INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE...
Transcript of INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE...
INTEGRALEINDEFINITODIUNAFUNZIONEy=f(x)
1
• è l’insieme di tutte le PRIMITIVE F(x) della funzione f(x) tale cheF’(x) = f(x)
• E’ operazione inversa della Derivata prima• Le primitive F(X) differiscono per una costante c• Si calcola applicando le regole :Integrali immediatiIntegrali di FunzioneComposta*Derivata(contenuto)Integrali di funzioni composte con metodo di sostituzioneRegola per Parti
f (x)dx! = F (x) + c
2
Data una funzione y=f(x) continua in [a, b] si chiama PrimitivaF(x) la funzione tale che la sua derivata sia uguale a f(x):
F(x) e’ primitiva di f(x) sse F’(x) = f(x)
f(x)Derivata
Primitiva
FUNZIONE F(x) PRIMITIVA di una funzioney=f(x)
NB:seF(x)èunaprimitivadif(x)alloraloèancheF(x)+cadesempiolafunzionef(x)=2xhainfiniteprimitiveF(x)=x2+c
una funzione ammette infinite primitive chedifferiscono per una costante reale ecostituiscono una famiglia di infinite curve
y=2x y=x2
SichiamaINTEGRALEINDEFINITOdiunafunzioney=f(x)continual’insiemedituttelesueprimitiveesiindica:
3
f (x)dx! = F (x) + c
dx! = x+ c
1
xdx! = ln | x | +c
exdx! = e
x+ c
1‐INTEGRALIIMMEDIATI
Proprietàdilinearità
K ! f (x) !dx" = K f(x) !dx" ( f(x) + g(x)) !dx" = f(x) !dx" + g(x) !dx"
INTEGRALE INDEFINITO
Funz. integrandaPrimitiva
F’(x)=f(x)derivando la Primitiva
ottengo f(x)
xndx! =
xn+1
n+1+ c
cos xdx! = senx+ c
senxdx! = " cos x+ c
1
xndx! = x
"ndx! = ...
xmndx! = x
m
n dx! = ...
1
xmndx! = x
"m
n dx! = ...
4
(8x2+ 5)dx! = 8
x3
3+ 5x=
8x3
3+ 5x+ c=
8
3x3+ 5x+ c
(3x+8
x)dx! = 3
x2
2+ 8 ln | x |=
3
2x2+ 8 ln | x | +c
(7x5 "1
x+ 4 )dx! = 7
x6
6" ln | x | +4x=
7
6x6 " ln | x | +4x+ c
(4 cos x+ senx+ 5ex )dx! = 4senx" cos x+ 5ex+ c
5(x+1)2 dx! = 5 (x2 + 2x+1)dx! = 5(x3
3+ 2
x2
2+ x) =
5x3
3+ 5x2 + 5x+ c
1
x5dx! = x
"5dx! =
x"5+1
"5 +1=x"4
"4= "
1
4x"4= "
1
4
1
x4= "
1
4x4+ c
6
x3dx! = 6 x
"3dx! = 6
x"3+1
"3+1= 6
x"2
"2= "
6
2x
"2= "3
1
x2= "
3
x2+ c
Esercizi1a‐Integraliimmediatisvolti
5
3
x4dx! = 3x
"4dx! = 3 x
"4dx! 3
x"4 +1
"4 +1= 3
x"3
"3= "
x"3
1= "
1
x3+ c
5
x2dx! = 5x
"2dx! = 5 x
"2dx! 5
x"2+1
"2 +1= 5
x"1
"1= "5
x"1
1= "
5
x+ c
4 xdx! = 4 x
1
2 dx! = 4x
1
2+1
1
2+1
= 4x
3
2
3
2
= 4 !2
3x
3
2 =8
3x32+ c =
8
3x3+ c
x25dx! = x
2
5 dx! =x
2
5+1
2
5
+1
=x
7
5
7
5
=5
7x
7
5 =5
7x75+ c
6 x23dx! = 6 x
2
3 dx! = 6x
2
3
+1
2
3+1
= 6x
5
3
5
3
= 6 !3
5x
5
3 =18
5x53+ c
1
x53
dx! = x"5
3 dx! =x"5
3+1
"5
3+1
=x
"2
3
"2
3
= "3
2x
"2
3
= "3
2
1
x
2
3
= "3
2
1
x23
= "3
2 x23
+ c
Esercizi1b‐Integraliimmediatisvolti
6
2 - Integrali immediati di FUNZIONI COMPOSTE * derivataFunzInterna
