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o de 5 20):

etiro de $ 30):

5sito de $ 150):

i:,07 = $ 255;07

:r \ender, ¿qué fecha focal se

-¡,ación de valor?

:nco propuestas diferentes,': so¡a llara todas? ¿Por qué?

neses, ;cuál debe ler ia-feqha

Teses para cancelar una

-uenta de ahorrq!? ::;,', ,'". de ahorros tomándb:,ló,p

mulan al capital,y':.lg . 4á, u¡..

Ali;xrr;ega

*ffiW esro

PresentaciónFl conocimiento y el manejo del interés compuesto

son necesarios en las operaciones financieras a largo

plazo, en operaciones de inversiones de capital, en

los cálculos del monto, del interés y del tiempo. Este

tipo de interés se va capitalizando de acuerdo con el

tiempo, medido en períodos de capitalización o de

conversión. lgualmente, el concepto y aplicación del

valor actual es básico en el interés compuesto para

manejar en documentos e inversiones financieras en el

largo plazo.

Se incluyen el lema de la capitalización continua,en plazos menores de un año, las fórmulas de las

tasas equivalentes al monto y el valor actual, con

capital ización continua.

Objetivo general€ Conocer el concepto de interés compuesto y sus

aplicaciones ' un' llu liquidación de documentos

financieros, endeudamiento e inversiones a cualquier

plazo.

jetivos específicosConocer y manejar los conceptos pel'íodo cle capital-

ee

izacién y tasa de interés por período de capitalización.Manejar la fór,müla del monto'en intérés cornpuesto.

Conocer y aplicar el concepto,de valor actual a largo

plazo.A$licar en inversionés las tasas dé inteiés nonrinal y

e{ectiVa,:anticipada y- venc id¿.'Resólver,pr ob!émas de interés eornpuesto aplicandoecuacionás de valor.Conocei y, rnánej al,'f a cap ita I ización conti nua"

Maneiai,la fórmüla del Mo,nto yJa del Valor Actualen, jnterés.:' compuesto . con' dife.reútes, perirldos'decapita lización.Conoáer, y aplieár' la capitálizacipn continua;:en' el

MontO,y'en el'Valór Actual' , ,,''' ' ','' ',,,": l],

Conóeer:'y, aplicái, l as tasás, dé'.! nterés,equ lvalentes.i.ncl ulrend0 la, cáp.i'tálizációnl conti'nú4, :r .' ,','''''' '

'''

Cono,cer ¡r áplic¿r la rcaPiklizqcién eón!1n¡¡a,.qn, ptazos

mé¡o¡ei, :a, u n¡,án o y-,e'o rn'paraila, con,e!' j n!@s.'si mpte¡',

.A¡manrl¡i rMora Zambrano

lnlerés compueslo S"Es el interés de un capital al que se van acumulando los réditos para queproduzcan otros."l

"Cuando se calcula interés compuesto, el capital aumenta por la adición delos intereses vencidos al final de cada uno de los períodos a que se refiere la tasa.

Siempre que no se pague efectivamente el interés al final de un período, sino quese adicione al capital, se dice que los intereses se capitalizan."2

EI interés compuesto se caracteriza porque el interés generado, en unaunidad de tiempo, se suma al capital y este valor nuevamente gana intereses y se

acumula al nuevo capital, y así sucesivamente, tantas veces como períodos de

capital ización se hayan establecido.

Comparación interés simple/i nterés compuestoEl interés compuesto se diferencia del interés simple en que éste calcula los

intereses por una sola vez, mientras que en aquél el interés se va acumulandoal capital periódicamente; es decir, los intereses se capitalizan. Generalmente,el interés simple se utiliza a corto plazo, hasta un año, y el interés compuesto a

largo plazo, más de un año.

Calculemos el monto, el interés simple y el interés compuesto de un capital de

$ 4.000.000 a una tasa de interés del 10% durante 6 períodos.

Cálculo a interés simple:

I = Cit; I = 4.000.000(0,10x6) = $ 2.400.000M = C(l +i¿) =4.000.000[1 + 0,10(6)] = $ 6.400.000

Cálculo a interés compuesto:

(Para el primer período)M = 4.000.000[1 + 0,10(1)] = $ 4.400.000

(Para el segundo período)M = 4.400.000[1 + 0,10('l)] = $ 4.840.000

(Para el tercer período)M = 4.840.000[1 + 0,10(1)] = $ 5.324.000

(Para el cuarto período)M = 5.324.000['l + 0,1 0(1 )] = $ S.AS0.+OO

(Para el quinto período)M = 5.856.400[1 + 0,10(1)] = $ 6.442.040

1 Cran diccionario enciclopédico universal, Valencia, Ortells, 1980.2.¡. H. Moote, Manual de matemáticas financieras, México, Uteha, 1973, p. 68.

(Para el sexto perícM = 6.442.O40[1 '

Puede notarse la diferencimonto total que producen.

Monto con interésMonto con interés

En el siguiente cuadro (y er

interés simple y el interés c

Tabla 5.1 . Tabla co¡n

Como se observa, la difelcompuesto radica en que I

a la acumulación de los ir

El interés compuesto cre(

el interés simple es cons'

capitalice, mayor será la d

3.600

3.200

2 800

n 2.4oD

z 2000

E r.ooo

4

Alt¿¡¡mesr

Gráfico 5.1. Com

los réditos para que

)nta por la adición derque se refiere la tasa.

l un período, sino quean."lis generado/ en unarte gana intereses y se

es como períodos de

que éste calcula los

és se va acumulandorlizan. Ceneralmente,I interés compuesto a

:sto de un capital dedos.

.000

=-_

(Para el sexto período)M = 6.442.O40[1 + 0,1 0(1 )] = $ 7.086.244

Puede notarse la diferencia, en el mismo tiempo y con Ia misma tasa de interés, delmonto total que producen.

Monto con interés simple:Monto con interés compuesto:

$ 6.400.000$ 7.086.244

En el siguiente cuadro (y en los gráficos adjuntos) se demuestran el comportamiento delinterés simple y el interés compuesto y sus respectivos montos:

Pqrjs{o,,,. : r'iliitdréig., :'DifeleneÉi

Tabla 5.1. Tabla comparativa interés simple interés compuesto (en $)

Como se observa, la diferencia entre el monto a interés simple y el monto a interéscompuesto radica en que este último se va acrecentando en función del tiempo, debidoa la acumulación de los intereses al capital por período de capitalización.

El interés compuesto crece en función del nuevo capital por período, mientras queel interés simple es constante durante todos los períodos. Mientras más períodos se

capitalice, mayor será la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto.

3.600

I 200

2 800

3 2400

z 20aa

H 1600

= 1 200

800

lnterés simple

400

0

PERfoDos

Alfaomega Alfaomega

Gráfico 5.1. Comparación gráfica interés simple/interés compuesto

I

Gráfico 5.2. Comparación gráfica monto interés simple/interés compuesto

Variables del interés compuesto

En el cálculo del interés compuesto se debe tomar en cuenta previamente el

cálculo de las variables iy n, correspondientes a la tasa de interés por períodode capitalización (i)y el número de períodos de capitalización (n).

Período de capitalización (n): Espacio de tiempo en el que el interés se adiciona oacumula al capital. Este período puede ser anual, semestral, trimestral, mensual,etcétera. Se identifica con la letra (n).

Tasa de interés (i): Latasa de interés por período de capitalización significa latasa diaria, mensual, bimestral, trimestral, semestral, anual, etc., según sea Iacapitalización por día, por mes, por bimestre, por trimestre, por semestre o poraño. Se identifica con la letra i.

Número de capitalizaciones en el año (m): Se obtiene dividiendo 360 para el

número de días del período dq capitalización.

Para calcular el número de períodos de capitalización y la tasa de interés porperíodo de capitalización de un capital colocado a interés compuesto durante7 años, con una tasa de interés del 15% anual capitalizable semestralmente, se

realiza el sigu iente procedim iento:

t = 7 años. Entonces, n = 7(12)/6 = 14

Número total de mesesn=Número de meses del período de capitalización

Es decir, que se capitaliza 14 veces o que existen 14 semestres en

i = 9*= o,ozs

7 años.

7.000

6.500

6.000 ¿

z5.500 0

zo5.000

4.500

4.000

34PERIODOS

r:¡.:jr1.:':-\.rlr\ri{:::!..-.i..r.rrrrrrrr:irrr:rr, ::.

2

lnteres compuesto

lnterés simple

Alfao¡l:ega

¡nteres compuestf} :

. Tas¿' Número de c

360

# días del ¡

Ahora calculemos el núrperíodo de capitalizaciórcon una tasa de interés d

t = 9 años; tasa r

(ex12)¡1 = --=-----=

lib

360m=-=2180

. 0.06i= "'"" = 0,032

i = 3"A semestrai

Por último calculemos e

por período de capitaliz;años, a una tasa de interr

t=5añosi= 9%

360,= gO -+; se

i=o'o9 = 0.01-4

Fórmula del monto ,

"El monto de un capital ;

final o capital acumulad'A la diferencia entre el rcompuesto."a

3 L. Portus Covinden, Maten.a

F. Ayres )r., Teoría y 500 pra

All¿rrw:

,=u+=20;:

7.000

6.500

6.000

5.500

5.000

4.500

4.000

rrterés compuesto

enta previamente el: interés por período:ión (n).

interés se adiciona oüimestral, mensual,

rlización significa lal, etc., según sea laI, por semestre o por

idiendo 360 para el

t tasa de interés por, compuesto durante: semestralmente, se

res en 7 años.

zoFzo

)n

Alláomeg¿

Tasa anual Tasa anualI=

Número de capitalizaciones al año

360

m

360m=-180

m=# días del período

Ahora calculemos el número de períodos de capitalización (n) y la tasa de interés porperíodo de capitalización (l) de un capital colocado a interés compuesto durante 9 años,con una tasa de interés del 6"/,, capitalizable semestralmente.

t = 9 años; tasa nominal anual i = 6"/d

n=(e)á12) =re

360m-_-l180

i= 0,06=0,032

i = 3o/o semestral

Por último calculemos el número de períodos de capitalización (n) y la tasa de interéspor período de capitalización (l); de uh capital colocado a interés compuesto durante 5años, a una tasa de interés del 9"/" anual, capitalizable trimestralmente.

t=5añosi = 9"/"

1''n = 5 '=' = 20; se divide entre el

-)

3 L. Portus Covinden, Matemáticas financieras, Bogolá,a

F. Ayres.¡r., Teoría y 500 problemas resueltos, México,

Alfaomega

número de meses del período

McCraw-Hill, 197 5, p. 70

McCraw-Hill, 1971 , p. 63.

. =3+= 4; se capitaliza 4 veces al año90

¡ = O'99

=0,0225 =2,25o/otrimestral4

Fórmula del monto a interés compuesto

"El monto de un capital a interés compuesto, o monto compuesto, es el valor del capitalfinal o capital acumulado después de sucesivas adiciones de los intereses."3

'A Ia diferencia entre el monto compuesto y el capital original se Ie conoce como interéscompuesto."4

Armantlo Mora Zambrano ,

para deducir la fórmula del monto de interés compuesto, se parte de un ejemplo

en el que se conocen el capital, la tasa de interés y el número de períodos de

capitalización.De esta manera, para realizar el cálculo del monto a interés compuesto de un

capital de $ 100:000 a cuatro años de plazo, a una tasa de interés del 12%

anlal, se elabora un cuadro en el que se expresan los períodos, los intereses y

el monto.

Fórmula del cálculo: I = Clt

Primer añol= 100.000(0,12\1= $ 12.000M = 100.000 + 12.O00 = $ 1 12.000

Segundo añoI = 1 12.000(0,12)1 = $ 13.440M = 1 12.000 + 13.44O = $ 125.440

Tercer añoI =125.44O(O,12)1= $ 15.052,80M = 125.440 + 1 5.052,80 = 5 1 40.492,80

Cuarto añoI = 14O.492,80(0,12)1 = $ 16.859,14M = 140.492,80 + 1 6.859,14 = $ 1 57.351,94

En este ejemplo, C es el capital; i la tasa de interés por período de capitalización

y n, el núruro de períodos de capitalización. Así, se tiene el cuadro siguiente:

Tabla 5.3. Tabla para deducir la fórmula del monto en interés compuesto

Tabla 5.2. Forma del cálculo de interés y monto compuesto

Alíaome1q,4

Para cualquier Perífórmula del monto r

El factor (1 + t)'Ptbuscarse en tablas

La fórmula del mo

capitalización mer

continua.

Variaciones de l¡

capitalizaciones

Tomemosal=tasm = 360/número t

de capitalizaciont

a) Si la tasa de intr

M=C(1 +r)nt

b)Si la tasa de int

* =. (''

c) Si la tasa de inl

"=.(t

M=C:_t-m=L_

{rmanrJo Mc¡ra Za¡nl¡rano : i ¡nterés compuesto

esto, se parte de un ejemplo, el número de períodos de

a interés compuesto de unla tasa de interés del 12%ios períodos, los intereses y

Monto alfin¿l:del período

Para cualquier período de capitalización y

fórmula del monto en interés compuesto:tasa de interés por período, se obtiene la

El factor (1 + i), puede hallarse mediante calculadoras electrónicas, var¡ando iy n; o

buscarse en tablas matemáticas en función de las referidas variables'

La fórmula del monto también puede expresarse tomando en cuenta los perío.dos de

capitalización menores de un año: semestral/ trimestral, bimestral, mensual, diaria o

continua.

112,.QQ0$,.

