Inmediato y Temporario
El seguro consiste en el pago de ₲1 al fin del año del primer fallecimiento de las “m” cabezas que
integran el grupo. Se expresa respetando la nomenclatura utilizada por los seguros de vida.
1
0 21
21
1
0
21
:...::
21
:...::1
1
0 21
21
11
0
21
1
21
):...::(
):...::(
):...::(
):...::(
):...::(
):...::();1;;:...::();;0;:...::(
21
21
n
t m
m
n
t
m
m
xxx
m
m
xxxt
n
t m
m
tn
t
m
t
m
xxxD
txtxtxC
xxxlv
txtxtxdv
xxxl
txtxtxdvmtxxxqvmnxxxA
m
m
Donde
):...::():...::():...::( 212121 txtxtxlxxxltxtxtxd mmm
):...::():...::( 21
:...::
21
21
txtxtxdvtxtxtxC m
m
xxx
m
m
entonces
):...::(
):...::():...::();;0;:...::(
21
212121
m
mmm
xxxD
nxnxnxMxxxMmnxxxA
50
ANEXOS
ANEXO I – Fórmulas
1. DERIVADA
Para calcular la rapidez de variación de una variable respecto a otro se utiliza el concepto de
derivada.
Una función )(xfy y un punto 0xx perteneciente a la función en el cual sea continua.
Considerando un incremento de la variable )( xx , se pasa del punto 0x al punto incrementado
xxx 0 .
Al punto 0x le corresponde un valor de la función )( 0xf y al punto incremental x le corresponde
un valor de la función )(xf . Y a un incremente de la variable x , 0xxx , le corresponde un
incremento de la función )()( 0xfxfy .
El coeficiente de los incrementos es 0
0 )()(
xx
xfxf
x
y
Y cuando dicho coeficiente se calcula en el límite es la derivada de dicha función en un punto
0
0
0
)()(limlim
0 xx
xfxf
x
y
xxx
2. Suma por partes de valores discretos
Dada dos funciones xv y xw cuyas diferencias son xhxx vvv y xhxx www
respectivamente, se parte de la diferencia del producto de estas dos funciones, para hallar la
manera de sumar por parte funciones discretas.
xxhxxxx
xxhxxhxxhxx
xhxxhxxx
xxhxhxxx
wvwvwv
wvwvwvwv
wwvwvv
wvwvwv
51
Aplicando la inversa de la diferencia (que es la sumatoria) a toda la ecuación y luego despejando
que llega a la función deseada.
hxxxxxx
xxhxxxx
xxhxxxx
wvwvwv
wvwvwv
wvwvwv
11
11
111
3. Factorial
)1)...(2()( hnxhxhxxx h
n
n indica la cantidad de factores del productorio y h o –h el incremento o decremento de x
la barra arriba de una expresión tiene la misma función que entre paréntesis )1(1 nn
4. Diferencia de Factorial
h
n
h
n
h
n
h
n
h
n
xx
h
n
h
n
h
n
nhxx
hnhxhxxhnxxxhx
hnxhnxhxhxxhnxhxhxxhx
xhxx
h
n
h
n
1
111
)()1()(
)1()2)...(2()()2)...(2()()(
)(
11
5. Suma de Factorial
h
nh
n
h
nh
n
h
n
h
n
xhn
x
xnh
x
nhxx
1
1
1
1
1
11
1
52
6. DUE – Distribución Uniforme E(x; t) (del Capital Diferido de Vida)
)1;(11
)1;(1
)1;()0;(1;
