Intégration et probabilités Takeo Takahashi.pdf

download Intégration et probabilités Takeo Takahashi.pdf

of 103

Transcript of Intégration et probabilités Takeo Takahashi.pdf

  • Annee 2009-2010

    Integration et Probabilites

    Cours de Mathematiques

    Takeo Takahashi

    Premie`re Annee FICM

    Semestre 2

  • Table des matie`res

    1 Espaces mesures et fonctions mesurables 3

    1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.1 Definition et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.2 Tribu engendree par un ensemble de parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.1.3 Tribus boreliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.1.4 Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2 Mesure positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2.2 Mesures discre`tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2.3 Mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.4 Mesure Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2.5 Proprietes classiques dune mesure positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3 Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.3.1 Definitions et premie`res consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.3.2 Un exemple : les fonctions etagees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.3.3 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.4 Ensembles negligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.5 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.5.1 Preuve de la proposition 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.5.2 Preuve de la proposition 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.5.3 Preuve de la proposition 1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.5.4 Preuve de la proposition 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.5.5 Preuve du corollaire 1.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.5.6 Preuve du corollaire 1.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2 Integrale de Lebesgue 25

    2.1 Definition de lintegrale et premie`res proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.1.1 Integrale dune fonction etagee positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.1.2 Integrale dune fonction mesurable positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.1.3 Integrale dune fonction de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.1.5 Lessentiel de la section 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.2 Proprietes generales de lintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.3 Theore`mes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2.4 Theore`me de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.5 Integrale de Lebesgue sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.5.1 Comparaison avec lintegrale au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.5.2 Integration et derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.5.3 Lessentiel de la section 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.6 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.6.1 Preuve de la proposition 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    1

  • 2.6.2 Preuve de la proposition 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6.3 Preuve de la proposition 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3 Loi dune variable aleatoire 493.1 Esperance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Mesure image et loi dune variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.2 Integration par rapport a` une mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.3 Fonction de repartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.3 Lois discre`tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.1 Definitions et premie`res proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.2 Fonction de repartition dune variable reelle discre`te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.3 Lois discre`tes classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.4 Lois absolument continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.1 Definitions et premie`res proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.2 Fonction de repartition des variables aleatoires absolument continues . . . . . . . . . . . 643.4.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4.4 Lois classiques absolument continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3.5 Melange de lois discre`tes et absolument continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6 Lois marginales dun vecteur aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.7 Comment determiner la loi dune variable aleatoire g(X) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4 Espaces Lp et Lp 734.1 Espaces LP (,A, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    4.1.1 Definitions et premie`res proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.2 Premie`res proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1.3 Inegalites sur les espaces LP (,A, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4.2 Espaces Lp(,A, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2.1 Definitions et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2.2 Sous-espaces denses dans Lp(,A,P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    4.3 Espaces Lp et Lp sur un espace de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3.1 Moments dune variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3.2 Inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    4.4 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.4.1 Preuve du lemme 4.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.4.2 Calculs de quelques moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    A Classes monotones 93

    B Integrales dependant dun parame`tre 97

    C Lois classiques 99C.1 Lois discre`tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99C.2 Lois absolument continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    2

  • Chapitre 1

    Espaces mesures et fonctions mesurables

    Ce chapitre regroupe des concepts de la theorie de la mesure qui permettent de definir lintegrale au sensde Lebesgue. Ces concepts, lies a` la theorie des ensembles, ont permis de formaliser la theorie des probabiliteset des avancees non negligeables en traitement du signal, automatique ou encore en physique.

    Dans ce chapitre, nous introduisons essentiellement les quatre notions suivantes :

    la notion de tribu, la notion de mesure positive, la notion de fonction mesurable, et la notion densemble negligeable.

    En probabilites, ces notions sont utilisees pour modeliser toute experience etudiee. Precisons que le vocabulaireutilise en probabilites nest pas exactement le meme que celui de la theorie de la mesure. Ces differencesde vocabulaire seront signalees au fur et a` mesure du polycopie. Notons que presque toutes les preuves dece chapitre sont donnees par souci detre complets mais sont mises en annexe. Lessentiel est de retenir lesexemples classiques de tribus, fonctions mesurables et mesures.

    1.1 Tribu

    1.1.1 Definition et proprietes

    Une tribu contient les parties de que lon peut ou que lon sait mesurer .

    Definition 1.1 (Tribu)

    Une -alge`bre ou tribu sur un ensemble non vide est un sous-ensemble A de P() tel que(i) A,(ii) A est stable par passage au complementaire, cest-a`-dire que

    si A A, alors \A A,(iii) A est stable par reunion denombrable, cest-a`-dire que

    si (An)nN est une suite delements de A, alorsnN

    An A.

    Si A est une tribu sur un ensemble non vide, le couple (,A) est appele espace mesurable.

    En modelisation, une tribu represente linformation disponible. De`s lors, dans letude de phenome`nesevoluant dans le temps (par exemple, en biologie, finance ou physique), en modelisation, nous introduisonsune famille (At)tI de tribus dependant du temps afin de tenir compte de levolution de linformation.

    3

  • Remarque 1.1 En probabilites, un espace mesurable (,A) est appele espace probabilisable.

    Exemple 1.1 Soit un ensemble non vide.

    1. P() est la plus grande tribu (au sens de linclusion) sur . Elle est appelee tribu triviale sur .2. A = {,} est la plus petite tribu (au sens de linclusion) sur . Elle est appelee tribu grossie`re sur .3. Soit A P() tel que A 6= et A 6= . Alors A = {, A,\A,} est une tribu sur .

    En jouant sur les points (i), (ii) et (iii) de la definition 1.1, la notion de tribu peut aussi etre definie gracea` la proposition suivante.

    Proposition 1.2 (Caracterisation dune tribu)

    Soit un ensemble non vide et A P(). Alors, A est une tribu sur si les trois assertions suivantessont verifiees :

    (i) A,(ii) A est stable par passage au complementaire,(iii) A est stable par intersection denombrable, cest-a`-dire que

    si (An)nN est une suite delements de A, alorsnN

    An A.

    Remarque 1.2 Une tribu est bien sur stable par reunion finie et par intersection finie.

    1.1.2 Tribu engendree par un ensemble de parties

    La proposition suivante assure lexistence dune plus petite tribu A sur contenant un ensemble S P(),ensemble qui caracterise alors la tribu A.

    Proposition 1.3 (Tribu engendree)

    Soient un ensemble non vide et S P() un ensemble non vide de parties de . Alors il existe uneunique tribu (S) sur contenant S et telle que

    si B est une tribu sur contenant S, alors (S) B.La tribu (S) est la plus petite tribu (au sens de linclusion) sur contenant S et est appelee tribuengendree par S sur .

    Preuve de la proposition 1.3.

    Preuve de lexistence. Considerons lensemble T (S) = {A /A tribu sur telle que S A}. Alors,P() T (S). Ainsi, T (S) 6= et nous pouvons alors considerer

    (S) =

    AT (S)A. (1.1)

    En tant quintersection de tribus sur , (S) est aussi une tribu sur (exercice). De plus, par definition,la tribu (S) contient S et est incluse dans toute autre tribu B sur contenant S.

    4

  • Preuve de lunicite. Soient A1 et A2 deux tribus contenant S et telles que pour i = 1, 2,si B est une tribu sur contenant S, alors Ai B.

    Alors A1 A2 car A2 est une tribu sur contenant S. De meme, A2 A1. Par suite, A1 = A2.

    Exemple 1.2 Soit un ensemble non vide.

    1. Si S = {A} avec A P(), alors la tribu engendree par S sur est (S) = {, A,Ac,}.2. Si = [0, 1] et si S = {{0}, {1}}, alors la tribu engendree par S sur est

    (S) = {,, {0}, {1}, ]0, 1], [0, 1[, ]0, 1[, {0, 1}}.

    3. Si = {0, 1} et si S = {{0}, {1}}, alors, la tribu engendree par S sur est (S) = P().

    La proposition suivante compare les tribus engendrees par deux ensembles S et S tels que S S P().

    Proposition 1.4 (Comparaison de tribus engendrees)

    Soit un ensemble non vide. Si S P() et S P() sont deux ensembles non vides de parties de tels que S S , alors,

    (S) (S ),cest-a`-dire que la tribu engendree par S sur contient celle engendree par S sur .

    Preuve de la proposition 1.4. Soient S P() et S P() deux ensembles non vides tels que S S . Alors,S S (S ).

    Ainsi, (S ) est une tribu sur contenant S. Par consequent, (S) (S ) car (S) est la plus petitetribu (au sens de linclusion) sur contenant S.

    La plupart des tribus que nous conside`rerons (tribus boreliennes, tribus produits) seront definies a` laide dela proposition precedente. Par ailleurs, connatre des ensembles simples engendrant une tribu donnee Apeut etre tre`s utile car il nest pas toujours facile de decrire tous les elements de la tribu A (voir par exemplela proposition 1.26 page 14).

    1.1.3 Tribus boreliennes

    Nous definissons les tribus boreliennes sur les espaces metriques a` partir des ensembles ouverts.

    Definition 1.5 (Tribu borelienne B(E))Soit (E, d) un espace metrique. La plus petite tribu sur E contenant tous les ouverts de E est appeleetribu borelienne sur E et est notee B(E). En dautres termes,

    B(E) = (O)

    avec O = {A P(E) /A ouvert de E}. Tout element de B(E) est appele borelien de E.

    5

  • Remarque 1.3 Une tribu etant stable par passage au complementaire, la tribu borelienne B(E) est aussi latribu engendree sur E par lensemble F des fermes de E, cest-a`-dire que B(E) = (F).

    La proposition suivante donne dautres exemples densembles S engendrant B(R). Elle se generalise endimension d > 2 en considerant des paves a` la place des intervalles.

    Proposition 1.6 (Ensembles engendrant B(R))Notons S1 lensemble des intervalles ouverts de R, S2 lensemble des intervalles fermes,

    S3 ={[a, b[ / (a, b) R2, a < b} et S4 = {], a] / a R}.

    Chacun de ces ensembles engendre la tribu borelienne sur R, cest-a`-dire que

    B(R) = (S1) = (S2) = (S3) = (S4).

    Preuve de la proposition 1.6. Voir annexe 1.5.1 page 18.

    Dans les chapitres suivants, nous serons amenes a` considerer la tribu borelienne B(R) sur la droite acheveeR = [,+]. La proposition suivante precise un ensemble lengendrant.

    Proposition 1.7 (Tribu B(R))La tribu borelienne B(R) est la tribu engendree sur R par lensemble {[, a] / a R}, cest-a`-dire que

    B(R) = ({[, a] / a R}).

    Pour terminer, nous precisons quil est assez difficile de construire un sous-ensemble de Rd qui ne soit pasun borelien de Rd mais quil en existe !

    1.1.4 Tribu produit

    Dans cette partie, nous considerons d espaces mesurables (1,A1), . . . , (d,Ad), avec d N,ainsi que lespace produit = 1 d. Nous definissons la tribu produit A1 Ad des tribusA1, . . . ,Ad. Tous les resultats de cette partie sont admis.

    Definition 1.8 (Tribu produit A1 Ad)1. Un rectangle (ou un pave) de A1 . . .Ad est un sous-ensemble de 1 d du type

    A1 A2 Adavec Ai Ai pour tout 1 6 i 6 d.

    2. La tribu produit A1 Ad sur 1 d est la tribu engendree sur 1 d parlensemble des rectangles de A1 . . . Ad, cest-a`-dire par

    {A1 A2 Ad /Ai Ai, 1 6 i 6 d}.

    6

  • Exemple 1.3 Si A1 = P(1) et si A2 = {,2}, alors A1 A2 = {A1 2 /A1 A1}.