121440.0O1,

f 8a,i;,1;

15?1351,94:',

MCjmt

monto.capital inicial.tasa de interés nominal capitalizable varias veces'

número de capitalizaciones en el año.

número de años.

r_+

rr" período de capitalizacióntiene el cuadro siguiente:

Monto

C+Cír + C(1 +l)ir+Ct1+i)4

r C( I +t ) q't.i

r.:ria:.:::.:gl*,:,t*1:ill

Variaciones de la fórmula del Monto en función de la tasa de interés y las

capitatizaciones: M = C (1 + i/m)-t

Tomemos a i = tasa efectiva, anual; i = tasa nominal capitalizable varias veces en el año;

Á = 360/número de días del períodt de capitalización; t = número de años; n = número

de capitalizaciones en el año.

a) Si la tasa de interés es efectiva (se capitaliza una sola vez al año)

M=C(1 +i)nt

b) Si la tasa de interés se capitaliza semestralmente:

M=C 11 +-l--\'''"--\" 2 )

c) Si la tasa de interés se capitaliza quimestralmente:

; 2,4(r)

M=C/1 +-r-\\ 2,4 I

Entonces,

=,,.),&li',$,,,tjJttt,',",Q,(!,

=.. i,nterés compuesto

A!laomega AlfaomegaEllil FC

d) Si la tasa de interés se capitaliza cuatrimestralmente:

M=C (r.+l'

e) Si la tasa de interés se capitaliza trimestralmente:

M=C (1 *L4 f'

fl Si ta tasa de interés se capitaliza bimestralmente:

M=C (r.--, f'

g) Si la tasa de interés se capitaliza mensualmente:

M =C (r .+)"

interés se capitaliza quincenalmente:

; 2-1t

/1 -' -J-\\ 24t

i) Si la tasa de interés se capitaliza diariamente:

M=c f .#.J

i) si la rasa de interés se capitaliza en forma _c::til]5

En la cual el número

- lím(1 + 1/x)" - ) 71B2B1B2,n---

i = tasa nominali = nút"ro de años

a)Tasa del 9Y. efect

M = 20'OO(

b) Tasa del 97" anu;

M = 20-0Ot

c)Tasadel 97" anu

, .M = 20'O{

d)Tas.a'det 9"1" ant

'l:l: r:'g =,0'O

h)Si la tasa de

M=C

:rlt:..,:,M: 20.C

T¿sá-del 9% c

:tt,.1...,¡ - ,0.

9"1" c¿

i '3601M=Cf.rh-) o

Alfaomega

compuesto durantecapitalizable de la

M = 20'000(1 + 0'09)25'75 = 183'97 6'4852

b) Tasa del 9% anual capitalizable semestral:

M = 2o.ooo (t * o';e )"

'1)

'gz',naz'gssog

c) Tasa del 9% anual capitalizable quimestral:

M = 2o.ooo(r * 949J"'! tso'sza'szsz

d)Tasa del 9% anual capitalizable cuatrimestral:

M = 2o.ooof * -g/E:''L: 1s6'202's822

'ción trimestral:

Tasa del 99o caPitaliza

, o,o9 \ro3= 197.857,0883M=20.000[+ 4 r

ación bimestral:Tasa del 9olo caPitaliz

r. 0,09\15lotgg.S+t,OZISM=20.000[ +--11

Tasa del 9% capitalización mensual:

M = 2o.ooo(l * qfj"'= 2o1'2s7 '4348

h) Tasa delg% capitalización diaria:

r - 0,09 \e"-) ZOz.g+a,SqslM=20.000[ *-T61

i), ,,Tasa del'9o7" g¿pitalización continua:

elMonto.

rI

: Armandi¡ Mora Z¿lml:rano

Si una empresá obtiene un préstamo de $ 3.000 a 6 años de plazo, con una tasa

de interés del 15"1o a,nual capitalizable semestralmenté, ¿qué molto debe pagar a

la fecha de vencimiento y qué interés?t-r,,_

Secalculaniyn:

;,- 6;,Ii 1 ? .:,,,,i',2lii:.::t. '.': 6 :: ii..,: ' '::

;,.l),rll l,, 911..5,, - ¡;l¡)U'.. =''7' U % lffiésii; i

360m=

-

=Z180

.:"::'.:..:,:... ...i

l " ,. :.' ,, ,,u.ti.,

pefíodos

:)

M;'3.6¡n,t::':::+O;Oi'511:z':'.'.)'3''ggQ11;'::t6751'.\!

M = 3.000(2,381 780) = $ 7.1 45,34

I nterés compuéstó Oúe' dobe:pagarlr:r

Monto compuesto con períodos de capitalización fraccionarios

Cuando el tiempo de pago no coincide con el período de capitalización, se

presenta el caso de los períodos de capitalización fraccionarios.

Entonces, si el tiempo de pago de una deuda es 4 años y 9 meses y la tasa deinterés del 14% capitalizable semestralmente, se tiene que:

n= 4(12)+9 = 57 =9,5semestres66

Es decir, 9 semestres y una fracción de semestre.

Para el cálculo del monto compuesto con períodos de capitalización fraccionariopueden aplicarse dos métodos.s

a) El matemático, que toma el valor exacto de n en la fórmula del montocompuesto.

b) El comerciai (véase el siguiente ejemplo parte b).

Para el cálculo el monto de una deuda de $ 4.000 a interés compuesto durante6 años y 3 meses de plazo, con una tasa de interés del 7% anual capitalizablesemestralmente, se tiene:

s L. Portrs Covinden, ob. cit., p. 25.

Al.[;ryre,"

lnteré$ r:ompueslo

a) Cálculo ma

6(12\-36

. o,o7/- -u,[2

M = 4.000(.1

M = $ 6.14e,.

b) El cálculocomPuestcmonto de i

En otras P;entera e inEn el ejem

M = 4.000t1'

M = 4.000'1 .

Como puede apreciamatemático.

Calculemos por Ios d,

$2.000a7añosy8

Método matemáticSe calcula el valor de

7 (12t 'n=+ )

J

. 0,09/=-=u4

Se aplica la fórmula r

M = 2.000t1

Método comercial

n = 7(12\ +

3

. 0,094

* En este procedimiento es

Ia tasa de interés Por Perí

ú'-*^**-

-1

le plazo, con una:tasaé monto debepqgar a

n fraccionarios

de capitalización, seirios.

9 meses y la tasa de

rl ización fraccionario

tra iórmula del monto

; compuesto duranteo anual capitalizable

Alfaanrega AlfaonegaIilEJI

a) Cálculo matemático

,=6(12\+3 = 75 =l2,5semestres66

¡= o,o7 = 0,035

2

M = 4.000(1 + 0,0035)12'5 = 4.000(1 ,537285)M = g 6.149,14

b) El cálculo comercial, aplica la parte entera de n en la fórmula del monto

compuesto (interés compuesto) y la parte fraccionaria en la fórmula del

monto de interés simPle.En otras palabras, el método comercial aplica interés compuesto a la parte

entera e interés simple a la parte fraccionaria.En el ejemplo anterior, con el método comercial se tiene:

M = 4.000(1,035)r'/(1 + 0,035+)

M = 4.000(1 ,51107)(1 ,075) = $ 6.150,05

Como puede apreciarse, el método comercial da un resultado mayor que el método

matemático.

Calculemos por los dos métodos, el matemático y el comercial, el monto compuesto de

$ 2.000 a7 añosy B meses de plazo, al 9olo anual capitalizable trimestralmente.

Método matemát¡coSe calcula el valor de n e i

7fl2\ + B

)-)

i = o'09 =o,0225

4

Se aplica la fórmula del monto:

M = 2.000(1 + 0,0225)30'6667 - $ 3.957,0s

Método comercial

n - 7(12) +B =

90 *Z=3o +lperíodos'' 3 3 3 3'

,= o' t =0,0225

* En este procedimiento es necesario destacar que, en Ia parte del cálculo con interés simple, debe relacionarse

la tasa dá interés por período con los meses o días que tiene el correspondiente período.

B4+B _1J

30,6667

,Arnl;,rnrJ¡¡ N4<¡rii l-a¡nhr¿lno

M = 2.00011 ,02)St'o(l + o,azzsl\ .)/

M = 2.000(1 ,9494)(.1,01 5) = $ 3.957 ,27

También puede expresarse así:

M = 2.000(1 ,o225¡oh + 0,09jL)\ ' 360t

M = 2.000(1 ,9494)fi,01 5) = $ 3.957 ,27

Diferencia entre los resultados obtenidos por los dos métodos:

$ 3.957,27 - $3.957,05 = $ 0,22

Esto se debe a la diferente aplicación del interés en el tiempo fraccionario (dentro

de los dos últimos meses se acumula el interés).

Aplicación de la capitalización continua en plazos menores de un año

En algunas operaciones de documentos financieros/ como contratos a término ofon'vards, contratos futuros, opciones de compra (put), opciones de venta (call),

se utiliza la tasa cle interés anual con capitalización continua, tomando el añocalendario o el año conrercial )i corno base el número "e" = 2,71828182846, enplazos menores a urn año. El resultado es siempre mayor qure la aplicación conel interés simple normal.

[iemploCalcular el lnterés y el Monto que generará un documento financiero de

$ 3.000.000,00 durante 92 días, si se considera unatasa de interés del 4"/,anual con capitalización continua.Resolución:

M=Ce'l i = 0,04

d r, = -23--= 0,255555555556360

bl t, = -2- = 0,252054791t21- 36s

á) Con el áñó ócmercial ':r ,,,.,' " ::.,

'.,. .::: :a:

: f,.{ =,3.000.00ó,00 ero,04) i0,2ss5,551156),=]3.000:,000¡OO 9o',:o102222212222 =3.030.823,94285

,,', :'1¡tp¡6r':'' !:,:}CI,3 0.8e 3,9 4 2 8 9, : : . óÓq, oo0; 00 = 3O. gr2.3, g4t Bs

AL::*l.-.

M = 3.000.{3.030.399.-;

lnterés = 3.,-

Esta fornta c

del interés s

c) Con el año Correr,

I = 3"000.U[

M = 3.000.i

d) Lon el ano caleira

,,..i.

I - 3"000.üi

" r ,\d '= 3.80[1.,

Se puede considerar'lé¿icamente'meno!'.

S)t¡emploY' Calcular el vaior ac,

' suscrito a 210 días i

' de interés del 9% a::

, Resolución:

C=Me'

Lon el ano comerc:i

C = 5.000.-

C = 5.000.i

Si se calCu,la con ei

-ar.1

acc¡onario (dentro

nor€s de un año

ntratos a término o

nes de venta (call),

ra, tomando el año

I , 1 B2B1 82846, en

e la aplicación con

nanciero deinterés del 4 "/"

|aa)))), ))

85

l

I

@l:r$|1,. "l

urlo, actual 90 días antes cle su verrcirnienro cle un clocr'rnrerrto financiero

.suscritoa2l0clíascleplazo,porUnn-'o',.nde$5.000.000,0O,siseconsideraunatasai .l" int"r¿, del 9% unuul ton capitalización contitrua:

M = 3.000.000,00 so'o+ \o'2s¿o547s1521) = 3'000'000'00 e0'01ooazls1781 -

3.030.399,56495

lnterés = 3.030.399 ,56495 - 3'000'000'00 = 30'399 '56495

Estafornradecálculodaunresultadomayorquesiserealizaraconlafórmulaáli int"t¿t simple: I = Cit y la del Monto = c + I

c) Con el año comercial y tasa de interés anual

l = 3.000.000,00(0,04) (.%--)= 30'666,6666667

M = 3.000'000,00 + 30'666'6666667 = 3'03O'666'666667

d) Con el año calenclario y tasa de interés anual

r = 3.000.000,00(0,04) (#, )= 30.21b,s75342s

M = 3.000'000,00 + 30'246'5753425 = 3'030 '246'5753425

.supu"a"considerarigualmerrteelcáIculoclelvaloractual,enelqueelresultadoeslógicamente menor'

Resolución:

C=Me-ir:

, Con el año comercial:

:

, c = 5.000.000,00 eJ'oe t!l0r'160r - 5'000'000'00 e-0'0?25

C = 5.000'0 OO'OO(O'977751237) = 4'BBB'756'186

Si se calcula con el interés simPle:

5.000.000,00 5.000.000,00C_

1 + o,oe(#o)

Aiíaonrega All'aornt'ga

1,0225

= 4.889.975,55

EI:R,I

Arnr¿ndo Mora Zambrano '

¿;;iinó l'áióiiaá']ó

= 4.891.450,01,

Fórmula de equi

El monto de $ '1, a lr

i('l+i)=1

El monto de $ 1, a I

r= t*#

que es la ecuación ,

capitalizable varias

Tasas equivalentesproducen el mismt

Así, para conocer ¿

capitalizable trime

I(1 +i)=[

En este caso:i=? j.

