INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE...

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INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE y=f(x) 1 è l’insieme di tutte le PRIMITIVE F(x) della funzione f(x) tale che F’(x) = f(x) E’ operazione inversa della Derivata prima Le primitive F(X) differiscono per una costante c Si calcola applicando le regole : Integrali immediati Integrali di FunzioneComposta*Derivata(contenuto) Integrali di funzioni composte con metodo di sostituzione Regola per Parti f ( x ) dx ! = F ( x ) + c

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INTEGRALEINDEFINITODIUNAFUNZIONEy=f(x)

1

• è l’insieme di tutte le PRIMITIVE F(x) della funzione f(x) tale cheF’(x) = f(x)

• E’ operazione inversa della Derivata prima• Le primitive F(X) differiscono per una costante c• Si calcola applicando le regole :Integrali immediatiIntegrali di FunzioneComposta*Derivata(contenuto)Integrali di funzioni composte con metodo di sostituzioneRegola per Parti

f (x)dx! = F (x) + c

2

Data una funzione y=f(x) continua in [a, b] si chiama PrimitivaF(x) la funzione tale che la sua derivata sia uguale a f(x):

F(x) e’ primitiva di f(x) sse F’(x) = f(x)

f(x)Derivata

Primitiva

FUNZIONE F(x) PRIMITIVA di una funzioney=f(x)

NB:seF(x)èunaprimitivadif(x)alloraloèancheF(x)+cadesempiolafunzionef(x)=2xhainfiniteprimitiveF(x)=x2+c

una funzione ammette infinite primitive chedifferiscono per una costante reale ecostituiscono una famiglia di infinite curve

y=2x y=x2

SichiamaINTEGRALEINDEFINITOdiunafunzioney=f(x)continual’insiemedituttelesueprimitiveesiindica:

3

f (x)dx! = F (x) + c

dx! = x+ c

1

xdx! = ln | x | +c

exdx! = e

x+ c

1‐INTEGRALIIMMEDIATI

Proprietàdilinearità

K ! f (x) !dx" = K f(x) !dx" ( f(x) + g(x)) !dx" = f(x) !dx" + g(x) !dx"

INTEGRALE INDEFINITO

Funz. integrandaPrimitiva

F’(x)=f(x)derivando la Primitiva

ottengo f(x)

xndx! =

xn+1

n+1+ c

cos xdx! = senx+ c

senxdx! = " cos x+ c

1

xndx! = x

"ndx! = ...

xmndx! = x

m

n dx! = ...

1

xmndx! = x

"m

n dx! = ...

4

(8x2+ 5)dx! = 8

x3

3+ 5x=

8x3

3+ 5x+ c=

8

3x3+ 5x+ c

(3x+8

x)dx! = 3

x2

2+ 8 ln | x |=

3

2x2+ 8 ln | x | +c

(7x5 "1

x+ 4 )dx! = 7

x6

6" ln | x | +4x=

7

6x6 " ln | x | +4x+ c

(4 cos x+ senx+ 5ex )dx! = 4senx" cos x+ 5ex+ c

5(x+1)2 dx! = 5 (x2 + 2x+1)dx! = 5(x3

3+ 2

x2

2+ x) =

5x3

3+ 5x2 + 5x+ c

1

x5dx! = x

"5dx! =

x"5+1

"5 +1=x"4

"4= "

1

4x"4= "

1

4

1

x4= "

1

4x4+ c

6

x3dx! = 6 x

"3dx! = 6

x"3+1

"3+1= 6

x"2

"2= "

6

2x

"2= "3

1

x2= "

3

x2+ c

Esercizi1a‐Integraliimmediatisvolti

5

3

x4dx! = 3x

"4dx! = 3 x

"4dx! 3

x"4 +1

"4 +1= 3

x"3

"3= "

x"3

1= "

1

x3+ c

5

x2dx! = 5x

"2dx! = 5 x

"2dx! 5

x"2+1

"2 +1= 5

x"1

"1= "5

x"1

1= "