    Notation : Lorsque 1 = = n et A1 = = Ad = A, nous posons Ad = A A d fois

    .

    Interessons-nous a` present au cas ou` chaque tribu Ai est engendree par un ensemble Si.

    Proposition 1.9 (Ensembles engendrant A1 Ad)Si pour tout 1 6 i 6 d, Ai = (Si) est la tribu engendree par Si sur i, alors A1 Ad est la tribuengendree par

    S = {A1 Ad /Ai Si, 1 6 i 6 d}sur lensemble 1 d.

    Terminons cette partie en remarquant que la tribu borelienne sur Rd est une tribu produit.

    Proposition 1.10 (Tribu B(Rd))Pour tout d N, B(R)d = B(Rd).

    Remarque 1.4 A` partir des propositions 1.9, 1.10 et 1.6, nous pouvons decrire plusieurs ensembles S engen-drant la tribu borelienne B(Rd).Remarque 1.5 Nous avons aussi : B

    (Rd)= B(R)d.

    1.2 Mesure positive

    1.2.1 Definitions

    Definition 1.11 (Mesure positive)

    Soit (,A) un espace mesurable. Une application definie sur A est une mesure positive sur (,A)si elle verifie les trois assertions suivantes :

    (i) est a` valeurs dans [0,+],(ii) () = 0,(iii) est -additive, cest-a`-dire que

    (nN

    An

    )=nN

    (An), (1.2)

    pour toute suite (An)nN delements de A deux a` deux disjoints (cest-a`-dire telle que pour toutn N, An A et que Ap Am = pour tous p,m N tels que p 6= m).

    Si est une mesure positive sur (,A), le triplet (,A, ) est appele espace mesure.

    7

  • Exemple 1.4 Soient (,A) un espace mesurable et a . Lapplication

    a : A [0,+]

    A 7{

    1 si a A0 si a / A

    est une mesure positive sur (,A) et est appelee mesure de Dirac en a.

    Les Sections 1.2.2 et 1.2.3 presentent deux exemples de mesures : les mesures dites discre`tes et la mesurede Lebesgue. La mesure de Lebesgue sur Rd generalise la notion de longueur si d = 1, daire si d = 2 et devolume si d = 3. Les proprietes (i), (ii) et (iii) definissant la notion de mesure semblent alors naturelles si lonse refe`re aux proprietes de laire et du volume.

    Nous pouvons bien sur donner la mesure dune reunion finie densembles deux a` deux disjoints.

    Proposition 1.12 (Additivite dune mesure)

    Soit une mesure positive sur lespace mesurable (,A). Alors, la mesure est additive sur A, cest-a`-dire que pour tout n N et tous ensembles A1, . . . , An A deux a` deux disjoints,

    (ni=1

    Ai

    )=

    ni=1

    (Ai). (1.3)

    Preuve de la proposition 1.12. Poser Ap = pour p > n+ 1 puis utiliser la -additivite de et () = 0.

    Nous terminons cette section par du vocabulaire et plus precisement en introduisant les mesures finies, lesmesures -finies et les probabilites.

    Definition 1.13 (Mesures -finies, mesures bornees et probabilites)

    Soit une mesure positive sur lespace mesurable (,A).1. La mesure positive est -finie sil existe une suite (An)nN delements de A telle que pour tout

    n N, (An) < + et telle que =

    nN

    An.

    2. La mesure positive est bornee si () < +.

    3. La mesure positive est une probabilite sur (,A) si () = 1.

    Remarque 1.6 Si est une probabilite sur lespace probabilisable (,A), lespace mesure (,A, ) est encoreappele espace de probabilite.

    Remarque 1.7 Une mesure positive bornee sur lespace mesurable (,A) est une mesure -finie. En parti-culier, toute probabilite sur lespace mesurable (,A) est -finie.

    8

  • Exemple 1.5

    1. Soient (,A) un espace mesurable et a . La masse de Dirac a est une probabilite sur (,A).2. Supposons = R et A = B(R). Alors, la mesure positive 0 + 21 est une mesure finie sur (,A) mais

    nest pas une probabilite.

    1.2.2 Mesures discre`tes

    Les mesures discre`tes ont une importance non negligeable en probabilites. Elles sont utiles pour modeliser desphenome`nes aleatoires prenant un nombre fini ou denombrable de valeurs. Des exemples simples de modelisationseront donnes lors de lintroduction des lois de Bernoulli, binomiales ou encore de Poisson (voir chapitre 3).

    Proposition 1.14 (Mesure discre`te)

    Une mesure positive sur lespace mesurable (,A) est dite discre`te sil existe une suite (an)nNdelements de deux a` deux distincts et une suite (n)nN delements de ]0,+] telles que

    =nN

    n an (1.4)

    avec pour tout a , a la masse de Dirac en a et avec pour convention + 0 = 0.

    Preuve de la proposition 1.14. Il sagit de verifier que (1.4) definie bien une mesure positive. Voir Annexe 1.5.2

    page 19.

    Remarque 1.8 En pratique, si est une mesure discre`te, nous pouvons munir lespace de la tribu P().Dans ce cas, avec les notations, de la proposition 1.14, pour tout n N, n = ({an}).

    Exemple 1.6 Soit (,A) un espace mesurable.1. Si a , alors la masse de Dirac a est une mesure discre`te sur (,A).2. Supposons que est fini ou denombrable. Alors, lapplication

    =

    ,

    definie sur P(), est une mesure discre`te sur (,P()). Notons que pour tout A P(), (A) est lecardinal de lensemble A. La mesure est appelee mesure de comptage sur .

    Nous terminons cette partie en remarquant que si lensemble est non vide fini ou denombrable, toutemesure positive sur (,P()) est discre`te.

    Proposition 1.15 (Mesure positive sur un ensemble au plus denombrable)

    Si est un ensemble non vide fini ou denombrable et si est une mesure positive sur (,P()), alorsla mesure est une mesure discre`te sur (,P()) et

    =

    ({}) .

    9

  • Preuve de la proposition 1.15. Etant donne que est une mesure positive, ({}) [0,+] pour tout .Lensemble etant fini ou denombrable, nous pouvons definir sur (,P()) la mesure discre`te

    =

    ({}) .

    Soit A P(). Si A = , (A) = (A) = 0. Supposons A 6= . Les ensembles {}, A, etant deselements de P() deux a` deux disjoints et A etant fini ou denombrable,

    (A) =

    (A

    {})=A

    ({}) = (A).

    Legalite precedente etant verifiee pour tout A P(), = .

    1.2.3 Mesure de Lebesgue

    Mis a` part quelques cas triviaux, il est difficile de definir une mesure non discre`te sur un espace mesu-rable (,A) par une formule. La construction repose en general sur le theore`me de Caratheodory (voir parexemple [1, 3]) et sur le theore`me des classes monotones (voir annexe A page 93). La mesure de Lebesgue seconstruit grace a` ces deux theore`mes. La construction de cette mesure est admise.

    Notations :

    Si I R est un intervalle, nous notons Long(I) sa longueur. Si A P(Rd) et si a Rd, a+A = {a+ y / y A}.

    Proposition 1.16 (Mesure de Lebesgue sur Rd)

    Il existe une unique mesure positive d sur(Rd,B(Rd)) telle que pour tous intervalles I1, I2, . . . , Id de R,

    d(I1 Id) =d

    i=1

    Long(Ii).

    La mesure d est appelee mesure de Lebesgue sur Rd.

    Remarque 1.9 La mesure de Lebesgue d est une mesure -finie sur(Rd,B(Rd)).

    Une deuxie`me caracterisation de la mesure de Lebesgue sur Rd est donnee par le theore`me suivant.

    Theore`me 1.17

    La mesure de Lebesgue sur(Rd,B(Rd)) est lunique mesure positive d sur (Rd,B(Rd)) telle quea Rd, A B

    (Rd), d(a+A) = d(A), (1.5)

    et telle que d([0, 1]d) = 1.

    Remarque 1.10 La propriete (1.5) signifie que la mesure de Lebesgue est invariante par translation.

    Nous navons pas de formule donnant d(A) pour A un borelien quelconque de Rd. Insistons sur le fait que

    la mesure de Lebesgue sur Rd generalise la notion de longueur si d = 1, daire si d = 2 et de volume si d = 3.

    10

  • 1.2.4 Mesure Produit

    Proposition 1.18 (Mesure produit)

    Soient (1,A1, 1) et (2,A2, 2) deux espaces mesures. Si 1 est une mesure positive -finie sur lespacemesurable (1,A1) et si 2 est une mesure positive -finie sur lespace mesurable (2,A2), alors il existeune unique mesure positive sur (1 2,A1 A2) telle que

    A1 A1, A2 A2, (A1 A2) = 1(A1)2(A2)

    avec pour convention 0 + = + 0 = 0 et + + = +. Cette mesure , que nous notonssous la forme

    = 1 2,est appelee mesure produit sur (1 2,A1 A2) et est -finie.

    Remarque 1.11 Si 1 et 2 sont deux mesures positives finies, alors la mesure produit 12 est bien definieet est finie. Si de plus 1 et 2 sont deux probabilites, alors 1 2 est une probabilite.

    Remarque 1.12 La proposition 1.18 se generalise a` lespace produit 1 2 d.

    Exemple 1.7

    1. Pour tout a 1 et tout b 2, a b = (a,b).2. La mesure de Lebesgue 1 etant -finie, dapre`s les propositions 1.16 et 1.18,

    d = 1 1 d fois

    = d1 .

    1.2.5 Proprietes classiques dune mesure positive

    Les demonstrations des propositions suivantes sont mises en annexe.

    Proposition 1.19

    Soit (,A, ) un espace mesure.

    1. Alors, la mesure est croissante sur A (pour linclusion), cest-a`-dire que pour tous A,B A,

    A B = (A) 6 (B).

    2. De plus, pour tous A,B A,

    (A B) + (A B) = (A) + (B).

    3. Soit I un ensemble fini ou denombrable. Si (Ai)iI est une famille delements de A, alors

    (iI

    Ai

    )6iI

    (Ai).

    4. Si est une probabilite, alors, pour tout A A, (Ac) = 1 (A).

    Preuve de la proposition 1.19. Voir Annexe 1.5.3 de ce chapitre, page 20.

    11

  • Donnons a` present la mesure dune reunion croissante ou decroissante densembles mesurables.

    Proposition 1.20 (Continuite monotone)

    Soit (,A, ) un espace mesure.

    1. Si (An)nN est une suite croissante delements de A (cest-a`-dire si An A et An An+1 pourtout n N) alors la suite ((An))nN est une suite croissante et

    (nN

    An

    )= lim

    n+(An).

    2. Si (Bn)nN est une suite decroissante delements de A (cest-a`-dire si Bn A et Bn+1 Bn pourtout n N) telle que (B0) < +, alors la suite ((Bn))nN est une suite decroissante et

    (nN

    Bn

    )= lim

    n+(Bn).

    Preuve de la proposition 1.20. Voir Annexe 1.5.4 de ce chapitre, page 22.

    1.3 Applications mesurables

    Dans cette partie, (,A) et (,A) sont deux espaces mesurables. Nous precisons pour commencerquelques notations.

    Notations : Soit X : une application. Si A est un sous-ensemble de ,

    X1(A)={ / X() A}

    est limage reciproque de A par X. Cet ensemble est aussi note {X A}.

    Par ailleurs, au lieu decrire X : , nous ecrivons

    X : (,A) (,A)pour rappeler que (respectivement ) est muni de la tribu A (respectivement A) et que X est uneapplication definie sur a` valeurs dans .

    1.3.1 Definitions et premie`res consequences

    Definition 1.21 (Application mesurable)

    Une application X : (,A) (,A) est mesurable (par rapport aux tribus A et A) si

    A A, X1(A) A.Remarque 1.13 Si (,A, ) est un espace de probabilite, une application mesurable X : (,A) (,A)est appelee variable aleatoire (en abrege v.a.) a` valeurs dans .

