Integrales IIc

Integracin

Solucionario de Calculo IntegralSOLUCIONARIO DECALCULO DIFERENCIALE INTEGRAL - GRANVILLE Problemas. Pagina 236

Verificar las siguientes Integraciones:

1. x 4 dx = x 5 + c

v = x El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = dxn = 4

x 4 dx = x 4 + 1 = x5 + c 4+1 5

2. dx = x2

x -2.dx

v = x El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv= dxn = -2 x -2 dx = x -2 + 1 = x -1 = - x -1 = - 1 + c -2+1 -1 x

3. x2/3 dx

x2/3+1 = x5/3 = 3 x5/3 + c 2/3 + 1 5/3 5 4.dx x x -1/2.dx = x -1/2 + 1 = x 1/2 = 2x1/2 = 2x + c - 1/2 +1 1/2 5. dx = 3 x

dx = x -1/3 dx = x -1/3+1 = x2/3 = 3x2/3 + c x 1/3 -1/3+1 2/3 2

6.3ay2 dy

3a y2 dy = = 3a y2+1 = 3 ay3 = ay3 + c 2+1 3 .

7.2 dt t2

2t -2. dt = 2 t -2+1 = 2t -1 = - 2.t -1 = - 2 + c -2+1 - 1

8. ax . dx

(ax)1/2. dx v = ax Falta (a) para completar, dv = a.dx el diferencial. n = 1/2 . 1 (ax)1/2. a .dx = 1 (ax)1/2+1 = (ax)3/2 = 2(ax)3/2 = a a 1/2+1 3/2(a) 3a

2(ax)2/2(ax)1/2 = 2. a .x (ax)1/2 = 2 x (ax )1/2 = 2 x ax + c 3 a 3 a 3 3

9. dx = 2x dx = (2x)-1/2 = (2x)1/2v = 2x Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c . n = -1/2 n+1

1 . (2x)-1/2.2dx = 1 (2x)-1/2+1 = (2x)1/2 = (2x)1/2 = (2x)1/2 = 2 2 -1/2+1 2(1/2) 2/2 1

(2x)1/2 + c

(3t)1/3 dt

v = 3t Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dt Se aplica: vn dv = vn+1 + c .n = 1/3 n+1 1 (3t)1/3.3dt = 1 (3t)1/3+1 = (3t)4/3 = (3t)4/3 + c 3 3 1/3 + 1 3(4/3) 4

11.(x3/2 - 2x2/3 + 5 x - 3) dx

x3/2dx - 2 x2/3 dx + 5 x dx - dx

x3/2dx - 2 x2/3 dx + 5 (x)1/2 dx - dx

x3/2+1 - 2 x2/3+1 + 5 (x)1/2+1 - x + c 3/2+1 2/3+1 1/2+1

x5/2 - 2 x5/3 + 5 (x)3/2 - x + c 5/2 5/3 3/2

2x5/2 - 6x5/3 + 10(x)3/2 - x + c 5 5 3 12. 4x2 - 2x dx x 4x2 - 2x dx = 4x - 2x1/2 dx = x x x2/2

(4x - 2x 1/2.x -2/2) dx = (4x - 2x-1/2) dx

4x dx - 2x -1/2 dx = 4x dx - 2x -1/2 dx

4 x1+1 - 2 x -1/2+1 = 4 . x2 - 2 . x1/2 = 2x2 - 4x1/2 = 1+1 -1/2+1 2 1/2

2x2 - 4 x + c

13.( x2 - 2 ) dx 2 x2

x2 dx - 2 dx = 1 x2 dx - 2 x -2 dx = 2 x2 2

1 x2+1 - 2 x -2+1 = x3 - 2.x -1 = x3 + 2 + c 2 2+1 -2+1 2(3) -1 6 x

14. x(3x - 2) dx

(3x. x - 2. x) dx = (3x.x1/2 - 2x1/2) dx = (3x 3/2 - 2x1/2) dx .

3x3/2 dx - 2x1/2 dx = 3x3/2 dx - 2x1/2 dx = 3 x3/2+1 - 2 x1/2+1 = 3 x3/2+1 - 2 x1/2+1 = 3/2+1 1/2+1 3/2+1 1/2+1 3x5/2 - 2x3/2 = 6x5/2 - 4x3/2 + c 5/2 3/2 5 315. x3 - 6x + 5 dx = x3 - 6x + 5 ln x + c x 3

x3 - 6x + 5 dx = x2 - 6 + 5 dx = x2 dx - 6 dx + 5 dx x x x x x

x2+1 - 6(x) + 5(ln x) = x3 - 6x + 5 ln x + c 2+1 3

16. a + bx dx = 2(a + bx)3/2 + c 3b

(a + bx)1/2 dx .

v = (a + bx) Falta (b) para completar el diferencial.dv = b dx vn dv = vn+1 + c n = 1/2 n+1

1 . (a + bx)1/2.bdx = 1 (a + bx)1/2+1 = (a + bx)3/2 = (a + bx)3/2 = b b 1/2+1 b(3/2) 3b . 22(a + bx)3/2 + c 3b

17. dy a - by

dy = (a - by)-1/2 dy = (a - by)1/2

v = (a - by) Falta (-b) para completar el diferencial.dv = - b dy vn dv = vn+1 + c n = - 1/2 n+1

- 1 (a - by)-1/2.( - b) dy b - 1 (a - by)-1/2+1 = - (a - by)1/2 = - (a - by)1/2 = -2 (a - by)1/2 + c b -1/2+1 b(1/2) b/2 b

18.(a + bt)2 dt = (a + bt)3 + c 3

v = (a + bt) Falta (b), para completar el diferencial, se aplica:dv = b dt vn dv = vn+1 + c . n = 2 n+1

1 (a + bt)2.b dt = (a + bt)2+1 = (a + bt)3 + c b b(2+1) 3b

19. x (2 + x2)2 dx = (2 + x2)3 6

(2 + x2)2. x dx

v = (2 + x2) Falta (2), se aplica: v n = v n+1/n+1 + c . dv = 2x dx 1 (2 + x2)2. 2x dx = 1 (2 + x2)2+1 = (2 + x2)3 = (2 + x2)3 + c n = 2 2 2 2+1 2(3) 6

20. y (a - by2) dy = - (a - by2)2 + c 4b(a - by2) . y dy

v = (a - by2) Falta (-2b),para completar el diferencial. dv = -2by dy Se aplica: v n = v n+1/n+1 + c .n = 1 (a - by2) . y dy = -1 (a - by2)1+1 = - (a - by)2 = - (a - by2) + c 2b 1+1 2b(2) 4b21. t 2t2 + 3 dt = (2t2 + 3)3/2 + c 6(2t2 + 3)1/2. t dt

v = (2t2 + 3) Falta (4) para completar el diferencial.dv = 4t dt . Se aplica: vn dv = vn+1 + c . n = 1/2 n+1

1 (2t2 + 3)1/2. 4t dt = 1 (2t2+3)1/2+1 = (2t2+3)3/2 = (2t2+3)3/2 = 4 4 1/2+1 4(3/2) 12/2

(2t2+3)1/2 + c 6

22. x (2x + 1)2 dx = x4 + 4x3 + x2 + c 3 2

Primero solucionamos el producto notable:

(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1

x (4x2 + 4x + 1) = (4x3 + 4x2 + x) dx

4x3 dx + 4x2 dx + x dx = 4x3 dx + 4x2 dx + x dx

4 x3+1 + 4 x2+1 + x1+1 = 4x4 + 4x3 + x2 = 3+1 2+1 1+1 4 3 2

x4 + 4x3 + x2 + c 3 2

23. 4x2 dx . x3 + 8

(x3 + 8)-1/2 . 4x2 dx

v = (x3 + 8) Falta (3) para completar el diferencial. dv = 3x2 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c n = -1/2 n+1El # 4 sale fuera de la integral porque no nos va a servir en dv

4 (x3 + 8)-1/2 . 3x2 dx = 4 (x3 + 8)-1/2+1 = 4(x3 + 8)1/2 = 3 3 -1/2+1 3(1/2)

4(x3 + 8)1/2 = 2{4(x3 + 8)1/2} = 8(x3 + 8)1/2 = 8(x3 + 8) + c 3/2 3 3 3

24. 6z dz (5 - 3z2)2

(5 - 3z2)-2.6z dzv = (5 - 3z2) A la integral original para que se integredv = - 6z solo le falta el signo negativo.n = -2

-(5 - 3z2)-2. (-) 6z dz

-(5 - 3z2)-2+1 = -(5 - 3z2)-1 = (5 - 3z2)-1 = 1 + c -2+1 -1 (5 - 3z2)

25.(a - x)2 dx

Solucionando el producto notable: (a - x)2 = a - 2a.x + x

{(a)2 - 2a .x + (x)2} dx = (a - 2a .x + x ) dx

a dx - 2a .x + x dx = a dx - 2a x dx + x dx

a dx - 2a1/2 x1/2 dx + x dx = a. x - 2a1/2.x1/2+1 + x1+1 = 1/2+1 1+1 ax - 2a1/2x3/2 + x2 = ax - 4 x2/2 a1/2 x1/2 + x2 = 3/2 2 3 2 ax - 4xa .x + x2 = ax - 4xax + x2 + c 3 2 3 2

26.(a - x)2 dx x

v = (a - x) Falta (-1/2) para completar el diferencial.dv = - 1 dx . Se aplica: vn dv = vn+1 + c 2x n+1 n = 2

(a - x)2. 1 .dx = - 2 (a - x)2 _ 1 dx x 2x

-2 (a - x)2+1 = -2(a - x)3 + c 2+1 3

x{(a)2 - 2a.x + (x)2} dx = x(a - 2a.x + x) dx

(ax - 2a.x.x + x.x)dx = {ax1/2 - 21/2.(x)2 + x2/2.x1/2}dx

{ax1/2 - 2a1/2 x + x3/2} dx = a x1/2 dx - 2a1/2 x dx + x3/2 dx =

a x1/2+1 - 2a1/2 x1+1 + x3/2+1 = a.x3/2 - 2a1/2.x2 + x5/2 = 1/2+1 1+1 3/2+1 3/2 2 5/2

