Introduccicibon a La Metodologiada Experimental

Introducción a la metodología experimental

Primera edición

Arturo Figueroa MontañoDepartamento de Física

Centro Universitario de Ciencias Exactase Ingenierías - CUCE1

Universidad de Guadalajara

Hermes Ulises Ramírez Sánchez Jaime Alcalá Gutiérrez

Instituto de Astronomía y MeteorologíaDepartamento de Física

Centro Universitario de Ciencias Exactase Ingenierías - CUCEI

Universidad de Guadalajara

Revisión técnica Alma Leticia Rodríguez Domínguez

José Nieves Carrillo CastilloD epartam ento de F ísica

C entro U niversitario de C iencias E xactase Ingenierías - C U C E I

U niversidad de G uadala jara

PEARSON

f 3atos de catalogación bibliográfica

FIGUEROA M O N TA N O , ARTURO;RAMÍREZ SÁN CH EZ. HERMES ULISES Y ALCALÁ GUTIÉRREZ, JAIME

Introducción a la m etodología experim ental IVimera edición

PEARSON EDUCACIÓN, M éxico, 2014 ISBN: 978-607-32-2222-8

Área: Ciencias

form ato : 185 x 2 3 5 cm Páginas: 168

Todos los derechos reservados

Edición en español Dirección General:Dirección Educación Superior:Editora Sponsor:

Editor de desarrollo:Supervisor de producción:Gerencia Editorial Educación

Superior Latinoamérica:

PRIMERA EDICIÓN, 2014

D.R. O 2013 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.Atlaeomulco 500-5to. piso Industrial Atoto, C.P. 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México e-mail: [email protected]

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ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-2222-8 ISBN E-BOOK: 978-607-32-2221-1 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-2220-4

Impreso en México. Printcd in México. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 16 15 14 13

Philip De la VegaMario ContrerasGabriela López Ballesterose-mail: [email protected] Hernández CarrascoJuan José García Guzmán

Marisa de Anta

PEARSONwww.pearsoncnespaftol.com

mailto:[email protected]

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IntroducciónUn aspecto fundamental en la formación de quienes se interesan por ejercer una profesión orientada a la ciencia y a la tecnología es el desarrollo de ciertas habilidades en la medición e interpretación de los parámetros obtenidos en procesos experimentales o industriales. Asimismo, deberán aprehender los conocimientos y las herramientas necesarias para el análisis de datos, la elaboración de reportes de investigación y el desarrollo de nuevos experimentos, modelos y procesos, con el propósito de hacer más eficientes los ya existentes. En consecuencia, es necesario destacar la importancia del método experimental para el desarrollo científico que no es solamente una herramienta de investigación, sino una actitud del individuo ante cualquier fenómeno que se presente en la naturaleza.

Inherente a todo proceso experimental, el error debe someterse a una cuidadosa selección de la instrumentación mediante la aplicación de técnicas de medición, el análisis de datos y la aplicación de procesos estadísticos que coadyuven a la minimización del error experimental. Como parte de la solución a estos problemas se propone el estudio de la metodología experimental. Este libro tiene como finalidad ofrecer una guía para todos aquellos que se introducen ai estudio de la misma; la exposición de los temas de forma práctica y concisa facilitará la comprensión de los métodos y procesos analíticos aplicados al desarrollo de experimentos.

La presente obra está dividida en cinco capítulos. En el capítulo 1 se presenta una descripción detallada del origen y desarrollo del pensamiento científico, desde sus inicios en la antigua Grecia como el pensamiento filosófico que ha dado forma a la civilización occidental; además, se expone la definición de los conceptos ciencia, método, método científico, modelos, entre otros.

El tema principal del capítulo 2 es la definición de variable, ya que es preponderante para un estudio científico cuantificar las magnitudes físicas que intervienen en el fenómeno a estudiar; por ello, los procesos de medición son fundamentales para cualquier actividad científica. Una falla en el análisis de los errores, ya sea en las ciencias aplicadas o en las básicas, implica consecuencias lamentables. En los procesos de medición, el valor obtenido no siempre coincide con el valor real de cierta magnitud. Para comprobar una teoría, caracterizar un producto o determinar las propiedades de un objeto, es necesario estimar la variación del valor medido con respecto al valor real. La teoría de errores se encarga de estimar tal desviación.

En el capítulo 3 se examina el concepto de inccrtidumbrc en las mediciones y su evaluación en relación con los resultados experimentales, así como su propagación y algunos métodos para determinar la inccrtidumbrc en función de una o más variables. En experimentos donde se obtiene una gran cantidad de datos es recomendable presentar los resultados en una gráfica y en este capítulo se enseña cómo elaborarlas c interpretarlas adecuadamente.

Introducción

En el capítulo 4 se presenta un análisis de los datos basado en descripciones estadísticas, cuyo propósito es validar y clarificar las mediciones y los resultados experimentales. Esta técnica se utiliza tanto para los datos agrupados como para los no agrupados.

Finalmente, cualquier trabajo científico debe expresarse de manera que pueda darse a conocer públicamente. Una investigación concluye con un reporte científico y el capítulo 5 está dedicado a su elaboración: se presentan las características que tienen que cumplir un reporte de práctica de laboratorio, un informe técnico y un artículo científico.

El campo científico se ha diversificado y no es posible establecer un solo método experimental plausible para definir el estudio de la ciencia: es decir, son tantas las áreas del conocimiento, que es necesario que cada investigador o grupo de investigadores desarrollen perfiles propios para validar sus experimentos en cada proceso particular. Es fundamental tener siempre en consideración que el método científico debe regir el desarrollo de la ciencia en cualquier ámbito.

ContenidoIntroducción...

1 Metodología de las ciencias experim entales..............................................1Origen de la ciencia...................................................................................................................................1

Concepto, objetivos e intereses de la ciencia....................................................................................... 4

Creencia y conocimiento............................................................................................................... 4

Subjetivismo y lenguaje privado..................................................................................................5

Ciencia...............................................................................................................................................5

El método científico.......................................................................................................................5

Modelos.......................................................................................................................................... 11

Bibliografía................................................................................................................................... 21

2 Medición de variables y errores de m edición.........................................23Introducción............................................................................................................................................. 23

Conceptos generales...............................................................................................................................23

Variable.......................................................................................................................................... 23M edición........................................................................................................................................25

Trazabilidad de los resultados.................................................................................................... 26

Precisión ••••••••••••••••••«•••••••••••••••••••••••••••••••••••••«••••••••••••••••••«•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••a» 26

Exactitud........................................................................................................................................26

Error................................................................................................................................................27

Errores durante el proceso de medición.............................................................................................. 27

¿De dónde provienen los errores en las medidas?.............................................................................27

Cifras significativas y redondeo............................................................................................................29

Suma y resta con cifras significativas........................................................................................31

Multiplicación y división con cifras significativas................................................................. 31

Redondeo........................................................................................................................................31

Contenido

Notación científica.................................................................................................................................. 32

Sistema internacional de unidades (SI)................................................................................................33Múltiplos y submúltiplos del SI.................................................................................................36

Unidades fuera del S I .................................................................................................................. 36

El sistema cegesimal de unidades.........................................................................................................37

Ejercicios........................................................................................................................................38

Bibliografía....................................................................................................................................39

Incertidumbre en las mediciones y evaluaciónde resultados experim entales...................................................................... 41

Introducción............................................................................................................................................. 41

E rro r..........................................................................................................................................................41

Incertidumbre........................................................................................................................................... 41Propagación de incertidumbre....................................................................................................43

Método general para la determinación de la incertidumbre en funciones de una variable utilizando cálculo diferencial................................................................................................47

Incertidumbre en funciones de dos o más variables............................................................... 49

Método general para determinación de la incertidumbre en funcionesde dos o más variables............................................................................................................50

Análisis gráfico de los resultados.........................................................................................................55

Representación de la incertidumbre en las gráficas............................................................... 55

Las gráficas.....................................................................................................................................55

Gráficas en calculadoras y com putadoras................................................................................58

Coeficiente de correlación...........................................................................................................60

Construcción de diagramas de dispersión................................................................................61

Ajuste de datos a funciones matemáticas................................................................................. 63

Ajuste de rectas........................................................................................................................................66

Método de pares de puntos......................................................................................................... 67

Método de los mínimos cuadrados «•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••a»* .........70

Análisis dimensional...............................................................................................................................74

Dimensión de una magnitud........................................................................................................74

Teorema de Buckingliam............................................................................................................76

Cambio de unidades..................................................................................................................... 79

Bibliografía....................................................................................................................................83

4 Análisis descriptivo de los datos............... •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 85Introducción............................................................................................................................................. 85

Términos comunes utilizados en estadística.......................................................................................86

Estadística descriptiva.............................................................................................................................87

Inferencia estadística..............................................................................................................................87

Técnica de muestreo................................................................................................................................ 88

Mitos de la estadística.............................................................................................................................89Requisitos para aprender estadística.........................................................................................90

Lenguaje matemático 90

Parámct ros estad ísticos.......................................................................................................................... 91

Medidas de tendencia central..................................................................................................... 91

Medidas de dispersión................................................................................................................. 92

Distribución de frecuencias.................................................................................................................. 97

Variables num éricas.....................................................................................................................97

Variables no numéricas ............................................................................................................105

Representación gráfica de una distribución de frecuencias (datos no numéricos) 106

Estadística descriptiva para datos agrupados....................................................................................108

Medidas de tendencia central....................................................................................................108

Medidas de dispersión................................................................................................................112

Varia nza........................................................................................................................................ 112Ejercicios...................................................................................................................................... 115

Bibliografía 117

5 Elaboración del informe de trabajo experim ental..............................119Introducción............................................................................................................................................119

Estructura de un reporte de práctica de laboratorio.........................................................................120

Estructura de un informe técnico........................................................................................................121

Parte inicial...................................................................................................................................122

Cuerpo del inform e.................................................................................................................... 123Anexos 124

Parte final.....................................................................................................................................125

Estructura de un informe y/o artículo científico.............................................................................. 126

Portada...........................................................................................................................................126

Resumen....................................................................................................................................... 127

Introducción.................................................................................................................................128

Contenido vil

Estructura general........................................................................................................................128

Extensión......................................................................................................................................128

Citas bibliográficas...............................................................................................................................129

Materiales y métodos............................................................................................................................ 129Sujetos o unidades de observación......................................................................................... 130

Aparatos o instrumentos............................................................................................................ 130

Procedimientos............................................................................................................................ 131Diseño ......................................................................................................................................... 131

Observación sistemática............................................................................................................ 132

Resultados...............................................................................................................................................133

Texto....................................................................„ .........................................„ ............................134

Tablas y figuras............................................................................................................................ 134

Recomendaciones....................................................................................................................... 135

Discusión................................................................................................................................................ 135

Sugerencias................................................................................................................................. 136

Agradecí m ientos....................................................................................................................................137

Referencias bibliográficas.................................................................................................................... 137

Cuadros................................................................................................................................................... 138

Ilustraciones............................................................................................................................................139

Pies o epígrafes de las ilustraciones....................................................................................... 139

Presentación del texto...........................................................................................................................139

Integración del informe.........................................................................................................................140

Abreviaturas, números y sistema métrico......................................................................................... 142

Abreviaturas •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••a* 142

Números....................................................................................................................................... 142

Sistema de medidas.................................................................................................................... 142

Consideraciones de es tilo .................................................................................................................... 143

Estilo general de redacción.......................................................................................................143

Gramática y ortografía...............................................................................................................143

Voz y tiempo de los verbos.......................................................................................................143

El estilo según George O rw ell................................................................................................144

Escribir, rccscribir y volver a rccscribir........................................................................................... 144

Aprender a escribir..................................................................................................................... 144Presentación del manuscrito a la revista.................................................................................145

Publicación previa y duplicada................................................................................................145

Manuscritos electrónicos........................................................................................................... 146

viii Contenido

Revisión de la bibliografía........................................................................................................ 146

Artículos de revistas................................................................................................................... 147Scicntific Citation Index............................................................................................................ 147

Libros de texto............................................................................................................................. 147

Bibliografía...................................................................................... 147

Bibliografía general................................ - ...........................................................148

Contenido ix

C A P ÍT U L O 1

Metodología de las ciencias experimentales

Origen de la ciencia

La ciencia surge en el momento en que el hombre comienza a buscar el porqué de las cosas, la verdad, a partir del supuesto de que nada ocurre al azar. Esta búsqueda de la verdad se refleja en la trascendencia de nuestras preguntas y en la profundidad de nuestras repuestas.

El crecimiento individual conlleva el avance de la especie, mientras que el cómo despierta la curiosidad impulsiva de cada ser humano. Los grandes imperios promovían el conformismo y la supresión de ideas; eran sociedades tradicionalistas poco dispuestas a adoptar innovaciones. Sin embargo, había ciertas personas que creían que todo estaba hecho de átomos, que los seres humanos y los animales procedían de formas más simples, que las enfermedades no eran causadas por demonios o por dioses, que la Tierra no era más que un planeta que giraba alrededor del Sol, entre otras ideas. Con este cambio de perspectiva nació la idea de que podrían existir principios, fuerzas y leyes en la naturaleza que permitieran comprender el mundo sin atribuir a los dioses lo sucedido. La inquietud por el conocimiento y la exploración del medio provocó la búsqueda de una explicación lógica acerca de los fenómenos naturales. Esta forma de pensamiento inició entre los años 600 y 400 A C .

La antigua ciudad griega de Mileto fue el escenario de los primeros indicios de cambio en la forma tradicional de percibir el mundo. Todos los pueblos del Mediterráneo concurrían al intercambio de mercancías, lo que influía también en el intercambio de ideas y nuevos conocimientos adquiridos por los filósofos de la época; por ejemplo. Tales de Mileto veía en el agua el principio del ser, la verdadera sustancia de todas las cosas; Anaximandro de Mileto escribió su libro filosófico del cual se conserva el fragmento; “El origen de las cosas es lo indefinido (ápeiron), de donde surgen las cosas (tisis) según el orden del tiempo”; Heráclito de Éfeso con su especulación “Yo me busqué a mí mismo” tropieza con el elemento fundamental de la vida espiritual, el lagos, que en griego significa razón, pensamiento y palabra, al mismo tiempo. Pitágoras de Samos decía que el principio fundamental de la ciencia y de la filosofía eran los números, esencia de todas las cosas. A Parménides de Elea, en materia de filosofía de la ciencia, se le debe la importancia de la diferencia entre la percepción sensible y el pensamiento. Para Empédocles de Agrigento la concepción del mundo era un dualismo, es decir, existían

1

Capítulo 1 M etodología de las ciencias experimentales

dos mundos: el de los sentidos o terreno y el suprasensible o celeste. Demócrito de Ab- dera, por su parte, fue un personaje influido por la misma pasión de conocimientos que Anaxágoras de Clazomene, pues dedicó toda su vida a la filosofía, además elaboró una Teoría del conocimiento donde se distingue entre el conocimiento oscuro de la percepción sensible y el conocimiento auténtico, fruto del pensamiento. Protágoras de Abdera tiene un escrito que aborda el concepto de verdad y un subtítulo de su obra es discursos derríbadores, tomado de las escuelas de lucha atlética. A su vez. Sócrates de Atenas, buscó la verdad: así, tras la costumbre buscó la moralidad, tras el derecho la justicia. los principios de un orden social tras el Estado y la divinidad detrás de los dioses. Platón de Atenas con sus esfuerzos de renovación política, poco a poco llegó a una reconstrucción de toda la filosofía; mientras que Aristóteles de Atenas, con su incomparable universalismo, intentó organizar en su sistema filosófico todo el saber de la época y, con ello, culminar la investigación de la realidad.

Gran parte de Europa perdió contacto con el conocimiento escrito después de la caída del Imperio romano de Occidente (476 D.C.) y entonces dio inicio la Edad Media. Este largo periodo de estancamiento, conocido como Edad Oscura, se caracterizó por una notable paralización del pensamiento filosófico y científico. El poder de los místicos, reforzado con la influencia oriental, consiguió el dominio de la vida espiritual. Todo el conocimiento se centró en Dios, por lo que la filosofía y el pensamiento científico volvieron a estar unidos. El Renacimiento (Fxiad Moderna), llamado así por el rcdescu- brimicnto de trabajos de antiguos pensadores, marcó el fin de la Edad Media y fundó cimientos sólidos para el desarrollo de nuevos conocimientos. Los saberes se individualizaron y la filosofía y la ciencia se separaron de manera definitiva. La Edad Contemporánea se ha caracterizado por estudios que involucran una filosofía científica; sin embargo, filosofía y ciencia se abordan por separado.

La ciencia y la filosofía están relacionadas estrechamente: ambas utilizan el razonamiento para obtener conclusiones, pero difieren en la generalidad de sus resultados. La ciencia trata de explicar el comportamiento de la naturaleza en áreas particulares, estudia cómo ocurren las cosas y utiliza muchos resultados de los filósofos; por ejemplo, la validez de la lógica y los postulados acerca de la naturaleza. La filosofía busca la naturaleza última de las cosas, de manera que generaliza los resultados de la ciencia, busca qué son las cosas y p o r qué ocurren; además, por su carácter racional, dio la pauta para que los científicos se concentraran en problemas específicos y utilizaran la filosofía de la ciencia como fundamento de sus ideas y deducciones. Hasta mediados del siglo xix. a lo que hoy conocemos como física, se le llamó filosofía natural o filosofía de la naturaleza (ciencia dedicada al estudio de los fenómenos naturales).

La filosofía de la ciencia es la investigación acerca de la naturaleza de la práctica científica, se encarga de saber cómo se desarrollan, evalúan y cambian las teorías; aporta los conceptos de la fundamentación de la ciencia y es la encargada de averiguar si esta es capaz de revelar la verdad de las entidades ocultas y los procesos de la naturaleza; provee los elementos que determinan la comprensión previa del campo que estudia la ciencia y, de esta manera, orienta la investigación; se usa para nombrar conjuntos de verdades y principios fundamentales de la ciencia o el arte (inicialmcntc la ciencia se explicó mediante bases filosóficas); y sus estudios se basan en la observación y la experimentación.

Se denominó filosofía de la ciencia hasta la conformación del Círculo de Vicna a principios del siglo xx, y alcanzó su madurez en la década de 1920 con un grupo de filósofos como Rudolf Camap (1891-1970), Otto Ncurath (1881-1945), Hans Hahn (1879-1934), Kurt Gódel (1906-1978) y Willard V. Quine (1908-2000). En la actualidad.

Origen de la ciencia 3

las grandes figuras de la filosofía científica son Karl R. Popper. Thomas Kuhn, Imre Lakatos y Paul Feyerabend.

En los últimos 30 años la filosofía de la ciencia ha abordado varios temas de suma importancia, entre los que destacan el gran desarrollo de muchas disciplinas científicas y el método científico; sin embargo, cabe destacar que ya no es posible hablar de un método único y umversalmente válido. Karl Popper (1902-1994) propone que la ciencia no es capaz de verificar si una hipótesis es cierta, pero sí puede demostrar que es falsa. Así pues, frente a la postura del verificacionismo, dominante hasta ese momento en la filosofía de la ciencia, Popper propone el falsacionismo, seguido en España por Gustavo Bueno (1924), autor del materialismo filosófico, en su teoría del cierre catcgorial. Por su parte, Mario Bunge (1919) analiza los problemas de diversas epistemologías, desde el racionalismo crítico popperiano hasta el empirismo, el subjetivismo o el relativismo. Bunge es realista crítico y para él, la ciencia es falible (el conocimiento del mundo es provisional c incierto), pero la realidad existe y es objetiva.

La historia reciente de la ciencia está marcada por el continuo refinamiento del conocimiento adquirido y el desarrollo tecnológico, acelerado desde la aparición del método científico. A continuación se mencionarán algunos filósofos que han colaborado en el desarrollo del método científico desde el siglo xvi hasta la actualidad:

• G alilea G alilei (1564-1642): empleó procedimientos inductivos para conocer la realidad y señaló que el descubrimiento debía ser el resultado de la experimentación.

• René Descartes (1596-1650): pretendía un conocimiento basado en la existencia indudable de un sujeto pensante, así como el avance gracias a ¡deas claras y distintas. Descartes, en su obra metodológica Filosofía de la naturalezxi, menciona que el mundo de los objetos comienza a verse desplazado por el mundo de los conocimientos y en su obra Reglas afirmó *‘¡ay de aquellos filósofos que dejan de lado la experimentación y pretenden que la verdad puede salir directamente de su cerebro, como Minerva de la cabeza de Júpiter!". Asimismo, Descartes llegó a la conclusión de que “la experimentación es la herramienta del conocimiento”.

• Francis Bacon (1561-1626): su filosofía planteaba un conocimiento empírico e inductivo de la naturaleza. A Bacon se le consideró el fundador de la filosofía moderna. Entre sus frases celebres desatacan: “saber es poder” y “los secretos de la naturaleza se encuentran con mayor facilidad si se les ataca con el arte, que si se les deja que sigan su curso tranquilo; es mejor estudiar la naturaleza, su estructura y los cambios de la misma”. Propuso una lógica inductiva fundada en la experimentación, con el fin de superar la lógica deductiva de Aristóteles, y desglosó el método científico en observación, hipótesis y verificación.

• John Stuart M ili (1806-1873): propuso una metodología experimental moderna basada en la sistematización de los conocimientos metodológicos y su papel en la generación del conocimiento científico. En su obra System o f Logic planteó diferentes variantes del método experimental como el descubrimiento y la demostración; además, utilizó el método de la concordancia: Si “A” es causa de “B” siempre que se dé “A" se dará “B" (tiene una circunstancia en común), y el método de la diferencia: Si “A” es causa de “B", al faltar “A” tiene que faltar “B" (por lo menos una diferente).

4 Capítulo 1 M etodología de las ciencias experimentales

Concepto, objetivos e intereses de la ciencia

Creencia y conocimientoUna creencia es un conjunto de proposiciones o suposiciones de una verdad, que en ocasiones constituye un entramado cultural y social que forma una identidad o dogma. La creencia no tiene un valor de verdad en sí misma, por lo tanto no se puede demostrar como falsa ni como verdadera; es una ¡dea considerada verdadera por quien la profesa, por ejemplo: Juan cree en la existencia de Dios.

Las fuentes de las creencias son:

• Externas: cuando se originan en explicaciones dadas por la gente para la comprensión de ciertos fenómenos.

• Internas: cuando surgen del pensamiento y la convicción propios.

Una creencia no tiene base empírica, por ejemplo, las creencias religiosas opuestas a la ciencia, al estar basadas en dogmas no se construyen a partir de datos obtenidos mediante el método experimental.

Conocer es una actividad por medio de la cual el hombre adquiere certeza de la realidad (manifestada como un conjunto de representaciones sobre las que tenemos la certidumbre de que son verdaderas); es enfrentar la realidad, donde todo conocimiento es forzosamente una relación en la que aparecen dos elementos relacionados entre sí: uno cognosccntc (sujeto) y otro conocido (objeto). Esta relación implica la aprehensión del objeto por parte del sujeto. El conocimiento es la relación entre sujeto-objeto, es decir, captar algo que inicialmentc está fuera del horizonte del sujeto (véase figura 1.1).

Figura 1.1: Conocimiento es una relación sujeto-objeto.

FJ sujeto determina la relación con el objeto y por lo tanto con el conocimiento, y es capaz de entrar en relación con el objeto de diferentes maneras, lo cual hace que la actividad del conocimiento fluctúe entre el conocimiento vulgar y el conocimiento científico. El primero lleva a ver el objeto, a entenderlo; en cambio, el segundo se apoya en el método científico y la investigación. Los pensamientos son representaciones mentales del objeto conocido. Pensar es combinar pensamientos ya obtenidos, e inclusive inferir otros nuevos. Saber es disponer de una serie de pensamientos acerca de los objetos que nos rodean. Por medio del conocimiento o del pensamiento se puede aumentar el saber, por ejemplo: Pablo sabe que los cuerpos se dilatan con el calor.

El método científico 5

Subjetivismo y lenguaje privadoEl subjetivismo es la tendencia filosófica en la cual el valor de todo juicio no depende de cómo se muestran las cosas, sino de la visión de quien juzga (sujeto). El lenguaje privado, al igual que el subjetivismo, no tiene cabida en la ciencia como argumento demostrativo o criterio de verificabilidad, por ejemplo: A Francisco le duele el estómago.

CienciaEs un conjunto de conocimientos obtenidos mediante la observación y el razonamiento, de los cuales se deducen principios y leyes generales. En un sentido más amplio, este término se emplea para referirse al conocimiento en cualquier campo, pero suele aplicarse, sobre todo, a la organización del proceso experimental vcrificablc. La ciencia como actividad (investigación) pertenece a la vida social, ya que se aplica al mejoramiento del medio natural y artificial, así como a la invención y manufactura de bienes materiales y culturales, y es el conducto para el desarrollo de la tecnología; trata con problemas de valor de verdad, que son posibles comprobar y verificar, busca establecer las relaciones existentes entre diversos hechos y conectarlos entre sí; describe y explica las cosas reales; busca la verdad.

El interés de la ciencia es el conocimiento, no las creencias, el subjetivismo o el lenguaje privado. El propósito de la ciencia es la predicción y el control; establecer una generalización, un modelo de aplicación universal en un lenguaje preciso y sin ambigüedades. Tiene como objetivo la verificabilidad, la corregibilidad, la falsabilidad y la sistematización (ensayo-error). En la sociedad, la ciencia tiene la finalidad de producir modelos útiles para explicar la realidad, dar respuestas y soluciones a problemas de investigación mediante la aplicación de procedimientos científicos, así como la descripción, explicación, predicción y control de los fenómenos, ya que puede hacer predicciones basadas en observaciones que, a menudo, benefician a los individuos.

El método científicoEl método científico se entiende como el estudio sistemático, controlado, empírico y crítico de proposiciones hipotéticas referentes a presuntas relaciones entre varios fenómenos. Es un procedimiento aplicado en las ciencias, que inicia con la observación y posee las siguientes características: es fáctico, hace trascender los hechos, es verificable, autocorrcctivo y objetivo. Está sustentado en la reproducibilidad (la capacidad de repetir determinado experimento en cualquier lugar y por cualquier persona) y la falsabilidad.

El conocimiento empírico se obtiene a partir de la exposición de los órganos sensoriales al mundo exterior y permite orientar a los individuos en su práctica diaria. Sirve como base para la construcción del conocimiento científico, también se extrae del contacto con la realidad, pero su adquisición, a diferencia de lo cotidiano, se realiza con base en métodos e instrumentos debidamente seleccionados y estructurados de acuerdo con los lineamientos que proporcionan las teorías, de manera concreta las hipótesis planteadas. La ciencia empírica depende de la experiencia para demostrar el valor de verdad en sus enunciados; se basa en dos formas: la observación sistemática (el observador no interviene) y la experimentación (el observador interviene, altera y controla el fenómeno en cuestión).


El método experimental se aplica principalmente en las ciencias naturales (física, química y biología) y se basa en la observación de fenómenos, así como en la realización de experimentos. Utiliza varios métodos como la inducción, deducción y estadística, según lo requiera la naturaleza del experimento. Se entiende por observación al conjunto de datos que se obtienen del seguimiento de un fenómeno que puede estar dentro o fuera de nuestro control. Cuando se logra reproducir un fenómeno controlando sus variables artificialmente se le llama experimento, el cual es ideal cuando es controlado, diseñado y capaz de reproducir un fenómeno donde es posible seleccionar valores de las variables independientes y medir los efectos en las variables dependientes. Los experimentos pueden realizarse en laboratorio y repetirse cuantas veces sea necesario; además, se espera que los valores medidos varíen dentro de un rango determinado por la incertidumbre en las mediciones.

Los pasos del método experimental son:1. Definición del problema2. Hipótesis de trabajo3. Diseño del experimento4. Realización del experimento5. Análisis de resultados6. Obtención de conclusiones7. Elaboración del informe

1. Definición del problema: es el primer paso para planear un experimento y consiste en definir su objetivo con precisión, es decir, formular claramente el problema o a qué preguntas se quiere responder. Contempla los siguientes aspectosa) Observación del fenómeno: se observa el fenómeno detenidamente, se formulan

las preguntas e hipótesis y se define qué clase de error (tipo I ( a ) 1 o tipo II (J3): ) se está dispuesto a tolerar.

b) Consulta bibliográfica: una vez establecida la pregunta es necesario consultar lo que se ha hecho en casos parecidos (marco teórico). Consultar la bibliografía permite conocer los antecedentes y el estado actual del problema, es decir, qué y cómo se ha hecho y, sobre todo sirve para determinar si la investigación que se planea es una confirmación o una extensión de otro trabajo científico. Cuando se trate de un problema conocido se pueden consultar enciclopedias, libros especializados. internet y revistas científicas. Cuando el problema no es del dominio

1 Un error tipo I se presenta si la hipótesis nula Ho es rechazada cuando es verdadera y debía ser aceptada. La probabilidad de cometer un error tipo I se representa con la letra alfa o .

: Un error tipo II se denota con la letra griega 0 . Se presenta si la hipótesis nula es aceptada cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada.

En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión equivocada. En la siguiente tabla se muestran las decisiones que puede tomar el investigador y las posibles consecuencias cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada.

En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión equivocada. En la siguiente tabla se muestran las decisiones que puede tomar el investigador y las posibles consecuencias.

Ho v erd ad era Ho falsaA cep tar Ho No error Tipo 11 (0 )R echazar Ho U po I (a ) No error


público hay que remitirse a publicaciones especializadas que dan a conocer los resúmenes. Estas publicaciones son conocidas como abstract o resumen y las hay en casi todas las áreas del conocimiento humano.

c) Importancia: se determina la relevancia de la investigación, su trascendencia y aportación al conocimiento científico.

d) Objetivos: es la manera en la que se responderán las preguntas, cómo se comprobará la hipótesis y los efectos que se deberán estimar (redactados en términos precisos). Una vez planteada la pregunta y hecha la consulta bibliográfica, se procede a formular una hipótesis que tenga posibilidades de explicar la observación, o decidir cuáles de las leyes naturales son aplicables, o por lo menos, esperar a que haya una relación entre dos variables características del problema.

2. Hipótesis Je trabajo: es una predicción para explicar cómo o por qué sucede un fenómeno, y de la cual se busca su comprobación (o negación) por medio de un experimento.

3. Diseño del experimento: es la elección del procedimiento experimental y los instrumentos capaces de medir y controlar las variables del fenómeno que se va a estudiar. Para ello, es necesario considerar: a) el equipo de medida existente y su precisión, yb) el tiempo y dinero disponibles.

4. Realización del experimento: una vez realizado el experimento de prueba y la interpretación tentativa de resultados, realizar el experimento final se reduce a llenar columnas con lecturas de las mediciones y detectar cualquier anomalía que se presente durante el desarrollo del mismo.

5. Análisis de resultados: la interpretación de resultados, ya sean valores, gráficas, tabulaciones u otros, debe contestar con la mayor claridad posible las preguntas planteadas durante la definición del problema.

6. Obtención de conclusiones: con los resultados del experimento el investigador hace sus propias conclusiones, es decir, aplica su criterio científico para aceptar o rechazar una hipótesis. También es posible que se hagan conjeturas acerca de un modelo o se proponga la creación de otro nuevo, lo cual conduce a un problema diferente.

7. Elaboración del informe: reporte en el que se comunican los resultados a la comunidad científica, y constituye una pieza útil para la evolución de la ciencia.

\jx realización del informe debe ser clara; es necesario tener presente en todo momento al lector a quien va dirigido el trabajo, para así determinar el nivel académico del lenguaje que conviene utilizar.

En un reporte de divulgación debe empicarse un lenguaje sencillo y explicar con más detalle todos los conceptos que no sean del dominio público, de manera que sea entendido por la mayoría. F.n cambio, un trabajo especializado está dirigido a un sector más reducido (la comunidad científica) y utiliza un lenguaje especializado, por lo que resulta innecesario explicar todos los conceptos.

Otro factor importante es la estructura del informe, la cual consta de seis partes: a) Título, b) Resumen, c) Definición del problema, d) Procedimiento experimental, e) Resultados y f) Conclusiones.


Elementos del método científico

1. Hechos observados: la ciencia empieza con la observación.

2. Hipótesis: establecer una explicación tentativa de un fenómeno, esto es, afirmar las posibilidades, razones necesarias o suficientes para la ocurrencia de un fenómeno. Es una conjetura o idea provisoria y especulativa de cómo los hechos han de ser interpretados y explicados y con el tiempo se pueden ir depurando y ajustando a un fenómeno hasta convertirse en una ley y después en un teoría científica.

3. Experimento: proceso obscrvacional por medio del cual el hombre incrementa su experiencia sobre el mundo externo y permite la comprobación del enunciado. En el diagrama de flujo de la figura 1.2 se ¡lustra la secuencia del experimento en tres etapas: la plancación, la experimentación y la evaluación. Los experimentos pueden ser de verificación o demostración y empíricos. Un experimento de verificación o demostración es aquel cuya plancación se deriva de una ley física conocida. Un experimento empírico es aquel cuya plancación está orientada hacia la obtención de una ley física. Estos conceptos son los que dividen el diagrama de flujo en dos caminos: I ) Si el fenómeno físico sobre el que se desea experimentar tiene antecedentes teóricos, se sigue el camino de los experimentos de verificación o demostración; 2) Si el fenómeno físico sobre el que se desea experimentar no tiene antecedentes teóricos, se sigue el camino de un experimento empírico.

P rim era etapa

• Planeación: constituye la columna vertebral de todo experimento, ya que el éxito o fracaso dependen de ella y tiene por objetivo analizar el experimento.

• Modelo matemático teórico: un modelo matemático implica una relación explícita entre las variables involucradas, que tienen la cualidad fundamental de predecir el valor de una variable dependiente a través del conocimiento del valor de las variables independientes. Cuando se realiza un experimento de verificación o de demostración a partir de un modelo se pueden seleccionar fácilmente las variables. Si el experimento es empírico, para la obtención del modelo se recomienda efectuar, en primer término, el análisis dimensional.

• O bsen’ación: análisis visual del comportamiento de un fenómeno físico, a través de las variaciones de los parámetros involucrados. A partir de esto se puede deducir la variable dependiente y cuál como independiente.

• Selección de variables: en general, es un paso obvio, ya que al experimentador se le encomienda la tarca de medir una cantidad específica como función de otra variable específica y. por consiguiente, se decide cuáles son las cantidades que se definirán como las variables principales y cuáles serán las subsidiarias.

• Precisión del experimento: para estimar la precisión de un experimento se recomienda utilizar la propagación de ¡ncertidumbres para averiguar cómo afecta al resultado final cada incertidumbrc individual; lo anterior dará la estimación de la inccrtidumbrc total en el resultado del experimento y, a partir de esto, se seleccionarán los instrumentos de medición adecuados para la precisión requerida.


• Programa de mediciones: el programa de mediciones para diferentes valores de la variable independiente se formula procurando cubrir el mayor intervalo posible de variación; mientras que el número de mediciones y el intervalo de valores a cubrir en cada caso se predeterminarán de acuerdo con los instrumentos de medición y con el tiempo disponible para todo el experimento. Se recomienda escribir el programa de mediciones en forma de tabla y se sugiere que esta contenga las variables y sus cambios de variables, propuestas a partir del modelo matemático o del análisis dimensional.

Segunda etapa

• Experimentación: son todas las acciones requeridas para que sucedan los fenómenos implicados en el experimento. Dentro de estas acciones se considera el montaje del dispositivo, el control de las variables, las mediciones correspondientes y su registro en el programa de mediciones.

• Análisis gráfico: consiste en dibujar las gráficas correspondientes de los datos obtenidos del experimento, utilizando el eje horizontal para la variable independiente y el eje vertical para la variable dependiente. El análisis gráfico permite verificar si las observaciones se dispersan dentro de los límites del error experimental. Si existen uno o varios puntos que no queden dentro de los límites del error, se realizan nuevamente estas mediciones.

Tercera etapa

• Evaluación: cuando se tiene determinado que es una recta la que describe el fenómeno bajo estudio, se obtiene lo siguiente:

• Tratamiento estadístico: se inicia con el cálculo de los parámetros de la recta (pendiente c intersección) y sus incertidumbres de acuerdo con las fórmulas dictadas por el método de mínimos cuadrados. En este punto es importante encontrar el error relativo que expresa el porcentaje de error del resultado. Con ello, se pretende constatar que dentro del error experimental, la cantidad es confiable y se ajusta a la precisión del experimento.

• M odelo matemático empírico: una vez obtenidos los parámetros de la recta, estos se insertan en la relación matemática para expresar de manera completa la relación funcional. Si este modelo empírico no describe el fenómeno estudiado, entonces se recomienda repetir la observación original y buscar las posibles discrepancias y, en su caso, repetir todo el experimento. Si ocurre lo contrario, se considera terminado el experimento.

• Comparación teoría-experimento: en los experimentos de verificación es conveniente realizar un cálculo teórico basado en el modelo matemático de la etapa de plancación. Una vez realizado, se compara con el resultado experimental; si este último queda muy alejado del primero y fuera de los límites del error experimental, se recomienda regresar al paso en el que se determina la precisión experimental. En caso contrario, se considera terminado el experimento.

• Resultados y su interpretación: los resultados del experimento, los hechos adicionales y la interpretación de estos nuevos hechos conducen al apoyo, rechazo o alteración de una hipótesis.


Demostración o verificación

Modelomatemático

4Selección

de variables

siDeterminación do la

precisión y selección de aparatos de

medición

4Programa

da mediciones

Realización del experimento

4Análisis gráfico

■4Tratamientoestadístico

Modelo matemático fronto a resultados

expen mentales

' ¿Resultado dentro del error experimental?

PLANEACIÓN

EXPERIMENTACIÓN

EVALUACIÓN

SI SI

> IZ * ^ -

Empinsmo

Observación

Identificación de variables

4Determinación d e la precisión y selección

de aparatos do medición

4Programa

de mediciones

4Realización

do! experimento

4Análisis gráfico

■4Tratamíontoestadístico

4Modelo

matemático empírico

4- NO

Describe \ el fenómeno /

Figura 1.2: Diagrama de las etapas para los experimentos de verificación o demostración y empíricos. (Lara-Barragán, 1988).

Modelos II

ModelosEl concepto de modelo en el pensamiento científico

Los modelos intentan describir y explicar las características del fenómeno, sin pretender ser una fotografía de la realidad. En la ciencia, el modelo se consituye de proposiciones coordinadas y subordinadas que, con frecuencia, se expresan mediante fórmulas que explican relaciones reales de los objetos; son esquemas teóricos (que no tienen existencia real) que se refieren a esquemas objetivos (que sí existen en realidad). Las teorías se prueban mediante los modelos, lo cuales son solo una parte de la teoría.

Observaciones y modelosUn modelo, comparado con el sistema verdadero que representa, proporciona información a un costo más bajo y permite un conocimiento más rápido de las condiciones que no se observan en la vida real. El valor de un modelo surge cuando este mejora la comprensión de las características del comportamiento de forma más efectiva que si se observara el sistema real. Los modelos de cualquier clase son poco prácticos si no están respaldados por datos confiables. Si se distorsionan las estimaciones, la solución obtenida, pese a ser óptima en un sentido matemático, será de calidad inferior desde la perspectiva del sistema real. En consecuencia, la disponibilidad de datos tiene un efecto directo en una precisión del modelo y su recopilación es una parte más difícil de determinar.

1. Identificación de las variables significativas: la primera fase de la investigación de un fenómeno nunca antes estudiado consiste en la búsqueda de las variables que parecen estar relacionadas. Mediante la identificación de estas se reduce el campo de la investigación a niveles prácticos, lo cual facilita el trabajo sistemático tanto a nivel experimental como teórico.

2. Concepto de modelo: se concibe por medio de construcciones hipotéticas e imaginarias creadas a partir de conjuntos de definiciones del mundo real de nuestras percepciones acerca de este. El uso de los modelos es casi universal en nuestro pensamiento, sea científico o no. Los modelos proporcionan un marco de referencia para el pensamiento y la comunicación, una descripción esquemática de los sistemas, una base para el cálculo, una guía para el estudio futuro, etcétera.

Los modelos son diversos, pero tienen una característica en común: son conceptos inventados. Se construyen con la intención de que correspondan, lo más posible, con el mundo real; sin embargo, ningún modelo puede ser jamás una réplica exacta de su contraparte real. Además, pertenecen a diferentes categorías, por ejemplo: una pared no puede ser realmente un rectángulo, ni un círculo. Empero, las propiedades de un modelo pueden ser semejantes a las del mundo real y resultar útiles en la medida en que sus propiedades sí correspondan con las del mundo real.

3. Comparación entre los modelos y el mundo real: para que las propiedades del modelo y las de su contraparte real en un experimento científico correspondan, es necesario empezar con una comparación entre el modelo y el sistema real. Y solo será útil si se demuestra ex pe rimen tal mente que las propiedades del modelo


guardan una correspondencia adecuada con las del sistema real. Para ello, un modelo o concepto debe ser verificable mediante la observación.

4. Refinamiento de los modelos: en el trabajo científico es posible modificar o cam biar los modelos en el momento que sea necesario. Para empezar, el modelo es una construcción, una idea presente en la mente. Cuando se propone efectuar un cambio, la única consideración que debe tomarse en cuenta es la utilidad básica de la idea y el provecho que aporta si se modifica. Un proceso de refinamiento continuo y de eventual remplazo forma parte del proceso científico. Es asunto propio y normal de los científicos, ya sean aplicados o sociales, llevar a cabo el proceso de comparación entre modelos y sistemas en una búsqueda continua del mejoramiento del modelo.

5. Comparación detallada entre modelos y sistemas: para comparar los procedimientos reales con las propiedades de los modelos y los sistemas no basta con un concepto gráfico de la situación, además se requiere llevar a cabo una observación cuantitativa del sistema y emplear procedimientos matemáticos para especificar el modelo.