txEk
s
txEk
s
k
s
txEk
stxE
k
s
k
stxE
53
ANEXO II – Tablas de Mortalidad
1. Tabla de Mortalidad Mujeres 2015 Paraguay.
Tabla 15
Mujeres 2015
EDAD q(x) l(x) d(x) L(x) T(x) ex
0 0,025980 100.000 2.598 98.701 7.608.843 76,09
1 0,001753 97.402 171 97.317 7.510.142 77,10
2 0,000902 97.231 88 97.187 7.412.826 76,24
3 0,000633 97.144 61 97.113 7.315.638 75,31
4 0,000510 97.082 49 97.057 7.218.526 74,35
5 0,000385 97.033 37 97.014 7.121.468 73,39
6 0,000298 96.995 29 96.981 7.024.454 72,42
7 0,000239 96.966 23 96.955 6.927.473 71,44
8 0,000200 96.943 19 96.934 6.830.518 70,46
9 0,000177 96.924 17 96.915 6.733.585 69,47
10 0,000167 96.907 16 96.899 6.636.670 68,49
11 0,000167 96.891 16 96.882 6.539.771 67,50
12 0,000181 96.874 18 96.866 6.442.888 66,51
13 0,000201 96.857 19 96.847 6.346.023 65,52
14 0,000230 96.837 22 96.826 6.249.176 64,53
15 0,000263 96.815 25 96.802 6.152.349 63,55
16 0,000298 96.790 29 96.775 6.055.547 62,56
17 0,000332 96.761 32 96.745 5.958.772 61,58
18 0,000362 96.729 35 96.711 5.862.027 60,60
19 0,000392 96.694 38 96.675 5.765.316 59,62
20 0,000412 96.656 40 96.636 5.668.641 58,65
21 0,000433 96.616 42 96.595 5.572.005 57,67
22 0,000459 96.574 44 96.552 5.475.410 56,70
23 0,000480 96.530 46 96.507 5.378.858 55,72
24 0,000501 96.483 48 96.459 5.282.352 54,75
25 0,000518 96.435 50 96.410 5.185.892 53,78
26 0,000539 96.385 52 96.359 5.089.482 52,80
27 0,000565 96.333 54 96.306 4.993.123 51,83
28 0,000590 96.279 57 96.250 4.896.817 50,86
29 0,000622 96.222 60 96.192 4.800.567 49,89
30 0,000657 96.162 63 96.131 4.704.375 48,92
31 0,000697 96.099 67 96.065 4.608.244 47,95
32 0,000753 96.032 72 95.996 4.512.179 46,99
33 0,000803 95.960 77 95.921 4.416.183 46,02
34 0,000867 95.883 83 95.841 4.320.262 45,06
35 0,000946 95.799 91 95.754 4.224.421 44,10
36 0,001026 95.709 98 95.660 4.128.667 43,14
37 0,001112 95.611 106 95.557 4.033.007 42,18
54
Mujeres 2015
EDAD q(x) l(x) d(x) L(x) T(x) ex
38 0,001207 95.504 115 95.447 3.937.450 41,23
39 0,001304 95.389 124 95.327 3.842.003 40,28
40 0,001402 95.265 134 95.198 3.746.676 39,33
41 0,001523 95.131 145 95.059 3.651.478 38,38
42 0,001664 94.986 158 94.907 3.556.420 37,44
43 0,001824 94.828 173 94.742 3.461.513 36,50
44 0,002010 94.655 190 94.560 3.366.771 35,57
45 0,002223 94.465 210 94.360 3.272.211 34,64
46 0,002439 94.255 230 94.140 3.177.851 33,72
47 0,002676 94.025 252 93.899 3.083.711 32,80
48 0,002928 93.773 275 93.636 2.989.812 31,88
49 0,003202 93.499 299 93.349 2.896.176 30,98
50 0,003496 93.199 326 93.037 2.802.827 30,07
51 0,003821 92.874 355 92.696 2.709.791 29,18
52 0,004177 92.519 386 92.325 2.617.094 28,29
53 0,004564 92.132 421 91.922 2.524.769 27,40
54 0,004997 91.712 458 91.483 2.432.847 26,53
55 0,005474 91.253 500 91.004 2.341.364 25,66
56 0,005994 90.754 544 90.482 2.250.361 24,80
57 0,006574 90.210 593 89.913 2.159.879 23,94
58 0,007209 89.617 646 89.294 2.069.966 23,10
59 0,007914 88.971 704 88.619 1.980.672 22,26
60 0,008717 88.267 769 87.882 1.892.053 21,44
61 0,009573 87.497 838 87.079 1.804.171 20,62
62 0,010525 86.660 912 86.204 1.717.092 19,81
63 0,011577 85.748 993 85.251 1.630.889 19,02
64 0,012748 84.755 1.080 84.215 1.545.638 18,24
65 0,014040 83.674 1.175 83.087 1.461.423 17,47