    12

  • Exemple 1.8

    1. Toute application constante est mesurable quelles que soient les tribus A et A.2. Supposons que = R et que A = B(R). Considerons un ensemble A . Rappelons que la fonction

    indicatrice 1A de A est definie par

    1A() =

    {1 si A0 si / A.

    Alors, pour tout A A,11A

    (A)=

    { si 0 / AA si 0 A.

    Par suite, comme A, lapplication 1A : (,A) (R,B(R)) est mesurable si et seulement si A A.

    Remarque 1.14 Considerons un ensemble = [0, 1], A = {0} et les tribus A1 = (A) = {, {0}, ]0, 1],} etA2 = {,}. Si est muni de la tribu A1, la fonction 1{0} : (,A1) (R,B(R)) est mesurable car {0} A1.Par contre, si est muni de la tribu A2, la fonction 1{0} : (,A2) (R,B(R)) nest pas mesurable car{0} / A2. La notion de fonction mesurable depend des tribus dont sont munis les espaces et .

    Lensemble des fonctions mesurables definies sur (muni de la tribu A) a` valeurs dans Rd (muni de la tribuB(Rd)) est un espace vectoriel. De plus, si d = 1, cet ensemble posse`de une structure dalge`bre.Proposition 1.22

    Soit (,A) un espace mesurable.

    1. Soient X : (,A) (Rd,B(Rd)) et Y : (,A) (Rd,B(Rd)) des applications mesurables. Alorspour tout (a, b) R2, lapplication

    aX + bY : (,A)(Rd,B

    (Rd))

    est mesurable. De plus, si d = 1, le produit XY : (,A) (R,B(R)) est mesurable.

    2. Soient (1,A1) et (2,A2) deux espaces mesurables. Si les applications X : (,A) (1,A1) etY : (1,A1) (2,A2) sont mesurables, alors la composee

    Y X : (,A) (2,A2)

    est une application mesurable.

    Remarque 1.15 La proposition 1.22 reste vraie pour des fonctions a` valeurs dans Rdtant que les operations

    sont bien definies et en remplacant la tribu B(Rd) par la tribu B(Rd).Pour terminer cette section, precisons un tout petit changement de vocabulaire dans le cas ou` les espaces

    et sont des espaces metriques munis de leur tribu borelienne.

    Definition 1.23 (Application borelienne)

    Soient et deux espaces metriques. Une application borelienne X : est une applicationX : (,B()) (,B()) mesurable (par rapport aux tribus boreliennes B() et B()).

    13

  • 1.3.2 Un exemple : les fonctions etagees

    Nous donnons a` present un exemple important de fonctions mesurables : les fonctions etagees. Lintegralede Lebesgue sera construite pour des fonctions etagees positives puis prolongee par un argument de densite.

    Definition 1.24 (Fonction etagee)

    Soit (,A) un espace mesurable. Une application X : (,A) (R,B(R)) est etagee siX =

    ni=1

    i1Ai

    avec n N, A1, . . . , An A des ensembles mesurables non vides deux a` deux disjoints, i R pour touti = 1, . . . , n et avec la convention + 0 = 0 = 0.

    Remarque 1.16 Une fonction etagee X : (,A) (R,B(R)) est mesurable en tant que combinaison lineairefinie de fonctions mesurables. De plus, dans la definition 1.24, nous pouvons supposer que les ensembles Ai,1 6 i 6 n, forment une partition de (quitte a` introduire An+1 = (

    ni=1Ai)

    c et n+1 = 0).

    Exemple 1.9

    1. Toute fonction constante a` valeurs dans R est une fonction etagee.

    2. Soit I un intervalle de R. Une fonction f : I R en escalier prenant un nombre fini de valeurs est unefonction etagee sur lespace mesurable (I,B(I)).

    3. La fonction 1Q est une fonction etagee mais nest pas une fonction en escalier.

    Terminons cette section en remarquant quune fonction etagee est simplement une fonction mesurable quine prend quun nombre fini de valeurs.

    Proposition 1.25

    Soient (,A) un espace mesurable et X : R une application.

    1. Alors la fonction X est etagee si et seulement si X : (,A) (R,B(R)) est une applicationmesurable qui prend un nombre fini de valeurs.

    2. De plus, si X est une fonction etagee prenant exactement les n valeurs distinctes 1, . . . , n alors

    X =ni=1

    i1Ai avec Ai = X1({i}).

    1.3.3 Proprietes

    Donnons un crite`re de mesurabilite tre`s utile dans le cas ou` la tribu A est engendree par un ensemble S .

    Proposition 1.26 (Crite`re de mesurabilite lorsque A = (S))

    Soient (,A) et (,A) deux espaces mesurables. Supposons que A = (S ) est la tribu engendree parS P() sur . Alors la fonction X : (,A) (,A) est mesurable si et seulement si

    A S , X1(A) A.

    14

  • Preuve de la proposition 1.26. Voir annexe 1.5.5 page 23.

    Nous pouvons a` present donner un exemple simple de fonctions boreliennes : les fonctions continues.

    Corollaire 1.27

    Si E et F sont deux espaces metriques, alors toute application X : E F continue est borelienne.

    Preuve du corollaire 1.27. Notons O lensemble des ouverts de E et O lensemble des ouverts de F .Lapplication X etant continue,

    A O, X1(A) O B(E).Alors, dapre`s la proposition 1.26, lapplication X est borelienne car (O) = B(F ).

    Etudions la mesurabilite dune fonction a` valeurs dans un espace produit.

    Corollaire 1.28 (Mesurabilite dune fonction a` valeurs dans 1 d)

    Soient (,A), (1,A1), . . . , (d,Ad) des espaces mesurables. Nous munissons lespace 1 d dela tribu produit A1 Ad. Considerons des applications

    X(i) : i, 1 6 i 6 d

    ainsi que lapplication X =(X(1), . . . ,X(d)

    ). Alors, lapplication

    X : (,A) (1 d,A1 Ad)

    est mesurable si et seulement si pour tout 1 6 i 6 d, X(i) : (,A) (i,Ai) est mesurable.

    Preuve du corollaire 1.28. Voir Annexe 1.5.6, page 24.

    Etudions a` present la mesurabilite dune limite simple de fonctions mesurables.

    Proposition 1.29 (Limite simple de fonctions mesurables)

    Considerons (Xn)nN une suite dapplications mesurables definies sur muni de la tribu A a` valeursdans R

    dmuni de la tribu B

    (Rd). Si (Xn)nN converge simplement vers la fonction X, cest-a`-dire si

    , Xn() n+ X(),

    alors la fonction X : (,A)(Rd,B(Rd))

    est mesurable.

    Remarque 1.17 Nous pouvons remplacer Rdpar Rd ou par I B

    (Rd)dans la proposition precedente.

    Remarque 1.18 En tant que limite simple de fonctions etagees (ou de fonctions en escalier), toute fonctionconstante par morceaux sur R est borelienne.

    15

  • Preuve de la proposition 1.29.

    Supposons d = 1. La suite (Xn)nN convergeant simplement vers X,

    t R, {X 6 t} ={

    limn+Xn 6 t

    }=pN

    nN

    m>n

    {Xm 6 t+

    1

    p

    }.

    Les variables Xk, k N, etant mesurables, pour tout m N, tout p N et tout t R,{Xm 6 t+

    1

    p

    }= X1

    ([, t+ 1

    p

    ]) A

    car[, t+ 1p

    ] B(R). La tribu A etant stable par reunion denombrable et intersection denombrable,

    t R, {X 6 t} =pN

    nN

    m>n

    {Xm 6 t+

    1

    p

    } A.

    Dapre`s la proposition 1.26, lapplication X est mesurable car B(R) = ({[, t] / t R}) . Le cas d > 2 est une consequence de la premie`re partie de cette preuve et du corollaire 1.28.

    Terminons cette section par un exemple.

    Exemple 1.10 Considerons lapplication

    f : R R Rx 7 (cos(x), [x])

    ou` [y] designe la partie entie`re du reel y.

    La fonction cos etant continue sur R, elle est borelienne dapre`s le corollaire 1.27. La fonction partie entie`re etant constante par morceaux sur R, elle est borelienne dapre`s la remarque 1.18.Alors, dapre`s le corollaire 1.28, lapplication f est borelienne car B(R2) = B(R) B(R).

    1.4 Ensembles negligeables

    Jetons une pie`ce de monnaie equilibree une infinite de fois. Leve`nement la pie`ce tombe toujours sur face

    est un eve`nement non vide de probabilite nulle ; il sagit dun eve`nement negligeable. La notion densemblesnegligeables joue un role important en theorie de la mesure (voir par exemple le chapitre 4).

    Definition 1.30 (Ensemble negligeable)

    Soit (,A, ) un espace mesure.

    1. Une partie N de est dite -negligeable si

    A A tel que N A et (A) = 0.

    2. Une propriete () qui depend de est dite vraie -presque partout si lensemble{ /() est fausse} est -negligeable.

    16

  • Remarque 1.19 Si lespace (,A, ) est un espace de probabilite (cest-a`-dire si est une probabilite sur(,A)), une propriete vraie -presque partout est dite vraie -presque surement.

    Remarque 1.20 Un negligeable N P() nappartient pas necessairement a` la tribu A. Par consequent, lamesure de N nest pas en general definie. Mais si N A, N est -negligeable si et seulement si (N) = 0.

    Exemple 1.11 Soit (,A, ) un espace mesure.1. Tout ensemble mesurable de mesure nulle est negligeable.

    2. Deux fonctions X et Y sont egales presque partout si { /X() 6= Y ()} est negligeable.3. Une suite de fonctions (Xn)nN converge presque partout vers X sil existe un ensemble negligeable N

    tel que si / N , Xn() converge vers X().4. Une fonction X est definie presque partout sur si elle est definie sur \N avec N negligeable.

    Proposition 1.31

    Soit (,A, ) un espace mesure.

    1. Soient N P() et N P(). Si N N et si N est negligeable alors N est negligeable.2. Soit I un ensemble fini ou denombrable. Si (Nk)kI est une famille densembles negligeables, alors

    lensemblekI

    Nk est negligeable.

    Introduisons a` present la notion despace mesure complet.

    Definition 1.32 (Espace mesure complet)

    Un espace mesure (,A, ) est complet si toute partie negligeable appartient a` A.

    Attention : Ne pas confondre la notion despace mesure complet et la notion despace metriquecomplet. Ces notions ne sont pas liees.

    Le theore`me suivant montre que lon peut toujours supposer quun espace mesure est complet.

    Theore`me 1.33 (Completion dun espace mesure)

    Soit (,A, ) un espace mesure. Notons N lensemble des parties -negligeables de (,A) et

    A = {A N /A A, N N}.

    1. A est la plus petite tribu contenant A et N , cest-a`-dire que A = (A N ).2. Il existe une unique mesure positive sur (,A) telle que

    A A, (A) = (A).

    3. Lespace mesure (,A, ) est complet.4. Si est une probabilite sur (,A), est une probabilite sur (,A).

    17

  • Remarque 1.21 Soit (,A, ) un espace mesure. Si f : (,A) (,A) est mesurable par rapport auxtribus A et A, alors f : (,A) (,A) est mesurable par rapport aux tribus A et A car A A.

    Exemple 1.12

    1. Lespace (,P(), ) est toujours complet.2. Lespace mesure

    (Rd,B(Rd), d) nest pas un espace complet. La tribu completee

    L(Rd)= B

    (Rd)d

    est appelee tribu de Lebesgue sur Rd. Par ailleurs, lunique mesure prolongeant la mesure de Lebesgued a` L

    (Rd)est toujours notee d et appelee mesure de Lebesgue sur R

    d.

