Introdução à Teoria dos Jogos e Aplicações

Prof. Juliano AssunçãoDepto. Economia, PUC-Rio

juliano@econ.puc-rio.br

Abril, 2005

Motivação Comportamento estratégico:

elemento que está presente nas relações econômicas;

certos ambientes propiciam a adoção de tal comportamento;

forma de interação afeta, de maneira decisiva, o resultado.

Teoria dos Jogos: ferramentas para a análise sistemática do comportamento estratégico.

Como organizar e utilizar o conteúdo do curso? Decisões envolvem, simultaneamente, vários

aspectos relevantes. Trataremos, no curso, alguns tópicos importantes, separadamente.

Exemplo:

ATLÂNTICA. Prédio luxo, vista mar. 190m2. Varanda, amplo salão, 4qtos, (suítes), copa-cozinha, dependencias, 3vagas. Mobiliado/ equipado. R$3.500,00 +taxas.

LAGOA (B.MEDEIROS) frente Piraquê, 220m2, salão, s.jantar, toillete, 4qtos, (2suítes), banh.soc., copa-coz, 2dependências, 2vagas, frente, alto. R$3.300,00 +taxas.

Elementos da decisão

2 desafios da análise:

Eliminar características pouco importantes.

Comparar os atributos relevantes isoladamente, mantendo os demais constantes.

Seqüência dos cursos Teoria dos Jogos: jogos estáticos e

dinâmicos de informação completa.

Informação Assimétrica: jogos com informação incompleta.

Organização Industrial e Estratégia

Antitruste

Jogo Estático vs Dinâmico Diferença não depende de aspectos

temporais.

Jogos estáticos: jogadores não observam decisões dos

oponentes ao escolher. Ex.: par ou ímpar.

Jogos dinâmicos: escolhas são seqüenciais – ao menos algumas

decisões. Ex.: xadrez.

O que é um jogo estático?

Jogo estático, forma normal, ou forma reduzida.

Representação: N jogadores; para cada jogador i, temos:

• Si – conjunto de estratégias possíveis;

• Ui(si,s-i) – função de ganhos em cada

resultado possível do jogo.

Exemplo Caso Si seja finito, podemos representar

um jogo através de uma matriz.

2 (par)

Par Ímpar

1 (ímpar)

Par -1,1 1,-1

Ímpar 1,-1 -1,1

“Common Knowledge” A hipótese de conhecimento comum será

adotada durante toda a análise. Cada participantes do jogo conhece a

estrutura do jogo. A racionalidade dos jogadores é também

de conhecimento comum.

“Eu sou racional. Sei que meu oponente é racional. Sei que ele sabe que sou racional. Sei que ele sabe que eu sei que ele é racional. Etc.”

Exemplo 3 crianças numa roda. Há chapéus

brancos e vermelhos.

Nenhuma delas observa a cor do próprio chapéu.

1 2 3

Exemplo (cont.) A professora pergunta a cada uma a cor

do próprio chapéu. Criança 1: “não sei”. Criança 2: “não sei”. Criança 3: “não sei”.

A professora informa: há, pelo menos, um chapéu vermelho. Repete a pergunta. Criança 1: “não sei”. Criança 2: “não sei”. Criança 3: “vermelho”.

Porque?

Solução Resposta da criança 1:

Se 2 e 3 estivessem usando chapéus brancos, saberia que o seu era vermelho.

Conclusão: 2 ou 3 está usando vermelho.

Resposta da criança 2: Se 3 estivesse com chapéu branco,

saberia, pelo raciocínio anterior, que o seu chapéu era vermelho.

Conclusão: 3 está usando vermelho.

Solução Note que, para o exemplo funcionar, é

necessária não apenas a hipótese de racionalidade individual mas, principalmente, a hipótese de “common knowledge”.

A criança 3 é racional; sabe que 1 e 2 são racionais; e sabe que a 2 sabe que 1 é racional.