66 0,015497 82.500 1.279 81.860 1.378.336 16,71
67 0,017130 81.221 1.391 80.525 1.296.476 15,96
68 0,018963 79.830 1.514 79.073 1.215.950 15,23
69 0,021010 78.316 1.645 77.493 1.136.877 14,52
70 0,023406 76.671 1.795 75.773 1.059.384 13,82
71 0,025928 74.876 1.941 73.905 983.610 13,14
72 0,028710 72.935 2.094 71.888 909.705 12,47
73 0,031800 70.841 2.253 69.714 837.817 11,83
74 0,035235 68.588 2.417 67.380 768.103 11,20
75 0,038520 66.171 2.549 64.897 700.723 10,59
76 0,042964 63.622 2.733 62.256 635.827 9,99
77 0,048062 60.889 2.926 59.426 573.571 9,42
78 0,053821 57.962 3.120 56.403 514.145 8,87
79 0,060221 54.843 3.303 53.192 457.743 8,35
80 0,068456 51.540 3.528 49.776 404.551 7,85
81 0,075650 48.012 3.632 46.196 354.775 7,39
82 0,083041 44.380 3.685 42.537 308.579 6,95
55
Mujeres 2015
EDAD q(x) l(x) d(x) L(x) T(x) ex
83 0,090676 40.695 3.690 38.850 266.042 6,54
84 0,098631 37.005 3.650 35.180 227.192 6,14
85 0,105474 33.355 3.518 31.596 192.013 5,76
86 0,114948 29.837 3.430 28.122 160.417 5,38
87 0,125568 26.407 3.316 24.749 132.295 5,01
88 0,137382 23.091 3.172 21.505 107.546 4,66
89 0,150386 19.919 2.996 18.421 86.041 4,32
90 0,165953 16.923 2.808 15.519 67.620 4,00
91 0,180606 14.115 2.549 12.840 52.101 3,69
92 0,195962 11.566 2.266 10.432 39.261 3,39
93 0,212027 9.299 1.972 8.313 28.828 3,10
94 0,228809 7.328 1.677 6.489 20.515 2,80
95 0,246314 5.651 1.392 4.955 14.026 2,48
96 0,264528 4.259 1.127 3.696 9.071 2,13
97 0,283441 3.132 888 2.688 5.375 1,72
98 0,303034 2.245 680 1.904 2.687 1,20
99 1,000000 1.564 1.564 782 782 0,50
Fuente: Tablas de Mortalidad utilizadas en el Estudio y Proyecciones Actuariales IPS 2015-2100.
56
2. Tabla de Mortalidad Hombres 2015 Paraguay.
Tabla 16
Hombres 2015
EDAD q(x) l(x) d(x) L(x) T(x) ex
0 0,034571 100.000 3.457 98.271 7.169.244 71,69
1 0,002055 96.543 198 96.444 7.070.972 73,24
2 0,000955 96.345 92 96.298 6.974.528 72,39
3 0,000590 96.252 57 96.224 6.878.230 71,46
4 0,000428 96.196 41 96.175 6.782.006 70,50
5 0,000335 96.155 32 96.138 6.685.831 69,53
6 0,000282 96.122 27 96.109 6.589.692 68,56
7 0,000252 96.095 24 96.083 6.493.583 67,57
8 0,000232 96.071 22 96.060 6.397.500 66,59
9 0,000229 96.049 22 96.038 6.301.440 65,61
10 0,000229 96.027 22 96.016 6.205.403 64,62
11 0,000242 96.005 23 95.993 6.109.387 63,64
12 0,000262 95.981 25 95.969 6.013.394 62,65
13 0,000292 95.956 28 95.942 5.917.425 61,67
14 0,000335 95.928 32 95.912 5.821.483 60,69
15 0,000375 95.896 36 95.878 5.725.570 59,71
16 0,000428 95.860 41 95.840 5.629.692 58,73
17 0,000478 95.819 46 95.796 5.533.852 57,75
18 0,000531 95.773 51 95.748 5.438.056 56,78
19 0,000591 95.723 57 95.694 5.342.308 55,81
20 0,000644 95.666 62 95.635 5.246.614 54,84
21 0,000697 95.604 67 95.571 5.150.979 53,88
22 0,000750 95.538 72 95.502 5.055.408 52,92
23 0,000800 95.466 76 95.428 4.959.906 51,95
24 0,000843 95.390 80 95.349 4.864.478 51,00
25 0,000896 95.309 85 95.267 4.769.128 50,04
26 0,000946 95.224 90 95.179 4.673.862 49,08
27 0,000999 95.134 95 95.086 4.578.683 48,13
28 0,001052 95.039 100 94.989 4.483.597 47,18
29 0,001112 94.939 106 94.886 4.388.608 46,23
30 0,001175 94.833 111 94.778 4.293.722 45,28
31 0,001238 94.722 117 94.663 4.198.944 44,33
32 0,001311 94.605 124 94.543 4.104.281 43,38