Construcción de modelosLa construcción de un modelo requiere de diversas etapas y depende del experimento en cuestión. Por ejemplo, se puede generar un nuevo modelo para un fenómeno nunca estudiado y del cual no hay información previa. Por otra parte, puede existir alguna propuesta o teoría anterior que pueda aplicarse a un sistema y que dé como resultado un nuevo modelo. Existen dos tipos de modelos: empíricos y teóricos. El modelo empírico está basado únicamente en observaciones, sin referencia alguna a la operación interna y detallada del sistema. En cambio, un modelo teórico se construye de forma más general (no solo para un intervalo particular de observaciones), y se basa en algún concepto o principio acerca del modo de operar del sistema.

Modelos empíricosUna vez que se ha logrado reunir un grupo de observaciones acerca de un sistema para el que no existe un modelo que describa alguna propiedad del mismo (por ejemplo, de las mediciones de peso vs. alargamiento en un resorte cargado), los resultados probablemente tomarán la forma de 5 (como la de la figura 1.3). El problema, entonces, es construir un modelo adecuado, para lo cual deben considerarse los siguientes pasos:

1. Enunciado verbal: el modelo más sencillo es una descripción verbal de la variación: El alargamiento aumenta uniformemente con el peso, según la cu n a en forma de S.

2. Trazar una cur\’a continua por los puntos: la siguiente etapa de la construcción del modelo está representada por el trazo con puntos de una curva continua. Se tendrá el conjunto de observaciones mostradas originalmente en la tabla 1.1 y en la figura 1.3.

El conocimiento del sistema es bueno en los puntos en los que se han realizado mediciones reales. Sin embargo, si se desea conocer el valor del alargamiento para un peso intermedio entre dos de los valores medidos, entonces se tendrá un problema. Se debe inferir d valor deseado por interpolación sobre la base de las

Modelos 13

Tabla 1.1: Peso frente a alargamiento de un resorte cargado.

Peso (kg) A largam iento (mm)

05.0 0.210.0 0.515.0 0.820.0 1.022.5 1.225.0 1.327.5 1.430.0 1.532.5 1.735.0 1.837.5 1.940.0 2.042.5 2.345.0 2.547.5 2.850.0 3.2

mediciones practicadas. La curva suave y continua proporciona una forma de hacerlo, tal como lo muestra la línea continua a) en la figura 1.4. De igual manera, se puede emplear la curva suave y continua para extrapolar más allá del intervalo existente de valores, como se muestra con la línea discontinua b). Este procedimiento permite hacer conjeturas sobre los valores fuera del intervalo medido, pero la validez del procedimiento es mucho más limitada que en el caso de la interpolación.

3. Búsqueda de funciones: como una forma más elaborada de trazar curvas continuas por puntos se puede usar una variedad de métodos matemáticos para encon-

3.5

3.0

0.5 •

0.0 -| 1 1 1 1------ 1—0 1 0 20 30 40 50

Peso, kg

Figura 1.3: Peso frente a alargamiento de un resorte cargado.


EE25E§>

10 20 30Peso, Kg

40 50

Figura 1.4: Curva suave de las variables peso frente a alargamiento de un resorte cargado, a) Valor interpolado, b) Valor extrapolado.

trar una función analítica que se ajuste a esos puntos. Pese a toda la elaboración matemática que representan, estos procedimientos todavía dependen, para su validez. de la suposición básica de un comportamiento regular en el sistema; en tanto, las curvas y funciones asociadas constituyen el concepto de comportamiento del sistema. Las funciones generadas empíricamente para ajustarse a conjuntos de observaciones pueden ser muy útiles, ya que como modelos matemáticos del sistema pueden, con precisión variable, aplicarse para obtener valores inferidos de algunas características del sistema.

Modelos teóricosLos modelos teóricos se construyen con bloques conceptuales básicos, como definiciones, axiomas, hipótesis, principios, entre otros, seguidos de una derivación analítica a partir de estos elementos básicos. Como todos los elementos de las teorías son construcciones de la imaginación humana, las teorías y los resultados de estas son, de igual manera, construcciones imaginarias. Por lo tanto, su pertinencia en los sistemas reales debe evaluarse a través de la experimentación, por ejemplo: un balín de acero que desciende en caída libre por efecto de la fuerza de gravedad. Fn este caso, primero debe medirse el tiempo de caída desde diferentes alturas y después graficar los resultados; sin embargo, para construir un modelo teórico de la misma situación el enfoque cambia: se elige un conjunto de axiomas o hipótesis básicas, a partir de las cuales se derivan los resultados requeridos (puede suponerse en la hipótesis básica un valor de la aceleración del balín: a = 9.81 m/s2). Además del supuesto valor constante para la aceleración, de manera implícita se está despreciando la presencia del aire. FJ modelo quedaría de la siguiente forma:

v = 9 .81/ (Suponiendo v = 0 e n / = 0) (1.1)

x = (Suponiendo v = 0 en / = 0) (1.2)

' = <4 ¿ ¡» ) ‘2jr'2 ( 1-3)

Modelos 15

Prueba de los modelos teóricos

La tarca consiste en comparar dos resultados. Una sugerencia sencilla es introducir los diversos valores de x en la ecuación y calcular los valores correspondientes de t Luego, estos se pueden comparar con los valores medidos. Si coinciden, se puede confiar en que el sistema y el modelo se corresponden. No obstante, es poco probable que el modelo esté totalmente libre de fallas y deficiencias sistemáticas. De hecho, uno de los principales propósitos en la experimentación es detectar esas discrepancias y tratarlas constructivamente. La posibilidad de hacerlo con eficacia, empleando la comparación aritmética elemental, es pequeña. Es mucho más significativo el comportamiento global del sistema y la mejor manera de apreciarlo es en una gráfica.

Un experimento real de caída libre, bajo la acción de la gravedad, arrojó los resultados mostrados en la tabla 1.2 y la figura 1.5, las cuales describen el comportamiento del sistema. En la figura 1.5 se muestran las observaciones (serie de puntos) donde el comportamiento del modelo es una curva. La gráfica da una impresión visual de la relación entre las propiedades del sistema y el modelo. Nótese que este diagrama contiene dos componentes diferentes: 1) puntos que representan las propiedades del sistema y 2) una línea que corresponde a la función analítica que pertenece al modelo.

Tabla 1.2: Tiempo de caída medido experimental mente frentea la distancia para un balín de acero en caída libre.

Distancia, x, (m ) Tiempo, /, (s)

0.10.20.30.40.50.60.70.8

0.1480.1960.2440.2900.3150.3520.3850.403

0.5

0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

D is ta n c ia (m)

Figura 1.5: Proceso de comparar las propiedades de un sistema real con las propiedades de un modelo.


fttra concluir el modelo teórico se realiza una comparación detallada entre las propiedades globales del sistema y las del modelo. Una inspección visual directa puede confirmar si el modelo y el sistema se corresponden. No tiene sentido preocuparse por si una teoría es correcta o incorrecta, incluso debería evitarse el uso de términos como estos aunque exista la seguridad de tener clara la situación, dadas las múltiples oportunidades de que se haga una mala interpretación. Es mucho mejor catalogar una teoría o un modelo como satisfactorio o suficientemente bueno, o utilizar otra denominación parecida.

Uso del análisis de la línea recta

El objetivo es arreglar el proceso de trazado de la gráfica, de modo que el comportamiento del sistema y el modelo se representen de forma lineal en una gráfica. La función anterior (3) para el tiempo de caída libre bajo la acción de la gravedad lleva a una representación parabólica en una gráfica de t, jr.

d .4 )

Suponiendo que se graficara, no / vs x, sino t vs x \ la ecuación sería:

t = 0.4515 x * (1.5)

Entonces, esta puede compararse con la ecuación de una línea recta:

Variable vertical = Pendiente x Variable horizontal (1.6)

Donde:

Variable vertical = /

Variable horizontal = x *2

Pendiente = 0.4515

En ciencias puras, y sobre todo en ciencias aplicadas, se denomina modelo a una idealización de la realidad, que se utiliza para plantear un problema normalmente de manera simplificada, en términos relativos y planteados desde un punto de vista matemático; aunque también puede tratarse de un modelo físico. Es una representación conceptual o física a escala de un proceso o sistema (fenómeno), cuyo fin es analizar su naturaleza, desarrollar o comprobar hipótesis o supuestos, y permitir una mejor comprensión del fenómeno real al cual el modelo representa.

Para hacer un modelo es necesario plantear una serie de hipótesis, de manera que lo que se quiere representar esté plasmado en la idealización, aunque también se busca que el modelo sea sencillo de estudiar y de manipular.

Modelos 17

Tipos de modelos científicos Modelo físico

La expresión modelo físico tiene distintos significados dependiendo si se refiere al ámbito de la física o al de la ingeniería. La física intenta entender el mundo haciendo modelos de la realidad, que son utilizados para racionalizar, explicar y predecir fenómenos físicos a través de una teoría. Algunas teorías físicas son desechadas por la observación. Una teoría física es un modelo de eventos físicos que no pueden ser probados por axiomas básicos y es diferente a un teorema matemático. Los modelos de teorías físicas son la realidad, una declaración de lo que se observa, así como la predicción de nuevas observaciones.

En contraposición, en la ingeniería se denomina modelo físico, a los modelos matemáticos y análogos, a una construcción en escala reducida de obras de ingeniería para estudiar en ellas su comportamiento, de manera que se puedan perfeccionar los diseños antes de iniciar la construcción de las obras reales. A este tipo de modelo se le denomina modelo reducido. Se utilizan con frecuencia para el estudio de represas, puentes, puertos, aeronaves, entre otros. Muchas veces, para obras complejas (por ejemplo: una represa), puede requerirse la construcción de más de un modelo.

Modelo m atem ático

Un modelo matemático es un esquema, una ecuación, un diagrama o una teoría que simplifica una parte difícil de las matemáticas para hacer más sencilla su comprensión; además, de manera general, engloba aspectos diferentes. Los modelos matemáticos se construyen con varios niveles de significación y con diferentes variables.

• Modelos de regresión o modelos estadísticos lineales: un modelo estadístico es una teoría o situación causal de hechos, expresada con símbolos de formato matemático. Por ejemplo, las tablas de contingencia. Una de las aplicaciones más importantes de la estadística es la estimación del valor medio de una variable de respuesta y/o la predicción de algún valor futuro de Y con base en el conocimiento de un conjunto de variables independientes relacionadas (*,, xr .. x j . Los modelos que se emplean para relacionar una variable dependiente Y con las variables independientes X r X r .. Xn se denominan modelos de regresión o modelos estadísticos lineales porque expresan el valor medio de Y para valores dados de Xit Xr .. X como una función lineal de un conjunto de parámetros desconocidos:

y = mx+ b + e (1.7)

Donde:

mx + b — valor medio de Y para una X dada £ = error aleatorio

m + bw - parámetros desconocidos de la porción determinista (no aleatoria) del modelo

b = la ordenada al origen de la línea m = la pendiente de la línea y = la variable dependiente x = la variable independiente


• Desarrollo de un modelo estadístico: el primer paso para la construcción de un modelo estadístico es postular la forma de la porción determinista del modelo probabilístico. Esta etapa de construcción de modelos es la clave del éxito (o fracaso) del análisis de regresión. Si el modelo postulado no refleja, al menos aproximadamente. la verdadera naturaleza de la relación entre la respuesta media Y y las variables independientes X r Xy .. X0,por lo regular resulta inútil.

1.a construcción de modelos se refiere a crear un modelo que se ajuste bien a un conjunto de datos y proporcione buenas estimaciones del valor medio de Y, así como predicciones de valores futuros de K valores dados por las variables independientes.

l-as características del modelo estadístico son:

1. Presencia del elemento aleatorio.2. No son deterministas.3. Se construyen a partir de datos empíricos.4. Son válidos solamente para el rango que se estudia.

Los pasos para construir un modelo estadístico se enlistan a continuación:

1. Elaboración de un diagrama de dispersión.2. Buscar la mejor línea recta que represente a los datos.3. Calcular la ecuación por mínimos cuadrados.4. Calcular el coeficiente de correlación.

¿Cómo saber cuál es el mejor modelo o su pertinencia en el mundo real?El mejor modelo es el que posee un mayor coeficiente de correlación r, pero se debe tener cuidado, ya que una correlación elevada no implica causalidad. Si se observa un valor positivo o negativo del coeficiente de correlación r de la muestra, no es correcto llegar a la conclusión de que un cambio en X causará un cambio en Y. 1.a única conclusión válida es que puede existir una tendencia lineal entre X y Y. El coeficiente de correlación permite predecir si entre dos variables existe o no una relación o dependencia matemática. Los coeficientes de correlación r siempre oscilan entre valores de 1 y -1 . El valor cero 0 significa que no existe correlación entre ambas variables. Un valor positivo indica que hay incrementos en la variable A mientras se producen incrementos proporcionales en B\ un valor negativo indica que son variables antagónicas.

Asimismo, se debe tener cuidado al analizar la correlación entre dos variables, pues ambas pueden variar permanentemente. Esto es importante, por ejemplo, si se correlaciona edad y altura; la altura aumentará con la edad hasta determinado punto, pero llegará el momento en que ya no lo hará. La ecuación de la recta es del tipo:

Y = mX + b (1.8)Rara determinar la línea recta que mejor se adapta a los datos se aplica el método de

mínimos cuadrados. Por ejemplo, un ingeniero químico está investigando el impacto de la temperatura (7) de operación de un proceso sobre el rendimiento (R ) de un producto. El estudio arrojó los resultados de la tabla 1.3.

Modelos 19

Pasos para la elaboración de un modelo• Primer paso: elaboración de un diagrama de dispersión.

Con los datos de temperatura (°C) y rendimiento (%) de la tabla 1.3, se realiza la gráfica de la figura 1.6.

Tabla 1.3: Impacto de la temperatura (7) de operación de un proceso sobre el rendimiento (R) de un producto.

T(°C) R ( % ) Y w m 2 X Y

100 45 10000 2025 4500110 51 12100 2601 5610120 54 14400 2916 6480130 61 16900 3721 7930140 66 19600 4356 9240150 70 22500 4900 10500160 74 25600 5476 11840170 78 28900 6084 13260180 85 32400 7225 15300190 89 36100 7921 16910

1450 673 218500 47225 101570

100

- 9 0- 8 0

.1 70 60

&5040

3090 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

T em peratu ra (°C)

Figura 1.6: Diagrama de dispersión.

• Segiuido paso: buscar la mejor línea recta que represente los puntos (Figura 1.7)


Tercer paso: calcular la ecuación por mínimos cuadrados. Los valores de la pendiente (m ) y origen (b) se obtienen de la siguiente manera utilizando la ecuación de la línea recta (1.7).

m

« I * : - 1 * ,i-1

- IXb = kí=! ¿_Aí=!

. T x * ¿A '-1____

im I

(1.9)

(1.10)

temperatura (°C)

Figura 1.7: Linca que mejor ajustó a los puntos.

Valores obtenidos de la pendiente (m) y el origen (b):

10(101570)-(1450) (673) = 1015700 - 975850 = 39850 = Q 4g3Q m 10(218500)-(1 4 5 0 )2 2185000 - 2102500 81500

(218500X673)-(1450)(101570) _ 147050500-147276500 _ 22600010(218500) - (1450)2 2185000 - 2102500 82500

Al observar que los datos en el análisis de dispersión poseen un comportamiento lineal, se elige la ecuación de la línea recta (1.7) para obtener la ecuación requerida y estimar valores de rendimiento Y. De esa manera se obtiene el siguiente modelo:

Rend(% ) - m (Tem p°C )+ b ( 1. 11)

Modelos 21

Este nuevo modelo empírico será válido únicamente para el rango que se está estudiando. Se sustituyen los valores de la pendiente (m) y el origen (b ):

Rend(%) = 0.4830(Temp°C) - 2.7394

Cuarto paso : calcular el coeficiente de correlación.

r = _ í=!_________ A m__

«X*HX*,f-l l-l

«X i',’ - X \»m1i - 1

(1.12)

r =10(101 5 7 0 )-( 1450) (673) 1015700.0 - 975850.0 39850.00

VT0( 218500) - (1450)2 * 47225) - (6 7 3 )2 287.23* 139.00 39924.71= 0.998

El valor de r implica una excelente correlación positiva; de igual manera, el coeficiente de correlación muestra que es un buen modelo (r2 = 0.9% ).

Ahora, regresando al problema del ingeniero químico, si se quiere saber cuál es la temperatura (°C) adecuada para obtener un rendimiento de 100%, se puede utilizar el siguiente modelo:

(Temperatura0 C ) = Z 063( rendimiento%) + 6.193 (°C) = 2.063(100)+ 6.193 = 212.445

La temperatura que debe aplicarse es de 212.445°C para obtener 100% del rendimiento.

Bibliografía

Baird, D.C. (2003). Experimentación: una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos. México: Pcarson Educación.

Berna!, C.A. (2006). Metodología de la imestigación. México: Pearson-Prcntice Hall.Bunge, M. (1999). Im ciencia. Su método y su filosofía. Buenos Aires: Ediciones Siglo

Vfcinte.Cariño, P.S. (2004). Métodos de imestigación. México: Limusa-Colegio de Bachilleres.Castañeda, JJ . (2002). Metodología de ¡a imestigación I. México: McGraw-Hill.Castañeda, JJ .; L.M. De la Torre; J.M, Morán R. y R.P. Lara (2002). Metodología de la in

vestigación. México: McGraw-Hill.Castañeda, JJ . y C.E. Méndez. A. (2004). Metodología de ¡a imestigación. México: Mc

Graw-Hill.Calleros, A.F.; A. Lara-Barragán G.; J.W. Lau S. y S. Gómez M. (1997). Introducción a la

metodología experimental. México: Univeisidad de Guadalajara-CUCEI-Ciendas Bási- cas-Dcpartaincnto de Física.


Eyssaulicr, M. (2001). Metodología de la investigación II. México: ECAFSA-Thomson Lcaming.

López, C J.L . (2001). Método e hipótesis científicos. Temas Ixísicos. Área Metodología de las Gencia 3. México: Trillas.

García, A.A. (2000). Introducción a la metodología de la investigación científica. Colombia: Plaza y Valdés.

Gutiérrez, A.C. (2001), Introducción a la metodología experimental. México: Litnusa- Noricga.

Hernández, S.R.; C. Fernández C. y P. Baptista L. (2003). Metodología de la investigación. México: McGraw-Hill.

Mcndcnhall, W. y Sincich T. (2000). Probabilidad y estadísticas para ingeniería y ciencias. México: Prentice Hall Hispanoamericana.

Méndez, RX; D. Namihira G. y C. Sosa de Martínez (2001). El protocolo de investigación: lincamientos para su elaboración y diálisis. México: Trillas.

Medieta, A.A. (1999). Métodos de investigación y manual académico. México: Porrúa.Pérez, T.R. (1998). ¿Existe el método científico? Im Ciencia para Todos, núm. 161. México.Riveros, H.G. y L. Rosas. (1997). El método científico iplicado a las ciencias experimenta

les. México: Trillas.Rojas, S.R. (2000). El proceso de la investigación científica. México: Trillas.Tamayo y Tamayo, M. (2002). El proceso de la mvestigación científica. México: Limusa.

C A P ÍT U L O 2

Medición de variables y errores de mediciónIntroducción

1.a física es una ciencia tcórico-experimcntal que busca dar explicación y solución a los fenómenos naturales y sus consecuencias, para lo cual es necesario cuantificar las magnitudes físicas que intervienen en el fenómeno estudiado, ya sea en el laboratorio o en el campo. Así pues, el proceso de medición es fundamental en la actividad científica, cualquiera que sea la especialidad u orientación.

En las ciencias aplicadas, por ejemplo, los ingenieros que están a cargo de la seguridad de los aviones, trenes o automóviles deben estimar las incertidumbres relacionadas con los tiempos de respuesta humanos. Una falla en el análisis de errores puede causar accidentes fatales.

Por otro lado, en las ciencias básicas, el proceso de medición y el análisis del error tienen una importancia aún mayor, pues tienen una relación muy estrecha con el método científico, el cual funciona de la siguiente manera: en primer lugar se describe un fenómeno de la naturaleza a través de un modelo simple. Después, se analiza el modelo, ya sea analíticamente con lápiz y papel, o por medio de simulaciones numéricas con el fin de encontrar cuáles son las predicciones o consecuencias del modelo simple; una vez obtenidas, se comparan con experimentos y observaciones. Si existe un acuerdo entre lo predicho y lo observado, entonces se habrá logrado, en algún sentido, comprender parte de la naturaleza.

Aunque existen innumerables procesos de medición, todos culminan con la obtención de un resultado, que es afectado por distintos errores que surgen de la interacción entre el instrumento de medición, el observador y el sistema que se estudia. Lo anterior se discute en el presente capítulo, junto con otros conceptos relacionados.

Conceptos generales

Variable1.a variable es una característica (magnitud, vector o número) que puede ser medida y que adopta diferentes valores en cada uno de los casos de estudio. También se puede definir como todo aquello que se va a medir y controlar en una investigación.

23

24 Capítulo 2 Medición de variables y errores de medición

En un estudio científico se pueden clasificar las variables según el valor que arroja el resultado de su medición o por la influencia que ejerce cada una de estas sobre las otras variables del estudio (tabla 2.1). Respecto a su valor, producto de su medición, las variables se clasifican en variables cualitativas y cuantitativas, dependiendo de si los valores presentados tienen o no atributos que no son cuantificables, o si tienen un orden de magnitud natural. Por la influencia de una variable sobre otra, estas se clasifican en independientes, dependientes y extrañas.

Tabla 2.1: Clasificación de las variables en un estudio científico (continúa)

C riterio de Tipos declasificación variables Descripción

Depende de si el resultado de la medición es numérico o no

1 Cualitativas

1.1 Ordinales

1.2 Nominales

2 Cuantitativas

2.1 Discreta

2.2 Continua

Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidades. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría; la medición consiste en una clasificación de dichos atributos, pues no puede construirse una serie numérica definida, sino que se ordenan en jerarquías con base en la característica que se evalúa.

La variable cualitativa ordinal es aquella que toma distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida. Por ejemplo, para medir la severidad de una lesión se puede usar la escala: leve, moderada y grave. Otro ejemplo es el nivel socioeconómico: bajo, medio y alto.

En la variable cualitativa nominal los valores no tienen forma natural de ordenación y los posibles valores son mutuamente excluyentes. Por ejemplo. los posibles valores de un estudio

hombre” y “mujer”.son si y no ;

Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas.

Son las variables que solo toman valores enteros o numéricamente fijos. Por ejemplo, las veces que se repite un suceso, la cantidad de pesos que se gastan en una semana, los puntos con que cierra diariamente una bolsa de valores, el número de hijos, entre otras.

Son llamadas también variables de medición. Toman cualquier valor numérico, ya sea entero, fraccionario o incluso irracional. Este tipo de variable se obtiene a través de mediciones y su valor está sujeto a la precisión de los instrumentos de medición. Por ejemplo, el tiempo que un corredor tarda en recorrer cierta distancia, la estatura de los alumnos, la cantidad de litros que despacha una bomba de combustible, entre otras.

Medición 25

Tabla 2.1: Clasificación de las variables en un estudio científico. (continuación)

C riterio de Tipos declasificación variables Descripción

Por la influencia que se asigna sobre otras variables

1 Independiente

2 Dependiente

3 Extraña

La variable independiente es la propiedad de un fenómeno que puede influir, incidir o afectar a otras variables. Por lo tanto, es la que el investigador escoge o manipula para observar los efectos en la variable dependiente.

Son las variables de respuesta que se observan en el estudio y que pueden estar influidas por los valores de las variables independientes. En otras palabras, son las que registran los cambios de la manipulación de la variable independiente por el investigador.

Son aquellas variables que el investigador no controla directamente, pero que pueden influir en el resultado de su investigación. Por lo tanto, deben ser controladas hasta donde sea posible para asegurar que los resultados se deban únicamente al manejo que el investigador hace de la variable independiente y no a variables extrañas no controladas.

MediciónSegún el Vocabulario Internacional de Metrología (VIM), acordado desde la década de 1990 por las organizaciones de metrología más importantes y revisado en abril de 2004 por la Organización Internacional de estandarización (ISO, 2004), define la medición como el “conjunto de operaciones cuyo objetivo es determinar el valor de una magnitud o cantidad”. De esta manera, la medición puede definirse como un proceso donde el insumo o entrada es la definición de la magnitud por medir (figura 2.1), por lo que a partir de este insumo, una persona opera un instrumento siguiendo un método de medición, todo esto enmarcado dentro de un medio ambiente. El producto final del proceso es un valor numérico basado en un sistema de referencia o patrón llamado resultado de medición. Con base en este resultado se toman decisiones importantes, por ejemplo, se acepta o rechaza un producto en una línea de fabricación, se determina el estado de salud de una persona, se establece el precio en una transacción comercial, o bien, se refuta una teoría científica.

Debido a que muchas de estas decisiones en el área de la ciencia y la ingeniería, se toman con base en los resultados de la medición, es necesario asegurar que el resultado de cualquiera de estas sea confiable, es decir, se debe verificar que el resultado de la medición sea de buena calidad. Para ello, es preciso considerar algunos atributos como la trazabilidad, la precisión y la exactitud de los instrumentos o métodos de medición, el error de medición y la incertidumbre en el resultado.


Definición de la magnitud

por medir

M edio Am biente

Resultado de m edición

Figura 2.1: FJ proceso de medición IJSC Fuente: http://www.usc.edu.co/laboratorios/archivos/ propuesta/ LEY_DE_OHM_2.pdf. Consulta. 15 de enero de 2007.

Trazabilidad de los resultadosl-a trazabilidad es la propiedad de medición que permite relacionar el resultado con el respectivo patrón internacional de la magnitud que se está midiendo. La única forma en que pueden compararse los resultados obtenidos, en diferentes sistemas de medición y en distintos lugares del mundo, es asegurando su trazabilidad, dicho de otra manera, que en ambos casos se tome como referencia el patrón internacional. I-a trazabilidad es uno de los atributos indispensables para garantizar la confiabilidad de cualquier resultado de medición.

PrecisiónLa precisión de un instrumento (o un método de medición) está asociada con la sensibilidad o menor variación de la magnitud que se pueda detectar con dicho instrumento o método. Por ejemplo, un vemier, con una apreciación nominal de 0.02 mm. es mucho más preciso que una regla ordinaria, con una apreciación nominal de 1 mm: un cronómetro digital es más preciso que un reloj común.

ExactitudLa exactitud está asociada a la calidad de la calibración del instrumento. Por ejemplo, en el caso del cronómetro digital que se mencionó, este es capaz de determinar la centésima de segundo pero se adelanta dos minutos por hora, mientras que el reloj común no lo hace. En este caso se dice que el cronómetro es más preciso que el reloj común aunque menos exacto. La exactitud es una medida de la calidad de la calibración del instrumento respecto de los patrones de medida aceptados internacional mente. En general, los instrumentos vienen calibrados pero dentro de ciertos límites, por lo que corresponderá a los usuarios corroborar de manera periódica que estos se mantengan calibrados. Una buena práctica para asegurar la exactitud en las medidas consiste en llevar una bitácora de man

http://www.usc.edu.co/laboratorios/archivos/

¿De dónde provienen los errores en las medidas? 27

tenimiento y calibración de los instrumentos de medición. Es deseable que la calibración sea tan buena como la precisión.

ErrorEl concepto error, en el lenguaje coloquial, se considera sinónimo de equivocación; sin embargo, en ciencia e ingeniería tiene un significado diferente al uso habitual, es decir, un error en la medición de una magnitud no significa una equivocación o una mala medición, sino que no fue posible controlar alguno de los elementos del proceso de medición, lo que ocasionó una discrepancia entre el valor verdadero y el valor medido, a esto se le denomina error de la medición.

(2 . 1)

1.0 que se procura en toda medición es encontrar el valor verdadero, aunque este en realidad es un concepto puramente teórico y por completo inaccesible; así, en el proceso de medición únicamente estimamos de forma aproximada el valor de la magnitud medida. Cuando de antemano se conoce un valor convcncionalmcntc verdadero de la magnitud (esto porque los valores verdaderos son indeterminados por naturaleza) es muy fácil evaluar el resultado de la medición: se calcula su error respecto a este valor. De acuerdo con su definición, el valor convcncionalmcntc verdadero de una magnitud corresponde a un resultado obtenido por sistemas de medición más sofisticados o refinados que aquellos de los que se dispone en un momento dado.

Un valor convcncionalmcntc verdadero se encuentra en las tablas de textos, en la tabla periódica de los elementos, en reportes científicos, etcétera. Otra forma de tener un valor convcncionalmcntc verdadero consiste en medir en el laboratorio la misma cantidad pero por métodos diferentes y asumir (de manera debidamente justificada) que uno de los resultados es de mejor calidad que el otro. Después, se calcula el error del resultado menos confiable y se compara con el que se considera de mayor calidad.

Errores durante el proceso de medición

Existen varias formas de clasificar y expresar los errores de medición; sin embargo, en este texto solo se distinguirán los errores propios de los instrumentos de medición y los del proceso de medición.

¿De dónde provienen los errores en las medidas?

• D el instrumento de medición: los instrumentos son una fuente de errores debido a los cambios que sufren por el desgaste: escalas borrosas o fluctuaciones en corriente, si se trata de instrumentos eléctricos.

• D el objeto medido: en algunos casos los objetos que se miden no son estables; por ejemplo, cuando quiere medirse el tamaño de un cubo de hielo en un cuarto caliente.

• Del proceso de medición: algunos procesos de medición son difíciles de llevar a cabo. Por ejemplo, medir el peso de insectos vivos es complicado porque no pueden permanecer quietos.


Tabla 2.2: Los errores de medición.

Origen Tipodel e rro r de e rro r Descripción

De losinstrumentosde medición

Error de apreciación (escala)

Error de interacción

Propios del proceso de medición

Error de exactitud

Erroressistemáticos

Errores aleatorios

Está asociado a la mínima división de la escala de los instrumentos y, por lo tanto, a la mínima magnitud que es posible resolver con algún método de medición. El error de apreciación puede ser mayor o menor que la apreciación nominal dependiendo de la habilidad del observador. Es posible que un observador entrenado pueda apreciar con una regla común fracciones de mm, mientras que otro observador con la misma regla, pero con dificultades de visión, solo pueda apreciar cantidades enteras de mm (por ejemplo, 2 mm).

Proviene de la interacción que el instrumento de medición tiene con el objeto que se va medir. Por ejemplo, cuando se usa un termómetro para medir una temperatura, parte del calor del objeto fluye al termómetro o viceversa, de modo que el resultado de la medición es un valor modificado del original debido a la interacción.

Tiene que ver con el error de calibración de los instrumentos.

Se originan por las imperfecciones de los métodos de medición. Estos errores se repiten constantemente en las medidas y afectan el resultado final siempre en el mismo sentido (una medida siempre mayor que el valor verdadero o viceversa). Este error se origina esencialmente por una deficiente calibración del instrumento en relación con el patrón. Algunos ejemplos de estos errores son:• Error de calibración en u/i aparato de medida: cuando

medimos una longitud con una regla mal graduada siempre obtendremos un valor erróneo en las medidas.

• No esperar a que la aguja de un amperímetro de la escala de medida esté en el cero antes de efectuar la medida.

Son resultado de la contribución de numerosas fuentes no controladas que desplazan aleatoriamente, en un sentido o en otro, el valor de la medida respecto a su valor verdadero. Estos desplazamientos se deben, por ejemplo, a fluctuaciones en la corriente, variaciones de luminosidad, de presión, de temperatura, de humedad, entre otras. Estos errores tienen signo positivo o negativo y no se pueden evitar. La única manera de disminuir su influencia es con la repetición de las medidas.

Cifras significativas y redondeo 29

• Del error importado: ocurre cuando un objeto sufre un error durante el proceso de calibración, lo que ocasionará errores en las mediciones. Sin embargo, es importante aclarar que es mejor un error de calibración que mediciones con instrumentos no calibrados.

• De la habilidad del operador: algunas mediciones dependen de la habilidad y buen juicio del operador. Es claro que una persona es mejor que otra al realizar un trabajo de medición. Para ejemplificar: cuando se requieren lecturas muy finas, el uso de algunos instrumentos, como un cronómetro, depende del tiempo de reacción del operador para obturar el botón de paro y arranque.

• De las técnicas de muestreo: es importante que las mediciones que se realizan sean representativas del proceso que se desea evaluar. Por ejemplo, si se quiere medir la temperatura de un escritorio, no se debe efectuar con el termómetro que está colgado en el muro cerca del aire acondicionado; o bien, al evaluar una línea de producción es necesario tomar algunas muestras, pero no se deben tomar los primeros 10 productos que se fabrican en el tumo de la mañana.

• Del ambiente: las variables ambientales, como la temperatura, la presión del aire, la humedad y algunas otras condiciones pueden afectar los instrumentos de medición y el objeto medido. Por ejemplo, en el estudio de partículas menores a 2.5 pm se debe tener en cuenta el balance de masas, esto es, el peso de los filtros antes y después de tomar las muestras. Para este proceso es sumamente importante mantener constante la humedad del cuarto donde se realicen las medidas.

Cifras significativas y redondeo

En el campo de la ciencia es muy importante ser honesto al reportar los resultados de las mediciones para que los resultados no parezcan más precisos de lo que en realidad permiten los instrumentos utilizados. Lo anterior se puede lograr controlando el número de dígitos o cifras significativas usadas para reportar la medición. Para ejemplificar, el número de cifras significativas en una medición tal como 2.531 g con diferentes tipos de balanzas es de la siguiente manera:

Tabla 2.3: Precisión de los instrumentos y cifras significativas.

U p o de balanza PrecisiónResultado de m edida

Cifrassignificativas

Balanza de cartero 1 g " 3 g 1Balanza de platillos 0.01 g 2.53 g 3Balanza analítica 0.001 g 2.531 g 4

En la tabla 2.3 se observa que. conforme se mejora la sensibilidad de la balanza utilizada para hacer la medición, aumenta el número de cifras significativas, que son la cantidad de dígitos en una cantidad medida o calculada, y tienen que ver con la seguridad que existe al afirmar que tales cifras son las que más se acercan al valor convencional-

Capítulo 2 Medición de variables y errores de medición

mente verdadero de la cantidad medida o calculada. La cantidad de cifras significativas está asociada con la precisión de los instrumentos, o en otras palabras, con la apreciación nominal o mínima escala que presente el instrumento de medición empleado. Por ejemplo. si con una regla ordinaria se toma una magnitud de 2.27 cm. la cantidad expresada tiene tres cifras significativas pero la última es incierta, pues en la regla solo puede leerse 1 mm con precisión; mientras que magnitudes mayores o menores al milímetro serán aventuradas, por lo que de la cantidad anterior 2.2 son los dígitos seguros y 0.07 es incierto.

En general, es muy fácil determinar cuántas cifras significativas hay en un número si se siguen estas reglas:

• Cualquier dígito diferente a cero es significativo. Por ejemplo, 845 cm tiene tres cifras significativas, 1.234 kg tiene cuatro cifras significativas y así sucesivamente.

• Los ceros ubicados entre dígitos distintos de cero son significativos: 606 m tiene tres cifras significativas, 40 501 kg tiene cinco cifras significativas.

• Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos. Estos ceros se utilizan únicamente para indicar la posición del punto decimal. Por ejemplo, 0.08 L tiene una cifra significativa y 0.0000349 g tiene tres cifras significativas, por lo que se podrán escribir como 8 x 1(L2 L y 349 x 10-7 g, donde se observa que las cifras significativas en estas cantidades son una y tres, respectivamente.

• Si un número es mayor que 1, todos los ceros escritos a la derecha del punto decimal cuentan como cifras significativas. Entonces 2.0 g tiene dos cifras significativas, 40.062 mi tiene cinco cifras significativas y 3.040 dm tiene cuatro cifras significativas.

• Si un número es menor que 1, solamente son significativos los ceros que están al final del número o entre dígitos distintos de cero. Esto significa que 0.090 kg tiene dos cifras significativas, 0.3005 L tiene cuatro cifras significativas y 0.00420 min tiene tres cifras significativas.

• Para números que no tienen punto decimal, los ceros ubicados después del último dígito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas: 400 cm puede tener solo una cifra significativa (el dígito 4). dos cifras significativas (40) o tres cifras significativas (400). No es posible saber cuál es la cantidad correcta si no se tiene más información, de manera que 400 cm puede expresarse como 4 x 102 cm para una cifra significativa,4.0 x 102 para dos cifras significativas y 4.00 x 102 para tres cifras significativas.

• Otra ambigüedad respecto al número de cifras significativas se presenta cuando se hace un cambio de unidades. Por ejemplo, si en una medición se obtiene que L = 95 mm y se desea expresar el resultado en pm, el resultado sería L = 95000 pm. Sin embargo, como no se tiene mayor información que indique explícitamente la inccrtidum- bre en este resultado, se tienen cinco cifras significativas; por lo tanto, 95 mm * 95000 pm, ya que el primer resultado tiene solo dos cifras significativas. Para evitar esta ambigüedad se emplea la notación científica, por lo que es posible escribir la siguiente igualdad:

9.5 x 10' mm = 9 .5 x 104 pm

Nótese que los números en ambos miembros de la igualdad tienen igual número de cifras significativas, la única diferencia son las unidades usadas.

Redondeo 31

Suma y resta con cifras significativasCuando se combinan mediciones con diferente número de cifras significativas, la precisión del resultado final no puede ser mayor que la medición menos precisa. Este principio se traduce en una simple regla para la suma y resta, la cual establece que el número de cifras significativas a la derecha del punto decimal (se sumen o resten) es determinado por el menor número de cifras significativas a la derecha del punto decimal de los números originales. Ejemplo:

150.0 g R O + 0.507 g sal

150.5 g solución

El sumando con el menor número de cifras significativas a la derecha del punto decimal es 150.0 con una sola cifra.

Multiplicación y división con cifras significativasEl mismo principio de la situación anterior gobierna el uso de cifras significativas en la multiplicación y división. Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras. Esto es importante sobre todo cuando se utilizan calculadoras, pues existe la tendencia a reportar tantas cifras como las que permite la pantalla; pero esto, la mayoría de las veces, carece de sentido. Por ejemplo, si desea conocer cuál es la superficie de una lámina de aluminio, se mide su longitud y su anchura utilizando una regla que aprecia hasta los milímetros y se obtiene 28.7 cm y 3.6 cm, respectiva mente. A 1 muí tiplicar ambos resu Itados se tiene que S = (28.7 cm) (3.6 cm) = 103.32 cm 2. Aplicando la regla anterior, el factor con menos cifras significativas es 3.6, por lo que la cantidad de cifras significativas con que debe escribirse el resultado de un producto o un cociente es igual a la cantidad más pequeña de cifras decimales que tenga cualquiera de los números que se multiplican o dividen; por lo tanto, el resultado final es expresado como 103.3 cm 2.

Finalmente, el resultado de las funciones trascendentes, como el seno, la arcotan- gentc o la función exponencial, se escriben con el mismo número de cifras significativas que tenga el argumento. Ejemplo:

sen 35.4° =0.579281 = 0.579 sen 35° =0.573576 = 0.58 In 9.356 = 2.236017 = 2.236 In 9.3 = 2 .230014= 2 .2

RedondeoEn la actualidad, la mayoría de los cálculos se realizan por medio de herramientas como las calculadoras electrónicas y las computadoras, por lo que. como se mencionó en la sección anterior, se tiende a utilizar todas las cifras que aparecen en la pantalla sin que esto tenga sentido. El redondeo de cifras es una tarca común en el trabajo científico y su propósito es que los datos experimentales aporten información según las condiciones de medida en las que fueron obtenidos. Se debe tener cuidado con el número de cifras


con que se expresan los resultados; además, se deben mantener solo aquellas que tienen algún significado experimental. La tabla 2.4 muestra los criterios utilizados para el redondeo de cifras.

Tabla 2.4: Criterios para el redondeo de números.

Si el dígito a eliminar es menor a 5. el último dígito que se mantiene se queda sin cambio.

Si el dígito a eliminar es mayor que 5, el último dígito que se mantiene aumenta una unidad.

Si el dígito a eliminar es igual a 5 y los que le siguen son igual a cero; o si no hay dígitos después del 5, entonces el dígito que se retiene no cambia si es par.

Si el dígito a eliminar es igual a 5 y los que le siguen son igual a cero; o si no hay dígitos después del 5. entonces el dígito que se retiene se incrementa una unidad si es impar.

Si el dígito a eliminar es igual a 5 y los que le siguen son distintos a cero, entonces el dígito que se retiene se incrementa una unidad.

Ejemplo: Si solo se debe mantener un decimal en la cantidad 6.422, esta se convierte en 6.4.

Ejemplo: Si solo se deben mantener dos decimales de la cantidad 6.4872, esta se convierte en 6.49. De manera similar,6.997 se convierte en 7.00.

Ejemplo: Si solo se debe mantener un decimal de la cantidad 6.6500, esta queda en 6.6.

Si se deben mantener dos decimales en la cantidad 7.485, esta queda como 7.48.

Ejemplo: si solo se deben mantener dos decimales de la cantidad 6.755000, esta queda como 6.76.

De manera similar, 8.995 se convierte en 9.00.

Ejemplo: si solo se debe mantener un decimal en la cantidad 6.6501, esta queda como 6.7.

Si solo se deben mantener dos decimales en la cantidad 7.4852007, esta queda como 7.49.

Notación científica

En la ciencia es muy común y necesario trabajar con números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, el diámetro de un glóbulo rojo es de 0.0065 cm, la distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente 150 000 000 km y el número de moléculas en un gramo de agua es 33 400 000 000 000 (XX) 000 000. Es complicado trabajar con estos números, así que lo más práctico es abreviar usando la notación científica, la cual convierte los números de la notación decimal ordinaria a cantidades más manejables con base en la expresión 10", donde n es un número entero. Esto significa 10 elevado a una potencian. Así, 10*= 10 x 10 x 10 x 1 0 x 1 0 = 100000. Nótese que el número de ceros en la notación decimal ordinaria es exactamente igual al exponente al que fue elevado. Por consiguiente, usando la notación científica, el diámetro de un glóbulo rojo es 6.5 x 1 0 3 cm, la distancia de la Tierra al Sol es 1.5 x 10® km y el número de moléculas en un gramo de agua es 3.34 x 10“

Notación científica 33

Una nota importante respecto a la notación científica es que su base numeral debe ser representada por un dígito simple seguido por decimales, siempre y cuando sea necesario. Por lo tanto, el número 0.0065 se debe representar como 6.5 x 10~3 y no como0.65 x 10"2 o 65 x 10“*.