2a .x3/2 - a1/2.x2 + 2x5/2 = 2ax3/2 - x2a + 2x5/2 + c 3 5 3 5

28. t3 dt a4 + t4(a4 + t4)-1/2.t3 dt . v = (a4 + t4) Falta (4) para completar el dv = 4t3 dt diferencial, se aplica: n = -1/2 vn dv = vn+1/n+1 + c

1 (a4 + t4)-1/2.(4)t3 dt = 1 (a4 + t4)-1/2+1 = (a4 + t4)1/2 = 4 4 -1/2+1 4(1/2)

(a4 + t4)1/2 = 2(a4 + t4)1/2 = (a4 + t4)1/2 = (a4 + t4) + c 4/2 4 2

29. dy . (a + by)3

(a + by)-3 dy

v = (a + by) Falta (b) para completar el diferencial.dv = b dy Se aplica: Se aplica: vn dv = vn+1 + c n = - 3 n+1

1 (a + by)-3.(b)dyb

1 (a + by)-3+1 = (a + by)-2 = (a + by)-2 = - 1 + c b -3+1 b(-2) -2b 2b(a + by)2

30. x dx . (a + bx2)3(a + bx2)-3.x dx

v = (a + bx2) Falta (2b) para completar el diferencial.dv = 2bx.dx Se aplica: Se aplica: vn dv = vn+1 + c n+1 1 (a + bx2)-3.(2b)x dx2b

1 (a + bx2)-3+1 = (a + bx2)-2 = _ 1 + c 2b - 3 + 1 (2b)( - 2) 4b(a + bx2)231. t2 dt (a + bt3)2

(a + bt3)2.t2 dt

v = (a+bt3) Falta (3b) para completar el diferencial.dv = 3bt2 dt Se aplica: vn dv = vn+1 + c n = 2 n+1

1 (a+bt3)-2.(3b)t2 dt = (a+bt3)-2+1 = (a+bt3)-1 = 3b 3b(-2+1) 3b(-1)

(a+bt3)-1 = - 1 + c -3b 3b(a + bt3)

32. z(a + bz3)2 dz

Desarrollando el producto notable: (a + bz3)2 , obtenemos ,

z (a2 + 2abz3 + b2z6) dz

(a2z + 2abz4 + b2z7) dz

a2 z dz + 2ab z4 dz + b2 z7 dz

a2 z1+1 + 2ab z4+1 + b2 z7+1 = a2z2 + 2abz5 + b2z8 + c 1+1 4+1 7+1 2 5 8

33.xn-1a+bxn dx

(a + bxn)1/2. xn-1 dx

v = (a + bxn) Falta (nb) para completar el diferencial.dv = nbxn-1 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c n = 1/2 n+1 1 (a + bxn)1/2. (nb) xn-1 dxnb

(a + bxn)1/2+1 = (a + bxn)3/2 = 2(a + bxn)3/2 + c 1/2+1 3/2 3

34.(2x + 3) dx x2 + 3x

(x2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dx

v = (x2 + 3x) El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = 2x + 3 Se aplica: vn dv = vn+1 + c n = -1/2 n+1 (x2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dx

(x2 + 3x)-1/2+1 = (x2 + 3x)1/2 = 2(x2 + 3x)1/2 = 2 x2 + 3x + c - 1/2 + 1 1/2

35.(x2 + 1) dx x3 + 3x

(x3 + 3x)-1/2. (x2 + 1) dx

v = (x3 + 3x) Falta (3) para completar eldv = 3x2 + 3 dx = 3(x2 + 1) dx diferencial.n = -1/2

1 (x3 + 3x)-1/2.(3)(x2 + 1) dx = (x3 + 3x)-1/2+1 = (x3 + 3x)1/2 = 3 3(-1/2+1) 3(1/2)

(x3 + 3x)1/2 = 2(x3 + 3x)1/2 = 2 (x3 + 3x) + c 3/2 3 3 36. (2 + ln x) dx x

(2 + ln x). 1 dx x

v = (2 + ln x) Falta 1/x para completar el diferencial.dv = 1 dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c x n+1n = 1

(2 + ln x). 1 dx = (2 + ln x)1+1 = (2 + ln x)2 + c x 1+1 2

37.sen2x cos x dx

(senx)2 . cos x dx . v = (senx) El diferencial esta dv = cos x dx completo,se procede n = 2 a integrar.

(senx)2 cos x dx = (senx)2+1 = (senx)3 + c 2+1 3

38.sen ax cos ax dx

v = sen ax Falta (a) para completar eldv = (cos ax)(a) dx = a cos ax dx diferencial.Se aplica:n = 1 vn dv = vn+1 + c n+1 1 (sen ax) . (a)cos ax dx = (sen ax)1+1 = (sen ax)2 = sen2ax + c a a(1+1) 2a 2a

39. sen 2x cos22x dx

(cos 2x)2. sen 2x dxv = (cos2x) Falta (-2) para completar el diferencialdv = (- sen 2x)(2) dx = - 2sen 2x Se aplica: v n dv = v n+1 + c n = 2 n+1

- 1 (cos2x)2.(-2)sen 2x dx = - (cos2x)2+1 = - (cos2x)3 = 2 2(2+1) 2(3)

- cos32x + c 6

40.tg x sec2 x dx 2 2

v = tg x/2 falta (1/2) para completar el diferencial. dv = 1 sec 2 x . 2 2 n = 1

2 [tg x ]1+1 2 [ tg x ]2 2tg x 1 . sec2 x dx = 2 = 2 = 2 2 2 1+1 2

tg 2 x = [tg 2 x ] + c 2 2

41. cos ax dx b + sen ax

(b + sen ax)-1/2 . cos ax dx

v = (b + sen ax) Falta (a) para completar el dv = cos ax.a dx = a cos ax dx diferencial: Se aplica:n = - 1/2 vn dv = vn+1 + c n+1 1 (b + sen ax)-1/2 .(a) cos ax dx = (b + sen ax)-1/2+1 = a a(-1/2+1)

(b + sen ax)1/2 = (b + sen ax)1/2 = 2(b + sen ax)1/2 = a(1/2) a/2 a

2b + sen ax + c a

42. sec x 2 dx 1 + tg x

sec2x dx (1 + tg2x)

(1 + tg x)-2. Sec2x dx

v = (1 + tg x) El diferencial esta completo, se procede adv = sec2x dx integrar.n = -2

(1 + tg x)-2+1 = (1 + tg x)-1 = _ 1 + c -2+1 - 1 (1 + tg x)

43. dx . 2 + 3x

v = 2 + 3x Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dx Se aplica: dv = ln v + c v

1 (3) dx = 1 ln (2 + 3x) + c 3 2 + 3x 3

44. x2 dx . 2 + x3v = 2 + x3 Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3x2 dx Se aplica: dv = ln v + c v 1 (3) x2 dx = 1 ln (2 + x3) = ln (2 + x3) + c 3 2 + x3 3 3

45. t dt . a + bt2 v = a + bt2 Falta (2b) para completar el diferencial.dv = 2bt Se aplica : dv = ln v + c . v

1 (2b) t dt = 1 . ln(a + bt2) = ln(a + bt2) + c 2b (a + bt2) 2b 2b

46. (2x + 3) dx x2 + 3x

v = x2 + x El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = (2x + 3)

(2x + 3) dx = ln (x2 + 3x) + c x2 + 3x

47. (y + 2) dy y2 + 4y

v = y2 + 4y Falta (2) para completar eldv = 2y + 4 dy = 2(y + 2) dy diferencial .Se aplica: dv = ln v + c v

1 (2)(y + 2) dy = 1 .ln (y2 + 4y) = ln (y2 + 4y) + c 2 (y2 + 4y) 2 248. e d . a + be

v = a + be Falta (b) para completar el diferencial.dv = be d Se aplica: dv/v = ln v + c

1 e (b) d . b a + be

ln (a + be) + c b

49. sen x dx 1 - cos x

v = 1 - cos x El diferencial esta completo.dv = - (-sen x ) dx = sen x dx . Se procede a integrar. ln (1 - cos x) + c

50.sec2y dy . a + btg y v = a + btg y . Falta (b), para completar el diferencial dv = b sec2y dy

1 (b) sec2y dy = 1 . ln(a + btg y) = ln(a + btg y) + c b a + btg y b b

51.( 2x + 3) dx x + 2

Efectuamos la divisin: 2x + 3 x + 2 -2x - 4 2 - 1 El resultado es:2 + - 1 = 2 - 1 . Sustituyendo en la integral . x + 2 x + 2

[ 2 - 1 ] dx = 2 dx - dx = 2x - ln(x + 2) + c x + 2 x + 2

52. x2 + 2 dx x + 1Efectuamos la divisin: x2 + 2 x + 1 - x2 - x x - 1 - x + x + 2 + 2El resultado es:

(x - 1) + 3 . Sustituyendo en la Integral. x + 1

[ x - 1 + 3 ] dx x + 1

x dx - dx + 3 dx . x + 1

x1+1 - x + 3 ln (x + 1) = x2 - x + 3 ln (x + 1) + c 1+1 2

53. (x + 4) dx 2x + 3

Efectuamos la divisin: x + 4 2x + 3 - x - 3/2 1/2 . - x + 5/2 . 5 . El resultado es: 1 + 2 . Sustituyendo en la Integral. 2 2x + 3

1 + 5/2 dx 2 2x + 3

1 dx + 5 . 1 (2)dx . v = 2x + 3 2 2 2 2x + 3 dv = 2 dx

1 dx + 5 (2) dx = 1 x + 5 ln (2x + 3) = 2 4 2x + 3 2 4

x + 5 ln (2x + 3) + c 2 4

54. e2s ds . e2s + 1

v = e2s + 1 El diferencial esta incompleto, falta (2) dv = 2e2s . y se le opone 1/2.