[ f (x)]ni f
'(x)dx! =
[ f (x)]n+1
n +1+ c
f '(x)
f (x)dx! = ln | f (x) | +c
cos f (x)i f'(x)dx! = senf (x) + c e
f (x )f'(x)dx! = e
f (x )+ c
senf (x)dx! i f'(x)dx = " cos f (x) + c
g[ f (x)]• f '(x)dx! = G( f (x)) + c
Poicheladerivatadiunafunzionecompostasiottiene:derivandolafunzioneesternaemoltiplicandoperladerivatadellafunzioneinterna
Integrando(insensocontrario)ottengo:
l’integrale di : FunzioneComposta*Derivata funzioneInterna si può calcolareimmediatamente trovando la Primitiva della FunzioneEsterna
FunzioneComposta DerivataFunzInterna PrimitivaFunzEsterna
regole
7
FunzioneComposta derivataFunzInterna Primitiva FunzEsterna
Esercizi2a‐Integraliimmediatidi“FunzioneComposta*DerivataFunzInterna”
Funzione esternapotenza
esempi
[ f (x)]n• f '(x)dx! =
[ f (x)]n+1
n+1+ c
(2x+ 4)5 !2 dx" =
(2x+ 4)6
6+ c
(x2+1)
3 ! xdx" =1
2(x
2+1)
3 !2xdx" =1
2
(x2 +1)4
4=(x2 +1)4
8+ c
(7x+1)3 !7dx" = (7x+1)
3 !7 dx" =(7x+1)4
4+ c
FunzComposta D[contenuto] PrimitivaFunzEsterna
f f’
f’f
Nell’ esempio seguente la derivata f’ non è già presente nel testo: per ottenerladevo moltiplicare e dividere per un numero opportuno
f’f
8
FunzioneComposta derivataContenuto Primitiva funzEsterna
Esercizi2b‐Integraliimmediatidi“FunzioneComposta*DerivataContenuto”
8
8x !1"dx# =
1
8x !1"8dx# = ln | 8x !1 | +c
x
x2+ 3
dx# =1
2
2x
x2+ 3
idx =#1
2
1
x2+ 3
i2xdx =#1
2ln(x
2+ 3) + c
x2+1
x3+ 3x
dx# =1
3
3(x2+1)
x3+ 3x
idx =#1
3
(3x2+ 3)
x3+ 3x
idx =#1
3ln | x
3+ 3x | +c
f '(x)
f (x)dx! =
1
f (x)• f '(x)dx! = ln | f (x) | +c
Funzioneesterna 1/f(x)
esempio
esempi
Negli esempi seguenti la derivata f’ non è già presente nel testo: per ottenerladevo moltiplicare e dividere per un numero opportuno
9
e2x !dx" =
1
2e2x !2 !dx" =
1
2e2x+ c
e# x !dx" = # e
# x ! (#1) !dx" = #e# x + c
x ! ex2
!dx" =1
2ex2
!2x !dx" =1
2ex2
+ c
e#2xdx" = #
1
2e#2x ! (#2)dx" =
1
2e#2x
+ c
ef (x)
f' (x)dx! = e
f (x )+ c
FunzioneComposta derivataFunzInterna Primitiva della F.esterna
Esercizi2c‐Integraliimmediatidi“FunzioneComposta*DerivataContenuto”
Funzione esternaesponenziale
esempi
,’
10
FunzioneComposta derivataFunzIntena Primitiva della Festerna
Esercizi2d‐Integraliimmediatidi“FunzioneComposta*DerivataContenuto”
cos(3x ! 4)i3dx" = sen(3x ! 4) + c
cos4xdx" =1
4cos4xi4dx" =
1
4sen4x + c
cos2x #dx" =1
2cos2xi2dx" =
1
2sen2x + c
cos f (x)• f '(x)dx! = senf(x) + cFunzione esternacoseno
esempi
esempi
Negli esempi seguenti la derivata f’ non è già presente nel testo: per ottenerladevo moltiplicare e dividere per un numero opportuno
11
Esercizi2e‐Integraliimmediatidi“FunzioneComposta*DerivataContenuto”
(3x!1)8 "3dx# =(3x!1)9
9+ c
1
4x+ 7"4 dx# = ln | 4x+ 7 | +c
