INTEGRAL INDEFINIDA
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INTEGRAL INDEFINIDA
Nice Maria Americano da Costa
(́ ) ( )F x f x
A questão posta pela operação derivada, era: dada uma função f(x), encontrar outra função, digamos F(x), que é igual à f´(x), ou seja, igual à derivada de f(x).
Com a nova operação que estudaremos, agora, a questão é, de certa forma, posta de forma inversa. Isto é, dada a função f(x), queremos determinar outra função F(x), cuja derivada é igual à função dada:
( ) (́ )F x f x
Definimos como primitiva esta função F(x) obtida com tal procedimento.
Consideremos f(x)=senx. Desejamos encontrar um outra função F(x), tal que, F´(x)=senx. Esta função procurada é F(x)=-cosx, pois F´(x)=senx.
Definição 1. Diz-se que F(x) é uma primitiva da função f(x), no intervalo [a,b], se em todos os pontos deste intervalo, tem-se F´(x)=f(x).
Note que, para f(x)=senx, a função G(x)=-cosx +5 também tem sua derivada igual a f(x); logo também ela é uma primitiva de f(x). Portanto, uma função qualquer admite mais de uma primitiva.
A NOÇÃO DE PRIMITIVA
Outros exemplos:
3( )f x x uma primitiva é:4
( )4
Fx
x
( ) cosf x x ( )F x senx
1( )f x
x
uma primitiva é:
( ) lnF x xuma primitiva é:
Mas as funções:4
( ) 54
xF x
3( )
4F x senx ( ) lnF x x a
São, correspondentemente, primitivas das funções dadas.
Teorema. Se duas funções, F1(x) e F2(x), são primitivas da função f(x), no intervalo [a,b], então, a diferença entre elas é uma constante.
Demonstração. Pela definição de primitiva, temos que as derivadas das F1(x) e F2(x) são iguais a f(x):
1
2
(́ ) ( )
(́ ) ( )
F x f x
F x f x
1 2( ) ( ) ( )G x F x F x
Definindo a diferença de F1(x) e F2(x) como uma nova função G(x), teremos
Calculando agora a derivada de G(x), temos:
1 2
1 2
(́ ) (́ ) (́ )
(́ ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) Constante
G x F x F x
G x f x f x
G x F x F x
Basta então conhecer uma primitiva, pois as demais diferem apenas de uma constante. Podemos então escrever para a primitiva de uma função f(x) :
( )F x C
Definição 2. Denomina-se Integral indefinida de uma função f(x) a operação de determinação da expressão da primitiva dessa função, F(x)+C; esta operação é simbolicamente representa por
( )f x dxPortanto, da definição, teremos
( ) ( )
( ) ( )
f x dx F x C
com
F x f x
Em virtude da definição da operação, temos que a derivada de uma integral indefinida é igual à função dada, ou integrando:
( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C F x f x
Propriedades:
A diferencial de uma integral indefinida é igual à expressão no integrando
( ) ( ) ( ) ( )d f x dx F x C dx F x dx f x dx Lembrando que a diferencial de uma função é a sua derivada vezes a diferencial da variável independente e usando o resultado anterior
A integral indefinida da diferencial de uma dada função é igual à própria função mais uma constante
( ) ( )dF x F x C
exemplos:
4
3
2
2
cos
cos
x
x dx
x dx
senx dx
x dx
dx
xdx
x
e dx
dx
x
5 4
4 3
3 2
2
2
Funçao Derivada
5
4
3
1 1
cos
cos
1
cos
1ln
x x
x x
x x
x x
x xsenx x
x senx
tgxx
e e
xx
5
4
5
4cos
ln
1
x
x
x
x
senx
x
x
e
tgx
Outras propriedades:
Teorema. A integral indefinida da soma algébrica de duas funções é a soma algébrica das integrais indefinidas dessas funções:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx Demonstração. Calculando a derivada dessa integral temos:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x
Mas pela propriedade demonstrada antes
( ) ( ( ) )
( ) ( ( ) )
f x f x dx
g x g x dx
Então
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
O resultado à direita é o que se obtém calculando a derivada do membro direito da tese do teorema
( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx
Teorema. Pode-se retirar um fator constante de dentro do sinal de integração
( ) ( )cf x dx c f x dx
Demonstração. Calculando a derivada dessa integral temos:
( ) ( )cf x dx cf x
Mas pela propriedade demonstrada antes
( ) ( )cf x c f x dx
Então ( ) ( )cf x dx c f x dx
O resultado à direita é o que se obtém calculando a derivada do membro direito da tese do teorema
( ) ( )c f x dx c f x dx
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
POR MUDANÇA DE VARIÁVEL
Nem sempre temos pela frente o cálculo de uma integral de uma função elementar, mas de uma composição delas. Por exemplo
2 cossen x x dxEntretanto, fazendo algumas transformações, por mudança de variável, podemos chegar a expressões com funções elementares. No exemplo, se olharmos com cuidado, vemos que :
cos ( )xdx d senx
Podemos então fazer a transformação
cos
u senx
entao
du dx
A integral torna-se: 32 3
3
uu du sen x C
O princípio desta técnica se apóia nas propriedade da derivada que vimos anteriormente. Dada a integral da função f(x), podemos imaginar x como uma função de outra variável t.
( )
( )
x t
dx t dt
Então
( )f x dx f t t dt
Para mostrar, derivemos o membro esquerdo em relação a x
( ) ( )f x dx f x
Derivemos o direito em relação a x, lembrando que temos uma função de t:
x t
dtf t t dt f t t dt
dx
Mas [( )] ( )
1
( )
tf t t dt f t t
e
dt
dx t
1[ ( )] ( ) ( )
( )x t
dtf t t dt f t t dt f t t f x
dx t
Então
Que é o resultado encontrado antes.
2
2
22
1
1
2
1 1ln ln(1 )
1 2 2 2
xdx
x
t x
dt xdx
x dtdx t x C
x t
Exemplo
cos
ln ln(cos )cos
senxdxx
t cox
dt senxdx
senx dtdx t x Cx t
Exemplo
Exemplo
5
5 5
5
5
1 1
5 5 5
x
x t t x
e dx
t x
dt dx
dte dx e e e C