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Introducción a la mecánica cuántica
Jesús Hernández TrujilloFacultad de Química, UNAM
Enero de 2017
Intro cuántica/JHT 2 / 59
Contenido:
IntroducciónÁlgebra de operadoresPostulados y teoremas de la mecánica cuántica
Introducción
Intro cuántica/JHT 3 / 59
Química cuántica
Mecánica estadística Cinética
Termodinámica
Intro cuántica/JHT 4 / 59
Definiciones:
Mecánica cuántica. Estudio del comportamiento de la materia y laenergía a escala microscópica (atómos, moléculas, partículaselementales)
Intro cuántica/JHT 4 / 59
Definiciones:
Mecánica cuántica. Estudio del comportamiento de la materia y laenergía a escala microscópica (atómos, moléculas, partículaselementales)
Química cuántica. Aplicación de la mecánica cuántica al estudio dela estructura atómica, molecular y la espectroscopía.
Intro cuántica/JHT 5 / 59
Intro cuántica/JHT 5 / 59
La química cuántica proporciona información sobre:
Propiedades moleculares (momentos dipola-res, etc)Geometrías molecularesProps. espectroscópicas(espectros UV, RMN, etc.)
Estados de transiciónEnergías de reacciónBarreras energéticasMecanismos de reacción
Intro cuántica/JHT 6 / 59
Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
La mecánica cuántica es una teoría microscópica.
Asume, además del carácter de partícula, un comportamientoondulatorio (ondas materiales).
No es posible asignar un modelo en términos de la experienciacotidiana.
Intro cuántica/JHT 6 / 59
Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
La mecánica cuántica es una teoría microscópica.
Asume, además del carácter de partícula, un comportamientoondulatorio (ondas materiales).
No es posible asignar un modelo en términos de la experienciacotidiana.
Existe una función de onda. (Ψ(x, t) en una dimensión) querepresenta el estado del sistema.
Intro cuántica/JHT 6 / 59
Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
La mecánica cuántica es una teoría microscópica.
Asume, además del carácter de partícula, un comportamientoondulatorio (ondas materiales).
No es posible asignar un modelo en términos de la experienciacotidiana.
Existe una función de onda. (Ψ(x, t) en una dimensión) querepresenta el estado del sistema.
Se postula que Ψ(x, t) satisface la ecuación de Schrödingerdependiente de t:
− hi
∂Ψ(x, t)
∂t= − h
2
2m
∂2Ψ(x, t)
∂x2+ V (x, t)Ψ(x, t) , (1)
donde: → h = h/2π; h = 6.626 × 10−34 J s: constante de Planck.
→m: masa de la partícula, → i =√−1
→ V (x, t): función de la energía potencial.
Intro cuántica/JHT 7 / 59
h es una constante fundamental
Radiación del cuerpo negro: La energía de la radiaciónelectromagnética con frecuencia ν está cuantizada:
En = nhν, n = 0, 1, 2, . . . .
Efecto fotoeléctrico: La radiación electromagnética está compuesto defotones con energía discreta E = hν.
Mediante la conexión relativista entre energía y momento, p, para unfotón:
pc = E = hc
λ; p =
h
λ
Intro cuántica/JHT 8 / 59
Fórmula de dispersión de Compton: En la dispersión de rayos X porelectrones libres:
λ′ − λ = hmec
(1− cos θγ)
Tomado de: Robinett, Quantum Mechanics
Intro cuántica/JHT 8 / 59
Fórmula de dispersión de Compton: En la dispersión de rayos X porelectrones libres:
λ′ − λ = hmec
(1− cos θγ)
Tomado de: Robinett, Quantum Mechanics
El momento angular del electrón en el átomo H está cuantizado:
L = nh, n = 1, 2, 3, . . .
Intro cuántica/JHT 8 / 59
Fórmula de dispersión de Compton: En la dispersión de rayos X porelectrones libres:
λ′ − λ = hmec
(1− cos θγ)
Tomado de: Robinett, Quantum Mechanics
El momento angular del electrón en el átomo H está cuantizado:
L = nh, n = 1, 2, 3, . . .
Longitud de onda de de Broglie: la materia (ej. electrones) satisface:
λdB =h
p
Intro cuántica/JHT 9 / 59
Principio de incertidumbre
No es posible conocer con exactitud la posición, x, y el
momento, p = mv, de una partícula de manera simul-
tánea y en cualquier instante.
El producto de las incertidumbres, σx y σp:
σxσp ≥h
2. (2)
→ No es posible conocer la trayectoria de una partícula.
