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MATEMÁTICA FINANCIERA PRESENTACION El dinero es importante en la vida del hombre y su utilización debe ser de manera óptima y adecuada; y con la globalización de la economía ha adquirido una trascendental relevancia, ya que todas las transacciones se realiza a través del uso del dinero, por eso es necesario que se sepa operar para que genere los máximos beneficios y se aproveche a su máxima utilidad; por lo que es importante comprender de manera clara cómo el dinero puede ganar o perder o cambiar de valor en el tiempo, debido a fenómenos económicos como la inflación y devaluación, por lo cual es relevante usar y empleo con claridad y precisión los conceptos de las matemáticas financieras. Además, es importante el manejo de las matemáticas financieras ya que la economía de un país, se basa en diferentes operaciones financieras y que para tomar una decisión acertada, es necesario e indispensable tener en cuenta que a través del tiempo el valor del dinero puede tener variaciones. Se ha tratado de exponer cada una de las unidades de una manera clara y sencilla y usando un lenguaje simple para que el alumno encuentre interesante el campo de las matemáticas financieras; pero es conveniente aclarar que esta disciplina, como todas las que tienen que ver con las matemáticas, exigen un trabajo práctico dedicado, por lo que se recomienda realizar los ejercicios resueltos y propuestos. EL módulo contiene suficientes ejemplos resueltos paso a paso que le proporciona al alumno la destreza necesaria para resolver los ejercicios propuestos con sus respectivas respuestas, los cuales 0
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MATEMÁTICA FINANCIERA
PRESENTACIONEl dinero es importante en la vida del hombre y su utilización debe ser de manera óptima y
adecuada; y con la globalización de la economía ha adquirido una trascendental relevancia,
ya que todas las transacciones se realiza a través del uso del dinero, por eso es necesario
que se sepa operar para que genere los máximos beneficios y se aproveche a su máxima
utilidad; por lo que es importante comprender de manera clara cómo el dinero puede ganar o
perder o cambiar de valor en el tiempo, debido a fenómenos económicos como la inflación y
devaluación, por lo cual es relevante usar y empleo con claridad y precisión los conceptos
de las matemáticas financieras.
Además, es importante el manejo de las matemáticas financieras ya que la economía de un
país, se basa en diferentes operaciones financieras y que para tomar una decisión acertada,
es necesario e indispensable tener en cuenta que a través del tiempo el valor del dinero
puede tener variaciones.
Se ha tratado de exponer cada una de las unidades de una manera clara y sencilla y usando
un lenguaje simple para que el alumno encuentre interesante el campo de las matemáticas
financieras; pero es conveniente aclarar que esta disciplina, como todas las que tienen que
ver con las matemáticas, exigen un trabajo práctico dedicado, por lo que se recomienda
realizar los ejercicios resueltos y propuestos.
EL módulo contiene suficientes ejemplos resueltos paso a paso que le proporciona al
alumno la destreza necesaria para resolver los ejercicios propuestos con sus respectivas
respuestas, los cuales servirán para afianzar los conocimientos adquiridos a través de los
capítulos.
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Matemáticas Financieras.Capitulo I
1.1 IntroduccionLas matemáticas financieras son fundamentales para tomar la mejor decisión, cuando se
invierte dinero en proyectos o en inversiones, por eso es conveniente que el alumno defina y
explique los conceptos básicos sobre proyectos y las diferentes inversiones que se pueden
llevar a cabo en la vida cotidiana y empresarial. También, es importante, que se conozca la
importancia del concepto del valor del dinero a través del tiempo, como elemento
fundamental de las matemáticas financieras, así como del principio de equivalencia y el
principio de visión económica, que se aplican en el diagrama económico, para efecto de
trasladar los flujos de caja al presente o al futuro.
1.2 IMPORTANCIA DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS.Las organizaciones y la personas toman decisiones diariamente que afectan su futuro
económico, por lo cual, deben analizar técnicamente los factores económicos y no
económicos, así como también los factores tangibles e intangibles, inmersos en cada una de
las decisiones que se toman para invertir el dinero en las diferentes opciones que se puedan
presentar, de allí, la importancia de las técnicas y modelos de la matemáticas financieras en
la toma de las decisiones, ya que cada una de ellas afectará lo que se realizará en un
tiempo futuro, por eso, las cantidades usadas en la matemáticas financieras son las mejores
predicciones de lo que se espera que suceda.
No hay que olvidar que en todo proceso de toma de decisión siempre aparece el
interrogante de tipo económico, debido a lo que espera toda organización o persona es la
optimización de los recursos con que se cuenta.
Cuando se busca la solución que optimice los recursos con que se cuentan
generalmente hay que abordar las siguientes preguntas claves:
¿Se justifica la realización del proyecto o la inversión?
¿Se puede usar la actual infraestructura de producción para alcanzar el nuevo nivel de
producción?
¿El tiempo estipulado para la realización del proyecto es el adecuado?
¿Es recomendable o favorable la inversión económica o socialmente?
¿Cuál de las alternativas planteadas es la mejor para la organización o inversionistas?.
Las respuestas a las preguntas señaladas ayudan a la organización o inversionista a
eliminar proyectos que no son factibles de realizar por no contar con los recursos
necesarios.
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De allí, la importancia de desarrollar todo el proceso de toma de decisiones para plantear
soluciones o alternativas para el problema que se está enfrentando.
Lo expuesto anteriormente, muestra la dimensión e importancia de las MATEMATICAS
FINANCIERAS como herramienta de análisis y evaluación en el proceso de toma de
decisiones.
1.3 DEFINICIONES DE LAS MATEMATICAS FINANCIERASLas matemáticas financieras pueden tener varias definiciones, pero todas presentan el
mismo objetivo final.
“Estudia el conjunto de conceptos y técnicas cuantitativas de análisis útiles para la
evaluación y comparación económica de las diferentes alternativas que un inversionista, o
una organización pueden llevar a cabo y que normalmente están relacionadas con proyectos
o inversiones en: sistemas, productos, servicios, recursos, inversiones, equipos, etc., para
tomar decisiones que permitan seleccionar la mejor o las mejores posibilidades entre las que
se tienen en consideración”.
“Es una herramienta de trabajo que permite el análisis de diferentes alternativas planteadas
para la solución de un mismo problema”.
“Es el estudio de todas las formas posibles para desarrollar nuevos productos (o resolver
un problema), que ejecutarán funciones necesarias y definidas a un costo
mínimo”.
“Es un conjunto de conceptos y técnicas de análisis, útiles para la comparación y evaluación
económica de alternativas”.
En general el objetivo básico de las matemáticas financieras es seleccionar la alternativa
más conveniente desde el punto de vista económico.
1.4 DEFINICIONES DE PROYECTOExisten varias definiciones al término proyectos, entre las cuales se pueden enumerar las
siguientes:
Las Naciones Unidas, en su Manual de Proyectos de Desarrollo Económico, expresa:
“Un proyecto es el conjunto de antecedentes que permite estimar las ventajas y desventajas
económicas que se derivan de asignar ciertos recursos de un país para la producción de
determinados bienes o servicios”
La definición indica que si los resultados económicos esperados son favorables el proyecto
debe llevarse hasta finalizarlo, dando especial consideración a las diferentes etapas que lo
conforman.
El Banco Mundial define proyecto de la siguiente manera:
“El proyecto es, en un caso ideal, una serie óptima de actividades orientadas hacia la
inversión fundadas en una planificación sectorial completa y coherente, mediante la cual se
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espera que un conjunto específico de recursos humanos y materiales produzca un grado
determinado de desarrollo económico y social”.
El Instituto Latinoamericano y del Caribe de Planificación Económica y Social, Ilpes, en su
documento Guía para la presentación de proyectos proporciona la siguiente definición:
“En su significado básico, el proyecto es el plan prospectivo de una unidad de acción capaz
de materializar algún aspecto del desarrollo económico o social.
Esto implica, desde el punto de vista económico. Proponer la producción de algún bien o la
prestación de algún servicio, con el empleo de una cierta técnica y con miras a obtener u
determinado resultado o ventaja, económico o social.
Como plan de acción, el proyecto supone también la indicación de los medios necesarios
para su realización y la adecuación de esos medios a los resultados que se persiguen. El
análisis de estas cuestiones se hace en los proyectos no sólo del punto de vista económico
sino también técnico y financiero, administrativo e institucional”.
En la forma más simple un proyecto se puede definir como la búsqueda de una solución
inteligente al planteamiento de un problema para resolver, entre muchas, una necesidad
humana.
Un proyecto de inversión es un plan, que si se le asigna determinado monto de capital y se
le proporciona insumos de diferentes tipos, podrá producir un bien o un servicio, útil al ser
humano o a la sociedad en general.
1.5 INVERSIONESLas inversiones son la asignación de recursos en los diferentes departamentos de una
organización, con las cuales se logran los objetivos trazados en cada uno de ellos.
Las inversiones deben ser evaluadas cuidadosamente a fin de determinar su aceptación o
rechazo y establecer su grado de prioridad dentro de los planes estratégicos de la empresa.
Los errores cometidos en las decisiones de inversión no sólo tienen consecuencias
negativas en los resultados de las operaciones, sino que también impactan las estrategias
de la empresa. Las inversiones pueden clasificarse de acuerdo con varios criterios y desde
diferentes puntos de vista. En este módulo en primera instancia, se clasificaran por el tipo de
función que desempeñan dentro de la empresa:
a) Inversiones de renovación: Se realizan cuando se van a sustituir equipos, instalaciones
o edificaciones obsoletas o desgastadas físicamente por nuevos elementos productivos. Se
invierte en renovar las operaciones existentes.
b) Inversiones de modernización: Comprenden todas las inversiones que se efectúan
para mejorar la eficiencia de la empresa tanto en la fase productiva como en la
comercialización de los productos. Se invierte para mejorar la eficiencia operacional.
c) Inversiones de expansión: Son las inversiones que se realizan para satisfacer una
demanda creciente de los productos de la empresa.3
d) Inversiones estratégicas: Son las que afectan la esencia misma de la empresa, ya que
tomadas en conjunto definen el sistema de actividades de la misma.
Estas inversiones se derivan del análisis de la estrategia de la empresa y su impacto en el
sistema de actividades es contundente.
Los casos más típicos son las inversiones para diversificación, la cobertura de nuevos
mercados, las inversiones asociadas con nuevos desarrollos tecnológicos y las derivadas de
las decisiones de integración vertical u horizontal en la empresa.
Atendiendo a la relación de dependencia o independencia económica de las inversiones,
éstas se pueden clasificar en mutuamente excluyentes, independientes y complementarias.
a) Mutuamente excluyentes: Cuando por su naturaleza solo se puede ejecutar una de
ellas, pues sería redundante o contraría la política de la organización, hay que tener en
cuenta, que las inversiones mutuamente excluyentes están vinculadas a la solución de un
mismo problema, por eso, hay que seleccionar la mejor de todas.
b) Inversiones Independientes: Son aquellas que no guardan relación o dependencia
económica entre sí, por tal motivo, la realización de una de ellas no impide la ejecución de
otra u otras inversiones. La única limitante para la organización, es la disponibilidad de los
recursos para cada una de las inversiones.
El proceso decisorio se orienta a identificar una combinación de inversiones, factibles de
ejecutar en función de la disponibilidad de recursos, que es la que genera los mejores
resultados.
c) Inversiones Complementarias: Son las inversiones que tienen un alto grado de
dependencia económica entre sí, que en algunos de los casos al realizarse
simultáneamente, interactúan reforzando o atenuando las características de ellas.
Esto da como resultado que, en algunas combinaciones se presente el fenómeno de
sinergismo y que en tal sentido, haya que determinar el efecto sinergético de la
combinación. El proceso decisorio está orientado a identificar una mezcla de combinaciones
o alternativas individuales, factibles de realizar en función de la disponibilidad de recursos, y
que es la que produce los mejores resultados.
Las inversiones también, se clasifican en función del sector de la economía en que se
ejecutan, por lo tanto, habrán inversiones en empresas del sector privado y en el sector
público.
a) Inversiones en el sector privado: Son inversiones preparados y ejecutados por
personas naturales y jurídicas, con recursos privados y de crédito, se deben aceptar cuando
se esperan incrementos en los beneficios de las empresas (crean valor) y por consiguiente
se espera que aumente el patrimonio de los accionistas. No obstante, en algunas ocasiones
hay inversiones de carácter estratégico que no generan los rendimientos mínimos exigidos
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por la empresa, pero que se aceptan por completar el sistema de actividades escogido por
la estrategia de la empresa.
b) Inversiones en el sector público: Son inversiones desarrolladas por entidades del
gobierno y con presupuestos de inversión pública. Generalmente apuntan al mejoramiento
de la salud, la educación, la vivienda, el transporte, la seguridad, etc.
Estas inversiones se realizan con base en los planes y programas de desarrollo económico
y social que se preparan en los diferentes niveles de la administración pública
En las inversiones del sector público se deben valor aspectos cuantitativos y cualitativos de
beneficio económico y social, y su objetivo primordial es aumentar el bienestar social.
1.6 PROCESO DE TOMA DE DECISIONESLa toma de decisiones es la selección de un curso de acción entre varias alternativas
planteadas en una organización y el núcleo de la planeación, también, es una actividad
cotidiana en las organizaciones, cada problema o situación se tiene que resolver, por lo cual
surgirá la necesidad de tomar una decisión. Por lo tanto, es recomendable disponer de un
procedimiento sistémico para la solución de los problemas, que se puede señalar de la
siguiente manera:
1) Definir el problema: Se trata de identificar en forma clara el problema y realizar su
formulación de manera concreta y precisa, definiendo los objetivos buscados. La
importancia de éste punto es vital en el proceso de toma de decisiones, y es recomendable
dedicarle todo el tiempo que se necesite, para lograr una clara y adecuada definición del
problema, porque de lo contrario se corre el riesgo de dar solución a un problema
inexistente. Debe quedar claro que los problemas en la vida cotidiana o real, están
enunciados de manera muy general, por lo cual, es indispensable identificarlos y definirlos
exactamente, en relación con sus objetivos como en los métodos de análisis que se
seguirán.
La importancia de definir con claridad y precisión el problema radica en el hecho conocido
de que es preferible no resolver el problema, antes que resolver el problema que no es, por
eso, se dice que la definición del problema es la parte más crítica de todo proceso de toma
de decisiones, debido a que una equivocada identificación traerá como consecuencia la
toma de una decisión igualmente errada.
De una premisa equivocada siempre la conclusión será equivocada.
La importancia del proceso de identificación del problema, se traduce en el pensamiento de
Albert Einstein: “Si se me concediese sólo una hora para resolver un problema del que
dependiese mí propia vida, yo dedicaría 40 minutos a estudiarlo, 15 minutos a revisarlo y 5
minutos a solucionarlo”.
En este sentido, se recomienda agotar los mejores esfuerzos y recursos de la organización
en la identificación de la problemática. Deben realizarse reuniones, tormentas de ideas y 5
trabajos de grupo para la consecución de una visión clara y precisa de la situación que se
deberá enfrentar.
2) Analizar el problema: Una vez se haya definido en forma concreta el problema, se
procede a discriminar todos los hechos que lo han originado o tienen relación con él.
Es indispensable que dentro del análisis, se realice una reseña de las decisiones tomadas
en el pasado, en relación con el problema definido; porque muchas veces el problema
surgido, tiene que ver con las decisiones que se han tomado con anterioridad en el tiempo.
También, es conveniente y necesario analizar las restricciones que se presentan al
momento de dar solución a los problemas, y ellas pueden ser reales y ficticias.
Las restricciones reales son las que verdaderamente existen al momento de formular el
problema, pueden ser: tecnológicas, de recursos, de tiempo, sociopolíticas, de seguridad,
administrativas, etc. Estas restricciones, son necesarias tenerlas en cuenta al momento de
seleccionar la solución al problema.
Las restricciones ficticias son las que no están o no existen contenidas en el problema que
se ha definido; generalmente surgen de manera inconscientemente por el criterio de la
persona que está realizando el análisis, y pueden ser: hábitos, temores, inhibiciones,
timidez. Hay que tener en cuenta, que hay personas que se restringen ficticiamente más que
otras, afectando en forma negativa la creatividad y dificultad la solución de los problemas o
los convierte en imposibles de solucionarlos.
3) Generación de alternativas de soluciones: Una vez que el problema se ha definido y
analizado, se debe proceder a generar posibles soluciones y/o alternativas para ser
aplicadas. Un brainstorning (tormenta de ideas) , es un buen comienzo para la generación
de soluciones. En el proceso de generación de soluciones, se recomienda reunir todas
aquellas personas que tengan que ver o conozcan el problema e inducirlas al planteamiento
de soluciones, no sin antes tener en cuenta los siguientes elementos:
a) Evitar resaltar las diferencias jerárquicas de los asistentes.
b) Buscar la participación del directivo más importante hasta el obrero más humilde
de la organización.
c) No subestimar ninguna solución sugerida.
d) No permitir burlas a las soluciones planteadas.
e) No hacer comentarios negativos sobre las soluciones sugeridas.
f) Motivar e inducir permanentemente a las personas para que sugieran soluciones.
En caso que la decisión competa a una sola persona y ésta no tenga los medios para
consultar con otros, es indispensable que se presenten distintas alternativas para que cada
una sea evaluada individualmente.
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4) Evaluación de alternativas: El proceso de generación de alternativas de soluciones
tendría poca importancia si las mismas no son analizadas y comparadas entre sí, de manera
tal que se pueda determinar cuál es la más conveniente.
Mediante la evaluación de las alternativas se conocerá, cuál de ellas es la más rentable,
cuál tendrá más posibilidad de realización, cuál apoyará los intereses generales de la
compañía, así como también cuál de las posibles soluciones será más acorde con la visión y
misión de la organización. Igualmente se considerarán las estrategias de la organización a
corto, mediano y largo plazo.
Cuando se estima la conveniencia de una solución debe tomarse en cuenta la rentabilidad
que produce, asociada al riesgo que conlleva. Adicionalmente, debe considerarse que el
beneficio económico a corto plazo puede quedar relegado en aras de una estrategia
superior de la empresa.
Es necesario que una vez se seleccione la alternativa que dará solución al problema, se le
comunique a las personas de la organización encargadas de dar la aprobación final. De la
presentación de la solución depende que se lleve a la práctica, por ello es importante estar
seguros de los beneficios de dicha solución y llevar a cabo la sustentación con seguridad,
demostrando clara y concretamente cuales son las ventajas de la solución propuesta. Es
conveniente presentar soluciones a corto, mediano y largo plazo.
5) Implementar la solución: La selección de la decisión no hace finalizar el proceso de
toma de decisiones; por el contrario, una vez seleccionada la alternativa, se debe buscar su
implementación, teniendo en factores tales como tiempo, recursos humanos, tecnológicos,
financieros, etc. También es de suma importancia considerar la capacidad de entendimiento
de la decisión por parte de la persona responsable de ejecutarle, así como su grado de
compromiso.
En muchas ocasiones una determinada decisión pasará por diferentes áreas de la
organización y probablemente el compromiso no sea el mismo en cada una de ellas. Por
otro lado, es probable que el entendimiento de la decisión no sea compartido por igual, por
lo cual se deberán tomar en cuenta estas consideraciones al momento de implementar la
decisión.
Implementar una decisión exige en muchos casos todo un proceso de planificación y de
distribución de recursos que garanticen su éxito. Una decisión podría fracasar por no contar
con los recursos adecuados o con el compromiso y entendimiento de los miembros de la
organización.
6) Evaluar los resultados de la decisión: A través de un análisis de los resultados
obtenidos por la puesta en práctica de una decisión tomada, se podrán tomar medidas para
asegurar la optimización de los resultados. Es así como mediante la evaluación de éstos se
pueden tomar las acciones necesarias para corregir cualquier desviación en los resultados 7
inicialmente planificados. Adicionalmente, se puede descubrir la necesidad de incluir nuevos
recursos en el proceso: humanos, financiero o de otra clase. También, se puede llegar a la
conclusión de que la decisión tomada no fue la correcta y así adoptar las medidas
necesarias para enmendar esa equivocación.
1.7 ASPECTOS BASICOS DE UN ANALISIS DE INVERSIONES.Para la correcta realización de un estudio de las matemáticas financieras, se requieren
básicamente analizar las siguientes etapas:
a) Análisis técnico
b) Análisis económico
c) Análisis financiero
d) Análisis de intangibles
e) Análisis del mercado
f) Análisis Administrativo
g) Análisis Social
h) Análisis sensorial
Análisis técnico: Se refiere a la factibilidad operacional del proyecto o alternativa, es decir,
se define la viabilidad técnica del proyecto. En este análisis, se definirá las especificaciones
técnicas de los insumos necesarios para ejecutar el proyecto en relación con: tipo y cantidad
de materia prima e insumos, nivel de calificación del recurso humano requerido, la
maquinaria y los equipos necesarios para el proyecto y un programa de las inversiones
iníciales y de reposición, así como también, los calendarios de mantenimiento.
Análisis económico: Se refiere a la factibilidad económica de la alternativa o proyecto (Si
es rentable o no). Es importante, pues es la que al final permite decidir la implantación del
proyecto.
Análisis financiero: Se refiere a la disponibilidad y origen de los fondos necesarios para
realizar el proyecto. En otras palabras, se refiere a la identificación de las fuentes de
financiación del proyecto internas y externas, permite adicionalmente establecer criterios
para el manejo de excedentes e identificar las necesidades de liquidez, para construir y
negociar el plan de financiamiento del proyecto.
Análisis de intangibles: Se refiere a considerar los efectos no cuantificables de un
proyecto: Aspectos como: imagen corporativa, opinión pública, nombre, factores ecológicos
y ambientales, leyes cambiantes, situación política, etc. El estudio de las leyes, debe
llevarse a cabo en las etapas iníciales de la formulación y preparación, ya que un proyecto
supremamente rentable, puede resultar no factible por una norma legal. En análisis de los
factores ecológicos y ambientales, es necesario determinar el impacto del proyecto sobre el
medio ambiente en el corto, mediano y largo plazo y el efecto del entorno sobre el proyecto.
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Análisis del mercado: En el cual se determinan ventas y clientes potenciales para los
bienes y servicios que van a producirse. Además, de estudiar la demanda, es necesario
tener en cuenta la oferta y precios, tanto de los productos como de los insumos de un
proyecto. En la demanda de los productos, se analiza el volumen presente y futuro y las
variables relevantes para su proyección como: población objetivo o segmento de mercado,
niveles de ingresos esperados, productos complementarios y sustitutos que ya estén o que
en el futuro entraran al mercado. Es importante tener en cuenta el mercado local, regional,
nacional y el internacional.
Análisis Administrativo: Es un diseño que muestra la estructura organizacional y define la
necesidades de personal del proyecto, además; genera la información sobre las
necesidades de infraestructura para el normal desarrollo de las actividades de las diferentes
áreas que conforman el proyecto como son: planeación, personal, finanzas, cobranzas, etc.
En este análisis, también se señala los equipos y dotación de insumos requeridos para el
adecuado funcionamiento administrativo.
Análisis Social: Determina la incidencia que el proyecto tiene en la comunidad y la manera
de evitar las incidencias negativas del proyecto. En concreto el análisis está dirigido a
identificar y caracterizar con precisión los diferentes grupos de la población implicados por el
proyecto, desde el punto de vista de los beneficios y los costos.
Análisis Sensorial: Trata de fijar la posición personal del empresario en aspectos legales,
éticos, morales y de gusto personal, con relación a la actividad en sí misma o a las
condiciones que el proyecto exige.
1.8 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOEl dinero, como cualquier otro bien, tiene un valor intrínseco, es decir, su uso no es gratuito,
hay que pagar para usarlo.
El dinero cambia de valor con el tiempo por el fenómeno de la inflación y por el proceso de
devaluación.
El concepto del valor del dinero dio origen al interés. Además, el concepto del valor del
dinero en el tiempo, significa que sumas iguales de dinero no tendrán el mismo valor si se
encuentran ubicadas en diferentes tiempos, siempre y cuando la tasa de interés que las
afecta sea diferente a cero.
