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Integrales y Gráficos en

Mathematica

Elaborado por: Miguel Ángel Serrano

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En este laboratorio comenzaremos a utilizar el programa

Mathematica que será una herramienta muy útil para el desarrollo del

curso Electricidad y Magnetismo I (321).

OBJETIVOS:

Que el estudiante se familiarice con el gráfico de funciones en un plano cartesiano y en el

espacio tridimensional.

Resolver integrales multiples que aparecen constantemente en la Electrostática.

2 Introducción_Mathematica.nb

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Integrales:

Hay dos maneras de resolver integrales en Mathematica, la primera es utilizando el asis-

tente básico, la segundo utilizando el comando “Integrate[]”

Utilizando el Comando:

In[29]:= Integrate@1, xDOut[29]= x

In[30]:= Integrate@2 ∗ x, xD

Out[30]= x2

In[31]:= Integrate@Sin@xD, xDOut[31]= −Cos@xD

In[34]:= Integrate@Sqrt@Tan@yDD, yD

Out[34]=

1

2 2

J−2 ArcTanB1 − 2 Tan@yD F + 2 ArcTanB1 + 2 Tan@yD F +

LogB1 − 2 Tan@yD + Tan@yDF − LogB1 + 2 Tan@yD + Tan@yDFN

In[35]:= Integrate@Exp@n ∗ xD, xD

Out[35]=

ãn x

n

Recordemos que también existen las integrales definidas, pero esto no será una dificultad

en nuestro caso.

In[36]:= Integrate@Exp@n ∗ xD, 8x, 0, ∞<D

Out[36]= ConditionalExpressionB−

1

n

, Re@nD < 0F

Al hacer cálculos númericos el programa va a asumir el caso más general posible, en este

caso debido a que nosotros no le “decimos” al programa el tipo de numero que es la vari-

able n, el programa evaluara asumiendo que este es un numero complejo.

El resultado que proporciona viene con CONDICIONES, la integral anterior converge solo

en el caso que n sea un número real negativo.

Debido a que las integrales que se resolveran en la clase tienen un sentido físico, nosotros

podemos tener información sobre estas condiciones sobre las variables, hay una manera

de “decirle” a Mathematica estas condiciones, esto puede ser de mucha ayuda ya que le

facilitamos el trabajo al computador al evaluar un número menor de posibles soluciones.

Introducción_Mathematica.nb 3

In[38]:= FullSimplify@Assuming@n ∈ Reals && n < 0, Integrate@Exp@n ∗ xD, 8x, 0, ∞<DDD

Out[38]= −

1

n

Utilizando las Paletas:

El uso de las paletas es más básico por lo cual solo se resolveran 1 ejercicio.

In[40]:= ‡0

2 1

2 x + 3

âx

Out[40]=

1

2

LogB7

3

F

4 Introducción_Mathematica.nb

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Integrales Múltiples:

La idea de realizar integrales múltiples es la misma que la de integrales sencillas. El uso de

las paletas para este tipo de integrales es un poco ineficiente debido a que ponemos a

trabajar mucho a la maquina poniendola a hacer muchas integrales a la vez (en especial si

son definidas).

In[41]:= ‡ ‡ ‡ x y2

z âx ây âz

Out[41]=

1

9

x2

y3

z3ê2

In[42]:= ‡1

15

‡2

7

‡0

π

x y2

z âx ây âz

Out[42]=

335

9

J−1 + 15 15 N π2

Notemos que la integral definida tardo un poco mas de tiempo que la indefinida, a pesar

de ser una integral sencilla.

Nosotros podemos librarle trabajo al computador definiendo funciones tras cada integral

de la siguiente manera:

In[43]:= Clear@gD; g = 8 ∗ x ∗ y ∗ z;

In[44]:= Int1@x_D = Integrate@g, xD;

In[45]:= Int2@y_D = Integrate@Int1@1D − Int1@0D, yD;

In[46]:= Int3@z_D = Integrate@Int2@2D − Int2@0D, zD;

In[47]:= R = Int3@3D − Int3@0DOut[47]= 36

Introducción_Mathematica.nb 5

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Gráficos:

Los gráficos se generan con los comandos Plot, Plot3D, ContourPlot etc. como se explica a

continuación:

In[48]:= Plot@Sin@xD, 8x, −2 π , 2 π<D

Out[48]=

-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

In[49]:= m@x_D = Sin@xD;

In[50]:= Plot@m@xD, 8x, −2 π , 2 π<D

Out[50]=

-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

In[51]:= n@x_, y_D = Exp@−Hx^2 + y^2LD;

In[52]:= Plot3D@n@x, yD, 8x, −2 , 2 <, 8y, −2 , 2 <D

Out[52]=

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

0.0

0.5

1.0

Ajuste de Datos:

Algunas veces los datos tomados en laboratorio son pares de datos, que luego se deberan

de ajustar a un modelo teórico (práctica#4 Capacitores). Debido a esto también debemos a

aprender a hacer listas de datos y gráficarlas.

Usaremos datos reales utilizados para medir la longitud de onda de un sónido (frecuencia

3400Hz) que obedecian la ecuación nl=d, que posteriormente se utilizarón para medir la

velocidad del sonido.

6 Introducción_Mathematica.nb

In[54]:= datos = 881, 10<, 82, 19.5<, 83, 30<, 84, 40<, 85, 50.9<,

86, 61.3<, 87, 71.7<, 88, 82.3<, 89, 92<, 810, 102.3<, 811, 109.2<<;

In[60]:= A = ListPlot@datosD

Out[60]=

2 4 6 8 10

20

40

60

80

100

In[56]:= Ajuste = FindFit@datos, n ∗ λ, 8λ<, nDOut[56]= 8λ → 10.1458<

In[57]:= Ajuste1 = 10.1458 ∗ n;

In[58]:= B = Plot@Ajuste1, 8n, 0, 11<D

Out[58]=

2 4 6 8 10

20

40

60

80

100

Los gráficos anteriores se mirarian mejor uno encima del otro para poder observar el com-

portamiento, ademas seria bueno que fueran de distintos colores para poder comparar de

mejor manera.

Al representar cantidades físicas estos gráficos se ven incompletos, debemos titular los

nombres de los ejes, ademas de poner las unidades respectivas.

In[61]:= G = Plot@Ajuste1, 8n, 0, 11<, PlotStyle → RedD;

In[62]:= Show@A, G, AxesLabel → 8"n", "dHcmL"<D

Out[62]=

2 4 6 8 10

n

20

40

60

80

100

dHcmL

Se podría verificar la velocidad del sonido con solo hacer la multiplicación v=l*f

In[63]:= Vs = 3400 ∗ 10.1458 ∗ 10^−2

Out[63]= 344.957

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