En resumen, la notación científica es una forma simple de representar los números grandes, donde el exponente sobre 10 indica cuántos lugares hay que mover el decimal para obtener el número original. Cuando la notación científica se usa con números menores al 1, el exponente sobre 10 es negativo y el decimal se mueve hacia la izquierda en lugar de a la derecha (como en el caso de los números mayores a 1). Ejemplo:6.5 x 10-’ = 0.0065.

Sistema internacional de unidades (SI)

El sistema métrico decimal tiene su origen en la Revolución Francesa y estaba basado en el metro y en el kilogramo. En la convención de 1875 se desarrollaron nuevos prototipos internacionales acerca del metro y el kilogramo, aunque fueron formalmente adoptados en 1989 por la Conferencia General de Pesas y Medidas. Desde entonces, el sistema se desarrolló hasta incluir siete unidades básicas. En 1960, la Onceava Conferencia de Pesas y Medidas decidió nombrarlo Systéme International d ’Unités, de manera que ahora es ampliamente reconocido como el SI. por sus siglas en francés; sin embargo, el sistema no ha quedado estático y ha evolucionado para ajustarse a las demandas crecientes del mundo de la medida en las áreas de la ciencia y la tecnología.

En el sistema internacional (SI) existen dos clases de unidades: las unidades básicas y las unidades derivadas. Las primeras funcionan como referencia para definir al resto de las unidades de medición del SI. En la tabla 2.5 se muestran las siete unidades básicas: longitud, masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura termodinámica, cantidad de sustancia c intensidad luminosa.

Tabla 2.5: Las siete unidades básicas del SI. (continúa)

M edida Unidad Símbolo Definición

Longitud metro m Es la longitud del camino recorrido por la luz en el vacío en un intervalo de tiempo. 1.a velocidad de la luz en el vacío es exactamente de 299 792 458 m/s.

Masa kilogramo kg Es la unidad de masa y es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo.

Tiempo segundo s Es el tiempo de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133, lo que corresponde exactamente a 9 192 631 770 hertz.

Corrienteeléctrica

ampere A Es la intensidad de una corriente constante, la cual manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2 x 10 7 newton por metro de longitud.


Tabla 2.5: Las siete unidades básicas del SI. (continuación)

M edida Unidad Símbolo Definición

Temperaturatermodinámica

Cantidad de sustancia

Intensidadluminosa

kclvin

mol

candela

K

mol

cd

1Es la fracción ■■■- — — de la temperatura termodiná-273. lomica del punto triple del agua.

Es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de carbono 12. Cuando se utilice el mol se deben especificar las entidades elementales, las cuales pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas.

Es la unidad luminosa en una dirección dada de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540-1012 hertz. y cuya intensidad energética

en dicha dirección es ----- watt por estercorradián.683

Por otro lado, las unidades derivadas son unidades expresadas, a partir de las unidades básicas, mediante símbolos matemáticos de multiplicación y división. En la tabla 2.6 se presentan algunos ejemplos de unidades derivadas expresadas directamente de unidades básicas.

Tabla 2.6: Algunas unidades derivadas del SI a partir de unidades básicas.

M edida derivada Símbolo Unidad derivada Símbolo

Área A metro cuadradoVolumen V

m2

Velocidad VAceleración aNúmero de ondas O. GJDensidad de masa PVolumen específico uDensidad de corriente •

JIntensidad de campo magnético Concentración (cantidad de sustancia)

H

c

Concentración de masa P .YLuminiscencia Líndice de refracción nPermeabilidad relativa Pr

Metro cúbico m3metro por segundo m/smetro por segundo cuadrado m/s2metro recíproco m*1kilogramo por metro cúbico kg/m3metro cúbico por kilogramo mVkgampere por metro cuadrado A/m2

ampere por metro A/m

mol por metro cúbico mol/m3

Kilogramo por metro cúbico kg/m3Candela por metro cuadrado cd/m2adimensional adimensional

El sistema internacional de unidades (SI) 35

Algunas unidades derivadas reciben nombres especiales, los cuales son simplemente una forma compacta de la expresión resultante de la combinación de unidades básicas. Por ejemplo, el joule (J), por definición es igual a m2kg s-2. Actualmente existen 22 nombres especiales aprobados en el SI (tabla 2.7). De esta serie de unidades especiales, nótese que el hercio y el becquerel son ¡guales al recíproco de segundo, pero el hercio únicamente se utiliza en fenómenos cíclicos.

La unidad de temperatura en la escala Celsius es el grado Celsius, que es igual en magnitud a la unidad de temperatura termodinámica (kelvin). La cantidad de temperatura Celsius está relacionada con la temperatura termodinámica por medio de la siguiente ecuación:

t ° C - T K -2 7 3 .1 5 (2.2)

Tabla 2.7: Unidades derivadas con nombres especiales.

M edida derivada Nombre Símbolo Unidades

Actividad (de un radionucleido) becquerel Bq s*Actividad catalítica katal Kat mol-s"1Ángulo plano radian rad m .m '= 1Ángulo sólido estere orradián sr m2 n r 2= 1Capacidad eléctrica faraday F m 2k g 1 s4 A2Carga eléctrica, cantidad de electricidad coulomb C A s

Conductividad eléctrica Siemens S n r 2 kg-‘ s3 A2Diferencia de potencial eléctrico, fuerza electromotriz volt V m2kg s J-A~*

Dosis absorbida, kerma. energía específica comunicada gray Gy M2s 2

Dosis equivalente, índice de dosis sievert Sv M 2s-2equivalente

Energía, trabajo, cantidad de calor joule J m2 kgs*2

Flujo de inducción magnética weber Wb m2 k g s -2 A-1Flujo luminoso lumen Im m2 n r 2cd = cdFrecuencia hertz Hz S‘ ‘

Fuerza newton N rn k g s -2Iluminancia lux Ix n r m 4-cd = m 2-cdInducción magnética tesla T k g s -2 -A 1Inductancia eléctrica henry H m 2 kg s-2 A-2Potencia, flujo radiante watt W m2 kg-s~3Presión, tensión pasca 1 Pa n r 1 k g s -2Resistencia eléctrica ohm ü m2 k g s 3 A*2Temperatura Celsius grados Celsius °C K


Las unidades derivadas en la becquerel, gray, sievert y katal fueron adoptadas, específicamente, para realizar mediciones seguras relacionadas con la salud humana. Aunque para cada una de las cantidades solo existe una unidad en el SI, algunas veces pueden expresarse con sus nombres especiales; por lo tanto, es importante no utilizar únicamente la unidad para especificar determinada cantidad. Por ejemplo, algunas pantallas de los instrumentos de medida especifican la cantidad y la unidad. Respecto a las cantidades adimensionales, también llamadas cantidades de dimensión uno, estas se definen como la relación de dos cantidades de la misma clase (dos unidades SI idénticas). Cuando se expresan los valores de cantidades adimensionales, la unidad uno no se escribe, como en el caso del radian y el estereorradián.

M últiplos y submúltiplos del SICon el fin de expresar el valor de las cantidades que son muy grandes o muy pequeñas, en relación con las unidades del SI, se ha adoptado una serie de prefijos que se listan en la tabla 2.8.

Entre las unidades básicas del SI, la unidad de masa es la única cuyo nombre contiene un prefijo por razones históricas, lo s nombres y los símbolos de los múltiplos y submúltiplos decimales de la unidad de masa están formados por la unión de prefijos de la palabra gratno y los símbolos de los prefijos (véase la tabla 2.8) de la unidad g. Por ejemplo, miligramos (mg) y no microkilogramos (pkg).

Tabla 2.8: Prefijos del SI.

Factor Nombre Símbolo Factor Nom bre Símbolo

10' Dcca da 10-' dcci d102 Hecto h ÍO 2 centi c103 Kilo k IO 3 mili m106 Mega M 10^ micro M10g Giga G 10* nano n10‘- Tera T i o 12 pico P10" Peta P 10-'5 fcmto f1018 Exa E 10 18 atto a102' Zctta Z io-2* zepto z10* Yotta Y i o * yocto y

Unidades fuera del SIAlgunas unidades que no figuran dentro del SI aún son ampliamente utilizadas en las publicaciones científicas, técnicas o comerciales. Son de uso tan cotidiano que están profundamente enraizadas en la historia y la cultura de la humanidad. La tabla 2.9 muestra algunas de estas unidades, junto con su factor de conversión a unidades del SI. Para una lista más detallada se debe consultar la octava edición del Sistema Internacional de M edidas. editada por el Burcau Internacional des Poids et Mesures (BIPM, 2006).

El sistema cegesimal de unidades 37

Tabla 2.9: Algunas unidades fuera del SI.

M edida Unidad Símbolo Valor en unidad SI

minuto min 1 min = 60 sTiempo hora h Ih = 3 600 s

día D 1 d = 86 400 sVolumen litro U 1L = dm3Masa tonelada t l t= lOOOkgEnergía electrón-volt eV 1 eV => 1.602 3 10~19 JPresión bar bar 1 bar = 100 kPa

milímetros de mercurio mmHg 1 mm Hg - 133.3 PaLongitud angstrom Á >■ II o 1 O 3

milla náutica M 1 M = 1852 mFuerza dina dyn 1 dyn = 10~5N

El sistema cegesimal de unidades

También es conocido como Sistema CGS o Sistema Gaussiano. Es un sistema de unidades basado en el centímetro, el gramo y el segundo (tabla 2.10). Su nombre se deriva de las letras iniciales de estas tres unidades. Ha sido remplazado casi por completo por el SI, aunque continúa vigente en muchas de las fórmulas de electromagnetismo y astronomía.

Tabla 2.10: Unidades del Sistema Cegesimal.

M edida Unidad Símbolo y equivalenciaLongitud centímetro 1 cm = 0.01 mMasa gramo 1 g = 0.001 kgTiempo segundo sAceleración gal gal = 1 cm/s2Fuerza dina dyn = g em/s2 = 10 5 NEnergía ergio ergio = g c m 2/s2 = 1(T7 JPotencia dina/segundo potencia = g cm 2/s3 = 10-7 WPresión bar bar = g/em s2 = 0.1 PaViscosidad poise poise = gem /s = 0.1 P a sCarga eléctrica statcoulomb csu, franklin o statcoulomb = V (gcmVs2) = 3.336 x KT10 CPotencial eléctrico statvolt statvolt = erg/esu = 299.8 VCampo eléctrico stat volt/centímetro statvolt/cm = dyn/esuIntensidad del campo eléctrico

oersted intensidad del campo eléctrico = oersted

Densidad de flujo gauss 1 gauss = HL"*TFlujo magnético maxwell 1 maxwell = 1 gauss-cm2 = 10* WbInducción magnética gauss 1 gass = 1 maxwcll/cm2Resistencia siemens/centímetro S/cmResistividad Siemens SCapacidad farad ay cm = 1.113 x 10-,J FInductancia sicmcns2/ccntímctro sVcm = 8.988 x 10" H


Ejercicios1. Realice d redondeo de cada número a la cantidad de cifras significativas que se indica con base en los criterios expuestos en la sección “Cifras significativas y redondeo”.

Cantidad Cifras significat b i s Resultado final2.7867 43.2384 40.1452 30.1553 24.045 36.0050 33.015 30.0027 2300 1

2. Escriba la cantidad correcta de cifras significativas con base en los criterios de las secciones “Suma y resta con cifras significativas” y “Multiplicación y división con cifras significativas”.

Operaciones con cifras significativas Cálculo final4.023 + 6.16= 10.183 2 .6 9 - 1.021 = 1.669 7 .25x6 .2=44 .950.0501 / 3.224 x 104 = 1.55397 x 10-6 ln 2.6=0.955511 eos 4 =0.997564

3. Exprese las siguientes cantidades en sus respectivos múltiplos, manteniendo la congruencia en cuanto al número de cifras significativas.a) 3.7 mg a microgramosb) 2.58 km a metrosc) 27.24 m- a microlitrosd ) 135 s a horas

4. En la siguiente tabla, escriba cada una de las cantidades con el número de cifras significativas que se indica.

Número Cifras significativas Respuesta8.300 dos7,000 una0.004050 cuatro0.0009 una

5. Complete las unidades de medida para el sistema CGS y SI según corresponda.

Unidad SistemaCGS SI

MasaLongitudTiempoVelocidadAceleraciónFuerzaPresiónTrabajoPatenciaMomento

6. Un investigador en el área de ecología de sistemas acuáticos está interesado en evaluar el estado de salud del sistema ecológico del Lago de Chapala. Para ello, se da a la tarea de medir las variables expresadas en la tabla. Con base en los tipos de variables de la tabla 2.4. ayude al investigador a identificar la naturaleza de las variables de su estudio.

Variable Cualitativa Cuantitativamedida_______ (sí/no)/tipo (si/no)/tipo

Cultivos que se desarrollan en la ribera del lago.Volumen de agua almacenado en millones de m \Tasa de evaporación del lago en cm3.Volumen de agua extraído para uso sanitario en cmVs.Presencia de metales pesados en el agua (pg/m3).Número de granjas porcícolas en la ribera del lago.El análisis de las variables llevó al investigador a concluir que el estado de salud del lago es malo.

Bibliografía 39

Bibliografía

Bar, A. R. (2000). “Un aporte a la discusión sobre el estatus metodológico de las variables y escalas de medición". Cinta de Moebio. núm. 7. Chile: Facultad de Ciencias Sociales, Universidad de Chile.

Bell, S. (2001). A Beginner's Cuide to Uncertainty in Measurements. 2a cd. Reino Unido: National Physics Laboratory.

B1PM, (2006). The International System ofU nits SI. Paris: STHDI Media.Gil, S. y Rodríguez E. (2001). Física recreativa: Experimentos de Física usando nuevas tec

nologías. Perú: Prcnticc Hall.ISO. (2004). biternational Vocabulary o f Basic and Genera! Terms in Metrology (VIM). 3a

ed. ISO VIM (DGUIDE 99999).Kurt. G.R. (1986). The International System o f Vnits (SI). Morgantown: Cost Enginccring.Lyons, L. (1993). A Practical Cuide to Data Analysis fo r Physical Science Students. Nueva

York: Cambridge Univeisity Press.Miranda, P. y Juárez, H (2006). Laboratorio de Física I. Chile: Facultad de Ciencias-Depar

tamento de Física. Universidad de Chile.Rodríguez, L.A. (2001). laboratorio cero 2001-2. Facultad de Ingeniería, Departamento de

Qcncias Básicas. Bogotá: Pontificia Universidad Javeriana.Táylor, B. y Kuyatt, C. (1994). Guidelines fo r Evaluating and Expressing the Uncertainty o f

N1ST Measurements Resulrs, nota técnica 1297. EUA: National Institute o f Standards and Technology. United States Department of Commcrcc Technology Administration.

UKAS,° (2006). The expression o f uncertainty and confidence in measurement. Londres: United Kingdom Acreditation Services, Draft 2.

Universidad de la Laguna España. Introducción a la Física experimental, http://wcbpagcs.ull. es/users/fexposit/ife_err.pdf. Consulta realizada el 15 de enero de 2007.

Universidad Santiago de Cali. Colombia. Guías únicas de laboratorio de física I: aspectos preliminares, metrología conceptos y definiciones, http://www.usc.cdu.co/laboratorios/ archivos/propuesta/LEY_DE_OHM_2.pdf. Consulta realizada el 15 de enero de 2007.

http://wcbpagcs.ull

http://www.usc.cdu.co/laboratorios/

C A P ÍT U L O 3

Incertidumbre en las mediciones y evaluación de resultados experimentalesIntroducción

En el proceso de medición de una magnitud el valor obtenido no es absolutamente preciso, es decir, el resultado de la medida no coincide con el valor real de la magnitud. Cuando se requiere llevar a cabo un experimento para comprobar una teoría, caracterizar un producto, determinar las propiedades de un objeto, etcétera, es necesario estimar la variación del valor medido con respecto al valor real. La teoría de errores se encarga de estimar esta desviación, pero antes de hacerlo es necesario comprender y diferenciar dos conceptos que suelen confundirse: error c incertidumbre. En este capítulo se definirá el concepto de incertidumbre y su relación con el error, mientras que de este último solo se hará una pequeña mención debido a que ya fue descrito en el capítulo anterior.

Error

El resultado de todo proceso experimental que proporcione el valor medido de una magnitud X no coincidirá con el valor real de dicha magnitud. La diferencia entre el valor real y el valor medido se denomina error de la medida:

(3.D

IncertidumbreDebido a los errores, los valores obtenidos como resultado de los procesos de medición poseen incertidumbre. La utilización de instrumentos en buen estado, el manejo adecuado de los aparatos y la consideración de correcciones a los modelos ideales, permiten reducir los errores sistemáticos, sin embargo, no es posible deshacerse totalmente de los errores aleatorios y de escala. Mientras más preciso es el instrumento de medición.

41

Capítulo 3 Incertidumbre en las mediciones y evaluación de resultados experimentales

más significativos se vuelven los errores aleatorios. La incertidumbre que resulta de una medida, en ciertas unidades, no puede ser un número exacto, sino un intervalo numérico. La incertidumbre es pues, el semiancho del mínimo intervalo donde es posible afirmar, con relativa seguridad (más o menos con 70% de confianza), dónde se encuentra el valor real de la medida.

Una vez que se han explicado los dos conceptos, distinguirlos facilita la comprensión de la teoría de errores. Es frecuente que en la mayoría de los casos se utilice la palabra error para referirse a la incertidumbre de una medida, lo cual es práctico, mas no correcto.

El error es siempre desconocido, pero puede estimarse una cota superior para su valor absoluto, la cual se denomina incertidumbre absoluta de la medida y se expresa AX. De la definición de error y de incertidumbre, se deduce que el valor real de la medida se encuentra en el intervalo:

^ 6 [X— -A X . X - + A X ]

Esta situación se representa gráficamente de la siguiente forma:

11 . 1I I11 * 11

Xmed-AX X ^ J X ^ j + A X

Figura 3.1: Representación de la incertidumbre absoluta de una medición.

donde X wJ se encuentra en el punto medio del intervalo. El resultado de una medida se escribe siempre:

X = X mtJ± A X (3.2)

Sin embargo, a veces es útil comparar la incertidumbre de una medida con el valor de la misma.

Ahora bien, se define incertidumbre relativa como el cociente entre la incertidumbre absoluta de la medida y el valor medido:

S X = - ^ ~ (3.3)

También se representa como porcentaje y, en este caso, se denomina incertidumbre relativa porcentual. Obsérvese que la incertidumbre relativa es adimensional, mientras que la absoluta tiene las mismas unidades que la magnitud medida, por lo que siempre se acostumbra expresar el resultado de una medición con la incertidumbre absoluta.

En resumen, medir una magnitud no se refiere únicamente a dar un número, sino también sus unidades e incertidumbre y presentarlo correctamente. En cada resultado se debe tener la seguridad de que esos cuatro aspectos queden representados de maneraclara para su interpretación. Por ejemplo, al determinar el peso de una fruta, este se debeexpresar de la siguiente manera:

Propagación de incenidum bre 43

(105 ± 10) g

Valor medido Incertidumbre Unidades

Propagación de ¡ncertidumbreDebido a que tanto en las prácticas de laboratorio como en los experimentos cientí

ficos es necesario determinar la incertidumbre de las medidas y expresar correctamente los resultados, es fundamental aprender a obtener las mediciones en casos distintos. Los tipos de determinaciones de incertidumbre que se utilizan en la práctica son los siguientes: 1) La ¡ncertidumbre absoluta cuando la medida es única directa, 2) La incertidumbre absoluta en series de medidas directas, y 3) La incertidumbre absoluta en medidas indirectas (constante, suma, resta, multiplicación, división, potencia, logaritmo, exponencial, entre otras).

La incertidumbre absoluta cuando la medida es única directaLas mediciones directas son las que se realizan al comparar directamente el patrón de medida con el objeto a medir. Sin embargo, dentro de estas existen dos tipos: las mediciones directas rcproduciblcs (o directas únicas) y las no reproduciblcs. Las primeras son aquellas que se pueden repetir tantas veces como sea necesario y bajo las mismas circunstancias experimentales. En esta sección se evaluará cómo se determina la inccr- tidumbre en estos casos.

Cuando se realiza la medición directa de una magnitud y no es posible repetir la medición, o cuando en una serie de lecturas se obtienen los mismos resultados para la magnitud, al valor obtenido generalmente se le asocia una ¡ncertidumbre absoluta igual a la m itad de la división más pequeña de la escala del instrumento. Por ejemplo, si al medir repetidas veces la longitud de un cuerpo con una regla graduada en milímetros se obtiene siempre 250 mm, no se puede concluir que la incertidumbre es cero porque los errores accidentales quedan ocultos al ser menores que la incertidumbre asociada a la regla; así pues, como la escala mínima de un regla es de 1 mm, la mitad será 0.5 mm, lo que se considerar como la ¡ncertidumbre absoluta (AL = 0.5 mm) y la medición se deberá escribir de la siguiente manera:

L = (250 ± 0 .5 ) mm

El intervalo de incertidumbre va de 249.5 mm a 250.5 mm y es el doble de la incertidumbre absoluta.

F.1 hecho de asociar a las lecturas obtenidas con instrumentos sencillos una incertidumbre igual a la mitad de la división más pequeña de la escala, se debe a que la mayoría de los fabricantes garantizan que sus instrumentos están diseñados y construidos, de tal manera que la incertidumbre máxima que se puede introducir no sobrepasa ese valor.

Como ya se dijo, la incertidumbre de la precisión finita del instrumento de medición (incertidumbre sistemática de precisión) normalmente se toma igual a la mitad de la mínima división de su escala, pero en otras ocasiones se sugiere utilizar la mínima división completa (en el caso de balanzas, la pesa de menor valor). En otros casos, en donde el procedimiento de medición aumenta la ¡ncertidumbre, no puede tomarse la mitad de la mínima escala ni la mínima división, dado que se obtendría una incertidumbre mayor.

44 Capítulo 3 Incertidumbre en las mediciones y evaluación de resultados experimentales

Figura 3.2: Odómetro de un automóvil que se desplaza entre 70 y 80 km/h.

Un ejemplo útil es utilizar una escala analógica del instrumento que mide la rapidez en los automóviles; por lo general estos presentan una división mínima de su escala en intervalos de 10 km/h. Si la lectura en un momento determinado marcara un valor entre 70 y 80 km/h (figura 3.2), bastante cercano a los 80 km/h, la mejor lectura que se tendría, si se aplicara la regla anterior, sería de 70 ± 5 km/h, estimándose que el valor real se encontraría entre 65 y 75 km/h. Si en este caso se subdividiera de manera virtual esta escala en segmentos de 1 km/h, quizá se podría tener una mejor estimación de 79 ± 0.5 km/h, es decir, un intervalo entre 78.5 y 79.5 km/h. Con estos ejemplos se comprueba que es necesario entender correctamente el procedimiento experimental para encontrar el valor correcto y tener presente que dicha regla debe aplicarse con criterio.

La incertidumbre absoluta en series de mediciones directasLas series de mediciones directas son aquellas que pueden repetirse tantas veces como sea necesario, bajo las mismas circunstancias experimentales. Ahora veamos cómo se estima la incertidumbre, influida por factores aleatorios, en series de mediciones directas. Para realizar tal estimación es necesario repetir la medida varias veces en las mismas condiciones. En cada una de estas repeticiones los factores aleatorios afectan de forma diferente, lo que permite obtener información acerca de su magnitud. Si se repite n veces la medida de una magnitud X y se expresan comoX,, X:. Xn los resultados de las n medidas; entonces, el mejor valor para el conjunto de mediciones es la media aritmética X (la cual se analizará a detalle en el capítulo 4), y se calcula de la siguiente forma:

A

X *X = -*=*— (3.4)

ndonde:

X = media aritmética.X t = valores de la variable X desde el valor i = / hasta el valor n-ésimo. n = número total de datos de X o el tamaño de la muestra.

En estos casos se toma como inccrtidumbrc absoluta AX (la inccrtidumbrc mayor entre la inccrtidumbrc que se debe a la precisión \p \ del aparato y la que se debe a los factores aleatorios), que dependerá del número de medidas:

Propagación de incenidum bre 45

Si 2 ^ / i £ 1 0 AX = m áx(p,D m )

Si n > 10 AX = m áx(p ,Sm)

Donde Dmes la desviación máxima que está definida como:

Dm = (3.5)2

Y Sn es la desviación típica de la media (desviación estándar o error cuadrático de la media) expresada:

I f i W - X ) 7 ( 3 .6 )

S_ = \/4=!----------------(n -1 )

donde:

X = media aritmética.X. - valores de la variable X desde el valor i = 1 hasta el valor n-ésimo. f i = frecuencia del valor Y desde el valor / = 1 hasta el valor n-ésimo. n = número total de datos de Y o el tamaño de la muestra.

Así, Sm es una medida del grado de dispersión de la distribución de los valores alrededor de la media. Cuando S es grande, los valores individuales están muy dispersos.

En resumen, para series de mediciones directas la incertidumbre absoluta de la serie de medidas será igual a Dm para los casos en que el número de datos se encuentre entre 2 y 10, y Sm en los casos que el número de datos sea mayor que 10.

Medidas indirectas que tienen incertidumbre asociadaLas mediciones indirectas son aquellas que requieren la determinación de una o más mediciones directas y se obtienen efectuando un cálculo matemático con dichas mediciones, lo cual en la mayoría de los casos, se debe a que no existen instrumentospara determinarlas y, en otros casos, aunque estos existan no se dispone de ellos, por loque se tienen que evaluar mediante relaciones matemáticas. Por ejemplo, si se pretende determinar la aceleración a de un cuerpo, no existe un acelerómetro; sin embargo, se establece mediante relaciones matemáticas como:

a = - (3.7)m

Existen instrumentos para medir la fuerza F (dinamómetro) y la masa m (balanza). Sin embargo, es importante recordar que las mediciones de F y m tendrán que estar asociadas con sus respectivas ¡ncertidumbres:dF y Am, y por lo tanto, a también presentará su incertidumbre asociada: Aa. De manera que:

a + Aa = — — (3.8)m + A/tí

En virtud de que la mayoría de las mediciones realizadas en ciencias e ingenierías son indirectas es importante determinar cómo se propaga la incertidumbre. Hasta aquí se ha presentado únicamente el concepto de incertidumbre de una sola variable medida; sin embargo, es raro que el proceso se termine con la medición de una variable única. Con


frecuencia, el resultado deseado es una combinación de dos o más cantidades medidas, o por lo menos, es una función calculada a partir de una sola variable. Por ejemplo, se puede calcular el área transversal de un cilindro por la medida de su diámetro, o su volumen por la medida tanto del diámetro como de la altura. Las diferentes mediciones son de distintos tipos: el cálculo de la aceleración de la gravedad (g) a partir de los valores de la longitud, el periodo de un péndulo, etcétera. En estos casos es obvio que la presencia de incertidumbre en las medidas originales trae consigo la presencia de una incertidumbre en el valor final calculado. Para propósitos prácticos se supone que en la experimentación las incertidumbres tienen el carácter de alcances o intervalos, dentro de los cuales existe la probabilidad de que se encuentre el valor correcto. Para los valores calculados se encuentran intervalos dentro de los cuales, nuevamente, existe la probabilidad de que ahí estén los valores buscados. Esto significa que se tienen que hacer cálculos para el peor caso de combinación de incertidumbres.

Incertidumbre en funciones de una variableSi se considera una cantidad medida (X^ con una incertidumbre (± AX) y un valor calculado (>0, que es una función de la variable X, es decir.

Y = / ( X ) (3.9)

Esta función permite calcular el valor estimado Ya¡, a partir de un valor medidoMejor aún, permite la posibilidad de estimar que pueda variar de X ^ - AX aX + AX, lo que implica un interv alo de posibles valores de Y - AY a Y , + AY.

Ahora interesa saber cómo se calcula el valor de DK Antes de considerar los métodos generales de evaluar D J\ es ilustrativo ver la propagación de las perturbaciones finitas en funciones sencillas. Por ejemplo, la función:

Y = X 2 (3.10)

Si X puede variar entre X - AX a X ^ + AX , entonces Y puede variar entre Y(¡¡ -A Y a Yai + AY, donde:

n , ± AK = ± AX)2 = ± + AX7 (3.11)

Si se ignora el término AX2, debido a que se supone que AX es pequeña en comparación con XnrJ y al elevarla al cuadrado se obtiene un valor todavía más pequeño, se puede igualar Ytt¡ con XmJ , lo que para el valor de DXda:

AY = 2XmedAX (3.12)

Esto se expresa, de forma más conveniente, en términos de la incertidumbre relativa:

AX = 2 X ^ = 2 AX

Ym X ^ X _

Así, la incertidumbre relativa del valor calculado es dos veces la de la medición inicial. Aunque es esencial tener en mente la naturaleza de la incertidumbre propagada.

Método general para la determinación de la incertidumbre 47

como lo ilustra el uso de diferencias finitas, puede lograrse una simplificación considerable de la formulación lograda usando el cálculo diferencial.

Método general para la determinación de la incertidumbre en funciones de una variable utilizando cálculo diferencial

Este método, en el caso de relaciones matemáticas complejas, provoca que las estimaciones de propagación de incertidumbre se vuelvan difíciles de obtener, no obstante, se puede recurrir al cálculo diferencial. Las diferencias finitas AY y AX se expresan en tér-

dYminos de la derivada — . Por lo tanto, es posible conocer el valor de AY usando primero

dXdY

las técnicas normales para obtener — de la siguiente forma:dX

o también:

¿ Y = d- W » A X (3.15)dX

Este es un procedimiento relativamente simple y funciona bien en los casos en que el planteamiento de diferencias finitas lleva a una excesiva complejidad algebraica. Por ejemplo, si

Y = — (3.16) ( X 2 + l)

dY _ ( X 7 + \ ) - ( X 2 X ) _ i - x 2entonces: - - , , (3.17)

1 - X 2(1 + X 2)

y finalmente: AY = 2 AX (3.18)

Más aún, da una expresión general para AY en función de X y AX. Este cálculo habría sido muy complicado con otro tipo de planteamiento. Cualquier valor deseado enparticular puede obtenerse haciendo X = X ^ . Estas técnicas sirven para evaluar incertidumbres de algunas funciones comunes, por ejemplo:

1. Potencias:

Y = X ' (3.19)

— = n X ^ ' (3.20)dX

A Y = ,iX " A X (3.21)


Lo significativo de este resultado se hace un poco más obvio cuando se expresa en términos de la incertidumbre relativa:

A Y AX( 3 - 2 2 )rat i

Por lo tanto, cuando se evalúan potencias, la incertidumbre relativa del resultado es la incertidumbre relativa de la cantidad original multiplicada por la potencia respectiva. Esto es válido tanto para potencias como para raíces, de modo que la precisión disminuye si una cantidad se eleva a potencias y mejora al sacar raíces. Esta situación debevigilarse con cuidado en un experimento que implique potencias; cuanto más alta es la potencia, mayor es la necesidad de una alta precisión inicial.

2. Funciones trigonométricas. En el caso de:

Y = sen X (3.23)

dYse tiene que — = eos X (3.24)

dX

Ay = (cosX)AX (3.25)

3. Funciones logarítmicas y exponenciales. Para la función:

K = logX (3.26)

dY 1 .se tiene que — = — (3.27)

dX X

A Y = - A X (3.28)X

La incertidumbre relativa se calcula dividiendo ambos lados entre Y = f ( X ) , según la expresión inicial de la función:

Si Y = ex (3.29)

d Y xse tiene que — = e (3.30)

dX

AY - e xAX (3.31)

Este es un caso importante, ya que las funciones exponenciales ocurren con frecuencia en la ciencia y la ingeniería. Estas funciones pueden hacerse muy sensibles al exponente cuando toma valores mucho mayores que la unidad, y por lo tanto, la incertidumbre D Y puede volverse muy grande. Como se mencionó antes, este método se aplica fácilmente a cualquier función si se evalúa la derivada respectiva.

Incertidumbre en funciones de dos o más variables 49

Incertidumbre en funciones de dos o más variablesSi el resultado se calcula a partir de dos o más valores medidos X. Y, Z ..., la ¡ncertidumbre de ese resultado se observa de dos maneras: se puede ser tan pesimista como sea posible y suponer que las desviaciones reales de X y Y ocurren combinándose de manera tal que desvíen el valor de Z, tan lejos como sea posible de su valor central. De esta manera, se calcularía un valor de Z que d<5 la anchura extrema del intervalo de posibles valores de Z. Por otra parte, se puede argumentar que es más probable que se combinen las incertidumbres de las medidas básicas de una manera menos extrema, donde algunas hagan contribuciones positivas y negativas a AZ. de modo que el valor resultante de AZ sea menor que el que da la suposición pesimista.Por el momento se calculará el valor de AZ que representa el margen más amplio de posibilidad para Z. Este enfoque, si bien es pesimista, ciertamente es seguro, ya que si AX, AY, etcétera, representan límites dentro de los cuales estamos casi seguros de que se encuentran los valores reales, entonces el valor calculado de AZ dará los límites dentro de los cuales también estamos casi seguros que se encuentra el valor real de Z.

El enfoque inicial usa el método elemental de sustitución y es el que se emplea para las primeras dos funciones.

1. Suma de dos o más variables. Si se considera que:

Z = X + Y (3.32)

La incertidumbre en Z se obtiene a partir de:

Z „ ± AZ = {XmeJ ± A X ) + (Y„d ± A Y ) (3.33)

y el valor máximo de AZ se alcanza al escoger signos semejantes todo el tiempo. Así:

A Z - A X + AY (3.34)

Como era de esperarse, la incertidumbre en la suma es solamente la suma de lasincertidumbres individuales. Se expresa en términos de la ¡ncertidumbre relativa, perono se logra una mayor claridad:

AZ AX + AY (3.35)Z X + Y

2. Diferencia de dos variables:

Z = X - Y (3.36)

Como en el caso anterior, se obtiene AZ a partir de:

± AZ = ( X ^ ± A X ) - ^ ± AY) (3.37)

Aquí se puede obtener el valor máximo de AZ escogiendo el signo negativo para A Y. lo que una vez más da:

A Z = AX + A Y (3.38)


En esta ecuación, cuando Xmed y Y son muy cercanas y X - Y pequeña, la inccrtidumbrc relativa puede adquirir valores muy grandes. Esta es una situación insatisfactoria y la precisión quizá sea tan baja que anule el valor de la medición. En particular, esa condición peligrosa puede pasar inadvertida. Es perfectamente obvio que, si fuera posible evitarlo, nadie intentaría medir la longitud de un cuaderno midiendo la distancia de cada borde desde un punto alejado para luego restar las dos longitudes. Sin embargo, puede suceder que el resultado deseado se obtenga por sustracción de dos medidas hechas por separado (en dos termómetros, dos relojes, entre otros) y el carácter de la medición como diferencia no sea claro.

En consecuencia, todas las mediciones que tengan que ver con diferencias deberán tratarse con el mayor cuidado. Es claro que la forma de evitar esa dificultad es medir la diferencia de manera directa, en lugar de obtenerla por sustracción. Por ejemplo, si se tiene un aparato en el que dos puntos están a potenciales a tierra de V{ = 1500 V y V:= 1510 V, respectivamente, y la cantidad que se requiere es V, - V,; solo un voltímetro de muy alta calidad permite medir los valores V7 y V{ con la exactitud requerida para lograr incluso 10% de precisión en V2 - V,. Por otro lado, un voltímetro ordinario de 10 V conectado entre los dos puntos para medir V, - V, directamente, daría de inmediato el resultado deseado con 2 o 3% de precisión.

M étodo general para determinación de la incertidumbre en funciones de dos o más variables

Los dos ejemplos anteriores, tratados por el método elemental, sugieren que una vez más el cálculo diferencial ofrecería una simplificación considerable a este tratamiento. Si se tiene:

Z = f ( X , Y ) (3.39)

la cantidad apropiada para calcular AZ es la diferencial total dZ. que está dada por:

d Z ^ ~ - d X + — dY (3.40)BX BY

Tomando esta diferencial y tratándola como una diferencia finita, AZ se calcula a partir de las ¡ncertídumbres A X y A Y . Esto es:

AZ = — AX + — AY (3.41)BX BY

Bf Bfy las derivadas — y — normalmente se calculan con los valores X y Ymei para los

B f Bfque se necesita AZ. Se observa que. dependiendo de la función/ , el signo de ^ y

resulta ser negativo. En ese caso, se utiliza la estimación pesimista para el valor máximo de AZ, se escogen los valores negativos apropiados para AXoAY,& fin de obtener de ahí una contribución total positiva de la suma.

1. Producto de dos o rnás variables. Suponiendo que:

7 = XY (3.42)

Método general para determ inación de la incertidumbre 51

y se utilizan las diferencias finitas, se necesitan los valores de d f / BX y Bf I B Y . Estos son:

! = r (3.43)

f y - x (344)

por lo que el valor de DZ está dado por:

AZ = YAX + XA Y (3.45)

El significado de este resultado se ve con más claridad cuando se convierte en incertidumbre relativa:

AZ AX AYT = X ~ Y ~ < 3 4 6 >' • / An,J '»

Así, cuando la cantidad deseada es el producto de dos variables, la incertidumbre relativa es la suma de las incertidumbres relativas de los componentes.

Es muy común, sobre todo en física, que una función compuesta implique un producto algebraico que tiene componentes elevados a diferentes potencias. Al tener:

Z = X aY b (3.47)

en donde a y b pueden ser positivas o negativas, enteras o fraccionarias. En esc caso, la formulación se simplifica de manera significativa tomando los logaritmos de ambos lados antes de diferenciar. Así:

log Z = a log X + b log Y (3.48)

de donde, implícitamente, se obtiene:

(3.49)Z X Y

Y tomando las diferenciales como diferencias finitas:

— = a — +f>— (3.50)7 X Yat fd lmtd

Nótese que este proceso da la incertidumbre relativa de manera directa y eso, confrecuencia, es conveniente. Si se requiere la incertidumbre absoluta DZ, puede multiplicarse la incertidumbre relativa por el valor calculado Z,Bque, por lo general, está disponible. Esta forma de diferenciación implícita sigue siendo el procedimiento más sencillo aun cuando la misma Z csté elevada a alguna potencia. Por ejemplo, si la ecuación es:

7} = X Y (3 .51)


AY =

es innecesario rescribirla como: Z = X '2Y ' 2

y si se expresa en logaritmos: 21og Z = log X + logJ' (3.52)

. AZ AX A Y . . .

entonces: 2 — = ---------+ --- (3.53)Z X Ymrd ‘mrd

lo que da ^ como se requería.

2. Cocientes. Pueden tratarse como productos en los cuales algunas de las potencias son negativas. Como antes, el valor máximo de AZ se obtiene despreciando los signos negativos de la diferencial y combinando todos los términos de forma aditiva.

Si se encuentra una función distinta a las ya enumeradas, por lo general funciona alguna forma de diferenciación. Con frecuencia es conveniente diferenciar una ecuación de forma implícita, así se evita el requisito de calcular explícitamente la cantidad desconocida en función de las otras variables. De esta manera, se prepara una fórmula para la incertidumbre en la que se insertan directamente todas las incógnitas. Asegúrese de que se usen los signos adecuados para que todas las contribuciones a la incertidumbre se sumen para dar los límites extremos de posibilidad del resultado.

Cuando la función sea tan grande y complicada que no se pueda obtener un valor general de AZ, siempre se pueden tomar los valores medidos Xme/ entre otros, y encontrar Zru. Entonces se trabaja con dos resultados diferentes, uno utilizando los valores numéricos propios de XmfJ + AX. YmeJ+ A y(o Y ^ - A Y , si es el adecuado) para obtener uno de los valores extremos de Z; y el otro utilizando Xm j - AX. Esos dos valores corresponden a los límites de Z y así se conoce el valor de AZ

Finalmente, se calcula la incertidumbre de Y en las medidas indirectas en función de varias medidas directas X r X2,...Xn:

K = / (X „ X 2, . . .X J (3.54)

donde f e s una función de n variables. La incertidumbre de Y está dada por la expresión matemática general:

3X, dX

AX,, AXr ... AXn son las incertidumbres totales de las medidas directas.Los casos particulares sencillos más usados son:

Cambio de escala: Y =cX => AY =|cjAX (3.56)

Potencias: Y = cX* => AY =kYX

AX (3.57)

Suma y diferencia: Y = X, + X 2 => AY = V'(AX,)J +(AX: )J

J ^ X . - X ,

(3.58)

Método general para determ inación de la incertidumbre 53

Producto y cociente: Y = X,X2 => AY = |K|AX, T AX, 1

r *► (3.59)

Y =

Logaritmo: Y = logX =* AK =AX

(3.60)

Exponencial: K = => AY = exAX (3.61)

Ejemplos utilizando los casos particulares sencillos

Sum a y diferencia

El error absoluto de una suma o una diferencia es la raíz cuadrada de la suma de los errores absolutos elevados al cuadrado de cada una de las cantidades que interv ienen en dicha suma o diferencia (fórmula 3.58).

a k = v/ ( a x , ) : + ( a x ! ) 3

Ejem plo 1: una mesa cuadrada se mide con una cinta métrica; los lados son iguales a un valor de(75.0 ± 0.5) cm. ¿Cuál es el valor de su perímetro? Expresa el resultado con su incertidumbre.

