INTEGRASI NUMERIK -...
Transcript of INTEGRASI NUMERIK -...
![Page 1: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/1.jpg)
INTEGRASI NUMERIK
![Page 2: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/2.jpg)
Pengantar Pengintegralan numerik merupakan alat
atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.
Misalnya dalam termodinamik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda padat.
![Page 3: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/5.jpg)
INTEGRASI NUMERIK Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
Fungsi yang rumit misal :
dxex
x x5.02
0
23
sin5.01)1cos(2
Cxdxx
Cbaadxbax
Cbaadxbax
Ca
edxe
Cnaxdxax
axax
nn
||ln1
)sin(1)cos(
)cos(1)sin(
1
1
![Page 6: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/6.jpg)
INTEGRASI NUMERIK
Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.
digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.
Penerapan integral : menghitung luas dan volume benda putar, momen inersia, titik berat, massa benda, dll.
![Page 7: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/7.jpg)
Dasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
)(...)()(
)()(
1100
0
nn
i
n
ii
b
a
xfcxfcxfc
xfcdxxf
x0 x1 xnxn-1x
f(x)
![Page 8: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/8.jpg)
0
2
4
6
8
10
12
3 5 7 9 11 13 15
Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.
Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.
Dasar Pengintegralan Numerik
![Page 9: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/9.jpg)
Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada
dxxfdxxfIb
a n
b
a )()(
Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
nn
1n1n10n xaxaxaaxf
)(
Dasar Pengintegralan Numerik
![Page 10: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/10.jpg)
fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat
![Page 11: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/11.jpg)
fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi
![Page 12: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/12.jpg)
Polinomial dapat didasarkan pada data
![Page 13: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/13.jpg)
INTEGRASI NUMERIK
Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan :
L =
b
adxxf
![Page 14: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/14.jpg)
Metode Integral Reimann
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
![Page 15: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/15.jpg)
Metode Integral Reimann
Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x
Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b]
Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi). ix
![Page 16: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/16.jpg)
Metode Integral Reimann
Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :
Dimana Didapat
i
n
ii
n
n
xxf
xxfxxfxxfxxfLLLLL
0
3221100
210
.....
n
ii
b
axfhdxxf
0
hxxxx n ...210
![Page 17: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh
Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x**2
1
0
2 dxxL =
![Page 18: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
Secara kalkulus :
Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052
385,085,31.0
00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0
)(.10
0
i
ixfhL
.....3333,0|31 1
03
1
0
2 xdxxL
![Page 19: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/19.jpg)
Algoritma Metode Integral Reimann:
Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah dan batas ata
integrasi Tentukan jumlah pembagi area N Hitung h=(b-a)/N Hitung
N
iixfhL
0)(.
![Page 20: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/20.jpg)
Metode Integrasi Trapezoida Aproksimasi garis lurus (linier)
)()(
)()()()(
10
1100i
1
0ii
b
a
xfxf2h
xfcxfcxfcdxxf
x0 x1x
f(x)
L(x)
![Page 21: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak
Aturan trapesium
926477.5216)12(41
41
24
0
2
4
0
224
0
2
xe
eexdxxe
x
xxx
dxxe4
0
x2
%..
..
