INDICE

1. Introduccin.2

2. Integrales de superficie.7

2.1 Orientacin.10

2.2 Integral de superficie para el flujo.11

2.3 Teorema de Stokes.13

2.4 Teorema de divergencia.14

3.0 Bibliografa.15

INTEGRALES DE SUPERFICIE

1. Introduccin.En el presente trabajo el tema de estudio es la integral de superficie. Se puede considerar una nueva integral como el equivalente bidimensional de la integral de lnea, siendo la regin de integracin una superficie en vez de una curva.Una superficie es un lugar geomtrico de un punto que se mueve en el espacio tridimensional con dos grados de libertad. Existen tres formas de expresar analticamente una superficie:

a) La representacin implcita. Una superficie es un lugar geomtrico de los puntos tales que para cierto campo escalar .

b) La representacin explicita. Es una ecuacin de la forma , obtenida cuando en la expresin implcita podemos despejar una de las variables ( en este caso) en funcin de las otras dos.

c) La representacin paramtrica o vectorial. Es un tema de ecuaciones ,,, que podemos expresar vectorialmente en la forma , donde vara en un punto conexo . Supondremos que las funciones son, al menos, continuas en (figura 1). Ms precisamente:

Una superficie paramtrica es la imagen de un conjunto mediante una funcin continua , denominadas parametrizacin de S. Si la funcin es inyectiva sobre , se dice que la superficie paramtrica es simple.

Cabe notar que si es una representacin explicita de una superficie , se obtiene una parametrizacin de S sin ms que tomar . Recprocamente, obtenemos una representacin explicita de si en su representacin paramtrica es posible despejar en funcin de y las correspondientes expresiones se sustituyen en ; en tal caso, es la proyeccin sobre el plano .

Figura 1: Superficie parametrizada S expresada como una funcion vectorial de dos variables definidas en la reguion R.

Ejemplo 1: Determine una parametrizacin del cono

En este caso, las coordenadas cilndricas dan una parametrizacin. Un punto cualquiera como en el caso de la figura, tiene a , y , con y . Al hacer y en la ecuacin (1) se obtiene la parametrizacin.

Como el objetivo es encontrar una integral doble para calcular el rea de una superficie curva , con base a la parametrizacin

(1)

Se necesita que sea suave para la construccin que se realizara. La definicin de suavidad implica las derivadas parciales de con respecto a y :

Una superficie parametrizada es suave, si y son continuas y nunca se anula en el interior del dominio de los parmetros.En la definicin de suavidad, la condicin de que nunca se anule significa que ambos vectores y son diferentes de cero y que nunca estn en la misma recta, de manera que siempre determinan un plano tangente a la superficie. En la frontera del dominio esta condicin se vuelve ms flexible, pero no afecta el clculo del rea.El rea de la superficie suave

Es:

(2)

Abreviamos la integral de la ecuacin (2) si escribimos en lugar de . El rea diferencial de superficie es anloga a la diferencial de la longitud de arco .La diferencial del rea de una superficie para una superficie parametrizada es:

(3)

Diferencial del rea de superficieFormula diferencial para el rea de la superficie.

A menudo las superficies se representan como conjuntos de niveles de una funcin, descritas por la ecuacin:

Para una constante c. Esta superficie de nivel no tiene una parametrizacin explcita y se conoce como una superficie definida implcitamente. Las superficies implcitas se representan, como superficies equipotenciales en los campos elctricos o gravitacionales. Sera difcil encontrar frmulas explicitas para las funciones que describen la superficie en la forma .La figura 2 muestra parte de una superficie implcita que se encuentra arriba de su sombra R en el plano debajo de ella. La superficie est definida por la ecuacin , y es un vector unitario normal a la regin plana . Suponemos que la superficie es suave ( es derivable y es no nula y continua en ) y que , de manera que la superficie nunca regresa sobre s misma.

Figura 2: El rea de una superficie en el espacio se calcula evaluando una integral doble sobre la proyeccin vertical o sombra de sobre un plano coordinado. El vector unitario es normal al plano.

