Interférences - Free
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IntroductionInterférence de deux sources synchrones
Conditions d'interférencesInterféromètres à division du front d'onde
Exercice
Interférences
Optique
Saint Louis PC*1
année scolaire 2018-2019
Optique Interférences
IntroductionInterférence de deux sources synchrones
Conditions d'interférencesInterféromètres à division du front d'onde
Exercice
ProblématiquePlan
Comment améliorer la résolution d'un télescope ?
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Exercice
ProblématiquePlan
1) comprendre les interférences
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Exercice
ProblématiquePlan
2) étudier les conditions pour que se produisent les interférences
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Exercice
ProblématiquePlan
3) s'intéresser aux trous et aux fentes de Young
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Conditions d'interférencesInterféromètres à division du front d'onde
Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Exemples de phénomènes d'interférences
Les interférences : l'intensité de la somme n'est pas la somme des
intensités. Dans certains cas, de la lumière ajoutée à de la lumière
donne de l'obscurité !Optique Interférences
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Formule de FresnelAu point M, deux vibrations lumineuses synchrones
sk (M, t) = a0k cos
[ω
(t −
(SkM)
c
)− ϕsupk
− φ0]
s'ajoutent :
I (M) =⟨s1(M, t)2
⟩+⟨s2(M, t)2
⟩+ 2 〈s1(M, t) s2(M, t)〉
Une formule trigonométrique permet d'écrire
2 〈s1(M, t) s2(M, t)〉 =
=
2√I1 I2 〈cos [(ω − ω) t + ∆ϕ]〉
+2√I1 I2
⟨cos[(ω + ω) t + ∆ϕ′
]⟩2√I1 I2 〈cos [∆ϕ]〉
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Formule de FresnelL'intensité I résultant de l'interférence de deux
sources monochromatiques synchrones de longueur
d'onde λ0 dans le vide, respectivement d'intensité I1et I2 (si elles étaient seules) est
I = I1 + I2 + 2√
I1 I2 cos (∆ϕ)
où ∆ϕ = 2πλ0δ + ϕsup avec δ, la di�érence de marche
en M et ϕsup = π dans le cas :
• d'une ré�exion sur un miroir métallique
• d'une ré�exion sur un dioptre d'indice supérieur
• du passage par un point de convergence
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Interprétation de la formule de FresnelI1 est l'intensité reçue au point M avec la seule source S1,et I2, l'intensité reçue au point M avec la seule source S2.
I 6= I1 + I2
à cause du terme d'interférence 2√I1 I2 cos (∆ϕ)
où ∆ϕ(M) est le déphasage entre les deux vibrations lumineuses
arrivant au point M.
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Ordre d'interférence (dé�nition)
L'ordre d'interférence est la grandeur p sans
dimension telle que ∆ϕ(M) = 2π p.
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Franges claires et sombres, interférencesconstructives et destructives (dé�nition)
Sur un écran, le lieu des points M contigus de même
éclairement, donc de même phase, est appelé frange
d'interférences.
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Nature des interférences et ordre d'interférenceOn est en présence
• d'une interférence constructive (c'est à dire d'une frange
brillante ou claire) si p est entier ;
• d'une interférence destructive (c'est à dire d'une frange sombre
ou noire) si p est demi entier (p = 1
2+ n avec n ∈ Z).
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Contraste ou visibilité des franges (dé�nition)
le contraste ou visibilité des franges est
C =Imax − Imin
Imax + Imin
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Encadrement du contraste (exercice)
Montrer que 0 6 C 6 1 .
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Encadrement du contraste (exercice)Comme Imax = I1 + I2 + 2
√I1.I2 et Imin = I1 + I2 − 2
√I1.I2, on en déduit :
C =4.√
I1.I22.(I1+I2)
=
√I1.I2
(I1+I2)2
. Aussi, le contraste est le rapport de la moyenne
géométrique des intensités des deux ondes seules sur la moyenne arithmétique de I1et I2.En calculant (√
I1 −√
I1
)2
= I1 + I2 − 2√
I1 I2 ≥ 0
on a bien C 6 1.
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Interprétation de la visibilité des frangesAussi,
• le contraste est nul si I1 � I2 ou I2 � I1. Il est donc primordial
d'avoir des intensités I1 et I2 proches pour conserver un bon
contraste donc une bonne visibilité des franges.