    Lorsque lon conside`re des espaces mesures complets au sens de la definition 1.32, un des avantages est quesi lon modifie une fonction mesurable sur un negligeable, on obtient une nouvelle fonction mesurable.

    Proposition 1.34

    Soient (,A, ) un espace mesure complet.1. Soit f : (,A) (,A) une fonction mesurable. Si g est egale -presque partout a` f , alors la

    fonction g : (,A) (,A) est mesurable.2. Pour tout n N, considerons Xn : (,A)

    (R,B(R)) une fonction mesurable. Supposons que

    pour -presque tout , la suite (Xn())nN converge vers une limite notee X() dans R,cest-a`-dire quil existe un ensemble negligeable N tel que

    w / , Xn() n+ X().

    La fonction X nest donc a priori definie que -presque partout. Tout prolongement de X sur estmesurable par rapport aux tribus A et B(R).

    1.5 Annexes

    1.5.1 Preuve de la proposition 1.6, voir enonce page 6

    Soit O (respectivement F) lensemble des ouverts (respectivement fermes) de R. Alors, B(R) = (O) = (F).1. Montrons que (S1) = B(R).

    Etant donne que S1 O dapre`s la proposition 1.4 page 5,(S1) (O) = B(R). (1.6)

    Soit A O. Louvert A secrit comme une reunion denombrable dintervalles ouverts, cest-a`-dire que

    A =nN

    An

    avec An S1 pour tout n N. La tribu (S1) etant stable par reunion denombrable, A (S1). Parconsequent, O (S1). Alors, B(R) = (O) (S1) car (O) est la plus petite tribu sur R contenant O.Vu linclusion (1.6), B(R) = (S1).

    18

  • 2. Montrons que (S2) = B(R).

    Etant donne que S2 F , dapre`s la proposition 1.4 page 5,(S2) (F) = B(R). (1.7)

    Soit A S1 un intervalle ouvert. Alors Ac (S2) (car Ac est une reunion denombrable dintervallesfermes). La tribu (S2) etant stable par passage au complementaire, A (S2). Par consequent, S1 (S2).Alors,

    (S1) = B(R) (S2) (1.8)car (S1) est la plus petite tribu sur R contenant S1.

    Vu les inclusions (1.7) et (1.8), B(R) = (S2).

    3. Montrons que (S3) = (S4) = B(R).

    Etant donne que S4 S2, dapre`s la proposition 1.4 page 5,(S4) (S2) = B(R). (1.9)

    Soit I S3. Par definition de S3, il existe (a, b) R2 tel que a < b et I = [a, b[. Alors,

    I = [a, b[=

    +n=1

    (], b 1

    n

    ]], a 1

    n

    ]c).

    La tribu (S4) etant stable par passage au complementaire et intersection denombrable, I (S4). Parconsequent, S3 (S4) car pour tout c R, ] , c] S4 (S4). Alors, etant donne que (S3) est laplus petite tribu sur R contenant S3,

    (S3) (S4). (1.10)

    Remarquons que R =+n=1

    [n, n[. De plus, pour tout (a, b) R2,

    ]a,+[=+n=1

    [a+

    1

    n, n

    [, ], b[=

    +n=1

    [n, b 1

    n

    [et, si a < b, ]a, b[=

    +n=1

    [a+

    1

    n, b 1

    n

    [.

    Alors, par stabilite par reunion denombrable de (S3) qui contient S3, R (S3), ]a,+[ (S3) et]a, b[ (S3) pour tous reels a, b tels que a < b. Ainsi, S1 (S3). Etant donne que (S3) est une tribu surR contenant S1,

    (S1) = B(R) (S3). (1.11)

    Vu les inclusions (1.9), (1.10) et (1.11), B(R) = (S3) = (S4).

    1.5.2 Preuve de la proposition 1.14, voir enonce page 9

    Considerons (n)nN des mesures positives sur (,A) et (n)nN ]0,+]N. En adoptant les conventions+ 0 = 0 et ++ = +, nous allons montrer que lapplication

    =nN

    n n : A [0,+]A 7

    nN

    n n(A) (1.12)

    est bien definie et est une mesure positive sur (,A). En particulier, nous aurons montre quenN

    nan est

    bien une mesure positive.

    19

  • 1. Montrons que est bien definie a` valeurs dans [0,+].

    Soit A A. Pour tout n N, etant donne que n ]0,+] et n(A) [0,+],n n(A) [0,+]

    car par convention + 0 = 0 et ++ = +. Alors, en tant que somme delements de [0,+],

    (A) =nN

    nn(A)

    est bien defini et (A) [0,+].2. Montrons que est -additive.

    Soit (Ap)pN une suite delements de A deux a` deux disjoints. Alors,

    pNAp

    = +

    n=0

    n n

    pNAp

    = +

    n=0

    n

    +p=0

    n(Ap)

    par definition de et par -additivite des mesures n, n N. Remarquons que pour tout n N,

    n

    +p=0

    n(Ap) =

    +p=0

    n n(Ap).

    Legalite precedente est evidente si n < +. Dans le cas ou` n = +, on verifie aisement (laisse enexercice) que legalite reste vraie vu les conventions adoptees. Ainsi,

    pNAp

    = +

    n=0

    +

    p=0

    n n(Ap)

    .

    Tous les termes etant dans [0,+], nous pouvons echanger les deux sommes et ainsi ecrire

    pNAp

    = +

    p=0

    (+n=0

    n n(Ap)

    )=

    +p=0

    (Ap).

    3. Etant donne que n() = 0 pour tout n N et que par convention + 0 = 0,

    () =nN

    nn() =nN

    n 0 = 0.

    Vu les points 1., 2. et 3. est une mesure positive sur (,A).

    1.5.3 Preuve de la proposition 1.19, voir enonce page 11

    1. Montrons que est croissante pour linclusion.

    Soient A,B A tels que A B. Alors,B = B\A A

    avec B\A = B Ac A (car A est une tribu contenant A et B). Les ensembles mesurables B\A et A etantdisjoints, par additivite de ,

    (B) = (B\A) + (A).Alors, etant donne que (B\A) > 0, (A) 6 (B).

    20

  • 2. Montrons lassertion 2. de la proposition 1.19.

    Soient A,B A. Alors, par stabilite par reunion finie de la tribu A, A B A et donc (A B) est biendefini. De meme par stabilite par intersection fini de A, (A B) est bien defini.Remarquons que A B = A (B\A). Les ensembles A et B\A sont disjoints et appartiennent a` A (carA,B A et car A est une tribu). Alors, par additivite de la mesure ,

    (A B) = (A) + (B\A).Dou`, (A B) + (A B) = (A) + (B\A) + (A B).De plus, les ensembles B\A A et AB A sont disjoints et (B\A) (A B) = B. Alors, par additivitede la mesure ,

    (B\A) + (A B) = (B).Par consequent,

    (A B) + (A B) = (A) + (B\A) + (A B) = (A) + (B).

    3. Montrons lassertion 3. de la proposition 1.19.

    Supposons I infini denombrable. Nous pouvons alors supposer I = N. Considerons alors (An)nN une suitedelements de A. Posons A0 = A0 et pour tout n N,

    An = An\n1k=0

    Ak =

    n1k=0

    An Ack.

    Alors les An, n N, sont des elements de A (car A est stable par intersection finie et passage aucomplementaire) deux a` deux disjoints. De plus,

    A0 An = A0 An etnN

    An =nN

    An.

    Par consequent, par -additivite de la mesure ,

    (nN

    An

    )=

    (nN

    An

    )=nN

    (An) = limk+

    kn=0

    (An).

    Ainsi, par additivite de ,

    (nN

    An

    )= lim

    k+(A0 Ak) (1.13)

    car les ensembles A0, . . . , Ak A sont deux a` deux disjoints.

    De plus, pour tout A,B A, en appliquant lassertion 2. de la proposition 1.19 (assertion demontree) et enutilisant la positivite de , nous constatons que

    (A B) 6 (A) + (B).En raisonnant par recurrence sur n, nous montrons alors que

    (k

    n=0

    An

    )=

    (k

    n=0

    An

    )6

    kn=0

    (An). (1.14)

    Dou`, en faisant tendre k + dans (1.14) et en utilisant (1.13), nous avons :

    (nN

    An

    )6

    +n=0

    (An).

    21

  • Supposons I fini. Nous pouvons alors supposer I = {0, 1, . . . , p} avec p N. Considerons (Ai)iI unefamille de A. Posons An = pour tout entier n > p. Alors,

    (iI

    Ai

    )=

    (nN

    An

    )6

    +n=0

    (An) =iI

    (Ai)

    car pour tout entier n > p, (An) = () = 0.4. Montrons lassertion 4. de la proposition 1.19.

    Supposons que est une probabilite sur (,A) et prenons A A. Etant donne que A et Ac sont deuxelements de A, dapre`s lassertion 2. de la proposition 1.19 (assertion demontree),

    (A Ac) + (A Ac) = (A) + (Ac).Alors, comme A Ac = , A Ac = et () = 0,

    () = (A) + (Ac).

    La mesure etant une probabilite, () = 1 et (Ac) < +. Par consequent, (A) = 1 (Ac).

    1.5.4 Preuve de la proposition 1.20, voir enonce page 12

    1. Montrons lassertion 1. de la proposition 1.20.

    Soit (An)nN une suite croissante delements de A. Alors, dapre`s lassertion 1. de la proposition 1.19, lasuite ((An))nN est une suite croissante dans [0,+]. Elle admet donc une limite dans [0,+].

    Posons A0 = A0 et pour tout n N,An = An\An1.

    Pour tout n N, An A car A est une tribu qui contient les ensembles Ap, p N. Par ailleurs, les ensemblesAn, n N, sont deux a` deux disjoints car Ap Ap+1 pour tout p N. Alors, en utilisant ladditivite et la-additivite de comme dans la preuve de la proposition 1.19, nous obtenons :

    (nN

    An

    )=nN

    (An)= lim

    k+

    (k

    n=0

    An

    ).

    Par definition des ensembles Ap, pour tout k N,

    Ak =

    kn=0

    An etnN

    An =nN

    An.

    Par suite,

    (nN

    An

    )=

    (nN

    An

    )= lim

    k+

    (k

    n=0

    An

    )= lim

    k+(Ak).

    2. Montrons lassertion 2. de la proposition 1.20.

    Soit (Bn)nN une suite decroissante delements de A. Pour tout n N, posons An = B0\Bn. La suite(An)nN est alors une suite croissante delements de A. Remarquons que

    nN

    An = B0\(nN

    Bn

    )

    22

  • avec (B0) < +. Par consequent, dapre`s lassertion 2. de la proposition 1.19 page 11,

    (nN

    An

    )= (B0)

    (nN

    Bn

    )

    car (

    nN Bn)6 (B0) < +. En appliquant lassertion 1. de la proposition 1.20 (assertion demontree)

    a` la suite croissante (An)nN, nous obtenons alors :

    (B0) (nN

    Bn

    )=

    (nN

    An

    )= lim

    k+(Ak).

    De plus, pour tout n N, dapre`s lassertion 2. de la proposition 1.19 page 11,(An) = (B0) (Bn)

    car (Bn) 6 (B0) < + (par croissance de pour linclusion). Par consequent,

    (B0) (nN

    Bn

    )= lim

    k+(Ak) = (B0) lim

    k+(Bk),

    Alors,

    (nN

    Bn

    )= lim

    k+(Bk)

    car (B0) < +.

    1.5.5 Preuve du corollaire 1.26, voir enonce page 14

    Considerons une fonction X : . Si X : (,A) (,A) est mesurable, alors pour tout A S , X1(A) A car S A.