33 0,001394 94.480 132 94.415 4.009.739 42,44
34 0,001487 94.349 140 94.279 3.915.324 41,50
35 0,001587 94.208 150 94.134 3.821.046 40,56
36 0,001700 94.059 160 93.979 3.726.912 39,62
37 0,001833 93.899 172 93.813 3.632.933 38,69
38 0,001969 93.727 185 93.635 3.539.120 37,76
39 0,002129 93.542 199 93.443 3.445.485 36,83
57
Hombres 2015
EDAD q(x) l(x) d(x) L(x) T(x) ex
40 0,002305 93.343 215 93.236 3.352.042 35,91
41 0,002491 93.128 232 93.012 3.258.806 34,99
42 0,002707 92.896 251 92.770 3.165.794 34,08
43 0,002943 92.645 273 92.508 3.073.024 33,17
44 0,003206 92.372 296 92.224 2.980.516 32,27
45 0,003495 92.076 322 91.915 2.888.292 31,37
46 0,003818 91.754 350 91.579 2.796.377 30,48
47 0,004170 91.404 381 91.213 2.704.798 29,59
48 0,004556 91.023 415 90.815 2.613.585 28,71
49 0,004985 90.608 452 90.382 2.522.769 27,84
50 0,005464 90.156 493 89.910 2.432.387 26,98
51 0,005983 89.664 536 89.395 2.342.477 26,13
52 0,006555 89.127 584 88.835 2.253.082 25,28
53 0,007177 88.543 635 88.225 2.164.247 24,44
54 0,007869 87.907 692 87.562 2.076.022 23,62
55 0,008631 87.216 753 86.839 1.988.460 22,80
56 0,009459 86.463 818 86.054 1.901.621 21,99
57 0,010371 85.645 888 85.201 1.815.567 21,20
58 0,011376 84.757 964 84.275 1.730.366 20,42
59 0,012474 83.793 1.045 83.270 1.646.091 19,64
60 0,013682 82.747 1.132 82.181 1.562.821 18,89
61 0,015003 81.615 1.224 81.003 1.480.640 18,14
62 0,016451 80.391 1.323 79.730 1.399.637 17,41
63 0,018042 79.068 1.427 78.355 1.319.907 16,69
64 0,019773 77.642 1.535 76.874 1.241.552 15,99
65 0,021677 76.107 1.650 75.282 1.164.678 15,30
66 0,023761 74.457 1.769 73.572 1.089.397 14,63
67 0,026035 72.688 1.892 71.741 1.015.824 13,98
68 0,028529 70.795 2.020 69.785 944.083 13,34
69 0,031246 68.775 2.149 67.701 874.298 12,71
70 0,034216 66.627 2.280 65.487 806.597 12,11
71 0,037460 64.347 2.410 63.142 741.110 11,52
72 0,041000 61.936 2.539 60.667 677.968 10,95
73 0,044850 59.397 2.664 58.065 617.302 10,39
74 0,049057 56.733 2.783 55.341 559.237 9,86
75 0,053627 53.950 2.893 52.503 503.895 9,34
76 0,058601 51.057 2.992 49.561 451.392 8,84
77 0,064001 48.065 3.076 46.527 401.831 8,36
78 0,069868 44.989 3.143 43.417 355.304 7,90
79 0,076229 41.845 3.190 40.250 311.888 7,45
80 0,083113 38.655 3.213 37.049 271.637 7,03
81 0,090564 35.443 3.210 33.838 234.588 6,62
82 0,098602 32.233 3.178 30.644 200.750 6,23
83 0,107274 29.055 3.117 27.496 170.107 5,85
84 0,116613 25.938 3.025 24.425 142.610 5,50
58
Hombres 2015
EDAD q(x) l(x) d(x) L(x) T(x) ex
85 0,126649 22.913 2.902 21.462 118.185 5,16
86 0,137416 20.011 2.750 18.636 96.723 4,83
87 0,148940 17.261 2.571 15.976 78.086 4,52
88 0,161248 14.690 2.369 13.506 62.110 4,23
89 0,174367 12.322 2.148 11.247 48.604 3,94
90 0,188317 10.173 1.916 9.215 37.357 3,67
91 0,203105 8.257 1.677 7.419 28.142 3,41
92 0,218740 6.580 1.439 5.861 20.723 3,15
93 0,235223 5.141 1.209 4.536 14.862 2,89
94 0,252557 3.932 993 3.435 10.326 2,63
95 0,270702 2.939 796 2.541 6.891 2,34
96 0,289655 2.143 621 1.833 4.350 2,03
97 0,309369 1.522 471 1.287 2.517 1,65
98 0,329804 1.051 347 878 1.230 1,17
99 1,000000 705 705 352 352 0,50
Fuente: Tablas de Mortalidad utilizadas en el Estudio y Proyecciones Actuariales IPS 2015-2100.