• le contraste est maximal (c'est à dire C = 1) si I1 = I2 : c'est la
meilleure visibilité des franges.
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Réecriture de la formule de Fresnel avec lecontraste (exercice)
Montrer qu'on peut écrire la formule de Fresnel d'une
autre façon :
I (M) = I0 [1 + C cos (∆ϕ)] avec I0 = I1 + I2
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Réecriture de la formule de Fresnel avec le contraste (exercice)Comme Imax = I1 + I2 + 2
√I1.I2 et Imin = I1 + I2 − 2
√I1.I2, on en déduit :
C =4.√
I1.I22.(I1+I2)
=
√I1.I2
(I1+I2)2
.
Aussi, I = I1 + I2 + (I1 + I2) .C . cos (∆ϕ)
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Evolution de la visibilité des franges d'interférences avec lecontraste
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Surfaces d'iso-eclairementUne surface d'iso-eclairement (ou d'iso-intensité) est l'ensemble
connexe des points M tels que I (M) = constante, d'où
δ(M) = constante donc (S2M)− (S1M) = constante.
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Forme des surfaces iso-eclairement
Le système de franges possède la symétrie de révolution par rapport à l'axe S1S2.
Si le milieu est homogène d'indice n constant, cela correspond à
S2M − S1M = constante
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Forme des surfaces iso-eclairementDans le cas d'interférences de deux ondes issues de
deux ondes synchrones en S1 et S2, les surfaces d'isoéclairement dans un milieu homogène sont des
hyperboloïdes homofocales de foyers S1 et S2.
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Quelques surfaces iso-éclairement
hyperboloïdes de foyers S1 et S2.
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Trace de quelques surfaces iso-éclairement dans un plancontenant S1 et S2
la trace de surfaces iso-éclairement dans un plan contenant l'axe
S1S2 : hyperboles de foyers S1 et S2.
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Exercice
Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences
Forme des franges
la trace de surfaces iso-éclairement sur un écran dépend de la
position de l'écran par rapport aux foyers S1 et S2.
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Exercice
Calcul de l'intensité résultant de la superpositionde deux ondes monochromatiques (exercice)
On s'intéresse à deux sources ponctuelles
précédentes : s1(S1, t) = a01 cos (ω1 t − φ1) et
s2(S2, t) = a02 cos (ω2 t − φ2).� Montrer que l'intensité lumineuse en M est
I (M) = I1 + I2 + 2√
I1 I2 〈cos [(ω1 − ω2) t + ∆ϕ]〉
où∆ϕ = ω2
(S2M)c − ω1 (S1M)
c+ϕsup2 − ϕsup1
+φ2 − φ1
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Exercice
Calcul de l'intensité résultant de la superposition de deux ondes monochromatiques(exercice)Les deux vibrations lumineuses s'additionnent et
I (M) =⟨s1(M, t)2
⟩+⟨s2(M, t)2
⟩+ 2 〈s1(M, t) s2(M, t)〉
Une formule trigonométrique permet d'écrire
2 〈s1(M, t) s2(M, t)〉 = 2√I1 I2 〈cos [(ω1 − ω2) t + ∆ϕ]〉
+2√I1 I2
⟨cos[(ω1 + ω2) t + ∆ϕ′
]⟩où ∆ϕ = −ω1
(S1M)c− ϕsup1 − φ1 + ω2
(S2M)c
+ ϕsup2 + φ2 et
∆ϕ′ = −ω1(S1M)
c− ϕsup1 − φ1 − ω2
(S2M)c− ϕsup2 − φ2. Bien entendu, la
seconde moyenne est nulle :
⟨cos[
(ω1 + ω2) t + ∆ϕ′]⟩
= 0
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Exercice
Condition d'interférence et cohérence temporelleIl faut que les deux sources S1 et S2 aient la même pulsation : ω1 = ω2 pour que
〈cos [(ω1 − ω2) t + ∆ϕ]〉 = 〈cos (∆ϕ)〉 6= 0
c'est à dire pour qu'il y ait interférence.
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Exercice
Condition d'interférence et cohérence temporelleDeux longueurs d'onde di�érentes n'interfèrent pas.
