Matemática Financeira - Apostila Matemática Financeira Completa
Introdução à matemática financeira [modo de compatibilidade]
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INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA
Professor: Daniel MouraDisciplina: Engenharia EconômicaCurso: Graduação em Engenharia de Produção
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Uma pergunta inicial …
O que éO que éMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaFinanceiraFinanceira??
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Uma resposta simples …
RETORNORETORNO==
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Constatação importante …
Dinheiro tem custo tem custo
notempo!!!
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Primeiro passo …
Entendendo Entendendo
o o dinheiro dinheiro o o dinheiro dinheiro
nono tempotempo!!!!!!
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Diagramas de fluxo de caixa
� Representação gráfica da evolução do dinheiro no tempo
� Símbolos
MovimentaçõesMovimentações de $de $
TempoTempo
MovimentaçõesMovimentações de $de $
(+) Entradas(+) Entradas
((--) Saídas) Saídas
Taxa de juros = Taxa de juros =
JurosJuros
Valor InicialValor Inicial
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Ilustrando o uso do DFC
Um investidor aplicou hoje $100,00 por
um mês, planejando resgatar $108,00.
Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da
operação.
--100,00100,00
+108,00+108,00
11
taxa = 8/100 = 8%taxa = 8/100 = 8%
juros = $8,00juros = $8,00
ao períodoao período
00 mesesmeses
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Componentes do DFC� Valor presente (VP)
� Valor futuro (VF)
� Tempo (n)
� Taxa de juros (i)
VF VF -- VPVPjuros = $80,00juros = $80,00
ii
--400,00400,00
+480,00+480,00
44
taxa = 80/400 = 20%taxa = 80/400 = 20% ao períodoao período
00
VPVP
VFVF
nn
ii
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Analisando a compra do rádio
A vista: $100,00A vista: $100,00
1+1: $60,001+1: $60,00
ouou
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Pensando sem esforço …
Já que o bem custa $100,00 e eu vou pagar duas de
$60,00 …
Vou pagar 20% de juros!
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Pensando melhor …
Ops!
Estude o diagrama Estude o diagrama de fluxo de caixa
da operação!!!
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Para sempre lembrar …
Ops … recebi 100, pagando 60 …Ops … recebi 100, pagando 60 …
Que Que absurdo!absurdo!
+100,00+100,00
taxa = 20/40 = 50%taxa = 20/40 = 50%
juros = $20,00juros = $20,00
ao mês
00 11
--60,0060,00--60,0060,00
+40,00+40,00
Ops … recebi 100, pagando 60 …Ops … recebi 100, pagando 60 …
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Conceito de juros simples
Juros sempre
incidem sobre o
VALOR VALOR
PRESENTE
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Equações dos juros simples
No regime de juros simples, o juro é calculado sobre o
capital inicial , proporcionalmente ao número de
capitalização.
J = C · i · n (equação 4.1)
onde:J = juros;C = capital inicial (ou principal);i = taxa de juros;
n = número de capitalização durante o prazo da operação financeira.
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Exemplo de cálculo.
Calcular o juro produzido por um capital de $ 100.000,
aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de
2% a.m.
J = C x i x n
J = $ 100.000 x 0,02 x 6 = $ 12.000,00
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A soma de Capital (C) e Juros (J) chama-se
Montante (M), e pode ser calculado de duas formas
(equação 4.2 ou 4.3).
M = C + J (equação 4.2)
M = C (1 + i ⋅⋅⋅⋅ n) (equação 4.3)
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Exemplo de cálculo.
Calcular o montante de um capital de $ 100.000, aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de 2% a.m.
Forma de cálculo 1:Forma de cálculo 1:M = C + JM = $ 100.000 + $ 12.000 = $ 112.000
Forma de cálculo 2:M = C x (1 + i x n)M = $ 100.000 x (1 + 0,02 x 6)M = $ 112.000
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Preste atenção!!!
� Empréstimo� Valor atual na data zero
igual a $100,00� Taxa igual a 10% a.p.� Taxa igual a 10% a.p.