Se tiene que:

L - L ^ ± A L

y el valor del perímetro P = P ^ ± AP

y si Lmíá =75.0cm y AL - 0 .5cm

Entonces:

/ , = + / w + í w + í w = (75.0 + 75.0 + 75.0 + 75.0) cm = 300 cm

AP = V'(A/.2 + AL2 + AL2 + AL7) = ^((0.5cm )2 + (0 .5cm )2 + (0 .5cm )2 +(0.5cm )2) = 1 cm

y

El perímetro de la mesa es: P = (300± 1) cm.


Ejem plo 2: si al medir el volumen de un objeto por desplazamiento de agua en una probeta se obtienen los siguientes valores: V, = (350.0 ± 0.5) mi y V ,= (400.0 ±0 .5) mi. ¿Cómo se repor ta el volumen del objeto?

V = V 2- V ¡ y A V = JAV? + AVj2

V = (400.0 - 350.0) mi = 50.00 mi

AV = J (0 5 mi)2+ (0.5 m i)1 = 0.707mi - 0.7ml

Se puede escribir que el desplazamiento de volumen fue de V = (50.00 ±0.7) mi.

Ejem plo 3: si se tienen dos resistencias: K, = (300 ±3) £2 y /?, = (200 ± 6 ) £2 y se conectan en serie,¿qué resultado se obtiene?

Rs = /?, + /? ,= (300 + 200) £2 = 500 £2

ARs = + AR:: = J (3£2)2 +(6£2)2 =6.71£2 = 7£2

Por lo tanto, el resultado debe expresarse como: Rs = (500± 7) £2

Producto y cociente po r un núm ero exacto

AT “P1 .ll1

VAX,

J + 2X 2

¿ /

Ejem plo 4: en la determinación de la potencia eléctrica de una resistencia se midieron el voltaje y lacorriente eléctrica, y se obtuvieron los siguientes resultados:

V = (50.0±1.0) V ; / = (4 .0±0 .5 ) A

La potencia eléctrica y la incertidumbre asociada a la potencia eléctrica es igual a:

P - V t v AP = Pa v Y ( a i

j + i

P = 50V x 4 A = 200W = 2 x l0 2 W

0.5 A V+

1 4 A= 2 x 102V a 16 = 2 x 102(0 .13) = 25.32 W = 3x 10'W

Por lo tanto, el resultado debe expresarse como: P = ( 2 ± 0 .3 ) x l0 : W

Las gráficas 55

Ejem plo 5 : 1 en un experimento la medición de la densidad reportó los siguientes valores: masa (25.00± 0.05) g y volumen (10.5 ± 0.1) cm3.

mdonde: p = — y A p - pAmm

2 Í A V

p =25.00g

10.5 cm '= 2.38 g

cm

Ap = 2.38—cm ' V I 25.00cm 3

2 / . V0.1 cm10.5 cm '

= 2.38 — -r V0.000095 = 2.38 - A r (0.0097) = 0.023 - 1 - cm cm cm

Por lo tanto, el resultado debe expresarse como: /> = (2.38 ± 0.02) gcm

Análisis gráfico de los resultados

Representación de la incertidumbre en las gráficasEl análisis gráfico es una herramienta útil para la evaluación de experimentos y representa el comportamiento esquemático y/o matemático del sistema analizado. Existen dos tipos de gráficas: las descriptivas y las de cálculo. Las primeras ilustran el comportamiento de un sistema físico (simple descripción esquemática del sistema), mientras que las segundas permiten hacer estimaciones de valores no conocidos dentro del rango de valores (interpolación) y en algunos casos extrapolarlos a valores no analizados (con un alto grado de probabilidad de cometer una subestimación o sobrestimación).

Para extraer toda la información posible de las observaciones es necesario graficar, además de los puntos, la incertidumbre correspondiente de cada uno de ellos, de manera que sea apreciable cualquier desviación y se evidencie la incertidumbre total del experimento. A menos que sobre cada punto se marque el intervalo de error, será imposible decidir si una desviación particular de la tendencia general es o no significativa.

Las gráficasEn experimentos donde se obtiene una gran cantidad de datos, con frecuencia se organizan para presentarlos en forma de una gráfica, es decir, un diagrama que usa líneas, círculos, barras o alguna otra forma geométrica para representar los datos.

I-as gráficas:

1. Concentran información que facilita la comparación entre un experimento y otro, y se pueden comparar con otras gráficas, lo cual no ocurre si solo se utilizan tablas.

2. Revelan rápidamente ciertos rasgos como: máximo, mínimo, periodicidad, variación de la pendiente, ordenada al origen, entre otros.

En las ciencias c ingenierías, las gráficas tienen, principalmente, tres aplicaciones:

1. Es muy rápido y sencillo determinar alguna característica de un fenómeno.2. Funcionan como una ayuda visual.3. En el trabajo experimental permiten conocer la relación existente entre dos o tres

variables.


10000001

1000000

100000

10000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 1314 15 16 17 18 19P eso (kg)

Figura 3.3: Representación, en papel milimétrico, del incremento en la longitud de un resorte (cm) en función del peso (kg) que se le aplica.

b) Papel semilogarítmico: tiene una escala lineal y otra logarítmica. Se emplea en funciones exponenciales y en el caso de funciones que representan variaciones muy grandes de una variable (figura 3.4).

10 15 20Oías transcurridos

Figura 3.4: Representación, en papel semilogarítmico, del incremento en la concentración de levadura (escala logarítmica) en función del tiempo en días (escala lineal).

Construcción de gráficasPara la construcción de gráficas, a partir de datos experimentales, se deben seguir las siguientes recomendaciones:

1. Elección del papel adecuado (depende del tipo de datos obtenidos y del problema por resolver):a) Papel de coordenadas rectangulares uniformes (milimétrico): se caracteriza por

que ambos ejes, abscisas x y ordenadas y están a escala lineal. Por lo general se utiliza para determinar un fenómeno con comportamiento lineal (figura 3.3).

Las gráficas 57

c) Papel logarítmico: se caracteriza porque ambos ejes: abscisas y ordenadas son en escala logarítmica. Es útil cuando las dos variables presentan variaciones grandes o cuando se trata de representar una función potencial del tipo Y = Aje■ (figura 3.5).

1 10 100Días tra n scu rrid o s

Figura 3.5: Representación, en papel logarítmico, del incremento en la concentración de ¡sotopos (escala logarítmica) en función del tiempo en días (escala logarítmica).

2. Elección de la escala (el valor asignado a la menor división de la escala en cada eje debe ser igual a la incertidumbre absoluta de la magnitud medida): el rango de cada escala debe permitir gráficas que ocupen espacios más o menos cuadriculados (figura 3.6).

45

40

35

30?— 25 T>2» 2 0

l ,

10

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19Poso (kg)

Figura 3.6: La escala de los dos ejes presenta como mínima división la incertidumbre absoluta del instrumento de medición, que es en este caso de 0.1 kg para el peso y de 0.5 cm para la longitud.


3. Trazo de los punios experimentales: los valores experimentales en una gráfica deben ser representados por rectángulos y no por puntos, en los cuales se muestre el intervalo de incertidumbre absoluta que corresponde a cada magnitud en cada eje (figura 3.7). Ejemplo:

Figura 3.7: Representación de la incertidumbre absoluta de un punto donde se toma el intervalo del valor X, - 14.4 ± 0.1 y Y, = 15.6 ± 0.2.

En la figura 3.7 el punto (14.4, 15.6) es representado por un rectángulo que en el eje X tiene un rango de valores entre 14.3 y 14.5, y en el eje Y un rango entre 15.4 y 15.8. Por lo tanto, la gráfica de este resultado experimental puede pasar por cualquier punto dentro del rectángulo y no necesariamente por el punto, ya que la precisión del instrumento utilizado, tanto para medir la magnitud del eje X como la del eje Y, no permite discriminar ningún punto (del rectángulo) de error como preferente para trazar una nueva curva.

Gráficas en calculadoras y computadorasCon el desarrollo de la tecnología ha caído en desuso el papel milimétrico, el logarítmico y el semilogarítmico, ya que en las computadoras existen herramientas para tabular, graficar y obtener las ecuaciones de un conjunto de datos. Esto ha facilitado el trabajo en la ciencia, pues permite ahorrar tiempo en el análisis gráfico en la interpretación de resultados. Luis figuras 3.8 y 3.9 muestran el uso de las calculadoras para graficar conjuntos de datos.

Existe una amplia variedad de programas de cómputo que permiten realizar el análisis gráfico de datos; entre los más populares se encuentran las hojas de cálculo como Excel, Harvard Graphics, Quatro Pro, entre otros. Del mismo modo, existen muchos programas estadísticos para graficar, entre los que se encuentran: Statistica, Statgra- phics, SPSS, DataStudio, entre otros.

DBO

O

Ipp

m)

DB

05

(pp

m)

Gráficas en calculadoras y computadoras 59

Figura 3.8: Utilización de las calculadoras para graficar conjuntos de datos.

D 0 O t e n m u e s t r a s d e a g u a s r e s id u a le s d e l m u n ic ip io d e T o n a l* . J a l i s c o

D 6 0 a e n m u e s t r a s d e a g u a s r e s id u a l e s d e l m u n ic ip io d e T o n a l A . J a l i s c o

1 4 0 0

12001000

8 0 0

6 0 0

4 0 0

2000

I<■B -|115 / 11/ 20G 5 W 0 3 / 2 0 0 6 2 4 / 0 5 / 2 0 0 6 2 0 / 1 1 / 2 0 0 6 0 7 / 0 4 / 2 0 0 7

F e c h a d e m u e s t ie o

i«o

i

3 0 0 0

2 5 0 0

2000

1 5 0 0

10005 0 0

01 5 / 1 1 / 2 0 0 5 1 & C 3 / 2 0 0 6 2 4 .0 5 / 2 0 0 6 2 0 / 1 1 / 2 0 0 6

F e c h a d e m u e s tre o

a M1M2

s M3 M 4

0 7 / 0 4 / 2 0 0 7

D B O ^ e n m u e s t r a s d e a g u a s r e s id u a le s d e l m u n ic ip io d e T o n a l* , J a U s o o

1 4 0 0

1200 1000

8 0 0

6 0 0

4 0 0

200 0

M1M 2

M3

M4W 1 1 / 2 0 0 5 1 6 / 0 3 / 2 0 0 6 2 1 / 0 5 / 2 0 0 6 2 0 / 1 1 / 2 0 0 6 < 37/ 04/ 2007

F e c h e d e m a e s tr e o

D 6 0 t e n m u e s t r a s d a a g u a s r e s id u a l e s d e l m u n ic ip io d e T o n a l* . J a l i s c o

itoi

M4

M3

M2_______________ M1

1 5 / 1 1 / 2 0 0 5 2 4 4 )5 / 2 0 0 6 0 7 / 0 4 / 2 0 0 7 1 6 / 0 3 / 2 0 0 6 2 0 / 1 1 / 2 0 0 6

F e c h a d e m u e s tre o

L / ' N *

h □□ 1 0 0 0 - 1 5 0 0

0 5 0 0 - 1 0 0 0

O 0 - 5 0 0

Figura 3.9: Uso de Excel para el análisis gráfico de datos


Coeficiente de correlaciónMuchos de los problemas de los que se ocupan las ciencias van más allá de la descripción de una variable única en sus diversas ramificaciones y con frecuencia es necesario determinar las relaciones entre dos o más variables. Por ejemplo, uno de los intereses esenciales de las oficinas administrativas de las universidades es la relación existente entre los promedios obtenidos en el bachillerato o las calificaciones en el examen de ingreso universitario, y el rendimiento en la universidad. Los estudiantes que hacen un buen bachillerato o que logran una calificación alta en el examen de ingreso, ¿también destacan en la universidad? O bien, aquellos que son malos estudiantes en bachillerato y los que obtienen una calificación baja en el examen de ingreso, ¿tienen un pobre rendimiento en la universidad?

Establecer estas preguntas acerca de las relaciones que existen entre las variables, equivale a internarse en el área de la correlación. Con el fin de expresar cuantitativamente hasta qué grado están relacionadas dos variables, es necesario calcular el llamado coeficiente de correlación r. Hay muchas clases de coeficientes de correlación. La decisión de cuál emplear para una serie de datos específicos depende de factores como:

• El tipo de escala o medida en la cual se expresa la variable.• La naturaleza de la distribución fundamental (continua o discreta).

• La característica de la distribución de las calificaciones (lineal o no lineal).

No importa qué técnica de correlación se emplee, todas tienen las siguientes características comunes, si continuamos con el ejemplo anterior:

1. Se obtienen dos series de medidas de los mismos individuos (o sucesos) o de pares de individuos que tengan alguna forma de relación.

2. Los valores de los coeficientes de correlación varían entre +1.00 y -1.00. Ambos extremos representan relaciones perfectas entre las variables, mientras que 0.00 representa la ausencia de relación.

r ■ 1.00

r*

r~0B? r - 0 5 7

• •

0 0 0 . - V / V

• • • :

-1.00

• •

--030

Figura 3.10: Diagramas de dispersión que ilustran varios grados de coeficientes de correlación entre dos variables X y Y.

Construcción de diagramas de dispersión 61

3. Una relación positiva significa que los individuos que obtienen calificaciones altas en una variable, tienden a obtener calificaciones altas en la otra. La aseveración contraria también es válida, es decir, los individuos con una calificación baja en una variable, obtienen una calificación baja en la segunda.

4. En una relación negativa, los individuos con una calificación baja en una variable alcanzan una calificación alta en una segunda variable y viceversa, los individuos que consiguen una calificación alta tienden a una calificación baja en la segunda.

La figura 3.10 muestra una serie de diagramas de dispersión que ilustran varios grados de relación entre dos variables X y Y. AI interpretar las figuras es importante recordar que cada punto representa dos valores: la calificación de un evento en la variable X y la calificación del mismo evento en la variable Y. Como se indicó anteriormente, la variable X se representa a lo largo de las abscisas y la variable Ya lo largo de las ordenadas.

Construcción de diagramas de dispersiónLa correlación entre las dos variables se puede representar por medio de una gráfica de dos ejes (abscisas y ordenadas) cartesianos. En la figura 3.11 se observa la correlación entre potencia del motor de un automóvil y consumo en litros por cada 100 km.

La figura 3.11 permite deducir que a mayor potencia hay un mayor consumo de combustible. Esto quiere decir que la correlación entre potencia y consumo no es aleatoria. En este caso se estimó una r - 0.87 (correlación positiva).

En la figura 3.12 se representa la relación existente entre peso del automóvil en kg y el tiempo que tarda en incrementar la velocidad de 0 a 100 km/h. El r - -0 .5 6 significa que existe una correlación negativa significativa entre el peso del auto y su respuesta de aceleración. Es decir, automóviles más pesados presentan un mayor tiempo de respuesta y viceversa.

Potencia (C V )

Figura 3.11: Correlación entre potencia de un automotor y su consumo de combustible en I itros por cada 100 km.


1800

1600

1400

5 1200

| 1000

! 8 0 0

600

400

2000 10 20 30

Aceleración 0 a 100 km/h (segundos)

Figura 3.12: Relación existente entre peso del automóvil (kg) y el tiempo (s) que tarda en incrementar su velocidad de 0 a 100 km/h.

Para interpretar el coeficiente de correlación se han dado los siguientes lincamientos generales:

• Valor de r de 0.00 a 0.25 implica que no existe correlación entre ambas variables.• Valor de rd e 0.25 a 0.50 implica una correlación baja a moderada.• Valor de rd e 0.50 a 0.75 implica una correlación moderada a buena.• Valor de r £ 0.75 implica una muy buena a excelente correlación.

Estos intervalos de valores también se pueden extrapolar con correlaciones negativas. Se debe tener cuidado al analizar la correlación entre dos variables, pues es probable que ambas varíen de manera uniforme. Esto quizá parezca redundante pero es importante. Por ejemplo, si se correlaciona edad y estatura, la estatura aumentará con la edad hasta un punto determinado, después ya no aumentará más. Una vez entendido el significado del coeficiente de correlación, este se determina a través de la siguiente ecuación:

» I x ,r , -r = /-i

« i * • -

j-i J»l

(3.62)

M E x

Ejem plo 6: hallar el coeficiente de correlación del conjunto de datos de la tabla 3.1:

Tabla 3.1: Datos iniciales.

X 32

44

64

85

97

118

149

Tabla 3.2: Cálculos en tabla para determinar el coeficiente de correlación.

Ajuste de datos a funciones m atemáticas 63

y, y?

1 i i i i

3 2 9 6 4

4 4 16 16 16

6 4 36 24 16

8 5 64 40 25

9 7 81 63 49

11 8 121 88 64

14 9 196 126 81

X * , = 5 6 M II é

3IIMX

= 364 = 256

De acuerdo con la ecuación (3.62) se tiene que:

8 (364)-56(40) _ 2912 - 2240 _ 672.00 _ Q?77

v/8 (524)-(56)2 >/8(256) - (40)2 (32.50X21.17) 687.90

Ajuste de datos a funciones matemáticasCuando se correlacionan dos o más variables, los comportamientos matemáticos pueden ser muy variados, por lo que existen las siguientes posibilidades: a) línea recta,b) comportamiento cuadrático, c) comportamiento exponencial, d) comportamiento logarítmico y e) comportamiento polinomial. A continuación se analizan estos comportamientos, junto con las ecuaciones generales correspondientes y su respectiva descripción gráfica.

1. Línea recta (figura 3.13): la ecuación que describe el comportamiento lineal tiene la forma Y= m X +£, que también se suele escribir de la siguiente manera:

Y = a + b X (3.63)

donde:X = variable independiente.Y= variable dependiente. a = ordenada al origen o término independiente. b = pendiente de la recta.


y40 m

35 -

30 ■

25 -

20 -

15 •

10 m

5 •

0a

0

Figura 3.13: Comportamiento dos variables correlacionadas de forma lineal Y = a + bX.

2. Comportamiento cuadrático (figura 3.14): la ecuación que describe el comportamiento cuadrático de dos variables tiene la forma:

Y = a + b X + c X 2 (3.64)

donde:X - variable independiente.Y - variable dependiente. a = coeficiente del término independiente. b = coeficiente del término de primer orden, c = coeficiente del término de segundo orden.

Figura 3.14: Com portam iento de dos variables correlacionadas de forma cuadráticaY = a + bX + c X 2.

Ajuste de datos a funciones matemáticas 65

3. Comportamiento exponencial (figura 3.15): la ecuación de este comportamiento se escribe:

Y = aex (3.65)

120000

100000 -

80000 -

60000 -

40000 -

20000 -

0

/

y - 5 e‘

6 8• x

10

Figura 3.15: Comportamiento de dos variables correlacionadas de forma exponencial Y = aex .

donde:X = variable independiente.Y - variable dependiente. a = coeficiente. e = exponencial (2.7183).

4. Comportamiento logarítmico (figura 3.16): está representado por la siguiente ecuación:

Y = aL n(X ) (3.66)donde:

X = variable independiente.Y = variable dependiente. a = coeficiente.

Ltí = logaritmo ncpcriano.

y

x

Figura 3.16: Com portam iento de dos variables correlacionadas de forma logarítmicaY = a h i { X ) .


5. Comportamiento polinomiol (figura 3.17): la ecuación que describe este comportamiento se escribe de la siguiente manera:

Y = a + b X + c X 2+ d X ' + ....+ kX* (3.67)

donde:X = variable independiente.Y = variable dependiente. a = coeficiente del término independiente. b = coeficiente del término de primer orden. c = coeficiente del término de segundo orden. d = coeficiente del término de tercer orden. k = coeficiente del término de orden n.

Ajuste de rectas

Como ya se explicó, la correlación de dos variables puede tener diferentes comportamientos. Sin embargo, uno de los más comunes en los fenómenos físicos es el comportamiento lineal, aunque en los casos que no se pueda utilizar directamente se trabaja con las escalas de las variables (semilogarítmicas o logarítmicas) para alinear comportamientos no lineales y trabajar con la ecuación de la línea recta. A continuación se descri-

y

Figura 3.17: Comportamiento de dos variables correlacionadas de forma polinomial Y - a + b X + c X 2 + d X ' + e X * .

ben dos métodos para el ajuste de la recta a una correlación de dos variables X y Y. Estos métodos son: 1) el método de pares de puntos y 2) el método de los mínimos cuadrados.

Método de pares de puntos 67

Método de pares de puntosDeterminación de la pendiente y de la ordenada al origen (o intercepto)

En muchas situaciones es posible dibujar una gráfica que teóricamente daría una línea recta. Por ejemplo, la distancia x recorrida en un tiempo / por un cuerpo que viaja con velocidad constante v, se obtiene: x = v t , lo cual permite graficar x frente a t.

La pregunta clave es: ¿cuál es la mejor línea recta que se ajusta a los puntos experimentales? La determinación de la pendiente o inclinación de la línea también es impor-

tante porque representa la constante de proporcionalidad. Por ejemplo, la pendiente — será igual a la velocidad v. **

En algunas ocasiones será suficiente dibujar la línea que se vea más o menos recta; en otras, será necesario tener más cuidadoso y utilizar la aproximación de los pares de puntos. Este método se aplica a gráficas con los puntos del eje horizontal igualmente espaciados. El método se ¡lustra en la figura 3.18. Primero los puntos se dividen en dos grupos iguales, uno para valores bajos de X y Y, y el otro para los valores altos de X y Y; entonces se aparean los puntos, uno de cada grupo:

Y se calcula la media aritmética de estas diferencias (Dx y Dy), con las que se puede estimar la pendiente de la línea recta de ajuste mediante:

1 y 7, 2 y 8,..., 6 y 12

Después, se encuentra la diferencia para cada par entre los valores de X y Y:

( * , - * , ) , (X$- X 2U (Xl2- x 6)

i r i - Y M Y 9-Y ¿ . . { Y a - Y J

m - — Dx

(3.68)

y Aproxim ación “pares de puntos'

1211 hjH

10 hfH

8

5

2

1 HÉH&

X

Figura 3.18: La aproximación pares de puntos.

• •


El valor medio de X y Y está determinado pon

Y _ (X ,+ X , + X3+12

(3.69)

Y =_ {Yl + Y2 + Y3 + ... + Yl2)

12(3.70)

La mejor linca por este método es la de pendiente m que pasa por el punto (X, Y). ¿Qué nos gustaría para estimar un error en m? Las seis diferencias (K?- Yt), (yg- YJ, (Y9- Kj), (y|0- y4X ( ^ y5) y (y,2 — y proveen seis medidas de la cantidad Dy y. por consiguiente, seis medidas de m que pueden usarse en forma normal para estimar errores. Pero, ¿por qué parar en la sexta medida de m ? ¿Por qué no tomar 11, evaluando (y2- y(), (Yy- Y ) . . . (y,2- y„X y así aumentar la precisión? Si se va evalúa Dy, de estas 11 lecturas tendrá:

(3.71)

Todas las lecturas de y,, a Y, han desaparecido, aunque también pudo no haberlas tomado en cuenta. Esto puede evitarse si se dividen las lecturas en dos grupos principales y aparca los puntos uno de cada grupo, como se ha descrito.

. * construir la línea recta que mejor se adapte a los datos de la tabla 3.3 y hallar la ecuación de dicha recta mediante el método de pares de puntos.

Tabla 3.3: Datos de tiempo / en segundos y distancia d recorrida en metros.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

A ju ste d e recta p o r m é to d o de paresd e p u n to s

coT3c

3a

T ie m p o (s)

Figura 3.19: Línea recta que representa el mejor ajuste para el conjunto de datos de la tabla 3.3 mediante el método de pares de puntos y de los mínimos cuadrados.

Método de pares de puntos 69

Solución: En primer lugar, los puntos se dividen en dos grupos ¡guales, uno para valores bajos de d y t y el otro para los valores altos de d y /; después se aparean los puntos, uno de cada grupo:

1 y 7. 2 y 8...., 6 y 12

Se encuentra la diferencia para cada par entre los valores de t y d, es decir:

Dtl= (t7~ ,,)= 7 - 1 = 6 y D d{ = (d1 - d t)= 1 4 0 - 2 0 = 120D/2= ( /a- í > 8 - 2 = 6 y Dd2=(dt - d ¿ = 160 - 4 0 = 120D i= ( / , - , > 9 - 3 = 6 y Dd\ = ( - < /> 180 - 60 = 1200 '4 = ( '.o “ ' > 1 0 - 4 = 6 y Dd4= ( d „ - d A}= 2 0 0 - 8 0 = 120Dr, = ( / , , - / > 11 - 5 = 6 y ¿W5= (< /„-< /,)= 2 2 0 - 100= 120D , = ( , 12- , 3 = 1 2 - 6 = 6 y Ddt = {d tí- d 6)= 2 4 0 - 120= 120

Se calcula la media aritmética de estas diferencias: Df, y , D/¿ = 6 y £)</, = 120 y la pendiente:

Drf 120 m = — L = -----= 20

D/, 6

Por último, se calcula la ordenada al origen despejando b de la ecuación de la línearecta y los valores medios de Dt, y Dd, , y se obtiene que:

b = y - n t x = 1 2 0 -2 0 (6 ) = 0

Sin embargo, en algunas ocasiones la mejor línea recta no necesariamente pasa por todos los puntos y eso hace que las estimaciones á c m y b sean subestimadas o sobrestima- das, dependiendo de los pares de puntos escogidos. En este caso se sugiere utilizar un método que minimice estas subestimaciones y sobrestimaciones, como el método de los mínimos cuadrados. El siguiente ejemplo ¡lustra este comportamiento.

Ejem plo 8 :1 construir la línea recta que mejor se adapte a los datos de la tabla 3.4 y hallar la ecuaciónde dicha recta mediante el método de pares de puntos.

Tabla 3.4: Datos de variables x y y.

*1 i 3 4 6 8 9 11 14

y, i 2 4 4 5 7 8 9

Solución: Primero los puntos se dividen en dos grupos iguales, uno para valores bajos de x y y. y el otro para los valores altos d e * y y, después se aparean los puntos, uno de cada grupo:

1 y 5, 2 y 6 ,3 y 7, 4 y 8


A ju ste d e recta m edia nte el m é to d o de p a re s d e puntos

02a

Variable x

Figura 3.20: Linca recta que representa el mejor ajuste para el conjunto de datos de la tabla 3.4 mediante el método de pares de puntos.

Se encuentra la diferencia para cada par entre los valores de / y d, es decir,

0 * ,= ( * , - * , ) = 8 - 1 = 7 y Dyi=(y; - y l) = 5 - 1 = 4Dx2= (x 6- ^ = 9 - 3 = 6 y D y = ( y - y 2) = 7 - 2 = 5a r 3= (x7- x >) = 1 1 - 4 = 7 y 0 '7- > ’3)= 8 - 4 = 4D x 4 = ( x s - x 4) = 1 4 - 6 = 8 y D y = (ya- y 4) = 9 - 4 = 5

Se calcula la media aritmética de estas diferencias Dx, y Dx- , Dx, = 7 y Dy = 4 .5 y la pendiente se da por medio de la siguiente ecuación:

Dy, 4.5 m - — = — = 0.64Dx, 7

Rara terminar, se calcula la ordenada al origen despejando b de la ecuación de la línea recta y los valores medios de Dx, y Dy , . lo que da como resultado:

b = y - rnx = 4 .5 -0 .6 4 (7) « 0

En la siguiente sección se analizará el método de los mínimos cuadrados y se utilizarán los ejemplos anteriores para observar las diferencias entre ambos métodos.

M étodo de los mínimos cuadradosCon frecuencia, el experimentador recurre a métodos gráficos para encontrar la relación existente entre dos variables. Cuando esta relación es lineal se enfrenta al problema de ajustar la mejor línea recta para los datos experimentales, pues es posible adaptar un conjunto de líneas rectas por medio de los mismos. Para resolver este problema el experimentador recurre al empleo del método de los mínimos cuadrados y así evita que en la construcción de la línea influya su juicio.

Método de los mínimos cuadrados 71

Suponga que como resultado de un experimento se obtuvo un conjunto/» de valores de Y en función de valores de X> es decir, se tiene un conjunto de valores (X¡, Y¡), la ¡n- certidumbre prácticamente es cero para Xi, pero no así para Y¡. Cuando estos valores se grafican aparecen como se muestra en la figura 3.19, donde se observa que la línea recta puede representar dichos datos, lo que quiere decir que la relación entre las variables es del tipo:

Y = a + bX (3.72)

Donde:X = variable independiente.Y = variable dependiente. a = ordenada al origen o término independiente y. b = pendiente de la recta.

De acuerdo con lo antes mencionado, se determinan los valores de a y b cuando la desviación es mínima.

Por medio del método de mínimos cuadrados, se obtienen los valores de a y de b :

± X Í ± Y i - ± X ¡ ± X M — M M (3.73)

b = - ü ;* ■ A (3.74)

U —

i - l l-l

D ia gram a de dispersión

Figura 3.21: Diagrama de dispersión de datos experim entales de x y y,


Ejem plo 9: construir la linca recta que mejor se adapte a los datos de la tabla 3.3 y hallar la ecuaciónde dicha recta mediante el método de los mínimos cuadrados.

Solución : La ecuación de la recta es del tipo: Y = a + bXPara determinar los parámetros a y b de la línea recta que mejor se adapta a dichos

datos se aplica el método de mínimos cuadrados, por lo que los valores de a y b se obtienen de las ecuaciones 3.73 y 3.74. Al ordenar el cálculo de las sumas se obtiene la tabla 3.5:

Tabla 3.5: Cálculos útiles para el método de mínimos cuadrados.

X, y, V X tY,

1 20 1 202 40 4 803 60 9 1804 80 16 3205 100 25 5006 120 36 7207 140 49 9808 160 64 12809 180 81 162010 200 100 200011 220 121 242012 240 144 2880

X * , = 78 Y .Y , = 1560 =650 Y ,X ,Y t = 13000

Si se sustituyen los valores de los sumatorios de la tabla 3.5 en las ecuaciones 3.73 y 3.74 se obtiene:

a =650(1560)-78(13000) _ 1014000-1014000 _ 0 _ A

12(650)-(7 8)2 7800 - 6084 1716

b =12(13000)-78(1560)

12(650)- (7 8 )2156000-121680

7 800-608434320

: -------- = 201716

Por lo tanto, la ecuación de la recta es: Y = 20X + 0 y su representación gráfica se muestra en la figura 3.19.

E jem plo 10: construir la línea recta que mejor se adapte a los datos de la tabla 3.4 y hallar la ecuaciónde dicha recta mediante el método de los mínimos cuadrados.

Solución: La ecuación de la recta es del tipo: Y = a + b X . Para determinar los parámetros a y b de la línea recta que mejor se adapta a dichos datos se aplica el método de mínimos cuadrados, por lo que los valores de a y b se obtienen de las ecuaciones 3.73 y 3.74. Ordenando el cálculo de las sumas se obtiene la tabla 3.6:

Método de los mínimos cuadrados 73

Tabla 3.6: Cálculos útiles para el método de mínimos cuadrados.

y, V x,y ,

1 i 1 i3 2 9 64 4 16 166 4 36 248 5 64 409 7 81 6311 8 121 8814 9 196 126

O«OIIX* = 4 0 X * í = 524 = 364

Con la sustitución de los valores de los su matónos de la tabla 3.6 en las ecuaciones 3.73 y 3.74 se obtiene:

524(40)-56(364) 20960-20384 576Q — ~ = — — — — — — — — — — U «94D

8(524)-(56)* 4192 - 3136 1056

^ _ 8(364)-56(40) _ 2912 - 2240 _ 672 _ Q636 8(524)- (5 6 )J 4 1 9 2 -3 1 3 6 1056

Por lo tanto, la ecuación de la recta es: Y = 0.64X + 0.54 y su representación gráfica se muestra a continuación:

A justes de recta m é to d o d e lo s m ín im o s cu a d ra d o

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Variable X

Figura 3.22: Línea recta que representa el mejor ajuste para el conjunto de datos de la Tabla 3.4 mediante de los mínimos cuadrados.


Si comparamos los resultados de la ecuación de la línea recta de los datos de la tabla 3.3. mediante el método de pares de puntos y de los mínimos cuadrados, observamos que son ¡guales, ya que todos los puntos están sobre la línea recta de ajuste; sin embargo, cuando no todos los puntos están sobre la línea recta de ajuste los resultados de ambos métodos son diferentes. El método de los mínimos cuadrados proporciona un mejor ajuste que el método de pares de puntos, por ese motivo tiene un mayor uso que el de los pares de puntos.

Análisis dimensional

El análisis dimensional es una herramienta que permite investigar las relaciones que intervienen en un sistema físico, así como predecir el comportamiento de dichos sistemas. Mediante esta técnica es posible obtener una guía para el diseño de experimentos encaminados a resolver problemas de fenómenos físicos de los que no se tenga elaborada una teoría completa. El análisis dimensional es útil para:

1. Comparar cualitativamente las ecuaciones.2. Determinar las dimensiones de los coeficientes empíricos.3. Establecer y realizar experimentos para generalizar los resultados.4. Formular leyes a partir de una investigación.5. Realizar cambio de unidades.

Dimensión de una magnitudCualquier observación directa de un fenómeno físico se puede relacionar con las magnitudes de las variables que intervienen en este. Las magnitudes físicas factibles que pueden medirse se dividen en:

* Magnitudes fundamentales* Magnitudes derivadas

Las magnitudes fundamentales están representadas por los símbolos M, L T, /, t, le y m (tabla 3.7) y la dimensión de una magnitud física derivada es una expresión en términos de las letras M, L, T, l , t , I e y m . Las dimensiones de las magnitudes fundamentales son:

Tabla 3.7: Magnitudes fundamentales.

M agnitudes fundam entales Símbolo

Longitud LMasa MTiempo TIntensidad de corriente eléctrica 1Temperatura tIntensidad luminosa leCantidad de sustancia m

Dimensión de una magnitud 75

Para hacer referencia a la dimensión de determinada magnitud se utiliza los corchetes, que significan “la dimensión de". Por ejemplo, para el caso de la dimensión de la velocidad se tiene:

[v] = L T l (3.75)

Las magnitudes de la misma clase como distancia, altura, longitud de onda y profundidad. además de tener la misma dimensión L (tabla 3.8), se miden y registran con lamisma unidad (metro en el SI).

Ejemplos: Área = [A] = longitud x longitud = L-

Dcnsidad = [p] = masa/volumen = MLry

Cantidad de movimiento = \Mo) = masa x velocidad = M l.T 1

Las dimensiones de ciertas magnitudes, como la fuerza, se obtienen cuando se analiza determinada ley; en este caso, de la segunda ley de Newton:

F = ma (3.76)

Se deduce la dimensión de F: [F]=[ma] = [m][a]= MLT~2 (3.77)

Tabla 3.8: Dimensiones de algunas magnitudes derivadas.

C antidad Símbolo Exponente

M L T t I le m

Aceleración A 0 1 -2 0 0 0 0Capacitancia C -1 -2 4 0 2 0 0Energía E 1 2 -2 0 0 0 0Frecuencia F 0 0 -1 0 0 0 0Impulso 1 1 1 -1 0 0 0 0Inductancia L 1 2 2 0 -2 0 0Presión P 1 -1 -2 0 0 0 0Resistencia R 1 2 -3 0 -2 0 0Viscosidad N 1 -1 -1 0 0 0 0Trabajo W 1 2 -2 0 0 0 0Coeficiente de transferencia de calor

H 1 0 -3 -1 0 0 0

Calor específico Ce 0 2 -2 -1 0 0 0Coeficiente de dilatación lineal a 0 0 0 -1 0 0 0Rujo magnético f 1 2 -2 0 -1 0 0Iluminación E 0 -2 0 0 0 1 0Rujo luminoso F 0 0 0 0 0 1 0


Teorema de BuckinghamPara aplicar el análisis dimensional en una investigación, el experimentador debe conocer, en su totalidad, la cantidad y clases de variables fundamentales que intervienen en el experimento. Se entiende por variable fundamental cualquier variable experimental que influya en la prueba y que se pueda modificar, independientemente de las otras variables que intervengan. Cuando el investigador conoce todas las variables puede reducir su número por medio de la aplicación de la primera parte de teorema de Buckingham, el cual establece que “cualquier ecuación dimensional mente homogénea se puede reducir en un conjunto completo de productos adimcnsionalcs”. Una ecuación dimcnsionalmcntc homogénea es completa cuando su forma no depende de las unidades fundamentales que se emplean.

Un ejemplo de estas ecuaciones es el que relaciona el tiempo (/) que tarda en caer un cuerpo en reposo y la distancia (x) que recorre durante su caída libre, matemáticamente se simboliza:

x = ^ ~ (3.78)

donde:/ = tiempo.g = aceleración de la gravedad.

Bar el contrario, la expresión x = 16 r es una ecuación correcta solamente si x se representa en pies y / en segundos, pues si x se expresa en metros ya no es correcta, por lo que se dice que esta ecuación no es dimensión al mente homogénea.

Los productos adimensionales señalados en el teorema de Buckingham son simplemente productos y cocientes de las variables que intervienen en el experimento, de tal modo que las dimensiones en cada grupo se cancelan. Por ejemplo, en el caso del pén-

/dulo simple, un grupo adimensional está dado por: .

La segunda parte del teorema de Buckingham, conocido como teorema de k , establece que “si existe una relación única de 4>(X, Y. 7 . ) - 0 entre las n variables físicas que involucran k dimensiones fundamentales también existe una relación”:

# { x l t K2, x 3... * ,_ * ) = (> (3.79)

entre los (n - k) productos adimcnsionalcs ( * , , n , n n ¿ integrados por las variables

Una de las aplicaciones de este teorema consiste en la deducción de la forma de relaciones desconocidas, y su éxito en un problema particular depende, aparte de la experiencia, de cierta sagacidad al establecer cuáles variables son significantes y cuáles no.

Si ó (X Y„ . . Z) no se conoce, es posible, a pesar de ello, deducir la estructura de ^ (K¡t .... /rn l )y así tener información útil acerca del sistema.

E jem plo 11: suponga que no se conoce la expresión analítica para el periodo de oscilación de unpéndulo sim ple y se desea calcularla a través de la aplicación del teorem a de B uckingham ; en este caso, lo prim ero que debe hacerse es una lista de todas las variables

Teorema de Buckingham 77

fundamentales (tabla 3.9), pero si la lista está incompleta no se podrá dar respuesta debido a falta la información.

Tabla 3.9: Variables fundamentales para un péndulo simple.

M agnitud Símbolo Form a dimensional

Masa del péndulo M MLongitud del péndulo L LAceleración de la gravedad G L T 2Periodo de oscilación T TAmplitud angular 0 0

En este caso no se toman en cuenta las propiedades microscópicas de las esferas y el hilo. La resistencia del aire y la masa del hilo se desprecian porque es prácticamente nula su influencia en el periodo de oscilación.

En la tabla 3.9 se observa que hay cinco variables fundamentales (n = 5) y tres dimensiones fundamentales (* = 3). Entonces, de acuerdo con el teorema de Buckingham, debe haber (n - k - 2) dos productos adimcnsionalcs independientes ( /r ,y /r,). Estos se determinan por ensayo y error; en este caso es simplemente 0 (amplitud angular) y n,

es • Q1 no aparezca m se debe a que ninguna otra variable que interviene en el

experimento contiene su fórmula dimensional M y se concluye que el periodo de oscilación de un péndulo simple no depende de la masa de la esfera. Por lo tanto, del teorema ;rsc obtiene:

9 .

/

(»*«)= 0 (3.80)

Como T aparece en uno de los productos adimensionales, se obtiene T por una expresión igual:

T = G(9) (3.81)

donde: G ( 9 ) = función arbitraria de 9.Si en un principio se hubiera supuesto que 0era muy pequeño para despreciarlo se

tendría:

n = 4, n - k = \ yI

= 0

y despejando para T:

(3.82)

De acuerdo con los resultados obtenidos con el teorema jc, el periodo de oscilación del péndulo simple varía en forma directamente proporcional a la raíz cuadrada de la


longitud del péndulo e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad. La magnitud de la constante adimensional (en este caso 2ji) no se obtiene del análisis dimensional.

También se aplica el análisis dimensional en el diseño del modelo. Con frecuencia, el comportamiento de grandes sistemas complejos se deduce de los estudios que se realizan a modelos en escala con grandes ahorros en el costo. En el modelo, cada parámetro se reduce a la misma proporción relativa de su valor en el sistema original; de nuevo, el caso del péndulo simple sirve de ejemplo. Si las magnitudes de 0, L 7 y g se vieran de modo tal que no cambie el argumento de <p en valor numérico, el sistema tendrá exactamente el mismo comportamiento que el del sistema original, por lo que físicamente será similar.

Suponga que se quiere construir un péndulo muy grande y caro que oscile con am plitud finita, pero se desea saber su comportamiento antes de construirlo. Para tal fin se fabrica un modelo a escala de 1/100 del periodo del péndulo. Este valor se obtuvo comparando las expresiones del periodo para ambos péndulos, siendo 7 el periodo del péndulo grande y V el periodo del péndulo modelo, expresadas matemáticamente por las siguientes ecuaciones:

1 = * , (3.83)

= x , (3.84)

Al comparar dichos periodos se obtiene:

r l

r * )(3.85)

como / '= (3.86)100

7se concluye que: T = ~ (3.87)

o lo que es lo mismo: 7 = 1 0 7 '

Por lo tanto, midiendo T se calcula el periodo 7 del péndulo real con la expresión matemática:

7 = 1 0 7 ' (3.88)

Como se pudo constatar, no hubo necesidad de saber el valor de la constante adimensional que aparece en la ecuación:

(3.89)

Cambio de unidades 79

Ya en la práctica, se recurre al teorema ir y a la construcción de modelos cuando no es posible obtener la solución por medios analíticos.