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Exercice
Condition d'interférence et cohérence spatialeSi les deux sources S1 et S2 ont la même pulsation : ω1 = ω2 pour que
〈cos [(ω1 − ω2) t + ∆ϕ]〉 = 〈cos (∆ϕ)〉 6= 0
pour qu'il y ait interférence. Or
∆ϕ = ωc
[(S2M)− (S1M)] + ϕsup2 − ϕsup1 + φ2 − φ1. Comme le déphasage à
l'origine φ2 −φ1 entre deux sources lumineuses S1 et S2 est variable et quelconque.
Ainsi sur le temps de réponse du détecteur, la phase varie un très grand nombre de
fois entre 0 et 2π et ainsi 〈cos (∆ϕ)〉 = 0 si S1 et S2 sont di�érentes.
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Exercice
Condition d'interférence et cohérence spatialeDeux sources primaires di�érentes n'interfèrent pas.
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Exercice
Condition d'interférence sur les trains d'onde
Pour que 〈cos (∆ϕ)〉 6= 0 avec
∆ϕ = ωc
[(S2M)− (S1M)] + ϕsup2 − ϕsup1 + φ2 − φ1, il faut que les trains
d'ondes se superposent. Or, pour que se superposent ces trains d'onde, il faut que
la di�érence de marche ne soit pas plus grande (en valeur absolue) que la longueur
du train d'onde dans l'espace, c'est à dire `c , la longueur de cohérence temporelle.
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Exercice
Condition d'interférence sur les trains d'ondePour que les interférences ne soient pas brouillées, il
faut que la di�érence de marche soit inférieure à la
longueur de cohérence temporelle :
|δ| < `c
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Exercice
Utilisation des laser pour des interférencesUne grande monochromaticité (et une grande longueur de
cohérence temporelle) associée à une grande directivité (un point
source à distance in�nie) expliquent pourquoi il est plus facile de
réaliser des interférences avec un laser.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Interférence à partir d'une unique source primairesi l'on veut réaliser des interférences, une solution consiste à créer
deux sources à partir d'une unique source primaire. On parle alors
de deux sources secondaires. C'est ce qui se passe en particulier
dans le dispositif des trous de Young.
Il faut pour réaliser une source quasi ponctuelle :
• un laser (source ponctuelle à l'in�ni) ;
• ou bien un laser à qui on adjoint un objectif de microscope
(source ponctuelle à distance �nie) ;
• soit encore une lampe qui éclaire (grâce à un condenseur) un
diaphragme (qui est dans ce cas la source ponctuelle à Sdistance �nie).
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Principe du dispositif des trous de Young
deux rayons lumineux di�érents, issus du même point source
primaire (qu'on notera S) qui vont interférer en un point M. Depuis
M, ces deux rayons lumineux semblent provenir (ou proviennent
e�ectivement) de deux point sources secondaires S1 et S2.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Non localisation des interférencesDans le cas d'utilisation d'une source ponctuelle, les interférences
ne sont pas localisées. C'est à dire qu'elles existent a priori dans
toute la zone de recouvrement des faisceaux.
Aussi, il n'est pas nécessaire a priori d'utiliser un dispositif de
formation d'image (lentille) pour visualiser les interférences.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Champ d'interférencesle champ d'interférences est le lieu des points M pouvant être
atteints par les deux signaux. On parle aussi de zone de
recouvrement des faisceaux.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Détermination de la di�érence de marche dansle cas des trous de Young (exercice)
� Déterminer la di�érence de marche δ dans le cas
des trous de Young.
� En utilisant le fait que les trous de Young sont
situés à une distance a faible devant la distance dséparant les trous de l'écran, faire un développement
limité pour exprimer δ en fonction de x et y les
coordonnées du point M sur l'écran.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Détermination de la di�érence de marche dans le cas des trous de Young (exercice)� La di�érence de marche est
δ = (SS1M)− (SS2M) = SS1 − SS2 + S1M − S2M
� On peut calculer, en prenant O, l'origine du repère au milieu de S1S2.
