integrale ale
-
Upload
marko-ivankovic -
Category
Documents
-
view
11 -
download
3
description
Transcript of integrale ale
-
KRATKI TUTORIAL IZ INTEGRALA
Daklem, integrale moemo rjeavati na tri osnovna naina (barem sam ih ja tako sebi podijelio jo u
srednjoj :D).
Prvi je SUPSTITUCIJA. Kad koristimo supstituciju? Nju koristimo kada (sroit u sada jednu lijepu
reenicu) deriviranjem jednog dijela integrala moemo dobiti drugi. Evo, ako vam to zvui zbunjujue,
pokaimo to na jednostavnom primjeru:
sin cos Uzmemo recimo kao supstituciju sin = . to dobijemo deriviranjem ovoga? Dobijemo sljedee:
cos = Znai, uspjeli smo dobiti drugi dio naeg integrala
I jednostavno crveni dio koji u sebi ima oznake x zamijenimo s onim dijelom koji u sebi ima oznake sa
t.
= 2 + S obzirom da je na integral neodreen, to jest nema granice, moramo vratiti nae x-eve s poetka:
sin 2 + U ovom zadatku se mogla koristiti i supstitucija cos = a deriviranjem ovo izraza dobili smo
sin = sin = Konano rjeenje bi bilo
= 2 + = cos 2 +
Ova rjeenja su u biti ista (primijetite da se kosinus moe prikazati kao sinus s pomakom od ).
Upravo e ova konstanta C pridonijeti tome, to jest, kada bismo ubacili neke granice, vidjeli bismo da
su rjeenja ista. Okej, da ne avrljam bezveze idemo dalje.
Ovdje u navesti isto nekoliko primjera koji se rjeavaju najosnovnijom supstitucijom.
Pr. 1.
ln = ln = = = =
4 + = ln 4 +
-
Pr. 2.
+ 1 = + 1 =
2 = = 2 = 2 = 12
32+ = 13 + 1 +
Pr. 3.
th = sh ch = " ch = sh = # =
= ln|| + = ln|ch | +
Supstitucija e se takoer koristit ako imamo neki polinom koji je teko raspisati ili bi njegovo
raspisivanje dugo trajalo, npr. 2 + 1%. U tom sluaju zamjenjujemo izraz koji je u zagradi. Takoer, ako imamo neki izraz pod korijenom. Mi npr. ne znamo automatski izraunati integral od 3 1, ali bismo od znali jer je to obina potencija, &'. Evo jo nekoliko izraza za koje je dobro znati koja se supstitucija koristi:
1.
( Ovakve integrale rjeavamo ili supstitucijom = ( sin ili = ( cos . Zato? Time postiemo sljedee:
= ( sin = ( cos ( ( sin ( cos = ( (1 sin cos = ( cos cos =
= ( cos = ( 1 + cos 22 a ovo dalje znate rijeiti
-
2.
( + Ovakve integrale rjeavamo ili supstitucijom = ( sh . Zato? Time postiemo sljedee:
= ( sh = ( ch
( + ( sh ( ch = ( (1 + sh ch = ( ch ch = = ( ch = ( 1 + ch 22
Sline zamjene moete raditi u takovim zadacima, a sve se to moe izvesti iz osnovnih formula
sin + cos = 1 ch sh = 1
Eto, to bi recimo bilo to to se tie supstitucije.
Nadalje, kad zadatak ne moemo rijeiti supstitucijom, obino pribjegavamo PARCIJALNOJ
INTEGRACIJI. Formula za parcijalnu integraciju glasi:
*+ = *+ +* Pogledajmo naprimjer sljedei integral:
sin Ako pokuamo primijeniti supstituciju vidjet emo sljedee:
1) supstitucija x = t. Ovime dobijemo samo dx = dt. Nismo dobili sinx dx to znai da nam je
supstitucija FAIL.
2) supstitucija sinx = t. Ovime dobijemo samo cosx dx = dt. Nismo dobili x dx to znai da su pokuaji
supstitucije kod ovog integrala DOUBLE FAIL.
Pokuajmo sada rijeiti ovaj integral parcijalnom integracijom. Najprije pogledamo koji dio moemo
integrirati. Uoavamo da bismo mogli integrirati i i sin . Znai da bilo koji od dva dijela moemo upotrijebiti kao +. Meutim, pogledajmo to bi se desilo kada bismo integrirali . Poveali bi stupanj polinom i dobili bismo
,' , to naravno ne elimo.
-
Znai da odabiremo sljedee:
* = + = sin * = + = cos *+ +* = cos + cos = cos + sin +
Evo sada opet nekoliko primjera parcijalne integracije:
Pr. 1.
-, = " * = + = -,* = + = -, # = -, -, = -, -, +
Pr. 2.
ln = * = ln + = * = + =
2 = ln 2
2 =
ln 2 12 =
= ln 2
4 +
Primijetite da tu nismo izabrali * = , bez obzira to e nam se stupanj polinoma poveavati. Odabrali smo * = ln jer ne znamo njegov integral. Pr. 3.
. = -/, cos = " * = -/, + = cos * = -/, + = sin # = -/, sin + -/, sin = = " * = -/, + = sin * = -/, + = cos # = -/, sin -/, cos -/, cos =
= -/, sin -/, cos .
. = -/, sin -/, cos . 2. = -/, sin -/, cos
. = -/, sin -/, cos 2 +
-
I konano, PARCIJALNI RAZLOMCI. Kad emo se sluiti tom metodom? Pa kad imamo je li, neki
razlomak :D, to jest u nazvniku imamo umnoak, to jest, faktorizirani polinom, ili polinom koji
moemo faktorizirati.
Evo nekoliko primjera:
Pr. 1.
+ = + 1
Moramo izraz 0
,',10 razbiti na jednostavnije dijelove: 1 + 1 = 2 + 3 + + 1
Kada u nazivniku imamo polinom prvog stupnja, kao na primjer + 1, u brojnik ide samo konstanta. Kada u nazivniku imamo polinom drugog stupnja, kao na primjer + + 1, u brojnik ide polinom prvog stupnja, opeg oblika 2 + 3. Da u nazivniku imamo polinom treeg stupnja, kao na primjer 2 + 4, u brojnik ide polinom drugog stupnja, opeg oblika 2 + 3 + i tako dalje... Na izraz pomnoimo sa + 1 pa dobijemo:
1 = 2 + 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 3 + 3 + 1 = 2 + + 2 + 3 + 3
Na desnoj strani imamo a na lijevoj ne, to znai da je 2 + = 0. Isto tako slijede i druge dvije jednadbe, pa dobijemo sustav:
2 + = 0 2 + 3 = 0
3 = 1 A time je i 2 = 1 i = 1. Pa na integral prelazi u:
+ = + 1 + + 1 = + + + 1 = = ln|| 1 + ln| + 1| + = ln 6 + 1 6 1 +
-
Pr. 2.
1 = 1 + 1
1 1 + 1 = 2 1 + 3 + 1 1 = 2 + 2 + 3 3 = 2 + 3 + 2 3
2 + 3 = 0 2 3 = 1
2 = 12 3 = 12
1 = 12 1 12 + 1 = 12 ln| 1| 12 ln| + 1| + = 12 ln 6 1 + 16 +