İntegralinde u=g(x) ve

İntegralinde u=g(x) ve

Dönüşümü yapılarak integral haline getirilir.

Örnek-1- integralini hesaplayınız

Çözüm:

)(xgf dxxg )(' dxxgu )(''

duxf )(

dxxxxx ).).(32( 324

32 24 xxu dxxxdu ).44( 3

dxxxdu ).(4 3 dxxxdu

).(4

3

cu

duudu

uI44

1.

4

1

4

433 cxxI 424 )32(

16

1

Örnek-2- integralini hesaplayınız.

Çözüm:


Çözüm:

dxxe x .cos.sin

cedueI uu .

dx

x

x2121 xu dxx

du.

2

cxcuu

du

I )1ln(2

1ln

2

12 2

cosx.dxdu sinx u

2xdx du


Çözüm:

dxx

xln

xu ln dxx

du1

cu

duuduuI

23

2

3

2

1

cx 2

3

)(ln3

2


Çözüm:

dx

e

dxx 1

dxe

edxdx

e

edx

e

edx

e

eedx

e

dxI

x

x

x

x

x

x

x

xx

x 111

1

1

1

1

dxe

eI

x

x

12 dxedueu xx .1

cuu

duI ln2

cexI x 1ln


Çözüm:


Çözüm:

dxx

e x

xu dxx

du2

1 dx

xdu

12

ceduedueI uuu 222. ceI x 2

dxxx .cos.sin

xu sin dxxdu .cos

cu

duuI2

.2

cx

I 2

sin 2


Çözüm:

dxxxx ).2(42

xxu 42 dxxdxxxdu ).2(2).42(

dxxdu

).2(2

cucu

duudu

uI 7

32

3

3

1

232

1.

2

1

2

cxxI 2

32 )4(

3

1


Çözüm:


dx

x

x21

arctan

xu arctan dxx

du21

1

cu

duuI2

.2

cx

I 2

arctan2

dxee

eexx

xx

xx eeu dxeedu xx )(

cuu

duI ln ceeI xx ln


Çözüm:

dxxx )tan(cot

xdxxdx tancot

I1 I2

xu sinxdu cos

xt cosdxxdt .sin

ctuI lnln

cxxI coslnsinln


Çözüm:


Çözüm:

dxx

x2cos3

2sin

xu 2cos3 xxxdu sinsincos2

cuu

duI ln cxI 2cos3ln

dxxx )tan(tan 24

dxxxI )1(tantan 22 xu tan dxxdu )tan1( 2

cu

duuI 3

32 c

xI

3

tan3


Çözüm:

2259 x

dx

cx

x

dx

3

5arcsin

5

1

259 2

0, Rba

c

a

bx

bxba

dxarcsin

1222

dxex x ..Örnek-1- integralini hesaplayınız.

Çözüm:

ceex

dxeexdxex

dxdu

dxxu

xx

xxx

.

....

e v

.edv x

x


Çözüm:

dxx.ln

cx-x.lnx x

1x.-x.lnxlnx.dx

x v x

1du

dxdv ln

dx

dx

xu


Çözüm:

dxxex .sin.

cxxe

xxeI

dxxexexeI

dxxexexexeI

dxxdu

dxxu

dxxeex

dxxdu

dxxu

xx

xxx

xxxx

xx

cossin.2

cossin.2

.sin.cos.sin.

.sin.cos(cos.sin.

e v.sin

.edv cos

.cos..sin

e v.cos

edv sin

x

x

x

x

I


Çözüm:

dxxx .1ln 2

cxxxxI

x

dxx

dx

xxu

11ln.

1

.1xxx.lnxI

x v .1x

1du

dxdv 1ln

22

2

2

2

2


Çözüm:

dxx .lncos

)sin(ln)cos(ln2

cos(lnx)-x.sin(lnx)x.cos(lnx)I

x v).cos(ln1

du

dxdv sin(lnx)u x

lnxsin--cos(lnx).xI

x vx

1-sinlnx.du

dxdv lncos

xxx

I

dxxx

xdx

dx

xu

I


Çözüm:

dx

x

xxx

1

22 23

22 23 xxx X+1

xx 223 xx

xx

xx

2

2 2

2

-- 1

22

x

xx

cxxx

I

x

dxxxdx

xxxI

1ln223

1

2

23.