cos5x "5dx# = sen5x+ c e3 x "3dx# = e
3 x+ c
(4x+ 2)5 !dx" =1
4(4x+ 2)5 !4 dx" =
1
4
(4x+ 2)6
6=(4x+ 2)
6
24+ c
e5 x !dx" =
1
5e5 x !5 !dx" =
1
5e5 x+ c
1
5x#1!dx" =
1
5
1
5x#1!5dx" =
1
5ln | 5x#1 | +c
sen7x !dx" =1
7sen7x! 7dx" = #
1
7cos 7x+ c
Negli esempi seguenti la derivata f’ non è già nel testo ma basta moltiplicare e dividereper un numero opportuno per ottenerla
12
3 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
(2x !1)3 " x "dx# =
pongo 2x !1 = t $ x =t
2+1
2$ differenziale dx =
1
2dt
sostituisco (t)3 " (1
2+t
2) "1
2dt =#
t3
4+t4
4dt =# calcolo l ' int egrale
=t4
16+t5
20= ri _ sostituisco al _ posto_di t la_ x
=(2x !1)5
16+(2x !1)5
20+ c
esempio1
• Si pone la funzione interna (il “contenuto”) uguale a t : f(x) = t• si ricava la x e si calcola il differenziale .• Si sostituisce NEL TESTO e si ha un integrale nella variabile• Risolvo l’integrale nella variabile t• Infine si ri-sostituisce in modo da “riportarlo” alla variabile x
13
3 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
(9x + 7) !dx" =
pongo 9x + 7 = t# 9x + 7 = t2 # x =
t2
9$7
9# diff dx =
2t
9!dt
sostituisco t !2t
9dt ="
2
9t2dt =" calcolo_ l ' int egrale
=2
9!t3
3=2t
3
27= ri $ sostituisco al _ posto_di _ t la_ x
=2( 9x + 7)
3
27=2 (9x + 7)
3
27+ c
Pongo f(x)=t• si ricava la x e si calcola il differenziale .• Si sostituisce NEL TESTO e si ha un integrale nella variabile• Risolvo l’integrale nella variabile t• Infine si ri-sostituisce in modo da “riportarlo” alla variabile x
esempio2 Nel caso di radice conviene porre uguale a t tutta la radice
14
f (x) ! g '(x) !dx" = f (x) ! g(x) # f '(x)" ig(x)dx
x ! ex !dx" = x ! ex # 1 !" e
xidx = xe
x # ex + c
4 - REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTISi applica per integrare il prodotto fra due funzioni del tipo:
•Una funzione si chiama FattorFinito f(x) si deve derivare trovando f’(x)•L’altra è FattorDifferenziale g’(x)dx si deve integrare: trovo primitiva g(x)
NB: scelgo come FattorFinito la funzione più comoda da derivare
xnexdx! x
n "cos x "dx! xnln x "dx! =
FattorFinito
x
ff fd
ff fd
ff INT(fd)・ -∫D[ff] ・ INT(fd)
ff INT(fd)・ -∫D[ff] ・ INT(fd)
15
f (x) !g'(x) !dx" = f (x) !g(x)# f '(x)" !g(x)dx
x ! cos x !dx" = xisenx # 1 ! senx !dx" = xisenx # (# cos x) = xisenx + cos x + c
ln x !dx" = ln x !1 !dx" = ln xix #1
x" ix !dx = x ln x # 1" !dx = x ln x # x + c
x ln x !dx" = ln x ! x !dx" = ln xix2
2#
1
x" i
x2
2!dx =
x2
2ln x # x" dx =
x2
2ln x #
x2
2+ c
4 - REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI
ff
ff
fd
fd
fd
ff fdff INT(fd)・ -∫D[ff] ・ INT(fd)
ff
Quando c’è il logaritmo scelgo lnx come fattor finito
esempi