El rea de la superficie sobre una regin cerrada y acotada en una regin plana R es:

(4)

Dnde: , o es normal a y As, el rea es la integral doble sobre de la magnitud , dividida entre la magnitud del componente escalar de normal a .Para una grfica sobre una regin en el plano , la frmula del rea de la superficie es:

(5)

Ejemplo 2: Determine el rea de la superficie del cono del ejemplo 1.En el ejemplo 1 se obtuvo la parametrizacin:

Para aplicar la ecuacin (2), primero se determinara

As:

El rea del cono es:

Unidades cuadradas

2. Integrales de superficie.Para calcular la cantidad de flujo de lquido que pasa a travs de una membrana curva o la fuerza hacia arriba sobre un paracadas que cae, necesitamos integrar una funcin sobre una superficie curva en el espacio. El concepto de integral de superficie es una ampliacin del concepto de integral de lnea de la integracin sobre una curva.Si se considera una carga elctrica distribuida sobre una superficie , y que la funcin nos indica la densidad de la carga (carga por unidad de rea) en cada punto . Calculamos, como una integral, la carga total en de la siguiente manera.Suponiendo que la superficie est definida paramtricamente en la regin en el plano ,

En la figura 3, se muestra una de las porciones de (por sencillez, considerada como un rectngulo) en las que se divide la superficie dentro de los elementos de rea curvos de la superficie.

Figura 3: El rea de la superficie es el rea del paralelogramo tangente determinado por los vectores y . El punto est sobre la superficie, debajo del paralelogramo ilustrado en esta figura.

Se numeran los elementos de superficie en algn orden como . Para formar una suma de Riemann sobre , elegimos un punto en la k-sima porcin, multiplicando el valor de la funcin en ese punto por el rea , y sumamos todos los productos

Dependiendo de la eleccin de en la k-sima porcin, obtenemos diferentes valores para la suma de Riemann. De esta forma, cuando el nmero de porciones de rea se incrementa, sus reas tienden a cero y tanto como . Este lmite, siempre que exista de manera independiente a las opciones elegidas, define la integral de superficie de sobre la superficie como:(6)

Si es una superficie suave por partes y es continua en , entonces se demuestra que la integral de superficie definida por la ecuacin (6) existe.La frmula para evaluar la integral de superficie depende de la manera como sea descrita , de forma paramtrica, implcita o explcita.

a) Para una superficie suave definida paramtricamente como , y una funcin continua definida en , la integral de superficie en est dada por la doble integral en .

(7)

b) Para una superficie definida implcitamente por , donde es una funcin derivable continua, con colocada arriba de su sombra cerrada y acotada en la regin en el plano coordenado debajo de ella, la integral de superficie de la funcin continua en est dada por la doble integral en ,

(8)

Donde es un vector unitario normal a y

c) Para una superficie definida explcitamente como la de la grfica , donde es una funcin derivable continua sobre una regin del plano , la integral de superficie de la funcin continua sobre est dada por la integral doble en ,

(9)

La integral de superficie de la ecuacin (6) tiene diferentes significados dependiendo de las aplicaciones. Si tiene un valor contante de 1, la integral nos da el rea de . Si es la densidad de masa de una capa delgada de material modelada por , la integral nos da la masa de la capa. Si es la densidad de carga de una capa delgada, la integral nos da la carga total.

Ejemplo 3: Integre sobre el cono De acuerdo con la ecuacin (7) y los clculos del ejemplo 2 tenemos que

Por lo que:

2.1Orientacin.Una superficie suave es orientable o de dos lados si es posible definir un campo de vectores unitarios normales a que vari continuamente con la posicin. Cualquier posicin de una superficie orientable tambin es orientable. Las esferas y otras superficies cerradas suaves en el espacio (superficies suaves que encierran slidos) son orientables. Por conveccin, sobre una superficie cerrada apuntando hacia afuera.Una vez elegido n, decimos que hemos orientado la superficie, y llamamos a la superficie junto con su campo normal una superficie orientada. El vector en cualquier punto se llama direccin positiva en ese punto (figura 4).

Figura 4: Las superficies suaves cerradas en el espacio son orientables. El vector unitario normal exterior define la direccin positiva de cada punto.

La banda de Mbius de la figura 5 no es orientable. No importa donde se comience a construir un campo normal continuo, al moverse al vector de manera continua alrededor de la superficie de la forma mostrada, est regresara al punto de inicio con una direccin opuesta a la que tena cuando comenz a moverse. El vector en ese punto no puede apuntar a ambos lados, aunque debera hacerlo en virtud de la continuidad. Se concluye que no existe tal campo.