5

x+ c

4 xdx! = 4 x

1

2 dx! = 4x

1

2+1

1

2+1

= 4x

3

2

3

2

= 4 !2

3x

3

2 =8

3x32+ c =

8

3x3+ c

x25dx! = x

2

5 dx! =x

2

5+1

2

5

+1

=x

7

5

7

5

=5

7x

7

5 =5

7x75+ c

6 x23dx! = 6 x

2

3 dx! = 6x

2

3

+1

2

3+1

= 6x

5

3

5

3

= 6 !3

5x

5

3 =18

5x53+ c

1

x53

dx! = x"5

3 dx! =x"5

3+1

"5

3+1

=x

"2

3

"2

3

= "3

2x

"2

3

= "3

2

1

x

2

3

= "3

2

1

x23

= "3

2 x23

+ c

Esercizi1b‐Integraliimmediatisvolti

6

2 - Integrali immediati di FUNZIONI COMPOSTE * derivataFunzInterna

[ f (x)]ni f

'(x)dx! =

[ f (x)]n+1

n +1+ c

f '(x)

f (x)dx! = ln | f (x) | +c

cos f (x)i f'(x)dx! = senf (x) + c e

f (x )f'(x)dx! = e

f (x )+ c

senf (x)dx! i f'(x)dx = " cos f (x) + c

g[ f (x)]• f '(x)dx! = G( f (x)) + c

Poicheladerivatadiunafunzionecompostasiottiene:derivandolafunzioneesternaemoltiplicandoperladerivatadellafunzioneinterna

Integrando(insensocontrario)ottengo:

l’integrale di : FunzioneComposta*Derivata funzioneInterna si può calcolareimmediatamente trovando la Primitiva della FunzioneEsterna

FunzioneComposta DerivataFunzInterna PrimitivaFunzEsterna

regole

7

FunzioneComposta derivataFunzInterna Primitiva FunzEsterna

Esercizi2a‐Integraliimmediatidi“FunzioneComposta*DerivataFunzInterna”

Funzione esternapotenza

esempi

[ f (x)]n• f '(x)dx! =

[ f (x)]n+1

n+1+ c

(2x+ 4)5 !2 dx" =

(2x+ 4)6

6+ c

(x2+1)

3 ! xdx" =1

2(x

2+1)

3 !2xdx" =1

2

(x2 +1)4

4=(x2 +1)4

8+ c

(7x+1)3 !7dx" = (7x+1)

3 !7 dx" =(7x+1)4

4+ c

FunzComposta D[contenuto] PrimitivaFunzEsterna

f f’

f’f

Nell’ esempio seguente la derivata f’ non è già presente nel testo: per ottenerladevo moltiplicare e dividere per un numero opportuno

f’f

8

FunzioneComposta derivataContenuto Primitiva funzEsterna

Esercizi2b‐Integraliimmediatidi“FunzioneComposta*DerivataContenuto”

8

8x !1"dx# =

1

8x !1"8dx# = ln | 8x !1 | +c

x

x2+ 3

dx# =1

2

2x

x2+ 3

idx =#1

2

1

x2+ 3

i2xdx =#1

2ln(x

2+ 3) + c

x2+1

x3+ 3x

dx# =1

3

3(x2+1)

x3+ 3x

idx =#1

3

(3x2+ 3)

x3+ 3x

idx =#1

3ln | x

3+ 3x | +c

f '(x)

f (x)dx! =

1

f (x)• f '(x)dx! = ln | f (x) | +c

Funzioneesterna 1/f(x)

esempio

esempi

Negli esempi seguenti la derivata f’ non è già presente nel testo: per ottenerladevo moltiplicare e dividere per un numero opportuno

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e2x !dx" =

1

2e2x !2 !dx" =

1

2e2x+ c

e# x !dx" = # e

# x ! (#1) !dx" = #e# x + c

x ! ex2

!dx" =1

2ex2

!2x !dx" =1

2ex2

+ c

e#2xdx" = #

1

2e#2x ! (#2)dx" =

1

2e#2x

+ c

ef (x)

f' (x)dx! = e

f (x )+ c

FunzioneComposta derivataFunzInterna Primitiva della F.esterna

Esercizi2c‐Integraliimmediatidi“FunzioneComposta*DerivataContenuto”

Funzione esternaesponenziale

esempi

,’

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FunzioneComposta derivataFunzIntena Primitiva della Festerna

Esercizi2d‐Integraliimmediatidi“FunzioneComposta*DerivataContenuto”

cos(3x ! 4)i3dx" = sen(3x ! 4) + c

cos4xdx" =1

4cos4xi4dx" =

1

4sen4x + c

cos2x #dx" =1

2cos2xi2dx" =

1

2sen2x + c

cos f (x)• f '(x)dx! = senf(x) + cFunzione esternacoseno

esempi

esempi

Negli esempi seguenti la derivata f’ non è già presente nel testo: per ottenerladevo moltiplicare e dividere per un numero opportuno