1 (2)e2s ds = 1 . ln(e2s + 1) = ln (e2s + 1) + c 2 e2s + 1 2 2

55. ae + b d ae - b

Efectuamos la divisin: b + ae - b + ae El resultado es :- b + ae - 1 - 1 + 2ae . + 2ae - b + ae

Para la 2da integral:v = - b + aedv = aed -1 + 2 ae d = - d + 2 ae d = - b + ae - b + ae

- + 2 ln (- b + ae) = 2 ln (ae - b ) - + c

56. 2x dx .(6 - 5x2)-1/3.2x dx

v = (6 - 5x2)dv = - 10x dx El diferencial esta incompleto, falta (- 5 ) n = -1/3 .

- 1 (6 - 5x2)-1/3 (-5)2x dx = - 1 . (6 - 5x2)-1/3+1 = -(6 - 5x2)2/3 = 5 5 -1/3+1 5(2/3)

- 3(6 - 5x2)2/3 + c 1057.(x3 + 3x2) dx

x3 dx + 3x2 dx

x3+1 + 3.x2+1 = x4 + 3x3 = x4 + x3 = c 3+1 2+1 4 3 4

58. x2 - 4 . dx x4

Desarrollando: x2 - 4 = x2 - 4 = 1 - 4 x4 x4 x4 x2 x4

Sustituyendo en la integral .[ 1 - 4 ] dx = 1 dx - 4 dx = x -2 dx - 4x -4 dx x2 x4 x2 x4

x-2+1 - 4.x -4+1 = x-1 - 4x -3 = - 1 + 4 + c -2+1 -4+1 -1 -3 x 3x3

1 5x dx + 5 dx = 1 (5x)1/2 dx + 5 (5x)-1/2 dx. 5 5x 5 v = 5x v = 5x Completando el diferencial a dv = 5 dx dv = 5 dx ambas integrales. n = 1/2 n = - 1/2

1 . 1 (5x)1/2.(5)dx + 5. 1 (5x)-1/2 (5)dx = 5 (5) 5

1 . (5x)1/2+1 + (5x)-1/2+1 =25 1/2 + 1 - 1/2+1

(5x)3/2 + (5x)-1/2+1 = 2(5x)3/2 + 2(5x)1/2 = 25(3/2) 1/2 5(5)(3) 1

2( 5 x) (5x)1/2 + 2(5x)1/2 =2x(5x)1/2 + 2(5x)1/2 = 5 (5)(3) 15

2(5x)1/2 { x + 1 } = 25.x x + 15 + c 15 15

dt = 1 dt = 1 . dt = 1 . t -3/2 dt = t -3/2+1 . t.t1/2.21/2 21/2 t1+1/2 2 t3/2 2 2(- 3/2 + 1)

t -1/2 = t -1/2 = - 2 = - 2 = - 2 + c 2(-1/2) - 2 2.t1/2 2. t 2t

(2 - 3x)1/3. dx

v = (2 - 3x) El diferencial esta incompleto, falta ( - 3 ) dv = - 3 dx Se aplica: vn = vn+1 + c n = 1/3 n+1

(- 1 ) (2 - 3x)1/3 (- 3). dx = - (2 - 3x)1/3+1 = - (2 - 3x)4/3 = 3 3(1/3+1) 3(4/3)

-(2 - 3x)4/3 = - 3 (2 - 3x)4/3 = - (2 - 3x)4/3 + c 12/3 12 4

63. sen 2 d cos 2

(cos 2)-1/2.sen 2 d v = (cos 2) Falta (-2) para completar el diferencial.dv = - 2 sen 2 d Se aplica: vn = vn+1 + c n = - 1/2 n+1

(- 1 ) (cos 2)-1/2.(-2)sen 2 d 2

(-1 ).(cos 2)-1/2+1 = - (cos 2)1/2 = - (cos 2)1/2 = - cos 2 + c 2 -1/2+1 2(1/2) 1

64. ex dx . ex - 5 v = (ex - 5) El diferencial esta completo,(ex - 5)-1/2 . ex dx . dv = ex dx se procede a integrar. n = - 1/2

(ex - 5)-1/2.ex dx = (ex - 5)-1/2+1 = (ex - 5)1/2 = 2(ex - 5)1/2 + c -1/2+1 1/265. 2 dx 3 + 2x

(3 + 2x)-1/2. 2 dx

v = (3 + 2x) El diferencial esta completo,dv = 2 dx se procede a integrar.n = - 1/2

(3 + 2x)-1/2. 2dx = (3 + 2x)-1/2+1 = (3 + 2x)1/2 = 2(3 + 2x)1/2 = -1/2+1 1/2

2 (3 + 2x) + c

66. 3 dx = 2 + 3x

v = 2 + 3x El diferencial esta completo, se usa la frmula:dv = 3 dx dv = ln v + c v

3 dx = ln (2 + 3x) + c 2 + 3x67. x dx . 1 - 2x2 (1 - 2x2)-1/2. x dx

v = (1 - 2x2) El diferencial esta incompleto,dv = - 4x dx falta (- 4) y se le opone (-1/4) .n = - 1/2

(- 1 ) (1 - 2x2)-1/2.( - 4) x dx = - 1 . (1 - 2x2)-1/2+1 4 4 -1/2+1

- (1 - 2x2)1/2 = - (1 - 2x2)1/2 + c 4(1/2) 2

68. t dt . 3t2 + 4

v = 3t2 + 4 El diferencial esta incompleto, falta (6) dv = 6t dt y se le opone (1/6)

( 1 ) (6)t dt = 1 .ln(3t2 + 4) = ln(3t2 + 4) + c 6 3t2 + 4 6 6

(y2)3 - 3 (y2)2. 1 + 3 (y2). 1 2 - 1 3 . dy y2 y2 y2

y6 - 3. y2 . y2 + 3. y2 - 1 dy = y6 - 3 y2 + 3 - 1 dy y2 y2 . y2 y6 y2 y6 y6+1 - 3 . y2+1 + 3 y-2 dy - y - 6 dy = 6+1 2+1

y7 - 3y3 + 3.y-2+1 - y-6+1 = 7 3 - 1 - 5

y7 - y3 - 3.y -1 + y -5 = y 7 - y 3 - 3 + 1 + c 7 5 7 y 5y5

71. sen a d cos a

Segn Trigonometra: sen a = tg a . tg a. d cos a

v = a Utilizamos la integral: dv = a d tg v dv = - ln cos v = ln sec v + c ( 1 ) tg a. (a)d = - {ln cos (a) } = ln sec (a) + c a a a

72. csc2 d . (2cot + 3)

(2cot + 3)-1/2 . csc2 d . v = (2cot + 3) Falta (-2) para completar el diferencial. dv = - 2 csc2 d Se aplica: v n dv = v n+1 + c n+1-1 (2cot + 3)-1/2.(-2)csc2.d = _ 1 . (2cot + 3)-1/2+1 = 2 2 -1/2+1

- 1 .(2cot + 3)1/2 = - (2cot + 3)1/2 = - (2cot + 3)1/2 = 2 1/2 2(1/2) 1

- (2cot + 3)1/2 = - (2cot + 3) + c 73. (2x + 5) dx x2 + 5x +6

v = x2 + 5x +6 El diferencial esta completo, dv = (2x + 5) . dx aplicamos la frmula: dv/v = ln v + c

(2x + 5) dx = ln (2x + 5) + c x2 + 5x + 6

74. (2x + 7) dx x + 3 Dividimos: 2x + 7 x + 3 El resultado es: 2 + 1 . - 2x - 6 2 x + 3 + 1

2 + 1 dx x + 3

2 dx + dx = 2 x + ln (x + 3) + c x + 3

75. (x2 + 2) dx x + 2 Dividimos: x2 + 2 x + 2 - x2 - 2x x - 2 El resultado es: - 2x + 2 x - 2 + 6 . + 2x + 4 x + 2 + 6 [x - 2 + 6 ] dx = x dx - 2 dx + 6 dx = x + 2 x + 2

x2 - 2x + 6 ln (x + 2) + c 2 76. (x3 + 3x) dx x2 + 1

Dividimos: El resultado de la divisin es:

x3 + 3x x2 + 1 x + 2x . - x3 - x x x2 + 1 + 2x v = x2 + 1 El diferencial esta completodv = 2x dx se procede a integrar.

x dx + 2x dx = x1+1 + ln (x2 + 1) = x2 + ln (x2 + 1) + c x2 + 1 1+1 2

77. (4x + 3) dx . 1 + 3x + 2x2

(1 + 3x + 2x2)-1/3.(4x + 3) dx v = (1 + 3x + 2x2) El diferencial esta completo, se dv = 3 + 4x dx = 4x + 3 dx procede a integrar.n = - 1/3

(1 + 3x + 2x2)-1/3 . (4x + 3) dx = (1 + 3x + 2x2)-1/3+1 . - 1/3 + 1 (1 + 3x + 2x2)2/3 = 3 (1 + 3x + 2x2)2/3 + c 2/3 2

78. (et + 2) dt et + 2t v = et + 2t El diferencial esta completo. dv = (et + 2) dt Se aplica: dv/v = ln v + c (et + 2) dt = ln (et + 2t) + c et + 2t

79. (ex + sen x) dx ex - cos x

(ex - cos x)-1/2.(ex + sen x) dx

v = (ex - cos x) El diferencial esta dv = (ex - (-sen x) dx = (ex + sen x) dx completo, se procede a n = - 1/2 integrar.