Cambio de unidadesCon frecuencia, el resultado de una medición pasa de un sistema de unidades a otro. Por ejemplo, una medición hecha en yardas puede requerirse en metros. Por supuesto, es imposible convertir un número de metros (distancia) en metros por segundo (velocidad) o newtons (fuerza), ya que las conversiones entre unidades solo se hacen entre magnitudes físicas de la misma especie. Las fórmulas dimensionales son útiles para el cambio de unidades de un sistema a otro. Sea N el valor de una magnitud física Y, cuya fórmula dimensional es:

«F = La M b r (3.90)

Suponiendo que Lv M , y 7*, son unidades de longitud, masa y tiempo, respectivamente. en el sistema internacional, y que L , , Af, y 7 2 son las unidades en el sistema británico, para pasar de un sistema a otro se considera que:

= (3.91)

Ai, = m M 2 (3.92)

Tx = t T2 (3.93)

en donde, l m y i son factores de conversión.Para cambiar las unidades en que está expresada una cantidad física se debe tener en

cuenta que su magnitud es independiente del sistema de unidades que se emplee para medirla. Por lo tanto:

N(O í M bx rx ) ^ N \ n Ai? 7?) (3.94)

Donde AT es el valor numérico de la magnitud física en el nuevo sistema de unidades y Wcl valor numérico en el Sistema Internacional.

Considerando las ecuaciones 3.91,3.92 y 3.93 se tiene la siguiente expresión matemática:

W[ ( « , ) " (mAf; ) V j ] = A T (^ M ‘ T¡) (3.95)

Simplificando: N (/* mh tc) = N ' (3.96)

O sea que el nuevo valor de la magnitud en el sistema es: N (/* mb rc)

o lo que es lo mismo (3.97)


Ejem plo 11: i determínese el valor de la aceleración de la gravedad (g = 981 cm/s2) en el sistema británico de unidades.

Solución: Del enunciado del problema se tiene que: g = L T 2 /V = 981 a - 1 b = Q c = - 2

El valor numérico de N ' de g en el sistema británico de unidades es el que va a determinarse, y sus unidades son: ft/s2 = pie/segundo2.

De esto último se deduce que t = 1, ya que la unidad de tiempo no cambia.Por otra parte, se sabe que: 1 pie = 30.48 cm. Es decir: / = 1/30.48 pie/cm. Entonces

el valor de N ' se calcula con la ecuación 3.94: N (/* m b tc) = N '

Sustituyendo valores: /V = 9 8 l |^ ^ j (m )°(l) ‘ j= AT=32.2

Finalmente se establece que: g = 981 cm/s2 = 32.2 ft/s2.

EjerciciosM edición de incertidum bres

1. Se usa un flexómetro (la división mínima es hasta mm) para medir una longitud de 30.00 cm. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta y relativa?

2. Un micróinctro puede leer hasta 0.01 mm en la medición de un diámetro de 4.00 mm, ¿cuál sería la incertidumbre relativa y relativa porcentual?

3. ¿Cuál es la menor distancia que puede medirse usando una regla (con divisiones mínimas hasta mm), de manera que la incertidumbre no exceda de 2%?

4. Un vemier puede leer hasta 0.1 mm. En la medición de un prisma de 5 mm, ¿cuál sería la incertidumbre relativa?

5. Se va a colocar una cinta en la orilla de una mesa cuadrada. Si al medir los lados se encontró que son iguales y con un valor de (74.4 ± 0.5) cm, ¿cuál es el valor de su perímetro? Exprese el resultado con su incertidumbre. La div isión efectuada sobre los lados de un plano rectangular arrojó los siguientes resultados, L\ =(14.10±0.05) cm y L2 = (8.6 ±0.05) cm,¿cuál es la incertidumbre absoluta del perímetro y la incertidumbre relativa del área?

6. Dos resistencias dieron las siguientes lectura: R 1 = (200 ± 5) Í2 y R2 =(250 ± 3) íl. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la resistencia total en serie y la resistencia total en paralelo?

7. Al medir indirectamente el valor de una resistencia (V = RI\ la lectura del voltaje es V = (9.4 ± 0.1) volts y la de la comente es / = (1.20 ± 0.02) amperes. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta del valor de la resistencia?

8. Una medición de densidad de a los siguientes valores: masa m = (15.281 ± 0.005) g: volumen V = (12.30 ± 0.5) cm3. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta en la densidad?

9. Un condensador C = (5 ± 0.1) pf es cargado con una diferencia de potencia de V = (80 ± 1) V, tiene una carga cuyo valor se calcula de Q = C x V. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la carga?

10. Un alambre de sección circular tiene una medida de 0.31 mm de radio y desviación estándar de 0.2 mm. ¿cuál es el error del área medida?

11. Si al medir el volumen de un objeto por desplazamiento de agua en una probeta se obtienen los siguientes valores V} = (340 ± 0.5) inl y V\ = (392 ± 0.5) mi, reporte el volumen con su incertidumbre absoluta y relativa porcentual asociada.

Ejercicios 81

R epresen tación gráfica

Con base en las siguientes tablas:

1.

Gasto en litros/h de un m otor trabajando a diferentes potencias

Tiempo en horas

012T

Litros gastados/h Potencia (N)34

10 5.5 520 6 630 6.5 740 7 850 7.5 960 8 10m m70 8.5 11

80 9 12

90 9.5 1314

100 10 15110 10.5 16120 II 17130 11.5 18140 12 19150 12.5 20160 13 21170 13.5 22

180 14 23^ A

190 14.5 242526200 15

210 15.5 27220 16 28230 16.5 29240 17 30250 17.5 31260 18 32270 18.5 33280 19 34

290 19.5 353637300 20

3839404142434445464748

de levaduras en función del tiempo

Concentración de levaduras

2.00E+Q0 5.44E+00 1.48E+01 4.02E+01 1.09E+02 2.97E-f02 8.07E+02 2.19E+03 5.96E+03 1.62E+04 4.41E+04 1.20E+05 3.26E+05 8.85E->05 2.41E+06 6.54E+06 1.78E-f<)7 4.83E+07 1.31 E-K)8 3.57E+08 9.70E+08 2.64E+09 7.17E+09 1.95E+10 5.30E+10 I.44E+11 3.91E+11 I.06E+12 2.89E+12 7.86E+12 2.14E+13 5.81E+13 1.58E+14 4.29E+14 I.17E+15 3.17E+I5 8.62E+15 2.34E+16 6.37E+16 1.73E+I7 4.71E+17 I.28E+18 3.48E+18 9.46E+18 2.57E+19 6.99E+19 1.90E+20 5.16E+20 1.40E+21


3.

Concentración isotópica en función del tiempo

Tiempo en horas Concentración isotópica0 0.00

100 5.81200 7.27300 8.30400 9.11500 9.80600 10.40700 10.93800 11.41900 11.861000 12.271100 12.661200 13.021300 13.371400 13.691500 14.001600 14.301700 14.581800 14.861900 15.122000 15.372100 15.622200 15.862300 16.092400 16.312500 16.532600 16.742700 16.952800 17.152900 17.353000 17.543100 17.733200 17.913300 18.093400 18.273500 18.443600 18.613700 18.783800 18.943900 19.104000 19.264100 19.414200 19.574300 19.724400 19.864500 20.014600 20.154700 20.294800 20.43

1. Construya la representación gráfica con la escala correspondiente (normal, semilogarítmica y/o logarítmica) que represente un comportamiento lineal.

2. Determine la ecuación de la línea recta a través de los métodos de pares de puntos y de los mínimos cuadrados.

3. Determine el coeficiente de correlación del comportamiento lineal.

Análisis dimensional

Con base en el análisis dimensional realice los siguientes procedimientos:

1. Comparar en términos cualitativos las ecuaciones y determinar si son dimensional mente homogéneas:

m r i m / i n u ¡ 2a) F — , b) £ = — t c) W = ^

/

d) P

2iFdmv

1 ^ ' C) P = v id aV

Donde F = fuerza, m = masa, d = distancia, t = tiempo, E = energía, a = aceleración, W = trabajo. P = presión, v = velocidad y V = volumen.

2. Determinar las dimensiones de las siguientes constantes:a) La constante de gravitación universal G, en la rcla-

Mmdón F = G —r- donde Fcsta en ncwtons, M y m

r ‘están en kilogramos y r en metros.

b) La constante de Boltzmann A en la rcladón e = kT , donde e está en joules y Ten kclvin (K).

c) La constante de Planck h. en la relación = h f , donde e está en joules y /e n hertz (s-1).

d) l a permitividad eléctrica del vacío o constante dieléctrica del vacío en la relación

F = ------------- , donde Fes la fuerza de atracción4 r

o repulsión entre dos cargas eléctricas y está dada en (N). q, y q} son cargas eléctricas en coulomb (C = A • j) y r distancia en metros entre las cargas.

3. Establecer y realizar experimentos, y generalizar los resultados.a) Deducir, mediante análisis dimensional, la forma

de la expresión de la velocidad de caída libre de un cuerpo desde una altura h.

Bibliografía 83

b) Se lanza un proyectil de masa m en dirección horizontal. con una velocidad inicial v0, desde una altura h. Hallar el alcance x utilizando el análisis dimensional. Hacer lo mismo si la velocidad inicial forma un ángulo a con la horizontal.

c) La potencia requerida para mover una hélice depende de las siguientes variables: D diámetro de la hélice, r densidad del fluido, c velocidad del sonido en el fluido, w velocidad angular de la hélice, y h viscosidad del fluido. Analice cuántos grupos adimensionales caracterizan este problema y dé una expresión para los mismos.

4. Realizar las siguientes conversiones:a) La densidad de un líquido es 755 kg/m \ Calcule el

valor de la densidad en las siguientes unidades: i) Ib/ft1, ii) oz/in \ iii) lb /m \ iv) g/cm5.

b) Exprese el valor de la aceleración normal de la gravedad (9.80665 m/s2) en las siguientes unidades: i) ft/s2, ¡i) km/h2, iii) in/h2, iv) milc/h2.

c) El peso de un objeto es de 100 kg en un lugar de la Tierra en el que la aceleración de la gravedad es 9.805 in/s2. ¿Cuál es la masa del objeto expresada en kg? Si el volumen del objeto es de 15 litros, ¿cuál su densidad en lb/fl3?

d) Un cuerpo de 1.25 kg se mueve con una velocidad de 6 m/s. Calcule su energía cinética en: i) joules, ii) poundal.ft, iii) atm.litro.

e) Ijí constante R que interviene en la ecuación de los gases ideales es R = 0.08206 atm.L/(molg.K). Calcule su valor en las siguientes unidades: i) (mmHg).cmV(molg.K). ii) cal/(molg.K), iii) Btu/ (mol-lb.°R), iv) bar.L/(molg.K).

f ) En una referencia bibliográfica se encontró que la densidad relativa del ctanol a 60 °F, con respecto al agua a 60 °F, es 0.7939. ¿Cuál es la densidad del ctanol en g/cm' a 60°F si el volumen específico del agua a dicha temperatura es 0.016030 ftVIb?

g) La transmisión de calor por conducción está dada por la ecuación: q = kADÍ7dx, donde L es la conductividad térmica del material y dTes la diferencia de temperatura. Si la conductividad calorífica de determinado material es k 30 Kcal/(m.h.<C ), exprese su valor en las siguientes unidades: i) Btu/(fl.h.aF), ü) W/(cm.°C). üi) cal/(cm.h.°K).

h) La energía potencial de la carga de un depósito con respecto a un determinado nivel de referencia es de 12500 poundal.ft. Exprese su valor en: i) joules, ii) kWh, iii) atm.litro, iv) Ibf.ft.

Bibliografía

Baird. D.C. (2003). Experimentación: Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos. México: Fearson Educación.

Bcmal, C.A. (2006). Metodología de la imestigación. México: Pcarson-Prcnticc Hall.Castañeda, J J .; De la Torre, L.M. Morán, R. y Lara, R.P. (2002). Metodología de la im'esti-

gación. México: McGraw-Hill.Gutién-ez, A.C. (2001). Introducción a la metodología experimental. México: Limusa-Norie-

ga-Hernández, S.R.; Fernández, C. y Baptista, L. (2003). Metodología de la investigación.

México: McGraw-Hill.Montgomcry, D.C. (1991). Diseño y análisis de experimentos. México: Grupo Editorial Ibe

roamericano.Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros y científicos. México: McGraw-Hill.Tamayo y Tamayo, M. (2002). El proceso de la imestigación científica. México: Limusa.

C A P IT U L O 4

Análisis descriptivo de los datosIntroducción

Hasta ahora no existe una definición de estadística; sin embargo, una interpretación acertada podría ser: “una colección de hechos y circunstancias pasadas, de interés vital, tales como el número de devaluaciones de nuestro país, el número de acciones en las bolsas de valores, o el número de personas encuestadas en una consulta para la ejecución de una obra pública”. Aunque estas y otras actividades se atribuyen frecuentemente al campo de la estadística, aún no existe un acuerdo respecto a su definición. ¿Qué es entonces la estadística? Es imposible obtener una respuesta única, pero es posible partir de lo siguiente para comprender un poco:

1. En el día a día se considera que la estadística es una colección de hechos numéricos expresados en términos de una relación resumida, que han sido recopilados a través de varias observaciones o a partir de otros datos numéricos. Desde este punto de vista, la estadística está constituida por una colección de enunciados tales como “el coeficiente intelectual promedio de los estudiantes del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías (CUCEI) es de 100”. o “seis de cada 10 estudiantes de CUCEI son mujeres", o bien, “el campeón del fútbol mexicano anotó 40 goles durante esta temporada”.

2. En términos técnicos, la estadística es considerada como un método para tratar datos numéricos. Esta definición refuerza el concepto de que la estadística es un instrumento orientado a la recolección, organización, análisis, presentación e inferencia de datos numéricos o de observaciones.

Este segundo concepto constituye el objeto de estudio de este capítulo. Pero antes es necesario diferenciar las dos funciones del método estadístico denominadas: estadística descriptiva y estadística inductiva o inferencia estadística. El objetivo de la estadística descriptiva es recolectar, organizar, analizar y presentar la información de forma conveniente, útil y comprensible. Mientras que la estadística inductiva se ocupa de generalizar esta información; además, a partir de las muestras extraídas hace inferencias acerca de poblaciones.

Al describir la función de la estadística han aparecido ciertos términos que pueden o no ser familiares, por lo que es necesario comprender su significado, ya que serán empleados con frecuencia en el capítulo.

85

86 Capítulo 4 Análisis descriptivo de los datos

Términos comunes utilizados en estadística

• Variable: característica o fenómeno que puede tomar diferentes valores. Peso, coeficiente intelectual, estatura y género son ejemplos de variables, dado que pueden tomar distintos valores cuando se observan diferentes individuos.

• Datos: valores numéricos que adoptan las variables y que han sido recopilados como resultado de las observaciones, entre los que destacan los recuentos (datos de frecuencias): el número de alumnos que estudian en el CUCHI, o las calificaciones obtenidas en el caso de una prueba psicológica o educativa, entre otros.

• Población o universo: conjunto completo de individuos, objetos o medidas que poseen alguna característica común observable. Por ejemplo, todos los ciudadanos de un país constituyen una población, pero también toda la producción mensual de perfiles tubulares de acero puede formar otra población.

• Población finita: cuenta con un número fijo de valores.• Población infinita: consta de una sucesión sin fin de valores.• Parámetro: cualquier característica estadística de una población que sea mcdiblc,

por ejemplo, la proporción de personas del sexo femenino que laboran en una universidad. Comúnmente se acostumbra utilizar letras griegas (p, a 2, &) para representar los parámetros de las poblaciones.

• Muestra: subconjunto de la población o universo. Por ejemplo, algunos ciudadanos de un país, un lote de perfiles de acero producidos durante un mes.

• Estadístico: cualquier característica estadística de una muestra que sea medible; comúnmente usamos un estadístico que se calcula a partir de una muestra para estimar el parámetro de una población; por ejemplo, una muestra de los habitantes de la Zona Metropolitana de Guadalajara (ZMG) en edad para votar se emplea para estimar la proporción de preferencias electorales de la población total de la ZMG. Con frecuencia se utilizan letras itálicas ( X , s) para representar un estadístico de las muestras.

En la práctica diaria es más frecuente trabajar con muestras que con toda una población, sobre todo cuando esta es bastante numerosa. Por tal motivo, es importante trabajar con muéstreos representativos cuando se quieren inferir los resultados de toda la población. Por ejemplo, una fábrica produce tomillos de alta precisión, para los cuales existen estrechos márgenes de tolerancia con respecto a su diámetro. Como parte de los procedimientos de control de calidad se selecciona un número de tomillos de la producción diaria y se determina, cuidadosamente, su diámetro. Los tomillos seleccionados constituyen la muestra, que debe ser representativa de toda la población de tomillos producidos. La variable es el diámetro de los tomillos. Los datos están constituidos por las medidas de todos los tomillos que conforman la muestra. Cuando los datos son m anipulados, de acuerdo con ciertas reglas pueden obtenerse algunas características representativas de la totalidad, por ejemplo, el diámetro promedio de los tomillos; además, el valor numérico resultante constituye un estadístico. La población, en la cual estamos interesados, es la producción diaria total de la fábrica. FJ diámetro promedio de los tornillos producidos en un día constituye un parámetro. Es poco probable que el parámetro sea conocido siempre, ya que para lograrlo se requiere la medición de cada tomillo producido durante el día. Esto consumiría mucho tiempo, dinero y esfuerzo, por lo cual es raro que se emprenda un estudio exhaustivo de las poblaciones. En consecuencia, los

Inferencia estadística 87

parámetros poblacionales son poco conocidos, pero pueden ser estimados a partir de muestras estadísticas.

Estadística descriptiva

Cuando una persona conduce un estudio debe reunir una gran cantidad de datos acerca del problema en cuestión. Los datos inicialmentc son un enredo de calificaciones, recuentos, frecuencias, etcétera. La estadística descriptiva establece procedimientos para la presentación de datos de una forma más útil y significativa, básicamente, a través de tablas y gráficas. Asimismo, formula reglas para calcular los estadísticos a partir de los datos originales.

Imaginemos que un tutor académico quiere someter a un grupo de estudiantes a una serie de pruebas (para medir su inteligencia, disposición, aptitud, actitud, capacidades, personalidad, entre otras). ¿Qué tipo de operaciones podrá ejecutar con las calificaciones y medidas resultantes para cumplir con la función descriptiva?

1. Reorganizar las calificaciones y agruparlas de varias formas para obtener una visión global de todo el conjunto de datos (distribución de frecuencias).

2. Construir tablas, gráficas y figuras que permitan visualizar los resultados (técnicas de representación gráfica).

3. Convertir los resultados originales en formas más útiles para propósitos específicos (rangos percentiles. calificaciones estándar o grados).

4. Calcular promedios para aprender algo acerca del comportamiento específico de sus problemas (medidas de tendencia central).

5. Emplear el promedio como referencia para describir la dispersión de calificaciones con respecto a esc punto central (medidas de dispersión).

6. Establecer una relación entre dos conjuntos diferentes de datos, ajustar el comportamiento a una función matemática (recta, cuadrática, potencia, logaritmo, potencial polinomial, entre otros) y establecer el grado de correlación entre los conjuntos de datos a través del coeficiente de correlación.

Por citar un ejemplo, el tipo de correlación y el coeficiente de correlación son extremadamente útiles al tutor en el caso de que quiera determinar la relación entre inteligencia y calificaciones escolares, entre personalidad y aptitudes, o entre personalidad c intereses. Una vez establecidas estas relaciones, podrá emplear las calificaciones obtenidas (a partir de una de las pruebas específicas) para predecir el comportamiento de alguna de las otras (correlación, regresión y predicción).

Como se menciona en el ejemplo anterior, la estadística descriptiva permite interpretar los datos que se han obtenido y, al mismo tiempo, realizar el trabajo previo a la estadística infcrencial.

Inferencia estadística

El trabajo de un científico no llega a su fin cuando ha concluido la función descriptiva. Por el contrario, está más cerca del principio que del final de la tarea. Esto resulta evi


dente si se considera que el propósito de una investigación es explorar la hipótesis de naturaleza general y no solamente comparar muestras.

ftira ejemplificar, imaginemos que un desarrollador de nuevos medicamentos está interesado en conocer los efectos de una droga “X” en la ejecución de una tarea que involucra coordinación psicomotora. Para ello se diseña un estudio que implique dos condiciones: una experimental y otra denominada “control” . En la primera se suministra la droga a los sujetos de estudio por periodos previamente definidos; mientras que en la segunda condición, se proporciona a los sujetos de control una píldora inocua (placebo) que contenga ingredientes inertes. Después de que todos los sujetos hayan sido sometidos a la prueba, se elabora su función descriptiva. Así se determinará que, en promedio, los sujetos experimentales no actuaron tan bien como los de control. Es decir, la media aritmética de los datos del grupo experimental fue más baja que la del grupo de control. En consecuencia, el investigador se preguntará “¿puedo concluir que la droga produjo tal diferencia entre los dos grupos?”, o dicho de otra manera, “¿puedo asegurar que la droga tiene un efecto adverso sobre la ejecución de la tarea que se investiga?”. Para responder estas interrogantes no es suficiente la estadística descriptiva y se debe recurrir a la estadística inferencial.

El análisis de la información podría develar que “aun si la droga no tuviera efectos, es altamente improbable que los resultados de ambos grupos hubiesen sido idénticos. Alguna diferencia habrá de observarse” . La intervención de variables incontrolables (errores aleatorios) ciertamente produce alguna disparidad entre las medidas de los grupos. La pregunta crítica, desde el punto de vista de la inferencia estadística sería: ¿es la diferencia lo suficientemente grande para descartar las variaciones incontroladas en el experimento como una explicación satisfactoria? Enunciándolo de otra manera, si se repitiera el experimento, ¿seríamos capaces de predecir con confianza que las mismas diferencias (ejemplo, una medida es más grande que la otra) se repetirían de manera sistemática?

En el momento en que surgen estas preguntas nos movemos hacia el área del análisis estadístico conocida como inferencia estadística o estadística inductiva. Sin embargo, la estadística inferencial está fuera del alcance de este capítulo, por lo que no se abordará a detalle.

Técnica de muestreo

En la mayoría de los casos es necesario obtener muestras de una población, las cuales se analizarán, y su resultado tendrá que ser representativo para poder extrapolarlo a toda la población. Cada una de las unidades de observación que conforman la muestra deben ser elegidas al azar (alcatoriedad), pertenecer a esa misma población (homogeneidad), tener la misma oportunidad de ser seleccionadas (representatividad) y no estar condicionadas entre sí (independencia). Existen varias técnicas para obtener una muestra, pero las más utilizadas son: muestreo aleatorio simple, muestreo sistemático, muestreo de racimos y muestreo estratificado.

Estos conceptos se pueden ilustrar mediante un ejemplo. Para una investigación de salud se desea conocer el peso, edad, estatura y sexo de 10 000 estudiantes (población) de un centro universitario. Sin embargo, resulta difícil obtener las mediciones de cada elemento de la población, por lo que se decide hacerlo mediante la extracción de una

Mitos de la estadística 89

muestra de 500 estudiantes. Un ejemplo de cómo proceder con las diferentes técnicas de mucstrco es la siguiente:

• Muestreo aleatorio simple: es una técnica de generación de números aleatorios (como en los sorteos), que se hacen corresponder la matrícula escolar para seleccionar a los 500 estudiantes y obtener la muestra. La característica principal de este muestreo es que. de todas las formas posibles de extraer la muestra contenida en la población de estudiantes, cada uno de ellos tiene la misma posibilidad de ser elegido.

• Muestreo sistemático: se caracteriza por llevar un orden con respecto a una secuencia en tiempos o espacios. Por ejemplo, suponer que se decide obtener dicha muestra tomando uno de cada 20 estudiantes en el orden del matriculado con números 2 0 ,4 0 ,6 0 ,..., 460, 480, etcétera, son seleccionados para formar lamuestra. En este caso, los matriculados con números 1, 2, 3,..., 19, 21.....481........499, no contaban con las características definidas para formar parte dela muestra.

• Muestreo de racimo: se puede obtener la muestra de los 500 estudiantes aprovechando el hecho de que la población estudiantil se encuentra agrupada en racimos en las aulas de clase. Después de esto se toman muestras aleatorias de los racimos (aulas). En esta técnica se supone que cada racimo es representativo de la población como un todo.

• Muestreo estratificado: este tipo de muestreo divide la población en subpoblacio- nes llamadas estratos. Dentro de cada estrato se selecciona una muestra; cada elemento de la muestra se selecciona al azar y de manera independiente. Los estratos deben estar constituidos de la manera más homogénea posible, lo que provoca que el error de estimación sea más pequeño y hace que la muestra estratificada sea precisa.

Estos ejemplos ¡lustran las diferentes técnicas de muestro, pero no las detallan, ya que el estudiante es quien debe profundizar en este tópico; para ello, puede consultar la bibliografía especializada de estadística.

M itos de la estadística

Con frecuencia se comete el error de creer que la estadística es un método sofisticado para fabricar mentiras o falsificar la descripción de la realidad. Es verdad que algunos individuos la emplean con esos propósitos (mercadotecnia); sin embargo, el propósito de este capítulo no es enseñar estas técnicas, sino prevenir el uso mal intencionado del análisis estadístico, de modo que el lector no pueda “decir una mentira” sin darse cuenta y tenga la capacidad de notar cuando otros lo hagan.

Finalmente, es necesario que en la práctica se desarrolle el pensamiento estadístico para poder aplicar estos conceptos en las actividades diarias sin importar qué tan rutinarias sean. Si se hace del pensamiento estadístico un liábito cotidiano, el estudio de las estadísticas se vuelve más interesante.


Requisitos para aprender estadísticaEs usual escuchar, entre los estudiantes, que las matemáticas son aburridas, difíciles y para genios. Para muchos, esta es una apreciación desalentadora basada en experiencias previas con las matemáticas. Muchas de las fórmulas que aparecen en este capítulo podrían incrementar este temor, puesto que a primera vista parecen indescifrables e imposibles de dominar. Sin embargo, no se necesita ser un genio matemático para dominar la estadística descriptiva. Los conocimientos matemáticos sofisticados, que son necesarios para dominar los fundamentos de la estadística, han sido exagerados. En realidad, lo que se requiere para aprender estadística es un buen aprendizaje del cálculo aritmético y la lógica, así como el empeño para aprenderlo hasta dominarlo.

Lenguaje matemático

Las matemáticas poseen un lenguaje elemental, similar al lenguaje hablado. Es así como las matemáticas tienen sustantivos, adjetivos, verbos y adverbios.

• Sustantivos matemáticos: en matemáticas comúnmente se emplean símbolos para representar cantidades (o resultados). La notación que se utiliza con mayor frecuencia en estadística es X. pero en ocasiones también se usa Y. En resumen, X y Y se emplean para identificar variables; por ejemplo, si se estudian las variables peso y altura, X representaría el peso y Y la altura. Otro sustantivo usado frecuentemente es el símbolo N o n, que representa el número de elementos de una población o muestra que se estudia, o bien, si se trabaja con una muestra o población n o N, representará el número de observaciones o datos.

• Adjetivos matemáticos', cuando se quiere modificar un sustantivo matemático para identificarlo con mayor precisión por lo general se empican subíndices. Por lo tanto, si tenemos una serie de observaciones o resultados podemos representarlos como X r X 2, Xy XA, etcétera. También, es frecuente encontrar la expresión X., en la que el subíndice i puede tomar el valor que nosotros deseemos y Xh representará el n-ésimo valor de X.

• Verbos matemáticos: las notaciones que dirigen al lector a realizar alguna acción tienen las mismas características que los verbos en el lenguaje común. Uno de los verbos más importantes es el símbolo I (letra griega sigma). Esta notación indica la suma de todas las cantidades u observaciones que siguen al símbolo. De esta manera, á(X,, X 2, Xy X4, X J dice que se deben sumar todas las cantidades desde X ] hasta X y Otros verbos frecuentes son J ~ , que indica la extracción de la raíz cuadrada y los exponentes como (X*), los cuales significan que se debe elevar una cantidad a la potencia n indicada. En matemáticas, los verbos matemáticos se conocen comúnmente como operadores.

• Adverbios matemáticos: son notaciones que, como en el lenguaje cotidiano, modifican a los verbos. Con frecuencia, los símbolos de suma están modificados por notaciones adverbiales. Por ejemplo, imaginemos que vamos a indicar que las siguientes cantidades deberán ser sumadas:

X, + X, + XJ+ X 4 + Xs+... + Xn

Medidas de tendencia central 91

La representación simbólica de esta operación es:

¿ X , (4.1)(-1

Las notaciones colocadas abajo y arriba del símbolo de suma indican que / tomarásucesivamente los valores 1,2, 3 ,4 , 5 .. . hasta n. Verbalmente, la notación se lee:

“Debemos sumar todas las cantidades de X empezando en i = 1, que es, X y prosiguiendo hasta i = n (que es, X )”.

Algunas veces esta forma de notación puede indicar la suma, pero únicamente de las cantidades seleccionadas:

5

= X 2+ X i + X Á + X i (4.2)i-2

Parámetros estadísticos

Medidas de tendencia centralEl objetivo de las medidas de tendencia central es sintetizar los datos en un valor representativo. Estas son la media aritmética o promedio, la mediana y la moda, de la cuales, el estadístico elegido para simbolizar una distribución es la media, que es el valor más representativo de todos los que toma la variable. Sin embargo, se debe tener especial cuidado de elegir la media como el valor representativo en caso de que la variable estudiada presente valores anormalmente extremos, pues dependiendo de su valor, estos tendrán el efecto de desplazar la media hacia el extremo derecho cuando haya valores anormalmente altos, o al extremo izquierdo de la distribución cuando haya valores anormalmente bajos. En esta situación, un mejor valor representativo de la posición central de la distribución es la mediana, ya que refleja exactamente al valor que se localiza en el centro de una distribución ordenada.

Media aritméticaSe define como la suma de todos los valores de la distribución dividida entre el número total de datos. En una muestra cuyos valores están dados por X,, Xv .... Xn, la media aritmética está definida como:

II

X*,X = -=!— (4.3)

n

Por ejemplo, para los siguientes datos: 15, 18, 12, 13, 12, 13, 16, 13, 12, 15,19, 12, 15, 13, 12, la media será:

- 1 5 + 1 8 + 12 + 13 + 12 + 13 + ...+ 12 _ tAA — — I*r


MedianaSe refiere al dato que ocupa la posición central en una muestra ordenada, por lo que deja a su izquierda y derecha el mismo número de observaciones. De esta forma, para calcular el valor de la mediana del ejemplo anterior, primero se procede a ordenar los datos.

12 12 12 12 121 3

13 13 13 15 J 1 515 16 18 | 19

Si el número de datos fuera impar, como es el caso del ejemplo, 13 es el valor de la mediana y se ubica en el centro de la distribución; por lo tanto, queda el mismo número de observaciones a la izquierda y a la derecha. Cuando el número de observaciones es par puede decirse que hay dos valores medianos; sin embargo, se toma como mediana la media aritmética entre ellos. Para los valores 2,4,3,5,4,3r5,7,6,2,4,5,7,4, cuyo total de valores es un número par (14), la mediana sería igual al valor promedio de los dos valores centrales de la muestra ordenada.

4 + 4 Me = = 4

ModaLa moda es el valor de la variable que más veces se repite en la muestra, por lo que para los dos casos anteriores la moda es de 12 y 4, respectivamente. El primero con cinco repeticiones, y el segundo con cuatro. Sin embargo, habrá casos en los que más de un valor se repita el mismo número de veces, por lo que la muestra puede ser bimodal (dos valores con la misma frecuencia); trimodal (tres valores); o polimodal (para más de tres). También existe la posibilidad de que el número de repeticiones de los valores sea homogéneo, en cuyo caso no existe moda.

Cabe señalar que la moda es la medida más representativa en el caso de distribuciones de variables en escala nominal, debido a que las distribuciones de este tipo presentan datos no susceptibles de ordenación, de tal forma que para estas distribuciones no es posible realizar operaciones elementales con sus observaciones.

Medidas de dispersiónLas medidas de dispersión cuantifican la dispersión y variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central. Permiten calcular la representatividad de una medida de posición, para lo cual será preciso cuantificar la distancia de los diferentes valores de la distribución respecto a dicha medida. A tal distancia es a lo que, en términos estadísticos, le se llama variabilidad o dispersión de la distribución.

Las medidas de dispersión tienen como finalidad estudiar hasta qué punto, para una distribución de frecuencias determinada, las medidas de tendencia central o de posición son representativas como síntesis de toda la información de la distribución.

Medir la representatividad de una medida de posición equivale a cuantificar la separación de los valores de la distribución respecto a dicha medida. Por ejemplo, se desea

Medidas de dispersión 93

estudiar en qué grado una media aritmética marca una tendencia central generalizable del comportamiento de todos los elementos del conjunto por lo que primero se tendrá que fijar la atención en la desviación de cada valor respecto a la media. Si todos los valores están cercanos al valor medio, este será representativo de ellos. La media aritmética de una variable es más representativa cuanto más agrupados estén los valores en tomo a ella; y por el contrario, será más rechazable en la medida que exista mayor dispersión de los valores de la variable respecto a la media.

Las medidas de dispersión son el rango, la desviación media, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.

RangoEl rango es la medida de dispersión más sencilla de calcular e interpretar, puesto que simplemente es la diferencia entre los valores máximo ( X J y mínimo (XnJ . Indica la variación máxima que se presenta en la muestra y está definida como:

(4.4)

De manera que para los siguientes los valores 2, 5 ,4 , 7 ,6 ,9 , el valor del rango está dado por R - 9 - 2 = 7 , que representa la amplitud entre los extremos de la distribución.

Desviación media1.a desviación media se define como la media aritmética del valor absoluto de las d iferencias de los valores de la variable con respecto a la media aritmética y se expresa así:

¿ I*. -x|DM = ----------- (4.5)

n

La tabla 4.1 muestra el proceso del cálculo de la desviación media para la siguiente serie de valores:

94 97 95 95 94 96 90 93 89 95

Primero, se calcula la media con la ecuación correspondiente:

^ _ 94 + 97 + 95 + 94 + ... + 95 . . _X - - = 93 .8

Después, en la tabla, a cada uno de los valores se le resta el valor promedio, para luego obtener el valor absoluto y la sumatoria de las desviaciones. Dichos valores se sustituyen en la ecuación de la desviación media para obtener la separación de la distribución con respecto a la media aritmética.


Tabla 4.1: Proceso del cálculo de la desviación media.

Valores (A1,) X t - X \X, - x\

89 -4 .8 4.890 -3 .8 3.893 4 ). 8 0.894 0.2 0.294 0.2 0.295 1.2 1.295 1.2 1.295 1.2 1.2% 2.2 2.2

97 3.2 3.2

n = 10 0 ¿ |X , - X | = 18.8f-l

Si se sustituyen los valores en una ecuación, se tendrá:

DAÍ = 1 M = j .88 10

Varían /.aDe todas las medidas de dispersión, respecto a la media aritmética, la varianza y su raíz cuadrada (desviación típica) son las más importantes. La varianza se define como la m edia aritmética del cuadrado de las desviaciones de los valores de la variable a la media aritmética, mediante la expresión:

5 ’ = ■“ (4.6)n -1

La mayor desventaja de la varianza quizá sea la dificultad para interpretarla, ya que se expresa en las mismas unidades que la variable original pero al cuadrado. Un alcance mucho más práctico se logra con la desviación estándar, que al ser producto de la raíz cuadrada de la varianza, sus unidades quedan expresadas en las mismas unidades de medida que la variable original. De esta manera, la desviación estándar es una medida más objetiva del promedio de separación que existe en la distribución con respecto a la media aritmética. En la tabla 4.2 se muestra el proceso de cálculo de la varianza para los valores anteriores.

En dicha tabla, a cada uno de los valores se le resta el valor promedio, para luego elevar al cuadrado y obtener la sumatoria de las desviaciones cuadráticas. Estos valores se sustituyen en la ecuación de la varianza para obtener su valor, que expresa la separación cuadrática que existe en la distribución con respecto a la media aritmética.


Tabla 4.2: Proceso del cálculo de la varianza.

Valores (* ,) x , - x ( x , - x )2

89 -4 .8 23.0490 -3 .8 14.4493 -0 .8 0.6494 0.2 0.0494 0.2 0.0495 1.2 1.4495 1.2 1.4495 1.2 1.4496 2.2 4.84

97 3.2 10.24II O X ( X , - X ) J = 57.6

M

La ecuación correspondiente a la varianza es:

S ’ = ™ = 6 . 410-1

Desviación estándarLa desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. De manera más práctica informa cuál es el promedio de separación que existe en la distribución con respecto al valor promedio. Se expresa en las mismas unidades que la variable original. La expresión para su cálculo es:

l¿(*.-xfS = V ~ (4.7)

i f l-1

Para el ejemplo anterior, la desviación estándar será: S = v 'M = 2 .53, que apoya el valor de la media como representativo de la distribución de los datos. La magnitud de este valor indica que los datos se encuentran agrupados en tomo al valor promedio.

Coeficiente de variaciónEl coeficiente de variación (CV) expresa la desviación estándar respecto a la media aritmética, usualmente en porcentaje, para una interpretación más clara del grado de variabilidad de la desviación típica en relación al valor promedio; en otras palabras, es la desviación estándar de la media aritmética expresada como porcentaje.

Capítulo 4 Análisis descriptivo de los datos

El CV es útil para comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas. A mayor valor del CV, mayor heterogeneidad de los valores de la variable; y a menor CV. mayor homogeneidad en los valores de la variable. El coeficiente de variación se obtiene por medio de la siguiente expresión matemática;

CV = ¿ x lO O (4.8)X

Los valores de la siguiente tabla corresponden al extracto de un estudio realizado a niños de educación primaria expuestos a ruido ambiental en la Zona Metropolitana de Guadalajara (7.MG) durante el año 2009. El objetivo del estudio fue evaluar el impacto de la contaminación por ruido en la concentración de los alumnos mediante la prueba de Stroop, que consiste en tres grupos de reactivos (100), escritos con un color de tinta que provoca una situación de estrés, que deben leer los escolares sin importar el tiempo que tarde. La tabla 4.3 muestra, de manera general, el total de aciertos obtenidos.

Tabla 4.3: Número de aciertos obtenidos durante una prueba de concentración sostenida (Preciado, 2010).

G rado Aciertos G rado Aciertos

Tercero 100 Sexto 99Tercero 100 Sexto 98


Tercero 100 Sexto 100

Tercero 96 Sexto 100



Media de sexto grado: X = +- 98-~f- 1 j** t. ^ L 100 _ 99 50 y s = 0.70

Media de tercer grado: X = 1QQ+ 1QQ+ W 0 + ...+ 100 = 99.50 y 5 = 1.26

El valor de la media para los alumnos de tercero y sexto grados es el mismo. Si el director del plantel quisiera otorgar un premio a los niños que obtuvieron un mejor desempeño basado en este valor no sería justo. Sin embargo, mediante los resultados del CV, al director le quedaría muy claro cuáles alumnos deben recibir el premio. De manera que, los respectivos coeficientes de variación serán:

Variables numéricas 97

= X I00 = 1.26% para tercer grado.99.60

CV = x i 00 = 0.70% para sexto grado y99.60

Por lo que el premio debe entregarse a los alumnos de sexto grado, puesto que la dispersión de los datos con respecto al valor promedio es menor.

Distribución de frecuencias

Se llama distribución de frecuencias al agrupamiento y clasificación de los datos de una población o de una muestra. Este agrupamiento tiene el propósito de resumir grandes conjuntos de datos con el fin de facilitar el análisis de las variables que resultan de las características medidas de un fenómeno o evento en particular. En este apartado se muestra cómo elaborar una distribución de frecuencias para variables, cuyo resultado de medición arroja un registro numérico (variables cuantitativas), así como para aquellas variables cuyo resultado de medición no es un número sino una cualidad (variables cualitativas) (ver tabla 2.1).

Variables numéricasDatos sin agrupar

En las investigaciones científicas, así como en la observación y medición de los fenómenos que acontecen en la naturaleza, la generación de registros o datos es una tarea primordial, ya que por medio de estos se logra una mejor comprensión c interpretación de los mismos. En función de la cantidad de datos generados se podrán obtener conclusiones casi de forma inmediata, o se requerirá de la aplicación de algunas técnicas de agrupación o resumen para el entendimiento de fenómenos más complejos.

Una parte fundamental que comprende el análisis de resultados de las investigaciones, son las técnicas de ordenamiento, clasificación o resumen de la información obtenida. Resulta práctico hacer un análisis directo de la información cuando el número total de registros no excede los 30 valores. Aunque no existe un criterio bien definido, el investigador o estudiante aplicará el criterio que más le resulte conveniente.

A continuación se presenta un ejemplo práctico que corresponde a las calificaciones finales de la materia de Metodología experimental en un grupo de 18 alumnos.

Tabla 4.4: Calificaciones finales de la materia de Metodología experimental.

73 69 66 82 68 62 94 83 8078 97 66 48 66 67 82 44 81

Con el simple hecho de ordenar y contabilizar cuántas veces está presente cada uno de los valores registrados, se podrá saber con facilidad cuáles son las calificaciones más frecuentes, las menos frecuentes, o si la mayoría de alumnos obtienen calificaciones aprobatorias. Por lo tanto, se procede a realizar una tabla simple de distribución de frecuencias de la siguiente manera:


1. Se ordenan los datos en forma ascendente.

44 66 67 73 81 8348 66 68 78 82 9462 66 69 80 82 97

2. Se contabiliza el número de veces que un dato se encuentra presente, lo que corresponde a la tabla de frecuencias:

Calificación Frecuencia absoluta44 148 162 166 367 168 1

69 173 178 180 181 182 283 194 197 1

Total 18

A partir del análisis de la tabla se llegó a las siguientes conclusiones:

• Ninguno de los alumnos aprobó la materia de Metodología experimental con 100.• Dos alumnos obtuvieron calificaciones reprobatorias < 50.• Tres alumnos obtuvieron 66 y dos alumnos sacaron 82.

La misma serie de conclusiones se puede obtener de la tabla de datos ordenados; sin embargo, estas no son inmediatas tal como se visualiza en la tabla, donde se presenta la información de forma compacta y clara.