Intro cuántica/JHT 10 / 59
Gráficamente:
Tomado de: Pilar, Elementary Quantum Chemistry
Intro cuántica/JHT 11 / 59
Interpretación estadística de la función de onda (Born):
Ψ(x, t) ↔ |Ψ(x, t)|2dx = Ψ(x, t)⋆Ψ(x, t)dx︸ ︷︷ ︸
probabilidad de encontrar a la partícula entrex y x+ dx
x x+dx
|Ψ(x,t))|2
dx
|Ψ(x,t)|2dx → |Ψ(x, t)|2:
densidad de probabilidad
Intro cuántica/JHT 12 / 59
Estadística:
Propiedad x:Valores {xi|i = 1, . . . , n} y probabilidades {P (xi), i = 1, . . . , n}
El valor promedio es
x ≡ 〈x〉 =n∑
i=1
xi P (xi), P (xi) : distribución discreta.
Intro cuántica/JHT 12 / 59
Estadística:
Propiedad x:Valores {xi|i = 1, . . . , n} y probabilidades {P (xi), i = 1, . . . , n}
El valor promedio es
x ≡ 〈x〉 =n∑
i=1
xi P (xi), P (xi) : distribución discreta.
Función de distribución continua:
〈x〉 =∫xρ(x)dx
Intro cuántica/JHT 13 / 59
Ejemplo:Distribución normal (Gaussiana)
ρ(x) =1
σ√2πe−(x−µ)2/(2σ2)
tal que∫ ∞
−∞ρ(x)dx = 1 y σ2 =
∫ ∞
−∞(x− µ)2ρ(x)dx =
⟨x2⟩− 〈x〉 → (varianza)
Intro cuántica/JHT 13 / 59
Ejemplo:Distribución normal (Gaussiana)
ρ(x) =1
σ√2πe−(x−µ)2/(2σ2)
tal que∫ ∞
−∞ρ(x)dx = 1 y σ2 =
∫ ∞
−∞(x− µ)2ρ(x)dx =
⟨x2⟩− 〈x〉 → (varianza)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
−2 −1 0 1 2 3 4
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
−2 −1 0 1 2 3 4
x
ρ(x) ρ(x)
µ = 1
σ = 0.45 σ = 0.90
Intro cuántica/JHT 14 / 59
En mecánica cuántica:
ρ(x, t) ≡ |Ψ(x, t)|2
Valor promedio de la posición de una partícula:
〈x〉 =∫ b
ax|Ψ(x, t)|2 dx . (3)
x ∈ (−∞,∞).
La mecánica cuántica es de natura-leza estadística
Intro cuántica/JHT 15 / 59
Ecuación de Schrödinger indep. del tiempo:
Caso particular:
Función de energía potencial independiente del tiempo: V = V (x)
Substituir en (1)
− hi
∂Ψ(x, t)
∂t= − h
2
2m
∂2Ψ(x, t)
∂x2+ V (x)Ψ(x, t) (4)
Intro cuántica/JHT 15 / 59
Ecuación de Schrödinger indep. del tiempo:
Caso particular:
Función de energía potencial independiente del tiempo: V = V (x)
Substituir en (1)
− hi
∂Ψ(x, t)
∂t= − h
2
2m
∂2Ψ(x, t)
∂x2+ V (x)Ψ(x, t) (4)
Ejercicio:Mediante el procedimiento de separación de variables,obtén la ecuación de Schrödinger independiente deltiempo.
Intro cuántica/JHT 16 / 59
Para ello, substituye
Ψ(x, t) = f(t)ψ(x) (5)
en (4) y obtén
− h2
2m
d2ψ(x)
dx2+ V (x)ψ(x) = Eψ(x) (6)
→ ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
donde
Ψ(x, t) = e−Eit/hψ(x) (7)
Intro cuántica/JHT 17 / 59
Postulado:
E es la energía de la partícula
En un problema particular, hay que definir:
V (x)
condiciones a la frontera
Intro cuántica/JHT 17 / 59
Postulado:
E es la energía de la partícula
En un problema particular, hay que definir:
V (x)
condiciones a la frontera
Además:
→ (6) es un postulado de la teoría.
→ Incógnitas: ψ(x) y E
Intro cuántica/JHT 18 / 59
A partir de (7):
|Ψ(x, t)|2 = Ψ(x, t)⋆Ψ(x, t)
=[e+Eit/hψ(x)⋆
][e−Eit/hψ(x)] = ψ(x)⋆ψ(x)
Es decir
|Ψ(x, t)|2 = |ψ(x)|2 (8)
Soluciones de la forma (7): estados estacionarios
Operadores
Intro cuántica/JHT 19 / 59
En mecánicacuántica:
Cantidad física↔ operador.
Operadores
Intro cuántica/JHT 19 / 59
En mecánicacuántica:
Cantidad física↔ operador.
Definición 1: (Operador) Es una regla de asociación entre elementos
de dos espacios vectoriales.
Ejemplos:
y = f(x) = 2/(1 + x)2.f asocia a x0 ∈ ℜ el elemento 2/(1 + x0)
2 ∈ ℜ.
Operadores
Intro cuántica/JHT 19 / 59
En mecánicacuántica:
Cantidad física↔ operador.
