INTERVALOS DE CONFIANZA densidad de b2 hipótesis nula 0 ...

!2 !2+1.96sd !2-sd !2-1.96sd !2+sd

2.5% 2.5%

INTERVALOS DE CONFIANZA

densidad de b2 condicional en que !2 = !2 sea verdadero

0 hipótesis nula H0: !2 = !2

0

0 0 0 0 0

Si el nivel de significación es 5%, la estimación obtenida (círculo pequeño) no nos permitiría rechazar la hipótesis nula. PREGUNTA: ¿QUÉ MIDE EL NIVEL DE SIGNIFICACIÓN? 1

región de aceptación para b2

2.5% 2.5%

Intervalos de Confianza


0 hipótesis nula H0: !2 = !2

0

!2 !2+1.96sd !2-sd !2-1.96sd !2+sd 0 0 0 0 0

2

Empecemos al revés: dado un valor estimado del parámetro, ¿cómo sabemos si rechazamos o no la hipótesis nula al nivel de significación del 5%?


b2

3

b2


hipótesis nula H0: !2 = !2


0 0

!2 0

H0: !2 = !2 .

Lo que hacemos es calcular la distribución suponiendo que la hipótesis nula es cierta.

0

4




0 0

!2 !2+1.96sd !2-sd !2-1.96sd 0 0 0 0

Es decir, dibujamos la distribución de b2 condicional en que H0: !2 = !2 sea verdadero.

0

b2

Pero para ello, necesitamos conocer la desviación típica de la distribución. En un primer momento lo asumimos conocido. En este dibujo se observa que la hipótesis nula no se contradice con nuestra estimación. 5

Supongamos otra hipótesis nula



b2 !2 1

1

6

Habiendo dibujado la densidad de b2 condicional en que esta hipótesis sea verdadera, es posible observar qué hipótesis son compatibles con la estimación.


!2 !2+1.96sd !2+sd !2-1.96sd 1 1 1 1 b2



1 1

7

Aquí hay otra hipótesis nula.


b2


!2 2

2

8

pero no es compatible con nuestra estimación.


b2


!2-sd !2-1.96sd !2+sd 2 2 !2 2 2


2 2

9

Existe por tanto un valor máximo de !2 compatible con nuestra estimación.


b2


!2 !2 + 1.96sd !2 - sd !2 + sd max max max max


max max

Llamaremos a éste !2. max

10


b2


max



max

rechazar si !2 > !2

b2 = !2 - 1.96 sd

!2 = b2 + 1.96 sd

rechazar si !2 > b2 + 1.96 sd

max max

Para rechazar la hipótesis, b2 debe caer en el área del 2.5% de la cola, por lo que debería ser 1.96 desviaciones típicas menor que !2

max.

max

11

densidad de b2 (1) condicional en que !2 = !2 sea verdadero (2) condicional en que !2 = !2 sea verdadero


b2 !2 !2 -sd !2 -1.96sd !2 +sd min min min min

min

max

Este diagrama muestra los valores posibles de !2, conjuntamente con las distribuciones asociadas de b2.


(1) (2)

12


b2 !2 !2 -sd !2 -1.96sd !2 +sd min min min min


(1) (2)

Cualquier valor en el intervalo!2min - !2

max sería compatible con el valor estimado para esta muestra. Este es el intevalo de confianza al 95% .

rechazar si !2 > !2 = b2 + 1.96 sd rechazar si !2 < !2 = b2 - 1.96 sd

95% intervalo de confianza: b2 - 1.96 sd < !2 < b2 + 1.96 sd

max min

13


Desviación típica conocida

95% intervalo de confianza b2 - 1.96 sd < !2 < b2 + 1.96 sd 99% intervalo de confianza b2 - 2.58 sd < !2 < b2 + 2.58 sd

Desviación típica estimada

95% intervalo de confianza b2 - tcrit (5%) se < !2 < b2 + tcrit (5%) se 99% intervalo de confianza b2 - tcrit (1%) se < !2 < b2 + tcrit (1%) se

Cuando la desviación típica no es conocida, es necesario estimarla y la distribución ya no será una normal, sino una t.

De la misma manera, usando un test de significación al 1% para identificar las hipótesis compatibles con el valor estimado, es posible construir un intervalo al 99%.

!2min y !2

max estarán ahora a 2.58 desviaciones típicas a la derecha y a la izquierda de b2, respectivamente.