I(1 +l)= {

(1 +l)=((1 +i)=((1 +i)=1

; -1I -l

: -1I -l

También se pued

trimestralmente e:

fbra la solución d

(1 +i¡=(

C = 5,0O0.O00,00 e{'oe (e0/36s) - 5.000.000,0O e4'o221e178

C ::' I5;G)00:üOO;00 (0,978G5 2646) = 4'8W'263,231

5i se'caleulá:coii inierés simPle:

o0:' r: .ia ,rr':l

5.000.000

,, i"tg,o-e T,A271,937&L. ,..: ',' ., ,1, ,, .,j ,!:

Iasas equivalentes

Tasa nominal es aquella que puede ser capitalizable varias veces

se denomina (i).Tasa efectiva áe interés es la que realmente actúa sobre el capital

año y se denomina (i)-

,,Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de conversión

(capitalizáción) son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final

de un año."6

,,Las tasas nominal y efectiva son equivalentes cuando producen la misma

cantidad de dinero al final del año."7

Así a un capital de $ 1, al 1B% anual capitalizable mensualmente, será:

rrl = r (r * ol; )"= 1(1,os)r2 = 1(1,1ss6182)

M=$1,1956182

A una tasa de interés efectiva del19,56182o/":

M = 1(1 + 0,19561 82) = 1(1,1956182\

M=$1,1956192

En este ejemplo se puede apreciar que la tasa nomina l, 1Bo/o anual capitalizable

nrensualmenie, es equivalente a la iasa efectiva del 19,561827o, puesto que las

dos producen el mismo resultado.

en un ano y

una vez en el

6 F. Ayres Jr., ob. cit., P. 65.71. H. Moore, ob. cit., p. 92.

9¡;8

ieces en

lital una

un ano y

vez en el

dos de conversióncompuesto al final

oducen la

ente, será:

mrsma

nual capitalizable19,o, puesto que las

Alf'aomega

Fórmula de equivalencia tasa nominal/tasa efectiva

EI monto de $ 1, a Ia tasa I en un año, es:

i(1+l)=1+i=M

El monto de $ 1, a latasa jcon m capitalizaciones en el año, es:

M= ú *-LY\ mt

Considerando que los dos montos son iguales, se puede plantear la identidad

que es la ecuación de equivalencia, que relaciona una tasa efectiva con una tasa nominal

capitalizable varias veces en el año y viceversa, con tasas de interés vencidas'

Tasas equivalentes son aquellas tasas que, con diferentes períodos de capitalización,

producen el mismo interés compuesto.

Así, para conocer a qué tasa efectiva de interés equivale una tasa nominal del 1B% anual

capitalizable trimestralmente, se realiza el siquiente cálculo:

t i-(1 +r¡=(r.#)

En este caso:i=7. j= 18"/"

, 2ff1(1 +l)= [ *.¿ ,

(1 +l)=(1 +0,045)a(1 + i)= (1,045)4(1 +i)=1,1925186

i = 1,1925186- 1 = 0,1925186i = 19,25186"/"

También se puede plantear el problema inverso: ¿A qué tasa nominal capitalizable

trimestralmente es equivalente una tasa efectiva del 19,25186"4?

Para la solución de este problema utilizamos la ecuación de equivalencia:

(1 +r)=(.+f

Ali'aomega

m=4

y reemplazamos

(1 +0,1 s2s1ft6)=h.+f

(1,1s251e01=(l *L)^,' 4,Para encontrar la respuesta pueden emplearse dos métodos: exponentes o

radicales y logaritmos.

Por exponentes o radicales

Elevamos ambos miembros a la misma potencia y la igualdad no se altera.

(1,1s2s1e)1/o =(1 * +l'r

1,O45 =, * +1,045- 1=+

¡O'O45 = f4 (O,O

') = i

j=0,18j=1Bo/oanual,capitalizabletrimestralmente.

Por logaritmos

tog (1,1e2s18) = r.g(, * j)'

0,07646s= 4 log (r . *)

o'o7646s -rog(1 * L* )

0,0191r0=log(1 +4

antilog (0,0191 16) = 1 + t-

1,O45 =

1,O45 -

0,045 =

0,045(4)

j = 0,18

Se obtiene la mil

7 h¡acoirscer, sl

: 'i1'+ il=

i nor expotia#

a ,1+o,oi

exponentes o

r se altera.

rente.

1,O45 =

1,045 -

¡1*-q

,i| =-4

¡0,045 =':-0,045(4) =l

i = 0,18

Se obtiene la misma respuesta: j = lBohanual' capitalizable trimestralmente'

'*Tllt""."r, entonces, a qué.tasa lqTill;t"pitalizablesemestralmente' es equivalente

la tasa efectiva del a'l','selealiza el siguiente procedimiento:

(1 +i)= (t *#'Por exPonentes o radicales

1+o,og =l *1'en razón de que la capitalización es semestral

1,08 =l *t)'. a 1t)

(1,08)r/2=[(,r.# I

(se elevan ambos miemb¡s a taR'oteneial12)

1,O3g23 =' *!

I1,03923 -1 =T

a,úe9 =lZ(0,03923) =i

A,07846 = j'

¡ = 18"/"

fil'4ilA ltanmepa

i ¡\rnrando fu4ora Zarnbrano

Por logaritmos

log (1,08)= lo8(1

@¡E¡emplo'Yt Calculemos e!

0,03342376 = 2l

+l2

"sf

l+-2

l2

)

)

* l_'\2t

durante 5 años15 j4065923o/.

M=2i' = 4t

Fórmulas pa

Se tiene que di

a) Para el Mon

1+i.=gi

*+*=toe(1

0,016711SS = log(1

antilog Q,01671188) = 1

1,O3923 = 1

1,03923 - 1

0,03923 = -L0,03923(2) = j

j = O,07846 j = 7,846o/o anual, capitalizable semestralmente'

Como puede notarse, al comparar la misma tasa de interés, la tasa efectiva es

mayor cuando se capitaliza más de una vez en el año.

B"/" > 7 ,846"/"

También puede plantearse el problema inverso: ¿A qué tasa efectiva es equivalente

Ia tasa nominal del 7,846"/. capitalizable semestralmente?

(1 +i)= r**-

(i+l)= 1+0'0784622

1+i = (1 +0,O3923)2

.+)

.,

itrt;t]lit.ll. ,

':,:,,',".'a..'::Ñf' - 2

::,,:..a,:,. a.:::.::f::a:,:.t .= $

¡+L2

Esta relación también puede demostrarse en forma práctica.

,{1¿-ernesa

restralmente.

:. Ia tasa efectiva es

ectiva es equivalente

Allaorne¡ga ,{,il;..Jnreg..

@r¡emploY ¿A qué tasa e[ectiva es equivalente una tasa del 67o anual con capitalización continua,en una serfe de depósitos?

. ,, i. - e0'06 1 - 0,06] B-3 6546545

- - is = 6, 1 83 65465 45o/"

¿A qué tasa anuál Con capitalización continua es equivalente una tasa efectiva dé,1,

6,1836546545%?

0,061 836546545 = ei- 1

',,.,,.: ¡ ,,:, ;:'t:;,06.:1:,;&3..6i[746545,1;:ál;.gt .' "" '

.:.:::... :.. a -::..: .:, :,a .....'r ,,,,,,',,,'.,,,¡¡.:l];0¿it$3,l6S¿.6E¿.lt;,.i.ln,t¿

@t¡rrplo- ¿ A qué tasa anual con capitalización mensual es equivalente una lasa del 97o anual

con capltatización continua?

, t2(l* i )=so.oe' 12',{l+ / }=1,09417428' 12''

rilitl lljr,:

TilúT'I

@)E¡emploY Calculemos el monto y el interés compueslo que producirá un capital de $

durante 5 años y 9 meses si es colocado: a) a una lasa del 167o electiva y b) a una1' 5, 4A659 23"/, an ua I co n cap ital i zaCién semestra l.

M = 200.000(.1 + O,l6)¡:75 ;,,$,469,530¡09f ,,,:,= 469,53A,09 - 200,000 = $ 269.530,ü9

200.000tasa del

$,,-',,z1yi4nni,',ói1l,l¡:,.;,&13$$3i i':lf .:;' "¡..;.:on;

. ' ,,,'..::,,-.,.1:.,,:...:,,..,t,,...: .r..r'\

],i,. iii:"r il,l.rir:. : :,, .2

l:.:',*,fii,:.2:69z:5''C$;09',:i'rl;:.1"'''.

Fórmulas para tasas equivalentes con capitalización continua

Se tiene que diferenciar si son tasas para calcular el Monto o para el Valor Actual.

a) Para el Monto:

1+i.=si i.=ei -1

t..a.,,', t t' t

t t,,,,,,r,,,raa,.,

,:'tqriO6iÉ,i,f'l

rj.t,ri,t,r ri r:i:,i.t.: : :', r.: . _

a:...::::::...a:a..aa.:.......-,:: .. .. : ... . ':...,:,:::i.:::.:21;',.,6q/;:,:::'..:.,,.:.:

Se saca la raíz 12 de los dos miembros

r ; rll(r*-] )=1,oo7s2v1e\ 12,j = 9,033834 ?o anual capitalizable mlns1at1entl

.,,r.b) Para el valor actual, se puede comparar cualquier tipo de capitalización

;m(t + -L1"'= *'\ m/

Alternativas de

Cuando se requie

encontrar tasas cie

analizar en iorm¿

equivalencia lfór;'

Eiemplo

¿A que tasa anual capltalizable mensualmente es.equivalente una tasa del 6%

anual con capitalización continua, en Una serie de pagos?

; r 12

fr, I l-tro.ob' 12',

i = o 0601.5025t -'- -

fr* j )'1 1.o61libs47\' ' 12 I

I = 6,01 5025 "/ó

6tiemploY Una empresa de,

a) una tasa del

capitalizable sen

trimestralmente:

¿Cuál opción le c

Este Problem,ecuación de equi

compuesto.

Solucién anatíticSe comPara la taCon tasa de inter

--1 +i ={.1

i = 1,0'1. ,. ,, .,, i = 0,41

:'i,.. i=4,11

Con [a tasa de ir

1+l=i

:r''ir." j=0,01

,r-..... .," i= 4,0(

Conrla,tasa de i

:rri:,i,i:.'.,.1+l=

,..'.,,.ii:_.r.t.:: .l-i :_ 1 ,0:,,:,.,, ,.. - :,, .i1:* 0r0'

''.,...': :.-.1, ;,,::;:i.:= j,]'

¿A que lasa anual con,capitalizació¡ coiriinua' en una serie de p¿8os' es

equivalente una tasa oel b O 15025 9' anual capitalizable mensualmente?

'tqnl= 112. t 0.06015025 \rr ,- ^iln\1 +-7-J =tne

ln 1,061836546 = i ln e:.:

0,06 = ii=''69/'-ó

Eiemplo , :En una serie de pagos, ¿a que tasa de interés anual capitalizable mensualmente

i,üfi;i;;,1-ri-,""ñu'i"'i",.tái del = e% anual con capitalización continua?

, ; ,12(r *--t-¡ =so'oo\ 12',;]l., I \ -1,094174284\'- 12 I

t ¡ '12h* t l =t,oOzsZSlSS\ 12'

I = 0¡ü90338345 i * O,O:l,A:+5Y" anual eapiializable mensualnrente

rii -- E-ffii ¡1..LLxl.n¡:siL

; ,llrl1') |

nrente

,-i ¡rc de capital izacién

':'1.::: :::i::'::' .,

Alternativas de inversión, comparando fasas de interés

Cuando se requiere invertir determinado capital en el mercado financiero, es frecuenteencontrar tasas de interés con diferentes tipos de capitalización, por lo que necesitamosanalizar en forma matemática cuál es Ia mejor alternativa, utilizando la ecuación de

equivalencia (fórmula 5.4).

=:;,,ivalente una tasa del 6./": :la $OS ?

= 1,061836547

iemploUna empresa desea invertir $ 6.000 durante dos años y tiene las siguientes opciones:a) una tasa del interés del 4,147o efectiva; b) una tasa de interés del 4, 17o anual,capitalizable semestralmente; c) una tasa de interés del 4% anual, capitalizabletrimestralmente; d) una tasa de interés del 3,9"/" anual, capitalizable mensualmente.

¿Cuál opción le conviene y cuál le produce mayor interés?

Este problema se puede solucionar de dos formas: analíticamenre, utilizando la

ecuación de equivalencia, o prácticamente, utilizando la fórmul¿ del monlo con interés

compueslo.

Solución analíticaSe compara la tasa efectiva del 4,1 4o/o con l¿s demás.

Con tasa de interés del 4,17o anual, capitalizable semesLralmente:

i=1,04142025-i = 0,4142i = 4,1 42"/"

.. .ll:r\ttr o/' tt,)wz-) /o

' i-rrra sej'ie de pagos, es. .zable mensualmente? 1+i=ú +o'041)'z\2/

Con la tasa de interés del4% anual, capitalizable trimestralmente:

t. oLt1+i=(1 *; t

i=1,04060*1

¡= 0,04060

i = 4,06"/,

: rapitalizable mensualmente-on capital ización continua?

Csn [a tasa de interés del 3,9% anual, cápitalizable mensualmente:

r + i;(r *.uei"

i:= 1,fl]$/[J,: -'l

i =:io¡0397,i': < 3,97o1o ,, . ,

,Lái mejor:o{ei1a:es la segu,ndá, i = 4;:'1d/a anual, capitaiizáble trimestralmente, que'da,unal r¿Iizable mensualmente

tasa, efeótiva do| 4,1 42ol¡,.

.Armanrjo Mora Zaml:r¡ no

Solución prácticaSe calcula con los datos de capital, tiempo y tasa de interés.Con tasa efectiva del 4,14"/":

M = 6.000(1 + 0,0414)2 = $ 6.507,08

Con tasa del 4,17o anual, capitalizable semestralmente:

t _o_,9!t)1 s o.soz.::M=6.000\1 + " I4

Con tasa del 4"/"anual, capitalizable trimestralmente:

, q91f =s6.4e7.14M=6.000t1 +,

ta

r 0.039 t2aM = 6.000(1 . "'i;" )-'=

g 6.48s,s1

ElemploÜ na á*prur" desea invertir $ 1 8.000 durante dos años ytiene las siguientes opciones:a) una tasa de interés del 9"/" efectiva; b) una tasa de interés del B 3/4% anualcapitalizable semestralmente; c) una tasa de interés del S 7/Bo/" anual capitalizabletrimestralmente y d) una tasa de interés del B 13/16Y" anual¡ capitalizablemensualmente. ¿Cuál opción produce mayor monlo e interés? Resolvamos elproceso en forma analítica y en forma práctica.