Existe una forma gráfica que permite una mejor visualización de los resultados, la cual se denomina diagrama de tallo y hojas. La elaboración de este diagrama depende de la naturaleza de los datos (si son enteros o presentan decimales). Para el ejemplo que involucra únicamente enteros, los décimos formarán los troncos, y las unidades las hojas. Para los primeros dos valores su tronco es 4 y las hojas son 4 y 8, y así sucesivamente. Sin embargo, estos diagramas no son nada prácticos cuando el total de datos que se analiza es grande.


Tallo Hojas4 4 86 2 6 7 8 97 3 88 0 1 2 39 4 7

Del diagrama de tallo y hojas fácilmente se concluye que:

• Dos de los alumnos tuvieron calificaciones reprobatorias.• Las calificaciones con mayor repetición son de 62 a 69, y en segundo lugar las de

80 a 83.• Dos alumnos sacan calificaciones mayores a 90.

Datos agrupadosLa agrupación o clasificación de los datos resulta práctica cuando se maneja un buen número de registros. Un criterio conservador para aplicar técnicas de resumen de la información es cuando el total de valores que se maneja es mayor a 30, aunque habrá quienes encuentren práctica la aplicación de las técnicas antes descritas.

Para facilitar la comprensión de los pasos para elaborar una distribución de frecuencias, se utilizan los datos del promedio diario de concentración de partículas en el aire en el centro de Guadalajara durante el mes de abril de 2009.

Tabla 4.5: Promedio diario de partículas (PM W en /ig/m5) durante el mes de abril de 2009, en el centro de Guadalajara (Centro de Información Ambiental. SEMADES).

26.5 29.2 28.7 24.2 44.3 25.9 33.2 33.4 24.6 33.7 27.3 28.3 30.0 39.0 37.529.6 25.4 24.4 24.5 22.4 34.8 34.5 24.8 25.9 20.0 23.0 19.8 32.2 24.6 29.0

Pasos para construir una distribución de frecuencias1. Se acomodan los datos en un arreglo ordenado, de menor a mayor valor.

19.8 20 22.4 23 24.2 24.4 24.5 24.6 24.6 24.8 25.4 25.9 25.9 26.5 27.328.3 28.7 29 29.2 29.6 30 32.2 33.2 33.4 33.7 34.5 34.8 37.5 39 44.3

2. Definir el número o intervalos de clases: es decir, se escoge el número de grupos o intervalos en los cuales se ubicarán una única vez cada una de las observaciones o datos. Estas clases deberán ser mutuamente excluyentes y exhaustivas. Esto es, las observaciones se ubicarán en una y solo una de las clases, y todas las observaciones del conjunto de datos quedarán incluidas en alguna de las clases definidas.

Como el objetivo de una distribución de frecuencias es resumir el conjunto de datos para interpretarlos mejor, no es conveniente definir muchas clases; tampoco se deben escoger muy pocas porque se pierde información. En la práctica, es una decisión que se debe tomar después de conocer muy bien el tipo y la cantidad de datos que desea ordenar.


Algunos libros de estadística recomiendan utilizar entre 6 y 15 intervalos; menos de 6 podría indicar que se han resumido los datos más de la cuenta y más de 15 que no se han resumido adecuadamente. De esta manera, el número de intervalos o clases a considerar es una cuestión importante y no hay un criterio fijo para establecerlo. La tabla 4.6 muestra algunas fórmulas para calcular el número máximo de clases o intervalos. La mayoría de los textos en estadística refieren al número de intervalos (/O como la raíz cuadrada del número de datos, esto es K = v'n .

Por su parte, la regla de Sturgens tiende a subestimar el número de intervalos y la de Dixon y Kronmal da mejores resultados para n grandes.

Tabla 4.6: Criterios para definir el número de intervalos o clases (K).

A utor N úm ero de intervalos

Sturges, 1926 K = l + 3.322(logl0/i)) (4.9)

Velleman. 1976 ii*(4.10)

Dixon y Kronmal, 1965 K = lOlogn (4.11)

K = 2 .4 X \/ñ (4.12)

Con base en lo anterior se puede aproximar el número de intervalos por medio de la fórmula de Velleman (1976), que dice: K = yfñ , donde K es el número de intervalos y n = 30 es el total de datos. Si aplicamos la fórmula a los datos del ejemplo, tenemos K = v30 = 5.48 ■ 5, donde 5 es el número apropiado de intervalos para la cantidad de datos que se tienen.

3. Amplitud o tamaño del intervalo: para determinar la amplitud del intervalo primero se calcula el rango o recorrido: R = X nxíx - .

Entonces, en el ejemplo R = Xn - X t = 44.3 -19 .8 = 24.5, el intervalo (/) o amplitud de clase (A) es el cociente entre el rango y el número de clases:

I = A = - (4.9)K

V . • I . , R 24.5Y para el ejemplo: / = A = — = -----K 5

Con frecuencia, los valores que resultan de esta razón suelen ser incómodos; por lo tanto, se recomienda utilizar un número fácil de comprender y de explicar para la información que se desea comunicar. Se propone redondear el intervalo de 4.9 a 5.

4. Definir los intervalos o límites de clase: se debe tener especial cuidado al definir los límites de clase: dónde inicia y dónde se cierra, pues resulta muy relevante cuando se trabaja con variables continuas, ya que habrá muchos valores intermedios entre el límite superior de una clase y el límite inferior de la siguiente. Por ejemplo, si construimos la tabla a partir del primer valor de los datos ordenados y le sumamos el 5 del


tamaño del intervalo, se obtiene la tabla 4.7. Entonces, entre el límite superior del primer intervalo y el límite inferior del segundo intervalo, los valores 24.81,24.82,... 24.89 quedarán sin ser contabilizados para la primera clase. Por lo anterior, un buen criterio para construir los límites de clase sin perder la continuidad en los valores es trabajar con los límites reales en lugar de los límites aparentes de clase.

Tabla 4.7: Límites dados con base en el valor aparente.

Número de clase Intervalos de clase

I 19 .8 -2 4 .8n 2 5 .8 -3 0 .8n i 3 1 .8 -3 6 .8IV 3 7 .8 -4 2 .8V 4 3 .8 -4 8 .8

Los límites reales de una clase son ¡guales al valor aparente, más/menos la mitad de la unidad de medida. Para determinar los límites reales de los intervalos de clase se resta0.5 al límite inferior, y se suma 0.5 al límite superior de cada clase. Los límites reales del primer intervalo serían 19.8 - 0.5 = 19.3 para el límite inferior, y 24.8 + 0.5 = 25.3 para el límite superior. El primer intervalo queda de 19.3 a 25.3 y así sucesivamente (tabla 4.8).

Tabla 4.8: Límites reales.

Número de clase Intervalos de clase

I 19 .3 -2 5 .3U 2 5 .3 -3 1 .3n i 3 1 .3 -3 7 .3IV 3 7 .3 -4 3 .3V 43.3 - 49.3

Sin embargo, con este nuevo alcance es confuso saber en qué clase contabilizar el valor 25.3, pues es el límite superior de la primera clase y el límite inferior de la segunda. Para prevenir ambigüedades en cuanto a la clase a la que pertenece cierto número, se dice que un dato pertenece a determinada clase si su valor numérico es estrictamente mayor que el límite inferior, y menor o igual cuando el límite es superior. Por lo tanto,25.3 solo debe contabilizarse en la clase uno, pues cumple con el requisito de ser menor o igual al límite superior de esa clase.

5. Completar la distribución de frecuencias: para cada una de las clases se contabiliza el número de datos que cumplen con el requisito de ser mayor al límite inferior de la clase, y menor o igual al límite superior. Los datos del ejemplo que cumplen ese requisito incluyen los valores de 19.8 a 24.8, que son 10 y corresponden a la frecuencia absoluta de la primera clase. Esto equivale a decir que en 10 de los 30 días analizados


se presentaron valores promedio de partículas entre 19.3 a 25.3 /¿g/m\ Otra forma de describir el fenómeno analizado es usando la frecuencia acumulada. Esta es igual a la frecuencia absoluta de la clase en particular más la suma de las frecuencias de la clase o clases anteriores. Para la primera clase su frecuencia acumulada es 10, pues no existe una clase anterior a esta; mientras que para la segunda clase es 11 + 10 = 21, etc. Por lo tanto, la última frecuencia absoluta acumulada es igual a n o número total de observaciones.

Una de las conclusiones que podemos tomar con base en la frecuencia acumulada, es que un poco más de la mitad de los días analizados, es decir 21, registraron concentraciones de partículas menores o ¡guales a 31.3 pg/m J. Sin embargo, se pueden hacer aseveraciones mucho más claras si utilizamos la frecuencia relativa o la frecuencia porcentual. Ambos conceptos relacionan la frecuencia absoluta frente al total de observaciones, aunque un alcance mucho más práctico lo proporciona la frecuencia relativa porcentual, o la porcentual acumulada. Luí frecuencia relativa para la primera clase será:

^ = 0.33 o ^ = 0.33 x 100 = 33% para la frecuencia relativa porcentual. De estos dos

conceptos fácilmente se intuye que el total de la frecuencia relativa es igual a la unidad, y para la relativa porcentual es 100%. De igual manera, la frecuencia porcentual acumulada de la última clase será de 100%.

AI observar la frecuencia relativa porcentual acumulada podemos constatar que poco más de la mitad de los días analizados registraron valores £ 31.3 /¿g/m\ Esto corresponde a 70% de los días.

Tabla 4.9: Distribución de frecuencias de la concentración de partículas (PMia) para el mes de abril en el centro de Guadalajara (SEMADES, 2009).

Núm ero de clase

Intervalos de clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaacum ulada

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

porcentual

Frecuencia acum ulada relativa

porcentual

1 1 9 .3 -2 5 .3 10 10 0.33 33 33

0 2 5 .3 -3 1 .3 11 21 0.37 37 70

m 3 1 .3 -3 7 .3 6 27 0.20 20 90

IV 37.3 - 43.3 2 29 0.07 7 97

V 43.3 - 49.3 1 30 0.03 3 100

Total 30 1.00 100

Representación gráfica de una distribución de frecuencias• Histof>rama: constituye el gráfico típico de una distribución de frecuencias. Es un

gráfico de barras continuas de diferentes alturas, definidas usualmcnte con base en el valor de la frecuencia absoluta. En otras palabras, corresponde a la representación visual de la tabla de distribución de frecuencias. El histograma más común representa en el eje horizontal los intervalos de clase, y en el eje vertical la frecuencia absoluta, tal como lo muestra la figura 4.1.


I 8

• e 8

§ 4

S 2it

eg12f 1°

Intervalo de d a s e

Figura 4 .1: Histograma de la distribución de partículas ( P M J durante el mes de abril en el centro de Guadalajara (SEMADES, 2009).

• Polígono de frecuencias: otro gráfico igualmente útil para conocer la distribución de los datos, lo constituye el polígono de frecuencias, que consiste en una sucesión de líneas rectas cuyos puntos de unión corresponden al punto medio de cada intervalo de clase, también conocido como la marca de clase (M C ). Entonces, el punto medio en cada intervalo está dado por la siguiente ecuación:

MC = , donde Li es el límite inferior de la clase, y es el límite superior.

En consecuencia, la marca de clase para el primer intervalo es M C -19.3+25.3 ,---------------= 22.3 y así sucesivamente.

2La tabla 4.10 se utiliza para elaborar el polígono de frecuencias (figura 4.2). Es

importante hacer notar que se agregaron dos marcas de clase con frecuencia cero al inicio y al final de la tabla, con el fin de iniciar y cerrar el polígono.

FJ polígono de frecuencias se construye colocando los puntos medios o marcas de clase de cada intervalo en el eje horizontal. Y la frecuencia absoluta correspondiente a cada marca de clase se ubica en el eje vertical. De esta forma, el polígono muestra la distribución de los puntos centrales a cada intervalo, es decir, el valor representativo de la clase.

Tabla 4.10: La distribución de frecuencias para un polígono.

Núm ero de clase Intervalos de clase

M arca de clase

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaporcentual

13.3 - 19.3 16.3 0I 19.3 - 25.3 22.3 10 3311 2 5 .3 -3 1 .3 28.3 11 37III 3 1 .3 -3 7 .3 34.3 6 20IV 37.3 - 43.3 40.3 2 7V 43.3 - 49.3 46.3 1 3

49.3 - 55.3 52.3 0

Frec

uenc

ia

abso

luta

a

cum

ula

da


M a rc a s d e clase

Figura 4.2: Polígono de frecuencias para el promedio diario de partículas durante el mes de abril en el centro de Guadalajara.

I.as conclusión es que de los 11 valores clasificados en el segundo intervalo, 28.3 pg/mJ es el valor representativo. Si por el contrario, en el eje vertical ahora se gráfica la frecuencia relativa de la tabla 4.10, se puede concluir que 37% de los valores representativos son £ 28.3 /ig /m \

• Gráfico Je frecuencia acumulada (ojiva): este gráfico corresponde a un polígono de frecuencias o curva suavizada, que se construye con las frecuencias absolutas o relativas acumuladas. La utilidad del gráfico es que permite leer cuántos (figura 4.3a) o qué proporción de los datos (figura 4.3b) se acumulan hasta un valor particular de la variable estudiada.

Para construir el gráfico se asume una clase inferior a la primera clase (tabla 4.10), de cuyo límite superior comenzará el trazo de la curva suavizada. En el eje vertical se colocan las frecuencias partiendo desde cero hasta la última frecuencia acumulada. En el eje horizontal se ubican los límites superiores de cada clase y de de esta forma se obtienen los siguientes gráficos:

55.3Lím ites superiores d e d a s e Lim ites su p e rio re s de d a s e

Figura 4.3: Ojiva de los datos de la tabla 4.10. donde se muestra la utilidad en la interpolación gráfica.

Variables no numéricas 105

Considerando la información del ejemplo, se desea conocer el número de días del mes de abril que presentaron <, 37.3 /ig/m1 de partículas en el centro de Guadala- jara. Por interpolación directa en el gráfico se observa que la respuesta es 27 días (figura 4.3a). Si por el contario, se quisiera conocer el acumulado de días con £ 37.3 ^g/m ' desde el inicio del mes, por interpolación directa la respuesta es 90% (figura 4.3b).

Variables no numéricasEn el área de las ciencias de la vida, la medición de los fenómenos genera resultados no numéricos o de atributo que, de igual manera, es necesario resumir para su mejor comprensión. Como se describió en el capítulo 2, estas variables cualitativas no aparecen en forma numérica, sino como categorías o atributos (sexo, profesión, color de ojos, etc.) y sólo pueden ser nominales u ordinales. De manera similar a las variables numéricas, la distribución de frecuencias es la técnica apropiada para organizar los datos de una forma más clara que ayude a los investigadores a obtener conclusiones mucho más asertivas.

Como se puede notar, los datos de la tabla 4.11 están presentados de tal manera que resulta difícil visualizar su comportamiento; así, surge la necesidad de organizarlos o sistematizarlos para una mejor comprensión.

Tabla 4.11: Resultados del análisis de tipo de sangre practicado a 25 estudiantes como parte de una serie de exámenes médicos.

G rupo sanguíneo

AB A O B AA O O O ABB B O A OO O B AB BA B B AB O

El primer paso es identificar el número de grupos sanguíneos, que en este caso es el número de clases o categorías de la tabla de distribución de frecuencias. Después, del conteo de estudiantes que pertenecen a cada uno de los grupos sanguíneos se puede completar la otra serie de frecuencias (relativa, relativa porcentual).

Tabla 4.12: Distribución de frecuencias para los grupos sanguíneos.

ClaseFrecuencia

absolutaFrecuencia

relativaFrecuencia relativa %

A 5 0.20 20B 7 0.28 28O 9 0.36 36

AB 4 0.16 16

Total 25 1.00 100


Con base en el análisis de la tabla anterior, fácilmente se obtienen las siguientes conclusiones:

• La mayoría de estudiantes tuvieron sangre tipo O, y solo 4 de ellos tipo AB, lo cual se determinó con base en la frecuencia absoluta.

• El segundo tipo de sangre más frecuente en los estudiantes fue B.• En términos de la frecuencia relativa porcentual, esto equivale a decir que 36% de

los estudiantes tuvieron sangre tipo O, y solo 16% tuvieron sangre tipo AB.• El segundo tipo de sangre más frecuente en los estudiantes fue el B, con 28% de

los casos analizados.

Representación gráfica de una distribución de frecuencias (datos no numéricos)

Los resultados, producto de la medición de variables cualitativas, de igual manera pueden ser representados mediante gráficas. Entre las más utilizadas para ilustrar la distribución de estas variables se encuentran el gráfico de barras simples, el gráfico de sectores y el gráfico de Pareto.

Gráfico de barras simplesEste gráfico (figura 4.4) permite visualizar la distribución de una variable cualitativa, tanto para frecuencias absolutas como para relativas. Sobre el eje horizontal se colocan las clases o categorías de la variable, y sobre el vertical las frecuencias que definen la altura de las barras.

Gráfico de sectoresConsiste en un círculo en el que se representan sectores con áreas proporcionales a las frecuencias de cada una de las clases (figura 4.5). Son aplicables a cualquier tipo de variables, pero se utilizan, sobre todo, en las categóricas. Se construye tomando ángulos proporcionales de las frecuencias para cada una de las clases o categorías.

9

3 83

I 6

H 5® 4

3

“• 2 1 0

A B O A B

G ru p o sa n gu ín e o

Figura 4.4: Gráfico de barras simples.

Representación gráfica de una distribución de frecuencias 107

ABOAB

Figura 4.5: Gráfico de sectores con base en la frecuencia absoluta de los grupos sanguíneos.

Gráfico de ParetoR1 gráfico de Pareto (figura 4.6) se utiliza para representar la distribución de frecuencias para variables categóricas. Los datos se ordenan de forma descendente, de izquierda a derecha, separados por barras o clases. En el eje vertical se dibuja la frecuencia (absoluta o relativa), que define la altura de las barras; y en el eje horizontal, se colocan los grupos o categorías de la variable cualitativa. De esta forma, el gráfico facilita el estudio comparativo de numerosos procesos dentro de las industrias o empresas comerciales, así como fenómenos sociales o naturales.

El ejemplo anterior corresponde a una variable nominal; sin embargo, el mismo proceso se puede aplicar para una variable de tipo ordinal. Por ejemplo, si para el estudio de una lesión muscular un traumatólogo utiliza la escala fuerte, moderada, leve, de igual manera podrá hacer una distribución de frecuencias y análisis gráfico para el número de lesiones atendidas durante el primer trimestre del año.

G ru p o sa n gu ín e o

Figura 4.6: Gráfico de Pareto


Estadística descriptiva para datos agrupados

I-a estadística descriptiva para datos agrupados involucra técnicas para extraer y mostrar la información que no se visualiza fácilmente cuando se trabajan conjuntos de datos muy numerosos. Para grandes masas de información es complicado obtener una primera aproximación al comportamiento del objeto de estudio; sin embargo, al dividir la información en grupos o celdas ordenadas se puede lograr una mejor comprensión al mostrar, por ejemplo, algün patrón definido, la variabilidad o los valores que principalmente se presentan. Por lo tanto, resulta práctico agrupar los datos en clases o categoría cuando el total de registros que se analiza es mayor que 30. A continuación se describen las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión más utilizadas en los trabajos de investigación, a partir de la tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados.

Medidas de tendencia centralPara el cálculo de las medidas de tendencia central y de dispersión se utilizan los resultados de distribución de ruido en la Zona Metropolitana de Guadalajara (ZMG), con base en puntos conflictivos de tráfico vehicular durante 2003 (Figucroa e ta l., 2002).

Tabla 4.13: Valor sonoro continuo equivalente (LEQ dB A) de tráfico vehicular en 80 puntos conflictivos de la ZMG

58.27 65.00 77.03 79.63 81.07 88.15 93.18 94.6561.12 65.00 77.92 79.63 81.10 88.78 93.25 94.7561.80 66.00 78.17 79.70 81.30 89.88 93.25 94.8562.25 66.68 78.72 79.80 81.37 89.88 93.27 95.3762.28 67.00 78.82 80.32 81.37 89.98 93.75 95.4364.00 67.50 79.00 80.38 81.90 90.12 93.75 95.9564.00 68.00 79.05 80.60 82.43 92.23 94.08 95.9564.18 76.00 79.10 80.87 82.43 92.30 94.23 96.0764.62 76.45 79.38 80.97 82.48 92.57 94.52 97.0764.80 76.82 79.40 81.05 82.60 92.85 94.57 97.48

Rango = 58.27 - 97.48 = 39.21.Número de clases con base en la ecuación de Vellcman (tabla 4.14): K - n/80 = 8 .9 ,

se trabajan ocho clases porque con ello se cubre el rango de los datos.Amplitud o tamaño del intervalo de clase: resulta de la división entre el valor del

39 21rango y el número de clases. Esto es —¿— = 4.90 «* 5.00 .

Medidas de tendenia central 109

A partir de los datos originales se procede a elaborar la tabla de la distribución de frecuencias basada en los límites reales para cada clase (punto 3.2.1, IV).

Tabla 4.14: Distribución de frecuencias para el nivel sonoro continuo equivalente (dB A) en puntos conflictivos de la ZMG.

Número de clase Intervalos de clase Frecuencia absoluta (fx)

I 5 7 .7 7 -6 2 .7 7 5II 62.77 - 67.77 11III 6 7 .7 7 -7 2 .7 7 1IV 7 2 .7 7 -7 7 .7 7 4V 7 7 .7 7 -8 2 .7 7 29VI 82.77 - 87.77 0VII 8 7 .7 7 -9 2 .7 7 9Vffl 9 2 .7 7 -9 7 .7 7 21

Total 80

MediaEn una distribución de frecuencias se toma como valor representativo de todos los valores que caen dentro de un intervalo, al punto medio del intervalo, al cual se le denomina marca de clase. Entonces, el valor de la media será igual a la suma del producto de cada valor central (*,), por su correspondiente frecuencia de clase ( f j , entre el total de valores (n). Tal como se ilustra en la ecuación:

É / x ,X = J^ (4.10)

n

Donde:

= Punto medio o marca de clase de cada intervalo de clase, así como para la primera clase.f x = Frecuencia absoluta de cada una de las clases. n = Total de observaciones.

110

Mediana


Thbla 4.15: Proceso de cálculo para la media de los datos anteriores.

Nivel sonoro (dB A) Frecuencia absoluta (/.) M arca de clase (X .) <0 (*>

57.77 - 62.77 5 60.27 301.3562.77 - 67.77 11 65.27 717.976 7 .7 7 -7 2 .7 7 1 70.27 70.277 2 .7 7 -7 7 .7 7 4 75.27 301.08

7 7 .7 7 -8 2 .7 7 29 80.27 2327.838 2 .7 7 -8 7 .7 7 0 85.27 0.0087.77 - 92.77 9 90.27 812.439 2 .7 7 -9 7 .7 7 21 95.27 2000.67

n = 80 =6531.60

S fx<x =_ M

n6531.60

80= 81.64

Por lo anterior se puede concluir que el nivel de ruido ambiental emitido por los automotores en la ZMG es de 81.64 decibeles, y se encuentra por encima del valor recomendado para ruido comunitario, según los lincamientos de la Organización Mundial de la Salud. Dicho organismo recomienda un valor promedio £ 65 dB A para un entorno saludable.

En datos agrupados, la mediana se refiere al valor que ocupa la posición central en la distribución. La tarea principal para su cálculo consiste en ubicar la clase mediana. Esto es, aquella clase que acumule al menos la mitad de los valores agrupados. En particular, para este ejemplo, la clase mediana es la clase número cinco (tabla 4.16, fila en gris), pues hasta aquí se logró agrupar a los primeros 50 registros, donde se agruparon por lo menos la mitad del total de 80 valores. Con ello queda claro que la clase anterior a esta no puede ser la d ase mediana, pues apenas acumula 21 de los 80 registros.

La ecuación de la media es:

Me = L i + n- 2 ~ A (4.11)

Donde:

U = límite inferior de la clase mediana.n = número de observaciones o frecuencia total.

/ar«.(W) = frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase mediana.A = amplitud del intervalo.

= frecuencia de la clase mediana.

Medidas de tendenia central 111

Tabla 4.16: Cálculo de la mediana.

Número de clase

Nivel sonoro <dB A)

Frecuencia absoluta</?

Frecuenciaacum ulada

I 5 7 .7 7 -6 2 .7 7 5 5n 62.77 - 67.77 11 16in 67.77 - 72.77 1 17IV 72.77 - 77.77 4 21V 77.77 - 82.77 29 50VI 82.77 - 87.77 0 0VII 8 7 .7 7 -9 2 .7 7 9 59VIH 92.77 - 97.77 21 80

¡3 II 00 o

Moda

g0 ~ - 2 lDe esta forma, la mediana es igual a: Me = 77.77 + — ------ 5 = 81.04

29

La moda es el dato que se registra con mayor frecuencia en una distribución, entonces. nuestro parámetro inicial para su cálculo es ubicar la clase con mayor frecuencia. Siguiendo con el mismo ejemplo, la clase con la mayor frecuencia es la cinco.

La ecuación para calcular la moda es:

M o - L i+ — — A (4.12)4 ^ + 4 ^

Donde:

Li = límite inferior de la clase modal.Afpn = exceso de la frecuencia modal sobre la clase contigua inferior, o frecuencia de

clase premodal.Afpm = exceso de la frecuencia modal sobre la clase contigua superior, o frecuencia de

clase posmodal.

El valor de la moda para la tabla anterior es:

Mo = 77.77+ - 25 - (5) = 80.0825+ 29

Pese a que el valor de la moda no puede constituir un dato real, en el ejercicio es posible asumir que es el parámetro con mayor frecuencia.


Medidas de dispersión Varían za

Luí varían za es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. Para datos agrupados se representa mediante la siguiente ecuación:

S 2 =i=l---------------- ,n - 1

Donde:

m = número de clases o agrupamientos.X. = punto medio del intervalo o marca de clase.X = media de datos agrupados. f . - frecuencia absoluta de cada clase. n = total de datos.

Tabla 4.17: Cálculo de la varianza para los niveles de ruido por tráfico vehicular en la ZMG.

Nivel sonoro (dB A) / , X 1 / i * . ( X , - X )

5 7 .7 7 -6 2 .7 7 5 60.27 301.35 -21.37 456.68 2283.386 2 .7 7 -6 7 .7 7 11 65.27 717.97 -16.37 267.98 2947.756 7 .7 7 -7 2 .7 7 1 70.27 70.27 -11.37 129.28 129.287 2 .7 7 -7 7 .7 7 4 75.27 301.08 -6.37 40.58 162.3177.77 - 82.77 29 80.27 2327.83 -1.37 1.88 54.4382.77 - 87.77 0 85.27 0.00 3.63 13.18 0.008 7 .7 7 -9 2 .7 7 9 90.27 812.43 8.63 74.48 670.299 2 .7 7 -9 7 .7 7 21 95.27 2000.67 13.63 185.78 3901.31

Total 1 / x , = 6531.601-1

10148.75

De la serie de datos registrados en la tabla, se obtiene el valor de la media (81.64) con base en el procedimiento explicado en el punto 6.1.1. El segundo paso consiste en que a cada uno de los valores centrales X. se le resta el valor promedio (por ejemplo, 60.27 - 81.64, .... etc.). Por último, se elevan al cuadrado cada una de las diferencias resultantes, para luego multiplicar cada diferencia cuadrática por la frecuencia correspondiente a cada intervalo. Aplicando la ecuación del cálculo de la varianza tenemos:

^2 _ 10148/75 _ j 28.47

79


Desviación estándarSe refiera a la raíz cuadrada de la varíanza, la cual proporciona información más objetiva acerca de la separación promedio que existe en una distribución con respecto a su valor central, pues se expresa en las mismas unidades que la variable a diferencia de la varianza cuyas unidades serían cuadráticas. Así, la desviación estándar está dada por la siguiente ecuación:

s = r ^ r -

El valor de la desviación estándar del ejemplo anterior es:

5 =

79

Utilizando el valor representativo de la distribución y el promedio de separación de los datos con respecto a este valor representativo, podemos concluir que el nivel de ruido en puntos conflictivos por tráfico vehicular en la Zona Metropolitana de Guadalajara es de 81.04 ± 11.26 dB A, lo cual excede el valor de 65 dB A recomendado por la Organización Mundial de la Salud para entornos saludables.

Distribución normalLa interpretación de las medidas de tendencia central y de dispersión se observa en la aplicación de la c u n a de distribución normal de población. La curva es un modelo en forma de campana que permite comparar los resultados de una variable. Es muy frecuente que los datos se encuentren distribuidos de manera simétrica en tomo a la media y en forma de campana.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subya- cen a este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse si se asume que cada observación se obtiene como la suma de unas cuantas causas independientes.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la distribución normal son:

• Caracteres morfológicos de individuos, como la estatura.• Caracteres fisiológicos, como el efecto de un fármaco.• Caracteres sociológicos, como el consumo de cierto producto por un mismo gru

po de individuos.• Caracteres psicológicos, como el coeficiente intelectual.• Caracteres diversos, como el nivel de ruido en telecomunicaciones, errores come

tidos al medir ciertas magnitudes, etc.


La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las m ediases aproximadamente normal, incluso si la distribución de la población no es normal. En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidades continuas y discretas.

Algunas propiedades de la distribución normal son:

1. Es simétrica respecto de su media, /i.2. La moda y la mediana son iguales a la media, /¿.3. Los puntos de inflexión de la curva se dan para* = ^ - a y x = fi + (J.4. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:

a) En el intervalo f/i - <r, H + o\ se encuentra comprendida, aproximadamente, 68.26% de la distribución;

b ) En el intervalo [¡i - 2 <r, /i + 2a] se encuentra, aproximadamente, 95.44% de la distribución;

c) Por su parte, en el intervalo [y - 3a, /i + 3tr) se encuentra comprendida, aproximadamente, 99.74% de la distribución.

Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente el total de la distribución se encuentre en tres desviaciones típicas de la media, justifica los límites de las tablas empleadas habitualmentc en la normal estándar.

Un ejemplo de la aplicación e interpretación de la desviación estándar respecto a la curva normal es la siguiente: De los datos de la tabla 4.13 se tiene una X = 81.64 y una 5=11.26 dB A. Se calcula el primer intervalo de la desviación estándar, que es 8 1.64 -11 .33 = 70.31 y 81.64 + 11.33 = 92.97, y queda el primer intervalo entre 70.31 y 92.97. De manera semejante, se calculan los intervalos para dos y tres desviaciones estándar en tomo a la media (tabla 4.18); calculadas las tres distancias, se distribuyen los datos para identificar a qué intervalo pertenecen:

Para (X ± s ) , es decir, el intervalo 70.31 y 92.97, pertenecen 13 de las 80 observaciones que representan 53.75% de distribución de los datos.

Para (X ± 2 5 ) , es decir, el intervalo 58.98 - 104.3, pertenecen 79 de las 80 observaciones que representan 98.75%.

Para (X ± 3 5 ) , es decir, el intervalo 47.65 - 115.63, pertenecen 80 de las 80 observaciones que representan 100%.

Al estimar el porcentaje de los datos, encontramos que los valores observados están alejados de los porcentajes establecidos de la curva normal de distribución (tabla 4.18). Si se complementa esta evidencia con un histograma o polígono de frecuencias, entonces se puede evidenciar que este conjunto de datos se aleja de una distribución normal, aun cuando los valores de la media aritmética, mediana y moda estén muy cercanos (81.64, 8^.04, 80.08, respectivamente). Por último, se concluye que los datos encontrados en (X ± 5) son las observaciones más alejadas de la media representativa, que se denominan observaciones atípicas o extremos; mientras que los valores más cercanos corresponden a ( x ± 2 5 ) y ( x ± 3 5 ) y presentan una menor variación con respecto a la media.

Ejercicios 115

- 3 c - 2 o - 1 o m 1 o 2o 3 o

Figura 4.7: Porcentaje de datos en torno a la media para la curva normal de distribución.

Tabla 4.18: Porcentajes de distribución normal y de los datos del ejemplo de valor sonoro.

Porcentaje de distribución p a ra Porcentajes encontrados en los Desviaciones una distribución norm al datos de valor sonoro

( X ± S ) =70.31 y 92.97

(X ± 2 S ) =58.98-104.3

(X ± 3 S ) =47.65-115.63 “ 99.7

68 53.75

95 98.75

100

Ejercicios1. Con base en la siguiente tabla del coeficiente intelectual de estudiantes de CUCHI, calcule, para dalos no agrupados y agrupados:a) Rango.b) Número de dases.c) Intervalo o amplitud de dases.d) Límites aparentes.e) Límites reales.f ) Frecuencia absoluta, absoluta acumulada.g) Frecuencia relativa y relativa acumulada.

h) Obtenga el histograma, polígono de frecuencia y ojiva.

i) Calcule las medidas de tendencia central: media aritmética, mediana y moda.

j ) Calcule las medidas de dispersión: desviación media, varianza, desviación estándar ycoeficiente de variación. _ _ _

k) Calcule ( X ± s ) . ( * ± 2 .s ) y ( * ± 3 S ) para determinar si la distribución d¿ datos de coeficiente intdcctual se acerca a una distribución normal.


Coeficiente intelectual de 100 estudiantes de CU CEI90 90 95 150 95 70 75 80 70 95100 85 100 130 85 80 90 90 80 8095 90 80 100 90 110 80 85 90 85115 75 85 95 75 90 90 95 95 90100 120 90 90 80 75 100 90 100 9090 75 85 75 90 80 110 80 110 9580 60 90 80 95 90 120 75 80 9070 90 75 90 100 90 100 90 90 100

2. Con base en la siguiente tabla de peso corporal de estudiantes de bachillerato, calcule lo siguiente para datos no agrupados y agrupados:a) Rango.b) Numero de clases.c) Intervalo o amplitud de clases.d) lim ites aparentes.e) Límites reales.j ) Frecuencia absoluta y absoluta acumulada.g) Frecuencia relativa y relativa acumulada.h) Obtenga el histograma. polígono de frecuencia y

ojiva.

i) Calcule las medidas de tendencia central: media aritmética, mediana y moda.

j ) Calcule las medidas de dispersión: desviación media, varíanza, desviación estándar y coeficiente de variación. _ _ _

k) Calcule ,(Y ± s ) , (Y ± 2 S ) y (Y ± 3j) para determinar si la distribución de datos de peso corporal de estudiantes de bachillerato se acerca a una distribución normal.

Peso corporal de 100 estudiantes de bachillerato50 110 70 70 65 70 65 60 5060 70 100 72 85 80 60 70 6065 68 90 80 80 90 55 60 6570 65 60 65 75 70 50 65 7070 60 58 60 70 75 60 125 8075 40 55 45 60 60 65 70 8580 70 60 110 65 80 70 65 9090 65 65 60 70 70 65 60 100

Bibliografía 117

Bibliografía

Batista, J.F.; Valls. l.C. (1985). ‘Técnicas gráficas en análisis exploratorio de datos” . Qfiestló, vol. 9(3), pp. 163-176.

Gifford, B.R. (2008). Koestadística. México: Pearson Educación.Conde, J.E.; Rull, V. y Vegas, T. (1986). “Análisis exploratorio de datos ecológicos y biomé-

tricos”. Enseñanza de las Ciencias, vol. 4(2), pp. 53-62.Dixon, W.J. y Kronmal, R.A. (1965). “The Choicc of Origen and Scalc for Graphs” . Journal

ofthe Association for Computing Machinery, vol. 12. pp. 259-261.Hgucroa, A.; García, J. y Orozco. M. (2002). “Noisc Levéis at Critical Points in thc Munici-

pality of Guadalajara, Jalisco. México". The Journal o f the Acoustical Socierv o f America, vol. 112(5), p. 2376.

Hoaglin, D.G.; Mostcllcr, F. y Turkcy, J.W. (2000). Understanding Rohust and Exploraíory Data Analysis. Canadá: John Wiley & Sons.

Uinás, S.H. y Rojas. A.C. (2005). Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Colombia: Universidad del Norte.

ftcciado, C.N.A. (2010). Estudio comparativo de niveles de atención en niños expuestos a ruido ambiental, en tres planteles educativos de la ciudad de Guadalajara, 2009. Tesis profesional de Maestría enciendas de la Salud Ambiental. Guadalajara: CUCBA-CUCS, Universidad de Guadalajara.

Sturgcrs. H. (1926). ‘T he Choicc of a G ass lntcrval”. Journal o f the American Statistical Association, vol. 21, pp. 65-66.

\fclleman, P.F. (1976). Interactive Computing for Exploraíory Data Analysis. Proceedings o f the Statistical Computing Section. Washington: American Statistical Association.

C A P ÍT U L O 5

Elaboración del informe de trabajo experimentalIntroducción

A través de los capítulos anteriores se analizó qué es la ciencia y cómo ésta basa sus hallazgos en el método científico el cual consiste en plantearse un problema; no obstante, para ello es necesario hacer acopio de información del problema a tratar, elaborar una teoría, formular una hipótesis para probarla, realizar un experimento para comprobar la hipótesis y, con base en los resultados del experimento, evaluar, fortalecer, debilitar y modificar la teoría. Sin embargo, la fase final después de concluir el experimento implica la responsabilidad de comunicar los resultados.

Todos los que se dedican a hacer ciencia o investigación confían en los resultados de experimentos previos; en la mayoría de las ocasiones se enteran de estos hallazgos al leer los informes o artículos de investigación publicados en revistas especializadas. Por esta razón, uno de los aspectos más importantes de la ciencia es el informe de los resultados de investigación. Cabe mencionar que la escritura científica es única; tiene reglas, estilos y convencionalismos propios, por lo que antes de intentar escribir los resultados de un experimento, reporte técnico o artículo científico, es necesario conocer estas pautas.

Al leer artículos científicos sucede que: 1) aún después de la primera lectura no es fácil comprender todo lo que el autor trata de comunicar (y con frecuencia después de más de una lectura), 2) casi todos los artículos de una revista aparecen en un formato similar. La idea de separar estos dos aspectos es mostrar que escribir los artículos con un formato predeterminado permite que la lectura sea más comprensible.

Por lo general, para la mayoría de las personas los artículos de revistas especializadas son complicados, pero este problema no se resuelve presentando cada artículo con una estructura diferente porque quizá los haría ininteligibles, sobre todo para el estudiante novato. Para evitar que la comprensión de este tipo de textos se dificulte la comunidad científica ha acordado el uso de convenciones y formatos estándar para informar los resultados de investigaciones y experimentos.

El propósito de este capítulo es presentar reglas, estilos y convencionalismos básicos de la escritura técnica y científica, de manera que tanto el estudiante como el investigador principiante, puedan entenderlo fácilmente y consigan empezar este último paso del proceso de investigación experimental y científico.

119

120 Capítulo 5 Elaboración del informe de trabajo experimental

La primera sección de este capítulo presenta la estructura general de una práctica de laboratorio, que es el primer contacto que tiene el estudiante con los informes. En segundo término, se plantea la estructura de un informe técnico y, por último, se expone la estructura de un informe o artículo científico.

Estructura de un reporte de práctica de laboratorio

La estructura de un informe experimental sigue una serie de reglas determinadas. El reporte o informe de una práctica de laboratorio debe presentarse de tal modo que la persona que lo lea sea capaz de comprender la razón que llevó a su realización, la manera operacional en la que se realizaron las observaciones que se plantean y las consecuencias que se deducen de ellas. El reporte debe ser claro, conciso y con un lenguaje técnico directo sin frases ornamentales. Asimismo, se debe utilizar la redacción en tercera persona y tiempo pasado, dado que el experimento ya concluyó.

La estructura del reporte de una práctica de un experimento de laboratorio es la siguiente:

índice: en éste se hace referencia a todos los apartados, subapartados y apéndices del documento. Esta sección puede omitirse si el trabajo no es muy extenso.

Resumen: su objetivo es dar una idea concisa de lo que trata el informe. Así el lector puede conocer los temas que se abordan y decidir si es de su interés continuar con la lectura de todo el trabajo experimental.

Introducción: su finalidad es iniciar al lector en la temática específica a tratar en el trabajo experimental. Ésta debe ser breve, concisa y precisa, sin pretender ser una revisión bibliográfica; además, deberá abordar conceptos básicos, reales o nominales para que estos no tengan dobles o triples interpretaciones. Aquí también se debe especificar cuál es el objetivo y la importancia del experimento realizado.

Descripción de la instalación de los aparatos: en esta sección es necesario hacer una descripción completa y exacta de los instrumentos y materiales utilizados en el desarrollo del ensayo. En caso de que estos sean de uso común, no es necesario abordarlos con mucho detalle; en caso contrario, y si su instalación es complicada, es adecuado incluir una fotografía de la instalación junto con un diagrama de flujo. Si los procedimientos fueron empleados de manera rutinaria por otros autores se debe hacer referencia al autor que los propuso.

Descripción del procedimiento experimental: en este apartado se hace una descripción precisa, exacta y detallada de la secuencia del método o métodos empleados, con el objetivo de que el lector pueda reproducirlo si quiere corroborar los resultados. Describir de manera detallada cada una de las operaciones realizadas permite que los datos sean más confiables.

Observaciones: aquí se muestran los datos recopilados durante la realización del ensayo. Se sugiere que estos sean recolectados a través de tablas, siempre y cuando el tipo de variables analizadas lo permita. Todos los datos deben ir acompañados de sus unidades.

Estructura de un informe técnico 121

Planteamiento de los cálculos: en esta sección se deben especificar las ecuaciones, formulas y algoritmos empleados para la obtención de los resultados; a veces no es necesario incluir teoría, pero en la mayoría de los casos es útil y conveniente presentar una exposición de la forma en que estos se obtuvieron. La nomenclatura, simbología y unidades empleadas deben quedar bien especificadas.

Cálculos: aquí se incluye cualquier cálculo relacionado con la obtención de resultados. En los casos en donde se repite el mismo procedimiento, sólo se incluye una vez y se especifica que los demás resultados fueron obtenidos de la misma manera.

