Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil –...
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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Aula 03
continuação
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. I: Conceitos Preliminares
I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
I.2. Elementos Básicos
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
I.2.2. Esforços nas Estruturas
I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais
I.3. Problemas e Métodos
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Conceito de Tensão
AF
Reduzindo os esforços distribuídos ao longo de uma área elementar a um ponto qualquer desta área:
Tensão Média:
Tensão num Ponto:
A
Fm
dA
dF
A
FA
0
lim :A área elementar
força elementar :F
:M
momento elementar
(desprezível)
A unidade de tensão é, portanto, unidade de “força / comprimento2 ”: N/m2, kN/cm2, MPa, GPa, etc.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A tensão num ponto pode ser decomposta em:
Tensão Normal z, na direção normal z e Tensão de Cisalhamento z, na direção tangencial (plano x-y, normal à direção z).
A Tensão de Cisalhamento z pode ser decomposta em duas componentes: zx, na direção x, e zy, na direção y.
z
z
x
y
z
Conceito de Tensão
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A tensão de cisalhamento se opõe à força de atrito entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por deslizamento ou cisalhamento.
A tensão normal se opõe à força de coesão entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por afastamento ou esmagamento.
z
z
x
y
z
Conceito de Tensão
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infinito de valores da tensão ou de suas componentes e . A este conjunto dá-se o nome de Estado de Tensão no Ponto.
z
z
x
y
z
Conceito de Tensão
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
O Estado de Tensão Num Ponto pode, no entanto, ser definido a partir do conhecimento das componentes e em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto.
Se dx, dy e dz são as distâncias infinitesimais entre planos paralelos que isolem um ponto P, o paralelepípedo resultante da interseção destes planos entre si pode ser utilizado para representar este ponto.
P x
y
z
dx
dz
dy
representação do ponto P
Conceito de Tensão
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
As componentes de tensão nas facetas deste paralelepípedo elementar são: x, xy, xz, y, yz, yx, z, zx e zy. As forças resultantes nes-tas facetas constituem um sistema em equilí-brio estático.
x
z
y
xyyx
yz
zy
zx xz
Em um plano inclinado em relação aos planos das facetas do paralelepípedo agem as compo-nentes n e n. Este plano também contém o ponto.
n
t
n
n
x
xy
xz zx z
zyyz
yx
y
Conceito de Tensão
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
n é a tensão normal e n a tensão de cisalha-mento neste plano (n é o eixo normal ao plano e t é um eixo tangente).A partir das condições de equilíbrio estático,
Fn = 0 e Ft = 0 obtém-se as componentes n e n em função de x, xy, xz, y, yz, yx, z, zx, zy e dos cossenos diretores da normal n.
n
t
n
n
x
xy
xz zx z
zyyz
yx
y
x
z
y
xyyx
yz
zy
zx xz
Conceito de Tensão
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Assim, conhecendo-se as componentes de tensão em três planos arbitrários, ortogonais entre si, pode-se conhecer as componentes em qualquer outro plano que contenha o ponto, por meio de fórmulas de recorrência obtidas a partir das citadas condições de equilíbrio estático das forças elementares que atuam nas facetas do tetraedro infinitesimal indicado.
n
t
n
n
x
xy
xz zx z
zyyz
yx
y
x
z
y
xyyx
yz
zy
zx xz
Conceito de Tensão
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto pode ser representado, como dito, pelas com-ponentes em três planos ortogonais arbitrá-rios: x, xy, xz, y, yz, yx, z, zx e zy.
Da condição de equilíbrio de momentos em torno do eixo x indicado, tem-se:
Mx = 0 (yzdxdz)dy – (zydxdy)dz = 0
x
z
y
xyyx
yz
zy
zx xz
x
y
z dx
dy
dz
Conceito de Tensão
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Logo, yz = zy .
Analogamente,
xy = yx e zx = xz.
Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos”
x
z
y
xyyx
yz
zy
zx xz
x
y
z dx
dy
dz
Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão Num Ponto: x, y, z, xy, yz, e zx.
x
y
xy
yx
x
y
Conceito de Tensão
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Logo, yz = zy .
Analogamente,
xy = yx e zx = xz.
Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos”
x
z
y
xyyx
yz
zy
zx xz
x
y
z dx
dy
dz
Convenção de Sinais:
x
y
xy
yx
x
y
x+ x_ xy+ xy_
Conceito de Tensão
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
Se z,zx ezy são as componentes de tensão num ponto qualquer do plano x-y, os esforços elementares correspondentes são:
.dAdN z,dAdV zxx e dAdV zyy
z
zxx
y
z
zy
dN
xdVx
y
z
ydV
Relações entre Esforços Internos e Tensões
Conceito de Tensão
Integrando estes esforços elementares:
dANA
z Azxx dAV A
zyy dAV
esforço cortante na direção x
esforço normalesforço cortante na direção y
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
z
zxx
y
z
zy
dN
xdVx
y
z
ydV
Os momentos elementares em torno dos eixos de referência são:
y
x
xy
dA
dxdydA
,dAyydNdM zx e dAxxdNdM zy dAydAxydVxdVdMdT zxzyxyz
Relações entre Esforços Internos e Tensões
Conceito de Tensão
Integrando estes momentos elementares:
dAyMA
zx A
zy dAxM
A
zxzy dAyxT
momentos fletores em torno de x e de y
momento torsor
dT
xdM
ydM
dNxdV
x
y
z
ydV
xy
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Conceito de Deformação
Sejam AB e AC dois segmentos de reta defi-nindo um plano do corpo e formando um ân-gulo entre si.
A
B
C
plano indeformado
A’
B’
C’
’
plano deformado
O corpo se deforma após a ação dos esforços e, consequentemente, os pontos A, B e C se deslocam para as posições A’, B’ e C’, respec-tivamente.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
B
C
plano indeformado
A’
B’
C’
’
plano deformado
Deformação Linear Média:
,C'A' e AC e
B'A' e AB Se
ttt
sss
t
t
AC
ACCA
s
s
AB
ABBAACAB mm
e
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
B
C
plano indeformado
A’
B’
C’
’
plano deformado
Se é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e o eixo orientado que define a direção do segmento AC,
Deformação Linear de um Ponto:
ABmAB
0
lim
e ACmAC
0
lim
O conceito de deformação linear de um ponto pressupõe a direção na qual é medida.
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
B
C
plano indeformado
A’
B’
C’
’
plano deformado
é a deformação linear do ponto A na direção e é a deformação linear do ponto A na direção .
Deformação Linear é uma grandeza adimensional. Pode ser expressa em %.
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
B
C
plano indeformado
A’
B’
C’
’
plano deformado
Deformação Angular Média:
,C''AB' e CAB Se
CABCABABCm
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
B
C
plano indeformado
A’
B’
C’
’
plano deformado
Se é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e o eixo orientado que define a direção do segmento AC,
Deformação Angular de um Ponto:
ABCm
ACAB
00
lim
O conceito de deformação angular de um ponto pressupõe o plano na qual é medida.
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
B
C
plano indeformado
A’
B’
C’
’
plano deformado
é a deformação angular do ponto A no plano
Deformação Angular é uma grandeza adimensional. Deve ser expressa em rd.
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infini-to de valores das deformações e . A este conjunto dá-se o nome de Estado de Defor-mação no Ponto.
A
B
C
plano indeformado
A’
B’
C’
’
plano deformado
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Analogamente ao Estado de Tensão, o Estado de Deformação Num Ponto também pode ser definido a partir do conhecimento das deformações e em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto.