Solución analíticaa) i = 9"/o

b) 1+i =(r * o'qszs¡'-z

i = 8,941 40625"/" efectiva, anual- '....... .i'l:" _ i" ::aa

'" "-' :'

c) 1+i=(r*o'ogazs;o

La.rnejor: oferta es lá segúnlda',ió¡L:'|,1ín,,ryañQrdié $'6i.,fq.7i/:,3i;':::,la.¡ei;,p;1w;*ia¡ha!.!¡dá.,por'la forrna,anal:ít!ia,,.i!,0,üirre lfe[!é,.pn¡l¡nl,idir con !a e¡gontráda.,,.póí!b im$¡.práctica, como se vio en el ejemplo.

":::::::*!::::'

a. M=18I -'r1 '.

b. M=18

,l=21 ..

C. :,.r.. .M,= 1[

j' ,,.,

t "l ,-

21

d..,r."',::ii:r:, .,tt,t., lÁ = 1f

l-11

Lil'¡ .o¡,'.*ert;está.respÚesta I

Sé ,é utiliz

-gÍs.liffs,l.13:f

@:r1ll*aan,

d)

(1 *;

,i11 +J\2

{,*l,,,j_',.'2

,,:12,'j:,,J= lll

El ejemplo qut

A lLlrrr eo-¡

a. M= 18.000(1 +0,09)2 =$21.385,80

¿r,;;i;itÁruli,A:l¡;t',,i;a";rqon ün,,man ro;,,Á,ie':,$i,i.t,,.+,s5;!ii:y,*Á'.inte¡és.de ,$ 3,als,a];

I = 21.385,80 - 18.000 = $ 3.385,80

M = 1B.ooo(r .gy!)o= 5 2t.362,82

I = 21.362,82 * 1 8.000 = $ 3.362,82

M = lB.ooot + o'o8;875 )u= g 2r .454,44'4

I = 21 .454,,44._ I8.000:= $ 3.454,,,44 '

M = 18.000(1 + 0,088125)tt= g zt .4s5,43'12'i,,= 2r1, ;454;43i,*: I B ;000, + * :3,45 5: ¡43 :, :,:::: . : :'. :

Se puede utilizar la ecuación de equivalencia cuando nos enfrentamos con problemas

¡qii.elnéri: ta$asr ¿on:rdiféienlQs,¡1i'$o,qrde e áp,litli2aeióillL,, r,, .: ,,,,r,,,:,,ri,r:r:::r:

cap ital izab le trimestral mente?

t i¡2 t +0,15)4

\1 +iJ =\1 4 t

(r *l) = ('*q-i)\' 2 / \ 4

(1 *+i'- tl,óizsi

¡

--=1,07649625-1

?,.,¡,¡;t5,zgt.75.,';,.','i,,,2,,1',5i;i¡91,;2'$t1,.ánl'ál. capitalil)ble,seméstialmóráte

pcrones:

% anualtalizabletalizableamos el

rlrn.ed

..-:':,;:,,)rl;:.i.:*,

iltar.rnrega

El ejemplo que sigue presenta el problema inverso.

A¡mando ñ1ora Zambrano : lnleteS LUll lljuot

equivalente una tasa del

Tasa de interés anticiPada

La tasa de interés anticipada es aquella que permite pa8ar o cobrar los intereses

[.i"a"f """do; para la áplicación se utilii_1la siguientefórmula (para demostrarla

,u ¡.u.urru a la ecuación de equivalencia lfórmula 5.4] y al descuento bancario):

1+i=h*4'\ml

Conociendo quei es una tasa de interés anticipada, puede establecerse que

,d' 1-d

Simplificando,

1+i=

1+i,

1+i

¿A qué tasa t

anual, capita

m=

1+t

i=1l=C;-c

También put

¿A qué tasa tuna tasa efer

dm

Entonces; l-d1_-m

Llevando este criterio a la ecuación de equivalencia, se tiene: 1+

r.r=[r

tmdl.;j?l

Aluoru

(1,C

te una

ar los interesesara demostrar¡aento bancario):

Simplificando,

1+i=

es equivalente una tasa anticipada

r 0.09 \-3l+i=[- 3 )

que

1+i =|-i-\'\ 1-- I\m

;A oué tasa de interés efectiva anticipada

ínüi-.upit"l i zable cuatri mestral mente?

360 am= =J120

i=1,0956827 -1i = 0,0956827i = 9,568270/o

También puede plantearse el problema inverso'

;A oué tasa de interés anticipada anual, capitalizable cuatrimestralmente, es equivalente

'u nr',ur" efectiva anti c i pada del 9'5 6827 "/o !

1 + o,oe568 27 =l- +) '

(1,oss6Lz7)-'o =[(1 - +f f"'

r *¡=t -#)* Fórmula 5.5. Fórmula de equivalencia con tasas de

interés anUciPadas'

AlfaómFPa

^lT: ::11 ::::i itT?::i:

0,o97 = 1

1 -097 =

(0,03)3 = iO,O9 = ji = 9"/" anual, capitalizablecuatri mestral mente, anticipada

La diferencia entre la tasa de interés vencidala siguiente tabla:

y anticipada puede apreciarse en

Tabla 5.4. Tabla comparativa entre Ia tasa de interés anticipada y la tasa de interés vencida

-)

j)J

Cálculo de Ia tasa de

La tasa efectiva o nominalinterés compuesto:

M=C(l +i)";M

+ i) n

Para despejar r, se presentan tres alternativas:

¡ Utilización de logaritmos:

loe+- =loB11 +i)'"C

,Mtogf- =nlog{1 +l)

interés

puede calcularse partiendo de la fórmula del monto a

=.(t; m-t

+- |ml

*=,t

3Vo 3.09-l

. 42qo 72.41A

, .,ó% 6.383

i:,::,45%' : 81.820

l:':,,.:9.%..i,i9.890

tl:'.48yd,,,,,.r,.,tt¡.9¿:31Q

3.069 3.06s

60.230 58.690

6.281 6.265

6ó.190 61.ó00

9.646 9.607

73.130 70:840

1,¿f¡rrr:rr. i'.::¡ nr" 3,¡53:,..,ri:.3.049 I .g42,.,,.1:,,1:,619; ...3:

tB3;4: ., -.. 3.91:1: ::'.:,,,::3.::p/26!.,:,.:.. 3,&3

49¡9ü : .48:.l50rirri'i 43,tó0:.46,410

riil6l:13{5:...ii,,..iit6'.1?1.. 6,165 $.n9{

53.1180: 52.090,. . 5l:051,150,060

9.03&, '9,273 9.237 9;VA3

57.350 56.fl90',54l8qn"',53.760

57.220 55.950'', s4.+eo sr.t:o,1,¡i.it0,r,,,,S0:g7S

63.830 61.190 59,640 5S:i9ú l',"51;:5:ta"" 54-XA

9.568 9,530 9.492 9.454'i 9:380 9.144

68.720 66.750 64.620 ,,63.210 I 6fl.100 58,6C0

Número de meses anticipados

lnterésil;i"t265432t

Núrnero de mesés vencidos

1 2.3 4 5 6

ro8+

Se elevan amb

¡Mrl{-l\C

y se simplifica

t{l\C

tr_j\C

. Un tercer m

interpolaciónencuentran tal

M_C

Se busca en l¿

cociente M/C.

¿A qué tasa efr

6 años?

n

. Otro métodc

M_C

M=C

M=C

45.00

30.00

1trI tJ -

Por logaritmor

log1,ilog1,:

,*t¡16

m

]s

!0

'uede apreciarse en

56.090:

¡¿ de interés vencida

irmula del monto a

3.331,:?

{al5q,i:i;,,1

á1á'-iil

Aliaomega

,Mlo$--L

=lo8(1 +i)

. Otro método es utilizando exponentes o radicales.

M =(1 +i)n

C

Se elevan ambos miembros a la potencia 1/n

f * )"n= [(1 +i)nlr'n\c/y se simplifica el exponente en el segundo miembro

lM)''"=r*¡\c/

lM)'^- t=i\c/

. Un tercer método es la interpolación de tablas, que se realiza en forma similar a la

interpolación logarítmica. Sin embargo, este método casi no se utiliza porque no se

encuentran tablas fácilmente para determinados tipos de interés'

M -(1 +i)nC

Se busca en las tablas, para un determinado período, la cantidad que se aproxima al

cociente /WC. Si no se encuentra exactamente se procede a interpolar.

¿A qué tasa efectiva se convertirá un capital de $ 30.000 en un monto de $ 45.000, en

6 años?

M=C(1 +i)n

M =(1 +i)"

C

45.ooo _ t1-', r il6

30.000

1,5=(1+i)6

Por logaritmos

log1,5= log (1 + i)6log1,5=6log(1 +i)

Alfaomega

Armando Mo¡a Zambrano

0,179091 =log(1 +i)6

O,O2g34B = lsg (1 + i)

antilogO,O2934B =1+l1,069913=1+l0,069913 = ii= 6,991320/"

Por exPonentes

1,5=(t +l)6(1

'5)1/6 = 11 + i)6/6

(1,510'toe6=1+i1,069913=1+ii= 6,99132"/o

Por interPolación de tablas

1,5=(1 +l)6

Se busca en tablas de (1 + i )" cuando n - 6

Tabla 5'4' Tabla para la interpolación del ejercicio anter¡or

Se plantea una regla de tres simple' comparando la diferencia tabular de 0'041 5BB

con la diferencia "",r" i;;;,'5"i ¿l¿I v'iu *"no," en la tabla, que corresponde

aO,O4OB57.

0,005 -- 0,041588x- o,o4OB57

x = O,OA412

Se suma este resultado al menor

0,065000o,0049120,069912

v se obtiene' i = 0,069912i = 6,9912o/o, aProxirnadamente

¿A qué tasa anu¿

en 314 veces má

M=C'tC=$4i

M=4O

70.000

40.00c

í,75)1

(,75J1

1,028

(0,02f0,1 13j=11

¿A qué tasa

trimestralmen

1+¡

Cálculo de

Para calculalmonto:

\z{ =

M-

t=5irMt- =[1C\

1+i1+i1+ii=0i=1

Ali'aornéga

de 0,041588corresponde

¿A qué tasa anual, capitalizable trimestralmente, un capital de $ 40.000 se convertirá

en 3/4 veces más en 5 años?

M=C+lc = g 40.000

M = 4o.ooo * | r+oo.ooo) = $ 7o.ooo

t=5;m=4;m.t=20

I =lr * l)'"'c , m,

7o.ooo =(., */)ro40.000 \ 40'

/ i \20/20(,75\t'zo=(r *f)

( ,7s)t 1o = (, . l)

1,028376= (, . +)4r

rc,O28376)4 = jO,113504 = ij = 1 1,3504o/o anual, capitalizable trimestralmente

¿A qué tasa efectiva es equivalente la tasa del 11,35037"/o anual, capitalizable

trimestralmente?

, llf!l!1)*1..¡=(1+j 4 t

1 + i= (1 +O,028376)a1+i=(1,028376)41+i=1,118427i = 0,118427i = 11 ,84270/" efectiva

Cálculo deltiempo en interés compuesto

para calcular el tiempo, se debe hallar primero n/ por lo cual se aplica la fórmula del

monto:

M=C(1 +l)n; ml/ /\

M=Cl1 +-l\ mt

All'ilonega.llrlorrir:q.r

Arnrando Mora Zambrano

+ i)n

Para hallar n existen dos alternativas:

. por log,aritmos, utilizando calculadoras electrónicas o tablas logarítmicas:

log+ =lsg(1 +i)n

ltg+-nlog(1 +i)

,Mro8F-

=n

log (1 + i)

No se requiere hallar el antilogaritmo, pues a n no le afecta la palabra

logaritmo.

¡ por interpolación de tablas, con la restricción mencionada, de que a veces no

hay tablas para todo tipo de interés'

lnteres comPUe5ru

M =(1

C

1 año0,449726

(0,4{

¡ = 161,9::,:.:l :..

;,Ii.gtWo=

Eiemplo

¿Én qué tiempo, expresado en años, meses y

.onuátt¡tá "n'$

I.SOO a una tasa de interés deldías, un capital de $

189o efectiva?

,l.000 se

M=8O06=gBO

.0.16,2

MI-=11

+C\

1.600 _800

2=('l ,O

log2=log 2

irsnF

' 0¡301O

o,o334

9,0064':2

t (anos,1og 1,5 - n log (1,18)

log 1,5 - nlog 1,18

,,, ',,9üs?J'*

n.,o,071882

- . t*1,+:4g726años:: :

hra caliular el tiemPo en años,

considelCndb eitñó comerCial :

M = 1.500C = 1.000i = 18o/"

M -(1 +l)n;C

1,5 - (1,18)n

1.500 =(1 +0,18)n1.000

me5es,.:y días se plantea una regla de

@li'JT.l:;,.

A-ha¡rmer:a

7 ¿Eo q¡é tlemtr

i . 24 ,'*gS-r.3

A¡-lran¡Jo Mor¿ Zamf¡ra ¡rr¡

ónicas o tablas logarítmicas:

a n no le afecta la palabra

rnencionada, de que a veces no

Cías. un capital de $ 1.000 seEo., efectiva?

1 año 360 días0,449726

-

x días

(o,449726) (360)

1

'. ,. , .,'

,,,",:.:;,X,1,,* .1611r;,90 díaS :,5 meseS y,' 1,,,2,,,,6[ftg,

.-., . ,... -.....,..,,.,,......, r.1 t.:.. ".,...:...,

... ....::,):: ..,::

,"';.,1f 1,,;.nltry:2t"i:,'*?t*,ffi:ur)!.,-{*1t;).','l

¿En qué tiempo, expresado en años, meses y días, se duplicará un capital de $ 800, auna tasa de interés del 160/", capitalizable semestralmente?

M=800(2)=$1.600C=9800

i =0,16 = o.o8'?