(ex - cos x)-1/2+1 = (ex - cos x)1/2 = 2(ex - cos x)1/2 + c -1/2+1 1/2

80. sec 2 tg 2 d 3 sec 2 - 2

v = 3 sec 2 - 2 Falta (6) para completar el dv = 3{sec 2 . tg 2}.2 d = diferencial y se le opone (1/6).dv ={6 sec 2 . tg 2} d Se aplica: dv/v = ln v + c ( 1 ) ( 6 )sec 2 tg 2 d = 1 . ln (3 sec 2 - 2) = 6 3 sec 2 - 2 6

ln (3 sec 2 - 2) + c 6

81. sec22t dt . 5 + 3tg 2t (5 + 3tg 2t)-1/2.sec22t dt

v = (5 + 3tg 2t) Falta (6)para completar el diferencial . dv = 3(sec22t)(2) dt Se aplica: v n dv = v n+1 + c dv = 6 sec22t dt n+1 n = - 1/2

( 1 ) (5 + 3tg 2t)-1/2.(6)sec22t dt 6

( 1 ) . (5 + 3tg 2t)-1/2+1 = (5 + 3tg 2t)1/2 = (5 + 3tg 2t)1/2 + c 6 -1/2+1 6(1/2) 3

Problemas. Pagina 241

Verificar las Siguientes Integraciones:

1. 6 e3x dx = 2 e3x + c .

6 e3x dx . v = 3x Falta el (3) para completar el diferencial, dv = 3 dx luego se procede a integrar. Se aplica: ev dv = ev + c . 6 ( 1 ) e3x.(3) dx = 2 e3x + c . 3 . 2.ex/n dx = nex/n + c .

v = x/n Falta 1/n completar en el diferencial, dv = 1/n luego se procede a integrar. Se aplica: ev dv = ev + c .

(n) ex/n .(1/n) dx = n.ex/n + c .

3. dx = - 1 + c . ex ex

e-x. dx ; { v = - x ; dv = - dx }

Para completar el diferencial, le falta el signo (-).

(-) e-x.(-) dx = - e-x = - 1 + c . ex

4.10 x dx = 10 x + c . ln 10

v = x El diferencial esta completo, se usa la frmula:dv = dx av dv = av + c . ln a

10 x dx = 10 x + c . ln 10

5.any dy = any + c . n ln a v = ny Falta (n) para completar el diferencial.dv = n.dy Se aplica: av dv = av + c . ln a

(1/n) any.(n) dy = . 1 . any = any + c . n ln a n ln a

6. ex dx = 2ex + c . x

ex . 1 . 1 . dx = x 2

v = x Falta (1/2) para completar el diferencial,dv = 1 . dx luego se procede a integrar. 2x Se aplica: ev dv = ev + c .

ex . 1 . 1 . dx = (2) ex. 1 .dx = 2ex + c . x 2 2x

7.(ex/a + e-x/a) dx = a (ex/a - e-x/a) + c . v = x/a v = - x/a ex/a dx + e-x/a dx . dv = 1/a dx dv = - 1/a dx

Una vez completado los diferenciales, se integra.

( a) ex/a.(1/a) dx + (- a) e-x/a.(- 1/a) dx

a.ex/a - a.e-x/a = a (ex/a - e-x/a) + c .

8.(ex/a - e-x/a)2 dx

Desarrollando el producto notable: (ex/a - e-x/a)2 :

(ex/a - e-x/a)2 = {(ex/a)2 - 2(ex/a)(e-x/a) + (e-x/a)2} .

e2x/a - 2e+x/a -x/a + e-2x/a = e2x/a - 2e0 + e-2x/a .

e2x/a - 2(1) + e-2x/a = e2x/a - 2 + e-2x/a .

Sustituyendo : {e2x/a - 2 + e-2x/a} en la integral . {e2x/a - 2 + e-2x/a} dx = e2x/a dx - 2 dx + e-2x/a dx .

Completando el diferencial, antes de integrar :

v = 2x/a v = -2x/a dv = 2/a dx dv = - 2/a dx

Se aplica en ambas integrales: ev dv = ev + c .

( a/2) e2x/a.(2/a) dx - 2 dx + (- a/2) e-2x/a.(- 2/a) dx .

a .e2x/a - 2x - a .e-2x/a = a .{e2x/a - e-2x/a} - 2x + c . 2 2 2 9.x e x2 dx = 1 .ex2 + c . 2 v = x2 Como el diferencial esta completo, dv = 2x dx se procede a integrar. x ex2 dx = 1 .ex2 + c . 2 10.e sen x cos x dx = e sen x + c . v = sen x El diferencial esta completo,dv = cos x dx se procede a integrar.

esen x. cos x dx = esen x + c .

11.etg sec 2 d .

v = tg El diferencial esta completo,dv = sec2 d se procede a integrar.

e tg . sec2 d = e tg + c .

12.et dt = 2et + c. (et)1/2 dt = et/2. dt v = t/2 Falta (1/2) en el diferencial, dv = 1/2 luego se procede a integrar.

Se aplica: ev dv = ev + c .

(2) et/2.(1/2) dt = 2et/2 + c .

13. ax ex dx

-0

v = ax ex Falta (1 + ln a) para completar dv = {ax.ex + ex. ax.ln a} dx el diferencial, luego se procededv = ax.ex{1 + ln a} dx a integrar.

1 . ax ex.( 1 + ln a) dx = axex + c . 1 + ln a 1 + ln a

14. a2x dx = a2x + c . 2 ln a

v = 2x Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2 dx Se aplica: av dv = av + c . ln a( 1 ) a2x.(2) dx = . 1 . a2x = a2x + c . 2 2 ln a 2 ln a

15.(e5x + a5x) dx = . 1 e5x + a5x + c . 5 ln a

e5x. dx + a5x. dx

Completando los diferenciales de ambas integrales.

v = 5x v = 5x dv = 5 dx dv = 5 dx


( 1/5) e5x.(5) dx + ( 1/5) a5x.(5) dx

. 1 .e5x + . 1 . a5x = 1 e5x + a5x + c . 5 5 ln a 5 ln a

16. 5eax dx

v = ax Falta (a) para completar el diferencial,dv = a dx luego se procede a integrar.


5 1 eax.(a) dx = 5eax + c . a a

17. 3 dx ex

3 e -x. dxv = - x Falta el signo ( - ) , para completar el diferencial,dv = - dx luego se procede a integrar.


3( - ) e -x .( - ) dx = -3.e -x = - 3 + c . e x18. 4 dt = et (et)-1/2 dt = 4( - 2) e- t /2.( - 1/2) dt =

- 8 e- t/2 = - 8 + c . et /219. cax dx

Suponemos que : "c" de la integral dada es la constante "a" de la formula.

v = ax Falta (a) para completar el diferencial, dv = a dx luego se procede a integrar.

Empleando la frmula: av. dv = av + c ln a

( 1/a) cax.(a) dx = . 1 . cax + c . a ln c

20. dx . 42x 4-2x. dx v = - 2x Falta ( - 2) , para completar el diferencial, dv = - 2 dx luego se procede a integrar.

Utilizamos la frmula: av. dv = av + c ln a ( - 1/2) 4-2x.( - 2) dx = .- 1 . 4-2x = - 1 + c . 2 ln 4 2 . ln 4 . 42x

21. x2 ex3 dx

Ordenando: ex3. x2 dx

v = x3 Falta (3) para completar el diferencial,dv = 3x2 dx luego se procede a integrar. Se aplica: ev. dv = ev + c .

( 1/3) ex3 .(3) x2 dx = . 1 .ex3 = ex3 + c 3 3

22.(ex + 4) dx ex ex dx + 4 dx = dx + 4(-) e -x.(-) dx = x - 4e -x = x - 4 + c . ex ex ex

23. ex dx ex - 2

v = ex - 2 El diferencial esta completo, dv = ex dx aplicamos : dv = ln v + c . v ln (ex - 2) + c .

24.x (ex2 + 2) dx {(ex2 + 2) . x} dx

ex2 . x dx + 2 x dx

v = x2 Falta (2) en la 1ra integral, para completar dv = 2x dx el diferencial , el 2do integral esta completo.

Se aplica: ev dv = ev + c , en la 1ra integral .

(1/2) ex2 .(2) x dx + 2 x dx = . 1 . e x2 + 2 . x1+1 = 2 1+1

ex2 + 2 . x2 = ex2 + x2 + c. 2 2 2 25.(ex - 3 ) dx xex. 1 . dx - 3 dx . x x

v = x Falta (1/2) para completar el diferencial,dv = . 1 . 1 . dx de la 1ra integral. 2 x Se aplica: ev dv = ev + c .

(2) ex . 1 . 1 . dx - 3 x -1/2 dx = 2ex - 3.x -1/2+1 = 2 x -1/2+1

2ex - 3.x1/2 = 2ex - 6x1/2 = 2ex - 6 x + c . 1/2 26. t 2t2 dt 2 t2 . t dt

v = t2 Falta (2) para completar el diferencial,dv = 2t dt luego se procede a integrar. Se aplica: av. dv = av + c ln a

( 1/2) 2 t2 .(2) t dt = . 1 . 2 t2 = 2 t2 + c . 2 ln 2 2 ln 2 27. a d b3

a b-3. d

v = - 3 Falta (- 3) para completar el diferencial.dv = - 3d Se aplica: av dv = av/ ln a + c .

a(- 1/3) b-3.( - 3) d = - a . b-3 = - a + c. 3 ln b (3 ln b) b328. 6 x e - x2 dx Descomponiendo el # 6 en 2 factores y ordenando:

3e- x2.2x dx v = - x2 Falta el signo ( - ) para completar el diferencial.dv = - 2x dx Se aplica: ev dv = ev + c .

3(-) e- x2.(-)2x dx = - 3e- x2 = - 3 + c . e x2 29. (e2x)2 dx

e4 x dx

v = 4x Falta el # 4 para completar el diferencial.dv = 4 dx . Se aplica: ev dv = ev + c .

( 1/4) e4 x.(4) dx = . 1 .e4 x = e 4 x + c . 4 4 30. x2 dx ex3 e - x3 . x2 dx

v = = - x3 Falta ( - 3) para completar el diferencial.dv = - 3x2 dx Se aplica: ev dv = ev + c .

- 1 e - x3 .( - 3) x2 dx = - 1 . e - x3 = - 1 + c . 3 3 3 e x3

Problemas. Paginas 244 y 245


1. cos mx dx = 1 sen mx + c . m

v = mx Falta (m) para completar el diferencial.dv = m dx Se aplica: cos v dv = sen v + c .