Além disto: as três sabem que as outras duas sabem que há chapéus brancos e vermelhos. E pelo menos um vermelho

Resolvendo jogos (i)

Eliminação de estratégias estritamente dominadas

Dilema dos prisioneiros 2 prisioneiros são capturados e submetidos as

interrogatório, em salas isoladas, sem comunicação.

Alternativas: C - confessar e servir de testemunha contra o parceiro. NC - não confessar e resistir.

Penas dependem da interação de ambos.2

1

NC C

NC -1,-1 -9,0

C 0,-9 -6,-6

Eliminação de estratégias estritamente dominadas Diante da hipótese de que a racionalidade

é de conhecimento comum, podemos eliminar estratégias que são estritamente piores, independente da ação do oponente.

Definição: A estratégia si’ é estritamente dominada se existir si” tal que:

Ui(si’,s-i) < Ui(si”,s-i),

para todo s-i. Desigualdade é estrita!

Resolvendo o dilema dos prisioneiros NC é estritamente dominada por C, para

ambos.

2

1

NC C

NC -1,-1 -9,0

C 0,-9 -6,-6

Características importantes do dilema dos prisioneiros A situação (NC,NC) é melhor que (C,C) para

ambos.

O comportamento estratégico, aliado aos interesses individuais, inviabiliza (NC,NC) como solução.

Esse exemplo simples ilustra a importância desse tipo de comportamento sobre as relações.

No caso de mercado competitivo, em que as ações não afetam o sistema, tal situação não é possível. (Primeiro Teorema de Bem-Estar)

Exemplo 2

2

1

E C D

A 1,2 3,2 3,3

B 2,3 3,1 4,2

Exemplo 3

2

1

E C D

A 1,2 3,4 3,3

B 2,3 3,1 4,2

Limitações

O processo de eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas, em muitos casos, não produz previsões úteis sobre o resultado do jogo.

Consiste em uma noção muito fraca (no sentido que utiliza poucas restrições) de equilíbrio.

Resolvendo jogos (ii)

Equilíbrio de Nash(estratégias puras)

Definição de equilíbrio de Nash - EN Uma alocação/resultado é um equilíbrio de Nash

se, a partir dela, nenhum jogador tem incentivo a desviar individualmente.

O EN apresenta uma noção de estabilidade estratégica.

Definição: O perfil (si*,s-i

*) é um EN se, para cada jogador i, tem-se que:

Ui (si*,s-i

*) > Ui(si,s-i*),

para todo si.

Definição alternativa A função (ou correspondência) de melhor

resposta atribui, a cada possível combinação de estratégias dos oponentes s-i, a(s) melhor(es) resposta(s) si(s-i).

EN é uma situação onde:si

*=si(s-i*),

para todo i.

Formalmente, torna a busca por equilíbrio um problema de “ponto fixo”.

Exemplo 1

2

1

E C D

A 1,2 3,4 3,3

B 2,3 3,1 4,2

Exemplo 2Dilema dos prisioneiros

2

1

NC C

NC -1,-1 -9,0

C 0,-9 -6,-6

Exemplo 3Batalha dos sexos

M

H

Fut. Balé

Fut. 2,1 0,0

Balé 0,0 1,2

Exemplo 4Jogo de Coordenação

M

H

Teatro Praia

Teatro 2,2 0,0

Praia 0,0 1,1

Exemplo 5Par ou Ímpar

2

1

Par Ímpar

Par -1,1 1,-1

Ímpar 1,-1 -1,1

Algumas características Todo EN sobrevive à eliminação de estratégias

estritamente dominadas.

Equilíbrios múltiplos podem ocorrer.

Os equilíbrios podem apresentar ineficiência, seja em relação a outro equilíbrio ou a outra alocação.

Nem sempre existem equilíbrios em “estratégias puras”, isto é, que não envolvem aleatoriedade.

Exemplo 6Metade da média

Cada aluno escolhe um inteiro entre 0 e 100, anota o número em um papel com o próprio nome, entregando-o ao professor.

Vencedor: aquele mais se aproximar da metade da média de todos os números.