Resultados calculados: este apartado debe incluir todos los resultados. A veces las tablas son muy útiles para ver cómo varía un dato particular de un ensayo a otro, pero muchos experimentos requieren que los resultados se presenten a través de gráficas. Su objetivo es presentar la relación entre las variables del experimento, ya que esta información se puede utilizar cuando se describen los resultados y se redactan las conclusiones. En la mayoría de los informes de prácticas de laboratorio las gráficas se incluyen al final.

Discusión y conclusiones: este apartado es el más importante del informe, ya que el autor debe describir brevemente los hechos observados y constatarlos como los más probables de acuerdo con las condiciones del ensayo. Además, en caso de existir experimentos similares debe confrontar los resultados y está obligado a hacer un comentario personal sobre lo que aportó en su trabajo. La naturaleza de la discusión variará de acuerdo con el tipo de trabajo realizado. Por ejemplo, si se llevó a cabo un experimento para demostrar o refutar algún hecho teórico, debe plantearse la evidencia o falta de ella, a la vista de las demás conclusiones obtenidas en el experimento. Por otro lado, en un ensayo en el que se trate de determinar el valor numérico de alguna propiedad física, debe comentarse la exactitud del resultado. Cuando se investiga el desempeño de un equipo se explican, en la medida de lo posible, las razones de los cambios observados en sus características de funcionamiento. La discusión debe contener críticas constructivas acerca de la manera en que el procedimiento o aparato ensayado podría mejorarse. Al redactar la discusión, se deben tener presentes los hechos evidentes que se presenciaron a lo largo del experimento. En general, este apartado le permite al alumno acostumbrarse a razonar y expresar lo que aprendió durante el experimento.

Bibliografía: en esta sección se presenta el material consultado para la elaboración del informe. Se puede hacer referencia a libros de texto, tesis, artículos de investigación y difusión, páginas de internet, entre otros.

Estructura de un informe técnico

Un informe técnico se define como la exposición escrita de datos o hechos acerca de un asunto o examen técnico, o sobre lo que conviene hacer del mismo. Dicho de otra manera, es un documento que describe y explica, a detalle, el progreso y los resultados de una investigación técnica o el estado de conocimiento de un problema técnico. Un informe de este tipo debe presentar sistemáticamente inform ación suficiente para que un lector calificado pueda juzgar, evaluar o proponer modificaciones a sus conclusiones y recomendaciones.


Parte inicialUn informe técnico debe contener los siguientes elementos en el orden que se indica a continuación:

Cubierta: además de proporcionar protección física al informe, la cubierta exterior sirve para dar la presentación inicial. Por ello debe ser clara, distintiva e informativa. La información que a continuación se indica es la que debe aparecer en la parte exterior de la cubierta:

Nombre y datos de la institución.Título y subtítulo del informe.Nombre del autor.Fecha.

Portada: la portada de un documento es la fuente mínima de inform ación bibliográfica para su tratam iento y recuperación eficientes. Por ello, es esencial que cada informe induya una portada. Excepto cuando la portada sustituya a la primera página de la cubierta, no es necesario que ocupe una página completa Por razones de economía, puede ocupar un espacio de cabecera antes del resumea Cuando un informe se publica en dos o más partes, cada parte debe contener una hoja en la que se indique el título y número de paite: esta lioja sedenomina portadilla *

Resumen: cada informe contiene un resumen que se presenta inmediatamente después de la información de la portada. Cuando el resumen figura en una página separada, debe ir seguido de la identificación bibliográfica completa: autor, título, datos de la institución y fecha de publicación. Además, el texto del resumen debe:

Ser tan informativo como lo permita la naturaleza del documento.Definir el objetivo, métodos, resultados y conclusiones presentados en el documento original.Constituir un texto completo y ser conciso.Tener máximo 250 palabras.Estar escrito en un solo párrafo.Emplear frases concretas, verbos en forma activa y tercera persona.No utilizar figuras y símbolos como tablas cortas y fórmulas, salvo que sean indispensables.Emplear una nomenclatura normalizada o definir los términos no familiares, asícomo las abreviaturas y los símbolos.

Si el informe se publica en varios volúmenes, cada uno lleva su propio resumen, especificando, si fuera necesario, su relación con los otros volúmenes. FJ resumen va seguido de las palabras clave, es decir, las palabras más importantes que describen el trabajo y que sirven para indexarlo en buscadores o catálogos científicos y facilitar su búsqueda.

índice: el índice es un elemento esencial de todos los informes, salvo de los muy cortos. Debe figurar inmediatamente después del resumen y consta de los títulos de las principales subdivisiones del informe y los anexos, junto con el número de páginas en

Cuerpo del informe 123

las que aparecen. También incluye una lista de ilustraciones y de tablas. Cuando un informe se publica en dos o más partes, en cada una de éstas debe aparecer el índice que las abarque a todas.

Glosario de signos, símbolos, unidades, abreviaturas, acrónirnos o términos técnicos: cuando el informe contenga este tipo de elementos que quizá no sean comprendidos por algunos lectores, deben definirse en una lista después del índice. La existencia de esas listas no justifica la omisión de una explicación de esos símbolos cuando aparezcan por primera vez en el texto.

Prefacio: puede considerarse como una nota de presentación para definir el estudio, destacar algún aspecto en particular, mostrar su relación con trabajos realizados o trazar las circunstancias históricas que condujeron a su iniciación. Sin embargo, no siempre es necesario.

Cuerpo del informeConsta de los siguientes apartados y en el orden que se indica a continuación:

Introducción: aquí se establecen brevemente el alcance y los objetivos del trabajo y su relación con otros trabajos y el enfoque general. No se debe repetir o parafrasear el resumen, ni dar detalles de la teoría experimental, métodos o resultados, ni tampoco anticipar las conclusiones o recomendaciones. Si no hay prefacio, la información que podría figurar en este debe incluirse aquí.

Cuerpo principal: el núcleo del informe se divide en capítulos numerados que cubren aspectos tales como teoría, método, resultados y discusión. A menudo es conveniente dividir los capítulos en apartados y estos en subapartados, cada uno con su propio encabezado.

1.a información plasmada en el cuerpo del informe no es demasiado detallada. Las descripciones de la teoría, métodos y resultados deben ser suficientes para que un especialista en la materia reproduzca las etapas de la investigación sin dificultad. Si se requieren pruebas matemáticas o detalles completos del procedimiento experimental, estos se presentarán en los anexos. Todas las ilustraciones y tablas esenciales para la comprensión del texto principal se incluyen en este apartado.

Conclusiones y recomendaciones: las conclusiones son el reflejo de las deducciones hechas a partir del trabajo descrito en el núcleo del informe. Pueden incluirse datos cuantitativos, pero no darse detalles de ningún argumento o resultado. Las recomendaciones son manifestaciones concisas para acciones futuras, resultado directo de las conclusiones alcanzadas o de alguna experiencia en el curso del trabajo. Las recomendaciones no son estrictamente necesarias y, de incluirse, deben estar justificadas por completo en el trabajo descrito.

Agradecimientos: pueden incluirse agradecimientos relativos a ayudas en la realización del trabajo y en la preparación del informe: no es habitual agradecer las contribuciones tales como un control de rutina o una recomendación de tipo general.


Referencias: al final del cuerpo del informe se incluye una lista de las fuentes bibliográficas utilizadas para que el lector pueda identificar con rapidez las obras de donde se obtuvieron las citas, evocaciones y, en general, todo el apoyo utilizado para su elaboración. L o s e le m e n to s de to d a s la s r e f e r e n c ia s bibliográficas se dan en el orden general:

Autor.Título.Datos de la publicación (editorial, ciudad, fecha, páginas, entre otros).

Las referencias pueden enlistarse de acuerdo con dos criterios distintos:

En orden alfabético del apellido del primer autor. Cuando hay dos o más referencias de un mismo autor o grupo de autores, éstas se dan en orden cronológico. Las referencias en el texto incluyen el nombre del autor o autores, la fecha de publicación y, cuando se requiera, el número de la página (citas por nombre/fecha).Por orden de aparición en el que se citan en el texto (referencias numeradas).

Por razones prácticas se considera preferible la primera forma.

AnexoDeben considerarse por separado de la p a rte fin a l, d e sp u és d e l cu e rp o de tex to , deb ido a q u e , au n q u e no s iem p re se requieren, forman parte esencial de algunos informes.

Objetivo de los anexosLos anexos se usan para presentar material que:

Es necesario para completar el texto, pero que si se inserta en el cuerpo del informe puede alterar la presentación ordenada y lógica del trabajo.No puede ser colocado adecuadamente en el cuerpo del informe debido a su tamaño o al método de reproducción utilizado.Puede ser omitido por el lector ordinario, pero ser valioso para el especialista en la materia.

Tipos de anexosLos posibles tipos de materiales que se incluyen como anexos son:

1. Ilustraciones o tablas suplementarias: las figuras o tablas que no se necesitan para una comprensión inmediata del texto, pero proporcionan ejem plos com plem entarios, deben colocarse en los anexos.

2. Material especial: algunos documentos no pueden ser incorporados fácilmente en el cuerpo del informe por ser demasiado grandes (ilustraciones y tablas, por ejemplo) o porque fueron reproducidos en un formato diferente al informe (por ejemplo mapas, fotografías originales o microfichas). Este material se maneja con más facilidad si se integra en un anexo.

Pane final 125

3. Bibliografía sugerida: una bibliografía suplementaria de textos no citados en el informe, pero considerados de interés para el lector, puede constituir un anexo. Deben indicarse los criterios con los que se ha seleccionado la bibliografía (por ejemplo, si ésta es exhaustiva, selectiva o general, entre otras).

4. Descripción de equipos, técnicas o programas de computadora: La descripción detallada de equipo nuevo, técnicas innovadoras o programas de cómputo de reciente creación utilizados en los estudios y que hayan sido objeto del informe, no deben figurar habitualmcntc en el cuerpo del mismo. Si esta descripción no constituye un informe por separado, puede ser útil incluirla como anexo.

Numeración de los anexos

Los anexos suelen identificarse con letras mayúsculas consecutivas. Ejemplo: Anexo A. Anexo B.

Los anexos se consideran entidades independientes. Deben manejar por separado sus elementos con una numeración independiente que inicie en cada anexo es decir, cada número irá precedido por la letra correspondiente al anexo. Ejemplo: Anexo B. subapar- tado B .l .l , Figura B.9, Tabla B.5, Ecuación B.14.

Referencia en los anexos

Las fuentes que se citan en los anexos deben tratarse independientemente de las del cuerpo del informe y listarse por separado al final de cada anexo. La forma de las citas y el método de ordenar las listas de referencias en los anexos deben ser iguales a los que se utilizaron en el cuerpo del informe.

Parte finalContiene los siguientes elementos en el orden que se indica:

1. Hojas de datos del documento: para proporcionar un acceso rápido al informe en los sistemas de recuperación automatizados, la última página de cada informe o parte de este, debe ser una hoja de datos del documento donde figure la información bibliográfica de manera que sea identificada con facilidad por quien introduce los datos.

2. Lista de distribución y disponibilidad (si se requiere): puede incluirse una lista de los destinatarios del informe, ya sea en una página separada, o bien, en el interior de la cubierta posterior (página 3 de la cubierta).

3. Cubierta posterior, el interior de la cubierta posterior (página 3 de cubierta), se utiliza para incluir una lista de distribución. La parte exterior de la cubierta posterior (página 4 de la cubierta), se usa para incluir el nombre y dirección del impresor o cualquier otra información, tal como el número de almacenamiento. En ocasiones se deja en blanco.


Estructura de un informe y/o artículo científico

En esta sección se presenta al lector la estructura general de un informe científico. Para lograr esto, se resume lo que debe incluirse en cada sección del informe y cómo tiene que presentarse la información. Es de utilidad pensar en un experimento (y en un informe experimental) en términos de preguntas y respuestas. 1.a parte inicial del informe (introducción) plantea la pregunta a resolver, al igual que los motivos para plantearla. La sección del método especifica los sujetos, instrumentos y procedimientos utilizados para contestar la pregunta. La respuesta a la pregunta se presenta en la sección de resultados y la sección de discusión indica qué tan acertada fue la respuesta.

PortadaEn la primera página del informe se escribe el título del trabajo; ésta no va numerada y sólo contiene:

El título: determina si alguien leerá o no el artículo, por ello debe indicar claramente de qué trata el trabajo de investigación. Aunque no es fácil definir las características que hacen a un título apropiado, se pueden aplicar ciertas reglas: 1) procurar que sea lo más corto posible, pero sin sacrificar la precisión: 12 a 15 palabras es generalmente el máximo; 2) no empezar con las frases “un estudio d e ...” o “ un experimento sobre...” ya que esto está implícito; 3) no iniciar con frases como “los efectos de

Nombre y apellidáis) de los autores: pueden ir acompañados de sus grados académicos más importantes y su afiliación institucional. Todas las personas designadas como autores deben cumplir con ciertos requisitos para tener derecho a la autoría. Cada autor debe tener una participación suficiente en el trabajo para asumir la responsabilidad pública por su contenido. Para concederle a alguien el crédito de autor, hay que basarse únicamente en su contribución esencial por lo que se refiere a; 1) la concepción, el diseño del estudio, el análisis y la interpretación de los datos; 2) la redacción del artículo o la revisión crítica de una parte importante de su contenido intelectual; y 3) la aprobación final de la versión que será publicada. Los requisitos 1, 2 y 3 tienen que cumplirse siempre.

La participación de alguna(s) pcrsona(s) en la obtención de financiamicnto y/o colecta de datos no es suficiente para conceder el crédito de autor. La superv isión general o liderazgo de un grupo de investigación tampoco es mérito suficiente para considerar a la persona como autor. En un artículo con colectivo de autores se especifica quiénes son las personas principales que responden por el documento; a los demás individuos que colaboran en el trabajo se les concede el reconocimiento en los agradecimientos.

Nombre del departamento o departamentos y la institución o instituciones a quien se atribuye el trabajo.

Declaraciones de descargo de responsabilidad: si las hay.

Nombre y dirección del autor que se ocupa de la correspondencia relativa al manuscrito.

Nombre y dirección del autor a quien se dirigirán las solicitudes de sobretiros.

Resumen 127

Origen del apoyo recibido en form a de subvenciones, equipo y/o consumibles.

Título corto (titulillo): no debe ser mayor a 40 golpes (contando caracteres y espacios), y se coloca debidamente rotulado en la última línea de la página inicial como pie de página.

ResumenEl propósito del resumen es orientar sobre el tema del estudio y proveer la información suficiente para que el lector decida leer el trabajo completo. Así. el resumen debe reflejar en forma concisa los contenidos del artículo. Como es la primera parte del documento que va a ser leída, necesita atraer el interés del lector. De hecho, debe constar de todas las secciones del artículo: introducción (propósito y razón para hacer el estudio); materiales y métodos (cómo fue colectada y analizada la información); resultados (hallazgos) y conclusiones (qué se puede obtener del estudio).

El resumen se escribe en una hoja separada y en su elaboración se deben tener algunos cuidados; por ejemplo, las abreviaturas utilizadas en el artículo no deben usarse a menos que también se expliquen. Se escribe en tiempo pasado, dado que describe un estudio que ya fue terminado y no debe contener tablas, figuras o referencias bibliográficas. Debe ser completo y explícito, ya que además de ofrecer al lector de la revista en que se publica una visión panorámica, podría aparecer en un segundo Journal y en otros, o quedar almacenado electrónicamente en un banco de información en los índices de las bibliotecas, índex Citation y Currents Contents, entre otros.

Por lo general, la información para la preparación de los resúmenes está incluida en la guía de autores de la mayoría de las revistas. Cada revista marca determinadas características, aunque comúnmente son similares. Si se empican de manera adecuada estas guías, los lectores deben ser capaces de identificar el objetivo básico del trabajo, determinar si es relevante para sus intereses y, por lo tanto, decidir leerlo en su totalidad. En general, siga estas pautas al preparar el resumen:

La página del resumen se numera con el número 1 en el ángulo superior derecho.

La extensión deber ser corta: de 150 a 200 palabras.

La primera oración debe expresar el problema investigado o el propósito del experimento.

I^as siguientes oraciones tratarán sobre la metodología, pueden incluir una descripción de la población de sujetos (número, especie, edad, sexo, peso o todo lo que sea importante para el experimento), el planteamiento de la tarea y/o instrumentos y, cuando sea adecuado, pueden indicar el procedimiento o diseño.

Después deben exponerse los resultados de forma general, sin incluir los resultados de pruebas estadísticas.

Las últimas oraciones deben dar al lector alguna indicación del contexto en el que se comentaron los resultados (por ejemplo, qué teoría apoyan).


A continuación del resumen se agregan, debidamente rotuladas, de tres a 10 palabras o frases cortas que ayuden a los indi /adores a clasificar el artículo. Estas palabras o frases clave se publican junto con el resumen.

IntroducciónEl cuerpo principal del informe experimental comienza con la introducción. Por acuerdo, la introducción inicia el informe y no es necesario rotularla. Sin embargo, en algunos casos el título se repite en el encabezado de la primera página de la introducción. Una introducción bien escrita gana y retiene la atención del lector, lo convence de que el material es importante e interesante y de que vale la pena continuar con la lectura. Se recomiendan tres consideraciones básicas al escribir la introducción:

¿Cuál es el objetivo principal del experimento?, ¿cuál es el problema que trata deresolver?

¿Cómo se relaciona el experimento con otras investigaciones en el área?

¿Cómo contribuyen los métodos y el diseño que se están utilizando a solucionar elproblema?

Es importante abarcar de manera clara y concisa cada uno de estos puntos. Si usted tiene dificultad para hacerlo, puede preguntarse, en primer lugar, por qué realizó el experimento (con frecuencia estas preguntas deben contestarse antes de realizar un estudio).

Estructura generalAl escribir la introducción se procede de la siguiente manera. Primero se dan algunas descripciones generales acerca de la problemática planteada. Es preciso continuar con el análisis, una revisión bibliográfica del trabajo que otras personas han realizado en esta área y se requiere leerla previamente. Esto permite incluir comentarios sobre los experimentos y de las teorías utilizadas en el área. Posteriormente, hay que indicar cómo se relaciona el trabajo con otras investigaciones; es decir, ¿cómo es que los métodos y procedimientos generan información novedosa que otras investigaciones no han aportado? Esta sección presenta la exposición razonada de motivos y la lógica que apoyan el experimento. El último párrafo debe presentar la hipótesis que se sometió a prueba en la investigación.

ExtensiónLa extensión de la introducción está determinada por la bibliografía que se haya consultado. La revisión de la misma, utilizada en la introducción, no necesita ser exhaustiva, pero si representativa. Con excepción de pocas referencias generales al principio de la introducción, los estudios citados deben estar directamente relacionados con la investigación realizada. Es decir, primero se toman en cuenta los estudios de interés general, pero la revisión se centra en experimentos muy particulares.

Las introducciones son breves, de una a dos cuartillas máximo. La excepción a esta regla se da en caso de estudios muy complejos o que utilizan una metodología con la que la mayoría de los lectores no están familiarizados.

Extensión 129

Citas bibliográficas

Al redactar la revisión de la bibliografía hay que recordar un aspecto muy importante: si se hace una afirmación es preciso documentarla; es decir, se deben citar los estudios que sustentan cada punto de vista. En la escritura científica las notas a pie de página no son apropiadas; en lugar de ello, la referencia se da directamente en el texto.

Materiales y métodos

El propósito de esta sección es asegurar que el lector tenga la suficiente información para evaluar el diseño científico del estudio y notar su solidez o sus deficiencias. Sin embargo, si se trata de incluir cada detalle del procedimiento, se escribirá una tesis y no un artículo o reporte de investigación claro, conciso, completo y bien organizado. Se debe procurar que la lectura sea rápida, precisa y comprensible. Asimismo, se debe hacer todo lo posible por ayudar al lector a comprender rápidamente el material y cualquier concepto que pueda crear confusión debe evitarse o eliminarse. Si cuando el autor relee el material, este no es claro y conciso, debe reescribirse. Prácticamente, siempre es necesario hacer modificaciones, reorganizaciones o cambios en la redacción, aun para el autor más experimentado.

Otra consideración al redactar esta sección es determinar cuántos detalles técnicos son suficientes. Si el estudio utiliza una técnica básica que ha sido presentada previamente, no es necesario incluir una descripción completa de la técnica en el artículo. Sin embargo, si el procedimiento ha sido modificado, entonces la técnica básica debe ser referida y la modificación presentada. Finalmente, si el estudio utiliza un procedimiento nuevo, que además es bastante extenso, lo mejor es presentarlo en un artículo aparte. Este puede ser sometido para su publicación en la misma revista, o en otra revista relacionada con procedimientos científicos específicos. Deben presentarse suficientes detalles a los lectores para que puedan evaluar las fuentes potenciales de sesgo en los resultados. Además, deben existir suficientes detalles para ayudar a otros investigadores a evitar errores y esfuerzos innecesarios.

Es necesario que la sección sea clara y específica en la medición de los resultados. ¿Las mediciones son objetivas o subjetivas? Por ejemplo, medir variables cualitativas subjetivas como el dolor en categorías de ligero, moderado y severo, ciertamente no es muy exacto. Por consiguiente, debe establecerse clara y específicamente cómo determina el autor cada categoría. Además, se debe ser sumamente claro en cuanto a los rangos específicos asignados a las medidas subjetivas y establecer cómo y por qué son asignados así. Por ejemplo, si a ligero se le da un rango numérico de 1 y al moderado de 2, es obligatorio presentar diferencias específicas entre 1 y 2. Es aún más imperativo que si esos números y numerales van a ser utilizados en análisis estadísticos, sean usados adecuadamente. También debe recordarse que aun medidas tales como 1, 2 o 3 mm son solo unidimensionales.

Se debe presentar de manera específica qué controles fueron usados en el estudio, ¿control positivo o control negativo? Si una técnica común fue utilizada como un control base, ¿fue verdaderamente parte del estudio, o se están tomando datos de otros estudios? Además, debe especificarse cómo fue llevada a cabo la aleatoriedad. Esto debe hacerse con cada variable estudiada. La mayoría de los libros de estadística describen, en concreto, cómo se realiza la selección aleatoria adecuadamente. Si se usa una tabla o técnica


específica, entonces ha de establecerse y anotarse. Asimismo, debe incluirse cómo fue realizado el análisis estadístico de los datos. Por lo general, es mejor citar un libro de texto si los detalles sobre el método utilizado son necesarios.

Al investigador principiante se sugiere dividir esta sección en cuatro subscccioncs: sujetos o unidades de observación; aparatos c instrumentos; procedimiento; y diseño.

Sujetos o unidades de observaciónEl primer paso es indicar al lector las unidades de observación (personas, animales o cosas) que se utilizaron en el experimento:

1. Señalar a los participantes en el estudio (por ejemplo, los sujetos fueron 25 hombres y 30 mujeres, o los sujetos fueron 25 ratas albinas, 200 piezas de la producción de tornillos de una fábrica, entre otros).

2. Indicar las características generales de los sujetos. En el caso de personas y animales: edad, género, raza y cualquier otra información que pueda ser importante. Por ejemplo, si el estudio incluye a estudiantes universitarios, mencionar cuántos fueron del primer año, cuántos del segundo y así sucesivamente. En el caso de objetos, describir sus características generales, condiciones de fabricación, lote y fecha de producción, especificaciones, entre otras.

3. Mencionar cómo se hizo el proceso de selección a los sujetos. ¿Se seleccionaron aleatoriamente, fueron voluntarios, intervinieron como parte de los requisitos de un curso?

4. Indicar si uno de los sujetos no terminó el estudio y explicar los motivos (por ejemplo: “el sujeto no terminó el experimento por enfermedad”).

5. Si en lugar de personas se utilizaron animales en el experimento informe acerca de la edad, sexo, peso, raza y condiciones de mantenimiento de los animales (por ejemplo: “los animales se mantuvieron en parejas y se les suministró agua y alimento a voluntad, o se mantuvo a los animales individualmente y se les privó de alimento durante 23 horas al día”). Si se utilizaron objetos, es prudente mencionar sus características: modelo, marca, país de fabricación y todo lo que pueda ser útil en el momento de analizar los resultados.

Aparatos o instrumentosEste apartado debe incluir la descripción de cualquier equipo, dispositivo y material utilizado para conducir el estudio.

Cuando se utiliza un equipo estándar basta con dar el nombre, número del modelo y fabricante (por ejemplo: “se utilizaron tres cámaras operantes Lafayctte, modelo # 85205”).

Cuando se ha usado equipo construido por uno mismo, es necesario hacer una descripción más completa indicando las dimensiones y los materiales empleados; por lo general, un diagrama es muy útil en este caso.

Diseño 131

No es necesario especificar el equipo común como lápices o papel. La descripción: “se utilizó un lápiz del número dos. amarillo, de 12 cm de largo y con punto mediano para registrar las respuestas”, es entrar en detalles innecesarios.

Se debe decir para qué se utilizó cada parte del equipo; no simplificar la lista.

ProcedimientosEl propósito de esta sección es explicar, a detalle, cómo se recopilaron los datos, de tal manera que quienes no tienen antecedentes del experimento puedan repetirlo. Al escribir acerca del procedimiento deben contestarse dos preguntas básicas:

¿Cómo se administró la variable independiente? (Es decir, ¿qué hizo?).

¿Cómo se registró la variable dependiente? (Es decir, ¿cómo registró lo que hizo elsujeto, el objeto o procedimiento?).

Administración de la variable independiente: si los sujetos fueron personas, describa cómo se les trató. En la mayoría de los casos esto incluye una explicación de las instrucciones dadas a cada grupo (es adecuado transcribirlas) y una definición de la tarca que se pidió a cada sujeto. Si se utilizaron sujetos animales, solo describa la tarea que realizaron. Si la tarca es muy común bastará con nombrarla. Por ejemplo: “para accionar la palanca se entrenó a las ratas con el método de aproximaciones sucesivas”. Si la tarca es nueva, es necesario describirla exactamente; preséntelo como un conjunto de instrucciones, pero en tiempo pasado. Si se trata de objetos, describa qué fue lo que se modificó y cómo se realizó la variación.

Registro de la variable dependiente: es una descripción de cómo se recopilaron los datos. Si los datos de interés fueron el número de veces que la rata accionó la palanca en un lapso de 10 minutos, indique si usted los contaba o si se contaban automáticamente. Si se contabilizó el número de veces en que dos niños de tres años de edad tuvieron contacto mutuo durante un juego, debe indicarse si la observación se realizó de manera directa o si se hizo el registro a partir de un video. Si se observaron varias conductas simultáneamente: el número de veces que los niños tuvieron contacto y el número de veces que hablaron, cerciórese de especificarlo. Si se trata de objetos describa cómo se realizaron los registros de la variable del objeto; por ejemplo, si se midió el diámetro y largo de los tomillos, mediante qué instrumento y si fue de manera manual o automática, si lo realizó un solo operador o varios, etcétera.

DiseñoEsta sección puede situarse antes o después de los procedimientos. Por lo general, las secciones de diseño no están separadas en los artículos publicados; más bien, el material se distribuye entre las otras partes de la sección de método. Pero es importante que el nuevo escritor use una subsección de diseño a fin de proporcionar explícitamente cierta información.

Indicar el tipo de diseño utilizado, ya sea un diseño de dos o tres grupos aleatorios, de dos grupos en parejas, un diseño intrasujetos o correlacional, o cualquier otro.


Explicar cuántos sujetos se asignaron a cada grupo y de qué manera (aleatoriamente o de otra manera).

Indicar el nombre de cada uno de los grupos. Si todavía no lo ha hecho, este es el momento indicado para introducir cualquier abreviatura que haya utilizado como nombre para los grupos.

Comentar cualquier procedimiento de control utilizado (por ejemplo, una aleatoriedad o contrabalanceo).

Plantear cuáles fueron las variables independientes y dependientes y cómo se definieron operacionalmente.

Advertencia: un error frecuente incurren los estudiantes principiantes al escribir la sección de método es excederse en detalles. No es necesario indicar que la puerta de la jaula se abrió, salió la rata, se cerró la puerta y la rata se quedó en el extremo derecho del laberinto. Bastará una oración más corta para mencionar únicamente los datos competentes al experimento. Es difícil establecer reglas precisas respecto a cuántos detalles son suficientes, pero no tendrá problemas si utiliza el sentido común y se pregunta: ¿podría alguien más realizar este experimento, del mismo modo, sin nada más que la sección de materiales y métodos?

Observación sistemáticaLa mayor parte de la investigación toma la forma de los experimentos; así también los intereses del investigador pueden requerir que recopile información al hacer una observación sistemática. Por lo general, las observaciones sistemáticas toman una de dos formas: observación naturalista o estudios correlaciónales.

En la observación naturalista el investigador simplemente observa la conducta de un organismo. La tendencia es observar al sujeto en un ambiente natural, aunque se hacen observaciones en ambientes modificados o artificiales; además, es común tener una influencia moderada mientras se recopilan los datos (es decir, tratar que la presencia del investigador no afecte la conducta del organismo). Por ello, la metodología de la observación naturalista es muy diferente a la de un experimento. En esta última, el investigador controla directamente un factor (la variable independiente) y observa los efectos de este control en un segundo factor (la variable dependiente); por lo tanto, no es apropiado comentar cómo se administró la variable independiente o cómo se registró la variable dependiente. En cambio, la sección de método de la observación naturalista debe describir la conducta que el investigador observó y cómo registró la frecuencia, duración, magnitud, entre otros aspectos. Luego de especificar las condiciones en las cuales se recopilaron los datos, debe describir cómo observó la conducta de interés. Lo importante es, tal como en un experimento, que proporcione la suficiente información para que alguien totalmente ajeno a su observación pueda aplicarla después de leer la sección de métodos.

Un segundo tipo de observación sistemática es el estudio corre lacional. Aquí, como en el caso de la observación naturalista, el investigador no controla nada (no hay variable independiente); en cambio, selecciona a los sujetos que tienen el atributo que le interesa estudiar. Al igual que en el caso de un experimento, la subsección de procedimiento debe describir cómo se administró y se calificó la prueba. 1.a manera en que seleccionaron los sujetos se incluye en la sección de sujetos, y la prueba utilizada en la sección de instrumentos. Es importante proporcionar suficientes detalles para que cualquier persona pueda aplicar el estudio.

Observación sistemática 133

La introducción y las descripciones de los sujetos e instrumentos tienen la misma estructura, ya sea para informar respecto a un experimento o a una observación sistemática. El objetivo del método tiene el mismo propósito general: detallar cómo el procedimiento para la realización del estudio, aunque en una observación sistemática no es apropiado hablar de variables independientes y dependientes. La descripción del diseño es diferente en una observación sistemática, debido a que se utilizan diferentes tipos de procedimientos de control, pero su propósito general continúa siendo el mismo.

Resultados

Los resultados de un artículo científico constituyen, usual mente, la sección más corta del documento. A pesar de la brevedad relativa, sin duda son el núcleo y la parte más importante del manuscrito porque se incluyen los datos que resultan de la investigación. Esta sección debe ser escrita en forma clara y sencilla porque los resultados de la fase experimental de un estudio constituyen la nueva verdad, la nueva información, o los nuevos principios que el investigador presentará a sus colegas profesionales, a la comunidad científica y, en general, al resto del mundo como su aportación.

La respuesta de tres cuestiones fundamentales puede ser de gran ayuda para obtener selectividad y discriminar de manera correcta:

¿Este tema o estos datos son necesarios?

¿El tema o los datos pertenecen a la sección de resultados?

¿Todos los temas necesarios están incluidos?

La presente guía puede prevenir al escritor para no caer en algunos errores comunes. La nueva evidencia deberá ser descrita tan eficientemente como sea posible. Presente sólo los datos informativos y evite usar datos repetitivos. Aunque los datos numéricos sean presentados en forma más eficiente en tablas y gráficas, si solo son reportadas pocas determinaciones, colóquelas descriptivamente en forma narrativa. El texto no debe presentar más que diferencias entre grupos. Un ejemplo de esto es el reporte de valores medios de grupos y una apropiada evaluación estadística de las diferencias. No es necesario dar el cálculo estadístico en forma tabular, pero sí es importante presentar determinaciones repetitivas, las cuales deberán estar en gráficas o en tablas. Es imperativo que todas las determinaciones reportadas tengan un significado. Señalar los datos sobresalientes y evitar los datos superfluos. Donde sea posible, conviene conectar un resultado con otro, lo cual permite establecer lo que no fiie encontrado bajo las condiciones del experimento.

Muchos autores parecen impulsados a reportar datos que son estadísticamente no significativos y a volcar la no significancia en pseudosignificancia. Frases que resuman datos presentados en las tablas deben escribirse en términos inequívocos de significancia estadística. Es esencial no hacer énfasis en hallazgos insignificantes: además, se debe evitar el uso de afirmaciones como: “tiende a ser mayor” o “mostró una tendencia significante”. Una vez que el nivel de confianza estadística ha sido establecido para el estudio en el protocolo, los resultados que no alcancen ese nivel de confianza, sin importar qué tan cerca estén, deben considerarse no significativos estadísticamente. Encubrir esa falta de significancia con frases tendenciosas es un mal servicio para el lector y denigra al


investigador, e incluso a los autores. A menudo esas frases son interpretadas como una afirmación importante y asumen, entonces, las proporciones de una verdad. Si la integridad de la investigación científica se desea mantener, los autores deben ser sinceros en los resultados y coherentes en lo que escriben. El compromiso con los valores óticos debe aprenderse y mantenerse, ya que investigar y descubrir es servir como vehículo para el progreso humano y el avance del conocimiento.

TextoDespués de que ha explicado por qué y cómo hizo su experimento, es tiempo de llegar a las partes más importantes del informe: los resultados del estudio (en la sección de resultados) y su interpretación (en la sección discusión). Como en el caso de otros aspectos del informe, los resultados deben escribirse en forma de párrafos. No basta tabular o enlistar los datos, aunque puede (y en ocasiones debe) hacerse en tablas y figuras para complementar el material escrito. La sección de resultados debe presentar los datos recopilados, los métodos estadísticos utilizados para analizar los datos y los resultados del análisis estadístico. Las siguientes sugerencias son aplicables al escribir esta sección:

Presentar los datos de manera resumida. En la mayoría de los casos es incorrecto mostrar datos preliminares (los puntajes de cada sujeto). Es mejor exponer un resumen de los datos de cada grupo, por lo general la media con su desviación estándar.

Antes de presentar los resultados de un análisis estadístico, es conveniente explicar al lector por qué se realizó dicho análisis (por ejemplo: “se realizó una prueba para determinar si la media de un grupo era significativamente diferente a la de otro grupo").

Al informar resultados de análisis estadísticos ha de utilizarse este formato:

/(56) = 2.76. p < 0.05

Aquí, la / se refiere a la prueba estadística utilizada, 56 grados de libertad (gl), 2.76 el valor de / y 0.05 de probabilidad de un error tipo 1 (nivel de significancia). El signo (<) significa menor que, es decir, la probabilidad de un error tipo 1 es menor que 5 en 100 y, por lo tanto, la diferencia entre los dos grupos es significativa al nivel 0.05 (si la probabilidad del error tipo 1 es mayor que 5 en 100, tendría que escribir p >0.05).

Tablas y figurasA menudo las tablas y figuras agregan claridad al informe. Estas se utilizan para presentar los datos de manera resumida a fin de que el lector tenga un panorama de los resultados con solo mirarlos. También son útiles para aclarar datos extremadamente complejos y difíciles de manejar por escrito. Las tablas y las figuras deben tener un título que describa de manera clara los datos que contienen y todas sus partes deben identificarse con facilidad.

Discusión 135

Integración de tablas y figuras dentro del textoCada tabla o figura debe referirse en el texto. Por ejemplo, en la sección de resultados puede exponen “I-a figura 1 se refiere a ... ", o: “ I-a tabla 6 muestra..." . Al final del párrafo en el que se hace referencia a una figura o tabla, escriba:

Entra figura 1

Esto indica en dónde entra la figura o tabla. La figura o tabla real se incluye al final del informe; cada una de ellas se coloca en una página separada.

RecomendacionesR eseñar tos comentarios para la sección de discusión: no comentar la importancia o repercusiones de los resultados en la sección de estos. Si se hace, no habrá nada que reportar en dicha sección.

Presentar únicamente resultados significativos: evitar hablar de las diferencias entre los grupos si éstas no son significativas. Aun cuando las medias de los grupos difieran, si la diferencia no es significativa es preferible omitir su mención.

No confundir lo no significante con lo insignificante: no significante es un término estadístico (una prueba t indicó que la diferencia entre las medias no es significativaX en tanto que insignificante es un juicio de valor. No existen resultados insignificantes (aunque puedan ser no significativos), solo hay experimentos insignificantes.

Indique los datos con exactitud: no modificar los valores de la media que tiene como dato original. Por ejemplo, si se quiere medir el tiempo de reacción en décimas de segundos (como en 10.6 segundos), no se debe informar que el grupo A tuvo un tiempo medio de reacción de 10.5632 segundos.

Discusión

Esta sección es la más difícil de definir debido a que no hay reglas absolutas que deban seguirse para escribirla. Sin embargo, hay algunos puntos que deben ser incluidos en la discusión, los cuales no necesitan estar en un orden particular y pueden estar intercalados para mejorar la capacidad de lectura. El propósito de la discusión es:

Interpretación de análisis estadísticos: el camino más directo para exponer esta sección es determinar si los resultados apoyan o no la hipótesis inicial (los resultados no prueban o desaprueban algo). Si los datos apoyan o no la hipótesis, entonces bastará una simple oración al respecto. Sin embargo, para el investigador principiante este no es caso común, ya que en muchas ocasiones es difícil interpretar los datos debido a fallas en el estudio. Un experimentador profesional termina el experimento al hacer las modificaciones que su experiencia dicta necesarias, pero un estudiante no tiene antecedentes, por lo que es su responsabilidad comentar las fallas y explicar cómo podrían corregirse en estudios subsecuentes. Por ejemplo, durante su investigación podría tener ciertas dificultades para controlar determinada variable (demasiado ruido en el pasillo durante el experimento) o quizá tuvo problemas con los instrumentos.


Los problemas de este tipo no necesariamente invalidan el experimento, pero es responsabilidad del autor informar sobre ellos y dar al lector una idea de las interrupciones ocurridas. Incluso el mejor experimento puede perfeccionarse, también es difícil admitir y reconocer un defecto y reportar una falla; sin embargo, por lo general esto demuestra que se es un investigador cuidadoso y perceptivo.

Implicaciones de los resultados y comparación con investigaciones anteriores: si se cuenta con datos limpios (por ejemplo, resultados estadísticamente significativos y sin confusión en las variables), el siguiente paso es exponer las im plicaciones de estos. Una manera de lograrlo es com entar sus datos en términos de las teorías existentes, ¿qué teorías apoyan los datos? ¿Con cuáles difieren? Un experimento no formula o anula una teoría, pero es importante ubicarlo en una perspectiva teórica. En esta parte del informe pueden compararse los resultados con los de estudios previos. ¿Son congruentes sus resultados con los de otros investigadores? Si no lo son, ¿por qué? ¿Hubo alguna modificación en el procedimiento que pudo haber causado tal diferencia? Rara vez el investigador puede proponer una nueva teoría con base en un solo experimento. En general, un experimento no basta para apoyar una nueva teoría; sin embargo, con base en los datos se puede sugerir una modificación a una teoría existente.

Sugerencias para investigaciones futuras: un aspecto importante de la sección de discusión es sugerir qué experimento (o experimentos) se podrían hacer después. La propuesta no debe ser muy detallada. Una breve oración que inicie con la frase: “Futuras investigaciones podrían...” o “Estudios subsecuentes podrían investigar...” es suficiente.

SugerenciasExplique los resultados no significativos: si realiza bien un experimento y observa que la variable independiente no tuvo un efecto significativo, entonces se obtuvieron resultados negativos. Sin embargo, esto no necesariamente significa que los resultados sean insignificantes. Con frecuencia los resultados negativos aportan información tan útil como la que aportan los hallazgos positivos. Como se mencionó, a los resultados negativos se les debe dar la misma importancia que a los resultados positivos. Conviene escribir acerca de ellos en términos de cómo afectan la hipótesis inicial, qué tan adecuados son para teorías existentes o si sugieren una nueva teoría, cómo se relacionan con investigaciones previas y cómo podrían utilizarse para sugerir nuevas investigaciones. Hay que evitar justificar los resultados negativos, es decir, dar excusas por haberlos obtenido. Antes de atribuir los resultados negativos solo a la falla de los instrumentos o a un diseño deficiente, aunque en ocasiones dichos factores pueden influir, a menudo simplemente debe reconocerse que el experimento fracasó (es decir, que la variable independiente no produjo una diferencia).

Evitar analizar los resultados no significativos: una manera de identificar las variaciones no significativas es cuestionarse si. en caso de realizar nuevamente el experimento, la diferencia entre los dos grupos podría ser nula o lo contrario de la diferencia

Referencias bibliográficas 137

original. Algunos investigadores señalan que, aunque las diferencias no son significativas, éstas se orientan hacia la dirección correcta. Esto significa que el grupo que se suponía se desempeñaría mejor (o peor) así lo hizo, aunque no significativamente. Esta técnica es adecuada en algunas situaciones cuando se utiliza una muestra pequeña y los resultados se aproximan a la significancia estadística, pero debe usarse con precaución.

Agradecimientos

En un lugar adecuado del artículo una o varias declaraciones especificarán:

1. Ixis colaboraciones que deben ser reconocidas pero que no justifican la autoría, tales como el apoyo general del jefe del departamento.

2. La ayuda técnica recibida.3. El apoyo financiero y de material, especificando la índole del mismo.4. Las relaciones financieras que puedan suscitar un conflicto de intereses.