S1M2 =
(a
2+ x
)2
+ y2 + d2 ≈ d
[1 +
1
2
(a2
+ x
d
)2
+1
2
(y
d
)2]
Donc
δ ≈ SS1−SS2+d
[1 +
x2 + a x + a2/4
2 d2+
y2
2 d2
]−d
[1 +
x2 − a x + a2/4
2 d2+
y2
2 d2
]= SS1−SS2+d
2 a x
2 d2
On trouve donc δ ≈ SS1 − SS2 + a xd.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Ecran éclairé par un laser à travers des trous de Young
le plan d'observation derrière des trous de Young éclairés par un
laser.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Forme des franges dans le cas des trous deYoung (exercice)
� En utilisant la di�érence de marche
δ ≈ SS1 − SS2 + a xd , déterminer la forme des franges
observées sur l'écran dans le cas des trous de Young.
� Retrouver le résultat en utilisant les surfaces
iso-éclairement.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Forme des franges dans le cas des trous de Young (exercice)� La formule de Fresnel donne :
I = I1 + I2 + 2√
I1 I2 cos (∆ϕ)
avec ∆ϕ = 2πλ
(SS1 − SS2 + a x
d
)car il n'y a pas de déphasage supplémentaire.
Aussi,
I = I1 + I2 + 2√
I1 I2 cos
(2π
λ
(SS1 − SS2 +
a x
d
))qui n'est que fonction de x, donc invariante par translation suivant y : les frangessont rectilignes.
� L'intersection des surfaces iso-éclairement avec l'écran donne des hyperboles.
Sur une petite distances, ces hyperboles peuvent être considérées comme
quasi-rectilignes.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Interfrange (dé�nition)
sur l'écran d'observation, la distance i entre deux
franges consécutives de même nature est appelée
interfrange. C'est par exemple l'espace entre deux
franges sombres consécutives.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Attention !Cette dé�nition n'a véritablement d'intérêt que si i est constant,c'est à dire si l'éclairement est une fonction périodique d'une
direction (par exemple x) du plan d'observation.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Interfrange dans le cas des trous de Young(exercice)
� En utilisant la di�érence de marche
δ ≈ SS1 − SS2 + a xd , déterminer l'interfrange dans le
cas des trous de Young écartés de a et observés à une
distance d .
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Interfrange dans le cas des trous de Young (exercice)� La formule de Fresnel donne :
I = I1 + I2 + 2√
I1 I2 cos (∆ϕ)
avec ∆ϕ = 2πλ
(SS1 − SS2 + a x
d
)car il n'y a pas de déphasage supplémentaire.
Aussi,
I = I1 + I2 + 2√
I1 I2 cos
(2π
λ
(SS1 − SS2 +
a x
d
))qu'on peut réécrire sous la forme
I = I1 + I2 + 2√
I1 I2 cos
(2π
x
i+ ϕ0
)
Il s'agit bien d'une fonction périodique de x avec une période spatiale, l'interfrange,
i = λ da.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Cohérence temporelle d'une source (exercice)
Considérons un point source primaire : S0 qui éclaire
par deux sources monochromatiques de fréquences ν1et ν2 deux trous de Young S1 et S2.p1(M) est l'ordre d'interférence en M dû à la source
de fréquence ν1et p2(M) celui dû à la source de fréquence ν2.� Montrer que la di�érence d'ordre d'interférence en
un point M est
|∆p| = |p1(M)− p2(M)| =δ
c|ν1 − ν2|
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Cohérence temporelle d'une source (exercice)Si la di�érence de marche est δ = [(S0S2) + (S2M)− (S0S1)− (S1M)],
∆ϕ(ν1,M) =2π ν1
cδ,
et ∆ϕ(ν2,M) =2π ν2
cδ, soit :
p1(M)− p2(M) =δ
c(ν1 − ν2)
Donc :
|∆p| =δ
c|ν1 − ν2|
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Conditions d'interférencesInterféromètres à division du front d'onde
Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Cohérence spatiale d'une source (exercice)
Considérons deux points sources primaires très
proches : P1 et P2 qui éclairent par une source
monochromatique de longueur d'onde λ deux trous de
Young S1 et S2.~u1 et ~u2 sont des vecteurs normés dans les directions
de S1 et S2 : ~u1 =−−−→P1S1P1S1
et ~u2 =−−−→P1S2P1S2
.
p1(M) est l'ordre d'interférence en M dû à la source
P1 et p2(M) celui dû à la source P2.
� Montrer que la di�érence d'ordre d'interférence en
un point M quelconque du plan d'observation est
|∆p| = |p1(M)− p2(M)| ≈
∣∣∣−−−→P1P2. (~u1 − ~u2)∣∣∣
λ
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Conditions d'interférencesInterféromètres à division du front d'onde
Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Cohérence spatiale d'une source (exercice)
P2S1 =
√(−−−→P2P1 +
−−→P1S1
)2
. Donc P2S1 = P1S1
(1 + 2.
