INTERPOLASI

Sering terjadi anda harus menaksir harga-harga tengahan di antara titik-titik data yang telah tepat. Metode yang paling sering digunakan untuk maksud ini adalah interpolasi polinomial.Ingatlah bahwa formula umum untuk sebuah polinomial orde ke-n adalah :[11.1]Untuk n + 1 titik-titik data, terdapat satu dan hanya satu polinomial orde ke-n atau kurang yang melewati semua titik. Misalnya, hanya terdapat satu garis lurus (yakni polinomial orde pertama) yang menghubungkan kedua titik (Gambar 11.1a). Dengan cara yang sama, hanya satu parabola yang menghubungkan kumpulan dari tiga buah titik (Gambar 11.1b). Interpolasi polinomial ini kemudian memberikan sebuah formula untuk menghitung nilai-nilai antara.GAMBAR 11.1 Contoh polinomial-polinomial interpolasi : (a) orde pertama (linear) yang menghubungkan dua

titik; (b) orde kedua (kuadratik atau parabola) yang menghubungkan tiga titik; dan (c) orde ketiga (kunbik) yang menghubungkan empat titik.

Walaupun terdapat satu dan hanya satu polinomial orde ke-n yang mencocokkan n + 1 titik, ada pelbagai format matematika di mana polinomial ini dapat dinyatakan. Dalam bab sekarang, kita akan menjelaskan dua alternatif yang cocok untuk dilaksanakan pada komputer pribadi. Kedua alternatif itu adalah polinomial Newton dan polinomial Lagrange.POLINOMIAL INTERPOLASI DIFERENSI TERBAGI NEWTONSeperti telah diuraikan di atas, terdapat pelbagai bentuk alternatif untuk menyatakan sebuah polinomial interpolasi. Polinomial interpolasi diferensi terbagi Newton adalah di antara bentuk yang paling populer dan berguna. Sebelum menyajikan persamaan umum, kita akan memperkenalkan versi orde pertama dan kedua, karena interpretasi visualnya lebih mudah.

Interpolasi LinearBentuk yang termudah dari interpolasi ini adalah menghubungkan dua titik data dengan sebuah garis lurus. Teknik ini disebut interpolasi linear, dan dilukiskan secara grafis pada Gambar 11.2. Dengan menggunakan segitiga sebangun :yang diatur kembali supaya memenuhi :[11.2]adalah sebuah formula interpolasi linear. Notasi f1(x) menandakan ia adalah sebuah polinomial interpolasi orde pertama. Perhatikan bahwa di samping menyatakan slope dari garis yang menghubungkan titik-titik, suku[f(x1) - f(x0)]/(x1 – x0) adalah sebuah aproksimasi diferensi terbagi hingga dari turunan pertama [ingat Persamaan (3.24)]. Umumnya, semakin kecil interval di antara titik-titik data, aporksimasinya semakin baik. Karakteristik ini ditunjukkan dalam contah yang berikut.

GAMBAR 11.2 Penjelasan grafik dari interpolasi linear. Luas yang diarsir menunjukkan segitiga-segitiga sebangun yang digunakan untuk menurunkan formula interpolasi linear [Persamaan (11.2)].

CONTOH 11.1InterpolasiPernyataan Masalah : Taksirlah logaritma asli dari 2 (In 2) dengan menggunakan interpolasi linear. Pertama, lakukan komputasi dengan interpolasi antara ln(1) = 0 dan ln(6) = 1,7917595. Kemudian prosedur itu diulangi, tetapi menggunakan sebuah interval yang lebih kecil dari ln(1) sampai dengan ln(4)=(1,3862944). Perlu dicatat bahwa harga ln(2) sebenarnya adalah 0,69314718.

Solusi : Dengan menggunakan Persamaan (11.2), sebuah interpolasi linear dari x1 = 1 sampai x1 =. 6 memberikan :yang menunjukkan suatu persen kesalahan t = 48,3%. Dengan menggunakan interval yang lebih kecil dari x0

= 1 sampai xl = 4, dipenuhi :Jadi, memakai interval yang lebih pendek, mengurangi kesalahan relatif persen menjadi t = 33,3%. Kedua interpolasi beserta fungsi yang sesungguhnya terlihat pada Gambar 11.3.

GAMBAR 11.3 Dua interpolasi linear untuk menaksir ln 2. Catat bagaimana interval yang semakin kecil memberikan suatu taksiran yang lebih baik.

Interpolasi KuadratikKesalahan pada Contoh 11.1 disebabkan oleh kenyataan bahwa kita telah mendekati sebuah kurva dengan sebuah garis lurus.Konsekuensinya, sebuah strategi untuk memperbaiki taksiran adalah dengan memperkenalkan beberapa lengkungan ke dalam garis yang menghubungkan titik-titik. Jika tiga titik data telah tersedia, ini dapat dilakukan dengan sebuah polinomial orde kedua (disebut juga sebuah polinomial kuadratik atau sebuah parabola). Suatu bentuk yang terutama sangat baik untuk tujuan ini adalah :[11.3]

Catat bahwa walaupun Persamaan (11.3) kelihatannya berbeda dari polinomial umum [Persaniaan 11.1], kedua persamaan tersebut adalah ekuivalen. Ini dapat dilihat dengan mengalikan suku-suku dalam Persamaan (11.3), sehingga :atau dengan mengumpulkan suku-suku :di manaJadi, Persamaan (11.1) dan (11.3) adalah alternatif formulasi ekuivalen lainnya dari polinomial orde kedua yang unik menghubungkan tiga titik.Suatu prosedur sederhana dapat dipakai untuk menentukan harga-harga koefisien. Untuk b0, Persamaan (11.3) dengan x = x0 dapat digunakan untuk menghitung :[11.4]Persamaan (11.4) dapat disubstitusikan ke dalam Persamaan (11.3) dan dapat dievaluasikan pada x = xl untuk :[11.5]Akhirnya, Persamaan (11.4) dan (11.5) dapat disubstitusikan ke dalam Persamaan (11.3) dan dapat dievaluasikan pada x = x2 serta diselesaikan (setelah beberapa manipulasi aljabar) untuk :[11.6]Perhatikan jika kasusnya dengan interpolasi linear, bl masih menyatakan slope garis yang menghubungkan titik x0 dan xl. Jadi, dua suku pertama dari Persamaan (11.3) adalah ekuivalen terhadap interpolasi linear x0 ke xl, seperti dispesifikasikan sebelumnya dalam Persamaan (11.2). Suhu terakhir, b2(x – x0)(x – x1) memberikan lengkungan orde kedua ke dalam formula. Sebelum mengilustrasikan bagaimana menggunakan Persamaan (11.3), kita akan memeriksa bentuk koefisien b2. la sangat mirip dengan aproksimasi terbagi hingga dari turunan kedua yang telah diperkenalkan sebelumnya dalam Persamaan (3.31). Jadi, Persamaan (11.3) adalah titik tolak untuk memanifestasikan suatu struktur yang sangat mirip dengan perluasan Deret Taylor. Pengamatan ini akan dikaji lebih lanjut jika kita menghubungkan polinomial interpolasi Newton terhadap Deret Taylor dalam Pasal 11.1.4. Tetapi, pertama-tama, kita memperlihatkan bagaimana Persamaan (11.3) dipakai untuk menginterpolasikan tiga buah titik.