    Reciproquement, supposons que pour tout A S , X1(A) A. Considerons lensembleT = {A A /X1(A) A}.

    Montrons que T est une tribu sur .(i) Par definition, T P() car A P().(ii) A etant une tribu sur , X1() = A. Alors, par definition de T , T .(iii) Soit B T . Alors, X1(B) A. La tribu A etant une tribu, X1(Bc) = X1(B)c A. Ainsi, par

    definition de T , Bc T . Ceci etant vrai pour tout B T , T est stable par passage au complementaire.(iv) Soit (Bn)nN une famille de T . Remarquons que

    X1(nN

    Bn

    )=nN

    X1(Bn).

    Pour tout n N, X1(Bn) A. Alors, par stabilite par reunion denombrable de la tribu A,

    X1(nN

    Bn

    )=nN

    X1(Bn) A

    et doncnN Bn T . Ceci etant vrai pour toute famille (Bn)nN de T , T est stable par reunion

    denombrable.

    23

  • Dapre`s (i), (ii), (iii) et (iv), T est une tribu sur . De plus,

    S T A.

    La tribu A = (S) etant la plus petite tribu sur contenant S , nous avons : A T . Alors, par definitionde T ,

    A A, X1(A) A.Lapplication X : (,A) (,A) est donc mesurable.

    1.5.6 Preuve du corollaire 1.28, voir enonce page 15

    Rappelons que par definition,

    A1 Ad = ({A1 Ad /Ai Ai, 1 6 i 6 d}).

    Par consequent, dapre`s la proposition 1.26 page 14, X : (,A) (1 d,A1 Ad) estmesurable si et seulement si

    (A1, . . . , Ad) A1 Ad, X1(A1 Ad) =d

    i=1

    (X(i)

    )1(Ai) A.

    Supposons que tous les X(i) : (,A) (i,Ai), 1 6 i 6 d, sont mesurables. Alors, pour tout 1 6 i 6 det pour tout Ai Ai, (

    X(i))1

    (Ai) A.Par consequent, par stabilite de A par intersection finie,

    (A1, . . . , Ad) A1 Ad,di=1

    (X(i)

    )1(Ai) A,

    ce qui signifie que X : (,A) (1 d,A1 Ad) est mesurable.

    Supposons que X : (,A) (1 d,A1 Ad) est mesurable. Fixons 1 6 i 6 d. PosonsAj = j pour j 6= i, 1 6 j 6 d. Alors, pour tout Ai Ai,(

    X(i))1

    (Ai) = X1(A1 Ad) A

    car pour j 6= i, (X(j))1(Aj) = et car X est mesurable. Ainsi, X(i) : (,A) (i,Ai) est mesurable, etce quel que soit 1 6 i 6 d.

    24

  • Chapitre 2

    Integrale de Lebesgue

    Dans ce chapitre, (,A, ) est un espace mesure. Nous allons definir lintegrale dune fonction f ayantde bonnes proprietes sur lensemble par rapport a` . Lorsquelle est bien definie, cette integrale est noteeindifferemment sous lune des formes suivantes (en fonction des livres) :

    (f),

    f d,

    f d,

    f(x) d(x) et

    f(x)(dx).

    Apre`s avoir defini lintegrale au sens de Lebesgue (section 2.1), nous nous interessons a` ses proprietes (sec-tions 2.2, 2.3 et 2.4) puis la comparons a` lintegrale au sens de Riemann lorsque R. La section 2.2 regroupedes proprietes generales de lintegrale de Lebesgue. Dans la section 2.3, nous donnons des theore`mes permettantdechanger limite et integrale, cest-a`-dire decrire

    limn+

    fnd =

    limn+ fnd.

    Ces theore`mes ont pu etre enonces en classe preparatoire dans le cadre des fonctions continues sur R. Lintegraleintroduite par Henri Lebesgue permet de les demontrer assez simplement dans un cadre bien plus general.La section 2.4 est quant a` elle dediee au theore`me de Fubini, theore`me qui permet de ramener le calcul duneintegrale double sur un espace produit 1 2 aux calculs dintegrales simples . Enfin, la section 2.5est consacree a` la comparaison de lintegrale au sens de Riemann avec celle au sens de Lebesgue.

    Dans tout ce chapitre, nous considerons des fonctions definies sur a` valeurs dans R mesu-rables lorsque lespace de depart est muni de la tribu A et lespace darrivee R de la tribuborelienne B

    (R). Par ailleurs, E+ designe lensemble des fonctions etagees sur (,A) a` valeurs dans

    [0,+] et nous adoptons les conventions suivantes :

    + 0 = 0 (+) = 0,(+) + (+) = +,(+) (+) = +a > 0, a (+) = +.

    (2.1)

    2.1 Definition de lintegrale et premie`res proprietes

    2.1.1 Integrale dune fonction etagee positive

    La fonction etagee la plus simple est une indicatrice. Commencons par donner la definition de son integrale.

    Definition 2.1 (Integrale dune indicatrice)

    Soit A A. Lintegrale de la fonction 1A par rapport a` la mesure sur est la mesure (A)de A, cest-a`-dire que

    1A d = (A).

    25

  • Exemple 2.1

    1. Supposons que = a avec a . Alors, pour tout A A,1A da = 1A(a).

    2. Supposons = R et = 1. Alors, pour tout a, b R tels que a < b,R

    1[a,b] d1 = 1([a, b]) = b a.

    Lintegrale de la fonction f = 1[a,b] peut sinterpreter comme la longueur de lintervalle [a, b] mais aussicomme laire entre la courbe representative de la fonction f = 1[a,b] et laxe des abscisses.

    Considerons maintenant une fonction f etagee a` valeurs dans [0,+], cest-a`-dire une fonction de la forme

    f =

    ni=1

    i1Ai , (2.2)

    avec n N, i [0,+] pour tout i = 1, . . . , n et (Ai)16i6n An. Lorsque lon definit une notion dintegrale,il est classique de faire en sorte que cette integrale soit lineaire (comme lest lintegrale de Riemann). Parconsequent, il est naturel de vouloir definir lintegrale de f par

    f d =

    ni=1

    i

    1Ai d =

    ni=1

    i(Ai). (2.3)

    La valeur de (2.3) ne depend pas de lecriture (2.2), ce qui permet decrire la definition suivante.

    Definition 2.2 (Integrale dune fonction etagee positive)

    Soit f une fonction etagee a` valeurs dans [0,+]. Ecrivons

    f =ni=1

    i1Ai ,

    avec n N, i [0,+] pour tout 1 6 i 6 n et (Ai)16i6n An. Lintegrale de f sur parrapport a` est alors definie (sans ambigute) par

    fd =

    ni=1

    i(Ai).

    Exemple 2.2

    1. Soient a et f =ni=1

    i1Ai avec n N, (Ai)16i6n An et (i)16i6n [0,+]n. Alors,f da =

    ni=1

    ia(Ai) =

    ni=1

    i1Ai(a) = f(a).

    2. Supposons = R et = 1. Considerons la fonction en escalier f =n

    i=1 i1[ti,ti+1[ avec n N, i R+et t1, . . . , tn+1 des reels tels que t1 6 6 tn+1. Alors,

    R

    f d1 =

    ni=1

    i(ti+1 ti).

    26

  • Nous enoncons a` present deux proprietes de lintegrale. La premie`re nous sera utile pour definir lintegralede fonctions mesurables positives (voir proposition 2.17 pour une version plus generale).

    Proposition 2.3

    Soient f et g deux fonctions etagees a` valeurs dans [0,+].

    1. Si f > g, alors

    f d >

    g d.

    2. De plus,

    f d = 0 f = 0 -presque partout.

    Preuve de la proposition 2.3. Soient f et g deux fonctions etagees a` valeurs dans [0,+]. Il existe alors unefamille (Ai)16i6n An, avec n N, densembles formant une partition de telle que

    f =

    ni=1

    i 1Ai et g =

    ni=1

    i 1Ai

    avec i, i [0,+] pour tout 1 6 i 6 n. Supposons que f > g. Les ensembles Ai, 1 6 i 6 n formantune partition de , pour tout 1 6 i 6 n, i > i.

    1. Alors, vu les conventions adoptees, pour tout 1 6 i 6 n, i (Ai) > i (Ai) car (Ai) > 0. Parsuite,

    f d =

    ni=1

    i (Ai) >

    ni=1

    i (Ai) =

    g d.

    2. Etant donne que (Ai)16i6n est une famille de A et est une partition de ,

    f = 0 -presque partout 1 6 i 6 n, i = 0 ou (Ai) = 0.

    Alors, vu les conventions (2.1), f = 0 -presque partout 1 6 i 6 n, i (Ai) = 0.Etant donne que pour tout 1 6 i 6 n, i(Ai) > 0,

    f d =

    ni=1

    i(Ai) = 0 (1 6 i 6 n, i (Ai) = 0) f = 0 -presque partout.

    2.1.2 Integrale dune fonction mesurable positive

    Dans cette partie, f : (,A) ([0,+],B([0,+])) est une fonction mesurable. Afin de definir lintegralede f , nous approchons la fonction f par une suite de fonctions etagees.

    Proposition 2.4 (Approximation de f par une suite de fonctions etagees)

    Si f : (,A) ([0,+],B([0,+])) est une fonction mesurable a` valeurs dans [0,+], alors il existeune suite (fn)nN croissante de fonctions etagees definies sur (,A) a` valeurs dans [0,+] qui convergesimplement vers f , cest-a`-dire telle que

    , fn() n+ f().

    Preuve de la proposition 2.4. Voir annexe 2.6.1 page 44.

    27

  • Nous pouvons donc considerer une suite de fonctions etagees (fn)nN a` valeurs dans [0,+] telle que , lim

    n+ fn() = f().

    Alors, dapre`s la proposition 2.3, la suite (fn d

    )nN

    est une suite croissante delements de [0,+] donc admet une limite dans [0,+]. La proposition suivantemontre que cette limite de depend pas du choix de la suite (fn)nN, ce qui permet de poser

    f d = lim

    n+

    fn d.

    Proposition 2.5

    Si (gn)nN et (fn)nN sont des suites croissantes de fonctions etagees a` valeurs dans [0,+] convergeantsimplement vers f , alors les suites

    (fn d

    )nN

    et

    (gn d

    )nN

    convergent dans [0,+] et

    limn+

    fn d = lim

    n+

    gn d.

    Preuve de la proposition 2.5. Voir annexe 2.6.2 page 45. La preuve utilise lassertion 2. de la proposition 2.3.

    Comme annonce, nous pouvons a` partir de la proposition 2.4 et de la proposition 2.5 definir lintegraledune fonction mesurable positive.

    Definition 2.6 (Integrale dune fonction mesurable positive)

    Soit f : (,A) ([0,+],B([0,+])) une fonction mesurable a` valeurs dans [0,+]. Alors, dapre`sla proposition 2.4, il existe une suite croissante (fn)nN de fonctions etagees a` valeurs dans [0,+] quiconverge simplement vers f . Lintegrale de f sur par rapport a` est alors definie par

    f d = lim

    n+

    fn d [0,+].

    Lintegrale de f est bien definie car dapre`s la proposition 2.5 la limite precedente ne depend pas du choixde (fn)nN.

    Remarque 2.1 Evidemment, si f est etagee mesurable a` valeurs dans [0,+] alors les definitions 2.2 et 2.6de lintegrale de f concident.

    Nous pouvons aussi interpreter lintegrale de f a` laide de la proposition suivante.

    Proposition 2.7

    Si f : (,A) ([0,+],B([0,+])) est une fonction mesurable a` valeurs dans [0,+], alorsfd = sup

    {d / 6 f et E+

    }

    ou` E+ designe lensemble des fonctions etagees sur (,A) a` valeurs dans [0,+].

    Preuve de la proposition 2.7. Voir annexe 2.6.3 page 47.