59
3. Tabla de Conmutación Mujeres 2015 Paraguay.
i = 4% v = 0,961538462 Tabla 17
Mujeres 2015
EDAD l(x) D(x) N(x) S(x) C(x) M(x) R(x)
0 100.000 100.000 2.388.515 52.667.758 2.498 8.134 362.832
1 97.402 93.656 2.288.515 50.279.243 158 5.636 354.698
2 97.231 89.896 2.194.859 47.990.729 78 5.478 349.062
3 97.144 86.360 2.104.963 45.795.870 53 5.400 343.584
4 97.082 82.986 2.018.603 43.690.907 41 5.348 338.183
5 97.033 79.754 1.935.617 41.672.304 30 5.307 332.836
6 96.995 76.657 1.855.863 39.736.687 22 5.277 327.529
7 96.966 73.687 1.779.206 37.880.824 17 5.256 322.251
8 96.943 70.835 1.705.520 36.101.618 14 5.239 316.996
9 96.924 68.097 1.634.684 34.396.099 12 5.225 311.757
10 96.907 65.467 1.566.587 32.761.415 10 5.213 306.532
11 96.891 62.938 1.501.120 31.194.828 10 5.203 301.319
12 96.874 60.507 1.438.182 29.693.708 11 5.193 296.116
13 96.857 58.170 1.377.674 28.255.527 11 5.182 290.923
14 96.837 55.921 1.319.504 26.877.853 12 5.171 285.741
15 96.815 53.758 1.263.583 25.558.348 14 5.159 280.570
16 96.790 51.677 1.209.825 24.294.765 15 5.145 275.411
17 96.761 49.674 1.158.148 23.084.940 16 5.130 270.266
18 96.729 47.748 1.108.474 21.926.791 17 5.114 265.136
19 96.694 45.895 1.060.726 20.818.317 17 5.098 260.022
20 96.656 44.112 1.014.831 19.757.591 17 5.080 254.924
21 96.616 42.398 970.719 18.742.760 18 5.063 249.843
22 96.574 40.750 928.320 17.772.041 18 5.045 244.780
23 96.530 39.165 887.570 16.843.721 18 5.027 239.735
24 96.483 37.640 848.406 15.956.151 18 5.009 234.708
25 96.435 36.174 810.765 15.107.745 18 4.991 229.698
26 96.385 34.765 774.591 14.296.979 18 4.973 224.707
27 96.333 33.410 739.826 13.522.388 18 4.955 219.734
28 96.279 32.107 706.416 12.782.562 18 4.937 214.779
29 96.222 30.854 674.309 12.076.146 18 4.919 209.842
30 96.162 29.649 643.456 11.401.837 19 4.900 204.923
31 96.099 28.490 613.807 10.758.382 19 4.882 200.023
32 96.032 27.375 585.317 10.144.575 20 4.862 195.141
33 95.960 26.302 557.943 9.559.257 20 4.843 190.279
34 95.883 25.270 531.641 9.001.315 21 4.822 185.436
35 95.799 24.277 506.371 8.469.674 22 4.801 180.614
36 95.709 23.321 482.094 7.963.303 23 4.779 175.813
37 95.611 22.401 458.772 7.481.209 24 4.756 171.034
38 95.504 21.516 436.371 7.022.437 25 4.732 166.277
60
Mujeres 2015
EDAD l(x) D(x) N(x) S(x) C(x) M(x) R(x)
39 95.389 20.663 414.855 6.586.066 26 4.707 161.545
40 95.265 19.843 394.192 6.171.210 27 4.681 156.838
41 95.131 19.053 374.350 5.777.018 28 4.655 152.157
42 94.986 18.292 355.297 5.402.668 29 4.627 147.502
43 94.828 17.559 337.005 5.047.371 31 4.597 142.875
44 94.655 16.853 319.446 4.710.366 33 4.567 138.278