Representado o ponto pelo paralelepípedo elementar, as deformações em suas facetas são: x, y, z, xy, yz e zx.
x
z
y
xyxy
yz
yz
zx zx
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
x: deformação linear na direção x, y: deformação linear na direção y, z: deformação linear na direção z, xy: deformação angular no plano x-y, yz : deformação angular no plano y-z, zx : deformação angular no plano z-x.
x
z
y
xyxy
yz
yz
zx zx
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
A’
plano deformadoDecompondo este deslocamento em direções x, y e z tri-ortogonaias arbitrárias:
Seja o deslocamento do ponto A após a deformação do corpo solicitado.
AA'
u: deslocamento do ponto A na direção x
v: deslocamento do ponto A na direção y
w: deslocamento do ponto A na direção zA
A’
z
x
y
uv
w
Relações entre Deslocamentos e Deformações
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma-ção, este ponto se deslocará para uma posição B’.
A
A’
z
x
y
uv
w
: projeção do ponto A’ no plano x-y'xyA
'xyB : projeção do ponto B’ no plano x-y
A’xy
A
y
BBx
'xyB
'xyA
u
v By
Bxx
'
xA '
xB
A
A’
plano deformado
Relações entre Deslocamentos e Deformações
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
xB: coordenada do ponto B segundo o eixo x
A
A’
z
x
y
uv
w
A’xy
u: deslocamento do ponto A na direção x
xB = u + u : deslocamento do ponto B na direção x
A
y
BBx
'xyB
'xyA
u
v By
Bxx
'
xA '
xB
A
A’
plano deformado
Relações entre Deslocamentos e Deformações
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Por definição, a deformação linear média do segmento AB é:
A
A’
z
x
y
uv
w
A’xy
B
B
B
BBBxxm x
ux
x
xuxx
AB
ABBAAB
BBm x
u
x
uuuAB
uuxB A
y
BBx
'xyB
'xyA
u
v By
Bxx
'
xA '
xB
A
A’
plano deformado
Relações entre Deslocamentos e Deformações
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é:
A
A’
z
x
y
uv
w
A’xy
A
y
BBx
'xyB
'xyA
u
v By
Bxx
'
xA '
xB
x
u
x
u
Bxm
ABx
BAB
00limlim
,x
ux
e
y
vy
.
z
wz
Logo,
uuxB
A
A’
plano deformado
Relações entre Deslocamentos e Deformações
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
A’
z
x
y
uv
w
A’xy
Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma-ção, este ponto se deslocará para uma posição C’.
: projeção do ponto C’ no plano x-y'xyC
A
y
BBx
'xyB
'xyA
u
v By
Bxx
'
xA '
xB uuxB
'xyC
C
'yC
Cy
Cyx
y
'yA
Cx
A
A’
plano deformado
Relações entre Deslocamentos e Deformações
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
A’
z
x
y
uv
w
A’xy
A
y
BBx
'xyB
'xyA
u
v By
Bxx
'
xA '
xB
yC: coordenada do ponto C segundo o eixo y
v: deslocamento do ponto A na direção y
yC = v + v : deslocamento do ponto C na direção y
uuxB
'xyC
C
'yC
Cy
Cyx
y
'yA
Cx
A
A’
plano deformado
Relações entre Deslocamentos e Deformações
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
A’
z
x
y
uv
w
A’xy
uuxB
Por definição, a deformação angular média do plano ABC é:
yxxyxyxym CABCABABC
ˆˆ
vvyC A
y
BBx
'xyB
'xyA
u
v By
Bxx
'
xA '
xB
vy
u
ux
v
vyy
ux
uxx
vy
CBcC
C
BB
BmABC
'xyC
C
'yC
Cy
Cyx
y
'yA
Cx
A
A’
plano deformado
Relações entre Deslocamentos e Deformações
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
A’
z
x
y
uv
w
A’xy
uuxB vvyC
A
y
BBx
'xyB
'xyA
u
v By
Bxx
'
xA '
xB
vy
u
ux
v
vyy
ux
uxx
vy
CBcC
C
BB
BmABC
'xyC
C
'yC
Cy
Cyx
y
'yA
Cx
ACAB
ABCm
C
m
B
C
C
B
Bm
yuxv
yv
yu
xu
xv
1111
A
A’
plano deformado
Relações entre Deslocamentos e Deformações
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
A’
z
x
y
uv
w
A’xy
uuxB vvyC
A
y
BBx
'xyB
'xyA
u
v By
Bxx
'
xA '
xB
'xyC
C
'yC
Cy