    28

  • Nous terminons cette section en generalisant la proposition 2.3. Les proprietes regroupees dans cette pro-position seront enoncees dans un cadre plus general lorsque nous aurons fini la construction de lintegrale ausens de Lebesgue (voir proposition 2.17 page 34).

    Proposition 2.8

    Soient f : (,A) ([0,+],B([0,+])) et g : (,A) ([0,+],B([0,+])) deux fonctions mesu-rables a` valeurs dans [0,+].

    1. Si f > g alors

    f d >

    g d.

    2. De plus,

    f d = 0 f = 0 -presque partout.

    Preuve de la proposition 2.8. Soient f et g deux fonctions mesurables a` valeurs dans [0,+].Dapre`s la proposition 2.4, il existe (fn)nN et (gn)nN deux suites croissantes de fonctions etagees a`valeurs dans [0,+] telles que

    , f() = limn+ fn() et g() = limn+ gn().

    1. Supposons f > g. Alors, pour tout n N, gn E+ et gn 6 g 6 f . Dou`, dapre`s la proposition 2.7,

    n N,gn d 6

    f d

    En faisant tendre n +, nous obtenons :g d = lim

    n+

    gn d 6

    f d.

    2. Supposons que f est -presque partout nulle. Pour tout n N, etant donne que 0 6 fn 6 f , fnest aussi -presque partout nulle. Alors, dapre`s la proposition 2.3,

    n N,fn d = 0.

    Et donc, par definition,

    f d = lim

    n+

    fn d = 0.

    Reciproquement supposons quef d = 0. Alors, pour tout n N,

    fn d = 0 car

    n N, 0 6fn d 6

    f d = 0

    dapre`s la proposition 2.7 (vu que fn E+ et fn 6 f).Alors, dapre`s la proposition 2.3, pour tout n N, fn est nulle -presque partout, cest-a`-dire queAn = {fn 6= 0} est negligeable. Dapre`s la proposition 1.31 page 17,

    A =nN

    An

    est aussi negligeable. De plus, f = limn+ fn = 0 sur A

    c et donc f est nulle -presque partout.

    29

  • 2.1.3 Integrale dune fonction de signe quelconque

    Nous rappelons la definition de la partie negative et de la partie positive dune fonction a` valeurs dans R.

    Definition 2.9 (Parties positive et negative)

    Si f : R est une fonction, la partie positive de f est la fonctionf+ : [0,+]

    7 max (f(), 0)et la partie negative de f est la fonction

    f: [0,+]

    7 min (f(), 0).

    Remarque 2.2 Si f : R est une fonction, alors f = f+ f et |f | = f+ + f.

    Soit f : (,A) (R,B(R)) une fonction mesurable. Alors, les fonctions f+ et f sont mesurables a` valeursdans [0,+] et donc les integrales de f+ et f sont bien definies et sont des elements de [0,+]. Etant guidespar la linearite souhaitee de lintegrale, nous constatons que lintegrale de f , lorsquelle existe, doit etre egale a`

    f+ d

    fd.

    La formule precedente na pas de sens si

    f+ d =

    fd = +,

    ce qui nous conduit a` la definition suivante.

    Definition 2.10 (Fonction integrable)

    Une fonction f : (,A) (R,B(R)) est dite integrable par rapport a` sur (ou -integrableou integrable si il ny a pas dambigute) si f est une application mesurable telle que

    f+ d < + et

    fd < +.

    Definition 2.11 (Integrale dune fonction integrable)

    Si f : (,A) (R,B(R)) est une fonction -integrable sur , lintegrale de f sur par rapporta` la mesure est le reel

    f d =

    f+ d

    fd.

    30

  • 2.1.4 Exemples

    Exemple 2.3 Soit un ensemble non vide, A = P() et = a avec a . Toute fonction f : R estmesurable car est muni de la tribu P(). Soit f : [0,+] une fonction a` valeurs dans [0,+]. Considerons (fn)nN une suite croissante defonctions etagees a` valeurs dans [0,+] qui converge simplement vers f . Alors, par definition, et dapre`slexemple 2.2 (voir page 26) applique a` chaque fonction fn,

    f da = lim

    n+

    fn da = lim

    n+ fn(a) = f(a).

    Soit f : R une fonction. Alors,f est a-integrable

    f+ da < + et

    fda < +

    f+(a) < + et f(a) < + f(a) R.

    Par ailleurs, si f(a) R, alorsf da =

    f+ da

    fda = f+(a) f(a) = f(a).

    En conclusion, une fonction f : R est a-integrable si et seulement si f(a) R. De plus, si f : R estune fonction a` valeurs dans [0,+] ou une fonction a-integrable,

    f da = f(a).

    Exemple 2.4 Soit un ensemble non vide muni de la tribu A = P(). Considerons sur (,A) la mesurepositive

    =nN

    nan

    avec n ]0,+] pour tout n N et (an)nN une suite delements de deux a` deux distincts. Remarquons tout dabord que toute fonction f : R est mesurable car est muni de la tribu P(). Nous pouvons alors montrer quune fonction f : R est -integrable si et seulement si

    nNn|f(an)| < +.

    De plus, si f : R est une fonction a` valeurs dans [0,+] ou une fonction -integrable,f d =

    nN

    nf(an).

    2.1.5 Lessentiel de la section 2.1

    Il faut essentiellement retenir la demarche de construction :

    determiner lensemble des fonctions mesurables, definir lintegrale dune fonction etagee positive, definir lintegrale dune fonction mesurable positive en passant a` la limite, en deduire lensemble des fonctions integrables puis lintegrale dune fonction integrable.

    31

  • 2.2 Proprietes generales de lintegrale

    Commencons par enoncer la propriete de linearite de lintegrale.

    Proposition 2.12 (Additivite/Linearite)

    Soient f, g : (,A) (R,B(R)) deux fonctions mesurables.1. Si f et g sont a` valeurs dans [0,+] et si a, b [0,+], alors

    (af + bg) d = a

    f d+ b

    g d.

    2. Si f et g sont -integrables a` valeurs dans R alors, pour tous reels a et b, la fonction af + bg est-integrable et

    (af + bg) d = a

    f d+ b

    g d.

    Nous donnons un lien entre lintegrabilite dune fonction mesurable f et lintegrabilite de |f |.

    Proposition 2.13 (Crite`re dintegrabilite)

    Considerons une fonction f : (,A) (R,B(R)).1. La fonction f est -integrable si et seulement si f est mesurable telle que

    |f | d < +.

    2. Si fest mesurable, alors, f est -integrable si et seulement si |f | lest.3. Enfin, si la fonction f est -integrable, alors

    f d

    6|f |d.

    Precisons que lensemble sur lequel une fonction integrable est infinie est un ensemble negligeable.

    Proposition 2.14

    Si f : (,A) (R,B(R)) est une fonction -integrable, alors f est finie -presque partout.Preuve de la proposition 2.14. Soit f : (,A) (R,B(R)) une fonction -integrable. Alors, comme f est

    mesurable et comme {+,} B(R), A = {|f | = +} = f1({+,}) A. Par suite, lafonction g = (+) 1A est une fonction mesurable etagee positive telle que g 6 |f |. Alors,

    g d 6

    |f | d < +

    dapre`s la proposition 2.7 et car f est -integrable. De plus, vu nos conventions,g d =

    {+ si (A) > 0

    0 si (A) = 0.

    Par consequent, (A) = ({|f | = +}) = 0, cest-a`-dire que f est finie -presque partout.

    32

  • Comparons maintenant les integrales de fonctions egales presque partout.

    Proposition 2.15

    Soient f, g : (,A) (R,B(R)) deux fonctions mesurables a` valeurs dans R egales -presque partout.1. Si f et g sont toutes deux a` valeurs dans [0,+], alors

    f d =

    g d.

    2. La fonction f est -integrable si et seulement si g lest. De plus, si f est -integrable, alors,f d =

    g d.

    Preuve de la proposition 2.15. Posons N = {f 6= g}. Les fonctions f et g etant mesurables egales -presquepartout, N A et N est -negligeable.

    1. Supposons que f et g sont toutes deux a` valeurs dans [0,+].Par additivite de lintegrale sur lensemble des fonctions mesurables positives,

    f d =

    f1Nc d+

    f1N d.

    Comme N est -negligeable, la fonction mesurable positive f1N est nulle -presque partout, doncdintegrale nulle par rapport a` dapre`s la proposition 2.8. Par consequent,

    f d =

    f1Nc d.

    Les memes arguments permettent de montrer que

    g d =

    g1Nc d. De plus, f1Nc = g1Nc .

    Par suite, f d =

    f1Nc d =

    g1Nc d =

    g d.

    2. Remarquons que f+ = g+ -presque partout et que f = g -presque partout. Lassertion 2. estalors une simple consequence de lassertion 1., de la definition dune fonction integrable et de sonintegrale. Les details sont laisses en exercice.

    La proposition precedente permet de definir lintegrale de nimporte quelle fonction mesurable f a` va-leurs positives -presque partout. Les fonctions f et f1f>0 etant mesurables et egales -presque partout, laproposition 2.15 nous conduit a` definir lintegrale de f comme etant celle de f1f>0 (qui est bien definie).

    Definition 2.16 (Integrale dune fonction mesurable positive presque partout)

    Soit f : (,A) (R,B(R)) une fonction mesurable. Supposons que f est a` valeurs dans [0,+] -presque partout. Alors, lintegrale de f sur par rapport a` est

    f d =

    f1f>0 d R+ {+}.

    33

  • Nous pouvons enoncer une propriete analogue a` la proposition 2.8.

    Proposition 2.17 (Croissance de lintegrale)

    Soient f : (,A) (R,B(R)) et g : (,A) (R,B(R)) deux fonctions mesurables telles queg 6 f -presque partout.

    1. Si les fonctions f et g sont toutes deux a` valeurs dans [0,+] -presque partout ou sont toutesdeux -integrables, alors

    g d 6

    f d.

    2. Si les fonctions f et g sont toutes deux -integrables et si

    f d =

    g d, alors f = g -presque

    partout.

    Nous donnons une dernie`re propriete permettant de montrer quune fonction f est integrable en ladominant par une fonction que lon sait etre integrable.

    Proposition 2.18

    Soient f et g deux fonctions mesurables definies sur (,A) a` valeurs dans R. Si |f | 6 g -presque partoutet si g est -integrable, alors f est -integrable et

    f d

    6|f | d 6

    g d.

    En particulier si est une mesure bornee et si |f | 6 a avec a R+, alors f est -integrable etf d

    6|f |d 6 a().

    Preuve de la proposition 2.18. Il suffit dappliquer la proposition 2.13 et la proposition 2.17.

    Nous terminons cette section par quelques remarques.

    Remarque 2.3 Soient A A et f : (,A) (R,B(R)) une fonction mesurable. Si la fonction mesu-rable f1A est a` valeurs dans [0,+] -presque partout ou est -integrable, lintegrale de f sur A est

    Af d =

    f1A d.

    Remarque 2.4 Soit f : (,A) (C,B(C)).1. La fonction a` valeurs complexes f est dite -integrable si Re(f) et Im(f) sont des fonctions -integrables.

    2. Si f est mesurable, f est -integrable si et seulement si |f | est -integrable.3. Si f est -integrable, lintegrale de f sur par rapport a` est

    f d =

    Re(f) d+ i

    Im(f) d.

    4. Les resultats de cette section sauf la proposition 2.17 se generalisent aux fonctions a` valeurs complexes.

    34

  • Remarque 2.5 Soit (,A, ) lespace complet associe a` lespace (,A, ) (voir chapitre 1, theore`me 1.32).Soit f : (,A) (R,B(R)) une application mesurable. Alors, f est aussi mesurable par rapport aux tribusA et B(R). De plus, f est -integrable sur si et seulement si f est -integrable sur . Par ailleurs, si f est-integrable, alors

    f d =

    f d.