Exemplo 6(Continuação) Estratégias estritamente dominadas:

Equilíbrio de Nash:

Exemplo 6(Continuação) Lições:

Resolvendo jogos (iii)

Equilíbrio de Nash(estratégias mistas)

Definição Em muitas situações, faz sentido estender o

conjunto de estratégias, possibilitando aleatoriedade.

Para cada conjunto de estratégias Si, define-se a

extensão em estratégias mistas Si, como o

conjunto de medidas de probabilidade que podem ser definidas sobre Si.

Um EN em estratégias mistas do jogo (N,Si,Ui) é

um EN do jogo estendido (N, Si,Ui).

Existência de equilíbrio

Teorema (Nash, 1950): Todo jogo finito tem, pelo menos, um EN, possivelmente envolvendo estratégias mistas.

O resultado acima pode ser estendido em várias direções.

ExemploPar ou Ímpar

2

1

Par Ímpar

Par -1,1 1,-1

Ímpar 1,-1 -1,1

p

1-p

q 1-q

Calculando o EN em estratégias mistas

Fixada a estratégia de 2 em q, temos as seguintes opções p/ 1: Par: q(-1)+(1-q)=1-2q Ímpar: q+(1-q)(-1)=2q-1

Fixada a estratégia de 1 em p, temos as seguintes opções p/ 2: Par: p+(1-p)(-1)=2p-1 Ímpar: p(-1)+(1-p)=1-2p

Função de melhor resposta

q

p

1

0 11/2

1/22

1EN

Evidência empírica Levitt, S. P.A. Chiappori e T. Groseclose (2002)

“A Test of Mixed Strategy Equilibria: Penalty Kicks in Soccer.” American Economic Review, 92: 1138-1151.

Utilizam dados das 459 disputas de pênalti dos campeonatos francês (1997-1999) e italiano (1997-2000).

Resultados são compatíveis com a adoção de estratégias mistas.

Revisão

Principais conceitos e definições

Revisão

Jogo estático

“Common knowledge”

Eliminação de estratégias estritamente

dominadas

Equilíbrio de Nash

Estratégias mistas

Aplicações

Estrutura de mercado Formação de cartéis Modelo de Hotelling

Ambiente econômico Curva de demanda:

p(Q)=a-Q,onde Q=q1+...+qN.

Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,...,n.

Lucro:i(qi,q-i)=p(Q)qi-cqi=[p(Q)-c]qi

Hipótese: c<a (viabilidade econômica da tecnologia)

2 casos polares Competição perfeita com livre entrada:

Para simplificar, ci=c para todo i. Firmas são tomadoras de preços. Há entrada enquanto houver lucro positivo. Equilíbrio:

pC=c; QC=a-c; C=0

Monopólio: Monopolista incorpora sua influência na demanda. Problema: max [a-Q-c]Q Equilíbrio:

QM=½(a-c)<QC; pM=½(a+c)>pC; M=(a-c)2/4

Estruturas de Oligopólio

Encontram-se entre os casos anteriores.

Diferentes formas de interação estão associadas a importantes diferenças nos preços, quantidades e lucros.

Serão consideradas situações onde há competição em: quantidade (Cournot, 1838); preço (Bertrand, 1883); localização (Hotelling, 1929).

Competição em quantidade: o modelo de Cournot Firmas se encontram apenas uma única vez no

mercado, simultaneamente, decidindo sobre quantidade (capacidade instalada).

2 firmas.

Equilíbrio de Nash: (q1*, q2

*) tais que q1*=q1(q2

*) e

q2*=q2(q1

*); onde qi(qj) é a melhor resposta de i à

quantidade qj da adversária.

Equilíbrio de Nash

Função de melhor resposta:qi(qj)=argmax [a-qi-qj-c]qi=½(a-c-qj).

EN: qi*=(a-c)/3, i=1,2.