14

densidad de b2

!2 !2

CONTRASTES DE UNA COLA

!2 +sd !2 -sd

2.5% 2.5%

hipótesis nula: H0 : !2 = !2

hipótesis alternativa: H1 : !2 = !2

!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

!2 puede tomar dos posibles valores, !20, o !2

1.

15

densidad de b2

!2 !2

Contrastes de una cola

!2 +sd !2 -sd

2.5% 2.5%



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

Un ejemplo es la duración de las baterías de un cargamento que hay que controlar, que pueden ser de larga o corta duración. La hipótesis nula es que son de CORTA duración.

16

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd

2.5% 2.5%



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

Supongamos que el resultado de una muestra da lugar al punto azul. Dado este resultado no rechazaríamos la hipótesis nula.

17

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd

2.5% 2.5%



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

En este caso rechazaríamos la hipótesis nula.

18

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd

2.5% 2.5%



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

O en este caso nos quedaríamos con la nula.

19

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd

2.5% 2.5%



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

Pero un resultado como éste nos introduce en un problema. El primer impulso es rechazar H0, dado que está en la región de rechazo H0.

20

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd

2.5% 2.5%



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

Observad que este resultado muestral hace que rechazemos H0, pero contradice H1 mucho más.

21

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd

2.5% 2.5%



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

La probabilidad de obtener un resultado como éste es mucho menor bajo H1 que bajo H0.

22

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd

2.5%



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

Por esta razón, debería eliminarse la cola baja de la zona de rechazo para H0. Es decir, solamente debería utilizarse la cola derecha como zona de rechazo.

23

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd

2.5%



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

Por lo tanto, la probabilidad del Error Tipo I es 2.5%, el nivel de significación.

24

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

Sin embargo, es posible construir un contraste al 5% extendiendo la cola de rechazo, que empezará a 1.645 desviaciones típicas de la media. La razón que está detrás de un nivel del 5% es el intercambio entre el error Tipo I y Tipo II.

5%

25

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

5%

Observad que la lógica de eliminar la cola de la izquierda depende de que !21 sea mayor

que !20. Esto es generalizable al caso en que la hipótesis alternativa establece simplemente

que !2 es mayor que !20. Naturalmente, la hipótesis alternativa estará justificada por

cuestiones de índole económico o empírico. 26

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd


hipótesis alternativa: H1 : !2 < !2

!2 +2sd !2 -2sd

0

0

0 0 0 0 0 1

Algunas veces, dada la hipótesis nula H0: !2 = !20, a partir de la teoría económica o

experiencia previa se podría eliminar la posibilidad de que !2 sea mayor que !20.

En este caso utilizaríamos un contraste a una sola cola, pero la cola izquierda. 27

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd

2.5% 2.5%



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

Empezaremos asumiendo que !2 toma solamente dos valores, !20 y !2

1. Supongamos que se realiza un contraste de dos colas al 5% de significatividad. Por tanto, si H0 es verdad, hay un riesgo del 5% de cometer el error tipo I.

Veamos ahora cómo un contraste a una sola cola mejora el intercambio del riesgo entre el error tipo I y II.

28

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd

2.5% 2.5%



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

Observar que bajo el error tipo II, la nula es falsa y alternativa es verdadera, por lo que la distribución sería la de la derecha. El área gris claro da la probabilidad de una estimación que esté en el area de aceptación de H0, condicional a que H1 es verdadera.

Sin embargo, si H0 fuera falsa, la probabilidad de no rechazarla cometiendo el error tipo II sería el área gris claro de la figura.

29

densidad de b2

!2 !2


!2 +sd !2 -sd



!2 +2sd !2 -2sd

0

1

0 0 0 0 0 1

5%

A pesar de ello, realizando un contraste de una cola con seguridad se disminuye el error tipo II.

Cuando la alternativa es H1: !2 > !20 o H1: !2 < !2

0, que es el caso más general, no es posible hacer el gráfico.

Por tanto, no se ha aumentado la probabilidad del error tipo I y se ha logrado reducir la probabilidad de cometer el error tipo II.

Sin embargo, el error Tipo II es menor que en el caso de las dos colas.