    Nous pouvons donc sans perte de generalite supposer que les espaces mesures (,A, ) consideres sont complets.

    2.3 Theore`mes de convergence

    Dans cette partie, nous supposons (pour simplifier les enonces) que lespace (,A, ) estcomplet. Cette partie enonce trois resultats essentiels : le theore`me de convergence monotone, le lemme deFatou et le theore`me de convergence dominee. Commencons par etudier les suites croissantes de fonctionspositives.

    Theore`me 2.19 (Theore`me de convergence monotone ou theore`me de Beppo Levi)

    Pour tout n N, soit fn : (,A)(R,B(R)) une fonction mesurable. Supposons que pour tout n N,

    fn [0,+] -presque partout et fn 6 fn+1 -presque partout.

    Nous notons f la limite (definie presque partout) de la suite (fn)nN. Alors,

    limn+

    fn d =

    f d.

    Remarque 2.6 Dans le theore`me de Beppo Levi, la fonction f est a priori seulement definie -presque partout.Par convention, lintegrale de f sur designe lintegrale dun de ses prolongements defini sur tout . Bien sur,la valeur de cette integrale ne depend pas du choix du prolongement. En general, nous prolongeons f par 0.

    Preuve du theore`me 2.19. Nous prolongeons f par 0, ce qui definit une fonction encore notee f mesurable car

    lespace (,A, ) est complet. De plus, par hypothe`se, la suite (fn)nN converge -presque partout versf et pour tout n N,

    0 6 fn 6 f -presque partout.

    Notons tout dabord que dapre`s la proposition 2.17, la suite

    (fn d

    )nN

    est une suite croissante de

    [0,+] donc admet une limite dans [0,+].

    Pour toute fonction etagee g a` valeurs dans [0,+] telle que g 6 f, nous pouvons montrer queg d 6 lim

    n+

    fn d.

    Il suffit pour cela de suivre la preuve du lemme 2.31 (lemme donne en annexe, voir page 45). Alors,dapre`s la proposition 2.7,

    sup

    {g d / g etagee a` valeurs dans [0,+], g 6 f

    }=

    f d 6 lim

    n+

    fn d. (2.4)

    35

  • Etant donne que pour tout n N, 0 6 fn 6 f -presque partout, dapre`s la proposition 2.17,

    n N, 0 6fn d 6

    f d.

    Par consequent, limn+

    fn d 6

    f d. Ainsi, dapre`s (2.4), lim

    n+

    fn d =

    f d.

    Exemple 2.5 Pour tout n N, considerons la fonction fn definie sur R par

    fn(x) =

    {xnex si x [1, n + 1]

    0 sinon.

    La fonction fn est borelienne car continue par morceaux sur R. De plus, la suite (fn)nN est une suite croissante(partout) de fonctions positives qui converge 1-presque partout vers la fonction f definie sur R par

    f(x) =

    {+ si x > 1

    0 sinon.

    En fait, (fn(x))nN converge vers f(x) pour tout x R\{1} et {1} est negligeable pour la mesure de Lebesgue.Alors, dapre`s le theore`me de convergence monotone,

    limn+

    [1,n]

    xnex1(dx) =

    R

    f(x)1(dx) = (+) 1(]1,+[) = +.

    Le lemme de Fatou enonce ci-apre`s est une consequence immediate du theore`me de Beppo Levi. Nouscommencons par rappeler la notion de limite inferieure et superieure pour une suite de fonctions.

    Definition 2.20 (Limites inferieure et superieure dune suite de fonctions)

    Soit (fn)nN une suite de fonctions definies sur a` valeurs dans R.

    1. La limite inferieure de (fn)nN est la fonction lim infn+ fn = supnN

    (infk>n

    fk

    ).

    2. La limite superieure de (fn)nN est la fonction lim supn+

    fn = infnN

    (supk>n

    fk

    ).

    Remarque 2.7 Si (fn)nN est une suite de fonctions mesurables, les fonctions lim supn+

    fn et lim infn+ fn sont

    mesurables.

    Proposition 2.21 (Lemme de Fatou)

    Pour tout n N, soit fn : (,A) (R,B(R)) une fonction mesurable. Si pour tout n N, fn est a`

    valeurs dans [0,+] -presque partout, alorslim infn+ fn d 6 lim infn+

    fn d.

    36

  • Preuve de la proposition 2.21. Posons gn = infk>n fk pour tout n N. Alors, la suite (gn)nN est une suitecroissante de fonctions mesurables a` valeurs dans [0,+] -presque partout et

    lim infn+ fn = limn+ gn.

    Etant donne que pour tout k > n, 0 6 gn 6 fk -presque partout,

    k > n,gn d 6

    fk d

    et donc gn d 6 inf

    k>n

    (fk d

    )6 sup

    mNinfk>m

    (fk d

    )= lim inf

    m+

    fm d.

    Cette inegalite etant vraie pour tout n N, en appliquant le theore`me de Beppo Levi a` la suite (gn)nN,nous obtenons :

    lim infn+ fn d =

    limn+ gn d 6 lim infn+

    fn d.

    Exemple 2.6 Pour tout n N, considerons la fonction fn :]0, 1[ R definie sur ]0, 1[ par

    fn(x) = n sin2

    ( x

    n1/3

    ).

    La fonction fn est borelienne car continue sur ]0, 1[ et est positive. En appliquant le lemme de Fatou a` la suite(fn)nN, nous obtenons :

    + =]0,1[

    lim infn+ fn d1 6 lim infn+

    ]0,1[

    fn d1.

    Par consequent, lim infn+

    ]0,1[

    fn d1 = + = limn+

    ]0,1[

    fn d1.

    Nous terminons cette section par le theore`me de Lebesgue.

    Theore`me 2.22 (Theore`me de convergence dominee ou theore`me de Lebesgue)

    Pour tout n N, soit fn : (,A)(R,B(R)) une fonction mesurable. Supposons

    (i) que (fn)nN converge -presque partout,

    (ii) et que pour tout n N, |fn| 6 g -presque partout avec g une fonction -integrable.

    Notons f la limite (definie -presque partout) de la suite (fn)nN. Alors f est -integrable et

    limn+

    fn d =

    f d.

    Preuve du theore`me 2.22. Soient B = { / limn+ fn() = f()}. Par hypothe`se, Bc est un ensemble-negligeable. Alors, B A car lespace (,A, ) est complet. Considerons

    A =

    (nN

    {|fn| 6 g})B {g < +} .

    37

  • Alors, A A et Ac A car les fonctions fn et g sont mesurables, B A et A est une tribu. De plus,

    0 6 (Ac) 6 (Bc) + ({g = +}) ++n=0

    ({|fn| > g}) = 0

    dapre`s lassertion 3. de la proposition 1.19 page 11. Par consequent, (Ac) = 0 et donc Ac est un ensemble-negligeable. Alors, par definition de A, |f | 6 g -presque partout. Par suite, dapre`s la proposition 2.18,la fonction f est -integrable car g lest.

    Pour tout n N, considerons a` present lapplication mesurable gn = 2g |fn f |1A. Alors,gn d = 2

    g d

    1A|fn f | d = 2

    g d

    |fn f | d.

    Par ailleurs, limn+ gn = 2g. Alors, dapre`s le lemme de Fatou,

    2

    g d 6 lim inf

    n+

    (2

    g d

    |fn f | d

    )= 2

    g d lim sup

    n+

    |fn f | d.

    Par consequent,

    0 = lim supn+

    |fn f | d

    et donc limn+

    |fn f | d = 0. Remarquons que

    n N,fn d

    f d

    =(fn f) d

    6|fn f |d,

    Alors, en faisant tendre n +, nous obtenons :f d = lim

    n+

    fn d.

    2.4 Theore`me de Fubini

    Lintegrale dune fonction f par rapport a` une mesure produit 12, lorsquelle a un sens, se rame`ne engeneral au calcul dintegrales par rapport a` 1 et 2. Etudions tout dabord le cas des fonctions mesurablesa` valeurs dans [0,+].

    Theore`me 2.23 (Theore`me de Fubini-Tonelli)

    Soient (1,A1, 1) et (2,A2, 2) deux espaces mesures. Pour tout i {1, 2}, supposons que i est unemesure positive -finie sur (i,Ai). Soit

    f : (1 2,A1 A2) ([0,+],B([0,+]))

    une fonction mesurable a` valeurs dans [0,+]. Nous considerons

    F1(1) =

    2

    f(1, 2) d2(2) et F2(2) =

    1

    f(1, 2) d1(1).

    Alors pour i {1, 2}, la fonction Fi : (i,Ai) ([0,+],B([0,+])) est mesurable. De plus1

    F1(1) d1(1) =

    2

    F2(2) d2(2) =

    12

    f(1, 2) d(1 2)(1, 2).

    38

  • Interessons-nous au cas des fonctions a priori non positives.

    Theore`me 2.24 (Theore`me de Fubini)

    Soient (1,A1, 1) et (2,A2, 2) deux espaces mesures complets avec i, i {1, 2}, une mesure positive-finie sur (i,Ai). Considerons une fonction mesurable

    f : (1 2,A1 A2)(R,B(R)).

    1. Alors, f est 1 2-integrable 2 71

    |f(1, 2)|d1(1) est 2-integrable sur 2

    1 72

    |f(1, 2)|d2(2) est 1-integrable sur 1.

    2. Supposons que f est 1 2-integrable. Alors,

    - la fonction 2 71

    f(1, 2)d1(1) est 2-integrable,

    - et la fonction 1 72

    f(1, 2)d2(2) est 1-integrable.

    De plus, 1

    (2

    f(1, 2)d2(2)

    )d1(1) =

    2

    (1

    f(1, 2)d1(1)

    )d2(2) (2.5)

    =

    12

    f(1, 2)d(1 2)(1, 2).

    Remarque 2.8 Les fonctions 1 72

    f(1, 2)d2(2) et 2 71

    f(1, 2)d1(2) sont a priori definies

    presque partout.

    Preuve du theore`me 2.24.

    1. Pour etablir lassertion 1., il suffit de remarquer que f est integrable si et seulement si |f | lest etdutiliser le theore`me de Fubini-Tonelli pour calculer lintegrale de |f |.

    2. Supposons f integrable. Ecrivons f sous la forme f = f+ f . Posons

    F+1 (1) =

    2

    f+(1, 2) d2(2) et F+2 (2) =

    1

    f+(1, 2) d1(1).

    Nous definissons Fi en remplacant f+ par f dans la definition de F+i . Dapre`s le theore`me de

    Fubini-Tonelli, F+i : (i,Ai) ([0,+],B([0,+])) est mesurable pour i = 1, 2. Par ailleurs,

    1 1, 0 6 F+1 (1) 662

    |f(1, 2)| d2.

    car 0 6 f+ 6 |f |. Alors, dapre`s lassertion 1., F+1 est 1-integrable. De meme, F+2 est 2-integrableet Fi est i-integrable pour i = 1, 2. En particulier, pour tout i {1, 2}, F+i et Fi sont finiesi-presque partout. Alors, pour i {1, 2} et j {1, 2}\{i},

    Fi =

    j

    fdj = F+i Fi i-presque partout.

    39

  • Nous pouvons prolonger Fi en une fonction mesurable. Dapre`s ce qui prece`de, Fi est i-integrable.Nous obtenons alors (2.5) en appliquant le theore`me de Fubini-Tonelli a` f+ et f .

    Remarque 2.9

    1. Pour i {1, 2}, considerons (i,Ai, i) un espace mesure complet avec i une mesure positive -finie.Si f1 : (1,A1) ([0,+],B([0,+])) et f2 : (2,A2) ([0,+],B([0,+])) sont des fonctionsboreliennes,

    12

    f1(1)f2(2) d(1 2)(1, 2) =(

    1

    f1(1)d1(1)

    )(2

    f2(2)d2(2)

    ).

