570 FLU.TOCOIúPRESTBLEUNIDTMEIISIONALESTACTONARTO

Ecuación fundamental:

:0(1) :0(2)tt

,,, * 4.: y. I v,p dy * | v,pú . oÁt qI rVC JSC

Suposiciones: (1) Fr. = 0(2) Flujo estacionario(3) Flujo unilorme en cada secc¡ón transversal

Se tiene entoncesptA- pzA = yr{-lp,y,Ai} +vr{lprvrAl}: rñ(V, - V,)

es decir,

P¡ - Pz : I *ur- v,) = prv,(v, - v,)

Despejanclo a Y2 se obtiene

Y,:9t - Pz *,' PrV,

De la ecuación de continuidad, G = gtVt: prVr,de tal modo que

La iemperatura de estancamiento isentróp¡co local está Cada por

Para un gas ¡deal,

9t 20 lbf 't44pulg2 tbm R 1p,:----:-= -_x

'jjgx - " :O.O9Olbm/Die3r t Rr, putg2 piez s3.3pie . lbt 600

.- (20 - 10) lbl 144oulo2 oie3 s 32.2 lbmV-:

-_X

'-----: x______i___y_ y _' pulg' piez 0.090 lbm 360pie stug

slug .pie 360 pie

lbf ' s 2 s

V, : '1790 pie/s

(4. 1 9a)

e,: e,t: o.oeo H (#) : 0 0181 rbm/pie3 ,,iDespejando a fr,

l

- pt 10 tbf 144putgz pie3 ibm.R i

t z: ñ nutga* piez' o 01g1 rb- *ss:pieslot: 1a90 R r, ,

+

r^ : r.l, *I:J^r,)-\ ) 't/

c, = nflar2: 1B9o piesls; Mr:L: 1?'g0 : 0.947c2 1890

ro, = 1490 R[1 + 0.2(0.S47]'z1 : 1760 n T.

__FLUJO COMPRESI BLE UNID IMENSTONAL ESTACIONA RIO

po2 = pz(tJ'-- " : .ro p.¡" (ffii ' : 17.8 psia

=0(a) =0(5) :0(5) :0(2)/ / / ,/

o */"* /"*,,"i/",*= ffiu""o* *

f,",, + pv¡pú'ctÁ

57r

La transferencia de calor se puede determinar de la ecuación de la energia.

Ecuación fundamental:

donde

v2e=u+-+2

=0(6)

/Suposiciones: (4) ú" : O

(5) ú"on"n," = úotr"" = o(6) Cambios en z despreciables

Resulta entonces

ó: (,, + p,,, +\\' 2

o:a(n,**-n,\' 2

de manera que

óo1 o: cp(ro, - ro,)dm rñ

ro,=r,(r*k='^r1)' \ 2 '.)

c, = .,,lrRl : l2O0 pie/s ; M, :L: I = 0.,cr 1200

ro, : (6@ F)[1 + 0"2(0.3)rJ : sll Rv

óO Btu

7; = 0.2aO lb_ . R

(1760 - 61 1) R : 276 Btu/tbm

Emplea.ndo ra ecuación rds, o sea, T ds - dh - v dp, se obtiene para un gas ideaicon calores especif icos constantes,

{-lp,v,nll*(,,*0,,,

+):d1{ho,-h¡,)=rñc

*Y) Uo,v,el\

e(rs. - fo,)

óQ/dm

s: - sr : ",tnl- RnL: ",,n1- {cp - c,),n22

s72 FLUJO COMPRESIB LE WTDIMENSIONAL ESTACTONARIO

Be este modo

0.240 Btu /1490\ (0.240 - 0.171)s.-s,: xlnl-l-'tbm.R \ 600 /Btu /lo\x lnl-llbm.R \20l

sz - sr : 0.266 Btu/lbm'R

El proceso sigue una linea de Rayle¡gh como se indica a continuación

T

Para completar nuestro análisis examinernos el carnbio en po comparando po, con

Como se puede observa po, resulta m€ñor eu€ ps,.

J en generat, la presión de estancam¡ento para un flujo de Bayleigh disminuye m+l

I diante el calenlam¡ento y aumenta con el enlriamiento. i

".10.5.3 TABLAS PARA EL CALCULO DE UN FLUJODE RAYLEIGH PARA UN GAS IDEAL

En la sección lG5.l establecimos las ecuaciones fundamenrales para el f'lujode Rayleigh para Cos estados arbitrarios e V O de un t-iujo compresible.Para facilitar la solución de los problemas correspondienres, es convenienretabular ias propiedades adimensionales en términos del y:ire:l Ce llach lc-cal, como lo hicimos para el flujo de Fanno. Al igual que en ese caso, el es-

tado de referencia que se toma es aquel que corresponde a Ia condicióncritica, es decir, el estado para el cual el número de llacir es unitario: laspropiedades para la condición critica se representan nieJs::: :n asr:ri.cc