La inflación es el fenómeno económico que hace que el dinero todos los días pierda poder
adquisitivo o que se desvalorice.
Por ejemplo, dentro de un año se recibirá los mismo S/. 1.000 pero con un poder de compra
menor de bienes y servicios.
Desde un punto de vista más sencillo, con los S/. 1.000 que se recibirá dentro de un año se
adquirirá una cantidad menor de bienes y servicios que la que se puede comprar hoy,
porque la inflación le ha quitado poder de compra al dinero.9
1.9 INTERESCuando una persona utiliza un bien que no es de su propiedad; generalmente deba pagar
un dinero por el uso de ese bien; por ejemplo se paga un alquiler al habitar un apartamento
o vivienda que no es de nuestra propiedad.
De la misma manera cuando se pide prestado dinero se paga una renta por la utilización de
eses dinero; en este caso la renta recibe el nombre de interés o intereses.
En otras palabras se podría definir el interés, como la renta o los réditos que hay que pagar
por el uso del dinero prestado.
También se puede decir que el interés es el rendimiento que se tiene al invertir en forma
productiva el dinero, el interés tiene como símbolo I.En concreto, el interés se puede mirar desde dos puntos de vista:
Como costo de capital: cuando se refiere al interés que se paga por el uso del dinero
prestado.
Como rentabilidad o tasa de retorno: cuando se refiere al interés obtenido en una inversión.
Usualmente el interés se mide por el incremento entre la suma original invertida o tomada en
préstamo (P) y el monto o valor final acumulado o pagado.
De lo anterior se desprende que si hacemos un préstamo o una inversión de un capital de
S/. P, después de un tiempo n se tendría una cantidad acumulada de S/. S, entonces se
puede representar el interés pagado u obtenido, mediante la expresión siguiente:
I = S – P
Pero también: I = Pin Analizando la anterior fórmula, se establece que el interés es una función directa de
tres variables: El capital inicial (P), la tasa de interés (i) y el tiempo (n). Entre mayor sea
alguno de los tres, mayor serán los intereses.
Las razones a la existencia del interés se deben a:
El dueño del dinero (prestamista) al cederlo se descapitaliza perdiendo la oportunidad de
realizar otras inversiones atractivas.
b) Cuando se presta el dinero se corre el riesgo de no recuperarlo o perderlo, por lo tanto,
el riesgo se toma si existe una compensación atractiva.
c) El dinero está sujeto a procesos inflacionarios y devaluatorios en cualquier economía,
implicando pérdida en el poder adquisitivo de compra.
d) Quien recibe el dinero en préstamo (prestatario) normalmente obtiene beneficios, por lo
cual, es lógico que el propietario del dinero, participe de esas utilidades.
Existen dos tipos de interés, simple y compuesto, los cuales se estudiarán
posteriormente.
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Ejemplo
Se depositan en una institución financiera la suma de S/.1.200.000 al cabo de 8 meses se
tiene un acumulado de S/. 200.000, calcular el valor de los intereses.
I= S - P= 1.400.000 - 1.200.000 = S/. 200.000
La variación del dinero en S/. 200.000 en los 8 meses, se llama valor del dinero en el tiempo
y su medida, son los intereses producidos.
1.10 TASA DE INTERESLa tasa de interés mide el valor de los intereses en porcentaje para un período de tiempo
determinado. Es el valor que se fija en la unidad de tiempo a cada cien unidades monetarias
(S/. 100) que se invierten o se toman en calidad de préstamo, por ejemplo, se dice.: 18%
anual, 9% semestral, 4.5 % trimestral, 1.5% mensual.
Cuando se fija el 18% anual, significa que por cada cien nuevos soles que se inviertan o se
prestan se generaran de intereses S/. 18 cada año, si la tasa de interés es 9% semestral,
entones por cada cien nuevos soles se recibirán o se pagaran S/. 9.00 cada seis meses, si
la tasa es 4.5% trimestral se recibirán o se pagaran S/. 4.50 de manera trimestral, y si la
tasa es del 1.5% mensual, se recibirán o se pagaran S/. 1.50 cada mes.
La tasa de interés puede depender de la oferta monetaria, las necesidades, la inflación, las
políticas del gobierno, etc. Es un indicador muy importante en la economía de un país,
porque le coloca valor al dinero en el tiempo.
La tasa de interés siempre se presenta en forma porcentual, pero cuando se usa en
cualquier ecuación matemática se hace necesario convertirla en número decimal, por
ejemplo: 0,03, 0,15 y 0,25
La unidad de tiempo generalmente usada para expresar las tasas de interés es el año.
Sin embargo, las tasas de interés se expresan también en unidades de tiempo menores de
un año. Si a la tasa de interés, no se le especifica la unidad de tiempo, se supone que se
trata de una tasa anual.
Ejemplo:
Una entidad le presta a una persona la suma de S/. 2.000.000 y al cabo de un mes paga
S/. 2.050.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés pagada.
I= S - P = 2.050.000 - 2.000.000 = S/.50.000
Entonces aplicando la formula tenemos:
I 50.000
i = --- = -------------- = 0.025, = 2.5% mensual
P 2.000.000
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1.11 EQUIVALENCIA.El concepto de equivalencia juega un papel importante en las matemáticas financieras, ya
que en la totalidad de los problemas financieros, lo que se busca es la equivalencia
financiera o equilibrio los ingresos y egresos, cuando éstos se dan en períodos diferentes de
tiempo.
El problema fundamental, se traduce en la realización de comparaciones significativas y
valederas entre varias alternativas de inversión, con recursos económicos diferentes
distribuidos en distintos períodos, y es necesario reducirlas a una misma ubicación en el
tiempo, lo cual sólo se puede realizar correctamente con el buen uso del concepto de
equivalencia, proveniente del valor del dinero en el tiempo.
El proceso de reducción a una misma ubicación en el tiempo, se denomina transformación
del dinero en el tiempo.
Además, la conjugación del valor de dinero en el tiempo y la tasa de interés permite
desarrollar el concepto de equivalencia, el cual, significa que diferentes sumas de dinero en
tiempos diferentes pueden tener igual valor económico, es decir, el mismo valor adquisitivo.
Ejemplo
Si la tasa de interés es del 15%, S/. 1.000 hoy es equivalente a S/. 1.150 dentro de un año,
o a S/. 869,56 un año antes (1000/1.15).
El concepto de equivalencia, también se puede definir, como el proceso mediante el cual los
dineros ubicados en diferentes periodos se trasladan a una fecha o periodo común para
poder compararlos.
Partiendo de la base que el dinero tiene valor en el tiempo, por consiguiente, es
indispensable analizar la modalidad de interés aplicable y la ubicación de los flujos de caja
en el tiempo, por lo tanto, sin importar que existen múltiples desarrollos referente a la
ubicación, en este libro se tendrá en cuenta la ubicación puntual, la cual considera el
dinero ubicado en posiciones de tiempo especifica; tiene dos modalidades:
Convención de fin periodo: valora los flujos de caja (ingresos y/o egresos) como ocurridos
al final del periodo. Por ejemplo: Si durante el año 2010, se obtuvieron S/. 1.500 millones de
ingresos y el periodo analizado es enero 1 de 2010 a diciembre 31de 2010, entonces, los
ingresos se considerarían obtenidos el 31 de diciembre de 2007.
Convención de inicio de periodo: valora los flujos de caja (ingresos y/o egresos) como
ocurridos al principio del periodo. En el ejemplo anterior los S/. 1.500 millones de
ingresos se considerarían obtenidos el 1 de enero de 2010.
1.12 DIAGRAMA DE TIEMPO O FLUJO DE CAJAEl diagrama de tiempo, también es conocido con los nombres de diagrama económico o
diagrama de flujo de caja.
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Es una de las herramientas más útiles para la definición, interpretación y análisis de los
problemas financieros.
Un diagrama de tiempo, es un eje horizontal que permite visualizar el comportamiento del
dinero a medida que transcurren los periodos de tiempo, perpendicular al eje horizontal se
colocan flechas que representan las cantidades monetarias, que se han recibido o
desembolsado
(FLUJO DE FONDOS O DE EFECTIVO). Por convención los ingresos se representan
con flechas hacia arriba ( ) y los egresos con flechas hacia abajo ( ).
Al diagrama económico o de tiempo, hay que indicarle la tasa de interés (efectiva o periódica) que afecta los flujos de caja, la cual; debe ser concordante u homogénea con los
periodos de tiempo que se están manejando, es decir; si los periodos de tiempos son
mensuales, la tasa de interés debe ser mensual, si los periodos de tiempos son trimestrales,
la tasa de interés que se maneja debe ser trimestral; si los periodos de tiempos son
semestrales, la tasa de interés debe ser semestrales, y así sucesivamente.
Un diagrama de tiempo tiene un principio y un fin, el principio es conocido como el hoy
(ubicado en el cero del diagrama), y allí se encontrará el presente del diagrama (PD),
mientras que en el fin, se ubicará el futuro del diagrama económico (SD) y la terminación de
la obligación financiera. Hay que tener en cuenta, que un diagrama económico, contempla
presentes y futuros intermedios, es decir, un periodo de tiempo puede ser el presente de
uno o varios flujos de caja, o un periodo de tiempo podrá ser un futuro de uno o varios flujos
de caja, todo depende entonces de la ubicación del periodo de tiempo versus la ubicación
de los flujos de caja.
Es importante anotar que en las matemáticas financieras: Sólo se permiten sumar, restar o
comparar flujos de caja (ingresos y/o egresos) ubicados en los mismos periodos del
diagrama económico.
SD( Mañana)
1 2 3 4 5 n-2 n-1 nPD (Hoy)
El diagrama de tiempo que se construya para un prestamista será inverso al que se
construya para el prestatario.
Ejemplo:13
Una persona recibe un préstamo el 1 de enero de 2010 de S/. 20. 000 y cancela el 31
de diciembre del mismo año la suma de S/. 25 000. Construir el diagrama económico.
a) Diagrama económico – prestamista S/. 25.000 Enero 1/2010 Diciembre 31/2010
S/. 20.000b) Diagrama económico – prestatario S/. 20.000 Enero 1/2010 Diciembre 31/2010
S/. 25.000Consideraciones
1) El momento en que el prestamista entrega el dinero, y el prestatario lo recibe se conoce
con el nombre de presente o momento cero.
2) El valor entregado inicialmente se denomina valor presente o simplemente P.
3) El segmento de recta representa el tiempo de la operación financiera (n)
4) La suma entregada al final recibe el nombre de valor futuro o simplemente S.
Cuando una persona ahorra o deposita dinero en una institución financiera que reconoce
una tasa de interés, la relación entre las partes se asimila al escenario prestamista –
prestatario. Para este caso, el ahorrador o depositante asume el papel de prestamista y la
institución financiera será el prestatario.
EJERCICIOS PROPUESTOS1) Una inversión realizada hoy por S/. 1.200.000 genera al final de un año la suma de
S/. 1.536.000. Se pide:
a) La suma ganada por intereses.
b) La tasa de interés de la operación financiera.
2) Cuánto se debe invertir hoy para tener de un semestre la suma de S/. 8.500.000 y se
ganen unos intereses de S/. 480.000. Cuál es la tasa de interés.
3) Calcular el valor de los intereses generado por una inversión hoy de S/. 10.000.000 a las
siguientes tasas:
a) 1.2% quincenal. b) 2,5% mensual. c) 7% trimestral. d) 10% cuatrimestral. e) 15% semestral.
14
4) Si usted invirtió S/. 1.500.000 durante un año, al final del cual le entregaron S/. 2.000.000.
Cuál fue su porcentaje de rentabilidad?.
5) A usted le concedieron un préstamo por la suma de S/. 5.000.000 durante un trimestre, al
final del cual debe pagar S/. 5.600.000. Cuál fue el costo del crédito?.
6) Una persona adquiere un edificio por la suma de S/. 1.800.000 y lo cancela de la
siguiente manera: 20% de cuota inicial y el resto en 4 cuotas trimestrales iguales de S/.
420.000. Teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo, se puede decir que se pagó
por el edificio la suma de $ 2.040.000, si se cobra una tasa de interés del 6,5% trimestral?.
7) Una empresa por valor de S/. 60.000.000 se adquiere a crédito, y se desea cancelar en
un año con cuotas bimestrales iguales de S/. 11.000.000. Construya el diagrama económico
desde el punto de vista del comprador y del vendedor.
8) Se recibe un préstamo en una institución bancaria por valor de S/. 25.000.000 para
cancelar dentro de dos años, a una tasa de 10% cuatrimestral anticipada. Construya el
diagrama económico.
9) Una computadora cuesta $ 3.250 de contado. Un estudiante está de acuerdo de dar una
cuota inicial del 25% del precio de contado y el resto a 90 días, con un recargo del 15%
sobre el precio de contado. ¿Qué tasa de interés simple anual paga el estudiante?.
10) Luis consigue un préstamo por la suma de S/. 7.500 a dos años y medio de plazo y una
tasa de interés simple de 2,6% mensual. ¿Cuánto pagará por concepto de intereses?
¿Cuánto pagará al final del plazo por el préstamo recibido?.
INTERÉS SIMPLEEl interés es la diferencia que existe entre un monto o capital final y el importe original que lo
produjo
El interés es el importe que se cobra al final de cada período señala
15
I
CAPITAL CAPITAL INICIAL FINAL
C
LAPSO DE TIEMPO
El precio que se paga por un capital depende de los siguientes factores:
1. Del beneficio económico o social a obtener con la utilización de dicho capital.
2. Del tiempo de la operación, a mayor tiempo mayor interés.
3. De la seguridad sobre él buen fin de la inversión, y del respaldo de la persona que
solicita el crédito, a mayor riesgo mayor tasa de interés y viceversa.
4. De la situación del mercado de dinero. Una mayor demanda sobre la oferta
presionará a un incremento de la tasa de interés, o a elegir entre aquellos demandantes de
capital que presenten un menor riesgo potencial.
5. De otras variables de carácter económico, político, social, etc.
I = función (capital, tasa, tiempo, riesgo, etc.)
El Interés: Es la cantidad que paga por el uso de dinero ajeno
EL capital: Puede estar dado en moneda nacional o moneda extranjera.
La tasa: de interés simple se suele expresar en tanto por ciento (%) y trabajar en las
fórmulas financieras en tanto por uno.
El Tanto por uno: Es el rendimiento que produce una unidad de moneda
El Monto: Es la suma del capital mas los intereses ganados
El tiempo: Está referido al plazo total de la operación.
El riesgo: Es la medida de la incertidumbre de que el deudor honre al acreedor su
compromiso al vencimiento del plazo pactado, el precio del riesgo se incluye en el costo del
dinero.
1. Cálculo del interés simple
En una operación de interés simple el capital que genera los intereses permanece
constante durante el tiempo de vigencia de la transacción.
Simbología
I = Interés
P = Principal, capital o stock inicial de efectivo, valor presente.
S = Monto, capital o stock final de efectivo, valor futuro.,
16
n = Número de períodos de tiempo (días, meses, trimestres, semestres, etc).
i = Tasa de interés simple por unidad de tiempo, expresado en tanto por uno.
Fórmula general I = P( i n ) (1)
Ejemplo: para calcular el interés simple consideremos un préstamo de S/. 10 000 cobrando
una tasa de interés simple del 21% anual.
1. En el primer año el interés generado por el capital será:
I = 10 000 x 0,21 x 1= 2 100
2. Al final del segundo año el total de intereses generado por el capital inicial será.
I = 10 000 x 0,21 x 2 = 4 200:Por lo tanto:
Al final del n - ésimo año el total de intereses generado por el capital inicial será :
Interés = 10 000 x 0,21 x n
De la fórmula (1) deducimos:
I
P = ( 2)
i n
I
i = (3)
P n
I
n = ( 4 )
P i
Ejemplo 1. El Banco Latino otorga a la empresa FUNDICROMO S.A, un préstamo de S/. 22
000 para devolverlo dentro de 3 años, cobrando una tasa de interés simple del 36% anual.
¿Cuál, será el interés que pagará al vencimiento del plazo?
SoluciónDatos: Fórmula
I = ? I = Pin
P = 22 000 I = 22 000 x 0,36 x 3 = S/. 23 760
n = 3 años; i = 0,36Si la tasa y el tiempo de la operación están referidas a diferentes unidades de tiempo, por
ejemplo tasa anual y tiempo en días, entonces debemos homogenizar ambas variables para
expresarlas en años meses ó días respectivamente.
Ejemplo 2. ¿Calcular el interés acumulado en 120 días por un depósito de
ahorro de S/. 7 000 percibiendo una tasa de interés simple del 12,5% anual?
Solución
a) Homogenizando i y n a días (Tasa y tiempo diarios)
I = 7 000 x 0,125/360 x 120 = S/. 291,6666666 = 291,67
b) Homogenizando i y n a años (Tasa y tiempos anuales)
I = 7 000 x 0,125 x 120/360 = S/. 291,6666666 = 291,67
Ejemplo 3. El señor Marcos Ruiz deposita S/.18 000 en una institución financiera ganando
una tasa de interés simple del 3% mensual. ¿Qué interés habrá acumulado en cinco meses?
17
Solución
I = 18 000 x 0,03 x 5 = 2 700
1.1 Período dé tiempo comprendido entre dos fechas Teniendo en cuenta el sistema legal vigente, si una persona deposita y retira de su cuenta
en un banco una determinada cantidad de dinero en el mismo día, no habrá ganado interés
alguno. Para percibir interés es necesario que el dinero haya permanecido en la institución
financiera como mínimo un día, transcurrido entre dos fechas consecutivas, la primera de las
cuales se excluye y la última se incluye, operación conocida como el "Método de los días
terminales”.
Ejemplo 4.- ¿Cuántos días de interés se habrán acumulado entre el 15 de Mayo y el 9 de
Agosto del mismo año, fechas de depósito y cancelación de un importe ahorrado en un
banco?.
SoluciónMes Días Días transcurridos en el mes
Mayo15
Junio30
Julio31
Agosto9
16
30
31
9
31 -15 = 16 días
30 días
31 días
9 días
86 Total 86 días
1.2 Año bancario según BCRP
De acuerdo a lo normado por el Banco Central de Reserva del Perú, el año bancario es un
período de 360 días. Vea el siguiente cuadro:
Término Período en días
Año
Semestre
Cuatrimestre
Trimestre
Bimestre
Mes
Quincena
Días
360
180
120
90
60
30
15
1
Número de unidades de tiempo en un año bancario
Unidad Número
Año
Semestre
Cuatrimestre
1
2
3
18
Trimestre
Bimestre
Mes
Quincena
Días
4
6
12
24
360
Ejemplo: 5 Dado la tasa anual de interés simple del 24% anual ¿Cuál será la tasa para el
período comprendido entre el 1 de enero de 2002 y el 1 de enero de 2003?
Solución Entre las fechas referidas han transcurrido 365 días. Por regla de tres simple:
24% ---------------------------------------- 360 días
X % --------------------------------------- 365 días
X = 24,33333333 %
Ejemplo 6.- El interés simple de un capital inicial de S/. 130 000 colocado durante un año a
una tasa del 18% anual puede calcularse alternativamente con diferentes tiempos y tasas
proporcionales.
SoluciónAños I = 130 000 x 0,18 x 1 = 23 400
Semestres I = 130 000 x 0,9 x 2 = 23 400
Cuatrimestres I = 130 000 x 0,06 x 3 = 23 400
Trimestres . I = 130 000 x 0,045 x 4 = 23 400
Bimestres I = 130 000 x 0,03 x 6 = 23 400
Meses I = 130 000 x 0,015 x 12 = 23 400
Quincenas I = 130 000 x 0,0075 x 24 = 23 400
Días I = 130 000 x 0,0005 x 360 = 23 400
1.3 Inclusión y exclusión de días cuando se producen variaciones de tasas
Cuando existen variaciones de tasas los intereses deben calcularse por tramos:
Ejemplo:El 21 de agosto, cuando la tasa de interés simple mensual fue 3,5%, un
comerciante depositó en su cuenta de ahorros S/. 13 000 y los retiró el 22 de agosto,
fecha en que la tasa subió a 5%. ¿Qué tasa de interés debe ganar el depósito?
i = 3,5% i = 5%
0 1 2
21 08 22 08 23 08
19
En el gráfico observamos que del 21 al 22 de agosto la persona ganó un día de interés a la
tasa del 3,5%. La percepción de la tasa del 5% corresponderá a los depósitos efectuados a
partir del día 22 de agosto.
Ejemplo 7.- Calcule el interés simple de un capital de S/. 15 000 colocado en una institución
financiera desde el 3 de marzo al 15 de mayo del mismo año, a una tasa del 2,5% mensual.
Solución:Datos Fórmula:
I = ? I = Pin
P = 15 000 I = 15 000 x 0,025 x 73/30
i = 0,025 I = S/. 912,4999998 = 912,50
n = 73 días
Ejemplo 8.- ¿Qué capital colocado a una tasa anual del 36% producirá un interés
simple de S/. 6 600 en el período comprendido entre el 18 de abril y 2 de julio?
SoluciónDatos Fórmula:
P = ? P = I / (in)
I = 6 600 P = 6 600 / ( 0,36 x 75 / 360 )
i = 0,36 P = 88 000,00117 = 88 000
n = 75 días
Ejemplo 9. ¿Cuál será la tasa mensual de interés simple a cargar en el financiamiento a 75
días sobre un artículo cuyo precio de contado es de S/. 12 000 y al crédito sin cuota inicial
será de S/. 13 200?
Solución
Datos Fórmulai = ? i = I / (Pn)
I = 1 200 i = 1 200 / (12 000 x 75/30)
P = 12 000 i = 0,04 x 100 = 4%
n = 75 días
Ejemplo 10. ¿En cuánto tiempo podrá duplicarse un capital a una tasa de interés simple del
7,5% mensual?
SoluciónDatos Fórmulan = ? n = I / (Pi)
I = S/.5,00 n = 5 / ( 5 x 0,075 )
P= 5 n = 13,33333333 meses
i = 0,075
20
1.4. Variaciones en la tasa de interés
Cuando en el mercado se producen variaciones de tasas la fórmula (1) debe modificarse
para incluir dichas variaciones durante los períodos de tiempo de vigencia de la tasa:
l = P [ i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 + i4 n4 + ..........+ im nm ] ( 5) m
I = P ∑ ik nk ( 5 )
K = 1
La fórmula ( 5 ) calcula el interés simple con variaciones de tasa.
Ejemplo 11: Calcular:
a) El interés simple de un depósito de ahorro de S/. 85 000 colocado en el Banco
Comercial del 6 de julio al 30 de setiembre del mismo año ganando una tasa anual de
interés simple del 24%. La tasa anual bajó al 18 % a partir del 16 de julio y al 12 % a partir
del 16 de setiembre;
b) Con la misma información calcule nuevamente el interés, considerando que el banco
abona los intereses en la libreta de ahorros cada fin de mes
Solución
a) Interés simple del 6 de julio al 30 de setiembre.
Variación de tasasA partir de I Días Acumulado
6 de julio
16 de julio
16 de setiembre
30 de setiembre
i1
i2
i3
24%
18%
12%
n1
n2
n3
10
62
14
10
72
86
Cálculo del interés simple del 6 de julio al 30 de setiembre
I = 85 000 [(0,24 x 10 / 360) + (0,18 x 62 / 360) + (0,12 x 14 / 360)]
I = 85 000 [0,042333331]; I = 3 598,333135 = 3 598,33
b) Interés simple del 6 de julio al 30 de setiembre con abono de interés cada fin de
mes:
Cuando los intereses simples se abonan mensualmente como lo hacen los bancos para los
depósitos de ahorros, éstos se capitalizan y sobre los nuevos capitales se calculan
nuevamente los intereses simples.