Considere juros simples
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Juros simples
nn JurosJuros VFVF FórmulaFórmula
0 - 100,00 VF=VP
1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP10% x $100
Juros simples sempreincidem sobre valor presente
1 10,00 110,00
2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP + i.VP
10% x $100
n i.VP VF VF=VP (1+ i.n)
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Fórmula dos juros simples para Cálculo do Valor Futuro
VF=VP (1+ i.n)Devem estar
em uma mesmaem uma mesmabase!!!
Como a taxa é sagrada,ajusta-se o valor de n
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Abreviaturas nas taxas
Abreviatura Significado
a.d. ao dia
a.d.u. ao dia útil
a.m. ao mês
a.m.o. ao mês overa.m.o. ao mês over
a.b. ao bimestre
a.t. ao trimestre
a.q. ao quadrimestre
a.s. ao semestre
a.a. ao ano
a.a.o. ao ano over
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Cuidado com os anos�ano civil ou exato�formado por 365 dias;
ano comercial�ano comercial�formado por 360 dias.
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Exemplo A� Uma aplicação de $500,00 foi feita
por oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resgate?
VFVF
--500500
8 meses8 meses00
i = 5% a.m.i = 5% a.m.
VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)
VF = 500 (1+0,05 x 8)VF = 500 (1+0,05 x 8)
VF = 700VF = 700
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Características dos juros simples
� Valor uniforme dos juros períodicos
� Valor futuro cresce linearmente
Capitalização LinearValor Futuro
Tempo
VP
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Exercícios de …
Sala!Sala!
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Exemplo B� Sabina precisará de $1.200,00 em
dez meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am
1.200,001.200,00
--VPVP
10 meses10 meses00
i = 5% a.m.i = 5% a.m.
VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)
1200 = VP (1+0,05 x 10)1200 = VP (1+0,05 x 10)
VP = 800VP = 800
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Exemplo C� Neco aplicou $8.000,00 por seis
meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente na operação?
10.400,0010.400,00
--80008000
6 meses6 meses00
i = ?i = ?
VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)
10400 = 8000 (1+i x 6)10400 = 8000 (1+i x 6)
i = 5%i = 5%
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Exemplo D� A aplicação de $9.000,00 a uma
taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação?
11.700,0011.700,00
--90009000
n=?n=?00
i = 6% a.m.i = 6% a.m.
VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)
11700 = 9000 (1+0,06 x n)11700 = 9000 (1+0,06 x n)
n = 5n = 5
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Importante!!!
Taxas são sagradas!!!sagradas!!!
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Exemplo E
Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 por 24
meses a 8% a.a.
Taxa anual !!!
-$500,00
0
24
VF
n em anos
X24 meses = 2 anos
2 anos
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Alterando o prazo …
VF=VP (1+ i.n)
VF=500 (1+ 0,08.2)
VF=$580,00
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A soma de Capital (C) e Juros (J) chama-se
Montante (M), e pode ser calculado de duas formas
(equação 4.2 ou 4.3).
M = C + J (equação 4.2)
M = C (1 + i ⋅⋅⋅⋅ n) (equação 4.3)
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Exemplo de cálculo.
Calcular o montante de um capital de $ 100.000, aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de 2% a.m.
Forma de cálculo 1:Forma de cálculo 1:M = C + JM = $ 100.000 + $ 12.000 = $ 112.000
Forma de cálculo 2:M = C x (1 + i x n)M = $ 100.000 x (1 + 0,02 x 6)M = $ 112.000
![Page 34: Introdução à matemática financeira [modo de compatibilidade]](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022020116/5588ca49d8b42aa24a8b464d/html5/thumbnails/34.jpg)
Juros compostos
No regime de juros compostos, os juros produzidos
em um período de capitalização e não pagos são
integrados ao capital no início do período seguinte,
para produzirem novos juros, ou seja, os juros
incidem sobre o capital inicial e sobre os próprios
juros.
![Page 35: Introdução à matemática financeira [modo de compatibilidade]](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022020116/5588ca49d8b42aa24a8b464d/html5/thumbnails/35.jpg)
� O juro composto é a maior invenção da humanidade,
porque permite uma confiável e sistemática
acumulação de riqueza." - Albert Einstein.
35
acumulação de riqueza." - Albert Einstein.
“Juros Compostos são juros sobre juros!”