Q*=2(a-c)/3 QM < Q* < QC

pM > p* > pC

*=(a-c)2/9 < M/2

Características do EN O modelo de Cournot apresenta uma

característica semelhante ao dilema dos prisioneiros.

As duas firmas estariam melhores caso praticassem quantidades iguais a qM/2, agindo como uma única firma – situação de cartel.

Entretanto, dado que a adversária pratica qj=qM/2, a melhor resposta é qi=qi(qM/2)>qM/2.

Extensão para n firmas

Função de melhor resposta:qi(q-i)=argmax [a-qi-Σj≠iqj-c]qi=½(a-c-Σj≠iqj).

EN: qi*=(a-c)/(n+1), i=1,...,n.

Q*=n(a-c)/(n+1) QM < Q* < QC

pM > p* > pC

*=(a-c)2/(n+1)2 < M/n, n>1.

Propriedades – n firmas Benefício do cartel:

M-*=(a-c)2f(n), onde f(n) tem o formato abaixo.

Propriedades – n firmas Desvio:

D-M=(a-c)2g(n), onde g(n) tem o formato abaixo.

Formação de cartéis A formação de cartéis, em um jogo

simultâneo é dificultada por uma série de razões:

há sempre um incentivo individual ao desvio, que é crescente no número de firmas;

os benefícios individuais das firmas, com o arranjo de cartel, depende do número de firmas no mercado – no exemplo, o valor máximo encontra-se entre 4 e 5 firmas. Para n>6, o benefício é decrescente.

Paradoxo de Bertrand

Suponha agora que a competição ocorre através dos preços.

Os produtos são perfeitamente homogêneos – o consumidor comprará da firma mais barata e irá sortear em caso de empate.

Equilíbrio de Nash

O EN do modelo é:pi=c, i=1,...,n.

Paradoxo: mesmo com uma estrutura de oligopólio, o equilíbrio de Nash replica o caso competitivo.

Bertrand com produtos diferenciados 2 firmas

Curva de demanda:qi(pi,pj)=a-pi+bpj.

Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,2.

Lucro:i(pi,pj)=(pi-c)qi(pi,pj)

Hipótese: c<a, b<2 (viabilidade econômica da tecnologia)

Equilíbrio de Nash

Função de melhor resposta:

pi(pj)=argmax (pi-c)[a-pi+bpj]

=½(a+bpj+c).

EN: pi*=(a+c)/(2-b), i=1,2.

Ao contrário do caso de produtos homogêneos, pi

*>c.

Competição Espacial 2 firmas

Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,2.

Lucro: i=(pi-c)qi

Demanda: consumidores estão uniformemente

distribuídos ao longo do intervalo [0,1]; há custo de transporte (linear) – cada

consumidor se dirige à loja mais próxima.

Demanda de cada firma Suponha, sem perda de generalidade, que

a firma 1 é aquela localizada à esquerda, isto é, x1≤x2.

Seja x a localização do consumidor indiferente às duas firmas.

0 1x1 x2x

q1=x q2=1-x

Interpretação

Localização geográfica

Espaço de produtos

Plataforma política

Demanda (continuação)

Denotando por pi o preço praticado pela firma i, o consumidor indiferente é dado por:

t(x-x1)+p1=t(x2-x)+p2.

Ou seja,x=(x1+x2)/2 + (p2-p1)/2t.

Se p2=p1, o consumidor indiferente se localiza no centro das duas firmas.

Equilíbrio de Nash Dados os preços p1=p2=p, as localizações

são definidas simultaneamente. Equilíbrio de Nash:

x1*=x2

*=1/2; cada empresa atende metade do mercado.

Equilíbrio é ineficiente: empresas poderiam auferir os mesmos lucros com os consumidores gastando menos com transporte.

“Princípio da diferenciação mínima”

Extensões

O modelo de Hotelling é bastante instável a modificações.

Por exemplo, com 3 firmas já não há equilíbrio em estratégias puras.

Caso haja competição de preços após a localização, o equilíbrio muda drasticamente, com as firmas localizadas nas extremidades – diferenciação máxima.