Julio I = 85 000 [ 0,24 x 10 / 360 + 0,18 x 15 / 360 ] = 1 204,166581
Agosto I = 86 204,16658 [ 0,18 x 31 / 360 ] = 1 336,164581
Setiembre I = 87540,33116 [ 0,18 x 16 / 360 + 0,12 x 14 / 360 ] = 1 108,844135
Total interés l = 1 204,166521+ 1 336,164581 + 1 108,844135 = 3 649,175297
21
Variación de tasasA partir de I Días
6 de julio
16 de julio
31 de julio
31 de agosto
16 de setiembre
30 de setiembre
24%
18%
18%
18%
12%
10
15
31
16
14
Total 86
1.5 Variaciones en el principal (numerales)
Cuando el saldo de una cuenta corriente, de ahorro, etc. cambia constantemente debido a
los movimientos que se generan en torno a ella (cargos y abonos), el cálculo del interés
simple se efectúa usando numerales.
Numeral es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el número de días de
permanencia de ese saldo sin movimiento. A una fecha determinada (fin de mes, trimestre,
semestre, etc.)
La siguiente fórmula es utilizada para resolver este tipo de problemas:
I = i [ P1 n1 + P2 n2 + P3 n3 + P4n4 + ... Pm.nm. ]
Cada sumando de la expresión entre corchetes es un numeral.
Ejemplo 12:Un comerciante abre una libreta de ahorros el 1 de abril con S/. 1 100 y
efectúa a partir de esa fecha durante todo el mes de junio las operaciones detalladas
en el cuadro siguiente. ¿Qué interés habrá acumulado al 1 de mayo, si la tasa
mensual de interés simple fue del 3%?
Depósitos Retiros
1 abril 1 100
6 abril 200
10 abril 100
23 abril 60
26 abril 480
28 abril 100
4 de abril 150
18 de abril 300
27 de abril 630
Solución
22
Datos
I = ?
P1 = 1 100 n1= 3 P6= 1 010 n6= 3
P2 = 950 n2= 2 P7= 1 490 n7= 1
P3 = 1 150 n3= 4 P8= 860 n8= 1
P4 = 1 250 n4= 8 P9= 960 n9= 3
P5 = 950 n5= 5
Fórmula
I = i [ P1 n1 + P2 n2 + P3 n3 + P4n4 + ... Pm. nm. ]
m
I = i ∑ PK nk
K = 1
I = 0,03 / 30 [ (1 100 x 3) + (950 x 2 ) + (1 150 x 4) + (1 250 x 8) + (950 x 5) +
(1 010 x 3) +( 1490 x1) + (860 x 1) + (960 x 3)
I = 0,03 / 30 [ (32 810)]
I = 0,001 ( 32 810 ) = 32,81
b. Cálculo del interés simple a través de numerales
Dia D / R Importe Movimiento Saldo
acreedor
Días Numerales
acreedoresDebe Haber
01.04
04.04
06.04
10.04
18.04
23.04
26.04
27.04
28.04
D
R
D
D
R
D
D
R
D
1 1000
150
200
100
300
60
480
630
100
0,0
150
0,0
0,0
300
0,0
0,0
630
0,0
1 100
0,0
200
100
0,0
60
480
0,0
100
1 100
950
1 150
1 250
950
1 010
1 490
860
960
3
2
4
8
5
3
1
1
3
3 300
1 900
4 600
10 000
4 750
3 030
1 490
860
2 880
01.05 Totales 30 32 810
Multiplicador fijo: 0,03 / 30 x 32 810 = 32,81
01.05 I 32,81 0,0 992,81
D = depósito; R = retiro; I = interés
Procedimiento bancario de cálculo del interés simple a través de numerales
1) Registramos los depósitos o retiros de ahorros, abonando en la columna Movimiento
y establecemos los saldos acreedores de acuerdo a las fechas en que se hayan efectuado
estos movimientos.
23
2) Registramos los días de permanencia de la cuenta con el último movimiento.
Por ejemplo, el saldo inicial acreedor de S/.1 100 ha permanecido tres días
con dicho importe desde el 1 al 3 de abril.
3) Calculamos los numerales: multiplicando los saldos acreedores PK por los días nK
que la cuenta ha permanecido con ese saldo y obtenemos la sumatoria de las operaciones
acumuladas durante el mes que es de S/. 32 810 la misma que viene a representar los
numerales que servirán para el cálculo del interés.
4) Se halla el interés del mes, multiplicando la tasa diaria por la sumatoria de los
numerales acreedores
Interés = (0,03 / 30) (32 810) = 32,81
El importe de S/. 32,81 es el interés ganado por el ahorrista durante el mes de abril y está
disponible a partir del primer día útil del mes siguiente.
1.6 Numerales con variaciones de tasas
Cuando existen variaciones de tasas, el cálculo del interés simple a través de numerales
debe efectuarse por tramos durante los períodos de tiempo que la tasa tuvo vigencia.
Ejemplo 13. El 1 de setiembre cuando la tasa mensual era de 3%, una persona abrió
una libreta de ahorros con S/. 2 000 y a partir de esa fecha efectuó los siguientes
depósitos: S/. 500, 300, y 400 el 6, 9 y 20 de setiembre; asimismo retiró: S/. 600 y
200 el 6 y 25 del mismo mes. Si la tasa bajó al 2% a partir del 16 de setiembre y la
entidad financiera abona los intereses simples en la cuenta de ahorros el primer día
del mes siguiente, ¿cuál es el importe, disponible del cliente el 1 de octubre?
Solución
Cálculo de interés simple con variación de tasas a través de numerales
Día
D
R
I
Importe
Movimiento Saldo
acreedor Días
Numerales
acreedores
Tasas
diarias
Interés
Debe Haber
01.09
06.09
06.09
09.09
16.09
20.09
25.09
D
D
R
D
C
D
R
2 000
500
600
300
0
400
200
0
0
600
0
0
0
200
2 000
500
0
300
0
400
0
2 000
2 500
1 900
2 200
2 200
2 600
2 400
5
0
3
7
4
5
6
10 000
0
5 700
15 400
8 800
13 000
14 400
0,00100
0,00100
0,00100
0,00100
0,00066
0,00066
0,00066
10,00
0,00
5,70
15,40
5,87
8,67
9,60
01.10 Totales 30 55,24
24
01.10 I 55,24 0,0 55,24 2 455,24
D = Depósito; R = Retiro; I = Interés; C = Cambio de tasa
2. STOCK FINAL O VALOR FUTURO
El Valor futuro constituye la suma del capital inicial mas el interés producido.
Fórmulas
S = P + I ( 7 ) S = P + Pin S = P (1 + in) ( 8 )
En esta fórmula la tasa de interés y el tiempo se refieren a una misma unidad de
tiempo y (1 + in) es el factor simple de capitalización a Interés simple.
De la ecuación (8) despejarnos i y n:
S / P - 1 S / P - 1
i = ( 9 ) n = ( 10 )
n i
Ejemplo 14. ¿Qué monto habrá acumulado una persona en una cuenta de ahorros, del 02 al
29 de agosto a una tasa de interés simple del 3% mensual, si el depósito inicial fue de S/
25 000?
Solución,
Datos: Fórmula
S = ? S = P(1 +in)
P = 25 000 S = 25 000 (1 + 0,03 x 27 / 30)
i = 0,03 S = 25 000 (1,027)
n = 27/ 30 S = 25 675
Ejemplo 15: Una automóvil cuyo precio de contado es de $. 16 000 dólares fue adquirida
con una cuota inicial de $. 12 000 dólares y el saldo financiado con una letra a 45 días por el
importe de $. 6 000 dólares. ¿Cuál fue la tasa mensual de interés simple cargada?
Solución: El precio de contado fue de $. 16 000 y se paga una cuota inicial de $ 12 000, entonces el financiamiento neto P es $. 4 000,sobre el cual se exige un monto de $. 6 000.Datos: Fórmula i = ?
P = 4 000 S / P - 1 6 000 / 4 000 - 1
S = 6 000 i = i =
n = 45/30 n 45 / 30
i = 0,333333333 x 100 = 33,3333%
25
Ejemplo 16.- ¿En qué tiempo se podrá triplicar un capital a una tasa anual de interés simple
del 48%?
SoluciónDatos Fórmula n = ? S / P - 1
S = 3 n =
P = 1 i
i = 0,48
n = 3 / 1 - 1 / 0,48 = 4,166666666 años
2.1 Monto con variaciones de tasa
Cuando se producen variaciones de tasa, aplicarnos la siguiente fórmula:
S = P [ 1 + ( i1 n1 + i 2 n2 + i3 n3 + ... + im nm ) ] (11)
Ejemplo 17: Un préstamo de S/. 20 000 fue pactado para ser devuelto dentro de 8
meses conjuntamente con los intereses simples generados por el capital original y
calculados con la tasa de inflación mensual más un punto adicional. Al final del plazo
la inflación fue del 1.5% y 2,5% para el primer y segundo mes y del 1,2% para los
últimos 2 meses. Calcule el monto de esa operación.
SoluciónDatos Fórmula
S = ? S = P [ 1 + ( i1 n1 + i 2 n2 + i3 n3 ) ]
P = 20 000 S = 20 000 [1 + (0,025 x 1 + 0,035 x 1 + 0,022 x 2) ]
i1 = 0,025 n1 = 1 S = 20 000 [1 + 0,104]
I2 = 0,035 n2 = 1 S = 22 080
i3 = 0,022 n3 = 2
3. Capital inicial, valor presente
El valor presente P, de un capital con vencimiento en una fecha futura, es aquel principal o
capital inicial que a una tasa dada alcanzará en el período de tiempo contado hasta la fecha
de vencimiento, un importe igual a su valor futuro. Se obtiene despejando ( P ) en la
fórmula. ( 8 )
1
P = S ( 12 )
1 + in
En esta fórmula la tasa de interés y el tiempo están expresadas en la misma unidad
de tiempo y 1 / ( 1 + in ) es el factor simple de actualización a interés simple.26
Ejemplo 18: Calcular el capital que impuesto a una tasa de interés simple mensual
del 2.5% durante 120 días, ha producido un monto de S/. 970
Solución Fórmula 1
P = ? P = S
i = 0,025 1 + in
n = 120/30
S= S/.970 1
P = 970
1 + (0,025 x 120 / 30
P = 970 (0,909090909) = 881,8181818
4. Ecuaciones de valor equivalente a interés simple
Dos o más capitales ubicados en diferentes momentos de tiempo son equivalentes
cuando sus valores presentes calculados con una misma tasa de interés, son
iguales.
Ejemplo 19.- Determinar si los importes de S/. 540 y 570 al final de los meses 4 y 7
respectivamente son equivalentes en el presente. Utilice una tasa de interés simple anual
del 24%.
SoluciónDatos: Fórmula
P = ? P = S / [ 1 + ( i n )
S1 = 540 P = 540 / [1 + (0,02 x 4)] = 500
S2 = 570 P = 570 / [1 + (0,02 x 7)] = 500
n1 = 4
n2 = 7
i = 0,24 / 12 = 0,02
S1 y S2 son equivalentes en el momento 0 porque sus valores futuros descontados a la tasa
de interés simple del 24% anual originan un mismo valor presente de S/. 500.
Para el cálculo de equivalencias de capitales a interés simple es necesario fijar una fecha
focal (fecha de evaluación) y plantear una ecuación de equivalencia donde se pongan en
igualdad las condiciones originales y las nuevas condiciones.
Ejemplo 20.- El señor Silva tomó en préstamo S/.5 000 para devolverlos dentro de
180 días pagando una tasa de interés simple mensual del 2,5%. Si durante dicho
período paga S/. 2 000 el día 35 y 1 000 el día 98, ¿cuánto deberá pagar el día 180 27
para cancelar su deuda: a) procesando los abonos el mismo día; b) tomando como
fecha focal el día. 180?
a) Procesando los abonos el mismo día del pago
Datos: Fórmula:
S35 = 2 000 n = 35 S = P [ 1 + (in)]
S98 = 1 000 n = 98
S180 = ? n =180
P = 5 000
Día Valor futuro Abono Saldo
35
98
180
S35 = 5 000.00 [1 + 0,025 x 35/30] = 5 145,83
S98 = 3 145,83 [1 + 0,025 x 63/30] = 3 310,99
S180 = 2 310,99 [1 + 0,025 x 82 / 30] = 2 468,91
2 000,00
1 000,00
2 468,91
3 145,83
2 310,99
0,00
Total 5 468,91
b) Ecuación de valor equivalente tomando como fecha focal el día 180
---------------------------------------------------------------------
P = 5 000
I-----------------I------------------I-------------------------------I
0 35 98 180
2 000 1 000 X ----------------------------------
-----------------------------------------------------
35 d 63 d 82 d
Establecernos una ecuación de valor equivalente en el día 180, capitalizando la deuda
original e igualándola con la suma de los pagos parciales, capitalizados y el importe X a
calcular es.
Datos:
S= ?
P = 5 000 n = 180
P1 = 2 000 n1 = 180 – 35 = 145
P2 = 1 000 n2 = 180 – 98 = 82
i = 0,025;
Fórmula Deducida
P(1 +in) = P [ 1 + ( i1 n1 ) + P [ 1 + ( i1 n1 ) ] + X
28
5 000[1+0,025 x 180 / 30] =2000 [1+0,025 x 145 / 30] +1 000 [1+ 0,025 x 82 / 30 ] + X
5750 = 3 309,99 + X; X = 2 440,00
Total de pagos efectuados: 2 000 + 1000 + 2 440 = 5 440
Puede notarse la diferencia entre :
- El método a: que arroja un pago total de S/. 5 468,91
- y el método b: que arroja el importe de S/. 5 440.
Ejemplo 21. En la fecha, la empresa el Sol S.A. tiene 3 deudas con el Banco Latino por S/. 5
000, 8 000 y 9 000 las cuales vencen dentro de 20, 45 y 60 días respectivamente. Si la
empresa negocia con su banco efectuar un pago único de
S/. 22 000 ¿en qué fecha debe efectuarlo considerando una tasa anual de interés simple del
24%?.
SoluciónPara el desarrollo del presente problema es necesario efectuar la equivalencia en la
fecha del último vencimiento. Con los presentes datos la equivalencia se efectuará
en el día 60.
P = 5 000 40 d
I------------------------I-----------------------I----------------------------I 0 20 45 60
8 000 9 000
15 d
P [ 1 + ( i1 n1 )] + P[ 1 + ( i2 n2 ) ] + P = S [ 1 + ( i n ) x n]
5 000 [1+ 0,24 x 40 / 360 ] + 8 000 [1+ 0,24 x 15 / 360 ] + 9 000 = 22 000 [1+ 0,24 / 360 x n]
22 213,33 = 22 000 + 14,666666 n
n = 14,54
n1 - n2 = 60 –14,54 = 45,46
Con el pago de S/. 22 000 la deuda total quedará cancelada 15 días antes del día 60.
Problemas desarrollados de interés simple1. Calcule el interés simple que produce un capital de S/. 122 000 colocado a
una tasa anual del 36% durante el período comprendido entre el 13 de abril y 27 de
julio del mismo año.
Solución. Datos
I = ?
P = 122 000
i = 0,36
29
n = 105 días
FórmulaI = Pina) Cálculo de los días
abril = 17; mayo = 31; junio = 30; julio = 27 Total 105 días
b) Cálculo del interés
I = 122 000 x 0,36 x 105 / 360 = 12 809,99998
2. Con los datos del problema número 1 calcule el interés simple aplicando una tasa
mensual del 3%.
Solución
Fórmula I = Pina) Interés trabajando en meses
I = 122 000 x 0,03 x 105 / 30 = 12 810
b) Interés trabajando en días
I = 122 000 x 0,03 / 30 x 105 = 12 810
3. ¿Qué capital colocado al 32,4% anual, ha producido SI. 15 000 de interés simple al
término de 75 semanas?
SoluciónDatos: FórmulaP= ? P = I / in
i = 0,324 P = 15 000 / (0,324 x 525 / 360)
I = 15 000 P = 31 746,03181
n= 75 x 7 = 525 días
4. ¿Qué capital habrá producido un interés simple de S/. 31 000 al 18% semestral
en 90 trimestres?
SoluciónDatos: FórmulaP = ? P = I / in
I = 31 000 P = 31 000 / (0,18 x 90 / 2)
i = 0,18 P = 3 827,160493
n = 90 / 2 = 45 semestres
5. ¿Cuál es la tasa anual de interés simple aplicada para que un capital de S/.
78 000 colocado a 5 años, 6 meses y 27 días haya ganado S/.230 000 de interés?
30
SoluciónDatos Fórmulai = ? i = I / Pn
P = 78 000 i = 230 000 / ( 78 000 x 2 007 / 360)
n = 2 007 días i = 0,528918017
I = 230 000 i = 52,89180177%
6. Un capital de S/. 37 000 ha producido S/. 6 900 de interés del 5 de marzo al 20 de
junio del mismo año. Determinar la tasa mensual de interés simple.
SoluciónDatos Fórmula
i = ? i = I / Pn
P = 37 000 i = 6 900 / (37 000 x 107 / 30)
I = 6 900 i = 0,05228593
n = 107 días i = 5,228593081%
7. Un capital de S/. 50 000 se ha incrementado en 18 % por razón de interés simple al
36% anual. Halle el tiempo en días.
Solución
Datos fórmula
n = ? n = I / Pi
P = 50 000 n = 9 000 / [50 000 (0,36 / 360)]
I = 9 000 n = 180 días
i = 0,36
8. Un capital de S/.36 000 ha producido S/.3 000 de interés simple al 12,5% anual
Determine el tiempo de la operación.
Solución
Datos Fórmula
n = ? n = I / Pi
P = 36 000 n = 3 000 / (36 000 x 0,125 / 360)
I = 3 000 n = 240 días
i = 0,125 / 360 n = 0,666666666 años.
9. Calcule el interés simple de una inversión de S/. 15 000 colocada a 12 meses, si en
el primer semestre la tasa anual fue del 12% y durante el segundo semestre fue del 10%.
Solución
Datos Fórmula
I = ? I = P [ i1n1 + i2 n2 ]
P =15 000 I = 15 000 [ 0,12 / 2 + 0,1 / 2]
31
i1 = 0,12 ------- n1 = 6 meses I = 1 650
i2 = 0,10 ------- n2 = 6 meses
10. El 8 de abril cuando la tasa mensual era del 3% una empresa invirtió un capital de S/.2
000, el cual retiró el 4 de agosto del mismo año. Calcule el interés simple si durante dicho
período las tasas mensuales cambiaron al 2,5% el 6 de mayo y al 2% el 16 de julio
respectivamente.
Solución
3% 2,5% 2%
I------------------------I----------------------------------------------I----------------------I
8/4 6/5 16/7 4/8
28d 71d 19d
n = 118 días
Variación de tasas
A partir de I Días
8 de abril
6 de mayo
16 de julio
4 de agosto
3,0%
2,5%
2,0%
28
71
19
----
118
Datos: Fórmula
I = ? I = P [ i1n1 + i2 n2 + i3 n3 ]
P = 2 000 I = 2 000 [(0,03 x 28 / 30) + (0,025 x 71 / 30) +
(0,02 x 19 / 30)]
i1 = 0,03 n1 = 28 I = 2 000 x 0,099833331
i2 = 0,025 n2 = 71 I = 199,67
i3 = 0,02 n3 = 19
11. El 20 de abril el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 11 500. Efectúe la
liquidación de dicha cuenta al 31 de mayo del mismo año, aplicando una tasa anual de
interés simple del 18% .
Solución
Datos Fórmula
S = ? S = P(1 + in)
P = 11 500 S = 11 500[1 + (0,18 x 41 / 360)]
32
n = 41 / 360 S = 11 735,75i = 0,18
12. ¿Por qué importe se deberá aceptar un pagaré que vence el 10 de junio, si lo
descontamos el 10 de abril pagando una tasa anual de interés simple del 18% y
necesitamos disponer de S/. 6 500 en la fecha del descuento?
Solución
Datos Fórmula
S = ? S = P(1 + in)
P = 6 500 S = 6 500(1 + 0,18 x 61 / 360)
n = 61 / 360 S = 6 698,25
i = 0,18
13. ¿Por qué importe debe extenderse un pagaré a 60 días para obtener un efectivo
de S/. 12 000 descontándolo racionalmente a una tasa anual de interés simple del 24%? La
empresa financiera además carga S/.12.00 de gastos, S/. 6.00 de portes y efectúa una
retención del 7,5% sobre el préstamo líquido. Efectúe la liquidación correspondiente
Solución
Adaptando la fórmula ( 8 ) para incluir la tasa de retención í' y los gastos G tenemos:
Datos Fórmula
S = ? S = P[1 + ( in + i' )] + G
P = 12 000 S = 12 000 [ 1 + 0,24 x 60 / 360 + 0,075 ] + 18
i = 0,24 S = 13 398
n = 60 /360
í' = 0,075; G = 18
14. Cierto capital y sus intereses simples hacen un total de S/. 22 000, habiendo estado
impuesto desde el 5 de marzo al 20 de abril a una tasa trimestral del 7,5%. ¿Cuál fue:
el interés
y el capital que lo ha producido?
Solución a) El interés:
Datos Fórmula
I; P= ? I = S - P
S = 22 000 I = 22 000 - 21 187,80
I = 0,075 I = 812.2
n = 46 / 90 b) El capital
Fórmula
S 22 000
P = = P = 21 187,8033
[ 1 + (in)] [ 1 + ( 0,075 x 46 / 90 )]
15. Determinar el interés simple incluido en el monto de S/. 10 000, obtenido el 2 de junio
sobre un capital colocado el 1 de mayo a una tasa anual del 36%.
Solución
I = ?
S = 10 000
n = 32 / 360
i = 0,36
I = S - P ( 1 )
S
P = ( 2 )
[ 1 + ( i n )]
Reemplazando (2 ) en (1) tenemos:
I = S [ 1 - 1 / (1 + i n ) ]
1
I = 10 000 1 - = 310,08
1 + (0,36 x 32/ 360 )
16. Un artefacto electrodoméstico tiene un precio de contado de S/. 1 800. Pero puede
adquirirse a crédito con una cuota. inicial de S/.800 y una letra de S/. 1 200 a 45 días,
¿cuál es la tasa de interés simple mensual cargada en este financiamiento?
Solución
Datos Fórmula
i =? S / P - 1
P = 1 800 – 800 =1 000 i =
n = 1,5 n
S = 1 200 1 200 / 1 000 - 1
i = = 0,1333333333%
1,5
17. ¿En qué tiempo un capital de S/. 1 000 se habrá convertido en un monto de S/. 1 100
a una tasa mensual del 5% de interés simple?
Solución34
Datos Fórmula
n = ? S / P - 1
P = 1 000 n =
S = 1 100 i
i = 0,05 1 100 / 1 000 - 1
n = = 2; n = 2 meses
0,05
18. Calcular el monto simple que habrá producido un capital de S/. 5 000 colocado durante
5 meses. La tasa mensual fue del 3% durante los dos primeros meses y del 3,5% durante
los 3 meses restantes.
Solución
Datos Fórmula
S = ? S = P [ 1 + ( i1 n2+ i1 n2 ) ]
P = 5 000 S = 5 000 [1 + (0,03 x 2 + 0,035 x 3 )]
i1 = 0,03 n1 = 2 S = 5 000 ( 1,165 )
i2 = 0,035 n2 = 3 S = 5 825i2 = 0,035 n2 = 3
19. Dos letras de cambio de S/. 8 000 y S/. 9 000 c /u con vencimiento a 60 y 90 días
respectivamente, son descontadas a una tasa mensual del 3%. Calcule el valor presente de
ambas letras a interés simple.
Solución
Datos Fórmula
P = ?
i = 0,03 S1 S2
S1 = 8 000 P = +
S2 = 9 000 1 + i n1 1 + i n2
n1 = 2
n2 = 3 8 000 9 000
P = +
1 + 0,03 x 2 1 + 0,03 x 3
P = 7 547,17 + 8 256,88; P = 15 804,05
20. Actualmente tengo una deuda de S/. 4 000 la cual vencerá dentro de 3 meses y acuerdo
con mi acreedor cancelarla hoy, actualizando el monto con las siguientes tasas. mensuales
35
de interés simple: 2% para el primer mes y 2,5% para los dos últimos meses. Halle el
importe a cancelar.