Definición 1: (Operador) Es una regla de asociación entre elementos
de dos espacios vectoriales.
Ejemplos:
y = f(x) = 2/(1 + x)2.f asocia a x0 ∈ ℜ el elemento 2/(1 + x0)
2 ∈ ℜ.
y = det(A), donde A ∈ Mn×n.(det actúa sobre matrices cuadradas).
Operadores
Intro cuántica/JHT 19 / 59
En mecánicacuántica:
Cantidad física↔ operador.
Definición 1: (Operador) Es una regla de asociación entre elementos
de dos espacios vectoriales.
Ejemplos:
y = f(x) = 2/(1 + x)2.f asocia a x0 ∈ ℜ el elemento 2/(1 + x0)
2 ∈ ℜ.
y = det(A), donde A ∈ Mn×n.(det actúa sobre matrices cuadradas).
Df = df/dx.(D actúa sobre funciones).
Operadores
Intro cuántica/JHT 19 / 59
En mecánicacuántica:
Cantidad física↔ operador.
Definición 1: (Operador) Es una regla de asociación entre elementos
de dos espacios vectoriales.
Ejemplos:
y = f(x) = 2/(1 + x)2.f asocia a x0 ∈ ℜ el elemento 2/(1 + x0)
2 ∈ ℜ.
y = det(A), donde A ∈ Mn×n.(det actúa sobre matrices cuadradas).
Df = df/dx.(D actúa sobre funciones).
y = I[f(x)] =∫ ba f(x)dx.
(I actúa sobre funciones)
Intro cuántica/JHT 20 / 59
suma y la diferencia de operadores(A+ B
)f = Af + Bf (9)
(A − B
)f = Af − Bf (10)
Producto (composición) de operadores(AB
)f ≡ A
(Bf
)(11)
La acción de AB sobre f es de derecha a izquierda: (AB) f←−
Intro cuántica/JHT 20 / 59
suma y la diferencia de operadores(A+ B
)f = Af + Bf (9)
(A − B
)f = Af − Bf (10)
Producto (composición) de operadores(AB
)f ≡ A
(Bf
)(11)
La acción de AB sobre f es de derecha a izquierda: (AB) f←−Notación: A2 ≡ AA
Intro cuántica/JHT 20 / 59
suma y la diferencia de operadores(A+ B
)f = Af + Bf (9)
(A − B
)f = Af − Bf (10)
Producto (composición) de operadores(AB
)f ≡ A
(Bf
)(11)
La acción de AB sobre f es de derecha a izquierda: (AB) f←−Notación: A2 ≡ AA
Ejemplo:
El operador segunda derivada es el producto de dos operadores:
D2 =d
dx
(d
dx
)=
d2
dx2
Intro cuántica/JHT 21 / 59
Definición 2: (operador lineal) A es lineal si y sólo si, ∀k1, k2 ∈ C, secumple
A (k1f1 + k2f2) = k1Af1 + k2Af2 (12)
→ Los operadores de la mecánica
cuántica son lineales.
Intro cuántica/JHT 21 / 59
Definición 2: (operador lineal) A es lineal si y sólo si, ∀k1, k2 ∈ C, secumple
A (k1f1 + k2f2) = k1Af1 + k2Af2 (12)
→ Los operadores de la mecánica
cuántica son lineales.
Ejemplo: El operador derivada es un operador lineal
d
dx[k1f(x) + k2g(x)] = k1
d f
dx+ k2
d g
dx
Intro cuántica/JHT 21 / 59
Definición 2: (operador lineal) A es lineal si y sólo si, ∀k1, k2 ∈ C, secumple
A (k1f1 + k2f2) = k1Af1 + k2Af2 (12)
→ Los operadores de la mecánica
cuántica son lineales.
Ejemplo: El operador derivada es un operador lineal
d
dx[k1f(x) + k2g(x)] = k1
d f
dx+ k2
d g
dx
Ejercicio: Determina si el operador L2 = −d2/d x2 + x2 es lineal.
Intro cuántica/JHT 22 / 59
En general:
AB 6= BA
Intro cuántica/JHT 22 / 59
En general:
AB 6= BA
Definición 3: (Conmutador) El conmutador de A y B] Se define como[A, B
]= AB − BA (13)
[A, B
]= 0 ↔ A y B conmutan.