''Esta secc jón p€Ce omrl¡rs s¡n De¡der cmtinuidad en el texto-

FLU¡O COMPRESTELE WIDTMENSIONAL ESTACTONANO 573

Las propiedades en forma adimensional (como TIT* y plp*) se pueden

"*pr.rá, eicribiendo las ecuaciones fundamentales entre un punto de tlujo

Aon¿e las propiedades son M, T, P etc., y el estado crítico (M = | las pro-

piedades representadas con asterisco, es decir, T*, p*, etc')'

La razón de presiones p/p*'puede obtenerse a partir de la ecuación de la

cantidad de movimiento

pA - p*A: rhY* - rhV

p*pVz:p++p*V*z

(10. reb)

es decir.

Substituyendo p: plRT y factorizando las presiones

r[r+#]:,.['.H]observando que Y2 IRT : k{yzlkRT) : kJl2' entonces

y finalmente,

plt + ktvtz): p*[1 + ft]

p l+kp' L+kM"

De la ecuación de estado para los gases ideales,

T pp*r-: tl

De la ecuación de continuidad

(10.20a)

n*Vct : -M-:MpV*cu

De este modo, substituyendo p*lp, se obtiene

rofTr-:,-"Vr.

Elevando ai cuadrado y substituyendo la ecuaciÓn 10.20a, en esta úitima

expresión, resulta

*:l*.r}:["(*#)] r10.:0b)

Asimismo, de la ecuación de continuidad, empleando además !a ecuac¡on

t0.20b,

p' V .Vr{l -k)p

: v*: lT k¡; tl0.:Üc¡

574 FLU.To OoMPRESIBLE T]NIDTMENSTaNAL EyTACI1NART1

I-a temperatura de estancamiento aclimensional, Tolrfi, se puerle clererminar a partir de la ecuación

'- (t* , )

To2{k + t'tÚz

'r*lO (l + k,tf(10.20d

)

t+k rt u'

i( _ l\¡/rr_1)+- 2 )

'#' #t(#J (' . ?'')]-*-" ('o'*,

Puesto que las razones expresadas en las ecuación 10.20a a la e, sonfunciones únicamente del número de Mach, se pueden calcular en forma rje-linitiva ) presentar en lorma tabulada. La tabla B-3 ctel apéndice B preserrr;ieslcls resulfados.

Ejernplo 10.10

A través de un conducto de sección transversal constante tluy'e aire y el rr,-zamiento se considera insignilicante. En la sección I, las propiedades tjelflujo son Ir : 60 C. p, : l35.kPa (abs), I/r :732 m s. Se agregacalor al flujo en las secciones O y €), donde el número de Mach en esra úl-tima es 1.2. Determinar las propiedades der rlujoen lasección@, la rransie-rencia de calor por unidad de masa, el cambio de entropia y graficar el pro-ceso en un diagrama 7ls. Emplear las tablas.

Problclr¡a de ejcrnpkr l{1. l0

DATOS CONOCIDOS:

Flujo sin tricción de alre corno se muestra en el diagrama

f, : 333 K M, : 1.2 rc\.p. = 135 kPa tabs,! '/','t .,:=:=:::¿:::::==Vt =732mls

Fluio-¡- I-------'**-----l ;

-u"r:#O,á6DETEFMINAFI: ñl

(a) Propiedades en la sección @. tc) s: - sr i(h) ¿iQ/drn. (d) Graficar en un diagrarna Is i

FLUTO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL ESTACTONARTO

SOLUCION:

Necesitamos COnOcer ambos números de MaCh para obtener laS relacioneS de pro-

piedades de las tablas.

tl.¿ 287Nm 333K ksml'c,=yk,r,:L ,. **' '[:*l :366m/s

v. 732m sM, =: x

-:2.00ct s 366m

De la tabla B-3, apéndice B,

M To/Ti 9o/ Pó T/T" p/p'

2.00 0.7934 1.503 0.5289 0.3636 1.455

1.20 0.9787 1.019 0.9119 0.7958 1.146

Empleando estos datos y observando que las propiedades criticas Son constanies,

f,15

2:rI: ii- :172: rz = 17zrt: t1T2) 333 K : 573 KT1 T t/T' 0.5289

p z p:l p' 0.7958'--1 :---i-:

-:2.19;

pr= 2.19pr: (2.19) 135kPa = 296kPa{abs)pt ptlp- 0.3636

v - v./v' 1 1¿6 (0.788) 732 m-' =-' = -:---:-::0.788; V.:0.788Vr :' :577 m/svl vt/v' 1.455 s

pt 296 x 10' N .. kg'Kln-l1''., "'" x :'1.80kg/mr

mr 287 N.m 573 K

La transferencia de calor se puede determinar a partir de la ecuación de la energia, lacual se reduce a (véase el probleroa de eiemplo '10.9)