1

2

23

232


Çözüm:

dxxx

x

)1.(

1

cx

xI

cxxdxxx

xx

x

B

x

A

xx

x

2)1(

ln

1ln2ln1

21

2Biçin -1 x

1

21

1)x.(x

1-x -1Aiçin 0 x

B(x)1)A(x1- x1)1.(

1


Çözüm:

2)1.(xx

dx

cx

xxI

dxxxx

x

x

CxxBxxA

x

C

x

B

x

A

xx

1

11lnln

))1(

1

1

11(

1)-x.(x

dx

-1B için 2

1Aiçin ox1,C için 1

)1()1(1

)1(1)1.(

1

22

2

22


Çözüm:

162x

dx

)4).(4(162 xx

dx

x

dx

cx

xdx

xxx

dx

x

x

xBxA

x

B

x

A

xx

4

4ln

8

1

481

481

16

8

1Aiçin 4

8

1Biçin 4

)4()4(1

44)4).(4(

1

2

1. belirsiz integrali için

Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A)

B)

C)

D)

E) cxxI

cxxI

cxxI

cxI

cxxI

cos.sin2

cos.sin

cossin2

sin.2

cossin

dxxx

xx

cossin

sincos

2. Belirsiz integrali aşağıdakilerden

hangisi olamaz?

A)

B)

C

D)

E)

dx

x

x4

4 4

3

4

3

34

3

34

3

34

3

34

3

43

3

463

3

453

3

443

3

433

x

x

x

xx

x

xxx

x

xx

x

xx

3. İntegralinin çözümü aşağıdakilerden

hangisidir?

A)

B)

C)

D)

E) c32

x4sin

8

x3I

c32

x4sin

8

xI

c32

x4sin

8

xI

c32

x4sin

8

x3I

c32

x4sin

8

xI

dx.xcos.xsin 22

A)

B)

C)

D)

E)

4 Belirsiz integrali için aşağıdakilerden

hangisi doğrudur?

dx

x

xx

1

1222

3

cxx

cxx

cxx

cxx

cxx

)1arctan(

)1ln(2

1

)1ln(

arctan

arctan

22

2

22

3

2

5. belirsiz integrali için aşağıdakilerden

hangisi doğrudur?

A)

B)

C)

D)

E)

dxx

xln2

cx

1

x

xlnI

cx

1lnI

cx

1

x

xlnI

cx

1

x

xlnI

cx

1

x

xlnI

6. belirsiz integrali için

Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A)

B)

C)

D)

E)

dxxxx .2cos.cos.sin8

cx

cx

cx

cx

cx

2

4cos

2

8cos

4sin4

1

4cos

4cos

7. integralinin değeri aşağıdakilerden

hangisidir?

A)

B)

C)

D)

E) cx

xI

cx

xI

cx

xI

cx

xI

cx

xI

3

cossin

3

cossin

3

sinsin

3

coscos

3

coscos

3

3

3

3

3

dxx.sin3

xx

dx28. belirsiz integrali için, aşağıdakilerden

hangisi doğrudur?

A)

B)

C)

D)

E) cx

x

cx

x

cxx

cx

cx

1ln

1ln

ln

1

1ln

1

1ln

2

2

2

Örnek:

Çözüm:

f(x)=2/x2 eğrisine x=1 apsisli noktadan çizilen teğeti ile eksenler arasındaki düzlemsel bölgenin oy ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan şeklin hacmi kaç br3’tür?

Meydana gelen düzlemsel bölgenin alanı şekildeki gibidir.

Önce f(x)in x=1 noktasındaki teğeti bulunur.

-3/2 3/2x

y f(x)=-2x*2/x4 =-4/x3

m=f-1(x)=-4

x=1 için f(1)=2

A(1,2)

Teğetin denklemi:

y-y1=m(x-x1)

y-2=-4(x-1)

y=-4x+6

1. Yol: Şekil konidir. Koninin hacminden;

3

2

2

2

9

3*4

6*9*

3

6*23

*

3

**br

hrV

2.Yol:

3

3323

6

0

23

6

0

26

0

6

0

22

2

9

16

72*

667216

06*366*63

6

16

362

12

316

3612164

6

br

yyy

dyyydyy

dyxVy

Örnek: İntegral yardımıyla koninin hacmini bulunuz.

Çözüm: Koninin yüksekliğine h ve taban yarıçapına r diyelim ve [AB]doğrusunun denklemini bulalım.