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Emprega-se $ 100,00 a 10% a.a.. Observe a analise deste capital (principal) ajuros compostos:
PeríodoSaldoIníciodoperíodo
Juroscalculados
Saldoinicial
+Juros
Crescimentopor período domontante
período Juros
0 100,00 100 x 0,1 = 10 110,00 10,00
1 110,00 110,00 x 0,1 = 11 121,00 11,00
2 121,00 121,00 x 0,1 =12,1
133,10 12,10
3 133,10 133,10 x 0,10 =13,3
13,31 13,31
![Page 37: Introdução à matemática financeira [modo de compatibilidade]](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022020116/5588ca49d8b42aa24a8b464d/html5/thumbnails/37.jpg)
i=10% Montante Montante Diferença
Ano Juros simples Juros compostos
início 1o. Ano 1000 1000 0
fim 1o. Ano 1100 1100 0
fim 2o. Ano 1200 1210 10
fim 3o. Ano 1300 1331 31
As diferenças entre a capitalização simples e a composta cresce, exponencialmente, com a taxa de juros...
Quadro 3: Juros com capitalização composta (i=10%)
i=20% Montante Montante Diferença
Ano Juros simples Juros compostos
início 1o. Ano 1000 1000 0
fim 1o. Ano 1200 1200 0
fim 2o. Ano 1400 1440 40
fim 3o. Ano 1600 1728 128
fim 4o. Ano 1800 2073,6 273,6
fim 5o. Ano 2000 2488,32 488,32
fim 3o. Ano 1300 1331 31
fim 4o. Ano 1400 1464,1 64,1
fim 5o. Ano 1500 1610,51 110,51
Quadro 4: Juros apurados com capitalização composta
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![Page 39: Introdução à matemática financeira [modo de compatibilidade]](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022020116/5588ca49d8b42aa24a8b464d/html5/thumbnails/39.jpg)
� Em juros compostos, o problema principal consiste
em calcular o montante (soma) F obtido pela
aplicação de um único valor principal P no instante
39
aplicação de um único valor principal P no instante
t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.
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� Juros pode ser representado pela seguinte fórmula:
40
( )( )11 −+=n
iPJ� Sendo que:
� J = Juros recebido (ou pago) referente ao período;� P = Capital aplicado (ou tomado);� i = Taxa de juros;� n = Período de aplicação (ou prazo da operação).
( )( )11 −+= iPJ
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� Montante: É o valor do capital inicial somando aos juros acumulados no decorrer do período, onde usamos a seguinte fórmula:
41
� Sendo que:� F = Representa o montante ou valor futuro
PFJ −=
niPF )1( +=
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� Por meio das fórmulas básicas de valor futuro podemos extrair outras fórmulas para facilitar o cálculo de outras variáveis, como:
42
1
1
−
=
n
P
Fi
niPF )1( +=
niLog
P
FLog
n)1( +
=n
i
FP
)1( +=
Valor presente Prazo Taxa de juros
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Aplicações para Juros Compostos
� Calcular o valor inicial de uma aplicação que foi remunerada a 6% a.a., em 4 anos e teve como resgate final $ 7.400,00.
niPF )1( +=
� Resposta:
� 5.861,493. Logo, o valor inicialmente aplicado foi de aproximadamente $5.861,50.
niPF )1( +=
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� Qual o tempo necessário para $ 6.000,00, a 5% a.a., renderem $ 900,00 de juros?
P
FLog
n
=
� Para juros compostos usando a equação , tem-se:J = F - P F= P + J = 6.000 + 900 = 6.900,00.
� n = 3 anos
niLog
Pn
)1( +
=
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� A que taxa deve-se colocar o capital de $ 10.000,00 para em 2 anos, 6meses e 10 dias ter $ 1.137,50 de juros?
1
1
−
=nF
i
� Como F = P + J = 10.000 + 1.137,50 = 11.137,50; 2a, 6m e 10d = 910 dias; e substituindo n por na equação, tem-se que:
� i = 4,354% a.a
1−
=P
i
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Exercícios
� Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?
� R: F = 18362, 96 J = 3362,96
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� Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este montante?para que eu venha a conseguir este montante?
� i = 2,25% a.m.
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� Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?
� R: 41, 12 meses de aplicação