INTEGRACIÓN POR PARTES - EJERCICIOS RESUELTOS.docx

8/17/2019 INTEGRACIÓN POR PARTES - EJERCICIOS RESUELTOS.docx

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INTEGRACIÓN POR PARTES.


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SOLUCIÓN


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SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

En esta integral no tenemos un producto explícito de funciones, pero como no sabemos cuál es la primitiva del logaritmo, lo que hacemos es derivarlo, es decir, u = ln (x)


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SOLUCIÓN

Si escogemos dv = ln(x) , no podremos obtener fácilmente v. Es mejor escoger u = ln(x)


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SOLUCIÓN

Normalmente escogemos u = x 2 para reducir su exponente, pero entonces tendremos que dv = arctan xy no conocemos la primitiva del arctan . Escogemos lo contrario

!hora tenemos que calcular la integral de una funci"n racional. #ara simplificar su expresi"n vamos aefectuar la divisi"n de polinomios

#$x%&'$x%(#$x%)'$x%*$x%+ $x%

donde C(x) y R(x) son los polinomios cociente y resto respectivamente.

-ividiendo en la expresi"n por Q(x) tenemos

#$x%&'$x%)*$x%+ $x%&'$x%

usaremos esta descomposici"n en la integral

esolvemos la integral

#or tanto


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SOLUCIÓN

*ada ve que integramos o derivamos cos(x) obtenemos ± sin(x) . #or tanto, no nos importa si es u "dv. Sin embargo, es mejor escoger u = x 2 ya que al derivar reducimos el exponente du = 2x .Escogeremos dv = cos(x)

/ntegramos por partes otra ve , pero tenemos que escoger u = x porque si no, volvemos al pasoanterior

Es decir,


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SOLUCIÓN

Escogemos u = x para reducir su exponente $y por tanto, desaparece x%.

Notemos que la primitiva de

0&cos1 $x%

es inmediata.


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SOLUCIÓN

#arecido a lo que ocurre con sin(x) y cos(x) , al derivar o al integrar e x obtenemos e x, por lo que noimporta si es u " dv. Si escogemos que la exponencial sea u, este factor se mantendrá siempre en laintegral y, además, el monomio $la potencia% será dv e iremos aumentando su grado al calcular v. #ortanto, escogemos dv = e x y u los monomios del polinomio para reducir su exponente hasta que sea una

constante.


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SOLUCIÓN

En este ejemplo no importa cuáles son los factores u y dv, ya que al integrar y al derivar e-x obtenemos-e -x y al integrar y al derivar cos(x) obtenemos ± sin(x) . Se trata de una integral cíclica en la quetendremos que aplicar dos veces integraci"n por partes $con la misma elecci"n para no volver al pasoanterior% y tendremos que despejar la integral de la expresi"n obtenida.


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SOLUCIÓN

2enemos de nuevo una exponencial por un seno, por tanto, se trata de una integral cíclica ya quetendremos que aplicar dos veces integraci"n por partes $con la misma elecci"n para no volver al pasoanterior% y despejar la integral de la expresi"n obtenida. #odemos escoger u y dv al a ar.


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SOLUCIÓN

Escogeremos el polinomio como u para reducir los exponentes hasta que desapare can


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SOLUCIÓN

!plicaremos integraci"n por partes 3 veces

SOLUCIÓN

*ada ve que derivamos a integramos la exponencial obtenemos la misma exponencial peromultiplicada por una constante $o la inversa de dicha constante%, por lo que no nos importa si es u " dv.Escogemos seg4n el otro factor, que como es un monomio, elegimos u = x 2 para reducir su exponente


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