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Esercizi2e‐Integraliimmediatidi“FunzioneComposta*DerivataContenuto”

(3x!1)8 "3dx# =(3x!1)9

9+ c

1

4x+ 7"4 dx# = ln | 4x+ 7 | +c

cos5x "5dx# = sen5x+ c e3 x "3dx# = e

3 x+ c

(4x+ 2)5 !dx" =1

4(4x+ 2)5 !4 dx" =

1

4

(4x+ 2)6

6=(4x+ 2)

6

24+ c

e5 x !dx" =

1

5e5 x !5 !dx" =

1

5e5 x+ c

1

5x#1!dx" =

1

5

1

5x#1!5dx" =

1

5ln | 5x#1 | +c

sen7x !dx" =1

7sen7x! 7dx" = #

1

7cos 7x+ c

Negli esempi seguenti la derivata f’ non è già nel testo ma basta moltiplicare e dividereper un numero opportuno per ottenerla

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3 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE

(2x !1)3 " x "dx# =

pongo 2x !1 = t $ x =t

2+1

2$ differenziale dx =

1

2dt

sostituisco (t)3 " (1

2+t

2) "1

2dt =#

t3

4+t4

4dt =# calcolo l ' int egrale

=t4

16+t5

20= ri _ sostituisco al _ posto_di t la_ x

=(2x !1)5

16+(2x !1)5

20+ c

esempio1

• Si pone la funzione interna (il “contenuto”) uguale a t : f(x) = t• si ricava la x e si calcola il differenziale .• Si sostituisce NEL TESTO e si ha un integrale nella variabile• Risolvo l’integrale nella variabile t• Infine si ri-sostituisce in modo da “riportarlo” alla variabile x

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3 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE

(9x + 7) !dx" =

pongo 9x + 7 = t# 9x + 7 = t2 # x =

t2

9$7

9# diff dx =

2t

9!dt

sostituisco t !2t

9dt ="

2

9t2dt =" calcolo_ l ' int egrale

=2

9!t3

3=2t

3

27= ri $ sostituisco al _ posto_di _ t la_ x

=2( 9x + 7)

3

27=2 (9x + 7)

3

27+ c

Pongo f(x)=t• si ricava la x e si calcola il differenziale .• Si sostituisce NEL TESTO e si ha un integrale nella variabile• Risolvo l’integrale nella variabile t• Infine si ri-sostituisce in modo da “riportarlo” alla variabile x

esempio2 Nel caso di radice conviene porre uguale a t tutta la radice

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f (x) ! g '(x) !dx" = f (x) ! g(x) # f '(x)" ig(x)dx

x ! ex !dx" = x ! ex # 1 !" e

xidx = xe

x # ex + c

4 - REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTISi applica per integrare il prodotto fra due funzioni del tipo:

•Una funzione si chiama FattorFinito f(x) si deve derivare trovando f’(x)•L’altra è FattorDifferenziale g’(x)dx si deve integrare: trovo primitiva g(x)

NB: scelgo come FattorFinito la funzione più comoda da derivare

xnexdx! x

n "cos x "dx! xnln x "dx! =

FattorFinito

x

ff fd

ff fd

ff INT(fd)・ -∫D[ff] ・ INT(fd)

ff INT(fd)・ -∫D[ff] ・ INT(fd)

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f (x) !g'(x) !dx" = f (x) !g(x)# f '(x)" !g(x)dx

x ! cos x !dx" = xisenx # 1 ! senx !dx" = xisenx # (# cos x) = xisenx + cos x + c

ln x !dx" = ln x !1 !dx" = ln xix #1

x" ix !dx = x ln x # 1" !dx = x ln x # x + c

x ln x !dx" = ln x ! x !dx" = ln xix2

2#

1

x" i

x2

2!dx =

x2

2ln x # x" dx =

x2

2ln x #

x2

2+ c

4 - REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI

ff

ff

fd

fd

fd

ff fdff INT(fd)・ -∫D[ff] ・ INT(fd)

ff

Quando c’è il logaritmo scelgo lnx come fattor finito

esempi