CONTOH 11.2Interpolasi KuadratikPernyataan Masalah : Cocokkan polimonial orde kedua terhadap tiga titik yang digunakan dalam Contoh 11.1 :Gunakan polinomial untuk mengevaluasikan In 2.Solusi : Dengan menggunakan Persamaan (11.4); maka : b0 = 0Persamaan (11.5) membuat :dan Persamaan (11.6) memberikan :Dengan memasukkan harga-harga ini ke dalam Persamaan (11.3), maka formula kuadratik :yang dapat dievaluasikan pada x = 2 untuk :menunjukkan sebuah kesalahan relatif persen dari t, = 18,4%. Jadi, kelengkungan yang dihasilkan oleh formula kuadratik (Gambar 11.4) memperbaiki interpolasi, dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan garis lurus pada Contoh 11.1 dan Gambar 11.3.

GAMBAR 11.4 Pengunaan Interpolasi kuadratik untuk menaksir In 2. interpolasi linear dar x = 1 hingga 4 dimasukkan untuk perbandingan.

Bentuk Umum Polinomial Interpolasi Newton Analisis sebelumnya dapat dibuat untuk mencocokkan polinomial orde ke-n untuk n + 1 titik data. Polinomial orde ke-n adalah : Seperti telah dilakukan sebelumnya dengan interpolasi linear dan kuadratik, titik-titik data dapat digunakan uniuk mengevaluasikan koefisien-kofisien b0, b1, … , bn. Untuk suatu polinomial orde ke-n, diperlukan n + 1 titik data : x0, xl, x2, …, xn. Dengan menggunakan titik data ini, persamaan berikut dipakai untuk mengevaluasikan koefisien-koefisien :[11.8][11.9][11.10][11.11]di mana evaluasi dari fungsi yang berakolade adalah diferensi terbagi hingga. Misalnya, diferensi terbagi hingga pertama dinyatakan sebagai :[11.12]Diferensi terbagi hingga kedua, yang menyatakan perbedaan dari dua diferensi terbagi hingga pertama umumnya dinyatakan sebagai :[11.13]Dengan cara yang serupa, diferensi terbagi hingga yang ke-n adalah :[11.14] Diferensi-diferensi ini dapat digunakan untuk mengevaluasikan dalam Persamaan (11.8) sampai (11. 11) yang kemudian dimasukkan ke dalam Persamaan (I1.7) Untuk memenuhi interpolasi polinomial :[11.15]

yang dinamakan polinomial interpolasi diferensi terbagi Newton. Perlu dicatat bahwa tidak perlu titik-titik data yang digunakan dalam Persamaan (11.15) berspasi sama atau harga-harga absis harus dalam urutan menaik, sebagaimana diilustrasikan dalam contoh berikut. Juga perhatikan bagaimana Persamaan (11.12) sampai (11. 14) adalah rekursif - artinya. Diferensi orde yang lebih tinggi adalah gabungan dari diferensi orde yang lebih rendah (Gambar 11.5). Perilaku ini akan dikaji, jika kita mengembangkan suatu program komputer yang efisien dalam Pasal 11.1.5 dalam melaksanakan metode tersebut.

GAMBAR 11.5 Penjelasan grafik tentang keadaan rekursif dari diferensi terbagi hingga.

CONTOH 11.3 Polinomial Interpolasi Diferensi Terbagi NewtonPernyataan Masalah : Dalam Contoh 11.2, titik-titik data pada x0 = 1, xl = 4, dan x2 = 6 dipakai untuk menaksir ln 1 dengan sebuah parabola. Sekarang, dengan menambahkan titik keempat [x3 = 5; f(x3) = 1,6094379], taksirlah In 2 dengan suatu polinomial interpolasi terbagi hingga Newton orde ketiga.Solusi : Polinomial orde ketiga, Persamaan (11.3) dengan n = 3 adalah :Diferensi terbagi pertama untuk masalah itu adalah [Persamaan (11.12)] :Diferensi terbagi kedua adalah [Persamaan (11.13)] :Diferensi ketiga adalah [Persamaan (11.14)] dengan n = 3] :

GAMBAR 11.6 Penggunaan interpolasi kubik untuk menaksir ln 2.Hasil-hasil untuk f[x1, x0], f[x2, x1, x0], dan f[x3, x2, x1, x0] menunjukkan koefisien bl, b2, dan b3 Persamaan (11.7). Bersama dengan b0 = f(x0) = 0,0 Persamaan (11.7) adalah :yang dapat digunakan untuk mengevaluasikan :yang menunjukkan suatu kesalahan relatif persen dari t = 9,3%. Polimomial kubik selengkapnya terlihat dalam Gambar 11.6.