M , i{t_={.1 + -¡(, \ ml

1 .600 i. 0,1 6\ 2 t

800\2t2 = (1;08)2.t

log2 =2 tlogil,0B)

log2 -1*Iog lTlog)- "

QJqlq¡?, =2t t :

0,033423 , ,

9,006468+_= ¿

...r.,:.2,..,:,,...,,'

f (añ,o$r,l 4 ;5'O32,3'4'',,'

1,rá,ñó,, 36O,dfás

se plantea *ná,rr.,égiá dCfé¡ $,5,625 a una tasadé,inte(s,déJ

Aliaomerga

Arnrando Mora l;¡mbrano

M = $ 5.62sc = g 2.500

i = o'2+

Y =(r * l)'''{._ \ ml

5.625 =fi * 0,24\t"2.500 \ 12 |

2,25 = (1 + 0,02)r2't

Por logaritmos

log2,25 = 12 t log (1,02)

))qlo._ '''- = 12t- 1,02

0,352182 _ QL0,008600

4A,g5Ag77 = 12f (meses)

40,9.5_0977 _ r (años)12

3,412501= ¿ (años)

.,; ..'. .,1.1 ,,,,., ,.,.,,' ..,,,...---,"- 3,6.Adías,... 1...,, ., '0¡A12.5,,Ai1 I,,,,,,., ,.-.... .:r:.rx.díás,,.,r...,r,, .

x = 148,5 díasTiempo -,3 añoí,:4 me5e¡.y,28,5 días

Por tablas

i Luego ise suma i

EI valor actu,

El valor actual ¿

la fecha de su v

Por ejemplo, lael cálculo del v5 años? y ¿en c"La expresión vantes del vencir

"Valor actual, vactualizados al

Para el efecto, s

M=C(

l(-_(1

f:..--,'-i,,,,..,,,,,,,,,,11

-,..,t,,,,e ; M(L:jl:llájj,::-.__

También se cor

B.¡. H. Moore, ob.9 N. Dávalos Arcen

Util'izando tablas de (1 +il)l,.se busca el valgr',cOiiespondiélte,,..á.,?i25i

Para i = 2o/",t,luandal,

n,. -, -7' r' i a'l; o r, éln tdlb\ as, 2 ri,2' 5L2ü O

ii,l ¿ü,ándó,t .::,t,'.49 ;,,val.ol.en :tíb.lás:r : : :2,¡0S03 9,:::,:,:,11:,,.;1;11.,'Djp4.1.6;A:,,1,,,;;,;;

.,lr:.li:lr: r: t:. .. _::l:l:,i tr:.:l:rt",l'.' I rr"rr,r:ii il:rli, . lrl: l

r'r':.,. r.:' r.,,..,,:r.Z;p5üJFO,¡, :,irlll

Luegosesumaa n=40

12¡7 = (4O + 0,9501 7O) = 49,9591 70 (meses)

n -40'950170 = 3,412514 (años)12

1

-

360 días

0,412514

-

x

x = 148,51 díasTiempo = 3 años, 4 meses y 28,5 días

El valor actual a interés compuesto o cálculo del capital

El valor actual a interés compuesto es el valor de un documento, bien o deuda, antes dela fecha de su vencimiento, considerando determinada tasa de interés.Por ejemplo, las siguientes preguntas, y otras similares, se pueden responder medianteel cálculo del valor actual: ¿Cuánto vale hoy una deuda de $ 1.000.000 que vencerá en

5 años? y ¿en cuánto se puede vender un documento de $ 5.000 que vence en 4 años?

"La expresión valor actual significa el valor de un pago futuro en una fecha determinadaantes del vencimiento."s"Valor actual, valor en el momento presente de los beneficios o de los costos del futuro,actualizados al costo de oportunidad o de sustitución del capital."e

Para el efecto, se considera la fórmula del monto a interés compuesto:

M = C(1 +l)n, de donde se despeja C:

M

(1 +i)n

C = M(1 +i )-n Fórmula 5.6. Fórmula del valor actual a interés compuesto.

También se conoce que M = C (l * +)''. Entonces:\ ml

, .' .-m.t

C = M(1 * ¿f ' Fórmula 5.7. Fórmula del valor actual a interés compuesto\ rn ' en función de m y t,

Para capital izaciones conti nuas:

f = ys-lr Fórmula 5.7a. Fórmula del valor actual con capitalización

(e = 2,718281) continua.

8 ¡. H. Moore, ob. cit., p. tz+.

9 N. Dávalos Arcentales, Enciclopedia Básica de Administración, Contabilidad y Auditoría, Quito, .l

9B.l , p. 51 9.

Alfaomega

Arrnando Mora Zambrano lnterés r:omp

Cráficamente, se puede ubicar el valor actual:

¿Cüál es elrptad'óón <

gi sp,vendeanüál;:e¿p¡15b'elábbra r

cráfico 5.3. Expresión gráfica del valor actual en interés compuesto

El valor actual puede calcularse en cualquier fecha comprendida entre Ia fecha

de suscripción y la fecha de vencimiento, según las condiciones en que se

establezca el cáiculo. Puede haber dos casos generales: cuando el documento

no gana interés y el valor nominal coincide con el monto, o cuando el documento

gana interés y se requiere calcular el monto.

Eiemplo

¿Luái seiá ej'ná1or áctoe¡rde un'pagaré cuyo'valor al'iencimjéhtQ al fi.qq:f: 4áñó, e¡¿ó $ i.5,00, coniidérandó u,ira tása de inteiés'del,12% ánúál'bapitáJiea,$é

semestrdmé¡rr'? ([ ste,,és, u¡ éjem p lo típico del q.r]m er egf o) .,,,',

M = $ 3.500) i=O,12; t= 4; m =2

e,--*fi''¡r$i]r't

interés compuesto

Íecha comprendida entre la fechasegún las condiciones en que se; generales: cuando el documentor el monto, o cuando el documento

ralor al vencimiento, al final de 4nterés del 12% anual capita:lizableprimer cáso.)l

M=$r.soo I ;\ I --i

,Armando Mora Zambranir lntcrés comPUestc)

Eiemplo

¡cuál es el valor actual de un documento-cuyo calor nominal es de $ 5'000 a 6 años de

;ü;; el4/"' A" int"r¿r unuá¡, capitalizáblé semestralmente,'desde su suscripción,

si se vende dos años antes de la fecha'de úencimiento, considerándo una tasa del 5%

anual, Capitalizable'semestralmentei (Éste es un ejemplo típico del ségundo caso')

Se elaboü un gráfico de tiempos y valores:

e¡¡*io s;x Sblurióñ:,grárica,idel,eiemplo

Se ieúl*,ellnro¡to'a.lo5 6'á$os: ,, , '

CI';,i1t;g

9.15,,püA ü ),0.2I?,:,,, ,:,., :,,.

M = 5.000(1 ,268241\M = $ 6.341,20

1¡::.::',!. :4..il,l.irrrr';r:!:

\l'\L: ,jr,:rui:trr\l il,nrrl!:iiilriR:!:ii.::,jia:rt$ti:Xlli::iril,,r/

Alfaonrega Alfaomeg,a

i ,A¡'mando Mor¿ Zambrano .':i::::::T

c) Respectr

CC

Valor aa

El valor acperíodos d

Para el cál

. En form¿

C

t En form,interés sin

C

Entonces:El valor dr

valor actuconsiderarforma mat

Gráfico 5.i

Por la fon

Precio de un documento

En el segundo caso pueden darse, a su vez, tres situaciones diferentes respecto

a Ia coripra/v"ntu du un documento: cuando se negocia a la p.ar'. Ia tasa de

negociación es la misma que la nominal y el precio se mantiene sin variaciones;

cuXndo se negocia con prbmio: la tasa de negociación es menor.que la nominal

y el precio suÉe; cuand ó se negocia con castigoi Ia tasa de negociación es mayor

que la nominal y el precio baja.

Veamos:o"iprer de 2 años de la fecha de suscripción se negocia. un. documento de

$ ¡IOOO con vencimiento en 5 años y una tasa de interés del 2,1"/o anual,

iapitalizable semestralmente desde la suscripción lqt9u]91os su valor actual o

orecio en las sieuientes alternativas: a) con una tasa del 1 ,B% anual, capitalizable

irimestralmenté; b) con una tasa del 2,1"/o anual, capitalizable semestralmente,

y c) con una tasa del 2,4o/' efectiva.3e traza el gráfico de tiempos y valores:

M = $ 3.330,30

c =$ 3.1ss,62

Gráfico 5.6. Solución gráfica del ejemplo

Se calcula el

M = 3.000(1 + 0,0105)10 = $ 3.330,30825

Se halla el valor actual o precio de negociación:

a) Respecto de la primera alternativa, i = 1,8"/o anual, capitalizando trimestralmente;

C = 3.330,30825 (1 + 0,045)-12

6 = $ 3.1 55,62. Ésta es una negociación con premio.

b) En relación con la segunda alternativa, i = 2,17o anual, capitalizando

semestralmente:

C = 3.330,30825(1 + 0,1 05)-6

6 = $ 31 27 ,gg. Ésta es una negociación a la par, pues la tasa de negociación

es igual a la nominal; además, se puede comprobar calculando el monto

desde la fecha de suscripción hasta la de negociación.

M = 3.000(1 + 0,0105)1 = $ 3.127,99

!_2

* Con interér

; respectola tasa deLriaciones;a nominall es mayor

rmento de17o anual,or actual o,pitalizablestraImente,

nestralmente:

ando

lenegociaciónando el monto

c) Respecto de la tercera alternativa, i = 2,4"/" efectiva:

C = 3.330,30825(1 + O,024)-j

6 = $ 3.101,59. Ésta es una negociación con cast¡go;

el precio más bajo de los tres'

Valor actual con tiempo fraccionario

El valor actual, al igual que el monto a interés compuesto, también puede calcularse con

["rOJot de cápitaTizaci'ón no enteros, es decir' fraccionarios'

itara el cálculo existen dos alternativas:

o En forma matemática o exacta, utilizando únicamente interés Compuesto:

C = M(1+ i)-"

. En forma práctica o comercial, utilizando interés compuesto para la parte entera e

interés simple para la parte fraccionaria:

6 = M(1+ i )-n (1 + it)-l -

Entonces:ElvalordeundocumentoalfinaldeTañosseráde$3.400.Queremoscalcularsuvalor actual, luego de transcurridos 3 años y 4 meses de la fecha de suscripción'

considerando una tasade interés del14"/o, cafitalizable semestralmente' utilicemos la

forma matemática Y [a comercial'

Gráfico 5.7. Solución gráfica' matemática'

M = $ 3.400

i =0,]4 =o,oz)2Por la forma matemática

6=Mit +j)-"

(n(12)-t(3X12)+41n--

* Con interés simple: C = 0 +it)

Alfacrmega

det ejemPlo

M

c = $ 2.070,13M = $ 3.400

Arm¿nclo Mora Z¡mllr¿no :

84-40 44 - 2tI=- i, i-

6

O también:

-- 7,3333

c = 3.400(1 + qj-

-)"2

Se convierte el tiempo en meses y se divide entre el número de meses que tiene el

período de caPitalización.C = 3.400(1 + 0,07\-\7)2/6

C = 3.400(1 ,07¡-7'zzzzC = 3.400(0,608862)C = $ 2.070,13 (valor actual por la forma matemática)

Por la forma práctica o comercialC=M(1+i)-"(1 +it)1

(3X12)+B 44 42 2 --,2=-"66666(7 la parte entera y 2/6la parte fraccionaria)

En interés simple, si se toma la tasa anual, se divide el número de meses por 12:

c = 3.400(1 + o,o7)-7 (, . 0,4#l

Si tomamos la tasa semestral, el tiempo se divide por 6:

C = 3.400(0 ,622750 X.l ,023333)*1c = 3.400(0,6227 5O)(O,97 7 1 99)C = 5 2.069'07

Gráfico s.a. Solución gráfica, comercial, del ejemplo

Al comparar los dos resultados, se obtiene que por el método práctico el valor

actual es menor; eS decir, el documento tendría un valor mayor que por el método

matemático.

Luego desuserito elcapital.izatuna tasa d

(3X12) + B -6

.ñI,'l

ir

ÍI

fri

ti

ti;.'.¡

r+

t'-'t-

c=52aoo ///

/'

meses Por 12:

Gráfico 5'9' Solución gráfica del monto del ejemplo' Se calcula el mt

6añosYgmeses:

t(.tÁ2 +9) - 81 -- B += 13'5n=--- 6 u

M=2.Booh *o#)''''

M = 2'800 (2'195984)

üt = $ 6'1148'76

Se calcula el monto por el métoci" O":tt,tt o comercial:

M = 2'Boo t1'06)1tlt + o',t z 7l

M' = 2'800 12'132928r(i '031

üi = u u t tt''=ui",.ura

el valor acruar a los 3 años y 3 meses, si la tasa de interés

C.on estos resultados' s(

es del t 1,25"1" etecttva'

oráctico el valor

je Por el método

A¡mando Mora Zambrano :

Gnífico 5.10. Solución gráfica del valor actual del ejemplo

El tiempo que falta para el vencimiento del documento es:

[6(12)+ 9]- t3(12)+ 3l .n=T=J/5anos

..':,:::: ::

Descue

El descurmonto y,Puede caSu fórmu

tI

r::::-:l:.-g: ftwlt.,

t

\

La otra fc

deuda; e:

interés cc

el valor e

(

Para inter

(

LuegoI

Calculenluego dedel 15%

Mr = $ 6.148,755Mz = $ 6.151,365

Se calcula el valor actual por el método matemático:

Ct = 6.148,755(1+ 0,1125)-3'sCr = 6.1 48,7 55(0,688573)Cr = $ 4.233,87

Ahora, por el método práctico o comercial:

Cz = 6.151,365(1 + 0,1 125fr (1 + 0,1 1 ,u +)

Cz = 6'15'1,365(1,1 1 25)1 (1,05625)-1

Cz = 6.1 51,3 65(0,7 2627 3)(0,9 467 46)Cz = $ 4.229,65

Del análisis de los dos resultados:Cr = $ 4.233,87 (matemático)Cz = $ 4.229,65 (comercial)

Conclusión: El valor actual hallado mediante el métodO práctico es menor que el

valor actual hallado mediante el método matemático.