( 1 ) cos mx .(m) dx = 1 sen mx + c . m m

2.tg bx dx = 1 ln sec bx + c . b

v = bx Falta (b) para completar el diferencial. dv = b dx Se aplica: tg x dx = - ln {cos (v)} + c = ln {sec (v)} + c .

( 1 ) tg bx .(b) dx = 1 ln sec bx + c . b b

3.sec ax dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c . a

v = ax Falta (a) para completar el diferencial. dv = a dx Usamos la frmula: sec v dv = ln(sec v + tg v) + c.

( 1 ) sec ax .(a) dx = 1 ln (sec ax + tg ax) + c . a a

4.csc v dv = ln tg 1 v + c . 2 ln (csc v - cot v) = ln 1 - cos v = ln 1 - cos v = sen v sen v sen v ln tg 1 v + c . 2

Por trigonometra :

csc v = 1 ; cot v = cos v ; tg v = 1 - cos v . sen v sen v 2 sen v

Esta demostrado : csc v dv = ln tg 1 v + c . 2

5.sec 3t tg 3t dt = 1 sec 3t + c . 3

v = 3t Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica:dv = 3 dt sec v tg v dv = sec v + c .

( 1/3) sec 3t . tg 3t (3) dt = 1 sec 3t + c . 3

. 1 .{ sec 3t} + c . 3

6.csc ay cot ay dy = - 1 csc ay + c a

v = ay Falta (a) para completar el diferencial. Se aplica:dv = a dy csc v cot v dv = - csc v + c ( 1/a) csc ay . cot ay. (a) dy . . 1 .{ - csc ay } = - 1 csc ay + c . a a

7.csc2 3x dx = - 1 cot 3x + c . 3 v = 3x Completando el diferencial con (3) .dv = 3 dx Se aplica: csc2 v dv = - cot v + c .

( 1/3) csc2 3x . (3) dx = 1 {- cot 3x } = - 1 cot 3x + c . + c . 3 3

8.cot x dx 2

v = 1 x Falta (1/2) para completar el diferencial. 2 Se aplica: cot v dv = ln {sen (v) } + c .dv = 1 dx 2 (2) cot x ( 1 ) dx = 2 ln (sen x ) + c . 2 2 2

9.x sec2 x3 = 1 . tg x3 + c . 3

Ordenando: (sec x3)2 . x dx = sec2 x3 . x dx

v = x3 Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3x2 dx Se aplica: sec2 v . dv = tg v + c .

1 . (sec x3)2 .(3) x dx = 3 1 . tg x3 + c . 3

10. dx . sen2x

Por Trigonometra: 1 = csc2 x sen2 xcsc2 x dx = - cot2 x + c . 11. ds = tg s + c . cos2 s

Por Trigonometra: 1 = sec2 s cos2 s

sec2 s ds = tg s + c .

12.(tg + cot )2 d = tg - cot + c .

(tg2 + 2 tg cot + cot2 ) d =

Por Trigonometra: tg . cot = 1 ; tg2 + 1 = sec2 ; cot2 + 1 = csc2 . Utilizando un artificio matemtico : 2 = 1 + 1 .

Reemplazando y utilizando el artificio, obtenemos: (tg2 + 2(1) + cot2 ) d = (tg2 + 2 + cot2 ) d

(tg2 + 1 + 1 + cot2 ) d = (tg2 + 1 + cot2 + 1 ) d

Pero: tg2 + 1 = sec2 ; cot2 + 1 = csc2 .

sec2 d + csc2 d = tg - cot + c .

13.(sec - tg )2 d = 2 (sec - tg ) - + c .

(sec2 - 2 sec tg + tg2 ) d =

Pero: tg2 = sec2 - 1 , sustituyendo en la integral.(sec2 - 2 sec tg + sec2 - 1 ) d =

(2sec 2 - 2 sec tg - 1 ) d =

2sec2 d - 2 sec tg d - d =

2 sec2 d - 2 sec tg d - d =

En la 1ra integral aplicamos: sec2 v dv = tg v + c .

En la 2da integral aplicamos: sec v tg v dv = sec v + c . 2 tg - 2sec - = 2(tg - sec ) - + c .

14. dx = - cot x + csc x + c . 1 + cos x

Racionalizando: 1 . 1 + cos x

1 . 1 - cos x = 1 - cos x .1 + cos x 1 - cos x 1 - cos2x

Pero: 1 - cos2 x = sen2 x .

1 - cos x . dx . Aplicando artificios aritmticos, Ejm: sen2x

Aplicando artificios aritmticos, Ejm:

8 - 6 = 8 - 6 1 - cos x = 1 - cos x . 2 2 2 sen2 x sen2 x sen2 x

1 - cos x dx = dx - cos x dx = sen2x sen2x sen2x sen2x csc2 x dx - (sen x)-2. cos x dx =

v = sen x En la 1ra aplicamos: csc2 v dv = - cot v + c .dv = cos x dx El diferencial de la 2da integral, esta completo.

csc2x dx - (sen x)-2. cos x dx = - cot x - (sen x)-2+1 = - 2 + 1

Por Trigonometra : 1 = csc x . sen x= - cot x - (sen x)-1 = - cot x + 1 = - cot x + csc x + c . - 1 sen x

15. dx = tg x - sec x + c . 1 + sen x

Racionalizando y efectuando artificios aritmticos :

1 . 1 - sen x = 1 - sen x = 1 - sen x . 1 + sen x 1 - sen x 1 - sen2 x cos 2 x

1 - sen x = 1 - sen x = sec2 x - senx = cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x

sec2 x dx - sen x dx = sec2 x dx - (cosx)-2. sen x dx cos2 x

v = cos x En la 1ra integral aplicamos: sec2 v dv = tg v + cdv = - sen x dx En la 2da integral aplicamos: vn dv = vn+1 + c n+1

sec2 x dx - (-) (cosx)-2.(-) sen x dx =

tg x + (cos x)-2+1 = tg x + (cos x)-1 = tg x - 1 = - 2 + 1 - 1 cos x

tg x - sec x + c .

16. sen s ds = - ln (1 + cos s) + c . 1 + cos s

v = 1 + cos s Falta el signo (-) , para completar el diferencialdv = - sen s ds Aplicamos la frmula : dv = ln v + c . v

(-) sen s (-)ds = - ln (1 + cos s) + c . 1 + cos s17. sec2 x dx = 1 + tg x

v = 1 + tg x El diferencial esta completo,dv = sec2 x dx se procede a integrar.

sec2 x dx = ln(1 + tg x ) + c . 1 + tg x

18.x cos x2 dx = 1 sen x2 + c . 2

cos x2 . x dx = v = x2 Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2x dx Se aplica: cos v dv = sen v + c .

(2) cos x2 .(2)x dx = 1 sen x2 + c . 2 19.(x + sen 2x) dx = 1/2 (x2 - cos 2x) + c .

x dx + sen 2x dx =

{v = 2x ; dv = = 2 dx}x dx + 1 sen 2x .(2) dx = x1+1 + 1 - cos 2x = 2 1+1 2 x2 - cos 2x = 1 x2 - cos 2x + c . 2 2 2

20. sen x dx = 2 4 - cos x + c . 4 - cos x

sen x dx = 2 4 - cos x + c . (4 - cos x)1/2

(4 - cos x )-1/2. sen x dx =

v = (4 - cos x ) El diferencial esta completo, dv = -(- sen x) dx = sen x dx se procede a integrar.

(4 - cos x )-1/2. sen x dx = (4 - cos x )- 1/2 + 1 = - 1/2 + 1 (4 - cos x )1/2 = 2(4 - cos x )1/2 = 2 4 - cos x + c . 1/2

21.(1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c . x + sen x

v = x + sen x El diferencial esta completo, Aplicamos: dv = (1 + cos x) dx dv = ln v + c . v

(1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c . x + sen x

22. sec2 d . 1 + 2tg

sec2 d . (1 + 2tg )1/2 (1 + 2tg )-1/2. sec2 d .

v = (1 + 2tg ) Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2 sec2 d

(1/2) (1 + 2tg )-1/2.(2) sec2 d .

. 1 (1 + 2tg )-1/2+1 = (1 + 2tg )1/2 = (1 + 2tg )1/2 = 2 -1/2+ 1 2(1/2) 1

(1 + 2tg ) + c .

23. sen 2x dx 3

v = 2x . Falta (2/3) para completar el diferencial. 3 Se aplica : sen v dv = - cos v + c . dv = 2/3 dx ( 3 ) sen 2x ( 2 ) dx = 3 - cos 2x = - 3 cos 2x + c 2 3 3 2 3 2 3

24. cos (b + ax) dx

v = (b + ax) Falta (a) para completar el diferencial.dv = a dx Se aplica : cos v dv = sen v + c .

. 1 . cos (b + ax). (a) dx = 1 . sen(b + ax) = sen(b + ax) + c . a a a 25. csc2 (a - bx) dx = {csc (a - bx)}2 .dx

{v = a - bx ; dv = - b dx} Falta(-b) para completar el diferencial. Se aplica: csc2 v dv = - cot v + c .

(- 1 ) {csc 2 (a - bx)} .( - b) dx = - 1 - cot (a - bx) = b b

cot (a - bx) + c . b

26. sec tg d 2 2 v = /2 . Falta (1/2) para completar el diferencial, dv = 1/2 . d sec v tg v dv = sec v + c . ( 2 ) sec tg (1/2)d = 2 sec + c . 2 2 2

27.csc a cot a d b b

v = a Falta (a/b) para completar el diferencial, b Se aplica: csc v cot v dv = - csc v + c . dv = a . d b

b csc a cot a .( a ) d = . b .{- csc a } = a b b b a b

- b csc a + c. a b

28. ex cot ex dx

v = ex El diferencial esta completo, dv = ex dx se procede a integrar.

cot ex . ex dx = ln {sen (ex)} + c .