Kesalahan Polinomial Interpolasi NewtonPerhatikan bahwa struktur Persamaan (11.15) adalah mempunyai perluasan Derel Taylor dalam arti bahwa suku-suku tersebut ditambahkan secara teratur supaya mengandung perilaku fungsi yang diamati. Suku-suku ini adalah diferensi terbagi hingga, jadi, menyatakan aproksimasi turunan yang lebih tinggi. Konsekuensinya, seperti Deret Taylor, bila fungsi sesungguhnya yang digarisbawahi adalah sebuah polinomial orde ke-n, polinomial interpolasi orde ke-n didasarkan kepada n + 1 titik data, yang memenuhi hasil-hasil eksak. Seperti halnya Deret Taylor, suatu formulasi untuk kesalahan pemotongan dapat diperoleh. Kita ingat kembali dari Persamaan (3.13) bahwa kesalahan pemotongan untuk Deret Taylor dapat dinyatakan secara umum sebagai :di mana terletak di sembarang tempat dalam interval xi sampai xi+1. Untuk polinomial interpolasi orde ke-n, suatu hubungan analog untuk kesalahan adalah :[11.16] di mana terletak di sembarang tempat di dalam interval yang mengandung harga tidak dikenal dan data. Bila formula ini akan dipakai fungsi yang ditanyakan harus diketahui dan dapat didiferetisiasikan. Kasus ini tidak selalu demikian. Untunglah, suatu alternatif tersedia dan tidak perlu mengetahui fungsi tersebut sebelumnya. Agaknya digunakan suatu diferensi terbagi hingga untuk mengaprokmasikan turunan ke (n + l) : [11.17] dimana f[x, xn, xn-1, …, x0] adalah diferensi terbagi hingga yang ke (n +1). Karena Persamaan (11. 17) mengandung f(x) yang tidak dikenal, kesalahannya tidak dapat diselesaikan. Tetapi kalau tersedia tambahan, sebuah titik data tambahan f(xn+1), maka Persamaan (11.17) dapat pakai untuk menaksir kesalahan, seperti :[11.18]CONTOH 11.4Taksiran Kesalahan untuk Polinomial NewtonPernyataan Masalah :Gunakan Persamaan (11.18) untuk menaksir kesalahan interpolasi polinomial orde kedua dari Contoh 11.2. Gunakan titik data tambahan f(x3) = f(5) = 1,6094379 untuk mendapatkan hasil-hasilnya.Solusi : Ingatlah bahwa dalam Contoh 11.2, polinomial interpolasi orde kedua memberikan suatu taksiran f(2) = 0,565844346, yang menunjukkan sebuah kesalahan 0,69314718 -- 0,565844346 = 0,127302835. Jika kita tidak mengetahui harga yang sebenarnya seperti pada kebanyakan kasus, maka Persamaan (11.18) bersama harga tambahan pada x3 dapat digunakan untuk menaksir kesalahan, seperti dalam :di mana harga untuk diferensi terbagi hingga orde ketiga dihitung seperti sebelumnya dalam Contoh 11.3. Hubungan ini dapat dievaluasikan pada x = 2 untuk : yang besar ordenya sama dengan kesalahan sebenarnya.

Program Komputer untuk Polinomial Interpolasi NewtonTiga perilaku untuk membuat polinomial interpolasi Newton sangat menarik untuk aplikasi-aplikasi komputer.

1. Seperti dalam Persamaan (11.7), versi orde yang lebih tinggi dapat dikembangkan secara berurutan dengan menambahkan sebuah suku tunggal terhadap persamaan berorde lebih rendah berikutnya. Ini memberikan evaluasi beberapa versi yang berlainan dalam program yang sama. Kemampuan demikian

terutama berharga jika orde polinomial tidak diketahui sebelumnya. Dengan menambahkan suku-suku baru secara berurutan, kita dapat menentukan kapan suatu titik balik pengurangan dicapai, artinya bila penambahan suku-suku lebih tinggi tidak terlalu berarti dalam memperbaiki taksiran, atau dalam situasi tertentu sebenarnya berkurang darinya. Persamaan kesalahan yang dibahas di bawah ini, dalam (3) berguna untuk menurunkan suatu kriteria objektif dalam menentukan suku-suku titik balik pengurangan ini.

2. Diferensi terbagi hingga yang menyusun koefisien-koefisien polinomial [Persamaan (11.8) sampai (11. 1)] dapat dihitung dengan menggunakan suatu hubungan rekurensi. Artinya, seperti dalam Persamaan (11.14) dan Gambar 11.5, diferensi orde lebih rendah dipakai untuk menghitung diferensi orde lebih tinggi. Dengan memanfaatkan informasi yang telah ditentukan sebelumnya, koefisien-koefisien tersebut dapat dihitung secara efisien. Program pada Gambar 11.7 mengandung suatu skema perencanaan yang demikian.

3. Persamaan kesalahan [Persamaan (11.18)] dinyatakan dalam suku-suku diferensi terbagi hingga yang telah dihitung untuk menentukan koefisien-koefisien polinomial. Karenanya, bila informisi ini dijaga, taksiran kesalahan dapat dicari tanpa menghitung lagi besaran-besaran ini.

GAMBAR 11.7 Program komputer untuk polinomial interpolasi Newton.Semua ciri di atas dapat dikaji dan diikutsertakan dalam suatu program komputer umum untuk melaksanakan polinomial Newton (Gambar 11.7). Sebagaimana program lain dalam buku ini, versi ini tidakdidokumentasikan. Tambahan pula, ia tidak mencakup taksiran kesalahan yang disebutkan dalam (3) di atas. Salah satu tugas anda dalam membuat program ini supaya lebih akrab pemakai (lihat Soal 11.11) adalah dengan mengikut sertakan persamaan kesalahan. Manfaat persamaan ini ditunjukkan dalam contoh yang berikut.CONTOH 11.5Penggunaan Taksiran Kesalahan untuk Menentukan Orde Interpolasi yang LayakPernyataan Masalah : Setelah mengikutsertakan kesalahan menurut Persamaan (11.18), manfaatkan program komputer yang diberikan dalam Gambar 11.7 dan informasi yang berikut untuk mengevaluasikan f(x) = ln x pada x = 2.

x f(x) = ln x

146531,52,53,5

01,38629441,79175951,60943791,09861230.405465110,916290731,2527630

Solusi : Hasil-hasil pelaksanaan program dalam Gambar 11.7 untuk mendapatkan solusi terlihat pada Gambar 11.8. Taksiran kesalahan bersama dengan kesalahan sebenarnya (berdasar fakta bahwa ln 2 = 0,69314718) dilukiskan pada Gambar 11.9. Dicatat bahwa kesalahan.

GAMBAR 11.8 Keluaran program BASIC untuk mengevaluasikan ln 2.Taksiran dan kesalahan sebenarnya adalah sama serta titik temunya kian dekat, jika orde kian bertambah. Dari plot ini dapat disimpulkan bahwa versi orde kelima mengandung suatu taksiran yang baik dan bahwa suku dengan orde yang lebih tinggi tidak lagi akan memperbaiki secara berarti.