Solución
Datos Fórmula
P = ? S
S = 4 000 P =
i1 = 0,02 1 + ( i1 n1 + i2 n2 )
n1= 1
i2 = 0,025 4 000
n2= 0,02 P = P = 3 738,32
1 + ( 0,02 x 1 + 0,025 x 2 )
21. En el proceso de adquisición de un torno, la Empresa SIMA S.A. recibe de sus
proveedores las siguientes propuestas:
Proveedor Cuota inicial Cuotas mensuales
1ra 2da
A 6 500 3 000 3 000
B 7 500 2 500 2 500
¿Cuál es la mejor oferta evaluando cada una a valor presente y asumiendo que el costo del
dinero es del 2% de interés simple mensual?
Solución
Proveedor A
Datos Fórmula
P = 6 500 S1 S2
S1 = 3 000 A = P+ +
S2 = 3 000 1 + i1 n1 1 + i2 n2
i1 = 0,02
i2 = 0,02 3 000 3 000
n1 = 1 A = 6 500 + + = 12 325,79
n2 = 2 1 + 0,02 x 1 1 + 0,02 x 2
Proveedor B
Datos Fórmula
P = 7 500 S1 S2
S1 = 2 500 B = P + +
S2 = 2 500 1 + i1 n1 1 + i2 n2
i1 = 0,02
i2 = 0,02 2 500 2 5 000
n1 = 1 B = 7 500 + + = 12 354,8336
n2 = 2 1 + 0,02 x 1 1 + 0,02 x 2
INTERÉS COMPUESTO
El interés compuesto es una sucesión de operaciones a interés simple, en la que después
de la primera, su monto constituye el capital inicial de la siguiente.
Al final del primer período de capitalización, el monto de una operación a interés compuesto
coincide con el monto a interés simple, si son iguales las tasas y los capitales iniciales.
Para el cálculo del interés compuesto es necesario tener en consideración:
La tasa nominal ( j )
La tasa efectiva ( i )
El número de períodos de capitalización en el año (m), el cual se halla relacionando con el
año bancario y la frecuencia de capitalización de la tasa de interés.
La frecuencia de capitalización ( f ): número de días del período capitalizable.
El horizonte de tiempo ( H ): número de días de la operación. Si un contrato de préstamo se
amortiza en cuotas o partes, entonces H = H1 + H2 + ... + Hn ; donde los Hk representan el
número de días de cada cuota..
f) El número de períodos de capitalización (n) en el horizonte temporal. Se entiende
que el número de capitalizaciones debe ser un número entero dado por el cociente H / f
m aplicable a una tasa j anual
Capitalizació
n
Operación m
Anual 360 / 360 1
Semestral 360 / 180 2
Trimestral 360 / 90 4
Bimestral 360 / 60 6
Cada 45 días 360 / 45 8
Mensual 360 / 30 12
Quincenal 360 / 15 24
Diario 360 / 1 360
37
Si la tasa j se expresase mensualmente, entonces m tendría que obtenerse relacionando un
mes bancario de 30 días y la frecuencia de capitalización de la tasa de interés mensual.
m aplicable a una tasa j mensual
Capitalizació
n
Operación M
Anual 30 / 360 0,0833333
Semestral 30 / 180 0,1666666
Trimestral 30 / 90 0,3333333
Bimestral 30 / 60 0,5000000
Cada 45 días 30 / 45 0,6666666
Mensual 30 / 30 1,0000000
Quincenal 30 / 15 2,0000000
Diario 30 / 1 30,000000
1. Cálculo del monto
Si tenemos un capital P, que gana una tasa i por período de tiempo durante n períodos
capitalizables, tendríamos al final del horizonte temporal el monto S siguiente:
S1 S2 S3 S4 S5
I---------------I---------------I---------------I---------------I---------------I
0 1 2 3 n-1 n
P
S1 = P + Pi = P (1 + i)
S2 = S1 + S1 i = S1 ( 1 + i ) = P (1 + i) (1 + i ) = P ( 1 + ¡ ) 2
S3 = S2 + S2 i = S2 ( 1 + i ) = P (1 + i )2 (1 + i ) = P ( 1 + i ) 3
Sn = Sn -1 + Sn – 1 i = Sn – 1 ( 1 + i ) = P ( 1 + ¡ )n – 1 (1 + i ) = P (1 + ¡ ) n
S = P( 1 + i ) n (13 )
En esta fórmula y las demás del interés compuesto, la tasa de interés compuesto i se refiere
al período de capitalización.
El número de períodos a capitalizar n y la tasa i, necesariamente deben estar Expresados
en la misma unidad de tiempo años trimestres, meses, días, etc.).
El factor (1 + i )n es el factor simple de capitalización compuesto FSC. La fórmula (13)
entonces puede representarse:
S = P. FSCi ; n (14)
y se lee, el FSC a una tasa i de n períodos transforma una cantidad presente P en un valor
futuro S.
1.1 El factor simple de capitalización
38
El FSC, factor simple de capitalización ( 1 + i ) es el monto compuesto de I a una tasa i por
período, durante n períodos y su función es llevar al futuro cualquier cantidad presente o
traer al presente cualquier cantidad del pasado.
Ejemplo 1. Calcule el monto de un capital inicial de S/.9 000 colocado durante 6 años a una
tasa efectiva anual del 24%.
Solución
Datos: Fórmula
S = ? S = P ( 1 + i )n
p = 9 000 S = 9 000 ( 1 + 0,24 )6
n = 6 S = 32 716,9359
i = 24%
Ejemplo 2. Calcule el moto de un depósito inicial de S/. 14 000 colocado durante 8 meses
en un banco que paga una tasa efectiva mensual del 3.5%.
Solución
Datos: Fórmula
S = ? S = P (1 + i )n
P =14 000 S =14 000 ( 1+ 0,035 )8
n = 8 S =18 435,326
i = 0,035
Ejemplo 3. Un banco paga por los depósitos que recibe del público una tasa nominal
mensual del 4% con capitalización trimestral. ¿Qué monto se habrá acumulado con un
capital inicial de S/. 18 000 colocado durante 6 meses? .
Solución
Datos: Fórmula:
S = ? S = P ( 1 + i )n
P = 18 000 S = 18 000 ( 1 + 0,12 )2
n = 2 trim. S = 22 579,2
i = 0,12
En los problemas de interés compuesto deben expresarse i y n en la misma unidad de
tiempo, efectuando de ser necesario las conversiones apropiadas cuando estas variables
correspondan a diferentes períodos de tiempo..
1.2 El FSC con n no entero
El interés es función del tiempo, por ello se considera que el capital devenga un interés
continuo que capitaliza discretamente (al final de cada cierto período de tiempo). Entonces
para un número no entero de períodos de capitalización, el FSC se ajustará a la función
exponencial del tipo (1 + i )H / f
En la deducción del monto compuesto queda establecido que:39
- Las capitalizaciones se efectúan a final de cada período.
- Si la operación a interés compuesto se interrumpe en algún punto del tiempo que no
coincide con el momento de capitalización, por esta fracción de período no existe la
obligación de pagar interés.
- Por acuerdo entre deudor y acreedor y de acuerdo a las prácticas financieras, el
interés compuesto para un número no entero de períodos capitalizados se calcula aplicando
exponente fraccionario.
- La consistencia matemática de este proceso, considerando un capital P, n un
número no entero de períodos capitalizables y t el mayor entero menor que n, se sustenta
a continuación:
Período de capitalización
---I------------------------------------------------------I-------------------------------------------I---
t n t + 1 - n t + 1
P ( 1 + i ) t P ( 1 + i ) n P ( 1+ i )+ 1
El monto hasta el momento t es P ( 1 + i ) t .
El monto hasta el momento t + 1 es P (1 + i ) t + 1 ( a )
Por analogía que el monto hasta el momento n es P(1 + i)n. Entonces para ser consistente,
el monto hasta el momento t + 1 debe ser igual al monto en el momento n llevado hasta t +
1, es decir :
P ( 1 + i ) n ( 1 + i ) t + 1 - n ( b )P (1 + i) n (1 + i) t + 1 – n = P(1 + i) n + t + 1 - n = P ( 1 + i ) t + 1
Con esto demostramos la igualdad de (a) y (b) y la consistencia de la aplicación de n no
entero.
S = P ( 1 + i ) H / f (15)
Ejemplo 4.- Consideremos un capital de S/.12 000 depositado en un banco donde
gana una tasa efectiva anual del 10%. ¿Qué monto tendrá que pagarse si el
depósito se cancela al finalizar el primer semestre?
Solución
Datos: Fórmula
S= ? S = P ( 1 + i ) H / f
P= 12 000 S = 12 000 ( 1 + 0,10 ) 6 / 12
40
i = 0,10 S = 12 585,7056
H= 6; f =12
Este monto colocado nuevamente durante un semestre a la misma tasa anterior dará como
resultado el siguiente monto:
S = 12 585,7056 ( 1 + 0.10 ) 6 / 12
S = 13 199,99878 = 13 200
Ejemplo 5. Una persona solicita a un banco un préstamo de S/. 12 000, el mismo que se le
abona en su cuenta corriente el 20 de abril. ¿Qué monto deberá pagar el 28 de julio, fecha
que cancela el préstamo, si él banco cobra una tasa efectiva mensual del 4%?
Solución
Datos: Fórmula:
S = ? S = P ( 1 +i ) H / f
P = 12 000 S = 12 000 ( 1 + 0,04 ) 99 / 30
H = 99 S = 13 658,1312
f = 30
i = 0,04
Ejemplo 6. ¿Qué monto deberá pagarse por un sobregiro bancario de S/.4 800 vigente
desde el 21 al 30 de agosto, si el banco cobra una tasa efectiva mensual del 3.5%?
Solución
Datos: Fórmula:
S = ? S = P ( 1 + i ) H / f
P = 4 800 S = 4 800 ( 1 + 0,035 ) 9 / 30
H = 9 S = 4 849,79
f = 30
i = 0,035
1.3 Tasa nominal y tasa efectiva
Cuando una tasa es susceptible de dividirse o multiplicarse para ser expresada en otra
unidad de tiempo diferente a la original, con el objeto de capitalizarse una o más veces,
recibe el nombre de tasa nominal. En este caso la tasa nominal es una tasa referencial
mientras la tasa efectiva refleja el número de capitalizaciones que ha experimentado durante
un plazo determinado.
El monto compuesto aplicando una tasa nominal j capitalizable m veces en un plazo
determinado durante n períodos se calcula con la siguiente fórmula:
j n
S = P 1 + ( 16 )
m41
Ejemplo 7. Calcular el monto a pagar dentro de 6 meses por un préstamo bancario
de S/. 14 000 a una tasa nominal anual del 24% capitalizable mensualmente
Solución
Datos: Fórmula
S = ? j n
n = 6 meses S = P 1 +
P = 14 000 m
j = 0,24%
m = 12 S = 14 000 ( 1 + 0,24 / 12 ) 6
S = 15 766,27
Ejemplo 8. La empresa ABC S.R.Lda. compró en el Banco del Oriente un Certificado de
Depósito a Plazo (CDP) por el importe de SI. 15 000 a un año de vencimiento, ganando una
tasa nominal anual del 33% con capitalización trimestral, el cual tuvo que redimirlo al fin del
noveno mes. ¿Cuál fue el monto que originó dicha inversión?
Solución
Datos: Fórmula
S = ? j H / f
P = 15 000 S = P 1 +
m = 12 / 3 = 4 m
H = 270 días
f = 90 días S = 15 000 ( 1 + 0,33 / 4 ) 270 / 90
j = 0,33 S = 19 027,20398
1.4 El FSC con variaciones en la tasa de interés
Cuando la tasa efectiva no varía durante el plazo pactado, el FSC capitaliza la unidad
monetaria a esa misma tasa durante n períodos:
(1 + i) n = ( 1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) …
Si la tasa por período varía, las capitalizaciones durante el plazo pactado H, se efectúan
cambiando la tasa tantas veces como sea necesario para cada período de tiempo vigente.
Ejemplo 9.- Calcule el monto de un capital de SI. 11 000 colocado durante cuatro meses. La
tasa efectiva mensual pactada es del 2.5%, 3%, 4% y 4.5% para el primer, segundo, tercer
y cuarto mes respectivamente.
Solución
Datos: Fórmula
S = ? S = P (1 + i1 ) (1 + i2 ) ( 1 + i3 ) (1 + i4 )
P = 11 000 S = 11 000 ( 1 + 0,025 ) (1 + 0,03) (1 + 0,04) (1 + 0,045)
42
i1 = 0,025 S = 11 000 (1,1473891)
ii = 0,03 S = 12 621,2801
i3 = 0,04
i4 = 0,45
Ejemplo 10. Una empresa solicitó a un banco un préstamo de S/. 75 000 cancelable dentro
de 6 meses a una tasa nominal anual del 36% con capitalización trimestral. La tasa es
variable de acuerdo a las condiciones del mercado. En la fecha de vencimiento del contrato
de crédito se conocen las siguientes variaciones de tasas anuales: 36% durante los dos
primeros meses y 48% para el resto del período, ambas capitalizables trimestralmente.
¿Qué monto deberá cancelar al vencimiento?
SoluciónDatos: Fórmula
S = ? S = P ( 1 + i1 ) H1/ f ( 1 + i2 ) H2 / f
P = 75 000 S = 75 000 (1 + 0,36/4)2/3 (1 + 0,48/4)4 / 3
i1 = 0,09 H1 = 2 meses S = 75 000 (1,09) (1,12)
ii = 0,12 H2 = 4 meses S = 75 000 (1,059134216) (1, 03849882)
f = 3 meses ( 1 trimestre ) S = 75 000 ( 1.099909634) = 82 493,222541.5 Capitalización calendaria
Las capitalizaciones anual, semestral, trimestral, mensual, etc. están referidas a períodos de
capitalización del mismo número de días (360, 180, 90, 30, etc.); mientras la capitalización
calendaria abarca períodos capitalizables en fechas fijas e incluyen períodos de
capitalización en tiempos variables, dependiendo de los días incluidos en cada mes del año.
Ejemplo 11.- Señale las fechas de capitalización de una transacción llevada a cabo el 2 de
abril con vencimiento el 28 de diciembre del mismo año, considerando la capitalización de
intereses: a) trimestral, b)trimestre calendario vencido (T.C.V )
Solución
A) TRIMESTRAL B) TRIMESTRE CALENDARIO
Fecha Días Fecha Días
02.04
01.07
29.09
28.12
90
90
90
02.04
02.07
02.10
02.01
91
92
92
Total 270 Total 275
43
En el presente ejemplo, la capitalización trimestral origina períodos uniformes de tiempo con
vencimientos en distintas fechas del mes, mientras la capitalización calendaria T.C.V origina
períodos diferentes de tiempo en fechas mensuales con vencimientos fijos.
2. Cálculo del capital inicial
De la ecuación (13) despejarnos P
P = S ( 1 + i )- n (17)
El factor ( 1 + i ) - n es el factor simple de actualización compuesto FS A. La fórmula (17)
entonces puede representarse:
P = S. FSA i ; n (18)
y se lee: el F.S.A a una tasa i de n períodos transforma una cantidad futura S en un valor
presente P
2.1 El factor simple de actualización
El FSA, factor simple de actualización, ( 1+ i ) - n es el valor presente compuesto de 1 a una
tasa i por período, durante n períodos y su función es traer al presente cualquier cantidad
futura o llevar al pasado cualquier cantidad del presente.
Generalmente n es un exponente entero, pero cuando H y f no sean múltiplos n se
expresará en la forma de fracción H / f, adoptando el F.S.A la siguiente expresión
( 1 + i )- H / f
Ejemplo 12. El 6 de abril la empresa EMDEPALMA descontó en el Banco Internacional un
pagaré cuyo valor nominal fue de S/. 60 000 y su vencimiento el 5 de junio. Calcule el
importe abonado por el banco a EMDEPALMA. considerando una tasa nominal del 36%
anual con capitalización mensual.
SoluciónDatos: Fórmula
P = P = S (1 + i ) - n
S = 60 000 P = 60 000(1 + 0,36 / 12) - 2
i = 0,36 / 12 = 0,03 P = 56 555,7546
n = 60 días ( 2 meses )
2.2 FSA con variaciones en la tasa de interés
Cuando la tasa de interés por período varía, la actualización durante el plazo pactado se
efectúa cambiando la tasa tantas veces como sea necesario para cada período de tiempo
vigente. En forma similar al FSC, el FSA queda modificado del siguiente modo:
(1 + i1 )- ( H1 / f ) ( 1 + i2 )- (H2 / f ) ( 1 + i3 )- ( H3 / f ) …
Donde H1 + H2 + H3 + ... = H
44
Ejemplo 13. Un Gerente, faltando 15 días para su vencimiento negocia una letra de S/.15
000 en un banco a una tasa nominal anual del 48% con capitalización mensual. ¿Qué
importe recibió el Gerente?
SoluciónDatos: Fórmula
P = ? P = S (1 + ¡ ) - (H / f)
S = 15 000 P = 15 000 (1 + 0,48 / 12) - (15 / 30)
H = 15 días P = 15 000 x 0,980580675
f = 30 días P = 14 708,71014i = 0.48 / 12
Ejemplo 14. Un pagaré con valor nominal de S/. 20 000 y vencimiento dentro de 60 días es
descontado matemáticamente hoy, aplicando una tasa nominal anual del 36% con
capitalización mensual.
¿Cuál, será el importe a cancelar al vencimiento, si la tasa anual bajó al 24% después de 22
días?
b) ¿Cuál hubiese sido el importe verdadero del abono de haber conocido de antemano
la disminución en la tasa de interés?
Solucióna) Importe a cancelar al vencimiento
Debido a que el monto se ha descontado originalmente con la tasa del 36%, hallaremos su
valor presente y lo llevaremos al futuro con las variaciones de tasas ocurridas: 22 días al
36% anual y 38 días al 24% anual.
1) Cálculo del valor presente
Datos: Fórmula
P = ? P = S (1 + i ) - n
S = 20 000 P = 20 000 (1 + 0,36 / 12) - 2
i = 0,36 / 12 P = 18 851,91818
n = 60 días ( 2 meses)
2) Cálculo del valor futuro (importe al vencimiento)
Datos: Fórmula
S1 = ? S1= P(1 + i1 ) H1/ f (1 t+ I ) H2 / f
P= 18 851,91818 S1= 18 851,91818 [(1+ 0,36 / 12)22 / 30 (1+ 0,24 / 12)38 / 30]
i1 = 0,03 H1 = 22 días S1= 18 851,91818 ( 1,047870262)
i2 = 0,02 H2 = 38 días S1= 19 754,36f = 30 días (1 mes)
b) Cálculo del valor presente con variaciones de tasas.
45
Si se hubiesen conocido en la fecha del descuento las futuras variaciones de tasas (lo cual
no es posible, debido a las fluctuaciones de tasas en el mercado), el importe verdadero del
valor presente sería calculado del siguiente modo.
Solución
Datos: Fórmula
P1= ? P1 = S (1 + i1 ) - (H1/ f) ( 1 + i2 ) - (H2 / f)
S = 20 000 P1 = 20 000 (1+ 0,03 ) - (22 / 30) (1 + 0,02 ) - (38 / 30)
i1 = 0,03 H1 = 22 días P1 = 20 000 ( 0,954316613)
i2 = 0,02 H2 = 38 días P1 = 19 086,33
f = 30 días ( 1 mes )
En el caso a) se recibe 18 851,92 y se cancela 19 754,36
En el caso b) se recibe 19 086,33 y se cancela 20 000 al vencimiento del pagaré.
3. Cálculo de la tasa de interés '
De la ecuación (13) despejamos i :
i = (S / P)1 / n - 1 (19 )
En (19) i corresponde al período de capitalización en el que se haya expresado n.
Ejemplo 15. ¿A qué tasa efectiva mensual un capital de S/.10 000 se habrá convertido en un
monto de S/.13 000 si dicho capital original fue colocado a 6 meses?
SoluciónDatos: Fórmula
i = ? mensual i = (S / P)1 / n - 1
P = 10 000 i = (13 000 / 10 000) 1 / 6 - 1
S = 13 000 i = 0,0446975
n = 6 meses i = 4,46975 % efectivo mensual
4. Cálculo del número de períodos de capitalización
De la ecuación (13 ) despejamos n:
Log. S / P
n = (20 )
Log. ( 1 + i )
En la fórmula (20 ) n es el número de unidades de tiempo a la que hace referencia i. Por
ejemplo, si i es mensual n es el número de meses, si i es anual n es el número de años, etc.
Ejemplo 16. ¿En qué tiempo se duplicará un capital a una tasa efectiva del 3% mensual?
46
SoluciónDatos Fórmula
n = ? Log. S / P Log. ( 2 / 1
S = 2 n = n =
P = 1 Log. ( 1 + i ) Log. ( 1 + 0,03)
i = 0,03
n .= 23,44977772 / 12 = 1,954 años, n .= 23,44977772 meses n = 23,44977772 x 30- = 703 días 5. Cálculo del interés
Por definición el interés es la diferencia entre el monto y su capital inicial:
I = S - P
Reemplazando S en la ecuación anterior por su equivalente P (1 + i) n tenemos:
I = P(1 + i) n - P
I = P [ (1 + i) n - 1] ( 21 )
De la ecuación (22) despejamos P, i y n
I I 1 / n Log. ( I / P + 1)
P = ( 22 ); i = + 1 - 1 (23 ); n = (24)
( 1 + i ) n -1 P Log. ( 1 + i )
Ejemplo 17. Calcule el interés compuesto generado en un trimestre por una inversión de
S/.45 000, colocado a una tasa nominal del 24% anual con capitalización bimestral.
SoluciónDatos: Fórmula
I = ? trimestral
P = 45 000 I = P [ (1 + i ) H / f - 1]
i = 24% / 6 = 0,04 I = 45 000 [ (1 + 0,04 ) 3 / 2 - 1]
n = 3 / 2 bimestres I = 45 000 [ (1,04 ) 3 / 2 - 1] I = 2 726,82Ejemplo 18.- Para ganar un interés compuesto de S/. 15 000 en un plazo de 27 días,
¿cuánto debe colocarse en una institución de crédito que paga una tasa efectiva anual del
18%?
SoluciónDatos: Fórmula
P = ? P = I / [ (1 + i ) n - 1]
47
I = 15 000 P = 15 000 / [ (1,18 )27 / 360 - 1]
n = 27 / 360; i = 0,18 P = 1 200 869,333
Ejemplo 19.- Calcule la tasa efectiva mensual que se cobra por la compra de una
computadora cuyo precio de contado es de S/. 1 375, pero financiado sin cuota inicial y con
una letra a 75 días su importe es de S/. 1 650.
SoluciónDatos Fórmula
i = ? I 1 / n
P = 1 375 i = + 1 - 1
I = 275 P
n = 75 / 30
275 1 / (75 / 30)
i = + 1 - 1 i = 0,075653756 x 100 = 7,565375693%
1 375
Ejemplo 20. El cargo por intereses de un sobregiro bancario de S/. 225 000 ha sido de S/. 9
500. Si el banco cobra una tasa efectiva mensual del 2.5%, ¿cuánto tiempo estuvo
sobregirada la cuenta?
SoluciónDatos: Fórmula
n = ? Log. ( I / P + 1)
P = 225 000 n =
I = 9 500 Log. ( 1 + i )
i = 0,025
Log. ( 9 500 / 225 000 + 1)
n =
Log. ( 1,025 )
n = 1,674799976 meses; n = 50,24399929 días
5.1 Interés devengado en cualquier período capitalizable
El interés compuesto tiene un crecimiento geométrico en el cual el interés de cualquier
período después del segundo es mayor que el generado en el período anterior.
Si el período k comienza en el momento n - 1 y acaba en el momento n, para obtener el
interés k generado en ese período, calculamos la diferencia de los intereses acumulados
hasta el momento n y los intereses generados hasta el período anterior n - 1.