.)()()(
123579265216
66238479265216
6623847e4024f0f2
04dxxeI 84
0
x2
![Page 22: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/22.jpg)
Aturan KomposisiTrapesium
)()(2...)x(2f...)x(f2)x(f2
)x(f)x(f2h...)x(f)x(f
2h)x(f)x(f
2h
dx)x(f...dx)x(fdx)x(fdx)x(f
1i10
n1n2110
x
x
x
x
x
x
b
a
n
1n
2
1
1
0
nn xfxfh
x0 x1x
f(x)
x2h h x3h h x4
nabh
![Page 23: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/23.jpg)
Metode Integrasi Trapezoida
iiii
iiii
xffL
atau
xxfxfL
.21
.21
1
1
1
0
iiLL
nn
n
iii fffffhffhL
1210
1
01 2...22
221
n
n
ii fffhL
1
10 2
2
![Page 24: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/24.jpg)
Algoritma Metode Integrasi Trapezoida
Definisikan y=f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas
atas integrasi (b) Tentukan jumlah pembagi n Hitung h=(b-a)/n Hitung
n
n
ii fffhL
1
10 2
2
![Page 25: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/25.jpg)
function f = example1(x)% a = 0, b = pif=x.^2.*sin(2*x);
dxx2sinx0
2 )(
Aturan Komposisi Trapesium
![Page 26: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/26.jpg)
» a=0; b=pi; dx=(b-a)/100;» x=a:dx:b; y=example1(x);» I=trap('example1',a,b,1)I =-3.7970e-015» I=trap('example1',a,b,2)I =-1.4239e-015» I=trap('example1',a,b,4)I =
-3.8758» I=trap('example1',a,b,8)I =
-4.6785» I=trap('example1',a,b,16)I =
-4.8712» I=trap('example1',a,b,32)I =
-4.9189
» I=trap('example1',a,b,64)I =
-4.9308» I=trap('example1',a,b,128)I =
-4.9338» I=trap('example1',a,b,256)I =
-4.9346» I=trap('example1',a,b,512)I =
-4.9347» I=trap('example1',a,b,1024)I =
-4.9348» Q=quad8('example1',a,b)Q =
-4.9348 MATLAB function
Aturan Komposisi Trapesium
![Page 27: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/27.jpg)
n = 2
I = -1.4239 e-15
Exact = -4. 9348
dxx2sinx0
2 )(
![Page 28: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/28.jpg)
n = 4
I = -3.8758
Eksak = -4. 9348
dxx2sinx0
2 )(
![Page 29: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/29.jpg)
n = 8
I = -4.6785
Eksak = -4. 9348
dxx2sinx0
2 )(
![Page 30: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/30.jpg)
n = 16
I = -4.8712
Eksak = -4. 9348
dxx2sinx0
2 )(
![Page 31: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/31.jpg)
Aturan Simpson 1/3 Aproksimasi dengan fungsi parabola
)()()(
)()()()()(
210
221100i
2
0ii
b
a
xfxf4xf3h
xfcxfcxfcxfcdxxf
x0 x1x
f(x)
x2h h
L(x)
![Page 32: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/32.jpg)
Aturan Komposisi Simpson
x0 x2x
f(x)
x4h h xn-2h xn
nabh
…...
hx3x1 xn-1
![Page 33: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/33.jpg)
Metode Integrasi Simpson Dengan menggunakan aturan simpson, luas
dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
atau dapat dituliskan dengan:
nnnn ffhffhffhffhffhffhL 11243322110 23
23
...23
23
23
23
n
genapii
ganjilii ffffhL
0 24
3
N = 0 – n
L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
![Page 34: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/34.jpg)
Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik
)()()()(
)()()()()()(
3210
33221100i
3
0ii
b
a
xfxf3xf3xf8h3
xfcxfcxfcxfcxfcdxxf
x0 x1x
f(x)
x2h h
L(x)
x3h
![Page 35: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/35.jpg)
)())()((
))()(()())()((
))()((
)())()((
))()(()())()((
))()(()(
3231303
2102
321202
310
1312101
3200
302010
321
xfxxxxxx
xxxxxxxfxxxxxx
xxxxxx
xfxxxxxx
xxxxxxxfxxxxxx
xxxxxxxL
)()()()( 3210
b
a
b
a
xfxf3xf3xf8h3
3abh ;L(x)dxf(x)dx
Error Pemenggalan
3abh ;f
6480abfh
803E 4
545
t
)()()( )()(
Aturan Simpson 3/8
![Page 36: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/36.jpg)
Metode Integrasi Gauss
Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan : H sama Luas dihitung dari a sampai b
Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.