GAMBAR 11.9 Kesalahan relatif persen untuk prediksi dari ln 2 sebagai fungsi dari polinomial interpolasi.

Ini juga memperlihatkan pentingnya penempatan dan pengordean titik-titik. Misalnya, sampai taksiran orde ketiga, laju perbaikan adalah perlahan karena titik-titik yang ditambahkan (pada x = 4,6 dan 5) jauh dan terletak pada salah satu sisi dari titik yang ditanyakan pada x = 2. Taksiran orde keempat memperlihatkan suatu-perbaikan yang lebih besar karena titik baru pada x = 3 lebih mendekati titik yang tidak diketahui. Tetapi penurunan kesalahan yang paling dramatis sesuai dengan pemasukan suku orde kelima dengan memakai titik data pada x = 1,5. Titik ini tidak hanya lebih dekat pada tidak diketahui, tetapi ia juga ditempatkan pada sisi yang bertentangan dari kebanyakan titik lainnya. Sebagai konsekuensinya, kesalahan direduksi hampir satu orde yang cukup besar.Makna penempatan dan urutan data dapat juga digambarkan dengan menggunakan data yang sama untuk mendapatkan taksiran 2, tetapi dengan anggapan titik-titik pada suatu urutan yang berlainan. Gambar 11.9 memperlihatkan hasil-hasil untuk kasus pembalikan de dari data semula, yakni x0 = 3,5; x1 = 2,5; x3 = 1,5 dan seterusnya. Karena titik awal dalam hal ini lebih dekat pada dan dipisahkan di kedua sisi ln 2, kesalahan itu menurun lebih cepat daripada situasi semula. Dengan suku orde kedua, kesalahan telah direduksi sampai tingkat kesalahan relatif persen yang kecil dari t = 2%. Kombinasi-kombinasi lainnya dapat dilakukan untuk memperoleh laju konvergensi yang berbeda.

Contoh terdahulu memperlihatkan pentingnya pemilihan titik-titik basis. Seperti yang seharusnya jelas secara intuitif, titik-titik itu harus dipusatkan di sekitar dan sedekat mungkin terhadap titik yang tidak diketahui. Pengamatan ini didukung juga oleh pemeriksaan langsung persamaan kesalahan [Persamaan (11. 17)]. Dengan menganggap bahwa diferensi terbagi hingga ternyata tidak berubah sepanjang bentangan data, kesalahan tersebut sebanding dengan hasil kali : (x – x0) (x – x1) … (x - xn). Tentunya semakin dekat titik-titik basis terhadap x, semakin besar hasil kalinya.

POLINOMIAL INTERPOLASI LAGRANGEPolinomial interpolasi Lagrange secara mudahnya adalah formulasi kembali dari polinomial Newton yang mencegah komputasi diferensi terbagi. Secara jelas dapat dinyatakan, sebagai :[11.19]di mana :[11.20]tanda II menyatakan “hasil kali dari”. Sebagai contoh versi linear (n = 1) adalah :[11.21]dan versi orde kedua adalah :[11.22]Seperti halnya metode Newton, versi lagrange mempunyai kesalahan taksiran [Persamaan (11.17)] :Persamaan (11. 19) dapat diturunkan dari polinomial Newton secara langsung (Kotak 11.1). Tetapi formulasi Lagrange ini secara rasional dapat dipegang dengan menyadari bahwa setiap suku Li(x) menjadi 1 pada x = xi

dan 0 semua titik lainnya. Jadi, setiap hasil kali Li(x)f(xi) mengambil harga f(xi) pada titik sampel xi. Konsep penjumlahan (sumasi) dari semua produksi yang dinyatakan Persamaan (11.19) adalah polinomial orde ke-n yang unik dan tetap melewati semua n + 1 titik data.

KOTAK 11.1 Penurunan Bentuk Lagrange Secara Langsung dari Polinomial Interpolasi NewtonPolinomial interpolasi Lagrange dapat diturunkan secara langsung dari formulasi Newton. Kita akan melakukan hal ini untuk kasus orde pertama :Untuk menurunkan bentuk Lagrange, kita menformulasikan kembali diferensi terbagi. Misalnya, diferensi terbagi pertama : dapat diformulasikan lagi sebagai : (K11.1.2) yang dipacu sebagai suatu bentuk simetris. Dengan mensubstitusikan Persamaan (K11.1.2) ke dalam Persamaan (K11.1.1). maka :Akhirnya, dengan mengelompokkan suku-suku yang serupa dan menyederhanakannya akan menghasilkan bentuk Lagrange :

CONTOH 11.6Polinomial Interpolasi LagrangePernyataan Masalah: Gunakan suatu polinomial interpolasi Lagrange orde pertama dan kedua, untuk mengevaluasikan ln 2 berdasarkan data yang diberikan dalam Contoh 11.2 :Solusi : Polinomial orde pertama [Persamaan (11.21)] adalah :karenanya taksiran pada x = 2 adalah :Dengan cara yang sama, polinomial orde kedua dikerjakan sebagai [Persamaan (11.22)] :Sebagaimana diharapkan, kedua hasil ini lebih dekat ke hasil yang didapat sebelumnya dengan menggunakan Polinomial Interpolasi Newton.Ringkasnya, untuk kasus-kasus di mana orde polinomial tidak diketahui, metode Newton mempunyai keuntungan, karena pengertiannya memberikan perilaku formula orde yang berlainan. Tambahan lagi, taksiran kesalahan yang dinyatakan oleh Persamaan (11.18) biasanya dapat diintegrasikan ke dalam komputasi Newton, karena taksiran itu memakai suatu diferensi hingga (Contoh 11.5). Jadi untuk komputasi tunggal, metode Newton seringkali disukai.Jika hanya dilakukan satu interpolasi, formula-formula Lagrange dan Newton memerlukan upaya komputasi yang berbanding. Tetapi versi Langrange lebih mudah untuk diprogramkan. Juga terdapat kasus-kasus dimana bentuk Newton lebih mudah terkena kesalahan pembulatan (Ruckdeschel, 1981). Karena hal ini dan karena tidak memerlukan komputasi dan penyimpanan diferensi terbagi, bentuk Lagrange seringkali dipakai jika orde polinomial tidak diketahui sebelumnya.