45 94.465 16.172 302.593 4.390.920 35 4.534 133.711
46 94.255 15.516 286.421 4.088.327 36 4.499 129.177
47 94.025 14.883 270.905 3.801.907 38 4.463 124.678
48 93.773 14.272 256.023 3.531.002 40 4.425 120.215
49 93.499 13.683 241.751 3.274.979 42 4.385 115.790
50 93.199 13.114 228.068 3.033.229 44 4.342 111.405
51 92.874 12.566 214.954 2.805.161 46 4.298 107.063
52 92.519 12.036 202.388 2.590.207 48 4.252 102.764
53 92.132 11.525 190.351 2.387.819 51 4.204 98.512
54 91.712 11.031 178.826 2.197.468 53 4.153 94.308
55 91.253 10.554 167.795 2.018.641 56 4.100 90.155
56 90.754 10.092 157.241 1.850.846 58 4.045 86.055
57 90.210 9.646 147.149 1.693.605 61 3.987 82.010
58 89.617 9.214 137.502 1.546.457 64 3.926 78.023
59 88.971 8.796 128.288 1.408.954 67 3.862 74.098
60 88.267 8.391 119.492 1.280.666 70 3.795 70.236
61 87.497 7.998 111.102 1.161.173 74 3.724 66.441
62 86.660 7.616 103.104 1.050.072 77 3.651 62.717
63 85.748 7.246 95.488 946.968 81 3.574 59.066
64 84.755 6.887 88.241 851.480 84 3.493 55.492
65 83.674 6.538 81.354 763.239 88 3.409 51.999
66 82.500 6.198 74.817 681.884 92 3.320 48.590
67 81.221 5.867 68.619 607.068 97 3.228 45.270
68 79.830 5.545 62.751 538.449 101 3.131 42.042
69 78.316 5.231 57.206 475.698 106 3.030 38.910
70 76.671 4.924 51.976 418.491 111 2.925 35.880
71 74.876 4.624 47.052 366.516 115 2.814 32.955
72 72.935 4.330 42.429 319.464 120 2.699 30.141
73 70.841 4.044 38.098 277.035 124 2.579 27.443
74 68.588 3.765 34.054 238.937 128 2.455 24.864
75 66.171 3.493 30.289 204.883 129 2.328 22.408
76 63.622 3.229 26.796 174.595 133 2.198 20.081
77 60.889 2.971 23.567 147.799 137 2.065 17.882
78 57.962 2.720 20.595 124.232 141 1.928 15.817
79 54.843 2.474 17.875 103.637 143 1.787 13.889
80 51.540 2.236 15.401 85.762 147 1.644 12.102
81 48.012 2.003 13.165 70.361 146 1.497 10.459
82 44.380 1.780 11.162 57.196 142 1.351 8.962
83 40.695 1.570 9.382 46.034 137 1.209 7.611
61
Mujeres 2015
EDAD l(x) D(x) N(x) S(x) C(x) M(x) R(x)
84 37.005 1.372 7.812 36.652 130 1.072 6.403
85 33.355 1.189 6.440 28.839 121 942 5.331
86 29.837 1.023 5.251 22.399 113 821 4.389
87 26.407 871 4.228 17.149 105 708 3.568
88 23.091 732 3.357 12.921 97 603 2.860
89 19.919 607 2.625 9.564 88 506 2.257
90 16.923 496 2.018 6.939 79 418 1.751
91 14.115 398 1.522 4.921 69 339 1.333
92 11.566 313 1.124 3.399 59 270 993
93 9.299 242 811 2.275 49 211 723
94 7.328 184 568 1.464 40 162 512
95 5.651 136 385 896 32 121 350
96 4.259 99 249 511 25 89 229
97 3.132 70 150 263 19 64 140
98 2.245 48 80 112 14 45 76
99 1.564 32 32 32 31 31 31
Fuente: Tablas de Mortalidad utilizadas en el Estudio y Proyecciones Actuariales IPS 2015-2100.