−−−→P2P1 ·~u1 +
(P1P2P1S1
)2) 1
2.
Un développement limité au premier ordre donne : P2S1 ≈ P1S1
(1 +−−−→P2P1 ·~u1
).
De la même façon, P2S2 ≈ P1S2
(1 +−−−→P2P1 ·~u2
).
∆ϕ(P1,M) = 2πλ
[(P1S2) + (S2M)− (P1S1)− (S1M)],
et ∆ϕ(P2,M) = 2πλ
[(P2S2) + (S2M)− (P2S1)− (S1M)], soit :
p1(M)− p2(M) =1
λ[P1S2 − P1S1 − P2S2 + P2S1]
Donc :
|∆p| = |p1(M)− p2(M)| ≈
∣∣∣−−−→P1P2 · (~u1 − ~u2)∣∣∣
λ
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Conditions d'interférencesInterféromètres à division du front d'onde
Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Illustration de la cohérence
l'intensité résultant de la superposition de deux systèmes
d'interférence
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Conditions d'interférencesInterféromètres à division du front d'onde
Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Critère semi-quantitatif de brouillage des frangesSi la variation de l'ordre d'interférence est |∆p| > 1/2en un même endroit du plan d'observation, les
interférences sont brouillées.
Cela peut arriver :
• pour une source large (|∆p| est alors évalué sur la
moitié de l'étendue spatiale de la source), on parle
de cohérence spatiale ;
• pour une source non monochromatique (|∆p| estalors évalué sur la moitié de l'étendue spectrale de
la source), on parle de cohérence temporelle.
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IntroductionInterférence de deux sources synchrones
Conditions d'interférencesInterféromètres à division du front d'onde
Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Passage de trous de Young aux fentes de Young
dans le cas des trous de Young, ∆p est nulle au premier ordre si−−−→P1P2⊥ (~u1 − ~u2).
On peut utiliser une fente source primaire (P1P2) orthogonale à ~u1 et ~u2.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Passage de trous de Young aux fentes de YoungOn peut utiliser une fente source primaire parallèle à
deux fentes de Young : ainsi, on gagne en luminosité,
sans brouiller les interférences.
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Conditions d'interférencesInterféromètres à division du front d'onde
Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Expérience de Young
L'expérience des trous (et des fentes de Young) met en évidence le
phénomènes d'interférences.
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Exercice
Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young
Comparaison des dispositifs des trous de Young et des fentesde Young
comparaison des observations dans le cas des trous de Young et des
fentes de Young.
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Exercice
Modélisation du VLTI (télescope interférentiel)
On assimile deux télescopes distants de a à deux trous T1 et T2 de
taille négligeable et à une lentille d'axe optique Oz , de centre O, de
distance focale f ′. Le foyer image de la lentille est noté F ′ et leplan focal est le plan d'observation. T1 et T2 sont à une distance a
2
de l'axe optique.
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Exercice
Modélisation du VLTI (télescope interférentiel)
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Exercice
Modélisation du VLTI (télescope interférentiel)
1) Un unique objet ponctuel à l'in�ni A est observé dans la
direction de l'axe optique.
Pour simpli�er, on supposera que cet objet émet une unique
radiation de longueur d'onde λ = 2, 0 µm.
1.a) Où se trouve l'image géométrique A′ de A ?
1.b) Calculer la di�érence de marche δ0 entre les ondes provenant
de A et se recombinant en A′, passant par les trous T1 et T2.
1.c) Dans quelle mesure peut-on considérer que le contraste des
interférence vaut 1 ? Dans la suite on supposera e�ectivement que
le contraste vaut 1.
1.d) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse IA(x) d'un
point d'abscisse x dans le plan focal.
1.e) En déduire l'expression de l'interfrange.
1.f) Tracer l'allure de la �gure d'interférence dans le plan (xF ′y)telle qu'on pourrait l'observer avec une caméra infrarouge.
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Exercice
Modélisation du VLTI (télescope interférentiel)
2) Un unique objet ponctuel à l'in�ni B est observé dans la
direction iB 6= 0 par rapport à l'axe optique dans le plan xOz , avecles mêmes caractéristique que A.2.a) A quelle distance xB de F ′ se trouve l'image géométrique de
B ?