Descuen

I

I

I

I

_lI

I

3añosy6meses

M

t+

7 años

lor que el

Descuento compuesto

El descuento compuesto, al igual que el descuento simple, es la diferencia entre el

monto y el valor actual de un documento, deuda, etcétera.Puede calcularse de dos maneras: el más utilizado es el descuento compuesto matemático.Su fórmula se basa en el descuento simple:

DC=M-CDc=M-M(]+i)-"

Dc=M[1 -v]y=(1 +l)-n

La otra forma es el descuento compuesto bancario, que se calcula sobre el monto de ladeuda; es decir, el monto menos el valor efectivo a interés compuesto. El valor efectivo a

interés compuesto se expresa como Cbc. Se toma como base de deducción de la fórmula

el valor efectivo a interés simple.

Cb=M(1 -dt)

Para interés compuesto, se tiene:

Cbc=M(l -d)"

Calculemos el descuento compuesto de un documento cuyo monto será de $ 9.000.000,

luego de 10 años, si se descontó 3 años antes de su vencimiento a una tasa de interés

del 15% efectiva.

DC=M_C

Des cuento com puesto m ate m áti co

Dc=M-M(1 +i)-"M=9.000; i=15"/o;n=3;Dc =M[1 -(1 +i)-"]Dc = 9.000 - 9.000(1 + 0,15)-3Dc=9.000[1 -(1,15f3]Dc = 9.000(1 -0,657516)Dc = 9.000(0,342484)Dc = $ 3.082,35

Dbc=M-M[(i-d)"]

Alíaonrega Allaomega

i ArmanrJo Mora Zambrancr

Descu e nto com P u esto bancar io

M = 9.000; d = 15"/o; Dbc = M[l - (1-d)"]

Dbc = 9.000t1 - (1 - 0,15)31

Dbc = 9.ooo(1 - 0,614125)Dbc = $ 3.472,875

Como puede notarse/ el descuento bancario compuesto eS mayor/ Con Una

diferencia notable; por esto/ casi no se utiliza.

Ecuaciones de valor en interés compuesto

Una empreméses de p

elldía,'de,hreapltalizáb

AI igual que en interés simple, en interés compuesto también .se utilizan las

ecuJciones de valor cuando se requiere reemplazar un conjunto de obligaciones

por otro conjunto de diferentes valores o capitales disponibles en diversos

ii"*por, tomándo en consideración una fecha común, llamada también fecha

focal.Relacionando los valores y fechas

de valor, que permite igualar el

conjunto de nuevas obligaciones.procedimiento:

focal, se obtiene la ecuaciónobligaciones iniciales con el

con la fechaconjunto deLa siguiente gráfica nos ayuda a exPlicar el

Gráfico 5.1 1. Expresión gráfica de la solución a un problema de ecuación de valor

en interés compuesto

Sean M,, Mz y M¡ las obligaciones que vencen en los períodos dos, cuatro y

siete, respeciivamente, las cuales se quiere reemplazar por un solo valor al final

del quinio período, con una tasa de interés (i)y una capitalización por período,

siendo x el valor que reemplaza las tres obligaciones y al final del quinto período

la fecha focal. Ai relacionar ésta con las obligaciones, se puede plantear la

ecuación de valor, de la siguiente manera:

S=Mr(1 +i)3+Mz(1 +l)1 +Mr(1 +i)-2

El primer valor (Mr) acumulará interés durante 3 períodos; el segundo valor (Mz)

acumulará interés durante 'l período y el tercer valor (M:) deberá calcularse

como valor actual por -2 períodos.

012345678910Períodos

EiemploUna e-rnpresa tiene las siguiente pLiligaciones: $:$¡9 a 1?'meses de plazo; $ 1.300 a 1B

ma$es,.de'plazo y $ 1.S00 a.2,4 ,m'eses de plazo' De-gea reemplazarlas por un so,lo'pq¡gg

el¡'díá¡rdeihoyt ¿cuál será e[,valoreap,ü [zab|e semer!1gl entet

de ese¡ pago,' có¡si derands,, u nla ¡asa de,irytelé*del' 1 5%

con una

ilizan las

gacionesdiversos

én fecha

ecuacións con el<plicar el

de valor

cuatro yrr al finalperíodo,

r períodoantear la

'alor (Mz)

alcularse

:;:¡i!¿.i;E-'tirl

;tr;-l¡":i.j_1[:i{¡iini:.:)rl)i:tili:ii't]í;.:]irrr:i:

Allaanrega Alfaomega

Armando Mora Zambranc

Comparación de ofertas

En cualquier empresa o negocio, es frecuente tener que seleccionar Ia mejor

oferta, en condiciones similares, tanto para comprar como para vender uno o

más bienes o servicios. En este punto se estudiará cómo las ecuaciones de valor

ayudan a seleccionar la oferta más alta para el vendedor o la más baja para el

comprador, a largo plazo, tomando como fecha focal el tiempo cero.

5e:plantea e

Reempla;

Cuando se

fecha de p;

i" pii"iéi éi giafi'ó' iu u'úálion ¿u u"íoi v ios caituio' á" u"ioi áótJ"t'

blema Puesto& intereses.

onar la meiorvender uno oiones de valor

is baia Para el

)fo.

$ 4.000,00 al

', $ 4.000,00 a

I contado, una

eses de Plazo.ndimiento del

ulo delvalor

X, = 2.300,00 + 4'000'00(1 + 0'03)-D +3700'00 (1

T,-= ;.;óó1,óó + z . eo s,i 2' + 2' 04 B' 60 = 5 7'1 5 4'1 2

+ 0,03)-20 =

Tercera oferta:

n = 10n =20

Se plantea el gráfico' [a ecuación de valor y los cálculos de valor actual respectivos:

x^ = 3.000,00 + 5'000'00(1

i, = ¡.OOO,OO + 3'720'47 ++ 0,03)-10 + 2'000'00 (1 + 0'03)-20 =

1 .1'07 ,35 = $ 7.827 ,82

')nte para el vendedor es la tercera'La oferta más conventt

*ip;;;i"':qY:lii t:: :: 11 *i: ?ili

que es la más alta; Y Para el

Reemplazode fas obligaciones por dos pagos iguales

Cuandosequierereemplazarlasobligacionespordospagosiguales,sedebeesco8erfecha de pago cle ""'T'[":'i;i;;;3;;"gos

como fecha focal'

@tr:l{:3:Tt':, ,", a ti en e I l, : i e i :1"1. i: :1':i i; ::: 3 Ji *':T: fl:"i¿:'r?' i #""?":#

ll**un:rui:ffi :T"fii'i;ifi #h:;d"m*:;::x*lJiifi "1:!:i

I [.ji";';5'frut"' $ 2'000 á 27 mese-s de plazo' co' u'ro Lqru ev 'i"t"u reemp!a-1. todas

i desde ra suscripció;il;¡bt ;::fl": *""*:::'1"":T.:":i"";;;;" Jui so"¿ unu't;J;;"J;;:'p.ion;y $ 3.000 a 33 meses de orazo; rd ErrrPrvJe ---,erés dei 36% anual

sus deudas po' z p"go"üX¡;,:.:n,n':;;i,:il:$':*:: '"'sus deudas Por .z Pa8ru> tów. il;d, el valor de dichos pagos.

capitalizable ffimestral *-<ÍiF,ñonrp, ,.r*"nio cámo feckra foca

A ll a0rnega

6.000

60 meses

7322,A5

I

33 36 meses21 24 77 3012 15 180 3 6 9

i ¡\¡'nrandc¡ Mor:r Z¿n¡brano

@ii:yr1tmeses dtde interé

suS'deucpagos/ cl

PrimeroGráfico 5.16. Solución gráfica del ejemplo

24-36 12- ¡3

24-21 3 "=T='

Se toma

24-15 9 -n1=- 7-=t='

24-27 3 ,nj = -------- -; = -¡1J

,o=4#=-|= -:

Se cálcuiail rnonto de.la iercera op-ción:

M r;: 2r,OO0,(1,+' Q,J:,7f,7;5

¡4,,+.2,,5180&

',,.x,:,:.4*\git168ü8i1*\!:f.,6143r::"t:::',

(1r, 70-84252)x' a;,7:61'¡4i!7 ::;,, :::';:';:

+ 3.000{1;09).3

@li:lt*presa tiene tas siguientes deudas: $ 2.s00 a 21 meses de plazo; $ 3'000 a 27

i meses de plazo; S 3'ñoí+z meses de plazo; $ 4.'000 a 63, meses de plazo' con una tasa

, de interés del g% efectiva; g 5.000 a 7l meses de plazo. La emDresa desea reemplazar

' sus deudas por dos pagos iguale ' ^ b;;;";;0 ;;*: calculemos el valor de dichos

, pagos, considerando u,iu *iu de interés del'12o/"anual, capitalizable trimestralmente'

Primero se calcula el monto de cuarta deuda:

M = 4.000(1,09)s'25 = $ 6.288,53

Se toman 60 meses como fecha focal:

cráfico5.17. Solución gráfica del ejemplo' tomando como fecha focal los 60 meses

¡= 0,12 = o,o3

4

60-24 n.n = = l.¿"X aJ

60 -21 1.O'=-.-..--= lJ

.t

60-27 - 11fi2=----;-= t t

.)

60-42nr_ -JJ=-= 6

)

60 -163 1i1r = - -'-3

.ri r ,, ii 60'75 * q , ' ']i'' ns = -'_;- = -'J

Sé plántea la ecuacién tomando como fecha focal los 6O meses:

x {1 + 0,03;12 + x'= 2'.500,00(1,03)1]'* 1'999'O0(:l'03)11" + 3'5'Q0'00{1'03)'6'' +

. .. +6.2SS;53(1,03)-1'+5'Q00p0(1'0-3)-5=' "'i]

All,Ir rl-rl{'q.t

Arnr.rndo ñ1or.r Z¿rmbrano ;

" tl,iZSiOi + i=t Oll,Sj+Z * +.152,7016 + 4.179,183 + 6.105,37 + 4'313,044 =

2,4257 6(x) = 22.421,6328x = 22.421 ,6328 / 2,4257 6 = $9.243,13 73 (dos pagos iguales)

Ahora se toman los 24 meses como fecha focal:

Tiempo equiv

El tiempo equirvalores u obliga,"La fecha en la c

puede liquidars,conoce como I€

hasta dicha fechLa regla más irtvencimiento Prc

Es decir que el ti,

por sus tiemPotcuanto lo que

presenta un eje

Encontremos el

obligaciones:

$1.000a1añmeses de plazc

TE=-

TE=-

fE=2

TE=i

En el ejemplo

" 5 3.000------.-.-^l-/-{il-\

$ 3.500

Gráfico S.18. solución grafica del ejemplo, tomando la fecha focal 74 meses

. 0,12 ^ ^-i= -'- =0,034

24-60D*=---;-i -'-

J

24-21 -1Í1i=

24-27n

--=a1-)

24-42'3

24-63=-1 3I'I¿ =

-1

24-75 .-D5=_=_r,

x + x (1 + 0,03)-12 = 2.500,00(1,03)1 + 3'000,00(1,03)-1 + 3'500,00(1,03f6 +': ' :; +6-288,53(1,03)-13+5000,00(1,03)-17=

,:

x + x(0,701380) = 2.575,00 + 2'g12,62 + 2.g31,19 + 4.282,18 + 3.025,08 --

x(1,701380) = 1 5]26fi7y = $9.243 ,13 73 (dos Pagos iguales)

Por lo,tanto¡ deben hacerse dos pagos iguales'de g9'243,1373

Estos procedimientos permiten concluir que, tomando cualquiera de las dos

fechas focales, el resultado es el mismo.

i,37 + 4.313;94,4:L i

78 meses

Tiempo equivalente

El tiempo equivalente es el tiempo de vencimiento promedio de dos o más deudas,

valores u obl igaciones."La fecha en la cual un conjunto de obligaciones, con vencimiento en fechas diferentes,

puede liquidarse mediante un pago único igual a la suma de las distintas deudas, se

conoce como fecha de vencimiento promedio de las deudas. El tiempo por transcurrirhasta dicha fecha se conoce como tiempo equivalente."l0La regla más frecuente y común para el cálculo del tiempo equivalente o tiempo de

vencimiento promedio de dos o más deudas está regida por la siguiente fórmula:

Es decir que eltiempo equivalente es igual a Ia suma de los diferentes montos multiplicadospor sus tiempos de vencimiento, divididos por la suma de los respectivos montos, por

cuanto Io que se calcula es un tiempo de vencimiento promedio. A continuación se

presenta un ejemplo de cálculo cuando se tiene una tasa efectiva.

Encontremos el tiempo equivalente, o tiempo de vencimiento promedio, de las siguientes

obligaciones:$ 1.000 a'l año de plazo; $ 2.000 a 2 años y 6 meses de plazo; $ 3.000 a2 añosy 9

meses de plazo, con una tasa del 7"/" anual.

TE=1 .000(1) + 2.000(2,5) + 3.000(2,75)

1.000+2.000+3.000

1.000+5.000+8.250TE=

6.000

fE = 2,375 años

fE = 2 años, 4 meses y 1 5 días

En el ejemplo siguiente la tasa de interés es anual capitalizable semestralmente.

14.250=-6.000

_-+

1o F. Ayres lr., ob. cit., p.75.