29.sec2 2 ax dx =

v = 2ax Falta (2a) para completar el diferencial.dv = 2a dx

( 1/2a) sec2 2ax.(2a) dx = . 1 .tg 2ax = tg 2a + c . 2a 2a

30. tg x dx 3

v = x/3 . Falta (1/3) para completar el diferencial. dv = 1/3 dx Se aplica: tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c . dv = 1 dx luego se procede a integrar. 3

(3) tg x (1/3) dx = 3{ - ln cos x } = 3 ln sec x + c . 3 3 3

31. dt . tg 5t

cot 5t dt .

v = 5t Falta (5) para completar el diferencialdv = 5 dt luego se procede a integrar.

(1/5) cot 5t dt = 1 ln sen 5t = ln 5t + c . 5 5

32. d . sen24

Por trigonometria: 1/sen24 = csc24 . d = csc24 d. sen24

v = 4 Falta (4) para completar el diferencial,dv = 4 d luego se procede a integrar.

csc24 d = 1 {- cot 4 } = - cot 4 + c . 4 4

33. dy . cot 7y

tg 7y dy =

v = 7y Falta (4) para completar el diferencial,dv = 7 dy luego se procede a integrar. Se aplica: tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c .

(1/7) tg 7y .(7) dy = 1 {- ln cos 7y} = - ln cos 7y = 7 7

1 ln cos 7y + c . 7

34. sen x dx x

v = x Falta 1 para completar el diferencial,dv = 1 . dx 2 2x luego se procede a integrar.

(2) sen x dx . 1 . 1 . dx = 2 ( - cos x ) = - 2 cos x + c . 2 x

35. dt . sen2 3t

csc2 3t dt

v = 3t Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dt Se aplica: csc2 v dv = - cot v + c .

( 1/3) csc23t .(3) dt = 1 ( - cot 3t ) = - cot 3t + c . 3 3

36. d . cos 4

Por Trigonometra: 1/cos 4 = sec 4 .

sec 4 d .

v = 4 Falta (4) para completar el diferencial, se aplica:dv = 4 d sec v dv = ln (sec v + tg v ) + c .

(1/4) sec 4 .(4) d = 1/4 { ln (sec 4 + tg 4 ) } + c .

37. a dx . cos2 bx

Por trigonometra: 1/cos2 bx = sec2 bx .

a sec2 bx dx =

v = bx Falta (4) para completar el diferencial,dv = b dx sec2 v dv = tg v + c .

a sec2bx .(b) dx = a tg bx = a tg bx + c . b b b 38. (sec 2 - csc ) d . 2 sec 2 d - csc d . 2

v = 2 v = /2 dv = 2 d dv = 1/2 d

(1/2) sec 2 .(2)d - (2) csc . 1 .)d . 2 2

1 {ln (sec 2 + tg 2 )} - 2 { ln csc - cot } + c . 2 2 2

39. (tg + sec )2 d

{tg2 + 2 tg sec + sec2 } d

Por Trigonometra: tg2 = sec2 - 1. Sustituyendo en la integral .

{sec2 - 1 + 2 tg sec + sec2 } d .

2 sec2 d - d + 2 tg sec } d .

2 tg - + 2 sec + c .

40.( tg 4s - cot s ) ds . 4

1 tg 4s .(4) ds - (4) cot s . 1 .ds = 1 ln{sec 4s} - 4 ln sen s = 4 4 4 4 4

{ln sec 4s} - 4 ln sen s + c . 4 4

41.(cot x - 1)2 dx

(cot2x - 2 cot x + 1) dxPero: 1 + cot2 x = csc2 x , reemplazando en la integral.

(csc2 x - 2 cot x ) dx

csc2 x dx - 2cot x dx = - cot x - 2ln (sen x) = -[cot x + 2 ln (sen x)]

-{cot x + ln (sen x)2 } = -{cot x + ln (sen2 x) } + c .

42.( sec t - 1)2 dt .

(sec2 t - 2 sec t + 1) dt .

sec2 t dt - 2 sec t dt + dt .

tg t - 2 ln (sec t + tg t) + t + c .

43. (1 - csc y)2 dy .

(1 - 2 . 1 . csc y + csc2 y) dy = (1 - 2 csc y + csc2 y) dy .

dy - 2csc y dy + csc2 y dy .

y - 2ln (csc y - cot y) - cot y + c .

44. dx . 1 - cos x

Racionalizando: 1 . (1 - cos x)

1 1 + cos x = 1 + cos x = 1 + cos x = 1 - cos x 1 + cos x 12 - cos2 x sen2 x

1 + cos x = csc2 x + cos x .sen2 x sen2 x sen2 x

csc2 x + cosx dx = csc2 x + (sen x) -2 . cosx dx = sen2 x - cot x + (sen x)-2+1 = - cot x + (sen x)-1 = - cot x - (sen x)-1 = -2+1 -1

- cot x - 1 = - cot x - csc x = - (cot x + csc x) + c . sen x

45. dx . 1 - sen x

Racionalizando:

1 1 + sen x = 1 + sen x = 1 + sen x . 1 - sen x 1 + sen x 1 - sen2 x cos2 x

1 + sen x dx = 1 dx + sen x dx . cos2 x cos2 x cos2 x

sec2 x dx + (cos x)-2 . sen x dx = tg x - (cos x)-2+1 = - 2 + 1

tg x - (cos x)-1 = tg x + 1 = tg x + sec x + c . -1 cos x

46. sen 2x dx . 3 + cos 2x

v = 3 + cos 2x Falta (-2) para completar el diferencial, dv = - 2 sen 2x dx se aplica: dv = ln v + c . v

(-1 ) (-2) sen 2x dx = - 1 ln (3 + cos 2x) + c . 2 3 + cos 2x 2

47. cos t dt . a + b sen t

cos t dt = (a + b sen t)-1/2 .cos t dt = (a + b sen t)1/2

v = (a + b sen t) Falta (b) para completar el diferencial, dv = b cos t dt Se aplica: vn dv = vn+1 + c . n + 1

1 .(a + b sen t)-1/2.(b)cos t dt = (a + b sen t)-1/2+1 = (a + b sen t)1/2 = b (b)(-1/2 + 1) 1/2 (b)

(a + b sen t)1/2 1 = 2 (a + b sen t)1/2 = 2 (a + b sen t) + c . b b b 2

48. csc cot d 5 - 4 csc

v = 5 - 4 csc Falta (- 4) para completar el diferencial, dv = - 4 csc cot d Se aplica: dv = ln v + c . v (- 1 ) ( - 4) .csc cot d 4 5 - 4 csc

- 1 ln (5 - 4 csc ) + c . 4

49. csc2 x dx . 3 - cot x

csc2 x dx = (3 - cot x)-1/2. csc2 x dx (3 - cot x)1/2

v = 3 - cot x El diferencial esta completo.dv = csc2x dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c . n+1

(3 - cot x)-1/2+1 = (3 - cot x)1/2 = 2(3 - cot x)1/2 = -1/2 + 1 1/2

2 (3 - cot x) + c .

50. 5 + 2tg x dx cos2 x

5 + 2tg x . 1 . dx = 5 + 2tg x . sec2 x dx cos2 x

(5 + 2tg x)1/2 . sec2 x dx .

v = (5 + 2tg x) Falta (2) para completar el diferencial, dv = 2 sec2x dx Se aplica: vn dv = vn+1 + c . n+1

( 1 ) (5 + 2tg x)1/2 .(2) sec2 x dx = . 1 . (5 + 2tg x)1/2+1 = 2 2 1/2 + 1

(5 + 2tg x)3/2 = (5 + 2tg x)3/2 = (5 + 2tg x)3 = 2(3/2) 3 3

(5 + 2tg x)2.(5 + 2tg x) = (5 + 2tg x) (5 + 2tg x) + c . 3 3

Problemas. Pagina 248 y 249


1. dx . x2 + 9

dx . x2 + 32

v = x El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1 arc tg v + c . a = 3 v2 + a2 a a

dx = 1 .arc tg x + c . x2 + 32 3 3

2. dx . x2 - 4

dx . x2 - 22

v = x El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1 . ln v - a + c .a = 2 v2 - a2 2a v + a

dx = 1 . ln x - 2 = 1 ln x - 2 + c . x2 - 22 2(2) x + 2 4 x + 2

3. dy . 25 - y2

v = y El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dy dv = arc sen v + c .a = 5 a2 - v2 a dy = arc sen y + c . 52 - y2 5

4. ds . s2 - 16

ds . s2 - 42

v = s El diferencial esta completo.dv = ds Se aplica: dv = ln { v + v2 - a2 } + c .a = 4 v2 - a2

ds = ln { s + s2 - 16 } + c . s2 - 42

5. dx . 9x2 - 4

v = 3x Falta (3) para completar el diferencial dv . dv = 3 dx Se aplica: dv = 1 . ln v - a + c . (3x)2 - 22 a = 2 v2 - a2 2a v + a

( 1 ) (3) dx = 1 1 ln 3x - 2 = 1 .ln 3x - 2 + c . 3 (3x)2 - 22 3 2(2) 3x + 2 12 3x + 2

6. dx . 16 - 9x2

dx . 42 - (3x)2

v = 3x Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dx Se aplica: dv = arc sen v + c . a = 4 a2 - v2 a

( 1 ) (3) dx = 1 .arc sen 3x + c . 3 42 - (3x)2 3 4

7. dx . 9x2 - 1

dx . (3x)2 - 12

v = 3x Falta (3) para completar el diferencial. Se aplica:dv = 3 dx dv = 1 . ln v - a . a = 1 v2 - a2 2a v + a

dx = 1 . 1 . ln 3x - 1 = 1 ln 3x - 1 + c . (3x)2 - 12 3 1(2) 3x + 1 6 3x + 1

8. dt . 4 - 9t2

dt . 22 - (3t)2

v = 3t Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dt dv = 1 .ln v - a + c . a = 2 v2 - a2 2a v + a

( 1 ) (3) dt = 1 . 1 . ln 2 + 3t = 1 .ln 2 + 3t + c . 3 22 - (3t)2 3 2(2) 2 - 3t 12 2 - 3t