Cyx
y
'yA
Cx
ACAB
ABCm
C
m
B
C
C
B
Bm
yuxv
yv
yu
xu
xv
1111
,111 Como ACAB mm
CBm y
u
x
vABC
A
A’
plano deformado
Relações entre Deslocamentos e Deformações
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
A’
z
x
y
uv
w
A’xy
uuxB vvyC
A
y
BBx
'xyB
'xyA
u
v By
Bxx
'
xA '
xB
'xyC
C
'yC
Cy
Cyx
y
'yA
Cx
Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é:
y
u
x
v
y
u
x
v
CByx
m
ACAB
xy
C
BABC
00
00
limlim
,y
u
x
vxy
Logo, e z
v
y
wyz
.x
w
z
uzx
A
A’
plano deformado
Relações entre Deslocamentos e Deformações
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
A’
z
x
y
uv
w
A’xy
Finalmente, as relações entre deslocamentos e deformações são:
y
u
x
vxy
z
v
y
wyz
x
w
z
uzx
x
ux
y
vy
z
wz
deformações lineares
deformações angulares
A
A’
plano deformado
Relações entre Deslocamentos e Deformações
Conceito de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Estados de Tensão:
x
z
y
x
y
z dx
dy
dz
Estado Triplo ou Triaxial
x
y
z dx
dy
dz
Estado Triaxial Uniforme
zyx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Estados de Tensão:
Estado Plano
x
y
xyyx
x
y
z dx
dy
dz
x
y
xyyx
x
y
dx
dy
notação alternativa
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Estados de Tensão:
Estado Duplo ou Biaxial
x
y
x
y
dx
dy
x
y
dx
dy
Estado Biaxial Uniforme
yx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Estados de Tensão:
Estado Simples
x
x
y
dx
dy
xyyx
x
y
dx
dy
Estado de Cisalhamento Puro
yxxy
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
Estados de Deformação:
x
z
y
x
y
z dx
dy
dz
Estado Triplo ou Triaxial
x
y
z dx
dy
dz
Estado Triaxial Uniforme
zyx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Estados de Deformação:
Estado Plano
x
y
xyyx
x
y
z dx
dy
dz
x
y
xyyx
x
y
dx
dy
notação alternativa
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
Estados de Deformação:
Estado Duplo ou Biaxial
x
y
x
y
dx
dy
x
y
dx
dy
Estado Biaxial Uniforme
yx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
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Estados de Deformação:
Estado Simples
x
x
y
dx
dy
xyyx
x
y
dx
dy
Estado de Cisalhamento Puro
yxxy
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas
Relações entre Tensões e Deformações
Lei de Hooke:
Às tensões normais correspondem deformações lineares
xxxx
xy
xz
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”
dx
x
y
dy
elemento indeformado
dxdx x
dydy y
elemento deformado
Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares
xyxy yx
xy
elemento deformado
1
221 xy
dx
x
y
dy
elemento indeformado
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
Relações entre Tensões e Deformações
Lei de Hooke:
xx
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”
dx
x
y
dy
elemento indeformado
dxdx x
dydy y
elemento deformado
Constantes de Proporcionalidade:
Ex
x
Ex
zy
E: Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal
: Coeficiente de Poisson
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
Relações entre Tensões e Deformações
Lei de Hooke:
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”
yx
xy
elemento deformado
1
221 xy
dx
x
y
dy
elemento indeformado
Constantes de Proporcionalidade:
Gxy
xy
G: Módulo de Deformação Transversal
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
Relações entre Tensões e Deformações
Lei de Hooke:
Constantes de Proporcionalidade:
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”
E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke só é válida no regime elástico.