Fórmula
IK = P i ( 1 + i ) n -1 ( 25 )
48
Ejemplo: 21 Alicia ahorra en una entidad financiera S/. 1 000 percibiendo una tasa
nominal anual del 36% con capitalización mensual, calcule el interés que devengará
ese capital en cada uno de los doce primeros meses. Compare los intereses
acumulados en cada mes a interés simple y compuesto.
Solución
n Pi ( 1 + i )n – 1
Interés compuesto Interés simple
IK Acumulado I I. Acum.
1 1000 x 0,03 x 1,03 1-1 30,00 30,00 30 30
2 1000 x 0,03 x 1,032 -1 30,90 60,90 30 60
3 1000 x 0,03 x 1,033 -1 31,83 92,73 30 90
4 1000 x 0,03 x 1 034 -1 32,72 125,51 30 120
5 1000 x 0,03 x 1,035 -1 33,77 159,27 30 150
6 1000 x 0,03 x 1.036 -1 34,78 194,05 30 180
7 1000 x 0,03 x 1,037 -1 35,82 229,87 30 210
8 1000 x 0,03 x 1,038 -1 36,90 266,77 30 240
9 1000 x 0,03 x 1,039 -1 38,00 304,77 30 270
10 1000 x 0,03 x 1,0310-1 39,14 343,92 30 300
11 1000 x 0,03 x 1,0311-1 40,32 384,23 30 330
12 1000 x 0,03 x 1,0312-1 41,53 425,76 30 360
6. Ecuaciones de valor equivalente a interés compuesto
6.1 Diferimiento de pagos
Ejemplo 22. La compañía Lucero S.A debe de pagar al Banco Comercial 2 deudas de S/. 15
000 y S/. 20 000 cada una, la primera a 30 días y la segunda a 90 días. La Gerencia
Financiera de Lux, analizando su estado de flujo de caja proyectado, conoce de la falta de
efectivo para esas fechas, por lo que negociando con el Banco Comercial se difieren los
pagos para el día 150, a una tasa efectiva mensual del 5% (incluyendo mora) ¿ Qué importe
deberá pagar Lucero el día 120?
Solución
X = 15 000 (1,05 4 ) + 20 000 ( 1,05 2 )
X = 40 282.593
6.2 Consolidación de pasivos
Ejemplo 23. Actualmente, la empresa Comercial FERCOM. S.A , la cual mantiene varias
líneas de financiamiento con diversos bancos del Sistema Financiero; tiene los créditos
vencidos y por vencer resumidos. en el cuadro siguiente:
Plazo Banco S/. TEM Linea49
Vencido hace 92 días A 9 000 5.0% Importaciones
Vencido hace 82 días B 8 000 4.0% Pagaré
Vencido hace 14 días C 4 000 4.5% Sobregiro
Por vencer dentro de 45 días D 6 000 3.0% Pagaré
Por vencer dentro de 60 días C 7 000 3.0% Letras
Por vencer dentro de 78 días A 3 000 3.5% Importaciones
Debido a que las tasas de interés, en mora son más elevadas que para los créditos por
vencer. La empresa comercial ha tramitado y obtenido del Banco E un financiamiento para
consolidar y amortizar sus pasivos vencidos y por vencer a una tasa efectiva mensual del
2,8%, el cual será desembolsado dentro de 30 días. ¿Qué importe deberá solicitar la
empresa al Banco E?
SoluciónDesignando el día de hoy como el momento 0, el tiempo transcurrido de los créditos
vencidos tendrán signo negativo, mientras los créditos por vencer tendrán signo positivo.
X = 9 000 (1,05 122 / 30 ) + 8 000 (1.04 112 / 30 ) + 4 000 (1.045 44 / 30 ) +
6 000 (1.03 -15 / 30 ) + 7 000 ( 1.03 - 30 / 30 ) + 3 000 ( 1.035 -48 / 30)
X = 40,050,87
6.3 Cuotas de amortización de préstamos
Ejemplo 24. Calcule el importe de cada cuota creciente a pagar por un préstamo bancario de
S/. 20 000 amortizable en 4 cuotas mensuales vencidas las cuales se incrementarán 5%
cada mes en relación a la cuota anterior. El banco cobra una tasa efectiva mensual del 3%.
Solución
20 000 = X(1,03 - 1) + X(1,03 - 2) X(1,03 -3) + X(1,03 - 4)
20 000 = 3,717098403 X
X = 5 380,547233
Cuota Importe
1 X
2 X (1,05)
3 X (1,05 2)
4 X ( 1,05 3 )
5380,55
5649,58
5932,06
6228,66
6.4 Amortizaciones parciales de préstamos
Ejemplo 25. La empresa industrial RECICLACOM. S.A realizó un préstamo S/. 5 000 para
devolverlos dentro de 180 días pagando una tasa nominal mensual del 2,5%con
capitalización diaria. Si durante dicho período amortiza S/. 2 000 el día 35 y
50
S/.1 000 el día 98, ¿cuánto deberá pagar el día 180 para cancelar su deuda:
si los abonos efectuados se procesan el mismo día
si se toma como fecha focal el día 180?
a) Procesando los abonos el mismo día del pago
Día Cálculo del valor futuro Abonos Saldos
35
98
180
S35 = 5 000.00 [1 + 0,025/ 30 ] 35 = 5 147,92
S98 = 3 147,92 [1 + 0,025/ 30] 63 = 3 317,53
S180 = 2 310,99 [1 + 0,025 / 30] 82 = 2 481,36
2 000,00
1 000,00
2 481,36
3 147,82
2 317,53
0,00
5 481,36
b) Procesando la deuda y abonos tomando como fecha focal el día 180
5 000 ( 1 + 0,025 / 30 )180 =
2 000 ( 1 + 0,025 / 30 )145 =
1 000 ( 1 + 0,025 / 30 ) 8 =
5 808, 81
(2 256,76)
(1 070,69)
Saldo a pagar 2 481,36
Total de pagos efectuados: 2 000 + 1 000 + 2 481,36 = 5 481,36
A diferencia del interés simple, la ecuación de valor en el interés compuesto, en cualquier
fecha focal, produce el mismo resultado.
6.5 Ventas a plazos (sistema de créditos)Ejemplo 26. La compañía ROSEMBERG, comercializadora de electrodomésticos,
vende sus productos al contado contraentrega. Sin embargo, debido a que ha
conseguido una línea de crédito para financiar sus ventas a plazos cargando una
tasa efectiva mensual del 4%, ha solicitado a su gerencia financiera preparar una
alternativa de ventas a crédito que incluya una cuota inicial del 40% sobre el precio
al contado y el saldo en cuota mensuales iguales.
Para el programa A, en 3 cuotas y para el programa B, en 4 cuotas. Calcule los
factores a aplicar para ambos programas.
Solución
Con el objeto de aplicar el programa a cualquier artículo comercializado por la empresa se
trabajará a nivel de una unidad monetaria S/.1,00. Si el cliente paga el 40% como cuota
inicial, la compañía sólo financia el 60% restante, entonces P en la ecuación de equivalencia
es igual a S/. 0,60.
Programa a 3 meses
0,6 = X(1,04 - 1 ) + X ( 1,04 - 2 ) + X (1,04 - 3 )
0,6 = X (2,775091033)
X = 0,2162091235 = Factor que se debe aplicar al precio de contado.
b) Programa a 4 meses
51
0,6 = X(1, 04 -1) + X(1,04 -2) + X(1,04 -3) + X(1,04 -4)
0,6 = X(3,629895224)
X = 0,1652940272 Factor a aplicar al precio de contado
Programa de crédito
Cuota inicial: precio de contado x 0,4
Importe de la cuota para 3 meses: precio de contado x 0,2162091235
Importe de la cuota para 4 meses: precio de contado x 0,1652940272
Aplicación
Ejemplo: Un artefacto Electrodoméstico cuyo precio de contado es de S/.1 500 y
financiado a 4 meses tenemos:
Cuota inicial : 1 500 x 0,4 = S/. 200,00
4 cuotas : 1 500 x 0,1652940272 = 247,84
6.6 Evaluaciones a valor presente
Ejemplo 28. La compañía ITALO ha convocado a un concurso de precios para
Adquirir una camioneta al crédito. A la convocatoria han respondido los proveedores
A y B cuyas ofertas están resumidas en el siguiente cuadro comparativo de precios.
¿Qué opción escogería usted si el costo del dinero es del 2% efectivo mensual?
Proveedor Cuota inicial
Cuotas mensuales
1ra 2da 3ra
A
B
4 000
3 000
2 500,00
2 846,75
2 500,00
2 846,75
2 500,00
2 846,75
Solución
A = 4 000 + 2 500(1,02 - 1) + 2 500 ( 1,02 - 2) + 2 500 ( 1,02 - 3)
A = 11 209,71
B = 3 000 + 2 846,75(1,02 - 1) + 2 846,75(1,02 - 2) + 2 846,75(1,02 - 3)
B = 11 209,71
Ambas propuestas evaluadas a la tasa efectiva mensual del 2% son equivalentes
financieramente. La decisión corresponderá entonces a la liquidez disponible y los
flujos de caja futuros que dispondrá la persona que está ejecutando esta operación.
6.7 Cálculo del vencimiento común
Ejemplo 30. El día de hoy la empresa Oriente tiene dos deudas con el Banco
Panamericana de, S/. 2 000 y 3 000 c/u, las cuales vencen dentro de 30 y 60 días
respectivamente. Si Oriente dispone de S/. 4 977,09 para cubrir ambas deudas, ¿en
qué fecha debe efectuar ese pago para cancelar ambas deudas considerando que el
banco cobra una tasa efectiva mensual del 5%?
52
Solución
Efectuando la evaluación en el presente tenemos la siguiente ecuación de
equivalencia:
2 000 (1,05 - 1) + 3 000 (1,05 - 2 ) = 4 977,09 (1,05 - n )
4 625,85034 = 4 977,09 (1,05 - n )
0,9294286407 = 1,05 - n
n = 1,5 meses
53
Problemas desarrollados de interés compuesto1. Calcular el monto a pagar dentro de 5 meses por un préstamo bancario de S/. 50
000 que devenga una tasa nominal anual del 36% con capitalización mensual. Rp. S = S/.
57 963,70.
SoluciónDatos: Fórmula
S = ? S = P ( 1 + i ) n
P = 50 000 S = 50 000 (1 + 0,03) 5
n = 5 meses S = 50 000 (1,03) 5
i = 0,36/ 12= 0,03 S = 57 963.705
2. Sabiendo que la población actual es de 22 millones de habitantes y su tasa,
promedio de crecimiento neto anual es del 2,01%, ¿cuantos habitantes seremos dentro de
tres años y medio? Rp. S = 23 586 978,8 millones.
Solución
Datos: Fórmula
S = ? S = P ( 1 + i ) n
P = 22 000 000 S = 22 000 000 (1 + 0,0201)3,5
i = 0,0201 S = 23 586 978,8
n= 3 años y medio
3. El 1 de abril el precio de una materia prima de S/. 20 000 por tm. 45 días después se
incrementó a S/. 22 000. ¿Cuál será el precio a pagar por el nuevo stock que lo
renovaremos dentro de 180 días contados a partir del 1 de abril, si nuestro proveedor nos
manifiesta que los precios se incrementarán periódicamente (cada 45 días) en el mismo
porcentaje original. Rp. S = S/. 29 282.
Solución
Datos: Fórmula
S = ? S = P ( 1 + j / m )H/ f
P = 20 000 t.m S = 20 000 (1 + 2 000 / 20 000)180 /45
H = 180 / 45 S = 29 282
54
f = 45
m = 20 000
j = 2 000
4. En el último semestre la gasolina ha venido incrementándose en 2% cada 18 días en
promedio. De mantenerse esta tendencia, ¿cuánto costará un galón de gasolina dentro de
un año, si el precio actual es S/. 3.50.? Rp. S = S/. 5,20
SoluciónDatos: Fórmula
S = ? S = P ( 1 + i ) n
P = 3.50 S = 3,50 (1 + 0,02 )20
i = 0,02 cada 18 días S = S/. 5,2008159
n = 1 año = 360 / 18 = 20
5. Se ha suscrito un contrato de crédito por S/. 80 000 para cancelarlo dentro de 120
días, a la tasa efectiva mensual de mercado. Al vencimiento del plazo, la tasa efectiva
mensual ha sufrido las siguientes variaciones: 5% durante 46 días, 4,5% durante 10 días y
4% durante 64 días. ¿Cuál es el monto a cancelar al vencimiento del crédito.? Rp. S = S/.95
124.
Solución
Datos: Fórmula
S = ? S = P(1 + i1 ) H1 / f ( 1 + i2 ) H2 / f (1 + i3 ) H1/ f
P = 80 000 S = 80 000(1 + 0,05 ) 46 / 30) ( 1 + 0,045 ) 10 / 30
i1 = 0,05 H1 = 46 días (1 + 0,04 ) 64 / 30
i2 = 0,045 H2 = 10 días S = 95 124, 00635
i3 = 0,04 H2 = 64 días
f = 30 días
6. Una deuda de S/.10 000 con opción a renovarse automáticamente cada 30 días,
debe cancelarse el 20 de setiembre. ¿Qué monto debe pagarse el 19 de diciembre si el
contrato de crédito establece que por la primera renovación se carga una tasa efectiva
mensual del 5%, por la segunda una tasa efectiva mensual del 6% y por la tercera una tasa
efectiva mensual del 7%.? Rp. S = S/. 1 190,91.
Solución
Datos: Fórmula
S = ? S = P(1 + i1 ) ( 1 + i2 ) (1 + i3 )
P = 1 000 S = 1 000(1+ 0,05 ) (1+ 0,06 ) (1 + 0,07 )
i1 = 0,05 S = 1 190,91
i2 = 0,06
55
i3 = 0,07
7. Si he descontado una letra con valor nominal de S/. 3 000, la cual vence dentro de
38 días y la tasa efectiva mensual que cobra el banco es de 2%, ¿cuál es el importe neto
que me deben abonar.? Rp. P = S/. 2 925,69.
Solución
Datos: Fórmula
P = ? P = S(1 + i ) - n
S = 3 000 P = 3 000(1+ 0,02 ) -38/30
i = 0,02 mensual P = 3 000(0,97522865) = 2 925,68595
n = 38/30 P = 2 925,69
8. Calcular el valor presente de un importe de. S/. 15 000 que, se recibirá dentro de
30 días, si la vigencia de la tasa efectiva mensual será 8 días al 2% y 22 días al
1,5%. Rp. P = S/. 14 758,97.
Solución
Datos: Fórmula
P = ? P = S(1 + i1 )- ( H / f) ( 1 + i2 )- (H / f)
S = 15 000 P = 15 000(1+ 0,02 )- (8/30) (1+ 0,015 )- (22/30)
i1 = 0,02; i2 = 0,015 P = 15 000 (0,99473322) (0,98914107)
H1 = 8 P = 15 000 (0,983931481)
H2 = 22 P = 14 758,97222
f = 30 P = 14 758,97
9. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual de un bono comprado en
S/. 2 000 y vendido al cabo de 90 días en S/. 2 315,25. Rp. i 5% mensual.
SoluciónDatos: Fórmula
i = ? i = (S / P)1 / n - 1
P = 2 000 i = (2 325,25 / 2 000)1 / 3 - 1
S = 2 315,25 i = (1,157625)1/3 –1 = 0,05 x 100 =
n = 90 días (3 meses) i = 5% mensual
10. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que los intereses generados por un capital
sean igual al mismo capital colocado a una tasa del 5% de interés efectivo mensual ? Rp.
14,2066 meses = 14 meses y 6 días.
Solución
Datos: Fórmula
n = ? Log. S / P
S = 2 n =
56
i = 0,05 Log.(1 + i)
P= 1 Log. 2 / 1
n = = 14,20669933
Log.(1 + 0,05)
n = 14 meses y 6,9 días
11. Un préstamo de S/. 100 000 concedido a una tasa efectiva mensual del 2% debe
cancelarse en 4 cuotas uniformes mensuales vencidas. Calcule el importe de
cada cuota. Rp. X = S/. 26 262,38.
Solución
Datos Fórmula
P = 100 000 P = X ( 1 + i ) -1 + ( 1+ i ) -2 + ( 1+ i ) -3 + ( 1 + i ) -4
i = 0,02 mensual 100 000 = X ( 1,02 -1 ) + ( 1.02 -2 ) + ( 1,02 -3 ) + ( 1,02 -4)
n = 4 cuotas 100 000 = X ( 0,98039216 ) + ( 0,96116878 ) +
( 0,94232234 ) + (0,92384543 )
100 000 = 3,80772871X = 26 262,37518
X = S/. 26 262,38
12. El 26 de mayo la compañía Pegaso S.A. descontó un pagaré con valor nominal
de S/. 20 000, a una tasa efectiva mensual del 5% y con vencimiento el 10 de
julio. ¿Cuánto deberá cancelar al vencimiento del pagaré, si el día
8 y 21 de junio Pegaso S.A. amortizó S/.5 000 y S/. 7 000 respectivamente?
Rp. S/. 7 513,22.
20 000 20 000
5 000 ( 1 + 0,05)32/30 = (5 267,1045)
7 000 ( 1 + 0,05)19/30 = (7 219,6796)
7 513,2159
Rp. 7 513,22
13. La compañía Electrodomésticos S.A. está vendiendo Refrigeradoras al contado
en $ 900 y al crédito con una cuota inicial de $ 207,28 y cinco armadas
mensuales de $ 160. El cliente Z desea adquirir el artefacto al crédito y acepta
las condiciones generales del financiamiento, pero propone pagar en la cuarta
cuota sólo $ 100 y la diferencia cangelarla al vencimiento del plazo. ¿Cuál sería
57
el importe de dicho pago considerando una tasa efectiva mensual del 5%? Rp. X
$ 223.
Solución
Datos
P = $ 900 contado 160 + 60 ( 1 + 0,05 ) 1
Cuota inical = 207,28 160 + 60 ( 1.05 )
n = 5 cuotas mensuales de $.160 160 + 163 = 223
I = 0,05 sobre último pago
DESCUENTO
Una operación de descuento consiste en obtener el pago anticipado de Títulos Valores, letra
de cambio, pagaré, u otros documentos, mediante la cesión o endoso del derecho del
poseedor a otra persona, generalmente una institución de crédito, la cual paga el importe del
documento deduciendo los intereses anticipadamente, por el tiempo que falta para el
vencimiento de la obligación. El descuento constituye la diferencia entre el monto de una
deuda a su vencimiento y el importe recibido en el presente.
Clases de descuento
CLASES DE DESCUENTO
Racional Bancario Comercial
Simple
Compuesto
Simple
Compuesto
Unitario
Sucesivo
58
Simbología
D = Descuento
P = Valor presente o valor líquido del documento
S = Valor nominal del documento, valor futuro
n = Períodos de tiempo que faltan para el vencimiento del título-valor
i = Tasa dé interés por período de tiempo aplicable sobre Pd = Tasa de descuento por período de tiempo aplicable sobre S1. Descuento racional, matemático o verdadero
En una operación de descuento racional, el importe a recibir por el descontante es igual al
valor presente del título-valor calculado con una tasa i. El valor líquido coincide con el valor
presente.
1.1 Descuento racional simple
En una operación de descuento racional simple, el valor presente del título-valor se calcula a
interés simple.
D = S - P
S
P =
1 + i
Reemplazando en la ecuación original
1
D = S 1 - (1)
1 + in
El término entre corchetes de la fórmula (25) es igual a:
1 + in 1 in
- =
1 + in 1 + in 1 + in
La ecuación (1) entonces también puede expresarse:
S i n
D = (1)
1 + in
El descuento en esta ecuación puede interpretarse como el interés aplicado a un
valor futuro (Sin), traído a valor presente al dividirlo por 1 + in.
1.1.1 Equivalencia del descuento racional simple y el interés simple
I = P i n
1
D = S 1 - como S = P (1 + in )
59
1 + i
1
D = P( 1+ in ) 1 -
1 + in
in
D = P ( 1+ in )
1 + in
D = P i n
D = I
El descuento racional simple efectuado sobre un valor futuro produce el mismo resultado
que el interés simple aplicado sobre su valor presente.
Ejemplo 1. Una letra de S/. 3 800 con vencimiento el 26 de febrero es descontada el 18 de
enero a una tasa de interés simple anual del 24%. Calcule el importe del descuento racional.
Solución
Fórmula Datos:
1 D = ?
D = S 1 - S = 3 800
1 + in i = 0,24
n = 39 / 360
1
D = 3 800 1 - D = 96,30
1 + 0,24 x 39 / 360
Ejemplo 2. Una letra de S/. 20 000 con vencimiento dentro de 60 días se descuenta hoy a
una tasa nominal anual del 24%. Calcule: a) el descuento simnple; b) su valor presente; c) el
interés que se cobrará sobre el importe realmente desembolsado. Solución a) Cálculo del descuento
Fórmula Datos:
1 D = ?
D = S 1 - S = 20 000
1 + in i = 0,24
n = 60 / 360
60
1
D = 20 000 1 -
1 + 0,24 x 60 / 360
D = 769,23
b) Cálculo del valor presente .
S
P =
1 + in
20 000
P =
1 + 0,24 x 60 / 360
P = 19 230,77
c) Cálculo del interés
I = Pin
I = 19 230,77 x 0,24 x 60 / 360 = 769,23
Ejemplo 3. ¿Por qué valor nominal deberá ser aceptado un pagaré con vencimiento
dentro de 65 días pagando una tasa nominal anual del 18%?. El pagaré será
descontado racionalmente a interés simple y el importe neto requerido es de
S/.8 000.
SoluciónDatos Fórmula
S = ? S = P [1 + in]
n = 65 / 360 S = 8 000[1 + 0,18 x 65 / 360]
i = 0,18 S = 8 260
P= 8 000
Ejemplo 4.- En la fecha se tienen dos obligaciones de S/. 4 000 y S/. 6 000 que vencen
dentro de 30 y 45 días respectivamente. ¿Cuál será el pago total por ambas obligaciones si
deciden cancelarse hoy?. El acreedor aplica una tasa anual de interés simple del 12% para
la letra a 30 días y del 15% para la letra a 45 días.
SoluciónFórmula Datos:
S1 S2 P = ?
P + S1 = 4 000
1 + i1n1 1 + i2n2 S2 = 6 000
61
n1 = 30 / 360
4 000 6 000 n2 = 45/ 360
P= + i1 = 0,12
1 + 0,12 x 30 / 360 1 + 0,15 x 45 / 360 i2 = 0,15
P = 9 849,97
1.2. Descuento racional compuesto
En una operación de descuento racional compuesto, el valor presente del título-valor se
calcula a interés compuesto.
D = S - P
Pero P = S (1 + i ) - n
Entonces D = S - S (1 + i ) - n
D = S [ 1 – ( 1 + i ) - n ] (2)
1.2.1 Equivalencia del descuento racional compuesto y el interés compuesto
I = P (1 + i) n -1
D = S [1 - (1 + i) -n ] como S = P(1 + i) n
D = P (1 + i) n [1 - (1 + i ) - n ]
D = P [(1 + i ) n -1]
D = I
Ejemplo 5. Calcule el descuento racional compuesto de un pagaré con valor nominal
de SI.10 000 y vencimiento a 60 días. Utilice una tasa efectiva mensual del 3%.
SoluciónDatos Fórmula
D = ? D = S [1 - (1 + i) - n ]
S = 15 000 D = 15 000 [1 - (1 + 0,03) - 5 ]
i = 0,03 D = 2 060.87
n = 5 meses
Ejemplo 6. La empresa VASCO, comercializadora de útiles de escritorio, ha efectuado
compras de mercaderías por un importe total de S/. 60 000 incluido el 19% de impuesto
general a las ventas (IGV). ¿Qué importe de la factura puede utilizar para el crédito fiscal?
Compruebe su respuesta.