30

Interpretar esta Hipótesis Nula: ¿qué significa suponer que !2 = 0 ?.


modelo: Y = !1 + !2X + u

hipótesis nula: H0 : !2 = 0

31

densidad de b2

0


2.5% 2.5%


hipótesis alternativa: H1 : !2 = 0

rechazar H0 rechazar H0 no rechazar H0

1.96 sd -1.96 sd

32

densidad de b2

0


rechazar H0 no rechazar H0

1.65 sd

5%


hipótesis alternativa: H1 : !2 > 0

Esto haría más factible el rechazo de H0 y por tanto, la demostración de que Y no está afectado por variaciones de X.

Naturalmente, si es posible justificar la utilización de un contraste de una sola cola, por ejemplo, con H1: !2 > 0, la zona de rechazo estaría a 1.65 sd por encima de cero.

33

densidad de b2

0


rechazar H0 no rechazar H0

1.65 sd

5%


hipótesis alternativa: H1 : !2 > 0

El valor crítico de un contraste de una cola es siempre menor que de dos colas, por tanto, el error tipo II será menor.

Asumiremos que la desviación típica de b2 es conocida y que la distribución es normal. En la práctica, la desviación típica debe ser estimada y por tanto, es necesario utilizar una distribución t. A pesar de ello, el análisis es el mismo y por eso se opta por esta forma más sencilla.

34

!

!

-

- = =

2

2 2

) (

) ˆ (

Y Y

Y Y

SCT

SCE R i

i

SCR SCE SCT + =

R2, es una medida de bondad del ajuste: pero es un estadístico, tiene una distribución y cabría preguntarse si podemos contrastar la bondad de dicho ajuste.

Contraste F de Bondad de Ajuste

35

!

!

-

- = =

2

2 2

) (

) ˆ (

Y Y

Y Y

SCT

SCE R i

i

SCR SCE SCT + =


La nula en este caso es si el modelo tiene algún poder explicativo. Dado que sólo existe una variable explicativa, el contraste es equivalente a preguntarse si dicha variable explica los movimientos de la variable dependiente. 36

!

!

-

- = =

2

2 2

) (

) ˆ (

Y Y

Y Y

SCT

SCE R i

i

) /( ) 1 (

) 1 /(

) (

) 1 (

) /(

) 1 /( ) , 1 ( 2

2

k n R

k R

k n TSS

RSS

k TSS

ESS

k n SCR

k SCE k n k F - -

- =

-

-

= -

- = - -


El contraste F de bondad de ajuste se define en base al número k de parámetros estimados en el modelo: en el caso de una regresión simple, serían dos; n es el número de observaciones en el modelo. 37

!

!

-

- = =

2

2 2

) (

) ˆ (

Y Y

Y Y

SCT

SCE R i

i

SCR SCE SCT + =

) /( ) 1 (

) 1 /(

) (

) 1 (

) /(

) 1 /( ) , 1 ( 2

2

k n R

k R

k n SCT

SCR

k SCT

SCE

k n SCR

k SCE k n k F - -

- =

-

-

= -

- = - -


F es una función monótona del R2.

38


R2

F

39


El estadístico F tendrá una distribución bajo la nula y, por tanto, podremos construirnos una región de rechazo. Por ejemplo, es posible construirse un contraste al 5%. Observar que el valor crítico dependerá del número de observaciones y variables explicativas.

R2

F

40

!

!

-

- = =

2

2 2

) (

) ˆ (

Y Y

Y Y

SCT

SCE R i

i

SCR SCE SCT + =


Observar que en el caso de la regresión simple, el contraste F es equivalente al t. La duda es si estos contrastes, al ser diferentes, pueden llevarnos a conclusiones contradictorias.

41


Aquí demostramos que la respuesta es negativa, ya que el contraste F no es más que el cuadrado del contraste t. 42


43


. reg Ingresos S

Source | SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F( 1, 568) = 65.64 Model | 3977.38016 1 3977.38016 Prob > F = 0.0000 Residual | 34419.6569 568 60.5979875 R-squared = 0.1036 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1020 Total | 38397.0371 569 67.4816117 Root MSE = 7.7845

------------------------------------------------------------------------------ Ingresos | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- S | 1.073055 .1324501 8.102 0.000 .8129028 1.333206 _cons | -1.391004 1.820305 -0.764 0.445 -4.966354 2.184347 ------------------------------------------------------------------------------

Esta es la salida de los salarios por hora condicional a los años de estudio para una muestra de 570 trabajadores. 44

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