CONTOH 11.7Interpolasi Langrange Menggunakan KomputerPernyataan Masalah : Sebuah program komputer yang akrab-pemakai akan melaksanakan interpolasi Lagrange terdapat dalam piranti lunak NUMERICOMP yang menyertai buku ini. Kita dapat memakai piranti lunak ini untuk mempelajari suatu masalah analisis kecenderungan (trend) bersama-sama dengan masalah penerjun jatuh. Anggaplah bahwa kita telah membuat alat untuk mengukur kecepatan penerjun. Data diukur yang diperoleh untuk kasus uji ini adalah :

Waktu Kecepatan diukur

detik v, cm/detik 135713

8002.3103.0903.9404.755

Masalah kita ialah menaksir kecepatan penerjun pada t = 10 detik untuk mengisi harga antara pada jarak pengukuran yang lebar, yakni t = 7 detik dan t = 13 detik. Kita hendaklah waspada bahwa perilaku polinomial interpolasi dapat menjadi tidak diharapkan. Karenanya, kita akan membuat polinomial orde 4, 3, 2 dan 1 serta membandingkan hasil-hasilnya.Solusi : Program NUMERICOMP dapat digunakan untuk membuat polinomial interpolasi orde ketiga, kedua dan pertama. Hasil-hasil itu adalah :

KOEFISIEN Harga taksiran v pada t = 10 detik

Orde Polinomial

Orde ke -4 Orde ke -3 Orde ke -2 Orde ke -1 Orde ke -0

4321

-1,76302 44.87501-4,498586

-392,8776,09375-36,14584

1.813,6251,239258858,75135,8333

-663,8671.742,656-300,10352.989,167

5.430.1954.874,8384.672,8124.347,5

Polinomial orde ke-4 serta data masukan dapat dilukiskan seperti terlihat pada Gambar 11.10a. Jelas dari plot ini bahwa harga taksiran y pada x = 10 lebih tinggi dari kecenderungan data secara menyeluruh.Gambar 11.10b sampai d memperlihatkan grafik hasil-hasil komputasi untuk polinomial interpolasi orde ke-3, ke-2, dan pertama. Perlu dicatat bahwa semakin rendah orde polinomial interpolasi, semakin rendah harga taksiran kecepatan pada t = 10 detik. Grafik dari polinomial interpolasi menunjukkan bahwa polinomial orde yang lebih tinggi cenderung mencuatkan (overshoot) kecenderungan data. Hal ini menyarankan bahwa polinomial orde pertama dan kedua adalah yang paling layak untuk menganalisis trend semacam ini. Tetapi patut diingat bahwa karena kita menangani data yang tidak tertentu, sesungguhnya regresi akan lebih baik.

GAMBAR 11.10 Grafik yang dibuat oleh komputer (a) orde ke-4, (b) orde ke-3, (c) orde ke-2, dan (d) orde pertama.

KOMENTAR TAMBAHANSebelum kita melanjutkan ke pasal berikutnya. kita harus menyebutkan dua topik tambahan : interpolasi dengan data berspasi sama dan ekstrapolasi.Karena kedua interpolasi Newton dan Lagrange cocok untuk data yang terpisah secara bebas, mungkin anda heran mengapa kita menunjukkan kasus tertentu untuk data yang berspasi sama (Kotak 11,2). Sebelum kemajuan komputer digital, teknik ini mempunyai manfaat yang besar untuk interpolasi tabel-tabel dengan argumen-argumen yang berspasi sama. Kenyataannya, suatu kerangka kerja komputasi yang dikenal sebagai suatu tabel diferensi terbagi telah dikembangkan untuk melayani pelaksanaan teknik ini. (Gambar 11.5 adalah sebuah contoh tabel demikian).Tetapi karena formula-formula tersebut adalah subkumpulan rancangan Newton dan Lagrange yang cocok dikomputerkan, serta karena banyaknya fungsi tabulasi tersedia sebagai pustaka subrutin, kebutuhan untuk versi berspasi sama akan menyusut. Meskipun demikian, sampai saat ini kita telah memasukkannya karena ada kaitannya dengan bagian terakhir dari buku ini. Teristimewa ia dapat dipakai untuk menurunkan formula integrasi numerik yang akan menggunakan data berspasi sama (Bab 13). Karena formula integrasi numerik mempunyai kaitan dengan solusi persamaan diferensial biasa, maka materi dalam Kotak 11.2 juga mempunyai arti terhadap Bab 17.

KOTAK 11.2 Interpolasi dengan Data Berspasi SamaJika data berspasi sama dan dalam urutan menaik, maka variabel independen menganggap harga-harga dari :

di mana h adalah interval, atau ukuran langkah (step) di antara data. Berdasarkan ini, diferensi terbagi hingga dapat dinyatakan dalam bentuk singkat. Misalnya, diferensi terbagi ke depan yang kedua adalah :

yang dapat dinyatakan sebagai :karena x0 – x1 = xl - x2 = (x0 - x2)/2 = h. Sekarang dengan mengingat bahwa diferensi ke depan yang kedua 2f(x0) adalah sesuai dengan [pembilang dari Persamaan (3.31)] :Karenanya, Persamaan (K11.2.1) dapat dinyatakan sebagai :atau pada umumnya :(K11.2.3) :Dengan memakai Persamaan (Kt L2.2), polinomial interpolasi Newton [Persamaan (11.15)] dapat dinyatakan untuk kasus data yang berspasi sama seperti : (K11.2.3)