A(0,r)

B(h,0)

y

x

A (0 , r) = (x1 , y1) , B = (h , 0) = (x2 , y2)

(x-x1) * (y2-y1) = (x2-x1) * (y-y1)

(x-0) * (0-r) = (h-0) * (y-r)

-x*r = h*(y-r) ise y=r-(x*r)/h

Buna göre;

32

222

3

2

22

22

0

3

2

2222

0 2

2222

0

2

3

**

3

03

**

3*

2*

2*

***2

*

brhr

V

hrhrhr

h

h

rh

h

rhr

x

h

rx

h

rxr

dxh

rx

h

rxr

dxh

rxrV

x

h

h

h

x

y=x2-2x eğrisi x=3 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alan kaç br2’dir?

Örnek:

ÇÖZÜM: A=A1+A2

y=x2-2x

y

x

32

2

3

2

232

0

23

2

0

3

2

22

3

8

3

40

3

4

43

89

3

2704

3

8

22

322

3

22

br

xxxx

dxxxdxxxA

y=x3 eğrisi y=3 doğrusu ve y-ekseni arasında kalan alan kaç br2’dir?

Örnek:

ÇÖZÜM:

-1

y=3

y=x3-1

233 4

3 43 4

3

13 4

4

3

1

3

1

32

23

3

1

3

1

3

434*4

3

)11(134

3

14

3

43

33*

*31

1

br

yt

dttdtttA

dydttyt

dyyxdyA

y=lnx eğrisi ox ekseni ve x=e doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin alanı kaç br2’dir?

Örnek:

e1

y=lnx

y

x

2

1

1

110)(

11ln*1ln*

ln*

**lnln

bree

eee

xxx

x

dxxxxxdxA

e

e

xu ln dxdv xv x

dxdu

exdxA

1ln

CEVAP B

ÇÖZÜM:

y=2-x2 ile y=x2 eğrileri tarafından sınırlanan alan kaç br2’dir?

Örnek:

ÇÖZÜM:

-11

1

y=x2

y=2-x2

y=x2

y=2-x2

x2=2-x2

2x2=2 ise x2=1

x=1, x=-1

2

33

1

1

1

1

32

1

1

221

1 21

3

8

3

4

3

4

3

4

3

4

3

22

3

22

3

1*21*2

3

1*21*2

32222

2)(

br

xxdxx

dxxxdxyyA

f(x)=lnx eğrisinin x=e noktasından çizilen teğeti ile x ekseni ve

f(x) = lnx eğrisi arasındaki alan kaç br2’dir?

Örnek:

ÇÖZÜM: Önce teğetin denklemi bulunur.

f(x) = lnx A(e,1)

f´(x)=1/x ise m=1/e dir

y-y1=m(x-x1)

y-1=1/e(x-e)

y=x/e-1+1 y=x/e

T

y=lnx

01 e

1

2

21

2

1ln*ln

21**

2

1

1 1

ee

A

xxxxdxS

eeA

e e

üçgen

f(x)=x2 parabolü ve g(x)=x doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin ox ekseni etrafında 360 döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?

Örnek:

ÇÖZÜM: f(x) =g(x) x2=x x=0 veya x=1

3

1

0

53

1

0

42

1

0

22

15

2

5

1

3

1

5

1

3

1

*

br

xx

dxxx

dxxfxgV

1

f(x) =x2

g(x) = x

y=x2 parabolü, x=0 ve y=2 doğruları arasında kalan bölgenin Oy eksen etrafında 360 döndürülmesi ile elde edilen dönnel cismin hacmini bulunuz.

Örnek:

2 y=2

y= x

ÇÖZÜM: y = x2 x = y (x >=0) dır. Oluşan cismin hacmi:

32

0

2

2

0

22

0

2

4

2

****

bry

dyydyyV

x2+(y-3)2 =4 çemberinin sınırladığı bölgenin, Oy ekseni etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi nedir?

Örnek:

3

1

5y=(4-x2)+3

-2 2

ÇÖZÜM: M(0,3) r=2

Oluşacak şekil küre olduğundan

Kürenin hacmi ile de çözülebilir.

Vy=4/3 br3 =4/3*8

32/3 br3

y= x2 eğrisi ile y=4 doğrusu x ekseni etrafında döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmi kaç br3’tür?

Örnek:

ÇÖZÜM: x2=y x2=4 x=2 , x=-2

y2=x2

y1=4

-2 2

32

2

4

2

2

22

21

5

25616*

*

brdxx

dxyyVx

İntegralinde u=g(x) ve

Documents

Transcript of İntegralinde u=g(x) ve