9. ex dx 1 + e 2x

ex dx . 12 + (e x)2 v = e x El diferencial esta completo. dv = e x dx Se aplica: dv = 1 arc tg v + c . a = 1 a2 + v2 a a ex dx = 1 .arc tg e x = arc tg e x + c . 12 + (e x)2 1 1 10. cos d 4 - sen2

cos d . 22 - (sen )2 v = sen El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = cos d dv = 1 . ln a + v + c . a = 2 a2 - v2 2a a - v

cos d = 1 ln 2 + sen = 1 ln 2 + sen + c . 22 - (sen )2 2(2) 2 - sen 4 2 - sen

11. b dx . a2x2 - c2

b dx . (ax)2 - c2

v = ax Falta (a) para completar el diferencial.dv = a dx dv = 1 ln v - a + c . a = c v2 - a2 2a v + a

( 1 )(b) (a) dx = b . 1 . ln ax - c = b . ln ax - c + c . a (ax)2 - c2 a 2(c) ax + c 2ac ax + c

12. 5x dx . 1 - x4

5x dx . 12 - (x2)2

v = x2 Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica:dv = 2xdx dv = arc sen v + c .a = 1 a2 - v2 a

(5) (2)x dx = 5 .arc sen x = 5 arc sen x + c 2 12 - (x2)2 2 1 2

13. ax dx . x4 + b4

ax dx . (x2)2 + (b2)2

v = x2 Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica:dv = 2x dx dv = 1 arc tg v + c .a = b2 v2 + a2 a a

( a ) (2) ax dx = a . 1 . arc tg x2 = a arc tg x2 + c 2 (x2)2 + (b2)2 2 b2 b2 2b2 b2

14. dt . (t - 2)2 + 9 dt = (t - 2)2 + 32

v = t - 2 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dt dv = 1 . arc tg v + c .a = 3 v2 + a2 a a

1 . arc tg t - 2 + c . 3 3

15. dy . 1 + a2y2

v = ay Falta (a) para completar el diferencial, se aplica: dv = a dy dv = ln {v + a2 + v2} + c . a = 1 a2 + v2

1 (a) dy = 1 . (a) dy = 1 ln {ay + 1 + a2y2} + c . a 1 + (ay)2 a (ay)2 + 12 a

16. du . 4 - (u + 3)2 du . 22 - (u + 3)2

v = u + 3 El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = du Se aplica: dv = arc sen v + c . a = 2 a2 - v2 a

du = arc sen u + 3 + c . 22 - (u + 3)2 2

17. dx . 9 - 16x2

dx . 32 - (4x)2

v = 9 - 16x2 Falta (4) para completar el diferencial, se aplica:dv = 4 dx dx = arc sen v + c .a = 3 a2 - v2 a

( 1 ) (4)dx = 1 . arc sen 4x + c . 4 32 - (4x)2 4 3

18. dy . 9y2 + 4

dy . (3y)2 + 22

v = 3y Falta (3)para completar el diferencial. dv = 3 dy Se aplica: dv = ln {v + v2 + a2} + c. a = 2 v2 + a2

( 1 ) (3) dy = 1 . ln {3y + (3y)2 + 22 } = 3 (3y)2 + 22 3

ln {3y + 9y2 + 4 } + c 3

19. dt . 4t2 + 25

dt . (2t)2 + 52 v = 2t Falta (2) para completar el diferencial, se aplica:dv = 2 dt dv = ln {v + v2 + a2} + c.a = 5 v2 + a2

( 1 ) (2)dt = 1 . arc tg 2t + c . 2 (2t)2 + 52 5 520. dx . 25x2 - 4

dx . (5x)2 - 22

v = 5x Falta (5) para completar el diferencial, se aplica:dv = 5 dx dv = 1 ln v - a . + c . a = 2 v2 - a2 2a v + a( 1 ) (5) dx = 1 1 ln 5x - 2 = 1 ln 5x - 2 + c 5 (5x)2 - 22 5 2(2) 5x + 2 20 5x + 2

21. 7 dx . 3 + 7x2

7 dx . (3)2 + (7.x)2

v = 7. x Falta (7) para completar el diferencial, se aplica:dv = 7 dx dv = 1 arc tg v + c . a = 3 a2 + v2 a a

( 1 ) 7 dx = 1 1 arc tg 7.x = 7 (3)2 + (7.x)2 7 3 3

1 arc tg 7.x + c .21 3

21 . arc tg 7. 3.x = 21 arc tg 21. x + c .21.21 3. 3 21 3

22. 3 dy . 9y2 - 16

3 dy . (3y)2 - 42

v = 3y El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = 3 dy Se aplica: dv = 1 . ln v - a a = 4 v2 - a2 2a v + a

3 dy = 1 . ln 3y - 4 = 1 ln 3y - 4 = ln 3y - 4 1/8 + c . (3y)2 - 42 2(4) 3y + 4 8 3y + 4 3y + 4

23. ds . 4s2 + 5

ds . (2s)2 + (5)2

v = 2s Falta (2) para conmpletar el diferencial, se aplica:dv = 2 ds dv = ln {v + v2 + a2} + c .a = 5 v2 + a2

( 1 ) (2)ds = 1 {ln [2s + (4s2 + 5)]} + c . 2 (2s)2 + (5)2 2

24. t dt . t4 - 4

t dt . (t2)2 - (2)2

v = t2 Falta (2) para completar el diferencial, se aplica:dv = 2t dt dv = ln {v + v2 - a2} + c .a = 2 v2 - a2

( 1 ) (2)t dt = 1 {ln [t2 + (t4 - 4)]} + c . 2 (t2)2 - (2)2 2

25. x dx . 5x2 + 3

(5x2 + 3)-1/2. x dx . v = 5x2 + 3 Falta (10) para completar el diferencial, se aplica:dv = 10x dx vn dv = vn+1 + c .n = -1/2

1 . (5x2 + 3)-1/2.(10) x dx = 1 . (5x2 + 3)-1/2+1 = 10 10 -1/2+1

(5x2 + 3)1/2 = 5x2 + 3 + c . 10(1/2) 5

26. 2x dx . 1 - 2x

2x dx . 12 - (x)2

v = x El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = x dx Se aplica: dv = arc sen v + c . a = 1 a2 - v2 a

2 x dx = 2 arc sen x = 2 arc sen x + c . 12 - (x)2 1

27. 6t dt . 8 - 3t2

v = 8 - 3t2 Falta el signo (-) para completar el diferencial,dv = - 6t dt se usa la frmula: dv = ln v + c . v

(-) (-) 6t dt = - ln (8 - 3t2) + c . 8 - 3t2

28. sen . 4 + cos2

sen d . 22 + (cos )2 v = cos Falta el signo (-) paradv = - sen d completar el diferencial.a = 2

Se aplica: dv = ln {v + a2 + v2 } + c . a2 + v2

(-) (-)sen d = - ln { cos + 4 + cos2 } + c . 22 + (cos )2

29. dx . m2 + (x + n)2

v = x + n El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = dx Se aplica: dv = 1 . arc tg v + c . a2 + v2 a a

dx = 1 . arc tg x + n + c m2 + (x + n)2 m m

30. du . 4 - (2u - 1)2

du . 22 - (2u - 1)2

v = 2u - 1 Falta el (2) para completar el diferencial, se aplica: dv = 2 du dv = 1 . ln a + v + c .a = 2 a2 - v2 2a a - v

( 1 ) (2) du = 1 . 1 . ln 2 + (2u - 1) = 2 22 - (2u - 1)2 2 2.2 2 - (2u - 1)

1 . ln 2 + 2u - 1 = 1 . ln 1 + 2u + c . 8 2 - 2u + 1 8 3 - 2u

31. 7x2 dx . 5 - x6

Haciendo cuadrado perfecto al # 5 ,y luego le extraemos la raiz cuadrada y lo elevamos al cuadrado:

7x2 dx . (5)2 - (x3)6

v = x3 Falta (3) para completar el diferencial, el (7) se dv = 3x2 dx coloca fuera de la integral. Se aplica: a = 5 dv = 1 . ln a + v + c . a2 - v2 2a a - v

(7. 1 ) (3)x2 dx = 7 . 1 . ln 5 + x3 = 7 . ln 5 + x3 + c 3 (5)2 - (x3)6 3 2.5 5 - x3 65 5 - x3

7 . 5 . ln 5 + x3 = 7 . 5 . ln 5 + x3 = 6 5. 5 5 - x3 6 . 5 5 - x3

7 . 5 . ln 5 + x3 + c . 30 5 - x3

Problemas. Pagina 250 , 251 y 252.


1. dx . x2 + 4x + 3

Factorizar el denominador y hacerlo trinomio cuadrado perfecto: Primero dividimos para (2) al coeficiente del 2do trmino , y luego al resultado lo elevamos al cuadrado. 4/2 = 2 ; 22 = 4 . Luego: sumamos y restamos "4" a : x2 + 4x + 3. x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = x2 + 4x + 4 - 1 .

x2 + 4x + 4, es un trinomio cuadrado perfecto: (x + 2)2.Tendremos: x2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2 )2 - 1 = (x + 2 )2 - 12 .

Sustituyendo este ultimo resultado en la integral; esta estar lista para desarrollarse, se usa la frmula: dv = 1 . ln v - a + c . v2 - a2 2a v + a

dx = dx . x2 + 4x + 3 (x + 2 )2 - 12

v = (x + 2 ) dv = dx El diferencial esta completo.a = 1

dx = 1 . ln x + 2 - 1 = 1 ln x + 1 + c . (x + 2 )2 - 12 2.1 x + 2 + 1 2 x + 3Nota.- Tambien habra casos en que se completa cuadrados a la cantidad sub-radical.Este sera el arquetipo, en que se regiran los demas problemas.