62
4. Tabla de Conmutación Mujeres 2015 Paraguay.
i = 4% v = 0,961538462 Tabla 18
Hombres 2015
EDAD l(x) D(x) N(x) S(x) C(x) M(x) R(x)
0 100.000 100.000 2.342.704 50.574.236 3.324 9.896 397.541
1 96.543 92.830 2.242.704 48.231.531 183 6.572 387.646
2 96.345 89.076 2.149.875 45.988.827 82 6.388 381.074
3 96.252 85.568 2.060.799 43.838.952 49 6.307 374.685
4 96.196 82.228 1.975.231 41.778.153 34 6.258 368.379
5 96.155 79.032 1.893.002 39.802.923 25 6.224 362.121
6 96.122 75.967 1.813.970 37.909.921 21 6.199 355.896
7 96.095 73.024 1.738.003 36.095.950 18 6.178 349.697
8 96.071 70.198 1.664.979 34.357.947 16 6.160 343.519
9 96.049 67.483 1.594.781 32.692.968 15 6.145 337.359
10 96.027 64.872 1.527.298 31.098.188 14 6.130 331.214
11 96.005 62.363 1.462.426 29.570.890 15 6.116 325.084
12 95.981 59.950 1.400.063 28.108.464 15 6.101 318.968
13 95.956 57.629 1.340.113 26.708.401 16 6.086 312.867
14 95.928 55.396 1.282.484 25.368.287 18 6.070 306.781
15 95.896 53.248 1.227.088 24.085.803 19 6.052 300.711
16 95.860 51.181 1.173.840 22.858.715 21 6.033 294.659
17 95.819 49.191 1.122.660 21.684.874 23 6.012 288.626
18 95.773 47.276 1.073.469 20.562.214 24 5.989 282.614
19 95.723 45.434 1.026.192 19.488.745 26 5.965 276.625
20 95.666 43.661 980.758 18.462.553 27 5.939 270.660
21 95.604 41.954 937.098 17.481.795 28 5.912 264.721
22 95.538 40.313 895.143 16.544.697 29 5.884 258.809
23 95.466 38.733 854.831 15.649.553 30 5.855 252.925
24 95.390 37.214 816.098 14.794.723 30 5.825 247.070
25 95.309 35.752 778.884 13.978.625 31 5.795 241.245
26 95.224 34.346 743.132 13.199.741 31 5.764 235.450
27 95.134 32.994 708.786 12.456.609 32 5.733 229.685
28 95.039 31.693 675.792 11.747.824 32 5.701 223.952
29 94.939 30.442 644.098 11.072.032 33 5.669 218.251
30 94.833 29.239 613.656 10.427.934 33 5.637 212.582
31 94.722 28.081 584.417 9.814.277 33 5.604 206.945
32 94.605 26.968 556.336 9.229.860 34 5.570 201.341
33 94.480 25.897 529.368 8.673.524 35 5.536 195.771
34 94.349 24.866 503.472 8.144.156 36 5.502 190.235
35 94.208 23.874 478.606 7.640.684 36 5.466 184.733
36 94.059 22.919 454.732 7.162.078 37 5.430 179.267
37 93.899 22.000 431.813 6.707.346 39 5.392 173.838
38 93.727 21.115 409.813 6.275.533 40 5.353 168.446
63
Hombres 2015
EDAD l(x) D(x) N(x) S(x) C(x) M(x) R(x)
39 93.542 20.263 388.697 5.865.721 41 5.313 163.093
40 93.343 19.442 368.434 5.477.024 43 5.272 157.779
41 93.128 18.652 348.992 5.108.590 45 5.229 152.507
42 92.896 17.889 330.340 4.759.598 47 5.184 147.279
43 92.645 17.155 312.451 4.429.258 49 5.138 142.095
44 92.372 16.446 295.296 4.116.807 51 5.089 136.957
45 92.076 15.763 278.849 3.821.512 53 5.038 131.868
46 91.754 15.104 263.086 3.542.662 55 4.985 126.830
47 91.404 14.468 247.982 3.279.576 58 4.930 121.845
48 91.023 13.853 233.514 3.031.594 61 4.872 116.915
49 90.608 13.260 219.661 2.798.080 64 4.811 112.043
50 90.156 12.686 206.402 2.578.419 67 4.748 107.232
51 89.664 12.132 193.715 2.372.017 70 4.681 102.484
52 89.127 11.595 181.584 2.178.301 73 4.611 97.803
53 88.543 11.076 169.989 1.996.717 76 4.538 93.192
54 87.907 10.574 158.913 1.826.729 80 4.462 88.654
55 87.216 10.087 148.339 1.667.816 84 4.382 84.192
56 86.463 9.615 138.252 1.519.477 87 4.298 79.811
57 85.645 9.158 128.637 1.381.225 91 4.210 75.513
58 84.757 8.714 119.479 1.252.588 95 4.119 71.302
59 83.793 8.284 110.764 1.133.109 99 4.024 67.183
60 82.747 7.866 102.480 1.022.345 103 3.924 63.159