(iO-'=. : ñ,,, - hn, = cp(fo. - fJ )dm

De las tablas para f luio isentrópico (tabla B'1), para tl,{ = 2.0,

yparaM ='l'.2

T T, T, 333(_ : --: = 0.5556: r,. : : :39 KT,, r,,, ' 0.t55o :.::56

T T. r- 5_3{i., i,,. 0.r7M l;c4

576 FLUJOCOMPRESTBLEUNTDTMENSTANALESTACIONARIO

Substituyendo se obtiene

óou-Y : co(To,- ro,) : 1.gg-kJ-(738 - 599) K: 139 kJ/kg 6e/dn

El cambio de entropia se puede determinar utirizando ra ecuación r ds es decir r ds= dh - v dp, Para un gas ideal con calores especlficos constantes,

_ T2 _ pzsz - sr : coln;i - Fln-

' | 9t

1.00 kJ /SZS\lnf_lkg.K \333/s2 r sr = 0.3f7 kJlkg.K

287 N.m . /2.96 x 10\ kJ- _¡nt _ ! --kg.K \1.35 x 10s/ loooN.m

S,-s.Podemos verificar finarmente, er efecto que resurta sobre po. De ra tabla B-1 para M= 2.0,

*: #,: e lzt.; ,o,: Jh: H# __ 1 06 Mpa (abs)

yparaM=1.2

X:#,:0 4124; p,,:#it:*#: 718 kpa (abs)

Resutta entonces po, < po,, corno era de esperarse para un proceso o" a"r"*lri*_-to.

El proceso se puede representar mediante ra rama supersónica de una r¡nea deRayleigh:

b

F L UJO CO I{ P R E S f B I. E U I¡ I D I TI E N S I O N A L E S TA C T ON A R. { O 517

#6 ONDAS D}] CTIOQUE NORPIALES

Hemos mencionado previamente las ondas de choque nclrmales que se pre-

sentan en alguna -.ección de un ilujo a trar'és de una tobera. En la práctica.estas discontinuiiiades irreversibles se pueden presentar en cualquier llujosupersónico ya sea interno o externo. Para comprender el diseño Ce los dilu-sores supersónicos que se utilizan, por ejemplo, en las tomas de aire de losaviones de gran rendimiento.v- tirneles de l'iento,.upersónico. re-ruita rie iama!or importancia cL')nocer los cambios en las propiedades del t'lujo que.cpresentan en una onila de choque a)i como el comp.lrtamienio cie la trndamisma. Por esa razón, esta sección tiene como objetivo analizar irrs Proce-¡os que se presentan en las ondas de choque normales.

.Antes de aplicar las ecuaciones t'undamentales a ia.s ondas de choqlle nor-males, resulta importante tener una clara imagen lisica.ie ellas. Si bien e'ciL'rto que es lisicamente impo:ible tener discoirtinuidaJes en ia. p¡irpici,l¿t-

des del lluido, la: ondas de choqur- normaies scn prácticaffieflll ili:Cr¡nti-nuas. El e\pe-\or iie una onda de choque es .lel orCen .te 0.1 nricr¡' (lu --'

pulg), es decir, aprorimadanrente cuatro veces la tralL'ctoria libre nleilia cle

las moléculas del gas. En esta distancia tan pequeña, .e pre\entan graniL'.cambios en la presión. la temperatura. )'en las otra: prcpiedac['s del iluidrr.Asimismo, [a aceleración local del lluidt pur'de alcanzar varia' decc-na: clc

rnillones.lel val,¡r de la acc-leracitin de Ia graredail. Tr,r.ias e\ta\ contidera-ciones ju-itilican el tratamiento de la oncla de choqu.- normal c(rnro un3 di.-continuiilad brusca; nos intere-.an lo-. cambio-¡ quese preientan en uni.r (rnda

de choque más que los rletalles de su eitructura.

10-6.1 ECUACIONES FUNDAMENTALES

Para comenzar nuestro análisis apliquemor ias ecuaciL-nes fundamentah--s alvolumen de control de espesor pequeño moslrado en la iigura 19- 17. ¡londe,con objeto de tener las condiciones más generales. se ha repre.entaJir unaonda de choque nornial estacic¡naria en un conducto Ce forma ¡r'¡itraria.

a Ecuación de ccntinuidadEcuación fundemental: :0(t)

0: ¡ I r,,lVy ¡ '\c

- l' or"'Lti i+. l-.t

Suposiciones: ti) Fiujo estacionario{1) Flujo uniicrrme en cada seccion ir¿n* e¡.:i(3) {r - At:.'1, debitio a que la onda c1e chLrüut- L'\ L'\tra-

ordinariamente delgada0: l-i,r,i', {,'-' rr-['- 1

E.cribienio el resultado mediante

¡t,l'' : l): l: rl0li¡)