SoluciónDatos Fórmula
D = ? D = S [1 - (1 + i) - n ]
S = 60 000 D = 60 000 [1 - (1 + 0,19 ) - 1 ]
i = 0,19 D = 9 579,83
n = 1
62
ComprobaciónValor venta 50 420,17
GV19% 9 579,83
Precío de venta 60 000,00
Ejemplo 7.- ¿Por qué monto deberá aceptarse un pagaré con vencimiento a 90 días, para
descontarlo racionalmente hoy, si se requiere disponer un importe de S/. 20 000?
Utilice una tasa efectiva mensual del 4.5% y compruebe la respuesta.
Solución
Datos Fórmula
S = ? a) Valor nominal
n = 3 S = P (1 + i) n
i = 0,045 S = 20 000 (1 + 0,045) 3 = 22 823.322
P = 20 000 b) Descuento D = S [1 - (1 + i ) - n ]
D = 22 823.322 [1 - (1 + 0,045 ) - 3 = 2823.322
Comprobación
Valor nominal 22 823.322
Descuento (2 823.322)
Importe disponible 20 000
Ejemplo 8.- Calcule el importe disponible a obtenerse hoy por el descuento racional de un
pagaré con valor nominal de S/. 10 000 y vencimiento dentro de 45 días. El banco cobra una
tasa efectiva mensual del 6%, S/. 10 por gastos, S/. 5 de portes y efectúa además una
retención del 12% sobre el valor presente del documento. Efectúe la liquidación.
SoluciónDatos Fórmula
P =? S = P [(1 + i ) n + i’ ] + G P = S – G / [(1 + I) n + i‘]
S= 10 000 10 000 - 15
n= 45 / 30 P =
i = 0,06 1,06 45 / 30 + 0,12
i’ = 0,1
G = 15 P = 8 242.96
Liquidación ImporteValor nominal del pagaré
Descuento 8 242.96[1,06 45 / 30 -1] 752,89
Gastos 10,00
Portes 5,00
10 000,00
63
Retención 8 242.96 x 0,12] 989.15
Total deducciones (1 757.04)
Importe disponible 8242.96
Ejemplo 9.- En el ejemplo anterior ¿cuál será el importe que deberá cancelar el descontante
al vencimiento del pagaré: a) si el importe retenido no gana interés, b) si el importe retenido
gana una tasa efectiva mensual del 3%?
Solucióna) Si el importe retenido no gana interés, al vencimiento de la obligación tendrá que
abonarse el valor nominal del pagaré menos el importe de la retención que obra en poder
del banco.
- Importe del pago = 10 000 – 989.15 = 9 010.85
b) Si el importe retenido gana una tasa efectiva mensual del 3% el importe del pago
será:
- Importe del pago = 10 000 - [989.15(1,03 45 / 30 ) ] = 8966.0061
Ejemplo 10. El Comité de Descuentos del Banco Interandino aprobó hoy (7 de enero) a la
empresa Transur su cartera de letras, de acuerdo a la siguiente relación:
Letra número Vencimiento Importe Aceptante
420
510
586
01-02
18-02
23-02
6 348
8 946
9 673
Cargíl
Transportec
Alitec
El banco cobra una tasa efectiva mensual del 5% y portes de S/. 5 por cada
documento. ¿Cuál será el importe que dispondrá hoy Transur?
SoluciónLetra No- Vencimiento Días Importe Descuento Neto
420
510
586
01-02
18-02
23-02
25
42
47
6 348
8 946
9 673
252,92
590,66
711,83
6 095,08
8 355,34
8 961,17
Totales
Portes
Importe disponible
23 411,60
-15,00
23 396,60
1.2.2 Descuento racional compuesto Dk devengado en cada período de descuento
En una operación de descuento compuesto, los importes de los descuentos practicados al
valor nominal del documento decrecen geométricamente en cada período de actualización.
En este caso surge la pregunta ¿cuál es el importe descontado en cada período?
64
Partiendo del futuro para llegar al presente, deducimos la fórmula del descuento realizado
en cualquier período k.
Pn Pn- 1 P3 P2 P1 S
I-------------------I---------------II----------------I----------------I----------------I----------------I
n n -1 3 2 1 0
S(1+ i) - n S(1+ i)(n - 1) S(1+i) -3 A(1 + i) -2 S(1 + i)-1
D1 =S -S (1 +i) -1 =S (1 + i)-1 (1 + i -1) =S(1 + i) -1 i
D2 =S( 1 + i) -1 - S (1 + i ) -2 = S(1 + i)-2 ( 1 + i –1) =S(1 + i) -2 i
D3 =S (1 + i) –2 -S( 1 + i) -3 = S (1 +i) -3 (1 + i - 1) =S(1 + i) -3 i
Dn = S (1 + i ) - (n-1) - S (1 + i) -n =S (1+i) -n+1- S(1 +i)-n =S(1 + i)-n (1 + i-1)
=S(1 + i) - n i)
Para un período k cualquiera, su respectivo descuento P puede calcularse con la siguiente
fórmula:
Dk = S i (1 + i) - k (3)
Ejemplo 11.- Un pagaré cuyo valor nominal es S/. 5 000 y cuya fecha de vencimiento es el
29 de noviembre fue descontado faltando 120 días para su vencimiento, aplicando una tasa
efectiva mensual del 5%. Calcule su valor presente y el descuento matemático realizado en
cada período de 30 días.
Solución
- El 29 de noviembre vence el documento, su valor futuro de S/. 5 000 es el valor
nominal o monto del pagaré.
- Al 30 de octubre faltan 30 días (1 período) para el vencimiento. El valor presente en
esa fecha es 4 761,90 y su descuento es 238,10.
- Al 30 de setiembre faltan 60 días (2 períodos) para el vencimiento. El valor presente
en esa fecha es 4 535,15 y su descuento es 226,76. El descuento acumulado es 464,86
(238,10 + 226,76).
- Los descuentos sucesivos se practican de modo similar a lo anterior.
Fecha Días Valor
presente
Descto
mensual
Descto
acumulado65
29.11
30.10
30.09
31.08
01.08
0
30
60
90
120
5 000,00
4 761,90
4 535,15
4 319,19
4 113,51
0,00
238,10
226,76
215,96
205,68
0,00
238,10
464,86
680,82
886,49
a) Cálculo del valor presente
Datos: Fórmula
P = ? P = S [1 - (1 + i) -n ]
S = 5 000 P = 5 000 [ (1 + 0,05) -4 ] = 4 113,51
n = 4
i = 0,05
Cálculo de los descuentos períodicos
Fórmula D = S i (1 + ¡) - k
k = 1 D1 = 5 000 x 0,05 (1 + 0,05) -1 = 238,10
k = 2 D2 = 5 000 x 0,05 (1 + 0,05) -2 = 226,76
k = 3 D3 = 5 000 x 0,05 (1 + 0,05) -3 = 215,96
k = 4 D4 = 5 000 x 0,05 (1 + 0,05) -4 = 205,68
2. Descuento bancario
El descuento bancario constituye el interés calculado sobre el valor nominal o valor
futuro (S) de un título-valor, importe a deducir del monto del documento para
encontrar su valor líquido, el cual va a representar el verdadero importe financiado.
La tasa de interés aplicada es conocida , como tasa adelantada o tasa de descuento
"d", la cual se diferencia de la tasa vencida “i” en que ésta se aplica sobre P, y
aquélla sobre S, lo que origina un importe líquido menor al valor presente del
documento.
2.1 Descuento bancario simple
El descuento bancario simple es el producto del valor nominal del documento, la tasa de
descuento y el número de períodos que faltan para el vencimiento de la operación.
Por definición:
D = S d n (4)
De la fórmula (4) Otenemos:
D
S =
(5)
dn
D
d =
(6)
Sn
D
n =
(7)
Sd
66
Ejemplo 12. Calcule el descuento bancario simple al 3 de marzo, sobre un documento con
valor nominal de S/. 15 000 y fecha de vencimiento el 15 de abril. La tasa de descuento
mensual es del 3.5%.
SoluciónDatos Fórmula
D = ? D = Sdn
S = 15 000 D = 15 000 x 0,035 x 43 / 30
d = 0,035 D = 752.50
n = 43 / 30
Ejemplo 13. Determine el valor nominal de un pagaré cuyo importe del descuento bancario
ha sido S/. 1 500. La operación se ha efectuado con una tasa mensual de descuento simple
del 7.5% en un período de 75 días.
SoluciónDatos Fórmula
S= ? S = D / dn
D = 1 500 S = 1 500 / (0,075 x 75 / 30)
d = 0,075 S = 8 000
n = 75 / 30
Ejemplo 14. Calcule la tasa de descuento bancario simple aplicada a un pagaré de valor
nominal S/. 8 000 y cuyo descuento ha sido S/.1 500. en. un período de 75 días.
SoluciónDatos Fórmula
d = ? d = D/Sn
S = 6 666,67 d = 1 500 / (8 000 x 75 / 30)
D= 500 d = 0.075 = 7.5%
n = 45 / 30
Ejemplo 15. ¿A cuántos días se ha efectuado el descuento bancario de un pagaré con valor
nominal de S/. 4 000, utilizando una tasa de descuento simple mensual del 4%, si se recibió
un importe líquido de SI. 3 500?
SoluciónDatos Fórmula
n = ? días n = D / Sd
S = 4 000 n = 500 / (4 000 x 0,04 / 30)
d = 0,04 / 30 n = 93,75
67
D = 500 n = 94 días aproximadamente
2.1.1 Cálculo del valor líquido
P = S - D como: D = S d n
P = S - S d n
P = S (1 - dn) (8)
El valor líquido de un documento descontado bancariarnente es el importe que recibe el
descontante por el documento. En una operación de descuento bancario, el valor líquido es
menor a su respectivo valor presente, porque ha sido obtenido aplicando una tasa de
descuento sobre el monto o valor nominal del documento, el cual necesariamente es mayor
al importe realmente recibido por el descontante.
Ejempo 16 ¿Cuál será el valor líquido a obtener por el descuento bancario de una letra con
valor nominal de S/. 12 000?. La letra se descontó 38 días antes de su vencimiento con una
tasa de descuento simple mensual del 4%.
SoluciónDatos Fórmula
P = ? P = S(1 - dn )
S = 12 000 P = 12 000(1 - 0,04 x 38 / 30)
d = 0,04 P = 12 000 x 0,949333334
n = 38 / 30 P = 11 392
2.1.2 Cálculo del valor nominal
Despejando S de (8)
1
S = P (9)
1 – dn
Ejemplo 17.¿Por qué monto deberá girarse una letra originada por la venta de un artículo al
crédito cuyo precio de contado es S/. 1 700? La financiación es a 90 días y sin cuota inicial.
La letra se someterá al descuento bancario simple a una tasa de descuento mensual del
5%.
SoluciónDatos Fórmula
S = ? S = P[ ( 1 / (1 - dn))
P = 1 700 S = 1 700[1 / (1 - 0,05 x 3)]
n = 3 S = 2 000
d = 0,05
2.2 Descuento bancario compuesto
68
El descuento. bancario compuesto consiste en una serie de cálculos de descuentos simples
donde, en primer término, se aplica el descuento por un período sobre el valor nominal de la
deuda a su vencimiento, encontrando su valor líquido al final del primer período (evaluando
de derecha a izquierda), o al comienzo del segundo período. A este valor obtenido se aplica
el descuento por segunda vez encontrando su valor líquido pagadero dentro de dos
períodos y así sucesivamente para todos los períodos del horizonte temporal, comprendido
entre la fecha que se hace efectivo el abono del importe líquido del documento y la fecha del
vencimiento de la deuda.
2.2 .1 Cálculo del valor líquido
P1 = S - Sd = S (1 - d)
P2 = P1 - P1 d = P1 (1- d) = S (1 - d) (1 - d) = S (1 - d)2
P3 = P2 - P2 d = P2 (1 - d) = S (1 - d)2 (1 - d) = S (1 - d)3
Pn = Pn -1 - Pn -1 d = Pn-1 (1 - d) = S (1 - d)n-1(1 - d) = S (1 - d)n
P = S (1 – d)n (10)
Ejemplo 18. El 7 de marzo la empresa Entursa, correntista del Banco Americano, aceptó un
pagaré de S/. 9 000 con vencimiento a 90 días. ¿Cuál fue el valor líquido que Entursa recibió
en esa fecha si la tasa nominal anual de descuento fue 48%, con período de descuento
bancario cada 30 días?
Solución
Datos Fórmula
P = ? P = S( 1- d ) n
S = 9 000 P = 9 000(1- 0,04 ) 3
n = 3 P = 7 962,62
d = 0,48 / 12
Ejemplo 19. En el ejemplo anterior, considere que la compañía Entursa está preparando un
informe mensual de las cargas financieras originadas en sus diversos préstamos vigentes,
por lo que requiere conocer el importe de los descuentos mensuales generados en torno a
su pagaré descontado el 7 de marzo. Calcule dichos importes.
SoluciónFecha Días Valor
líquido
Descto
mensual
Descto
acunulado
05.06
06.05
06.04
07.03
0
30
60
90
9 000,00
8 640,00
8 294,40
7 962,62
---------
360,00
345,60
331,78
0,00
360,00
705,60
1 037,38
69
Ejemplo 20. Un pagaré con valor nominal de S/. 25 000 se descuenta bancariamente 6
meses antes de su vencimiento aplicando una tasa adelantada del 18% anual con
capitalización mensual. ¿Qué importe debe pagarse para cancelarlo 2 meses antes de su
vencimiento?
SoluciónDatos Fórmula
S = 25 000 P = S ( 1 – d )n
n = 2 P = 25 000( 1 – 0,015 ) 2
d = 0,18 / 12 P = 24 255.625
P = ?
2.2.2 Cálculo del valor nominal
Despejando S de (10)
S = P (1 - d) - n (11)
Ejemplo 21. La empresa Texaco requiere disponer un valor líquido de S/. 50 000. Para tal
efecto utiliza su línea de descuento de pagarés, ¿cuál debe ser el valor nominal del
documento con vencimiento a 60 días y a una tasa nominal anual del 48% con período de
descuento bancario mensual?
Solución
Datos Fórmula
S = ? S = P(1 - d ) - n
P = 50 000 S =50 000( 1 - 0,04 ) -2
n = 2 S = 5 4 253.47
d = 0,48 / 12
2.2.3 Cálculo del descuento bancario compuesto
D = S - P como: P = S (1 - d ) n
D = S - S ( 1 - d ) n
D = S [1 - (1 - d ) n ] (12)
Ejemplo 22. Halle el descuento bancario compuesto de una letra cuyo valor nominal es S/.
70 000 y vence dentro de 45 días. La tasa nominal anual es 36% con período de descuento
mensual.
SoluciónDatos Fórmula
D = ? D = S[1 - (1 - d )n
S = 70 000 S = 70 000 (1 - (1 - 0,03 ) 1,5
n = 1,5 S = 3 126.2553
d = 0,36 / 12
70
2.2.4 Descuento bancario compuesto D, devengado en cada período de descuento
En forma similar al descuento racional Dk, es posible calcular el descuento bancario
compuesto Dk, devengado en cada período de descuento. Para un período k cualquiera, su
respectivo descuento Dk puede calcularse con la siguiente fórmula:
Cuadro Descuento Valor líquido
k = 1
k = 2
k = 3
k = n
D1 = Sd
D2 = S (1 - d) d
D3 = S (1 - d)2 d
Dn = S (1 – d)n -1 d
P1 = S - Sd =S (1 - d)
P2 = S(1- d ) - S(1 - d) d = S (1 - d )2
P3 = S(1- d )2 - S(1- d)2 d = S (1 - d )3
Pn = S(1- d ) n
Dk = Sd (1 - d) k- 1 (13)
Ejemplo 23.- Un pagaré cuyo valor nominal es S/. 5 000 y cuya fecha de vencimiento es el
29 de noviembre fue descontado bancariamente faltando 120 días para su vencimiento,
aplicando una tasa anual adelantada del 60% con capitalización mensual. Calcule su valor
presente y el descuento realizado en cada período de 30 días.
SoluciónFecha Días Valor
líquido
Descto
mensual
Descto
acumulado
29.11
30.10
30.09
31.08
01.08
0
30
60
90
120
5 000,00
4 750,00
4 512,50
4 286,88
4 072,53
0,00
250,00
237.50
225,63
214,34
0,00
250,00
487,50
713,13
927,47
a) Cálculo del valor presente
Datos: Fórmula
P = ? P = S (1 - d)n
S = 5 000 P =5 000 (1 - 0,05 )4
d = 0,05 P= 4 072,53
n = 4 meses
b) Cálculo de los descuentos periódicos
Fórmula D = Sd (1 - d)k-1
k = 1 D1 = 5 000 x 0,05 (1 - 0,05)1-1 = 250,00
k = 2 D2 = 5 000 x 0,05 (1- 0,05)2-1 = 237,50
k = 3 D3 = 5 000 x 0,05 (1- 0,05)3-1 = 225,63
k = 4 D4 = 5 000 x 0,05 (1- 0,05)4-1 = 214,34
3. Consideraciones'entre la tasa 'T' y la tasa "d"
71
La tasa de interés “i” y la tasa de descuento “d” sirven para calcular el rendimiento de una
unidad monetaria por una unidad de tiempo desde diferentes momentos dentro de un
horizonte temporal, ya que mientras la tasa “i” se aplica a un valor presente “P“, la tasa "d"
se aplica a un valor futuro "S", esto origina que el valor líquido del descuento bancario sea
menor al valor presente del descuento racional. Cuando las tasas son bajas, la diferencia
entre “i” y "d" no es importante, pero cuando las tasas son altas las diferencias son
considerables.
Ejemplo 24.- Compare los descuentos compuestos: racional y balicario de un
documento con valor nominal de S/. 10 000 y vencimiento a 90 días utilizando: a)
una tasa anual del 5% con capitalización mensual; b) una tasa anual con
capitalización mensual.
Solución
a) Utilizando un a tasa del 5% anual
Datos: Fórmula
D = ? Descuento racional D = S [ 1 - (1 + i)- n ]
S = 10 000 D = 10 000 [1 - (1 + 0,05/12)-3 ]
n = 3 meses D = 123,97
i = 0,05 / 12 Descuento bancario D = S [ 1 - (1 - d )n ]
i = 0,6 / 12 D = 10 000 [1 - (1 - 0,05/12)3
D = 124,47
b) Utilizando una tasa del 60% anual
Descuento racional D = S [ 1 - (1 + i)- n ]
D = 10 000[1 - (1 + 0,60/12) -3 ] = 1 361,62
D= 1 361,62
Descuento bancario D = S [ 1 - (1 - d)n ]
D = 10 000[1 - (1 - 0,60/12)3
D = 1 426,25
Puede observarse en un horizonte temporal de 3 meses la pequeña diferencia .. entre el
descuento racional y bancario a una tasa anual del 5 % (S/. 0,50 sobre un monto de S/. 10
000); mientras en el mismo período, ante una tasa anual elevada del 60%, la diferencia es
considerable (S/. 64,63), originando un menor abono al cliente en el caso del descuento
bancario.
4. Descuento comercial
72
El descuento comercial es la rebaja concedida sobre el precio de lista de un artículo. Se
llama descuento unitario cuando se practica sólo una vez y descuento sucesivo cuando
existe más de un descuento sobre el mismo artículo.
SimbologíaDc = Descuento comercial d = Tasa de descuento expresada en tanto por uno
PV = Precio de venta PR = Precio rebajado
4.1 Descuento comercial unitario
Es el resultado de aplicar por una sola vez una determinada tasa sobre el precio de venta
de un determinado artículo. Por ejemplo, el descuento de un artículo cuyo precio de venta es
S/. 1 000 al que se le aplica una tasa del 10%, será de S/.100 y el precio rebajadoserá
deS/. 900.
Designando los importes por las siglas anotadas anteriormente, tenemos el siguiente
cuadro:
(1)
PV
(2)
d
(3) = (1) x (2)
Dc
(4) = (1) - (3)
PR
1 000 0,1 100 900
PV D PV(d) PV - PV(d) = PV(1 - d)
De donde se infiere la siguiente fórmula de descuento comercial:
Dc = PV(d) (14)
Y el precio rebajado:
PR = PV(1 - d) (15)
4.2 Descuento comercial sucesivo
Cuando se aplican diferentes tasas de descuento, el primero sobre el precio original de
venta y los siguientes sobre los precios ya rebajados, entonces se tienen descuentos
sucesivos. El desarrollo de los descuentos sucesivos puede explicarse con el siguiente
ejemplo. Suponga que un artículo fiene un precio de venta de S/. 1 000 a los que se aplican
sucesivamente descuentos del 10% y 5%, entonces los cálculos serán:
(1)
PV
(2)
d1
(3)
(1) x (2)
Dc1
(4)
(1) - (3)
PR1
(5)
d2
(6)
(4) x (5)
Dc2
(7)
(4) - (6)
PR2
1 000 0,1 100 900 0,05 45 855
PV D1 PV (d1) PV - PV(d 1) =
PV(1-d 1)
d2 PV (1 – d 1) d 2 PR1 - Dc 1 =
PV (1-d 1) (1- d2)
El descuento comercial sucesivo total es igual a la diferencia del precio de venta original y el
último precio rebajado:
Dc = PV – PRn
73
Dc = PV - PV(1 - d 1) (1 - d2) ... (1 - dn ) ]
Factorizando tenemos:
Dc = PV [ 1 - (1 - d 1 ) (1 - d 2) ... (1 - dn)] (16)
El término entre corchetes representa La tasa de descuento acumulada.
último precio rebajado
El último precio rebajado después de haber otorgado un conjunto de descuentos sucesivos
se obtiene con la siguiente fórmula:
PR = PV [ (1 - d 1)(1 - d 2) ... (1 - d n ) ] (17)
Ejemplo 25.- Por campaña de quincena, una tienda de autoservicios ofrece el descuento del
20% + 15% en todos los artículos para automóviles. Si un cliente compra una batería cuyo
precio de lista es S/. 120, calcule:
El descuento total
La tasa de descuento acumulada
El precio rebajado a pagar
Efectúe la fiquidación de la facturación. Solución a) Descuento total
Solución
Datos:
PV = 120
d1 = 0,2
d2 = 0,15
a) Descuento total
Fórmula: Dc = PV [ 1 - (1 - d 1 ) (1 - d 2) ... (1 - dn)]
Dc = 120 [1-(1- 0,2)(1- 0,15) ] = 38,40.
b) Tasa de descuento acumulada
d = [1 - (1 - 0,2) (1 - 0,15)] = 0,32 = 32%
c) Precio rebajado
PR = 120[ (1 - 0,2) (1 - 0,15) ] = 81,60
d) Facturación
Precio de venta
Descuento 20%
Subtotal
Descuento 15%
120,00
-24,00
96,0074
-14,40
Total
81,60
Ejemplo 26.- Un equipo electrodoméstico comercializado por SIGA S.A. tiene un precio de
S/. 2 500. En la fecha que el cliente X acude para su compra encuentra que el equipo se ha
incrementado en 25%, pero sobre este precio se otorga una rebaja en 10%. Calcular:
¿El conjunto de precios aumentó o disminuyó y en qué porcentaje total?
¿Cuál será el importe de la facturación?
Efectúe la liquidación con los. incrementos y rebajas.
Solución
a) Tasa de descuento o (aumento) acumulada
d = [1 - (1 + 0,25) (1 - 0,1)] = 0,125 = 12,5% de aurnento
El precio tiene un aumento neto del 12,5%
b) Importe de la facturación
(2 500)1,125 = 2 812,50
c) Facturación
Precio original
Aumento 25%
Subtotal
Descuento 10%
2 500,00
625,00
3 125,00
-312,50
Total
2 812,50
75
Problemas desarrollados de Descuento
1. Calcule el descuento racional de un pagaré al día 26 de abril cuya fecha de
vencimiento es el 30 de mayo, su valor nominal es S/. 10 000 y la tasa de interés simple
anual es del 30%.
Solución
Datos Fórmula
D = ? D = S i n / 1 + i n
S= 10 000 10 000 ( 0,30 x 34 /360
D =
i = 0,30 1 + ( 0,30 x 34 / 360 )
n = 34 / 360 D = 275,5267423
D = S/. 275,53.