Intro cuántica/JHT 23 / 59
Algunas propiedades:[A, B + C
]=
[A, B
]+
[A, C
](14)
[kA, B
]=
[A, kB
]= k
[A, B
](15)
[A, BC
]=
[A, B
]C + B
[A, C
](16)
Intro cuántica/JHT 23 / 59
Algunas propiedades:[A, B + C
]=
[A, B
]+
[A, C
](14)
[kA, B
]=
[A, kB
]= k
[A, B
](15)
[A, BC
]=
[A, B
]C + B
[A, C
](16)
Ejercicios:
Demuestra que[A, B
]= −
[B, A
]
Intro cuántica/JHT 23 / 59
Algunas propiedades:[A, B + C
]=
[A, B
]+
[A, C
](14)
[kA, B
]=
[A, kB
]= k
[A, B
](15)
[A, BC
]=
[A, B
]C + B
[A, C
](16)
Ejercicios:
Demuestra que[A, B
]= −
[B, A
]
Tarea: Demuestra la propiedad (16)
Intro cuántica/JHT 23 / 59
Algunas propiedades:[A, B + C
]=
[A, B
]+
[A, C
](14)
[kA, B
]=
[A, kB
]= k
[A, B
](15)
[A, BC
]=
[A, B
]C + B
[A, C
](16)
Ejercicios:
Demuestra que[A, B
]= −
[B, A
]
Tarea: Demuestra la propiedad (16)
Sean A = −d/dx y B = xd/dx
1. Encuentra (A+ 2B)x2
Intro cuántica/JHT 23 / 59
Algunas propiedades:[A, B + C
]=
[A, B
]+
[A, C
](14)
[kA, B
]=
[A, kB
]= k
[A, B
](15)
[A, BC
]=
[A, B
]C + B
[A, C
](16)
Ejercicios:
Demuestra que[A, B
]= −
[B, A
]
Tarea: Demuestra la propiedad (16)
Sean A = −d/dx y B = xd/dx
1. Encuentra (A+ 2B)x2
2. Obtén [A, B]x3
Intro cuántica/JHT 23 / 59
Algunas propiedades:[A, B + C
]=
[A, B
]+
[A, C
](14)
[kA, B
]=
[A, kB
]= k
[A, B
](15)
[A, BC
]=
[A, B
]C + B
[A, C
](16)
Ejercicios:
Demuestra que[A, B
]= −
[B, A
]
Tarea: Demuestra la propiedad (16)
Sean A = −d/dx y B = xd/dx
1. Encuentra (A+ 2B)x2
2. Obtén [A, B]x3
Evalúa el conmutador [A, B], donde A = d/dx+ 2x2 yB = d/dx− x.
Intro cuántica/JHT 24 / 59
Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo:
[− h
2
2m
d2
dx2+ V (x)
]ψ(x) = Eψ(x)
Operador Hamiltoniano:
H = − h2
2m
d2
dx2+ V (x) (17)
Intro cuántica/JHT 24 / 59
Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo:
[− h
2
2m
d2
dx2+ V (x)
]ψ(x) = Eψ(x)
Operador Hamiltoniano:
H = − h2
2m
d2
dx2+ V (x) (17)
Por lo tanto:
Hψ(x) = Eψ(x) (18)
H es un operador lineal
Intro cuántica/JHT 25 / 59
El problema de valores propios
La ecuación (18) es de la forma
Aφ(x) = aφ(x) (19)
Intro cuántica/JHT 25 / 59
El problema de valores propios
La ecuación (18) es de la forma
Aφ(x) = aφ(x) (19)
Definición 2: (Problema de valores propios)
Dado el operador A, encontrar φ(x) y la constante a que satisfagan laecuación de valores propios, (19). La función φ(x) se llama la función
propia (eigenfunción) de A y la constante a el valor propio (eigenvalor)de φ(x).
Intro cuántica/JHT 26 / 59
Ejercicio:
Determina si f(x) = e−x2/2 es función propia de L2 = −D2 + x2. Si loes, encuentra el correspondiente valor propio.
Intro cuántica/JHT 26 / 59
Ejercicio:
Determina si f(x) = e−x2/2 es función propia de L2 = −D2 + x2. Si loes, encuentra el correspondiente valor propio.
Ejercicios:
Verifica que las siguientes son funciones propias del operadorcorrespondiente y encuentra el valor propio.
g(x) = eikx, p = −D.
Intro cuántica/JHT 26 / 59
Ejercicio:
Determina si f(x) = e−x2/2 es función propia de L2 = −D2 + x2. Si loes, encuentra el correspondiente valor propio.
Ejercicios:
Verifica que las siguientes son funciones propias del operadorcorrespondiente y encuentra el valor propio.
g(x) = eikx, p = −D.
f(x, y, z) = sen(αx) sen(βy), O = −(1/2)∇2
Intro cuántica/JHT 26 / 59
Ejercicio:
Determina si f(x) = e−x2/2 es función propia de L2 = −D2 + x2. Si loes, encuentra el correspondiente valor propio.
Ejercicios:
Verifica que las siguientes son funciones propias del operadorcorrespondiente y encuentra el valor propio.
g(x) = eikx, p = −D.
f(x, y, z) = sen(αx) sen(βy), O = −(1/2)∇2
Tarea:
Encuentra las funciones y los valores propios de D2
Intro cuántica/JHT 27 / 59
Degeneración
Cuando el conjunto de funciones propias
{ϕi, i = 1, . . . ,m}
del operador A tiene el mismo valor propio a, se dice que el conjunto esdegenerado
Teorema 1. Una combinación lineal de funciones propias degeneradas
con valor propio a tiene el mismo valor propio a.