61 81.615 7.460 94.614 919.865 108 3.821 59.235
62 80.391 7.065 87.154 825.250 112 3.713 55.414
63 79.068 6.682 80.089 738.096 116 3.602 51.701
64 77.642 6.309 73.407 658.007 120 3.486 48.099
65 76.107 5.946 67.098 584.600 124 3.366 44.613
66 74.457 5.594 61.152 517.502 128 3.242 41.248
67 72.688 5.251 55.558 456.351 131 3.114 38.006
68 70.795 4.917 50.307 400.793 135 2.983 34.892
69 68.775 4.593 45.390 350.486 138 2.848 31.909
70 66.627 4.279 40.796 305.097 141 2.710 29.062
71 64.347 3.973 36.517 264.300 143 2.569 26.352
72 61.936 3.677 32.544 227.783 145 2.426 23.783
73 59.397 3.391 28.867 195.239 146 2.281 21.357
74 56.733 3.114 25.476 166.372 147 2.135 19.077
75 53.950 2.848 22.361 140.897 147 1.988 16.942
76 51.057 2.591 19.514 118.536 146 1.841 14.954
77 48.065 2.346 16.922 99.022 144 1.695 13.114
78 44.989 2.111 14.577 82.100 142 1.550 11.419
79 41.845 1.888 12.466 67.523 138 1.409 9.868
80 38.655 1.677 10.577 55.058 134 1.270 8.460
81 35.443 1.479 8.900 44.480 129 1.136 7.190
82 32.233 1.293 7.422 35.580 123 1.007 6.053
83 29.055 1.121 6.129 28.158 116 885 5.046
64
Hombres 2015
EDAD l(x) D(x) N(x) S(x) C(x) M(x) R(x)
84 25.938 962 5.008 22.029 108 769 4.161
85 22.913 817 4.047 17.020 99 661 3.392
86 20.011 686 3.229 12.974 91 562 2.730
87 17.261 569 2.543 9.744 81 471 2.169
88 14.690 466 1.974 7.201 72 390 1.697
89 12.322 376 1.509 5.227 63 318 1.308
90 10.173 298 1.133 3.718 54 255 990
91 8.257 233 835 2.585 45 201 735
92 6.580 178 602 1.750 38 155 535
93 5.141 134 424 1.148 30 118 380
94 3.932 99 290 724 24 87 262
95 2.939 71 191 434 18 63 175
96 2.143 50 121 243 14 45 111
97 1.522 34 71 122 10 31 66
98 1.051 23 37 52 7 21 35
99 705 15 15 15 14 14 14
Fuente: Tablas de Mortalidad utilizadas en el Estudio y Proyecciones Actuariales IPS 2015-2100.
65
Índice Temático
Capitalización Actuarial, 24
Ciclo de una Póliza, 16
Deducible. Véase Franquicia
Exposición, 9
Franquicia, 13 Tipos de, 13
juegos justos, 4
Límite, 13
Ocurrencia, 10
Periodos, 10 de Accidente, 10 de Vigencia, 10
Premio, 41
Prima de Ahorro, 49 de Contraseguro, 43 de Riesgo, 49 de Tarifa, 42 Nivelada, 41 sin efecto liberatorio, 46
Probabilidad de fallecimiento, 19 de Vida, 19
diferida de fallecimiento, 20
Reclamo, 10
Reserva de Casos, 11
Reservas, 17, 47 Matemáticas, 47
Riesgo, 4 Aversión al, 5 transferencia de, 3 transferir, ii
Seguro, 3 Definición Económica, 6 en caso de muerte, 31
de capitales múltiples, 32 en caso de vida, 29
de capitales múltiples, 30 Ramos, 8
Siniestro, 10
Tablas de Conmutación, 27 Mortalidad, 23
Tasa instantánea de mortalidad, 20
Utilidad Esperada, 4
66
Bibliografía
▪ Actuarial Mathematics; Bowers N.L., Jr.; (1997) 2nd Edition. Society of Actuaries EE.UU.
▪ Análisis Matemático I; Garcia Venturini, Alejandro; (2000) Ediciones Cooperativas
▪ Elementos de Cálculo Actuarial; González Galé, Jóse; (1959) Ed. López
▪ Foundations of Casualty Actuarial Science; Casualty Actuarial Society, EE.UU. (2001), 4th Edition
▪ Introducción al Seguro; Fernández Dirube, Ariel. PUBLISEG S.R.L.
▪ Loss Models: From Data to Decisions; Stuart A. Klugman, Harry H. Panjer, Gordon E. Willmot, 2nd Edition, Edit. Wiley
▪ Reinsurance matters, A manual of the non-life matters; Swiss Re
▪ Teoría microeconómica: Principios básicos y ampliaciones; Walter Nicholson, (2004) Edit. THOMSON
▪ Normativa Legal
Código Civil Paraguayo
Ley de Seguros
▪ Datos Estadísticos
Dirección General de Encuestas Estadísticas y Censo del Paraguay