2.b) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse IB(x) en un
point d'abscisse x .2.c) L'interfrange est-elle di�érente de celle trouvée
précédemment ?
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Exercice
Modélisation du VLTI (télescope interférentiel)
3) Deux objets ponctuels à l'in�ni A et B sont observés dans les
directions iA = 0 et iB 6= 0 par rapport à l'axe optique dans le plan
xOz .Pour simpli�er, on supposera que ces deux objets émettent une
unique radiation de longueur d'onde λ = 2, 0 µm et la même
puissance lumineuse.
3.a) Ces deux sources sont-elles cohérentes ?
3.b) En déduire l'intensité lumineuse IA⋃
B(x) en un point
d'abscisse x .3.c) Pour quelle(s) valeur(s) de a y a-t-il brouillage des
interférences ? On exprimera le résultat en fonction de iB .3.d) Proposer alors une méthode de détermination expérimentale
de l'angle entre deux étoiles composant une étoile double.
3.e) Quelle est la valeur numérique (en secondes d'arc) de la
limite de résolution angulaire imin du VLTI ?
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Exercice
Modélisation du VLTI (télescope interférentiel)
1) Observation d'une source ponctuelle dans la direction de l'axe optique
1.a) tan iA =xAf ′ , donc xA = 0 (normal : A′ en F ′).
1.b) La di�érence de marche entres les ondes provenant de A et se recombinant
en A′, passant par les deux trous T1 et T2 sur la �gure 5 est δ0 = 0 d'après la
symétrie du problème.1.c) Le contraste des interférence vaut 1 si les intensités passant par T1 et T2sont identiques.1.d) L'intensité lumineuse est
IA = I1 + I2 + 2√
I1I2 cos(2πλδ)
= 2I1
[1 + cos
(2πλδ)]
où δ est la di�érence de
marche. Le théorème de Malus permet d'écrire δ = a (im)⇒ δ = a xf ′ .
1.e) Puisque IA = 2I1
[1 + cos
(2πλ
af ′ x)]
l'interfrange (périodicité spatiale des
interférences) est i = λf ′a
.
1.f) On observe des franges rectilignes (parallèles à F ′y , éloignées de i), dans unezone circulaire autour de F ′ qui est la tache de di�raction ("tache d'Airy", nonexigible).2) Observation d'une source ponctuelle dans une direction di�érente de celle del'axe optique
2.a) tan iB =xBf ′ , donc xB = f ′ iB .
2.b) L'intensité lumineuse est
IB = I1 + I2 + 2√I1I2 cos
(2πλδ)
= 2I1
[1 + cos
(2πλδ)]
où δ est la di�érence de
marche. Le théorème de Malus permet d'écrire δ = a (im − iB )⇒
δ = af ′ (x − xB ) .
2.c) Puisque IB = 2I1
[1 + cos
(2πλ
af ′ (x − xB )
)]l'interfrange (périodicité
spatiale des interférences) est inchangée : i = λf ′a
.
3) Observation de deux sources ponctuelles3.a) Ces deux sources sont incohérentes.3.b) L'intensité résultante est donc la somme des deux intensités :
IA⋃
B (x) = IA + IB = 2I1
[2 + cos
(2π
λ
a
f ′x
)+ cos
(2π
λ
a
f ′(x − xB )
)]
donc IA⋃
B (x) = 4I1
[1 + cos
(πλ
af ′ (2x − xB )
)cos(πλ
af ′ xB
)].
3.c) Il y a brouillage des interférences si cos(πλ
af ′ xB
)= 0 soit π
λaf ′ xB = π
2+ kπ
où k ∈ Z c'est-à-dire a = λf ′xB
(1
2+ k)⇒ a = λ
iB
(1
2+ k)
.
3.d) On met les deux télescopes très proches (a 7→ 0) visant dans la direction del'étoile double. On visualise des franges d'interférence. On éloigne ensuite untélescope de l'autre et on s'arrête lorsque brouillage des franges. L'angle entre les
deux étoiles est alors iB = λ2a
.
3.e)imin correspond à amax , soit
imin = λ2amax
= 2×10−62×100 = 1, 0× 10−8rad = 21msec .
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