Ejercicio:
Demuestra este teorema.
Intro cuántica/JHT 28 / 59
Operadores de la mecánica cuántica
En mecánica cuántica:
propiedad física A ⇔ A
Intro cuántica/JHT 28 / 59
Operadores de la mecánica cuántica
En mecánica cuántica:
propiedad física A ⇔ A
Ejemplo: energía ⇔ H
ψ(x) es función propia de H con valor propio E:
Hψ(x) = Eψ(x)
Intro cuántica/JHT 28 / 59
Operadores de la mecánica cuántica
En mecánica cuántica:
propiedad física A ⇔ A
Ejemplo: energía ⇔ H
ψ(x) es función propia de H con valor propio E:
Hψ(x) = Eψ(x)
Además:
Posible espectro discreto (condiciones a la frontera)Algunas mediciones experimentales producen valores discretos paraciertas propiedades.
Intro cuántica/JHT 29 / 59
H es de la forma: H = Tx + V (20)
donde: Tx ⇔ energía cinéticaV ⇔ energía potencial
Intro cuántica/JHT 29 / 59
H es de la forma: H = Tx + V (20)
donde: Tx ⇔ energía cinéticaV ⇔ energía potencial
El operador Tx = − h2
2m
d2
dx2(21)
se relaciona con el de momento lineal.
Intro cuántica/JHT 29 / 59
H es de la forma: H = Tx + V (20)
donde: Tx ⇔ energía cinéticaV ⇔ energía potencial
El operador Tx = − h2
2m
d2
dx2(21)
se relaciona con el de momento lineal.
En mecánica clásica: p2 = 2mEc
Intro cuántica/JHT 29 / 59
H es de la forma: H = Tx + V (20)
donde: Tx ⇔ energía cinéticaV ⇔ energía potencial
El operador Tx = − h2
2m
d2
dx2(21)
se relaciona con el de momento lineal.
En mecánica clásica: p2 = 2mEc
En mecánica cuántica : p2x = 2mTx = 2m
(− h
2
2m
d2
dx2
)
Intro cuántica/JHT 29 / 59
H es de la forma: H = Tx + V (20)
donde: Tx ⇔ energía cinéticaV ⇔ energía potencial
El operador Tx = − h2
2m
d2
dx2(21)
se relaciona con el de momento lineal.
En mecánica clásica: p2 = 2mEc
En mecánica cuántica : p2x = 2mTx = 2m
(− h
2
2m
d2
dx2
)
Es decir, p2x = −h2 d2
dx2(22)
Intro cuántica/JHT 29 / 59
H es de la forma: H = Tx + V (20)
donde: Tx ⇔ energía cinéticaV ⇔ energía potencial
El operador Tx = − h2
2m
d2
dx2(21)
se relaciona con el de momento lineal.
En mecánica clásica: p2 = 2mEc
En mecánica cuántica : p2x = 2mTx = 2m
(− h
2
2m
d2
dx2
)
Es decir, p2x = −h2 d2
dx2(22)
Además, p2x ≡ pxpx.
Intro cuántica/JHT 29 / 59
H es de la forma: H = Tx + V (20)
donde: Tx ⇔ energía cinéticaV ⇔ energía potencial
El operador Tx = − h2
2m
d2
dx2(21)
se relaciona con el de momento lineal.
En mecánica clásica: p2 = 2mEc
En mecánica cuántica : p2x = 2mTx = 2m
(− h
2
2m
d2
dx2
)
Es decir, p2x = −h2 d2
dx2(22)
Además, p2x ≡ pxpx.
Por lo tanto: px = −ih ddx
(23)
Intro cuántica/JHT 30 / 59
Valor esperado (promedio)
En el caso de la posición:x ⇔ x
→ x es un operador multiplicativo.
〈x〉 =∫ b
ax|Ψ(x, t)|2 dx =
∫ b
axΨ⋆(x)Ψ(x, t) dx
Intro cuántica/JHT 30 / 59
Valor esperado (promedio)
En el caso de la posición:x ⇔ x
→ x es un operador multiplicativo.
〈x〉 =∫ b
ax|Ψ(x, t)|2 dx =
∫ b
axΨ⋆(x)Ψ(x, t) dx
〈x〉 =∫ b
aΨ⋆(x, t)xΨ(x, t) dx (24)
donde xΨ(x, t) = xΨ(x, t).
Intro cuántica/JHT 30 / 59
Valor esperado (promedio)
En el caso de la posición:x ⇔ x
→ x es un operador multiplicativo.
〈x〉 =∫ b
ax|Ψ(x, t)|2 dx =
∫ b
axΨ⋆(x)Ψ(x, t) dx
〈x〉 =∫ b
aΨ⋆(x, t)xΨ(x, t) dx (24)
donde xΨ(x, t) = xΨ(x, t).
