InterpolasiMetode NumerikOnggo Wronggo@live.com

Definisi Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke2 titik tersebut sudah diketahui. dpl. : cara menentukan harga fungsi f dititik x* [x0,xn] dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui (x0, x1, ., xn)

2

Teknik yang Digunakan(i) Membentuk polinomial berderajat n yg mempunyai harga fungsi di titik-titik yang diketahui

Polinomial Interpolasi

(ii) Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya ke dalam polinomial interpolasi

3

Jenis Interpolasi Interpolasi Linier Interpolasi Kuadrat Interpolasi Lagrange Interpolasi Newton

4

Interpolasi Linier Misalkan ada m bilangan : x1, x2, ., xm dan bilangan lain yang berkaitan : y1, y2 , ., ym maka masalahnya : berapa harga y* pada x* [xk, xk+1] ?yyk+1

? y*ykxk x* xk+1

x5

Interpolasi Linier Ambil ruas garis yang menghubungkan titik (xk,yk) dan (xk+1,yk+1) Diperoleh persamaan garisnya :

y * yk yk 1 yk x * xk xk 1 xk

x * xk y * yk ( yk 1 yk ) xk 1 xk x * xk y* yk ( yk 1 yk ) xk 1 xk6

Interpolasi Linier Jadi persamaan garisnya adalah :

x * xk y* yk ( yk 1 yk ) xk 1 xkyyk+1

? y*yk xk x* xk+1

x

7

Interpolasi LinierContoh Diketahui data sebagai berikut :

Tentukan harga y pada x = 6,5 ! Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 & x=7

x xk y yk ( yk 1 yk ) xk 1 xk8

(6,5 6) y 36 (49 36) 42,5 (7 6)

Interpolasi LinierJawab Alternatif x = 6,5 terletak antara x = 1 & x = 7

xx k y y k (k ) y1 y k x1 x k k(6,5 1) (5,5) y 1 (49 1) 1 (48) 45 (7 1) (6)9

Interpolasi Linierx y -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49

Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !! Mana yang mendekati jawaban yang sesungguhnya ..?? Karena hub. x & y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25 Kesalahan mutlak (E) : |42,5 42,25| = 0,25

10

Interpolasi LinierJawab Kesalahan mutlak (E), untuk : y = 42,5 |42,5 42,25| = 0,25 = 25 % Sedangkan untuk y = 45 |45 42,25| = 3,25 = 325 %

11

Interpolasi LinierContoh 2 Diketahui tabel dari akar bilanganN N1/2 . . 2,14 1,46287 2,15 1,46629 2,16 1,46969 . .

Tentukan akar dari 2,155. Jawab (2,155)1/2 = 1,46629 + (0,005/0,010) (1,46969 1,46629) = 1,46629 + 0,00170 (2,155)1/2 = 1,46799 Kesalahan mutlaknya |1,4679918 -1,46799| = 0,0000018 Tentukan akar dari 2,153 dan Kesalahan mutlaknya !12

Interpolasi Kuadrat Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier Untuk itu digunakan polinomial lain yang berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya Caranya :- Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui ketiga titik tersebut, sehingga dapat dicari harga fungsi pada x = x* - Pemilihan ke-3 ttk tsb., dapat : - xk-1 < xk < xk+1 atau - xk-1 < x* < xk < xk+1

13

Interpolasi KuadratP(x) = a0 + a1x + a2x2 ..(*) 3 titik (xk-1,yk-1), (xk,yk) & (xk+1,yk+1) dilalui fungsi P(x) berarti: yk-1 = a0 + a1xk-1 + a2xk-12 . (**) yk = a0 + a1xk + a2xk2 yk+1 = a0 + a1xk+1+ a2xk+12 Akan diperoleh dari 3 persamaan yaitu a0, a1 dan a2 kemudian substitusikan ke (*) & diperoleh persamaan kuadrat, sehingga dapat dicari nilai fungsi untuk x = x* yaitu P(x*) = a0 + a1x* + a2x*2 Sistim pers. non homogen (**) mempunyai solusi dan solusinya unik (tunggal)14

Interpolasi KuadratContoh

Lihat ke contoh f(x) = x2.

15

Interpolasi Lagrange Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama. Misalkan fungsi y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1) dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), , (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan yang lainnya Akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sbb. :16

Interpolasi LagrangeJika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yang berkorespondensi dg y(x) x0, x1, ., xn : nilai x dan y0, y1, ., yn : nilai y

( x x1)( x x 2)...( x xn) y ( x) y0 ( x 0 x1)( x 0 x 2)...( x 0 xn)( x x 0)( x x 2)...( x xn) y1 . ( x1 x 0)( x1 x 2)...( x1 xn ). ( x x 0)( x x1)...( x xn 1) yn ( xn x 0)( xn x1)...( xn xn 1)

17

Interpolasi LagrangeContoh Nilai yang berkorespondensi dengan y = 10log x adalah : X10log

300 x 2,4771

304 2,4829

305 2,4843

307 2,4871

Tentukan 10log 301.Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai di atas menjadi

x0 = 300y0 = 2,4771

x1 = 304y1 = 2,4829

x2 = 305

x3 = 307

y2 = 2,4843 y3 = 2,487118

Interpolasi Lagrange Dengan menggunakan Interpolasi Lagrange:y (x) (301 304)(301 305)(301 307) 2,4771 (300 304)(300 305)(300 307)

(301 300)(301 305)(301 307) 2,4829 (304 300)(304 305)(304 307)

(301 300)(301 304)(301 307) 2,4843 (305 300)(305 304)(305 307) (301 300)(301 304)(301 305) 2,4871 (307 301)(307 304)(307 305) 1,2739 4,9658 4,4717 0,7106y( x) 2,478619

Interpolasi LagrangeContoh 2 Bila y1 = 4, y3 = 12, y4 = 19 dan yx = 7, carilah x ? Karena yang ditanyakan nilai x dengan nilai y diketahui, maka digunakan interpolasi invers atau kebalikan yang analog dengan interpolasi Lagrange.

(7 4)(7 12) (7 4)(7 19) (7 12)(7 19) (4) (3) x (1) (19 4)(19 12) (12 4)(12 19) (4 12)(4 19)

x

1 27 4 1,86 2 14 7

Nilai sebenarnya dari x adalah 2, karena nilai-nilai atau data di atas adalah hasil dari polinom y(x) = x2 + 3. Adapun untuk membentuk polinom derajat 2 dengan diketahui 3 titik, dapat menggunakan cara yang sebelumnya pernah dibahas dalam hal mencari persamaan umum polinomial kuadrat.20