Figura 5: Banda de Mbius

2.2Integral de superficie para el flujo.Suponga que es un campo vectorial continuo definido sobre una superficie orientada , y que n es el campo unitario normal elegido en la superficie. Llamamos a la integral sobre el flujo de a travs de en direccin positiva. De esta forma, el flujo es la integral sobre del componente escalar de en la direccin .El flujo de un campo vectorial tridimensional a travs de una superficie orientada en la direccin de es:

(10)

Si es el campo de velocidades del flujo de un fluido en tres dimensiones, el flujo de a travs de es la tasa neta con la que el fluido atraviesa en direccin positiva.

Ejemplo 4: Sea un potencial elctrico. Calcular el flujo del campo elctrico a travs de la superficie esfrica , orientado con la normal exterior.El campo elctrico viene dado por:

El flujo del campo vectorial a travs de viene dado por:

Donde es el vector unitario orientado hacia el exterior, a la superficie esfrica dada,

Es la normal unitaria exterior a la superficie esfrica.

As, entonces:

Siendo el rea de la superficie esfrica de radio , por lo tanto:

2.3Teorema de StokesEl teorema de Stokes generaliza el teorema de Green para tres dimensiones. La forma rotacional de la circulacin del teorema de Green relaciona la circulacin, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple en el plano con una integral doble sobre la regin plana encerrada por . El teorema de Stokes relaciona la circulacin de un campo vectorial alrededor de la frontera de una superficie orientada en el espacio (figura 6) con una integral de superficie sobre la superficie . Es necesario que la superficie sea suave por partes, lo cual significa que se trata de una unin finita de superficies suaves unidas a lo largo de las curvas suaves.

Figura 6: La orientacin de la curva limite de una relacin de mano derecha al campo normal . Si el pulgar de la mano derecha apunta a lo largo de, los dedos se enrollan en la direccin de .

Sea una superficie orientada suave por partes que tiene como frontera una curva suave por partes . Sea un campo vectorial cuyos componentes tienen primeras derivadas parciales continuas sobre una regin abierta que contiene a . As, la circulacin de alrededor de en la direccin contraria a las manecillas del reloj con respecto al vector unitario normal a la superficie es igual a la integral de en S.

(11)

Circulacin en sentido contrario al de las manecillas del relojIntegral del rotacional

Esta frmula permite convertir el clculo de una integral de lnea en el de una integral de superficie o viceversa, y puede utilizarse para obtener el resultado tanto de una como de otra integral, eligiendo el caso en que el clculo resulte ms sencillo.

2.4Teorema de la divergencia.El teorema de la divergencia dice que en ciertas condiciones, el flujo hacia afuera de un campo vectorial a travs de una superficie cerrada es igual a la integral triple de la divergencia del campo sobre la regin encerrada por la superficie.Sea un campo vectorial cuyos componentes tienen primeras derivadas parciales, y sea una superficie cerrada, orientada, suave por partes. El flujo de a traves de en la direccin del campo unitario normal exterior es igual a la integral de sobre una regin encerrada por la superficie.

(12)

Flujo hacia fueraIntegral de divergencia

Se trata de la opcin de calcular una integral de superficie extendida a una superficie cerrada, por medio de una integral triple o al revs.Efectuar el clculo de ambas formas, puede servir para comprobar el resultado obtenido por ellas.

3. Bibliografa. Coll Aliaga C., Ginestar Peiro D., Jimnez Olivo P., Pea Miralles J., Snchez Juan E., (1999), Fundamentos matemticos de la ingeniera: calculo, Servicio de Publicaciones, Universidad Politcnica de Valencia, Espaa.

Marrero I., (2011), Integrales de superficie, Departamento de anlisis matemtico, Universidad de la Laguna, Consultado en: http://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/3963/mod_resource/content/0/tema3/11-isuperf.pdf

Rodrigo Del Molino F. y Rodrigo Muoz F., (1998), Problemas de matemticas para cientficos y tcnicos, Editorial Tebar.

Thomas G. B., (2010), Calculo de varias variables, Pearson Educacin, Mxico.

INTEGRALES DE SUPERFICIE14