![Page 37: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/37.jpg)
Metode Integrasi Gauss Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang
[-1,1]
Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai
tersebut sehingga error integrasinya min
2
)1()1()1()1(2
)(1
1
h
ffffhdxxfI
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI
![Page 38: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/38.jpg)
Metode Integrasi Gauss Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini
dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]
f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI
0
32
0
21
1
1
3322
311
1
1
2222
211
1
12211
1
121
dxxxcxc
dxxxcxc
dxxxcxc
dxcc
Didapat
31
31
1
21
21
xx
cc
![Page 39: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/39.jpg)
Metode Integrasi Gauss
Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik
)31()
31()(
1
1
ffdxxf
![Page 40: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/40.jpg)
Transformasi
Range [a,b] [-1,1] X u f(x) g(u) dx du
b
ai dxxfL )(
1
1)( duugLi
![Page 41: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/41.jpg)
Transformasi
duabdx
uabbax
aububax
aabuxabuax
uabax
2
2)()(
2
2))(1(2))(1(22
21
a bx
-1 1u
![Page 42: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/42.jpg)
Transformasi
duuabbafabduug
1
1
1
1 2)()()(
21)(
1
1
)( duugLi
)()()(21)( 2
121 abuabfabug
![Page 43: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/43.jpg)
Analisa Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes
(Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.
Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.
Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi
1
1
)( duug
![Page 44: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/44.jpg)
Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik
Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas
integrasi (b) Hitung nilai konversi variabel :
Tentukan fungsi g(u) dengan:
Hitung
)(21
21 abuabx
)()()(21)( 2
121 abuabfabug
31
31 ggL
![Page 45: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/45.jpg)
Contoh Soal
![Page 46: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/46.jpg)
Metode Gauss Legendre 3 Titik
Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :
Dengan cara yang sama didapat
)()()()( 332211
1
1
xfcxfcxfcdxxfI
543
2
)(;)(;)()(;)(;1)(
xxfxxfxxfxxfxxfxf
53;0;5395;
98;
95
321
321
xxx
ccc
![Page 47: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/47.jpg)
Metode Gauss Legendre 3 Titik
53
950
98
53
95)(
1
1
gggduug
![Page 48: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/48.jpg)
Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik
![Page 49: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/49.jpg)
Metode Gauss n-Titik
![Page 50: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/50.jpg)
Beberapa Penerapan Integrasi Numerik
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
![Page 51: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/51.jpg)
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.
Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Skala 1:100000
0 105
6
3
15
9
![Page 52: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/52.jpg)
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:
Dengan menggunakan metode integrasi Reimann
Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida
Dengan menggunakan metode integrasi Simpson
5.7322
15
1160
iiyyyhL
5.7316
0
i
iyhL
74243 160
genapii
ganjilii yyyyhL
![Page 53: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/53.jpg)
Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
Luas benda putar:
Volume benda putar:
b
ap dxxfL )(2
b
ap dxxfV 2)(
![Page 54: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/54.jpg)
Contoh :
Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu
dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
Bagian I:
Bagian III:
4 cm
6cm
7 cm
12 cm
7 cm
5 cm
I II III IV
satuan dalam cm
56)7)(4(2 IL
196)7)(4( 2 IV
288)12(122 IIIL
17281212 2 IIIV
![Page 55: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/55.jpg)
Contoh : Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian
area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
Pada bagian II dan IV: dan Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:
10822
2)(4
150
iiIVII yyyhLL
5.118722
4
1
225
20
iiIVII yyyhVV
IVII LL IVII VV
![Page 56: INTEGRASI NUMERIK - nuryanto.staff.gunadarma.ac.idnuryanto.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/55356/Integrasi... · Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari Solusi eksak Aturan](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052119/5c79d6d509d3f2f93e8b61a2/html5/thumbnails/56.jpg)
Contoh : Luas permukaan dari botol adalah:
Luas = 1758.4 cm2
Volume botol adalah:
Volume = 13498.86 cm3
4.1758560
10828810856
IVIIIIII LLLLL
42995.118717285.1187196
IVIIIIII VVVVV