Dado que |Ψ(x, t)|2 es una función de distribución de probabilidad:∫ b
a|Ψ(x, t)|2dx = 1 ⇒ función de onda normalizada (25)
Intro cuántica/JHT 31 / 59
Operador no multiplicativo: f(x)px 6= pxf(x)
Postulado:
〈A〉 =∫ b
aΨ⋆(x, t)AΨ(x, t) dx (26)
Intro cuántica/JHT 31 / 59
Operador no multiplicativo: f(x)px 6= pxf(x)
Postulado:
〈A〉 =∫ b
aΨ⋆(x, t)AΨ(x, t) dx (26)
Para una función de onda φ(x, t) cuadrático integrable no normalizada:
〈A〉 =∫ ba φ
⋆(x, t)Aφ(x, t) dx∫ ba |φ(x, t)|2dx
(27)
Intro cuántica/JHT 32 / 59
Teorema:
Sea φ(x, t) solución del problema de valores propios
Aφ(x, t) = aφ(x, t) ,
donde A es un operador lineal.
Sea k 6= 0. Entonces:
φ′(x, t) = k φ(x, t)
también es solución del problema de valores propios y tiene el valorpropio a.
Intro cuántica/JHT 33 / 59
Toda φ(x, t) cuadrático integrable puede ser normalizada.
Sea Ψ(x, t) = Nφ(x, t) (28)
N es tal que
∫ b
a|Ψ(x, t)|2dx =
∫ b
a|Nφ(x, t)|2dx = N2
∫ b
a|φ(x, t)|2dx
= N2α = 1
Intro cuántica/JHT 33 / 59
Toda φ(x, t) cuadrático integrable puede ser normalizada.
Sea Ψ(x, t) = Nφ(x, t) (28)
N es tal que
∫ b
a|Ψ(x, t)|2dx =
∫ b
a|Nφ(x, t)|2dx = N2
∫ b
a|φ(x, t)|2dx
= N2α = 1
Por lo tanto
N =
√1
∫ ba |φ(x, t)|2dx
=
√1
α(29)
Intro cuántica/JHT 34 / 59
Ejercicio:
Una partícula se describe por la función de onda no normalizadaΨ(r, θ, φ) = Ne−ar2
, donde a > 0 y r ∈ [0,∞), θ ∈ [0, π] yφ ∈ [0, 2π] son las coordenadas esféricas. Encuentra la constante denormalización.
→ Recuerda que dτ = r2 sen θdrdθdφ.
→ Utiliza
∫ ∞
0r2me−αr2
dr =(2m)!π1/2
22m+1m!αm+1/2.
Intro cuántica/JHT 35 / 59
Ortogonalidad
Funciones ortogonales.
Dos funciones complejas f y g son ortogonales si y sólo si∫f⋆g dτ =
∫g⋆f dτ = 0 . (30)
Intro cuántica/JHT 35 / 59
Ortogonalidad
Funciones ortogonales.
Dos funciones complejas f y g son ortogonales si y sólo si∫f⋆g dτ =
∫g⋆f dτ = 0 . (30)
Además, si f y g están normalizadas, se dice que las funciones sonortonormales.
Intro cuántica/JHT 35 / 59
Ortogonalidad
Funciones ortogonales.
Dos funciones complejas f y g son ortogonales si y sólo si∫f⋆g dτ =
∫g⋆f dτ = 0 . (30)
Además, si f y g están normalizadas, se dice que las funciones sonortonormales.
Ejemplo:
Determina si las funciones f(x) = x2 − 1 y g(x) = x son ortogonalesen el intervalo x ∈ [−
√2,√2].
Intro cuántica/JHT 36 / 59
Solución:∫ √
2
−√
2f(x)g(x)dx =
∫ √2
−√
2(x2 − 1)xdx =
∫ √2
−√
2(x3 − x)dx = 0
Gráficamente:
El área bajo la curva de la
función f(x) g(x) se anula
para x ∈ [−√2,√2]
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
f(x) g(x)
f(x)g(x)
−+
−+
Intro cuántica/JHT 37 / 59
Operadores Hermitianos
Sea A un operador lineal que representa a la propiedad física A:
〈A〉 =∫
Ψ⋆AΨdτ ≡∫
Ψ⋆[AΨ
]dτ
Dado que 〈A〉 debe ser un número real:
〈A〉 = 〈A〉⋆
Intro cuántica/JHT 37 / 59
Operadores Hermitianos
Sea A un operador lineal que representa a la propiedad física A:
〈A〉 =∫
Ψ⋆AΨdτ ≡∫
Ψ⋆[AΨ
]dτ
Dado que 〈A〉 debe ser un número real:
〈A〉 = 〈A〉⋆
Es decir,
∫Ψ⋆AΨdτ =
[∫Ψ⋆AΨdτ
]⋆=∫Ψ(AΨ
)⋆dτ
A es operador Hermitiano
Intro cuántica/JHT 38 / 59
Ejemplo:
Sea ψ(x), x ∈ (−∞,∞):
Con primeras derivadas continuasCuadrático integrableψ(x) satisface las condiciones a la frontera:
ψ(−∞) = ψ(∞) = 0 (31)
El promedio de px:
〈px〉 =∫ ∞
−∞ψ⋆(x)
[−ihdψ(x)
dx
]dx
Ejercicio:
Prueba que px es Hermitiano.