AliaomegaAlfaomega

M, =$1.677.100, M.=$3.330.512, t t,-$7909.360,

VVTEV

0 1 2 3 4 5 6 7 años

Gráfico 5.19. Solución gráfica del ejemplo, cálculo del tiempo equivalente

M, = 1.ooot +oilgi = t t .677,10

,M: = 2.000-('l * 0,12)a,5 - $ 3.330,51

n 1q\ 26'jl3lM, = 3.000 (r . y.Lf,

) =* --

g 7 .909.360,364t

1 .67 7,1 O(,6)'+' 3.i3 3 0, 5 1 (9)' +..7 .949 36( 1 3¡'1' 7)TE=

. ..:t' '.:' ."'

TE=

1'.67.7,1O + 3,330,51 + 7.909i36

1 0.A62,6'' 1' :29.974';61 +:' 104.1 66,2:7

12.916,973,20

: 1144.203;48 ,,

12:916.,9,7,3..20

TE = 1 1;,16,semestres

C ráfi co s. 2 0. So l u cÍ ó n g rá f ica d el eje mrFlói,s&leú:lí:,::.del :.|f!¡:9 q..ún iqo.,

Alíar¡$le-s;r-

Acüvidodes dr

1. Calcule e

$ B.o0o,oo cr

2.iealcule el

$ 3:0.ooo,oo c

durante 9 añc

3¡.Una,,persointérés del 12

debe,'pagar a

4:'Una persa

inte'res,-anual,y$:tneSes?

5;::Añdtés abrizable

,Fla$:los, cált

&,€d.hule el

.:y,,9.'mes-es al

iÍ. ñe"r.:üolbeádo a u

ñló$:,Y..6.mes

,,$:#ri:el, misr

:í¡ié6del 1l

Actividodes de eiercitoción1. Calcule el monto a interés compuesto y a interés simple cle un capital de$ 8.000,00 colocado durante 1o años a una tasa de interés del 12% anuar.

2. Calcule el monto a interés compuesto y el interés compuesto de un capital de$ 30.000,00 colocado a una tasa de interés del 15% anual, capitalizable semestralmentedurante 9 años.

3. Una persona obtiene un préstamo de $ 5.000,00interés del 12"/" anual, capitalizable trinrestralmentedebe pagar a la fecha de vencimiento.

a 1 2 años plazo, con una tasa deCalcule el interés y el monto que

4. Una persona coloca un capital de $ 3.000,00 en una cuenta de ahorros al 6% deinterés anual capitalizable trimestralmente, ¿cuánto habrá en la cuenta al final de B añosy 6 meses?

5. Andrés abre una cuenta de ahorros con $ 800,00, a una tasa de interés del 14./"anual,capitalizable semestralnrente. ¿Cuánto habrá en la cuenta luego de 7años y Z meses?Haga los cálculos en forma matemática y comercial y analice los resultados.

6. Calcule el monto compuesto que acumulará un capital de $ 3.500,00 durante 6 añosy 9 meses al l6'/.anual ion capitalización continua.

7. calcule el monto y el interés compuesto que producirá un capital de $ 58.000.000,00colocado a una tasa de interés del 1B% anual con capitalización continua, durante 15años y 6 meses.

B. En el mismo problema, calcule el monto y el interés compuesto con una tasa deinterés del 1B% anual con capitalización diaria. Analice resultados.

9. ¿A qué tasa efectiva es equivalente una tasa nominal del 12o/o ánual, capitalizablesemestralmente?

10. Resuelva el probrlema anterior buscando la tasa nominal, capitalizablesemestralmente, equivalente a una tasa efectiva del 12,360/o.

11. ¿A qué tasa efectiva equivale una tasa nominal del 9o/" anual, capitalizabletrimestralmente?

12. ¿A qué tasa anual, capitalizable trimestralmente, equivale una tasa efectiva del9,30833 1 B%

13. ¿A qué tasa anual, capitalizable trirnestralmente, se debe colocar: un capital de$ 2.500,00 para que.produzca un monto de 5.520,00 en 10 años? ¿A qué taga efectivaes equivalente?

. *l:":'l:-l ll:l':'::':'ll:"1:',

14" ¿Aqué tasa efectiva se convertirá un capital de $ 5'000'00 en un monto de

$ 8.979,28163 en 12 años?

15. ¿En qué tiempo, en años meses y días, se duplicará un capital de $ 7'000'00

a una tasa de interés efectiva del 7,25'/"¿'

16. ¿En qué tiempo, en años, aumentará en 3A partes más.un capital de

g O.OOO,Oó, considerando una tasa cle interés del 17 .l lBo/o anual, capitalizable

semestralmente?

17. Calcule ei valor actual cle un pagaré cuyo valor al termjno.de 9 años y 6

meses será de $ g.l0ó.00, consiclerJndo una tasa de interés del 13% anual,

capital i zable tri mestral mente.

1 g. De un documento financiero, cuyo valor al término de 1 2 años y 9 meses será de

$l5.000,00,sedeseaconocersuvaloractualluegodetranscurridos2añosy3meses desde la fecha de suscripción, considerando una tasa de interés del B%

anual con capitalización continua'

1g. Un documento financiero, suscrito el día de hoy, por un valo.r de $ 3.800,00 a 5

añosdeplazo,conunatasacleinterés delTo/oanr.ta[,capitalizablesemestralmente,

á"r4" ,, suscripción, se vende 2 años antes de la fecha de vencimiento,

consideranclo una tasa'del 9olo anual, capitalizable cuatrimestralmente' Calcule el

valor de la venta del áocunlento a esa iecha; elabore la gráfica correspondiente'

20. Una persona desea vender una propiedad' q'9 tl"l: un avalúo de

$ 20.000,0b, recibe 3 ofertas: a) g 10.000 al contaclo y $ 10.000 a 60 nreses; b)

é é-OOO ál contado, g 4.000 a 24 meses y $ 7.000 a 60 meses; c) $ 11.000 al

contado, una letra de $ 4.500 a 6 años y otra letra de $ 4'500 a B años' ¿Cuál de

las 3 ofertas le conviene aceptar, considerando que el rendimiento del dinero es

del 21 "A an tral, capital izable qu i mestral mente?

2l.Undocumentode$7.500,00,suscritoeldíadehoya9añosy6mesesplazo, con una tasa de interés del 9"/o anual con capitalización efectiva, desde

iu suscripción, es negociado luego de transcurridos 2 años y nueve meses desde

la fecha de suscripción, .on lai siguientes alternativas: a) una tasa del 127"

anual capitalizable semestralmente; b) una tasa del 9% anual con capitalización

efectiva; c) una tasa del 6olo anual con capitalización continua. Calcule el valor

actual o precio para cada alternativa e indique si es a la par, con premio o con

castigo.

22,tJndocumento suscrito por $ 3.500 a 5 años y 7 meses' con una tasa del

1)in-, *,p¡ulizable trimestraimente, se vencie 2 años y 5 meses d"tpY::,9"'11

fecha de suscripción. corrsiderando una tasa de interés del 13%, capitalizable

semestralmente, calcule el valor de la venta de dicho documento' Haga los

cálculos en forma matemática y comercial'

23. CalcLrle .de un docLrn--

años antes'le

24. Una en ::

tasa del 1 8''tasa del 12 ,

capitalizableurr tienrpo ei;valor del p.r'=

semestraInret

r'qÉ*Béspueslos

1. Monto a I

Monto a ;'

2. Monto = :

3. Monto = :

4. Habrá er'

5, Por la for¡Por la for.'

6.¡4=910

7.M=!iclj

B.M=$9i

12,36

1O.¡=1'2"'

11. i = 9,3t1

12. i = 9"',"'

13. i = B'1,,

14. i = 5"u,

15. t = 9,9

All,lorn{.t?.1

un monto de

e s 7.000,00

:r capital decapitalizable

e9añosy613o/o anual,

meses será ders2añosy3terés del B%

3.800,00 a 5

restralmente,vencimiento,te. Calcule elespondiente.

r avalúo de60 meses; b)¡ 5 11.000 alios. ¿Cuál'dedel dinero es

, l¡¡:¡

:s y 6 meseS

ectivá; deSd,e

meíásldeideasa de[,,,,1i2c/¿

:apitali:laciónl.¡l¿ r¡,[s¿lsy

rremio,ó, bon

.. . .::.:. .. .::: ; .::. :. . ..

":.''uná tasá del

lesp,úél de,lll,ta

capi.l4li:iábl;eto.'|láúá,,las

Allac;ir:ega

;j....l-FF--,

23. Calcule el desci¡ento cornp{-¡esto matermático y el clescuenlo cot.i-lpi,testo bancaric

de un cJocr¡mento cuyo monto ai Íinal de 7 i¡ños es cle $ 7.000.0t10, si {r-¡e descontado 3

años antes cle lafecha de su vencirnler:to con una tasa cie interés del 14% efectiva.

24" Una ernpresa tiene las siguientes deudas: $ 1 000,09{f a 3 años de plazo con una

tasa dei 18% capitalizable senresiralrneniE; $ 5.CI0il.000 a 4 años y 6 meses con una

tas¿ del 127o electiv¿: $ 3.000.0tJ0,¡ b.r¡ios y r) rneses con un.l tasa del 15% anual

capitalizable trirnesiralmente. La emprssa cicsea rcen:plazarias por un únicÓ pago en

un tiempo equivalente para Ios tres vencimie¡ltos. Calcule: a) la fecha de pago,y bl 9lvalor del pagc único, consirJeranoJo urla tasa de intÉ¡'ég **¡ 14?lo anr"ial capitáli2abte

semestralmentc"

'1. Monto a interós compuestü = $ )4.&46,78567Monto a lnterés simple = $ 1 7.600,00

2.Monto=$11A.274,12

3.Monto=$20.661,26

4. Habrá en la cue nta ce ahorroE = $ 4.976,989.1

5, For la forma m¿ter¡litic¿ $ 2':])':6Por la forma comercial $ 2.232,98

6.M=$10.-10b,38

lnterés cor-npuest{) = fi &A.27 4,12

lnterés c(]t'npuestc = $ 15.66'l ,26

I_ q RRI- ]ot, l jF ifj

i = $ 885.648.945,8i

7.M=$,q44.299.148,58

8.M=$943.64CI.948,u1

9. I = I ), jt¡"toefectir'¿

10. ¡ = I2Yo anual capitalizable seniestralmente'

'|'1" i = 9,3083318Yn efectiva, anual

17. i = 9"/o anual capitalizable trirnestralmente.

13, i = 8"/o ánual capitalizable lrinrestralrnente.i = B',243216o4 efectiva,

',4; i = 5Yo efectiva, an¡-lal"

15" t - 9,9 añog ;-p -,-'a¡igs, 'i 0 me,g,qs y 25 d{¡¡,.,

:\rnr,tlt( lr) :\1i)i.l ,:

1 6. 3,40581 B años.

17.C=$2.402,50

1B.C=$6.475,66

19.Valor de la venta del documento = $ 4.489,146167

2O. Laoferta a) X = $ 1 3.654,67542

21. a) $ 7 .744,3293 (con castigo);

b) $ 9.505,7006 (a la Par);c) 1 1 .342,8902 (Premio).

22. Va lor de la venta $ 4 .545 ,19 y $ 4 .5 43 ,61

23. Dc = $ 2.275,2Oy Dbc = $ 2.547,61

24. alTE = 5,368206 años = 1A'736412 semestres'

b) hgo único = $ 18.398.403,52

'l . Calcule el número de períoclos de capitalización y la tasa de interés, por

p"río.lo de capitalización, de un capital colocado a una tasa del 24"/" anual,

capitalizable semestralmente durante 6 años y 9 meses'

2. Calcule el monto, a interés compuesto, de un capital de $ 5.000 colocado a

una tasa de interés clel 1B% anual, capitalizable trimestralmente durante 5 años

y 6 meses.

3. En el problema anterior calcule el monto y el interés compuesto con

capitalización continua.

4. Al nacer su hijo, una madre abre una cuenta de ahorros con un capital. de

$ g00. ¿Cuánto t"Ádrá en la cuenta cuando su hijo cumpla 1B años, si se considera

una tasa cle interés del 'l 5% anual, capitalizable trimestralmente?

5. ¿A qué tasa efectiva es equivalente una tasa del 36olo anual, capitalizable

l rimestra lmente?

6. ¿A qué tasa anual capitalizable trimestralmente es equ¡valente una tasa efectiva

del +l,l 5\2o/ol

7. ¿A qué_ tasa efectiva es equivalente una tasa del 7o/o anuál con capitalización

continua?

8. ¿.\ qué tasa anui-.2508182"/J.

9. Un inversionist'Al consultar en eefectiva del 42oo;

del 3B% anual ca

mensualmente. ;(

con los nrétodos ,

10. Un caPital dr

interés del 9% an

añosy6mesescicon caPitalizació

11. Un docunleres negociado del

interés del 1B9o ¿

negociación.

12. Un docunleruna tasa de inte

después de 2 añ

alternativas: a'

capitalizable ser

Calcule el valor

si es con Premic

13. Una emprel

$5.000a4añrempresa acuerc

años, con una 1

valor del Pago t

14. Una emPre

$8.000a4añ$10.000a7añequivalente Pat

único, conside

;ffi**t(n=r

.a de interés, por,a del 24"/o anual,

5.000 colocado a

:ie durante 5 años

r compuestO cOn

con un capital deios, si se consideralte? : :'

rual, capitalizable

..',', ',",.,,:.',

¡e una tasá,'éfectiVá, .,,,,,..,,,,.,,.,.,,...,.

': ': '

on capitaliiac,iónrr,

8. ¿,4 qué tasa anual con capitalización continua es equivalelrte una tasa efectiva del

7,2sAü82%?