2. dx . 2x - x2 - 10

- x2 + 2x - 10 = - (x2 - 2x + 10) . 2 = 1 ; 12 = 1 2 - (x2 - 2x + 1 - 1 + 10) = - [ (x - 1)2 + 9] = - [ (x - 1)2 + 32]

dx = - dx . - [ (x - 1)2 + 32] [ (x - 1)2 + 32]

v = x - 1 El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = = dx Se emplea la frmula: dv = 1 .arc tg v + c .a = 3 v2 + a2 a a - dx = - 1 arc tg x - 1 + c . [(x - 1)2 + 32] 3 3

3. 3 dx . x2 - 8x + 25

8/2 = 4 ; 42 = 16 x2 - 8x + 16 - 16 + 25 = x2 - 8x + 16 + 9 = [(x - 4)2 + 32] 3 dx . [(x - 4)2 + 32] v = x - 4 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx dv = 1 arc tg v + c . a = 3 v2 + a2 a a (3) 3 dx = 3 . 1 . arc tg x - 4 = arc tg x - 4 + c . [(x - 4)2 + 32] 3 3 3

4. dx . 3x - x2 - 2 3x - x2 - 2 = - x2 + 3x - 2 = - (x2 - 3x + 2) ; 3 ; 3 2 = 9 . 2 2 4

- (x2 - 3x + 2) = - (x2 - 3x + 9 - 9 + 2) = - [(x - 3 )2 - 9 + 8 ] = 4 4 2 4 4

= - (x - 3 )2 - 1 = - (x - 3 )2 - 1 2 = 1 2 - (x - 3 )2 2 4 2 2 2 2 dx . 2 - x - 3/2 2

v = x - 3/2 Esta completo el diferencial. Se aplica:dv = dx dv = arc sen v + c .a = 1/2 a2 - v2 a 2x - 3 = arc sen x - 3/2 = arc sen 2 = arc sen (2x - 3) + c . 5. dv . v2 - 6v + 5

v2 - 6v + 5 ; 6 = 3 ; 32 = 9 2

v2 - 6v + 5 = v2 - 6v + 9 - 9 + 5 = (v - 3)2 - 4 = (v - 3)2 - 22 = Sustituyendo este valor en la integral: dv . (v - 3)2 - 22

v = v - 3 El diferencial esta completo, se emplea la frmula:dv = dv dv = 1 . ln v - a + c . a = 2 v2 - a2 2a v + a

dv = 1 . ln v - 3 - 2 = 1 . ln v - 5 + c . (v - 3)2 - 22 2.2 v - 3 + 2 4 v - 1

6. dx . 2x2 - 2x + 12x2 - 2x + 1 = 2(x2 - x + 1 ) ; 1 ; 1 2 = 1 . 2 2 2 4

2(x2 - x + 1 - 1 + 1 ) = 2{ (x - 1 )2 - 1 + 1 } = 2{(x - 1 )2 - 1 + 2 } 4 4 2 2 4 2 2 4 4

2{(x - 1 )2 + 1 } = 2{(x - 1 )2 + 12} 2 4 2 22El factor (2) por estar en el denominador, sale fuera de la integral como 1/2 .

dx = 1 . dx = 2{(x - 1 )2 + 12 } 2 {(x - 1 )2 + 12 } 2 22 2 22 v = x - 1/2 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx dv = 1 arc tg v + c .a = 1/2 v2 + a2 a a x - 1 . 1 . 1 dx = 1 . 2 .arc tg 2 = 2 1 {(x - 1 )2 + 12 } 2 1 . 2 2 22 2 2x - 1 2 arc tg 2 = arc tg (2x - 1) + c . 2 1 . 2

7. dx . 15 + 2x - x2 15 + 2x - x2 = - x2 + 2x + 15 = - (x2 - 2x - 15 ) ; 2 = 1 ; 12 = 1 2

(x2 - 2x + 1 - 1 - 15 ) = - {(x - 1)2 - 16 } = - [(x - 1)2 - 42 ] =

[42 - (x - 1)2]. Se reemplaza este valor en la integral.

dx = dx = 15 + 2x - x2 {42 - (x - 1)2}

v = x - 1 El diferencial esta completo,se usa la frmula:dv = dx dv = arc sen v + c .a = 4 a2 - v2 a

arc sen x - 1 + c . 4

8. dx . x2 + 2x

x2 + 2x ; 2/2 = 1 ; 12 = 1 . Se suma y resta 1 a: x2 + 2x . x2 + 2x = x2 + 2x + 1 - 1 = [(x + 1)2 - 1] = [(x + 1)2 - 12] .

dx . {(x + 1)2 - 12} v = x + 1 El diferencial esta completo. Se usa la frmula:dv = dx dv = 1 ln v - a + c .a = 1 v2 - a2 2a v + a dx = 1 ln x + 1 - 1 = 1 ln x + c . {(x + 1)2 - 12} 2.1 x + 1 + 1 2 x + 2

9. dx . 4x - x2

4x - x2 = - x2 + 4x = - (x2 - 4x) 4 = 2 ; 22 = 4 2

= - (x2 - 4x + 4 - 4) = = - {(x - 2)2 - 4} = - {(x - 2)2 - 22 } =

{22 - (x - 2)2}

dx . {22 - (x - 2)2}

v = x - 2 El diferencial esta completo,se usa la frmula:dv = dx dv = 1 . ln a + v + c . a = 2 a2 - v2 2a a - v

1 ln 2 + x - 2 = 1 ln x = 1 ln x + c . 2.2 2 - (x - 2) 4 2 - x + 2 4 4 - x

10. dx . 2x - x2

2x - x2 = - x2 + 2x = - (x2 - 2x ) ; 2 = 1 ; 12 = 1 2

-(x2 - 2x + 1 - 1) = {-(x - 1)2 - 1} = {-(x - 1)2 - 12} = 12 - (x -1)2 dx . 12 - (x -1)2

v = x - 1 Esta completo el diferencial, se usa la frmula:dv = dx dv = arc sen v + c . a = 1 a2 - v2 a arc sen x - 1 = arc sen (x - 1) + c . 1

11. ds . 2as + s2

2as + s2 = s2 + 2as . 2a = a ; a2 = a2 2s2 + 2as + a2 - a2 = {(s + a)2 - a2} = (s + a)2 - a2

ds . {(s + a)2 - a2} v = s + a El diferencial esta completo, se aplica: dv = ds dv = ln [v + (v2 - a2)] + c .a = a v2 - a2

ln {(s + a) + [(s + a)2 - a2] } + c .

12. dy . y2 + 3y + 1

y2 + 3y + 1 . 3 ; 3 2 = 9 . 2 2 4 y2 + 3y + 9 - 9 + 1 = {( y + 3 )2 - 9 + 4 } = {( y + 3 )2 - 5 } 4 4 2 4 4 2 4 {( y + 3 )2 - 5 2} = {( y + 3 )2 - 5 2} 2 4 2 2

dy . v = y + 3/2 El diferencial esta (y + 3/2 )2 - (5/2)2 dv = dy completo, se aplica : a = 5/2 dv = 1 ln v - a + c v2 - a2 2a v + a y + 3 - 5 2y + 3 - 5 .. 1 . ln 2 2 = 1 ln 2 = 2.5 y + 3 + 5 5 2y + 3 + 5 . 2 2 2 2 .

1 ln 2y + 3 - 5 + c . 5 2y + 3 + 5

13. dy . 1 + x + x2

1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 1 ; 1 2 = 1 . 2 2 4 = {x2 + x + 1 - 1 + 1 } = {(x + )2 - 1 + 4 } = 4 4 4 4

{(x + )2 + } = {(x + )2 + ( )2} = (x + )2 + (3/2)2. dy = (x + )2 + (3/2)2 . v = x + 1/2 El diferencial esta completo. dv = dx dv = 1 arc tg v + c .a = 3/2 v2 + a2 a a

x + 1 . dy = 1 arc tg 2 = (x + )2 + (3/2)2 3 . 3 . 2 2 2x + 1 . 2 arc tg 2 = 2 arc tg 2x + 1 + c 3 3 3 3 . 2

14. dx . 1 + x + x2

1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 1 ; 1 2 = 1 . 2 24

x2 + x + 1 - 1 + 1 = {(x + )2 - 1 + 4 } = {(x + )2 + } . 4 4 4 4

(x + )2 + 3 2 = (x +)2 + 3 2 = (x + )2 + (3/2)2 4 2

dx . {(x + )2 + (3/2)2} v = x + 1/2 Esta completo el diferencial. dv = dx Se aplica : dv = ln {v + v2+a2} + c.a = 3/2 v2+a2

ln { x + + {(x + )2 + (3/2)2} =

ln {x + + (1 + x + x2)} + c .

15. dx . 4x2 + 4x + 5

4x2 + 4x + 5 = 4(x2 + x + 5 ) . 1 ; 12 = 1 . 4 2 22 4 4(x2 + x + 1 - 1 + 5 ) = 4(x2 + x + 1 + 4 ) = 4 4 4 4 4 4{(x + )2 + 1 } = 4 {(x + )2 + 12 }.

El factor (4) sale como fuera de la integral 1 dx . 4 {(x + 1 )2 + 12}. 2

v = x + 1/2 El diferencial esta completo:dv = dx Se aplica: dv = 1 arc tg v + c a = 1 v2 + a2 a a

1 . 1 arc tg x + = 1 arc tg (2x + 1) + c . 4 1 1 4 2 16. dx . 3x2 - 2x + 4 2 .3x2 - 2x + 4 = 3(x2 - 2/3x + 4/3). 3 = 2 = 1 ; 1 2 = 1 . 2 6 3 3 9 1

3[x2 - 2/3x + 1/9 - 1/9 + 4/3] = 3[(x - 1/3)2 - 1/9 + 12/9] =

3[(x - 1/3)2 + 11/9] = {3(x - 1/3)2 + (11/9)2 =

{3(x - 1/3)2 + (11/3)2}El factor (3) del denominador, sale como 1/3 fuera de la integral .

dx = 1 dx . {3(x - 1/3)2 + (11/3)2} 3 (x - 1/3)2 + (11/3)2

v = x - 1/3 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1 arc tg v + c . a = 11/3 v2 + a2 a a x - 1 3x - 1 . 1 . 1 . arc tg 3 = 1 arc tg 3 = 3 11 11 11 11 . . 3 3

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