Intro cuántica/JHT 39 / 59
Ejemplo:
Sea ψ(x), x ∈ (−∞,∞):
Con primeras derivadas continuasCuadrático integrableψ(x) satisface las condiciones a la frontera:
ψ(−∞) = ψ(∞) = 0 (32)
El promedio de px:
〈px〉 =∫ ∞
−∞ψ⋆(x)
[−ihdψ(x)
dx
]dx
Ejercicio:
Prueba que px es Hermitiano.
Intro cuántica/JHT 40 / 59
Definición general:
Definición 1 (Operador Hermitiano). Sea A un operador lineal. A es
Hermitiano si satisface:∫f⋆ A gdτ =
∫g(Af
)⋆dτ (33)
Un operador Hermitiano también es llamado operador autoadjunto
En mecánica cuántica, una propiedad física A es representada
por un operador lineal Hermitiano, A
Intro cuántica/JHT 41 / 59
Sean {φi} y {ai} funciones y valores propios del operador A:
Aφi = aiφi (34)
Teorema: Los valores propios de un operador Hermitiano son númerosreales:
ai = a⋆i (35)
Intro cuántica/JHT 42 / 59
Teorema: Las funciones propias de un operador Hermitiano son o puedenescogerse ortogonales.
caso 1 ai 6= aj Ausencia de degeneración.∫φ⋆iφj dτ = 0 (36)
→ las funciones propias de A son ortogonales
caso 2 ai = aj (degeneración)
∫φ⋆iφj dτ no es cero necesariamente
Aunque φi y φj pueden escogerse ortogonales (ortogonalizaciónde Gram–Schmidt)
Intro cuántica/JHT 43 / 59
Además, las funciones {φi}, pueden escogerse normalizadas:∫φ⋆iφjdτ =
∫φ⋆jφidτ = δij (37)
donde
δij =
{1 : i = j0 : i 6= j
(38)
es la delta de Kronecker.
Intro cuántica/JHT 44 / 59
Teorema: Completitud. Las funciones propias de un operadorHermitiano forman un conjunto completo.
f =∞∑
i=0
ki φi (39)
Cuando el conjunto {φi} es ortonormal:
kj =
∫φ⋆j (x)f(x)dx (40)
→ kj en (40) es la proyección de f sobre φj
→ Obtén este resultado
Intro cuántica/JHT 45 / 59
Teorema: Si dos operadores lineales Hermitianos conmutan, entonces esposible seleccionar un conjunto completo de funciones propias común.
Teorema: Si dos operadores lineales Hermitianos comparten un conjuntocompleto de funciones propias entonces conmutan.
Postulados de la mecánica cuántica
Intro cuántica/JHT 46 / 59
Postulado 1. Función de onda.
Existe una función Ψ de las coordenadas y del tiempo que contienetoda la información que puede ser determinada sobre un sistema.
Esta función es univaluada, continua, cuadrático–integrable y conprimeras derivadas continuas por secciones.
Intro cuántica/JHT 47 / 59
¿Cuál de las siguientes funciones es aceptable?
x
�
x
�
x0
función exponencial
x
�
x
�
x0 x0
Intro cuántica/JHT 48 / 59
Postulado 2. Operadores.
A cada propiedad física medible le corresponde un operador linealHermitiano.
Para encontrar el operador
se escribe la expresión del observable en términos de coorde-nadas cartesianas y de las componentes del momento linealSe sustituye la coordenada x por el operador x y la compo-nente px del momento lineal por el operador px = −ih∂/∂ x
Intro cuántica/JHT 49 / 59
Ejemplos:
propiedad símbolo operador símbolo
posición x multiplicar por x xr multiplicar por r r
m. lineal px −ih∂/∂ x pxp −ih∇ p
e. cinética Tx −(h2/2m)∂2/∂ x2 TxT −(h2/2m)∇2 T
e. potencial V (x) mult. por V (x) V (x)
V (x, y, z) mult. por V (x, y, z) V (x, y, z)
e. total E −(h2/2m)∇2 + V (x, y, z) H
Intro cuántica/JHT 50 / 59
Postulado 3. Valores medibles.
Los únicos valores posibles que pueden resultar de la medición de unapropiedad física A, son los valores propios ai de la ecuación devalores propios Aφi = aiφi, donde A es el operador lineal Hermitianocorrespondiente a la propiedad A.