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
Relações entre Tensões e Deformações
Lei de Hooke:
Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE):
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”
“Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se-paradamente”
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Relações entre Tensões e Deformações
Lei Generalizada de Hooke:
x
z
y
xyyx
yz
zy
zx xz
x
y
z dx
dy
dz
zyx
x EE
Utilizando o PSE, as somas das defor-mações decorrentes de cada componen-te de tensão, no ca-so geral de Estado de Tensão em um ponto, serão:
xzy
y EE
yxz
z EE
Gxy
xy
Gyz
yz
Gzx
zx
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Relações entre Tensões e Deformações
Lei Generalizada de Hooke:
x
z
y
xyyx
yz
zy
zx xz
x
y
z dx
dy
dz
zy
xx
1
1Resolvendo para obter as tensões :
xyxy G
xz
yy
1
1
yx
zz
1
1
yzyz G
zxzx G
211
E e G são as Constantes de Lamé
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Relações entre Tensões e Deformações
Observações:
Estado Simples de Tensão
x
x
y
dx
dy x
z
y
x
y
z dx
dy
dz
Estado Triplo de Deformação
A um estado simples de tensão corresponde um
estado triplo de deformação
E
E
xzy
xx
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Observações:
Estado Simples de Deformação
x
x
y
dx
dy xz
y
x
y
z dx
dy
dz
Estado Triplo de Tensão
A um estado simples de deformação corresponde
um estado triplo de tensão
1x
zy
xx
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Relações entre Tensões e Deformações
Energia Potencial de Deformação: Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto,
realizam TRABALHO.KUW
onde W é o trabalho realizado pelos esforços, U é a energia potencial do corpo deformado e K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo.
0KComo os esforços são aplicados lentamente, e .UW
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Energia Potencial de Deformação:
Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw.
wkN z
2
2wkwdwkU zwzN
dw
dz
N N
O esforço N é proporcional ao deslocamento w.
2
NwU N
wdwkdU zN
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Relações entre Tensões e Deformações
Energia Potencial de Deformação:
Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw.
dw
dz
N N
O esforço N é proporcional ao deslocamento w.
dwdNdU .2
1
2
NwU N
é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo de deformação.
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
Relações entre Tensões e Deformações
Energia Potencial de Deformação:
Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw.
dw
dz
N N
O esforço N é proporcional ao deslocamento w.
dwdNdU .2
1
dzdAdU zz .2
1 zzdV
dU 2
1
x
x
dV
dU
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Energia Potencial de Deformação:
Como a energia é uma grandeza escalar,
zxzxyzyzxyxyzzyyxxdV
dU 2
1
é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz.
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Energia Potencial de Deformação:
Seja o estado de cisalhamento puro. Em um plano inclinado de 45º, tem-se:
xyyx
x
y
dx
dy45
45
02
2
2
220 45
dAdAF xyn xy 45
02
2
2
2
2
2
2
20 45
dAdAdAF xyxyt 045
dA2
2dA
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Energia Potencial de Deformação:
Repetindo o raciocínio para um plano perpendicular ao plano inclinado considerado (-45º):
xyyx
x
y
dx
dy
45
45
xy 45 e 045
Logo, são equivalentes os seguintes estados de tensão:
xy xy
45º
cisalhamento puro biaxial
xyyx
x
y
dx
dy
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
Relações entre Tensões e Deformações
Energia Potencial de Deformação:
A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é:
GdV
dU xyxyxy 22
12
Para o estado biaxial é:
yxxy
yyxxdV
dU
22
1
1
EEExyyx
x
1EEE
xyxyy
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Energia Potencial de Deformação:
A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é:
GdV
dU xyxyxy 22
12
Para o estado biaxial é:
yxxy
yyxxdV
dU
22
1
1
2
EdV
dU xy
Igualando as duas expressões: 12
EG
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Energia Potencial de Deformação:
Em suma, as constantes de Lamé podem ser escritas em função do Módulo de Elasticidade e do Coeficiente de Poisson como:
211
E
12
EGe
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Fim da Aula 03