Las personas que colaboraron intelectual mente, pero cuya participación no justifica la autoría pueden ser citadas por su nombre, añadiendo su función o tipo de colaboración; por ejemplo: “asesor científico", “revisión crítica de la propuesta para el estudio", “recolección de los datos", “participación en el ensayo", entre otros. Estas personas deberán conceder su permiso para ser nombradas. Los autores se responsabilizarán de obtener la autorización por escrito de las personas mencionadas por su nombre en los agradecimientos, pues los lectores pueden inferir que éstas respaldan los datos y las conclusiones. El reconocimiento por la ayuda técnica recibida figurará en un párrafo separado de los testimonios de gratitud por otras contribuciones.

Referencias bibliográficas

Esta sección es un listado de las fuentes citadas en el texto. Quizás es más fácil discutir lo que una sección de referencias no debe ser, a decir lo que es.

Primero: no debe ser una larga compilación diseñada para mostrar erudición, aplicación y amplitud de conocimiento del autor. Un artículo con un apéndice de referencias prolijo es usualmente la tesis de un estudiante. Puede ser bueno para un estudiante proveer conocimiento enciclopédico de la literatura en una tesis, pero es inapropiado en un artículo científico a publicar.

Segundo: lo obvio no necesita ser citado. Así, referencias a libros de texto, al menos del área de estudio, son usualmente superfluas. Por ejemplo, en un estudio sobre el módulo de elasticidad de limas endodónticas en el Journal o f Endodonlics, una referencia a un texto de ingeniería puede ser razonable, pero una referencia al texto de Grossman (un renombrado endodoncista) para establecer que la instrumentación del conducto es una parte de la terapia endodóntica. no lo es.


Tercero: una referencia que no se puede verificar, no es aceptable. Así, datos extraídos de la comunicación personal, el dato no publicado, o la tesis de maestría en la “Universidad de Rumorilandia” y citas semejantes a estas, no son fuentes a las cuales el lector pueda remitirse. Finalmente, se recomienda que las referencias se limiten a publicaciones recientes.

La política de algunos Joumals es la de máximo 20 referencias para un artículo científico y de 10 para reportes de casos, lo cual parece ser un número razonable. En resumen, las referencias solo deberán contener fuentes que sean esenciales y estén disponibles para el lector que desee andar por donde el autor caminó. Todo el material citado en el informe de investigación debe ser incluido en la sección de bibliografía. Todas las referencias se incluyen en la misma lista en orden alfabético, empezando con el apellido. Si cita trabajos que no tienen autor, colóquclos en orden alfabético a partir de la primera palabra importante en el título.

Ordene cada referencia de la siguiente manera:

Apellido del autor, inicial del primer nombre e inicial del segundo nombre.

Año de publicación (entre paréntesis).

Título del artículo, capítulo o libro.

Datos de la publicación: de revista: nombre de la revista, mimen) de volumen, páginas (nótese que el nombre de la revista y el número del volumen van en cursivas).De un libro: ciudad en donde se publicó y editorial.

El título de un artículo de libro o revista se escribe en redondas y con la primera letra mayúscula. En el caso de un libro completo, solo la primera letra se escribe con mayúscula y todo el título en cursivas. Observe la puntuación que se utilizó: punto después de las subscccioncs mayores (autor, año, título y datos de publicación). Las comas separan las unidades de cada subsccción; por ejemplo, American Psychologist, 28, 312- 317.

Cuadros

Lo usual es capturar cada cuadro a doble espacio y en hoja aparte. Numerarlos consecutivamente siguiendo el orden en que se citan por primera vez en el texto y asignarles un título breve a cada uno. Cada columna lleva un encabezado corto o abreviado. Las explicaciones van como notas al pie y no en el encabezado. En las notas a pie se explican todas las abreviaturas no usuales empleadas en cada cuadro. Como llamadas para las notas al pie, deben utilizarse los siguientes símbolos en la secuencia que se indica: *, t,t. S. IV*. t t . «...

Identificar las medidas estadísticas de variación, tales como la desviación estándar y el error estándar de la media. No trazar líneas horizontales ni verticales en el interior de los cuadros. Cerciorarse de que cada cuadro sea citado en el texto. Si se incluyen datos publicados o inéditos provenientes de otra fuente, debe obtenerse la autorización necesaria para reproducirlos y conceda el reconocimiento correspondiente.

Incluir un número excesivo de cuadros en relación con la extensión del texto puede ocasionar dificultades al confeccionar las páginas. Es recomendable examinar varios números recientes de la revista en la que se planea presentar el artículo y calcular cuántos cuadros pueden incluirse por cada millar de palabras de texto.

Pies o epígrafes de las ilustraciones 139

Al aceptar un artículo, el director podrá recomendar que los cuadros suplementarios que contienen datos de respaldo importantes, pero que son muy extensos para ser publicados queden depositados en un servicio de archivo, como el Servicio Nacional de Publicaciones Auxiliares (NASP, por sus siglas en inglés) en Estados Unidos, o que sean proporcionados por los autores a quien los solicite. En tal caso, se agregará en el texto la nota informativa necesaria; sea como fuere, dichos cuadros se presentarán junto con el artículo.

Ilustraciones

Es necesario enviar los juegos completos de figuras en el número requerido por la revista. Las figuras estarán dibujadas y fotografiadas en forma profesional; no se aceptarán los letreros trazados a mano o con máquina de escribir. En lugar de dibujos, radiografías y otros materiales de ilustración originales, se deben enviar impresiones fotográficas en blanco y negro bien contrastadas, en papel satinado y con medidas entre 127 x 173 mm, y 203 x 254 mm. Las letras, números y símbolos serán claros y uniformes en todas las ilustraciones; además, tendrán un tamaño suficiente para que sigan siendo legibles incluso después de la reducción necesaria para publicarlos. Los títulos y explicaciones detalladas se incluirán en los pies o epígrafes, no sobre las propias ilustraciones.

Al reverso de cada figura colocar una etiqueta de papel que lleve anotados el número de la figura, el nombre del autor y cuál es la parte superior de la misma. No escribir directamente sobre el dorso de las figuras ni sujetarlas con broches para papel, pues se rompen y quedan marcadas. Las figuras no deben doblarse ni montarse sobre cartón.

Las fotomicrografías deben incluir en sí mismas un indicador de la escala. Los símbolos, flechas y letras usadas en éstas contrastarán claramente con el fondo. Si se usan fotografías de personas, no deberán ser identificables; de lo contrario, habrá que anexar un permiso por escrito para poder utilizarlas.

Las figuras se numerarán en forma consecutiva de acuerdo con su primera mención en el texto. Si la figura ya fue publicada, se reconocerá la fuente original y se presentará la autorización por escrito que el titular de los derechos de autor concede para reproducirla. Este permiso es necesario, independientemente de quién sea el autor o la editorial. La única salvedad son los documentos considerados de dominio público.

En el caso de las ilustraciones a color, se debe averiguar si la revista necesita negativos, transparencias o impresiones fotográficas. Algunas revistas publican ilustraciones a color únicamente si el autor paga el costo extra.

Pies o epígrafes de las ilustracionesLos pies o epígrafes de las ilustraciones se redactarán a doble espacio, comenzando en hoja aparte e identificándolos con los números arábigos correspondientes. Cuando se utilicen símbolos, flechas, números o letras para referirse a ciertas partes de las ilustraciones, será preciso identificar y aclarar el significado de cada uno en el pie o epígrafe. En las fotomicrografías habrá que explicar la escala y la simbología utilizada.

Presentación del texto

Los informes deben escribirse en computadora (en un procesador de textos); esto le dará una mejor presentación y lo hará más fácil de leer. Mecanografiar o imprimir el manus


crito en papel bond blanco de 216 x 279 mm (para América) o de la medida estándar ISO A4 (212 x 297 mm para Europa), un margen de 2.5 a 4 cm de todos los lados es lo convencional. La sangría en los párrafos debe ser de cinco espacios. Escribir solamente sobre una cara del papel. Utilizar doble espacio en todo el documento, incluidos la página del título, el resumen, el cuerpo principal del texto, los agradecimientos, las referencias, cada uno de los cuadros y los pies o epígrafes de las ilustraciones. Cada uno de los siguientes componentes comenzará en hoja aparte: página del título con el respectivo resumen y las palabras clave, texto, agradecimientos, referencias, cada uno de los cuadros y los pies o epígrafes de las ilustraciones. Numerar las páginas en forma consecutiva, empezando por la del título. Sobre el ángulo superior o inferior derecho de cada página anote el número correspondiente. Las ilustraciones se presentarán en forma de impresiones fotográficas de buena calidad, en papel satinado, sin montar y sin exceder o reducir las medidas estipuladas más arriba, en el apartado de ilustraciones.

Integración del informe

El manuscrito debe integrarse como sigue:

Título, autor y afiliación (separado, en una página no numerada).

Resumen (página separada): el resumen se escribe en un párrafo. La palabra Resumen debe figurar, centrada, al inicio de la página que abrirá la numeración.

Introducción (página separada).

Método: después de la última línea de la introducción, dejar un doble espacio y centrar la palabra Método.

Sujetos.

Instrumentos.Diseño.Procedimiento.

Cada uno de estos subtítulos va con la primera letra en mayúscula, subrayado y justificado a la izquierda.

Resultados: dejar doble espacio después de la sección de método, centrar y subrayar la palabra Resultados.

Discusión: luego de escribir la última línea de la sección de resultados dejar doble espacio, centre y subraye la palabra Discusión.

Conclusiones: luego de escribir la última línea de la sección de Discusión dejar doble espacio, centre y subraye la palabra Conclusiones.

Bibliografía (página separada): centrar la palabra Bibliografía al inicio de la nueva página.

Tablas: cada tabla debe aparecer en una página separada; debe estar numerada (por ejemplo, tabla / , centrada), tener título y estar referida en el texto.

Figuras: se aplican las mismas reglas que para las tablas.

Pies o epígrafes de las ilustraciones 141

Numeración de páginas: el resumen se numera en la página 1 en el ángulo superior derecho y todas las páginas siguientes (incluyendo tablas, figuras y bibliografía) se numeran consecutivamente. No identificar cualquiera de las subsecciones con letras o números.

En resumen, el manuscrito se integra como se indica a continuación:

(En hoja aparte)Título

(Centrado en una página separada y sin numerar)(En hoja aparte)

Resumen(Centrado en una página separada numerada con 1)

(En hoja aparte)Introducción

(Sin numerar, en una página separada) Doble espacioM étodo

(Centrado)Doble espacio

Sujetos (subrayado y sin sangría)Comenzar el texto dos líneas abajo dejando sangría.

Doble espacioInstrumentos

Comenzar el texto dos líneas abajo dejando sangría.Doble espacio

DiseñoIniciar el texto dos líneas abajo dejando sangría.

Doble espacioProcedimiento

Iniciar el texto dos líneas abajo dejando sangría.Doble espacio

Resultados (Centrado)

Doble espacio Discusión (Centrado)

Doble espacio Conclusiones

(Centrado)(En hoja aparte)

Bibliografía (Centrada, en una página separada)

(En hoja aparte)Tabla 1.

(Centrada, en una página separada)

(En hoja aparte)Figura 1

(Centrada, en una página separada)


Abreviaturas, números y sistema métrico

AbreviaturasExisten dos tipos de abreviaturas, las de uso común y las que no lo son. Las primeras incluyen abreviaturas al menos tan conocidas como las palabras que representan (por ejemplo, CI: Coeficiente Intelectual) y las otras contienen abreviaturas únicas para un informe de investigación específico. ¿Cómo notar la diferencia? Las abreviaturas conocidas se indican como palabras de entrada en el diccionario. Si utiliza una de estas abreviaturas, no es necesario explicar qué significa; simplemente úsela como cualquier otra palabra. Si se emplea una abreviatura poco conocida, debe explicársele al lector el significado. Por ejemplo, si realiza un experimento acerca del tiempo de reacción, con frecuencia escribirá las palabras tiempo de reacción; por lo tanto, es conveniente abreviar este término. Puede hacerse especificando la abreviatura en paréntesis inmediatamente después de la primera mención de las palabras tiempo de reacción, por ejemplo, “E l estudio intentó medir el tiempo de reacción (TR) en estudiantes universitarios”. Ahora, cada vez que se refiera al tiempo de reacción, solo necesitará escribir TR. Por supuesto, puede combinar el término y la abreviatura en el artículo para evitar el tedio.

Las abreviaturas son útiles para referirse a diversos gropos experimentales; usualmente, dichas abreviaturas se introducen en la subsección del diseño. Tratar de que las abreviaturas se deriven lógicamente del nombre, esto facilita la tarea del lector. Por ejemplo, si se enseñó a un grupo con el método de grupos extensos, abrevie el nombre del grupo como Grupo E, no como Grupo A o B (observe que la E de Grupo E se escribió con mayúscula, como en el caso de la T de Tabla o la F de Figura; Grupo E es el nombre de algo).

NúmerosCuando se utilizan números en el texto, los números menores que 10 usualmente se escriben con letra (uno, dos...). El 10 y los números mayores se escriben con dígitos, excepto cuando el número inicia una oración (evítelo). Los números menores que 10 también pueden escribirse con dígitos si es que representan edades (5 años de edad), horas o fechas (5:30 P.M., 7 de mayo), razones (7:1), números agrupados para hacer una comparación en la oración (7 perros, 3 gatos, 1 oso hormiguero), porcentajes (7% de respuestas), cantidades exactas de dinero (5 pesos), números de páginas (página 2), o unidades de medida o tiempo (1 semana, 10 ensayos por día, 6 centilitros de leche, 3 horas por día). Las excepciones parecen infringir las reglas, pero en la mayoría de los casos encontrará alguna justificación para utilizar dígitos.

Sistema de medidasLas medidas de longitud, talla, peso y volumen se expresarán en unidades del Sistema Internacional de Unidades (metro, kilogramo, segundos) o sus múltiplos y submúltiplos. Las temperaturas se consignarán en Celsius o Kelvin según sea temperatura relativa o absoluta. La redacción de la revista podrá solicitar que. antes de publicar el artículo, los autores agreguen unidades alternativas o distintas de las del SI. No hay puntos después de g, kg, y cm; estas abreviaturas son siempre aceptables.

Vo7. y tiempo de los verbos 143

Consideraciones de estilo

Estilo general de redacciónLa escritura científica debe ser clara y concisa. Se debe suprimir cualquier palabra o frase que no sea absolutamente necesaria para la claridad del informe. Los escritores novatos tienden a utilizar un lenguaje poético en los informes de investigación. Pero a pesar de que los tropos literarios (onomatopeya, aliteración, metáfora, etc.) son agradables en los cuentos, resultan inapropiados para la escritura científica. Si desea hacer una afirmación, hágala tan sucinta y clara como sea posible.

Gramática y ortografíaA menudo, los estudiantes creen que los artículos científicos no deben apegarse a las reglas gramaticales; sin embargo, los textos con mala ortografía y sintaxis desmeritan el trabajo. Estas deficiencias indican la negligencia de los autores y por lo tanto, de los investigadores descuidados. Una vez que el lector detecta este hecho le será difícil evaluar objetivamente su artículo, aun cuando el contenido sea bueno.

Tener a la mano un diccionario de la lengua y uno de términos técnicos especializados es muy útil. Revisar y corregir el artículo después de que alguien más ajeno a la realización, lo haya leído. Si se ha invertido tiempo para realizar un estudio, analizar los datos, escribir y capturar el informe, sería una pena dejar que los errores tipográficos demeriten el producto final. Una técnica muy útil es leer el artículo hacia atrás. Esto fuerza a leer cada palabra y le ayuda a detectar muchos errores.

Voz y tiempo de los verbos

VozPara dar objetividad, los investigadores tradicionalmente escriben sus informes en forma impersonal.

“El experimentador observó” en lugar de “Observé”.

“El lector puede observar” en lugar de “Usted puede observar".

Sin embargo, en algunos casos es preferible utilizar pronombres personales para evitar el abuso de la voz pasiva:

“Entrené (o entrenamos) a las ratas” , en lugar de “Las ratas fueron entrenadas”.

“Apliqué (o aplicamos) una prueba t", en lugar de "Fue aplicada una prueba t".

En general, usted debe evitar la voz pasiva siempre que sea posible:

“Diversos experim entos m ostraron” , en lugar de “Se m ostró"


TiempoDebido a que el informe siempre se escribe al terminar el experimento, debe redactarse en tiempo pasado. Esto se aplica especialmente a las secciones de método y resultados. En ocasiones es correcto usar el tiempo presente en la discusión, especialmente el comentario de las implicaciones de los datos; por ejemplo, “en síntesis, los datos de este experimento sugieren...” Un error común en el aprovechamiento del tiempo ocurre en la revisión de la bibliografía. No escriba “ Moc (1974) sugiere” . Todos los estudios citados ya se realizaron; por lo tanto, refiérase a ellos en tiempo pasado, por ejemplo, “Moe (1974) sugirió” .

El estilo según George OrwellGeorge Orwell resumió el estilo en la escritura científica de la siguiente manera:

Nunca utilizar una metáfora, símil u otras figuras gramaticales o sintaxis figurada.

Evitar el uso de palabras largas donde deba ir una palabra corta.

Si es posible acortar una palabra, hacerlo siempre.

Nunca utilizar voz pasiva donde pueda utilizar voz activa.

Nunca utilizar modismos, galicismos, anglicismos, entre otros. Evite las palabras científicas o de uso circunscrito a ciertos grupos; es preferible sustituirlas por una palabra de uso cotidiano.

Hacer caso omiso de cualquiera de estas reglas antes que decir algo inaceptable.

Escribir, reescribir y volver a reescribir

Con frecuencia se pregunta cuántas veces se debe reescribir un artículo. La respuesta a esta interrogante es: “las que sean necesarias” . Algunas personas son capaces de sentarse frente a una computadora sin una copia manuscrita o inclusive sin un bosquejo y lograr un informe perfecto. Si se tiene este talento, con seguridad no se necesitará el consejo de nadie. Sin embargo, la mayoría de los investigadores revisan sus manuscritos muchas veces antes de enviarlos a publicación. Es frecuente tener que hacer tres, cuatro o cinco borradores. El número de borradores que puedan escribirse estará limitado al tiempo del que se disponga. Pero si el artículo no es perfecto después de dos borradores, no se desanime; aún está uno o dos borradores adelante que la mayoría.

Aprender a escribirSe nos enseña primero a leer y luego las reglas de ortografía, pero parece que nadie se preocupa por enseñamos a escribir. Escribir es algo que se supone debemos aprender escribiendo. Sin embargo, nada aprendemos en relación con la escritura científica. En este capítulo se ha intentado indicar cómo comenzar a escribir informes científicos. Cuando ya conozca los fundamentos, la mejor manera de aprender a escribir es leer, Ix er artículos de revistas científicas y, además, es necesario poner atención en el contenido y en cómo el autor presenta la información. Mientras más lo haga (y desde luego, mientras más escriba), más fácil será para usted la escritura científica.

Publicación previa y duplicada 145

Presentación del manuscrito a la revistaEnvíe el número requerido de copias del manuscrito en un sobre de papel resistente; si es necesario, proteja las copias y las figuras metiéndolas entre dos hojas de cartón para evitar que las fotografías se doblen durante la manipulación postal. Meta las fotografías y transparencias en su propio sobre de papel resistente.

Los manuscritos irán acompañados de una carta de presentación que proporcione: a) información acerca de la publicación previa o duplicada, la presentación del manuscrito a otra revista o la publicación de cualquier parte del trabajo; b) una manifestación de las relaciones financieras o de otro tipo que pudieran desembocar en conflicto de intereses; c) una declaración de que el manuscrito ha sido leído y aprobado por todos los autores y ha cumplido con los requisitos de la autoría expuestos anteriormente en el presente documento; y de que el manuscrito representa un trabajo honrado; y d) el nombre. la dirección y el número telefónico del autor responsable de comunicarse con los demás autores en lo concerniente a las revisiones y a la aprobación final de las pruebas de imprenta. La carta debe incluir cualquier información suplementaria que pueda resultar de utilidad para el director, tal como el tipo de artículo que el manuscrito representa para esa revista en particular y si el autor (o los autores) estarían dispuestos a sufragar el costo de reproducir las ilustraciones a color.

El manuscrito se acompañará de copias de los permisos concedidos para reproducir material ya publicado, para usar ilustraciones, revelar información personal privada sobre individuos que puedan ser identificados o para nombrar a ciertas personas por su colaboración.

Publicación previa y duplicadaLa mayoría de los directores de revista no desean considerar para publicación un manuscrito acerca de un trabajo que ya se ha dado a conocer previamente o que se ha descrito en un artículo propuesto o aceptado para publicación en otra parte, ya sea un medio impreso o electrónico. Por lo general, esta norma no impide considerar un artículo rechazado por otra revista o una comunicación completa que sigue a la publicación. Tampoco impide considerar un artículo presentado en una reunión científica si este no aparece íntegramente en las actas de la reunión o en una publicación semejante. Las informaciones periodísticas acerca de la reunión no se consideran infracciones de esta regla, pero no habrán de ampliarse mediante datos suplementarios o copias de los cuadros o las ilustraciones. Cuando se propone un artículo para publicación, el autor está obligado a informar plenamente al director de la revista acerca de cualquier presentación del documento a otras revistas o cualquier informe que pudiera considerarse publicación previa o duplicada de un mismo trabajo. Junto con el manuscrito se incluyen copias de los documentos pertinentes para ayudar al director a decidir la manera de hacer frente a este asunto.

Rara vez se justifica la publicación múltiple, que se define como el acto de publicar más de una vez los mismos resultados de un estudio, aunque la redacción se cambie. Una posible justificación es la publicación secundaria en otro idioma, siempre y cuando se cumplan las siguientes condiciones:

Se informará cabalmente a los directores de las dos revistas involucradas; el director de la publicación secundaria tendrá en su poder una fotocopia, reimpreso o manuscrito de la versión primaria.


Se respetará la precedencia de la publicación primaria dejando transcurrir un intervalo de por lo menos dos semanas antes de sacar a la luz la versión secundaria.

El artículo secundario estará dirigido a un grupo diferente de lectores y no será simplemente una traducción del primario: a menudo basta con una versión resumida.

La versión secundaria reflejará fielmente los datos y las interpretaciones de la primaria.

Mediante una nota colocada al pie de la primera página de la versión secundaria, se informará a los lectores que el artículo se ha editado y se destina a un público paralelo con la versión primaria, basada en los mismos datos c interpretaciones. Este podría ser un texto apropiado para dicha nota: “El presente artículo está basado en un estudio que se dio a conocer en (título de la revista y referencia completa)” .

Los directores no aceptarán la publicación múltiple que discrepe de la definición anterior, ya que si transgreden esta regla tendrán que atenerse a las medidas editoriales del caso. La divulgación preliminar, generalmente por conducto de los medios de comunicación de masas, de la información científica contenida en un artículo ya aceptado pero aún sin publicar, representa una infracción de las normas de muchas revistas. En contadas ocasiones y solo mediante previo acuerdo con el director, puede aceptarse la diseminación preliminar de datos; por ejemplo, cuando se trata de prevenir a la gente contra ciertos riesgos para la salud pública.

M anuscritos electrónicosEn el caso de artículos que están cercanos a la aceptación final, algunas revistas piden que los autores proporcionen los manuscritos en forma electrónica (en CD, DVD. USB. etc.).

Al presentar el archivo electrónico los autores deben:

Cerciorarse de incluir un impreso de la versión del manuscrito.

Incluir en el medio electrónico solamente la versión más reciente del manuscrito.

Poner claramente el nombre del archivo.

Rotular el medio electrónico con el formato y el nombre del archivo.

Facilitar información sobre el software y el hardware empleados.

En las instrucciones de la revista dirigidas a los autores, estos deben consultar cuáles son los formatos que se aceptan, las convenciones para denominar archivos y soportes de almacenamiento, el número de copias que han de enviarse y otros detalles del caso.

Revisión de la bibliografíaUna de las partes más complicadas del informe de investigación es la revisión de la bibliografía. Esto no es porque sea complicado escribir, sino porque es difícil obtener la información. Revisar la bibliografía implica dos procesos básicos:

Captar la información.

Bibliografía 147

Determinar qué aspectos de la misma son importantes.1.a mayor parte de la bibliografía que se cita en los informes corresponde a artículos

de revistas científicas.

Artículos de revistasA menudo, un artículo sobre un tema determinado puede tener el mismo propósito que una reseña de artículos, sobre todo si es reciente. La introducción al artículo dará un panorama de la bibliografía y la sección le indicará en dónde encontrar los estudios citados. En muchos casos una de las mejores formas de empezar la revisión bibliográfica es examinar el índice de contenido de una revista que usualmcntc trata los temas de su interés. Si empieza con el número más reciente y examina los números que cubren un lapso de un año, es probable que encuentre artículos importantes y que estos informes actualizados citen mucha de la bibliografía más reciente.

Scientifíc Citation Index¿Qué ocurre si encuentra una revisión o un artículo que cubra su área de interés pero que se publicó en 1972? Si se confía en este como la única fuente de otras referencias, necesariamente excluirá todos los artículos publicados desde 1972. Por fortuna, el índice de citas científicas (Scientifíc Citation Index) ofrece una solución a este dilema. Este índice contiene todos los artículos publicados anualmente. Por ello, al revisar el índice de cada año desde 1972 puede saber qué artículos se citaron en el artículo que le interesa. Por supuesto, si un artículo cita a otro, los dos están relacionados. Cuando tenga la lista podrá examinarlos para saber cuáles son los más importantes.

Libros de textoUna manera relativamente fácil y muy eficiente para comenzar una búsqueda bibliográfica es consultar los libros de texto más recientes y extensos en el área de interés. La ventaja de hacer esto es que el texto resume los estudios más importantes. La desventaja es que inclusive en un libro publicado hoy, los estudios que incluye son un año o dos atrasados. Además, los libros están necesariamente prejuiciados por las opiniones del autor, en consecuencia, no toda la literatura importante en un área específica puede revisarse.

Bibliografía

Castañeda. J.J.; De la Torre. L. M.; Morán, J.M. y Lara. R.P. (2002). Metodología de la investigación. México: McGraw-Hill.

Gutiérrez, A.C. (2001). Introducción a la metodología experimental. México: Limusa- Noriega.

Hernández, S.R.; Fernández.C. y Baptista, P. (2003). Metodología de la investigación. México: McGraw-Hill.

Méndez. R.I.; Namihira. D. y Sosa de Martínez, C. (2001). El protocolo de Investigación: IJneamientos para su elaboración y análisis. México: Trillas.

Tamayo y Tamayo, M. (2002). El proceso de la imestigación científica. México: Limusa.


Bibliografía general

Baird, D.C. (2003). Experimentación: Una Introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos. México: Pearson Educación.

Bar, A.R. (2000). “Un aporte a la discusión sobre el estatus metodológico de las variables y escalas de medición”. Cinta de Moebio, núm. 7. Chile: Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile, 6 pp.

Bell. S. (2001). A Beginner's Cuide to Uncertainty in Measurements (documento 2). Reino Unido: National Physics Laboratory. 41 pp.

Bcmal. C.A. (2006). Metodología de la investigación. México: Pearson- Prcnticc Hall.BIPM (2006). The International System o f Units SI. Paris: STEDI Media, 186 pp.Bunge, M. (1999). In ciencia. Su método y su filosofía. Buenos Aires: Ediciones Siglo

Veinte.Cariño, P.S. (2004). Métodos de investigación. México: Limusa-Colcgio de Bachilleres.Castañeda, J.J. (2002). Metodología de la investigación I. México: McGraw-Hill.Castañeda, J.J.; L.M. De la Torre; J.M, Morán y R.P. Lara. (2002). Metodología de la inves

tigación. México: McGraw-Hill.Castañeda, J.J. y C.E. Méndez. (2004). Metodología de la investigación. México: McGraw-

Hill.Calleros, A.F.; A. Lara-Barragan; J.W. Lau y S. Gómez. (1997). Introducción a la metodolo

gía experimental. Guadalajara: U. de G.-CUCF.I-Cs Básicas-Dcpartamcnto de Física.Eyssautier, M. (2001). Metodología de la investigación II. México: ECAFSA-Thomson

Lcaming.Garda, A. A. (2000). Introducción a la metodología de la inv estigación científica. Colombia:

Raza y Valdés Editores.Gil. S. y Rodríguez, E. (2001). Física recreativa: Experimentos de física usando nuevas tec

nologías. Perú: Prcnticc Hall, 355 pp.Gutiérrez, A.C. (2001). Introducción a la metodología experimental. México: Limusa-

Noricga.Hernández, S.R.; C. Fernández y P. Baptista. (2003). Metodología de la investigación. Méxi

co: McGraw-Hill.ISO. (2004). International Vocabulary o f Basic and General Tcrms in Metrology (V.I.M).ISO V1M (DGUIDE 99999), 71 pp.Kurt G.R. (1986). Tlie International System o f Units (SI). Cost Enginccring. Morgantown,

28(11): 26-30 pp.Lyons, L. (1993). A Pradical Guide to Data Analysis for Physical Science Students. Nueva

York: Cambridge Univcrsity Press, 95 pp.López, C.J.L. (2001). Método e hipótesis Científicos .México: Trillas.Mendenhall, W. y T. Sincich (2000). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias.

México: Prcnticc Hall.Méndez, R.I.; D. Namihira y C. Sosa de Martínez. (2001). El protocolo de investigación:

Lineamientos para su elaboración y análisis. México: Trillas.Mcndicta, A. A. (1999). Métodos de investigación y manual académico. México: Porrúa.Miranda. P. y Juárez, F. (2006). lxd)oratorio de física 1. Chile: Facultad de Ciencias. Depar

tamento de Física de la Universidad de Chile. 4 pp.Pérez, T.R. 1998. ¿Existe el método científico? México: Fondo de Cultura Económica.

Bibliografía general 149

Riveros, H.G. y Rosas, L. (1997). El método científico aplicado a las ciencias experimentales. México: Trillas.

Rodríguez, L.A. (2001). laboratorio cero 2001-2. México: Facultad de Ingeniería, Departa- mento de Ciencias Básicas. Colombia: Pontificia Universidad Javcriana, 31 pp.

Rojas, S.R. (2000). El proceso de la investigación científica. México: Trillas.Tamayo y Tamayo, M. (2002). El proceso de la investigación científica. México: Limusa.Taylor, B. y Kuyatt, C. (1994). Guidelines fo r Evaluating and Expressing the Uncertainty o f

NIST Measurements Results, nota técnica 1297. EUA: National Institutcof Standards and Technology-United States Department of Commerce Technology Administration.

UKAS (2006). The Expresión o f Uncertainty and Confidence in Measurement. Londres: United Kingdom Acrcditation Services. Draft 2.79 pp.

Universidad de la Laguna España. Introducción a la física experimental. En http-y/webpages. ull.es/users/fexposit/ife_eiT.pdf. Fecha de consulta, enero 15 de 2007.23 pp.

Universidad Santiago de Cali. Colombia. "Guías únicas de laboratorio de física 1: aspectos preliminares, metrología, conceptos y definiciones” . En http://www.usc.edu.co/laboratorios/archivos/propuesta/LEY_DE_OHM_2.pdf. Fecha de consulta, enero 15 de 2007. 39 pp.

http://www.usc.edu.co/laborato-

Indice analíticoAAbrev¡atura(s),

números y sistema métrico, 142 Adjetivos matemáticos, 90 Adverbios matemáticos. 90 Advertencia, 132 Agradecimientos, 123. 137 Ajustéis)

de datos a funciones matemáticas. 63de rectas, 66

Ambiente. 29 Amplitud de intervalo. 100 Análisis

de la línea recta, 16 de los resultados. 7 descriptivo de los datos, 85 dimensional, 74 gráfico, 9

de los resultados, 55 Anexo(s), 123

objetivos de los. 124 tipos de, 124

Aparatos o instrumentos, 130 Aprender a escribir, 144 Artículos de revistas, 147

BBibliografía, 121

sugerida. 125 Búsqueda de funciones. 13

cCálculos, 120Calificación estándar o grados, 87 Cambio(s)

de escala, 52 de unidades, 79

Cienciaís), 5concepto de la, 4 conocimiento y, 4 experimentales, 1 filosofía de la, 2 intereses de la, 4 objetivo de la, 4 origen de la, 1

Cifras significativas y redondeo. 29 Citas bibliográficas, 129 Clasificación de las variable. 24 Codente(s), 52

de correlación, 60, 87 de varianza, 95

Comparacióndetallada entre modelos, 12 entre los modelos y el mundo real. 11teoría-experimento. 9

Comportamiento cuadr ático. 64de dos variables correlaciónales en forma exponencial, 65 exponencial, 65 logarítmico, 66 polinomial. 66

Conclusiones y recomendaciones. 123

Conocimiento auténtico, 2 empírico, 5 oscuro. 2 ciencia y, 4 creencia y, 4

Consideraciones de estilo, 143 Construcción

de diagrama de dispersión, 60 de gráficas. 56 de modelos. 12

Consulta bibliográfica. 6

Creencia(s), 4 conocimiento y. 4 fuentes de las, 4

Criterios para el redondeo, 32 Cuadros, 138 Cubierta. 122

posterior, 125 Cuerpo

del informe, 123 principal, 123

Cuna continua por puntos, 12

Dalos. 86agrupados, 99análisis descriptivo de los. 85 sin agrupar, 97

Definición del problema, 6 Desarrollo de un modelo estadístico,

18Descripción de equipo, 125

técnicas o programas de computadora en. 125

Desviaciónestándar. 95, 113 media, 93típica de la media. 45

Determinación de la pendiente y de la ordenada al origen (o intercepto), 67

Diagrama de dispersión, 60 construcción de un, 60

Diámetro promedio, 86 Diferenciáis)

de dos variables. 49 finitas. 51

Dimensión de una magnitud, 74 Discusión. 135

conclusiones, 120 Diseño, 131

del experimento, 7

152 índice analítico

Distribuciónde frecuencias, 87,97,99,101, 102

representación gráfica en una. 106

normal, 113

EEdad media. 2 Elaboración del informe, 7

del trabajo experimental. 119 Elección

de la escala, 57 del papel adecuado, 56

Enunciado verbal. 12 Error(es), 27, 41

aleatorios, 28 de apreciación. 28 de calibración, 28 de exactitud, 28 de interacción, 28 de medición, 27-28

y medición de variables, 23 durante el proceso de medición. 27importado, 29 sistemáticos, 28

Escribir y reescribir. 144 Estadística

descriptiva. 85, 87para datos agrupados, 108

inductiva, 85requisitos para aprender. 90

Estadístico. 86 Estilo

consideraciones de. 143 general de redacción, 143 según George Orwell. 144

Estructura de un informe artículo científico. 126 de práctica de laboratorio.119experimental. 120 general, 128 técnico, 121

Estudios correlaciónales, 132 Evaluación. 9 Exactitud, 26 Experimentación, 9 Experimento, 8

de verificación, 8 diseño del, 7

precisión del, 8 realización del, 7

Exponencial. 53 Extensión, 128

F

Filosofía ciencia y, 2 de la ciencia. 2

Física. 13 Funciones

de una variable utilizando cálculo diferencial. 47logarítmicas y exponenciales,48trigonométricas, 48

GGlosario. 123 Gráfica(s), 55

construcción de, 56 de barras simple, 106 de frecuencia acumulada, 104 de Pareto, 107 de sectores. 106en calculadoras o computadoras, 58

Gramática y ortografía, 143 Grecia. 1,2

HHabilidad del operador. 29 Hechos observados. 8 Hipótesis, 8

de trabajo. 7 Histograma, 103 Historia de la ciencia, 3 Hoja de datos del documento, 125

I

Ilustraciones. 139y tablas suplementarias. 124

Importancia. 7 Incertidumbre, 4 1

absoluta. 43 de la medida, 42 en series de mediciones directas, 44

en funcionesde dos o más variables, 49 de una variable. 46

en las mediciones, 4 1 propagada, 46 relativa, 42,46,48,51

porcentual. 42 índice, 120, 122 Inferencia estadística. 87 Informe

integración de un. 140 técnico, 121

estructura de un. 120 Instalación de los aparatos. 120 Instrumentos de medición, 27 Integración

de tablas y figuras dentro del texto. 135 del informe, 140

Interpretación de análisis estadístico, 135

Intervalolímites de clase e, 100 tamaño del, 100

Introducción, 120, 123, 128

Lenguajematemático, 90 privado y subjetivismo. 5

Libros de texto, 147 Lista de distribución y

disponibilidad, 125 Logaritmo. 53

Manuscritos electrónicos, 146 Material

especial. 124 métodos y, 129

Media, 109aritmética. 44,91

Mediana, 110 Medición(es). 23.25

de variables y errores de medición, 23 directas, 43 indirectas, 45

Medida(s)de dispersión, 87,92,112 de tendencia central. 87,91. 108

índice analítico 153

indirectas que tienen incertidumbre, 45

Método(s)científico, 5, 9de los mínimos cuadrados. 70 de pares de puntos, 67 experimental. 6

pasos del, 6 general para determinación de la incertidumbre, 47,50

Metodología de las ciencias experimentales, I

Mitos de la estadística. 89 Moda, 92, 111 Modelofs) 11

científicos, tipos de, 17 comparación detallada entre, 12 concepto de, 11 construcción de, 12 de regresión o modelos estadísticos lineales, 17 empíricos, 12 estadístico

características del. 18 desarrollo de un, 18 lineal. 17

físico, 17 matemático. 17

empírico, 9 teórico, 8

observaciones y, 11 pasos para elaborar un, 19 refinamiento de los, 12 teóricos, 14

pruebas de los. 14 Muestra, 86 Muestrco

aleatorio, 89 simple, 89

de racimo, 89 estratificado. 89 sistemático, 89

Multiplicación y división con cifras significativas. 31

Múltiplos y submúltiplos del SI, 36

NNombre y apellido de los autores.

126Notación científica, 32 Numeración de los anexos. 125 Números, 142

O

Objetivo!s), 7délos anexos. 124

Objeto medido. 27 Observadón(es), 8, 120

del fenómeno, 6 naturalista, 132 sistemática. 132

Obtención de conclusiones. 7 Origen de la ciencia. I

PPapel

logarítmico. 57 semilogarítmico, 56

Parámetros. 86 estadíticos, 91

Partefinal. 125 inicial. 122

Pasos del método experimental, 6 Pies y epígrafes de ilustraciones, 139 Planeación, 8Planteamiento de los cálculos, 120 Población, 86

finita, 86 infinita, 86 o universo, 86

Portada. 122, 126 Potencias, 52 Precisión, 26

del experimento, 8 Prefacio. 123 Prefijos del SI. 36 Presentación

del manuscrito a la revista. 145 del texto, 139

Procedimiento experimental, 120 Proceso de medición, 27 Productofs)

de dos o más variables, 50 y cociente. 53

por un número exacto, 54 Propagación de incertidumbre. 43 Pruebas de los modelos teóricos, 14 Publicación previa y duplicada. 145

RRangoís), 93

percentiles. 87

Realización del experimento, 7 Recomendaciones, 135 Redondeo. 31 Referencias, 123

délos anexos, 125 bibliográficas, 137

Refinamiento de los modelos. 12 Relación sujeto-objeto, 4 Renacimiento, 2Representación de la incertidumbre

en las gráficas, 55 Resultados, 133

calculados. 120 y sus interpretaciones, 9

Resumen. 120,122, 127 Revisión de bibliografía. 146

sScientific Citalion Index, 147 Selección de variables, 8 Sistema

cegesimal de unidades, 37 CGS o Sistema Gaussiano, 37 de medidas. 142internacional de unidades (SI), 33

Subjetivismo y lenguaje privado. 5 Sugerencias, 136Sujetos o unidades de observación.

130Suma

de dos o más variables, 49 y diferencia, 52.53 y resta con cifras significativas,31

Sustantivos matemáticos, 90

TTablas y figuras. 134 Tamaño del intervalo. 100 Técnica(s)

de muestreo, 29, 88 de representación gráfica, 87 o programas de computadora, 125

Teorema de Buckingham. 76 Teoría de errores, 41 Texto, 134 Tiempo, 143 Tipo(s)

de anexos. 124 de modelos científicos, 17 de reacción, 142

154 índice analítico

Título, 126Tratamiento estadístico, 9 Trazabilidad de los resultados. 26 Trazo de los puntos experimentales,

58

u

Unidadesbásicas de SI. 33 fuera del SI, 36

Uso de Excel para el análisis de gráfico de datos. 59

VValor verdadero. 27 Variableís). 23.86

correlaciónales en forma exponencial, 65 cualitaliva(s), 24

nominal, 24 ordinales. 24

cuantitativa(s), 24continuas o variables de

medición, 24 discretas, 24

de medición. 24 dependiente, 25 extraña. 25 independiente, 25 no numéricas. 105 numérica, 97 significativas, 11

Vbrianza, 94,112 Verbos matemáticos, 90 Voz, 143

y tiempo de los verbos, 143

Introducción a la metodología experimental

Un aspecto fundamental en la formación de cualquier persona que busca ejercer una profesión orientada a la ciencia y a la tecnología es la adquisición de ciertos habilidades en la medición y la interpretación de los paróme tros obtenidos en procesos experimentales o industriales. Igual de importante es que posea bs conocimientos y las herramientas necesarias para llevar a cabo de manera eficiente el análisis de datos, la elaboración de reportes de investigación, así como el desarrollo de nuevos experimentos, modelos y procesos. Por elb. el método experimental no es sobmente una ruta de investigación sino, sobre todo, una actitud del individuo ante cualquier fenómeno que se presente en lo naturaleza

Introducción o lo metodología experimento! es una guia para todos aquellos que se introducen al estudio de lo experimentación científica. Lo exposición de temas en forma práctica y concisa facilita lo comprensión de métodos y procesos analíticos aplicados al desarrollo de experimentos. El texto orienta al lector hacia lo minimización del error experimental mediante la aplicación de técnicas de medición, de una cuidadosa selección de la instrumentación, del análisis de datos y de la aplicación de procesos estadísticos. Asimismo, presenta las características del reporte de práctica de laboratorb. del informe técnico y del articulo científico, que permiten dar a conocer públicamente los resultados de cualquier investigación científico experimental

Introduccicibon a La Metodologiada Experimental

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