Intro cuántica/JHT 50 / 59
Postulado 3. Valores medibles.
Los únicos valores posibles que pueden resultar de la medición de unapropiedad física A, son los valores propios ai de la ecuación devalores propios Aφi = aiφi, donde A es el operador lineal Hermitianocorrespondiente a la propiedad A.
Postulado 4. Completitud.
Las funciones propias de todo operador A que represente unobservable físico forman un conjunto completo.
Este postulado permite expresar una función de onda para cualquierestado como superposición de funciones propias ortonormales {gi} decualquier operador mecánico cuántico:
Ψ =∑
i
ci gi .
Intro cuántica/JHT 51 / 59
Postulado 5. Valores promedio.
El valor promedio de la propiedad A de un sistema en un estadodescrito por la función de onda normalizada Ψ es
〈A〉 =∫
Ψ∗AΨdτ
⇓
Interpretación estadística de Ψ:
|Ψ|2 dτ es la probabilidad de encontraral sistema entre τ y τ + dτ .
Intro cuántica/JHT 52 / 59
Ejemplos:
〈x〉 =
∫Ψ⋆ xΨdx =
∫Ψ⋆ xΨdx
〈r〉 =
∫Ψ⋆ rΨdτ =
∫Ψ⋆ rΨdτ
〈px〉 = −ih∫
Ψ⋆ dΨ
dxdx
〈p〉 = −ih∫
Ψ⋆∇Ψdτ
〈E〉 =
∫Ψ⋆
[− h
2
2m∇2 + V (r)
]Ψdτ
Intro cuántica/JHT 53 / 59
Postulado 6. Ecuación de Schrödinger.
La función de onda de un sistema evoluciona en el tiempo de acuerdocon la ecuación de Schrödinger:
HΨ = ih∂Ψ
∂ t,
donde H es el operador Hamiltoniano del sistema.
Intro cuántica/JHT 54 / 59
Superposición de estados
Sea A un operador asociado a la propiedad A con valores propios {ai} yfunciones propias {gi}:
Agi = aigi(q1, q2, . . . , qN)
donde {qi} son las coordenadas de las N partículas.
Dado que el conjunto {gi} es completo:
Ψ =∑
i
ci(t)gi(q1, q2, . . . , qn)
Si Ψ es una función de distribución de probabilidad:∫
Ψ⋆Ψdτ = 1
Intro cuántica/JHT 55 / 59
Dado que A es Hermitiano, el conjunto {gi} es ortonormal:∫g⋆i gjdτ = δij
Por lo tanto:∑
i
|ci|2 = 1
〈A〉 =∑
i
|ci|2ai
Como 〈A〉 = ∑i Pi ai, entonces
|ci(t)|2 es la probabilidad de que en la medición de
la propiedad A se obtenga el valor propio ai
Intro cuántica/JHT 56 / 59
Los coeficientes se obtienen mediante:
ci =
∫g⋆iΨdτ
Amplitud de probabilidad
Algunas consecuencias:
Si un sistema se encuentra en un estado gi que es función propia deA, al medir A con certeza se obtiene el valor ai
Si un sistema se encuentra en un estado que no es función propia deA, al medir A el sistema evoluciona a un estado gi y se obtiene aicon una probabilidad dada por |ci|2
Medición simultánea de propiedades
Intro cuántica/JHT 57 / 59
Las cantidades físicas A1 y A2 que corresponden a operadores queconmutan pueden ser medidas simultáneamente a cualquier precisión.En general:
σA1σA2≥ 1
2
∣∣∣∣∫
Ψ∗[A1, A2
]Ψdτ
∣∣∣∣
donde
σA1=
√⟨A2
1
⟩− 〈A1〉2
σA2=
√⟨A2
2
⟩− 〈A2〉2
Posteriormente se revisarán los
postulados correspondientes al espín
Intro cuántica/JHT 58 / 59
Ejemplo:
Obtén la relación de incertidumbre para x y px.
Intro cuántica/JHT 58 / 59
Ejemplo:
Obtén la relación de incertidumbre para x y px.
Sea Ψ una función de onda normalizada.
Dado que [x, px] = hi:
σxσpx≥ 1
2
∣∣∣∣∫
Ψ⋆ [x, px] Ψ dx
∣∣∣∣ =1
2
∣∣∣∣∫
Ψ⋆ (hi)Ψ dx
∣∣∣∣
=1
2|hi|
∣∣∣∣∫
Ψ⋆Ψ dx
∣∣∣∣ =1
2|hi|
Intro cuántica/JHT 59 / 59
Además:
|hi|2 = (hi) (hi)⋆ = (hi) (−hi) = −h2i2 = −h2(−1) = h2
Por lo tanto:
|hi| = h
Sustituir en la relación de incertidumbre:
σxσpx≥ h
2(67)
→ Principio de incertidumbre de
Heissenberg