di mana sisanya adalah sama dengan Persamaan (11.16). Persamaan ini dikenal sebagai formula Newton atau formula ke depan Newton-Gregory. Selanjutnya dapat dimudahkan dengan mendefinisikan suatu besaran baru, : Definisi ini dapat digunakan untuk mengembangkan pernyataan yang dipermudah untuk suku-suku dalam Persamaan (K11.2.3) :yang dapat dimasukkan ke dalam Persamaan (K11.2.3) agar memberikan :notasi singkat ini mempunyai manfaat dalam penurunan dan analisis kesalahan dari formula integrasi pada Bab 13. Sebagai tambahan, formula ke depan, ke belakang dan Newton-Gregory terpusat juga tersedia. Carnahan, Luther dan Wilkes (1969) dapat dikonsultasikan buat informasi lebih lanjut mengenai interpolasi untuk data yang berspasi sama. Ekstrapolasi adalah proses menaksir suatu harga f(x) yang terletak di luar bentangan titik-titik basis yang dikenal, x0, x1, . . . , xn (Gambar 11. 11). Pada pasal sebelumnya, kita telah menyebutkan babwa interpolasi yang paling akurat biasanya diperoleh jika harga-harga yang tidak diketahui terletak di dekat pusat titik-titik basis. Tentu saja ini berlaku jika titik yang tidak diketahui terletak di luar-bentangan, dan konsekuensinya, kesalahan ekstrapolasi dapat sangat besar. Seperti terlihat pada Gambar 11.11, keadaan ujung terbuka ekstrapolasi memberikan suatu langkah menuju titik yang tidak diketahui, karena proses tersebut memperluas kurva di luar daerah yang diketahui. Dengan demikian, kurva sebenarnya dapat dengan mudah divergen dari yang diprediksikan. Karena itu, perhatian yang sungguh-sungguh dilakukan bilamana muncul sebuah kasus di mana seseorang harus mengekstrapolasikan. Studi Kasus 12.1 dalam bab yang berikutnya memberikan suatu contoh dari kecenderungan yang dicakup pada pemroyeksian di luar batas-batas data.

GAMBAR 11.11 Ilustrasi divergensi yang mungkin dari prediksi yang diekstrapolasikan. Ekstrapolasi didasarkan pada pencocokan sebuah parabola melalui tiga titik pertama.

INTERPOLASI SPLINEPada pasal sebelumnya, polinomial orde ke-n telah digunakan untuk interpolasi di antara n + 1 titik data. Misalnya, untuk delapan titik kita dapat menurunkan suatu polinomial orde ketujuh yang sempurna. Kurva ini akan melalui semua lengkungan (sekurang-kurangnya hingga dan termasuk turunan ketujuh) yang diminta oleh titik-titik data. Tetapi terdapat kasus di mana fungsi-fungsi ini dapat membawa hasil-hasil yang keliru. Suatu pendekatan alternatif adalah menerapkan polinomial orde lebih rendah terhadap subkumpulan titik data. Polinomial penyambungan demikian disebut fungsi spline.Misalnya, kurva orde ketiga dilaksanakan untuk menyambungkan setiap pasang titik-titik data yang dinamakan spline kubik. Fungsi-fungsi ini mempunyai perilaku tambahan yang menghubungkan antara persamaan-persamaan secara visual tanpa halangan. Sepintas lalu kelihatannya aproksimasi spline orde ketiga lebih rendah mutunya dibandingkan dengan orde ketujuh. Anda barangkali heran mengapa suatu spline akan selalu disukai.Gambar 11.12 memperlihatkan suatu keadaan di mana suatu spline lebih baik dari suatu polinomial orde lebih tinggi. Ini adalah kasus di mana sebuah fungsi yang pada umumnya licin tetapi terjadi suatu perubahan mendadak di mana sepanjang daerah yang diamati. Kenaikan langkah yang diperlihatkan pada Gambar 11.12 adalah suatu contoh yang ekstrem dari perubahan demikian dan menggambarkan titik tersebut.Gambar 11.12a sampai c mengilustrasikan bagaimana polinomial orde lebih tinggi cenderung berayun dengan osilasi yang tidak terkendali di sekitar tempat terjadinya perubahan mendadak. Sebaliknya, spline juga menghubungkan titik-titik, tetapi karena ia dibatasi terhadap perubahan orde ketiga, osilasi dijaga terhadap suatu minimal. Dengan demikian, spline biasanya memberikan suatu aproksimasi yang unggul dari perilaku fungsi yang mempunyai perubahan setempat yang mendadak.Konsep spline berasal dari teknik menggambar dengan menggunakan lempengan yang fleksibel dan tipis (dinamakan spline) untuk menggambarkan kurva yang licin melalui sekumpulan titik. Proses tersebut dilukiskan pada Gambar 11.13 untuk sederetan lima penjepit (titik data). Dalam teknik ini, penggambar menaruh kertas di atas sebuah papan kayu, lalu memukulkan paku atau penjepit di atas kertas (dan papan) pada lokasi titik-titik data. Sebuah kurva kubik yang halus dihasilkan di antara titik-titik penjepit. Jadi, nama “spline kubik” telah diberikan untuk jenis polinomial yang demikian.

GAMBAR 11.12 Suatu gambaran visual dari keadaan di mana spline lebih unggul terhadap polinomial interpolasi lebih tinggi. Fungsi yang akan dicocokkan melakukan suatu kenaikan mendadak pada x = 0. Bagian (a) sampai (c) menunjukkan bahwa perubahan mendadak mempengaruhi osilasi dalam polinomial interpolasi.

Sebaliknya, karena ia dibatasi terhadap kurva orde ketiga dengan transisi yang licin, spline kubik (d) memberikan aproksimasi yang lebih dapat diterima.

GAMBAR 11.13 Teknik menggambar dengan menggunakan sebuah spline untuk menggambarkan titik-titik. Perhatikan bagaimana pada ujungnya, spline melurus ke luar. Ini dinamakan spline alamiah (natural spline).Dalam pasal yang sekarang, fungsi linear sederhana pertama-tama akan digunakan untuk memperkenalkan beberapa konsep dasar dan masalah sehubungan dengan interpplasi spline. Jadi kita menurunkan suatu algoritma guna mencocokkan spline kuadratik terhadap data. Akhirnya, kami menyajikan, versi spline kubik yang paling lazim dan berguna dalam praktik teknik.Spline Linear