3. Dos letras de S/. 5 000 y 8 000 cada una con vencimientos a 30 y 45 días son
descontadas al 12% y 15% anual respectivamente. Calcule el importe total del descuento
simple racional.
Solución
Datos Fórmula
D = ? D = (S i n / 1 + i n )+ (S i n / 1 + i n)
S1 = 5 000 8 000 ( 0,12 x 30 /360 8 000 ( 0,15 x 45 / 360
S2 = 8 000 D= +
n1 = 30 / 360 1 + ( 0,12 x 30 / 360 ) 1 + ( 0,15 x 45 / 360 )
n2 = 45 / 360 D = 49,50495053 + 147,2392638 = 196,7442143
i1 = 0,12 ; i2= 0,15 D = S/. 196,74
4. Un pagaré con valor nominal de S/. 6 000 vence el 14 de abril. Se descuenta el 1 de
marzo. ¿Qué importe se recibirá en esta fecha aplicando un descuento racional simple a una
tasa nominal anual del 24%?
Datos Fórmula
P = ? P = S / 1 + i n76
S= 6 000 6 000
i = 0,24 P =
n = 44 / 360 1 + ( 0,24 x 44 / 360 )
P = 5 829,015545 = S/. 5 829,02
5. Calcule el descuento racional efectuado a un pagaré faltando 60 días para su
vencimiento aplicando tasa nominal anual del 36% con capitalización mensual. Su
valor nominal es de S/. 5 000.
Solución
Datos Fórmula
D = ? D = S [ 1 - ( 1 + i ) - n
S= 5 000 D = 5 000 [ 1 - ( 1 + 0,36 / 12 ) - 2
i = 0,36 / 12 D = 5 000 [ 0,05740409 ]
n = 60 días (2 meses) D = 287,02045 = 287,02
6. Un pagaré cuyo valor nominal es S/. 7 000 y cuya fecha de vencimiento es el 11 de
julio fue descontado racionalmente faltando 180 días para su vencimiento, aplicando una
tasa nominal anual del 36% con capitalización cada 30 días. Calcule el descuento realizado
en el tercer y quinto período.
Datos Fórmula
D = ? D k = S i (1 + i ) - k
S= 7 000 D3 = 7 000 x 0,36 /12 ( 1 + 0,36 / 12 )- 3/1
i = 0,36/12 D3 = 210 (0,91514166)
n = 180 días (6 meses) D3 = 192,1797486
n 3= 90 días(3 meses) D3 = 192,18
n 5= 150 días(5 meses) D5 = 7 000 x 0,36 /12 (1 + 0,36 / 12 )- 5/1
D3 = 210 (0,86260878)
D3 = 181,1478438
D3 = 181,15
7. ¿Cuántos meses falta para el vencimiento de una letra de S/. 4 000 si se recibió S/. 3
910, después de haberla descontado a una tasa anual de descuento simple del 18%?
Solución
Datos Fórmula
n = ? n = D / Sd
S= 4 000 90
n =
D = 4000 - 3910= 90 4 000 (0,18 /12)
77
d = 0,18 / 12 n = 1,5 meses
8. ¿Qué importe líquido tendrá un pagaré con valor nominal de S/. 5 000 sometido
a descuento bancario simple aplicando una tasa del 2% mensual, 3 meses antes
de su vencimiento.
Solución
Datos Fórmula
P = ? P = S (1 - dn)
S= 5 000 P = 5 000 [ 1 - (0,02 x 90 /30) ]
d = 0,02 mensual P = 5 000 [ 1 - (0,06) ]
n = 3 meses antes de P = 4 700
su vencimiento
9. ¿Cuál ha sido el valor nominal de una letra, la cual descontada 37 días antes de su
vencimiento a una tasa de descuento bancario simple mensual del 2% ha permitido obtener
un valor líquido de S/. 6 700.?
Solución
Datos Fórmula
S = ? S = P[ 1 / 1 - dn]
P= 6 700 S = 6 700 [ 1 / 1 – (0,02 x 37 /30) ]
d = 0,02 S = 6 700 [ 1/ (0,975333334) ]
n = 37 / 30 S = 6 869,45
10. Un pagaré con valor nominal de S/. 5 000 y que vence dentro de 4 meses ha sido
descontado bancariamente aplicando una tasa de descuento anual del 36% con
capitalización mensual para el primer mes y del 48% anual con capitalización mensual para
los últimos 3 meses. ¿Cuál será su valor líquido?
Solución
Datos Fórmula
P = ? P = S (1 - d)n
S= 5 000 P = 5 000 [ 1 - (0,36 /12) 1/1] x [1 - (0,48 /12)3/1 ]
d = 0,36 /12 P = 5 000 [ (0,98) x (0,884736) ]
n = 4 meses P = 5 000 [ 0,85819392]
d1 = 0,36 /12 P = 4 290,9696
d2 = 0,48 /12 P = 4 290,97
11. Determine el tiempo que falta para el vencimiento de una letra de S/. 5 000, la que
descontada bancariamente a una tasa de descuento del 12% anual liquidando los
descuentos mensualmente, ha producido un valor líquido de S/. 4 938,40
Solución
78
Datos Fórmula
S = 5 000 Log[S / P]
P = 4 938,400 S = P ( 1 - d ) -n n = -
d = 0,12 /12 Log (1 - d)
n = ?
Log[5 000 / 4 938,40]
n = -
Log (1 - 0,12 / 12)
0,0053837401
n = -
- ( 0,004364805)
n = 1,233443418 meses x 30 = 37 días
Fórmulas del interés simple
I = Pin (1) Interés simple
I
P = (2) Capital inicial
i n
I
i = (3) Tasa de interés
P n
I
n = (4) Tiempo
P i m
I = P ∑ i k n k (5) Interés simple con
K = 1 variaciones de tasas
79
m
I = i ∑ P k n k (6) Numerales K = 1
S = P + I (7) Monto
S = P (1 + in) (8) Monto
S / P - 1
i = (9) Tasa de interés
n
S / P - 1
n = (10) Tiempo
i
S = P[ 1 + ( i1 n1+ i 2 n2 + i3 n3 + ... + im nm )] (11) Monto con variaciones de tasas
1
P = S (12) Capital inicial
1 + in
Fórmulas de interés compuestoS = P (1 + i ) n (13) Monto
S = P. FSC i ; n (14) Monto
S = P ( 1 + i )H / f (15) Monto no entero
j n
S= P 1 + (16) Monto
m
P = S (1 + i ) - n (17) Capital
P= S. FSA i ;n (18) Capital
S 1 / n
i = - 1 (19) Tasa
P
Log. (S / P)
n = (20) Tiempo
Log. (1 + i )
80
I = P [(1 + i) n - 1] (21) Interés
I
P = (22) Capital
(1 + i ) n - 1
I 1 / n
i = + 1 - 1 (23) Tasa
P
Log. (I / P) + 1
n = (24) Tiempo
Log.(1 + i )
Ik = P i (1 + ¡ ) n -1 (25) Interés devengado en el período k
Fórmulas Descuento
Descuento racional simple 1
D = S 1 - (1) Descuento
1 + in
Sin
D = (1) Descuento
1 + in
Descuento racional compuesto .
D = S [1- ( 1 + i ) - n ] (2) Descuento
Dk = Si ( 1 + i ) - k (3) Descuento devengado en el período k
Descuento bancario simpleD = Sdn (4) Descuento
D
S = (5) Valor nominal del documento
dn
d = D / S n (6) Tasa de descuento
n = D / Sd (7) Tiempo
81
P = S (1 - dn ) (8) Valor líquido del documento
1
S = P (9) Valor nominal del documento
1- dn
Descuento bancario compuestoP = S(1 – d )n (10) Valor líquido del documento
S = P (1 - d) -n (11) Valor nominal del documento
D = S [1 - ( 1 - d ) n] (12) Descuento
Dk = Sd(1 - d ) k - 1 (13) Descuento devengado en el período k
Descuento comercialDc = PV(d) (14) Unitario
PR = PV(1- d) (15) Precio rebajado
Dc = PV [ 1 - (1 - d1 ) (1 - d2) ... (1 - dn)] (16) Sucesivo
PR = PV [ (1 - d 1)(1 - d 2) ... (1 - d n) ] (17) Precio rebajado con descuentos
PRACTICA No- 01
Desarrollar los siguientes problemas
Apellidos y Nombres Semestre Turno
------------------------------------------------------ ------------- -----------
1. Interés simple
1. ¿Cuánto habrá ganado un capital de S/. 20 000 en 1 año, 3 meses y 10 días
al 18% anual de interés simple? Rp. I = S/. 4 600
2. ¿Cuál será el capital que habrá producido un interés simple de S/.1 800 en 6
semestres al 24% anual? Rp. P = S/. 2 500
3. Un capital de S/. 4 000 ha producido un interés de S/. 120 durante 72 días, calcule la
tasa anual de interés simple. Rp. i = 15% anual.
4. Un capital de S/. 68 000 ha producido 3 000 de interés simple al 15% anual.
Determinar el tiempo. Rp. n = 106 días.
5. Una deuda de S/. 2 000 contraída el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio y
pactada originalmente a una tasa anual de interés simple del 24%, sufre las siguientes
variaciones a partir de las siguientes fechas:
día 12 de junio 2,5% mensual, día 24 de junio 9% trimestral, día 3 de julio 21% semestral.
Qué interés se pagará al vencimiento? Rp. I = S/. 55.00
6. El 2 de junio se abre una cuenta de ahorros con S/. 2 000 y se efectúan depósitos de
S/. 500 y S/. 300 los días 8 y 16 y un retiro de S/. 200 el día 26 de junio. La tasa anual
82
pactada fue 28% la cual bajó al 26% a partir del 16 de junio. ¿Cuál fue el interés simple
acumulado y cual es el saldo disponible al 1 de julio?
Rp. I = S/. 54,50; S = S/. 2 654,50.
7. El 25 de junio el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 5 000. Calcule su monto
al 30 de octubre aplicando una tasa mensual de interés simple del 3%, considerando que la
entidad financiera abona los intereses en la cuenta cada fin de mes. Rp. S = S/. 5 666,669.
8. Calcule el monto simple de un depósito de ahorro de S/.5 000 colocado el 09 de
agosto y cancelado el 1 de setiembre. Las tasas anuales han sido: 30% a partir del 01 de
agosto; 28% a partir del 16 de agosto y 26% a partir del 1 de setiembre. Rp. S = S/. 5 091,39
9. Un artículo cuyo precio al contado es de $ 600 es vendido con "tarjeta de crédito''
para pagar $ 680 dentro de 60 días ¿Qué tasa mensual de interés simple se cargó al
crédito?Rp.i= 0,066666666 x 100 = 6,666666666% mensual.
10. La empresa Rivama recibió S/. 13 000 el 27 de junio por el descuento de un pagaré con
valor nominal de S/. 13 800, cuya tasa anual de interés simple fue del 18%. ¿Cuál fue la
fecha de vencimiento? Rp. A los 123 días: el 28 de octubre.
11. Un departamento ubicado en la Av. El Minero ( Cerro de Pasco ) es vendido con las
siguientes alternativas:
a) $ 17 500 al contado.
b) $ 10 000 al contado y el saldo a 60 días con una letra de $ 7 700.
c) $ 8 000 al contado y el saldo con dos letras, una de $ 6 000 a 30 días y otra de $ 3
680 a 60 días.
d) $ 6 000 al contado y el saldo con tres letras de $ 4 000 con vencimientos a 30, 60, y 90
días respectivamente.
Si el cliente dispone del efectivo para efectuar la compra al contado y por su capital puede
percibir una tasa anual de interés simple del 24% ¿cuál es la oferta más conveniente?
Explique. Rp. C ; $ 17 420,81
12. Cierto capital y sus intereses hacen un total de S/. 2 000. Si la tasa aplicada ha sido del
4% cuatrimestral, habiendo estado colocado el capital inicial durante 6 meses, ¿cuál ha ido
el interés simple y el capital que lo ha producido? Rp: P = S/. 1 886,79; I = S/. 113,21
2. Interés compuesto1. Calcular el importe capitalizado de un depósito a plazo de S/. 20 000 colocado
durante 6 meses a una tasa nominal anual del 36% capitalizable diariamente. Rp. S = 23
942,19.
2. ¿Qué monto debe dejarse en letras con vencimiento dentro de 38 días si
después de descontarlas se requiere disponer de un importe neto de S/. 20 000,
83
sabiendo que el banco cobra una tasa efectiva mensual de 3,5%.
Rp. S = S/. 20 890,77.
3. El 6 de junio la empresa Agroexport S.A. compró en el Banco Latino un Certificado
de Depósito a Plazo (CDP) x 90 días por un importe de S/. 20 000, ganando una tasa
nominal anual del 24% con capitalización diaria, si el 1 de julio la tasa bajó al 18% anual,
¿cuál fue el monto que recibió Agroexport al vencimiento del plazo del CDP? Rp. S = S/. 21
007,62
4. ¿Cuánto debo invertir hoy para acumular S/. 20 000 dentro 120 días en una
institución de crédito que paga una tasa nominal anual del 24% con
capitalización diaria? Rp. P = S/. 18 462,82
5. La empresa Industrial KLJ en la adquisición de un grupo electrógeno está evaluando
las siguientes propuestas:
a) $ 8 000 al contado.
b) Al crédito con una inicial de $ 2 000 y 6 cuotas de $ 1 200 c/u, con vencimiento cada
30 días.
Considerando que KLJ tiene una tasa de rentabilidad en dólares del 6% mensual, ¿que
opción le conviene. ¿por qué? Rp. Al crédito porque le representaría una inversión a valor
presente de $ 7 900,79
6. El 24 de setiembre se efectuó un depósito en un banco percibiendo unatasa efectiva
mensual del 4% la cual varió el 16 de octubre al 4,2% y al 4,5% el 11 de noviembre. El dia-
de hoy, 25 de noviembre, el saldo de la cuenta es de S/. 6 500. ¿Qué importe se depositó
originalmente? ¿Cuál fue la tasa acumulada? Rp. P =,S/. 5 970,57; i = 8,672993997%.
7. Después de colocar un capital de S/.1 000 a una tasa de interés ¿fectiva del 4%
mensual se ha obtenido un monto de S/.1 500. ¿A qué tiempo se colocó el
capital? Rp. n = 10,34 meses; 310 días.
8. Calcule el interés que ha producido un capital de S/. 7 000, a una tasa efectiva
mensual del 1% por el período comprendido entre el 3 de abril y 6 de junio del mismo año.
Rp. I = S/. 150,18.
9. Si deseo ganar un interés de S/.1 000 al término de 2 meses, ¿qué capital debo
colocar en un banco que paga una tasa efectiva mensual del 1,5%?
Rp. P = S/. 33 085,19.
10. ¿Qué tasa efectiva mensual debe aplicarse a un capital de S/. 5 000 Para que
produzca una ganancia de S/. 800 durante 4 meses? Rp. i = 3,78%.
84
11. Un depósito de S/. 20 000 estuvo colocado durante 90 días ganando una tasa
nominal anual del 36% con capitalización diaria. ¿Qué interés se ganó el día 46
y el día 87? Rp. día 46 = S/. 20,92; día 87 = S/. 21,80.
12. Prepare una alternativa de venta al crédito para una máquina cuyo precio al contado es
$ 10 000, bajo las siguientes condiciones: cuota inicial equivalente al 25% del precio de
contado y seis cuotas uniformes con vencimiento cada 30 días. La tasa efectiva mensual es
del 5% sobre el saldo deudor. Rp. Cuota inicial de $ 2 500 y seis cuotas mensuales de $ 1
477,63 c/u.
3. Descuento
1. Calcule el importe del descuento racional compuesto de un pagaré de S/. 8 000 el
cual vence dentro de 4 meses, sí es descontado mensualmente a la tasa nominal anual del
18%. Rp . D = S/. 462,53.
2. Calcule el valor líquido de un pagaré de S/. 9 000 sometido a descuento bancario
simple faltando 65 días para su vencimiento, a una tasa anual del 12%. Rp. P = S/. 8 805.
3. ¿Por qué importe deberá girarse una letra que vencerá el 27 de febrero, para obtener
un importe líquido de S/. 5 000 el 19 de enero, descontándola bancariamente a una tasa de
descuento simple anual del 18%?. Rp. S = S/. 5 099,44.
4. Calcule el valor líquido a obtener por una letra de S/. 5 000, descontada
mensualmente a una tasa de descuento bancario compuesto del 1,5% faltando
52 días para su vencimiento. Rp. P = S/. 4 870,72.
5. En el financiamiento de un auto cuyo precio de contado es de $ 10 000 la institución
financiera exige al cliente una cuota inicial de $ 4 000 y el saldo sobre el precio de contado,
es financiado con un pago adelantado de $ 1 000 y una letra a 90 días por $ 5 312,41 en la
cual le han cargado una tasa de descuento bancario compuesto mensual del 2%. Si el
cliente solicita que el importe de los $ 1 000 se incluyan en la letra a 90 días, ¿cuál será el
nuevo valor nominal de la letra? Rp. S = $ 6 374,90.
6. Un pagaré cuyo valor nominal es S/. 3 000 y cuya fecha de vencimiento es el
3 de noviembre fue descontado faltando 180 días para su vencimiento,
aplicando una tasa nominal adelantada del 36% con capitalización mensual.
Calcule el descuento bancario realizado en el tercer y quinto mes. Rp. D3 = S/.
84,68; D5 = S/. 79,68.
7. Calcule el descuento a efectuar sobre el precio de venta de un artículo cuyo precio
es S/. 1 000 y la rebaja concedida es del 5%. Rp. Dc = S/. 50.
8. La empresa El Buen Vestir S.A. vende sus artículos adicionando un margen de
utilidad del 20% sobre el costo de la mercadería. Por cambio de temporada
85
piensa rematar el stock de chompas cuyo costo unitario es de S/. 50 rebajando
su margen del 20% al 5% sobre el costo. ¿Que. descuento puede anunciar
como oferta sobre el precio anterior ? Rp. La oferta es rebajada de S/. 60,00 a
S/.52,50.
9. ¿Cuál será la tasa de descuento comercial total si una tienda concede sobre su
mercadería una rebaja del 10% + 8% + 5%. Rp. 21,34%.
10. Un Supermercados por aniversario está concediendo descuentos sobre los precios
de venta de sus productos de 20% + 15% + 5%. Si la familia Rodriguez efectúa una compra
de S/. 320 a) ¿Cuál será el descuento total? b) ¿Cuál es la tasa de descuento total? Rp. a)
S/. 113,28; b) 35,4%
11. ¿Cuál debe ser el precio de venta de una mercadería que fue adquirida a un
precio de S/. 20 al que se le aplicó un descuento comercial del 15% + 10% con
el objeto de obtener una utilidad del 30% sobre el costo? Rp. S/.19,89.
ANEXO 1
Desarrollo de los problemas propuestos
1. interés simple
1. ¿Cuánto habrá ganado un capital de S/. 20 000 en 1 año, 3 meses y 10 días
al 18% anual de interés simple? Rp. I = S/. 4 600
Solución. Datos Fórmula
I = ? I = P i n
P = 20 000 I = 20 000 ( 0,18 x 460 / 360)
i = 0,18 I = 20 000 ( 0,229999999) = 4 599,999996
n = 460 días I = 4 600
2. ¿Cuál será el capital que habrá producido un interés simple de S/.1 800 en 6
semestres al 24% anual? Rp. P = S/. 2 500
SoluciónDatos: FórmulaP = ? P = I / in
i = 0,24 P = 1 800 / (0,24 x 1080 / 360)
I = 1 800 P = 2 500n= 6 semestres = 1080 días
3. Un capital de S/. 4 000 ha producido un interés de S/. 120 durante 72 días, calcule la
tasa anual de interés simple. Rp. i = 15% anual.
86
SoluciónDatos: Fórmulai = ? i = I / Pn
P = 4 000 i = 120 / ( 4 000 x 72 / 360)
I = 120 i = 12 / 800 = 0,15
n= 72 días i = 15%
4. Un capital de S/. 68 000 ha producido 3 000 de interés simple al 15% anual.
Determinar el tiempo. Rp. n = 106 días.
SoluciónDatos: Fórmulan = ? n = I / Pi
P = 68 000 n = 3 000 / ( 68 000 x 0,15 / 360)
I = 3 000 n = 3 000 / 28,33333333 = 0,15 = 105,8823529
I = 0,15 n = 106 días
5. Una deuda de S/. 2 000 contraída el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio y
pactada originalmente a una tasa anual de interés simple del 24%, sufre las siguientes
variaciones a partir de las siguientes fechas:
día 12 de junio 2,5% mensual, día 24 de junio 9% trimestral, día 3 de julio 21% semestral.
Qué interés se pagará al vencimiento? Rp. I = S/. 55.00
SoluciónDatos: FórmulaI = ? I = P [ i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 + i4 n4 ]
P = 2 000 I= 2 000[(0,0026666666)+( 0,01)+(0,009 )+(0,0058333333)]
n = 30 I= 2 000[0,027499999]
i1 = 0,24; n1 = 4 I= 54,999998
i2 = 0,025; n2 =12 I= 55
i3 = 0,09/3; n3 = 9
i4 = 021/6; n4 = 5
6. El 2 de junio se abre una cuenta de ahorros con S/. 2 000 y se efectúan depósitos de
S/. 500 y S/. 300 los días 8 y 16 y un retiro de S/. 200 el día 26 de junio. La tasa anual
pactada fue 28% la cual bajó al 26% a partir del 16 de junio. ¿Cuál fue el interés simple
acumulado y cual es el saldo disponible al 1 de julio?
Rp. I = S/. 54,50; S = S/. 2 654,50.
SoluciónDatos: FórmulaI = ? I = [ P1(i1 n1 )+ P2(i2 n2) + P3 (i3 n3) +P4 ( i4 n4) ]
87
i1 = 0,28; n1 = 6 P1 = 2 000 I = [ 2 000(0,28 x 6 / 360 ) + 2 500(0,28 x 8 / 360) +
i2 = 0,28; n2 = 8 P2 = 2 500 2 800(0,26 x10 / 360) + 2 600( 0,26x 5 / 360) ]
i3 = 0,26; n3 =10 P3 = 2 800 I = [( 9,333333328 ) + ( 15,55555555 ) +
i4 =0,26; n4 = 5 P4 = 2 600 ( 20,22222221 ) + ( 9,38888888 ) ]
I = 54,49999996 = 54,50
S = P + I = 2 600 + 54.50 = 2 654,50
Cálculo de interés simple a través de numerales
Día
D
R
I
Imp. Movimiento Saldo
acreedo
r
Día
s
Num.
Acree
d.
Tasa diaria InterésDebe Haber
02.0
6
D 2 000 00 2 000 2 000 6 12 000 0,000777777
77
9,33333333
1
08.0
6
D 500 00 500 2 500 8 20 000 0,000777777
77
15,5555555
5
16.0
6
D 300 00 300 2 800 10 28 000 0,000722222
22
20,2222222
2
26.0
6
R 200 200 00 2 600 5 13 000 0,000722222
22
9,38888888
8
01.0
7
I 54,4999999
6
Entonces I = 54,49999996
S= 2 600 + 54,49999996 = 2 654.499999
7. El 25 de junio el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 5 000. Calcule su monto
al 30 de octubre aplicando una tasa mensual de interés simple del 3%, considerando que la
entidad financiera abona los intereses en la cuenta cada fin de mes. Rp. S = S/. 5 666,669.