9. Un inversionista tiene un capital de $ 50.000 y desea invertirtro a I5 rreses de plazo.

Al consultar e¡'l el mercado financiero le ofrecen Ias siguientes o¡rciones: a) una tasa

efectiva del 42"k; i:) una tasa del 397" anuai capitalizable sen-lestralmente; c) una tasa

ciel 3B% anual capitalizable trinrestralmente y cl) una tasa del 36% anual ca¡:italizablemensuainrente. ¿Cuál de las cuatro o¡rciones produce nlayor interés? Haga el cáiculo

con los nlétodos ¿nalílico y práct!co.

10. Un capital de $ 7.500,00 suscrilo a l2 años y 9 meses de plazo, con una tasa de

interés del 9% anual con capitalización continua, es negociado luego de transcurridos 2

años y 6 meses desde la fecha de suscripción, con uila tasa de interés del I 3/4Yo anual

con capitalización continua. Calcr,¡lar el valor actual o precio a ia fecha de negociación.

11. Un documento de $ 10.000, sustrilu el dí¿ clo.hoy a 5 años y b nleses de plazo,

es negociado clespr-rés cle 2 aÍios y 3 nreses cle la fecha de suscripción, con una tasa de

interés del 'l 8% anual, capitaiizable trinrestraimente. Calcule su valor actual a la fecha de

negociación.

12. Un documento de $ a.000, suscrito eldía de iroy a 6 años y 9 nreses de plazo¡ con

una tasa de interés del 15% anual, capitalizable semestralrnente clesde 5u suscripción,

después dc 2 años y 6 meses de la fecha de suscr!pción es negoci,rdo con. las siguiente,s

atrternativas: a) una tasa de interés del 18% efectiva; b) una tasa del i57o. anual,

capitalizable semestralmente y c) una tasa del 12olo anr.;al capitali¡able trimestralmente.

Calcule el valor actu,al o precio a la fecha cle negociación para cada alternativa e indique

si es con premio, a la par o con castigo.

13. t-.rna empresa tiene las siguientes cleudas u ohlig,aciones. 5 1.00U ¡ I ¿ño. de plazo;

$ ¡.ooo a 4'años de plazo; $ 7.000 a B años fle piazo; $ 9.CI00 a ic *ños de plazc. L3

empresa acuerda con sLrs acreedores reenrplazar sus cleudas por un solo pago.a lgs Iañés, con ilna, tasa de interes del 14"2' anua[, capitalizab[e se¡¡eslralrnenie. Calcüle el

valor clel pago único.

14. Una empres¿ tiene las siguientes cicuclas u obligaciorres: $ I U.U00 a 3 años de plazo;

$18.000 a 4 añós de plazo; $ 6.000 a 5 años cle- plazo; $ 8.0ü0 a 6 años de plazo ¡r

$r 10;000 a 7 años de piázo. Desea reenrplazar sus deudas Por un solo pago en un tiempo

equlvalente para los 5 vencimiente¡s. Calcule;'a) la fecha de pago y b) el valordel pago

único, conriderando uña tasa de,interés det'6%'anual, iapitalizalile genrestralmente. :

ala;- "'',' -o 1 ) - cn'l]estr.ll-

u/ I ¿ -

Jlr

]EINú

Alnr;rncJo,\4o¡".r Za¡nbr¿ n i

M = 5.000(1 + O,O45Y2 = $ 13.168,26

M=Cejt C = 5.000 e=2,71828182846

360ff7=-=4

90

5(12) + 6a.f

M=C{1 +i)n

360m=-=4. :.r.:..i.. rr90:-.:, .:

1+i=h*!'391-\41:, t:,,,::..::l:.,,::.. . .... . :.r,,::ii:r, r.r.!.1 r.,,.,

1,* r i:,r'1 ;r4lr,.1t g 62,::'

:,

i = O,411582i = 41 ,1582o/o efectiva

1+i =eti=7,75O

1 + 0,07-ln 1,072:O,O7 = xao// lo-A

a) Métod

Primera r

i = 42"n

Segunda

t-t+,=11

1+i:1l. l=42,8

Tercera r

'.....'''t ,;-l'¡ T¡- I

.,:,1..'..

,,,, '':,,1 *i=1

.' ' ,i= 43,71

, , 'Cuarta c' ,

,,t.'

1+i= t

:: '.::a.-,

:: :::,.,::..,: :.'.+ i - 1

',ll.:'¡,.t,¡,.il- +Z,S ;

'llrrrl:l:,,,r.,.:.rlEn gste (

= 0,045 trimestral

(formula 5. l)

M = 5.000 € o'e9 = 5.000 (2,691234472)

. 5(12) + 6L- --1;= t'lc

M,= 5.000 e 0,18is,5)

M ¿ 13.456,17

o;15 0,0375 tiimestral

4

n=(18)12 =721

M = 900(1 + O,A375):2 = $ 1?-.746,36

ia =uo,ut 1+l= 1,a725oB1B1818181 i = 0,0725081818181

i = 7 ,2508181 81 81 8%

1,0725081 B1 81 B = e'

j = o,1B

,1234472)

:ia 1/4

1 + 0,072508181 Bl Bi 81 = e'

ln 1,O725081B1Bt B.l = x ln e

0,07 = x (1)

7o/o = x

a) Método analítico:

Primera oPción:i = 42"/o i= O,42 efectiva, anual

SegLrnda oPción:

1 + i-- I . ry)' (fórmLrla 5'4)

1+i=1,428025i= 42,8O25"/,'

Tercera oPción:

1+i=t.TI

1+l=1,437661i = 43,7661o/o efectiva, anual

Cuarta oPciórr:

1+i=(t.#)''

l+i=1,425761i = 42,5761Yo efectiva, anual

En este caso, le conviene analíticamente la tercera

b) Método Práctico:

Primera opción: Tasa efectiva del 42o/o

M=50.000(1 +0,42)t'2sM = 5 77.505,127.r ='iz'.505,127 - 50.000 = $ 27 '505,127

\lt.rotttega \lld! ¡lilr'{,1

opción i= 43,7661o/"

'\r¡l;¡ n¡ln \,11¡r¡ lamhr¿n

Segunda op;ió;: Í¿sa del 39% anual capitalizablei"rnóttiuirrllntu

' * e!:')"M=s0.000(t , t

M = g 78.05t],03I = 78.053,03 - 50.000 = $ 28.053,03

Tercera opción: Tasa del 3B7o anual capitalizable trimestralmente:

' *g!q)'M=s0.000(, o,

M = 5 78.711,937I = 78.711,937 - 50.000 = $ 28.71 1,937

Cuarta opción:Tasa del 36oó anual capitalizable mensualmente:

M = 5o.ooo (t - T) '

M = S 77.898,37I = 77.898,37 - 50.000 = S 27.8q837

En este caso, le conviene la tercera opción M = $ 78.711,937;t=928.711,937

X 0. Se elahora el gráfico del problema:

t- 0,09 i

'(12x12+9) = 12,75t¿

M :,7..500 (e)0;0e{r2,zs) ¡4 :, 7:500,00(s[,117s = 7.500,00,(3,1r5i073),=23.627 ,30

. (12x12+9)-(2x12+6) 123t- - -1n1f,12 12

C =23,6-27:;,36 s *(t!,¡z!)!0roeiif =,-2,3,,627,30 e -o'sl9{71'=;23,;; 2;l,tg

(0,407842tc = 5 9.636,21

O 12 24 30 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 153 meses

11. Se exprer

0

Gráfico 5,

C-

C-

C-

In=-

Se expn

....1

l

l

l

l'1//-l /:

1,, 1 0

.'.''..

,l' "'^r ,'i Ne

M

M

i:,0;0815

.'::lli::l:.lr'.,,,1_ ::: n =

,tiliti.];:a::::, f ,

:],:::.:,;ll,ll:lii'l:.' C,

j1L..^''._

stralmente

¡ralmente:

almente:

11,937;

11. Se expresa gráficamente el problema:

c=?

tv/

M = $ 10.000

\

Gráfico 5.21. Solución gráfica del problema 11

, - lt5l(12)+ 6l - l(2r(12) + 3l - ,,'3

I 018\rtC = 10.000{1 + "''" I- --- \ 4 I

c = g 5,642,72

C = 5.642,72, ésle es el valor actual o precio del documento a esa fecha

Se expresa el problema gráficanrente:12.

\- -\ r¡\

144 153 meses

3,1 s0r3) =I t":' l"ll

i -,01O875

i27 34.'::'.'::::'

Cráfiio s.22. Sólución gráfica del problema 12

Negociación con una tasa del 18Yo efectiva:

M.=+.'ooo{ri$1.,l'o......

M,a"$ 1O:[116.77 "''

; _- fq(1?).t 9,]1.{{?X,1:)'+-ql *,,4,.,2!'"' .:."'..r,...rr,,,:r: ,tt',,, .-: :,,..1,2 .,,

C;'1,'.0i61,8.77,,\7,:+ 0t1,8);'42:5:' . ":"::' ":: r,',,,,: :l:,

C,,;,r$ i5;25 5.03,,hégOciacjóQ qoú castigo} ,, . rr'l

C=?

tyt

',:l.rt',itt g.r

;\inr,rniio ir'1ora Zanrbrano :

N"g*,a;6" .." """ taiu ¿"t I SV" anual capitalizable semestralmente:

t(6X12) +91 -[(2X121+6] _ q\n= -vtJ

6

C = 10.61 8.771 ,os(1*o-t1llu't

C = $ 5.742.51 (negociación a la par)

Se comprueba:

M = 4.ooolj *qq)t = g s.742.s2\ 2l

Negociación con una tasa del 127" anual capitalizable trimestralmente:

^ - I(6X1Zr + 9i -)9,(D. 3= 17n=-=,,

C = 10.61 BJz(t +912\''

C = $ 6.424.53 (negociación con premio)

13. Se expresa el problema gráficamente;

3.OOO /'-.'--------\ x

/- 5.ooo /-1/'\

9 10 años

(/'13=-

(:11¡=-

x=3.0

x=19

Un sol

14. Se expresa

UrallCO 5'z'

10.0(lE=-

TE=

' Calcl

fl1 =[72 =

x = 1{

x= l1

,: X=$

Pago

Gráfico 5.23. Solución gráfica del'problema 13

(sx12) -A(D,rr-- -,6

(sxl2) - (4){12)

restralmente:

nestraimente:

'-. 9 000

'i 0 años

(s)(12) * (8X12) --66

(5)(12) * (10)(12)=-1 0[14 =

x = 3.000ú *. j¡ 1) I s.oootr + o,o7)2+ 7.000('l' -'---\' ) t

x = 19.466,23

Un solo pago rle $ 19.466,23'

14. Se expresa el problema gráficamente:

+ O,07)-6 + 9.000(1 + 0,07)-10

_l

420.000

42.000

Cráfico 5.24. Solución gráfica del problema 14

10.000(6) + 8.000(8) + 6.000(10) + 8.000(12) + 10.000(14)tt-- .

10.000 + 8.000 + 6.000 + 8'000 + 10.000

TE = 10 senrestres = 5 años

Calculamos el vak:r del Pago único:

f?1 ,= 1O - 6'= 4n2:,'= 1;g -'U =,

n:=10-10=0n¿ + 10 * 1'2 =:2

nq;;10-14.é:.41 .',

*,-] iró.onoir i:0,03¡+ ¡ g,¡1Óo(t,os)l + 6,00ü{1,03)0 +"a.0o0iiu0¡}.¿ +'10.o0-0(i,03)i1

x'*'i1'.255,,09 +8.482,20 + 6,ooo,+ i.s+o;77'a $.fi84,87:' ,": ' ' ','' 'r

y -, g 42.767,.93 :: .. ,..i

Pago único: $42.167,g3

:.1rlil1rl!la

i::::i:l :l:t: t'T?:1't:

Acfividodes de reposo

1. ¿Cuál es l¿ diferencia entre el interés simple y el interés compuesto?

2, ¿Cuál es la fórmula del monto en interés compuesto?

3. ¿Cómo se calcula el interés compuesto?

4. ¿En qué se diferencia una tasa de interés efectiva de una tasa de inlerés

nominal capitalizable varias veces en el año?

5. ¿Qué es más conveniente para un inversionista: una tasa de interés del

457o efectiva o una tasa del 397o anual capitalizable rnensualmente?

6.¿Cuáleslafórmuladelvaloractualeninter'éscompuesto?

7. ¿En qué se diferencia una tasa de interés anticipada de uáa tasa de inre*rés

vencida? ¿Cuál ¡:roduce mayor interés Compuesto? '

B. ¿Cómo se calcula el precio de un documento con interés compuésto? i

,i,g.,,¿Con qué procedimiento de cálculo se pr-rede reenrplazar ün cónjunto de

" lobligaciones o deudas a largo plazo por uno o más pagos?

. ,, 10- jCómo,sé calcula el descuento compuests? ¿Con qué fór,nru'lal ' ) ::

[omplete su oprendizoie ron el (D

que ocompoño o efe libro

t=t=1=l*t=IEIE

Ar

FresentaciórLas anualidadt:uencia en o1r

i' de formació:as o series cle

'ormar capital:as periódicasablas de anro

lara el cálcuk:elar una deur

la anualidadtde pólizas der;ósito, cálcul.r largo plazoianto, es im¡tc

De olra parieCantente, es i

rle y el interéSe incluyen l,

ii nua.

Objetivo gei Conocer y mi

iaciiiten al es

ies o de anloroeriódicas

Objetivos er

= Conocer el cr

de las anuali<

= Calcular el n¡

i Calcular {a re

actual.

: Conocer las irenta,,,períodr

i Cohócer la ar

en la realidatf, Conocer las ¡

. Maneiar las a

All::¡¡'¡*r¡a