Sambungan yang paling mudah di antara dua titik adalah sebuah garis lurus. Spline orde pertama untuk sekelompok susunan titik data dapat didefinisikan sebagai sekumpulan fungsi linear yang menghubungkan titik-titik:di mana mi adalah slope garis lurus yang menghubungkan titik-titik:[11.23]Persamaan ini dapat dipakai untuk mengevaluasikan fungsi tersebut pada sembarang titik di antara x0 dan xn, pertama-tama dengan menaruh interval di dalam mana titik itu terletak. Kemudian persamaan yang cocok dipakai untuk menentukan harga fungsi dalam interval tersebut. Metode ini tentu saja identik dengan interpolasi linear.CONTOH 11.8Spline Orde PertamaPernyataan Masalah : Cocokkan data pada Tabel 11.1 dengan spline orde pertama. Evaluasikan fungsi tersebut pada x = 5.TABEL 11.1 Data yang akan dicocokkan dengan fungsi spline

x F(x)3,0-4,57,09,0

2,51,02,50,5

Solusi : Data tersebut dapat digunakan menentukan slope di antara titik-titik. Misalnya, untuk interval dart = 4,5 hingga x = 7 slope dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan (11.23) :Slope untuk interval lainnya dapat dihitung, dan hasil spline orde pertama itu dilukiskan pada Gambar 11.14a. Harga pada x = 5 adalah 1,3.Pemeriksaan Gambar 11.14a secara visual menunjukkan bahwa kerugian spline orde pertama yang utama adalah bahwa ia tidak licin (halus). Pokoknya, pada titik-titik data di mana, dua spline bertemu (dinamakan sebuah sampul), slope berubah secara mendadak. Dalam istilah yang formal, turunan fungsi pertama fungsi menjadi diskontinu pada titik-titik ini. Kelemahan ini diatasi dengan menggunakan spline polinomial orde, yang lebih tinggi, sehingga menyakinkan kehalusan pada simpul-simpul tersebut dengan menyamakan turunan pada titik-titik seperti yang akan dibahas pada pasal berikutnya.

GAMBAR 11.14 Spline mencocokkan kumpulan empat titik (a) Spline linear, (b) kuadratik, dan (c) spline kubik, dengan plot dari suatu polinomial interpolasi kubik.

Spline KuadratikUntuk meyakinkan bahwa turunan ke-m adalah kontinu pada setiap simpul, sebuah spline, sekurang-kurangnya orde ke-(m + 1) harus digunakan. Polinomial orde ketiga atau spline kubik yang meyakinkan turunan pertam adan kedua adalah yang paling sering dipakai dalam praktik. Walaupun turunan ketiga serta yang lebih tinggi bisa diskontinu kalau menggunakan spline kubik, biasanya mereka tidak dapat dideteksi secara visual, dan dengan sendirinya diabaikan.Karena turunan dari spline kubik sedikit mengambil bagian, kita memilih untuk memasukkannya ke dalam pasal yang berikut. Kita telah memutuskan pertama-tama untuk menggambarkan konsep interpolasi spline dengan menggunakan polinomial orde kedua. “Spline kuadratik” ini mempunyai turunan pertama yang kontinu pada simpul-simpul. Walaupun spline kuadratik tidak menjamin turunan kedua yang sama pada simpul-simpul, secara baik ia telah menunjukkan prosedur umum untuk pengembangan spline orde yang lebih tinggi.Tujuan spline kuadratik, ialah untuk menurunkan sebuah polinomial orde kedua untuk setiap interval di antara titik-titik data. Polonomial untuk setiap interval secara umum dapat dinyatakan sebagai:[11.24]

GAMBAR 11.15 Notasi yang dipakai untuk menurunkan spline kuadratik. Perhatikan bahwa terdapat n + 1 titik data. Contoh yang terlihat adalah untuk n = 3

Gambar 11.15 telah dimasukkan untuk membantu menjelaskan notasi untuk n + 1 titik data (i = 0, 1, 2, …, n), terdapat n interval konsekwensinya, 3n konstanta yang tidak diketahui (setiap a, b, dan c) siap dievaluasikan. Karenanya 3n persamaan atau kondisi dibutuhkan untuk mengevaluasikan harga yang tidak diketahui. Harga ini adalah :

1. Harga-harga fungsi harus sama pada simpul-simpul terdalam. Kondisi ini dapat dinyatakan sebagai :[11.25] [11.26] untuk i = 2 hingga n. Karena yang dipakai hanya simpul-simpul terdalam, Persamaan (11.25) dan (11.26) masing-masing memberikan n - 1 untuk keseluruhannya (2n - 2) kondisi.

2. Fungsi-fungsi pertama dan terakhir harus melalui titik-titik ujung. Ini akan menambahkan dua persamaan tambahan : [11.27] [11.28] untuk keseluruhannya 2n - 2 + 2 = 2n kondisi.

3. Turunan pertama pada simpul terdalam harus sama.Turunan pertama dari Persamaan (11.22) adalah : Karenanya, kondisi dapat dinyatakan secara umum sebagai : [11.29] untuk i = 2 hingga n. Ini

memberikan n - 1 kondisi lainnya untuk keseluruhannya total 2n + n - 1 = 3n - 1. Karena kita mempunyai 3n yang tidak diketahui, kita kekurangan satu kondisi. Jika kita tidak mempunyai beberapa informasi tambahan mengenai fungsi-fungsi atau turunannya, kita harus membuat suatu pilihan bebas supaya dapat berhasil mencari konstanta-konstanta. Walaupun ada sejumlah pilihan yang berlainan dapat dilakukan, kita memilih yang berikut :

4. Anggap bahwa turunan kedua adalah nol pada titik pertama. Karena turunan kedua dari Persamaan (11.24) adalah 2a, kondisi ini dapat dinyatakan secara matematis sebagai : [11.30] Interpolasi visual dari kondisi ini ialah bahwa kedua titik pertama akan dihubungkan oleh sebuah garis lurus.

CONTOH 11.9 Spline KuadratikPernyataan Masalah : Cocokkan spline kuadratik terhadap data serupa yang dipakai dalam Contoh 11.8 (Tabel 11.1). Gunakan hasil-hasil itu untuk mengestimasikan harga pada x = 5.Solusi : Untuk masalah yang dihadapi, kita mempunyai empat titik data dan n = 3 interval. Karenanya, 3(3) = 9 yang tidak diketahui harus ditentukan. Persamaan (11.25) dan (11.26) mengandung 2(3) – 2 = 4 kondisi :Dengan menggunakan fungsi pertama dan terakhir pada harga-harga awal dan akhir akan menambahkan 2 persamaan lagi [Persamaan (11.27)], yakni :dan [Persamaan (11.28)] :Kontinuitas turunan membuat tambahan 3 – 1 = 2 [Persamaan (11.29)] :Akhirnya, Persamaan (11.30) menjadikan a1 = 0. Karena persamaan ini menspesifikasikan a1 secara tepat, masalahnya berkurang untuk penyelesaian delapan persamaan simultan. Kondisi ini dapat dinyatakan bentuk matriks sebagai :Persamaan-persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik dari Bagian III dengan memberikan hasil :yang dapat dimasukkan ke dalam persamaan kuadratik semula untuk membangun hubungan yang berikut di setiap interval :Prediksi untuk x = 5, karenanya :Pencocokan spline total dijelaskan pada Gambar 11.14b. Perhatikan bahwa terdapat dua kelemahan yang mengurangi kecocokan: (1) garis lurus yang, menghubungkan dua titik pertama', dan (2) spline untuk interval terakhir terlihat berayun sangat tinggi. Spline kubik pada pasal yang berikut tidak memperhatikan kelemahan ini, dan sebagai konsekuensinya adalah metode-metode biasanya lebih baik untuk interpolasi spline.