Solución
Datos Fórmula
S = ? S= P[(1 + i1n1 ) (1 + i2n2 ) (1 + i3n3 ) (1 + i4n4 ) (1 + i5n5)]
P = 5 000 S= 5 000 [ (1 + 0,03 x 5 / 30) (1 + 0,03 x 31 / 30)
i1 = 0,03; n1 =5 (1+0,03 x 31 / 30) (1+0,03x30 / 30) (1+0,03x30 / 30)
i2 = 0,03; n2 =31 S= 5 000[ (1,004999999) (1,030999999) (1,030999999)
i3 = 0,03; n3 =31 (1,03) (1,03)]
i4 = 0,03; n4 =30 S = 5 000 (1,133333796)
i4 = 0,03; n4 =30 S = 5 666,66898
88
8. Calcule el monto simple de un depósito de ahorro de S/.5 000 colocado el 09 de
agosto y cancelado el 1 de setiembre. Las tasas anuales han sido: 30% a partir del 01 de
agosto; 28% a partir del 16 de agosto y 26% a partir del 1 de setiembre. Rp. S = S/. 5 091,39
Solución
Datos Fórmula
S = ? S= P[1 +(i1n1 + i2n2 + i3n3)]
P = 5 000 S= 5 000 [1 + (0,3 x 7 / 360 + 0,28 x 16 / 360)
i1 = 0,3; n1 =7/360 S= 5 000[ (0,005833333) + (0,012444444)
i2 =0,28;n2 =16/360 S= 5 000[ (1,004999999) (1,030999999)
S = 5 000 (1,018277777);
S = 5 091,388885
9. Un artículo cuyo precio al contado es de $ 600 es vendido con "tarjeta de crédito''
para pagar $ 680 dentro de 60 días ¿Qué tasa mensual de interés simple se cargó al
crédito?Rp. i = 0,066666666 x 100 = 6,666666666% mensual.
SoluciónDatos Fórmulai = ? i = I / PnP = 600 i = 80 / ( 600 x 60 / 30)
n = 60 días i = 80 / 1 200
I = 80 i = 0,066666666 x 100 = 6,666666666
10. La empresa Rivama recibió S/. 13 000 el 27 de junio por el descuento de un pagaré con
valor nominal de S/. 13 800, cuya tasa anual de interés simple fue del 18%. ¿Cuál fue la
fecha de vencimiento? Rp. A los 123 días: el 28 de octubre.
SoluciónDatos Fórmulan = ? n = I / PiP = 13 000 n = 800 / ( 13 000 x 0,18 /360)
S = 13 800 n = 800 / 6,5
i = 0,18 n = 123,076923 días
11. Un departamento ubicado en la Av. El Minero ( Cerro de Pasco ) es vendido con las
siguientes alternativas:
a) $ 17 500 al contado.
b) $ 10 000 al contado y el saldo a 60 días con una letra de $ 7 700.
c) $ 8 000 al contado y el saldo con dos letras, una de $ 6 000 a 30 días y otra de $ 3
680 a 60 días.
89
d) $ 6 000 al contado y el saldo con tres letras de $ 4 000 con vencimientos a 30, 60, y 90
días respectivamente.
Si el cliente dispone del efectivo para efectuar la compra al contado y por su capital puede
percibir una tasa anual de interés simple del 24% ¿cuál es la oferta más conveniente?
Explique. Rp. C ; $ 17 420,81
Solución
Datos Fórmula
P = ? S1 S2
S1 = 6 000 P = +
S2 = 3 680 1 + i n1 1 + i n2
n1 = 1
n2 = 2 6 000 3 680
i = 0,24/12= 0,02 P = +
Inicial = 8 000 1 + 0,02 x 1 1 + 0,02 x 2
P = 9 420,81447 + 8 000= 17 420,81447; P = 17 420,81
12. Cierto capital y sus intereses hacen un total de S/. 2 000. Si la tasa aplicada ha sido del
4% cuatrimestral, habiendo estado colocado el capital inicial durante 6 meses, ¿cuál ha ido
el interés simple y el capital que lo ha producido? Rp: P = S/. 1 886,79; I = S/.
113,21
Solución
Datos Fórmula
P = ? S
S = 2 000 P =
i = 0,04/ 4 1 + i n
n = 6 meses
2 000
P = ; P = 1 886,792452
1 + 0,04 / 4 x 6
I = S - P = 2 000 - 1 886,792452 =113,207548; I = 113,21
2. Interés compuestoMonto
1. Calcular el importe capitalizado de un depósito a plazo de S/. 20 000 colocado
durante 6 meses a una tasa nominal anual del 36% capitalizable diariamente.
Rp. S = 23 942,19.
90
SoluciónDatos: Fórmula
S = ? S = P ( 1 + j / m ) n
P = 20 000 S = 20 000 (1 + 0,36/360) 180
j = 0,36 S = 23 942,1938
m = 360
n= 180
2. ¿Qué monto debe dejarse en letras con vencimiento dentro de 38 días si
después de descontarlas se requiere disponer de un importe neto de S/. 20 000,
sabiendo que el banco cobra una tasa efectiva mensual de 3,5%
Rp. S = S/. 20 890,77.
SoluciónDatos: Fórmula
S = ? S = P ( 1 + i ) n
P = 20 000 S = 20 000 (1 + 0,035) 38/30
i = 0,035 S = 20 000 (1,0445385)
n = 38/30= 1,266666666. S = 20 890,77
Monto con variación de tasas
3. El 6 de junio la empresa Agroexport S.A. compró en el Banco Latino un Certificado
de Depósito a Plazo (CDP) x 90 días por un importe de S/. 20 000, ganando una tasa
nominal anual del 24% con capitalización diaria, si el 1 de julio la tasa bajó al 18% anual,
¿cuál fue el monto que recibió Agroexport al vencimiento del plazo del CDP? Rp. S = S/. 21
007,62
Solución
Datos: Fórmula
S = ? S = P(1 + i1 ) n1 ( 1 + i2 ) n
2
P = 20 000 S = 20 000(1 + 0,24/360 )25 ( 1 + 0,18/360 )65
i1 = 0,24/360; n1 = 25 días S = 20 000(1,0168007 ) ( 1,0330255 )
i2 = 0,18 /360; n2 = 65 días S = 20 000 (1.050381051)=21 007,62102;
S = 21 007,62
Capital inicial, valor presente
4. ¿Cuánto debo invertir hoy para acumular S/. 20 000 dentro 120 días en una
institución de crédito que paga una tasa nominal anual del 24% con
capitalización diaria? Rp. P = S/. 18 462,82
Solución
Datos: Fórmula91
P = ? P = S(1 + i ) - n
S = 20 000 P = 20 000(1+ 0,24/360 ) - 120
i = 0,24/360 P = 20 000(1,0006666666) -120
n = 120 días P = 20 000(0,92314103) = 18 462,8206; P = 18 462,82
5. La empresa Industrial KLJ en la adquisición de un grupo electrógeno está
evaluando las siguientes propuestas:
a) $ 8 000 al contado.
b) Al crédito con una inicial de $ 2 000 y 6 cuotas de $ 1 200 c/u, con vencimiento cada
30 días.
Considerando que KLJ tiene una tasa de rentabilidad en dólares del 6% mensual, ¿que
opción le conviene. ¿por qué? Rp. Al crédito porque le representaría una inversión a valor
presente de $ 7 900,79
Solución
Datos: Fórmula
P = ? P = S(1 + i )-1+ (1 + i ) -2 + (1 + i ) -3 + (1 + i )-4 + (1 + i )-5 + (1 + i )-6
S = 1 200 P =1200(1,06 )-1+ (1,06 )-2 + (1,06 )-3+ (1,06 )-4 + (1,06 )-5 +(1,06 )-6
i = 0,06 P = 1200 ( 4,91732432) = 5 900,789184
n = (6 cuotas) P= 5 900,79
Inicial= 2 000 P + Inicial = 5 900.79 + 2 000 = 7 900,79
Valor presente con variaciones de tasas
6. El 24 de setiembre se efectuó un depósito en un banco percibiendo unatasa efectiva
mensual del 4% la cual varió el 16 de octubre al 4,2% y al 4,5% el 11 de noviembre. El dia-
de hoy, 25 de noviembre, el saldo de la cuenta es de S/. 6 500. ¿Qué importe se depositó
originalmente? ¿Cuál fue la tasa acumulada? Rp. P = S/. 5 970,57; i = 8,672993997%.
Solución
Datos: Fórmula
P = ? P = S(1 + i1 )- ( H1 / f) ( 1 + i2 )- (H2 / f) ( 1 + i2 )- (H2 / f)
S = 6 500 P = 6 500 (1 + 0,04 )- (22/30) (1+ 0,042 )- (26/30)
i1 = 0,04; H1 = 22 (1 + 0,045 )-(14/30
i2 = 0,042; H1 = 26 P = 6 5000 (0,97164783) (0,96497185) (0,97966832)
i3 = 0,045; H2 = 14 P = 6 500 (0,91854956) = 5 970,572143
f = 30 P = 5 970,57
n = 62/30 =2,066666666 i = ( S / P )1/ n -1
i = (6 500 / 5 970,572143)1/ (62/30) - 1
i = (1,0419661) –1 =0,0419661 x 100 = 4,19661
i = 2,066666666 (4,19661) = 8,672993997%
92
Tiempo
7. Después de colocar un capital de S/.1 000 a una tasa de interés ¿fectiva del 4%
mensual se ha obtenido un monto de S/.1 500. ¿A qué tiempo se colocó el
capital? Rp. n = 10,34 meses; 310 días.
SoluciónDatos: Fórmula
n = ? Log. (I / P +1)
n =
I = 500 Log ( 1 + i )
P = 1 000 Log. (500 / 1 000 +1) (0,17609126)
n = = = 10,3380353
i = 0,04 mensual Log ( 1 + 0,04 ) (0,017033339)
n = 10,34; 310 días
Interés
8. Calcule el interés que ha producido un capital de S/. 7 000, a una tasa efectiva
mensual del 1% por el período comprendido entre el 3 de abril y 6 de junio del mismo año.
Rp. I = S/. 150,18.
Solución
Datos Fórmula
I = ? I = P[ ( 1+ i )n – 1 ]
P = 7 000 I = 7 000[ (1+ 0,01)64/30 - 1 ]
i = 0,01 I = 7 000[ (1,0214543) - 1 ] = 150,1801
n = 64 días / 30 = 2,133333333 I = 150,18
Capital inicial
9. Si deseo ganar un interés de S/.1 000 al término de 2 meses, ¿qué capital debo
colocar en un banco que paga una tasa efectiva mensual del 1,5%? Rp. P = S/. 33
085,19.
Solución
Datos Fórmula
P = ? P= I / ( 1 + i ) n - 1
I = 1 000 P= 1 000 / ( 1 + 0,015 )2 -1
i = 0,015 P= 1 000 / ( 0,030225 ) = 33 085,19437
n = 2 meses P= 33 085,19
Tasa de interés
93
10. ¿Qué tasa efectiva mensual debe aplicarse a un capital de S/. 5 000 Para que
produzca una ganancia de S/. 800 durante 4 meses? Rp. i = 3,78%.
SoluciónDatos: Fórmula
i = ? I 1/ n
I = 800 i = + 1 - 1
P = 5 000 P
n = 4 meses
800 1/4
i = + 1 - 1 = 0,037802 x100 = 3,7802
5 000
i = 3,78%
Interés devengado en el período k
11. Un depósito de S/. 20 000 estuvo colocado durante 90 días ganando una tasa
nominal anual del 36% con capitalización diaria. ¿Qué interés se ganó el día 46
y el día 87? Rp. día 46 = S/. 20,92; día 87 = S/. 21,80.
Solución
Datos Fórmula
Ik = ? Ik = P i ( 1 + i )n -1
P = 20 000 Ik46 = 20 000 x 0,36 /360 ( 1 + 0,36/ 360 ) 46 -1
I = 0,36 Ik46 = 20 ( 1,001 )45
n = 90 días Ik46 = 20 ( 1,0460043 ) = 20,920086
Ik día = 46 ? Ik 46 = 20,92Ikdía = 87?
Ik87 = 20 000 x 0,36 /360 ( 1 + 0,36/ 360 ) 87 -1
Ik87 = 20 ( 1,001 )86
Ik87 = 20 ( 1,0897595 ) = 21,79519
Ik 87 = 21,80
Ventas a plazos (sistema de créditos)
12. Prepare una alternativa de venta al crédito para una máquina cuyo precio al
contado es $ 10 000, bajo las siguientes condiciones: cuota inicial equivalente al
25% del precio de contado y seis cuotas uniformes con vencimiento cada 30
días. La tasa efectiva mensual es del 5% sobre el saldo deudor. Rp. Cuota inicial
de $ 2 500 y seis cuotas mensuales de $ 1 477,63 c/u.
94
Solución
Datos Fórmula
P = 0,75 P = X ( 1 + i ) -1 + ( 1+ i ) -2 + ( 1+ i ) -3 + ( 1 + i ) -4
Cuota inicial =25% 0,75 = X ( 1,05 -1 )+ ( 1.05 -2 ) + ( 1,05 -3 ) + ( 1,05 -4)
n = 6 cuotas, con ( 1,05 -5 ) + ( 1,05 -6)
venc. c/ 30 días 0,75 = X (0,95238095) + (0,90702948) + (0,8638376) +
i = 0,05 men. sobre (0,82270248) +( 0,78352617) + ( 0,7462154)
Saldo deudor 0,75 = 5,07569208X; X = 0,1477631
Programa de crédito
- Cuota incial 10 000 x 0,25 = 2500
- 6 cuotas 10000 ( 0,1477631) = 1 477,63007
1 477,63 c/u
3. Descuento
Descuento racional compuesto
1. Calcule el importe del descuento racional compuesto de un pagaré de S/. 8 000 el
cual vence dentro de 4 meses, sí es descontado mensualmente a la tasa nominal anual del
18%. Rp . D = S/. 462,53.
Solución
Datos Fórmula
D = ? D = S [ 1 - ( 1 + i ) - n ]
S= 8 000 D = 8 000 [ 1 - ( 1 + 0,18 / 12 ) - 4 ]
i = 0,18 /12 D = 8 000 [ 1 - (0,94218423) ]
n = 4 meses D = 8 000 ( 0,05781577) = 462,52616; D = 462,53
Valor líquido del descuento bancario simple
2. Calcule el valor líquido de un pagaré de S/. 9 000 sometido a descuento bancario
simple faltando 65 días para su vencimiento, a una tasa anual del 12%. Rp. P = S/. 8 805.
Solución
Datos Fórmula
P = ? P = S (1 - dn)
S= 9 000 P = 9 000 [ 1 - (0,12 x 65 / 360) ]
d = 0,12 /12 P = 9 000 [ 1- (0,021666666) ]
n = 65 / 360 P = 9 000 ( 0,978333334) = 8 805,00006 P = 8 805
Valor nominal de un título valor en el descuento bancario simple
3. ¿Por qué importe deberá girarse una letra que vencerá el 27 de febrero, para obtener
un importe líquido de S/. 5 000 el 19 de enero, descontándola bancariamente a una tasa de
descuento simple anual del 18%?. Rp. S = S/. 5 099,44.95
Solución
Datos Fórmula
S = ? S = P[ 1 / 1 - dn]
P= 5 000 S = 5 000 [ 1 / 1 - (0,18 x 39 /360) ]
d = 0,18 S = 5 000 [ 1/ (0,980500001) ] = 5 099,439055
n = 339 / 360 S = 5 099,44
Valor líquido del descuento bancario compuesto
4. Calcule el valor líquido a obtener por una letra de S/. 5 000, descontada
mensualmente a una tasa de descuento bancario compuesto del 1,5% faltando
52 días para su vencimiento. Rp. P = S/. 4 870,72.
Solución
Datos Fórmula
P = ? P = S (1 - d)n
S= 5 000 P = 5 000 [ 1 - 0,015] ]
d = 0,015 /12 P = 5 000 (1- (0,021666666) 52/30
n = 52 / 30 P = 5 000 ( 0,97414310) = 4 870,71595; P = 4 870,72
Valor nominal de un título valor en el descuento bancario compuesto
5. En el financiamiento de un auto cuyo precio de contado es de $ 10 000 la institución
financiera exige al cliente una cuota inicial de $ 4 000 y el saldo sobre el precio de contado,
es financiado con un pago adelantado de $ 1 000 y una letra a 90 días por $ 5 312,41 en la
cual le han cargado una tasa de descuento bancario compuesto mensual del 2%. Si el
cliente solicita que el importe de los $ 1 000 se incluyan en la letra a 90 días, ¿cuál será el
nuevo valor nominal de la letra? Rp. S = $ 6 374,90.
Solución
Datos Fórmula
S = ? S = P ( 1 – d )-n
P= 10 000 – 4 000 = 6 000 S = 6 000 ( 1 - 0,02 ) -3
d = 0,02; n = 90 / 30 S = 6 000 (1,0624825) = 6 374,895; S = 6 374,90
Descuento bancario compuesto Dk devengado en cada período de descuento
6. Un pagaré cuyo valor nominal es S/. 3 000 y cuya fecha de vencimiento es el
3 de noviembre fue descontado faltando 180 días para su vencimiento,
aplicando una tasa nominal adelantada del 36% con capitalización mensual.
Calcule el descuento bancario realizado en el tercer y quinto mes. Rp. D3
= S/. 84,68; D5 = S/. 79,68.
Solución
96
Datos Fórmula
D = ? D = S d (1 - d ) k-1
S= 3 000 D3 = 3 000 x 0,36 / 12 (1 - 0,36 / 12) 3-1
i = 0,36 /12 D3 = 90 ( 0,9409) = 84,681
n = 3er y 5to mes D3 = 84,68
D5 = 3 000 x 0,36 / 12 (1 - 0,36 / 12) 5-1
D5 = 90 (0,88529281) = 79,6763529
D5 = 79,68
Descuento comercial unitario
7. Calcule el descuento a efectuar sobre el precio de venta de un artículo cuyo precio
es S/. 1 000 y la rebaja concedida es del 5%. Rp. Dc = S/. 50.
Solución
Datos Fórmula
Dc = ? Dc = PV( d )
PV= 1 000 Dc = 1 000 ( 0,05)
d = 0,05 Dc = 50
8. La empresa El Buen Vestir S.A. vende sus artículos adicionando un margen de
utilidad del 20% sobre el costo de la mercadería. Por cambio de temporada
piensa rematar el stock de chompas cuyo costo unitario es de S/. 50 rebajando
su margen del 20% al 5% sobre el costo. ¿Que. descuento puede anunciar
como oferta sobre el precio anterior ? Rp. La oferta es rebajada de S/. 60,00 a
S/.52,50.
Solución
Datos Fórmula
Dc = ? Dc = PV( d )
PV= 50 Dc = 50 ( 0,05) = 2,50
d = 0,05 PV + Dc = 2,50 + 50 = 52,50
Descuento comercial sucesivo
9. ¿Cuál será la tasa de descuento comercial total si una tienda concede sobre su
mercadería una rebaja del 10% + 8% + 5%. Rp. 21,34%.
Solución
Datos Fórmula
d = ? d = [ 1 - ( 1- d ) ( 1 - d ) ( 1 - d )
d1 = 0,10 d = [ 1 - ( 1- 0,10 ) ( 1 - 0,08 ) ( 1 - 0,05 ) ]
d2 = 0,08 d = [ 1 - ( 0,9 ) ( 0,92 ) ( 0,95 )
d3 = 0,05 d = [ 1 - ( 0,7866 ) = 0,2134; d = 21,34 %
97
10. Un Supermercados por aniversario está concediendo descuentos sobre los precios
de venta de sus productos de 20% + 15% + 5%. Si la familia Rodriguez efectúa una compra
de S/. 320 a) ¿Cuál será el descuento total? b) ¿Cuál es la tasa de descuento total? Rp. a)
S/. 113,28; b) 35,4%.
Solución
Datos Fórmula
Dc = ? Dc = PV [ 1 - ( 1- d1 ) ( 1 - d2 ) ( 1 - d3 )
PV = 320 a) Descuento total
d1 = 0,20 Dc = 320 [ 1 - ( 1 - 0,20 ) ( 1 - 0,15 ) ( 1 - 0,05 )
d2 = 0,15 Dc = 320 [ 1 - ( 0,80 ) ( 0.85 ) ( 0,95 )
d3 = 0,05 Dc = 320 [ 1 - ( 0,646 )
Dc = 113,28
a) Tasa de descuento total
Fórmula
d = [ 1 - ( 1- d1 ) ( 1 - d2 ) ( 1 - d3 )
d = [ 1 - ( 1- 0,20 ) ( 1 - 0,15 ) ( 1 - 0,05 ) ]
d = [ 1 - ( 0,80 ) ( 0,85 ) ( 0,95 )
d = [ 1 - ( 0,646 ) = 0,354
d = 35,4%
Precio neto con descuentos sucesivos
11. ¿Cuál debe ser el precio de venta de una mercadería que fue adquirida a un precio
de S/. 20 al que se le aplicó un descuento comercial del 15% + 10% con el objeto de obtener
una utilidad del 30% sobre el costo? Rp. S/.19,89.
Solución
Datos Fórmula: por razonamiento
PR = 20 PR x Utilidad
d1 = 0,15 20 x 0,30 = 6
d2 = 0,10 20 + 6 = 26
Tasa de descuento
[1 - (1 - d1) ( 1 - d2 )]
[1 - (1 - 0,15) (1 - 0,10 )] = 0,235
Costo x tasa de descuento
26 x 0,235 = 6,11
26 – 6,11= 19,89
98
EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTERÉS SIMPLE.1) Qué interés generan $ 850.000 en 6 meses al 2,8% mensual? 2) Un BONO de $ 1.500.000 paga el 15% semestral; cuánto produce de intereses al cabo de
un año? 3) En cuánto tiempo una inversión de $ 2.000.000 produce intereses de $ 700.000, si el
capital se invirtió al 2,5% mensual. 4) Un inversionista adquirió 1.000 acciones a $ 3.200 cada una, a los 8 meses recibió
896.000 de dividendos. ¿Cuál es la rentabilidad mensual y anual de la inversión?5) En un préstamo de $ 8.000.000 a 3 años se pacta un interés del 7,5% trimestral para el
primer año y del 12% semestral para los dos años siguientes. ¿Cuánto se espera de intereses en todo el plazo?.
6) Hallar el interés racional y el comercial de $ 450.000 en el mes de Junio, al 20%. 7) Calcule el interés comercial y exacto de un préstamo de $ 5.000.000 al 28%, del 15 de
abril del 2007 al 13 de agosto del mismo año. 8) Obtenga el interés simple ordinario y real de 25.000 dólares, del 2 de enero de 2008 (año
bisiesto) al 1 de agosto del mismo año. La tasa de interés es de 6,5%. 9) ¿Cuánto dinero debo depositar hoy 25 de abril en una cuenta que paga el 23%
simple real para que el 28 de julio pueda retirar $ 60.000. 10) Una letra por valor de $ 600.000 va a ser descontada por un banco 35 días antes del
vencimiento al 38%. Calcular la tasa bancaria que realmente está cobrando el banco? 11) Una empresa desea depositar $ 4.350.000 a un plazo de 200 días, y deberá decidir si
deposita el dinero en el Banco X, que paga el 20% de interés comercial, o en el Banco Y, que paga el 21% de interés real. ¿En qué Banco le conviene depositar?.
12) Calcule el monto o valor futuro de un préstamo de $2.000.000 al 30% de interés simple y 10 meses de plazo.
13) ¿Cuánto pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fabrica por la suma de $ 918.300 a 25 días, si le aplican una tasa de interés de 3% mensual?
14) Encuentre el valor presente de $ 3.800.000 que vence dentro de 7 meses, si la tasa de interés es del 25%.
15) Una persona compró un automóvil por el cual pagó $ 15.700.000 el primero de enero, y o vendió el primero de julio del año siguiente en $ 21.500.000. ¿Fue conveniente como inversión la operación realizada si la tasa de interés del mercadoera de 30%?. R/. No fue conveniente la inversión, ¿POR QUÉ?
16) ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa del 48% anual?.17) ¿Cuál es el tipo de interés mensual simple equivalente a una tasa del 18% semestral? 99
18) ¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido al 25% de interés anual simple.19) ¿En cuánto tiempo se tendrían $ 540.000 si se depositaran hoy $ 300.000 en un fondo que
paga el 3,2% simple mensual?. 20) ¿Cuál es el precio de contado de un teléfono celular que se paga dando de cuota inicial el
25% del precio de contado y se firma un pagaré a 3 meses por $ 120.000 que incluye una tasa del 24% anual?.
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