INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO - WordPress.com · 2017. 3. 21. · OUSO DA SUBSTITUIÇÃO PARA...
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INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃOAula 03 – Matemática II
Agronomia
Prof. Danilene Donin Berticelli
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A maioria das funções que aparecem em aplicações práticas podeser derivada usando regras e fórmulas como as que foram vistas noestudo das Derivadas na Matemática I.
A integração, por outro lado, é mais uma arte que uma ciência emuitas integrais aparentemente simples podem exigir o uso demétodos especiais ou artifícios apropriados.
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POR EXEMPLO
Determinar 𝑥7𝑑𝑥
Determinar (3𝑥 + 5)7𝑑𝑥
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• expandir o integrando (3𝑥 + 5)7
• Usar a regra da substituição e
fazer uma mudança de
variável.
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USANDO A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO
(3𝑥 + 5)7𝑑𝑥𝑢 = 3𝑥 + 5
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 3
𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 𝑑𝑥 =1
3𝑑𝑢
(3𝑥 + 5)7𝑑𝑥 𝑢7𝑑𝑥 𝑢7(1
3𝑑𝑢)
1
3 𝑢7𝑑𝑢
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Podemos verificar que o cálculo está corretoderivando a expressão com o auxílio da regra dacadeia.
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USO DA SUBSTITUIÇÃO PARA INTEGRAR 𝑓 𝑥 𝑑𝑥O método de mudança de variável é chamado de integração por substituição e pode serencarado como o inverso da regra da cadeia para a derivação.
Escolha uma substituição 𝑢 = 𝑢(𝑥) que “simplifique” o integrando f(x).
Expresse toda integral em termos de 𝑢 e 𝑑𝑢 = 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥. Isto significa que todos os termos que envolvem 𝑥 e 𝑑𝑥 devem ser transformados em termos que envolvem 𝑢
e 𝑑𝑢.
Depois de executado o 2º passo, a integral deve estar na forma
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑑𝑢. Se possível, calcule o valor desta integral transformada determinando uma antiderivada 𝐺(𝑢) de 𝑔(𝑢).
Substitua 𝑢 por 𝑢(𝑥) em 𝐺(𝑢) para obter uma antiderivada de 𝐺(𝑢(𝑥)) para 𝑓(𝑥), de modo que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑢 𝑥 + 𝐶
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Já diz o velho ditado:
“O primeiro passo para fazer um
ensopado de coelho é arranjar o coelho”.
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“O PRIMEIRO PASSO PARA INTEGRAR POR SUBSTITUIÇÃO É DESCOBRIR UMA MUDANÇA DE VARIÁVEL 𝑢 =𝑢(𝑥) QUE SIMPLIFIQUE O INTEGRANDO DA INTEGRAL DADA, 𝑓(𝑥) , SEM COMPLICA-LO EXCESSIVAMENTEQUANDO 𝑑𝑥 É SUBSTITUÍDO POR 𝑑𝑢 = 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥.
1. Se possível, escolha u de tal forma que u’(x) seja parte do integrando f(x).
2. Procure escolher u como a parte do integrando que torna a função f(x) difícil de integrardiretamente, como um radicando, um denominador ou um expoente.
3. Não exagere nas substituições. Em nosso exemplo introdutório, (3𝑥 + 5)7𝑑𝑥 , um errocompreensível consiste em fazer 𝑢 = (3𝑥 + 5)7. Isto certamente simplifica o integrando, mas nessecaso 𝑑𝑢 = 7 3𝑥 + 5 6 3 𝑑𝑥 e ficaríamos com uma integral transformada que é mais difícil deresolver que a original.
4. Não desista. Se a substituição que você experimentou não
resultar em uma integral fácil de resolver, use uma substituição
diferente.
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EXEMPLOS
1) Determine 2𝑥 + 7𝑑𝑥
2) Determine 8𝑥(4𝑥2 − 3)5𝑑𝑥
3) Determine 𝑥³𝑒𝑥4+2𝑑𝑥
4) Determine 𝑥
𝑥−1𝑑𝑥
5) Determine 3𝑥+6
2𝑥2+8𝑥+3𝑑𝑥
6) Determine (𝑙𝑛𝑥)²
𝑥𝑑𝑥
Observação:
Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥
A Derivada 𝑓´ 𝑥 =𝑥′
𝑥
7) Determine 𝑒5𝑥+2𝑑𝑥
8) Determine 𝑥2+3𝑥+5
𝑥+1𝑑𝑥
A substituição em sempre
funciona!
Determine 𝑥4𝑒𝑥4+2 𝑑𝑥
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PROBLEMAA taxa de variação do preço unitário p (em reais) de um produto é dada por:
𝑑𝑝
𝑑𝑥=−135𝑥
9+𝑥²
Onde x é a demanda do produto (número de unidades vendidas) em centenas de unidades. Suponha que a demanda seja de 400 unidades (x = 4) para um preço de R$ 30,00 a unidade.
a) Determine a função da demanda p(x).
b) Para que preço a demanda é de 300 unidades? Para que preço a demanda ézero?
c) Qual é a demanda para um preço unitário de R$ 20,00?