Spline KubikTujuan spline kubik ialah menurunkan suatu polinomial orde ketiga untuk setiap interval di antara simpul, seperti dalam :[11.31]Jadi, untuk n + 1 titik data (i = 0, 1, 2, …, n), terdapat n interval dan konsekwerisinya, diperlukan 4n konstanta yang tidak diketahui untuk dievaluasikan. Seperti spline kuadratik, 4n kondisi diperlukan untuk mengevaluasikan yang tidak diketahui. Ini adalah :

1. Harga-harga fungsi harus sama pada simpul-simpul terdalam (2n - 2 kondisi).2. Fungsi-fungsi pertama dan terakhir harus melaluitlitik-titik ujung (2 kondisi).3. Turunan pertama pada simpul-simpul terdalam harus sama (n - 1 kondisi).4. Turunan kedua pada simpul-simpul terdalam harus sama (n - 1 kondisi).5. Turunan kedua pada ujung simpul-simpul adalah nol (2 kondisi).

Interpretasi visual dari kondisi 5 adalah bahwa fungsi itu menjadi sebuah garis lurus pada ujung simpul-simpul. Spesifikasi kondisi pada ujung-ujung demikian membawa kepada apa yang disebut sebagai suatu spline alamiah (natural spline). Nama ini diberikan karena spline penggambar secara alamiah memiliki bentuk menyerupai bentuk ini (Gambar 11.13). Jika harga turunan kedua pada ujung simpul-simpul bukan nol (terdapat beberapa lengkungan), informasi ini dapat digunakan secara alternatif untuk mensuplai kedua kondisi yang diperlukan. Kelima jenis kondisi di atas seluruhnya memberikan 4n persamaan yang diperlukan untuk menyelesaikan 4n koefisien. Di samping tentunya memungkinkan untuk membuat spline kubik dalam bentuk ini, kita akan memberikan sebuah teknik alternatif yang hanya memerlukan solusi dari n - 1 persamaan. Walaupun penurunan dari metode ini (Kotak 11.3) kurang gamblang dibandingkan spline kuadratik, penambahan pada efisiensi merupakan upaya yang bijaksana.

KOTAK 11.3 Penurunan Spline Kubik

Langkah pertama dari penurunan itu (Cheney dan Kincaid, 1980) berdasarkan pengamatan bahwa karena setiap pasangan simpul disambungkan oleh sebuah kubik, turunan kedua dalam setiap interval adalah sebuah garis lurus. Persamaan (11.31) dapat didiferensiasikan dua kali untuk mengubah pengamatan ini. Berdasarkan ini, penurunan kedua dapat dinyatakan oleh sebuah polinomial interpolasi Lagrange orde pertama [Persamaan (11.21)] : [K11.3.1]di mana … adalah harga turunan kedua pada sembarang titik x dalam interval ke-1. jadi persamaan ini adalah garis lurus yang menghubungkan turunan kedua pada simpul pertama …. Dengan turunan pada simpul kedua …Selanjutnya, Persamaan (K11.3.1) dapat diintegrasikan dua kali agar mengandung sebuah pernyataan untuk … Tetapi pernyataan ini mengandung dua konstanta integrasi yang tidak diketahui. Konstanta-konstanta ini dapat dievaluasikan dengan menerapkan kondisi ekualitas-fungsi … harus sama dengan … pada … dan … harus sama dengan … pada …. Dengan melakukan evaluasi ini, persamaan kubik berikut menghasilkan.[K11.3.1]Sekarang diakui bahwa hubungan ini adalah suatu pernyataan yang lebih rumit untuk spline kubik interval ke-1 daripada, katakanlah, Persamaan (l1.31). Tetapi perhatikan bahwa ia hanya mengandung dua “koefisien” yang tidak diketahui, turunan kedua pada awal dan akhir iviterval… dan .Jadi, jika kita dapat menentukan turunan kedua yang baik pada setiap simpul Persamaan (K11.3.2) adalah sebuah polinomial orde ketiga yang dapat digunakan untuk interpolasi dalam interval itu. Turunan kedua dapat dievaluasikan dengan memanggil kondisi itu, sehingga turunan pertama pada simpul harus kontinu :(KI1.3.3)Persamaan (K11.3.2) dapat didiferensiasikan untuk memberikan sebuah pernyataan bagi turunan pertama. Jika ini dilakukan untuk kedua interval ke … dan ke-i dan kedua hasil disamakan sesuai dengan Persamaan (K11. 3.3), hubungan berikut menghasilkan :(K11.3.4)Jika persamaan (K11.3.4) ditrulis untuk semua simpul terdalam, n – 1 persamaan simultan menghasilkan n + 1 turunan kedua yang tidak diketahui. Tetapi karena ini adalah suatu spline kubik alamiah, turunan kedua

pada ujung simpul adalah nol dan permasalahan direduksi menjadi n – 1 persamaan dengan n - 1 yang tidak diketahui. Tambahan pula, sistem persamaan akan tridiagonal. Jadi, kita tidak hanya telah mereduksi jumlah persamaan, tetapi juga menyusunnya menjadi bentuk yang amat mudah diselesaikan (ingat Kotak 7.2).Penurunan dari Kotak 11.3 menghasilkan persamaan kubik yang berikut untuk setiap interval :[11.32]Persamaan ini hanya mengandung dua yang tidak diketahui-turunan-turunan kedua pada ujung setiap interval. Yang tidak ini dapat dievaluasikan dengan menggunakan persamaan berikut :[11.33]Jika persamaan ini ditulis untuk semua simpul terdalam, n persamaan simultan menghasilkan n - 1 yang tidak diketahui. (Ingatlah turunan kedua ujung simpul adalah nol). Aplikasi dari persamaan-persamaan ini digambarkan pada contoh berikut.