    La formule precedente reste vraie si f1 est 1-integrable et si f2 est 2-integrable.

    2. Si 1 = 2 = N et si 1 = 2 est la mesure de comptage alors les theore`mes de Fubini affirment que

    +n=0

    +m=0

    un,m =+m=0

    +n=0

    un,m,

    de`s que un,m [0,+] pour tout n et m ou de`s que+n=0

    +m=0

    |un,m| =+m=0

    n=0

    |un,m| < +.

    2.5 Integrale de Lebesgue sur R

    2.5.1 Comparaison avec lintegrale au sens de Riemann

    Avant de rappeler la definition de lintegrale au sens de Riemann, nous fixons quelques notations.

    Notations-Definitions Fixons a, b R tels que a 6 b. Une famille = (tk)06k6n, avec n N, de reels est une subdivision de [a, b] si

    t0 = a 6 t1 6 t2 6 6 tn1 6 tn = b.

    Le pas () de la subdivision = (tk)06k6n est le reel () = sup16i6n

    |ti ti1|.

    Une subdivision = (tk)06k6n de [a, b] est plus fine quune subdivision = (tk)06k6n de [a, b] si

    {tk / 0 6 k 6 n} {tk / 0 6 k 6 n

    }. Si f : [a, b] R est une fonction bornee sur [a, b] et si = (ti)06i6n est une subdivision de [a, b], alorsnous pouvons definir les reels

    (, f) =n1i=0

    (ti+1 ti) infti6t6ti+1

    f(t) et (, f) =n1i=0

    (ti+1 ti) supti6t6ti+1

    f(t).

    avec pour convention1

    i=0 i = 0.

    40

  • a b

    Figure 2.1 Illustration de (, f) et (, f).

    Definition 2.25 (Integrale au sens de Riemann sur [a, b])

    Soient a, b R tels que a 6 b. Une fonction f : [a, b] R est Riemann-integrable sur [a, b] si fest bornee sur [a, b] et si

    supT

    (, f) = infT

    (, f)

    ou` T est lensemble des subdivisions de [a, b]. De plus, si f : [a, b] R est Riemann-integrable, alorslintegrale de Riemann de f sur [a, b] est le reel

    R baf dx = sup

    T(, f) = inf

    T(, f).

    Remarque 2.10 Dapre`s lexemple 2.2 page 26, les integrales de Lebesgue et de Riemann concident surlensemble des fonctions en escalier sur [a, b] prenant un nombre fini de valeurs.

    Dans cette partie, nous considerons lintegrale au sens de Lebesgue sur lespace complete ([a, b],B([a, b]), 1)1 .Notation

    Soit I R un intervalle. La tribu L(I) sur I est la tribu borelienne B(I) completee pour la mesure deLebesgue sur I. Ainsi, avec les notations du chapitre 1,

    L(I) = B(I)1

    ou` 1 designe la mesure de Lebesgue sur I. La tribu de Lebesgue L(I) sur lintervalle I est donc la pluspetite tribu sur I contenant la tribu borelienne B(I) et les sous-ensembles 1-negligeables de I.

    Definition 2.26 (Fonction Lebesgue-mesurable)

    Soient I R un intervalle et f : I R une fonction. La fonction f est dite Lebesgue-mesurable sif : (I,L(I)) (R,B(R)) est mesurable par rapport aux tribus L(I) et B(R).

    Remarque 2.11 Une fonction borelienne f : I R est Lebesgue-mesurable car B(I) L(I).

    Toute fonction Riemann-integrable sur [a, b] est aussi Lebesgue-integrable. Pour la preuve de la propositionsuivante, nous renvoyons par exemple a` [11].

    41

  • Proposition 2.27 (Riemann-integrable sur [a, b] = Lebesgue-integrable)

    Soient a, b deux reels tels que a 6 b. Si f : [a, b] R est une fonction Riemann-integrable, alors f estLebesgue-integrable sur [a, b] (cest-a`-dire Lebesgue-mesurable sur [a, b] et 1-integrable sur [a, b]) et

    [a,b]f d1 = R

    baf dx.

    Remarque 2.12 Une fonction Riemann-integrable sur un intervalle compact [a, b] nest pas a priori borelienne.

    Exemple 2.7 La fonction cos etant continue sur lintervalle compact [0, 1], elle est Riemann-integrable sur[0, 1]. Par consequent, elle est aussi Lebesgue-integrable sur [0, 1] et

    [0,1]cos (x)1(dx) = R

    10cos (x) dx = sin(1).

    La proposition suivante (voir par exemple [9] pour une preuve) permet de donner des exemples de fonctionsLebesgue-integrables sur [a, b] non Riemann-integrables sur [a, b]. La notion de fonction Lebesgue-integrablesur [a, b] prolonge donc celle de fonction Riemann-integrable sur [a, b] a` une classe plus grande de fonctions.

    Proposition 2.28

    Une fonction bornee f : [a, b] R est Riemann-integrable si et seulement si lensemble de ses points dediscontinuite est 1-negligeable.

    Exemple 2.8 La fonction 1Q[0,1] est Lebesgue-integrable mais nest pas Riemann-integrable.

    Nous etudions a` present le lien entre lintegrabilite au sens de Riemann sur un intervalle I a priori noncompact et lintegrabilite au sens de Lebesgue. Nous ne rappelons pas la construction de lintegrale de Riemannsur un intervalle I non compact.

    Proposition 2.29 (Riemann et Lebesgue integrabilites sur un intervalle non compact)

    Soit I un intervalle et f : I R une fonction continue sauf eventuellement en un nombre fini de points.

    1. Alors la fonction f est borelienne.

    2. Par ailleurs, la fonction f est Riemann-integrable sur I, cest-a`-dire telle que RI|f | dx < +,

    si et seulement si elle est Lebesgue-integrable sur I.

    3. Enfin, si f est integrable sur I au sens de Lebesgue ou de Riemann,If d1 = R

    If dx,

    cest-a`-dire que lintegrale de f au sens de Lebesgue sur I concide avec son integrale au sens deRiemann sur I.

    42

  • Exemple 2.9

    1. Considerons la fonction f : [1,+[ R definie par f(x) = xp. La fonction f est continue sur I = [1,+[. Elle est donc Lebesgue-integrable sur I si et seulement sielle est Riemann-integrable sur I, cest-a`-dire si et seulement si p > 1.

    Si p > 1, alors dapre`s la proposition 2.29,[1,+[

    1

    xp1(dx) = R

    +1

    1

    xpdx =

    1

    p 1 .

    Si p 6 1, la fonction f nest pas Lebesgue-integrable sur I et donc, comme elle est positive,[1,+[

    1

    xp1(dx) = +.

    2. Considerons la fonction f :]0,+[ R definie par f(x) = sin (x)/x. Cette fonction est continue surlintervalle I =]0,+[ mais nest pas Riemann-integrable sur I (integrale non absolument convergente).Par suite, dapre`s la proposition 2.29, f nest pas Lebesgue-integrable sur I.

    2.5.2 Integration et derivation

    Soit f une fonction continue sur [a, b]. Alors la fonction

    F : x 7[a,x]

    f d1

    est C1 sur [a, b] et F = f car pour tout x,[a,x]

    f d1 = R xaf(t) dt. Que peut-on dire si f nest pas continue ?

    Soit F une fonction C1 sur [a, b]. Alors,

    x [a, b], F (x) = F (a) +[a,x]

    F d1.

    car R xaF (t) dt =

    [a,x]

    F d1 par continuite de F . Que peut-on dire si F nest plus C1 ?

    La theore`me suivant repond en partie aux deux questions precedentes.

    Theore`me 2.30

    1. Soient f : [a, b] R une fonction Lebesgue-integrable sur [a, b] et c R. Considerons la fonctionF : [a, b] R definie par

    F (x) = c+

    [a,x]

    f(t)1(dt), x [a, b].

    Alors, la fonction F : [a, b] R est continue sur [a, b], derivable 1-presque partout sur [a, b] etF = f 1-presque partout.

    2. Soit F : [a, b] R une fonction derivable sur [a, b]. Si la derivee F de F est Lebesgue-integrablesur [a, b], alors

    x [a, b], F (x) = F (a) +[a,x]

    F (t)1(dt).

    Si la fonction F est simplement derivable en presque tout point, alors en general lassertion 2. nest pasverifiee.

    43

  • 2.5.3 Lessentiel de la section 2.5

    Nous venons de voir que les integrales au sens de Lebesgue et au sens de Riemann concident souvent. Lesresultats essentiels sont les propositions 2.27 et 2.29.

    En particulier, si f est continue sur lintervalle I sauf eventuellement en un nombre fini de points,letude de lintegrabilite au sens de Lebesgue de f sur I revient a` etudier son integrabilite au sens deRiemann. Tous les crite`res classiques (comparaisons, equivalents...) peuvent etre utilises.

    Si f est continue sur lintervalle I sauf eventuellement en un nombre fini de points et integrable surI, son integrale au sens de Lebesgue concide avec celle au sens de Riemann. Toutes les methodes decalcul dintegrales classiques (changement de variables, integration par partie, utilisation de primi-tives...) peuvent etre utilises.

    Dans le cas ou` lintegrale au sens de Lebesgue ne peut pas sinterpreter comme une integrale au sensde Riemann, il faut faire attention. Nous donnerons dans le chapitre 3 un theore`me de changementde variables analogue a` celui connu pour lintegrale au sens de Riemann (voir theore`me 3.28 page 65).Mais, nous ne pouvons pas a priori utiliser des integrations par parties ; en effet en general

    [a,b]F d1 6= F (b) F (a).

    2.6 Annexes

    2.6.1 Preuve de la proposition 2.4, voir enonce page 27

    Soit f : (,A) ([0,+],B([0,+])) une fonction mesurable. Pour tout n N, considerons la fonction fndefinie sur par

    fn =n2n1i=0

    i

    2n1{i/2nn}.

    Nous introduisons f0 = 0 la fonction identiquement nulle sur .

    Verifions que (fn)nN est une suite de fonctions etagees a` valeurs dans [0,+].La fonction f0 etant constante sur , elle est etagee. De plus, elle est bien a` valeurs dans [0,+] (vu quelleest nulle). Fixons a` present n N. Par definition, il est clair que fn est a` valeurs dans [0,+]. De plus,

    {f > n} = f1(]n,+]) A

    car ]n,+] B([0,+]) et car f est mesurable. De meme, pour tout 0 6 i 6 n2n 1,{2ni < f 6 2n(i+ 1)

    }= f1

    (]2ni, 2n(i+ 1)]

    ) Acar ]2ni, 2n(i+ 1)] B([0,+]) et car f est mesurable. Par suite, pour tout n N, lapplication

    fn =

    n2n1i=0

    i

    2n1{i/2nn}.

    est une fonction etagee en tant que combinaison lineaire finie dindicatrice de boreliens.

    Nous pouvons verifier que la suite (fn)nN est croissante (exercice).

    44

  • Verifions que la suite de fonctions (fn)nN converge simplement vers f .Fixons .

    1er cas. Supposons f() = +. Alors, pour tout n N, fn() = n et donc

    limn+ fn() = + = f().

    2nd cas. Supposons que f() R+. Alors, pour n assez grand, |f()| < n et

    |f() fn()| 6 12n.

    Alors, limn+ fn() = f().

    Ainsi, nous venons de montrer que pour tout , la suite (fn())nN converge vers f().

    2.6.2 Preuve de la proposition 2.5, voir enonce page 28

    La preuve de la proposition repose sur le lemme suivant. Nous rappelons que nous ne p